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2.1. TRIÁNGULOS DEFINICIONES Y CONCEPTOS Un triángulo equilátero es un polígono regular de tres lados. Equivalentemente podemos definirlo como un triángulo cuyos lados tienen el mismo tamaño o cuyos ángulos tienen todos la misma medida. Como vimos en la sección 1.5, cualesquiera tres puntos en el plano definen un círculo así que cualquier triángulo, regular o no, puede ser inscrito en un círculo. Asimismo, cualquier triángulo puede ser circunscrito en un círculo.
triángulo equilátero inscrito
triángulo equilátero circunscrito
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C ONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA
A) ENCONTRAR EL CÍRCULO QUE INSCRIBE A UN TRIÁNGULO IRREGULAR Primero dibujamos el triángulo a partir del cual haremos la construcción. Para hacer esto usamos la herramienta polygon en el tercer botón de la barra de herramientas. Escogemos los tres puntos arbitrarios en el plano que definen el triángulo.
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Dibujamos la bisectriz perpendicular a cada lado del triángulo. El punto de intersección de las tres bisectrices determina el centro del círculo que se inscribe en el triángulo. Dibujamos el círculo. Arrastramos los parámetros para confirmar que la construcción funciona en todos los casos.
Cabri no tiene una herramienta para hacer esta tarea automáticamente.
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B) ENCONTRAR EL CÍRCULO QUE CIRCUNSCRIBE A UN TRIÁNGULO IRREGULAR
Dibujamos un triángulo irregular arbitrario como en el apartado anterior. Cambiamos la apariencia de los puntos para dibujar construcciones y trazamos la bisectriz de cada uno de los tres ángulos que forman los lados del triángulo.
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El punto de intersección de estas bisectrices determina el centro del círculo deseado. El radio del círculo lo determina la distancia más corta entre su centro y la intersección de una bisectriz con el lado opuesto. Dibujamos el círculo.
Arrastramos los parámetros iniciales para confirmar en qué casos funciona la construcción. Sólo deja de funcionar cuando la bisectriz cuya intersección con el lado opuesto fue seleccionada ya no forma la distancia más corta con el centro del círculo.Cabri no tiene una herramienta para hacer esta tarea automáticamente.
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C ) TRIÁNGULO EQUILÁTERO INSCRITO EN UN CÍRCULO Para que la base del triángulo sea horizontal, empezamos dibujando un segmento de recta horizontal manteniendo pulsada la tecla shift. Lo llamamos AB. Trazamos el círculo en el cual queremos dibujar el triángulo con centro en el punto medio de AB y pasando por A o B. Llamamos C y D a los puntos superior e inferior de la intersección de la bisectriz con el círculo.
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Con la herramienta compass copiamos el radio del círculo trazado para hacer uno nuevo con centro en D. El punto C y la intersección de este último círculo con el círculo original forman el triángulo equilátero deseado. Lo dibujamos con la herramienta polygon.
Arrastrando los parámetros iniciales A y B podemos verificar que la construcción funciona en todos los casos. Veremos la herramienta que tiene Cabri para hacer esta tarea automáticamente en la sección 2.10.
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D ) TRIÁNGULO EQUILÁTERO CIRCUNSCRITO EN UN CÍRCULO Construimos A, B, C y D del mismo modo que en apartado anterior. Con la herramienta compass copiamos el radio del círculo trazado para hacer uno nuevo con centro en C. Llamamos E y F a los puntos de la intersección de este último círculo con el círculo original. Trazamos las líneas que unen los puntos C, E y F con el centro del círculo original.
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A partir de estas rectas dibujamos las perpendiculares por los puntos C, E y F respectivamente. Los tres puntos de intersección de estas perpendiculares forman el triángulo deseado. Lo dibujamos y arrastramos los parámetros iniciales A y B para verificar que la construcción funciona en todos los casos.
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