Autec - 2ndo semestre Nivel Medio Superior

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

Preparatoria no. 9

Nivel Medio Superior SEGUNDO SEMESTRE

AUTEC ETAPA 1-4

By Daenna Gonzalez

Mario y Refugio juegan volleyball. Mario juega en una categoría más grande porque es mayor que Refugio. La suma de las edades de Mario y Refugio es 15.

Y multiplicadas dan 56. ¿Qué edad tienen Mario y Refugio?

Queremos conocer la edad Mario y la de Refugio.

A la edad de Mario le llamaremos

.

La edad de Refugio le llamaremos

.

Se sabe que las edades de ambos suman 15, entonces,

Y que multiplicadas dan 56, entonces.

Entonces se forma un sistema de ecuaciones.

Resolvemos el sistema por el método de sustitución, despejando de

La sustituimos en

e igualamos a cero,

Resolviendo la ecuación cuadrática,

Tomamos, el valor de sustituyéndolo en

Entonces,

para obtener el valor de y tenemos que,

,

y

Por lo tanto, la edad Mario y Refugio son respectivamente.

años y

años,

Nota: Si escoges el valor de , entonces al sustituirlo en , se obtiene que , y como en el ejercicio se aclara que Mario es mayor que Refugio, este resultado se descarta.

Ecuaciones que contienen valor absoluto El valor absoluto de un número es el mismo número este es positivo ó , y es el opuesto si es negativo.

Se denota como

, y se define de la siguiente manera:

Ejemplo: Obtener el valor absoluto de los siguientes números: a) b) c) d)

si

Si tenemos una ecuación que contiene un valor absoluto, por ejemplo:

es fácil ver que esta tendrá dos soluciones, ya que y

,

por lo tanto, la solución a la ecuación es

.

Resolver la ecuación Solución: Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -9 y a 9, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones, o

Resolver la ecuaci贸n Soluci贸n: Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -17 y a 17, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones,

o

Resolver la ecuaci贸n Soluci贸n:

Lo primero serรก dejar el valor absoluto solo del lado izquierdo, para esto, el 5 que estรก sumando del lado izquierdo lo pasamos restando del lado derecho, entonces,

Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -7 y a 7, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones,

Resolver la ecuaciรณn Soluciรณn: Lo primero serรก dejar el valor absoluto solo del lado

izquierdo, para esto, el 3 que está multiplicando del lado izquierdo lo pasamos dividiendo del lado derecho, entonces,

Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -9 y a 9, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones, y

Resolver la ecuación

.

Solución: Como sabemos que un valor absoluto no puede dar un número negativo, entonces decimos que la ecuación no tiene solución.

Propiedades del valor absoluto Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Resolver la ecuación Solución: Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación,

Para el miembro del lado izquierdo, utilizamos la

propiedad

así que,

Para el lado derecho sabemos que, Entonces la ecuación nos queda,

Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -7 y a 7, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones, o

Resolver la ecuación Solución: Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación,

Para el miembro del lado izquierdo, utilizamos la propiedad así que,

Para el lado derecho sabemos que no se puede obtener la raíz cuadrada de un número negativo.

Entonces podemos decir, que la ecuación no tiene solución.

Ecuaciones con trinomios cuadrados perfectos Ahora resolveremos ecuaciones cuadráticas que contienen un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo.

Para resolver este tipo de ecuaciones, factorizaremos el trinomio cuadrado para obtener un binomio al cuadrado y después haremos el procedimiento visto en los ejemplos de la lección 2.

Resuelve Solución: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo,

Entonces la ecuación nos queda,

Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación,

Para el miembro del lado izquierdo, utilizamos la propiedad de la lección 2 así que,

Para el lado derecho sabemos que, Entonces la ecuación nos queda,

Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -9 y a 9, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones, o

Soluciรณn:

Primero reescribimos la ecuaciรณn como: y Ahora resolvemos ambas ecuaciones,

Ahora resolvemos la otra ecuación,

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es Solución:

Primero reescribimos la ecuación como: y Ahora resolvemos ambas ecuaciones,

Ahora resolvemos la otra ecuación,

Por lo tanto, el conjunto soluciรณn de la ecuaciรณn es

Soluciรณn:

Primero reescribimos la ecuaciรณn como: y Ahora resolvemos ambas ecuaciones,

Ahora resolvemos la otra ecuaciรณn,

Por lo tanto, el conjunto soluciรณn de la ecuaciรณn es Soluciรณn:

Primero reescribimos la ecuaciรณn como: y Ahora resolvemos ambas ecuaciones,

Ahora resolvemos la otra ecuaciรณn,

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es

Retroalimentación

Tenemos que

Entonces:

sacamos raíz cuadrada en ambos lados:

Ahora resolvemos la primera ecuación

Ahora resolvemos la segunda ecuación:

Por lo tanto:

Tenemos que

Entonces:

sacamos raíz cuadrada en ambos lados:

Ahora resolvemos la primera ecuación

Ahora resolvemos la segunda ecuación:

Por lo tanto:

Retroalimentación

Tenemos que

Entonces:

sacamos raíz cuadrada en ambos lados:

Ahora resolvemos la primera ecuación

Ahora resolvemos la segunda ecuación:

Por lo tanto:

Retroalimentación

Tenemos: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto de la izquierda:

La ecuación nos queda: Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados:

Pero tenemos que además, La ecuación queda: Entonces, escribimos las dos ecuaciones: y

Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto, Retroalimentación

Tenemos: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto de la izquierda:

La ecuación nos queda: Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados:

Pero tenemos que y también, La ecuación queda:

Entonces, escribimos las dos ecuaciones: y Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto, Retroalimentación

Tenemos: Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto de la izquierda:

La ecuación nos queda: Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados:

Pero tenemos que además, La ecuación queda:

Entonces, escribimos las dos ecuaciones: y Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto,

El área de un rectángulo es de mide más que la altura.

. Si la base

¿Cuál es la medida de la base y la altura?

Retroalimentación

Sabemos que la fórmula para obtener el área de un rectángulo es

Llamaremos

a la altura

del rectángulo y

a la base.

Sustituyendo los datos, nos queda que,

Multiplicando el lado derecho e igualando a cero la ecuación, tenemos que,

Resolveremos la ecuación por el método de factorización, así que factorizamos el lado izquierdo y nos queda que,

Igualando cada factor a

.

Como sabemos que no puede haber distancias negativas, descartamos la solución Como Y como

y

, podemos decir que la altura

.

, entonces,

Por lo tanto, la medida de la base es de es de

Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización.

y la altura

Para resolver una ecuación cuadrática por el método de factorización, se utilizan los siguientes pasos 1) Se iguala la ecuación a cero.

2) Se factoriza el miembro de la ecuación que no sea cero.

3) Se iguala cada factor a cero y se resuelve cada ecuación para obtener las soluciones de la ecuación cuadrática.

Retroalimentación

Resolver la ecuación

Solución: 1) Completamos el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación .

2) El término independiente se agrega a ambos lados de la ecuación.

3) Se factoriza el lado izquierdo de la ecuación y se realizan las operaciones del lado derecho.

4) Se resuelve la ecuación como se vio en el actividad 1.1.

Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación,

Para el miembro del lado izquierdo, utilizamos la propiedad de la lección 1.2 así que,

Para el lado derecho sabemos que, Entonces la ecuación nos queda,

Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -1 y a 1, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones,

o

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es Retroalimentación

Resolver la ecuación Solución: 1) Completamos el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación .

2) El término independiente se agrega a ambos lados de la ecuación.

3) Se factoriza el lado izquierdo de la ecuación y se realizan las operaciones del lado derecho.

4) Se resuelve la ecuación como se vio en el actividad 1.1.

Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación,

Para el miembro del lado izquierdo, utilizamos la propiedad de la lección 1.2 así que,

Para el lado derecho sabemos que, Entonces la ecuación nos queda,

Escribimos la parte que se encuentra dentro del valor absoluto y la igualamos a -2 y a 2, entonces, y Resolvemos ambas ecuaciones, o

Por lo tanto, el conjunto soluciรณn de la ecuaciรณn es Retroalimentaciรณn

Primero igualamos la ecuaciรณn a Reconocemos los valores de

: , en este caso:

Sustituimos los valores en la fรณrmula general:

Entonces nos quedan dos ecuaciones: y Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto: Retroalimentaciรณn

Tenemos: Reconocemos los valores de

, en este caso:

Sustituimos los valores en la fรณrmula general:

Entonces nos quedan dos ecuaciones: y Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto: Retroalimentaciรณn

Primero igualamos la ecuaciรณn a Reconocemos los valores de

: , en este caso:

Sustituimos los valores en la fรณrmula general:

Entonces nos quedan dos ecuaciones: y

Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto: Retroalimentaciรณn

Tenemos: Reconocemos los valores de

, en este caso:

Sustituimos los valores en la fรณrmula general:

Entonces nos quedan dos ecuaciones:

y Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto: Retroalimentaciรณn

Primero igualamos la ecuaciรณn a entonces

Reconocemos los valores de

:

, en este caso:

Sustituimos los valores en la fรณrmula general:

Entonces nos quedan dos ecuaciones: y Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por lo tanto: Retroalimentaciรณn

Tenemos 1. En este caso la ecuaciรณn ya estรก igualada a factorizamos el miembro de la izquierda:

2. Igualamos cada factor a y

, entonces,

3. Resolvemos cada ecuaciรณn:

Por lo tanto : Retroalimentaciรณn

Tenemos 1. En este caso la ecuaciรณn ya estรก igualada a factorizamos el miembro de la izquierda:

2. Igualamos cada factor a y 3. Resolvemos cada ecuaciรณn:

Por lo tanto :

, entonces,

Retroalimentaciรณn

Tenemos 1. En este caso la ecuaciรณn ya estรก igualada a factorizamos el miembro de la izquierda:

2. Igualamos cada factor a y 3. Resolvemos cada ecuaciรณn:

Por lo tanto :

, entonces,

Dentro de 15 años Gabriela tendrá la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 9 años. ¿Cuál es la edad de Gabriela?

Retroalimentación

Llamaremos Así que, Y

a la edad actual de Gabriela. será la edad dentro de 15 años.

la edad hace 9 años.

Entonces, la ecuación nos queda,

Resolviendo la ecuación,

Entonces,

Descartamos la solución , ya que Gabriela no podría tener más de 3 años. Entonces,

Por lo tanto, la edad de Gabriela es de

años.

Retroalimentación

Llamemos al número que buscamos.

El séxtuplo del número es: El séxtuplo de un número disminuido e n es: El cuadrado de ese número es: Entonces, El séxtuplo de un número disminuido en igual a su cuadrado se escribe como:

es

Resolvemos: Pasamos la expresión del lado izquierdo al lado derecho: factorizamos: Entonces,

Ángel compró cierta cantidad de dulces por $24. Si cada dulce le hubiera costado $1 menos, podría haber comprado 4 dulces más con la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos dulces compró Ángel?

Retroalimentación

Sea la cantidad de dulces que compró Ángel y sea precio de cada dulce.

Sabemos que gastó $24, entonces:

Si cada dulce hubiera costado $1 menos, es decir , hubiera comprado 4 dulces más, o sea: y hubiera gastado los mismos $24, entonces: Desarrollando: Como : Despejamos

de la primera ecuación:

Sustituyendo,

dividimos entre 4: Factorizamos: Igualamos cada ecuación a cero y resolvemos:

el

Como es positivo, porque estamos hablando del precio de cada dulce, , entonces:

Por lo tanto, compró 8 dulces.

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 54 .

Retroalimentación

el lado uno es proporcional al número 3, entonces: , el segundo lado, al 4, entonces: y el tercero, a 5: .

El área del triángulo rectángulo se obtiene de la fórmula:

Donde : y También sabemos que el área es de Entonces:

Como estamos hablando de longitudes, deben ser positivas, entonces Por lo tanto los lados miden: Lado menor: Lado mediano: Lado mayor: Liborio es menor que Micaela. La suma de las edades de Liborio y Micaela es de y su multiplicación da como resultado 63. ¿Cuál es la edad de Liborio y Micaela?

Retroalimentación

Sea la edad de Liborio y la edad de Micaela.

Sabemos que la suma de las edades es , es decir y que su multiplicación da

o sea:

Despejamos de la primera ecuación: entonces: sustituimos

en la segunda ecuación:

Resolvemos: multiplicamos por : Factorizamos: igualamos cada ecuación a

:

Como Liborio es menor que Micaela, él tiene ella, años.

años y

Rubén está perdido buscando el taller de autos. Él se detiene y le pregunta a Alberto si sabe dónde está el taller.

Alberto le dice que ellos se encuentran en la calle arboleda y el taller está en una calle paralela a dos cuadras. ¿En qué calle se encuentra el taller?

Retroalimentación

Por el texto del ejercicio sabemos que ambas personas se encuentran en la calle arboleda.

Y que el taller se encuentra en una calle paralela a la calle arboleda. Recordemos que una recta paralela es aquella que está en un mismo plano pero no se intersectan. Por lo tanto, esta calle puede ser la calle solar o la calle plantación.

Como Alberto también le dijo que el taller se encontraba a dos cuadras. Concluimos que este se encuentra en la calle plantación.

Geometría.

Es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos en general.

Dichas propiedades pueden referirse tanto a las medidas de los cuerpos (área, longitud, volumen) como a las relaciones entre sus diferentes partes.

Para entenderla hay que comprender algunos conceptos de los llamados primitivos, se les llama conceptos primitivos ya que no tienen definición, como son: el punto, la recta y el plano.

Aun así trataremos de “definir” estos conceptos.

Punto.

Su representación más cercana es la marca que deja un lápiz al dejarlo caer en el papel o el orificio que deja un alfiler en una hoja. Carece de longitud, anchura y espesor.

Se denotan con letras mayúsculas. Por ejemplo: El punto .

Recta.

También llamada línea, es la marca que deja un lápiz cuando lo mueves sobre un papel o lo que se forma cuando tensas un hilo. Posee longitud pero carece de anchura y espesor.

Las lĂ­neas pueden ser rectas o curvas o una combinaciĂłn de ambas.

Se denotan nombrando a dos de sus puntos con letras mayĂşsculas. Por ejemplo, la recta o recta y se escribe como .

Plano.

Una hoja de papel es un buen ejemplo. Posee longitud, anchura pero carece de espesor.

Se denota como plano

o como plano

.

Otros conceptos elementales de la geometría.

Puntos colineales.

Son los puntos que se encuentran sobre la misma recta

Puntos coplanares.

Son puntos que se encuentran en un mismo plano.

Semirrecta o rayo.

Es la porción de una línea recta que está compuesta por un determinado punto fijo y se alarga en un solo sentido. Se denota como .

Segmento de recta.

Es un conjunto de puntos contenidos que tienen un punto de origen y un punto final. Se lee como el segmento de recta y se denota como .

Rectas paralelas.

Son aquellas rectas que están en el mismo plano pero no se intersecan.

Planos paralelos.

Son aquellos planos que no tienen ningún punto en común.

Cornelio y Dulce llegan a un estacionamiento y el encargado les dice que se estacionen en forma paralela a la entrada. ¿Cuántos lugares tienen Cornelio y dulce para estacionarse?

Solución: Sabemos que dos líneas paralelas, son dos líneas que se encuentran en un mismo plano pero no se intersecan.

Entonces para saber, cuantos lugares tienen Cornelio y Dulce para estacionar su auto, debemos fijarnos cuantos lugares libres hay en la misma posición que el auto de Cornelio y Dulce.

En la imagen vemos que hay 12 lugares para estacionarse en la misma posición que tienen ellos al entrar al estacionamiento.

Por lo tanto, existen 3 lugares libres para estacionarse como les dijo el encargado.

Elige la definición que mejor corresponda a los conceptos dados.

Puntos coplanares

Son puntos que se encuentran en un mismo plano.

Plano

Posee longitud pero carece de anchura y espesor. Su representación más cercana es la marca deja un lápiz cuando lo mueves sobre un papel., Posee longitud, anchura pero carece de espesor.

Puntos colineales

Son los puntos que se encuentran sobre la misma recta.

Recta

Rayo Punto

Es la porción de una línea recta que está compuesta por un determinado punto fijo y se alarga en un solo sentido., Carece de longitud, anchura y espesor. Su representación más cercana es la marca que deja un lápiz al dejarlo caer en el papel.

Planos paralelos

Son aquellos planos que no tienen ningún punto en común.,

Rectas paralelas

Son aquellas rectas que están en el mismo plano pero no se intersecan.

Geometría

Parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos en general.

Segmento de Es un conjunto de puntos contenidos que tienen un punto recta de origen y un punto final.

Carlos tiene una fuente en el patio de su casa. La fuente tiene forma circular. Él quiere reparar algunos daños en una parte de la fuente y sabe que la distancia de la orilla al centro de la fuente es de y que el ángulo del centro es de . ¿Qué longitud de la fuente alcanzará a reparar?

Solución: Retroalimentación

Tenemos que “el ángulo del centro es de ”, que está en grados sexagesimales, así que hay que convertirlo a radianes, utilizando la fórmula,

Sabemos que el ángulo en grados es Sustituyéndolo en la fórmula,

.

Entonces, nos queda que, rad.

También sabemos que la distancia de la orilla al centro de la fuente es de , es decir, el radio .

Usando la fórmula de longitud de arco.

Sustituyendo los datos,

Por lo tanto, la distancia que Carlos podrá reparar de la fuente es de .

Si dos semirrectas o rayos parten de un origen común, a la unión de ambas se le llama ángulo. A las dos semirrectas les llamamos lados del ángulo. Y el punto donde se originan se llama origen.

Hay dos maneras de denotar un ángulo.

1) Con los tres puntos que lo forman punto es el vértice.

. Donde el

2) Con la letra griega.

Una bisectriz es una línea que corta a un ángulo en dos ángulos de la misma medida.

Existen varias formas de medir los ángulos, en este caso veremos las dos principales.

Sistema sexagesimal Este sistema tiene como unidad básica el grado, que se define como la parte de una circunferencia. Un grado, que se denota como , se divide en sesenta minutos ( ) y a su vez, un minuto se divide en sesenta segundos ( ).

Ejemplo: 1) 2) 3) 4) Sistema circular Este sistema tiene como medida el radiรกn. Un radiรกn se puede describir como el รกngulo que se forma cuando colocas el radio sobre la circunferencia.

Ejemplo: 1) 2.4 rad 2) 3.27 rad 3)

rad

Para obtener el ángulo dada la longitud de arco y el radio de la circunferencia, utilizaremos la fórmula,

Donde es la longitud de arco, circunferencia y es el ángulo.

es el radio de la

Conversiones de grados sexagesimales a radianes y viceversa.

Para convertir un ángulo de grados a radianes o viceversa, se utiliza la fórmula: donde es el ángulo en grados y radianes.

es el ángulo en

Clasificación de ángulos Según su medida Ángulo agudo. Son los ángulos que miden menos de

Ángulo recto. Es el que mide

.

Ángulo obtuso. Es un ángulo mayor que que .

y menor

.

Ángulo llano. Es el que mide

.

Ángulo cóncavo o entrante. Es un ángulo mayor que menor que .

Perígono. Es el ángulo que mide da una vuelta completa.

Según su suma

. Es decir, es el que

y

Ángulos complementarios. Son dos ángulos cuya suma es . Ángulos suplementarios. Son dos ángulos cuya suma es . Ángulos conjugados. Son dos ángulos cuya suma es

.

Clasificación según su posición Ángulos consecutivos. Son dos ángulos con un vértice común y un lado que los separa.

Ángulos adyacentes. Son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes pertenecen a una misma recta.

y

son ángulos adyacentes.

Ángulos opuestos por el vértice. Son los ángulos opuestos (uno enfrente de otro) cuando dos rectas se cortan.

En esta imagen y son opuestos por el vértice; así como y .

Teorema.

Los ángulos opuestos por el vértice son de igual magnitud.

Si los ángulos ángulo .

y

. Encontrar el

Solución: Como y decir que Y como

son ángulos opuestos por el vértice. Podemos . y

, entonces,

Resolviendo la ecuación,

Entonces, sustituyendo el valor de

en

Entonces podemos decir que,

Y como el

es suplementario a

, entonces,

, como

Por lo tanto, el

,

144

Dada la siguiente figura. Encuentra el valor de

Soluciรณn.

Como los รกngulos y suplementarios, entonces,

son รกngulos

Y resolviendo la ecuación,

Por lo tanto,

8.

Retroalimentación Correcta

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Información Señalar con bandera la pregunta

Texto informativo

Paralelismo y perpendicularidad Si tenemos dos rectas en un plano, pueden suceder dos cosas con estas, que se corten en un solo punto o que no se corten en ningún punto.

Cuando dos rectas no se cortan en ningún punto, se les llamas rectas paralelas. Se denotan como . En la siguiente figura y son un par de rectas paralelas.

De las rectas que se cortan en un Ăşnico punto, nos interesan en particular las que forman un ĂĄngulo de (recto) entre ellas. Y les llamaremos rectas perpendiculares. Se denotan como . En la siguiente figura y son dos rectas perpendiculares.

Ángulos entre rectas cortadas por una transversal.

La siguiente figura muestra dos rectas cortadas por una transversal y los ocho ángulos que forman.

Donde, son llamados ángulos internos, ya que se encuentran dentro de las rectas paralelas.

Y son losángulos externos. Ángulos correspondientes Son dos ángulos, uno interno y uno externo, que se encuentran del mismo lado de la transversal y con vértices en dos paralelas distintas.

En la imagen anterior , , y son ángulos correspondientes. Ángulos alternos internos.

Son dos ángulos internos situados en distintos lados de la transversal.

Los ángulos internos.

y

son ángulos alternos

Ángulos alternos externos.

Son dos ángulos externos situados en distintos lados de la transversal.

Los ángulos y son ángulos alternos internos.

Teorema.

Los pares de ángulos correspondientes son iguales.

Teorema.

Los ángulos alternos internos son de la misma medida.

Teorema.

Los ángulos alternos externos son de la misma medida. Ángulos conjugados.

Son dos ángulos internos o externos situados del mismo lado de la transversal.

En la siguiente figura los y son ángulos conjugados internos.

Y

y

son ángulos conjugados externos.

Teorema.

La suma de dos ángulos conjugados internos o externos es siempre .

En la siguiente figura el ángulo medida de los demás ángulos?

mide

. ¿Cuál es la

Solución: El , y como y son opuestos por el vértice, y por lo tanto, son iguales, entonces, .

El ángulo

y el

son suplementarios, por lo que,

.

Y como y entonces, El el

es alterno interno con .

Y el el El

son opuestos por el vértice, .

es alterno interno con . y

Y el y entonces,

,y ,y

, entonces , entonces

son opuestos por el vértice, entonces, son opuestos por el vértice, .

.

Dada la siguiente figura. Encuentra el valor del

Soluciรณn: Como

y

son suplementarios.

Entonces,

.

Entonces,

,

sustituyendo el valor en

,

.

.

Y como buscamos el valor del . Y sabemos que el el son ángulos correspondientes y son iguales, entonces,

y

.

Por lo tanto,

109 .

I. Convertir los siguientes ángulos de grados a radianes. Si en tu resultado hay decimales, redondéalo a cuatro decimales.

Convertir 179° a radianes.

Solución: Utilizando la fórmula,

Como nos están dando que fórmula,

, sustituyéndolo en la

Despejando

,

Por lo tanto,

radianes.

Retroalimentación

Convertir 280° a radianes.

Solución: Utilizando la fórmula,

Como nos están dando que fórmula,

Despejando

Por lo tanto,

,

radianes.

, sustituyéndolo en la

II. Convertir los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales.

Utilizando la fórmula,

Como nos están dando que: fórmula,

sustituyéndolo en la

Aplicando “extremos por extremos y medios por medios” del lado derecho, tenemos:

Resolvemos para

:

Por lo tanto: Retroalimentación

Utilizando la fórmula,

Como nos están dando que: fórmula,

sustituyéndolo en la

Aplicando “extremos por extremos y medios por medios� del lado derecho, tenemos:

Resolvemos para

:

Por lo tanto:

III. Dados el radio y el , halla la longitud de arco las siguientes circunferencias. Escribe tu respuesta redondeando a dos decimales.

de

Primero transformamos los grados en radianes, con la f贸rmula:

Como tenemos que

, entonces

rad Luego, despejamos de la f贸rmula arco:

la longitud de

Sustituyendo los datos que tenemos: Sea

y

Retroalimentaci贸n

Primero transformamos los grados en radianes, con la f贸rmula:

Como tenemos que

, entonces

rad Luego, despejamos de la fรณrmula arco:

la longitud de

Sustituyendo los datos que tenemos:

IV. Dados el y la longitud de arco las siguientes circunferencias.

Sea

y

, halla el radio

de

Retroalimentación

Solución: Los datos que nos dan son,

y

.

En este caso, como el ángulo se nos proporciona en grados sexagesimales tenemos que convertirlos primero a radianes y sabemos que la fórmula es,

Como nos están dando que fórmula,

Despejando

,

, sustituyéndolo en la

Por lo tanto,

son

radianes.

Ahora para obtener el radio, utilizamos la fรณrmula,

Despejamos el radio, ,

Sustituyendo los datos,

Por lo tanto, el radio es Sea y

33

Retroalimentación

Encuentra el radio de la siguiente circunferencia, si su ángulo central es de y la longitud de arco es de Solución: Los datos que nos dan son,

y

.

En este caso, como el ángulo se nos proporciona en grados sexagesimales tenemos que convertirlos primero a radianes y sabemos que la fórmula es,

Como nos están dando que fórmula,

, sustituyéndolo en la

Despejando

Por lo tanto,

,

son

radianes.

Ahora para obtener el radio, utilizamos la fรณrmula,

Despejamos el radio, ,

Sustituyendo los datos,

Por lo tanto,

V. Dados el radio y la longitud de arco , halla el de las siguientes circunferencias. Si es necesario utiliza dos decimales.

Sea

y

Para encontrar el รกngulo, utilizamos la fรณrmula:

Sustituyendo los datos:

Transformamos los radianes a grados con la fรณrmula:

Como tenemos que

Por lo tanto,

, entonces

Sea

y

Para encontrar el รกngulo, utilizamos la fรณrmula:

Sustituyendo los datos:

Transformamos los radianes a grados con la fรณrmula:

Como tenemos que

Por lo tanto,

, entonces

VI. Determina el complemento, suplemento y conjugado de los siguientes ángulos. Escribe si no tiene alguno de estos. Si es necesario utiliza decimales.

Ejemplo: Ángulo Complemento Suplemento Conjugado

Retroalimentación

Sean

ángulos y dado un ángulo de

.

Los ángulos complementarios suman

, entonces:

Los ángulos suplementarios suman

, entonces:

Los ángulos conjugados suman

Por lo tanto, Retroalimentación

, entonces:

Sean

ángulos y dado un ángulo de

.

Los ángulos complementarios suman

, entonces:

Los ángulos suplementarios suman

, entonces:

Los ángulos conjugados suman

, entonces:

Por lo tanto, Ángulo Complemento Suplemento Conjugado

VII. Encuentra el valor del ángulo faltante en la siguiente imagen.

Si el ángulo es un ángulo recto.

Retroalimentación

Los ángulos y forman un ángulo recto, así que suman . Como:

Por lo tanto,

Retroalimentación

Los ángulos y forman un ángulo recto, así que suman . Como:

Por lo tanto,

VII. Resuelve los siguientes ejercicios, encontrando el ángulo que se te indica.

Sean y donde del .

dos ángulos complementarios, y . Encuentra la medida

Retroalimentación

Los ángulos y son ángulos complementarios, entonces suman . Como: y

Entonces, Luego,

Texto de la pregunta

Sean y donde del .

dos ángulos complementarios, y . Encuentra la medida

Retroalimentación

Los ángulos y son ángulos complementarios, entonces suman . Como: y

Entonces, Luego,

VIII. Encuentra el valor del ángulo faltante en la siguiente imagen. Si el ángulo es un ángulo llano.

Retroalimentación

Los ángulos y forman un ángulo llano, así que suman . Como:

Por lo tanto,

Retroalimentación

Los ángulos y forman un ángulo llano, así que suman . Como:

Por lo tanto,

VIII. Resuelve los siguientes ejercicios, encontrando el ángulo que se te indica.

Texto de la pregunta

Sean y donde del .

dos ángulos suplementarios, y . Encuentra la medida

Los ángulos y son ángulos suplementarios, entonces suman . Como: y

Entonces, Luego,

Sean y donde del .

dos ángulos suplementarios, y . Encuentra la medida

Retroalimentación

Los ángulos suman

Entonces,

y

son ángulos suplementarios, entonces . Como: y

Luego,

IX. En la siguiente figura encuentra el valor del ángulo

.

Texto de la pregunta

Retroalimentación

Como que:

y

Entonces:

son ángulos opuestos por el vértice, decimos y

Sustituyendo en

IX. En la siguiente figura encuentra el valor de

.

Retroalimentación

Como que:

y

Entonces:

son ángulos opuestos por el vértice, decimos y

X. En la siguiente imagen dado un ángulo, encuentra la medida de los demás ángulos.

Texto de la pregunta

Retroalimentación

El , y como y son opuestos por el vértice, y por lo tanto, son iguales, entonces, .

El ĂĄngulo

y el

son suplementarios, por lo que,

.

Y como y entonces, El el

es alterno interno con .

Y el el El

son opuestos por el vĂŠrtice, .

es alterno interno con . y

,y ,y

, entonces , entonces

son opuestos por el vĂŠrtice, entonces,

Y el y entonces, Por lo tanto,

son opuestos por el vĂŠrtice, .

.

Retroalimentación

El , y como y son opuestos por el vértice, y por lo tanto, son iguales, entonces, .

El ángulo

y el

son suplementarios, por lo que,

.

Y como y entonces, El el

es alterno interno con .

Y el el El Y el

son opuestos por el vértice, .

es alterno interno con . y

,y ,y

, entonces , entonces

son opuestos por el vértice, entonces, y

son opuestos por el vértice,

.

entonces,

.

Por lo tanto,

La guardia costera colocó tres boyas en el océano como se muestra en la siguiente imagen:

¿Cuál será el ángulo de cada boya?

Retroalimentación

En la imagen se ve que las boyas forman un triángulo, y que las expresiones que se dan son los ángulos interiores del triángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de , por lo que,

Y entonces, la ecuación nos queda,

Resolviendo la ecuación,

Entonces,

,

Como nos piden el valor de cada boya, sustituimos el valor obtenido de en cada expresión.

Por lo tanto, el ángulo de cada boya es,

y

Triángulos.

La palabra triángulo proviene del latín triángulos (de tri“tres” y “ángulo”). Y se utiliza para nombrar al polígono compuesto por tres lados que se forma a partir de la unión de tres rectas que se intersectan en tres puntos no situados en la misma recta. A cada punto donde se cortan las rectas se le llama vértice y a los segmentos se les llama lados.

En la imagen anterior, los puntos del triángulo. Y son los lados.

son los vértices

La altura de un triángulo es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.

La siguiente imagen muestra las alturas de un triángulo.

Al segmento de recta perpendicular al lado del triĂĄngulo que pasa por su punto medio, se le llama mediatriz. Al punto donde se cortan todas las mediatrices se le llama circuncentro. En la figura se muestra las mediatrices (color azul) y el circuncentro del triĂĄngulo.

La mediana es el segmento de recta que une el punto medio de un lado con el vĂŠrtice del lado opuesto. El punto donde se intersectan las tres medianas del triĂĄngulo se le llama baricentro.

La bisectriz es el segmento de recta que corta el ĂĄngulo de cada vĂŠrtice en dos ĂĄngulos de igual magnitud. Al punto donde se cortan las bisectrices se le llama incentro.

Clasificación de los triángulos.

Según la medida de sus lados.

Triángulo equilátero.

Es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida.

Triángulo isósceles.

Es el que tiene dos lados de la misma medida.

Triángulo escaleno Es el que tiene todos los lados de diferente medida.

Según la medida de sus ángulos.

Triángulo acutángulo Es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.

Triángulo rectángulo Es aquel que tiene un ángulo de

.

Triángulo obtusángulo Es aquel que tiene un ángulo obtuso.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo La suma de los ángulos interiores de un triángulo es

En el triángulo anterior

.

son los ángulos interiores.

Un ángulo exterior es el que se forma con uno de los lados del triángulo y la prolongación de un lado contiguo.

En la figura anterior es el ángulo exterior.

En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos.

En la figura,

Dada la siguiente figura encuentra el valor del รกngulo faltante.

Soluciรณn: Sean

los รกngulos interiores de un triรกngulo.

Entonces,

Sabemos que de .

y

, y que buscamos el valor

Sustituyendo los valores en la fรณrmula,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto,

72

Dada la siguiente figura encuentra el valor de

.

Soluciรณn: Sean

Entonces,

los รกngulos interiores de un triรกngulo.

Sabemos que y y sustituyendo los valores en la fórmula,

, entonces,

Y resolviendo la ecuación,

Por lo tanto,

42

Dada la siguiente figura encuentra el valor del ángulo externo .

Solución: Como en todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos

no contiguos, entonces, Y como

y

,

Por lo tanto, el รกngulo exterior

121

En la siguiente figura encuentra el valor del รกngulo externo .

Soluciรณn: Como en todo triรกngulo, la medida de un รกngulo externo es igual a la suma de las medidas de los

รกngulos internos no contiguos, entonces,

I.- Dada la siguiente e imagen. Encuentra la medida del รกngulo faltante.

Retroalimentaciรณn

Sean

los รกngulos interiores de un triรกngulo.

Entonces,

Sabemos que de .

y

, y que buscamos el valor

Sustituyendo los valores en la fรณrmula,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto,

Retroalimentaciรณn

Sean Entonces,

los รกngulos interiores de un triรกngulo.

Sabemos que de .

y

, y que buscamos el valor

Sustituyendo los valores en la fรณrmula,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto,

Retroalimentaciรณn

Sean

los รกngulos interiores de un triรกngulo.

Entonces,

Sabemos que de .

y

, y que buscamos el valor

Sustituyendo los valores en la fรณrmula,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto,

Retroalimentaciรณn

Sean

los รกngulos interiores de un triรกngulo.

Entonces,

Sabemos que de .

y

, y que buscamos el valor

Sustituyendo los valores en la fรณrmula,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto,

II.- Dada la siguiente e imagen. Encuentra la medida del รกngulo exterior .

Retroalimentación

Solución: Como en todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos, entonces,

Y como

y

,

Por lo tanto, el ángulo exterior

Retroalimentación

Solución: Como en todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos, entonces,

Y como

y

,

Por lo tanto, el ángulo exterior

Retroalimentación

Solución: Como en todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos, entonces,

Y como

y

,

Por lo tanto, el ángulo exterior

Retroalimentación

Solución: Como en todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos, entonces, Sean

los ángulos interiores de un triángulo.

Entonces,

Sabemos que de .

y

, y que buscamos el valor

Sustituyendo los valores en la fรณrmula,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto, Entonces como

Por lo tanto, el รกngulo exterior

III.- Dados los siguientes triรกngulos, encuentra lo que se te pida.

Retroalimentaciรณn

Sabemos que los รกngulos interiores de un triรกngulo suman . Entonces: Y como

,

y

:

Resolvemos:

Por lo tanto:

IV.- Dados los siguientes triรกngulos, encontrar el valor de y .

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Recordemos que

y que

En este caso y Despejando

de la primer ecuaciรณn

Sustituyendo en la segunda ecuaciรณn

Ahora sustituimos

en la ecuaciรณn despejada

David fue de viaje de trabajo a Francia, él se entera que la medida de la sombra de la torre Eiffel mide 417.3 m. de longitud, si David mide 1.80 m. de altura y su sombra mide 2.70 m. Y él se coloca al final de la sombra de la torre.

¿Cuánto mide de alto la torre Eiffel?

Retroalimentación

Llamamos a la altura de la torre Eiffel que es la que queremos encontrar y sabemos que la medida de la sombra de la torres es de 417.3 m.

La altura de David es de 1.80 m., y la medida de la sombra de David es de 2.70 m. Como se muestra en la siguiente figura.

Del dibujo vemos que se forma la siguiente figura,

Entonces por el teorema de Thales, Dividimos la altura

de la torre Eiffel por la altura

de

David e igualamos a la divisiรณn de la medida de la sombra de la torre mรกs la medida de la sombra de David por la medida de la sombra de David, esto es,

Resolviendo la ecuaciรณn

Por lo tanto, la altura de la torre Eiffel es de de

Teorema de Thales Si rectas paralelas son cortadas por transversales, los segmentos determinados en las paralelas son proporcionales.

Este teorema se muestra en la siguiente figura:

La siguiente variación del teorema también es válida: Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Teorema de Thales en un triángulo.

Dado un , si se traza un segmento paralelo, DE, a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo , cuyos lados son proporcionales a los del .

Encuentra el valor de teorema de Thales.

Soluciรณn:

de la siguiente figura utilizando el

Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Sustituyendo los valores en la ecuaci贸n, tenemos que,

Resolviendo la ecuaci贸n para

Entonces, el valor

,

,

Por lo tanto el valor de la distancia

2.

Comprobaci贸n: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaci贸n.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

Encuentra el valor de teorema de Thales.

de la siguiente figura utilizando el

Soluciรณn: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Resolviendo la ecuaciรณn para

Entonces, el valor

,

,

Por lo tanto el valor de la distancia

16.

Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

II.- Encuentra el valor de Thales.

, utilizando el Teorema de

6

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Resolviendo la ecuaciรณn para

Entonces, el valor

,

,

Por lo tanto el valor de la distancia

y

Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

12 Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Resolviendo la ecuaciรณn para

,

Entonces, el valor

,

Por lo tanto el valor de la distancia Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

15

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Resolviendo la ecuaciรณn para

Entonces, el valor

,

,

Por lo tanto el valor de la distancia Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

III.- Encuentra el valor de , utilizando el Teorema de Thales. Si tu resultado es un decimal, redondĂŠalo a 3 decimales.

Ejemplo:

4 Retroalimentaci贸n

Soluci贸n: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Sustituyendo los valores en la ecuaci贸n,

Resolviendo la ecuaci贸n para

,

Entonces, el valor

,

Por lo tanto el valor de

y

Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

54 Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Sustituyendo los valores en la ecuaciรณn,

Resolviendo la ecuaciรณn para

Entonces, el valor es

,

,

Por lo tanto el valor de Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

24 Retroalimentaci贸n

Soluci贸n: Por el teorema de Thales, sabemos que la siguiente igualdad es cierta.

Sabemos que el valor de las distancias es el siguiente:

Sustituyendo los valores en la ecuaci贸n,

Resolviendo la ecuaci贸n para

,

Entonces, el valor

,

Por lo tanto el valor de

y

Comprobaciรณn: Para comprobar que el resultado es correcto sustituimos el valor en la ecuaciรณn.

Sustituyendo nos queda que,

Por lo tanto, el resultado es correcto.

IV.- Resuelve los siguientes ejercicios aplicados de Teorema de Thales. Escribe tu respuesta con dos decimales si es necesario.

Un semรกforo de 2.0 metros de altura proyecta una sombra de 9.2 metros, en el mismo instante un edificio proyecta una sombra de 39.1 metros. Calcular la altura del edificio.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Llamamos edificio.

a la altura del edificio y

a la sombra del

A la altura del semรกforo la llamaremos , y la medida de la sombra del semรกforo la llamaremos .

Entonces por el teorema de Thales,

Dividimos la altura del edificio por la altura del semáforo e igualamos a la división de la medida de la sombra del edificio más la medida de la sombra del semáforo por la medida de la sombra del semáforo , esto es,

Resolviendo la ecuación

por lo tanto, la altura del edificio es La respuesta correcta es: 8.50

La empresa Viajes Realito, S. A. Adquirió un terreno en el que planean construir un hotel, el terreno tiene la siguiente forma:

Ellos quieren construir un hotel en una parte del terreno, y le encargan al arquitecto Reyes el proyecto de la construcción del hotel. La única condición que le pide la empresa al arquitecto es que el terreno donde esté el hotel sea semejante al total del terreno.

El arquitecto Reyes construye la siguiente maqueta:

¿Los triángulos construidos por el arquitecto Reyes son semejantes?

Solución: Al cortar el terreno con una recta paralela al lado se forman dos triángulos, como se muestra en la siguiente imagen:

El

y el

Donde, el triángulos.

es un ángulo agudo en común a los dos

Como los lados más pequeños son perpendiculares, es decir, .

Entonces, el ángulo del vértice , es un ángulo recto. Y como entonces, el ángulo del vértice también es recto.

Entonces por el criterio de Ángulo-Ángulo, los triángulos sí son semejantes.

Por lo tanto, el arquitecto le puede decir a la empresa que los triángulos construidos en su maqueta sí son semejantes.

Congruencia de triángulos.

Si se tienen dos triángulos como los siguientes:

Vemos que tienen la misma forma y el mismo tamaño, entonces podemos decir que estos triángulos son

congruentes.

Dos o más figuras se dicen que son congruentes, cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. Se denota con el símbolo .

Es decir, en los triángulos anteriores el

.

Para saber si dos triángulos son congruentes existen tres criterios, los cuales veremos a continuación: Criterio LLL (Lado-Lado-Lado) Cuando los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados correspondientes de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) Si dos lados de un triángulo y el ángulo que forman es congruente a dos lados del otro triángulo y al ángulo que forman, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo) Si un lado de un triángulo y sus ángulos contiguos son congruentes a un lado del otro triángulo y sus respectivos lados contiguos, entonces los triángulos son congruentes.

Si

,

Demuestra que el

y

. .

Solución: Como entonces el

, entonces el .

Sabemos que y que el lado común a los dos triángulos.

y como

,

es un lado en

Entonces, por el criterio de ALA (Ángulo-Lado-Ángulo) el .

Semejanza de triángulos.

Dos figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, se dice que son semejantes.

La maqueta de un edificio o de un puente que se va a construir son figuras semejantes a la construcción final de estas estructuras.

Dos triángulos son semejantes si los lados son proporcionales y sus ángulos son congruentes. Se denota con el símbolo .

Para saber si dos triángulos son semejantes existen tres criterios, los cuales veremos a continuación: Criterio LLL (Lado-Lado-Lado) Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio AA (Ángulo-Ángulo) Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes a dos ángulos de otro, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado) Si dos lados de un triángulo son congruentes a dos lados de otro triángulo, y los ángulos que estos forman son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

Si

demuestra que

.

Solución: Como y el es un ángulo común, entonces por el criterio AA (Ángulo-Ángulo) los triángulos son semejantes.

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.

La expresión matemática del teorema de Pitágoras es:

Encontrar la hipotenusa dado los catetos en el siguiente triรกngulo rectรกngulo.

Soluciรณn: Utilizando el teorema de Pitรกgoras

Donde y son los catetos y sustituyendo los valores de

es la hipotenusa, y ,

Por lo tanto, el valor de la hipotenusa es

5

Una escalera cuya longitud es de 3.5 m. se encuentra apoyada contra una pared que alcanza una altura de 3 m.

La pregunta es: ¿a qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared?

Solución: Vemos que se forma un triángulo rectángulo con los siguientes datos,

Donde la medida de la escalera es la hipotenusa y la altura de la pared es un cateto. Como nos piden la distancia de la base de la pared al pie de la escalera, entonces nos piden el valor del cateto .

Utilizando el teorema de Pitรกgoras,

Sustituyendo los valores dados,

Y resolviendo la ecuaciรณn para ,

Por lo tanto, la distancia de la base de la pared al pie de la escalera es de 1.8 m.

I. Selecciona si los siguientes triángulos son congruentes, si lo son, indica bajo qué criterio.

Si el

es punto medio de

y

. Demuestra que

Solución: Como Y como es el punto medio entre , Entonces el y , entonces Como los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados correspondientes de otro triángulo

Entonces, por el criterio de LLL (Lado-Lado-Lado) el .

Sean . Si y y siendo el punto medio de . Probar que .

Soluciรณn: Tenemos que Como

y

Entonces el Como

es el punto medio de

Entonces Entonces, por el criterio de LAL (Lado-ร ngulo-Lado) el .

II. Selecciona si los siguientes triángulos son semejantes o no.

Si Solución: Como el entonces el Como

y el

son opuestos por el vértice,

, entonces el

Entonces, por el criterio de AA (Ángulo-Ángulo) el .

Texto de la pregunta

Si Solución: Como el y el compartido por ambos triángulos

ya que es

Entonces, por el criterio de AA (Ángulo-Ángulo) el .

III. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, calculando el dato faltante. Escribe tu resultado redondeando a dos decimales.

6.08 Retroalimentaciรณn

Encontrar la hipotenusa dado los catetos en el siguiente triรกngulo rectรกngulo.

Soluciรณn: Utilizando el teorema de Pitรกgoras

Donde y son los catetos y sustituyendo los valores de

es la hipotenusa, y ,

Por lo tanto, el valor de la hipotenusa es

10.44 Retroalimentaciรณn

Encontrar la hipotenusa dado los catetos en el siguiente triรกngulo rectรกngulo.

Soluciรณn: Utilizando el teorema de Pitรกgoras

Donde y son los catetos y sustituyendo los valores de

es la hipotenusa, y ,

Por lo tanto, el valor de la hipotenusa es

Respuesta Retroalimentaciรณn

Encontrar la hipotenusa dado los catetos en el siguiente triรกngulo rectรกngulo.

Soluciรณn: Utilizando el teorema de Pitรกgoras

Donde y son los catetos y sustituyendo los valores de

es la hipotenusa, y ,

Por lo tanto, el valor de la hipotenusa es

4.58 Retroalimentaciรณn

Encontrar la hipotenusa dado los catetos en el siguiente triรกngulo rectรกngulo.

Soluciรณn: Utilizando el teorema de Pitรกgoras

Donde y son los catetos y sustituyendo los valores de

es la hipotenusa, y ,

Por lo tanto, el valor de la hipotenusa es

IV. Resuelve los siguientes ejercicios aplicados de triángulos rectángulos con el teorema de Pitágoras. Escribe tu respuesta Una escalera cuya longitud es de 5.7 m se encuentra apoyada en una pared de 1.3 m de altura. ¿A qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared?

Retroalimentación

Solución: Vemos que se forma un triángulo rectángulo con los siguientes datos, Donde a la altura de la pared la llamaremos y a la longitud de la escalera la llamaremos , donde es la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo. Como nos pide la distancia al pie de la escalera de la base, entonces nos piden el valor del otro cateto.

Utilizando el teorema de Pitágoras,

Sustituyendo los valores dados, y resolviendo la ecuación para ,

Por lo tanto, la distancia de la base de la pared al pie de la escalera es de m.

Un terreno rectangular mide 122.0 metros de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 207.4 metros. ¿cuál es el ancho del terreno?

Retroalimentación

Solución: Vemos que se forma un triángulo rectángulo con los siguientes datos, Donde a lo largo del rectángulo lo llamaremos y a la longitud de su diagonal la llamaremos , donde es la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo. Como nos pide el ancho del terreno, entonces nos piden el valor del otro cateto.

Utilizando el teorema de Pitágoras,

Sustituyendo los valores dados, y resolviendo la ecuación para ,

Por lo tanto, la distancia de la base de la pared al pie de la escalera es de m.

El equipo de fútbol americano “Cascos Dorados” tiene casi todo listo para la inauguración de su nuevo estadio, únicamente hace falta empastar el campo. Este campo tiene medidas de de largo y de ancho. Si la empresa que se encargará de empastarlo cobrará $55 por metro cuadrado.

¿Cuánto pagará el equipo “Cascos Dorados” por el empastado?

Solución:

Retroalimentación

Sabemos que el campo tiene forma rectangular, como se muestra en la siguiente figura:

Donde es el largo y es el ancho, entonces, calculamos el área del rectángulo. Con la fórmula,

El ejercicio nos dice que el largo es de de m.

m. y el ancho es

Entonces,

Como cada metro cuadrado cuesta $55, multiplicamos el total de metros cuadrados por el precio del metro cuadrado de pasto. .

Por lo tanto, el equipo “Cascos Dorados” por el empastado $42 350.

Polígono Proviene de la raíz compuesta por las palabras del griego “poli” (muchos) y de “gonos” (ángulos), y se define como la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos. A estos segmentos se les llamado lados.

• El número de lados de un polígono debe ser mayor que dos.

• Un polígono regular es una figura en la que todos sus lados o ángulos tienen la misma medida.

Clasificación de polígonos Los polígonos se clasifican según el número de lados en: Nombre

Número de lados

Triángulo

3

Figura

Cuadrilรกtero

4

Pentรกgono

5

Hexรกgono

6

Heptรกgono

7

Octรกgono

8

Nonรกgono

9

Decรกgono

10

Endecรกgono

11

Dodecรกgono

12

Pentadecรกgono

15

Isocรกgono

20

N-รกgono

n

Si en un polígono dibujamos un segmento de recta que una dos puntos cualesquiera y este está totalmente dentro del polígono, se dice que el polígono es convexo, sino se llama cóncavo.

Convexo Cóncavo Propiedades y elementos de un polígono. Ángulos interiores.

Es el ángulo formado por dos lados consecutivos.

Para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono, utilizamos la fórmula:

Donde

es el número de lados del polígono.

Para calcular la medida de un ángulo interior, utilizamos la fórmula: Donde

es el número de lados del polígono.

Ángulo exterior.

Es el ángulo formado por un lado y la prolongación de otro lado consecutivo al primero.

• La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono, es siempre .

• La suma de un ángulo interior y su ángulo exterior son suplementarios.

• Para calcular la medida de cada ángulo exterior utilizamos la fórmula: Una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

En la figura anterior el segmento de recta en color morado es una diagonal del pentágono. El número de diagonales de un polígono convexo de lados, lo calculamos con la fórmula: El radio de un polígono, es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono, y es la distancia de cualquier vértice al centro de la circunferencia.

El apotema es el segmento de recta que va del centro de la circunferencia a cualquier punto del polígono.

Ángulo central.

Es el ángulo que se forma con los radios de dos vértices consecutivos.

es el ángulo central.

El valor de un ángulo central se calcula con la fórula:

Si se tiene un heptágono regular, encuentra: a) La suma de los ángulos interiores. b) La medida de los ángulos interiores. c) La medida de los ángulos exteriores. d) El número de diagonales. e) El valor del ángulo central.

Solución: Un heptágono es un polígono de 7 lados.

Entonces, a) La suma de los ángulos interiores.

b) La medida de los ángulos interiores.

c) La medida de los ĂĄngulos exteriores.

d) El nĂşmero de diagonales.

14

e) El valor del รกngulo central.

¿A qué polígono se le pueden trazar 27 diagonales?

Solución: Como se da el número de diagonales y necesitamos saber el número de lados para conocer de qué polígono se trata, utilizamos la fórmula,

Sustituyendo el valor de

, tenemos que,

Y resolviendo la ecuación cuadrática por factorización,

Entonces tenemos dos soluciones, Y como no podemos tener una figura que tenga se descarta esa solución por lo tanto, la figura tiene lados, es decir, que tiene 27 diagonales.

I.- En los siguientes ejercicios encuentra: a) La suma de los ángulos interiores. b) La medida de los ángulos interiores. c) La medida de los ángulos exteriores. d) El número de diagonales. e) El valor del ángulo central en radianes. f) Nombre del polígono.

Solución: Entonces, a) La suma de los ángulos interiores.

lados,

b) La medida de los ángulos interiores.

c) La medida de los ángulos exteriores.

d) El número de diagonales.

e) El valor del ángulo central.

f) Nombre del polígono.

Un decágono es un polígono de 10 lados.

Solución: Entonces, a) La suma de los ángulos interiores.

b) La medida de los ángulos interiores.

c) La medida de los ángulos exteriores.

d) El número de diagonales.

e) El valor del ángulo central.

f) Nombre del polígono.

Un dodecágono es un polígono de 12 lados.

Retroalimentación

Solución: Entonces, a) La suma de los ángulos interiores.

b) La medida de los ángulos interiores.

c) La medida de los ángulos exteriores.

d) El número de diagonales.

e) El valor del ángulo central.

f) Nombre del polígono.

Un pentágono es un polígono de 5 lados.

Retroalimentación

Solución: Entonces, a) La suma de los ángulos interiores.

b) La medida de los ángulos interiores.

c) La medida de los ángulos exteriores.

d) El número de diagonales.

e) El valor del ángulo central.

f) Nombre del polígono.

Un nonágono es un polígono de 9 lados.

II. En los siguientes ejercicios, encuentra lo que se te pida.

Si cada ángulo interior de un polígono, es lados tiene el polígono?

, ¿cuántos

Retroalimentación

Solución: Sabemos que la medida de los ángulos interiores es:

Ahora, como la suma es Resolvemos la ecuación para

Por lo tanto, el polígono tiene

lados

Si un ángulo exterior de un polígono mide polígono estamos hablando?

, ¿de qué

Retroalimentación

Solución: Sabemos que la medida de los ángulos exteriores es:

Ahora, como el ángulo de un polígono es Resolvemos la ecuación para

Entonces un polígono con 8 lados es un octágono.

Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es , ¿cuántos lados tiene el polígono?

Retroalimentación

Solución: Sabemos que la suma de los ángulos interiores es:

Ahora, como la suma es Resolvemos la ecuación para

Por lo tanto, el polígono tiene

lados

Si cada ángulo interior de un polígono, es lados tiene el polígono?

, ¿cuántos

Retroalimentación

Solución: Sabemos que la medida de los ángulos interiores es:

Ahora, como la suma es Resolvemos la ecuación para

Rosa tiene un terreno en forma de rombo, ella quiere dividir el terreno en 4 partes iguales para darle una parte a cada uno de sus hijos. Ella quiere ponerle una barda a toda la orilla del terreno y luego dos bardas más sobre las diagonales del rombo, como se muestra en el siguiente dibujo:

Si el perímetro del rombo es de 50 m. y Rosa sabe que una de las bardas diagonales mide 15 m. ¿Cuál será la medida de la otra barda?

Solución: El rombo tiene las siguientes medidas,

Y queremos conocer la medida de Como el perĂ­metro del rombo es de medida de cada lado es de

. , entonces, la

Y como vale y es perpendicular a su punto medio, entonces y miden

y lo corta en .

Si tomamos cualquiera de los 4 triángulos que se forman, tenemos lo siguiente,

Vemos que es un triángulo rectángulo, por lo que podemos obtener el valor de con el teorema de Pitágoras.

Entonces,

Donde

,

y

.

Por lo que,

Como Rosa quiere saber la diagonal, para saber cuántos metros de barda medirá, entonces calculamos el doble de , que es Por lo tanto, la otra barda diagonal debe medir 20 m.

RetroalimentaciĂłn

El rombo tiene las siguientes medidas,

En este caso, todos los lados del rombo tienen la misma medida.

Y queremos conocer la medida de la diagonal menor que es .

Conocemos que el perĂ­metro del rombo es la suma de sus cuatro lados y que vale , entonces, , asĂ­ que la medida de cada lado es de

Y como vale y es perpendicular a y lo corta en su punto medio , entonces y miden .

Tomamos el

,

Vemos que es un triรกngulo rectรกngulo, por lo que podemos obtener el valor de con el teorema de Pitรกgoras.

Entonces,

Donde Por lo que,

,

y

.

Como Rosa quiere saber la diagonal, para saber cuรกntos metros de barda medirรก, entonces calculamos el doble de , que es Por lo tanto, la otra barda diagonal debe medir 20 m.

Un paralelogramo es un cuadrilรกtero en el que sus lados opuestos son paralelos

La figura anterior es un paralelogramo.

Un trapecio es un cuadrilรกtero con dos lados paralelos llamados bases y otros dos no paralelos.

Un trapezoide es un cuadrilรกtero que no tiene lados paralelos.

Clasificaciรณn de los paralelogramos.

Cuadrado. Es un paralelogramo que tiene todos los lados iguales y sus รกngulos son rectos.

Rectรกngulo. Es un paralelogramo en el que sus lados opuestos son iguales y paralelos, y sus cuatro รกngulos son rectos.

Un cuadrado es un caso particular de un rectรกngulo.

Rombo. Es un paralelogramo que tiene todos sus lados y รกngulos iguales (los รกngulos no necesitan ser de ).

Romboide. Es un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo, ya que tiene dos pares de lados paralelos e iguales entre sí y que forman dos pares de ángulos también iguales entre sí.

Propiedades de los paralelogramos En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.

Cada diagonal divide a un paralelogramo en dos triĂĄngulos congruentes.

Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

es el punto medio.

2 รกngulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios.

son suplementarios. son suplementarios. son suplementarios. son suplementarios.

Propiedades de los trapecios Un trapecio es un cuadrilรกtero con dos lados paralelos llamados bases y otros dos no paralelos.

En la figura anterior, es llama la base mayor y la base menor. Y es la altura.

Un trapecio isรณsceles es aquel en el que sus lados no paralelos son de la misma medida.

Los รกngulos de la base de un trapecio isรณsceles son congruentes.

Los รกngulos no contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios.

son suplementarios. son suplementarios.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero están representados como , , y . Halla la medida del Solución: Sabemos que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman .

Esto es,

Entonces,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Entonces tenemos que el valor de

.

Como nos piden el valor del รกngulo el valor de .

Por lo tanto el valor del รกngulo

122 .

, sustituyendo

Hallar el valor de

y

en el siguiente paralelogramo.

SoluciĂłn: Como en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales, tenemos que, y Entonces, y Vemos que se forma el sistema de ecuaciones,

Resolviendo el sistema por el mĂŠtodo de sustituciĂłn.

Vamos a nombrar

a

,y

a

.

1. Se despeja una variable en cualquier ecuaciรณn.

En este caso, vamos a despejar

de

,

2. Se sustituye la expresiรณn encontrada en la otra ecuaciรณn.

Sustituimos

en

, entonces

3. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

4. Se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuaciรณn del paso 1.

Sustituimos

en

Por lo tanto, la soluciรณn es

, entonces,

-1

Si

es un paralelogramo, encuentra el valor de

SoluciĂłn: En el paralelogramo el punto de y .

es punto medio

Entonces, y AsĂ­ que, y Vemos que se forma el sistema de ecuaciones,

y

.

Resolviendo el sistema por el método de sustitución.

Vamos a nombrar

a

,y

a

.

1. Se despeja una variable en cualquier ecuación.

En este caso, vamos a despejar

de

,

2. Se sustituye la expresión encontrada en la otra ecuación.

Sustituimos

en

, entonces,

3. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

4. Se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuación del paso 1.

Sustituimos

en

Por lo tanto, la soluciรณn es

Sea

, entonces,

Respuesta

un rombo, encuentra los valores de

y

.

SoluciĂłn: Como es un rombo, la recta que va de diagonal, entonces biseca al y al .

a

es

Entonces, podemos decir que Obteniendo el valor de

,

Y por “dos rectas cortadas por una transversal� podemos decir que Entonces,

Por lo tanto,

y

50.

En el siguiente trapecio de y .

. Encuentra los valores

Soluciรณn: Por las propiedades de los trapecios, conocemos que el Y como Como

,y

entonces

es suplementario a

.

, entonces,

Sustituyendo los valores tenemos que,

Resolviendo la ecuación,

Por lo tanto,

y

15 .

El siguiente rectángulo tiene un perímetro de

Encuentra el valor de

.

Solución: Como el rectángulo es un cuadrilátero, y el perímetro de cualquier cuadrilátero es la suma de sus lados, tenemos que, Perímetro

D

Entonces, 5

2

I. En los siguientes ejercicios encuentra el valor del ángulo que se te pide.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero se representan por Solución: Sabemos que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman .

Esto es,

Entonces,

Y resolviendo la ecuación,

Entonces tenemos que el valor de

.

Como nos piden el valor del ángulo sustituyendo el valor de .

Por lo tanto el valor del ángulo

,

.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero se representan por

Solución: Sabemos que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman .

Esto es,

Entonces,

Y resolviendo la ecuación,

Entonces tenemos que el valor de

.

Como nos piden el valor del ángulo sustituyendo el valor de .

Por lo tanto el valor del ángulo

,

.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero se representan por

Solución: Sabemos que los ángulos interiores de un cuadrilátero suman .

Esto es,

Entonces,

Y resolviendo la ecuaciรณn,

Entonces tenemos que el valor de

.

Como nos piden el valor del รกngulo sustituyendo el valor de .

Por lo tanto el valor del รกngulo

,

.

Dados los siguientes paralelogramos encuentra los valores de y .

Soluciรณn: Como en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales, tenemos que, y Entonces, y Vemos que se forma el sistema de ecuaciones,

Resolviendo el sistema por el método de sustitución.

Vamos a nombrar

a

,y

a

.

1. Se despeja una variable en cualquier ecuación.

En este caso, vamos a despejar

de

,

2. Se sustituye la expresión encontrada en la otra ecuación.

Sustituimos

en

, entonces

3. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

4. Se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuación del paso 1.

Sustituimos

en

, entonces,

Por lo tanto, la solución es

Retroalimentación

Solución: Como en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales, tenemos que, y Entonces, y Vemos que se forma el sistema de ecuaciones,

Resolviendo el sistema por el método de sustitución.

Vamos a nombrar

a

,y

a

.

1. Se despeja una variable en cualquier ecuaciรณn.

En este caso, vamos a despejar

de

,

2. Se sustituye la expresiรณn encontrada en la otra ecuaciรณn.

Sustituimos

en

, entonces

3. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

4. Se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuaciรณn del paso 1.

Sustituimos

en

Por lo tanto, la soluciรณn es

, entonces,

Texto de la pregunta

Retroalimentación

Solución: Como en todo paralelogramo los lados opuestos son iguales, tenemos que, y Entonces, y Vemos que se forma el sistema de ecuaciones,

Resolviendo el sistema por el método de sustitución.

Vamos a nombrar

a

,y

a

.

1. Se despeja una variable en cualquier ecuaciรณn.

En este caso, vamos a despejar

de

,

2. Se sustituye la expresiรณn encontrada en la otra ecuaciรณn.

Sustituimos

en

, entonces

3. Se sustituye el valor encontrado en el paso dos en la ecuaciรณn del paso 1.

Sustituimos

en

Por lo tanto, la soluciรณn es

, entonces,

III.- Dados los siguientes paralelogramos encuentra los valores de y .

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Como es un paralelogramo entones tenemos que y Entonces tenemos

Ahora igualamos las equis y tenemos

Entonces con el valor de de las ecuaciones

Por lo tanto, la solución es

lo sustituimos en cualquiera

y

IV.- Busca el dato que se te pida en los siguientes ejercicios.

Un rombo tiene de perímetro y la diagonal mayor mide , ¿cuánto mide la diagonal menor?

Retroalimentación

Solución, En este caso, todos los lados del rombo tienen la misma medida.

Y queremos conocer la medida de la diagonal menor.

Conocemos que el perímetro del rombo es la suma de sus

cuatro lados y que vale , entonces, la medida de cada lado es de

, así que

Y como la diagonal mayor vale y es perpendicular a la diagonal menor y lo corta en su punto medio, entonces la mitad de la diagonal mayor mide .

Vemos que es un triángulo rectángulo, por lo que podemos obtener el valor de diagonal menor con el teorema de Pitágoras.

Entonces,

Donde

,

y .

Por lo que,

Para saber el valor de la diagonal menor multiplicamos por dos, ya que el valor obtenio es solo la mitad de la diagonal menor .

Por lo tanto, la diagonal menor mide 2 m.

Texto de la pregunta

Si

es un rombo, encuentra el valor de

y

.

Retroalimentación

Solución: Sé que es un rombo y tengo la recta diagonal que la biseca.

Entonces, podemos decir que Despejamos para obtener el valor de

,

Y por “dos rectas cortadas por una transversal� podemos decir que Entonces,

Por lo tanto,

y

.

Si

es un rombo, encuentra el valor de

y

.

Retroalimentación

Solución, Sé que es un rombo y tengo la recta diagonal que la biseca.

Entonces, podemos decir que Despejamos para obtener el valor de

,

Y por “dos rectas cortadas por una transversal� podemos decir que Entonces,

Por lo tanto,

y

.

Jaime Cabrera tiene el proyecto de construcción de una alberca de la siguiente forma:

Él tiene la indicación que la alberca no sobrepase los .

Si sabe que la altura del triángulo es de y la base es de . ¿Superará el área de la alberca del proyecto de construcción de Jaime el área autorizada para construir?

Solución: Utilizamos la fórmula para obtener el área de un triángulo,

Donde

y

Como sabemos que la altura

y la base

Entonces,

Entonces, el área es de Por lo tanto, el área de la alberca del proyecto de construcción sí superará el área autorizada para construir.

Área de polígonos Las fórmulas para obtener el área son las siguientes: Polígono Fórmula

Rectángulo

Cuadrado

Triรกngulo

Paralelogra mo

Trapecio

Rombo

Dado el siguiente cuadrado, obtén su área.

Solución: La fórmula para calcular el área de un cuadrado es:

Sustituyendo el valor de cada lado,

Por lo tanto, el área del cuadrado es

25

.

Si un cuadrado tiene un área de medida de sus lados?

. ¿Cuál será la

Solución: La fórmula para calcular el área de un cuadrado es:

Sustituyendo el valor del área,

Y resolviendo la ecuación

Por lo tanto, la medida de los lados del cuadrado es

7

Dado el siguiente rectángulo, calcula su área.

Solución: La fórmula para calcular el área de un rectángulo es:

Haciendo

y

,

Sustituyendo el valor de la base y de la altura,

Por lo tanto, el área del rectángulo es Texto de la pregunta

120

.

Si un rectángulo tiene un área de de Calcula la medida de la base.

y su altura es

Solución: La fórmula para calcular el área de un rectángulo es:

Sustituyendo el valor del área,

Y resolviendo la ecuación

Por lo tanto, la medida de la base del rectángulo es

6

El perímetro de un triángulo equilátero es de Encuentra su área.

Solución: Como el ejercicio nos dice que el triángulo es equilátero, entonces se puede decir que todos sus lados son iguales.

La fórmula del perímetro de un triángulo es , como los tres lados son iguales, entonces, .

Como el perímetro

, entonces,

Así que el triángulo nos queda de la siguiente manera,

Si dividimos la base a la mitad, tenemos que,

Y vemos que se forman dos triángulos rectángulos, escogemos uno y entonces,

Y por teorema de Pitágoras, sabemos que la hipotenusa es y un cateto es , y el otro cateto es , entonces,

Así que la altura

del triángulo mide 7.79.

Y como sabemos que la base , sustituyéndolo los valores en la fórmula del área de un triángulo,

Por lo tanto, el área del triángulo es de 35.55

.

Encuentra el área del siguiente trapecio.

Solución: La fórmula para encontrar el área de un trapecio es,

Donde es la base mayor, que tienen un valor de

la base menor y la altura, unidades respectivamente.

Sustituyendo en la fรณrmula, tenemos que,

Por lo tanto el รกrea del trapecio es de cuadradas.

Encuentra el รกrea del siguiente rombo.

35 unidades

Soluciรณn: La fรณrmula para encontrar el รกrea de un rombo es,

Donde es la diagonal mayor y tienen un valor de y

la diagonal menor, que .

Sustituyendo en la fรณrmula, tenemos que,

Por lo tanto el รกrea del trapecio es de

24

.

I. Calcula el รกrea de los siguiente triรกngulos.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Utilizamos la fรณrmula,

Donde

y

Como sabemos que la altura Entonces,

y la base

Entonces, el รกrea es de

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Utilizamos la fรณrmula,

Donde

y

Como sabemos que la altura

y la base

Entonces,

Entonces, el รกrea es de

II. Calcula el dato faltante en los siguientes triรกngulos. Si tu respuesta es en decimales, redondea a dos decimales.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Utilizamos la fรณrmula,

Donde despejaremos

Como sabemos que la altura Entonces,

Entonces, el รกrea es de

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn:

y el รกrea

Utilizamos la fórmula,

Donde despejaremos

Como sabemos que la base

y el área

Entonces,

Entonces, el área es de III. Encuentra el área de los siguientes rectángulos.

Retroalimentación

Solución:

Utilizamos la fรณrmula,

Como sabemos que la base Entonces,

Entonces, el รกrea es de

y la altura

Soluciรณn: Utilizamos la fรณrmula,

Como sabemos que la base

y la altura

Entonces,

Entonces, el รกrea es de

IV. Calcula el รกrea de los siguientes cuadrados.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: La fรณrmula para calcular el รกrea de un cuadrado es:

Sustituyen

,

Por lo tanto, el รกrea del cuadrado es

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: La fรณrmula para calcular el รกrea de un cuadrado es:

Sustituyen

,

Por lo tanto, el รกrea del cuadrado es

V. Calcula el lado del cuadrado dada su área.

Solución: La fórmula para calcular el área de un cuadrado es:

Sustituyendo el valor del área,

Y resolviendo la ecuación

Por lo tanto, la medida de los lados del cuadrado es

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: La fรณrmula para calcular el รกrea de un cuadrado es:

Sustituyendo el valor del รกrea,

Y resolviendo la ecuación

Por lo tanto, la medida de los lados del cuadrado es

VI. Calcula el área de los siguientes trapecios.

Retroalimentación

Solución: La fórmula para encontrar el área de un trapecio es,

Donde es la base mayor, que tienen un valor de

la base menor y la altura, unidades respectivamente.

Sustituyendo en la fórmula, tenemos que,

Por lo tanto el área del trapecio es de

.

Retroalimentación

Solución: La fórmula para encontrar el área de un trapecio es,

Donde es la base mayor, que tienen un valor de

la base menor y la altura, unidades respectivamente.

Sustituyendo en la fórmula, tenemos que,

Por lo tanto el área del trapecio es de

.

VII. Calcula el área dados los datos que se te indican.

Encuentra el área del rectángulo que tiene como base 429 y altura 23 .

Solución: La fórmula para calcular el área de un rectángulo es:

Haciendo

y

,

Sustituyendo el valor de la base y de la altura,

Por lo tanto, el área del rectángulo es

.

Encuentra el área del triángulo que tiene como base 364 y altura 52 .

Solución: Utilizamos la fórmula,

Como sabemos que la base Entonces,

y la altura

En el Parque Nacional Redwood en San Francisco, California, se encuentra el รกrbol llamado Hyperiรณn, el cual es el mรกs alto del mundo, los trabajadores del parque quieren saber su altura. Si ellos conocen que la sombra que proyecta es de 42 metros cuando el รกngulo de elevaciรณn es de . ยฟCuรกl serรก la altura de Hyperiรณn?

Soluciรณn: Trazamos el dibujo que describe el ejercicio.

Y vemos que se forma un triรกngulo rectรกngulo como se muestra a continuaciรณn,

Y sustituyendo los datos proporcionados,

Donde

es la altura del รกrbol.

Del triรกngulo rectรกngulo sabemos que la sombra es el cateto adyacente y la altura es el cateto opuesto.

Y la función trigonométrica que nos relaciona esos tres datos es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores dados, tenemos que,

Resolviendo la ecuación,

Por lo tanto, la altura del árbol Hyperión es 115.39 metros.

Retroalimentación

Trazamos el dibujo que describe el ejercicio, trazando la sombre del árbol que genera el sol.

Y vemos que se forma un triángulo rectángulo como se muestra a continuación, es decir, se forma un triángulo con un ángulo de .

Y sustituyendo los datos donde la sombra mide 42 metros, el ángulo de elevación del sol es de y a la altura del árbol la llamaremos porque es la incógnita.

En este caso nos están proporcionando la medida del cateto adyacente y el valor del ángulo y nos preguntan la medida del cateto opuesto.

Y la función trigonométrica que nos relaciona esos tres datos es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores dados, tenemos que,

Resolviendo la ecuación,

Por lo tanto, la altura del árbol Hyperión es 115.39 metros.

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

La trigonometría es la rama de la matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.

Proviene de la definición etimológica, de trigon que significa triángulo, y metron, medida. Así que podemos concluir que se puede definir como "medida de triángulos".

Teorema de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa es la suma del cuadrado de los catetos.

Donde

y

son los catetos y

es la hipotenusa.

Este triángulo se distingue por tener dos ángulos agudos. Y a los catetos se les distingue como cateto adyacente y cateto opuesto.

El cateto adyacente, es el que forma parte al ángulo referencia.

El cateto opuesto, es el que está enfrente del ángulo referencia.

De estos triángulos podemos formar las seis funciones trigonométricas;seno, coseno, tangente, cotangente, s ecante y cosecante.

Las funciones se abrevian para una mejor y más fácil memorización de la siguiente manera:

Las funciones trigonométricas dadas en términos de los catetos y la hipotenusa y con ángulo , se definen de la siguiente forma:

Funciones recíprocas.

Las funciones seno y cosecante, coseno y secante y tangente y cotangente son llamadas funciones recíprocas y están dadas por las siguientes relaciones:

Relaciones en forma de cociente.

Las funciones tangente y cotangente también pueden definirse en términos del seno y del coseno, mediante las siguientes relaciones:

Relaciones Pitagóricas Con ayuda del teorema de Pitágoras se llegan a un tipo de identidades elementales, llamadas relaciones pitagóricas, que son las siguientes:

Encuentra el valor de las funciones trigonométricas dado el siguiente triángulo rectángulo.

Solución: Si es el ángulo de referencia, entonces podemos decir que es el cateto adyacente (ca) y es el cateto opuesto (co).

Para calcular el valor de la hipotenusa “teorema de Pitágoras.”

, utilizamos el

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, tenemos que,

Entonces, el valor de la hipotenusa es

5.

Como nos preguntan el valor de las funciones trigonométricas, y sabemos que , y utilizando las fórmulas,

,

5

4

Si . Encuentra el valor del resto de las funciones trigonométricas.

Solución: Como sabemos que , y el ejercicio nos dice que , entonces podemos decir que,

Entonces,

e

,

Y con el “teorema de Pitágoras” podemos encontrar el valor del cateto opuesto.

Entonces,

.

Ahora obtenemos el valor de las funciones trigonométricas restantes,

11

Uso de la calculadora para resolver el valor de las funciones trigonométricas.

Lo primero que tenemos que distinguir es que nuestra calculadora científica se encuentre en o , dependiendo de la marca, que se refiere a “degrees” que en español significa “grados”.

En la calculadora no aparecen las funciones trigonométricas cosecante, secante y secante, para calcular el valor de estas se utilizan las relaciones recíprocas.

Calcular el

, utilizando la calculadora.

Soluciรณn: Para calcular, presionamos la tecla

en la calculadora.

Y luego escribimos el valor del รกngulo que queremos calcular,

Y obtenemos que

Redondeando el resultado a cuatro decimales, tenemos que, 0.7071.

Calcular la

, utilizando la calculadora.

Solución: De las relaciones recíprocas seleccionamos la siguiente igualdad,

Entonces, para calcular la

, la relación nos queda

Y concluimos que la Redondeando el resultado a cuatro decimales, tenemos que, 1.2207.

Si calculadora.

, calcular el valor del ángulo

utilizando la

Solución: Si , para despejar el ángulo , se pasa la función trigonométrica, en este caso tangente, hacia el

otro lado como la función inversa, es decir, tangente inversa, como se muestra a continuación:

Y para calcular el valor de , utilizamos la función “inv” o “shift”(depende de la marca de tu calculadora).

1. Presionamos la tecla “shift”.

2. Seleccionamos la función, en este caso, tangente.

3. Escribimos el valor del ángulo que nos dieron al principio.

4. Calculamos el valor del รกngulo.

Entonces,

Redondeando al entero más cercano podemos decir que 28 .

Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

A los ángulos se les llama ángulos especiales. Ya que mediante estos ángulos que son más comunes podemos calcular los valores de otros que sean múltiplos de estos y además de que pueden ser calculados sin utilizar la calculadora. Ángulo Si trazamos una diagonal en cuadrado de lado 1,se produce lo siguiente,

Distinguimos que se forman dos triángulos rectángulos, seleccionando uno, tenemos que,

Calculando el valor de la hipotenusa con el “teorema de Pitágoras”.

Entonces el triángulo nos queda,

Calculando el valor de las funciones trigonométricas para el triángulo,

Ángulo

y

Si trazamos un triángulo equilátero de lado 2 se produce lo siguiente,

Si trazamos una diagonal al triรกngulo, nos queda,

Distinguimos que se forman dos triรกngulos rectรกngulos, seleccionando uno, tenemos que,

Calculando el valor del cateto con el “teorema de Pitágoras”.

Entonces el triángulo nos queda,

Calculando el valor de las funciones trigonomĂŠtricas del triĂĄngulo para los ĂĄngulos de y , tenemos que

I. Dado el siguiente triángulo, calcula el valor de las seis funciones trigonométricas.

Pregunta 8 Correcta Puntúa 3.00 sobre 3.00 Señalar con bandera la pregunta

Texto de la pregunta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Si es el รกngulo de referencia, entones podemos decir que es el cateto opuesto (co) y es el cateto adyacente (ca).

Para calcular el valor de la hipotenusa “teorema de Pitágoras.”

, utilizamos el

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, tenemos que,

Entonces, el valor de la hipotenusa es

.

Como nos preguntan el valor de las funciones trigonométricas, y sabemos que , utilizando las fórmulas,

e

,

Solución: Si es el ángulo de referencia, entones podemos decir que es la hipotenusa (h) y es el cateto opuesto (co).

Para calcular el valor de el cateto adyacente , utilizamos el “teorema de Pitágoras.”

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, tenemos que,

Entonces, el valor de el cateto adyacente es

.

Como nos preguntan el valor de las funciones trigonométricas, y sabemos que , utilizando las fórmulas,

e

Solución: Si es el ángulo de referencia, entones podemos decir que es el cateto adyacente (ca) y es el cateto opuesto (co).

Para calcular el valor de la hipotenusa “teorema de Pitágoras.”

, utilizamos el

,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, tenemos que,

Entonces, el valor de la hipotenusa es

.

Como nos preguntan el valor de las funciones trigonométricas, y sabemos que , e utilizando las fórmulas,

,

II.- Dado el valor de la siguiente función trigonométrica.

Encuentra el valor de las demás funciones.

Solución: Como sabemos que , y el ejercicios nos dice que , entonces podemos decir que,

Así que

e

,

Y con el “teorema de Pitágoras” podemos encontrar el valor del cateto opuesto.

Entonces,

.

Ahora obtenemos el valor de las funciones trigonométricas restantes,

Solución: Como sabemos que , y el ejercicios nos dice que , entonces podemos decir que,

Así que

e

,

Y con el “teorema de Pitágoras” podemos encontrar el valor del cateto opuesto.

Entonces,

.

Ahora obtenemos el valor de las funciones trigonométricas restantes,

Retroalimentación

Solución: Como sabemos que , y el ejercicios nos dice que , entonces podemos decir que,

Así que

e

,

Y con el “teorema de Pitágoras” podemos encontrar el valor del cateto opuesto.

Entonces,

.

Ahora obtenemos el valor de las funciones trigonométricas restantes,

III.- Calcula el valor de la función trigonométrica en el ángulo dado utilizando la calculadora. Redondea tu resultado a cuatro decimales.

Ejemplo:

Redondeando a cuatro decimales.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Para calcular, presionamos la tecla

en la calculadora.

Y luego escribimos el valor del รกngulo que queremos calcular, Y obtenemos que Por lo tanto tenemos que, .

Soluciรณn: Para calcular, presionamos la tecla

en la calculadora.

Y luego escribimos el valor del รกngulo que queremos calcular,

Y obtenemos que Por lo tanto tenemos que, .

III.- Calcula el valor de la función trigonométrica inversa en el ángulo dado utilizando la calculadora. Redondea tu resultado a tres decimales.

Ejemplo:

Redondeando a tres decimales.

Solución: Si , para despejar el ángulo , se pasa la función trigonométrica, en este caso coseno, hacia el otro lado como la función inversa, es decir, coseno inversa, como se muestra a continuación:

Y para calcular el valor de , utilizamos la función “inv” o “shift”(depende de la marca de tu calculadora).

1. Presionamos la tecla“shift”.

2. Seleccionamos la función, en este caso, coseno.

3. Escribimos el valor del ángulo que nos dieron al principio.

4. Calculamos el valor del ángulo.

Entonces, V.- Resuelve los siguientes ejercicios aplicados. Redondea tu resultado a tres decimales.

Un árbol de 35.7 m. de alto proyecta una sombra de 73.1 m. de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

Retroalimentación

Solución: Trazamos el dibujo que describe el ejercicio.

Y vemos que se forma un triángulo rectángulo, Y sustituyendo los datos proporcionados, Donde

es el ángulo que forma el árbol y la sombra.

Del triángulo rectángulo sabemos que el árbol es el cateto adyacente y la sombra es el cateto opuesto.

Y la función trigonométrica que nos relaciona esos tres datos es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores dados, tenemos que,

Resolviendo la ecuación,

Ilse y Alejandra trabajan en la misma empresa, al recibir sus sueldos quieren comprobar si les pagaron la misma cantidad. Si a Ilse le pagaron y Alejandra ganĂł . ÂżRecibieron Ilse y Alejandra el mismo sueldo?

SoluciĂłn: Reconocemos el sueldo recibido por cada una, Ilse:

y

Alejandra: Igualamos las expresiones que representan los sueldos, entonces,

Y demostramos que son iguales.

Como en la parte izquierda de la ecuación reconocemos que hay una identidad,

Usamos lo siguiente,

Sustituimos la parte derecha y tenemos, que

E identificamos que es una identidad conocida, entonces,

Por lo tanto, Ilse y Alejandra sí recibieron el mismo sueldo.

A las once relaciones vistas en la actividad 3.1 les llamamos “identidades fundamentales”. Las enlistaremos a continuación: Estas las utilizaremos para simplificar expresiones o demostrar si algunas expresiones son iguales.

Relaciones recíprocas

Relaciones en forma de cociente Relaciones Pitagóricas

Simplificar la siguiente expresión:

Solución.

En este caso nos conviene convertir la senos y/o cosenos.

a términos de

Entonces, por “relaciones de cocientes”, identificamos que,

Sustituyéndolo en

Y simplificando,

, tenemos que,

Y por relaciones recíprocas identificamos que,

Por lo tanto,

Simplificar la siguiente expresión:

Solución: En este caso, utilizaremos la relación “relación pitagórica”,

Despejamos

y tenemos que,

Sustituyendo en

,

Y vemos que en el numerador de la fracciĂłn hay una diferencia de cuadrados, asĂ­ que factorizamos,

Simplificando,

Nos queda que,

Simplificando,

Y concluimos que,

Por lo tanto,

Simplificar la siguiente expresión:

Solución: Escribimos

y

en términos de seno y/o cosenos.

y Sustituyendo en

, tenemos que,

Haciendo la división de fracciones,

Y simplificando,

Por lo tanto,

Demuestra que la siguiente igualdad es una identidad.

SoluciĂłn: En este caso, vamos a desarrollar la parte izquierda de la igualdad, para llegar a lo mismo que en la parte derecha y asĂ­ demostrar que es una identidad.

Multiplicando los binomios conjugados,

Convirtiendo cosenos,

y

a tĂŠrminos de senos y

Sumando las fracciones,

Usamos

y despejando

,

nos queda que,

Sustituyendo,

Simplificando el lado izquierdo,

Por lo tanto, concluimos que

sĂ­ es una identidad.

Fórmula

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica Solución: Sabemos que la identidad pitagórica nos dice que,

Por lo que, la expresión nos queda ,

Entonces, 0

Fórmula

I.- Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas Solución.

Para En este caso nos conviene sustituir ecuación.

Sustituyéndolo en

Por lo tanto,

de la

, tenemos que,

Retroalimentación Su respuesta es correcta.

Solución.

Para En este caso nos conviene sustituir ecuación.

Sustituyéndolo en

Por lo tanto,

Retroalimentación Su respuesta es correcta.

Solución.

Para Entonces simplificamos,

de la ,tenemos que,

Ahora realizamos la multiplicaciรณn del denominador,

Sustituimos por la identidad en la ecuaciรณn.

Entonces sustituimos por la identidad,

Recordando que

Por lo tanto,

y

II.- Elige verdadero o falso si la ecuación dada es una identidad o no.

Retroalimentación

Solución: En este caso, vamos a desarrollar la parte izquierda de la igualdad, para llegar a lo mismo que en la parte derecha y así demostrar que es una identidad.

Usamos la identidad sustituimos en la ecuación

y

Por lo tanto, concluimos que Texto de la pregunta

Elija una; Verdadero

entonces es verdadero.

,

Retroalimentación

Solución: En este caso, vamos a desarrollar la parte izquierda de la igualdad, para llegar a lo mismo que en la parte derecha y así demostrar que es una identidad.

Usamos la identidad sustituimos en la ecuación

y

Por lo tanto, concluimos que falso.

,

entonces es

Retroalimentación

Solución: En este caso, vamos a desarrollar la parte izquierda de la igualdad, para llegar a lo mismo que en la parte derecha y así demostrar que es una identidad.

Usamos la identidad que

,

, sustituimos en la ecuación

y recordando

Por lo tanto, concluimos que entonces es verdadero.

Retroalimentación

Solución: En este caso, vamos a desarrollar la parte izquierda de la igualdad, para llegar a lo mismo que en la parte derecha y así demostrar que es una identidad.

Usamos la identidad ecuación

Por lo tanto, concluimos que es falso.

, sustituimos en la

entonces

II.- Elige verdadero o falso si la ecuaci贸n dada es una identidad o no.

Retroalimentaci贸n

Soluci贸n: En este caso, vamos hacer algunos despejes en la ecuaci贸n para ver si llegamos a una identidad.

Asi que

Por lo tanto, concluimos que

entonces es verdadero.

Solución: En este caso, vamos a hacer algunos despejen en la ecuación para ver si llegamos a una identidad.

Así que

Por lo tanto, concluimos que

entonces es verdadero.

Retroalimentación

Solución: En este caso, vamos a trabajar con el lado izquierdo de la ecuación para llegar a que es una identidad.

AsĂ­ que

Y como sabemos, en las "Relaciones PitagĂłricas" Por lo tanto, concluimos que

entonces es falso.

José Luis se encuentra en la parte alta de un edifico de 50 metros. Su hermana Angélica que se encuentra a nivel del suelo lo está observando. Si el ángulo con el que Angélica lo está observando es de . ¿A qué distancia se encuentra Angélica del edificio?

Solución:

Retroalimentación

Ilustramos el enunciado con un dibujo que lo describa gráficamente.

Distinguimos que por el dibujo y los datos que nos dan, se forma un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente figura:

Sustituyendo los datos,

Entonces,

Nombrando al รกngulo el รกngulo de referencia.

Identificamos que el cateto adyacente es y el cateto opuesto es .

La funciรณn que nos relaciona el รกngulo , el cateto adyacente (ca) y el cateto opuesto (co) es la tangente, entonces,

Sustituyendo los datos y resolviendo la ecuaciรณn,

Por lo tanto, la distancia a la que se encuentra Angélica del edificio es de metros.

Una torre de radio tiene un alambre con una medida de 75 m. sujeto a la parte más alta. El alambre llega al suelo formando un ángulo de . ¿Cuál será la medida de la torre?

Solución: Ilustramos el ejercicio con un dibujo que lo represente,

Como vemos en el dibujo el valor del ángulo de referencia es de , la hipotenusa es , y el cateto opuesto es .

La función trigonométrica que nos relaciona, el ángulo, la hipotenusa y el cateto opuesto es el seno, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación,

Por lo tanto, la medida de la torre es de 29.305 m. de altura.

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.

Solución: Cuando nos dicen que resolvamos el triángulo rectángulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, el cato adyacente, la hipotenusa y los demás ángulos.

Si

es el ángulo de referencia, y

Calculamos el valor del cateto adyacente

. .

La función que nos relaciona el ángulo, el cateto adyacente y el opuesto, es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, donde

Entonces, el valor del

27.765.

El valor de la hipotenusa lo podemos calcular con el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

Los tres ángulos de un triángulo suman y como un ángulo es recto por ser triángulo rectángulo y , entonces, si llamamos al ángulo faltante,

Así que,

48º.

Por lo tanto, el triángulo nos queda de la siguiente manera,

Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.2 m. de altura que forma un รกngulo de 54 con respecto al piso.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: En este caso, los datos a encontrar es la longitud de una escalera, la hipotenusa (h) donde nos dan la altura, que sera el cateto opuesto (co) y el รกngulo .

Si

y

.

La función que nos relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa, es el , entonces,

Resolviendo la ecuación,

II.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. Si es necesario redondea tus resultados a tres decimales.

Retroalimentación

Solución: Cuando nos dicen que resolvamos el triángulo rectángulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, el cato adyacente(ca), el cateto opuesto(co) y el ángulo .

Si

es el รกngulo de referencia, y

Calculamos el valor del cateto adyacente

. .

La funciรณn que nos relaciona el รกngulo, el cateto adyacente y la hipotenusa, es el coseno, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuaciรณn, donde

Entonces, el valor del

.

El valor de el cateto opuesto lo podemos calcular con el Teorema de Pitรกgoras,

Entonces,

Los tres รกngulos de un triรกngulo suman y como un รกngulo es recto por ser triรกngulo rectรกngulo y , entonces, si llamamos al รกngulo faltante,

Asรญ que, Por lo tanto, ,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Cuando nos dicen que resolvamos el triรกngulo rectรกngulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, el cato adyacente(ca), el cateto opuesto(co) y el รกngulo .

Si

es el รกngulo de referencia, y

Calculamos el valor del cateto adyacente

. .

La función que nos relaciona el ángulo, el cateto adyacente y la hipotenusa, es el coseno, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, donde

Entonces, el valor del

.

El valor del cateto opuesto lo podemos calcular con el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

Los tres ángulos de un triángulo suman y como un ángulo es recto por ser triángulo rectángulo y , entonces, si llamamos al ángulo faltante,

Así que, Por lo tanto, ,

y

Retroalimentación

Solución: Cuando nos dicen que resolvamos el triángulo rectángulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, el cato adyacente(ca), la hipotenusa(h) y el ángulo .

Si

es el ángulo de referencia, y

Calculamos el valor del cateto adyacente

. .

La funciรณn que nos relaciona el รกngulo, el cateto adyacente y el opuesto, es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuaciรณn, donde

Entonces, el valor del

.

El valor de la hipotenusa lo podemos calcular con el Teorema de Pitรกgoras,

Entonces,

Los tres รกngulos de un triรกngulo suman y como un รกngulo es recto por ser triรกngulo rectรกngulo y , entonces, si llamamos al รกngulo faltante,

Asรญ que, Por lo tanto, ,

y

Soluciรณn: Cuando nos dicen que resolvamos el triรกngulo rectรกngulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, la hipotenusa (h), el รกngulo

y

Si

.

es el รกngulo de referencia, y

Calculamos el valor del รกngulo

.

.

La función que nos relaciona el ángulo, el cateto adyacente y el opuesto, es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación,

Entonces, el valor del

.

El valor de la hipotenusa lo podemos calcular con el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

Los tres ángulos de un triángulo suman y como un ángulo es recto por ser triángulo rectángulo y , entonces, si llamamos al ángulo faltante,

Así que, Por lo tanto, ,

y

Retroalimentación

Solución: Cuando nos dicen que resolvamos el triángulo rectángulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, el cato adyacente(ca), la hipotenusa(h) y el ángulo .

Si

es el ángulo de referencia, y

Calculamos el valor del cateto adyacente

. .

La función que nos relaciona el ángulo, el cateto adyacente y el opuesto, es la tangente, entonces,

Sustituyendo los valores y resolviendo la ecuación, donde

Entonces, el valor del

.

El valor de la hipotenusa lo podemos calcular con el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

Los tres ángulos de un triángulo suman y como un ángulo es recto por ser triángulo rectángulo y , entonces, si llamamos al ángulo faltante,

Así que, Por lo tanto, ,

y

Retroalimentación

Solución: Cuando nos dicen que resolvamos el triángulo rectángulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, la hipotenusa(h) y los ángulos

y

.

El valor de la hipotenusa lo podemos calcular con el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

Si es el ángulo de referencia, entonces el cateto adyacente(ca) es y el cateto opuesto(co) es .

Calculamos el valor del ángulo

.

La función que nos relaciona el ángulo , el cateto adyacente y el cateto opuesto,es la tangente, entonces,

Sustituimos los valores y resolvemos la ecuación,

Entonces, el valor del

.

Los tres ángulos de un triángulo suman y como un ángulo es recto por ser triángulo rectángulo y , entonces, si llamamos al ángulo faltante,

Así que, Por lo tanto, ,

y

Retroalimentación

Solución: Cuando nos dicen que resolvamos el triángulo rectángulo, es encontrar los datos faltantes.

En este caso, la hipotenusa(h) y los ángulos

y

.

El valor de la hipotenusa lo podemos calcular con el Teorema de Pitágoras,

Entonces,

Si es el ángulo de referencia, entonces el cateto adyacente(ca) es y el cateto opuesto(co) es .

Calculamos el valor del ángulo

.

La función que nos relaciona el ángulo , el cateto adyacente y el cateto opuesto,es la tangente, entonces,

Sustituimos los valores y resolvemos la ecuación,

Entonces, el valor del

.

Los tres ángulos de un triángulo suman y como un ángulo es recto por ser triángulo rectángulo y , entonces, si llamamos al ángulo faltante,

Así que, Por lo tanto, ,

y

Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas: y un รกngulo Soluciรณn: Graficamos la fuerza

en el plano cartesiano.

Trazamos el triรกngulo rectรกngulo que se forma identificando el cateto opuesto y el cateto adyacente,

Calculamos el componente horizontal,

Ahora calculamos el componente vertical,

Por lo tanto las componentes horizontal y vertical de son 125 y , respectivamente.

El sistema de coordenadas cartesianas está constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes y en la cual la intersección se llama origen.

El plano cartesiano está formado por dos ejes al horizontal se le denomina y al vertical .

Un par ordenado de números reales lo podemos representar en el plano como un punto . Al número se le llama la abscisa y al se le llama la ordenada.

Para graficar un punto se localiza primero la abscisa en el eje y se traza una recta perpendicular al eje, después se localiza la ordenada en el eje y se traza una recta perpendicular al eje. La intersección de las dos rectas es la representación de punto .

En el plano cartesiano los ejes y dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes y al cuadrante derecho superior se le llama "cuadrante I", y luego se nombran en sentido contrario a las manecillas del reloj, como cuadrante II, III y IV, respectivamente. Como se muestra en la siguiente figura:

La distancia radial es la distancia que va del origen a un punto . Se denota con la letra . Esta distancia no es una distancia dirigida, por lo cual siempre es un número positivo.

Utilizando el teorema de PitĂĄgoras, se puede determinar en tĂŠrminos de y .

A cualquier punto decir, positivo.

se la asocia un ĂĄngulo dirigido, es

El ĂĄngulo tiene medida desde el eje y se le llama lado inicial y termina en el segmento de recta y se le llama lado terminal.

Si a partir del lado terminal del ángulo damos una vuelta completa, distinguirás que existe otro ángulo que tiene el mismo lado terminal, si continuamos dando vueltas distinguimos que existen infinitos de valores del ángulo que pueden asociarse a cada punto .

Cuando el lado terminal de un ángulo en posición normal cae en el primer cuadrante, se dice que el ángulo está en el primer cuadrante. Cuando el lado terminal está en el segundo cuadrante se dice que pertenece al segundo cuadrante. En general los ángulos pueden medirse a favor o en contra de las manecillas del reloj.

Un ángulo es positivo si se mide en dirección contraria de las manecillas del reloj y es negativo cuando se mide a favor de las manecillas del reloj. Si el lado terminal de un ángulo cae sobre alguno de los ejes coordenados se le llama ángulo cuadrantal.

Para calcular el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, es suficiente con conocer el ángulo que se encuentre en el primer cuadrante, es decir, el ángulo tal que . A estos ángulos se les llama ángulos de referencia. Se denota como .

Entonces, la fórmula para encontrar el ángulo de referencia depende del cuadrante donde se encuentre el ángulo , por lo que: Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

Si

. Calcular el ángulo de referencia

Solución: El ángulo , está en el cuarto cuadrante, como se muestra a continuación:

Entonces, para calcular el ángulo de referencia utilizamos,

Sustituimos el valor del ángulo,

Por lo tanto el ángulo de referencia

45

Si tenemos un punto con con coordenadas y un ángulo en posición normal, y es la distancia radial, podemos escribir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas en términos de y .

Calcula las funciones trigonométricas de un ángulo el punto sobre el lado terminal.

Solución: Graficamos el punto

Distinguimos que se forma el triángulo rectángulo,

dado

Si y Pitรกgoras,

, calculamos el valor de

con el teorema de

Valor de los ángulos cuadrantales.

La siguiente tabla nos muestras el valor de los ángulos cuadrantales: Indefinido Indefinido

Indefinido Indefinido

Indefinido Indefinido

Indefinido Indefinido

También se puede conocer que signos tendrán los valores de las funciones trigonométricas. Sabemos que siempre es positiva, y el signo de y depende del cuadrante en el que se encuentre el punto . Entonces los signos de las funciones nos quedan como se ve en la siguiente tabla: Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

Encuentra el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo . Utiliza las fórmulas de ángulo de referencia.

Soluciรณn: El รกngulo tiene lado terminal en el segundo cuadrante, como se distingue en la siguiente figura:

La fรณrmula para un รกngulo en el cuarto cuadrante es Sustituyendo el valor del รกngulo

Y por ángulos conocidos sabemos que,

Y para los signos utilizamos, Cuadrante II

I.- Señala si los siguientes ángulos tienen lado terminal en algún cuadrante, sobre el eje o .

Solución: Sabemos que cada cuadrante consta de Asi que hasta el primer cuadrante son En el segundo son + = El tercero son + = Y en el cuarto son + = Sabemos que ángulo Ahora,

son los grados que se debe mover el , entonces nos debemos mover

.

Y como Por lo tanto

esta en el Cuadrante III

Retroalimentación

Solución: Sabemos que cada cuadrante consta de Así que hasta el primer cuadrante son En el segundo son + = El tercero son + = Y en el cuarto son + = Sabemos que ángulo Ahora,

son los grados que se debe mover el , entonces nos debemos mover

Y como Por lo tanto

esta en el Cuadrante III

Retroalimentación

Solución: Sabemos que cada cuadrante consta de Así que hasta el primer cuadrante son

.

En el segundo son + = El tercero son + = Y en el cuarto son + = Sabemos que ángulo Ahora,

son los grados que se debe mover el , entonces nos debemos mover

.

Y como Por lo tanto

esta en el Cuadrante III

Retroalimentación

Solución: Sabemos que cada cuadrante consta de Así que hasta el primer cuadrante son En el segundo son + = El tercero son + = Y en el cuarto son + = Sabemos que ángulo Ahora,

son los grados que se debe mover el

, entonces nos debemos mover

Y como Por lo tanto

esta en el Cuadrante I

.

Retroalimentación

Solución: Sabemos que cada cuadrante consta de Así que hasta el primer cuadrante son En el segundo son + = El tercero son + = Y en el cuarto son + = Sabemos que ángulo Ahora,

son los grados que se debe mover el , entonces nos debemos mover

.

Y como Por lo tanto

esta en el Cuadrante III

Retroalimentación

Solución: Sabemos que cada cuadrante consta de Así que hasta el primer cuadrante son En el segundo son + = El tercero son + = Y en el cuarto son + = Sabemos que ángulo

son los grados que se debe mover el

Ahora,

, entonces nos debemos mover

.

Y como Por lo tanto

esta en el Cuadrante I

II.- Encuentra el valor de las funciones trigonométricas del punto dado, si su lado terminal pasa por los siguientes puntos .

Solución: Tenemos el punto Distinguimos que se forma el triángulo rectángulo, Si y de Pitágoras,

, calculamos el valor de

con el teorema

Y utilizando las fórmulas,

Solución: Tenemos el punto Distinguimos que se forma el triángulo rectángulo, Si y de Pitágoras,

, calculamos el valor de

Y utilizando las fórmulas,

con el teorema

III.- Utiliza los ángulos de referencia para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos. Si el ángulo no existe escribe .

Retroalimentación

Solución: El ángulo cuadrante

tiene lado terminal en el segundo

La fórmula para un ángulo en el Cuadrante II es Sustituyendo el valor del ángulo

Y por ángulos conocidos sabemos que,

Y para los signos utilizamos, Cuadrante II

Entonces,

Retroalimentación

Solución: El ángulo

tiene lado terminal en el primer cuadrante

La fórmula para un ángulo en el Cuadrante I es Sustituyendo el valor del ángulo

Y por ángulos conocidos sabemos que,

Y para los signos utilizamos, Cuadrante I

Entonces,

Berenice tiene un jardín de forma triangular donde sembrará flores. Para saber cuantas flores plantará necesita saber la medida del área del jardín. Si las medidas del jardín están dadas en la siguiente figura:

¿Cuánto medirá el área del jardín?

Solución:

Distinguimos que el jardín tiene forma triangular, como se muestra a continuación:

Donde

y

son los lados y

Calculamos el valor del

Sabemos que del

,

y

son los ángulos.

con la fórmula,

y

, calculamos la medida

Entonces el Ahora calculamos el área con la fórmula:

Entonces,

Por lo tanto, el área del jardín es de

En actividades anteriores resolvimos triángulos que cuentan con un ángulo recto, en esta ocasión, estudiaremos a los triángulos oblicuángulos, que son los triángulos que carecen de ángulos rectos, es decir todos sus ángulos son diferentes de .

Ley de los cosenos.

Esta ley es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuángulo cuando se conocen las medidas de dos lados y un ánguloo cuando se conocen las medidas de los tres lados.

Si tenemos un triángulo,

Donde y son los lados. Y Entonces, Ley de los cosenos

y

son los ángulos.

Dado el siguiente triรกngulo:

Encuentra el lado y รกngulos faltantes.

Soluciรณn: De la figura sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor del lado

,

,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

En el รกngulos.

,

si

,

y

y

112.17

. Encuentra el valor de los

Soluciรณn: El triรกngulo que se forma es el siguiente:

Sabemos que medida del

, y , entonces, calculamos la con la fรณrmula,

Ahora, calculamos el

con la fรณrmula,

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

100.29

Calcula el รกrea del siguiente triรกngulo.

Soluciรณn: Calculamos el valor del

Sabemos que del

,

con la fรณrmula,

y

, calculamos la medida

Entonces el Ahora calculamos el área con la fórmula:

Entonces,

Por lo tanto, el área del triángulo es de

15.6203

Se puede conocer el área de un triángulo oblicuángulo si contamos con dos lados y al ángulo formado por estos.

Las fórmulas para calcular el área son las siguientes: Área Área Área

I. Resuelve los siguientes triรกngulos oblicuรกngulos, calculando los datos faltantes. Redondea tu resultado a 4 decimales si es necesario. ,

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor del lado

Ahora calculamos el valor del

,

,

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto, ,

y

,

y .

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

,

Calculamos el valor de

,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto, ,

,

y

y

.

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor de

,

Ahora calculamos el valor del

y

,

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto, , y

, .

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

,

Calculamos el valor de

,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

II.- Dados los siguientes triรกngulos oblicuรกngulos, calcula los datos faltantes. Redondea tu resultado a 2 decimales si es necesario.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor de

,

,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor de

,

Ahora calculamos el valor del

,

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor de

,

Ahora calculamos el valor del

,

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

Entonces, utilizando la ley de los cosenos,

Calculamos el valor del

,

,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

I. Calcula el área de los siguientes triángulos oblicuángulos. Redondea tu resultado a 4 decimales si es necesario. , y el ángulo Retroalimentación

Solución: Del problema sabemos que

,

y

,

Entonces, utilizando las formulas para calcular el área,

Eentonces,

Loa lados del triángulo miden

,

y

Retroalimentación

Solución: Calculamos el valor del

con la fórmula,

Sabemos que medida del

y

,

, calculamos la

.

Ahora calculamos el รกrea con la fรณrmula:

Entonces,

De lo alto de un poste de luz salen dos cables inclinados hasta el suelo. La base del cable forma un ángulo de 41.61° con el suelo, y la base del cable un ángulo de 50.79° también con el suelo. Si la medida de la distancia entre las bases de los cables es de 27.08 metros.

¿Cuál será la medida del cable

y del cable ?

Solución: Retroalimentación

Sabemos que la base del cable forma un ángulo de y la base de un ángulo de , respectivamente.

Y la medida de base a base es de

metros,

Entonces el triรกngulo que se forma nos queda de la siguiente manera,

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es , entonces,

Si el , y el lado , sustituyendo estos valores en la “ley de senos”, calculamos el valor del lado a,

Del mismo modo podemos encontrar la medida del cable ,

Por lo tanto, la medida del cable cable es de metros.

es de

metros y la del

Ley de senos Cuando se tienen dos รกngulos y un lado de un triรกngulo oblicuรกngulo, para calcular la medida de los demรกs datos, utilizamos la ley de senos.

Dado el triรกngulo,

Donde y son los lados y y son los ángulos del triángulo. Entonces, la ley de senos es la siguiente, Ley de senos También se puede escribir de la siguiente manera,

Si en un triángulo oblicuángulo el , lado . Calcula la medida del lado . Escribe tu resultado con 4 decimales si es necesario.

y

Solución: Conocemos que el valor del y y el lado , entonces, tomando las primeras dos partes de la ley de senos,

Podemos calcular el valor del lado

.

Por lo tanto,

Respuesta

Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo.

Solución: Conocemos dos ángulos, y , entonces, como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del , y el lado , entonces, tomando las primeras dos partes de la ley de senos,

Podemos calcular el valor del lado .

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado tomando la primer y la tercera parte de la ley de senos,

Por lo tanto,

, los lados

y

12.91

,

I.- Dados dos รกngulos y un lado de un triรกngulo, calcula el dato que se te pida. Redondea tu resultado a 4 decimales, si es necesario.

Ejemplo: Si los รกngulos medida del lado

,

.

y el lado

. Calcula la

La medida del lado Redondeando a 4 decimales, la medida del lado Los รกngulos

,

y el lado

.

Calcular el lado .

Soluciรณn: Conocemos que el valor del y y el lado , entonces, tomando las primeras dos partes de la ley de senos,

Podemos calcular el valor del lado .

Texto de la pregunta

Los รกngulos Calcular el lado

,

y el lado

.

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos que el valor del y y el lado , entonces, tomando las primeras dos partes de la ley de senos,

Podemos calcular el valor del lado

.

II. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos utilizando la ley de senos. Redondea tu resultados a 2 decimales si es necesario.

Retroalimentación

Solución: Conocemos dos ángulos, y , entonces, como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

Podemos calcular el valor del lado

,

y el

.

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos dos รกngulos, y , entonces, como la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

,

y el

Podemos calcular el valor del lado

.

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos dos รกngulos, y , entonces, como la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

,

y el

Podemos calcular el valor del lado

.

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos dos รกngulos, y , entonces, como la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

Podemos calcular el valor del lado

,

.

y el

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos dos รกngulos, y , entonces, como la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

,

y el

Podemos calcular el valor del lado

.

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos dos รกngulos, y , entonces, como la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

Podemos calcular el valor del lado

,

y el

.

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Conocemos dos รกngulos, y , entonces, como la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es ,

La ley de senos nos dice lo siguiente,

Conocemos que el valor del lado , entonces, tomamos:

Podemos calcular el valor del lado

,

y el

.

Del mismo modo podemos encontrar la medida del lado , tomamos:

Por lo tanto,

, los lados

y

.

Dos escaleras se encuentra apoyadas sobre una barda (como se muestra en la figura),

Las escaleras roja y verde miden 5 y 3 metros, respectivamente. Si la escalera verde forma un ángulo de con el suelo. ¿Cuál será la distancia entre las bases de las escaleras?

Solución: Las escaleras roja y verde miden 5 y 3 metros, respectivamente,

La escalera verde forma un รกngulo de

con el suelo.

Entonces, se forma un triรกngulo como el siguiente,

Donde la escalera roja es el lado Como el lado

.

y la verde es el lado

.

podemos utilizar la ley de cosenos para calcular

Y como tenemos una ecuaciรณn cuadrรกtica, utilizamos la fรณrmula general,

Entonces, tenemos dos soluciones,

Descartando el resultado negativo, tenemos que, el lado

metros.

Cuando se conocen dos lados de un triรกngulo oblicuรกngulo y el lado opuesto de uno de ellos, existen cuatro posibilidades de resolver.

Supongamos que conocemos los lados

Si

hay dos soluciones.

,

y el รกngulo

No existe un triรกngulo si .

.

Si

sólo hay una solución.

Si

, sólo hay una solución.

Los lados de un triángulo oblicuángulo son , y el . Calcula el valor del lado . Utiliza 3 decimales si es necesario.

Solución: Como

, entonces habrá dos soluciones para

.

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Sustituyendo los valores de

,

y

,

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces tenemos dos soluciones,

Por lo tanto, los valores del lado 5.209.

son,

y

Los lados de un triángulo oblicuángulo son , y el . Calcula el valor del lado . Utiliza 3 decimales si es necesario.

Solución: Como

sólo existirá un triángulo,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Sustituyendo los valores de

,

y

,

Nos queda una ecuación cuadrática, entonces, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces tendemos dos soluciones,

Descartamos el resultado negativo, ya que no puede haber distancias negativas, Por lo tanto, el valor del lado

13.725.

I.- Dados los lados y , donde y el resuelve los siguientes triรกngulos oblicuรกngulos. Utiliza 4 decimales si es necesario.

Ejemplo: ,

y

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

Descartando el resultado negativo, tenemos que,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto, , y

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

Descartando el resultado negativo, tenemos que,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto, , y

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

Entonces, tenemos dos soluciones,

, entonces,

Descartando el resultado negativo, tenemos que,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

,

y

Retroalimentación

Solución: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

Descartando el resultado negativo, tenemos que,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto, ,

,

y

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

Descartando el resultado negativo, tenemos que,

Ahora calculamos el valor del

Y para calcular el valor del , como sabemos que la suma de los รกngulos interiores de un triรกngulo es , entonces, Entonces,

Por lo tanto,

,

y

II.- Dados los lados y , donde y el resuelve los siguientes triรกngulos oblicuรกngulos. Escribe tus resultados en orden de menor a mayor. Utiliza 3 decimales si es necesario.

Ejemplo: ,

y , ,

y

Retroalimentación

Solución: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

,

y

Retroalimentación

Solución: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

,

y

Retroalimentación

Solución: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

, entonces,

Entonces, tenemos dos soluciones,

,

y

Retroalimentaciรณn

Soluciรณn: Del problema sabemos que

,

y

,

Utilizando la ley de los cosenos, calculamos los valores de .

Nos queda una ecuación cuadrática, para calcular los valores de usamos la ‘fórmula general’,

Donde

,

y

Entonces, tenemos dos soluciones,

, entonces,

Retroalimentación

Hugo, Paco y Luis son amigos. Hugo vive en la calle Arbusto, Paco vive en la calle Luminaria y Luis en la calle Arboleda. La calle Luminaria mide 18 km. de largo y la calle Arboleda mide 23 km. Si entre la calle Luminaria y Arboleda se forma un ángulo de 35°.

¿Cuánto medirá la calle Arbusto de largo? (Utiliza 4 decimales si es necesario).

Solución: Conocemos que la calle Luminaria mide 18 km. de largo y la calle Arboleda mide 23 km. Y que entre las dos calles se forma un ángulo de ,

Entonces, el triรกngulo nos queda de la siguiente manera,

Donde la calle Luminaria es y la calle Arboleda es , y como nos piden la medida de la calle Arbusto, es decir, nos piden el valor del lado .

Como tenemos dos lados y un รกngulo, utilizamos la ley de los cosenos.

Como , los cosenos,

y

, sustituyendo en l a ley de

Por lo tanto, la calle Arbusto mide 13.219 km. de largo.

En esta aplicaremos la ley de senos y la ley de los cosenos, para resolver ejercicios aplicados al mundo real.

Un niño observa un espectáculo aéreo. En un momento determinado el niño voltea hacia arriba y ve dos aviones volando de frente. Los dos aviones se encuentran volando a 8 km. del niño. Si el ángulo entre el la línea de observación del niño hacia los dos aviones es de 43°. ¿A qué distancia se encontraran los aviones uno del otro?

(Utiliza 4 decimales si es necesario).

Solución: Hacemos un dibujo que represente el ejercicio,

Sabemos que la distancia del niño a los aviones es de 8 km. y que entre la línea de observación del niño hacia los dos aviones es de .

Entonces, el triángulo nos queda de la siguiente forma,

Como nos piden la distancia entre los aviones, es decir el lado , entonces utilizando la ley de cosenos,

Como , cosenos,

y

, sustituyendo en l a ley de los

Por lo tanto, los aviones se encuentra a una distancia de 4.8113 km. uno del otro.

Bruno se encuentra en un punto A y Clark se encuentra en un punto B, Barry los espera en la cafetería llamada punto C. Si el y el . Si Bruno y Clark se encuentra a 5 km. de distancia. ¿Cuál será la distancia que tendrá que caminar Clark para llegar a la cafetería? (Utiliza tres decimales si es necesario).

Solución: Hacemos un dibujo que represente el ejercicio,

Sabemos que Bruno se encuentra en un punto A y Clark se encuentra en un punto B, Barry los espera en la cafeterĂ­a llamada punto C y que el y el .

Y Bruno y Clark se encuentran a 5 km. de distancia.

Entonces el triĂĄngulo nos queda,

Nos piden la distancia que caminará Clark para llegar la cafetería, es decir, la medida del lado .

Para poder usar la ley de senos, necesitamos el valor del y como los ángulos interiores de un triángulo suman , tenemos que,

Como ya tenemos el

59

Utilizando ley de senos, podemos calcular el lado .

Como , en la ley de seno,

y

, sustituyendo los valores

Por lo tanto, la distancia que tendrá que caminar Clark para llegar a la cafetería será de 5.329 km.

Un barco pirata navega 32 km. hacia el norte y luego 80 km. formando un ángulo de 44° hacia el noreste. ¿A qué distancia se encuentra el barco del punto de partida? (Utiliza dos decimales si es necesario).

Solución: Hacemos el dibujo que represente el ejercicio, Un barco pirata navega

km. hacia el norte,

Gira y avanza 80 km. formando un รกngulo de 44 hacia el noreste.

Entonces el triรกngulo nos queda de la siguiente forma,

Como nos piden la distancia de donde se encuentra al punto de partida , entonces, calcularemos el lado .

Conocemos dos lados 80, y el รกngulo que forman , entonces podemos utilizar la ley de los cosenos.

Sustituimos los valores, 32 6400 7424

32

61.16355 Por lo tanto, el barco pirata se encuentra a 61.165 km. del punto de partida.

Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación de triángulos oblicuángulos. Escribe tu resultado con tres decimales, si es necesario.

Angélica se encuentra en un punto y Bernardo se encuentra en un punto y van a encontrar a Carlos que está localizado en un punto . Angélica y Carlos están a una distancia de 10 km. Si el y el . ¿Cuánto tendrá que caminar Bernardo para encontrarse con Carlos?

Retroalimentación

Solución: Sabemos que Angélica se encuentra en un punto A y Bernardo se encuentra en un punto B, y Carlos está en el punto C y la distancia entre Angélica y Carlos es de , además que el y el .

Nos piden la medida del ángulo

.

Para poder usar la ley de senos, necesitamos el valor del y como los ángulos interiores de un triángulo

suman

, tenemos que,

Por lo tanto, la medida del ángulo Utilizando ley de senos, podemos calcular el lado .

Como , en la ley de seno,

y

, sustituyendo los valores

Por lo tanto, Bernardo tendrá que caminar

.

Ángel y Gabriel se encuentran en la orilla de un parque a una distancia uno del otro de 23 m. en los puntos A y B, respectivamente. Y ven a un perro situado en el punto C. Si el ángulo mide y el ángulo mide . ¿Cuál será la medida del ángulo ?

Retroalimentación

Solución:

Sabemos que Ángel y Gabriel se encuentra en un punto A y B respectivamente y que la distancia entre A y B es de .

También que el

y el

Nos piden la medida del ángulo

. .

Para poder usar la ley de senos, necesitamos el valor del y como los ángulos interiores de un triángulo suman , tenemos que,

Por lo tanto, la medida del ángulo

es 62º.

Ángel y Gabriel se encuentran en la orilla de un parque a una distancia uno del otro de 23 m. en los puntos A y B, respectivamente. Y ven a un perro situado en el punto C. Si el ángulo mide y el ángulo mide . ¿Cuál será la distancia entre Ángel y el perro?

Retroalimentación

Solución: Sabemos que Ángel se encuentra en un punto A y Gabriel se encuentra en un punto B, y un perro está en un punto C y que el y el .

Nos piden la medida del ángulo

.

Para poder usar la ley de senos, necesitamos el valor del y como los รกngulos interiores de un triรกngulo suman , tenemos que,

Por lo tanto, la medida del รกngulo Utilizando ley de senos, podemos calcular el lado .

Como , en la ley de seno,

y

, sustituyendo los valores

Por lo tanto, la distancia entre ร ngel y el perro serรก de .