Lı́mites David J. Coronado1 1 Departamento de Formación General y Ciencias Básicas
Universidad Simón Bolı́var
Matemáticas I
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D. Coronado
Lı́mites
Contenido 1
Definición de Lı́mites Definición Intuitiva Definición Formal de Lı́mites Propiedades de Lı́mites
2
Cálculo de Lı́mites Ejemplos
3
Lı́mites Notables Lı́mites notables Ejemplos
4
Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
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Cálculo de Lı́mites Ejemplos
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Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Definición Intuitiva de Lı́mite
y y = f (x) L c
x
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
Definición Intuitiva de Lı́mite
Intuitivamente lim f (x) = L
y
x→c
y = f (x) L c
Es el valor L al se aproxima una función f cuando la variable x se acerca a un valor fijo c.
x
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
Definición Intuitiva de Lı́mite
Intuitivamente El lı́mite de f (x) cuando x tiende a a es el número L, que se escribe
y y = f (x)
lim f (x) = L
x→c
L c
x
siempre que f (x) está cercana a L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente, a a. Si no existe tal número, decimos que el lı́mite no existe. logo
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
Definición de Lı́mites
Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim
x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999
f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001
x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001
f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001
Note que 1 ∈ / Domf .
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
Definición de Lı́mites
Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim
x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999
f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001
x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001
f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001
Note que 1 ∈ / Domf .
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Definición de Lı́mites
Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim
x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999
f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001
x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001
f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001
Note que 1 ∈ / Domf .
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Definición de Lı́mites
Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim
x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999
f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001
x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001
f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001
Note que 1 ∈ / Domf .
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
Ejemplo lim (x + 3) = 5
x→2
x x <2
f (x) .. .
x x >2
f (x) .. .
Note que 2 ∈ Domf .
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Ejemplo lim (x + 3) = 5
x→2
x x <2
f (x) .. .
x x >2
f (x) .. .
Note que 2 ∈ Domf .
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Ejemplo lim (x + 3) = 5
x→2
x x <2
f (x) .. .
x x >2
f (x) .. .
Note que 2 ∈ Domf .
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Ejemplo lim (x + 3) = 5
x→2
x x <2
f (x) .. .
x x >2
f (x) .. .
Note que 2 ∈ Domf .
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Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Definición de Lı́mites
y y = f (x)
Definición Formal Dado > 0, existe δ > 0 tal que
L c
0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| <
x
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Definición de Lı́mites
y y = f (x)
Definición Formal Dado > 0, existe δ > 0 tal que
L c
0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| <
x
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3
x→1
Solución:
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3
x→1
Solución: Primero identificamos: f (x) = 2x + 1
Sustituimos en la definición: Dado > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que
c = 1 L = 3
0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1 − 3| <
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Intuitiva Formal Propiedades de Lı́mites
Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3
x→1
Solución: Para encontrar δ, simplificamos |f (x) − L|: |f (x) − L| = |2x + 1 − 3| = |2x − 2| = 2|x − 1|
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3
x→1
Solución: Quedó |f (x) − L| = 2|x − 1| pero, |x − 1| < δ. Por lo tanto |f (x) − L| = 2|x − 1| < 2δ = Al tener del lado derecho una expresión sin la variable la igualamos a y despejamos δ: 2δ = ⇒ δ = /2 logo
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3
x→1
Solución: Para concluir el ejercicio, escribimos: dado > 0 si δ < /2 se cumple que 0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1 − 3| <
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1
x→1
Solución:
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1
x→1
Solución: Identificamos: 2
f (x) = x − 3x + 1 c = 1
Escribimos la definición: Dado > 0, debemos hallar δ > 0 tal que 0 < |x−1| < δ ⇒ |x 2 −3x+1−(−1)| <
L = −1
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1
x→1
Solución: Nos quedó |f (x)−L| = |x −2||x −1|. |f (x) − L| = |x 2 − 3x + 1 − (−1)| Tenemos que, |x − 1| < δ, ası́ que = |x 2 − 3x + 2|
Simplificamos |f (x) − L|:
= |x − 2||x − 1|
|f (x) − L| < |x − 2|δ logo
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1
x→1
Solución: Falta eliminar |x −2|. Para ello, le damos a δ cualquier valor positivo y acotamos: si δ = 1 nos queda: |x − 1| < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇒ 0<x <2 ⇒ −2 < x − 2 < 0 logo
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1
x→1
Solución: De donde podemos concluir que −2 < x − 2 < 2 ⇒ |x − 2| < 2 Sustituyendo: |f (x) − L| < |x − 2|δ ⇒ |f (x) − L| < 2δ = ⇒ D. Coronado
δ = /2
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Definición de Lı́mites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1
x→1
Solución: Ası́ concluı́mos: dado > 0 si δ < min{1, /2} se cumple que: 0 < |x − 1| < δ ⇒ |x 2 − 3x + 1 − (−1)| <
logo
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Ejemplos: Lı́mites que no existen y x = −2
y 3 2 1
y = 1/x 2
y = f (x) x
x 1 NO existe x→0 x 2 lim
lim f (x) NO existe
x→−2
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Ejemplos: Lı́mites que no existen y x = −2
y 3 2 1
y = 1/x 2
y = f (x) x
x 1 NO existe x→0 x 2 lim
lim f (x) NO existe
x→−2
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Cálculo de Lı́mites Ejemplos
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Lı́mites Notables Lı́mites notables Ejemplos
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Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
6 7
L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2
Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .
x→a
Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3
limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.
4
limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.
5
limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.
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L limx→a gf (x) (x) = M , M 6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. logo
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Propiedades de Lı́mites
Teorema (Polinomios) Si f es una función polinomial. Entonces lim f (x) = f (a).
x→a
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Cálculo de Lı́mites Ejemplos
3
Lı́mites Notables Lı́mites notables Ejemplos
4
Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Ejemplos
Ejemplos Ejemplo Calcular el lı́mite: lim 7. x→2
Solución: lim 7 = 7
Ejemplo
Ejemplo
Calcular el lı́mite lim (x 2 + x).
x→2
x→2
2
Calcular el lı́mite lim x . x→6
Solución: lim (x 2 + x) = (22 + 2)
Solución:
x→2
= 6
lim x 2 = 62
x→6
= 36 logo
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Ejemplos Ejemplo Calcular el lı́mite: lim 7. x→2
Solución: lim 7 = 7
Ejemplo
Ejemplo
Calcular el lı́mite lim (x 2 + x).
x→2
x→2
2
Calcular el lı́mite lim x . x→6
Solución: lim (x 2 + x) = (22 + 2)
Solución:
x→2
= 6
lim x 2 = 62
x→6
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Ejemplos Ejemplo Calcular el lı́mite: lim 7. x→2
Solución: lim 7 = 7
Ejemplo
Ejemplo
Calcular el lı́mite lim (x 2 + x).
x→2
x→2
2
Calcular el lı́mite lim x . x→6
Solución: lim (x 2 + x) = (22 + 2)
Solución:
x→2
= 6
lim x 2 = 62
x→6
= 36 logo
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Ejemplos
Ejemplos Ejemplo Calcular el lı́mite: lim 7. x→2
Solución: lim 7 = 7
Ejemplo
Ejemplo
Calcular el lı́mite lim (x 2 + x).
x→2
x→2
2
Calcular el lı́mite lim x . x→6
Solución: lim (x 2 + x) = (22 + 2)
Solución:
x→2
= 6
lim x 2 = 62
x→6
= 36 logo
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Ejemplos Ejemplo Calcular el lı́mite: lim 7. x→2
Solución: lim 7 = 7
Ejemplo
Ejemplo
Calcular el lı́mite lim (x 2 + x).
x→2
x→2
2
Calcular el lı́mite lim x . x→6
Solución: lim (x 2 + x) = (22 + 2)
Solución:
x→2
= 6
lim x 2 = 62
x→6
= 36 logo
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Ejemplos
Ejemplos Ejemplo Calcular el lı́mite: lim 7. x→2
Solución: lim 7 = 7
Ejemplo
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Calcular el lı́mite lim (x 2 + x).
x→2
x→2
2
Calcular el lı́mite lim x . x→6
Solución: lim (x 2 + x) = (22 + 2)
Solución:
x→2
= 6
lim x 2 = 62
x→6
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Ejemplo Calcular el lı́mite lim (q 3 − q + 1). q→−1
Solución: lim (q 3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1
q→−1
= 1
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Ejemplo Calcular el lı́mite lim (q 3 − q + 1). q→−1
Solución: lim (q 3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1
q→−1
= 1
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Ejemplo Calcular el lı́mite: lim [(x + 1)(x − 3)]. x→2
Solución: lim [(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2 − 3)]
x→2
= (3)(−1) = −3
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Ejemplo Calcular el lı́mite: lim [(x + 1)(x − 3)]. x→2
Solución: lim [(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2 − 3)]
x→2
= (3)(−1) = −3
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Ejemplo Calcular el lı́mite lim (x 3 + 4x 2 − 7). x→−3
Solución: lim (x 3 + 4x 2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7
x→−3
= 2
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Ejemplo Calcular el lı́mite lim (x 3 + 4x 2 − 7). x→−3
Solución: lim (x 3 + 4x 2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7
x→−3
= 2
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Ejemplo 2x 2 + x − 3 . x→1 x3 + 4
Calcular el lı́mite: lim Solución:
2x 2 + x − 3 x→1 x3 + 4 lim
= =
2(1)2 + (1) − 3 (1)3 + 4 0 =0 5
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Ejemplo 2x 2 + x − 3 . x→1 x3 + 4
Calcular el lı́mite: lim Solución:
2x 2 + x − 3 x→1 x3 + 4 lim
= =
2(1)2 + (1) − 3 (1)3 + 4 0 =0 5
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Ejemplo Calcular el lı́mite lim
x→3
p 3 x 2 + 7.
Solución: p p 3 3 x2 + 7 = 32 + 7 x→3 √ 3 = 2 2 lim
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Ejemplo Calcular el lı́mite lim
x→3
p 3 x 2 + 7.
Solución: p p 3 3 x2 + 7 = 32 + 7 x→3 √ 3 = 2 2 lim
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Ejemplos Ejemplo x2 − 1 . x→−1 x + 1
Calcular el lı́mite lim Solución:
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Ejemplos Ejemplo x2 − 1 . x→−1 x + 1
Calcular el lı́mite lim
Solución: Evaluando en x = −1 x2 − 1 x→−1 x + 1 lim
= =
(−1)2 − 1 (−1) + 1 0 0
Lo cual es una indeterminación. logo
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Ejemplos Ejemplo x2 − 1 . x→−1 x + 1
Calcular el lı́mite lim
Solución: Para romper una indeterminación 00 debemos factorizar y simplificar: x2 − 1 x→−1 x + 1 lim
= =
− 1) (x + 1)(x x→−1 x+ 1
lim
lim (x − 1)
rompemos la indet ahora, evaluamos
x→−1
= (−1) − 1 = −2 D. Coronado
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Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1
Calcular el lı́mite lim Solución:
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Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1
Calcular el lı́mite lim Solución: Evaluando en x = 1
x3 − 1 x→1 x − 1 lim
= =
(1)3 − 1 (1) − 1 0 0
Nuevamente, indeterminado. logo
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Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1
Calcular el lı́mite lim
Solución: Para romper una indeterminación 00 debemos factorizar y simplificar: Para ello debemos recordar la fórmula para factorizar la diferencia de cubos: a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 )
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Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1
Calcular el lı́mite lim Solución: Ahora factorizamos: x3 − 1 x→1 x − 1 lim
= =
a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 )
2 + x + 1) (x − 1)(x x→1 x− 1
lim
lim (x 2 + x + 1)
rompemos la indet evaluamos
x→1 2
= 1 +1+1 = 3
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Notables Notables
Contenido 1
Definición de Lı́mites Definición Intuitiva Definición Formal de Lı́mites Propiedades de Lı́mites
2
Cálculo de Lı́mites Ejemplos
3
Lı́mites Notables Lı́mites notables Ejemplos
4
Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Notables Notables
Lı́mites Notables
Teorema 1
2
3
senx =1 x→0 x 1 − cos x lim =0 x→0 x 1 − cos x 1 lim = 2 x→0 x 2 lim
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Notables Notables
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Teorema Lı́mites notables que involucran la función exponencial 1
1
lim (1 + x) x = e
x→0 2
ex − 1 =1 x→0 x lim
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Notables Notables
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2
Cálculo de Lı́mites Ejemplos
3
Lı́mites Notables Lı́mites notables Ejemplos
4
Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Notables Notables
Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim Solución:
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Notables Notables
Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim Solución: Evaluando en x = 0
sen2x x→0 x lim
= =
sen0 0 0 0
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Notables Notables
Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim
Solución: Esta vez, no podemos factorizar. Para romper una indeterminación tratamos de que aparezca el lı́mite senx notable lim = 1: x→0 x Para ello debemos lo que hacemos es multiplicar y dividir la expresión por 2: sen2x x
=
2 senx sen2x =2 2 x 2x
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Notables Notables
Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim Solución: Ası́ nos queda: lim
x→0
sen2x x
sen2x haciendo(y = 2x) 2x seny = 2 lim y →0 y = 2·1 = 2 lim
x→0
= 2 logo
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Ind 0/0 Trigonométricos
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Definición de Lı́mites Definición Intuitiva Definición Formal de Lı́mites Propiedades de Lı́mites
2
Cálculo de Lı́mites Ejemplos
3
Lı́mites Notables Lı́mites notables Ejemplos
4
Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo Evaluar el lı́mite lim
x −3
x→3 x 2 − 9
.
Solución:
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo Evaluar el lı́mite lim
x −3
x→3 x 2 − 9
.
Solución: Evaluando en x = 3 x −3 x→3 x 2 − 9 lim
= =
3−3 32 − 9 0 0
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo Evaluar el lı́mite lim
x −3
x→3 x 2 − 9
.
Solución: Factorizando x −3 x→3 x 2 − 9 lim
=
x− 3 x→3 (x − 3)(x + 3)
lim
1 x→3 x + 3 1 = 6
=
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lim
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 2 − 9x + 20 . x→4 x 2 − 3x − 4
Evaluar el lı́mite lim Solución:
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 2 − 9x + 20 . x→4 x 2 − 3x − 4
Evaluar el lı́mite lim Solución: Evaluando en x = 4
x 2 − 9x + 20 x→4 x 2 − 3x − 4 lim
= =
42 − 9(4) + 20 42 − 3(4) − 4 0 0
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 2 − 9x + 20 . x→4 x 2 − 3x − 4
Evaluar el lı́mite lim Solución: Factorizando
x 2 − 9x + 20 x→4 x 2 − 3x − 4 lim
= = =
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− 5) (x − 4)(x + 1) x→4 (x − 4)(x
lim lim
x −5
x→3 x + 1
−2 1 =− 4 2 Lı́mites
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 2 − 2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim Solución:
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 2 − 2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim Solución: Evaluando en x = 0
x 2 − 2x x→0 x lim
= =
02 − 2(0) 0 0 0
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 2 − 2x . x→0 x
Evaluar el lı́mite lim Solución: Factorizando
x 2 − 2x x→0 x lim
= =
x(x − 2) x→0 x lim
lim (x − 2)
x→0
= −2 logo
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 4 − 81 . x→−3 x 2 + 8x + 15
Evaluar el lı́mite lim Solución:
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 4 − 81 . x→−3 x 2 + 8x + 15
Evaluar el lı́mite lim
Solución: Evaluando en x = −3 x 4 − 81 x→−3 x 2 + 8x + 15 lim
= =
(−3)4 − 81 (−3)2 + 8(−3) + 15 0 0
Indeterminado. logo
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo x 4 − 81 . x→−3 x 2 + 8x + 15
Evaluar el lı́mite lim Solución:
x 4 − 81 x→−3 x 2 + 8x + 15 lim
(x 2 − 9)(x 2 + 9) x→−3 x 2 + 8x + 15 2 + 9) (x − 3) (x + 3)(x = lim + 5) x→−3 (x + 3)(x (x − 3)(x 2 + 9) (−6)(18) = lim = x→−3 x +5 2 = −54 =
lim
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Ind 0/0 Trigonométricos
Ejemplos Ejemplo
√
x −1 x→1 x − 1
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Ejemplos Ejemplo
√
x −1 x→1 x − 1
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Ejemplos Ejemplo
√
x −1 x→1 x − 1
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Ind 0/0 Trigonométricos
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Más Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 Lı́mites de F. Trigonométricas D. Coronado
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Ind 0/0 Trigonométricos
Trigonométricos Ejemplo sen4x x→0 tan x
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Ind 0/0 Trigonométricos
Trigonométricos Ejemplo sen4x x→0 tan x
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Ind 0/0 Trigonométricos
Trigonométricos Ejemplo sen4x x→0 tan x
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Ind 0/0 Trigonométricos
Trigonométricos Ejemplo 3x tan x x→0 senx
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Ind 0/0 Trigonométricos
Trigonométricos Ejemplo 3x tan x x→0 senx
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Ind 0/0 Trigonométricos
Trigonométricos Ejemplo 3x tan x x→0 senx
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