Ευκλειδης Α 82 by demi de

ΜΑΘΗΜΑ1ΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ �

τενχος 82

a�

yια το yυμνασιο

ευκλείδης

Οκτώβριοι; - �οέμβριοι;- λεκέμβρLΟς Τψή Τεύχοuς Εtι(Μ!ί 3.00 e-mail: ίnfo@hms.gr, www.hms.gr

2011

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ../ ../ ../ ../

F R Α C Τ Α L S

Γενικά

'Αρθρα

Μορφοκλάσματα ή Μορφοκλαστικά σύνολα, Δ. Βαρόπουλος

Οι Μεyάλες και Χρήσιμες Εξισώσεις

Τύποι,

•

Γ. Ωραιόπουλος

•

π. Κυράνας

•

Το εξώφυλλό μας, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ο "Η απολ οyια , ενος , Μαθ ηματικου'ΙΙ, Στ.Αλαφακη '

Α" Τάξη ../ Η Επιμεριστική Ιδιότητα (ΕΙ) και η μεyQλη χρησιμότητα της, ../ Μια μέρα στις "Τραyανές Δαyκάνες", Στ. Αλαφάκη .

•

Β' Τάξη ../ "Μαyειρέματα" με εξισώσεις, Δ. Βαρόπουλος ../ Ανισώσεις α' βαθμού, Γιάννης Ευαyγ. Σταμέλος ../ Οι πραyματικοί αριθμοί και τα υποσύνολα τους, Γ.Λυμπερόπουλος,

Μαθηματικοί Διαyωνισμοί, "Χαίρομαι να λύνω

•••

•

(1ο),

•

Σελίδες για όλους

, Δ. Βαρόπουλος

•

Επιτροπή Διαγωνισμών

Βαδίζοντας προς τον PISA 2012

Αλληλοyραφία,

•

τ. Μπακάλης, Μ.Σίσκου

Γ" Τάξη

Γ. Ρι'ζος

•

. . . . . . . . . 11

../ Ιτοιχεία Ιστορίας Μαθημσπκών σε Γρατπά σπό τα "Μαθημσπκά", Γ. Ωραιόπουλος ../ Εξίσωση 2ου Βαθμού, Μ.Παυλάκη ../ ../ ../ ../ ../

14 19

29 31

. . . . . . 36 .

.......... . ...... ...... ... .. ...... ...... . . . ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν, Σ.

Γεωργίου

•

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑ1ΙΚΗΣ ΕτΑΙΡΕΙΑΣ

Συντακτική επιτροπή

ΠΑΝΕΠιΣΤΗΜΙΟΥ 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 210 3617784-3616532

Επίτιμος Πpόεδpος:

Λαγός Γεώργιος Λυμπερόποuλος Γεώργιος Μσνδρώνη Αικατερίνη Μενδωνίδης Γεώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακδλης Αναατδαιος Πσνουαδκης Νικόλαος Παπααταυρίδης Σταύρος Πουλδκη Μαρία Ρίζος Γεώργιος Σίακου Μαρία Τζίφας Νικόλαος Τααπακίδης Γεώργιος Ταικοπούλου Στδμη Χριατοδούλου Ντόρα Χρυαοβέργης Μιχαήλ

Ωραιόπουλος Γεώργιος

Fax: 210 3641025

Πρόεδρος: Βαρόπουλος Δήμος

Εκδότης: Καλογερόπουλος Γρηγόριος · Διεuθu ντής: Εμμανουήλ Κρητικός

Αντιπρόεδρος Α": Κυρδνας Παναγιώτης

Αντιπρόεδρος Β": Λυμπερόπουλος Γεώργιος Γραματεία: Αλαφδκη Σταυρούλα Σίακου Μαρία

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ.: 2054 ISSN: 1105

•

7998

Μέλη: Αλαφδκη Σταυρούλα Αλεξανδρδτου �ννα Γεωργίου Σπύρος Γληνού Αικατερίνη Κυρδνας Παναγιώτης

Επιμέλεια ·Εκδοσης:

Αλαφδκη Σταυρούλα Βαρόπουλος Δήμος

Ωραιόπουλος Γεώργιος

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••• •

ΙΔΙΟΚfΗΣΙΑ ΤΗς

•

ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΠΚΗΣ ΕfλΙΡΕΙΑΣ Ετοιχειοθε�ία - Εελιδοποίη�η:

EMHNIKH ΜΑΘΗΜΑ ΠΚΗ ΠΑ/ΡΕ/Α

Ειιτύπωαη:

ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΜΗ & Σ/Α EEJ.

τη..L 210 6623778 - 358

Ynailuν� τunογpαφείοu:

Δ. Παπαδόπουλος

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει όπ προτείνονrαι από την Ε.Μ.Ε. Οι συνερyάτες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να στέΑνονrαι έγκαιρα, σrα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με ν έvδε "Για τον Ευκλείδη Κ". Τα χειρόγραφα δεν εmσrρέφονrαι.

�

ιrιι;:cσ-ΙΛ•Μ

Ετήσια συνδρομή (10,00+2,00 Ταχυδρομικa=εuρώ U,OO). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία εuρώ 10,00

Το αvrίπμο yια τα τεύχrι που παpαyyaνοvται στέΑνεται: 1. Με απλή ταχυδρομική εmταyή σε διαrαyή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιοτοσεΑffiα της Ε.Μ.Εο, όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαyής με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται σrα γραφεία της Ε.ΜοΕ. 4 Με ανπκαταβολή, σε εταιρεία ταχυμεταφορών σrο χώρο σας, κατά την παραλαβή. ο

ι=��CT�L§

Μορφοκλάσματα ή Μορφοκλαστικά σύνολα Βαρόπουλος Δήμος Η

· Ευκλείδεια γεωμετρία χρησιμοποιεί τα σχήματα π.χ. τα τετράγωνα, τρίγωνα, κύκλους ως αφηρημένες έννοιες. Δεν μπορούμε με αυτά να περιγράψουμε το σχήμα πραγμάτων όπως τα βου νά, τα σύννεφα , τα δένδρα, μια ακτογραμμή. Η Ευκλείδεια γεωμετρία αγνοεί κατ' ανάγκη τις ΛΕπτομερείς πτυχώσεις και τις "ατέλειες" του πραγματικού κόσμου, επειδή είναι ακανόνιστες και δεν μπορούν να περιγραφούν με τους καθιερω μένους μαθηματικού τύπους. Όμως πριν λίγα χρόνια ο μαθηματικός Benoίt Mandelbrot, επινόησε αυτό που αποκαλούμε Γεωμετρία τω ν φράκταλ. Ουσιαστικά ονόμασε έτσι την γεωμετρία της φύσης. Η γεωμετρία των φράκταλ μας παρέχει τον τρόπο να εντοπίζουμε μοτίβα, κρυμμένα πρότυπα, εκεί που φαινομενικά υπάρχει αταξία. Μας επιτρέπει να τυποποιούμε και να προβλέπουμε τη συ μπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Δεν υπάρχουν δύο πανομοιότυπες ακτογραμμές, όλες όμως διαθέτουν το ίδιο γενικό σχήμα, άρα υπάρχει κάποιου είδους τάξη. Με τη γεωμετρία των φράκταλ μπορείς να περιγρά ψεις το σχήμα μιας ακτογραμμής με την ίδια ·ακρίβεια που ένας αρχιτέκτονας περιγράφει ένα σπίτι. Αν πάρουμε ένα μικρό τμήμα μιας ακτο γραμμής, θα αρκούσε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα για να το αναπαραστήσουμε σε ένα χάρτη. Αν όμως το εξετάσουμε από κοντά το συγκεκριμένο μικρό τμήμα, θα δούμε ότι αποτελείται από μι κρούς κολπίσκους κaι χερσονήσους. Κάθε κολπίσκος και χερσόνησο έχει τους δικούς του μικρότε ρους κόλπους και ακρωτήρια. Αν συνεχίσουμε να εξετάζουμε μικρότερα τμήματα της ακτογραμμής, θα διαπιστώσουμε ότι το σχέδιο με τους μικρούς κολπίσκους και χερσονήσους είναι πάντα παρόν. Αυτοομοι ότητα

Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σί>νολο. Αυτή η επανάληψη των ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και, στην περίπτωση καθαρά αφηρημένων οντοτήτων, είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο. Η φτέρη ανήκει στην κατηγορία troν φυτών που εκδηλώνουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας με τον καλύτερο τρόπο. Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα καθένα από τα οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη φτέρη. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/1

-------

F R Α C Τ Α L S Μορφοκλάσματα ή Μο ρφοκλαστικά σύνολα -....-----..

Αν πάρουμε ένα μικρό τμήμα μιας ακτογραμμής, θα αρκούσε ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα για να το αναπαραστήσουμε σε ένα χάρτη. Αν όμως το εξετιiσουμε από κοντά το συγκεκριμένο μικρό τμήμα, θα δούμε ότι αποτελείται από μικροι)ς κολπίσκpυς και χερσονήσους. :Κάθε κολπί σκος και χερσόνησο έχει τους δικούς του μικρότερους κόλπους και ακρωτήρια. Αν συνεχίσουμε να εξετάζουμε μικρότερα τμήματα της ακτογραμμής, θα διαπιστΦσουμε ότι το σχέδιο με τους μικρούς κολπίσκους και χερσονήσους είναι πάντα παρόν. Όσο κι αν μεγεθύνει κανείς, η ακτή παραμένει ανώμαλη. Η ακτή παρουσιάζει όμοια χαρακτηριστικά σε διάφορες κλίμακες. Αυτό ονομάζεται αυτοομοιότητα.

Τ ι ε i ν α ι τ α . φ ρ ά κ τα λ (f r a c t a I); Ο όρος φράκταλ επινοήθηκε το 1975 από τoν,Benoit Mandelbrot, από τη λατινική λέξη fractus που σημαίνει σπι:χ,σμένος. Προτού να εισάγει ο Mandelbrot τον όρο αυτόν η κοινή ονο μασία για τέτοιες δομές (η χιονονιφάδα του Koch για παράδειγμα) ήταν "τερατώδης καμπύλη". Ένα γεωμετρικό αντικείμενσ θεωρείται f φράκtαλ εάν έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: •

• •

•

Τα τμήματά του έχουν το ίδιο σχήμα ή δομή με το σύνολο, εκτός από το ότι είναι σε δια φορετική κλίμακα Το σχήμα του είναι πολύ ανώμαλο·ή διακεκομμένο ή κατατμημένο σε όλες τις κλίμακες Αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fφράκtαλ θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγα λύτερο τμήμα. Αν μεγf:\'θύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ Τα φράκταλ είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Τα φράκταλ διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευ κλείδειας γεωμετρίας .. το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα.

Η διαφορά ανάμεσα σε φράκταλ και μη- φράκταλ Φράκταλ Κατά τη μεγέθυνση, δεν φαίνονται νέα χαρακτηριστικά. ,,, ,.

, ,

, ,,. ,. , ,

, ,

,. ,,,,,

, , , , , , ,

, ,

' ,

' , ,

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , '

,.,,."'

, ' -',',',·" �" r ·, , ' ' ' ' ' , , , , ,

' ,

, , , , , , , , , , ,. , , , ,. , , , , ,. , , , , , , , ,. , , , , _ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,. , , _, , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

: - : - : - : - : - : - : - : - : - : - : - :., . -+-...."1_,,'-' r r�","r�•r, ... : :,,. : : : : :, : :, : : :ι-.;.., , , , ,, , ,, , ,, ,,,. , ,.., ,., ,, ,,,, . ,,. , ,. ,. , ,. , ,., ,. ,. ,. ,

, , ,, , ,, ,, ,, , ,,, ,, ,, ,, ,,,, , , ,,,, ,' ', IJ L-....... .. .., ' ' ' ' ', ', " " ' ' ' '; ' ', ' ' ,' ,. , , . , , ,. , . , ,, , , , , ,,, , , ,, , ,. ,

, ,

,', ,

' ,' , ' ,' , ' ,' ,',' , ' , ' ,

,',

,',',',',

,' ,

',',',

,',

,' , ' ,' , ' , , , ,' ,' , ,' , ' , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,. , , , , , , , , ' ' , , , , , , , , , , , , , · , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Μ Η Μη Φράκταλ Κατά τη μεγέθυνση. φαίνονταί νέα χαρακτηριστικά. Το σχήμα :rων μικρpτερων χαρακτηριστικφν μοιάζ�ι με αυτό των μεγαλύτερων. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α''82 τ.2/2

·-------

F R

Α C Τ Α L S-Μορφοκλάσματα ή Μορφοκλαστικά σύνολα ..

.. ..

-------

.. ..

Το μέγεθος των χαρακτηριστικών σε Mη-Fractal και Fractal Μη Φράκταλ ·

1CΙΙΙ

Το μέγεθος του πιο μικρού χαρακτηριστικού καθορίζει τη χαρακτηριστική κλίμακα Όταν μετράμε το μήκος, ' επιφάνεια ή όγκο με ανάλυση μεγαλύτερη από τη χαρακτηριστική κλίμακα, περιλαμβάνονται όλα τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου.

άκταλ Ένα φράκταλ αντικείμενq έχει χαρακτηριστικά σε μια ευρεία περιοχή μεγεθών. Δεν υπάρχει χαρακτηριστική κλίμακα. Αλλάζοντας την κλίμακα, μετράμε με όλο και μεγαλύτερη ακρίβεια, όλο συμπεριλαμβάνοντας περισσότερα και χαρακτηριστικά. Επομένως, το μήκος, η επιφάνεια ή ο όγκος, εξαρτώνται από την ανάλυσ:η που θα ·

ιcιn-1CΙΙΙ

18CΙΙΙ

χρησιμοποιήσουμε στη μέτρηση. Ένα κλασσικό παράδειγμα αποτελεί η μέτρηση του μήκους μιας ακτογραμμής, που διαφέρει ανάλογα με το μήκος του «χάρακα» που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση .(Οσο πιο μικρός ο χά ρακας, τόσο πιο μεγάλο το μήκος της ακτής, το γνωστό παράδοξο της ακτογραμμής). Όσο η κλίμακα της μέτρησης μειώνεται, τόσο το εκτιμώμενο μήκος αυξάνεται. Εάν η κλίμακα γίνει aπείρως μικρή, το μήκος που μετράται θα γίνει aπείρως μεγάλο! Λόγω της αυτοομοιότητας , χαρακτηριστικά ορατά σε μια κλίμακα συνδέονται με χαρακτηριστικά σε άλλες κλίμακες. Τα μικρότερα χαρακτηριστικά είναι αντίγραφα των μεγαλύτερων. Το μήκος μετρούμενο σε καλύτερη ανάλυση μεγαλώνει

καθώς

περιλαμβάνει

περισσότερα

χαρακτηριστικά. Το πώς τα μεγέθη εξαρτώνται από την ανάλυση αποτελεί την ιδιότητα κλίμακας των φρά κταλ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/3

-------

F R Α C Τ Α L S Μορφοκλάσματα ή Μορφοκλαστικά σύνολα

-------

Φράκταλ- δ ιάσταση. Στην ευκλείδεια γεωμετρία μια ευθεία έχει διάσταση 1 , ένα επίπεδο 2 και ένας κύβος 3. Στην γεωμετρία των φράκταλ οι διαστάσεις δεν είναι κατ' ανάγκη ακέραιοι αριθμοί. Η διάσταση ενός αντικείμενου μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα. Από εδώ προέρχεται και ο όρος "φράκταλ". Αν σχεδιάσουμε μια ακτογραμμή σε ένα φύλλο χαρτιού με κάθε λεπτομέρεια, βλέπουμε μια οδοντωτή γραμμή. Η διάσταση αυτής της γραμμής είναι μεγαλύτερη του 1 διότι δεν είναι ευθεία, αλλά μικρότερη από το 2 διότι δεν καταλαμβάνει ολόκληρο το επίπεδο του χαρτιού. Αν προ σπαθήσουμε να χωρέσουμε ένα βουνό μέσα σε ένα κύβο, τότε η διάσταση του θα είναι μεγαλύ τερη του 2 αλλά μικρότερη του 3, αφού δεν καταλαμβάνει ολόκληρο τον κύβο. Γεωμετρικά Fractals ·.ι.

Το τρίγω'ν� του Sίerpinskί

Σχεδιάζουμf: ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Παίρνουμε το μέσο κάθε πλευράς. Σχηματίζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και αφαιρούμε 'το κεντρικό κομμάτι. Κάνουμε την ίδια διαδικασία για καθένα από τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα που σχηματίζο νται γύρω, και ούτω καθεξής. 2. Η

νιφάδα του Koch /\ \.

�

)

-�

L_,

\,---' ----

\ / 'ν

Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.Χωρίζουμε την πλευρά του σε τρία ίσα μέρη και αφαι ρούμε το μεσαίο. Συμπληρώνουμε το κενό ενώνοντας δύο ίσα τμήματα εξωτερικά του τριγώνου. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για καθένα καινούργιο ευθύγραμμο τμήμα που προκύπτει. 3. Η

καμπύλη του Peano

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/4

-------

Ι<, R Α C Τ Α L S

Μορφοκλάσματα ή Μορφοκλαστικά σύνολα

-...,.....---

Η καμπύλη αυτή συστρέφεται τόσο ώστε έχει άπειρο μήκος. Πιο ενδιαφέρον ακόμα είναι το ότι τελικά περνάει από κάθε σημείο του τετραγώνου. Έτσι, υπάρχει μια μονοσήμαντη αντιστοιχία από τα σημεία ενός διαστήματος (μονοδιάστατο) στα σημεία ενός επιπέδου (δισδιάστατο). Σύνολο Mandelbrot Το σύνολο του Mandelbrot θεωρείται ως το πολυπλοκότερο αντικείμενο που παρουσιάστηκε στα μαθηματικά και πράγματι οι εικόνες του δείχνουν ότι έχει μια εξαιρετικά περίπλοκη δομή.

Αποτελείται : από ένα κυρίως καρδιοειδές το οποίο έj:ει "κολλημένα" μια σειρά από εξογκώμα τα κάθε ένα από αυτά περιτριγυρίζεται από άλλα τέτοια εξογκώματα κ.ο.κ. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Από αυτά τα εξογκώματα ξεφυτρώνουν νήματα (hairs), τα οποία φέρουν μικροσκοπικά αντίγραφα ολόκληρου του συνόλου Mandelbrot κατά μήκος τους. Είναι δυνατόν να μην εμφανίζονται αυτά τα νήματα σε εικόνες υπολογιστή, καθώς η προσέγγιση που γίνεται να μην είναι αρκετή. Σύνολο Julia

Τα Σύνολα Julia περιγράφτηκαν πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Maurice Julia (1 893-1 978) Φυσικά Fractals Τα Fractals περιγράφουν επίσης και πολλά αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο. Σύννεφα, βουyά� τυρβώδη ροή, ακτές, που δεν αντιστοιχούν σε απλά μαθηματικά σχήματα. Παρόλο που συνή�Ο)ς χρησι μοποιούμε απλοποιημένα μοντέλα, πολλές δομές στη φύση παρουσιάζουν περί. ,

ΚΥΚΛΕΙΑΗΣ Α' 82 τ.2/S

-------

F R Α C

Τ Α L.

S Μορφοκλάσματα ή Μορφοκλαστικά σύνολα

------

πλοκη μορφή και αυτοομοιότητα. Π. χ οι δομές με διακλαδώσεις Στη φύση, οι διαδοχικές δι ακλαδώσεις δεν μπορούν. να σ;υνεχίζονται επ'άπειρο, όπως σε ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά για πχ 5 ή 1 Ο επίπεδα, ανάλογα με τη βιολογική δομή. Εφαρμογές των φράκταλ.

Τα φράκταλ έχουν πολλές και ποικίλες εφαρμογές . Στη συμπίεση μιας ψηφιακής εικόνας , μια τεχνική που επιτρέπει την αποθήκευση τρομακτικών ποσοτήτων δεδομένων σε μικρό χώρο. Η ίδια τεχνική χρησιμοποιείται για την δημιουργία εικόνων φόντου για ταινίες και ηλεκτρονικά παιχνίδια. Για να ανασυνθέσουμε το φεγγάρι όπως πράγματι είναι θα χρειαζόταν η συνδυασμένη μνή μη δέκα χιλιάδων οικιακών υπολογιστών. Τα φράκταλ μας προσφέρουν ένα άλλο τρόπο. Το βα σικό σχήμα των κρατήρων παραμένει το ίδιο, το περιγράφουμε σ' ένα υπολογιστή και εισάγου με ένα μαθηματικό τύπο (αλγόριθμο) που νμ δίνει εντολή να αναπαράγεται αυτό το σχήμα σε διάφορες κλίμακες, μέχρ( να δημιουργηθεί κάτι που να μοιάζει με το φεγγάρι. Για να είμαστε βέβαιοι ότι δεν θα υπάρχουν δύο πανομοιότυποι κρατήρες, εισαγάγουμε στον μαθηματικό μερι κούς τυχαίους αριθμούς. Η Γεωμετρία των φράκταλ έχει α�ξανόμενη χρήση στην ιατρική. Φράκταλ-πρότυπα που προκύπτουν από ιατρικές εικόνες χρησιμοποιώντας για την ταυτοποίηση και ταξινόμηση πολ λών τύπων ασθενειών. Σειρά μελετών έχουν εντοπίσει συσχετισμούς ανάμεσα στη φράκταλ διάσταση των καρδιακών παλμών και την-παρουσία ασθένειας. Η οξεία λευχαιμία _αποτελεί την πιο συχνή κακοήθεια της παιδικής ηλικίας και περίπου στο 80% των περιπτώσεων πρόκειται για οξεία λεμφοβλαστική. Σε πολλές περιπτώσεις η μορφολογική διάκριση φυσιολογικών λεμφοκυττάρων και λεμφοβλαστών είναι δυσχερής με το κοινό μικροσκόπιο και η διάκριση και ταξινόμηση γίνεται με βάση κυτταροχημικά, κυτταρογενετικά χαρακτηριστικά, μοριακά δεδομένα Με τη χρήση της μορφοκλασματικής διάσ;τασης (Fractal Dimension FD) οι μετρήσεις των φυσιολογικών λεμφοκυττάρων και των λεμφοβλαστών μπορούν να συμβάλουν στην ακριβή έκφραση της πολυπλοκότητας της κυτταρικής μεμβράνης, του ανώμα λου σχήματος των κυττάρων αυτών �αι επομένως της μεταξύ τους διάκρισης. Τα φράκταλ μπορούν να αλλάξουν τον τρόπο που απεικονίζουν τον κόσμο οι καλλιτέχνες και οι μουσικοί. Η·Γεωμετρία των φράκταλ προσφέρει ένα νέο τρόπο αντίληψης του χώρου και της μορφής και δίνει την ελευθερία στους καλλιτέχνες να απεικονίζουν τα φυσικά αντικείμενα όπως στην πραγματικότητα είναι και όχι μέσα στα όρια των ευκλείδειων εννοιών της διάστασης. Φράκταλ πρότυπα χρησιμοποιούνται στην μετεωρολογία, γεωλογία, αστρονομία, χαρτογραφία, πολεοδομία. 1

Βιβλιογραφία 1. Ο θαυμασ-έός κόσμος των Fractal, Μπούντης Αναστάσιος Εκδότης 2. www.geometήafractal.com/directoή.htm ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/6

Leader Books.

Οι ΜεyάΑες και Χριίσιμες Εξισώσεις- Τύtrοι Β.

. Γ

Ω ραιόπουλος

Συνεχίζουμε με τους Ασιάτες και τους Ευρωπαίους.

ι. ΟΙ ΚΙΝΕΖΙΚΕΕ αο:m:ΕΙΣ Στή μεγάλη χώρα είχαν ασχοληθεί σχετι κά, πολλοί σοφοί μαθημαtικοί και αστρονό μοι. Τα δύσκολα προβλήματα τα έλυναν με ε ξισώσεις και συστήματα. Στο «Ιερό ΒιβλίD Α ριθμητικής», αποδεικνύουν το Πυθαγόρειο θεώρημα γεωμετρικά. Τις πλευρές χ του μεγά λου τετραγώνου τις διαιρούν σε δυο άνισα tμήματα β και γ. Το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου είβ· γ + α2 ναι: χ 2 == 4

(5,12, 13), (8, 15,17), (12,35,37). Ο μαθηματι κός Αρυαχμπάτα (6°ς αι.) γράφει σε τοίχους την εξίσωση: (Μήκος περιφέρειας διαμέτρου 20000�62830), που δίνει τιμή του π=3,1416. Νεότεροι Ιvδοί μαθηματικοί όπως οι Bι-ahmagupta καi Bhascara, έγραψαν πολλά. Ο πρώτος μας δίνει το εμβαδόν τετραπλέuρου

Ε=�( τ�α)(τ - β)(τ -γ)( τ-δ)

χω;,

ρίς να γράψει όμως ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Αλλά αυτό είναι επίσης ίσο με 4 ορθοrώ νιακαι ένα μικρό τετράγωνο εμβαδού (γ-β) . z αz ==4β·γ+(γ- β) . β· γ + α2 =4βγ+(γ-β) 2 Από την ισότητα 4

προκύπτει α2=β2+y2. Ο Λιου Χουί στο βιβλίο του «Εννέα κεφά λαια» (263 μ.Χ.) με περιγεγραμμένα και εγyε γραμμέ\Ια σε κύκλο, κανονικά πολύγωνά με 1 92 πλευρές βρήκε 3,1427>π>3,1401 (όπως και ο Αρχιμήδης)

22 7

Ο Αστρονόμος Τσάου Τσικ βρήκε: rc = -· .

14 ΜΑθΗΜΑΤΙΙΙωl .JΛΟΣ.(Μ()I !:1U: ΙΝΛΙΕ% Στο λογοτεχνικό ποίημα Sulνasutras (4°ς αι.) βρίσκονται οι πυθαγόρειες τριάδες (J,4,5),

Ο Bhascara δίνει την απόδειξη του Πυθα γόρειου θεωρήματος γεωμετρικά: α · β � γ2 = α2 + 2 z _ β )2 β γ = (α ' + 4

Ο ίδιος, δίνει την εξίσωση του μήκους κύκλου C = .JϊΟ 2ρ , όπου π = .JϊΟ Το μεγαλύτερο όμως επίτευγμα των Ινδών είναι το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (0, 1 ,2,3,4,5,6,7 ,8,9) που χρησιμοποιούμε και σήμερα όπως και η δημιουργία των αρνητικών αριθμών. ·

J.. Β ArλllllαlllfODiιOrA Οι Άραβες . από τον 7° αιώνα με κέντρο τη Βαγδάτη ό'Ιtου ίδρυriαν σχολή, βιβλιοθήκη, και αqτερσι:rκοπsίο μsλέτησαν τα ανατολικά και αρχαιοι:;λληνιkά μαθημιχ.τικά και δημιούρ-' γη σαν άξιους μαθηματικούς και aστρονόμους ; συγyραφεις. Ο Tabit (835-901) απόδειξε τη μεγάλη ε� ξίσωσ.η α2= β2+'γ2 μ� το παρα.κ:&ται σχήμα, π6υ ··

ΕΥΚΛΕΙΔ)tt Α' 82 τ.2/7

------ Οι μεγάλες και χρήσιμες Εξισώσεις - Τύποι

το διαγραμμισμένο μέρος είναι β2+/ και μπο, ' ρει να γινει α2 .

Ο Al Huaήsmi στο βιβλίο του «ΑΖ 1Jabr», του οποίου η λατινική μετάφραση έδωσε τη λέξη «Άλγεβρα», λύνει την εξίσωση χ2+ 1 0χ=39 με ρίζες 3,-13 και τη χρησιμοποιεί σαν οδηγό λύσης της δευτεροβάθμιας εξίσω σης. Οι τριγωνομετρικοί του πίνακες με ημί τονα και εφαπτομένες ήταν πολύ χρήσιμοι. Ο Πέρσης Αλ Κασί υπολόγισε το π με 1 6 δεκαδικά ψηφία. Ο ίδιος έλυσε και την τριτο βάθμια εξίσωση. Ο aστρονόμος Αλ Χαγιάμ (1028- 1 123) στο ημερολόγιό του κάνει σφάλμα μιας μέρας σε 5000 χρόνια. Εάν οι Άραβες δεν επέτρεπαν τις μετα φράσεις τους, θα χάνονταν πολλά ενδιαφέρο ντα βιβλία. 4. Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΙΤΑΛΩΝ Ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1 170-1256) ξε κίνησε από την Πίζα και ταξίδεψε στην ανα τολή όπου σπούδασε Μαθηματικά. Με τα συγ γράμματά του έλυσε την Πυθαγόρεια εξίσωση β2+γ2= α2 με ρητούς αριθμούς, που δίνονται 4λ 3λ ' ' απο' τους τυπους β= -, γ=·-, α=λ , οπου

λ τυχαίος αριθμός.

------

σειρά Ο, 1 , 1 ,2,3,5,8, 1 1 ,2 1 . . . όπου κάθε όρος ισούται με το άθροισμα των 2 προηγούμενων. Τα βιβλία του Φιμπονάτσι βοήθησαν να διαδοθεί στην Ευρώπη το ινδοαραβικό σύστη μα αρίθμησης. Δυο άλλοι Ιταλοί Μαθηματικοί, ο Ταρτά λια και ο Καρντάνο,· τον 1 6° αι., έλυσαν την τριτοβάθμια εξίσώση χ3 + ρχ + q=Ο με τον τύπο 2 q q - + - + - _J

ρJ

2 q q - + - --

ρJ

ΚΑΙ ΛΙΓΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

Ο σοφός Πολωνός Νικ. Κοπέρνικος (1473αποκάλυψε το ηλιοκεντρικό πλανητικό σύστημα, τους νόμόυς του οποίου διατύπωσε ο Γερμανός Κέπλερ.

1 543)

Η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι έλλειψη με εξίσωση

y2 χ 2 --2 + -2

= 1 που γίνεται α β σε χρόνο 365,2422 μέρες και δίνει τις 4 εποχές του Βορείου ημισφαιρίου. Τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4 έχουν 366 ημέρες εκτός από 1 κάθε 2000 έτη που έχει 365. .

21-3 22-6

21-12

23-9

Ο ίδιος ασχολήθηκε με τον αριθμό π, τον οποίο βρήκε π=3,14 1 . Επίσης επινόησε τη

Η Γη περιστρέφεται και περί τον άξονά της (ΒΝ) σε 24 ώρες και έτσι δημιουργείται το ημερονύκτιο. Η μέση ακτίνα της Γης είναι 6360km. Η επιφάνεια Ε=πρ2 είναι περίπου

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/8

------ Οι μεγάλες και χρήσιμες Εξισώσεις - Τύποι

5 10.682.700 km2 και όγκος της ναι περίπου 1 .083.260.000 km3•

4 3

Ο= πρ3 εί-

------

σωμάτων και καθόριζε την ισορροπία τους. Υπολόγιζε τη μάζα (m) και το βάρος (Β) ενός σώματος από τον όγκο του V και την πυκνό τητά του d ή το ειδικό βάρος ε χρησιμοποιώ ντας τις εξισώσεις: m=V il και B=V -ε. iι.ι)

----

- ------- --

- - ------- --

' ' '

�r � ·

' '

···---- -------- --------------

' '

Ι'

ό' σημι:!ρι ' ν ς '

----�.-----·

' ' '

>c,..,...,, �"""� . "'ι t

Ο πρώτος μεσημβρινός κύκλος που περνά από το Λονδίνο, χωρίζει τη Γη στο ανατολικό ημισφαίριο ΒΝΙ' με γεωγρ. μήκος 0°- 1 80° και στο δυτικό ημισφαίριο ΒΙΝ με το ίδιο γε ωγραφικό μήκος. Οι μεσημβρινοί ορίζουν στη γήινη επιφάνεια 24 σφαιρικές ατράκτους (φέ τες) που καθεμιά με τη διπλανή της διαφέρουν 1 5° ή 1 ώρα. Έτσι, όταν στην άτρακτο που δι χοτομείται από το μεσημβρινό του Λονδίνου είναι ώρα Ο ή 24, στην ανατολική άτρακτο της κεντρικής Ευρώπης θα είναι 1 ώρα νωρίτερα, δηλαδή 23, ενώ στη δυτική, μια ώρα αργότε ρα, δηλαδή 1 . Μετά από 1 2 ώρες η διαμετρικά αντίθετη άτρακτος έχει 1 2η ώρα αλλά της προηγούμενης μέρας. Αν π.χ. η ανατολική έχει 12η ώρα Κυριακής, η δυτική έχει 1 2η ώρα Σαββάτου. 6. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΓΑΛΙΛΑΙΟΥ Ο μεγάλος Ιταλός φυσικομαθηματικός και αστρονόμος Γαλιλαίος (1 564-1 642) υπερα σπίστηκε το ηλιοκεντρικό σύστημα και κατα διώχθηκε από την Ιερά Εξέταση.

-.·Μ .l":'j

•c.�--.�i�-....-..ι- � '1-�41-��:...... � � '""'! --,'!' ,-<ι..;.

Επίσης, μελέτησε τις κινήσεις των σωμά των με τις εξισώσεις S=υ·t (ευθύγραμμη ομα-

λή κίνηση) και

S = _!_ gt2 (ευθύγραμμα ομαλά 2

επιτα-χυνόμενη σε ελεύθερη πτώση) όπου g=9,8 1m/sec2 , η επιτά-χυνση της βαρύτητας.

_ . ..

•

••

�f;l /

• •

•

Αυτός μελέτησε την έλξη δυο σωμάτων m1, mz που έχουν απόσταση τ, με την εξίσωση •

;

u.� �.;,�.�·.;ιι..;ο;,..... --�.:-....-"""'...-

Ο Ισημερινός κύκλος Π'χωρίζει τη Γη σε 2 ημισφαίρια, το Βόρειο ΙΒΙ' με γεωγραφικό πλάτος 0°- 90° και το Νότιο ΙΝΙ'με γεωγραφι κό πλάτος 0°- 90°.

mι · m2 τ2

. �-·-..J":"o

;_ -�---�>�----·�---��"'-"'''"··-·--..·-·-�-----·····�,...).

..... ;

Ε=

-�, -·

ιι.ι.ι 1ΩU

'Εβρισκε το Κέντρο Βάρους των

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/9

Το εξWφυλλο μας Τα τέσσερα χάρτινα τρίγωνα είναι μια, κατα σκευή από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα.. Κάθε τρίγωνο συνδέεται με τα άλλα τρία, σαν δύο κρί κοι μιας αλυσίδας. Είναι από την εβδομαδιαίq στήλη Math Monday του Μουσείου των Μαθη ματικών της Νέας Υόρκης. Την ι:;πιμέλεια έχει ο George W. Hart που με τρόπο διασκεδαστικό, βι ωματικό, παρουσιάζει τα θέματα στα μαθηματικά. Ο George W. Hart είναι ο επικβφαλής του πε ριεχομένου στο νεοσύστατο Μουσείο των Μαθη ματικών στην πόλη της Νέας Υόρκης. Έρχεται σε αυτή τη θέση με ένα διεπιστημονικό υπόβαθρο ως γλύπτης, επιστήμονας, μαθηματικός, μηχανικός εκπαιδευτικός, συγγραφέας, επιστήμονας 1tληρο φορικής. Γεωμετρικά γλυπτά του είναι αναγνωρι σμένα σε όλο τον κόσμο για το μαθηματικό υπό βαθρο και δημιουργική χρήση των υλικών. Είvαι πρωτοπόρος στη χρήση της τεχνολογίας Ίων υπο λογιστών, σ-ι-ο σχεδιασμό στερεών ελεύθερης μορφής και τη δημιουργία γεωμετρικών γλυπτών.

Οδηγίες κατασκευής Μπορείτε και εσείς να δημιουργήσετε το γεωμετρικό γλυπτό του εξωφύλλου. Για να κάνεη; /

\ \

τα τρίγωνα, εκτυπώστε το πρότυπο πάνω σε χαρτόνι. Κόψτε τα τέσσερα τρίγωνα και τις τρύπες τρυς. Ξεκινάμε τη δημιουργία της σύνδεσης με ένα τρίγωνο ακολουθώντας τη δομή φαίνεται στο σχήμα. Παρατηρούμε πώς 1<αθεμία από τις δώδεκα κορυφές των τριγώνων φωλιάζομν στο εσωτερικό του "V" του άλλου τριγώνου.

... .

Η συντακτική επιτροπή του

Κ\1<1 \Η

τους αναγνώστες

ΚΑΛΗ κaι ΑΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ Μ ε χαρά περιμένουμε νέες συνεργασίες, άρθρα, λύσεις ασκήσεων αλλά και τις παρατη ρήσεις σας για να γίνουμε καλύτεροι . . .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/10

Επιμεριστική Ιδιότητα (ΕΙ) και η μεγάλη χρησιμότητα της Η

==== Π.Κυράνας Μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα στα μαθηματικά είναι η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασι ασμού ως προς την πρόσθεση και ως προς την αφαίρεση, η οποία συμβολικά γράφεται:

1) 2)

α·(β+γ) = α·β + α·γ (ως προς την πρόσθεση) α·(β-γ) = α·β - α·γ (ως προς την αφαίρεση)

Επιμερίζω σημαίνει χωρίζω δηλαδή ένας πολλαπλασιασμός έχει την ιδιότητα να χωρίζεται σε περισσότερους πολλαπλασιασμούς προκειμένου να βρεθεί το αποτέλεσμα (γινόμενο). Έτσι, όταν κάνουμε έναν πολλαπλασιασμό μεταξύ πολυψήφιων αριθμών, τον χωρίζουμε σε πολλούς πολλαπλασιασμούς μεταξύ μονοψήφιων αριθμών και προσθέτοντας τα αποτελέσματα βρίσκουμε το τελικό αποτέλεσμα του αρχικού πολλαπλασιασμού. Αυτό το κάνουμε, γιατί το αν θρώπινο μυαλό μπορεί να βρίσκει αμέσως το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού μεταξύ μονο ψήφιων αριθμών. Π αρ άδ ειγμα 1

257 χ18 2056 257 4626

8·7=56 8·5=40 8·2=16 1·7=7 1·5=5 1·2=2

Όπως παρατηρείτε, ο πολλαπλασιασμός χωρίστηκε σε ψηφίων αριθμών για να φθάσουμε στο τελικό αποτέλεσμα.

πολλαπλασιασμούς μεταξύ μονο

Παρ άδ ειγμα 2

Αν χρειαστεί να βρούμε, χωρίς μολύβι και χαρτί και χωρίς κομπιουτεράκι, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού 3•257, αν δεν μας έχει μιλήσει κάποιος για την επιμεριστική ιδιότητα, το μυαλό μας για να διευκολυνθεί να βρει το αποτέλεσμα, θα χωρίσει τον πολλαπλασιασμό αυτό σε 3 πολλαπλασιασμούς όπως παρακάτω;

3 · 257=3·(200 + 50 + 7)= 3 · 200 + 3·50 + 3-7= 600+ 1 50+2 1=771

ΙΔ.Ι ΟΤΗΙΆ Τ Ο Υ Κ ΟΙΝΟΥ Π ΑΡ ΑΓ ΟΝΤ Α(Ι.Κ . Π)

Εάν το δεύτερο μέλος της ισότητας της επιμεριστικής ιδιότητας το γράψουμε πρώτο, τότε έχουμε την Ι.Κ.Π.: 1 ) α· β + α·γ = α·(β+γ) 2) α·β - α·γ = α·(β-γ) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α'

82 τ.2/1 1

------

Η Επιμεριστική Ιδιότητα (ΕΙ) και η μεγάλη χρησιμότητα της

------

Δηλαδή, αν έχουμε ένα άθροισμα ή μία διαφορά πολλών γινομένων με έναν κοινό παράγο ντα, τότε αυτά μπορούν να γίνουν ένα γινόμενο όπου ο ένας παράγοντας θα είναι ο κοινός πα ράγοντας και ο άλλος παράγοντας το άθροισμα ή η διαφορά των άλλων παραγόντων. ΧΡΗΣΙΜΌΤΗΤΑ Α. Εάν έχουμε να υπολογίσουμε γινόμενα αριθμού με άθροισμα ή γινόμενα με αθροίσματα χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα. Παράδειγμα:

Να υπολογισθούν τα παρακάτω γινόμενα. i) 2·(5+χ) ii) 3·(χ-ψ) iii) χ·(ω-α) ίν) (α+β)·(γ+δ) Λύ ση

Και στα 4 αυτά γινόμενα, επειδή υπάρχουν μεταβλητές και δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, χρησιμοποιούμε την Ε.Ι και έχουμε: i) 2·(5+χ) = 2·5+2·χ = 10+2·χ ii) 3-(χ-ψ) = 3·χ-3·ψ iii) χ·(ω-α) = χ·ω-χ·α iν) (α+β)·(γ+δ) = α·γ+α·δ+β·γ+β·δ Β. Χρη σιμότητα της Ι.Κ.Π Π αραδείγματα: 1) Να υπολογισθεί με τον πιο σύντομο τρόπο η τιμή της παράστασης: Γ= 1,2·3+1,2·5+1,2·2 Λύ ση

Παρατηρούμε ότι σ'αυτό το άθροισμα γινομένων υπάρχει κοινός παράγοντας το 1,2 άρα σύμφωνα με την ι.κ.π θα έχουμε: 1,2·3+1,2·5+1,2·2 = 1,2·(3+5+2) = 1,2·10 = 12 Έτσι λοιπόν, οι 3 πολλαπλασιασμοί και η μία πρόσθεση που έπρεπε να κάνουμε για να υπο λογίσουμε την παράσταση αυτή, εφαρμόζοντας την Ι.Κ.Π, έγιναν ένας πολλαπλασιασμός και μία πρόσθεση, δηλαδή γλιτώσαμε 2 πράξεις. Όμως και ένα άθροισμα 100 γινομένων με κοινό παράγοντα αν είχαμε, πάλι 2 πράξεις θα κάναμε και θα γλυτώναμε 99 πράξεις με την εφαρμογή της Ι.Κ.Π. 2) Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις. ί) 3ω+5ω-2ω ίί)7χ+2ψ+3χ+5ψ Λύ ση

i) 3ω+5ω-2ω = (3+5-2)ω = (8-2)ω = 6ω ii) 7χ+2ψ+3χ+5ψ = 7χ+3χ+2ψ+5ψ (7+3)χ+(2+5)ψ = 10χ+7ψ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/12

-------

Η Επιμεριστική Ιδιότητα (ΕΙ) και η μεγάλη χρησιμότητα της

./ Συνδυα σμός των ανωτέρω περιπτώσεων Α,

------

3) Αν α+ β = 6 να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης

3(4+α)+5+3β

Λύση

Γ = 3(4+α)+5+3β = 12+3α+5+3β = 12+5+3α+3β = 17+3(α+β) = 17+3·6 = 17+18 = 35 4) Να δικαιολογήσετε ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής 21χ+35 διαιρούνται με το 7 Λύ ση

21χ+35 = 7·3χ+7·5 = 7(3χ+5) Παρατηρούμε λοιπόν ότι χρησιμοποιώντας την Ι.Κ.Π., το άθροισμα 21χ+35 έγινε το γινόμε νο 7(3χ+5) όπου το 7 είναι παράγοντας άρα J(αι διαιρέτης, γιατί γνωρίζουμε ότι σ'ένα γινόμενο οι παράγοντές του είναι και διαιρέτες του . /Άρα, το 7 είναι διαιρέτης του αριθμού 21χ+35. Συμπεράσματα i) η Ε.Ι μας χρησιμεύει για να υπολογίζουμε γινόμενα με παράγοντες αθροίσματα που έχουν

σαν όρους αριθμούς και μεταβλητές και να aπλοποιούμε παραστάσεις.

ii) η ι.κ.π μας χρησιμεύει για να παραγοντοποιούμε αθροίσματα γινομένων με κ.π βρί σκοντας έτσι τους διαιρέτες τους αλλά και για να τα aπλουστεύουμε. Ασκήσεις Α7•

Να υπολογιστούν με τον πιο σύντομο τρόπο οι παραστάσεις: α) 2,3·97,5+2,3·2,5 = β) 3,2· 3,7+3,2·4,1-3,2·7,8 =

As.

Να απλουστευτούν οι παραστάσεις: 3χ+5χ-2χ = α) β) 6χ+3ψ+2χ+7ψ =

Α9.

Να εκτελεστούν οι πράξεις: α) 7(ω+χ) β) 3(2χ--4) γ) χ(χ+6) δ) 2ω(3ω-7)

Αι ο. Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις:

α) 7χ+7ψ β) 3χ+12 γ) 5χ-5 δ) 12χ-15ψ

Α η. Να γραφούν σε απλούστερη μορφή οι παραστάσεις:

α) 7(χ+2)+7(χ-1) β) 3(α+2)+5(α-1) γ) 2(χ+ψ)+3(χ+ψ+5) Αιz.

Α13•

Αν α+β = 2,7 να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = 7(α+5)+7(β-3) Να δικαιολογήσετε γιατί όλοι οι αριθμοί της μορφής 12χ-15ψ διαιρούνται με το 3. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/13

Μ ι α μ έρα στις «Τραγανές Δαγκάνες»

π.

======

Σταυρούλα Αλαφάκη

ολλά μέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, στο βυθό, τα θαλάσσια πλάσματα ζουν και δραστηριοποιούνται. . . όπως εμείς! Κάθε ένα έχει το χαρακτήρα του, τους φί . λους του, τη δουλειά του, το σπίτι του. Εμείς, θα στραφούμε σε. ένα εστιατόριο του βυθού, τις «Τραγανές Δαγκάνες» και θα παρακολουθήσουμε πως περνούν εκεί τη μέρα τους, ο ιδιοκτήτης, ο κύριος Δαγκάνας, ένα καβούρι διάσημο στο βυθό για την τσιγκουνιά του και οι δύο υπάλληλοί του: ο Ρομπ Σπογγάκης και ο Χταπόδης! Ο Ρομπ, είναι ένα φλύαρο σφουγγάρι, καλοκάγαθο και γελαστό ενώ ο Χταπόδης είναι ένα ευφυές αλλά γκρινιάρικο χταπόδι με καλλι τεχνικά ταλέντα που δύσκολα αναπτύσσονται και αναγνωρίζονται στο περιβάλλον που ζει. Δευτέρα πρωί στις «Τραγανές Δαγκάνες». . . Ο Χταπόδης ανοίγει την πόρτα, χωρίς καμία διάθεση για δουλειά, όπως πάντα! «Άλλη μία μέρα με ένα ανόητο σφουγγάρι και ένα τσιγγούνικο καβούρι», σκέφτεται .. . «Ως πότε θα χαραμίζω το ταλέντο μου πίσω από ένα ταμείο;» αναρωτιέται, αλλά πριν ολοκληρώσει τη σκέψη του, βρίσκεται προ εκπλήξεως! Στις Τραγανές Δαγκάνες δεν υπάρχει ούτε τραπέζι, ούτε καρέκλα! Ρομπ Σπογγάκη! φωνάζει και ταυτόχρονα σκέφτεται «Δεν το περίμενα πως θα υπήρχε περίπτωση να του ανοίξω εγώ συζήτηση, ποιος αντέχει τη φλυαρία του, αλλά πρέπει να μάθω τι έγινε! Λες να μη δουλέψουμε σήμερα;» Ήρθες Χταπόδη; Πόσο χαίρομαι που ήρθες! τι ωραία που είναι να βρισκόμαστε στη δουλειά! Χαίρεσαι και εσύ Χταπόδη; Α, Χταπόδη, έχω να σου πω . . . Να μου πεις που πήγαν οι καρέκλες και τα τραπέζια ΜΟΝΟ! Α, είναι μεγάλη ιστορία. . . ΜΟΝΟ!

Το βλέμμα του Χταπόδη δεν του άφησε άλλη επιλογή! Τα πούλησε ο κύριος Δαγκάνας! Άρα, δε δουλεύουμε σήμερα! Τώρα χαίρομαι εγώ Ρομπ! Τώρα που θα φύγω από εδώ και από σένα! Πάω να ζωγραφίσω . . . Όχι Χταπόδη, μη φύγεις! Θα δουλέψουμε! Μα δε με αφήνεις να σου πω! Τι; Τα πούλησε όλα γιατί ο Φύκης έκλεισε το εστιατόριό του και του χάρισε όλο τον εξο πλισμό! Οπότε, ο κύριος Δαγκάνας σκέφτηκε να έχει διπλό κέρδος! Πούλησε τα δικά μας και πήρε του Φύκη δωρεάν! Έξυπνο; Πριν προλάβει να απαντήσει ο Χταπόδης, ένα φορτηγό αράζει μπροστά από την είσοδο . . . Ήρθαν, Χταπόδη! Έλα να με βοηθήσεις να ξεφορτώσουμε . . . Δεν το πιστεύω! Θα κουβαλήσω κιόλας . . . Εγώ, ένας καλλιτέχνης! Δεν κάνω τίποτα! Κάν'τα μόνος σου Ρομπ! Εγώ, πάω στο ταμείο μου! Με ξυπνάς όταν τελειώσεις . . . Τι ακριβώς δεν κάνεις Χταπόδη; ακούγεται η φωνή του κυρίου Δαγκάνα. Αν δε βοηθήσεις, θα αργήσει να στηθεί η τραπεζαρία άρα θα aργήσουμε να δεχτούμε πελ(iτες άρα θα έχω λιγότερα κέρδη σήμερα άρα ή βοη θάς ή 1 5% μείωση στο μισθό σου! Χαχαχαχα, γελάει ο Ρομπ! Σιγά τη μείωση . . . Μη μου πεις Χταπόδη ότι θα με βοηθήσεις ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/14

--��--�----

για να μη χάσεις

1 5%

Μια μέρα στις <{Τραγανές Δαγκάνες»

δηλαδή

κύριο Δαγκάνα;

Δε χανω

15 οό 1

.... _ ...;.. .....,_

________

� δηλαδή 15: 1 00=0, 1 5 c. 'Εγινες τσιγκούνης σαν τον 1 00

' 15 ' του ευρω, ()Ο του μισθου' μου θα χασω ... 1

Αυτό λέω κι εγώ! Σε ευρώ δεν πληρώνεσαι; Μα δεν καταλαβαίνεις;;; Όχι! Θα μου εξηγήσεις; Όχι! Μα γιατί; Έλα Χταπόδη, πες μου! Αν δε μου πεις, δεν κουβαλάrο ούτε εγώ! Ή του λες και δουλεύετε ή 20% μείωση ακούγετα:'ι από μέσα ο κύριος Δαγκάνας! ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ! Ωραία, θα σου πω! Μείωση 15% του μισθού μου σημαίνει πώς αν «κόψουμε» το μισθό μου σε 1 00 κομμάτια, τα 1 5 από αυτά θα τα κρατήσει ο κύριος Δα γκάνας και εγώ θα πάρω τα υπόλοιπα. Δηλαδή, 100- 1 5=85. 85 c θα πάρεις δηλαδή αυτό το μηνά; Όχι Ρομπ! Θα πάρω τα ευρώ που αντιστοιχούν στα 85 από τα κομμάτια που κόπηκε ο μισθός μου και πριν ρωτήσεις οτιδήποτε, άσε με να συνεχίσω με παράδειγμα . . . Ο μισθός μου είναι 600 c. Αν τον κόψουμε σε 100 κομμάτια, κάθε ένα από αυτά θα αντιστοιχεί σε

600: 1 00 = 6c.

Άρα, το κάθε ένα από τα

αντιστοιχεί σε

6c.

Τα

από τα

100 κομμάτια,

κρατήσει ο κύριος Δαγκάνας, αντιστοιχούν σε Άρα, εγώ θα πάρω

600-90=5 1 Oc.

δηλαδή το

δηλαδή τα

1 5 ·6 = 90c.

Προφανώς, τα

�

1 0

του μισθού μου,

� του μισθού που θα μου 1 00

5 1 Oc είναι τα

85 1 00

του μισθού μου, δη-

λαδή τα 85 από τα 100 κομμάτια, αφού 85 -6=5 1 Oc. Καλύφθηκες Ρομπ; Ο Ρομπ μπορεί, εγώ όχι Χταπόδη, ακούγεται πάλι ο κύριος Δαγκάνας! Μίλαγες πολύ ώρα και καθυστέρησες τη μεταφορά! Χάνεις μόνο 5% για την ώρα . . . Δηλαδή, αν σκεφτούμε όπως πριν, χάνεις tου μισθού σου, άρα θα πληρωθείς τα

5·6 = 30c,

σωστά Χταπόδη; 'Εχασες τα

95 του μισθού σου! 1 00

� 100

Τώρα που κατάλαβα, να συ-

νεχίσω, Χταπόδη τους υπολογισμούς; . Όχι, δε μιλάμε, κουβαλάμε είπε ο Χταπόδης που έβλεπε να έρχεται από λεπτό σε λεπτό και άλλη μείωση . . . ,. Μα, δε σου είπα πόσα θα πάρεις. . . - Ξέρω! Κουβάλα! Όχι, θα σου πω! Θα πάρεις 600-30=570c ή αλλιώς 95-6 = 570c. Σωστά δεν τα έμαθα; Εί δες που σε προσέχω; Φτάνει! Μέσα σε μία ώρα, Ρομπ και Χταπόδης είχαν ξεφορτώσει! Μέτρησες πόσα τραπέζια και καρέκλες ήταν Χταπόδη; Εγώ, μέτρησα! Να σου πω; Όχι και δε με αφορά! Σε αφορά, ακούγεται η φωνή του κυρίου Δαγκάνα. Όχι πάλι, σκέφτεται ο Χταπόδης! Πόσα είναι Ρομπ; Είναι 32 τραπέζια και 1 18 καρέκλες και αρχίζω να τα τακτοποιώ . . . Σε κάθε ένα τραπέζι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/15

-------'-- Μια μέ ρα στις «Τραγανές Δαγκάνες»

-------

βάζω 4 καρέκλες. Μόνο που θα σου μείνουν κενά τραπέζια, λέει ο Χταπόδης! Πως το κατάλαβες; Αν σε κάθε τραπέζι βάζεις 4 καρέκλες, θα χρειαστείς 324=128 καρέκλες. Πόσα κενά τραπέζια θα μείνουν; τι σημασία έχει; Έχει, αν δε μου πεις, δε συνεχίζω τη δουλειά! Όχι πάλι! ! ! Θα σου πω αν και άλλο έχει σημασία! Θα βρούμε πόσες τετράδες σχηματίζο νται από τις 1 1 8 καρέκλες και πόσες θα περισσέψουν. Θα κάνουμε τη διαίρεση 1 1 8:4 σταματώντας εκεί που πηλίκο και υπόλοιπο είναι ακέραιοι αριθμοί. Θα κάνουμε δηλαδή την «ευκλείδεια διαίρεση» των αριθμών. Για να δούμε:

1 18 38 2

4 29

Άρα, επειδή 1 1 8=:=294+2, θα γεμίσεις 29 τραπέζια με 4 καρέκλες και θα σου περισσέψουν 2 καρέκλες για 32-29=3 τραπέζια. τι θα τα κάνεις όσα περισσεύουν;

Θα τα βάλω στην αποθήκη, Χταπόδη, είπε ο Ρομπ. Δε θα είναι ωραία εικόνα, θα χαλάνε την ομοιομορφία! ΤΙ ΘΑ ΤΑ ΚΑΝΕΙ Σ ΡΟΜΠ; φώναξε ο κύριος Δαγκάνας! Ξέρεις πόσα ευρώ θα χάνω εγώ από όσους θα μπορούσαν να κάτσουν στις 2 καρέκλες και να ακουμπήσουν στα 3 τραπέζια για να μη σου χαλάσει η εικόνα; Βρες τρόπο να τα αξιοποιήσεις όλα αλλιώς όσα χάνω θα τα κρατάω από τους μισθούς σας! Τι φταίω πάλι εγώ; γκρίνιαξε ο Χταπόδης! Να τα κρατάς από το Σπογγάκη! Αν βάλουμε από 3 καρέκλες, τι θα γίνει Χταπόδη; συνέχισε ατάραχος ο Σπογγάκης. Θα μας περισσέψουν μόνο καρέκλες. Γιατί; Γιατί 32·3=96. Άρα, γεμίζουν και τα 32 τραπέζια με 3 καρέκλες το καθένα αλλά μας περισσεύουν 1 1 8-96=22 καρέκλες. Οπότε, αν ο κύριος Δαγκάνας σκόπευε να μας κρατήσει μέρος του μισθού για 2 περισσευούμενες καρέκλες, τώρα θα μας·κρατήσει 1 1 φορές περισσότερα αφού 1 1·2=22! Γι' αυτό, προτείνω το εξής και εσύ απλά το δέχεσαι! Θα βάλουμε σε 22 τρα πέζια από 1 καρέκλα ακόμα και δε θα περισσέψει τίποτα! Θα έχουμε λοιπόν 22 τραπέζια με 4 καρέκλες και 32-22=10 τραπέζια με 3 καρέκλες. Και στο επαληθεύω: 224+ 10·3=88+30= 1 18. Καμία απορία Σπογγάκη; Καμία! Κάνεις ότι είπα και τελειώσαμε! Τι έξυπνος που είσαι Χταπόδη! ΧΤΑΠΟΔΗΗΗΗ, θα πας στο ταμείο σου ή θα συνεχίσεις να μιλάς με το Σπογγάκη; Γιατί αν συνεχίσεις να μιλάς. . . Ξέρω, ξέρω, μείωση μισθού λέει ο Χταπόδης! Μα, δεν έχουμε πελάτες ακόμα, τι σημα σία έχει αν μιλάω με το Σπογγάκη;;; Εντάξει, πάω στο ταμείο! Όταν γίνω διάσημος όμως θα αλλάξουν όλα, μουρμούρισε ο Χταπόδης! Σπογγάκη, που είσαι;, φώναξε ο κύριος Δαγκάνας! Στην κουζίνα, μαζεύω τα υλικά για να φτιάξω το κέικ που μου είπατε! Προσοχή! Ούτε γραμμάριο παραπάνω! Δεν είμαστε για σπατάλες! Ναι, ναι. . . Αλλά δεν πρόσεξε! Καθώς ο Σπογγάκης μετέφερε 6 αυγά από το ψυγείο στον πάγκο, πέφτει ένα και σπάει. . . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 82 τ.2/16

----�----�

Μια μέρα στις ((Τραγανές Δαγκάνες»

--------

Τι ακούστηκε; φώναξε ο κύριος Δαγκάνας! Έσπασε αυγό; P O O O O O O O O O O l\Πl , κα τάλαβες τι έκανες; Τώρα θα βγει λιγότερη ποσότητα, άρα θα κοπεί σε λιγότερα κομμάτι α, άρα θα αγοράσσμν λιγότεροι πελάτες, άρα θα έχω λιγότερο κέρδος! Σου αφαιρώ λοι πόν 25ε α1tό το μισθό και για όσα θα χάσω εξαιτίας σου και για να προσέχεις άλλη φορά! Και φρόντισε η ποσότητα των υπόλοιπων υλικών που θα βάλεις να είναι ακριβώς αυτή που αντιστοιχεί στα 5 αυγά που απέμειναν. Γραμμάριο παραπάνω, θα μετρήσω! Αλ λιώς . . . Ξέρω, λέει ο Σπογγάκης, μείωση μισθού! Ο 1(1)ρι9ς Δαγκάνας πήγε στο γραφείο του και ο Ρομπ με παρακλητικό ύφος πήγε προς το ταμείο και το Χταπόδη! - Τι είναι πάλι; Δεν άκουσες; Μου έκανε μείωση μισθού 25ε και θα μου κάνει κι άλλη αν κάνω κι άλλο λάθος! Είδες Χταπόδη, δεν είσαι ο μόνος αδικημένος υπάλληλος. Χάνω κι εγώ από το μισθό μου! Λιγότερα από σένα, αλλά χάνω κι εγώ . . . Περισσότερα από μένα χάνεις! Μα, όχι! Μα, ναι! Εγώ έχασα 25ε κι εσύ 30ε, πως έχασα περισσότερα; Τι μισθό παίρνεις, Ρομπ; 450 ευρώ!

25 450

1 18

' ' τα -- = - του μισθου' σου. ' εχασες ' Δη λαδη, αρα τα 25 απο' τα 450 ευρω' που παιρνεις, Εγώ πάλι, έχασα

από τα

600

ευρώ, δηλαδή τα

1 � -- του μισθού μου. Έχασες 600 20 =

λοιπόν μεγαλύτερο μέρος του μισθού σου από ότι εγώ . . . Εγώ θυμάμαι ότι έχασες το 5% του μισθού σου. Εγώ, τι ποσοστό έχασα; 'Οπως είπαμε έχασες τα

25 = 25 : 450 = 0,055555 ... ::::::5 ,55% του μισθού σου! 450

'Οπως και

να το δεις, έχασες μεγαλύτερο μέρος. . . Για να μη χάσω ακόμα μεγαλύτερο, θα με βοηθήσεις; Πως θα υπολογίσω ακριβώς τη σωστή αναλογία των υλικών; 'Οπως, το είπες! Ανάλογα. . . Δηλαδή; Δεν κατάλαβες τι είπες; 'Οχι, είναι μία έκφραση της κουζίνας για μένα! Φέρε μου τη συνταγή και γρήγορα . . . Ο Ρομπ, τρέχει στην κουζίνα και φέρνει ένα χαρτί που έλεγε: «600gr αλεύρι, 300gr βούτυρο, 240gr γάλα, 6 αυγά, 420gr ζάχαρη, 9gr σκόνη βανίλιας» Δε μου λες, Σπογγάκη, αν είχες

12 αυγά, πόσα από τα υπόλοιπα υλικά θα έπαιρνες;

Αφού θα είχα τα διπλάσια αυγά, θα έπαιρνα τα διπλάσια και από τα υπόλοιπα υλικά. Και αν είχες 3 αυγά;

Αν είχα τα μισά αυγά, θα έπαιρνα τα μισά και από τα υπόλοιπα υλικά. Βλέπεις λοιπόν πως όσο αυξάνεται ή μειώνεται η ποσότητα των αυγών, τόσο αυξάνεται ή μειώνεται και η ποσότητα των υπόλοιπων υλικών; Είναι, όπως λέμε, ανάλογα ποσά! Ναι αλλά το διπλάσιο και το μισό ήταν εύκολα! τι γίνεται τώρα που έχω τα αυγά; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/17

5 από τα 6

..,...._.:.._...--τ-..,_,...;..,..-..��

'Εχεις

της

.,... ..,_. .... ... ........ � � ..__,.., ..,... -..__, � �

Μι11 μέρα στις «Τραγ�ν�ι;; Δαγκάνες»

5 δηλαδη' τα 5 της απαιτουμενης ' . ποσοτητα ' ' οποτε ' χρεια ' ζεσαι και τα ς 'Ίf(QV α-qγων . 6 � πpσότητας των υπό�ιπων υλικών. Για κάθε υλμς() λοιπόν, ο λόγος �

πορότητα πομ Θα χρησιμι;>ποιήσω . ·

ποσqτητα συνταγής

θα πρέπει να ειναι

5 , , , , - . Κονι:α, θα J<ανω ενα πινακQ. . . .

και θα τον συμrcληρώσουμf; μαζί βρίσκοvταg ακριβώ� τα γραμμάρια που θα βάλεις. Ο Χταnόδης, παίρνει ένα χαpτί και φτιάχνει το παρακάτ(Ι) , . . αυγά 5

Ποσότητα Που θα χρησιμοftοιήσω Ποσότητα συνταγής

Τι θα ισχύει Ρομπ; α 5 β flως 6 � 600 - 3QQ _

Σωστα. Ί Γ ια \qοδ

ι;::; Ζ4ο

αλείφι

βούτυρο

γάλα

ζάχαρη

σκόνη βανίλιας

600

300

240

420

ζ �σ 420 9 ' qφστα, .

' ·

α 5 ' . τα � �ιvαι ·�Ί άσμα�α '6 και 600 600 Αη λq.δή, 6 -q � .()00 , 6·α :=3000 οπότε

' ' να υπολογισουμε τωρα. . . 'Εχου με 6 5 ;:

ύνqμα άρq. έχουν τα «χ�ασ�ί)> γινόμεyα ίσα. α"fi3000:6=500gr αλι::ύρι, Χ ταπόδη αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, το ένα δεy θα έχει προκύψει από το �λλο πολλαπλασι�ζοντας τους όρους του με 1<άποιον αριθμό; Αφού τα κλάσματq. ==

� και � είναι ισοp'Ι)ναμα και . αφρ,Ί) 6 1 00;::::600, για να βpούμf: τq α, δεν αρκεί να τcολ.. 6 600 λαπλαc:rιάσουμε και το 5 με το 1 00; Δηλαδή α=5 ·1 00=500 ! '

•

Ναι, αnοκρίνεται ο Χτq.nόδης! Με εκπλήσσεις!

Κι ε ώ ά γ μf εκπλήσσφ Κ(ψία φορά , λέει γελώντας ο Σ;?tογγ κη ς. ΣΗΟΓ ΓΑΚΗΗΗΗΗΗΗΗΗΗΗΗ, ακόμα μι:; τpν Χταπpδη μιλt\ς;;; Θα έπpt:Πβ ήδη ·να φτιάχνι:;�ς �ο κέικ! Επειδή σήμερα είναι 1 5 ./ 1 2, fi,ω νQ. κιiyro επιΠλέον 15% μείωση . μι� σθού σε σένα και 12% μ�ίωση στον Χταπόδη. Και για κ4θε ?--άθος vπολογισμό στq υλι κά του κέικ θα μέιώνεται f;πιπλέον ο μ.ισ�ός σας κι:ιτq 1 Ο ευρώ. Δηλαδή, τι μισθό θα πάρω στο τέλος του μήνα;

Βρες το μόνος σρυ! Φλύαρο σφουγγάρι, τι θέλω και σου ι.μλάω και σε βοηθ(χ.ω! ! ! Εξαιτίας σοu μπο ρεί και να μη μ.πορώ να . αγοριJσω �ο κλ11pινaτο nου ήθελι;ι για δό:ιρο Χριστουγ�ων . Πόσο κόqτιζε Χ�απόδη;

480ε ! Τα μάτια σου 14 να συμπληρωθεί σωστά. ο πίνακας με ,:α vλικά! Αλοίμονό σου, αν γtνουν λάθη . . . Μην αγησυχείς Χταπόδη! Άστο π4νCQ μου . . . Τώρα είναι που

Α Ι 4·

ανηqυχώ . . .

Β οηθήqτε το Σπογγάκη και το Χταπόδη να συμπληρώσουν σωστά τον πίνακα των υλ ικά)ν γι(Χ να μη jάσαυν f;πιπλέcιν χρήματα. Αλ ήθεια, τι μισθό θα ,rάραυν στο tέλaς ταυ μήνα, };πογγάκης. rcαι Χταπόδης,· Θα μπορέσει τελι�ά ν� αγοράσει ο Χτ:απ6δης τ() lV.α,ρινέτο που ήθελε; Α ν όχι, πόσα του λείπουν; Αν ναι μέχρι πόσα λάθη θα μπορούσαν να κάνουν οτον πίνακα των υλ ι.. κώ ν χωρίς όμως ο μισθός το υ να πέσει κάτω από τα 480c,· ΕΥJ(ΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/18

«Μαγε ιρέματα» μ ε ε ξ ι σώσε ι ς Βαρόπουλος Δήμος

Στην τηλεόραση βλέπουμε πολλές εκπομπές με μαγειρέματα στην κουζίνα. Εμείς θα «μαγειρέ ψουμε» με εξισώσεις, λύνοντας προβλ ήματα. Π ρ όβλη μα 1 ° Για να ένα γλυκό φτιάξουμε χρειαζόμαστε 12 αυγά και 8 κούπες ζάχαρη. Αν έχουμε μόνο 9 αυγά, πόσες κούπες ζάχαρη πρέπει να βάλουμε για να έχει το γλυκό την ίδια αναλογία; ΛίJσ η

Αν είναι χ . οι κούπες της ζάχαρης τότε έχουμε: ο λόγος των αυγών προς τη ζάχαρη 2_ = � ή 1 2 . χ = 72 ή χ =

είναι

χ = 6 . Άρα πρέπει να βάλουμε ζάχαρη.

72 12

κούπες

'J " π ρ ο' β'Λη μα -

Για να φτιάξουμε 25 μπιφτεκάκια των 2 16 γραμμαριων , , , το ενα η συνταγη, ειναι: 5

κιλά κιμάς μοσχαρίσιος, 20 γραμμάρια γάλα τριμμένη φρέσκο φρυγανιά, τριπλάσια ποσότητα από το πιπέρι, νερό 1(ατά 10 γραμμάρια περισσότερο από το πιπέρι , 20 γραμμάρια λάδι, 5 γραμμάρια �λάτι, 20 γραμμάρια λεμόνι και πιπέρι που π ποσότητα ήταν . σβησμένη. Πόσο πιπέρι 1Jρέπει να βάλουμε για να πετύχει η συνταγή αν με το ψήσιμο τα μπιφτεκάκια χάνουν το 20% του αρχικού βάρους τους;

η,

Χ=

4000 , --

Χ = 500

Άρα το αρχικό βάρος είναι 500 γραμμάρια. Αν y γραμμάρια είναι το πιπέρι τότε έχουμε: 2 - · 1 000 + 20 + 3y + y + 1 0 + 20 + 5 + 20 + y = 500 5 475 + 5y = 500 ή 5y = 500 - 475 ,άρα y = 5 . Άρα 5 γραμμάρια είναι το πιπέρι. Πρ ό βλη μα 3" Σε ένα γεύμα μια εκδρομής ενός Γυμνασίου τα παιδιά έτρωγαν και ο συνοδός καθηγητής παρατήρησε ότι οι μαθητές της Γ Τάξης ήταν διπλάσιοι από τους μαθητές της Β ' Τάξης, και οι μαθητές

της Β ' Τάξης τα

� τ(.ον

μαθητών της Α' 3 Τάξης. Αν όλοι οι μαθητές ήταν 126, να βρείτε πόσοι μαθητές από κάθε τάξη ήταν.

ι\()ση

Το τελικό βάρος είναι: 25 · 1 6 = 400 γραμμάρια. Επειδή χάνεται το 20% του αρχικού βάρους τα 400 γραμμάρια αντιστοιχούν στο 80% του αρχικού βάρους. Αν χ το αρχικό βάρος έχουμε: 400

80 =1 00 χ

8χ = 4000

Λύση Αν χ οι μαθητές της Α ' Τάξης, τότε οι μαθητές της

Β'

Τάξης ήταν:

μαθητές της Γ' Τάξης ήταν: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/19

2 -χ 3

οπότε οι

------ «Μαγειρέματα» με εξισώσεις

, 2 4 2 · - χ = - χ . Ά ρα εχουμε: 3 3 2 4 6 χ + - χ + - χ = 1 26 ή χ + - χ = 1 26 3 3 3 ή χ + 2χ = 1 26 ή 3χ = 126 1 26 ή Χ = - ή Χ = 42 . 3

Άρα οι μαθητές της Α ' Τάξης ήταν 42, της

Β ' Τάξης:

42 . 3. = 28 3

ήταν και της Γ Τάξης:

2 · 28 = 56. Πρ όβλη μ α

Οι μαθητές ενός τμήματος της_ Β ' Γυμνασίου σε μια εκδρομή έφαγαν πίτσα και ο καθένας έπρεπε να πληρώσει 2,5€. Επειδή όμως 6 μαθητές είχαν ξεχάσει τα χρήματά τους, οι υπόλοιποι πλήρωσαν 3,25€ ο καθένας. Πόσοι ήταν οι μαθητές;

'""'!'"_ "' _ _ _,..

Προτει ν όμεν α π ρο βλήματα Β 10• Για να φτιάξουμε ένα κέικ

χρειαζόμαστε αυγά και 4 κούπες ζάχαρη. Αν έχρυ� μόνο 3 κούπες ζάχαρη, πόσα αυγq �ρέπει να βάλουμε για να έχουμε την ίδια αναλογία; 8

Βι ι.

Οι μαθητές ενός τμήματος σε μια εκδρομή έφαγαν και ο καθένας έπρεπε να πληρώσει 3,5€. Επειδή όμως 5 μαθητές δεν είχαν χρήματα, οι υπόλοι1tοι πλήρωσαν 4 €, ο καθένας. Πόσοι ήταν οι · μαθητές; Β 1 2 • Για να φτιάξουμε 30 μπιφτεκάκια των 20 , , , . 3" γραμμαριων το ενα η συνταγη, ειναι. 5

κιλά κιμάς μοσχαρίσιος, 25 γραμμάρια τριμμένη φρυγανιά, φρέσκο γάλf:ι. τετραπλάσια ποσότητα από το πιπέρι, νερό κατά 1 5 γραμμάρια περισσότερο από το πιπέρι, 25 γραμμάριιχ λάδι, 5 γραμμάρια αλάτι, 20 γραμμάρια λεμόyι και πιπέρι που η ποσότητα ήταν σβησμένη. Πόσο πιπέρι πρέπει να βάλουμε για να πετύχει η συνταγή αν με το ψήσιμο τα μπιφτεκάκια χάνουν το 20% του αρχικού βάρους τους;

ΛfJση

Β 13•

Τρία παιδιά μοιράστηκαν μία πί'fσα. Το πρώτο έφαγε τα � της πίτσας, το δεότερο 8

' ο το υπο' λο. ιπο. το - και το τριτ 4

ν η.

πόσμ πίτσα ζύγi.ζε 800 γραμμάρια, Α γραμμάρια πίτσα έφαγε το κάθε παιδί.

Αν οι μαθητές ήταν χ τότε θα πλήρωναν 2,5€. Όμως οι 6 δεν πλήρωσαν άρα πλήρωσαν (χ-6).3,25€. Άρα έχουμε: 2, 5χ = 3, 25 ( χ - 6 )

ή ή

2, 5χ = 3, 25χ - 3, 25 · 6

2, 5χ - 3, 25 χ = -1 9, 50 Χ=

1 9, 50 ο, 75

-0, 75 · χ = - 1 9, 50

Χ = 26

Άρα ήταν 26 μαθητές.

Β ι β λ ιογρα ψί α :

Μαθηματικά στη κουζίνα,

ΧασάΠης Δημήτρης, εκδόσεις Μεταίχμιρ, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82. τ,2/20

Αν ι σώσε ι ς α' βαθ μ ού Γιάννης Ευαγγ. Σταμέλος

1 Ο. Η σχέση -7 < χ � 1 Ο λέμε ότι είναι μια διπλή ανίσωση. Τι σημαίνει ακριβώς αυτό; Ι . Πmςδιαβάζεται η ό"χέση: χ � y; Τι σημαίνει ακριβώς αυτό; ί\σκη ση 1 η 2. Πώς διαβάζεται η σχέση: χ � y; Τι σημαίνει Να λύσετε την aνίσωση : ακpιβmς αυτό; 3. Συμπληρώστε τις παρακάτω στήλες: -- > - ----τ- -�- --- -i -�--μ>ν___l � < λ χ=Υ λ+5 I μ+S . . . ν+5 ! x+S . . . y+S r κ+5 Λύση : Έχουμε: ΕΚΠ(2, 1 0,5)= 1 0 x+105 . . . y+ 105 Ι κ+105 . . . κ+105 I μ+ 105 . : . ν+105 Ι χ-7 . . . y-s ι�-�}_· :-. --��- ι _!!:.?· _._:.:__:ν"'u l O · χ + 3 - 1 0 · 5 + 7χ 2 1 0 · 4χ - 3 10 2 5 4 . Συμπληρώστε tις παρακάτω στήλες: Ασκή σε ι ς �:λέγχο υ κ ατανόησης της Ο ε ω ρ ίας

χ+ 3 5 +7χ 4χ - 3 2 10 - 5

. •.

χ =:-�-�--- -- �

κ<λ

- -··· ----··-----------·-----··-,·---------·· - --:--··-····-·· ·· ·-·--······ · ·

- - --�

2·χ . . . 2 ·y I 2.κ . . . a2• x . . -2 -y I ' -2· κ . . . 7•χ . . . 7-y i1 7·κ . . . I 7 χ . . ��1_'----]·κ_._:_: .

2·λ �2 · λ 7·λ .._Ί ·λ

..------------------�---�

· ------·

μ �-�-

-�---1

5 · μ . . . S ·v i -5 ·μ . . . -S·v I 1' 3 · μ . . . 3·ν _U.:!! . . - 3 ·ν .

5. Σtις παρακάτω σχέσεις συμπληρώστε τα κtνά με tά κατάλληλα σύμβολα: i. Αν χ < y και α > Ο τότε χ · α . . . y α

χ και .. α

χ και -

iii. ·

iv.

. .

Υ α

Αν χ > y και α < Ο τότε χ

. .

χ·

α ... y · α

Υ . α

5χ + 1 5 - 5 - 7χ 2 8χ - 6

5χ - 7χ - 8χ 2 -6 - 1 5 + 5 - 1 0χ 2 - 1 6

1 0χ s 1 6

16 ' 8 xs- η xs5 10 Π ρο σ οχ1) : Αν ο συντελεστής του αγνώστου χ είναι αρνητικός αριθμός και διαιρούμε με αυτόν δεν ξεχνάμε να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης. λ.σ κησ η 2 η

Να

λύσετε

τη

διπλή

1 2 _!_ 3( - χ ) 0,4 χ + 8 . 10 . 2 <

Ποιές

aνίσωση : είναι

οι

ακέ�αιες λύσεις της ανίσωσης.

Αν χ � y και α < Ο τότε

χ ....,.. και .... ·

Αν χ > y και α > Ο τότε χ · α . . . y · α

ii.

kαι

5 ( χ + 3) - ( 5 + Ίχ ) 2 2 ( 4χ - 3 )

Λύση

χ·

... y

·α

� < 3(1 - 2χ) s 0,4x + 8 2 10

χ 3(1 -2χ) - < --'----'2 10

και

Πώς θα παραάτήσετε στην ευθεία των 1 - 2χ 3('---= ---'-) s Ο, 4χ + 8 αpιθμών τις ανισώσεις: 2 α. χ< 1 β. χ:::; 1 γ. χ>20 1 δ. χ�201 Λύνουμε την κάθε aνίσωση και έχουμε: 7. Ποια τα συμπεράσματά σας για τις λύσεις χ 3(1 - 2χ) ' χ 3(1 - 2χ) ' tων παρακάτω ανισοτήτων: < < η η 10 2 10 2 α. -5·χ<Ο β. Ο ·χ>... 1 2 γ. Ο·χ < "" 1 3 3(1 - 2χ) ή χ < 15(1 -2χ) ή χ < 1 5 -30χ 10· � < 10 · 8. τι σημαίνει ή έκφραση: «να βρεθούν οι 2 10 ' κοιVές λύσεις των ttνισώσεων»; Και τι «πότε 15 σύναληθεύουv οι ανισώσεις»; 3 1χ < 1 5 ή χ < - . 31 9. Μπορείτε να πεpιyράψετε τα βf]μαtα που θμ Συνi:χε ια στ η σελίδ α 2 8 κάνετε για να λύσετε μια ανίσωση; ΕΥΚΛΕΙλΗΣ Α .' 82 τ.2/21

«Η

απολογ ία ενός

Μαθη ματ R Ι<<:.Η�J»

Σταυρούλα Αλαφάκη

'·' ' ·"'· ""'"' ·=�.,�== ==='·''='··''''"·=-�=-=,==�=��==·= = ===-====-�=== = � � =� �= =� � '·= ========��.

Είναι η 3η συνέχεια της περιπλάνησής μας στον κόσμο των Μαθηματικών και της κοινωνίας που τα περιβάλλει, έχοντας σαν αφορμή τις εμπειρίες του καθηγητή Σταύρου Παπασταυρίδη. 1 Σε αυτή τη συνέχεια θα δώσουμε έμφαση στον ένα από τους δύο σημαντικότερους Έλληνες μα θηματικούς του 20°υ αιώνα (ο άλλος είναι ο Καραθεοδωρή). Αυτός είναι ο Χρίστος Παπακυρια κόπουλος (19 14-1976) που συνέδεσε το όνομα του με το Princeton και με την .εικασία του Poincare (Poίncare Conjecture). Z Θα προσεγγίσουμε τη ζωή και το έργο του προσπαθώντας όχt μόνο να τον τιμήσουμε αλλά και να προβληματιστούμε και να μάθουμε μέσα από την πορεία ενός «ιδιαίτερου)) επιστήμονα! � 4°ς σταθμός: Princeton - Παπακυριακόπουλος

Σ.Α.: Από όσα μας έχετε πει προκύπτει αβίαστα μία ερώτηση: Με τι κριτήρια σας επέλεξαν σtο Princeton ως υπότροφο; Δεν υπήρχαν Αμερικανοί ή άλλοι, πλέον προσοντούχοι; Και αναφέρομαι προφανώς σε τυπικά προσόντα στηριζόμενη στην αναφορά σας ότι στα πρώτα στάδια της φοi· τησης εκεί υστερούσατε των υπολοίπων, κάπως, σε γνώσεις. Μπορεί σταδιακά, πιθανόν σύντο• μα, αυτό να άλλαξε αλλά όταν τέθηκε υπό κρίση η αίτησή σας, θα ήταν εμφανές! �.Γ.Π�: Βάζετε πολύ ουσιώδη ερωτήματα και η διερεύνηση τους έχει μεγαλύτερη αξία από αυτά

κι;:ιθ :αυτά τα μεμονωμένα γεγονότα που σας αναφέρω. Την εποχή που τα βίωνα όλα αυτά, όχt μόνο δεν μπορούσα να απαντήσω στα ερωτήματά σας, ούτε καν θα μπορούσα να τα σκεφτώ. Στο μυαλό μου έρχονταν φευγαλέα τα ερωτήματα, «Γιατί οι Αμερικάνοι μας πληρώνουν;)); «Γιατί διάλεξαν εμένα;)), αλλά δεν καθόμουν να βρω απαντήσεις. Βλέπετε, μέσα σε μία κατά· σταση «πολέμοω), προσπαθούμε να αντιμετωπίσουμε τις άμεσες προκλήσεις και όχι να μελετή σουμε τις βαθύτερες νομοτέλειες των φαινομένων που ζούμε. Σαν επιστήμονες, (στην παράδοση του Αριστοτέλη και του Δυτικού Πολιτισμού), πρέπει να αναζητούμε τα βαθύτερα αίτια, είτε για να καλύψουμε ανάγκες μιας πνευματικής αναζήτησης, είτε για να χρησιμοποιήσουμε αυτή την γνώση στον ... επόμενο «πόλεμω). Αν ήμασταν στην Ελλάδα της τότε εποχής, η πιθανότερη εξήγηση μίας «ασυνήθουφ απόφασης, θα ήταν ότι υπήρχε κάποιο πολιτικό η προσωπικό «μέσω). Στην Αμερική σε εκείνο το πλαίσιο η φιλοσοφία ήταν διαφορετική. Αυτοί που πήραν τις αποφάσεις στο Princeton είχαν ως κίνητρο να γίνει κάτι καλό γιά το πανεπιστήμιο τους στα πλαίσια των στόχων που έχει θέσει το ίδιο το πα νεπιστήμιο. Έχουν λοιπόν την επιλογή κάποιου, π. χ. εμένα, που ασφαλώς τότε υστερούσε άλλων συνυποψηφίων, ο οποίος όμως, ότι πέτυχε, το πέτυχε με πολύ λιγότερα μέσα και σε υποβαθμι• σμένες συνθήκες. Έκριναν πως έπρεπε να εκτιμηθεί το δυναμικό μου και το τι θα μπορούσα να κάνω στις συνθήκες του Princeton. Θεώρούσαν λογικό, για το δικό τους στόχο και όχι για λό· γους φιλανθρωπίας, δικαίου η αναλόγους, να μου δώσουν ένα «χάντικαΠ)) λόγω «Ελλάδαφ και στη συνεχεία να δώσουν βάση και να προσπαθήσουν να ερμηνεύσουν τα όσα έγραψαν για εμένα σε συστατικές επιστολές οι Κάππος, Ζερβός, Χατζηιωάννου, Λεγάτος και Παναγιωτόπουλος. Προφανώς αυτό δεν έγινε ειδικά για εμένα. Με αντίστοιχες σκέψεις κάλεσαν τη δεκαετία του '60, τον Απόστολο Δοξιάδη, σε ηλικία 1 5 ετών, στο Columbia και το Δημήτρη Χριστοδούλου στο μεταπτυχιακό του Princeton. Με την ίδια λογική εκλήθη και ο Χρήστος Παπακυριακόπου λος στο Princeton, τη δεκαετία του '40.

Σ.Α.: Έχετε δηλώσει πως ο Χρίστος Παπακυριακόπουλος υπήρξε πηγή έμπνευσης για σας. Και με δεδομένο πως τη δεκαετία του '60 ήταν ο σημανπκότερος; εν ζωή, ΈJJ.ηνας μαθηματικός, έ· χει αξία να τον μελετήσουμε και μέσα από την προσωπική σας ματιά. Όχι μόνο με αντικειμενικά, j l

1 Οι δύο προηγούμενες συνεντεύξεις δημοσιεύτηκαν στα τεύχη 80 και 8 1 του Ευκλείδη Α.

'f Το διάση μο περιοδικό «Science», από το

1 989

και μετά, κατ' έτος, χαρακτηρίζει μία επιστημονική ανακάλυψη ως

«Breakthrough of the Year», (σε ελευθιφη απόδοση θα λέγαμε «Η ανακάλυψη της χρονιάς»). Μέχρι σήμερα αυτός ο χαρακτηρισμός έχει δοθεί μόνο σε ένα μαθηματικό επίτευγμα, το από τον Ρώσο μαθηματικό Grigori Perelman, το

2006,

2003 .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 82 τ.2/22

στην απόδειξη της εικασίας του Poincare

.......

� _

_... _ ..

Η απολοyία ενό� μαθημttτικού

......

� .... _ ...._. ___._ ....__ __

tσtορικά σtοιχεία. Κινηθήκατε στους lδiovq χώρουq, Παρσ.τηρούσαiε τtς κινήσεις του, ακούyαtε για τη φημη ttov τον ο.ιtολουθοvd'ιi κai μπορούσατε να κρίνετε. Έχετε πρtJσωπική γνώμη, όχι μJ Μ aitό μελέτη αλλά και από εμπειρlα. Πριν όμως τη μοιραστείτε μαζί μας, ας επιστρέψουμε λlγο ακόμα σε tιας. Αυτή η αίσθηση, ότι οι μεταπτυχιακοί συμφοιτητές έχουν Περισσότερες γν�.. σεις από εdάς, θα πρέπει να σας διjμιουργούσε, την περίοδο της προσαρμογής, μία συνεχή ψ�χολογική πίεση. Πως καταφέpατε να το διαχειριdτείτε; Σ.Γ.Π.: Με _ β οή θ ησε η λογική ανάλυ σ'η και ο Παπακυριακόπουλος. Πέραν των Μαθ ηματικiliν j μου άpεσε πολύ και η 1στορiα. Μου f1ταν 1\:lit μο,υ είνtχi ευχάριστο, να μsλεtάαι ιστορικά θέματα. Στην tστορία, είχα Παρ αtηρήσεt διάφορα για την πο ρεία των λαών. Υπάρχει ακμή και Παρακμή, που αν και δεν ξέρου με ακριβώς ποιες συνθήκες τις δημιουργούν, μπορούμε να πούμε με αρκετή βεβαιόtητα ότι δεν είvαι ζήτημα γονίδίων! Κάποτε, ήταν μεγάλες δu\ιάμεις; η Αίγυπ:τος, η Πsρσία, η Ελλάδα του μεγάλου Αλεξάνδρου, η Ρώμηι η Μογγολία, η Ισπανία και κάποτε έπαυσαν. Ακολούθησαν dλλες, η Αγγλία, οι Η.Π.Α., ίσως στο μέλλον η Κίνα κ.ο.κ. Ερχό μουν από μία χόJρα με άκρως ένδοξο παρελθόν αλλά με παρ όν μικρό και αδύvαμο. 'dχι μόνον στα Μαθηματικά, σχεδόv σε όλα. Αν και η τότε κοινωνία δεν fJθε λε να το δει έτσι ή μάλλον να το παραδεχτεί ! Θυμάμαι κάτι κωμιΧρ. Πtιπα κυ ριακόπουλο� κό bχετ tκό με τα ποδοσφαtριJΙiά δρώμενα tης δεκαετία� του '60. Η Εθνική μας ομάδα συνήθως χdρακτηρtζότα\ι «t]ρωtκή>>, τα δε απο· tελέdματα που έφερνε tος «tιμη τικtυ> ακόμα και όταν είχε ηττηθεί με 7-1 ι Σε σuγκειφιμέvό1J� αγώνες, ο tερματdψuλακας (θυμιiμαι τον Μανtαλόζη του Εθ νικού) χαρακτηρίστηκε «ο ήρωας· του γηπέδου» (γιατί έσωσε άλλα 7!). Έτσι λοιπόν, μέσω της ιστορίας, ένιωθα πως το yεγον6� οtι ήξερα λίγα μαθηματικά σε σχέ&η με τους συνήΘεις μεtαπtuχιaκούς του Princeton, δεν ερμή νευόταν με υπερφυσικές αντιλήψεις περί ανώτερων -ι<αι κατώτερων λαών . Κ.ριvόμουν με βάσ'fl τη συγκεκριμένη υλιΚή κατάσταση που είχα ζήσει στην ελληνική κοινω νία, το ελληνικd sκπdι· δευτικό σύστη μα που με είχε αναδείξε ι σε σύγκρ ιση με την αντίστοιχη κοtvωvική κατάσtαdtι που είχε παpάγει tους μεταπτυχιακούς που συ νή θ ως επελεγε το Princeton. Και προφανώς, έπf)s• πε να έχω κάπbιο παράδειγμα να στηρίξει αυ τή τη θεωρία μου. kαι αυτό για μένα ήταν η π�� ρουσία του Παπακυριακόπουλου στο Princeton . . Σ.Α.: tι έφερε τον Παπακυpιακόnοbλο στο Prlιtceton ή μάλλον τι οδήγtμιε σrο να προ&kλ�· θεί; Ε.Γ.Π.: Η cruγκεκρtμένη αφορμή ήταν το λάθος ενός Πολ6 δυvατού Γερμανού μαθη ματικού, του Max. Dehn (1 878-1 952) πtJυ ανήγγειλε το 1910 το διάση μο αλλιΙ καt διαβόη το πλέbν «Λήμμ� tου :Dehn» που αφορούσε γεωμετρικές ktttαστάσεις dε χώρους τριών διαστόσεων. Όμως tCΙ 1 929, d επίση� Γερμανός μαθηματικός Hellιnuth Κneser ( 1 898 - I 973) βρήκε ένα «κενό» στην ωtόδειξη του Dehn και έτσι το θέμα έμεινε «ανοικτό» προς μελέτη . Ο Παπακυριακόπουλος, λει τουργώντας σε ci.πόλυτη επιστημονική απομόνωση στην Ελλάδα (αλλά και σε πολιτικό οστpακ:ιω σμό), έdtειλε κάποιsς σκέψεις ότον πολύ διαπρεπή τοπο λόγο ταιv χαμη λών διαστάσεων του Princetonj τον Ralph Fox, και μεταξύ αυuών tων σκέψεων ή ταν και η «απόδειξη» του Λή μματος του behn. Νόμιζε πως είχε βpει τη ΙJωσtή απόδειξη αλλά ο Ralph F'ox β ρήκέ κενό και σε αυτή. Όμως ό Fdx εντυπωσιάστηκε από το γεγονός πtος Κάποιος, παvtελώς άγνωστος από μία περίrtοti «καθυι::rτερημένψ> χώρα; ασχολείται με τόσο δύ σκολα ζητή ματα . Τον Nliλεcrε λοιπόν το 1 948 στο Princeton ώστε vα μπορέσει να μελετήσει τα θέματα αυτά. Φυσικιi, το Λήμμa του behn η ... tαν μόνο η κο ρυ φή 1iΟυ παγόβουνου στη ν πορεία του Π απακυ ρtακόπουλσυ προς το Princetoti. Το «Παγόβουνο» ήταν ένdς αγώνας πολλών ετών στην λλάδ α, ένας αγώνας που τον διεξήtαγε σε απόλυτη κοιν ωνική , και προσωπική απσ μόvω ση, έχοντας «αν τίπαλο » δύο β ιβλία : tηv Topo lo gie των Alexttndtόff P.κdt Hopr Η. καt to Lehrbuch der topologie των Scifert και

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 82 τ.2/23

-------

Η απολογία ενός μαθηματικού

Threlfall3 . Ασφαλώς, το κείμενο του Παπακυριακόπουλου, πέραν του κενού στην απόδειξη που περιείχε, δεν ήταν κείμενο ενός «τριχοτόμου» η «τετραγωνιστή», όπως αυτά που φθάνουν ενίοτε στα γραφεία μας, αλλά αντιθέτως απέπνεε βαθιά γνώση.

Σ.Α.: Αλήθεια, πως αντιδράτε εσείς, όταν έρχεται στο γραφείο σας ή σας στέλνει ταχυδρο),.ιι• κώς ή διαδικτυακώς, κάποιος, απόδειξη για τον τετραγωνισμού του κύκλου ή την τριχοτόμη• ση της γωνίας; Προβλήματα που έχουν αποδειχθεί άλυτα αλλά μαγεύει ακόμα ο μύθος που τα ακολουθεί! Σ.Γ.Π.: Αστα! Υπάρχουν τρεις τρόποι: Α) Προσπαθείς να του μιλήσεις λογικά και να τον μετα

πείσεις! Νομίζω ότι η αντιμετώπιση αυτή είναι λάθος γιατί κινδυνεύεις να μη μπορείς να απαλ λαγείς από αυτόν. Β) Λες: «Εγώ δεν είμαι ειδικός σε αυτά. Ειδικός είναι ο καθηγητής Χ» όπου Χ κάποιος που δεν χωνεύεις! Η αντιμετώπιση αυτή έχει το μειονέκτημα ότι ο Χ μπορεί να. α..: ντεκδικηθεί με κάτι ανάλογο. Γ) Λες: «'Έχεις χάσει την πρωτιά. Πρώτος το έχει λύσει ο κ. Υ» όπου Υ κάποιος άλλος «τριχοτόμος» ή «τετραγωνιστής» και τον προτρέπεις να πάει να βρει τον Υ και να βρουν λάθη στην λύση του! Αυτή ίσως να είναι η καλύτερη αντιμετώπιση. (Γέλια! ! !)

Σ.Α.: Πίσω στον Παπακυριακόπουλο. Από τη διήγηση προκύπτει πως τον κάλεσαν στο Prίnceton χωρίς πολλές τυπικότητες. Α ν κάτι αντίστοιχο συνέβαινε στην Ελλάδα μάλλον θά το μεταφράζαμε ως προϊόν διαφθοράς. Θα ήταν ύποπτο! Θα aποδεχόμασταν μόνο ευκαιρίες που δίνονταν με ελεγχόμενες αντικειμενικές εξετάσεις. Κι όμως, στην Αμερικανική κουλτούρα είναι αποδεκτό κάποιος καθηγητής απλώς να δηλώσει ότι βρήκε κάποιο ιδιαίτερο χάρισμα, όπως ο Fox στον Παπακυριακόπουλο, ο Eίlenberg στο Δοξιάδη ή ο Wheeler στο Χριιrτοδού* λου. Και φαίνεται, να αποδίδει! Που οφείλεται η διαφορετική νοοτροπία; Σ.Γ.Π.: Είναι όπως τα λέτε και η εξήγηση βρίσκεται, κατά την

γνώμη μου, ότι η μεν Αμερική χτίστηκε από ανθρώπους που τους έφτιαξε το ιστορικό φαινόμενο που λέγεται Δυτικός Πολιτισμός ενώ η Ελλάδα ήταν υπόδουλη κάτω από μία παρακμάσασα αυτοκρατό ρία. Ας μην εμβαθύνουμε όμως ιστορικά. Αν ο Παπακυριακόπουλος αποδεικνυόταν τελικά απλώς ένας έντιμος και ενθουσιώδης ερασι τέχνης και όχι ένας εξαιρετικών δεξιοτήτων μαθηματικός τότε αυτό θα ήταν ένα μελανό σημείο για το Ralph Fox, που θα μείωνε την εμπιστοσύνη που απολάμβανε μεταξύ των συναδέλφων του και αυ τό θα είχε συνέπειες στην επαγγελματική του πορεία. Μάλιστα, αν υπήρχαν υποψίες (δεν θα χρειαζόντουσαν καν αποδείξεις) ότι η επιλογή του Fox έγινε με ιδιοτέλεια, τότε σχεδόν σίγουρα θα έχανε την Ralph Fox . θέση του (άνευ δικαστηρίων, πειθαρχικών οργάνων κλπ), ήσυχα, ήρεμα και απολύτως αποφασιστικά, με τελείως συνοπτικές διαδικασίες! Σας καλώ να σκεφτείtε σε αντιστοιχία τι συνέπειες έχουν υπάρξει στην χώρα μας για αναξιοκρατικές και ιδιοτελείς προσλήψεις ... Να σημειωθεί πως όταν εκλήθη στο Princeton, οικονομική βοήθεια δεν προσε φέρθη και ο Παπακυριακόπουλος έζησε εκεί με δικά του έξοδα για περισσότερο από μία δεκαε τία.. Διέμενε σε ένα μικρό ευπρεπές ξενοδοχείο το Princeton Inn, όπου, ο «θρύλος» λέει ότι δια βιούσε με την ίδια βαλίτσα με την οποία . . . είχε έλθει από την Ελλάδα. Όσο «σπαρτιάτικα» ό μως κι αν ζούσε, για τη δεκαετία του '40, το κόστος διαμονής στις ΗΠΑ ήταν υπέρογκο για tα ελληνικά μέτρα! Είχε βέβαια, μέσω της οικογένειας του την οικονομική άνεση να στηρίξει αυτή · του την επιλογή. Σε αυτό στάθηκε τυχερός! Γιατί η οικονομική του ευμάρεια του έδωσε τη δυ νατότητα να μπορεί να παραγγείλει βιβλία από το εξωτερικό στην δεκαετία του '30, να ζήσέι στις ΗΠΑ όσο επιθυμεί αλλά και να δωροδοκήσει στέλεχος των ελληνικών υπηρεσιών ασφαλεί ας ώστε να πάρει διαβατήριο για να μεταβεί εκεί, όπως μου είχε πει ο ίδιος. 3

Πρόκειται για δύο ιστορικά συγγράμματα, τα: Alexandroff P.and Hopf Η, Topologie.

Sprίnger- VeNag, Berlin,

1935 και Seifert and Threlfall, Lehrbuch der Topologίe, Teubner, Leipzig, 1934 που εκδόθηκαν την δ�καεtία του

'30 και οργάνωσαν το νεοπαγή τότε κλάδο των μαθηματικών ΑλγεβριΚή Τοπολσyια κάνοντάς τον ευρύτερα γνω· στό. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/24

------- Η απολογία ενός μαθηματικού

Σ.Α.: Είχε απαγορευτεί για κάποιο λόγο η έξοδός του από τη χώρα; Σ.Γ.Π.: .Ο Παπ;ακυριακόπουλος είχε πολιτική δράση στην Ελλάδα, εναντίον

της επανόδου του Βασιλιά Γεωργίου του Β' το 1 935, είχε ενταχθεί στο Ε.Α.Μ. κατά τη διάρκεια της γερμανικής κατοχής και, στο κλίμα της εποχής, για τις αρχές ασφαλείας ήταν «επικίνδυνος κομμουνιστής». Ο πόλεμος είναι κάτι πολύ κακό, όπως λέει και ο Ηρόδοτος, όμως οι εμφύλιοι πόλεμοι είναι οι χειρότεροι όλων. Εν πάσει περιπτώσει εδώ θα κάνω μία δήλωση που ίσως θεωρηθεί προκλητική. Εγώ δεν τη θεωρώ προκλητική, τη θεωρώ αυτονόητη: Αν ο Παπακυριακόπουλος δεν ήταν γό νος πλούσιας οικογένειας τότε, ΔΕΝ θα συζητάγαμε για αυτόν σήμερα! Το μαθηματικό χά ρισμα που είχε θα είχε χαθεί όπως για τόσους άλλους.

Σ.Α.: Ακούγεται προκλητική αλλά δεν είναι! Η οικονομική ευρωστία δεν δημιουργεί επιστη μονικά ταλέντα αλλά διευκολύνει την ανάδειξή τους! Ας πάμε όμως ακόμα πιο πίσω στον Παπακυριακόπουλο. Ας μιλήσουμε για τη ζωή και την πορεία του προ Prίnceton. Σ.Γ.Π.: Όπως γράφει ο Α. Δοξιάδης4, ο Χρήστος Παπακυριακόπουλος γεννήθηκε στην Αθήναj

το 1 9 1 4 και μεγάλωσε στο Χαλάνδρι. Ο πατέρας του ήταν έμπορος υφασμάτων. Μάλιστα, το κτήριο που στέγαζε το μαγαζί του υπάρχει ακόμη, αν και ριζικά ανανεωμένο: είναι το τελευταίο στα αριστερά μας όπως κατεβαίνουμε την Ερμού, πριν την πλατεία Μοναστηρακίου. Φοίτησε στο Βαρβάκειο και έπειτα στη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών του ΕΜΠ, υπακούοντας αρχικά rtτηνευχή του πατέρα του να μη δει το γιο του «δασκαλάκο», καθώς έλεγε. Όμως το πάθος του για τα μαθηματικά επικράτησε και στο τρίτο έτος πήρε μεταγραφή στο Μαθηματικό Τμήμα tης Φυσικομαθηματικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών, από όπου και πήρε πτυχίο το 1 938. Κατά την διάρκεια της κατοχής συνέγραψε τη διδακτορική διατριβή του στο Μαθηματικό Αθη νών. Τα μαθηματικά που διάβαζε ήταν εξαιρετικά προχωρημένα συγκριτικά με την υπόλοιπη ελληνική επιστημονική κοινότητα. Όπως μου είχε πει ο ίδιος, υπήρξαν αντιρρήσεις σtο Μαθη ματικό Αθηνών για την έγκριση της διατριβής, τις οποίες έκαμψε παρέμβαση του Καραθεοδω· ρή. Σαν επιστήμονας ξεχώριζε και απείχε παρασάγγας του εγχώριου επιστημονικού δυναμικού. Κι όμως, όπως μου έλεγε ο ίδιος, όταν βρέθηκε στο Princeton, σε ηλικία 38 ετών, ήξερε λιγότε ρα μαθηματικά από τους εκεί μεταπτυχιακούς φοιτητές. Εν τούτοις, μετά από μια δεκαετία σκληρότατης δουλειάς είχε πια καθιερωθεί σαν ένας πολύ δυνατός μαθηματικός που θα μπο ρούσε άνετα να είναι καθηγητής (Full Professor) στο Princeton. Εν ολίγοις, το πάθος, η δουλειά, η τύχη και το χάρισμα, ενίοτε μπορούν να ανατρέψουν τη μεγάλη διαφορά προέλευσης. Σ.Α.: Λεν υπήρξε, δηλαδή, καθηγητής του Prίnceton; Σ.Γ.Π.: li ακαδημαϊκή κατάσταση του Παπακυριακόπουλου

ήταν κάτι το μοναδικό. Δεν έγινε ποτέ καθηγητής στο Princeton με την τυπική έννοΊα του όρου. Το 1 949 του δόθηκε ο γενικός και αόριστος τίτλος Research Fellow (άμισθος) και κάποια στιγμή προς το τέλος της δεκαετίας του '50, του δόθηκε ο τίτλος Senίor Researcher Mathematίcίan and Lecturer και μισθός περίπου το ήμισυ του μισθού ενός Full Professor του Μαθηματικού Τμήματος.

Σ.Α.: Ποιό ήταν το επίπεδο των μισθών εκείνη την εποχή; Σ.Γ.Π.: Στο μαθηματικό του Princeton εκείνη την εποχή ο Full Professor είχε ετήσιο μισθό περίπου 1 8.000$, ο Assίstω:ιt Profes sor και ο . . . Παπακυριακόπουλος περίπου 10.000$ και οι υπότρο

φοι μεταπτυχιακοί (π.χ. εγώ !) 2.000$. Η συμφωνία του με το Princeton ήταν ότι δεν θα ανελάμβανε διοικητικά η διδακτικά κα θήκοντα, δεν θα καθοδηγούσε διατριβές, απλώς θα έκανε επιστη μονική έρευνα στους τομείς που τον ενδιέφεραν.

Σ.Α.: Δεν είναι ασύνηθες αυτό; Σ.Γ.Π.: Τελείως ασύνηθες. Ηταν

ο μοναδικός μάλλον σε όλη την Αμερική. Αυτό ήθελε, αυτό του άρεσε. Όπως θα έλεγr;. και ο Αι σχύλος, στην ζωή του είχε υιοθετήσει την φιλοσοφία του λιτού «δωρικού ·χιτώνα», όμως τον ενδιέφερε η δόξα της ανακάλυψης 4

http://users.sch.gr/mmanoi/ISTORIA/papa.pdf ΕΥΚΛΕΙΔΗ:Σ Α' 82 τ.2/25

Henri Poίncare

--�------

Η απολογία ενός μαθηματικού

της «αλήθειαφ και η δική του «αλήθεια» ήταν η λύση της εικασίας Poincare. Συγκέντρωσε όλη την βιολογική του ύπαρξη σε αυτό το πρόβλημα, σε απόλυτη επιστημονική απομόνωση, δεν συ ζητούσε σχεδόν με κανέναν το τι ακριβώς έκανε. Σ.Α.: Και αυτό ασύνηθες. Σ.Γ.Π.: Απολύτως. Δεν δημοσίευε

ενδιάμεσα αποτελέσματα που είχε, τα οποία φύλαγε σε τρα πεζική θυρίδα στη First National Bank of Princeton. Δεν ξέρω άλλον ερευνητή που να είχε τέ τοια συνήθεια. Δεν είναι μόνο ασύνηθες, θα έλεγα ότι γενικώς είναι και αντιπαραγωγικά. Η συ ζήτηση με άλλους επιστήμονες σου δίνει ιδέες και φυσικά και εσύ δίνεις ιδέες στους άλλρυ�. lω στορικά η επιστήμη είναι ομαδική δουλειά με κοινωνικό χαρακτήρα. Όμως ο Παπακυριαkόπου- ' λος είχε επιλέξει άυτήν την πορεία, υψηλού κινδύνου και υψηλού αναμενόμενου κέρδους: Ή λύ νει το πρόβλημα πλήρως και μόνος του και παίρνει όλη τη δόξα ή τα χάνει όλα, χάνει ακόμα και την πίστωση ενδεχομένης μερικής συνεισφοράς.

Σ.Α.: Σαφέστατα ιδιαίτερη προσωπικότητα. Θα τελειώσουμε τη σημερινή συζήτηση με παρέμβαση αναγνώστη μας που θα ήθελε να εκ φράσει μίαν απορία. Με χαρά του δίνουμε το λόγο και περιμένουμε αντίστοιχες πρωτοβουλίες και από άλλους αναγνώστες μας. Ρωτά λοιπόν: ((Στα δύο πρώτα μέρη της συζήτησης, κάνατε θετική αναφορά σε διaψdpα ο νόματα καθηγητών του Πανεπιστημίου Αθηνών, εννέα συνολικά, ενώ παράλληλα σχολιάζατε δυσμενώς την ακαδημαϊκή κατάσταση της εποχής. Δεδομένου ότι οι καθηγητές εκείνή την εποχή ήταν πολύ λίγοι, ο αριθμός εννέα δείχνει ότι κατά πλειοψηφία λειτουργούσαν θετικίi. Πως εξηγείτε το συνολικά αρνητικό κλίμα που αναφέρεστε;)) Σ.Γ.Π.: : Σταυρούλα, χαίρομαι ειλικρινά για την ερώτηση ! Δείχνει ότι κάποιοι μας διαβάζουν

προσεκτικά μεν, κριτικά δε, έχοντας διάθεση να αμφισβητήσουν όσα διαβάζουν, όταν αυτά φαί· νονται να συγκρούονται με την λογική. Εξάλλου, θα θυμάσαι, ότι στο Πανεπιστήμιο, στην πρώ τη διάλεξη κάθε μαθήματος, τόνιζα στους φοιτητές μου, ότι μεταξύ αυτών που εύχομαι και ελπί..! ζω να μάθουν εδώ μέσα, το σημαντικότερο είναι να μάθουν να αμφισβητούν αυτά που ακούνεj κάνοντας αρχή από αυτά που τους λέω εγώ. Αγαπητέ αναγνώστη, από όσους δασκάλους μου ανέφερα με ευγνωμοσύνη, μόνον ένας ήταν στη βαθμίδα του καθηγητή (όπως θα λέγαμε σήμερα) του Μαθηματικού Τμήματος, ο Δημήτριος Κάππος. Οι υπόλοιποι ή ήταν βοηθοί, επιμελητές, υφηγητές που έγιναν αργότερα καθηγητές ή ήταν καθηγητές άλλων τμημάτων που δίδασκαν και στο Μαθηματικό. Στο Μαθηματικό υΠήρ.ι. χαν τρεις «έδρες» (όπως λέγονταν τότε) και σε κάθε μία αντιστοιχούσε ένας τακτικός καθηγr\ τής. Οι τρεις έδρες αντιστοιχούσαν στους τρεις μεγάλους κλάδους των μαθηματικών. Τη Μαθη ματική Ανάλυση, που ασχολείται κυρίως με την μελέτη της «αλλαγήφ, την Άλγεβρα, που αώ σχολείται κυρίως με την δομή των μαθηματικών και τη Γεωμετρία που ασχολείται με τα σχήμα τα που βλέπουμε. Μόνο η Μαθηματική Ανάλυση διδασκόταν, τη δεκαετία του '60, με την αντί ληψη που είχαν διαμορφώσει τα Μαθηματικά στον 20° αιώνα. Η Άλγεβρα και η Γεωμετρία δι δάσκονταν αγνοώντας τη σύγχρονη επιστημονική θέώρηση. Χαρακτηριστικά, σε ένα βιβλίο της Γεωμετρίας, όλη η βιβλιογραφία ήταν πριν το 1 900. Περαιτέρω, πέρα από τα καθαρά διδακτικά επιστημονικά ζητήματα, υπήρχαν αρνητικά σημεία και σε άλλους τομείς. Π.χ. τα βιβλία της Άλ γεβρας διετίθοντο από το γραφείο του καθηγητή (όχι από βιβλιοπωλείο) και σημειώνονταν τα ονόματα των φοιτητών που αγόραζαν το βιβλίο. Επίσης, στη Γεωμετρία, τα θέματα των εξετά σεων ήταν τα ίδια επί σειρά ετών και αν θυμάμαι καλά, ήταν 6 ομάδες θεμάτων. Τα θέματα .fo ποθετούνταν με αυτοκόλλητη ταινία, στα αμφιθέατρα των εξετάσεων, στις διάφορες θέσεις. Όταν λοιπόν άνοιγαν οι είσοδοι των αμφιθεάτρων, εξορμούσαμε εντός με στόχο την επιλογή καθίσματος με σχετικώς εύκολη ομάδα θεμάτων. Οι ομάδες των θεμάτων ήταν γνωστές στους. φοιτητές και όπως καταλαβαίνετε, σχεδόν όλοι μελετούσαν αποκλειστικά αυτές. Σ.Α.: Να προσθέσω κι εγώ κάτι στο σχόλιο του αναγνώστη μας. Σvζητών'tας με μαθt/μu.τι κούς της γενιάς σας αποκόμισα την εντύπωση ότι γενικά αισθάνονται όμορφα για το ψοιτηtι ..

κό τους παρελθόν και το Μαθηματικό τμήμα και μιλάνε θετικά για τους πανεπιστημιακούς ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 82 τ.2/26

-------

Η απολογία ενός μαθηματικού

δασκάλους τους. Όλοι ξεχωρίζουν τον Κάππο συνοδεύοντας όμως με το σχόλιο ότι ήταν «επι στήμων>> αλλά ((όχι καλός δάσκαλος», όμως και για τους άλλους εκφράζεται μία θετική άπο ψη ή έστω συγκαταβατική. Συμβιβάζονται τα σχόλιά τους και η κρίση τους με τις δικές σας εκτιμήσεις και αναφορές; Θυμάμαι να μας λέγατε στη σχολή, όταν ήμασταν φοιτητές σας, ότι μία επιστημονική θεωρία, ανεξαρτήτως αν αναφέρεται στην φυσική ή στην ιστορία, θα πρέ πει να εξηγεί τα φαινόμενα που έχουμε παρατηρήσει. Εδώ, η θεωρία σας, πως εξηγεί την α ντίθεση; Σ.Γ.Π.: : Χαίρομαι που το έχεις κρατήσει αυτό. Για να καταλάβουμε πως μία αντικειμενικά κα

κή κατάσταση μπορεί να οδηγήσει και σε θετικές αναμνήσεις, πρέπει θέσουμε τα γεγονότα μέσα σε ένα ευρύτερο ιστορικό-κοινωνικό πλαίσιο. Η Ελλάδα πέρασε την 1 Οετία του '40 με τον πα γκόσμιο και τον εμφύλιο πόλεμο. Μεταξύ άλλων δεινών, πάρα πολύς κόσμος δεν μπόρεσε να σπουδάσει. Έτσι, στις δεκαετίες του '50, '60 και μέρος του '70, υπήρχε έλλειψη στελεχιακού δυναμικού. Όποιος έμπαινε σε ανώτατη σχολή εκείνη την εποχή, οποιαδήποτε, από την εισαγω γή ήξερε, ότι με την αποφοίτηση είχε άμεσο διορισμό και με πολύ μεγάλη πιθανότητα μία οικο νομικά ευσταθή ζωή και σύνταξη. Ότι και να ήταν το Πανεπιστήμιό μας, ο καθηγητής που ανα φέρω πως σημείωνε τα ονόματα των φοιτητών που αγόραζαν το βιβλίο του από το γραφείο του ή εκείνος που είχε βιβλιογραφία προ του 1900, με τον βαθμό 5 έδιναν, ενδεχομένως, όχι το «ευ ζην», αλλά σίγουρα το «ζην»5 • Ενώ, αντιθέτως, και ανεξάρτητα με την ποιότητα του πανεπιστη μίου μας σήμερα, έτσι όπως έχει η κοινωνική μας κατάσταση και εγώ και οι συνάδελφοί μου, ίσως για είκοσι χρόνια τώρα, και τον βαθμό 1 0 να δώσουμε, το αποτέλεσμα είναι πολύ μικρό. Νομίζω, ότι αυτή η ανάλυση συμβιβάζει την κρίση μου για το τότε Πανεπιστήμιο με την εν μέ ρει θετική αναφορά πολλών της δικής μου γενιάς για τα φοιτητικά τους χρόνια. Με την ίδια ο πτική εξηγείται το ότι στην δεκαετία του '60, η συντριπτική πλειοψηφία των φοιτητών του Μα θηματικού έπαιρναν πτυχίο σε 4 χρόνια, ακριβέστερα 4,5 χρόνια, λόγω των κανονισμών λήψης πτυχίου, παρόλο που οι συνθήκες διαβίωσης ήταν εξαιρετικά δυσχερείς. Υπήρχαν συμφοιτητές που πήγαιναν από τα Πατήσια στη Νομική και το Χημείο της Σόλωνος, με τα πόδια για να εξοι κονομήσουν το εισιτήριο του λεωφορείου. Η ελπίδα όμως έδινε φτερά στην προσπάθεια. Σήμε ρα, ο μέσος ο προσδοκώμενος χρόνος λήψης πτυχίου στο Μαθηματικό Αθηνών είναι 7,5 χρόνια με τάσεις αυξήσεως. Ασφαλώς σήμερα οι βιοτικές συνθήκες είναι πολύ καλύτερες, χτυπάω ξύλο για το τι θα γίνει αύριο, αλλά έχει υπονομευθεί η ελπίδα για το αύριο. Σ.Α.: Καταλαβαίνω την οπτική σας! Άλλωστε, όπως σχολιάζει και ο Σεφέρης ((Είμαστε όλοι κληρωτοί της εποχής μας». Σ.Γ.Π.: : Ναι, αν και ασφαλώς θα πρέπει αυτό να το δούμε σαν στατιστική δήλωση γιατί ούτε

όλοι οι Σκωτσέζοι είναι τσιγκούνηδες, ούτε όλοι οι Ιρλανδοί είναι αλκοολικοί.

Σ.Α.: Παίζει όμως ρόλο και ο άνθρωπος, δεν είμαστε όλοι ίδιοι. Σ.Γ.Π.: : Αυτό, ασφαλώς είναι σωστό. Όμως είναι το κυρίαρχο στατιστικό

φαινόμενο αυτό που θα μας επιτρέψει να δώσουμε εξηγήσεις στα υπόλοιπα φαινόμενα, όχι οι εξαιρέσεις. Π.χ. υπάρ χουν άτομα που καπνίζουν, πίνουν, είναι υπέρβαροι και έφτασαν στα 90! Σ.Α. : Με διασημότερο τον Wίnston Churchίll (18 74-1965), σωστά; Σ.Γ.Π.: : Ναι. Ο οποίος μάλιστα έλεγε ειρωνικά ότι, «Εγώ κυκλοφορώ

μονίμως με ένα ποτήρι ουίσκι στο ένα χέρι, ένα πούρο στο άλλο και η μόνη γυμναστική που κάνω είναι να πηγαίνω στις κηδείες εκείνων που ακολουθούν τις οδηγίες των . . . γιατρών!». Φυσικά, οι γιατροί αλλά και κάθε σκεπτόμενος πολίτης, θα μπορούσαν vα του πουν ότι μάλλον ήταν πολύ τυχερός και μάλλον ήταν πολύ καλά τα γονίδια που κληρονόμησε από τον πρόγονό του, τον δούκα του Μάλμπορω (Duke of Marlborough John Churchill ( J 650-1 722)). Εξάλλου, σε προσωπικό επίπεδο, θα μπορούσα να κα ταθέσω ότι στα πλαίσια της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, τα τελευταία 40 χρόνια, όσους φίλους έχασα άκαιρα, όλοι κάπνιζαν και φοβάμαι ότι θα χάσω και άλλους από την ίδια αιτία. Από αυτή τη «στατιστική», ας το πούμε, οπτική θα πρέπει να βλέπουμε και τα κοινωνικά φαινόμενα. 5

Αναφέρεται ότι ο μέγας Αλέξανδρος είχε πεί «Στους γονείς μου οφείλω το ζην και στον δάσκαλό μου το εύ ζην ! )), αναφερόμενος πιθανότατα στον Αριστοτέλη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α'

82 τ.2/27

...._ ..._.. --.......,.-... ..._ .... . .... .. .... ...

.... .... .. _ ...._ _ _

Συνi:χε ι α από

τη

...._ ...... � -... ---.. ...._ ._..._ _ _ .... .._ ..._. .....

Ανιh'ώσει4 α ' Βάθμuύ

ν. 2.(4χ- Ι )-3(2χ-4) ::::: 5.(3χ-2) - (7-2χ) +1

σελί δ α 2 1

B t 6· Να λύd"εtε τίς ανισώσεις J<αι στη συνέχεια να παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία των . 2 . ) αριθμών. · 30 - 2χ) ::; ο 8 η' 10 · (l - 2x) s l 0 · 0 . 4x + 10 : 8 χ 4 + χ+2 > χ 1 ' ' 2 2 -+Ι. 3 4 2 · ή 1 5(1 - 2κ) ::; 4χ + 80 ή 15 �30x s 4x + 80 Χ 3Χ """ 2 η. - 34χ ::; 65 η .χ ;<:: - ii. 2Χ - -:- < 65 Ε

3(1 - 2χ) · · s ::; ο, 4 χ + .

πισης εχουμε: . •

•

Οι ακέpαιες ι;χριθμοί :�Ι ,Ο

λύσεις τη�

ανίσωσtις tίναι oi

Α σκt }σ η 3 η .

Να βρεθούν οι τtμές τού λ ώστε η . 2χ-λ χ--λ ! . .. . ανίσαιση -- -- <:1, να έχει λ\>ση τον t=2. .

Λ ύ ση :

Έχουμε:

2χ � λ

2χ .:... λ ·

. .

χ-λ 4

· - --

χ-λ

<1 ή

ιν.

Να βρεθούν οι κοινές λόσεις

Β ι7·

ισώσεων

11.

Για �=2 έχουιlε Ι Ο-λ< Ι 2 ή λ > �2 . ·

3Χ + 2

·-· - � ·

.. . . 3(χ - Ι)

4(2χ - λ) - 3 ( Χ '-' λ) < 1 2 ή 8χ :.._ 4λ --,3χ+3λ < 12 Ά σ κ η ση 4 η

Χ --'- 5 < -5 4 3(x + l) � 2(x + l) Ζχ >3 3 2

iii.

αν

i. 0,2 - 1 �3x >0,3(1 -2x)

12 - � - Ι 2 · � < Ι2. · Ι. η' 3 4

ή 5χ-λ<12 .

χ�) 2

�

Ένα. οι"Κ:όπεοο έχει σχt)μα ορθοyωνίοu παραλληλογράfίμdύ με μtα · δtάdτα«rtj i 7Οnι. Πόσο θα . πρέπει · να είναι 11 ciλλη του διaστασtι αν γνωρίζουμε ότι η περίμετρος είναι μικρότερη από 440 m και τc1 εμβαδόν του μεγαλύτερο των 8,16 στρεμμάτων; ΛίJ ση : Αν χ η άλλη 8ιάσταση tou

iii. 3 -

χ �

2(3χ - 7) ·

Ι > χ

και

και 3

τωv

χ χ --- < 1 2 3

καt - - 0,2(3χ - 5) � 1 5 2χ . -

0•2 + χ � :3χ """' 1 2 3

Β ι R· Νά λύσετε και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις των παρακάτω διπλών ανισtbσεων:

i. -7χ<3χ- Ι <5-χ

χ χ . . 2Χ - 3 < -- < 1 2 3 .χ -· 3 �. ιν . . 1�3 Ii.

. . . 2' (χ 1)" < 3 < -,3 2 B t 9· Αν γνωρίζουμε ότ:ι ο αριθμός λ είναι ορθογωνίου, τόtε η περίμετρος είναι αρνητικός; ποιες τιμές πρέΠει να παίρνει αυτός 2χ+2 . Ι 70=2χ+340 κaι το εμβtχδό του για να είναι η tιμή της παρακάτω παριiστdσης χ · Ι 70 1 70χ ,άρα έχουμε: Κ= 3(λ+9) -6 θετικός αριθμός; 2χ < 1 00 + 340 < 440 Β 2ο· Για ποιες τιμές του λ η ανίctωση ή 7χ - 5λ + 3 > λ(χ - Ι ) .:2 να έχει λύση τον 1 70χ > 8 Ι 60 1 70χ > 8 1 60 αριθμό Χ = :3 ; . χ < 50 . ή 48 < χ < 50 Επεtδή ο χ είναt B z ι . Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός . χ > 48 '}'ια τον οποίο το εφταπλΟ.σιό του μειωμένο κάtά άκέρίχιος θεtiκός αριθμός τόtε x=4c;). πέντε είναι μεγαλύτερο από το 84; Π ροτεινόμενΕς α σκ ή σεις Βπ. Ποtος είναι ο μεγαλύτερος φυσικός για Β t ..ι · Να λύσετε τις ανισώσεtς: τον οποίο το 5-πλάσtό του αυξημένο κατά 7 είvαι μικρότερο ή ίσο του 82; ii. "7.x <S:. 1 3 iii. 8�x > O i. ·5 .x < 7 Β 2 1 · Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί των ίv. - 1 3 .χ :Ξ:: Ο ν. -χ < -7 νί. -χ < 5 νii. �x � () οΠοίων το τριπλάσιο αυξημένο κατά 4 είναί viii. -χ � - 1 ix. 2.χ > ·3 χ. -χ < Ο μεγαλύτερο από το · ·διΠλ&σιό tους t<αt B t s· Να λύσετε τις avισώσείς και στη συνέχεttt να Παραστήσετε τις λύσεις στην ευθεία troν μικρότερο από το πεντα11:λάσι6 τους. Β 24· Ένας μαθητής σ ' ένα μάθη μα έχει γράψει αριθμών. ί.3(χ 1) � 2 (χ -.5) �4 (χ, + 2) - 7. δυο διαγωνίσματα και έχει Πάρει Ι 3 kαt Ι ) . Tt . ii. 4(χ - 1 ) - 3 2) < 2(χ + 3) .. 5{χ' � ·3) βαθμό θα Πρέπει να γράψει στο επόμενο ώστt iii. χ + 5 - 2(χ - 2) > 7χ + 4' ο τελικός βαθμός totl να έίναι τουλιiχισtον 1 5 ; iν. 5χ-1 -(χ+2) > 3(2χ-5)- 1

{2χ {

111.

'"-

{

(χ '" •

�ΥkΛΕtΔΗΣ Α' 82 τ;2/28 '

πρα γ μ ατ 1 κοί αρ ι θμοί κ α 1 τα υποσ ύ νολα τ ο υς

Ο1

=======

fιώργος Λυμπιφόπουλος "'"" Τ4σος . Μπακάλης, - Μαρία Σίσl(ου .

Στην πρώτη διαίρεση .το αποτέλεσμα εiναι φu;. σικός αριθ μός, ενώ στις άwς δύο όχι. Οι a� ριθμοi 0,4 (δεκαδικός) J(aι 0.666 . . . (περ�οδι� κός) aνήκουν στους ρητούς. Το σύνολο των ρητών. αριθμών συμβολίζε� ται με Q και είναι το σύνολο των αριθμών

άνθρωπος από την ανάγκη για. �ςαταμέ φηση οδηγ1Ί θη l(ε στη δημιουργίg των αρ�θ� μών. Αρχικά λοιπόν συναντάμε tους φυσ�κφ)ς αριθμούς. Το σύνολο των φυσικών αρi θμών Ν. γράμμα με το quμβολίζεται } Ν = { 1 ,2, 3 , . . . . . . Οι φυσικοί χρησιμοποιούνται JςUρίως για δύο σκοπούς. 1 . Για απαρίθμηση , π. χ. έχοvμε 2 παιδιά , 2. Για διάταξη, 1t .χ. είναι Ό zος ψηλότερος στην τάξη. . Το Ο μπορούμε να το συμπφιλάβουμε aτq σύνολο των φvσικών αριθμών και τότε ο συμ βολισμός του συνόλου είναι Ν Συνήθως όμως όταν γράφουμε Ν εννοούμε το Ν Τους φυσικούς αριθμο�ς μπορούμε να τους προσθέσουμε, να τους αφαιρέ�συμε, να �ους πολλαπλασιάσουμε και vα τους διαιρέ� σουμε. Για παράδειγμα 6 + 3 = 9 6-3=3 6 * 3 = 18 6 : 3=2 Ο

που- μπορούν να γρttφpύν

.στη

μο ρφή .!: , με Υ ν ;t: Ο ν l(txι μ,ν ,ε; Ζ . ( Γιατί Ζ ς Q ; ) Όμως δε. μπορούν όλοι οι αριθμοί να γρα� φσ�ν στην παρα7ί:άνω μορφή. Δηλαδή στη . μορφή , με ν ;t: Q και μ,ν ε; Ζ .

;

0 •

Ας δού μt; μiq tέτο}α 7Ιερίπτωση.

0 •

Έgτω ορθογ(ί)yιο και ισοσκελ&ς τρίγωνο με �ςάθετες πλεv ρές μήκους 1 . Ποιο είναι το μή,. l<PS τη ς υποη;ίνουσας; ·

� ι-�

Το άθροισμα δύο φυp-�κών αριθμών μας 1 δίνει πάντ� φυσικό αριθμό. Τι γίνεται όμως με tη διαφορά δύο φυσικών; Το μποτέλεσμα της Σχήμα 1 aφαίρεσης δε μας δίνει πάντα αριθμό που q.., vήκει στους φυσικούς. Σί> μφων11 με το pυθαγόρι;;ιο �εώρημα Για παράδειγμα 5 - 3 = 2 t2 + 1� = χ2 . Αλλά 3 5 = -2 + 1 :;:: χ� 1 · Όμως · το -2 δεν ανή�ει σ�ο σύνολο των 2 = χ2 φυσικών . Το -2 ανή κει σε ένu ευρύ1ερο σύνο� Ji = x λο, στο σύνολο των ακεραίrον. · Το σύνολο των ακεραίων συμβολ\ζεται με Το J2 δεV είν�ι ούτε δεκαδικός, ούτέ πε Ζ όπου Ζ = { . . . ,-3, -2, -1 ,0, 1,2,3, . . . } Δηλα ριοδικός αριθμός, Πwς θrt κατμλάβουμε ποιος δή εiνμι οι φυσικοί μαζί με τους αντίθετούι; ρ.ριθμqς είναι ώστε vα μπορέσουμε να τον δια τpυς. τάξουμε; Για νβ προρδιορicrουμε έναν άρρητο, · · π Ο ολλαπλασιασμός δυο · φυσικών πάλι, ΊΟV προqεγγiζοuμε με ρητούς. μας δίνει φυσιl(ό αριθμό αλλά η διαίρεση όχι Πχ� J2 = 1,414 διότι: πάντα. ι � .fi: < 2 γιστi 1 2 < 4 < � 2 Για παράδειγμα 1 0 1 2 = 2 1 ,4 � .Ji, . < 1 ,5 γιατί 1 42 < 2 < 1 52 2 I 5 = 0,4 1 ,41 < J2 <1,42. για�ί . 1,412 < 2 < 1, 4��: . 2 I 3 = 0,666, κ.ο.κ. ,

-,--

...

.· .

EYJ<L\EI�QΣ �' �2 τ.2/�9 '

-� ' .'

!·

. '

' • '

------

Οι πραγματικοί αριθμοί και τα υποσύνολα τους

Το J2 ανήκει σε ένα νέο σύνολο, στο σύ νολοτων αρρήτων. Δηλαδή στους μη ρητούς. Το σύνολο των αρρήτων δε συμβολίζεται με κάποιο γράμμα όπως τα υπόλοιπα σύνολα α ριθμών που αναφέραμε. Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία δεν είναι περιοδικά. Ένας ακόμη γνωστός άρρητος είναι ο α ριθμός π = 3,14159 . . . . Ο π είναι ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του. Ο συμβολισμός του (π) προέρ χεται από το αρχικό γράμμα της λέξης περιφέ ρεια. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη.

ραπάνω σύνολα ανήκει; Προσοχή! Ένας αριθ μός είπαμε πως μπορεί να ανήκει σε περισσό τερα από ένα σύνολα. Μπορείτε να σκεφτείτε έναν αριθμό που να ανήκει σε ένα μόνο σύνο λο; Ας θεωρήσουμε μερικούς αριθμούς και ας δούμε σε ποια σύνολα ανήκουν. r;-;-; 6 1 ,7 , - -5 , -3 , 1 ,4444 . . . , ν144 ,2

Οι ρητοί αριθμοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα ευρύτερο σύνολο, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι πραγματικοί α ριθμοί συμβολίζονται με το γράμμα IR . Γενι κότερα θεωρούμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε (ως τώ ρα... ). Ας δούμε ένα διάγραμμα που περιλαμβά νει όλες τις κατηγορίες αριθμών.

-------

../

1 ,7 -5

6 3

../

../ ../ ../

../

-3 1 ,444 . . . ν'ί44

../

Εφ αρμογές Bz5·

Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς είναι 1 άρρητοι : 3,01 1 1 1 . . . , 3, 1 3 14 . . . , - 44 , 144 ' J7 ' J169 ' -J169 . _ 13

Β26• Να σημειώσετε στον παρακάτω πίνακα σε ποιες κλάσεις ανήκουν οι αριθμοί

999 JlO

Σχήμα 2

Το διάγραμμα αυτό δε μας δείχνει μόνο τους αριθμούς αλλά πληροφορούμαστε και ποιες κατηγορίες αριθμών είναι υποκατηγορί ες άλλων κατηγοριών.

15 10

-1,6 2,22 . . . 1 ,414 .. 60 12

Παρατηρούμε ότι: N � Z � Q � !R

Σε αυτά τα σύνολα λοιπόν ανήκουν όλοι οι Β27• Να βρείτε τους άρρητους με διαδοχικές αριθμοί που γνωρίζουμε. Αν σας δοθεί ένας προσεγγίσεις. αριθμός μπορείτε να πείτε σε ποιο από τα παJ14 ' JΌ:5 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/30

Τάξη

Στο ι χεία Ι στορίας Μαθη ματ ι κών σε Γραπτά από τα «Μαθη ματικά» Γ. Ω ραιόπουλος

Στο ιχ ε iα . t) κλ ε i όο υ

8. Στη σελ. 98 δίνεται ένα πρόβλημα που έχει όλες τις σελίδες του βιβλίου σας είναι γραφεί πάνω σε πλάκα. · παρών ο Ευκλείδης με άγνωστο τόπο και χρόνο γέννησής του. Έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου την εποχή του Πτολεμαίου Α'(306-283 π.Χ.). Ο Πτολεμαίος, που ίδρυσε την πόλη αυτή, ήταν στρατηγός του Μ. Αλεξάνδρου και η Αλεξάνδρεια ήταν τότε το νέο κέντρο του μορφωμένου ελληνισμού. Ο Ευκλείδης δίδαξε Μαθηματικά στο «Μουσείω) της Αλεξάwδρειας σαν διευθυντής, μέχρι το 285 π.Χ., που πέθανε. 7.

Σ'

Το σπουδαιότερο έργο του είναι «Τα Στοιχείω), 1 3 βιβλία τα οποία περιέχουν όλα τα Μαθηματικά που δίδαξαν οι προηγούμενοι αρχαίοι Έλληνες. Έδωσε όμως και νέους ορισμούς και 5 αιτήματα. Το 5° από αυτά λέγεται αξίωμα παραλληλίας: «Από ένα σημείο άγεται μια και μόνο μια ευθεία παράλληλη σε δοσμένη ευθεία» . Αυτό όμως δεν

το δέχονται οι νεότεροι μαθηματικοί που έi}'ραψαν μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες που ισχύουν στο Σύμπαν με μεγάλες αποστάσεις, ταχύτητες και χρόνους. Η κυκλοφορία όμως των «Στοιχείων)) ήταν πολύ μεγάλη και από την εφεύρεση της τ,υπογραφίας και μετά σημείωσαν πάνω από 1000 εκδόσεις. Μεγάλο μέρος της ύλης τους και σήμερα είναι η σχολική Γεωμετρία.

Από το 3500 π.Χ. έως 2550 π.Χ, στη Μεσοποταμία, έζησαν λαοί όπως οι Βαβυλώνιοι, οι Σουμέριοι, οι Ασσύριοι, οι Χετταίοι κ. α. Είχαν αναπτύξει πολιτισμό και Μαθηματικά ενώ η γραφή τους ήταν σφηνοειδής όπως διακρίνεται στις πήλινες πλάκες που βρέθηκαν κατά χιλιάδες τον 1 9° αιώνα. Το βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα ήταν απλό για τους μικρούς αριθμούς και εξηνταδικό για μεγάλους. \1

(1 ) ,

\1 \1 \1

Ι Ι I (3)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/31

<ί ( Ι Ο ) ,

\1 \1

<ί <ί Ι Ι ( 22 ) ,

Στοιχεία Ιστορίας Μαθη ματικ(όν σε Γραπτά από τα «Μαθη ματ�κά>>

-��....,..�

το επίπεδο. Έλυσαν και γραφικά τις εξισώσεις και τα συστήματα. Έκαναν προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλα� ' ' τη διαιρεση α : β = α β1 και ειχαν σιασμους,

\ 1 : '• .\ \i ' : ;

πίνακα για τους aντίστροφους των ακεραίων, όπως είχαν για τα τετράγωνα, τους κύβους, τις τετραγωνικές και τις κυβικές ρίζες. Έλυναν προβλήματα Αριθμητικής, Άλγεβρας, Γεωμε τρίας με εξισώσεις και τεχνάσματα. 9. Τη χρυσή τομή (σελ. 1 09) μελέτησε ο Εύδοξος (408-355 π.Χ.) που γεννήθηκε στη Ο πρώτος, στο βιβλίο του «Λόγος περi Κνίδο της Μ. Ασίας. Μικρός πήγε στην Κάτω μεθόδου» διατυπώνει τους λογικο'(>ς κανόνες · Ιταλία, στη σχολή του Αρχύτα, όπου που πρέπει να καθοδηγούν την έρευνα για την παρακολούθησε Μαθηματικά, Αστρονομία εύρεση της αλήθειας. Ήταν δραστήριος και Μηχανική. Κατόπιν φοίτησε στην μαθηματικός και φιλόσοφος, προσφέροντας Ακαδημία Πλάτωνος, στην οποία πηγαι έργο. Συνεργάστηκε με ξένους νοέρχονταν πεζός από τον Πειραιά που έμενε. μεγάλο επιστήμονες στην Ολλανδία, Γερμανία, Ιταλία και κατέληξε στη Σουηδία που φιλοξενήθηκε από τη βασίλισσα Χριστίνα ως το τέλος της ζωής του. ·

23 ετών πήγε στην Αίγυπτο σε ιερατείο με ιερείς δασκάλους Μαθηματικών και Αστρο νομίας. Όταν επέστρεψε στην Ελλάδα, άνοιξε στην Κύζικο, στα παράλια της Προποντίδας, σχολή με πολλούς μαθητές. Μετά ήρθε στην Αθήνα και ίδρυσε νέα σχολή. Ο Πλάτωνας ό μως τον έπεισε και ανέλαβε τη δU>ύθυνση του θετικού τμήματος της Ακαδημίας του. Εκεί, επιδόθηκε σε επιστημονικές έρευνες με Μαθηματικά θεωρήματα και προβλήματα, όπως αυτό της χρυσής τομής. Ο Εύδοξος, αν και μεγάλος μαθηματικός, έγραψε βιβλία που δε σώθηκαν. 1 Ο. Το 3° και 4° κεφάλαιο του βιβλίου σας περιέχει πολλές γραφικές παραστάσεις που έκαναν οι Γάλλοι Ρενέ Ντεκάρτ (Καρτέσιος1 596- 1 650 μ.Χ.) και Πιερ Φερμά (1601-1665). Αυτοί επινόησαν την αναλυτική Γεωμετρία με γραφικές παραστάσεις από . καρτεσιανές συντεταγμένες, τετμημένη και τεταγμένη, για

Ο Φερμά μελέτησε τα έργα του Απολλώνιου, του Δtόφαντου και άλλων αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, Είναι πρωτότυπες οι θεωρίες που έγραψε για την Αριθμητική (ιδιαίτερα αυτές που αφορο'ύν τους πρώτους αριθμούς), για την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία. Έλυσε προβλήματα συναρτή.:. σεων με μέγιστα και ελάχιστα, τα οποία και εφάρμοσε στη Διοπτρική. Οι Φερμά και Πασκάλ ήταν οι θεμελιωτές της μαθηματικής θεωρίας τ�ν πιθανοτήτων. Ο μαθηματικός αυτός ερευνητής είχε μια αποστροφή στον τύπο και προτιμούσε να αλληλογραφεί για τις μελέτες του με τους

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/32

Στοιχεία Ιστορίας Μαθηματικών σε Γραπτά από τα «Μαθηματικά»

Ντεκάρτ, Λαγκρανζ κ.α. Πολλά γραπτά του �ερμά, δημοσίευσε αργότερα ο γιος του. 11. Τις καμπύλες 2°υ βαθμού (Κεφάλαιο 4) :χνακάλυψε ο Απολλώνιος (περί το 260-200 rτ.Χ.). Ο Περγαίος μαθηματικός ήταν μεγάλος �εωμέτρης. Δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και :Jτην Πέργαμο. Έγραψε 8 βιβλία υπό τον τίτλο r<Κώνου Τομή». Σώθηκαν τα 3 πρώτα σε :χραβική μετάφραση. Πρόκειται για τον κύκλο tην έλλειψη, την παραβολή, την υπερβολή, rτου προκύπτουν από έναν κώνο κατά την τομή rου από ένα επίπεδο. Οι τομές αυτές λέγονται κωνικές. Με τη :Jύγχρονη μαθηματική ορολογία εκφράζονται :χπό τις εξισώσεις: χ2 2 αχ2 + βχ 2 + γ = , +y χ2 + 2 = α2 , y y α2 β2 = 1 ,

-------

της Σικελίας, όπου και γεννήθηκε ο Φραγκίσκος (1490-1 575) που έγινε μαθημα τικός, αστρονόμος αλλά και ιστορικός. Ο Μαυρόλυκος μελέτησε τις κωνικές καμπύλες πάνω σε κώνο. Σαν αστρονόμος ασχολήθηκε με την οπτική. Η φήμη του οφείλεται στη γόνιμη μελέτη των έργων που έγραψαν οι μαθηματικοί της αρχαίας Ελλάδας.

Στη σελίδα 179 έχετε το θέμα: Γκρέκος Μέντελ (1 822- 1 884) που ήταν φυσιοδίφης από τη Βοημία. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο της :Jυντεταγμένων. Βιέννης Μαθηματικά και Φυσικές Επιστήμες, οποίες δίδαξε στο Βασιλικό Κολλέγιο του Ο Απολλώνιος έγραψε και άλλα θεωρη τις Μπρνο, πόλη της Τσεχίας. ηκά βιβλία αλλά και κατασκευές, κυρίως του ruκλου. Τα Κωνικά του Απολλώνιου Ο Μέντελ μελέτησε την κληρονομικότητα ιιεταφράστηκαν από τα αραβικά στα Λατινικά ορισμένων χαρακτηριστικών στα φυτά και ro 1 6° αιώνα μ.Χ. επινόησε σχετικούς νόμους, πολύ χρήσιμους, που πήραν το όνομα Μεντελικοί. y=� χ

, τις οποίες όρισε σε άξονες με αρχή

-�� ..,(..,. --. ι..."ς. tψ.t..� ιοy ι....,.....;.., ,�

f111 �..1:! ... '

��tω'��.ori r ιΨ'-Ύ-.ι; .�--ι.�.ι-=iιlι- -.J--4-1.�..;;:.;...;, .

...ι;;.... ,

Τις κωνικές τομές τις μελέτησαν �εωμετρικά, μετά τους αρχαίους Έλληνες Ευκλείδη, Αρχιμήδη, Πάππο κ.α., πολλοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί, όπως ο Ντεκάρτ, ο �ερμά, ο Μαυρόλυκος κ.α. Ο Φραγκίσκος Μαυρόλυκος ήταν γιος του Ελληνα γιατρού Μαυρόλυκου που έφυγε με tην οικογένειά του από την Κωνσταντινούπο lη το 1453, όταν καταλήφθηκε από τους Γούρκους και εγκαταστάθηκε στη Μεσσήνη ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/33

Ε ξίσωσ η 2°0 Β α θ μ ού ======

Πουλάκη �αρία

Πολύ συχνά οι μαθητές μας ρωτούν: Σε τι χρειάζεται η παραγοντοποίηση; Η παραγοντοποίηση λοιπόν είναι πολύ χρήσιμη όταν θέλουμε να λύσουμε tξισώσεις 2°υ βαθμού ή και μεγαλύτερου αρκεί να γνωρίζουμε ότι: Αν α·β=Ο τότε α=Ο ή β=Ο. Άσκηση l η

Να λύσετε την εξίσωση: Λύ ση :

(3χ-1)2 - ( 2χ-3)2 =Ο

Έχουμε : (3χ-1)2 - ( 2χ-3)2 =Ο ή (3χ - 1 + 2χ - 3) · (3χ - 1 - 2χ + 3) = Ο ή (5χ - 4) · (χ + 2) = 0 5χ - 4 = 0 4 ή ή . Άρα χ = - ή χ = -2 . 5 χ+2=0

{

Άσκηση 2η

Να λύσετε την εξίσωση :

(

χ2 - 4

}(

χ2 - 5 χ + 6

)=Ο

Λύ ση :

χ+2 =0 χ= - 2 ή ή χ - 2 = 0 <::> )\ = 2 . ή ή χ=3 χ-3 =0 Άσκηση 3η

Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 16cm και το εμβαδό του είναι 15cm2• Να βρείτε τις διαστάσεις του. Δ

Γ Ψ

Λύ ση :

Αν η μία διάσταση είναι χ τότε η άλλη θα είναι ψ=8-χ. (χ>Ο και χ<8) Αφού το εμβαδόν είναι 1 5cm 2 θα έχουμε ότι: χ(8 - χ)=1 5 ή τελικά έχουμε να λύσουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση : χ2 - 8χ +1 5=0 χ2 - 5χ - 3χ + 1 5=0 ή χ(χ - 5) - 3(χ - 5)=0 ή (χ - 3)(χ - 5)=0 οπότε χ=3 ή χ=5 Άρα, αφού ψ=8-χ οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 3cm και 5cm.

Στο σχολείο μαθαίνουμε κάποιους τύπους με τους οποίους επιλύουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση. Οι τύποι αυτοί προκύπτουν με την παραγοντοποίηση του τριωνύμου αχ2 +βχ+γ της γενικής μορφής και είναι: -β ± β 2 - 4αγ Διακρίνουσα: Δ=β2 - 4αγ και λύσεις της εξίσωσης: χ 1 2 = 2α Προσπαθή c�τε να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις με τους παραπάνω τύπους.

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/34

-----λ σκη ση 4 η

Να λύσετε την εξίσωση : χ 2 -

Εξίσωση 2ου Βαθμού

( 3 - 2.J2) χ + 4 - 3.J2

-------

Λύ σ η :

'Εχουμε :

Χι

2 2 Δ = ( 3 - 2.J2) - 4 ( 4 - 3.J2) = 3 2 - 2 · 3 · 2 .J2 + ( 2.J2) - 1 6 + 1 2.J2 = 1 . Άρα

3 - 2.J2 ± Jϊ 2

g Π ΡΟ220 Χ Η :

πρώτο μέλος.

3 - 2.J2 ± 1 2

3 - 2.J2 - 1 =

3 - 2.J2 + 1 2

= =

2 - 2.J2 2

4 - 2.J2 2

= 1 - .J2 = 2 - .J2

Για να λύσουμε εξισώσεις 2ου βαθμού μεταφέρουμε όλους τους όρους στο

Π ρ οτεινό μενες α σκtΊ σεις Γ9·

Να λυθούν οι εξισώσεις:

i. χ2+ 1 6χ=Ο

ίί.

iv. 0,3χ2 - 0, 1 χ = 0,2 vi.

iii.6x2+7x = - 1

χ2 - 49=0

v. χ2 - 2 J3 χ +3=0

(Απάντηση: (Απάντηση :

Χι

Χ2

-�)

διπλή ρίζα x= .J3 )

(Απάντηση : χ=Ο ή x= ± 2 .J3 ή χ=6 ή χ= � ) 2 (Απάντηση : Χ ι = -3 , Χ = 1 ) 2

(2χ2 - 1 5χ + 1 8)·(χ3 - 1 2χ ) =Ο

vii.

(χ+4)2 =( χ+2)2 + ( χ+3)2

(Απάντηση : χ1 = � ,χ = -�) 3 3 2 2 2 + 4χ - 1 3χ 4 5

viii. 2·(3χ+2)2 - (3χ+2)'(3χ+6)=0 ίχ. (χ2 - 20)·(5χ - 3)=0 Γ 1 ο·

χ.

--- =

Να βρείτε έναν αριθμό τέτοιον ώστε το τετράγωνό του να είναι μεγαλύτερο από το πενταπλάσιό του κατά 24.

Γιι.

Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία έχει διπλή λύση η εξίσωση: χ2 - 6χ +λ =Ο , λεR. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Υπόδειξη : θα σκεφτείτε με τι θα ισούται η διακρίνουσα για να έχει μία διπλή ρίζα η εξίσωση. Η απάντηση είναι ότι πρέπει να είναι λ=9)

Γ ι2-

Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία έχει διπλή λύση η εξίσωση: 3χ2 - 6χ +κ =Ο , κεR.

Γ 1 3·

Ποιών αριθμών το τετράγωνό τους ισούται με το διπλάσιο γινόμενό τους;

Γ ι 4·

Αν αυξήσουμε τις δύο απέναντι πλευρές ενός τετραγώνου κατά 3cm ,προκύπτει ορθογώνιο με εμβαδό 1 68 cm2 .Nα βρείτε την πλευρά του τετραγώνου.

Γ ι ::;.

Αν διαιρέσουμε το 1 26 με ένα αριθμό βρίσκουμε υπόλοιπο 15.Να βρείτε τον διαιρέτη και το πηλίκο, αν ο διαιρέτης είναι το δωδεκαπλάσιο του πηλίκου αυξημένο κατά 1 . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/35

�

, ιαyωνιαμοι Μαθηματικο1� Δ _

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Ο ΘΑΛ Η Σ , 1 9

Νοε μ βρίου 201 1

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Π ρόβλημα

Β ' ΓΥΜΝΆΣΙΟΥ

, Να υπολογισετε την τιμη της παραστασης: •

(

2 ι ι 1 ι1 ι -+ ι-- : - - + 5- - - + - · 2 - 1 7 14 2 7 6 2

3 )

Λύση

Α=

( ι: + �: - ��} 1� - � + 361 _ (% + ι; - ιJ = �: . 1� - � + 36ι _ (� + 268 - �J = � - � + ?61 _ 36ι = Ο.

Πρόβλημα 2 , , , , Αν ο ν ειναι πρωτος φυσικος αριθ μος και το

να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης:

κλά

10 , , σμα - παριστανει φυσικο αριθ μο, ,

- --1 .

Β-

ν-5

ν- -

2 · --

9 .

Επειδή το κλάσμα .!.Q παριστάνει φυσικό αριθμό και ο αριθμός ν είναι πρώτος φυσικός ν αριθμός, έπεται ότι οι δυνατές τιμές του ν είναι v = 2 ή v = 5 . 2 2 - 2 2 2 - 1 1 0 1 10 2 ' Για ν = 2 'εχουμε : Β = -- : -- = - : -- = - : - = - · 9 = 10 . 9 9 9 9 9 2 - _!._ 9 5 5 5 5 5 - 2 2 2 1 ο 5 1 ο 1 8 1 80 3 2 ' . Για ν = 5 , εχουμε: Β = -- : -- = - : - = - : - = - · - = - = - . 24 9 24 1 8 24 5 120 2 5 - _!._ 9 5 5 Πρόβλημα 3 Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι ανάλογοι με τους αριθμούς 3 , 9 , 11 αντίστοιχα. Αν πάρουμε Λύση :

•

τον αριθμό γ ως μειωτέο και τον αριθμό 56. Να βρεθούν οι αριθμοί α , β και γ. Λύση :

�

ως αφαιρετέο, τότε προκύπτει διαφορά ίση με

Από την πρώτη υπόθεση του προβλήματος έχουμε ότι: α = � = l = ω , οπότε θα είναι

3 9 11 α = 3ω, β = 9ω και γ = l lω. Έτσι από τη δεύτερη υπόθεση του προβλήματος προκύπτει η εξίσωση γ - α = 56 <:::::> l lω- 3ω = 56 <:::::> 8ω = 56 <:::::> ω = 7 Άρα είναι: α = 3 · 7 = 2 1, β = 9 · 7 = 63 και γ = 1 1 · 7 = 77.

Π ρόβλημα 4 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Προεκτείνουμε τη διχοτόμο ΑΔ κατά το ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ έτσι ώστε ΑΔ ΔΗ. Από το σημείο Η φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/36

--�------

Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί

-------------------------------------------------

και την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ. 1 . Να αποδείξετε ότι : ΑΔΕ = 90° . 2. Να βρείτε τη γωνία ΕΔz , αν γνωρίζετε ότι :

Β - Γ = 20° .

Λύση 1 . Επειδή η "

Α , θα ισχυει: ,

ΑΔ

είναι διχοτόμος της γωνίας

Α Αι = Α2 = - . Λ

Από την παραλληλία των ΑΒ και ΖΗ , συμπεραίνουμε ότι Β Α1 Η (εντός εναλλάξ). Άρα θα ισχύει Α 2 Η , οπότε το τρίγωνο ΑΕΗ είναι ισοσκελές με ΕΑ ΕΗ . Το Δ είναι το μέσο της βάσης ΑΗ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΕΗ , οπότε η διάμεσος ΕΔ θα είναι και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου Η. ΑΕΗ, δηλαδή θα είναι ΕΔ .l ΑΗ και ΜΕ = 90° 2. Επειδή ΗΔΕ = ΜΕ = 90° , θα ισχύει: Ε ι 90 - Δ2 = 90 - Δ3 Σχήμα 1 Η Δ 3 είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΔΓ , δηλαδή παραπληρωματική της γωνίας ΜΓ , οπότε =

•

θα είναι Δ3 = Α + t Από τις δύο τελευταίες ισότητες γωνιών έχουμε: .

Γ ' ΓΥΜΝΆΣΙΟΥ

Π ρόβλημα 2 Να βρεθουν που επαλ:ηθευουν και τις δύο ανισωσεις: , , οι ακεραωι ,

�-3

χ χ-5 h-9 2 -- -- �2 ιο �χ. 8 2 4 4

Λύση: Λύνουμε καθεμία από τις ανισώσεις. Έχουμε: χ χ-5 χ � 2 � 4 . - - 4 . χ - 5 � 4 . 2 � 2χ - ( χ - 5 ) � 8 � 2χ - χ + 5 � 8 � χ � 3 . -2

χ-6 � - 3 2χ - 9 � - � 2χ - 9 2χ - 9 χ - 6 2χ - 9 2 2 - -� χ � 2 2 - -- � χ � -� χ � -- --- � χ � 4 4 8 4 8 8 8 8 χ 6 2χ 9 � 8. -8 . -- � 8 . χ � χ - 6 - ( 2χ - 9 ) � 8χ � χ - 6 - 2χ + 9 � 8χ � 3 � 9χ � -1 � χ � χ � -] . 8 8 3 3 1 Επομένως οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν όταν - � χ � 3 , οπότε οι ακέραιοι που 3 συναληθεύουν τις δύο ανισώσεις είναι οι 1 ,2 και 3. --

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 82 τ.2/37

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------------------------------------------------

Π ρόβλη μ α 3 Στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων

Oxy

(ε) με εξίσωση y ( 3λ - 1 ) χ + 2μ , όπου λ, μ πραγματικοί αριθμοί, είναι παράλληλη με την ευθεία (δ) με εξίσωση y 2λχ και περνάει από το σημείο κ( 2,8 ) . (α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ . (β) Να επαληθεύσετε ότι τα σημεία Λ ( -4,-4 ) και Μ ( -1, 2) ανήκουν στην ευθεία (ε) και =

δίνεται ότι η ευθεία

να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΚΑ. Λ \Jση : ( α) Επειδή είναι (ε) 1 1 (δ) , οι δύο ευθείες θα έχουν ίσους συντελεστές

διεύθυνσης, οπότε προκύπτει η εξίσωση 3λ - 1 = 2λ <=> λ = 1 . Έτσι η εξίσωση της ευθείας (ε) γίνεται y = 2χ + 2μ . Επιπλέον, από την υπόθεση, το σημείο Κ (2, 8) ανήκει στην ευθεία ( ε ) , οπότε θα ισχύει: 8 2 · 2 + 2μ <=> 2μ = 4 <=> μ = 2 . Άρα έχουμε: λ = 1, μ = 2 και (ε) : y = 2χ + 4 . (β) Επειδή ισχύουν 2 · (-4) + 4 = -4 και 2 · (-1) + 4 = 2 , τα σημεία Λ ( -4, -4) και Μ ( - 1,2) επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας (ε) , οπότε αυτά είναι σημεία της ευθείας (ε) . Επιπλέον, παρατηρούμε οι αποστάσεις του σημείου Μ από τα σημεία Κ και Λ είναι ίσες. Πράγματι, έχουμε 2 2 ΜΚ = (2 + 1) 2 + (8 - 2) 2 = .,/9 + 36 = J45, ΜΛ -4 + 1) + ( -4 - 2) = .J9 + 36 = J45 Επομένως το σημείο Μ είναι το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ. =

Π ρ όβλη μα

Στο διπλανό σχήμα τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι τετράγωνα. Το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει πλευρές που εφάπτονται του κύκλου

c( Ο, ρ)

στα σημεία Α, Β, Γ και Δ.

(α) Να βρείτε το άθροισμα βρίσκονται εσωτερικά τετραγώνου ΑΒΓΔ.

Σ 1 των εμβαδών των τεσσάρων χωρίων που του κύκλου C( Ο, ρ) και εξωτερικά του

(β) Να βρείτε το άθροισμα

Σ2 των εμβαδών των τεσσάρων χωρίων που

βρίσκονται εσωτερικά του τετραγώνου ΕΖΗΘ και εξωτερικά του κύκλου

5_ < i . (Θεωρείστε ότι π = 3,1415 ). Σ2 3 Λ ί1ση : 1 . Επειδή είναι ΟΑ ΟΒ, ΟΑ l_ ΕΖ και ΟΒ l_ ΖΗ , έπεται ότι το τετράπλευρο ΟΑΖΒ είναι τετράγωνο, οπότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΒ λαμβάνουμε:

C( Ο,ρ) Σχήμα 2 .

(γ) Να αποδείξετε ότι

ΑΒ 2 = ρ2 + ρ 2 <=> ΑΒ 2 = 2ρ 2 <=> ΑΒ = ρ.[i . 2 Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι: ( ρ.J2 ) = 2ρ2 . Το εμβαδόν

του κύκλου είναι

πρ2 , οπότε το άθροισμα Σ1 , θα είναι:

Σ, = πρ 2 - 2p 2 = (π - 2)ρ 2

Σχήμα 3

Επειδή είναι ΟΑ l_ ΕΖ και ΟΓ l_ Η Θ , έπεται ότι η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου C( Ο, ρ) . Άρα το τετράπλευρο ΑΓΗΖ είναι ορθογώνιο, οπότε ΖΗ 2ρ . Επομένως το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ είναι ίσο με 4ρ2 • Άρα έχουμε: Σ2 = 4ρ2 - πρ 2 = ( 4 - π ) ρ 2 .

Σ, 4 Σ2 3

Συμφωνα με τα προηγουμενα εχουμε: - <- <=> <=> 7π < 22 <=> π <

(π - 2) ρ2 4 < - <=>3( π -2) < 4(4- π) <::> 3π - 6 < 16 - 4π (4 - π) ρ 3 2

22 = 3,1428 .... , που ισχύει. 7 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/38

---....,..---- Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί -------------------------------------------------

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΔΙΑΓΩΝt:ΣΜΟΥΣ

Από το παρόν τεύχος η Επιτροπή Διαγωνισμών της ΕΜΕ θα προτείνει στους μαθητές, κυρίως της Γ ' Γυμνασίου, ασκήσεις προς λύση μέχρι επιπέδου μαθηματικών διαγωνισμών Νέων. · Π�στεύουμε ότι οι ασκήσεις αυτές θα αποτελέσουν κίνητρο για τον μαθητή που αγαπάει 1ϊα Μαθηματικά και θέλει να συμμετάσχει στους μαθηματικούς διαγωνισμούς, να ασχοληθεί με τη λvση τους αναζητώντας παράλληλα στη βιβλιογραφία ή στο διαδίκτυο υλικό για την καλύτερη θεωρητική του ενημέρωση. Στο επόμενο τεύχος θα δοθούν οι λύσεις των προτεινόμενων ασκήσεων καθώς και άλλες ασκήσεις προς λύση. Την Επιτροπή Διαγωνισμών της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ) πλαισιώνουν μαθηματικοί από όλη την Ελλάδα. Πρόεδρος της Επιτροπής είναι ο Αναπληρωτής Καθηγητής του ΕΜΠ Ανάργυρος Φελλούρης και αντιπρόεδρος ο μαθηματικός ΔΕ Γιάννης Τυρλής. Μέλη της Επιτροπής είναι οι συνάδελφοι μαθηματικοί Αγγελική Βλάχου, Ευάγγελος Ζώτος, Ταμάρα Μτσεντλίτζε, Αλέξανδρος Παπαϊωάννου, Παναγιώτης Πουλόπουλος και ο Ευάγγελος Ψύχας. Όλοι οι παραπάνω αποτελούν τον κεντρικό πυρήνα της Επιτροπής και ασχολούνται εκτός των άλλων και με την επιλογή των προβλημάτων των διαγωνισμών της ΕΜΕ. Επίσης συμμετέχουν τα μέλη των παραρτημάτων της ΕΜΕ: Γεώργιος Αποστολόπουλος, Ανδρέας Βαρβεράκης, Δημήτριος Κοντοκώστας, Θεόδωρος Μπόλης, Παπαδόπουλος Κωνσταντίνος, Ανδρέας Πούλος και ο Αλέξανδρος Συγκελάκης. Επίσης, η Επιτροπή έχει συνεργάτες Ολυμπιονίκες παλαιότερων ετών, όπως ο Πέτρος Μπρέγιαννης και ο Σιλουανός Μπραζιτίκος. Την τεχνική υποστήριξη της Επιτροπής έχουν αναλάβει οι συνεργάτες της ΕΜΕ Μαρία Γεωργούδη, Αθανάσιος Μαλαφέκας και ο Στυλιανός Μαραγκάκης. ·

ΑΣΚΗ ΣΕΙΣ Π ΡΟΣ ΛΥΣΗ ,

, ε την τιμη της παραστασης: Δ .Α 1 . Να β ρειτ

4 4 = 1 + 201 1 + 2012 1 + 201 1 2 + 2 012 2 . ' ' '

' για ο' λους τους θετικους ακεραιους ισχυει οτι: Δ . Α2 . Να αποδει'ξετε οτι

1 1 4 -+-� χ Υ x+y

Έστω ABPC παραλληλόγραμμο τέτοιο ώστε το τρίγωνο ABC να είναι οξυγώνιο. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC τέμνει την ευθεία CP ξανά στο σημείο Q . Να αποδείξετε ότι: PQ = AC � BAC = 60° . Δ.Γ2 . Έστω τρίγωνο ABC με ΒΚ διχοτόμο της γωνίας Β έτσι ώστε: ΒΚ KC 2 ΑΚ . Να βρείτε τις γωνίεςτου τριγώνου ABC . Δ.Δ 1 . Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 8 πύργους πάνω σε μία σκακιέρα 8 χ 8 αν δεν επιτρέπεται να υπάρχουν δύο πύργοι στην ίδια γραμμή ή στήλη και επιπλέον δεν επιτρέπεται η τοποθέτηση πύργου στα τέσσερα γωνιακά τετράγωνα. Δ.Δ2 . Έχουμε γράψει στον πίνακα τους αριθμούς 1 ,2,3, . . . . , 2012. Στη συνέχεια εκτελούμε επαναληπτικά την παρακάτω διαδικασία: Επιλέγουμε τυχαία δύο από τους αριθμούς του πίνακα, έστω α, β , και τους διαγράφουμε από τον πίνακα, γράφοντας αντί αυτών τον αριθμό α + β . Να αποδείξετε ότι: με τη διαδοχική εκτέλεση της παραπάνω διαδικασίας, όταν απομείνει μόνο ένας αριθμός, αυτός θα είναι άρτιος. αν με την ίδια διαδικασία, μετά τη διαγραφή των αριθμών α, β γράφουμε τον αριθμό lβ - α Ι , όταν απομείνει μόνο ένας αριθμός, επίσης αυτός θα είναι άρτιος. Δ. Ν 1. Αν ο αριθμός q είναι θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι: q + _!_ ε Ζ � q 1 . Δ.Γ l .

•

Βρείτε όλες τις τριάδες (χ, y, z) θετικών ακέραιων που είναι λύσεις της εξίσωσης: 99χ + 1 00y + lOlz 201 2 .

Δ.Ν 2 .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/39

Χα ί ρ ο μ α ι να λ ύ ν ω

======

Βαρόπουλος Δήμος

Γεωμετρία (3) Άσκηση 12η Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ. (βαρύκεντρο του τριγώνου). Α

τετραγώνο

D α

Ορθογωνίου

Να αποδείξετε ότι:

α)

Ε = α·β

β)

( ΘΑΒ ) = ( ΘΒΓ) = ( ΘΑΓ ) = � ( ΑΒΓ) ( ΘΑΖ) = ( ΘΖΒ ) = ( ΘΒΔ) = ( ΘΔΓ) = = ( ΘΕΓ ) = ( ΘΑΕ ) = .!.( ΑΒΓ ) 6

Λύση

β Ε=β·υ Τριγώνου

α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΔ διάμεσος άρα (ΑΒΔ)=(ΑΔΓ) ( 1) Στο τρίγωνο ΘΒΔ η ΘΔ διάμεσος άρα (ΘΒΔ)=(ΘΔΓ) (2) Αφαιρούμε κατά μέλγ τις (1) και (2) και έχουμε: (ΑΒΔ)-(ΘΒΔ)= (ΑΔΓ)-(ΘΔΓ) ή (ΘΑΒ)=(ΘΑΓ) Ό μοια (ΘΑΒ)=(ΘΒΓ) Άρα: (ΘΑΒ) =(ΘΒΓ)=(ΘΑΓ)= .!_ ( ΑΒΓ) . 3 β) Στο τρίγωνο ΘΑΒ η ΘΖ διάμεσος άρα (ΘΑΖ)=(ΘΒΖ) _!_ ( ΘΑΒ ) _!_ .!_ ( ΑΒΓ) = _!_ ( ΑΒΓ) 2 3 6 2 Όμοια ( ΘΒΔ) = ( ΘΔΓ) = ( ΘΕΓ) = ( ΘΑΕ) = .!_ ( ΑΒΓ) 6 =

β Ε=

β·υ 2

Ορθογων ίου Τριγώνου

Άσκηση 13η Ο αγρός ΑΒΓΔΕΖ του σχήματος αποτελείται από το τραπέζιο ΑΒΕΖ και το ορθογώνιο ΒΓΔΕ με, ΑΒ=ΒΓ=60m και AZ=40m. Το εμβαδό του αγρού είναι 10200m2• Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΓΔ (Θαλής Β ' Γυμνασίου 2001) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/40

-------

Χαίρομαι να λύνω -------

Αr-τ-------..._

β β 2· γ Ε=ο

_ _ _ _

τρ απε ζίου

Λί> ση

)υ Β+ _

(Β β Ε = _2___, _,__

--Ι Ε

χ Β 1--'---'---_:..:.

Κάθε διάμεσος τριγώνου, το χωρίζει σε δυο ισεμβαδικά (ισοδύναμα) τρίγ ωνα.

Έστω ΓΔ=ΒΕ=χ. Τότε έχουμε: ( ΑΒΓΔFΖ) = 10.200 �( ABFZ) +( ΒΓΔΕ) = 10.200 � ( 40 + χ) 60 � + 60 · χ = 1 0.200 � 2 � ( 40'+ χ) 30 + 60 · χ = 1 0.200 � � 1200 + 30χ + 60χ = 1 0.200 � � 90χ = 9000 � χ =;: 1 00m Άσκηση 1 4η Στο σχήμα ο κύκλος κέντρου Ο έχει ακτίνα

R, Η ΓΕ διάμετρος, η γωνία ΔΟΒ = y είναι τριΑ

πλάσια της γωνίας ΑΟΔ = χ και το εμβαδό του Α

κυκλικού τομέα ΟΑΕΒ είναι ίσο με

Β ( Α ΒΜ ) = ( ΑΜ Γ )

Γ) 2 = (ΑΒ

Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ ίσες βά

.!. πR? . 3

σεις ΒΝ=ΜΓ και το ίδιο ύψος υ . Κάθε διαγώνιος παραλλη λογράμμου, το χωρίζει σε δυο ισεμβαδικά (ισο δύναμα) τρίγωνα.

Ε Να βρείτε τις γωνίες χ και y Ε κτ (ΒΖΓ) των εμβαίί. Να β�ε ? το λόγ .· , ξ-�τ ( ΑΗΓ) i.

�

Δ ( ΑΒ Γ ) = ( ΑΔΓ ) =

( ΑΒ2ΓΔ)

�

δών των κυκλικών 'τμημάτων ΒΖΓ και ΑΗΓ ,. ' · '· .·, -�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/41

·.

Λύση 1.

Αν δυο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ι

ί.

σούται με το λόγο των αντιστοίχων υψών.

ίί.

Α'

δηλαδή

Έχουμε:

+y 2π = πR2 .!. <:> x+ y = πR2 x . 'Ομως y==3 x, 2π 3 3 π 2π 2π ' αρα χ + 3χ = - <:> 4χ = - <=> χ = 3 3 6 π και y = 2 π π ΒΟΓ = π - -:- = άρα Έχουμε: 2 2 R2 1 (ΒΟΓ ) = - R·R = - και το εμβαδό του 2 2 Λ

,-..._

κυκλικού Β'

( ΑΒΓ ) = � ( Α ' Β 'Γ ) υα.

με το λόγο των βάσεων. σε

δυο

, τοτε:

πR2 - R2

(π - 2)

R2 4 π 5π Έχουμε: ΑΟΓ = π - - = - . 6 6 Φέρουμε: ΑΚ .l ΓΕ , τότε στο ορθογ. Τρίγωνο π ΟΑ R ΚΟΑ εχουμε: ΑΟΚ = "6 άρα ΑΚ = 2 = . 2 1 1 . R R2 , 1Cαι Οποτε: (ΑΟΓ) = 0Γ · ΑΚ = R ' = 2 '2 2 4 =

τρίγωνα

Α 'Β 'Γείναι Α=Α '

)

(

ο λόγος των εμβαδών τους ισούται

Αν

)

(

2. Αν δυο τρίγωνα έχουν ίσα ύψη , τότε 3.

τομέα Ο · ΒΓ είναι π πR2 • Οπότε: O·Br = πR2 2 = . 4 2π πR2 R2 ,..-... -(ΒΟΓ) = = Εκ:τ(ΒΖΓ) = Ο · ΒΓ 4 2

ΑΒΓ

κ:αι

Α + Α' = 1 80°

( ΑΒ Γ ) = ΑΒ · ΑΓ ( Α 'Β 'Γ ) Α ' Β ' · Α Γ

---

5π SπR2 συνεπώς: = πR2 6 = 12 2π SπR2 R2 = Εκ:τ(ΑΗΓ) = Ο · Αr -(ΑΟΓ) = 4 12 5πR2 - 3R2 (5π - 3) 2 R = = 12 12 (π - 2) 2 R Εκ:τ(ΒΖΓ) , 3π - 6 4 == Άρα: Εκτ(ΑΗΓ ) (5π - 3) 5π - 3 R2 12

( ο. ΑΓ)

(

Α'

Β'

Άσκηση 15η

)

Ένα τετράγωνο ΕΖΗΘ με πλευρά 10 έχει tην κορυφή του Ε στο κέντρο ενός άλλου τετραγώνου Δ, ίσου με το αρχικό. Πόση επιφάνεια tου επιπέδου καλ'6πτει το σχήμα · · που προκύπτει;

ΑΒΓ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/42

χ-,.,.. w λύνω ------.,.-

(Ευκλείδης 1994) Α

....-----....,

Β · ----

Ι. Μέτρη Δ

Μήκ ος κύκλ

, ·Μη κος το.:::-ο

S= α·R

Εμβαδά

Q 3 60

._.� =

ό;:ο

κυκί.

Εμβαδά κυ �

_-."

__.:σκου :

�

Ε ;: R- 36ο"

Για το

ομέα

' η

Π · R · μ0 1 80°

Ε=π·R 1

Λύση Φέρνουμε ΕΚ .l ΒΓ και ΕΛ .l ΔΓ . Τότε τα ορ-

(

)

θογώνια τρίγωνα Κ Ε Μ = Λ Ε Ν Κ = Λ = 90° για' η

Ε = 2α · R-

υπολογισμό του εμβαδού ε

νός �l1rατος προσπαθούμε να το εκ φρά�υι.ψ.ε ως άθροισμα ή διαφορά εμβα

δών Ύ' ωστών σχη μάτων, που υπολογίζε

τί έχουν:

ΕΚ = ΕΛ =

� , όπου α η πλευρά του τε

τραγώνου και κΕΜ = ΛΕΝ , οξείες με πλευρές κά θετες. Άρα: (ΕΛΝ)=(ΕΚΜ). Προσθέτουμε και στα δυο μέλη το (ΕΝΓΚ) και έχουμε: (ΕΛΝ)+(ΕΝΓΚ)=(ΕΚΜ)+(ΕΝΓΚ)<:Ε :>( ΛΓΚ)=(ΕΝΓΜ). Άρα το τετράγωνο ΕΖΗΘ καλύπτει από το αρχικό τετράγωνο ΑΒΓΔ' επιφάνεια (ΕΛΓΚ)=5 2=25τ.μ. Οπότε το σχήμα καλύπτει επιφάνεια: Ε=2 · 1 02-25 =200-25= 1 75τ.μ.

ται το εμβαδό τους.

Π ρ οτεινό μενες ασκή σεις Χ.. Αν Ο ςίναι το κέντρο ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΒΓ να αποδείξετε ότι: (ΑΒΓΔ)=8(0ΜΔ) Χ5• Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα

των αποστάσεων κάθε εσωτερικού σημείου Μ του τριγώνου .από τις πλευρές του ισούται με το ύψος του τριγώνου.

Χ6• Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ με ΟΑ=ΟΒ=4, γράφουμε

τα ημικύκλια με διαμέτρους τις ΟΑ και ΟΒ που τέμνονται στο Γ. ι. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ βρίσκονται στην ίδια ευθεία 11. . Να βρείτε το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

Χ7• Ένα τετράγωνο πλευράς 1 διαιρείται σε δυο συνεχόμενα τραπέζια

Α.---�zι-----...,Β >::::-0---Ι Ε

και ένα πεντάγωνο που έχουν ίσα εμβαδά όπως φαίνεται στο σχήμα. (Ο το κέντρο του τετραγώνου). Να βρείτε το μήκος χ της μεγαλύτερης ΔL--....,.Hi;--.;.._--__. r χ πλευράς του κάθε τραπεζίου. Βιβλιογραφία 1 . · · Πανελλήνιοι Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Νέων. Εκδόσεις Ε.Μ.Ε. · · 2: Ολυμπιάδες_ μαθηματικών Β ' , Γ Γυμνασίου, Μ. Στεργίου, Εκδόσεις Σαββάλας �-.· ' Μαθηματικες Ολυμπιάδες, �- Λουρίδας, Κ. Σάλαρης, Εκδόσεις Α.Δ. Λιβάνη ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ.2/43 -

Βαδfςονιας προς ιον PISA 20 12 (2ο) ======

Ρίζος Γιώργος

lη ΕΝΟΤΗΤΑ Αλγεβρικός Λογιiτμός και Συναρτήσείς � .�νεχίζ�ντ�ς από το προηγού�ο τεύχος του �υ�ίδη Α', δίνουμ� μερικά ακόμα χαρακτη , PISA. �- ριστικα θεματα . . .. . που αντιστοιχουν στη θεματικη ενοτητα Μεταβολη_ και Σχεσεις 'ΙΟυ 'Στην απάv� ση του θέματος 4 του πpοηγούμενου . τεύχους δίνουμε αναλυτικά .τη μέθοδο '

·:.

βαθμολόγησης :rqυ PISA για να γίνει κατttyοητή η μέβοδος που χρησιμοποιείται. :και το εύρος τCQν αποδεκτών:φς ''σωστών1'' άπαντήσεων: Τα προτεινόμενα θέματα .9 και 10 δεν νομίζουμε ότι βρίσκονται στο πνεύμα τrον θεμάτων του PISA, λόγω των αλγεβρικών επεξεργd��αιν που απαίτούν. Πιστεύουμε όμως, 'ότί ταιριάζουν με το δικό μας Αναλυτικό Πρόγραμμα Σitο'ύδών και όtι επεκτείνουν τη μελέτη των γραφημάτων συναρτήσεων σε βάθος που δεν εισχωρεί ο PISA. Γι' αυτό και τα προτείνουμε. ·

.·

Πίστα αγώνων

Στο διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της ταχύτητας ενός αυτοκινήτου σε έναν πλήρη γύρο σε μία δοκιμαστική πίστα αγώνων. Βάσισμέvο σε μία ιδέα του διαγ'ωνισμού PISA 2000

Ερώτηση

2 50

200

150

1or

Ταχύτητα σε Km/h

I I

r I

1\ \ \ \

(

v 1

Χρόvος σε min

Πόσο χρόνο διήρκησε αυτός ο γύρος; Ερώτηση

Ποια η μέγιστη ταχύτητα που ανέπτυξε το αυτοκίνητο; Πότε σημειώθηκε αυτή;

Ερώτηση 3:

Πόσες κλειστές στροφές είχε η πίστα; Με τι ταχύτητα «παίρνει» κάθε στροφή;

Ερώτηση

Τι ταχύτητα είχε τη στιγμή του τερματισμού; Ερώτηση · S : Σε πόσα δευτερόλεπτα περίπου «πιάνει» τα

1 00 ΚmΛι το αυτοκίνητο;

ΕΥRΑΕΙΔΙΙΣ Α' 82'i 2/44

Βαδίζοντας προς τον PISA 2012

-------

-------�-

6.1 Όπως φαίνεται στον οριζόντιο άξονα διήρκησε 7 min 30 sec. 6.2 225 Κm/h στα 4 min 30 sec.

6.3 Δεχόμαστε ότι μειώνει την ταχύτητα στις κλειστές στροφές, οπότε έχει δύο. Στην πρώτη στρίβει με 55 Κm/h και στην άλλη με 80 Κm/h. 6.4 Περίπου 220 Κm/h.

6.5 Από Ο σε 1 00 Κm/h χρειάζεται 8 sec περίπου, όπως φαίνεται στο διάγραμμα. 7.

Κυλιtίμενοι διάδρομοι

Στa δεξιά, βλέπεις μια φωτογραφία κυ λιόμε\ιων διαδρόμων. Το διάγραμμα Απόσταση-Χρόνος που ακολουθεί, δείχνει τη σύγκριση ' μεταξύ του «περπατήματος πάνω στον κυλιόμε νο διάδρομο» και , του «περπατήματος στο χώρο δίπλα στο:ν κυλιόμενο διάδρο μο». Απόσταση από την αρχή του κυλιό μενου διαδρό μου

Υποθέτοντας ότι στο διπλανό διάγραμμα και τα δυο άτομα

Ένα άτομο που περπατά πάνω στον κυλιόμενο διάδρομο

περπατούν με το ίδιο μήκος βή ματος, να προσθέσεις μία γραμ

Ένα άτομο που περπατά στο χώρο δίπλα στον κυλιόμενο διάδρομο

μή, η οποία θα αναπαριστά την απόσταση ως προς τον χρόνο για ένα άτομο, που στέκεται ακίνητο πάνω στον κυλιόμενο διάδρομο.

Χρόνος

Απάντηση :

. Απόσταση από

Δεκτή απάντηση είναι μια γραμ μή κάτω από τις δύο γραμμές, αλλά θα πρέπει να βρίσκεται πιο κοντά στην γραμμή «ένα άτομο που περπατά στο χώρο δίπλα στον κυλιόμενο διάδρομο» παρά στην οριζόντια γραμμή.

την αρχή του 1CUλιόμενου διαδρόμου Ένα άτομο που περπατά πάνω στον κuλιόμενο διάδρομο

Ένα άτομο που περπατά στο χώρο δίπλα στον iαιλιόμενο διάδρομο

Ένα άτομο στέκεται ακίνητο πάνω στον κυλιόμενο διάδρομο

Χρόνος

• .•

1 ..

�

·, I .

ΕΥ�Ι�Ιn:λ'82 τ. 2/45.

' .

------- Βαδίζοντας προς τον PISA 2012 Προτεινόμενα θέματα για εξάσκηση :

--------

Η γραφική παράσταση περιγράφει τη σχέση μεταξύ της ηλικίας (σε έτη) των δύο παιδιών και του ύψους τους (σε cm), για τα δύο πρώτα έτη. Αν θεωρήσουμε ότι τα παιδιά αυτά θα συνεχίσουν να ψηλώνουν με τον ίδιο σταθερό ρυθμό το καθένα, σε ποια ηλι κία θα έχουν το ίδιο ύψος; α) 4 ετών β) 6 ετών γ) 8 ετών δ) 10 ετών

Φρενάρισμα

Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει την α πόσταση που χρειάζεται για να σταματή σει ένα όχημα από τη στιγμή που ο οδη γός θα πατήσει το φρένο, σε σχέση με την ταχύτητα με την οποία κινείται. Απόσταση σε μέτρα 1 20

1 00

Διαγ. Δημοσίου 2004

80 �

10.

40 20 ο

IΟ

f---.v

v 5Ο

Ταχύτητα οχήματος σε Km/h

ΠαραJJ.α . γή · τJMSS (Β Γυμνασίου) •

1: Είναι ανάλογα ποσά η ταχύτητα · και η απόσταση ή όχι; Γιατί; Ερώτηση 2: Ο οδηγός πάτησε φρένο και το αυτοκίνη το σταμάτησε σε 40 m. Με τι ταχύτητα κινούνταν; Ερώτηση 3: Αν το αυτοκίνητο κινείται με 80 Κm/h θα προλάβει να σταματήσει αν ένα εμπόδιο βρίσκεται στα 80 μέτρα, από τη στιγμή που θα πατήσει φρένο;

Rent α car

Κάποιος ενοικίασε για τις διακοπές του ένα αυτοκίνητο πληρώνοντας ως δικαίωμα ενοικίασης 10 €. Το επιπλέον κόστος ε νοικίασης είναι ανάλογο με τα χιλιόμε τρα (Κm) που θα κάνει.

Ερώτηση

.. .. . .. .. .. - ·

! 55

Απαντήσεις ασκήσεων lου μέρους Μελετώντας το ύψος των εφήβων

4.1 1 70,6 - 2,3 168,3 cm 4.2 Οι παρακάτω απαντήσεις προέρχονται από τις =

.ι:: δD 45 ο

Διαγ. Δημοσίου 2004 ·

-·

Στη γραφική παράσταση φαίνεται το πο σό (σε €) που θα εισπράξει το γραφείο ενοιΚίασης, ως συνάρτηση των χιλιομέ τρων που θα διανυθούν. Με βάση τα στοιχεία αυτά; ποια είναι η χρέωση που γίνεται για κάθε χιλιόμετρο που διανύει το αυτοκίνητο; α) Ο, 10 € β) 0,20 € γ) 0,25 € δ) 0,30 €

o �--��--�--�+--t 2 3 t (fιη)

Δύο παιδιά που γεννήθηκαν την ίδια μέρα είχαν ύψος 45 cm και 60 cm αντί στοιχα. Σε ηλικία 2 ετών το ύψος τους ήταν 55 cm και 65 cm αντίστοιχα. .... ..

-·

1διο ύψος

t(tnι)

επίσημες οδηγίες βαθμολόγησης του προ γράμματος PISA.

. . «Κλειδί)) για τη βαθμολόγηση της συyκεκρι-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '82 τ. 2/46

-------

Βαδίζοντας προς τον PISA 2012

μένης ερώτησης αποτελεί η αναφορά στην «αλλαγή)) της κλίσης της γραφικής παρά στασης των κοριτσιών. Αυτό μπορεί να γίνει με άμεση ή έμμεση αναφορά. :Σωστίς θεωρούνται οι απαντήσεις: Δεν πηγαίνει πια ανοδικά, ισιώνει. Η καμπύλη οριζοντιώνεται. Είναι πιο επίπεδη (ίσια) μετά τα 12. Η γραμμή των κοριτσιών αρχίζει να ισιώνει και η γραμμή των αγοριών γίνεται ψηλότερη. Ισιώνει και η γραμμή των αγοριών συνεχί ζει να ανεβαίνει.

αγοριών, τότε πρέπει να βαθμολογείται ως Σωστή. Εδώ, το ζητούμενο δεν είναι κάποια σύγκριση μεταξύ των γραφικών παραστάσε ων των αγοριών και των κοριτσιών. Γι' αυτό, αγνοείται οποιαδήποτε αναφορά σε τέτοια σύγκριση. Άλλl;ς λανθασμένες απαντήσεις: Π.χ. Οι απαντήσεις που δεν αναφέρονται στα χαρα κτηριστικά του διαγράμματος, παρόλο που η εκφώνηση ρωτά ξεκάθαρα «πώς αυτό το ΔΙ ΆΓΡΑΜΜΑ δείχνει . . . ,)) Τα κορίτσια ωριμάζουν νωρίς. Επειδή τα κορίτσια περνούν εφηβεία νωρί τερα από τα αγόρια και αναπτύσσονται γρη γορότερα. Τα κορίτσια δεν αναπτύσσονται πολύ μετά τα 12. [Γράφει μια πρόταση ότι η ανάπτυξη των κοριτσιών μειώνεται μετά τα 1 2, αλλά δεν κάνει καμία αναφορά στη γραφική πα ράσταση].

•

• •

•

(Στις παραπάνω σωστές απαντήσεις οι σχε τικές επεξηγήσεις δίνονται στην καθομιλούμε νη και όχι στην μαθηματική γλώσσα).

•

Μπορείτε να δείτε ότι η κλίση είναι μικρό τερη. Ο ρυθμός μεταβολής της γραφικής παρά στασης μειώνεται από τα 12 και πάνω. �

•

(Γενικά, όταν χpησιμοποιούνται λέξέις όπως «κλίση», «ρυθμός», ή <(ρυθμός μεταβολής» τότε θεωρούμε ότι χρησιμοποιεί μαθηματική

Σωστό: Δίνει το σωστό διάστημα, από 1 1- 1 3 ετών ή αναφέρει ότι τα κορίτσια είναι ψηλό τερα από τα αγόρια όταν είναι 1 1 και 12 ε τών. (Η απάντηση αυτή είναι σωστή σε κα θομιλουμένη γλώσσα, επειδή υπονοεί το διάστημα από 1 1 έως 13).

4.3

Ύλώσσα).

Από τα 1 Ο έως τα 12 η ανάπτυξη είναι πε ρίπου 1 5 cm, ενώ από τα 1 2 έως τα 20 η α νάπτυξη είναι μόνο 1 7 cm περίπου. Ο μέσος ρυθμός ανάπτυξης από τα 1 Ο έως τα 12 είναι περίπου 7,5 cm ανά έτος, ενώ για τα έτη από 12 έως τα 20 είναι περίπου 2 cm ανά έτος. Συγκρίνει τιμές για το μέγεθος της •

Λάθος •

•

θεωρούνται οι απαντήσεις όπως οι παρακάτω: Το παιδί γράφει ότι το ύψος των κοριτσιών πέφτει χαμηλότερα από το ύψος των αγο ριών, αλλά ΟΥΤΕ αναφέρεται στην «κλίση)) της γραφικής παράστασης των κοριτσιών ού τε συγκρίνει τους ρυθμούς ανάπτυξης των κοριτσιών πριν και μετά τα 12 χρόνια.

•

5. 28.1

•

Η γραμμή των κοριτσιών πέφτει χαμηλότε ρα από τη γραμμή των αγοριών. •

Αν το παιδί αναφέρει ότι η γραφική παρά σταση των κοριτσιών γίνεται λιγότερο από τομη, ΚΑΙ ΑΝ ΕΠΙΠΛΕΟΝ επισημάνει το γεγο νός ότι η γραφική παράσταση των κοριτσιών πέφτει χαμηλότερα από την αντίστοιχη των •

1 998.

Τα κορίτσια είναι ψηλότερα από τα αγόρια όταν είναι μεγαλύτερα από 1 3 χρονών. Τα κορίτσια είναι ψηλότερα από τα αγόρια από τα 10 έως τα 1 1 .

ανάπτυξης (η σύγκριση μπορεί να είναι έμμεση) Λάθος

-------

28.2 28.3 28.4

Cars

Σε τρεις ώρες διάνυσ'ε 240

80 km/h Το Β: 120 km/h.

Κm,

άρα ήταν

Όπως φαίνεται από το γράφημα, το Β, 120 Κm. Ήταν σταματημένο. Η μεταβολή της απόστασης τη δεύτερη ώρα είναι Ο Κm .

Βιβλιογραφία:

[Ι] Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, Θέματα αλφαβη τισμού προγράμματος PISA, Αθήνα 2005. [2] OECD, (2010), PISA 201 2 Mathematics Framework,

http://www.oecdorg/dataoecd/8/38/4696 1598.pdf

[3] Ρίζος Γ., Στο δρόμο για τον PISA, Τα μαθηματικά στο διεθνή διαγωνισμό PISA, Εκδ. ΜΑΥΡΙΔΗ, Θεσσαλο νίιcη, 2009

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '82 τ. 2/47

Αγαπητο ί φ ίλοι, Η συντακτική ομάδα

του «Ευκλείδη Α», σας εύχεται «Καλή και Δημιουργική χρονιά». Με.τό νέο έτος, περιμένουμε και πάλι από σας, προτάσεις, παρατηρήσεις, συμμετοχές αλλά και νέες συνεργασίες! z''J VΜΝΑι:Ι() 1\ΙJYVM.λi\ΙJV 1.ΧΗΛΙΙ\Ι)J,Ι'01: tιtltι·21.11t

Συνεχίζοντας την παράδοση, λάβαμε από το 2° Γυμνάσιο Κορυδαλλού τις ενδιαφέρουσες εργασίες των μαθητών της Α ' Γυμνασίου; Εκφράζουμε τα θερμά μας συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και _στην εξαίρετο συνάδελφο κ. Γληνού Κατερίνα

BιjJAίa

που

Διασκεδάζοuμε με Μαθηματικά I'

λ ν

ι.Ι.

f.Ι'I'Λl:lt:t 1Ί!Ν Μι\�ΙΙΠJ:ΝΊΊΙΣ Α' ΓΥΜΝΑΣ.IΟ'ι'

ΑάjJαμε:

Μαθηματικά στην Κουζiνα, του Δημήτρη Χασάπη,

αναπληρωτή καθηγητή στο Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική ηλικία του Πανεπιστημίου Μαβηματ,ιιci Αθηνών. Εκδόσεις Μεταίχμιο. στην ιιοu'ς'(να Αξιοποιήστε τις ιδέες και τις συνταγές που ...........Ma.tnw.cιτ.U<t.t.......... προτείνονται στο πρωτότυπο αυτό βιβλίο του και .........δ9.g,ι�mns....... ..............:ιισ.. nα..\1\ιί............. μετατρέψτε την κουζίνα σας σε μαθηματικό εργαστήριο, αφού όταν μαγειρεύουμε: ταξινομούμε και βάζουμε σε σειρά, aπαριθμούμε, μετράμε το βάρος, τον όγκο, τον χρόνο, τη θερμοκρασία, υπολογίζουμε το κόστος ή τις θερμίδες κάθε φαγητού, διαβάζουμε και γράφουμε μαθηματικά, λύνουμε προβλήματα. Δnμήτρns Xaα6nns

Graphic Noνels. Συγγραφέας: Ανδριόπουλος Θοδωρής Εικονογράφος: Γκιόκας Θανάσης Εκδότης: Ελληνοεκδοτική

Βραβευμένο με το 3ο Βραβείο στο 6° Πανευρωπαϊκό Forum Πρωτοπόρων Καθηγητών του Προγράμματος Συνεργάτες στη μάθηση της εταιρείας Microsoft. Ένα μαθηματικό βοήθημα σε μορφή κόμικ. Ένα ταξίδι στον χρόνο ... Ένα έγκλημα... Ένα απρόσμενο φινάλε ... Το 1 900 στο Παρίσι, σε ένα από τα σπουδαιότερα .συνέδρια των μαθηματικών, δολοφονείται ο φημισμένος Καθηγητής Χ. Οι κορυφαίοι μαθηματικοί όλων των εποχών θεωρούνται ύποπτοι. σκότωσε τον Καθηγητή Χ; Θα αποκαλυφθεί η αλήθεια; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ. 2/48

=======

ΜΔ l . Αγ(;η· α.; 70fl 711 7a.;

Θανάσης και ο �ιονύση; έτρεξαν σε μια κούρσα Ι 00 μέτρων. Οταν ο Θανάσης τερμάτισε, ο Διονύση; βρισκόταν στα 90 μέτρα. Ο Θανάση; χρότεινε στον Διονύση να ξανατρέξουν αί.J.ά αυτή τη φορά θα ξεκινούσε 1 Ο μέτρα πίσω σΖ τον Διονύση για να είναι αμφίρροπο το ωωτέλεσμα Αν κρατηθούν όλες οι άλλες συνθήι...τ; ίδιες, θα κερδίσει ο Θανάσης, ο Διονύσης ή θα τερματίσουν ταυτόχρονα; ΜΔ2 . Βάvιμο ιωί.(;η·ων Ο Δήμος τη; Αθήνας προσέλαβε τον Ανδρέα και τον Γιώρ-yο να βάψουν τις κολώνες ενός κεντρικού δρόμου. Υπάρχει ίσος αριθμός κολώνων και στις δύο πλευρές του δρόμου, γι αυτό αποφάσισαν να βάψει ο Ανδρέας τις κολώνες της μίας πλευράς και ο Γιώργος της άλλης. Ο Ανδρέας έπιασε δουλειά πρωί-πρωί, ενώ ο Γιώργος ήρθε καθυστερημένος και όταν έφτασε, ο Ανδρέας είχε βάψει ήδη 3 κολώνες. Ο Γιώργος που προτιμούσε να βάψει την πλευρά που άρχισε ο Ανδρέας, τον παρακάλεσε να τον αφήσει να συνεχίσει αυτός από την 4η κολώνα και να ξεκινήσει ο Ανδρέας να βάφει από την αρχή στην άλλη πλευρά. Ο Ανδρέας δέχτηκε και άλλαξε πλευρά. Ο Γιώργος τελείωσε πιο γρήγορα και έτσι βοήθησε τον Ανδρέα, βάφοντάς του 6 κολώνες από τη δική του πλευρά. Ποιος από τους δύο έβαψε περισσότερες κολώνες και πόσες περισσότερες; Ο

τους έδωσε οχτώ (8) ευρώ λέγοντας: Αυτή είναι η δική μου συμμετοχή. Μοιραστείτε τα δίκαια. Πως μοίρασαν οι δυο φίλοι τα χρήματα; ΜΔ4. Β ρείτε τον αριθμό Μπορείτε να συμπληρώσετε στις παρακάτω στήλες αριθμών, τον αριθμό που λείπει;

ΜΔ3. Στο πανδοχείο . . .

Τρεις φίλοι φτάνουν σε ένα πανδοχείο μια κρύα χειμωνιάτικη μέρα. Ξύλα δεν υπήρχαν και το τζάκι δεν έκαιγε. «Αν θέλετε να ζεσταθείτε», λέει ο πανδοχέας, «πηγαίνετε να μαζέψετε ξύλα μόνοι σας>). Πήγε ο πρώτος και μάζεψε πέντε (5) κιλά. Πήγε ο δεύτερος και μάζεψε τρία (3) κιλά. Ο τρίτος δεν πήγε, αλλά αντί γι' αυτό έβγαλε και

Σπύρος Γεωργίου

ΜΔ5. Τα καπέλα

Έχουμε 3 μαύρα και 2 άσπρα καπέλα. Τρία από αυτά δίνονται τυχαία σε τρία άτομα που κάθονται στη σειρά, χωρίς να βλέπει ο καθένας τι χρώμα καπέλο φοράει και χωρίς ο μπροστά να βλέπει τον πίσω. Ρωτάνε τον τελευταίο τι χρώμα φοράει και απαντάει: «Δε γνωρίζ@). Ρωτάνε τον δεύτερο στη σειρά τι χρώμα φοράει και απαντάει: «Δεν γνωρίζ@). Ρωτάνε και τον πρώτο και απαντάει: «Γνωρίζ@). Τι καπέλο φοράει; ΜΔ6. Τα κουτιά

Έχουμε τρία κουτιά. Μέσα σε ένα από αυτά υπάρχει μια ράβδος χρυσού! Από τις ταμπελίτσες που υπάρχουν στα κουτιά αυτά, οι δύο είναι ψευδείς και η μία αληθής. Σε ποιό κουτί βρίσκεται ο χρυσός; Κουτί Α: Ο χρυσός δεν βρίσκεται σε αυτό το κουτί. Κουτί Β : Ο χρυσός δεν βρίσκεται σε αυτό το κουτί. Κουτί Γ: Ο χρυσός βρίσκεται στο κουτί Β.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 82 τ. 2/49

Π Ρ Ο Σ Φ

lfDPHIIIA I DI'IIIABIAIA ΠΙΙΠΡΙΑΙ

Ο Ρ Α

ΙΣΤΟΡΙΚΩΝ

ΕΚΔΟΣΕΩΝ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ν. ΚΙΣΚΥΡΑ -ΤΣΑΡΟΥΧΗ 6 τόμοι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ν. ΚΙΣΚΥΡΑ -ΤΣΑΡΟΥΧΗ 3 τόμοι

ΗΡΩΝΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΆ) ΗΡΩΝΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ (ΜΕΤΡΙΚΆ-ΔΙΟΠΤΡΑ) ΗΡΩΝΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ (ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΚΆ)

ΗΡΩΝΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ι τόμος

ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ: 50 Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (4 τό μοι): 20 Ευ ρώ

ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ: 1 1 Ο Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (9 τόμοι): 50 Ευ ρώ

Π Ρ Ο Σ Φ

Ο Ρ Α

ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΩΝ G.LORIA 3 τόμοι ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ: 45 Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (3 τό μοι): 20 Ευρώ

Π Ρ Ο Σ Φ

Ο Ρ Α

ΙΣΤΟΡΙΚΩΝ

ΕΚΔΟΣΕΩΝ

ΒΑΛΚΆΝΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΕΣ ΟΑΥΜΠΙΑΔΕΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣΜΑΘΗΜΑτΙΚΕΣ ΟΑΥΜΠΙΑΔΕΣ -Β ΟΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΙ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΙ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΝΕΩΝ ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ: 95 Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (4 τόμοι): 50 Ευ ρώ

ΙΣΤΟΡΙΚΩΝ

ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑτιΚΗ ΕΠΙΘΕΏΡΗΣΗ

�"' �� ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ

ι ο τεύχη(33-50)

ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ: 50Ευρώ

ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ:

1 00 Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (10 τεύχη): 50 Ευρ ώ

5 τεύχη(33-50)

ΠΡΟΣΦΟΡΑ (5 τεύχη): 30 Ευ ρώ

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ιο τεύχη

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ 5 τεύχη

1 00 Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (10 τεύχη): 50 Ευ ρώ

50 Ευρώ ΠΡΟΣΦΟΡΑ (5 τεύχη): 30 Ευρώ

ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ:

Εκδόσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ)

ΑΡΧΙΚΗ τΙΜΗ:

www.hms.gr

Κεντρική διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - 1 0679 Αθήνα Τηλ. : 2 1 03617784 - 2 1 036 1 6532 Fax:21 0364 1 025