Ευκλειδης Α 108 by demi de

Γυμνάσιο

108

Α Π Ρ Ι Λ Ι ΟΣ - Μ Α Ι ΟΣ - Ι ΟΥ Ν Ι ΟΣ 2 0 1 8 ε υ ρ ώ 3 , 0 0

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Ταχ. Γραφείο

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υκλείδης

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

Α΄

Μαθηματικό περιοδικό για το

Επαναληπτικά Θέματα

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏ ÐÅÑÉÏÄÉÊÏ ÐËÇÑÏÖÏÑÇÓÇÓ

ãéá ôï ãõìíÜóéï

Åõêëåßäçò

Τεύχος 108 Απρίλιος - Μάιος - Ιούνιος 2018 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Ιστορία των Μαθηματικών

Η ιστορία του αριθμού «π» Γιώργος Λαγουδάκος ................................................

= Γ΄ Τάξη Θέματα Γεωμετρίας Γ΄ Γυμνασίου 1

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Γιάννης Νικολόπουλος ................................................... 30

Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Γ΄ Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου ...................................... 32

= Α΄ Τάξη Επαναληπτικά Θέματα Άλγεβρας Α΄ Γυμνασίου

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Ιωάννα Δοργιάκη - Νίκος Σκομπρής .................................. 6

Επιλεγμένα Θέματα Γεωμετρίας Α΄ Γυμνασίου

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί, Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ................................... 34

Νάνσυ Κυριακοπούλου ..................................................... 8

= Β΄ Τάξη Εξίσωση μιας ευθείας γραμμής Στυλιανός Μαραγκάκης, Ανδρέας Τριανταφύλλου .............. 10

Γενικά Θέματα Β΄ Γυμνασίου Επιμέλεια: Σερέφογλου Φίλιππος

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα Η Χρυσή Τομή στο σύγχρονο design

................................... 15

Επαναληπτικές ασκήσεις Β΄ Γυμνασίου Επιμέλεια: Τζίφας Νίκος Λαγός Γεώργιος ......................... 20

Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Β΄ Ιωάννης Ρίζος .............................................................. 23

= Γ΄ Τάξη Επαναληπτικές ασκήσεις Γ΄ Γυμνασίου

Μαρία Ρουσούλη, Γιώργος Καραφέρης, Παναγιώτης Θ. Θεοδώρου .................................................................................. 38

Αυτό το ξέρατε; Μαθηματικά Ανάλεκτα Συντακτική Επιτροπή ..................................................... 42

1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΚΑΛΑΣ ΩΡΩΠΟΥ ΑΤΤΙΚΗΣ ΙΧΝΗΛΑΤΩΝΤΑΣ ΤΑ ΕΜΠΝΕΥΣΜΕΝΑ ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΤΟΥ Μ. C. ESCHER Παρουσίαση : Στάμη Τσικοπούλου ................................... 44

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Επιμέλεια: Παπαπανάγου Κωνσταντίνα-Σερέφογλου Φίλιππος

Μαρία Ρουσούλη ........................................................... 49

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Συντακτική Επιτροπή ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34, 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: ÁíÜñãõñïò Öåëëïýñçò ÄéåõèõíôÞò: ÉùÜííçò ÔõñëÞò ÅðéìÝëåéá ¸êäïóçò: Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ

Êùäéêüò ÅË.ÔÁ: 2054 ISSN: 1105 - 7998

Ðñüåäñïò: ÊåÀóïãëïõ ÓôÝöáíïò Á´ Áíôéðñüåäñïò: ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò Â´ Áíôéðñüåäñïò: Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò ÌÝëç: ÁëáöÜêç Óôáõñïýëá ÁñäáâÜíç Ðüðç Βιτζιλαίου Μαρία ÄïñãéÜêç ÉùÜííá Èåïäùñüðïõëïò Èñáóýâïõëïò ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ Êùíóôáíôéíßäçò Áñéóôåßäçò Ëáãüò Ãåþñãéïò

Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò Μακρυνιώτης Στυλιανός-Ηλίας Ìåíäùíßäçò Ãåþñãéïò Ìïñöïðïýëïõ Ìáñßá ÌðáêÜëçò ÁíáóôÜóéïò Ðáëáéïãéáííßäçò ÄçìÞôñéïò Παπαδάκη Άννα Óßóêïõ Ìáñßá Ôæßöáò Íßêïò Ôóéêïðïýëïõ ÓôÜìç Öåñåíôßíïò Óðõñßäùí ÁðïêåíôñùìÝíïé óõíåñãÜôåò ÁíáóôÜóéïò Ðáôñþíçò (ÐÜôñá) ÃéÜííçò ÈùìáÀäçò (Èåó/íßêç) Ãéþñãïò Ñßæïò (ÊÝñêõñá) Ãéþñãïò Ôóáðáêßäçò (Áãñßíéï) ÅéñÞíç ÐåñéóõíÜêç (ÊñÞôç) ÃéÜííçò ÑÜëëçò (×ßïò) Μαρία Ρουσούλη (Καστοριά)

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί / ές αναγνώστες αναγνώστριες. Το τεύχος 108 είναι το τελευταίο της σχολικής χρονιάς 2017-2018. Κατά πάγια τακτική το τελευταίο τεύχος κάθε σχολικής χρονιάς περιέχει θέματα λυμένα αλλά και άλυτα, τα οποία είναι κατάλληλα για τις εξετάσεις του Ιουνίου. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο έχουμε περιορίσει τα θέματα γενικού ενδιαφέροντος τα οποία όμως θα περιλάβουμε στο επόμενο τεύχος. Το υλικό που μας έρχεται από όλη την Ελλάδα, αλλά και από τους μόνιμους συνεργάτες μέλη της συντακτικής επιτροπής, είναι μεγάλο σε αριθμό ώστε συχνά θα πρέπει να αναβάλλουμε την έκδοσή του σε ορισμένα τεύχη. Βασική μας αρχή είναι πάντα ότι οι συγγραφείς που προέρχονται από την περιφέρεια προηγούνται στην κρίση και προώθηση των κειμένων τους. Όπως και στο προηγούμενο έτσι και στο παρόν τεύχος δεν έχουμε συμπεριλάβει άρθρο για την στήλη Τέχνη και Μαθηματικά, το οποίο όμως θα δημοσιευτεί στο επόμενο τεύχος. Να μην ξεχνάμε την επέτειο των 100 χρόνων της ΕΜΕ, είναι ένα από τα σημαντικότερα γεγονότα στην επιστημονική κοινότητα, σε συνδυασμό με το 2018 έτος Μαθηματικών. Ευχόμαστε καλή επιτυχία στις εξετάσεις και καλό καλοκαίρι. Εκ μέρους της Συντακτικής επιτροπής του περιοδικού Ο πρόεδρος: Στέφανος Κεΐσογλου Ειδικός γραμματέας του ΔΣ της ΕΜΕ τ. Σχολικός Σύμβουλος

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

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Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού • Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. • Ïé óõíåñãáóßåò, ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êôë. ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç A´”. ¼Ëá ôá Üñèñá õðüêåéíôáé óå êñßóç ÔéìÞ ôåý÷ïõò: åõñþ 3,00 ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (10,00+2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ=åõñþ 12,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 10,00 Ôï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: 1. Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 2. Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK 3. Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å.

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ȈȣȞİȤȓȗȠȞĲĮȢ ʌȡȠȢ ĲĮ ʌȐȞȦ … ĳșȐȞȠȣȝİ ıĲȘȞ ǼȜȜȐįĮ

Ǽțİȓ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ĳșȐȞȠȣȞ ıĲȠ ĮʌȩȖİȚȩ ĲȠȣȢ. ȅȚ ĮȟȚȦȝĮĲȚțȑȢ ĲȚȝȑȢ ȖȚĮ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ʌ, įİȞ ĮȡțȠȪȞ. ȉȠ ʌȠȜȓĲİȣȝĮ įȘȝȠțȡĮĲȓĮ, ȑĲıȚ țȐșİ ĲȚ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖİȓĲĮȚ. ȈĲȠ ȤȫȡȠ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȞĮ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ – ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐȗİĲĮȚ ȝİ ȩıȠ ĲȠ įȣȞĮĲȩ ȜȚȖȩĲİȡĮ ȝȘȤĮȞȚțȐ ȝȑıĮ ( ȝȩȞȠ ȝİ įȚĮȕȒĲȘ țĮȚ țĮȞȩȞĮ). Ǿ ĮʌĮȓĲȘıȘ ĲȘȢ įȚțĮȚȠȜȩȖȘıȘȢ ĮȞĮįİȚțȞȪİȚ ĲȘȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ İʌȚıĲȒȝȘ ıİ ĮȞĮȝĳȚıȕȒĲȘĲĮ İʌȓʌİįĮ. ȋĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩȢ Ƞ İʌȓȜȠȖȠȢ țȐșİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪ: ȩʌİȡ ȑįİȚ įİȓȟĮȚ Ȓ ȩʌİȡ ȑįİȚ ʌȠȚİȓıĮȚ. ȆȩıȠ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ ĲİȜȚțȐ ĲȠ ʌ; ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ İȞȩȢ țȪțȜȠȣ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ İȞȩȢ ȚıȠįȪȞĮȝȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ; ȀĮĲĮıțİȣȐȗİĲĮȚ įȘȜĮįȒ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȝİ İȝȕĮįȩȞ ȓıȠ ȝİ ĮȣĲȩ İȞȩȢ įİįȠȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ; (ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȩȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ). ǵıȠ ĲĮ İȡȦĲȒȝĮĲĮ ĮȣĲȐ įİȞ ȑȕȡȚıțĮȞ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ, Ƞ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȩȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ țĮȚ ȩıȠȚ ʌȡȠıʌĮșȠȪıĮȞ țȐĲȚ ĲȑĲȠȚȠ, ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓȗȠȞĲĮȞ ȦȢ ȠȚ ȐȞșȡȦʌȠȚ ʌȠȣ țȣȞȘȖȠȪıĮȞ ĲȠ ĮįȪȞĮĲȠ, ĲȠ ȐʌȚĮıĲȠ… ȋĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩ ĲȠ ĮʌȩıʌĮıȝĮ Įʌȩ ĲȚȢ ȩȡȞȚșİȢ ĲȠȣ ǹȡȚıĲȠĳȐȞȘ ʌȠȣ Ƞ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ ȂȑĲȦȞ ȜȑİȚ: «ȝİ ĲȠ Ƞȡșȩ ȡĮȕįȓ ĮȡȤȓȗȦ ȞĮ ȝİĲȡȫ ȫıĲİ ȞĮ ȖȓȞİȚ Ƞ țȪțȜȠȢ ĲİĲȡȐȖȦȞȠȢ ȖȚĮ ȤȐȡȘ ıȠȣÚțĮȚ ıĲȠ țȑȞĲȡȠ ĲȠȣ șĮ İȓȞĮȚ Ș ĮȖȠȡȐ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ șĮ ȠįȘȖȠȪȞ ȩȜȠȚ ȠȚ įȡȩȝȠȚ ıȣȖțȜȓȞȠȞĲĮȢ ıĲȠ țȑȞĲȡȠ, ȩʌȦȢ ı’ ȑȞĮ ĮıĲȑȡȚ, ʌȠȣ İȞȫ İȓȞĮȚ țȣțȜȠĲİȡȑȢ ıĲȑȜȞİȚ ʌĮȞĲȠȪ İȣșİȓİȢ ĮțĲȓȞİȢ ȜĮȝʌȡȑȢ». «ǹȜȒșİȚĮ, Ƞ ȐȞșȡȦʌȠȢ İȓȞĮȚ ĬĮȜȒȢ!» ǹʌĮȞĲȒıİȚȢ ıĲĮ İȡȦĲȒȝĮĲĮ ĮȣĲȐ ȕȡȑșȘțĮȞ, ĮȞȠȓȖȠȞĲĮȢ ȞȑȠȣȢ įȡȩȝȠȣȢ, ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ ȞȑĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ … ǹȜȜȐ ĮȢ ʌȐȡȠȣȝİ ĲĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ ȝİ ĲȘ ıİȚȡȐ. ǿʌʌȠțȡȐĲȘȢ Ƞ ȋȓȠȢ (-470ʌ.Ȥ.) țĮĲȠȡșȫȞİȚ ȞĮ ĲİĲȡĮȖȦȞȓıİȚ ıȤȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ʌİȡȚȕȐȜȜȠȞĲĮȚ Įʌȩ țȣțȜȚțȐ ĲȩȟĮ. ȅȚ ȖȞȦıĲȠȓ ȝȘȞȓıțȠȚ ĲȠȣ. ǹȞ įȠȪȝİ ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ, ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ İȝȕĮįȫȞ ĲȦȞ įȪȠ «ȝȚıȠĳȑȖȖĮȡȦȞ» İȓȞĮȚ ȩıȠ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ȉĮ ıȤȒȝĮĲĮ ĮȣĲȐ İȓȞĮȚ ĲĮ ʌȡȫĲĮ țĮȝʌȣȜȩȖȡĮȝȝĮ ȤȦȡȓĮ ʌȠȣ ȣʌȠȜȠȖȓȗİĲĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣȢ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȤȡİȚĮıĲȠȪȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ʌ. ǹȜȜȠȓȝȠȞȠ İȓȞĮȚ țĮȚ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ… ǹȞĲȚĳȫȞ (-430ʌ.Ȥ.) ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ İȖȖȡȐĳȠȞĲĮȢ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ ıİ ȑȞĮ țȪțȜȠ. ȄİțȚȞȫȞĲĮȢ Įʌȩ ȑȞĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ țĮĲĮıțİȣȐȗİȚ ȠțĲȐȖȦȞȠ – 16ȖȦȞȠ – 32ȖȦȞȠ ț.Ĳ.Ȝ., ȝȑȤȡȚ ȞĮ ĳșȐıİȚ ıİ ʌȠȜȪȖȦȞȠ, ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌȡȠıİȖȖȓȗȠȣȞ ĲȘȞ ʌİȡȚĳȑȡİȚĮ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ. Ȃİ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ĮȣĲȩ țĮĲȠȡșȫȞİȚ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİȚ ȝİ ȝİȖȐȜȘ ĮțȡȓȕİȚĮ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ. ȈȚȖȐ ıȚȖȐ ȖȓȞİĲĮȚ ĮȞĲȚȜȘʌĲȩ ȩĲȚ ȝİ ĲȠȣȢ ʌİȡȚȠȡȚıȝȠȪȢ ʌȠȣ șȑĲİȚ Ș țȜĮıȚțȒ ȖİȦȝİĲȡȓĮ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȠȪ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ įİȞ ȜȪȞİĲĮȚ. ǲĲıȚ, ȩȜȠ țĮȚ ʌȚȠ ʌȠȜȪʌȜȠțȑȢ țĮȝʌȪȜİȢ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/2

İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ. ǻȪıțȠȜĮ ȠȞȩȝĮĲĮ ȩʌȦȢ ȈʌİȚȡȠİȚįȒȢ – ȉİĲȡĮȖȦȞȓȗȠȣıĮ – ȀȠȤȜȓĮȢ țȐȞȠȣȞ ĲȘȞ İȝĳȐȞȚıȒ ĲȠȣȢ țĮȚ ĳșȐȞȠȣȝİ ıĲȠȞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ĲȘȢ ĮȡȤĮȚȩĲȘĲĮȢ. x ǹȡȤȚȝȒįȘȢ (287-212 ʌ.Ȥ.) ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ, ȝȘȤĮȞȚțȩȢ, ĳȣıȚțȩȢ. ȈĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ ȀȪțȜȠȣ ȝȑĲȡȘıȘȢ ĮʌȠįİȚțȞȪİȚ ĲĮ İȟȒȢ șİȦȡȒȝĮĲĮ 1. ȀȐșİ țȪțȜȠȢ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ʌȡȠȢ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ Ș ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ țĮȚ Ș ȐȜȜȘ ȝİ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ. 2. ȅ ȜȩȖȠȢ İȞȩȢ țȪțȜȠȣ ʌȡȠȢ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȐ ĲȘ įȚȐȝİĲȡȠ İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ 11/14 10 3. Ǿ ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ İȞȩȢ țȪțȜȠȣ ȑȤİȚ ĲȚȝȒ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ Įʌȩ 3 ĲȘȢ 71 10 ĲȘȢ įȚĮȝȑĲȡȠȣ. įȚĮȝȑĲȡȠȣ țĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȘ ĲȘȢ 3 71 10 10 ȉȠ șİȫȡȘȝĮ ĮȣĲȩ įȓȞİȚ ĲȘȞ ıȤȑıȘ 3 <ʌ<3 . 71 70 ȈĲȘȞ ȓįȚĮ ıȤȑıȘ țĮĲĮȜȒȖİȚ İȖȖȡȐĳȠȞĲĮȢ țĮȚ ʌİȡȚȖȡȐĳȠȞĲĮȢ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ ıİ țȪțȜȠ, (ȩʌȦȢ țĮȚ Ƞ ǹȞĲȚĳȫȞ). ȆȡȠıİȖȖȓȗȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȦȞ ʌİȡȚȝȑĲȡȦȞ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țĮȚ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ 96ȖȫȞȠȣ. x ȂİĲȐ ĲȠȣȢ ǲȜȜȘȞİȢ ıİȚȡȐ ȑȤȠȣȞ ȠȚ ȇȦȝĮȓȠȚ … ȅ ĮȡȤȚĲȑțĲȠȞĮȢ ǺȚĲȡȠȪȕȚȠȢ (1ȠȢ ĮȚ. ʌ.Ȥ.) ĮȞĮĳȑȡİȚ ʌȘȖȐįȚ țȣțȜȚțȒȢ įȚĮĲȠȝȒȢ ȝİ įȚȐȝİĲȡȠ 4 1 25 ʌȠįȫȞ țĮȚ ʌİȡȓȝİĲȡȠ 12 ʌȠįȫȞ, įȓȞȠȞĲĮȢ ȑĲıȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ=3,12= 2 8 x

ǵȝȦȢ țĮȚ ıĲȘȞ ȝĮțȡȚȞȒ ȀȓȞĮ ȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ȣʌȠȜȩȖȚȗĮȞ …

ȅ Liu Hsiao (1 ĮȚ. ȝ.Ȥ.) ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ=3,1547 ȅ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ Wang Fan (219-257 ȝ. ȋ.) țĮĲĮȜȒȖİȚ ıĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȩĲȚ «ȩĲĮȞ ȝȓĮ ʌİȡȚĳȑȡİȚĮ țȪțȜȠȣ ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ 142 ĲȩĲİ Ș įȚȐȝİĲȡȩȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ 45». Ǿ ıȤȑıȘ ĮȣĲȒ įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ 3,156 ȉȠȞ 3Ƞ ȝ. ȋ. ĮȚȫȞĮ Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Liu Hui ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ « Ǿ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ıİ İȞȞȚȐ ȝȑȡȘ», ĮțȠȜȠȣșȫȞĲĮȢ ʌĮȡȩȝȠȚĮ ȝȑșȠįȠ, ȩʌȦȢ İțİȓȞȘ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ, ĮȜȜȐ ȝȩȞȠ ȝİ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ, įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ 3927 ʌ= =3,1416 1250 ȉȠȞ 5Ƞ ĮȚȫȞĮ ȝ. Ȥ. Ƞ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ Tsu Ch’ung Chih ʌȡȠıİȖȖȓȗİȚ ĲȠ ʌ ȝİ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞĮ ʌȠȜȪȖȦȞĮ ȝİ 24.576 ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ țĮĲĮȜȒȖİȚ ıĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ=3,14159265 x

ȈĲȚȢ ȝĮțȡȚȞȑȢ ǿȞįȓİȢ ıĲȠ șȡȘıțİȣĲȚțȩ ȑȡȖȠ Sulva Sutra ȝİ ĮĳȠȡȝȒ ĲȘȞ țĮĲĮıțİȣȒ ȕȦȝȫȞ ȖȚĮ șȡȘıțİȣĲȚțȑȢ ĲİȜİĲȑȢ ȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ȣʌȠȜȩȖȚȗĮȞ țĮȚ ȑȖȡĮĳĮȞ …

«Ȇȡȩıșİıİ ıĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ĲȠ ȑȞĮ ĲȡȓĲȠ ĲȘȢ įȚĮĳȠȡȐȢ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ țĮȚ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ țĮȚ șĮ ȕȡİȚȢ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ȓıȠȣ İȝȕĮįȠȪ» ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/3

«Ǿ įȚȐȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ȑȞĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ĲĮ 8/10 ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ» ȅ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ Aryabhata (-499 ȝ. ȋ.) ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ Aryabhatiya ȖȡȐĳİȚ « ʌȡȩıșİıİ 4 ıĲȠ 100, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȓĮıİ İʌȓ 8 țĮȚ ʌȡȩıșİıİ ĮțȩȝĮ 62.000, ĮȣĲȩ ʌȠȣ șĮ ȕȡİȚȢ İȓȞĮȚ Ș ʌİȡȚĳȑȡİȚĮ İȞȩȢ 62832 țȪțȜȠȣ ȝİ įȚȐȝİĲȡȠ 20.000», įȓȞȠȞĲĮȢ ȝİ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ĮȣĲȩ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ= =3,1416 . 20000 ȅ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ țĮȚ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ Bralmagupta (-598 ȝ. Ȥ) įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ= 10 =3,1623 22 ȉȑȜȠȢ, Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Bhaskara (1114-1185 ȝ. ȋ.) įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ= =3,142857 7 x

ȆȚȠ țȐĲȦ ıĲȘȞ ǹȡĮȕȓĮ …

ȅ Mohammed ibn Musa Ȓ Al Khwarizmi (-9ĮȚȫȞĮȢ ȝ. ȋ), ıȣȖȖȡĮĳȑĮȢ ĲȠȣ ʌȠȜȪ ȖȞȦıĲȠȪ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ȑȡȖȠȣ Algebrve 1 62832 . Almocabelah, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ 3 țĮȚ 7 20000 ȉȚȢ ȓįȚİȢ ĲȚȝȑȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪıĮȞ țĮȚ ȠȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ Tabit ibn Qurra (826-901 ȝ.ȋ.) țĮȚ Ƞ ȆȑȡıȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Al Birouni (973-1048 ȝ.ȋ.) ȉȑȜȠȢ, Ƞ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ Al Kashi (-430 ȝ. ȋ.) ıĲȘ ȝĮțȡȚȞȒ ȈĮȝĮȡțȐȞįȘ (ıĲȠ ıȘȝİȡȚȞȩ ȅȣıʌİțȚıĲȐȞ) įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ=3,14159265358988732 , İȖȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ıİ țȪțȜȠ ʌȠȜȪȖȦȞȠ ȝİ 230 ʌȜİȣȡȑȢ. x

ǹʌȩ İįȫ țĮȚ ȝİĲȐ ĮȞĮȜĮȝȕȐȞİȚ Ș ǻȪıȘ …

ȅȜȠȑȞĮ țĮȚ țĮȜȪĲİȡİȢ ʌȡȠıİȖȖȓıİȚȢ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȞĲĮȚ, ʌĮȞȑȝȠȡĳȠȚ ĲȪʌȠȚ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ … O Fibonacci 1220 ȝ. Ȥ. įȓȞİȚ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌ=3,141818 ȅ Al Kashi 1430 ȝ. ȋ. ȣʌȠȜȩȖȚıİ ʌ=3,1459265358979 ȅ Francois Viete ĲȠ 1593 ȖȡȐĳİȚ ʌ=3,1415926536 ĮȜȜȐ țĮȚ ȖȡȐĳİȚ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȐʌİȚȡȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȖȚĮ ȞĮ ʌİȡȚȖȡȐȥİȚ ĲȠ ʌ

2 2+ 2 2+ 2+ 2 2 ...= 2 2 2 ʌ

ȉȠ 1655 Ƞ John Wallis (1616-1703 ) ĮʌȠįİȚțȞȪİȚ :

2 2 4 4 6 6 8 8 ʌ ...= 1 3 3 5 5 7 7 9 2

ȅ Newton ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ ȩĲȚ ʌ=3,1415926535897932 . 1 1 1 1 1 ʌ ȅ James Gregory (1638-1675) ȖȡȐĳİȚ : 1- + - + - +...= 3 5 7 9 11 4 1 1 1 ʌ2 + + +...= țĮȚ İȓȞĮȚ Ƞ 12 32 52 8 ʌȡȫĲȠȢ, ʌȠȣ ĮȞĮȡȦĲȚȑĲĮȚ ĮȞ ȝʌȠȡİȓ Ƞ ʌ ȞĮ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒȢ İȟȓıȦıȘȢ ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ. ǲȞĮ İȡȫĲȘȝĮ ʌȠȣ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȐȡȡȘțĲĮ ȝİ ĲȠ ĮȞ ĲİȜȚțȐ Ƞ țȪțȜȠȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıșİȓ. ȅȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȤȓȗȠȣȞ ȞĮ ȝȚȜȠȪȞ ȖȚĮ ȑȞĮ ȞȑȠ İȓįȠȢ ĮȡȚșȝȫȞ ĲȠȣȢ ȣʌİȡȕĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ȅ Leonard Euler ( 1707-1783) ȖȡȐĳİȚ :

ȉȠ 1761 Ƞ Johann Heinrich Lambert ĮʌȠįİȚțȞȪİȚ ȩĲȚ ĲȠ ʌ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ. ȉĮ ȡİțȩȡ ĲȦȞ įİțĮįȚțȫȞ ʌȡȠıİȖȖȓıİȦȞ ĲȠȣ ʌ ıʌȐȞİ ĲȠ ȑȞĮ ȝİĲȐ ĲȠ ȐȜȜȠ … ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/4

ȉȠ 1844 ȠȚ Schulz von Strassnitzky țĮȚ Johann Dase ȣʌȠȜȠȖȓȗȠȣȞ 200 ȥȘĳȓĮ, Ƞ William Shanks ĲȠ 1873 700 ȥȘĳȓĮ. ȉȠ 1882 Ƞ Ferdinand Lindeman ĮʌȠįİȚțȞȪİȚ ȩĲȚ Ƞ ʌ İȓȞĮȚ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȅ țȪțȜȠȢ ĲİȜȚțȐ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıșİȓ. ǲȞĮ İȡȫĲȘȝĮ 2.500 ȤȡȩȞȦȞ ȕȡȓıțİȚ ĲȘȞ ĮʌȐȞĲȘıȒ ĲȠȣ. ȉĮ İȡȦĲȒȝĮĲĮ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȠ «ʌ» ȤȐȞȠȣȞ ĲȘȞ ĮȓȖȜȘ ĲȠȣȢ, Ș ĮȞĮȗȒĲȘıȘ ȖȚĮ ȞȑȠȣȢ ȩȝȠȡĳȠȣȢ ĲȪʌȠȣȢ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȚĮ ĲȘȢ ȝȩįĮȢ. ȈȚȖȐ ıȚȖȐ ȞȑĮ İȡȦĲȒȝĮĲĮ ĮʌĮıȤȠȜȠȪȞ ĲȘȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ țȠȚȞȩĲȘĲĮ, ȩȜĮ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȠ «ʌ» ĳĮȓȞİĲĮȚ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ĮʌĮȞĲȘșİȓ. ȉȠȞ 20Ƞ ĮȚȫȞĮ ȩȝȦȢ ȝİ ĲȘȞ İȝĳȐȞȚıȘ ĲȦȞ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȫȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȫȞ ĲȠ țȣȞȒȖȚ ĲȦȞ įİțĮįȚțȫȞ ʌȡȠıİȖȖȓıİȦȞ ĲȠȣ «ʌ» İȝʌȞȑİȚ. ǼȓȞĮȚ ȝȚĮ İȣțĮȚȡȓĮ ȖȚĮ ȞĮ įȠțȚȝĮıșİȓ Ș ĲĮȤȪĲȘĲĮ ĲȦȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȫȞ. ǲĲıȚ ĲȠ 1947 Ƞ D.F. Ferguson ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ 808 ȥȘĳȓĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ İʌȚĲȡĮʌȑȗȚȠ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ țĮȚ įȠȣȜİȪȠȞĲĮȢ İʌȓ ȑȞĮ ȤȡȩȞȠ. ȂİĲȐ ȖȓȞİĲĮȚ Ș ȑțȡȘȟȘ … 1949 Ƞ ENIAC ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ 2.037 ȥȘĳȓĮ 1954 Ƞ NORC ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ 3.089 ȥȘĳȓĮ 1957 Ƞ Pegasus ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ 7.480 ȥȘĳȓĮ 1959 Ƞ ǿǺȂ 704 16.167 ȥȘĳȓĮ 1961 Ƞ ǿǺȂ 7090 100.265 ȥȘĳȓĮ 1966 Ƞ ǿǺȂ 7030 250.000 ȥȘĳȓĮ 1967 Ƞ CDC 6600 500.000 ȥȘĳȓĮ 1973 Ƞ CDC 7600 1.001.250 ȥȘĳȓĮ ǲȞĮȢ ĮĲİȜİȓȦĲȠȢ țĮĲȐȜȠȖȠȢ ȇȫıȠȚ – ǹȝİȡȚțȐȞȠȚ – ǿȐʌȦȞİȢ – ȀȚȞȑȗȠȚ, ȑȞĮȢ ĮȞĲĮȖȦȞȚıȝȩȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮțȡȓȕİȚĮ țĮȚ ĳșȐȞȠȣȝİ ıĲȠȞ Fabrice Bellard ʌȠȣ ĲȠ 2010 ȣʌȠȜȩȖȚıİ 2,7 ĲȡȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣ ʌ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȑȞĮȞ ĮʌȜȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ. ǼȡȖȐıĲȘțİ 131 ȘȝȑȡİȢ, İȞȫ ȤȡİȚȐıĲȘțİ 1 ȉǺ ıțȜȘȡȩ įȓıțȠ, ȖȚĮ ȞĮ ĮʌȠșȘțİȪıİȚ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝȐ ĲȠȣ ! ǼȞȫ ȑȖȡĮĳĮ ĮȣĲȐ ĮȞĮțȐȜȣȥĮ ȩĲȚ ȠȚ Alexander J. Yee & Shigeru Kondo țĮĲȐĳİȡĮȞ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȞ ʌİȡȓ ĲĮ 5 ĲȡȚıİțĮĲȠȝȝȪȡȚĮ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣ ʌ. ȅ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩȢ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ įȚȒȡțİıİ 90 ȘȝȑȡİȢ ĮȡȤȓȗȠȞĲĮȢ ıĲȚȢ 4 ȂĮǸȠȣ 2010. ȉİȜȚțȐ, Ƞ įȚĮȖȦȞȚıȝȩȢ ȝȐȜȜȠȞ șĮ ıȣȞİȤȚıĲİȓ ȖȚĮ ʌȠȜȪ ĮțȩȝĮ !!! īȚĮ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ ʌȜȘȡȠĳȠȡȓİȢ ıĲȘȞ ȚıĲȠıİȜȓįĮ: http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html

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ĬȑȝĮ 6Ƞ:

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ȅ ĮȡȚșȝȩȢ y İȓȞĮȚ Ș ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ

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4 2 4¹ © y 8¹ © ȕ) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ: D i) Dx E ii) D E x iii) E x ĬȑȝĮ 8Ƞ: ǻȪȠ ĳȣıȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȚ ĲȠȣ 1 ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 15. ȅ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ įȪȠ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 10 țĮȚ ĮĳȒȞİȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 1. Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĮȣĲȠȪȢ. ȕ) ǹȞ x İȓȞĮȚ Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ įȪȠ țĮȚ y İȓȞĮȚ Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ, ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ: 1·§ 1· § 1· § $ ¨ x ¸<¨ y ¸<¨ y ¸ 11 ¹ © 4¹ © 8¹ ©

ĬȑȝĮ 9Ƞ: ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ĲȡȚȥȒĳȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ 78 , 9 7 țĮȚ 27 ıĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȑȤȠȣȝİ ĮȞĲȚțĮĲĮıĲȒıİȚ ȑȞĮ ȥȘĳȓȠ ıĲȠȞ țĮșȑȞĮ ȝİ ȑȞĮ ȖȡȐȝȝĮ. Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ įȣȞĮĲȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x ȫıĲİ Ƞ ʌȡȫĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȞĮ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 3. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ įȣȞĮĲȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ y ȫıĲİ Ƞ įİȪĲİȡȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȞĮ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 9 țĮȚ ĲȠ 5 Ȗ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ȩȜİȢ ĲȚȢ įȣȞĮĲȑȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ z ȫıĲİ Ƞ ĲȡȓĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȞĮ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ 10. į) ȃĮ İȟȘȖȒıİĲİ ȖȚĮĲȓ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ʌȐȞĲĮ ȝİ ĲȠ 3.

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ĬȑȝĮ 3Ƞ

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/8

------------------------------------------------------------------------ ǼʌȚȜİȖȝȑȞĮ ĬȑȝĮĲĮ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ǹǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ --------------------------------------------------------------------

ĬȑȝĮ 4Ƞ ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: x x x

īǻ//Ǽǽ, Ǿ ȖȦȞȓĮ ȞȠ෠ȡ İȓȞĮȚ ͳͳͲட , Ǿ ȖȦȞȓĮ ȜȞ෠ȝ İȓȞĮȚ țĮĲȐ ͳͲட ȝȚțȡȩĲİȡȘ ෡Ȟ. Įʌȩ ĲȘ ȖȦȞȓĮ Ȝȝ

ȃĮ ȕȡİȓĲİ ʌȩıȦȞ ȝȠȚȡȫȞ İȓȞĮȚ: 1. Ǿ ȖȦȞȓĮ ȜȞ෠ȟ. ȃĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖȒıİĲİ. 2. Ǿ ȖȦȞȓĮ ȜȞ෠ȝ. ȃĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖȒıİĲİ. ෡Ȟ. ȃĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖȒıİĲİ. 3. Ǿ ȖȦȞȓĮ Ȝȝ ෡Ȟ. ȃĮ ĮȚĲȚȠȜȠȖȒıİĲİ. 4. Ǿ ȖȦȞȓĮ ȝȜ

ĬȑȝĮ 5Ƞ

෡ ൌ ͸ͷ୭ . ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ Ș ȖȦȞȓĮ 1. ȆȠȚĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜĮ; ǹȚĲȚȠȜȠȖȒıĲİ. 2. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȠȪȞ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ ȜȞ෠ȝ ǡ ȟȞ෠ ǡ ෡Ƞǡ Ƞȟ ෡ȡ Ǥ Ȟȟ

ĬȑȝĮ 6Ƞ

෡ ȝ ǡ ෡ Ȟ ǡ ȞȪ ෡ ȟǡ ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ȘȝȚțȪțȜȚȠ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ Ȝ ෡ ෡ ȟȪȠ ǡ ȠȪȡ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ țȐșİ ȝȓĮ Įʌȩ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻȅǼ Ȗ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹȅī

ĬȑȝĮ 7Ƞ ȃĮ țĮĲĮıțİȣȐıİĲİ ȑȞĮ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī (ǹǺ=ǹī) ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ Ș ȖȦȞȓĮ ĲȘȢ țȠȡȣĳȒȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ͺͲட . ȃĮ ĳȑȡİĲİ ĲȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ǹʌȩ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ī ȞĮ ĳȑȡİĲİ ȝȓĮ İȣșİȓĮ (İ) ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘ įȚȐȝİıȠ ǹȂ. ȃĮ ʌȡȠİțĲİȓȞİĲİ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻǹ ʌȡȠȢ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ǹ ȝȑȤȡȚ ȞĮ ıȣȞĮȞĲȒıİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ. Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻī. ȕ) ȃĮ İȟȘȖȒıİĲİ ȖȚĮĲȓ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹī țĮȚ ǹȀ İȓȞĮȚ ȓıĮ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/9

ÇȯÌÒÌÀ ÅÂºË ¾ÎÁ¾ȯºË ¼ÊºÅÅȘË ========================================= ȈĲȣȜȚĮȞȩȢ ȂĮȡĮȖțȐțȘȢ, ǹȞįȡȑĮȢ ȉȡȚĮȞĲĮĳȪȜȜȠȣ Ǿ İȟȓıȦıȘ ȝȚĮȢ İȣșİȓĮȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ıȣȞȒșȦȢ ȖȡȐĳİĲĮȚ ȝİ ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ: y Dx E x ĲȚ ıȘȝĮȓȞİȚ; y o «ʌȩıȠ ȝĮțȡȚȐ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ, ıĲȠȞ ȠȡȚȗȩȞĲȚȠ ȐȟȠȞĮ x’x» x o «ʌȩıȠ ȝĮțȡȚȐ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȦȞ ĮȟȩȞȦȞ, ıĲȠȞ țĮĲĮțȩȡȣĳȠ ȐȟȠȞĮ y’y» D o țȜȓıȘ (ʌȩıȠ ĮʌȩĲȠȝȘ İȓȞĮȚ Ș ȖȡĮȝȝȒ) E o ȈȣȞĮȞĲȐ Ȓ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ y’y Ȓ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ y’y ĲİĲĮȖȝȑȞȘȢ y Ȓ įȚȐțİȞȠ Y. x ȆȦȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ ĲĮ «Į» țĮȚ «ȕ» ıİ ȝȓĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ʌȠȣ Ș ĮȞİȟȐȡĲȘĲȘ ȝİĲĮȕȜȘĲȒ x İȓȞĮȚ ȣȥȦȝȑȞȘ ıĲȘȞ ȝȠȞȐįĮ (ʌȡȫĲȠȣ ȕĮșȝȠȪ) Ȓ ʌȠȣ Ș İȟĮȡĲȘȝȑȞȘ ȝİĲĮȕȜȘĲȒ ȝİĲĮȕȐȜȜİĲĮȚ (ĮȣȟȐȞİĲĮȚ / İȜĮĲĲȫȞİĲĮȚ) țĮĲȐ ıĲĮșİȡȩ ĮȡȚșȝȩ ǺȡȓıțȠȣȝİ ĲȠ « E » İȪțȠȜĮ, ȕȜȑʌȠȞĲĮȢ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȩʌȠȣ Ș ȖȡĮȝȝȒ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ yǯy. īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȠ « D » (ĲȘȞ țȜȓıȘ) ȤȡİȚȐȗȠȞĲĮȚ, ȩʌȦȢ șĮ įȠȪȝİ, țȐʌȠȚȠȚ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȓ. īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ȖȜȦııȚțȒ ʌİȡȚȖȡĮĳȒ, Ȓ İȟȓıȦıȘ, Ƞ ʌȓȞĮțĮȢ ĲȚȝȫȞ țĮȚ Ș ȖȡĮȝȝȒ (ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ) İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝİȢ İțĳȡȐıİȚȢ, ȖȚĮ ĲȠȞ ʌȡȠıįȚȠȡȚıȝȩ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. ǼȞįȚĮĳȑȡȠȞ ȑȤİȚ ȞĮ įȠȪȝİ ʌȦȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ Įʌȩ ȝȚĮ ȑțĳȡĮıȘ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȚȢ ȣʌȩȜȠȚʌİȢ. ǲȞĮ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ, ȩʌȦȢ ĮȞĮȜȪıĮȝİ ıĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ȐȡșȡȠ ȖȚĮ ĲȚȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ1, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıȤȘȝĮĲȓıȠȣȝİ ĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ĲȚȝȫȞ țĮȚ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ. 3 ǼȚįȚțȩĲİȡĮ ȖȞȦȡȓȗȠȞĲĮȢ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ȝȚĮȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ʌ.Ȥ. ĲȘȞ y x 2 , ȝʌȠȡȠȪȝİ ʌȠȜȪ İȪțȠȜĮ 2 țĮȚ ȐȝİıĮ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıȠȣȝİ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȖİȦȝİĲȡȓĮ ĲȠ ȩĲȚ ȝȓĮ İȣșİȓĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ ʌȜȒȡȦȢ Įʌȩ įȪȠ ıȘȝİȓĮ. īȚĮ ĲȠ ıțȠʌȩ ĮȣĲȩ, ĮțȠȜȠȣșȠȪȝİ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȕȒȝĮĲĮ: 1) ȆȐȞĲȠĲİ ȟİțȚȞȐȝİ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ (ǹ) ʌȠȣ Ș ȖȡĮȝȝȒ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ y’y (Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȝȩȞȠȢ ĲȠȣ ıĲȘȞ İȟȓıȦıȘ țĮȚ įİȞ ȑȤİȚ ıȣȞȘȝȝȑȞȠ ĲȠ "x".) ǼȐȞ įİȞ įȓȞİĲĮȚ ĲȑĲȠȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ȟİțȚȞȒıĲİ ȕȐȗȠȞĲĮȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ıĲȠ (0,0). ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȒ ȝĮȢ ȕȐȗȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ıĲȘ șȑıȘ (0,2) ıĲȠȞ ȐȟȠȞĮ y’y. 2) ȀȠȚĲȐȗȠȣȝİ ĲȘȞ țȜȓıȘ "Į" (ʌȠȜȜȑȢ ĳȠȡȑȢ, İȓȞĮȚ țȜȐıȝĮ). ȀĮĲȩʌȚȞ, ȕȐȗȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ (Ǻ) ıĲȘ șȑıȘ 1,E țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠ ıȘȝİȓȠ (ī) ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȐȞȦ Ȓ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ țĮĲȐ Į 3) ȃĮ șȣȝȐıĲİ ȩĲȚ Ș țȜȓıȘ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪİȚ ȐȞȠįȠ / țȐșȠįȠ. 4) ȉȑȜȠȢ ıȣȞįȑıĲİ ĲĮ įȪȠ ıȘȝİȓĮ (ǹ) țĮȚ (ī) ʌȠȣ ıȤİįȚȐıĮĲİ ȝİ ȝȚĮ ȖȡĮȝȝȒ ʌȠȣ İțĲİȓȞİĲĮȚ ıİ ȠȜȩțȜȘȡȠ ĲȠ įȓțĲȣȠ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞȦȞ. īȞȦȡȓȗȠȞĲĮȢ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ İʌİȟİȡȖĮıĲȠȪȝİ ĲȘȞ ȖȜȦııȚțȒ ʌİȡȚȖȡĮĳȒ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ țĮȚ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ ĲȘ ıȣȝȕȠȜȚțȒ ĲȠȣȢ ȑțĳȡĮıȘ (ȝİĲĮĳȡȐȗȠȞĲĮȢ ĲĮ ȜȩȖȚĮ ĲȠȣ ǺȜ. ȂȓĮ İȚıĮȖȦȖȒ ıĲȚȢ ȈȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ĲȘȢ Ǻǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ, ȈĲȣȜȚĮȞȩȢ ȂĮȡĮȖțȐțȘȢ, ǹȞįȡȑĮȢ ȉȡȚĮȞĲĮĳȪȜȜȠȣ, ǼȣțȜİȓįȘȢ ǹ, Ĳ. 107 1

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/10

---------------------------------------------------------------------------------------------- ǼȟȓıȦıȘ ȝȚĮȢ İȣșİȓĮȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ----------------------------------------------------------------------------------------

ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ Įʌȩ ĲȘ ıȣȞȒșȘ ȖȜȫııĮ ıĲȘȞ ıȣȝȕȠȜȚțȒ (ĮȜȖİȕȡȚțȒ) țĮȚ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘ ȝİĲĮȕȜȘĲȒ x ȖȚĮ ĲȠȞ ȐȖȞȦıĲȠ), įȘȜĮįȒ ȝİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ıȪȝȕȠȜĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ Ș «ȖȜȫııĮ» ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ȩʌȦȢ2 ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ «ȈȣȝȕȠȜȚțȒ» īȜȦııȚțȒ «ȁİțĲȚțȒ» ʌȡȩĲĮıȘ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȈțȑȥȠȣ ȑȞĮȞ ĮȡȚșȝȩ. 1 x ȉȠ ĲȡȚʌȜȐıȚȠ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ. 2 3 x ȀĮĲȐ 5 ʌİȡȚııȩĲİȡĮ Įʌȩ ȑȞĮȞ ĮȡȚșȝȩ. x +5 3 ȀĮĲȐ 7 ȜȚȖȩĲİȡĮ Įʌȩ țȐʌȠȚȠ ĮȡȚșȝȩ. x –7 4 6 ȜȚȖȩĲİȡĮ Įʌȩ ĲȠ ʌİȞĲĮʌȜȐıȚȠ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ. 5 5 x –6 3x 3 3 x Ȓ ĲĮ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ. 6 7 7 7 ĮȞ x Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ, x +50 Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Ȓ ĮȞ x ǻȪȠ ĮȡȚșȝȠȓ įȚĮĳȑȡȠȣȞ țĮĲȐ 50. 7 Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ, x –50 Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ. ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ 15. x o ȑȞĮȢ, 15– x Ƞ ȐȜȜȠȢ. 8 x –15 ( x Ș ıȘȝİȡȚȞȒ ȘȜȚțȓĮ ȝİ ȆȠȚĮ Ș ȘȜȚțȓĮ ĲȠȣ īȚȐȞȞȘ ʌȡȚȞ 15 ȤȡȩȞȚĮ. 9 x –15 0) ȆȠȚĮ Ș ȘȜȚțȓĮ ĲȘȢ ǱȞȞĮȢ ȝİĲȐ 8 ȤȡȩȞȚĮ. x +8 ( x Ș ıȘȝİȡȚȞȒ ȘȜȚțȓĮ) 10 Ǿ ǼȜȑȞȘ İȓȞĮȚ ıȒȝİȡĮ 20 ȤȡȠȞȫȞ, ȝİĲȐ x 3 3 11 20 x

ȤȡȩȞȚĮ ʌȩıĮ șĮ İȓȞĮȚ ĲĮ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ ĲȘȢ; 4 4

Ȉİ ȝȚĮ İțįȡȠȝȒ ȝİĲİȓȤĮȞ 40 ȝĮșȘĲȑȢ țĮȚ ȖȠȞİȓȢ. ǹȞ x ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ, i) ȆȩıȠȚ ȒĲĮȞ ȠȚ ȖȠȞİȓȢ; ii) ǹȞ țȐșİ ȝĮșȘĲȒȢ ʌȜȒȡȦıİ 3 İȣȡȫ țĮȚ țȐșİ ȖȠȞȚȩȢ 4 İȣȡȫ, ʌȩıĮ ʌȜȒȡȦıĮȞ ȩȜȠȚ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ; iii) ȆȩıĮ ʌȜȒȡȦıĮȞ ȠȚ ȖȠȞİȓȢ; iv) ȆȩıĮ ʌȜȒȡȦıĮȞ ȩȜȠȚ ȝĮȗȓ; ǲȤȠȣȝİ 30 ȗȫĮ țȩĲİȢ țĮȚ țȠȣȞȑȜȚĮ. ǹȞ x ȠȚ țȩĲİȢ Į) ȆȩıĮ İȓȞĮȚ ĲĮ țȠȣȞȑȜȚĮ ; ȕ) ȆȩıĮ ʌȩįȚĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜİȢ ȠȚ țȩĲİȢ; Ȗ) ȆȩıĮ ʌȩįȚĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ ĲĮ țȠȣȞȑȜȚĮ; į) ȆȩıĮ ʌȩįȚĮ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ ĲĮ ȗȫĮ ȝĮȗȓ; ǲȤȦ 45 țȑȡȝĮĲĮ ĲȦȞ 2 țĮȚ 5 ȜİʌĲȫȞ. ǹȞ x ĲĮ țȑȡȝĮĲĮ ĲȦȞ 2 ȜİʌĲȫȞ Į) ȆȩıĮ İȓȞĮȚ ĲĮ țȑȡȝĮĲĮ ĲȦȞ 5 ȜİʌĲȫȞ; ȕ) ȆȠȚĮ Ș ĮȟȓĮ ĲȦȞ țİȡȝȐĲȦȞ ĲȦȞ 2 ȜİʌĲȫȞ; Ȗ) ȆȠȚĮ Ș ĮȟȓĮ ĲȦȞ țİȡȝȐĲȦȞ ĲȦȞ 5 ȜİʌĲȫȞ; į) ȆȠȚĮ Ș ıȣȞȠȜȚțȒ ĮȟȓĮ ĲȦȞ țİȡȝȐĲȦȞ; ǹȞ ĲȠ x ȥȘĳȓȠ ĲȦȞ įİțȐįȦȞ țĮȚ z ĲȠ ȥȘĳȓȠ ĲȦȞ ȝȠȞȐįȦȞ, ȑȞĮȢ įȚȥȒĳȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ıȣȝȕȠȜȓȗİĲĮȚ

40– x 3x 4 40 x

3x 4 40 x

30– x 2x 4(30– x ) 2x 4 30 x

45– x 2x 5(45– x ) 2 x +5(45– x ) 10 x +1 z (ĮȞĮʌĲȣȖȝȑȞȘ ȝȠȡĳȒ)

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ: ȂİȜȑĲȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȝȒțȠȢ ʌȜİȣȡȐȢ țĮȚ ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ 2 ǺȜ. ȁȪıȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ țĮȚ ĮȞȚıȫıİȦȞ, Ȇ. ȀȣȡȐȞĮȢ, ǼȣțȜİȓįȘȢ ǹ, Ĳ. 77 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/11

ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ȝȠĲȓȕȠ. ȆȫȢ șĮ ʌİȡȚȖȡȐĳĮĲİ ĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ȝȠĲȓȕȠȣ; x īȚĮĲȓ ĳĮȓȞİĲĮȚ ȑĲıȚ; x ȆȫȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮĲİ ȞĮ İȟȘȖȒıİĲİ ĮȜȖİȕȡȚțȐ ĮȣĲȒ ĲȘ ıȤȑıȘ;

x x

ȆȫȢ ıȣȞįȑİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ʌȠȣ ȖȡȐȥĮĲİ ȝİ ĲȘȞ İȚțȩȞĮ; ȆȡȠȕȜȑȥĲİ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ İȐȞ țȐʌȠȚȠȢ șȑȜİȚ ʌȜİȣȡȚțȐ ȝȒțȘ 10 ȝȚțȡȫȞ ȝȠȞĮįȚĮȓȦȞ ʌȜĮțȫȞ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ, Ș ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ țȐșİ ĲİĲȡȐȖȦȞȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȝȚțȡȑȢ ȝȠȞĮįȚĮȓİȢ ʌȜȐțİȢ, ȠȚ ȠʌȠȓİȢ țȐșİ ĳȠȡȐ ĮȣȟȐȞȠȞĲĮȚ țĮĲȐ ȝȓĮ (1), ȐȡĮ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĮȣȟȐȞİĲİ țĮĲȐ 4. ǹȞ ıȣȝȕȠȜȓıȠȣȝİ ȝİ x ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ İȞȩȢ Įʌȩ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ĲȩĲİ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȩȢ ĲȠȣ șĮ İȓȞĮȚ y 4x Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ y 4x ȝĮȢ įİȓȤȞİȚ ʌȩıȘ İȓȞĮȚ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ʌȠȣ Ș ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ x ȝȚțȡȐ ȝȠȞĮįȚĮȓĮ ʌȜĮțȐțȚĮ. ȅ ʌȓȞĮțĮȢ ĲȚȝȫȞ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ İȓȞĮȚ: x 1 2 3 4 5 y 4 8 12 16 20 ȉĮ ıȘȝİȓĮ ĲȘȢ īȡĮĳȚțȒȢ ȆĮȡȐıĲĮıȘȢ: (1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16),…țĮȚ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ

6 24

7 28

īȚĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ʌȜİȣȡȐȢ 10, İȡȖĮȗȩȝĮıĲİ ȦȢ İȟȒȢ: ȊȥȫȞȠȣȝİ țȐșİĲȘ ıĲȠ ȠȡȚȗȩȞĲȚȠ ȐȟȠȞĮ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ, țĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ıȣȞĮȞĲȐ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĳȑȡȞȠȣȝİ țȐșİĲȘ ıĲȠ țĮĲĮțȩȡȣĳȠ ȐȟȠȞĮ. Ǿ ĲİĲĮȖȝȑȞȘ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ǻ İȓȞĮȚ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ, įȘȜĮįȒ 40. īȞȦȡȓȗȠȞĲĮȢ ĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ (İȣșİȓĮ ȖȡĮȝȝȒ) ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȘȞ țȜȓıȘ ĲȘȢ Į (ıȣȞĲİȜİıĲȒȢ įȚİȪșȣȞıȘȢ) țĮȚ ıĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ.

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 1: ǲıĲȦ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ īȚĮ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȝİ ĲȘȞ țȜȓıȘ ĲȘȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ĲȘȢ ȖȡĮĳȚțȒȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ, ĳȑȡȞȠȣȝİ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȕ ʌȠȣ ıȣȞĮȞĲȐ (Ș ȖȡĮȝȝȒ) ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ y’y țȐșİĲȘ ıİ ĮȣĲȩȞ, țĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ 1 ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ x’x țȐșİĲȘ ıİ ĮȣĲȩȞ. ǲĲıȚ ıȤȘȝĮĲȓȗİĲĮȚ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ. ȅ ȜȩȖȠȢ ĲȦȞ ȝȘțȫȞ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ (țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ/ 2 ȠȡȚȗȩȞĲȚĮ ʌȜİȣȡȐ) ȝĮȢ įȓȞİȚ ĲȘȞ țȜȓıȘ, įȘȜĮįȒ D 2 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ, 1 ĮȞĲȚțĮșȚıĲȫȞĲĮȢ Ș İȟȓıȦıȘ y Dx E ȖȓȞİĲĮȚ y 2x 1 . ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĲȘȞ İʌĮȜȘșİȪıȠȣȝİ ȕȡȓıțȠȣȝİ ĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ĲȚȝȫȞ țĮȚ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ, Ș ȠʌȠȓĮ ıȣȝʌȓʌĲİȚ ȝİ ĲȘ įȠıȝȑȞȘ.

x y

2x 1

0 1

1 3

2 5

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 2: ǲıĲȦ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/12

īȚĮ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȝİ ĲȘȞ țȜȓıȘ ĲȘȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ĲȘȢ ȖȡĮĳȚțȒȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ, ĳȑȡȞȠȣȝİ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ E 2 ʌȠȣ ıȣȞĮȞĲȐ (Ș ȖȡĮȝȝȒ) ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ y’y țȐșİĲȘ ıİ ĮȣĲȩȞ, țĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ -1 ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ x’x țȐșİĲȘ ıİ ĮȣĲȩȞ. ǲĲıȚ ıȤȘȝĮĲȓȗİĲĮȚ ȑȞĮ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ. ȅ ȜȩȖȠȢ ĲȦȞ ȝȘțȫȞ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ (țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ/ ȠȡȚȗȩȞĲȚĮ ʌȜİȣȡȐ) ȝĮȢ įȓȞİȚ ĲȘȞ țȜȓıȘ, 2 įȘȜĮįȒ D 2 . 1 ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĮȞĲȚțĮșȚıĲȫȞĲĮȢ Ș İȟȓıȦıȘ y Dx E ȖȓȞİĲĮȚ y 2x 2 . ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĲȘȞ İʌĮȜȘșİȪıȠȣȝİ ȕȡȓıțȠȣȝİ ĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ĲȚȝȫȞ țĮȚ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ, Ș ȠʌȠȓĮ ıȣȝʌȓʌĲİȚ ȝİ ĲȘ įȠıȝȑȞȘ.

x y

2x 2

0 2

1 0

2 -2

ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 3: ȅȡȚȗȩȞĲȚĮ ȖȡĮȝȝȒ ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȚĮ ȠȡȚȗȩȞĲȚĮ ȖȡĮȝȝȒ; Ǿ țȜȓıȘ ĲȘȢ ȠȡȚȗȩȞĲȚĮȢ ȖȡĮȝȝȒȢ İȓȞĮȚ Ƞ, ĮĳȠȪ Ș țȜȓıȘ (țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ/ ȠȡȚȗȩȞĲȚĮ ʌȜİȣȡȐ) ȝİ țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ=0 İȓȞĮȚ ȝȘįȑȞ. ȈĲȘ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ y 2 , ȖȚĮĲȓ țȐșİ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ȑȤİȚ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ ȝİ ĲİĲĮȖȝȑȞȘ 2. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 4: ȀĮĲĮțȩȡȣĳȘ ȖȡĮȝȝȒ ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ȖȚĮ țĮĲĮțȩȡȣĳȘ ȖȡĮȝȝȒ; ȈĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ Ș țĮĲĮțȩȡȣĳȘ ȖȡĮȝȝȒ İȓȞĮȚ ȝȓĮ İȚįȚțȒ ʌİȡȓʌĲȦıȘ țĮȚ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ȝȚĮ įȚĮĳȠȡİĲȚțȒ İȟȓıȦıȘ, ȩȤȚ y ... , ĮȜȜȐ ĮȞĲȓ ĮȣĲȒȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ĲȘ x ... Ǿ țȜȓıȘ ĲȘȢ țĮĲĮțȩȡȣĳȘȢ ȖȡĮȝȝȒȢ İȓȞĮȚ ĮʌȡȠıįȚȩȡȚıĲȘ, ĮĳȠȪ Ș țȜȓıȘ (țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ/ ȠȡȚȗȩȞĲȚĮ ʌȜİȣȡȐ) ȝİ ȠȡȚȗȩȞĲȚĮ ʌȜİȣȡȐ=0 įİȞ ȠȡȓȗİĲĮȚ ȈĲȘ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ x 1, 5 , ȖȚĮĲȓ țȐșİ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ȑȤİȚ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ ȝİ ĲİĲȝȘȝȑȞȘ 1, 5 . ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 5: ȈȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ʌȠȣ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ĲȠȣȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ İȓȞĮȚ İȣșİȓĮ ȖȡĮȝȝȒ ȝȘ x 2 2x 3 ıȣȞİȤȩȝİȞȘ. ǲıĲȦ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ y x 1 ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒȢ ĲȠȣ țȜȐıȝĮĲȠȢ ȖȚĮ x 1 ȝȘįİȞȓȗİĲĮȚ, İʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ țȜȐıȝĮ ıĲȠ x 1 įİȞ ȠȡȓȗİĲĮȚ, įİȞ ȑȤİȚ ȞȩȘȝĮ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ. ǼțĲİȜȫȞĲĮȢ ĲȘ įȚĮȓȡİıȘ Ȓ ȝİĲĮĲȡȑʌȠȞĲĮȢ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȘĲȒ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌĮȡĮȖȩȞĲȦȞ țĮȚ x 2 2x 3 x 3 x 1

x 3 ĮʌȜȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȑȤȠȣȝİ y x 1 x 1 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/13

ǹȣĲȒ Ș ȑțĳȡĮıȘ İȓȞĮȚ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĲȠȣ x ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ y=Įx+ȕ, ȝİ țȜȓıȘ D 1 țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ yǯy ıĲȠ ıȘȝİȓȠ 3 . ǹȜȜȐ ĮȣĲȒ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ įİȞ ȠȡȓȗİĲĮȚ (įȚĮȓȡİıȘ ȝİ ȝȘįȑȞ) ıĲȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ıȘȝİȓȠ x 1 . ȊʌȐȡȤİȚ ȜȠȚʌȩȞ ȝȚĮ ĮıȣȞȑȤİȚĮ ĲȘȢ ȖȡĮĳȚțȒȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ȖȚĮ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ y ıĲȠ x 1 . ȆȡĮțĲȚțȐ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȑȤİȚ ȑȞĮ İȓįȠȢ ȠʌȒȢ, ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ, ʌȠȣ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ȦȢ ȑȞĮȢ ȝȚțȡȩȢ țȪțȜȠȢ ȖȪȡȦ Įʌȩ ĮȣĲȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ıȤİįȚȐȗİȚ ȝȚĮ ıȣȞİȤȒ İȣșİȓĮ ıȘȝİȓȦȞ, İțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȩʌȠȣ ĲȠ x İȓȞĮȚ 1. ǻȘȜĮįȒ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ȑȤİȚ ĮıȣȞȑȤİȚĮ (țȩȥȚȝȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ 1, 4 .

2. 3. 4.

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ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȠȣ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ İȓȞĮȚ İȣșİȓĮ Ș ȠʌȠȓĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ $ 2, 6 țĮȚ % 1, 4 .

ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ O , ȫıĲİ Ș İȣșİȓĮ (İ) ȝİ İȟȓıȦıȘ y

İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ İȣșİȓĮ (Ș) ȝİ İȟȓıȦıȘ y 6x 2018 . ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȠȣ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘ İȓȞĮȚ İȣșİȓĮ Ș ȠʌȠȓĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ $ 1,5 țĮȚ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ İȣșİȓĮ ȝİ İȟȓıȦıȘ

§1· y ¨ ¸x 2. ©2¹ 10. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘ ȖȡĮȝȝȒ (İ).

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/14

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310 185 113 8

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U 289 ȠʌȩĲİ U 17 cm țĮȚ ȐȡĮ ... ȉȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ İȓȞĮȚ L S %' 3,14 34 106, 76 cm '* '* 15 '* 15 Ȗ) ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻīǺ İȓȞĮȚ KP '%* ȐȡĮ ȠʌȩĲİ 34 34 ȐȡĮ 34 17 34 17 '% '* 15 2 30 cm , ȠʌȩĲİ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ %* 2 '* 2 %' 2 , ȐȡĮ țĮȚ ĲİȜȚțȐ %* 2 302 342 ȠʌȩĲİ %* 2 1156 900 , İʌȠȝȑȞȦȢ %* 2 256 2 %* 256 16 cm ȠʌȩĲİ $%*' %* '* 30 16 480 cm . 3.Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ $

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81 § 4· ¨ ¸ 64 © 15 ¹

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1 58 65 4 9 40 4 27 3 15 8 1 7 4 9 1 7 4 9 1 7 4 9 40 4 9 15 8 40 36 15 8 40 6 15 8 (.3 6,8,15,40 120 3 140 32 135 35 275 240 2 120 120 120 120 120 120 120

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Aǯ 108 Ĳ.4/16

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6. ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ

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į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ $( (ıİ ȝȠȓȡİȢ). ǻȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ S # 3,14 .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Aǯ 108 Ĳ.4/17

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7. ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ĲȡȓȖȦȞȠ ABī ĲȠ ĲȝȒȝĮ Ǻǻ İȓȞĮȚ ȪȥȠȢ țĮȚ 3 *' $* . ǹȞ %'* 48cm 2 , 7 § ' · ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ¨ $%* ¸ . © ¹ ȁȪıȘ 3 7 $* 7 ȐȡĮ 3$* 7*' ȠʌȩĲİ $* *' ȐȡĮ 7*' 7 3 1 1 7 7 $%* %' $* %' *' 48 7 16 112 cm2 įȚȩĲȚ 2 2 3 3 1 %'* %' *' 48 cm2 2 8. ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǼ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ țĮȚ 2 $%*( 1140 cm ,

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%= %= 5 5 ȐȡĮ ȠʌȩĲİ %= 52 5 4 20 cm %* 52 13 13 țĮȚ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ İȓȞĮȚ %= 2 =* 2 %* 2 , ȠʌȩĲİ =* 2 202 522 2304 ȠʌȩĲİ =* 48 cm . ȐȡĮ =* 2 400 2704 ȠʌȩĲİ =* 2 2704 400 2304 ȐȡĮ =*

ȉȩĲİ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǽī ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ KP %*=

ǼʌȓıȘȢ (ǹǺīǼ)=1140 ȐȡĮ $% %= 1140 ȠʌȩĲİ 20ǹǺ=1140 ȐȡĮ $%

114 2

57 cm .

ǵȝȦȢ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺǽǾ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȐȡĮ ǽǾ=ǹǺ=57cm țĮȚ ǹǾ=Ǻǽ=20cm ȠʌȩĲİ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǾ, Įʌȩ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ, ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ $+ 2 +' 2 $' 2 ȐȡĮ +' 2 202 292 , ȠʌȩĲİ +' 2 400 841 , ȐȡĮ +' 2 841 400 441 ȠʌȩĲİ Ǿǻ=21cm, İʌȠȝȑȞȦȢ ǻī = ǻǾ+Ǿǽ+ǽī = 21+57+48 = 126cm ȠʌȩĲİ $% *' %= 126 57 20 183 10 1830 cm2 $%*'

2 2 Ȓ ȕ' ĲȡȩʌȠȢ $%*'

$'+ $%=+ %=*

1 1 1 1 = $+ +' $+ += %= =* 20 21 20 57 20 48 = 2 2 2 2 2 10 21 1140 10 48 210 1140 480 1830 cm 9. ȂȚĮ ʌĮȡȑĮ 18 ĮĲȩȝȦȞ ʌȒȖİ ıİ ȑȞĮ İıĲȚĮĲȩȡȚȠ. ȀȐʌȠȚĮ ȐĲȠȝĮ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 18€. 2 İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 15€ țĮȚ ȠȚ ȣʌȩȜȠȚʌȠȚ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ ǹʌȩ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ȐĲȠȝĮ ĲĮ 3 12€. ǹȞ Ƞ ȜȠȖĮȡȚĮıȝȩȢ ȒĲĮȞ 264€ ʌȩıĮ ȐĲȠȝĮ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 18€, ʌȩıĮ ĲȦȞ 15€ țĮȚ ʌȩıĮ ĲȦȞ 12€; ȁȪıȘ ǲıĲȦ x ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ĮĲȩȝȦȞ ʌȠȣ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 18€.

ȆȡȠĳĮȞȫȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x İȓȞĮȚ ĳȣıȚțȩȢ țĮȚ 0<x<18. ȉȩĲİ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ȐĲȠȝĮ İȓȞĮȚ 18-x ȐȡĮ 2 ĮȣĲȠȓ ʌȠȣ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 15€ İȓȞĮȚ ·(18-x) țĮȚ ĮȣĲȠȓ ʌȠȣ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 12€ 3 1 İȓȞĮȚ (18-x). 3 ǼʌİȚįȒ Ƞ ıȣȞȠȜȚțȩȢ ȜȠȖĮȡȚĮıȝȩȢ ȒĲĮȞ 264€ ȑȤȠȣȝİ: 2 1 18x 18 x 15 18 x 12 264 , ȐȡĮ 18x 10 18 x 4 18 x 264 , ȠʌȩĲİ 3 3 18x+180-10x+72-4x=264, ȐȡĮ 4 x 252 264 ȠʌȩĲİ 4x=12, ȐȡĮ x=3 ȐĲȠȝĮ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 18€, 10 ȐĲȠȝĮ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 15€ țĮȚ 18-10-3=5 ȐĲȠȝĮ İʌȑȜİȟĮȞ ĲȠ ȝİȞȠȪ ĲȦȞ 12€

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Aǯ 108 Ĳ.4/19

ÉºÆºÄÀÉÍÂÃȐË ÌÃȘÌ¾ÂË ÎÅÆºÌȯÈÎ =============================================== ǼʌȚȝȑȜİȚĮ : ȉȗȓĳĮȢ ȃȓțȠȢ –ȁĮȖȩȢ īİȫȡȖȚȠȢ 1.

଴ ଵ଴଴ ଵ ିଷ

ǹȞ ߙ ൌ ቊ൤ቀ ቁ ൨ ቋ ସ

ߢߙߡ ߚ ൌ ሺʹ െ ͵ሻଶ଴ଵ଼ െ ͵ଷ െ ሺെ͵ሻଷ െ ʹͲͳͺ଴ െ ሺെͳሻଶ଴ଵ଻

Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȦȞ Į țĮȚ ȕ țĮȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Į=ȕ ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ߉ ൌ

ሺି଺ሻఱ ଷఱ

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ఈ ଶ଴ଵ଼

ଵ଴య

െ ሺିସሻర ൅ ሺିହሻయ െ ቀെ ቁ ఉ

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠȣ, ȩĲĮȞ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͳͲ

ǲıĲȦ Ș İȟȓıȦıȘ ߣ‫ ݔ‬െ ͵‫ ݔ‬൅ ͳ ൌ െ‫ ݔ‬൅ ͷ

Į) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ȖȚĮ Ȝ=3 ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ ȑĲıȚ ȫıĲİ i) Ǿ İȟȓıȦıȘ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ ii) Ș İȟȓıȦıȘ ȞĮ ȑȤİȚ ȜȪıȘ ĲȘȞ x=1. 4.

ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ İȟȚıȫıİȚȢ ͵ െ ሾʹ െ Ͷሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻሿ ൌ Ͷ െ ͵ሺʹ െ ‫ݔ‬ሻ ൅ ͻ ߢߙߡ ͵ሺʹ‫ ݔ‬൅ ߣሻ െ ʹߣ ൌ ௫ାସ ଷ

െ ʹሺߣ ൅ ͳሻ. ǹȞ Ș ȜȪıȘ ĲȘȢ ʌȡȫĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ țĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ įİȪĲİȡȘȢ İȟȓıȦıȘȢ

ĲȩĲİ ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ. 5.

ଵ ିଷ

ǻȓȞİĲĮȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ߈ ൌ ቀെ ቁ ଷ

൅ ሺെʹሻସ ൅ ሺͷ െ ͸ሻ଴ ൅

ଶవ ଶళ

i) ii)

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ Ȁ. ȃĮ İȟİĲȐıİĲİ ĮȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Ȁ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ ͵‫ ݔ‬൅ ʹହ ൌ ‫ ݔ‬൅ ͺ

iii)

ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ሺ߈ ൅ ͸ሻ‫ ݔ‬ൌ

ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ

ହ௫ିଵ ଶ

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଺బ ିଵ ଶ

ସ

ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ.

ii)

ǹȞ Ș ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȟȓıȦıȘ țĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ቀʹߙ ൅ ቁ െ ቀെ െ ʹߙቁ ൌ ሺʹߙ െ ‫ݔ‬ሻ

ଵ

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ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ȜȪıȘ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Į. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/20

--------------------------------------------------------------------------------- ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȑȢ ǹıțȒıİȚȢ Ǻǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ ------------------------------------------------------------------------------

ටͳ͵ ൅ ඥ͹ ൅ ξͶ െ ටʹͳ െ ඥʹʹ ൅ ξͻ

ii)

ටඥͳ͸ െ ξͳͶͶ െ ඥξͺͳ

iii)

ඨʹͶටͶඥʹ͹ξͻ

8. ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȣșİȓĮ ‫ ݕ‬ൌ ቀͷ െ

ఈିଶ ଷ

ቁ ‫ ݔ‬ȝİ țȜȓıȘ

i) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į. ii) ȃĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ. 9. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ‫ ݕ‬ൌ ʹ‫ ݔ‬൅ ͸ i) ȃĮ ıȤİįȚȐıİĲİ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĮȞ ͳ ൑ ‫ ݔ‬൑ ͹. ii) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ. iii) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩ ĲȠȣ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠȣ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ, ĲȚȢ İȣșİȓİȢ x=1 țĮȚ x=7, țĮȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xxǯ. 10. ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȣșİȓĮ ߝǣ ‫ ݕ‬ൌ ʹ‫ ݔ‬െ ͸ i) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ į Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ İ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ ĲȦȞ y ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ(0,-1). ii) ȃĮ țȐȞİĲİ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ į țĮȚ İ. iii) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩ ĲȠȣ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠȣ ʌȠȣ ȑȤİȚ țȠȡȣĳȑȢ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ į țĮȚ İ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. 11. ǲȤȠȣȝİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) ȝİ İȟȓıȦıȘ ‫ ݕ‬ൌ ͵‫ ݔ‬െ ʹ. i) ȃĮ țȐȞİĲİ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ (İ) țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ıȣȞĲİĲĮȖȝȑȞİȢ ĲȦȞ ıȘȝİȓȦȞ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ (İ) ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ. ii) ȃĮ țȐȞİĲİ ĲȘȞ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĮȞ െ͵ ൑ ‫ ݔ‬൑ ͷ. iii) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ Ȝ ȫıĲİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ(3Ȝ+5,Ȝ-1) ȞĮ ĮȞȒțİȚ ıĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȣșİȓĮ. iv) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ȝȚĮȢ ȐȜȜȘȢ İȣșİȓĮȢ (İǯ ) ,Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȘȞ (İ) țĮȚ ʌİȡȞȐ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ(3,7). 12. ȈĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ: i) ii)

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲĮ x, y ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲĮ İȝȕĮįȐ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȀȁȂ,ȀȂȃ țĮȚ ĲȠȣ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠȣ ȀȁȂȃ.

13. ȈĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ ĲȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ĲȠ ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǻī.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/21

ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ : i) ȉȘȞ ǻī ii) ȉȘȞ ǹǼ iii) ȉȠ İȝȕĮįȩ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǽǼǹ

14. ȈĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ: i) ȉȘȞ ǹǼ. ii) ȉȘȞ ǹī. iii) ȉȠ ȪȥȠȢ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹī , ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī

ସ

15. ǹȞ ǹǻ İȓȞĮȚ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī, ǹī=10 cm, Ǻǻ=x țĮȚ ǻī= 2x+3. ǹȞ ߪ߭ߥ߁ ൌ , ȞĮ ହ

ȕȡİȓĲİ: i) ȉȠȞ x ii) ȉȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. iii) ȉȠ ȘȝǺ, ĲȠ ıȣȞǺ țĮȚ ĲȘȞ İĳǺ, iv) ȉȠ İȝȕĮįȩ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. 16. ȈĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ޿߀ ൌ ͵ξʹܿ݉ǡ ޿߁ ൌ ͷ ܿ݉ ߢߙߡ ߀෠ ൌ Ͷͷ଴ . ǹȞ ĲȠ ǹǻ İȓȞĮȚ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȞĮ ȕȡİȓĲİ : i) ȉȠ Ǻǻ. ii) ȉȠ ȘȝȦ, ĲȠ ıȣȞȦ ,țĮȚ ĲȘȞ İĳȦ, iii) ȉȠ İȝȕĮįȩ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī.

17. ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ʌȜİȣȡȐȢ ʹξ͵ܿ݉,İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ ĮțĲȓȞĮȢ ȡ. ȃĮ ȕȡİșİȓ: i) Ǿ ĮțĲȓȞĮ ȡ ii) ȉȠ ǹǻ iii) ȉȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȘȢ İʌȚĳȐȞİȚĮȢ ʌȠȣ ĮȞȒțİȚ ıĲȠȞ țȣțȜȚțȩ įȓıțȠ țĮȚ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȑȟȦ Įʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/22

ªÊÈÐÒÊÀÅȐÆº ÁȐÅºÍº ¼Âº ȿÄÈÎË. ǷÇÀ . ==================================== ǿȦȐȞȞȘȢ ȇȓȗȠȢ, ǻȡ. ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ȆĮĲȡȫȞ Ȇİȡȓ ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ “ȚıĲȠȡȚțȫȞ” İȟȚıȫıİȦȞ ȉĮ șȑȝĮĲĮ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ ĮʌİȣșȪȞȠȞĲĮȚ ıİ ȩȜĮ ĲĮ ʌĮȚįȚȐ (țĮȚ ȖȚĮĲȓ ȩȤȚ țĮȚ ıĲȠȣȢ ȖȠȞİȓȢ ĲȠȣȢ) ȝİ ıțȠʌȩ ȞĮ ĲĮ ȥȣȤĮȖȦȖȒıȠȣȞ țĮȚ ȞĮ ĲĮ ĳȑȡȠȣȞ ıİ İʌĮĳȒ ȝİ ȑȞȞȠȚİȢ țĮȚ įȚĮįȚțĮıȓİȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌȠȣ įİȞ ıȣȞĮȞĲȠȪȞ ıȣȤȞȐ ıĲȘȞ ĲȐȟȘ. ǼȜʌȓȗȠȣȝİ ȞĮ įȫıȠȣȞ ȑȞĮ ȝȚțȡȩ İȡȑșȚıȝĮ ıĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ȝĮȢ ȖȚĮ ʌİȡĮȚĲȑȡȦ ȑȡİȣȞĮ țĮȚ ıȣȖȖȡĮĳȒ ĲȦȞ įȚțȫȞ ĲȠȣȢ ȚıĲȠȡȚȫȞ ȝİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ. 1. ȉĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ İȪȡİıȘȢ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ İȞȩȢ ĮĲȩȝȠȣ ĮʌȠĲİȜȠȪıĮȞ ȖȚĮ ĮȚȫȞİȢ ʌȡȠıĳȚȜİȓȢ țĮȚ įȚĮıțİįĮıĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȠȪȢ ȖȡȓĳȠȣȢ. īİȞȚțȐ ĲȑĲȠȚȠȣ İȓįȠȣȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓȗȠȞĲĮȚ ȝİ ȤȡȒıȘ ıĲȠȚȤİȚȫįȠȣȢ ǱȜȖİȕȡĮȢ, ĮȞ țĮȚ ıȣȤȞȐ Ș įȣıțȠȜȓĮ ĲȠȣȢ ȑȖțİȚĲĮȚ ıĲȘȞ ȓįȚĮ ĲȠȣȢ ĲȘ įȚĮĲȪʌȦıȘ. Ǽįȫ, ȖȚĮ “ʌȡȠșȑȡȝĮȞıȘ”, ȟİțȚȞȐȝİ ȝİ ȑȞĮ ĲȑĲȠȚȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ: 3 ĲȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ ĲȦȞ ȘȜȚțȚȫȞ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ ʌĮȚįȚȫȞ ĲȠȣ. Ǿ ȘȜȚțȓĮ ĲȠȣ ț. ȀȫıĲĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲĮ 2 ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ȘȜȚțȓĮ ĲȠȣ ț. ȀȫıĲĮ, ĮȞ ȖȞȦȡȓȗİĲİ ȩĲȚ ȠȚ ȘȜȚțȓİȢ ĲȦȞ ʌĮȚįȚȫȞ ĲȠȣ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȣșĮȖȩȡİȚĮ ĲȡȚȐįĮ (įȘȜĮįȒ ĲȡȚȐįĮ șİĲȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ (x,y,z) ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ȜȪıȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x 2 y 2 z 2 ), İȞȫ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ĲȠȣȢ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 338; 2. ǲȞĮ ĮțȩȝȘ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȝİ ȘȜȚțȓİȢ: Ȃİ ĲȠȞ ʌĮĲȑȡĮ ȝȠȣ ȝĮȢ ȤȦȡȓȗȠȣȞ ĮȡțİĲȐ ȤȡȩȞȚĮ. ȉȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȑĲıȚ ʌȓıĲİȣĮ ʌȐȞĲĮ, țĮȚ ȖȚ ĮȣĲȩ Įʌȩ ĲȩĲİ ʌȠȣ ȒȝȠȣȞ ȝĮșȘĲȒȢ, ȣʌȠȜȩȖȚȗĮ ĲȘȞ ȘȜȚțȓĮ ȝȠȣ ȦȢ țȜȐıȝĮ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ ĲȠȣ ʌĮĲȑȡĮ ȝȠȣ. ǵĲĮȞ, İʌȚĲȑȜȠȣȢ, Ș ȘȜȚțȓĮ ȝȠȣ ȑȖȚȞİ ȓıȘ ȝİ ĲȠ ½ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ ĲȠȣ ʌĮĲȑȡĮ ȝȠȣ, ȑĳĲȚĮȟĮ ĲȠ ĮțȩȜȠȣșȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȠ ȠʌȠȓȠ șĮ ȒșİȜĮ ȞĮ ȝȠȚȡĮıĲȫ ȝĮȗȓ ıĮȢ: ĭȑĲȠȢ (2018) Ș ȘȜȚțȓĮ İȞȩȢ ʌĮĲȑȡĮ İȓȞĮȚ įȚʌȜȐıȚĮ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ ĲȠȣ ȖȚȠȣ ĲȠȣ. ǹȞ ȝȐȜȚıĲĮ ıțİĳĲİȓ țĮȞİȓȢ ȩĲȚ ĲĮ ȑĲȘ 2007 țĮȚ 2008 Ƞ ȝȑıȠȢ ȩȡȠȢ ĲȠȣ ĮșȡȠȓıȝĮĲȠȢ ĲȦȞ ȘȜȚțȚȫȞ ĲȠȣȢ ȒĲĮȞ Ƞ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ ĲȡȚȥȒĳȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȩȜĮ ĲȠȣ ĲĮ ȥȘĳȓĮ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ, ĲȩĲİ ȝʌȠȡİȓ İȪțȠȜĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİȚ ĲȚȢ ȘȜȚțȓİȢ ʌĮĲȑȡĮ țĮȚ ȖȚȠȣ. 3. ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȡİȚȢ ʌȡȫĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ (įȘȜĮįȒ ĳȣıȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣȢ ĲȠȣ 1 ʌȠȣ įȚĮȚȡȠȪȞĲĮȚ ȝȩȞȠ ȝİ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣȢ țĮȚ ĲȠ 1) ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ȞĮ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠȞ ȝȚțȡȩĲİȡȠ ĳȣıȚțȩ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ ȦȢ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ țȪȕȦȞ ȝİ įȪȠ įȚĮĳȠȡİĲȚțȠȪȢ ĲȡȩʌȠȣȢ; ǺȑȕĮȚĮ İȐȞ țȐʌȠȚȠȢ ȑȤİȚ įİȚ ĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ ȅ ȐȞșȡȦʌȠȢ ʌȠȣ ȖȞȫȡȚȗİ ĲȠ ȐʌİȚȡȠ (The man who knew infinity), ĮĳȚİȡȦȝȑȞȘ ıĲȘ ȗȦȒ ĲȠȣ ǿȞįȠȪ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ȈȡȚȞȚȕȐıĮ ȇĮȝĮȞȠȣĲȗȐȞ țĮȚ ȑȤİȚ ʌȡȠıȑȟİȚ ĲȠȞ «ĮȡȚșȝȩ ĲȠȣ ĲĮȟȓ», șĮ ȕȡİȚ ĮȝȑıȦȢ ĲȘ ȜȪıȘ ĮȞĮȜȪȠȞĲĮȢ ĲȠȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĮȡȚșȝȩ ıİ ȖȚȞȩȝİȞȠ ʌȡȫĲȦȞ ʌĮȡĮȖȩȞĲȦȞ. ǲĲıȚ, ȖȚĮ ȜȩȖȠȣȢ įȚțĮȚȠıȪȞȘȢ, ĮȢ įȫıȠȣȝİ ȝȚĮ ȕȠȒșİȚĮ țĮȚ ıİ ȩıȠȣȢ įİȞ ȑȤȠȣȞ įİȚ ĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ, ȜȑȖȠȞĲȐȢ ĲȠȣȢ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ȗȘĲȐȝİ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 39, ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȚȢ įȪȠ ʌȡȫĲİȢ įİțȐįİȢ țĮȚ Ƞ ȝİıĮȓȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȘȝȚȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȐȜȜȦȞ įȪȠ. 4. ǲȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ȞĮȡțȚııȚıĲȚțȩȢ, ȩĲĮȞ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ ĲȠȣ ʌȠȣ ĲȠ țĮșȑȞĮ İȓȞĮȚ ȣȥȦȝȑȞȠ ıİ įȪȞĮȝȘ ȓıȘ ȝİ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ȥȘĳȓȦȞ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 407 ȑȤİȚ ĲȡȓĮ ȥȘĳȓĮ țĮȚ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ țȪȕȦȞ ĲȠȣȢ, įȘȜĮįȒ ͶͲ͹ ൌ Ͷଷ ൅ Ͳଷ ൅ ͹ଷ . ǲȞĮ ȐȜȜȠ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ İȓȞĮȚ ĲȠ 1634 14 64 34 44 . Ȃİ ĮĳȠȡȝȒ ȜȠȚʌȩȞ ĮȣĲȠȪȢ ĲȠȣȢ İȞįȚĮĳȑȡȠȞĲİȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ȑȖȡĮȥĮ ȖȚĮ İıȐȢ ĲȠ ĮțȩȜȠȣșȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ıİ ȑȝȝİĲȡȠ ȜȩȖȠ: Ȃ’ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ țĮȚ ȝİ ĲȘȞ ȚıĲȠȡȓĮ ȜȓȖȠȣȢ șĮ İȪȡİȚȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ıĮȞ ȥȐȟİȚȢ ıĲĮ ȕȚȕȜȓĮ. ȉȡȓĮ İȚȞ’ ĲĮ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣ ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ İȞȞȑĮ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ʌȠȣ ȥȐȤȞȠȣȝİ, ȝĮ ȐțȠȣıİ ĲĮ ȞȑĮ: ȀĮșȑȞĮ Įʌ’ ĲĮ ȥȘĳȓĮ ĲȠȣ ıĲȠȞ țȪȕȠ ĮȞ ȣȥȦșİȓ țȚ ȪıĲİȡĮ Ĳ’ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ țȪȕȦȞ ȤȦȡȓȢ ȜȐșȠȢ ȕȡİșİȓ, ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ ȥȐȤȞȠȣȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ, ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/23

------------------------------------------------------------------------------- ȆȡȠȤȦȡȘȝȑȞĮ șȑȝĮĲĮ ȖȚĮ ȩȜȠȣȢ. ȉȐȟȘ Ǻǯ ---------------------------------------------------------------------------

ĳȑȡİ ȝȠȜȪȕȚ țĮȚ ȤĮȡĲȓ, ȜȓȖȠ ȖȚĮ ȞĮ ĲȠ įȠȪȝİ! *** ȀȚ ĮȞ ʌȐȜȚ įİȞ ȝʌȠȡȑıĮĲİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ȞĮ ȕȡİȓĲİ įȚĮȕȐıĲİ ĲȠ ǼȣĮȖȖȑȜȚȠ țĮȚ ȝȘȞ ĮȞȘıȣȤİȓĲİ ȖȚĮĲȓ ĲȠ ȖȡȐĳİȚ țĮșĮȡȐ ıĲȠ țĮǯ Ƞ ǿȦȐȞȞȘȢ ʌȦȢ ȩĲĮȞ ĲȠȣȢ İȣȜȩȖȘıİ Ƞ İȖȖȠȞȩȢ ĲȘȢ ǱȞȞȘȢ, ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ, İʌȚȐıĮȞİ ĲȩıĮ ıĲĮ įȓȤĲȣĮ ȥȐȡȚĮ, ȩıĮ țȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȣĲȩȢ ʌȠȣ ȥȐȤȞİĲİ ĲĮ ȤȞȐȡȚĮ. 5. ȀĮȚ ȖȚĮ ĲȠ ĲȑȜȠȢ țȐĲȚ İʌȓțĮȚȡȠ! ȆȡȩıĳĮĲĮ ĮȞĮțĮȜȪĳșȘțİ Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ ʌȡȫĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩȢ ȝȑȤȡȚ ıȒȝİȡĮ (ȠȚ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ȐʌİȚȡȠȚ ȩʌȦȢ ĮʌȑįİȚȟİ Ƞ ǼȣțȜİȓįȘȢ), Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ȝȐȜȚıĲĮ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ țĮȚ Ƞ 50ȠȢ ʌȡȫĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȠȣ ȂİȡıȑȞ. ȅȚ ʌȡȫĲȠȚ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ 2Q 1 , ȩʌȠȣ Ȟ ʌȡȫĲȠȢ, İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȠȓ ȦȢ ʌȡȫĲȠȚ ĲȠȣ ȂİȡıȑȞ țĮȚ ȠȞȠȝȐıĲȘțĮȞ ȑĲıȚ ʌȡȠȢ ĲȚȝȒȞ ĲȠȣ īȐȜȜȠȣ ȝȠȞĮȤȠȪ Marin Mersenne (1588-1648) Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ĲȠȣȢ ȝİȜȑĲȘıİ. Ȃİ ĮʌĮȖȦȖȒ ıİ ȐĲȠʌȠ (reductio ad absurdum) ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ıȤİĲȚțȐ İȪțȠȜĮ ȩĲȚ ĮȞ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ 2Q 1 İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȢ, ĲȩĲİ Ƞ ߥ İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȢ. ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ȑȞĮ ĮȞĲȚʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ȖȚĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ įİȞ ȚıȤȪİȚ ĲȠ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȠ; (įȘȜĮįȒ ĮȞ Ȟ ʌȡȫĲȠȢ, ĲȩĲİ Ƞ 2Q 1 įİȞ İȓȞĮȚ ȣʌȠȤȡİȦĲȚțȐ ʌȡȫĲȠȢ). ǹʌĮȞĲȒıİȚȢ șİȝȐĲȦȞ ĲİȪȤȠȣȢ 107. 1) Ȃİ ȕȐıȘ ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ Ș ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ĲȠȣ ȝȚțȡȠȪ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ȡ 2 İȞȫ ıĲȠ ȝİȖȐȜȠ

ȠȡșȠȖȫȞȚȠ Ș ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 10 2 . Ȃİ ȕȐıȘ ĮȣĲȐ Ș 2 1 ĮțĲȓȞĮ ȡ = 10 2 - ȡ 2 -10 Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȡ=10 2 1 2) ǹȞ ĳȑȡȠȣȝİ ĲĮ ǻǼ//ǹǺ țĮȚ Ǽǽ//ǹǻ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĮȡȤȚțȐ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ǻīǼ. ǹĳȠȪ ǻǼ=ǹǽ țĮȚ ǽǺ=21-ǹǽ ȐȡĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȚıȠıțİȜȠȪȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ǼǽǺ. ȉȫȡĮ țĮȚ ĲĮ ĲȡȓĮ ıȤȒȝĮĲĮ ȑȤȠȣȞ İȝȕĮįȐ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȠȪȞ. 3) ȈȘȝİȓȦıȘ: ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȣʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ȐıțȘıȘȢ ȚıȤȪİȚ İĳ(Į+ȕ)= İĳ(Į)+İĳ(ȕ) 1 1 . ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ İĳ(Į)= țĮȚ İĳ(ȕ)= ĮțȩȝȘ 1-İĳ(Į) İĳ(ȕ) 3 2 1 1 + İĳ(Į)+İĳ(ȕ) 3 2 1 = İĳ(450). = 1-İĳ(Į) İĳ(ȕ) 1- 1 1 3 2 4) ȂȓĮ ʌȠȜȪ țȠȝȥȒ ȜȪıȘ İȓȞĮȚ țĮȚ ĮȣĲȒ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ. Ǽįȫ İȓȞĮȚ ıĮȞ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ʌȐȡİȚ 6 ĳȠȡȑȢ ĲȠȞ ȤȫȡȠ ıĲȠȞ ȠʌȠȓȠ țȚȞİȓĲĮȚ ĲȠ ȗȦȐțȚ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ Ƞ țȪțȜȠȢ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ ȓıȠ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȠȣ țĮȞȠȞȚțȠȪ İȟĮȖȫȞȠȣ. 1 3 ǱȡĮ ʌȡ2= ·(6·1002· ) ȠʌȩĲİ ȣʌȠȜȠȖȓȗİĲĮȚ ĲȠ ȡ. 4 2 5) Į) 1+3+5+7+9+11+13+15=64 ȕ) ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ

x x 3 x 5 x 7 x 9 x11 x13 x15 =1616 ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ

x x 3 x 5 x 7 x 9 x11 x13 x15 =1616 ȐȡĮ

x 64 =1616 İʌȠȝȑȞȦȢ x32=432 țĮȚ İʌİȚįȒ x>0 ȐȡĮ x=4.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/24

ÉºÆºÄÀÉÍÂÃȐË ºÌÃȘÌ¾ÂË ÎÅÆºÌȯÈÎ. ============================= ǼʌȚȝȑȜİȚĮ: ȆĮʌĮʌĮȞȐȖȠȣ ȀȦȞıĲĮȞĲȓȞĮ-ȈİȡȑĳȠȖȜȠȣ ĭȓȜȚʌʌȠȢ 1.

ǻȓȞȠȞĲĮȚ ĲĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ 5 x

x 3 3x 2 ,Q x

x 2 1 țĮȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ

5 x 1 3x 2 Q x 1 5 x 6x 2 x 1 x 1 Q x

Į) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȒıİĲİ ĲȠȣȢ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȑȢ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ ǹ(x) ȕ) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ x ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ(x) Ȗ) ȃĮ țȐȞİĲİ ĲȘȞ ʌȡȩıșİıȘ ĲȦȞ țȜĮıȝȐĲȦȞ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ į) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ǹ(x) =0 ȁȪıȘ 2 Į) Q x x 1 x 1 x 1

$ x

ȕ) Q x 0 ȐȡĮ x 1 x 1 0 ȠʌȩĲİ x 1 0 Ȓ x 1 0 ȐȡĮ x 1 Ȓ x Ȗ) 5 x 1

x 1

1 . ȈȣȞİʌȫȢ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȠȡȓȗİĲĮȚ ȩĲĮȞ x z 1 NDL x z 1 3

3 x 1

x 3 3 x 2 3 x 1 3 x 2 2 x 1

x3 3 x 2 țĮȚ Q x

x3 3x 2 3x 1 3x 2 6 x 3 $ x

x x x x x 3x x 1 x 1

į) $ x 0 ȐȡĮ x 4 x3 2 x 2 x

0 Ȓ x2 x 2 0 . '

1 x 2 1 ȐȡĮ

x3 3x 2 3x 2 x 2 1 1 x3 3x 2 6 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1

x3 x2 x3 3x 2 x 1 x 1 x 1 x 1

x 3 x 1 x 2 x 1 x3 3 x 2

x 1 x 1

x x 2x2 x 1 x 1

0 ȠʌȩĲİ x 2 x 2 x 2 0 ȐȡĮ x 2

0 Ȓ x 2 x 2 0 ȠʌȩĲİ

īȚĮ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x 2 x 2 0 ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ

4 1 2 1 8 9 ! 0 ȠʌȩĲİ ȑȤİȚ įȪȠ ȐȞȚıİȢ ȜȪıİȚȢ

1 3 4 2 K O ȪVK H ȓQDL GHNW Ȓ 1 r 9 °° 2 2 x1,2 ® 2 1 °1 3 2 1 K O ȪVK DSRUU ȓ SWHWDL °̄ 2 2 2. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȚȢ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ § 1 1 2 · 2 2 Į) ¨ ¸ 3E 2D 4 : 4D 12DE 16 9E

---------------------------------------------------------------------------------- ǼʌĮȞĮȜȘʌĲȚțȑȢ ĮıțȒıİȚȢ īǯ īȣȝȞĮıȓȠȣ ------------------------------------------------------------------------------

3E 2D 4 3E 2D 4 6DE

3E 2D 4 3E 2D 4

1 6DE

§ 16D 2 9 E 2 § · 8D · 16D 2 9 E 2 1 1 ȕ) ¨ :¨ ¸ ¸ 2 4D 3E ¹ 8DJ 3EG 4DG 6 EJ © 6 EJ 3EG 8DJ 4DG ¹ © 12DE 9 E § 16D 2 9 E 2 · 4D 3E 4D 3E : § 8D · 1 1 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 3E 4D 3E 4D 3E ¹ 4D 2J G 3E G 2J © 3E 2J G 4D 2J G ¹ 16D 2 9 E 2 24DE 4D 3E 4D 3E

4D 3E : 3E 4D 3E

2J G 4D 3E 12DE 2J G

4D 3E 4D 3E 12DE 2J G

3E 4D 3E 2J G 4D 3E 2

4D 4D 3E

21x 4y 29 3. Į) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ® ¯ 23x 6y 33 ȕ) ǹȞ $ x 0 , y 0 İȓȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ H1 : 21x 4y

29 H 2 : 23x 6y

ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠȣȢ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ x 2 $ , xc 2 $ ȁȪıȘ Į) Ȃİ ĲȘ ȝȑșȠįȠ ĮȞĲȚșȑĲȦȞ ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ İʌȓ 6 țĮȚ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ ° 126 x 24 y 174 306 ® İʌȓ -4 ȠʌȩĲİ ȑȤȠȣȝİ °̄ 92 x 24 y 132 ȐȡĮ x 9 ȠʌȩĲİ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ 34 34 x 306 160 İȟȓıȦıȘ ȖȚĮ x 9 ȑȤȠȣȝİ 21 9 4 y 29 ȐȡĮ 4 y 160 ȠʌȩĲİ y ȐȡĮ y 40 4 ȉȠ ıȪıĲȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȠ ȗİȪȖȠȢ 9, 40

ȕ) ǼʌİȚįȒ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȠ ȗİȪȖȠȢ 9, 40 , ȠȚ İȣșİȓİȢ H1 , H 2 ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ $ 9, 40 . ǲȤȠȣȝİ

402

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8. ǻȓȞȠȞĲĮȚ ĲĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ 5 x

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ĬȑȝĮ 3Ƞ ǻȓȞİĲĮȚ țȪțȜȠȢ (Ȁ, ȡ) țĮȚ ȠȚ ȤȠȡįȑȢ ĲȠȣ ǹǺ țĮȚ īǻ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ İțĲȩȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ĭ. ǹȞ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ ǹĬ = īĬ. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ: Į) ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹĬȀ țĮȚ īĬȀ İȓȞĮȚ ȓıĮ. n. ȕ) Ș ĬȀ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ $4* Ȗ) ȞĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ǹǺ = īǻ. ĬȑȝĮ 4Ƞ ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ: n = 2 %*$ n x ȖȚĮ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ $%* x ȖȚĮ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī = 2Ǻǹ. x Ș Ǻǻ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ. x Ș ǻǼ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ıĲȘ Ǻī. Į) ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ: ǺǼ = Ǽī ȕ) ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȡȓĮ ȓıĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ıĲȠ ıȤȒȝĮ țĮȚ ȞĮ įȚțĮȚȠȜȠȖȒıİĲİ ȖȚĮĲȓ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/30

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ȅ ǺĮıȓȜȘȢ șȑȜİȚ ȞĮ ȝİĲȡȒıİȚ ĲȠ ȪȥȠȢ x ĲȠȣ ĲȠȓȤȠȣ țĮȚ įȚĮșȑĲİȚ ȝȓĮ ıțȐȜĮ 4,5m. ȀĮșȫȢ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ǺĮıȓȜȘ İȓȞĮȚ 1,6m ȝİĲȡȐ ĲȠ țȠȝȝȐĲȚ ĲȘȢ ıțȐȜĮȢ ʌȠȣ ĳĲȐȞİȚ ȝȑȤȡȚ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȠȣ țĮȚ ĲȠ ȕȡȓıțİȚ 1,8m. Į) ȃĮ ȖȡȐȥİĲİ ȝȓĮ ĮȞĮȜȠȖȓĮ ȝİ ȕȐıȘ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȝİȖȑșȘ. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȠȣ ĲȠȓȤȠȣ. Ȗ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȘȞ ĮʌȩıĲĮıȘ ĲȠȣ ǺĮıȓȜȘ Įʌȩ ĲȠȞ ĲȠȓȤȠ. (ȃĮ șİȦȡȒıİĲİ ȩĲȚ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ Įʌȩ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȠȣ ȝȑȤȡȚ ĲȠȞ ĲȠȓȤȠ).

ĬȑȝĮ 7 ȆȐȞȦ ıĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǻī ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ȅ țĮȚ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅīǹ țĮȚ ȅǻǺ. ȅȚ ȠȡșȑȢ ȖȦȞȓİȢ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ǻ țĮȚ ī. Ȃİ ȕȐıȘ ĲȚȢ ȝİĲȡȒıİȚȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ: Į) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ȘȝȓĲȠȞȠ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ĳ țĮȚ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Ȧ. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȝİ ȠʌȠȚȠȞįȒʌȠĲİ ĲȡȩʌȠ ȩĲȚ Ș ȖȦȞȓĮ ǹȅǺ İȓȞĮȚ ĮȝȕȜİȓĮ.

ĬȑȝĮ 8Ƞ

ȅ īȚȫȡȖȠȢ ʌȡȠıʌĮșİȓ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıİȚ ȑȞĮ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ 14cm, 6cm țĮȚ 7cm. ȊʌȠșȑĲİȚ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĮȣĲȩ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ țĮĲĮıțİȣĮıĲİȓ țĮȚ ȖȚĮ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ıțȑĳĲİĲĮȚ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıİȚ ȜȓȖȘ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȓĮ. Į) ȃĮ İĳĮȡȝȩıİĲİ ĲȠȞ ȞȩȝȠ ĲȦȞ ıȣȞȘȝȚĲȩȞȦȞ ȖȚĮ ĲȘȞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ȕ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ıȣȞȘȝȓĲȠȞȠ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ĮȣĲȒȢ. Ȗ) ȃĮ İȟȘȖȒıİĲİ ȖȚĮĲȓ Ƞ īȚȫȡȖȠȢ įİȞ șĮ țĮĲĮĳȑȡİȚ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıİȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ĲȚȢ įȠıȝȑȞİȢ ʌȜİȣȡȑȢ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/31

ªÊÈÐÒÊÀÅȐÆº ÁȐÅºÍº ¼Âº ȿÄÈÎË. ǷÇÀ ============================================================= ǼʌȚȝȑȜİȚĮ ȈĲȑĳĮȞȠȢ ȀİǸıȠȖȜȠȣ 1) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ȩȜĮ ĲĮ įȣȞĮĲȐ ȗİȪȖȘ (x, y) ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ x, y ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ: x=x2+y2 țĮȚ y=2xy. 2) ȅȚ ʌȜȘȡȠĳȠȡȓİȢ ȖȚĮ ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ İȓȞĮȚ ȠȚ İȟȒȢ: Į) ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȕ) ǻǼǽ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ ȠȚ țȠȡȣĳȑȢ Ǽ țĮȚ ǽ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ țĮȚ Ǻī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. Ȗ) ĲȠ ȝȑĲȡȠ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ıȤȒȝĮ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹǼ țĮȚ ǺǼ. 3) ȂȓĮ įĮțĲȣȜȠȖȡȐĳȠȢ ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ ȩĲȚ ĮȞ țȐșİ ȘȝȑȡĮ ʌȜȘțĲȡȠȜȠȖİȓ 2 ıİȜȓįİȢ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ Įʌȩ ĮȣĲȑȢ ʌȠȣ ıȣȞȘșȓȗİȚ ȞĮ ʌȜȘțĲȡȠȜȠȖİȓ șĮ ıȣȞĲȠȝİȪıİȚ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĲȘȢ țĮĲȐ 3 ȘȝȑȡİȢ. ǹȞ ʌȜȘțĲȡȠȜȠȖİȓ 4 ıİȜȓįİȢ ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ șĮ ıȣȞĲȠȝİȪıİȚ ĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĲȘȢ țĮĲȐ 5 ȘȝȑȡİȢ. ȆȩıİȢ ıİȜȓįİȢ ıȣȞȠȜȚțȐ ȑȤİȚ ȞĮ ʌȜȘțĲȡȠȜȠȖȒıİȚ țĮȚ ʌȩıȠ ȤȡȩȞȠ șĮ ȤȡİȚĮıĲİȓ ĮȞ įİȞ ĮȣȟȒıİȚ ĲȘȞ ʌĮȡĮȖȦȖȚțȩĲȘĲȐ ĲȘȢ. 4) ȈĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ʌȜİȣȡȐȢ 1 cm. Ǿ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ İȓȞĮȚ 3cm. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȩȢ ĲȠȣ. ǹʌĮȞĲȒıİȚȢ șİȝȐĲȦȞ ĲİȪȤȠȣȢ 107 1) ǹȞ x Ș ĮȟȓĮ ĲȠȣ țȚȜȠȪ ĲȠȣ ȜĮįȚȠȪ ǹ țĮȚ y Ș ĮȟȓĮ ĲȠȣ țȚȜȠȪ ĲȠȣ ȜĮįȚȠȪ Ǻ ĲȩĲİ ȑȤȠȣȝİ: 550·x + 450·y=4.900 425·x+125āy=325āy+125āx Ș ȜȪıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ įȓȞİȚ x=4 țĮȚ y=6 2) ǲıĲȦ ȩĲȚ ȤȡİȚȐȗȠȞĲĮȚ x ȫȡİȢ ȖȚĮ ȞĮ ȠȜȠțȜȘȡȫıȠȣȞ ĲȠ ȑȡȖȠ ȩĲĮȞ İȡȖȐȗȠȞĲĮȚ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ȝĮȗȓ. ȉȩĲİ Ƞ ǹ ȝȩȞȠȢ ĲȠȣ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ x+8 ȫȡİȢ țĮȚ Ƞ Ǻ ȝȩȞȠȢ ĲȠȣ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ x+4,5 ȫȡİȢ. ǹʌȩ ĮȣĲȩ 1 ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ƞ ǹ ıİ ȝȓĮ ȫȡĮ ȠȜȠțȜȘȡȫȞİȚ ĲȠȣ ȑȡȖȠȣ İȞȫ Ƞ Ǻ ıİ ȝȓĮ ȫȡĮ ȠȜȠțȜȘȡȫȞİȚ ĲȠ x+8 1 1 1 ĲȠȣ ȑȡȖȠȣ. Ȉİ ȝȓĮ ȫȡĮ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ȝĮȗȓ ȠȜȠțȜȘȡȫȞȠȣȞ ĲȠ ĲȠȣ ȑȡȖȠȣ țĮȚ x+4,5 x+8 x+4,5 1 · § 1 İʌİȚįȒ İȡȖȐȗȠȞĲĮȚ ȝĮȗȓ x ȫȡİȢ șĮ ȚıȤȪİȚ x ¨ ¸ 1 Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ x=6. © x+8 x+4,5 ¹ 3) ǹʌȩ ĲȠ ıȤȒȝĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ĮȞ y=Įx2 + ȕx+Ȗ ĲȩĲİ ȖȚĮ x=0 ȑȤȠȣȝİ y=4 ȐȡĮ Ȗ =4. īȚĮ x=1 ȑȤȠȣȝİ y=0 ȩȝȠȚĮ țĮȚ ȖȚĮ x=4 ȑȤȠȣȝİ y=0 Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Į=1 țĮȚ ȕ=-5 ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ ȑȤİȚ ĲȘ ȝȠȡĳȒ x2-5x+4. ȅȚ ĲİĲȝȘȝȑȞİȢ ĲȦȞ ıȘȝİȓȦȞ ǹ, Ǻ șĮ ʌȡȠțȪȥȠȣȞ Įʌȩ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x2-5x+4 = 10 ʌȠȣ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ -1 țĮȚ 6. ǱȡĮ ǹǺ=7. 4) ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī ȕ2=Į2-(5-Į)2 ĮĳȠȪ ȅǼ=Į. ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ īǼǺ Ȗ2=ȕ2+(5+Į)2. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹīǺ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ (ȖȚĮĲȓ;) ȐȡĮ Į2+Ȗ2=100. ǹʌȩ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȡȠțȪʌĲİȚ: Į2+Į2-(5-Į)2+(5+Į)2=100 țĮȚ Ș įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮ İȟȓıȦıȘ Į2+10Į50=0 țĮȚ Į= 5 ( 3 1) 5) ǹȞ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȒıȠȣȝİ țȐșİ ʌĮȡȑȞșİıȘ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ȇ=(Į+ȕ)2ā(ȕ+Ȗ)2ā(Į+Ȗ)2 ȐȡĮ Ș ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȘȢ Ȇ İȓȞĮȚ Ș =(Į+ȕ)ā(ȕ+Ȗ)ā(Į+Ȗ) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/32

ƯĴǄǃĂĴĸǅǆǊȽ ¨ǅĴǁǐǈǅķĂǊȽ =================================================== ÉÂÅȐÄ¾Âº: ÉÂÍÊÈÉȘ Âº¼ÒÆÂÌÅəÆ

35À ÄÄÀÆÂÃȘ ¦ºÁÀÅºÍÂÃȘ ©ÄÎÅÉÂǷ½º "© ÊÐÂÅȘ½ÀË" 3 ¦ºÊÍȯÈÎ 2018 ¢ȐÅºÍº ÅÂÃÊəÆ ÍǷÇ¾ÒÆ ȆȡȩȕȜȘȝĮ 1 (Į) ȃĮ İȟİĲȐıİĲİ, ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ x, ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ x 3 țĮȚ x 2 3 ȞĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ȡȘĲȠȓ.

(ȕ) ȃĮ İȟİĲȐıİĲİ, ĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ y ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ y 3 țĮȚ

y 3 3 ȞĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȚ įȪȠ ȡȘĲȠȓ. ȁȪıȘ (Į) ǲıĲȦ x 3

q, x 2 3

p ȝİ p , q _ . ȉȩĲİ

x q 3 x2

q 2 2q 3 3

ȠʌȩĲİ ĮȞ ĮȞĲȚțĮĲĮıĲȒıȠȣȝİ ıĲȘ įİȪĲİȡȘ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ:

ȉȩĲİ ʌȡȑʌİȚ 2q 1 0 q (ȕ) ǲıĲȦ y 3

2q 3 3 3

p q2 3

1 . Ȉİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ p q 2 3 q 2

q, y 3 3 y

p 3 2q 1

1 13 3 țĮȚ x 4 4

1 3 . 2

p ȝİ p , q _ . ȉȩĲİ

q 3 y3

q3 3q 2 3 9q 3 3

ȠʌȩĲİ ĮȞ ĮȞĲȚțĮĲĮıĲȒıȠȣȝİ ıĲȘ įİȪĲİȡȘ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ:

3q 2 3 9q 3 3 3 3

p 3 3q 2 2

p q 3 9q

q 3 9q p _ 3q 2 2

ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 2 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ ʌȜİȣȡȐȢ 8 cm ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȣʌȠįȚĮȚȡȠȪȝİ ȝİ İȣșİȓİȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ıİ 64 ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ʌȜİȣȡȐȢ 1cm. ȋȡȦȝĮĲȓȗȠȣȝİ 7 ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ȝĮȪȡĮ, İȞȫ ȩȜĮ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ 57 ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȜİȣțȐ. ȊʌȠșȑĲȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ k ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ ĮȞİȟȐȡĲȘĲĮ Įʌȩ ĲȘ șȑıȘ ĲȦȞ 7 ȝĮȪȡȦȞ ȝȚțȡȫȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ, ȣʌȐȡȤİȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ 2 İȝȕĮįȠȪ k cm ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ǹǺīǻ țĮȚ ȝİ ȩȜĮ ĲĮ ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ Įʌȩ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȜİȣțȐ, ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠțȠʌİȓ Įʌȩ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ȝȑȖȚıĲȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ k . ȁȪıȘ ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ ıİ 8 ȠȡșȠȖȫȞȚĮ 4 u 2 . ǲĲıȚ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȤȡȦȝĮĲȓıȠȣȝİ ıĲĮ İʌĲȐ 4 u 2 ȠȡșȠȖȫȞȚĮ Įʌȩ ȑȞĮ ȝĮȪȡȠ ȝȚțȡȩ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ, ȠʌȩĲİ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȠȣ ȆİȡȚıĲİȡȫȞĮ șĮ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/33

--------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ -----------------------------------------------------------------------------------------------ȝİȓȞİȚ ȝİ ȜİȣțȐ ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȑȞĮ 4 u 2 ȠȡșȠȖȫȞȚȠ İȝȕĮįȠȪ 8 cm 2 .

ȈȤȒȝĮ 1 ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȤȡȦȝĮĲȚıȝȩȢ ĲȦȞ 7 ȝȚțȡȫȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ ȝȘȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ ȜİȣțȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ İȝȕĮįȠȪ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣ ĲȦȞ 8 cm 2 . ȈĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ĲȠȣ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮĲȠȢ 2 ĮĳȒȞȠȣȝİ ȩȜĮ ĲĮ ıȣȞȠȡȚĮțȐ ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ȜİȣțȐ țĮȚ ıĲȠ 6 u 6 İıȦĲİȡȚțȩ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ȤȡȦȝĮĲȓȗȠȣȝİ 7 ȝȚțȡȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ȝĮȪȡĮ, ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ ȝȘȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ ȜİȣțȐ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ İȝȕĮįȠȪ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣ ĲȦȞ 8 cm 2 .

ȈȤȒȝĮ 2 ȈȘȝİȓȦıȘ: īȚĮ ĲȠ ʌȡȫĲȠ țȠȝȝȐĲȚ ĲȘȢ ȐıțȘıȘȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȚȢ 8 ȖȡĮȝȝȑȢ Ȓ ĲȚȢ 8 ıĲȒȜİȢ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ țĮȚ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ĲȠ İʌȚȤİȓȡȘȝĮ ȩʌȦȢ ıĲȘȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȜȪıȘ ȝİ ĲȘȞ ĮȡȤȒ ĲȠȣ ȆİȡȚıĲİȡȫȞĮ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 3 ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ ĮțİȡĮȓȠȣȢ Į,b ĲȑĲȠȚȠȣȢ ȫıĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ

(a b)2 4a ab ȞĮ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĮȞ Ƞ b İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩȢ, ĲȩĲİ Ƞ Į İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/34

( a b) 2 4a ab

ǲıĲȦ

N ' . Ǿ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ ȦȢ (a b)2 4a N ab (1)

ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ a İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩȢ. (2) ȆȡȐȖȝĮĲȚ, ĮȞ 2 | a , ĲȩĲİ șĮ ʌȡȑʌİȚ 2 | (a b) , ĲȩĲİ șĮ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Ƞ b ȞĮ İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ, ȐĲȠʌȠ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȫȡĮ ĲȘȞ (1) ıĮȞ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮ İȟȓıȦıȘ ȦȢ ʌȡȠȢ b , ıĲȘ ȝȠȡĳȒ: 2

b2 b(2 N )a a 2 4a 0 īȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ĮȣĲȒ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ, Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıȐ ĲȘȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ

' a 2 (N 2)2 4(a 2 4a) a(a(N 2)2 4a 16) . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĲȦȞ a, a(N 2) 4a 16 İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ǼʌİȚįȒ ȩȝȦȢ Ƞ a İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩȢ İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ, ȠʌȩĲİ Ƞ țĮșȑȞĮȢ ĲȠȣȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ, ȐȡĮ Ƞ a İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. 2

2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ: ǲıĲȦ d (a, b) țĮȚ ȖȡȐĳȠȣȝİ a dx, b dy , ȝİ ( x, y ) 1 . ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ İʌİȚįȒ d | b țĮȚ Ƞ b İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩȢ, șĮ ʌȡȑʌİȚ d ʌİȡȚĲĲȩȢ. ȉȩĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ

( a b) 2 4a ab

d 2 ( x y ) 2 4dx d 2 xy

d ( x y )2 4 x dxy

İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ. ǱȡĮ x | d ( x y ) 4 x x | dy țĮȚ İʌİȚįȒ ( x, y ) 1 , ʌȡȑʌİȚ x | d . ǼʌȓıȘȢ, 2

d | d ( x y)2 4 x d | 4 x țĮȚ ĮĳȠȪ d ʌİȡȚĲĲȩȢ, d | x . ǹʌȩ ĲȚȢ įȪȠ ĮȣĲȑȢ ıȤȑıİȚȢ ȑȤȠȣȝİ d a

x , ȐȡĮ

d .

ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4 ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ ǹǺ<ǹī<Ǻī İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ c ȝİ țȑȞĲȡȠ ȅ țĮȚ ĮțĲȓȞĮ R. ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ ǻ ĲȠ ĮȞĲȚįȚĮȝİĲȡȚțȩ ĲȘȢ țȠȡȣĳȒȢ ǹ. ǻȓȞİĲĮȚ İʌȓıȘȢ Ƞ țȪțȜȠȢ c1 ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ ĲȠ țȑȞĲȡȠ Ȁ ȕȡȓıțİĲĮȚ İʌȐȞȦ ıĲȠ ĲȝȒȝĮ Ǻǻ țĮȚ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǻ țĮȚ ī. ǹȞ Ƞ țȪțȜȠȢ c1 ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ƞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǺȀǼ, ȑıĲȦ c2 , İĳȐʌĲİĲĮȚ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ c. ȁȪıȘ (1ȠȢ ȉȡȩʌȠȢ)

ǲıĲȦ = Ș ĲȠȝȒ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ c2 ȝİ ĲȘȞ $% țĮȚ 0 Ș ĲȠȝȒ ĲȘȢ .= ȝİ ĲȘȞ %( . Ǿ ȖȦȞȓĮ $ % ' (ȐȡĮ

țĮȚ Ș ȖȦȞȓĮ =%. ) İȓȞĮȚ ȠȡșȒ įȚȩĲȚ ȕĮȓȞİȚ ıĲȘ įȚȐȝİĲȡȠ $' ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ c O, R .

ǼĳȩıȠȞ = %.

90q , Ș =. İȓȞĮȚ įȚȐȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ c2 țĮȚ țĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ Ș =. șĮ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ țȠȚȞȒȢ ȤȠȡįȒȢ %( ĲȦȞ țȪțȜȦȞ c1 țĮȚ c2 . Ǿ $% İĳȐʌĲİĲĮȚ ıĲȠȞ țȪțȜȠ c1 , ȐȡĮ

* . ǹʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ %0= ȑȤȠȣȝİ:

l 90q % l 90q * . = 1 1 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/35

(1)

ȈȤȒȝĮ 3

ȅȚ ȖȦȞȓİȢ ' , * İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ ıĲȠȞ țȪțȜȠ c țĮȚ ȕĮȓȞȠȣȞ ıĲȠ ȓįȚȠ ĲȩȟȠ, ȐȡĮ '

ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ $%' , ȑȤȠȣȝİ: $1 ǹʌȩ ĲȚȢ ȚıȩĲȘĲİȢ ȖȦȞȚȫȞ 1

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A51. ǺȡİȓĲİ 2018 șİĲȚțȠȪȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ, ȩȤȚ țĮĲ’ ĮȞȐȖțȘ įȚĮĳȠȡİĲȚțȠȪȢ, ĲȑĲȠȚȠȣȢ ȫıĲİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȠȣȢ ȞĮ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȩ ĲȠȣȢ. ī33. Ȉİ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ǹǻ, ĲȠ ȪȥȠȢ ǺǼ țĮȚ Ș ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ˆ . ǹǺ ʌİȡȞȠȪȞ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ. ǺȡİȓĲİ ʌȩıİȢ ȝȠȓȡİȢ İȓȞĮȚ Ș ȖȦȞȓĮ %$* ī34. ȈĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī țĮȚ ǹǺ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī İʌȚȜȑȖȠȣȝİ ıȘȝİȓĮ $1 țĮȚ *1 , ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ȑĲıȚ ˆ ȫıĲİ ĲĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ $$1 țĮȚ **1 ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ țĮȚ țȐșİĲĮ. ǹȞ İȓȞĮȚ $%* 45D , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ $*

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/37

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17,33% (Ȝ = 2,5) 35,33% (Ȝ = 2,02) 42% (Ȝ = 1,61)

3Ƞ ȈȋǾȂǹ

37,33% O 1, 25 36,67% (Ȝ = 1,6) 29,33% Ȝ = 1,37

4Ƞ ȈȋǾȂǹ

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ȉȠȞ ʌȡȫĲȠ ȠȡȚıȝȩ ĲȘȢ ȤȡȣıȒȢ ĲȠȝȒȢ ȕȡȓıțȠȣȝİ ıĲĮ ȈĲȠȚȤİȓĮ ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ (ʌİȡȓʌȠȣ ĲȠ 300 ʌ.Ȥ.) "ȂȚĮ İȣșİȓĮ ȖȡĮȝȝȒ ȜȑȖİĲĮȚ ȩĲȚ ȑȤİȚ țȠʌİȓ ıİ ȐțȡȠ țĮȚ ȝȑıȠ ȜȩȖȠ, ȩĲĮȞ ȩȜȘ Ș İȣșİȓĮ İȓȞĮȚ ȖȚĮ ĲȠ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ țȠȝȝȐĲȚ ȩ,ĲȚ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ țȠȝȝȐĲȚ ȖȚĮ ĲȠ ȝȚțȡȩĲİȡȠ". ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ, ȑȞĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ ǹǺ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȤȦȡȓıĮȝİ ıİ įȪȠ ȝȑȡȘ ȝİ ȝȒțȘ ǹī = Į țĮȚ īǺ = ȕ (ȈȤȒȝĮ 1), ȑȤİȚ Į+ȕ Į = (1) įȚĮȚȡİșİȓ ıİ ȝȑıȠ țĮȚ ȐțȡȠ ȜȩȖȠ ĮȞ ȚıȤȪİȚ Į ȕ Į ȕ 1 1 īȚĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ ĳ șȑĲȠȣȝİ =I ıȣȞİʌȫȢ = țĮȚ Ș ıȤȑıȘ (1) ȖȓȞİĲĮȚ 1 I ȕ Į I I Ș ȠʌȠȓĮ țĮĲĮȜȒȖİȚ ıĲȘȞ I 2 I 1 0 ȝİ ȡȓȗİȢ I

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ȉȠ țĲȒȡȚȠ ĲȘȢ īȡĮȝȝĮĲİȓĮȢ ĲȦȞ ǾȞȦȝȑȞȦȞ ǼșȞȫȞ ȉȠ țĲȒȡȚȠ ĲȘȢ ȖȡĮȝȝĮĲİȓĮȢ ĲȦȞ ǾȞȦȝȑȞȦȞ ǼșȞȫȞ (ȈȤȒȝĮ 10) ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȘȞ ʌİȡȚȠȤȒ Manhattan ĲȘȢ ȃȑĮȢ ȊȩȡțȘȢ, ıȤİįȚȐıĲȘțİ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮȡȤȚĲȑțĲȠȞİȢ Oscar Niemeyer țĮȚ ĲȠȞ ȖȐȜȜȠ-İȜȕİĲȩ Le Corbusier. ȉȠ țĲȒȡȚȠ İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ȪȝȞȠȢ ıĲȘ ȤȡȣıȒ ĲȠȝȒ. ȉĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȘȢ ʌȡȩıȠȥȘȢ İȓȞĮȚ ıȤİįȚĮıȝȑȞĮ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ĮȞĮȜȠȖȚțȩ ıȪıĲȘȝĮ modulor ʌȠȣ ĮȞȑʌĲȣȟİ Ƞ Le Corbusier , ȑĲıȚ ȫıĲİ ĲȠ ȪȥȠȢ țȐșİ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ İȓȞĮȚ 1,618 ĳȠȡȑȢ ĲȠȣ ȪȥȠȣȢ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ. ȋȡȣıȐ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ İȓıȠįȠ, ıĲȠ ıȤİįȚĮıȝȩ ĲȦȞ ʌĮȡĮșȪȡȦȞ țĮȚ ĲȦȞ ȣĮȜȠʌİĲĮıȝȐĲȦȞ ĲȠȣ țĲȘȡȓȠȣ, țĮșȫȢ țĮȚ ıĲȚȢ țĮĲȩȥİȚȢ ĲȦȞ ȠȡȩĳȦȞ. ɇʖɼʅɲ 10

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O ʌȪȡȖȠȢ ĲȘȜİʌȚțȠȚȞȦȞȚȫȞ țĮȚ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘȢ CN ĲȠȣ ȉȠȡȩȞĲȠ (ȈȤȒȝĮ11) ȑȤİȚ ȪȥȠȢ 553.33 ȝ, Ș ʌȜĮĲĳȩȡȝĮ ʌĮȡĮĲȒȡȘıȘȢ İȓȞĮȚ ıİ ȪȥȠȢ 342ȝ. țĮȚ Ƞ ȜȩȖȠȢ ĲȦȞ ȣȥȫȞ İȓȞĮȚ 1.618= I . Ǿ ȤȡȣıȒ ĮȞĮȜȠȖȓĮ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ țĮȚ ıĲȠȞ Burj Khalifa (ȈȤȒȝĮ12) ĲȠȞ ȥȘȜȩĲİȡȠ ʌȪȡȖȠ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ ȝİ ȪȥȠȢ 829,8ȝ, ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ Ș țĮĲĮıțİȣȒ ȠȜȠțȜȘȡȫșȘțİ ĲȠȞ ȅțĲȫȕȡȚȠ ĲȠȣ 2009. ȂȑȤȡȚ ĲĮ 512ȝ. Ș ʌȡȩıȠȥȘ İȓȞĮȚ Įʌȩ 829,8 ɇʖɼʅɲ 12 ĮȜȠȣȝȓȞȚȠ țĮȚ ȖȣĮȜȓ [14] țĮȚ Ƞ ȜȩȖȠȢ = 1.618 = I 512 Ȃİ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ ȤȡȣıȒȢ ĲȠȝȒȢ İȓȞĮȚ țĮĲĮıțİȣĮıȝȑȞȠȢ țĮȚ Ƞ ʌȪȡȖȠȢ ĲȠȣ ǱȚĳİȜ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/40

Ǿ ʌȣȡĮȝȓįĮ ĲȠȣ ȁȠȪȕȡȠȣ

Ǿ ȝİȖȐȜȘ ʌȣȡĮȝȓįĮ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȘȞ ĮȣȜȒ ĲȠȣ ȃĮʌȠȜȑȠȞĲĮ (Cour Napoléon) ĲȠȣ ȝȠȣıİȓȠȣ ĲȠȣ ȁȠȪȕȡȠȣ ıĲȠ ȆĮȡȓıȚ (ȈȤȒȝĮ13) ʌȠȣ İȓȞĮȚ țĮȚ Ș țȪȡȚĮ İȓıȠįȠȢ ĲȠȣ ȝȠȣıİȓȠȣ. ǹʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȝȓĮ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȒ ʌȣȡĮȝȓįĮ ȝİ ʌȜİȣȡȐ ȕȐıȘȢ 35ȝ. țĮȚ ȪȥȠȢ 21,6ȝ.. Ǿ țĮĲĮıțİȣȒ ȑȤİȚ ȝȩȞȠ ȖȣȐȜȚȞĮ țĮȚ ȝİĲĮȜȜȚțȐ ĲȝȒȝĮĲĮ, ȝİ 603 ȖȣȐȜȚȞĮ țȠȝȝȐĲȚĮ ıİ ıȤȒȝĮ ȡȩȝȕȠȣ țĮȚ 70 ĲȡȚȖȦȞȚțȐ. Ǿ țĮĲĮıțİȣȒ ĲȘȢ ȠȜȠțȜȘȡȫșȘțİ ĲȠ 1989 țĮȚ ĮʌȠĲİȜİȓ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲİȡĮ ĮȟȚȠșȑĮĲĮ ĲȠȣ ȆĮȡȚıȚȠȪ. ȂȓĮ țȐșİĲȘ ĲȠȝȒ ĲȘȢ ʌȣȡĮȝȓįĮȢ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ įȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ 21,6ȝ., 17,5ȝ. țĮȚ 27,8 ȝ. (ȈȤȒȝĮ 14), įȘȜĮįȒ ʌİȡȓʌȠȣ ĮȞȐȜȠȖİȢ ʌȡȠȢ ĲȠ 1, I țĮȚ I . 27,8 ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ 1,59 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ țȠȞĲȐ ıĲȠ I . 17,5 ȈȤİįȓĮıȘ ĮȣĲȠțȚȞȒĲȦȞ. ȆĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ įȪȠ ȝȠȞĲȑȜĮ ȝİ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ ʌȠȣ țȩȕȠȣȞ ĲȘȞ ĮȞȐıĮ! ȉȘȞ Aston Martin Rapide S țĮȚ ĲȘȞ Aston Martin DB9 ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ Ș ıȤİįȓĮıȘ İȓȞĮȚ ȕĮıȚıȝȑȞȘ ıĲȘ ȤȡȣıȒ ĲȠȝȒ. ȋĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ, ȩʌȦȢ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ıĲȘȞ ȚıĲȠıİȜȓįĮ ĲȘȢ Aston Martin, Ș ȋȡȣıȒ ȉȠȝȒ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȘȞ țĮȡįȚȐ țȐșİ Aston Martin. ǵȞĲĮȢ ȚıȠȡȡȠʌȘȝȑȞİȢ Įʌȩ țȐșİ ȠʌĲȚțȒ ȖȦȞȓĮ, ȠȚ İȟȦĲİȡȚțȑȢ ȖȡĮȝȝȑȢ ĲȘȢ Rapide S ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıİ ĮʌȩȜȣĲȘ ĮȡȝȠȞȓĮ, İȞȫ ȠȚ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ ĲȘȢ ȑȤȠȣȞ țĮșȠȡȚıĲİȓ ȝİ ĮțȡȓȕİȚĮ ȫıĲİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȞ ȝȚĮ țȠȝȥȒ țĮȚ țĮșĮȡȒ ȝȠȡĳȒ (ȈȤȒȝĮĲĮ 15, 16).

ȈȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ Ǿ ĮȟȓĮ ĲȘȢ ȤȡȣıȒȢ ĲȠȝȒȢ ĮȞĮȖȞȦȡȓȗİĲĮȚ įȚĮȤȡȠȞȚțȐ ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ İʌȚĲȣȖȤȐȞȠȞĲĮȚ țĮȜȪĲİȡĮ ĮȚıșȘĲȚțȐ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ țĮȚ ĮȣĲȩ ĳĮȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıȘ ĲȘȢ Įʌȩ ʌȜȒșȠȢ İʌȚıĲȘȝȫȞ țĮȚ ĲİȤȞȫȞ ıİ įȚȐĳȠȡİȢ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȘȢ. ǵʌȦȢ ȑįİȚȟİ țĮȚ Ș ıȪȞĲȠȝȘ ȑȡİȣȞĮ ıĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȦȞ ıȤȠȜİȓȦȞ ȝĮȢ Ș ȤȡȣıȒ ĮȞĮȜȠȖȓĮ İʌȚȜȑȖİĲĮȚ ĮȣșȩȡȝȘĲĮ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮȞșȡȫʌȠȣȢ ȦȢ Ș ʌȚȠ țĮȜĮȓıșȘĲȘ ĮȞĮȜȠȖȓĮ țĮȚ įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ıĲȠ ĮȞșȡȫʌȚȞȠ ȝȐĲȚ ĲȘȞ ĮȓıșȘıȘ ĲȘȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ țĮȚ ĲȘȢ İȣȤĮȡȓıĲȘıȘȢ. ǲĲıȚ ıĲȘȡȚȗȩȝİȞȠȚ ʌȐȞȦ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ĮȓıșȘıȘ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȚȞȠȣ ȝĮĲȚȠȪ, ȠȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȚ ıȪȖȤȡȠȞȠȚ ĮȡȤȚĲȑțĲȠȞİȢ țĮȚ țȐșİ İȓįȠȣȢ ıȤİįȚĮıĲȑȢ ıȪȖȤȡȠȞȦȞ ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȦȞ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȞ ȦȢ ȕĮıȚțȩ İȡȖĮȜİȓȠ țĮȚ ȖȞȫȝȠȞĮ ĲȠȣ ıȤİįȚĮıȝȠȪ ĲȠȣȢ ĲȘ ȤȡȣıȒ ĮȞĮȜȠȖȓĮ, ȖȚĮ ȞĮ ʌȡȠıİȜțȪıȠȣȞ ĲȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ țĮȚ ĲȘȞ ʌȡȠıȠȤȒ ĲȦȞ İʌȚıțİʌĲȫȞ Ȓ ĲȠȣ ĮȖȠȡĮıĲȚțȠȪ țȠȚȞȠȪ ĮȞȐȜȠȖĮ ȝİ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ʌȠȣ ıȤİįȚȐȗȠȣȞ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/41

ÎÍȿ ÍÈ ÇȐÊºÍ¾; ¦ºÁÀÅºÍÂÃǷ ÆǷÄ¾ÃÍº =================================================================================== ȈȣȞĲĮțĲȚțȒ ǼʌȚĲȡȠʌȒ.

1) Ǿ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 13. ȅ ĮȡȚșȝȩȢ 13 șİȦȡİȓĲİ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ țĮțȠĲȣȤȓĮ țĮȚ ıȣȞȒșȦȢ ĮʌȠĳİȪȖİĲĮȚ. ȊʌȐȡȤȠȣȞ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ȩʌȠȣ ĮțȩȝĮ țĮȚ ıĲȠȞ ĮȞİȜțȣıĲȒȡĮ ȝȚĮȢ ʌȠȜȣțĮĲȠȚțȓĮȢ ĮʌȠĳİȪȖȠȣȞ ȞĮ ȕȐȜȠȣȞ țȠȣȝʌȓ ȝİ ĮȡȚșȝȩ 13. ǹțȩȝȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ țĮțȠĲȣȤȓĮ șİȦȡİȓĲĮȚ ȞĮ ıȣȝʌȑıİȚ Ș 13Ș ĲȠȣ ȝȒȞĮ ȝİ ĲȘȞ ȘȝȑȡĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ. īİȞȚțȐ ȆĮȡĮıțİȣȒ țĮȚ 13 ıĲȠȞ ʌȠȜȪ țȩıȝȠ ȑȤİȚ ʌİȡȐıİȚ ıĮȞ ȝȓĮ țĮțȩĲȣȤȘ ıȪȝʌĲȦıȘ. ȂİȡȚțȑȢ ĳȠȡȑȢ ĲĮ ʌȠȜȪ ıȣȝʌĮșȘĲȚțȐ ȗȦȐțȚĮ, ȠȚ ȖȐĲİȢ ȝĮȪȡȠȣ ȤȡȫȝĮĲȠȢ, İȞȚıȤȪȠȣȞ ĲȘȞ ʌȡȠțĮĲȐȜȘȥȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ȆĮȡĮıțİȣȒ 13 ĲȠȣ ȝȘȞȩȢ. ǹʌȩ ʌȠȣ ʌȡȠȑȡȤİĲĮȚ ȩȝȦȢ ĮȣĲȒ Ș ĮȞĲȓȜȘȥȘ; ȁȑȞİ ȩĲȚ ıĲȠ ȂȣıĲȚțȩ ǻİȓʌȞȠ ȕȡȓıțȠȞĲĮȞ 13 ȐĲȠȝĮ țĮȚ ĮȣĲȩ ȒĲĮȞ țĮȚ ĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ įİȓʌȞȠ ĲȠȣ ȋȡȚıĲȠȪ. ǼʌȚʌȜȑȠȞ Ș ıĲĮȪȡȦıȘ ȑȖȚȞİ ȘȝȑȡĮ ȆĮȡĮıțİȣȒ. ǹȢ ȑȡșȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȞĮ ıțİĳĲȠȪȝİ ȜȓȖȠ ıĲĮĲȚıĲȚțȐ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ İȝĳȐȞȚıȘ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ıȪȝʌĲȦıȘȢ. ȉȠ İȡȫĲȘȝĮ İȓȞĮȚ ʌȩıȠ ıȣȤȞȐ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ Ș 13Ș ĲȠȣ ȝȒȞĮ ȞĮ İȓȞĮȚ ȆĮȡĮıțİȣȒ. īȚĮ ȞĮ ȝİȜİĲȒıȠȣȝİ ıĲĮĲȚıĲȚțȐ ĲȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȤȡİȚĮȗȩȝĮıĲİ ȝİȖȐȜȠ ȤȡȠȞȚțȩ įȚȐıĲȘȝĮ ʌ.Ȥ 400 ȤȡȩȞȚĮ. Ȉİ 400 ȤȡȩȞȚĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ 146.097 ȘȝȑȡİȢ Ȓ 4.800 ȝȒȞİȢ, ȐȡĮ Ș 13Ș ĲȠȣ ȝȒȞĮ İȝĳĮȞȓȗİĲĮȚ 4.800 ĳȠȡȑȢ ıĲĮ 400 ȤȡȩȞȚĮ. ȆȡȠıȑȟĲİ ĲȫȡĮ ĲȠȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȓȞĮțĮ ǾȂǼȇǹ ǾȂǼȇȅȂǾȃǿǹ 13 ȆȅȈȅȈȉȅ 14,313% ȀȣȡȚĮțȒ 687 ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ Ș ıȪȝʌĲȦıȘ ĲȘȢ 14,271% ǻİȣĲȑȡĮ 685 ȆĮȡĮıțİȣȒȢ ȝİ ĲȘȞ 13Ș İȞȩȢ ȝȒȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ 14,271% ȉȡȓĲȘ 685 Įʌȩ țȐșİ ȐȜȜȘ. 14,313% ȉİĲȐȡĲȘ 687 ȈȣȝʌȑȡĮıȝĮ Ș 13Ș įİȓȤȞİȚ ȝȓĮ țȐʌȦȢ 14,250% ȆȑȝʌĲȘ 684 ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ʌȡȠĲȓȝȘıȘ ıĲȘȞ ȆĮȡĮıțİȣȒ!! 14,333% ȆĮȡĮıțİȣȒ 688 14,250% ȈȐȕȕĮĲȠ 684

2) Ǿ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲȠȣ ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ȆȦȜ ǲȡȞĲȠȢ (Paul Erdos 1913-1996) O Paul Erdos ȒĲĮȞ ȑȞĮȢ ȅȪȖȖȡȠȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ țĮȚ ȣʌȒȡȟİ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ʌȚȠ ʌĮȡĮȖȦȖȚțȠȪȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĲȠȣ 20Ƞȣ ĮȚȫȞĮ. ǲȗȘıİ ıĮȞ ȑȞĮȢ ȝȠȞĮȤȚțȩȢ ȜȐĲȡȘȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȤȦȡȓȢ ȝȩȞȚȝȘ țĮĲȠȚțȓĮ țĮȚ İȡȖĮıȓĮ, țȣȡȚȠȜİțĲȚțȐ ȑȞĮȢ ȞȠȝȐȢ. Ȃİ ĮʌȠıțİȣȑȢ ȝȓĮ ȝȚțȡȒ ȕĮȜȓĲıĮ ȖȪȡȚȗİ ıİ ȤȫȡİȢ ȖȚĮ ȞĮ ıȣȞİȡȖĮıĲİȓ ȝİ ȐȜȜȠȣȢ ıʌȠȣįĮȓȠȣȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ. ǹțȩȝĮ țĮȚ ıĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȤȡȩȞȚĮ ĲȘȢ ȗȦȒȢ ĲȠȣ, ıİ ȘȜȚțȓĮ 83 İĲȫȞ ıȣȞȑȤȚȗİ ȞĮ İʌȚȞȠİȓ țĮȚ ȞĮ įȚĮĲȣʌȫȞİȚ șİȦȡȒȝĮĲĮ țĮȚ ȞĮ įȓȞİȚ įȚĮȜȑȟİȚȢ ĮȥȘĳȫȞĲĮȢ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ʌȚıĲİȪȠȣȞ ʌȠȜȜȠȓ ȩĲȚ įȘȜĮįȒ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ıʌȠȡ ȝȩȞȠ ȖȚĮ ȞȑȠȣȢ. ȅ Paul Hofman ıĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ ¨ȅ ȐȞșȡȦʌȠȢ ʌȠȣ ĮȖȐʌȘıİ ȝȩȞȠ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ¨ ȝĮȢ ȜȑİȚ ȩĲȚ Ƞ Erdos ĮıȤȠȜȒșȘțİ ȝİ ĲĮ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȝİ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȑȤİȚ ʌȠĲȑ ĮıȤȠȜȘșİȓ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ. ȈĲȘȞ ȘȜȚțȓĮ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ İĲȫȞ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİȚ ʌȩıĮ įİȣĲİȡȩȜİʌĲĮ İȓȤĮȞ ȗȒıİȚ ȠȚ ĳȓȜȠȚ ĲȘȢ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮȢ. ȂʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ĮȞĮȜȪİȚ ĲȚȢ ȜİʌĲȠȝȑȡİȚİȢ Įʌȩ țȐșİ ȝȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ 1.500 İȡȖĮıȓİȢ ʌȠȣ İȓȤİ ȖȡȐȥİȚ. ȆȓȞȠȞĲĮȢ ıȣȞİȤȫȢ țĮĳȑ İȡȖĮȗȩĲĮȞ ʌİȡȓʌȠȣ 19 ȫȡİȢ ĲȘȞ ȘȝȑȡĮ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/42

--------------------------------------------------------------------------------- ǹȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ; ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ǹȞȐȜİțĲĮ -----------------------------------------------------------------------------

țĮȚ ȩĲĮȞ ȠȚ ĳȓȜȠȚ ĲȠȞ ıȣȝȕȠȪȜİȣĮȞ ȞĮ ʌȐİȚ ȞĮ ȟİțȠȣȡĮıĲİȓ ĮȣĲȩȢ ıȣȞȒșȚȗİ ȞĮ ĮʌĮȞĲȐ: «ĬĮ ȑȤȦ ȐĳșȠȞȠ ȤȡȩȞȠ ȞĮ ȟİțȠȣȡĮıĲȫ ȩĲĮȞ șĮ ĮȞĮʌĮȪȠȝĮȚ ıİ țȐʌȠȚȠȞ ĲȐĳȠ».

3) ȉĮ ʌȑȞĮȜĲȚ ıĲĮ 11 ȝȑĲȡĮ. ȉȠȞ ȑıĲȘıİ ıĲĮ 11 ȝȑĲȡĮ¨. ǼȓȞĮȚ ȝȓĮ ĳȡȐıȘ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ȩĲĮȞ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ʌİȡȚȖȡȐȥȠȣȝİ ȗȦȘȡȐ ĲȘ įȪıțȠȜȘ șȑıȘ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȑȤİȚ ȕȡİșİȓ țȐʌȠȚȠȢ. Ǿ İȚțȩȞĮ ʌȠȣ ĳȑȡȞȠȣȝİ ıĲȠ ȝȣĮȜȩ ȝĮȢ ĮȝȑıȦȢ İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ ĲȠȣ ĲİȡȝĮĲȠĳȪȜĮțĮ ʌȠȣ ȖİȝȐĲȠȢ ĮȖȦȞȓĮ ʌİȡȚȝȑȞİȚ ĲȠ țĲȪʌȘȝĮ ĲȠȣ ʌȑȞĮȜĲȚ Įʌȩ ȑȞĮȞ ĮȞĲȓʌĮȜȠ ʌĮȓțĲȘ.

ǲȤİĲİ ʌȠĲȑ ĮȞĮȡȦĲȘșİȓ ȖȚĮĲȓ ȑȤȠȣȝİ İʌȚȜȑȟİȚ ĲĮ 11 ȝȑĲȡĮ; Ȉ įȠȪȝİ ĲȚ ȜȑȞİ ȠȚ țĮȞȠȞȚıȝȠȓ ĲȠȣ ʌȠįȠıĳĮȓȡȠȣ ĮȜȜȐ țĮȚ ʌȦȢ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȑȤȠȣȞ ȣʌĮȖȠȡİȪıİȚ ĮȣĲȠȪȢ ĲȠȣȢ țĮȞȠȞȚıȝȠȪȢ. ǹȡȤȚțȐ Ș ʌȡȩșİıȘ ȒĲĮȞ ȞĮ ȣʌȐȡȤİȚ țĮȚ țȐʌȠȚȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ ȖȚĮ ĲȠȣȢ șİĮĲȑȢ, ȞĮ ĲȠȣȢ ĮȣȟȐȞİȚ ĲȘȞ ĮȖȦȞȓĮ ĮȜȜȐ țĮȚ ȞĮ șİȦȡȠȪȞ ȩĲȚ ȝȐȜȜȠȞ șĮ ȝʌİȚ țȐʌȠȚȠ ȖțȠȜ. ȈțȑĳĲȘțĮȞ ȩĲȚ șĮ ȒĲĮȞ țĮȜȩ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖȐȜȘ Ș ʌȚșĮȞȩĲȘĲĮ ȞĮ ȝȘȞ ȝʌİȚ ȖțȠȜ ĮȜȜȐ ȩĲȚ țĮȚ Ƞ ĲİȡȝĮĲȠĳȪȜĮțĮȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȑȤİȚ țȐʌȠȚȠ ȜȩȖȠ ıİ ĮȣĲȩ. ǼʌȑȜİȟĮȞ ȜȠȚʌȩȞ Ș ʌȚșĮȞȩĲȘĲĮ ȞĮ ȝʌİȚ ȖțȠȜ ȞĮ İȓȞĮȚ 75% țĮȚ ȝİ ȕȐıȘ ĮȣĲȩ ȞĮ İʌȚȜȑȟȠȣȞ țĮȚ ĲȘȞ ĮʌȩıĲĮıȘ ʌȠȣ șĮ ıĲȘșİȓ Ș ȝʌȐȜĮ. ǹȢ įȠȪȝİ ĲȚ ȜȑȞİ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ. ȉȠ ĲȑȡȝĮ ȑȤİȚ ȐȞȠȚȖȝĮ 7,32 ȝȑĲȡĮ țĮȚ ȪȥȠȢ 2,44. ǹʌȩ ĮȣĲȩ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ Ș İʌȚĳȐȞİȚȐ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ țĮĲİȣșȣȞșİȓ Ș ȝʌȐȜĮ ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ ʌİȡȓʌȠȣ 18 ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȐ ȝȑĲȡĮ. ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȩĲȚ Ƞ ĲİȡȝĮĲȠĳȪȜĮțĮȢ İȓȞĮȚ ʌİȡȓʌȠȣ 2 ȝȑĲȡĮ țĮȚ ĲȠ ȐȞȠȚȖȝĮ ĲȦȞ ȤİȡȚȫȞ ĲȠȣ ʌİȡȓʌȠȣ 2 ȝȑĲȡĮ, ȐȡĮ țĮȜȪʌĲİȚ ȝȓĮ İʌȚĳȐȞİȚĮ țȠȞĲȐ ıĲĮ 4 ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȐ ȝȑĲȡĮ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȠ 22% ʌİȡȓʌȠȣ ĲȘȢ İʌȚĳȐȞİȚĮȢ ĲȠȣ ĲȑȡȝĮĲȠȢ. ǱȡĮ ȝȑȞİȚ ĲȠ 78% ĮțȐȜȣʌĲȠ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ țȠȞĲȐ ıĲȠ 75%. ǹȢ įȠȪȝİ ĲȫȡĮ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ıİ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȝİ ĲȘ ĭȣıȚțȒ. ȈĲĮ ʌȑȞĮȜĲȚ Ƞ ȝȑıȠȢ ȩȡȠȢ ĲȘȢ ĲĮȤȪĲȘĲĮȢ ĲȘȢ ȝʌȐȜĮȢ İȓȞĮȚ ʌİȡȓʌȠȣ 100 ȤȚȜȚȩȝİĲȡĮ ĲȘȞ ȫȡĮ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ Ș ȝʌȐȜĮ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ʌİȡȓʌȠȣ 0,4 įİȣĲİȡȩȜİʌĲĮ ȖȚĮ ȞĮ ĳĲȐıİȚ ıĲȠ ĲȑȡȝĮ. ǲȞĮȢ ȐȞșȡȦʌȠȢ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ 0,2 įİȣĲİȡȩȜİʌĲĮ ȖȚĮ ȞĮ ĮȞĲȚȜȘĳșİȓ ʌȡȠȢ ĲȠ ʌȠȪ țĮĲİȣșȪȞİĲĮȚ Ș ȝʌȐȜĮ, ȐȡĮ ĲȠȣ ȝȑȞȠȣȞ 0,2 ĮțȩȝȘ ȖȚĮ ȞĮ ĮȞĲȚįȡȐıİȚ. Ǿ İțĲȓȞĮȟȘ İȞȩȢ țĮȜȠȪ ĲİȡȝĮĲȠĳȪȜĮțĮ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȚİȓĲĮȚ ȝİ ĲĮȤȪĲȘĲĮ 40 ȤȚȜȚȩȝİĲȡĮ ĲȘȞ ȫȡĮ țĮȚ țĮȜȪʌĲİȚ ĲȘȞ ĮʌȩıĲĮıȘ ĲȦȞ 3,66 ȝȑĲȡȦȞ (ĲȠ ȝȚıȩ ĲȑȡȝĮ) ıİ 0,33 įİȣĲİȡȠȜȑʌĲĮ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ Ƞ ĲİȡȝĮĲȠĳȪȜĮțĮȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ İț ĲȦȞ ʌȡȠĲȑȡȦȞ ȞĮ ȑȤİȚ ĮʌȠĳĮıȓıİȚ ıİ ʌȠȚĮ ȖȦȞȓĮ șĮ ʌȑıİȚ. http://www.tovima.gr/science/article/?aid=337336 (ȝİ ȕȐıȘ țİȓȝİȞȠ ĲȠȣ ǹ. īǹȁǻǹǻǹ) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ ǹǯ 108 Ĳ.4/43

1Ƞ īȊȂȃǹȈǿȅ ȈȀǹȁǹȈ ȍȇȍȆȅȊ ǹȉȉǿȀǾȈ

6Ș ǼȀĬǼȈǾ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀȍȃ

ǿȋȃǾȁǹȉȍȃȉǹȈ ȉǹ ǼȂȆȃǼȊȈȂǼȃǹ ȂȅȃȅȆǹȉǿǹ ȉȅȊ Ȃ. C. ESCHER ============== ȆĮȡȠȣıȓĮıȘ : ȈĲȐȝȘ ȉıȚțȠʌȠȪȜȠȣ ȉȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ıȤȠȜȚțȒ ȤȡȠȞȚȐ 2016-2017, Ș țĮșȘȖȒĲȡȚĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ț. ȂĮȡĮȖțȠȪ īİȦȡȖȓĮ ȜİȚĲȠȪȡȖȘıİ, ȖȚĮ 6Ș ıȣȞİȤȒ ıȤȠȜȚțȒ ȤȡȠȞȚȐ, ĲȠ ȂǹĬǾȂǹȉǿȀȅ ǼȇīǹȈȉǾȇǿ ıĲȠ 1Ƞ īȣȝȞȐıȚȠ ȈțȐȜĮȢ ȍȡȦʌȠȪ ǹĲĲȚțȒȢ. ȅȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȘȢ īǯ ĲȐȟȘȢ ʌȠȣ ĲȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ȤȡȠȞȚȐ ȝİ ĮĳȠȡȝȒ ĲĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İȓȤĮȞ ĮıȤȠȜȘșİȓ ȝİ ĲȚȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ țĮȚ İȓȤĮȞ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚ ĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ Ǽııİȡ, ʌȡȠıʌȐșȘıĮȞ ȞĮ «ʌȜȘıȚȐıȠȣȞ» ĲĮ ȤĮȡĮțĲȚțȐ ĲȠȣ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıȠȣȞ țȚ İțİȓȞȠȚ ĲĮ įȚțȐ ĲȠȣȢ ȑȡȖĮ ʌȠȣ ȞĮ ĲȠȣȢ ȝȠȚȐȗȠȣȞ! Ȉİ ĮȣĲȒȞ ĲȘȞ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ İȞİʌȜȐțȘıĮȞ țĮȚ ȠȚ ȝȚțȡȩĲİȡȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȘȢ Ǻǯ ĲȐȟȘȢ.

ȆȠȚȩȢ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ Ƞ Ǽııİȡ; O ȅȜȜĮȞįȩȢ ȂȐȠȣȡȚĲȢ ȀȠȡȞȑȜȚȢ ǲıİȡ (17 ǿȠȣȞȓȠȣ 1898 – 27 ȂĮȡĲȓȠȣ 1972), șİȦȡİȓĲĮȚ įȚțĮȓȦȢ ȦȢ Ƞ ȤĮȡȐțĲȘȢ ʌȠȣ ȠȚ ȚįȑİȢ țĮȚ ȠȚ įȘȝȚȠȣȡȖȓİȢ ĲȠȣ ȑȤȠȣȞ ĲȘ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ ıȣȞȐĳİȚĮ ȝİ ĲĮ MĮșȘȝĮĲȚțȐ. ȉȠ ȑȡȖȠ ʌȠȣ ĲȠȞ ȑțĮȞİ ʌĮıȓȖȞȦıĲȠ ȒĲĮȞ Ș ıȣıĲȘȝĮĲȚțȒ įȚĮȓȡİıȘ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ țĮȚ ȠȚ ʌİȡȓĳȘȝİȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ ĲȠȣ. ǲȞĮ ȑȡȖȠ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ țȣȡȚĮȡȤİȓ Ș ȖİȦȝİĲȡȓĮ. ȅ ȓįȚȠȢ İȓȤİ ʌİȚ : «ȆȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȜȠȣıȚȩĲİȡȘ ʌȘȖȒ ȑȝʌȞİȣıȘȢ ʌȠȣ İȓȤĮ ʌȠĲȑ: ȅ ĲȡȩʌȠȢ ȝİ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȝȚĮ İʌȚĳȐȞİȚĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ įȚĮȚȡİșİȓ, Ȓ ȞĮ ȖİȝȓıİȚ ȝİ ȠȝȠȚȩȝȠȡĳĮ ıȤȒȝĮĲĮ ʌȠȣ İĳȐʌĲȠȞĲĮȚ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ĮĳȒȞȠȣȞ țĮșȩȜȠȣ țİȞȐ.» ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȜȠȚʌȩȞ ıĲȚȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ İȓȞĮȚ ȞĮ «ȖİȝȓıȠȣȝİ» ĲȠ İʌȓʌİįȠ ȤȦȡȓȢ țİȞȐ țĮȚ İʌȚțĮȜȪȥİȚȢ, μİ ĲĮ ʌȜĮțȐțȚĮ – țȠȝȝĮĲȐțȚĮ ʌȠȣ μĮȢ įȓȞȠȞĲĮȚ țĮȚ ĮȣĲȩ įİȞ İȓȞĮȚ ʌȐȞĲĮ İĳȚțĲȩ. ǼȟĮȚĲȓĮȢ ĲȘȢ ȠȚțȠįȠȝȚțȒȢ ȤȡȘıȚȝȩĲȘĲȐȢ ĲȘȢ, ȖȚĮ ĲȘȞ țȐȜȣȥȘ įĮʌȑįȦȞ țĮȚ ĲȠȓȤȦȞ ȝİ ʌȜĮțȐțȚĮ, Ș ȖİȦȝİĲȡȚțȒ «ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ», ȑȤİȚ ĮʌĮıȤȠȜȒıİȚ ĲĮ ȝİȖĮȜȪĲİȡĮ ʌȞİȪȝĮĲĮ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤĮȚȩǼȊȀȁǼǿǻǾ ǹǯ 108 Ĳ.4/44

ǦǦ 1Ƞ īȊȂȃǹȈǿȅ ȈȀǹȁǹȈ ȍȇȍȆȅȊ ǹȉȉǿȀǾȈ ǿȋȃǾȁǹȉȍȃȉǹȈ ȉǹ ǼȂȆȃǼȊȈȂǼȃǹ ȂȅȃȅȆǹȉǿǹ ȉȅȊ Ȃ. C. ESCHER ǦǦǦ

ĲȘĲĮ ȝȑȤȡȚ țĮȚ ĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ İʌȠȤȒ. ȅ ǲııİȡ ȩĲĮȞ İʌȚıțȑĳĲȘțİ ĲȠ 1922, ĲĮ ȝĮȣȡȚĲĮȞȚțȐ ʌĮȜȐĲȚĮ ĲȘȢ ǹȜȐȝʌȡĮȢ ıĲȘȞ ǿıʌĮȞȓĮ, ȖȠȘĲİȪĲȘțİ Įʌȩ ĲĮ ʌİȡȓĲİȤȞĮ įȚĮțȠıȝȘĲȚțȐ ıȤȑįȚĮ ȝİ ĲĮ İʌĮȞĮȜĮȝȕĮȞȩȝİȞĮ ȝȠĲȓȕĮ ʌȠȣ ıĲȠȜȓȗȠȣȞ įȐʌİįĮ țĮȚ ĲȠȓȤȠȣȢ țĮȚ ȟİțȓȞȘıİ ȝȚĮ İțĲİĲĮȝȑȞȘ ȝİȜȑĲȘ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȘ ıȣȝȝİĲȡȓĮ țĮȚ ĲȠȞ įȚĮȤȦȡȚıȝȩ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ıİ ȓıĮ ıȤȒȝĮĲĮ Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠȑțȣȥĮȞ țĮȚ ȠȚ ʌİȡȓĳȘȝİȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ ĲȠȣ. Ȉİ ȝȚĮ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȞĮ įȫıİȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ȞȩȘȝĮ ıĲĮ ĮĳȘȡȘȝȑȞĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ıȤȑįȚĮ ĲȦȞ ȂĮȣȡȚĲĮȞȫȞ, ʌȠȣ ȖȚĮ ǻȚĮțȠıȝȘĲȚțȩ ȝȠĲȓȕȠ ıİ ĲȠȓȤȠ șȡȘıțİȣĲȚțȠȪȢ ȜȩȖȠȣȢ ȦȢ ȝȠȣıȠȣȜȝȐȞȠȚ, įİȞ ıȤİįȚȐȗȠȣȞ ĲȘȢ ǹȜȐȝʌȡĮ. ȑȝȥȣȤİȢ ȝȠȡĳȑȢ, Ƞ ǲııİȡ ıȤİįȓĮıİ ıĲĮ įȚțȐ ĲȠȣ ıȤȑįȚĮ, ıȪȝȕȠȜĮ ȝİ ĮȞĮĳȠȡȑȢ ıĲȠȞ ĳȣıȚțȩ țȩıȝȠ (ĮȞșȡȫʌȚȞİȢ ĳȚȖȠȪȡİȢ, İȡʌİĲȐ, țĲȜ.). ǹȣĲȒ Ș ĲİȤȞȠĲȡȠʌȓĮ ȝİĲĮȝȠȡĳȫșȘțİ ıİ ȝȚĮ ıİȚȡȐ ȟȣȜȩȖȜȣʌĲĮ, ʌȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȒșȘțĮȞ Įʌȩ ĲȠ 1936 țĮȚ ȪıĲİȡĮ țĮȚ ĲĮ ȠʌȠȓĮ Ƞ ȓįȚȠȢ Ƞ ǲııİȡ įȘȝȠıȓİȣıİ ĲȠ 1958, ıĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ ‘The Regular Division of the Plane'’. ǹʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘ ıȣȜȜȠȖȒ ĲȠȣ ǲııİȡ İȓȞĮȚ țĮȚ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȑȡȖĮ ĲȠȣ.

ǿʌĲȐȝİȞĮ ȥȐȡȚĮ

ǿʌʌİȓȢ

ȈĮȪȡİȢ țĮȚ ȕȐĲȡĮȤȠȚ

ȆȦȢ ȩȝȦȢ țĮĲȩȡșȦıİ Ƞ ǲııİȡ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ʌȠȜȪʌȜȠțİȢ țĮȚ İȞĲȣʌȦıȚĮțȑȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ ȝİ ĲĮ İʌĮȞĮȜĮȝȕĮȞȩȝİȞĮ ȓıĮ ȝȠĲȓȕĮ; ȅȚ ȝĮșȘĲȑȢ ʌĮȡĮĲȒȡȘıĮȞ ʌȡȠıİțĲȚțȐ, ȠȡȚıȝȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ʌȚȠ ĮʌȜȐ ıȤȑįȚĮ ĲȠȣ ǲııİȡ țĮȚ ʌȡȠıʌȐșȘıĮȞ ȞĮ țĮĲĮȜȐȕȠȣȞ ĲȠ ȖİȦȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣȢ ȣʌȩȕĮșȡȠ țĮȚ įİȞ ȐȡȖȘıĮȞ ȞĮ ĲȠ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȞ. ǹʌȩ ĲȘȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȘ ĲȐȟȘ ȖȞȫȡȚȗĮȞ ȩĲȚ ĲĮ ȝȩȞĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ ʌȠȣ țĮȜȪʌĲȠȣȞ ĲȑȜİȚĮ ȝȓĮ İʌȚĳȐȞİȚĮ (ȑȞĮ İʌȓʌİįȠ) ȤȦȡȓȢ ȞĮ ĮĳȒȞȠȣȞ țİȞȐ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ țĮȚ ȤȦȡȓȢ ȞĮ İʌȚțĮȜȪʌĲȠȣȞ ĲȠ ȑȞĮ ĲȠ ȐȜȜȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ, ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ țĮȚ ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ İȟȐȖȦȞȠ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıİ țĮȚ Ƞ ȝĮșȘĲȒȢ ĲȠȣ İȡȖĮıĲȘȡȓȠȣ ĲȘȢ įȚʌȜĮȞȒȢ ĳȦĲȠȖȡĮĳȓĮȢ, ȖȚĮ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİȚ ĲȘȞ įȚțȒ ĲȠȣ ʌȜĮțȩıĲȦıȘ. ǼȓȞĮȚ ĲĮ ȝȩȞĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ İʌİȚįȒ, ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ĲȠȣȢ, ȩĲĮȞ ĲĮ ĲĮȚȡȚȐȟȠȣȝİ ȖȪȡȦ Įʌȩ ȝȚĮ țȠȚȞȒ țȠȡȣĳȒ, ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 3600 , įȘȜĮįȒ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ȝȚĮ ʌȜȒȡȘ ȖȦȞȓĮ.

ȆȡȐȖȝĮĲȚ : - 3·1200 = 3600 ȖȚĮ ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ İȟȐȖȦȞȠ - 4·900 = 3600 ȖȚĮ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ țĮȚ - 6·600 = 3600 ȖȚĮ ĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ.

īȚĮ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİĲİ ȜȠȚʌȩȞ ȝȚĮ … țĮȜȜȚĲİȤȞȚțȒ ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ ȟİțȚȞȒıĲİ ȝİ ȑȞĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ǹĳĮȚȡȑıĲİ įȪȠ ȓıĮ ĲȡȓȖȦȞĮ Įʌȩ ĲȘȞ țȐĲȦ ĮȡȚıĲİȡȒ țĮȚ țȐĲȦ įİȟȚȐ ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ țĮȚ ȝİĲĮĳȑȡİĲİ ĲĮ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ĲȠȣ. ǹȞ ʌȡȠıșȑıİĲİ ıĲȠȚȤİȓĮ Įʌȩ ĲȘ ĳĮȞĲĮıȓĮ ıĮȢ ĲȩĲİ ȑȤİĲİ ĲȠ țİĳȐȜȚ ȝȚĮȢ ǼȊȀȁǼǿǻǾ ǹǯ 108 Ĳ.4/45

ǦǦ 1Ƞ īȊȂȃǹȈǿȅ ȈȀǹȁǹȈ ȍȇȍȆȅȊ ǹȉȉǿȀǾȈ ǿȋȃǾȁǹȉȍȃȉǹȈ ȉǹ ǼȂȆȃǼȊȈȂǼȃǹ ȂȅȃȅȆǹȉǿǹ ȉȅȊ Ȃ. C. ESCHER ǦǦǦ

ȖȐĲĮȢ. ǹȞĲȚȖȡȐȥĲİ ĲȠ ıȤȑįȚȠ țĮȚ ȑȤȠȞĲĮȢ ĲȠ ȦȢ ʌȡȩĲȣʌȠ, ıȤȘȝĮĲȓıĲİ ĲȠ ʌİȡȓȖȡĮȝȝȐ ĲȠȣ ʌȠȜȜȑȢ ĳȠȡȑȢ ĮĳȠȪ ĲȠ ȝİĲĮĳȑȡİĲİ ʌȐȞȦ, țȐĲȦ țĮȚ įİȟȚȐ Įʌȩ ĲȠ ĮȡȤȚțȩ ıȤȑįȚȠ țĮȚ șĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİĲİ ȝȚĮ ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ. ȀĮȚ ĮȞ ĮȣĲȩ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȘȢ ȖȐĲĮȢ ĲȠ șİȦȡİȓĲİ ʌȠȜȪ ĮʌȜȩ, įȠțȚȝȐıĲİ țĮȚ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ȑĳĲȚĮȟĮȞ ĲĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȠȣ İȡȖĮıĲȘȡȓȠȣ ȝİ ȕȐıȘ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ. ǹȡțİȓ ȞĮ ʌȡȠıșȑıİĲİ ĮȡȚıĲİȡȐ țĮȚ įİȟȚȐ (ıȣȝȝİĲȡȚțȐ) ĲȠȣ, įȪȠ ȓıĮ ıȤȒȝĮĲĮ țĮȚ ĲȩĲİ, ȩĲĮȞ ĲȠ ĲİȜȚțȩ ıȤȑįȚȠ ĲȠ ȝİĲĮțȚȞȒıİĲİ țĮĲȐȜȜȘȜĮ, șĮ ʌȐȡİĲİ ȝȚĮȞ ʌȚȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıĮ ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ.

ȆȡȠıȠȤȒ ıĲȠ ıȤȒȝĮ ʌȠȣ șĮ ʌȡȠıșȑıİĲİ, ȫıĲİ ȞĮ ȝȘȞ ȖȓȞİĲĮȚ İʌȚțȐȜȣȥȘ ȝȑȡȠȣȢ ĲȠȣ Įʌȩ ĲȠ İʌȩȝİȞȠ țĮĲȐ ĲȘ ȝİĲĮĳȠȡȐ. ȆİȚȡĮȝĮĲȚıĲİȓĲİ țĮȚ șĮ țĮĲĮȜȐȕİĲİ ʌȦȢ ȞĮ ĲȠ ıȤȘȝĮĲȓıİĲİ. ȆȠȜȪ İȞĲȣʌȦıȚĮțȑȢ ʌȜĮțȠıĲȫıİȚȢ ȝʌȠȡİȓĲİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȒıİĲİ țĮȚ ȝİ ĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ. ȃĮ ʌȦȢ ĲȠ ʌȑĲȣȤĮȞ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ İȡȖĮıĲȘȡȓȠȣ: ȈĲȘȞ ĮȡȤȒ ıȤİįȓĮıĮȞ ȑȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȑțȠȥĮȞ Įʌȩ ȝȚĮ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ ȑȞĮ ıȤȒȝĮ țĮȚ ĲȠ ʌȡȩıșİıĮȞ ıİ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ. ȉȠ ȓįȚȠ ȑțĮȞĮȞ țĮȚ ȝİ ȐȜȜĮ ıȤȒȝĮĲĮ ȝİĲĮȝȠȡȫȞȠȞĲĮȢ ĲȠ ĮʌȜȩ ĮȡȤȚțȩ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ıİ ȑȞĮ ıȤȒȝĮ ʌȠȣ șȣȝȓȗİȚ ʌȠȣȜȓ (!). ȉȠ ȞȑȠ ĮȣĲȩ ıȤȒȝĮ ĲȠ ȑțȠȥĮȞ țĮȚ ĲȠ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıĮȞ ȦȢ ʌȡȩĲȣʌȠ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮĳȠȪ ʌȡȫĲĮ ıȤİįȓĮıĮȞ ĲȠ ʌİȡȚȖȡĮȝȝȐ ĲȠȣ, ĲȠʌȠșȑĲȘıĮȞ ĲȠ ʌȡȩĲȣʌȠ įȓʌȜĮ ĲȠȣ țĮȚ ĲȠ ĮȞĲȓȖȡĮȥĮȞ ȖȚĮ ȝȚĮ ĮțȩȝĮ ĳȠȡȐ. īȚĮ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȘșİȓ Ș ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ ȤȡİȚȐıĲȘțİ ȞĮ ĮȞĲȚȖȡȐȥȠȣȞ ĲȠ ʌİȡȓȖȡĮȝȝȐ ĲȠȣ ʌȠȜȜȑȢ ĳȠȡȑȢ. ȉȑȜȠȢ ʌȡȩıșİıĮȞ ĲȘȞ įȚțȒ ĲȠȣȢ țĮȜȜȚĲİȤȞȚțȒ ʌȚȞİȜȚȐ, ȤȡȦȝĮĲȓȗȠȞĲĮȢ ȝİ įȪȠ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ȤȡȫȝĮĲĮ ĲĮ ıȤİįȚȐ ĲȠȣȢ, ʌȡȩıșİıĮȞ țĮȡįȠȪȜİȢ țĮȚ ȐȜȜĮ ıĲȠȚȤİȓĮ țĮȚ įȘȝȚȠȪȡȖȘıĮȞ ĲȘ įȚțȒ ĲȠȣȢ ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ ʌȠȣ șȣȝȓȗİȚ ĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ ǲııİȡ.

ĬĮ ʌȡȑʌİȚ İįȫ ȞĮ İʌȚıȘȝȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ İȡȖĮıĲȘȡȓȠȣ ȤȡİȚȐıĲȘțİ ȞĮ ʌİȚȡĮȝĮĲȚıșȠȪȞ ʌȠȜȜȑȢ ĳȠȡȑȢ ȖȚĮ ĲȠ ʌȠȚȐ ıȤȒȝĮĲĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ țȠʌȠȪȞ Įʌȩ ȝȚĮ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ ȚıȠʌȜİȪȡȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ, ıİ ʌȠȚȐ Įʌȩ ĲȚȢ ȣʌȩȜȠȚʌİȢ ȐȜȜİȢ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ ıİ ʌȠȚȐ șȑıȘ ĲȠȣȢ ȑʌȡİʌİ ȞĮ İʌȚțȠȜȘșȠȪȞ ȫıĲİ ȩĲĮȞ ĲȠʌȠșİĲȘșȠȪȞ įȚĮįȠȤȚțȐ ĲȠ ȑȞĮ įȓʌȜĮ ıĲȠ ȐȜȜȠ, ȞĮ “țȠȣȝʌȫȞȠȣȞ”. ȉȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȩȝȦȢ ĲȠȣȢ ĮʌȠȗȘȝȓȦıİ. ȀĮȚ ȞĮ ĲĮ ıȤİįȚȐ ĲȠȣȢ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾ ǹǯ 108 Ĳ.4/46

ǦǦ 1Ƞ īȊȂȃǹȈǿȅ ȈȀǹȁǹȈ ȍȇȍȆȅȊ ǹȉȉǿȀǾȈ ǿȋȃǾȁǹȉȍȃȉǹȈ ȉǹ ǼȂȆȃǼȊȈȂǼȃǹ ȂȅȃȅȆǹȉǿǹ ȉȅȊ Ȃ. C. ESCHER ǦǦǦ

Ȃİ ȑȟȚ ȓıĮ ĲȡȚȖȦȞȚțȐ ıȤȒȝĮĲĮ, ʌȠȣ ʌȡȠȑțȣȥĮȞ Įʌȩ ȑȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ, įȘȝȚȠȪȡȖȘıĮȞ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ İȡȖĮıĲȘȡȓȠȣ ȝȚĮ ĮțȩȝĮ ʌȜĮțȩıĲȡȦıȘ ıİ ȝĮȪȡȠ țĮȚ țȩțțȚȞȠ ȤȡȫȝĮ, ĲȠʌȠĲİĲȫȞĲĮȢ ĲĮ ȖȪȡȦ Įʌȩ ȑȞĮ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ. ȈȤİįȓĮıĮȞ ʌȡȫĲĮ ȑȞĮ ıȤȒȝĮ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȝİ ıĲȡȠĳȒ ĲȠȣ ʌȡȠĲȪʌȠȣ țĮĲȐ 60Ƞ ıȤİįȓĮıĮȞ ĲȠ įİȪĲİȡȠ țĮȚ ĲȠ ĲȡȓĲȠ ĮȜȜȐ țĮȚ ȩȜĮ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ȖȚĮĲȓ ȩʌȦȢ ȖȞȦȡȓȗİĲİ ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ İȟȐȖȦȞȠ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȑȟȚ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ.

ǵıȠ ʌȚȠ ʌȠȜȪʌȜȠțȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ĲȡȚȖȦȞȚțȩ ıȤȒȝĮ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȩıȠ ʌȚȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıİȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȝİ. ǺĮıȚțȩ ȡȩȜȠ ȩȝȦȢ ʌĮȓȗȠȣȞ ĲĮ ȤȡȫȝĮĲĮ țĮȚ ȠȚ İʌȚʌȜȑȠȞ įȚĮțȠıȝȒıİȚȢ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ Ƞ țȐșİ ȝĮșȘĲȒȢ.

OȚ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ 1Ƞȣ īȣȝȞĮıȓȠȣ ȈțȐȜĮȢ ȍȡȦʌȠȪ ĮȟȚȠʌȠȓȘıĮȞ ĲȚȢ ȕĮıȚțȑȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȑȢ ȖȞȫıİȚȢ ʌȠȣ ȒįȘ İȓȤĮȞ ȖȚĮ ĲĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ țĮȚ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ĲȠȣȢ țĮșȫȢ țĮȚ ȕĮıȚțȑȢ ȖȞȫıİȚȢ ĲȠȣȢ ıĲȘ ıȣȝȝİĲȡȓĮ, ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȤȡİȚȐıĲȘțİ ȞĮ ĲȚȢ İʌĮȞĮțĲȒıȠȣȞ ȝİ İʌĮȞȐȜȘȥȘ ĲȘȢ ıȤİĲȚțȒȢ șİȦȡȓĮȢ, țĮșȫȢ țĮȚ ȝİ İʌȓȝȠȞȘ İȟȐıțȘıȘ ıĲȘ ȤȡȒıȘ ĲȦȞ ȖİȦȝİĲȡȚțȫȞ ȠȡȖȐȞȦȞ. ȍıĲȩıȠ ȝȑıȦ ĲȦȞ ǼȊȀȁǼǿǻǾ ǹǯ 108 Ĳ.4/47

ǦǦ 1Ƞ īȊȂȃǹȈǿȅ ȈȀǹȁǹȈ ȍȇȍȆȅȊ ǹȉȉǿȀǾȈ ǿȋȃǾȁǹȉȍȃȉǹȈ ȉǹ ǼȂȆȃǼȊȈȂǼȃǹ ȂȅȃȅȆǹȉǿǹ ȉȅȊ Ȃ. C. ESCHER ǦǦǦ

ȖİȦȝİĲȡȚțȫȞ ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȚıȝȫȞ (ȝİĲĮĳȠȡȐ, ıĲȡȠĳȒ, ĮȞȐțȜĮıȘ) ĮʌȑțĲȘıĮȞ İȣİȜȚȟȓĮ ıĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ĲȘȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȒȢ ĲȠȣȢ ıțȑȥȘȢ țĮȚ ĲȠȣȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıĮȞ ȦȢ İȡȖĮȜİȓȠ ȖȚĮ ĲȘ ȝİȜȑĲȘ țĮȚ ĮȚĲȚȠȜȩȖȘıȘ ĲȦȞ ȚįȚȠĲȒĲȦȞ ĲȦȞ ȖİȦȝİĲȡȚțȫȞ ıȤȘȝȐĲȦȞ. ȅȚ ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȚıȝȠȓ ȝİ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ĮıȤȠȜȒșȘțĮȞ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ȒĲĮȞ İțİȓȞȠȚ ıĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ įİȞ ĮȜȜȐȗȠȣȞ ȝȠȡĳȒ ĲĮ ıȤȒȝĮĲĮ țĮȚ ĲȠȣȢ ȒĲĮȞ ĲİȜȚțȐ ȤȡȒıȚȝȠȚ ıĲȠ ȞĮ ıȤİįȚȐıȠȣȞ țĮȚ ĲȚȢ įȚțȑȢ ĲȠȣȢ ʌȜĮțȠıĲȡȫıİȚȢ. ǻİȞ ȑȜİȚȥĮȞ țĮȚ ȠȚ ʌȡȠıʌȐșİȚİȢ ȝİ ĲȠȞ Ǿ/Ȋ. Ȃİ ĲȠ İțʌĮȚįİȣĲȚțȩ ȜȠȖȚıȝȚțȩ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ İȓȤĮȞ ĲȘȞ İȣțĮȚȡȓĮ ȞĮ İĳĮȡȝȩıȠȣȞ ĲȠȣȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȠȪȢ ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȚıȝȠȪȢ (ĮȞȐțȜĮıȘ, ıĲȡȠĳȒ țĮȚ ȝİĲĮĳȠȡȐ) ȝİ ĮʌȜȠȪıĲİȡȠ țĮȚ ʌȚȠ țĮĲĮȞȠȘĲȩ ĲȡȩʌȠ. ȅ ȝĮșȘĲȒȢ ĲȘȢ ĳȦĲȠȖȡĮĳȓĮȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ȦȢ ʌȡȩĲȣʌȠ ĲȠ țİĳȐȜȚ ĲȘȢ ȖȐĲĮȢ.

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