clase de Limite

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L´ımites David J. Coronado1 1 Departamento

de Formaci´ on General y Ciencias B´ asicas Universidad Sim´ on Bol´ıvar

Matem´aticas I

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D. Coronado

L´ımites

Contenido 1

Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

L´ımites

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Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

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C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

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C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Definici´ on C´ alculo de L´ımites L´ımites Notables M´ as Ejemplos

Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

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Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Definici´on Intuitiva de L´ımite

y y = f (x) L c

x

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Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

Definici´on Intuitiva de L´ımite

Intuitivamente lim f (x) = L

y

x→c

y = f (x) L c

Es el valor L al se aproxima una funci´on f cuando la variable x se acerca a un valor fijo c.

x

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Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

Definici´on Intuitiva de L´ımite

Intuitivamente El l´ımite de f (x) cuando x tiende a a es el n´ umero L, que se escribe

y y = f (x)

lim f (x) = L

x→c

L c

x

siempre que f (x) est´a cercana a L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente, a a. Si no existe tal n´ umero, decimos que el l´ımite no existe. logo

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Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

Definici´on de L´ımites

Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim

x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999

f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001

x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001

f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001

Note que 1 ∈ / Domf .

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Definici´on de L´ımites

Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim

x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999

f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001

x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001

f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001

Note que 1 ∈ / Domf .

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Definici´on de L´ımites

Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim

x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999

f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001

x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001

f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001

Note que 1 ∈ / Domf .

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Definici´on de L´ımites

Ejemplo x3 − 1 =3 x→1 x − 1 lim

x <1 0.8 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999

f (x) 2.44 2.71 2.8524 2.9701 2.985025 2.994001

x >1 1.2 1.1 1.05 1.01 1.005 1.001

f (x) 3.64 3.31 3.1525 3.0301 3.015025 3.003001

Note que 1 ∈ / Domf .

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Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

Ejemplo lim (x + 3) = 5

x→2

x x <2

f (x) .. .

x x >2

f (x) .. .

Note que 2 ∈ Domf .

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Ejemplo lim (x + 3) = 5

x→2

x x <2

f (x) .. .

x x >2

f (x) .. .

Note que 2 ∈ Domf .

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Ejemplo lim (x + 3) = 5

x→2

x x <2

f (x) .. .

x x >2

f (x) .. .

Note que 2 ∈ Domf .

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Ejemplo lim (x + 3) = 5

x→2

x x <2

f (x) .. .

x x >2

f (x) .. .

Note que 2 ∈ Domf .

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Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

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M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Definici´on de L´Ĺmites

y y = f (x)

Definici´ on Formal Dado > 0, existe δ > 0 tal que

L c

0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| <

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Definici´on de L´Ĺmites

y y = f (x)

Definici´ on Formal Dado > 0, existe δ > 0 tal que

L c

0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| <

x

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Definici´on de L´ımites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3

x→1

Soluci´on:

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Definici´on de L´Ĺmites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3

x→1

Soluci´on: Primero identificamos: f (x) = 2x + 1

Sustituimos en la definici´on: Dado > 0, debemos encontrar un δ > 0 tal que

c = 1 L = 3

0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1 − 3| <

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Definici´on de L´ımites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3

x→1

Soluci´on: Para encontrar δ, simplificamos |f (x) − L|: |f (x) − L| = |2x + 1 − 3| = |2x − 2| = 2|x − 1|

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Definici´on de L´Ĺmites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3

x→1

Soluci´on: Qued´o |f (x) − L| = 2|x − 1| pero, |x − 1| < δ. Por lo tanto |f (x) − L| = 2|x − 1| < 2δ = Al tener del lado derecho una expresi´ on sin la variable la igualamos a y despejamos δ: 2δ = ⇒ δ = /2 logo

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Definici´on de L´Ĺmites Ejemplo Demostrar que lim (2x + 1) = 3

x→1

Soluci´on: Para concluir el ejercicio, escribimos: dado > 0 si δ < /2 se cumple que 0 < |x − 1| < δ ⇒ |2x + 1 − 3| <

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Definici´on de L´ımites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1

x→1

Soluci´on:

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Definici´on de L´Ĺmites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1

x→1

Soluci´on: Identificamos: 2

f (x) = x − 3x + 1 c = 1

Escribimos la definici´on: Dado > 0, debemos hallar δ > 0 tal que 0 < |x−1| < δ ⇒ |x 2 −3x+1−(−1)| <

L = −1

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Definici´on de L´ımites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1

x→1

Soluci´on: Nos qued´o |f (x)−L| = |x −2||x −1|. |f (x) − L| = |x 2 − 3x + 1 − (−1)| Tenemos que, |x − 1| < δ, as´ı que = |x 2 − 3x + 2|

Simplificamos |f (x) − L|:

= |x − 2||x − 1|

|f (x) − L| < |x − 2|δ logo

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Definici´on de L´ımites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1

x→1

Soluci´on: Falta eliminar |x −2|. Para ello, le damos a δ cualquier valor positivo y acotamos: si δ = 1 nos queda: |x − 1| < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇒ 0<x <2 ⇒ −2 < x − 2 < 0 logo

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Definici´on de L´Ĺmites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1

x→1

Soluci´on: De donde podemos concluir que −2 < x − 2 < 2 ⇒ |x − 2| < 2 Sustituyendo: |f (x) − L| < |x − 2|δ ⇒ |f (x) − L| < 2δ = ⇒ D. Coronado

δ = /2

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Definici´on de L´Ĺmites Ejemplo Demostrar que lim (x 2 − 3x + 1) = −1

x→1

Soluci´on: As´Ĺ conclu´Ĺmos: dado > 0 si δ < min{1, /2} se cumple que: 0 < |x − 1| < δ ⇒ |x 2 − 3x + 1 − (−1)| <

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Ejemplos: L´ımites que no existen y x = −2

y 3 2 1

y = 1/x 2

y = f (x) x

x 1 NO existe x→0 x 2 lim

lim f (x) NO existe

x→−2

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Ejemplos: L´ımites que no existen y x = −2

y 3 2 1

y = 1/x 2

y = f (x) x

x 1 NO existe x→0 x 2 lim

lim f (x) NO existe

x→−2

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C´alculo de L´ımites Ejemplos

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M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

limx→a

7

f (x) g (x)

L M,M

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. =

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

limx→a

7

f (x) g (x)

L M,M

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. =

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

limx→a

7

f (x) g (x)

L M,M

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. =

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

limx→a

7

f (x) g (x)

L M,M

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. =

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

limx→a

7

f (x) g (x)

L M,M

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. =

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

limx→a

7

f (x) g (x)

L M,M

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo. =

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Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo.

7

limx→a

f (x) g (x)

=

L M,M

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Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

Propiedades de Limites Teorema (Propiedades) 1 2

Si f (x) = c, c ∈ R. Entonces limx→a f (x) = c. lim x n = an , ∀n ∈ Z+ .

x→a

Si limx→a f (x) = L y limx→a g (x) = M. Entonces 3

limx→a (f (x) ± g (x)) = L + M.

4

limx→a (f (x) · g (x)) = L · M.

5

limx→a (c · f (x)) = c · L, c ∈ R.

6

6= 0. p √ limx→a n f (x) = n L, si n es par, L debe ser positivo.

7

limx→a

f (x) g (x)

=

L M,M

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Intuitiva Formal Propiedades de L´ımites

Propiedades de L´ımites

Teorema (Polinomios) Si f es una funci´on polinomial. Entonces lim f (x) = f (a).

x→a

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Ejemplos

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Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo Calcular el l´ımite: lim 7. x→2

Soluci´on: lim 7 = 7

Ejemplo

Ejemplo

Calcular el l´ımite lim (x 2 + x).

x→2

x→2

2

Calcular el l´ımite lim x . x→6

Soluci´ on: lim (x 2 + x) = (22 + 2)

Soluci´on:

x→2

= 6

lim x 2 = 62

x→6

= 36 logo

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo Calcular el l´ımite: lim 7. x→2

Soluci´on: lim 7 = 7

Ejemplo

Ejemplo

Calcular el l´ımite lim (x 2 + x).

x→2

x→2

2

Calcular el l´ımite lim x . x→6

Soluci´ on: lim (x 2 + x) = (22 + 2)

Soluci´on:

x→2

= 6

lim x 2 = 62

x→6

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo Calcular el l´ımite: lim 7. x→2

Soluci´on: lim 7 = 7

Ejemplo

Ejemplo

Calcular el l´ımite lim (x 2 + x).

x→2

x→2

2

Calcular el l´ımite lim x . x→6

Soluci´ on: lim (x 2 + x) = (22 + 2)

Soluci´on:

x→2

= 6

lim x 2 = 62

x→6

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo Calcular el l´ımite: lim 7. x→2

Soluci´on: lim 7 = 7

Ejemplo

Ejemplo

Calcular el l´ımite lim (x 2 + x).

x→2

x→2

2

Calcular el l´ımite lim x . x→6

Soluci´ on: lim (x 2 + x) = (22 + 2)

Soluci´on:

x→2

= 6

lim x 2 = 62

x→6

= 36 logo

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Definici´ on C´ alculo de L´ımites L´ımites Notables M´ as Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos Ejemplo Calcular el l´ımite: lim 7. x→2

Soluci´on: lim 7 = 7

Ejemplo

Ejemplo

Calcular el l´ımite lim (x 2 + x).

x→2

x→2

2

Calcular el l´ımite lim x . x→6

Soluci´ on: lim (x 2 + x) = (22 + 2)

Soluci´on:

x→2

= 6

lim x 2 = 62

x→6

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo Calcular el l´ımite: lim 7. x→2

Soluci´on: lim 7 = 7

Ejemplo

Ejemplo

Calcular el l´ımite lim (x 2 + x).

x→2

x→2

2

Calcular el l´ımite lim x . x→6

Soluci´ on: lim (x 2 + x) = (22 + 2)

Soluci´on:

x→2

= 6

lim x 2 = 62

x→6

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite lim (q 3 − q + 1). q→−1

Soluci´on: lim (q 3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1

q→−1

= 1

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite lim (q 3 − q + 1). q→−1

Soluci´on: lim (q 3 − q + 1) = (−1)3 − (−1) + 1

q→−1

= 1

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite: lim [(x + 1)(x − 3)]. x→2

Soluci´on: lim [(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2 − 3)]

x→2

= (3)(−1) = −3

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite: lim [(x + 1)(x − 3)]. x→2

Soluci´on: lim [(x + 1)(x − 3)] = [(2 + 1)(2 − 3)]

x→2

= (3)(−1) = −3

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite lim (x 3 + 4x 2 − 7). x→−3

Soluci´on: lim (x 3 + 4x 2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7

x→−3

= 2

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite lim (x 3 + 4x 2 − 7). x→−3

Soluci´on: lim (x 3 + 4x 2 − 7) = (−3)3 + 4(−3)2 − 7

x→−3

= 2

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo 2x 2 + x − 3 . x→1 x3 + 4

Calcular el l´ımite: lim Soluci´on:

2x 2 + x − 3 x→1 x3 + 4 lim

= =

2(1)2 + (1) − 3 (1)3 + 4 0 =0 5

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo 2x 2 + x − 3 . x→1 x3 + 4

Calcular el l´ımite: lim Soluci´on:

2x 2 + x − 3 x→1 x3 + 4 lim

= =

2(1)2 + (1) − 3 (1)3 + 4 0 =0 5

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite lim

x→3

p 3 x 2 + 7.

Soluci´on: p p 3 3 x2 + 7 = 32 + 7 x→3 √ 3 = 2 2 lim

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Ejemplos

Ejemplos

Ejemplo Calcular el l´ımite lim

x→3

p 3 x 2 + 7.

Soluci´on: p p 3 3 x2 + 7 = 32 + 7 x→3 √ 3 = 2 2 lim

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Ejemplos Ejemplo x2 − 1 . x→−1 x + 1

Calcular el l´ımite lim Soluci´on:

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Ejemplos Ejemplo x2 − 1 . x→−1 x + 1

Calcular el l´ımite lim

Soluci´on: Evaluando en x = −1 x2 − 1 x→−1 x + 1 lim

= =

(−1)2 − 1 (−1) + 1 0 0

Lo cual es una indeterminaci´ on. logo

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo x2 − 1 . x→−1 x + 1

Calcular el l´ımite lim

Soluci´on: Para romper una indeterminaci´ on x2 − 1 x→−1 x + 1 lim

= =

0 0

debemos factorizar y simplificar:

− 1) (x + 1)(x x→−1 x+ 1

lim

lim (x − 1)

rompemos la indet ahora, evaluamos

x→−1

= (−1) − 1 = −2 D. Coronado

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1

Calcular el l´ımite lim Soluci´on:

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1

Calcular el l´ımite lim Soluci´on: Evaluando en x = 1

x3 − 1 x→1 x − 1 lim

= =

(1)3 − 1 (1) − 1 0 0

Nuevamente, indeterminado. logo

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1

Calcular el l´ımite lim

Soluci´on: Para romper una indeterminaci´ on 00 debemos factorizar y simplificar: Para ello debemos recordar la f´ ormula para factorizar la diferencia de cubos: a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 )

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Ejemplos

Ejemplos Ejemplo x3 − 1 . x→1 x − 1

Calcular el l´ımite lim Soluci´on: Ahora factorizamos: x3 − 1 x→1 x − 1 lim

= =

a3 − b 3 = (a − b)(a2 + ab + b 2 )

2 + x + 1) (x − 1)(x x→1 x− 1

lim

lim (x 2 + x + 1)

rompemos la indet evaluamos

x→1 2

= 1 +1+1 = 3

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Notables Notables

Contenido 1

Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

L´ımites

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Notables Notables

L´ımites Notables

Teorema 1

2

3

senx =1 x→0 x 1 − cos x lim =0 x→0 x 1 − cos x 1 lim = 2 x→0 x 2 lim

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Notables Notables

L´ımites Notables

Teorema L´ımites notables que involucran la funci´ on exponencial 1

1

lim (1 + x) x = e

x→0 2

ex − 1 =1 x→0 x lim

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Notables Notables

Contenido 1

Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Notables Notables

Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Notables Notables

Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on: Evaluando en x = 0

sen2x x→0 x lim

= =

sen0 0 0 0

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Notables Notables

Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim

Soluci´on: Esta vez, no podemos factorizar. Para romper una indeterminaci´ on tratamos de que aparezca el l´ımite senx notable lim = 1: x→0 x Para ello debemos lo que hacemos es multiplicar y dividir la expresi´on por 2: sen2x x

=

2 senx sen2x =2 2 x 2x

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Notables Notables

Ejemplos Ejemplo sen2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on: As´ı nos queda: lim

x→0

sen2x x

sen2x haciendo(y = 2x) 2x seny = 2 lim y →0 y = 2·1 = 2 lim

x→0

= 2 logo

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Contenido 1

Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo Evaluar el l´ımite lim

x→3

x −3 . x2 − 9

Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo Evaluar el l´ımite lim

x→3

x −3 . x2 − 9

Soluci´on: Evaluando en x = 3 x −3 x→3 x 2 − 9 lim

= =

3−3 32 − 9 0 0

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo Evaluar el l´ımite lim

x→3

x −3 . x2 − 9

Soluci´on: Factorizando x −3 x→3 x 2 − 9 lim

=

x− 3 x→3 (x − 3)(x + 3)

lim

1 x→3 x + 3 1 = 6

=

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lim

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 2 − 9x + 20 . x→4 x 2 − 3x − 4

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Ejemplos Ejemplo x 2 − 9x + 20 . x→4 x 2 − 3x − 4

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on: Evaluando en x = 4

x 2 − 9x + 20 x→4 x 2 − 3x − 4 lim

= =

42 − 9(4) + 20 42 − 3(4) − 4 0 0

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 2 − 9x + 20 . x→4 x 2 − 3x − 4

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on: Factorizando

x 2 − 9x + 20 x→4 x 2 − 3x − 4 lim

= = =

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− 5) (x − 4)(x + 1) x→4 (x − 4)(x

lim

x −5 x +1 −2 1 =− 4 2 lim

x→3

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 2 − 2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 2 − 2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on: Evaluando en x = 0

x 2 − 2x x→0 x lim

= =

02 − 2(0) 0 0 0

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 2 − 2x . x→0 x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on: Factorizando

x 2 − 2x x→0 x lim

= =

x(x − 2) x→0 x lim

lim (x − 2)

x→0

= −2 logo

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 4 − 81 . x→−3 x 2 + 8x + 15

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo x 4 − 81 . x→−3 x 2 + 8x + 15

Evaluar el l´ımite lim

Soluci´on: Evaluando en x = −3 x 4 − 81 x→−3 x 2 + 8x + 15 lim

= =

(−3)4 − 81 (−3)2 + 8(−3) + 15 0 0

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Ejemplos Ejemplo x 4 − 81 . x→−3 x 2 + 8x + 15

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

x 4 − 81 x→−3 x 2 + 8x + 15 lim

(x 2 − 9)(x 2 + 9) x→−3 x 2 + 8x + 15 2 + 9) (x − 3) (x + 3)(x = lim + 5) x→−3 (x + 3)(x (x − 3)(x 2 + 9) (−6)(18) = lim = x→−3 x +5 2 = −54 =

lim

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo

√

Evaluar el l´ımite lim

x→1

x −1 x −1

Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo

√

Evaluar el l´ımite lim

x→1

x −1 x −1

Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Ejemplos Ejemplo

√

Evaluar el l´ımite lim

x→1

x −1 x −1

Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Contenido 1

Definici´on de L´ımites Definici´on Intuitiva Definici´on Formal de L´ımites Propiedades de L´ımites

2

C´alculo de L´ımites Ejemplos

3

L´ımites Notables L´ımites notables Ejemplos

4

M´as Ejemplos Indeterminaciones del tipo 0/0 L´ımites de F. Trigonom´etricas D. Coronado

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Definici´ on C´ alculo de L´ımites L´ımites Notables M´ as Ejemplos

Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Trigonom´etricos Ejemplo sen4x x→0 tan x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Definici´ on C´ alculo de L´ımites L´ımites Notables M´ as Ejemplos

Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Trigonom´etricos Ejemplo sen4x x→0 tan x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Definici´ on C´ alculo de L´ımites L´ımites Notables M´ as Ejemplos

Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Trigonom´etricos Ejemplo sen4x x→0 tan x

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Definici´ on C´ alculo de L´ımites L´ımites Notables M´ as Ejemplos

Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Trigonom´etricos Ejemplo 3x tan x x→0 senx

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Trigonom´etricos Ejemplo 3x tan x x→0 senx

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

Trigonom´etricos Ejemplo 3x tan x x→0 senx

Evaluar el l´ımite lim Soluci´on:

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Ind 0/0 Trigonom´ etricos

FIN

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