Regla de L’Hôpital David Coronado1 1 Departamento
de Formación General y Ciencias Básicas Universidad Simón Bolívar
Matemáticas I
D. Coronado
L’Hôpital
Contenido
1
Regla de L’Hôpital Indeterminaciones 0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Contenido
1
Regla de L’Hôpital Indeterminaciones 0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital ¿Cómo se rompe una indeterminación del tipo 0/0? Usualmente factorizamos tanto el numerador como el denominador. ¿Qué hacemos si el numerador o el denominador no son polinomios? no podemos factorizar En estos casos, tratamos de llevar la expresión a la forma de un límite notable. ¿Los recuerdas? Afortunadamente, existe una regla que permite romper indeterminaciones de este tipo sin necesidad de aplicar límites notables ni de factorizar. Solo derivar. Esta regla es la Regla de L’Hôpital
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital ¿Cómo se rompe una indeterminación del tipo 0/0? Usualmente factorizamos tanto el numerador como el denominador. ¿Qué hacemos si el numerador o el denominador no son polinomios? no podemos factorizar En estos casos, tratamos de llevar la expresión a la forma de un límite notable. ¿Los recuerdas? Afortunadamente, existe una regla que permite romper indeterminaciones de este tipo sin necesidad de aplicar límites notables ni de factorizar. Solo derivar. Esta regla es la Regla de L’Hôpital
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital ¿Cómo se rompe una indeterminación del tipo 0/0? Usualmente factorizamos tanto el numerador como el denominador. ¿Qué hacemos si el numerador o el denominador no son polinomios? no podemos factorizar En estos casos, tratamos de llevar la expresión a la forma de un límite notable. ¿Los recuerdas? Afortunadamente, existe una regla que permite romper indeterminaciones de este tipo sin necesidad de aplicar límites notables ni de factorizar. Solo derivar. Esta regla es la Regla de L’Hôpital
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital ¿Cómo se rompe una indeterminación del tipo 0/0? Usualmente factorizamos tanto el numerador como el denominador. ¿Qué hacemos si el numerador o el denominador no son polinomios? no podemos factorizar En estos casos, tratamos de llevar la expresión a la forma de un límite notable. ¿Los recuerdas? Afortunadamente, existe una regla que permite romper indeterminaciones de este tipo sin necesidad de aplicar límites notables ni de factorizar. Solo derivar. Esta regla es la Regla de L’Hôpital
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital ¿Cómo se rompe una indeterminación del tipo 0/0? Usualmente factorizamos tanto el numerador como el denominador. ¿Qué hacemos si el numerador o el denominador no son polinomios? no podemos factorizar En estos casos, tratamos de llevar la expresión a la forma de un límite notable. ¿Los recuerdas? Afortunadamente, existe una regla que permite romper indeterminaciones de este tipo sin necesidad de aplicar límites notables ni de factorizar. Solo derivar. Esta regla es la Regla de L’Hôpital
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Teorema (Regla de L’Hôpital 0/0) f 0 (x) Suponga que l«ımx→u f (x) = l«ımx→u g(x) = 0. Si l«ım x→u g 0 (x) existe (en cualquiera de los sentidos finito o infinito). Entonces 0 f (x) f (x) l«ım = l«ım x→u g 0 (x) x→u g(x)
Aquí u puede significar cualquiera de los símbolos a− , a+ , ∞ ó −∞. Nosotros no demostraremos esta regla. Para ello se utiliza el Teorema de Valor Medio de Cauchy. Si nos centraremos en como la aplicamos. D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Teorema (Regla de L’Hôpital 0/0) f 0 (x) Suponga que l«ımx→u f (x) = l«ımx→u g(x) = 0. Si l«ım x→u g 0 (x) existe (en cualquiera de los sentidos finito o infinito). Entonces 0 f (x) f (x) l«ım = l«ım x→u g 0 (x) x→u g(x)
Aquí u puede significar cualquiera de los símbolos a− , a+ , ∞ ó −∞. Nosotros no demostraremos esta regla. Para ello se utiliza el Teorema de Valor Medio de Cauchy. Si nos centraremos en como la aplicamos. D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital para demostrar los límites notables sen x = 1; x x→0 l«ım
1 − cos x = 0. x x→0 l«ım
Solución: Como ambos límites presentan indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital:
sen x x x→0 l«ım
L0 H
=
=
cos x 1 x→0 1 =1 1 l«ım
D. Coronado
1 − cos x x x→0 l«ım
L0 H
= =
L’Hôpital
−(− sen x) 1 x→0 0 =0 1 l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital para demostrar los límites notables sen x = 1; x x→0 l«ım
1 − cos x = 0. x x→0 l«ım
Solución: Como ambos límites presentan indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital:
sen x x x→0 l«ım
L0 H
=
=
cos x 1 x→0 1 =1 1 l«ım
D. Coronado
1 − cos x x x→0 l«ım
L0 H
= =
L’Hôpital
−(− sen x) 1 x→0 0 =0 1 l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital para demostrar los límites notables sen x = 1; x x→0 l«ım
1 − cos x = 0. x x→0 l«ım
Solución: Como ambos límites presentan indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital:
sen x x x→0 l«ım
L0 H
=
=
cos x 1 x→0 1 =1 1 l«ım
D. Coronado
1 − cos x x x→0 l«ım
L0 H
= =
L’Hôpital
−(− sen x) 1 x→0 0 =0 1 l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital para demostrar los límites notables sen x = 1; x x→0 l«ım
1 − cos x = 0. x x→0 l«ım
Solución: Como ambos límites presentan indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital:
sen x x x→0 l«ım
L0 H
=
=
cos x 1 x→0 1 =1 1 l«ım
D. Coronado
1 − cos x x x→0 l«ım
L0 H
= =
L’Hôpital
−(− sen x) 1 x→0 0 =0 1 l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Otros ejemplos: Ejemplo x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6
Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6 l«ım
D. Coronado
2x x→3 2x − 1 2(3) = 2(3) − 1 6 = 5 L’Hôpital
L0 H
=
l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Otros ejemplos: Ejemplo x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6
Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6 l«ım
D. Coronado
2x x→3 2x − 1 2(3) = 2(3) − 1 6 = 5 L’Hôpital
L0 H
=
l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Otros ejemplos: Ejemplo x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6
Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6 l«ım
D. Coronado
2x x→3 2x − 1 2(3) = 2(3) − 1 6 = 5 L’Hôpital
L0 H
=
l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Otros ejemplos: Ejemplo x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6
Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6 l«ım
D. Coronado
2x x→3 2x − 1 2(3) = 2(3) − 1 6 = 5 L’Hôpital
L0 H
=
l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Otros ejemplos: Ejemplo x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6
Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: x2 − 9 x→3 x 2 − x − 6 l«ım
D. Coronado
2x x→3 2x − 1 2(3) = 2(3) − 1 6 = 5 L’Hôpital
L0 H
=
l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım+ x→2
x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: l«ım+
x→2
x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4
→
2x + 3 x→2 2x − 4 2(2) + 3 =∞ 2(2) − 4 x −2>0
→
2x − 4 > 0
L0 H
=
= Ya que x > 2 D. Coronado
l«ım+
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım+ x→2
x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: l«ım+
x→2
x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4
→
2x + 3 x→2 2x − 4 2(2) + 3 =∞ 2(2) − 4 x −2>0
→
2x − 4 > 0
L0 H
=
= Ya que x > 2 D. Coronado
l«ım+
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım+ x→2
x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: l«ım+
x→2
x 2 + 3x − 10 x 2 − 4x + 4
→
2x + 3 x→2 2x − 4 2(2) + 3 =∞ 2(2) − 4 x −2>0
→
2x − 4 > 0
L0 H
=
= Ya que x > 2 D. Coronado
l«ım+
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
tan 2x ln(1 + x)
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: tan 2x x→0 ln(1 + x) l«ım
L0 H
=
=
D. Coronado
l«ım
x→0
2 sec2 2x 1 1+x
2(1) =2 1
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
tan 2x ln(1 + x)
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: tan 2x x→0 ln(1 + x) l«ım
L0 H
=
=
D. Coronado
l«ım
x→0
2 sec2 2x 1 1+x
2(1) =2 1
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
tan 2x ln(1 + x)
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: tan 2x x→0 ln(1 + x) l«ım
L0 H
=
=
D. Coronado
l«ım
x→0
2 sec2 2x 1 1+x
2(1) =2 1
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
tan 2x ln(1 + x)
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: tan 2x x→0 ln(1 + x) l«ım
L0 H
=
=
D. Coronado
l«ım
x→0
2 sec2 2x 1 1+x
2(1) =2 1
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
sen x − x x3
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: sen x − x x→0 x3 l«ım
L0 H
=
L0 H
=
L0 H
=
D. Coronado
cos x − 1 x→0 3x 2 sen x l«ım x→0 6x cos x 1 l«ım = 6 6 x→0 l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
sen x − x x3
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: sen x − x x→0 x3 l«ım
L0 H
=
L0 H
=
L0 H
=
D. Coronado
cos x − 1 x→0 3x 2 sen x l«ım x→0 6x cos x 1 l«ım = 6 6 x→0 l«ım
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital calcular l«ım
x→0
sen x − x x3
Solución: Como al evaluar es indeterminación del tipo 0/0, aplicamos L’Hôpital: sen x − x x→0 x3 l«ım
L0 H
=
L0 H
=
L0 H
=
D. Coronado
cos x − 1 x→0 3x 2 sen x l«ım x→0 6x cos x 1 l«ım = 6 6 x→0 l«ım
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
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1
Regla de L’Hôpital Indeterminaciones 0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital
Otra indeterminación estudiada es la del tipo ∞/∞.Estas indeterminaciones las podíamos romper si x → ±∞ y las funciones son polinomios. En casos más generales también podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital
Otra indeterminación estudiada es la del tipo ∞/∞.Estas indeterminaciones las podíamos romper si x → ±∞ y las funciones son polinomios. En casos más generales también podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital
Teorema (Regla de L’Hôpital ∞/∞) f 0 (x) Suponga que l«ımx→u f (x) = l«ımx→u g(x) = ∞. Si l«ım x→u g 0 (x) existe (en cualquiera de los sentidos finito o infinito). Entonces 0 f (x) f (x) l«ım l«ım x→u g(x) x→u g 0 (x)
Aquí u puede significar cualquiera de los símbolos a− , a+ , ∞ ó −∞.
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital Veamos los ejemplos: Ejemplo Utilice la regla de L’Hôpital para calcular l«ım x→∞
x ex
Solución: Como al evaluar nos queda la indeterminación ∞/∞ podemos aplicar la regla de L’Hôpital: l«ım x→∞
x ex
L0 H
=
D. Coronado
l«ım
x→∞
1 =0 ex
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Regla de L’Hôpital
Analizando el ejemplo anterior, ¿cuánto dá este límite? l«ım x→∞
D. Coronado
x 10000 ex
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
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1
Regla de L’Hôpital Indeterminaciones 0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones
Otras formas indeterminadas son: 0 · ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞ . Para resolver estas indeterminaciones aplicaremos L’Hôpital, pero antes debemos acomodar la función para que la indeterminación sea 0/0 ó ∞/∞.
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones
Veamos los ejemplos. Ejemplo Resolver los siguientes límites 1
l«ım (tan x · ln sen x)
3
x→π/2 2
l«ım (x · ln x)
4
x→0+
D. Coronado
√ l«ım+ ( x · ln x) x→0 x −1 l«ım x · ln x→∞ x +1
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞.
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞. 1
Para acomodar la función, escribimos tan x =
· ln sen x x→π/2 cos x sen x ln sen x 0 = l«ım = cos x 0 x→π/2
l«ım (tan x · ln sen x) =
x→π/2
sen x
sen x cos x :
D. Coronado
l«ım
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞.
l«ım (tan x · ln sen x)
L0 H
=
x→π/2
1 cos x ln sen x + sen x sen x cos x sen x
!
1 cos x ln sen x + sen x sen x cos x l«ım sen x x→π/2 cos x[ln sen x + 1] l«ım sen x x→π/2 0
!
l«ım
x→π/2
= = =
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞. 2
Esta vez para acomodar la función, escribimos x =
l«ım (x · ln x) =
x→0+
D. Coronado
l«ım
x→0+
L’Hôpital
ln x 1 x
! =
∞ ∞
1 1 x
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
L’Hôpital
Otras Indeterminaciones Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞.
l«ım (x · ln x)
x→0+
L0 H
=
= = =
D. Coronado
!
l«ım
1 x − x12
!
l«ım
x 2 − x
x→0+
x→0+
l«ım (−x)
x→0+
0
L’Hôpital
doble C
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
Otras Indeterminaciones
3
4
Solución: Las indeterminaciones son del tipo 0 · ∞. √ l«ım+ ( x · ln x) x→0 x −1 l«ım x · ln x→∞ x +1
D. Coronado
L’Hôpital
L’Hôpital
0/0 indeterminaciones ∞/∞ Otras Indeterminaciones
FIN
D. Coronado
L’Hôpital