L´ımites 2 David J. Coronado1 1 Departamento
de Formaci´ on General y Ciencias B´ asicas Universidad Sim´ on Bol´ıvar
Matem´aticas I
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D. Coronado
Limites 2
Contenido
1
L´ımites Laterales Definici´on Ejemplos
2
Teorema del Emparedado El Teorema Ejemplos
3
L´ımites al infinito e infinitos L´ımites al infinito L´ımites infinitos logo
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L´ımites Laterales Definici´on Ejemplos
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Teorema del Emparedado El Teorema Ejemplos
3
L´ımites al infinito e infinitos L´ımites al infinito L´ımites infinitos logo
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L´ımites Laterales Definici´on Ejemplos
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Teorema del Emparedado El Teorema Ejemplos
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L´ımites Laterales Teorema del Emparedado L´ımites al infinito e infinitos
Definici´ on Ejemplos
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L´ımites Laterales Definici´on Ejemplos
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Teorema del Emparedado El Teorema Ejemplos
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Definici´ on Ejemplos
Laterales
Definici´on (L´ımites Laterales) 1
El l´ımite lim f (x) = L
x→c +
significa que si x est´a cerca de c, a la derecha, entonces f (x) est´a cerca de L. 2
El l´ımite lim f (x) = L
x→c −
significa que si x est´a cerca de c, a la izquierda, entonces f (x) est´a cerca de L. logo
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Definici´ on Ejemplos
Laterales
Definici´on (L´ımites Laterales) 1
El l´ımite lim f (x) = L
x→c +
significa que si x est´a cerca de c, a la derecha, entonces f (x) est´a cerca de L. 2
El l´ımite lim f (x) = L
x→c −
significa que si x est´a cerca de c, a la izquierda, entonces f (x) est´a cerca de L. logo
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Definici´ on Ejemplos
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Definici´ on Ejemplos
Laterales Ejemplo Evaluar el l´ımite lim [x]
x→2+
Soluci´on:
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Laterales Ejemplo Evaluar el l´ımite lim [x]
x→2+
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Definici´ on Ejemplos
Laterales Ejemplo Evaluar el l´ımite lim [x]
x→2−
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x→2−
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Definici´ on Ejemplos
Laterales
Teorema (L´ımites Laterales) lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim+ f (x) = L
x→c
x→c −
x→c
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El Teorema Ejemplos
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El Teorema Ejemplos
T Emparedado
Teorema (del emparedado) Sean f , g y h funciones tales que f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) para toda x cercana a c, excepto posiblemente en c. Si lim f (x) = lim h(x) = L
x→c
x→c
Entonces lim g (x) = L.
x→c
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El Teorema Ejemplos
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El Teorema Ejemplos
T Emparedado Ejemplo Supongamos que senx x2 ≤ ≤1 6 x Entonces, por el teorema del emparedado, 1−
lim
x→0
senx =1 x
Soluci´on:
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El Teorema Ejemplos
T Emparedado Ejemplo Supongamos que senx x2 ≤ ≤1 6 x Entonces, por el teorema del emparedado, 1−
lim
x→0
senx =1 x
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El Teorema Ejemplos
T Emparedado Ejemplo Supongamos que senx x2 ≤ ≤1 6 x Entonces, por el teorema del emparedado, 1−
lim
x→0
senx =1 x
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L´Ĺmites Laterales Teorema del Emparedado L´Ĺmites al infinito e infinitos
L´Ĺmites al infinito L´Ĺmites infinitos
Al Infinito Definici´on L´Ĺmites al infinito Sea f definida en [c, ∞) para alg´ un c ∈ R. Decimos que
y y = f (x)
lim f (x) = L
x→∞
si para cada > 0 existe M > 0 tal que
y =L x
x > M â&#x2021;&#x2019; |f (x) â&#x2C6;&#x2019; L| < . logo
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L´Ĺmites al infinito L´Ĺmites infinitos
Al Infinito Definici´on L´Ĺmites al infinito Sea f definida en [c, â&#x2C6;&#x17E;) para alg´ un c â&#x2C6;&#x2C6; R. Decimos que
y y = f (x)
lim f (x) = L
xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
si para cada > 0 existe M > 0 tal que
y =L x
x > M â&#x2021;&#x2019; |f (x) â&#x2C6;&#x2019; L| < . logo
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L´Ĺmites al infinito L´Ĺmites infinitos
Al Infinito Definici´on L´Ĺmites al infinito Sea f definida en (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, c] para alg´ un c â&#x2C6;&#x2C6; R. Decimos que
y y = f (x)
lim f (x) = L
xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
si para cada > 0 existe M â&#x2C6;&#x2C6; R tal que
y =L x
x < M â&#x2021;&#x2019; |f (x) â&#x2C6;&#x2019; L| < . Gr´aficamente, la existencia de estos l´Ĺmites implican la existencia de as´Ĺntotas horizontales logo
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L´Ĺmites al infinito L´Ĺmites infinitos
Al Infinito Definici´on L´Ĺmites al infinito Sea f definida en (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, c] para alg´ un c â&#x2C6;&#x2C6; R. Decimos que
y y = f (x)
lim f (x) = L
xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
si para cada > 0 existe M â&#x2C6;&#x2C6; R tal que
y =L x
x < M â&#x2021;&#x2019; |f (x) â&#x2C6;&#x2019; L| < . Gr´aficamente, la existencia de estos l´Ĺmites implican la existencia de as´Ĺntotas horizontales logo
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L´ımites al infinito L´ımites infinitos
Al Infinito Gr´aficamente, la existencia de estos l´ımites implican la existencia de as´ıntotas horizontales y
y y = f (x)
y = f (x)
y =L
y =L
x
x
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Al Infinito Gr´aficamente, la existencia de estos l´ımites implican la existencia de as´ıntotas horizontales y
y y = f (x)
y = f (x)
y =L
y =L
x
x
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L´ımites al infinito L´ımites infinitos
Al Infinito
Con estas definiciones se pueden demostrar: lim
x→∞
1 =0 xk
lim
x→−∞
1 = 0. xk
Veamos algunos ejemplos:
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L´ımites al infinito L´ımites infinitos
Al Infinito
Con estas definiciones se pueden demostrar: lim
x→∞
1 =0 xk
lim
x→−∞
1 = 0. xk
Veamos algunos ejemplos:
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L´ımites al infinito L´ımites infinitos
Al Infinito Ejemplo Calcular lim
x→∞
x 1 + x2
Soluci´on: Para resolverlo, dividimos entre la mayor potencia: x x→∞ 1 + x 2 lim
= = =
x x2 x→∞ 1+x 2 x2
lim
= lim
x→∞ 12 x
1 x
+1
0 0 = 0+1 1 0 logo
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Al Infinito Ejemplo Calcular lim
x→∞
x 1 + x2
Soluci´on: Para resolverlo, dividimos entre la mayor potencia: x x→∞ 1 + x 2 lim
= = =
x x2 x→∞ 1+x 2 x2
lim
= lim
x→∞ 12 x
1 x
+1
0 0 = 0+1 1 0 logo
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Al Infinito Ejemplo Calcular lim
x→∞
x 1 + x2
Soluci´on: Para resolverlo, dividimos entre la mayor potencia: x x→∞ 1 + x 2 lim
= = =
x x2 x→∞ 1+x 2 x2
lim
= lim
x→∞ 12 x
1 x
+1
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x→∞
x 1 + x2
Soluci´on: Para resolverlo, dividimos entre la mayor potencia: x x→∞ 1 + x 2 lim
= = =
x x2 x→∞ 1+x 2 x2
lim
= lim
x→∞ 12 x
1 x
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Al Infinito Ejemplo Calcular
2 − 3x + x 2 x→∞ 7 + 4x − 5x 2 lim
Soluci´on: 2 − 3x + x 2 lim x→∞ 7 + 4x − 5x 2
=
2−3x+x 2 x2 lim 7+4x−5x 2 x→∞ x2
=
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Al Infinito Ejemplo Calcular
2 − 3x + x 2 x→∞ 7 + 4x − 5x 2 lim
Soluci´on: 2 − 3x + x 2 lim x→∞ 7 + 4x − 5x 2
=
2−3x+x 2 x2 lim 7+4x−5x 2 x→∞ x2
=
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2 − 3x + x 2 x→∞ 7 + 4x − 5x 2 lim
Soluci´on: 2 − 3x + x 2 lim x→∞ 7 + 4x − 5x 2
=
2−3x+x 2 x2 lim 7+4x−5x 2 x→∞ x2
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2 − 3x + x 2 x→∞ 7 + 4x − 5x 2 lim
Soluci´on: 2 − 3x + x 2 lim x→∞ 7 + 4x − 5x 2
=
2−3x+x 2 x2 lim 7+4x−5x 2 x→∞ x2
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Infinitos
Definici´on (L´ımites infinitos) Sea f definida a la derecha de c para alg´ un c ∈ R. Decimos que
y
lim f (x) = ∞
x→c +
x =c
y = f (x) x
si para cada M > 0 existe δ > 0 tal que 0 < x−c < δ ⇒ f (x) > M.
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Infinitos
Definici´on (L´ımites infinitos) Sea f definida a la derecha de c para alg´ un c ∈ R. Decimos que
y
x =c
lim f (x) = −∞
x→c +
x y = f (x)
si para cada M < 0 existe δ > 0 tal que 0 < x−c < δ ⇒ f (x) < M.
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Infinitos Definici´on (L´ımites infinitos) Sea f definida a la izquierda de c para alg´ un c ∈ R. Decimos que
y x =c y = f (x)
lim f (x) = ∞
x→c −
x
si para cada M > 0 existe δ > 0 tal que 0 < c−x < δ ⇒ f (x) > M. logo
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Infinitos Definici´on (L´ımites infinitos) Sea f definida a la izquierda de c para alg´ un c ∈ R. Decimos que
y
x =c
lim f (x) = −∞
x→c −
x y = f (x)
si para cada M < 0 existe δ > 0 tal que 0 < x−c < δ ⇒ f (x) < M.
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L´ımites al infinito L´ımites infinitos
Infinitos
Gr´aficamente, cuando un l´ımite da como resultado ∞ ´o −∞ decimos que la recta x = c es una as´ıntota vertical. Veamos algunos ejemplos
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Gr´aficamente, cuando un l´ımite da como resultado ∞ ´o −∞ decimos que la recta x = c es una as´ıntota vertical. Veamos algunos ejemplos
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→1−
1 (x − 1)2
Soluci´on: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos estudiar el signo del cero. Para ello, aplicamos la definici´ on del l´ımite lateral: lim
x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
lim
x→1−
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 < 0
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→1−
1 (x − 1)2
Soluci´on: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos estudiar el signo del cero. Para ello, aplicamos la definici´ on del l´ımite lateral: lim
x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
lim
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1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 < 0
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1 (x − 1)2
Soluci´on: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos estudiar el signo del cero. Para ello, aplicamos la definici´ on del l´ımite lateral: lim
x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
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= =
⇒ (x − 1)2 < 0
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Soluci´on: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos estudiar el signo del cero. Para ello, aplicamos la definici´ on del l´ımite lateral: lim
x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
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⇒ (x − 1)2 < 0
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1 (x − 1)2
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x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
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1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 < 0
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1 (x − 1)2
Soluci´on: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos estudiar el signo del cero. Para ello, aplicamos la definici´ on del l´ımite lateral: lim
x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
lim
x→1−
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 < 0
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→1−
1 (x − 1)2
Soluci´on: Evualando queda 10 lo cual no esta definido,debemos estudiar el signo del cero. Para ello, aplicamos la definici´ on del l´ımite lateral: lim
x→1−
⇒ x <1 ⇒ x −1<0
⇒
lim
x→1−
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 < 0
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Infinitos
Ejemplo Evaluar lim+
x→1
1 (x − 1)2
Soluci´on: Nuevamente queda 10 , indefinido.Aplicamos la definici´on del l´ımite lateral: lim
x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
lim
x→1+
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 > 0
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Ejemplo Evaluar lim+
x→1
1 (x − 1)2
Soluci´on: Nuevamente queda 10 , indefinido.Aplicamos la definici´on del l´ımite lateral: lim
x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
lim
x→1+
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 > 0
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Ejemplo Evaluar lim+
x→1
1 (x − 1)2
Soluci´on: Nuevamente queda 10 , indefinido.Aplicamos la definici´on del l´ımite lateral: lim
x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
lim
x→1+
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 > 0
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Ejemplo Evaluar lim+
x→1
1 (x − 1)2
Soluci´on: Nuevamente queda 10 , indefinido.Aplicamos la definici´on del l´ımite lateral: lim
x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
lim
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= =
⇒ (x − 1)2 > 0
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Ejemplo Evaluar lim+
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1 (x − 1)2
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x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
lim
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= =
⇒ (x − 1)2 > 0
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x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
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= =
⇒ (x − 1)2 > 0
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Ejemplo Evaluar lim+
x→1
1 (x − 1)2
Soluci´on: Nuevamente queda 10 , indefinido.Aplicamos la definici´on del l´ımite lateral: lim
x→1+
⇒ x >1 ⇒ x −1>0
⇒
lim
x→1+
1 (x − 1)2
= =
⇒ (x − 1)2 > 0
1 0+ ∞ logo
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L´ımites Laterales Teorema del Emparedado L´ımites al infinito e infinitos
L´ımites al infinito L´ımites infinitos
Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→2−
x +1 x 2 − 5x + 6
Soluci´on:
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→2−
x +1 x 2 − 5x + 6
Soluci´on:
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→2−
x +1 x 2 − 5x + 6
Soluci´on: Evaluando 30 . Para poder estudiar el signo, primero factorizamos el denominador: x +1 x +1 = x 2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3)
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→2−
x +1 x 2 − 5x + 6
Soluci´on: Usando el mismo procedimiento anterior: lim
x→2−
⇒ x <2
⇒
⇒ x −2<0
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Infinitos Ejemplo Evaluar lim
x→2−
x +1 x 2 − 5x + 6
Soluci´on: lim
x→2−
x +1 x 2 − 5x + 6
= = =
lim
x→2−
x +1 (x − 2)(x − 3)
3 (0− )(−1) 3 = ∞ 0+ logo
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fin
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