Ευκλειδης Α 81

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ "

για το yυμνασιο

Τεύχος 81

Ιούλ�ος - Αύγουστος - Σεπτέμβρ�ος

a�

ευκλείδης

2011

τιμή Τεύχους Ευρώ 3,00

www.hms.gr

e-mail: info@hms.gr,

-··

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γενικά "Αρθρα

Συνεργασία με το Παράρτημα Λασιθίου Αίyα λόyια yια το νομό Λασιθίου, Γ.Σταμέλος Μαθηματικά και Τέχνη, Βαρόποuλος Δήμος, Μανδρώνη Αικατερίνη Οι Μεγάλες και Χρήσιμες Εξισώσεις Τύποι, Γ.Ωpαιόποuλος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Υπερβατικοί Αριθμοί: Μια "Μαύρη Τρύπα" στο "Σύμπαν" των Πραγματικών Αριθμών, Μ. Βόσκοyλοu Η μουσική των πλανητών, Δ. Πιπεράκη . . . . . Μαθηματικά και Μαντινάδες, Γ.Σταμέλος . . . . . 'Ή απολογία ενός Μαθηματικού", Στ.Αλαφάκη .

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

•

•

•

•

.

.

.

.

•

•

.

•

.

.

.

.

.

.

.

•

•

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Τά1ξη

Α"

1

3

. 6

.

9

14

17

23

Κριτήρια Διαιρετότητας, Δ. Λαποκωνσταντάκη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Προβλήματα με Ποσοστά, κ. Γληνού- κ. Γκιμίσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 .

.

Εξισώσεις,

Γ.Σταμέλος

Β" Τάξη .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

•

•

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

28

Γ" Τά.ξη

Στοιχεία Ιστορίας Μαθηματικών από τα Μαθηματικά των σχολικών βιβλίων, Γ.Ωpαιόποuλος 31 Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων, Μ. Πομόνη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 .

όλους

Σελίδες για

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί, Επιτροπή Διαγωνισμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 "Χαίρομαι να λύνω ... ", Δ. Βαρόποuλος .

42 Βαδίζοντας προς τον PISA 2012 (1 ο), Γ. Νζος . .... ..... ..... . . ... . .... .... . ..... . .......... 45 Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν, κ. Γιαννακάκη .

49 •

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Συντακτική επιτροπή

ΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑ1ΙΚΗΣ ΕτΑΙΡΕΙΑΣ

ΙΑΝΕΠιΣΤΗΜΙΟΥ 34-106 79 ΑΘΗΝΑ

Ε

: πίτιμος Πρόεδρος Ωραιόποuλος Γεώργιος

ηλ.: 210 3617784-3616532

aχ:

210 3641025

: Πρόεδρος Βαρόπουλος Δήμος Α

η : δότ ς :αλογεpόπουλος Γρηγόριος

: ντ πρόεδρος " ι Κυράνας Παναγιώτης Α Β": ντ πρόεδρος ι Γεώργιος Α Λυμπερόπουλος Γραματεία:

: ιμμανουήλ κευθυντής Κρητικός ι

ωδικός ΕΛ.ΤΑ.:

)SN: 1105 1ιμέλεια

•

2054

Αλαφάκη Σταυρούλα Σίσκου Μαρία

7998

Μέλη:

-Εκδοαης:

Αλαφάκη Σταυρούλα Αλεξανδράτου Άννα Γεωργίου Σπύρος Γληνού Αικατερίνη Κυράνας Παναγιώτης

ιαφ6κη Σταυρούλα Jρόπουλος Δήμος

Λαγός Γεώργιος Λυμπερόπουλος Γεώργιος Μανδρώνη Αικατερίνη Μενδωνίδης Γεώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακάλης Αναστάσιος Πανουσάκης Νικόλαος Παπασταυρίδης Σταύρος Πουλάκη Μαρία Ρίζος Γεώργιος Σίσκου Μαρία Τζίφος Νικόλαος Τσαπακίδης Γεώργιος Τσικοπούλου Στάμη Χριστοδούλου Ντόρα Χρυσοβέρyης Μιχαήλ Ωραιόπουλος Γεώργιος

, ...••••.•.........••...••••.•........•••........................•...........

l/ΟΚΙΉΣΙΑ ΤΗς \ΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗΣ ΕτΑΙΡΕΙΑΣ rοιχειοθεσία - Σελιδοποίηση: EMHNIKH ΜΑΘΗΜΑ ΠΚΗ ΠΑ/ΡΕ/Α

η: <τ πωα OTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΜΗ & Σ/Α ]λ.:ίί210 6623778-358

• •

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργάτες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρiπει να στέλνονται έyκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη/\". Τα Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,00 χειρόγραφα δεν εmστρέφοvται. Ετήσια συνδρομή (10,00+2,00 Ταχυδρομικά= ευρώ 12,00).

ΕΕ).

'ειίθuνος τunογpαφείοu: Δ. Παπαδόπουλος

Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00

Το ανrίτιμο για τα τεύχη που παραyyέλνοvται στέλνεται: 1. Με απλή ταχυδρομική εmταyή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεmι στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. 4. Με ανnκαταβολή, σε εταιρεία ταχυμεταφορών στο χώρο σας, κατά την παραλαβή.

Συνεργασία με το Παράρτημα Λασιθίου Το τεύχος αυτό δημιουργήθηκε σε συνεργασία με το Παράρτημα Λασιθίου. Ένα Παράρτημα ενεργό με πλούσια δράση και εκδηλώσ,εις

Συνεργάστηκαν οι συνάδελφοι Σταμέλος Γιάννης (Πρόεδρος), Λαποκωνσταντάκη Δέσποινα,

Πιπεράκη Δέσποινα, Πομόνη Μαριάνθη, οι μαθήτριες Γιαννακάκη Κωνσταντίνα , Μετοχιανάκη Μαρία και οι μαθητές Γαλανάκης Αλέξανδρος, Γαζής Θοδωρής, Τσουκάκης Μάνος.

Λίyα λόyια yια το νομό Λασιθίου

=======

Γιάννης Ε. Σταμέλος

Ο νομός Λ ασιθίου είναι ο ανατολικότερ ος από τους τέσσερεις νομούς της Κρήτη ς. Κατοική­ θηκε από την εποχή των Μινωιτών με κέντρα την Πρ α ισό, την 1τανο και το Παλαίκαστρο. Στην περιοχή του Παλαικάστρου, όπου πιθανολογείται η θέση της αρχαίας πόλης Δρ αγμός, υπήρξε ένα -ίσως το σημαντικότερ ο- λατρευτικό κέντρο του Κρηταγενούς Δία. Άλλα κέντρα υπήρξαν ο Ολούς, στη σημερινή Ελούντα , όπου κατά την παράδοση το λατρευτικό άγαλμα ήταν έργο του

Μόχλος και το νησάκι Ψείρ α , η Μινώ α στη σημερινή Παχειά Άμμο, τα Γουρνιά και τέλος το Δικτ αίο Άντρο , η σπηλιά στο Ψυχρό του Οροπεδίου Λασιθίου, ό­ Δαιδάλου, ο

• :ε.r<dιι

$i Ay. Νιιιιόλαοf; που κατά μια εκδοχή είναι ο τόπος γέννησης του Κρητα­ Aa- Nilιι>laD5 γενούς Δία. Μετά την κάθοδο των Δωριέων στην Κρήτη, το ανα­ τολικό άκρο με κέντρο την Πραισό αποτέλεσε το σημείο συσσώρευση ς των Ετεοκρητών, δηλαδή των παλιών κατοίκων της, των γνήσιων Κρητών, όπως

κυριολεκτικά σημαίνει ο όρος. Από την 'Ιτανο κατάγονταν ο Κορώβιος, ο οποίος όπως αναφέρει ο Ηρόδοτος, οδήγησε τους Θηραίους να ιδρύσουν τη σπουδαία αρχαία πόλη της Κυρήνης στα βόρεια παράλια της Αφρικής (την πατρίδα του Ερατοσθένη) . Από την αρχαία πόλη της Λ ατούς, στο σημερινό δήμο του Αγίου Ν ικολάου, καταγόταν ο ναύ αρχος του Μεγάλου Αλεξάνδρου Νέ αρχος, γνωστός και από το περί­ φημο σύγγραμμα «Παράπλους» . Ο σοφός Μύσων έλκει κατά μιαν εκδοχή την καταγωγή του από τη Σητεία , όπως και ο ποιη­ τής του «Ερωτόκριτου», Βιτσέντζος Κορνάρος. Από τη Νεάπολη καταγόταν ο Πάπας Αλέξανδρο ς ο ΕΌ Από το Οροπέδιο Λασιθίου, ο Μέγας Ευεργέτης του Πανεπιστημίου Αθηνών, Αντώνιος Παπαδάκης. Από την Ιεράπετρ α κατάγονται, ο Πα­

τριάρχης Μελέτιος Μεταξάκης και ο συνθέτης Γιάν­ νης Μαρκόπουλος ενώ από τον Άγιο Νικόλαο ο σκηνοθέτης Νίκος Κούνδουρος. Στα πολιτιστικά αξιοθέατα του νομού πρέπει να συμπεριλάβει κανείς το αρχαιολογικό Μουσείο του Αγίου Νικολάου με εκθέματα από όλο τον νομό, καθώς και τα μουσεία που στεγάζονται στην ΙεράΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.1/1

Άγιος Νικόλαος

------- Νομός Λασιθίου

-------

πετρα και τη Σητεία. Επίσης, τους μινωικούς χώρους λατρείας στο Παλαίκαστρο, την Κάτω

Ζά­

κρο, τα Γουρνιά, το σπήλαιο στο Δικταίο Άντρο και τα ερείπια της αρχαίας Λατούς. Από νεότερα μνημεία αξίζει να επισκεφθεί κανείς το καλύτερα διατηρημένο ενετικό φρούριο στην Κρήτη στο νησάκι της Σπιναλό γκας, τόπος που έχει συνδέσει το όνομά του με τη διαμονή των λεπρών μέχρι το 1 956. Η Παναγία η Κερά στην Κριτσά είναι το σημαντικότερο εκκλησια­ στικό μνημείο της τελευταίας βυζαντινής περιόδου στην Κρήτη . Ο νομός Λασιθίου έδωσε το παρόν στους aπελευθερω­ τικούς αγώνες με πλήθος αγωνιστών και μαρτύρων, όπως ο

Καπετάν Καζάνης, ο παπά-Γιαμαλάκης, ο Καπετάν Δερμι­ τζάκης, ο Καπετάν Λακέρδας, ο Αλεξομ ανώλης κ.α. Συ­ γκλονιστική η θυσία των μαρτύρων στο σπήλαιο της Μιλά­ του, όπως και οι βιαιοπραγίες των Τούρκων στα χωριά της Σητείας. Ο νομός Λασιθίου έχει πολλούς χώρους ιδιαίτερου φυ­ σικού κάλους. Στην πρωτεύουσά του, τον Άγιο Νικόλαο, ο

Σπιναλόγκα

επισκέπτης μπορεί να θαυμάσει τη λίμνη, σήμα κατατεθέν για την πόλη, την Ελούντα , τις πολλές μοναδικές παραλίες κ.α. Ιδιαίτερου κάλους θεωρούνται το

φοινικοδάσος Βάι στη Σητεία και το μοναδικό για το είδος του δάσος κέδρων στο νησάκι Χρυσή νότια της Ιεράπετρ ας, τα Κου φονήσια με το υποτροπικό περιβάλλον κ. α. Ο νομός έχει δυο μητροπόλεις: Στη Νεάπολη βρίσκεται η έδρα του μητροπολίτη Πέτρ ας και Χερρονήσου και στην Ιεράπετρα η έδρα του Ιερ απύτνης και Σητείας. Στο Οροπέδιο Λασιθίου μπορεί να θαυμάσει ο επισκέπτης τους πάρα πολλούς ανεμόμυλους στον κάμπο. Ιδιαίτερο χρώ­ μα έχουν η Ιεράπετρα με το φρούριο και τη μεγάλη παραλία, η οποία είναι πληθυσμιακά η με­ γαλύτερη πόλη του νομού και η Σητεία που είναι αμφιθεατρικά χτισμένη γύρω από με την Καζάρμα της.

τη

θάλασσα

Είναι μεγάλη η συμβολή του νομού στην παραδοσιακή μουσική με ονομαστούς λυράρηδες και βιολάτορες (λαϊκοί καλλιτέχνες του βιολιού), όπως ο Καλογερίδης, ο Παπαχατζά­

κης, ο Δερμιτζογιάννης, ο Μπαριταντω'νάκης, ο Βάρδας κ. α. Οι κάτοικοι του νομού Λασιθίου ασχολούνται κυρίως με τον τουρισμό, τη γεωργία και την αλιεία. Ονομαστό για την Φοινικόδασος Βάι

ποιότητά του είναι το λάδι που παράγεται στο νομό και τα κρασιά της περιοχής της Σητείας. Η περιοχή της Ιεράπετρας

είναι γνωστή για τις θερμοκηπιακές καλλιέργειες και τα πρώιμα κηπευτικά. Ο Άγιος Νικόλαος είναι έδρα ΤΕΙ και Ανώτερης Τουριστικής Σχολής αλλά και η Σητεία και η Ιεράπετρα είναι έ­ δρες επίσης σχολών ΤΕΙ. Το μοναδικό αεροδρόμιο του νομού βρίσκεται στη Σητεία. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/2

Η ΨΗΦΙΑΚΗ ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ JEAN CONSTANT: "FRACTALS" 1998-2003 ΚΑΙ SANGAKU.

Σ

Βαρόπ ουλος Δήμος, Μ ανδ ρ ώνη Αικατερίνη

το προηγούμενο τεύχος συναντήσαμε το όνομα ενός καλλιτέχνη που αξίζει τον κόπο να ασχοληθούμε περισσότερο μαζί του, γιατί έχει αφιερώσει το έργο του στην αλληλο­ διείσδυση Τέχνης και Μαθηματικών. Ο λόγος για τον Jean Constant, που γεννήθηκε στο Παρίσι το 1 949. Η οικογένεια της μητέρας του καταγόταν από την ελληνική παροικία Σιμσίκοφ στη Μαύρη Θάλασσα, μετακινήθηκε στην Κωνσταντινούπολη και εγκαταστάθηκε τελικά στο Παρίσι •λίγο πριν το τέλος του Α ' Παγκοσμίου Πολέμου. Ο Jean Constant σπούδασε στην Ακαδημία Καλών Τεχνών στην Τούρ της Γαλλίας. Μετά το τέλος των σπουδών του εγκαταστάθηκε στο Σαν Φραντσίσκο, όπου παρακολούθησε μαθήματα στο Art Institute, εργάστηκε φιλοτεχνώντας τοιχογραφίες και ως φωτογράφος­ aνταποκριτής για ευρωπαϊκά πρακτορεία. Στη συνέχεια έγινε διευθυντής εκθεσιακών χώρων και συμμε­ τείχε σε πολλές οργανώσεις καλλιτεχνών προωθώντας εικαστικά έργα με δημόσιο χαρακτήρα. Παράλληλα, ήταν και παραγωγός ταινιών για την τέχνη και τον πολιτισμό και εξακολουθεί να εργάζεται ακού­ ραστα για το ARPΑΜ, έναν πολιτισμικό και παιδαγωγικό μη­ κερδοσκοπικό οργανισμό, του οποίου σκοπός είναι να δημιουργήσει ένα <<Μαθηματικό Πάρκο», για να ενθαρρύνεται η κατανόηση του μαθηματικού περιβάλλοντος από το πλατύ κοινό. Το ARPΑΜ οργανώνει συνέδρια, συμπόσια, ομιλίες και εκθέσεις για να αναπτυχθεί ο διάλογος μεταξύ Μαθηματικών και Τέχνης. Σήμερα, ο Jean Constant ζεί και δραστηριοποιείται στο Los Alamos στο Νέο Μεξικό. Αυτό το τεχνολογικό και επιστημονικό περιβάλλον έχει τροφοδοτήσει το έργο του καλλιτέχνη με πολλές γόνιμες ιδέες (ψηφιακή τέχνη, υπολογιστές κ.ά). Στην Ευρώπη έργα του Jean Constant έχουν παρουσιαστεί και Γ"'"'""�--------...... στις δύο μεγάλες πρωτοποριακές εκθέσεις σχετικά με τα Μαθηματικά και την Τέχνη, που φιλοξενήθηκαν στο Ινστιτούτο Henή Poincare στο Παρίσι το 2005 και το 2009. Επιλέξαμε γι' αυτό το άρθρο δύο σειρές έργων του Constant: τα «Fractals» ( 1 998-2003) και την «Γεωμετpία wasan». Ένα γεωμετρικό αντικείμενο θεωρείται fractals (στα ελληνικά μορφοκλάσματα ή μορφοκλαστικά σύνολα) εάν έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: • τα τμήματά του έχουν το ίδιο σχήμα ή δομή με το σύνολο, εκτός από το ότι είναι σε διαφορετική κλίμακα, • το σχήμα του είναι πολύ ανώμαλο ή διακεκομμένο ή κατατμημένο σε όλες τις κλίμακες • περιέχει διακριτά αντικείμενα σε διάφορες κλίμακες . Ο Constant για να δημιουργήσει τη δική του εικαστική εκδοχή των fractals, χρησιμοποίησε το λογισμικό «Visualisation of mathematical objects» του Richard Pal­ ais, επίτιμου καθηγητή Μαθηματικών του Πανεmστημίου Brandeis (στο Waltham της Μασσαχου­ σέτης). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/3

περίοδο απομόνωσης από το δυτικό πολιτισμό -, αναπτύχθηκαν μαθηματικοί γρίφοι στην ευκλείδεια γεωμετρία με τη μορφή αναθηματικών εικόνων που ονομάζονταν Sangaku. Πάνω σε ξύλινα mνάκια διαφόρων μεγεθών και σχημάτων, ζωγραφισμένα με ωραία χρώματα περιγράφονταν γεωμετρικά προ­ βλήματα, που τα κρεμούσαν στους περιβόλους των βουδδιστικών ναών και αποτελούσαν διανοητική «πρόκληση» για τους εmσκέπτες όλων των κοινωνικών τάξεων. Σταδιακά η παράδοση των Sangaku ατόνησε, πολλά mνάκια χάθηκαν ή καταστράφηκαν, και σήμερα διασώζονται περίπου 900 τέτοια προβλήματα. Τα Sangaku ήλθαν ξανά στην εmκαιρότητα και τράβηξαν το ενδιαφέρον των μαθηματι­ κών στην Ιαπωνία και στη Δύση, ενώ με τη βοήθεια των υπολογιστών εmχειρήθηκε η σκιαγράφηση των γεωμετρικών προβλημάτων, αλλά και η χρήση τους ως υπόβαθρο για καλλιτεχνική ανάπλαση και αναδημιουργία, όπως στην περίπτωση του Jean Constant, του οποίου οι σειρές παραλλαγών στα San­ gaku aποτίουν φόρο τιμής στους μαθηματικούς και τους ζωγράφους που κόσμησαν τους τοίχους και τους περιβόλους πολλών ναών στην Ιαπωνία. Και ορίστε 4 ωραία Sangaku (Καλή Τύχη! ganbatte kudasai!): lo. Η βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου ΓΔΒ είναι στη διάμετρο ΑΒ ενός κύκλου. Ο κύκλος κέντρου Ε εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου διαμέτρου ΑΔ ,εσωτερικά του κύκλου διαμέτρου ΑΒ και στη πλευρά ΓΔ του τριγώνου .. Να δείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΕΔ είναι κάθετο στη διάμετρο ΑΔ.

Οι ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι διάμετροι του κύκλου (Ο, ρ) και ΑΟΒ = ΑΟΖ = 60° .Οι κύκλοι (Οι, α) και (Ο 4, β) εφάπτονται ο ένας στον άλλο εξωτερικά, εφάπτονται των ΒΕ και CZ και ο (Οι, α) εφάπτεται του (Ο, ρ) εσωτερικά. Ο κύκλος (Ο7, γ) εφάπτεται του ( 08, δ) 09 εξωτερικά. Οι κύκλοι ( 07, γ) , ( 08, δ) και ( 09, ε) εφάπτονται του ΑΖ και του κύκλου (Ο, ρ) εσωτερικά. Να βρείτε το d ως συνάρτηση του β. (Διατύπωση από τον μαθηματικό Η. Okumura).

2ο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/4

-------

Μαθηματικά και Τέχνη

-------

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο ( O,R). Οι κύκλοι ( 01,t 1), ( 02,t2) εφά­ πτονται του κύκλου ( O,R) και των πλευρών ΑΓ και ΒΓ. Στο ΑΒΓ οι κύκλ.οι ( 03,r), ( 04,r1), ( 05 ,r2) κτλ είναι εφαπτόμενοι ο ένας στον άλλο, και των πλευρών ΑΓ και ΒΓ. Να υπολογίσετε τα rι, r 2, r3, ως συνάρτηση των t1, t 2 και r. (Διατύπωση από τον μαθηματικό Η. Okumura).

30.

• • •

Α

4ο. Έξι συγκλίνοντα ορθογώνια τρίγωνα ανοίγουν σα βεντάλια κατά μήκος των πλευρών ενός κανο­ νικού πενταγώνου πλευράς α. Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας αυτών των τριγώνων ως συνάρτηση του α. (Διατύπωση από τις μαθηματικούς Jill Vincent & Claire Vincent).

Εικόνα fractal που βασίζεται στο γεγονός ότι ο λόγος των ακτίνων των δύο εγγεγραμμένων κύ­ κλων, σε αυτό το Sangaku είναι 2: 1. �η \/� / \

)

·�

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Εργογραφία του Jean Constant (επιλογή) Jean Constant, Poetίc ofSymmetry, Hennay Publisher, www.hennay.org/jconstant Montreux, Switzerland, 2002. www.grand-illusions.com/.../jean constant Jean Constant, Mathematίcs and Art, Ecole Polytech­ www. saatchionline.com/...Fractal.../view nique, University Press, Paήs, 2005. www.νirtualrnathmuse.um org/.. /ArtGalleιν Constant/jconstanthtml Jean Constant, Wasan Geometry, Hennay Publisher, Για τα Fractals Montreux, Switzerland, 2007. www.islab.demokήtos.gr Για τα Sangaku www.mandelbrot.org

Για τη ζωή και το έργο του Jean Constant

t

.

www.math.yale.edu/�bbm3

Hidetoshi Fukagawa & Dan Pedoe, Japanese temple geometry problems=Sangaku, Charles Babbage, Winnipeg, 1 989.

Hidetoshi.Fukagawa & Dan Pedoe, How to solve Japanese tem­ ple geometry problems?, Μοή Κitashuppan, Tokyo, 1 99 1 .

Hidetoshi Fukagawa & Tony Rothman, Sacred Mathemat­ ίcs:Japanese Temple Geometry, Pήnceton University Press, Pήnceton, 2008.

www.sangaku.info

www.wasan.jp/english

www.loyola.edu/maru!sangaku.htrnl www.hennay.org/constant/wasa/nnmc.htrnl

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/5

91 Μεγάλες κ α 1 Χρήσ 1 μες Εξισώσεις- Τύποι Γ. Ωραιόπουλος Α. Αρχίζουμε από τους Αρχαίους Έλληνες

1. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο γύρω στο 586 π.Χ. Αφού περιΠλανήθηκε και σπού­ δασε στην Ελλάδα και στη Μέση Ανατολή, Μαθηματικά και Φιλοσοφία, κατέληξε στην ελληνική πόλη Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας όπου άνοιξε την ιστορική σχολή του. Εκεί, με τους μαθητές του, ανακάλυψε και απέδειξε τις σχέσεις των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούτα ι με το άθρ οισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευ­ ρ ών. Δηλαδή, σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90° ισχύει: 2 α = �β 2 + γ α2 = β 2 + γ 2 � β = �α2 - γ 2 2 2 γ = �α - β Γ

β

Β

γ

Α

Αυτή είναι μια μεγάλη και χρήσιμη εξίσω­ ση με την οποία βρίσκουμε μια πλευρά ορθο­ γωνίου τριγώνου αν γνωρίζουμε τις άλλες δύο. Αν, για παράδειγμα, οι κάθετες πλευρές είναι 6m και 8m τότε ή υποτείνουσα είναι: α = �6 2 + 8 2 = �3 6 + 64 = .JiOo = 1 0m Οι αριθμοί 1 0,8,6 λέμε πως είναι μια πυ­ θαγόρεια τριάδα και υπάρχουν άπειρες ακέ­ ραιες Πυθαγόρειες τριάδες της μορφής: 5ρ,4ρ,3ρ όπου ρεΝ. Ακόμα πυθαγόρειες τριά­ δες είναι οι ( 1 3 , 1 2,5), ( 1 7, 1 5,8) και πολλές άλ�ς. Το θεώρημα αυτό, το απέδειξαν πολλοί νεότεροι μαθηματικοί με διάφορους τρόπους και συνεχίζουν ακόμη. Αν οι κάθετες πλευρές του τριγώνου είναι β=γ= 1 τότε η υποτείνουσα χ = �1 2 + 1 2 = ν'1+i = .fi . Ο αριθμός αυτός

δεν ισούται με κανέναν ακέραιο και κλασμα­ τικό αριθμό. Έτσι ανακαλύφθηκαν νέοι αριθ­ μοί, οι άρρητοι, όπως οι

J3,J5, J6, J?, J8, Fo, ....

Ώστε, οι τετραγωνικές ρίζες αριθμών που δεν εί­ ναι τετράγωνοι όπως οι 1 ,4,9, 1 6, . . . είναι άρρητοι 1 με άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά.

2. Η Χρυσή Τομή 1 Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (408-355 π.Χ) ήταν μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος, μαθη­ τής στην Ακαδημία του Πλάτωνα και αργότερα δάσκαλος μαθηματικών σ' αυτήν. Προηγούμενα έκανε σπουδές στην Αίγυπτο και ίδρυσε σχολή στην Κύζικο της Μικράς Ασίας. Αυτός ανακάλυψε το πρόβλημα της χρυ­ σής τομής ενός ευθύγράμμου τμήματος σε δυο χ 1 άνισα τμήματα χ και 1 -χ ώστε - = -- ή χ 1 -χ 2 Χ = 1 (1 - χ) Α •

χ

ι�

Β

Αυτή είναι επίσης μια μεγάλη και χρήσιμη

.fs -1 2,235... -1 ' = ο, 617 χ= εξ'ισωση με λυση -2 3 και το μικρότερο τμήμα 1 -χ=1 -0,6 1 7::::: 0 ,3 83 . Ο λόγος του μεγάλου τμήματος Μ προς το μιΜ Ο, 6 1 7 , κρο, μ ειναι - = -- :::::: 1 , 61 8 . μ 0, 3 83 Ο λόγος αυτός της χρυσής τομής υπάρχει στη φύση, στα όργανα του ανθρώπου, στους κλάδους των φυτών κοκ και όπου εμφανίζεται, δημιουργεί εικόνα αισθητικά ωραία. Επίσης, χρησιμοποιείται στην αρχιτεκτονική των ναών

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/6

------

Οι Μ εγάλες και Χρήσιμες Ε ξισώσεις - Τύποι

όπως και στην τέχνη (ζωγραφική, γλυπτική). Σε πόρτες, παράθυρα, κορνίζες, που είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα, αν ο λόγος της μεγάλης διάστασης προς τη μικρή είναι χρυσή τομή ( 1 ,6 1 8) τότε είναι πολύ κομψά. Ο ομφαλός του ανθρώπου διαιρεί όλο το ύψος του σε χρυσή τομή. Σπουδαίες είναι και οι aστρονομικές εργασίες του Εύδοξου όπως ο υπολογισμός του ηλιακού έτους σε 3 65,25 μέρες όπου βάσει αυτού έγινε το παλιό ημερολόγιο, 3 χρόνια με ς 3 65 μέρες και ο 4° χρόνος, 366 μέρες. Το μικρό λάθος διόρθωσε, αργότερα, σε 365,2425 μέρες ο αστρονόμος Σωσιγένης και έχουμε το νέο ημερολόγιο που χρησιμοποιούμε και σήμε ρ α.

3. Δημόκριτος Γενν ήθηκε στα ΣτάΎειρα το 460 π.Χ. Σπούδασε στην Αίγυπτο και στην Ελλάδα και ίδρυσε σχολή στην πατρίδα του. Μαζί με το δάσκαλό του Λεύκιππο δημιούργησαν τη θεω­ ρία ότι όλα τα σώματα αποτελούνται από άτο­ μα, πολύ μικρά αόρατα σωματίδια, που κινού­ νται με αλληλεπιδράσεις. Αυτή ήταν μια προ­ φητεία για τη σύγχρονη ατομική θεωρία. Μια άλλη aστρονομική γνώση του Δημό­ κριτου ήταν ότι ο Γαλαξίας ήταν συγκέντρωση Πολλών άστρων. Προς τιμή του ένας κρατήρας της Σελήνης πήρε το όνομά του. Ο Δημόκριτος ήταν ο πιο θετικός μαθημα­ τικός και αστρονόμος της εποχής του. Χαρα­ κτηριστικά είπε: <<llολυνοϊην, ου πολυμ αθίην

ασκέην χρη» (Ν α μάθεις να σκέπτεσθα ι, όχι να γεμίζεις το μυαλό σου με γνώσεις). Έγραψε

πολλά συγγράμματα, αλλά κανένα δε διασώ­ θηκε. Στη Γεωμετρία απέδειξε την εξίσωση : Όγκος πυραμίδας (ή κώνου) = Όγκος πρί­

σμ ατος (ή κυλίνδρου) που έχουν ίσες τις βάσεις και τα ύψη.

4. Χρήσιμοι Τύποι από Εμβαδά και Ό­ -yκους Ο Μέγας Αλέξανδρος ίδρυσε στην Αίγυ­ πτο την Αλεξάνδρεια, που ήθελε να γίνει πνευματικό και οικονομικό κέντρο του ελλη­ νισμού. Ο βασιλιάς Πτολεμαίος κάλεσε πολ­ λούς Έλληνες σοφούς, μεταξύ των οποίων και ο μαθηματικός Ευκλείδης, στον οποίο ανέθεσε τη διεύθυνση του Μουσείου. Αυτός έγραψε μαθηματικά βιβλία με κυριότερο τα ιστορικά <<Στοιχεία», τα οποία μεταφράστηκαν στα α-

ραβικά, λατινικά, νεοελληνικά. Στο βιβλίο αυτό γράφονται και αποδεικνύ­ ονται.όλα τα μαθηματικά των προγενέστερων Ελλήνων μαθηματικών, μεταξύ των οποίων οι μεγάλες και χρήσιμες εξισώσεις - τύποι από τα εμβαδά και τους όγκους των γνωστών μας σχημάτων. Για παράδειγμα: Τετράγωνο: Ε=α2=δ2/2, Ορθογώνιο: Ε=μήκος . πλάτος, Παραλληλόγραμμο: Ε=β ·υ,

β.

Τρίγωνο: Ε = - υ ,Τραπέζιο: Ε = 2 δ · δ' Ρόμβος: Ε =-, 2

Κανονικό πολύγωνο: Ε

(Β+ β) . υ 2

περίμετρος. απόστημα

,

2 2 Κύκλος: Ε=πρ (π�3 , 1 4 1 59), ο πρ2, μ Τ Κυκλικός ομέας: Ε = , 360 ° Κυκλικός δακτύλιος: Ε=π(ρ 2-ρ ' 2) 2 Κύβος: Επαράπλευρ ς επιφάνειας=4α � Ε λικής επιφάνειας=4α +2α2=6α2 Όγκος=α3 , ο Πρίσ μα: Επαράπλευρη ς επιφάνειας=περίμετρος βάσης-υ, Ε ολ.=Επαράπλευρης επιφάνειας+2 Εβάσης Όγκος=Εβάσης · υ, Κύλινδρος: Επαράπλευρης επιφάνειας=2πρ·υ, Εολ.=2πρ · υ+2πρ2 , Όγκος=πρ2 · υ κ.λ.π.

5. Οι εξισώσεις του Αρχιμήδη Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) γεννήθηκε στην ελληνική πό­ λη της Σικελίας Συρακούσες όπου και σκοτώθηκε από Ρωμαίο Στρα­ τιώτη. Αυτός υ­ πήρξε ο μεγαλύτε­ ρος φυσικομαθηματικός και μηχα- " νικός της Αρχαίας Ελλάδας. Όλα τα θεωρήματά του και τα εργαλεία του στηρίζονται σε χρήσιμες εξισώσεις: Στην Υδροστατική ανακάλυψε το νόμο της άνωσης στερεού σώματος βυθισμένου σε υ­ γρό. Η ιδιότητα αυτή, που στα σχολικά βιβλία λέγεται « αρχή του Αρχιμήδη» είναι μεγάλη και χρήσιμη εξίσωση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/7

------

Οι Μ εγάλες και Χ ρήσιμες Ε ξισώσεις - Τύποι

Ά νωση (στερεού σώματος βυθισμένου σε ντίστοιχο πίνακα για τιμές της Β από σο ως 90° υγρό) =Βάρο ς εκτοπιζόμενου υγρ ού. Σε αυτό το Ι απέναντι π ευρά της Β

νόμο στηρίζεται και η κίνηση των πλοίων. Α'

r--:��=-:

η μΒ =

=

�

α υποτεινουσ α 1. προσκείμενη πλευρά της Β συν Β = = , α υποτεινουσ α απέναντι πλευρά της Β � εφΒ = = γ προσκείμενη πλευρά τη ς Β . ,

Β'

Λ

Γ

Ο Αρχιμήδης, στο βιβλίο του «Μέτρηση κύκλου», θεωρεί ότι το εμβαδόν κύκλου προ­ σεγγιζεται ικανοποιητικά από το μέσο όρο των εμβαδών δυο πολυγώνων, ενός περιγεγραμμέ­ νου και ενός εγγεγραμμένου στον κύκλο, όταν οι πλευρές τους αυξάνονται. Σε ένα κύκλο κέντρου Ο εγγράφει το κα­ νονικό εξάγωνο ΑΒ... και περιγράφει το Α' Β ' .... Τα εξάγωνα τα κάνει κανονικά 1 2άγωνα, τα 1 2άγωνα, 24άγωνα, τα 24άγωνα, 48άγωνα και τέλος τα 48άγωνα τα κάνει κα­ νονικά 96άγωνα που τα εμβαδά τους πλησιά­ ζουν στο εμβαδόν του κύκλου. Έχουμε:

β

Β

Με τις τρεις αυτές εξισώσεις θεωρείται ι­ δρυτής της Τριγωνομετρίας. Εφαρμογή, η μέ­ τρηση της ακτίνας της Γης: Από ένα ύψος Α μέτρησε τη γωνία Α=87,6 °. Στο ορθογώνιο ΒΓ =_ τρίγωνο ΑΒΓ: εφΑ = Ρ_. ΑΓ ρ+υ Α

Εμβαδό περιγεγρ αμμένου 96αγ ώνου >π/> Εμβαδό εγγεγγραμμένου 96αγ ώνου

Από τη διπλή αυτή ανισότητα προκύπτει 10 10 3->π>3 71 70 Τις μετρήσεις αυτές τις επεκτείνει στο βι­ βλίο του «Έφο δος», στη σφαίρα και στις κω­ νικές τομές (παραβολή), χρησιμοποιώντας υ­ πολογισμούς απειροστικούς, οι οποίοι έγιναν από το Νεύτωνα το 1 700 μ.Χ.

6. Ουρανσyραφικές εξισώσεις Ο Ίππαρχος (190-125 π.Χ.) γεννήθηκε στη μικρασιατική Νί­ καια και έζησε στη Ρόδο και στην Αλε­ ξάνδρεια όπου δια­ κρίθηκε ο μεγαλύτε­ ρος Αστρονόμος της Αρχαιότητας. Τελειο­ ποίησε τη διόπτρα, κατασκεύασε χάρτες Ίππαρχος (190-125 π.Χ.) και την υδρόγειο σφαίρα. Στο ορθογώνιο τρίγωνο, σε κάθε τιμή της γωνίας Β μέτρησ� το λόγο

Ι και σχημάτισε α­ α

Ν

Από τους πίνακες, βρήκε ημ87 ,6°=0,9992 και υπολόγισε ρ=6370km. Επίσης, βρήκε την απόσταση Γης - Σελήνης. Έτσι ο Ίππαρχος μέτρησε Γη και Ου­ ρανό ! Ο Κλαύδιος Πτο­ λεμαίος (85-165 μ.Χ.) συγκέντρωσε όλες τις αστρονομικές μετρή­ σεις στο βιβλίο του Κλαύδιος Πτολεμαίος (85-165 μ.Χ.)

<<Μέγιστη μαθηματική Σύνταξη>> και δημιούρ­ γησε το Πτολεμαϊ'κό σύμπ αν με κέντρο τη

Γη, κάτι που πίστευε όλος ο κόσμος μέχρι το 1 6° αιώνα. Και αυτός, όπως ο Ίππαρχος, έκανε τους τόσο χρήσιμους τριγωνομετρικούς πίνακες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/8

111Ν llfiAI ΜΑΙΙΚ11Ν Afllι:JM11N ======

I

Μιχάλης Βόσκογλου, Καθηγητής 'fΕΙ Πατρών

1. Εισαγωγή Ο τίτλος αυτού του άρθρου έχει μεταφορική έννοια. Πράγματι, με τον όρο μαύρη τρύπα (black hole) οι αστρονόμοι χαρακτηρίζουν κάποιες περιοχές του σύμπαντος όπου υπάρχει συγκεντρωμένη μια σημαντικά μεγάλη ποσότητα μάζας, έτσι ώστε, η δύναμη της βαρύτητας να μην επιτρέπει σε οτιδήποτε να ξεφεύγει από την περιοχή αυτή . Εξαιτίας αυτού οι μαύρες τρύπες δεν μπορούν να εκπέμψουν κανενός είδους φως ή � πληροφορίες που θα μπορούσαν να επιβεβαιώσουν την ύπαρξη τους. Η ανίχνευση τους ωστόσο εί­ ναι δυνατή μέσα από την παρακολούθηση φαινομένων που συμβαίνουν στην περιοχή τους, όπως π.χ. οι τροχιές αστέρων που περιστρέφονται γύρω τους, ή περmτώσεις, όπου ύλη, που έλκεται από τη βαρύτητά τους, συγκεντρώνεται σ' ένα εξαφετικά θερμό και γρήγορα περιστρεφόμενο δίσκο γύρω τους, πριν εισέλθει μέσα τους και εξαφανισθεί (για περισσότερες kπrομέρειες βλ. {4}) . Μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζεται στη ·παρακάτω φωτογραφία (Σχήμα 1) , που την αντλήσαμε από το site: http://www.georgion.gr/mayrh-tιypa-d29 .htm στο διαδίκτυο. Αν τώρα φαντ'ασθούμε το σύστημα των πραγματικών αριθμών σαν ένα σύμπαν, τότε οι υπερβατικοί αριθμο� που ανήκουν στο σύμπαν αυτό, φέρνουν έντονα στο νου την εικόνα (περίπου) μιας μαύρης τρύπας, αφού οι πληροφορίες, που έχουμε γι' αυτούς, είναι πολύ λίγες. Για να φθάσουμε όμως στους υπερβατικούς αριθμούς, ας πάρουμε τα πράγματα με τη σεφά ξεκινώντας με μια ανασκόπηση του συστήματος (ή του σύμπαντος, αν προτιμάτε) των πραγματικών Σχήμα 1 : Μαύρη Τ ρύπα αριθμών.

2. Φυσικοί αριθ μοί: Μια ιστορική ανασκόπηση Η εμπεφική προσέyyιση της έννοιας του αριθμού πραγματοποιήθηκε από τον άνθρωπο στα πλαίσια της επαφής του με το κοινωνικό περιβάλλον και μέσα από την ανάγκη του να διακρίνει το ένα από τα πο').)./}., , α').)./}., και να μετρήσει πο').)./}., ομοειδή αντικείμενα. Στα πρώτα κατά συνέπεια στάδια της ιστορίας του πάνω στη γη, η θεώρηση των αριθμών γινόταν με πολύ συγκεκριμένο τρόπο σε σχέση με την αφηρημένη έννοια που έχουν αποκτήσει σήμερα. Για παράδειγμα, έχουν μεσολαβήσει τεράστια <<νοητικά βήματα» του ανθρώ­ που μεταξύ 'tων εννοιών «5 ό'Jv:Jyω>,«5 πράγματω> και της αφηρημένης έννοιας του αριθμού 5. Γίνεται λοlΠόν εύκολα αντιληπτό, ότι για πολλούς αιώνες οι μόνοι αριθμοί που γνώρtζαν οι άνθρωποι, ήταν οι φυσικοί αριθμοί 1,2,3, .. Το Ο δεν θεωρούνταν αρχικά ως αριθμός. Ο πρώτος, που σύμφωνα με τις υπάρχουσες ιστορικές μαρτυρίες χρησιμοποίησε το Ο μαζί με το εξαδικό σύστημα αρίθμησης των Βαβυλωνίων, όχι ως αριθμό, α').)./}., ως σύμβολο που υποδηλώνει την ύπαρξη μιας κενής θέσης (όπωζ π.χ. περίπου το χρησιμοποιούμε σήμερα για να διακρίνουμε τον αριθμό 216 από τον 2016), ήταν ο αστρονόμος και μαθηματικός ΠτοΛεμαίος γύρω στο 130 μΧ Η θεώρηση του Ο ως αριθμού έγινε πιθανότατα για πρώτη φορά τον 'f αιώνα από τον Ινδό μαθηματικό Brahmagupta, το έρyο του οποίου συνέχισαν οι επίσης Ινδοί Mahavίta και Bhaskara, 200 και 500 περίπου χρόνια αντίστοιχα μετά από αυτόν. Οι tδέες αυτές μεταφέρθηκαν τόσο στην Κίνα, σ1r.ό τους Chίn Chίu-Shao (1247) και Zhu Shijίe (1303), όσο και προς τα δυτικά, σε tσλαμu<ές κατ' αρχή χώρες. Ο Άραβας μαθηματικόςΑΖ-Κhwαrίzmί (ωώ το όνομα του οποί1 Ορισμένα στοιχεία από το άρθρο αυτό αποτελούν προϊόν συνεργασίας με το συνάδελφο Δρ. Γεώργιο Κόσυβα, κα­ θηγητή του Βαρβάκειου Πειραματικού Λυκείου (βλ. [5] και [9] από τη βιβλιογραφία) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.1/9

----

Υπε ρβατικοί αριθμοί: Μια «μαύρη τρύπα» στο Σύμπαν των πραγματικών αριθμών

συ προήλθε και η γνωστή στα μαθηματικά λέξη αλγόριθμος) περtέγραψε σε σύγγραμμα του το ινδ1Κής προέλευ­ σης δεκαδοcό σύστημα αρίθμησης με χρήση των συμβόλων 0,1,2,3, . . . ,9. Τον ακολούθησε olbnEzzaτo 12° αιώ­ να και λίγο αργότερα ο AZ-Samawal, ο οποίος μάλΙστα μετέφερε τις γνωστές πράξεις μεrαξύ των αρtθμών και στα πολυώνυμα. Ο ποΜ γνωστός ωτό την αποκάλυψη των συνώνυμων του αριθμών (σριθμοί Fίbonaccί: π.χ. βλ [7}) Ιταλός μαθηματικός Fίbonaccί (1 170-1250), που τον αποκαλούσαν και Λεονάρδο της Πiζας, μετέφερε τα παρα­ πάνω και στην Ευρώπη με το σύγγραμμα του LίberAbacί. Ωστόσο και παρά τα όσα είχαν πρσηyηθεί ωτό τους Ιν­ δούς και Άραβες μαθηματικούς, ο Fibonacci θεώρησε το Ο ως σύμβολο και όχι ως αριθμό. )(ρειάο{)ηκε μάλΙστα να περάσσw ποοο χρόνια από τότε, μέχρι να καθιφυθεί ευρέως και στην Ευρώπη (γύρω στο 1600) η θεώρηση του Ο ως αριθμού (για περισσάrερες π).ηροφορfες σχεrικά J1E την ιοτορία του Οβλ[Ι]). Στα μαθηματικά, κάθε συλλογή διακεκριμένων μεταξύ τους αντικειμένων που έχουν μια κοινή χαρα­ κτηριστική ιδιότητα, ονομάζεται σύνολο. Το σύνολο όλαιν των φυσικών αριθμών έχει επικρατήσει διεθνώς να συμβολiζεται με το γράμμα Ν (natural φυσικός) και γράφουμε Ν = {0, 1 ,2, . . . . }. Το σύμβολο αυτό, όπως και τα σύμβολα για τα υπόλοιπα γνωστά σύνολα αριθμών, που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια, προτάθηκαν για πρώτη φορά σε μια σειρά βιβλίων με το γενικό τίτλο Elements de Mathematίque, που άρ­ χισαν να εκδίδονται το 1 939 από μια ανανεωνόμενη με βραδύ ρυθμό ομάδα Γάλλαιν μαθηματικών με το ψευδώνυμο Nίcolas Bourbakί, που προσπαθεί να καλύψει όλους τους σύγχρονους κλάδους των μαθηματι­ κών με συστηματικό τρόπο (ο Bourbakί, ως φυσικό πρόσωπο, ήταν Γάλλος στρατηγός, γιος του Έλληνα συνταγματάρχη Διονυσίου Βσύρβαχη που πολέμησε στο πλευρό του Ναπολέοντα). Για τους φυσικσύς αριθμούς ο Kronecker ( 1 823- 1 891 ), υπέρμαχος του διαισθητικσύ τρόπου αντιμετώ­ πισης των μαθηματικών (intuitionism), συνήθιζε να λέει: «0 Θεός δημισύργησε τους φυσικσύς αριθμσύς, ενώ τους υπόλοιπους αριθμσύς τους έκανε ο άνθρωποφ. Αντίθετα, άλλοι, οπαδοί της aξιωματικής θεμελί­ ωσης των μαθηματικών (φορμαλισμός και εvορατισμός στα μαθηματικά: π.χ. βλ [5}) , προσπάθησαν να τους κατασκευάσουν με θεωρητικό τρόπο, πράγμα που πέτυχε τελικά ο Peano το 1 889 . .,....___,...., 3. Οι ακέραιοι αριθ μοί Ιστορικά, η πρώτη συστηματική παρουσίαση των αρνητικών αριθμών εμφανiζεται το 1 770 στο σύγγραμμα του Euler με τίτλο Ειdαγωγή στην Άλγεβρα. Το σύνολο Ζ={Ο, ± 1, ± 2, ± 3, . . ...} των ακέραιων αριθμών αποτελεί επέκταση του Ν, που επινοήθηκε από τους μαθηματικσύς για την επίλυση των εξισώσεων της μορφής χ+ν =Ο, όπου ν φυσικός αριθμός. Το σύμβολο Ζ προέρχεται από τη γερμανική λέξη "zahlen", που σημαίνει απαρίθμηση.

4. Το σύνολο των ρητών αριθ μών Το σύνολο των ρητών αριθμών, που συμβολiζσυμε με το γράμμα Q (quotient=πηλίκo), αποτελεί επέ­ κταση του Ζ και επινοήθηκε από τους μαθηματικσύς για την επίλυση των εξισώσεων της μορφής αχ =β, όπου α και β ακέραιοι αριθμοι με β * Ο. Από τα σχολικά μαθηματικά γνωρiζσυμε ότι ρητός ονομάζεται α κάθε αριθμός της μορφής , όπου α και β ακέραιοι αριθμοί και β =F Ο. Κάθε ακέραιος α είναι ρητός αφού β "' "' 1 2 3 α. Κ , ,."';;w, , , , , , , μπορει να γραφει ως α ι αθε ρητος μπορει να γραφει με ποιvwuς τροπσυς, π.χ. "2 = 4 = 6" =... Eι..c.u.ι• 1 =

� ·-

=

·

όμως τα στοιχεία ενός συνόλου πρέπει να είναι διακεκριμένα μεταξύ τους, για να γράψουμε το Q ως σύνο­ λο, θα πρέπει να επιλέξουμε ένα αντιπρόσωπο για κάθε ρητό αριθμό. Συνήθως επιλέγουμε το αντίστοιχο α ανάγωγο κλάσμα και γράφουμε : Q={ : α, β Ε Ζ, β =F Ο και Μ. ΚΔ.(α, β)= 1},όπου το σύμβολο <<:>> σηβ μαίνει «έτσι ώστε», ο συμβολισμός α, β Ε Ζ σημαίνει ότι τα α και β ανήκουν στο Ζ (δηλαδή αποτελσύν στοιχεία του) και το ΜΚΔ .(α, β) συμβολiζει το μέγιστο κοινό διαφέτη των α και β. Είναι φανερό, ότι κάθε . α α κλάσ ωγ ρητός μπορεί να γραφτεί στη μορφή ενός ανάγ ου ματος ή - με α και β φυσοcσύς αριθμσύς. β β α α Όμώς το κλάσμα εκτελώντας -- τη διαίρεση : β μετατρέπεται είτε σε ένα τερματιζόμενο δεκαδικό αριθβ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.1/10

----

Υπε ρβατικοί αριθμοί: Μια «μαύρη τρύπα)) στο Σύμπαν των πραγματικών αριθμών

μό, είτε σε ένα περιοδικό (ή σύμμεφο) δεκαδικό αριθμό, δηλαδή ένα απεφοψήφω δεκαδικό αριθμό, πσυ τα δεκαδικά του ψηφία επαναλαμβάνονται διαρκώς με μια όυyκεκριμένη σειρά (τα επαναλαμβανόμενα ψη­ φία ωτοτελούν την περίοδο του αριθμού). Το πηλίκο της διαίρεσης α : β είναι τερματιζόμενος δεκαδικός μόνο όταν ο παρονομαστής β είναι πα­ ράγοντας μιας δύναμης του 1 Ο, πράγμα πσυ συμβαίνει, μόνο όταν το β είναι γινόμενο δυνάμεων του 2 και 53 3 = = 0,75 I = 2,65 κ. λπ.). Η πιθανότητα κατά συνέπεια ένα τυχαίο κλάσμα να του 5 (π.χ. l = 4 2 20 2 .5 μετατρέπεται σε τερματιζόμενο δεκαδικό είναι αρκετά μικρή. ' Όταν δε συμβαίνει αυτό, τότε το κλάσμα μετατρέπεται υποχρεωτικά σε περωδικό αριθμό. Πράγματι, είναι γνωστό (αλγόριθμος του Ευκλείδη) ότι το υπόλοtπσ της διαίρεσης α : β είναι μικρότερο του διαφέτη β. Συνεχίζοντας τη διαίρεση για να προκύψει ο αντίστοιχος δεκαδικός αριθμός (όπου διαφέτης παραμένει πάντοτε ο β), όταν ένα από τα προκύπτοντα υπόλοtπα παρουσιασθεί για δεύτερη φορά, η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται από την αρχή. Αυτό όμως θα συμβεί υποχρεωτικά μετά από β το πολύ βήματα, αφού τα πιθανά μη μηδενικά υπόλοtπα των διαδοχικών διαφέσεων δια του β είναι τα 1,2, . . . , β-1. Τελικά λοtπόν θα προκύψει ένας περωδικός δεκαδικός αριθμός, του οποίου η περίοδος ωτοτfλείται από β- 1 το πολύ ψηφία.

�

�

Για παράδειγμα, στο κλάσμα

� η διαίρεση 15: 7 δίδει πηλίκο 2 και υπόλοtπο 1. Για να συνεχίσουμε τη

7 ί δια ρεση <<Κατεβάζουμε» το Ο δiπλα στο 1, οπότε η νέα διαίρεση 10: 7 δίδει πηλίκο 1 και υπόλοtπσ 3 . Συ­ νεχίζοντας με τον ίδω τρόπο βρίσκουμε διαδοχικά πηλίκο 4 και υπόλοtπο 2, μετά 2 και 6, μετά 8 και 4, με­ τά 5 και 5 και τέλος 7 και 1. Στο σημείο δηλαδή αυτό και μετά από 7-1 =6 ακριβώς βήματα παρουσιάζεται για δεύτερη φορά το αρχικό πηλίκο 1 (με άλλους αριθμούς αυτό μπορεί να συμβεί νωρίτερα), οπότε η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται από την αρχή, επ' άπεφο. Προκύπτει λοtπόν τελικά ο περιοδικός αριθμός 2,142857142857. . . με περίοδο 142857. Υπενθυμίζουμε εδώ ότι οι περιοδικοί αριθμοί διακρίνονται σε απλούς, όπως ο προηγούμενος, όπου η περί­ οδος αρχίζει και επαναλαμβάνεται αμέσως μετά το ακέραω τμήμα τους και σε μικrούς, στους οποίους πα­ ρεμβάλλεται ένα πεπερασμένο μη περιοδικό τμήμα μεταξύ του ακέραιου μέρους και της πρώτης περιόδου (π.χ. 42,181 3535 . . . . ). Επειδή λοtπόν κάθε τερματιζόμενος δεκαδικός αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως μικτός περιοδικός με περί­ οδο το Ο, με βάση τα όσα αναφέραμε παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε κλάσμα μπορεί να γραφεί και ως περωδικός δεκαδικός αριθμός. Αντίστροφα είναι γνωστό επίσης ότι και κάθε περιοδικός αριθμός μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα (βλ. βιβλίο Μαθηματικών Α ' Γυμνασίου σελ. 135- 1 36: με ανάλο­

γο τρόπο μπορεί να μετατραπεί και ένας μικrός περιοδικός αριθμός σε κλάσμα).

Γενικά, αν με Α συμβολίσουμε το ακέραω, με Μ το μη περωδικό τμήμα και με Π την περίοδο ενός αριθ,,ι:ι,.,.λ , Χ ΑΜΠ-ΑΜ , , , , �ουμε τοσα , οπου στον παρονομαστη, β!.Υ μου' Χ, ισχυει ο συ!λt"-' tκος τυπος μετατροπης ,

99...00..

9, όσα είναι τα ψηφία της περιόδου και τόσα Ο, όσα είναι τα ψηφία του μη περιοδικού τμήματος του Χ Δι­ ευκρινίζουμε ότι οι εκφράσεις ΑΜΠ και ΑΜ στον αριθμητή δε συμβολίζουν γινόμενα, αλλά διαδοχική

γραφή αριθμών. Οτι δεν υφίσταται για το Χ (το Α, ή το Μ μαζί με τα Ο του παρονομαστή, ή και τα δύο) δι­ αγράφεται από τον τύπο. Έτσι π. χ. βρίσκουμε αμέσως ότι: 42 1 8 1 35 - 4218 1 4 1 759 54 i _!._ 13 - 1 i 1 = = κ.λπ.

42,1813535 . . . .. o,333 . . . .= = I 1,333 . . = 9 3 9 3 99000 99000 Από τα όσα αναφέραμε παραπάνω καταλήγουμε στο παρακάτω συμπέρασμα: ν"Τα κλάσματα και οι περωδικοί δεκαδικοί είναι οι ίδωι αριθμοί γραμμένοι με διαφορετικό τρόπο και κατά συνέπεια το σύνολο Q των ρητών αριθμών συμπίπτει με το σύνολο των περωδικών δεκα­ δικών αριθμών.

5. Το σύνολο ων πραγματικών αριθ μών Η εξίσωση Jt= α, όπου α θετικός ρητός, δεν έχει λύση στο Q. Για την επίλυση τέτοωυ και ανόΜ.Jyου είδους εξισώσεων οι μαθηματικοί επέκτειναν το Q σε ένα ευρύτερο σύνολο, το σύνολο των πραγματικών αριθμών, πσυ θα το συμβολίζουμε με το γράμμα R (real = πραγματικός). Το R ωτοτελείται από όλους τους ρητούς αριθμούς και από κάποιους άλλους αριθμούς, που δεν είναι ρητο� δηλαδή δεν μπορούν να γραφούν .

.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/1 1

----

Υπερβατικοί αριθμοί: Μια «μαύρη τρύπα» στο Σύμπαν των πραγματικών αριθμών

ως κλάσματα. Για το Λfyyo αυτό οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται άρρητοι (δηλαδή μη - ρητοί). Για παράδειγμα η παραπάνω εξίσωση :l= α έχει ως λύσεις στο R τα χ= Jα και χ= - Jα, όπου Jα εί­ ναι η γνωστή μας τετραγωνική ρίζα του α. Στη σfλ. 45 του βιβλίου μαθηματικών της Β' Γυμνασίου υπο­ λογίζονται οι διαδοχικές ρητές προσεyyίσεις της J2 . Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί επ' άπεψο κατα­ λήγουμε στο δεκαδικό αριθμό 1 ,4142 1 35 . . . με άπεφο πλήθος δεκαδικών ψηφίων μη περιοδικών δηλαδή τα ψηφία του δεν επαναλαμβάνονται με μια συγκεκριμένη σειρά. Οι δεκαδικοί αυτοί αριθμοί ονομάζονται μη περιοδικοί ή αnύμμεrροι. ΠΡΟΣΟΧΗ!

Ένας απειροψήφιος δεκαδικός αριθμός είναι αnύμμεrρος Qn_ γιατί τα δεκαδικά του ψηφία δεν προκύπrουν με μια συγκεκριμένη διαδικασία αΜά επειδή δεν επαναλαμβάνονται με μια συγκεκριμένη σειρά, δηλαδή επειδή δεν έχει περίοδο. Για παράδειγμα ο αριθμός 2,1 3 1 311 3 111 3 1111 3 11111 3 . . . είναι ασύμμετρος αν και υπάρχει μια κα­ ..

νονικότητα (συγκεκριμένη διαδικασία) στην εμφάνιση των δεκαδικών του ψηφίων. Πράγματι, μετά το δεύτερο 1 3 εμφανίζεται το 1, μετά το τρίτο 1 3 το 11, μετά το τέrαρτο 1 3 το 111 κ.ο.κ. Επειδή το σύνο'ΜJ των ρητών αριθμών ταυτίζεται με το σύνο'ΜJ των περιοδικών δεκαδικών αριθμών, μπο­ ρούμε να ταυτίσουμε το σύνο'ΜJ των άρρητων αριθμών με το σύνο'ΜJ των ασύμμετρων δεκαδικών αριθ­ μών. Επομένως καταλήγουμε στο παρακάτω συμπέρασμα: ../ Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών ταυτίζεται με το σύνολο όλων των δεκαδικών αριθμών (τερματιζόμενων και απειροψήφιων).

6. Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι το σύνο'ΜJ των άρρητων αριθμών ταυτίζεται με το σύνο'ΜJ των μη περιοδικών δεκαδικών αριθμών, αφήσαμε όμως αναπάντητο το ερώτημα αν υπάρχονν και άλλοι άρρη­ τοι αριθμοί (γραμμένοι με διαφορετική, δηλαδή {ΥΊ). δεκαδική μορφή) πέρα από τις τετραγωνικές ρίζες των θετικών ρητών αριθμών που δεν έχονν ακριβή τιμή και τους αντίθετους τους αριθμούς. Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι καταφατική. Κατ' αρχή, όπως θα μάθετε και στο Λύκειο, εκτός από τις τετραγωνικές ρίζες ορίζονται και οι ν-οοτές ρίζες θετικών ρητών αριθμών, όπου ν είναι φυσικός, ν 2 2 . Πράγματι, θα λέμε ότι ο θετικός αριθμός χ είναι η ν-οστή ρίζα του θετικού αριθμού α, όταν χν= α. Θα γράφουμε τότε χ = Va (π.χ. V8 =2, Wl =3 κ.λπ.) . Θα πρέπει εδώ να δtευκρινίσουμε ότι, όταν το ν είναι περιττός αριθμός� (κάτι που δε γίνεται στα βιβλία μαθηματικών του Λυκείου), να ορισθούν και ν-οστες ρίζες αρνητικών αριθμών, που είναι επίσης αρνητικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε � =-2, αφού (-2/ = -8, V- 243 = -3, αφού (3/ =-243 κ.λπ. Όλες οι ν-οστές ρίζες ρητών που δεν έχονν ακριβή τιμή, μπορούν να γραφούν ως μη περιοδι­ κοί δεκαδtκοί αριθμοί υπολογίζοντας τις δtαδοχικές δεκαδtκές τους προσεyyίσεις όπως κάνουμε για το J2 . Γενικότερα ονομάζουμε αλγεβρικούς αριθμούς τους πραγματικούς αριθμούς, που αποτελούν λύσεις (ρίζες) μιας εξίσωσης της μορφής a,xv+av-zx�'-1+ +azx+arr=O με συντελεστές a , av-z, ,az, αο ρητούς v αριθμούς και ν φυσικό αριθμό, ν 21. Γίνεται αμέσως φανερό ότι κάθε ρητός αριθμός α είναι αλγεβρικός, αφού αποτελεί ρίζα της εξίσωσης χ +α=Ο. Επίσης η ν-οστή ρίζα κάθε ρητού αριθμού α είναι αλγεβρικός αριθμός, ως ρίζα της εξίσωσης: xv- α=Ο. Οι μαθηματικοί επί πο'λλ.ά χρόνια είχαν την υποψία ότι υπάρχονν άρρητοι αριθμο� που δεν είναι αλγεβρtκο� ωστόcrο δεν υπήρχε γνωστό κανένα παράδειγμα. Ο Euler (1707- 1783) αναφέρει σχετικά ότι: «οι αριθμοί αυτο� των οποίων η φύση δύσκολα γίνεται αντιληπτή, δεν περιγράφονται με αλγεβρικές μεθόδου9> . Επειδή 'ΜJιπόν υπερβαίνουν την ισιJ> των αλγεβρικών μεθόδων, ονομάστηκαν υπερβαπκοί (trascendental) αριθμο� όπου η αγγλική λέξη trascendental σημαίνει υπερφυσικός, μεταφυσικός. Ο όρος αυτός εισάχθηκε από τον Leίbniz (1646-1716) σε μια εργασία του όπου απέδειξε ότι η συνάρτηση φ(χ) = ημχ δεν είναι πολυωνυμική. Το πρώτο παράδειγμα υπερβατικού αριθμού κατασκευάστηκε από τον Lowvίlle (1 809-1 882) και αφορά τον αριθμό Ο, 110001000000000000000001 Ο . . . , που είναι ο απειροψήφιος δεκαδικός αριθμός του οποίου ' όλα τα δεκαδικά ψηφία είναι Ο, εκτός από τα ψηφία που βρίσκονται στις θέσεις ν/=1·2 ... ·ν, για ν=1, 2, 3, που είναι 1 (δηλαδή στις θέσεις 11=1, 21=1-2=2, 31=1-2·3=6, 41= 1·2·34=24 κ.ο.κ.). Ο Liouville μά••...

. . .,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.1/12

•••

----

Υπε ρβατικοί αριθμοί: Μια «μαύ ρη τρύπα» στο Σύ μπαν των πραγματικών αριθμών

λιστα κατάφερε να κατασκευάσει άπειρους υπερβατικούς αριθμούς χωρίς όμως να δώσει ένα γενικό κρι­ τήριο, με τη βοήθεια του οποίου να μπορούμε να διακρίνουμε, αν ένας δοσμένος άρρητος αριθμός είναι =�=��η' g&ιJ�� . Τέτοιου είδους κριτήριο δεν έχει γίνει γνωστό μέχρι σήμερα. Η πρώτη αναγνώριση δοθέντος αριθμού ως υπερβατικού επιτεύχθηκε από τον Hermίtte to 1 873. Πρόκειται για τον αριθμό e=2, 718 . . , τον οποίο ο Neper είχε χρησιμοποιήσει από το 1614 ως βάση του συστήματος των φυσικών λογαρίθμων που ο ίδιος επινόησε. Βαmζόμενος στο αποτέλεσμα αυτό, ο Lίndemman, απέδειξε το 1 882 ότι ο γνωστός από τη μέτρηση του κύκλου αριθμός π είναι επίσης υπερβατικός και σε συνεργασία με τον Weίrstrass κατόρθωσαν να κατασκευάσουν υπερβατικούς αριθμούς με αλγεβρικές δυνάμεις του e. Το 1900, σε μια μεγάλη διάσκεψη των .

μαθηματικών που οργάνωσε ο Hίlbert, διατυπώθηκαν όλα τα μέχρι τότε άλυτα προβλήματα. Το 7° από τα προβλήματα αυτά ήταν το εξής: « Αν ο αριθμός α είναι αλγεβρικός και ο β άρρητος και αλγεβρικός αριθμός τότε ο αριθμός α .[β είναι υπερβατικός;». Το 1 934-35 ο Ρώσος μαθηματικός Gelfond και ο Γερμανός Schneίder έδωσαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον καταφατική απάντηση στο πρόβλημα αυτό. Υπάρχουν βέβαια σήμερα γνωστά και αρκετά άλλα παραδείγματα υπερβατικών αριθμών, όπως είναι ο eπ .οι φυσικοί λογάριθμοι των θετικών ρητών αριθμών, πολλοί τριγωνομεiρικοί αριθμοί διαφόρων γωνιών κ.λπ. Γνωρίζουμε επίσης ότι το άθροισμα ενός υπερβατικού και ενός αλγεβρικού αριθμού είναι υπερβατικός αριθμός, δε γνωρίζουμε , ' _fl _g Π π , π , e e και αν οι αρt!θμοι' π+e, π- e, π. e, -, ομως

e

Σχήμα 2 : Τ ο " σύ μπαν" των πραγματικών αρθμών

άπειροι άλλοι άρρητοι αριθμοί είναι υπερβατικοί, ή όχJ,. Σημειώνουμε, ότι θεμελιωτής της θεωρίας των συνόλων Cantor απέδειξε το 1 873 ότι το σύνολο

των αλγεβρικών αριθμών είναι aριθμήσιμο (δηλαδή ισοδύναμο με το Ν), ενώ το σύνολο των υπερβατικών αριθμών είναι υπέραριθμήσιμο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι οι υπερβατικοί είναι κατά πολύ περισσότεροι από τους αλγεβρικούς αριθμούς. Μια εποπτική ιδέα του πλήθους τους δίνει η παρατήρηση του έναστρου ουρανού το βράδυ, όπου τα μεν αστέρια αντι­ στοιχούν στους αλγεβρικούς, τα δε σκοτεινά σημεία στους υπερβατικούς αριθμούς. Γίνεται λοιπόν αντιλη­ πτό ότι οι πληροφορίες που έχουμε για τους υπερβατικούς αριθμούς είναι συγκριτικά ελάχιστες σε σχέση με το πλήθος τους. Γι' αυτόν ακριβώς το 'λiYyo τους παρομοιάσαμε στην εισαγωγή του άρθρου σαν μια «μαύρη τρύπω> μέσα στο «σύμπαν» των πραγματικών αριθμών. Το διάγραμμα του Σχήματος 2, που το α­ vtλήσαμε από το porta1 του 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών στο διαδίκτυο (βλ. [8]) , δίνει μια πολύ πα­ ραστατική εικόνα του συνόλου («σύμπαντο9>) των πραγματικών αριθμών καθώς και του πλήθους της κά­ θε κατηγορίας αριθμών που το απαρτίζουν. Β Ι ΒΛΙ ΟΠ>ΑΦΙΛ

[1] Α History of Zero, ωώ το διαδίκτυο στο site: http://www-gap.des.st-andac.uk/�historv/Histτopics/Zero.html [2] Αλιμπινίσης, Α. κ.α., Μαθηματικά Α' Γυμνασίου, ΟΕΔΒ,'Εκδοση Β', Αθήνα, 1989 [3] Αρτεμιάδης, Ν., Ιστορiα των Μαθηματικών (Από της Σκοπιάς του Μαθηματικού), Ακαδημiα Αθηνών, 2000 [4] Βικιπαίδεια, Μαύρη τρύπα, ωτό το διαδίκτυο στο site: http://el.wikipedia.org/wiki/μαύρη τρύπα [5] Βόσκογλσυ, Μ., Φορμαλισμός και Ενορατισμός στα Μαθηματικά, Το Σχολείο και το Σπίτι, 5, 253-257, 1999.

[6] Βόσκογλσυ, Μ. - Κόσυβας, Γ., Η κατανόηση των άρρητων αριθμών, Πρακτικά 25ου Πανελλήνιου Σννέδρισυ Μαθηματικής Παιδείας ΕΜΕ, 305-3 14, ΘεσΜκη, 2009.

[7] Λυμπεροπούλσυ, Λ. - Παπαδάκη, Μ., Αριθμοί Fibonacci και το τρίγωνο του Pascal, Ευκλείδης Α', 72, 8-9 [8] Portal του 2ου Πειραματικού Λυκείου Αθηνών, Υπερβατικοί Αριθμοι ωώ το διαδίκτυο στο site: http://2lyk-peir­ athin.att.sch.gr/portaVmath/fiel s/trans.pdf [9] Voskoglou, Μ. - Kosyνas, G., Α study on the comprehension of iπational nιunbers, Quademi di Ricerca in Didattica (Scienze Mathematiche),.,Uniνersity ofPalenno, 2 1 , 201 1 (at press) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.1/13

Η

μου σ ι κ ή των πλανητών

====

Δέσποινα Πιπεράκη

«άκουγε την αρμονία του σύμπαντος κατανοώντας την καθολική αρμονία των σφα ιρών και των αστέρ ων που κινούνται προς αυτές, αρμονία που εμείς σήμερ α δεν ακούμε λόγω της ανεπάρκει ας της φύσης μ ας». Ωστόσο ήταν ο μόνος που είχε αυτήν την ικανό­ Λέγεται πως ο Πυθαγόρας

τητα. Η ιδέα της ουράνιας μουσικής δεν ακουγόταν για πρώτη φορά, είχε αποτυπωθεί και στο παρελθόν σε μυθολογικές εικόνες. Έτσι, οι Πυθαγόρειοι κλήθηκαν να απαντήσουν στο εξής ε­ ρώτημα: Είναι δυνατό οι πλανήτες να παράγουν μουσική, και αν ναι, γιατί δεν την ακούμε; Χρησιμοποιώντας φυσικο-ακουστικές θεωρίες, aστρονομικές παρατηρήσεις και υπολογι­ σμούς σχετικά με το μέγεθος, το βάρος ή την ταχύτητα ουράνιων σωμάτων απέδειξαν ότι ήχος παράγεται όταν πράγματα που βρίσκονται σε κίνησή συναντώνται και συγκρούονται. Πολλοί από αυτούς τους ήχους δεν είναι ευδιάκριτοι από εμάς, μερικοί λόγω της αδυναμίας της σύ­ γκρουσης, κΊiποιοι άλλοι λόγω της μεγάλης τους απόστασης από εμάς και κάποιοι λόγω του υ­ περβολικά μεγάλου μεγέθους τους. Γιατί οι μεγάλοι ήχοι δεν φτάνουν στα αυτιά μας, όπως τίποτα δεν περνά μέσα από το στενό λαιμό ενός αγγείου. Έτσι κατέληξαν ότι όταν τόσο μεγάλα σώματα κινού­ νται πρέπει να παραχθεί ήχος, αφού έτσι συμβαίνει με τα σώματα στην περιοχή μας, τα οποία ούτε τέτοιο όγκο έ­ χουν, ούτε με τέτοιες ταχύτητες κινούνται. Όταν ο ήλιος, η σελήνη και τα αστέρια, τόσο μεγάλα σε αριθμό και ύ­ λη, κινούνται με τόσο ταχεία κίνη σή , τότε είναι πιθανό να παράγεται ήχος υπερβολικός σε ποσότητα. Λαμβάνο­ ντας αυτούς τους ισχυρισμούς ως υποθέσεις και υποθέ:rο­ ντας επίσης ότι από τις αποστάσεις μεταξύ τους οι ταχύ­ ,τητες απαιτούν τους λόγους των συμφωνιών, είπαν, ότι ο ήχος που παράγεται από τα αστέρια καθώς αυτά κινού­ νται σε κυκλική τροχιά είναι αρμονικός. Ο λόγος που δεν ακούμε αυτόν τον ήχο είναι, γιατί από τη στιγμή που γεν­ νιόμαστε, αυτός υπάρχει με τέτοιο τρόπο ώστε να μην εί­ ναι �μφανής από την απόλυτη σιγή διότι, αυτός ο ήχος . και η σιγή διακρίνονται μεταξύ τους με τον ίδιο τρόπο που ο σιδηρουργός δεν διακρίνει τους ήχους γιατί τους έχει συνηθίσει. Το ίδιο συμβαίνει και με το ανθρώπινο είδος. (Αρ ι στοτέλης) Η αρμονία είναι το εργαλείο εκείνο που μας επιτρέπει να κάνουμε μεταφορικούς παραλλη­ λισμούς ανάμεσα στη γήινη και την υπερκόσμια μουσική . Με γνώμονα αυτόν τον συλλογισμό, ο Πυθαγόρας προσπάθησε να κατασκευάσει ένα όργανο το οποίο θα ήταν «συνεπές και όχι επιρ­ ρεπές σε λάθη». Περνώντας μία μέρα τυχαία από το εργαστήρι ενός σιδηρουργού άκουσε τα σφυριά να κτυπούν στο σίδερο του αμονιού δίνοντας ήχους απολύτως σύμφωνους μεταξύ τους, με εξαίρεση ένα ζευγάρι. Αναγνώρισε ανάμεσά τους την διαπασών, την πέμπτη και την τετάρτη, παρατήρησε επίσης ότι αυτό που ήταν ανάμεσα στην τετάρτη και την πέμπτη ήταν παράφωνο αλλά και αναγκαίο να γεμίσει το μεγαλύτερο από αυτά τα διαστήματα. Μετά από πολλά πειρά­ ματα ανακάλυψε ότι αυτό που ευθύνεται για την διαφορά στον ήχο ήταν το βάρος των σφυριών. Πήρε κομμάτια σίδερο, τα ζύγισε επακριβώς, μετά έφτιαξε μία μονή ξύλινη ράβδο (που λει­ τουρyούσε ως ηχείο) και κρέμασε από αυτή τέσσερις ίδιες χορδές, ίσου μήκους, τις οποίες τέ­ ντωσε κρεμώντας τα βάρη στις άκρες τους. Έπειτα, κρούοντας ανά δύο τις χορδές και με βάση τις αναλογίες των βαρών που είχε χρησιμοποιήσει βρήκε τις αναλογίες των νοτών. Να επισημά•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.1/14

------- Η

Μουσική των πλανητών

--------­

νου με βέβαια ότι δεν είναι σαφές κατά πόσο ο ίδιος ο Πυθαγόρας συνεισέφερε στα μαθηματικά και μουσικά θεωρήματα τα οποία του έχουν αποδοθεί. Σ' αυτόν όμως αποδίδεται η αρχική ιδέα για την μαθηματική τεκμηρίωση της μουσική (; . � �

? .. ' �----:.-:-: , ,.� : . ..::.Υ...;.,. J>::. Ηή. r--..,. .,..,. ., ,. ----.1..-----::....-.-r-..

-:-:-:::-� -vi<i .! ·-

ΝΤΟ

ΡΕ

ΛΑ

ΜΙ ��-----

•

., ::-----... ,. ,.. iιy r--., ΣΙ

ΝΤΟ

l ) �--------�-���-� · c������������:� -----------� - -

Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα (κατά τον Φιλόλαο) είναι: ίσο 1 αρμονία ή διαπασών (οκτάβα ) 2 /1 δις διαπασών 4/1 διαπέντε ή δι ' οξείαν ή ημιόλιον 3/2 διατέσσερ α ή συλλαβά ή επίτριτον (2 : 3/2 = 4/3) 4/3 δίτονο (9/8 * 9/8 = 81/64) 81/64 τριημίτονο (4/3 : 9/8 = 32/2 7) 3�/27 9/8 τόνος ή επόγδοον (3/2 : 413 = 9/8) 256/243 λείμμ α ή δίεση (4/3:81/64=2561243) Να επισημάνουμε ότι κατά την πρόσθεση των διαστημάτων κάνουμε πολλαπλασιασμό των λόγων και κατά την αφαίρεση, διαίρεση . Ακόμα, οι λόγοι τη χορδής ανεστραμμένοι εκφράζουν λόγους συχνοτήτων. Για παράδειγμα, μπορούμε να πούμε ότι όταν πάλλονται τα 2/3 της χορδής, οπότε και παράγεται ένα διάστημα δια πέντε με την ανοικτή χορδή, η συχνότητα του νέου φθόγ­ γου είναι 3/2 φορές μεγαλύτερη της συχνότητας της ανοικτής χορδής. Τέλος, να αναφέρουμε ότι για τους Πυθαγόρειους, δίεση ονομαζόταν το ημιτόνιο. Λαμβάνοντας υπ' όψη ότι οι αρχαίες κλίμακες (σε αντίθεση με τις σύγχρονες) πηγαίνουν από τις υψηλές στις χαμηλές νότες, παίρνουμε την εξής αντιστοιχία: Νέα Αρχαία Κλίμακα Κλίμακα ΝΤΟ Νή τη πάνω

Λόγοι

ΣΙ

Παρανήτη

243/1 28

ΛΑ

Τρίτη

27/ 1 6

Αριθμητικός μέσος

ΣΟΛ

Παράμεση

3/2

Αρμονικός μέσος

ΦΑ

Μέση

4/3

ΜΙ

Λιχανός

8 1 /64

ΡΕ

Παρυπάτη

9/8

ΝΤΟ κάτω

Υπάτη

1

2/ 1

} } } } } } }

η μιτόνιο τόνος

9/8

τόνος

9/8

τόνος

9/8

η μιτόνιο

τόνος

τόνος

9/8 9/8

Στην αρχαία κλίμακα τα ονόματα των νοτών προέρχονταν από τις θέσεις των πλανητών. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών έπρεπε να μετρούνται με βάση το «κεντρικό πυρ». Αποτελούσε ένα φανταστικό άξονα γύρω από τον οποίο κινούνταν κυκλικά ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.1/15

-------

Η Μουσική των πλανfιτών

-------

Έτσι η αντιστοιχία είχε ως εξής: ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΩΜΑΤΑ

ΝΟΤΕΣ

Η Τετρακτύς αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της μουσικής θεωρίας των Πυθαγορείων. Πρόκειται για την τετράδα των αριθμών 1 , 2, 3 και 4, οι οποίοι συμμετέχουν στις συμφωνί?ς της πυθαγόρειας μουσικής θεωρίας. Οι τέσσερις αριθμοί που απαρτίζουν την τετρακτύ, όταν αθροι­ στούν, δίνουν ως αποτέλεσμα το 1 0 που θεωρείτε από τους Πυθαγόρειους ο πληρέστερος αριθ­ μός. Αυτός ο αριθμός είναι η πρώτη τετρακτύς και περιγράφετε ως «η πηγή της αενάου φύσε­ ως», σε τέτοιο βαθμό που το σύμπαν είναι οργανωμένο στη βάση αυτών των αριθμών σύμφωνα με την αρμονία. Αφού ο αριθμός 1 Ο είναι πλήρης, οι Πυθαγόρειοι λένε, ότι και τα πράγματα που βρίσκονται στον ουρανό θα είναι 1 Ο. Αφού όμως τα ορατά είναι μόνο εννέα (Ηλιος, Σελήνη, Ερμής, Αφροδίτη, Άρης, Δίας, Κρόνος, Γη και η σφαίρα των απλανών αστέρων) επινόησαν το δέκατο, τον «Αντίχθων». Το μουσικό διάστημα της οκτάβας σχετίζεται με το λόγο 2/1 και αυτό γιατί όταν χτυπάμε μία χορδή μισού μήκους, ο τόνος που προκύπτει είναι κατά μία οκτάβα υψηλότερος σε σχέση με αυτόν που παράγεται από μία ολόκληρη χορδή . Έτσι, κάθε μουσικό διάστημα σχετίζεται με ένα λόγο απλών αριθμών (λόγος διαστημάτων) και αυτό σηματοδοτεί την γέννηση της θεωρίας των . αναλογιών. Η Άλγεβρα μουσικών διαστημάτων, όπως ονομάστηκε, μας δίνει 20 Προτάσεις. Κά­ ποιες καθαρά μαθηματικές και κάποιες άλλες οι οποίες αναφέρονται αποκλειστικά στη μουσική, όπως για παράδειγμα η εξής: «Το δια τεσσάρων διάστημ α είναι μικρότερο από δύο τόνους και ένα

ημ ιτόνιο και το δια πέντε είνα ι μικρότερο από τρείς τόνους κα ι ένα ημιτόνιο».

Από την Άλγεβρα μουσικών διαστημάτων, σύμφωνα με τον Φιλόλαο, αποδεικνύεται ότι

«αρμονία = πέντε επόγδο α + δύο διέσεις » αφού

Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα έχει διατηρηθεί αναϋλωτη ακόμα και σήμερα. Η συνει­ σφορά του όμως έγκειται στη σημασία που έδωσε στη σχέση ήχου και αριθμού (Barker). Σήμε­ ρα, 24-1 1 χρόνια μετά, η NASA προσπαθεί ακόμα να επαληθεύσει τους ισχυρισμούς του Πυθα­ γόρα περί μουσικής των πλανήτων, ηχογραφώντας τις ηλεκτρομαγνητικές «φ ωνές » των πλανη­ τών. Άραγε θα καταφέρουμε ποτέ να μάθουμε τι άκουγε ο Πυθαγόρας; Πηγές: Αρμονικό Εγχειρίδιο pandoura.gr Κείμενα του Φιλολάου, του Ιάμβλιχου, του Νικόμαχου, του Αέτιου και του Αριστοτέλη. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.1/16

Μαθηματ ι κά κα ι Μαντ ι νάδες

Σταμέλο ς Γιάννης Ένα από τα χαρακτηρtστΙΚά της κοινωνίας στην ανατολική Κρήτη είναι και η καθημερινή χρήση της μα­ ντινάδας. Οι ρίζες του φαινομένου θα πρέπει να βρίσκονται στη μακρινή αρχαιότητα και σίγουρα συνδέονται με τους δεκαπεντασύλλαβους του <<Ερωτόκριτου» αφού αποσπάσματά του αποτελούν συχνά μέρος του αυ­ τοσχεδιασμού των μανnναδολόyων. Ένα σημείο που θα μπορούσε να κινήσει το ενδιαφέρον σε αυτόν που ασχολείται με τα μαθηματικά, θα ήταν ενδεχομένως και η χρήση σ' αυτές όρων από την επιστήμη του Θαλή και του Πυθαγόρα. Ποια η θέση δηλαδή των μαθηματικών εννοιών και όρων στις Κρητικές μανnνάδες. Σε παλαιότερο άρθρο που είχε δημοσιευτεί στο περιοδικό «Αμlιλθειω> �χε γίνει λό­ γος -για τα μαθηματικά που χρησιμοποιεί ο Κορνάρος στον <<Ερωτόκριτο». Το συμπέρασμα ήταν ότι τα μαθηματικά που χρηmμοποιεί είναι γενικά έννοιες και όροι καθημερινών συνσJJ.ών .n.γ . Ενδιαφέρον ίσως, έχει ένα σημείο όπου χειρίζε­ ται κάποιο πρόβλημα δικαωσύνης και εφευρίσκει γι' αυτό ένα πείραμα τύχης για να δώσει λύση. Κοντολογίς το πρόβλημα έχει ως εξής: Πρέπει να μονομαχήσουν ======

τρεις προκειμένου να βγει ο τελικός νικητής. Όμως δεν θα ήταν δίl((JOJ να γίνουν δυο αγώνες γιατί ο νικητής του πρώτου αγώνα θα αγωνιζόταν δυο φορές. Πρσrείνει λοι­ πόν ο ποιητής να γίνει μια κΑήρωση από την οποία θα βγουν οι δυο που θα μονομα­ χήσουν ενώ ο τρίτος που δεν θα επιλεγεί από την κΑήρωση θα πρέπει να αποχωρή­ σει. Γράφει σχετικά ο Κορνάρος:

Ερωτόκριτος & Αρετούσα, « Τα ονόματά ντως το ζημιό [=ευθύς, αμέσως] 'ς χpυσό γαβάθι βάνει πίνακας του Θεόφιλου Κ' έναν-κοπέλλιν ήκραξε, κ ' είπεν-του να τα βγάνη. Κ' απόκει με τη φρόνεψι κάνει την ώρα κείνη Δ υ ' ονόματα να βγουν ομπρός, κ ' εκείν ' οπ' απομείνη Να μη μπορείμε τσ ' άλλους δυο να κονταροχτυπήση Μα να μισεύγη [=να φύγει, να αποχωρήσει] το ζιμιό, έτσι 'ναι τούτη η κρίσι Γιατί του φαίνετ' άδικο περίσσο και μεγάλο, Όποιος νικήσ ' από τσι δυό να πολεμά και μ ' άλλο. >> Η παράδοση που έχει δημιουργηθεί στην Κρήτη πραγματικά έχει κάνει τη μαντινάδα κομμάτι της καθημερινότητας. Πολύ συχνά και παντού ακούς διαλόγους μαντινάδων ή να τις χρηmμοποιούν θυμο­ σοφικά για να τεκμηριώσουν τις απόψεις τους. Τι είναι όμως η μαντινάδα; τι αφορά; Που οφείλει το ό­ νομά της; Η μαντινάδα κατά τον Μπαμπινιώτη (Λεξικό, 1 998) είναι «αυτοσχέδιο, κατά κανόνα ομοιοκα­ τάληκτο, δίσrιχο με ερωτικό, περιπαικτικό, λυπητερό ή εύθυμο περιεχόμενο». Οι μαντινάδες συχνά τρα­ γουδιούνται με συνοδεία λύρας ή βιολιού και λαγούτου. Ετυμολογικά προέρχεται από το βενετσιάνικο

mαdίnαdα=πρωινό ερωτικό τραγούδι .

Ο σύγχρονος μαντιναδολόγος στην Κρήτη δεν είναι κατ' ανάγκη λόγιος ενώ το ρεπερτόρώ του είναι ευρύτατο και χωρίς όρια. Έτσι, δεν θα προκαλέσει σε κανέναν έκπληξη να ακούσει κάποιον ορεσίβιο βοσκό να αναφέρεται σε διαπρεπείς προσωπικότητες με μαντινάδες, όπως για παράδειγμα: fl

fl fl

«Όλος ο κόσμος ο καλός που 'ρχεται σrην Ελλάδα έρχεται για τον Όμηρο και για την Ιλιάδα» «Όλος ο κόσμος ο καλός που έρχεται σrη χώρα περνά [=έρχεται] για τον ΗράκJ..Ειτο και για τον Πυθαγόρα» «Στο χώρο τον εΛληνικό όπου και να γυρίσεις σημάδια του πολιτισμού παντού θα συναντήσεις».

Μια άλλη παρατήρηση που μπορεί να κάνει κανείς σχετικά, είναι η προσφιλής τακτική ομιλητών επιστημόνων ή πολιτικών- να χρηmμοποιούν κάποια μαντινάδα για να κλείνουν τις ομιλίες τους. fl

fl

«Είθε λοιπόν, πιστεύουμε, σrην ξακουσμένη Τδη να στέψουμε όλοι μαζί τον νέο Αρχιμήδη». «Αρχοντομάνας θρέματα, του γένους μας φυντάνια, που πρέπουν σας στην κεφαλή τόσα χρυσά στεφάνια,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.1/17

-------

fl

Μαθηματικά και Μαντινάδ ες -------

όσες φορές στον πίνακα το δεξιό σας χέρι κύκλο 'γρα ψε ή όμικρον στο μέσα το τευτέρι!» «Θέλω χιλιώ5ες να σας πω κι ακόμα άλλα τόσα μα δυστυχώς δεν ομιλώ των αριθμών την γλώσσα».

Στην Κρήτη, αρκετά συχνά διοργανώνονται και διαγωνισμοί μαντινάδας. Τα θέματα αφορούν την παράδοση, την Κρήτη ως φυσικό περιβάλλον, την Κρητική γαστρονομία, το χιούμορ και τη σάτιρα, τσυς μεyάλους δημιουργούς, τα ιστορικά πρόσωπα της Κρήτης, τσυς απελευθερωτικούς αγώνες κλπ. fl fl

«Από παλιά είναι γνωστό σε όλη την Ελλώ5α ότι 'ναι τέχνη σπάνια στην Κρήτη η μαντινώ5α». «Ποια επιστήμη ανθρώmνη ποια τέχνη δίχως λάθη ίδιο κλαδί στη ροδαρά το ρόδο και τ ' αγκάθι».

Αν κάποιος θελήσει να κατηγοριοποιήσει τις Κρητικές μαντινάδες, οι μεyάλες κατηγορίες θα είναι τρεις: Οι σκωπτικές-σατιρικές; οι ερωτικές και οι φιλοσοφ ικές-θυμοσοφικές. Ο μαντιναδολόγος ποντάρει στην αμεσότητα, στο συναίσθημα και στον εντυπωσιασμό. Παίζει συχνά με την αμφισημία των εννοιών. Και όπως θα περίμενε κανείς, είναι αρκετά δύσκολο να χρησιμοποιήσει γι' αυτό μαθηματικές έννοιες αν αναλογιστούμε ότι στην πλειονότητά τσυς οι μαντιναδολόγοι είναι λαϊκοί τύποι και ακόμα ότι τα μαθηματικά είναι συνώνυμα της ακρίβειας και της σαφήνειας. Έτσι, σπάνια συ­ ναντάμε μαντινάδες με μαθηματικές έννοιες και όρσυς. Οι περισσότερες από εκείνες πσυ το τολμούν συ­ νήθως κινούνται στα όρια της αφέλειας. Ενδεικτικά: Σιcωπτικές-l.:aτιρικές fl «Όλες σσυ οι δικολογιές [=δικαωλογίες] είναι εφτά νομάτοι κι είναι οι τέσσερις στραβοί κι οι τρεις με το 'να μάτι». Ρ «Ανάθεμα τα άλγεβρα και τριγωνομετρία, μα θε να 'ρθει ένας καιρός πσυ δε θα τα 'χω χρεία». tpωτικές fl

"'j

«Είσ' ολοστρόγγυλο μηδέν αξίας, μετρημένη, που μ ' ότι κι αν πολλαπλασιαστεί πάντα μηδέν 'πομένει»

<<Χίλια φιλάκια τση 'δωκα και μσυ 'δωκ' οκτακόσια, και κάνω την αφαίρεση και μου χρωστεί διακόσια>).

ΦιλοσοφιιαΕς /j

fl

«Είν ' ένας κύκλος η ζωή με κέντρο την αγάπη διάμετρο τον έρωτα και εμβαδόν το δάκρυ». «Στίχους με μαθηματικά να κάνω δε μου βγαίνει όσο και να το προσπαθώ στο τέλος κάτι γέρνει».

Αρχίσαμε με Βιτσέντζο Κορνάρο και ας κλείσσυμε με μια αναφορά τσυ σiον άνθρωπο και πώς αυ­ τός διαφοροποιείται από το ζώο. Γράφει λοιπόν, ότι άνθρωπος και ζώο έχουν αρκετά κοινά όμως, δεν εί­ ναι η δύναμη που τον διαφοροποιεί από αυτό αφού το λωντάρι είναι σαφώς δυνατότερο. Ούτε βέβαια και η ταχύτητα αφού το ελάφι είναι γρηγορότερο. Ούτε όμως και η μελωδική λαλιά αφού τα πσυλιά κε­ λαηδούν ωραιότερα. Κοντολσyίς, γράφει, πως ότι θεωρούμε χάρη στον άνθρωπο, το βρίσκουμε σε καλύ­ τερο βαθμό στα ζώα. Μόνο ο λογισμός και το μυαλό είναι πσυ τον διαφοροποιεί και τσυ δίνει υπεροχή. Κι αλλοίμονο σ' εκείνον πσυ θα απαρνηθεί αυτό το συγκριτικό τσυ πλεονέκτημα. Θα γίνει χειρότερος από τα ζώα: «Εκείνος ο λογαριασμός {=λογισμός, η σκέψη] όλα τα βασιJ...εύ-ιει,

νικά, μερώνει τ' άγρια, και τα θεριά παιδεύγει, κι απήτης και το χάρισμα ετούτο απαρνήθης, τη στόρησι της ανθρωmάς εξέσκισες κ ' εγδύθης, και πορπατείς ωσάν το ζω, λογαριασμό δεν έχεις, και δε νογάς που βρίσκεσαι, και που 'σαι δεν κατέχεις».

Στηριζόμενοι και στον Κορνάρο, μπορούμε να σχολιάσσυμε πως τα μαθηματικά, ως κατεξοχήν δραστη­ ρtότητα της σκέψης, καταξιώνουν τον άνθρωπο ένανn των ζώων και τσυ δίνουν υπεροχή αφού με χρήση του μυαλού γίνεται κυρίαρχος των πάνrων. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.1/18

Κρ ιτήρ ια Δ ια ι ρετότητας

======

Δέσποινα Λαποκωνσταντάκη

Πολλές φορές μας ενδιαφέρει αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται ακριβώς από κάποιον άλ­ λο (δηλαδή αν το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι μηδέν, αν η διαίρεση είναι τέλεια). Επομένως, θα ήταν πολύ εξυπηρετικό να γνωρίζαμε κάποια κριτήρια που να μας υποδεικνύουν αν μια διαί­ ρεση είναι τέλεια χωρίς να χρειάζεται να την εκτελέσουμε, γλυτώνοντας έτσι κόπο και χρόνο. Οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει Κριτήρια Διαιρετότητας για αρκετούς αριθμούς, όχι όμως για όλους. Εδώ θα παρουσιαστούν τα πιο διάσημα και πιο εύχρηστα Κριτήρια Διαιρετότητας που αφορούν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0. Κ.Δ. l )Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 όταν είναι άρτιος δηλαδή όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι: Ο, 2, 4, 6, 8. Π αρ άδε ιγ μ α : Ποιοι από τους αριθμούς 55, 4 1 , 368, 205860 διαιρούνται με το 2, δηλαδή είναι άρτιοι; � Προφανώς με το 2 διαιρούνται μόνο οι 368 και 205 860 των οποίων το τελευταίο ψηφίο είναι 8 και Ο αντίστοιχα. Κ.Δ.2) Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9. Παράδειγ μ α : Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς 23, 72, 93, 1 56, 4734 διαιρούνται με το 3 και ποιοι με το 9; � Βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών • 2+3=5 δεν διαιρείται με το 3 επομένως αποκλείεται να διαιρείται με το 9 23 : • 72 : 7+2=9 διαιρείται με το 9 άρα και με το 3 .

• 9+3= 1 2 διαιρείται με το 3 αλλά όχι με το 9.

93 : • 1 59 : 1 +5+9= 1 5 διαιρείται με το 3 αλλά όχι με το 9.

• 4734: 4+7+3+4= 1 8 διαιρείται με το 9 επομένως και με το 3 . Μέσα από τα παραδείγματα παρατηρούμε ότι: ./ Δεν υπάρχει αριθμός που να διαιρείται με το 9 και να μην διαιρείται με το 3 . ./ Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται με το 3 αποκλείεται να διαιρείται με το 9. Μήπως θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε την παραπάνω παρατήρηση; Πl) Αν ένας αριθμός διαιρείται με το α θα διαιρείται και με τους διαιρέτες του α. Π2) Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται με το α δεν θα διαιρείται και από τα πολλαπλάσια του α.

Κ.Δ.3) Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 όταν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι μηδέν ή σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4. Π αρ άδειγ μα : Ποιοι από τους αριθμούς 1 1 6, 24200, 358, 541 διαιρούνται με το 4; • 116: 16 διαιρείται με το 4.

• 24200: διαιρείται με το 4 εφόσον έχει τα δυο τελευταία ψηφία Ο.

•

358 :

58 18 2

Li_ Γ1"4

επομενως με το 4 . , δ εν δ ιαιρειται ,

• 541 : 4 1 δεν διαιρείται με το 4 . ./ Σχετικά με τον αριθμό 54 1 παρατηρούμε επίσης ότι, εφόσον το τελευταίο του ψηφίο δεν είναι άρτιο δεν διαιρείται με το 2 επομένως, δεν θα διαιρείται με το 4.

Π3) Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται από το 2 τότε δεν διαιρείται από κανένα άρτιο αριθμό.

Κ.Δ.4) Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο του είναι Ο ή 5. Κ.Δ.5) Ένας αριθμός διαιρείται με το 10 όταν το τελευταίο ψηφίο του είναι Ο. Π αρ άδειγ μ α : Ποιοι από τους αριθμούς 550, 575, 254, 3563 διαιρούνται με το 5 και ποιοι με το 10: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 8 1 τ.1/19

------- Κριτήρια Διαιρ ετότητας

-------

•

550 διαιρείται με το 5 και με το 1 Ο εφόσον το τελευταίο του ψηφίο είναι Ο.

575 διαιρείται μόνο με το 5 εφόσον το τελευταίο του ψηφίο είναι 5 .

• 254, 3563 δεν διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 1 Ο. v" Μπορούμε να επεκτείνουμε το Κ.Δ.5 για τους αριθμούς: 1 00, 1 000, 1 0.000 κοκ •

100 όταν τα δύο τελευταία του ψηφία είναι Ο. Ενας αριθμός διαιρείται με το 1 000 όταν τα τρία τελευταία του ψηφία είναι Ο.

Π4)Ένας αριθμός διαιρείται με το

Κ.Δ.6) Ένας αριθμός που διαιρείται από δύο πρώτους αριθμούς ή πρώτους μεταξύ τους, τότε θα διαιρείται και από το γινόμενο τους. (Δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους όταν έχουν μοναδικό κοινό διαιρέτη την μονάδα) Ο αριθμός 6 είναι το γινόμενο των 2, 3 . Επομένως, για να ελεγχθεί αν ένας αριθμός διαιρείται από το 6 αρκεί να διαιρείται από το 2 και το 3 ταυτόχρονα Π αράδε ιγ μα : Ποιοι από τους αριθμούς 1245, 748, 264 διαιρούνται με το 6: • 1245: δεν διαιρείται με το 2 εφόσον το τελευταίο του ψηφίο δεν είναι άρτιος, επομένως δεν διαιρείται με το 6.

• 748: διαιρείται με το 2 εφόσον το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιος αλλά δεν διαιρείται με το 3 εφόσον 7+4+8= 1 9 επομένως, δεν διαιρείται από το 6.

• 264: διαιρείται με το 2 εφόσον το τελευταίο ψηφίο του είναι άρτιος, διαιρείται από το 3 εφόσον 2+4+6= 1 2 και το 1 2 διαιρείται από το 3 , επομένως διαιρείται από το 6. Κ.Δ. 7 ) Ένας αριθμός διαιρείται με το 7 αν «κόψουμε» το τελευταίο ψηφίο του, το διπλα­ σιάσουμε, το γινόμενο το αφαιρέσουμε από τον αριθμό που απόμεινε και το τελικό αποτέ­ λεσμα διαιρείται με το 7. Σε περίπτωση που ο αριθμός που προκύπτει από την αφαίρεση εί­ ναι μεγάλος επαναλαμβάνουμε την διαδικασία. Παράδειγ μα: Ποιοι από τους αριθμούς 1245, 747, 8029 διαιρούνται με το 7; • 1 .245: 5 *2= 1 0 1 24- 1 0= 1 1 4 1 1 -8=3 1 1 4: 4*2=8 Επομένως το 1 245 δεν διαιρείται με το 7.

• 74 7: 7*2= 1 4 74- 1 4=60 δεν διαιρείται από το 7.

• 8.029: 9*2= 18 802- 1 8=784 784: 4*2=8 78-8=70 Επομένως το 8.029 διαιρείται από το 7. Κ.Δ.8)Ένας αριθμός διαιρείται με το 8 αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται με το 8. Παράδειγ μα : Ποιοι από τους αριθμούς 54184, 28343 διαιρούνται με το 8 : • 54184 : επομένως το 54 1 84 διαιρείται με το 8 .

1 84 24 ο

•

lJ_ p3

Li_ ru

επομένως το 343 δε διαιρείται με το 8 .

343 23 7 v"Χρησιμοποιώντας την παρατήρηση (Π3) εφόσον ο αριθμός 28.343 δεν διαιρείται από τ ο 2 (το τελευταίο �ου ψηφίο είναι 3) προκύπτει ότι δεν θα διαιρείται με κανένα άρτιο αριθμό άρα ούτε και με το 8 . ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1 ) Κάποιος ισχυρίζεται ότι εφόσον το 8 διαιρείται με το 2 και με το 8, θα διαιρείται και με το γι­ νόμενο τους, το 1 6 (2* 8= 1 6) που είναι προφανώς ένα λάθος συμπέρασμα. Μπορείς να εντοπί­ σεις που βρίσκεται το λάθος στον ισχυρισμό του; 2) Ο αριθμός 852 διαιρείται από το 1 2; 3) Ο αριθμός 353 διαιρείται με το 1 5 ; 4 ) Επίλεξε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ); 28343 :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/20

------

Κριτήρια Διαιρ ετότητας

--------­

Ι)Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3 και το 5 θα διαιρείται και με το 1 5 .

Σ

Λ

ΙΙ)Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3 θα διαιρείται και με το 6.

Σ

Λ

ΙΙΙ)Αν ένας αριθμός διαιρείται από το 6 θα διαιρείται και από το 3 .

Σ

Λ

ΙV)Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται από το 6 τότε δεν θ α διαιρείται από το 3 .

Σ

Λ

Λ Σ V)Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται από το 3 δεν θα διαιρείται από το 6.

5) Συμπλήρωσε τα ψηφία που λείπουν ώστε να προκύψουν όλοι οι τετραψήφιοι που θα διαιρούνται από το 5 και το 3 .

6 _3_.

6) Ένας ανθοπώλης παρέλαβε 498 τριαντάφυλλα. Πόσα τριαντάφυλλα πρέπει να έχει κάθε αν­ θοδέσμη που θα φτιάξει ώστε: • το πλήθος των ανθοδεσμών να είναι το μικρότερο δυνατό που μπορεί να προκύψει ώστε όλες να έχουν τον ίδιο αριθμό τριαντάφυλλων • να μην περισσέψει κανένα τριαντάφυλλο • και σε καμία ανθοδέσμη να μην υπάρχουν περισσότερα από 1 Ο τριαντάφυλλα. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Κριτήρια Διαιρετότητας που αφορούν το τελευταίο ψηφίο

Κριτήρια Διαιρετότητας που αφορούν τα δύο τελευταία ψηφία Κριτήρια Διαιρετότητας που αφορούν τα τρία τελευταία ψηφία Κριτήρια Διαιρετότητας που αφορούν το άθροισμα των ψηφίων Συνδυασμοί Κριτηρίων Διαιρετότητας

ΚΔ. 1 )Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 όταν είναι άρτιος, δηλαδή όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι Ο, 2, 4, 6, 8. ΚΔ. 4) Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο του είναι Ο ή 5. ΚΔ. 5) Ένας αριθμός διαιρείται με το 10 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι Ο. ΚΔ. 7) Ένας αριθμός διαιρείται με το 7 αν κόψουμε το τε­ λευταίο ψηφίο του, το διπλασιάσουμε, το αποτέλεσμα το αφαιρέσουμε από τον αριθμό που απόμεινε και το τελικό α­ ποτέλεσμα διαιρείται με το 7. Σε περίπτωση που ο αριθμός που προκύπτει από την αφαίρεση είναι μεγάλος επαναλαμβάνουμε την διαδικασία. Κ.Δ.3) Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 όταν τα δύο τελευ­ ταία ψηφία του είναι μηδέν ή σχηματίζουν αριθμό που διαι­ ρείται με το 4. ΚΔ. 8) Ένας αριθμός διαιρείται με το 8 αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται με το 8. ΚΔ.2) Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 όταν το ά­ θροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9. ΚΔ. 6) Ένας αριθμός που διαιρείται από δύο πρώτους αριθ­ μούς ή πρώτους μεταξύ τους, τότε θα διαιρείται και από το 1ινόμενο τους.

1) Α ν ένας αριθμός διαιρείται με το α θα διαιρείται και με τους διαιρέτες του α.

Συμπεράσματα

2) Α ν ένας αριθμός δεν διαιρείται με το α δεν θα διαιρείται και από τα πολλαπλάσια του α.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.1/21

Προβλήματα με Ποσοστά =======

Κ. Γληνού - Κ. Γκιμίσης

J ) ΠΡΟ ΒΛ ΉΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ Π ΟΣΟΣΤΟΥ (δίνεται η α ρ χική και η τ ελική τ ι μ ή)

ξ , ποσόν αύξησης ( , σε ποσοστο οσοστο αυ ησης = , , εκφρασμενο ) αρχικη τιμη ι , , π ποσόν μείωσης ( , οσοστο μειωσης = , , εκφρασμενο σε ποσοστο, ) αρχικη τιμη

π

'

'

Π αρ αδείγ μ α τ α : J ) Αγοράσαμε ένα βιβλίο που χωρίς Φ.Π.Α κόστιζε Ποιος είναι ο Φ.Π.Α; (Φόρος Προστιθέμενης Αξίας) Λύση

50 €,

ενώ με το Φ.Π.Α κόστιζε

52€.

52-50=2 € είναι η αύξηση δηλαδή το ποσόν του φόρου. Ποσοστό αύξησης ( φόρου)=

� � 4% =

=

50 1 00 2) Ποσό (Κεφάλαιο) 3000 € κατατέθηκε στην τράπεζα όπου τοκίστηκε για ένα έτος. Στο τέλος του έτους το ποσό μαζί με τον τόκο (αύξηση) έγινε 3 1 20 €. Ποιο ήταν το επιτόκιο; (ποσοστό αύξησης) Λύση 3 1 20-3000= 1 20 € (ο τόκος δηλαδή το ποσόν της αύξησης) 1 20 = Επιτόκιο (ποσοστό αύξησης)= Ο , 04 = � = 4% . Το επιτόκιο της κατάθεσης ήταν 4%.

1 00 3000 2) ΠΡΟΒΛ Η Μ Α ΤΑ Ε ΥΡΕΣΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ (Δίν ετ α ι η αρχικ ή τι μή κ α ι τ ο π ο σο στό αύξηση ς ή μ είω σης) Παρ αδείγ ματ α : J ) Ένα μπουφάν είχε αρχική τιμή 80 €. Στο ταμείο όμως πληρώσαμε και Φ.Π.Α 23 % . Πόσο πληρώσαμε το μπουφάν τελικά ; Λt}ση 23 Φ.Π.Α 23% σημαίνει πως θα πληρώσουμε φόρο προστιθέμενης αξίας 1 00 της αρχικής τιμής. Άρα ο φόρος που θα πληρώσουμε θα είναι : 23 23 1 840 = Τα 1 8 ' 40 € του 80€ = · 80 = 1 00 1 00 1 00 Άρα στο ταμείο θα πληρώσουμε τελική τιμή : 80+ 1 8,40=98,40 € ·

Β τρόπος

Μπορώ από την αρχή να πω πως στο ταμείο θα πληρώσω την αρχική τιμή του μπουφάν 1 00 .

23 ( 80 ) και τον φόρο ( · 80 ), δηλαδή θα πληρώσω: 1 00 1 00 1 00 23 1 23 9840 ' ' = 98, 40 € (η τελικη τιμη) · 80 + · 80 = · 80 = 1 00 1 00 1 00 1 00 2) Στην τράπεζα καταθέσαμε ποσόν (Κεφάλαιο) 2000€ με επιτόκιο 3 % για ένα έτος. Ποιο τόκο (ποσόν αύξησης) θα πάρουμε στο τέλος του έτους; Πόσο θα είναι το κεφάλαιο και ο τόκος μαζί; Σ υν έχεια στ η ν σελίδ α 2 7 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ. l/22

Σταυρούλα Αλαφάκη Ο καθηγητής Σταύρος Παπασταυρίδης συνεχίζει να «απολογείται» ταξιδεύοντας μας αυτή την φορά πέρα από τον Ατλαντικό. Στην πορεία, θα μας αποκαλύψει και πάλι διάφορες πτυχές της Μα­ θηματικής επιστήμης, της εκπαίδευσης αλλά και της κοινωνίας γενικότερα. =�

&,3ος σταθμός: Μεταπτυχιακές Σπουδές : Princeton

Σ.Α.: Μετά πς σπουδές στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, πήγατε για μεταπτυχιακά και διδακτορικό σε ένα σπουδαίο πανεπιστήμιο; το Πανεπιστήμιο Prίnceton των Η.ΠΑ. Τι σας ώθησε σε αυτή τη ν επιλογή; Σ.Γ.Π.: Πέρασαν τέσσερα χρόνια στο Μαθηματικό Αθηνών, σε μία Ελλάδα «συννεφιασμένη». Χαμηλές οικονομικές δυνατότητες, αυταρχικό πολιτικό καθεστώς. Όμως υπήρχε στον αέρα μία ελ­ πίδα: Μπορούμε να αλλάξουμε τα πράγματα! Το ελληνικό πανεπιστήμιο αντανακλούσε αυτή την κατάσταση. Και τα «σύννεφα» και την ελπίδα. Όπως περιέγραψα νω­ ρίτερα, το γενικό κλίμα το κρίνω αρνητικά, όμως υπήρχαν και εστίες προόδου, υπήρχε και η ελπίδα. Εγώ προσωπικά, έβλεπα ότι η δυνατό­ τητα σπουδής της μαθηματικής επιστήμης (αυτό που ήθελα) που συν­ δεόταν άμεσα με πανεπιστημιακή σταδιοδρομία, σήμαινε υποχρεωτικά εκπατρισμό. Οι συνθήκες για έναν ερευνητή που εργαζόταν και έκανε διδακτορικό (συνήθως σε θέση βοηθού) στα πανεπιστήμια μας, ήταν άθλιες. Οι πολύ χαμηλές οικονομικές απολαβές ήταν ένα ζήτημα. Δεν υπήρχε η δημοσιοϋπαλληλική μονιμότητα ούτε καν το αορίστου χρό­ νου (που λέμε σήμερα) και επίσης σε πολλές περιπτώσεις ο μισθός δι­ νόταν μόνο 1 0 μήνες το χρόνο ! Όμως, στις δικές μου προτεραιότητες Princeton University πολύ σοβαρότεροι ήταν οι ηθικοί όροι της όλης διαδικασίας: Ο ερευνη­ τής-βοηθός ήταν εκτεθειμένος σε διαφόρων ειδών αυθαιρεσίες, από το να κάνει απλά το μάθημα του εmβλέποντα καθηγητή μέχρι να του κάνει και προσωπικές δουλειές (π.χ. τα ψώνια!). Δεν μπορώ να εκτιμήσω το πόσο διαδεδομένες ήταν τέτοιες πρακτικές. Οι καθηγητές που ανέφερα mo πάνω ήταν σαφώς εκτός αυτού του κλίματος, όμως πρακτικές τέτοιες υπήρχαν και κυκλοφορούσαν και διάφορα σχετικά ανέκδοτα. Ο κύριος λόγος που αναφέρω τα παραπάνω δεν είναι η περιγραφή και τα αίτια της δικής μου πορείας. Τα αναφέρω σαν μία καταγραφή της ιστορίας της χώρας μας και των δυνά­ μεων που την κινούν. Η πτώση της δικτατορίας έφερε αλλαγή και στο κλίμα που υπήρχε μέσα στο πανεπιστήμιο ώστε, σήμερα, να έχουμε πολλούς νέους ικανότατους συναδέλφους που έκαναν διδα­ κτορικές σπουδές και ακαδημαϊκή σταδιοδρομία εντός του ελληνικού πανεmστημίου χωρίς τον ανα­ γκαστικό, κατά κάποιον τρόπο, εκπατρισμό. Το ελληνικό πανεπιστήμιο είναι προϊόν της ελληνικής κοινωνίας και δεν είναι δυνατόν να είναι διαφορετικά. Φοβάμαι ότι αφού περάσαμε 35 χρόνια μιας άνοιξης για την χώρα μας, μιας άνοιξης που φαίνεται ότι δεν είχε σταθερές βάσεις, επιστρέφουμε σε μια κατάσταση που όχι μόνο η αφιέρωση στην επιστήμη πιθανότατα θα συνεπάγεται εκπατρισμό αλλά για πολλούς ίσως αυτή καθαυτή η αξιοπρεπής επιβίωση θα σημαίνει μετανάστευση. Σ.Α.: Ώστε βλέπατε σαν τη μόνη διέξοδο, για να έχετε τη δυνατότητα να αφοσιωθείτε στα μαθη­ μαπκά, τη φυγή από την Ε).λάδα. Πώς αυτό μεταφράστηκε σε Η.ΠΑ. και Prίnceton; Σ.Γ.Π.: Καλά κάνετε και με επαναφέρετε στο ερώτημα που θέσατε. Ξέρω ότι έχω ανοίξει μια σειρά παρενθέσεων. Όμως προσπαθώ να δω αυτά που συνέβησαν σε εμένα, όχι με το μικροσκόπιο, αλλά με το τηλεσκόπιο, δηλαδή προσπαθώ να τα δω σαν προϊόντα του γενικότερου κοινωνικού γίγνεσθαι. Πιστεύω ότι αυτό έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τους αναγνώστες του περιοδικού. Το ερώτημα λοιπόν «Πώς να κάνω μεταπτυχιακές σπουδές στα μαθηματικά σε ένα σημαντικό ίδρυμα του εξωτερικού;» συνοδευόταν από το προφανές καίριο υποερώτημα: «Με τι λεφτά;» Η απάντηση που δόθηκε στην περίπτωσή μου μας δείχνει ότι ακόμα και η απλή πληροφόρηση, εί�αι και αυτή θέμα δουλειάς, αναζήτησης, τύχης αλλά και κοινωνικών γνωριμιών. Καταρχάς ήταν πέραν κάθε συζήτησης η χρηματοδότηση από την οικογένεια, ούτε κατά διάνοια. Η διαφορά οικοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/23

-------

Η απολογία ενός μαθηματικού

--------­

νομικού εmπέδου της Ελλάδας με οποιαδήποτε προηγμένη χώρα ήταν πολύ μεγάλη . Ψάχνοντας για υποτροφίες, άκουσα για το δικό μας ΙΚ. Υ. ότι έδινε υποτροφίες εξωτερικού, όπως επίσης το Βρετα­ νικό Συμβούλιο, το Γαλλ ικό Ινστιτούτο και το Τδρυμα Fulbright. Και οι τρεις αυτοί φορείς έδιναν υ­ ποτροφίες για τις αντίστοιχες χώρες, όμως ο συνολικός αριθμός ήταν πολύ μικρός. Κάποια στιγμή ήρθε τυχαία και αναπάντεχα η μεγάλη πληροφορία: «Όλα τα αμερικανικά πανεπιστήμια δίνουν υπο­ τροφίες!». Αυτή την πληροφορία μου την έδωσε ένας ξάδελφος μου που πήγαινε στο Αμερικανικό Κολλέγιο και ήταν τελείως άγνωστη, όχι μόνον στο οικογενειακό και κοινωνικό μου περιβάλλον αλ­ λά και στους πανεπιστημιακούς δασκάλους με τους οποίους είχα την δυνατότητα να συζητώ. Όταν αργότερα βρέθηκα στην Αμερική, διαπίστωσα ότι η παρουσία Ελλήνων φοιτητών που σπούδαζαν με υποτροφία, είχε μία διαφωτιστική κατανομή. Σε προπτυχιακό επίπεδο ήταν εντονότατη η παρου­ σία αποφοίτων των δύο Αμερικανικών ΚοΜεγίων Αθηνών και Θεσσαλονίκης και κυρίως του πρώ­ του. Σε μεταπτυχιακό επίπεδο υπήρχε μία πολύ έντονη παρουσία αποφοίτων του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και επίσης αποφοίτων του Φυσικού Τμήματος που είχαν καθοδηγηθεί μέσω του Δημό­ κριτου. Δηλαδή, εκτός της προσωπικής ικανότητας και η τύχη και η κοινωνική θέση έπαιζαν σοβαρό ρόλο. Σήμερα είναι διαφορετικά τα πράγματα, οι φοιτητές μας μπορούν να έχουν καθοδήγηση από τους πανεπιστημιακούς δα�άλους τους και σε αυτό και σε πλήθος άλλων πραγμάτων. Αν και είναι πολλά ακόμα αυτά που θα πρέπει να γίνουν. Σ.Α.: Δώστε μας κάποιο παράδειγμα. Σ.Γ.Π.: Μια πρώτη ιδέα είναι να υπάρχει μία υπηρεσία στο πανεπι­ στήμιο που να βοηθάει ενεργητικά τους φοιτητές μας και προς την κατεύθυνση που ανέφερα πιο πάνω αλλά και στον επαγγελματικό προσανατολισμό τους γενικότερα. Επίσης, να εκδίδει το πανεΠιστή­ μιο τα διάφορα πιστοποιητικά και στην αγγλική γλώσσα και άλλα συναφή. Αυτά, που στις Η.Π.Α. ήταν δεδομένα από την δεκαετία του ' 60, για εμάς εξακολουθούν να αποτελούν πρόκληση. Σ.Α.: Τελικά, εσείς, πώς ενημερωθήκατε και πώς μεθοδεύσαiε τα σχετικά με την αίτησή σας στο Prίnceton; Σ.Γ.Π.: Αξίζει να αναφέρω ότι αφότου υπήρξε η αρχική πληροφορία ότι τα αμερικανικά πανεπιστήμια δίνουν υποτροφίες, η διαδικασία Fine Hall, το κτίριο του μέχρι την ευτυχή έκβαση ήταν γεμάτη εμπόδια και μικρο-μάχες με μαθηματικού τμήματος του την πολυδαίδαλη γραφειοκρατία. Τη μάχη αυτή δεν θα μπορούσα να Princeton την κερδίσω μόνος μου. Καθοριστικός παράγοντας στο αποτέλεσμα ήταν η στενή ομαδική συνεργασία με άλλους τρεις συμφοιτητές και φίλους που όλοι τελικά πήγαν για μεταπτυχιακές σπουδές και ακαδημαϊκή καριέρα στις Η.Π.Α. . Αυτοί ήταν οι: Χαράλαμπος Αλι­ πράντης, Θόδωρος Πανουργιάς και Θόδωρος Παπαθεοδώρου. Ο αριθμός τέσσερα έχει και έναν λο­ γοτεχνικά καθιερωμένο συμβολισμό από τους σωματοφύλακες του Δουμά ! Κυριολεκτικά εργασθή­ καμε «ένας για όλους και όλοι για έναν» και χωρίς αυτή την συντονισμένη ομαδική συνεργασία, δε θα τα καταφέρναμε. Υπάρχει και κάτι άλλο που αξίζει να τονίσω στην συνεργασία αυτή των τεσσάρων στην κοινή προσπάθειά μας να πάμε για σπουδές στις Η.Π.Α .. Αναγκαστήκαμε να συνδυάσουμε, συντονίσουμε και να αλληλοβοηθηθούμε σε μία μεγάλη ποικιλία πραγμάτων που μας ήταν τελείως πρωτόγνωρα, όπως, να γράψουμε επιστολές στα αγγλικά, να διατυπώσουμε ερωτήματα προς μία άγνωστη σε μας και απρόσωπη δομή, να απαντήσουμε σε ερωτηματολόγια, να μεταφράσουμε στο υπουργείο των εξωτερικών διάφορα πανεπιστημιακά πιστοποιητικά, να εκδώσουμε επιταγές από την τράπεζα, να βελτιώσουμε τα πενιχρά αγγλικά μας, να αλληλογραφήσουμε με σχετιζομένους οργανισμούς όπως η Educational Testing Servίce, να προλάβουμε προθεσμίες, να δώσουμε εξετάσεις για GRE και TOEFL, να βρούμε κάποιου είδους πληροφορίες για τα θέματα των εξετάσεων αυτών, να στείλουμε έγκαιρα τα αποτελέσματα των εξετάσεων στα πανεπιστήμια, να επιδιώξουμε να πάρουμε συστατι­ κές επιστολές από καθηγητές μας και πόσα ακόμα! Και όλα αυτά να εκτελεστούν στη σωστή χρονι­ κή αλληλουχία σε μία κατάσταση με μη διαπραγματεύσιμες προθεσμίες. Ε, λοιπόν, αυτό ήταν για ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/24

-------

Η απολογία ενό ς μαθηματικού

--------­

εμάς ένα σχολείο στη λειτουργία και εmβίωση μέσα σε μία κοινωνία που βασίζεται σε πολυεπίπεδες αλληλοεξαρτώμενες δομές, κάτι που ο Έλληνας πολίτης δεν είχε γνωρίσει. Οταν οι φοιτητές μου έρ­ χονται να τους συμβουλεύσω για το πως να ενεργήσουν για να εmτύχουν υποτροφίες για μεταπτυχι­ ακά, η πρώτη μου συμβουλή είναι: «Να ξέρετε ότι συχνά θα νομίζετε ότι έχετε άνεση χρόνου να ε­ νεργήσετε, ενώ η αλήθεια είναι ότι ΔΕΝ έχετε». Θα έλεγα ότι και σήμερα, που έχει προοδεύσει πολύ η χώρα μας, βλέπω φοιτητές μας που ενώ είναι πολύ δυνατοί στα μαθηματικά, έχουν κάποια δυσκο­ λία να αντεπεξέλθουν στις διαδι,κασίες που περιέγραψα. Αυτό, είναι αντανάκλαση της διαφοράς της πολυπλοκότητας της δικής μας κοινωνίας και της κοινωνίας των Η.Π.Α.. Σ.Α.: Γιατί η Αμερική να δίνει υποτροφίες σε μη Αμερικανούς; Αναρωτηθήκατε τότε; Σας είναι ξεκάθαρο σήμερα;. Σ.Γ.Π.: Αξίζει να αναφέρω ότι, εκ των υστέρων, θεωρώ πως μεγάλο ψυχολογικό εμπόδιο στην όλη προσπάθεια, ήταν το ερώτημα που, νομίζω, φυσιολογικά είχαμε: Γιατί τα αμερικανικά πανεπιστήμια δίνουν υποτροφίες; Τι συμφέρον έχουν να το κάνουν; Γιατί ασχολούνται μαζί μας; Μετά από κάποια χρόνια, όντας στην Αμερική, βαθμιαία έδινα απαντήσεις σε διάφορα ·τέτοια ερωτήματα. Ήμασταν στην εποχή του ψυχρού πολέμου και του ανταγωνισμού των Η.Π.Α. με την Σοβιετική Ενωση για ε­ πιρροή στον πλανήτη. Η κυρίαρχη πολιτική σκηνή των Η.Π.Α. ήταν, σε γενικές γραμμές, διαιρεμένη σε δύο πολιτικές αντιλήψεις: Τη φιλελεύθερη (lίberal - καμία σχέση με το δικό μας νεοφιλελεύθερος) και τη συνrηρητική (conservatίνe - με μεγάλη σχέση με το δικό μας νεοφιλελεύθερος). Προφανώς, δεν είναι του παρόντος η ανάλυση των δύο αυτών αντιλήψεων. Σε γενικές γραμμές, σε θέματα εξω­ τερικής πολιτικής, η φιλελεύθερη άποψη πίστευε ότι οι Η.Π.Α. πρέπει να πείσουν ότι έχουν μια κα­ λύτερη κοινωνία, ενώ η συντηριτική άποψη υπεστήριζε ότι οι Η.Π.Α. θα εmβάλλουν τις απόψεις τους κυρίως με την δύναμη των όπλων. Πτυχή της φιλελεύθερης γραμμής ήταν και οι υποτροφίες, ιδιωτικές και κρατικές, που δίνονταν σε επιλεγμένους μαθητές ανά τον κόσμο, με την προσδοκία ότι αυτοί, επιστρέφοντας στην χώρα τους, θα λειτουργούσαν σαν κάποιου είδους βιτρίνα για τις Η.Π.Α.. Χαρακτηριστικό αυτής της πτυχής είναι οι κρατικές υποτροφίες Fulbrίght. Ιδρύθηκαν από τον γε­ ρουσιαστή J Wίllίam Fulbrίght (1905-1 995), έναν από τους πλέον προβεβλημένους υποστηρικτές της φιλελεύθερης γραμμής σε θέματα εξωτερικής πολιτικής των Η.Π.Α., ο οποίος μάλιστα είχε χα­ ρακτηρίσει τη συντηρητική γραμμή με τη ριάσημη πλέον φράση «διπλωματία των κανονιοφόρων (gunboat diplomacy)». Χαρακτηριστικό είναι ότι οι υπότροφοι του ιδρύματος Fulbήght ήταν, από τον αμερικανικό νόμο, υποχρεωμένοι να γυρίσουν στην χώρα τους μετά το πέρας των σπουδών τους. Αυτή η ρύθμιση ήταν απόλυτα συντονισμένη με τον πολιτικό στόχο οι υπότροφοι να γυρίζουν στην χώρα τους και να λειτουργήσουν ως ζωντανή διαφήμιση του αμερικανικού τρόπου ζωής. Φυ­ σικά, διαφορετικός στόχος, που συνυπήρχε με τον προηγούμενο, ήταν η απορρόφηση ανθρωπίνου δυναμικού από άλλες χώρες. Αυτά τα φαινόμενα, σε παρεμφερείς μορφές, πάντα υπήρχαν στην ι­ στορία και πάντα θα υπάρχουν. Δηλαδή τα ιδιωτικά συμφέροντα του Πανεπιστημίου να έχει τους καλύτερους φοιτητές, η επιδίωξη μίας εταιρείας να έχει προσοντούχους υπάλληλους, κάπου συνδέο­ νται κάπως και με στόχους ευρύτερης εξωτερικής πολιτικής. Με αυτή την ευκαιρία θα πρέπει να το­ νίσω, ότι νομίζω, πως οι Η.Π.Α. (τότε τουλάχιστόν) ήταν η κατεξοχήν χώρα όπου ο ξένος θα αντιμε­ τώπιζε τις λιγότερες, σχετικά, αντιδράσεις. Εκεί, είδαμε παιδιά φτωχών Ελλήνων αγροτών να δια­ κρίνονται. Τον Spyro Agnew να γίνεται αντιπρόεδρος και τον Mίchael Dukakίs να διεκδικεί την προ­ εδρία. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ιστορίας της χώρας. Αυτοί που πήγαν στην Αμερική από το 1 600 και μετά, δεν συνδέονται με κοινή θρησκεία, κοινή ιστορία, κοινά ήθη και έθιμα, κοινό αίμα κλπ, αλλά τους συνέδεσε η αγορά, δηλ. η σχέση ανταλλαγής προϊόντων. Αν ο ξένος που έρχεται λειτουρ­ γεί καλά στο πλαίσιο της αγοράς, αυτό είναι ουσιώδες πρόκριμα αποδοχής. Άλλωστε αυτός ήταν και ο μόνος τρόπος να μείνει συνδεδεμένη αυτή η χώρα. Σ.Α.: Υπήρχαν τότε, στη δεκαετία του '60, Έλληνες καθηγητές ή φοιτητές μαθηματικοί στο εξω­ τερικό; Στις Η.Π.Α. ειδικότερα; Σ.Γ.Π.: Ελάχιστοι! Οι καθηγητές θα πρέπει να ήταν λιγότεροι από δέκα. Φοιτητές που να τελείωσαν το μαθηματικό και να σπούδαζαν εκτός Ελλάδος, ήταν ακόμα λιγότεροι. Είναι και αυτό αντανάκλα­ ση της θέσης της Ελλάδας τότε. Αν δεν με απατά η μνήμη μου, οι Έλληνες φοιτητές σε ισχυρά μεΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/25

-------

Η

απολογία ενός μαθη ματικού

ταπτυχιακά στις Η.Π.Α. ήταν μάλλον ένας ορισμός του . . . κενού συνόλου. Υπήρχαν αρκετοί φυσι­ κοί, που καθοδηγήθηκαν μάλλον μέσω Δημόκριτου και πολλοί ηλεκτρολόγοι από το Ε.Μ.Π . . Αυτό έχει αλλάξει άρδην σή μερα. Τότε, ήξερα όλους τους Έλληνες μαθη ματι­ κούς καθηγητές πανεπιστημίων εντός και εκτός Ελλάδος, ήταν βλέπετε ευ-άριθμοι, (δηλαδή, εύκολο να αριθμηθούν). Σήμερα «ουκ έστι αριθ­ μός», που λέμε. Σ.Α. : Τι συνθήκες επικρατούσαν στο Prίnceton; Σ.Γ.Π. : Καταπληκτικές! Η οργάνωση της όλης ζωής ήταν αξιοθαύμα­ στη . Η συμπεριφορά των ανθρώπων, καθηγητών, διοίκησης κλπ δεν είχε καμία σύγκριση με αυτά που ήξερα από την Αθήνα. Τελικά μου πήρε κάποιον χρόνο να καταλάβω ότι δεν επρόκειτο για «καλοσύνη» ή κάτι τέτοιο. Απλά, ήταν έκφραση μιάς συνολικής κοινωνικής αντίληψης ότι «καθένας πρέπει να κάνει την δουλειά του». Και φυσικά και εγώ επίσης! Το έμβλημα του Prίnceton Unίversity Και η απαιτουμένη δουλειά ήταν πολλή . Ένας μεταπτυχιακός φοιτητής στο Princeton, εργαζόταν συνήθως 1 2- 1 4 ώρες ημερησίως. Όμως, μέσα σε ένα κλίμα που έκανες κάτι που σου άρεσε και αυτό έκαναν ουσιαστικά και όλοι γύρω σου, σου φαινόταν φυσιολογικό. Ενώ, αντιθέτως, μέσα σε ένα περιβάλλον που όποιος εργάζεται έτσι αποτελεί περίεργο φαινόμενο, τότε απαιτείται ηρωισμός για να το κάνεις. Σ.Α. : Ήσασταν ο μοναδικός ΈΜ.ηνας μεταπτυχιακός. Το υπόβαθρό σας ήταν επαρκές για να α­ νταποκριθείτε στο πρόγραμμα σπουδών; Ποιο ήταν το επίπεδο των υπόλοιπων φοιτητών; Σ.Γ.Π. : Θα σου πω δύο ιστορίες. Η μία αφορά το σκηνοθέτη Κώστα Γαβρά και η δεύτερη εμένα. Την πρώτη την διηγήθηκε ο ίδιος ο Γαβράς στην ΕΡΤ. Είπε λοιπόν πως πήγε στο Παρίσι με τη γενι­ κή και αόριστη ιδέα να κάνει κινηματογράφο, σε μια εποχή που το κινηματογραφικό του επίπεδο ήταν «επίπεδο Ροζικλαίρ». Προς χάριν των νεοτέρων εκ των αναγνωστών σας, αναφέρω ότι το Ρο­ ζικλαίρ ήταν κινηματογράφος επί της Πατησίων, κοντά στην γωνία με Πανεπιστημίου, που έδινε έμφαση σε ταινίες ιδιαιτέρως «ακατάλληλες για ανηλίκους». Εκεί λοιπόν, στο Παρίσι, συνάντησε, ημέρα Τετάρτη, κάποιον παράγοντα σχολής κινηματογράφου, ο οποίος του ανέφερε ότι οι Έλληνες είναι τυχεροί διότι μπορούν να διαβάζουν τις αρχαίες ελληνικές τραγωδίες εκ του πρωτοτύπου. Στη συνέχεια του έκλεισε ραντεβού για Δευτέρα για να συζητήσουν για την αρχαία ελληνική τραγωδία. · Ο Γαβράς, όπως διηγείται ο ίδιος, δεν είχε ιδέα από την αττική τραγωδία του 5ου αιώνα, αλλά μη θέλοντας να δώσει τέτοια εικόνα και να χάσει την ευκαιρία που του προέκυψε, κάθισε και διάβασε και τις 32 σωζώμενες τραγωδίες μέχρι την Δευτέρα! Μάλιστα, στην ίδια εκπομπή, ο Γαβράς δήλωσε ότι «αν έμενα στην Ελλάδα δεν θα γινόμουνα τίποτα». Όσον αφορά εμένα, μου ήταν σαφές προτού βρεθώ στο Pήnceton, ότι κατά πάσα πιθανότητα θα ήξερα λιγότερα μαθηματικά από όλους τους εκεί μεταπτυχιακούς συμμαθητές μου. Μάλιστα, συχνά στη βιβλιοθήκη προσπαθούσα να κρύψω από άλλους αναγνώστες αυτά που μελετούσα διότι στην αρχή τουλάχιστον, ήταν πιο απλά από όσα διά­ βαζαν οι συμφοιτητές μου. Μάλιστα, συνέβη ένα γεγονός που περιείχε και ένα τραγικό στοιχείο. Πρόσεξα έναν Κινέζο φοιτητή από το Χονγκ Κονγκ, που νόμιζα ότι ήταν πρωτοετής μεταπτυχιακός και ο οποίος, στη βιβλιοθήκη, διάβαζε βιβλία παρεμφερούς επιπέδου με εμένα. Αναθάρρησα που δεν ή μουν ο μόνος! Το ενθαρρυντικό συναίσθημα όμως, μετατράπηκε σε σκεπτικισμό όταν έμαθα ότι δεν ήταν πρωτοετής μεταπτυχιακός, αλλά . . . τριτοετής προπτυχιακός! Όπως καταλαβαίνετε, δεν ήταν ευχάριστο σοκ! Άσχετο, αλλά το παιδί αυτό, ο Κινέζος φοιτητής, μετά από λίγα χρόνια αυτο­ κτόνησε. Σε πιθανή απορία σας, «τώρα που κολλάει αυτό;» απαντώ πως κολλάει γιατί έχει και τέ­ τοια σοκ η πραγματικότητα. Σ.Α. : Από όσα λέτε προκύπτει αβίαστα μία ερώτηση: Με τι κριτήρια σας επέλεξαν στο Prίnceton ως υπότροφο; Δεν υπήρχαν Αμερικανοί ή άλλοι, πλέον προσοντούχοι; Και αναφέρομαι προφανώς σε τυπικά προσόντα στηριζόμενη στην αναφορά σας ότι στα πρώτα στάδια της φοίτησης υστε­ ρούσατε των υπολοίπων, κάπως, σε γνώσεις. Μπορεί σταδιακά και πιθανόν σύντομα αυτό να άλ­ λαξε αλλά όταν τέθηκε υπό κρίση η αίτησή σας, θα ήταν εμφανές! Συνεχίζεται . . . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '

81 τ.l/26

Προβλή ματα με Ποσοστά

-------

------

Συ ν έχεια απ ό τ ην σ ελίδα 22 Λύση

Το ποσόν της αύξησης που θα πάρουμε στο τέλος του έτους(τόκος) θα είναι: � Το 3% του 2000€ = · 2000 = 6αΧ) = 60€ Ο τόκος και το κεφάλαιο μαζί θα είναι: 2000+60=2060€ 100 100 3) ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣ Η Σ ΑΡΧΙΚΗΣ Τ Ι Μ Η Σ

(Δίν εται η τελική τ ιμ ή κα ι τ ο ποσοστό αύξησης ή μείωση ς)

Παραδείγματα:

1) Αγοράσαμε ένα αερόθερμο και μαζί με Φ.Π.Α 23% πληρ ώσαμε 492 €. Ποια ήταν η αρχική τιμή του αερόθερμου; (τιμή χωρίς τον Φ.Π.Α)

Λύ ση

Τα 492 € που πληρώσαμε στο ταμείο είναι η αρχική τιμή και το ποσόν του φόρου επί της αρχικής τιμής . Άρα στο ταμείο πληρώσαμε : 1 00 ' ' τιμης ' + 23 της αρχικης ' τιμης ' = 1 23 της αρχι ' ς τιμης της αρχικης κη 1 00 1 00 1 00 Δ δ τ 1 23 η λα η : α - της αρχικης τιμης ειναι 492 € 1 00 1 492 ' ειναι ' ' τα 1 00 της αρχι ' ς τιμης ' ειναι ' το της αρχικη' ς τιμης = 4 € αρα 4 . 1 00 = 400 € κη 1 00 1 00 1 23 Άρα η αρχική τιμή είναι 400 €.

2) Αγοράσαμε στις εκπτώσεις ένα κλιματιστικό με έκπτωση 20% και πληρώσαμε 576€. Ποια ήταν η αρχική τιμή του κλιματιστικού; (τιμή χωρίς τήν έκπτωση) ·

·

·

·

Λύση

Τα 576€ που πληρώσαμε στο ταμείο είναι η αρχική τιμή - ποσό έκπτωσης. Άρα στο ταμείο 1 00 20 ' ' ' = 80 της αρχι ' ς τιμης ' τιμης ' πληρωσαμε της αρχικης της αρχικη' ς τιμης κη : 1 00 1 00 1 00 Δ δ, τ 80 1 576 , , , , , , , η λα η : α της αρχικης τιμης ειναι 576 € αρα το = 7, 2 € της αρχικης τιμης ειναι 1 00 1 00 80 1 00 Τα της αρχικής τιμής είναι 7, 2 · 1 00 = 720 € . Άρα η αρχική τιμή είναι 720 €.

1 00 Β τρδπος Αν υποθέσουμε πως είναι χ η αρχική τιμή τότε στο ταμείο πληρώσαμε 20 100 20 80 80 ' 80 100 57600 ' χ - - χ = - χ - - χ = - χ . Άρα - χ = 576 η χ = 576 : - η' χ = 576 · - η' χ = = 720 100 100 100 100 100 1 00 80 80 Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ Λ ΥΣ Η Α 1 • Η αμόλυβδη βενζίνη έχει 1,63 € το λίτρο. Γίνεται αύξηση στην τιμή 12%. Πόσο θα πουλιέται το λίτρο; Α2• Ένα σακάκι αρχικής αξίας 60€ πουλιέται 45€. Ποιο είναι το ποσοστό της έκπτωσης; Α3• Ένα βιβλίο πουλιέται 21,8 € με Φ.Π.Α 9%. Ποια είναι η αξία του βιβλίου χωρίς Φ.Π.Α; Παντελόνι με αρχική τιμή 30€ αγοράστηκε στις εκπτώσεις 24€. Ποιο ήταν το ποσοστό At. της έκπτωσης; Α 5 • Ένα μαγαζί κάνει έκπτωση 30% σε όλα του τα είδη. Πόσο θα πληρώσουμε για μια μπλούζα που πριν τις εκπτώσεις κόστιζε 56€ ; Α 6 • Οι καταθέσεις του κ. Παύλου αυξήθηκαν τα τελευταία 3 χρόνια κατά 8% και έφτασαν σήμερα να είναι 5184 €. Ποιο ήταν το ύψος των καταθέσεων του κ. Παύλου πριν από 3 χρόνια; -

--

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ. l/27

Εξ ι σώσε ι ς

======

Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις

Άσκηση 1

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: K=3 (x-2y)+2(x+3y)+l αν χ=Ο,Ο7 και y=201 1 Λύση K=3x-6y+2x+6y+ 1 =5χ+ 1 =5 {),07+ 1 =0,35+ 1 = 1 ,35 Άσκη ση 2

Να υπολογίσετε την τιμή της παρ ά στασης: ι

αν α+β= Μ=5(α+4β)+4(5 α+β)+β+2 .

25 Λύ ση Κ=5α+20β+20α+4β+β+2=25α+25 β+2= 1 =25(α+β)+2=25 · - +2= 1 +2=3 25 fi?Προτεινόμενες ασκήσεις 1 . Να aπλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 2α-5β+5β+3α β) 6κ-2φ+7κ+3κ+φ δ) -9x-y+3y+2y-x γ) μ-2ν-3 μ-7ν 2 . Να aπλοποιήσετε τις παραστάσεις και κα­ τόπιν να υπολογίσετε την τιμή τους: α) T=5(x-2)+7(y-3)+8x-1 , αν χ=='---- 1 και y=2 β) K=-(x-2y)+2(7-x)-3(2-7y)-χ-3y, αν χ=2 και y=-1 γ) �=(x-2y)-7 {2x-3y)-1 7+x-(4y-3x)+5y, αν χ=3 και y=-2 3 . Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός τετρα­ πλεύρου η οποία ισούται με το τριπλάσιο της πε­ "f ριμέτρου του πα­ ... ρακάτω σχήματος ελαττωμένη κατά 5 , αν γνωρίζετε ότι Χ+Υ x+y=5 1 Άσκηση 3

Εξισώσεις α ' βαθμού

Να λύσετε και να επαληθεύσετε την εξίσω­ ση : 3(χ-1)-2(5-χ) = 13--4(χ+2). Λύση 3χ-3-1 0+2χ= 1 3 --4χ-8 3χ+2χ+4χ= 1 3-8+3+ 1 0 18 9χ= 1 8 ' χ= - ' χ=2 9 Ε παλήθευση Α' μέλος: 3(2- 1 ) -2(5-2)=3 ·1-2 ·3=3-6=-3 Β 'μέλος: 1 3--4(2+2)= 1 3--4 4= 1 3-1 6=-3 Επει-

Γιάννης Ε. Σταμέλος

δή Α ' μέλος = Β ' μέλος, η ρίζα χ=2 επαληθεύει την εξίσωση. fi?Προτεινδμενες ασκήσεις 1 . Να λύσετε και να επαληθεύσετε τις εξισώ­ σεις: α) 2( 1 +4χ)-5( 1 -χ)=-3(χ+4) +25 β) 2ω-(5--ω)=5(ω-2)+3(ω+5) γ) 7(y+3)-8=7y-8-3(y-5) δ) 3(φ-1 )-29φ=2-(2φ-7) 2. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 7(1--4χ)-5(1-χ)= 1 1-3(2-χ)+χ β) 2κ-(3κ-5)=4(κ-3)-5(κ+3) γ) 9(μ+3)-7= 12μ-1 3-3(μ-1 1 ) δ) 3(λ-7) -29λ=4- (2λ-7)+4(λ-8) 3. Να βρείτε την τιμή του φ αν ξέρουμε ότι η εξίσωση 2(φ--4χ)-5(2-φ)=9φ-3(2-φ)+χ έχει ρίζα χ=2 Ά σκηση 4

, , χ-2 x+l 1-5χ Να λυσετε την εξισωση : - -- = -- -1 3 15 5 Λύση 1 . Παρατηρούμε ότι ΕΚΠ(3 , 5, 1 5)= 1 5

2.

15·

χ-2

--

5

-1 5 ·

χ+1

-

3

1 - 5χ = 1 5 · -- - 1 5 · 1 15

3(χ-2)-5(χ+ 1 )= 1 ( 1-5χ) -1 5 3χ-6-5χ-5= 1-5χ�1 5 3χ-5χ+5χ= 1-1 5+5+6 3χ=-3 3 χ=- 3 χ=-1 fi?Προτεινδμενες ασκιίσεις 1 . Να λύσετε τις εξισώσεις: χ + 2 χ - 1 3χ - 1 = α) 5 15 3 χ+3 χ-1 2χ + 3 -3 = β) 2 8 4 2χ - 3 -3χ - 1 2 - 5χ . + 3χ = γ) 2 4 6 + 2. Ομοίως α) _!_ (y + 3) - Υ 2 - y = _!_ (3y - 1) 2 3 6 3 2 1 - 2ω β) - -- + 3 = (5 - 3ω) 5 ω 2 χ+2 1 1 1 - 5χ γ) (7 - --) - χ = (-- + χ) - 3 2 3 2 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/28

_

Ε ξισώσεις

------

δ)

χ+2 3 ) :- - 1 = -1 : ( 1 - 5χ + χ) - 2χ (7 - 3 3 2 2 --

3. Ομοίως:

5χ α) 7 - (-χ - 2 - χ + 1) - χ = 2χ - -1 (+ χ) - 3 5 2 10 3 ) 2χ - 1 χ - χ + 2 - 3 3 - 1 2χ - χ ) 3(2 -3- + χ) = Χ 6 · (3 +l β 4. Ομοίως: 1 - 2χ χ-1 χ-4 2- = 7 - � β) -7- = χ - α) 5 3 2 - J_ 1 + _!_ 3 14 1 5 - 2χ 5. Αν K = 7 - ( + χ) - 3 S 3 -

και

1 3χ - 5 χ ' Λ = χ - 3 (5- - 2) + 15 , τοτε:

α) Για ποια τιμή του χ το Κ είναι διπλάσιο του Λ; β) Για ποια τιμή του χ Α το Λ είναι τα

� του Κ;

3 6. Πόση είναι η περί­ μετρος του διπλανού τριγώνου αν γνωρί­ ζουμε ότι είναι ισο­ σκελές με βάση τη ΒΓ; 7 . Να βρείτε την τιμή του α ώστε το παρα­ κάτω τρίγωνο να είναι ισόπλευρο.

8. Στο παρακάτω τρί­ γωνο να υπολογίσετε τις γωνίες του.

�+ 6 ]:

a ----- 4 x-J

Γ

Γ

Γ

Επίλυση προβλημάτων με τη χpιίση εξισώσεων > Ά σκηση ελέγχου καταvδησ-ης της θεωρ ίας

Να βάλετε αριθμούς στα παρακάτω βήματα ώστε να προκύπτει η συνήθης σειρά δραστη-

-------

ριοτήτων που κάνουμε για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη βοήθεια εξισώσεων. [ ] . Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα. [ ] . Επιλέγουμε ένα γράμμα για τον άγνωστο που θα πρέπει να προσδιορίσουμε. [ ] . Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και ξεχω­ ρίζουμε τα δεδομένα από τα ζητούμενα. [ ] . Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικα­ νοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. [ ] . Λύνουμε την εξίσωση . [ ] . Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη με τη βοήθεια του αγνώστου. Ά σκη ση 5

Π οιού αριθμού το τριπλάσιο αν αυξηθεί κα­ τά 9 , δίνει το πενταπλάσιο τ ου αριθμού ε­ λαττωμένο κατά ένα;

Λύση 1 . Έστω χ ο ζητούμενος αριθμός 2. Το τριπλάσιο του αριθμού είναι: 3χ και το πενταπλάσιο: 5χ 3. Το τριπλάσιο αυξημένο κατά 9 είναι: 3χ+9 και το πενταπλάσιο ελαττωμένο κατά 1 είναι: 5χ-1 4. Συνεπώς η εξίσωση θα είναι: 3χ+9=5χ-:-1 5 . Λύνουμε: 3χ-5χ=-1-9 - 10 -2χ=-1 0 χ= -- χ=5

'

-2 '

άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 5 . �Προτεινδμενες ασκήσεις 1 . Ποιού αριθμού το διπλάσιο αν ελαττωθεί κα­ τά 1 1 θα δώσει τοv αριθμό αυξημένο κατά 9; 2. Ο παππούς του Γιάννη είναι σήμερα 60 ετών και ο Γιάννη ς 8. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του παππού θα είναι 5-πλάσια του Γιάννη; 3. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου αν γνωρίζουμε ότι η μία είναι κατά 3m μεγαλύτερη της άλλης και η περίμετρος του είναι 1 72m.

4. Η δεξαμενή πετρελαίου μιας πολυκατοικίας έχει διπλάσια ποσότητα από τη δεξαμενή της δι­ πλανής. Μετά τη λειτουργία των καλοριφέρ για κάποιες μέρες η πρώτη κατανάλωσε 3 1 Ο λίτρα και η δεύτερη 62 και τότε οι δεξαμενές είχαν την ίδια ποσότητα. Ποια η αρχική τους ποσότητα; 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι κατά 32° μεγαλύτερη από αυτή της βά­ σης. Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου.

6. Να βρεθούν οι γωνίες Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ αν γνωρίζουμε ότι η Α είναι διπλάσια της Β και η Γ κατά 20° μικρότερη της Α.

7 . Η ηλικία του Διόφαντου

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/29

------

Ε ξισώσεις

Όταν πέθανε ο Διόφαντος οι μαθητές του, ως επιθυμία του δασκάλου τους, σύνθεσαν ένα γρίφο και τον έγραψαν στον τάφο του. Το επίγραμμα ήταν: «Δ ιαβάτη, σ ' αυτόν τον τάφο αναπαύεται ο Δ ιόφαντος. Σε σένα που είσαι σοφός, η επιστήμη θα δώσει το μέτρο της ζωής του. Άκουσε:

-Ο

Θεός του επέτρεψε να είναι νέος κατά το

ένα έκτο της ζωής του.

-Ακόμη ένα δωδέκατο και φύτρωσε το μαύρο γένι του.

-Μετά από ένα έβδομο ακόμα ήρθε του γάμου του η μέρα.

-Τον πέμπτο χρόνο αυτού του γάμου ήρθε ένα παιδί.

- Τι κρίμα για το νεαρό του γιό, αφού έζησε μ ονάχα τα μισά χρόνια από τον πατέρα του γνώ­ ρισε την παγωνιά του θανάτου.

-------

�Προτεινδμενες ασκιίσεις

1 . Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 12 λε­ πτά και μια άλλη σε 1 8. Σε πόσα λεπτά θα γε­ μίσουν τη δεξαμενή αν ανοίξουν ταυτόχρονα; 2. Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 1 5 λε­ πτά και μια άλλη την αδειάζει σε 60. Σε πόσα λεπτά θα γεμίσει η δεξαμενή αν ανοίξουν ταυ­ τόχρονα; 3 . Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 40 λε­ πτά, μια δεύτερη σε 20 και μια τρίτη σε 1 Ο λε­ πτά. Σε πόσα λεπτά θα γεμίσουν τη δεξαμενή αν ανοίξουν ταυτόχρονα; Άσκη ση 7

Τ ρεις συνεταίροι επιχειρηματίες μοίρασαν τα κέρδη μιας περιόδου ως εξής: ο πρώτος 1 πήρε το - του ποσού και 1320 €, ο δεύτερος 4

- τέσσερα χρόνια αργότερα ο Δ ιόφαντος βρήκε

το ! του ποσού και 1520€ και ο τρίτος το

της ζωής του».

.!_ του ποσού και 100€. Π οιο ποσό μοιρά-

παρηγοριά στη θλίψη του φτάνοντας στο τέλος

Αν πούμε χ τα χρόνια που έζησε συνολικά ο Διόφαντος, μπορείτε να «καταστρώσετε» μια εξίσωση και στη συνέχεια να προσδιορίσετε τη λύση της; Άσκ ση 6 η

Μία βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 20 λε­ πτά. Μια άλλη βρύση γεμίζει την ίδια δεξα­ μενή σε 30 λεπτά. Σε πόσα λεπτά της ώρας θα γεμίσει η δεξαμενή, αν ανοίξουν και οι δύο βρύσες; Λ ίJ σ η .

1 . Έστω ότι θα την γεμίσουν σε χ λεπτά: Προ­

φανώς δεν θα έΧ,ει έννοια να βρούμε αρνητικό ή μηδέν το χ.

2. Αφού η πρώτη βρύση τη γεμίζει σε 20 λεπτά,

Ι 20

στο ένα λεπτό θα γεμίζει το _ της δεξαμενής άρα σε χ λεπτά θα γεμίσει τα

_ Ι χ της δεξαμενής.

20 1χ 3. Ομοίως, η δεύτερη τα 30 4. Άρα, αφού με τις δύο θα γεμίσει μετά από χ Ι 1 λεπτα: - χ+ - χ= Ι . 20 30 5. Έχουμε ΕΚΠ(20, 30)=60 3χ+2χ=60 5χ=60 χ= 12 άρα σε 12 λεπτά γεμίζει η δεξαμενή ,

6

2

στη καν και πόσα € πήρε ο καθένας; Λύση

. 1 . Έστω ότι το αρχικό ποσό ήταν χ €. Προφα­ νώς θα πρέπει να είναι θετικός ο χ.

2. Ο πρώτος πήρε _!_ χ+ 1 320, ο δεύτερος 4 _!_ χ+ 1 520 και ο τρίτος _!_ χ+ 100.

6 2 3. Οπότε: _!_ χ+1320+ _!_ χ+ Ι520+ _!_ χ+ lOO=x 4 6 2

χ χ χ - + 1 3 20 + - + 1 5 20 + - + 1 00 = χ 4 2 6 χ χ χ 1 2 - + 1 2 · 1 320 + 1 2- + 1 2 · 1 520 + 1 2 - + 1 2 · 1 00 = 1 2 χ 4 6 2

3 χ+ 1 5840+2χ+ Ι 8240+6χ+ 1200=12χ 1 1χ+35280=Ι2χ χ=35280€ το αρχικό ποσό. Τώρα εί­ ναι εύκολο να βρούμε το μερίδιο του καθενός.

�Προτεινόμενες ασιαίσεις 1. Τρεις φίλοι μοιράστηκαν ένα ποσό. Ο πρώ­ τος πήρε το Ι/4 του ποσού ο δεύτερος το 1/3 και ο τρίτος το 1/2 μείον 50 €. Ποιο το ποσό που μοιράστηκαν και πόσο πήρε ο κάθε φίλος; 2. Από τους καθηγητές ενός σχολείου οι μισοί έρχο­ νται στο σχολείο με τα πόδια, το 1/3 χρησιμοποιεί λεωφορείο, το 1/9 με αυτοκίνητο και δυο έρχονται με μηχανάκι Πόσους καθηγητές έχει το σχολείο;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/30

------·

Λ. 1 .

Σε κάποιες ασκήσεις χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα. Θα δώσουμε λίγα συμπληρωμαnκά στοιχεία για τον Πυθαγόρα. Ο Πυθαγόρας στη Μέμφιδα της Αιγύπτου έγινε μέρος του ιερατείου σαν ιερέας μαθημα­ τικός. Όταν οι Πέρσες κατέλαβαν την Αίγυ­ πτο, συνελήφθη και πουλήθηκε σα δούλος στη Βαβυλώνα. Όταν ελευθερώθηκε, έφτασε στην Ελλάδα και κατέληξε στο μαντείο των Δελ­ φών σαν ιερέας - μάντης. Στη σχολή του Κρότωνα έγραφε στην εί­ σοδο: «Εκτός οι βέβηλοι» (μακριά οι ασεβείς). Με τους μαθητές του, οι οποίοι ορκίζονταν να μην αποκαλύψουν ό,n δίδασκε ο Πυθαγόρας, μελέτησαν πολλές ιδιότητες των αριθμών που τις θεωρούσαν ουσία του κόσμου . ./ Οι πυθαγόρειες τριάδες δίνονται από τους μ2 _ 1 μ2 + 1 _ τύπους ___ , __ , μ 2 με περιττό αριθμό.

2 2

2.

Γ . Ω ραιόπουλος

Αναφέρεται η θεωρία των άρρητων α­ ριθμών. Τους άρρητους αριθμούς, τους μελέ­ τησε ο Αθηναίος Θεαίτητος που ήταν μαθητής και δάσκαλος Μαθηματικών στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Για αυτόν έγραψε ο Πλάτωνας το βιβλίο-διάλογο «Θεαίτητος» . Στο Χ βιβλίο του Ευκλείδη είναι η έρευνα των ασύμμετρων αριθμών. Η θεωρία αυτή αναπτύχθηκε από το Θεαίτητο, τον προικισμένο με μαθηματική διάνοια. Ο Θεαίτητος ασχολήθηκε και με άλ­ λους κλάδους μαθηματικών, όπως τα κανονικά πολύεδρα. Σε αυτόν οφείλεται η κατασκευή του οκταέδρου και εικοσαέδρου.

./

Μελέτησαν nς αναλογίες με 3 αριθμούς α,β,γ α+γ , την αρι θ μηnκη 2 - = β , τη γεωμετρικη ,

-

α β

β α -β α =-. και την αρμονικη β -γ γ γ Από τη Γεωμετρία μελέτησαν τα κανονικά πολύγωνα. Για την Αστρονομία πίστευαν όn το Σύμπαν αποτελείται από σφαίρες που περι­ στρέφονται γύρω από ένα «κεντρικό πυρ», κο­ ντά στη Γη . Ο Πυθαγόρας άρχισε τη μουσική με τα μήκη της παλλόμενης χορδής. Με αριθμούς, έδωσε τη μουσική κλίμακα. Οι κάτοικοι του Κρότωνα, που ήταν Ελλη­ νική αποικία, επειδή ήταν δημοκρατικοί και θεωρούσαν τη σχολή αριστοκρατική, την έ­ κλεισαν και ο Πυθαγόρας έφυγε στο Μεταπό­ ντιο όπου πέθανε γύρω στο 500 έως 495 π.Χ.

-=-

,

--

Ο Θεαίτητος τραυματίστηκε στην Κόρινθο το 394 π.Χ. στον πόλεμο των Αθηναίων με τους Κορίνθιους και πέθανε στην Αθήνα σε ηλικία 2 1 ετών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ. 1/3 1

------

Στοιχεία Ιστορίας Μαθηματικών

3. Άλλες ασκήσεις λύνονται με τις εξισώ­ σεις της Κίνησης που ασχολήθηκε ο Γαλιλαί­ ος για τον οποίο γράφουμε στο Β κεφάλαιο του γενικού άρθρου. Θα δώσουμε μερικά συ­ μπληρωματικά στοιχεία.

Στο Γαλιλαίο οφείλουμε από τη νέα μηχα­ νική, την ελεύθερη πτώση των σωμάτων. Στο βιβλίο του «Λόγοι» ( 1 63 8) περιέχεται μια μα­ θηματική μελέτη για την κίνηση, την παραβο­ λική τροχιά του βλήματος και πολλά θεωρητι­ κά θέματα. Ο Φλωρεντιανός φυσικομαθηματικός Γα­ λιλαίος δίδαξε στα Ιταλικά πανεπιστήμια και αναφερόμενος σε πολλά έργα του Αρχιμήδη, έλεγε: «Η αρετή της Γεωμετρίας, αποτελεί το ισχυρότερο μέσο προς εκγύμναση του πνεύμα­ τος»

Ο μεγάλος αυτός επιστήμονας μελέτησε και Αστρονομία με το τηλεσκόπιο που κατα­ σκεύασε ο ίδιος. Πιστός στον Κοπέρνικο, α­ κόμα και τυφλός στη φυλακή έλεγε: «Και ό­ μως κινείται».

4. Μαθαίνετε για το « Τρίγωνο Πασκαλ». Ο Μπλαίζ Πασκάλ παρακινήθηκε από τον Πατέρα του να σπουδάσει Μαθηματικά επειδή ήταν πολύ έξυπνος. Σε ηλικία 1 6 ετών ανακά­ λυψε «το θεώρημα Pascal» για το εγγεγραμ­ μένο σε κύκλο εξάγωνο. Αργότερα, κατα­ σκέύασε αριθμητική, υπολογιστική μηχανή για να κάνει ο πατέρας του, που ήταν λογιστής, γρήγορα, μεγάλες προσθέσεις.

Μπλαίζ Πασκάλ

1 2

1

ι

3 3 ι ι 4 6 4 ι 5 10 10 5 ι ι

ι

ι

1

Τρίγωνο του Πασκάλ

Ο Πασκάλ στην Αριθμητική και τη Γεω­ μετρία χρησιμοποίησε τη μαθηματική επαγω­ γή. Έκανε μελέτες για την κυκλοειδή καμπύ­ λη. Είχε στενή συνεργασία με το μαθηματικό Fermat aνταλλάσσοντας επιστολές, ιδιαίτερα για πιθανότητες, για τις · οποίες βοηθούσε και το «τρίγωνο Pascal».

5 . Γίνεται αναφορά στις πυθαγόρειες τριά­

δες. Ο Πλάτων (429 348π.Χ) ήταν aριστο­ κράτης Αθηναίος, μαθητής του φιλόσοφου Σωκράτη, ο οποίος δίδαξε και μαθηματικά. Το 3 87π.Χ. ο Πλάτωνας ίδρυσε στην Αθήνα με­ γάλη σχολή, την «Ακαδημία Πλάτωνος» που στην πόρτα έγραφε: «Ουδείς αγεωμέτρητος ει­ σίτω», επειδή πίστευε ότι για να γίνει κάποιος φιλόσοφος πρέπει να ξέρει μαθηματικά. Ο φιλόσοφος Πλάτων μελέτησε τις θεωρί­ ες της Αριθμητικής και της tεωμετρίας του Πυθαγόρα. Ο ίδιος, με τους μαθητές της φιλο­ σοφικής σχολής του, κατασκεύασαν τα 5 lςα­ νονικά πολύεδρα: τετράεδρο, κύβο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο, που λέγονταν πλατωνικά. Στην Ακαδημία του Πλάτωνα σπούδαζαν εκτός από φιλοσοφία και Μαθηματικά, από καλούς μαθηματικούς δασκάλους, που δίδα­ σκαν ότι στις οικονομικές και πολιτικές επι­ στήμες, πρώτο μάθημα ήταν τα Μαθηματικά. Η Ακαδημία λειτούργησε πολλά χρόνια με δι­ ευθυντές μαθηματικούς και φιλοσόφους και την έκλεισε ο aυτοκράτορας Ιουστινιανός, ό­ ταν διευθυντής ήταν ο μαθηματικός Π ρόκλος (4 1 0 - 450 μ. Χ . ) .

6. Κάπου γίνεται σχόλιο και για το Διόφα­ ντο, ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια γύρω στον 4° αιώνα μ.Χ. Έγραψε συλλογή με ποικί­ λα προβλήματα, τα «Αριθμητικά», 1 3 βιβλία, από τα οποία σώθηκαν 6. Τα προβλήματα λύ­ νονται με εξισώσεις 1 ου και 2 ου βαθμού με λύ­ σεις ρητούς θετικούς αριθμούς. Διοφαντικές εξισώσεις είναι οι εξισώσεις με δυο αγνώ, β ' 2 β 2 στους οπως αχ+ y=γ η αχ + χ + γ =y . Το πιο σημαντικό που πέτυχε ο Διόφαντος είναι η προσφορά του στον αλγεβρικό συμβο­ λισμό. Έγραφε τις δυνάμεις του αγνώστου -

Μ=χ Δν=χ 2, ΔνΔ=χ3 τους συντελεστές με­ τά τις μεταβλητές.

2 Π.χ. το 3χ + 1 5 = Δν yΜιε Η πρωτοτυπία του έργου του και η διάδο­ σή του στην Ευρώπη κατά την Αναγέννηση συντέλεσαν ώστε η επίδραση του Διόφαντου στον αλγεβρικό συμβολισμό και την aριθμο­ θεωρία να είναι μεγαλύτερη από κάθε άλλο αρχαιοέλληνα μαθηματικό.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/32

Παραyονrοποί ηση ΑΑyεβρικώv t:"Jαρααιάσεων

Πομόνη Μαριάνθη

Με τον όρο παρανοντοποίη ση εννοούμε τη διαδικασία που κάνουμε, ώστε μια αλγεβρική παράσταση που είναι άθροισμα, να μετατραπεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Είναι μια σπουδαία διαδικασία, που ακολουθεί το μαθητή μέχρι το τέλος της μαθητικής του διαδρομής, διότι μπορούμε να βρούμε τους διαιρέτες ενός πολυωνύμου, να λύσουμε εξισώ­ σεις, να aπλοποιούμε κλάσματα κ.α. Μεθοδο λογίες Π αραγοντοποίησης με Βασική Θεωρία 1) Εξαγωγή κο ινού παράγοντα: αν όλοι οι όροι του αθροίσματος έχουν κοινό παράγοντα, τό­ τε εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα, μετατρέπουμε το πολυώνυμο σε γινόμενο. Δηλαδή :

αβ+αγ +αδ=α (β +γ + δ),

αβ-αγ-αδ = α (β -"!-δ)

2 3x y+6x- 1 2xy=3x(xy+2-4y). Εδώ, κοινός παράγοντας είναι το μονώνυμο 3χ. Αν κάνουμε νοερά τον πολλαπλασιασμό του 3χ με το πολυώνυμο της παρένθεσης, παίρνουμε την παράσταση που μας δόθηκε αρχικά. Το ίδιο φυσικά ισχύει και όταν κοινός παράγοντας είναι ολόκληρη παρένθεση, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί: (α+β)(γ+δ)+(α+β)(κ+λ)=(α+β)(γ+δ+κ+λ) 2 2 2 2 (α-β)3+(α-β) +α-β=(α-β) [(α-β) +(α-β)+ 1 ]=(α-β)(α -2αβ+β +α-β+ 1 ) 2 2 (x-y) -x+y=(x-y) -(x-y)=(x-y)(x-y- 1 ) 2 ) Εξαγωγή κο ινού παράγοντα κατά ο μ άδες (ομαδοποίηση) : είναι δυνατό να εξάγεται κοι­ νός παράγοντας, όχι από κάθε όρο της παράστασης όπως πριν, αλλά χωρίζοντας το πολυώνυμο σε ομάδες και εφαρμόζοντας στη συνέχεια την παραγοντοποίηση με τη μέθοδο του κοινού πα­ ράγοντα. Στην περίπτω � αυτή πρέπει το πλήθος των όρων να είναι άρτιος αριθμός.

2 2 χ3 -2χ +7χ- 1 4=χ (χ-2)+7(χ-2)=(χ-2)(χ +7) . π. χ.

2 1 αχ+ 1 2χ+35αy+20y=2 1 αχ+3 5αy+ 1 2x+20y=7α(3x+5y)+4(3x+5y)= (3χ+5y)(7α+4) 3) Μια βασική εφαρμογή των ταυτοτήτων είναι και η παραγοντοποίηση αφού αυτές μετατρέ­ πουν τα αθροίσματα σε γινόμενα: π.χ.

./

� Δ ιαφορ ά τετρ αγώνων: α2-β2 = (α-β)(α +β) .

π. χ. ./

π.χ. ./

π. χ. ./

4 22 2 2 2 2 2 2 2 1 6χ -1 =(4χ ) -1 =(4χ -1 )(4χ + 1 )= [(2χ) -1 ](4χ + 1 )=(2χ-1 )(2χ+ 1 )(4χ + 1 ) 2'2 [(χ-β)+( (χ-β) (χ+β) = χ+β)] [(χ-β)-(χ+β)]=(χ-β+χ+β)(χ-β-χ-β)=2χ(-2β)=--4 χβ

Α νάπτυγμα τετρ αγώνου αθρ οίσμ ατος ή δι αφ οράς: α2 +2αβ+f = (α +β/ και α2-2αβ+( = ςα-β/ 4 22 2 2 4 22 2 2 x +2x y +y =(x ) +2x y +(y) =(χ +y ) 2-1 2-2(3χ)2+ 2 =(3χ-2) 2 9χ 2χ+4=(3χ) 2

Α νάπτυγμα κύβου αθρ οίσματος ή διαφ ορ άς: α3 + 3α2β + 3αf +/f = (α +β/ και α3-3α2β + 3αjl-β3 = (α-β/ 2 2 2 χ3 +3χ +3χ+ 1 = χ3 +3χ 1 +3χ1 + 1 3 = (χ+ 1 ) 3 2 2 2 27-27χ+9χ -χ 3 =3 3 -3 (3 )χ+ 3 (3)χ -χ 3 =(3-χ) 3

Άθρ οισμα και διαφορά κύβων: 3 + = (ά + (α2-αβ +β2) και α3-/f = (α-β)(α2 + αβ +jl) βj 3 . α /f 2 2 2 3

χ +64=χ +4 =(χ+4)(χ -4χ+4 )=(χ+4)(χ -4χ+ 1 6) 2 2 2 2 8χ 3 - 1 25y3 =(2x) 3-(5y) 3 =(2x-5y) [(2x) +2x5y+(5y) ]= (2 x-5y)( 4χ + 1 O xy+25y ) 4) Παραγοντοποίηση τρ ιωνύ μου 2 • Αν το τριώνυμο είναι της μορφής: χ +(α+β)χ+αβ έχουμε: 2 χ +αχ+βχ+αβ=χ(χ+α)+β(χ+α)=(χ+α)(χ+β) (δηλαδή ομαδοποίηση) .

2 Για παράδειγμα, αν μας δίνεται το τριώνυμο χ + 1 0χ+2 1 , ψάχνουμε δυο αριθμούς με ά­ θροισμα 1 0 και γινόμενο 2 1 . Αυτοί είναι το 7 και το 3 .

2 2 Άρα: χ + 1 0χ+2 1 =(χ+7)(χ+3) όμοια: χ -9χ+20=(χ-5)(χ-4) 2 • Τι γίνεται όμως αν ο συντελεστής του χ δεν είναι 1 ; Υπάρχουν δύο περιπτώσεις: 2 α) Να βγαίνει ο συντελεστής του χ κοινός παράγοντας από όλους τους συντελεστές,

π. χ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/33

------

Παραγοντοποίη ση Αλγε βρικών Π αραστάσεων

2

--------­

2

για παράδειγμα: 3χ - 1 2χ- 1 5=3(χ -4χ-5 )=3 (χ-5)(χ+ 1 ) . (Και εδώ αναζητήσαμε δυο αριθμούς με άθροισμα --4 και γινόμενο -5) 2 β) Αν ο συντελεστής του χ δεν είναι 1 και δεν διαιρεί τους συντελεστές του τριωνύμου εφαρμόζουμε τη μέθοδο «συμπλήρωσης τετραγώνου?> : ' ' 2χ � � χ + - � 2χ 2χ ' + χ - Ι � 2 χ ' + + + �

+ � (Η -ω'-�] [( �) � Ξ] [( Η �J ψ Η ωJ ( � n � υ ( J ( υ ( ){ (

�2 χ+

-

;

�

Ξ)

χ+

-

�2 x+ +

χ+ -

� 2 χ+Ι χ-

� χ + Ι 2χ - 1) .

5) Παραγοντοποίηση με δι άσπ α ση κ άπ ο ιου όρου ή προ σ θαφαίρε ση ό ρου ώστε να ακο­ λουθήσει η διαδικασία της ομαδοποίησης ή της εφαρμογής ταυτότητας.

2 2 2 2 2 π . χ. χ3 +χ -2=(χ3-1 )+(χ -1 )=(χ-1 )(χ +χ+ 1 )(χ-1 )(χ+ 1 )=(χ-1 )(χ +χ+ 1 +χ+ 1)=(χ-1 )(χ +2χ+2).

4 2 2 2 2 2+ 1--α)(α2+ 1 +α)=(α2 + 1 )(α2+α+ 1 ).

4 2 2 2 22 2 -α α +α + 1 =α +2α + 1--α =(α ) +2α + 1--α =(α + 1 ) --α =(α 6) Συ ν δυα σ μός των παραπάνω περιπτώσεων. Το πρώτο που κοιτάζουμε είναι, αν υπάρχει κοινός παράγοντας. Αν ναι, τον εξάγουμε και συνεχίζουμε τη διαδικασία ελέγχοντας σε κά­ θε βή μα και γι' άλλη μορφή παραγοντοποίησης έως ότου παραγοντοποιηθεί πλήρως: π. χ.

2 2 2 2 α7--α=α(α6-1 )=α[(α)3) -1 ]=α(α3-1 )(α3+ 1 )=α(α-1 )(α +α+ 1 )(α+ 1 )(α -α+ 1 )=α(α-1 )(α+ 1 )(α +α+ 1 )(ci-α+ 1 ). Α σ κή σεις για Εξ άσ κη ση

Παραγοντοποιήστε τις παρακάτω παραστάσεις: 5 2 ι (χ+ 1 ) -27(χ+ 1 ) 5 2 2 . χ -8χ 2 3 . χ +3 αχ-9α-9 2 4. 3 χ +χ-4 2 5 . χ 3 +χ -5 χ-2 Η κρυμμένη λέξη

I D I O I <>

6.

7.

8.

9.

1 0.

α6+α3+1 8 4 α +α +1 +Ι χν _(ν+ 1 )χ+ν 2 χ3 +χ -1 2 2 χ -7

Δ

Δ

Για να σχηματίσετε τη Λέξη που κρύβεται, να αντικαταστήσετε κάθε σύμβολο με το γράμμα της αλφαβήτου που αντιστοιχεί στον αριθμό που βρήκατε από τη Λύση της κάθε εξίσωσης που ακολουθεί: (π.χ. το 1 στο Α, το 2 στο Β, . . . το 24 στο Ω.)

ο·

2 Η φυσίκή ρίζα της εξίσωσης; χ -9=0

ο

2 Το τετράγωνο της μεγαλύτερης ρίζας της εξίσωσης: · χ -5χ+6=0

<>

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: χ2-1 3χ+36=0

Δ

Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης: χ2-8χ+ 1 5=0

ο

Το διπλάσιο της μεγαλύτερης ρίζας τη ς εξίσωσης: (χ-6)(χ+6)=0

CJ

Η ρίζα της εξίσωσης: χ2-1 0χ+25=0 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/34

Μαθηματικοί Διαγ,ωνισμοί Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Π ροκρι μ ατικός διαγωνισ μ ός Ν έων 20 1 1 16

Π ρόβλη μα ι (α) 'Εστω

n

Απριλίου

20 1 1

θετικός ακέραιος. Ν α αποδείξετε ότι

n.Jχ - n 2 :$; χ , για κάθε χ � n 2 • 2

(β) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς x, y , z που ικανοποιούν την εξίσωση

2.,/χ

Λύ ση

-

1+

- -

4�y 4 + 6.,/z

9 = χ+y+ z

•

α) Επειδή είναι

ισχύει. Η ισότητα ισχύει, αν, και μόνον αν, χ 2 n2 , είναι ισοδύναμη με την aνίσωση

χ = 2n2 • Διαφορετικά, η δεδομένη aνίσωση, για κάθε

-χ)(� +χ) _j x-Di) 2 4d( x-ιi)-i:$; 0, �-χ :$;0�� -χ:$;0�(� ::; ο � ::;ο� ' 2 � +χ � +χ � +χ που ισχύει για κάθε χ 2 n2 , αφού είναι 2n.Jχ - n2 + χ > Ο και (χ - 2n2 ) 2 � Ο . Η ισότητα ισχύει για χ = 2n2 • (β) Η δεδομένη εξίσωση γράφεται στη μορφή ( 2-Jx-1 -x) +( 4�y-4 -y) +( � -z) =0, (1) για χ 2 1, y 2 4 και z 2 9. Λόγω του ερωτήματος (α), για n = 1, 2 και 3 , έχουμε 2../χ - 1 - χ ::;; Ο, 4�y - 4 - y ::;; Ο και 6../z - 9 - z ::;; Ο , οπότε η ( 1) είναι δυνατόν να αληθεύει, μόνον όταν 2../χ - 1 - χ = Ο, 4�y - 4 - y = O και 6../z - 9 - z = O � x = 2, y = 8, z = 1 8. Πρό βλη μ α 2 Π άνω σε καθεμία πλευρά τετραγώνου ΑΒΓΔ θεωρούμε 3 σημεία

διαφορετικά μεταξύ τους. (α) Να προσδιορίσετε τον αριθμό των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται με άκρα τα σημεία αυτά και δεν βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου. (β) Αν δεν υπ ά ρχουν τρία από τα προηγούμενα ευθύγραμμα τμήματα που να περνάνε από το ίδιο σημείο, να βρείτε πόσα σημεία τομής των τμημάτων αυτών υπάρχουν μέσα στο τετράγωνο.

Λύση (α) Οποιοδήποτε σημείο από τα 3 που ανήκουν σε μια πλευρά του τετραγώνου ορίζει με καθένα από τα υπόλοιπα 9 σημεία των υπολοίπων πλευρών ένα ευθ'})γραμμο τμήμα που δεν ανήκει σε κάποια πλευρά του τετραγώνου, οπότε από τα 3 σημεία μιας πλευράς ορίζονται 2 7 τέτοια ευθύγραμμα τμήματα. Έτσι από τις τέσσερις πλευρές του τετραγώνου θα ορίζονται 4 · 2 7 = 108 τέτοια τμήματα, τα οποία όμως έχουν καταμετρηθεί δύο φορές, μία για κάθε άκρο τους. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός τμημάτων είναι 108 : 2 = 54 . Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να εργαστούμε ως εξής: Από τα 12 σημεία των πλευρών του τετραγώνου ορίζονται

συνολικα,

(122 = -1 12·-12 = 66 J

, , , αυτα. , 'Ο μως τμηματα με ακρα ευ θυγραμμα , απο, τα σημεια ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ. l/35

------------4 { �) � 12 βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου. Επομένως τα ζητούμενα Μαθηματικοί Διαγωνισ μοί

ευθύγραμμα τμήματα είναι 66 - 1 2 = 54 . (β) Για οποιαδήποτε εσωτερικό σημείο του τετραγώνου που είναι σημείο τομής δύο από τα 54 ευθύγραμμα τμήματα που περιγράψαμε παραπάνω, απαιτείται η ύπαρξη κυρτού τετραπλεύρου με κορυφές πάνω στις πλευρές του τετραγώνου (δύο το πολύ σε μία πλευρά), δηλαδή απαιτούνται τέσσερα σημεία από τα οποία δύο το πολύ να βρίσκονται σε μία πλευρά. Αντίστροφα, από οποιαδήποτε τετράδα σημείων πάνω στο τετράγωνο που το πολύ δύο ανήκουν σε μία πλευρά, ορίζονται έξι συνολικά τμήματα (πλευρές και διαγώνιοι ενός κυρτού τετραπλεύρου), τα οποία τέμνονται σε ένα μόνο εσωτερικό σημείο του τετραγώνου. Ο αριθμός των τετράδων που ορίζονται από τα 12 συνολικά σημεία είναι ίσος με τους 12 = 12 '· = 9 · 10 · 1 1 · 1 2 = συνδυασμούς των 12 στοιχείων ανά 4, δηλαδή είναι 495 .

4 4!· ( 12 - 4 ) ! 1 · 2 · 3 · 4 Όμως, από τις παραπάνω τετράδες υπάρχουν κάποιες που δεν ορίζουν κυρτό τετράπλευρο. Είναι αυτές που έχουν τρία σημεία τους πάνω σε μια πλευρά του τετραγώνου. Επειδή για τα τρία σημεία μιας πλευράς ορίζονται 9 τέτοιες τετράδες, συνολικά για τις τέσσερις πλευρές του τετραγώνου θα ορίζονται 4 · 9 = 3 6 τέτοιες τετράδες. Επομένως ο αριθμός των ζητούμενων σημείων τομής ευθυγράμμων τμημάτων που είναι μέσα στο τετράγωνο, ισούται με 1 - 4 · 9 � 495 - 36 � 459 .

()

( :)

Πρόβλη μα 3 Να προσδιορίσετε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 8χ 3 - 4 = y 6χ - y

(

Λύση ( 1 ος τρόπος) Η

2

)

δεδομένη εξίσωση γράφεται 8χ3 + / - 6xy = 4 <=> ( 2χ )3 + / + 13 - 3 · 2χ · y · 1 = 5 <=> ( 2χ + y + 1) ( 4χ 2 + y 2 + 1 - 2xy - 2χ - y ) = 5 (1) <=> � (2x + y + 1) [ (2x - y)2 + (2x - 1)2 + (y - 1) 2 ] = 5

(2)

Από τη (2), επειδή (2χ -y )2 + (2χ - 1)2 +(y - 1)2 > Ο , λαμβάνουμε ότι και 2χ + y + 1 > Ο , οπότε από την (1) προκύπτει ότι 2χ + y + 1 = 1 ή 2χ + y + 1 = 5 <=> 2χ + y = Ο ή 2χ + y = 4. Από την (1) για 2χ+ y = 4 λαμβάνουμε 4� +y +1-4J;-2x-y = 1<=>(2x+y)2 -�-(2x+y) =0<=>xy =2. Από το σύστημα 2x + y = 4, xy = 2 έχουμε τη λύση (x, y) = (1, 2) . Επίσης από την (1) για 2χ + y = Ο λαμβάνουμε 4χ2 + / + 1 - 2xy - 2x - y = 5 <=> (2χ + y)2 - 6xy - (2x + y) = 4 <=> xy = -� .

3 'Ο μως, απο' το συστημα ' 2χ + y = Ο, xy = - -2 δεν προκυπτουν ακεραιες ' ' λυσεις. ' 3 zος τρόπος Η δεδομένη εξίσωση γράφεται s_x3 +y3 -6xy = 4<=>(2x+y) 3 -3·2x·y·(2x+y)-6xy=4, οπότε, αν θέσουμε 2χ + y = s, 2xy = p , λαμβάνουμε s 3 - 3 ps - 3 p = 4 � Ρ = s3 - 4 · 3 (s + 1 ) Επειδή ο p είναι ακέραιος και ο 3 p θα είναι ακέραιος, οπότε ο αριθμός 5 θ α ειναι s3 - 4 = s3 + 1 - 5 = s - s + 1 - -, ακεραιος. , , ' πρεπει ' ο s + 1 να ειναι Επομενως 2 s+1 s+1 s+1 διαιρέτης του 5, οπότε s + 1 Ε {-1, 1, - 5, 5} ή s Ε { -2, 0, - 6, 4 } . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/36

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισ μοί ------�----

'Ετσι προκύπτουν τα ζευγάρια ( s, p ) = ( -2, 4) ή ( s, p) =

(0,-�)

ή ( s, p) =

( �) (

ή s, p ) = ( 4, 4) ,

--6,

από τα οποία μόνο το τελευταίο δίνει ακέραιες τιμές για τους αγνώστους χ, y , που είναι οι χ = l , y = 2. Πρόβλημα 4 Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ABC με Α Β < AC , εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O, R) (με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα R ). Ο κύκλος c1 (A, AB) (με κέντρο το

σημείο Α και ακτίνα ΑΒ ) , τέμνει την πλευρά BC στο σημείο Ε και τον κύκλο c στο σημείο F . Η EF τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο c στο σημείο D και τη πλευρά AC στο σημείο Μ . Η AD τέμνει την BC στο σημείο Κ Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BKD τέλος τέμνει την ΑΒ στο σημείο L . Να αποδείξετε ότι τα σημεία K, L, M βρίσκονται επάνω σε ευθεία παράλληλη στην BF •

Λύση ( 1 °ς τρόπος) Η γωνία

, της ειναι η

ΒΑΕ

. Ά ρα:

FΊ

•

Λ Fz

_

είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο Λ Λ Λ ΒΑΕ Α1 + Α2 _

_

_

2

2

c1 και η αντίστοιχη επίκεντρή (l)

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AFDB Λ έχουμε: F1 = Α1 ( 2) Από τις σχέσεις (1) και ( 2) συμπεραίνουμε ότι Α1 = Α2 • Δηλαδή η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας Λ

-.;����----��:;ιι c

ΒΑΕ . Επειδή όμως · ΑΒ = ΑΕ (είναι ακτίνες του κύκλου c1 ), συμπεραίνουμε ότι η ΑΚ (και κατά συνέπεια η DK ) είναι κάθετη στην BC . Δηλαδή : DK __L BC (3) Στο κύκλο c , οι χορδές ΑΒ και AF είναι ίσες μεταξύ τους (ως- ακτίνες του κύκλου c1 ) οπότε Λ

D1

=

Λ

C.

εγγράψιμο, οπότε DKC = DMC = 90° . Δηλαδή :

Άρα

το

DM _ι A C

DKMC

τετράπλευρο

είναι

( 4)

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BΚDL έχουμε Bkn = BiD = 90° . Δηλαδή : DL __L ΑΒ (5) Από τις καθετότητες που περιγράφονται στις σχέσεις (3) , ( 4) και (5) συμπεραίνουμε ότι τα σημεία K, L, M θα βρίσκονται επάνω στην ευθεία Simson του τριγώνου ABC που αντιστοιχεί στο σημείο D

(*) .

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο DKMC έχουμε

εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABDC έχουμε

C1

=

Μ1

=

C1 • Από το

Α1 • Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABDF

έχουμε Α1 = FΊ . Άρα Μ1 = fiΊ και κατά συνέπεια BF 11 LM .

2°ς τρόπος Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία του 1 ου τρόπου μέχρι τη σχέση (5) και χρησιμοποιούμε ότι η ΑΚ είναι μεσοκάθετη της ΒΕ και η ΑΜ μεσοκάθετη της EF . Εφόσον το σημείο Κ είναι μέσο της ΕΒ και το Μ μέσο της EF , συμπεραίνουμε (από το τρίγωνο KMI/ BF ΒΕF ) ότι: (6)

i1 D2 • Οι γωνίες Β1 και D2 είναι εγγεγραμμένες στο κύκλο c και βαίνουν στα ίσα τόξα AF και ΑΒ . Άρα είναι: D2 Β1 • Από ΚL I/ BF τις δύο προηγούμενες ισότητες γωνιών προκύπτει i1 Β1 , οπότε: (7) Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BΚDL έχουμε

=

=

=

()

Από τις σχέσεις ( 6) και (7) έχουμε το ζητούμενο.

* Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο BKDL και το εγγράψιμο τετράπλευρο DΚMC , μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα σημεία Κ, L, Μ είναι συνευθειακά, ακολουθώντας τη διαδικασία απόδειξης της ευθείας Sίmson. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ.l/37

-----

1 511

Μαθηματικοί Διαγωνισ μοί -----

Βαλκανική Μ αθη ματική Ολυμπιάδα Κύπρος, Λάρνακα, 1 9-24 Ιουνίου 201 1

Νέων

Η 1 5 η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων διεξήχθη στη Λάρνακα της Κύπρου από 1 9 μέχρι και 24 Ιουνίου 20 1 1 . Έλαβαν μέρος επισήμως 9 χώρες: Βοσνία και Ερζεγοβίνη, Βουλγαρία, Ελλάδα, Κύπρος, Μαυροβούνιο, Μολδαβία, ΠΓΔΜ, Ρουμανία, Σερβία και ανεπισήμως οι χώρες: Αζερμπαϊτζάν, Καζακστάν, Τατζικιστάν καθώς και η Β ' ομάδα της Κύπρου. Την Ελληνική ομάδα αποτελούσαν οι μαθητές:

Σφακιανάκης Κωνσταντίνος, Αργυρό μετάλλιο, Χάλκινο μετάλλιο, Αναγνώστου Νικολέτα, Χάλκινο μετάλλιο, Δημάκης Π αναγιώτης, Χάλκινο μετάλλιο, Σκιαδόπουλος Αθηναγόρας , Αναγνώστου Θεόδωρος, Εύφημη μνεία, Χριστοδούλου Π αναγιώτης-Μάριος, Εύφημη μνεία Αρχηγός της Ελληνικής ομάδας ήταν η μαθηματικός Αγγελική Βλάχου και υπαρχηγός η μαθηματικός Τ αμάρ(Χ Μτσεντλίτζε.

Τα προβλήματα

Π ρό βλη μα l . Έστω α, b και c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε αbc = ι . Να

αποδείξετε την ανισότητα

( α5 + α4 + α3 + α2 + α + ι)( b5 + b4 + b3 + b2 + b + ι)( c5 + c4 +c3 + c2 + c + ι) � s( a2 + α + ι)( b2 + b + ι)( c2 + c + ι) Π ότε ισχύει η ισότητα ; Λί1ση

Με παραγοντοποίηση λαμβάνουμε

α5 + α4 + α3 + α2 + α + 1 = ( α3 + 1 )( α2 + α + 1 ) b5 + b4 + 53 + b2 + b + 1 = ( b3 + 1 )( b2 + b + 1 ) c5 + c4 + c3 + c2 + c + 1 = ( c3 + 1 )( c2 + c + 1 ) ,

οπότε, αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα

( d + 1)( θ + 1)( c3 +1)( d + α +1)( b2 + b +1)( d + c + 1) � 8( d + α+1)( b2 + b +1)( d + c + 1) � d + 1)( b3 +1)( c3 +1) � 8,

αφού οι απλοποιούμενοι όροι είναι θετικοί. Από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου έχουμε

α3 + 1 � 2 Ν , b3 + 1 � 2 Jil , c3 + 1 � 2 JJ ,

από τις οποίες με πολλαπλασιασμό κατά μέλη λαμβάνουμε

( α3 + 1 ) ( b3 + 1 ) ( c3 + 1 ) � 8�α3b3c3 ( α3 + 1 ) ( b3 + 1 ) ( c3 + 1 ) � 8, αφού από την υπόθεση έχουμε abc = 1 . =>

Η ισότητα ισχύει, όταν όλες οι ανισότητες αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου που εφαρμόσαμε αληθεύουν ως ισότητες, δηλαδή όταν ισχύουν: α3 = 1, b3 = 1, c3 = 1 <=> α = b = c = 1 . Πρό βλη μα 2 . Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς p -για τους οποίους υπάρχουν

θετικοί ακέραιοι Λύση

χ

κaι

y,

οι οποίοι ικανοποιούν την ισότητα

Η δεδομένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα στη μορφή

2 χ y -p

(

) + y ( χ2

(χ + y ) ( xy - p) = 5 p

-

p

)

=

5p .

Στη συνέχεια διακρίνουμε τις επόμενες περιπτώσεις: ι . Έστω χ + y = 1 και xy = 6p . Τότε ο χ θα είναι ρίζα ης εξίσωσης χ2 - x + 6p = Ο , η οποία για οποιοδήποτε πρώτο p � 2 δεν έχει λύσεις, αφού έχει διακρίνουσα Δ = 1 - 24p < Ο . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ. l/38

-------

2. Έστω χ + y = 5 και

xy

Μαθηματικοί Διαγωνισ μοί -------

= 2p.

Τότε ο χ θα είναι ρίζα ης εξίσωσης χ 2 - 5χ + 2 p = Ο , η οποία έχει δίακρίνουσα Δ = 25 - 8p . Επειδή ο p είναι πρώτος, από την ανισότητα 25 - 8 p � Ο προκύπτει ότι

p Ε {2, 3} . Για p = 2 λαμβάνουμε τις λύσεις (x, y) = (1,4) και (x, y) ( 4, 1) , ενώ για p = 3 λαμβάνουμε τις λύσεις (x, y) = (2, 3) και (x, y) = (3, 2) .

3. Έστω χ + y = p και xy = p + 5 . Τότε ο χ θα είναι ρίζα ης εξίσωση ς χ2 - px + p + 5 = Ο , η οποία έχει διακρίνουσα Δ = p 2 - 4p - 20 . Η ανισότητα p 2 - 4 p - 20 � Ο αληθεύει για τιμές του πρώτου αριθμού p ίσες με τις ρίζες ή εκτός του διαστήματος των ριζών του τριωνύμου p 2 - 4 p - 20 Ο , δηλαδή όταν p :::;; 2 - fi4 ή p � 2 + ..fi4 . Επειδή ο p είναι πρώτος προκύπτει ότι p � 7 . Επιπλέον, αφού οι χ, y είναι θετικοί ακέραιοι, πρέπει η διακρίνουσα Δ = / -4p - 20 να ισούται με το τετράγωνο κάποιου ακέραιου, δηλαδή πρέπει να υπάρχει ακέραιος q τέτοιος ώστε p2 - 4p - 20 = q2 , όπου 1 :::;; q < p , όπως προκύπτει από τη σχέση p 2 - q 2 4 p + 20 > Ο . Έτσι έχουμε =

=

=

p2 - 4p - 20 = � <=> ( p - 2)

2

-� = 24 <=> ( p + q - 2)( p - q - 2) = 24 από την οποία προκύπτει ότι και

οι δύο ακέραιοι p + q - 2, p - q - 2 πρέπει να είναι άρτιοι, οπότε διακρίνουμε τις υποπεριπτώσεις: α. p + q - 2 = 1 2, p - q - 2 = 2 <=> p = 9, q = 5 (απορρίπτεται, γιατί ο p = 9 δεν είναι πρώτο ς). γίνεται β. p + q - 2 = 6, p - q - 2 = 4 <=> p = 7, q = 1 . Τότε η εξίσωση x2 - px + p + 5 = 0

χ2 - 7 χ + 1 2 = Ο <::::> χ = 3 ή χ = 4 οπότε για τη δεδομένη εξίσωση λαμβάνουμε τις λύσεις (x, y) = (3, 4) , (x, y) = (4, 3) .

4. Έστω χ + y = 5 p, xy = p + 1 . Τότε ο χ είναι ρίζα της εξίσωσης χ 2 - 5 px + p + 1 = Ο από την οποία με διαδικασία ανάλογη της περίπτωσης 3, δεν προκύπτουν λύσεις. Επομένως, η δεδομένη εξίσωση έχει λύσεις ως προς χ και y Α στους θετικούς ακέραιους , όταν είναι p Ε {2, 3, 7} .

Π ρ ό βλη μα 3 . Έστω n θετικός ακέραιος, με n > 3 . Ισόπλευρο τρίγωνο ABC διαιρείται σε n 2 ίσα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα,

σχεδιάζοντας ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η περίπτωση για n = 4 . Έστω m το πλήθος των ρόμβων που αποτελούνται από δύο μικρά ισόπλευρα τρίγωνα και d το πλήθος των ρόμβων που αποτελούνται από οκτώ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα. Να βρείτε τη διαφορά m - d συναρτήσει του n . Λύση .

Β

Σχήμα 1

c

(Ελλάδα, προτάθηκε από τον Ευάγγελο Ψύχα)

Στη συνέχεια θα καλούμε τους ρόμβους που αποτελούνται από δύο μικρά ισόπλευρα τρίγωνα ρόμβους τύπου Μ και τους ρόμβους που αποτελούνται από οκτώ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα ρόμβους τύπου D . Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που είναι πλευρά μικρού τριγώνου και δεν ανήκει στις πλευρές του μεγάλου τριγώνου είναι η διαγώνιος ενός και μόνο ρόμβου τύπου Μ . Για να υπολογίσουμε λοιπόν το πλήθος των ρόμβων τύπου Μ , αρκεί να υπολογίζουμε το πλήθος όλων των ευθυγράμμων τμημάτων που δημιουργούνται στο εσωτερικό του τριγώνου από την τομή των ευθυγράμμων τμημάτων που ενώνουν τα σημεία των πλευρών. Τα τμήματα που είναι παράλληλα με τη πλευρά BC είναι: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ. l/39

Α

Σχή μα 2

------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ------1 + 2 + 3 + · · · + (n - 1) =

n( n - 1) 2

.

Άρα το συνολικό πλήθος των ρόμβων τύπου Μ είναι:

m=

3 n ( n - 1) 2

.

Για την μέτρηση των ρόμβων τύπου D θα χωρίσουμε τα εσωτερικά σημεία του τριγώνου σε τρεις κατηγορίες.

Η πρώτη κατηγορία αποτελείται από εκείνα τα σημεία που είναι κέντρα ενός και μόνο ρόμβου τύπου D . Αυτά είναι πάντοτε τρία (δηλαδή είναι τρία για κάθε n ) . Στο σχήμα 3 φαίνονται τα σημεία αυτά για n = 8 . Η δεύτερη κατηγορία αποτελείται από εκείνα τα σημεία που είναι κέντρα δύο και μόνο ρόμβων τύπου D . Τα σημεία αυτά βρίσκονται στα ευθύγραμμα τμήματα που είναι παράλληλα και πλησιέστερα προς τις πλευρές. Σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα υπάρχουν n - 4 σημεία. Άρα συνολικά θα έχουμε 3( n - 4 ) σημεία αυτής της κατηγορίας. Στο σχήμα 4 φαίνονται τα σημεία αυτά για n = 8 . Η τρίτη κατηγορία τέλος αποτελείται από τα υπόλοιπα σημεία

Σχήμα 3 Α

Β

. . .. ....

/

·.

c

Σχήμα 4 Α

D . Αυτά τα σημεία είναι n - 5) ( n - 4 ) 1 + 2 + 3 + · · · + (n - 5 ) = ( .

2 Στο σχήμα 5 φαίνονται τα σημεία αυτά για n = 8 .

που είναι κέντρα τριών ρόμβων τύπου

Με τη βοήθεια των προηγούμενων παρατηρήσεων, καταλήγουμε στον υπολογισμό όλων των ρόμβων τύπου D , που είναι:

d '= 3 + 3( n - 4 )2 + 3 (

n - 5 ) (n - 4 ) = .!_(2 + - J - 4 J) . ( n )(n 2 2

Β

c

Σχήμα 5 (Π ροφανώς για n = 2 και n = 3 , ισχύει d = Ο ). Εκτελώντας πράξεις, καταλήγουμε στην τιμή m - d = 3( 2n - 3 ) . Πρόβλη μα 4 . Έστω ABCD κυρτό τετρ άπλευρο, και έστω Ε και F σημεία στις πλευρές ΑΒ και CD , αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΒ : ΑΕ = CD : DF = n . Αν S είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου AEFD, να αποδείξετε ότι AB · CD + n ( n - 1 ) DA 2 + nDA · BC s� 2n 2 Λύ ση Θα ξεκινήσουμε με μία βοηθητική πρόταση . , S � AB · CD + BC · DA . 'Ε στω A B CD ενα , τετραπ , λευρο εμβ αδ ουι S . Τ οτε ' ισχυει: Λημμα: , 2 Απόδειξη λή μματος. Κατασκευάζουμε σημείο C1 τέτοιο ώστε BC1 = CD και DC1 = BC . Σημειώνουμε ότι για την κατασκευή του

C1

(σχήμα 6), αρκεί να θεωρήσουμε το συμμετρικό του σημείου

C ως προς τη μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος

ίσα, οπότε και τα εμβαδά των τετραπλεύρων ABCD

DB. Τότε τα τρίγωνα B CD και BC1D είναι και ABC1D είναι ίσα. Σημειώνουμε ακόμη ότι το

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/40

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισ μοί

--------­

εμβαδόν ενός τριγώνου είναι μικρότερο ή ίσο από το μισό του γινομένου οποιωνδήποτε δύο πλευρών του. Αυτό προκύπτει εύκολα, για παράδειγμα, από το τρίγωνο ΚLΜ με ύψος ΚΗ � ΚΜ προς την

LΜ · ΚΗ LM · KM � 2 2 < AD · DC1 + AB · BC1 = AB · CD + BC · DA 2 2 2

πλευρά LM (σχή μα 7), όπου έχουμε: ΕΔ ΚLΜ = Έτσι έχουμε:

S = SΔADC1 + SΔΑΒC1

c

D

ι

Σχήμα 7

Σχήμα 6

Για τη λύ ση του προβλήματος εφαρμόζουμε το λήμμα στο τετράπλευρο AEFD και έχουμε:

AE · DF + DA · EF AB · CD + n2DA · EF = 2 2n2 DB Θεωρούμε τώρα σημείο G πάνω στη διαγώνιο BD τέτοιο ώστε = n . Τότε, από το θεώρημα DG ( n - l ) AD Θ , , 'v BC , , του αλη, εχουμε GΈ = και G:r = - . Στη συνεχεια, απο την n n S< -

Μ

c

Σχήμα 8

τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο EGF λαμβάνουμε EF � EG+ GF =

.

Επομένως έχουμε

S�

ΑΒ · CD + n2DA · EF ·

2n2

�

(n - l) AD BC (n - l) AD+BC +- = -'-------'---n n n

ΑΒ · CD + n ( n - l ) DA2 + nDA · BC

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.1/41

2n2

.

Χαίρομα ι να λύνω

====

Γεωμετρία

Βαρόπουλος Δήμος

(2)

Άσκηση 8η

Δ. Τετράπλευρα

Έστω Δ σημείο β άσης τ ρ ιγώνου ΑΒΓ και Ι το Για να δείξουμε ότι ένα τετράπλευρο μέσο του ΑΔ. Η ευθεία ΒΙ τέμνει την ΑΓ στο Ε είναι παραλληλόγραμμο δείχνουμε ότι: t..) Ανά δυο οι απέναντι πλευρές είναι και η ΓΙ το ΑΒ στο Ζ. Αν ΔΗ//ΑΓ και ΔΘ//ΑΒ (Η,Θ αντίστοιχα σημεία των ΒΙ, ΓΙ), να αποδεί­ παράλληλες ) Ανά δυο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες ξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. (Ευ­ Ί ) Δυο απέναντι πλευρές είναι ίσες και κλείδης Γ ', 1 999) παράλληλες Λύ ση δ) Ορίζεται από τα μέσα πλευρών τε­ τραπλεύρου Έχουμε: Ι Θ Δ = Ι Α Ζ γιατι εχουν: ΑΙ=ΙΔ, ., Για να δείξουμε ότι ένα παραλληλό­ ΘΙΔ = Aiz ως κατακορυφήν και Θ.ΔΙ = ΖΑΙ ως ε­ γραμμο είναι ορθογώνιο δείχνουμε ότι: ντός εναλλάξ των ΔΘ//ΑΒ. Άρα θα έχουν και ΙΘ=ΙΖ. Επίσης από την ισότητα των τριγώνων ΑΙΕ ι) Μια γωνία του είναι ορθή και ΙΗΔ έχουμε IE=IH, άρα οι διαγώνιες του ΕΖΗΘ 1\) Οι διαγώνιές του είναι ίσες Δ

Για να δείξουμε ότι ένα παραλληλό­ γραμμο είναι ρόμβος δείχνουμε ότι: Δυο διαδοχικές πλευρές είναι ίσες β) Οι διαγώνιές του τέμνονται κάθετα · ) Μια διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία του 3

Δ

διχοτομούνται, οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Α

Για να δείξουμε ότι ένα παραλληλό­ γραμμο είναι τετράγωνο δείχνουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

4.

Για να δείξουμε ότι ένα τραπέζιο εί­ ναι ισοσκελές δείχνουμε ότι: &.) οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες β) Δυο γωνίες που πρόσκεινται στην ίδια βάση είναι ίσες γ Ο ι διαγώνιές του είναι ίσες Θυμίζουμε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ), για τη διάμεσο ΕΖ ι­ σχύει: ΕΖ/IABIIΔΓ και +Δ ΕΖ = ΑΒ Γ .

5.

2

Επίσης για τα μέσα Κ, Λ των διαγω­ νίων είναι: ΚΛ/IABIΙΔΓ και ΚΛ = ΔΓ - ΑΒ 2

Γ

Άσκηση 911

Στο σχήμα δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) και σημείο Ε στην πλευρά του ΑΔ τέτοιο, ώστε το τ ρίγωνι ΒΕΓ να είναι ισόπλευ ρο και τα τ ρίγω­ να ΑΒΕ και ΓΔΕ να είναι ισοσκελή, με ΑΒ=ΒΕ και ΔΓ=ΔΕ. Ν α υπολογιστεί η γωνία ΒΑΔ = ώ (Θαλής 2 00 1) Λύ ση Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΕ και Γ ΔΕ είναι ισοσκελή με ΑΒ=ΒΕ και ΔΓ=ΔΕ έχουμε: ΑΕΒ = Β ΑΕ = ω και ΔΕΓ = ΔΙΈ = φ .

Όμως: ω+ φ + 60 = ΑΕΔ = 180° άρα φ = 1 20° - ω και ΕΔr = 1 80° - 24 = 1 80 - 2 ( 120° - ω) = = 1 80° - 240° + 2ω = 2ω - 60° .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/42

------

Χαίρομαι να λύνω

-------­

Επειδή ΑΒ/IΔΓ έχουμε: ΕΑΒ + ΕΔΓ = 1 80 ° � ω + 2ω - 60 ° = 1 80 ° � � 3ω = 240 � ω = 80 °

Ε.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΩΝ

ΠΑΡΛΛΛΗΛΟ­

α) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δυο πλευρών τριγώνου εί­ ναι παράλληλο στην τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της. β) Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς. ίΥ) Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνου­ σας. δ) Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. ε) Αν μια γωνία ορθογωνίου τριγώνου είναι 30° , τότε η απέναντι κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υπο­ τείνουσας και αντίστροφα.

Β

Ά σκησ η ι οιι

Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ/ΙΓΔ), δίνεται ΔΑΒ = ΑΒΓ = ω και ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ισοσκελή με ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ=Γ Δ. i) Ν α αποδείξετε ότι η ΑΓ διχοτομεί την ΔΑΒ ii) Να υπολογίσετε τη γωνία ω (Θαλής 2003) Α

'"· Χαρακτηριστικά σημεια τριγώνου

α) Βαρύκεντρο είναι το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου. Αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ τότε: ΘΑ = � ΑΔ ΘΔ = .!._ ΑΔ ' 3 3 ΘΑ = 2ΘΔ . '

Α

Λύ ση

i)

Α

Γ

β) Ορθόκεντρο είναι το σημείο τομής των υψών ενός τριγώνου.

Β

ii)

Θα εκφράσουμε τις γωνίες BAr = λ και ΔΑr = θ ως συνάρτηση της γωνίας ω. Έχουμε: ΑΒ Γ = ΜΒ = ΔΑΒ = ω και ΔΑr = ΔrΑ = θ . Από το τρίγωνο ΑΒΓ έ­ χουμε: χ+ω+ω= 1 80° άρα χ= 1 80° -2ω ( 1 ).

Επειδή ΑΒ//ΔΓ τότε ΑΒ Γ + BfΔ = 1 80 ° δη­ λαδή ω+ω+θ= 1 80° άρα θ= 1 80° -2ω (2). Από ( 1 ), (2) έχουμε χ=θ, οπότε η ΑΓ διχοτόμος της ΔΑΒ . Επειδή ΔΑΒ = ω από ( 1 ), (2) έχουμε: ω=χ+θ�ω=360° -4ω�5ω=360° �ω=72 ° .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ. l/43

------

Χαίρομαι να λύνω

γ) Έγκεντρο είναι το σημείο τομής των εσωτερικών διχοτόμων τριγώνου και ισαπέχει από τις πλευρές του. Είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύ­ κλου. Α

------

Ά σκηση l lη Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ/ΙΓΔ, στο οποίο οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται κα 'θετα στο Ο. Αν Ε είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Ο, να αποδειχθεί ότι ΒΓ ..l ΔΕ (Θαλής 1 995) Λύ ση Στο τριγ. ΒΑΕ η ΒΟ είναι διάμεσος και ύψος, άρα το τριγ. ΒΑΕ είναι ισοσκελές. Επειδή το τραπέ­ ζιο ΑΒΓΔ ισοσκελές, τότε ΟΑ=ΟΒ, άρα το τριγ. ΟΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα ΟΑΒ = ΟΒ Ο = 45° . Άρα το τριγ. ΒΑΕ είναι ορθο­

Γ

δ) Περίκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών ενός τριγώνου και ισαπέχει από τις κορυ­ φές του. Είναι το κέντρο του περιγε­ γραμμένου κύκλου.

γώνιο στο Β, δηλαδή ΒΕ .l ΑΒ . Επειδή ΑΒ//ΓΔ και ΒΕ .l ΑΒ θα είναι και ΒΕ .l ΔΓ . Στο τρίγωνο ΒΔΓ το Ε είναι ορθόκεντρο, διότι στο Ε τέμνονται τα ύψη ΒΕ και ΓΟ. Άρα και το ΔΕ είναι το τρίτο ύψος, άρα ΔΕ .l ΒΓ .

Προτεινόμενες ασ κήσεις

Χ1 : Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και ΒΔ=2ΑΓ. Αν Ε, Ζ τα μέσα των ΟΒ και ΟΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΑΕΓΖ είναι ορθογώνιο. Χ2 : Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 90° ) είναι Β = 30° και η κάθετη στο μέσο Μ της υποτεί­ νουσας ΒΓ τέμνει των ΑΒ στο Δ. Να αποδείξετε: ΑΒ ί) ΜΔ=ΑΔ ίί) ΜΔ = 2 .

Χ3 : Δίνεται

ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ), το ύψος του ΑΔ και η διάμεσος ΑΜ. Αν Ε, Ζ οι προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: ί) ΑΔ=ΕΖ ίί) ΑΜ ..l ΕΖ ίίί) Η διάμεσος ΑΜ, η ΔΖ και η παράλληλος από το Β στην ΕΖ συντρέχουν. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ.l/44

Βαδίζοντας προς ιον PISA 20 12 ( 10) =======

Ρίζος Γιώργος

lη ΕΝΟΤΗΤΑ

Αλγεβρικός Λογισμός και Συναρτήσεις Στο δρόμο για τον PISA . . .

τ

ην άνοιξη του 20 1 2 θα διεξαχθεί η διε­ θνής εκπαιδευτική έρευνα PISA (Pro­

gram for Internatίonal Student Assessment: Πρόγραμμα για τη Διεθνή Εκr:ίμηση Σπουδών)

του Οργανισμού για την Οικονομική Συνεργα­ σία και Ανάπτυξη (ΟΟΣΑ). Η έρευνα περtλαμ­ βάνει τη διεξαγωγή ανά τρία χρόνια (2000, 2003, 2006, 2009 κ.ο.κ.) διεθνούς μαθητικού διαγωνισμού, στον οποίο συμμετέχουν 1 5ετείς μαθητές. Στην προσεχή εφαρμογή του PISA θα δοθεί ιδιαίτερη έμφαση στα μαθηματικά. 1 Τα θέματα του διαγωνισμού, που συνή­ θως αφορούν πραγματικές καταστάσεις, δεν ταιριάζουν, κατά κανόνα, με τα δικά μας Προ­ γράμματα Σπουδών, επειδή δεν δίνεται ιδιαί­ τερη βαρύτητα στις πράξεις, στην αποδεικτική διαδικασία και στη διατύπωση της λύσης, αλ­ λά στην εκτίμηση και στην εξαγωγή συμπερα­ σμάτων, με προσεγγιστικούς υπολογισμούς.

Χώρος και Σχήμα, Μεταβολή και Σχέσεις και Αρχή της Αβεβαιότητας. . . Θέλοντας ν α συμβάλουμε στην εξοικείωση των μαθητών μας με το περιεχόμενο και το ύφος των θεμάτων αυτών, συνεχίζουμε και φέτος την παρουσίαση μιας σειράς άρθρων με θέματα είτε αυτούσια είτε εμπνευσμένα από τα θέματα των προηγούμενων διαγωνισμών του PISA. 2 Γραφήματα Συναρτήσεων

Σε τέσσερα άρθρα στα τεύχη του Ευκλείδη Α' της περιόδου 20 1 0-20 1 1 δώσαμε αρ'Κετά χαρακτηριστικά θέματα του διαγωνισμού χω­ ρισμένα στις δεσπόζουσες έννοιες: Ποσότητα,

Στα θέματα του PISA στην ενότητα Μεταβο­ λή και Σχέσεις κυριαρχούν αυτά που αναφέ­ ρονται σε ανάγνωση, κατανόηση και ερμηνεία γραφικών παραστάσεων συν�τήσεων. Θα λέγαμε ότι απουσιάζουν τα περισσότερα στοι­ χεία Αλγεβρικού Λογισμού του δικού μας Προγράμματος Σπουδών, γι αυτό και ξενίζουν τους μαθητές που συμμετέχουν. Δίνουμε, παρακάτω, μια σειρά τέτοιων θεμάτων, τα οποία, πιστεύουμε, ότι δίνουν μια εικόνα του μαθηματικού περιεχομένου του PISA, αλλά μπορούν και να χρησιμοποιηθούν ως συμπληρώματα και προεκτάσεις των μα­ θηματικών θεμάτων που διδάσκονται στις δι­ κές μας τάξεις του Γυμνασίου.

1

2

Στη διεύθυνση

http://www .oecd.org/dataoecd/8/3 8/ 4696 \ 598.pdf μπορείτε να βρείτε πληροφορίες (στα αγγλικά) για το μαθηματικό περιεχόμενο του

PISA 20 1 2.

Στη διεύθυνση :

http://www.pi sa.oecd.org/dataoecd/ 1 4/ 1 0/3 87094 1 8 .pdf μπορείτε να βρείτε του

PISA.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ. l/45

50 αυθεντικά θέματα μαθηματικών

-------

Βαδίζοντας προς τον PISA 2012

Α

1.

Κούνια

Ο Μιχάλης κάθεται πάνω σε μια κούνια. Αρχίζει να κάνει κούνια προσπαθώντας να φθάσει όσο το δυνατόν πιο ψηλά. Ποιο από τα διπλανά διαγράμμα­ τα αναπαριστά καλύτερα την α­ πόσταση των ποδιών του από το έδαφος, καθώς κάνει κούνια;

Θι:μα για

το

πο υ

Β

Πρόγραμμα J>/8A 2003

Απόσταση ποδιών

hιvV Απόσταση ποδιών

•

Χρόνος

Χρόνος Γ

δ(>Οηκε

στο υς μαθητι:ς

------

Δ

Απόaτααη ποδιών

� �--

Χρόνος

Απόaτααη ποδιών

Ι� . -

Α πάντηση :

Σωστή απάντηση η (Α). Ο PISA δεν δίνει περισσότερες πληροφορίες. Σχόλια : Οι μαθητές πρέπει να "διαβάσουν" στα προτεινόμενα γραφήματα τη μεταβολή της από­ στασης των ποδιών στον κατακόρυφο άξονα ως προς τη μεταβολή του χρόνου στον οριζό­ ντιο άξοvα. Ξεκινάμε από ένα χαμηλό ύψος. Με την ταλάντωση το ύψος αυξάνει ως ένα σημείο, κατόπιν μειώνεται, αλλά, λόγω της αποκτούμενης ορμής, το μέγιστο κάθε ταλά­ ντωσης διαρκώς αυξάνει ως κάποιο σημείο, που δεν απεικονίζεται στο γράφημα. Γι' αυτό επιλέγεται το σχήμα Α κι όχι το Β. Θα είχε ενδιαφέρον να τεθεί το θέμα στην τάξη και να ζητηθεί εκτός της επιλογής δια­ γράμματος και η δικαιολόγηση της άποψης των μαθητών, κάτι που δεν ζητείται στον PISA. Τυχόν επιλογή του Γ θα αποκαλύψει σοβαρές δυσχέρειες στην κατανόηση της έννοιας του γραφήματος συνάρτησης, ενώ επιλογή του Δ θα μπορούσε να υπονοεί ότι ο μαθητής μελετά μόνο ένα τμήμα της φάσης της πρώτης ανόδου, κάτι που έρχεται σε αντίφαση με τη φράdη : "προσπαθώντας να φθάσει όσο το δυνατόν πιο ψηλά", άρα δεν είναι επιλέξιμη απά­ ντηση . Να σημειώσουμε ότι οι άξονες δεν είναι διαβαθμισμένοι, δηλαδή δεν φαίνεται η περίο­ δος της ταλάντωσης ή το ύψος σε εκατοστά στον κατακόρυφο ημιάξονα. Αυτό είναι χαρα­ κτηριστικό του ύφους των θεμάτων του PISA. Τέλος, να σημειώσουμε ότι στο επίπεδο των θεμάτων του PISA δεν ζητείται μελέτη ή εξήγηση για το αν η μεταβολή του ύψους γίνεται με καμπύλες ή ευθύγραμμα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ. 1/46

-------

2.

Βαδίζοντας προς τον PISA 2012

------Ι- 1 m

-4

·· ··----·-·· ····-··--------·-----··---·-·----"·--

Ντεπόζιτο νερού

Ένα ντεπόζιτο νερού έχει τη μορφή και τις διαστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Αρχικά το ντεπόζιτο είναι άδειο. Μετά το γεμίζουμε νερό με ρυθμό ένα λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Ποια από τις παρακάτω γραφικές πάραστάσεις δείχνει πώς το ύψος του νερού μεταβάλλεται με την πάροδο τού χρόνου; Θi:μα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003 Α

Δ

Γ

8

Ε

Απάντηση : Το διάγραμμα Β. Αρχικά το ύψος αυξάνει με μεγάλο ρυθμό, επειδή το ντεπόζιτο είναι κω­ νικό και κατόπιν με σταθερό ρυθμό, αφού είναι κυλινδρικό.

3.

\l ( m /5J

Αλεξιπτωτιστής

Στο διπλανό γράφημα φαίνεται η ταχύτητα της πτώσης ενός αλεξιπτωτιστή από τη στιγμή που πέ-

IL I

20

φτει από το αεροπλάνο ως τη στιγμή που σταματά. Ερώτηση 1 : Πόσο χρόνο διήρκεσε η πτώση;

10

Ερώτη ση 2 : Τι συνέβη 1 Ο sec μετά την έναρξη της πτώσης;

ο

v

λ \

I I iI

�

.�

1-

,

1-

\ \

. !

ο

,...

1\

,,

10

ι

:20

t. !δ)

Ερώτηση 3 : Ποια η ταχύτητά του εκείνη τη στιγμή σε rnlsec και σε Κm/h; Ερώτηση 4 : Στα 1 5 sec φτάνει στο έδαφος και τρέχει λίγο μέχρι να σταματήσει. Πόσα δευτερόλε-

πτα, με πόση ταχύτητα και πόσα μέτρα;

Το σχιjμα από Αρρ(νίng Matl1enιatiΩ,' lnternatίonal (Α ΜΙ) pilot

Απ αντή σεις:

3.1

Η διάρκεια της πτώσης είναι 2 0 sec.

3.2 Η ταχύτητά του μειώνεται απότομα, προφανώς επειδή άνοιξε το αλεξίπτωτό του.

3.3 Η ταχύτητά του μετά από 1 0 sec ήταν 25 3.4 Τρέχει για 5 δευτερόλεπτα με ταχύτητα 5

:

s c m

sec

=

=

25

·

�:��� Κ: 90 Κ: . =

1 8 Κm . Διανύει απόσταση 25 μέτρων. h

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 81 τ. 1/47

IC$ 1

-------

Βαδίζοντας προς τον PISA 2012

------

Προτεινόμενα θέμ�τα για εξάσκηση : 4.

τρία αυτοκίνητα, τα Α, Β και Γ.

Μελετώντας το ύψος των εφήβων Στο παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζεται

Απόσταση σε

Km

το μέσο ύψος των αγοριών και των κορι­ τσιών στην Ολλανδία κατά το έτος 1 998. Ύφος (σι:αn)

300

100 180 170 1110 1110

kι ..

140

/1

lct

Ι .ι

..

v

�

.... -

.. .. .

..... · · ·

llίσ� όρσς- � κοριτcnώιt το iιος 1888

120

12 13

14 ισ ιe

11 18 11 20

ο

Ηλιιιίσ (cκ tτη)

Θi.:μα που δόθηκε στους μαθητές για το Πρόγραμμα PISA 2003

1:

Μετά το έτος 1 980, το μέσο ύψος των ει­ κοσάχρονων κοριτσιών αυξήθηκε κατά 2,3

cm

---

φτάνοντας στα 1 70,6

cm.

Να

γράψεις παρακάτω ποιο ήταν το μέσο ύψος ενός εικοσάχρονου κοριτσιού το έτος 1 980.

�

-�}? vV v

80 -

130

Ερώτηση

/

240

nuν

w

10 11

/I

r/

ι

Ερώτη ση

ιι ι,/ IY-'1 lL�ι 2

3

---

--·-

4

Γ---

χρόνος σε ώρε

1:

τι μέση ταχύτητα είχε το αυτοκίνητο Α; Ερώτηση 2 :

Ποιο κινήθηκε ταχύτερα την τρίτη ώρα; Με πόση μέση ταχύτητα; Ερώτη ση

3:

Ποιο διένυσε τη μεγαλύτερη απόσταση την 1 η ώρα; Πόσα χιλιόμετρα;

Ερώτη ση 2 :

Να εξηγήσεις πώς αυτό το διάγραμμα

Ερώτη ση 4 :

δείχνει ότι κατά μέσον όρο, ο ρυθμός α­

Πόση απόσταση διένυσε το αυτοκίνητο

νάπτυξης των κοριτσιών μειώνεται από

Β τη δεύτερη ώρα;

τα 1 2 χρόνια τους και μετά. Ερώτη ση

3:

Σύμφωνα με αυτό το διάγραμμα, σε ποια

Βιβλιογραφί α :

χρονική περίοδο της ζωής τους τα κορί­ τσια είναι, κατά μέσον όρο, ψηλότερα από τα συνομήλικά τους αγόρια;

5.

Cars

[ 1 ] Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, Θέματα αλφαβη­ τισμού προγράμματος PISA, Αθήνα 2005 .

[2] OECD, (20 1 0), PISA 20 1 2 Mathematics Frame­ work, http://www. oecdorg/dataoecd/8/38/4696 1598.pdf

Στο παρακάτω γράφημα φαίνονται οι α­ ποστάσεις που διένυσαν σε τρεις ώρες

[3] Ρίζος Γ., Στο δρόμο για τον PISA, Τα μαθηματικά σrο διεθνή διαγωνισμό PISA, Εκδ. ΜΑΥΡΙΔΗ, Θεσσαλο­ νίκη, 2009

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 81 τ. 1/48

Προβλήματα κα ι Γρίφο ι ====

Κωνσταντίνα Γιαννακάκη 1

1 . Ένας πατέρας αποφασίζει να κάνει μια επένδυση για το γιο του. Στα πρώτα του γενέθλια και κατόπιν σε κάθε επέτειο των γενεθλίων του, κά­ νει γι' αυτόν μια κατάθεση στην τράπεζα 1 000€. Όταν ο μικρός έγινε εί­ κοσι χρονών πάει στην τράπεζα να εισπράξει το ποσό. Προς έκπληξή του όμως διαπιστώνει ότι στον λογαριασμό του έχουν κατατεθεί μόνο 5000€. Πως γίνεται αυτό;

2 . Τρία αδέρφια μπαίνουν σ ε ένα μαγαζί και αγοράζουν έναν υπολογιστή που κοστίζει 300€ δίνοντας 1 00€ ο καθένας. Φεύγοντας, τους προλαβαίνει ο υπάλληλος και τους λέει πως έκανε λάθος για­ τί ο υπολογιστής στοιχίζει 295 και όχι 3 00€ και γι' αυτό τους επιστρέφει 5€ ρέστα. Αυτοί, αφού δεν μπορούν να μοιρά­ σουν τα 5€ στα τρία, παίρνουν ο καθένας από 1 € και δίνουν 2€ φιλοδώρημα στον υπάλληλο για την καλή του πράξη . Στο τέλος όμως σκέφτονται: Έδωσε ο καθένας τους 1 00€ και πή­ ρε ένα πίσω, άρα 99€. Τρεις φορές το 99 μας κάνει 297 και 2€ για το φιλοδώρη μα, 299. Τι έγινε το 1€; Α ς γελάσουμε . . . Γιάννη αν κόψουμε ένα κομμάτι κρέας στα δύο, τι θα πάρουμε; Δάσκαλος: Μαθητής: Δύο μισά κύριε. Και αν κόψουμε το κάθε μισό στα δύο τι θα πάρουμε; Δάσκαλος: Μαθητής: Τέσσερα τέταρτα κύριε. Και αν κόψουμε και κάθε τέταρτο στα δύο τι θα πάρουμε; Δάσκαλος: Μαθητής: Κιμά κύριε . . . Απαντήσεις: 1.

2.

1

Ο μικρός έχει γεννηθεί 2 9 Φεβρουαρίου! Είναι η μόνη ημερομηνία που εμφανίζεται κάθε 4 7pόna.. Στα 29 7€ που δώσανε και οι τρεις μαζί, συμπεριλαμβάνονται και τα 2€ του φιλοδωρήματα;. Πμέ:zn \'!% αφαιρέσουμε και όχι να προσθέσουμε το φιλοδώρημα στο ποσό που πλήρωσαν για να βροί.μ.Ε �- � του υπολογιστή. Πράγματι: 297-2 =295.

Η Κωνσταντίνα Γιm'Vακάκη είναι μαθήτρια της Β ' Γυμνασίου στο 2° Γυμνάσιο Αγίου Νικολάου Κρήτης