ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α 112 by demi de

Γυμνάσιο

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Αριθμός Άδειας

Ταχ. Γραφείο

ΕΚΔΟΤΩΝ

Hellenic Post

ΕΛΤΑ

υκλείδης

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

Α΄

Μαθηματικό περιοδικό για το

112

Α Π Ρ Ι Λ Ι Ο Σ - Μ Α Ϊ Ο Σ - Ι ΟΥ Ν Ι Ο Σ 2 0 1 9 ε υ ρ ώ 3 , 0 0

«Πάντα κατ' $ριθμόν γίγνονται»

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΑ

Ενδεικτικά Επαναληπτικά Θέματα Α΄ - Β΄ - Γ΄ Γυμνασίου

Ε λληνική Μαθηματική Εταιρεία

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏ ÐÅÑÉÏÄÉÊÏ ÐËÇÑÏÖÏÑÇÓÇÓ

ãéá ôï ãõìíÜóéï

Åõêëåßäçò

Τεύχος 112 Απρίλιος - Μάιος - Ιούνιος 2019 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Ιστορία των Μαθηματικών

«Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται» ................................................................................

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ..................................... 36

Μαθηματικά στον Κόσμο

Δραστηριότητες Σχολείων

ΚΡΙΟΣ … ΖΥΓΟΣ … ΙΧΘΕΙΣ, ΜΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΝΑ ΤΑ ΔΕΙΣ Μαρία Ρουσούλη, Γιώργος Καραφέρης

...........................

Στέφανος Κεΐσογλου - Άννα Παπαδάκη

.......................

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΑ

6 10

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

= Α΄ Τάξη Ενδεικτικά Επαναληπτικά Θέματα

Συλλογική εργασία καθηγητών και μαθητών του Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης

.............

Συλλογική εργασία καθηγητών και μαθητών του Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης

.............. 21

Συλλογική εργασία καθηγητών και μαθητών του Γυμνασίου της Εκπαιδευτικής Αναγέννησης

............... 28

= Β΄ Τάξη Ενδεικτικά Επαναληπτικά Θέματα = Γ΄ Τάξη Ενδεικτικά Επαναληπτικά Θέματα

Σύγχρονα Εργαλεία στη Στατιστική της Β΄ Γυμνασίου

Γυμνάσιο Εκπαιδευτικής Αναγέννησης ............................... 40

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα Ποια είναι η παγκόσμια εξέλιξη των υψηλότερων σημείων θέασης σε κτίρια; Από τη συντακτική επιτροπή .......................................... 46 Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Επιμέλεια: Παναγιώτης Χριστόπουλος ............................... 47

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Γράμμα της Σύνταξης

Συντακτική Επιτροπή ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34, 106 79 ÁÈÇÍÁ Ðñüåäñïò: Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 ÊåÀóïãëïõ ÓôÝöáíïò Fax: 210 3641025 Áíôéðñüåäñïò: Åêäüôçò: ÁíÜñãõñïò Öåëëïýñçò ÄéåõèõíôÞò: ÉùÜííçò ÔõñëÞò ÅðéìÝëåéá ¸êäïóçò: Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ

Êùäéêüò ÅË.ÔÁ: 2054 ISSN: 1105 - 7998

Αγαπητοί / ές αναγνώστες αναγνώστριες. Με το τεύχος αυτό ελπίζουμε να βοηθήσουμε τόσο τους μαθητές όσο και τους διδάσκοντες στο τελικό στάδιο της σχολικής χρονιάς που ολοκληρώνεται με τις εξετάσεις. Για κάθε τάξη υπάρχει μία ποικιλία θεμάτων τόσο λυμένων όσο και άλυτων. Τα θέματα αυτά αποτελούν μία συλλογική Óßóêïõ Ìáñßá εργασία μαθητών και καθηγητών των εκπαιδευτηρίων Ôæßöáò Íßêïò “Εκπαιδευτική Αναγέννηση”. Ôóéêïðïýëïõ ÓôÜìç Καθώς υπάρχει πληθώρα ασκήσεων έχουμε παραλείψει Öåñåíôßíïò Óðõñßäùí τις στήλες των προχωρημένων θεμάτων για όλους, τόσο στη Β΄ όσο και στη Γ΄ Γυμνασίου. Ευχόμαστε καλή επιτυχία στις εξετάσεις και καλές ÁðïêåíôñùìÝíïé óõíåñãÜôåò ÁíáóôÜóéïò Ðáôñþíçò (ÐÜôñá) διακοπές. Ραντεβού τον Σεπτέμβρη με άφθονη και ενδιαφέρουσα ÃéÜííçò ÈùìáÀäçò (Èåó/íßêç) ύλη. Ãéþñãïò Ñßæïò (ÊÝñêõñá)

Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò ÌÝëç: ÁëáöÜêç Óôáõñïýëá ÁñäáâÜíç Ðüðç Βιτζιλαίου Μαρία ÄïñãéÜêç ÉùÜííá Èåïäùñüðïõëïò Èñáóýâïõëïò Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ Ëáãüò Ãåþñãéïò Ìåíäùíßäçò Ãåþñãéïò Ìïñöïðïýëïõ Ìáñßá Ãéþñãïò Ôóáðáêßäçò (Áãñßíéï) ÌðáêÜëçò ÁíáóôÜóéïò Ðáëáéïãéáííßäçò ÄçìÞôñéïò ÅéñÞíç ÐåñéóõíÜêç (ÊñÞôç) ÃéÜííçò ÑÜëëçò (×ßïò) Παπαδάκη Άννα Μαρία Ρουσούλη (Καστοριά)

Εκ μέρους της Συντακτικής επιτροπής του περιοδικού Ο πρόεδρος: Στέφανος Κεΐσογλου Μέλος του ΔΣ της ΕΜΕ, τ. Σχολικός Σύμβουλος

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

ÉÄÉÏÊÔÇÓÉÁ ôçò ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÔÁÉÑÅÉÁÓ Óôïé÷åéïèåóßá - Óåëéäïðïßçóç: ÅËËÇÍÉÊÇ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ÅÔÁÉÑÅÉÁ Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού • Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. • Ïé óõíåñãáóßåò, ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êôë. ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç A´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. ¼ëá ôá Üñèñá õðüêåéíôáé óå êñßóç ÔéìÞ ôåý÷ïõò: åõñþ 3,00 ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (10,00+2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ=åõñþ 12,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 10,00 Ôï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: 1. Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 2. Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK 3. Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å.

«ªǷÆÍº ÃºÍ' ǺÊÂÁÅȿÆ ¼ȯ¼ÆÈÆÍºÂ» ǹʌȩ ĲȘȞ ʌȠȜȪ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıĮ ıȣȜȜȠȖȚțȒ İȡȖĮıȓĮ ȝĮșȘĲȫȞ țĮȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȠȣ ʌĮȡĮȡĲȒȝĮĲȠȢ ȁĮțȦȞȓĮȢ ĲȘȢ ǼȂǼ ȝİ ȖİȞȚțȩ ĲȓĲȜȠ: «ĭȡȐıİȚȢ Įʌȩ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ĲȚȢ ǼʌȚıĲȒȝİȢ»

ȈĲȘȞ İʌȠȤȒ ĲȠȣ ȆȣșĮȖȩȡĮ Ș İʌȚıĲȒȝȘ țĮȚ Ș ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ȒĲĮȞ ıȣȞȣĳĮıȝȑȞİȢ țĮȚ İʌȚıĲȡĮĲİȣȝȑȞİȢ ȞĮ ĮʌĮȞĲȒıȠȣȞ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ ʌȫȢ įȘȝȚȠȣȡȖȒșȘțİ Ƞ țȩıȝȠȢ. ǲȦȢ ĲȩĲİ ȣʌȒȡȤĮȞ ʌȠȜȜȑȢ İȡȝȘȞİȓİȢ. ȅ ĬĮȜȒȢ șİȦȡȠȪıİ ȦȢ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ʌȐȞĲȦȞ ĲȠ Ȟİȡȩ, Ƞ ǹȞĮȟȓȝĮȞįȡȠȢ ĲȘ ȖȘ, Ƞ ǾȡȐțȜİȚĲȠȢ ĲȘ ĳȦĲȚȐ țĮȚ Ƞ ǹȞĮȟȚȝȑȞȘȢ ĲȠȞ ĮȑȡĮ. ȅ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ȑȡȤİĲĮȚ țĮȚ ʌȡȠĲİȓȞİȚ țȐĲȚ ıȣȖțȜȠȞȚıĲȚțȐ ȡȚȗȠıʌĮıĲȚțȩ: ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ Ș ĮȡȤȒ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝȐĲȦȞ. Ǿ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ıİ įȪȠ țȩıȝȠȣȢ, ıĲȠȞ ĮȚıșȘĲȩ țĮȚ ıĲȠȞ ȞȠȘĲȩ. ȅ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ıȣȞȑȜĮȕİ ĲȘ ȝİȖĮȜȠĳȣȒ ȚįȑĮ ȐȝİıȘȢ ıȣıȤȑĲȚıȘȢ ĲȠȣ ĮȚıșȘĲȠȪ ȝİ ĲȠ ȞȠȘĲȩ įȚĮȝȑıȠȣ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ȆȦȢ, ȩȝȦȢ, ȑĳșĮıİ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘ įȚĮʌȓıĲȦıȘ; ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ șȡȪȜȠ, ȝȚĮ ȝȑȡĮ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ țĮșȫȢ ʌİȡʌĮĲȠȪıİ ȝʌȡȠıĲȐ Įʌȩ ȑȞĮ ıȚįȘȡȠȣȡȖİȓȠ ȐțȠȣıİ ĲȠȞ ȒȤȠ įȚĮĳȠȡİĲȚțȫȞ ıĳȣȡȚȫȞ ʌȠȣ ȤĲȣʌȠȪıĮȞ ʌȐȞȦ ıİ ȑȞĮ ĮȝȩȞȚ. ǳĲĮȞ Ș ĮȚĲȓĮ ȖȚĮ ȞĮ ʌİȚȡĮȝĮĲȚıĲİȓ ȝİ ȝȚĮ ȤȠȡįȒ țĮȚ ȑĲıȚ ĮȞĮțȐȜȣȥİ ĲȚȢ ĮȡȝȠȞȚțȑȢ ʌȡȠȩįȠȣȢ țĮȚ ĲȘ ıȤȑıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣ ȝȒțȠȣȢ ĲȘȢ įȠȞȠȪȝİȞȘȢ ȤȠȡįȒȢ ȝİ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ȝȠȣıȚțȠȪ ĳșȩȖȖȠȣ ʌȠȣ ʌĮȡȒȖĮȖİ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ȝȚĮ ȤȠȡįȒ ȝİ įȚʌȜȐıȚȠ ȝȒțȠȢ ʌĮȡȐȖİȚ ĳșȩȖȖȠ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ȪȥȠȢ. ȅ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȢ ȞȩȝȠȢ ĲȦȞ ĮȡȝȠȞȚțȫȞ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ĮȞĮʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ĲȠȣ ĳȣıȚțȠȪ țȩıȝȠȣ ȝİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ȩȡȠȣȢ. īȚĮ ĲȠȞ ȆȣșĮȖȩȡĮ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȒĲĮȞ ĲȠ ȝȑıȠ țĮĲĮȞȩȘıȘȢ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ ĮȜȜȐ țĮȚ ĲȠȣ șİȧțȠȪ ıȤİįȓȠȣ. ȋĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ İȓȞĮȚ Ș ĳȡȐıȘ ĲȠȣ: «ȆȐȞĲĮ țĮĲ' ਕȡȚșȝȩȞ ȖȓȖȞȠȞĲĮȚ». ǼʌȚʌȜȑȠȞ, ȣʌȠıĲȒȡȚȗİ ʌȦȢ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ Ƞ ĲȡȩʌȠȢ ȠȡȖȐȞȦıȘȢ ĲȠȣ ıȪȝʌĮȞĲȠȢ ȝȑıĮ ıĲȠ ȤȐȠȢ ʌȠȣ ĲȠ įȚȑʌİȚ. ȊʌȐȡȤȠȣȞ țȡȣȝȝȑȞİȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȖİȦȝİĲȡȚțȑȢ țĮȞȠȞȚțȩĲȘĲİȢ țĮȚ Ș ĲȐȟȘ ıĲȠ ȈȪȝʌĮȞ ʌĮȡȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. Ȃİ ĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȜȩȖȦȞ ıĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȣʌĮțȠȪİȚ Ș ĮȡȝȠȞȓĮ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ, ȠȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ İȞıĲİȡȞȓıĲȘțĮȞ ĲȘȞ ʌİʌȠȓșȘıȘ ȩĲȚ ıĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȣʌȐȡȤİȚ Ș įȪȞĮȝȘ ʌȠȣ įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ ĲȠ ȈȪȝʌĮȞ. ȈĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȕȡȓıțİĲĮȚ ĲȠ țȜİȚįȓ ĲȘȢ ȖȞȫıȘȢ ʌȠȣ șĮ ĮȞȪȥȦȞİ ĲȘȞ ȥȣȤȒ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ ıİ ȑȞĮ ĮȞȫĲİȡȠ İʌȓʌİįȠ ĮșĮȞĮıȓĮȢ, ȫıĲİ ȞĮ İʌĮȞİȞȦșİȓ ȝİ ĲȠ șİȓȠ. ȀĮĲȐ ĲȠȞ ȆȣșĮȖȩȡĮ ĮȡȚșȝȩȢ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ Ș ȠȞĲȩĲȘĲĮ ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ «ȝİȓȗȠȞ ĲȘȢ ĮșȡȠȓıİȦȢ», įȘȜĮįȒ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ĮȣĲȩȢ ʌȠȣ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȝİ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȝİ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣ. ǲĲıȚ, ĲȠ 1 įİȞ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȜȜȐ Ƞ ȖİȞȞȒĲȦȡ, Ƞ ĬİȩȢ ĲȦȞ ʌȐȞĲȦȞ. ȉȠ 2, İʌȓıȘȢ, İȓȞĮȚ ȕȠȘșȩȢ ȖİȞȞȒĲȦȡ. ȈȣȞİʌȫȢ, Ƞ ʌȡȫĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ țĮȚ Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ İȓȞĮȚ ĲȠ 3. ǹțȩȝȘ, ȚıȤȣȡȓȗİĲĮȚ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȖȓȞȠȞĲĮȚ ĮȞĲȚȜȘʌĲȠȓ ȝȑıȦ ĲȘȢ ȞȩȘıȘȢ țĮȚ ȩȤȚ ĲȘȢ ĮȓıșȘıȘȢ. ȅȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ ĳĮȞĲȐȗȠȞĲĮȚ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȦȢ ȥȘĳȓįİȢ, ȤĮȜȓțȚĮ Ȓ ȕȩĲıĮȜĮ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ įȚȑĲĮııĮȞ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ȠȡȚıȝȑȞĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ȝȠĲȓȕĮ. īȚĮ ĲȘȞ țĮȜȪĲİȡȘ țĮĲĮȞȩȘıȒ ĲȠȣȢ ȤȫȡȚȗĮȞ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ıİ ȐȡĲȚȠȣȢ țĮȚ ʌİȡȚĲĲȠȪȢ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/1

-------------------------------------------------------------------------------------------- «ȆȐȞĲĮ țĮĲ' ਕȡȚșȝȩȞ ȖȓȖȞȠȞĲĮȚ» ----------------------------------------------------------------------------------------

ǱȡĲȚȠȚ İȓȞĮȚ İțİȓȞȠȚ ʌȠȣ ȤȦȡȓȗȠȞĲĮȚ ıİ įȣȠ ȓıĮ ȝȑȡȘ țĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ įİȞ ʌİȡȚȑȤİȚ ȥȘĳȓįĮ.

ȆİȡȚĲĲȠȓ İȓȞĮȚ İțİȓȞȠȚ ʌȠȣ, ȩĲĮȞ ȤȦȡȓȗȠȞĲĮȚ ıİ įȣȠ ȓıĮ ȝȑȡȘ, ıĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ȣʌȐȡȤİȚ ȥȘĳȓįĮ.

ȅȚ ȐȡĲȚȠȚ İȓȞĮȚ ȠȚ șȘȜȣțȠȓ Ȓ ĳĮȪȜȠȚ țĮȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ȠȚ ȐȡȡİȞİȢ Ȓ ĮȖĮșȠȓ. ǹȞȐȝİıĮ ıĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĮȣĲȠȪȢ ȖȓȞȠȞĲĮȚ ȖȐȝȠȚ ȝİ ʌȡȩıșİıȘ Ȓ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩ. ǹʌȩ ȖȐȝȠȣȢ įȚĮ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ «İȟ ĮȖĮșȫȞ ȖȠȞȑȦȞ, ĮȖĮșȐ ĲȑțȞĮ» ʌ.Ȥ. 3.5 = 15, «İț ĳĮȪȜȦȞ, ĳĮȪȜĮ» ʌ.Ȥ. 2.4 = 8 țĮȚ «İț ȝİȚțĲȫȞ, ĳĮȪȜĮ» ʌ.Ȥ. 2.3 = 6. ȅȚ įȪȠ ĮȣĲȑȢ țĮĲȘȖȠȡȓİȢ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȒĲĮȞ ȑȞĮȢ ıȪȞįİıȝȠȢ ȝİ ĮȣĲȩ ʌȠȣ șİȦȡȠȪıĮȞ ȦȢ ĲȚȢ įȪȠ ȕĮıȚțȑȢ ĮȡȤȑȢ ĲȠȣ ȈȪȝʌĮȞĲȠȢ, ĲȠȣ «ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠȣ» țĮȚ ĲȠȣ «ȐʌİȚȡȠȣ». ȅȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ĮȞĲȚʌȡȠıȫʌİȣĮȞ ĲȠ «ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠ» țĮȚ ȠȚ «ȐȡĲȚȠȚ» ĲȠ ȐʌİȚȡȠ. ȄİțȚȞȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 1, ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ʌĮȡȓıĲĮȞĮȞ ȝİ ȝȓĮ ȥȘĳȓįĮ, ĲȠʌȠșİĲȠȪıĮȞ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȞȩȢ ȖȞȫȝȠȞĮ 3 ȥȘĳȓįİȢ, ȝİĲȐ ıİ ȑȞĮȞ ȞȑȠ ȖȞȫȝȠȞĮ 5 ȥȘĳȓįİȢ ț.Ȝ.ʌ. Ȃİ ĮȣĲȩ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ țĮĲȐĳİȡȞĮȞ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȞ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ʌİȡȚĲĲȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ.

1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 īİȞȚțİȪȠȞĲĮȢ ĲȚȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞİȢ ȚıȩĲȘĲİȢ ȑȤȠȣȝİ: 1 + 3 + 5 + … + (2Ȟ – 1) = Ȟ2 ȉȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ 4 , 9 , 16 , … ĲȠȣȢ ȠȞȩȝĮȗĮȞ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ǻȠȣȜİȪȠȞĲĮȢ ʌĮȡȩȝȠȚĮ, ȟİțȚȞȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 2 ȝİ ĲȘȞ ĲȠʌȠșȑĲȘıȘ ȥȘĳȓįȦȞ ıĲȠȣȢ ȖȞȫȝȠȞİȢ ȕȡȒțĮȞ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȐȡĲȚȦȞ ĮțȑȡĮȚȦȞ.

2 + 4 = 2.3 = 6 2 + 4 + 6 = 3.4 = 12 2 + 4 + 6 + 8 = 4.5 = 20 īİȞȚțİȪȠȞĲĮȢ ȑȤȠȣȝİ: 2 + 4 + 6 + … + 2Ȟ = Ȟ(Ȟ+1) īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȣȞ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ĮțȑȡĮȚȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ĲȠʌȠșİĲȠȪıĮȞ ĲȚȢ ȥȘĳȓįİȢ ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ıȤȒȝĮ: ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/2

ǲĲıȚ ĮȞĮțȐȜȣȥĮȞ ĲȠȣȢ ȜİȖȩȝİȞȠȣȢ ĲȡȚȖȦȞȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȢ ȝİ ȥȘĳȓįİȢ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ. īȚĮ ȞĮ ȕȡİșİȓ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ĮțȑȡĮȚȦȞ ʌ.Ȥ. 1 + 2 + 3 + 4, țȐȞȠȣȝİ ȑȞĮ ıȤȒȝĮ ȝİ ȥȘĳȓįİȢ ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮțȐĲȦ:

4 5 Q(Q 1) īİȞȚțȐ: 1 2 3 ... Q 2 2 ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌĮȡĮĲȘȡȒıȠȣȝİ ȩĲȚ țȐșİ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ Q 2 İȓȞĮȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȣȠ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ĲȡȚȖȦȞȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ 1 2 3 4

3 + 6 = 9 = 32 6 + 10 = 16 = 42 10 + 15 = 25 = 52

ǹʌȩ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ: (Q 1)Q Q(Q 1) Q2 2 2 ȂİȡȚțȑȢ ĮțȩȝĮ țĮĲȘȖȠȡȚȠʌȠȚȒıİȚȢ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȣȢ İȓȞĮȚ ȠȚ İȟȒȢ: x ȉȑȜİȚȠȢ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ȖȞȒıȚȦȞ įȚĮȚȡİĲȫȞ ĲȠȣ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/3

īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ȠȚ ȖȞȒıȚȠȚ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ 6 İȓȞĮȚ 1 , 2 țĮȚ 3 țĮȚ ȑĲıȚ 1 + 2 + 3 = 6. ȅ 6 İȓȞĮȚ Ƞ ʌȡȫĲȠȢ ĲȑȜİȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȅȚ İʌȩȝİȞȠȚ ĲȡİȚȢ İȓȞĮȚ: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 ǹȣĲȠȓ ȠȚ ĲȑııİȡȚȢ ȒĲĮȞ ȠȚ ȝȩȞȠȚ ʌȠȣ ȒĲĮȞ ȖȞȦıĲȠȓ ıĲȠȣȢ ǲȜȜȘȞİȢ. ȅ ʌȑȝʌĲȠȢ ĲȑȜİȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ 33.550.336 ĮȞĮțĮȜȪĳșȘțİ ĲȠ 1456. x ĭȓȜȚȠȚ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ, ȩĲĮȞ Ƞ țĮșȑȞĮȢ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ įȚĮȚȡİĲȫȞ ĲȠȣ ȐȜȜȠȣ İțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ: ȅȚ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ 220 İȓȞĮȚ: 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 11 , 20 , 22 , 44 , 55 , 110 ȅȚ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ 284 İȓȞĮȚ: 1 , 2 , 4 , 71 , 142 ǼȓȞĮȚ 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 ǼȞȫ 1+2+4+71+142 = 220 ǵĲĮȞ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ȡȦĲȒșȘțİ «Ĳȓ ਥıĲȓ ĳȓȜȠȢ;», ĮʌȐȞĲȘıİ «ਪĲİȡȠȢ ਥȖȫ» țĮȚ ĮȞȑĳİȡİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ 220 țĮȚ 284 . x ǿıȠȨʌȩȜȠȚʌȠȚ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠȞ m ȩĲĮȞ İȝĳĮȞȓȗȠȣȞ ĲȠ ȓįȚȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ įȚĮȚȡȠȪȝİȞȠȚ įȚĮ ĲȠȣ m. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ĮȞ m=3 ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ 0 , 3 , 6 , 9 , … İȓȞĮȚ ȚıȠȨʌȩȜȠȚʌȠȚ ȖȚĮĲȓ ȩĲĮȞ įȚĮȚȡİșȠȪȞ ȝİ ĲȠ 3 įȓȞȠȣȞ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 0. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ 1 , 4 , 7 , 10 , … İȓȞĮȚ ȚıȠȨʌȩȜȠȚʌȠȚ ȖȚĮĲȓ ȩĲĮȞ įȚĮȚȡİșȠȪȞ ȝİ ĲȠ 3 įȓȞȠȣȞ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 1. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ 2 , 5 , 8 , 11 , … İȓȞĮȚ ȚıȠȨʌȩȜȠȚʌȠȚ ȖȚĮĲȓ ȩĲĮȞ įȚĮȚȡİșȠȪȞ ȝİ ĲȠ 3 įȓȞȠȣȞ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 2. ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 10 İȓȞĮȚ Ƞ ʌȜȑȠȞ ȚİȡȩȢ ıĲȘȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚĮ ıțȑȥȘ. ȅȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ ȝȐȜȚıĲĮ, ȩĲĮȞ ȝİȜİĲȠȪıĮȞ ĲȠȞ țȩıȝȠ ȝȑıĮ Įʌȩ ıȣıĲȠȚȤȓİȢ, įȘȜĮįȒ ȗİȪȖȘ ĮȞĲȚșȑĲȦȞ, ĲĮ ĮȞĲȓȟȠĮ (ʌ.Ȥ. ʌȐȞȦțȐĲȦ), İȟȑĲĮȗĮȞ įȑțĮ ȗİȣȖȐȡȚĮ ĲȘ ĳȠȡȐ. ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 10 ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ĲİııȐȡȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ǹȣĲȠȓ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ ȝȚĮ ʌȣȡĮȝȓįĮ, ʌȠȣ ȠȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ ȠȞȩȝĮıĮȞ ĲİĲȡĮțĲȪ, ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ĲİĲȡȐįĮ. Ǿ ĲİĲȡĮțĲȪȢ ȒĲĮȞ Ș ȝȠȣıȚțȒ-ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ĲȐȟȘ ʌȠȣ įȚȑʌİȚ ĲȠ ȈȪȝʌĮȞ, ĲȩıȠ ıʌȠȣįĮȓĮ ʌȠȣ Ƞ ȩȡțȠȢ ĲȦȞ ȆȣșĮȖȠȡİȓȦȞ ȒĲĮȞ

«ȞĮ੿ ȝ੹ ĲઁȞ ਖȝİĲȑȡ઺ ȥȣȤઽ ʌĮȡĮįȩȞĲĮ ĲİĲȡĮțĲȪȞ ʌĮȖ੹Ȟ ਕİȞȐȠȣ ĳȪıİȦȢ». ǻȘȜĮįȒ «ȠȡțȓȗȠȝĮȚ ıİ ĮȣĲȩȞ ʌȠȣ ʌĮȡȑįȦıİ ıĲȘȞ ȥȣȤȒ ȝĮȢ ĲȘȞ ĲİĲȡĮțĲȪ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ Ș ʌȘȖȒ ĲȘȢ ĮȑȞĮȘȢ ĳȪıȘȢ».

Ǿ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ İȓȞĮȚ Ș ʌȡȫĲȘ Įʌȩ ĲȚȢ 11 ĲİĲȡĮțĲȓįİȢ ʌȠȣ İʌȚȞȩȘıİ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ȖȚĮ ĲȘ ȝİȜȑĲȘ ĲȠȣ ıȪȝʌĮȞĲȠȢ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ĬȑȦȞĮ ĲȠȞ ȈȝȣȡȞĮȓȠ. ȅ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ʌĮȡĮĲȒȡȘıİ ʌȦȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ʌȡȫĲȠȣȢ ĲȑııİȡȚȢ ĳȣıȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ țĮȚ ĲĮ ȕĮıȚțȐ ıȤȒȝĮĲĮ ĲȘȢ ȖİȦȝİĲȡȓĮȢ. ȉȠ 1 İȓȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ, ĲȠ 2 ȝĮȢ įȓȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ, ĲȠ 3 įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ĲȘȞ İʌȚĳȐȞİȚĮ țĮȚ ĲȠ 4 ʌĮȡȐȖİȚ ĲȠ ıĲİȡİȩ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/4

ȉȠ ʌİȡȓĳȘȝȠ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ ĬİȫȡȘȝĮ ĮʌȠĲİȜİȓ ĮțȩȝĮ ȝȚĮ ʌȡȠıĳȠȡȐ ĲȠȣ ȆȣșĮȖȩȡĮ. ǹȞ țĮȚ ȒĲĮȞ ȖȞȦıĲȩ ıĲȠȣȢ ȀȚȞȑȗȠȣȢ Įʌȩ ĲȠ 18Ƞ ĮȚȫȞĮ ʌ.ȋ. țĮȚ ıĲȠȣȢ ǺĮȕȣȜȫȞȚȠȣȢ Įʌȩ ĲȠȞ 8Ƞ ĮȚȫȞĮ ʌ.ȋ., ȝȩȜȚȢ ĲȠȞ 6Ƞ ĮȚȫȞĮ ʌ.ȋ. Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ țĮĲȐĳİȡİ ȞĮ ĲȠ ĮʌȠįİȓȟİȚ. ǲĲıȚ, ȖȓȞİĲĮȚ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ȜȩȖȠȢ ȖȚĮ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞĲĮȚ ĲȡȚȐįİȢ ĮȡȚșȝȫȞ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚİȢ țĮȚ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȞ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĮȣĲȩ. ȅ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ȑșİıİ ĲȚȢ ȕȐıİȚȢ ĲȘȢ ȖİȦȝİĲȡȓĮȢ țĮȚ ĲȘȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ıȒȝİȡĮ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ʌİʌȠȓșȘıȘ ĲȦȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚȦȞ, ȠȚ ĳȣıȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ĮȣĲȠȓ ʌȠȣ ĮȞĲȚȜĮȝȕĮȞȩȝĮıĲİ țĮȚ ȠȚ ȜȩȖȠȚ ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȠȞ țȩıȝȠ. ǲĲıȚ ĮȞ ʌȐȡȠȣȝİ įȪȠ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹǺ țĮȚ īǻ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȑȞĮ ĲȝȒȝĮ Į ȫıĲİ $% PD țĮȚ *' QD , ȩʌȠȣ ȝ,Ȟ İȓȞĮȚ ĳȣıȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ.

$% PD P *' QD Q ǻȘȜĮįȒ Ƞ ȜȩȖȠȢ įȪȠ ȠʌȠȚȦȞįȒʌȠĲİ ĲȝȘȝȐĲȦȞ İȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȉĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹǺ țĮȚ īǻ ȑȤȠȣȞ ıĮȞ țȠȚȞȩ ȝȑĲȡȠ ĲȠ ĲȝȒȝĮ Į. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȣȢ įȪȠ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ĲȝȒȝĮĲĮ İȓȞĮȚ ıȪȝȝİĲȡĮ. ǵȝȦȢ, ıİ ȑȞĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ ȓıȘ ȝİ 1, ĮȞ İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ ĲȠ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ıĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȘ įȚĮȖȫȞȚȩ ĲȠȣ %* 2. %* 2 ȉȩĲİ Ƞ ȜȩȖȠȢ 2 ȠĳİȓȜİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ ĲȠȞ ȜȩȖȠ įȪȠ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. $% 1 ǵȝȦȢ, ȩʌȦȢ ĮʌȑįİȚȟĮȞ, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȣĲȩȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ ȦȢ ĲȠ ʌȘȜȓțȠ įȪȠ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ȅȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ ȠȞȩȝĮıĮȞ ĲȑĲȠȚĮ ȝȒțȘ ȐȜȠȖĮ, «ȝȘ ȜȩȖȠȣȢ», ʌȡȐȖȝĮ ʌȠȣ ıȒȝİȡĮ ȝİĲĮĳȡȐȗȠȣȝİ ȦȢ «ȐȡȡȘĲĮ». ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Ș ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ țĮȚ ȠȚ țȐșİĲİȢ İȓȞĮȚ ĮıȪȝȝİĲȡĮ ȝİȖȑșȘ. ȈȣȞİʌȫȢ, Ș įȚĮĲȪʌȦıȘ ĮȣĲȒ ĲȘȢ ıțȑȥȘȢ ĲȦȞ ȆȣșĮȖȠȡİȓȦȞ țĮĲĮȡȡȓʌĲİĲĮȚ. Ǿ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ ĲȦȞ ĮıȪȝȝİĲȡȦȞ ȝİȖİșȫȞ įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ ĲİȡȐıĲȚȠ șȩȡȣȕȠ ıĲȚȢ ĲȐȟİȚȢ ĲȦȞ ȆȣșĮȖȠȡİȓȦȞ. ȆȡȫĲĮ Įʌ’ ȩȜĮ, ĳĮȚȞȩĲĮȞ ȞĮ ʌȜȒĲĲİȚ șĮȞĮĲȘĳȩȡĮ ĲȘȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚĮ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ʌȠȣ ȣʌȠıĲȒȡȚȗİ ȩĲȚ ȩȜĮ İȟĮȡĲȫȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ȆȫȢ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ ȑȞĮȢ ȐȡȡȘĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȩʌȦȢ Ƞ 2 ȞĮ İȟĮȡĲȐĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ȩĲĮȞ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳĲİȓ ȦȢ ȜȩȖȠȢ įȣȠ ĲȑĲȠȚȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ; ǲʌİȚĲĮ, ĳĮȚȞȩĲĮȞ ĮȞĲȓșİĲȠ ȝİ ĲȘȞ țȠȚȞȒ ȜȠȖȚțȒ, ʌȠȣ ȣʌȠįİȓȤȞİȚ ȩĲȚ țȐșİ ȝȑȖİșȠȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İțĳȡĮıĲİȓ ȝİ țȐʌȠȚȠ ȡȘĲȩ ĮȡȚșȝȩ. ȉȠ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ ȒĲĮȞ İȟȓıȠȣ İȞĲȣʌȦıȚĮțȩ ȖȚĮĲȓ, ʌȐȜȚ ıİ ĮȞĲȓșİıȘ ȝİ ĲȘ įȚĮȓıșȘıȘ, įȚĮʌȚıĲȫșȘțİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ȝȑĲȡȠ. ǵȜȘ Ș ȆȣșĮȖȩȡİȚĮ șİȦȡȓĮ ĲȘȢ ĮȞĮȜȠȖȓĮȢ țĮȚ ĲȦȞ ȩȝȠȚȦȞ ıȤȘȝȐĲȦȞ ȒĲĮȞ ȤĲȚıȝȑȞȘ ʌȐȞȦ ıĲȘ ĳĮȚȞȠȝİȞȚțȐ ʌȡȠĳĮȞȒ ȣʌȩșİıȘ ȩĲȚ įȪȠ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ İȓȞĮȚ ıȪȝȝİĲȡĮ, įȘȜĮįȒ ȑȤȠȣȞ țȐʌȠȚȠ țȠȚȞȩ ȝȑĲȡȠ. ǲȞĮ ȝİȖȐȜȠ ȝȑȡȠȢ ĲȘȢ ȖİȦȝİĲȡȓĮȢ ʌȠȣ ȠȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ șİȦȡȠȪıĮȞ ȩĲȚ İȓȤĮȞ țĮĲȠȤȣȡȫıİȚ ȑʌȡİʌİ ȟĮĳȞȚțȐ ȞĮ ĮʌȠȡȡȚĳșİȓ ıĮȞ ȐȤȡȘıĲȠ, ĮĳȠȪ ȠȚ ĮʌȠįİȓȟİȚȢ ȒĲĮȞ ȜĮȞșĮıȝȑȞİȢ. Ǿ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȦȞ ĮıȪȝȝİĲȡȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ İʌȑĳİȡİ șĮȞȐıȚȝȠ ʌȜȒȖȝĮ ıĲȘȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚĮ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ. ȉȩıȠ ȝİȖȐȜȠ ȒĲĮȞ ĲȠ «ıțȐȞįĮȜȠ» ʌȠȣ ȠȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ ʌȡȠıʌȐșȘıĮȞ ȞĮ ĲȠ ĮʌȠțȡȪȥȠȣȞ. ȁȑȖİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ ǴʌʌĮıȠ, ʌȠȣ ĮʌȠțȐȜȣȥİ ıİ ȐĲȠȝĮ ȑȟȦ Įʌȩ ĲȘ ıȤȠȜȒ ĲȠ ȝȣıĲȚțȩ, ĲȠȞ ȑȡȚȟĮȞ ıĲȘ șȐȜĮııĮ țĮȚ ʌȞȓȖȘțİ. Ǿ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ șİȦȡȒșȘțİ ȦȢ Ș ʌȡȫĲȘ ȝİȖȐȜȘ țȡȓıȘ ıĲȘȞ ȚıĲȠȡȓĮ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ.

ȈȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ĲȠȞ ȜȩȖȠ ĲȦȞ įȪȠ ĲȝȘȝȐĲȦȞ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/5

¤«£©¬ … ® ©¬ … £°¢ £¬, ¦ ²¦ «£ § £¬ ==================================================== ȂĮȡȓĮ ȇȠȣıȠȪȜȘ, īȚȫȡȖȠȢ ȀĮȡĮĳȑȡȘȢ ȆİȡȓȜȘȥȘ ǵȜİȢ țĮȚ ȩȜȠȚ șĮ ȑȤȠȣȝİ ĮțȠȪıİȚ ȖȚĮ ĲĮ ȗȫįȚĮ ĲȘȢ ǹıĲȡȠȜȠȖȓĮȢ ʌȠȣ İȟĮȡĲȫȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ȝȒȞĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ ȖİȞȞȘșİȓ. ǹȞİȟȐȡĲȘĲĮ Įʌȩ ĲȠ țĮĲȐ ʌȩıȠ țȐʌȠȚĮ Ȓ țȐʌȠȚȠȢ ʌȚıĲİȪİȚ ıİ ǹıĲȡȠȜȠȖȚțȑȢ ʌȡȠȕȜȑȥİȚȢ, ĲĮ ıȤȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒșȘțĮȞ ȖȚĮ ȞĮ ʌĮȡĮıĲȒıȠȣȞ ĲĮ ȗȫįȚĮ ȑȤȠȣȞ ȑȞĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ. ĬĮ ȝʌȠȡȠȪıİ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ ĮʌİȚțȠȞȓıİȚ ĲĮ ĮıĲȡȠȜȠȖȚțȐ ıȪȝȕȠȜĮ ĲȦȞ ȗȦįȓȦȞ ȝİ ȖȡĮĳȚțȑȢ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ, ȩʌȦȢ ĲȠȣ ȣįȡȠȤȩȠȣ ȝİ įȪȠ ȘȝȚĲȠȞȠİȚįİȓȢ țĮȝʌȪȜİȢ, ĲĮ țȑȡĮĲĮ ĲȠȣ 2 ĲĮȪȡȠȣ ȝİ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f (x) e x 1 ț.Ƞ.ț. ǼȝİȓȢ, ȦȢ ȜȐĲȡİȚȢ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ, ĲĮ ıȤİįȚȐıĮȝİ ȝȩȞȠ ȝİ ĲȩȟĮ țĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. Ǽįȫ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ țĮȚ ʌȡȠĲİȓȞȠȣȝİ ĲȠ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ ıȤİįȚĮıȝȩ İȜʌȓȗȠȞĲĮȢ ȩĲȚ șĮ ȕȡİȓĲİ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıĮ ĮȣĲȒȞ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ. ȀȡȚȩȢ (Aries) ȅ ȀȡȚȩȢ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȗȫįȚȠ ĲȠȣ ȗȦįȚĮțȠȪ țȪțȜȠȣ țĮȚ İȓȞĮȚ ȗȫįȚȠ ĲȘȢ ĳȦĲȚȐȢ. ȈĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ ĲȠ țȡȚȐȡȚ ȝİ ĲȠ Ȥȡȣıȩ įȑȡȝĮ ʌȠȣ ȑıĲİȚȜİ Ș ȃİĳȑȜȘ ȖȚĮ ȞĮ ıȫıİȚ ĲĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȘȢ ĭȡȓȟȠ țĮȚ ǲȜȜȘ.

ȅ ʌĮĲȑȡĮȢ ĲȠȣȢ ǹșȐȝĮȢ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ȤȡȘıȝȩ ĲȠȣ ȝĮȞĲİȓȠȣ ĲȦȞ ǻİȜĳȫȞ, ȒșİȜİ ȞĮ ĲĮ șȣıȚȐıİȚ ȖȚĮ ȞĮ ȟĮȞȐȡșİȚ Ș İȣĳȠȡȓĮ ıĲȘ ȖȘ ĲȘȢ ǺȠȚȦĲȓĮȢ [1][2][3][4][5][6]. ǼʌȓıȘȢ Ƞ ȀȡȚȩȢ Ȓ ȀȡİȓȠȢ ȒĲĮȞ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȉȚĲȐȞİȢ ʌȠȣ ȜĮĲȡİȣȩĲĮȞ ȝİ ȝȠȡĳȒ țȡȚĮȡȚȠȪ [3]. ȅ ȀȡȚȩȢ ȑȤİȚ ıĮȞ ıȪȝȕȠȜȠ ĲĮ țȑȡĮĲĮ ĲȠȣ țȡȚĮȡȚȠȪ, ıİ țȐʌȠȚȠȣȢ ȩȝȦȢ șȣȝȓȗİȚ ʌȡȩıȦʌȠ ȝİ țȣȡȓĮȡȤĮ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ĲȘ ȝȪĲȘ țĮȚ ĲĮ ĳȡȪįȚĮ, İȞȫ ıİ ȐȜȜȠȣȢ ȤȠȡĲĮȡȐțȚ ʌȠȣ ȝȩȜȚȢ ĳȪĲȡȦıİ, ʌȡȠȝȘȞȪȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȘȢ ȐȞȠȚȟȘȢ țĮȚ ĲȠȣ ȗȦįȚĮțȠȪ țȪțȜȠȣ. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 1 ıȤİįȚȐıĮȝİ ĲȠ ĮıĲȡȠȜȠȖȚțȩ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ȀȡȚȠȪ ȝİ ȚıȠıțİȜȒ ĲȡȓȖȦȞĮ țĮȚ ȘȝȚțȪțȜȚĮ. ȈȤȒȝĮ 1

ȉĮȪȡȠȢ (Taurus) ȈĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ Ƞ ǻȓĮȢ ȩĲĮȞ İȡȦĲİȪĲȘțİ ĲȘ ȕĮıȚȜȠʌȠȪȜĮ ĲȘȢ ĭȠȚȞȓțȘȢ, ǼȣȡȫʌȘ, ȝİĲĮȝȠȡĳȫșȘțİ ıİ Ȝİȣțȩ ĲĮȪȡȠ, ĲȘȞ ĮʌȒȖĮȖİ, ĲȘȞ ʌȒȖİ ıĲȘȞ ȀȡȒĲȘ țĮȚ ȝĮȗȓ ĮʌȑțĲȘıĮȞ ĲȡȓĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȠȞ ȂȓȞȦĮ, ĲȠȞ ȇĮįȐȝĮȞșȣ țĮȚ ĲȠȞ ȈĮȡʌȘįȩȞĮ [7]. ȅ ȉĮȪȡȠȢ, ȗȫįȚȠ ĲȘȢ ȖȘȢ, ȑȤİȚ ıĮȞ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȠȣ ȠȝȫȞȣȝȠȣ ȗȫȠȣ. ȈĲȠ ĳȠȚȞȚțȚțȩ ĮȜĳȐȕȘĲȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ȖȡȐȝȝĮ ĮȜİĳ, ʌȠȣ ıĮȞ ȜȑȟȘ ıȘȝĮȓȞİȚ ȕȩįȚ ıĲȘ ȖȜȫııĮ ĲȦȞ ĳȠȚȞȓțȦȞ (Aleph, Alif, means: bull, ox, cattle, cow) [8]. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 2 ıȤİįȚȐıĮȝİ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ȉĮȪȡȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȑȞĮ ȘȝȚțȪțȜȚȠ, ȑȞĮ țȪțȜȠ țĮȚ ȑȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıĲȠȞ țȪțȜȠ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/6

----------------------------------------------------------------- ȀȇǿȅȈ … ǽȊīȅȈ … ǿȋĬǼǿȈ, ȂǼ īǼȍȂǼȉȇǿǹ ȃǹ ȉǹ ǻǼǿȈ --------------------------------------------------------------

ǻȓįȣȝȠȚ (Gemini) ȅȚ ǻȓįȣȝȠȚ İȓȞĮȚ ȠȚ ǻȚȩıțȠȣȡȠȚ, ȀȐıĲȦȡ țĮȚ ȆȠȜȣįİȪțȘȢ, ȖȚȠȚ ĲȠȣ ǻȓĮ țĮȚ ĲȘȢ ȁȒįĮȢ. ȂȩȞȠ Ƞ ȆȠȜȣįİȪțȘȢ İȓȤİ țȜȘȡȠȞȠȝȒıİȚ Įʌȩ ĲȠȞ ʌĮĲȑȡĮ ĲȠȣ ĲȘȞ ĮșĮȞĮıȓĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȗȒĲȘıİ ȞĮ ȝȠȚȡĮıĲİȓ ȝİ ĲȠȞ ȀȐıĲȠȡĮ ȩĲĮȞ ĮȣĲȩȢ ıțȠĲȫșȘțİ ıİ ȝȓĮ ıȪȖțȡȠȣıȘ. ȅ ǻȓĮȢ įȑȤĲȘțİ țĮȚ ĲĮ ĮįȑȡĳȚĮ ʌİȡȞȠȪıĮȞ İȞĮȜȜȐȟ ĲȚȢ ȝȑȡİȢ ĲȠȣȢ ıĲȠȞ ǵȜȣȝʌȠ țĮȚ ıĲȠȞ ǱįȘ [9]. ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ȗȦįȓȠȣ ĲȠȣ ĮȑȡĮ, İȓȞĮȚ Ƞ ȜĮĲȚȞȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ įȪȠ ʌȠȣ ıȤİįȚȐȗİĲĮȚ ȝİ įȪȠ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ țĮȚ įȪȠ ĲȩȟĮ țȪțȜȦȞ. ȀĮȡțȓȞȠȢ (Cancer) ȅ ȀĮȡțȓȞȠȢ İȓȞĮȚ ȗȫįȚȠ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ țĮȚ ıĲȘȞ ĮȡȤĮȓĮ İȜȜȘȞȚțȒ ıȘȝĮȓȞİȚ țȐȕȠȣȡĮȢ [10][3] țĮȚ ȖȚ’ ĮȣĲȩ ȑȤİȚ ıĮȞ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȚȢ įĮȖțȐȞİȢ ĲȠȣ țĮȕȠȣȡȚȠȪ. ȈĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ ȒĲĮȞ ȑȞĮȢ țȐȕȠȣȡĮȢ ʌȠȣ İȓȤİ ıĲİȓȜİȚ Ș ǳȡĮ ȖȚĮ ȞĮ įĮȖțȫıİȚ ĲȠȞ ǾȡĮțȜȒ țĮĲȐ ĲȘ ȝȐȤȘ ĲȠȣ ȝİ ĲȘ ȁİȡȞĮȓĮ ǶįȡĮ. ȅ ǾȡĮțȜȒȢ ĲȠȞ ıȣȞȑșȜȚȥİ țĮȚ Ș ǳȡĮ ĲȠȞ «țĮĲĮıĲȑȡȚıİ» (ĲȠȞ ȑțĮȞİ ȐıĲȡĮ ĲȠȣ ȠȣȡĮȞȠȪ). ǼʌİȚįȒ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩ ȗȫȠ, ĮʌȠĲȑȜİıİ ĲȠȞ ĮıĲİȡȚıȝȩ ȝİ ĲȠȣȢ ȜȚȖȩĲİȡȠ ĳȦĲİȚȞȠȪȢ ĮıĲȑȡİȢ ĲȠȣ ȗȦįȚĮțȠȪ țȪțȜȠȣ. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 4 ĲȠ ıȤİįȚȐıĮȝİ ȝİ įȪȠ țȪțȜȠȣȢ, įȪȠ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞĮ ıĲȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ țĮȚ ȈȤȒȝĮ 4 įȪȠ ĲȩȟĮ țȪțȜȦȞ. ȁȑȦȞ (Leo) ȅ ȁȑȦȞ ıĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȜȚȠȞĲȐȡȚ ĲȘȢ ȃİȝȑĮȢ, ĲȠȞ ʌȡȫĲȠ ȐșȜȠ ĲȠȣ ǾȡĮțȜȒ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ĳȠȡȠȪıİ ĲȘȞ ʌȡȠȕȚȐ ĲȠȣ ıĲȠȣȢ ȣʌȩȜȠȚʌȠȣȢ ȐșȜȠȣȢ ĲȠȣ. ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ȁȑȠȞĲĮ (ȗȦįȓȠȣ ĲȘȢ ĳȦĲȚȐȢ) șȣȝȓȗİȚ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȠȣ ȜȚȠȞĲĮȡȚȠȪ ȝİ ĲȘȞ ȤĮȓĲȘ ĲȠȣ [1][2][3]. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 5 ıȤİįȚȐıĲȘțİ ȝİ ȑȞĮ țȪțȜȠ, ȑȞĮ ȘȝȚțȪțȜȚȠ țĮȚ ĲȩȟĮ țȪțȜȦȞ. ȆĮȡșȑȞȠȢ (Virgo) ȉȠ ȩȞȠȝĮ ıĲȘȞ ĮĲĲȚțȒ įȚȐȜİțĲȠ İȓȞĮȚ ȀȩȡȘ. Ǿ ȆĮȡșȑȞȠȢ ıĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ ĲĮȣĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ ȆİȡıİĳȩȞȘ, ĲȘȞ țȩȡȘ ĲȠȣ ǻȓĮ țĮȚ ĲȘȢ ǻȒȝȘĲȡĮȢ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ İȡȦĲİȪĲȘțİ Ƞ ǱįȘȢ, ĲȘȞ ȑțȜİȥİ Įʌȩ ĲȘ ȝȘĲȑȡĮ ĲȘȢ țĮȚ ĲȘȞ ʌȒȡİ ȖȚĮ ȖȣȞĮȓțĮ ĲȠȣ ıĲȠȞ ȀȐĲȦ ȀȩıȝȠ [1]. ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ĳȠȚȞȚțȚțȩ ȖȡȐȝȝĮ mem [11] ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ Ȟİȡȩ, ȝİ ȑȞĮ ȥȐȡȚ ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȠȣ țĮȚ İȓȞĮȚ ȗȫįȚȠ ĲȘȢ ȖȘȢ. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 6 ıȤİįȚȐıĮȝİ ĲȠ mem ȝİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ țĮȚ ĲȠ ȥȐȡȚ ȝİ ĲȩȟĮ țȪțȜȦȞ. ǽȣȖȩȢ (Libra) ȅ ǽȣȖȩȢ, ȗȫįȚȠ ĲȠȣ ĮȑȡĮ, İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȩȞȠ ȗȫįȚȠ ʌȠȣ ıȪȝȕȠȜȩ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ țĮȚ șȣȝȓȗİȚ ĲȘ ȗȣȖĮȡȚȐ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/7

ȈĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ ĲȘ șİȩĲȘĲĮ ȃȑȝİıȘ, ʌȠȣ ȖİȞȞȒșȘțİ Įʌȩ ĲȘ ȃȪȤĲĮ ȤȦȡȓȢ ĮȡıİȞȚțȩ ıȪȞĲȡȠĳȠ țĮȚ ʌȡȠȠȡȚıȝȩȢ ĲȘȢ ȒĲĮȞ ȞĮ įȚĮĲȘȡİȓ ĲȘ įȚțĮȚȠıȪȞȘ [1][2][3][4]. ȈĲȠ ıȤȒȝĮĲĮ 7 țĮȚ 8 ȕȜȑʌȠȣȝİ įȪȠ ȐȜȜİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȖȚĮ ĲȠ ıȤİįȚĮıȝȩ ĲȠȣ ıȣȝȕȩȜȠȣ ĲȠȣ ȗȣȖȠȪ ȝİ ȘȝȚțȪțȜȚȠ, țȪțȜȠ, ĮțĲȓȞİȢ țĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. ȈțȠȡʌȚȩȢ (Scorpio) ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ıțȠȡʌȚȠȪ, ȗȦįȓȠȣ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ, İȓȞĮȚ ĲȠ ĮȡȤȚțȩ ĲȘȢ ȜȑȟȘȢ medicine ȖȚĮĲȓ ıȤİĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ șİȡĮʌİȓĮ țĮȚ ĲȘȞ ȓĮıȘ. ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ țĮȚ ĲȠ įȑțĮĲȠ ĲȡȓĲȠ ȖȡȐȝȝĮ ĲȠȣ İȕȡĮȧțȠȪ ĮȜĳĮȕȒĲȠȣ mem [11] ʌȠȣ ıĲĮ İȕȡĮȧțȐ ıȘȝĮȓȞİȚ Ȟİȡȩ. ȉȠ ĲİȜİȓȦȝȐ ĲȠȣ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ ĲȠ İʌȚțȓȞįȣȞȠ țİȞĲȡȓ ĲȠȣ ıțȠȡʌȚȠȪ. ȈĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ ĲȠȞ ȍȡȓȦȞĮ, ȖȚȠ ĲȠȣ ȆȠıİȚįȫȞĮ ʌȠȣ ȒĲĮȞ țȣȞȘȖȩȢ. ȅ ȍȡȓȦȞ ıțȠĲȫșȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ ȈțȠȡʌȚȩ ĮțȩȜȠȣșȠ ĲȘȢ șİȐȢ ǹȡĲȑȝȚįȠȢ, İʌİȚįȒ ĮĲȓȝĮıİ ĲȘȞ ʌȡȠıĲĮĲİȣȩȝİȞȒ ĲȘȢ ȍʌȚȞ [1]. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 9 ıȤİįȚȐıĮȝİ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ȈțȠȡʌȚȠȪ ȝȩȞȠ ȝİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. ȉȠȟȩĲȘȢ (Sagittarius) ȅ ǼȡĮĲȠıșȑȞȘȢ ʌİȡȚȖȡȐĳİȚ ĲȠȞ ȉȠȟȩĲȘ ȦȢ «ȈȐĲȣȡȠ» ʌĮȡĮʌȑȝʌȠȞĲĮȢ ıİ ȀȑȞĲĮȣȡȠ. Ǿ ıȣȝȕȠȜȚțȒ ĮʌİȚțȩȞȚıȘ ĲȠȣ ĲȠȟȩĲȘ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȗȫįȚȠ ĲȘȢ ĳȦĲȚȐȢ, İȓȞĮȚ ĲȠ ȕȑȜȠȢ ĲȠȣ ȀİȞĲĮȪȡȠȣ ĲȠ ȠʌȠȓȠ țȩȕİĲĮȚ ȝİ ȑȞĮ țȐșİĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ıĲȘ ȝȑıȘ, įȘȜȫȞȠȞĲĮȢ ȑĲıȚ ĲȘȞ įȚʌȜȒ ĳȪıȘ ĲȠȣ (ȝȚıȩȢ ȐȞșȡȦʌȠȢ, ȝȚıȩȢ ȐȜȠȖȠ) [1][3][4]. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 10 ȕȜȑʌȠȣȝİ ĲȠ ȕȑȜȠȢ ȝİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. ǹȚȖȩțİȡȦȢ (Capricorn) ȅ ǹȚȖȩțİȡȦȢ, ȗȫįȚȠ ĲȘȢ ȖȘȢ, İȓȞĮȚ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ǼȡĮĲȠıșȑȞȘ Ƞ ȝİĲĮȝȠȡĳȦȝȑȞȠȢ ȆȐȞĮȢ. ȅ ȆȐȞĮȢ ȖȚĮ ȞĮ ȖȜȣĲȫıİȚ Įʌȩ ĲȠ șİȡȚȩ ȉȣĳȫȞĮ ȝİĲĮȝȠȡĳȫșȘțİ ıİ ǹȓȖĮ țĮȚ ȡȓȤĲȘțİ ıĲȠ ʌȠĲĮȝȩ ȃİȓȜȠ, ĮȜȜȐ ȖȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȑıİȚ ȞĮ țȠȜȣȝʌȒıİȚ ĲȠ ʌȓıȦ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ıȫȝĮĲȩȢ ĲȠȣ ȝİĲĮȝȠȡĳȫșȘțİ ıİ ȠȣȡȐ ȥĮȡȚȠȪ [4][12]. īȚ’ ĮȣĲȩ țĮȚ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȩ ĲȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ V ʌȠȣ ıȣȝȕȠȜȓȗİȚ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȘȢ țĮĲıȓțĮȢ țĮȚ ĲȠ ĲİȜİȓȦȝȐ ĲȠȣ ıȣȝȕȠȜȓȗİȚ ĲȘȞ ȠȣȡȐ ĲȠȣ ȥĮȡȚȠȪ. ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 11 ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȘȢ țĮĲıȓțĮȢ ıȤİįȚȐıĲȘțİ ȝİ ȑȞĮ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ țĮȚ įȪȠ ĲȩȟĮ țȪțȜȠȣ țĮȚ Ș ȠȣȡȐ ĲȠȣ ȥĮȡȚȠȪ ȝİ ȑȞĮ țȪțȜȠ țĮȚ įȪȠ ĲȩȟĮ. ȊįȡȠȤȩȠȢ (Aquarius) ȆĮȡ’ ȩȜȠ ʌȠȣ Ƞ ȣįȡȠȤȩȠȢ İȓȞĮȚ ȗȫįȚȠ ĲȠȣ ĮȑȡĮ, ĲȠ ıȪȝȕȠȜȩ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ĲĮ țȪȝĮĲĮ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ țĮȚ İȓȞĮȚ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ ȝİ ĲȠ ĮȚȖȣʌĲȚĮțȩ ȚİȡȠȖȜȣĳȚțȩ ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ Ȟİȡȩ. ȈĲȘ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ Ƞ ȊįȡȠȤȩȠȢ ıȣȝȕȠȜȓȗİȚ ĲȠȞ īĮȞȣȝȒįȘ, ȑȞĮȞ ȩȝȠȡĳȠ ȞİĮȡȩ ʌȠȣ ȐȡʌĮȟİ Ƞ ǻȓĮȢ

ȈȤȒȝĮ 12

Įʌȩ ĲȘ īȘ ȖȚĮ ȞĮ ĲȠȞ țȐȞİȚ ȠȚȞȠȤȩȠ ĲȠȣ ıĲȠȞ ǵȜȣȝʌȠ, ĮȞĲȚțĮșȚıĲȫȞĲĮȢ ĲȘȞ țȩȡȘ ĲȘȢ ǳȡĮȢ, ǳȕȘ, ȖİȖȠȞȩȢ ʌȠȣ İȟȩȡȖȚıİ ĲȚȢ įȪȠ ȖȣȞĮȓțİȢ. ȅ ǻȓĮȢ İȟĮȞĮȖțȐıĲȘțİ ȞĮ țĮĲĮıĲİȡȓıİȚ ĲȠȞ ȠȚȞȠȤȩȠ ĲȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȫȞĲĮȢ ĲȠȞ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ĮıĲİȡȚıȝȩ. ȅ ĮıĲİȡȚıȝȩȢ ĲȠȣ ȊįȡȠȤȩȠȣ, ȝĮȗȓ ȝİ ĲȠȣȢ ǻȚįȪȝȠȣȢ țĮȚ ĲȠȞ ǽȣȖȩ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ĲȠ «ĮȚșȑȡȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ» ĲȦȞ ĮıĲȡȠȜȩȖȦȞ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/8

ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 12 ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȠȣ ȣįȡȠȤȩȠȣ İȪțȠȜĮ ıȤİįȚȐıĲȘțİ ȝȩȞȠ ȝİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. IȤșİȓȢ (Pisces) ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȦȞ ȚȤșȪȦȞ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȗȫįȚȠ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ, ʌĮȡȚıĲȐȞİȚ ĲĮ įȪȠ ȑȥȚȜȠȞ ʌȠȣ ȒĲĮȞ ȤĮȡĮȖȝȑȞĮ ıĲȠ șȡȩȞȠ ĲȠȣ ȕĮıȚȜȚȐ ȂȓȞȦĮ ıĲȘȞ ȀȞȦıȩ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȞ ĲȘȞ ĮȑȞĮȘ ȝȐȤȘ ĲȠȣ țĮȜȠȪ ȝİ ĲȠ țĮțȩ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ǼȜȜȘȞȚțȒ ȝȣșȠȜȠȖȓĮ Ƞ ĮıĲİȡȚıȝȩȢ ĲȦȞ ǿȤșȪȦȞ ıȣȝȕȠȜȓȗİȚ ĲĮ įȪȠ įİȜĳȓȞȚĮ ʌȠȣ ıȣȞȩįİȣĮȞ ʌȐȞĲĮ ĲȠ Ĭİȩ ĲȘȢ ĬȐȜĮııĮȢ ȆȠıİȚįȫȞĮ ȈȤȒȝĮ 13 ıĲȚȢ įȚȐĳȠȡİȢ ȝİĲĮțȚȞȒıİȚȢ ĲȠȣ. [1][2] ȈĲȠ ıȤȒȝĮ 13 ȕȜȑʌȠȣȝİ ȝȓĮ ȐȜȜȘ İțįȠȤȒ ĲȠȣ ıȣȝȕȩȜȠȣ ĲȦȞ ǿȤșȪȦȞ ȝİ įȪȠ ȘȝȚțȪțȜȚĮ, ĮțĲȓȞİȢ țĮȚ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ. ǼʌȓȜȠȖȠȢ ȅȚ ȝĮșȘĲȑȢ ȝĮȢ ĮȡțİĲȐ ıȣȤȞȐ, ȖȚĮ ȞĮ ȝĮȢ ĳȑȡȠȣȞ țĮȚ ȜȓȖȠ ıİ įȪıțȠȜȘ șȑıȘ, ȝĮȢ ȡȦĲȐȞİ: « țĮȚ ʌȠȣ șĮ ȝĮȢ ȤȡİȚĮıĲȠȪȞ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ıĲȘ ȗȦȒ ȝĮȢ;» țĮȚ İȝİȓȢ ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ įȚȐĳȠȡİȢ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȘȢ țĮșȘȝİȡȚȞȒȢ ȗȦȒȢ. ȉĮ ȗȫįȚĮ ʌȐȞĲȦȢ įİȞ ȒĲĮȞ ȝȑȤȡȚ ĲȫȡĮ ıĲȚȢ ʌȚșĮȞȑȢ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ. ȂİĲȐ Įʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘ ȝȚțȡȒ İȡȖĮıȓĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȠȪȝİ ȩĲȚ ĲİȜȚțȐ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ʌĮȞĲȠȪ!!!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]

ǺȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮ https://www.iefimerida.gr/news/126838/ʌȫȢ-ʌȒȡĮȞ-ĲȚȢ-ȠȞȠȝĮıȓİȢ-ĲȠȣȢ-ĲĮ-ȗȫįȚĮ-ĲȚıȣȝȕȠȜȓȗİȚ-ĲȠ-ʌȑȡĮıȝĮ-ĲȠȣ-ȘȜȚȠȣ-Įʌȩ-țȐșİ-ĮıĲİȡȚ https://astrology4u.gr/ti-apikonizi-to-simvolo-kathe-zodiou/ǽȦȗȫ ȆĮȡȓıȘ https://www.myastro.gr/zodia/astrologia-zodia/zwdia-onomata.html http://astrakaioneira.gr/ĲĮ-țȑȡĮĲĮ-ĲȠȣ-țȡȚȠȪ-ĲȠ-ĲȩȟȠ-ĲȠȣ-ĲȠȟȩĲȘ/ ǺȚȕȜȓȠ ǿıĲȠȡȓĮȢ īǯ ǻȘȝȠĲȚțȠȪ ȅǼǻǺ https://el.wikipedia.org/wiki/ȀȡİȓȠȢ http://www.krassanakis.gr/europe.htm https://en.wikipedia.org/wiki/Aleph https://www.theoi.com/Ouranios/Dioskouroi.html https://el.wikipedia.org/wiki/ȀĮȡțȓȞȠȢ_(ĮıĲİȡȚıȝȩȢ) https://www.merriam-webster.com/dictionary/mem https://www.astro-live.gr/aigokerws-astronomia-kai-mythoi/ȈĲȡȐĲȠȢ ĬİȠįȠıȓȠȣ - ȂȐȞȠȢ ǻĮȞȑȗȘȢ

«ȈĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ 111 ıĲȠ ȐȡșȡȠ ȝİ ĲȓĲȜȠ: ¨ȉȠ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌĮȚȤȞȓįȚ¨ ĲȠȣ ț. ǽȚȫȖĮ ȣʌȒȡȟİ ʌĮȡȐȜİȚȥȘ (İț ʌĮȡĮįȡȠȝȒȢ) ĲȘȢ ıȤİĲȚțȒȢ ȕȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮȢ Ș ȠʌȠȓĮ ʌĮȡĮĲȓșİĲĮȚ: ȆȘȖȑȢ

http://www.deltastate.edu/PDFFiles/DJE/spring-2015/dje_spring_2015_cope-final.pdf ȀȠȪțȚȠȣ ǹȜȑțĮ, ȈȦĲȘȡȠʌȠȪȜȠȣ ǻȒȝȘĲȡĮ: ȄǼĭǼȊīȅȃȉǹȈ ǹȆȅ ȉȅ ȆǹȇǹǻȅȈǿǹȀȅ ȂǹĬǾȂǹ, ȆȡĮțĲȚțȐ 7Ƞȣ ȆĮȞİȜȜȒȞȚȠȣ ȈȣȞİįȡȓȠȣ ĲȘȢ ǲȞȦıȘȢ ǼȡİȣȞȘĲȫȞ ĲȘȢ ǻȚįĮțĲȚțȒȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ (ǼȞ.Ǽ.ǻȚ.Ȃ.) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/9

¦ ¢¡¦ £¤ ¤ £ ¦©®¬£¤¡ «¦©§£ ===================================================== ȈĲȑĳĮȞȠȢ ȀİǸıȠȖȜȠȣ - ǱȞȞĮ ȆĮʌĮįȐțȘ «ȂȠȣıȚțȒ İȓȞĮȚ Ș ĮʌȩȜĮȣıȘ ʌȠȣ ȞȚȫșİȚ Ș ĮȞșȡȫʌȚȞȘ ȥȣȤȒ, ȩĲĮȞ ȝİĲȡȐİȚ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȟȑȡİȚ ʌȦȢ ȝİĲȡȐİȚ» Gottfried Leibniz ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ȝȠȣıȚțȒ. ǻȪȠ ȑȞȞȠȚİȢ ʌȠȣ ʌȠȜȜȠȓ ʌȚıĲİȪȠȣȞ ȩĲȚ įİȞ ȑȤȠȣȞ țĮȝȓĮ ıȤȑıȘ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ. ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ ȩȞĲȦȢ ȑĲıȚ Ȓ Ș ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ İȓȞĮȚ ȐȜȜȘ; ǹȢ ȟİțȚȞȒıȠȣȝİ ȥȐȤȞȠȞĲĮȢ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ȝİ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ ĮȞĲȚȜĮȝȕȐȞİĲĮȚ țĮȚ ȠȡȓȗİȚ ĲȚȢ įȪȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȑȞȞȠȚİȢ. ȂȠȣıȚțȒ İȓȞĮȚ Ș ĲȑȤȞȘ ĲȘȢ ȠȡȖȐȞȦıȘȢ ĲȦȞ ȒȤȦȞ ȫıĲİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȝİ ȝȓĮ ıȪȞșİıȘ, ȑȞĮ ȑȡȖȠ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İțĲİȜİıĲİȓ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȜİȖȩȝİȞȠȣȢ ȝȠȣıȚțȠȪȢ. Ȃİ ĲȠȞ ȩȡȠ İȞȞȠİȓĲĮȚ İʌȓıȘȢ țĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȒȤȦȞ Įʌȩ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ĮʌĮȡĲȓȗİĲĮȚ ȑȞĮ ȝȠȣıȚțȩ țȠȝȝȐĲȚ Ǿ ȝȠȣıȚțȒ ȦȢ ĲȑȤȞȘ, ȑȡȤİĲĮȚ ȞĮ țĮȜȪȥİȚ ĲȘȞ ĮȞȐȖțȘ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ ȞĮ İțĳȡȐıİȚ ȝİ ĲȠȣȢ ȒȤȠȣȢ, ĲȚȢ ıțȑȥİȚȢ, ĲĮ ıȣȞĮȚıșȒȝĮĲĮ țĮȚ ĲȚȢ ȥȣȤȚțȑȢ ĲȠȣ țĮĲĮıĲȐıİȚȢ. ȉĮ MĮșȘȝĮĲȚțȐ Įʌȩ ĲȘȞ ȐȜȜȘ İȓȞĮȚ Ș İʌȚıĲȒȝȘ ʌȠȣ ȝİȜİĲȐ șȑȝĮĲĮ ʌȠȣ ĮĳȠȡȠȪȞ ĲȘȞ ʌȠıȩĲȘĲĮ (ĮȡȚșȝȠȪȢ), ĲȘ įȠȝȒ (ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ıȤȒȝĮĲĮ), ĲȠ ȤȫȡȠ, ĲȘ ȝİĲĮȕȠȜȒ, ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ȝİĲȡȒıȚȝȦȞ ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȦȞ ĲȘȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮȢ țĮȚ ĲȘȢ ĳĮȞĲĮıȓĮȢ ȝĮȢ. ǼȓȞĮȚ ȝȚĮ ȜȠȖȚțȒ İʌȚıĲȒȝȘ ʌȠȣ ʌİȡȚȖȡȐĳİȚ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ ȝİ ĲȪʌȠȣȢ Ȓ țĮȚ ĮȜȖȩȡȚșȝȠȣȢ țĮȚ İȡİȣȞȐ ĲȘȞ ĮȜȒșİȚĮ ĲȠȣȢ ȝİ ĮʌȠįİȚțĲȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ ȜȠȖȚțȫȞ ȕȘȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ıĲȘȡȓȗȠȞĲĮȚ ıİ ĮȟȚȫȝĮĲĮ țĮȚ șİȦȡȒȝĮĲĮ.

Ǿ ȜȠȖȚțȒ ȜȠȚʌȩȞ ĲȠȣ ȞĮ ıȣıȤİĲȓıȠȣȝİ ĲȚȢ įȪȠ ĮȣĲȑȢ ĳĮȚȞȠȝİȞȚțȐ ĮȞĲȓșİĲİȢ ȑȞȞȠȚİȢ ȓıȦȢ ȞĮ ȝȘȞ İȓȞĮȚ țĮȚ ĲȩıȠ ĳĮȞİȡȒ, ȩʌȦȢ țĮȚ ȠȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ıȤȑıİȚȢ. ĬĮ țȐȞȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ȝȚĮ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȞĮ ĲȚȢ ıȣȞįȑıȠȣȝİ țĮȚ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȝİ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ ĮȣĲȑȢ. ȅ ȡȣșȝȩȢ țĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Ǿ ʌȡȫĲȘ ȝȠȣıȚțȒ ʌȠȣ ȑĳĲȚĮȟİ ĲȠ ĮȞșȡȫʌȚȞȠ İȓįȠȢ, İįȫ țĮȚ 35.000 ȤȡȩȞȚĮ, ȒĲĮȞ ıțȑĲȠȢ, ĮʌȜȩȢ ȡȣșȝȩȢ. ǹȣĲȩ ȣʌȠıĲȘȡȓȗȠȣȞ ȠȚ ĮȞșȡȦʌȠȜȩȖȠȚ ʌȠȣ ȝİȜȑĲȘıĮȞ ĲȠ ĮȡȤĮȚȩĲİȡȠ İȪȡȘȝĮ ĲȦȞ ȝȠȣıȚțȫȞ ıȣȞȘșİȚȫȞ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ, ȠıĲȐ Įʌȩ ȝĮȝȠȪș ʌȠȣ ĲĮ ȤĲȣʌȠȪıĮȞ ȡȣșȝȚțȐ ȖȚĮ ĲȚȢ ĲİȜİĲȑȢ ĲȠȣȢ. ǻİȞ ȣʌȒȡȤİ ȝİȜȦįȓĮ ȝİ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ʌȠȣ ıȒȝİȡĮ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ. ĭĮȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ Ƞ țĮșĮȡȩȢ ȡȣșȝȩȢ ıȣȞįİȩĲĮȞ ȝİ ĲȠȞ ȤȠȡȩ, ȝİ ĲȘȞ ıȦȝĮĲȚțȒ țȓȞȘıȘ țĮĲȐ ĲȘ įȚȐȡțİȚĮ ĲȦȞ ĲİȜİĲȫȞ ĲȠȣȢ. ȈȒȝİȡĮ ıȣȞĮȞĲȐȝİ ĮțȩȝȘ ĲȠȞ ĮʌȩȘȤȠ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ʌĮȡȐįȠıȘȢ ıİ ȟȪȜȚȞĮ ȩȡȖĮȞĮ ȩʌȦȢ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȘȞ įȚʌȜĮȞȒ İȚțȩȞĮ. ȅ ȡȣșȝȩȢ İȓȞĮȚ ĲȠ țȠȚȞȩ ıȪȞȠȡȠ, Ș țȠȚȞȒ ĮĳİĲȘȡȓĮ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ țĮȚ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. Ǿ ʌȡȦĲĮȡȤȚțȒ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ȑȞȞȠȚĮ İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ, Ƞ ĳȣıȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ĲȠ 1, 2, 3, 4, 5 ț.Ȝ.ʌ. ȆȦȢ ʌĮȡȐȖİĲĮȚ ȩȝȦȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ıĮȞ ȞȠȘĲȚțȒ ȜİȚĲȠȣȡȖȓĮ; ȆĮȡȐȖİĲĮȚ ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȓșȝȘıȘ, įȘȜĮįȒ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/10

ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ ¦ ¢¡¦ £¤ ¤ £ ¦©®¬£¤¡ «¦©§£ ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ

Įʌȩ ĲȘȞ ȚıȩȤȡȠȞȘ ĮʌĮȖȖİȜȓĮ ȜȑȟİȦȞ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ: ȑȞĮ – įȪȠ – ĲȡȓĮ – ĲȑııİȡĮ ț.Ȝ.ʌ ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș ĮȡȓșȝȘıȘ įİȞ İȓȞĮȚ ĲȓʌȠĲİ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Įʌȩ ĲȘȞ įȚĮĲȒȡȘıȘ İȞȩȢ ȡȣșȝȠȪ, İȞȩȢ ȝȠĲȓȕȠȣ. Ǿ șȑıȘ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ ıĲȘȞ ĮȡȤĮȓĮ ǼȜȜȐįĮ. ȀȐȞȠȞĲĮȢ ȝȚĮ ĮȞĮįȡȠȝȒ ıĲȘȞ ĮȡȤĮȓĮ ǼȜȜȐįĮ, įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ȝȠȣıȚțȒ țĮȚ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘțĲĮ ıȣȞįİįİȝȑȞĮ. Ǿ ȝȠȣıȚțȒ ȒĲĮȞ ȝȚĮ İʌȚıĲȒȝȘ ʌİȚșĮȡȤȘȝȑȞȘ ĮȣıĲȘȡȐ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ʌȠȣ ȤİȚȡȚȗȩĲĮȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ, ȜȩȖȠȣȢ țĮȚ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ. Ǿ İțʌĮȓįİȣıȘ ĲȦȞ ȞȑȦȞ ıĲȘȡȚȗȩĲĮȞ ıĲȘ įȚįĮıțĮȜȓĮ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ, ĲȘȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ, ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ țĮȚ ĲȘȢ ıȦȝĮĲȚțȒȢ ȐıțȘıȘȢ. ĬĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İʌȚıȘȝȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ ıĲȘȞ ǹȡȤĮȓĮ ǼȜȜȐįĮ Ƞ ȩȡȠȢ «ȝȠȣıȚțȒ» İȓȤİ ʌȜȠȪıȚȠ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ țĮȚ ĮȞĮĳİȡȩĲĮȞ ıİ ȑȞĮ İȓįȠȢ ĲȑȤȞȘȢ ʌȠȣ ȒĲĮȞ ıȣȞįȣĮıȝȩȢ ȜȩȖȠȣ, ȝİȜȦįȓĮȢ țĮȚ țȓȞȘıȘȢ. Ǿ ĮȜȜȘȜİʌȓįȡĮıȘ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ țĮȚ ĲȘȢ ʌȠȓȘıȘȢ ȒĲĮȞ ĲȩıȠ ȝİȖȐȜȘ țĮȚ ĲȩıȠ ȗȦȞĲĮȞȒ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ǲȜȜȘȞİȢ, ȫıĲİ Ș İıȦĲİȡȚțȒ ıȣȞȑȞȦıȘ ĲȘȢ ĲȑȤȞȘȢ ĲȠȣ ȒȤȠȣ țĮȚ ĲȘȢ ʌȠȓȘıȘȢ ĮʌȠĲİȜİȓ ĲȘȞ ȠȣıȚĮıĲȚțȒ ȑȞȞȠȚĮ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ. ȂȠȣıȚțȒ ĮȡȝȠȞȓĮ țĮȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ șİȦȡȘșȠȪȞ ȑȞĮ İȡȖĮȜİȓȠ ȝİ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ʌȠıȠĲȚțȠʌȠȚȠȪȝİ įȚȐĳȠȡĮ ĳĮȚȞȩȝİȞĮ, įȘȜĮįȒ ȝİȜİĲȐȝİ ĲĮ ĳĮȚȞȩȝİȞĮ ȦȢ ʌȠıȐ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ƞ ȤȡȩȞȠȢ (ȝȑĲȡȘıȘ, țȪțȜȠȢ), Ƞ ȤȫȡȠȢ (īİȦȝİĲȡȓĮ). ȉȠ ĳĮȚȞȩȝİȞȠ, Ȓ ȝȐȜȜȠȞ Ș ĮȓıșȘıȘ, ĲȘȢ ĮțȠȒȢ ȑȤİȚ țĮȚ ĮȣĲȩ ʌȠıȠĲȚțȠʌȠȚȘșİȓ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ȑȤİȚ ȚįȚĮȓĲİȡĮ ȝİȜİĲȘșİȓ Ș ĮțȠȣıĲȚțȒ ĮȓıșȘıȘ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ įȪȠ ȘȤȘĲȚțȫȞ İȡİșȚıȝȐĲȦȞ, Ȓ ĮʌȜȐ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ. x Ǿ ȆȣșĮȖȩȡİȚĮ ȐʌȠȥȘ. Ǿ ʌȡȫĲȘ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȒ ĮȜȜȐ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ țĮȚ țĮșȠȡȚıĲȚțȒ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȣʌĮȖȦȖȒȢ ĲȠȣ ĳĮȚȞȠȝȑȞȠȣ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ ıİ ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ ȖȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ȆȣșĮȖȩȡĮ. ȁȑȖİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȘ ıĲȚȖȝȒ ʌȠȣ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ʌİȡȞȠȪıİ ȑȟȦ Įʌȩ ȑȞĮ ȈȚįȘȡȠȣȡȖİȓȠ ʌĮȡĮĲȒȡȘıİ ĲȠȣȢ ȒȤȠȣȢ ʌȠȣ ʌȡȠȑȡȤȠȞĲĮȞ Įʌȩ ĲĮ ȤĲȣʌȒȝĮĲĮ ĲȦȞ ıĳȣȡȚȫȞ ıĲȠ ĮȝȩȞȚ. Ǽțİȓ, ȖȚĮ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ĮȞĲȚȜȒĳșȘțİ ȩĲȚ ȠȚ įȚĮĳȠȡȑȢ ĲȠȣ ȒȤȠȣ (ĮȣĲȩ ʌȠȣ ıȒȝİȡĮ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ ıȣȤȞȩĲȘĲİȢ ĲȠȣ ȒȤȠȣ) İȟĮȡĲȫȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ȩȖțȠ ĲȦȞ ıĳȣȡȚȫȞ țĮȚ ȩȤȚ Įʌȩ ĲȘ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȘȢ įȪȞĮȝȘȢ ʌȠȣ ĮıțİȓĲĮȚ ȝȑıȦ ĮȣĲȫȞ ʌȐȞȦ ıĲȠ ʌĮȜȜȩȝİȞȠ ĮȝȩȞȚ. ǹĳȠȪ, ȜȠȚʌȩȞ, ĮȞȑȜȣıİ țĮȚ ȝȑĲȡȘıİ ʌȡȠıİțĲȚțȐ ĲȚȢ įȚĮĳȠȡȑȢ ȩȖțȠȣ țĮȚ ȕȐȡȠȣȢ ʌȠȣ ĲĮ ıĳȣȡȚȐ ĮȣĲȐ ʌĮȡȠȣıȓĮȗĮȞ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ, İʌȑıĲȡİȥİ ıĲȠ ıʌȓĲȚ ĲȠȣ İʌȚȤİȚȡȫȞĲĮȢ ʌȜȑȠȞ ȞĮ ʌȡȠıĮȡȝȩıİȚ ĲĮ ȓįȚĮ ȕȐȡȘ ıĲĮ ȐțȡĮ ĲİııȐȡȦȞ ʌĮȞȠȝȠȚȩĲȣʌȦȞ ȤȠȡįȫȞ, ıĲȘȡȚȖȝȑȞȦȞ ıİ ȝȚĮ ıĲĮșİȡȒ ȟȪȜȚȞȘ ȕȐıȘ ʌȠȣ ȜİȚĲȠȣȡȖȠȪıİ ȦȢ ȘȤİȓȠ. ǲʌİȚĲĮ, țĲȣʌȫȞĲĮȢ ĮȞȐ įȪȠ ĲȚȢ ȤȠȡįȑȢ, İȓįİ ȩĲȚ Ș ȤȠȡįȒ ȝİ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ĲȐıȘ, ıİ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȝİ İțİȓȞȘ ʌȠȣ İȓȤİ ĲȘ ȝȚțȡȩĲİȡȘ ĲȐıȘ Įʌ’ ȩȜİȢ, ȑįȚȞİ ĲȠ ȚįȚĮȓĲİȡĮ İȣȤȐȡȚıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ĲȘȢ ȠȖįȩȘȢ. ǻȪȠ ȕĮıȚțȐ İȡȦĲȒȝĮĲĮ ĮʌĮıȤȠȜȠȪȞ ĲȠȣȢ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȣȢ: Į) ȆȩĲİ įȪȠ ȒȤȠȚ (ȞȩĲİȢ) ıȣȞȘȤȠȪȞ ĮȡȝȠȞȚțȐ, ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/11

ȕ) ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ȕĮșȪĲİȡȘ ĮȚĲȓĮ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȚțȒȢ ıȣȞȒȤȘıȘȢ. ǳįȘ İȓȤİ Ĳİșİȓ ȡȘĲȐ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ. ǹȢ įȠȪȝİ ȩȝȦȢ ĮȞĮȜȣĲȚțȐ ĲȚȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȑȢ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ ʌȠȣ țĮĲĮıțİȪĮıİ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ. ȉĮ ȕȐȡȘ ʌȠȣ İȓȤİ ĲȠʌȠșİĲȒıİȚ Ƞ ȆȣșĮȖȩȡĮȢ ȒĲĮȞ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȝİ 12 țĮȚ 6 ĮȡȚșȝȘĲȚțȑȢ ȝȠȞȐįİȢ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȕȡȓıțȠȞĲĮȞ ıĲȘȞ ĮȞĮȜȠȖȓĮ 2:1. ǹȝȑıȦȢ ȝİĲȐ, ıȣȞȑțȡȚȞİ ĲȘȞ ĮȡȤȚțȒ ȤȠȡįȒ ĲȦȞ 12 ȕĮȡȫȞ ȝİ ȝȚĮ ȐȜȜȘ, Ș ȠʌȠȓĮ ȕȡȚıțȩĲĮȞ ĮțȡȚȕȫȢ įȓʌȜĮ ıİ İțİȓȞȘ ĲȦȞ 6, ȝİ ĲȐıȘ ȚıȠįȪȞĮȝȘ 8 ȕĮȡȫȞ. Ǿ ȞȑĮ ĮȣĲȒ ıȣȞȒȤȘıȘ (12:8) įİȞ ȒĲĮȞ ȐȜȜȘ Įʌȩ ĲȠ ıȪȝĳȦȞȠ įȚȐıĲȘȝĮ ĲȘȢ ʌȑȝʌĲȘȢ ʌȠȣ, ıĲȘȞ ĮʌȜȠȣıĲİȣȝȑȞȘ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒ, ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȠȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȩ ȜȩȖȠ 3:2. ȉȑȜȠȢ, ĲȠ ʌĮȚȤȞȓįȚ ĲȦȞ ıȣıȤİĲȚıȝȫȞ ĳĮȓȞİĲĮȚ ʌȦȢ ȑțȜİȚıİ ȝİ ĲȘȞ İȟĮțȡȓȕȦıȘ ȩĲȚ Ș ȤȠȡįȒ ȝİ ĲȘ ȝȑȖȚıĲȘ ĲȐıȘ ĲȦȞ 12 ȕĮȡȫȞ, ıȣȞįȣĮȗȩȝİȞȘ ȝİ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ĲȦȞ 9 ȕĮȡȫȞ, ʌĮȡȒȖĮȖİ ĲȠ İʌȓıȘȢ ıȪȝĳȦȞȠ įȚȐıĲȘȝĮ ĲȘȢ ĲİĲȐȡĲȘȢ (12:9, įȘȜĮįȒ 4:3). Ǽįȫ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȣʌȠȖȡĮȝȝȚıĲİȓ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩĲȚ ĲȠ ȕĮıȚțȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȩ İȡȖĮȜİȓȠ ĲȘȢ İʌȠȤȒȢ İȓȞĮȚ ȠȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ țĮȚ ĲĮ țȜȐıȝĮĲȐ ĲȠȣȢ (ȡȘĲȠȓ), ȑĲıȚ ȠȚ İȡȝȘȞİȓİȢ ĲȦȞ ĳĮȚȞȠȝȑȞȦȞ ʌȠȣ ȝİȜİĲȠȪıĮȞ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ įȠșȠȪȞ ȝȑıĮ ıĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȘȢ ǹȡȚșȝȠșİȦȡȓĮȢ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ. Ǿ ĮȡȝȠȞȓĮ İʌȚȕȐȜȜİĲĮȚ, țĮĲȐ țȐʌȠȚȠȞ ĲȡȩʌȠ, Įʌȩ ĲȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ʌȠȣ ʌȡȠȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĲİĲȡĮțĲȪ įȘȜĮįȒ Įʌȩ ĲĮ 2/3, 3/4, 2/4, 1/2 țȜʌ. ȉȠ ĮȟȚȠıȘȝİȓȦĲȠ İȓȞĮȚ ȩĲȚ țĮȚ ȠȚ ȀȚȞȑȗȠȚ ĳȚȜȩıȠĳȠȚ ĲȘȢ İʌȠȤȒȢ ĲȠȣ ȀȠȝĳȠȪțȚȠȣ șİȦȡȠȪıĮȞ ĲȠȣȢ ȝȚțȡȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ 1, 2, 3, 4 ıĮȞ ĲȘȞ ȠȣıȓĮ ĲȘȢ ĲİȜİȚȩĲȘĲĮȢ. ȅ Euler, ĲȠ 1738 İʌȚȤİȚȡİȓ ȝȓĮ ȞȑĮ İȟȒȖȘıȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȡȠȑȜİȣıȘ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ. ǲȤȠȣȝİ, ȜȑİȚ Ƞ Euler, ȑȝĳȣĲȘ ĲȘȞ ĲȐıȘ ȞĮ ĮȚıșĮȞȩȝĮıĲİ ȚțĮȞȠʌȠȓȘıȘ ȩĲĮȞ ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȣȝİ țȐʌȠȚĮ țĮȞȠȞȚțȩĲȘĲĮ Ȓ ȞȩȝȠ. Ǿ ĮʌȜȠȪıĲİȡȘ, ȐȡĮ țĮȚ Ș İȣțȠȜȩĲİȡĮ ĮȞĲȚȜȘʌĲȒ, țĮȞȠȞȚțȩĲȘĲĮ İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ Ș ȠʌȠȓĮ ıĲȘȡȓȗİĲĮȚ ıĲȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ĲȦȞ ĮʌȜȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ 1, 2, 3, 4. ȅ Euler ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ıȣȝĳȦȞİȓ ȝİ ĲȘȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚĮ ȐʌȠȥȘ țĮȚ ĲȘȞ ıĲȘȡȓȗİȚ ıİ ȝȓĮ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ȡİĮȜȚıĲȚțȒ ȕȐıȘ. x ȈȪȖȤȡȠȞİȢ İȡȝȘȞİȓİȢ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ. Ǿ ıȪȖȤȡȠȞȘ İȡȝȘȞİȓĮ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ ıĲȘȡȓȗİĲĮȚ ıİ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ıȪȞșİĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȡȖĮȜİȓĮ țĮȚ ıĲȘȡȓȗİĲĮȚ ıİ ȝȓĮ įȚĮșİȝĮĲȚțȒ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȝİ ĲȘȞ ĭȣıȚțȒ. ǹȞ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ȠȡȓıȠȣȝİ ȝȓĮ ĮĳİĲȘȡȓĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ȖȑȞȞȘıȘ ĲȘȢ ıȪȖȤȡȠȞȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ĮȣĲȒ șĮ ȒĲĮȞ ĲȠ 1564, ĲȠ ȑĲȠȢ ʌȠȣ ȖİȞȞȒșȘțİ Ƞ īĮȜȚȜĮȓȠȢ. ǹʌȩ ĲȚȢ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȑȢ ĲȠȣ ȝİȜȑĲİȢ ĮȣĲȒ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȚįȚĮȓĲİȡȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ ȖȚĮ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ʌȠȣ ȝİȜİĲȐȝİ İȓȞĮȚ ȠȚ ȞȩȝȠȚ ĲȠȣ İțțȡİȝȠȪȢ. ȅ īĮȜȚȜĮȓȠȢ ıĲĮ 18 ȤȡȩȞȚĮ ĲȠȣ, țĮșȫȢ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪıİ ȝȑıĮ ıĲȠȞ țĮșİįȡȚțȩ ȞĮȩ ĲȘȢ ȆȓȗĮȢ ĲȠȞ ʌȠȜȣȑȜĮȚȠ ȞĮ ĮȚȦȡİȓĲĮȚ țĮȚ ıȚȖȐ-ıȚȖȐ ȞĮ ȝİȚȫȞİĲĮȚ ĲȠ ʌȜȐĲȠȢ ĲȘȢ ĲĮȜȐȞĲȦıȘȢ İȞȫ Ƞ ȤȡȩȞȠȢ ĲȘȢ ĲĮȜȐȞĲȦıȘȢ ʌĮȡȑȝİȞİ ȓįȚȠȢ. Ǿ ʌĮȡĮʌȑȡĮ ȝİȜȑĲȘ ĲȠȣ ĳĮȚȞȠȝȑȞȠȣ ĮȡȖȩĲİȡĮ ĲȠȞ ȠįȒȖȘıİ ıĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȦȞ ȞȩȝȦȞ ĲȠȣ İțțȡİȝȠȪȢ țĮȚ ĲȘȞ țĮĲĮıțİȣȒ İȞȩȢ ȠȡȖȐȞȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ ȝȑĲȡȘıȘ ĲȠȣ ȤȡȩȞȠȣ. ȉȠ ıȘȝĮȞĲȚțȩ İȓȞĮȚ ȩĲȚ Ƞ īĮȜȚȜĮȓȠȢ ȑıĲȡİȥİ ĲȘȞ ʌȡȠıȠȤȒ ĲȘȢ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒȢ ȑȡİȣȞĮȢ ıĲȘ ȝİȜȑĲȘ ĲȦȞ ʌİȡȚȠįȚțȫȞ ĳĮȚȞȠȝȑȞȦȞ. ǺȡȚıțȩȝĮıĲİ ıĲĮ ȝȑıĮ ʌİȡȓʌȠȣ ĲȠȣ 17Ƞȣ ĮȚȫȞĮ. Ǿ ȝİȜȑĲȘ ĲȦȞ ʌĮȜȝȚțȫȞ țȚȞȒıİȦȞ, ȚįȚĮȓĲİȡĮ įİ ĲȠȣ İțțȡİȝȠȪȢ, ȠįȘȖİȓ ıĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ȑȞȞȠȚĮȢ ĲȦȞ ʌİȡȚȠįȚțȫȞ ĳĮȚȞȠȝȑȞȦȞ țĮȚ Ș İȞȫ ĮȞĮʌĲȪııİĲĮȚ Ș ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȓĮ, ȚįȚĮȓĲİȡĮ įİ ȠȚ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȑȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/12

ǿįȚĮȓĲİȡȘ ıȘȝĮıȓĮ ıĲȘȞ ʌȠȡİȓĮ ʌȡȠȢ ĲȘȞ İȡȝȘȞİȓĮ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ȠȚ ȑȡİȣȞİȢ ĲȠȣ ǽĮȞ ȂʌĮĲȓıĲ ǽȠȗȑĳ ĭȠȣȡȚȑ ıĲȚȢ ĮȡȤȑȢ ĲȠȣ 19Ƞȣ ĮȚȫȞĮ. ȅ ĭȠȣȡȚȑ ȒĲĮȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ, ĳȣıȚțȩȢ țĮȚ ȝȘȤĮȞȚțȩȢ. Ȃİ ȕȐıȘ ĲȚȢ ȑȡİȣȞİȢ ĲȠȣ ĭȠȣȡȚȑ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȐȜȜȦȞ ıȘȝĮȞĲȚțȫȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȖȩĲİȡĮ, ʌȡȠȑțȣȥİ ȑȞĮ ʌȠȜȪ ȤȡȒıȚȝȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ. ȀȐșİ ʌİȡȚȠįȚțȩ ĳĮȚȞȩȝİȞȠ, ȐȡĮ țĮȚ ȝȓĮ ȝȠȣıȚțȒ ȞȩĲĮ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮȞĮȜȣșİȓ ıİ ĮʌȜȠȪıĲİȡİȢ ȕĮıȚțȑȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ, ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ʌȠȣ įȚįȐıțȠȞĲĮȚ ıĲȠ ȁȪțİȚȠ țĮȚ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȑȢ. īȚĮ ȞĮ țĮĲĮȜȐȕȠȣȝİ ĲȘ ıȘȝĮıȓĮ ĲȠȣ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲȠȢ ĮȣĲȠȪȢ ĮȢ įȠȪȝİ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȖȡĮĳȒȝĮĲĮ: ȅ șȩȡȣȕȠȢ ĲȘȢ ȕȡȠȤȒȢ, ȑȞĮȢ ĮʌȩĲȠȝȠȢ țȡȩĲȠȢ (țİȡĮȣȞȩȢ), țĮȚ ȝȓĮ ȝȠȣıȚțȒ ȞȩĲĮ ʌĮȡȚıĲȐȞȠȞĲĮȚ ȝİ ĲĮ ĲȡȓĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȖȡĮĳȒȝĮĲĮ.

ǻİȞ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ʌȠȜȪ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȞĮ țĮĲĮȜȐȕȠȣȝİ ʌȠȚȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ȑȞĮȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĲȡİȚȢ ȒȤȠȣȢ ʌȠȣ ĮȞĮĳȑȡĮȝİ. ǹȢ įȠȪȝİ ĲȫȡĮ ʌȚȠ ʌȡȠıİțĲȚțȐ ĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĲȘȢ ȞȩĲĮȢ, įȘȜĮįȒ ĲȠ ī). ȉȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĮȣĲȩ ʌĮȡȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ȝȓĮ ȞȩĲĮ ʌȠȣ ʌȡȠȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ȑȞĮ ĳȜȐȠȣĲȠ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ĭȠȣȡȚȑ ĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĮȣĲȩ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮȞĮȜȣșİȓ ıİ ȐȜȜİȢ ĮʌȜȠȪıĲİȡİȢ țĮȝʌȪȜİȢ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ĮȡȝȠȞȚțȑȢ. ǹȢ įȠȪȝİ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ĮȞĮȜȣĲȚțȐ ĲȘȞ ĮȞȐȜȣıȘ ȝȚĮȢ ȞȩĲĮȢ ıİ ĮȡȝȠȞȚțȑȢ. ȈĲȘȞ įȚʌȜĮȞȒ İȚțȩȞĮ ȑȤȠȣȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȝȚĮȢ ȞȩĲĮȢ Įʌȩ ȑȞĮ ĳȜȐȠȣĲȠ. Ǿ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĮȣĲȒ ĮȞĮȜȪİĲĮȚ ıİ 3 ĮȡȝȠȞȚțȑȢ țȐșİ ȝȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ʌȡȠȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ, ĲȘȞ ȕĮıȚțȒ ĮȡȝȠȞȚțȒ. ȉȠ ıȘȝĮȞĲȚțȩ İȓȞĮȚ ȩĲȚ Ș įİȪĲİȡȘ țĮȚ Ș ĲȡȓĲȘ ĮȡȝȠȞȚțȒ ȑȤȠȣȞ ıȣȤȞȩĲȘĲİȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚĮ ĲȘȢ ıȣȤȞȩĲȘĲĮȢ ĲȘȢ ʌȡȫĲȘȢ, įȘȜĮįȒ ȑȤȠȣȞ ıȤȑıȘ 1:2:3.

ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȞȩĲĮ ĮȞĮȜȪİĲĮȚ ıİ 3 ȝȩȞȠ țĮȝʌȪȜİȢ (ĮȡȝȠȞȚțȑȢ) țĮȚ ĮȣĲȩȢ ȓıȦȢ İȓȞĮȚ țĮȚ Ƞ ȜȩȖȠȢ ʌȠȣ Ƞ ȒȤȠȢ ĲȠȣ ĳȜȐȠȣĲȠȣ İȓȞĮȚ ĮʌȜȩȢ. ǹȢ įȠȪȝİ ĲȫȡĮ ʌȦȢ İȟȘȖİȓĲĮȚ Ș ĮȓıșȘıȘ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮ ȩĲĮȞ ĮțȠȪȝİ įȪȠ ȞȩĲİȢ ȞĮ ĮțȠȪȖȠȞĲĮȚ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ. ǵĲĮȞ ȠȚ ĮȡȝȠȞȚțȑȢ ĲȘȢ ȝȓĮȢ ȞȩĲĮȢ țĮȚ ȠȚ ĮȡȝȠȞȚțȑȢ ĲȘȢ ȐȜȜȘȢ ȞȩĲĮȢ ıȣȝʌȓʌĲȠȣȞ ıİ ʌȠȜȜȑȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ĲȩĲİ ȠȚ įȪȠ ȞȩĲİȢ įȓȞȠȣȞ ĲȘȞ ĮȓıșȘıȘ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ. ǵıȠ ȜȚȖȩĲİȡȠ ıȣȝʌȓʌĲȠȣȞ ȠȚ ĮȡȝȠȞȚțȑȢ ĲȠȣȢ ĲȩıȠ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ĮȣȟȐȞİȚ ĲȠ ĮȓıșȘȝĮ ĲȘȢ įȣıĮȡȝȠȞȓĮȢ. Ǿ ĮȡȝȠȞȓĮ İȓȞĮȚ ĲİȜȚțȐ ĲȠ țȠȚȞȩ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩ ĲȘȢ ȝȠȣıȚțȒȢ ȝİ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. ǵʌȦȢ ĮțȡȚȕȫȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘ įȚĮȝȐȤȘ ĮȞĲȚșȑĲȦȞ, ȑĲıȚ țĮȚ İțİȓȞȘ ıȣȞİȞȫȞİȚ ĲĮ ĮȞĲȓșİĲĮ, ĲȘ ȝȠȣıȚțȒ țĮȚ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/13

ÎÅÆºÌȯÈÎ Æ½¾ÂÃÍÂÃǷ ÉºÆºÄÀÉÍÂÃǷ ¢ȐÅºÍº ȈȣȜȜȠȖȚțȒ İȡȖĮıȓĮ țĮșȘȖȘĲȫȞ țĮȚ ȝĮșȘĲȫȞ ĲȠȣ īȣȝȞĮıȓȠȣ ĲȘȢ ǼțʌĮȚįİȣĲȚțȒȢ ǹȞĮȖȑȞȞȘıȘȢ.

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ ǱıțȘıȘ 1 ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į 32 (9 2 3) 4 ¬ª15 3 (2 3 4) ¼º 2 3 1

9 ª¬16 3 4 10 12018 º¼ 6 3 8 22

2 9 23 20190

Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ * 5 (.3 ( D , E ) 2 0.' ( D , E ) 9 Ȗ) ȃĮ İȟİĲȐıİĲİ ĮȞ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ĲȘȢ ī, İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȢ Ȓ ıȪȞșİĲȠȢ țĮȚ ȖȚĮĲȓ; ȁȪıȘ Į) Į 32 (9 2 3) 4 ª¬15 3 (23 4) º¼ 23 1 Į

9 9 6 4 ª¬15 3 8 4 º¼ 8 1

9 3 4 >15 3 4@ 7

27 4 >15 12@ 7

27 4 3 7=8 9 ª¬16 3 4 10 12018 º¼ 6 3 8 22

9 ª¬16 3 4 1 1º¼ 6 3 8 4

ȕ ȕ ȕ ȕ

2 9 23 20190 2 9 8 1

9 >16 3 5 1@ 6 3 4 2 1 1 9 >16 15 1@ 6 12

2 1 9 >16 15 1@ 6 12 2 1 9 2 6 12 3

ȕ=12 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/14

---------------------------------------------------------------------ǹǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ ǼȞįİȚțĲȚțȐ ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȐ ĬȑȝĮĲĮ --------------------------------------------------------------------

ȕ) * 5 (.3 (Į,ȕ) 2 0.'(Į,ȕ) 9

* 5 (.3 (8,12) 2 0.'(8,12) 9 * 5 24 2 4 9 120 8 9 137 Ȗ) Ǿ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ī İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ įȚȩĲȚ ĲȠ 137 įİȞ ȑȤİȚ ȐȜȜȠȣȢ įȚĮȚȡȑĲİȢ İțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠ 1 țĮȚ ĲȠȞ 137. ǱıțȘıȘ 2 1 1 § 13 1· 1 B ¨ 2 ¸ , ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ: A 1 3 © 2 3¹ 6 2 1 2 2 Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ ǹ,Ǻ. ȕ) ȃĮ ıȣȖțȡȓȞİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ǹ,Ǻ. 2 1 5 Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȠ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ * $ : B 3 2 8 ȁȪıȘ Į) A A

1 § 13 7 · 1 ¨ ¸ 3 © 2 3¹ 6 1 § 39 14 · 1 ¨ ¸ 3 © 6 6¹ 6

1 § 25 · 1 25 1 25 3 28 14 ¨ ¸ 3 © 6 ¹ 6 18 6 18 18 18 9 1 1 1 1 1 1 3 B= ȐȡĮ B= ȠʌȩĲİ B= İʌȠȝȑȞȦȢ B= țĮȚ ĲİȜȚțȐ B= = = 1 1 1 2 6 2 4 4 22221 4 1 3 3 3 3 3 22 2 2 2 ȕ) 14 3 14 4 3 9 56 27 29 A-B ȐȡĮ A-B ȠʌȩĲİ A-B ² 0 țĮȚ ĲİȜȚțȐ A>B 9 4 9 4 4 9 36 36 36 2 1 5 14 2 1 3 5 Ȗ) * $ : % ȐȡĮ ī : ȠʌȩĲİ 3 2 8 9 3 2 4 8 14 3 1 3 5 7 3 5 7 7 3 10 * 1 ȐȡĮ * 9 2 2 4 8 3 8 8 3 3 3 3 1 1 1 3 1 0,3 ǱȡĮ Ƞ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȠȢ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ī İȓȞĮȚ 10 10 10 * 3 3 A

ǱıțȘıȘ 3 ǹ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȦȞ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ Į 23 4 2 1 2 , ȕ 3 ª¬ 5 2 5 22 º¼ 2 7 5 , Ȗ Ǻ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ǼȀȆ (Į, ȕ, Ȗ) țĮȚ ȂȀǻ (Į, ȕ, Ȗ). ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/15

12 2 4 3

ȁȪıȘ ǹ. Į 23 4 2 1 2 8 4 1 2 2 ȕ 3 ª¬5 2 5 22 º¼ 2 7 5

ȕ 3 ª¬5 2 5 4 º¼ 2 7 5

ȕ 3 >5 2 1@ 2 2

ȕ 3 3 4 ĲİȜȚțȐ ȕ 5 Ȗ 12 2 (4 3) Ȗ 12 2 1 10 Ǻ. (.3 (Į,ȕ,Ȗ) (.3 (2, 5,10) 10 0.' (Į,ȕ,Ȗ) 0.' (2, 5,10) 1 ǱıțȘıȘ 4 Ȉİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȠȚ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ įȚĮĳȑȡȠȣȞ țĮĲȐ 20Û. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĮȣĲȑȢ. ȁȪıȘ ෡൅ȝ ෡ ൅ Ȟ෠ ൌ ͳͺͲǏ, ȩȝȦȢ İĳȩıȠȞ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țȐʌȠȚĮ Ȉİ țȐșİ ĲȡȓȖȦȞȠ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: Ȝ ෡ ൌ ͻͲǏ). Įʌȩ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 90Û( ȑıĲȦ Ȝ ෡ ൅ Ȟ෠ ൌ ͻͲǏሺ૚ሻ. ȉȩĲİ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: ෡ ൐ Ȟ෠, ĲȩĲİ: ȝ ෡ ൌ Ȟ෠ ൅ ʹͲǏ(2). ǹĳȠȪ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ įȚĮĳȑȡȠȣȞ țĮĲȐ 20Û, ȑıĲȦ ȝ ෠ ෠ ෠ ǹʌȩ (1),(2)Ȟ ൅ Ȟ ൅ ʹͲǏ ൌ ͻͲǏ ʹ ή Ȟ ൅ ʹͲι ൌ ͻͲι ʹ ή Ȟ෠ ൌ ͹Ͳι Ȟ෠ ൌ ͵ͷι(3). ෡ ൅ ͵ͷι ൌ ͻͲι ȝ ෡ ൌ ͷͷι ǹʌȩ (1),(3)ȝ ǱıțȘıȘ 5 ǻȪȠ İȣșİȓİȢ H1 , H 2 ȝİ H1 / / H 2 ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ Įʌȩ ȝȚĮ ĲȡȓĲȘ İȣșİȓĮ į ȩʌȦȢ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ. ˆ , Tˆ , Nˆ , Oˆ , Pˆ , Qˆ . ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ Mˆ , Z

ȁȪıȘ ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ĳ+20Û țĮȚ ĳ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ (ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 180Û) ȦȢ İȞĲȩȢ İțĲȩȢ țĮȚ ෝ ൅ ʹͲι ൅ ૎ ෝ ൌ ͳͺͲι İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ İ1 țĮȚ İ2 țĮȚ ĲȘȢ ĲȑȝȞȠȣıĮȢ į. ǱȡĮ ૎ ෝ ൌ ͳ͸Ͳι ૎ ෝ ൌ ͺͲι ʹ૎ ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ĳ țĮȚ ț İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ (ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 180Û) ȦȢ İȞĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ İ1 țĮȚ İ2 țĮȚ ĲȘȢ ĲȑȝȞȠȣıĮȢ į. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/16

ෝ൅૎ ෝ ൌ ͳͺͲι ૂ ෝ ൌ ͳͺͲι െ ͺͲι ૂ ෝ ൌ ͳͲͲι ǱȡĮ ૂ ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ș țĮȚ ĳ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ İ1 țĮȚ İ2 țĮȚ ĲȘȢ ĲȑȝȞȠȣıĮȢ į. ෡ൌ૎ ෝ ൌ ͺͲι ǱȡĮ ી ȅȚ ȖȦȞȓİȢ Ȝ țĮȚ ț İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ İ1 țĮȚ İ2 țĮȚ ĲȘȢ ĲȑȝȞȠȣıĮȢ į. ෝ ൌ ૃ෠ ൌ ͳͲͲι ǱȡĮ ૂ ෝ ൌ ͺͲι ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ș țĮȚ Ȧ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ , ȐȡĮ ૑ ෝ ൌ ͺͲι ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ĳ țĮȚ ȝ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ , ȐȡĮ ૄ ȅȚ ȖȦȞȓİȢ Ȝ țĮȚ Ȟ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ , ȐȡĮ ૅො ൌ ͳͲͲι

ȈȣȜȜȠȖȒ ĬİȝȐĲȦȞ ǱıțȘıȘ 1 ȂȓĮ İĲĮȚȡİȓĮ ȑȤİȚ 5 ȣʌĮȜȜȒȜȠȣȢ țĮȚ ĮʌȠĳȐıȚıİ ȞĮ ĲȠȣȢ ȝȠȚȡȐıİȚ 10.000€, ʌȠȣ ȒĲĮȞ ȑȞĮ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ țİȡįȫȞ ĲȘȢ, ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ ĲĮ ȑĲȘ İȡȖĮıȓĮȢ ĲȠȣȢ ıĲȘȞ İĲĮȚȡİȓĮ. ȀȐșİ ȣʌȐȜȜȘȜȠȢ ʌĮȓȡȞİȚ 500€ ʌĮȡĮʌȐȞȦ Įʌȩ ĲȠȞ ȞİȩĲİȡȠ ĲȠȣ. ȆȩıĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ʌȒȡİ Ƞ țĮșȑȞĮȢ; ǱıțȘıȘ 2 ȅ īȚȫȡȖȠȢ țĮȚ Ƞ ȀȫıĲĮȢ ĮʌȠĳȐıȚıĮȞ ȞĮ țȠȜȣȝʌȒıȠȣȞ ıĲȘ șȐȜĮııĮ ȝȚĮ ĮʌȩıĲĮıȘ 10km. ȄİțȓȞȘıĮȞ ĲĮȣĲȩȤȡȠȞĮ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ıĲȚȢ 11:00. ȅ īȚȫȡȖȠȢ ȑĳĲĮıİ ıĲȠȞ ĲİȡȝĮĲȚıȝȩ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ ıĲȚȢ 13:00. ǹȞ Ƞ ȀȫıĲĮȢ İȓȞĮȚ 20% ʌȚȠ ĮȡȖȩȢ Įʌȩ ĲȠȞ īȚȫȡȖȠ: Į) ȉȚ ȫȡĮ ĲİȡȝȐĲȚıİ Ƞ ȀȫıĲĮȢ; ȕ) ȉȚ ĮʌȩıĲĮıȘ İȓȤİ țĮȜȪȥİȚ Ƞ ȀȫıĲĮȢ ȩĲĮȞ ĲİȡȝȐĲȚıİ Ƞ īȚȫȡȖȠȢ; Ȗ) ȆȩıĮ km ʌȡȠȘȖȠȪȞĲĮȞ Ƞ īȚȫȡȖȠȢ ȩĲĮȞ Ƞ ȀȫıĲĮȢ İȓȤİ țĮȜȪȥİȚ ĲȘ ȝȚıȒ ĮʌȩıĲĮıȘ; ǻȓȞİĲĮȚ Ƞ ĲȪʌȠȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ ĲȘȢ ȝȑıȘȢ ĲĮȤȪĲȘĲĮȢ:

ૄɚોિ ૌહ૏ɠૌિૌહ ൌ

હૈɟોૌહોિ ોઽ ‫ܕܓ‬ ૏ૉɟૅે૊ ોઽ ‫ܐ‬

Ȓ ‫ ܝ‬ൌ

ઢ‫ܠ‬ ઢ‫ܜ‬

ǱıțȘıȘ 3 ȆȑȞĲİ ĳȓȜȠȚ ʌĮȡȒȖȖİȚȜĮȞ ȝȚĮ ĲȠȪȡĲĮ 2 țȚȜȫȞ ʌȠȣ țȩıĲȚȗİ 15€/țȚȜȩ. ȆȘȖĮȓȞȠȞĲĮȢ ȞĮ ĲȘȞ ʌȐȡȠȣȞ ĲȠȣȢ İȓʌĮȞ ʌȦȢ ĲİȜȚțȐ ȗȣȖȓȗİȚ 2, 3 țȚȜȐ. ȆȩıĮ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ įȫıİȚ Ƞ țĮșȑȞĮȢ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĮȣĲȐ ʌȠȪ ȣʌȠȜȩȖȚȗİ; ȆȩıȠ ĲȠȚȢ İțĮĲȩ ĮȣȟȒșȘțİ ĲȠ țȩıĲȠȢ ıȣȞȠȜȚțȐ; ǱıțȘıȘ 4 ෢ ൌ ͺ͹Ǐ, Ȝȟȝ ෣ ൌ ʹͻǏ, Ȝȝȟ ෣ ൌ ͳͳʹǏ ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǺīǻǼ. īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ȤȢȜ ෢ Ǥ țĮȚ ȩĲȚ ĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǹȂ įȚȤȠĲȠȝİȓ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ȝȜȞ 2 2 2 11 21 ǿıȤȪİȚ $% 1375 : ª 10 2 37 º 3 ª¬ 31 º¼ cm țĮȚ ȩĲȚ Ș ǹī İȓȞĮȚ ĲȠ ĲȡȚʌȜȐıȚȠ ¬« ¼» 3 ĲȘȢ īǼ ĮȣȟȘȝȑȞȘ țĮĲȐ 3cm.ǼȐȞ Ș īǼ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 5 5 1 cm .

෢ İȓȞĮȚ ȠȡșȒ, İȐȞ ĲȠ ǽǿ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ıĲȠ Ǻī. Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ȖȦȞȓĮ Ȥȣȧ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/17

෢ . ȕ)ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ȝȜȞ

ǱıțȘıȘ 5 ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ȘȝȚİȣșİȓİȢ ȅį, ȅȤ țĮȚ Ș İȣșİȓĮ İ ȩʌȦȢ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ Ȧ țĮȚ ĳ.

ǱıțȘıȘ 6 ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ İȣșİȓİȢ İ1, İ2 țĮȚ ȠȚ ĲȑȝȞȠȣıİȢ į1, į2 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ, ȩʌȦȢ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ.

Ǿ İȣșİȓĮ ȗ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ıĲȘ İȣșİȓĮ İ2 țĮȚ ǺǼ=Ǽǽ. ȉȚ İȓįȠȣȢ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĲȠ Ǻīǽ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ; ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/18

ǱıțȘıȘ 7 ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ȕȐıȘ Ǻī. ǿıȤȪİȚ ȩĲȚ Ș ȖȦȞȓĮ Ǻ İȓȞĮȚ țĮĲȐ 30Û ȝȚțȡȩĲİȡȘ Įʌȩ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ǹ. ĭȑȡȞȠȣȝİ țȐșİĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǻī ıĲȘ Ǻī, ȩʌȦȢ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ.

Į)ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ǻ. ȕ)ȉȚ İȓįȠȣȢ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ǹǻī ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ; ǱıțȘıȘ 8 ȅ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȓȞĮțĮȢ ʌİȡȚȖȡȐĳİȚ ĲĮ ʌȠıȐ x, y x y

2 2

6 3

10 4

Į) ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİĲİ ĲȠȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȓȞĮțĮ ĮȞ ĲĮ ʌȠıȐ x, y İȓȞĮȚ ĮȞȐȜȠȖĮ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ıȣȞĲİȜİıĲȒ ĮȞĮȜȠȖȓĮȢ. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ıȤȑıȘ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ ĲĮ x, y. į)Ȉİ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ıȪıĲȘȝĮ ĮȟȩȞȦȞ ȞĮ ıȤȘȝĮĲȓıİĲİ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ıȤȑıȘȢ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ ĲĮ x, y țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ y ĮȞ x=12. ǱıțȘıȘ 9 ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȦȞ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ $

ª¬ 2 3 4 2 º¼ 7 5 3 8 2019 5

3 42 5 32 2 3

1 2 7 5 22 4

ǱıțȘıȘ 10 Ǿ ĮȡȤȚțȒ ĲȚȝȒ İȞȩȢ ĮȣĲȠțȚȞȒĲȠȣ ȒĲĮȞ 18.000€. Ǿ İʌȚȤİȓȡȘıȘ țȐȞİȚ ȑțʌĲȦıȘ 10% ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ Ƞ ʌİȜȐĲȘȢ įȫıİȚ ȩȜĮ ĲĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ȝİĲȡȘĲȠȓȢ. ǹȞ ĮȞĮțȠȚȞȦșİȓ ĮȪȟȘıȘ ĲȘȢ ĳȠȡȠȜȠȖȓĮȢ ıĲȘ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ țĮĲȘȖȠȡȓĮ ȠȤȘȝȐĲȦȞ țĮĲȐ 10% Į)ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ĲİȜȚțȒ ĲȚȝȒ ʌȠȣ șĮ ʌȜȘȡȫıİȚ Ƞ ĮȖȠȡĮıĲȒȢ ĮȞ ʌȜȘȡȫıİȚ ĲȠ ĮȣĲȠțȓȞȘĲȠ ȝİĲȡȘĲȠȓȢ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/19

ȕ) ȂİĲȐ Įʌȩ 10 ȤȡȩȞȚĮ Ș ĮȟȓĮ ĲȠȣ ĮȣĲȠțȚȞȒĲȠȣ İȓȞĮȚ 10.000€. ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȘȢ ĮȟȓĮȢ ʌȠȣ ȤȐșȘțİ; ǱıțȘıȘ 11 ǲıĲȦ Į Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ įȚĮȚȡȠȪȝİȞȠȢ ȝİ ĲȠ 4 įȓȞİȚ ʌȘȜȓțȠ 3 țĮȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 2 țĮȚ ȕ șİĲȚțȩȢ ȐȡĲȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ǹȞ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ $ 2 3D E 20 İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ 41, ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ȝȚțȡȩĲİȡȘ ĲȚȝȒ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ Ƞ ȕ.

ǱıțȘıȘ 12 ȈĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ (ǹǺ=ǹī) țĮȚ İ//Ǻī. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĳ,ș,Ȧ.

ǱıțȘıȘ 13 ǲıĲȦ Į, ȕ ȝİ Į< ȕ ʌȡȫĲȠȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ țĮȚ ǼȀȆ (Į, ȕ) =20. ǹ)ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ Į, ȕ. Ǻ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ

5E 4D

3 : 12 3D 1 2 D 5 (E 4) 2

ǱıțȘıȘ 14 ȂȚĮ ȕȚȠȝȘȤĮȞȓĮ țĮĲĮıțİȣȐȗİȚ x ʌȡȠȧȩȞĲĮ ȝİ țȩıĲȠȢ 10€ ĮȞȐ ʌȡȠȧȩȞ. ǹȞ ȝİ y ıȣȝȕȠȜȓıȠȣȝİ ĲȠ țȩıĲȠȢ țĮĲĮıțİȣȒȢ x ʌȡȠȧȩȞĲȦȞ Į)ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ıȤȑıȘ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ ĲĮ x, y. ȕ) ȃĮ ıȣȝʌȜȘȡȫıİĲİ ĲȠȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȓȞĮțĮ. x y

40 300

600

Ȗ) ǹȞ 1000 ʌȡȠȧȩȞĲĮ ĲȘȢ İĲĮȚȡİȓĮȢ ʌȠȣȜȒșȘțĮȞ țĮȚ ĲĮ ȑıȠįĮ ȒĲĮȞ 15000€ ʌȠȚȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ țȑȡįȠȣȢ ĲȘȢ ȕȚȠȝȘȤĮȞȓĮȢ; ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/20

ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ ǱıțȘıȘ 1 ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ İȟȚıȫıİȚȢ Į) 3·(Ȥ–1) = 4–3·(1–Ȥ) + 2 ૏ି૛

ȕ)

૜

െ

૝ି૏

૞

૏

૚૞

૛൉൫૜൅૏൯െ૞ ૏െ૟ െ ૜ ൌ ૢെ૛൉ሺ૏൅૚ሻ ૟ ૛ ȁȪıȘ

Ȗ)

Į) 3Ȥ–3 = 4–3+3Ȥ+2֞0Ȥ=6 Ș İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ. ȕ)

஧ିଶ ଷ

െ

ସି஧

஧

ହ

ଵହ ଷ଻

7Ȥ=37֞ Ȥ = ଶ൉ሺଷା஧ሻିହ

Ȗ)

ଶ

െ

+ 1֞ 5·(Ȥ–2) –3·(4–Ȥ) =Ȥ+15 ֞5Ȥ–10–12+3Ȥ = Ȥ+15֞

଻ ஧ି଺ ଷ

ൌ

ଽିଶ൉ሺ஧ାଵሻ

ଶ஧ାଵ

଺

ଶ ିସ

6Ȥ+3–2Ȥ+12 =–2Ȥ+7֞ 6Ȥ = –8֞Ȥ =

െ

țĮȚ

ȕ)

૏ା૛ ૜

ଷ

ൌ

ିଶ஧ା଻ ଺

ଷ

ǱıțȘıȘ 2 ǹ. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ĮȞȚıȫıİȚȢ Į) 2–3·(Ȥ+1) ൒ ૛૏ ൅ ૢ

஧ି଺

െ

૜൉ሺି૛ି૏ሻି૚ ૛

૚

൒Ȥ –

૝

Ǻ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ țȠȚȞȑȢ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ ĮȞȚıȫıİȦȞ ĲȦȞ İȡȦĲȘȝȐĲȦȞ ǹĮ țĮȚ ǹȕ țĮȚ ȞĮ ʌĮȡĮıĲȒıİĲİ ĲȘȞ ȜȪıȘ (ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ) ıĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȁȪıȘ ǹ. Į)2–3Ȥ–3൒ 2Ȥ+9 ֞–5Ȥ൒ 10֞Ȥ൑– 2. ȕ) Ȥ+2+12+6Ȥ+2 ൒ 4Ȥ–1 ֞ 3Ȥ൒ െͳ͹֞ Ȥ ൒

െͳ͹ ͵

Ǻ. ȅȚ țȠȚȞȑȢ ȜȪıİȚȢ İȓȞĮȚ ȩȜİȢ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȥ ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȚıȤȪİȚ

ǱıțȘıȘ 3 ǲıĲȦ Į = ට૝ ൅ ඥૢ ൅ ξ૛૞૟ țĮȚ ȕ = (3–ξ૛ሻ ൉ ൫ ૜ ൅ ξ૛൯Ȃ ૞ i) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Į,ȕ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/21

ିଵ଻ ଷ

൑ ɖ ൑ െʹ

----------------------------------------------------------------------Ǻǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ ǼȞįİȚțĲȚțȐ ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȐ ĬȑȝĮĲĮ ---------------------------------------------------------------------

ii) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ

૏ି઺ ૢ

െ

૛૏ାહ ૜

ൌ

ି૝૏ାહ൉઺ ૟

–1 ȩʌȠȣ Į,ȕ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮȝȑĲȡȦȞ

ʌȠȣ ȕȡȒțĮĲİ ıĲȠ Į İȡȫĲȘȝĮ ȁȪıȘ i)Į = ඥͶ ൅ ξͻ ൅ ͳ͸ = ඥͶ ൅ ξʹͷ = ξͻ = 3 ȕ = (3–ξʹ )·(3+ξʹ ) –5 = 9+3·ξʹ– 3·ξʹ–2 –5 = 2 ஧ିଶ

ii)

ଽ

െ

ଶ஧ାଷ ିସ஧ା଺ ଷ

–1 ֞ 2Ȥ–4 –12Ȥ –18 = –12Ȥ +18–18֞2Ȥ=22֞Ȥ=11

଺

ǱıțȘıȘ 4 ǲıĲȦ İȣșİȓĮ İ1 ȝİ İȟȓıȦıȘ (2Į–1)·Ȥ +(2–Į)·ȥ =5 Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į૓‫ ܀‬ĮȞ ȖȞȦȡȓȗİĲİ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(1,1). ȕ) ǹȞ Į=4 ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ İ2 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȘȞ İ1 țĮȚ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ. Ȗ) ȃĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘȞ İ1 țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ Ș İȣșİȓĮ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. ȁȪıȘ Į) īȚĮ Ȥ=1 țĮȚ ȥ=1 ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ 2Į–1+2–Į =5֞Į=4.

଻

ହ

ଶ

ȕ) ǹȞ Į=4 Ș İ1 ȖȡȐĳİĲĮȚ 7Ȥ–2ȥ = 5֞ȥ = ൉.Ȥ –

଻

ǼʌİȚįȒ İ1 // İ2 ȠȚ İȣșİȓİȢ șĮ ȑȤȠȣȞ ĲȠȞ ȓįȚȠ ıȣȞĲİȜİıĲȒ įȚİȪșȣȞıȘȢ ȐȡĮ İ2 ·ȥ = ·Ȥ ହ

ହ

ଶ

Ȗ)īȚĮ Ȥ=0 ĲȩĲİ ȥ = – țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ȝİ ĲȠȞ ȥǯȥ İȓȞĮȚ ĲȠ Ȁ(0, – ). īȚĮ ȥ=0 ĲȩĲİ Ȥ =

ହ ଻

ଶ

ହ

ଶ

țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ȝİ ĲȠȞ ȤǯȤ İȓȞĮȚ ĲȠ ȁ( ,0).

ȅʌȩĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȅȀȁ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ Ǽ =

ఱఱ ൉ ళమ

ଶ

଻

ଶହ

ൌ Ĳ.ȝ ଶ଼

ǱıțȘıȘ 5 ǲıĲȦ ĲȡȚȖȦȞȚțȒ İʌȚĳȐȞİȚĮ ǹǺī ȝİ ǹǺ=ǹī. ǹȞ ȖȞȦȡȓȗİĲİ ȩĲȚ țȐșİ ȝȚĮ Įʌȩ ĲȚȢ ȓıİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ʌȜİȣȡȐ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ İȝȕĮįȠȪ 25m2țĮȚ Ǻī = 6m ĲȩĲİ Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȕ) ǲȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ȑȤȠȣȞ ĲȘȞ ȓįȚĮ ȕȐıȘ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ʌȩıĮ ʌȜĮțȐțȚĮ ıȤȒȝĮĲȠȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȝȒțȠȣȢ 5 dm țĮȚ ʌȜȐĲȠȣȢ 3 dm șĮ ȤȡİȚĮıĲȠȪȝİ ȖȚĮ ȞĮ ĲȠ țĮȜȪȥȠȣȝİ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/22

ȁȪıȘ Į) ĭȑȡȞȠȣȝİ ĲȠ ȪȥȠȢ ǹȀ ʌȠȣ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ǹǺī ȐȡĮ Ȁī=3m Ǿ ʌȜİȣȡȐ ǹī İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ǹī =ξʹͷ =5m. ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ȇ.Ĭ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȀī ȠʌȩĲİ ஒ൉஥ ǹȀ2 = ǹī2 – Ȁī2 =25–9=16 ȐȡĮ ǹȀ = 4m, ǼĲȡ = = 12m2 ଶ ଵଶ଴଴ 2 ȕ) ǼʌȜĮț = ȕ·ȣ = 15dm ȐȡĮ șĮ ȤȡİȚĮıĲȠȪȞ =80 ʌȜĮțȐțȚĮ ȖȚĮ ȞĮ țĮȜȪȥȠȣȝİ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ଵହ

ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǱıțȘıȘ 6 ෡ = 90Ƞ. ǹʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ Ȁ ĲȘȢ ǹǺ ĳȑȡȞȠȣȝİ ǲıĲȦ ǹǺī ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ટ ෣ = ઠડટ ෣=૎ ෝĲȩĲİ Ȁȁ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ Ǻī. ǹȞ Ǻī= 5, ǹī=3 țĮȚ ઠન઩ Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ǹǺ=4 ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ Ȁȁ,Ǻȁ Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ Ȁǹīȁ. ȁȪıȘ Į) ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ȇ.Ĭ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ ǹǺ2 = 52–32 =16֞ǹǺ = 4. ȕ)ǹĳȠȪ ǹǺ=4 ĲȩĲİ ȀǺ=2 ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǺȁȀ ȑȤȠȣȝİ ıȣȞĳ =

ஂஃ

ஂ୺ ୹୻

, Șȝĳ =

ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǹī ȑȤȠȣȝİ‫ ޝ‬ıȣȞĳ = ǱȡĮ

ஂஃ ஂ୺

ൌ

, Șȝĳ =

୹୻

୺୻ ୺ஃ ୹୺

୺୻

ஂ୺

ȠʌȩĲİ Ȁȁ =1,2 țĮȚ

Ȗ) ǼȀȁīǹ = ǼǺǹī – ǼǺȁȀ=

ଷ൉ସ ଵǡଶ൉ଵǡ଺ ଶ

–

ଶ

୺ஃ ஂ୺

୺୻

୹୺ ୺୻

ȠʌȩĲİ Ǻȁ=1,6

= 6 – 0,96 = 5,04 Ĳ.ȝ

ǱıțȘıȘ7 ǲıĲȦ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī=13, ǹǺ = 12 , Aī=5 Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ,Ǻ,ī ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıİ țȪțȜȠ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ ȡ. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȝȒțȠȢ țĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ʌĮȡĮʌȐȞȦ țȪțȜȠȣ țĮșȫȢ țĮȚ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ İțĲȩȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ȁȪıȘ Į) ȆĮȡĮĲȘȡȫ ȩĲȚ Ǻī2 =169 = ǹǺ2 +ǹī2 .ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȠ ĲȠȣ Ȇ.Ĭ. ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ෡ = 90Ƞ . İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ Ȝ ෢ = 90Ƞ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ,Ǻ,ī ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıİ țȪțȜȠ įȚĮȝȑĲȡȠȣ Ǻī=13 ȐȡĮ ȡ = ଵଷ ȕ) ǹĳȠȪ ȝȜȞ 2

Ȗ)L = 2ʌȡ = 13ʌ țĮȚ Ǽ = ʌȡ = Ǽ = Ǽț – ǼĲȡ =

ଵ଺ଽ஠ ସ

െ

ଵଶ൉ହ ଶ

ଶ

ଵ଺ଽ஠

ൌ

ସ ଵ଺ଽ஠ିଵଶ଴ ସ

Ĳ.ȝ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/23

ǱıțȘıȘ 8 ǲıĲȦ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ʌȜİȣȡȐȢ 6cm. Ȃİ țȑȞĲȡȠ ĲȠ ǹ țĮȚ ĮțĲȓȞĮ ǹǺ ȖȡȐĳȠȣȝİ ĲȩȟȠ Ǻī. Į) ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ ȝİȚțĲȩȖȡĮȝȝȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī țĮșȫȢ țĮȚ ĲȠȣ țȣțȜȚțȠȪ ĲȠȝȑĮ țȑȞĲȡȠȣ ǹ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȠ ĲȩȟȠ Ǻī. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣ țȣțȜȚțȠȪ ĲȠȝȑĮ ĲȠȣ İȡȦĲȒȝĮĲȠȢ Į) țĮȚ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȁȪıȘ Į) ǲıĲȦ LĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ ȝİȚțĲȩȖȡĮȝȝȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ l ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ Ǻī. ȉȩĲİ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ ஠൉ୖ൉ஜ L = ǹǺ+ǹī+l = 6+6+ = 12 + 2·ʌ cm. ଵ଼଴ι ஠൉ୖమ ൉ஜ țĮȚ Ǽțȣț.ĲȠȝȑĮ= = 6ʌ cm2 ଷ଺଴ι ଺మ ൉ξଷ = 6ʌ – = 6ʌ – 9ξ͵cm2 ସ

ȕ)Ǽțȣț.Ĳȝ = Ǽțȣț.ĲȠȝ – ǼĲȡ

ǼȃǻǼǿȀȉǿȀǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ Ǻǯ īȊȂȃǹȈǿȅȊ ǱıțȘıȘ 1 Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȦȞ ʌĮȡĮȝȑĲȡȦȞ‫ޝ‬ ହ

ț= 4·(5–3)–1– 125·( )–2 +14 ଷ

țĮȚ

஧ାச

ȕ) ǹȞ ț=1 țĮȚ Ȝ=–2 ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ

ଶ

െ

Ȝ=

஧ି஛ ଷ

ଷሺ଻ିସሻమ ାሺିଶሻఱ ାଽ ିଶర ିሺିଶ଴ଵଽሻబ ାଵହ

= Ȥ+1

ǱıțȘıȘ 2 ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ İȟȚıȫıİȚȢ ‫ޝ‬ ଷ஧ିଵ ஧ାଶ

= Ȥ+1

Į)

ȕ)

െ = Ȥ–3

ଶ ஧ାଶ

ହ ସିଶ஧

Ȗ)

ଷ ஧

ଷ

െ

ଶ

ଵା஧ ଵ଴

ൌ

஧ିଷ ସ

ǱıțȘıȘ 3 ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ĮȞȚıȫıİȚȢ ‫ޝ‬ ஧ାଷ

Į) ȕ)

െ

ଶ ି஧ାହ ଶ

ସି஧ ହ

൒ͳ

൅ Ͷ ൏

஧ି଺ ଷ

൅

஧ ଺

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/24

ǱıțȘıȘ 4 ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ țȠȚȞȑȢ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ĮȞȚıȫıİȦȞ țĮȚ ȞĮ ĲȚȢ ʌĮȡĮıĲȒıİĲİ ıĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ĲȦȞ భ మ

஧ା

ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ.

ସ

–

஧ିଶ ଶ

൒1

țĮȚ

ଷሺ஧ିଵሻିଶ ଶି஧ ହ

–

ଵ଴

൑

஧ାଷ ଶ

ǱıțȘıȘ 5 ǲȞĮȢ ʌĮĲȑȡĮȢ ȝȠȓȡĮıİ ȑȞĮ ʌȠıȩ ıĲĮ ĲȡȓĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȠȣ. ଵ ȉȠ Įǯ ʌĮȚįȓ ʌȒȡİ ĲȠ ĲȠȣ ʌȠıȠȪ ସ ȉȠ ȕǯ ʌĮȚįȓ ʌȒȡİ ĲȠ ĲȡȚʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ ʌȠıȠȪ ʌȠȣ ʌȒȡİ ĲȠ Įǯ ʌĮȚįȓ İȜĮĲĲȦȝȑȞȠ țĮĲȐ 6 İȣȡȫ ȉȠ Ȗǯ ʌĮȚįȓ ʌȒȡİ 32 İȣȡȫ ȜȚȖȩĲİȡĮ Įʌȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ʌȠıȫȞ ʌȠȣ ʌȒȡĮȞ ĲĮ ȐȜȜĮ įȣȠ ʌĮȚįȚȐ . ȆȠȚȠ ʌȠıȩ ȝȠȓȡĮıİ Ƞ ʌĮĲȑȡĮȢ ıĲĮ ĲȡȓĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȠȣ ; ǱıțȘıȘ 6 ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ȡȓȗĮ ĲȘȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ȝİ ȕȐıȘ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ĲȦȞ įȣȞȐȝİȦȞ ǹ = 8·53 + 3·[ (33–52+10)2 +142 ] – 168· (

଼షమ

ଶల ସ షఴ

ଶ

ସ మ ଼షల

· షమ

)

ǱıțȘıȘ 7 തതതത įȚȥȒĳȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝİ 10൏ തത തത ൏ ͳͲͲ ȩʌȠȣ ĲĮ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣ ȽȾ തതതത ȑȤȠȣȞ ǲıĲȦ ȽȾ ȽȾ ȖȚȞȩȝİȞȠ 18 . ǹȞ ȖȞȦȡȓȗİĲİ ȩĲȚ ĲȠ തതതത ȽȾ ĮʌȠĲİȜİȓ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ĳȣıȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ‫ޝ‬ ඥതതതത തത– (ଷ଴ହ ·ξଵ଺൉ξଶହା ஑ஒ) ]·ξͳ͸ ·2ξʹͷͲͲ +3·ඥξʹͲͳͻ െ ͹ʹ͵ +1 ǹ = ሾඥതത ȽȾ ଶ଺

ଷ଴൉ξଵ଴଴ାξଶହ

ǱıțȘıȘ 8 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺīǻ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǻ= Ȥ țĮȚ ǻī=ȥ . ǹȞ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ Ȥ, ȥ ȑȤȠȣȞ ȜȩȖȠ

ଷ ସ

įȚĮȖȫȞȚȠȢ ǹī=5 Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Ȥ,ȥ. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ǹǺīǻ. Ȗ) ǲıĲȦ ȡȩȝȕȠȢ ȀȁȂȃ ȝİ İȝȕĮįȩȞ ȓıȠ ȝİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ǹǺīǻ țĮȚ ȀȂ=6 i) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ȡȩȝȕȠȣ ෣ ൌ ĳ. ii) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠȣȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȘȢ ȠȟİȓĮȢ ȖȦȞȓĮȢ ȦȥȨ iii) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ǹ=

ଷ஢஥஝మ ஦ିሺଷ஗ஜ஦ିଶሻమబభవ ାସ ሺக஦మ ஦ିହሻషమ

ǱıțȘıȘ 9 ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/25

țĮȚ Ș

ǹ = 2019·İĳ225Ƞ ·ıȣȞ2155Ƞ + (ξʹͲͳͻ ·ıȣȞ155°)2 Ǻ = Șȝ100°·Șȝ80° – ıȣȞ100°·ıȣȞ80° ǱıțȘıȘ 10 ǲıĲȦ İȣșİȓĮ ȝİ İȟȓıȦıȘ ȥ=4Ȥ+2 Į)ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ Ș İȣșİȓĮ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ Ȗ) ȃĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘȞ ıȣȝȝİĲȡȚțȒ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠȞ ȥǯȥ. ǱıțȘıȘ 11 ǲıĲȦ İ İȣșİȓĮ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȖȦȞȓĮ 45° ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ȤǯȤ. Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ıȣȞĲİȜİıĲȒ įȚİȪșȣȞıȘȢ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ İ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ȗ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ĲȘȢ İ țĮȚ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ(1,3). Ȗ)ȃĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ȗ țĮȚ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĮʌȩıĲĮıȘ Ȁȁ ȩʌȠȣ Ȁ,ȁ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ Ș İȣșİȓĮ ȗ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ ȤǯȤ țĮȚ ȥǯȥ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǱıțȘıȘ 12 ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺīǻ ȑȤȠȣȝİ ǹǺ = Ȥ ଷ ସ țĮȚ ǹǻ= Ȥ –3 țĮȚ İĳĳ = ȈĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȠȣ ଶ ଷ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȐȜȜȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǿĬǺǼ ȝİ ǿǺ = 6m. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ǼǽǾǻ ĮȞ ȖȞȦȡȓȗİĲİ ȩĲȚ‫ޝ‬ ଵ ஒ ஒమ ଽ ஑ Ȥ = [ 5 + ( )–2–19] ·(20190 – 4· మ ൅ ሻ , = 4 . ஑ ସ ஒ ஑ ଷ

ǱıțȘıȘ 132 ǲıĲȦ ț ȑȞĮȢ įȚȥȒĳȚȠȢ ȝİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȥȘĳȓȦȞ 18 .ǱȞ Ƞ ț ĮʌȠĲİȜİȓ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ĳȣıȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ‫ޝ‬ ଷ଴ହ

ǹ =[ ξɈ െ (

ଶ଺

൉ሺ

ξଵ଺൉ξଶହ൉ξச ሻሿ ଷ଴൉ξଵ଴଴ାξଶହ

൉ ξʹͷ െ ͻ ൉2ξʹͷͲͲ +3·ඥξʹͲͳͻ െ ͹ʹ͵ +1

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/26

ǱıțȘıȘ 14 ǻȓȞİĲĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ʌȜİȣȡȐȢ 4m. ȈĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ İȖȖȡȐĳȠȣȝİ țȪțȜȠ țĮȚ ıĲȠȞ țȪțȜȠ İȖȖȡȐĳȠȣȝİ ȞȑȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ . Ǿ įȚĮįȚțĮıȓĮ ıĲĮȝĮĲȐ ȝȑȤȡȚ ȞĮ İȖȖȡȐȥȠȣȝİ ʌȑȞĲİ țȪțȜȠȣȢ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ȝȒțȠȢ țĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ 5Ƞȣ țȪțȜȠȣ. ǱıțȘıȘ 15 ȂȘȤĮȞȒ ȝİȖȐȜȠȣ țȣȕȚıȝȠȪ țȚȞİȓĲĮȚ ıİ İȣșİȓĮ ʌȜȐĲȠȣȢ d. ȉĮ ĳȫĲĮ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ țĮȜȪʌĲȠȣȞ ĮțȡȚȕȫȢ ĲȠ ʌȜȐĲȠȢ ĲȠȣ įȡȩȝȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȢ țȣțȜȚțȩ ĲȠȝȑĮ 90Ƞ țĮȚİȝȕĮįȠȪ ʌ .ȃĮ ȕȡİȓĲİ Į) ȉȘȞ ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ țȣțȜȚțȠȪ ĲȠȝȑĮȕ) ĲȠ ʌȜȐĲȠȢ d ĲȠȣ įȡȩȝȠȣ. ǱıțȘıȘ 16 ǲıĲȦ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǻ=ǹȀ=ǻȀ=ǽǻ= Ȁī =2Ȥ ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ

Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻǹȀ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ Ȥ ෢ ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ȖȦȞȓĮ Ȝȡȟ Ȗ) ǹȞ Ȥ=5 ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǺīǻ. ǱıțȘıȘ 17

ଶర

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ǹ = 5·103–103·Șȝ260Ƞ · మ + İĳ260Ƞ ·3+10 ଶ

ǱıțȘıȘ 18 ǲıĲȦ țȪțȜȠȢ (ȅ,R) įȚĮȝȑĲȡȠȣ Ǻī țĮȚ ǹǺī ĲȡȓȖȦȞȠ ෢ = 30ȅ .ǼȟȦĲİȡȚțȐ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıĲȠȞ țȪțȜȠ ȝİ ȜȞȝ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹīǻ ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ෢ . Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ǻȅ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ȜȟȞ ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ ǻȅ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȠȣ R.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/27

ÎÅÆºÌȯÈÎ Æ½¾ÂÃÍÂÃǷ ÉºÆºÄÀÉÍÂÃǷ ¢ȐÅºÍº ȈȣȜȜȠȖȚțȒ İȡȖĮıȓĮ țĮșȘȖȘĲȫȞ țĮȚ ȝĮșȘĲȫȞ ĲȠȣ īȣȝȞĮıȓȠȣ ĲȘȢ ǼțʌĮȚįİȣĲȚțȒȢ ǹȞĮȖȑȞȞȘıȘȢ. ȁȊȂǼȃǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ ǱıțȘıȘ 1 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ P(Ȥ)=Ȥ·(1–2Ȥ) +Ȥ2 (Ȥ+3)–5 Į) ȃĮ ȖȡȐȥİĲİ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ P(Ȥ) țĮĲȐ ĮȪȟȠȣıİȢ įȣȞȐȝİȚȢ ĲȠȣ Ȥ. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ǹ =

‫۾‬ሺ૚ሻି૛൉‫۾‬ሺି૛ሻ ‫۾‬ሺି૚ሻା૚

Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ Į, ȕ ȫıĲİ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ Q(Ȥ) = Ȥ(Ȥ2+ĮȤ)–2(Ȥ2+ȕȤ)+Ȥ–5 ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ ĲȠ P(Ȥ). ȁȪıȘ Į)P(Ȥ) = Ȥ–2Ȥ2+Ȥ3+3Ȥ2–5 =Ȥ3+Ȥ2+Ȥ–5.

ିଶିଶ൉ሺିଵଵሻ =4 ି଺ାଵ Ȗ) Q(Ȥ) = Ȥ3+ĮȤ2–2Ȥ2–2ȕȤ+Ȥ–5 = Ȥ3 +(Į–2)Ȥ2 +(–2ȕ+1)Ȥ –5. Ƚെʹൌͳ ǼĳȩıȠȞ P(Ȥ) = Q(Ȥ) șĮ ȚıȤȪİȚ‫ ޝ‬൜ ǱȡĮ (Į, ȕ) = (3, 0). െʹȾ ൅ ͳ ൌ ͳ

ȕ) P(1) = –2 , P(–1) = –6 , P(–2) = –11. ǱȡĮ ǹ =

ǱıțȘıȘ 2 ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ = (2Ȥ–1)2 – 5·(Ȥ–1)·(Ȥ+1) +(–Ȥ–1)2 +2Ȥ+2012 İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȒ. ȁȪıȘ ǹ= 4Ȥ2–4Ȥ+1–5·(Ȥ2–1) +Ȥ2 +2Ȥ+1+2Ȥ+2012= 4Ȥ2–5Ȥ2 +Ȥ2 +2019 = 2019 ıĲĮșİȡȒ. ǱıțȘıȘ 3 ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ‫ޝ‬ Į) ǹ= 3Ȥ2–6Ȥ ȕ) Ǻ = 2ĮȤ–Į–ȕ+2ȕȤ Ȗ) ī = 16(Ȥ–2)2–9(3–Ȥ)2 į) ǻ = 4Ȥ2–3Ȥ–1 İ) Ǽ = 9Ȥ2–16ȥ2+6Ȥ+1 ȁȪıȘ Į) ǹ= 3Ȥ (Ȥ–2) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/28

----------------------------------------------------------------------īǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ ǼȞįİȚțĲȚțȐ ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȐ ĬȑȝĮĲĮ ----------------------------------------------------------------------

ȕ) Ǻ = 2Ȥ·(Į+ȕ) – (Į+ȕ) = (Į+ȕ)·(2Ȥ–1) Ȗ) ī = [4·(Ȥ–2) –3·(3–Ȥ)]·[4·(Ȥ–2)+3·(3–Ȥ)] = (4Ȥ–8–9+3Ȥ)·(4Ȥ–8+9–3Ȥ) = (7Ȥ–16)·(Ȥ+1) į) ǻ = 4Ȥ2–3Ȥ–1=4Ȥ2–4Ȥ+Ȥ–1=4Ȥ(Ȥ–1) +(Ȥ–1) = (Ȥ–1)·(4Ȥ+1) İ) Ǽ = (9Ȥ2+6Ȥ+1) – 16ȥ2 = (3Ȥ+1)2 – (4ȥ)2 = (3Ȥ+1–4ȥ)·(3Ȥ+1+4ȥ) ǱıțȘıȘ 4 ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ‫ ޝ‬ǹ=

૏൉ሺ૏ା૟ሻାૢ

૏૛ ି૝૏ା૜

૏૛ ିૢ

૛૏ା૟

țĮȚ Ǻ =

Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Ȥ ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ ȠȚ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ǹ,Ǻ. ȕ) ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ī = ǹ·Ǻ ૚

Ȗ) ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ‫ ޝ‬Ȁ= ൅ ટ

૚ ડ

െ

ૡ ૏૛ ା૛૏ି૜

ȁȪıȘ Į)īȚĮ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ Ȥ2–9് Ͳ฻ Ȥ് േ͵ īȚĮ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ Ǻ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ 2Ȥ+6് Ͳ฻ Ȥ ് െ͵. ȕ) ǹ = Ȗ) Ȁ =

ሺ஧ାଷሻమ ሺ஧ିଷሻ൉ሺ஧ାଷሻ ஧ିଷ ஧ାଷ

൅

ଶ ஧ିଵ

െ

஧ାଷ

ሺ஧ିଵሻ൉ሺ஧ିଷሻ

஧ିଷ

ଶ൉ሺ஧ାଷሻ

țĮȚ Ǻ = ଼

ሺ஧ାଷሻ൉ሺ஧ିଵሻ

஧ିଵ

ȠʌȩĲİ ī =

஧మ ିସ஧ାଷାଶ஧ା଺ି଼ ሺ஧ାଷሻ൉ሺ஧ିଵሻ

ଶ

஧మ ିଶ஧ାଵ ሺ஧ାଷሻ൉ሺ஧ିଵሻ

ǱıțȘıȘ 5 ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ İȟȚıȫıİȚȢ‫ޝ‬ Į) 3Ȥ·(Ȥ+1) –Ȥ+3 = Ȥ2 +5·(Ȥ+1) ઺ሻ

૜െ૏ ૏ ൅ ૛െ૏ ૛૏൅૚

૟ା૛૏ ି૛૏૛ ା૜૏ା૛

ȁȪıȘ Į) 3Ȥ2+3Ȥ–Ȥ+3=Ȥ2+5Ȥ+5 ฻2Ȥ2–3Ȥ–2 = 0 ǻ = 25 ȐȡĮ ȤΌ,΍ =

ଷേହ ସ

ଵ

ȠʌȩĲİ ȤΌ = 2 țĮȚ Ȥ΍ =–

ଶ

ଵ ȕ) ȆȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ Ȥ 2 țĮȚ Ȥ – ଶ ଷି஧ ଶ஧ାଵ

െ

஧ ஧ିଶ

ି଺ିଶ஧ ଶ஧మ ିଷ஧ିଶ

ȝİ Ǽ.Ȁ.Ȇ =(Ȥ–2)·(2Ȥ+1) ȐȡĮ

(3–Ȥ)·(Ȥ–2) – Ȥ·(2Ȥ+1) = –2Ȥ–6 ฻ 3Ȥ–6–Ȥ2+2Ȥ–2Ȥ2–Ȥ = –2Ȥ–6 ฻ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/29

ሺ஧ିଵሻమ ሺ஧ାଷሻ൉ሺ஧ିଵሻ

஧ିଵ

஧ାଷ

–3Ȥ2 +6Ȥ=0 ฻–3Ȥ·(Ȥ–2) =0 ฻ Ȥ = 0 Ȓ Ȥ = 2. ǱıțȘıȘ6 ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȣıĲȒȝĮĲĮ‫ޝ‬ ૛ ൉ ሺ૏ ൅ ૜ૐሻ െ ૜૏ ൌ ૛ૐ ൅ ૝ Į)൜ ૜૏ െ ૝ ൉ ሺ૏ ൅ ૐሻ ൌ ૜ ൅ ૜ ൉ ሺ૏ ൅ ૚ሻ

૏ା૞

ȕ)ቐ

െ

૛ ૚ିૐ ૜

૛૏ି૜ૐ ૜

ൌ ૏ ൅ ૛ૐ ൅ ૚

൅ ૏ ൅ ૛ૐ ൌ

૛૏ାૐିૡ ૞

ȁȪıȘ Į)൜

ቊ

ʹ ൉ ሺɖ ൅ ͵ɗሻ െ ͵ɖ ൌ ʹɗ ൅ Ͷ െɖ ൅ Ͷɗ ൌ Ͷ ɖ ൌ െʹ ฻ ฻൜ ฻൜ ʹ ൅ Ͷɗ ൌ Ͷ െͶɖ െ Ͷɗ ൌ ͸ ͵ɖ െ Ͷ ൉ ሺɖ ൅ ɗሻ ൌ ͵ ൅ ͵ ൉ ሺɖ ൅ ͳሻ

ɖ ൌ െʹ ɗൌ

ଵ ଶ

஧ାହ ଶ ȕ)ቐଵିந ଷ

െ

–5Ȥ = 10 ଵ . ǱȡĮ (Ȥ,ȥ) = (–2, ) ଶ ଶ஧ିଷந ଷ

ൌ ɖ ൅ ʹɗ ൅ ͳ ൉ ͸

൅ ɖ ൅ ʹɗ ൌ

ଶ஧ାநି଼ ହ

͵ɖ ൅ ͳͷ െ Ͷɖ ൅ ͸ɗ ൌ ͸ɖ ൅ ͳʹɗ ൅ ͸ ฻൜ ฻ ͷ െ ͷɗ ൅ ͳͷɖ ൅ ͵Ͳɗ ൌ ͸ɖ െ ͵ɗ െ ʹͶ ൉ ͳͷ

െ͹ɖ െ ͸ɗ ൌ െͻ ൉ ͻ െ͸͵ɖ െ ͷͶɗ ൌ െͺͳ ɗ ൌ െʹ ൜ ฻൜ ฻൜ . ǱȡĮ (Ȥ, ȥ) = (–2, 3) ͻɖ ൅ ʹͺɗ ൌ െʹͻ ൉ ͹ ɖൌ͵ ͸͵ɖ ൅ ͳͻ͸ɗ ൌ െʹͲ͵ 142ȥ = –284 ǱıțȘıȘ7 ෡ = 90Ƞ. ǹȞ Ȁ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ǹǺ țĮȚ Ȁȁ ٣ Ǻī ǲıĲȦ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǹī ȝİ ટ Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȀȁǺ țĮȚ Ǻǹī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ. ȕ) ǹȞ Ǻī = 5 țĮȚ ǹī = 3 ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȘȞ Ȁȁ. ෣ = 90Ƞ Ȗ) ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ ȁȀ țĮĲȐ ȀȂ=ȁȀ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ નપટ ȁȪıȘ Į) ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȀȁǺ țĮȚ Ǻǹī ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȞ‫ޝ‬ ෡=ȝ ෡ (țȠȚȞȒ) 1) ȝ ෡=Ȝ ෡ = 90Ƞ 2) Ȧ ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȠȝȠȚȩĲȘĲĮȢ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȀȁǺ țĮȚ Ǻǹī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ ȐȡĮ ஂஃ ୹୻

ൌ

୺ஂ ୺୻

ൌ

୺ஃ

୹୺

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/30

ȕ) ǼĳĮȡȝȩȗȠȞĲĮȢ Ȇ.Ĭ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǹī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ‫ޝ‬ ǹǺ2 = Ǻī2 – ǹī2฻ ǹǺ2=16 ฻ ǹǺ=4 ȐȡĮ ȀǺ=2 ȠʌȩĲİ ஂஃ ଷ

ଶ

଺

ହ

ൌ ฻ Ȁȁ =

Ȗ) ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȀȁǺ țĮȚ ȀȂǹ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤȠȣȞ‫ޝ‬ 1) ȀǺ=Ȁǹ ( Ȁ ȝȑıȠȞ ĲȠȣ ȀǺ ) 2) Ȁȁ=ȀȂ ( Ȋ ) ෣ = ȧȥȜ ෣ ( țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ ) 3) ȝȥȦ ෣ = ȝȦȥ ෣ = 90Ƞ ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ Ȇ–ī–Ȇ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȐȡĮ ȥȧȜ ǱıțȘıȘ8 īȚĮ ĲȘȞ ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ Ȧ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ‫ ޝ‬ȘȝȦ =

૚૛ ૚૜

Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ‫ޝ‬ ǹ=

િૄ૛ ሺ૚ૡ૙ᤪି૑ሻାિૄ૛ ሺૢભᤪି૑ሻା૞ઽ૎૑ ૚ିો્ૅష૚ ሺ૚ૡભᤪି૑ሻ

ȁȪıȘ Į) Șȝ2Ȧ+ıȣȞ2Ȧ = 1฻ ( ǱȡĮ ıȣȞȦ =

ହ ଵଷ

ଵଶ

ଶହ

ଵଷ

ଵ଺ଽ

)2 + ıȣȞ2Ȧ =1฻ıȣȞ2Ȧ =

ହ

(įİțĲȩ) Ȓ ıȣȞȦ=– (ĮʌȠȡȡȓʌĲİĲĮȚ) ଵଷ

ȕ) Șȝ(180ࡈ–Ȧ) = ȘȝȦ,Șȝ(90ࡈ–Ȧ) = ıȣȞȦ, ıȣȞ(180ࡈ–Ȧ) =– ıȣȞȦ ĲȩĲİ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ=

஗ஜమ னା஢஥஝మ னାହ൉க஦ன ଵି஢஥஝షభ ன

ଵାଵଶ

଺ହ

భయ ଵି ఱ

଼

=–

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/31

ǹȁȊȉǼȈ ǹȈȀǾȈǼǿȈ ǱıțȘıȘ 1 ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲĮ ıȣıĲȒȝĮĲĮ ஧ାந

Įሻ ቊ

ଶ

െ

஧ିଷந ଷ

ൌ െͳ

ʹሺɖ െ Ͷɗሻ ൅ ͷ ൌ Ͷɖ െ ͷሺɗ െ ͵ሻ െ ͳ͵ ଶ

൅

ଷ

ൌ ͵ͷ ȕ) ൝ ʹɖଶ െ ɗ ൌ ͳͶɖଶ ൉ ɗଶ ஧మ

நమ ଶ

ǱıțȘıȘ 2 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ P(Ȥ) =3Ȥ2 – ĮȤ–1 Į)ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į ȫıĲİ ĲȠ P(Ȥ) ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ ĲȠ Ȥ=1. ȕ) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ P(Ȥ) = 0. Ȗ) ǹȞ Ȥ1, Ȥ2 İȓȞĮȚ ȠȚ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ Ȥ1 ൏Ȥ2 ȞĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ=

஧మ

஧

ସ

+ ஧ି஧΍ െ ଷ஧మିଶ஧ିଵ ஧ି஧Ό

ǱıțȘıȘ 3 Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ (Į–2ȕ)2 +4ȕ(Į–ȕ)=Į2 ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ͳ 2 ଼଴଻଺ ሻ + ͷͲͲ ଵ଴଴଴

ǹ = (2019 –

െ

ଵ ଶହ଴଴଴଴

ǱıțȘıȘ 4 Į) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ= 3Ȥ3+4Ȥ2–1 ȕ) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ 2(Ȥ3–3Ȥ2) –Ȥ+2 = –Ȥ3–Ȥ–10Ȥ2+3 ǱıțȘıȘ 5 ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ǹ = (Ȥ–ȥ)2–2(Ȥ2–ȥ2) +(Ȥ+ȥ)2 Ǻ = (Ȥ+2ȥ)3–3Ȥȥ(Ȥ+ȥ)–Ȥ3+ȥ3 ī = (–Į–2ȕ)2 +4·(–Į+ȕ)·(–Į–ȕ)+5Į2 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/32

ǱıțȘıȘ 6 ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ (Į+5) Ȥ2 – (Į+2)·Ȥ +1=0 (1) Į)ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ ĮԖ ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȘȞ İȟȓıȦıȘ (1) ȑȤİȚ įȚʌȜȒ ȡȓȗĮ. ȕ) īȚĮ Į=4 ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ (1). ǱıțȘıȘ 7 ȃĮ ĮʌȜȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ Į) ǹ = ȕ) Ǻ = Ȗ) ī =

஧మ ஧మ ିଶ஧

െ

ଷ஧ି଻ ஧మ ିହ஧ା଺ ஧ ஧ି஑

െ

ସ ଶ஧ିସ

െ

஧ିଵ ஧ିஒ

൅

஧ିଵ ஧ିଶ

െ

ଶ ஧

൅

஧ ஧ିଷ

஧ሺ஑ିஒሻ ஧మ ିሺ஑ାஒሻ஧ା஑ஒ

ǱıțȘıȘ 8 ǲıĲȦ Ȥ ,ȥ ȖȚĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪȠȣȞ

ଵ ଷ

ଵ

൏ ߯ ൏ țĮȚ 1൏ ߰ ൏ ʹ. ଶ

ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ĲȚȝȑȢ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ = 2 +

ந ஧

– 2ȥ

ǱıțȘıȘ 9 ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ‫ޝ‬ ǹ= Ȥ2 – Ȥȥ–6ȥ2Ǻ = 2Ȥ2–3Ȥȥ+6Ȥ–9ȥī = 4Ȥ2–ȥ2 +6ȥ–9ǻ = 2Ȥ·(Į+ȕ) – Į2ȕ–Įȕ2 Ǽ = 9· (3Ȥ+2)2–16·(2Ȥ–1)2 ǱıțȘıȘ 10 Į)ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ‫ ޝ‬ǹ = Į6 +3Į4ȕ2 +3Į2ȕ4–2Į5ȕ–2Įȕ5–4Į3ȕ3 +ȕ6. ȕ) ǹȞ ǹ=0 ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȜȐȤȚıĲȘ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ Ǻ = 3Į·ȕ–2Į+1 ǱıțȘıȘ 11 మ

·ȥ5 țĮȚ ȝ·ɖ஛ ȥȜ+2ț+ȝ .

2Ȝ–1

ǻȓȞȠȞĲĮȚ ĲĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ (3ț–1)· Ȥ

ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ ț, Ȝ, ȝ Ԗ ɣɐɒɂ ĲĮ ȝȠȞȫȞȣȝĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/33

ǱıțȘıȘ 12 ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȚ țĮȚ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ‫ ޝ‬1൑ ǼȀȆ(Į,ȕ)൑ ʹ͵Ǥ Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ įȣȞĮĲȑȢ ĲȚȝȑȢ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡȠȣȞ ĲĮ Į, ȕ. ȕ) ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Į, ȕ ĮȞ Į–ȕ=2 Ȗ) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ‫ޝ‬

஧మ

ଷ஧

ହ஧ା଼

+ ൌ െ మ . ஧ି஑ ஧ିஒ ஧ ି଼஧ାଵହ

ǱıțȘıȘ 13 ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f(Ȥ) = ĮȤ2+ȕȤ+Ȗ, Į് Ͳ.Ǿ Cf ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ȥǯȥ ıĲȠ ǹ(0,1) ଷ țĮȚ ĲȠȞ ȤǯȤ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǽ(Ȥ1, 0) țĮȚ ȁ(Ȥ2, 0) ȩʌȠȣ Ȥ1+Ȥ2= – Ǥ ଶ

Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ Į, ȕ, Ȗ ĮȞ Ȃ.Ȁ.ǻ.(Į, ȕ)=1. ȕ) ǹȞ f(Ȥ) = 2Ȥ2+3Ȥ+1 ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ țĮȚ ĲĮ ĮțȡȩĲĮĲĮ ĲȘȢ f. Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ ıĮȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȞ ȖȡĮȝȝȒ ʌȠȣ ଷ

ଵ

ସ

଼

ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘȞ ȝİĲĮĲȩʌȚıȘ ĲȘȢ Cf țĮĲȐ ȝȠȞȐįİȢ įİȟȚȐ țĮȚ ȝȠȞȐįİȢ ʌȡȠȢ ĲĮ ʌȐȞȦ. į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ʌȠȣ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ Cf țĮȚ Cg țĮȚ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȖȦȞȓĮ

ଷ஠ ସ

ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ȤǯȤ.

ǱıțȘıȘ 14 ஧ ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ İ1‫ ޝ‬ȥ=6–3Ȥ, İ2‫ ޝ‬ȥ=2Ȥ–4, İ3‫ ޝ‬ȥ=6–

ଶ

Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ,Ǻ,ī ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ ĮȞȐ įȣȠ. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ǹ, Ǻ, ī İȓȞĮȚ țȠȡȣĳȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ Ȗ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȓįȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ǱıțȘıȘ 15 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ: P(x)=3(x–2)2–2(x+1)(x–1)+(x+2)2 Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ P(x)= 2x2–8x+18 ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ Q(x)= P(2x)–P(–x) Ȗ) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ P(x)= Q(x)–2 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/34

į)ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ 5, ȝİ ǹ={Q(20)+81}20–2[P(–30)–57]10+1 ǱıțȘıȘ 16 ǲıĲȦ ȖȦȞȓĮ Ȥ ȝİ 900൑ ɖ ൑ ͳͺͲ0 ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ 2İĳȤ+3=0. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠȣȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Ȥ. ǱıțȘıȘ 17 ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȦȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ‫ޝ‬ ǹ = 2019·İĳ2250·ıȣȞ21550 +(ξʹͲͳͻ ·ıȣȞ1550)2 Ǻ = Șȝ1000·Șȝ800–ıȣȞ1000·ıȣȞ800 . ǱıțȘıȘ 18 ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ሺ ሻ ൌ െ ଶ ൅ ൅ ɉ Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ k, Ȝ ȫıĲİ Ș f(x) ȞĮ ȑȤİȚ ȝȑȖȚıĲȘ ĲȚȝȒ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(–2,9). ȕ) ȃĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f. Ȗ) ǹȞ ǹ, Ǻ, ī ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ f ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ (ǹǺī). ǱıțȘıȘ 19 ஠ ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ Į=ඥͷ െ ɄɊɅ, ȕ=2–Șȝș, Ȗ=ıȣȞș, șԖሾɍǡ ሿ. ଶ

Į) ȃĮ įȚĮĲȐȟİĲİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮĲȐ ĮȪȟȠȣıĮ ıİȚȡȐ. ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ȖȦȞȓĮ ș ȫıĲİ ȠȚ Į, ȕ, Ȗ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌȜİȣȡȑȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ǱıțȘıȘ 20 ෡ , Ȟ෠ ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ=ǹī. ǲıĲȦ Ǻǻ țĮȚ īǼ ȠȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ȝ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ȠȚ ȠʌȠȓİȢ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ǹȞ ǻȀ ٣ Ǻī țĮȚ Ǽȁ٣ǹī ĲȩĲİ‫ޝ‬ ǹ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ǻǻ=Ǽī. Ǻ. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǺǻȀ țĮȚ īǼȁ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ī. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǼǺȅ țĮȚ ǼǺī İȓȞĮȚ ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥİĲİ ĲȠȣȢ ȜȩȖȠȣȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ Įʌȩ ĲȘȞ ȠȝȠȚȩĲȘĲĮ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/35

ƯĴǄǃĂĴĸǅǆǊȽ ¨ǅĴǁǐǈǅķĂǊȽ ==================================================== ÉÂÅȐÄ¾Âº: ÉÂÍÊÈÉȘ Âº¼ÒÆÂÌÅəÆ

ªÊÈÃÊÂÅºÍÂÃȿË ½Âº¼ÒÆÂÌÅȿË 2019 30 ¦ºÊÍȯÈÎ 2019 ¢ȐÅºÍº ÃºÂ ¾Æ½¾ÂÃÍÂÃȐË ÄɉÌ¾ÂË ÅÂÃÊəÆ ÍǷÇ¾ÒÆ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 ǻȓȞİĲĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ $% ! $* İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ C țȑȞĲȡȠȣ ȅ. ǹʌȩ ĲȠ ȝȑıȠȞ ǻ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ Ǻī ĳȑȡȠȣȝİ İȣșİȓĮ H țȐșİĲȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ʌȠȣ ĲȘȞ ĲȑȝȞİȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǹȞ Ș İȣșİȓĮ ǹȅ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ İ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǽ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ, ǽ, ǻ, ī İȓȞĮȚ ȠȝȠțȣțȜȚțȐ. ȁȪıȘ: ˆ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ǹǽǻī ĮȞȒțİȚ ıĲȠ Ǿ İȟȦĲİȡȚțȒ ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ (=$ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼǽ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ Ș ȠȟİȓĮ ȖȦȞȓĮ ˆ , ĮĳȠȪ ˆ Z İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȘȞ ȖȦȞȓĮ $%2 ĲȠȣ ($= 2$ 2% , ȦȢ ĮțĲȓȞİȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ C. ǱȡĮ İȓȞĮȚ ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ĮțĲȓȞĮȢ Ǻȅ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ˆ ˆ țȪțȜȠ C ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ. ȉȩĲİ $*+ $%+ Z țĮȚ İʌİȚįȒ ˆ ˆ ˆ %*$ ˆ ˆ 90D %*+ %*$ $*+ 90D $*+ 90D Z . ˆ ˆ , ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǼʌȠȝȑȞȦȢ İȓȞĮȚ (=$ %*$ ǹǽǻī İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ǻȚĮĳȠȡİĲȚțȐ, ȜȩȖȦ ĲȘȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȓĮȢ =( & $+

(ĮĳȠȪ ǺǾ įȚȐȝİĲȡȠȢ), ȑȤȠȣȝİ ˆ (=$

ˆ 2$+

ȈȤȒȝĮ 1

ˆ (Įʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĮțĲȓȞȦȞ 2$ 2+$

2+ ) .

ˆ ǵȝȦȢ İȓȞĮȚ $+2

ˆ ˆ (İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ ıĲȠ ĲȩȟȠ ǹǺ). ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ʌȐȜȚ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ș $+% $*% ˆ ˆ . ȚıȩĲȘĲĮ (=$ %*$ ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ĲȘȞ ȐıțȘıȘ țĮȚ ȤȦȡȓȢ ȞĮ İȚıȐȖȠȣȝİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ l , ȐȡĮ Z 90R *ˆ , ȐȡĮ (=$ ˆ 2* ǹȅǺ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ %2$ 90R Z *ˆ , ȠʌȩĲİ ıĲȠ ǹǽǻī Ș *ˆ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȘȞ ĮʌȑȞĮȞĲȚ İȟȦĲİȡȚțȒ, ȐȡĮ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ȩȜĮ ĲĮ ȗİȪȖȘ șİĲȚțȫȞ ĮțȑȡĮȚȦȞ x,n ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȜȪıİȚȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ

3 2x 4 n 2 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/36

----------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ----------------------------------------------------------------------------------------------------

ȁȪıȘ: ǹȞ x=1, ĲȩĲİ įİȞ ȑȤȠȣȝİ ȜȪıİȚȢ, İȞȫ ȩĲĮȞ x=2, ȑȤȠȣȝİ ĲȘ ȜȪıȘ (x,n)=(2,4) ȠʌȩĲİ ȣʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ x t 3 . ȉȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȜȠȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ, ȐȡĮ Ƞ n İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ, ȑıĲȦ n=2k. ȉȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȡȐĳİĲĮȚ: 3 2 x 4 4k 2 3 2 x 2 k 2 1 , ȠʌȩĲİ k ʌİȡȚĲĲȩȢ. Ǿ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ ȦȢ 3 2x 2 k 1 k 1 . 1Ș ʌİȡȓʌĲȦıȘ: k 1 3 2a țĮȚ k 1 2b , a , b t 1 ȝİ a b x 2 . ȉȩĲİ ȝİ ĮĳĮȓȡİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȑȤȠȣȝİ 3 2a 2b 2 . ǹȞ a , b t 2 , ĲȩĲİ ĲȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȜȠȢ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ 4, İȞȫ ĲȠ įİȟȓ ȩȤȚ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ İȓĲİ a 1 , Įʌȩ ȩʌȠȣ b 2 țĮȚ x 5 , İȓĲİ b 1 ʌȠȣ įİȞ įȓȞİȚ ȜȪıȘ ȖȚĮ ĲȠ a . ȈȣȞİʌȫȢ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȑȤȠȣȝİ ĲȘ ȜȪıȘ ( x, n) (5,10) . 2Ș ʌİȡȓʌĲȦıȘ: k 1 2 s țĮȚ k 1 3 2t , s, t t 1 ȝİ s t x 2 . ȉȩĲİ ȝİ ĮĳĮȓȡİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȑȤȠȣȝİ 2 s 3 2t 2 . ǹȞ s , t t 2 ĲȩĲİ ĲȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȜȠȢ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ 4 İȞȫ ĲȠ įİȟȓ ȩȤȚ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ İȓĲİ s 1 , İȓĲİ t 1 ʌȠȣ įȓȞİȚ ȜȪıȘ ȖȚĮ s 3 , ȠʌȩĲİ x 6 . ȈȣȞİʌȫȢ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȑȤȠȣȝİ ĲȘ ȜȪıȘ ( x, n ) (6,14) . ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 ǹȞ ȠȚ Į,b,c İȓȞĮȚ șİĲȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1 1 1 3 t Db b 1 c 1 bc c 1 D 1 cD D 1 b 1 1 Dbc 2 ȁȪıȘ: Ǿ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ

c(a 1) a(b 1) b(c 1) 3 t , abc(a 1)(b 1)(c 1) (1 abc)2

ʌȠȣ ȝİĲȐ ĲȚȢ

ĮʌȜȠʌȠȚȒıİȚȢ ȖȡȐĳİĲĮȚ ȦȢ (1 abc)2 (ab bc ca a b c) t 3abc(ab bc ca a b c abc 1). ĬȑĲȠȣȝİ m a b c, n ab bc ca țĮȚ x3

abc , ȠʌȩĲİ Ș ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȖȡȐĳİĲĮȚ

(m n)(1 x3 )2 t 3x3 ( x3 m n 1), Ȓ (m n)( x6 x3 1) t 3x3 ( x3 1). ǹʌȩ ĲȘȞ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ ǹȂ-īȂ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ m t 3x țĮȚ n t 3 x 2 , ȠʌȩĲİ m n t 3 x ( x 1). ǼʌȠȝȑȞȦȢ Įȡțİȓ ȞĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ

3x x 1 x 6 x3 1 t 3 x3 x 1 x 2 x 1 x 6 x3 1 t x 2 x 2 x 1

x 6 x 4 x 2 1 t 0 x 4 x 2 1 x 2 1 t 0 x 2 1 x 4 1 t 0 x 2 1 x 2 1 t 0, 2

ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ĬİȦȡȠȪȝİ ȝȚĮ 8x8 ıțĮțȚȑȡĮ ʌȠȣ ȩȜĮ ĲĮ 64 ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȐ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ĮȡȤȚțȐ ȜİȣțȐ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĮȞ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ 12 Įʌȩ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ȕĮĳĲȠȪȞ ȝĮȪȡĮ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ 4 ȖȡĮȝȝȑȢ țĮȚ 4 ıĲȒȜİȢ ʌȠȣ ȞĮ ʌİȡȚȑȤȠȣȞ țĮȚ ĲĮ 12 ĮȣĲȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/37

ȁȪıȘ: ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ x1 , x2 ,..., x8 ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ȝĮȪȡȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ıĲȚȢ ȖȡĮȝȝȑȢ ĲȠȣ, ȫıĲİ

x1 t x2 t ... t x8 . ȅʌȩĲİ ĮȞ Ș ĲȑĲĮȡĲȘ ȖȡĮȝȝȒ ȑȤİȚ ĲĮ ʌȚȠ ʌȠȜȜȐ ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ĮȣĲȐ İȓȞĮȚ x1 ĲȠ ʌȜȒșȠȢ, țĲȜ. ǹʌȩ ĲȘȞ İțĳȫȞȘıȘ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

x1 x2 ... x8 12 .

(1)

x2 ... x8 , ȖȚĮĲȓ ĲȩĲİ șĮ İȓȤĮȝİ 8x1 12 , ȐĲȠʌȠ. x1 x2 x3 x4 ! x5 x6 x7 x8 .

ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ x1 ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

ǿıȤȣȡȚȗȩȝĮıĲİ ȩĲȚ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ: x1 x2 x3 x4

x5 x6 x7 x8 1 ,

ȖȚĮĲȓ ĲȩĲİ Ș (1) įȓȞİȚ 2( x1 x2 x3 x4 ) 1 12 , ȐĲȠʌȠ, ĮĳȠȪ ĲȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȜȠȢ İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩȢ, İȞȫ ĲȠ įİȟȓ ȐȡĲȚȠȢ. ǼʌȓıȘȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȚıȤȪİȚ:

x1 x2 x3 x4

x5 x6 x7 x8 2 .

(2)

ȆȡȐȖȝĮĲȚ ĮȞ ȓıȤȣİ Ș (2), ĲȩĲİ Įʌȩ ĲȘȞ (1) șĮ İȓȤĮȝİ x1 x2 x3 x4

x5 x6 x7 x8

7 țĮȚ

(3)

ȠʌȩĲİ 4 x4 d 7 x4 d 1 . ǹʌȩ ĲȘ įȚȐĲĮȟȘ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ x8 d x7 d x6 d x5 d x4 d 1 , ȠʌȩĲİ

x8 x7 x6 x5 d 4 , ȐĲȠʌȠ Įʌȩ ĲȘȞ (3). ȈȣȞİʌȫȢ ȑȤȠȣȝİ:

x1 x2 x3 x4 t x5 x6 x7 x8 3 ,

ȠʌȩĲİ Įʌȩ ĲȘȞ (1) ʌĮȓȡȞȠȣȝİ:

2( x1 x2 x3 x4 ) 3 t 12 x1 x2 x3 x4 t 8 ,

ȠʌȩĲİ, ĮȞ İʌȚȜȑȟȠȣȝİ ĲȚȢ 4 ȖȡĮȝȝȑȢ ȝİ ĲĮ ʌȚȠ ʌȠȜȜȐ ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ĲȩĲİ ĮȣĲȑȢ ʌİȡȚȑȤȠȣȞ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ 8 ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ. ȅʌȩĲİ ȝȑȞȠȣȞ ĲȠ ʌȠȜȪ 4 ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ țĮȚ ȖȚ’ ĮȣĲȐ İʌȚȜȑȖȠȣȝİ ĲȚȢ 4 ıĲȒȜİȢ ıĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ĮȣĲȐ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ. ǱȡĮ ȝİ 4 ȖȡĮȝȝȑȢ țĮȚ 4 ıĲȒȜİȢ țĮȜȪȥĮȝİ țĮȚ ĲĮ 12 ȝĮȪȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ.

ȅȚ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ ĮıțȒıİȦȞ ĲȠȣ ĲİȪȤȠȣȢ 111 ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ ǹ ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ ǹ56. ȃĮ ȜȪıİĲİ ıĲȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ:

xy xz

y, y 2 yz yx

x` .

z , z 2 zx zy

ȅȣțȡĮȞȓĮ 2016 ȁȪıȘ Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ: x 2 y 2 z 2 xy 2 yz 2 zx

x y z x y z

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/38

x y z,

ȠʌȩĲİ įȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: Į) x y z 1. ȉȩĲİ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ İȟȓıȦıȘ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ

x 2 xy xz ȅȝȠȓȦȢ ʌȡȠțȪʌĲİȚ țĮȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ y

y x x y z

z , ȠʌȩĲİ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȘ ȜȪıȘ:

x, y , z

ȕ) x y z

y x

0. ȉȩĲİ ʌȐȜȚ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ İȟȓıȦıȘ ȑȤȠȣȝİ: x 2 xy xz

y x x y z

z 0 țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ĲȘ ȜȪıȘ x, y, z

ȅȝȠȓȦȢ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ x

y 0

0, 0, 0

N35. ǺȡİȓĲİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ Q ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ Ƞ 11Q 1 įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 10Q 1. ȅȣțȡĮȞȓĮ 2016 ȁȪıȘ ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ 10Q 1 įȚĮȚȡİȓ ĲȠ 11Q 1 , ȉȩĲİ țĮȚ țȐșİ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ ĲȠȣ 10Q 1 șĮ įȚĮȚȡİȓ ĲȠ 10Q 1. ǲȞĮȢ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ ĲȠȣ 10Q 1 , ȖȚĮ țȐșİ Q `* , İȓȞĮȚ ĲȠ 9, ĮĳȠȪ 10Q 1

10 1 10Q 1 ... 10 1

9 10Q 1 ... 10 1 .

ǵȝȦȢ İȟİĲȐȗȠȞĲĮȢ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ modulo 9, įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ 11Q 1 { 2Q 1 mod 9 , ȠʌȩĲİ

6N .

10 1 įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 10 1 10 1 10 1 10 10 1 10 6 N

ȉȩĲİ ȩȝȦȢ ĲȠ 106N 1 106 1

1 11 111 103 1 ,

ȠʌȩĲİ ĲȠ 11Q 1 įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 11, ĲȠ ȠʌȠȓȠ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ Q ȖȚĮ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. ī38. ǲıĲȦ ǹǻ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ $̂ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ȝİ ǹǺ = Ǻī. ǲıĲȦ ǻǼ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺǻ, ( $%. ǺȡİȓĲİ ĲĮ ȝȑĲȡĮ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī, ĮȞ ȠȚ ˆ țĮȚ $(' ˆ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ İȣșİȓĮ ǹǻ. įȚȤȠĲȩȝȠȚ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ $%' ȅȣțȡĮȞȓĮ 2015 ȁȪıȘ ˆ țĮȚ $(' ˆ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ İȣșİȓĮ ǹǻ. ǲıĲȦ ǽ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ įȚȤȠĲȩȝȦȞ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ $%' ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/39

ȉȩĲİ ĮȣĲȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ İȣșİȓĮ ǹǻ, ȠʌȩĲİ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ țĮȚ Ǻī, ĮȜȜȐ țĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǽǹ țĮȚ Ǽǻ. ˆ . ǻȘȜĮįȒ ĲȠ ǽ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǻǼ țĮȚ ǻī ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ('* ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌĮȡȐțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǼǺǻ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ˆ . ıĲȘ ȖȦȞȓĮ (%' ˆ țĮȚ Ș ǻǹ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ǼʌİȚįȒ Ș ǻǼ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ $'%

ˆ ȠȚ ǻǼ țĮȚ ǻĮ ĲȡȚȤȠĲȠȝȠȪȞ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ȖȦȞȓĮ $'* ˆ , ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ('* ˆ ȠʌȩĲİ $'* Z 60D. ǹʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻī ȑȤȠȣȝİ: x.

%ˆ

ˆ ˆ $ ˆ $ 60D 180D $ ˆ *ˆ 80D , *ˆ 60D 180D 2$ 2 2 D 20 .

ȠʌȩĲİ

ǹıțȒıİȚȢ ȖȚĮ ȜȪıȘ ȃ36. ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ 15 įȚĮįȠȤȚțȫȞ șİĲȚțȫȞ ĮțȑȡĮȚȦȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ ȝİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ȥȘĳȓĮ Įʌȩ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ^0,1, 2, 4` . ǺȡİȓĲİ ĲȘȞ İȜȐȤȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ȝȚțȡȩĲİȡȠȣ Įʌȩ ĲȠȣȢ 15 įȚĮįȠȤȚțȠȪȢ șİĲȚțȠȪȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ.

ȇȠȣȝĮȞȓĮ 2018 ȃ37. ȈȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ S x ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ ĲȠȣ șİĲȚțȠȪ ĮțȑȡĮȚȠȣ x. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ Q ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȣʌȐȡȤȠȣȞ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ D , E ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ

S D

S E

S D E Q . ȇȠȣȝĮȞȓĮ 1999

ǹ57. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ĲȡȚȐįİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ x, y, z ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ:

^x y z

1, x 2 y 2 z 2

1, x 3 y 3 z 3

1` .

ȀȡȠĮĲȓĮ 2018

ˆ 2% ˆ . ĬİȦȡȠȪȝİ ıȘȝİȓȠ ǻ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȠȣ ĲȑĲȠȚȠ ī39. ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ $ ˆ . ȫıĲİ $' %' țĮȚ *' $*. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: *ˆ 3 '*% ȀȡȠĮĲȓĮ 2018

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/40

¬ɉ¼ÐÊÈÆº Ê¼ºÄ¾ȯº ÌÍÀ ¬ÍºÍÂÌÍÂÃȘ ÍÀË ÎÅÆºÌȯÈÎ īȣȝȞȐıȚȠ ǼțʌĮȚįİȣĲȚțȒȢ ǹȞĮȖȑȞȞȘıȘȢ. ȉȘ ıȤȠȜȚțȒ ȤȡȠȞȚȐ 2018 – 2019 ıĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ĲȠȣ ȝĮșȒȝĮĲȠȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ İʌȚȤİȚȡȒıĮȝİ ȝȓĮ İȚıĮȖȦȖȒ ıĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ ĲȘȢ ȈĲĮĲȚıĲȚțȒȢ ȝİ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȘȢ Ǻǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ. ǹȡȤȚțȐ ĮțȠȜȠȣșȫȞĲĮȢ ĲȠ ĮȞĮȜȣĲȚțȩ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ ĲȠȣ ȊʌȠȣȡȖİȓȠȣ ȆĮȚįİȓĮȢ țĮȚ, ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, ȝİ ĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȓȘıȘ ȝȚĮȢ ıĲĮĲȚıĲȚțȒȢ ȑȡİȣȞĮȢ – ȝİȜȑĲȘȢ. īȚĮ ĲȘȞ ȠȜȠțȜȒȡȦıȘ ĲȘȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘȢ ȑȡİȣȞĮȢ, İȡȖĮıĲȒțĮȝİ ıİ ʌȡȫĲȠ ıĲȐįȚȠ ȩȜȠȚ ȝĮȗȓ țĮĲȐ ĲȘȞ įȚȐȡțİȚĮ ĲȠȣ ȝĮșȒȝĮĲȠȢ țĮȚ ȝİĲȐ țĮĲȐ ȠȝȐįİȢ. ǼʌȚȜȑȟĮȝİ Ș İȡİȣȞȐ ȝĮȢ ȞĮ ȑȤİȚ ȦȢ șȑȝĮ « ǻȚĮȤİȓȡȚıȘ İȜİȪșİȡȠȣ ȤȡȩȞȠȣ», ıȣȞĲȐȟĮȝİ ĲȚȢ ıȤİĲȚțȑȢ İȡȦĲȒıİȚȢ, ȒȡșĮȝİ ıİ İʌĮĳȒ ȝİ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȑȢ

ĳȩȡȝİȢ

įȘȝȚȠȣȡȖȓĮȢ

İȡȦĲȘȝĮĲȠȜȠȖȓȦȞ,

ĮʌĮȞĲȒıĮȝİ

ȘȜİțĲȡȠȞȚțȐ

ıĲĮ

İȡȦĲȘȝĮĲȠȜȩȖȚĮ, ȑȖȚȞİ ıȣȜȜȠȖȒ ĲȦȞ ĮʌȠĲİȜİıȝȐĲȦȞ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıĮȝİ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ȝĮȢ ȝİ ȠȜȠțȜȘȡȦȝȑȞȘ ĮȞȐȜȣıȘ țĮȚ İȡȝȘȞİȓĮ. ȉȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĮȣĲȒ ıİ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ȝİ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ĮʌȠĳĮıȓıĮȝİ ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıȠȣȝİ ıĲȠ 1Ƞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩ ıȣȞȑįȡȚȠ ĲȘȢ ǼȂǼ, ʌȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ țĮȚ țȐʌȠȚĮ ĮțȩȝĮ ıĲȠȚȤİȓĮ. ǹȡȤȚțȐ ȑȖȚȞİ ȝȚĮ ȚıĲȠȡȚțȒ ĮȞĮįȡȠȝȒ, ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȢ ȩĲȚ Ș ʌȡȫĲȘ ȚıĲȠȡȚțȒ ıȣȜȜȠȖȒ țĮșĮȡȐ ıĲĮĲȚıĲȚțȫȞ

ıĲȠȚȤİȓȦȞ

șİȦȡİȓĲĮȚ

ĮʌȠȖȡĮĳȒ

ʌȜȘșȣıȝȠȪ Įʌȩ ĲȠȞ ǹȣĲȠțȡȐĲȠȡĮ ĲȘȢ ȀȓȞĮȢ īȚȐȠ (Yao) ĲȠ 2238 ʌ.ȋ. . ǼȞȫ ȝȚĮ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȡȫĲİȢ ĮȞĮĳȠȡȑȢ ıĲȘȞ ĮȡȤĮȓĮ ǼȜȜȐįĮ İȓȞĮȚ ĲȠ 450 ʌ.ȋ. , ȩʌȠȣ Ƞ ǿʌʌȓĮȢ ĲȘȢ ĮȡȤĮȓĮȢ ǾȜİȓĮȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ĲȘ ȝȑıȘ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ȤȡȩȞȠȣ įȚȐȡțİȚĮȢ ȝȚĮȢ ȕĮıȚȜİȓĮȢ, ȖȚĮ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİȚ ĲȘȞ ȘȝİȡȠȝȘȞȓĮ ĲȦȞ ʌȡȫĲȦȞ ȅȜȣȝʌȚĮțȫȞ ǹȖȫȞȦȞ.

ɇʘʃʌɳʏɻʎ ʃɲɿ Ȼʋʋʀɲʎ (5ʉʎ ɲɿʙʆɲʎ ʋ.ɍ.)

Ǿ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȒ ıȣȜȜȠȖȒ įİįȠȝȑȞȦȞ ȖȚĮ ʌȜȘșȣıȝȩ țĮȚ ȠȚțȠȞȠȝȓĮ (įȘȝȠȖȡĮĳȚțȒ ıĲĮĲȚıĲȚțȒ) ȐȡȤȚıİ ıĲȘ įȚȐȡțİȚĮ ĲȘȢ ǹȞĮȖȑȞȞȘıȘȢ. ȉȠ 1620 ȝ.ȋ Ƞ ǱȖȖȜȠȢ ȑȝʌȠȡȠȢ ȉȗȠȞ īțȡȐȠȣȞĲ ȟİțȓȞȘıİ ʌȡȫĲȠȢ ĲȘ įİȚȖȝĮĲȠȜȘʌĲȚțȒ ȑȡİȣȞĮ ıİ ȠȚțȠȖȑȞİȚİȢ ĲȠȣ ȁȠȞįȓȞȠȣ. ȆȠȜȜȠȓ İʌȚıĲȒȝȠȞİȢ șȑĲȠȣȞ ĮĳİĲȘȡȓĮ ĲȘȢ ȈĲĮĲȚıĲȚțȒȢ ĲȠ ȑĲȠȢ 1663, ȝİ ĲȘȞ ȑțįȠıȘ ĲȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ «ĭȣıȚțȑȢ țĮȚ ȆȠȜȚĲȚțȑȢ ʌĮȡĮĲȘȡȒıİȚȢ ĲȘȢ ĬȞȘıȚȝȩĲȘĲĮȢ» ĲȠȣ ȉȗȠȞ īțȡȐȠȣȞĲ . ȉȠ 1786 ȝ.ȋ. Ƞ ȅȣȓȜȚĮȝ ȆȜĮȧĳĮȚȡ , ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/41

------------------------------------------------------------ ȈȪȖȤȡȠȞĮ ǼȡȖĮȜİȓĮ ıĲȘ ȈĲĮĲȚıĲȚțȒ ĲȘȢ Ǻǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ --------------------------------------------------------

ȝȘȤĮȞȚțȩȢ, ʌȠȜȚĲȚțȩȢ țĮȚ ȠȚțȠȞȠȝȠȜȩȖȠȢ Įʌȩ ĲȘ ȈțȦĲȓĮ, İȚıȐȖİȚ ȖȡĮĳȒȝĮĲĮ țĮȚ ȡĮȕįȠȖȡȐȝȝĮĲĮ ȖȚĮ ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıİȚ ȠȚțȠȞȠȝȚțȐ įİįȠȝȑȞĮ. ȈȒȝİȡĮ țȪȡȚȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ȑȡİȣȞĮȢ țĮȚ ȝİȜȑĲȘȢ ĲȘȢ ȈĲĮĲȚıĲȚțȒȢ İȓȞĮȚ Ș ıȣȜȜȠȖȒ, ĲĮȟȚȞȩȝȘıȘ, İʌİȟİȡȖĮıȓĮ, ʌĮȡȠȣıȓĮıȘ, ĮȞȐȜȣıȘ țĮȚ İȡȝȘȞİȓĮ įȚȐĳȠȡȦȞ įİįȠȝȑȞȦȞ ȝİ ĮʌȫĲİȡȠ ıĲȩȤȠ ĲȘȞ İȟĮȖȦȖȒ ĮıĳĮȜȫȞ ıȣȝʌİȡĮıȝȐĲȦȞ ȖȚĮ ȜȒȥȘ ȠȡșȫȞ ĮʌȠĳȐıİȦȞ. ǼȓȞĮȚ ĮʌĮȡĮȓĲȘĲȘ ıĲȘȞ țĮșȘȝİȡȚȞȩĲȘĲȐ ȝĮȢ, ĮĳȠȪ ȝİıȫ ĲȘȢ ıĲĮĲȚıĲȚțȒȢ (ĮʌȠȖȡĮĳȒ) țĮșȠȡȓȗİĲĮȚ Ș ʌȠȜȚĲȚțȒ ȝȚĮȢ ȤȫȡĮȢ ıİ ĲȠȝİȓȢ ȩʌȦȢ ȣȖİȓĮ, İțʌĮȓįİȣıȘ, įȘȝȩıȚĮ ȑȡȖĮ. ȋȡȘıȚȝİȪİȚ įİ, ȫıĲİ ȞĮ ʌȡȠȞȠȒıȠȣȝİ ʌȠȜȜȐ ȝİȜȜȠȞĲȚțȐ ȖİȖȠȞȩĲĮ. Ǿ ȈĲĮĲȚıĲȚțȒ ȕȡȓıțİȚ İĳĮȡȝȠȖȒ țĮȚ ıȣȞĮȞĲȐĲĮȚ ıĲȘȞ țĮșȘȝİȡȚȞȩĲȘĲĮ ȝĮȢ ıİ ʌȠȜȜȠȪȢ ĲȠȝİȓȢ țĮȚ İʌȚıĲȒȝİȢ. ȈȣȞĮȞĲȐĲĮȚ ĲȩıȠ ıİ ȝİȜȑĲİȢ ĲȦȞ șİĲȚțȫȞ İʌȚıĲȘȝȫȞ ȩıȠ țĮȚ ĲȦȞ șİȦȡȘĲȚțȫȞ ȩʌȦȢ :

ĭȣıȚțȒ, ȋȘȝİȓĮ, ȀȠȚȞȦȞȚȠȜȠȖȓĮ, ǹȡȤĮȚȠȜȠȖȓĮ, ǿıĲȠȡȓĮ, ț.Ȑ. ǵıȠȞ ĮĳȠȡȐ ĲȘȞ ȓįȚĮ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ȝĮȢ ȝİ ĲȓĲȜȠ «ǻȚĮȤİȓȡȚıȘ ǼȜİȪșİȡȠȣ ȋȡȩȞȠȣ», ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȚȒșȘțİ ıĲȘȞ ǼțʌĮȚįİȣĲȚțȒ ǹȞĮȖȑȞȞȘıȘ țĮȚ İȡİȣȞȐ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĮȟȚȠʌȠȓȘıȘȢ ĲȠȣ İȜİȪșİȡȠȣ ȤȡȩȞȠȣ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ĲȘȢ Ǻǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ . ȅ ʌȜȘșȣıȝȩȢ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ĲȘȢ Ǻ’ īȣȝȞĮıȓȠȣ țĮĲȐ ĲȠ ıȤȠȜȚțȩ ȑĲȠȢ 2017 – 2018 ȒĲĮȞ 70 ȝĮșȘĲȑȢ, İȞȫ ĲȠ įİȓȖȝĮ ȒĲĮȞ 27 ȝĮșȘĲȑȢ. īȚĮ ĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȓȘıȘ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ ȝĮȢ ĮʌȠĳĮıȓıĮȝİ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȐ İȡȦĲȘȝĮĲȠȜȩȖȚĮ (Google forms) ʌȠȣ ʌĮȡȑȤȠȞĲĮȚ įȦȡİȐȞ ĮȜȜȐ ȑȤȠȣȞ țĮȚ ȐȜȜĮ ʌȡȠĲİȡȒȝĮĲĮ ȩʌȦȢ: x

ȆİȡȚııȩĲİȡȘ ĮțȡȓȕİȚĮ ȝİ İȜȐȤȚıĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ȜȐșȠȣȢ țĮȚ țĮĲĮȤȫȡȚıȘ ĮʌĮȞĲȒıİȦȞ țĮĲİȣșİȓĮȞ ıĲȠ ıȪıĲȘȝĮ

ȆȚȠ İȚȜȚțȡȚȞİȓȢ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ ȜȩȖȦ ĮȞȦȞȣȝȓĮȢ țĮȚ ĮʌȠȣıȓĮȢ ȐȖȤȠȣȢ

īȡȒȖȠȡȘ İĳĮȡȝȠȖȒ ȜȩȖȦ ĮȣĲȩȝĮĲȘȢ ıȣȜȜȠȖȒȢ įİįȠȝȑȞȦȞ

ǼȣțȠȜȓĮ ȤȡȒıȘȢ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ıȣȝȝİĲȑȤȠȞĲİȢ

ȆȚȠ ĳșȘȞȒ ȑȡİȣȞĮ: įİȞ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ȞĮ ʌȜȘȡȫıȠȣȝİ ȐĲȠȝĮ ȖȚĮ ĲȘȞ įȚİȟĮȖȦȖȒ ĲȘȢ ȑȡİȣȞĮȢ, ȠȪĲİ ȣȜȚțȐ

ȆİȡȚȕĮȜȜȠȞĲȠȜȠȖȚțȐ ĳȚȜȚțȩ ȜȩȖȦ İȟȠȚțȠȞȩȝȘıȘȢ ȤĮȡĲȚȠȪ

ǵȝȠȡĳȠȢ ıȤİįȚĮıȝȩȢ țĮȚ țĮȜȒ ĮȚıșȘĲȚțȒ ȤȐȡȘ ıĲȘ ȤȡȒıȘ ʌȠȜȣȝȑıȦȞ

ǹțȠȜȠȣșȠȪȞ ȝİȡȚțȑȢ Įʌȩ ĲȚȢ İȡȦĲȒıİȚȢ ĲȘȢ ȑȡİȣȞĮȢ: 1) ȆȚıĲİȪİȚȢ ʌȦȢ ĮȟȚȠʌȠȚİȓȢ ıȦıĲȐ ĲȠȞ ȤȡȩȞȠ ıȠȣ;

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/42

2) ȆȩıȠ ȤȡȩȞȠ ĮĳȚİȡȫȞİȚȢ ıĲȘȞ ȝİȜȑĲȘ ĲȦȞ țĮșȘțȩȞĲȦȞ ıȠȣ;

3) ȆȩıȠ ȤȡȩȞȠ ĮĳȚİȡȫȞİȚȢ ıĲȘȞ ĮȞȐȖȞȦıȘ İȟȦıȤȠȜȚțȫȞ ȕȚȕȜȓȦȞ;

4) ȆȩıİȢ ȫȡİȢ İȜİȪșİȡȠȣ ȤȡȩȞȠȣ șĮ ȒșİȜİȢ țĮșȘȝİȡȚȞȐ;

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/43

ȋȡȩȞȠȢ İȞĮıȤȩȜȘıȘȢ ȝİ İȟȦıȤȠȜȚțȑȢ įȡĮıĲȘȡȚȩĲȘĲİȢ ĲȘȞ İȕįȠȝȐįĮ.

6) ǷȡİȢ İȞĮıȤȩȜȘıȘȢ ȝİ ĲȠ įȚĮįȓțĲȣȠ ĲȘȞ ȘȝȑȡĮ.

7) ǷȡİȢ İȞĮıȤȩȜȘıȘȢ ȝİ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȐ ʌĮȚȤȞȓįȚĮ.

8) ȋȡȩȞȠȢ İȞĮıȤȩȜȘıȘȢ ȝİ ĮșȜȘĲȚıȝȩ ĲȘȞ İȕįȠȝȐįĮ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/44

9) ȆȚıĲİȪİȚȢ ʌȦȢ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ĮıȤȠȜİȓıĮȚ ȝİ țȐĲȚ ʌȠȣ țȐȞİȚȢ ȖȚĮ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Ȓ ȜȚȖȩĲİȡȠ ȤȡȩȞȠ; ǹȞ ȞĮȚ, ȝİ ĲȚ; ǹʌȐȞĲȘıȘ

ǱĲȠȝĮ

ǵȤȚ

ȄİțȠȪȡĮıȘ - ǶʌȞȠȢ

ǹșȜȒȝĮĲĮ

ǼȟȦıȤȠȜȚțȑȢ įȡĮıĲȘȡȚȩĲȘĲİȢ

ĭȓȜȠȚ

ǺȚȕȜȓĮ – ĲĮȚȞȓİȢ țĮȚ ıİȚȡȑȢ

Fortnite

ǱțȣȡȘ

ǹʌȩ ĲȘȞ İȡİȣȞȐ ȝĮȢ ʌȡȠȑțȣȥĮȞ țȐʌȠȚĮ ȕĮıȚțȐ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ: x

ǼȓȞĮȚ ĮȝĳȚȜİȖȩȝİȞȠ ĮȞ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ıĲȚȢ ȝȑȡİȢ ȝĮȢ įȚĮȤİȚȡȓȗȠȞĲĮȚ ıȦıĲȐ ĲȠȞ İȜİȪșİȡȩ ĲȠȣȢ ȤȡȩȞȠ.

ȅȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĮȟȚȠʌȠȚȠȪȞ ȑȞĮ ȜȠȖȚțȩ ȤȡȠȞȚțȩ įȚȐıĲȘȝĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ȝİȜȑĲȘ ĲȦȞ țĮșȘțȩȞĲȦȞ ĲȠȣȢ, ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ ĮȞȘıȣȤȘĲȚțȩ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ȩĲȚ ĲȠ 18,5% ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ įİȞ įȚĮȕȐȗİȚ țĮșȩȜȠȣ!

ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȝİ ȕȐıȘ ĲĮ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ ȩĲȚ Ƞ ȤȡȩȞȠȢ ʌȠȣ ʌİȡȞȠȪıĮȞ ʌĮȜĮȚȩĲİȡĮ ĲĮ ʌĮȚįȚȐ įȚĮȕȐȗȠȞĲĮȢ İȟȦıȤȠȜȚțȐ ȕȚȕȜȓĮ ȑȤİȚ ĮȞĲȚțĮĲĮıĲĮșİȓ Įʌȩ ĲȘȞ İȞĮıȤȩȜȘıȘ ȝİ țȠȚȞȦȞȚțȐ įȓțĲȣĮ, internet țĮȚ ȕȚȞĲİȠʌĮȚȤȞȓįȚĮ.

ȅȚ ȝĮșȘĲȑȢ ʌȠȣ ıȣȝȝİĲİȓȤĮȞ ıĲȘȞ ıȣȖȖȡĮĳȒ țĮȚ ʌĮȡȠȣıȓĮıȘ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ İȓȞĮȚ: ǺȠȡĲıȑȜĮ ȁȣįȓĮ, ǺȠȣȜȠȣȝȐȞȠȢ ǼȣȐȖȖİȜȠȢ, ȀĮȝʌĮȞȐȠȢ ǻȘȝȒĲȡȚȠȢ, ȀȦıĲȩʌȠȣȜȠȢ ȃȚțȩȜĮȠȢ, ȂĮȡĮȞĲȓįȘ ǼȜȑȞȘ, ȂİĳıȠȪĲ ȀȣȡȚĮțȒ, ȂȠȣıİȜȐȢ īİȫȡȖȚȠȢ-ȋȡȒıĲȠȢ, ȃĲĮȒ ǹıȘȝȓȞĮ, ȆĮʌĮįȩʌȠȣȜȠȢ

īİȫȡȖȚȠȢ, ȆĮʌĮȞįȡȑȠȣ

ǼȣĮȖȖİȜȓĮ,

ȆĮȡĮıțİȣȠʌȠȪȜȠȣ ǹȞĮıĲĮıȓĮ,

ȆİĲȡȠʌȠȪȜȠȣ ĭȚȜȓʌʌĮ, ȆȚĲıȚȞȑȜȘ ǺĮıȚȜİȓĮ, ȈĮȡĮȝĮȞĲȒ ȃİĳȑȜȘ-ȂĮȡȓĮ, ȉıİțȠȪȡĮ ǺĮȡȕȐȡĮ, ȋĮȜȐĲıȘȢ ȈĲȑĳĮȞȠȢ, ȋĮĲȗȒȕİȘȢ ȈĲȣȜȚĮȞȩȢ ȊʌİȪșȣȞȠȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ: ȁȐĲĲĮȢ ȀȦȞıĲĮȞĲȓȞȠȢ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/45

ªÈÂº ¾ȯÆºÂ À Éº¼ÃȿÌÅÂº ¾ÇȐÄÂÇÀ ÍÒÆ ÎÑÀÄȿÍ¾ÊÒÆ ÌÀÅ¾ȯÒÆ ÁȐºÌÀË Ì¾ ÃÍȯÊÂº;

Ȱʋʊ ʏɻ ʍʐʆʏɲʃʏɿʃɼ ɸʋɿʏʌʉʋɼ. Ǿ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ ȞĮ ĳĲȐıİȚ ȩıȠ ĲȠ įȣȞĮĲȩȞ ȥȘȜȩĲİȡĮ, İȓĲİ țȐȞȠȞĲĮȢ ȠȡİȚȕĮıȓĮ ıĲȠ ǲȕİȡİıĲ İȓĲİ țĲȓȗȠȞĲĮȢ ȠȚțȠįȠȝȒȝĮĲĮ, ȤȐȞİĲĮȚ ıĲĮ ȕȐșȘ ĲȦȞ ĮȚȫȞȦȞ. ȋĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ İȓȞĮȚ Ƞ ʌȪȡȖȠȢ ĲȘȢ ǺĮȕȑȜ. ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩȢ Ƞ ȝȪșȠȢ ʌȠȣ șȑȜİȚ ĲȠȣȢ țĮĲȠȓțȠȣȢ ĲȘȢ ȂİıȠʌȠĲĮȝȓĮȢ ȞĮ șȑȜȠȣȞ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıȠȣȞ ȑȞĮ țĲȓȡȚȠ ʌȠȣ ȞĮ ĳĲȐȞİȚ ȝȑȤȡȚ ĲȠȞ ȠȣȡĮȞȩ! ȀĮșȫȢ Ș ʌȡȩșİıȘ ĮȣĲȒ ĲȦȞ ĮȞșȡȫʌȦȞ ȒĲĮȞ ȕȜȐıĳȘȝȘ, Ș įȚȒȖȘıȘ ĲȘȢ ʌĮȜĮȚȐȢ įȚĮșȒțȘȢ ĮȞĮĳȑȡİȚ ȩĲȚ Ƞ ĬİȩȢ įȘȝȚȠȪȡȖȘıİ ıȪȖȤȣıȘ ıĲȚȢ ȖȜȫııİȢ ĲȦȞ ĮȞșȡȫʌȦȞ țĮȚ ȑĲıȚ ĮȣĲȠȓ įİȞ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ıȣȞİȤȓıȠȣȞ. ȉȠ ĮȟȚȠıȘȝİȓȦĲȠ İȓȞĮȚ ȩĲȚ țȐșİ ĳȠȡȐ ʌȠȣ ȑȞĮȢ ȗȦȖȡȐĳȠȢ İʌȚȤİȚȡİȓ ȞĮ ĮʌİȚțȠȞȓıİȚ ȝİ ĲȘ ĳĮȞĲĮıȓĮ ĲȠȣ ĲȠȞ ʌȪȡȖȠ ĮȣĲȩ ĲȠȞ įİȓȤȞİȚ ȞĮ ȝȠȚȐȗİȚ ȝİ ȑȞĮȞ țȫȞȠ Ƞ ȠʌȠȓȠȢ įİȞ ʌȡȩȜĮȕİ ȞĮ ĮʌȠțĲȒıİȚ țȠȡȣĳȒ. Ǿ ȚįȑĮ ȞĮ ĮȞȑȕȠȣȝİ ȩȜȠ țĮȚ ȥȘȜȩĲİȡĮ įİȞ İȖțĮĲĮȜİȓĳșȘțİ. ȉȠ 1889 ĲȠ ȪȥȠȢ ȒĲĮȞ 152 ȝȑĲȡĮ. ȉȠ 2018 ĲȠ ȪȥȠȢ șȑĮıȘȢ, įȘȜĮįȒ ĲȠ ȪȥȠȢ Įʌȩ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıĲİțȩȝĮıĲİ țĮȚ ȞĮ ȕȜȑʌȠȣȝİ ȝȑıĮ ıİ țĲȓȡȚȠ, ȒĲĮȞ 561,25 ȝȑĲȡĮ, İȞȫ ıȤİįȚȐȗİĲĮȚ ȖȚĮ ĲĮ İʌȩȝİȞĮ ȤȡȩȞȚĮ ȞĮ ĳĲȐıİȚ ĲĮ 634 ȝȑĲȡĮ. ȆĮȡĮĲȘȡȒıĲİ ĲȘ ȖȡĮȝȝȒ ʌȠȣ İȞȫȞİȚ ĲĮ ȪȥȘ ĮȣĲȐ. ȂʌȠȡİȓĲİ ȝİ ȕȐıȘ ĲȘ ȖȡĮȝȝȒ ĮȣĲȒ ȞĮ ʌȡȠȕȜȑȥİĲİ ĲȠ ȪȥȠȢ șȑĮıȘȢ ȝİĲȐ Įʌȩ 20 ȤȡȩȞȚĮ;

Ǿ İȚțȩȞĮ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ: http://www.elevatorworld.com/blogs/worlds-highest-observation-decks/comment-page-1/ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/46

ǼʌȚȝȑȜİȚĮ: ȆĮȞĮȖȚȫĲȘȢ ȋȡȚıĲȩʌȠȣȜȠȢ

ȈĲȠ ĲİȪȤȠȢ ĮȣĲȩ ʌĮȡĮșȑĲȠȣȝİ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ıȣȞȒșȦȢ ȤĮȡĮțĲȘȡȓȗȠȞĲĮȚ ȦȢ ȖȡȓĳȠȚ. ȉȠ ȝȩȞȠ ʌȠȣ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ İȓȞĮȚ įȚȐșİıȘ țĮȚ ĮʌȜȒ ȜȠȖȚțȒ. ǵȜİȢ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ ȅ ȆȑĲȡȠȢ ʌȒȡİ įȪȠ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȠȣȢ ʌȡȩıșİıİ, ĲȠȣȢ ĮĳĮȓȡİıİ, ĲȠȣȢ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȓĮıİ țĮȚ ĲȠȣȢ įȚĮȓȡİıİ. ȆȒȡİ ȩȜĮ ĮȣĲȐ ĲĮ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ țĮȚ ĮĳȠȪ ĲĮ ʌȡȩıșİıİ İȓȤİ ȐșȡȠȚıȝĮ 100. ȆȠȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȒȡİ; ȉȠ ıțȠȞȐțȚ ĲȘȢ ȝĮșȒĲȡȚĮȢ ȉȡİȓȢ ĳȓȜİȢ ȝĮșȒĲȡȚİȢ Ș īȚȐȞȞĮ ʌȠȣ ȜȑİȚ ʌȐȞĲĮ ȥȑȝĮĲĮ, Ș ǱȞȞĮ ʌȠȣ țĮȝȚȐ ĳȠȡȐ ȜȑİȚ ȥȑȝĮĲĮ țĮȚ Ș ǿȦȐȞȞĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ țĮȜȒ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ʌȐȞĲĮ ȜȑİȚ ĲȘȞ ĮȜȒșİȚĮ, ȝȩȜȚȢ ȑȤȠȣȞ ĲİȜİȓȦıĮȞ ĲȠ įȚĮȖȫȞȚıȝĮ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ İȓȞĮȚ ȑĲȠȚȝİȢ ȞĮ ĳȪȖȠȣȞ. ǵȝȦȢ Ƞ țĮșȘȖȘĲȒȢ ȕȜȑʌİȚ ȑȞĮ «ıțȠȞȐțȚ» țȠȞĲȐ ıĲȠ șȡĮȞȓȠ ĲȠȣȢ țĮȚ ĲȚȢ ȡȦĲȐİȚ, ıİ ʌȠȚĮ ĮȞȒțİȚ; Ǿ īȚȐȞȞĮ ȜȑİȚ: ǻȚțȩ ȝȠȣ İȓȞĮȚ, Ș ǱȞȞĮ ĮʌĮȞĲȐ ıȦıĲȐ ȜȑİȚ Ș īȚȐȞȞĮ įȚțȩ ĲȘȢ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș ǿȦȐȞȞĮ ȜȑİȚ: ĲȠ ıțȠȞȐțȚ İȓȞĮȚ ĲȘȢ ǱȞȞĮȢ. ȅ țĮșȘȖȘĲȒȢ țĮĲȐȜĮȕİ ıİ ʌȠȚĮ ĮȞȒțİȚ țĮȚ ȝȘįȑȞȚıİ ĲȠ ȖȡĮʌĲȩ ĲȘȢ. ǼıİȓȢ ȟȑȡİĲİ ıİ ʌȠȚĮ ĮȞȒțİȚ ĲȠ ıțȠȞȐțȚ; ȆĮȡȐȟİȞȘ ʌȡȩıșİıȘ ǹȞĲȚțĮĲĮıĲȒıĲİ ĲĮ ȖȡȐȝȝĮĲĮ ȝİ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȫıĲİ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ȖȚĮ ȐșȡȠȚıȝĮ ĮȣĲȩ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ(55577): (ȉĮ ʌȡȫĲĮ ȖȡȐȝȝĮĲĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȘįȑȞ, ȠȚ ȜȑȟİȚȢ ıĲȠȚȤȓȗȠȞĲĮȚ įİȟȚȐ) ȆǼȃȉǼ ȆǼȃȉǼ ȆǼȃȉǼ Ǽĭȉǹ Ǽĭȉǹ ------------55577 ȅ ȆȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩȢ ȈȣȝʌȜȘȡȫıĲİ ȝİ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣȢ ĮıĲİȡȓıțȠȣȢ ıĲȠȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩ: *1* X 3*2 -----------------*3* 3*2* *2*5 ------------------1*8*30 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/47

---------------------------------------------------------------------------------------- ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝĮȢ įȚĮıțİįȐȗȠȣȞ ------------------------------------------------------------------------------------

ȅ țȣȡ ĭȐȞȘȢ țĮȚ ĲȠ țȡĮıȓ ĭȘȝȚȗȩĲĮȞ ȖȚĮ ĲȠ țĮȜȩ țȡĮıȓ ʌȠȣ İȓȤİ Ƞ țȣȡ ĭȐȞȘȢ țĮȚ ȩȜȠȚ ȑĲȡİȤĮȞ ıĲȘȞ ĲĮȕȑȡȞĮ ĲȠȣ ȞĮ ȖİȝȓıȠȣȞ ĲȠ țĮȞȐĲȚ ĲȠȣȢ Įʌȩ ĲȠ ȕĮȡȑȜȚ ĲȠȣ. īȚĮ ȞĮ įȓȞİȚ ĲȚȢ ʌȠıȩĲȘĲİȢ ʌȠȣ ĲȠȣ ȗȘĲȠȪıĮȞ İȓȤİ įȪȠ įȠȤİȓĮ ĲȠ ȑȞĮ ȤȦȡȠȪıİ 7 ȜȓĲȡĮ țĮȚ ĲȠ ȐȜȜȠ 4 ȜȓĲȡĮ ʌȠȣ ĲĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪıİ ȝİ ȝİȖȐȜȘ İʌȚįİȟȚȩĲȘĲĮ. ȂʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİȚ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ʌȠıȩĲȘĲĮ ȜȓĲȡȦȞ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȤĮșİȓ ıĲĮȖȩȞĮ țȡĮıȓ İȞȫ ĮȞ ʌİȡȓııİȣİ țȐʌȠȚĮ ʌȠıȩĲȘĲĮ ĲȘȞ ȑȡȚȤȞİ ʌȓıȦ ıĲȠ ȕĮȡȑȜȚ. ĬĮ ȝʌȠȡȠȪıĮĲİ İıİȓȢ ȞĮ İȟȣʌȘȡİĲȒıİĲİ ĲȠȣȢ ʌİȜȐĲİȢ; ǻȘȜĮįȒ ȞĮ ȝİĲȡȒıİĲİ ʌȠıȩĲȘĲİȢ Įʌȩ ȑȞĮ ȝȑȤȡȚ 10 ȜȓĲȡĮ; ȅ ȑȜİȖȤȠȢ ʌȡȠȩįȠȣ ȈĲȠȞ ȑȜİȖȤȠ ĲȠȣ ȆȑĲȡȠȣ ȠȚ ȕĮșȝȠȓ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, ȖȡĮʌĲȐ țĮȚ ʌȡȠĳȠȡȚțȐ, İȓȞĮȚ įȪȠ ĮțȑȡĮȚȠȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ĲȑĲȠȚȠȚ ʌȠȣ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝȐ ĲȠȣȢ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮȗȩȝİȞȠ İʌȓ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȩ ĲȠȣȢ įȓȞİȚ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 7440. ȉȚ ȕĮșȝȠȪȢ ʌȒȡİ Ƞ ȆȑĲȡȠȢ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ; ǹʌĮȞĲȒıİȚȢ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝĮȢ įȚĮıțİįȐȗȠȣȞ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ ĲİȪȤȠȣȢ 111. ȅȚ ıȠțȠȜȐĲİȢ Ǿ ȈȠĳȓĮ șĮ ʌȐȡİȚ 7€ țĮȚ Ș ǹĳȡȠįȓĲȘ șĮ ʌȐȡİȚ 1€. ǻȚȩĲȚ ȩȜİȢ ȑĳĮȖĮȞ ĲȠ ȓįȚȠ 8/3. ǹĳȠȪ Ș ǼȜȚıȐȕİĲ ʌȜȒȡȦıİ 8€ ȐȡĮ ȩȜİȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ ȩĲȚ ȑįȦıĮȞ Įʌȩ 8€. ǻȘȜĮįȒ ȠȚ 8 ıȠțȠȜȐĲİȢ İțĲȚȝȒșȘțĮȞ 24€, ĲȡȓĮ İȣȡȫ Ș țȐșİ ȝȓĮ. ȅȚ 5 ıȠțȠȜȐĲİȢ ĲȘȢ ȈȠĳȓĮȢ țȐȞȠȣȞ 5Ȥ3=15€ ȝİȓȠȞ 8 ʌȠȣ ȑĳĮȖİ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 7€. ȅȚ 3 ıȠțȠȜȐĲİȢ ĲȘȢ ǹĳȡȠįȓĲȘȢ țȐȞȠȣȞ 3Ȥ3=9€ ȝİȓȠȞ 8€ ʌȠȣ ȑĳĮȖİ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 1€. ȉĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ǹȞ ʌȐȡİĲİ ȑȞĮ Įʌȩ țȐșİ țȑȡȝĮ țĮȚ ȤĮȡĲȠȞȩȝȚıȝĮ ĲȠȣ İȣȡȫ șĮ ȑȤİĲİ: 1+2+5+10+20+50+100+200+500 € țĮȚ 1+2+5+10+20+50 ȜİʌĲȐ ıȪȞȠȜȠ 888,88€. Ǻ) 1000888,88=111,12 ȐȡĮ ȑȞĮ Įʌȩ țȐșİ İȓįȠȢ țĮȚ ĮțȩȝĮ 100ǼȣȡȦ, 10ǼȣȡȦ, 1€, 10ȜİʌĲȠ țĮȚ 2ȜİʌĲȠ. ǹȞ țȣțȜȠĳȠȡȠȪıĮȞ 1, 3, 5 ĲȩĲİ ȝİ ȑȞĮ Įʌȩ țȐșİ İȓįȠȢ șĮ İȓȤĮȝİ 999,99€ țĮȚ ȝİ 1ȜİʌĲȩ ĮțȩȝĮ șĮ İȓȤĮȝİ 1000€. Ȃİ įİȝȑȞĮ ĲĮ ȝȐĲȚĮ ȅ ʌȡȫĲȠȢ İȓʌİ įİȞ ȟȑȡȦ, ȐȡĮ Ȓ İȓįİ įȪȠ țȩțțȚȞĮ Ȓ țȩțțȚȞȠ țĮȚ ʌȡȐıȚȞȠ, Ƞ įİȪĲİȡȠȢ İȓʌİ įİȞ ȟȑȡȦ, ȐȡĮ İȓįİ įȪȠ țȩțțȚȞĮ Ȓ ʌȡȐıȚȞȠ ıĲȠȞ ʌȡȫĲȠ țĮȚ țȩțțȚȞȠ ıĲȠȞ ĲȡȓĲȠ ȖȚĮĲȓ ĮȞ Ƞ ĲȡȓĲȠȢ İȓȤİ ʌȡȐıȚȞȠ țĮȚ Ƞ ʌȡȫĲȠȢ țȩțțȚȞȠ ĮȣĲȩȢ șĮ Ȓȟİȡİ ȩĲȚ ȑȤİȚ țȩțțȚȞȠ. ȅ ĲȡȓĲȠȢ ʌȠȣ ȒĲĮȞ ȝİ įİȝȑȞĮ ĲĮ ȝȐĲȚĮ ıțȑĳĲȘțİ ĮȣĲȐ ʌȠȣ İȓʌĮȞ ȠȚ ĳȓȜȠȚ ĲȠȣ țĮȚ İȓʌİ ȩĲȚ Ș țȐȡĲĮ ĲȠȣ ȑȤİȚ ȤȡȫȝĮ țȩțțȚȞȠ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȦıĲȩ. Ǿ ĳȜȠȖȑȡĮ ǹȞ ĲȠ țȠʌȐįȚ İȓȤİ ȋ ʌȡȩȕĮĲĮ ĲȩĲİ İȚıȑʌȡĮȟĮȞ ȋ*ȋ=ȋ2 Ǽȣȡȫ. ǵȝȦȢ İʌİȚįȒ ʌȡȫĲĮ ʌĮȓȡȞİȚ Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĮįİȜĳȩȢ įȑțĮ țĮȚ ȝİĲȐ Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ ȩĲȚ ʌİȡȚııȑȥİȚ ĲȘ ȜȪıȘ įȓȞȠȣȞ ĲĮ ĲȑȜİȚĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ʌȠȣ ȜȒȖȠȣȞ ıİ 6, įȘȜĮįȒ 42=16, 62=36, 142=196, 162=256 țȠț. ǻȘȜĮįȒ ȠȚ įİțȐįİȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ 1, 3, 19, 25, … ȫıĲİ ȞĮ ʌĮȓȡȞİȚ ʌȐȞĲĮ įİȪĲİȡȠȢ Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ ĮįİȜĳȩȢ, ȐȡĮ ĲȠ țȠʌȐįȚ İȓȤİ 4 Ȓ 6 Ȓ 14 Ȓ 16, … ʌȡȩȕĮĲĮ țĮȚ Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ʌȒȡİ 6 Ǽȣȡȫ, İʌȠȝȑȞȦȢ Ș ĳȜȠȖȑȡĮ İțĲȚȝȒșȘțİ 4 Ǽȣȡȫ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 112 Ĳ.4/48

ǼȁȁǾȃǿȀǾ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀǾ ǼȉǹǿȇǼǿǹ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ (ǼȜİȣșİȡȓȠȣ ǺİȞȚȗȑȜȠȣ) 34 106 79 ǹĬǾȃǹ ȉȘȜ. 3616532 - 3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr

13Ƞ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀȅ ȀǹȁȅȀǹǿȇǿȃȅ ȈȋȅȁǼǿȅ 21 27 ǿȠȣȜȓȠȣ 2019 H ȵʄʄɻʆɿʃɼ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɼ ȵʏɲɿʌɸʀɲ ɷɿʉʌɶɲʆʙʆɸɿ ʃɲɿ ʔɹʏʉʎ ʏʉ 13o ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɇʖʉʄɸʀʉ ɶɿɲ ʅɲɽɻʏɹʎ ȳʐʅʆɲʍʀʉʐ ʃɲɿ ȿʐʃɸʀʉʐ. Ɉʉ ʍʖʉʄɸʀʉ ɽɲ ʋʌɲɶʅɲʏʉʋʉɿɻɽɸʀ ʍʏɻ ȿɸʋʏʉʃɲʌʐɳ Ʌɿɸʌʀɲʎ ʍʏʉ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉ «BOɀO OLYMPUS GRAɁD RESORT» (ʋʌʙɻʆ «OLYMPIAN BAY») 4 ɲʍʏɹʌʘʆ, ʋʄɼʌʘʎ ɲʆɲʃɲɿʆɿʍʅɹʆʉ. Ɉʉ ʇɸʆʉɷʉʖɸʀʉ ɴʌʀʍʃɸʏɲɿ 2Km ɲʋʊ ʏʉʆ ȵɽʆɿʃʊ Ȱʐʏʉʃɿʆɻʏʊɷʌʉʅʉ Ȱɽɻʆʙʆ – Ⱥɸʍʍɲʄʉʆʀʃɻʎ ʃɲɿ 1000 ʅɹʏʌɲ ɲʋʊ ʏɻʆ ɲʆʏʀʍʏʉɿʖɻ ʍɿɷɻʌʉɷʌʉʅɿʃɼ ɶʌɲʅʅɼ. ȴɿɲɽɹʏɸɿ ɶɼʋɸɷɲ ʅʋɳʍʃɸʏ, ʏɹʆɿʎ, ɴʊʄɸʁ, ɴɿɴʄɿʉɽɼʃɻ, ʐʋɸʌʍʑɶʖʌʉʆʉ ɶʐʅʆɲʍʏɼʌɿʉ ʃɲɿ ɲʀɽʉʐʍɲ ɻʄɸʃʏʌʉʆɿʃʙʆ ʐʋʉʄʉɶɿʍʏʙʆ. ȸ ɷɿɲʅʉʆɼ ɽɲ ɸʀʆɲɿ ʍɸ ɷʀʃʄɿʆɲ (ʅɸ ɸʋɿɴɳʌʐʆʍɻ 40 €) ʃɲɿ ʏɸʏʌɳʃʄɿʆɲ ʃʄɿʅɲʏɿɺʊʅɸʆɲ ɷʘʅɳʏɿɲ. Ɉʉ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ɇʖʉʄɸʀʉ ɶɿɲ ʅɲɽɻʏɹʎ ȳʐʅʆɲʍʀʉʐ ʃɲɿ ȿʐʃɸʀʉʐ, «ȵʀʆɲɿ ʃɳʏɿ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌʉ ɲʋʊ ɹʆɲ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ʍʖʉʄɸʀʉ». ȵʀʆɲɿ ʍʖɸɷɿɲʍʅɹʆʉ ʆɲ ɷɸʀʇɸɿ ʍʏʉʐʎ ʅɲɽɻʏɹʎ ʏɻʆ ʉʅʉʌʔɿɳ ʏʘʆ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɸʆʆʉɿʙʆ ʃɲɿ ʆɲ ʉɷɻɶɼʍɸɿ ʏɻ ʍʃɹʗɻ ʏʉʐʎ ʍɸ ʆɹʉʐʎ ɷʌʊʅʉʐʎ. ɇʏʉ Ⱦɲʄʉʃɲɿʌɿʆʊ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ʍʖʉʄɸʀʉ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ɽɲ ɹʖʉʐʆ ʏɻ ɷʐʆɲʏʊʏɻʏɲ ʆɲ ɲʍʖʉʄɻɽʉʑʆ ʅɸ ʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʏʉʐ ʍʖʉʄɸʀʉʐ ɲʄʄɳ ʃɲɿ ʅɸ ɽɹʅɲʏɲ ʋɹʌɲ ɲʋʊ ʏɻʆ ɷɿɷɲʃʏɹɲ ʑʄɻ, ɸʆʙ ʋɲʌɳʄʄɻʄɲ ɽɲ ɲʆɲʋʏʑʇʉʐʆ ʏɻʆ ɿʃɲʆʊʏɻʏɳ ʏʉʐʎ ʍʏɻʆ ɸʋʀʄʐʍɻ ʋʌʉɴʄɻʅɳʏʘʆ, ʃɳʏɿ ʋʉʐ ɽɲ ʏʉʐʎ ɴʉɻɽɼʍɸɿ ʍɸ ʃɳɽɸ ʏʉʅɹɲ ʋʉʐ ɽɲ ɸʋɿʄɹʇʉʐʆ ʆɲ ɲʍʖʉʄɻɽʉʑʆ. ȳʆʙʍɻ ʃɲɿ ʗʐʖɲɶʘɶʀɲ ɽɲ ʍʐʆɷʐɲʍʏʉʑʆ ʅɹʍɲ ɲʋʊ ʅɲɽɼʅɲʏɲ ʋʉʐ ʃɳʆʉʐʆ ɹʅʋɸɿʌʉɿ ɷɳʍʃɲʄʉɿ ʃɲɿ ʃɲɽɻɶɻʏɹʎ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ, ʅɸ ʋʉʄʑʖʌʉʆɻ ɸʅʋɸɿʌʀɲ ʍʏɲ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃɳ ʏʘʆ ɷɿɸɽʆʙʆ ɷɿɲɶʘʆɿʍʅʙʆ. Ɉɲ ʅɲɽɼʅɲʏɲ ɶʀʆʉʆʏɲɿ ʍɸ 5 ɷɿɷɲʃʏɿʃɹʎ ʙʌɸʎ ʍɸ ʍʑɶʖʌʉʆɸʎ, ɸʇʉʋʄɿʍʅɹʆɸʎ ʅɸ ʊʄɲ ʏɲ ɲʋɲɿʏʉʑʅɸʆɲ ɸʋʉʋʏɿʃɳ ʅɹʍɲ ɲʀɽʉʐʍɸʎ ʍʏʉ ȳʐʅʆɳʍɿʉ ȿɸʋʏʉʃɲʌʐɳʎ ʃɲɿ ʏɸʄʉʑʆ ʐʋʊ ʏɻʆ ɸʋɿʍʏɻʅʉʆɿʃɼ ɸʋʉʋʏɸʀɲ ʏɻʎ ȵʋɿʏʌʉʋɼʎ ȴɿɲɶʘʆɿʍʅʙʆ ʏɻʎ ȵɀȵ. Ƀɿ ʅɲɽɻʏɹʎ, ʏʉʆ ɸʄɸʑɽɸʌʉ ʖʌʊʆʉ ʏʉʐʎ, ʅʋʉʌʉʑʆ ʆɲ ʏʉʆ ɲʔɿɸʌʙʍʉʐʆ ʊʋʘʎ ɲʐʏʉʀ ɽɹʄʉʐʆ, ʅɸ ɲɽʄʉʋɲɿɷɿɹʎ ʍʏɿʎ ʍʑɶʖʌʉʆɸʎ ɸɶʃɲʏɲʍʏɳʍɸɿʎ ʏʉʐ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ ʐʋʊ ʏɻʆ ɸʋʀɴʄɸʗɻ ɶʐʅʆɲʍʏʙʆ. Ȱʃʊʅɻ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ʏɿʎ ɲʋʉɶɸʐʅɲʏɿʆɹʎ ʙʌɸʎ ʅʋʉʌʉʑʆ ʆɲ ʃʉʄʐʅʋɼʍʉʐʆ ʍʏɻ ɽɳʄɲʍʍɲ ɼ ʍʏɿʎ ʋɿʍʀʆɸʎ ʏʉʐ ʇɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ, ɸʔ’ ʊʍʉʆ ʏʉ ɸʋɿʏʌɹʋʉʐʆ ʉɿ ɶʉʆɸʀʎ ʏʉʐʎ ʃɲɿ ʅɸ ʏɻʆ ɸʋʀɴʄɸʗɻ ʃɲɿ ʔʌʉʆʏʀɷɲ ʏʉʐ ʋʌʉʍʘʋɿʃʉʑ ɲʍʔɲʄɸʀɲʎ ʋʉʐ ɷɿɲɽɹʏɸɿ ʏʉ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉ. Ɉɲ ɶɸʑʅɲʏɲ ʏʘʆ ʋɲɿɷɿʙʆ ʋʌʘʀ, ʅɸʍɻʅɹʌɿ, ɴʌɳɷʐ ɽɲ ɸʋɿʄɸɶʉʑʆ ɲʋʊ ʏʉ ɸɿɷɿʃʊ ʋʌʉʍʘʋɿʃʊ ʏʉʐ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ ʃɲɿ ɽɲ ɲʆʏɲʋʉʃʌʀʆʉʆʏɲɿ ʍʏɿʎ ʍʘʅɲʏɿʃɹʎ ʃɲɿ ʋʆɸʐʅɲʏɿʃɹʎ ʏʉʐʎ ɲʆɳɶʃɸʎ. Ʉʄʉɿ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ɽɲ ɹʖʉʐʆ ʋʄɼʌɻ ɲʍʔɳʄɸɿɲ. Ƀɿ ʖʙʌʉɿ ɷɿɲʅʉʆɼʎ ɽɲ ʔʐʄɳʍʍʉʆʏɲɿ ʊʄʉ ʏʉ 24ʘʌʉ ɲʋʊ ʏɿʎ ʐʋɻʌɸʍʀɸʎ ɲʍʔɲʄɸʀɲʎ ʏʉʐ ɂɸʆʉɷʉʖɸʀʉʐ, ɲʄʄɳ ʃɲɿ ɲʋʊ ɳʏʉʅɲ ʋʉʐ ɽɲ ɲʆɼʃʉʐʆ ʍʏɻʆ ʉʌɶɲʆʘʏɿʃɼ ɸʋɿʏʌʉʋɼ ʏʉʐ ɀ.Ⱦ. ɇ. Ɉʉ ʃʊʍʏʉʎ ʍʐʅʅɸʏʉʖɼʎ ɶɿɲ ʃɳɽɸ ʅɲɽɻʏɼ ɲʆɹʌʖɸʏɲɿ ʍʏʉ ʋʉʍʊʆ ʏʘʆ 480€. Ɉɻ ʔʊʌʅɲ ʍʐʅʅɸʏʉʖɼʎ ʅʋʉʌɸʀ ʆɲ ʏɻ ɴʌɸɿ ʉ ʃɳɽɸ ɸʆɷɿɲʔɸʌʊʅɸʆʉʎ ʍʏɻʆ ɿʍʏʉʍɸʄʀɷɲ ʏɻʎ ȵʄʄɻʆɿʃɼʎ ɀɲɽɻʅɲʏɿʃɼʎ ȵʏɲɿʌɸʀɲʎ (ɸɷʙ ʍɸ ʅʉʌʔɼ word). ȳɿɲ ʏɻ ʍʐʅʅɸʏʉʖɼ ʃɳɽɸ ʅɲɽɻʏɼ ɸʀʆɲɿ ɲʋɲʌɲʀʏɻʏɻ ɻ ʍʐʅʋʄɼʌʘʍɻ ʏʉʐ ȴȵȿɈȻɃɉ ɇɉɀɀȵɈɃɍȸɇ ɀȰȺȸɈȸ ʃɲɿ ɻ ʃɲʏɳɽɸʍɻ 100€ ʍʏʉʐʎ ʋɲʌɲʃɳʏʘ ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʉʑʎ: Ɉʌɳʋɸɺɲ: ALPHA, ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʊʎ ʊʗɸʘʎ 10 100 200 20 19 988 ȻȲȰɁ GR86 0140 1010 1010 0200 2019 988 ȵȺɁȻȾȸ Ɉʌɳʋɸɺɲ, ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʊʎ ʊʗɸʘʎ 080/48002300 ȻȲȰɁ GR87 0110 0800 0000 0804 8002 300 Ɉʌɳʋɸɺɲ EUROBANK, ʄʉɶɲʌɿɲʍʅʊʎ ʊʗɸʘʎ 0026.0201.94.0201575138 IBAN GR9002602010000940201575138 (ʋʌʉʍʉʖɼ ʋʌɹʋɸɿ ʆɲ ɲʆɲɶʌɳʔʉʆʏɲɿ ʍʏʉ ɹʆʏʐʋʉ ʏɻʎ Ɉʌɳʋɸɺɲʎ ʏʉ ɸʋʙʆʐʅʉ, ʊʆʉʅɲ ʃɲɿ ʋɲʏʌʙʆʐʅʉ ʏʉʐ ʃɲʏɲɽɹʏɻ). ȵʋɸɿɷɼ ʉ ɲʌɿɽʅʊʎ ʏʘʆ ɽɹʍɸʘʆ ɸʀʆɲɿ ʍʐɶʃɸʃʌɿʅɹʆʉʎ ɽɲ ʋɲʌɲʃɲʄʉʑʍɲʅɸ ʉɿ ʅɲɽɻʏɹʎ ʋʉʐ ɸʆɷɿɲʔɹʌʉʆʏɲɿ ʆɲ ɸɶɶʌɲʔʉʑʆ ɹɶʃɲɿʌɲ. Ƀɿ ɸɶɶʌɲʔɹʎ ʇɸʃɿʆʉʑʆ 1 Ȱʋʌɿʄʀʉʐ 2018 ʃɲɿ ʏɸʄɸɿʙʆʉʐʆ 31 ɀɲʂʉʐ 2019. ȵʄɳʏɸ ʆɲ ʅɳɽʉʐʅɸ, ʆɲ ʋɸɿʌɲʅɲʏɿʍʏʉʑʅɸ ʃɲɿ ʆɲ ɷɿɲʍʃɸɷɳʍʉʐʅɸ! ɉʋʉɶʌɲʅʅʀɺʉʐʅɸ ʏɻʆ ɸʋɿʏʐʖʀɲ ʃɲɿ ʏɻʆ ɲʋɼʖɻʍɻ ʋʉʐ ɹʖɸɿ ʍʏʉʐʎ ʅɲɽɻʏɹʎ ʉ ɽɸʍʅʊʎ ɲʐʏʊʎ.

Εκδόσεις

της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Τιμή τεύχους: 3€

Τιμή βιβλίου: 12€

Τιμή βιβλίου: 18€

Τιμή τεύχους: 3€

Τιμή βιβλίου: 12€

Τιμή βιβλίου: 30€

Τιμή βιβλίου: 15€

Τιμή τεύχους: 3,5€

Τιμή βιβλίου: 12€

Τιμή βιβλίου: 20€

Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα τηλ.: 210 3616532, 210 3617784 fax: 210 3641025 www.hms.gr e-mail: info@hms.gr

Τιμή βιβλίου: 25€