ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ
,
Τεύχος 80
yια το yυμνασιο
�ς- Μάϊος- Icn""oς 2011 Τιμή Τεύχους Ευ{Μίi 3.00 e-mail: ίnfo@hms.gr, "I'I"WW.hms.gr
ευκλείδης �
- =--_ '""' -
.ι' .ι' .ι'
.ι'
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
-
Γενικά 'Αρθρα .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
--
, ' 1 Μ αθηματικα: η yκαζι της Τqνης, κ. Μανδpωνη . . Η Ελληνική Μαθημαnκή Εmιρόο, Γ. Ωραιόποuλος . .. . . 5 Χορεύεις μαθηματικά; π. Μπάκα . . . . . ... . . . . ... . . . . . . . . ... . . . . . . .... . ........... 8 Απολογία ενός Μαθημαπκού, Σ. Αλαφάκη 23 '
Φ ρενο '
'
'
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
· .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
·•
.
.
•
•
•
.
.
.
.
.
•
•
•
.
.
.
.
.
•
.
.
.
•
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Α' Τάξη
.ι' Όλη η Θεωρία σε 115 Ερωτήσεις!, . . . . .... . ......... . . . . . . . .... . . . . . . . . . ..... . .. 11 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αριθμητική Άλγεβρα, Σπ. Γεωργίου . 14 •
.ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία, .ι' Εμβαδά και Όγκοι, Γ. Ωραιόποuλος
.
.
.
.
.
Σπ. Γεωpyίοu
Β' Τάξη .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
.
.
.
•
•
.
.
.
.
.
•
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
•
15
. . . . . . . 17
Όλη η Θεωρία σε 75 Ερωτήσεις!, ......... . ....... : . .... . ........... . . . . . . ...... 19 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρας, r. ι'αγός - Ν. Ίίjφας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 .ι' Επάναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας, π. Κupάvας . .. . .. 27 .ι'
.
.
.ι' Οι εξάρες,
Α. Αλεξαvδpάτου
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
Γ' Τάξη
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
Όλη η Θεωρία σε 82 Ερωτήσεις!, . . . , . ................... 35 .ι' Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρας, Σ. Αλαφάκη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ' a� ' , .ι' Επαναιιηπτικες ' ,_,ιιt.ησεις Γεωμετριας, Α. Αyyελη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
.ι'
. . . . . . . . . . . .
.f
.f .f
.ι'
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Σε ίδε ου λ ς για όλ ς
'
.f
. . .
Μαθημαπκοί Διαγωνισμοί, Επιτpοπή Διαγωνισμών . .... . . ............ . . .............. . Χαίρομαι να λύνω, Δ. Βαpόποuλος . . . . Τα μαθηματικά θέματα του PISA, Γ. Ρίζος . . .. . . Ταξίδι στη Γεωμετρία, Γ. Τσαπακιοης Τα Μαθηματικά μας Διασκεδάζουν, Σ. Τσικοπούλοu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.
.
•
.
.
.
.
•
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36 39 43
47 50
····································································· - ·········
Συντακτική επιτροπή
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑτιΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34 - 106 79 ΑΘΗΝΑ
Επίτιμ ος Πρδc:δρος :
Τηλ.: 21Ο 3617784 - 3616532
Ωραιδπουλος Γc:ώρyιος
Fax:2103641025 Εκδ δτης:
Πρδε δρος: Βαρδπουλος Δήμος Μέλη:
Καλοyερδπουλος Γρηyδριος Διευθυντής: Τυρλής Ιωδννης
Αλαφάκη Σταυρούλα Αλεξανδράτου Άννα Γεωρyίου Σπύρος Κυράνας Παναyιώτης Λαyός Γεώρyιος Μανδρώνη Αικατερίνη Μενδωνίδης Γεώρyιοc; Μπακάλης Ανασrάσιος
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ.: 2054
ISSN: 1105 - 7998 Επι μέλε ι α -Εκδοciης: Αλαφδκη Σταυρούλα Βαρ6πουλος Δήμος
Νάκος Κωνσrαντίνοc; Λυμπερόπουλος Γεώρyιος Πανουσάκης Νίκος Παπασrαυρίδης Σταύρος Πατρώνης Τάσος Ρίζος Γεώρyιος Σfσκου Μαρία Τζίφος Νικόλαοc; Τσαπακίδης Γιώρyος Τσικοπούλου Στάμη Χρισrοδούλου Ντόρα Χρυσοβέρyης Μιχαήλ Ωραιόπουλοc; Γεώρyιοc;
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
ΙΔΙΟΚfΗΣ/Λ πιι; ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΛΘΗΜΛΠΚΗΣ ΕrΛΙΡΕΙλΣ Στοιχειοθεσία - Σελι8οnοfηιιη:
ΕΜΗΝιΚΗ ΙιιtΑΘΗ/ιιtΑ τιΚΗ ΕΤΑιΡΕιΑ
ΚΕΝΤΡΟ ΓΡΑΦιΚΩΝ ΤΕΧΝΩΝ: ΔΙΗΝΕΚΕΣ: Κλεισόβης 7, Aθnva τηλ.: 210 3606760, fax.: 210 3606826 e-mail: dihe/ι:es@oιene/.gr Εκτύπωση: FKΠOPRINT Ε.Ε. τηλ.: 2106623778-358 Υnεcίfννος τunογpαφείοu: Παπαδόπουλος Δ.
•
•
Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει 6n προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κ.λ.π. πρέπει να σrε'λνονται έyκαιρα, σrα yραφεfα της Ε.Μ.Ε. με την έν&:ιξη "Για τον Ευκλείδη α'". Τα χειρόyραφα δεν εmσrρέφονται. Τιμή Τεύχους ευρώ 3,00 Ετήσια συνδρομή (10,00 + 2,00 Ταχυδρομικά= ευρώ 12,00) Τοανιiπμο)tΟtαπύχη 1100 �wνmι σrέλνmιι μεαπΑή ειιmηtίσε&απηή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Α8ήvα 54 Τ.θ. 30044 ή πλιpίwmιι σrο wαφεία της Ε.Μ.Ε.
Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της Τέχνης;
Κατερίνα Μανδρώνη Δρ. Ιστορίας της Τέχνης ((Το ανθρώπινο πνεύμα πρέπει πρώτα να κατασκευάζει μορφές, ανεξάρτητα από τις συνθή κες, και έπειτα μπορούμε να τις αναζητήσουμε στα πράγματα;> Albert Einstein. Οι σχέσεις Μαθηματικών και Τέχνης ήταν ανέκαθεν στενές : μην ξεχνάμε ότι ο Πλάτων, επηρεασμένος από τις πυθαγόρειες θεωρίες, πίστευε ότι οι αριθμοί είναι πιο όμορφοι από τα θαύματα του ουρανού και τον ορατό κόσμο, γιατί ανταποκρίνονται σε μια εσωτερική μουσική αρμονία, που την ακούει μόνο το αυτί των σκεπτόμενων ανθρώπων. Αλλά και ο Αριστοτέλης θεωρούσε ότι η μαθηματική επιστήμη δείχνει την τάξη, τη συμμετρία και τα όρια, τρία θαυμαστά στοιχεία και μορφές της ομορφιάς. Κι αυτά τα γνωρίσματα ενσωματώθηκαν στις μεγάλες στιγμές της αρχαίας κλασσικής γλυπτικής, όπως στον «Κανόνα» του Πολύκλειτου και στον Λύσιππο. Η τάξη, λοιπόν, η ισορροπία και η συμμετρία που γενικά χαρακτηρίζουν τα Μαθηματικά, βρίσκονται μέσα στο νου και στην αφηρημένη σκέψη· γι' αυτό εξάλλου τα μαθηματικά δεν είναι μόνον επιστήμη αλλiJ. και τέχνη, δηλαδή έκφραση εσωτερική του ανθρώπου με δικούς της νόμους, που στηρίζονται σε μια βαθιά αίσθηση αρμονίας, αναλογίας και μέτρου. Και έτσι, μέσα από το χάος των φαινομένων Πολύκλειτος, δημιουργείται ένας «κόσμος», με την αρχαία σημασία του όρου, δηλαδή, «0 Δορυφόρος», 4°ς αι. τάξη και κόσμημα. π.Χ. Αυτό το ανδρικό γυμνό αποτέλεσε την Με αυτά τα δεδομένα, καταλαβαίνουμε ότι οι τέχνες που είναι απόδειξη των αισθη εκδήλωση ενός ορθολογικού νου, παραμένουν αδιάφορες για τα πάθη και τικών θεωριών του Πο λύκλειτου(ο Κανών), τα παθήματα, για τη βίαιη σύγκρουση διαφορετικών και αντιφατικών που πίστευε ότι η καλλι συναισθημάτων. Γι' αυτό και η καλλιτεχνική αξία των Μαθηματικών τεχνική τελειότητα έχει περισσότερο φανερώνεται στο περιεχόμενο των εικαστικών τεχνών μαθηματικές βάσεις. (ζωγραφική, γλυπτίκή, αρχιτεκτονική) ή στην ποίηση και την μουσική. Εδώ θα βρούμε τους κανόνες της αναλογίας και του μέτρου, τον κανόνα της προοπτικ1Ίς και του ανάγλυφου, τους νόμους και τους ρυθμούς της αρχιτεκτονικής, τη μετρική και την αντίστιξη. Και αν αυτά τα γνωρίσματα γοήτευσαν τους διανοούμενους και τους μορφωμένους από ·την αρχαιότητα και ύστερα, δεν εμπόδισαν τον Δάντη, τον μεγάλο ποιητή της πρώιμης ιταλικής Αναγέννησης, να τα ονομάσει «το φρένο της τέχνης». Μα τι εννοεί ο Δάντης λέγοντας ότι η •
μαθηματική διατύπωση νόμων και κανόνων στην τέχνη είναι το φρένο της; Θέλει να πει πως είναι περιορισμός της καλλιτεχνικής δημιουργίας και επιβολή συμβατικών τύπων; Τέτοιου είδους κατηγορίες θα αργήσουν να ακουστούν, πρέπει να ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/1
Francesco di Giorgio Martini, «Η ιδεατή πόλη», 1495. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της γραμμικής προοπτικής στην Αναγέν νηση.
-------
Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της Τέχνης
--------
περιμένουμε τον Ρομαντισμό (τέλη 1 8°υ αρχές 19°υ αι.). Την εποχή του Δάντη (13°ς-14°ς αι.), και για αρκετούς ακόμα αιώνες, η ουσία της κλασσικής τέχνης βρισκόταν στο γεγονός ότι ο κανόνας του μέτρου δεν ήταν εξωτερική, υποχρεωτική επιβολή, αλλά, ως αληθινή τέχνη αντανακλούσε μια μοναδική στιγμή μέσα στο μυαλό τού καλλιτέχνη: δηλαδή, τη στιγμή όπου ο τρόμος/ η σύγχυση των παθών χαλιναγωγούνταν, τιθασευόταν σε μια ανώτερη αρμονία, που ενορχήστρωνε όλες τις παραφωνίες σε μια μορφή πλατωνικής τελειότητας, στην «ιδέα». Ήταν μια ηρωική στιγμή για το ανθρώπινο πνεύμα, όπου ο κόσμος των αισθήσεων άγγιζε τον νου, και εδώ βρίσκεται όχι μόνον το νόημα της κλασσικής τέχνης, αλλά η σπουδαιότητα των Μαθηματικών στην Ιστορία της Τέχνης. Οι μεγάλοι δάσκαλοι της Αναγέννησης ακολουθούν με μαθηματική προσήλωση τη γραμμική απόδοση της προοπτικής, ανακαλύπτουν
Leonardo da Vinci, «Οι αναλογίες του ανθρώπινου . σώματος»,
ξανά τη μαγεία των πολυέδρων, αφοσιώνονται, με τη βοήθεια της ανατομίας, στη διατύπωση των τέλειων αναλογιών του ανθρώπινου σώματος, αναπαριστούν τις επιφάνειες και τους όγκους των πραγμάτων σύμφωνα με τους νόμους της γεωμετρίας. Ο Leonardo da Vinci ή ο Albrecht Dϋrer ξεκινούν από την τέχνη τους για να φτάσουν στην αναζήτηση της «θείας αναλογίαφ, και εκεί παρατηρούν και στοχάζονται την αιώνια ομορφιά και την καθολική αλήθεια. Δεν είναι τυχαίο, λοιπόν, που ο Ευκλείδης εμφανίζεται σε πολλά ζωγραφικά έργα της Αναγέννησης, όπως affaello, «Ευκλείδης» (λεπτομέρεια από την στην περίφημη τοιχογραφία του Raffaello «Η «Σχολή των Αθηνών»; 1511, Βατικανό, Ρώμη). Σχολή των Αθηνών» (1 5 1 1 , Βατικανό, Ρώμη). Άλλες φορές πάλι, υπονοείται η παρουσία του, όπως στην προσωπογραφία του «Luca Pacioli» (Μουσείο της Νάπολης), διάσημου Μαθηματικού του 1 5°υ αι. Και αυτά δεν είναι παρά ελάχιστα παραδείγματα που οδηγούν σε ένα βέβαιο συμπέρασμα: στο ρου της Ιστορίας η εξέλιξη των κλασσικών τεχνών συμβάδιζε με την εξέλιξη των Μαθηματικών. Τον 19° αι. αναπτύσσεται η διαφορική Γεωμετρία, εισάγονται, έννοιες Μαθηματικών νέες δημιουργούνται νέα Μαθηματικά αντικείμενα: Επιφάνεια του Scherk, το Μπουκάλι του Klein, ο κύβος του Cayley, το Υπερβολικό επίπεδο. Θα ιτacopo de' Barbari, «Luca Pacioli», 1495. περάσει σχεδόν ένας αιώνας μέχρι να «δανειστούν» Ο L. Pacioli, φραγκισκανός μοναχός, υπήρξε διάσημος μαθηματικός του 15 αι. και έγραψε οι καλλιτέχνες στα έργα τους μερικά από αυτά τα το βιβλίο «Περί της θείας αναλογίας» (το ει αντικείμενα, όπως για παράδειγμα, ο Salvador Dali κονογράφησε ο Leaonardo da Vinci). .
.
·
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80
τ.4/2
------
Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι της τέχνης
--------
που αναπαριστά τον υπερκύβο στον πίνακά του «Σταύρωση ή Corpus Hypercubus» (1952, Metropolitan Museum of Art, Νέα Υόρκη). Και ο Dali αποτελεί μια μοναδική περίπτωση καλλιτέ χνη , γιατί αφιέρωσε μια σειρά έργων του στον «πυρηνικό μυ στικισμό», δηλαδή στις ραγδαίες επιστημονικές και τεχνολογι κές εξελίξεις που παρατηρήθηκαν στο δεύτερο μισό του 20°u αιώνα. Μια σύντομη αναφορά σε δύο γνωστούς πίνακές του αποδεικνύει το ενδιαφέρον του Ισπανού ζωγράφου για μυστή ριο των σφαιρών και για τη γοητεία των πρωτονίων και νετρο νίων: «Η Γαλάτεια των Σφαιρών» (1952, Figueras, Ισπανία) και «Ραφαηλιτικό Κεφάλι που εκρήγνυται» (195 1 , Scottish Na tional Gallery, Εδιμβούργο). Μπο�εί με τον Mauritz Escher Salvador Dali, και το χαρακτηριστικό πλα «Σταύρωση ή Corpus Hypercubus», κόστρωμα του υπερβολικού 1954. Ο σταυρός σχηματίζεται από επιπέδου να έχουν ασχοληθεί έναν οκτάεδρο κύβο μαθηματικοί, πάρα πολλοί ψυχολόγοι ή ιστορικοί Τέχνης, αυτό, όμως, δε σημαίνει ότι δεν υπάρχουν και άλλοι καλλιτέχνες που επηρεάστηκαν από μια μαθηματική σύλληψη του εικαστικού χώρου: ο Paul Klee, ο Wassily Kandinsky, ο Rene Magritte, ο Ιάνη ς Ξενάκη ς είναι μερικά από τα ηχηρά ονόματα του 20ou αι., στους οποίους θα επανέλθουμε με ειδικά αφιερώματα. Salvador Dali, «Η Γαλάτεια των Σφαιρών», 1952. Επιπλέον, στο δεύτερο μισό του 20ou αι. εμφανίζονται και οι οικογένειες δεσμών (κόμβων) και οι ελάχιστες επιφάνειες, που αποτέλεσαν πηγή έμπνευσης για πολλούς καλλιτέχνες-μαθηματικούς, - και αλήθεια, δεν ξέρω ποια από τις δύο ιδιότητές τους εί ναι η καθοριστικότερη! Από τη δική μας την πλευρά, πάντως, ως θεατές, συχνά αδαείς στα Μα θηματικά, έχουμε την ευκαιρία με αυτά τα έργα να θαυμάσουμε την ομορφιά, την πρωτοτυπία, την ενάργεια και την ισορροπία αυτών των παράξενων και γοητευτικών μαθηματικών αντικει μένων. Και αυτό ακριβώς ήταν το θέμα της μεγάλης έκθεσης, και πρώτης στο είδος της, που οργανώθη κε το 2005 στο Παρίσι, στο Άlδρυμα Henri Poincare, με τίτλο *
«Μαθη ματικά και Τέχνες». Μαθηματικοί
Bahman Kalantari (Μαθηματικός), «Μαθηματικά μιας καρδιάς». Τα έργα του στηρίζονται στους αλγόριθμους.
εξέθεσαν τα έρ,γα τους, όπως το «# 1 » του Franς:ois Aper y, «Τα Μαργαριτάρια του Klein» των Daνid ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/3
Fran9ois Apery (Μαθηματικός), «#1». Από την έκθεση στο Ινστιτούτο Poincare,' 2005. Οι Μαθηματικοί ξέρουν να περι στρέφουν μια σφαίρα χωρίς να την διπλώ νουν ούτε να την σχίζουν.
-------
Μαθηματικά: Φρένο ή γκάζι τη ς τέχνης
--------
Austin, Daνid Wήght και William Casselmann,«Tα Μαθηματικά μιας Καρδιάς)) και «Τετραγω νίζοντας τον Κύκλο)) του Bahman Kalantaή. Φυσικά και δεν απουσίαζαν από την έκθεση και οι καλλιτέχνες με την παραδοσιακή έννοια του όρου, οι οποίοι εμπνέονται και αυτοί από τα Μαθηματικά, με κορυφαίο παράδειγμα τον Άγγλο γλύπτη John Robinson και το γλυπτό του «Αθανασία)), που μεταφέρει ένα αντικείμενο που αποκαλείται «κόμβος του τριφυλλιού)) και έχει γίνει το σύμβολο του Πανεπιστημίου της Ουαλίας για τα τμήμα Μαθηματικών της σχολής Πληροφορικής. Έπρεπε τελικά να φτάσουμε στον 21° αιώνα για να συναντηθούν επίσημα οι δύο αυτοί κόσμοι (Μαθηματικών και Τέχνης), χωρίς να John Robinson (γλύπτης), ανταγωνίζεται ο ένας τον άλλο, για να αναδείξουν το γοητευτικό «Αθανασία», σύμπαν των σύγχρονων Μαθηματικών και να υπενθυμίσουν για άλλη μια φορά ότι η δημιουργικότητα και η φαντασία της ανθρ{Οπινης νου είναι πιο ισχυρές από τη γνώση. *Θα ακολουθήσει μια σειρά άρθρων με θέμα την επίδραση των Μαθηματικών στο έργο μεγάλων καλλιτεχνών του 20ου αιώνα. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ λ
www.isama.org (Διεθνής Εταιρεία Τεχνών, Μαθηματικών και Αρχιτεκτονικής).
λ
www.mathart.eu (Ευρωπαϊκή Εταιρεία για τα Μαθηματίκά και την Τέχνη).
λ
www.artlex.com (Ορισμός των Μαθηματικών σε σχέση με τις εικαστικές τέχνες).
λ
www.hermay.org (Ινστιτούτο Henή Poincare στο Παρίσι).
λ
www.matematicamente.it (Σχέσεις Μαθηματικών και Τέχνης).
*Ο
υπερκύβος
α. Τετράγωνο (χώρος 2 διαστάσεων) και το ευθύγραμμο ανάπτυγμά του (χώρος μιας διάστασης) \-
ο,'------.ι.ιι,
β. Κύβος (χώρος τριών διαστάσεων και το ανάπτυγμά του (χώρος δύο διαστάσεων)
-�
γ. Προβολή ενός τετραδιάστατου υπερκύβου στο χώρο τριών διαστάσεων δ. Ανάπτυγμα του τετραδιάστατου υπερκύβου στο χώρο των τριών διαστάσεωv.Οι οκτώ κύβοι που αποτελούν την υπερεπιφάνεια του τετραδιάστατου υπερκύβου δίνονται στο σχήμα (γ) και στο ανάπτυγμα του σχήματος (δ). Έvας τετραδιάστατος υπεράνθρωπος (με τρισδιάστατους αμφιβληστροειδείς) θα χειρίζεται τον υπερκύβο κατά έναν αδιανόητο για τον τρισδιάστατο άνθρωπο τρόπο. Θα μπορούσε να αγγίζει οποιοδήποτε σημείο μέσα στους οκτώ επιμέρους κύβους του υπερκύβου με τη μύτη i - μιας βελόνας, χωρίς η βελόνα να αγγίξει άλλο σημείο του υπερκύβου. Τα σημεία των επιμέρους κύβων του, υπερκύβου είναι εσωτερικά μόνο για μας τους τρισδιάστατους ανθρώπους, ενώ για τον τετραδιάστατο υπεράνθρωπο είναι όλα εξωτερικά. Όπως γίνεται φανερό, ένας υπερκύβος δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί γραφικά (έχει 8 τρισδιάστατες, 24 δισδιάστατες, 32 μονοδιάστατες (ακμές) όψεις και 1 6 κορυφές (μηδενικής διάστασης).
•
Ι ,
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/4
Η ΕλΛηνική Μσ&!ιματ•κι\ Ετa•ρεia ��cna a.rwό πιrι �cnaρ�a nκ; (Ε�Μ�Ε) 2.
Η
τέταρτη εικοσιπενταετία (1993-2011) Γ. Ωραιόπουλος
Την περίοδο αυτή πρόεδροι της εταιρείας διετέλεσαν οι εξέχοντες πανεπιστημιακοί καθηγη τές Θ. Μπόλης, Θ. Εξαρχάκος, Ηλ. Λυπιτάκης, Ν. Αλεξανδρής, Γρ. Καλογερόπουλος (2009201 1).
Θ. Μπόλης
Θ. Εξαρχάκος
Ηλ. Λυπιτάκης
Ν. Αλεξανδρής
Γρ. Καλογερόπουλος
Οι πρόεδροι, μαζί με τα Διοικητικά Συμβούλια και τις διάφορες Επιτροπές εργάστηκαν για την επιστημονική και εκπαιδευτική προσφορά στην επιστήμη και την παιδεία, ιδιαίτερα τη μα θηματική, σε συνεργασία με τις διοικήσεις των παραρτημάτων. Μια από τις δραστηριότητες της Ε.Μ.Ε. είναι και η λειτουργία του Κέντρου Μαθηματικού και Εκπαιδευτικού Λογισμικού. Για πολλά χρόνια, το κέντρο αυτό διοργάνωνε ειδικά σεμινάρια στους ΗΝ με τη συμβολή του Υπουργείου Παιδείας. Στα σεμινάρια αυτά φοίτησαν μαθηματικοί οι οποίοι δίδαξαν στα σχολεία σαν καθηγητές πληροφορικής. Επίσης, μαθηματικοί αλλά και άλ λοι επιστήμονες και ιδιώτες παρακολούθησαν και παρακολουθούν διάφορα σεμινάρια πληροφο ρικής που διοργανώνει η Ε.Μ.Ε. για να χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις της επιστήμης αυτής σε διάφορες δημόσιες ή ιδιωτικές υπηρεσίες. Το κέντρο αυτό εκδίδει και το περιοδικό «Αστρολάβος» σε ηλεκτρονική μορφή. Ακόμη ε μπλουτίζει το κόμβο intemet της Εταιρείας με χρήσιμες πληροφορίες για την εκπαίδευση, τα συνέδρια, τα περιοδικά, τους μαθηματικούς διαγωνισμούς και γενικά όλη τη δράση της Εταιρεί ας και των παραρτημάτων. Επίσης λειτουργεί και Ερευνητικό Κέντρο Αξιολόγησης και Επιμόρφωσης το οποίο συγκρό τησε τμήματα για τα Αναλυτικά Προγράμματα, τα διδακτικά μαθηματικά βιβλία, τη διδακτική και Παιδαγωγική επιμόρφωση. Για κάθε τμήμα εργάζεται υπεύθυνη επιτροπή συναδέλφων, η οποία σε συνεδριάσεις, σε σε μινάρια, σε ημερίδες στην έδρα της Εταιρείας και σε επαρχιώτικες πόλεις όπου υπάρχουν τα το πικά παραρτήματα ασχολούνται με τα σοβαρά αυτά θέματα επιστημονικά εκπαιδευτικά και κοι νωνικά. Υπεύθυνος ο Γ. Δημάκος. Τα ετήσια Πανελλήνια Συνέδρια Μαθηματικής Παιδείας, από το 1992, διοργανώνονται σε επαρχιακές πόλεις σε συνεργασία με τα παραρτήματα. Αυτό είναι θετικό γιατί δημιουργείται «κίνηση» στους συναδέλφους που συμμετέχουν στο συνέδριο που γίνεται στην πόλη που μένουν και παράλληλα γίνονται και άλλες εκδηλώσεις. Ενδεικτικά αναφέρουμε πως το 9° συνέδριο έγι νε στην Πάτρα στο οποίο συνδιοργανωτές ήταν και πανεπιστημιακοί μαθηματικοί. Το 19° συνέ δριο έγινε στην Κομοτηνή και δόθηκε η ευκαιρία να γίνουν τιμητικές εκδηλώσεις για το μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Κ. Καραθοδωρή. Στη Βέροια, παράλληλα με το 20° συνέδριο, το παράρτημα δωργάνωσε Βαλκανικό Μαθητικό Διαγωνισμό Νέων που πήραν μέρος 1Ο χώρες. Οι μικρές μαθητικές εξαμελείς ομάδες τις 6 μέρες εΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/S
------
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
-------
πισκέφτηκαν αρχαιολογικούς χώρους, έκαναν εκδρομές και χάρηκαν από τη φtλοξενία των μαθημα τικών της Βέροιας. Αυτή η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων δημιουΡΎfιθηκε με πρωτοβουλία της Ε.Μ.Ε. το 1997 αλλά για μεγαλύτερους μαθητές είχε το 1984.
Η 45η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2004 διοργανώθηκε από την Ε.Μ.Ε. με την υ ποστήριξη των Υπουργείων Παιδείας και Πολιτισμού. Οι Έλληνες μαθηματικοί συμμετέχουν σ' όλες τις επιτροπές για την προετοιμασία και πραγματοποίηση της Ολυμπιάδας, η οποία είχε πλήρη επιτυχία και άφησε τις καλύτερες εντυπώσεις διεθνώς όχι μόνο για την Εταιρεία αλλά και ...c__:, για την Ελλάδα γενικ-ότ_ε:.α7. -,----,
... ���"''\;.,
gιιι ]181ίοr Balkan
,-� ., -x- L� -�· -.)L-f e. ,..., _.... �·<, Ξ
οeψ_.. I I '
�
'"
.,.,,. ,.,.� ""
,
Matlιematίc:al Olympiad
Jιme 20-26, Veήa� Helleιήc Matbematicai_Society Branch ofimatbίa
Το Διοικητικό Συμβούλιο για τα οκτώ περιοδικά που εκδίδει η Ε.Μ.Ε. και γιά την καλύτερη λειτουργία τους διόρισε επικεφαλής της Συντακτικής Επιτροπής, Εκτελεστική Γραμματεία Προεδρείο σε κάθε περιοδικό. Το 2009 κυκλοφόρησε το 1° τεύχος του νέου διεθνούς περιοδικού για τα Μαθηματικά στην εκπαίδευση με τίτλο «lntemationa1 Journa1 for Mathematics in Educa tion». Σ' αυτό το προεδρείο της Συντακτικής Επιτροπής είνciι μαθηματικοί, διδάκτορες εξωτερι κού. Τα μαθητικά περιοδικά «Ευκλείδης Α», «Ευκλείδης Β» και «Μικρός Ευκλείδης» συνεχί ζουν να βοηθούν τους μαθητές και να ενισχύουν το έργο των καθηγητών και των δασκάλων. Από το 2008 το προεδρείο του «Μικρού Ευκλείδη» διοργανώνει διαγωνισμό για μαθητές της Ε' και Στ' τάξης των Δημοτικών Σχολείων. Εκτός από τις περιοδικές εκδόσεις, η Ε.Μ.Ε. προσφέρει στα μέλη της και σε ερευνητές Μα θηματικών και άλλες εκδόσεις όπως: «Τα πρακτικά των Πανελληνίων Συνεδρίων Μαθηματικής Παιδείας» και «Θέματα εξετάσεων των Μαθητικών Πανελληνίων Διαγωνισμών, των Βαλκανι κών και Διεθνών Ολυμπιάδων». Επανεκδόθηκε η τρίτομη «Iστορία των Μαθηματικών» επειδή εξαντλήθηκε. Επίσης, εκδόθηκαν τα «Παίγνια και λήψη αποφάσεων» του Χ. Αλιμπράντη, «Τρι γωνομετρία-Αναλυτική Θεμελίωση» των Μ. Γεωργακόδη, Π. Γεωργιάδη, «Θεωρία Αριθμών» του Π. Βλάμου και στα Αγγλικά, το «Συνέδριο Hermis 92,94».
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/6
------
Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
-------
Σε συνεργασία με το Υπουργείο Πολιτισμού συνεχίζεται η ψηφιοποίηση του έργου «Μαθη ματικά και Πολιτισμός από την αρχαιότητα στην κοινωνία της πληροφορίας». Αυτό θα περιλαμ βάνει 35.000 σελίδες ψηφιοποιημένες από τις εκδόσεις και τη δράση της Ε.Μ.Ε. Το παράρτημα Θεσσαλονίκης εξέδωσε το έργο «Αξιολόγηση εκπαιδευτικού έργου. Μετεκ παίδευση μαθηματικών». Το Δ. Συμβούλιο συγκροτεί μικρές επιτροπές μελών της Ε.Μ.Ε. για τη εγγραφή σχολικών βιβλίων. Έτσι εγκρίθηκαν «Τα Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου» που γράφηκαν από τετραμελή επιτροπή μελών της Εταιρείας. Οι μαθητικοί διαγωνισμοί στα Μαθηματικά διοργανώνονται από Επιτροπή διαγωνισμών η οποία έχει πολλά και σοβαρά καθήκοντα. Η επιτροπή αυτή είναι ανοικτή και συμμετέχουν συ νάδελφοι από το κέντρο και από τα παραρτήματα . Έχει αυξηθεί ο αριθμός των μαθητών που συμμετέχουν στους διαγωνισμούς. Στο Θαλή πάνω από 15.000, στο Ευκλείδη πάνω από.2.500 στην Εθν. Ολυμπιάδα Αρχιμήδης περίπου 30. Στις 2 Βαλκανικές Ολυμπιάδες και στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα μετέχουν μικροο μάδες μαθητών, 6 ως 10 ατόμων. Από το 2007 άρχισαν φοιτητικές Ολυμπιάδες στα Μαθηματικά για τις χώρες της Νοτιοανατολικής Ευρώπης με πρωτοβουλία της Ε.Μ.Ε. σε συνεργασία με τη Μαθηματική Εταιρεία της Ν-Αν. Ευρώπης (10 κράτη). Οι διεθνείς σχέσεις της Εταιρείας συνεχώς διευρύνονται. Είναι μέλος ης Ευρωπαϊκής Μαθη ματικής Εταιρείας της Νοτιοανατολικής Ευρώπης (MASSEE) της οποίας η έδρα είναι στην Αθήνα και ο Γενικός Γραμματέας της είναι πάντοτε Έλληνας μαθηματικός. Η Ε.Μ.Ε. συνεργάζεται με πολλές Μαθηματικές Εταιρείες, ιδιαίτερα τις Βαλκανικές και πιο στενά με τη Κυπριακή (ΚΥ.Μ.Ε.). Πήρε ενεργό μέρος στο συνέδριο Γεωμετρίας που διοργάνωσε η ΚΥ.Μ.Ε. στη Λευ κωσία το 2003 και ακόμη συνεργάζεται με την επιτροπή του Παγκόσμιου Συνεδρίου που θα γίνει στις Συρακούσες της Σικελίας 8-10/6/2010 για τα 1700 χρόνια από τη γέννηση του Αρχιμήδη. Η Ε.Μ.Ε. είναι το αρχαιότερο επιστημονικό σωματείο της Ελλάδας με γύρω στα 16.000 μέ λη. Στη πολύχρονη ζωή του ήταν πρώτο στις δραστηριότητες του από τα παρόμοια των Φυσι κών, Φιλολόγων κ.λ.π. Ευχόμαστε να συνεχίσει τη δημιουργική του δράση.
Το Εξώφυλλο μας
«Τα Μαργαριτάρ ια του Klein».
Είναι ένα όριο που σχηματίζεται από μια αλυσίδα εφαπτόμενων κύκλων. Έργο του μαθηματικού Davιd Wr ighr .Από την έκθεση στο Ιν στιτούτο Poincare, 2005,στο Παρίσι.Ο David
'right είναι Α
ναπληρωτής Καθηγητής Μαθηματικών του Πανεπιστημίου της Οκλαχόμα. Ο Φέλιξ Κλάιν
(Felix Kleιn),
Γερμανός μαθηματικός, ένας με
γάλος γεωμέτρης του δέκατου ένατου αιώνα, τονίζοντας τη ση μασία των ομάδων στα μαθηματικά, θεώρησε τη Γεωμετρία ως το σύνολο των ιδιοτήτων του χώρου που παραμένουν αναλλοίω τες μέσω των στοιχείων μιας ορισμένης ομάδας μετασχηματι σμών. Ο Felix Klein, ανακάλυψε μια ιδέα από την ινδουιστική μυθολο
γία στα μαθηματικά: ο ουρανός της INDRA περιείχε ένα δίχτυ
των μαργαριταριών, κάθε ένα από το οποίο aπεικονίστηκε στο γείτονά του, έτσι ώστε ολόκληρος ο κόσμος aντανακλάστηκε σε κάθε μαργαριτάρι. Ο Klein επανέλαβε άπειρα τις aντανακλάσεις και οδηγήθηκε σε μορφές με τις πολλαπλάσιες συ νυπάρχοντες συμμετρίες. Για έναν αιώνα αυτές οι ιδέες υπήρξαν μόλις έξω από τη φαντασία των μαθηματικών. Πρακτικά αδύνατο να κατασκευασθεί με το χέρι. Όμως στη δεκαετία του '80 οι μα θηματικοί άρχισαν την πρώτη εξερεύνηση, με τη βοήθεια υπολογιστών, του οράματος Klein, και ' καν
ε αυτό τον τ όπο πολλέ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.417
Χορεύεις μαθηματικά; =======
Πανωρέα�πάκα
ώς θα αντιδρούσατε αν κάποιος σας προσκαλούσε να χορέψετε μαζί του μαθηματικά; Οι περισσότεροι ίσως αναρωτιόσασταν: «Μαθηματικά και χορός μαζί;». Φαντάζει πάντα δύσκολο να ενώσουμε στο μυαλό μας δύο πεδία τόσο φαινομενικά διαφορετικά όσο τα μαθηματικά και οι παραστατικές τέχνες. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, όμως, δεν πρόκειται ακριβώς για ένωση γιατί κάτι τέτοιο παραπέμπει σε ταύτιση και απώλεια της διαφορετικότητας, αλλά για συνύπαρξη και για να μιλήσουμε με όρους μαθηματικούς για μία αλληλοκάλυψη που δημιουργεί ένα πεδίο τομής. Μέσα σε αυτόν τον χώρο δράσης, στην τομή των μαθηματικών με το χοροθέατρο, μπορούμε να δούμε τους ίδιους μας τους εαυτούς να χορεύουν μαθηματικά. Για να γίνει περισσότερο ζωντανή η εικόνα αυτού του χορού στο μυαλό μας μπορούμε να ξεκινήσουμε εστιάζοντας στις ομοιότητες που έχουν τα μαθηματικά και το χοροθέατρο. Αρχικά, υπάρχει μία βαθιά ομοιότητα στα υλικά δόμησης μίας μαθηματικής πρότασης και μίας χορογραφίας. Πιο συγκεκριμένα, για την λύση ενός γεωμετρικού ή αριθμητικού προβλήματος ή την ανάπτυξη μιας μαθηματικής απόδειξης απαιτούνται τόσο η καλλιέργεια της φαντασίας, ώστε να μπορέσουμε να οπτικοποιήσουμε το πρόβλημα που έχουμε μπροστά μας, όσο και της λογικής σκέψης που μας βοηθά να ακολουθήσουμε πεπερασμένα σε πλήθος, συγκεκριμένα σε περιεχόμενο και ακριβή σε αλληλουχία βήματα ώστε να φτάσουμε στην λύση ή στο τελικό μας συμπέρασμα. Τα ίδια υλικά - η φαντασία και η λογική σκέψη -χρησιμοποιούμενα από τον χορευτή ή τον ηθοποιό σε ίσως λίγο διαφορετικές αναλογίες είναι αυτά που θα του χαρίσουν την χοροθεατρικής εμπειρία μίας δημιουργίας. Οι χορογράφοι, οι χορευτές και οι ηθοποιοί, που χρησιμοποιούν το σώμα τους σαν μέσο έκφρασης, ασκούνται ενεργά στην γεωμετρία των τριών διαστάσεων. Πολλά σχήματα οικεία στους μαθηματικούς προκύπτουν ή και αυθόρμητα εμφανίζονται αναπόφευκτα μέσα σε ένα στούντιο χορού κατά τη διάρκεια των προβών. Τα γεωμετρικά σχήματα με τις ιδιότητές τους, η συμμετρία, οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί όπως η μετατόπιση, η περιστροφή και η ομοιότητα, τα σημεία, οι ευθείες και οι καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο, τα διανύσματα που προϋποθέτουν μία αφετηρία, ένα τέλος και προσανατολισμό ορίζουν την κίνηση των χορευτών. Οι χορευτές λοιπόν χωρίς να το συνειδητοποιούν εκφράζονται χρησιμοποιώντας τις αρχές και τους νόμους της γεωμετρίας με το σώμα τους. Ταυτόχρονα, οι αριθμοί κρυμμένοι στον ρυθμό, στην αλληλουχία και τους συνδυασμούς των κινήσεων, στο μέτρημα των επαναλήψεων μιας κίνησης είναι πάντα παρόντες σε μία αίθουσα χορού. Τα σύνολα των αριθμών με τις ιδιότητές τους, οι αριθμητικές πράξεις, οι κανόνες διαιρετότητας, η θεωρία πιθανοτήτων, η συνδυαστική είναι μερικά μόνο πεδία μαθηματικής γνώσης που αυθόρμητα χρησιμοποιούν καθημερινά οι χορευτές. Όλα τα παραπάνω αρκούν προς το παρόν για να σας προτρέψουν την επόμενη φορά που θα παρακολουθήσετε μία παράσταση χορού να προσπαθήσετε να δείτε τα μαθηματικά που υπάρχουν πίσω από την ιστορία. Ο χορός, λοιπόν, δανείζεται γνώση από τα μαθηματικά. Αλλά
π
·
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/8
•
-------
Χορεύεις μαθηματικά;
μήπως και τα μαθηματικά μπορούν μέσω του χορού να γίνουν πιο ρεαλιστικά, ευκολότερα αντιληπτά και περισσότερο ευχάριστα στην διδασκαλία τους; Είναι πραγματικά ενδιαφέρον και ελπιδοφόρο τόσο για τους δασκάλους μαθηματικών όσο και για τους μαθητές όλων των βαθμίδων εκπαίδευσης το ότι μπορεί κάποιος χρησιμοποιώντας σε κίνηση το ίδιο του το σώμα, χορεύοντας δηλαδή, να εξερευνήσει, να έρθει σε επαφή και να κατανοήσει μαθηματική γνώση. Αν και παγκοσμίως βρισκόμαστε ακόμα μακριά από την ιδέα διαθεματικών τάξεων στα σχολεία (π.χ. μάθημα χορού και γεωμετρίας, ή θεατρικής αγωγής και άλγεβρας), ωστόσο είναι αρκετά αισιόδοξο ότι έχουν γίνει κάποια πρώτα βήματα στην εφαρμογή τέτοιων μεθόδων για διδακτικούς - παιδαγωγικούς αλλά και καλλιτεχνικούς σκοπούς. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι όταν ο δάσκαλος επιλέγει να εισάγει με οποιονδήποτε τρόπο την τέχνη σαν εργαλείο διδασκαλίας του αντικειμένου του ανοίγει νέα κανάλια ροής γνώσης για τους μαθητές του. Για πολλούς μαθητές ο φόβος που νιώθουν όταν έρχεται η ώρα των μαθηματικών (που μπορεί να οφείλεται σε πολλές διαφορετικές ανά περίπτωση αιτίες) αποτελεί τροχοπέδη στην μάθηση . Αξίζει οι εκπαιδευτικοί να αναρωτηθούμε αν ο φόβος δίνει την θέση του στην απόλαυση και την αυτοπεποίθηση όταν ο μαθητής συμμετέχει στο μάθημα όχι μόνο πνευματικά, αλλά σωματικά και συναισθηματικά και τί συμβαίνει όταν το μάθημα μαθηματικών γίνεται μια εμπειρία πολλών διαστάσεων, που ζωντανεύει τον νου, τις αισθήσεις και το ίδιο το σώμα. Παρακάτω παρουσιάζονται επιλεκτικά και περιγράφονται δύο από τις ασκήσεις που διδάχτηκαν σε ομάδα ενήλικων εθελοντών στα πλαίσια του εργαστηρίου «στούντιο χορογραφίας», που έλαβε χώρα από τον Νοέμβριο του 2009 έως τον Ιούνιο του 20 10 στο στούντιο Κινητήρας στην Αθήνα. Η έρευνα που έγινε με την ομάδα στο εργαστήριο αυτό ουσιαστικά δείχνει πώς ο μαθητής μπορεί να διδαχθεί μαθηματικά μέσα από την ανθρώπινη κίνηση και πώς ο καλλιτέχνης μπορεί να κατανοήσει την κίνηση του σώματός του μέσα από τα μαθηματικά. 1: } {J\IOM Jρ θμ(! V \ Στο πρώτο στάδιο αυτής της άσκησης οι εθελοντές μαθητές διδάχτηκαν το κομμάτι της άλγεβρας που τους εισάγει στην θεωρία συνόλων. Η άσκηση είχε σαν στόχο την έρευνα δύο χαρακτηριστικών των συνόλων: i) ·της συνέχειας (δεν υπάρχουν κενά μεταξύ των αριθμών) και ii) το ότι το κάθε σύνολο εμπεριέχεται στο αμέσως μεγαλύτερό του σύνολο. Στο δεύτερο στάδιο μοιράστηκαν τυχαία σε 5 άτομα , 5 καρτέλες. Σε κάθε καρτέλα υπήρχε ο ορισμός κάποιου συνόλου. Ο καθένας επέλεξε ελεύθερα ένα αντιπροσωπευτικό αριθμό από το σύνολο που του έτυχε. Π.χ. ο Α από το σύνολο των φυσικών επέλεξε το Ο, ο Β από το σύνολο
των ρητών το 1/5 και ο Γ από το σύνολο των πραγματικών το .J9. Έπειτα ζήτησα από κάθε αριθμό να χτίσει την ιστορία του. Άφησα ελεύθερα άλλους να προσεγγίσουν τον αριθμό τους μέσα από το σχήμα του, μέσα από την έννοιά του, μέσα από το τί συμβολίζει κτλ. Και πάλι στο στάδιο αυτό τονίζεται πως η αναπαράσταση ενός αριθμού κινητικά αποτελεί μία διαδικασία που περισσότερο βοηθά στην ενεργοποίηση της φαντασίας με έναυσμα τους αριθμούς, και όχι σε κάποια υποτιθέμενη αυστηρή aντιστοίχηση του αριθμού με κάποια κίνηση ή αλληλουχία κινήσεων. Ύστερα δοκίμασα να μετατρέψω σε κίνηση τις έννοιες σύνολο και υποσύνολο ως εξής. Ζήτησα από κάθε αριθμό - σύνολο να δανείζεται κινήσεις από το I τα υποσύνολά του και να τις εξελίσσει. Έτσι μία απλή κίνηση που έκανε ο Α ως Ο, ο Β ως ρητός την μεγάλωνε και ο Γ ως πραγματικός την εξέλισσε ακόμα περισσότερο. Στο τελευταίο στάδιο της άσκησης ζήτησα από κάθε αριθμό να πάρει τη θέση του πάνω σε ένα φανταστικό άξονα συντεταγμένων και ύστερα εισάγοντας κqι τους μιγαδικούς αριθμούς, πάνω στο επίπεδο. Κάθε αριθμός έχει συγκεκριμένη θέση πάνω στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων. Στην ευθεία των πραγματικών π.χ. το 1/5 θα βρίσκεται πάντα πιο κοντά στο Ο σε σχέση με το
.J9,
όπου και να πάει το Ο. Έτσι αντιλήφθηκαν οι μαθητές την έννοια του ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/9
------
Λοpευεις μαuηματικα;
ημείου αναφοράς, της αρχής των αξόνων. Όταν η αρχή των αξόνων μετακινούνταν "παρέσυρε" αζί της με συγκεκριμένες πάντα σχέσεις και όλους τους υπόλοιπους διατεταγμένους αριθμούς.
Στο πρώτο στάδιο της άσκησης τοποθέτησα στην αίθουσα ισαπέχοντα αντικείμενα τα οποία )ίσκονταν πάνω στην ίδια ευθεία. Ζήτησα από τους εθελοντές ο καθένας να κινηθεί σε κύκλο r: κέντρο κάποιο από τα σημεία. Αν κάποιος έβλεπε από πάνω τις κινήσεις τους, θα χρατηρούσε να διαγράφουν τις κυκλικές τροχιές του παρακάτω σχήματος: Για μένα που ήμουν εξωτερικός παρατηρητής της κίνησής τους, ήταν πάρα πολύ ενδιαφέρον χ ξέρω ότι η φαινομενικά χαοτική κίνηση που είχαν, στην πραγματικότητα ήταν πλήρως lJστηρή και συγκεκριμένη. Η άσκηση αυτή επαναλήφθηκε αρκετές φορές σε διάφορες χραλλαγές. όπως αλλαγές στην ταχύτητα, και στη φορά που είχε ο καθένας. Οι εθελοντές :ωσαν με τα σώματά τους έννοιες όπως ο κύκλος, η τροχιά, το σημείο τομής (σε σχέση με το :λευταίο αποτέλεσε ευχάριστη και διδακτική έκπληξη όταν για πρώτη φορά δύο άτομα που νούνταν πάνω σε διαφορετικές τροχιές συναντήθηκαν). Στο επόμενο στάδιο δοκιμάσαμε να δημιουργήσουμε αυστηρές γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ ον μαθητών. Η άσκηση είχε ως εξής: ενώ κάποιος κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από ένα (ίνητο άτομο, δύο επιπλέον άτομα προσπαθούν να κινούνται σε σχέση με αυτόν έτσι ώστε )νίμως να σχηματίζουν μαζί του άλλοτε ένα ισόπλευρο, ένα ισοσκελές και άλλες φορές ένα )θογώνιο τρίγωνο. Το πείραμα αυτό έγινε και με την εκδοχή το άτομο που αντιπροσώπευε το Ντρο του κύκλου να κινείται. Η κίνησή του προφανώς επηρέαζε την κίνηση των υπολοίπων. Οι εθελοντές μαθητές μέσα από αυτές τις ασκήσεις κατανόησαν θεμελιώδεις γεωμετρικές έννοιες και ήταν σε θέση να δώσουν αυστηρούς ορισμούς για όλα τα βασικά γεωμετρικά σχήματα. Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι χορογράφοι εξασκούν μαγικά και συναρπαστικά επαγγέλματα, αφού τα αντικείμενά τους οι αριθμοί, τα σχήματα, το σώμα, η κίνηση αλλάζουν μορφές, χρώματα και προσανατολισμούς, μετουσιώνονται, αναπνέουν και εξελίσσονται σαν ζωντανοί οργανισμοί που κουβαλάνε πάνω τους την ιστορία του ίδιου του ανθρώπου. Αν λοιπόν κάποιος μια μέρα σας ζητήσει να χορέψετε μαζί του μαθηματικά, μην αρνηθείτε. Εμπνευσμένα άλλοτε από την ομορφιά και την καθαρότητα των γεωμετρικών δομών και νόμων, και άλλοτε από την μαγεία των αριθμών τα βήματα είναι εύκολα και ο χορός κάτι παραπάνω από διασκεδαστικός και διδακτικός. Συγκινητικός!
ι ασκήσεις αντλήθηκαν από το άρθρο «Μαθηματικά & Παραστατικές Τέχνες» που χρουσιάστηκε στο 27° Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας στην Χαλκίδα τον οέμβριο του 2010. Συμπληρωματικό υλικό με ασκήσεις μαθηματικών και χορού μπορεί ίποιος να βρει στην ηλεκτρονική διεύθυνση : !!_)_iUιi_!"ισΙJr"�ι -,:_οlι)� ι�cor:1 Η συντακτική Επιτροπή του Ευκλείδη Α ' σας εύχεται
---
--------,
Καλό Καλοκαίρι Και καλή ε'Πιτυχία στις εξετάσεις Σας 'Περι ένουμε στα καλοκαιρινά σχολεία της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/10
Τάξη
Όλη η Θ εω ρ ί α σε
115
Ερ ι.Ι) τήσε ι ς!
Οι Φυσικοί αριΟμοί
Λ. 1. 2
1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ.15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να εκτελεστεί; (σελ.15) 3 . Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλα σιασμού των φυσικών; (σελ.15) 4. τι λέει η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και τι ως προς την αφαίρεση; (σελ.15) 1. 3 --
Λ. -
5. Τι ονομάζεται νιοστή δύναμη ενός φυσικού αριθμού α, πως συμβολίζεται και πως ονομάζονται τα μέρη της; (σελ.20) 6. Πως αλλιώς διαβάζονται η δεύτερη και η τρίτη δύναμη ενός φυσικού αριθμού α και με τι είναι ίσα το α1 και το 1ν; (σελ.20) 7. τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση και τι τιμή αριθμητικής παράστασης; (σελ.21) Λ. 1. 4
8. τι ονομάζεται Ευκλείδεια διαίρεση; (σελ.25) 9. Πότε η Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέ λεια και ποιες είναι οι ιδιότητες της; (σελ. 25)
Λ. 2. ι--
: ΚλιΊ.σματα
18. Τι ονομάζεται κλασματική μονάδα;(σελ.35) 19. 18.Τι ονομάζεται κλάσμα ή κλασματικός αριθμός και τι διακρίνουμε σ' αυτό; (σελ.35) 20. τι παριστάνει ένα κλάσμα; (σελ.35) 2 Ι. Μπορεί ένας φυσικός αριθμός να γραφεί σαν κλάσμα; (σελ.35) Λ. 2. 2
22. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα; (σελ.38) 23 . Ποιες είναι οι ιδιότητες των ισοδυνάμων κλασμάτων; (σελ.38) 24. Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγο νται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα; (σελ.38) Λ. 2. 3
25. Πως συγκρίνουμε δύο κλάσματα; (σελ.41) Λ. 2. 4
26. Τι ονομάζεται μικτός αριθμός; (σελ.45)
. --
Α , :) � ,'!.. -· -
27. Πότε δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα; (σελ.48) Λ. 2. 6
28. Πότε
ένα
Λ. 1. 5
κλάσμα
λέγεται
σύνθετο;
Λ�;καδικοί αριθμοί
10. Τι ονομάζονται πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού; (σελ.27) 11. Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού; (σελ.27) 12. τι ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο η περισσοτέρων αριθμών διαφορετικών του μηδενός; (σελ.27) 13. Ποιοι ονομάζονται διαιρέτες ενός φυσι-κού αριθμού; (σελ.27) 14. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; (σελ.27) 15 . Τι ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο φυσικών αριθμών; ΜΚΔ(α,β); (σελ.27) 16. Πότε δύο φυσικοί αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους; (σελ.27) 17. Ποια είναι τα κριτήρια της διαιρετότητας;
Λ. 3. 1
29. Πότε ένα κλάσμα λέγεται δεκαδικό; (σελ.56) 30. Πως κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως μός; (σελ. 56) Εξισι!>σεις και πμσl�λt1ματα
Λ. 4. Ι
31. Τι ονομάζεται, εξίσωση, τι λύση (ή ρίζα) μιας εξίσωσης και τι επίλυση μιας εξίσωσης; (σελ.73) 32. Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και (σελ.73) - Ποσοστα,
� Λ. 5. 1
33. Τι ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλά ποσοστό και τι ποσοστό επί τοις χιλίοις;
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/1 1
-------
Όλη η Θεωρία σε 1 15 Ε ρωτήσεις!
Αν άλογα π οσά & αντιστρό π ως νάλογ οσά α α φ Α. 6.1 34. Τι ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων και τι συντεταγμένες (τετμη μένη, τεταγμένη) σημείου; (σελ.88) 35. Τι γνωρίζετε για τις συντεταγμένες των σημείων των ημιαξόνων Οχ και Oy σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα; (σελ.88) Α. 6. 2 36. τι ονομάζεται λόγος δύο ομοειδών μεγε θών που μετρήθηκαν με την ίδια μονάδα με τρησης; (σελ.91) 37. Τι ονομάζεται αναλογία και ποια η βασι� της ιδιότητα; (σελ.91) 38. τι ονομάζεται κλίμακα; (σελ.91) 39. Πότε δύο σχήματα λέγονται όμοια; (σελ.91) Α. 6. 3 40. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; (σελ.96) 41. Πότε δύο ποσά είναι ανάλογα; (σελ.96) 42. Ποιες είναι οι ιδιότητες δύο ανάλογων ποσών; (σελ.96) Α. 6. 4 43. Που βρίσκονται τα σημεία που παριστά νουν τα ζεύγη τιμών (x,y) δύο αναλόγων ποσών; (σελ.99) Α. 6. 5 44. Πως εξετάζουμε αν δύο ποσά είναι ανάλογα; (σελ.102) Α. 6. 6 45. Πότε δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; (σελ.l07) 46. Πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανά λογα; σελ.107) WΙΙΙJWΙΙΙm!Ι Θετικοί & Αρν η τ ικοί αριθμοί Α. 7. 1 47. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζο νται οι αριθμοί από αυτά; (σελ.115) 48. Πότε δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοt; (σελ.115) 49. Ποtοι είναι οι ακέραtοι και ποtοι οι ρητοί αριθμο� (σελ.115) Α. 7. 2 50. τι εκφράζει η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α και πως συμβολίζεταt; (σελ.118) 5 1. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται ανriθετοt; (σελ.118) 52. Ποιος είναι ο ανriθετος του αριθμού χ;
--------
(σελ.118) 53. Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού; (σελ.118) Α. 7. 3 54. Πως προσθέτουμε δύο ρητούς αριθμούς; (σελ.122) 55. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των ρητών; (σελ.123) Α. 7. 4 56. Πως αφαιρούμε δύο ρητούς αριθμούς; (σελ.126) Α. 7. 5 57. Πως πολλαπλασιάζουμε 2 ρητούς αριθμούς; (σελ.130) 58. Ποιες είναι οι ιδιότητες του � σμούτων ρητών; (σελ.130) 59. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται aντί στροφοι; (σελ.13 Ο) Α. 7. 6 60. Πως διαιρούμε δύο ρητούς αριθμούς; (σελ.133) � -�!:'!� Β ασικές Γε ωμετ ρικές έννοιες
Β. 1. 1 61 Τι ονομάζεται ευθεία και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ' αυτή; ( σελ.149) 62. Τι ονομάζεται ημιευθεία; (σελ.149) 63. Ποιες ημιευθείες ονομάζονται αντικείμε νες; (σελ.149) 64. Τι είναι το επίπεδο και ποιες προτάσεις αναφέρονται σ' αυτό; (σελ.150) 65 . Τι ονομάζεται ημιεπίπεδο; (σελ.150) B.l. 2 66. Τι ονομάζεται γωνία, κυρτή γωνία, μη κυρτή γωνία; (σελ.153) 67. Ποια γραμμή ονομάζεται τεθλασμένη; (σελ.154) 68. Πότε μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή και πότε μη κυρτή; (σελ.154) 69. τι ονομάζεται ευθύγραμμο σχήμα; (σελ.154) 70. Πότε δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα; (σελ.155) ' 7 1. Ποια είναι τα αντίστοιχα στοιχεία σε δύο ίσα ευθύγραμμα σχήματα; (σελ.155) B.l. 3 72. Τι ονομάζεται απόσταση δύο σημείων; (σελ. Ι59) 73. Τι ονομάζεται μέσο ευθυγράμμου τμήμα τος; (σελ.160)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/12
-------
Όλη η Θεωρία σε 1 15 Ε ρωτήσεις!
8. 1 .5 74. Τι ονομιi ζεται μέτρο γωνίας; (σελ.165) 75. Ποια είναι η μονάδα μέτρη�ς των γω νιών; (σελ.165) 76. Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας; (σελ.167) 8. 1. 6 77. Ποια γωνία ονομάζεται: i) ορθή, ii) οξεία, iii) αμβλεία, iν) ευθεία, ν) μηδενική. vi) πλήρης; (σελ.170) Β. 1. 7 78. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής; (σελ.173) Β. 1. 8 79. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπλη ρωματικές; (σελ.176) 80. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπλη ρωματικές; (σελ.176) 8 1. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυ φήν; (σελ.176) 8. 1. 9 82. Πότε δύο ευθείες του επιπέδου ονομά ζονται παράλληλες; (σελ.180) 83. Πως συμβολίζεται η παραλληλία δύο ευθειών ει, ε2; (σελ.180) 84. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα λέμε ότι είναι παράλληλα; (σελ.180) 85. Πότε δύο ευθείες του επιπέδου ονομά ζονται τεμνόμενες; (σελ.180) Β. 1 . 10 86. τι ονομάζεται απόσταση σημείου από ευθεία; (σελ.184) 87. Τι ονομάζεται απόσταση δύο παραλλή-λων ευθειών; (σελ.184) Β. 1. 1 1 88. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; (σελ.188) 89. τι ονομάζεται: i) Χορδή. ii) Διάμετρος iii) Τόξο ενός κύκλου; (σελ.188) 90. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ; (σελ.188) 8. 1. 1 3 9 1. Πότε μια ευθεία λέμε ότι είναι εξωτερική ενός κύκλου; (σελ.193) 92. Πότε μια ευθεία λέγεται εφαπτόμενη ενός κύκλου; (σελ.193) 93 . Πότε μια ευθεία λέγεται τέμνουσα ενός κύκλου; (σελ.193) 94. Ποιες οι σχετικές θέσεις μιας ευθείας ε και ενός κύκλου (Ο,ρ); (σελ.193)
!!m!!�
--------
Συμμετρία
Β. 2. 3 95 . Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος και ποιες είναι οι ιδιότητες της; (σελ.206) Β. 2. 6 96. Ποιες είναι οι ιδιότητες δύο παραλλήλων ευθειών που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία; 214 ρίγωνα-ΠαραλληλόγραμμαΤραπέζια 8. 3. 1 97. Ποιο τρίγωνο ονομάζεται i) οξυγώνιο, ii) ορθογώνιο. iii) αμβλυγώνιο; (σελ.218) 98. Ποιο τρίγωνο ονομάζεται: i) σκαληνό, ii) ισοσκελές, iii) ισόπλευρο ; (σελ.218) 99. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου; (σελ.219) lΟΟ.Τι ονομάζεται ύψος ενός τριγώνου; (σελ.219) 10 1.τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας; (σελ.219) Β. 3. 2 102.Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι 180°. (σελ.222) 103.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου; (σελ.221) 104.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοπλεύρου τριγώνου; (σελ.221) 8. 3. 3 105.Τι ονομάζεται παραλληλόγραμμο και ποια είναι τα στοιχεία του; (σελ.225) 106.Ποιες είναι οι ιδιότητες του παραλληλο γράμμου; (σελ.229) 107. τι ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλό γραμμο; (σελ.226) 108.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ορθογωνίου; (σελ.229) 109.Τι ονομάζεται ρόμβος; (σελ.226) llΟ.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ρόμβου; 11 1.Τι ονομάζεται τετράγωνο; (σελ.230) 1 12.Ποιες είναι οι ιδιότητες του τετραγώνου; (σελ.230) 1 13.Τι ονομάζεται τραπέζιο και ποια είναι τα στοιχεία του; (σελ.226) 1 14.Τι ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο; (σελ.226) 115 .Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου; (σελ.230)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/13
tπανα Ληπτ ι κε ς Ασκ ησε ι ς στ ην Αρ ι θ μ ητ ι κ ή - Άλ γε β ρ α =======--==
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα 'οπως στο παρα' δειγμα. Αι5·
Διαιρείται με το . . . ΑΡΙΘΜΟΣ
123
2
3
5
9
ΟΧΙ
ΝΑΙ
ΟΧΙ
ΟΧΙ
701 1 2202 3330 3456 1485 /\.ι(, Να συμπληρώσετε κατάλληλα τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. α) 473 _ , β) 4_5_ , γ) 98_5_ , δ) 89_3_ Λμ Να συμπληρώσετε κατάλληλα τους αριθμούς ώστε να διαιρούνται ταυτόχρονα με το 5 και το 9: α) 8257_ , β) 6_35_ , γ) 65_9_ , δ) 88_3_ Λ .. �. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις ως γινόμενα: Α=χ+χ+χ+χ+χ Β = 3·χ + 3 · χ + 3 ·χ Γ=χ+χ+χ+χ-χ-χ Δ = χ ·y + x ·y + x ·y Ε = α ·β + α ·β + α ·β-α ·β Ζ=χ+χ+2 ·χ Λ.ι'i · Να γράψετε ως δυνάμεις τα παρακάτω γινόμενα: α) α · α · α β) Χ · Χ · Χ · Χ · Χ γ) x · x · x · y · y δ) 2 · 2 · Χ · Χ · Χ ε) 3 · y · y · 3 · y · 3 · y · y στ) α · β · β · α · β · α · β · α · α · α · β Λ�ο. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α) 3 · 52 - 5 · 32 + 2 · ( 2 3 - 8 )
Σπύ ρος Γεωργίου
β) (42 - 24 ) · 5 + 5 · 3 · (7 - 5 ) γ) ( 1 8 · 5 ) : 10 + 22 · ( 3 - 1 ) 2 δ) 7 - 3 . 4 + 2 . ( 82 - 72 )
Λ � ι · Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α = (62 + 3 · 4 - 47 γ 1 + (3 3 + 2 - 3 · 9Υ Β = ( 2, 4 - 1, 2 )2 - 1, 2 · 0, 1 + 0, 06 Λ � 2 · Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: Α= (52 : 5) · 2 + (25 : 42 + 33 : 32 J : 5 - {1 0 : 5 + 12) : 2 Β = ( 3 + 4)( 52 -32 ) - ( 7 +4)2 + ( 12 : 3+ 6 : 2)( 52 -42 ) Α�3· Αν είναι α = 0,2 και β = 1 ,5, να υπολογίσε-τε τις παραστάσεις: ί) 30 · α - 6 : β + α · β ίί) 8 · ( α + β ) - 8 · β - α ίίί) ( α + β ) 2 - α · ( 3 - β )
Λ 5.ι· Αν είναι α=3, β=1 και γ=5, να υπολο γίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α=α ·β+(γ+β) : α Β = α2 + β2 + γ2 _ ( γ _ β _ α ) ιοο Γ = 4 α2 + ( β · γ )2 - β2 · α Δ = ( 2 · α 2 ) : ( β + γ) - α Λ�s· Αν είναι α + β = β, να υπολογίσετε την παράσταση: Α = ( α + β ) · α + ( 32 - 23 ) · α + 32 - β ·
Αν είναι α + β = 2,4 και γ - δ = 1 ,9, να υπολογίσετε την παράσταση: Α = 5 · α + ( 32 - 22 ) · γ - 5 · δ + ( 10 : 2 ) · β Λ5ι,.
c\ � 7 ·
τα
5 "9 των εργατων ' ενος ' εργοστασιου '
είναι γυναίκες. Αν οι εργαζόμενοι άντρες είναι 424, να βρείτε πόσους συνολικά εργαζόμενους απασχολεί το εργοστάσιο.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/14
------
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αριθμητική - Άλγεβρα - Γεωμετρία -----
Η ηλικία του Κώστα είναι ίση με τα Αω. Ο ΚΟΡΑΣΙΔΗΣ αγοράζει μια συγκε' μάρκα τηλεόρασης με 400 ευρώ και 10 , του που ειναι , του πατερα , 40 κριμενη -της ηλικιας , 450 ευρω. την πουλαει 3 ετών. Μετά από πόσα cέτη η ηλικία του Κώστα Ο ΚΩΤΣΟΒΟΛΟΣ αγοράζει την ίδια θα είναι ίση με την ηλικία που έχει σήμερα 0 τηλεόραση με 450 ευρώ και την πουλάει 500 ευρώ. Ποιος έχει μεγαλύτερο ποσοστό πατέρας του; κέρδους; Λ6�· Ένας βιβλιοπώλης πούλησε έναν Α:;ιι. Να λύσετε τις εξισώσεις: συγκεκριμένο τύπο τετραδίου προς 3,5 ευρώ χ-5 7-χ = Α) =0 Β) Ο το ένα. Το ποσοστό κέρδους ήταν 29% στην 12 18 τιμή πώλησης. Να υπολογίσετε: Α) το κέρδος του ανά τετράδιο, 1 5 - 3χ =0 Β) την τιμή κόστους του τετραδίου, Γ) 4 Γ) το συνολικό κέρδος από την πώληση 6 Ac.o- Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: πακέτων τετραδίων που το καθένα είχε 20 7 2 3 3 3 3 τετράδια. α) - + + β) ( 2 + -) + - + -) 4 5 20 .. 4 3 4 Α65· Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα 3000 Α ι, ι . Να κάνετε τις πράξεις: ευρώ και μετά από ένα χρόνο έκανε ανάληψη . 2 6 + + 2(3 + 5 ) των χρημάτων του και πήρε 3090 ευρώ. Με ι) J . 5 7 8 6 πόσο επιτόκιο είχε καταθέσει τα χρήματα; Ass-
'
-
-
( )
,
(
Ο Κώστας κατέθεσε στην τράπεζα για 2 χρόνια ποσό 2500 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο Α66
1 ,45 % .
Α) Πόσα χρήματα θα πάρει όταν κάνει ανάληψη όλων των χρημάτων του; Β) Ποιο είναι το συνολικό ποσό των τόκων; Μια κάμερα κοστίζει 2520 ευρώ. Θα την Αι,Ί Καταθέτει κάποιος στην τράπεζα 9000 αγοράσουμε δίνοντας προκαταβολή 720 ευρώ ευρώ με επιτόκιο 3%. Στο τέλος κάθε χρόνου και τα υπόλοιπα θα τα κάνουμε 1 2 ισόποσες δίνει εντολή το κεφάλαιο μαζί με τους τόκους δόσεις με μηνιαίο επιτόκιο 2,3%. Να βρείτε το να ξανατοκιστεί με το ίδιο επιτόκιο. Πόσα συνολικό κόστος αγοράς της κάμερας. χρήματα θα εισπράξει στο τέλος του τρίτου χρόνου και πόσο % θα έχουν αυξηθεί τα χρήματά του; Α62 ·
Ε πα ν α λ η πτ ι κές Ασκ ή σ ε ι ς στ ην Γ εω μ ετ ρ ί α Α 68• Μια γωνία & είναι 73°. Να υπολογίσετε την παραπληρωματική και την συμπληρωματική της.
πόσες μοίρες είναι καθεμία από τις γωνίες αυτές.
Δύο γωνίες φ και ω είναι A G'i· Να υπολογίσετε δύο παραπληρωματικές παραπληρωματικές. Αν <$ = 8& , να γωνίες, όταν η μία είναι τριπλάσια της άλλης. υπολογίσετε τις γωνίες αυτές. ΑΊ Ι ·
Λ
Λ
Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν Λ72. Μια γωνία είναι μεγαλύτερη κατά 40° από η μία είναι τετραπλάσια της άλλης, να βρείτε την παραπληρωματική της. Να υπολογίσετε τις δύο γωνίες. Λ Ίο·
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/15
-------
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αριθμητική - Άλγεβρα - Γεωμετρία
-----
Σε ισοσκελές τρίγωνο, η γωνία που είναι As z . Στο σχήμα οι ευθείες ε ι και ε2 είναι απέναντι από τη βάση είναι 1 5° μεγαλύτερη παράλληλες. Να υπολογιστούν οι γωνίες φ, καθεμιάς από τις ίσες γωνίες. Να υπολογίσετε x,y και ω. Να δικαιολογήσετε την απάντησή τις γωνίες του τριγώνου. σας σε κάθε περίπτωση: Α73·
Α74· Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία απένα ντι από τη βάση του είναι διπλάσια καθεμιάς από τις ίσες γωνίες. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου αυτού. A7s· Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 72°. Να υπολογίσετε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες του τριγώνου. ,..
Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι διπλάσια της Γ και η γωνία Β είναι εξαπλά σια της Γ . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώ νου. Α76·
Α
AsJ· Στο σχήμα οι ευθείες ει και εz είναι παράλληλες με τέμνουσες τις ε3 και ε4, που τέμνονται στο σημείο Α της ευθείας ει. Δίνονται οι γωνίες: φ = 50° και ω = 1 30°. Να υπολογίσετε σε
μοίρες, τις γωνίες α, β, γ και δ. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
,..
Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι δεκαπλάσια της Α και η γωνία Γ είναι επτα πλάσια της Α . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου. ΑΊs· Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (f =90°) η γωνία Α είναι διπλάσια της Β . Να βρεθούν οι γωνίες Α και Β του τριγώνου. Α π.
,..
,..
,..
Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 75° και η γωνία Β είναι διπλάσια από τη Γ . Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώ νου. Aso· Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι 80° ,.. ,.. 2 και η γωνία Α είναι τα - της Γ . Να υπο3 λογίσετε τις γωνίες Α και Γ του τριγώνου. Α79·
A .s4· Στο σχήμα οι ευθείες ει και εz είναι παράλληλες. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΟ και ΒΑ είναι ίσα και η γωνία Β ι = 40°.
Στο σχήμα δίνονται ότι εl // ε2 και η γωνία λ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία κ κατά 52°. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, κ, λ, μ. Αsι
α. Να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω . β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΓΔ . γ. Τι είδος τριγώνου, ως προς τις πλευρές του είναι το τρίγωνο ΟΓΔ ; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/16
Εμβαδά και Όγκοι Γ. Ωραιόπουλοι Αν
Ε μβ αδόν ισ όπλευρου τριγώνου πλευράς
α. Για να βρούμε το εμβαδόν του ΑΒΓ φέ ρουμε το ύψος ΑΔ που είναι διάμεσος και δι χοτόμος της γωνίας Α. Στο ορθ. τρίγωνο ΑΔΒ είναι γνωστή η υποτείνουσα ΑΒ = α και Α
AJ
Β
Γ
η κάθετη πλευρά ΒΔ =
α
.
Μπορούμε να υ-
2 πολογίσουμε την άλλη κάθετη πλευρά ΑΔ το Πυθαγόρειο Θεώρημε μα: ΑΔ = .JAB 2 - ΑΔ 2 ή
J ω � : =�� : I �I = <i -
υ = .r -
=
α
.Ώστε το
ύψος ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι: υ =
α
·
Το Εμβαδόν του
1 1 αJ3 2- . ( ΑΒΓ ) = 2 α · υ = 2 α - -
I j31
είναι:
Άρα, ο τύπος
του εμβαδού ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι E =
α'
Υπολογίζουμε τις γωνίες του. Το άθροισμc των γωνιών τριγώνου είναι 2L = 1 80° . Τα ' τρίγωνα θα έχουν άθροισμα γωνιώ1 2νL = 1 80° ν . Στο άθροισμα αυτό είναι και ο κεντρικές γωνίες Ο του πολυγώνου οι οποίε< έχουν άθροισμα 4L = 360° . Άρα το άθροισμc των ν γωνιών του ν-γώνου είναι ( 2ν - 4 )L κα επειδή είναι ίσες: 4 1\ = Α, = .. Α, = 2ν ' = z - ' = 1 80' Α
Π α ράδειγμα :
( ·� )
γώνου ιj> Ζ =
-4
( : ) ( �)
3�
� = s:o = 108"
Χαράσ·
Η κάθε γωνία κανονικού πεντα· είναι ίση με
'=
σουμε το ύψος ΟΑ του τριγώνου ΑιΩΑ • Tc 2 ορθ. τρίγωνο ΟΛΑι έχει υποτείνουσα ρ κω κάθετες πλευρές
.
α
2
και υ και οξεία γωνίο α
1 3@' 18<f 18<f 2 α ΚΟΑ = - · - = - ,με ημ- =- =- . ν 2 ν ν ρ 2ρ 18<f Άρα α= 2ρ · ημ- . Εμβαδόν κανονικού π ολυγώνου ν Ας πάρουμε γενικά ένα κανονικό ν-γωνο 1 1 α2 Α , Α Α 3 Α ν , με ν πλευρές, εγγεγραμμένο σε Ε (ΑιΩΑ ) = α · υ = -α ρ -2 2 2 2 4 κύκλο (Ο,ρ ). Φέρνουμε τις ακτίνες . ΟΑ, , ΟΑ , 0Α3 , , 0Αν και έτσι το πολύγωνο 2 ή E = α�4ρ' - α ' χωρίζεται σε ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Αν α=l Ocm, 1 0 2 J3 1 00 · 1, 73 1 73 Ε= = = = 43 ' 25cm2 • 2 4 4 Παράδειγμα:
••
• ••
Α
I
�
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/17
·I ·
Ff
Π ολίJεδ ρ α
Σ ' όλα τα πολύγωνα έχουμε πλευρές και κορυφές ίσου αριθμού. Α
Α
Α
Β
Ε
Δ Τρίγωνο κ.3 Τετράπλευρο κ.4 Πενταπλευρο κ.5 Πλ.3 Πλ. 4 Πλ.5 Στα πολύεδρα έχουμε για κορυφές, πλευρές που τις λέμε ακμές και έδρες που είναι πολύγωνα. Μεταξύ αυτών των τριών στοιχείων υπάρχει μια εκτενή σχέση σ ' όλα τα πολύεδρα. Κορυφές + Έδρες = Ακμές +2 (Κ+Ε=Α+2) Β
Δ
Β
Γ
α
Γ
·
Α
Α
......
I I I I I I
Β Γ
Δ
... ... ...
ΙΔ
.., J ,
'
Ε
...
'
......
......
... ...
... ..,/ I I I I I ... J ,
/
'
/
'
z
Πεντάεδρο Κόλουρο Πρίσμα Κόλουρος Πυραμίδα Τετράεδρο ΤΕΤΡΆΕΔΡΟ: Κορ. :Α, Β, Γ, Δ (4) ΠΕΝΤΆΕΔΡΟ: Κορ.: Α, Β, Γ, Δ, Ε , Ζ (6) Εδρ. : ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΒΔ , ΒΓΔ (4) Εδρ. : ΑΒΓ, ΔΕΖ, ΑΒΕΔ, ΑΔΕΖ, ΒΕΖΓ (5) Ακμ. : ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΒ (6) Ακμ. :ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΔ, ΑΔ, ΑΔ,ΒΕ, ΓΖ (9) Κ+Ε=4+4=8 Κ+Ε=6+5=1 1 Α+2=6+2=8 Α+2=9+2= 1 1 Στην επιπεδομετρία έχουμε άπειρα κανο δειξε το θεώρημα. Ο λόγος του κύκλου προς νικά πολύγωνα. Στη στερεομετρία έχουμε μό τη διάμετρό του, δηλαδή ο αριθμός π, είναι μινο πέντε κανονικά πολύεδρα, του Πλάτωνα, τα 1 , , ' οποία έχουν όλες τις έδρες τους ίσα κανονικά κροτερος απο το 3 Ί και μεγαλυτερος του πολύγωνα. Το καν. τετράεδρο με 4 ίσα ισό _!_ !.2. 10 (γύρω στο 3,74). Οι δηλ. 3 > π > 3 πλευρα τρίγωνα. Το καν. εξάεδρο ή κύβος με 3 7 71 71 6 ίσα τετράγωνα. Το καν. οκτάεδρο με 8 ίσα Κινέζοι προχώρησαν στο κανονικό 1 92/γωνο ισόπλευρα τρίγωνα. Το καν. δωδεκάεδρο με και βρήκαν π=3 , 1 4959. Ο Γάλλος μαθηματι 1 2 ίσα καν. πεντάγωνα και το καν. εικοσάεδρο κός Viete ( 1 6°ς αι.) με καν. πολύγωνο με με 20 ίσα τρίγωνα. Όπως όλα τα κανονικά πο 3 · 216 = 65.536 υπολόγισε το λύγωνα εγγράφονται και περιγράφονται σε πλευρές κύκλο έτσι και τα πέντε πλατωνικά κανονικά π=3, 1 4 1 5926 1 5 . Με τις νέες τεχνολογίες έχει πολύεδρα εγγράφονται και περιγράφονται σε υπολογιστεί με εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. Είναι λοιπόν ο π όχι μόνο άρρητος αλλά και σφαίρα. υπερβατικός δηλ. είναι ρίζα εξίσωσης, γι ' αυ Μ έρη του κί\ κλου. Υπολογισμ ο ί Ο Αρχιμήδης στο βιβλίο του «Κύκλου μέ τό είναι αδύνατος ο τετραγωνισμός κύκλου. Π α ρ άδ ε ιγμα: Σε κύκλο ακτίνας 1 0m τρησης» μελέτησε τα εγγεγραμμένα και περι
γεγραμμένα κανονικά πολύγωνα σε κύκλο με μεγάλη ακτίνα. Ξεκίνησε από το 6/γωνο , στο 1 2/γωνο , 24/γωνο, 48/γωνο, 96/γωνο και από-
--
παίρνουμε τόξο ΑΜΒ = 1 20° . Η χορδή ΑΒ χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη ΑΜΒ και ΑΝΒ που λέγονται κυκλικά τμήματα. Ας
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/18
-------
Επαναληπτικές ασκήσεις
υπολογίσουμε το εμβαδόν του μικρού. Φέρου με τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ. = Εμβκυκλ.τομ.ΑΟΒ - Εμβτριγ . ΑΟΒ Εμβ.κυκλ.τμημ.ΑΜΒ πρ2 · 1 20° π · 1 05 = = Εμβκυκλ.τομ.ΑΟΒ -3360 Στο τριγώνο ΟΑΒ φέρουμε το ύψος ΟΓ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓΑ είναι γνωστή η υποτείνουσα και οι οξείες γωνίες ACr = flf και 1 ΟΑΓ = 30° . ΟΓ = ΟΑ· ημΑ = 10ημ30 = 10- = 5 2 και ΑΓ = .JoA2 - ΟΓ 2 = .J1 02 - 5 2 = = .J1 0o - 25 = .J75 = .J2s . 3 = sJ3 και χορδή AB = 2 · 5J3 = 1 0J3 . Μ
Ν
π · Ι ΟΟ 10J3 · 5 = -- .1<Uκλ.τμημ. ΑΜΒ Εμβ 2 3 3 1 4 - 3 . 25 · 1, 73 3, 14 · 100 = - 25 · 1' 73 = = 3 3 3 14 - 129, 75 1 84, 25 = = = 61' 42m2 3 3 Το εμβαδόν του μεγάλου κυκλικού τμήματος ΑΝΒ ισούται με τη διαφορά του μικρού κυ κλικού τμήματος ΑΜΒ από το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου δηλ. :
(ΑΝΒ) π·102 - 61,42 3,14·100 - 61,92 252,08m2 =
=
------
Ασ κήσ εις
827• Σε κύκλο ακτίνας 1 2cm να εγγράψετε και να περιγράψετε τετράγωνα και να υπολογίσετε τα εμβαδά τους. Β2ι;. Κύκλος με ακτίνα 1 4cm να διαιρεθεί σε δυο ισεμβαδικά μέρη με ένα ομόκεντρο κύ κλο. 829• Υπάρχουν κανονικά πολύγωνα με γωνίες: 2ι α) β) 140° γ) 1 ,6ι δ) 144° 3 830• Στον παρακάτω κύβο οι διαγώνιες των απέναντι εδρών ΒΔ, Β 'Δ' μας δίνουν το δια γώνιο επίπεδο ΔΒΒ 'Δ' το οποίο είναι ορθογώ νιο. Οι διαγώνιες ΒΔ ' , Β ' Δ τέμνονται στο Κ που είναι το κέντρο του κύβου το οποίο απέ χει εξίσου από όλες τις κορυφές. Αν η ακμή είναι ΑΒ= 1 Ocm, να υπολογιστεί η διαγώνιος ΒΔ και η διαγώνιος του κύβου ΒΔ' (Απ. ΔΒ = 10J2, ΒΔ' = 10J3 )
.. r\:, _:::.,.
--c7.Γ
-
A'r--
7-1 , ,. , ,.... ...-'\ .-
-
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
! :�κ ' ' ' ' ' ' ' ' '
.... ... .. .. .. ... ..
.. .. ...
�/9��,---\ �\
---------------
Γ
'\'
..
Β Να υπολογιστεί η επιφάνεια και ο όγκος σφαίρας με ακτίνα 1 Ο cm που έχει κέντρο το κέντρο ενός κύβου και περνά και από τις 6 κο ρυφές του κύβου.
Β3 1 •
Α
=
Ό λη η Θ εω ρί α σε
75
Ε ρ ω τή σε ι ς!
ΜΕΡΟΣ Λ �� ΛΛ.ΤΕΒΡΛ Εξισ ιi> σ ε ις - Α νισώσ ε ις Α. 1 Ι
1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρι κή παράσταση; (σελ.ll) 2. Τι ονομάζουμε όρους μιας αλγεβρικής πα ράστασης και τι αναγωγή ομοίων όρων της; (σελ.ll & 12) Α. Ι 2
3. Ποιες είναι οι τρεις πιθανές σχέσεις που συνδέουν δύο αριθμούς α, β; (σελ.15) 4. Ποιοι κανόνες ισχύουν για την ισότητα δύο
---
αριθμών; (σελ. 15 & 1 6)
5. Τι ονομάζουμε: i. εξίσωση; (σελ.17) ii. γνωστούς και άγνωστους όρους μιας εξίσωσης; (σελ.17) iii. λύση ( ή ρίζα) μιας εξίσωσης; (σελ.17) iv. επίλυση μιας εξίσωσης; (σελ.17) 6. Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πό τε αόριστη(ή ταυτότητα); (σελ.19) Α. Ι 5
7. τί εννοούμε όταν γράφουμε α :::; β , και πως το διαβάζουμε; (σελ.31)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/19
-------
Επαναληπτικές ασκήσεις
8. τι συμπέρασμα βγάζετε αν σας πουν ότι
ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις: α :::; β και
------
Α. 3 4 24. τι γραμμή είναι η γραφική παράσταση της
συνάρτησης y=αχ+β και από που διέρχε ται; (σελ. 73) 25. Τι εννοούμε όταν λέμε η ευθεία με εξίσω ση y=αχ+β ή απλούστερα η ευθεία y=αχ+β; (σελ.73) 26. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας y=αχ+β; (σελ.73) 27. Τι παριστάνει μια εξίσωση της μφρής αχ+βy+γ=Ο με α7:0 και β7:0; (σελ. 74) 1 1. τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού 28. τι παριστάνει μια εξίσωση τηςμορφή;: αριθμού και ποιες οι ιδιότητες της; η. y=κ; i. αχ+βy=γ (α7:0 ή β7:0); (σελ.41 & 42)) Α. 2 2 iii. χ=λ; ίν. χ=Ο; ν. y=O; (σελ.74) 12. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητοι, αρρη 29. Ποια είναι τα σημεία τομής της ευθείας τοι, πραγματικοί; (σελ.45 & 46) αχ+βy=γ με α7:0 και β7:0 με τους άξονες 13. Πότε μια ευθεία ονομάζεται άξονας των χ ' χ και y'y. (σελ. 74) πραγματικών αριθμών; (σελ.46) 3 5
α � β; 9. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των ανισο τήτων. (σελ.31 & 32) 10. Τι ονομάζουμε ανίσωση και τι λύσεις της ανίσωσης; (σελ.33)
14. Τι ονομάζεται συνάρτηση και τι πίνακας τιμών της; (σελ.55) Α. 3 2 15. τι ονομάζεται ορθοκανονικό σύστημα α ξόνων (σύστημα ορθογωνίων αξόνων) και τι συντεταγμένες (τετμημένη , τεταγμέ-νη) σημείου; (σελ.59 & 60) 16. Τι ονομάζουμε τεταρτημόρια; (σελ.60) 17. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; (σελ.62) 18. Τι γνωρίζετε για τις συντεταγμένες των σημείων των αξόνων χ 'χ και y'y σ' ένα ορθοκανονικό σύστημα; (σελ.62) Α. 3 · 3 19. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; (σελ.67) 20. Τι γραμμή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αχ και από που διέρχεται; (σελ.68) 21. Τι εννοούμε όταν λέμε η ευθεία με εξίσω ση y=αχ ή πιο απλά η ευθεία y=αχ ; (σελ.68) 22. Ποια είναι η εξίσωση του άξονα χ ' χ; (σελ.68) 23. Τι ονομάζεται κλίση της ευθείας y=αχ; (σελ.68)
Α. 30. Πότε δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανά λογα; (σελ. 79) 31. Πότε δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανά λογα και τι προκύπτει απ' αυτό; (σελ.79) 32. Πως λέγεται η γραφική της συνάρτησης
α Υ = - με α 7: Ο; (σελ.80) χ 33. Ποιες είναι οι tδιότητες της υπερβολής; (σελ.80)
l!iJii�l
Περιγρ αφική Στατιστική
34. Τι ονομάζεται πληθυσμός και τι μεταβλη τή; (σελ.86) 35. Τι ονομάζεται δείγμα και τι μέγεθος δείγ ματος; (σελ.86) 36. Πως γίνεται η συλλογή των στατιστικών δεδομένων; (σελ.86) 37. Ποια ήδη διαγραμμάτων υπάρχουν; (σελ.90 & 91) 38. Τι ονομάζεται συχνότητα μιας τιμής της μεταβλητής; (σελ.95) 39. τι ονομάζεται σχετική συχνότητα μιας τι μής της μεταβλητής και πως εκφράζεται συνήθως; (σελ.96) 40. Τι ονομάζεται μέση τιμή μιας μεταβλητής και πως συμβολίζεται; (σελ. Ι 04) 41. Τι ονομάζεται διάμεσος; (σελ.105)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/20
------- Επαναληπτικές ασκήσεις ------
ΜΕΡΟΣ Β • ... rEQMETPIΛ Β. 1 . 1 42. Τι ονομάζεται εμβαδόν μως επίπεδης
νειας και από τι εξαρτάται; (σελ. 114)
επιφά
Β. 1 . 2 43. Ποιες είναι οι μονάδες μέτρησης εμβαδού
και ποια η σχέση που τις συνδέει; (σελ. 116)
Β. 1 . 3 44. Με τι ισούται το εμβαδόν τετραγώνου, ορθο
γωνίου, παραλληλογράμμου, τριγώνου, ορθο τριγώνου, γωνίου τραπεζίου; (σελ. 119 & 120)
Β. 1 . 4 45. Τι λέει το Πυθαγόρειο θεώρημα και τι το
""'"""·"'"..-. του; (σελ. 128)
Τριγωνομετρία 8. 2. 1 46. Τι ονομάζεται εφαπτομένη οξείας γωνίας
ορθογωνίου τριγώνου; (σελ. 137) 47. Με τι ισούται η κλίση α της ευθείας με εξί σωση y=αχ; (σελ. 13 7)
Β. 2. 2 48. Τι ονομάζεται ημίτονο οξείας γώνίας ορ
θογωνίου τριγώνου; (σελ. 142) 49. Τι ονομάζεται συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; (σελ. 143)
Β. 2. 4 50. Πως υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς -*��:��
�ιιa.::;ιι
των 30°,45°,60°;(σελ. 152 & 153) Μέτ ρηση κύ κλου
Β. 3. 1 51. τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία και τι
αντίστοιχο τόξο της; (σελ. 1 75) 52. Ποιες προτάσεις ισχύουν για τις εγγεγραμμένες γωνίες; (σελ. 1 76) 8. 3. 2 53. Τι ονομάζεται: i. κανονικό πολύγωνο; (σελ. 180) ii. περιγεγραμμένος κύκλος κανονικού πολύ γώνου; (σελ. 181) iii. κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου; (σελ. 182) ιν. aπόστημα κανονικού πολυγώνου; (σελ. 182) 54. Ποια σχέση συνδέει τη γωνία φ και την κε ντρική γωνία ω ενός κανονικού πολυγώ νου (ν-γώνου); (Αιτιολόγηση) (σελ. 182) 8. 3. 3 55. Ποιοι οι τύποι που μας δίνουν το μήκος (L) του κύκλου (0, ρ). (σελ. 187)
Β. 3. 5 56. Ποιοι οι τύποι για το εμβαδόν (Ε) του κυκλικού δίσκου (0, ρ); (σελ. 193) Γε ωμετρικά Στερε ά. Μέτ ρη ση Γεωμετρικών Στερε ών Β. 4. 1 57. Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις δύο διαφο ρετικών επιπέδων; (σελ.202) 58. Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις δύο διαφο ρετικών ευθειών; (σελ.202) 59. Ποιες είναι οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου; (σελ.203) 60. Πότε μια ευθεία είναι κάθετη σε επίπεδο; (σελ.203) 61. Τι ονομάζεται απόσταση σημείου από επί πεδο; (σελ.203) 62. Τι ονομάζεται απόσταση δύο παραλλήλων επιπέδων; (σελ.203) 8. 4. 2 63. Ποιο είναι το εμβαδόν της παράπλευρης επι φάνειας Επ και το ολικό εμβαδόν Εολ ενός πρί σματος; (σελ.207) 64. Ποιο είναι το εμβαδόν της παράπλευρης επι φάνειας Επ και το ολικό εμβαδόν Εολ ενός κι> λίνδρσυ; (σελ.208) Β. 4. 3 65. Τι καλείται όγκος ενός στερεού σώματος; (σελ.212) 66. Ποιες είναι οι μονάδες όγκου και πως συνδέονται μεταξύ τους; (σελ.212)Ποιες μονάδες χρησιμοποιούμε για τη μέ-τρηση του όγκου των υγρών; (σελ.212) 67. Με τι ισούται ο όγκος ενός πρίσματος; (σελ.213) 68. Με τι ισούται ο όγκος ενός κυλίνδρου; (σελ.213) Β. 4. 4 69. Τι ονομάζεται πυραμίδα και ποια είναι τα στοιχεία της; (σελ.216) 70. Πως ονομάζεται μια πυραμίδα; (σελ.216 & 21 7) 71. Ποια πυραμίδα ονομάζεται κανονική και ποιες είναι οι ιδιότητες της; 72. Πως βρίσκουμε το εμβαδόν της ολικής ε πιφάνειας μιας πυραμίδας; (σελ. 21 7) 73. Ποιο είναι το εμβαδόν της παράπλευρης και ποιο το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας μιας κανονικής πυραμίδας; (σελ.218) Με τι ισούται ο όγκος μως πυραμίδας; (σελ.219)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/21
-------
Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρας -------
Ε παναλ η πτ ι κές Ασκ ή σε ι ς Άλγεβ ρ ας B � z . Να λυθούν
οι εξισώσεις: ' 5χ - 2 6χ - 2 3χ - 4 = -- + 1 ι) 2 χ - -- + 2 2 5
ii) 2χ - 1 4χ - 3 + χ - 1 - 1
5
-
3
2
=
χ + 3 - .! 2 2 6 2-
3χ
-
ω --4 4(2ω + 3) = ω - 2 ... 2 111) + 21 -54 2 3Χ +3 !_ι 5χ - 1 0 2 = 2χ - 3 + -ίν) 2 + 7 5 35 Βυ. Αν για τον αριθμό α γνωρίζετε ότι: 2α - 4 α α - 1 -- + - = -- + α - 1 , να βρείτε τον αριθ2 5 3 μό χ για τον οποίο ισχύει: αχ - 1 4χ + 2 χ + 5 2χ + α -- + + 1 - α = -- + + 2χ. 2 2 α 5 Β�.ι. Να βρείτε τις τιμές των λ και μ για να είλχ μ χ μ χ ναι η εξίσωση: + 2 = λχ+ l + μ , +
; ;
�
αόριστη Β_, .,_ Να λυθούν οι ανισώσεις: 3ω - 1 2 _ 5ω - 1 < ω + 5 α) 10 5 3 ψ-3 ψ-4 ψ-5 > + +1 β) 2 4 3 ω ω - 3 2ω - 3 γ) 2- > -63 -�χ - 3 1 - χ 2χ - 6 < 3χ - 2 � + δ) 2 18 9 2 3 Β_, ι;_ Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώω+4 ω-4 3ω - 1 σεων: -- - -- < 2 + -- και 5 5 3 ω - 1 ω - 23 < ω+4 7 7 5 4 B _n. Να βρείτε τις ηλικίες τριών αδελφών αν ο πρώτος είναι μεγαλύτερος του δεύτερου κατά τρία (3) έτη, ο δεύτερος είναι μεγαλύτερος του τρίτου κατά τέσσερα (4) έτη και το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 59 έτη. Β.,8. Σε ένα τμήμα της Β ' Γυμνασίσυ, οι μαθητές είναι τρur.λάσιοι ωτό τις μαθήτρtες. Μtα μέρα που αποοοί_
_
τέσσερtς μαθητές και τέσσερtς μαθήτρtες, οι μαθητές ήταν επrοπλάσι.οι ωτό τις μαθήτρtες. Πόσους μαθητές και πόσες μαθήτριες tχει το τμήμα; ασαν
B3<J.
Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστά-
J � Β= J6 + �6 + �6 + .J9
σεων: A= 1 2 + 1 2 + �1 4 + ..J4
Γ=
�2-/49 + 3Μ - 1
2
� Η +9
+ �7 + ..J4 �2 + ..J4 Κ�ο. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB=l 5cm και ΑΓ = 20 cm. Να υπολογίσετε: α) Την υποτείνουσα ΒΓ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου. γ) Το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτεί νουσα. δ) Τα μήκη των τμημάτων ΒΔ και ΓΔ στα ο ποία διαιρείται η υποτείνουσα ΒΓ από το Δ. 84 ι . Δίνεται το ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ στο οποίο Α = Δ = 90°. Αν ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 1 Ο cm και ΓΔ = 1 2 cm, να υπολογίσετε: α) Το μήκος της πλευράς ΑΔ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΜΒΓ, όπου Μ το μέσο της πλευράς ΑΔ. Β.ι2. Στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ, οι κορυφές έ χουν συντεταγμένες: Α(Ο,4), Β(3,0), Γ(9,8) και Δ(6, 1 2). Να το σχεδιάσετε και να βρείτε: α) Τα μήκη των πλευρών. β) Την περίμετρο του σχήματος. γ) Το είδος του. Βυ. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες (ει): 2χ+ 3ψ=12 , (ε ): ψ=2 και 2 ε ( 3): χ= � . Να βρείτε τις συντεταγμένες των 2 κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ που ορίζεται από τις ευθείες αυτές. 844. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η ο ποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αν γνωρίζεται ότι διέρχεται και από το σημείο Α(2,3). Ποια είναι η κλίση της ευθείας; Β.ιs. Δίνονται οι ευθείες (ει): ψ=2(κ - Ι )χ - 3 και (εz): ψ=(5 - κ)χ + 1 . Να βρείτε την τιμή του κ αν γνωρίζετε ότι οι ευθείες ει και εz είναι παράλλη λες και στη συνέχεια να τις σχεδιάσετε στο ίδω σύστημα αξόνων. Συνf:χεια στην σελίδα 27
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/22
«Η
απολογία ενός Μαθ η μ {χτ m Κ()ύ
=�ccc==c"=--"''='='"" '==cc.==-c= c = � -=o.;:cc==c.-cco==--===:cc=o===c=c=c=-cco=cco=.===-ccoc====c===-=c==-cc=·=c.==--=c -
Σταυρούλα Αλαφάκη
«Απολογείται» ο καθηγητής Σταύρος Γ. Παπασταυρίδης
Γεννήθηκε το 1946 στα Πατήσια της Αθήνας και οι δρόμοι μας συναντήθηκαν 50 χρόνια αργότε αίθουσες του Πανεπιστημίου Αθηνών. Τυχαία! Χωρίς να έχω επιλέξει το μάθημά του, ,--:.--"---.μπήκα στην αίθουσα όπου δίδασκε για να κρατήσω σημειώσεις για έναν απόντα συμφοιτητή. Στη θέση της τυπική ς παράδοσης που περίμενα συνάντησα πραγματική διδασκαλία! Ανάμεσα στα μαθη ματικά εμφανιζόταν η ιστορία, η κοινωνιολογία, η φtλοσοφία, η αρχαία τραγωδία, η λογοτεχνία. Το μάθημα έγινε για μένα αφορμή για γνώση. Ήμουν εκεί, σε κάθε διάλεξη, με τη γλυκιά προσμονή της έκπληξης στην πορεία της διδασκαλίας. Πάνω από μία δεκαετία πτυχιούχος πλέον, εmχειρώ μιαν εκ νέου γνωριμία με το «δάσκαλό» μου, εμπνευσμένη από τους δικούς μου μαθητές και τις διαρκείς απορίες τους: «Πώς είναι κάποιος που έχει έφεση και ασχολείται με ανώτερα μαθηματικά; Πόσο «tδιαίτερος» είναι; Πώς καταλαβαίνει την κλίση του; Μπορείτε να μας γνωρί σετε κάποιον;». Να η ευκαιρία σας λοιπόν «παιδιά μου»! Ας γνωρίσουμε έναν «ιδιαίτερο» επιστή μονα και ας κάνουμε όλοι μαζί ένα ταξίδι στη γνώση αφού η «απολογία» αυτή δεν είναι απλά βιο γραφική . . . Σας εγγυώμαι πως στο τέλος του άρθρου θα θυμηθείτε το σχόλιο της αρχής! Πως πα ρακολουθήσατε μία διάλεξη ευρέος φάσματος . . . -
ΚΕ�Ο
Σ.Α.: Καλημέρα κ. Παπασταυρίδη. Επιτέλους, ήρθε η σειρά μου να σας εξετάσω. Α ν κάποιος σας παρακολουθήσει, καταλαβαίνει ότι έχετε έφεση και γνώση και άλλων επιστημών. Γιατί σπουδές στα μαθηματικά και όχι στην ιστορία, τη φυσική ή κάποιο άλλο πεδίο; Σ.Γ.Π.: ΧΑ! ΧΑ! ΧΑ! Τι περιμένετε να απαντήσω; Μήπως, πως 8 ετών άκουσα για τα κατορ θώματα του Αρχιμήδη και θέλησα να του μοιάσω; Θα ήταν μια ωραία ιστορία, αλλά δεν θα ήταν αλήθεια. Ο Ερρίκος Σλήμαν2 είχε πει κάτι τέτοιο, πως όταν ήταν 7 ετών, διάβάσε την Ιλιάδα του Ομήρου και έκανε όνειρο της ζωής του να βρει τις πόλεις της Τροίας και των Μυκηνών. Όμως ιστορικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ο Σλήμαν κατασκεύασε την ιστορία εκ των υστέρων. Το πρώτο ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά εμφανίστηκε στη Β' Γυμνασίου. Στη δε καετία του'50 πήγαινα στο Βαρβάκειο Γυμνάσιο, σχολείο που επέλεγε τους μαθητές του κατόmν σκληρών εξετάσεων και στο οποίο καλλιεργείτο μια ατμόσφαιρα μεγάλου ανταγωνισμού μεταξύ τους. Ήμουν μέτριος μαθητής ( μάλλον λόγω της απότομης αλλαγής της κοινωνικής ατμόσφαι ρας, από το συνοικιακό δημοτικό, στο «παναθηναϊκό» Βαρβάκειο) και αυτό, στην ατμόσφαιρα του σχολείου τότε, συνιστούσε μεγάλο κοινωνικό ψόγο. Ο μαθηματικός του σχολείου ήταν θρυλικός για την αυστηρότητα του, τόσο, ώστε οι μαθητές τον αποκαλούσαν ...Ντίλιγκερ3 ! Κάποια στιγμή, απάντησα τελείως τυχαία σε μια δύσκολη ερώτησή του και εκείνος δεν έκρυψε την έκπληξή του μα και την εκτίμησή του για την απάντηση μου αν και δεν ήμουν από τους «καλούς» της τάξης. Αυτό με ενθάρρυνε και στο επόμενο μάθημα πήγα ιδιαίτερα διαβασμένος. Μάλιστα, είχα διαβάσει και παρακάτω. Για το λόγο αυτό και μόνο απάντησα σε κάποιες δύσκολες ερωτήσεις που μας έκανε. Ε, αυτό ήταν! Η ενθάρρυνση λειτούργησε και ήταν πλέον μεγάλη μου χαρά να διαβάζω μαθηματικά. Όπως βλέπετε, το ξεκίνημα ήταν, σε μεγάλο βαθμό, θέμα τύχης και το κίνητρο ήταν κάποιου είδους «κοινωνική προβολή» στο μικρόκοσμο του σχολείου. 1
Ο τίτλος ανήκει στο ομώνυμο βιβλίο του G. Η. Hardy ενώ η ιδέα να αποδοθεί στο άρθρο αυτό ανήκει στο Δρ υστάθι Ε ο Κουκέα, φίλο των Μαθηματικών αλλά διδάκτορ α της Χημείας! 2 http://el. wikipedia. org/wiki!Eρρίκoς_Σλήμαν 3
http://www.sansimera.gr/biographies/130
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/23
-------
Η απολογία ενός μαθηματικού
Αυτό το ξεκίνημα, στη Β ' Γυμνασίου, ήταν αρκετό για να σας οδηγήσει μετά από 4-5 χρόνια στο Τμήμα Μαθηματικών; Σ.Α. :
Σ.Γ.Π.: Μάλλον όχι. Στα επόμενα χρόνια του Γυμνασίου - σημερινού Λυκείου- διάβαζα μαθη ματικά και πέρα από τη σχολική ύλη, για το κέφι μου. Με γοήτευε η αλήθεια, που στα μαθη ματικά είναι πιο ασφαλής από άλλες επιστήμες. Εξάλλου, το κοινωνικό περιβάλλον ενθάρρυνε την μελέτη των μαθηματικών, καθώς η γνώση τους ήταν απαραίτητη για την είσοδο στο Πολυτεχνείο. Το πτυχίο του μηχανικού ήταν τότε συνώνυμο με σίγουρη, καλά αμειβόμενη επαγγελματική σταδιο δρομία και κοινωνική αποδοχή. Δεν ήξερα όμως αν αυτό με κά λυπτε! Όπως είχε πει ο Λουκιανός Κηλαϊδόνης, που είχε σπουδάσει Α ρχιτεκτονική, «δεν είχα όρεξη να ασχολούμαι με αντιπαροχές και πανωσηκώματα». Ήξερα πως ήθελα να εμβαθύνω στα μαθηματικά! Από την άλλη πλευρά, δεν μου άρεσε η ιδέα πως επιλέγοντας σπουδές στα μαθηματικά, η κύρια προοπτική θα ήταν η διδασκαλία καθορισμένης-τυποποιημένης ύλης, στη Β 'βάθμια εκπαίδευση. Η διδασκαλία, μου αρέσει και με εμπνέει, όταν έχει το στοιχείο της Βαρβάκειο ελευθερίας των επιλογών. Όμως, αισθάνομαι άλλου είδους υψηλότερο ενθουσιασμό στη διαδικασία της μαθηματικής ανακάλυψης. Σ.Α.: Γιατί τελικά η πλάστιγγα έγειρε στο Τμήμα Μαθηματικών και όχι στο Πολυτεχνείο; Σ.Γ.Π.: Από ένα φαινομενικά τυχαίο μα καθοριστικό γεγονός. Συνάντησα, το Σεπτέμβριο του 1963, μαθητής στην ισοδύναμη της Β ' Λυκείου, το Γεράσιμο Λεγάτο που τότε ήταν υφηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεmστημίου Αθηνών. Μου προσέφερε διέξοδο πληροφορώντας με πως υπάρχουν και άλλες δυνατότητες πέρα από την καριέρα του καθηγητή στη Β 'βάθμια Εκπαίδευση . Αν γινό μουν κομμάτι της Πανεπιστημιακής κοινότητας θα μπορούσα να ασχοληθώ με την έρευνα στα μαθηματικά. Μόνο που τόνισε πως θα έπρεπε να φύγω από την Ελλάδα, καθώς τότε, οι πανεπιστημιακές θέσεις, συνήθως ήταν ή κληρονομιά από γονέα ή προίκα από σύζυγο! Ο Λεγάτος, τότε και τώρα, πνευματώδης και βαθύς κοινωνικός αναλυτής. Τότε, στο σπίτι του, γνώρισα και ένα νέο ανερχόμενο ερευνητή των μαθηματικών (αργότερα δάσκαλό μου στο Πανεπιστήμιο και φίλο μου), τον οποίον μου ανέφερε σαν παράδειγμα: «Να γίνεις σαν το Θό δωρο το Μπόλη». Αυτή η συνάντηση τον Σεπτέμβριο του 1963 με το Λεγάτο, για τη μικρή μου ασημαντότητα, ήταν η Σαλαμίνα, η «θάλαττα» του Ξενοφώντα, ο δρόμος για τη Δαμασκό του 4 Παύλου, το ιερό δισκοπότηρο του Σερ Γκάλαχαντ , το Βαλμύ5 , το Στάλινγκραντ6, το Ντιέν Μπιέν Φου 7, όλα μαζί. ... Σ.Α. : «0 aστάθμητος παράγων στην ιστορία>/ λοιπόν! Μόνο η τύχη καθόρισε την πορεία σας; Σ.Γ.Π. : Πώς προχωρούμε στην ζωή είναι εξαιρετικά σύνθετο. Θα αποτελούσε αλαζονεία η άρ νηση του ρόλου της τύχης. Όμως παίζουμε ρόλο και εμείς. Πιθανολογώ ότι ακόμα και αν δεν συνέβαιναν κάποια τυχαία γεγονότα και ακολουθούσα το Πολυτεχνείο, κάποτε θα κατέληγα στα μαθηματικά. Δε θα άντεχα την τυποποιημένη εργασία του μηχανικού. Ήθελα να έχω ελεύθερο χρόνο να σκέφτομαι, να συζητώ , να μελετώ , να ερευνώ. Μαθη ματικός μεν, πανεπιστημιακός δε. Αυτό ένιωθα πως με γέμιζε. Όμως, έχει μία δυσκολία να αντιδράσεις στις πιέσεις του κοινωνι κού περιβάλλοντος. Για παράδειγμα, όταν η μητέρα μου τελείωνε το ισοδύναμο του Λυκείου κοντά στα 1 940, είπε στον παππού μου ότι θα ήθελε να πάει στη σχολή του Εθνικού Θεάτρου, «όπως πήγε και η Μελίνα»9 • Ο παππούς μου ήταν σαφέστατος: «Οι καθώς πρέπει κοπέλες ΔΕΝ πάνε στη σχολή του Εθνικού Θεάτρου. Η Μερκούρη είναι κόρη χωρισμένων γονέων!» Ο παπ4 5 6 7
http://el.wikipedia.org/wίkί/Άγιo_Δισκoπότη ρo http://en.wikipedia.org/wίkί/Battle_of_Valmy http://el. wίkίpedίa.org/wίkί/Mάχη_του_Σταλινγκραντ
http://en. wίkίpedίa.org/wίkί/Battle_of_Dίen_Bien_Phu τίτλος βιβλίου που κυκλοφορ εί από τις εκδόσεις «Ενάλιος». 9 Η Μελίνα Μερκούρη ή ταν μαθήτρ ια στο 8° Γυ μνάσιο στην πλατεία Κολιάτσου & ήταν δύο χρόνια μεγαλύτερη από τη μητέρα μου . 8
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/24
-------
Η απολογία ενός μαθηματικού
--------
πούς μου απέρριψε ακόμα και τη ν προοπτική σπουδών στο Πανεπιστήμιο, εκφράζοντας την πεποίθηση της εποχής για τις γυναίκες: Τα τρία Κ που πρέσβευε και η τότε γερμανική κοινω 0 νία 1 : Κinder (παιδιά), Kirche (εκκλησία), Kitchen (κουζίνα). Η μητέρα μου το δέχτηκε στωικά! Εγώ πάλι αν και εναντιώθηκα στο Πολυτεχνείο, απέρριψα τις σπουδές στη ν Ιστορία. Μου αρέσει πολύ να μελετώ ιστορία αν αζητώντας τις βαθύτερες κοινω νικές διεργασίες που προκα λούν τα γεγονότα. Απέκτησα τη ν αγάπη αυτή από τον πατέρα μου που μας μάζευε με τα δύο αδέλφια μου και μας διάβαζε τη ν «Ιστορία του Ελλη νικού Έθνους» του Κ. Παπαρηγόπουλου. Η τότε κοιν ωνία, κατέτασσε υψηλότερα τις θετικές επιστήμες καθώς οδηγούσαν σε καλύτερα αμει βόμενη σταδιοδρομία. Πιθανόν, αν η αξιολόγηση της κοινωνίας ήταν διαφορετική , να είχα στραφεί στη ν ιστορία. Επανειλημμέν ως έχω αναρωτηθεί εάν είχα κάποια γενετική προδιάθεση προς τα μαθηματικά. Αυτό δεν το ξέρω και ίσως ν α μη ν το μάθω ποτέ. Συνοψίζοντας, τρεις παράγοντες φαίνεται να με επηρέασαν : ο κοινωνικός περίγυρος, η τύχη και ε νδεχομένως, η γενετική προδιάθεση.
�2ος σταθμός: Προπτυχιακά χρόνια - ΠΑΝΕΗΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Σ.Α.: Φοιτητής στο Τμήμα Μαθηματικών! Περιγράψτε μας την εμπειρία σας.
Σ.Γ.Π.: Ξεκίνησα τη φοίτηση στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών το 1 964. Σχεδό ν όλα μου φαίνονταν άσχημα. Τα αυτονόητα σήμερα ήταν εξαιρέσεις τότε! Η διοικητική δομή ήταν ιδιαίτερα αυταρχική. Ήταν πρακτικώς αδύν ατο φοιτητής ν α μιλήσει σε καθηγητή . Πληροφορίες για το μάθημα δίν ονταν μέσω βοηθών ή επιμελητών και t <1 σε ένα κλίμα αδιαφορίας για τους φοιτη τές. Μάλλον το επιστημονικό .z;-' επίπεδο του διδακτικού προσωπικού ήταν γενικώς χαμηλό και η ' αυταρχικότητα ήταν η αναγκαία ασπίδα. Υπήρχαν λίγες τιμητικές εξαιρέσεις. Κύρια εξαίρεση, ο καθηγητής Δ. Κάππος και τα στελέχη της έδρας του, μεταξύ των οποίων και οι Γ. Λεγάτος, Θ. Μπόλης, Λ. Τσίτσας, Α. Μάλλιος, Β. Στάικος, Α. Καρτσάτος. Σε αυτούς βρήκα κάποιου είδους καταφύγιο. Συζητούσα για μαθηματικά μαζί τους και μου έκαναν υποδείξεις για περαιτέρω μελέτη. Σημαντικές εξαιρέσεις και οι Σ. Ζερ βός, Α. Παναγιωτόπουλος και Φ. Χατζηιωάννου (η σειρά είναι . . . αλφαβητική). Για αυτές τις πηγές μείζονος επίδρασης επάνω ι 11 Τμήμα Μαθηματικών, μου αξίζει να είμαι κάπως αναλυτικός. σημερινή Νομική Σχολή Ο Δημήτριος Κάππος ήταν ο μόνος που δίδασκε με νοοτροπία 20°υ αιώνα και προωθούσε σοβαρή σχέση με την μαθηματική έρευνα, αυτός και οι περί αυτόν. Κρί νοντας εκ των υστέρων, το μάθημά του είχε φορμαλιστικό χαρακτήρα. Τα μαθηματικά παρου σιάζονταν σαν πνευματικό παιχνίδι άσχετο με την ιστορία του ανθρώπου. Όμως, όπως και να το δει κανείς, δίδασκε σύγχρονη μαθηματική επιστήμη, κάτι σπάνιο στη μεταπολεμική Ελλάδα. Ο Αντώνης Παναγιωτόπουλος, επιμελητής τότε του τμήματος, τόνιζε, ενάντια στην κρατούσα άποψη , πως υπάρχουν και Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και πως είναι σοβαρή συνιστώσα της μαθηματική ς €Πιστήμης. Σημαντική προσφορά, το «σεμινάριό 1 1 » του, κάτι πρωτόγνωρο για την Ελλάδα του '64. Γινόταν κάθε Σάββατο βράδυ στο μαθηματικό σπουδαστήριο (εκεί είναι σήμε ρα η Νομική Σχολή), συμμετείχαν κυρίως επιλεγμένοι φοιτητές και παρουσιάζονταν εργασίες σε θέματα εφαρμοσμένων μαθηματικών. Για να καταλάβουμε καλύτερα την Ελλάδα του τότε και τις διαφορές της από τη σημερινή , αξίζει να αναφέρω ότι άλλοι πανεπιστημιακοί εξέφραζαν τη δυσφορία τους για τέτοιες πρωτοβουλίες. Ο Σπύρος Ζερβός δίδασκε μαθηματικά σε άλλα Τμήματα της Φυσικομαθηματικής Σχολής (σήμερα Σχολή Θετικών Επιστημών). Ήταν ανοικτός σε συζήτηση με τους φοιτητές, κάτι σπά νιο εκείνη την εποχή. Είχε οργανώσει και αυτός ένα σεμινάριο με έντονη ατμόσφαιρα διαλό γου, πληροφόρησης, ανταλλαγής απόψεων, μια γενικότερη ζωντάνια. 10 Τόσο, που στο Β 'Π αγκό σμιο πόλε μο, η γερ μανική ηγεσία απέρριψε την ιδέα της γυναικείας εργασίας στα εργο στάσια ώστε να πάνε περισσότεροι άντρ ες στο μέτωπο , πάρ α τις ανάγκες που είχαν προκύψει. 11 Η & στ νεότε λέξη σεμινάριο είναι λατινικής προέλευσης η ρη ιστο ρική της χρή ση ση μαίνει μία ο μάδα ανθ ρώπων ,
που συναντώνται, συνήθως υπό την αιγίδα καθηγητή , να συζητή σουν προχωρη μένα θέ ματα & ν ' ανταλλάξουν ιδέες .
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/25
------ n
αποΑΟγια ενος μαuηματικου
-------
) Φωκίων Χατζηιωάννου ήταν καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής. Είχε μόλις έρθει από την φική και είχε άλλη νοοτροπία. Αυτή του Αμερικανικού πανεπιστημίου. Θυμάμαι μια μέρα ' μέσα σε συνωστισμό στο γραφείο του, κατά λάθος έσπρωξε έναν φοιτητή του . . . ζήτησε συγ Ιμη ! Μας έκανε εντύπωση και το σχολιάζαμε! Είχα έντονες «διαφωνίες» μαζί του σε θέματα 1ρητικής φυσικής, το ανεχόταν και το καταπληκτικό ήταν (εδώ φαίνεται η αξία του), ότι δε αν να το συζητήσει με ένα. . . «φοιτητάκο». Στο μάθημα της Κβαντομηχανικής, μας είχε υπο ;ει για μελέτη, ίσως το πιο επιτυχημένο βιβλίο που γράφτηκε σε οποιαδήποτε θετική επιστή tον 20° αιώνα, το «Principles of Quantum Mechanics» του Ρ.Α.Μ. Dirac 12 που εκδόθηκε το Ο. Εγώ, επέμενα ότι είναι γεμάτο λάθη, εκείνος, γεμάτο ιδέες και ζωντάνια! ,.: Προφανώς, δεν είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το βιβλίο του Dίrac ((είναι γεμάτο λάθη». '.Π.: Είναι θέμα διαφορετικής οπτικής φυσικών και μαθηματικών! Ο Dirac, μέσω των μαθη ικών, έβαλε μία τάξη στις μεγάλες ιδέες της Κβαντομηχανικής, που αναπτύχθηκαν στα προ ύμενα 30 χρόνια. Όμως τα «μαθηματικά» των Φυσικών και τα «μαθηματικά» των Μαθη ικών παραδοσιακά διαφέρουν μέσα στην ιστορία. Οι φυσικοί, συνήθως δεν έχουν το επίπεδο ισης των μαθηματικών θεωριών που έχουν οι σύγχρονοι τους μαθηματικοί. Λογικό, δε μπο το ίδιο άτομο να γνωρίζει τέλεια και μαθηματικά και φυσική. Αν και οι θεωρητικοί φυσικοί ς μαθαίνουν περισσότερα μαθηματικά από ένα μαθηματικό, τα μαθαίνουν διαφορετικά, σε )τερη πληρότητα, έως το σημείο που καλύπτει την έκφραση των ιδεών τους για τη φύση. Το 2 εκδόθηκε ένα άλλο διάσημο βιβλίο για την θεμελίωση της Κβαντομnχανικής, το «The �hematical Foundations of Quantum Mechanics» του John νοη Neumann 13 και ήταν γραμμέ .ιε τον πλέον ακριβή μαθηματικό τρόπο γραφής. Όμως ελάχιστοι φυσικοί το διάβασαν και η iρασή του ήταν μικρή σε σχέση με το βιβλίο του Dirac. Σε κάποιον διαξιφισμό μας, ο Χα ιωάννου είπε: «0 νοη Neumann ήταν πολύ καλός επιστήμων αλλά ο Dirac ήταν ιδιοφυία». )ι συζητήσεις με τον Χατζηιωάννου ήταν καταλυτικές για μένα, άνοιγαν τους ορίζοντές μου ! επι_στήμονας, ήταν φιλοσοφημένος, χαρακτηριστικό ασύνηθες στη γενιά του και σπάνιο σή α. Καταλάβαινε πως μέσα στην πορεία των επιστημών, το στάδιο: διατύπωση ερωτημάτων J.όρφωση μιας ιδέας, είναι σημαντικότερο του σταδίου: επιβεβαίωση-απόδειξη της ιδέας αυτής. ,. : Εδώ, μπορείτε να γίνετε πιο αναλυτικός; Νομίζω πως οι μαθητές μας προβληματί rαι συχνά για το ((Πώς)) και το (ηιατί)) οδηγηθήκαμε σ ' ένα θεώρημα. Αναζητούν τι προη ηκε της απόδειξης και ίσως αν ήξεραν, θα ήταν προς όφελος της μάθησης! .Π.: Ας πούμε για το διασημότερο ίσως θεώρημα των μαθηματικών, το Πυθαγόρειο Θεώρη Στα διδακτικά βιβλία, συνήθως βλέπουμε την απόδειξη. Γιατί να δίνουμε αποδείξεις και όχι πιο εμπειρική διαδικασία όπου μετράμε τα μήκη των πλευρών; Γιατί να μελετάμε με έμφαση :ρίγωνα και όχι άλλου είδους σχήματα; Γιατί να θεωρήσουμε πιθανό να υπάρχει κάποια με :ή σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου; Γιατί να υποπτευθούμε ότι ισχύει το Πυθα ειο Θεώρημα; Αυτά και άλλα τέτοια ερωτήματα, προηγούνται της τελικής διατύπωσης και δειξης του θεωρήματος που παρουσιάζεται στα βιβλία. Ίσως βοηθάει να το .καταλάβουμε ύτερα, αν σκεφτούμε κάτι ανάλογο σχετικά με το σκάκι. ΚάΠοιος μας λέει «παίζουν τα λεύ cαι κάνουν ματ σε τρεις κινήσεις». Όταν μας τίθεται σαν πρόβλημα, τα πράγματα είναι σχε )ς ευκολότερα διότι εμμέσως γνωρίζουμε ότι υπάρχει λύση. Γίνονται όμως δυσκολότερα, αν :ρώτημα τεθεί ως εξής: «Υπάρχει κίνηση των λευκών που οδηγεί σε ματ σε τρεις κινήσεις;». ακόμα δυσκολότερα αν απλώς παίζουμε μια παρτίδα σκάκι, φθάσουμε σε θέση «ματ σε .ς κινήσεις» και αναμένεται από εμάς να το συνειδητοποιήσουμε. Η πραγματική ιστορία της rτήμης είναι αυτή η τελευταία περίπτωση. Μου πήρε χρόνια να τα καταλάβω αυτά και ασφα η διερεύνηση αυτών των ζητημάτων δεν φαίνεται να τελειώνει. Όμως η αρχή για μένα, ήταν �ς οι συζητήσεις με τον Χατζηιωάννου.
Συνεχίζεται. . . «πέρα από τον Ατλαντικό» . . . p://el. wikipedia. orglwikiffioλ Ντιραιc p://el. wikipedia.org/wikifΓζov φον_Νόιμq.ν _
_
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/26
------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας �υνf:zεια αΊη'ι σελίδα 2 2 Β_μ,_
Αν η ευθεία (ει): ψ=3χ + κ διέρχεται από
το σημείο Α(Ο, -2) και η ευθεία (ε ): ψ=4χ +λ 2 διέρχεται από το Β(Ο, -3) , να βρείτε τις εξι-
-------
σώσεις τους, να τις σχεδιάσετε στο ίδιο σύ στημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους.
Επαναλι1 πτ ι κές Ασ κ ήσε ι ς Γε ωμε τ ρ ία ς
Να βρεθεί το εμ βαδόν της γραμμοσκια σμέvης περιοχής στο παρακάτω σχήμα: Δί δονται AB=AΓ=BA=l Ocm. Β�ι.
Παναγιώτης Κυ ράνας Bs3. Γ i) Να βρείτε το μήκος (S) ενός τόξου μ0 σε κύκλο ακτίνας ρ. ii) Να δικαιολογήσετε γιατί ένας κύκλος εί ναι 2π ακτίνα; Στο σχήμα είναι Βs-ι. Α = 90° ' Β ΑΒ = ΑΓ = .J8cm , Γ Μ μέσο της υπο τείνουσας ΒΓ, και δύο κυκλικοί το μείς με κέντρα Β και Γ και ακτίνα ΒΓ , τ · Να βρειτε
======
----- =====
Α
Να βρεθεί το εμ βαδόν της γραμμοσκι ασμένης περιοχής στο παρακάτω σχήμα: Δί δονται AB=AΓ=BA=20cm Μ, Ν, Κ μέσα των πλευρών. Β 20cm Κ 13�9. Να βρεθεί το εμ βαδόν της γραμμο σκιασμέvης περιοχής στο παρακάτω σχήμα: Δίδονται: ΑΒΓΔ τε πλευράς τράγωνο 20cm, εγγεγραμμένος κύκλος (Ο,Ρ). Δ Γ Bso. i) Να βρείτε το εμβαδόν ενός κυκλικού το μέα ω0 σε κύκλο ακτίνας ρ. ii) Να εκφράσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα μ0 συναρτήσει του μήκους (S) του αντίστοιχου τόξου του. Β5 ι . Στο σχήμα έ χουμε δύο κύκλους (O,Om) και (Λ, ΛΜ) με ΜΟΕ = 40° Να βρείτε πόσες μοίρες Β_μ;
το εμβαδόν της Ν ν'Scm Β γραμμοσκιασμέ νης επιφάνειας ΑΝΜΛ. Bs5. Στο σχήμα δίδεται ένας κύκος (Ο,Ρ) και ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευρά μήκους J2 Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμέvης επιφάνειας. B sc,. Να βρεθεί το εμ βαδόν της γραμμοσκιασμέvης περιοχής του παρακάτω σχήματος. _;.,.-____ __,
---
είναι το τόξο ΜΕ , --το τόξο ΜΖ και να Λ το δικαιολογήσετε. ο = 90° Μ μέσο της Στο σχήμα είναι Α , Bs2. !Ocm υποτείνουσας ΒΓ, Γ = 30° , Β = 60° , AB=6cm Bs7. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκια και ΑΓ = 6.fi . Να βρείτε το εμβαδόν της . σμέvης περιοχής που φαίνεται στο παρακάτω γραμμοσκιασμέvης περιοχής ΑΜΛ. σχήμα. Δίδονται: AB=AΓ=BA=l Ocm ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'
80 τ.4/27
Οι εξάρες
Τάξη
Δ
======
λννα �ξανδράτου
υο φίλοι παίζουν τάβλι σ' ένα καφενείο. Αφού το παιχνίδι παίζεται για αρκετή ώρα, ξαφνικά ένας αναφωνεί: <<'Έφερα εξάρες, έφερα εξάρες, τώρα θα σε νικήσω! » Κάποιος άλλος που τον ακούει από το διπλανό τραπέζι τον ρωτά: «Και τι έγινε; Γιατί τόσο πολλή χαρά;» και του απαντά: «Ξέρεις φίλε πόσο δύσκολο είναι να φέρεις εξάρες; 2 , 777 . %. Για φέρτες κι εσύ ! » Άραγε δικαιολογείται η χαρά του παίκτη και η απάντησή του ότι η πιθανότητα να φέρουμε εξάρες, ρίχνοντας ταυτόχρονα δυο ζάρια (6+ 6= 12) είναι 2,777 . . . % (περίπου 2 , 8%); Ας προσπαθήσουμε να το ερμηνεύσουμε. Όταν παίζουμε τάβλι ρίχνουμε ταυτόχρονα δυο ζάρια και μετακινούμε τα πούλια με βάση τις ενδείξεις, δηλαδή τους αριθμούς που εμφανίζονται στα ζάρια. Είτε μετακινούμε κάθε ζάρι χωριστά, αντίστοιχα με κάθε ένδειξη, είτε μετακινούμε ένα πούλι με βάση το άθροισμα των δυο ενδείξεων. Το καλύτερο σαφώς αποτέλεσμα από την ταυτόχρονη ρίψη των δυο ζαριών είναι οι εξάρες που αντιστοιχεί στη μετακίνηση 1 2 θέσεων στα πούλια. Ρίχνοντας ταυτόχρονα δυο ζάρια, π.χ. ένα κίτρινο και ένα λευκό, τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν παριστάνονται στον παρακάτω πίνακα: .
� [] D [] D [ZJ []
[]
D
[]
D
[ZJ
[]
(2, 1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2 ,5)
(2,6)
(3, 1 )
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4, 1 )
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5, 1 )
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(6,6)
(6, 1 )
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
(1,1)
( 1 ,2)
( 1 ,3)
( 1 ,4)
( 1 ,5)
.
( 1 ,6)
Η ταυτόχρονη ρίψη δυο ζαριών είναι ένα πείραμα τύχης:, Να θυμόμαστε ότι: Πείραμα τύχης λέμε κάθε πείραμα που εκτελείται κάτω από ορισμένες συνθήκες, το οποίο μπορούμε να το επαναλάβουμε πολλές φορές με τις ίδιες ακριβώς συνθήκες, χωρίς όμως να μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης το λέμε Δειγματικό Χώρο του πειράματος και το συμβολίζουμε με Ω ή S. Το πλήθος των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου Ω συμβολίζεται με Ν(Ω). Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου το λέμε ενδεχόμενο του πειράματος τύχης. Αν κατά την εκτέλεση ενός πειράματος τύχης προκύψει αποτέλεσμα που ανήκει σ' ένα ενδεχόμενο Α τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται. Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου Α που πραγματοποιείται λέγον�αι ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του και το πλήθος των στοιχείων αυτών συμβολίζεται με NCA). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/28
Οι εξάρες
-------
------
Έτσι ο Δειγματικός Χώρος Ω του πειράματος τύχης της ρίψης των δυο ζαριών φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και είναι Ω= {( 1 , 1), (1 ,2), ( 1 ,3), ( 1 ,4), ( 1 ,5), ( 1 ,6), (2,1) (2 ,2), (2 ,3 ), (2,4),(2,5), (2 ,6), (3, 1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6, 1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} . Το πλήθος των στοιχείων του δειγμαnκού χώρου Ω είναι Ν(Ω)=36. Ο Δειγματικός Χώρος Ω είναι βέβαιο ενδεχόμενο διότι πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος τύχης. (Δηλαδή όσες φορές και να επαναλάβουμε την ταυτόχρονη ρίψη των δυο ζαριών το αποτέλεσμα είναι μέσα στο σύνολο Ω). Για να δικαιολογήσουμε τη χαρά του παίκτη που έφερε εξάρες και ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα να φέρει εξάρες είναι 2 , 777 . . % ας φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα αθροίσματος των ενδείξεων των δυο ζαριών. .
� [] D D [] D D
D
D
[]
[;]
�
[]
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
2
3
4
•
5
6
7
Παρατηρούμε ότι το ενδεχόμενο Α να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων 1 2 , δηλαδή «εξάρες» , έχει ένα μόνο στοιχείο από τα 36 στοιχεία του πίνακα (του δειγματικού χώρου) Δηλαδή Α= {(6,6)}, Ν(Α)=1 . Για παράδειγμα το ενδεχόμενο Β να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων 7 έχει 6 στοιχεία: Β={(6, 1), (5,2), (4,3), (3,4), (2 ,5), ( 1 ,6)} Ν(Β)=6 Δηλαδή το ενδεχόμενο Β έχει 6 στοιχεία από τα 36 στοιχεία του πίνακα. 1 Η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι 2 , 777 . . . %, δηλαδή - , δηλαδή μια φορά στα 36 36 1 δυνατά αποτελtσματα. Συμβολικά λέμε (Α) � 36 Γενικά να θυ μόμαστε:
lp
I·
Σ' ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα, πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α λέγεται Ρ (Α) =
Ν (Α) πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων ή αλλιώς Ρ ( Α) = Ρ ( Ω) πλήθος δυνατών περιπτώσεων
Πα ρ ατή ρ η ση : Σ' ένα πείραμα τύχης όπου κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει δεν έχει κανένα
πλεονέκτημα έναντι των άλλων δυνατών αποτελεσμάτων, όλα τα αποτελέσματα έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής. Τότε λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. Για παράδειγμα η πιθανότητα του ενδεχομένου Β να έχουμε άθροισμα ενδείξεων 7 Ν (Β) 6 1 Ρ (Β ) = είναι: = = Ν (Ω ) 36 6
------
Οι εξάρες
Δηλαδή 1 6,66 . . . % έναντι του 2, 77 . . %(πιθανότητας ενδεχομένου Α <<να φέρουμε εξάρες»). Γι' αυτό χαιρόταν ο παίκτης! Το ενδεχόμενο Α είναι το μοναδικό ενδεχόμενο του πειράματος με τη μικρότερη πιθανότητα!
�:_ .�, ι �I
Λραστη ρ ι{ιτητα 1 '1
Σύμφωνα με τους παραπάνω πίνακες βρείτε τα ενδεχόμενα και την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου: 1 . Ενδεχόμενο Γ: Να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων μεγαλύτερο του 5. 2. Ενδεχόμενο Δ: Να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων μικρότερο ή ίσο του 1 Ο. 3. Να φέρουμε άθροισμα ενδείξεων μεγαλύτερο του 5 και μικρότερο ή ίσο του 10.
·•
N O..,.w - � owMw �H
οτη Λεπτοκαρυά
• .
·•
Πιερία� στο Ξενοδοχείο •OLYMPIAN ΒΑΥ•
� ' �I j
ε ν ει πρ η Ε �� ���{i.ιc:t.�.�κοι ώσ . οχωρά tn τ μ�p�� ���:.=:�� ��Το 5ο Μ. Κ. Σ. θσ λεπουρνήσει από 24 Ιοuλlου -30 Ιouλlou 2011 στηΛετποιι:αρυά Πιιρlας στο Ξενοδοχεlο ιιΟLVMPIAN ΒΑΥ• 4 αστέρων. Το ώσιοςαuμμιτοχής νια κόθε μαθητή αvέρχιrαιστο ποσόν ιων4β0€ ιιαι τη φόρμα σuμμι:τοχής μπορεl να τη βρει ο ιιό:θε ενδιαφερόμενοι; στην mοσdύδατης Ελληνιtιής Μαθημαιικι'jι; Ετοιριlας www.hms.grτηλ. 210 3617784.210 3617784 fsx: 210 3841025 C,o
Φτιάξτε πίνακα πειράματος τύχης ταυτόχρονης ρίψης δυο ζαριών που να παριστάνεται το γινόμενο ενδείξεων δυο ζαριών. Βρείτε τα ενδεχόμενα και την � � πιθανότητα κάθε ενδεχομένου: �,, 1 . Ενδεχόμενο Α: Γινόμενο ενδείξεων ίσο με 30. �
I
�
�.!
·ι
ΜαΙJ ηιιατ ι κιi Κιιλοκιιιρ n•iι Σχολι'ίο οτον
Αγιο Ν ι κt)ληο Νι:ωοοας. · , ·
ι\ ρ αστη ρ ι6τητα 2 '1
..
il'i
·ι . ,. , �
....,.
l
' : }jf
ΠαριΊρτημα τη� :Ε Μ Ε του
I I II
.
�
Ν. ΗμιιΟίιι� cιπό :J1 lol'λiou ι ιιιι,; (J AιryoiHΠOΙJ 201 1 .
Ο ι μοθητt� θα διαμένουν στο Ξενοδοχεία 4ΙΒΕΡΜΙΟΝι. και «ΑΜΠΕΛΠΝΑΣιt.
Το παράριημα ιης Ε Μ Ε fOu Ν. Ημαθlας πραγμαrοποlησε στον Άγιο Νικόλαο Νάοuσος με μεγάλη εππυχΙσ το πρώτο Μαθημαιικό Κολοκαιρινό Σχολd:ι (Μ Κ Σ) rον Αύγοuαιο ιου 2007 κω tU1ύχrισι: να δει την πρωrσπόρα αυιή δρόσησ του να μετατρtπσαι σε θtσμό επcιι:ιόθηιιι: με νtα Μ Κ Σ που λεrτούρyησον παράλληλα ε άλλα σημεlα της Ελλάδας. Με τη γνώι:rη ιιαι ���7 �α5οττ:σ: =μ�= �� � ���= ς και αυτό το : � � =:: � �c: Το κόστος αuμμετοχfις για κόθε μαθητή ανtρχcται στο ποσόν των 480€ και ιη φόρμα σuμμειοχής μπορεl να τη βρει κάθε ενδιαφερόμενος στην ιστοσελlδα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρεlας Παρόρτημα Ν. Ημαθίας (www.emeimalhias.gr). που
ο
L-,---�-""'"·---=�,"�.,
-�--�.��
2. Ενδεχόμενο Β: Γινόμενο ενδείξεων τουλάχιστον 6. 3. Ενδεχόμενο Γ: Γινόμενο ενδείξεων το πολύ 20 4. Ενδεχόμενο Δ: Γινόμενο ενδείξεων μεγαλύτερο του 1 5 και μικρότερο του 30.
I
ΕΜΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗ ΠΑΙΡΕΙΑ
.
·�·-=--
Λσ ια1σεις για περ ισσ6τερη εξάσκη ση !
Γ ι 7• Σ ' ένα κουτί έχουμε 4 μπαλίτσες: μια λευκή, μια κίτρινη, μια πράσινη και μια μπλε: α) Βρείτε το δειγματικό χώρο σε καθένα από τα παρακάτω πειράματα τύχης: 1 . Παίρνουμε στην τύχη μια μπαλίτσα και βλέπουμε το χρώμα της. Mt ι δωσιο:<δuσιΙΙω ;ρόηο. με έ�uιιω τφι)βλf]μωι; δρuvτηριό1ητι:ς ΠfxJσπnθti �ιiνει Ο.ιωσηκ() έτ(Jr. εvδιυφιρην ιιιt..pών μn{tητ�ιν •.μβιιθύνσνν <ΊΕρΙ•JΌόπρο OΠJ'f �ηκηημη ηr, r.ψ<1PIJI1'{t<, 2. Παίρνουμε στην τύχη μια μπαλίτσα, ανι)tιtύ�ι;υν ικανύΊφ11 νιη oμOoλoyrκli σ"tψη σημειώνουμε το χρώμα της, την 3η Καλοκαιρινή Μαθηματική Κατασκήνωση επανατοποθετούμε ξανά στο κουτί και στη Σοφικό Κορινθίας συνέχεια παίρνουμε και πάλι μια μπαλίτσα, «Παιχνίδι και Μαθηματικά» σημειώνοντας το χρώμα της (φτιάξτε α ' περίοδος 24 Ιουλίου έwς 3 1 Ιουλίου 2011 β' περίοδος 31 Ιουλίου έwς 7 Αυγούστου 2011 πίνακα). "ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΚΑΙ JMAt!JNIMATIKA" 3. Εκτελούμε το πείραμα του ερωτήματος (2) yι� τous Μ�Ριιτέs τιιs ΔΊ Ε ' κ�ι �τ- Διιμοτικού σ)..).iJ. χωρίς να επανατοποθετήσουμε την πρώτη μπαλίτσα που παίρνουμε ξανά στο κουτί tΝό μιι6r:η1 ruι 1r1 φcιρμu σuμμt10Xti(, καθω<, β) 1 . Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγεί μια 1ΊΊ\rJP6ψrJ()Itς ΩΧ�iΙΚ(r jJΙ" "tΊλrψt"ς �,f;όγ{JCψ;ω QΗΡΙJδιί.Jν ΙJΠ(!pti rριι (I r-όθ;.. 1,\Ιδωφφόμι'Ιο<, ι11ην Ελληvικηc,. �.1uθι};.ιurι�<ής Erσφεlac,. η mu τηλ 2103616532 210)61 i7S μπαλίτσα κίτρινη; 2. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν μπαλίτσες ίδιου χρώματος στην περίπτωση επανατοποθέτησης; 3. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλεγούν δυο μπαλίτσες με πρώτη λευκή και δεύτερη μπλε στην περίπτωση: i) με επανατοποθέτηση, ii) χωρίς επανατοποθέτηση ΚUΙ
το μrΊtlημσ Ήον ΜαΟη�Jrιrικtί;ν t>UΙ νη κtνrrir•n
�<:>
rωv 'νlι1&ημαιικώv 1\α!
νιτ
να
;ων
'ΌUι., Ι<.αι vtτ
rι-v
Το KU<J!Oς σuμμΕrοχrΊ-. ηvίρ>;ηcrι 0'0 400 ιrφώ 10
ιvιοσελ!δCΙ ΊΙ!<,
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/30
ι;οι
Ι'Ο
I
J
ΟλΗ Η θΕΩΡΙΑ ΣΕ 82 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ! 1 Τι ονομάζετε δύναμη αν με βάση τον πραγ ματικό α και εκθέτη το φυσικό ν> 1 ; (σελ.17) 2. Ποιες είναι οι ιδιότητές των δυνάμεων με βάση πραγματικό και εκθέτη ακέραιο; (σελ.17) 3. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α; (σελ.20) 4. Ποιες είναι οι ιδιότητές των ριζών; (σελ.20) 5. Αν α � Ο και β � Ο να αποδείξετε ότι, Fa · JP = .ra:p (σελ.21) Α. 1 .
1.
6. Αν α � Ο και β > Ο να αποδείξετε ότι,
Fa Jβ =
Γα (σελ.21) γβ
Α. Ι . 5
22. Τι ονομάζεται ταυτότητα; (σελ.42) 23. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: ί. (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 2 2 2 ίί. (α -β) = α - 2αβ + β ίίί. 3 = 3 2 α + 3α β + 3αβ2 + β3 (α + β) ίν. - 3 3 - 3α2 β + 3αβ2 - β3 (α β) = α ν. 2 (α -β)(α + β) = α - β2 3 - 2 2 νί. 3 α - β = ( α β ) ( α + αβ + β ) ) ( α2 - αβ + β2) 3 νίί. 3 α + β =(α+ β ·
(σελ.43
Α. ι . 2
7.
20. Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό πολυώνυμο και ποιος ο βαθμός τους; (σελ.33) A. l . 4 2 1 . Πως πολλαπλασιάζουμε: α. Μονώνυμο με πολυώνυμο; β. Πολυώνυμο με πολυώνυμο; (σελ.38)
Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; (σελ.25) 8. τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής παράστασης; (σελ.25) 9. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζε ται ακέραια; (σελ.25) 10. Τι ονομάζεται μονώνυμο και ποια τα μέρη από τα οποία αποτελείται; (σελ.26) 1 1 . Ποια μονώνυμα ονομάζονται όμοια; (σελ.26) 1 2 . Ποια μονώνυμα ονομάζονται ίσα και ποια αντίθετα; (σελ.26) 1 3 . Τι ονομάζεται βαθμός μονωνύμου ως προς μία μεταβλητή του; (σελ.26) 14. Τι ονομάζουμε σταθερό και τι μηδενικό μονώνυμο και ποιος ο βαθμός τους; (σελ.26) 15. Πως ορίζεται το άθροισμα ομοίων μονω νύμων; (σελ.30) 1 6. Τι ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων; (σελ.34) -17. Πως ορίζεται το γινόμενο μονωνύμων; (σελ.30) Α. Ι . 3 1 8 . Τι ονομάζεται πολυώνυμο; (σελ.33) 1 9 . Τι ονομάζεται βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή του; (σελ.33)
Α. 1 . 6
&
44)
24. Τι ονομάζεται παραγοντοποίηση; (σελ.53) 25. Ποιες είναι οι χαρακτηριστικές περιπτώ σεις παραγοντοποίησης; (σελ.54,55,56,57) Α. ι . s
26. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλα πλάσιο (Ε.Κ.Π.) και τι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν ανα λυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; (σελ.68) A. l . 9
27. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ονομάζε ται ρητή; (σελ. 71) 28. Πότε μια αλγεβρική παράσταση ορίζεται; (σελ.71) 29. Πότε μια ρητή αλγεβρική παράσταση μπο ρεί να απλοποιηθεί; (σελ. 71) Α. 1 .
30 .
10
Πως κάνουμε πράξεις με ρητές αλγεβρικές παραστάσεις; (σελ. 75, 76, 78)
IB�Mi!M" ��� Α�� Α. 2 . 2
ονομάζεται εξίσωση2ου βαθμού, με έ ναν άγνωστο; (σελ.90) 32. Να αποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης
3 1 . Τι
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/31
------- Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης
αχ2+βχ+γ=Ο με α, β, γ πραγματικούς αριθ μούς και α :;t:O. (σελ.94) 33. Πότε μία εξίσωση δευτέρου βαθμού: α. έχει δύο άνισες ρίζες; β. έχει μια διπλή ρίζα; γ. δεν έχει ρίζες; (σελ.94) 3 4. Πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο 2 αχ2+ βχ+γ όταν η εξίσωση αχ + βχ+γ=Ο με
α 7: Ο έχει λύσεις τις ρ ι , ρ2 ; (σελ.96) Α. 2. 4 35. τι ονομάζεται κλασματική εξίσωση και πότε ορίζεται αυτή; (σελ. 103) Α. 2. 5 36. Πως συγκρίνουμε (διατάσσουμε) δύο πραγματικούς αριθμούς; (σελ.110) 37. Τι ονομάζεται ανισότητα και ποια τα χαρακτηριστικά της; 38. Ποιες είναι οι ιδιότητες της διάταξης;
σελ. 111 & 112)
Εξισώσ=:;ων Α. 3.
ι
Συστήματα rραμμικών
39. Τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύΌ
αγνώστους και τι λύση της;
της μορφής αχ+ βy=γ με α7:0 ή β7:0 και τι ισχύει γι' αυτή;
(σελ. 123)
4 1 . τι παριστάνουν οι εξισώσεις;
α.
y=k
με k 7: 0
β.
συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώ στους χ και y και πότε αυτό έχει μία λύση, είναι αδύνατο, είναι αόριστο; (σελ.129)
ngmd�utJO Συw�a�
Α. 4. 1 45. Τι γνωρίζεται για την συνάρτηση
με α > Ο;
y = Ο (σελ.123)
42. Πως βρίσκουμε τις τομές μιας ευθείας
αχ+βy=γ με α7:0 και β7:0 με τους άξονες χ 'χ και y'y; (σελ. 125) Α. 3. 2 43 . Τι ονομάζεται: α. Γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους χ και y; (σελ. 128) β. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξι σώσεων με δύο αγνώστους χ και y;
(σελ. 128)
y=
2 αχ
(σελ. 145)
46. Τι γνωρίζεται για την συνάρτηση
y
2 = αχ
με α < Ο; (σελ. 145) Α. 4. 2 47. Ποια συνάρτηση ονομάζεται τετραγωνική;
(σελ. 150) 48. Τι
γνωρίζεται για τη συνάρτηση 2+βχ+ y=αχ γ με α7:0; (σελ.151)
. Πιθανότητες iiibJίiiij-Σi.ji�§J 49. Τι είναι το σύνολο; (σελ. 160) 50. Πως
μπορεί παρασταθεί ένα σύνολο;
(σελ.160 & 161)
5 1 . Πότε δύο σύνολα λέγονται ίσα; (σελ. 161) 52. Πότε ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο
ενός συνόλου Β;
(σελ. 122)
40. Πως παριστάνεται γραφικά κάθε εξίσωση
-------
(σελ. 161)
5 3 . Τι ονομάζεται κενό σύνολο και πως συμ
βολίζεται;
(σελ. 162)
54. τι ονομάζεται πείραμα τύχης; (σελ. 167) 55. Τι ονομάζεται δειγματικός χώρος ενός πει
ράματοs τύχης και πως συμβολίζεται; (tιe]γ.f'δ'f.} με k 7: Ο δ. χ = Ο; 56. Τι ονομάζεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης και πότε αυτό πραγματοποιείται;
(σελ. 169) 57. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζεται βέβαιο και
ποιο αδύνατο σε ένα πειράματος τύχης;
(σελ. 169)
.
58. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειρά
ματος τύχης ονομάζονται ασυμβίβαστα;
(σελ.1 70) 59. Τι ονομάζεται πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδε
χόμενου Α σε ένα πείραμα τύχης με ισοπί θανα αποτελέσματα και ποιες οι ιδιότητες της; (σελ. 1 74 & 1 75)
γ. Επίλυση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους χ και y;
(σελ. 128) 44. Πως γίνεται η γραφική επίλυση γραμμικού
�����
Γεωμετρία
_
Β. 1 . ι 60. Ποια τα κύρια στοιχεία του τριγώνου;
(σελ. 186) 6 1 . Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς
(σελ. 186 & 187)
62. Τι ονομάζεται διάμεσος, διχοτόμος, ύψος,
τριγώνου;
(σελ. 187)
63. Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; (σελ. 187) 64. Πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα; (Κριτήρια ι-
τις πλευρές, και ως προς τις γωνίες τους; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'
σότητας τριγώνων) 80
τ.4/32
(σελ. 188 & 189)
-------
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης -------
65. Πότε δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα;
(Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων) (σελ. 190) 66. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος; (σελ. 192) 67. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας;
(σελ. 192)
Β. ι . 2
68. τι ονομάζεται λόγος δύο ευθυγράμμων
τμημάτων και με τι ισούται; (σελ.200) 69. Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ; (σελ.201) 70. Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών; (σελ.201) 7 1 . Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς εν.ός τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, αυτή διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς. (σελ.202) Β. ι . s
72. Πότε
δύο πολύγωνα λέγονται όμοια;
(σελ.215)
73. Ποιες προτάσεις προκύπτουν από τον ορι
σμό
της ομοιότητα δύο πολυγώνων;
(σελ.216)
74. Πότε
δύο
τρίγωνα
λέγονται
όμοια;
(σελ.220)
75. Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; (Κριτήριο
ομοιότητας τριγώνων)
(σελ.220)
Β. 1 . 6
76. Με τι ισούται ο λόγος των εμβαδών δύο
ομοίων σχημάτων; •
(σελ.226)
'fp�wμupίO:
�
Β. 2. 1
77. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί
μιας οποιασδήποτε γωνίας; (σελ 233). 78. Ποιοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας ω = 0° ή ω = 90° ή ω = 1 80°;
(σελ.233)
Β. 2. 2
79. Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τριγωνομε-
τρικούς αριθμούς δύο παραπληρωμα�κών γωνιών; (σελ.237)
Β . 2.
3
ότι για μια οποιαδ�ποτε γωνία ω ιcrχύουν οι τύποι: ημ2ω+συν ω= 1 ημω .Ι και εφω = 1σ ' ελ.2401 '/ συνω
80. Να αποδείξετε
Β. 2. 4
8 1 . Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τον νό μο των ημιτόνων. (σελ.244) 82. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τον νό μο των συνημιτόνων. (σελ.245)
Επαναληπτ ι κές Ασκήσε ι ς Άλγεβρας ·"='='"'""'�=='
Γ ι s·
Να αναπτύξετε τις ταυτότητες:
(
J
α) fi + 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . β) (-3χ-1)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ) (5-2χ)(2χ+5) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( �) ( �) ( Η
δ) 2χ -
2
ε) χ -
στ) 2χ +
2
'
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
ζ) (α+β---γ)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Να συμπληρώσετε τα κενά: α) (2χ+ . . . .. )2 = 4χ2+ 1 2χψ2+ . . . ..
--"""·
Σταυρούλα Αλαφάκη
β) ( . . . . .-. . . . ./ = κ2+4κ+4 γ) (2α2β+ . . . .. )( . . . ..-. . . . . ) = 9χ2-4α4β2 δ) ( . . . . .-. . . . .)3 = 8χ3- +6χ-. . . .. ε) 8χ3= (2χ-. . . . .)( . . . .. +6χψ+ . . . .. ) ' . 1 Αν χ + - = 3 , να υπολογισετε τις τιμες χ των παραστάσεων: 1 2 1 Α= χ + και Β= χ 3 + z χ χ3 Να αποδείξετε ότι: α) (χ2+2)(ψ2+2) -2(χ+ψ)2=(χψ-2)2 β) (χ+ 1)3-2(χ+2)2+1 =(χ+2)(�-χ-3) Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις: α) (χ+4)2--(χ-3)(3 +χμ(3-2χ) β) (2χ+ 1)3--( 1-2χ)3+(2t+ 1 ) 2--( 1 -2p2 γ) 3(2-3χ2)2-2χ(3-2χ) --(2+3χ)(χ -3χ+1) • • . .•
. . • • .
Γ
zo.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 80 τ.4/33
------ Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης
δ) -2χ( 1- 3χ)+2(χ-3 )(2χ+ 1 )(2χ- 1 )-(2χ+ 1)3 Γ 23• Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: α) α(χ+ψ) -β(χ+ψ)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . β) (2α-5)χ-(5-2 α)ψ= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ) (α+β)(2χ-ψ)+α2-β2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . δ) 3χ2-12ψ2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ε) 2(κ+ 1 )3 -16= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . στ) (α-2β)2+5(α-2β)+6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ζ) χ5-4χ3 ψ+4χψ2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . η) χ2( 1-α)(χ+ψ)+χ2 (α-1 )= . . . . . . . . . . . . . . . . . . θ) 1 6-(χ+ψ)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ι) 3α2-5α+2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Γ 2-Ι· Να συμπλτ ώσετε τα κενά: ψ α) α3 β4-2α β+3αβ=αβ( . . . . . . . . . . . . . . . ) β) i-χ+ψ-ψ2=(χ-ψ)( . . . . . . . . . . ) γ) κ2+9κ+8=(κ+ 1)( . . . . . . . . . . ) δ) χ4-1 6=(χ-2)( . . . . . . . . . . )( . . . . . . . . . . ) ε) i-2χ-ψ2+ 1=(χ-1-ψ)( . . . . . . . . . . ) 1�25· Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α2 + α .. χ4 - ψ4 α) β) �----'---=α 2 + 2α + 1 χ 3 ψ - χψ 3 χ3 + 1 - χ 2 - χ 5 4χ 2 + 4χ + 1 γ) δ) __:_:_ 1 - χ3 + χ - χ 2 2χ 2 -__:_:_ 5χ _ -3 Γ2r,. Να απλοποιηθεί το κλάσμα: χ 2 - 14χ + 1 3 4(χ + 2) 2 - 9(3 - χ) 2 ��Γ· Να γίνουν οι πράξεις: χ 2 - 6χ + 9 2χ - 6 χ2 -χ . χ2 - 3χ + 2 α) : .:..:. .,_ ___.:_:_ β) χ2 - 9 χ+3 2χ - χ2 χ2 -2χ + 1 χ 2 - 4χ + 4 2χ 2 - 8 γ) ·. � χ 2 - 5χ + 6 χ 2 - 9 •
Γ .� Ί · Γ32•
Γ J_,.
_
-
Να γίνουν οι πράξεις: 2χ - 3 χ - 2 _ 1 α) + 1-χ χ + 1 2 - 2χ 2 4χ 3 _ _2_ + β) χ 2 - 25 2χ + 10 5 - Χ; 1 2 γ) -- +1 χ + 2 χ 2 - 4χ + 4 Γ 2 9 · Να απλοποιηθεί η παράσταση: 2 χ + A = _! __!_ : - Ψ Χ'ιl Ψi [(χ-ψy + � ψ χ ψ χ χ3 + v Γ2ι-:·
[( J ( JΙ
Γ:�ο-
J
Να λυθούν οι εξισώσεις: α) i-7�+ 1 0=0 β) 8χ2+2χ=3 γ) (5-2χ)(χ3-3χ +2χ)=Ο
Γ34·
Γ Js· Γ 36·
α)
------
δ) χ(χ-1 )-5=(χ-2)2-(χ-3)(χ-4) ε) 2+(χ+ 1 )3-2(1-2χ)2=(χ-2)3+5χ Αν η εξίσωση i-κχ+λ=Ο έχει διπλή ρίζα την χ=3, να βρεθούν τα κ, λ. Να λυθούν οι εξισώσεις:. χ-4 1 2 = α) + 2 χ 2 + 2χ χ 2 - χ 4 - χ 2 χ - 1 _Χ_ χ+1 = β) + 2 χ-2 χ+1 χ -χ-2 � 6 =4 γ) χ + 6 χ 2 + 1 2χ + 36 2χ + 1 _1_ 7χ - 7 = δ) + +1 χ - 3 1 - χ χ 2 - 4χ + 3 2χ - 1 _ 2χ 1 = ε) 3 χ + 1 χ2 - χ + 1 χ2 - 1 Δίνεται η παραβολή ψ=3χ2-5χ-2. Να βρεθούν: α) Οι συντεταγμένες της κορυφής Κ. β) Η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή της. γ) Ο άξονας συμμετρίας της. δ) Τα σημεία τομής της με τους άξονες.
Δίνεται η παραβολή ψ=λχ2+(κ-1 )χ+6 . Να προσδιοριστούν τα κ, λ αν γνωρίζετε 5 , πως η παραβολη, για χ = 2 παιρνει ελα'
1 χιστη τιμη, ψ = -4.
Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που δι έρχεται από τα σημεία (-1 ,3) και (2,5). Να λυθούν τα συστήματα: 2-4χ-3ψ 2-ψ = 4χ-ψ =! _1 Ο , β) 2 , 3 2 = = ψ 2(χ-ψ-2) 2χ+3 8+2ψ
}
}
χ - 1 _ 2ψ-3 2χ + 1 _ _!_ = χ2 - ψ2 = 9 γ) 3 4 6 4 , δ) 2Χ - ψ = 6 3 - 2(2χ -ψ) = 3ψ- 2(χ + 1)
}
Καλιj Επιτυχία στις εξετάσεις και . . .
}
Κα/Δ
Καλοκαίρ ι ! ! ! 21. Στο τεύχος 79 & στο άρθρο ((Μη μου τους κύκλους τάραττε/;>, ο δαίμων του τυπογρα φείου μετακίνησε τα: ώστε να δείχνει το ένα ότι έπρεπε να δεί- � χνει το άλλο! I I
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/34
._Λ
�-σχήμα �aριθμ. J
------
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γ Τάξης
-------
Επαναληπτ ι κές Ασκ ήσ ε ι ς. Γεωμετ ρίας ΓJ7·
Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο πα
ραλληλόγραμμο οι διαγώνιες του είναι ίσες και δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, ανά δύο ίσα μεταξύ τους.
ΓJχ·
αποδείξετε ότι :
β) αν ΑΒ =
β. 2συvχ - 1 = Ο
γ. εφχ - 1 = Ο δ. (3συvχ - 2) 2 = 4
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) να
α) αν Γ = 30° , θα ισχύει ότι ΑΒ =
πινάκων : α. 2ημχ - .J3 = Ο
Γυ.
Να αποδείξετε ότι
ημ(90 - ω)ημ(180 - ω) + συν(90 - ω)συν(Ι 80 - ω) = Ο
ΒΓ
2
ΒΓ , θα ισχύει ότι Γ = 30° . 2
Γ-14.Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς
8 cm και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ, έτσι ώστε BA=3cm. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρι
Γ39.Δύο τετράγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιό-
κούς αριθμούς των γωνιών ΑΔΒ, ΑΔΓ.
3 ' τητας - . Αν η' πλευρα' του μεγαλυτερου τε2
Γ.ιs·
τραγώνου είναι 1 2 cm, να βρεθεί η πλευρά του
α . εφχ - εφχημ 2 χ = ημχ συvχ
μικρότερου τετραγώνου και ο λόγος των εμ βαδών τους.
Γιο.
Να αποδείξετε ότι :
β. 1 + εφ2 χ =
1 συv 2 χ
νικών οκταγώνων που είναι εγγεγραμμένα σε
9 Γ.ι(J. Αν εφχ= - - και 90ο -< χ � 1 80ο , να υπο40
κύκλους ακτίνων 5cm και 7cm.
λογίσετε το συνχ και το ημχ.
Γ.ι ι .
Μια σελίδα χαρτί έχει σχήμα ορθογωνίου.
° Γ .ι7· Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 30 , α=2 cm
Αν διπλώσουμε το χαρτί αυτό στη μέση κατά
και γ=5 cm. Να βρείτε τις γωνίες Γ, Β και την
μήκος του πλάτους του, προκύπτει ορθογώνιο
πλευρά β.
Να βρείτε το λόγο ομοιότητας δύο κανο
όμοιο με το αρχικό. Να βρεθεί ο λόγος των Γ.ιχ·
διαστάσεων του χαρτιού. Γ42 .Αν 0° � χ � 90° , να λυθούν οι παρακάτω
Αν εφχ=-3, να υπολογίσετε την παράστα-
ση Α =
ημχ + συvχ συvχ - ημχ
εξισώσεις χωρίς την βοήθεια τριγωνομετρικών ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 80 τ.4/35
Μαθηματικοί Δ�αyων•ομοi Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών
28 η
Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα " Ο Αρχιμήδης"
ΣΑΒΒΑΤΟ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 201 1
θέματα μικρών τάξεων
ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ι
Ενδεικτικές Λύσεις θεμάτων μιικρών τάξεων
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με BAr = 120" . Αν Δ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ , δίνεται ότι η ευθεία ΑΔ είναι κάθετη προς την πλευρά ΑΒ και τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στο σημείο Ε . Οι ευθείες ΒΑ και ΕΓ τέμνονται στο Ζ . Να αποδείξετε ότι: (α) ΖΔ .l ΒΕ , (β) ΖΔ = ΒΓ . Λύ ση (α) Επειδή είναι Β ΑΕ = 90" η ΑΕ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως θα είναι και Β fΈ = 90" . Έτσι στο τρίγωνο ΖΒΕ τα ευθύ γραμμα τμήματα ΕΑ και ΒΓ είναι ύψη του τριγώνου που τέμνονται στο σημείο Δ. Επομένως η ευθεία ΖΔ είναι η ευθεία του τρίτου ύ ψους του τριγώνου ΖΒΕ, δηλαδή είναι ΖΔ _l_ ΒΕ . Β Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι: ΖΗ Β = 90" . Πράγματι, έχουμε
(
ΖΗΒ = 1 80" - ΗΒΖ+ΒΖΗ
Σχήμα ι
)
(1)
Όμως έχουμε HBZ = EBΓ+rBA=EAr +rBA=(120" - 90 ) + rBA = 30" + Β .(2) "
Επίσης από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΔΓΖ (γιατί Β ΖΗ = ΑΖΔ = Γ (3) Λόγω των (2) και (3) η σχέση (1) γίνεται: . zHB =180' - 30' =150' =150' -( 180' -120' ) =SO' ΜΖ = Δf'Ζ = 90· ) έχουμε ότι:
( -tB-tt)
( :Btt)
(β) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΔΓΖ θα έχουμε M = Mr =BAr-ΒΜ = 120' -SO' =30'.
Επομένως στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓΖ η υποτείνουσα ΖΔ θ α είναι διπλάσια της κάθετης πλευράς ΔΓ, δηλαδή ΖΔ = 2 · ΔΓ = ΒΓ, αφού Δ μέσο της πλευράς ΒΓ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2
Θεωρούμε το σύνολο των τετραψήφιων θετικών ακέραιων αριθμών χ = α β y δ των οποίων όλα τα ψηφία είναι διαφορετικά από το μηδέν και διαφορετικά μεταξύ τους. Θεω ρούμε επίσης τους αριθμούς y = δ y β α και υποθέτουμε χ > y . Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της διαφοράς χ - y , καθώς και τους αντίστοιχους τετραψήφιους ακέ ραιους χ, y για τις οποίες λαμβάνονται αυτές οι τιμές. Λύ ση Θεωρούμε τη δεκαδική αναπαράσταση των αριθμών :
= 1 000α + 1 00β + 1 0y + δ - 1 000δ - 1 00y - 1 0β - α = 1000(α - δ) +100(β-y) + 10(y - β) + δ - α = 999(α - δ) + 90(β - y) = 9 ( 1 1 1 (α - δ) + 1 0(β - y)) . χ-y
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/36
------
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
-------
Αρκεί να προσδιορίσουμε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης: (1) Α = 1 1 1(α - δ) + 1 0(β - y) . Οι αριθμοί α, β, y, δ είναι θετικοί μονοψήφιοι ακέραιοι (διαφορετικοί μεταξύ τους). Εφόσον χ > y , θα ισχύει α > δ . Η παράσταση Α γίνεται μέγιστη, όταν οι αριθμοί α - δ και β - r γίνουν μέγιστοι και επί πλέον α - δ > β - r Η διαφορά α - δ γίνεται μέγιστη όταν α = 9 και δ = 1 . Η διαφορά β - r γίνεται μέγιστη όταν β = 8 και r z:: 2 . Άρα χ = 982 1 και y = 1 289 είναι οι ζητούμενοι ακέραιοι οι οποίοι δημιουργούν τη μεγαλύτε ρη διαφορά χ - y = 982 1 - 1 289 = 8532 . Η παράσταση Α γίνεται ελάχιστη, όταν οι αριθμοί α - δ και β - r γίνουν ελάχιστοι. Η ελάχιστη τιμή της διαφοράς α - δ είναι το 1 . Άρα οι δυνατές τιμές του ζεύγους (α, δ) είναι: (9, 8) , (8, 7) , (7, 6) (6, 5) (5, 4) (4, 3) (3, 2) και (2, 1) . Για όλες τις παραπάνω δυνατές τιμές του ζεύγους (α, δ) , η τιμή της παράστασης Α γίνεται: Α = 1 1 1 + 1 0(β - r) . Η ελάχιστη τιμή τώρα της διαφοράς β - r είναι το -� που δημιουργείται για β = 1 και r=9. Απορρίπτοντας τέλος τα ζεύγη (9, 8) και (2, 1) (διότι τα ψηφία του τετραψήφιου αριθμού εί ναι διαφορετικά μεταξύ τους), καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα δυνατών τιμών των αριθ μών x, y καθώς και την ελάχιστη διαφορά. .
3 1 92 4 1 93 5 1 94 6 1 95 7 1 96 8 1 97
29 1 3 3914 49 1 5 59 1 6 69 1 7 79 1 8
279 279 279 279 279 279
ΠΡΟΒ Λ ΗΜΑ 3 Αν ο αριθμός 3v + 1 , όπου v ακέραιος, είναι πολλαπλάσιο του 7, να βρείτε τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης: (α) του v με το 7, (β) του vm με το 7, για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου m, m > 1 . Λ ύ ση (α) Έστω 3v + 1 = 7κ, όπου v, κ ακέραιοι. Ο ακέραιος v έχει τη μορφή v = 7p + υ , όπου
υ Ε { 0, 1, 2, 3,4, 5, 6} και p ακέραιος. Τότε έχουμε:
3 ( 7 p + υ ) + 1 = 7κ <=> 2 1p + 3υ + 1 = 7κ <=> 3υ + 1 = πολλαπλάσιο του 7 ,
οπότε η μόνη δυνατή τιμή για το υ είναι το 2. Έτσι έχουμε v = 7 ρ + 2, όπου p ακέραιος, οπότε το μοναδικό δυνατό υπόλοιπο της διαίρεσης του v με το 7 είναι το 2. (β) Χρησιμοποιώντας το διωνυμικό ανάπτυγμα, λαμβάνουμε: Vm = ( 7 p + 2 )m = ( 7 p ) m + m ( 7 p )m -I · 2 + · · · + m · 7 p · 2m-I + 2m = ΠΟλ.7 + 2m . Επομένως, αρκεί να βρούμε τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του 2m με το 7. Αν υποθέσουμε ότι m = 3σ + υ, όπου υ Ε {Ο, 1, 2 } και σ Ε Ζ , τότε λαμβάνουμε:
2m = 23 σ+υ = 8σ · 2υ = { 7 + 1 )σ · 2υ = ( πολ.7 + 1 ) · 2υ = πολ.7 + 2υ ,
όπου υ Ε {Ο, 1, 2 } . Άρα τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του vm με το 7, για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου m είναι τα εξής:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/37
------
Μαθηματικοί ΔιαΎωνισμοί
------
20 = 1, αν m = πολ.3 21 = 2, αν m = πολ.3 + 1 22 = 4, αν m = πολ3. + 2 . ΓΗ>Ο Β Λ. Η Μ Λ 4
Αν χ
Υ
x, y, z
είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 12, να αποδείξετε ότι:
+ Υ + Ξ_ + 3 � Γχ + JY + � z
.
Πότε ισχύει η ισότητα;
χ
ΛίJ ση
x, y, z έχουν άθροισμα 12, αρκεί να αποδείξουμε την + +z � ανισότητα (1) �+ Υ +�+ χ Υ � + JΎ + Fz . 4 y z χ Επειδή οι πραγματικοί αριθμοί x, y, z είναι θετικοί, από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμεΕπειδή οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί
τρικού μέσου έχουμε
�
χ + Υ <: 2 χ Υ .Jx , y 4 y 4
(2)
�
•
� �: :
Υ + !._ :?. 2 Υ . !.- = JΎ , z 4 z 4
(3)
:+:
(4)
;?_
2
. = Fz .
Με πρόσθεση κατά μέλη των (2), (3) και (4) προκύπτει η ανισότητα (1). Η ισότητα ισχύει, όταν οι ανισότητες (2), (3) και (4) αληθεύουν και οι τρεις ως ισότητες., δη-
(J
2 2 2 2 y4 2 x2 z y y z _!_ / <=> Χ = !_ !._ = χ = z = <=> x = z λαδη' όταν = Υ Υ = y= y= 4 4' 4 4 43 4' 4' y 4' z 4' χ 4 χ 4 ' 2 2 2 2 2 2 2 4 <=> x = y y = z z = _!_ z <=> x = y y = z z = _!_ zs <=> x = y y = z z7 = 47 <=> x = y = z = 4. 4 ' 47 4' 4 ' 43 4 4' 4' 4'
(J
Αλλη λογρ αφία
Αγαπητέ μας Ευκλείδη, Σου στέλνουμε εργασίες που έγιναν από τους μα θητές της Γ' τάξης του 6ου Γυμνασίου Αγίου Δη μητρίου με αφορμή το άρθρο "Εξισώσεις β' βαθ μού" που δημοσιεύτηκε στο Ευκλείδη Α' 78 . Με την ευκαιρία αυτή θα θέλαμε να σε ευχαριστήσου με για τη συμβολή σου στην καλλιέργεια της μα θηματικής σκέψης σε καιρούς που η λογική απέχει από το αναπόφευκτο. Κλείνουμε την εmστολή αυ τή με μία φράση του Ρώσου λογοτέχνη Λ. Τολστό ι: "Ο άνθρωπος είναι σαν ένα κλάσμα που έχει α ριθμητή την πραγματική του αξία και παρονομα στή αυτή που φαντάζεται πως έχει. Ο αριθμητής είναι σταθερός. Όσο αυξάνεται όμως, ο παρονο μαστής τόσο μειώνεται η αξία του κλάσματος, δη λαδή ο άνθρωπος". Με εκτίμηση , Οι μαθηματικοί του σχολείου
Αγαπητοί συνάδελφοι, Συγχαρητήρια σε σας και τους μαθητές σας. Ευχα-
ριστούμε για τα καλά σας λόγια και περιμένουμε νέ ες συνεργασίες. ΛΥΓΕΣ Λπίι 6ο Ι υμνιίσιο Αγίου Λ η μητρίου Τι/�η I '
Βαβλή Ελtνη, Βαλαβάχη ΜαρΎαρίτα, Βιδάλη Μαρ Ύαρίτα, Δημητρακόπουλος Κων/νος, Δημητρακόπου λος ΠαναΎtώτης, Καλύβα Κατερίνα, Κεσσόπουλος Κυριάκος, Κιάτος Χρήστος, Μίχας ΓιώρΎος, Ράπτη Αθανασία, Στούπας Γιάννης, Σωτηροπούλου Μαρία, Τριάντου Μαρία, ΤσαΎδή Ελtνη, Τσατσούλης Νίκος, Τσόγκας ΓιώρΎος, Φιλιππάκη Δάφνη, Γ1 ,2,3 Αντωνέλος ΠαναΎιώτης , Α' τάξη, 3ο Γυμνάσιο Αργοστολίου, Α16,1 8,22 Θεοδωρής Νίκος, τάξη Β', 4ο Γυμνάσιο Μυτιλήνης Β 1 ,2,3,4, 1 0, 1 1 , 1 2, 1 3 , 1 4 Από τον κ . Οικονομίδη Ευάπελο, λάβαμε την διαδικασία εύρεσης τετραγωνικής ρίζας και τον ευχαριστούμε.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/38
Χαίρ ομ α ι να λ ύ ν ω
===== ==== =
Βαρόπουλος Δήμος
Γ εωμ ετ ρ ί α Σε κάθε μαθηματικό διαγωνισμό τίθεται σχεδόν πάντα θέμα από την Γεωμετρία. Η ενασχόληση με τη λύση προβλημάτων από την Γεωμετρία κσJ.λιεργεί στους μαθητές την κριτική σκέψη, απαραίτητο εφόδιο για όλη τη ζωή τους. Τα θέματα είναι από τα κεφάλαια Γωνίες, παρσJ.ληλία, καθετότητα, ισότητα ,ομοιότητα τριγώνων, εμβαδά. Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε θέματα διαγωνισμών με συνοπrική θεωρία και μεθοδικές παρατηρήσεις. Άσκη ση Ι '�
Για να δείξουμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες δείχνουμε: είναι κατακορυφή ν είν αι εντός εναλλάξ γωνίες ή εντός και εκτός και επί τα αυτά σε δυο παράλληλες ευθείες τεμνόμενες από τρίτη. είναι παραπληρώματα ή συμπληρώ ματα ίσων γωνιών. είναι αντίστοιχες γωνίες δυο ίσων τριγώνω ν είν αι απέναντι γωνίες παρ//μου είναι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είν αι γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι εγγεγραμμέ νες ή επίκεντρες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή ίσα τόξα. Για να βρούμε το μέτρο μιας γωνίας ή για να αποδείξουμε σχέσεις μεταξύ γωνιών λαμβάνουμε υπόψη : Σ ε κάθε τρίγωνο Α ΒΓ ισχύ ει:
Α + Β + Γ = 1 80°
Α = 1 80° - Β - Γ Α Β Γ Β + Γ = 1 80 - Α ή - + - + - = 90 2 2 2 Λ
Λ.
Λ
ο
Λ
ή
ο
Λ
Λ
Λ
Λ
ή ή
Στο σχήμα οι ευθείες δ I /ε , το τρίγωνο ΑΒΓ ισο σκελές με ΑΒ=ΑΓ, ΑΗ .l ΒΓ και η ΑΔ διχοτόμος Α
της ΓΑΕ .Αν ΑΒ = 8, ΑΗ = 6, ΔΕ I I ΑΓ να υπολογίσετε: i)To μήκος της ΓΔ. ii)To εμβαδό του ΑΓΔΕ. (Θαλής 2003) Α
Β
2
2
2
Επειδή ΑΔ διχοτόμος της ΓΑΕ τότε Α 1 = Α 2 ( 1 ) Επειδή δ//ε και ΑΔ τέμνουσα τότε: Δ 1 = Α 2 (2) ως .
Α
εντός εναλλάξ γωνίες. Από ( 1 )(2) έχουμε: Α 1
Α
Δ1
Άσκηση 2 η
Στο παρακάτω σχήμα η Axi/Δy. Να υπολογιστεί το άθροισμα των γωνιών α, β, γ, δ (Θαλής 1998). Α rτ---- χ α
Ι Β Α:,__ 2
_ _ _ _ _ _
z
2
Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ι ύ σο ται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών , δηλ.
=
άρα το τρίγωνο ΑΓΔ ισοσκελές και ΓΔ=ΑΓ=ΑΒ=8 Επειδή ΑΓ//ΔΕ και ΓΔ//ΑΕ το ΑΓΔΕ παρ//μο και το εμβαδόν του είναι: (ΑΓΔΕ) =ΓΔ·ΑΗ=8·6=48 τ.μ
Λ.
2
Δ
Η
Λύση
Α Β -Γ η, Β +Γ = 900 - Α. - = 90 0 - 2
Ε
Γ
�;τ:,Ι2 ------ η
Δ�----- y
Α εξ = Β + Γ Λ1Jση
Οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες Από τα Β και Γ φέρνουμε τις Βζ και Γη παράλληλες δυο παραλλήλων που τέμνονται από τρίπρος τις Αχ και By αντίστοιχα, οπότε έχουμε: δηλ: τη είν αι παραπληρωματικές
ά+β+y+δ = ά +(βι +β2 ) + ( Ύι +Ύ2 ) + δ =
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 80 τ.4/39
------ Χαίρομαι να λύνω Το άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου είναι 4 ορθές ή 360°. Γενικά ενός νγώνου είναι 2v-4) ορθές ή 2ν -4) · 90°
------
{ά + βι ) + (βz + Ύι ) + {Υ2 + δ) = ( 2 + 2 + 2) ορθ ές = 6 ορθές
Ά σ κηση 3'1 Στο σχήμα ένα ΑΒ=ΒΓ και η διχοτόμος Γχ της Για να αποδείξουμε ότι μία γωνία Αf'Δ είναι παράλληλη στην ΑΒ. Να υπολογίσετε είναι ορθή ή δυο ευθείες είναι κάθετες τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Θαλής 2007). τότε: Λύ ση Α είναι γωνία τριγώνου στο οποίο το ά χ θροισμα των άλλων δύο γωνιών είναι 90° . 1 είναι γωνία σε τρίγωνο, στο οποίο η διάμεσος από την κορυφή της είναι ίση με το μισό της απέναντι πλευράς. Β Δ ΒΓ ΑΜ= τότε Α = 90° Αφού η Γχ διχοτόμος της Af'Δ τότε ω = φ . Επειδή 2
(
(
Γχ//ΑΒ και ΑΓ τέμνουσα τότε φ = Α ως εντός εναλ λάξ. Από ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α = Γ Άρα: ω = φ = Α = t Όμως ω + φ + t = 1 80° άρα
Β
ω = φ = t = 60° άρα και Α = 60° , οπότε :Β = 60°
Α
δηλ. το τριγ. ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
Γ
γ) είναι γωνία των διχοτόμων δύο εφε- Ά σκηση 4 '1 Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΑΔ και ισόπλευ ξής παραπληρωματικών γωνιών. ρο τρίγωνο ΑΒΜ όπου το Μ βρίσκεται στο μέρος της ΓΔ. Αν Ε μέσο της ΒΜ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΕΓ . (Ευκλείδης 1999). Α �-------�
) είναι γωνία παρ//μου με ίσες διαγώνι ες, οπότε αυτό είναι ορθογώνιο. ε)είναι εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο.
Δ
Μ
Λί> ση
'Εχουμε: ΒΕ =
�=�=
Β
ΑΔ
= ΒΓ ,άρα
το
τριγ.
ΒΕΓ ισοσκελές οπότε: ΒΕΓ = Bf'E ( 1 ) Από τρίγωνο ΒΕΓ έχουμε: ΒΕΓ + Bf'E + ΕΒΓ = 1 80° , άρα από (1) 1 80ο - ΕΒΓ ° Β Ε Ε 1 = = Γ 80 ή Β Γ Για να δείξουμε ότι δύο ευθείες είναι 2Β + Ε Γ 2 παράλληλες δείχνουμε ένα από τα παο ο ο Όμως ΕΒΓ = 90 60 = 30 . ρ ακάτω: 1 80ο - 30 ο Είναι παράλληλες σε τρίτη ευθεία. = 75 ο Άρα: Β ΕΓ = 2 • Είναι κάθετες σε τρίτη ευθεία Α
_
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/40
------
Χαίρομαι να λύνω ------
y) Σχηματίζουν με τρίτη ευθεία που τις Άσκ ηση Sη τέμνει, τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες ή Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: ε1 I Ιε2 I Ιε3 , τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ΓΔ .l ε3 ΑΕ=ΕΔ, rο = 30ο , φ = 5οο . Να υπολογι ίσες ή τις εντός και επί τα αυτά γωνίες στούν οι γωνίες του ΑΒΓΔ.(Θ λής 1999). παραπληρωματικές. δ) Είναι απέναντι γωνίες παρ//μου. ε) Η μία είναι πλευρά τριγώνου και η άλλη διέρχεται από τα μέσα των δύο άλ λων πλευρών του. Β
:
Α
Γ
ΛίJ ση Β Γ
Η
μία είναι βάση τραπεζίου και η άλλη διέρχεται από τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ή των διαγωνίων του. σΓ
Επειδή ΕΑ=ΕΔ και ΔΕ .l ε1 τότε το τρίγωνο ΕΔΑ είναι ορ{)ογώνιο ισοσκελές άρα: Δ = ΔλΕ = 45 ° . Έ-
και Γ = BfΔ = 90° - ω = 90° - 30° = 60° ΓΒ , Β = ΓΒΑ = φ + ε2 = φ + ω = 50ο + 30ο = 80ο , αφου
χουμε: Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
π3ε2 = ω ως εντός εναλλάξ των ε2 I Ιε3 με τέμνου σα την ΒΓ. Επίσης ΒΑΕ + φ = 1 80° ως εντός και επί άρα αυτά των ε 1 1 /ε2 ΒΑΕ = 1 80° φ = 1 80 ° - 50° = 1 30 ° , οπότε Α = ΒΜ = ΒΑΕ + ΕΜ = 1 30° + 45° = 1 75 °
τα
-
Ά σ κη ση 6 η ζ)Ισχύουν οι προϋποθέσεις του aντι- Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Το ύψος του ΑΗ και η μεσοκάθετη ε στρόφου του Θεωρήματος Θαλή. της ΑΒ τέμνονται στο Μ. Η κάθετη προς την ευ ΑΔ ΑΕ , ΑΔ ΑΕ Αν - - η --θεία ε στο Μ τέμνει την ΒΓ στο Δ. Αν ο περιγε ΔΒ ΕΓ ΑΒ ΑΓ γραμμένος κύκλος του τριγώνου ΒΜΔ τέμνει την ε ΑΒ ή = ΑΓ τότε ΔΕ//ΒΓ στο Σ να αποδείξετε ότι: i) ΒΣ I IΑΜ ΔΒ ΑΕ Γ
Δ
ii) το τετράπλευρο ΑΜΒΣ είναι ρόμβος. Λ ίJ ση
Α
Α
Β Γ
Τ 'Ί υ> •α
1 ) Για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο εί ναι ισοσκελές δείχνουμε ότι: α) Επειδή l\.1:1.l:MΣ δηλ.: ΙΜl = w> τότε η ΔΣ διάμετρος α) Δύο πλευρές του είναι ίσες τσυ περιγεγραμμένου κύκλου στο τριγ .. ΒΜΔ άρα και Δύο γωνίες του είναι ίσες γ Μια διάμεσος του είναι και ύψος ή ΔΒΣ = 90° δηλ. lli.lBΓ. Επίσης ΑΜ.lΒΓ άρα ΒΣΙ/ΑΜ. αντίστροφα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/41
------
Χαίρομαι να λύνω ------
δ) Μια διάμεσος του είναι και διχοτόμος β) Επειδή το Μ ανήκει στη μεσοκάθεtο του ΑΒ τότε ή αντίστροφα ΜΑ=ΜΒ και Αι = Βι (1). Όμως Αι = Β (2) ως εvrός ε 2 ε) Μια διχοτόμος είναι και ύψος ή αντίν� των ΒΣΙ/ΑΜ με τέμνουσα την ΑΒ. Από (1 Χ2) έστροφα
χουμε: Βι = Β 2 Έτσι η ΒΚ σtο τρίγωνο ΒΣΜ είναι ύψος ") Για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο εί και διχοτόμος, άρα το τρίγωνο ισοσκελές δηλαδή ΒΣ=ΒΜ. ναι ισόπλευρο δείχνουμε ότι: Όμως ΣΒ=ΣΑ, αφού το Σ ανήκει στη μεσοκάθεtο του ΑΒ. α) Έχει τρεις πλευρές ίσες Συνεπώς: ΜΑ=ΜΒ=ΒΣ=ΣΑ, δηλαδή το τεtράπλευρο β) Έχει τρεις γωνίες ίσες ΑΜΒΣ f:χει τtς πλευρές του ίσες, άρα είναι ρόμβος. Δύο γωνίες του είναι 60° δ) Είναι ισοσκελές και .έχει μία γωνία Άσκηση 7 Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με 60° 3) Για να δείξουμε δύο ευθύγραμμα ΑΒ=ΑΓ και BAr = 40° . Η ευθεία ε είναι παράλ ληλη στην ΒΓ και η ευθεία δ μεσοκάθετη της τμήματα ίσα, δείχνουμε ότι: α) Είναι αντίστοιχες πλευρές ίσων τρι πλευράς ΑΓ. α) Να υπολογίσετε τη γωνία zf'x . β) :Να αποδείξετε ότι ΚΑ=ΑΖ γώνων. Την ισότητα τριγώνων την δεί Λύση χνουμε με ένα από τα κριτήρια ισότητας: ε z 1 ο κριτήριο: Π-Π - Π 2° κριτήριο : Π-Γ -Π 3° κριτήριο : Γ-Π-Γ Χρειάζονται τρία στοιχεία, από τα οποία χ δ Κ Β το ένα είναι, οπωσδήποτε πλευρά. α) Έχουμε: zf'x = ΑΖΓ (1) ως εντός εναλλάξ των Αν τα τρίγωνα είναι ορθογώνια τότε για ΒΓ//ε με τέμνουσα την ΖΓ. Επειδή η δ μεσοκάθετος του ΑΓ τότε ΖΑ=ΖΓ, άρα το τρίγωνο ΖΑΓ ισοσκελές, να είναι ίσα αρκεί να έχουν: άρα ztΑ = ΖΑΓ (2). Όμως ZAr = t (3) ως εντός ε • Δύο πλευρές ίσες μία προς μία ναλλάξ της ε//ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ. Από το ισοσκεΜία πλευρά και μία οξεία γωνία α λές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Β = Γ και Α + Β + Γ = 1 80° ντίστοιχα ίσες. άρα zB=1sιf -A = 1 sιf -4<f = 14<f , άρα Β = Γ = 70° . J Είναι απέναντι πλευρές παρ//μου. γ) Είναι πλευρές ισοσκελούς τριγώνου. Από (2)(3) έχουμε: zΓΑ = ZAr = 70° άρα από το τρί δ) Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου. γωνο ΑΖΓ, η AZr = 1 80° - 2 70° = 40° Άρα από (1) ε) Είναι μη παράλληλες πλευρές ισο έχουμε: zrx = 40° β) Επειδή η δ μεσοκάθετη της ΑΓ, τότε ΚΑ=ΚΓ, άρα σκελούς τραπεζίου. το τρίγωνο ΚΑΓ ισοσκελές με ΚΑ=ΚΓ, οπότε η ΚΕ στ) Είναι αποστάσεις σημείου της μεσο Κz = ΓΚz . Όμως καθέτου, από τα άκρα του ευθύγράμμου διχοτόμος της ΑΚr άρα Α ΑΖΚ = ΓΚz ως εντός εναλλάξ των ε//ΒΓ με τέμνου τμήματος. ζ) Είναι αποστάσεις σημείου της διχο σα την ΖΚ, άρα ΑΚz = ΑΖΚ ,οπότε το τρίγωνο ΑΚΖ ισοσκελές με ΑΚ=ΑΖ. τόμου γωνίας, από τις πλευρές της. Προτεινόμενες ασκήσεις •
·
Χ ι . Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) και ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ( Β = 90 ),με ΒΔ=ΒΓ. Να
°
°
αποδείξετε ότι η ΓΔ f;ίναι διχοτόμος της γωνίας Γ. Xz. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΓΗ και η διάμεσος ΒΚ είναι ίσα. Αν ΓΒΚ = Β ΓΗ ,να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. XJ. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρνουμε Δχ l_ ΒΓ που τέμνει
την ΑΒ στο Ε και την προέκταση της ΑΓ στο Ζ . . Να αποδείξετε ότι ΒΕ=ΖΓ. Β ιβλιογραφία:
Οι Πανελλήνιοι Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Νέων1967-2007,ΕΜΕ., Χ.Στεργίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών". Β, Γ Γυμνασίου, εκδόσεις Σαββάλας. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
Α'
80 τ.4/42
Τα μαθηματικά θέματα του PISA (40) Ρίζος Γιώργος
======
3η ΕΝΟΤΗΤΑ (β) Θέματα Στατιστικής - Πιθανοτήτων Στο 4ο και τελευταίο άρθρο της σειράς "Τα μαθηματικά θέματα του PISA" δίνουμε μερι κά ακόμα θέματα Στατιστικής και Πιθανότήτων, που αντιστοιχούν στην έννοια "Η αρχή της
Αβεβαιότητας" από την τράπεζα
θεμάτων του PISA. Τα θέματα αυτά καλύπτουν το
� των
θεμάτων του PISA και αφορούν έννοιες οι οποίες, αν και τυπικά εντάσσονται στα Αναλυτικά Προγράμματα του Γυμνασίου, συνήθως δεν διδάσκονται, με αποτέλεσμα οι απαντήσεις των μα θητών μας να στηρίζονται στις εμπειρικές γνώσεις τους και στη διαίσθησή τους.
αριθμός μαθητών
21. Επαρχιακό Γυμνάσιο Σε ένα επαρχιακό Γυμνάσιο ο αριθμός των μα θητών φαίνεται στο ραβδόγραμμα: Εmλέyουμε τυχαία ένα μαθητή. Ερώτηση 1 : Ποια η πιθανότητα να είναι από το τμήμα Β ι ; Ερώτηση 2: Από ποιο τμήμα θα ήταν πιθανότερο να είναι;
30
26
25
_Ε_
20
20
27
-
25
r--
-
-
r--
r--
1---
-
-
-
r--
�
10 t---
-
-
-
r--
-
5
-
-
-
r--
-
15
t--ο
Α,
Β,
Β,
Γ,
Ερώτηση 3 : Από ποια τάξη θ α ήταν πιθανότερο να είναι; Ε ρώτηση 4: Αν τα κορίτσια του Β2 είναι 13, ποια η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι από το Β2; Απαντήσεις: 26 ' ' ' αρα ' η πιθ ανοτητα ' λο ειναι ' 1 20 μαθητες, ειναι -. συνο 1 20
21 1
το
21.2
Από το Γι που έχει τους περισσότερους μαθητές.
21.3
Από τη Β ' τάξη που έχει τους περισσότερους μαθητές (5 1).
21.4
Τα αγόρια του Β2 είναι 12, οπότε η πιθανότητα είναι:
•
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/43
� = Ο, 1 = 1 0% . 1 20
τμ.�ματα
------ Τα μαθηματικά θέματα του PISA ------
22. Τυπικά προσόντα
·
Για να προσληφθεί κάποιος σε μια εταιρεία πρέπει να έχει πτυχίο πιστοποίησης ξένης γλώσσας ή πτυχίο πιστοποίησης γνώσης υπολογιστών ή και τα δύο. Το 78% των προσ ληφθέντων έχει πτυχίο υπολογιστών και το 84% ξένης γλώσσας. Ερώτηση 1 : Τι ποσοστό των προσληφθέντων έχει και τα δύο; Ε ρ ώτηση 2 : Αν 3 1 έχουν και τα δύο πτυχία, πόσοι προσελήφθησαν τελικά; Απαντή σεις: 22.1
Αφού το 78% των προσληφθέντων έχει πτυχίο Υπολογιστών, το υπόλοιπο 22% έχει πτυ χίο μόνο Ξένης Γλώσσας. Αφού το 84% των προσληφθέντων έχει πτυχίο Ξένης Γλώσσας, το υπόλοιπο 1 6% έχει πτυχίο μόνο Υπολογιστών. Το υπόλοιπο 1 00 - 22 - 1 6 = 62% έχει και τα δύο πτυχία. Για μαθητές Λυκείου: Παριστάνουμε με σχήματα (διαγράμματα Venn) τους παραπάνω υπολογισμούς. Λέμε όn το σύνολο των προσληφθέντων που έχουν και τα δύο πτυχία είναι η τομή των δύο συνόλων.
Πτυχίο Υπολογιστών
78%
22.2
22%
/' ( 1 6%
Πτυχίο Ξένων Γλωσσών
1 6%
! δύο πτυχία 22% \
84%
\
Το 62% των προσληφθέντων είναι 3 1 άτομα. 62 Αν χ οι προσληφθέντες, τότε: · χ = 3 1 άρα 1 00 Άλλη λύση : (Με απλή μέθοδο των τριών)
62
στους 1 00
31
στους
οπότε χ.
χ
=
. ,\\
Και τα
χ=
62%
//
50.
1 00 · 3 1 = 50 62
23 . Χίλια ευρώ Σε ένα κουτί έχουμε χίλια νομίσματα του 1 ευρώ. Τα αδειά ζουμε σε ένα τραπέζι, απομακρύνουμε όσα έχουν προς τα πάνω την όψη με την κουκουβάγια, μετράμε τα υπόλοιπα και τα ξαναβάζουμε στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και καταγράφουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα: Ρίψεις
1
2
3
4
5
Αριθμός νομισμάτων που παραμένουν στ ο τραπέζι
545
278
131
64
29
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'80 τ.4/44
------
Τα μαθηματικά θέματα του PISA
------
Ερώτηση 1 : Είναι λογικά τα αποτελέσματα που καταγράψαμε; Γράψτε την άποψή σας. Ε ρώτηση 2 : Αν είχαμε αρχικά 20 νομίσματα, θα μπορούσαμε να επαναλάβουμε με την ίδια ακρί βεια το παραπάνω πείραμα; Απαντήσεις : 23.1
Επειδή τα νομίσματα είναι πολλά, προφανώς, αναμένεται να παραμένουν περίπου τα μισά μετά την κάθε ρίψη. Αναμένεται, δηλαδή, να μένουν: 1 η ρίψη: περίπου 500 2η ρίψη : περίπου 250 3η ρίψη : περίπου 125 4η ρίψη: περίπου 62 5η ρίψη: περίπου 30 κ.ο.κ. Το «προφανώς» αναφέρεται στο Νόμο των Μηάλων αριθμών (Kolmogoroν), που λέ ει ότι η συχνότητα επανάληψης κάθε ενδεχομένου ενός πειράματος μετά από «μεγάλο» α ριθμό επαναλήψεων σταθεροποιείται σε ένα αριθμό, τον οποίο ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου. Εδώ δεχόμαστε ότι η πιθανότητα εμφάνισης κάθε όψης νομίσματος είναι 0, 5.
ΣΧΟΛΙΟ:
23.2 Όχι, γιατί τα νομίσματα είναι λίγα, οπότε το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί. Προτεινόμενα θέματα για εξάσκηση : σει και στο τέλος τον πείθει. Πώς άραγε;
24. Απατηλό ραβδόγραμμα Έξαλλος, ο διευθυντής μιας μικρής επι χείρησης, μόλις βλέπει το γράφημα των ετησίων εξόδων, αρχίζει να φωνάζει ότι παρατηρεί τεράστια αύξηση των λει τουργικών εξόδων, αφού το ραβδόγραμ μα από το 2004 στο 2005 σχεδόν διπλα σιάζεται! Έξοδα σε €
40.500
f---+--1--+---+---1
40.400
f---+-+---1
Με βάση μια ιδέα από το βιβλίο: Paulo.� John Allen,
«Α Mathematίcίan Reads the Newspaper», Basίc Books, Ν. Υ., 1995
25. Η επιδημία Ένας επιστήμονας προβλέπει την εξά πλωση μιας επιδημίας σε μια περιοχή για τα επόμενα 5 χρόνια με πιθανότητα 60%. Τι πιστεύετε ότι εννοούσε: Α. Αφού η πιθανότητα να εξαπλωθεί (60%) είναι μεγαλύτερη από την πιθανό τητα να μην εξαπλωθεί (40% ), θα έχουμε σίγουρα επιδημία στην περιοχή. 60 = � = � , τα τρία 1 00 1 0 5 από τα επόμενα πέντε χρόνια θα έχουμε επιδημία στην περιοχή. Β. Επειδή 60%
Έτη
Ο λογιστής προσπαθεί να τον καθησυχά-
=
Γ. Στο 60% της περιοχής τα επόμενα πέ ντε χρόνια θα έχουμε επιδημία.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'80 τ.4/4S
-------
Τα μαθηματικά θέματα του PISA
Απαντήσεις ασ κή σεων 4ου άρθρου
Δ. Η
πιθανότητα να εξαπλωθεί η επιδημία στην περιοχή τα επόμενα πέντε χρό νια είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να μην εξαπλωθεί.
24.
Απαντήσ εις α σ κήσεων 3ου άρθρου
1 η Κάθε ένα από τα πέντε συνδυάζεται με καθέ να από τα υπόλοιπα 4. Έχουμε, λοιπόν 20 συνδυ ασμούς.
W · W = 2o
και επειδή μετριούνται δύο φορές (πχ. ζαχαρί με γαλάζιο και γαλάζιο με ζαχαρί), είναι
4
4 38
=
9 5, ,
που στροyyυλοποιείται στο 1 Ο. Οπότε η Μαρία χρειάζεται: 38 - ( 1 8 + 4) 1 6 και άνω στο 3ο τρίμηνο. =
18.
19.
Τα δεδομένα έχουν μεγάλη διαφορά μεταξύ τους. Αν π.χ. παραστήσουμε τα έξοδα προμηθειών (42.000 €) με ράβδο ύψους 2 1 cm, τότε κάθε εκα τοστό του ραβδογράμματος αντιστοιχεί σε 2.000 €, οπότε τα 85 € αντιστοιχούν σε ύψος μικρότερο του μισού χιλιοστού! Α: ΛΑΘΟΣ, Δ: ΣΩΣΤΗ
Β: ΛΑΘΟΣ,
Γ: ΛΑΘΟΣ,
Η εκφώνηση ζητά ερμηνεία της πρόγνωσης. Δε ζητά τη γνώμη μας για το αν νομίζουμε ότι εί ναι σωστή ή λάθος η πρόγνωση.
ΣΧΟΛIΟ:
20.
Συμβολίζουμε: Μπέικον: Α, Μανιτάρια: Β, Ζαμπόν: Γ, Πιπεριές: Δ. Οι συνδυασμοί είναι: ΑΒ
ΑΓ
Α4
ΒΓ
ΑΒΓ
ΑΒΔ
ΑΓΔ
ΒΓΔ
ΑΒΓΔ
ΒΔ
ΓΔ
1, 1 25% .
Πιθανές (φαινομενικά σωστές) απαντήσεις:
τριμ. + 2ο τριμ, + 3ο τριμ. + Βαθμός γραπτών εξετ.
χιστον 38 , ωστε ο μεσος ορος να ειναι ' ' ' '
=
26.
2η
λέγεται Μέσος όρος η μέση τιμή των βαθμών του μαθητή. Για να περάσει κανείς ένα μάθημα (στο Γυμνάσιο), πρέπει να έχει άθροισμα τουλά-
40.000
Προφανώς ... (Δ). Οποιαδήποτε άλλη απάντηση θα οφείλεται είτε σε τυχαία επιλογή απάντησης είτε σε άγ\ιοια των εννοιών.
17.1 Ο βαθμός που προκύπτει από το πηλίκο: lo
�
25.
26. Το πρόβλημα του μπογιατζή... Θέλουμε να βάψουμε μια παλιά αποθήκη. Έχουμε πέντε κουτιά χρώμα, άσπρο, μπεζ, γαλάζιο, ζαχαρί και λαδοπράσινο. Αποφα σίζουμε να ανακατέψουμε χρώμα από δύο απ' αυτά. Πόσους συνδυασμούς μπορούμε να κάνουμε; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Το διακεκομμένο ραβδόγραμμα παραπλανά πολ λές φορές επίτηδες. Η μεταβολή είναι μόλις:
Ε.
Το 60% των κατοίκων της περιοχής θα aσθενήσουν από την επιδημία μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια.
-------
20 2
= 1Ο .
Συνδυασμοί: Α-Μ Α-Γ Α-Ζ Α-Λ Μ-Γ Μ-Ζ Μ-Λ Γ-Ζ Γ-Λ Ζ-Λ Σύνολο: 1 Ο
ΣΩΣΤΗ ΑΠΆΝΤΗΣΗ :
Έχει αμέτρητους, γιατί το χρώμα που θα προκύ ψει εξαρτάται από την αναλογία των χρωμάτων που θα αναμείξουμε! Πρόκειται για ένα πρόβλημα «πραγ ματικού κόσμου>>, όπου τα μαθηματικά δεν μπο ρούν (και δεν χρειάζεται) να δώσουν απάντηση. Παραπλανά η εκφώνηση, γιατί θυμίζει συνδυα σμούς των πέντε αντικειμένων ανά δύο. ΣΧΟΛ I Ο :
Β ιβλιογραφ ία : [ 1 ] Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, Θέματα αλφαβητι σμού προγράμματος PISA, Αθήνα 2005. [2] OECD, (1 999), Measuring Student Knowledge and Skills - Α New Frameworkfor Assesment, http://www.pisa.oecd.org [3] OECD, (200 1 ), Sample Tasksfrom the PISA 2000 As sessment, READING, ΜΑτΗΕΜΑΠCΑL AND SCIENΓIFIC LΠERACY. [4] OECD,(2004), The Pisa 2003 Assessment Frame work. [5] Ρίζος Γ., Στο δρόμο για τον PISA, Τα μαθημαπκά οτο διεθνή διαγωνισμό PISA, Εκδ. ΜΑΥΡΙΔΗ, Θεσσαλο νίκη, 2009
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'80 τ.4/46
Ταξίδ ι στη Γεωμετρία
======= Γιώργος Τσαπακίδης
Ουσιαστικά, επιστήμη είναι η τέχνη της μέτρησης. Όσο πιο προηγμένη είναι η επιστήμη τόσο πιο ακριβείς είναι οι μετρήσεις. Αλλ,ά όσο ακριβείς και να είναι οι μετρήσεις, τελικά είναι μία προσέγγιση της πραγματικότητας. Στο πλαίσιο αυτό θα κάνουμε ένα ταξίδι στον πραγματικό κόσμο μετρώντας διάφορα μεγέθη με τη βοήθεια της Ευκλείδειας γεωμετρίας. 1° πρόβλη μα Μία πίτσα διαμέτρου 20 cm κοστίζει 5 ευ ρώ. Πόσο πρέπει να κοστίζει μία πίτσα δι αμέτρου 40 cm αν εί ναι κατασκευασμένη με τα ίδια υλικά με την πρώτη; 2° πρόβλημα Έχουμε ένα πο δήλατο και ένα aριθμημένο χά ρακα 50 cm. Πως μπορείτε να βρείτε την απόσταση με ταξύ του σπι τιού σας και του σχολείου σας; 3° πρόβλη μα Με μία λαμαρίνα 1 3χ7 κατασκευάζουμε δύο ειδών σωλήνες όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ποιος έχει τη μεγαλύτερη χωρητικότητα;
4° πρόβλ ημα Υποθέτουμε ότι κάνετε τις καλοκαιρινές σας δια κοπές σε ένα ορεινό χωριό και ότι στην αυλή του σπιτιού που μένετε υπάρχει ένας κορμός καρυδιάς. Ο ιδιοκτήτης του κορμού θέλει να τον πουλήσει αλλά δεν μπορεί να υπολογίσει τον όγκο του. Μπορείτε να τον βοηθήσετε; . :"·:.,;.r;..,�....�;,: . �:·i�.�_·;��Ξ·,:����
.
�) _;-;: . -;:
5° πρόβλη μα Ταξιδεύετε με ένα καράβι που κινείται με σταθερή ταχύτητα u την οποία γνωρίζετε. Διαθέτετε ένα γωνιόμετρο και ρολόι με χρονόμετρο. Μπορείτε να
εκτιμήσετε την απόσταση του καραβιού από την ξηρά με
6° πρόβλημα Πως μπορούμε να βρούμε το μήκος μιας μικρής λίμνης αν διαθέτουμε μόνο μετροταινία;
7° πρόβλ ημα Το διπλανό διάγραμμα είναι η σχηματική αναπα ράσταση του εμβόλου Δ μιας aτμομηχανής, του κυλίνδρου μέσα στον οποίο κινείται το έμβολο και της ράβδου ΒΓ που μεταδίδει την κίνηση του εμ βόλου στον στρόφαλο ΑΓ. Αν η συνδετική ράβδος ΒΓ έχει μήκος 1 ,20 m και ο στρόφαλος ΑΓ 30 cm, ποιο μπορεί να είναι το μήκος του ΑΒ;
8° πρόβλημα Η αρμόδια υπηρεσία ζήτησε από τον υπεύθυνο ι χθυολόγο μιας λίμνης, μιας μελέτη για την αύξηση των ψαριών της λίμνης. Βασικό στοιχείο για τη μελέτη είναι η γνώση του όγκου του νερού της λί μνης. Μπορείτε να περιγράψετε μία μέθοδο προ σεγγιστικού υπολογισμού του όγκου του νερού της λίμνης;
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 80 τ.4/47
-------
Ταξίδι στη Γεωμετρία •
•
9° πρόβλημα Για την κατασκευή φωτογραφικών μηχανών, μι κροσκοπίων και τηλεσκοπίων χρησιμοποιούμε φακούς που είναι οπτικά όργανα από γυαλί τα ο ποία περιορίζονται από δύο σφαιρικές επιφάνειες . Η ευθεία που περνά από το κέντρο του φακού λέ γεται κύριος άξονας και κάθε άλλη ευθεία που περνά από το κέντρο του φακού λέγεται δευτερεύ ων άξονας (σχ. l). Κάθε παράλληλη δέσμη φωτει νών ακτίνων προς τον κύριο άξονα του φακού συ γκλίνει σε σημείο Ε που λέγεται εστία, της οποίας το η απόσταση από το κέντρο Ο του φακού λέγε ται εστιακή απόσταση και τη συμβολίζουμε με f (σχ. 2). Στο σχήμα 3, ο φακός σχηματίζει το είδωλο Α'Β' του αντικειμένου ΑΒ. Αν με α συμβολίσουμε την απόσταση του αντικειμένου ΑΒ από το κέντρο τοv φακού και β την αντίστοιχη απόσταση του ει δώλου, βρείτε αν υπάρχει σχέση που συνδέει τα α, β, f.
.;... _ ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _
πίτσας διαμέτρου 40 2 = 202π = 400π Ει = π 2
Εμβαδό
( J
40:
·
πίτσας Εμβαδό διαμέτρου 20 2 = 102π = lΟΟπ Ει = π 2
( J
20:
! = S. = 400π = 4 , άρα χ = 5· 4 20 ευρώ. 5 Ε lΟΟπ 2 2° πρόβλημα Μετράμε το μήκος ρ της μπροστινής ρόδας του ποδηλάτου. Η περίμετρός της θα είναι 2πρ � 6,28ρ •
cm. •
•
=
Σημαδεύουμε με άσπρο χρώμα ένα σημείο του ελαστικού της μπροστινής ρόδας και μετράμε το πλήθος ν των περιστροφών της από το σπίτι μέχρι το σχολείο. Απόσταση Σπιτιού - Σχολείου � 6,28νρ cm � 0,0628νρ m.
3° πρόβλημα
Για τον πρώτο σωλήνα έχουμε: Μήκος βάσης = 13, άρα 2πρ = 13 , ρ = 13 2π Όγκος = πρ2h = π Q 2 7 =π 169 . 7 = 1 183 --JfJ- / I 4π2 4π 2π !-- f__j Για το δεύτερο σωλήνα έχουμε: Σ 'ι(....; ι-ιαι. :ι Μήκος βάσης = 7, άρα 2πρ = 7 , ρ = 7 2π 2 13 = π Όγκος =πρ2h = π 13 = �: · 4 π Άρα ο πρώτος σωλήνας έχει μεγαλύτερη χωρητι κότητα από το δεύτερο. 4° πρόβλημα Με ένα σπάγγο μετράμε την περίμετρο του κορμού 10° πρόβλημα σε διαφορετικά σημεία, όπως φαίνεται στο διπλα Η απόσταση των πηγών ενό<; ποταμού από το ση νό σχήμα με τις διακεκομμένες γραμμές και βρί μείο της εκβολής του στη θάλασσα είναι d. Μπο- σκουμε το μέσο όρο μ αυτών των μετρήσεων. Έ f του ρείτε να τσι, θα έχουμε: μ = 2πρ (ρ η μέση ακτίνα των τομ . 'Ετσι, ο κορμος , ρ=, εχει μών του κορμου' ) αρα 2π h όγκο ν = πρ2h = π � 2 h = μ2 h :::::: μ2 4p 12,56 2π
�- -�
---
--- -·-
--
• •
"
( J
•
(
•
(; J
•
(
Και τώρα οι λύσεις του ς . . . 1 ° πρόβλημα Η τιμή της πίτσας πρέπει να είναι ανάλογη
J
J
( �}
,
του εμ 5° πρόβλημα βαδού της. Έτσι, αν χ είναι η τιμή της πίτσας με Με τη βοήθεια ενός γωνιόμετρου μετράμε τη γω διάμετρο 40 cm, έχουμε: νία φ που σχηματίζει η διεύθυνση κίνησης του ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'
80 τ.4/48
------ Ταξίδι στη Γεωμετρία πλοίου με την οπτική ακτίνα που μας συνδέει με το μοια γιατί έχουν ΑΟΒ = Α 'ΟΒ ' (κατακορυφήν). σημείο Σ της ξηράς. ΑΟ α ΑΒ = -, , = - ( 1 ) Τα ορθογωνια 'Ετσι, -τριγωνα Εκείνη τη στιγμή θέ Α'Β' Α Ό β τουμε σε λειτουργία ΕΟΓ και ΕΑ'Β' είναι όμοια γιατί έχουν το χρονόμετρο και ( rο ω f μετράμε το χρονικό ' ) . 'Ετσι, -=-=fΈΟ = Α κατακορυφην ΈΒ Α'Β' FA β-f διάστημα t μέχρι το σημείο Μ της διεύ ΑΒ f αλλά ΓΟ = ΑΒ άρα = __ (2) θυνσης της πορείας Α'Β ' β - f του πλοίου που είναι τέα f = __ επομέ Από τις ( 1 ) και (2) πάιρνουμε: τοια ώστε Σ Μ Χ = 2φ . β β-f Επειδή η γωνία Σ Μ Χ νως : α(β-t) = βf , αβ-αf = βf , αβ αf + βf , είναι εξωτερική στο τρί 1 α+β β 1 1 , α γωνο ΜΤΣ, θα έχουμε: αβ = ( α+β)f , - = -- = - + - = - + - . Άρα η αβ α β β α f αβ 2φ=φ+ Σ άρα Σ =φ= t , 1 1 1 , δηλαδή το τρίγωνο Γωνιόμετρο ' τα α, β, f ειναι η - = - + - . σχεση που συνδεει ΜΤΣ είναι ισοσκελές f β α οπότε ΜΣ=ΜΤ=u· t, όπου το u μετριέται σε μίλια 1 0° πρόβλημα ή χιλιόμετρα και το t σε ώρες. λι Π Ιιί!Ι Μπορούμε να προσεγγίσουμε
-------
λ
λ
'
=
6" πρόβλημα
Τοποθετούμε δύο r κατακόρυφα καλά- ι μια στα άκρα Β και Γ της λίμνης και ένα σε σημείο Α εκτός της λίμνης έτσι ώστε να φαίνονται τα Β και Γ από το Α. Βρί σκουμε τα μέσα Κ και Λ των αποστάσεων του Α από τα Β και Γ. Το μήκος ΒΓ της λίμνης είναι το διπλάσιο του μήκους ΚΛ. 7° πρόβλημα
Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: ΒΓ - ΑΓ � ΑΒ � ΒΓ + ΑΓ (το «=>> ισχύει όταν το σημείο Γ βρεθεί πάνω στη ΒΑ, μία φορά αριστερά και την άλλη δεξιά του Α), οπότε: 1 ,20 - 0,30 � ΑΒ � 1 ,20 + 0,30 άρα 0,90 � ΑΒ � 1 ,50. 8" πρόβλημα Από το χάρτη της Γ - - - - - - - - - -ι λίμνης υπολογίι ι ζουμε προσεγγι1 I στικά το εμβαδόν Ι ι t_ - - - - - - - - ι της Ε κατασκευάζοντας ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Με μία βάρκα πηγαίνουμε σε διάφορα σημεία της λίμνης, τυχαία επιλεγμένα, στα οποία μετράμε το βάθος της λίμνης. Αν μ είναι ο μέσος όρος των βαθών που μετρήσαμε, τότε ο όγκος του νερού της λίμνης προσεγγιστικά θα εί ναι: V=Ε · μ 9 " πρόβλη μα Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΟ και Α 'Β Ό είναι ό-
ι
το πραγματικό μήκος R του πο ταμού αν θεωρήσουμε ότι απο τελείται από ημικύκλια, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Είναι: R (Μήκος ημικυκλίου με διάμετρο A1Az) + (Μήκος ημι κυκλίου με διάμετρο AzA3 ) + (Μήκος ημικυκλίου με διάμε τρο Α3Α4) + . . . + (Μήκος ημι κυκλίου με διάμετρο Av.ιAv) =
"•
=
Α Α ΑΑ _! 2π ,Αz + _!2π Αz 3 +_!2π 3 4 + ... + .!2π �-ι� 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 = (AAz + Az� + Α3Α.ι + ... + -��) · d=1,57d �
�
=
�
ΣΧΟΛ /0: Όλες οι μετρήσεις που προτάθηκαν στα προβλή
ματα που εξετάσαμε θα μπορούσαν να πραγματοποιηθούν και στην Αρχαία Ελλάδα γιατί στηρίζονται στην Ευκλείδεια Γεω μετρία που ήταν γέννημα και θρέμμα της. Στην εποχή μας, οι μετρήσεις είναι πολύ πιο ακριβείς με τη χρήση της σύγχρονης τεχνολογίας. Καλό θα ήταν οι μαθητές ανατρέχοντας στο δια δίκτυο ή σε άλλες πηγές πληροφόρησης να περιγράψουν πως γίνονται μετρήσεις τέτοιου είδους στις μέρες μας.
Β Ι Β ΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ι.
Κ.Δ.Αλεξόπουλος - Γ.Δ.Μπίλλης, Στοιχεία Φυσικής, τόμος 1 ''. Αθήνα, 1 967
2.
J.D.Austin (edited), App1ications of Secondary School Maιhe matics, NCTM, USA, 1 99 1
3.
S.R.Clemens κ.α., Geometry, Addison - Welsey Publishing Company, USA, \ 9 8 1
4. 5. 6.
H.R.Jacobs, Geometry, W.H.Freeman and Company, USA.
7. 8.
M .Parker, She Does Math ! , Μ.Α.Α., USA, 1 997
Ι 9ί-Ι
J.Kolby - D.νaughn, Gre Math Bible, Nova Press, USA, 2008 E.E.Moise - F.L.Downs, Geometry, Addison - Welsey· Publish ing Company, USA, 1 982 D.Rayner, Genera1 Maιhematics Revision and Practise. Great Britain, 1 988
9. 10.
M.Serra, Geometry, Key Cuπiculum Press, USA, 1 997 J.F.Uirich, HBJ Geometry, USA, 1 984
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 80 τ.4/49
Oxtord.