Ευκλειδης Β 110 by demi de

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B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ

ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Μαθηματ ικό περιοδικό για το ΛΥ ΚΕΙΟ

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Ο Κ ΤΩ Β Ρ Ι Ο Σ - Ν Ο Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ - Δ Ε Κ Ε Μ Β Ρ Ι Ο Σ 2 0 1 8 ε υ ρ ώ 3 , 5 ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ

ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΙΑ ΤΟ 2018 ΤΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ ΑΠΟΝΕΜΗΘΗΚΕ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Αριθμός Άδειας

Ταχ. Γραφείο

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

ΕΚΔΟΤΩΝ

Hellenic Post

ΕΛΤΑ

Στη Γεωργία Μαραγκού το πρώτο βραβείο στην ετήσια διοργάνωση Μαθηματικών - Έργων Τέχνης, The Bridges Math Art Exhibition που έλαβε χώρα φέτος στη Στοκχόλμη της Σουηδίας

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Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία 5

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Τεύχος 110 - Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2018 - Ευρώ: 3,50 e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Γενικά Θέματα H ιδιαίτερη περίπτωση του George Boole (1815-1864) ............................ Μαθηματικές Ολυμπιάδες, ....................................................................... Homo Mathematicus, ..................................................................................

1 3 17

Α΄ Τάξη Άλγεβρα: Εξισώσεις Ανισώσεις 1ου και 2ου Βαθμού, ............................ Γεωμετρία: Θέματα Γεωμτρίας, .................................................................

23 28

Β΄ Τάξη Άλγεβρα: Γενικά Θέματα Άλγεβρας, ......................................................... Γεωμετρία: Ασκήσεις Εμβαδών, ................................................................. Κατεύθυνση: Κύκλος - Ευθεία - Παραβολή, .............................................

32 35 47

Γ Τάξη Γενική Παιδεία: Η χρησιμότητα των υπαρξιακών θεωρημάτων στη μελέτη των συναρτήσεων, .................................................................... 50 Αλγεβρική προσέγγιση του ζητήματος των ακροτάτων μιας συνάρτησης,56 Γενικά Θέματα Το Βήμα του Ευκλείδη, ............................................................................... Μια μέθοδος «Κατασκευής» Ανισοτήτων, ................................................. Ένας προβληματισμός στην ανισότητα Bernoulli , ................................ Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων για τα (Α.Ε.Ι) Παλαιοτέρων Εποχών, Μαθηματικ΄ά και Λογοτεχνία, ....................................................................

51 70 74 75 76

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι Με την έναρξη του καινούργιου χρόνου συμπληρώνουμε 12 χρόνια συνεργασίας για τον συντονισμό και την κυκλοφορία του περιοδικού μας. Η βοήθεια αξιόλογων συναδέλφων όλα αυτά τα χρόνια υπήρξε σημαντική για μένα και τους ευχαριστώ. Ελπίζω οι συνεργάτες μου και εγώ να φανήκαμε αντάξιοι της εμπιστοσύνης που μας έδειξαν τα Διοικητικά Συμβούλια της Ε.Μ.Ε. καθ' όλη αυτή την περίοδο. Αυτό που είναι σίγουρο, πάντως, είναι το γεγονός ότι αγκαλιάσαμε με ιδιαίτερο ενδιαφέρον και αγωνία το περιοδικό, αφιερώνοντας και χρόνο και κόπο για τη βελτίωσή του. Θα ήμουν ικανοποιημένος ακόμη και αν, κατά πως λέει ο ποιητής:

«Μια πέτρα μόνο κύλησα την πήγα παραπέρα» Εύχομαι σε όλους καλή χρονιά με υγεία και δημιουργικότητα, στους δε μαθητές την επιτυχία που ονειρεύονται!! Ï ðñüåäñïò ôçò ÓõíôáêôéêÞò ÅðéôñïðÞò: Ãéþñãïò Ôáóóüðïõëïò Ï áíôéðñüåäñïς: ÃéÜííçò Êåñáóáñßäçò

Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι:

Α΄ Λυκείου [Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης], Β΄ Λυκείου [Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης, Απ. Κακκαβάς], Γ΄ Λυκείου [Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]

Εξώφυλλο:

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 10 Νοεμβρίου 2018 Θαλής: Ευκλείδης: 19 Ιανουαρίου 2019 Αρχιμήδης: 23 Φεβρουαρίου 2019

Στη Γεωργία Μαραγκού το πρώτο βραβείο στην ετήσια διοργάνωση Μαθηματικών - Έργων Τέχνης, The Bridges Math Art Exhibition που έλαβε χώρα φέτος στη Στοκχόλμη της Σουηδίας Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού π πΕπιτροπή Συντακτική

ΔΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: Ανάργυρος Φελλούρης ÄéåõèõíôÞò: Ιωάννης Τυρλής

Εκτελεστική Γραμματεία Πρόεδρος: Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò Αντιπρόεδρος: Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Μέλη: ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 8005

ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò Βλάχος Σπύρος Γιώτης Γιάννης ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò ÊáñêÜíçò Âáóßëçò Êáôóïýëçò Ãéþñãïò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Êáñäáìßôóçò Óðýñïò Êïíüìçò ¢ñôé Κουλουμέντας Φώτης ÊõñéáæÞò ÉùÜííçò Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá

ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô. Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò Μανιατοπούλου Αμαλία ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò ÌÞëéïò Ãåþñãéïò Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò Μπρούνζος Στέλιος Ìþêïò ΧñÞóôïò Παπαπέτρος Βαγγέλης Óßóêïõ Ìáñßá ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò ÓôñáôÞò ÃéÜííçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò ÔæåëÝðçò ¢ëêçò Tουρναβίτης Στέργιος ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò ÔóáãêÜñçò ÁíäñÝáò ÔóáãêÜñçò Êþóôáò Τσιφάκης Χρήστος Τσουλουχάς Χάρης ÔõñëÞò ÉùÜííçò ÖáíÝëç ¢ííõ ×áñáëáìðïðïýëïõ Ëßíá ×ρéóôüðïõëïò ÈáíÜóçò ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Øý÷áò ÂáããÝëçò

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Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50 • Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. • Ïé óõíåñãáóßåò, [ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο εισηγητής. ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00 Tï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: (1). Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 (2). Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK (3). Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. (4). Ìå áíôéêáôáâïëÞ, óå åôáéñåßá ôá÷õìåôáöïñþí óôï ÷þñï óáò, êáôÜ ôçí ðáñáëáâÞ.

Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

H Â½ÂºȯÍ¾ÊÀ É¾ÊȯÉÍÒÌÀ ÍÈÎ George Boole (1815-1864) ǾȜȓĮȢ ǹȞįȡȚĮȞȩȢ - Ȃ.ǻ.Ǽ ǻȚįĮț.&Ȃİș.ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ.

İȞȞȒșȘțİ ıĲȠ Lincoln ĲȘȢ ǹȖȖȜȓĮȢ. ȅ ʌĮĲȑȡĮȢ ĲȠȣ (John) ȒĲĮȞ ȣʌȠįȘȝĮĲȠʌȠȚȩȢ țĮȚ Ș ȝȘĲȑȡĮ ĲȠȣ (Mary Ann) ȣʌȘȡȑĲȡȚĮ . ȅ ʌĮĲȑȡĮȢ ĲȠȣ ĮȖĮʌȠȪıİ ĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ țĮȚ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, įȚȑșİĲİ ĮȡțİĲȩ ȤȡȩȞȠ ȖȚĮ ĮȣĲȐ ĲĮ İȞįȚĮĳȑȡȠȞĲĮ ĲȠȣ ʌĮȡĮȝİȜȫȞĲĮȢ ȑĲıȚ ĲȘȞ įȠȣȜİȚȐ ĲȠȣ țȐĲȚ ʌȠȣ İȓȤİ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ĲȘȞ ȠȚțȠȞȠȝȚțȒ įȣıʌȡĮȖȓĮ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚȐȢ ĲȠȣ. ȅ George ȒĲĮȞ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ʌĮȚįȓ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮȢ. Ǿ ȝĮșȘĲȚțȒ ĲȠȣ ʌȠȡİȓĮ ȟİțȓȞȘıİ ıİ ȘȜȚțȓĮ ʌİȡȓʌȠȣ įȣȠ İĲȫȞ țĮȚ ȠȜȠțȜȘȡȫșȘțİ ıĲȘȞ ȘȜȚțȓĮ ĲȦȞ įİțĮȑȟȚ İĲȫȞ. ǲĲȣȤİ ĲȘȢ İțʌĮȓįİȣıȘȢ ĲȦȞ ʌĮȚįȚȫȞ ĲȘȢ țȠȚȞȦȞȚțȒȢ ĲȠȣ ĲȐȟȘȢ ȝİ İʌȚʌȡȩıșİĲȘ ȕȠȒșİȚĮ Įʌȩ ĲȠȞ ʌȐĲİȡȐ ĲȠȣ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ. ǼȓȤİ ȚįȚĮȓĲİȡȘ ȑĳİıȘ ıĲȘȞ İțȝȐșȘıȘ ȟȑȞȦȞ ȖȜȦııȫȞ țĮșȫȢ țĮȚ ıĲĮ ȁĮĲȚȞȚțȐ țĮȚ ǼȜȜȘȞȚțȐ. ȈĲȘȞ ȘȜȚțȓĮ ĲȦȞ 16 İĲȫȞ ȑȖȚȞİ ȕȠȘșȩȢ įĮıțȐȜȠȣ ȕȠȘșȫȞĲĮȢ ȝİ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ĮȣĲȩ ıĲĮ ȠȚțȠȞȠȝȚțȐ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚȐȢ ĲȠȣ. ȆĮȡȐȜȜȘȜĮ ĲȠ Differential and Integral calculus ĲȠȣ Lacroix ȒĲĮȞ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ʌȡȠȤȦȡȘȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌȠȣ įȚȐȕĮıİ. ȄİțȚȞȐİȚ ȝȚĮ ʌȠȡİȓĮ 18 İĲȫȞ ȦȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ ıİ ıȤȠȜİȓĮ įȚĮĳȩȡȦȞ ȕĮșȝȓįȦȞ Ș ȠʌȠȓĮ țĮĲĮȜȒȖİȚ ȝİ ĲȠȞ įȚȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ĲȠ 1849 ȦȢ țĮșȘȖȘĲȒ ıĲȠ ȞİȠȚįȡȣșȑȞ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ Cork ıĲȘȞ ǿȡȜĮȞįȓĮ. ȉȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ȚįȡȪșȘțİ Įʌȩ ĲȘȞ țȣȕȑȡȞȘıȘ ĲȘȢ ǹȖȖȜȓĮȢ ȦȢ ĮȞĲȓȕĮȡȠ ıĲȠ ȀĮșȠȜȚțȒȢ İʌȚȡȡȠȒȢ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ ǻȠȣȕȜȓȞȠȣ. ȂȘ ȑȤȠȞĲĮȢ ĲȣʌȚțȒ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȚĮțȒ İțʌĮȓįİȣıȘ ȒĲĮȞ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ĮȣĲȠįȓįĮțĲȠȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ. ȈĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ĮȣĲȩ ĲȠ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȩ ĲȠȣ ȑȡȖȠ, ĮʌĮȡĲȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ İȟȒȢ :1/ǼȡȖĮıȓĮ ȝİ ĲȓĲȜȠ “Researches on The Theory of Analytical Transormations” Ș ȠʌȠȓĮ įȘȝȠıȚİȪİĲĮȚ ĲȠ 1841 ıĲȠ Cambridge Mathematical Journal. 2/ ǼȡȖĮıȓĮ ȝİ ĲȓĲȜȠ “On a general method of Analysis” Ș ȠʌȠȓĮ įȘȝȠıȚİȪİĲĮȚ ıĲȠ Royal Society’s Philosophical Transactions țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĲȚȝȐĲĮȚ ĲȠ 1844 ȝİ ĲȠ Royal Medal for Mathematics. 3/ȉȠ ʌȡȫĲȠ ĲȠȣ ȕȚȕȜȓȠ ȝİ ĲȓĲȜȠ “The Mathematical Analysis of Logic: Being An Essay Towards A Calculus Of Deductive Reasoning” [1]İțįȓįİĲĮȚ ĲȠ 1847. ȈĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĮȣĲȩ İʌȚȤİȚȡİȓ ȞĮ ȕȐȜİȚ ĲȚȢ ȕȐıİȚȢ ȖȚĮ ȝȚĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ ıĲȘȞ ȁȠȖȚțȒ . ȂİĲĮ ĲȠȞ įȚȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ıĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ Cork ȖȡȐĳİȚ țĮȚ İțįȓįİȚ ĲȠ 1854 ĲȠ ʌİȡȓĳȘȝȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ ȝİ ĲȓĲȜȠ “An Investigation Of The Laws Of Thought: On Which Are Founded The Mathematical Theories Of Logic And Probabilities”[2]ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ĮȞĮʌĲȪııİȚ ȠȜȠțȜȘȡȦȝȑȞĮ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ. ȁȓȖĮ ȜȩȖȚĮ ȖȚĮ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ȁȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ Boole ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ Martin Davis ,ıĲȠ «ȂȘȤĮȞȑȢ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ»[3] (ǼțįȩıİȚȢ ǼțțȡİȝȑȢ), Ƞ Boole ȕȡȒțİ ĲȘȞ ȁȠȖȚțȒ İțİȓ ʌȠȣ ĲȘȞ İȓȤİ ĮĳȒıİȚ Ƞ ǹȡȚıĲȠĲȑȜȘȢ( ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ ȝİ ĲȠȞ ȝİĲȑʌİȚĲĮ ĲȓĲȜȠ «ǵȡȖĮȞȠȞ») 2000 ȤȡȩȞȚĮ ʌȡȚȞ. ǻȚȑȖȞȦıİ ĲȘȞ įȪȞĮȝȘ ĲȘȢ ǱȜȖİȕȡĮȢ įȘȜĮįȒ ȩĲȚ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȝİ ıȣȝȕȠȜȚțȩ ĲȡȩʌȠ ȞĮ ĮȞĮʌĮȡȚıĲȒıȠȣȝİ ʌȠıȩĲȘĲİȢ țĮȚ ʌȡȐȟİȚȢ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ ȣʌĮțȠȪȠȣȞ ıİ ȑȞĮ ȝȚțȡȩ ĮȡȚșȝȩ țĮȞȩȞȦȞ țĮȚ ȞȩȝȦȞ țĮȚ ıțȑĳĲȘțİ ȩĲȚ Ș įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ȝİĲĮĳİȡșİȓ ıİ ȝȚĮ ȝİȖȐȜȘ ʌȠȚțȚȜȓĮ ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȦȞ țĮȚ ʌȡȐȟİȦȞ Įȡțİȓ ȞĮ ȣʌĮțȠȪȠȣȞ ıİ ȝȚĮ ıİȚȡȐ ȞȩȝȦȞ Ș țĮȞȩȞȦȞ. H įȚĮĲȪʌȦıȘ ĲȘȢ ȆȡȩĲĮıȘȢ ǿ ıĲȠ [2] İȓȞĮȚ İȞįİȚțĲȚțȒ ĲȘȢ ʌȡȩșİıȒȢ ĲȠȣ. ȆȡȩĲĮıȘ I ǵȜİȢ ȠȚ ȜİȚĲȠȣȡȖȓİȢ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ ȦȢ ȠȡȖȐȞȠȣ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ įȚİȟĮȤșȠȪȞ Įʌȩ ȑȞĮ ıȪıĲȘȝĮ ıȣȝȕȩȜȦȞ ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ĮțȩȜȠȣșĮ ıĲȠȚȤİȓĮ, įȘȜĮįȒ:

1Ƞ: ȉĮ ʌȡȫĲĮ ȜȠȖȚțȐ ıȪȝȕȠȜĮ ȦȢ x, y, z ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪȠȣȞ ĲĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ ȦȢ ȣʌȠțİȓȝİȞĮ ĲȦȞ ĮȞĲȚȜȒȥİȦȞ ȝĮȢ. 2Ƞ: ȉĮ ıȪȝȕȠȜĮ ĲȦȞ ȜİȚĲȠȣȡȖȚȫȞ ȩʌȦȢ +, , x, ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıĲȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ ĲȠȣ ȝȣĮȜȠȪ ȝİ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȠȚ ĮȞĲȚȜȒȥİȚȢ ȖȚĮ ĲĮ ʌȡĮȖȝȐĲĮ ıȣȞįȣȐȗȠȞĲĮȚ Ȓ İʌȚȜȪȠȞĲĮȚ ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ȞȑİȢ ĮȞĲȚȜȒȥİȚȢ ʌȠȣ ʌĮȡȐȖȠȣȞ ĲĮ ȓįȚĮ ıĲȠȚȤİȓĮ. 3Ƞ: ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȘȢ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮȢ = ȀĮȚ ĮȣĲȐ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ ıĲȘ ȤȡȒıȘ ĲȠȣȢ ȣʌȩțİȚȞĲĮȚ ıİ ȠȡȚıȝȑȞȠȣȢ ȞȩȝȠȣȢ ʌȠȣ İȞ ȝȑȡİȚ ıȣȝĳȦȞȠȪȞ țĮȚ İȞ ȝȑȡİȚ įȚĮĳȑȡȠȣȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȞȩȝȠȣȢ ĲȦȞ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȦȞ ıȣȝȕȩȜȦȞ ıĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ ĲȘȢ ȐȜȖİȕȡĮȢ. ȆȚȠ ʌȡȚȞ [1] ȑȤİȚ ʌĮȡĮĲȘȡȒıİȚ ȩĲȚ ȠȚ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ ǹȡȚıĲȠĲȑȜȘ İȓȞĮȚ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ: «ǵȜĮ ĲĮ ĳȣĲȐ İȓȞĮȚ ȗȦȞĲĮȞȐ» țĮȚ ĮʌȠĳĮıȓȗİȚ ȞĮ İȚıĮȖȐȖİȚ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȦȞ «țȜȐıİȦȞ», ʌ.Ȥ ıĲȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ʌȡȩĲĮıȘ ĲȘȞ țȜȐıȘ ĲȦȞ ȗȦȞĲĮȞȫȞ ȠȡȖĮȞȚıȝȫȞ țĮȚ įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ȝİ ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ȝȚĮ ȐȜȖİȕȡĮ țȜȐıİȦȞ. ȋİȚȡȓȗİĲĮȚ ȝİ ĮȡȚıĲȠĲİȤȞȚțȩ ĲȡȩʌȠ ĲȚȢ ȕĮıȚțȑȢ ĮȡȤȑȢ ĲȘȢ ȆȡȩĲĮıȘȢ ǿ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ș ʌȡȩĲĮıȘ «ȜİȣțȐ ʌȡȩȕĮĲĮ ȝİ țȑȡĮĲĮ» ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮȞĮʌĮȡĮıĲĮșİȓ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȝİĲĮȕȜȘĲȑȢ ȦȢ « xyz» ȩʌȠȣ, x: ȜİȣțȐ ʌȡȐȖȝĮĲĮ, y: ʌȡȩȕĮĲĮ țĮȚ z: ʌȡȐȖȝĮĲĮ ȝİ țȑȡĮĲĮ . ȈĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ įȚĮĲȣʌȫȞİȚ ĲȘȞ ǺĮıȚțȒ ǹȡȤȒ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ ȝȑıȦ ĲȠȣ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲȠȢ: ǹȞ ȝİ x ıȣȝȕȠȜȓıȦ ĲȠ ʌȡȩȕĮĲȠ ĲȩĲİ ĲȚ ȝʌȠȡȫ Ș ĲȚ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ıȣȝȕȠȜȓıȦ ȝİ xx; ǹʌȠĳĮıȓȗİȚ ȩĲȚ ȝİ xx șĮ ıȣȝȕȠȜȓıİȚ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ʌȡȩȕĮĲȠ ȐȡĮ ȑȤȠȣȝİ xx=x (1) ıȣȞİʌȫȢ ĮĳȠȪ ȝİ x ıȣȝȕȠȜȓȗİĲĮȚ Ș țȜȐıȘ ĲȦȞ ʌȡȠȕȐĲȦȞ ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ xx=x İȓȞĮȚ ĮȜȘșȒȢ …ȈĲȘȞ ȐȜȖİȕȡĮ ȠȚ ȝȠȞĮįȚțȑȢ ĲȚȝȑȢ ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪȠȣȞ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ ĲȠ 0 țĮȚ ĲȠ 1. ǱȡĮ Ș ȐȜȖİȕȡĮ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ ,șĮ ȒĲĮȞ ȩʌȦȢ Ș ıȣȞȒșȘȢ ǱȜȖİȕȡĮ ĮȞ ʌİȡȚȠȡȚȗȩĲĮȞ ıİ įȣȠ ȝȩȞȠ ĲȚȝȑȢ 0 țĮȚ 1 (ǺĮıȚțȒ ǹȡȤȒ). ȉȠ 0 İȡȝȘȞİȪİĲĮȚ ȦȢ Ș țȜȐıȘ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ įİȞ ĮȞȒțİȚ ĲȓʌȠĲĮ țĮȚ ĲȠ 1 ȦȢ Ș țȜȐıȘ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ țȐșİ ȣʌȩ İȟȑĲĮıȘ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ Ș ĮȜȜȚȫȢ ĲȠ ıȪȝʌĮȞ ĲȘȢ ıȣȗȒĲȘıȘȢ. ǼȚıȐȖİȚ ĲȘȞ ȤȡȒıȘ ĲȦȞ ıȣȝȕȩȜȦȞ + țĮȚ – ȦȢ İȟȒȢ: x+y :ıȣȝȕȠȜȓȗİȚ ĲȘȞ țȜȐıȘ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ĮȞȒțȠȣȞ İȓĲİ ıĲȘȞ țȜȐıȘ x İȓĲİ ıĲȘȞ țȜȐıȘ y x y :ĲȘȞ țȜȐıȘ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȘȞ țȜȐıȘ x ĮȜȜȐ ȩȤȚ ıĲȘȞ țȜȐıȘ y. ȈȣȞįȣȐȗȠȞĲĮȢ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȠȣ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ʌİȡȚȖȡȐĳȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ ȆȡȩĲĮıȘ ǿ ʌȡȠȤȦȡȐİȚ ıĲȘȞ ȠȚțȠįȩȝȘıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȩȢ ĲȠȣ. ȅ Martin Davis[3] țĮĲĮȜȒȖİȚ ȝİ ĲȘȞ įȚĮʌȓıĲȦıȘ ȩĲȚ Ƞ Boole ıĲȠ ıȪıĲȘȝȐ ĲȠȣ ʌİȡȚȑȜĮȕİ ĲȘȞ ȁȠȖȚțȒ ĲȠȣ ǹȡȚıĲȠĲȑȜȘ țĮȚ ȑĲıȚ țĮĲȑįİȚȟİ ıĮĳȫȢ ȩĲȚ Ș ȜȠȖȚțȒ İʌȚȤİȚȡȘȝĮĲȠȜȠȖȓĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ĮȞĮʌĲȣȤșİȓ ȦȢ țȜȐįȠȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ǺȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮ [1] The Mathematical Analysis of Logic: Being An Essay Towards A Calculus Of Deductive Reasoning, George Boole, CAMBRIDGE: MACMILLAN, BARCLAY, & MACMILLAN: LONDON: GEORGE BELL, 1847. [2] An Investigation Of The Laws Of Thought: On Which Are Founded The Mathematical Theories Of Logic And Probabilities. LONDON: WALTON AND MABERLY, CAMBRIDGE: MACMILLAN AND CO. 1854. [3] ȂȘȤĮȞȑȢ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ,Martin Davis, ǼțįȩıİȚȢ ǼțțȡİȝȑȢ ,ǹșȒȞĮ 2007 ȈĲȘȞ ʌȡȫĲȘ ıİȜȓįĮ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ ĲİȪȤȠȣȢ İț ʌĮȡĮįȡȠȝȒȢ ȖȡȐĳĲȘțİ «ʏʘʆ Ȼʘɳʆʆɻ ɍɲʏɺɻɷɳʃɻ ʃɲɿ ʏʉʐ ɇʏɹʔɲʆʉʐ Ⱦʐʋɳʌɿʍʍʉʐ» ɲʆʏʀ ʏʉʐ ʉʌɽʉʑ, ʏʘʆ Ȼʘɳʆʆʉʐ ɍɲʏɺɻɷɳʃɻ ʃɲɿ Ⱦʐʋɲʌʀʍʍʉʐ ɇʏɸʔɳʆʉʐ, ɷɻʄɲɷɼ ʏʉ Ⱦʐʋɳʌɿʍʍʉʎ ɷɸʆ ɸʀʆɲɿ ɸʋʙʆʐʅʉ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/2

ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȅȜȣȝʌȚȐįİȢ

ǼʌȚĲȡȠʌȒ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȫȞ ĲȘȢ E.M.E.

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ǼȞįİȚțĲȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ ǹǯ ȁȊȀǼǿȅȊ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ x ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x x 1

x x 5

2 6. x 1 x 2 7x 10 0 țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ 2 2 ȁȪıȘ ĬĮ ȜȪıȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ țĮȚ șĮ İʌȚȜȑȟȠȣȝİ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ țĮȚ ĲȚȢ įȪȠ. īȚĮ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ȑȤȠȣȝİ: x 1 x 2 7x 10 0 x 1 0 Ȓ x 2 7x 10 0 x 1 Ȓ x 2 Ȓ x 5, ĮĳȠȪ Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ĲȘȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ ' 7 4 1 10 9 ! 0 . īȚĮ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ ȑȤȠȣȝİ x x 1

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2 6 x 2 x 4 x 2 5x 12 5x x 12 4 4x 16 x 4. 2 2 ǼʌȠȝȑȞȦȢ. Ș İȟȓıȦıȘ țĮȚ Ș ĮȞȓıȦıȘ ĮȜȘșİȪȠȣȞ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ ȖȚĮ x 1 Ȓ x 2 . ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 5D 2E 2 ǹȞ ȠȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ D, E İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ 4 1, ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ įȣȞĮĲȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ D 36E 4 D E . . ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ D E ȁȪıȘ ǹʌȩ ĲȘ įİįȠȝȑȞȘ ıȤȑıȘ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: (1) D 4 36E4 5D 2E2 D 4 5D 2E2 36E4 0 . īȚĮ ȞĮ ʌȡȠțȪȥİȚ ĮʌȜȠȪıĲİȡȘ ıȤȑıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ D, E ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȖȓȞİȚ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ 2

D 4 5D 2E2 36E4 . ǹȣĲȩ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ ȝİ įȪȠ ĲȡȩʌȠȣȢ. ȈĲȠȞ ʌȡȫĲȠ ĲȡȩʌȠ ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ıİ ȠȝȐįİȢ ȝİ țĮĲȐȜȜȘȜȘ įȚȐıʌĮıȘ İȞȩȢ ȩȡȠȣ ĲȘȢ ıİ įȪȠ. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ D4 5D2E2 36E4 D4 9D2E2 4D2E2 36E4 D2 D2 9E2 4E2 D2 9E2 D2 9E2 D2 4E2

ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ D4 5D2E2 36E4

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D E 3E E 1 D E 3E E 4 2. , İȞȫ ĮȞ D 3E, ĲȩĲİ . D E 3E E 2 D E 3E E 2 ȈĲȠ įİȪĲİȡȠ ĲȡȩʌȠ įȚĮȚȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȝİ E4 (ĮȞ İȓȞĮȚ E 0 , ĲȩĲİ Ș įİįȠȝȑȞȘ ȚıȩĲȘĲĮ ȖȓȞİĲĮȚ 0=1`, ȐĲȠʌȠ), ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ (1) ȖȓȞİĲĮȚ: 4 2 4 2 § · §D· §D· §D· 4 2 2 4 4 §D· D 5D E 36E 0 E ¨ ¨ ¸ 5 ¨ ¸ 36 ¸ 0 ¨ ¸ 5 ¨ ¸ 36 0 ¨© E ¹ ¸ ©E¹ ©E¹ ©E¹ © ¹ ǹȞ D 3E, ĲȩĲİ .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/3

-------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ – ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȅȜȣȝʌȚȐįİȢ ----------------------------------------------------------------------------D Z E

5 r 169 5 r 13 2 2 2 2 Z 9 Ȓ Z 4 (ĮʌȠȡȡȓʌĲİĲĮȚ) Z 3 Ȓ Z 3 D 3E Ȓ D 3E. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ, ȩʌȦȢ țĮȚ ıĲȠȞ ʌȡȫĲȠ ĲȡȩʌȠ: 3E E 1 3E E 4 2. , İȞȫ, ĮȞ D 3E, ĲȩĲİ . ǹȞ D 3E, ĲȩĲİ . 3E E 2 3E E 2 ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 2 2 2 2 } ȃĮ ıȣȖțȡȚșȠȪȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ $ 3 6 9 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 } țĮȚ % 2 4 5 7 8 10 95 97 98 100 ȁȪıȘ ȆĮȡĮĲȘȡȫȞĲĮȢ ʌȡȠıİțĲȚțȐ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ǹ țĮȚ Ǻ įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ: 2 , N 1, 2,...,33 , įȘȜĮįȒ Ƞ ǹ ȑȤİȚ 33 ȩȡȠȣȢ. ǼʌȓıȘȢ ȠȚ ʌȡȠıșİĲȑȠȚ ĲȠȣ ǹ İȓȞĮȚ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ 3N 1 įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ Ǻ ȑȤİȚ ʌȡȠıșİĲȑȠȣȢ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ , ȩʌȠȣ ĲȠ Q ʌĮȓȡȞİȚ ȩȜİȢ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ Įʌȩ ĲȠ 2 ȝȑȤȡȚ Q ĲȠ 100, İțĲȩȢ ĮȣĲȫȞ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚĮ ĲȠȣ 3, įȘȜĮįȒ Ƞ Ǻ ȑȤİȚ 99 33 66 ȩȡȠȣȢ, įȘȜĮįȒ ȑȤİȚ įȚʌȜȐıȚȠȣȢ ȩȡȠȣȢ Įʌȩ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ǹ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȝȓĮ ĮȞȚıȦĲȚțȒ ıȤȑıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ȩȡȦȞ ĲȠȣ ǹ țĮȚ ĲȦȞ ȩȡȦȞ ĲȠȣ Ǻ Ș ȠʌȠȓĮ ıİ țȐșİ ȩȡȠ ĲȠȣ ǹ șĮ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȓȗİȚ įȪȠ ȩȡȠȣȢ ĲȠȣ Ǻ. Ȃİ ĮʌȜȒ 2 ĲȠȣ ǹ țĮȚ ĲȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘ ȕȜȑʌȠȣȝİ ȩĲȚ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȘ ıȤȑıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣ ȩȡȠȣ 3N 1 1 1 1 3 2 ! , șĮ țĮȚ ĲȦȞ ȩȡȦȞ ĲȠȣ Ǻ, ȖȚĮ N 1, 2,...,33 . ǼʌİȚįȒ ȕȜȑʌȠȣȝİ ȩĲȚ 2 4 4 3 3N 1 3N 1 1 1 2 ! ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ , ȖȚĮ țȐșİ N 1, 2,},33. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, țȐȞȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ʌȡȩıșİıȘ 3N 1 3N 1 3N 6N 2 ! ıĲȠ ʌȡȫĲȠ ȝȑȜȠȢ, Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ȓ ȚıȠįȪȞĮȝĮ 18k 2 ! 18k 2 2 , ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ 2 9 N 1 3N țȐșİ N 1, 2,...,33 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȑȤȠȣȝİ ĲȚȢ 33 ȠȝȩıĲȡȠĳİȢ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ! , ! , ..., ! 2 4 3 5 7 6 98 100 99 Įʌȩ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȝİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȩĲȚ % ! $ . ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ=ǹī) ȝİ ǹ̂ 30q . ǼȟȦĲİȡȚțȐ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻīǻ țĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹīǼǽ. ǹȞ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǹǻ țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȘȢ țȠȡȣĳȒȢ Ǻ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: Į) ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. ȕ) ȅȚ İȣșİȓİȢ ǹȀ, ǼȂ țĮȚ ǻī ʌİȡȞȐȞİ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ.

5Z2 36 0 Z2 5Z2 36 0 Z2 2

ȈȤȒȝĮ 3 ȁȪıȘ (Į) ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ ǹǺ = ǹī țĮȚ ǹ̂ 30q șĮ ȚıȤȪİȚ: %ˆ 1 *ˆ 1 75R . Ǿ ǹǻ ˆ ˆ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ Ǻī, ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ǹ̂ 30q , ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ: $ $ 15R . 1 2 ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲȫȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ țĮȚ ǻīǼ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ Įʌȩ ĲȚȢ ȣʌȠșȑıİȚȢ: (i) ǹǺ=ǹī=īǼ (ii) Ǻǻ=īǻ țĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ ȖȚĮ ĲȚȢ ʌİȡȚİȤȩȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ ȑȤȠȣȝİ: ˆ ˆ 360 R *ˆ 1 90 R 60R 360 R 150 R 75R 135R , $%' %ˆ 1 %ˆ 2 75R 60R 135R țĮȚ '*( ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/4

ˆ įȘȜĮįȒ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: (iii) ǹǺǻ ǻīˆ Ǽ 135q . ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ țĮȚ ǻīǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ țĮȚ țĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ ǹǻ = ǻǼ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ˆ ˆ $ ˆ ȚıȠıțİȜȑȢ. īȚĮ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ǻǹ̂Ǽ ĲȠȣ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻǼ ȑȤȠȣȝİ: '$( $ 15q 45q 60q , 2 3 ĮĳȠȪ Ș ȖȦȞȓĮ $̂ 3 İȓȞĮȚ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȫȞȚȠȣ țĮȚ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹīǼ. ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. ˆ ˆ (ȕ) īȚĮ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ǻī̂ǽ ȑȤȠȣȝİ: '*= *ˆ 2 (*= 135q 45q 180q . ǱȡĮ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, ī, ǽ İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ țĮȚ İʌİȚįȒ Ș īǽ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ ǹǼ, ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ǻǽ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ ǹǼ. ǼʌİȚįȒ ĲȠ Ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǹǻ, țĮȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ, Ș ǼȂ șĮ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ ǹǻ . ˆ ˆ $0. ǼĳȩıȠȞ ĲȠ Ȁ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ Ǻ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠ Ȃ, Ȃǹ=ȂǺ țĮȚ %0' ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȂǹȀ ˆ ˆ țĮȚ ȂǻǺ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ %'0 0$. 30q Ǥ ǹʌȩ ĲȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ ȚıȩĲȘĲİȢ, ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ǹȀ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ, ȐȡĮ țĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȚıȩʌȜİȣȡȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻǼ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȠȚ İȣșİȓİȢ ǹȀ, ǼȂ țĮȚ ǻī ʌİȡȞȐȞİ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ȝİıȠțȐșİĲȦȞ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻǼ.

Ǻǯ ȁȊȀǼǿȅȊ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 ǹȞ ȠȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ D, E İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ

26D 3E 3 D 6 27E 6

1, ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ įȣȞĮĲȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ

D2 E2 . D2 E2

ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ .

ȁȪıȘ D 6 27E6 26D 3E3 D 6 26D 3E3 27E6 0 . (1) ǹʌȩ ĲȘ įİįȠȝȑȞȘ ıȤȑıȘ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: īȚĮ ȞĮ ʌȡȠțȪȥİȚ ĮʌȜȠȪıĲİȡȘ ıȤȑıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ D, E ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȖȓȞİȚ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ D 6 26D 3E3 27E6 . ǹȣĲȩ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ ȝİ įȪȠ ĲȡȩʌȠȣȢ. ȈĲȠȞ ʌȡȫĲȠ ĲȡȩʌȠ ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ıİ ȠȝȐįİȢ ȝİ țĮĲȐȜȜȘȜȘ įȚȐıʌĮıȘ İȞȩȢ ȩȡȠȣ ĲȘȢ ıİ įȪȠ. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ D6 26D3E3 27E6 D6 D3E3 27D3E3 27E6 D3 D3 E3 27E3 D3 E3 D3 27E3 D3 E3 .

ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ D6 26D3E3 27E6 0 D3 27E3 D3 E3 0 D 3E D2 3DE 9E2 D E D2 DE E2 0 D 3E 0 Ȓ D E 0 D 3E Ȓ D E, 3E · 45E § ! 0 , ȖȚĮ DE z 0 (ȚıȤȪİȚ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ) ¨D ¸ 2 ¹ 4 © 2

ĮĳȠȪ D 2 3DE 9E2

E · 3E2 § țĮȚ D DE E ¨ D ¸ ! 0, ȖȚĮ DE z 0 . 2¹ 4 © D 2 E2 E 2 E2 D 2 E2 9E2 E2 8 4 0. , İȞȫ, ĮȞ D E, ĲȩĲİ . ǹȞ D 3E, ĲȩĲİ . 2 2 2 2 D 2 E 2 E2 E2 D E 9E E 10 5 ȈĲȠ įİȪĲİȡȠ ĲȡȩʌȠ įȚĮȚȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȝİ E6 (ĮȞ İȓȞĮȚ E 0 , ĲȩĲİ Ș įİįȠȝȑȞȘ ȚıȩĲȘĲĮ ȖȓȞİĲĮȚ 0=1, ȐĲȠʌȠ), ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ (1) ȖȓȞİĲĮȚ: 2

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26 r 28 Z 1 Ȓ Z 27 D3 E3 Ȓ D3 27E3 D E Ȓ D 3E 2 4 Ȓ . 0. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ, ȩʌȦȢ țĮȚ ıĲȠȞ ʌȡȫĲȠ ĲȡȩʌȠ . 5 Z

26 r 784 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/5

ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 ǹȞ ȠȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ x,y,z,w İȓȞĮȚ ȩȜȠȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȚ Ȓ ȓıȠȚ ĲȠȣ 1 țĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȠȚ Ȓ ȓıȠȚ ĲȠȣ 5 țĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ x y z w 8 , ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ȝȑȖȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ

x2 y 2 z 2 w 2 .

ȁȪıȘ ȄİțȚȞȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ 1 d x d 5 , șĮ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: 1 d x d 5 (x 1)(x 5) d 0 x 2 6x 5 d 0 x 2 d 6x 5, ȩʌȠȣ Ș ȚıȩĲȘĲĮ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ x 1 Ȓ x

y d 6y 5, z d 6z 5, w d 6w 5 , ȅȝȠȓȦȢ, ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ ȩʌȠȣ ȠȚ ȚıȩĲȘĲİȢ ȚıȤȪȠȣȞ ȝȩȞȠȞ ȩĲĮȞ ȠȚ y, z, w ʌĮȓȡȞȠȣȞ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ 1 Ȓ 5. ȆȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ ĲȚȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĲȑııİȡȚȢ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ țĮĲȐ ȝȑȜȘ, ȑȤȠȣȝİ A x 2 y 2 z 2 w 2 d 6(x y z w) 20 6 8 20 28 . ǲȤȠȣȝİ ȚıȩĲȘĲĮ ȩĲĮȞ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 5 țĮȚ ȠȚ ȐȜȜȠȚ ȝİ 1, ȠʌȩĲİ Ș ȝȑȖȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ İȓȞĮȚ 28. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 ǹȞ Ƞ ĲİĲȡĮȥȒĳȚȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ $ D 3 D 2 D 1 D 0 D 3 10 3 D 2 10 2 D1 10 D 0 ȑȤİȚ ȥȘĳȓĮ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ 2

D0 ! D1 ! D2 ! D3 ! 0. ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 9 $ . ȁȪıȘ ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘ įȚĮĳȠȡȐ 9 $ 10 $ $ , ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: 9 $ 10 $ $ D 3D 2 D1D 0 0 D 3D 2 D1D 0

104 D 2 103 D1 102 D 0 10 D 3 103 D 2 102 D1 10 D 0

D3 104 D 2 D 3 103 D1 D 2 102 D 0 D1 10 D 0 D3 104 D 2 D 3 103 D1 D 2 102 D 0 D1 1 10 (10 D 0 ) ȠʌȩĲİ, ȜȩȖȦ ĲȦȞ ȣʌȠșȑıİȦȞ D 0 ! D1 ! D 2 ! D3 ! 0, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 9 $ ȑȤİȚ ĲĮ ȥȘĳȓĮ D3 , D 2 D3 , D1 D 2 , D0 D1 1, 10 D0 , ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ ȓıȠ ȝİ 9. ȈȘȝİȓȦıȘ: Ǿ ĮĳĮȓȡİıȘ 10$ $ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ țĮȚ țĮĲĮțȩȡȣĳĮ ȝİ ĲȠ ıȣȞȒșȘ ĲȡȩʌȠ, ĮĳȠȪ ȜȐȕȠȣȝİ ȣʌȩȥȘ ȩĲȚ D 0 ! D1 ! D 2 ! D3 ! 0, ȦȢ İȟȒȢ: 1

D3 D 2

D3 D2 D1 DM0 JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ D3 D 2 D 3 D1 D 2 D 0 D1 1 10 D 0 , ȠʌȩĲİ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȠ ȓįȚȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ȝİ ǹǺ ǹī Ǻī ) İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ c(O, R) . Ǿ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ Įʌȩ ĲȠ ભ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹī ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ. ȅ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ, ȑıĲȦ c1 , ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻȅ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ țĮȚ ĲȠ țȪțȜȠ c(O, R) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǽ. ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș ǻǽ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ c(O, R) ıĲȠ ǾǤ ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: (Į) ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅǹǻ țĮȚ ȅīǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ. (ȕ) ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅǽǼ țĮȚ ȅīǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ. (Ȗ) ȉĮ ıȘȝİȓĮ ī, ȅ, Ǿ İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ. ȁȪıȘ (Į) ǼʌİȚįȒ ȅǻ & ǹǼ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǻȅǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ, ȠʌȩĲİ ǹǻ = ȅǼ. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅǹǻ țĮȚ ȅīǼ ȑȤȠȣȞ: (1) ǹǻ=ȅǼ (Įʌȩ ĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǻȅǼ). (2) ȅǹ=ȅī (ĮțĲȓȞİȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī). ˆ . Ǿ ȖȦȞȓĮ (ˆ İȓȞĮȚ İȟȦĲİȡȚțȒ ıĲȠ (3) ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȅǹī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ (ȅǹ = ȅī) ȠʌȩĲİ: *ˆ 1 $ 3 1 ˆ ˆ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǻȅǼ, ȠʌȩĲİ: ( ' . 1

ˆ ǹʌȩ ĲȚȢ įȪȠ ĲİȜİȣĲĮȓİȢ ȚıȩĲȘĲİȢ ȖȦȞȚȫȞ, țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ țĮȚ ıĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ: 2 1 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/6

ˆ $ 2

ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1), (2) țĮȚ (3) ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȅǹǻ țĮȚ ȅīǼ. (ȕ) ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅīǼ țĮȚ ȅǽǼ ȑȤȠȣȞ: (i) ȅǽ = ȅī (ĮțĲȓȞİȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī), (ii) Ș ȅǼ İȓȞĮȚ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ. ˆ 2 ˆ (İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ (iii) ǿıȤȪȠȣȞ Ș ȚıȩĲȘĲĮ ȖȦȞȚȫȞ: $ 1 2

ıĲȠȞ țȪțȜȠ c1 țĮȚ ȕĮȓȞȠȣȞ ıĲȠ ĲȩȟȠ ǽǼ). ˆ 2 ˆ ˆ 2 =2* 1 2 ˆ ෡ଵ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘ țĮȚ $ (Ș ȖȦȞȓĮ Ȝ 1 2 2 ȈȤȒȝĮ 4 ıĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȝİ ˆ ), ȠʌȩĲİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘ İʌȓțİȞĲȡȘ ĲȘȞ *2= ˆ 2 ˆ 2 1 2 ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ . 22 $ 2 1 2 1 2 2 1 2 2 ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (i), (ii) țĮȚ (iii) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅīǼ țĮȚ ȅǽǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ. (Ȗ) ȉİȜȚțȐ, Įʌȩ ĲȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ ȚıȩĲȘĲİȢ ĲȡȚȖȫȞȦȞ, ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ țĮȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅǹǻ țĮȚ ȅǽǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ ȅǻ = Ǽǽ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȅǻǽǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ țĮȚ '= & 2(. ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȅīǼ țĮȚ ȅǽǼ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ ȠȚ įȪȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȚıȩĲȘĲİȢ ĲȝȘȝȐĲȦȞ ȅǽ=ȅī țĮȚ Ǽǽ=Ǽī, Įʌȩ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș ȅǼ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ īǽ. ǱȡĮ țĮȚ Ș ǻǽ șĮ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ īǽ, įȘȜĮįȒ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ İȓȞĮȚ ĲȠ ĮȞĲȚįȚĮȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ī, ȠʌȩĲİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ī, ȅ, Ǿ İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ.

īǯ ȁȊȀǼǿȅȊ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 ȈĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȚȢ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x4 x3 18x2 3x 9 0 . ȁȪıȘ. ȂȓĮ ʌȡȫĲȘ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ȠȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ r1, r 3, r 9 ʌȠȣ İȓȞĮȚ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ ıĲĮșİȡȠȪ ȩȡȠȣ įİȞ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȡȖĮıĲȠȪȝİ ȝİ țĮĲȐȜȜȘȜȠ ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȚıȝȩ țĮȚ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲȠ x 0 įİȞ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. īȚĮ x z 0 ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ įȚĮȚȡȑıȠȣȝİ ĲĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ ĲȠ x 4 , ȠʌȩĲİ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ș ȚıȠįȪȞĮȝȘ İȟȓıȦıȘ: 3 9 9 · § 3· § x 2 x 18 2 0 ¨ x 2 2 ¸ ¨ x ¸ 18 0 (1) x x x ¹ © x¹ © 3 9 9 Z, ȠʌȩĲİ x 2 2 6 Z2 x 2 2 Z2 6 . Ȃİ ĮȞĲȚțĮĲȐıĲĮıȘ ıĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ ĲȘȞ ĬȑĲȠȣȝİ x x x x İȟȓıȦıȘ Z2 6 Z 18 0 Z2 Z 12 0 Z 4 Ȓ Z 3. 3 3 4Ȓ x 3 x 2 4x 3 0 Ȓ x 2 3x 3 0 ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ: x x x 4 r 28 3 r 21 3 r 21 x x 2r 7 Ȓ x Ȓx . 2 2 2 ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 ǹȞ Ƞ ʌİȞĲĮȥȒĳȚȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ $ D 4 D 3 D 2 D1 D 0 D 4 104 D 3 10 3 D 2 10 2 D1 10 D 0 ȑȤİȚ ȥȘĳȓĮ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ D0 ! D1 ! D 2 ! D 3 ! D4 ! 0. ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 9 $ . ȁȪıȘ ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘ įȚĮĳȠȡȐ 9 $ 10 $ $ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ 9 $ 10 $ $ D 4 D 3D 2 D1D 0 0 D 4 D 3 D 2 D1D 0

105 D 3 104 D 2 103 D1 102 D 0 10 D 4 104 D3 103 D 2 102 D1 10 D 0

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/7

D 4 105 D 3 D 4 104 D 2 D 3 103 D1 D 2 102 D 0 D1 10 D 0 D 4 105 D 3 D 4 104 D 2 D 3 103 D1 D 2 102 D 0 D1 1 10 (10 D 0 )

ȠʌȩĲİ, ȜȩȖȦ ĲȦȞ ȣʌȠșȑıİȦȞ D 0 ! D1 ! D 2 ! D3 ! D 4 ! 0, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 9 $ ȑȤİȚ ĲĮ ȥȘĳȓĮ D 4 , D 3 D 4 , D 2 D3 , D1 D 2 , D 0 D1 1, 10 D 0 , ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ ȓıȠ ȝİ 9. ȈȘȝİȓȦıȘ: Ǿ ĮĳĮȓȡİıȘ 10 $ $ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ țĮȚ țĮĲĮțȩȡȣĳĮ ȝİ ĲȠ ıȣȞȒșȘ ĲȡȩʌȠ, ĮĳȠȪ ȜȐȕȠȣȝİ ȣʌȩȥȘ ȩĲȚ D 0 ! D1 ! D 2 ! D3 ! D 4 ! 0, ȦȢ İȟȒȢ: 1

D 4 D3

, ȠʌȩĲİ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȠ ȓįȚȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ. D4 D3 D2 D1 D0 JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJM D 4 D3 D 4 D 2 D3 D1 D 2 D 0 D1 1 10 D 0 , ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 ǹȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ x, y, z İȓȞĮȚ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ, ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ:

x 2y 2

3z 3

y 2z 2

3x 3

z 2x 2

3y 3

ȁȪıȘ ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ z İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Ȓ ȓıȠȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ įȪȠ ĮȖȞȫıĲȠȣȢ, įȘȜĮįȒ z t max ^x, y` . (ȅȚ ȐȜȜİȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓȗȠȞĲĮȚ ȠȝȠȓȦȢ). ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ:

z ! 1. ȉȩĲİ , ĮĳȠȪ z t max ^x, y` , șĮ İȓȞĮȚ x 2y 2 z 2z 2 3z 3 , ȐĲȠʌȠ.

z 1. ȉȩĲİ x 2y 2

3 țĮȚ ĮĳȠȪ 1 t max ^x, y` ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ Ș ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȚıȩĲȘĲĮ ȚıȤȪİȚ, ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠȞ

y 1 . ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ ĲȘ ȜȪıȘ: x, y, z

ĮȞ x

1,1,1 .

ǹȣĲȒ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ, ĮĳȠȪ ȠȚ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ȝİ y t max ^x, z` Ȓ x t max ^ y, z` ȠįȘȖȠȪȞ ıĲȘȞ ȓįȚĮ ȜȪıȘ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ (ȝİ $% & *' țĮȚ $% *' ) İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ c(O, R) . Ǿ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ıĲȠ Ǻ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ (c) ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ǻī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǲıĲȦ Ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: (Į) Ǿ İȣșİȓĮ ǹǻ İȓȞĮȚ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ, ȑıĲȦ c1 , ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻǺǼ.

(ȕ) ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ĮȞȒțİȚ ıĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ, ȑıĲȦ c2 , ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȅǺī . (Ȗ) ȅȚ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȚ țȪțȜȠȚ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ǻǺǼ țĮȚ ȅǺī ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ. ȁȪıȘ (Į) ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ șĮ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ȚıȩĲȘĲİȢ ȖȦȞȚȫȞ: *ˆ 1 'ˆ 1 , *ˆ 2 'ˆ 2 ǼʌȓıȘȢ, İʌİȚįȒ Ș ǺǼ İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȠȞ țȪțȜȠ (c) , șĮ ȚıȤȪİȚ: %̂ 'ˆ (ȖȦȞȓĮ Įʌȩ ĲȘ ȤȠȡįȒ Ǻī țĮȚ ĲȘȞ 1

İĳĮʌĲȩȝİȞȘ ǺǼ). ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ %ˆ 1 *ˆ 1

'ˆ 1

ǲıĲȦ c1 țĮȚ c 2 ȠȚ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȚ țȪțȜȠȚ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ǻǺǼ țĮȚ ȅǺī, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ȖȦȞȓĮ 'ˆ 2 (ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȤȠȡįȒ Ǻǻ țĮȚ ĲȘȞ ǹǻ) İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȘȞ ȖȦȞȓĮ (ˆ , ȠʌȩĲİ Ș ǹǻ șĮ İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȠȞ țȪțȜȠ c1 .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/8

ȈȤȒȝĮ 5

ˆ İȓȞĮȚ İȟȦĲİȡȚțȒ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǺīǼ, ȠʌȩĲİ: %*' ˆ ˆ (ˆ ȆȡȐȖȝĮĲȚ, Ș ȖȦȞȓĮ %*' %ˆ 1 (ˆ *ˆ 1 *ˆ 2 % 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ țĮȚ İʌİȚįȒ %1 *1 '1 , țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȚȢ ȚıȩĲȘĲİȢ: * 2 ' 2 ( . (ȕ) ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ Ȃ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȠȣ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ ĮȞȒțİȚ ıĲȠȞ țȪțȜȠ c2 . ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǺīȅȂ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ˆ $2% ˆ ˆ ˆ 0 $*% *ˆ 2 ȆȡȐȖȝĮĲȚ, Ș ȅȂ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ ǹǺ, ȠʌȩĲİ: 02% 1 2 ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǺīȅȂ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. (Ȗ) ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ İĳĮʌĲȩȝİȞȘ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ c1 ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ țĮȚ ȑıĲȦ ȩĲȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ǹǻ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ ǺȀ İȓȞĮȚ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ țĮȚ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ c2 . ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ %ˆ 2 'ˆ 2 2 , ȖȚĮĲȓ Ș Ȁǻ İȓȞĮȚ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȠȣ c1 (ȩʌȦȢ ĮʌȠįİȓȟĮȝİ ıĲĮ İȡȫĲȘȝĮ (Į)) ˆ ˆ 'ˆ *ˆ %*0 ˆ . ǱȡĮ Ș ǺȀ İĳȐʌĲİĲĮȚ țĮȚ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ c Ǥ ǿıȤȪȠȣȞ ȩȝȦȢ ȠȚ ȚıȩĲȘĲİȢ ȖȦȞȚȫȞ: KBM % 2 2 2 2

79ÈË ª § ¥¥¡§£©¬ ¦ ¢¡£¤©¬ £ ²§£¬¦©¬ ¬ ¦ ¢¡¦ £¤ “© ®¤¥ £ ¡¬” 19 £ºÆÈÎºÊȯÈÎ 2019

ǹǯ ȁȊȀǼǿȅȊ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 ǹȞ ȠȚ șİĲȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ D, E İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ: D 3 E 3 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ: . ȁȪıȘ ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

D 3 E3

2DE D E ,

D E . E2 D2 2

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D E D 2 3DE E2 0 D 2 3DE E2

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3r 5 . 2

§D· §D· ǼʌİȚįȒ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĲȦȞ ȡȚȗȫȞ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ¨ ¸ 3 ¨ ¸ 1 0 ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 1, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ©E¹ ©E¹ D 3 5 E 3 5 (Ȓ ȝİ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȘ ıİȚȡȐ) İȓȞĮȚ ȠȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ U1 țĮȚ U2 E 2 D 2 2

§D· §D· ¨ ¸ 3¨ ¸ 1 0 ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ U1 U 2 ©E¹ ©E¹ .

D 2 E2 E2 D 2

3 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȑȤȠȣȝİ: 2

§D· §E· ¨ ¸ ¨ ¸ ©E¹ ©D¹

§D E· 2 ¨ ¸ 2 3 2 7 E D © ¹

ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 ȅȚ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ ࢔ǡ ࢓ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ, ȫıĲİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ

50 243 țĮȚ ȞĮ İȓȞĮȚ șİĲȚțȠȓ 3n 2 4m 1

ĮțȑȡĮȚȠȚ. (Į) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ȝȑȖȚıĲȘ ĲȚȝȒ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ A (ȕ) ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș İȜȐȤȚıĲȘ ĲȚȝȒ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ: B

2 n 1 3 m 2 7 . 162 m 2 . n 2 3721

ȁȪıȘ ȅȚ șİĲȚțȠȓ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ 50 İȓȞĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ 1, 2, 5, 10, 25, 50, ȠʌȩĲİ Ƞ 3n 2 İȓȞĮȚ țȐʌȠȚȠȢ Įʌȩ ĮȣĲȠȪȢ, ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/9

ȠʌȩĲİ Ƞ 3n İȓȞĮȚ țȐʌȠȚȠȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ 3, 4, 7, 12, 27, 52 ȠʌȩĲİ ȠȚ ʌȚșĮȞȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ n, ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ, İȓȞĮȚ 1, 4, 9. ȅȚ șİĲȚțȠȓ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ 243 35 İȓȞĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ 1, 3, 9, 27, 81, 243 ȠʌȩĲİ Ƞ 4m 1 İȓȞĮȚ țȐʌȠȚȠȢ Įʌȩ ĮȣĲȠȪȢ, ȠʌȩĲİ Ƞ 4m İȓȞĮȚ țȐʌȠȚȠȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ 2, 4, 10, 28, 82, 244, ȠʌȩĲİ ȠȚ ʌȚșĮȞȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ m İȓȞĮȚ 1, 7, 61. (Į) Ǿ ʌĮȡȐıĲĮıȘ A 2 n 1 3 m 2 7 2n 3m 3 ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ȩĲĮȞ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ n ʌȐȡİȚ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ țĮȚ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ m ʌȐȡİȚ ĲȘ ȝȚțȡȩĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ. ȉȩĲİ İȓȞĮȚ: max A 2 9 3 1 3 18 . 162 m 2 , ȠʌȩĲİ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ Ǻ ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘ ȝȚțȡȩĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ȩĲĮȞ Ƞ n 2 3721 ĮțȑȡĮȚȠȢ n ʌȐȡİȚ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ țĮȚ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ m ʌȐȡİȚ İʌȓıȘȢ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ 612 162 3721 ĲȚȝȒ ĲȠȣ. ȉȩĲİ ȑȤȠȣȝİ: min B 162 2 1 1. 92 3721 81 3721 ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠȣȢ ȝȘ ȝȘįİȞȚțȠȪȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x, y, z ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȚȢ y 3x 3z 5y 5x z 140 İȟȚıȫıİȚȢ: . 2 xy yz zx x y2 z2 ȁȪıȘ 1 3 3 5 5 1 1 5 1 3 , y 3x, z 5x. ȅȚ įȪȠ ʌȡȫĲİȢ İȟȚıȫıİȚȢ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȖȡĮĳȠȪȞ: x y y z z x x z x y

(ȕ) ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ B

ȉȩĲİ ȑȤȠȣȝİ:

3z 5y yz

140 15x 15x 2 2 x y z 15x 2 2

2 140 2 2 x 35x x 2, y 6, z 10.

4 2x 2 2 x

140 30x 2 2 x 9x 25x 15x 2 2

4x 2x x 2 0

140 35x 2

x z0

ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ: x ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ˆ 60D . Ǿ įȚȐȝİĲȡȠȢ ǹǼ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ C O, R ĲȠȣ ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ . $ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ, ȑĲıȚ ȫıĲİ %' 2 '* . ˆ (Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: '2* 30D (ȕ) ȃĮ İțĳȡȐıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ǹǺǼī ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ %* D . ȁȪıȘ (Į) ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ 2. A %* , ȠʌȩĲİ ĲȠ Ȁ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ %* D ʌȜİȣȡȐȢ Ǻī țĮȚ .* . 2 2 %' '* %' '* %* D D '* țĮȚ ǼʌİȚįȒ 2 1 2 1 3 3 3 D D D .' .* '* . 2 3 6 ˆ ˆ 90D 60D 30D , ˆ ˆ ǼʌȓıȘȢ 2*' 2*. 90D .2* 90D $ ȠʌȩĲİ, ĮȞ ĳȑȡȠȣȝİ '/ A 2*, Įʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ˆ 30D ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș ĮʌȑȞĮȞĲȚ țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ īǻȁ ȝİ '*/ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮȢ, įȘȜĮįȒ : '/

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ȈȤȒȝĮ 4

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ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ˆ % ˆ 90D țĮȚ $' %* '* . Ǿ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ İȣșİȓĮ ĬİȦȡȠȪȝİ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ $ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǻ Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ Ǽ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ īǻ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǽ. ȅ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ īǻǽ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ İȣșİȓİȢ ǹǻ țĮȚ Ǻī ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ țĮȚ ȁ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹȞ ȠȚ İȣșİȓİȢ īȀ țĮȚ ǻȁ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ĭ țĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ ǹǻ țĮȚ Ǻī ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ ȂĬ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ İȣșİȓĮ īǻ. ȁȪıȘ ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘ īǾ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘ ǹǻ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ. ȉȩĲİ ˆ (İȞĲȩȢ İțĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ıĲȚȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ *+ țĮȚ $' ) ˆ *+% $ ˆ % ˆ $ (Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ).

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(1)

ǼʌİȚįȒ ĲȠ Ǽ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǻī ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ țĮȚ Ș Ǽǽ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȚȢ ȕȐıİȚȢ, șĮ ȑȤȠȣȝİ $' *+ (1) $' %* XSȩTHVK *' (= . 2 2 2 ǼʌȠȝȑȞȦȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ īǻǽ Ș įȚȐȝİıȠȢ ǽǼ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ˆ 90D . ıĲȠ ǽ, įȘȜĮįȒ *='

ȈȤȒȝĮ 6

ǼʌȚʌȜȑȠȞ, Ș īǽ İȓȞĮȚ įȚȐȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ ˆ . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȠȚ īȀ țĮȚ ǻȁ ĲȡȚȖȫȞȠȣ īǻǽ, ȠʌȩĲİ *.' 90D '/* İȓȞĮȚ ȪȥȘ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ȃǻī, ȠʌȩĲİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȠȣȢ Ĭ İȓȞĮȚ ĲȠ ȠȡșȩțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ Ȃǻī. ǱȡĮ șĮ İȓȞĮȚ 04 A *'.

ȅȚ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ ĮıțȒıİȦȞ ĲȠȣ ĲİȪȤȠȣȢ 109

ǹ52. ǹȞ D, b,c șİĲȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ Db bc cD 1 1 1 3 3 t1. 3 2D 1 2b 1 2c 1 ȁȪıȘ ĬĮ İțȝİĲĮȜȜİȣĲȠȪȝİ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ Db bc cD 3, ȦȢ İȟȒȢ:

3, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

(ȅȣțȡĮȞȓĮ, 2016)

1 1 1 1 1 1 Db bc cD 3 2 , cd t Dbc Dbc d 1 D d , b d D b cd 3 bc cD Db Db bc cD

ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȝİ ȝȓĮ ȖȞȦıĲȒ ȖİȞȓțİȣıȘ ĲȘȢ ĮȞȚıȩĲȘĲĮȢ Cauchy – Schwarz,

D12 D 22 D32 D1 D 2 D3

, x, y,z ! 0 t x y z x y z 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/15

ȑȤȠȣȝİ:

1 1 1 2D3 1 2b3 1 2c3 1

§ 1 1 1· ¨ ¸ ©D b c¹ t 1 1 1 1 1 1 2D 2 2b 2 2c 2 2(D b c) 2 2 2 D D b c b c 1 D2

1 b2

§ 1 1 1· ¨ ¸ ©D b c¹ t 1 1 · 1 1 1 § 1 2¨ ¸ 2 2 2 D D D b bc c b c © ¹

1 c2

§ 1 1 1· ¨ ¸ ©D b c¹ 2 § 1 1 1· ¨ ¸ ©D b c¹

ī43. ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ȠȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ ĲȠȣ ǹǻ țĮȚ BǼ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: ˆ 60D $( '% $% . $*%

(ȅȣțȡĮȞȓĮ, 2016)

ȁȪıȘ (ǼȣșȪ) ˆ 60D . ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ țȐșİĲȘ Įʌȩ ĲȠ ǻ ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ $*% ʌȡȠȢ ĲȘ įȚȤȠĲȩȝȠ ǺǼ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǽ. ȉȩĲİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǻǽ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ Ǻǻ = Ǻǽ. ǼʌİȚįȒ Ș ǺǼ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ ǻǽ ȑȤȠȣȝİ İʌȓıȘȢ ȩĲȚ ǿǻ = ǻǽ țĮȚ ˆ ˆ . ',% %,= ˆ $*% ˆ 90D 90D 30D 120D , ȠʌȩĲİ: ǵȝȦȢ ȟȑȡȠȣȝİ ȩĲȚ: $,% 2 ˆ ˆ ',% 180D $,% 180D 120D 60D .

ˆ ˆ ȉȩĲİ ȩȝȦȢ șĮ İȓȞĮȚ $,( %,' 60D (ȦȢ țĮĲȐ țȠȡȣĳȒ). ǼʌİȚįȒ ˆ ˆ ȈȤȒȝĮ 1 ',% 60D , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ İȓȞĮȚ țĮȚ %,= D D D D ˆ ˆ . ˆ ˆ $,= $,= 120 %,= 120 60 60 , ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ $,( ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǿǼ țĮȚ ǹǿǽ ȑȤȠȣȞ ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ țȠȚȞȒ țĮȚ ĲȚȢ įȪȠ ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ, ȩʌȠĲİ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ǱȡĮ șĮ ȑȤȠȣȞ țĮȚ ǹǼ = ǹǽ, ȠʌȩĲİ İȪțȠȜĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ ȚıȩĲȘĲĮ: $( '% $% . ˆ ǹȞĲȓıĲȡȠĳȠ. ǲıĲȦ $( '% $% . ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ: $*% 60D . ĭȑȡȠȣȝİ ʌȐȜȚ ĲȘ ǻǽ țȐșİĲȘ ıĲȘ įȚȤȠĲȩȝȠ ǺǼ, ȠʌȩĲİ Ǻǻ = Ǻǽ. ȉȩĲİ ȩȝȦȢ Įʌȩ ĲȘ ıȤȑıȘ $( '% $% ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ: $( '% $% $( '% $= =% $( $=. ȉȩĲİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǿǼ țĮȚ ǹǿǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ (ǹǼ = ǹǽ, ǹǿ țȠȚȞȒ țĮȚ ȠȚ ʌİȡȚİȤȩȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ), ȠʌȩĲİ ˆ ˆ . ǼʌİȚįȒ ',% ˆ ˆ țĮȚ İʌİȚįȒ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ȝİ țȠȡȣĳȒ ĲȠ ǿ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 360D ȑȤȠȣȝİ: $,( $,= %,= ˆ $*% ˆ ˆ , $,( ˆ ',% ˆ ˆ 3 $,% ˆ ˆ ˆ ',( $,% $,% 360R $,% 120R 90R 120R $*% 60R. 2

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ ī44. Ǿ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ $̂ ĲȠȣ ȠȟȣȖȫȞȚȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȝİ $% z $* ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ C 2 , R ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ. Ǿ İȣșİȓĮ ǹǻ ĲȑȝȞİȚ ȖȚĮ įİȪĲİȡȘ ĳȠȡȐ ĲȠȣȢ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȅǻǺ țĮȚ ȅǻī ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ȃ țĮȚ Ȃ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: %1 0* $' . (ȅȣțȡĮȞȓĮ, 2016) ǹ53. ȂȓĮ ĮțȡȓįĮ ıĲȑțİĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ 0 ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. Ǿ ĮțȡȓįĮ țȐȞİȚ 2016 ʌȘįȒȝĮĲĮ ıĲȘ șİĲȚțȒ țĮĲİȪșȣȞıȘ. ȉȠ ʌȡȫĲȠ ʌȒįȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ 1, İȞȫ țȐșİ İʌȩȝİȞȠ ʌȒįȘȝĮ İȓȞĮȚ N ` ĳȠȡȑȢ ȝĮțȡȪĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ʌȒįȘȝĮ. ȊʌȐȡȤȠȣȞ ĲȡȪʌİȢ ıİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ ȝİ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞȘ 2016O, O `. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠ N ȖȚĮ ĲȠ ȠʌȠȓȠ Ș ĮțȡȓįĮ șĮ țȐȞİȚ ȩȜĮ ĲĮ ʌȘįȒȝĮĲĮ (ȅȣțȡĮȞȓĮ, 2016) ĲȘȢ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ʌȑıİȚ ıİ țȐʌȠȚĮ ĲȡȪʌĮ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/16

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- HOMO MATHEMATICUS -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ǾȅȂȅ ȂǹȉHEMATICUS Ǿ Homo Mathematicus İȓȞĮȚ ȝȚĮ ıĲȒȜȘ ıĲȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ ȝĮȢ, ȝİ ıțȠʌȩ ĲȘȞ ĮȞĲĮȜȜĮȖȒ ĮʌȩȥİȦȞ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ʌȡȠȕȜȘȝĮĲȚıȝȠȪ ʌȐȞȦ ıĲĮ İȟȒȢ șȑȝĮĲĮ: 1) ȉȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, 2) ȆȡȑʌİȚ Ȓ ȩȤȚ ȞĮ įȚįȐıțȠȞĲĮȚ, 3) ȆȠȚȠȚ İȓȞĮȚ ȠȚ țȜȐįȠȚ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ʌȠȚȠ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ĲȠȣ țĮșİȞȩȢ, 4) ȆȠȚİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȠȣȢ, 5) ȆȠȚİȢ İʌȚıĲȒȝİȢ Ȓ țȜȐįȠȚ İʌȚıĲȘȝȫȞ ĮʌĮȚĲȠȪȞ țĮȜȒ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȖȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȑıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ ĲȠȣȢ ıʌȠȣįȐıİȚ. ıȣȞĲĮțĲȚțȒ İʌȚĲȡȠʌȒ: ȀİȡĮıĮȡȓįȘȢ īȚȐȞȞȘȢ, ǺȜȐȤȠȢ ȈʌȪȡȠȢ, ȂĮȞȚĮĲȠʌȠȪȜȠȣ ǹȝĮȜȓĮ, ȂȒȜȚȠȢ īȚȫȡȖȠȢ, ȂʌȡȠȪȗȠȢ ȈĲȑȜȚȠȢ

I. ĲȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ; ȈĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ, ıĮȢ ȣʌȠıȤİșȒțĮȝİ ȞĮ ıȣȞİȤȓıȠȣȝİ, ȝİ ĲȠȞ Alain Badiou. ȈĲȘȞ İȡȫĲȘıȘ, «...ʌȫȢ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ĲȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȞ (Ȓ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȞ İț ȞȑȠȣ), ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ țȣȡȓȦȢ ʌȦȢ ȞĮ ĲĮ ĮȖĮʌȒıȠȣȞ», ĮʌȐȞĲȘıİ ȜȑȖȠȞĲĮȢ, ȝİĲĮȟȪ ȐȜȜȦȞ, ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ: «...Ǽįȫ, ȝȠȣ șȑĲİĲİ ȑȞĮ İȡȫĲȘȝĮ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ İȓȝĮȚ ʌȠȜȪ İȣĮȓıșȘĲȠȢ. ĬİȦȡȫ ȩĲȚ Ƞ ĲȡȩʌȠȢ ȝİ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȜİȚĲȠȣȡȖȠȪȞ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ıĲȠ ȖİȞȚțȩ ıȫȝĮ ĲȘȢ İțʌĮȓįİȣıȘȢ įİȞ İȓȞĮȚ ĮȣĲȩ ʌȠȣ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ İȓȞĮȚ, țĮȚ ȓıȦȢ įİȞ ȒĲĮȞ ʌȠĲȑ ĮȣĲȩ ʌȠȣ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İȓȞĮȚ. ȅ ȜȩȖȠȢ ȖȚ' ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ Ƞ ĮțȩȜȠȣșȠȢ: ȩĲĮȞ įȚįȐıțȠȣȝİ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, ʌȡȑʌİȚ țĮĲ' ĮȡȤȐȢ ȞĮ țĮĲȠȡșȫıȠȣȝİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȝİ ĲȘȞ ʌİʌȠȓșȘıȘ ȩĲȚ İȓȞĮȚ țȐĲȚ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ. ǻİȞ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌȠȪȝİ: «ǼȓȞĮȚ ȖȞȫıȘ, ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĲȘȞ ĮʌȠțĲȒıİĲİ, țĮȚ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ ȩȜȠ». ȀȐĲȚ ĲȑĲȠȚȠ, ȠȡȚĮțȐ, ıĲȘȞ ĮȞȐȖțȘ, İʌȚĲȡȑʌİȚ ȞĮ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓıȠȣȝİ ĲȠ ʌȚȠ İʌİȓȖȠȞ, ȝĮșĮȓȞȠȞĲĮȢ ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ıĲĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȠȣȢ ʌȓȞĮțİȢ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ. ȀĮĲȐ țȐʌȠȚȠȞ ĲȡȩʌȠ İȓȞĮȚ ĮʌȜȐ ȝȚĮ ʌȡĮȖȝĮĲȚıĲȚțȒ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ. ǹȞ ȩȝȦȢ ʌȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ĮȜȘșȚȞȐ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, İțİȓȞĮ ʌȠȣ ıĮȢ ĳȑȡȞȠȣȞ ĮȞĲȚȝȑĲȦʌȠȣȢ ȝİ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ĲȩıȠ ıȘȝĮȞĲȚțȐ ȩıȠ țĮȚ ʌȠȜȪʌȜȠțĮ, ʌȡȑʌİȚ ĮʌȠȜȪĲȦȢ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȝİ, ȩʌȦȢ ĲȠ ȑȤȦ ȒįȘ ʌİȚ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȘ ȝİĲȐįȠıȘ ȠʌȠȚĮıįȒʌȠĲİ ȖȞȫıȘȢ, ĲȘȞ ĮȓıșȘıȘ ȩĲȚ İȓȞĮȚ țȐĲȚ ĲȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ. ȆȫȢ ȩȝȦȢ ȞĮ ʌȡȠțĮȜȑıȠȣȝİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ĮȓıșȘıȘ; ǵȜĮ ʌİȡȚıĲȡȑĳȠȞĲĮȚ ȖȪȡȦ Įʌȩ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ȜȣȝȑȞȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǼȓȝĮȚ ʌİʌİȚıȝȑȞȠȢ ȩĲȚ ȑȞĮ ʌĮȚįȓ, ĮțȩȝȘ țĮȚ ʌȠȜȪ ȝȚțȡȩ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȞșȠȣıȚĮıĲİȓ ȝİ ĲȘȞ ȚįȑĮ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ. īȚĮĲȓ ĲĮ ʌĮȚįȚȐ ĳȪıİȚ ĮȖĮʌȠȪȞ ĲĮ ĮȚȞȓȖȝĮĲĮ, İȓȞĮȚ ʌİȡȓİȡȖĮ, ĮȖĮʌȠȪȞ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȣȞ țȐĲȚ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ ʌȠĲȑ

ȟĮȞĮįİȓ. ǵȜĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȠȡȖĮȞȦșȠȪȞ ȖȪȡȦ Įʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ĮʌȠțȐȜȣȥȘ, Įʌȩ ĮȣĲȩ ĲȠ ȜȣȝȑȞȠ ȝȣıĲȒȡȚȠ. ĬĮ ȑʌȡİʌİ ȠʌȦıįȒʌȠĲİ Ș ʌĮȚįĮȖȦȖȚțȒ ȞĮ İȓȞĮȚ İʌȚțİȞĲȡȦȝȑȞȘ ıİ ĲȠȪĲȠ ĲȠȞ ıĲȩȤȠ: ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ȞĮ ȖİȞȞȘșİȓ ıĲȠ ʌĮȚįȓ, ıĲȠȣȢ İĳȒȕȠȣȢ țĮȚ ĲİȜȚțȐ ıİ ȩȜȠȣȢ, ĲȠ ıȣȞĮȓıșȘȝĮ ȩĲȚ ĲȠ ʌȚȠ İȟĮȚȡİĲȚțȩ ʌȡȐȖȝĮ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȑȖțİȚĲĮȚ ıĲȠ ȩĲȚ, ȝİ ĲȡȩʌȠ ıȣȤȞȐ İțʌȜȘțĲȚțȩ țĮȚ ĮʌȡȩȕȜİʌĲȠ, ȜȪȞȠȣȝİ ĮȚȞȓȖȝĮĲĮ ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ Ș įȚĮĲȪʌȦıȘ İȓȞĮȚ ıĮĳȒȢ țĮȚ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ, țĮȚ ʌȠȣ ȦıĲȩıȠ ıȣȞȚıĲȠȪȞ ĮȜȘșȚȞȐ ĮȚȞȓȖȝĮĲĮ. ǹʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ȐʌȠȥȘ, įİȞ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ įȚıĲȐıȠȣȝİ ȞĮ İȚıȑȜșȠȣȝİ ıĲȠ ıȪȝʌĮȞ ĲȠȣ ʌĮȚȤȞȚįȚȠȪ" ȖȚĮĲȓ, ĲİȜȚțȐ, Ș İʌȓȜȣıȘ İȞȩȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ ȑȞĮ įİįȠȝȑȞȠ ĲȠȣ ʌĮȚȤȞȚįȚȠȪ. ǹȣĲȩ įİȞ İȞȑȤİȚ ĮȞĮȖțĮıĲȚțȐ ȝȚĮ ʌĮȚȖȞȚȫįȘ ıȪȜȜȘȥȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ĮȜȜȐ ʌȡȠțĮȜİȓ ȑȞĮ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ. ĬĮ ȕȡİȓĲİ İȟȐȜȜȠȣ ıİ țȐʌȠȚİȢ İĳȘȝİȡȓįİȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮȚȞȓȖȝĮĲĮ, țĮȚ įİȞ ʌȚıĲİȪȦ ȩĲȚ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌİȡȚĳȡȠȞȒıİȚ țĮȞİȓȢ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ, ȠȪĲİ țĮȚ İȓȞĮȚ ĳȡȩȞȚȝȠ ȞĮ țȡȚĲȚțȐȡİȚ țĮȞİȓȢ ĲĮ ıĲĮȣȡȩȜİȟĮ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȝĮșĮȓȞȠȣȞ ĲȩıȠ ȠȡșȠȖȡĮĳȓĮ ȩıȠ țĮȚ ȝȚĮ ıȘȝĮıȚȠȜȠȖȓĮ ĮȡțİĲȐ ȜİʌĲȒ. ǹȞȐȝİıĮ ıĲȚȢ ȝİșȩįȠȣȢ ʌȠȣ ıȣȞȓıĲĮȞĲĮȚ ıĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ʌİʌȠȓșȘıȘȢ —ȩĲȚ İȓȞĮȚ țȐĲȚ ĲȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ—, ȝʌȠȡȠȪȝİ İʌȓıȘȢ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ įȣȠ ıȘȝİȓĮ ıĲȒȡȚȟȘȢ, İȟȦĲİȡȚțȐ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ...» [ʌȘȖȒ: «ǼȖțȫȝȚȠ ȖȚĮ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ», Alain Badiou, İțį. ȆĮĲȐțȘ (ǹșȒȞĮ, 2017)

ǿǿ. "ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİĲȡȓĮ, ĮȖȐʌȘ ȝȠȣ" ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ıĲĮ įȪȠ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ĲİȪȤȘ, ȚțĮȞȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȠ ĮȓĲȘȝĮ ĲȠȣ ıȣȞĮįȑȜĳȠȣ Ĭ. ȋȡȚıĲȩĳȘ, įȘȝȠıȚİȪıĮȝİ (ıİ įȣȠ ıȣȞȑȤİȚİȢ) "ıĲȚȖȝȚȩĲȣʌĮ" Įʌȩ ĲȘȞ İʌȓʌİįȘ ĲȠȝȒ ıĲİȡİȫȞ ȝİ ıțȠʌȩ «...ȞĮ șȣȝȘșȠȪȝİ ĲȘȞ ȠȝȠȡĳȚȐ ʌȠȣ ȤȐșȘțİ...». ǹȞĮʌȐȞĲİȤĮ, Ș ıĲȒȜȘ țĮĲĮțȜİȓıĲȘțİ Įʌȩ ĮȚĲȒȝĮĲĮ ȖȚĮ ıȣȞȑȤȚıȘ ĲȑĲȠȚȦȞ "ıĲȚȖȝȚȩĲȣʌȦȞ". ǼȝİȓȢ ȤĮȚȡȩȝĮıĲİ ȖȚ ĮȣĲȩ, ȩȝȦȢ, įȘȜȫȞȠȣȝİ ʌȦȢ: Į) ȜȩȖȦ ȑȜȜİȚȥȘȢ "ȗȦĲȚțȠȪ" ȤȫȡȠȣ țĮȚ ȕ) įȣıĮȞȐȜȠȖĮ ȝİȖȐȜȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ıȘȝİȚȦȝȐĲȦȞ ʌȠȣ țĮĲĮĳșȐȞȠȣȞ, șĮ ıȣȞİȤȓıȠȣȝİ, įȘȝȠıȚİȪȠȞĲĮȢ ȝȩȞȠ ȑȞĮ "ıĲȚȖȝȚȩĲȣʌȠ" țȐșİ ĳȠȡȐ. ĲȠȝȒ ʌȡȓıȝĮĲȠȢ ȝİ İʌȓʌİįȠ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/17

ȈȣȞİȤȓȗȠȣȝİ, ȝİ: ii. ǻİȪĲİȡȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıİ ĲȡİȚȢ ĮțȝȑȢ ʌȠȣ ĮȞȐ įȪȠ İȓȞĮȚ ĮıȪȝȕĮĲİȢ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ǻȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜİʌȓʌİįȠ ǹǺīǻ.ǼǽǾĬ [ǹǼ||Ǻǽ||īǾ||ǻĬ] țĮȚ ĲȡȓĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ,ȁ,Ȃ ʌȐȞȦ ıĲȚȢ ĮțȝȑȢ Ǻī,ǹǼ,ĬǾ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ıȤİįȚĮıĲİȓ Ș ĲȠȝȒ ĲȠȣ įȠıȝȑȞȠȣ ʌĮȡĮȜ/įȠȣ ȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌ { (Ȁ,ȁ,Ȃ) ĮʌȐȞĲȘıȘ (ıȤ. 03) Ɣ ǹȞ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ ȀȀ1||ǹǼ [Ȁ1 ǽǾ], ĲȩĲİ ȠȚ Ɣ Ǿ İȣșİȓĮ Ǻ1ȁǼ1 ĲȠȣ (ʌ) ĮȞȒțİȚ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǹǺǽǼ Ȁȁ,Ȁ1Ǽ İȓȞĮȚ ıȣȞİʌȓʌİįİȢ ȐȡĮ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıİ ıȘ- țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ ǹǺ ıĲȠ ȃ. Ɣ Ǿ İȣșİȓĮ Ȁȃ ĲȠȣ (ʌ) ĮȞȒțİȚ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǹǺīǻ ȝİȓȠ Ȁ2. Ɣ ǼʌİȚįȒ Ș Ȁȁ (ʌ), ıȘȝĮȓȞİȚ ʌȦȢ ĲĮ İʌȓʌİįĮ (ʌ), țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ İȣșİȓİȢ ǻǹ, ǻī ıĲĮ ǹ1, ī1 ĮȞĲȓıĲȠȚǼǽǾĬ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠ Ȁ2, ȐȡĮ Ș İȣșİȓĮ ȤĮ. Ȁ2Ȃ ĲȠȣ (ʌ) ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǼǽǾĬ țĮȚ Ɣ Ǿ İȣșİȓĮ ī1ȇȂ ĲȠȣ (ʌ) ĮȞȒțİȚ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǻīǾĬ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ǽǼ ıĲȠ Ǽ1, ĲȘȞ ĮțȝȒ ǼĬ ıĲȠ Ȅ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ǻĬ ıĲȠ Ĭ1. țĮȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ǽǾ ıĲȠ Ǿ1. Ɣ ǱȡĮ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ ĲȠȝȒ ĲȠȣ įȠıȝȑȞȠȣ ʌĮȡĮȜ/įȠȣ Ɣ Ǿ İȣșİȓĮ Ǿ1Ȁ ĲȠȣ (ʌ) ĮȞȒțİȚ ıĲȘȞ ȑįȡĮ ǺīǾǽ țĮȚ ĲȠȣ įȠıȝȑȞȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ İȓȞĮȚ ĲȠ İȟȐȖȦȞȠ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ īǾ ıĲȠ ȇ țĮȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ Ǻǽ ȀȇȂȄȁȃ. ıĲȠ Ǻ1. ıȤȩȜȚȠ 3 ıĲȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ 1, ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ ĮȞȐ įȪȠ ȕȡȓıțȠȞĲĮȞ ıĲȘȞ ȓįȚĮ ȑįȡĮ țĮȚ, İʌȠȝȑȞȦȢ, İȓȤĮȝİ ĲȘȞ İȣȤȑȡİȚĮ [ȝİ ȩȤȘȝĮ ĲȚȢ İȣșİȓİȢ ʌȠȣ ĮȣĲȐ ȠȡȓȗȠȣȞ], ȞĮ ȝİĲĮȕȠȪȝİ ıİ ȐȜȜȘ ȑįȡĮ. ǹȣĲȒ ĲȘȞ İȣȤȑȡİȚĮ įİȞ ĲȘȞ İȓȤĮȝİ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲȠȣ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲȠȢ 2, ĮĳȠȪ ĮȞȐ įȪȠ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ įİȞ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȘȞ ȓįȚĮ ȑįȡĮ. ĬĮ ʌȡȑʌİȚ, ȜȠȚʌȩȞ, ȞĮ ĲĮ İȞĲȐȟȠȣȝİ (ĮȞȐ įȪȠ), ıİ ȑȞĮ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȞĮ ȑȤİȚ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ȝİ ȝȚĮ ȑįȡĮ. ǵʌȦȢ ıĲȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ 1, ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȐȞȦ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ȕȡȓıțȠȞĲĮȞ įȪȠ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ ȑĲİȝȞİ ȝȚĮ ȑįȡĮ, ȑĲıȚ țĮȚ ĲȫȡĮ, ĳȑȡȞȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ȀȀ1||ǹǼ įȘȝȚȠȣȡȖȒıĮȝİ İʌȓʌİįȠ (ĲȠ ȁȀȀ1Ǽ) ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ įȪȠ Įʌȩ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ

țȚ ȑȤİȚ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ȝİ ĲȘȞȑįȡĮ ǼǽǾĬ. Ȃ’ĮȣĲȩ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ İȞĲĮııȩȝĮıĲİ ıĲȘ įȚĮįȚțĮıȓĮ ĲȠȣ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲȠȢ 1. [ʌȘȖȒ: «ĬİȦȡȓĮ ȉȠȝȫȞ ĲȦȞ ȈĲİȡİȫȞ», īȚȐȞȞȘ ȀİȡĮıĮȡȓįȘ] (ıĲȠ

İʌȩȝİȞȠ, Ș "ȉȡȓĲȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ")

ǿǿǿ. ǹȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ; ȉȚ İȓȞĮȚ ȠȚ "ȃȐȡțȚııȠȚ ǹȡȚșȝȠȓ"; (Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ, ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ) ǿV. «ȅȚ ıȣȞİȡȖȐĲİȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȖȡȐĳȠȣȞ-İȡȦĲȠȪȞ» 1Ƞ șȑȝĮ. «ȂȚĮ ȝȣıĲȘȡȚȫįȘȢ țĮșȘȝİȡȚȞȒ ȖİȦȝİĲȡȓĮ», ĲȠȣ ǹȞĲȫȞȘ ǹȞĲȦȞȓȠȣ ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ȅ ĳȓȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȋȡȒıĲȠȢ ȉıȚĳȐțȘȢ, ȝĮȢ ȑțĮȞİ ȖȞȦıĲȩ ȑȞĮ țİȓȝİȞȠ ĲȠȣ ǹ. ǹȞĲȦȞȓȠȣ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȝĮȢ țȓȞȘıİ ĲȘȞ ʌȡȠıȠȤȒ, ȖȚĮ ĲȘȞ "ȠʌĲȚțȒ" ĲȠȣ, ȖȚ ĮȣĲȩ țĮȚ ĲȠ įȘȝȠıȚİȪȠȣȝİ: «ǵȜȠȚ ȝĮȢ İȓȝĮıĲİ ıȓȖȠȣȡȠȚ, ȑĲıȚ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȝȐ- ǹȢ ʌȠȪȝİ ĲȫȡĮ ȩĲȚ ĲȘ ȝȑĲȡȘıȘ ĲȘȢ ʌİȡȚȝȑĲȡȠȣ ĲȠȣ șĮȝİ ıĲȠ ıȤȠȜİȓȠ, ȩĲȚ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ ʌİȡȚȝȑĲȡȠȣ İ- ȞȘıȚȠȪ ĮȞĮȜĮȝȕȐȞİȚ ȑȞĮ ȝȣȡȝȒȖțȚ ȝİ ȝȚĮ ȝİȗȠȪȡĮ ȞȩȢ ȞȘıȚȠȪ İȓȞĮȚ țĮșȠȡȚıȝȑȞȠ țĮȚ ıĲĮșİȡȩ. ǼȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȠ ȝȑȖİșȩȢ ĲȠȣ. ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ ĲȠ ĮʌȠĮȜȒșİȚĮ ȩȝȦȢ țȐĲȚ ĲȑĲȠȚȠ; ǹȢ ĲȠ įȠȪȝİ. ĲȑȜİıȝĮ ĲȘȢ ȝȑĲȡȘıȒȢ ĲȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ ǹȢ ĳĮȞĲĮıĲȠȪȝİ ȩĲȚ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȝİĲȡȒıȠȣȝİ ĲȠ ȞȘıȚȠȪ șĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ Įʌȩ İțİȓȞȠ ʌȠȣ ȣʌȠȜȠȝȒțȠȢ ĲȘȢ ʌİȡȚȝȑĲȡȠȣ İȞȩȢ ȞȘıȚȠȪ ȝİ ȝȚĮ ȝİȗȠȪȡĮ ȖȓıĮȝİ İȝİȓȢ ȝİ ĲȘ ȝİȗȠȪȡĮ ĲȠȣ İȞȩȢ ȝȑĲȡȠȣ. ȝȒțȠȣȢ İȞȩȢ ȝȑĲȡȠȣ, ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĮȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ ǲıĲȦ ĲȫȡĮ ȩĲȚ ĮȞĮȜĮȝȕȐȞİȚ ȞĮ țȐȞİȚ ĲȘ ȝȑĲȡȘıȘ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȜȣȖȓıȠȣȝİ. ǼȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ įİȞ ȑȞĮ ȕĮțĲȘȡȓįȚȠ ȝİ ȝȚĮ ȝİȗȠȪȡĮ, İʌȓıȘȢ ȓıȘ ȝİ ĲȠ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȝİĲȡȒıȠȣȝİ ĲĮ țȠȚȜȫȝĮĲĮ ĲȦȞ ĮțĲȫȞ ȝȑȖİșȩȢ ĲȠȣ. ǵȜȠȚ țĮĲĮȜĮȕĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ șĮ ȝĮȢ įȫʌȠȣ Ș ȑțĲĮıȒ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȘ ĲȠȣ İȞȩȢ ȝȑ- ıİȚ ȦȢ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ ʌİȡȚȝȑĲȡȠȣ ĲȠȣ ȞȘıȚȠȪ ʌȠȜȪ ȝİĲȡȠȣ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ șĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ȖĮȜȪĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠȣȢ įȪȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣȢ ...İȡİȣȞȘĲȑȢ ĲȠȣ ȞȘıȚȠȪ İȓȞĮȚ țȐʌȠȚĮ ȝȑĲȡĮ. ȉȚ İȓȞĮȚ ĲĮ fractals; ǹȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ įȫıȠȣȝİ ȑȞĮȞ «ȤĮȜĮȡȩ» ȠȡȚıȝȩ ȞȩȞȚıĲİȢ țĮȚ ĲȡĮȤȚȑȢ įȠȝȑȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ʌȡȠȚțȚıĲİȓ ȝİ ĲȦȞ fractals șĮ ȜȑȖĮȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪʌȜȠțİȢ, ĮțĮ- ȝȚĮ ȚįȚȐȗȠȣıĮ ȚįȚȩĲȘĲĮ. ǹʌȠĲİȜȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ ȣʌȠıȪǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/18

ȞȠȜĮ, ȣʌȩ-ȣʌȩ-ıȪȞȠȜĮ, ȣʌȩ-ȣʌȩ-ȣʌȩ-ıȪȞȠȜĮ ț.Ƞ.ț. ȀĮșȑȞĮ ȩȝȦȢ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĲĮ ȣʌȠıȪȞȠȜĮ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚİȢ İțįȠȤȑȢ ĲȠȣ ȩȜȠȣ ıİ ȝȚțȡȩĲİȡİȢ ȤȦȡȚțȑȢ țȜȓȝĮțİȢ, İȓȞĮȚ įȘȜĮįȒ įȚĮįȠȤȚțȑȢ ıȝȚțȡȪȞıİȚȢ ĲȠȣ. ǻȚĮĲȘȡȠȪȞ įȘȜĮįȒ ıĲȘȞ ȪĳĮȞıȒ ĲȠȣȢ ĲȘȞ ĮȣĲȠ-

ȠȝȠȚȩĲȘĲĮ. ȅ ȕĮșȝȩȢ ĮʌȩțȜȚıȘȢ Įʌȩ ĲȚȢ țȜĮıȚțȑȢ İȣșİȓİȢ, İʌȚĳȐȞİȚİȢ țĮȚ ȩȖțȠȣȢ țĮșȠȡȓȗİȚ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ ĲȘȢ "ĲȡĮȤȪĲȘĲĮȢ" (Ȓ ĲȠȣ "ĮțĮȞȩȞȚıĲȠȣ") ĲȘȢ įȠȝȒȢ ĮȣĲȒȢ țĮȚ ȜȑȖİĲĮȚ ȝȠȡĳȠțȜĮıȝĮĲȚțȒ įȚȐıĲĮıȘ (Ȓ fractal įȚȐıĲĮıȘ).

Ǿ ĳȪıȘ ĮȖĮʌȐ ĲĮ fractals Ǿ ĳȪıȘ İȓȞĮȚ ʌȜȘȝȝȣȡȚıȝȑȞȘ Įʌȩ fractals. ĭĮȓȞİĲĮȚ İȟȦĳȡİȞȚțȩ, «ĮȜȜȐ ȩʌȠȚĮ ȚįȑĮ įİȞ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȘȞ ĮȡȤȒ İȟȦĳȡİȞȚțȒ İȓȞĮȚ țĮĲĮįȚțĮıȝȑȞȘ» (A. Einstein). īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ȝȚĮ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ fractal įȠȝȒ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝʌȡȩțȠȜȠ. ȈĲȘȞ İȚțȩȞĮ ĳĮȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ȝʌȡȩțȠȜȠ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ĮȣĲȩ-ȩȝȠȚĮ ȣʌȩ-ȝʌȡȩțȠȜĮ, ȣʌȩ-ȣʌȩ-ȝʌȡȩțȠȜĮ, ȣʌȩ-ȣʌȩ-ȣʌȩȝʌȡȩțȠȜĮ ț.Ƞ.ț. ǱȜȜİȢ ȝȠȡĳȠțȜĮıȝĮĲȚțȑȢ ȝȠȡĳȑȢ

ʌȠȣ ıȣȞĮȞĲȐȝİ ȖȪȡȦ ȝĮȢ İȓȞĮȚ ȠȚ ȞİȣȡȫıİȚȢ ĲȦȞ ĳȪȜȜȦȞ ĲȦȞ įȑȞĲȡȦȞ, Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȦȞ ȞİĳȫȞ, Ș įȚȐįȠıȘ ĲȘȢ ĮıĲȡĮʌȒȢ, Ș ȡȠȒ ĲȦȞ ʌȠĲĮȝȫȞ, Ș țȣĲĲĮȡȚțȒ įȠȝȒ țȐșİ ȠȡȖĮȞȚıȝȠȪ ț.Į. ǼȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ țȐșİ ȝȠȡĳȒ ȝȑıĮ ıĲȠ ĳȣıȚțȩ ȝĮȢ ʌİȡȚȕȐȜȜȠȞ ĮʌȑȤİȚ ʌȠȜȪ Įʌȩ ĲȘȞ ǼȣțȜİȓįİȚĮ ĮʌȜȠȪıĲİȣıȘ ĲȠȣ ıȤȒȝĮĲȩȢ ĲȠȣ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ ȠȚ ĮȚıșȒıİȚȢ ȝĮȢ Ȓ ȠȚ ĮȞȐȖțİȢ ĲȦȞ ȝİĲȡȒıİȫȞ ȝĮȢ.

ȉĮ fractals ıĲȠȞ ȐȞșȡȦʌȠ Ǽțİȓ ȩȝȦȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȐ İȞĲȣʌȦıȚĮțȒ Ș İȝĳȐȞȚıȘ ĲȦȞ fractals įȠȝȫȞ İȓȞĮȚ ıĲȠ ĮȞșȡȫʌȚȞȠ ıȫȝĮ (ĮȜȜȐ țĮȚ ıİ țȐșİ ȗȫȞĲĮ ȠȡȖĮȞȚıȝȩ). ǹȜȜȐ İȟȓıȠȣ İȞĲȣʌȦıȚĮțȒ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș ĮʌȠĲİȜİıȝĮ- ĲȚțȩĲȘĲĮ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ fractal ȝȠȡĳȫȞ. ȃĮ ȝİȡȚțȐ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ Įʌȩ ĲĮ ʌȐȝʌȠȜȜĮ ʌȠȣ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ țĮȞİȓȢ ȞĮ ĮȞĮĳȑȡİȚ. Į) ǵȜȠȚ ȑȤȠȣȝİ įİȚ ȩĲȚ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ĲȦȞ ĮȡĲȘȡȚȫȞ ĲȠȣ ĮȞșȡȦʌȓȞȠȣ ıȫȝĮĲȠȢ ȑȤİȚ ĲȘȞ ȝȠȡĳȒ «įȑȞĲȡȠȣ». Ǿ ȝȠȡĳȒ ĮȣĲȒ ȜȑȖİĲĮȚ fractal įİȞįȡȚĲȚțȒ įȠȝȒ. Ȃİ ĲȘȞ ȚįȚȐȗȠȣıĮ ĮȣĲȒ fractal įȠȝȒ, ĲĮ įİȞįȡȚĲȚțȐ ıȣıĲȒȝĮĲĮ ĲȦȞ ĮȡĲȘȡȚȫȞ țĮȚ ĳȜİȕȫȞ İȟĮıĳĮȜȓȗȠȣȞ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘȢ ıİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ʌİȡȚȠȤȑȢ ĲȠȣ ĮȞșȡȦʌȓȞȠȣ ıȫȝĮĲȠȢ ȝİĲĮĳȑȡȠȞĲĮȢ Ȓ ĮʌȐȖȠȞĲĮȢ ȖȡȒȖȠȡĮ ĲĮ șȡİʌĲȚțȐ Ȓ İʌȚȕȜĮȕȒ ıȣıĲĮĲȚțȐ. ȂȚĮ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ȐȜȜȘ įȠȝȒ șĮ İȓȤİ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȑȞĮ ĳȐȡȝĮțȠ, ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ȑȞĮ ʌĮȣıȓʌȠȞȠ, ȞĮ İʌİȞİȡȖȠȪıİ ıĲȠ İʌȓȝĮȤȠ ıȘȝİȓȠ (ʌ.Ȥ. ıĲȠ ʌȩįȚ) ȝȚĮ İȕįȠȝȐįĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȝİĲȐ ĲȘȞ ȜȒȥȘ ĲȠȣ. ȅ ıȣȞįȣĮıȝȩȢ ĮȣĲȩȢ İȓȞĮȚ ʌȠȣ țĮșȚıĲȐ ȤȡȒıȚȝȘ țĮȚ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȒ ĲȘ įȡȐıȘ ȝȚțȡȫȞ ʌȠıȠĲȒĲȦȞ ĳĮȡȝĮțİȣĲȚțȫȞ ȠȣıȚȫȞ. ǻȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ȠȚ ʌȠıȩĲȘĲİȢ ĲȦȞ ĳĮȡȝȐțȦȞ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖȐȜİȢ țĮȚ ĲȠ ĳȐȡȝĮțȠ șĮ ȒĲĮȞ ...ĳĮȡȝȐțȚ. ǼȓȞĮȚ, İʌȓıȘȢ, İȞįȚĮĳȑȡȠȞ ȩĲȚ ĮȞ țĮȚ ĲȠ ıȣȞȠȜȚțȩ ȝȒțȠȢ ĲȦȞ ĮȡĲȘȡȚȫȞ țĮȚ ĳȜİȕȫȞ İȞȩȢ ĮȞșȡȫʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ ȝİȖȐȜȠ, ĲȘȢ ĲȐȟİȦȢ ĲȦȞ 96.000 (96 ȤȚȜȚȐįȦȞ) ȤȚȜȚȠȝȑĲȡȦȞ (įȘȜĮįȒ ĮȞ İȞȫıȠȣȝİ ĲȚȢ ĮȡĲȘȡȓİȢ 4 ĮȞșȡȫʌȦȞ ĳșȐȞȠȣȝİ ıĲȘȞ ȈİȜȒȞȘ), țĮȜȪʌĲȠȣȞ İȞĲȠȪĲȠȚȢ ȝȩȞȠ ĲȠ 3% ĲȠȣ įȚĮșȑıȚȝȠȣ ȩȖțȠȣ ıĲȠ ĮȞșȡȫʌȚȞȠ ıȫȝĮ ĮĳȒȞȠȞĲĮȢ ĮȡțİĲȩ ȤȫȡȠ ȖȚĮ ĲȘȞ ĳȚȜȠȟİȞȓĮ țĮȚ ȐȜȜȦȞ ȗȦĲȚțȫȞ ȠȡȖȐȞȦȞ. ȕ) ȅ ʌȞİȪȝȠȞĮȢ İȓȞĮȚ ȦȢ ȖȞȦıĲȩȞ ĲȠ ȩȡȖĮȞȠ ĲȠȣ ĮȞĮʌȞİȣıĲȚțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ȩʌȠȣ ĮȞĲĮȜȜȐııİĲĮȚ ĲȠ įȚȠȟİȓįȚȠ ĲȠȣ ȐȞșȡĮțĮ ĲȠȣ ĮȓȝĮĲȠȢ ȝİ ĲȠ ȠȟȣȖȩȞȠ ĲȠȣ İȚıʌȞİȩȝİȞȠȣ ĮȑȡĮ. ǶıĲİȡĮ ĲȠ ĮȓȝĮ țȣțȜȠĳȠȡİȓ ȝȑıȦ ĲȠȣ țȣțȜȠĳȠȡȚțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ıİ ȩȜȠ ĲȠ ıȫȝĮ ȠȟȣȖȠȞȫȞȠȞĲĮȢ ĲȠȣȢ ȚıĲȠȪȢ. ȉȠ fractal

įİȞįȡȚĲȚțȩ ıȪıĲȘȝĮ ĲȦȞ ĮİȡĮȖȦȖȫȞ ʌȠȣ ĳȚȜȠȟİȞİȓĲĮȚ ıĲȠȞ ȩȖțȠ ĲȦȞ 10 ȜȓĲȡȦȞ ĲȠȣ ʌȞİȪȝȠȞĮ ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ ʌİȡȓʌȠȣ 2500 ȤȚȜȚȩȝİĲȡĮ. Ȗ) Ǿ ȝȒĲȡĮ ĮȞ įİȞ ĳȚȜȠȟİȞȠȪıİ fractal ĮȜȜȐ İȣțȜİȓįİȚȠȣȢ (įȘȜĮįȒ ȠȝĮȜȠȪȢ, ıȣȞȘșȚıȝȑȞȠȣȢ) ıȤȘȝĮĲȚıȝȠȪȢ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ İȓȤİ ȕȐȡȠȢ 500 țȚȜȐ țĮȚ Ș țȪȘıȘ ȞĮ įȚĮȡțȠȪıİ İțĮĲȠȞĲȐįİȢ ȤȡȩȞȚĮ ȖȚĮ ȞĮ İȟĮıĳĮȜȓıİȚ ĲȚȢ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȠȣ İȝȕȡȪȠȣ. į) ȅ İȖțȑĳĮȜȩȢ ȝĮȢ ȑȤİȚ fractal įȠȝȒ. İ) ȉȠ ȝȐĲȚ ȝĮȢ įȚĮıȤȓȗİĲĮȚ Įʌȩ fractal įȓțĲȣȠ ĳȜİȕȫȞ. 100.000.000 (İțĮĲȩ İțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ) țȪĲĲĮȡĮ ĮȡȤȓȗȠȣȞ ĲȘȞ įȡȐıȘ ĲȠȣȢ ȩĲĮȞ İȞİȡȖȠʌȠȚİȓĲĮȚ Ș ȩȡĮıȘ. ȉȠ ĳȦȢ țĲȣʌȐ ʌȐȞȦ Įʌȩ 30 įȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ȝȩȡȚĮ ĮȞȐ įİȣĲİȡȩȜİʌĲȠ ȝȑıĮ ıĲȠ ȝȐĲȚ. ȉȠ fractal ĮȖȖİȚĮțȩ įȓțĲȣȠ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȚȞȠȣ ĮȝĳȚȕȜȘıĲȡȠİȚįȠȪȢ ȤȚĲȫȞĮ İȟĮıĳĮȜȓȗİȚ ĲȠȞ ĲİȡȐıĲȚȠ ĮȣĲȩ ĮȡȚșȝȩ ĮȞȚȤȞİȣĲȫȞ. ıĲ) Ǿ fractal įȠȝȒ ĲȘȢ șȦȡĮțȚțȒȢ țȠȚȜȩĲȘĲĮȢ İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ ʌȠȣ İȟĮıĳĮȜȓȗİȚ ĲȘȞ ĮʌȩıȕİıȘ ĲȦȞ ȚıȤȣȡȫȞ «țȡĮįĮıȝȫȞ» ʌȠȣ ʌȡȠțĮȜİȓ Ș ʌĮȜȜȩȝİȞȘ țĮȡįȚȐ ȝİ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ĲȘȞ ĮșȩȡȣȕȘ ȖȚĮ İȝȐȢ ȜİȚĲȠȣȡȖȓĮ ĲȘȢ. ĭĮȓȞİĲĮȚ ȜȠȚʌȩȞ ȩĲȚ Ș ĭȪıȘ įİȓȤȞİȚ ȝȚĮ ȚįȚĮȓĲİȡȘ ʌȡȠĲȓȝȘıȘ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ «ĮțĮȞȩȞȚıĲȠ» țĮȚ ĲȠ «ĲȡĮȤȪ». ǹʌȩ ĲȘȞ ȐȜȜȘ ȝİȡȚȐ ȩȝȦȢ «ȟȑȡİȚ» ȞĮ «İțȝİĲĮȜȜİȪİĲĮȚ» țĮĲȐ ĲȠȞ țĮȜȪĲİȡȠ ĲȡȩʌȠ țĮȚ İȟĮȚȡİĲȚțȐ İȪıĲȠȤĮ ĮȣĲȒ ĲȘȞ «ĮĲĮȟȓĮ» ȝİ ȗȦĲȚțȒȢ ıȘȝĮıȓĮȢ įȡȐıİȚȢ țĮȚ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ. ȈȘȝİȓȦıȘ: ȊʌȐȡȤȠȣȞ țĮȜȑȢ İȞįİȓȟİȚȢ ȩĲȚ, ʌȚșĮȞȩȞ, ȠȚ fractal įȠȝȑȢ ȞĮ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ țĮȚ ıİ İʌȓʌİįȠ ĮıĲȑȡȦȞ țĮȚ ȖĮȜĮȟȚȫȞ (ȓıȦȢ țĮȚ ıİ ıȣȝʌĮȞĲȚțȩ). īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ȚįȚĮȓĲİȡȠȚ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȓ įİȓȤȞȠȣȞ ȩĲȚ ĲȠ ĳȐıȝĮ ıĲȠ ȣʌİȡȚȫįİȢ İȞȩȢ İȞİȡȖȠȪ ȖĮȜĮȟȓĮ (quasar) țĮȚ ĲȠ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ İȞȩȢ șİȡȝȠȪ ĮıĲȑȡĮ İțʌȠȝʌȒȢ ȓıȦȢ «țȡȪȕȠȣȞ» ȝȑıĮ ĲȠȣȢ ȝȚĮ ĲȑĲȠȚĮ įȠȝȒ. ǹȣĲȩ İȓȞĮȚ țĮȚ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ Įʌȩ ĲĮ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ȝİȜȑĲȘȢ (ȣʌȩ įȘȝȠıȓİȣıȘ paper ĲȠȣ ȖȡȐĳȠȞĲȠȢ ıĲĮ

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ʌȜĮȓıȚĮ ĲȦȞ İȡȖĮıȚȫȞ) ĲȘȢ İȡİȣȞȘĲȚțȒȢ ȝĮȢ ȠȝȐ- Kapodistrian University of Athens) ıĲȠȞ ȉȠȝȑĮ įĮȢ (ǼȡİȣȞȘĲȚțȒ ȅȝȐįĮ ǹıĲȡȚțȒȢ ĭĮıȝĮĲȠıțȠʌȓ- ǹıĲȡȠĳȣıȚțȒȢ, ǹıĲȡȠȞȠȝȓĮȢ țĮȚ ȂȘȤĮȞȚțȒȢ ĲȠȣ ĮȢ, Astrophysical Spectroscopy Team, National and ȉȝȒȝĮĲȠȢ ĭȣıȚțȒȢ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ǹșȘȞȫȞ. 2Ƞ șȑȝĮ. Ǿ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ĮʌȩįİȚȟȘ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȩȜȦȞ ĲȦȞ İʌȠȤȫȞ ȑȤİȚ ȝȑȖİșȠȢ 200 Terabytes ǹʌȩ ĲȘ ĳȓȜȘ īȚȫĲĮ ǽȫĲȠȣ, ĮȜȚİȪıĮȝİ țĮȚ ıĮȢ ʌĮ- Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ İȓȞĮȚ ıȣȝʌȚİıȝȑȞȘ ıİ ȑȞĮ ĮȡȤİȓȠ 68 ȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ ȑȞĮ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ, țĮĲȐ ĲȘ ȖȞȫȝȘ ȝĮȢ gigabytes, ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȩʌȠȚȠȢ șȑȜİȚ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲȘȞ țĮĲİȕȐıİȚ, ȞĮ ĲȘȞ ĮȞĮțĮĲĮıțİȣȐıİȚ țĮȚ ȞĮ İșȑȝĮ, țĮȚ ıĮȢ ĲȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ. «ǲȞĮȢ ȣʌİȡȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȓȘıİ ĲȘ ȝİȖĮ- ʌĮȜȘșİȪıİȚ ȩȜİȢ ĲȚȢ ʌȜȘȡȠĳȠȡȓİȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ İȞıȦȜȪĲİȡȘ ĮʌȩįİȚȟȘ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıİ ȝȩȜȚȢ 2 ȘȝȑȡİȢ. ȝĮĲȦȝȑȞİȢ ıİ ĮȣĲȩ. ȉȠ ȝȑȖİșȠȢ ĲȠȣ ĮȡȤİȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ĲȘȞ ȣʌȠȕȠȘ- ȉȠ ĮȡȤİȓȠ ĲȦȞ 200 terabytes ȟİʌİȡȞȐ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪșȠȪȝİȞȘ Įʌȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ ĮʌȩįİȚȟȘ ĮȖȖȓȗİȚ ĲĮ 200 ȝİȞȠ țĮĲĮȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ȡİțȩȡ ĮȡȤİȓȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ ȝİȖĮterabytes – įȘȜĮįȒ ʌİȡȓʌȠȣ ȩıȠ ȤȫȡȠ țĮĲĮȜĮȝȕȐ- ȜȪĲİȡȘ ȣʌȠȕȠȘșȠȪȝİȞȘ ĮʌȩįİȚȟȘ Įʌȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ, ȞȠȣȞ ȩȜĮ ĲĮ ȥȘĳȚȠʌȠȚȘȝȑȞĮ țİȓȝİȞĮ ĲȘȢ ĲİȡȐıĲȚĮȢ ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȓȤİ ȝȑȖİșȠȢ ȝȩȜȚȢ 13 gigabytes. ǺȚȕȜȚȠșȒțȘȢ ĲȠȣ ȀȠȖțȡȑıȠȣ ĲȦȞ ǾȆǹ. ǹĳȠȡȐ ȑȞĮ ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ Ronald Graham, ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ĲȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ĮʌĮıȤȠȜİȓ ĲȠȣȢ ȝĮșȘ- San Diego Įʌȩ ĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȘȢ ȀĮȜȚĳȩȡȞȚĮ ȝĮĲȚțȠȪȢ įİțĮİĲȓİȢ țĮȚ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȦȢ ĲȠ ʌȡȩ- țĮȚ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ țȐĲȠȤȠ ȡİțȩȡ ĲȘȢ ĲȩĲİ ȝİȖĮȜȪĲİȕȜȘȝĮ ĲȦȞ «ȝʌȠȣȜȚĮȞȫȞ ʌȣșĮȖȩȡİȚȦȞ ĲȡȚȐįȦȞ» ȡȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ, ȠȚ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȑȢ ȕȠȘșȠȪȞ ıĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ ĮʌȠįİȓȟİȦȞ ȖȚĮ ıȣȞįȣĮıĲȚțȐ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ. ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȓıȦ Įʌȩ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ʌĮȡȑȝİȞİ ȝȑȤȡȚ ʌȡȩıĳĮĲĮ ȐȜȣĲȠ, İȓȤİ Ĳİșİȓ ĲȠ 1980 Įʌȩ ĲȠȣȢ Erdös-Graham țĮȚ Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ įȩșȘțİ Įʌȩ ĲȠȣȢ Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, țĮȚ Victor W. Marek. [Solving and Verifying the boolean Pythagorean]

Ǿ įȚĮĲȪʌȦıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ: ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ įȚĮȤȦȡȓıȠȣȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȃ={1, 2, 3, 4, …} ıİ įȣȠ ıȪȞȠȜĮ, ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ țĮȞȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ įȪȠ ȞĮ ȝȘȞ ʌİȡȚȑȤİȚ ʌȣșĮȖȩȡİȚİȢ ĲȡȚȐįİȢ (įȘȜĮįȒ ĲȡȚȐįİȢ ĮȡȚșȝȫȞ a, b, c ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȘ ıȤȑıȘ a2 + b2= c2); ǳ ȞĮ ĲȠ ʌȠȪȝİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ: ǼȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ ȞĮ ȤȡȦȝĮĲȓıȠȣȝİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ İȓĲİ ȝİ țȩțțȚȞȠ İȓĲİ ȝİ ȝʌȜİ ȤȡȫȝĮ, ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ ȝȘȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȣșĮȖȩȡİȚĮ ĲȡȚȐįĮ ĮțİȡĮȓȦȞ a, b, c (a2 + b2 = c2) ȝİ ĲȠ ȓįȚȠ ȤȡȫȝĮ; Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȚȒșȘțİ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ ǹȞ țĮȚ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ İʌȑĲȡİʌİ ʌȠȜȜȠȪȢ įȣȞĮĲȠȪȢ ĲȡȩʌȠȣȢ ȖȚĮ ȞĮ ȤȡȦȝĮĲȚıĲȠȪȞ ȠȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȠȪȢ ıȣȞįȣĮıȝȠȪȢ, ȠȚ İʌȚıĲȒȝȠȞİȢ İțȝİĲĮȜȜİȪĲȘțĮȞ ĲİȤȞȚțȑȢ țĮȚ ıȣȝȝİĲȡȓİȢ Įʌȩ ĲȘ șİȦȡȓĮ ĮȡȚșȝȫȞ ȖȚĮ ȞĮ ȝİȚȫıȠȣȞ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ĲȦȞ İȜȑȖȤȦȞ ʌȠȣ ȑʌȡİʌİ ȞĮ țȐȞİȚ Ƞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ. ǹȣĲȩ ĲȠ ȕȒȝĮ İȜĮȤȚıĲȠʌȠȓȘıİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ĲȦȞ ʌȡȐȟİȦȞ

ʌȠȣ İțĲİȜȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ țĮĲȐ ıȤİįȩȞ 1 ĲȡȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚȠ. ǻȪȠ ȝȑȡİȢ ĮȡȖȩĲİȡĮ, Ƞ ȣʌİȡȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ Stampede ĲȦȞ 800 İʌİȟİȡȖĮıĲȫȞ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ĲȠȣ ȉȑȟĮȢ ʌĮȡȒȖĮȖİ ĲȠ ĮȡȤİȓȠ ĲȦȞ 200 terabytes. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒșȘțİ ȟİȤȦȡȚıĲȩ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌĮȜȒșİȣıȘ ĲȘȢ ʌĮȡĮȖȩȝİȞȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ. ȆĮȡȐ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩĲȚ ȑıʌĮıİ ĲȠ ʌİȡȓĳȘȝȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȦȞ «ȝʌȠȣȜȚĮȞȫȞ ʌȣșĮȖȩȡİȚȦȞ ĲȡȚȐįȦȞ», ĲȠ ĮȡȤİȓȠ ʌȠȣ țĮĲĮȖȡȐĳȘțİ İȟĮțȠȜȠȣșİȓ ȞĮ ȝȘȞ ʌĮȡȑȤİȚ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȠ ȖȚĮĲȓ İȓȞĮȚ İĳȚțĲȩ ĲȠ ıȤȑįȚȠ ȤȡȦȝĮĲȚıȝȠȪ. Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ĮʌȠțȐȜȣȥİ ȩĲȚ ȞĮȚ, İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩ ȞĮ ȤȡȦȝĮĲȚıĲȠȪȞ ȠȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ ʌȠȜȜȠȪȢ ĲȡȩʌȠȣȢ. ȍıĲȩıȠ, ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ ȩȡȚȠ, ĮȣĲȩ ĲȦȞ 7.824 ĮțİȡĮȓȦȞ. ȂİĲȐ Įʌȩ ĮȣĲȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ, įİȞ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩ. ǹȣĲȩ įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ İȡȦĲȒıİȚȢ: īȚĮĲȓ ȣʌȐȡȤİȚ ıȘȝİȓȠ ĮʌȠțȠʌȒȢ ıĲĮ 7.825; īȚĮĲȓ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȒ Ș ʌȡȫĲȘ İʌȑțĲĮıȘ;

ȉĮ İȣȡȒȝĮĲĮ ĲȘȢ ȠȝȐįĮȢ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȒ ȕȚȕȜȚȠșȒțȘ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ Cornell»

3Ƞ șȑȝĮ. ȉĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȦȢ ȑȞĮȢ ȚıȤȣȡȩȢ ıȪȝȝĮȤȠȢ ĲȘȢ ȚĮĲȡȚțȒȢ. ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ĲĮ șȑȝĮĲĮ ǿĮĲȡȚțȒȢ, ʌȐȞĲĮ ȝĮȢ țİȞĲȡȓȗȠȣȞ ĲȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ. ǼȓȞĮȚ Ș ȚįȚȩĲȘĲȐ ȝĮȢ, ȦȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ; İȓȞĮȚ Ș ȘȜȚțȓĮ ȝĮȢ; İȓȞĮȚ..... ǵʌȦȢ țĮȚ ȞĮ ǯȤİȚ ĲȠ ʌȡȐȖȝĮ, İȝİȓȢ ıĮȢ ĲȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ țȚ Ș țȡȓıȘ įȚțȒ ıĮȢ... «ȉĮ İĳĮȡȝȠıȝȑȞĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ĮʌȠĲİȜȑıȠȣȞ ȑȞĮ ȚıȤȣȡȩ İȡȖĮȜİȓȠ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȡȩȕȜİȥȘ ĲȘȢ ȖȑȞİıȘȢ țĮȚ İȟȑȜȚȟȘȢ įȚĮĳȠȡİĲȚțȫȞ ĲȪʌȦȞ țĮȡțȓȞȠȣ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ȝİȜȑĲȘ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ĲȠȣ Waterloo.

Ǿ ȝİȜȑĲȘ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıİ ȝȚĮ ȝȠȡĳȒ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ĮȞȐȜȣıȘȢ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ İȟİȜȚțĲȚțȒ įȣȞĮȝȚțȒ ȖȚĮ ȞĮ ʌİȡȚȖȡȐȥİȚ ʌȫȢ İȟİȜȓııȠȞĲĮȚ ȠȚ țĮțȠȒșİȚȢ ȝİĲĮȜȜȐȟİȚȢ ĲȩıȠ ıĲĮ ȕȜĮıĲȠțȪĲĲĮȡĮ, ȩıȠ țĮȚ ıĲĮ ȝȘ ȕȜĮıĲȚțȐ țȪĲĲĮȡĮ ıĲȠȞ țĮȡțȓȞȠ ĲȠȣ ʌĮȤȑȠȢ İȞĲȑȡȠȣ țĮȚ ĲȠȣ İȞĲȑȡȠȣ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/20

«Ǿ ĮȟȚȠʌȠȓȘıȘ ĲȦȞ İĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȖȚĮ ĲȘ ȤĮȡĲȠȖȡȐĳȘıȘ ĲȘȢ İȟȑȜȚȟȘȢ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ įȓȞİȚ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮȢ ıĲȠȣȢ ȠȖțȠȜȩȖȠȣȢ İȞȩȢ İȓįȠȣȢ ȠįȚțȠȪ ȤȐȡĲȘ, ȖȚĮ ĲȘȞ ʌĮȡĮțȠȜȠȪșȘıȘ ĲȘȢ İȟȑȜȚȟȘȢ İȞȩȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ țĮȚ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ıȣȜȜĮȝȕȐȞİȚ țȡȓıȚȝİȢ ȜİʌĲȠȝȑȡİȚİȢ ĲȘȢ İȟȑȜȚȟȘȢ ĲȘȢ ȞȩıȠȣ», įȒȜȦıİ Ƞ Mohammad Kohandel, ĮȞĮʌȜȘȡȦĲȒȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ İĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȠ Waterloo. «ȅ ıȣȞįȣĮıȝȩȢ ĲȘȢ ȤȡȒıȘȢ ĲȦȞ İĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȝİ ĲȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ İȡİȣȞȘĲȚțȑȢ İȟİȜȓȟİȚȢ ıĲȘȞ ȕȚȠȜȠȖȓĮ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȝȕȐȜİȚ ıİ ȝȚĮ ʌȠȜȪ ȕĮșȪĲİȡȘ țĮĲĮȞȩȘıȘ ĲȘȢ ȞȩıȠȣ ıİ įȚȐĳȠȡĮ İʌȓʌİįĮ». Ǿ ȝİȜȑĲȘ įȚĮʌȓıĲȦıİ ȩĲȚ ȩĲĮȞ ĲĮ țĮȡțȚȞȚțȐ ȕȜĮıĲȠțȪĲĲĮȡĮ įȚĮȚȡȠȪȞĲĮȚ țĮȚ ĮȞĮʌĮȡȐȖȠȞĲĮȚ, ĲĮ ȞȑĮ țȪĲĲĮȡĮ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞĲĮȚ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ įȚĮĳȑȡȠȣȞ ıȘȝĮȞĲȚțȐ Įʌȩ ĲȠ ĮȡȤȚțȩ țȪĲĲĮȡȠ. ǹȣĲȩ ĲȠ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ȠȣıȚĮıĲȚțȩ ĮȞĲȓțĲȣʌȠ ıĲȘȞ İȟȑȜȚȟȘ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ ĲȩıȠ ȝİ șİĲȚțȠȪȢ ȩıȠ țĮȚ ĮȡȞȘĲȚțȠȪȢ ĲȡȩʌȠȣȢ țĮȚ Ș ȤȡȒıȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȠȘșȒıİȚ ıĲȘȞ țĮȜȪĲİȡȘ ʌȡȩȕȜİȥȘ ĲȘȢ ıȣȝʌİȡȚĳȠȡȐȢ ĲȦȞ țȣĲĲȐȡȦȞ.

Ǿ ȝİȜȑĲȘ țĮĲȑȜȘȟİ İʌȓıȘȢ ıĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȩĲȚ ĮȣĲȩȢ Ƞ ĲȪʌȠȢ ĮȞȐȜȣıȘȢ, İțĲȩȢ Įʌȩ ĲȘȞ ʌĮȡȠȤȒ ȕȠȒșİȚĮȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ʌȚȠ ȑȞĲȠȞȦȞ țĮȚ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȫȞ șİȡĮʌİȚȫȞ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȤȡȒıȚȝȠȢ țĮȚ ıĲȘȞ ʌȡȩȜȘȥȘ ĲȘȢ İȝĳȐȞȚıȘȢ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ. «Ǿ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ʌȡȩȕȜİȥȘȢ ĲȘȢ İȟȑȜȚȟȘȢ ĲȦȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İȓȞĮȚ ȗȦĲȚțȒȢ ıȘȝĮıȓĮȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȡȠıĮȡȝȠȖȒ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȫȞ șİȡĮʌİȚȫȞ», įȒȜȦıİ Ƞ Siv Sivaloganathan, țĮșȘȖȘĲȒȢ țĮȚ ʌȡȩİįȡȠȢ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ İĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȠ Waterloo. «ȂʌȠȡİȓ İʌȓıȘȢ ȞĮ ȕȠȘșȒıİȚ ıĲȘȞ ĮʌȠĳȣȖȒ ĲȘȢ ʌȡȠțĮȜȠȪȝİȞȘȢ Įʌȩ ĳȐȡȝĮțĮ ĮȞĲȓıĲĮıȘȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ĮȞĮʌĲȪııİĲĮȚ ıİ ʌȠȜȜȠȪȢ țĮȡțȓȞȠȣȢ. «ǼțĲȩȢ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȩȕȜİȥȘ ĲȘȢ ıȣȝʌİȡȚĳȠȡȐȢ ĲȦȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ, ĮȣĲȩ ĲȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌȜĮȓıȚȠ ȝʌȠȡİȓ İʌȓıȘȢ ȞĮ İĳĮȡȝȠıĲİȓ ȖİȞȚțȩĲİȡĮ ıİ ȐȜȜȠȣȢ ĲȠȝİȓȢ, ıȣȝʌİȡȚȜĮȝȕĮȞȠȝȑȞȘȢ ĲȘȢ ȖİȞİĲȚțȒȢ țĮȚ ĲȘȢ ȠȚțȠȜȠȖȓĮȢ ĲȠȣ ʌȜȘșȣıȝȠȪ». [ȆȘȖȒ sciencedaily.com]

4Ƞ șȑȝĮ. ȂȘįȑȞ – Ǿ "ȝĮȪȡȘ ĲȡȪʌĮ" ĲȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ıĲĮ "ȤȑȡȚĮ" ȝĮȢ, ȑĳĲĮıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝĮ ĲȠȣ ıȣȞĮįȑȜĳȠȣ ȂȚȤȐȜȘ Ǻ. īȚȐȞȞĮȡȠȣ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ, İȣĳȣȑıĲĮĲĮ, ȤĮȡĮțĲȘȡȓȗİȚ ĲȠ 0, ıĮȞ “ȝĮȪȡȘ ĲȡȪʌĮ” ĲȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ. ȈĮȢ ĲȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ: «ǲȤİĲİ ĮȞĮȡȦĲȘșİȓ ʌȠĲȑ ȖȚĮĲȓ Į·0=0, ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Į; ǻȘȜĮįȒ ȖȚĮĲȓ țĮȞȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲȠȣ “ȟİĳȪȖİȚ” ĮȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıĲİȓ ȝĮȗȓ ĲȠȣ; īȚĮ ȞĮ ĮʌĮȞĲȘșİȓ ĮȣĲȩ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ĮȡțȠȪȞ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ įȚįĮȤșİȓ ıĲȠ īȣȝȞȐıȚȠ. ĬĮ ȤȡİȚĮıĲȠȪȝİ ĲĮ İȟȒȢ “ıȣıĲĮĲȚțȐ”: ƒ ʌȡȠıİĲĮȚȡȚıĲȚțȒ ȚįȚȩĲȘĲĮ (Į+ȕ)+Ȗ=Į+(ȕ+Ȗ) ƒ İʌȚȝİȡȚıĲȚțȒ ȚįȚȩĲȘĲĮ Į(ȕ+Ȗ)=Įȕ+ĮȖ ƒ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȞĲȓșİĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ Į+(-Į)=0 ƒ ȠȣįȑĲİȡȠ ıĲȠȚȤİȓȠ ʌȡȩıșİıȘȢ Į+0=Į ƒ ǹȞ Į=ȕ, ĲȩĲİ Į+Ȗ=ȕ+Ȗ ǹȢ ȟİțȚȞȒıȠȣȝİ: Į·0=Į·0 Ȓ Į·(0+0)=Į·0 Ȓ Į·0+Į·0=Į·0 Ȓ (Į·0+Į·0)+(-Į·0)=Į·0+(-Į·0) Ȓ Į·0+[Į·0+(-Į·0)]=0 Ȓ Į·0+0=0 Ȓ Į·0=0 ȁȓȖĮ ȜȩȖȚĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮȜȜȘȜȠȣȤȓĮ ĲȦȞ ȕȘȝȐĲȦȞ ĲȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ:

• ȄİțȚȞȐȝİ ȝİ ĲȘȞ ʌȡȠĳĮȞȒ ȚıȩĲȘĲĮ. • īȡȐĳȠȣȝİ ĲȠ ȝȘįȑȞ ıĲȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȜȠȢ ȦȢ 0+0. • ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĲȘȞ İʌȚȝİȡȚıĲȚțȒ ȚįȚȩĲȘĲĮ. • ȆȡȠıșȑĲȠȣȝİ țĮȚ ıĲĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ĲȠȞ ĮȞĲȓșİĲȠ ĮȡȚșȝȩ ĲȠȣ Į·0. • ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȡȠıİĲĮȚȡȚıĲȚțȒ ȚįȚȩĲȘĲĮ țĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȞĲȓșİĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ȝȘįȑȞ. • ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȞĲȓșİĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ȝȘįȑȞ. • ȉȠ ȝȘįȑȞ İȓȞĮȚ ĲȠ ȠȣįȑĲİȡȠ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ. • ǼȟĮȚĲȓĮȢ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıĲȚțȒȢ “ȚțĮȞȩĲȘĲĮȢ” ĲȠȣ ȝȘįİȞȩȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȠ ʌĮȡȠȝȠȚȐıȠȣȝİ ȝİ ĲȚȢ ȝĮȪȡİȢ ĲȡȪʌİȢ ĲȠȣ ıȪȝʌĮȞĲȠȢ țĮȚ ȞĮ ĲȠ ȤȡȓıȠȣȝİ ȦȢ “ȝĮȪȡȘ ĲȡȪʌĮ” ĲȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ»

5Ƞ șȑȝĮ. ʌȑȞșȠȢ ıĲȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮ ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ȑĳȣȖİ ıİ ȘȜȚțȓĮ 89 İĲȫȞ Ƞ ǺȡİĲĮȞȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ȂȐȚțȜ ǹĲȓȖȚĮ, ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲİȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ıĲȠȞ țȩıȝȠ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ İȓȤİ ȖȓȞİȚ įȚȐıȘȝȠȢ ıĲȘ įİțĮİĲȓĮ ĲȠȣ 1960, ȩĲĮȞ İȓȤİ İȞȫıİȚ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ĲȘ ĳȣıȚțȒ ȝİ ĲȡȩʌȠ ʌȠȣ įİȞ İȓȤİ ȣʌȐȡȟİȚ ȟĮȞȐ Įʌȩ ĲȘȞ İʌȠȤȒ ĲȠȣ ȃİȪĲȦȞĮ. «Ǿ ǺĮıȚȜȚțȒ ǼĲĮȚȡİȓĮ İʌȚıĲȘȝȫȞ ĲȘȢ ǺȡİĲĮȞȓĮȢ, ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ Ƞ ǹĲȓȖȚĮ ȣʌȒȡȟİ ʌȡȩİįȡȠȢ ıĲȘ įİțĮİĲȓĮ ĲȠȣ 1990, İʌȚȕİȕĮȓȦıİ ĲȠ șȐȞĮĲȩ ĲȠȣ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ įȫıİȚ ʌİȡĮȚĲȑȡȦ ȜİʌĲȠȝȑȡİȚİȢ.

ȅ ǹĲȓȖȚĮ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ İȓȤİ ȖİȞȞȘșİȓ ıĲȠ ȁȠȞįȓȞȠ ĲȠ 1929 Įʌȩ ʌĮĲȑȡĮ ȁȚȕĮȞȑȗȠ țĮȚ ȝȘĲȑȡĮ ȈțȦĲıȑȗĮ țĮȚ İȓȤİ ʌȐȡİȚ ĲȠ įȚįĮțĲȠȡȚțȩ ĲȠȣ Įʌȩ ĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ ȀȑȚȝʌȡȚĲȗ, İȓȤİ ȕȖİȚ ıĲȘ ıȪȞĲĮȟȘ İįȫ țĮȚ ȤȡȩȞȚĮ, ȩȞĲĮȢ İʌȓĲȚȝȠȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ ıĲȘ ȈȤȠȜȒ

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ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ĲȠȣ ǼįȚȝȕȠȪȡȖȠȣ. ǳĲĮȞ İʌȓıȘȢ țȐĲȠȤȠȢ ĲȦȞ įȪȠ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲİȡȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȕȡĮȕİȓȦȞ, ĲȠȣ Fields (1966) țĮȚ ĲȠȣ Abel (2004). Ǿ ʌȚȠ ıȘȝĮȞĲȚțȒ ıȣȝȕȠȜȒ ĲȠȣ ȒĲĮȞ ȑȞĮ șİȫȡȘȝĮ (Atiyah-Singer Index Theorem) ʌȠȣ İȓȤİ ĮʌȠįİȓȟİȚ ıİ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ȝİ ĲȠȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ǿıĮȞĲȩȡİ ȈȓȞȖțİȡ ıĲȠ Ȃǿȉ țĮȚ ĲȠ ȠʌȠȓȠ, «ʌĮȞĲȡİȪȠȞĲĮȢ» ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝİ ĲȘ ĳȣıȚțȒ, İȓȤİ ȝİĲĮȟȪ ȐȜȜȦȞ, ȠįȘȖȒıİȚ ıĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ĲȦȞ ȤȠȡįȫȞ. «ǼȓȤİ İʌȘȡİȐıİȚ ıȘȝĮȞĲȚțȐ ȩȜȘ ĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ʌȠȣ ĮĳȠȡȐ ĲȘȞ ĮȜȜȘȜİʌȓįȡĮıȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ĲȘȢ ĳȣıȚțȒȢ», įȒȜȦıİ Ƞ ĳȣıȚțȩȢ ǲȞĲȠȣĮȡȞĲ īȠȣȓĲİȞ ĲȠȣ ǿȞıĲȚĲȠȪĲȠȣ ȆȡȠȦșȘȝȑȞȦȞ ȂİȜİĲȫȞ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ȆȡȓȞıĲȠȞ, ȩʌȠȣ Ƞ ǹ-

ĲȓȖȚĮ İʌȓıȘȢ İȓȤİ İȡȖĮıĲİȓ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȣȢ «ȉȐȚȝȢ ĲȘȢ ȃȑĮȢ ȊȩȡțȘȢ». ȆȑȡȣıȚ Ƞ ǹĲȓȖȚĮ İȓȤİ ʌȡȠțĮȜȑıİȚ șȩȡȣȕȠ ȖȪȡȦ Įʌȩ ĲȠ ȩȞȠȝȐ ĲȠȣ ıĲȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ĭȩȡȠȣȝ ĲȘȢ ȋĮȧįİȜȕȑȡȖȘȢ, ȩĲĮȞ ȚıȤȣȡȓıĲȘțİ -ȤȦȡȓȢ ȩȝȦȢ ȞĮ ʌİȓıİȚ ĲȠȣȢ ıȣȞĮįȑȜĳȠȣȢ ĲȠȣ- ȩĲȚ İȓȤİ ȜȪıİȚ ĲȘȞ ȊʌȩșİıȘ ȇȓȝĮȞ, ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ įȚĮıȘȝȩĲİȡĮ ȐȜȣĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ȅ ǹĲȓȖȚĮ ȒĲĮȞ İʌȓıȘȢ ȖȚĮ ȤȡȩȞȚĮ İȞİȡȖȩȢ ıĲȠ țȓȞȘȝĮ ȣʌȑȡ ĲȘȢ İȚȡȒȞȘȢ țĮȚ ĲȘȢ ȝİȓȦıȘȢ ĲȦȞ ʌȣȡȘȞȚțȫȞ İȟȠʌȜȚıȝȫȞ. [ʌȘȖȒ: http://omathimatikos.gr/

V. İȚįȒıİȚȢ – İȚįȘıȠȪȜİȢ 1Ș. ȅ James Simons, Ƞ 80ȤȡȠȞȠȢ ĮȣĲȠįȘȝȚȠȪȡȖȘĲȠȢ ȕĮıȚȜȚȐȢ ĲȘȢ Wall Street, İȡȖȐıĲȘțİ ȖȚĮ ȝȚĮ įİțĮİĲȓĮ ıĲȠ ȉȝȒȝĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȠȣ Stony Brook University, ȦȢ ĮıĲȑȡĮȢ ĲȠȣ țȜȐįȠȣ (țĮȚ țȠıȝȒĲȠȡĮȢ), ĮĳȒȞȠȞĲĮȢ ıȘȝĮȞĲȚțȑȢ ıȣȞİȚıĳȠȡȑȢ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ İȚįȚțȐ ıĲȘ ȖİȦȝİĲȡȚțȒ șİȝİȜȓȦıȘ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ĲȦȞ ȤȠȡįȫȞ. [ʌȘȖȒ:https://www.grafida.net/el/index.php?itemID=3&view=3&pageID=415867]

2Ș. ǲȞĮ ĮıȣȞȒșȚıĲȠ ȝİȖȐȜȠ ʌĮȖȩȕȠȣȞȠ ȝİ ıȤȒȝĮ ĲȑȜİȚȠȣ ȠȡșȠȖȫȞȚȠȣ – ʌȠȣ șȣȝȓȗİȚ ĲȠȞ İȟȦȖȒȚȞȠ ȝȠȞȩȜȚșȠ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ «2001: ȅįȪııİȚĮ ĲȠȣ ǻȚĮıĲȒȝĮĲȠȢ» ĮȜȜȐ ıİ ʌĮȖȦȝȑȞȘ ȑțįȠıȘ – ĳȦĲȠȖȡȐĳȚıİ Ș ǹȝİȡȚțĮȞȚțȒ ǻȚĮıĲȘȝȚțȒ ȊʌȘȡİıȓĮ https://amna.gr/home/article/303333/Geometriko-pagobouno-san-gigantio[ʌȘȖȒ: pagaki-fotografise-i-NASA]

3Ș. ȉȚȝȘĲȚțȒ įȚȐțȡȚıȘ ıİ ȝȚĮ ȤĮȝȘȜȫȞ ĲȩȞȦȞ țĮȚ ȐȟȚĮ ıȣȞĮįȑȜĳȚııĮ: ıĲȘ īİȦȡȖȓĮ ȂĮȡĮȖțȠȪ ĮʌȠȞİȝȒșȘțİ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȕȡĮȕİȓȠ, ıĲȘȞ İĲȒıȚĮ įȚȠȡȖȐȞȦıȘ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ - ǲȡȖȦȞ ȉȑȤȞȘȢ, «The Bridges Math Art Exhibition», ʌȠȣ ȑȜĮȕİ ȤȫȡĮ ĳȑĲȠȢ ıĲȘ ȈĲȠțȤȩȜȝȘ ĲȘȢ ȈȠȣȘįȓĮȢ. [ʌȘȖȒ: Įʌȩ ĮȞȐȡĲȘıȘ ıĲȘȞ țİȞĲȡȚțȒ ȚıĲȠıİȜȓįĮ ĲȘȢ ǼȂǼ]

4Ș. īȚĮ ĲȠȣȢ ȜȐĲȡİȚȢ ĲȠȣ "ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ" țȚȞȘȝĮĲȠȖȡȐĳȠȣ, Ș İȓįȘıȘ ĲȠȪĲȘ. ȉĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȤȡȩȞȚĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİĲĮȚ ȐȞșȘıȘ ĲȠȣ İȓįȠȣȢ țĮȚ ıĲȘ șİĮĲȡȚțȒ ıțȘȞȒ. ȆĮȡȠȣıȓĮıȘ 5 țȚȞȘȝĮĲȠȖȡĮĳȚțȫȞ ĲĮȚȞȚȫȞ ȝİ șȑȝĮ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ: [ʌȘȖȒ: http://www.askisopolis.gr/…/1543399729_%CE%A0%CF%81%CE%BF%C…]

5Ș. Ȃİ ȚțĮȞȠʌȠȓȘıȘ ʌȜȘȡȠĳȠȡȘșȒțĮȝİ ĲȘȞ țȣțȜȠĳȠȡȓĮ ʌȠȜȪĲȠȝȘȢ ıİȚȡȐȢ, ʌȠȣ țĮȜȪʌĲİȚ ıȤİįȩȞ ȩȜȠ ĲȠ ĳȐıȝĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ȆȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ «ȅȣıȚȫįȘ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ» (3 ĲȩȝȠȚ) țĮȚ «ȅȣıȚȫįȘ ȆȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȈĲȠȚȤİȚĮțȫȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ» (3 ĲȩȝȠȚ), ĲȠȣ ıȘȝĮȞĲȚțȠȪ ıȣȞĮįȑȜĳȠȣ ȂĮȞȩȜȘ ȂĮȡĮȖțȐțȘ, ȖȞȦıĲȠȪ Įʌȩ ʌĮȜȚȩĲİȡĮ ıȣȖȖȡȐȝȝĮĲȐ ĲȠȣ, ıİ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ȝİ ĲȠȞ ȝĮșȘĲȒ ĲȠȣ ȂȚȤȐȜȘ ȂİĲĮȟȐ. ǹʌȠĲİȜİȓ, țĮĲȐ ĲȘ ȖȞȫȝȘ ȝĮȢ, ȑȞĮ ʌȠȜȪĲȚȝȠ ȠȡȣȤİȓȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ șȘıĮȣȡȫȞ, Įʌȩ ĲȠ īȣȝȞȐıȚȠ ȝȑȤȡȚ ĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ. ȅȚ İȡĮıĲȑȢ ĲȘȢ ʌȡȦĲȠĲȣʌȓĮȢ țĮȚ ĲȘȢ ıȦıĲȒȢ ȑȡİȣȞĮȢ șĮ ȕȡȠȣȞ ı’ ĮȣĲȩ ĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȞ ʌĮȡȐįİȚıȩ ĲȠȣȢ, ȝĮțȡȚȐ Įʌȩ ĮȞĮȜȫıȚȝİȢ ıȣȞĲĮȖȑȢ țĮȚ ȕȠȘșȒȝĮĲĮ țĮșȘȝİȡȚȞȒȢ țĮĲĮȞȐȜȦıȘȢ.

Vǿ. ǹʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ "ĮȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ;" ȃȐȡțȚııȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ țĮĲĮıțİȣȐıȠȣȝİ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȝİ ĲȚȝȒ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȩȜĮ ĲĮ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣȢ țĮȚ ĲĮ ȖȞȦıĲȐ ĲȠȣȢ ȓįȚȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ: ıȪȝȕȠȜĮ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȫȞ ʌȡȐȟİȦȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ 153 = 13 + 53 + 33,370 = 33 + 73 + 03,371 = 33 + 73 + 13,407 = 43 + 03 + 73, 598=51+92+83. [ʌȘȖȒ: http://eisatopon.blogspot.com/2011/03/blog-post_954.html țĮȚ "ȂǹĬǾȂĮȖȚțȐ"]

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/22

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ ȊʌİȪșȣȞȠȚ ĲȐȟȘȢ: ȋȡ. ȁĮȗĮȡȓįȘȢ, ȋȡ. ȉıȚĳȐțȘȢ, ī. ȀĮĲıȠȪȜȘȢ

ıĶǈǅǆƼ ĲƽĂĴĸĴ ƟǇǁĶǀǋĴǌ

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ

ƩƱƬƵ ƵƩƬƵ –ƧưƬƵ ƵƩƬƵ 1ƲƷ ƭƧƬ 2ƲƷ ƨƧĲƯƲƷ ȉıȩʌİȜĮȢ īȚȐȞȞȘȢ, 1Ƞ īǼȁ ǹȝĮȜȚȐįĮȢ - ȆĮȡȐȡĲȘȝĮ ǼȂǼ ǾȜİȓĮȢ

ĬȑȝĮ 1 ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ

1 0, O z 1 (1) 2 Į) ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ Ș (1) ȑȤİȚ įȣȠ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ Ȝ ȝİ Ȝ 1 ȕ) ǹȞ x1, x2 ȠȚ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ (1) ȞĮ ıȤȘȝĮĲȓıİĲİ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȡȓȗİȢ ȡ1=x1+x2, ȡ2=x1x2 țĮȚ ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȠȚ ȡ1, ȡ2 įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ. ȁȪıȘ: Į) Ǿ İȟȓıȦıȘ (1) ȑȤİȚ

O 1 x 2 O 4 x

O 4

2 O 1 O 2 6O 18

O 3

9!0

ȠʌȩĲİ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ. O 4 ȕ) ǲȤȠȣȝİ: U1 x1 x 2 țĮȚ O 1 1 U 2 x1 x 2 2(O 1) O 4 1 2O 7 U1 U2 O 1 2 O 1 2 O 1

U1U2

O 4 1 O 1 2 O 1

O 4 2 O 1

țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ Ș İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȝİ ȡȓȗİȢ ȡ1, ȡ2 2O 7 O 4 x 0 (2) İȓȞĮȚ x 2 2 2 O 1

2 O 1

ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș (2) ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ ĲȩĲİ șĮ Ț O 4 1 ... 2O2 3O 6 0 ıȤȪİȚ ȡ1ȡ2=1 2 2 O 1

įȘȜĮįȒ Ƞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ Ȝ İȓȞĮȚ Ș ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ 2x2–3x+6 = 0, ȐĲȠʌȠ ȖȚĮĲȓ ĮȣĲȒ ȑȤİȚ D 2 z 0 țĮȚ ǻ<0. ȅʌȩĲİ Ș (2) įİȞ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ. ĬȑȝĮ 2 ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ x 2 O 2 x O 2 0 (1) Į) īȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ Ș (1) įİȞ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ; ȕ) īȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ Ș (1) ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ ȡȚȗȫȞ S țĮȚ ȖȚȞȩ-

ȝİȞȠ ȡȚȗȫȞ ȇ ȫıĲİ 2P+1>S. ȁȪıȘ Į) Ǿ (1) ȑȤİȚ Į = 1 > 0 țĮȚ 2 2 ¬ª O 2 ¼º 4O 3O 4O 4 ȠʌȩĲİ įİȞ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ ' 0 ǹȜȜȐ: ' 0 3O2 4O 4 0 3O2 4O 4 ! 0 2· § O 2 3O 2 ! 0 O ¨ f, ¸ 2, f

3¹ © ȕ) Ǿ (1) ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ ȩĲĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ª 2 º ª 2 º ǻ 0. ǻȘȜĮįȒ O « ,2» . īȚĮ O « , 2 » ȑȤȠȣȝİ: ¬ 3 ¼ ¬ 3 ¼ 2 2 2P+1>S 2Ȝ +1>Ȝ+2 2Ȝ –Ȝ–1>0 1· § … O ¨ f, ¸ 1, f

2¹ © ª 2 1· ȉİȜȚțȐ O « , ¸ 1, 2@ ¬ 3 2¹ ĬȑȝĮ 3 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ f(x) Ox2 4x O 3, O z 0 2

Į) ǺȡİȓĲİ ĲȘ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ǻ ĲȠȣ ĲȡȚȦȞȪȝȠȣ țĮȚ ĲȠ ʌȡȩıȘȝȩ ĲȘȢ. ȕ) īȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ 0 ȚıȤȪİȚ: f x f x , ȖȚĮ țȐșİ x R; Ȗ) ǹȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĮȡȚșȝȠȓ Ȗ, į ȫıĲİ f J f G f J f G (1) ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ O 1,0 0,4 țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ A

ȞĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ O 1 2 O 4 . O

ĲȘȞ

ʌĮȡȐıĲĮıȘ

ȁȪıȘ Į) ǻ =16–4Ȝ(Ȝ–3)=4(–Ȝ2+3Ȝ+4) f –1 0 4 x 2 – + + 3O 4O 4 ȕ) f x

f –

f x , ȖȚĮ țȐșİ x R f (x) 0, ȖȚĮ țȐ-

șİ x R Į<0 țĮȚ ǻ 0 Ȝ<0 O f, 1@ > 4, f O f, 1@

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/23

țĮȚ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ȗ) ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ D E d D E ȖȚĮ țȐșİ

Į,ȕ R, țĮȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ ȚıȤȪİȚ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ Įȕ 0. ȅʌȩĲİ ȚıȤȪİȚ D E D E D, E İĲİȡȩıȘȝȠȚ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ: 1 f J ,f G İĲİȡȩıȘȝȠȚ ' ! 0 O 1,0 0, 4 .

īȚĮ O 1,0 0, 4 ȑȤȠȣȝİ: O 1 ! 0 NDL O 4 0, ȠʌȩĲİ A

O 1 2 O 4

O 1 2 4 O

3O 7 O

3O 7 °° O , O 0, 4

® ° 7 3O , O 1,0

¯° O

İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮ Ȓ șĮ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ. 2 į) ǹȞ Ș (1) ȑȤİȚ ȜȪıȘ ĲȘȞ x 0 țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ 3 f(x) = 0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ıĲȠ R , ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ Ȝ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ f (x) 2x 2 4x 3 (2) ȁȪıȘ Į) ȂİĲȐ Įʌȩ ʌȡȐȟİȚȢ Ș (1) ȖȓȞİĲĮȚ O 1 O 1 x O O 1

ǹȞ O z 1, 1, ĲȩĲİ 1 x

ȜȪıȘ ǹȞ O 1, ĲȩĲİ 1 0x

ıȦıȘ ǹȞ O

1, ĲȩĲİ 1 0x

4 O … 13Ȝ2–5Ȝ–8=0 4 4 O 8 … O 1 Ȓ O . 13 20

§4· 6 ¨ ¸ ©O¹ O

ĬȑȝĮ 4 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌĮȡĮȝİĲȡȚțȒ İȟȓıȦıȘ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ Ȝ2(x–1)=x–Ȝ (1) țĮȚ ĲȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ f(x)=Ȝx2– 4x+3 ȩʌȠȣ Ȝ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ, Ȝ 0. Į) ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș (1) ȖȚĮ ĲȚȢ įȚȐĳȠȡİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ 0. ȕ) ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ ĮȞ Ș İȟȓıȦıȘ f(x) = 0 įİȞ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ ĲȩĲİ Ș (1) ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ. Ȗ) ǹȞ Ș İȟȓıȦıȘ f(x) = 0 ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ(ȑıĲȦ x1, x2) țĮȚ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: 20 x1 x 2

x12 x 22 ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș (1) Ȓ șĮ 4 x1 x 2

4 ĲȩĲİ ȩȝȦȢ 3 Ȝ 1,–1 ȠʌȩĲİ Ș (1) ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ O x O 1 Ȗ) ǹĳȠȪ Ș İȟȓıȦıȘ Ȝx2 –4x+3 = 0 (Ȝ 0) ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȐȞȚıİȢ șĮ ȑȤȠȣȝİ: § 4· ǻ>0 … O f,0 ¨ 0, ¸ . ǼȟȐȜȜȠȣ: © 3¹ 20 x1 x 2

(x1 x 2 ) 2 2x1 x 2 4 x1 x 2 ĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ ȐȡĮ: ǻ<0 … O !

īȚĮ Ȝ = 1 Ș (1) İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȠĲȚțȒ İȞȫ ȖȚĮ O

0 , ĲĮȣĲȠĲȚțȒ İȟȓ-

2 §2 · 2 O2 ¨ 1¸ O 3 ©3 ¹ 3 ... O 2 3O 2 0 O 1 K O 2 4 ǹȜȜȐ Ș f(x) = 0 İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ıĲȠ R ȠʌȩĲİ O ! 3 2 ȉİȜȚțȐ Ȝ = 2 țĮȚ f(x) = 2x –4x+3>0 ȖȚĮ țȐșİ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ x. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ: 2 2x 2 4x 3 2x 2 4x 3

į) Ǿ (1) ȑȤİȚ ȜȪıȘ ĲȘȞ x0

2x 2 4x 3 2x 2 4x 3 4x 3

4x 3 4x 3 d 0 x d

3 4

ĬȑȝĮ 5 ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ 2x 2 5x 7

1 2x 1 1

Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f țĮȚ ȞĮ ĲȠ ʌĮȡĮıĲȒıİĲİ ȦȢ įȚȐıĲȘȝĮ Ȓ ȑȞȦıȘ įȚĮıĲȘȝȐĲȦȞ. ȕ) ǹȞ Į Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ ʌȠȣ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f , ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ: O2 O

2 , ĮįȪȞĮĲȘ İȟȓ-

ıȦıȘ ȕ) Ǿ İȟȓıȦıȘ Ȝx2 4x+3=0(Ȝ 0) įİȞ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮ-

8 Ș 13

(1) ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ.

f x

O , ȝȠȞĮįȚțȒ O 1

1 f D

ȁȪıȘ Į) īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/24

2x 2 5x 7 t 0, țĮȚ 2x 1 1 ! 0 , įȘȜĮįȒ Ĳİª 7º ȜȚțȐ x « 1, » (1) țĮȚ x f,0 1, f (2). ¬ 2¼ ǹʌȩ ĲȘ ıȣȞĮȜȒșİȣıȘ ĲȦȞ (1) țĮȚ (2) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ § 7º Ș f ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ A > 1,0 ¨ 1, » © 2¼ ȕ) ȅ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ Į ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ İȓȞĮȚ Į = 3 ȠʌȩĲİ Ș ĮȞȓıȦıȘ ʌȠȣ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ 1 1 1 ȖȓȞİĲĮȚ: O2 O f 3 O2 O 4 2 2 4 O O 2 0 O 1 O 2 0 O 1 0 2

1 O 1

ĬȑȝĮ 6 ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ Ȝx2 +3x+Ȝ = 0 (Ȝ 0) (1) Į. īȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ Ș (1) ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ; ȕ. īȚĮ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ĮțȑȡĮȚĮ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȠ Į İȡȫĲȘȝĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ x1 x ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ A x1 x2 ,B x1x2 , * 2 x2 x1

x16 6 x 62

ȁȪıȘ Į. ȆȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ ǻ 0.

3 3 3 ǹȜȜȐ ǻ 0 9–4Ȝ2 0 … O d d O d 2 2 2 ª 3 · § 3º O « ,0 ¸ ¨ 0, » ĮțȩȝĮ ĮĳȠȪ O z 0 ¬ 2 ¹ © 2¼

x112 6 x212

Ȉȋȅȁǿȅ: ǿıȤȪİȚ

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12 6

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12 6

x12 x22

...7

ȖȚĮ ȝ ĮțȑȡĮȚȠ, Ȟ șİĲȚ-

țȩ ĮțȑȡĮȚȠ țĮȚ Įt0, İȞȫ ĮȞ Į<0 țĮȚ ȝ ȐȡĲȚȠȢ ĲȩĲİ Ȟ

Įȝ

Į Ȟ .

īİȞȚțȐ

Įȝ

Į Ȟ , ȩĲĮȞ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș

ȡȓȗĮ. ĬȑȝĮ 7 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌĮȡĮȝİĲȡȚțȒ İȟȓıȦıȘ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ Ȝ(Ȝx–3)+6= 4x , Ȝ R (1) . Į) ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș (1) ȖȚĮ ĲȚȢ įȚȐĳȠȡİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ ȕ) ǹȞ Ș (1) İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ȞĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ xO 5 8 Ȗ) ǹȞ Ș (1) İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȠĲȚțȒ ȞĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ xO 2 16 į) ǹȞ Ȝ ĮțȑȡĮȚȠȢ țĮȚ Ș (1) ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚĮ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ Ȝ İ) ǼȟİĲȐıĲİ ĮȞ Ș (1) ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤİȚ ȜȪıȘ ĲȘȞ x=0 .ȈĲȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȣĲȒ ȑȤİȚ țĮȚ ȐȜȜİȢ ȜȪıİȚȢ; ȁȪıȘ Į) ȂİĲȐ Įʌȩ ʌȡȐȟİȚȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ: (1) (Ȝ–2)(Ȝ+2)x =3(Ȝ–2) ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ : 3 x ǹȞ O z 2, 2, ĲȩĲİ 1 x , ȝȠȞĮįȚțȒ O 2 ȜȪıȘ x ǹȞ O 2, ĲȩĲİ 1 0x 0 , ĲĮȣĲȠĲȚțȒ İȟȓ-

ıȦıȘ ǹȞ O

2, ĲȩĲİ 1 0x

ȕ. Ǿ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ĮțȑȡĮȚĮ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȠ Į İȡȫĲȘȝĮ İȓȞĮȚ Ȝ =1 țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȓȞİĲĮȚ x2 +3x+1 = 0 S x1 x 2 3

Ȗ) Ǿ (1) İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȠĲȚțȒ ȝȩȞȠ ȩĲĮȞ Ȝ = 2. ȉȩĲİ: x O 2 16 x 4 16 x r 4 16 x r2 3 į) Ǿ (1) ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ ȖȚĮ țȐșİ O 2 Ȝ 2, 2. īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚĮ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ Ȝ+2 ȞĮ įȚĮȚȡİȓ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 3 įȘȜĮįȒ O ^ 3, 1,5,1` .

* *2

x1 x 2 1 x1 x2 x2 x1 § x1 x2 · ¨¨ ¸ x1 ¸¹ © x2

x1 x 2

2x1x 2

x1 x 2

x1 x 2 2 x 2 x1

x12 x 22 2 x1 x 2

2 7 2 9 * 3

Ȉȋȅȁǿȅ: Ǿ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ : x1 x x1 x * 2 2 x2 x1 x2 x1

İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ

12 , ĮįȪȞĮĲȘ İ-

ȟȓıȦıȘ ȕ) Ǿ (1) İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ȝȩȞȠ ȩĲĮȞ Ȝ = –2. ȉȩĲİ: x O 5 8 x 3 8 x 3 8 x 2

İ) īȚĮ x = 0 ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ȝ=2. ȈĲȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȣĲȒ Ș (1) İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȠĲȚțȒ ȠʌȩĲİ ȑȤİȚ țĮȚ ȐȜȜİȢ ȜȪıİȚȢ.

įȚȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ x1, x2 İȓȞĮȚ ĮȡȞȘĲȚțȠȓ (S <0, P>0). ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/25

ǹʌȩ ĲȠȞ ȈʌȪȡȠ īȚĮȞȞĮțȩʌȠȣȜȠ (īǼȁ īĮıĲȠȪȞȘȢ)-ȆĮȡȐȡĲȘȝĮ ǼȂǼ ǾȜİȓĮȢ ĬȑȝĮ 1 īȚĮ ĲȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ț ȑȤȠȣȝİ: ț 1 t ț 2 3 (1) . ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȚȢ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ $

ț 3 2

ț 2 ț țĮȚ %

$ 2

ǹȞ % 2 2 ĲȩĲİ: i. NĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ x2 Ȝ$x ț 6 2Ȝ 1 (2) ȖȚĮ țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȠȣ O Q ȑȤİȚ ȡȘĲȑȢ ȡȓȗİȢ. ii. ǹȞ Ƞ O İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ ȝİ O z 1 , ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ (2) ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ȁȪıȘ ǲȤȠȣȝİ: ț 1 ț 2 3 d ț 2 3 (3) . ǹʌȩ ĲȚȢ (1),(3) ȑȤȠȣȝİ ț 2 3

ț 2 3

3 ț 2 t 0 ț t 2 . ǲĲıȚ İȓȞĮȚ ț 2 ! 0 ȠʌȩĲİ $ ț 2 ț 2 țĮȚ % 2 2 ț 3 2 2 2 ț 3 2 2 2 2 2 2 2 ț 3 2 4 2 ț 3 4 ț 3 4

Ȓ ț 3 4 ț

7 Ȓț

ǼʌİȚįȒ İȓȞĮȚ ț t 2 Įʌȩ ĲȚȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĲȚȝȑȢ įİțĲȒ İȓȞĮȚ Ș ĲȚȝȒ ț 7 . ǲĲıȚ Ș (2) ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘ ȝȠȡĳȒ x 2 2Ȝx 2Ȝ 1 0 (5).ȉĮ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ ȖȚĮ ĲȘȞ (5) țĮȜȪʌĲȠȣȞ ĲȘȞ (2). Ǿ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ĲȘȢ (5) İȓȞĮȚ ' ȕ 2 4ĮȖ 4Ȝ2 4 2Ȝ 1

4 Ȝ2 2Ȝ 1 4 Ȝ 1 . 2

ǱȡĮ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ Q Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȡȘĲȑȢ ȡȓȗİȢ. ii. ǹȞ O = ȝİ O z 1 Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ĲȘȢ (5) İȓȞĮȚ ' ! 0 ,ȠʌȩĲİ Ș (5), ȐȡĮ țĮȚ Ș (2) ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ E ' 2O 2 O 1

2O 1 2D 2 2O 2 O 1

1 ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ʌȡȠ2

ȐȞȚıİȢ ĲȚȢ x1 țĮȚ x 2

ĳĮȞȫȢ ʌİȡȚĲĲȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ĬȑȝĮ 2 Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 ȕx Ȗ 0 ȝİ Į, ȕ, Ȗ R* ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ

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ȩʌȠȣ P1 , P2 șİĲȚțȠȓ

ĮȡȚșȝȠȓ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ Įĳ 2 x2 ȕĳ 1 x Ȗĳ 0 0 (1) ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ. ȁȪıȘ ǼʌİȚįȒ Ș İȟȓıȦıȘ Įx 2 ȕx Ȗ 0 ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ, ȖȚĮ ĲȘ įȚĮțȡȓȞȠȣıȐ ĲȘȢ ȑȤȠȣȝİ: ' ȕ 2 4ĮȖ ! 0 ǼȟȐȜȜȠȣ: ĳ 0 P1.P2 , ĳ 1 P1 1 P2 1 țĮȚ ĳ 2

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2 2 ȕ 2 P1 1 P2 1 4ĮȖ P1 2 P2 2 P1 P2 ȕ 2 P12 2P1 1 P22 2P2 1

4ĮȖ P12 2P1 P22 2P2 t ȕ2 P12 2P1 P22 2P2 4ĮȖ P12 2P1 P22 2P2

P 2P P 2P ȕ 4ĮȖ

2 1

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P 2P P 2P ' 2 1

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ȆȡȠĳĮȞȫȢ ', 51 , 5 2 ! 0 ' ' ! 0 ĬȑȝĮ 3 Ǿ İȟȓıȦıȘ Įx2 2ȕx Ȗ 0 (1),Į,ȕ, Ȗ R ȝİ Į z 0 ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ȐȞȚıİȢ ĲȚȢ ȡ1 , ȡ 2 . ǲıĲȦ ȩĲȚ ȠȚ ȡ1 ț , ȡ 2 ț ȝİ ț R İȓȞĮȚ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ $x2 2Bx * 0 (2), $, %, * R ȝİ $ z0. ǹȞ į, ' İȓȞĮȚ ȠȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıİȢ ĲȦȞ (1),(2) ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ, ȞĮ įİȓȟĲİ ȩĲȚ: į $ 2 ' Į 2 . ȁȪıȘ ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ: ȡ1 ȡ 2

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/26

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ii. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ĮțȠȜȠȣșȓĮ ȕ Ȟ

ǹȞ S Ȟ İȓȞĮȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ Ȟ ĮȡȤȚțȫȞ ȩȡȦȞ ĲȘȢ ĮțȠȜȠȣșȓĮȢ

SȞ ĬȑȝĮ 4 īȚĮ ĲȚȢ įȚȐĳȠȡİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ʌĮȡĮȝȑĲȡȠȣ Ȝ R ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ Ȝ2 3Ȝ x Ȝ 1 2x (1) . ȁȪıȘ ǲȤȠȣȝİ: (1) Ȝ2 3Ȝ 2 x Ȝ 1 (2). īȚĮ ĲȠ ʌȡȩıȘȝȠ ĲȠȣ ĲȡȚȦȞȪȝȠȣ Ȝ 3Ȝ 2 ǼȪțȠȜĮ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ 1 țĮȚ ĲȠ 2 İȓȞĮȚ ȡȓȗİȢ ĲȠȣ țĮȚ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ĲȠȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȓȞĮțĮ ʌȡȠıȒȝȦȞ ĲȠȣ 2

Ȝ Ȝ2 3Ȝ 2

1 0

2 0

ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: 1Ș. ǹȞ Ȝ2 3Ȝ 2 ! 0, įȘȜĮįȒ

Ȝ f,1 2, f . ȉȩĲİ: (2) x x

Ȝ 1 Ȝ 1 x Ȝ 3Ȝ 2 Ȝ 1 Ȝ 2

1 . Ȝ 2

2Ș. ǹȞ Ȝ2 3Ȝ 2 0 , įȘȜĮįȒ Ȝ 1, 2 , ĲȩĲİ: (2) x ! x!

Ȝ 1 Ȝ 1 x! Ȝ 3Ȝ 2 Ȝ 1 Ȝ 2

ȕȞ

ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ

Ȟ.Į Ȟ 1 .

ȁȪıȘ i. ǲȤȠȣȝİ Į1 ț 2 țĮȚ Į 3 Ȝ2 ȝİ ț, Ȝ Z . ȅʌȩĲİ: Į1 2Ȧ Į3 ț 2 2Ȧ Ȝ2 2Ȧ Ȝ2 ț 2 2Ȧ Ȝ ț Ȝ ț Ȝ ț Ȝ ț

ȐȡĲȚȠȢ (1) z ǹȞ ȠȚ Ȝ ț, Ȝ ț ȒĲĮȞ ʌİȡȚĲĲȠȓ, ĲȩĲİ șĮ İȓȤĮȝİ Ȝ ț 2ȡ1 1,Ȝ ț 2ȡ2 1 ȝİ ȡ1 ,ȡ2 ĮțİȡĮȓȠȣȢ. ȅʌȩĲİ: Ȝ ț Ȝ ț 2ȡ1 1 2ȡ2 1 ... 2 2ȡ1ȡ2 ȡ1 ȡ2 1 .

ǻȘȜĮįȒ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ

Ȝ ț Ȝ ț

șĮ ȒĲĮȞ

ʌİȡȚĲĲȩȢ. ǱĲȩʌȠ, ȜȩȖȦ ĲȘȢ (1) . z ǹȞ Ƞ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ Ȝ ț, Ȝ ț İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ țĮȚ Ƞ ȐȜȜȠȢ ʌİȡȚĲĲȩȢ ʌ.Ȥ. Ȝ ț 2ȝ1 țĮȚ Ȝ ț 2ȝ 2 1 ȝİ ȝ1 ,ȝ 2 = ,ĲȩĲİ ȝİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȑȤȠȣȝİ 2Ȝ 2 ȝ1 ȝ 2 1 , įȘȜĮįȒ ȑȞĮȢ ȐȡĲȚȠȢ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ȑȞĮȞ ʌİȡȚĲĲȩ. ǱĲȠʌȠ. ǱȡĮ ĮȞĮȖțĮıĲȚțȐ ȠȚ Ȝ ț, Ȝ ț İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ȐȡĲȚȠȚ, ȠʌȩĲİ Ȝ ț 2Ĳ1 țĮȚ Ȝ ț 2Ĳ 2 ȝİ Ĳ1 , Ĳ 2 = . ǹʌȩ ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ 2Ȧ 4Ĳ1Ĳ2 Ȧ 2 Ĳ1Ĳ 2

įȘȜĮįȒ Ƞ Ȧ İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ. ii. ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ ȕ Ȟ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌȡȩȠįȠȢ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ:

1 . Ȝ 2

ȕ Ȟ 1 ȕ Ȟ

Į 2( Ȟ 1) Į 2 Ȟ

Į1 ¬ª 2 Ȟ 1 1¼º Ȧ ¬ª Į1 2Ȟ 1 Ȧ ¼º

3 . ǹȞ Ȝ 3Ȝ 2 0, įȘȜĮįȒ Ȝ ^1, 2` , ĲȩĲİ: Ș

Į 2Ȟ .

2Ȧ .

i) īȚĮ Ȝ 1 ȑȤȠȣȝİ:

2 0x 0 ,

İȓȞĮȚ įȘ-

ȜĮįȒ ĮįȪȞĮĲȘ. ii) īȚĮ Ȝ 2 ȑȤȠȣȝİ: 2 0x 1 , ȚıȤȪİȚ įȘȜĮįȒ ȖȚĮ țȐșİ x R

ĬȑȝĮ 5 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌȡȩȠįȠ Į Ȟ ȝİ įȚĮĳȠȡȐ ĲȠȞ ĮțȑȡĮȚȠ ĮȡȚșȝȩ Ȧ . i. ǹȞ ȠȚ Į1 , Į 3 İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĮțİȡĮȓȦȞ ĲȩĲİ ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ƞ Ȧ İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ.

ǱȡĮ Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ ȕ Ȟ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ʌȡȩȠįȠȢ ȝİ ʌȡȫĲȠ ȩȡȠ ȕ1 Į 2 Į1 Ȧ țĮȚ įȚĮĳȠȡȐ Ȧc 2Ȧ . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ SȞ

Ȟ ª2ȕ1 Ȟ 1 Ȧc¼º 2¬ Ȟ 2Į1 2ȞȦ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/27

Ȟ ª 2Į1 2Ȧ Ȟ 1 2Ȧ¼º 2¬

Ȟ Į1 ȞȦ

ȞĮ Ȟ 1

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ

ƳĴǋƼǇǇǃǇĶǌ ĶǍǄĶȽĶǌ – ƳĴǋĴǇǇǃǇǓǁǋĴĂĂĴ - ƶǋĴ ƽǂǅĴ

īȚȫȡȖȠȢ ǹ. ȀȠȣıȚȞȚȫȡȘȢ, ǻȚİȣșȣȞĲȒȢ ĲȠȣ īȣȝȞĮıȓȠȣ īĮıĲȠȪȞȘȢ - ȆĮȡȐȡĲȘȝĮ ǼȂǼ ȃ. ǾȜİȓĮȢ 1. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȓıİȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣȢ İȓȞĮȚ țȠȡȣĳȑȢ ȡȩȝȕȠȣ. ȊʌȐȡȤİȚ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȣĲȩ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ; ȁȪıȘ ǲıĲȦ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ țĮȚ ĲĮ ȝȑıĮ Ǽ, ǽ, Ǿ țĮȚ Ĭ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ǹǺ, Ǻī, īǻ țĮȚ ǹǻ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. Ǿ Ǽǽ İȞȫȞİȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ Ǻī ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī İʌȠȝȑȞȦȢ 1 İȓȞĮȚ Ǽǽ ǹī (1) țĮȚ Ǽǽ//ǹī. 2 1 ȅȝȠȓȦȢ İȓȞĮȚ ǾĬ ǹī țĮȚ ǾĬ//ǹī ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ 2 Ǽǽ//=ǾĬ. ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ țȣȡĲȩ (ȖȚĮĲȓ;), șĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. (ȀĮȜȪĲİȡĮ Ǽǽ//ǹī//ǾĬ țĮȚ ǽǾ//Ǻǻ//ǼĬ). ǼȓȞĮȚ ĮțȩȝĮ 1 =+ %' (2) ĮĳȠȪ İȞȫȞİȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ 2 Ǻī țĮȚ īǻ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ Ǻīǻ. ǼʌİȚįȒ ǹī = Ǻǻ Įʌȩ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ǽǽ=ǽǾ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ ĮĳȠȪ ȑȤİȚ įȪȠ įȚĮįȠȤȚțȑȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ. x īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȣĲȩ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ İʌȚʌȜȑȠȞ ȞĮ ȚıȤȪİȚ țĮȚ Ș ıȤȑıȘ A* A %' . 2. Ȉİ țȐșİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ: D ˆ 90R i) P D ! $ 2 D ˆ ! 90R ii) P D $ 2 D ˆ 90R $ iii) P D 2 ȁȪıȘ ǲıĲȦ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ Ș įȚȐȝİıȩȢ ĲȠȣ ǹǻ. D i) PD ! 2 ǹǻ ! Ǻǻ , l !ǹ l1, l2 ǹǻ ! īǻ Ǻ ī!ǹ

l l1 ǹ l2 Ǻ l l Ǻ ī!ǹ ī!ǹ l !ǹ l 2ǹ l 180q ǹ l 90q . 180q ǹ D ǹǻ Ǻǻ , 2 l ǹ l1, l2 ǹǻ īǻ Ǻ ī ǹ l l1 ǹ l2 Ǻ ī ǹ

ii) P D

l l 180q ǹ l ǹ l 2ǹ l ! 80q Ǻ ī ǹ l ! 90q . ǹ D ǹǻ Ǻǻ , 2 l ǹ l1, l2 ǹǻ īǻ Ǻ ī ǹ l l1 ǹ l2 Ǻ l l Ǻ ī ǹ ī ǹ l ǹ l 2ǹ l 180q ǹ l 90q . 180q ǹ

iii) P D

ǹȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ l 90q ȝ ! Į įȚȩĲȚ ĮȞ ȒĲĮȞ ȝ d Į ĲȩĲİ, ȕȐǹ Į Į 2 2 l ıİȚ ĲȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, șĮ ȒĲĮȞ ǹ t 90q ǱĲȠʌȠ. l ! 90q ȝ Į țĮȚ ǹ l 90q ȝ Į . ȅȝȠȓȦȢ: ǹ Į Į 2 2 3. ǹȞ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ ȑȤȠȣȞ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ĲȩĲİ ȠȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ Ȓ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ Ȓ țȐșİĲİȢ. ȁȪıȘ l țĮȚ Ȥ 'ǹ l 'ȥ ' ȝİ ǹȤ//ǹǯȤǯ ǲıĲȦ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ Ȥǹȥ

țĮȚ ǹȥ//ǹǯȥǯ țĮȚ ȠȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ ĲȠȣȢ ǹį țĮȚ ǹǯįǯ. ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ țĮĲ’ ĮȡȤȒȞ ȩĲȚ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ȠȟİȓİȢ Ȓ ȠȡșȑȢ. ǼʌİȚįȒ ǹȤ//ǹǯȤǯ țĮȚ Ș ǹį ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹȤ șĮ ĲȑȝȞİȚ țĮȚ ĲȘȞ ǹǯȤǯ ıİ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ǼȓȞĮȚ Į̂ ȕˆ (1) ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹȤ țĮȚ ǹǯȤǯ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ǹį. ǼȓȞĮȚ Įˆ Ȗˆ (2) ȦȢ ȝȚıȐ ȓıȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ĮĳȠȪ įȪȠ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ ȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/28

ǹʌȩ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ȕˆ Ȗˆ ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ǹį//ǹǯįǯ ĮĳȠȪ ĲİȝȞȩȝİȞİȢ Įʌȩ ĲȘȞ ǹǯȤǯ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ĲȚȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ. l l İȓȞĮȚ ȠȟİȓĮ țĮȚ Ș Ȥ 'ǹ'ȥ' ǹȞ Ș Ȥǹȥ ĮȝȕȜİȓĮ ĲȩĲİ

l l 'ȥ ' İȓȞĮȚ ȠȘ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȒ Ȥ''ǹ'ȥ' ĲȘȢ Ȥ 'ǹ ȟİȓĮ ȠʌȩĲİ ȜȩȖȦ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȣȝȑȞȠȣ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ǹǯįǯǯ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ ǹį. ǼʌİȚįȒ ǹǯį ' A ǹ 'į '' ȦȢ įȚȤȠĲȩȝȠȚ İĳİȟȒȢ țĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȫȞ ȖȦȞȚȫȞ șĮ İȓȞĮȚ ǹǯį ' A ǹį . ȅȝȠȓȦȢ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ țĮȚ Ș ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜİȓİȢ. 4. ǻȓȞİĲĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǹǺ, įȪȠ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȘȝȚİȣșİȓİȢ ǹȤ țĮȚ Ǻȥ ʌȡȠȢ ĲȠ ȓįȚȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ țĮȚ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ī ĲȠȣ ǹǺ. ȆȐȞȦ ıĲȚȢ ǹȤ țĮȚ Ǻȥ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓĮ ǻ țĮȚ Ǽ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ĲȑĲȠȚĮ, ȫıĲİ ǹǻ=ǹī țĮȚ ǺǼ=Ǻī. ǹȞ ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȠȣ ǻǼ ȞĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ǻǼ=2īǽ. ȁȪıȘ ǼʌİȚįȒ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ǻǼ=2īǽ, įȘȜĮįȒ Ș įȚȐȝİıȠȢ ȞĮ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ, ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ īǻǼ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ıĲȠ ī. ǹȡțİȓ ıȣȞİʌȫȢ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ǻīǼ 90q . ǼʌİȚįȒ ǹǻ=ǹī ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹīǻ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȠʌȩĲİ Įˆ Ȗˆ . ȅȝȠȓȦȢ țĮȚ ĲȠ ǺīǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȕˆ įˆ . l Įˆ Ȗˆ Ǻ l ȕˆ įˆ 180q ȠʌȩĲİ ǼȓȞĮȚ ǹ l l 2Įˆ 180q țĮȚ Ǻ l 2ȕˆ 180q Ȓ Dˆ 90q $ ǹ 2 l l l Ǻ ǹ Ǻ țĮȚ ȕ̂ 90q . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Į̂ ȕˆ 180q = 2 2 180q l Ǻ l İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘ180q 90q , ĮĳȠȪ ȠȚ ǹ, 2 ȡȦȝĮĲȚțȑȢ ȦȢ İȞĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ȝȑȡȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹȤ țĮȚ Ǻȥ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ǹǺ.

ȈȣȞİʌȫȢ

İȓȞĮȚ

180q Įˆ ȕˆ ǻīǼ

180q 90q = 90q . ǻīǼ 5. ȆĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ ʌȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ǹǺ, Ǻī, īǻ, ǻǹ ʌȡȠȢ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ Ǻ, ī, ǻ, ǹ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ țĮȚ ıĲȚȢ ʌȡȠİțĲȐıİȚȢ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ Ǻǹǯ= Ǻǹ, īǺǯ=īǺ, ǻīǯ=ǻī țĮȚ ǹǻ' ǹǻ . ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ĲȠ ǹǯǺǯīǯǻǯ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ țĮȚ ȑȤİȚ țȠȚȞȩ țȑȞĲȡȠ ȝİ ĲȠ ǹǺīǻ. ȁȪıȘ ǼȓȞĮȚ ǹǺ//=īǻ ȦȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ. ǹʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ ȑȤȠȣȝİ Ǻǹǯ=Ǻǹ țĮȚ ǻīǯ=ǻī ȠʌȩĲİ ǹǹǯ=2ǹǺ țĮȚ īīǯ=2īǻ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ İȓȞĮȚ ǹǹǯ=īīǯ. ǼȓȞĮȚ ĮțȩȝĮ ǹǻǯ=ǹǻ=Ǻī=īǺǯ țĮȚ l ǹ 'ǹǻ ' ī 'īǺ' ȦȢ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ ĲȦȞ ĮʌȑȞĮl țĮȚ ȞĲȚ ȖȦȞȚȫȞ ǹ ī ĲȠȣ ǹǺīǻ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǱǻǯ țĮȚ Ǻǯīīǯ İȓȞĮȚ ȓıĮ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ İȓȞĮȚ ǹǯǻǯ=Ǻǯīǯ. ȅȝȠȓȦȢ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ țĮȚ ǹǯǺǯ=īǯǻǯ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ǹǯǺǯīǯǻǯ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǼȓȞĮȚ ǹǹǯ//=īīǯ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǹǯīīǯ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ĮĳȠȪ ȑȤİȚ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ țĮȚ ȓıİȢ. ȉĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹī țĮȚ ǹǯīǯ ȦȢ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǹǯīīǯ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ Ȁ. ȉȠ Ȁ İȓȞĮȚ ĲȠ țȠȚȞȩ țȑȞĲȡȠ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ ǹǺīǻ țĮȚ ǹǯǺǯīǯǻǯ ĮĳȠȪ Ș ǹī İȓȞĮȚ įȚĮȖȫȞȚȠȢ ĲȠȣ ǹǺīǻ țĮȚ Ș ǹǯīǯ ĲȠȣ ǹǯǺǯīǯǻǯ. 6. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ĲĮ ȝȑıĮ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȫȞ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ țĮȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ȆȩĲİ ĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ; ȁȪıȘ ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș ǼǾ İȞȫȞİȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ ǹī İʌȠȝȑȞȦȢ İȓȞĮȚ ǼǾ//Ǻī. ȅȝȠȓȦȢ İȓȞĮȚ ǽĬ//Ǻī, Ǿǽ//ǹǻ țĮȚ ǼĬ//ǹǻ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ (ȖȚĮĲȓ;). ȉȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/29

ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ İĳȩıȠȞ ȑȤİȚ ȝȓĮ ȠȡșȒ ȖȦl șĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȒ ȞȓĮ. Ǿ Ǽ İĳȩıȠȞ ȠȚ ǹǻ țĮȚ Ǻī ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȝİ ĲȚȢ ǼĬ țĮȚ ǼǾ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ʌȡȠİțĲİȚȞȩȝİȞİȢ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țȐșİĲĮ. l 1ȷ ) ĳȑȡ7. Ȉİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ( ǹ ȞȠȣȝİ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ǹǻ. ǹʌȩ ĲȠ ǻ ĳȑȡȞȠȣȝİ ǻǼ A ǹǺ țĮȚ ǻǽ A ǹī țĮșȫȢ țĮȚ ĲȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ: Į) Ǽǽ = ǹǻ l l ȕ) Ȃǹī Ȃīǹ Ȗ) Ǽǽ A ǹȂ

ȁȪıȘ Į) ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼǻǽ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȖȚĮĲȓ ȑȤİȚ ĲȡİȚȢ ȠȡșȑȢ ȖȦȞȓİȢ (ʌȠȚȑȢ;), İʌȠȝȑȞȦȢ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȠʌȩĲİ Ǽǽ=ǹǻ. ȕ) Ǿ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮȢ ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ ǹȂ=Ȃī țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ıĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ Ȃǹī İȓl l1 Ȓ ǹ ī. ȞĮȚ Ȃǹī Ȃīǹ Ȗ) īȚĮ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ǽǽ A ǹȂ Įȡțİȓ ȞĮ įİȓl1 ǽ l 1 90q , ȑĲıȚ İȟĮıĳĮȜȓȗȠȣȝİ ȟȠȣȝİ ȩĲȚ ǹ ȩĲȚ ȠȚ ǹȂ țĮȚ Ǽǽ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țĮȚ ȩĲȚ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹĬǽ Ș ȖȦȞȓĮ Ĭ İȓȞĮȚ ȠȡșȒ. ȉĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǼǻ țĮȚ ǹǼǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȖȚĮĲȓ ȑȤȠȣȞ ǻǼ=ǹǽ țĮȚ ǹǼ țȠȚȞȒ ȠʌȩĲİ l1 ǻ l 1 . ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ ǻ l1 Ǻ l ȦȢ ȠȟİȓİȢ ȝİ ĲȚȢ ǽ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣȢ țȐșİĲİȢ (ʌȠȚİȢ;) İʌȠȝȑȞȦȢ l1 Ǻ l. ǽ l1 ǽ l1 = l 90q . ī Ǻ ȈȣȞİʌȫȢ ȑȤȠȣȝİ ǹ

8. Ȉİ ȑȞĮ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǺ//īǻ İȓȞĮȚ ǹǻ=ǹǺ+īǻ. ǹȞ Ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ Ǻī, ȞĮ m 1ȷ .. įİȚȤșİȓ ȩĲȚ . ǹȂǻ ȁȪıȘ ǹȞ ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ǹǻ ĲȩĲİ Ș Ȃȃ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ, ȠʌȩĲİ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȘȝȚȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȕȐıİȫȞ ĲȠȣ ȑĲıȚ ȑȤȠȣȝİ:

ǹǺ īǻ țĮȚ İʌİȚįȒ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ İȓȞĮȚ 2 ǹǻ . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ǹǻ=ǹǺ+īǻ șĮ ȑȤȠȣȝİ Ȃȃ 2 l 1ȷ ĮĲȡȓȖȦȞȠ ǹȂǻ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ ǹȂǻ Ȃȃ

ĳȠȪ Ș įȚȐȝİıȠȢ Įʌȩ ĲȠ Ȃ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ.

Ǻǯ ȉȡȩʌȠȢ ǹĳȠȪ Ș ǹȂ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹǺ șĮ ĲȑȝȞİȚ țĮȚ ĲȘȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ĲȘȢ ǻī ıĲȠ Ǽ . ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȂǹǺ, ȂīǼ (ȂǺ=Ȃī, ˆ ˆ , $%0 ˆ ˆ ) ȑȤȠȣȝİ: Ȃǹ=ȂǼ $0% *0( 0*( țĮȚ ǹǺ=īǼ, ȠʌȩĲİ ǻǼ=ǻī+īǼ=ǻī+ǹǺ=ǻǹ. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȜȠȚʌȩȞ ǻǹǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ Ș ǻȂ įȚȐȝİıȠȢ ĮȣĲȠȪ. ǱȡĮ '0 A $( , įȘȜĮįȒ l $0' 1ȷ .

9. Ȉİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ĳȑȡȞȠȣȝİ ĲȚȢ ȝİıȠțĮșȑĲȠȣȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ Ǻī ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ȅ țĮȚ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī țĮȚ ǹǺ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ țĮȚ Ǽ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȈȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǻǺǼǽ. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ș ȅǽ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ ǹī. ȁȪıȘ ǼʌİȚįȒ ȠȚ ȝİıȠțȐșİĲȠȚ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ, ıĲȠ ıȤȒȝĮ ĲȠ ȅ, ĲȠ ȅ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ȝİıȠțĮșȑĲȠȣ ĲȠȣ ǹī, ȠʌȩĲİ Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ țĮȚ ĲȠ ǽ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲĮ ǹ țĮȚ ī. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǽǻǼ İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ĮĳȠȪ ǻǽ//ǹǺ. ǼʌİȚįȒ ĲȠ ǻ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ȝİıȠțĮșȑĲȠȣ ĲȠȣ ǹǺ İȓȞĮȚ ǹǻ=Ǻǻ (1). ȈĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǺǻǽǼ İȓȞĮȚ Ǽǽ=Ǻǻ (2). ǹʌȩ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ǹǻ=Ǽǽ ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǽǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĮĳȠȪ ȑȤİȚ ȓıİȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣȢ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ǽǹ=ǻǼ (3). ȉȠ īǻǼǽ İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ĮĳȠȪ Ǽǽ//Ǻī. ǼʌİȚįȒ ĲȠ Ǽ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ȝİıȠțĮșȑĲȠȣ ĲȠȣ Ǻī İȓȞĮȚ ǼǺ=Ǽī (4). ȈĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǺǻǽǼ İȓȞĮȚ ǻǽ=ǺǼ (5). ǹʌȩ ĲȚȢ (4) țĮȚ (5) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ǻǽ=Ǽī ʌȠȣ țĮȚ ʌȐȜȚ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ īǻǼǽ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ǽī=ǻǼ (6). ǹʌȩ ĲȚȢ (3) țĮȚ (6) ȑȤȠȣȝİ ǽǹ=ǽī. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȅǽ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİ-

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/30

ĲȠȢ ĲȠȣ ǹī ĮĳȠȪ įȪȠ ıȘȝİȓĮ ĲȘȢ, ĲĮ ȅ țĮȚ ǽ ȚıĮʌȑȤȠȣȞ Įʌȩ ĲĮ ǹ țĮȚ ī. l ǻ 1ȷ (įȚ10. ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹ ıȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ), ǹǺ//īǻ, īǻ=2ǹǺ țĮȚ

l Ǻ

Į)

ȕ)

Ȗ)

ȤȠȣȞ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ĮʌȑȞĮȞĲȚ Įʌȩ ĲȠ ȐȜȜȠ ȗİȣȖȐȡȚ ȓıȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ȓıİȢ Ȓ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ.

l. 3ī

l țĮȚ ī l. Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȠȪȞ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ Ǻ ȕ) ĭȑȡȞȠȣȝİ ĲȘ ǺǼ A īǻ . ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ș įȚĮȖȫȞȚȠȢ ǹī įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ Ȃ ĲȘȢ ǺǼ. Ȗ) ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ǹǼ A Ǻǻ țĮȚ ǹǼ=Ǻǻ. 1 į) ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ Ȃȃ ǹǺ , ȩʌȠȣ ȃ İȓ2 ȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ǹǼ țĮȚ Ǻǻ. ȁȪıȘ l ǼȓȞĮȚ Ǻ ī 180q ȦȢ İȞĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ȝȑȡȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹǺ țĮȚ īǻ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ Ǻī țĮȚ İʌİȚįȒ Įʌȩ ȑȤȠȣȝİ l 3ī ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ İȓȞĮȚ Ǻ 180q 3ī ī 180q 4ī ī 45q Ƞʌȩl 3 45q =135q . Ĳİ țĮȚ Ǻ ȉȠ ǹǺǼǻ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȖȚĮĲȓ ȑȤİȚ ĲȡİȚȢ l 1ȷ ȠȡșȑȢ ȖȦȞȓİȢ (Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ țĮȚ Ǽ ĮĳȠȪ ǺǼ A īǻ ), İʌȠȝȑȞȦȢ ǻǼ=ǹǺ țĮȚ İʌİȚįȒ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ İȓȞĮȚ īǻ=2ǹǺ Ȓ īǻ īǻ ǹǺ ȑȤȠȣȝİ ǻǼ ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ țĮȚ 2 2 īǻ īǼ ǹǺ . 2 ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ǹǺīǼ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ĮĳȠȪ ȑȤİȚ ǹǺ//=īǼ, ȠʌȩĲİ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ ǹī țĮȚ ǺǼ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ Ȃ. ȉȠ ǹǺīǼ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ İʌȠȝȑȞȦȢ l 1 45q ȦȢ ǹǼ//Ǻī țĮȚ İʌİȚįȒ ī 45q İȓȞĮȚ Ǽ

İȞĲȩȢ İțĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ȝȑȡȘ ȝİ ĲȘ ī ıĲȚȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ǹǼ țĮȚ Ǻī ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ l īǻ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ǹǼ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ Ǽ ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺǼǻ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ȈȣȞİʌȫȢ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ İȓȞĮȚ țȐșİĲİȢ țĮȚ ȓıİȢ, ȠʌȩĲİ ǹǼ A Ǻǻ țĮȚ ǹǼ=Ǻǻ.

11. Į) ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĮȞ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ȑȤȠȣȞ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ȝȓĮ ʌȡȠȢ ȝȓĮ ȓıİȢ țĮȚ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ʌȠȣ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ĮʌȑȞĮȞĲȚ Įʌȩ ĲȠ ȑȞĮ ȗİȣȖȐȡȚ ȓıȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ȓıİȢ ĲȩĲİ șĮ ȑ-

Į)

ȕ)

ȕ) ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĮȞ ȑȞĮ țȣȡĲȩ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȑȤİȚ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ țĮȚ įȪȠ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ĮȝȕȜİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ ȓıİȢ ĲȩĲİ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ȁȪıȘ ǲıĲȦ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǹǯǺǯīǯ ȝİ ǹǺ=ǹǯǺǯ, ǹī=ǹǯīǯ țĮȚ ī ī ' . ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ l l l l ȩĲȚ Ǻ Ǻ' Ȓ Ǻ Ǻ' 180q . ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: ǹȞ Ǻī=Ǻǯīǯ ĲȩĲİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ĮĳȠȪ ȑȤȠȣȞ ȓıİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȠʌȩĲİ l Ǻ' l . Ǻ ǹȞ Ǻī Ǻǯīǯ ĲȩĲİ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ʌİȡȚȠȡȓȗȠȣȝİ ĲȘ ȖİȞȚțȩĲȘĲĮ ȣʌȠșȑĲȠȣȝİ ʌȦȢ Ǻī>Ǻǯīǯ. ȈĲȘ Ǻī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ ȑĲıȚ, ȫıĲİ īǻ=Ǻǯīǯ. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻī țĮȚ ǹǯǺǯīǯ ȑȤȠȣȞ ǹī=ǹǯīǯ, īǻ=Ǻǯīǯ țĮȚ ī ī ' İʌȠȝȑȞȦȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ ǹǻ=ǹǯǺǯ țĮȚ l l . ǹǻī Ǻ' ǼʌİȚįȒ ǹǺ=ǹǯǺǯ İȓȞĮȚ ǹǺ=ǹǻ, ȠʌȩĲİ ıĲȠ l l. ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺǻ İȓȞĮȚ ǹǻǺ Ǻ ȈȣȞİʌȫȢ ȑȤȠȣȝİ: l Ǻ' l ǹǻǺ l ǹǻī l = 180q . Ǻ ǲıĲȦ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǺ=īǻ țĮȚ l ǹ ī ! 90q . ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ țĮȚ Ǻīǻ ȑȤȠȣȞ ǹǺ īǻ , Ǻǻ țȠȚȞȒ țĮȚ l ǹ ī ! 90q . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȜȩȖȦ ĲȠȣ (Į) İȡȦĲȒl1 Ǻ l 1 , ĮĳȠȪ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ĮȣĲȑȢ ȝĮĲȠȢ șĮ ȑȤȠȣȞ ǻ įİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ (ȖȚĮĲȓ;). ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ țĮȚ Ǻīǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȠʌȩĲİ ǹǻ=Ǻī. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ĮĳȠȪ ȑȤİȚ ĲȚȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȓıİȢ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/31

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ Ǻǯ ȁȣțİȓȠȣ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ƨŅ ƮƷƭƩƬƲƷ ɉʋɸʑɽʐʆʉɿ ʏɳʇɻʎ: Ȳ. Ⱦɲʌʃɳʆɻʎ, ɇ. ȿʉʐʌʀɷɲʎ, ɍʌ. Ɉʍɿʔɳʃɻʎ

ƨŅƮƷƭƩƬƲƷ

ıĶǈǅǆƼ ĲƽĂĴĸĴ ƟǇǁĶǀǋĴǌ

ǹʌȩ ĲȠȞ ȉȚȝȩșİȠ ȀȩȡįĮ –ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ıĲȠ 2Ƞ īǼȁ ȆȪȡȖȠȣ – ȉĮȝȓĮ ĲȠȣ ȆĮȡĮȡĲȒȝĮĲȠȢ ĲȘȢ ǼȂǼ 1. ǲıĲȦ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 5(x)

O2 O x O

ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȝ ȖȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ȇ(x). i. 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ii. ȂȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ iii. ȂȘįİȞȚțȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ iv. ȈĲĮșİȡȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȁȪıȘ i. ȉȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ O 2 O z 0 O O 1 z 0 O ^0,1` ii. ȉȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ ȝȘįİȞȚțȠȪ ȕĮșȝȠȪ 2 °O O 0 °O ^0,1` O 0 ® ® 3 ¯°O z 1 ¯° O 1 z 0 iii. ȉȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ ȝȘįİȞȚțȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ °O 2 O 0 O 1 ® 3 °̄ O 1 0 iv. ȉȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȩ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ O 2 O 0 O ^0,1` 2. ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 5(x) O2 O x4 O 1 x3 3x2 P 1 ĲȠ ȠʌȠȓȠȣ İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ ȑȤİȚ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮ ĲȠ x+1. i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Ȝ țĮȚ ȝ ii. ȃĮ ȖȡȐȥİĲİ ĲȘȞ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮ ĲȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ 5 (x) : x2 3

iii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌȘȜȓțȠ țĮȚ ĲȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ ĲȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ ĲȠȣ P(x) ȝİ ĲȠ x-1 iv. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ țĮȚ ĲȠ ıĲĮșİȡȩ ȩȡȠ ĲȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ 2 Q(x) P(x) x 2

ȁȪıȘ i. To P(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ O 2 O 0 °O ^0, 1` ® O 0 ® ¯O 1 z 0 ¯°O z 1 ǱȡĮ 5(x) x 3 3x 2 P 1 To P(x) ȑȤİȚ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮ ĲȠ x+1 P 1 0 1 3 P 1 0 P 1 ǱȡĮ 5 (x)

x 3 3x 2 2

ii. Ǿ įȚĮȓȡİıȘ P x : x 2 3 ȝĮȢ įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮ P x

3 x 3 3x 11

iii. Ǿ įȚĮȓȡİıȘ P x : x 1 ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ țĮȚ ȝİ ĲȠ ıȤȒȝĮ Horner.

ȉȠ ʌȘȜȓțȠ ĲȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ İȓȞĮȚ S(x) x 2 4x 4 țĮȚ ĲȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ X 2 iv. ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ ĲȠȣ Q(x) İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ Q(1) P(1) 1 2 2 1 3 țĮȚ Ƞ ıĲĮșİȡȩȢ ĲȠȣ ȩȡȠȢ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ 2

Q(0) P(0) 0 2 2 4 2 3. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ǹ,Ǻ ȫıĲİ ȞĮ İȓȞĮȚ 5x 3 A B 1

2 x 2x 3 x 1 x 3 ȖȚĮ țȐșİ 2

4. x D R ^ 1, 3` ȁȪıȘ ǲȤȠȣȝİ: x 2 2x 3 x 1 x 3 ȠʌȩĲİ

5x 3 x 1 x 3

A B ȖȚĮ țȐșİ x 1 x 3

x D 5x 3 $ x 3 % x 1 ȖȚĮ țȐșİ x D

A B x B 3A ȖȚĮ țȐșİ x D $ % 5 x B 3A 3 ȖȚĮ țȐșİ x D 5x 3

A B 5 A 2, B 3 ® ¯B 3A 3 0 (ǻȚĮĳȠȡİĲȚțȐ Ș (1) șĮ ȒĲĮȞ ĮįȪȞĮĲȘ Ȓ șĮ ȓıȤȣİ ȖȚĮ ȝȚĮ ȝȩȞȠ ĲȚȝȒ ĲȠ x) ȈȤȩȜȚȠ: ȆȡȑʌİȚ ȞĮ ȖȓȞİȚ țĮĲĮȞȠȘĲȩ ȩĲȚ įİȞ ȑȤȠȣȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ȝİ įȪȠ ȓıĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ, ȩʌȦȢ țĮțȫȢ șİȦȡȠȪȞ țȐʌȠȚȠȚ, ĮȜȜȐ ȝİ ȝȓĮ İȟȓıȦıȘ ĮȩȡȚıĲȘ. īİȞȚțȩĲİȡĮ: Ǿ ȦȢ ʌȡȠȢ x İȟȓıȦıȘ Dx E 0 ȑȤİȚ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ Įʌȩ ȝȚĮ ȡȓȗİȢ D E 0 . ȅȝȠȓȦȢ Ș Dx 2 E x J 0 ȑȤİȚ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ Įʌȩ įȣȠ ȡȓȗİȢ D E J 0 ț.Ȝʌ. 4. īȚĮ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ȇ(x) ȚıȤȪȠȣȞ ĲĮ İȟȒȢ: ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ İȓȞĮȚ 0, Ƞ ıĲĮșİȡȩȢ ĲȠȣ ȩȡȠȢ İȓȞĮȚ 2 țĮȚ ĲȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ ĲȘȢ įȚĮȓȡİıȘȢ 5 (x) : x 2 1 İȓȞĮȚ –x+5

i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ P(x) ii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Į țĮȚ ȕ ȫıĲİ ĲȠ 2 x 1 ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ ĲȠȣ ʌȠȜȣȦȞȪȝȠȣ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/32

ȁȪıȘ i. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f (x) ʌȡȑʌİȚ țĮȚ

P(x) 3x 2 Dx E

Q(x)

KPD

iii. ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș ĮȞȓıȦıȘ

KP D 2

! KPD

ȝİ

§ S· ʌĮȡȐȝİĲȡȠ D ¨ 0, ¸ © 2¹ ȁȪıȘ i. ǼʌİȚįȒ ĲȠ ȇ(x) İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ țĮȚ Ƞ įȚĮȚȡȑĲȘȢ x 2 1 İȓȞĮȚ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ, ĲȠ ʌȘȜȓțȠ șĮ İȓȞĮȚ 1Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ, įȘȜĮįȒ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ Dx E ȝİ D z 0 .

ǱȡĮ P(x)

1 Dx E x 5 , ȠʌȩĲİ:

1 x 3 x 5

ii. ǲȤȠȣȝİ: Q(x)

ȕȡȓıțȠȣȝİ: ȖȚĮ țȐșİ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ

x 3 Dx E 2 . ǹʌȩ 2

D 3 0 D 3, E 4 . țȐșİ x R ® ¯E 4 0

x 1 x 2 . 2

§ S· iii. ǼʌİȚįȒ D ¨ 0, ¸ șĮ İȓȞĮȚ: 0 KPD 1 , © 2¹ ȠʌȩĲİ:

KPD

KP D 2

! KPD KPD

x3 2

! KPD 3x

x 2 3x x 3 3x 2 0 Q(x) 0 3

x 1 x 2 0 x z 1 țĮȚ 2

KPD

lnx İȓȞĮȚ

½° e x D ½ ¾ ¾ D 2 8D 12 0 ¿° 2 D 6 ¿

2 ex 6 ln 2 x ln 6 iv. ǲȤȠȣȝİ: 2 lne2 ! ln6 , ȠʌȩĲİ f(2) g(2) ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ iii ĮĳȠȪ: f (x) ! g(x) ln2 x ln6 fn

ǲȟȐȜȜȠȣ: e S f (e) f (S) v. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș (2) ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ x ! 0 ° ®ln x ! ln 2 6

°2ln x ! ln 2 ¯ °x ! 0 °° 2 1 x! ǹȜȜȐ 6 ® x ! 2 2 ° 1 ° °̄ln x ! ln 2 2

d KPD x 1 Ȓ x t 2 x > 2, f ^ 1` 3x

KP D 5. ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f (x) ln 4 ln 2e x 1 țĮȚ g(x) ln e 2x 8

e 2x 8e x 12 0

ln 4 2x 1 ,

ȆĮȡĮĲȘȡȒıĲİ İȟȐȜȜȠȣ ȩĲȚ x3

Df =

ȉȩĲİ: 2 f (2ln x) f (ln x 2 ) ln 4 ln 2eln x 1

x 2 x f, 1 1, 2

ln 4 ln 2e x1 1 ln 4 ln 2e x 2 1 f (x1 ) f (x 2 )

ln 4 2e x 1 ! ln e 2x 8 8e x 4 ! e 2 x 8

x 1 x 2 2x 1 2 Q x x 1 x 2 D 3 x E 4 , 2 x R . ȅʌȩĲİ: ĲȠ x 1 İȓȞĮȚ ĲȠȣ Q x D 3 x E 4 0 , ȖȚĮ

ȉȩĲİ Q x x 3 3x 2

g(x)

ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıİȢ șĮ ȑȤȠȣȝİ: f (x) ! g(x) ln 4 ln 2e x 1 ! ln e 2x 8

x 3 3x 2 2

ĲȘ įȚĮȓȡİıȘ ĲȠȣ Q(x) ȝİ

ǹȜȜȐ:

2e x1 1 2e x 2 1 ln 2e x1 1 ln 2e x 2 1

ln 2, f țĮȚ İʌİȚįȒ, ȠȚ f(x) țĮȚ

P(x) 3x 2 Dx E

x 3 3x 2 3x 2 Dx E 2

ȞĮ

ǱȡĮ Ș f İȓȞĮȚ ĮȪȟȠȣıĮ iii. Ǿ (1) ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ ȠȡȚıȝȠȪ Df Dg

ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ İȓȞĮȚ 0 P(1) 0 2 D E 4 D E 2 ȅ ıĲĮșİȡȩȢ ȩȡȠȢ ĲȠȣ İȓȞĮȚ 2 P(0) 2 E 5 2 E 3 , D 1 . ǱȡĮ: P(x)

2ex 1 ! 0 . ȚıȤȪİȚ 1 2e x 1 ! 0 e x ! x ! ln 2 . Ǿ 2 ʌȡȠĳĮȞȫȢ ȠȡȓȗİĲĮȚ ıİ ȩȜȠ ĲȠ R. ii. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ: ln 2 x1 x 2 e x1 e x 2 2e x1 2e x 2

Įȡțİȓ

i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ʌİįȓĮ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȦȞ f(x) țĮȚ g(x). ii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ ĲȘȢ f iii. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ f(x)>g(x) (1) iv. ȃĮ ıȣȖțȡȓȞİĲİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ f(2) ȝİ ĲȠ g(2), țĮȚ ĲȠ f(e) ȝİ ĲȠ f ( S )

f (ln x) ln 4 ln 2e ln x 1 ln 4 2x 1

țĮȚ ef (2ln x )

ln 4 2x 2 1

8x 2 4 ,

ln 4 2x 1

ef (ln x) e 8x 4 2 ǵʌȠĲİ 2 8x 4 8x 4 16 x 2 x 2 0 x 1 x 2 1 x 2

2 x 2. 2

v. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ ef (2lnx) ef (lnx) 16 (2) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/33

2ln x 1 2ln x 1 i. ȃĮ ȕȡİșİȓ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ Cf ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx. ii. īȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ: 1 §1· f¨ ¸ © x ¹ f x

6. ǲıĲȦ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

§1· iii. ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ f x 2f ¨ ¸ 3 . © x¹ ȁȪıȘ i. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ x ! 0 x !0 x ! 0 ° ° 6 . ǹȜȜȐ 6 ® 1 ® 1 ® ¯2lnx 1z 0 °¯lnx z 2 °¯x z e2 ǱȡĮ: A f

0, e

e, f

y f x ½° ¾, y 0 °¿

f x 0 ½° ¾ ǹȜȜȐ ıĲȠ $f ȑȤȠȣȝİ: y 0 °¿ 2ln x 1 f x 0 0 2ln x 1 0 2ln x 1 1 1 1 ln x x e 2 x . (įİțĲȒ ĲȚȝȒ) 2 e § 1 · ȉȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ıȘȝİȓȠ ȜȠȚʌȩȞ İȓȞĮȚ ĲȠ $ ¨ ,0 ¸ © e ¹ ii. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ ĮȣĲȒ Ș ıȤȑıȘ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ İțĲȩȢ ĲȘȢ x A f ȞĮ ȚıȤȪȠȣȞ țĮȚ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ, 1 1 A f , f x z 0 , įȘȜĮįȒ x z ȉİȜȚțȐ x e įȘȜĮįȒ ĲȠ

§ 1 · § 1 · x ¨ 0, , e ¸ e, f B ¸ ¨ e¹ © e © ¹ ȉȩĲİ ȑȤȠȣȝİ: 1 2ln 1 2ln x 1 2ln x 1 1 1 § · x f¨ ¸ © x ¹ 2ln 1 1 2ln x 1 2ln x 1 f x

x ǱȡĮ Ș ıȤȑıȘ ĮȣĲȒ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ țȐșİ x % țĮȚ ȝȩȞȠ. 1 §1· 3 iii ȈĲȠ Ǻ ȑȤȠȣȝİ: f x 2f ¨ ¸ 3 f x 2 f x

©x¹

f x Z ½ ° ¾. 2 Z 3° Z ¿ ȈĲȠ R* ȑȤȠȣȝİ:

Z 1 ȑȤȠȣȝİ f x

2 ln x 1 1 2 ln x 1

0ln x 2 (DGȪQDWK H[ȓVZVK) īȚĮ Ȧ=2 ȑȤȠȣȝİ f x

2 ln x 1 2 2 ln x 1

ȅȚ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ C f ȝİ

2 3 Z2 3Z 2 0 Z 1 Ȓ Z 2 . īȚĮ Z

2ln x 1 4ln x 2 2ln x 3 3 3 ln x x e 2 x e e , įİțĲȒ ĲȚȝȒ 2 ĮĳȠȪ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ Ǻ. 7. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x ln 9x 3x ex

ĲȠȞ x 'x İʌĮȜȘșİȪȠȣȞ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ

i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f(x). ii. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ f(1) < 0 iii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ ʌȠȣ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ʌȐȞȦ Įʌȩ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ): y=2x+ln2. ȁȪıȘ i. īȚĮ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ 9x 3x ex ! 0 ǹȜȜȐ 9 x 3x e x ! 0 9 x ! 3x e x x

§3· § 3· §3· 3 ! e ¨ ¸ !1 ¨ ¸ ! ¨ ¸ x ! 0 ©e¹ ©e¹ ©e¹ 3 ǼĳȩıȠȞ ! 1 . ǱȡĮ $f 0, f . e ii. ǹȡțİȓ ln 9 3e ln1, Ȓ 9 3e 1, Ȓ 8 3e ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ ĮĳȠȪ 3e ! 3 2,7 8,1 ! 8 iii. H ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ʌȐȞȦ Įʌȩ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) ln 9 x 3 x e x ! 2x ln 2 x

9 x 3x e x 9 x 3x e x ! 2x ! e 2x 2 2 x x x 2x 9 3 e ! 2e (1) ln

9x e 2x §3· §e· 1 ! 2 x x ¨ ¸ 1 ! 2 ¨ ¸ x x 3 e 3 e ©e¹ ©3¹ x ½ §3· ¨ ¸ Z°° ©e¹ ¾ ǹȜȜȐ Ȧ>0 ȠʌȩĲİ 2° Z 1 ! ° Z¿ 2 Z 1 ! Z2 Z 2 ! 0 Z 1 Z 2 ! 0 Z! 2 Z ǱȡĮ

1 §¨

3· § 3· §3· ¸ ! 2 ln ¨ ¸ ! ln 2 x ln ¨ ¸ ! ln 2 ©e¹ ©e¹ ©e¹ ln 2 x ln 3 1 ! ln 2 x ! x0 , ln 3 1 ĮĳȠȪ 3 ! e ln 3 1 ! 0 țĮȚ x 0 A f .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/34

ƨŅƮƷƭƩƬƲƷ

ƧķǆƾķĶǅǌ ƩĂǀĴĵǕǈ

ǹʌȩ ĲȠȞ ǻȚȠȞȪıȘ ĭ. ǹȡȕĮȞȚĲȐțȘ – ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ıĲȠ 1Ƞ īǼȁ ȆȪȡȖȠȣ – ȆĮȡȐȡĲȘȝĮ Ǽ.Ȃ.Ǽ. ǾȜİȓĮȢ 1. ǼȂǺǹǻȅȃ ȉȇǿīȍȃȅȊ ǼĭǹȇȂȅīǾ ȉȊȆȍȃ ǱıțȘıȘ 1: ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ ǹǻ įȚȤȠĲȩȝȠ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Â țĮȚ ĲȘȞ ǹx įȚȤȠĲȩȝȠ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Â İȟ . ǲıĲȦ ǺǺǯ٣ ǹx țĮȚ īīǯ٣ ǹx. ȃĮ ĮʌȠ-

įİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ǹǺǯǻ = ǹǺǻ . 2.

ǼʌİȚįȒ Șȝ ǹ̂ 1 = Șȝ ǹ̂ 2 = Șȝ ǹ̂ =

Ǻǯīǯ ǹǻ 3. ǹǺī = . 2 ȁȪıȘ: 1. ȅȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ ǹǻ țĮȚ Ǻǯīǯ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țȐșİĲĮ. ǱȡĮ ǺǺǯ//ǹǻ//īīǯ. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻǺ țĮȚ ǹǻǺǯ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ, ĮĳȠȪ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ ĲȘȞ ǹǻ țĮȚ ȠȚ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣȢ Ǻ țĮȚ Ǻǯ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ĮȞȒțȠȣȞ ıİ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹǻ.

Ȟʅ ȝʅ 2

2. ȅȝȠȓȦȢ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻī țĮȚ ǹǻīǯ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ. ȈȣȞİʌȫȢ: ǹǺī = ǹǻǺ ǹǻī =

ǹǺī = Ǻǯǻīǯ = Ǻǯīǯ ǹǻ .

2. Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į =

Ȝ 1

1. Į = ȕ 2 + Ȗ 2 + ȕ Ȗ 2

+ Ȗ 2 2 ȕ Ȗ ıȣȞǹ̂ = ȕ 2 + Ȗ 2 + ȕ Ȗ ȕ Ȗ 1 ıȣȞǹ̂ = ıȣȞǹ̂ = ǹ̂ = 120° . 2 ȕ Ȗ 2

2. ǲȤȠȣȝİ: ǹǺǻ + ǹīǻ = ǹǺī 1 ˆ + 1 ǹ* ǹǻ Șȝ ǹ ˆ = ǹǺ ǹǻ Șȝ ǹ 1 2 2 2

1 1 1 . + = ȕ Ȗ įĮ

ȁȪıȘ

1 ǹǺ ǹī Șȝ ǹ̂ (1) 2

+ ȡ 2 + 4 R ȡ.

2 R Ȗ ȣȖ

4 R E 4 R E 4 R E + + = Ȗ Į ȕ

2 R Į ȣĮ 2 R ȕ ȣȕ + = Ȗ Į ȕ = 2 R ȣ Į + ȣȕ + ȣ Ȗ .

ǱıțȘıȘ 2: ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȖȚĮ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ: Į 2 = ȕ 2 + Ȗ 2 + ȕ Ȗ . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 2.

· ¸= ¸ ¹

Į +ȕ + Ȗ Ĳ 1 = = . 2Ǽ Ǽ ȡ

1. ǹ̂ = 120° .

Ȗ ȕ Į 1 1 1 = + + = + + ȣ Į ȣȕ ȣ Ȗ 2 Ǽ 2 Ǽ 2 Ǽ

ǹǻǺǯ ǹǻīǯ = ǻǺǯīǯ .

§ 1 1 1 + ȣȕ + ȣ Ȗ ¨ + + ¨ȣ © Į ȣȕ ȣ Ȗ §1 1 1· = Į + ȕ + Ȗ ¨¨ + + ¸¸ . ©Į ȕ Ȗ¹

4. Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į = Ĳ ȁȪıȘ

1 1 1 1 + + = . ȣĮ ȣȕ ȣ Ȗ ȡ

2. Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į = 2 R ȣ Į + ȣ ȕ + ȣ Ȗ .

Ȝ 1

, Įʌȩ ĲȘȞ

2 ȚıȩĲȘĲĮ (1) ȑȤȠȣȝİ: Ȗ įĮ + ȕ įĮ = ȕ Ȗ Ȗ įĮ ȕ įĮ 1 1 1 ȕ Ȗ + = + = ȕ Ȗ įĮ ȕ Ȗ įĮ ȕ Ȗ įĮ ȕ Ȗ įĮ

ǱıțȘıȘ 3: Ȉİ ȑȞĮ ĲȡȓȖȦȞȠ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

Ǻǯǻīǯ = ǹǺī .

§ 1 1 1 · + ȣȕ + ȣ Ȗ ¨ + + ¸= ¨ȣ ¸ © Į ȣȕ ȣ Ȗ ¹

§ 2E 2E 2E = ¨¨ + + ȕ Ȗ © Į §1 1 1·§ = 2 Ǽ ¨¨ + + ¸¸ ¨¨ ©Į ȕ Ȗ¹©

·§ Į Ȗ · ȕ ¸¸ = ¸¸ ¨¨ + + ¹©2Ǽ 2 Ǽ 2 Ǽ¹ Į +ȕ + Ȗ · ¸¸ = 2Ǽ ¹

§1 1 1· = Į + ȕ + Ȗ ¨¨ + + ¸¸ . ©Į ȕ Ȗ¹

4. ǲȤȠȣȝİ: E = Ĳ ȡ E 2 = Ĳ 2 ȡ 2 Ĳ Ĳ Į

Ĳ ȕ Ĳ Ȗ = Ĳ2 ȡ2 Ĳ3 Į + ȕ + Ȗ Ĳ 2 + Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į Ĳ Į ȕ Ȗ = Ĳ ȡ 2 Ĳ3 2 Ĳ3 + Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į Ĳ 4 R Ǽ = Ĳ ȡ 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/35

Ĳ3 + Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į Ĳ 4 R Ĳ ȡ = Ĳ ȡ 2 Ĳ + Į ȕ + ȕ Ȗ + Ȗ Į 4 R ȡ = ȡ 2

Į ȕ +ȕ Ȗ + Ȗ Į = Ĳ 2 +ȡ 2 + 4 R ȡ. ǻǿǹȂǼȈȅȈ ȉȇǿīȍȃȅȊ ǱıțȘıȘ 4 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȝȒȝĮ ȂǼ = ǹȂ . ǲıĲȦ ǻ țĮȚ ǽ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ǹī țĮȚ īȂ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

1 1. ǹǼī = ǹǺī . 2. ǹǼǻ = ǹǺī . 2 1 3. ǻǼǽ = ǹǺī . 8 ȁȪıȘ: 1. ǹȂ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ īȂ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹīǼ. ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ: ǹǼī = 2 ǹȂī = ǹǺī . Ȝ

2. Ǽǻ įȚȐȝİıȠȢ ǹīǼ. ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ:

ǹǼǻ = ǹīǼ = ǹǺī . 2

3. ǲȤȠȣȝİ: ǻǼǽ = ǻīǼ ǻīǽ īǽǼ =

ǹīǼ ǻīȂ īǼȂ = 2

ǹǺī 1 ǹīȂ 1 ǹīǼ = =

2 2 2 2 2 ǹǺī ǹǺī ǹǺī = ǹǺī . = 2 8 4 8 ȁȅīȅǿ ǼȂǺǹǻȍȃ ǱıțȘıȘ 5 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ İʌȓ ĲȘȢ ǹǺ țĮȚ Ǽ țĮȚ ǽ İʌȓ ĲȘȢ ǹī. 1. ǹȞ ǻ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǹǺ țĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ

Aǻǽ = 1 ǹǺī , 3

Aǽ =

ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ

2 ǹī . 3

2. ǹȞ ǻǼ//Ǻī țĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ

i. Aǻǽ =

1 ǹǺī , ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ 2

2 ǹǺ . 2 AǻE 1 , ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ii. ǺǻǼī 3 Aǻ =

ıȘȝİȓĮ ǻ țĮȚ Ǽ İȓȞĮȚ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ ǹī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȁȪıȘ Ȝ Ƞ

ȡ Ȟ

1. ǲȤȠȣȝİ: Aǻǽ =

1 ǹǺī 3 1 1 1 ǹǻ ǹǽ Șȝ ǹ̂ = ǹǺ ǹī Șȝ ǹ̂ 2 3 2 ǹǺ 1 2 ǹǽ = ǹǺ ǹī ǹǽ = ǹī . 2 3 3 ǹǻ ǹǼ 2. ǹʌȩ șİȫȡȘȝĮ ĬĮȜȒ ȑȤȠȣȝİ: = =Ȝ. ǹǺ ǹī AǻǼ = 1 ǹǺī 2 1 1 1 ǹǻ ǹǼ Șȝ ǹ̂ = ǹǺ ǹī Șȝ ǹ̂ 2 2 2 ǹǻ ǹǼ 1 1 2 . = Ȝ2 = Ȝ = ǹǺ ǹī 2 2 2 3. ǲȤȠȣȝİ: AǺī = ǺǻǼī + AǻǼ AǺī = 3 ǹǻǼ + AǻǼ AǺī . 4 ǹǻǼ = AǺī ǹǻǼ = 4 ǹǻ ǹǼ = = Ȝ. ǹʌȩ șİȫȡȘȝĮ ĬĮȜȒ ȑȤȠȣȝİ: ǹǺ ǹī AǻǼ = 1 ǹǺī 4 1 1 1 ǹǻ ǹǼ Șȝ ǹ̂ = ǹǺ ǹī Șȝ ǹ̂ 2 4 2 ǹǻ ǹǼ 1 1 1 = Ȝ2 = Ȝ = . 4 2 ǹǺ ǹī 4 ǱıțȘıȘ 6 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȖȚĮ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪȠȣȞ:

ǹǺī = 1 Į ȝ Į .

x x

AB = 10 . Ȇ AǺī = 36 .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/36

1. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ʌȡȫĲĮ ĲȠ İȓįȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. 2. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ ȪȥȠȣȢ ǹǻ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ. 3. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ ȡ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ R ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ. 4. ǹȞ ʌȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘ Ǻī ʌȡȠȢ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ī țĮȚ ʌȐȡȠȣȝİ ĲȝȒȝĮ īǼ = Ȝ Ǻī , Ȝ ! 0 țĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ ǹīǼ = 96 , ĲȩĲİ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ. ȁȪıȘ 1. ǲȤȠȣȝİ: 1 1 1 ǹǺī = Į ȝ Į Į ȝ Į = Į ȣĮ ȝ Į = ȣ Į . 2 2 2 Ȝ

Ȥ ȝ

ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ ȕȐıȘ ĲȘ Ǻī. ǼʌȓıȘȢ: ǹǺ2 + ǹī2 = 200< 256= Ǻī2 . ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚȠ ȝİ ĮȝȕȜİȓĮ ȖȦȞȓĮ ĲȘȞ ǹ̂ . 2. Ǻī = 36 2 10 = 16 . ǹʌȩ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ ĬİȫȡȘȝĮ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǺ ȑȤȠȣȝİ:

Aǻ 2 = ǹǺ 2 Ǻǻ 2 Aǻ 2 = 10 2 8 2 Aǻ 2 = 36 ǹǻ = 6 . 1 1 ǹǺī = Į ȣĮ = 16 6 = 48 . 2 2 2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ:. 2 ȣĮ = Ĳ Ĳ Į Ĳ ȕ Ĳ Ȗ = ... = 6 Į

Ĳ Į Ĳ ȕ Ĳ Ȗ = ... = 48

3. E = Ĳ ȡ 48 = 2 36 ȡ ȡ = E=

2 . 3

Įȕ Ȗ 16 10 10 25 R= R= . 4R 4 48 3

4. ǹĳȠȪ ǹī̂Ǻ + ǹī̂Ǽ = 180° , ȑȤȠȣȝİ:

ǹǺī = 2 īǹ īǺ Șȝǹī̂Ǻ 48 = īǺ Ȝ = 2 . ǹīǼ 1 īǹ īǼ Șȝǹī̂Ǽ 96 Ȝ īǺ 2

ǱıțȘıȘ 7 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ Â = 90° . ĭȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ įȚȤȠĲȩȝȠȣȢ ǹǻ, ǺǼ țĮȚ īǽ ʌȠȣ Ĳȑ-

ȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǿ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. 2.

Ǻǿī = Į . ǹǺī 2Ĳ Ǻǿī = Į . ǹǿǺ Ȗ

3. ǿǺ ǿī = ǿǹ Ǻī . ȁȪıȘ Ȟ ȟ

ɏ Ƞ

Ȥ ɏ

ɏ ȡ

1 Į ȡ Į 2 1. . = 2Ĳ Ĳ ȡ 1 Ǻǿ Ǻī Șȝ ǿǺ̂ī Ǻǿī 2 Į 2. = = . ǹǿǺ 1 ǹǺ Ǻǿ Șȝ ǿǺ̂ǹ Ȗ 2 ǹ̂ 3. īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ: Ǻǿ̂ī = 90° + = 135° . 2 2 ǹĳȠȪ Șȝ 135° = Șȝ 45° = , ĲȩĲİ: 2

Ǻǿī = ǹǺī

= Į 2 Ǻǿ īǿ Șȝ 135° = Ǻī ǹǿǺ Ȗ 1 ǹǺ ǹǿ Șȝ 45° ǹǺ 2 ǿǺ ǿī = ǿǹ Ǻī . ǱıțȘıȘ 8 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ǹǻ, ǺǼ țĮȚ īǽ ĲĮ ĲȡȓĮ ȪȥȘ ĲȠȣ. ǲıĲȦ Ǿ ĲȠ ȠȡșȩțİȞĲȡȠ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: Ǻǿī

ǹǺ ǺǼ = . ǹī īǽ Ǿǻ ǾǼ Ǿǽ + + 2. = 1. ǹǻ ǺǼ īǽ ǾB Ǿī Ǿǻ = . 3. ǹǺ ǹī ǹǻ Ǿǹ ǾǺ ǾǺ Ǿī Ǿī Ǿǹ + + 4. = 1. Ǻī ǹī ǹī ǹǺ ǹǺ Ǻī

ȁȪıȘ 1. ǹǯĲȡȩʌȠȢ: ǹʌȩ ĲȘȞ ȠȝȠȚȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ǹǺǼ, ǹīǽ ȝİ $̂ țȠȚȞȒ ȑȤȠȣȝİ:

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/37

ǹǺ ǺǼ = ǹī īǽ

ǺǯĲȡȩʌȠȢ

$%*

1 AB īZ, $%*

1 Aī ǺǼ 2

ǹǺ ǺǼ = ǹī īǽ 1 Ǻī Ǿǻ ǾǺī 2 Ǿǻ 2. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: . = = ǹǺī 1 Ǻī ǹǻ ǹǻ 2

ǻǼǽ = ȡ Ǽ . 2 R

ȁȪıȘ Ȝ

AB īZ = Aī ǺǼ .

ȅȝȠȓȦȢ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

Ǿǹī = ǾǼ ǹǺī ǺǼ

țĮȚ

ǾǹǺ = Ǿǽ . ǹǺī īǽ

ȆȡȠıșȑĲȠȣȝİ țĮĲȐ ȝȑȜȘ țȚ ȑȤȠȣȝİ:

Ǿǻ ǾǼ Ǿǽ + + = ǹǻ ǺǼ īǽ ǾǺī + ǾAī + ǾAǺ = = ǹǺī ǹǺī ǹǺī

ǾǺī + ǾAī + ǾAB = AǺī = 1 . = ǹǺī

ǹǺī

3. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǽǾǼ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ, ȖȚĮĲȓ

ǹǽ̂Ǿ + ǾǼ̂ǹ = 180 ° . ǱȡĮ: ǺǾ̂ī = 180 ° ǹ̂ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

ȡ ȟ

țĮȚ

ǾǹǺ = Ǿǹ ǾǺ . ǹǺī ǹī Ǻī

ȆȡȠıșȑĲȠȣȝİ țĮĲȐ ȝȑȜȘ țȚ ȑȤȠȣȝİ:

ǾǺ Ǿī Ǿī Ǿǹ Ǿǹ ǾǺ + + = ǹī ǹǺ ǹǺ Ǻī Ǻī ǹī Ǿǻ ǾǼ Ǿǽ 2

1. ǹǻ ǺǼ īǽ

ǱıțȘıȘ 9 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ǻ, Ǽ, ǽ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ Ƞ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ (ǿ,ȡ) İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ, Ǻī țĮȚ īǹ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. 2.

ǹǻZ = ǹǻ 2 . ǹǺī ǹǺ ǹī ǻǿǽ = ȡ 2 . ǹǻǽ ǹǻ 2

1 ǹǻ ǻǽ Șȝ ǹ̂ ǹǻ 2 2 1. . = 1 ǹǺ ǹī ǹǺ ǹī Șȝ ǹ̂ 2 2. ǹĳȠȪ ǹǻ̂ǿ + ǹǽ̂ǿ = 180° , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ Ǻǹ̂ī + ǻǿ̂ǽ = 180° țĮȚ ȐȡĮ ȑȤȠȣȝİ: 1 ǻǿZ = 2 ǻǿ ǿǽ Șȝ ǻǿ̂ǽ = ȡ 2 . ǹǻZ 1 ǹǻ ǹǽ Șȝ ǹ̂ ǹǻ 2 2 ǻǼǽ ǻǿǽ + ǻǿǼ + Ǽǿǽ

3. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: = = ǹǺī

ǹǺī

ǹǻZ = ǹǺī

ȡ2 ȡ2 ȡ2 = + + ǹǺ ǹī ǹǺ Ǻī ǹī īǺ Ǻī + ǹī + ǹǺ = =ȡ2 ǹǺ ǹī Ǻī Ǽ ȡ2 2Ĳ ȡ ȡ =ȡ2 = . = 4 Ǽ R 2 R 2 R

ǾǺ Ǿī Ǿǻ = . ǹǺ ǹī ǹǻ

Ǿǹī = Ǿǹ Ǿī ǹǺī ǹǺ Ǻī

1 ˆ ǾǺ Ǿī Șȝ ǹ ǾǺī Ǿǻ Ǿǻ 2 = = ǹǻ ǹǺī ǹǻ 1 ǹǺ ǹī Șȝ ǺǾī ˆ 2

4. ȅȝȠȓȦȢ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

ȅȂȅǿǹ ȉȇǿīȍȃǹ ǱıțȘıȘ 10 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ (O,R). ǲıĲȦ Ȁ İıȦĲİȡȚțȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ. ȅȚ ǹȀ, ǺȀ țĮȚ īȀ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȠȞ țȪțȜȠ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ țĮȚ ǽ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1.

ǹǺ ǻǼ

ǹǺī

ǻǼǽ

Ȁǹ . 2. ȀǼ

Ȁǹ ȀǺ Ȁī . Ȁǻ ȀǼ Ȁǽ

ȁȪıȘ ȡ

Ȝ Ƞ ȥ

1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȀǺ țĮȚ ǻȀǼ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ, ȖȚĮĲȓ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/38

KÂB ȀǼ̂ǻ , AB̂Ȁ Ȁǻ̂Ǽ . ǱȡĮ:

ǹǺ Ǻī īǹ 4 R ǻǼ Ǽǽ ǽǻ 4 R

ǹǺī

ǻǼǽ

ǹǺ ǻǼ

Ȁǹ . ȀǼ

2. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻǼ țĮȚ ǹīǻ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ. 3. ǻǼǽ = 2 ǹǺī . ȁȪıȘ Ƞ

Ȁǹ ȀǺ Ȁī . Ȁǻ ȀǼ Ȁǽ

ǱıțȘıȘ 11 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ǹǻ ȪȥȠȢ ĲȠȣ. ǲıĲȦ Ǿ ĲȠ ȠȡșȩțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ȀĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ țȪțȜȠ ȝİ įȚȐȝİĲȡȠ ĲȘ Ǻī ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹǻ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻī țĮȚ ǺǻǾ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. 2. Kǻ 2 ǹǾ Ǿǻ . 2 ǹǺī ǾǺī . 3. ȀǺī

ȁȪıȘ

Ȝ 1 2

1. ǹʌȩ șİȫȡȘȝĮ įȚȤȠĲȩȝȦȞ ȑȤȠȣȝİ

ǱȡĮ:

ǹǻǼ = ǹīǻ

1. ȉĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻī țĮȚ ǺǻǾ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ, ȖȚĮĲȓ ȑȤȠȣȞ ǾǺ̂ǻ ǹī̂ǻ , ȦȢ ȠȟİȓİȢ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ țĮșȑĲȠȣȢ. 2.

ǹǻ Ǻǻ

ǻī ǹǾ Ǿǻ ǻǾ

Ǻǻ ǻī

Ȁǻ ½ ǹǻ ° ii

ȀǺī

° ¾ ǹǺī

Ǿǻ ° Ȁǻ °¿

HBī

KǺī

ȀǺī 2 ǹǺī ǾǺī .

HBī KǺī

ĬǼȍȇǾȂǹ ȉǾȈ ǻǿȋȅȉȅȂȅȊ ǱıțȘıȘ 12 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ǹǻ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦ-

1 ǹǼ ǹǻ Șȝ Ǽǹ̂ǻ ǹǼ 2 = = 1. 1 ǹī ǹī ǹǻ Șȝ ǹ̂ 1 2

ǻǼǽ = ǹǻǽ + ǹǻǼ + ǹǼǽ = = ǹǻB + ǹǻī + ǹǺī = 2 ǹǺī .

ǱıțȘıȘ 13 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ Â = 90° . ĭȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ įȚȤȠĲȩȝȠȣȢ Ǻǻ țĮȚ īǼ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǿ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

ǺǿǼ = Ȗ . Ǻǿī Į + ȕ ǺǿǼ + ǻǿǼ + ǻǿī = 1 . 2. Ǻǿī Ǻǿī Ǻǿī

3. ǹǺī ǹǻǼ = 2 Ǻǿī . 1.

ȁȪıȘ

ȞȓĮȢ ǹ̂ . ǹʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǻ țĮȚ ī ĳȑȡȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹǻ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȚȢ ʌȡȠİțĲȐıİȚȢ ĲȦȞ ǹī țĮȚ ǹǺ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǽ țĮȚ Ǽ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

1 ǹǺ ǹǻ Șȝ ǹ̂ 1 ǻǺ 2 = . 1 ǻī ǹī ǹǻ Șȝ ǹ̂ 2 2

3. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ (ǹǺ=ǹǽ, ĮĳȠȪ ǹǺǽ ȚıȠıțİȜȑȢ, ǹī=ǹǼ, ĮĳȠȪ ǹīǼ, Bǹ̂ī = Zǹ̂Ǽ , ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ), ȐȡĮ țĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ. ȈȣȞİʌȫȢ:

Kǻ 2 ,

ȖȚĮĲȓ ǺȀǹ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ, ĮĳȠȪ ǺȀ̂ī ʌȠȣ ȕĮȓȞİȚ ıİ ȘȝȚțȪțȜȚȠ.

ȀǺī

ǹǺī

ǹǺǻ = ǹīǻ

ǹǺ ǻǺ = . ǹī ǻī

2. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹīǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, ĮĳȠȪ ǹǼ̂ī = ǹ̂ 1 = ǹ̂ 2 = ǹī̂Ǽ . ǱȡĮ:

ǹǺǻ = ǻǺ . ǹīǻ ǻī

1 2

ȟ Ȥ 1 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/39

1. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

1 Ǻǿ Ǻī ȘȝǿǺ̂ī 2 1 ǹǺ Ǻǿ ȘȝǿǺ̂ǹ 2

Ǻǿī

ǹǿǺ

ǹǼ 2 Į . Ȗ

ǹǼ

Į 2 4 Į 2 2 Į 2 Į ıȣȞ 60q Į 3. Ƞ

2. ǵȝȠȚĮ țĮȚ Įʌȩ șİȫȡȘȝĮ İıȦĲİȡȚțȒȢ įȚȤȠĲȩȝȠȣ ıĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǺǼī țĮȚ Ǻǻī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ȑȤȠȣȝİ:

ĮȖ ǻǿǼ ǿǼ = ǼǺ = Į + ȕ = Ȗ . Ǻǿī Iī Bī Į Į +ȕ Įȕ ǻǿī ǿǻ = īǻ = Į + Ȗ = ȕ . Ǻǿī Iī īǺ Į Į+Ȗ ǺǿǼ + ǻǿǼ + ǻǿī = ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: Ǻǿī Ǻǿī Ǻǿī

Ȗ Ȗ ȕ ȕ = + + = Į +ȕ Į +ȕ Į + Ȗ Į + Ȗ Į Ȗ + Ȗ 2 +ȕ Ȗ +Į ȕ +ȕ 2 = = Į + ȕ Į + Ȗ

Ȗ Į + ȕ + Į Į + ȕ Į + ȕ Į + Ȗ

= = =1 Į + ȕ Į + Ȗ

Į + ȕ Į + Ȗ

ǹǺī ǹǻǼ = ǻǼǺī = 3. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: Ǻǿī

Ǻǿī

ǺǿǼ + ǻǿǼ + ǻǿī + Bǿī = = Ǻǿī

ǺǿǼ + ǻǿǼ + ǻǿī + Bǿī = 1 + 1 = 2 = Ǻǿī Ǻǿī Ǻǿī Ǻǿī

ǿȈȅȆȁǼȊȇȅ ȉȇǿīȍȃȅ ǱıțȘıȘ 14 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲĮ įȚĮįȠȤȚțȐ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ Ǻī țĮȚ īǻ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ Ǻī Į țĮȚ īǻ 2Į . ȀĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ĲĮ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī īǼǻ

țĮȚ īǼǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. 4. $%*

2. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹīǼ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ Į ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ. ȁȪıȘ

īǼǻ

ǹǺī

2 Į 2

4 Į

2. ǹʌȩ ȞȩȝȠ ıȣȞȘȝȚĲȩȞȦȞ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǹǼ 2 ǹī 2 + īǼ 2 2 ǹī īǼ ıȣȞ ǹī̂Ǽ

ǹĳȠȪ īǼ 2 4 Į 2 ǹǼ 2 ǹī 2 , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ıĲȠ ǹ.

īǼǻ

1 ǹī ǹǼ 2

Į2 3

1 ĮĮ 3 2

ǱıțȘıȘ 15 ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į. Ǽʌȓ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ ȣȥȫȞ ȣĮ, ȣȕ, ȣȖ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ, Ȃ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ĲȑĲȠȚĮ, ȫıĲİ Į 3 . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: ǹȀ Ǻȁ īȂ 12 1. ȀȁȂ ȚıȩʌȜİȣȡȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ Į. ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ȝİ 2. ȀȁǹǺ 7 ȀȁAB

$%* . 48 ȁȪıȘ Ȝ

ȧ Ȟ

1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ Ȁȅȁ țĮȚ ȀȅȂ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȖȚĮĲȓ x OȀ Oȁ OȂ ȅǹ ǹȀ Į 3 2Į 3 Į 3 Į 3 2 ȣ . 3 12 3 2 12 4 x ȀÔȁ ȀÔȂ 120q . ǱȡĮ Ȁȁ ȀȂ . ȅȝȠȓȦȢ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ Ȃȅȁ țĮȚ ȀȅȂ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȐȡĮ ȀȂ ȁȂ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ Įʌȩ

(2) ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ ıȣȞİʌȫȢ Ȁȁ ȀȂ ȁȂ . 2. ǹʌȩ ȞȩȝȠ ıȣȞȘȝȚĲȩȞȦȞ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ȁȅȁ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: Ȁȁ2 ȅȀ 2 + ȅȁ2 2 ȅȀ ȅȁ ıȣȞ Ȁȅ̂ȁ

Ȁȁ

(1)

țĮȚ

3Į 2 3Į2 3Į2 § 1 · + 2 ¨ ¸ Ȁȁ 16 16 16 © 2 ¹

3Į . 4

īȚĮ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ȀȁȂ ȑȤȠȣȝİ:

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/40

§3 · ¨ Į¸ 3 9Į2 3 ©4 ¹ . 4 64 ǹȀ̂ȁ Ȁȁ̂Ǻ 150q țĮȚ 30q . ǱȡĮ ȀȁǹǺ ȚıȠıțİȜȑȢ

ȀȁȂ

3. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: Ǻǹ̂Ȁ ǹǺ̂ȁ

ĲȡĮʌȑȗȚȠ. ȈȣȞİʌȫȢ:

ȀȁAB ǹǺī ȀȁȂ

ǹǺī 9 ǹǺī

16 3

7 ǹǺī . 48

ǼȁǹȋǿȈȉȅ ǼȂǺǹǻȅȃ ǱıțȘıȘ 16 ȈĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ, Ǻī, īǹ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, Ǽ, ǽ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ ȞĮ İȓȞĮȚ: $' Ȝ $% , %( Ȝ %* , *= Ȝ *$ , ȩʌȠȣ 0 Ȝ 1 . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. 2.

ǹǻǽ

ǹǺī

ǻǼǽ

ǹǺī

§1· 1 ĲȠ f ¨ ¸ = . ǱȡĮ ĲĮ ǻ, Ǽ țĮȚ ǽ İȓȞĮȚ ĲĮ ȝȑıĮ © 2¹ 4 ĲȦȞ ǹǺ, Ǻī țĮȚ īǹ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ țĮȚ $%*

. ǻǼǽ

4 2. ȆǹȇǹȁȁǾȁȅīȇǹȂȂȅ ǱıțȘıȘ 17 ȈĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ĲȑııİȡĮ ıȤȒȝĮĲĮ ĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ ȑȤİȚ ĲȚȢ ȓįȚİȢ įȚĮıĲȐıİȚȢ. x ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 1 ĲȠ Ȁ İȓȞĮȚ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ǹǺ. x ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 2 ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǽ țĮȚ ǽ İȓȞĮȚ ĲȣȤĮȓĮ ıȘȝİȓĮ ĲȘȢ ǹǺ țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ İȓȞĮȚ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ īǻ. x ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 3 ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ İȓȞĮȚ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ İȞĲȩȢ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ. x ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 4 ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȃ, ȃ İȓȞĮȚ ȝȑıĮ ĲȦȞ ǹǻ țĮȚ Ǻī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȉĮ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡĮ ȂȆȇǹ, ȆȇȈȉ țĮȚ ȉīȃȈ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ. Ȝ

Ȝ Ȝ2 .

3 Ȝ2 3 Ȝ 1 .

ȈȤȒȝĮ 1

3. ȉȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻǼǽ ȖȓȞİĲĮȚ İȜȐȤȚıĲȠ țĮȚ ȑʌİȚĲĮ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ıȤȑıȘ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ ĲĮ İȝȕĮįȐ ǻǼǽ țĮȚ ǹǺī. ȁȪıȘ

ȈȤȒȝĮ 2 Ȝ

ȝ ɓ1

ɓ2 ȝ

1 ǹǻ ǹǽ Șȝ ǹ̂ ǹǻǽ 2 1. = = ǹǺī 1 ǹǺ ǹī Șȝ ǹ̂ 2 Ȝ ǹǺ 1 - Ȝ ǹī = Ȝ - Ȝ2 . ǹǺ ǹī Bǻǽ = īEǽ Ȝ - Ȝ 2 . 2. ȅȝȠȓȦȢ ȑȤȠȣȝİ: ǹǺī ǹǺī

ǻǼǽ = ǹǺī 3 ǹǻǽ = ǱȡĮ: ǹǺī

ǹǺī

ǹǺī 3 ǹǻǽ =3 Ȝ2 3 Ȝ 1 . = ǹǺī ǹǺī

ȉȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ f Ȝ =3O2 3O 1 , ȝİ 0 Ȝ 1, ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ İȜȐȤȚıĲȠ ıĲȘ șȑıȘ Ȝ

3 2 3

1 2

ȈȤȒȝĮ 3 Ȝ

ȝ ȭ

Ȭ ɓ1

Ȩ Ȯ

ȫ ȟ

ɓ3

ɓ2

ȈȤȒȝĮ 4

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȑııİȡĮ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȖȡĮȝȝȠıțȚĮıȝȑȞĮ ıȤȒȝĮĲĮ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ țĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣȢ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȠȣ İȝȕĮįȠȪ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ. ȁȪıȘ ȈȤȒȝĮ 1

KǺǻ

īǻ ȣ 2

ȈȤȒȝĮ 2

ǻEH īHZ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/41

ǹǺīǻ . 2

ǻH ȣ Hī ȣ 2 2

ǻH Hī ȣ

ǹǺīǻ .

ǻī ȣ 2

ǹǺīǻ = 2 ǹīǻ = 2 2 īǻ ǹī Șȝ ī1 = 2 īǻ . 1 īǽ ǹīǽ ǹīǽ

īǽ ǹī Șȝ īˆ 2

ȈȤȒȝĮ 3

AB ȣ1 ǻī ȣ 2 2 2 AB ȣ1 AB ȣ 2 AB ȣ1 ȣ 2

2 2 2 AB ȣ ǹǺīǻ

. 2 2

2 ǹȞĲȚțĮșȚıĲȫȞĲĮȢ ȑȤȠȣȝİ:

AKB ǻīK

ȈȤȒȝĮ 4

ǹǻ . ǱȡĮ: 2 ǹȇȆȂ ȇȈȉȆ Ȉȃīȉ

ǹȂ ȣ1 Ȇȇ ȣ 2 īȃ ȣ 3

ǿıȤȪİȚ ȩĲȚ: ǹȂ

Ȇȇ

īȃ

ǹǻ ȣ1 ȣ 2 ȣ 3

ǹǺīǻ .

ǹǻ ȣ 2

ǹǺīǻ ǹǺīǻ = 2 § Ǻī īǻ · = 2 . ¨ ¸ ǹīǽ ǹīE

ǱıțȘıȘ 19 ǲıĲȦ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǺ = Į, ǹǻ=ȕ țĮȚ Ǻǹ̂ǻ = Ȧ̂ . ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹȀ = īȂ = Į țĮȚ Ǻȁ = ǻȃ = ȕ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ǹǺīǻ = Į ȕ ȘȝȦ . 2.

Ȁǹȃ = 1 . ǹǺīǻ

Ǻī īǻ = 1. īǼ īǽ 1 1 2 2. . = ǹīE ǹīǽ ǹǺīǻ

ȁȪıȘ Ȧ

Ⱦ ȟ

ǹǺīǻ = 2 ǹǺǻ = 2 1 Į ȕ ȘȝȦ = Į ȕ ȘȝȦ . 2

Ȁǹȃ = ǹǺīǻ

1 Į 2 ȕ ȘȝȦ 2 = 1. Į ȕ ȘȝȦ

3. ȅȝȠȓȦȢ ȑȤȠȣȝİ:

ȀǺȁ = Ȃīȁ = Ȃǻȃ = 1 . ǹǺīǻ ǹǺīǻ ǹǺīǻ

1. ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĬĮȜȒ:

Ǻī//ǹǻ

1. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ Ǻǻ. ȉȩĲİ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ:

ȁȪıȘ

3. ȀȁȂȃ = 5 Į ȕ ȘȝȦ .

ǱıțȘıȘ 18 ǻȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ țĮȚ Ǽ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ Ǻī. Ǿ ǹǼ ĲȑȝȞİȚ ĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ Ǻǻ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ țĮȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ īǻ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǽ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

ǱȡĮ:

īǻ ǹǼ Ǻī ǹǽ = = , ǹǺ//īǻ . īǽ Ǽǽ īǼ Ǽǽ

ǹĳĮȚȡȫȞĲĮȢ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȑȤȠȣȝİ:

Ǻī īǻ ǹǽ ǹǼ Ǽǽ = = = 1. īǼ īǽ Ǽǽ Ǽǽ Ǽǽ 2. ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ:

ǹǺīǻ ǹǺīǻ = 2 . ǹīǼ ǹīǽ

ǹǺīǻ = 2 ǹBī = ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǹīE ǹīǼ

1 2 īǹ īǺ Șȝ ī̂1 īǺ = 2 2 = 2 . 1 īǼ īǹ īǼ Șȝ ī̂1 2

ȀȁȂȃ = 2 Ȁǹȃ + 2 ȀǺȁ + ǹǺīǻ = = 5 ǹǺīǻ 5 Į ȕ ȘȝȦ .

ǱıțȘıȘ 20 ǲıĲȦ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ țĮȚ Ȃ, ȃ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ īǻ țĮȚ Ǻī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹȞ ȠȚ ǹȂ țĮȚ ǹȃ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȘ Ǻǻ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǽ țĮȚ ǽ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1.

ǹīȂ = ǹǺīǻ .

4 ǹǺīǻ . 2. Ȃīȃ = 8 3 ǹǺīǻ

. 3. ǹȂȃ = 8

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/42

ǼǽȃīȂ = ǹǺīǻ .

țĮȚ ǻǹ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ĲȑĲȠȚĮ, ȫıĲİ:

ǺȀ̂ȁ

ȁȪıȘ

Ȃȁ̂ī

ȃȂ̂ǻ

60q

ȝ 60q

60q .

ǹȃ̂Ȁ

Ȧ 60q

1. ǿıȤȪİȚ ȩĲȚ: ǹīǻ = ǹǺī =

ǹǺīǻ . 2

ǹȂ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻī. ǱȡĮ:

ǹīȂ = ǹīǻ = ǹǺīǻ . 2

4 1 2. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: Ȃīȃ = īȂ īȃ Șȝ ī̂ = 2 1 īǻ īǺ = Șȝ ī̂ = 2 2 2 1 1 ǹīǻ = ǹǺīǻ . = īǻ īǺ Șȝ ī̂ = 4 8 4 2 ǹǺīǻ . ȉȩĲİ: 3. ǿıȤȪİȚ ǹīȂ = 4 ǹȂȃ = ǹȂīȃ īȂȃ = = ǹīȂ + ǹīȃ īȂȃ = ǹǺīǻ + ǹǺīǻ ǹǺīǻ = 3 ǹǺīǻ . = 8 4 4 8 4. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ ȕĮȡȪțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ

ǹǼ 2 ǹǽ 2 = . ȅȝȠȓȦȢ = . ǹǻī. ǱȡĮ: ǹȂ 3 ǹȃ 3 1 ǹǼǽ = 2 ǹǼ ǹǽ Șȝ Ȃǹ̂ȃ = 4 . ǹȂȃ 1 ǹȂ ǹȃ Șȝ Ȃǹ̂ȃ 9 2 4 ǱȡĮ: ǹǼǽ = ǹȂȃ . 9

ǼǽȃȂ = ǹȂȃ ǹǼǽ = ǹMN 4 ǹMN

5 ǹMN 5 ǹǺīǻ

= . 9 24 ǼǽȃīȂ = ǼǽȃȂ + Ȃȃī = 5 ǹǺīǻ ǹǺīǻ 8 ǹǺīǻ ǹǺīǻ

= = . = + 24 8 24 3 =

3. ȉǼȉȇǹīȍȃȅ ǱıțȘıȘ 21 Ȉİ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ ʌȜİȣȡȐȢ Į șİȦȡȠȪȝİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ, Ȃ țĮȚ ȃ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ, Ǻī, īǻ

60q

Ȟ ȧ ǹȞ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȀȁȂȃ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ, ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ Į țĮȚ ȑʌİȚĲĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȠ İȝȕĮįȠȪ ĲȠȣ ǹǺīǻ ʌȠȣ țĮȜȪʌĲİȚ ĲȠ ȀȁȂȃ. ǻȓȞİĲĮȚ 3 # 1,732 . ȁȪıȘ ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ȁǹȃ șȑĲȠȣȝİ ǹȃ = x 0, Į (1). ǱȡĮ: ǹȀ = Į x . ǼʌȓıȘȢ ȟ

ǹȃ̂Ȁ 60q ǹȀ̂ȃ 30q . ǱȡĮ: Ȁȃ= 2 ǹȃ 2 x . ǹʌȩ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȀȃ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: Ȁȃ 2

ǹȃ 2 ǹȀ 2 4 x 2 x 2 Į x 2 x 2 2 Įx Į 2 0 . 2

ǻ 12 Į 2 . ȈȣȞİʌȫȢ: x 1, 2

2Į r 2 3 Į

ǱȡĮ ȀȁȂȃ

3 1

Į2

3 1 Į

2 2

3 Į2 .

./01 2 2 3 D 2 2 3 0,536

D2 $%*'

ĲȠ ./01 İȓȞĮȚ ĲȠ 53,6% ĲȠȣ (ǹǺīǻ). 2

4. ȅȇĬȅīȍȃǿȅ ǱıțȘıȘ 22 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǺ = Į țĮȚ Ǻī = ȕ, ȩʌȠȣ Į țĮȚ ȕ șİĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ǹʌȩ ĲȠ țȑȞĲȡȠ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȅ ĳȑȡȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ. 1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ MOǺ MOī . 2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ǻM

1 4Į2 ȕ2 . 2

3. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȦȞ Į țĮȚ ȕ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻȅȂ. 4. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȦȞ Į țĮȚ ȕ ĲȘȞ ĮʌȩıĲĮıȘ ĲȠȣ ȅ Įʌȩ ĲȘ ǻȂ. ȁȪıȘ 1. ȅȂ//ǹǺ. ǱȡĮ ȅȂ䶏Ǻī. ǹĳȠȪ Ǻȅī ȚıȠıțİȜȑȢ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȅȂ įȚȐȝİıȠȢ,. ǱȡĮ:

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/43

MOǺ MOī .

ǹǺ 2 = ȅǹ 2 ȅǺ 2 ǹǺ2 = 8 2 6 2 ǹǺ2 100 $% 10 .

4 $% 40 . 3. ǿıȤȪİȚ ǽǼ 2 ȅǼ ȣ 2 ȡ (1) ǼʌİȚįȒ Ƞ ȡȩȝȕȠȢ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ: Ȇ ǹǺīǻ

ȧ Ƞ

2. ǹʌȩ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ıĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ īǻȂ ȑȤȠȣȝİ: ǻȂ

ǻī Ȃī ǻȂ 2

ǹǺīǻ

ȕ2 Į 4 2

1 4Į2 ȕ2 . 2 3. ǻȅȂ ȅȂīǻ Ȃīǻ

Į· ȕ § ¨Į ¸ ȕ 3Į ȕ 2 Įȕ 2¹ 2 1 © Į 2 2 2 8 8 1 4. ǻȅȂ

ȅǼ ǻȂ 2 Įȕ 1 1 ȅǼ 4 Į 2 ȕ 2 8 2 2 Įȕ . ȅǼ 2 4Į2 ȕ2 ǻM

Į ȣ 2 10 ȡ

96 X 4,8 .

6. ȉȇǹȆǼǽǿȅ ǱıțȘıȘ 24 ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ, ȝİ ǹǺ//īǻ, ǹǺ = Ǻī = ǹǻ = 4 ǹǼ䶏īǻ țĮȚ īÂǻ = 90° .

1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ AB̂ī = 120 ° . 2. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ. Įȕ . ȁȪıȘ

4 cm

1. ǲıĲȦ ǻE = x > 0 . ȉȩĲİ:

ǻī = ǻǼ Ǽǽ ǽī ǹǺ + 2 ǻE = 2 x + 4 . ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǻī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

Aǻ 2 = ǻE ǻī x 2 x + 4 = 16 x2 + 2 x 8 = 0 x = 2.

5. ȇȅȂǺȅȈ ǱıțȘıȘ 23 ǻȓȞİĲĮȚ ȡȩȝȕȠȢ ǹǺīǻ ȝİ įȚĮȖȫȞȚİȢ ǹ* 16 țĮȚ %' 12 . ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıĲİ: 1. ȉȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȡȩȝȕȠȣ. 2. ȉȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ ȡȩȝȕȠȣ. 3. ȉȘȞ ĮțĲȓȞĮ ȡ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ıĲȠ ȡȩȝȕȠ. ȁȪıȘ

ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼǻ İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ țȚ ȑȤȠȣȝİ:

AǼ 2 = ǹǻ 2 ǻE 2 AǼ 2 = 16 4 AǼ 2 = 12 AǼ = 2 3 ǹĳȠȪ ǹǻ = 2 ǻǼ , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ

ǻǹ̂Ǽ = 30° ǻ̂ = 60° AB̂ī = 120 ° . ɏ ȟ

ABīǻ =

Ǻ + ȕ ȣ 8 + 4 2 2

= 12 3

1. ȅ ȡȩȝȕȠȢ ȑȤİȚ țȐșİĲİȢ įȚĮȝȑĲȡȠȣȢ. ǱȡĮ: ǹ* %' 96 . ǹǺīǻ

2 2. ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȅǺ İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ țȚ ȑȤȠȣȝİ:

ǱıțȘıȘ 25 ǿıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ ȑȤİȚ ȕȐıİȚȢ ǻī Į , ǹǺ 3 Į țĮȚ ȪȥȠȢ ǻǼ 2 Į , ȩʌȠȣ Į ! 0 . ǲıĲȦ Ȁ, ȁ İȓȞĮȚ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ įȚĮȖȦȞȓȦȞ ĲȠȣ ǹī țĮȚ Ǻǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. 1. ȃĮ ȕȡİșİȓ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ Į ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹȀȁ. 2. AȀȁ BȀȁ ǻȀȁ ǹǻȀ . 3.

ȀABȁ . ABīǻ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/44

ȁȪıȘ

ȈȣȞİʌȫȢ: Ȇ ǹǺīǻ = ǹǺ + Ǻī + īǻ + ǻA =

= 2 ǹǺ + īǻ = 4 ǹǻ = 8 2 ȡ . ǹǺ + īǻ 2. AǺīǻ = ȀȂ = 4 2 ȡ 2 . 2

ȥ 2 Ƚ

3 Ƚ

1. īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ Ȁ ȝȑıȠ țĮȚ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ ǹī.

ǱȡĮ: ǹǼ 2.

AȀȁ

ǹǺ īǻ = Į KE . 2 Į 3Į Į 1 Ȁȁ ȀǼ 2 2 2

Į2 . 2

ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȀȁ țĮȚ ǺȀȁ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ, ĮĳȠȪ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ Ȁȁ țĮȚ ȠȚ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣȢ ǹ țĮȚ Ǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ĮȞȒțȠȣȞ ıİ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ Ȁȁ. ǼʌȓıȘȢ:

Į2 1 ǻȀȁ Ȁȁ ǻȀ . 2 2 ǹǻȀ ǹǼǻ 1 1 Į 2 Į 2 2 2 ǹǺ Ȁȁ ȀǼ ȀABȁ

1 2 3. . ABīǻ ǹǺ īǻ ǹǼ 2 2

Į2 . 2

ǱıțȘıȘ 27 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȠȣȝİ İȣșİȓĮ (İ) ʌȠȣ įİȞ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ĲȦȞ țȠȡȣĳȫȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ǹȞ ǻ, Ǽ țĮȚ ǽ ȝȑıĮ ĲȦȞ ĮʌȠıĲȐıİȦȞ ǹǹǯ, ǺǺǯ țĮȚ īīǯ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉĮ ĲȡĮʌȑȗȚĮ ǹǻǼǺ țĮȚ ǻǼǺǯǹǯ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ. 2. ǹǺī 2 ǻǼǽ . ȁȪıȘ ¾ ǹʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ 1 ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ: «ȉĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ȤȦȡȓȗȠȣȞ ĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ıİ įȪȠ ȚıİȝȕĮįȚțȐ ĲȡĮʌȑȗȚĮ». §B ȕ· ¨ + ¸ Ǻ + ȕ ȣ = ǹǺīǻ . 2 2¹ ȣ= 1. ǹǻǼǺ = © 2 4 2

ȅȝȠȓȦȢ ǻǼǹǯǺǯ = Ȝ

ǱıțȘıȘ 26 ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǻ ȝİ Ǻī = Aǻ țĮȚ ǻ̂ = 45 o . ǲıĲȦ (ȅ,ȡ) Ƞ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ ĲȠȣ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ʌȠȣ İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺ, Ǻī, īǻ țĮȚ ǻǹ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ, ȁ, Ȃ țĮȚ ȃ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. Ȇ ǹǺīǻ = 8 2 ȡ . 2. AǺīǻ = 4 ȁȪıȘ

2 ȡ2 . Ȝ

ȟ ȡ Ƞ Ȟʅ Ȝʅ (ɂ)

1. ǿıȤȪȠȣȞ ȩĲȚ īȁ = īȂ = ǻȂ = ǻȃ , īȁ = īȂ = ǻȂ = ǻȃ (İĳĮʌĲȩȝİȞĮ ĲȝȒȝĮĲĮ) țĮȚ ǹǺ + Ǻī + īǻ + ǻA =

ǹǺ + īǻ = 2 ǹǺ + īǻ . ǱȡĮ: ǹǻ = . 2 ȈĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǼǻ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ:

ǹǻ = ǹǼ

2 = ȀȂ

2 = 2ȡ

2 ǼǻǹǯǺǯ 2 ǻǽīǯǹǯ 2 ǼǽīǯǺǯ

2 > ǼǻǹǯǺǯ ǻǽīǯǹǯ ǼǽīǯǺǯ @ 2 > ǼǻǹǯǺǯ ǻǽīǯǹǯ ǼǽīǯǺǯ @ 2 ǻǼǽ .

ǱıțȘıȘ 28 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ǹǻ țĮȚ ǺǼ įȚȐȝİıȠȚ. ĭȑȡȠȣȝİ ǻǽ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ țĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȘ ǺǼ, ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǻǾ țĮȚ ǹǾǽ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ.

45q ȟ

ȝʅ

ǹǺī ǹǺǺǯǹǯ ǹīīǯǹǯ ǺīīǯǺǯ

ǹǺīǻ ǹǻǼǺ .

2. 3.

Aǻǽ

ǹǺī

īǻǼǽ

ǹǺī

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/45

3 . 4 1 . 2

ǹǺīZ

3 ǹǺī . 2

ȁȪıȘ 1. ǼǽǻǺ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȖȚĮĲȓ ǺǼ=//ǽǻ. ǱȡĮ Ǽǽ=//Ǻǻ. ȈȣȞİʌȫȢ Ǽǽ=//īǻ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ǽǽīǻ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ Ǿ țĮȚ ȐȡĮ Ǿ ȝȑıȠ ǻǽ. ǱȡĮ ǹǾ įȚȐȝİıȠȢ ǹǻǽ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǾǻ țĮȚ ǹǾǽ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ. Ȝ

ǹǹǯǺǯǺ

8Rȡ

Rȡ

R ȡ

ȁȪıȘ 1. ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȅȀȁ İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ țȚ ȑȤȠȣȝİ:

ȅȁ 2 = ȅȀ 2 Ȁȁ2 2 2 ȅȁ 2 = R ȡ R ȡ ȅȁ 2 = 4 R ȡ ȅȁ

Rȡ .

ǹǺȀȁ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, ȐȡĮ ǹǺ Ƞ

ȅȁ

Rȡ .

Ȩ Ȝ

Ȣ ȝ

ȟ Ȧ

3 2. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǹǾ ǹī . ǱȡĮ: 4 1 Aǻǽ ǹǻǽ = 2 ǹǻ ǹǾ Șȝǻǹ̂ī ǹǺī 2 ǹīǻ 1 ǹǻ ǹī Șȝǻǹ̂ī 2

Ȝʅ

3 . 4

3. ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ İȓȞĮȚ ȕĮȡȪțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻǽ,

2 ǹǾ . ȖȚĮĲȓ ǹǾ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ǹǼ 3 īǻǼǽ 2 ǻǼǽ 2 1 ǹǻī

3 ǹǺī . 2 3 ǹǺī

2 3 4 ǹǺ 4. ǲȤȠȣȝİ: īǽ Ǽǻ . 2 ǹǺ īǽ ȣ Ȗ 3 Ȗ ȣȖ 3 ǹǺīZ

ǹǺī . 2 2 2 ¾ ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǽ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ ȝİ ĲȚȢ įȚĮȝȑıȠȣȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī.

ǱıțȘıȘ 29 ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ țȪțȜȠȚ (ȅ,ȡ) țĮȚ (Ȁ,R) ȝİ R ! ȡ İĳȐʌĲȠȞĲĮȚ İȟȦĲİȡȚțȐ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ. ǲıĲȦ ǹǺ țȠȚȞȩ İĳĮʌĲȩȝİȞȠ ĲȝȒȝĮ. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ țȠȚȞȒ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ (İ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȠ ĲȝȒȝĮ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȃ. ĭȑȡȠȣȝİ ǹǹǯ//ǺǺǯ//(İ), ȩʌȠȣ ǹǯ, Ǻǯ țĮȚ ȃǯ ıȘȝİȓĮ ĲȦȞ țȪțȜȦȞ (ȅ,ȡ), (Ȁ,R) țĮȚ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǹǯǺǯ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹȞ ȃǯī țȐșİĲȘ ıĲȘȞ ǹǺ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ǹǺ 2 R ȡ . 2. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅȀȁ țĮȚ īȃȃǯ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ.

Ȩʅ ȝʅ

2. ǿıȤȪİȚ ȜȩȖȦ İĳĮʌĲȩȝİȞȦȞ ĲȝȘȝȐĲȦȞ:

ǹǺ

ǹȃ ȃǺ

2 ȃȂ

ȃȃǯ

ȉĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅȀȁ țĮȚ īȃȃǯ İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ, ȖȚĮĲȓ ȠȚ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ Ȁȅ̂ȁ țĮȚ īȃ̂ǯȃ ȑȤȠȣȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣȢ țĮșȑĲȠȣȢ. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

ȅȀ ȃȃǯ

2 Rȡ ȅȁ R ȡ īȃǯ īȃǯ 2 Rȡ 4R ȡ īȃǯ . R ȡ

3. ȉĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǻ țĮȚ īȃȃǯ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȖȚĮĲȓ:

x x

ǹǺ

ȃȃǯ

ȅȚ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ ȃǹ̂ǻ țĮȚ īȃ̂ǯȃ ȑȤȠȣȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣȢ țĮșȑĲȠȣȢ.

ǱȡĮ ǹǻ

īȃǯ

4Rȡ . R ȡ

ȃȃǯ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺǺǯǹǯ.

ǺǺǯ ǹǹǯ . ȈȣȞİʌȫȢ: 2 ǹǹǯǺǯǺ ǺǺǯ ǹǹǯ ǹǻ 2 4 R ȡ 8 R ȡ R ȡ ȃȃǯ Aǻ 2 R ȡ . R U R ȡ ǱȡĮ: ȃȃǯ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/46

ƨŅƮƷƭƩƬƲƷ

ƭƧƶƩƷĲƷưƵƫ: ƭƷƭƮƲƵ–ƩƷĲƩƬƧ–ƳƧƴƧƨƲƮƫ ȉıȩʌİȜĮȢ īȚȐȞȞȘȢ 1Ƞ īǼȁ ǹȝĮȜȚȐįĮȢ – ȆĮȡȐȡĲȘȝĮ ǼȂǼ ǾȜİȓĮȢ

ĬȑȝĮ 1: ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ x2 y 2 Ox Oy O 1 0 (1) Į) ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ Ș (1) ʌĮȡȚıĲȐȞİȚ țȪțȜȠ ȖȚĮ țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪ Ȝ. ȕ) ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ ȩȜȠȚ ȠȚ țȪțȜȠȚ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (1) įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ įȪȠ ıĲĮșİȡȐ ıȘȝİȓĮ ǹ țĮȚ Ǻ ĮȣĲȐ ĲĮ ȠʌȠȓĮ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ. Ȗ) ǲıĲȦ C1 Ƞ țȪțȜȠȢ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘ ȝȠȡĳȒ (1) ȖȚĮ Ȝ=2 țĮȚ Ƞ țȪțȜȠȢ 2 2 1· § § 1 · . ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ C2 :¨ x ¸ y2 ¨ ¸ ©

3¹

ĲȠȣ yǯy Įʌȩ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȐȖȠȞĲĮȚ ʌȡȠȢ ĲȠȣȢ C1,C2 İĳĮʌĲȩȝİȞİȢ ȗ1, ȗ2 ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ȝİ ȗ1Aȗ2. ȁȪıȘ: Į) H İȟȓıȦıȘ (1) ȑȤİȚ $2 %2 4* 2O2 4 O 1

2 O 2 2O 2

2 O 1 2 ! 0 ȑĲıȚ ʌĮȡȚıĲȐ2

ȞİȚ țȪțȜȠ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ R. ȕ) AȞĮȗȘĲȠȪȝİ ıȘȝİȓĮ Ȃ(x,y) ȫıĲİ ȖȚĮ țȐșİ Ȝ R ȞĮ ȚıȤȪİȚ x2 y2 Ox Oy O 1 0 i

ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ

i x 2 y 2 1 O x y 1

° x 2 y 2 1 x, y

® °̄ x y 1 0

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0, 1

ıȘȝİȓĮ ǹ, Ǻ İȞȫ Ƞ țȪțȜȠȢ C2 ȑȤİȚ țȑȞĲȡȠ / §¨ 1 , 0 ·¸ ©3 ¹ 1 țĮȚ r țĮȚ İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȠȞ yǯy ıĲȠ ȅ(0,0). ȅȚ 3 ȠȡȚȗȩȞĲȚİȢ İĳĮʌĲȩȝİȞİȢ ĲȠȣ C1 İȓȞĮȚ ȠȚ y = 0, y = –2 țĮȚ ȠȚ ȠȡȚȗȩȞĲȚİȢ İĳĮʌĲȩȝİȞİȢ ĲȠȣ C2 İȓȞĮȚ 1 1 § 1· ȑĲıȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ * 0, 2 , ' ¨ 0, ¸ , y ,y 3 3 © 3¹ 1· § ( ¨ 0, ¸ , 2 0, 0 İȓȞĮȚ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. 3¹

ǹȞĮȗȘĲȠȪȝİ ıȘȝİȓȠ Ȃ(0,ȝ) Įʌȩ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȞĮ ȐȖȠȞĲĮȚ İĳĮʌĲȩȝİȞİȢ ȗ1 ıĲȠȞ C1 țĮȚ ȗ2 ıĲȠȞ C2 ȫıĲİ ȗ1Aȗ2. 1 ǲıĲȦ ]1 : y Ox P, O z 0 , RSȩWH : ]2 : y x P, O d K, ]1

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/47

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/49

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f c x f c ȟ ! 0 . ǼʌȓıȘȢ İȓȞĮȚ x – Į > 0. ǷıĲİ ȖȚĮ țȐșİ x (Į, ȕ) İȓȞĮȚ gc x ! 0 ıȣȞİʌȫȢ Ș g İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ (Į, ȕ). ǱıțȘıȘ 2Ș ǲıĲȦ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : > Į, ȕ @ o \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȪȠ ĳȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ [Į, ȕ] ȝİ f cc x ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x [Į, ȕ]. ǹȞ f(Į) = f(ȕ) = 0 ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌȡȩıȘȝȠ ĲȘȢ f ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ (Į, ȕ). ȁȪıȘ ǼʌİȚįȒ f cc x ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x [Į, ȕ] Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ıĲȠ [Į, ȕ]. x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: īȞȦȡȓȗȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ ĲȘȢ f c ȤȡİȚĮȗȩȝĮıĲİ țȐʌȠȚĮ ĲȚȝȒ ȝȘįİȞȚıȝȠȪ ĲȘȢ (ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ). Ǿ ıȤȑıȘ f(Į)=f(ȕ) ȝĮȢ ȠįȘȖİȓ ıĲȘȞ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȠȣ ĬİȦȡȒȝĮĲȠȢ Rolle Ǿ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ [Į, ȕ] ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ țĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ [Į, ȕ]. ǲȤȠȣȝİ f(Į) = f(ȕ), İʌȠȝȑȞȦȢ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ ȠȚ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ĲȠȣ Ĭ. Rolle țĮȚ ȐȡĮ ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȟ (Į, ȕ) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ f c ȟ 0 . ǼʌİȚįȒ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ȐȡĮ țĮȚ 1 – 1, ĲȠ ȟ șĮ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ. x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: ǼʌİȚįȒ ȟ (Į, ȕ) țĮȚ x (Į, ȕ), șİȦȡȠȪȝİ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ıȤȑıȘ įȚȐĲĮȟȘȢ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ĲĮ x țĮȚ ȟ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ (Į, ȕ).

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/50

ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ:

f c ȟ 0

Į d x ȟ f c x f c ȟ f c x 0 țĮȚ ĮĳȠȪ Ș f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ (ȦȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ) ıĲȠ [Į, ȟ], Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [Į, ȟ].

ǼʌȓıȘȢ ȟ x d ȕ f c ȟ f c x f c x ! 0

f c ȟ 0

țĮȚ ĮĳȠȪ Ș f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ (ȦȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ) ıĲȠ [ȟ, ȕ], Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [ȟ, ȕ]. ȅʌȩĲİ: f Į 0

Į x d ȟ f Į ! f x f x 0

ȟ d x ȕ f x f ȕ f x 0

f ȕ 0

ǱȡĮ f x 0 ȖȚĮ țȐșİ x (Į, ȕ). ǱıțȘıȘ 3Ș ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ª ʌ ʌº f x x2 Șȝx , x « , » . ¬ 2 2¼ i) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ȡȚȗȫȞ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ f(x) = 0. 2 2 Șȝx ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ x 3 § ʌ ʌ· ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ įȪȠ ȡȓȗİȢ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ¨ , ¸ . © 2 2¹ ȁȪıȘ x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: ȆȡȠıįȚȠȡȓȗȠȣȝİ ĲȘ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. ǹȞ ȝİĲĮȕȐȜȜİĲĮȚ, ĲȩĲİ İȟİĲȐȗȠȣȝİ ĲȘȞ ȪʌĮȡȟȘ ȝȚĮȢ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȜȪıȘȢ ıİ țȐșİ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ. i) ǲȤȠȣȝİ f c x 2x ıȣȞx .

§ ʌ· īȚĮ țȐșİ x ¨ 0, ¸ ȚıȤȪİȚ f c x ! 0 . © 2¹ § ʌ· ǲȤȠȣȝİ: f c ¨ ¸ ʌ 0 țĮȚ f c 0 1 ! 0 , © 2¹ ª ʌ º ȀĮȚ Ș f c İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ « , 0 » țĮȚ ¬ 2 ¼ ȠʌȩĲİ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Bolzano ȣʌȐȡȤİȚ § ʌ · ȑȞĮȢ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȟ ¨ , 0 ¸ ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ © 2 ¹ f c ȟ 0 .

§ ʌ· ǼʌİȚįȒ ȖȚĮ țȐșİ x ¨ 0, ¸ ȚıȤȪİȚ f c x ! 0 Ș f © 2¹ ª ʌº İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ «0, » . ¬ 2¼ ǱȡĮ: f c ȖȞ.Įȣȟ. ʌ x x ȟ 0 f c x f c ȟ f c x 0 2 ȠʌȩĲİ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ ª ʌ º « 2 , ȟ » . ¬ ¼ f c ȖȞ.Įȣȟ. ʌ x ȟ x 0 f c ȟ f c x f c 0

2 0 f c x 1 ȠʌȩĲİ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [ȟ, 0]. ǼʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ 0, șĮ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ª ʌº ª ʌº ĮȪȟȠȣıĮ țĮȚ ıĲȠ > ȟ, 0@ «0, » «ȟ, » . ¬ 2¼ ¬ 2¼ ǲȤȠȣȝİ § ª ʌ º · f ȖȞ.ĳș. ª ʌ2 4 º § ʌ ·º ª f ¨ « , ȟ » ¸ f ȟ ,f ¨ ¸ » «f ȟ , » « 4 ¼ © 2 ¹¼ ¬ ©¬ 2 ¼¹ ¬ ǹȜȜȐ: ȟ 0 f ȟ f 0 f ȟ 0 .

ª ʌ2 4 º ǱȡĮ 0 «f ȟ , » țĮȚ Ș f ȖȞȘıȓȦȢ 4 ¼ ¬ ª ʌ º ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ « , ȟ » , ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ¬ 2 ¼ ʌ f x 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȚĮ ȡȓȗĮ ıĲȠ §¨ , ȟ ·¸ . © 2 ¹ ª ʌº ȈĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ «ȟ, » Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ¬ 2¼ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ʌȡȠĳĮȞȒ ȡȓȗĮ ĲȠ 0 ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ f x 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȚĮ ȡȓȗĮ ĲȠ 0.

ǱȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ f x 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ 2 ȡȓȗİȢ: ĲȘȞ

§ ʌ x0 ¨ , © 2

· ȟ ¸ țĮȚ ĲȘȞ x = 0. ¹

f cc x 2 Șȝx ! 0 (įȚȩĲȚ 1 d Șȝx d 1 ) ȠʌȩĲİ Ș

ª ʌ ʌº f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ « , » . ¬ 2 2¼

2 ii) ǲȤȠȣȝİ x

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/51

2 Șȝx f x

2 3

x x

ª ʌ º H f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ « , ȟ » , ¬ 2 ¼ § ʌ· f ¨ ¸ z f ȟ įȚȩĲȚ © 2¹ 2 § ʌ· ʌ 4 9 4 5 ! ! 0 țĮȚ f ȟ 0 . f ¨ ¸ 4 4 4 © 2¹

2 § ʌ· f ¨ ¸ 3 © 2¹ ǱȡĮ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ ǼȞįȚĮȝȑıȦȞ ȉȚȝȫȞ § ʌ · ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ x1 ¨ , ȟ ¸ ĲȑĲȠȚȠ © 2 ¹ 2 țĮȚ İʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȫıĲİ f x1

f ȟ

ª ʌ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ « , ¬ 2

º ȟ » Ș ĲȚȝȒ x1 İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ. ¼ ª ʌº x H f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ «ȟ, » , ¬ 2¼ 2 § ʌ· ʌ 4 ʌ ! 0 țĮȚ f ȟ 0 x f §¨ ·¸ z f ȟ įȚȩĲȚ f ¨ ¸ 4 © 2¹ © 2¹ 2 §ʌ· x f ȟ f ¨ ¸ 3 ©2¹ ǱȡĮ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ ǼȞįȚĮȝȑıȦȞ ȉȚȝȫȞ § ʌ· ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ x 2 ¨ ȟ, ¸ ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ © 2¹ 2 țĮȚ İʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ f x2

3 ª ʌº ıĲȠ «ȟ, » Ș ĲȚȝȒ x 2 İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ. ¬ 2¼ ǱıțȘıȘ 4Ș ǻȓȞİĲĮȚ Ș įȪȠ ĳȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f :[0, f ) o \ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪȠȣȞ:

x x

f(2) = 2f(1) = 2f(0) = 4 țĮȚ f ''(x) ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x t 0 . Į) ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȑȞĮ ĲȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ țĮȚ ȑȞĮ ȠȜȚțȩ İȜȐȤȚıĲȠ. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ lim xo 2

f (2x) 4x

x 2

f .

Ȗ) ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ Cf Ș ȠʌȠȓĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ. į) ǹȞ B(ȕ, f(ȕ)) ĲȠ ıȘȝİȓȠ İʌĮĳȒȢ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ ĲȠȣ İȡȦĲȒȝĮĲȠȢ (Ȗ) ȝİ ĲȘ Cf ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: i)

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x o f

ȁȪıȘ

ii)

f (x)dx ! 1 .

Į) ǼʌİȚįȒ f cc(x) ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x t 0 Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [0, f ) ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ 0, ȦȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȘȝȘ x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: Ǿ ĮȞĮȗȒĲȘıȘ ĲȦȞ ĮțȡȠĲȐĲȦȞ ĲȘȢ f ȝĮȢ ȠįȘȖİȓ ıĲȠȞ ʌȡȠıįȚȠȡȚıȝȩ ĲȦȞ ȡȚȗȫȞ ĲȘȢ f c. ǼʌİȚįȒ įİȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȘȢ f c ȫıĲİ ȞĮ ȝʌȠȡȑıȠȣȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĮȜȖİȕȡȚțȐ ȝȚĮ ȡȓȗĮ ĲȘȢ, țĮȚ ȕȜȑʌȠȞĲĮȢ ĲȠ įİįȠȝȑȞȠ f(0) = f(1) ıțİĳĲȩȝĮıĲİ ȞĮ ĮȟȚȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Rolle. Ǿ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ [0, 1] țĮȚ ȚıȤȪİȚ f(0) = f(1) = 2, ȠʌȩĲİ Įʌȩ ĲȠ Ĭ. Rolle ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ Į (0, 1) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ f c(Į) 0, ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ıĲȠ [0, f ) ĮĳȠȪ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. īȚĮ ĲȠ ʌȡȩıȘȝȠ ĲȘȢ f c ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ: f cn

0 d x Į f c(x) f c(Į) f c(x) 0, ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ [0, Į]

x ! Į f c(x) ! f c(Į) f c(x) ! 0 , ȐȡĮ f ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [0, f)

ȐȡĮ

f cn

ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ĲȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ ıĲȠ x=0, ĲȠ f(0) = 2 (ȐțȡȠ țȜİȚıĲȠȪ įȚĮıĲȒȝĮĲȠȢ) țĮȚ ȠȜȚțȩ İȜȐȤȚıĲȠ ıĲo x = Į, ĲȠ f(Į). ȕ) ǼȓȞĮȚ lim(x 2) 2 0 țĮȚ x o2

(x 2)2 ! 0 ȖȚĮ x z 2 ȠʌȩĲİ lim x o2

x 2

țĮȚ lim > f (2x) 4x @

f (4) 8 ĮĳȠȪ Ș f İȓȞĮȚ

ıȣȞİȤȒȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ

ȞĮ

x o2

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ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ

f (4) 8 ! 0, įȘȜĮįȒ f (4) ! 8 .

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x ȈȀǼȆȉǿȀȅ:

ǼʌİȚįȒ Ș ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ıİ ĲȚȝȒ ĲȘȢ f țĮȚ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȘ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ ĲȘȢ f c, ȠįȘȖȠȪȝĮıĲİ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȒ ĲȘȢ ıĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ ȂȑıȘȢ ȉȚȝȒȢ. ȉȠ İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ıĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ [1, 2] țĮȚ [2, 4], ĮĳȠȪ Ș f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ [0, f ) . ǱȡĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȟ1 (1, 2) țĮȚ ȟ 2 (2, 4) ĲȑĲȠȚĮ, f (2) f (1) 4 2 ȫıĲİ f c([1 ) 2 țĮȚ 2 1 1 f (4) f (2) f (4) 4 . f c([ 2 ) 4 2 2 ǵȝȦȢ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [Į, f ) țĮȚ Į 1 ȟ1 2 ȟ 2 f (4) 4 (ʌȠȣ f c([1 ) f c(ȟ 2 ) 2 f (4) ! 8 2 İȓȞĮȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ).

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/52

Ȗ) ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ıȘȝİȓȠ Ǻ (ȕ, f(ȕ)) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ Ș İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ Cf ıĲȠ Ǻ ʌȠȣ İȓȞĮȚ Ș İȣșİȓĮ İ: y f (ȕ) f c(ȕ)(x ȕ) ȞĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ(0, 0), įȘȜĮįȒ ȞĮ ȚıȤȪİȚ c c f (ȕ) ȕf (ȕ), Ȓ ȕf (ȕ) f (ȕ) 0 , ȩʌȠȣ ȕ 0

ĮĳȠȪ 0 f ' 0 f 0 f 0 2 z 0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ Ș İȟȓıȦıȘ xfc(x) – f(x) = 0. x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: Ǿ ĮȞĮȗȒĲȘıȘ ȡȓȗĮȢ ıİ İȟȓıȦıȘ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ țĮȚ Ș f țĮȚ Ș f c ȝĮȢ ȠįȘȖİȓ țĮĲȐ ʌȡȠĲİȡĮȚȩĲȘĲĮ ıĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Rolle. ȈĲȠ 0, f ȜȠȚʌȩȞ ȑȤȠȣȝİ: :x2 z0

xf c(x) f(x) 0

xf c(x) f(x) § f (x) ·c 0 ¨ ¸ x2 © x ¹

ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ g(x)

f (x) , x ! 0. x

H g İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ [1, 2] ȝİ

gc(x)

xf c(x) f (x) ,x>0 x2

f (1) 2 4 f (2) g(2) . 1 1 2 2 ǼʌȠȝȑȞȦȢ Įʌȩ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Rolle, ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȕ (1, 2) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ: g c(ȕ)=0 ȕf c(ȕ) f (ȕ) ǻȘȜĮįȒ 0, ȠʌȩĲİ . ȕ2 .

ǹțȩȝȘ İȓȞĮȚ g(1)

x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: īȚĮ ĲȘ ȝȠȞĮįȚțȩĲȘĲĮ ĲȘȢ ȡȓȗĮȢ Įȡțİȓ ȞĮ İȜȑȖȟȠȣȝİ ĲȘ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȘĲȒ, įȘȜĮįȒ ĲȘȢ h(x) xf c(x) f(x), x ! 0 . H h İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ȝİ h c(x) f c(x) xf cc(x) f c(x) xf cc(x) ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x > 0. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș h İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ȠʌȩĲİ ĲȠ ȕ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ h(x)=0 țĮȚ ȐȡĮ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȩȞȠ ȝȚĮ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ Cf ʌȠȣ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ. į) Ǿ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ Cf ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ (ȕ, f(ȕ)) ĮĳȠȪ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ Ș İȟȓıȦıȘ șĮ ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ y f c(ȕ)x ʌȠȣ ȜȩȖȦ ĲȚȢ f (ȕ) (1) ȖȡȐĳİĲĮȚ y f cc(x) ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x ȕ x [0, f ) Ș f İȓȞĮȚ țȣȡĲȒ ıĲȠ [0, f ), ȠʌȩĲİ f (ȕ) ȚıȤȪİȚ f (x) t x (2) ȖȚĮ țȐșİ x [0, f ) ȝİ ȕ

ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x=ȕ. ǹțȩȝȘ İʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [Į, f ) ȑȤȠȣȝİ: Į<1<ȕ<2 f (ȕ) ! f(1) f(ȕ) ! 2 (3) țĮȚ ȕf (ȕ) ȕf (ȕ) ! 2 1 ! 1 (4) 2 § f (ȕ) · f (ȕ) x ¸ f i) ǼʌİȚįȒ ! 0 , șĮ İȓȞĮȚ lim ¨ x o f ȕ © ȕ ¹ țĮȚ ȜȩȖȦ ĲȘȢ (2) lim f (x) f x o f

ii) ǹʌȩ ĲȘ (2) ȠȜȠțȜȘȡȫȞȠȞĲĮȢ ʌȡȠțȪʌĲİȚ: ȕ

f (ȕ) f (ȕ) ª x 2 º ! f (x)dx xdx « » ³0 ³0 ȕ ȕ ¬ 2 ¼0 ȕ f (ȕ) ȕ 2 f (ȕ)ȕ ³ f (x)dx ! ! 1 Įʌȩ (4). 0 ȕ 2 2 ǱıțȘıȘ 5Ș ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȑȢ ǼȟİĲȐıİȚȢ ĬİĲȚțȒȢ țĮȚ ȉİȤȞȠȜȠȖȚțȒȢ ȀĮĲİȪșȣȞıȘȢ 2005 ĬǼȂǹ 3Ƞ (Į) ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f, Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ ȝİ f c(x) z 0 ȖȚĮ țȐșİ x \ . ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ 1 – 1. ȁȪıȘ 1ȠȢ ȉȡȩʌȠȢ (ǹʌĮȖȦȖȒ ıİ ȐĲȠʌȠ) ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f įİȞ İȓȞĮȚ 1 – 1. ȉȩĲİ ȣʌȐȡȤȠȣȞ įȣȠ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ȝİ Į < ȕ, ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ ȞĮ ȚıȤȪİȚ f(Į) = f(ȕ). x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: Ǿ ıȣȞșȒțȘ f(Į) = f(ȕ) ıİ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȝİ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ȝĮȢ ȠįȘȖİȓ ıĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Rolle. ǼʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ , ȐȡĮ țĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıİ ĮȣĲȩ, ȚıȤȪȠȣȞ ȖȚĮ ĲȘȞ f ȠȚ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ĲȠȣ ĬİȦȡȒȝĮĲȠȢ Rolle ıĲȠ [Į, ȕ]. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȣʌȐȡȤİȚ ĮȡȚșȝȩȢ ȟ (Į, ȕ) ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ f c(ȟ) 0 , ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ. 2ȠȢ ȉȡȩʌȠȢ (ǼȣșİȓĮ ĮʌȩįİȚȟȘ) ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ x1 , x 2 \ ȝİ E

x1 z x 2 ȚıȤȪİȚ f(x1) z f(x2) x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: ȉȠ įİįȠȝȑȞȠ ĲȘȢ ȐıțȘıȘȢ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ıİ ȚįȚȩĲȘĲĮ ĲȘȢ ʌĮȡĮȖȫȖȠȣ ĲȘȢ f, İȞȫ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ıİ ȚįȚȩĲȘĲĮ ĲȚȝȫȞ ĲȘȢ f. ǹȣĲȩ ȝĮȢ ȠįȘȖİȓ ıĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ ȂȑıȘȢ ȉȚȝȒȢ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ıȣȞįȑİȚ ĮȣĲȐ ĲĮ įȪȠ ıĲȠȚȤİȓĮ. ǲıĲȦ x1 x 2 . ǿıȤȪȠȣȞ ȖȚĮ ĲȘȞ f ȠȚ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ĲȠȣ ĬİȦȡȒȝĮĲȠȢ ȂȑıȘȢ ȉȚȝȒȢ ıĲȠ ȠʌȩĲİ

f c([)

ȣʌȐȡȤİȚ

[ Į, ȕ

ĲȑĲȠȚȠ

f (x 2 ) f x1

. x 2 x1

ǱȡĮ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ, șĮ İȓȞĮȚ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/53

> x1 , x 2 @

ȫıĲİ:

f (x 2 ) f x1

f ' [ z 0 z 0 f (x 2 ) z f (x1 ) x 2 x1 ȅȝȠȓȦȢ x1 ! x 2 f (x 2 ) z f (x1 ) . ǱıțȘıȘ 6Ș ǼȟİĲȐıİȚȢ ȆȡȠıĮȞĮĲȠȜȚıȝȠȪ 2018 ĬǼȂǹ ǻ ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f (x) 2e x Į x 2 , x \ ȝİ Į > 1 ǻ1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į > 1 Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ. ǻ2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȝȠȞĮįȚțȐ x1 , x 2 \ ȝİ x1 x 2 , ĲȑĲȠȚĮ, ȫıĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ĲȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ ıĲȠ x1 țĮȚ ĲȠʌȚțȩ İȜȐȤȚıĲȠ ıĲȠ x2 ǻ3. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f(x) = f(1) İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ıĲȠ Į, x 2 . ȁȪıȘ ǻ1. Ǿ fİȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ įȪȠ ĳȠȡȑȢ ıĲȠ \ ȝİ f c(x) 2e x Į 2x țĮȚ

f cc(x)

x x x

ǹțȩȝȘ ȑȤȠȣȝİ: f c JQ .MTLQ .

x x1 f c x ! f c x1 f c(x) ! 0 , ȠʌȩĲİ Ș f

İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ ( f, x1 ] . f c JQ .MT.

țĮȚ x1 x d D f c x f c x1 f c(x) 0 (1), ȠʌȩĲİ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ [x1 , D] ȐȡĮ Ș x1 İȓȞĮȚ șȑıȘ ĲȠʌȚțȠȪ ȝİȖȓıĲȠȣ ǼȟȐȜȜȠȣ ȑȤȠȣȝİ: x f c(Į) 2(1 Į) 0 , ĮĳȠȪ 1 – Į < 0.

ǻ2. ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș f c ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ įȣȠ ȡȓȗİȢ x1 , x 2 ȝİ x1 x 2 țĮȚ ıĲȘ șȑıȘ x1 ĮȜȜȐȗİȚ ʌȡȩıȘȝȠ (Įʌȩ șİĲȚțȒ ȖȓȞİĲĮȚ ĮȡȞȘĲȚțȒ) İȞȫ ıĲȠ x 2 ĮȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ (Įʌȩ ĮȡȞȘĲȚțȒ ȖȓȞİĲĮȚ șİĲȚțȒ). ǹʌȩ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ǻ1 ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ( f, Į] țĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [Į, f) ȠʌȩĲİ șĮ ȑȤİȚ ĲȠ ʌȠȜȪ ȝȚĮ ȡȓȗĮ ıİ țĮșȑȞĮ Įʌ’ ĮȣĲȐ ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ.

x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: Ǿ ȪʌĮȡȟȘ ĲȘȢ ȡȓȗĮȢ ıĲȠ ( f,Į] ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ țĮȚ ȝİ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ ĲȚȝȫȞ țĮȚ ȝİ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ĬİȦȡȒȝĮĲȠȢ Bolzano (ȝİ İʌȚȜİȖȝȑȞİȢ ĲȚȝȑȢ ʌȠȣ ʌȡȠıİȖȖȓȗȠȣȞ ĲȘ ȡȓȗĮ), İȞȫ ıĲȠ [Į, f) șĮ ȖȓȞİȚ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ȖȚĮĲȓ įİȞ İȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ șİĲȚțȒ ĲȚȝȒ ĲȘȢ f ȖȚĮ x > Į. ǲȤȠȣȝİ:

lim 2 e x Į x

lim f c(x)

x o f

x Į

ǼʌȠȝȑȞȦȢ: Ǿ f İȓȞĮȚ țȠȓȜȘ ıĲȠ ( f, Į] țĮȚ țȣȡĲȒ ıĲȠ [Į, f), ȠʌȩĲİ Ș Cf ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ ĲȠ ǹ(Į, f(Į)) ȝİ f(Į) = 2eĮ – 2 – Į2.

Ǿ f c İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ [0, 1]. ǱȡĮ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Bolzano ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮ x1 0, 1

ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ

f c x1 0 țĮȚ İʌİȚįȒ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ ( f,Į] , ĲȠ x1 İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ.

2e x Į 2 2 e x Į 1 , x \ .

f cc(x) 0 2(e 1) 0 x Į țĮȚ f cc(x) ! 0 e x Į ! 1 x Į ! 0 x ! Į f cc(x) 0 x Į

f c(0) 2e D ! 0 țĮȚ f c(1) 2(e1 D 1) 0 , ĮĳȠȪ 1 D 1 Į 0 e1 Į 1

lim 2 e x Į x

lim f c(x)

f .

x o f

ǱȡĮ: f c ( f,Į] [2(1 Į), f) țĮȚ f c [Į, f)

[2(1 Į), f)

ǹȜȜȐ 0 f c([Į, f)) țĮȚ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [Į, f) . ǱȡĮ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȩ x 2 (Į, f) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ f c x 2 0 .

ǹțȩȝȘ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ: f cJQ .DX[

D d x x 2 f c x f c x 2 f c(x) 0 (2)

ǹʌȩ (1) țĮȚ (2) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ f c x 0 ȖȚĮ țȐșİ

x x1 , x 2 , ȠʌȩĲİ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ

ıĲȠ > x1 , x 2 @ . țĮȚ f c ȖȞ.Įȣȟ.

x ! x 2 f c x ! f c x 2 f c x ! 0 ȠʌȩĲİ Ș f ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [x 2 , f) ǱȡĮ Ș x 2 İȓȞĮȚ șȑıȘ ĲȠʌȚțȠȪ İȜĮȤȓıĲȠȣ. x

f c(x)

–f

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/54

0 +

x1 0 T.M.

1 –

x2 0 T.E.

+f +

ǻ3. ǹʌȩ ĲȠ ǻ2 ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ, ȐȡĮ țĮȚ 1 – 1 ıĲȠ > x1 , x 2 @ țĮȚ 1, Į

x1 , x 2 . ǲĲıȚ ȖȚĮ ĲȘ İȟȓıȦıȘ ȑȤȠȣȝİ: f 1-1

f (x) f (1) x 1 , ĲȚȝȒ ʌȠȣ ĮʌȠȡȡȓʌĲİĲĮȚ ĮĳȠȪ 1<Į țĮȚ x Į, x 2 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ıĲȠ Į, x 2 .

ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ, ĮĳȠȪ f’ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. ǹțȩȝȘ ȖȚĮ x < ȡ İȓȞĮȚ f’(x) < f’(ȡ) = 0, ȠʌȩĲİ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ ( f, U] țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ

ǺǯȉȡȩʌȠȢ (ıȣȞșİĲȚțȐ) ǲȤȠȣȝİ: 1, Į x1 , x 2 ȠʌȩĲİ

x Į, x 2 x1 1 D x x 2 f x f 1 f x z f 1 . ǱȡĮ Ș f x f 1

İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ıĲȠ Į, x 2 .

x Ȉȋȅȁǿȅ: ȉȠ «țȜİȚįȓ» ȖȚĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ıĲȠ Į, x 2 ȒĲĮȞ ȞĮ İȟĮıĳĮȜȚıĲİȓ ĮȡȤȚțȐ ȩĲȚ ĲȠ 1 x1 , x 2 . ǵʌȦȢ İȓįĮȝİ, Ș ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ȪʌĮȡȟȘȢ ĲȠȣ x1 ȝİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Bolzano İȟĮıĳȐȜȚıİ ĮȝȑıȦȢ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ, İȞȫ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ȟİȤȦȡȚıĲȒ ĮʌȩįİȚȟȘ İȐȞ Ș ȪʌĮȡȟȒ ĲȠȣ ȖȓȞİȚ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ĲȘȢ f c ıĲȠ ( f, Į]. ǵʌȦȢ ȑįİȚȟİ Ș ȕĮșȝȠȜȩȖȘıȘ ĲȦȞ ȖȡĮʌĲȫȞ, İȜȐȤȚıĲȠȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ʌȠȣ ȑțĮȞĮȞ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ ĲȚȝȫȞ ĮȞĲȚȜȒĳșȘțĮȞ ĮȣĲȩ ĲȠ ȗȒĲȘȝĮ țĮȚ ĮțȩȝȘ ȜȚȖȩĲİȡȠȚ ȝʌȩȡİıĮȞ ȞĮ ĲȠ ĮʌȠįİȓȟȠȣȞ. ǱıțȘıȘ 7 ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ: 2 x x 1

ǼȓȞĮȚ f’(x) = 2xͼln2 + 2x – 2, x \ țĮȚ f”(x) = 2xln22 + 2, x \ . ǼȓȞĮȚ (ʌȡȠĳĮȞȫȢ) f”(x) > 0 ȖȚĮ țȐșİ x \ ȠʌȩĲİ Ș fc İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ \ . ǼȓȞĮȚ f’(0) = ln2 – 2 < 0 țĮȚ f’(1) = 2ln2 > 0 țĮȚ Ș f’ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ [0,1] ȦȢ ȐșȡȠȚıȝĮ ıȣȞİȤȫȞ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Įʌȩ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Bolzano ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȡ (0, 1) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ f’(ȡ) = 0, ĲȠ

ȁȪıȘ

x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: ǼʌİȚįȒ Ș İȟȓıȦıȘ įİȞ ȜȪȞİĲĮȚ ĮȜȖİȕȡȚțȐ șĮ țȐȞȠȣȝİ ȤȡȒıȘ ȕȠȘșȘĲȚțȒȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f(x) = 2x + (x– 1)2 – 2, x \ ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ f(1) = f(0) = 0, İʌȠȝȑȞȦȢ įȣȠ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ ȠȚ x1 = 0, x 2 1 . ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȐȜȜİȢ. 1ȠȢ ȉȡȩʌȠȢ: (ȋȡȒıȘ ĲȘȢ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮȢ ĲȘȢ f)

x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ĮȡȚșȝȩȢ ȡ ȝİ 0<ȡ<1 țĮȚ ıĲĮ įȚĮıĲȪȝĮĲĮ f,ȡ țĮȚ ȡ, f Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĮȜȜȐȗİȚ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ

Ș x1 = 0 İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȡȓȗĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ĮȣĲȩ. īȚĮ x > ȡ İȓȞĮȚ f’(x) > f’(ȡ) = 0, ȠʌȩĲİ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ [ȡ, f) țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ Ș x2 = 1 İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȡȓȗĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ĮȣĲȩ. ǱȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ f(x) = 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ įȣȠ ȡȓȗİȢ ĲȘȞ x1 = 0 țĮȚ ĲȘȞ x2 = 1. 2ȠȢ ȉȡȩʌȠȢ (ǹʌĮȖȦȖȒ ıİ ȐĲȠʌȠ)

x ȈȀǼȆȉǿȀȅ: ȊʌȠșȑĲȦ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ĲȡİȚȢ ȡȓȗİȢ țĮȚ ȝİ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȠȣ ĬİȦȡȒȝĮĲȠȢ Rolle țĮĲĮȜȒȖȦ ıİ ȐĲȠʌȠ. ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f(x) = 0 ȑȤİȚ ĲȡİȚȢ ȡȓȗİȢ ıĲȠ \ ĲȚȢ Į, ȕ, Ȗ ȝİ Į < ȕ < Ȗ. ȉȩĲİ ȚıȤȪİȚ f(Į) = f(ȕ) = f(Ȗ) = 0 țĮȚ İʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ ȐȡĮ țĮȚ ıĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ [Į, ȕ] țĮȚ [ȕ, Ȗ] , Įʌȩ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ Rolle ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f’(x) = 0 ȑȤİȚ įȪȠ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȡȓȗİȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ ĮĳȠȪ Ș f’ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩĲȠȞȘ. Ȉȋȅȁǿȅ: ǼȓȞĮȚ İȝĳĮȞȑȢ ȩĲȚ Ƞ įİȪĲİȡȠȢ ĲȡȩʌȠȢ İȓȞĮȚ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȠȢ țĮȚ ĮʌȜȠȪıĲİȡȠȢ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ. ǺȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮ x Ĭ. ȀĮȗĮȞĲȗȒȢ, ī. ȂĮȣȡȓįȘȢ & Ǽ. ȂȒĲıȚȠȣ: ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ǻȑıȝȘ. ǼțįȩıİȚȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǺȚȕȜȚȠșȒțȘ, 1995. x ī. ĬȦȝĮǸįȘȢ: 66 ĬȑȝĮĲĮ ǹȞȐȜȣıȘȢ īǯ ȁȣțİȓȠȣ. ǼțįȩıİȚȢ ǽĮȞĲĮȡȓįȘȢ-ȉȘȜȑȖȡĮĳȠȢ, 2018. x Ȇ. ȀĮȞįȪȜĮȢ [İʌȚȝ.]: ȉİȜȚțȒ ǼʌĮȞȐȜȘȥȘ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ĲȘȢ īǯ ȁȣțİȓȠȣ. ǼțįȩıİȚȢ ȀĮȞįȪȜĮȢ, 2018. x ȃ. ȇȐʌĲȘȢ [İʌȚȝ]: 260 ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȐ ĬȑȝĮĲĮ īǯ ȁȣțİȓȠȣ. lisari.blogspot.gr, 2018.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/55

Ä¼¾»ÊÂÃȘ ÉÊÈÌȐ¼¼ÂÌÀ ÍÈÎ ¿ÀÍȘÅºÍÈË ÍÒÆ ºÃÊÈÍǷÍÒÆ ÅÂºË ÌÎÆǷÊÍÀÌÀË ǹʌȩıĲȠȜȠȢ ǻȑȝȘȢ, ȆȡȩĲȣʌȠ īİȞȚțȩ ȁȪțİȚȠ ǺĮȡȕĮțİȓȠȣ ȈȤȠȜȒȢ. Ȉİ ȠȡȚıȝȑȞİȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ țȐʌȠȚĮ İȞįȚĮĳȑȡȠȞĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȝİȖȓıĲȦȞ țĮȚ İȜĮȤȓıĲȦȞ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ İʌȚȜȣșȠȪȞ ȝİ ĲȘȞ ȤȡȒıȘ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ȝİșȩįȦȞ ȤȦȡȓȢ ĲȘȞ ʌȡȠıĳȣȖȒ ıĲȘȞ ȤȡȒıȘ ʌĮȡĮȖȫȖȦȞ țĮȚ İȣȡȪĲİȡĮ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ǹȞȐȜȣıȘȢ. ȈĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ ȝȚĮ ıİȚȡȐ Įʌȩ ĮʌȜȑȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ İȓȞĮȚ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ȤȡȒıȚȝİȢ ȖȚĮ ĲȠȞ ʌȡȠıįȚȠȡȚıȝȩ ĮțȡȠĲȐĲȦȞ. ȅȚ ĮʌȠįİȓȟİȚȢ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ ĮʌȜȑȢ țĮȚ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ȪȜȘ ĲȘȢ ǹǯ ĲȐȟȘȢ ĲȠȣ ȁȣțİȓȠȣ. ȈĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ șİȦȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ʌȠȣ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ ıĲȚȢ ĮțȩȜȠȣșİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ țĮȚ ȠȚ ț, Ȝ İȓȞĮȚ șİĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. 1. ǹȞ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f țĮȚ g ȑȤȠȣȞ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ , ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ țf Ȝg ȑȤİȚ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į. 2. ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ , ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į. 3. ǹȞ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f țĮȚ g ȑȤȠȣȞ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ țĮȚ ȩȜİȢ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ fg ȑȤİȚ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į. 4. ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ țĮȚ ȩȜİȢ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ Ȝ șİĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȑȤİȚ ȝȑf ȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į. 5. ǹȞ ȩȜİȢ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ȩȜİȢ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ g İȓȞĮȚ șİĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, Ș f ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) țĮȚ Ș g ȑȤİȚ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ f ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į, ĲȩĲİ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ g (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ Į. 6. ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ, ĲȩĲİ ȑȤİȚ ĲȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠȞ ĮȞ ȑȤİȚ ĲȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ .

7. ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȒ, ĲȩĲİ ȑȤİȚ ĲȠʌȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠȞ ĮȞ ȑȤİȚ ĲȠʌȚțȩ İȜȐȤȚıĲȠ (ȝȑȖȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ . 8. ǹȞ ȩȜİȢ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f İȓȞĮȚ ȝȘ ĮȡȞȘĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ĲȩĲİ ĮȣĲȒ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠȞ ĮȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f Ȟ , Ȟ ` \ ^0 , 1` , ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į. 9. Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į ǹ ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠȞ ĮȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f 2 Ȟ 1 , Ȟ ` , ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ (İȜȐȤȚıĲȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Į. ȆȡȩĲĮıȘ 1. ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : A o \ , A \ , ȑȤİȚ İȜȐȤȚıĲȠ (ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ, ȝȑȖȚıĲȠ), ĲȩĲİ Ș ĲȚȝȒ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ. ǹʌȩįİȚȟȘ: ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ İȜȐȤȚıĲȠ ȓıȠȞ ȝİ m1 . ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ıȘȝİȓȠ x1 ǹ ĲȑĲȠȚȠ, ȫıĲİ

f x1

(1)

țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ x A ȚıȤȪİȚ f x t f x1 . (2) ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ Ș f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ İʌȓıȘȢ İȜȐȤȚıĲȠ ȓıȠȞ ȝİ m2 . ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ıȘȝİȓȠ x2 ǹ ĲȑĲȠȚȠ, ȫıĲİ

țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ x A ȚıȤȪİȚ

f x2

(3)

f x t f x2 .

(4)

ǹȞ ĲȠʌȠșİĲȒıȠȣȝİ ıĲȘȞ ıȤȑıȘ (2) ĲȠ x2 ıĲȘȞ șȑıȘ ĲȠȣ x, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȘȞ ıȤȑıȘ f x2 t f x1 . (5) ǹȞ ĲȠʌȠșİĲȒıȠȣȝİ ıĲȘȞ ıȤȑıȘ (4) ĲȠ x1 ıĲȘȞ șȑıȘ ĲȠȣ x, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȘȞ ıȤȑıȘ f x1 t f x2 . (6) ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (5) țĮȚ (6) ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ f x1 f x2 , ȠʌȩĲİ ȜȩȖȦ țĮȚ ĲȦȞ ıȤȑıİȦȞ (1) țĮȚ (3) țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȠ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ m1 m2 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ȓ ĲȚȝȒ ĲȠȣ İȜĮȤȓıĲȠȣ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ. Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ țĮĲȐ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ Ș f ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȠ İȓȞĮȚ ʌĮȞȠȝȠȚȩĲȣʌȘ ȝİ ĮȣĲȒȞ ʌȠȣ ʌȡȠȘȖȒșȘțİ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/56

------------------------------------------------------- ǹȜȖİȕȡȚțȒ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ ĲȠȣ ȗȘĲȒȝĮĲȠȢ ĲȦȞ ĮțȡȠĲȐĲȦȞ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ----------------------------------------------------

ȈȤȩȜȚȠ ȆȡȑʌİȚ ȞĮ ʌȡȠıȑȟȠȣȝİ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ʌȦȢ İȞȫ ĲȠ İȜȐȤȚıĲȠ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ, İĳȩıȠȞ ȕİȕĮȓȦȢ ȣʌȐȡȤİȚ, İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȩ, İȞĲȠȪĲȠȚȢ ĮȣĲȩ įİȞ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĮȞĮȖțĮıĲȚțȐ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ ıİ ȝȠȞĮįȚțȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ ʌİįȓȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ. ȈĲȘȞ ĮȞȦĲȑȡȦ ĮʌȩįİȚȟȘ įİȞ İȓȞĮȚ ĮȞĮȖțĮıĲȚțȐ x1 x2 .

īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f x

Șȝx ȑȤİȚ

İȜȐȤȚıĲȠ ȓıȠȞ ȝİ 1 ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ ıĲĮ ʌ ȐʌİȚȡĮ ıȘȝİȓĮ 2kʌ , k ] . 2 Ǿ İʌȩȝİȞȘ ʌȡȩĲĮıȘ İȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȒȢ țĮȚ Ș ĮʌȩįİȚȟȒ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȚȝȝȑȞȘ. ǵȝȦȢ İȓȞĮȚ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ȤȡȒıȚȝȘ İȚįȚțȐ ıĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ȠȡȚıȝȑȞȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ. ȆȡȩĲĮıȘ 2. H ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : A o \ , A \ ,

ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȘȞ ıȤȑıȘ f x ! f x0 ȖȚĮ țȐșİ

x A ^ x0 ` , ȩʌȠȣ x0 A . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: (i) ĲȠ x0 İȓȞĮȚ șȑıȘ ȠȜȚțȠȪ İȜĮȤȓıĲȠȣ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f țĮȚ (ii) Ș İȟȓıȦıȘ f x f x0 ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ıĲȠ ǹ ĲȠ x0 . ǹʌȩįİȚȟȘ: (i) ȀĮșȫȢ İȓȞĮȚ f x ! f x0 ȖȚĮ țȐșİ

x A \ ^x0 ` țĮȚ f x

f x0 ȖȚĮ x

x0 , ıȣȝʌİ-

ȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ x A ȚıȤȪİȚ f x t f x0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș f ȑȤİȚ ıĲȠ x0 ȠȜȚțȩ İȜȐȤȚıĲȠ.

(ii)

ǹĳȠȪ

ȖȚĮ

țȐșİ

x A \ ^x0 `

ȑȤȠȣȝİ

f x ! f x0 , ʌȡȠĳĮȞȫȢ ȚıȤȪİȚ f x z f x0

ȖȚĮ x z x0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ f x

f x0 İȓȞĮȚ Ș ʌȡȠĳĮȞȒȢ x

x0 .

ǹʌȩįİȚȟȘ: ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ

Į , Ȗ@

țĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ

įȚȐıĲȘȝĮ > Ȗ , ȕ . ǹȞ ĲȠ x İȓȞĮȚ ĲȣȤĮȓȠ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȠȣ Į , Ȗ , ȑȤȠȣȝİ x Ȗ , ȠʌȩĲİ ȚıȤȪİȚ f x ! f Ȗ .

ǹȞ ĲȠ x İȓȞĮȚ ĲȣȤĮȓȠ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȠȣ Ȗ , ȕ , ȑȤȠȣȝİ x ! Ȗ , ȠʌȩĲİ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ʌȐȜȚ f x ! f Ȗ .

ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȖȚĮ țȐșİ

x Į, Ȗ Ȗ, ȕ

f x ! f Ȗ țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ

x Į, ȕ

ȚıȤȪİȚ ȚıȤȪİȚ

f x t f Ȗ . ǱȡĮ ĲȠ Ȗ İȓȞĮȚ (ȝȠȞĮįȚțȒ) șȑıȘ İȜĮȤȓıĲȠȣ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f . Ǿ ʌȡȩĲĮıȘ ĮȣĲȒ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ıĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ʌȠȣ ĲȠ ʌİįȓȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ İȓȞĮȚ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ > Į , ȕ@ ,

>Į , ȕ

Ȓ Į , ȕ@ țĮȚ ĲȠ Ȗ İȓȞĮȚ ȑȞĮ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȠȣȢ ıȘȝİȓȠ. ȋȡȒıȘ ĲȦȞ ȠȜȚțȫȞ ĮțȡȠĲȐĲȦȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ ıĲȘȞ ȜȪıȘ İȟȚıȫıİȦȞ Ǿ ĮțȩȜȠȣșȘ ʌȡȩĲĮıȘ İȓȞĮȚ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ĮʌȜȒ ĮȜȜȐ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȝĮȢ ȕȠȘșȒıİȚ ıĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ İȟȚıȫıİȦȞ ıİ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ʌȠȣ Ș ȤȡȒıȘ ĮȞĮȜȣĲȚțȫȞ ȝȑıȦȞ İȓȞĮȚ țȠʌȚȫįȘȢ Ȓ țĮȚ ĮȞĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȒ. ȆȡȩĲĮıȘ 4. ǹȞ ȠȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ f : A ĺ B țĮȚ g : ǹ ĺ

ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȚȢ ĮțȩȜȠȣșİȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ: 1. Ǿ f ȑȤİȚ ȠȜȚțȩ İȜȐȤȚıĲȠ ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ ȝȩȞȠȞ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ x0 A , 2. Ǿ g ȑȤİȚ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıĲȠ ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ ıĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ x0 A țĮȚ

ȆĮȡĮĲȒȡȘıȘ: Ȃİ ȐȜȜĮ ȜȩȖȚĮ ĮʌȠįİȓȟĮȝİ ȩĲȚ ĮȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȘȞ ıȤȑıȘ f x ! f x0 ȖȚĮ țȐșİ x A \ ^x0 ` , ĲȩĲİ ĲȠ x0 A İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ șȑıȘ ȠȜȚțȠȪ İȜĮȤȓıĲȠȣ ĮȣĲȒȢ.

3. f x0

țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȗ Į, ȕ , ȩʌȠȣ Į, ȕ \ ^ f, f` .

h x

f x g x . ǼȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ

f x

g x İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ

ȆȡȩĲĮıȘ 3. ǻȓįİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : Į, ȕ o \

ǹȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ (ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ) ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ

Į, Ȗ@

țĮȚ

ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ (ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ) ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ > Ȗ , ȕ , ĲȩĲİ ĲȠ Ȗ İȓȞĮȚ șȑıȘ ȠȜȚțȠȪ İȜĮȤȓıĲȠȣ (ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ȝİȖȓıĲȠȣ) ĲȘȢ f , țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ȝȠȞĮįȚțȒ.

g x0 , ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ f x

g x

ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ıĲȠ ǹ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ x0 . ǹȞȐȜȠȖȘ ʌȡȩĲĮıȘ ȚıȤȪİȚ ȝİ İȞĮȜȜĮȖȒ ĲȦȞ ȩȡȦȞ ȝȑȖȚıĲȠ țĮȚ İȜȐȤȚıĲȠ. ǹʌȩįİȚȟȘ: ȅȡȓȗȠȣȝİ ĲȘȞ ıȣȞȐȡĲȘıȘ h : A o \ ȝİ

h x 0 ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ. ǼʌȓıȘȢ ȚıȤȪİȚ h x0 0 ȜȩȖȦ ĲȘȢ ıȣȞșȒțȘȢ 3. Ǿ ıȣȞșȒțȘ 1 ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İțĳȡĮıĲİȓ ȦȢ İȟȒȢ: ȖȚĮ țȐșİ x A ^x0 ` ȚıȤȪİȚ f x0 f x Ȓ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/57

f x f x0 ! 0 .

(1)

Ǿ ȚįȚȩĲȘĲĮ 2 ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İțĳȡĮıĲİȓ ȦȢ İȟȒȢ: ȖȚĮ țȐșİ x A ȚıȤȪİȚ g x d g x0 Ȓ (2) g x g x0 t 0 . ǹȞ ʌȡȠıșȑıȠȣȝİ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ x A ^x0 ` ȑȤȠȣȝİ

f x g x ! 0 , İĳȩıȠȞ ȚıȤȪİȚ f x0

g x0 .

ǲĲıȚ ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȚıȤȪİȚ h x ! 0 ȖȚĮ țȐșİ

x A ^x0 ` țĮȚ h x0 0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȝȩȞȘ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ h x

įȘȜĮįȒ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ f x

g x ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ

İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x0 .

Șȝ x ıȣȞ x

ȆȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȜȐȤȚıĲȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f : 0 , f o \ , a, b 0 , f , ȝİ 2

b . x ȁȪıȘ: ȂİĲĮıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘb2 ıȘȢ ȦȢ İȟȒȢ: f x a 2 x x f x

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Șȝ 4 x ıȣȞ 4 x Șȝ 4 xıȣȞ 4 x ȁȪıȘ: Ǿ ʌȡȠıĳȣȖȒ ıİ ĮȜȖİȕȡȚțȠȪȢ ȤİȚȡȚıȝȠȪȢ ȝİ ıĲȩȤȠ ĲȘȞ ĮʌȜȠʌȠȓȘıȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ ʌȠȣ ıȣȞĮȞĲȠȪȝİ ıİ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȕȒȝĮ ıİ țȐșİ ʌȡȠıʌȐșİȚȐ ȝĮȢ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȒ ĲȠȣ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ƞ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ ȝİ ĮʌȜȠȪıĲİȡȘ ȝȠȡĳȒ ȦȢ İȟȒȢ: Șȝ4 x ıȣȞ4 x 1 1 1 1 4 f x

4 4 4 Șȝ x ıȣȞ x Șȝ xıȣȞ x Șȝ4 xıȣȞ4 x

2Șȝ 2 xıȣȞ2 x 1

ȘȝxıȣȞx

16 2 2Șȝ 2 xıȣȞ 2 x

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16 ȘȝxıȣȞx

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§ ʌ· § ʌ ʌ· § ʌ· § ʌ · īȚĮ țȐșİ x ¨0, ¸ ¨ , ¸ ȚıȤȪİȚ 2x ¨0, ¸ ¨ , ʌ¸ . © 4¹ © 4 2¹ © 2¹ © 2 ¹ § ʌ· §ʌ ʌ· ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȖȚĮ țȐșİ x ¨ 0, ¸ ¨ , ¸ ȑȤȠȣȝİ © 4¹ ©4 2¹ 0 Șȝ2 x 1 , ĮĳȠȪ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ 0 , ʌ Ș ıȣȞȐȡ-

ĲȘıȘ ȘȝȓĲȠȞȠ ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ 1 ȝȩȞȠȞ ıĲȠ

b · § ȑȤȠȣȝİ ¨ a x ¸ 2ab t 2ab . x¹ © ǱȡĮ ȖȚĮ țȐșİ x 0, f ȚıȤȪİȚ f x t 2ab . Ǽįȫ İȖİȓȡİĲĮȚ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ «İȓȞĮȚ ĲȠ 2ab İȜȐȤȚıĲȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f;» ǲĲıȚ İȟİĲȐȗȠȣȝİ ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ĲȚȝȒ ĲȠȣ x ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĲȠ f x ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ 2ab . ǲȤȠȣȝİ

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§ x x b2 b · ! b. , ȠʌȩĲİ ȚıȤȪİȚ ! 0 ¨ ¸ 2 2x 2x ¹ © 2 ǼʌİȚįȒ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ y a x İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ, ĮĳȠȪ ȑȤȠȣȝİ a ! 1 , ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ x 0, b b, f ȚıȤȪİȚ 2a

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ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ

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ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ f 1

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/59

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f x 3x 3 x 2ıȣȞ3x . ȉȩĲİ Ș įȠșİȓıĮ İȟȓıȦıȘ ʌĮȓȡȞİȚ ĲȘȞ ȝȠȡĳȒ f x 0 . ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ

f 0 0 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ 0 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ įȠșİȓıĮȢ İȟȓıȦıȘȢ. ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ x \ Ț2ıȣȞx t 2 . (1) ıȤȪİȚ

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2. 2

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ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ 3x 3 x 0 3x 3 x 3x 3 x 32 x 1 32 x 30 x 0 .

ǱȡĮ ĲȠ ȖȚĮ țȐșİ x \* ȚıȤȪİȚ

3 x 3 x

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ȖȚĮ țȐșİ x \* . ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1) țĮȚ (2) ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ 3x 3 x 2ıȣȞ3 x ! 0 , įȘȜĮįȒ f x ! 0 ȖȚĮ țȐșİ x \* . ȀĮșȫȢ, ȩʌȦȢ ȑȤȠȣȝİ įİȚ, ȚıȤȪİȚ f 0 0 , İȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȢ įȠșİȓıĮȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ ĲȠ 0. ǹıțȒıİȚȢ ǱıțȘıȘ 1. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ 1

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ȚıȤȪİȚ

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ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ 4

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(ȂȠȞȐįİȢ 10)

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/61

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ȆĮȞİȜȜĮįȚțȑȢ ǼȟİĲȐıİȚȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȀĮĲİȪșȣȞıȘȢ ȂĮǸȠȣ 2009 ǲıĲȦ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȠȡȚıȝȑȞȘ ıİ ȑȞĮ įȚȐıĲȘȝĮ ǻ. ǹȞ Ș f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ ǻ țĮȚ ȖȚĮ țȐșİ İıȦĲİȡȚțȩ ıȘȝİȓȠ x ĲȠȣ ǻ ȚıȤȪİȚ fc(x) = 0, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȒ ıİ ȩȜȠ ĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ǻ. (ȂȠȞȐįİȢ 10) Ǿ țĮĲĮȞȠȝȒ ĲȘȢ ȕĮșȝȠȜȠȖȓĮȢ ıĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ șȑȝĮĲĮ2 ȉĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȦȞ įȪȠ ʌȚ2008 2009 ȞȐțȦȞ, ʌȠȣ İʌĮȞĮȜĮȝȕȐȞȠȞĲĮȚ ȝİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ıȤİįȩȞ ĲȡȩʌȠ ȂȠȞȐįİȢ īȡĮʌĲȐ ȆȠıȠıĲȩ ȂȠȞȐįİȢ īȡĮʌĲȐ ȆȠıȠıĲȩ țȐșİ ȤȡȩȞȠ, ĮȞĮįİȚțȞȪȠȣȞ 492 0 49% 0 452 45% ȑȞĮ ʌȠȜȪ ıȠȕĮȡȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȘȢ įȚįĮıțĮȜȓĮȢ țĮȚ ȝȐșȘıȘȢ 1 23 2% 1 13 1% ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. 2 13 1% 2 17 2% Ȉİ ʌȠȜȜȐ Įʌȩ ĲĮ ȖȡĮʌĲȐ ʌȠȣ ȑȜĮȕĮȞ ıĲȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ 3 7 1% 3 22 2% İȡȫĲȘȝĮ 0 Ȓ 1 (ĮȣĲȩ ĮʌȠțĮȜȪʌĲİȚ ĲȘȞ ʌȜȒȡȘ ȐȖȞȠȚĮ ĲȘȢ 4 41 4% 4 11 1% ĮʌȩįİȚȟȘȢ ʌȠȣ ȣʌȐȡȤİȚ ıĲȠ 5 25 2,5% 5 12 1% ıȤȠȜȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ), įȚĮʌȚıĲȫșȘțİ ȩĲȚ ȠȚ ȓįȚȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ȒĲĮȞ 6 15 1,5% 6 12 1% ıİ șȑıȘ ıĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ șȑȝĮĲĮ ȞĮ İĳĮȡȝȩȗȠȣȞ ȝİ Ƞȡșȩ Ĳȡȩ7 15 1,5% 7 25 13% ʌȠ șİȦȡȘĲȚțȑȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ (ʌ.Ȥ. 8 15 1,5% 8 27 3% ıĲȘ ȝİȜȑĲȘ ĲȘȢ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮȢ țĮȚ ĲȦȞ ĮțȡȠĲȐĲȦȞ ȝȚĮȢ ıȣ9 18 2% 9 71 7% ȞȐȡĲȘıȘȢ). ǹʌȩ ĲȘȞ ȐȜȜȘ ȝİȡȚȐ, ıİ 10 336 34% 10 338 34% ʌȠȜȜȐ ȖȡĮʌĲȐ ʌȠȣ ȕĮșȝȠȜȠȖȒșȘțĮȞ ıĲȠ ȓįȚȠ șȑȝĮ ȝİ 10 ȝȠȞȐįİȢ (ȝİ ȝȚĮ «ĳȦĲȠȖȡĮĳȚțȒ» ĮȞĮʌĮȡĮȖȦȖȒ ĲȘȢ ȗȘĲȠȪȝİȞȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ), ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ șȑȝĮĲĮ ȑįİȚȟĮȞ ȩĲȚ ȠȚ ȓįȚȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ İȓȤĮȞ ʌȠȜȪ ȕĮșȚȑȢ ʌĮȡĮȞȠȒıİȚȢ ȖȚĮ ĲȚȢ șİȦȡȘĲȚțȑȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĲȘȢ ǹȞȐȜȣıȘȢ. Ȇ.Ȥ. ĲȚȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪıĮȞ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȜĮȝȕȐȞȠȣȞ ȣʌȩȥȘ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȣʌȠșȑıİȚȢ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȚıȤȪİȚ ĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝȐ ĲȠȣȢ. ȉȠ İʌȩȝİȞȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Įʌȩ ĲȚȢ ʌĮȞİȜȜĮįȚțȑȢ İȟİĲȐıİȚȢ ĲȠȣ 2009 İȓȞĮȚ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩ: ȆĮȞİȜȜĮįȚțȑȢ ǼȟİĲȐıİȚȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȀĮĲİȪșȣȞıȘȢ ȂĮǸȠȣ 2009, ĬȑȝĮ 3Ƞ ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f(x) = Įx – ln(x + 1), x > –1, ȩʌȠȣ Į > 0 țĮȚ Į 1. ǹ. ǹȞ ȚıȤȪİȚ f(x) 1 ȖȚĮ țȐșİ x > –1, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Į = e. (ȂȠȞȐįİȢ 8) Ǻ. īȚĮ Į = e: Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ țȣȡĲȒ. (ȂȠȞȐįİȢ 5) ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ (–1, 0] țĮȚ ȖȞȘıȓ ȉĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ʌȡȠȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ǺĮșȝȠȜȠȖȚțȩ ȀȑȞĲȡȠ ǻȣĲȚțȒȢ ĬİııĮȜȠȞȓțȘȢ țĮȚ ĮĳȠȡȠȪȞ ȑȞĮ ĲȣȤĮȓȠ įİȓȖȝĮ 1000 ȖȡĮʌĲȫȞ. Ǿ įȚĮıĲĮȪȡȦıȘ ʌȠȣ țȐȞĮȝİ ĲȩĲİ ȝİ ȐȜȜĮ ǺĮșȝȠȜȠȖȚțȐ ȀȑȞĲȡĮ ĮʌȠțȐȜȣȥİ ĲȘȞ ȓįȚĮ İȚțȩȞĮ ȝİ İȜȐȤȚıĲİȢ ĮʌȠțȜȓıİȚȢ ıĲĮ İʌȚȝȑȡȠȣȢ ıĲȠȚȤİȓĮ. 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/62

ȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [0, + ). (ȂȠȞȐįİȢ 6) Ǿ İʌȓȜȣıȘ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ șȑȝĮĲȠȢ ĮʌĮȚĲİȓ ĲȘȞ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȡȚȫȞ ȕĮıȚțȫȞ șİȦȡȘĲȚțȫȞ ʌȡȠĲȐıİȦȞ ĲȘȢ ǹȞȐȜȣıȘȢ ʌȠȣ įȚįȐıțİĲĮȚ ıĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ: ȉȠȣ șİȦȡȒȝĮĲȠȢ Fermat ıĲȠ (ǹ) ȖȚĮ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ ĲȘȢ ʌĮȡĮȝȑĲȡȠȣ Į, ĲȠȣ țȡȚĲȘȡȓȠȣ ȝİȜȑĲȘȢ ĲȘȢ țȣȡĲȩĲȘĲĮȢ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȝİ ĲȘ įİȪĲİȡȘ ʌĮȡȐȖȦȖȠ țĮȚ ĲȠȣ țȡȚĲȘȡȓȠȣ ȝİȜȑĲȘȢ ĲȘȢ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮȢ ȝİ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ ʌĮȡȐȖȦȖȠ. ǼȚįȚțȐ Ș įȚȐĲĮȟȘ țĮȚ Ș įȚĮĲȪʌȦıȘ ĲȦȞ İȡȦĲȘȝȐĲȦȞ (Į) țĮȚ (ȕ) ıĲȠ (Ǻ), țĮșȚıĲȠȪȞ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ĲȚȢ 5 + 6 = 11 ȝȠȞȐįİȢ ȑȞĮ «įȫȡȠ» ĲȦȞ șİȝĮĲȠįȠĲȫȞ ʌȡȠȢ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ. ǵȝȦȢ Ƞ İʌȩȝİȞȠȢ ʌȓȞĮțĮȢ ȝİ ĲȘȞ țĮĲĮȞȠȝȒ ĲȘȢ ȕĮșȝȠȜȠȖȓĮȢ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ Ǻ(ȕ) ĮʌȠțĮȜȪʌĲİȚ ȝȚĮ ĮʌȡȠıįȩțȘĲȘ İȚțȩȞĮ: ǵʌȦȢ ȖȓȞİĲĮȚ ĳĮȞİȡȩ, ʌĮȡȐ ĲȘȞ ĮʌȠțȐȜȣȥȘ ĲȘȢ ĮʌȐȞĲȘıȘȢ, ȜȚȖȩĲİ- ȂȠȞȐįİȢ īȡĮʌĲȐ ȆȠıȠıĲȩ ȡȠȚ Įʌȩ ĲȠ ȑȞĮ ʌȑȝʌĲȠ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ȒĲĮȞ ıİ șȑıȘ ȞĮ įȫıȠȣȞ ȝȚĮ ʌȜȒȡȘ 0 468 46,8% ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ İȡȫĲȘȝĮ. ĬĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȝȚĮ ʌȠȜȪ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ «ȜȪıȘ», ʌȠȣ 1 129 12,9% įȩșȘțİ Įʌȩ ȑȞĮ ȝĮșȘĲȒ ıĲĮ İȡȦĲȒȝĮĲĮ (Ǻ) țĮȚ (ǹ) (ȝİ ĮȣĲȒ ĲȘ ıİȚȡȐ). 2 97 9,7% ȈȘȝİȚȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ ȓįȚȠȢ İȓȤİ țȐȞİȚ ȝȚĮ ȐȥȠȖȘ ĮȞĮʌĮȡĮȖȦȖȒ ĲȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ ıĲȠ șȑȝĮ ǹ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ țĮȚ ĳȣıȚțȐ ȕĮșȝȠȜȠȖȒșȘțİ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ 3 46 4, 6% ĲȦȞ 10 ȝȠȞȐįȦȞ. 4 43 4,3% ȅ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠȢ ȝĮșȘĲȒȢ ȟİțȓȞȘıİ Įʌȩ ĲȠ (Ǻ) ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ȠȚ șİȝĮĲȠįȩĲİȢ ĮʌȠțĮȜȪʌĲȠȣȞ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡĮȝȑĲȡȠȣ Į țĮȚ ĲȘȞ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘ 5 40 4% ıȣȞȐȡĲȘıȘ f(x) = ex – ln(x + 1), x > –1. ǹȡȤȚțȐ ȣʌȠȜȩȖȚıİ ȝİ ȐȥȠȖȠ ĲȡȩʌȠ ĲȘȞ 1Ș țĮȚ 2Ș ʌĮȡȐȖȦȖȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡ6 177 17,7% ĲȘıȘȢ: 1 e x (x 1) 1 1 f c(x) e x țĮȚ f cc(x) e x x 1 x 1 (x 1)2 ǹȝȑıȦȢ ȝİĲȐ ȑȖȡĮȥİ ȩĲȚ Ș 1Ș ʌĮȡȐȖȦȖȠȢ ȑȤİȚ ʌȡȠĳĮȞȒ ȡȓȗĮ ĲȠ x = 0, Ș 2Ș ʌĮȡȐȖȦȖȠȢ İȓȞĮȚ ʌȐȞĲȠĲİ șİĲȚțȒ țĮȚ ʌȡȠıįȚȩȡȚıİ (ȤȦȡȓȢ ĮȞĮĳȠȡȐ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ) ĲȠ ʌȡȩıȘȝȠ ĲȘȢ 1ȘȢ ʌĮȡĮȖȫȖȠȣ ıĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ (–1, 0) țĮȚ (0, + ) ȣʌȠȜȠȖȓȗȠȞĲĮȢ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ 1 · 12 1 § f c¨ ¸ e 1 © 2¹ 1 2

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ǹʌȩ ĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ İʌȓıȘȢ ȩĲȚ ĲȠ f(0) = 1 İȓȞĮȚ Ș İȜȐȤȚıĲȘ ĲȚȝȒ ĲȘȢ f, įȘȜĮįȒ f(x) 1 țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȦ ĮʌȠįİȓȟİȚ ȩĲȚ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ǹ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ʌĮȡȐ ȞĮ ȚıȤȪİȚ Į = e. ǹĳȒȞȠȣȝİ ȦȢ ȐıțȘıȘ ıĲȠȞ ĮȞĮȖȞȫıĲȘ ȞĮ ȤĮȡĮțĲȘȡȓıİȚ țĮȚ ȞĮ ĮȟȚȠȜȠȖȒıİȚ ĲȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȑȢ ʌĮȡĮȞȠȒıİȚȢ ȖȚĮ ĲȚȢ șİȦȡȘĲȚțȑȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĲȘȢ ǹȞȐȜȣıȘȢ țĮȚ ĲȘȞ ĮʌȠįİȚțĲȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ ʌȠȣ ĮʌȠțĮȜȪʌĲİȚ Ș ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ «ȜȪıȘ». ǼțİȓȞȠ ʌȠȣ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĲȠȞȓıȠȣȝİ ȝİ ȑȝĳĮıȘ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ĲȑĲȠȚȠȣ İȓįȠȣȢ «ȜȪıİȚȢ» ĮʌȠĲİȜȠȪȞ țȐșİ ȤȡȩȞȠ ĲȠȞ țĮȞȩȞĮ țĮȚ ȩȤȚ ĲȘȞ İȟĮȓȡİıȘ ıĲĮ ǺĮșȝȠȜȠȖȚțȐ ȀȑȞĲȡĮ. ȆȫȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕİȜĲȚȦșİȓ Ș șİȦȡȘĲȚțȒ țĮĲȐȡĲȚıȘ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ıĲȘȞ ǹȞȐȜȣıȘ ĲȘȢ īǯ ȁȣțİȓȠȣ; Ǿ ʌȠȜȣİĲȒȢ İȝʌİȚȡȓĮ Įʌȩ ĲȘ įȚįĮıțĮȜȓĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĮȜȜȐ țȣȡȓȦȢ Įʌȩ ĲȘȞ țĮșȠįȒȖȘıȘ ĲȦȞ İțʌĮȚįİȣĲȚțȫȞ, ȝĮȢ ȑȤİȚ ȠįȘȖȒıİȚ ıĲȘ įȚĮʌȓıĲȦıȘ ȩĲȚ ĲȠ įȚįĮțĲȚțȩ ȑȡȖȠ ıĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ įİȞ țĮșȠȡȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ ıʌȠȣįȫȞ Ȓ ĲȚȢ İʌȓıȘȝİȢ įȚįĮțĲȚțȑȢ ȠįȘȖȓİȢ, ĮȜȜȐ Įʌȩ ĲȘ șİȝĮĲȠįȠıȓĮ țĮȚ ĲȘ șİȝĮĲȠȜȠȖȓĮ ĲȦȞ ʌĮȞİȜȜĮįȚțȫȞ İȟİĲȐıİȦȞ. ȀĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȠ ȞĮ ȕİȜĲȚȦșİȓ Ș șİȦȡȘĲȚțȒ țĮĲȐȡĲȚıȘ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ȩĲĮȞ Ș șİȦȡȓĮ İȟİĲȐȗİĲĮȚ ıĲȠ țĮĲȫĲĮĲȠ įȣȞĮĲȩ İʌȓʌİįȠ, įȘȜĮįȒ ĲȘȞ ĮȞĮʌĮȡĮȖȦȖȒ ĲȦȞ ȠȡȚıȝȫȞ țĮȚ ĮʌȠįİȓȟİȦȞ ĲȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ. Ǿ İʌȚĲȡȠʌȒ ĲȦȞ șİȝĮĲȠįȠĲȫȞ ȑțĮȞİ ĲĮ įȪȠ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȤȡȩȞȚĮ ȑȞĮ ʌȡȫĲȠ ȝȚțȡȩ ȕȒȝĮ ĮȜȜĮȖȒȢ, ȗȘĲȫȞĲĮȢ ȞĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖȘșİȓ Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ ıİ ȝȚĮ İȡȫĲȘıȘ «ȈȦıĲȩ - ȁȐșȠȢ» ȝİ ȤȡȒıȘ ĮȞĲȚʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲȠȢ. ȆȡȠĲİȓȞȠȣȝİ ĮȣĲȒ Ș țȓȞȘıȘ ȞĮ įȚİȣȡȣȞșİȓ țĮȚ Ș İȟȑĲĮıȘ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ıĲȠ șȑȝĮ ǹ ȞĮ ĮȟȚȠʌȠȚȒıİȚ ĲȚȢ ʌȠȜȜȑȢ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıİȢ İȡȦĲȒıİȚȢ țĮĲĮȞȩȘıȘȢ ĲȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ. ȉȠ İʌȚȤİȓȡȘȝĮ ʌȠȣ ʌȡȠȕȐȜȜİĲĮȚ ıȣȞȒșȦȢ ʌİȡȓ «ĮȚĳȞȚįȚĮıȝȠȪ» ĲȦȞ ȣʌȠȥȘĳȓȦȞ İȓȞĮȚ ĮʌȠʌȡȠıĮȞĮĲȠȜȚıĲȚțȩ, ĮȞ ȜȐȕȠȣȝİ ȣʌȩȥȘ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ĲȘȢ ĮʌȩȜȣĲȘȢ «ʌĮʌĮȖĮȜȓĮȢ» ʌȠȣ țĮȜȜȚİȡȖİȓ Ș ʌĮȖȚȦȝȑȞȘ İʌȓ įȪȠ įİțĮİĲȓİȢ țĮĲȐıĲĮıȘ ıĲȠ ȗȒĲȘȝĮ ĮȣĲȩ. ǲȞĮ ȐȜȜȠ ȗȒĲȘȝĮ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȝȕȐȜİȚ, ȝȑıȦ ĲȦȞ ʌĮȞİȜȜĮįȚțȫȞ İȟİĲȐıİȦȞ, ıĲȘ ȕİȜĲȓȦıȘ ĲȘȢ șİȦȡȘĲȚțȒȢ țĮĲȐȡĲȚıȘȢ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ İȓȞĮȚ Ș ĮȞȐįİȚȟȘ ĲȘȢ ıȘȝĮıȓĮȢ ĲȦȞ ȜİȖȩȝİȞȦȞ «ȣʌĮȡȟȚĮțȫȞ» șİȦȡȘȝȐĲȦȞ ĲȘȢ ǹȞȐȜȣıȘȢ ıĲȘ ȝİȜȑĲȘ ĲȦȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ. ȉĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȤȡȩȞȚĮ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȝȚĮ ȣȖȚȒ ĮʌȠȝȐțȡȣȞıȘ ĲȘȢ șİȝĮĲȠįȠıȓĮȢ ĲȦȞ ʌĮȞİȜȜĮįȚțȫȞ İȟİĲȐıİȦȞ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȜȘȝȝȣȡȓįĮ ĲȘȢ «ȟȚ-ȠȜȠȖȓĮȢ», ʌȠȣ İȓȤİ țĮĲĮțȜȪıİȚ ĲȘ ıȤİĲȚțȒ ȕȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮ. ǹȣĲȒ Ș ıĲȡȠĳȒ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ıȣȞİȤȚıĲİȓ ʌȚȠ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȐ, ȝİ ĲȘȞ İʌȚȜȠȖȒ șİȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ĮȞĮįİȚțȞȪȠȣȞ ĲȠ ȝİșȠįȠȜȠȖȚțȩ ȤĮȡĮțĲȒȡĮ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ șİȦȡȘȝȐĲȦȞ țĮȚ ȩȤȚ ĲȘȞ ȣʌȠȕȐșȝȚıȒ ĲȠȣȢ ıİ «ȖİȞȞȒĲȡȚİȢ ĮıțȒıİȦȞ» (Ș İȡȖĮıȓĮ ĲȦȞ ıȣȞĮįȑȜĳȦȞ ǻȘȝȒĲȡȘ ȂʌĮȡȠȪĲȘ țĮȚ īȚȐȞȞȘ ȈĮȡȐĳȘ ʌİȡȚȑȤİȚ İȞįȚĮĳȑȡȠȞĲĮ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ İȟȣʌȘȡİĲȠȪȞ ĮȣĲȩȞ ĮțȡȚȕȫȢ ĲȠ ıĲȩȤȠ). ȈĲȠȣȢ įȚįȐıțȠȞĲİȢ ĮʌȠȝȑȞİȚ ȕȑȕĮȚĮ ĮțȩȝȘ ĲȠ ȝİȖȐȜȠ țĮȚ įȪıțȠȜȠ țĮșȒțȠȞ ĲȘȢ ʌĮȡȠȤȒȢ ȚıȤȣȡȫȞ țȚȞȒĲȡȦȞ ıĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ȖȚĮ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȒ ȝİȜȑĲȘ țĮȚ İȝȕȐșȣȞıȘ ıĲȘȞ ȪȜȘ ĲȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/64

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2Ș ĮʌȩįİȚȟȘ īȚĮ țȐșİ t ! 1 ȑȤȠȣȝİ: t 1 ! 4t

t 1

1 ǲıĲȦ b ! D ! 0 . ȅȚ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ țĮȚ ĲȦȞ įȪȠ t

ȝİȜȫȞ ĲȘȢ ĲİȜİȣĲĮȓĮȢ ĮȞȚıȩĲȘĲĮȢ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ, ȠʌȩĲİ ȠȜȠțȜȘȡȫȞȠȞĲĮȢ Įʌȩ 1 ȑȦȢ b a

b ȑȤȠȣȝİ: D

b a

b b a b a a b 1 ª 4 ºa a ³1 t 1 2 dt ³1 t dt «¬ t 1»¼1 >ln t @1 2 a b ln b ln a ln b ln a 2

ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȩĲȚ:

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1Ș ĮʌȩįİȚȟȘ Ȃİ 0 D b . ǹȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ: 2

§ b· §b · b ¨ ¸ 1 D ¨ 1¸ 1 D b b D b b D b © D¹ b b D ¹ © D , Ȓ ln , Ȓ ln , Ȓ ln 0. b b D D b b D D ln D D D b ln D D D b 1 , ȝİ x 1, f , ȜĮȝȕȐȞİȚ ǹȡțİȓ ĲȫȡĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ g x ln x x D x

ĮȡȞȘĲȚțȑȢ ĲȚȝȑȢ. ǼȓȞĮȚ gc x

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0 ȖȚĮ x ! 1 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș g , ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ țĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ 2x x 1 , șĮ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲȠ [1, f) . ȈȣȞİʌȫȢ g x g 1 0 , ȖȚĮ țȐșİ x ! 1 .

2Ș ĮʌȩįİȚȟȘ (1) īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ țȐșİ k !1 İȓȞĮȚ k 2 1 ! 2k 2 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ! 2 ! 2 2 țĮȚ ĮȞ ıĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ șȑıȠȣȝİ k 2k 2k k 2 2k k k 2k 2k k 1 1 1 țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȘȞ , t ! 1. t 2 t 2t t b Ȃİ b ! D ! 0 , ȠȜȠțȜȘȡȫȞȠȣȝİ ĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ Įʌȩ 1 ȑȦȢ , ȠʌȩĲİ ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ: D b

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D b b D D b D z b , ȚıȤȪİȚ D b . ǹʌȩ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ȝȑıȠȣ ȜȠȖĮȡȚșȝȚțȠȪ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ln b ln D 2 D b D b D , D. L D, D D . ǼʌȓıȘȢ ȖȚĮ D b ȑȤȠȣȝİ ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ 2 D b D b d L D, b d ȝİ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ ȝȩȞȠ ȖȚĮ D b . 2 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/66

§ D b· L D,b ¨¨ ¸¸ , D , b ! 0 , D z b 2 © ¹ ǹʌȩįİȚȟȘ ǲıĲȦ 0 D b . Ǿ ĮʌȠįİȚțĲȑĮ įȚĮįȠȤȚțȐ ȖȡȐĳİĲĮȚ: § b · §b · 1¸ D ¨ 1¸ D ¨ ©D ¹ © D ¹ b 4 ln D

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ȝȑȞȦȢ Ș ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ĮʌȠįİȓȟĮȝİ ȖȓȞİĲĮȚ ȚıȩĲȘĲĮ ȝȩȞȠ ȩĲĮȞ D b .

ȖȚĮ țȐșİ D, b ! 0

§3D 3b· L D,b ¨¨ ¸¸ , D , b ! 0 , D z b 2 © ¹ ǹʌȩįİȚȟȘ ǲıĲȦ 0 D b . Ǿ ĮʌȠįİȚțĲȑĮ ȝİ ȓįȚȠȣȢ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪȢ ȩʌȦȢ țĮȚ ʌȡȓȞ ĮȞȐȖİĲĮȚ ıĲȘȞ b b §b · 8 x ! 1 , Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ln ¨ 1¸ ! 0 țĮȚ ĮȞ șȑıȠȣȝİ 3 D D ©D ¹ § · b ¨1 3 ¸ D¹ © 8 İȓȞĮȚ șİĲȚțȒ. ǼȓȞĮȚ g x ln x x 1 ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ 1. f

3 1 3 x

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1 șĮ İȓȞĮȚ g x [ [1. f) , ıȣȞİʌȫȢ

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b , ȐȡĮ

D b

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e e 2 x

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/67

b e x , D e x , x ! 0 . ȉȩĲİ İȓȞĮȚ

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īȚĮ țȐșİ x t 0 , ȚıȤȪİȚ ȁȪıȘ īȞȦȡȓȗȠȣȝİ x

ȩĲȚ

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b ex , D e x , x ! 0 .

ǲıĲȦ

ȉȩĲİ

İȓȞĮȚ

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0 ıĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȑȤȠȣȝİ ȚıȩĲȘĲĮ, ĲİȜȚțȐ șĮ ȑȤȠȣȝİ

ȁȪıȘ Ǿ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ 0, f țĮȚ Ș ĲȚȝȒ x 0

0 ȑȤȠȣȝİ ȚıȩĲȘĲĮ , ȠʌȩĲİ

1 İȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȒȢ ȡȓȗĮ ĲȘȢ.

x 1 x 1 . ǵȝȦȢ ȖȚ’ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x, ȚıȤȪİȚ: ln x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 L x,1 A x,1 . ȈȣȞİʌȫȢ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ x 1 . ln x ln1 2 ln x 2 ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ: x ln x x 1, x ! 0

īȚĮ x z 1 Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐĳİĲĮȚ

ȁȪıȘ

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1 İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. īȚĮ x z 1 Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐĳİĲĮȚ ln x

ȃĮ Ȝȣșİȓ Ș İȟȓıȦıȘ: e 2x 1 2x e x ȁȪıȘ ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș x 0

0, x \ .

0 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ȝȠȞĮįȚțȒ įȚȩĲȚ:

īȚĮ x z 0 Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐĳİĲĮȚ: e 2x 1 x e2x e x e L e 2x ,1 e x . ǹȜȜȐ L e2x ,1 ! G e2x ,1

2x ǱȡĮ ȖȚĮ x ! 0 ȑȤȠȣȝİ e2x 1 2x e x ! 0 , İȞȫ ȖȚĮ x 0 ȑȤȠȣȝİ: e2x 1 2x e x 0 . ȂȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ȜȠȚʌȩȞ İȓȞĮȚ Ș x 0 0 . 6.

§ S· ȃĮ Ȝȣșİȓ ıĲȠ ¨ 0, ¸ Ș İȟȓıȦıȘ: KPx VXQx 2KP 2x ln(HMx) 4 KPx VXQx

ȁȪıȘ

ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș x 0

S İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ. ȈĲȠ ıȪ4

4 KPx VXQx

ln KPx ln VXQx

KPx VXQx KPx VXQx 2 KP 2x Ȓ ln KPx ln VXQx

§ KPx VXQx · KPx VXQx ¨ ¸¸ , İʌȠȝȑȞȦȢ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȐȜȜȘ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. ln KPx ln VXQx ¨© 2 ¹ 1 ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ: ln x 1 ln x , x ! 0 (ǼȡȫĲȘȝĮ șȑȝĮĲȠȢ ȆĮȞİȜȜȘȞȓȦȞ İȟİĲȐıİȦȞ 2006) x ǹʌȩįİȚȟȘ x 1 x īȚĮ ĲȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x 1 , x ȑȤȠȣȝİ: x 1 z x ! x x 1 ln x 1 ln x 1 1 ! x2 x ! x ln x 1 ln x ln x 1 ln x x

ǻȪȠ Įʌȩ ĲȚȢ ȕĮıȚțȑȢ ĮȞȚıȠȧıȩĲȘĲİȢ ĲȠȣ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȞĲĮȚ țĮȚ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ ȦȢ İȟȒȢ: x x ! 0 ln x d x 1

ǹʌȩįİȚȟȘ īȚĮ x 1 Ș ʌȡȠȢ ĮʌȩįİȚȟȘ ȚıȤȪİȚ ȦȢ ȚıȩĲȘĲĮ (1), ȖȚĮ x ! 1 ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ x 1 x 1 x 1 1 x 1 ! ln x 3 , ! x ! 1 x 1 ! ln x 2 , țĮȚ ĲȑȜȠȢ ȖȚĮ 0 x 1 İȓȞĮȚ ln x ln x 2 ȠʌȩĲİ ĲİȜȚțȐ Įʌȩ (1), (2), (3) ȑȤȠȣȝİ: ln x d x 1 ȖȚĮ țȐșİ x ! 0 . x \ ex t x 1 ǹʌȩįİȚȟȘ x 0 īȚĮ Ș ʌȡȠȢ ĮʌȩįİȚȟȘ ȚıȤȪİȚ ȦȢ ȚıȩĲȘĲĮ, İȞȫ ȖȚĮ x!0 x x e 1 x 0 ! ex e 2 ! 1 ex 1 ! x ex ! x 1 țĮȚ ĲȑȜȠȢ ȖȚĮ x ex 1 ex 1 1 e x 1 ! x e x ! x 1 . ȉİȜȚțȐ e x t x 1 ȖȚĮ țȐșİ x \ . x 2 ȆȡȠĲİȚȞȩȝİȞİȢ ǼĳĮȡȝȠȖȑȢ: Į) ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ȠȚ ĮțȩȜȠȣșİȢ İȟȚıȫıİȚȢ 8.

ln x 4 x 3

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12. e x e x 13. e x e x

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ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ĮȞ b ! D ! 0 , ĲȩĲİ 2 D b ln

b b2 D2 D

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/69

ȑȤȠȣȝİ ȑȤȠȣȝİ

¦£ ¦ ¢© ©¬ «¤ ¬¤ ®¡¬» §£¬©¡²§ ǹȞĲȫȞȘȢ ȀȣȡȚĮțȩʌȠȣȜȠȢ – ȋȡȣıĲĮȜȜȑȞȘ ȀȣȡȚĮțȠʌȠȪȜȠȣ ĬİȦȡȠȪȝİ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f, Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ȠȡȚıȝȑȞȘ țĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ įȚȐıĲȘȝĮ ǻ țĮȚ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Į1 ,Į 2 ,Į 3 ,...,Į Ȟ ǻ ȝİ: Į1 Į 2 ... Į Ȟ , ȩʌȠȣ Ȟ ` ȝİ Ȟ t 2 . 1) ǲıĲȦ ȩĲȚ: f n ǻ . ǹʌȩ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ȝȑıȘȢ ĲȚȝȒȢ ĲȠȣ ȅȜȠțȜȘȡȦĲȚțȠȪ ȁȠȖȚıȝȠȪ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ Į2

ȟ1 Į1 , Į 2 ȝİ: ³ f (x)dx

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Į 2 Į1 f Į1 ³ f (x)dx Į 2 Į1 f Į 2 . Į1

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Į3 Į 2 f Į 2 ³ f (x)dx Į3 Į2 f Į3 ,

ǵȝȠȚĮ:

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………………………………………………………… ĮȞ

Į Ȟ Į Ȟ 1 f Į Ȟ 1 ³

f (x)dx Į Ȟ Į Ȟ 1 f Į Ȟ .

Į Ȟ 1

ȆȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ ĮȣĲȑȢ țĮĲȐ ȝȑȜȘ, ȕȡȓıțȠȣȝİ: ĮȞ

Į 2 Į1 f Į1 ... Į Ȟ Į Ȟ 1 f Į Ȟ 1 ³ f (x)dx Į 2 Į1 f Į 2 ... Į Ȟ Į Ȟ 1 f Į Ȟ . Į1

Į) ǹȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ, ĲȩĲİ șĮ ȑȤȠȣȝİ ȕȡİȚ įȪȠ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ: Į1 ,Į 2 ,...,Į Ȟ . ȕ) ǹȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȑȞĮȞ ĮȡȚșȝȩ ț, ȝȚțȡȩĲİȡȠ Ȓ ȓıȠȞ (Ȓ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ Ȓ ȓıȠ), Įʌȩ ĲȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ, ʌȠȣ İȟĮȡĲȐĲĮȚ Ȓ ȩȤȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ: Į1 ,Į 2 ,...,Į Ȟ , ĲȩĲİ țĮȚ ʌȐȜȚ șĮ ȑȤȠȣȝİ ȕȡİȚ ȝȓĮ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ Į1 ,Į 2 ,...,Į Ȟ . 2) ǲıĲȦ ȩĲȚ: f p ǻ . ȉȩĲİ, ȩʌȦȢ ʌȡȠȘȖȠȣȝȑȞȦȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ: ĮȞ

Į 2 Į1 f Į1 ... Į Ȟ Į Ȟ 1 f Į Ȟ 1 ! ³ f (x)dx ! Į 2 Į1 f Į 2 ... Į Ȟ Į Ȟ 1 f Į Ȟ . Į1

3) ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș f įİȞ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩĲȠȞȘ ıĲȠ ǻ, ĮȜȜȐ : f p Į1 ,Įȝ

f p Į1 ,Įȝ

țĮȚ f n Įȝ ,Į Ȟ

țĮȚ f n Įȝ ,Į Ȟ , ȩʌȠȣ: 2 d ȝ Ȟ . ȉȩĲİ, ıȣȞįȣȐȗȠȞĲĮȢ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, ȝʌȠȡȠȪȝİ țĮȚ

ʌȐȜȚ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ: Į1 ,Į 2 ,...,Į Ȟ ( ȕȜ. ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ3). ȈȘȝİȓȦıȘ. ȈȣȞȚıĲȫ ıĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ, ȖȚĮ ʌİȡȚııȩĲİȡȘ țĮĲĮȞȩȘıȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, ȞĮ țȐȞȠȣȞ ȑȞĮ ıȤȒȝĮ (ĮȜȜȐ įİȞ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĲȠ İʌȚțĮȜİıĲȠȪȞ ıĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ). ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ıȣȞȐȡĲȘıȘ: f (x) 1 x 3 . Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ ȠȡȚıȝȑȞȘ țĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ ȝİ: f c(x)

3x 2 d 0 , ȖȚĮ țȐșİ x \ , ȝİ ĲȠ ȓıȠȞ ȝȩȞȠ ĮȞ x

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/70

0. ȈȣȞİʌȫȢ:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂȓĮ ȝȑșȠįȠȢ «țĮĲĮıțİȣȒȢ» ĮȞȚıȠĲȒĲȦȞ ----------------------------------------

f p \ . ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȫȡĮ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į,ȕ, Ȗ,į \ ȝİ: Į ȕ Ȗ į . ǵʌȦȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ į

ȕȡȓıțȠȣȝİ:

(ȕ Į)f (ȕ) (Ȗ ȕ)f (Ȗ) (į Ȗ)f (į) ³ f (x)dx (1) țĮȚ Į

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(2).

ª x4 º § į4 · § Į4 · ǼȟȐȜȜȠȣ, ȑȤȠȣȝİ: ³ f (x)dx ³ 1 x dx « x » ¨į ¸ ¨Į ¸ . 4 ¼Į © 4 ¹ © 4 ¹ ¬ Į Į ǹȞĲȚțĮșȚıĲȫȞĲĮȢ ıĲȚȢ (1) țĮȚ (2), ȝİĲȐ Įʌȩ ʌȡȐȟİȚȢ țĲȜ., ȕȡȓıțȠȣȝİ ĲȚȢ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ: 1) 4 Įȕ3 ȕȖ 3 Ȗį3 Į 4 4ȕ 4 4Ȗ 4 3į4 .

2) 4(ȕĮ3 Ȗȕ3 įȖ3 ) 3Į 4 4ȕ4 4Ȗ 4 į4 .

ǹıțȒıİȚȢ

ǱıțȘıȘ 1. īȚĮ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į,ȕ, Ȗ.į \ ȚıȤȪİȚ: Į ȕ Ȗ į . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: (ȕ Į)(2Į 1) (Ȗ ȕ)(2ȕ 1) (į Ȗ)(2Ȗ 1) į2 į 1 Į 2 Į 1 . 1) 2 2 2 2 Į Į 1 2 ȕ ȕ 1 2 Ȗ Ȗ 1 (ȕ Į)(2ȕ 1) (Ȗ ȕ)(2Ȗ 1) (į Ȗ)(2į 1) ! į2 į 1 Į 2 Į 1 . 2) 2 2 2 2 ȕ ȕ 1 2 Ȗ Ȗ 1 2 į į 1 ȁȪıȘ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ țȐșİ ʌȡȠıșİĲȑȠȢ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ȝİȜȫȞ, ĮȞ İȟĮȚȡȑıȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ 2x 1 ʌĮȡȑȞșİıȘ, ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ: f (x) , x \ . ǲĲıȚ, ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ 2 2 x x 1 ĮȞȚıȩĲȘĲĮ, Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ:

(ȕ Į)f (Į) (Ȗ ȕ)f (ȕ) (į Ȗ)f (Ȗ) į2 į 1 Į 2 Į 1 (1) țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ ȩĲȚ: (ȕ Į)f (ȕ) (Ȗ ȕ)f (Ȗ) (į Ȗ)f (į) ! į2 į 1 Į 2 Į 1 (2) 3 Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ ȝİ: f c(x) ... >0, ȖȚĮ țȐșİ x \ . 3 2 4 x x 1

ǱȡĮ: f n\ . ǵʌȦȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȕȡȓıțȠȣȝİ: (ȕ Į)f (Į) (Ȗ ȕ)f (ȕ) (į Ȗ)f (Ȗ) ³ f (x )dx (3) Į

țĮȚ ³ f (x)dx (ȕ Į)f (ȕ) (Ȗ ȕ)f (Ȗ) (į Ȗ)f (į) (4). Į

ǲȤȠȣȝİ:

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1 2x 1 dx ³ 2 Į x2 x 1

1 x2 x 1 c x2 x 1 ³ 2Į

1 2

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/71

dx ª x 2 x 1 º ¬« ¼»Į

ȕ Į Ȗ ȕ į Ȗ eį eĮ ȕ Į Ȗ ȕ į Ȗ Ȗ į Į į Į ȕ Ȗ . eȕ e e e e e e ȁȪıȘ. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ țȐșİ ʌȡȠıșİĲȑȠȢ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ țĮȚ ĲȡȓĲȠȣ ȝȑȜȠȣȢ , ĮȞ İȟĮȚȡȑıȠȣȝİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȘĲȑȢ , ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ: f (x) e x ,x \ . ǲĲıȚ, ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ, eį eĮ Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ: (ȕ Į)f (ȕ) (ȕ Į)f (ȕ) (ȕ Į)f (ȕ) Į į (1) e į e eĮ țĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ ȩĲȚ: (ȕ Į)f (ȕ) (ȕ Į)f (ȕ) (ȕ Į)f (ȕ) ! Į į (2), e

e x 0 , ȖȚĮ țȐșİ x \ . ȈȣȞİʌȫȢ: f p \

Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ \ ȝİ: f c(x)

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țĮȚ (ȕ Į)f (Į) (Ȗ ȕ)f (ȕ) (į Ȗ)f (Ȗ) ! ³ f (x)dx (4). Į

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3 2Ȗ 2 3Ȗ 6 (Ȗ ȕ) ȕ2 ȕ 1 Ȗ . 2 6

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x 2 x 1, x >0, f , ȠʌȩĲİ Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ:

2Ȗ 2 3Ȗ 6 §1· Įf (Į) (ȕ Į)f ¨ ¸ (Ȗ ȕ)f (ȕ) Ȗ (1) 6 ©2¹ 2x 1 . ǲȤȠȣȝİ: f c(x) 0 , ĮȞ Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıĲȠ 0, f ȝİ: f c(x) 2 2 x x 1 ª 1º 1 1 ª1 · 0 x țĮȚ f c(x) ! 0 ĮȞ x ! . ȈȣȞİʌȫȢ: f p «0, » țĮȚ f n « , f ¸ . ǹʌȩ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ȝȑıȘȢ 2 2 ¬2 ¹ ¬ 2¼ ĲȚȝȒȢ ĲȠȣ ȅȜȠțȜȘȡȦĲȚțȠȪ ȁȠȖȚıȝȠȪ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȟ (0,Į) ȝİ: Į

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1· §1· § ¨ ȕ ¸ f ¨ ¸ ³ f (x)dx țĮȚ (Ȗ ȕ)f (ȕ) ³ f (x)dx . 2 ¹ © 2 ¹ 1/2 © ȕ ȆȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ ĲȚȢ ĲȑııİȡİȢ ĲİȜİȣĲĮȓİȢ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ țĮĲȐ ȝȑȜȘ, ȕȡȓıțȠȣȝİ: ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/72

1/2

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2 ³ > t f (x)@ dx t 0

ǲȤȠȣȝİ, ȖȚĮ țȐșİ t \ :

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ª x3 x 2 º Ȗ« x» 2 ¬3 ¼0

ǹʌȩ ĮȣĲȒ țĮȚ ĲȘȞ (2), ȑʌİĲĮȚ Ș (1). ǱıțȘıȘ 4 2

ex ex dx 2 dx ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 3 x x 1

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ȁȪıȘ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ıȣȞȐȡĲȘıȘ: f (x)

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ǱȡĮ: f n >1, f . ǹʌȩ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ȝȑıȘȢ ĲȚȝȒȢ ĲȠȣ ȅȜȠțȜȘȡȦĲȚțȠȪ ȁȠȖȚıȝȠȪ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ 2

ȣʌȐȡȤİȚ ȟ (1, 2) ȝİ: ³ f (x)dx (2 1)f (ȟ) f (ȟ) . ǲȤȠȣȝİ: 1 ȟ 2 țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ: 1 2

f (ȟ) f (2) ³ f (x)dx f (2) . ǵȝȠȚĮ: ³ f (x)dx f (3) țĮȚ ³ f (x)dx f (4) . ȆȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ĲȚȢ ĲȡİȚȢ ĲİȜİȣĲĮȓİȢ ĮȞȚıȩĲȘĲİȢ, ȕȡȓıțȠȣȝİ: 4

f (2) f (3) f (4) ! ³ f (x)dx (2). 1 2

ǲȤȠȣȝİ: f (2) f (3) f (4)

³ 1

et = dt t

³ 1

et dt t

³ 2

et et et dt dt dt = t t t

et et et et et et dt dt dt dt = 3 dt 2 dt t t t t t t

³ 1

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³ 3

³ 1

ǹʌȩ ĮȣĲȑȢ țĮȚ ĲȘȞ (2) ȑʌİĲĮȚ Ȓ (1).

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/73

³ 2

³ 3

et dt . t

ƯÆºË ÉÊÈ»ÄÀÅºÍÂÌÅȿË ÌÍÀÆ ºÆÂÌȿÍÀÍº Bernoulli ǹʌȩ ĲȠȞ īȚȫȡȖȠ ȉĮııȩʌȠȣȜȠ

ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȒ Ș ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ĮȞȚıȩĲȘĲĮȢ (1+Į)Ȟt1+Ȟ Į (1) ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ, ȩĲĮȞ Į ıĲĮșİȡȐ ȝİ 1+Į>0 Ȓ ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ* țĮȚ 1+Įt0, ȝİ ĲȘ ȝȑșȠįȠ ĲȘȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ İʌĮȖȦȖȒȢ (ǹȞȚıȩĲȘĲĮ Bernoulli). Ǿ ȤȡȘıȚȝȩĲȘĲȐ ĲȘȢ ȑȖțİȚĲĮȚ, țȣȡȓȦȢ ıĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩĲȚ ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȝȚĮ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (1+Į)Ȟ>Ȝ (İțșİĲȚțȒ ȝȠȡĳȒ), Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ĲȘȞ ȚıȤȣȡȩĲİȡȒ ĲȘȢ 1+Ȟ ĮtȜ. ȉȘȞ ĮȞȐȖȠȣȝİ įȘȜĮįȒ ıİ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ ȝȠȡĳȒ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ʌȡȦĲȠȕȐșȝȚĮ ȦȢ ʌȡȠȢ Ȟ. ǲȞĮ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ İȡȫĲȘȝĮ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȝĮȢ Ĳİșİȓ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ ĲȠ İȟȒȢ: ǹȞ ıĲȘ șȑıȘ ĲȘȢ ıĲĮșİȡȐȢ Į ȑȤȠȣȝİ ȝȚĮ ĮțȠȜȠȣșȓĮ ĮȞ ȝİ 1+ĮȞ>0, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȐȡĮȖİ ȞĮ Q Q 1 · § ıȣȝʌİȡȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ: (1+ĮȞ)Ȟt1+Ȟ ĮȞ (2), ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ; ʌ.Ȥ. ¨1 (3). ¸ t 1 Q 1 © Q 1¹ ǹȞĲȚȜĮȝȕĮȞȩȝĮıĲİ ȕȑȕĮȚĮ ȩĲȚ İȞȫ ȖȚĮ ĲȘ ıȤȑıȘ (1) ȤȡİȚĮıĲȒțĮȝİ ĲȘ ıȣȞİʌĮȖȦȖȒ: (1+Į)țt1+ț Į (1+Į)ț+1 t 1+(ț+1) Į ʌȠȣ İȪțȠȜĮ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ, ȖȚĮ ĲȘ ıȤȑıȘ (2) Ș ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘ ıȣȞİʌĮȖȦȖȒ: (1+Įț)țt1+ț Įț (1+Įț+1)ț+1 t 1+(ț+1) Įț+1 ĳĮȓȞİĲĮȚ ĮįȪȞĮĲȠ ȞĮ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȚıĲİȓ ȠȝȠȓȦȢ. ȆȦȢ șĮ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓıȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȡȫĲȘȝĮ; Ȉİ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘ İȡȫĲȘıȘ ȝĮșȘĲȒ ȝȠȣ țĮĲȐ ĲȘ įȚįĮıțĮȜȓĮ ĲȘȢ İʌĮȖȦȖȒȢ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ıțȑĳĲȘțĮ İțİȓȞȘ ĲȘ ıĲȚȖȝȒ, ȖȚĮ ȞĮ įȚțĮȚȠȜȠȖȒıȦ ĲȘ ıȤȑıȘ (2) ȒĲĮȞ ȞĮ țĮĲĮĳȪȖȦ ıĲȠ ǻȚȫȞȣȝȠ ĲȠȣ ȃİȪĲȦȞĮ, įȘȜĮįȒ ȞĮ ʌĮȡĮĲȘȡȒıȦ ȩĲȚ: Q (Q 1) 2 Q (Q 1)(Q 2) 3 DQ + D Q + … + D Q Q t 1+Ȟ ĮȞ, ĮĳȠȪ ıĲȘ ıȤȑıȘ (3) ʌȠȣ 1! 2! 1 >0, įȠșȑȞĲȠȢ ȕȑȕĮȚĮ ȩĲȚ ĲȠ įȚȫȞȣȝȠ ĲȠȣ ȃİȪĲȦȞĮ įİȞ ȑȤİȚ ȝİȜİĲȠȪıĮȝİ İȓȤĮȝİ ĮȞ= Q 1

(1+ĮȞ)Ȟ = 1+Ȟ ĮȞ +

ʌȡȠțȪȥİȚ İʌĮȖȦȖȚțȐ. ʌ.Ȥ. ȑȤİȚ ʌȡȠțȪȥİȚ ȝȑıȦ ĲȘȢ (x+Į1) (x+Į2)…. (x+ĮȞ)=xȞ + ȈĮ1xȞ-1+ ȈĮ1Į2xȞ-2 + ȈĮ1Į2Į3xȞ-3 +…+Į1Į2Į3…ĮȞ (ȕȜȑʌİ ǱȜȖİȕȡĮ ȈʌȪȡȠȣ ȀĮȞȑȜȜȠȣ ıİȜ. 230-231, ȕǯ ĲȩȝȠȢ). ǿıȤȪİȚ ȕȑȕĮȚĮ țĮȚ ȖȚĮ ĮȞ> 1 (ȖȚĮĲȓ;). ǼȟĮțȠȜȠȣșİȓ ȜȠȚʌȩȞ ȞĮ ȣĳȓıĲĮĲĮȚ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ: ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖȒıȠȣȝİ ĲȘ ıȤȑıȘ (1+ĮȞ)Ȟt1+Ȟ ĮȞ (4) ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ, ȩĲĮȞ ĮȞ> 1, ȝİ ȕȐıȘ ĲȘȞ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ĲȠȣ Bernoulli; ȂȚĮ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ʌȠȣ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȝİ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ İȓȞĮȚ Ș İȟȒȢ: ǹȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ĲȘ ıȤȑıȘ (4) ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ, Įȡțİȓ ȞĮ ĲȘȞ ĮȚĲȚȠȜȠȖȒıȠȣȝİ ȖȚĮ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ĲȚȝȒ ț ĲȠȣ Ȟ. īȚĮ Ȟ=10 ʌ.Ȥ., ȖȡȐĳİĲĮȚ (1+Į10)10t1+10 Į10 . ǹȞ ȜȠȚʌȩȞ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ: (1+Į10)Ȟt1+Ȟ Į10 ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ, ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ʌȡȐȖȝĮĲȚ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȝİ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȘȢ ĮȞȚıȩĲȘĲĮȢ Bernoulli, ĲȩĲİ ȖȚĮ Ȟ=10 ȑȤȠȣȝİ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. ǹȜȜȐ țĮȚ ȖİȞȚțȐ Įʌȩ ĲȘȞ (1+Įț)Ȟt1+Ȟ Įț ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȝİ Ȟ=ț ĲȘ ȗȘĲȠȪȝİȞȘ: N

(1+Įț) t1+ț Įț.

1 · ¹

ȖȚĮ țȐșİ Ȟ ȃ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠȢ ĳȣıȚțȩȢ, įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ĲȘȞ ¨1 ¸ t1 N 1 N 1 (ĮȞȚıȩĲȘĲĮ Bernoulli) țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șȑĲȠȣȝİ Ȟ=ț. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ įİȓȟİȚ ȩĲȚ: Q

¢ȐÅºÍº ÉºÄºÂÈÍȐÊÒÆ ÉÈÐəÆ

ǼʌȚȝȑȜİȚĮ: īȚȫȡȖȠȢ Ȉ. ȉĮııȩʌȠȣȜȠȢ

ǼȂȆ 1958 ǱȜȖİȕȡĮ (ǹȜȜȠįĮʌȠȓ) 3ȅ ĬȑȝĮ ǽȘĲİȓĲĮȚ ȞĮ ȕȡİșİȓ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ Ȉ ĲȦȞ ȐʌİȚȡȦȞ ȩȡȦȞ ĲȘȢ ıİȚȡȐȢ 1 + (1 + 2)x + (1 + 2 + 3)x 2 + (1 + 2 + 3 + 4)x 3 + ……, ȩĲĮȞ x < 1. ȁȪıȘ (ȉȘȜȑȝĮȤȠȢ ȂʌĮȜĲıĮȕȚȐȢ) ȆȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ȩȝȠȡĳȠ șȑȝĮ. Ǿ ȜȪıȘ ʌȠȣ șĮ įȫıȦ ȓıȦȢ įİȞ İȓȞĮȚ Ș ʌȜȑȠȞ ȑȟȣʌȞȘ, ȩȝȦȢ șĮ ȦĳİȜȒıİȚ ĲĮ ʌĮȚįȚȐ ʌȠȣ șĮ ĲȘ ȝİȜİĲȒıȠȣȞ. ĬĮ ȕȡȠȪȝİ ĮȡȤȚțȐ ĲȠ ȝİȡȚțȩ ȐșȡȠȚıȝĮ ın ĲȘȢ ıİȚȡȐȢ ĮȣĲȒȢ. ǲȤȠȣȝİ: ın = 1 + (1 + 2)x + (1 + 2 + 3)x 2 + (1 + 2 + 3 + 4)x 3 + …+ (1 + 2 + 3 + 4 +…+ n)x n 1 , ȠʌȩĲİ: xın = x + (1 + 2)x2 + (1 + 2 + 3)x 3 + (1 + 2 + 3 + 4)x 4 + …+ (1 + 2 + 3 + 4 +…+ n)x n ǲĲıȚ: ın – xın = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + …+ nx n 1 (1 + 2 + 3 + 4 + …+ n)x n (1 – x)ın = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + …+ nx n 1

n(n 1) n x (1) 2

ȊʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ An = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + …+ nx n 1 , ȝİ ĲȡȩʌȠ ĮȞȐȜȠȖȠ. ȆȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ n ʌȡȫĲȦȞ ȩȡȦȞ ȝİȚțĲȒȢ ʌȡȠȩįȠȣ. ȉȓ İȓȞĮȚ ȝİȚțĲȒ ʌȡȩȠįȠȢ; ǼȓȞĮȚ ȝȚĮ ĮțȠȜȠȣșȓĮ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ țȐșİ ȩȡȠȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ȖȚȞȩȝİȞȠ įȪȠ ȠȝȠĲȐȟȚȦȞ ȩȡȦȞ ȝȚĮȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȒȢ ʌȡȠȩįȠȣ țĮȚ ȝȚĮȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ ʌȡȠȩįȠȣ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮĲȠȢ ȤȐȡȚȞ, Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ 4x, 9x 2 , 14x 3 , …, (5n – 1)x n , … İȓȞĮȚ ȝİȚțĲȒ ʌȡȩȠįȠȢ. Ǿ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ʌȠȣ İȓįĮ ĮȞĮĳȠȡȐ ȖȚĮ ȝİȚțĲȒ ʌȡȩȠįȠ ȒĲĮȞ ȩĲĮȞ ȒȝȠȣȞ ȝĮșȘĲȒȢ ıĲȠ ȐȡșȡȠ "ȆȡȩȠįȠȚ" ĲȠȣ ȋ. īțȠȣȕȚȑȡȠȣ ıĲȠ ĲȑĲĮȡĲȠ ĲİȪȤȠȢ ĲȠȣ "ǼȊȀȁǼǿǻǾ Ǻ" ĲȘȢ Ǽ.Ȃ.Ǽ ĲȘȢ ʌİȡȚȩįȠȣ 1982-1983. ǹȣĲȩ ʌȠȣ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȚįȚĮȓĲİȡȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ İȓȞĮȚ Ƞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩȢ ĲȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ ĲȦȞ n ʌȡȫĲȦȞ ȩȡȦȞ ȝȚĮȢ ȝİȚțĲȒȢ ʌȡȠȩįȠȣ. ǲȤȠȣȝİ: An = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + …+ nx n 1 xAn = x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + …+ nx n

ȈȣȞİʌȫȢ

An –xAn = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + …+ x n 1 - nx n (1 – x)An =

Ǿ (1) ʌȜȑȠȞ ȖȡȐĳİĲĮȚ: (1 – x)ın = țĮȚ ȑĲıȚ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȩĲȚ: ın =

xn 1 1 xn nx n - nx n An = + (x 1) 2 x 1 x 1

1 xn nx n n(n 1) n + x (x 1) 2 x 1 2

xn 1 nx n n(n 1) n + x 3 2 (x 1) (x 1) 2(x 1)

ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ Įʌȩ ĲȘ șİȦȡȓĮ ȩĲȚ lim x n = 0, ĮĳȠȪ x < 1. Ȃİ ĲȠ țȡȚĲȒȡȚȠ ĲȠȣ D’Alembert ( lim

D n 1 Dn

D 1 lim D n

0 ) ȝʌȠȡİȓ İȪțȠȜĮ ʌȜȑȠȞ ȞĮ

ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ lim nx n = lim n(n+1)x n = 0 ȈȣȞİʌȫȢ Ȉ = lim ın = x

1 (1 x)3

ȈĲȠ ǻİȜĲȓȠ ĬİȝȐĲȦȞ ĲȠȣ ǹȡȚıĲİȓįȠȣ ȆȐȜȜĮ (ıİȜȓįİȢ 137-138) ȣʌȐȡȤİȚ țĮȚ ȜȪıȘ ȤȦȡȓȢ ĲȠ țȡȚĲȒȡȚȠ D’Alembert. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/75

«Ɉʉ ɸʃʃʌɸʅɹʎ ʏɻʎ ɸʇɹʄɿʇɻʎ» Ȱʋʊ ʏɻʆ, ʐʋʊ ɹʃɷʉʍɻ, ʏʌʀʏɻ ʋʉɿɻʏɿʃɼ ʍʐʄʄʉɶɼ ʏɻʎ Ȳɲʌɴɳʌɲʎ Ⱦɲɶɿʉʑʄɻ

«ȸ ɸɿʅɲʌʅɹʆɻ ʏʘʆ ɲʔɲʆʙʆ» ɀʋʌʉʍʏɳ ʏʉ ʄɸʐʃʊ ʖɲʌʏʀ ʋʉʐ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ɶɸʅʀʍɸɿ ʅɸ ɲʋɲʆʏɼʍɸɿʎ ʍɲʔɸʀʎ ʃɲɿ ʌɻʏɹʎ ʊʋʘʎ ʏʉ ɲʋɲɿʏʉʑʆ ʉɿ ɸʋɿʍʏɻʅʉʆɿʃɹʎ ʋʌʉɷɿɲɶʌɲʔɹʎ, ɻ ʖɻʅɿʃɼ ɲʆʏʀɷʌɲʍɻ ʃɲɿ ɻ ɸʇʀʍʘʍɻ ʏɻʎ ʅɳɺɲʎ ʃɲɿ ʏɻʎ ɷʑʆɲʅɻʎ, ʖɿʄɿɳɷɸʎ ʅɳʏɿɲ ʆɲ ɲɶʘʆɿʉʑʆ ɶɿɲ ʏʉ ɶɿʆʊʅɸʆʉ, ʏʉʆ ʃʉɿʆʊ ʋɲʌʉʆʉʅɲʍʏɼ ʃɲɿ ʏʉ ʋʌʉʍɷʉʃʙʅɸʆʉ ʐʋʊʄʉɿʋʉ, ʅɹʍɲ ʍʏʉ ʅɸɶɸɽʐʆʏɿʃʊ ʔɲʃʊ ʏʉʐ ʋɸɿʌɳʅɲʏʉʎ ɻ ʏɸʄɿʃɼ ʄʑʍɻ ʃɲɿ ʏʉ ɲʆɲʋɳʆʏɸʖʉ: ɹʆɲ ɳɽʌʉɿʍʅɲ ɲʋʌʊɴʄɸʋʏʉͲ ʅɿɲ ʃʄʘʏʍɿɳ ʍʏɻʆ ɳʗʉɶɲ ɷʉʅɻʅɹʆɻ ʋʐʌɲʅʀɷɲ ʏɻʎ ɳʍʃɻʍɻʎ ʋʉʐ ʃɲʏɲʌʌɹɸɿ ʋɳʌɲʐʏɲ, ʊʄʉɿ ʍɸ ʋɲʆɿʃʊ ʃɿ ɸɶʌɼɶʉʌʍɻ ɶɿɲ ʏʉʆ ɸʆʏʉʋɿʍʅʊ ʏɻʎ ʃʌʀʍɿʅɻʎ ɲʍʏʉʖʀɲʎ, ʃɲʆɸʀʎ ɷɸʆ ɲʃʉʑɸɿ ʏʉʆ ɼʖʉ ʋʉʐ ɴɶɲʀʆɸɿ ɲʋʊ ʃɳʋʉɿʉ ɴɿʉʄʀ ʃɲɿ ʏɻ ʅɹʄɿʍʍɲ ʋʉʐ ɴʉʐʀɺɸɿ ʅɹʍɲ ʍʏɻʆ ʃʐʗɹʄɻ ʏɻʎ ɲʌʅʉʆʀɲʎ, ʇɸʋɸʌɲʍʅɹʆɻ ʋɿɲ ɶɿʚ ɲʐʏʉʑʎ ɻ ʍʏɳʖʏɻ ʋʉʐ ɴɶɲʀʆɸɿ ɲʋʊ ʏʉ ʃɲʌɴʉʐʆɿɲʍʅɹʆʉ ʍʙʅɲ ʏɻʎ ʋʉʀɻʍɻʎ ʃɿ ɻ ɿʍʏʉʌʀɲ ʅɿɲ ʄɻʇɿʋʌʊɽɸʍʅɻ ɲʔɼɶɻʍɻ ɶɿɲ ʋɸɽɲʅɹʆʉʐʎ ʋʉʐ ʍʃʊʋɿʅɲ ɲʔɼʆʉʐʆ ɳʏɲʔʉʐʎ ɶɿɲ ɲʋʉʋʌʉʍɲʆɲʏʉʄɿʍʅʊ ʉɿ ɸʌɲʍʏɹʎ ʏʘʆ ɿɷɸʙʆ. ȵɷʙ ʍʏɻ ʖʙʌɲ ʏʘʆ ɲʌɿɽʅʙʆ ɷɸʆ ɹʖʉʐʆ ɽɹʍɻ ʏɲ ʋɲʌɲʅʑɽɿɲ, ɸɷʙ ʏɸʏʌɳɶʘʆɲ, ʋɲʌɲʄʄɻʄʊɶʌɲʅʅɲ ʃɲɿ ʌʊʅɴʉɿ ʃɲɿ ʉ ɷʉʃɿʅɲʍʏɿʃʊʎ ʍʘʄɼʆɲʎ ʏɻʎ ɸʇɹʄɿʇɻʎ, ɸɷʙ ʔʏɿɳʖʆɸʏɲɿ ʏʉ ɷɿɲʍʏɻʅʊʋʄʉɿʉ ʋʉʐ ɽɲ ɲʆɲʄɻʔɽɸʀ ʍʏʉʐʎ ʉʐʌɲʆʉʑʎ ʃɿ ɻ ʅɻʖɲʆɼ ʋʉʐ ɽɲ ɷɿɲʃʏɿʆʀʍɸɿ ʏʉʆ ɳʆɽʌʘʋʉ ʍɸ ʆɹɸʎ ɲʏʌɲʋʉʑʎ, ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/76

ʅʊʆʉ ʋʉʐ ʉɿ ʍʉʔʉʀ ʇɹʖɲʍɲʆ ʅɹʍɲ ʆɲ ɴɳʄʉʐʆ ʄʀɶɻ ɲʋʚ ʏɻʆ ʗʐʖɼ ʏʉʐʎ ʃɲɿ ʏʉ ɷɿɲʍʏɻʅʊʋʄʉɿʉ ɶʀʆɸʏɲɿ ʉ ʋʑʌɲʐʄʉʎ ʋʉʐ ʋɹʔʏɸɿ ɲʃʐɴɹʌʆɻʏʉʎ ʅɹʍɲ ʍʏʉ ɷɳʍʉʎ ʃɲɿ ɹʏʍɿ ʔʏɿɳʖʆɸʏɲɿ ʅɿɲ ʅɿʍɻʏɼ ɿʍʏʉʌʀɲ ʋʉʐ ʊʄʉɿ ɽɹʄʉʐʆ ʆɲ ʇɸʖɳʍʉʐʆ ʃɲɿ ɲʋʉɷʀɷʉʐʆ ʍʏɻ ʅɸʏɲɴʉʄɼ ʏʘʆ ʃɲɿʌɿʃʙʆ ʍʐʆɽɻʃʙʆ. Ɉɻʆ ʀɷɿɲ ʙʌɲ ʅɲʏɲɿʙʆɸʏɲɿ ɹʆɲ ʋʉʀɻʅɲ ʋʉʐ ɽɲ ɹɶʌɲʔɸ ʉ ɸʌɲʍʏɼʎ ʏʘʆ ɿɷɸʙʆ ʃɲɿ ʏʘʆ ɲɿʍɽɻʅɳʏʘʆ ʃɳʏʘ ɲʋʊ ʏʉ ɷɹʆʏʌʉ ʅɸ ʏʉ ʇʐʍʅɹʆʉ ʅʉʄʐɴɳʃɿ ʏʉʐ ʃɲɽʙʎ ʃʉɿʏʉʑʍɸ ʏʉ ʍʋʉʐʌɶʀʏɿͲ ʋɳʆʘ ɲʋʊ ʏʉ ʃɲʏɲʌʌɹʉʆ ɷɿɲʍʏɻʅʊʋʄʉɿʉͲ ʆɲ ʃʉʄʐʅʋɳ ʍʏʉ ɲʍɻʅɹʆɿʉ ʔʘʎ ʏʘʆ ɲʍʏɸʌɿʙʆ.

ɀɲ ʊʄɲ ɲʐʏɳ ɸʀʆɲɿ ʗɿʄɳ ɶʌɳʅʅɲʏɲ ɶɿɲ ʏʉ ʅɸʀɺʉʆ ʋʉʐ ʋʌʉɹʖɸɿ ʍʏʉʐʎ ʃɲɿʌʉʑʎ ʏɻʎ ʄʉɶɿʃɼʎ: ʉ ʃʄʙʆʉʎ ʋʉʐ ɽɲ ɴɶɳʄɸɿ ʏɻ ʅɻʖɲʆɿʃɼ ɶʄʙʍʍɲ ʏʉʐ ʍʏʉ ɽɸʊ, ɹʆɲ ʋʄɹɿ ʅʉʅʋʀʄ ʃʌɸʅɲʍʅɹʆʉ ʍʏʉ ɶʐʅʆʊ ɷɹʆʏʌʉ, ʏʊʏɸ ʏʉ ɴɼʅɲ ʏʉʐ ʃʊʍʅʉʐ ɲʍʏɲɽɹʎͲ ɹʆɲ ɸʃʃʌɸʅɹʎ ɲɿʘʌʉʑʅɸʆʉ ʅɸ ɳʏʍɲʄʉ ʌʐɽʅʊ ʅɹʍɲ ʍʏɻ ʅɲʑʌɻ ʏʌʑʋɲ ʏɻʎ ɸʇɹʄɿʇɻʎ.

Ɉɻʆ ʀɷɿɲ ʍʏɿɶʅɼ ʉ ʋʉɿɻʏɼʎ ʍʃʐʅʅɹʆʉʎ ʍʏʉʐʎ ʋʐɽɲɶʊʌɸɿʉʐʎ ɲʌɿɽʅʉʑʎ ɲʌʖɹɶʉʆɸʎ ʌʀʅɸʎ ɲʆɲʃɲʄʑʋʏɸɿ ɸʆɸʊʎ ʃɲɿ ʍʏɻʆ ɲʌʅʉʆʀɲ ʏʉʐ ʍʑʅʋɲʆʏʉʎ ʏʉʆ ʏɹʄɸɿʉ ɲʌɿɽʅʊ. « Ɉʉ ʃʉʌʅʀ ʋɸɽɲʀʆɸɿ ʏʉ ʆɸʌʊ ɽʉʄʙʆɸɿ ɻ ʗʐʖɼ ɷɿʍʏɳɺɸɿ ʃɿ’ ʉ ɲɶɹʌɲʎ ʇɸʖʆɳɸɿ ୎ʄʉ ʇɸʖʆɳɸɿ ʅɲ ɻ ʔʄʊɶɲ ɷɸʆ ɲʄʄɳɺɸɿ» ȳɿʙʌʉʎ ɇɸʔɹʌɻʎ

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« Ï¾Ä¾ȯË» ¾ÊÒÍȘÌ¾ÂË ¾ÆȿË ÅºÁÀÍȘ ÌÍÈÆ ÃºÁÀ¼ÀÍȘ ÍÈÎ Ⱦʘʆʍʏɲʆʏʊʋʉʐʄʉʎ ȸʄʀɲʎ e_konstantop@hotmail.com

ɀɲɽɻʏɼʎ: Ⱥɲ ʅʋʉʌʉʑʍɲʏɸ ʆɲ ʅʉʐ ʋɸʀʏɸ, ʏɿ ɸʀʆɲɿ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ; Ⱦɲɽɻɶɻʏɼʎ: Ɉʊʍɲ ʖʌʊʆɿɲ ɷɿɷɳʍʃɸʍɲɿ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ, ɷɸʆ ɹʖɸɿʎ ʃɲʏɲʄɳɴɸɿ ʏɿ ɸʀʆɲɿ; ɀ: Ʉʖɿ, ɷɸ ɹʖʘ ʃɲʏɲʄɳɴɸɿ ɲʃʌɿɴʙʎ. ȴʙɷɸʃɲ ʖʌʊʆɿɲ ʏʙʌɲ, ɲʃʉʑʘ ɷɿɳʔʉʌɲ, ɲʄʄɳ ʅʉʐ ʔɲʀʆʉʆʏɲɿ ɲʋʉʍʋɲʍʅɲʏɿʃɳ. Ⱥɹʄʘ ʆɲ ʅʉʐ ʋɸʀʏɸ ʏɿ ɸʀʆɲɿ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʍʏɻʆ ʉʄʊʏɻʏɳ ʏʉʐʎ. Ⱦ: ɍʅ, ɷʑʍʃʉʄɲ ʅʉʐ ɴɳɺɸɿʎ. Ɉɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɹʖʉʐʆ ʋʉʄʄʉʑʎ ʃʄɳɷʉʐʎ, ɷɸ ɽɲ ʅʋʉʌʉʑʍɲ ʉʑʏɸ ʃɲɿ ɸɶʙ ʆɲ ʏʉʐʎ ɲʋɲʌɿɽʅɼʍʘ. ɀ: ȴɸ ɽɹʄʘ ʆɲ ʅʉʐ ʋɸʀʏɸ ʏʉʐʎ ʃʄɳɷʉʐʎ. Ⱥɹʄʘ ʆɲ ʅʉʐ ʋɸʀʏɸ ʏɿ ɸʀʆɲɿ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ. Ⱦ: Ⱥɹʄɸɿʎ ɷɻʄɲɷɼ ɹʆɲʆ ʉʌɿʍʅʊ; ɀ: ȼʍʘʎ. ȵʍɸʀʎ ʊʏɲʆ ɲʌʖʀɺʉʐʅɸ ɹʆɲʆ ʃʄɳɷʉ ɼ ɹʆɲ ʆɹʉ ʃɸʔɳʄɲɿʉ, ʅɸ ʉʌɿʍʅʊ ɷɸʆ ʇɸʃɿʆɳʏɸ; Ⱦ: Ȱʎ ʋʌʉʍʋɲɽɼʍʘ ʄʉɿʋʊʆ. Ⱥɲ ɹʄɸɶɲ ʊʏɿ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɸʀʆɲɿ ɻ ɸʋɿʍʏɼʅɻ ʏɻʎ ʋʉʍʊʏɻʏɲʎ ʃɲɿ ʏʉʐ ʖʙʌʉʐ. ɀ: ȵʋɿʍʏɼʅɻ; ȵʀʋɲʏɸ ȵʋɿʍʏɼʅɻ; Ⱦɲɿ ɸɶʙ ʋʉʐ ʆʊʅɿɺɲ ʊʏɿ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɸʀʆɲɿ ʅʊʆʉ ɸʌɶɲʄɸʀʉ ɶɿɲ ʏɿʎ ɳʄʄɸʎ ɸʋɿʍʏɼʅɸʎ. Ⱦ: ȳɿɲʏʀ ʏʉ ʄɸʎ ɲʐʏʊ; ɀ: ȳɿɲʏʀ ʆʊʅɿɺɲ ʊʏɿ ɷɸʆ ɹʖʉʐʆ ʔʐʍɿʃʊ ɲʆʏɿʃɸʀʅɸʆʉ ʅɸ ʏʉ ʉʋʉʀʉ ʆɲ ɲʍʖʉʄʉʑʆʏɲɿ. Ʉʏɿ ʊʄɲ ɸʀʆɲɿ ʍʏʉ ʅʐɲʄʊ ʅɲʎ ʃɲɿ ʅʊʆʉ. ȴɸʆ ʐʋɳʌʖɸɿ ʋɸʌʀʋʏʘʍɻ ʆɲ ɷʉʑʅɸ ɹʆɲ ɲʌɿɽʅʊ ʆɲ ʋɸʏɳɸɿ ɶʑʌʘ ʅɲʎ. Ⱦ: Ȱʆ ɹʏʍɿ ʉʌʀɺɸɿʎ ʏɻʆ ɸʋɿʍʏɼʅɻ, ʀʍʘʎ ʃɲɿ ʆɲ ɹʖɸɿʎ ɷʀʃɿʉ. ɀ: Ȱʄʄɳ ʏʊʏɸ ʋʉʑ ʐʋɳʌʖʉʐʆ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ; ɉʋɳʌʖʉʐʆ ʍʏ’ ɲʄɼɽɸɿɲ ɼ ʏɲ ʃɲʏɲʍʃɸʐɳɺʉʐʅɸ; Ⱦ: Ɉɿ ɸʆʆʉɸʀʎ; ɉʋɳʌʖʉʐʆ ʍʏɲ ɴɿɴʄʀɲ. ɉʋɳʌʖʉʐʆ ʉʅɿʄʀɸʎ, ʍʐʆɹɷʌɿɲ, ɻʄɸʃʏʌʉʆɿʃʉʀ ʐʋʉʄʉɶɿʍʏɹʎ. ɀ: ȴɸʆ ɸʆʆʉʙ ɲʐʏʊ. ȵʆʆʉʙ ɲʆ ʐʋɳʌʖʉʐʆ ɶʑʌʘ ʅɲʎ, ɹʇʘ ɲʋʊ ʏɲ ɲʆɽʌʙʋɿʆɲ ɷɻʅɿʉʐʌɶɼʅɲʏɲ. Ⱦ: ȼʍʘʎ ʆɲɿ. Ⱦɳʋʉɿɲ ɲʋʊ ɲʐʏɳ. ȳɿɲ ʋɲʌɳɷɸɿɶʅɲ ʉ ʄʊɶʉʎ ʏɻʎ ʖʌʐʍɼʎ ʏʉʅɼʎ ɸʅʔɲʆʀɺɸʏɲɿ ʍʐʖʆɳ ʍʏɻ ʔʑʍɻ, ʉ ɷɸ Ʌʄɳʏʘʆ ɿʍʖʐʌɿɺʊʏɲʆ ʊʏɿ ʉɿ ɲʌɿɽʅʉʀ ʐʋɳʌʖʉʐʆ ʃɲɿ ɸʅɸʀʎ ɲʋʄɳ ʏʉʐʎ «ɲʆɲʃɲʄʑʋʏʉʐʅɸ». ɀ: «ɉʋɳʌʖʉʐʆ», ɷɸ ʍɻʅɲʀʆɸɿ ʊʏɿ ʅʋʉʌʙ ʃɲɿ ʆɲ ʏʉʐʎ ʋɲʌɲʏɻʌɼʍʘ; ɇʐʅɴɲʀʆɸɿ ɲʐʏʊ ʅɸ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ; Ⱦ: ȴʉʐʄɸɿɳ ʅʉʐ ɸʀʆɲɿ ʆɲ ɲʋʉɷɸɿʃʆʑʘ ʋʌɳɶʅɲʏɲ, ɽɸʘʌɼʅɲʏɲ, ʊʖɿ ʆɲ ʋɲʌɲʏɻʌʙ ʏʉʐʎ ɲʌɿɽʅʉʑʎ. ɀ: ɇʋʉʐɷɳʍɲʏɸ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ, ɷɿɷɳʍʃɸʏɲɿ ʏʊʍɲ ʖʌʊʆɿɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ. ȳɿɲ ʆɲ ɲʆʏɿʄɻʔɽʙ ʏʉ ɸʑʌʉʎ ʏʉʐʎ, ɸʍɸʀʎ, ɹʆɲʎ ʃɲʄʊʎ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʊʎ, ʏɿ ʋʉʍʉʍʏʊ ʏʘʆ ʐʋɲʌʖʊʆʏʘʆ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɶʆʘʌʀɺɸʏɸ; Ⱦ: ɀɸ ʋɿɳʆɸɿʎ ɲʋʌʉɸʏʉʀʅɲʍʏʉ. ȴɸ ɶʆʘʌʀɺʘ ʉʑʏɸ ʃɲʆ ʊʄʉʐʎ ʏʉʐʎ ʃʄɳɷʉʐʎ ʏʘʆ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ… ɀ: Ⱦɲʏɳ ʋʌʉʍɹɶɶɿʍɻ, ɹʍʏʘ… Ⱦ: ȶʆɲ ʋɹʆʏɸ, ʀʍʘʎ ɷɹʃɲ ʏʉɿʎ ɸʃɲʏʊ. ɇʀɶʉʐʌɲ ʊʖɿ ʋɲʌɲʋɳʆʘ. ɀ: ɀɸ ɹʆɲ ʏʊʍʉ ʅɿʃʌʊ ʋʉʍʉʍʏʊ ɶʆʙʍɻʎ ʏɻʎ ɸʋɿʍʏɼʅɻʎ ʍɲʎ, ɶɿɲʏʀ ɸʅʔɲʆʀɺɸʍʏɸ ʏʊʍʉ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/78

ʍʋʉʐɷɲʀʉʎ ʍʏɻʆ ʏɳʇɻ ʃɲɿ ɸɿɷɿʃɳ ʍʏʉʆ ʋʀʆɲʃɲ; Ⱦ: Ʉʖɿ, ɷɸʆ ʏʉ ʋɲʀɺʘ ʍʋʉʐɷɲʀʉʎ. Ʌʌʉʍʋɲɽʙ ʆɲ ʍɲʎ ɸʅʔʐʍɼʍʘ ʏɻʆ ɲɶɳʋɻ ɶɿɲ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ. ɀ: ɇʐɶʆʙʅɻ, ɷɸʆ ɼɽɸʄɲ ʆɲ ʍɲʎ ʋʌʉʍɴɳʄʘ. ȴɿʉʌɽʙʆʘ ʏɻʆ ɸʌʙʏɻʍɻ. ȳɿɲʏʀ ɽɸʘʌɸʀʏɸ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʍʋʉʐɷɲʀɲ; Ⱦ: ȳɿɲʏʀ ʅɲʎ ɴʉɻɽʉʑʆ ʆɲ ɴɸʄʏɿʙʍʉʐʅɸ ʏɻ ɺʘɼ ʅɲʎ. ɀ: Ɉɻ ɷɿʃɼ ʍɲʎ ɺʘɼ, ʆɲɿ, ʏʉ ʃɲʏɲʄɲɴɲʀʆʘ. ȵʀʆɲɿ ɻ ɷʉʐʄɸɿɳ ʍɲʎ, ɺɸʀʏɸ ɲʋʊ ɲʐʏɳ. Ȱʄʄɳ ʏɻ ɷɿʃɼ ʅɲʎ, ʏʘʆ ʅɲɽɻʏʙʆ, ɶɿɲʏʀ; Ʉʍʉɿ ɷɸʆ ʋɲʀʌʆʉʐʆ ʅʐʌʘɷɿɳ ɲʋʊ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ, ɸʀʆɲɿ ʃɲʏɲɷɿʃɲʍʅɹʆʉɿ, ɳʖʌɻʍʏʉɿ, ɷɸʆ ɹʖʉʐʆ ʃɲʅɿɳ ɸʄʋʀɷɲ ʆɲ ɴɸʄʏɿʙʍʉʐʆ ʏɻ ɺʘɼ ʏʉʐʎ; Ⱦ: ȴɸʆ ɸʀʋɲ ɲʐʏʊ. Ȳɸʄʏɿʙʆʉʐʆ ʏɻ ɺʘɼ ʏɻʎ ʃʉɿʆʘʆʀɲʎ ʃɲɿ ʃɲʏɳ ʍʐʆɹʋɸɿɲ ʊʄʘʆ ʅɲʎ. Ȱʄʄɳ ʃɲɿ ɲʐʏʉʀ ʋʉʐ ɷɸ «ɹʅɲɽɲʆ» ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ, ʍʀɶʉʐʌɲ ɻ ɸʆɲʍʖʊʄɻʍɼ ʏʉʐʎ ʅɸ ɲʐʏɳ ɴɸʄʏʀʘʍɸ ʏɻ ʍʃɹʗɻ ʏʉʐʎ ʃɲɿ ʏɻʆ ʃʌɿʏɿʃɼ ʏʉʐʎ ɿʃɲʆʊʏɻʏɲ. ɇɸ ʊʏɿ ʃɲɿ ɲʆ ʃɳʆʉʐʆ ʍʏɻ ɺʘɼ ʏʉʐʎ. ɀ: Ȱʎ ɸʀʆɲɿ. ɇɲʎ ɲʌɹʍʉʐʆ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʋʉʐ ʅɲʎ ɷɿɷɳʍʃɸʏɸ ɼ ɽɲ ʋʌʉʏɿʅʉʑʍɲʏɸ ʃɳʏɿ ɳʄʄʉ; Ⱦ: Ⱥɲ ʅʋʉʌʉʑʍɲ ʆɲ ʋʘ ʆɲɿ, ɲʄʄɳ ʐʋɳʌʖʉʐʆ ʃɲɿ ɳʄʄɲ ɸʆɷɿɲʔɹʌʉʆʏɲ ʋʉʐ ɽɲ ɹʋʌɸʋɸ ʆɲ ɷɿɷɳʍʃʉʆʏɲɿ, ɲʄʄɳ ɷɸʆ ɶʆʘʌʀɺʘ ɲʆ ɸʋɲʌʃɸʀ ʉ ʖʌʊʆʉʎ. ɀ: Ɉɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɸʀʆɲɿ ɲʍʃɼʍɸɿʎ; ȳɿɲʏʀ ʏɿʎ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌɸʎ ʙʌɸʎ ʅɸ ɲʍʃɼʍɸɿʎ ʏɿʎ ʋɸʌʆɳʅɸ. Ⱦ: ȳɿɲ ɸʅɹʆɲ ʋʌʉʍʘʋɿʃɳ, ʊʖɿ. Ɉɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɷɸʆ ɸʀʆɲɿ ʅʊʆʉ ɲʍʃɼʍɸɿʎ. ȵʀʆɲɿ ʉɿ ɷɿɳʔʉʌɸʎ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɹʎ ɽɸʘʌʀɸʎ, ʋ.ʖ. ɻ ɽɸʘʌʀɲ ʏʘʆ ʍʐʆʊʄʘʆ, ɻ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɼ ʄʉɶɿʃɼ ʃɲɿ ʔʐʍɿʃɳ ʉɿ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɹʎ ʅɹɽʉɷʉɿ ɲʋʊɷɸɿʇɻʎ. ɀ: Ɉʊʏɸ ɶɿɲʏʀ ʅɲʎ ʃɳʆɸʏɸ ʏʊʍɸʎ ɲʍʃɼʍɸɿʎ; Ⱦ: ȳɿɲ ʆɲ ɶʌɳʗɸʏɸ ʃɲʄɳ ʍʏɿʎ ɸʇɸʏɳʍɸɿʎ ʍɲʎ! ȵʃɸʀ ʏɲ ʏʌʀʏɲ ʏɹʏɲʌʏɲ ʏʘʆ ɽɸʅɳʏʘʆ ɸʀʆɲɿ ɲʍʃɼʍɸɿʎ ʃɲɿ ɸɶʙ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ʍɲʎ ʋʌʉɸʏʉɿʅɳʍʘ ɶɿ’ ɲʐʏʊ. ɀ: ɀɲ ɸʍɸʀʎ ɸʀʋɲʏɸ ʊʏɿ ɸʋɿɷɿʙʃɸʏɸ ʆɲ ʅɲʎ ʃɳʆɸʏɸ ʆɲ ɲɶɲʋɼʍʉʐʅɸ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ. Ⱥɸʘʌɸʀʏɸ ʊʏɿ ɲʐʏʊ ɸʋɿʏʐɶʖɳʆɸʏɲɿ ʅɸ ʏɿʎ ʋʉʄʄɹʎ ɲʍʃɼʍɸɿʎ; Ⱦ: Ʉʖɿ, ɷɸʆ ʏʉ ʆʉʅʀɺʘ. Ⱥɲ ʋʌʉʏɿʅʉʑʍɲ ʆɲ ʃɳʆɲʅɸ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌɻ ɽɸʘʌʀɲ. Ⱥɲ ɼʏɲʆ ʃɲʄʊ ʆɲ ʃɳʆɲʅɸ ʃɲɿ ɿʍʏʉʌʀɲ ʏʘʆ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ. ɀ: ȵʆʆʉɸʀʏɲɿ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌɲ ɽɸʘʌɼʅɲʏɲ ʍʏɻʆ ʑʄɻ ʋʉʐ ʃɳʆʉʐʅɸ ɼ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌɸʎ ɽɸʘʌʀɸʎ; Ⱦ: Ⱦɲɿ ʏɲ ɷʑʉ. ɀ: ȴʀʆɸʏɲɿ ʄʉɿʋʊʆ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌɻ ɴɲʌʑʏɻʏɲ ʍʏɻ ɽɸʘʌʀɲ. Ȱʐʏɼ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ɷɿɷɳʍʃɸʏɲɿ ʅɸ ʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ ʏʘʆ ɽɸʘʌɻʅɳʏʘʆ ɼ ʖʘʌʀʎ ɲʐʏɹʎ; Ⱦ: ȸ ɲʋʊɷɸɿʇɻ ɸʆʊʎ ɽɸʘʌɼʅɲʏʉʎ ɸʀʆɲɿ ɲʆɲɶʃɲʀɲ. Ȱʆ ɸʀʆɲɿ ʃɳʋʘʎ ɲʋʄɼ, ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ɷɿɷɳʍʃɸʏɲɿ. Ȱʄʄɳ ɷɸʆ ʅʋʉʌʉʑʆ ʆɲ ɷɿɷɳʍʃʉʆʏɲɿ ʊʄɸʎ. ɀ: ȴɻʄɲɷɼ, ɲʆ ʃɲʏɳʄɲɴɲ ʃɲʄɳ, ɷɸʆ ʅʋʉʌʉʑʅɸ ʆɲ ʅɳɽʉʐʅɸ ʊʄɸʎ ʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ ʏʘʆ ɽɸʘʌɻʅɳʏʘʆ ʋʉʐ ɷɿɷɲʍʃʊʅɲʍʏɸ. Ⱦ: ȴɸ ʔʏɳʆɸɿ ʉ ʖʌʊʆʉʎ, ɽɲ ɸʋɿɴɳʌʐʆɸ ʋʉʄʑ ʏʉ ʅɳɽɻʅɲ. Ⱦɲʄʑʏɸʌɲ ʆɲ ɸʋɿʃɸʆʏʌʘʆʊʅɲʍʏɸ ʍʏɿʎ ɸʔɲʌʅʉɶɹʎ. ɀ: ȵʆʆʉɸʀʏɲɿ ʍʏɿʎ ɸʔɲʌʅʉɶɹʎ ʏʘʆ ɽɸʘʌɻʅɳʏʘʆ; Ʌʉʑ; ɇʏɻʆ ʃɲɽɻʅɸʌɿʆɼ ɺʘɼ; Ȱʐʏʊ ɽɲ ɼʏɲʆ ʋʌɲɶʅɲʏɿʃɳ ɸʆɷɿɲʔɹʌʉʆ. Ⱦ: Ʉʖɿ ʍʏɻʆ ʃɲɽɻʅɸʌɿʆʊʏɻʏɲ. ȵʔɲʌʅʉɶɹʎ ɲʋʄɳ ɶɿɲ ʆɲ ʃɲʏɲʄɳɴʉʐʅɸ ʃɲʄʑʏɸʌɲ ʏɲ ɽɸʘʌɼʅɲʏɲ. ɀ: ȵʋɸɿɷɼ ɷɸʆ ʅʋʉʌʉʑʅɸ ʆɲ ʃɲʏɲʄɳɴʉʐʅɸ ʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ; Ⱦɲɿ ɽɲ «ʋɸɿʍɽʉʑʅɸ» ɶɿɲ ʏɻʆ ɲʄɼɽɸɿɳ ʏʉʐʎ ʅɸ ʏɲ ʋɲʌɲɷɸʀɶʅɲʏɲ; ȵʍɸʀʎ ɷɸ ʅɲʎ ɹʖɸʏɸ ʋɸɿ ʊʏɿ ʊʍɲ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/79

ʋɲʌɲɷɸʀɶʅɲʏɲ ʃɲɿ ɲʆ ʃɳʆʉʐʅɸ, ɷɸʆ ʅʋʉʌʉʑʅɸ ʆɲ ɸʀʅɲʍʏɸ ɴɹɴɲɿʉɿ ɶɿɲ ʏɻʆ ɲʄɼɽɸɿɲ ʅɿɲʎ ʋʌʊʏɲʍɻʎ; Ⱦ: Ȱʐʏʊ ɲʃʌɿɴʙʎ ʍɲʎ ɹʖʘ ʋɸɿ. Ȱʄʄɳ ɷɸʆ ʅɿʄʙ ɶɿɲ ʏɻʆ ɲʄɼɽɸɿɲ ɸʆʊʎ ɽɸʘʌɼʅɲʏʉʎ, ɲʄʄɳ ɶɿɲ ʏɻ ʍʋʉʐɷɲɿʊʏɻʏɳ ʏʉʐ. M: ɀɲʎ ɷɿɷɳʍʃɸʏɲɿ ɹʆɲ ɲʋʄʊ ɽɸʙʌɻʅɲ, ʋ.ʖ. ʏʉʐ ɽɸʙʌɻʅɲ Bʉlzano, ɲʄʄɳ ʖʘʌʀʎ ʏɻʆ ɲʋʊɷɸɿʇɼ ʏʉʐ. Ⱥɲ ʅʋʉʌʉʑʍɲʏɸ ʆɲ ʅɲʎ ʋɸʀʏɸ ʏɻʆ ɲʋʊɷɸɿʇɼ ʏʉʐ; Ȱʐʏɼʆ ʏɻʆ ʍʏɿɶʅɼ; Ⱦ: Ʉʖɿ, ɷɸʆ ɸʀʆɲɿ ʏʊʍʉ ɲʋʄɼ ʃɲɿ ɸʋɸɿɷɼ ɹʖʉʐʅɸ ʖʌʊʆɿɲ ʆɲ ʏɻ ɷɿɷɳʇʉʐʅɸ, ɽɲ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ʏɻ ʔʌɸʍʃɳʌʘ. ɀ: ȴɻʄɲɷɼ ɷɸʆ ʇɹʌɸʏɸ ʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ ʏʘʆ ɽɸʘʌɻʅɳʏʘʆ ʋʉʐ ʅɲʎ ɷɿɷɳʍʃɸʏɲɿ… Ⱦ: Ƀʅʉʄʉɶʙ ʊʖɿ. Ȱʐʏɹʎ ʋʉʐ ɸʀʆɲɿ ɸʃʏʊʎ ɸʇɸʏɲʍʏɹʎ ʑʄɻʎ, ʏɿʎ ɹʖʘ ʇɸʖɳʍɸɿ. ɀ: Ȱʆ ʊʅʘʎ ʏɿʎ ɷɿɲɴɳɺɲʏɸ ʋɳʄɿ, ɽɲ ʅʋʉʌʉʑʍɲʏɸ… Ⱦ: Ȱʆɲʅʔʀɴʉʄɲ! ɀ: Ȱʐʏʊ ɿʍʖʑɸɿ ɶɿɲ ʊʄɲ ʏɲ ɽɸʘʌɼʅɲʏɲ ʏʘʆ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ; Ⱦ: Ʉʖɿ, ʐʋɳʌʖʉʐʆ ʍʀɶʉʐʌɲ ɽɸʘʌɼʅɲʏɲ ʋʉʐ ɷɸ ɽɲ ʅʋʉʌʉʑʍɲ ʆɲ ʃɲʏɲʄɳɴʘ ʋʉʏɹ. ɀ: Ɍʏɲʀɸɿ ʏʉ ʅʐɲʄʊ ʍɲʎ ɶɿ’ ɲʐʏʊ; Ⱦ: ȼʍʘʎ ʔʏɲʀɸɿ ʃɲɿ ʏʉ ʅʐɲʄʊ ʅʉʐ. ȵʀʅɲɿ ɹʆɲʎ ʍʐʆɻɽɿʍʅɹʆʉʎ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʊʎ. Ȱʄʄɳ ʍʀɶʉʐʌɲ ʔʏɲʀɸɿ ʏʉ ɶɸɶʉʆʊʎ ʊʏɿ ɲɶʆʉʙ ʏɻʆ ɲʆʏʀʍʏʉɿʖɻ ɽɸʘʌʀɲ, ʋɳʆʘ ʍʏɻʆ ʉʋʉʀɲ ɹʖɸɿ ɷʉʅɻɽɸʀ ʏʉ ɽɸʙʌɻʅɲ. ɀ: Ɉʊʏɸ ʋʙʎ ɸʀʍʏɸ ʍʀɶʉʐʌʉʎ, ʊʏɿ ɹʆɲ ʏɹʏʉɿʉ ɽɸʙʌɻʅɲ ɿʍʖʑɸɿ; Ⱦ: ȳɿɲʏʀ ʃɳʋʉɿʉʎ ɳʄʄʉʎ ʏʉ ɹʖɸɿ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿ. ȱʄʄʘʍʏɸ ʏɿ ɽɸʙʌɻʅɲ ɽɲ ɼʏɲʆ; ɀ: «Ɉʉ ɹʖɸɿ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿ», ʅɳʄɿʍʏɲ. Ɉɿ ʍɻʅɲʀʆɸɿ ɲʃʌɿɴʙʎ «ɲʋʊɷɸɿʇɻ»; Ⱦ: ɀɲ ɹʖʉʐʅɸ ʃɳʆɸɿ ʏʊʍɸʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ… ɀ: ȴɸ ʍɲʎ ɺɻʏʙ ʋɲʌɲɷɸʀɶʅɲʏɲ ɲʋʊɷɸɿʇɻʎ, ɲʄʄɳ ʏɿ ɸʀʆɲɿ ɲʋʊɷɸɿʇɻ. Ɉʉʆ ʉʌɿʍʅʊ ʏɻʎ ɲʋʊɷɸɿʇɻʎ. Ȱʄʄɿʙʎ, ʋʙʎ ɽɲ ʇɹʌʘ ʊʏɿ ʏɲ ɸʋɿʖɸɿʌɼʅɲʏɲ ʋʉʐ ʖʌɻʍɿʅʉʋʉɿɸʀʏɸ ʍʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ ɸʀʆɲɿ ʍʘʍʏɳ; Ⱦ: ɇɸ ʅɿɲ ʏʐʋɿʃɼ ɲʋʊɷɸɿʇɻ, ɹʖʉʆʏɲʎ ʐʋʊʗɻ ʏɲ ɲʇɿʙʅɲʏɲ ʏɻʎ ɽɸʘʌʀɲʎ, ɷɸʀʖʆɸɿʎ ʊʏɿ ʅʋʉʌɸʀʎ ʆɲ ʅɸʏɲʍʖɻʅɲʏʀʍɸɿʎ ʏɻʆ ʐʋʊɽɸʍɻ ɴɼʅɲ – ɴɼʅɲ, ʅɹʖʌɿ ʏʉ ʍʐʅʋɹʌɲʍʅɲ. ɀ: Ȱʐʏʊ ɷɸʆ ʏʉ ɹʖʘ ɷɸɿ ʆɲ ɶʀʆɸʏɲɿ ʍʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ ʋʉʐ ɷɿɷɲʍʃʊʅɲʍʏɸ. Ⱦ: Ȱʋɲɿʏɸʀʏɲɿ ʋʉʄʑʎ ʖʌʊʆʉʎ ɶɿɲ ʆɲ ɶʀʆɸɿ ɲʐʏʊ ɲʆɲʄʐʏɿʃɳ. ɇʐʆɼɽʘʎ ʋɲʌɲʄɸʀʋʉʐʅɸ ʃɳʋʉɿɲ ʋʌʉʔɲʆɼ ɴɼʅɲʏɲ. Ȱʔʉʑ ʃɳʋʉɿʉʎ ɹɷɸɿʇɸ ʊʏɿ ʅʋʉʌɸʀ ʆɲ ʏʉ ʃɳʆɸɿ, ɲʐʏʊ ʅɲʎ ɲʌʃɸʀ. Ⱦ: ȱʌɲ ʉɿ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ ʅɲʎ ɸʀʆɲɿ ɸʄʄɿʋɸʀʎ. ȱʌɲ ʏɿ ɸʀʆɲɿ ʏɸʄɿʃɳ «ɲʋʊɷɸɿʇɻ»; ɀ: ɀʋʉʌɸʀʎ ʆɲ ʏʉ ʋɸɿʎ ʃɲɿ ɲʐʏʊ. Ȱʋʊɷɸɿʇɻ ʅɿɲʎ ʋʌʊʏɲʍɻʎ ɸʀʆɲɿ ʅɿɲ ʍɸɿʌɳ ɲʋʊ ɸʋɿʖɸɿʌɼʅɲʏɲ ʋʉʐ ʋɸʀɽʉʐʆ ʃɳʋʉɿʉʆ ʋʉʐ ɶʆʘʌʀɺɸɿ ʏʉ ɲʆʏɿʃɸʀʅɸʆʉ ʋʉʐ ɲʆɲʔɹʌɸʏɲɿ ɻ ʋʌʊʏɲʍɻ. Ȱʆ ʋʘ ʅɿɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɼ ʋʌʊʏɲʍɻ ʍɸ ʃɳʋʉɿʉʆ ɳʍʖɸʏʉ ʅɸ ʏʉ ɲʆʏɿʃɸʀʅɸʆʉ, ʋʌʉʔɲʆʙʎ ɷɸ ɽɲ ʋɸɿʍɽɸʀ. Ƀ ʍʃʑʄʉʎ ʅʉʐ ɷɸ ɽɲ ʃɲʏɲʄɳɴɸɿ ʋʉʏɹ ʅɿɲ ɲʋʊɷɸɿʇɻ. ɀ: ȳɿɲ ʏʉ ʏɸʄɸʐʏɲʀʉ ɷɸʆ ɸʀʅɲʍʏɸ ʍʀɶʉʐʌʉɿ! ȴɸʆ ɶʆʘʌʀɺʉʐʅɸ ʋʘʎ ʍʃɹʔʏɸʏɲɿ ɹʆɲʎ ʍʃʑʄʉʎ! Ȱʄʄɳ ʅɸ ɲʐʏɳ ʋʉʐ ʅʉʐ ʄɹʏɸ ʔɲʀʆɸʏɲɿ ʊʏɿ ʃɳɽɸ ɲʋʊɷɸɿʇɻ ɹʖɸɿ ɹʆɲ ʍʏʉɿʖɸʀʉ ʐʋʉʃɸɿʅɸʆɿʃʊʏɻʏɲʎ… ɇʏɻʆ ʉʐʍʀɲ ʅɿɲ ɲʋʊɷɸɿʇɻ, ʏɻʆ ʉʋʉʀɲ ɷɸʆ ʃɲʏɲʆʉʉʑʅɸ, ʅɲʎ ɸʇɲʆɲɶʃɳɺɸɿ ʆɲ ɷɸʖʏʉʑʅɸ ʏɻʆ ɲʄɼɽɸɿɲ ʏɻʎ ʋʌʊʏɲʍɻʎ, ɷɸʆ ʅɲʎ ʋɸʀɽɸɿ. ȳɿɲ ʋɸʀʏɸ ʅʉʐ ʃɳʏɿ ɳʄʄʉ. Ɉɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɸʋɿʆʉɼɽɻʃɲʆ ɼ ɲʆɲʃɲʄʑʔʏɻʃɲʆ; Ⱦ: ɉʋɳʌʖɸɿ ɷɿɲʔʉʌɳ; ȴɸʆ ʇɹʌʘ, ɷɸʆ ɹʖʘ ʃɲɿ ʋʉʄʑ ʖʌʊʆʉ ʆɲ ʏʉ ɸʇɸʏɳʍʘ. Ʌʌʉʍʋɲɽʙ ʆɲ ʍɲʎ ʋɸʌɳʍʘ ʏʉ ʅɼʆʐʅɲ ʊʏɿ ɸʀʆɲɿ ɸʐʖɳʌɿʍʏʉ ʆɲ ɲʍʖʉʄɸʀʏɲɿ ʃɲʆɸʀʎ ʅɸ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ. Ȱʆ ɸʋɿʅɹʆɸɿʎ ʍʏʉ ɸʌʙʏɻʅɳ ʍʉʐ, ʋɿʍʏɸʑʘ ʊʏɿ ɲʆɲʃɲʄʑʔɽɻʃɲʆ. ɀ: ɇʏɻʆ ʃɲɽɻʅɸʌɿʆʊʏɻʏɳ ʍɲʎ , ʅɹʍɲ ʍʏɻʆ ʏɳʇɻ, ɲʆɲʌʘʏɿɹʍʏɸ ɲʆ ʉɿ ɲʌɿɽʅʉʀ ʐʋɳʌʖʉʐʆ, «ʃɳʋʉʐ ɸʃɸʀ ɹʇʘ» ɼ ɲʋʄɳ ɷɹʖɸʍʏɸ ʏɻʆ ʑʋɲʌʇɼ ʏʉʐʎ ʃɲɿ ʏʉʐʎ ʖʌɻʍɿʅʉʋʉɿɸʀʏɸ; ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/80

Ⱦ: Ʌɲʌɲɷɹʖʉʅɲɿ ʊʏɿ ɸʀʆɲɿ ɷʑʍʃʉʄʉ ʆɲ ʋɸʀʍʉʐʅɸ ɹʆɲʆ ʍʃɸʋʏɿʃɿʍʏɼ ʊʏɿ ʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ «ɲʆʏɿʃɸʀʅɸʆɲ» ʐʋɳʌʖʉʐʆ, ʃɳʋʉʐ ɸʃɸʀ ɹʇʘ. ȴɸʆ ʅʋʉʌʙ ʆɲ ʍʉʐ ɲʋɲʆʏɼʍʘ ʏɿ ʋʌɲɶʅɲʏɿʃɳ ʍɻʅɲʀʆɸɿ ʊʏɿ ʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɲʆʏɿʃɸʀʅɸʆɲ «ʐʋɳʌʖʉʐʆ». ɀ: ȴɹʖɸʍʏɸ ʊʅʘʎ ʊʏɿ «ʐʋɳʌʖʉʐʆ». Ȱʐʏʊ ɷɸ ʍɻʅɲʀʆɸɿ ʊʏɿ ʅʋʉʌʙ ʃɲɿ ʆɲ ʏɲ ʋɲʌɲʏɻʌɼʍʘ; Ȼʍʖʑɸɿ ɲʐʏʊ ɶɿɲ ʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɲʆʏɿʃɸʀʅɸʆɲ; ɇɸ ʏɿ ɷɿɲʔɹʌɸʏɸ, ʘʎ ʋʌʉʎ ɲʐʏʊ, ɲʋʊ ɹʆɲ ɽʌɻʍʃɸʐʊʅɸʆʉ; Ⱦɲɿ ɲʐʏʊʎ ʋɿʍʏɸʑɸɿ ʊʏɿ ʉ ɽɸʊʎ ʐʋɳʌʖɸɿ ʃɲɿ ʋʌʉʍʋɲɽɸʀ ʆɲ ʋɸʀʍɸɿ ʃɲɿ ʏʉʐʎ ɳʄʄʉʐ ɶɿ’ ɲʐʏʊ. Ⱦ: ȶɴɲʄɸʎ ʋʉʄʄɳ ʋʌɳɶʅɲʏɲ ʅɲɺʀ. Ʌʌɳɶʅɲʏɿ ɻ ʍʖɹʍɻ ʋʉʄʄʙʆ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ʅɸ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ, ɸʀʆɲɿ ʍʖɹʍɻ «ʋɿʍʏʉʑ Ͳ ɽɸʉʑ». Ʉʅʘʎ ɻ ʑʋɲʌʇɻ ʏʘʆ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɽɸʅɸʄɿʙʆɸʏɲɿ ʃɳʋʘʎ ɲʋʊ ʏɿʎ ʍʖɹʍɸɿʎ ʃɲɿ ʏɲ ɽɸʘʌɼʅɲʏɲ ʋʉʐ ɲʆɲʃɲʄʑʋʏʉʆʏɲɿ. ɀ: Ȱʎ ɶʐʌʀʍʉʐʅɸ ʋɳʄɿ ʍʏɻʆ ɹʆʆʉɿɲ ʏɻʎ ɲʋʊɷɸɿʇɻʎ. ɀʉʐ ɹʖɸɿ ʃɳʆɸɿ ɸʆʏʑʋʘʍɻ ʏʉ ʊʏɿ ʉɿ ʔʐʍɿʃʉʀ ɷɸʆ ɸʋɿʅɹʆʉʐʆ ʍɸ ɲʐʍʏɻʌɹʎ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɹʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ. Ȱʋʄɳ ɸʀʆɲɿ ɿʃɲʆʉʋʉɿɻʅɹʆʉɿ, ʊʏɲʆ ʔʏɳʆʉʐʆ ʍɸ ʃɳʋʉɿʉ ʄʉɶɿʃʊ ɲʋʉʏɹʄɸʍʅɲ, ɹʍʏʘ ʃɲɿ ɲʆ ʃɳʆʉʐʆ ʃɳʋʉɿɸʎ «ɸʃʋʏʙʍɸɿʎ» ʍʏɻʆ ɲʐʍʏɻʌʊʏɻʏɲ. Ⱦ: Ƀɿ ʔʐʍɿʃʉʀ, ɲʄʄɳ ʃɲɿ ʊʄʉɿ ʉɿ ɸʋɿʍʏɼʅʉʆɸʎ ʋʉʐ ʖʌɻʍɿʅʉʋʉɿʉʑʆ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ, ɸʀʆɲɿ ɿʃɲʆʉʋʉɿɻʅɹʆʉɿ ʅɸ ʏʉ ʊʏɿ ɲʐʏɳ ʄɸɿʏʉʐʌɶʉʑʆ ʃɲʄɳ ʍʏɻʆ ɸʋɿʍʏɼʅɻ ʏʉʐʎ. ȵɿɷɿʃʊʏɸʌɲ ʍʏɿʎ ʔʐʍɿʃɹʎ ɸʋɿʍʏɼʅɸʎ ɸʀʆɲɿ ʋʉʄʑ ɲʋʉʏɸʄɸʍʅɲʏɿʃɳ, ɹʍʏʘ ʃɲɿ ʖʘʌʀʎ ʋʉʄʑ ɲʐʍʏɻʌʊʏɻʏɲ ʍʏɿʎ ɲʋʉɷɸʀʇɸɿʎ. ɀ: Ɂɲ ʌʘʏɼʍʘ ʃɳʏɿ ɶɿɲ ʏɲ ʍʑʅɴʉʄɲ. ȳɿɲʏʀ ʏɲ ʃɲɽɿɸʌʙʍɲʏɸ; ȳɿɲʏʀ ɸʀʍʏɸ ʏʊʍʉ «ʃʉʄʄɻʅɹʆʉɿ» ʅɸ ɲʐʏɳ; ȳɿɲ ʋɲʌɳɷɸɿɶʅɲ, ʍɸ ɹʆɲ ʊʌɿʉ ɲɽʌʉʀʍʅɲʏʉʎ ɷʑʉ ʍʐʆɲʌʏɼʍɸʘʆ, ɸɶʙ ɸʆʆʉʙ ʏɻʆ ʋɲʌɹʆɽɸʍɻ, ɸʍɸʀʎ ʏʌɸʄɲʀʆɸʍʏɸ ɲʆ ʏɻʆ ʋɲʌɲʄɸʀʗʘ. Ⱦ: Ɉɲ ʍʑʅɴʉʄɲ ɸʀʆɲɿ ʄɸɿʏʉʐʌɶɿʃɳ, ɲʆ ɸʀʆɲɿ ɸʋɿʏʐʖɻʅɹʆɲ. Ȱʆɲʃʉʐʔʀɺʉʐʆ ʏʉʆ ɸɶʃɹʔɲʄʉ ɲʋʊ ʃɳɽɸ ʅɻ ɲʆɲɶʃɲʀɲ ɸʌɶɲʍʀɲ. Ȱʐʇɳʆʉʐʆ ʏɻ ʆʉɻʏɿʃɼ ʅɲʎ ɷʑʆɲʅɻ. ɀ: ȿʀɶɻ ʐʋʉʅʉʆɼ, ɹʖʘ ʅɸʌɿʃɹʎ ɸʌʘʏɼʍɸɿʎ ɲʃʊʅɲ. ɇʏɲ ʅɲɽɼʅɲʏɳ ʅɲʎ, ɲʍʖʉʄʉʑʅɲʍʏɸ ɲʋʉʃʄɸɿʍʏɿʃɳ ʅɸ ʏʉ ʍʑʆʉʄʉ ʏʘʆ ʋʌɲɶʅɲʏɿʃʙʆ ɲʌɿɽʅʙʆ. Ɉɿ ɸʀʆɲɿ ɲʐʏʊ ʏʉ ʍʑʆʉʄʉ; ɀʋʉʌɸʀʏɸ ʆɲ ʏʉ ʋɸʌɿɶʌɳʗɸʏɸ; Ⱦ: ȵʀʆɲɿ ʏʉ ʍʑʆʉʄʉ ʊʄʘʆ ʏʘʆ ɲʃʉʄʉʐɽɿʙʆ ʏʘʆ ʗɻʔʀʘʆ 0, 1, 2, 3…, 9. ɀ: ȴɸ ʅɸ ɷɿɲʔʘʏʀʍɲʏɸ. ɀɲʎ ɹʖɸʏɸ ʋɸɿ ʊʏɿ ʉɿ ɳʌʌɻʏʉɿ, ɶɿɲ ʋɲʌɳɷɸɿɶʅɲ ʉ я2, ɸʀʆɲɿ ɳɶʆʘʍʏʉɿ ɲʌɿɽʅʉʀ, ʋɲʌ’ ʊʄɲ ɲʐʏɳ ʋʌɲɶʅɲʏɿʃʉʀ. Ʌʙʎ ɽɲ ʅɲʎ ʋɸʀʍɸʏɸ ʊʏɿ ɲʐʏʉʀ ʐʋɳʌʖʉʐʆ; Ⱦ: Ƀ ɲʌɿɽʅʊʎ я2 ɷɸʆ ʐʋɳʌʖɸɿ ʘʎ ɲʃɹʌɲɿʉʎ ɼ ʃʄɳʍʅɲ. ɉʋɳʌʖɸɿ ʊʅʘʎ ʅɹʍɲ ʍʏʉ ʍʑʆʉʄʉ ʏʘʆ ʋʌɲɶʅɲʏɿʃʙʆ ʃɲɿ ɲʆʏɿʋʌʉʍʘʋɸʑɸʏɲɿ ʅɸ ʅʀɲ ɲʋʊ ʏɿʎ ʋɲʌɲʋɳʆʘ ɲʃʉʄʉʐɽʀɸʎ. ɀ: ɀɿɲ ʏɸʄɸʐʏɲʀɲ ɸʌʙʏɻʍɻ. ȵʀʆɲɿ ʏɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʊʅʉʌʔɲ; Ⱦ: ȸ ɶʆʙʅɻ ʅʉʐ ɸʀʆɲɿ ʊʏɿ ɹʖʉʐʆ ʅɿɲ ɸʍʘʏɸʌɿʃɼ ʉʅʉʌʔɿɳ. Ʌʉʄʄʉʀ ʅɸɶɳʄʉɿ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʉʀ ɿʍʖʐʌʀʍʏɻʃɲʆ ʊʏɿ ɻ ɶɸʆɸʍɿʉʐʌɶʊʎ ɲɿʏʀɲ ɲʆɳʋʏʐʇɻʎ ʏʘʆ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɸʀʆɲɿ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌʉ ɻ ɲɿʍɽɻʏɿʃɼ ʏʉʐʎ ʃɲɿ ʄɿɶʊʏɸʌʉ ɻ ʖʌɻʍɿʅʊʏɻʏɳ ʏʉʐʎ. ɀ: ȵʀʆɲɿ, ʄɹʏɸ, ʊʅʉʌʔɲ, ɲʄʄɳ ɸʀʆɲɿ ʃɲɿ «ɲʍʐʆɸʋɼ». Ⱥʐʅɳʅɲɿ ʏʉ ʋɲʌɳɷʉʇʉ ʏʉʐ Russel ʋʉʐ ʅɲʎ ɸʀʖɲʏɸ ʋɸɿ ʃɳʋʉʏɸ… Ⱦ: Ɉɲ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ɸʀʆɲɿ ɸʐʅɸʏɳɴʄɻʏɲ, ʍɲʆ ɹʆɲʎ ɲʅʅʊʄʉʔʉʎ ʍʏɻʆ ɹʌɻʅʉ. ȵʀʆɲɿ ʋʉʄʑ ʘʌɲʀʉʎ, ɸɿɷɿʃɳ ʏʉ ɻʄɿʉɴɲʍʀʄɸʅɲ, ɲʄʄɳ ɲʄʄɳɺɸɿ ʍʖɼʅɲʏɲ, ɲʆɳʄʉɶɲ ʋʌʉʎ ʏɲ ʋʉʑ ʃɲɿ ʋʊʍʉ ʔʐʍɳɸɿ ʉ ɇɿʅʉʑʆ. ɀ: ɇɲʎ ɸʐʖɲʌɿʍʏʙ ʋʉʄʑ, ʃʑʌɿɸ, ɶɿɲ ʏɻ ʍʐɺɼʏɻʍɻ ʋʉʐ ʃɳʆɲʅɸ. Ⱦ: ȵɶʙ ʍɸ ɸʐʖɲʌɿʍʏʙ. ɀʉʐ ɹɷʘʍɸʎ ʏɻʆ ɸʐʃɲɿʌʀɲ ʆɲ ʍʃɸʔʏʙ ʃɳʋʉɿɲ ʋʌɳɶʅɲʏɲ, ʋɹʌɲ ɲʋʊ ʏʉ ʃɲɽɻʅɸʌɿʆʊ ʅɲʎ ʅɳɽɻʅɲ. ȼʍʘʎ ʃɲɿ ʆɲ ɲʆɲɽɸʘʌɼʍʘ ʏɿʎ ʋɸʋʉɿɽɼʍɸɿʎ ɶɿɲ ʏʉ ʏɿ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ʍɲʎ ɷɿɷɳʍʃʉʐʅɸ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 110 Ĳ.2/81

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