FICHA DE APOIO Darlan Moutinho 2019 | Ficha de Apoio
1
7
5 (UECE 2017) O número de cordas determinadas por 12 pontos distintos colocados sobre uma circunferência é
COMBINATÓRIA
1
a) 54
b) 684
c) 980
a) 64
a) 34 d) 1120
e) 364
01) Podem ser formadas menos que 55 comissões sem nenhum advogado. 02) Em 420 dessas comissões apenas um advogado participa. 04) Em 1946 dessas comissões pelo menos um advogado participa. 08) Podem ser formadas 120 comissões com apenas um engenheiro. 16) Podem ser formadas mais de duas mil comissões distintas. 3 (PUCCAMP 2018) Admita que certa cidade brasileira tenha 8 canais de TV aberta, todos com transmissões diárias. Se uma pessoa pretende assistir três dos oito canais em um mesmo dia, ela pode fazer isso de x maneiras diferentes sem levar em consideração a ordem em que assiste os canais, e pode fazer de y maneiras diferentes levando em consideração a ordem em que assiste os canais. Sendo assim, y - x é igual a b) 280
c) 224
d) 56
e) 140
4 (UEPG 2017) A primeira fase de um campeonato de futebol é disputada por 35 times, divididos em 5 grupos, com 7 times em cada grupo, os quais disputam entre si. Dois times de cada grupo são selecionados para a segunda fase desse mesmo campeonato, num total de 10 times, os quais jogam entre si. Se p é o número de jogos a serem realizados na primeira fase e q o número de jogos a serem realizados na segunda fase, assinale o que for correto.
2
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d) 78
b) 247
c) 256
e) 264
d) 260
7 (EEAR 2017) Em um campeonato de tênis estão inscritos 10 militares. Para disputar o campeonato, esses militares podem formar _____ duplas diferentes.
2 (UEPG 2018) Um grupo de profissionais é formado por seis advogados e oito engenheiros. Considerando que serão formadas comissões com cinco destes profissionais, assinale o que for correto.
a) 112
c) 72
b) 66
6 (UNIGRANRIO - MEDICINA 2017) Resolvendo a adição C8,2 + C8,3 + C8,4 + C8,5 + C8,6 + C8,7 + C8,8 encontramos como resultado:
(FAMERP 2018) Lucas possui 6 livros diferentes e Milton possui 8 revistas diferentes. Os dois pretendem fazer uma troca de 3 livros por 3 revistas. O total de possibilidades distintas para que essa troca possa ser feita é igual a a) 1040
01) p > 100 02) p - q = 60 04) q é um múltiplo de 9 08) q < 50
c) 44
b) 35
d) 45
8 (PUCRJ 2016) Uma escola quer fazer um sorteio com as crianças. Então, distribui cartelas que têm cada uma 3 números distintos de 1 a 20. No dia da festa, trarão uma urna com 20 bolas numeradas de 1 a 20 e serão retiradas (simultaneamente) três bolas. A criança que tiver a cartela com os três números ganhará uma viagem. Quantas cartelas diferentes são possíveis? a) 1140
b) 2000
c) 6840
d) 8000
e) 4400
9 (UEL 2016) Leia o texto a seguir. O movimento Free Hugs começou em 2001 com um único indivíduo, em Sidney, Austrália, conhecido pelo pseudônimo de Juan Mann. Ao se ver em situação desconfortável, com vários problemas pessoais e familiares, Mann decidiu sair sozinho, caminhando pelas ruas e oferecendo abraços às pessoas em lugares públicos como um gesto hipoteticamente neutro e sem interesses. Ele usava um cartaz de papelão nas mãos com a mensagem “Free Hugs” para oferecer abraços a desconhecidos. Nos dias de hoje, várias vezes ao ano e em diferentes cidades no mundo, agentes voluntários saem, sozinhos ou em grupos organizados, pelas ruas, repetindo a ação inicial de Mann para propor a troca de abraços com desconhecidos. (Adaptado de: MARTINS, F. G. P.; GUSHIKEN, Y. Free Hugs: dinâmicas de troca, dádiva e estranhamento na intervenção urbana. Comunicação, mídia e consumo. ano 9. v.9. n.24. maio 2012. p.179-198.)
Em um determinado dia, uma apresentadora de um programa de TV, após exibir reportagem sobre o movimento “Free Hugs”, propôs aos espectadores da plateia que saudassem a todos os demais (uns aos outros) com um abraço. Considere que: - todos aceitaram o abraço;
- os abraços ocorreram apenas entre pessoas da plateia; - cada abraço envolveu apenas duas pessoas; - duas pessoas se abraçaram apenas uma vez; - quando terminaram as saudações, o total de abraços foi de 496. Quantas pessoas formavam a plateia do programa naquele dia? Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão. 10 (G1 - IFAL 2016) No Instituto Federal de Alagoas, há 7 professores de Matemática para serem distribuídos em 4 turmas. De quantas maneiras distintas se poderá fazer a distribuição dos professores nas turmas, independente da ordem?
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a a) 20
b) 41
c) 120
d) 35
15 (UEMA 2015) Um engenheiro construiu três casas de mesmo modelo e tamanho, uma junto da outra. Para pintura dessas casas, contratou um profissional que poderia escolher, a seu critério, tintas de cinco cores distintas.
e) 210
Determine de quantas formas o pintor poderia escolher as tintas, de modo que as casas fossem pintadas de cores diferentes.
11 (UCS 2016) Um supermercado está selecionando, entre 15 candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para desempenhar a função de “caixa”.
16 (EPCAR (AFA) 2015) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações:
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha?
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não conheceria nenhum dos dois.
a) 28
a) 5
b) 35
b) 45
c) 70
c) 215
d) 140
d) 360
e) 455
12 (FEEVALE 2016) Em certo bairro, houve um “trocatroca” de livros usados. João levou 10 livros de romance. Pedro levou 15 de poesia, e Marcelo, 7 de ficção. Marcelo quer levar para casa, em troca de seus livros, 4 de romance e 3 de poesia. Assinale a alternativa que representa o número de formas diferentes com que essa escolha pode ser feita. a) C10,4.C15,3
b) C10,4 + C15,3
d) A10,3.A15,4
e) A10,4 + A15,3
c) A10,4.A15,3
13 (PUCRS 2016) O número de triângulos que podem ser formados unindo o vértice A a dois dos demais vértices do paralelepípedo é
a) 15
b) 18
c) 21
d) 24
14 (UEMG 2015) Observe a tirinha abaixo:
e) 27
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 estádios brasileiros, a razão entre o número de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem, é a) 11/26
b) 13/25
c) 13/24
d) 11/24
17 (UEPA 2015) Atual tendência alimentar baseada no maior consumo de legumes, verduras e frutas impulsiona o mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos e uma diminuição no consumo de produtos que levam glúten, lactose e açúcar. Uma empresa especializada no preparo de refeições, visando a esse novo mercado de consumidores, disponibiliza aos seus clientes uma “quentinha executiva” que pode ser entregue no local de trabalho na hora do almoço. O cliente pode compor o seu almoço escolhendo entradas, pratos principais e sobremesas. Se essa empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos de pratos principais e 5 tipos de sobremesas, o número de possiblidades com que um cliente pode compor seu almoço, escolhendo, dentre os tipos ofertados, duas entradas, um prato principal e uma sobremesa é: a) 400
b) 600
c) 800
d) 1200
e) 1400
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18 (PUCRJ 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria? a) 6 maneiras b) 7 maneiras c) 8 maneiras d) 9 maneiras e) 10 maneiras
a) 28560 b) 851 c) 13800 d) 1028160 e) 5106
19 (UFSM 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 200. b) 300. c) 600. d) 720. e) 1.200. 20 (PUCRS 2013) Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Comarca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15 homens é 15 6 a) C30 .C20
15 6 b) A30 .A20
15 6 d) A30 + A20
21 e) C50
15 6 c) C30 + C20
21 (UERN 2013) Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 são de frutas cítricas e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras pode-se escolher 3 sucos de sabores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres? a) 40 b) 55 c) 72 d) 85
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22 (UDESC 2013) Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que 28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3 homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades para esta escolha é:
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23 (UCS 2012) Um professor apresenta 10 questões, das quais os seus alunos poderão escolher 8 para serem respondidas. De quantas maneiras diferentes um aluno pode escolher as 8 questões? a) 90 b) 80 c) 45 d) 40 e) 8 24 (UNESP 2011) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00, uma aposta em 6 dezenas deve custar: a) R$ 15,00
b) R$ 30,00
d) R$ 70,00
e) R$ 140,00
c) R$ 35,00
25 (IFSUL 2011) Sendo 15 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, o número de retas, distintas, determinadas por esses pontos, é a) 14 b) 91 c) 105 d) 210 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Uma rodovia que liga duas cidades X e Y possui telefones de emergência localizados de 4 em 4 quilômetros. Indo de X até Y por essa rodovia, Júlio passou por quatro postos de gasolina, nesta ordem: P1, P2, P3 e P4. Júlio observou ainda que os quatro postos estavam localizados a 2 km de distância de um telefone de emergência. Sabe-se que: • para ir de P1 até P4 passa-se por 15 telefones de emergência; • para ir de P1 até P3 passa-se por 11 telefones de emergência; • para ir de P2 até P4 passa-se por 7 telefones de emergência.
26 (INSPER 2011) Um funcionário da companhia responsável pela manutenção dos telefones de emergência viajará do posto P2 até o posto P4. Nesse trajeto, ele irá escolher dois telefones para fazer manutenção preventiva. Na volta, indo de P4 até P2, ele escolherá outros dois telefones para fazer manutenção preventiva. O número de maneiras distintas que esse funcionário tem para escolher como fará essa inspeção é igual a a) 35
b) 105
c) 210
d) 420
e) 840
27 (ENEM 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
31 (UPE-SSA 2 2018) A turma de espanhol de uma escola é composta por 20 estudantes. Serão formados grupos de três estudantes para uma apresentação cultural. De quantas maneiras se podem formar esses grupos, sabendo-se que dois dos estudantes não podem pertencer a um mesmo grupo? a) 6840
b) 6732
c) 4896
d) 1836
e) 1122
32 (G1 - IFAL 2018) Certa lanchonete possui 5 funcionários para atender os clientes durante os dias da semana. Em cada dia, pode trabalhar, no mínimo, 1 funcionário até todos os funcionários. Dentro desse princípio, quantos grupos de trabalho diário podem ser formados? a) 5
b) 15
c) 16
d) 31
e) 32
33 (UFSC 2018) É correto afirmar que: 01) A filha do Arnaldo instalou um aplicativo que bloqueia o telefone celular através de uma senha formada por quatro emojis distintos. Estão disponíveis 10 emojis distintos, conforme mostra a figura a seguir.
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 28 (UEPB 2012) A solução da equação An,3 = 4.An,2 é a) 3 b) 4 c) 8 d) 6 e) 5 29 (PUCRJ 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria? a) 10 maneiras b) 9 maneiras c) 8 maneiras d) 7 maneiras e) 6 maneiras
02) O valor da soma: C7,1 + C7,2 + C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 é 127
30 (ESPCEX (AMAN) 2019) Considere o conjunto de números naturais {1, 2, ..., 15}. Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é a) 168
b) 196
Deseja-se formar uma senha que possua o emoji que está usando os óculos escuros, indicado na figura. Então o número total de senhas que se pode formar nessas condições é 504.
c) 224
d) 227
e) 231
08) Seis professores serão escolhidos entre os 10 professores de Matemática de um colégio para corrigirem a primeira fase da Olimpíada Brasileira de Matemática. A escolha dos 6 professores poderá ser feita de 140 modos diferentes, considerando que, entre os 10 professores, apenas 2 não podem ser escolhidos juntos, porque têm incompatibilidade de horário.
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34 (PUCRJ 2017) O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar mais 4 jogadores, dentre os quais exatamente um deve ser goleiro. Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 15 nomes, dos quais 3 são goleiros, qual é o número de maneiras possíveis de ele escolher os 4 jogadores? a) 220 b) 660 c) 1980 d) 3960 e) 7920 35 (UPF 2017) Um jogo consiste em um prisma triangular reto com uma lâmpada em cada vértice e um quadro de interruptores para acender essas lâmpadas. Sabendo que quaisquer três lâmpadas podem ser acesas por um único interruptor e que cada interruptor acende precisamente três lâmpadas, o número de interruptores que existem no quadro é a) 4 b) 20 c) 24 d) 120 e) 720 36 (G1 - IFPE 2017) Oito amigos decidiram brincar de telefone. Para isso, dispuseram-se em um terreno de modo que cada um estivesse no vértice de um octógono regular de lado medindo 20 metros, conforme figura 1.
Decidiram montar os telefones utilizando barbante e copos descartáveis, conforme figura 2.
os amigos em vértices consecutivos, quantos telefones eles precisarão confeccionar? a) 20 b) 28 c) 12 d) 10 e) 8 37 (ENEM 2017) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro: Quantidade de jogadores Número de partidas
2 1
3 3
4 5 6 7 6 10 15 21
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas? a) 64 b) 56 c) 49 d) 36 e) 28 38 (EBMSP 2017) Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição. Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar é a) 230 b) 225 c) 220 d) 215 e) 210
39 (UERJ 2017) Uma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor. Cada telefone, que é intransferível, liga apenas dois dos amigos e é formado por dois copos, que não podem estar em dois telefones simultaneamente, e um barbante. Para que todos possam falar com todos através de um telefone desses, incluindo
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Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá realizar.
40 (UNIGRANRIO - MEDICINA 2017) Considere 5 pontos distintos sobre uma reta r e 4 pontos distintos sobre uma reta s, de forma que r seja paralela a s. O número de triângulos com vértices nesses pontos é igual a: a) 10 b) 12 c) 20 d) 50 e) 70 41 (G1 - IFAL 2017) Um aluno do Instituto Federal de Alagoas (IFAL), deseja praticar dois esportes, durante o ano letivo de 2017. Sabendo que o IFAL oferece os esportes: futebol de campo, futsal, voleibol de quadra, voleibol de praia, handebol, basquete e judô, de quantas maneiras esse aluno pode fazer sua escolha? a) 14 b) 21 c) 42 d) 49 e) 128
42 (UDESC 2017) Uma loja de material para pintura fabrica tintas de cores personalizadas, usando uma máquina que mistura até 3 cores iniciais em proporções que podem ser ajustadas de 20% em 20%. Sabendo que há 4 cores iniciais para se escolher, o número de cores que podem ser oferecidas, incluindo as iniciais puras, é: a) 48 b) 52 c) 28 d) 44 e) 76 43 (ESPM 2017) Em uma competição de vôlei de praia participaram n duplas. Ao final, todos os adversários se cumprimentaram uma única vez com apertos de mãos. Sabendo-se que foram contados 180 apertos de mãos, podemos concluir que n é igual a: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 44 (G1 - IFAL 2017) No primeiro dia de aula de 2017.1 do Curso de Segurança do Trabalho, todos os estudantes se cumprimentaram apertando as mãos um a um. Sabendo que essa turma tinha 25
estudantes, quantos apertos de mãos houve ao todo? a) 50 b) 150 c) 300 d) 600 e) 625 45 (G1 - IFPE 2017) O coordenador de Matemática do campus Recife conta com 7 professores para lecionar aulas em um programa do PROIFPE. São aulas semanais e a cada semana um novo trio de professores é selecionado para ministrá-las. Considerando um mês equivalente a 4 semanas, em quanto tempo esse programa estará finalizado a) 6 meses. b) 4 meses e 1 semana. c) 1 ano, 8 meses e 2 semanas. d) 2 anos e 3 meses. e) 8 meses e 3 semanas. 46 (G1 - IFAL 2017) Cinco cursos do IFAL CAMPUSMACEIÓ resolveram fazer um torneio de futebol, onde cada time de cada curso joga contra os demais times apenas uma vez. Quantos serão os jogos nesse torneio? a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
e) 10
47 (UECE 2017) Seja X um conjunto formado por 15 pontos distintos do espaço, o qual tem um subconjunto Y formado por 5 pontos coplanares. Sempre que são considerados quatro pontos coplanares, esses pontos estão em Y. O número de planos determinados por esses 15 pontos de X é igual a a) 595 b) 446 c) 465 d) 485 48 (UDESC 2016) A Câmara de Vereadores de uma cidade é composta por 13 vereadores, sendo que 6 destes são de partidos políticos da situação (aliados ao governo municipal) e os 7 restantes são de partidos da oposição (contrários ao governo municipal). É necessário compor uma comissão especial a ser formada por exatamente 5 vereadores, de forma que haja pelo menos dois representantes de cada um destes blocos políticos. Além disso, foi definido que o líder da situação e o líder da oposição não poderão fazer parte da mesma comissão. Sob essas condições, a quantidade de comissões distintas que pode ser constituída é igual a: a) 945
b) 500
c) 620
d) 810
e) 310
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49 (UEPG 2016) Desejando fazer algumas reivindicações ao reitor, de um grupo de três acadêmicos, quatro funcionários administrativos e cinco professores, forma-se uma comissão de três membros. A partir do que foi exposto e considerando que x é o número de possíveis comissões que podem ser formadas, assinale o que for correto. 01) x = 185, se for exigido que pelo menos um membro da comissão seja professor. 02) x = 48, se for exigido que pelo menos dois dos membros da comissão sejam funcionários. 04) x = 108, se for exigido que somente um dos membros da comissão seja acadêmico. 08) x > 300, se não houver nenhuma restrição além da quantidade de pessoas na comissão. 16) x = 60 se a comissão for formada por um acadêmico, um funcionário e um professor. 50 (G1 - IFPE 2016) O auditório do IFPE, campus Vitoria de Santo Antão, tem formato retangular e dispõe de quatro aparelhos de ar-condicionado, sendo um ar-condicionado instalado em cada uma das suas quatro paredes. Em todos os eventos, pelo menos um aparelho deve estar ligado para a refrigeração do ambiente.
52 (UECE 2015) A turma K do Curso de Administração da UECE é formada por 36 alunos, sendo 22 mulheres e 14 homens. O número de comissões que podem ser formadas com alunos desta turma, tendo cada comissão três componentes e sendo assegurada a participação de representantes dos dois sexos em cada comissão, é a) 5236 b) 6532 c) 3562 d) 2635 53 (FGV 2015) Em uma sala estão presentes n pessoas, com n > 3. Pelo menos uma pessoa da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas. Nessas condições, o número máximo de apertos trocados pelas n pessoas é igual a
De quantos modos diferentes este auditório pode ser refrigerado?
a)
n2 + 3n - 2 2
b)
n2 - n + 2 2
a) 4
d)
n2 - 3n + 2 2
e)
n2 - n - 2 2
b) 16
c) 8
d) 64
e) 15
51 (UNESP 2016) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas
No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato “Letra-Letra-AlgarismoAlgarismo-Algarismo-Letra-Letra”, nessa ordem.
8
Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial.
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c)
n2 + 2n - 2 2
54 (PUCSP 2015) No vestiário de uma Academia de Ginástica há exatamente 30 armários, cada qual para uso individual. Se, no instante em que dois alunos dessa Academia entram no vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão desocupados, quantas opções eles terão para escolher seus respectivos armários? a) 14
b) 28
c) 48
d) 56
e) 112
55 (INSPER 2014) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sulamericanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40.
56 (UFG 2014) Uma caixa contém doze presentes diferentes. Quatro crianças, uma de cada vez, deverão escolher aleatoriamente três presentes da caixa de uma só vez. Nessas condições, encontre a quantidade possível de maneiras diferentes que esses presentes poderão ser distribuídos para essas quatro crianças. 57 (UEMG 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Júlio César como goleiro e Fred como atacante, o número de times distintos que o técnico poderá formar é a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000.
58 (UECE 2014) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formamse triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360 b) 380 c) 400 d) 420 59 (UEMG 2013) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de 6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois de vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio, os 6 números sorteados estariam entre os 10 números que tinha escolhido. Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6 números entre os 10 números escolhidos. Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que cada jogo com 6 números custa R$ 2,00?
c) R$ 420,00. d) R$ 5.040,00. 60 (UNESP 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30? 61 (IBMECRJ 2013) Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três fases. Na primeira fase, os times são divididos em seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cada grupo é eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, na qual não há divisão em grupos e todos os times se enfrentam, cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação na segunda fase se enfrentam, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão. No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times e os dois últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da competição continuará como antes. Nessa nova organização, a) o número de partidas da primeira fase diminuirá. b) o número de partidas da segunda fase aumentará. c) o número total de partidas da competição diminuirá. d) o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará. e) o número de times eliminados na primeira fase diminuirá. 62 (ENEM 2013) Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela 6 7 8 9 10
Preço da cartela (R$) 2,00 12,00 40,00 125,00 250,00
a) R$ 540,00. b) R$ 302.400,00.
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Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: - Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; - Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; - Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; - Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; - Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. 63 (UERJ 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
Considere as seguintes informações: — cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; — qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; — duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.
64 (MACKENZIE 2013) Uma faculdade possui 11 professores titulares, dos quais 7 são homens e 4, mulheres. O número de bancas distintas de avaliação que podem ser formadas, contendo cada uma apenas 3 homens e 3 mulheres é a) 4 b) 70 c) 80 d) 140 e) 180
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65 (MACKENZIE 2012) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos um advogado é a) 70 b) 74 c) 120 d) 47 e) 140 66 (FGV 2012) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigem-se a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo. a) De quantos modos diferentes elas podem alojarse no hotel? b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho.
67 (INSPER 2012) A tabela da Copa do Mundo de 2014, divulgada em outubro último, definiu as quantidades de jogos que serão realizados em cada uma das 12 cidades sedes, informadas parcialmente a seguir. permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; — duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. Cidade Belo Horizonte Brasília Cuiabá Curitiba Fortaleza Manaus Natal Porto Alegre Recife Rio de Janeiro Salvador São Paulo
Número de jogos ??? 7 4 4 6 4 4 5 5 7 6 ???
Na 1ª fase, haverá oito grupos com quatro seleções em cada um, devendo cada seleção enfrentar uma única vez todos os integrantes do seu grupo. Na fase de oitavas de final, cada uma das 16 equipes classificadas jogará uma única vez, o mesmo ocorrendo nas quartas de final com as oito equipes classificadas. Depois disso, restarão ainda quatro jogos (semifinais, disputa de 3º lugar e final) para definir o campeão mundial. Sabendo que São Paulo e Belo Horizonte abrigarão o mesmo número de jogos, conclui-se que haverá, em cada uma dessas duas cidades, um total de
71 (FGVRJ 2012) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles podem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel?
a) 4 jogos. b) 5 jogos. c) 6 jogos. d) 7 jogos. e) 8 jogos.
72 (UERN 2012) Uma família do interior, composta por 10 pessoas, necessita fazer uma viagem de retorno à cidade de origem após passar férias no litoral. A viagem será feita de ônibus, no domingo, e apenas dois horários estão disponíveis. De quantas maneiras poderão viajar essas pessoas de forma que a metade da família viaje num ônibus e a outra metade no outro?
68 (UERN 2012) Régis está em uma loja de roupas e deseja selecionar 4 camisas dentre 14 modelos diferentes, sendo essas 8 brancas e 6 azuis. De quantas maneiras ele poderá escolher as 4 camisas de forma que pelo menos uma delas tenha cor distinta das demais? a) 748
b) 916
c) 812
d) 636
69 (UNICAMP 2012) O grêmio estudantil do Colégio Alvorada é composto por 6 alunos e 8 alunas. Na última reunião do grêmio, decidiu-se formar uma comissão de 3 rapazes e 5 moças para a organização das olimpíadas do colégio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comissão? a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120.
70 (UDESC 2012) As frutas são alimentos que não podem faltar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela energia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas recomendadas, de: a) 57 maneiras. b) 50 maneiras. c) 56 maneiras. d) 77 maneiras. e) 98 maneiras.
a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 e) 5
a) 45 b) 252 c) 136 d) 90 73 (FUVEST 2012) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.
74 (UESC 2011) A cobrança do pedágio na BR116, principal rodovia brasileira, foi iniciada na primeira semana de dezembro 2010, com postos autorizados pela Agência Nacional de Transportes Terrestres (ANTT). Suponha que entre as cidades A e B existem cinco postos de abastecimento, além de dois postos de pedágio — o primeiro com quatro cabines e o segundo, com três. É possível fazer o percurso de A até B, passando pelos dois pedágios e parando três vezes para abastecimento, de n formas distintas (variando as cabines e os postos de abastecimento). O valor de n é a) 12
b) 22
c) 31
d) 120
e) 210
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75 (ESPCEX (AMAN) 2011) Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as substâncias S1, S2 e S3 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é a) 16 b) 24 c) 25 d) 28 e) 56 76 (EEWB 2011) Uma equipe de saúde tem 4 médicos e 6 enfermeiras. Quantas comissões de cinco profissionais, médicos e enfermeiras, podem ser formadas contendo, exatamente, dois médicos e três enfermeiras? a) 10 b) 20 c) 60 d) 120 77 (FGV 2011) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a) 26 b) 24 c) 22 d) 30 e) 28 78 (UCPEL 2011) Numa empresa de três diretores e cinco gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, contendo, no mínimo, um diretor é a) 315
b) 25
c) 720
d) 250
e) 55
79 (UFTM 2011) A prova da primeira fase de um vestibular terá 8 questões objetivas de Matemática, com 5 alternativas. Pretende-se que apenas duas dessas questões tenham a resposta correta indicada na alternativa E. O número de formas de se escolher essas duas questões é a) 28. b) 36. c) 48. d) 56. e) 68.
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1 D
2 02 + 04 + 08 + 16 = 30
3 B
4 01 + 02 + 04 + 08 = 15
5 B
6 B
7 D
8 A
9 32
10 B
11 E
12 A
13 C
14 B
15 10
16 A
17 E
18 A
19 B
20 A
21 A
22 A
23 C
24 B
25 C
26 C
27 A
28 D
29 A
30 C
31 E
32 D
33 02 + 08 = 10
34 B
35 B
36 B
37 E
38 E
39 91
40 E
41 B
42 B
43 C
44 C
45 E
46 E
47 B
48 D
49 01 + 04 + 16 = 21
50 E
51 35.264.103
54 D
55 D
56 369600
57 A
58 D
59 C
60 210
61 C
62 A
63 1680 64 D
65 C
66 a) 1 b) 210
67 C
68 B
69 D
70 D
72 B
73 a) 47250 b) 44/125
74 D
75 C
76 D
79 A
77 A
52 A
78 E
53 E
71 D
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