Άσκηση 2η Αν x+y=2√2 και x3+y3=8 να δείξετε ότι η παράσταση �𝑥 2012 + 𝑦 2012 είναι φυσικός αριθμός
Λύση
Από την σχέση x+y=2√2 έχουμε ότι (𝑥 + 𝑦)3 = (2√2)3 άρα x3+y3+3x2y+3xy2=8 όμως x3+y3=8 άρα
3x2y+3xy2+8=8 άρα 3xy(x+y)=0 άρα x=0 ή y=0 ή x+y=0(αδυνατο) 1η περίπτωση x=0 αρα y=2√2 και η παράσταση �𝑥 2012 + 𝑦 2012 =
�(2√2)2012 = (2√2)1006 = 21006 2503 = 21509 = 𝜑𝜐𝜎𝜄𝜅𝜊𝜍
2η περίπτωση y=0 αρα x=2√2 και η παράσταση �𝑥 2012 + 𝑦 2012 =
�(2√2)2012 = (2√2)1006 = 21006 2503 = 21509 = 𝜑𝜐𝜎𝜄𝜅𝜊𝜍