Aplicaciones de Funciones Exponenciales y Logar´ıtmicas David J. Coronado1 1 Departamento
de Formaci´ on General y Ciencias B´ asicas Universidad Sim´ on Bol´ıvar
Matem´aticas I
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D. Coronado
Aplic Func Exponenciales y Logar´ıtmicas
Contenido
1
Aplicaciones de Funciones Exponenciales Inter´es Compuesto Crecimiento Poblacional Ley de Enfriamiento
2
Aplicaciones del Logaritmo Escala Richter Psicolog´ıa Los Logaritmos y la Intensidad del Sonido. M´ usica y Logar´ıtmos. logo
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Inter´es Compuesto
Suponga que se invierten BsF. 100 a una tasa de 5% compuesto, anualmente. Al final del primer a˜ no tenemos 100 + 100(0.05) = 105 Calculando el inter´es para el segundo a˜ no, 105 + (0.05)105 = 110.25 En este caso, llamaremos a la diferencia entre el monto final menos el monto invertido como el inter´es compuesto. logo
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Inter´ es Compuesto Crecimiento Poblacional Ley de Enfriamiento
Inter´es Compuesto De manera m´as general, si un capital de P bol´ıvares se invierte a una tasa de 100r por ciento compuesto anualmente, (ejemplo 5% es r=0.05) la cantidad compuesta despu´es de un a˜ no es P + Pr = P(1 + r ). Al final del segundo a˜ no P(1 + r ) + P + Pr = P(1 + r )[1 + r ] = P(1 + r )2 Despu´es de n - a˜ nos, el monto compuesto S del capital P al final de n a˜ nos a una tasa de r compuesta anualmente, est´a dado por S = P(1 + r )n N´otese que es una funci´ on exponencial (en n). Veamos los ejemplos D. Coronado
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Inter´ es Compuesto Crecimiento Poblacional Ley de Enfriamiento
Inter´es Compuesto Ejemplo Suponga que se invierten BsF 1000 durante 10 a˜ nos al 6% compuesto anualmente. 1
Encuentre el monto compuesto
2
Encuentre el inter´es compuesto
Soluci´on:
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Inter´es Compuesto Ejemplo Suponga que se invierten BsF 1000 durante 10 a˜ nos al 6% compuesto anualmente. 1
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Encuentre el inter´es compuesto
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Inter´es Compuesto Ejemplo Suponga que se invierten BsF 1000 durante 10 a˜ nos al 6% compuesto anualmente. 1
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Encuentre el inter´es compuesto
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Crecimiento Poblacional
Suponga que la poblaci´ on P de una ciudad con 10.000 habitantes, crece a una tasa de 2% anualmente. Entonces P es una funci´on del tiempo t, donde t est´a medida en a˜ nos. Esto se denota P = P(t) De aqu´ı se obtiene que P(t) = 10.000(1 + 0.02)t = 10.000(1.02)t Nuevamente una funci´ on exponencial. logo
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Crecimiento Poblacional Ejemplo La poblaci´on de una ciudad de 10.000 habitantes, crece a una tasa de 2% anual. Encuentre la poblaci´ on dentro de 3 a˜ nos. Soluci´on:
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Crecimiento Poblacional Ejemplo Una compa˜ nia nueva con 5 empleados espera que el n´ umero de trabajadores crezca a una tasa de 120% anual. Determine el n´ umero de asalariados dentro de 4 a˜ nos. Soluci´on:
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Crecimiento Poblacional Ejemplo Una compa˜ nia nueva con 5 empleados espera que el n´ umero de trabajadores crezca a una tasa de 120% anual. Determine el n´ umero de asalariados dentro de 4 a˜ nos. Soluci´on:
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Crecimiento Poblacional Ejemplo Una compa˜ nia nueva con 5 empleados espera que el n´ umero de trabajadores crezca a una tasa de 120% anual. Determine el n´ umero de asalariados dentro de 4 a˜ nos. Soluci´on:
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Ley de Enfriamiento
La Ley de Newton del enfriamiento de los cuerpos establece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un ambiente a una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es: T (t) = Ta + (T0 − Ta )e −kt , donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento, particular de cada cuerpo. logo
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Ley de Enfriamiento Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este:
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Ley de Enfriamiento Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este: 1
Clara pas´o la tarde en el bar de Luisa, bebiendo mucho y amenazando con matar a Edu; a las once y cuarto sali´o del local maldiciendo, completamente fuera de s´ı.
2
A las 12 de la noche la polic´ıa entraba en el apartamento de Edu, tras recibir una llamada an´ onima, encontrando su cadaver. Un oficial tom´ o nota de que la temperatura ambiente era de 68 o F y la del cad´aver de 85 o F. Al finalizar el trabajo, dos horas m´as tarde, se volvi´ o a tomar la temperatura de el comadreja, que hab´ıa descendido hasta los 74 o F. D. Coronado
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Ley de Enfriamiento Ejemplo William Dunhan, en su libro El universo de las matem´aticas, nos cuenta c´omo Clara, la novia de Edu el comadreja, se libr´o de la acusaci´on por el asesinato de ´este: Averigua, con los datos anteriores, la constante de enfriamiento del finado Edu, y halla la hora de su fallecimiento, para comprobar que la despechada Clara ten´ıa una coartada perfecta.
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Ley de Enfriamiento Ejemplo Se introduce un cuerpo caliente en un medio determinado y se rea-lizan las siguientes mediciones: transcurrida una hora, el cuerpo presenta una temperatura de 52o , pasadas dos horas su temperatura baja a 33o y, a la tercera hora, la temperatura era ya de 20,5o . Determinar la temperatura ambiente y la temperatura inicial del cuerpo. Soluci´on: logo
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Ley de Enfriamiento Ejemplo Se introduce un cuerpo caliente en un medio determinado y se rea-lizan las siguientes mediciones: transcurrida una hora, el cuerpo presenta una temperatura de 52o , pasadas dos horas su temperatura baja a 33o y, a la tercera hora, la temperatura era ya de 20,5o . Determinar la temperatura ambiente y la temperatura inicial del cuerpo. Soluci´on: logo
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Ley de Enfriamiento Ejemplo Se introduce un cuerpo caliente en un medio determinado y se rea-lizan las siguientes mediciones: transcurrida una hora, el cuerpo presenta una temperatura de 52o , pasadas dos horas su temperatura baja a 33o y, a la tercera hora, la temperatura era ya de 20,5o . Determinar la temperatura ambiente y la temperatura inicial del cuerpo. Soluci´on: logo
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Escala Richter
Una escala habitualmente utilizada en la medici´ on de la intensidad de los sismos es la escala Richter. Los grados de intensidad se calculan mediante la expresi´ on A R = log p donde A es la amplitud medida en micr´ ometros (1 micr´ometro= 10−4 cm) y p es el per´ıodo medido en segundos.
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Escala Richter Ejemplo ¿ Cu´al es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10−2 cm y su per´ıodo es de 1 segundo? Soluci´on: Como 1 micr´ometro = 10−4 cm, entonces 10−2 cm equivalen a 102 micr´ometros. Entonces la cantidad de grados Richter R es: 2 A 10 R = log = log = 2 grados p 1 logo
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Escala Richter Ejemplo ¿ Cu´al es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10−2 cm y su per´ıodo es de 1 segundo? Soluci´on: Como 1 micr´ometro = 10−4 cm, entonces 10−2 cm equivalen a 102 micr´ometros. Entonces la cantidad de grados Richter R es: 2 A 10 R = log = log = 2 grados p 1 logo
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Escala Richter Ejemplo ¿ Cu´al es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10−2 cm y su per´ıodo es de 1 segundo? Soluci´on: Como 1 micr´ometro = 10−4 cm, entonces 10−2 cm equivalen a 102 micr´ometros. Entonces la cantidad de grados Richter R es: 2 A 10 R = log = log = 2 grados p 1 logo
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Psicolog´ıa
En psicolog´ıa se utiliza la ley de Weber-Fechner, de est´ımulo-respuesta, que dice que la respuesta (R) se relaciona con el est´ımulo (E ) mediante la ecuaci´ on E R = k ln E0 donde E0 es el valor m´ınimo del est´ımulo que puede detectar el sujeto, y k es una constante que depende del experimento.
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Psicolog´ıa
Esta ley tambi´en se utiliza para describir la percepci´on de la luz: Si E0 denota la intensidad de luz que apenas es visible para una persona.La diferencia aparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuente luminosa. Una modificaci´on simple de este modelo es la que utilizan los astr´onomos para asignar las magnitudes de brillantez de las estrellas.
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Esta ley tambi´en se utiliza para describir la percepci´on de la luz: Si E0 denota la intensidad de luz que apenas es visible para una persona.La diferencia aparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuente luminosa. Una modificaci´on simple de este modelo es la que utilizan los astr´onomos para asignar las magnitudes de brillantez de las estrellas.
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Esta ley tambi´en se utiliza para describir la percepci´on de la luz: Si E0 denota la intensidad de luz que apenas es visible para una persona.La diferencia aparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuente luminosa. Una modificaci´on simple de este modelo es la que utilizan los astr´onomos para asignar las magnitudes de brillantez de las estrellas.
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Esta ley tambi´en se utiliza para describir la percepci´on de la luz: Si E0 denota la intensidad de luz que apenas es visible para una persona.La diferencia aparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuente luminosa. Una modificaci´on simple de este modelo es la que utilizan los astr´onomos para asignar las magnitudes de brillantez de las estrellas.
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Psicolog´ıa
A un levantador de pesas se le aplica un est´ımulo de electricidad (en voltios) para alentarlo a levantar m´as peso (este m´etodo ha sido utilizado por algunos levantadores). Ejemplo Supongamos que el est´ımulo m´ınimo que siente el atleta es de 50 voltios, y que una descarga de 500 le induce a levantar 10 libras m´as del valor normal. ¿Qu´e voltaje deber´a aplic´arsele para que alce 20 libras por encima del valor normal?
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A un levantador de pesas se le aplica un est´ımulo de electricidad (en voltios) para alentarlo a levantar m´as peso (este m´etodo ha sido utilizado por algunos levantadores). Ejemplo Supongamos que el est´ımulo m´ınimo que siente el atleta es de 50 voltios, y que una descarga de 500 le induce a levantar 10 libras m´as del valor normal. ¿Qu´e voltaje deber´a aplic´arsele para que alce 20 libras por encima del valor normal?
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Sonido
La intensidad del sonido es el flujo de energ´ıa por unidad de ´area que produce medida en watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido m´ınima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente 10−2 W /m2 . La sonoridad de un sonido se define como I , L = 10 log 10−2 donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.
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Sonido
La intensidad del sonido es el flujo de energ´ıa por unidad de ´area que produce medida en watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido m´ınima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente 10−2 W /m2 . La sonoridad de un sonido se define como I L = 10 log , 10−2 donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.
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La intensidad del sonido es el flujo de energ´ıa por unidad de ´area que produce medida en watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido m´ınima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente 10−2 W /m2 . La sonoridad de un sonido se define como I L = 10 log , 10−2 donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.
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Escala Richter Psicolog´ıa Los Logaritmos y la Intensidad del Sonido. M´ usica y Logar´ıtmos.
Sonido Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. forman en nuestro o´ıdo una progresi´ on aritm´etica, en cambio la energ´ıa de estos sonidos constituye una progresi´ on geom´etrica de raz´on 10. Como ejemplo, una conversaci´on en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un le´ on 87 decibelios (posee una energ´ıa 158 veces mayor que la conversaci´ on en voz alta), el ruido de un martillo sobre una l´amina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial. La intensidad de sonido producida por un gran avi´on de reacci´on es 1013 veces tan intensa como el umbral de audibilidad. ¿C´omo es de ruidoso? D. Coronado
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Sonido Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. forman en nuestro o´ıdo una progresi´ on aritm´etica, en cambio la energ´ıa de estos sonidos constituye una progresi´ on geom´etrica de raz´on 10. Como ejemplo, una conversaci´on en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un le´ on 87 decibelios (posee una energ´ıa 158 veces mayor que la conversaci´ on en voz alta), el ruido de un martillo sobre una l´amina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial. La intensidad de sonido producida por un gran avi´on de reacci´on es 1013 veces tan intensa como el umbral de audibilidad. ¿C´omo es de ruidoso? D. Coronado
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Sonido
Ejemplo Si se duplica la intensidad de un sonido, ¿en cu´antos decibelios aumenta la sonoridad?
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Escala Richter Psicolog´ıa Los Logaritmos y la Intensidad del Sonido. M´ usica y Logar´ıtmos.
M´usica
Los grados de tonalidad de la escala crom´atica no son equidistantes por el n´ umero de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Supongamos que la nota do de la octava m´as baja, que representaremos por cero, est´a determinada por n vibraciones por segundo. El do de la primera octava producir´a 2n vibraciones, el do de m-´esima octava producir´a n · 2m vibraciones cada segundo.
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M´usica
Los grados de tonalidad de la escala crom´atica no son equidistantes por el n´ umero de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Supongamos que la nota do de la octava m´as baja, que representaremos por cero, est´a determinada por n vibraciones por segundo. El do de la primera octava producir´a 2n vibraciones, el do de m-´esima octava producir´a n · 2m vibraciones cada segundo.
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Escala Richter Psicolog´ıa Los Logaritmos y la Intensidad del Sonido. M´ usica y Logar´ıtmos.
M´usica Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol ser´a la 7a , la la 9a , la 12a ser´a de nuevo do, en una octava n´as alta, etc. Como en la escala cada nota tiene m´as vibraciones que la anterior, entonces el n´ umero de ´estas en cualquier tono se puede expresar con la f´ormula √ 12 Npm = n2m ( 2)p . Tomando logaritmos: p log Npm = log n + m + log 2 12 logo
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M´usica Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol ser´a la 7a , la la 9a , la 12a ser´a de nuevo do, en una octava n´as alta, etc. Como en la escala cada nota tiene m´as vibraciones que la anterior, entonces el n´ umero de ´estas en cualquier tono se puede expresar con la f´ormula √ 12 Npm = n2m ( 2)p . Tomando logaritmos: p log Npm = log n + m + log 2 12 logo
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M´usica
Al tomar el n´ umero de vibraciones del do m´as bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se tiene que log Npm = m +
p 12
7 En el tono sol de la tercera octava, 3 + 12 , 3 es la caracter´ıstica del logaritmo del n´ umero de vibraciones y 7/12 la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el n´ umero de vibraciones 3,583 es 2 , que es 11, 98 veces mayor que las del tono do de la 1a octava. logo
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M´usica
Al tomar el n´ umero de vibraciones del do m´as bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se tiene que log Npm = m +
p 12
7 En el tono sol de la tercera octava, 3 + 12 , 3 es la caracter´ıstica del logaritmo del n´ umero de vibraciones y 7/12 la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el n´ umero de vibraciones 3,583 es 2 , que es 11, 98 veces mayor que las del tono do de la 1a octava. logo
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FIN
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D. Coronado
Aplic Func Exponenciales y Logar´ıtmicas