Darlan Moutinho | Ficha de Apoio
1
Ficha de apoio 2020#32 função polinomial do 2 o grau 1. (G1 - ifpe 2019) Em um laboratório do IFPE, alunos do curso subsequente em Zootecnia observaram que a concentração C de certa medicação, em mg/L, no sangue de animais de uma certa espécie, varia de acordo com a função C = 6t – (1/4)t2, em que t é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão da medicação, durante um período de observação de 24 horas. Determine o tempo necessário, após o início do experimento, para que o medicamento atinja nível máximo de concentração no sangue desses animais. a) 4 horas. d) 12 horas.
b) 16 horas. e) 2 horas.
c) 6 horas.
4. (Ueg 2019) Um lava-jato tem 50 clientes fixos por semana e cada lavagem custa R$ 20,00. Sabe-se que a cada um real que o dono desse lava-jato aumenta no preço da lavagem, ele perde 2 clientes. O valor do aumento que maximiza a arrecadação semanal desse lava-jato é de a) R$ 25,00 d) R$ 10,00
b) R$ 20,00 e) R$ 2,00
c) R$ 2,50
5. (G1 - ifpe 2019) Um balão de ar quente sai do solo às 9h da manhã (origem do sistema cartesiano) e retorna ao solo 8 horas após sua saída, conforme demonstrado a seguir. A altura h, em metros, do balão, está em função do tempo t, em horas, através da fórmula h(t) = (-3/4)t2 + 6t.
2. (G1 - cmrj 2019) A companhia de turismo Vivitour freta um ônibus de 40 lugares de acordo com as seguintes condições descritas no contrato de afretamento: I. Cada passageiro pagará R$ 160,00, se todos os 40 lugares forem ocupados. II. Cada passageiro pagará um adicional de R$ 8,00 por lugar não ocupado. Quantos lugares a companhia de turismo deverá vender para garantir lucro máximo? a) 30
b) 32
c) 35
d) 38
A altura máxima atingida pelo balão é de a) 21 m
b) 36 m
c) 8 m
d) 4 m e) 12 m
e) 40 6. (Ufpr 2020) Suponha que, num período de 45 dias, o saldo bancário de uma pessoa possa ser descrito pela expressão
3. (Acafe 2019) Um clube recreativo possui 800 sócios e cobra uma mensalidade de R$ 200,00 de cada sócio. Uma pesquisa de mercado indica que a cada R$ 1,00 de redução na mensalidade, há um aumento de 10 sócios. O valor da mensalidade que gera a maior receita é de: a) R$ 120,00
b) R$ 60,00 d) R$ 160,00
c) R$ 140,00
S(t) = 10t2 - 240t + 1400 sendo S(t) o saldo, em reais, no dia t, para t ϵ [1,45]. Considerando os dados apresentados, é correto afirmar que: a) o saldo aumentou em todos os dias do período. b) o saldo diminuiu em todos os dias do período. Darlan Moutinho | Ficha de Apoio
2
c) o menor saldo no período ocorreu em t = 12. d) o menor saldo no período foi R$ 12,00. e) o saldo ficou positivo em todos os dias do período. 7. (Uel 2020) Analise a figura a seguir.
a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo? a) R$ 2.000,00 b) R$ 3.200,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 4.800,00 9. (Uel 2020) Uma ponte, composta de pista, colunas e base de sustentação, será construída conforme a figura a seguir.
Utilizando duas retas graduadas e perpendiculares, um estudioso caracteriza cada ponto da obra de Johannes Vermeer, como um par ordenado no plano cartesiano, de forma que um ponto no brinco de pérola esteja associado à origem (0, 0). De acordo com a associação feita, o estudioso constata que os pontos de coordenadas (-10, 0) e (-8, 8) se localizam, respectivamente, na boca e no olho retratados.
A pista da ponte é paralela ao solo e é apoiada por colunas de sustentação h0, h1, h2, h3, h4, h5, h6 e h7 perpendiculares à pista e que possuem duas extremidades: na pista e na base de sustentação, a qual possui formato parabólico, cujo lugar geométrico coincide com parte do gráfico de uma função polinomial de segundo grau da forma f(x) = ax2 + bx2 + c, com a ≠ 0.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, uma propriedade da parábola que passa pelos três pares ordenados presentes no texto.
Suponha que as colunas têm espaçamentos iguais entre elas, que o comprimento da coluna central hc é zero, que a pista da ponte tem 24 metros de comprimento e que sua altura é de 6 metros em relação ao solo. Admitindo que as espessuras das colunas, da pista, do solo e da base de sustentação são desprezíveis, determine os comprimentos das colunas de sustentação h1 e h5.
a) Tem por equação y + x2 + 5x = 0. b) Tem concavidade voltada para cima. c) Tem por vértice um ponto na região do ombro retratado. d) Tem por equação 2y + x2 + 10x = 0. e) Admite três raízes reais distintas, todas localizadas no turbante.
10. (G1 - cmrj 2020 - Adaptada) Ao treinar chutes a gol, o atleta de futebol Pedro, num chute impressionante, fez com que uma das bolas utilizadas no treino descrevesse uma trajetória em forma de arco de parábola, desde o ponto em que recebeu o chute, no gramado, até ultrapassar completamente a linha do gol, a uma altura de 2 m do chão.
8. (Fuvest 2020) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$ 10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos Darlan Moutinho | Ficha de Apoio
3
A altura måxima atingida pela bola nesse trajeto foi de 10 m e, nesse instante, sua distância horizontal do gol era de 8 m. A distância horizontal entre a bola no momento em que ela recebeu o chute e o momento que ela toca o solo era a) menor que 17 m. b) igual a 17 m. c) entre 17 e 18 m. d) igual a 18 m. e) maior que 18 m.
Darlan Moutinho | Ficha de Apoio
4
RESOLUÇÃO 1.
[D]
Para encontar o tempo necessário para ter o nível máximo de concentração, é necessário derivar a fynção dada: C = 6t – (1/4)t2, 0 = 6 -2t/4 t/2 = 6 t = 12 horas. 2.
[A]
Se x é o número de lugares que a companhia vende, então a receita, r(x), é dada por r(x) = x(160 + 8(40 – x) = -8x(x – 60) O resultado pedido é igual a (0 + 60)/2 = 30. Observação: O custo da empresa não é informado. Provavelmente o resultado desejado é, na verdade, o número de lugares vendidos para que a companhia tenha receita máxima.
5.
Calculando a derivada da função: h(t) = (-3/4)t2 + 6t 0= (-6/4)t + 6 t=4 Para achara altura, basta usar t = 4 na função h: h(t) = (-3/4)t2 + 6t h = (-3/4).42 + 6.4 h = -12 + 24 h = 12 m 6.
[C]
Seja x o número de reduções de R$ 1,00. Logo, a receita, r(x) é dada por r(x) = (200 – x)(800 + 10x) = -10(x + 80)(x – 200). O valor de x para o qual a receita é máxima é tal que xv = (-80 + 200)/2 = 60 Portanto, segue que a resposta é: 200 – 60 = R$ 140,00 4.
[C]
Seja x o número de aumentos de um real. Logo, a arrecadação semanal é dada por A(x) = (20 + x)(50 – 2x) = -2(x – 25)(x + 20) Em consequência, o número de aumentos de um real que maximizam a arrecadação é igual a –[(20 + 25)/2] = 2,5.
[C]
Reescrevendo a lei de S na forma canônica, vem S(t) = 10t2 – 240t + 1400 S(t) = 10(t – 12)2 - 40 Desse modo, o valor mínimo de S ocorre para t = 12 e é igual a S(12) = - R$ 40,00 7.
3.
[E]
[D]
A equação da parábola que passa pelos pontos (0, 0), (-10, 0) e (-8, 8) é dada por: y = a.(x – 0).(x –(-10)) y = a.x.(x + 10) Como (-8, 8) é um ponto da parábola, 8 = a.(-8).(-8 + 10) 8 = -16a a = -1/2 Daí, y = (-1/2).x.(x + 10) 2y = -x2 - 10x 2y + x2 + 10x = 0 8.
[C]
Seja x o número de reduções de R$ 1,00 no preço do combo. Logo, a arrecadação diária, A(x), é dada por A(x) = (10 – x)(200 + 100x) A(x) = -100(x + 2)(x – 10)
A resposta é R$ 2,50. Darlan Moutinho | Ficha de Apoio
5
O número de reduções que fornece a arrecadação máxima é igual a (-2 + 10)/2 = . Em consequência, a resposta é A(4) = -100(4 + 2)(4 – 10) A(4) = R$ 3.600,00 9. Do enunciado, temos o seguinte:
A equação da parábola da figura acima é dada por: y = ax2, a ≠ 0 Como o ponto (12, -6) pertence à parábola, -6 = a.122 a = -1/24 Daí, y = -1/24 x2 O comprimento da coluna h1 é igual a: h1 = l(-1/24).(-9)2l h1 = 27/8 m O comprimento da coluna h5 é igual a: h5 = l(-1/24).62l h5 = 3/2 m
Substituindo o ponto V(0, 10) na função y = ax2 + bx + c, temos: 10 = a.02 + b.0 + c C = 10 O vértice da parábola é o ponto V(0, 10), assim: xV = 0 -b/2a = 0 b=0 Substituindo o ponto A(-8, 2) na função y = ax2 + 10, temos: 2 = a.(-8)2 + 10 64a = -8 a = -1/8 Calculando agora as raízes da função y = (-1/8)x2 + 10 = 0 x2 = 80 x = ±√80 A distância entre a bola na hora do chute e na hora que toca o solo é a distância entre as raízes. Assim: d = 2.√80 d = √320 Como 320 está compreendido entre 289 = 172 e 324 = 182, então a distância d estará compreendida entre 7 e 18.
Resposta: Os comprimentos das colunas de sustentação h1 e h5 são, respectivamente, iguais a 27/8 m e 3/2 m. 10.
[C]
Associando um sistema cartesiano à figura, obtemos:
Darlan Moutinho | Ficha de Apoio
6