Ευκλειδης α 101 by demi de

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ ,

για το yυμvασιο

α,

Ευκλείδης ./ Ιστορία των Μαθηματικών

e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

./ •

Μαθηματικά και ... Ετυμολογία

Γαρεφαλάκης Γιώργος - Σιούλας Γιάννης..................

./ Μαθηματικά στον Κόσμο

Τα αρχαία Νομίσματα των Χανίων τα Μαθηματικά και μια πρώιμη νομισματική ένωση στην Ευρώπη Γιάννης Γ. Καλογεράκης . . .............................................. 5 Τα Μαθηματικά σε καταστάσεις - προβλήματα της αθημερινής ζωής Επιμέλεια: Σπύρος Φερεντίνος

.....................................

./ Τα Μαθηματικά στο Σχολείο • Α' Τάξη

Οι κλασματικές μονάδες και τα κλάσματα Γιάννης Γ. Καλογεράκης ..... . .......................................... 12 •

Β'

Τάξη

Εξισώσεις και ανισώσεις 1ου βαθμού Ευριπίδης Θέμελης

Τεύχος 101 Ιούλιος- Αύγουστος- Σεπτέμβριος 2016 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Τα εμβαδά και το Πυθαγόρειο Θεώρημα Στέφανος Κείσογλου ..................................................... 24

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο r· Τάξη

Παραγοντοποίηση και λύση εξίσωσης με παραγοντοποίηση Παντελής Μακρυμανωλάκης ........... . . ..................... ......... 30 Βασικές Αλγεβρικές Ταυτότητες Μαριάννα Χαρτζουλάκη ................................................ 32

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα

................................. . . 35

Μαθαίνω από τα λάθη μου Επιμέλεια: Νίκος Τζίφος .................... . .. . ....... . ........ . ....... Μαθηματικά, μια παγκόσμια γλώσσα. Ευριπίδης Θέμελης ........................................................ Μαθηματικά και ΧΙΟΥΜΟΡ .................................... Sη ΕΚΘΕΣΗ ΜΑΘΗΜΑΠΚΩΝ, στο 1ο Γυμνάσιο Σκάλας Ωρωπού Επιμέλεια: Στάμη Τσικοπούλου ................... . ....... . . . ...... . .. . . Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Μαρία Ρουσούλη ..........................................................

42 43 45

46 50

........................................................................................................•.......

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑJΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Πρόεδρος:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34, 106 79 ΑΘΗΝΑ

Κείσογλου Στέφανος

Fax: 210 3641025

Α' Αντιπρόεδρος:

Τηλ.: 210 3617784

•

210 3616532

Εκδότης:

Κυράνας Παναγιώτης

Διευθυντής:

Ιωάννης Τυρλή ι;

Λυμπερόπουλος Γεώργιος

Επιμέλεια Έκδοσης:

Αλαφάκη Σταυρούλα Αρδαβόνη Πόπη Βιτζιλαίου Μαρία Δορyιάκη Ιωάννα Θεοδωρόπουλος Θρασύβουλος Κυράνας Παναγιώτης Κυριακοπούλου Νάνου Κωνσταντινίδης Αριστείδης Λαyός Γεώργιος Λυμπερόπουλος Γεώργιος

Νικόλαος Αλεξανδρής

Κυριακοπούλου Νάνσυ

Κωδικός

ΕΛ.ΤΑ: 2054

ISSN: 1105

•

7998

Γράμμα της Σύνταξης

Συντακτική Επιτροπή

Β' Αντιπρόεδρος: Μέλη:

Σε αυτό το τεύχος τον πρώτο λόγο έχουν οι συ νάδελφοι από το παράρτημα της. Ε.Μ.Ε, των Χανίων. Είναι μια άτυπη αρχή σύμφωνα με την οποία το μεγαλύτερο μέρος του πρώτου τεύχους της νέας Σχολικής Χρονιάς καλύπτεται από άρθρα συναδέλφων του παραρτήματος της ΕΜΕ που έχει αναλάβει το συνέδριο της συγκεκριμέvηςχρονιάς. Στην προσπάθεια εμπλουτισμού τού ύλικού του περιοδικού επιχειρούμε να καθιερώσουμε μια ενότητα με θέμα το Μαθηματικό Χιούμορ. Περιμένουμε και τις δικές σας ιδέες, προτάσεις παρατηρήσεις και υλικά. Η Συντακτική Επιτροπή του περιοδικού σας εύχεται ΚαλήΣχολ ικήΧpοvιά και ΚαλήΔύναμη

Μακρυνιώτης Στυλιανός-Ηλίας Μενδωνίδης Γεώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακάλης Αναστάσιος Παλαιογιαννίδης Δημήτριος Παπαδάκη Άννα Παπαδάκη Δώρα Σίσκου Μαρία Τζίφος Νίκος Τσικοπούλου Στάμη Φερεντίνος Σπυρίδων Αποκεντρωμένοι συνεργάτες

Αναστάσιος Πατρώνης (Πάτρα) Γιάννης θωμαίδης (Θεσ/νίκη) Γιώργος Ρίζος (Κέρκυρα) Γιώργος Τσαπακίδης (Αγρίνιο) Ειρήνη Περισυνάκη (Κρήτη) Γιάννης Ράλλης (Χiος) Μαρία Ρουσούλη (Καστοριά)

Εκ μέρους της Συνrακτικής επιτροπής του Ευκλείδη Α' Ο Πρόεδρος Στέφανος Κέί'σοyλου τ. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών Η

ΙΔιΟΚΥΗΣιΑ της ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗΣ ΕτΑΙΡΕΙΑΣ

•

Στοιχειοθεσία- Σελιδοποίηση: HAIPEIA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΊΙΚΗ Εκτύπωση:

ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & τηλ: 210 6623778-358

ΣΙΑ ΕΕ).

Υπεύθυνος τυπογραφείου: Δ. Παπαδόπουλος

έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ πρέπει να στε"λνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη ''Για τον Ευκλείδη Α'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00

Ετήσια συνδρομή (10,00+2,00 Ταχυδρομικά=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00

Το αντίτιμο για τα τεuχη που παραγγέλνονται στελ " νεται:

1. Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την τράπεζα EUROBANK 3.

Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Μαθηματικά και ... Ετυμολογία =======

Των: Γ αρεφ αλάκη Γιώργου - Σιούλα Γιάννη

((Αρχή σοφiας ονομάτων επiσκεψις,, Λντισθέvης

Ακολουθώντας τον Αντισθέvη που μας προτρέπει να κατανοήσουμε τα ονόματα, τις έννοιες, αν θέλουμε να εισχωρήσουμε στο βάθος μιας επιστήμης, θα ετυμολογήσουμε, δηλαδή θα αναζητήσουμε την αλήθεια κάποιων συχνόχρηστων μαθηματικών εννοιών. Η λέξη έτυμος σημαίνει αληθής< ετεόν=αληθές. Γλώσσα και Μαθηματικά είναι δύο έννοιες που για τους aρχαίους Έλληνες είναι συνυφασμένες. Δεν είναι τυχαίο που οι πρόγονοί μας χρησιμοποιούσαν το αλφάβητο εκτός από τη γραφή της γλώσσας και για τα μαθηματικά. Τα γράμματα ήσαν και αριθμοί. Έτσι καμιά άλλη γλώσσα δεν εξέφρασε με τόση σαφήνει_ α και ακρίβεια τους μαθηματικούς όρους. Η βαθιά γνώση της ελληνικής γλώσσας μάς εmτρέπει πολλές φορές την κατανόηση μαθηματικών εννοιών. Ας δούμε το «έτυμον» μερικών από αυτές: Μαθηματικά: (τα) Η επιστήμη που έχει ως αντικείμενο τη συστηματική εξέταση των φυσικών μεγεθών, των σχημάτων, των σημείων, των αριθμών και τις μεταξύ τους σχέσεις. Προέρχεται από τη λέξη «μάθημα»< μαθαίνω< μανθάνω. Ο όρος χρησιμοποιήθηκε αρχικά από το φιλόσοφο Αρχύτα (4°ς αι. π.Χ.). Οι Περιπατητικοί φιλόσοφοι λένε όσον αφορά τη ρητορική, την ποίηση και τη μουσική ότι είναι δυνατόν να τα παρακολουθήσει κάποιος μη γνώστης τους. Όσον αφορά όμως τα «κυρίως μαθήματα» κανείς δε μπορεί να τα κατανοήσει, αν προηγουμένως δεν εντρυφήσει σε αυτά. Γι' αυτό ονόμαζαν Μαθηματικά τη θεωρία που ασχολείται με αυτά. Οι Πυθαγόρειοι είχαν δώσει ιδιαίτερο όνομα (Μαθηματικά) για μόνες Α ρχύτας τη Γεωμετρία και την Αριθμητική. Τα ονόμαζαν έτσι διότι έβρισκαν σε αυτές το εmστημονικό και το κατάλληλο για μάθηση, γιατί έβλεπαν ότι ασχολούνταν με αυτά που είναι αιώνια, αμετάβλητα και ξεκάθαρα και τα οποία παραδέχονταν ως επιστήμη. Ο Πλάτωνας (Νόμοι) μιλάει για «τρία μαθήματα» (αριθμητική, γεωμετρία και αστρονομία), τα οποία αργότερα θα γίνουν «τα τέσσερα μαθήματα» με την προσθήκη της αρμονικής (μαθηματική θεωρία της μουσικής). Άθρ ο ισμα : Εκ του ρήματος αθροίζω < αθρόος=άφθονος, μαζικός < α+θρόος=Θόρυβος ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.l/1

---

Μαθηματικά και . . . Ετυμολογία

Άλγεβρα: Ο Μωχάμεντ Ιμπν Μουσσά αλ Χοβαριζμί (780-850 περίπου), σπουδαίος Άραβας μαθηματικός, έγραψε δυο βιβλία. Το αραβικό κείμενο του δευτέρου σώζεται και έχει τον τίτλο: «Χισάμπ αλ-τζαμπρ ουάλ μουκάμπολα» (κατά λέξη: «επιστήμη αναγωγής και ισοστάθμισης>>. Η λέξη ολ-τζαμπρ έγινε ολγάμπρ κ:αι στη συνέχεια . . . άλγεβρα. Ως τα μέσα του 1 9°υ αι., η άλγεβρα ήταν η επιστήμη των εξισώσεων. Στα ελληνικά εμφανίζεται το 179 1 από το λατινικό algebra. Αλγόρ ιθ μος : Λατινοποιημένο το όνομα του ανωτέρω συγγραφέα (Αλ Χοβαρίσζμι) θα μετατραπεί διαδοχικά σε Αλχοαρίσμι > Αλγορίσμι > Αλγόρισμος > Αλγόριθμος και θα σημαίνει κάθε μαθηματικό τρόπο που συνίσταται στην αυτόματη μετάβαση, με αυστηρή σύνδεση, από το ένα στάδιο στο άλλο. Αρ ιθ μό ς-Αριθ μη τική : Προέρχεται από το αρχαίο ρήμα συνάπτω, λογαριάζω. Η Αριθμητική πρωτοαπαντάται στην Πολιτεία του Πλάτωνα, ενώ ο όρος Μαθηματικά πρωτοχρησιμοποιείται στα Ηθικά Νικομάχεια του Αριστοτέλη. Η Αριθμητική (εκ του αριθμός) είχε και έχει πάντα περισσότερο πρακτικό-εφαρμοσμένο χαρακτήρα σε αντίθεση προς τα Μαθηματικά ,που καλύπτουν τον ευρύτερο χώρο της μαθηματικής επιστήμης και σκέψης. Άρτιος - Πε ριττός α ριθ μός : Οι αρχαίοι θεωρούσαν άρτιους δηλαδή ολοκληρωμένους τους αριθμούς που μπορούσαy να δώσουν δυάδες (2, 4=2 +2, 6=2+2 +2, . . . ). Τη λέξη «άρτιος» χρησιμοποιούμε και σήμερα: «άρτιο οικόπεδο», «άρτια επαγγελματική σχέση» κλπ. Τους αριθμούς που έδιναν μεν δυάδες αλλά είχαν και ένα «περισσό» (1, 3=2+ 1 , 5=2+ 2+ 1 . . . ), τους έλεγαν περιττούς. Οι αρχαίοι αντί για -σσ- χρησιμοποιούσαν -ττ-

π. χ. Θάλαττα, γλώττα κλπ. Ζυγό ς - Μονό ς αριθ μό ς : Ζυγό έλεγαν κυριολεκτικά το εγκάρσιο εξάρτημα σε άροτρα ή άμαξες, στο οποίο ζεύονταν τα υποζύγια δύο-δύο και μεταφορικά την κάθε είδους καταπίεση. Έτσι η έννοια του «ζευγαριού», της «δυάδας» πέρασε και στους αριθμούς που έδιναν δυάδες και ονομάστηκαν ζυγοί. Αντίθετα αριθμοί που αν και έδιναν δυάδες, πάντα ένα έμενε «μόνο του», ονομάστηκαν μονοί. Εμβαδό: Εκ του αρχαίου εμβαiνω < εν + βαίνω > βάδην, βαδίζω. Σημαίνει τον θετικό πραγματικό αριθμό που θα βρούμε αν «πατήσουμε», «βαδίσουμε», μετρήσουμε μιαν επιφάνεια βασιζόμενοι σε μια μονάδα μέτρησης (τ.μ. , τ.εκ. κλπ.). Επιμε ρ ιστική ιδ ιότητα: [α.(β+γ)=α.β+ α.γ ] Εκ του επί + μερίζω = χωρίζω σε μερίδια, διαμοιράζω, κατανέμω. Στα μαθηματικά είναι η ιδιότητα που αφορά δυο μαθηματικές πράξεις και με την οποία γίνεται «κατανομή» μερών. Εφαπτ ομένη (κύκλου): Εκ του αρχαίου ρήματος εφάπτω (επί+ άπτω= αγγίζω, ακουμπώ). Στα μαθηματικά λέμε εφαπτομένη την ευθεία που «άπτεται επί» ενός κύκλου, δηλαδή τον «αγγίζει» σε ένα σημείο. Θεώρημα : Προέρχεται από το αρχαίο θέα + ορώ(=βλέπω). Μια πρόταση που απαιτεί απόδειξη, που πρέπει να ειδωθεί με προσοχή. Κάθ ετ ος : Εκ του αρχαίου ρήματος καθίημι = αφήνω να πέσει, ρίχνω. Έτσι στη γεωμετρία κάθετος είναι η ευθεία ή το ευθύγραμμο τμήμα που ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/2

----

------ Μ αθηματικά και . . . Ετυμολογία

--------

«αφήνεται να πέσει» ή <<ρίχνεται» σε μια άλλη ευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα, σχηματίζοντας γωνία 90° με αυτό. Κανο νικό ς : (για πολύγωνα ή αριθμούς). Από το αρχαίο ουσιαστικό κανών προερχόμενο από την αρχαία Κάννα = καλάμι. Πιθανόν αρχική σημασία της λέξης ήταν η καλαμένια ράβδος που χρησιμοποιούνταν ως πρότυπο μέτρο σύγκρισης για μέτρηση αποστάσεων. Έτσι λέγαμε ότι «κανονικό» ήταν κάτι το οποίο συμφωνούσε με κάποιο καθιερωμένο πρότυπο αλλά και το συμμετρικό. Στα μαθηματικά «κανονικό» λέγεται το πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες του ίσες. Κλάσμα : Στα μαθηματικά λέμε το τμήμα, το μέρος ενός όλου με αρχική σημασία «σπάσιμο, θραύσμα». Προέρχεται εκ του αρχαίου ρήματος κλώ =σπάζω, χτυπώ. )οι> Γνή σια κλάσματα : Λέμε τα κλάσματα που ανταποκρίνονται πλήρως στην ιδιότητα που τους αποδίδεται, δηλαδή είναι τμήματα ενός συνόλου, μικρότερα από τη μονάδα (π. χ. 2/ 3 < 1 , 517< 1 . . . ) )οι> Καταχρη στικά κλάσματα : Λέμε τα κλάσματα που είναι μεγαλύτερα του όλου, της μονάδας. Δηλαδή είναι κατά της χρήσης ενός κλάσματος, ξεπερνούν, υπερβαίνουν τη μονάδα, παύουν να είναι τμήματα. Γράφονται και με μορφή μ_εικτού αριθμού (π.χ. 3 / 2 = ., ;··· · ,, , ., .• • 'j>. ιtι 1 + 1 / 2, 7/ 2 = 2 + 1 / 3) )οι> Ομώνυ μα - Ετερώνυμα κλάσματα : Το όνομα (στα αρχαία όνυμα) του κλάσματος είναι ο παρονομαστής (<παρά + ονομάζω, προσοχή στο λαθεμένο «παρανομαστής»). Έτσι τα κλάσματα που έχουν «όμοιο όνυμα» δηλαδή ίδιο (όμοιο) παρονομαστή, λέγονται ομώνυμα και όσα διαφορετικό (έτερο), λέγονται ετερώνυμα. Το αρχικό -ο- στο όνυμα τρέπεται σε -ω- όταν γίνεται β' συνθετικό (π.χ. οδύνη > ανώδυνος, όλεθρος > πανωλεθρία, ομαλός > ανωμαλία, οροφή > μονώροφος κ.ο.κ.) )οι> Ανάγωγα κλάσματ α: Εκ του ρήματος άγω= οδηγώ > -αγωγός( ως β' συνθετικό)= αυτός που οδηγεί κάτι ( πρβλ. παιδαγωγός. νηπιαγωγός). Τα κλάσματα που δεν μπορώ να aπλοποιήσω, να «οδηγήσω» mo πέρα λέγονται ανάγωγα > αν- (στερητικό) +αγωγός - > ανάγωγος ( π.χ. 317, 516 κ.λ.π.). Συχνά άκουγες τους δασκάλους, mo παλιά, να λένε: «Το παιδί σου είναι ανάγωγο» Κώνος : (αρχαία λέξη) Σήμαινε τον καρπό του πεύκου, το κουκουνάρι. Το σχήμα του καρπού αυτού επειδή έμοιαζε, έδωσε το όνομά του στο γνωστό γεωμετρικό στερεό που έχει κυκλική βάση και κυρτή εmφάνεια που καταλήγει σε οξεία κορυφή. Πρίσμα : Αρχαία λέξη που σήμαινε πριονίδι ή τραύμα από πριόνισμα. Εκ του αρχαίου ρήματος «πρίω» = πριονίζω, κόβω. Πιθανότατα ονομάστηκε έτσι γιατί για την κατασκευή του απαιτείται κοπή. Στα μαθηματικά σημαίνει το στερεό που έχει δύο έδρες ίσες και παράλληλες και τις υπόλοιπες έδρες παραλληλόγραμμα. Η .σημασία του αναφέρεται για πρώτη φορά στον Ευκλείδη.

ή [(α.β).γ=α.(β.γ)] Πρ οσεταιρ ιστική ιδ ιότητα : + + + [α+(β γ) =(α β)+γ] Προέρχεται από το προς εταφίζω-ομαι = παίρνω κάποιον με το μέρος μου, διατηρώ με κάποιον φιλικές σχέσεις< εταίρος = φιλικό πρόσωπο, συνεργάτης. Στα μαθηματικά η ιδιότητα αυτή εφαρμόζεται σε μια σειρά προσθετέων ή παραγόντων όπου προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο όρο με τον δεύτερο και στη ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/3

----- Μαθηματικά και ; Ετυμολογία •.

------

συνέχεια στο άθροισμα ή στο γινόμενο τον τρίτο κ.οκ. Με «προσεταιρίζονται», έρχονται σε «συνεργασία» ο ένας με τον άJ.λο.

άλλα

λόγια οι όροι

Ρητός - Άρρητος α ριθμός : Ρητός είναι ο αριθμός που μπορεί να Ηειπωθεί» γιατι εχει πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Η λέξη προέρχεται από τον αρχαίο παρακείμενο του ρ. λέγω «είρηκα». Κάθε ρητός αριθμός γράφεται με τη μορφή κλάσματος α/β με α,β ακέραιους και β διαφορετικός του μηδενός. Αντιθέτως, τον αριθμό που δεν μπορεί να «ειπωθεί» γιατί έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά τον ονομάζουμε άρρητο (α- στερητικό +ρητός). Ο πιο διάσημος άρρητος είναι το ρίζα 2 που ισούται με 1 ,4 1 42 1 . . . .., που η «αποκάλυψή» του από τον Ίππασο το Μεταποντίνο (450 π.Χ. περίπου), σήμανε το τέλος της Σχολής των Πυθαγορείων. Ρίζα: Προέρχεται από το αρχικό γράμμα r της λέξης racine = ρίζα και εισήχθη το 1 525 από τον Κρίστοφ Ρούντολφ. Η σκέψη του Ρούντολφ ίσως να πήγε στη λέξη ρίζα (racine), επειδή όταν π.χ. ψάχνω τη ρίζα του 4, ψάχνω κάτι κρυμμένο, όπως οι ρίζες του δέντρου. Ίσως, για τον ίδιο λόγο, και τους κρυμμένους αριθμούς που επαληθεύουν μια εξίσωση και· που θα πρέπει <<να σκάψουμε» για να τους βρούμε, τους λέμε ρίζες της εξίσωσης. Ρόμβος: Εκ του αρχαίου ρήματος ρέμβω - ρέμβομαι = περιστρέφω- ομαι -> (πρβλ. σημερινό ρεμβάζω=περιστρέφω το βλέμμα μου). Σύμφωνα με τον Αθηναίο Δειπνοσοφιστή, ο ρόμβος ήταν ένα παιδικό παιχνίδι σύμφωνα με το οποίο, ένας μικρός τροχός με δυο οπές, μέσα από τις οποίες περνά μια κλωστή, μπορεί να μπει σε περιστροφική κίνηση με το απότομο Α τέντωμα της κλωστής παράγοντας θόρυβο. Πιθανώς το σχήμα του παιχνιδιού ήταν παρόμοιο με αυτό που σήμερα ονομάζουμε ρόμβο δηλ. ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες.

Συνάρτηση: Εκ του συν + αρτώ = κρεμώ, συνδέω. Κατά τη μαθηματική αυτή έννοια δύο σύνολα «κρέμονται» δηλ. παρατίθενται το ένα δίπλα στο άλλο με σκοπό την aντιστοίχιση, τη «σύνδεση» των στοιχείων τους.

Ταυτότητα: Εκ του αρχαίου «ταυτό» = το +αυτό =το ίδιο. Έννοια που δηλώνει την απόλυτη ομοιότητα. Στα μαθηματικά ταυτότητα λέμε την κάθε αλγεβρική ισότητα που ισχύει για κάθε τιμή των μεταβλητών της. Τό κος : Εκ του τοκετός < τίκτω = γεννώ. Το ποσό που αποφέρουν ως κέρδος χρήματα κατατεθειμένα στην τράπεζα για ορισμένο χρονικό διάστημα. « Τα λεφτά γεννούν λεφτά », λέει ο λαός. Όμως μόνο για τον καταθέτη, γιατί για τον δανειζόμενο γεννούν . . . χρέος.

Αυτοί είναι μερικοί από τους αμέτρητους μαθηματικούς όρους που υπάρχουν, με των οποίων την ετυμολογία ασχοληθήκαμε. Οι πρόγονοί μας μάς κληροδότησαν μια γλώσσα η οποία είναι οικουμενική. Ακόμη και σήμερα οι επιστήμονες απανταχού ανατρέχουν στα ελληνικά για να ονομάσουν τις σύγχρονες ανακαλύψεις και εφευρέσεις. Κάθε στιγμή αναπνέουν τον αέρα της Ελλάδας . . . χωρίς να το ξέρουν. Εμείς σαν Έλληνες έχουμε ένα πλεονέκτημα έναντι των υπολοίπων λαών γιατί την μιλάμε αυτή τη γλώσσα. Ας την κάνουμε «κτήμα» μας. Ας εισχωρήσουμε στα άδυτα των λέξεων, την ετυμολογία τους, αν θέλουμε να εισχωρήσουμε στα βάθη των επιστημών. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/4

Τcι �-�� ,. ��- ,.. �� ======

Γιάννη Γ. Καλογεράκη- παράρτημα ΕΜΕ Χανίων

ι. Τα ΧΡ'\ματα και τα νομίσματα

Ο άνθρωπος είναι το μοναδικό δημιούργημα που χρησιμοποιεί χρήματα και η χρήση τους αρχίζει με την έναρξη της ανθρώπινης Ιστορίας. Υπάρχει σαφής διάκριση μεταξύ των όρων χρήμα και νόμισμα. Οι δύο όροι δεν δηλώνουν την ίδια οντότητα και στις διάφορες ιστορικές εποχές οι σχέσεις που τα συνέδεαν δεν ήταν πάντα οι ίδιες. Στον ελληνικό κόσμο αυτές οι σχέσεις έχουν ιστορικό ενδιαφέρον διότι η μετατροπή των χρημάτων σε νομίσματα είναι στενά συνδεδεμένη με την ανάπτυξη . της ελληνιΚή ς πόλης- κράτους και των μαθηματικών εννοιών. Ο όρος χρήμα δηλώνει κάθε τι το οποίο χρησιμοποιείται ευρέως ως μέσο πληρωμής. Τα χρήματα μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου και διαφέρουν από τον ένα τόπο στον άλλο. Διά μέσου των χιλιετιών χρησιμοποιήθηκαν πολλά αντικείμενα ως χρήματα όπως, λέβητες, ράβδοι χρυσού, σιδερένιοι οβελοί, μέταλλα, βοοειδή, κοσμήματα, λάδι, δούλοι, συναλλαγματικές, μετοχές και ομόλογα. Τα χρήματα με τις ποικίλες μορφές τους δεν είναι εύκολο να βρούμε πότε για πρώτη φορά χρησιμοποιήθηκαν. Στην Κρήτη, που σύμφωνα με τον Όμηρο είχε εκατό πόλεις ..Κρήτην εκατόμπολιν αμφενέμοντο. (Ιλιάδα 645-652) συναντούμε τον όρο χρήματα αρχικά ως «κρέος» με την έννοια του χρέους σε λίθινες επιγραφές του 600- 5°" αιώνα π. Χ .. Το νόμισμα είναι ένα τεμάχιο μετάλλου σφραγισμένο από μία αρχή με σκ:οπό να χρησιμοποιηθεί ως ένα είδος χρήματος. Τα νομίσματα είναι ελληνική επινόηση και εμφανίστηκαν στην Ιωνία και τη Λυδία της Μικρά Ασίας το 650 π. Χ.. Ήταν από ήλεκτρο ή «λευκό χρυσό» όπως το ονόμαζαν οι Έλληνες που βρίσκονταν τις όχθες του Πακτωλού ποταμού. Κατά τον Σοφοκλή <<llακτωλόν εύχρυσον νέμειν» (Σοσοκ:λής, Φιλοκ:τήτης, 393) . Η ιδέα της κοπής νομισμάτων από την Ιωνία ξαπλώθηκε στα νησιά του .................. . Αιγαίου και την κ:υρίως Ελλάδα. Η Αίγινα άρχισε να κόβει τους aσημένιους � � m��Ί στατήρες γύρω στο 600 π. Χ .. Στην Αθήνα τα ασημένια τετράδραχμα κόπηκαν ; � γύρω στο 525 π. Χ.. Την καθιέρωση και την πλατιά διάδοση των νομισμάτων επέβαλαν οι ανάγκες του εμπορίου, χωρίς να θεωρούνται ασήμαντοι και οι : g . κοινωνικοί, θρησκευτικοί και πολιτικοί παράγοντες. Στην Κρήτη από τον 5ον π. Χ. αιώνα τυπώθηκαν νομίσματα ενώ ο όρος νόμισμα υπάρχει σε ένα ψήφισμα : ω •· - 200; της Γόρτυνας του 300 π. Χ. αιώνα σχετιζόμενο με τα χάλκινα νομίσματα (ICIV, :.��......... . αρ.162.2 και 5). Ανά τους αιώνες χρησιμοποιήθηκαν διάφορα μέταλλα για την παραγωγή των νομισμάτων όπως, χρυσός, σίδηρος, άργυρος, ήλεκτρο, χαλκός, ορείχαλκος. Το μέταλλο όμως που χρησιμοποιήθηκε περισσότερο από όλα στην Ελλάδα και την Κρήτη ήταν ο άργυρος. Στην Κρήτη ο άργυρος ερχόταν από τις Κυκλάδες και την Αττική. Ο χρυσός εισαγόταν από το Βόρειο Αιγαίο και ο χαλκός από την Κύθνο. Την αρχαία εποχή για την παραγωγή των νομισμάτων εφαρμόστηκαν δύο μέθοδοι. Η μέθοδος της σφυρηλάτησης του μετάλλου και η μέθοδος της τήξης του μετάλλου. Με τη μέθοδο

1�

� � �-,,�: �--m�'

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 101 τ.1/S

- Τα Αρχαiα Ννομίσματα των Χανίων- τα Μαθηματικά και μω πρό>ψη νομισματική ένωση στην Ευρώπη

της σφυρηλάτησης με ένα τεμάχιο μετάλλου δημιουργούσαν το «πέταλο», ένα κύλινδρο μικρού ύψους, το οποίο με τη σφράγιση μετατρεπόταν σε νόμισμα. Τα αρχαία χυτά νομίσματα ήταν ελάχιστα. Το λιωμένο μέταλλο χυνόταν σε καλούπια στα οποία υπήρχαν τα αρνητικά των δύο όψεων των νομισμάτων. Δεν γνωρίζουμε τα αρχικά κίνητρα που οδήγησαν τις διάφορες πόλεις να εκλέξουν τα σύμβολα στις δύο όψεις των νομισμάτων. Γνωρίζουμε ότι αρχικά κυριαρχούσαν φυσικά και ζωικά μοτίβα που σχετίζονται με τη Μυθολογία, η ανθρώπινη μορφή ακολούθησε αργότερα αρχικά ως θεοί, νύμφες, ήρωες και aυτοκράτορες. Τα νομίσματα με τα χαρακτηριστικά σύμβολα και τις συντμήσεις του ονόματος της πόλης μεταφέρουν ζωντανές εΊ.κόνες του παρελθόντος από την οικονομία, τις θρησκευτικές αντιλήψεις, τις θεσμοθετημένες αξίες, τις εμπορικές και πολιτικές σχέσεις καθώς και στις στρατιωτικές συμμαχίες. Είναι ένα μέσο για να ερμηνεύσουμε ορισμένες πτυχές της Ιστορίας. %# Η CJXtcnJ 1'0Υ Υομισμά'Ι'CΟΥ ιιε 1'β Μσθημστικά Η εφεύρεση του νομίσματος για την έκφραση των αξιών των αγαθών και η χρήση τους ως μέσο πληρωμής οδήγησε σε δύο σημαντικές αλλαγές. Στην «αφαίρεση» των πραγμάτων από την υλική τους υπόσταση, από τις αξίες και τις τιμές, και στην αλλαγή της ηθικής των ανθρώπων. Η αφαίρεση βοήθησε στην ανάπτυξη της αρίθμησης, των αλγορίθμων των πράξεων, της αφηρημένης σκέψης και τελικά της μαθηματικής απόδειξης. Διότι η χρήση νομισμάτων είναι μία διαδικασία λογισμού αριθμών ανεξάρτητη από τις αξίες που αντιπροσωπεύουν. Το κοσμοϊστορικό γεγονός της μαθηματικής απόδειξης έγινε για πρώτη φορά στις ακτές της Ιωνίας λίγα χρόνια μετά την κοπή στην ίδια περιοχή των πρώτων νομισμάτων. Ο Αθήναιος τον 2° μ.Χ. αιώνα περιέγραψε τη λειτουργία των νομισμάτων στο εμπόριο την εποχή του και παλαιοτέρων εποχών και άμεσα την επιρροή τους στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης με πολύ αποκαλυπτικό τρόπο:

«Ανάχαρσις, πυνθανομένου τι νός, προς τι οι Έλληνες χρώνται τω αργυρίω, είπε, προς το αριθμείν».(Αθήναιος, Δειπνοσοφιστών,ΙV,49, Τ.2)

Δηλαδή οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τα νομίσματα και για να μάθουν να αριθμούν. Αυτό ισχύει και σήμερα με τη χρήση των νομισμάτων στη καθημερινή ζωή. Όταν χρησιμοποιούμε νομίσματα και χαρτονομίσματα στις συναλλαγές μας μαθαίνουμε να κάνουμε νοερά γρήγορα αριθμητικές πράξεις. Συνεπώς πρέπει να θεωρούμε δεδομένη τη σχέση των νομισμάτων και των Μαθηματικών. Ο Αριστοτέλης στα «Ηθικά Νικομάχεια» θεωρεί παράλληλα με την οικονομική, κοινωνική και πολιτική λειτουργία του νομίσματος και τη θεσμική του διάσταση ως οργάνου κρίσης της διανεμητικής δικαιοσύνης. «διό νόμισμα καλείται, τούτο γαρ πάντα ποιεί σύμμετρα, μετρείτaι γαρ πάντα νομίσμαπ» (Αριστοτέλη, Ηθικά Νικομάχεια, Ε, 6,2 1 ). ·

Αυτή η θέση συνδέει τον όρο νόμισμα με το ρήμα νέμω, που σημαίνει διανέμω, εκτιμώ. Η νέμεση είναι μία αξιολογική κρίση, ο νόμος που αντιτίθεται στην ύβρη, στην παράνομη βία, την αναρχία. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/6

- Τα Αρχαία Ννομίσματα των Χανίων- τα Μαθηματικά και μια πρώψη νομισματική ένωση στην Ευρώπη

Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι για εκατοντάδες χρόνια τα νομίσματα δεν έφεραν την αριθμητική ένδειξη της αξίας τους. Δεν υπήρχαν μαθηματικά σύμβολα στην εmφάνεια τους. Η αξία αναγνωριζόταν από τη μορφή, το μέταλλο και από το βάρος. Αυτό όμως οδηγούσε σε νοθείες και παραχαράξεις και γενικά σε πράξεις που δεν ήταν νόμιμες. Τα πρώτα νομίσματα που έφεραν αριθμητικά σύμβολα ήταν τα βυζαντινά <<νούμια» με ενδείξεις από το ελληνικό αριθμητικό σύστημα. Επομένως τα Μαθηματικά προσέφεραν και μία ακόμη υπηρεσία στην ανθρωπότητα αυτή της δικαιοσύνης και της εντιμότητας. Μεταξύ των νομισμάτων και των Μαθηματικών υπάρχει από την αρχαιότητα και μία άλλη σχέση που δημιουργήθηκε με τη ζύγιση. Την Εποχή του Σιδήρου είχε διαμορφωθεί η έννοια της αξίας ενός αντικειμένου αλλά η απεικόνιση της σε ένα υποτιθέμενο νομίσματα δεν ήταν κατανοητή ούτε και εφαρμόσιμη, αντίθετα η ίδια αξία σε βάρος ευγενούς μετάλλου ήταν εύκολα αναγνωρίσιμη από τους συμβαλλόμενους. Οι έμποροι στις συναλλαγές έκοβαν σε τεμάχια τα μέταλλα, διότι εκείνο που ήταν σημαντικό ήταν το είδος του μετάλλου και το βάρος του. Όμως η χρήση των τεμαχίων είχε ένα σοβαρό μειονέκτημα. Έπρεπε κάθε φορά που άλλαζαν χέρια να ζυγιστούν, σε ζυγό με δύο πλάστιγγες, για να εξακριβωθεί το βάρος τους. Έτσι ήταν αναγκαίο να αποκτήσουν όλα την ίδια μορφή και να έχουν το ίδιο βάρος, να γίνουν νομίσματα. Επειδή το ίδιο βάρος δεν ήταν εύκολο να εmτευχθεί, τα νομίσματα συνέχισαν να ζυγιάζονται. Το ζύγισμα για τον ακριβή υπολογισμό του βάρους, όπως αυτό οριζόταν από την αρχή που τα τύπωνε, οvομαζόταν «ταλάντευση». Η διαδικασία της ταλάντευσης έδωσε παραστατικά στους Έλληνες την έννοια της ανισότητας και της ισότητας. Από τη διαδικασία της ταλάντευσης πήραν με τον καιρό, τα νομίσματα την ονομασία τάλαντα και από την παραφθορά της λέξης προέκυψαν ορισμένες σύγχρονες ονομασίες νομισμάτων όπως το τάλιρο και το δολάριο. Ο αρχαίος ελληνικός όρος «τάλαντον» σημαίνει τον «δίσκο ζυγαριάς, το ζυγιζόμενον». Το τάλαντο αποτελούσε μονάδα βάρους, σταθμίο και λογιστική μονάδα νομισματικής συναλλαγής , όχι όμως νόμισμα. Η αρχαία ·ελληνική μονάδα βάρους «μνά» ή «μίνα» (mina) σημαίνει «μετρητής» και χρησιμοποιήθηκε σε όλη την Ανατολική Μεσόγειο. Ο Αθήναιος στο έργο «Δειπνοσοφιστών» αναφέρει ότι στις πομπές: «κάμηλοι δ' αί μεν έφερον λιβανωτού μνας τριακοσίας» (Αθήναιος, Δειπνοσοφιστών Ε σ. 1 04). Η μνα εκτός από μονάδα βάρους ήταν λογιστική νομισματική μονάδα όχι όμως κερματοφόρο τεμάχιο. Οι περισσότεροι όροι που χρησιμοποίησαν οι Έλληνες για να προσδιορίσουν τις διάφορες ονομασίες των νομισμάτων προέρχονταν από την πρακτική του ζυγίσματος. Ο ελληνικός όρος «στατήρ» σημαίνει αυτό που ισορροπεί τη ζυγαριά. Με την έννοια αυτή ο στατήρας αρχικά, δήλωνε μονάδα βάρους, στη συνέχεια έγινε το διάσημο αρχαίο ελληνικό νόμισμα από άργυρο το οποίο τυπώθηκε και κυκλοφορούσε στην Κρήτη τουλάχιστον 6 αιώνες. Η δραχμή ήταν υπαρκτό νομισματικό κέρμα, σταθμίο για το ζύγισμα και μονάδα βάρους. Ο Αρχιμήδης (287 - 2 1 2 π. Χ.) διατύπωσε με άψογο τρόπο το θεώρημα ισορροπίας του ζυγού με δύο πλάστιγγες με σταθμά, ( FΊ χ1 = F χ ). Ένδειξη ότι ο ζυγός χρησιμοποιούνταν πολλούς 2 2 αιώνες πριν. Ήταν γνωστός από την Εποχή του Χαλκού. Ήταν το πρώτο πρακτικό θεώρημα των Μαθηματικών. ·

•

3. Δε(Ύματα νομισμάτων των πόλεων της Ν. Α. Χανtων

Η Κρήτη ήταν από τις πρώτες περιοχές της Ευρώπης που τύπωσε νομίσματα. Ήδη από τον 5° π. Χ. αιώνα έχουμε κρητικά νομίσματα, πολύ πιο μπροστά από την Αίγυπτο και πολύ περισσότερα. Σήμερα έχουν βρεθεί νομίσματα από 48 αρχαίες πόλεις της Κρήτης. Παρακάτω θα αναφέρουμε μόνο ένα μικρό δείγμα μόνο από τις πόλεις της Ν.Α. Χανίων. Αργυρός στατήρας από τη Φαλάσαρνα 330-270 π. Χ. βάρους 4,93 g. Στη μία όψη φέρει το κεφάλι της μινωικής θεάς Βριτόμαρτυς, που την εποχή κοπής του νομίσματος ταυτιζόταν με ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/7

- Τα Αρχαία Ννομίσματα των Χανίων- τα Μαθηματικά και μια πρώψη νομισματική ένωση στην Ευρώπη

την Άρτεμη με ενώτια και περιδέραιο. Στην κόμη φέρει περιτυλιγμένη διπλή λεπτή ταινία που συγκρατεί τα μαλλιά. Στην άλλη όψη απεικονίζεται το σύμβολο της πόλης την τρίαινα του Ποσειδώνα και την ένδειξη ΦΑ. Η πόλη ήταν παραθαλάσσια στη βορειοδυτική Κρήτη (Sνoronos 5-6 Le Rider 12-13 SNG Cop 522). Αργυρός στατήρας από την Απτέρα του 400 αιώνα π. Χ. Στη μία όψη φέρει την ένδειξη Α[ΠΤΑΙΡΑΙΩΝ] και την Άρτεμη της «Απτάρας», όπως αναγράφεται, προστάτιδα της πόλης με στεφάνι φοίνικα. Φέρει επίσης μπροστά από το πρόσωπο της το όνομα του καλλιτέχνη ΠΙΘΟΔΩΡΟΣ. Στην άλλη όψη τον Άπτερο πολεμιστή με την ένδειξη ΠΤΟΛΙΚΟΣ που σημαίνει κάτοικος της πόλης. Δίπλα του υπάρχει δέντρο. Είναι νόμισμα επηρεασμένο από τα Αιγινίτικα μέτρα βάρους και τη σικελική καλλιτεχνική τάση . Αργυρό νόμισμα δύο οβολών από την Κυδωνία του 320280 π. Χ. Στη μία όψη φέρει κεφάλι Διόwσου με μακριά μαλλιά τυλιγμένα γύρω από το πρόσωπο και ριγμένα πίσω στο λαιμό. Στην άλλη όψη φέρει τετράγωνο διαμερισμένο σε τέσσερα μικρότερα τετράγωνα και το ένα εξ αυτών χωρισμένο με διαγώνιο σε δύο τρίγωνα. Είναι γνώμονας αν και έχει εκφραστεί η άποψη ότι απεικονίζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. (SING Lockett 2547) Χάλκινο νόμισμα από την Πολυρρήνια του 320-270 π. Χ . . Βάρους 1,56g και διαμέτρου 12 mm. Στη μία όψη φέρει διακοσμητικό κάλυμμα ή ασπίδα με πιθανόν το λεγόμενο «βουκράνιον» και ανάγλυφες κουκίδες. Στην άλλη όψη φέρει την ένδειξη Π-0/Λ-Υ και αιχμή ακοντίου. Η Πολυρρήνια βρίσκεται σε ύψωμα στο εσωτερικό του κόλπου της Κισάμου. Αργυρό τετράδραχμο από την Κυδωνία του 2-1σu αιώνα π.Χ. Στη μία όψη φέρει την Άρτεμη και την ένδειξη ΠΑΣΙΩΝ στη κόμη έχει φιόγκους και φαρέτρα στους ώμους. Στην άλλη όψη τη Δίκτυννα ιστάμενη με γυρισμένο ελαφρά το πρόσωπο και την ένδειξη ΚΥΔΩΝΙΆ-ΤΑ/Ν ενώ γύρω στο πεδίο υπάρχει στεφάνι από δάφνη (SNG Copenhagen 416, BMC. 22). Χάλκινο νόμισμα από την Πολυρρήνια του 320-280 π. Χ . . Βάρους 1,301g και διαμέτρου 10,5 mm. Στη μία όψη φέρει διακοσμητικό κάλυμμα ή ασπίδα με κεφάλι βοδιού το «βουκράνιον» και ανάγλυφες κουκίδες. Στην άλλη όψη φέρει αιχμή ακοντίου με κατεύθυνση προς τα πάνω και την ένδειξη σε δύο στήλες Π-0/Λ-Υ. Αργυρό τριόβολο Κυδωνίας 4-3ος αιώνας π.Χ . . Στη μία όψη φέρει τη θεά Βιτρόμαρτυς με σκουλαρίκι και προσεγμένη κόμη και κλήματα αμπελιού. Ο οίνος ήταν από την αρχαιότητα βασικό προϊόν στην περιοχή της Κυδωνίας. Στην άλλη τον Κύδωνα με τόξο με τον ιχνηλάτη κρητικό σκύλο και την ένδειξη ΚΥΔΩΝ. Ο Κύδων σύμφωνα με την αρχαιολογία έκτισε την Κυδωνία τα σημερινά Χανιά.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/8

- Τα Αρχαία Ννομίσματα των Χανίων- τα Μαθηματικά και μια πρώψη νομισματική ένωση στην Ευρώπη

Αργυρός στατήρας Πολυρρήνιας του 330-270 π. Χ. Στη μία όψη φέρει δαφνοστεφή γενειοφόρο κεφαλή του Δία μέσα σε κύκλο με ανάγλυφες κουκίδες. Στην άλλη κεφάλι βοδιού το «βουκράνιον» μέσα σε κύκλο με ανάγλυφες κουκίδες και την ένδειξη ΧΑΡΙΣΘΕΝΗΣ και ΠΟΛ ΥΡΗΝΙΟΝ. Το «βουκράνίον» ήταν σύμβολο της πόλης και κοινό σύμβολο πολλών αρχαίων πολιτισμών. Αργότερα θεωρήθηκε το κατ ' εξοχή σύμβολο της ειδωλολατρίας. Χάλκινο νόμισμα από την Απτέρα ΑΕ 13, κοπής 250- 67 π. Χ. Βάρους 2,10 g και διαμέτρου 14 mm. Στη μίά όψη φέρει την Άρτεμη με διάδημα στο κεφάλι και φιόγκους. Στην άλλη όψη τρείς πυρσούς δρόμου που συναντώνται στο κέντρο του νομίσματος. 4. Μ ι α

πρώιμη νομισματική ένωση στην Ευρώπη Ένα από τα πρώτα «κοινά» τού αρχαίου ελληνικού κόσμου ήταν το «Κοινόν των Ορείων». Ιδρύθηκε τον 4ον αιώνα π. Χ. και συνιστούσε ένα σημαντικό πολιτικό και οικονομικό συνασπισμό αυτονόμων πόλεων - κρατών. Οι πόλεις βρισκόταν στη νότιο - δυτική Κρήτη στη Ν.Α. Χανίων και μέλη ήταν η Έλυρος, η Υρτακίνα, η Τάρρα, η Λισός και τα λιμάνια τους Συία και Ποικιλάσιον. Ήταν μία ομοσπονδία πόλεων. Η κοινή δωρική φυλετική καταγωγή υπαγόρευε την τέλεση λατρείας-στο κοινό Δικτυναίο ιερό, που βρισκόταν στη Λισό. Το Κοινόν σύνηψε συμμαχία με τον βασιλιά της Γόρτυνας Μάγαν το 278 π.Χ. όπως επιβεβαιώνει λίθινη επιγραφή από το Δικτυναίο ιερό της Λισού. Η γεωγραφική θέση των πόλεων επιβεβαιώνει τις εμπορικές σχέσειs της Κρήτης με την Αίγυπτο και την Κυρη vαϊκή .

Το Κοινόν των Ορείων ήταν και νομισματική ένωση, τα νομίσματα που έκοψε από τον 4° π. Χ. αιώνα παρουσιάζουν εξαιρετικό ενδιαφέρον. Τα νομίσματα τύπωναν οι aυτόνομες πόλεις του Κοινού και είχαν τους ίδιους εικονογραφικούς τύπους πολύ κοντά στις προδιαγραφές του σημερινού Ευρώ. Το κύριο νόμισμα του Κοινού ήταν η αργυρή δραχμή που έφερε στη μία όψη τη μέλισσα και στην άλλη όψη τον αίγαγρο, διέφεραν δε μόνο κατά τα ονόματα που έγραφαν ΤΑΡ[ΡΑΙΩΝ, ΕΛΥΡΙΩΝ, ΥΡΤΑΚΙΝΙΩΝ. Ο αίγαγρος και η μέλισσα ήταν ένα είδος θρησκευτικών συμβόλων για το Κοινόν των Ορείων. Άλλα νομίσματα του Κοινού ήταν αργυροί οβολοί με τη μέλισσα στη μία όψη και το δελφίνι στην άλλη και την ένδειξη ΟΡ[ΕΙΩΝ]. Ήταν μία από τις πρώτες νομισματικές ενώσεις της Ελλάδας άρα και της Ευρώπης (το πιθανότερο η πρώτη). Έπαψε να υπάρχει σταδιακά με την έλευση τών Ρωμαίων. Παρακάτω αναφέρομε ένα δείγμα νομισμάτων του Κοινού των Ορείων. Αργυρή δραχμή από την Έλυρο του 4°" αιώνα π. Χ. βάρους 4 , 9 3 g. ήταν το πρότυπο νόμισμα του Κοινόν των Ορείων». Ένας πολύ μακρινός πρόγονος του Ευρώ. Στη μία όψη φέρει κεφαλή αιγάγρου και αιχμή βέλους και την ένδειξη ΕΛΥΡΙΩΝ. Στην άλλη μέλισσα. Η Έλυρος στο εσωτερικό του νομού Χανίων, ήταν η σημαντικότερη πόλη - κράτος της Νοτιοδυτικής Κρήτης συνδεδεμένη με την Απολλώνια λατρεία. (Svoronos 1, pi χίί 9 SNG) Άλλη κοπή αργυρής δραχμής από την Έλυρο 330- 270 π. Χ. Στη μία όψη φέρει κεφαλή αιγάγρου καί αιχμή βέλους και την ένδειξη ΕΛΥΡΙΟΝ και στην άλλη μέλισσα σε ημικύκλιο με ανάγλυφες κουκίδες σε άλλη διάταξη . Η μελισσοκομία ήταν από την αρχαιότητα μέχpι σήμερα βασική ενασχόληση των κατοίκων της περιοχής. Ήταν νόμισμα των μελών του «Κοινόν των Ορείων» . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.l/9

- Τα Αρχαία Ννομίσματα των Χανίων- τα Μαθηματικά και μια πρώιμη νομισματική ένωση στην Ευρώπη

Αρ-yυρός οβολός του «Κοινόν των Ορείων» που κόπηκε στην Έλυρο και την Υρτακίνα και στις δύο όψεις φέι;>ει περιστέρι ειρήνης σε πτήση. Βάρους 0,52 g και διαμέτρου 18,2 mm. Ο οβολός γενικά ήταν μικρό νόμισμα ισοδύναμο με τQ 1 / 6 της δραχμής. Την ονομασία του πήρε από τις παλαιότερες σιδερένιες

σούβλες.

Αρ-yυρή δραχμή από την Υρτακίνα 330- 270 π. Χ. Στη μία όψη φέρει κεφαλή αιγάγρου που κοιτάζει αριστερά και την ένδειξη ΙΡΚΙΝΙΩΝ και στην άλλη μέλισσα με το ημικύκλιο αριστερά με ανάγλυφες κουκίδες. Ο αίγαγρος είναι το γνωστό. αγρίμι της Κρήτης. Ήταν νόμισμα του «Κοινόν των Ορείων» . Η Υρτακίνα ήταν Δωρική πόλη στο εσωτερικό του νησιού γνωστή από την πρώιμη Εποχή του Σιδήρου. Χρυσό νόμισμα από την Λισό του 300 π. Χ. αιώνα . Η Λισός στη νότια παραλία του Νομού ήταν η έδρα και το οικονομικό και λατρευτικό κέντρο του Κοινόν των Ορείων. Το νόμισμα απεικονίζει και στις δύο όψεις αετό ή περιστέρι σε πτήση μέσα σε κύκλο. Ακόμη στη Λισός υπήρξε μεγάλο Ασκληπιείο, ως θεραπευτικό κέντρο το οποίο διατηρείται ακόμα. Το Κοινόν των Ορείων είχε συνάψει συμμαχία με την πόλη Πολυρρήνια όπως επιβεβαιώνει κοινό χάλκινο νόμισμα που έκοψαν με τα σύμβολα του Κοινού κεφαλή αγριμιού και της Πολυρρήνιας με παράσταση ασπίδας, αντίστοιχα στις δύο όψεις. 5.

Επ ίλογος Η ταλάντευση και τα νομίσματα αποδεικνύουν την αλληλεπίδραση των Μαθηματικών και της κοινωνίας. Ακόμη επιβεβαιώνουν για άλλη μία φορά τη συμβολή των Μαθηματικών στη διαμόρφωση του ελληνικού πολιτισμού. Τα κρητικά νομίσματα κα�ρεπτίζουν και φωτίζουν την μακραίωνη Ιστορία της Κρήτης. Στα 48 αρχαία νομισματοκοπεία της Κρήτης εφαρμόστηκαν ιδέες που θεωρούνται σύγχρονες και το νομισματικό σύστημα του Κοινού των Ορείων προηγήθηκε χιλιετίες του Ευρώ.

1. 2. 3. 4.

6. Ενδεικτική Βιβλιογραφ ία Μαρινάκης Εμμανουήλ, Εικονογραφία νομισμάτων αρχαίας Πολυρρήνιας και Φαλάσαρνας, . Περιοδικό «Εν Χανίοις» Ετήσια Έκδοση του Δήμου Χανίων, Τ. 9ος Χανιά 20 1 5 . Μπαμπινιώτης Γεώργιος, Ετυμολογικό Λεξικό της Νέας Ελληνικής Γλώσσας, Ιστορία των Λέξεων, Κέντρο Λεξικολογίας, Αθήνα 20 1 0. Howgego, Christopher, Η Αρχαία Ιστορία μέσα από τα Νομίσματα, Μορφωτικό Ίδρυμα· Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα 2009. Απτέρα Aptera, Υπουργείο Πολιτισμού ΚΕ Εφοpεία Προϊστορικών και Κλασικών Αρχαιοτήτων, με τη συνδρομή της Περιφέρειας Κρήτης και του Δήμου Σούδας. Χανιά - Κυδωνία (Khania Κydonia) Περιήγηση σε χώρους αρχαίας μνήμης. Υπουργείο Πολιτισμού & Τουρισμού---: ΚΕ Εφορεία Προϊστορικών και Κλασικών Αρχαιοτήτων. -

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/10

ΜΑθΗΜΑΠΚλ ΣΕ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΒΑΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΑθΗΜΕΡΙΝΗΣ ΖΩΗΣ.

ΤΑ-

== ==

Εmμέλεια: Σπύρος

Φερεντίνος

ΑΝΤΛΩ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΕΝΑ Δ ΙΆΓΡΑ ΜΜΑ Στην καθημερινότητα μας συχνά βρισκόμαστε 'μπροστά σε διαγράμματα που απεικονίζουν κάποια αριθμητικά δεδομένα, την πορεία μιας εmχείρησης, τα αποτελέσματα μιας δημοσκόπησης κ.λ.π Σε ένα διάγραμμα είναι συμπυκνωμένες πάρα πολλές πληροφορίες οι οποίες για να καταγραφούν αναλυτικά θα χρειαζόταν, σε πολλές περιπτώσεις, μεγάλη έκταση και ιδιαίτερα μακροσκελή κείμενα. Επιπλέον από ένα διάγρίχμμα θα μπορούσαμε να κάνουμε προβλέψεις. για την εξέλιξη ενός φαινομένου. Για την αξιοποίηση τώρα ενός διαγράμματος .απαιτείται μία νοητική διεργασία που καλείται μετάφραση από έναν χώρο σε έναν άλλο, όπως περίπου συμβαίνέι με την μετάφραση από μία γλώσσα σε μία άλλη. Ο ένας χώρος είναι ο γεωμετρικός (αυτός της παράστασης) και ο άλλος χώρος είναι ο πραγματικός χώρος τον οποίο μελετούμε (μία επιχείρηση, οι εκλογές, η οικονομική κατάσταση μιας χώρας κ.λ.π). Αμτό που κάνουμε κατά την μετάφραση έχει γλωσσικό χαρακτήρα καθώς αναζητάμε τη σημασία, το_ νόημα της παράστασης μέσα στον πραγματικό χώρο. Στο παράδειγμα που ακολουθεί υποθέτουμε ότι η κερδοφορία ενός ξενοδοχείου εξαρτάται από τον αριθμό των πελατών και μελετάμε άυτήν την εξάρτηση. ·

ΤΟΠΡΟΒΛΗΜΑ Το επόμενο διάγραμμα δείχνει το κέρδος ψ που έχει ένα ξενοδοχείο την ημέρα, όταν φιλοξενεί χ πελάτες (Το ξενοδοχείο έχει μόνο μονόκλινα δωμάτια). Μπορείς να απαντήσείς στις παρακάτω ερωτήσεις; ί.

πόσο κέρδος έχει την ημέρα το ξενοδοχείο, όταν φιλοξενεί 22 πελάτες; 30

ίί.: ίίί.

ίν.

-10

αpιθμός πελατών χ

ν. vi.

·πόσους πελάτες πρέπει να έχει το ξενοδοχείο, για να κερδίζει 150 ευρώ την ημέρα; ο ξf:νοδόχος υποστηρίζει πως: είναι δvνατόν το. ξενοδοχείο να φιλοξενεί πελάτες αλλά να · μην έχει ούτε κέρδος ούτε ζημιά. Ποια είναι η γνώμη σου; . πόσους πελάτες την ημέρσ πρέπει να έχει το ξενοδοχείο, για να μην έχει ζημιά; Πόση είναι η μέγιστη ημερήσια ζημιά του ξενοδοχείου; Ποιο είναι το κέρδος του ξενοδοχείου όταν φιλοξενεί 42 πελάτες; Συνέχεια στη σελίδ α 38

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 101 τ.1/1 1·

Ο ι κλα

ατ

κές μονάδες

=======

κ α ι τα

κλάσμα

Γιάννη ς Γ. Καλογερ άκης - Παράρτημα ΕΜΕ Χανίων

Σύντομη ιστο ρική εισαγωγή

Ιστορία των κλασμάτων αρχίζει με την ανθρώπινη παρατήρηση της φύσης. Η διαίρεση της μέρας, η εναλλαγή των εποχών και τα φυσικά φαινόμενα έδωσαν την έννοια της διαμέρισης των μεγεθών και κατά συνέπεια των κλασμάτων. Η ευρεία χρήση τους προήλθε · από τις μετρήσεις όπου οι φυσικοί αριθμοί δεν έδιναν ακριβή αποτε'λέσματα: Οι Αιγύπτιοι από το 2500 π. Χ. είχαν δεκαδικό αριθμητικό σύστημα με φυσικούς αριθμούς και κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα. Η γραφή αρχικά ήταν η ιερογλuφική, σχεδίαζαν μία μικρή έλλειψη (ανοικτό στόμα) πάνω από ένα φυσικό αριθμό, για να δηλώσουν τον αντίστροφο του αριθμού που είχε αριθμητή τη μονάδα. Δηλαδή πάνω από τον αριθμό π n = 1 2 σχεδίαζαν Η

μία μικρή έλλειψη για να δηλώσουν το - . Στη συνέχεια η γραφή έγινε· ιερατική και tα 12

κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα δηλωνόταν με μία τελεία πάνω από ένα φυσικό αριθμό. Τα άλλα κλάσματα τα έγραφαν ως άθροισμa κλασμάτων με αριθμητή τη μονάδα, εκτός από το

� 3

το οποίο είχε ειδικό σύμβολο. Οι Βαβυλώνιοι το 2000 π. Χ. είχαν σύστημα αρίθμησης με βάση το 60 με γραφή σφηνοειδή. Τα κλάσματα ήταν «εξηκονταδικά» και είχαν · τη μορφή φυσικού αριθμού. Το σύστημα των κλασμάτων ήταν ανάλογο με το δικό μας των δεκαδικών κλασμάτων με τη διαφορά ότι το 1 ' ' '\ '\ ' .. Ι ' 1 ' ' υποποΛΛαπλασιο ηταν το - και οχι το - . Δηλαδη το - ηταν ισοδυναμο με το -<-<-< = 30 , το

ισοδυναμο με το ·

-<-< ==

2 '

20 ,

κ. λ. π. το συστημι;χ. μετρησης του χρονου της εποχη μας ,

προέρχεται από το βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης. Ο μινωικός πολιτισμός από το 2000 π. Χ. ανέπτυξε δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και κλάσματα με αριθμητή τη ·μονάδα, αρχικά με ιερογλυφική γραφή και στη συνέχεια με τις μινωικές γλώσσες, τη Γραμμική Α και τη ΓραμμιΚή Β. Τα κλάσματα χάραγμένα σε πήλινες πινακίδες με καταχωρίσεις αγροτικών προϊόντων δεν εξαρτιόνταν από τα σύμβολα των φυσικών αριθμών του συστήματος. Σήμερα τα σύμβολα τους ονομάζονται «κλασματογράμματα». Αναφέρουμε ορισμένα σύμβολα που έχουν αναγνωριστεί και αντιστοιχούν σε κλασματογραμματα οπως: c= 2 , =>= 4' , ,

λ ·

1 Κλ , ασματογραμμα =g.

ειχε και το

'3 2

το οποιο ηταν

, s =3. της μορφης 2

Τα κλάσματα των Ελλήνων, τα οποία ονομαζόταν και «μέρη», είχαν διάφορες αναπαραστάσεις με κεφαλαία γράμματα ή με 'λέξεις. Μετά τον 2ον αιώνα σταδιακά επικράτησε η γραφή με μικρά γράμματα. Η συνηθέστερη μορφή ήταν μία διακριτική σήμανση (τόνος) μετά , 1 1 ' , , , ' ' τον αριθμο οπως: β ' = 2 και μ,μfl t = η με μορφη συγχρονου κλασματος αντεστραμμενου

ρκη 1 ΟΟ Ρ = 8. 12

κλ '

' ' ' ' ασματα γραφοταν και με '\Μ>:.ξεις οπως, «τεταρτον μερος» το 1/4. Α . υτο'

επιβεβαιώνεται και από μία λίθινη επιγραφή του 2 8 0 π. Χ. η οποία αναφέρεται σε συνθήκη μεταξύ των κρητικών πόλεων Πολυρρήνιας και Φαλάσαρνας: «το τέταρτο μέρο ς των λαφ ύρων κα ι των χρημ άτω ν ο ι Πολυρήνιο ι» ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΊΟl τ.l/12

------- Ο ι κλασματι κές μονάδες κα ι τα κλάσματα -----�---Το ρωμαϊκό σύστημα κλασμό.των προήλθε από τα μέτρα και τα σταθμά του σίτου, που μετρούνταν με αγγεία διαφόρων . μεγεθών. Βασιζόταν · στη διαίρεση της μονάδας βάρους του «ασσαρίου» (as) σε 1 2 μέρη. Χρησιμοποιούσαν λέξεις και όχι σύμβολα. Συνεπώς δεν εξαρτώντας από τα σύμβολα του ρωμαϊκού αριθμητικού συστήματος. Τα βασικά κλάσματα 6 . 1 1 3 1 . . . ' - as = semιs , - as = sex tans , - as uncιa , - as quadrans , - as semιuncιa , ηταν: 12 6 12 12 24 1 1 -- as = sextula , -- as = scripulum .Το ασσάριο είναι . η σημερινή λίμπρα και έχουμε άλλη μία

1 44

μαρτυρία ότι τα κλάσματα έχουν σχέ<:iη με τη διαδικασία της μέτρησης. Στο Βυζάντιο τα κλάσματα αναφέρονται ως «τσακίσματα» και συμβολιζόταν αρχικά με κεφαλαία γράμματα και αργότερα με μικρά, με ένά ή συνηθέστερα δύο τόνους δεξιά του

φυσικού αριθμού όπως:

1 2

καL " = 2 1 - .

�

=L"

, � = Γ", :

= Δ",

=ε " ,

=Η' ή W,

Χρησιμοποι�ύσαν και λέξεις όπως επτακαιδέκατον το

ζζ"

= �, 7

Τα σύγχρονα

κλάσματα άρχισαν να εφαρμόζονται το 1 5 85 από τον Ολλανδό μαθηματικό Simon Steνin ( 1 5481620) . Ενώ ο Euler ( 1 707- 1 783) έδωσε τον ορισμό του κλάσματος ως μαθημάτική ς αφηρημένης έννοιας. 1 . Οι κλα σ ματικές μονάδες Γνωρίζουμε ότι η μονάδα, το ένα, είναι η πηγή με την οποίά μπορούμε να δημιουργήσουμε οποιοδήποτε φυσικό αριθμό. Σε μία αρίθμηση μετρούμε μονάδες και ένα αριθμό μπορούμε να τον θεωρήσουμε ως ένα πλήθος μονάδων. Σκεπτόμαστε μήπως έχουν ανάλογη λειτουργία και τα κλάσματα. · Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ένας άνθρωπος έχει 20 ευρώ και θέλει να τα μοιράσει σε 4 παιδιά . Κάνοντας διαίρεση κάθε παιδί θα πάρει 20 : 4 = 5 ευρώ. Που αντιπροσωπεύουν το ένα από τα τέσσερα ίσα μέρη των χρημάτων. Αυτό το συμβολίζουμε με το σύμβολο

_!_ 4

(ένα

τέταρτο) και λέμε ότι αποτελεί μ�α κλασματική μονάδα. Τα πρώτα κλάσματα που χρησιμοποίησαν οι άνθρωποι την προϊστορική εποχή ήταν κλασματικές μονάδες και πρώτο από 1 ' ' ολα το - , το <<μισο».

Γενικά ένα · κλάσμα με αριθμητή το 1 ονομάζεται κλασματική μονάδα και δηλώνει το ένα από τα ίσα μέρη που χωρίσαμε μία ολότητα. Η ολότητα μπορεί να είναι μία ώρα, ένα κιλό, μία πίτσα, γενικά κάτι που μπόρεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Ο παρανομαστής προσδιορίζει το μέγεθος της κλασματικής μονάδας. Από τις κλασματικές μονάδες δημιουργούνται τα κλάσματα. 2. Τ α κλάσ μ ατ α Το κλάσμα

� 4

δημιουργείται από την κλασμάτική μονάδα

.!. 4

όταν πάρουμε 3 τέτοιες

κλασματικές μονάδες. Ο αριθμητής του κλάσματος δηλώνει πόσα ίσα μέρη από αυτά που χωρίσαμε την ολότητα έχουμε πάρει. Δηλαδή κάθε κλάσμα είναι ένα άθροισμα, ίδιων κλασματικών μονάδων. Ωστόσο, ένα κλάσμα δεν είναι αναγκαστικά πάντα μικρότερο από το 1 . Η έννοια του επεκτείνεται και στην · περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1 . Επίσης δεν είναι σωστό να θεωρούμε ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι δύο ανεξάρτητοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί. Γενικά το κλάσμα

;

γράφεται ως άθροίσμα α ίδιων κλασματικών μονάδων. Δηλαδή, α

-=-+-+-+···+-=α·- .

β β β β β β Ο τρόπος που δημιουργούνται τα κλάσματα !'αθιερώνει την εξής αρχή. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/13

-----__;_--·'--

Ο ι κλασματ ι κές μονάδες κα ι .τα κλάσματα

--�-----

Στην π ρό σθεση και την αφαίρεση κλασμάτων οι κλασματικές μονάδες π ρ έπει ν α είναι ίδ ιες. Δηλαδή ν α τις ονομάζουμε με το ίδιο όνομα . Για τον λόγο αυτό όταν δεν είναι ίδιες οι κλασματικές μονάδες κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα, χρησιμοποιώντας το ΕΚΠ των παρονομαστών. Ακόμη μπορούμε να εκφράσουμε ένα φυσικό αριθμό με τη βοήθεια μίας κλασματικής μονάδας. Τον αριθμό 2 με κλασματική μονάδα το

..!_ 2

μπορούμε να τον γρ άψουμε ως εξής

1 1 1 1 2 = ( + )+( + ) . "2 "2 "2 "2

3. Η γρα φή εν ό ς κλάσ ματος ω ς έκ φ ρα ση κλασ ματικών μονάδ ων Όταν χρησιμοποιούμε διαφορετικές κλασματικές μονάδες για να εκφράσουμε ένα φυσικό αριθμό ή ένα κλάσμα τότε έχουμε την αιγυπτιακή έκφραση του κλάσματος. Στον πάπυρο του Rhind, που γράφτηκε το 1 650 π. Χ. υπάρχουν πίνακες ανάλυσης κλασμάτων σε διαφορετικές κλασματικές μονάδες. Ορισμένα παραδείγματα περιέχουν την

2. ,

έκφραση κλασμάτων της μορφής

κ φυσικός αριθμός σε δύο κλασματικές μονάδες. Στην .

2 1 1 π ' , , , , ' , ' περιπτωση αυτη με συγχρονα συμβολα ισχυει η σχεση = + . αραδειγμα οταν k = 5 3k 2k 6k ·. 1 1 ' 2 , , , , 2 , , εχουμε την εκφραση - = - + - . Άλλα παραδειγματα ειναι της μορφης - τοτε η εκφραση σε . k 1 5 1 0 30 2 1 1 1 1 , , ' , , ' , , τεσσερις κλασματικες μοναδες δινεται απο τη σχεση = + + + , · κ φυσικος αριθμος. k k 2k 3k 6k . 1 Μ . 2 1 1 1 π , , . , , 3 , , την εκφραση = + + + . ε τον τροπο αυτο μπορουμε αρα' δειγμα οταν k = εχουμε . 3 3 6 9 18 2 1 1 1 1 τ , , , να γραψουμε το 1 ως εξης. , 1 = - = - + - + - + - . α παραπανω παραδ ειγματα δ'ινουν απλές 2 2 4 6 12 κλάσματικές μονάδες ·με μικρούς παρονομαστές, που προτιμούσαν στις πρακτικές εφαρμογές οι Αιγύπτιοι. Στη γενική περίπτωση για να γράψουμε ένα κλάσμα

α β

ως άθροισμα κλασματικών

μονάδων εφαρμόζουμε τα εξής στάδια: 1 . Βρίσκουμε τη μεγαλύτερη κλασματική μονάδα που είναι μικρότε ρη από το

είναι η κλασματική μονάδα

.!. . Αυτή είναι ο πρώτος όρος της ανάλυσης.

, , τη διαφορα 2 . . Βρισκουμε .

r=α- 1 δ β κ

-:-

;

' . Εστω ότι

' κλ . , , , αν ειναι ασματικη μοναδα τοτε αυτη ειναι ο ,

δεύτερος όρος. Αν δεν είναι συνεχίζουμε όπως στο στάδιο 1 με κλάσμα το L . δ

Παράδειγμα: Να γράψετε το

ως άθροισμα διαφορετικών κλασματικών μονάδων.

Λύση. Η μεγαλύτερη κλασματική μονάδα μικρότερη από το Η

�

είναι το

�.

Έχουμε

Ί .' 1 5 ' , , , μεγα��.υτερη κλασματικη μοναδα μικροτερη απο το είναι το 7 2 14 14 14 3 14 ' 5 1 1 5 14 1 6 6 1 1 1 , . , . Εχουμε - - - = -· - - = - . Άρα το - γραφεται - = - + - + - . 1 4 3 42 42 42 7 7 2 3 42

- - - = - - - = ·- .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/14 .

-------

Ο ι κλασματ ι κές μονάδες κα ι τα κλάσματα

--------:--

Οι διάφορες έννοιες ·ενός κλάσμ ατ ο ς

'Ενα κλάσμα .!!.._ , μπορεί να δηλώνει μία από τις παρακάτω έννοιες: . . β 1 . Το μέρος μίας ολόττjτας. Όταν μία ολότητα διαιρείται σε β ίσα μέρη τότε το

;

δηλώνει

τα α από τα β ίσα μέρη. Όταν κόψουμε μία πίτσα σε 8 ίσα κομμάτια τότε τα 2 κομμάτια από τα 8 2 ' ειναι τα - . 8 2. Μία διπλή πράξη την οποία πρέπει να εκτελέσουμε σε ένα μέγεθος. Διαιρούμε το μέyεθος . σε β ίσα μέρη και πολλαπλασιάζουμε επί α το ένα από α�τά. 'Εχουμε α · _!_ = .!!.._ � β β 3 . Ένα σημείο μεταξύ δύο φυσικών αριθμών. Το κλάσμα

των αριθμών μεταξύ του 1 και του 2, διότι ισχύει 1 < 2 < 2 . .

2 5

δηλώνει ένα σημείο της ευθείας

Το ακριβές πηλίκο του αριθμητή α διά του παρονομαστή β, των ακεραίων αριθμών α, β

με β '# Ο , .!!.._ = α : β . Στην έννοια αυτή στηρίζεται η λύση της εξίσωσης β · χ = α. . . β 5. Είναι ο λόγος του α προς τον β. Λόγο εννοούμε το αποτέλεσμα μίας .διαίρεσης που έχει διαιρετέο και διαιρέτη δύο ομοειδή ποσά. Η ισότητα λόγων ονομάζεται αναλογία. 3 6. Ένα οδηγό, μία οδηγία που μεταφέρει μία διαδικασία όπως τα « - του» που ·

χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή και για να λύσουμε προβλήματα. τις παραπάνω έννοιες του κλάσματος πρέΠει να έχουμε στη σκέψη μας όταν χρησιμοποιούμε κλάσματα. 4. Ιδιότη τες των κλασμάτων Όταν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τον αριθμητή ενός κλάσματος με. ένα φυσικό αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται αντίστοιχα με τονί.διο αριθμό. Όταν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τον παρονομαστή ενός κλάσματος με ένα φυσικό αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος διάιρείται ή πολλαπλασιάζεται αντίστοιχα με τον ίδιο αριθμό. Η τιμή ενός κλάσματος δεν μεταβάλλεται αν πολλαπλασιάσουμε ή αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο ·αριθμό. Τα κλάσματα έχουν πολλές διαφορετικές ιδιότητες από τους φυσικούς αριθμούς. Όπως: Οι φυσικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από ένα απλό σύμβολο. Μπορούμε να τους aριθμήσουμε, δεν μειώνονται με τον πολλαπλασιασμό και δεν αυξάνονται με τη διαίρεση. Αυτές οι ιδιότητες δεν ισχύουν στα κλάσματα. 5. Κατη γορίες κλασμάτων Ομώνυμα κλάσματα . Δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ομώνυμα όταν έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Ετερώνυμα κλάσματα Δύο ή περισσότερα κλάσμQ.τα λέγονται ετερώνυμα όταν έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σύνθετα κλάσματα Σύνθετο κλάσμα ονομάζεται το κλάσμα του οποίου ο ένας τουλάχιστον από τους όρους είναι κλάσμα. Επομένως το σύνθετο κλάσμα είναι πηλίκο και μπορούμε να το εκφράσουμε μέσω της διαίρεσης ως απλό κλάσμα. Ισοδύν αμα κλάσματα ·

Δύο κλάσματα

;

και

� είναι ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους ή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΊΟl τ.l/15

-------

Ο ι κλασματ ι κές μονάδες κα ι τα κλάσματα

--------

ίσων μεγεθών. Επειδή εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους είναι ίσα και γράφούμε

!!...

=r. δ

Έτσι τα ισοδύναμα κλάσματα έχουν διαφορετικές ονομασίες αλλά έχουν την ίδια τιμή . Δύο κλάσματα ελέγχουμε αν είναι ισοδύναμα με τη μέθοδο «χιαστή». Αν ·π 3 ' και αντιστροφα. .χ.

α = Ι.. β δ

τότε

α·δ= r·β

24 S 40 Απλοπο ίη ση κλάσματος Απλοποίηση ενός κλάσματος ονομάζουμε τη διαδικασία κατά την οποία διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό ώστε να προκύψει ένα απλούστερο ισοδύναμο κλάσμα. 6 ' 36 . ' ' ' ' με απλοποιηση παιρνουμε το κλασμα 7 . Απο το κλασμα 42 Ανάγωγα κλάσματα Το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί ονομάζεται ανάγωγο. Στα ανάγωγα κλάσματα οι

όροι τους δεν έχουν κοινό διαιρέτη. Ο ΜΚΔ τους είναι το 1. Π.χ. το .

l 7

είναι ανάγωγο κλάσμα.

Σύγκριση κλασμάτων Σε ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή. Αν δεν είναι ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε ένα τρόπος είναι να τα τρέψουμε σε ομώνυμα. 6. Μ εθο δολογ ικές παρατη ρήσεις Όταν κάνουμε Πράξεις με κλάσματα είναι χρήσιμο να aπλοποιούμε τα κλάσματα, όταν απλοποιούνται. Για να προσθέσουμε ένα κλάσμα με ένα φυσικό αριθμό γράφουμε πρώτα τον φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή το 1. Στις παραστάσεις με κλάσματα ισχύουν τα ίδια με τους φυσικούς αριθμούς ως προς τη σειρά των πράξεων και τις παρενθέσεις. Στα προβλήματα με κλάσματα συνήθως περιλαμβάνονται τρείς οντότητες. Η ολότητα (φυσικός αριθμός), το μέρος της ολότητας (φυσικός αριθμός) και το κλάσμα. Όταν ζητούμε το μέρος της ολότητας πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα με την ολότητα. Παράδειγμα: Ένας μαθητή ς αγόρασε ένα υπολογιστή αξίας 680 εuρώ. Κατά την παραλαβή

έδωσε προκαταβολή τα Λύση Έχουμε

της αξίας. Να βρείτε πόσο έδωσε προ�ατ�βολή.

l . 680 = 255

εuρώ 8 Όταν ζητούμε την ολότητα διαιρούμε το μέρος της ολότητας με το κλάσμα. Παράδειγμα . Ένας καλλιεργητής αγόρασε ένα χορτοκοπτικό μηχάνημα. Κατά την .

παραλαβή πλήρωσε προκαταβολή τα

�

της αξίας και έδωσε 270 εuρώ. Να βρείτε πόσα εuρώ

άξιζε το χορτοκοπτικό. ' Λύση . Εχουμε 270 : l = 270 � = 450 έυρώ. 3 5 Όταν ζητούμε το κλάσμα διαιρούμε το μέρος της ολότητας με την ολότητα. Παράδειγμα. Ένας άνθρωπος αγόρασε μία τηλεόραση αξίας 420 εuρώ Κατά την παραλαβή έδωσε προκαταβολή 180 εuρώ. Να βρείτε τι μέρος της αξίας πλήρωσε . Λ 'Ε 180 60 3 ξ' = = 7 της α ιας. υση . χουμε 420 140 Όλα τα παραπάνω μπορούν να εφαρμοστούν στις παρακάτω ασκήσεις και προβλήματα. ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΊΟl τ.l/16

------ Ο ι κλασματ ικές μονάδες κα ι τα κλάσματα -----7 . Π ροτεινόμενες ασκή σεις 3 4 3 3 11 '\ L 4 ' α) - και - β) - και - γ) - και - . 1 . Να σιrγκ:ρινετε τα ιvwσματα ·-

1 15 4 7 9 18 36 124 12 420 42 9 24 2. Να απλοποιησετε τα κλασματα. α) - , β) - , γ) - , δ) - , ε) - , στ) - , ζ) - , η) 54 93 15 1 05 63 36 42 � θ) 54 . 26 ' 72 3 . . . ... ... '\ 8 16 40 64 ' ' ' = ιv..άσματα. α) β) 3. Να σuμπλ ηρωσετε τα παρακατω ισοδυναμα -. 4 12 28 100 5 ... ... . .. 3 7 5 ' ' , να ι-u:, , .,...... ΑΙ.'} � δ·-'\ ---LΔ' , χωρtς αι .,..'} /._, ,.... τοuς αp1!θμητες να uuw.υιuυετε την τιμη τσuς. �Uf-ΛU'G 4. ινονt τα 1\.1\ΜVι-ου.τα 8 , 1 0 , 14 1 15

- =- = - = - ,

- =- = -

....

Να γράψετε το κλάσμα

� ως άθροισμα τεσσάρων διαφορετικών κλασματικών μονάδων 5

(αιγυπτιακή έκφραση κλάσματος).

1 (= .!_ + �) ως άθροισμα τριών διαφορετικών κλασματικών μονάδων 3 3

6. Να γράψετε το

(αιγυπτιακή έκφραση κλάσματος). 7 . Να γράψετε το κλάσμα

4 5

ως άθροισμα κλασματικών μονάδων (αιγυπτιακή έκφραση κλάσματος).

8. Να κάνετε τις πράξεις.

α)

9. Να κάνετε τις πράξεις.

α)

1 0. Να κάνετε τις πράξεις.

α)

1 1 . Να κάνετε τις πράξεις.

α)

1 2.

α)

Να κάνετε τις πράξεις. '

, 1 3 . Να κανετε τις πραξεις.

α)

1 5.

Να κάνετε τις πράξεις.

2 1 4 1 3 3 4 5 1 β) + + + + . + + + 1 3 2 2 4 , 4 10 20 8 2 ι 1 2 4 8 3 3 2 33 - β) - + - + - γ) - + - + - . + 23 24 ' 3 3 2 3 3 ' 4 2 4 2 1 1 7 27 7 5 7 1 ι ι 5 , γ) β) . , + 2+3+ 4 + 6 9 - 12 - 24 5+3 4 ι 3 ι 1 ι 1 17 2 ι ι 3 (4 + 8 - 2) · (3 + 2 - 6) , β) ( 24 - 12 - 6) · (2 + 4 - 1 ) . 1 1 _.!.._ + -1- + -1- + - β) (1 0 ·. _.!.._) . (- ·. 1 0) 10 1 00 1 000 1 0000 ' 10 10 .!..!. . 3 6 29 . .2.. , β) � - � - 2 . ! . 3 8 2 4 9 1 1 6 58 1 1 1 ι 15 15 β) . - -+ 2 2 · 1 2 1 · 2 . 3 1 · 2 . 3 . 4 1 · 2 . 3 . 4 . 5 ' -33 . 5 - -3 . 53 . -

Μία βρύση γεμίζει σε μία ώρα το

.!. μιας δεξαμενής και μία άλλη αδειάζει σε μία ώρα το .!. 4 7

της δεξαμενής. Όταν είναι και οι δύο ανοικτές τι μέρος της δεξαμενής γεμίζει σε μία ώρα; 15 '\ ' ' -'\ -' ' ' ' ' ιv..ασμα - ως αθροισμα τεσσαρων διαφορετικων -ιvwσματικων μοναδων. 1 6. Να εκφρασετε το --

(Επίδραση από την αιγυπτιακή γραφή του ελληνικού «σχοινίου» το οποίο ήταν μονάδα μήκους). ' · -'\ 4002 ' ' 1 7. Να βρειτε την τιμη του ιv..ασματος -0 -0_ -0002-0_---_-0 1

99 9 1

1 8. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διαφορετικών κλασμάτων που έχουν την μορφή

είναι φυσικός αριθμός μικρότερος από το 7 . (Απ. 3) ' 1 9. Ενα κουτί περιέχει κόκκινες και πράσινες μπάλες. Τα

0 ,

όπου α

� από τις μπάλες είναι κόκκινες και 9

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/17

......--....----

Ο ι κλασματ ι κές μονάδες κα ι τα κλάσματα

--------

οι υπόλοιπες πράσινες. Να βρείτε τον λόγο των κόκκινων προς τις πράσινες μπάλες. α , , 1 8 , τον φυσικο, αριθ μο, α ωστε 20 . Να β ρειτε να ισχυει - < - < - .

� � και Β

Α 2 1 . Θε ω ρούμε τους αριθμούς = 2 + 2 I

Β 1 β) Να υπολογίσετε την παράσταση

.!. + 3

�. α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς Α, 3

1 ( Α + -) · ( Β - !) . 16 9

8. Προτεινόμενα προ βλήματα Ένας καλλιεργητής αγόρασε ένα μεταχειρισμένο αγροτικό αυτοκίνητο αξίας 3200 ευρώ (ολότητα). Κατά την παραλαβή πλήρωσε τα � της αξίας (κλάσμα). Μετά από τρείς μήνες 8 1.

nλή p ωσε τα

�

του υπολοίπου ποσού. Να βρείτε πόσα ευρώ χρωστάει ακόμη. (Απ. 500)

2 , , 'Ε , ' , , που ειχε , και την επομενη , τα 3 απο, τα κρουασαν 2 . να καταστημα πουλησε μια μερα μερα τα 3'

4 τον υπόλοιπου και του έμειναν ακόμη 1 0. Να βρείτε πόσα κρουασάν πούλησε συνολικά. (Απ. 1 1 0) 3. Τρείς συνέταιροι μοίρασαν εξ ίσου τα ετήσια καθαρά κέρδη μίας εξαγωγικής εταιρείας 5 των κερδών και 4000 ευρώ. Να βρείτε το μερίδιο κάθε φ ρρύτων. Ο πρώτος πήρα τα 18 εrοvεταίρου και το σύνολο των κερδών. (Απ. 24 000, 72000 ) Η 4. δεξαμενή ενός πρατηρίου βενζίνης είναι γεμάτη . Ο υπάλληλος του πρατηρίου μία μέρα 7tού λησε το μισό αυτής και έπειτα το

_!_ του υπολοίπου. Στη δεξαμενή έμειναν ακόμη 1 030 10

λίτρα, Να βρείτε πόσα λίτρα βενζίνης περιείχε η δεξαμενή. (Απ. 2288 � ) 9 5. Ένας καθηγητής αγόρασε ένα πακέτο χαρτί Α4 των 500 φύλλων όπου το χρησιμοποίησε ολpκληρο για να τυπώσει σημειώσεις Αριθμητικής και Γεωμετρίας. Οι σημειώσεις της Α ριθμητικής είναι τα

� των σημειώσεων της Γεωμετρίας και 30 φύλλα ακόμη . Να βρείτε πόσα

3 φύλλα χρειάζονται για κάθε μάθημα. (Απ. 2 1 8, 282) ' -'Ι 'I . 1 ' ' ' . 6 Μμχ. αyροτικη επιχεφηση ΚUΙ\Λιερyει το '3 των ειcrασεων με

ελ ' tες,

το

..... � • .;,.. το με πoptOKu.t�

με 4 4;μρνιές και υπάρχει και μία ακαλλιέργητη έκταση. α) Να βρείτε τι μέρος της έκτασης είναι ακαλλtέργητη. β) Αν η ακαλλιέργητη έκταση είναι 30 στρέμματα να βρείτε τη συνολική έκταση που έχει η επιχείρηση. �. 'Ενα supermarket αγόρασε 300 δοχεία με ελαιόλαδο, κάθε ένα περιείχε 1 7 2 λίτρά και 3 1 ' Η 3 ' ' ' ' ' ' α-γορασε προς 3 - ευρω το λιτρο. μεταφορα' κα' θε δοχειου κοστισε - ευρω και η φορολογικη ' 2 4 •

εrcιβάρυνση κάθε δοχείου κόστισε

�

ευρώ. Το supermarket πούλησε προς 5 ευρώ το λίτρο. Να

β ρρίτε πόσο κέρδισε ή ζημιώθηκε το supermarket από το συγκεκριμένο προϊόν. 8. Σε

ένα σταθμό παρκαρίσματος αυτοκινήτων το

_!_ είναι πετρελαιοκίνητα (diesel) Ήρθε 10

ακόμα . ένα πετρελαιοκίνητο αυτοκίνητο και τώρα είναι το

..!.. πετρελαιοκίνητα. Να βρείτε πόσα 9

μ'QfΟ1\:ίνητα βρίσκονται τώρα στον σταθμό. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/18

Εξ ισώσε ις κα ι αν ισώσε ις 1 ου βαθμού

=======

Ευριπίδης Θ έμελης - Παράρτημα ΕΜΕ Χανίων

Ένα από τα βασικότερα κεφάλαια της ύλης του γυμνασίου είναι οι εξισώσεις και οι ανισώσεις. Πιο συγκεκριμένα στο σχολικό βιβλίο της Β γυμνασίου στο πρώτο κεφάλαω οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με τις εξισώσεις και ανισώσεις πρώτου βαθμού, που αμφότερες αποτελούν το βασικό σκαλοπaτι για την κατανόηση των εξισώσεων και ανισώσεων ανώτερης τάξης, που αντιμετωπίζουν στη συνέχεια της μαθητικής τους ζωής, τόσο στη Γ γυμνασίου όσο και στο λύκειο. 1.

Εξισώσεις

Μια ισότητα που περιέχει ένα άγνωστο (συνήθως τον συμβολίζουμε με το γράμμα χ) ονομάζεται εξίσωση. Κάθε εξίσωση αποτελείται από δύο μέρη, τα οποία χωρίζονται μεταξύ τους από το ίσον (=). Το κάθε ένα από αυτά τα δύο μέρη ονομάζεται μέλος της εξίσωσης και πιο συγκεκριμένα πρώτο μέλος και δεύτερο μέλος. Όλοι οι όροι της εξίσωσης που δεν περιέχουν τον άγνωστο χ ονομάζονται γνωστοί όροι της εξίσωσης. Σε κάθε εξίσωση, ο στόχος είναι να βρεθεί ο άγνωστος και αυτό επιτυγχάνεται με την απομόνωση του από τους γνωστούς όρους. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται επίλυση εξίσωσης. · Ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση ονομάζεται λύση ή ρίζα αυτής. Ας δούμε τα 5 βήματα που χρησιμοποιούμε για να λύσουμε μία εξίσωση.

Βήμα 1°: Αν υπάρχουν κλάσματα, βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών, πολλαπλασιάζουμε

όλου στους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. και κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών. Βή μα 2 ° : Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα και κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων. Βήμα 3°: Χrορίζουμε τους γνωστούς από τους αγνώστους (συνήθως κρατάμε τους αγνώστους στο πρώτο μέλος). Προσοχή . Όταν μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο τότε αλλάζει πρόσημο. Βή μα 4°: Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, δηλαδή κάνουμε πράξεις ξεχωριστά σε κάθε μέλος. Βήμα 5°: Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου και aπλοποιούμε τα κλάσματα. Ας δούμε τώρα τη χρήση των παραπάνω 5 βημάτων σε παραδείγματα.

Πα ράδειγ μα 1 : 3χ + 5 = 6χ - 4

3χ - 6χ = -4 - 5 -3χ = -9 -9 χ=-

-3

Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν ούτε κλάσματα, ούτε παρενθέσεις, επομένως προχωράμε κατευθείαν στο βήμα 3 και χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Προχωράμε με το βήμα 4 και την αναγωγή ομοίων όρων Επόμενο βήμα το βήμα 5 και η διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου.

χ=3

Πα ρ άδειγ μα

3 (χ - 4) + 2 (2 + χ) = 4 (χ + 1) - 2 3χ - 1 2 + 4 + 2χ = 4χ + 4 - 2 3χ - 4χ + 2χ = 4 - 2 - 4 + 1 2 1χ = 1 0 χ = 10

Βήμα 2 εφαρμόζου με την επιμεριστική ιδιότη τα

Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Βήμα 5 διαιρσόμε με τον συντελεστή του αγνώστου ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΊΟl τ.l/1 9

-------

Εξισώ σεις και ανισώ σεις 101> βαθμού

Παράδειγμα 3 :

2- 2χ - 4 = � + � 12 6 8 χ + 24·-5 24· 2-24 · 2χ-4 = 24 · 6 8 12

48 - 3 ( 2χ - 4 ) = 2χ + 4 · 5 48 - 6χ + 1 2 = 2χ + 20 -6χ - 2χ = 20 - 1 2 - 48 -Sx = -40 χ = -40 -8 χ=5

Βήμα

------

1 κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών

πολλαπλασιάζοντας

όλους

τους

όρους

με

το

Ε.Κ.Π. ( 8, 12, 6 ) = 24 Βήμα 2 εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Βήμα 5 διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

Παράδειγμα 4: Στην περίπτωση που υπά ρχουν παρενθέσεις είναι προτιμότερο να γίνεται πρώτα η απαλοιφή των παρενθέσεων και έπειτα η απαλοιφή των παρονο μαστών.

( �) 2- 3 (% -χ)

2 χ-

2 {χ - 1) + 1

. 2χ - - - - +3 -χ = 2χ �2 + 1 3 2

Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα · -

Βήμα 1 κάνουμε απαλοιφή παραvομαστών�

6 . 2χ - 6 . -2 - 6 . -9 + 6 . 3χ = 6 . 2χ - 6 . 2 + 6 · 1 Ε.Κ .Π . ( 3, 2 ) = 6 3 2 12χ - 4 - 27 + 1 8χ = 12χ - 12 + 6 Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους 12χ + 1 8χ - 12χ = -12 + 6 + 4 + 27 Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 1 8χ = 25 Βήμα 5 διαιρούμε με τον συντελεστή του 25 χ=αγνώστου 18 Ε ι δ ικές περιπτώσεις όπου η εξίσωση είν αι είτε α δύνατη , είτε αόριστη Παράδειγμα 5 : ( Αδύνατη εξίσωση)

2 ( 4χ - 1 ) = 2 + 8χ 8χ - 2 = 2 + 8χ 8χ - 8χ = 2 + 2 0χ = 4

Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς χ διαιρώντας με τον συντελεστή του αγνώστου, γιατί όπως γνωρίζουμε, δεν γίνεται διαίρεση με το μηδέν. Παρατηρούμε όμως ότι για κάθε τιμή του χ, το πρώτο μέλος της εξίσωσης Οχ = 4 ισούται πάντα με Ο, οπότε δεν μπορεί να είναι ίσο με 4. Επομένως η εξίσωση αυτή δεν έχει καμία λύση. Μία τέτοια εξίσωση ονομάζεται αδύνατη . Παράδειγμα 6 : ( Αόριστη εξίσωση I ταυτότητα)

2χ - 4 = -2 ( 2 - χ ) 2χ - 4 = -4 + 2χ 2χ - 2χ = -4 + 4 Οχ = Ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/20

------- Εξισώ σεις και ανισώ σεις 1011 βαθμού

-------

Στην περίπτωση αυτή επίσης δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς χ διαιρώντας με τον συντελεστή του αγνώστου� γιατί όπως γνωρίζουμε� δεν γίνεται διαίρεση με το μηδέν. Παρατηρούμε όμως ότι η εξίσωση Ο χ = Ο επαληθεύεται για όλες τις τιμές tου χ� δηλαδή κάθε αριθμός είναι λύση τη ς εξίσωσης. Μία τέτοια εξίσωση ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. 2. Ανισώσεις

Μια ανισότητα που περιέχει ένα άγνωστο ονομάζεται aνίσωση . Τα δύο μέλη της ανίσωσης χωρίζονται μεταξύ τους από τα σύμβολα < ή > ή :::; ή 2=:. Σε αντίθεση με τις εξισώσεις� στις ανισώσεις έχουμε ένα σύνολο λύσεων� για αυτό και οι λύσεις συνοδεύονται από την παράστασή τους πάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Στην επίλυση μιας ανίσωσης ακολουθούμε την ίδια πορεία όπως και στις εξισώσεις� με μία σημαντική διαφορά. Όταν πολλαπλασιάζου με ή διαιρούμε τα μέλη μιας ανίσωσης με αρνητικό αριθμό� η aνίσωση αλλάζει φορά. Ας δούμε όμως τη χρήση των 5 βημάτων σε παραδείγματα. Παράδειγμα 1 :

2 (χ - 3) + 4 (1 + χ) < 3 (χ - 1) - 2 2χ - 6 + 4 + 4χ < 3χ - 3 - 2 2χ + 4χ - 3χ < -3 - 2 + 6 - 4 3χ < -3 -3 χ<3 χ < -1 τις

Παριστάνουμε παρακάτω σχήμα.

αγνώστου

-1

2χ - 5 � 6χ + Ί 2χ - 6χ � 7 + 5 -4χ � 12 12 χ�-4 χ � -3

Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Βήμα 5 διαιρούμε με τον συντελεστή του

λύσεις της ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών� όπως φαίνεται στο

··:·:·:·:·:·:·.·:·:·····:·:·:·:·:

Π αράδειγμα 2 :

Βήμα 2εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα

Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Βήμα 5 διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. Προσοχή όμως γιατί ο συντελεστής του αγνώστου είναι αρνητικός και πρέπει η aνίσωση να αλλάξει φορά

Παριστάνουμε τις λύσεις της ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών� όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το μαύρο κυκλάκι πάνω από τον αριθμό -3 σημαίνει ότι και ο αριθμός -3 είναι λύση της ανίσωσης .

. .

-3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'101 τ.1/2 1

------ Εξισώ σεις και ανισώ σεις ι ου βαθ μού

Παράδειγμα 3 :

3 2 3χ + - - - - 2χ � 6 + 2χ + 1 2 3

------

Βήμα 1 κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών

.6 . 3χ + 6 . � - 6 . � - 6 . 2χ � 6 . 6 + 6 . 2χ + 6 · 1 3 2 1 8χ + 9 - 4 - 1 2χ � 36 + 1 2χ + 6 Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους 9 Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 1 8 χ - 12χ - 1 2χ � 36 + 6 - + 4 -6χ � 37 Βήμα 5 διαιρούμε με τον συντελεστή του 37 αγνώστου. Πρ ο σ οχή όμως γιατί ο συντελέστή χ� -6 37 του αγνώστου είναι αρνητικός και πρέπει η χ � -6 aνίσωση να αλλάξει φορά.

!:::::::::::::::::::::::::::::: : ::::: : :::::::::::::::: . : : :::::::::::::::

-37/6

Ειδικές περιπτώσεις όπου η ανίσω ση είναι είτε αδύν ατη , είτε αό ριστη. Πα ράδειγμα 1 : (Αδύνατη) 5 - 3χ < χ - 4 ( χ - 1 ) Βήμα 2 εφαρμόζουμε την εmμεριστικ:ή ιδιότητα 5 - 3χ < χ - 4χ + 4 -3χ - χ + 4χ < -5 + 4 Οχ < -1

Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

Παρατηρούμε ότι αν στη θέση του χ βάλουμε οποιοδήποτε αριθμό, θα καταλήξουμε στην ανισότητα Ο < -1 η οποία είναι λανθασμένη. Δηλαδή η aνίσωση αυτή δεν αληθεύει για καμία τιμή του αριθμού χ. Μία τέτοια aνίσωση ονομάζεται αδύνατη . Στην παράσταση των λύσεων μιας αδύνατης ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών, δε θα σημειώσουμε τίποτα.

Πα ράδειγμα 2: (ταυτότητα) 5 ( χ - 2 ) - 8χ - 4 < -3 ( χ + 4 ) Sx - 1 0 - Sx - 4 < -3χ - 12 5χ - 8χ + 3χ < - 1 2 + 1 0 + 4 Οχ < 2

Βήμα 2 εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα Βήμα 3 χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Βήμα 4 κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

Παρατηρούμε ότι αν στη θέση του χ βάλουμε οποιοδήποτε αριθμό, θα κατε4ήξουμε στην ανισότητα Ο < 2 η οποία είναι σωστή. Δηλαδή η aνίσωση αυτή αληθεύει για κάθε τιμή του αριθμού χ. Μία τέτοια aνίσωση ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη . Η παράσταση των λύσεων μιας αόριστης ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών είναι όλη η ευθεία. Τέλος θα δούμε και ένα παράδειγμα για το πως βρίσκουμε τις κοινές λύσεις δύο ανισώσεων.

Πα ράδειγμα :

. χ-4 χ+4 χ - 1 < 2χ - 2 και � -1 4 8 Λύνουμε χωριστά τις δύο ανισώσείς --

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΊΟl τ.l/22

------

Εξισώ σεις και ανισώ σεις 1 ου βαθμού

Η πρώτη ανίσωση διαδοχικά γίνεται

_ _ _ _ _ _ _ _ ...._ ...,.

Η δεύτερη ανίσωση διαδοχικά γίνεται

χ-4 χ+4 -1 � 4 8 χ-4 χ+4 8 · -- � 8 · -- - 8 · 1 4 8 2 (χ - 4) � χ + 4 - 8

χ - 1 < 2χ - 2 χ - 2χ < -2 + 1 -1χ < -1 -1χ -1 >-1 -1 χ>1

2χ - 8 � χ,+ 4 - 8

2χ - χ � 4 - 8 + 8 χ�4

Η παράσταση των λύσεων είναι

: . . : .:::. : .: ::::. . : i: : .: : .: : .: : : �! . ::. ::::

. . . .

�.. . . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . . .. . . .. .. . .. .. .. . . 4

Στη συνέχεια σχεδιάζουμε α τις παραστάσεις των δύο λύσεων στην ίδια ευθεία.

t•. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .

!:· : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : ·:·:·:· · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : · : 1σκή σεις

Όπως βλέπουμε από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται από το 4 και δεξιά. Άρα είναι οι αριθμοί χ για τους οποίους ισχ;ύει χ � 4 . 3.

Π ρ οτεινό μενες

Ας δώσουμε τώρα και μερικές άλυτες εξισώσεις για να εξασκηθείτε. 1.

8 (χ - 1) + 1 7 (χ - 3) = 4 ( 4χ - 9) + 4

1 6 = 8 (χ + 2) � 12 (χ + 2) - 2(-12 - 2χ)

2χ - 5 = -χ - 8 -3 - 5χ - 6 4 12 4 . 2χ - 1 _ 4χ - 5 + 2χ = χ - 5χ 4 12 12 χ+1 5 . .!. χ - ! + .!. χ + .!. = 3 2 2 3 4 3.

( ) ( )

Ας δώσουμε τώρα και μερικές άλυτες ανισώσεις για να εξασκηθείτε. 1.

5 - 3 (χ - 2) < 2 (χ - .5) + 1 1

2 (3 -.,. χ) - (5 + χ) � 3 (2 - χ) + 4χ + 1

3. 4. 5.

3 - 2χ 7 + χ < χ - 6 - 24 2 3χ - 5 χ + 3 χ < -2 4 4 2 -3 - 2 (χ + 1) :::; 1 και 1 $

7 - 2χ 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A 'lθl τ.l/23

Τα

εμβαδά κα ι το Π υθαγόρε ιο θεώρημα Μ ια σχέση Δ ιαχρον ι κή

======= Στέφανος Κείσογλου.

μ1rοpούσαμε αναμφίβολα να υποστηρίξουμε ότι ο Πυθαγόρας, με την απόδειξη του θεωρήματός του, οδηγεί τα Μαθηματικά σταδιακά από τον χώρο των μετρήσεων και της απΛή� χρηστικής αξιοποίησης στο χώρο της λογικής τεκμηρίωσης και της αυστηρής α ώδι1ξη�, Όμως, θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι τόσο ο Πυθαγόρας όσο και οι επίγονοί του αρχικά ιnηpίχτηκαν στη διαίσθηση και στη συνέχεια αυτή τη διαίσθηση τη μετέτρεψαν σε βεβαιότητα μέσα από την ιcαθαρή Μαθηματική απόδειξη . Η διαίσθηση, στην περίπτωση του Πυθαγορείου Θεωρήματος, στηρίχτηκε σε μεγάλο βαθμό στα εμβαδά των παραλληλογρ άμμων και στις ιδιό τητές τους. Θα δούμε ποια διαίσθηση οδήγησε τον Πυθαγόρα στην απόδειξή του και πώς παρό μοια διαίσθηση οδήγησε μεταγενέστερους σε μια ποικιλία αποδείξεων. Δεν θα έπρεπε να παραλείψουμε την αναφορά μας στον εικονιζόμενο της διπλανής φωτσyραφίας και στο βι βλίο του. Ο εικονιζόμενος ονομάζεται Elisha Scott Loomis και είναι εκείνος που πριν από 90 περίπου χρόνια συγκέ ντρωσε εκατοντάδες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρή ματος, πολλές από αυτές επώwμες, και μάλιστα τις οργά νωσε σε 4 διαφορετικές ομάδες. Από την επανέκδοση του βιβλίου του, το 1 940, θα δανειστούμε και εμείς μερικές χαρακτηριστικές. Μέσα από επώwμες αποδ είξεις θα δούμε πως η Μαθηματική σκέψη και διαίσθηση δεν γνωρίζει σύνορα και είναι κοινή ανθρώπινη δεξιότητα. Επιπλέον, θα παρακολουθήσουμε τον τρόπο με τον οποίο ένας μη Μαθηματικός αποδεικνύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα με τρόπο που δεν έχει τίποτε να ζηλέψει από nς αποδείξεις των μεγάλων Μαθηματικών. Τέλος, θα δούμε μία απόδειξη εφήβου, ναι καλά διαβάσατε απόδειξη από έναν έφηβο! Η

απ ό δ ειξη που απο δίδ ετ αι στον Πυ θ αγόρα. Κατ' αρχάς να τονίσουμε ότι ο Πυθαγόρας γνώριζε ότι οι με ΒΓ2 . τρήσεις, ιδιαίτερα των Αιγυπτίων, έδειχναν ότι ΑΒ 2 + ΑΓ2 Λένε ότι οι Β αβυλώνιοι γνώριζαν τρόπους υπολογισμού του ..fi με Γεωμετρικό τρόπο, στην ουσία μέσω του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Αν κανείς αμφιβάλλει ας παρατηρήσει τη διπλανή εικόνα στην οποία εμφανίζεται ένα μικρό πέτρινο εύρημα, στο οποίο οι Β αβυλώνιοι τον 1 7° αιώνα π.Χ. απεικόνιζαν ένα τετράγωνο και τον υπολογισμό της διαγωνίου του με καλή προσέγγιση για τα σημερινά δεδομένα. Ας έρθουμε πρώτα σε δύο από τις πιο γνωστές αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. =

....____

Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να φανταστούμε τα τετράγωνα των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου κατασκευασμένα στο εξωτερικό του τριγώνου. Το θέμα που τίθεται τώρα είναι: Πώς θα δείξουμε ότι τα δύο μικρά τετράγωνα έχουν συνολικό εμβαδόν ίσο με το μεγάλο; Θα δούμε όn η προσπάθεια τόσο του Πυθαγόρα όσο και των υπολοίπων που φι λοξενούνται στο άρθρο αυτό ήταν να μεταφέρουν, κατά κάποιον τρόπο, τα δύο μικρότερα εμβαδά μέσα στο μεγάλο με κατάλληλες ευθείες και με χρήση των ιδιοτήτων των εμβαδών . (

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 101 τ.1/24 Ί

------ Τ α εμβαδ ά και το Πυθαγό ρειο θεώ ρημα. Μια cηέση διαχρονική

------

Οχως είπαμε και στην αρχή η διαίσθηση ενός Μαθηματικού είναι το πρώτο βήμα στη Μα θηματική δημιουργία. Με ποιον τρόπο όμως η διαίσθηση του Πυθαγόρα οδήγησε στην περίφη μη απόδειξη ; Ένας σπουδαίος ιστορικός των Μαθηματικών, ο Heath, υποστηρίζει ότι η πλiον πιθανή απόδειξη έχει περίπου την παρακάτω μορφή : Ας υποθέσουμε ότι διαθέτουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο η ορθή γωνία έχει κορυφή το σημείο Α. Ο Πυθαγόρας φαντάζεται το ύψος ΑΔ που χωρίζει όχι μόνο το τρίγωνο αλλά και το μεγάλο τετράγωνο σε δύο ορθογώνια. Διαισθάνεται ότι το εμβαδόν του ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μικρού τετραγώνου ενώ το εμβαδόν του άλλου ορθο γωνίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Στην ουσία σκέπτεται ότι ΒΔ · ΔΕ = ΑΒ 2 και ΓΔ · ΔΕ=ΑΓ2 • Αυτές όμως οι σχέσεις πρέπει να αποδειχτούν, πράγμα που υλοποιεί ο Πυ θαγόρας με τη βοήθεια αναλογιών. (Η πλήρης απόδειξη θα γίνει στο Λύκειο). Ε Μ ι α άλλη απ ό δειξη Η απόδειξη που ακολουθεί είναι αρκετά γνωστή, ιδιαίτερα σε όσους αναζητούν στο διαδί κτυο αποδείξεις με τη βοήθεια ενός δυναμικού Γεωμετρικού λογισμικού. Η απόδειξη αυτή έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για 2 λόγους. Κατ' αρχάς αποτελεί μια απλή εφαρμογή ενός πολύ σημα ντικού θεωρήματος του Πάππου, που ήταν Έλληνας Μαθηματικός και έζησε τον 3ο αι. μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια. Επιπλiον, αποτελεί μία σύνοψη, κατά κάποιον τρόπο, ταιν αποδείξεων με α ριθμό 42, 43, 44 και 45 των Γεωμετρικών αποδείξεων του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο βιβλίο του Loomis. Να υπογραμμίσουμε ότι η απόδειξη που ακολουθεί είναι εντελώς διαισθητική και προσπαθεί να αναπαραστήσει τον μετασχηματισμό των τετραγώνων των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου σε πλάγια παραλληλόγραμμα και στη συνέχεια σε ορθογώνια με στόχο την κάλυψη του τετραγώνου της υποτείνουσας. Φ άση πρ ώτη :

Προεκτείνουμε τις πλευρές των μικρών τετραγώνων μέχρι να συναντηθούν κάπου έξω από τα τετράγωνα. Προσέξτε ότι αυτές οι δύο ευθείες είναι κάθετες. Ο στόχος τώρα είναι να μετατραπούν τα δύο τετράγωνα σε ισο δύναμα παραλληλόγραμμα ώστε να μπορούν να εισέλθουν μέσα στο μεγάλο τεtράγωνο, καθώς έτσι όπως εμφανίζονται είναι αδύνατον να προσαρμοστούν ακριβώς μέσα σε αυτό. Λ 6

Φ άση δ εύτερη :

Αν προεκτείνουμε τις πλευρές του μεγάλου τετραγώνου προς το μέρος των μικρών σχηματίζονται τα παραλληλόγραμμα που φαίνο νται στο διπλανό σχήμα από τα οποία το ένα είναι ισοδύναμο με το μικρό τετράγωνο και το άλλο με τα μεγάλο τετράγωνο (Γιατί;). Αυτά τώρα τα παραλληλόγραμμα μπορούν να εισέλθουν στο μεγάλο τετράγωνο αλλά δεν θα το καλύψουν όπως θέλουμε, γι' αυτό συνεχίζουμε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/25

------ Τ α εμβαδ ά και το Πυθ αγό ρ ειο Θ εώρημα. Μια σχέση διαχρ ονική Φάση

-----

τρ ίτη :

Αν μεταφέρουμε τα παραλληλόγραμμα παράλληλα ώστε οι κορυφές τους Α, Β να συμπέσουν με την κορυφή του ορθογωνίου τρι γώνου τότε θα έρθουν στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Όμως και πάλι δεν έχει ολοκληρωθεί το γέμισμα και θα πρέπει να κάνουμε κάποιο Γεωμετρικό τέχνασμα επιπλέον .

Φ άση τέτ αρτη :

' ' ''

ις

""-

Καθώς το σημείο Κ εισέρχεται, μετακινοuμενο πάνω στην κα τακόρυφη ευθεία, η κοινή πλευρά των δύο παραλληλογράμμων μπο ρεί να εισέλθει ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο της υποτείνουσας. Έτσι τα παραλληλόγραμμα γεμίζουν το μεγάλο τετράγωνο με αποτέ λεσμα να έχουν μεταφερθεί τα μικρότερα τετράγωνα στο μεγάλο και να το καλύψουν .

Τ ο Πυθαγόρειο σε Ανατ ολή και Δύ ση Είπαμε στην αρχή ότι η Μαθηματική διαίσθηση και η δημιουργικότητα δεν είναι προνόμιο ενός μόνο πολιτισμού αλλά εμφανίζεται σε Ανατολή, Δύση, Βορρά και Νότο. Για του λόγου το αληθές, θα δούμε δύο αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος σε δύο διαφορετικούς πολιτι σμούς. Η μία προέρχεται από την Αραβική παράδοση και η άλλη από τη Δυτική .

Thabit lbn Quπa (836-901 μ .χ.)

Ας δούμε πρώτα μία εξαιρετική απόδειξη που έκανε ένας Μαθηματικός από τον Αραβικό κόσμο, ο εικονιζόμενος. Ο Μαθηματικός αυτός σκέφτηκε να πάρει δύο τετράγωνα, να τα τοπο θετήσει το ένα δίπλα στο άλλο και στη συνέχεια κόβοντας κατάλληλα τμή ματα και συνθέτοντάς τα να δημιουργήσει ένα τετρίlγωνο. Ένα αρκετά κατατοπιστικό βίντεο μπορείτε να παρακολουθήσετε στη διεύθυνση : https ://www .youtube.com/watch?ν=Χ304ΥAcb3mA

Αρχικά τοποθέτησε δύο τετράγωνα πλευράς α και β αντίστοιχα το ένα δίπλα στο άλλο. Στη συνέχεια βρήκε ένα σημείο στη βά ση του μεγάλου τετραγώνου ώστε να ορίσει τμήμα πάνω σε αυ τό ίσο με β δηλαδή ίσο με την πλευρά του μικρού. Έτσι δη μιούργησε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές α και β.

τώρα

:α

αρχίζει να περιστρέφει τα δύο τρίγωνα, αφού πρώτα τα έχει αποκόψει, γύρω από τις κορυ φές που βρίσκονται η μία στο μικρό τετράγωνο και η άλλη στο μεγάλο. Στην εικόνα δίπλα φαίνεται η περιστροφή κατά 90° . (Γιατί είναι βέβαιο πως η περιστροφή είναι κατά 90° ;) ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/26

------ Τ α εμβαδ ά και το Πυθ αγό ρεw Θεώ ρημα. Μια σχέση διαχρονική Η

n:ριστροφή συνεχίζεται και φτάνει τις 180° t

•

και τέλος απόδειξη .

270° . Εδώ ολοκληρώνεται η

•

τις

' '

------

----.:: ·

: ;: α

βι_

β α Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί έχει αποδειχτεί - - - β" - _, α το Πυθαγόρειο Θεώρημα; Η επόμενη απόδειξη προέρχεται από τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Ο Ντα Βίντσι με τη δημι ουργική του φαντασία σκέφτεται να κατασκευάσει και αξιοποιήσει συμμετρικά σχήματα. Για να κατανοήσουμε τη σκέψη του ας χωρίσουμε την απόδειξη σε δύο φάσεις, στη φάση των τετρα γώνων των καθέτων πλευρών και στη φάση του τετραγώνου της υποτείνουσας. _ _ _ _

- - - - ·

Φ άση 1 η

Κατασκευάζει τα τετρά γωνα των δύο καθέτων πλευ ρών του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ και στη συνέχεια κλείνει το σχήμα και φέρνει την ευ θεία που ενώνει τις απομα κρυσμένες κορυφές των τε τραγώνων.

Η ευθεία αυτή είναι στην ουσία άξονας συμμετρίας του πολυγώνου οπότε το χωρίζει σε δύο ίσα τετράπλευρα. Το ένα από τα δύο αυτά τετράπλευρα περιέχει ολόκληρο το τρίγωνο και τα μισά τετράγωνα. Β

Φ άση 2η Στη συνέχεια ασχολείται με το τετράγωνο της υποτείνουσας ως εξής: Α Α Αφού κατασκευάσει το τετράγωνο της υποτείνουσας βρίσκει το συμ μετρικό του ορθογωνίου τριγώνου Γ Γ ΑΒΓ ως προς το κέντρο του τετραγώ Β e νου. Αν τώρα ενώσει τις κορυφές Α και Α ' του αρχικού και του τελικού ορθογωνίου τριγώνου το όλο σχήμα χωρίζεται σε δύο ίσα τετράπλευ ρα κα θένα από τα οποία είναι το μισό τε τράγωνο και ολόκληρο το τρίγωνο. Μπορείτε να το εξηγήσετε; Α' Α' Τελικά παρατηρεί ότι το τετράπλευρο που προκύπτει από την πρώτη φάση είναι ίσο με το τετράπλευρο που προκύπτει στη δεύτερη φάση οπότε ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Μπορείτε να δώσετε μία σύντομη εξήγηση ; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/27

------ Τα εμβαδά και το Πυθαγό ρειο θεώρημα. Μια σχέση διαχρ ονική Η περίπτωση Perigal.

------

Ο Henry Perigal ( 1 80 1 - 1 898) ήταν ένας Άγγλος λογιστής που έζησε τον περισσότερο χρό νο της ζωής του στο Λονδίνο. Ήταν μέλος της Ακαδημίας Αστρονομίας και Μετεωρολογίας αλλά το μεγάλο του πάθος ήταν τα Μαθηματικά, ήταν αυτό που λέμε ερασιτέχνης Μαθηματι κός. Ο Peήgal κατασκεύασε το 1 830 μια απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος μέσα στα πλαίσια της μεταφοράς εμβαδών από τα τετράγωνα των καθέτων πλευρών στο τετράγωνο της υποτείνουσας. Αυτή την απόδειξη θεώρησε ο Perigal έργο ζωής σε σημείο που έδωσε εντολή ν επιτύ ια πλάκα του να είναι αραγμένο το κατόρθωμά του. Η επιτύμβια πλάκα του Perigal έχει ιδιαίτερο ενδια φέρον όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο χωρίζει το τε τράγωνο της μία κάθετης πλευράς και δείτε ότι τα δύο τμήματα που έχει φέρει μέσα σε αυτό το τετράγωνο δεν είναι τυχαία. Κατ' αρχάς τέμνονται στο κέντρο του τετραγώνου και επιπλέον το ένα τμήμα είναι παράλληλο στην υποτείνουσα και το άλλο είναι κάθετο. Αυτό τώρα που κινεί το ενδιαφέρον είναι τα γράμμα τα Η, Ρ, R, G και L που χρησιμοποιεί για να ονομάσει τα διάφορα τμήματα. Μπορείτε να φανταστείτε για ποιο λόγο DISCOVERED ΒΥ Η . Ρ . χρησιμοποιεί αυτά ακριβώς τα γράμματα; 1 830 Είναι απλό, είναι γράμματα από το όνομά του ! , ....................... ........

. . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Θα κλείσουμε με μία απόδειξη για την οποία έγινε αναφορά στο εισαγωγικό σημείωμα και η οποία, αν θα έπρεπε να αφιερωθεί σε κάποιους, αφιερώνεται χωρίς συζήτηση σε όλους τους μαθητές της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Η απόδειξη έχει αύξοντα αριθμό 224 στις Γεωμετρι κές αποδείξεις του βιβλίου του Loomis. Όπως λέει ο συγγραφέας, στις 1 6 Μαίου του 1 939, έλα βε μία επιστολή από έναν καθηγητή Μαθηματικών, τον Wilson Thorton, στην οποία του περιέ γραφε την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος από έναν έφηβο ·μαθητή του, τον Gustaν Cas. Η απόδειξη έχει ως εξής: Ζ Αρχικά ο Cas κατασκευάζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το τετράγωνο με βάση την υποτείνουσα. Το τετράγωνο αυτό, όπως φαίνε ται και στο διπλανό σχήμα, βρίσκεται προς το μέρος της κορυφής Α. Επιπλέον, κατασκευάζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΖΕΔ το οποίο φροντίζει να είναι ίσο με το ΑΒΓ, να έχει υποτείνουσα την ΔΕ και οι κάθετες πλευρές του να είναι παράλληλες, μία προς μία, προς τις κάθε τες πλευρές του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ. Στο μυαλό του ο Cas έχει τώρα να «γεμίσει» το τετράγωνο της υ ποτείνουσας με κατάλληλα παραλληλόγραμμα που το συνολικό τους 8 �----....... r εμβαδόν να είναι ίσο με το συνολικό εμβαδόν των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του ΑΒΓ. Όταν ενώνει τις κορυφές Ζ και Α τότε δημιουργεί μία ευθεία πα ράλληλη προς τις δύο πλευρές του τετραγώνου. Στη συνέχεια βλέπει τις προεκτάσεις των ΖΔ και ΒΑ να σuναντώνται στο σημείο Η και αυ τό είναι ιδιαίτερα σημαντικό καθώς τώρα το νέο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΖ είναι ίσο με τα δύο προηγούμενα ορθογώνια τρίγωνα. Εδώ ας πε ριοριστούμε στη διαίσθηση καθώς δεν διαθέτουμε στη Β ' τάξη τα κα τάλληλα Μαθηματικά εργαλεία για την απόδειξη της ισότητας των τρι γώνων αυτών. Από τις ισότητες προκύπτει ότι ΖΗ=ΑΒ και ΑΗ = ΑΓ και τώρα ο Cas περνά στη σύγκριση εμβαδών καθώς παρατηρεί ότι το μεγάλο τετράγωνο έχει διαφεθεί σε δύο ορθογώνια. '-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/28

----

Τ α εμβαδά και το Πυ θαγό ρειο Θεώρημα. Μια σχ;έση διαχρ ονική Η

----.....,.

τελική τεκμηρίωση στηρίχτηκε στον υπολογισμό των εμβα δών των δύο παραλληλογράμμων ΕΖΑΒ και ΖΔΓΑ, τα οποία είναι φανερό πως έχουν εμβαδά ίσα με αυτά των ορθογωνίων στα οποία είναι χωρισμένο το τετράγωνο. . Για το εμβαδόν του ΕΖΑΒ θεωρεί βάση την ΑΒ και ύψος το ΖΗ που είναι ίσο με το ΑΒ από το προηγούμενο βήμα. Άρα (ΕΖΑΒ ) = ΑΒ χΑΒ = ΑΒ 2 • Για το εμβαδόν του ΖΔΓΑ θεωρεί βάση τη ΖΔ και ύψος το ΑΗ που αυτά τα τμήματα είναι ίσα με ΑΓ και τα δύο. Άρα (ΖΔΓΑ) ΑΓχΑΓ ΑΓ2 • =

Ε πιμύθ ι ο Το Πυθαγόρειο Θεώρημα και η απόδειξή του δεν είναι σπουδαίο μόνο μέσα στα πλαίσια των Μαθηματικών, αλλά και μέσα στα πλαίσια της παγκόσμιας πολιτιστικής παράδοσης. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχει το ίδιο ειδικό πολιτισμικό βάρος όπως και μια σονάτα του Μπετόβεν, ένας Πίνακας του Ραφαήλ, μια τραγωδία του Σοφοκλή ή ένα έργο του Σαίξπηρ. Τια του λόγου το αληθές, παρατηρήστε τα παρακάτω γραμματόσημα. Προέρχονται από 5 διαφορετικές χώρες όπως Ελλάδα, Κορέα, Νικαράγουα, Σουρινάμ κ.λ.π. και όλες φαίνεται να αναγνωρίζουν τη σημασία του Θεωρήματος.

6\ .

j: ,, . Ν ι

� ..

-Ι

• ...

λkiHO

30 fλ\t�

ΙΜ ΙΙ .... ΙΙΙΙΙΙ1ΩΙ. -ΙΑfΑΙ.ΙΑΝ8

2) 3)

Ση μείωση. Για τη συγγραφή του κειμένου αξιοποιήθηκαν πληροφορίες από τα βιβλία: Elisha Scott Loomis: The Pythagorean proposition. Πρώτη έκδοση 1 927, δεύτερη έκδοση 1 940. Sir Thomas L. Heath: Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών. Τόμος 1 σε μετάφραση από το Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης. (200 1 ) John Sparks (2008) The Pythagorean theorem. Crown Jewel of Mathematics. Produced by Sparrow-Hawke Treasures.

Η εικόνα του Άραβα Μαθηματικού βρίσκεται σε παρουσίαση στη διεύθυνση : http://www .slideshare.net/akaw 1 907/thabit-ibn-algurras-proof-of-pythagorean-theorem ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/29

Παραyοντοποί ηση κ α ι λύση εξίσωσης μ ε παραyοντοποι ηση ,

======

Παντελής Μακ ρυ μανωλάκη ς - ΕΜΕ Παράρτημα Χανίων

nαραγοντοποίηση ονομάζουμε τη διαδικασία κατά την οποία μια αλγεβρική παράσταση μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Αυτό μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο σε κάποιες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα στη λύση εξισώσεων. Η σχέση της παραγοντοποίησης με τη λύση εξισώσεων έχει αναφερθεί για πρώτη φορά στο έργο του άγγλου μαθηματικού Thomas Haπiot ( 1 560 - 1 62 1 ) που ήταν αρκετά μπροστά από την εποχή του. Με την πάροδο του χρόνου οι τεχνικές αναπτύχθηκαν και βελτιώθηκαν με αποτέλεσμα η παp αγοντοποίη ση να γίνει ένα ισχυρό εργαλείο στα χέρια των μαθηματικών. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε μίά αλγεβρική παράσταση. 1 ος

τρόπος: Κοινός Παράγοντ ας

Προσπαθούμε να βρούμε κάποιον αριθμό ή κάποια μεταβλητή που να είναι παράγοντας σε όλους τους όρους της παράστασης στη συνέχεια εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα αντίστροφα. gβ + gγ = α( β+γ ).

Παραδείγματα β) 1 5ω + 1 5θ - 1 5 =1 5( ω + θ - 1 ) α) 3κ + 3λ =3( κ + λ ) · = 4 3 4 γ) χ 1 2 χ - 4 = 4( χ - 3 ) [ εδώ γράψαμε πρώτα το 1 2 σαν γινόμενο με παράγοντα το 4] 2°ς τ ρόπος : Ομαδοποίη ση

Αν δεν υπάρχει κάποιος κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους της παράστασης τότε πιθανόν να υπάρχουν ομάδες που έχουν κοινό παράγοντα και μετά τη παραγοντοποίηση συνήθως προκύπτει και πάλι κοινός παράγοντας. Παραδείγματα + μκ + μλ = 3( κ + λ ) + μ( κ +λ ) = ( κ +λ )( 3 + μ ) α ) J_κ + J_λ 2 � β) 2α + + zy + zx = χ( Υ + χ ) + z( Υ + χ ) = ( Υ + χ )( χ + z ) 3°ς τ ρόπος : Τ αυτότητες

Προσπαθούμε να αναγνωρίσουμε μια ταυτότητα μέσα στην αλγεβρική παράσταση, και αν υπάρχει τη γράφουμε στην παραγοντοποιημένη της μορφή ( όπως ήταν πριν το ανάπτυγμα). Παραδείγματα α) χ2 - 9 = �2 - 3 2 = (χ - 3)(χ + 3) β) 25 y - 64 = (5 y)2 - 8 2 = (5 y - 8 )(5 y + 8 ) γ) χ2 + 14χ + 49 = χ2 + 2 · χ · 7 + 72 = (χ + 7)2 δ) 36y + 1 2y + 1 = (6y)2 + 2 · 6y · 1 + 1 2 = (6y + 1 )2 ε) 49κ2 - 28κλ + 4λ2 = (7κ) 2 - 2 · 7κ·2λ + (2λ)2 = ( 7κ - 2λ )2 4°ς τρόπος : Συνδυασμός περιπτ ώσεων

Μερικές φορές δεν αρκεί ένας μόνο από τους παραπάνω τρόπους για να γίνει ολοκληρωμένη παραγοντοποίηση, οπότε μπορεί να χρειαστεί να συνδυάσουμε δύο ή και τρεις τρόπους

Παραδείγματ α 2 α) 5 χ - 45 = 5(χ2 - 9) = 5 (χ2 - 3 2) =5(χ - 3)(χ + 3) [ Κοινός παράγοντας + Ταυτότητα ] β) 1 0χ2 + 1 40χ + 49 0 = 1 0( χ2 + 14χ + 49 )= 1 0( χ2 + 2 · χ · 7 + 72 )=1 0( χ + 7 )2 [ Κοινός παράγοντας + Ταυτό τα ] χ3 - 4 - 20 = �3 + 5 2 - 4 - 4 · 5 = 2( + 5) - 4( + 5) =( + 5)(� - 4 ) 2 + 5 γ) χ χ χ χ χ χ χ χ �

=(χ + 5)(χ2 - 22) =(χ + 5)(χ - 2 )(χ + 2) [ Ομαδοποίηση + Ταυτότητα ] Τέλος δεν θα πρέπει να ξεχνάμε πως υπάρχουν πολυώνυμα που δεν γίνονται γινόμενο παραγόντων όπως συμβαίνει και στους ακεραίους. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/30

------

_ \ ύση

Παραγοντοποίη ση και λύση εξίσω ση ς με παραγοντοποίηση

------'---

εξ ισώσεων με παραγοντοποίη ση Ας δούμε τώρα μια απλή διαδικασία που μπορούμε να ακολουθήσουμε για να λύσουμε μια εξίσωση κάνοντας παραγοντοποίηση : 1 ο βήμα: Πριν ξεκινήσουμε την παραγοντοποίηση φέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο ι ο μέλος. Προσοχή δεν ξεχνάμε πως ο,τι αλλάζει μέλος αλλάζει και πρόσημο. 2° βήμα : Προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε το ι 0 μέλος με όλους τους γνωστούς τρόπους. 3° βήμα: Αφού λοιπόν έχουμε δημιουργήσει ένα γινόμενο ίσο με μηδέν, σίγουρα κάποως από τους παράγοντες του θα είναι μηδέν. Έτσι όσοι είναι οι παράγοντες τόσες εξισώσεις δημιουργούνται. 4° βή μα: Λύνουμε κάθε μια από τις mo απλές εξισώσεις που δημιουργήσαμε και επαληθεύουμε τις λύσεις. Παράδειγμα : Να λυθεί η εξίσωση χ2 + 5χ = 5χ + ι 6 Λύση : χ2 + 5 χ = 5 χ + ι 6 χ2 + 5 χ - 5 χ - ι 6 = ο � Φέραμε όλους τους όρους στο ι 0 μέλος 2 χ - ι6 = ο χ2 - 42 = ο � Αναγνωρίζουμε την ταυτότητα (χ - 4)(χ + 4) = ο � Παραγοντοποιούμε χ+4=0 χ-4=0 ή Άρα � Λύνουμε τις εξισώσεις χ=4 χ=-4 Τέλος aντικαθιστούμε το χ με το ·4 και έχουμε: � Επαληθεύουμε 2 4 + 5 ·4 = ι 6 + 20 = 36 και 5 ·4 + ι 6 = 20 + ι 6= 36 έτσι επαληθεύτηκε για χ=4. Με παρόμοιο τρόπο μπορείτε μόνοι σας να επαληθεύσετε πως και το χ = - 4 είναι λύση της εξίσωσης αυτής. Ασκήσεις για λύση Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις 2) ι 2κ + ι 2λ 1) 3 μ + 3ν 3) 2 1 ω + 2 1 θ - 2 1 4) 4ακ + 4αλ + 4αμ + 4αν 6) 8χ + 1 2y - 1 6z 5) 9α - 1 8 2 3 3 3 2 2 2 2 8) 1 8φ θ - 1 2φ θ - 30φ θ 7) 1 0α β + 1 5αβ γ 9) 1 1κ + l l λ + νκ + νλ 1 1) χ2 + χ2 + Qy + Q 10) 7t - 7s + a2t - a2 s 12) 1 0χ3 + 5χ2 - 34χ - 1 7 2 13) χ - 64 14) w - 8 15) 9z2 - 49 16) r2 - 0,25 17) χ2 - 1 2χ + 36 18) ι οο + 2oy + 1 2 2 8 4 19) 4κ - 20κλ + 25λ 21) χ3 + 1 2χ2 + 48χ + 64 20) 1 6ω + 24ω + 9 22) 8 3 - 36 + 54y - 27 24) 1 000β3 - 1 33 1 δ3 23) α3 - 27 3 25) κ + 1 27) 7χ2 - 7 26) 64τ + 1 25 28) 3z2 + 1 2z + ' l 2 30) 4y3 + 4 � Υ - 1 29) y3 + 1 6y2 - '49y - 49 4 6 31) χ - 1 6 32) χ - 1 Να λυθούν οι εξισώσεις 2) 9χ2 - 64 =Ο 1) χ2 - 25 = Ο 3) χ2 + 8χ = Ο 2 2 4) 5χ - 1 2χ = ο 5) χ - 1 4χ + 49 = ο 6) 9χ2 + 30χ + 25 = ο 2 2 2 7) χ + 9χ = 9χ + 36 8) 5χ + 1 2χ + 1 = 3χ - 2χ + 1 3 2 9) χ - 3χ + 3χ = 1 1 1) χ4 - 1 6 = ο 10) χ3 + 6χ2 = 49χ + 49 12) 5χ4 + 1 50χ3 + 1 500χ2 + 5000χ = ο 13) 5χ2 +9 = 1 4χ Προβλήματα 1) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α = ω2 - 7ω - ωκ + 7κ. β) Να βρείτε για ποιες τιμές του ω ισχύει Α = Ο. γ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε η εξίσωση Α = Ο να έχει μόνο μια λύση 2) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τους αριθμούς που να είναι ίσοι με το τετραπλάσιο του aντιστρόφου τους. 2 2 3) Αν για δυο αριθμούς α και β ισχύει α β + αβ = α + β , να αποδείξετε πως οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι ή aντίστροφοι.

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/3 1

Βασ ι κές Αλγεβρ ι κές Ταυτότητες =======

Μαριάννα Χαρτζουλάκη - Παράρτημα ΕΜΕ Χανίων

Οι ταυτότητες είναι ισότη τες, με μεταβλητές, που επαληθεύονται για κάθε δυνατή τιμή των μεταβλητών. Οι πιο συνηθισμένες ταυτότητες είναι οι παρακάτω: (α + β )z = αΖ + 2 αβ + p z (α - β )z = αΖ - 2αβ + pz (α + β ) (α - β ) = αz - β 2 (α + β )3 = α3 + 3α2 β + 3 αβ z + β 3 3 α β (α ) 3 = α3 3 z β + αβ 2 β 3 Πρόβλη μα 1 : Η ισότητα ( α + β) 3 = a3 + β 3 είναι ταυτότητα; Απάντη ση . Όταν υποψιαζόμαστε ότι μία ισότητα δεν είναι ταυτότητα, δίνουμε συγκεκριμένες τιμές στις μεταβλητές, έτσι ώστε να μην επαληθεύεται η ισότητα. Για παράδειγμα, στην παραπάνω ισότητα, θεωρούμε α= l και β=2. Τότε (1 + 2)3 = 2 7 :;:. 9 = 13 + 23 Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δεν ισχύει ότι (α + β )3 = α3 + β 3 , κάτι που είναι μια συνηθισμένη παρανόηση. Αυτό, ίσως συμβαίνει γιατί μπερδευόμαστε με μια άλλη κατηγορία ταυτοτήτων, τις ιδιότητες των δυνάμεων. Ετσι, λοιπόν , καλό είναι να δούμε τις παρακάτω ταυτότητες σε αντιπαραβολή (α + β )z = αΖ + 2 αβ + β 2 ενώ ( α · β ) 2 = α 2 β 2 Απομνημονεύοντας τις ταυτότητες, μπορούμε να κάνουμε πράξεις πιο σύντομα, παρακάμπτοντας την επιμεριστική ιδιότητα. Ακόμη η απομνημόνευση θα μας διευκολύνει να τις εφαρμόζουμε και με άλλες παραστάσεις. Για παράδειγμα όταν αντί για μεταβλητές έχουμε αριθμούς ή μονώνυμα. Ανάλογα με τη μορφή της άσκησης μπορούμε να διαλέξουμε την κατάλληλη μορφή της παράστασης. •

Πιο συγκεκριμένα, αν η άσκηση ζητάει να απλοποιηθεί το κλάσμα χρησιμοποιούμε την παραγοντοποιημένη μορφή της ταυτότητας χ2 +8χ+ 16 χ 2 - 16

-�- -

(χ+4)2

(Χ+4) (Χ-4)

τότε

χ+4

= -

Χ-4

Αν η άσκηση ζητάει να γραφεί σε απλούστερη μορφή η παράσταση (χ + 4)2 - (χ + 4) (χ - 4) - 3 2 τότε αναπτύσσουμε τις ταυτότητες ως εξής (Χ + 4) 2 - (Χ + 4) (Χ - 4) - 3 2 = ΧΖ + 8Χ + 16 - χ2 + 16 3 2 = 8Χ Τα δύο μέλη, λοιπόν μιας ταυτότητας αποτελούν δύο όψεις του ίδιου νομίσματος -

......

-- ·--

- - - - ·�

Ιδιαίτερα σημαντική είναι και η οπτικοποίηση των αλγεβρικών ταυτοτήτων με τη βοήθεια γεωμετρικών σχημάτων. Η ταυτότητα (α + β ) 2 = α2 + 2 αβ + β2 αναπαριστά το χωρισμό ενός τετραγώνου πλευράς α+β σε δύο τετράγωνα πλευράς α και β αντίστοιχα και σε δύο ορθογώνια με διαστάσεις α και β. σ

σ ·β

�

σ ·ιs

as σ

Ενδιαφέρσοοα είναι και η οπτικοποίηση της ταυτότητας (α + β) 3 = α3 + 3α z p + 3αβz + β 3 μέσω βασικών τρισδιάστατων σχημάτων. Μπορεί να γίνει μια κατασκευή, από χαρτόνι, ενός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/32

-------

Βασικές Αλγεβρικές Ταυτότητες

-------

ιώβου ακμής α+β, στον οποίο κύβο θα λείπει μια έδρα. Έπειτα κατασκευάζουμε, πάλι με

χαρτόνι δύο κύβους με ακμές α και β αντίστοιχα, 3 παραλληλεπίπεδα διαστάσεων α, α, β και 3 παραλληλεπίπεδα διαστάσεων α, β, β. Τέλος γεμίζουμε τον μεγάλο κύβο με τα 8 μικρότερα στερεά. α

ι ι

...

� - - &.ι ι

ι ι ,

-:. - - - ';... - ,-Α'ι -

Πρό βλη μ α 2 : Β ρείτε το ανάπτυγμα (3χ + 2y)2 Απάντηση . � +�=� + 2.:.J.i. · � + � = 9 χ2 + 1 2xy + 4y 2 i i i i i j β2 (α + β )2 =α 2 + 2· α · β + Π ρ ό β λη μ α 3 : Να γίνει η · πρ άξη 54 · 46. Απάντηση . 54 · 46 = (50 + 4) (50 - 4) = 2500 - 1 6 = 2484 Π α ρατή ρηση : Ένα συνηθισμένο είδος ασκήσεων είναι η απόδειξη ταυτοτήτων της μορφής Α=Β . Υπάρχουν τρεις μέθοδοι που μπορού με να ακολουθήσουμε. Στην πρώτη μέθοδο κάνουμε πράξεις στο μέλος που έχει τις περισσότερες πράξεις και καταλήγουμε στο άλλο μέλος. Στη δεύτερη μέθοδο κάνουμε πράξεις στο πρώτο μέλος και φτάνουμε σε μια ισότητα της μορφής Α=Γ . Έπ ειτα κάνουμε πράξεις στο δεύτερο μέλος και φτάνσuμε σε μια ισότητα της μορφής Β =Γ . Τέλος, από τη μεταβατική ιδιότητα, παίρνουμε Α=Β . Στην τρίτη μέθοδο, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και δείχνουμε ότι Α- Β=Ο . Πρόβλη μ α 4 : Να αποδειχθεί η ταυτότητα (χ � l) (x + 1) (χ2 + 1) + 1 = χ4 • Έπειτα να υπολογιστεί η τιμή της παρ άστασης 19 . 2 1 . 40 1 + ι Απάντηση (χ - 1) (χ + 1) (χ2 + 1) + 1= (χ2 - 1) (χ 2 + 1)+ 1 = (χ 2 ) 2 - 1 + 1= χ4 Έπειτα, αντικαθιστώντας στην παραπάνω ταυτότητα χ=20 προκύπτει 19 . 2 1 · 401 + 1=1 60000 Π ρόβλη μ α 5: Να γίνουν οι πρ άξεις (χ + 1 )2 - 2 (χ + l) (x - 1) + (χ - 1 ) 2 Απάντη ση. Στο πρόβλημα αυτό, μπορούμε να ξεκινήσουμε και να αναπτύξουμε τις τρεις ταυτότητες, που διακρίνονται στην παράσταση. Παρατηρώντας, όμως πιο προσεκτικ«i την παράσταση, βλέπουμε ότι είναι ολόκληρη η παράσταση μια ταυτότητα, το τετράγωνο διαφοράς ΆΕτσι. (χ + 1)2 - 2 (χ + 1) (χ - 1) + (χ - 1)2=(χ + 1 - χ + 1)Ζ=4. Είναι ση μαντικό να μπορούμε να αναγνωρίζουμε τις ταυτότητες, που ενδεχομένως να περιέχονται μέσα σε μια παράσταση. Πρό β λη μ α 6 :Ν α βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες ισχύέι a2 + β2 + 4y2 - 14a + 4β + 4y + 54 = ο Απάντηση. Πρέπει να εντοπίσουμε τις ταυτότητες μέσα στη παράσταση . α 2 + β 2 + 4y2 - 14 α + 4β + 4y + 54 = α2 - 2 · 7 α + β 2 + 2 · 2 β + ( 2y)2 + 2 2y + 54. Παρατηρούμε ότι 54=54 = 72 + 2 2 + 12 άρα α 2 - 2 · 7α + 72 + β 2 + 2 · 2 β + 22 + ( 2y )2 + 2 · 2y + 12 = Ο Τότε άρα α=7 και β= -2 και y = - 1/2 (Θέλει ( α - 7)2 + (β + 2)2 + (2y + 1)2 = Ο ·

συμπλήρωση) Πρό β λη μ α 7 :Δίνοντα1 δύο κύκλοι εξωτ ε ρικά εφ απτό μενοι, με ακτίνες α και β. Αν για τις ακτίνες ισχύει ότι έχουν άθροισ μα 8 και γινόμενο 6, να βρείτε το άθρ οισμα των εμβαδών των δύο κύκλων. Απάντηση Το άθροισμα των εμβαδών ισούται με π α 2 + πβ 2 = π ( α 2 + β 2 ) . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 101 τ.1/33

--------....,.- Βασικές Αλγεβρικές Ταυτότητες

--------

Ισχύει ότι α+β=8 και α·β=6. (α + β) 2 = α2 + 2 αβ + β2 άρα 64= α 2 + 12+β2

Άρα α2 + β2 =52 κ.Λ.π Πρόβλη μα 8 : Δίνονται τ ρ εις δ ιαδ οχικοί φυ σικοί αριθμοί. Να δ είξετε ότι η διαφορ ά του τετραγώνου του π ρώτου από το τετράγωνο του τρίτου ισούται με το τετρ απλάσιο του μεσαίου α ριθμού. Απάντηση. Συμβολίζουμε με χ- 1 τον πρώτο αριθμό, χ τον επόμενο και χ+ 1 τον τρίτο. Τότε (χ + 1)2 (χ 1)2 = χ2 + 2χ + 1 - (χ 2 - 2χ + 1) =4χ Πρόβ λη μ α 9 : Ο α ρίθμός 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 .1 1 1 . 1 1 1 --:2.222.222 είν αι τέλειο τετρ άγωνο. Βρ είτε την τετραγωνική του ρίζα. 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 .1 1 1 -2.222.222= 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 -2· 1.1 1 1. 1 1 1= Απάντηση -

99.999.999.999.999 9

•

.2.

9.999.999 9

, 1 0 14. - 1

107 � 1 9

=3. 3 3 3 . 3 3 3 2 Πρ οτεινόμενες ασκήσε ις 1 . Να βρεθούν τα αναπτύγματα (Vx - 2y) 2 , ( 3 χ - 1 ) 3 , ( Sx - 3 y 2 ) (5x + 3 y 2 ) 2. Να αποδείξετε την ταυτότητα του Lagrange (α 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ) = ( αχ + by) 2 + (ay - bx) 2 3. Αν αυξήσουμε τις πλευρές ενός τετραγώνου κατά 4 προκύπτει τετράγωνο με εμβαδό αυξημένο του αρχικού κατά 40. Πόσο είναι η πλευρά του αρχικού τετραγώνου; 4. Αν α = νΊ3 + ..JS και β = νΊ3 - ..JS, να υπολογίσετε την τιμή της παρακάτω παράστασης Α = α2 3αβ + β2 5. Να υπολογιστεί το ελάχιστο της παράστασης χ2 + y2 - 4χ + 1 0y + 3 0 . Επίσης να προσδιορίσετε για ποιες τιμές των χ και y έχουμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης. 1 και 6. Αν χ + � = 5 να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων Α = χ2 +

χ2

Β = χ3 + ..!...3 . χ 7 . Δύο εξωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι , με ακτίνες χ και y, είναι εγγεγραμμένοι στο εσωτερικό ενός μεγαλύτερου κύκλου όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ισχ;ύει ότι το γινόμενο . χ · y = 1 0 να δείξετε ότι το εμβαδό του σκιασμένου μέρους, είναι 20π.

8 . Ο Γιώργος έχει δύο παιδιά. Αν το άθροισμα των ηλικιών τους, πολλαπλασιασμένο με το άθροισμα των αντιστρόφων των ηλικιών τους, ισούται με 4, να δείξετε ότι τα παιδιά του Γιώργου είναι δίδυμα. (η ηλικία υπολογίζεται με προσέγγιση μηνός) 9. Δίδονται δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί Να αποδείξετε ότι η διαφορά των τετραΎώνων τους ισούται με το qθροισμα τους. Στη συνέχεια δώσετε ένα παράδειγμα με φυσικούς αριθμούς 1 0 . Δίνεται ότι ο_ ν είναι φυσικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α=(2ν+3) 2 -(2ν-3)2 είναι πάντοτε ακέραιο πολλαπλάσιο του 24. 1 1 . Να αποδείξετε την παρακάτω ισότητα, χρησιμοποιώντας ταυτότητες (χ2 + ..fi · χ + 1) χ 2 ..fi · χ + 1) (χ4 - 1) = χ 8 - 1 1 2 . Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μήκος κάθετων πλευρών 2χ και χ 2 - 1, με χ > 1 . Να αποδείξετε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος χ2 + 1 . 13 . Δίνονται τρεις θετικοί αριθμοί α, β, γ, για τους οποίους ισχύει ότι α2 + β2 + y2 = 3 και αβ + αy + βy = 3 . Να αποδείξετε ότι α = β = y = 1 Υπ όδειξη : Διπλασιάστε τις δοσμένες ισότητες ·

(

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/34

Μαθηματικοi Διαγωνισμοί Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

20" Βαλκανι κή Μαθηματι κή Ολυμπιάδα Νέων Η

20η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων διεξήχθη στη 'Σλάτινα της Ρουμανίας από 24 μέχρι 29

Ιουνίου. Συμμετείχαν οι 1 1 χώρες της Νοτιοανατολικής Ευρώπης και άλλες I Ο φιλοξενούμενες χώρες από

και Ασία. Οι Έλληνες μαθητές κατέκτησαν ι χρυσό, ι αργυρό και 3 χάλκινα μετάλλια, ως εξής:

Ευρώπη

Εκπαιδευτήρια Αθηνά, Τρίκαλα, Χρυσό μετό:λλιο Γυμνάσιο Νέας Πεντέλης, Αργύρό μετάλλιο Εκπαιδευτήρια Νέα Παιδεία, Χάλκινο μετάλλιο Εκπαιδευτήρια Μαντουλίδη, Χάλκινο μετάλλιο 3° Γυμν. Αλεξανδρούπολης, Χάλκινο μετάλλιο Συμμετοχή . Αρσάκειο θεσσαλονίκης, Αρχηγός της Ελληνικής ομάδας ήταν ο μαθη ματικός Σιλουανός Μπραζιτίκος και υπαρχηγός ο μαθηματικός Βασίλης Βισκαδουράκης. Λώλας Δημήτριος, Μηλιώρη Ειρήνη, Λιγνός Ορέστης, Πλοιαρίδης Ορφέας, Τσαταλπμασίδης Ορέστης, . Χαλιμούρδας Παναγιώτης,

Τ α πρ ο βλήμ ατα και οι λύ σεις τ ους Πρόβλημα ι. Δίνεται ένα περιγράψιμο τραπέζw ABCD με ΑΒ 11 CD και ΑΒ > CD . Ο εyγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών ΑΒ και A C σiα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το έκκεντρο του τραπεζίου αVήκει στην ευθεία ΜΝ . (Βουλ-yαρία) Λύση. Ονομάζουμε Ι το έκκεντρο του τριγώνου ABC και R το σημείο τομής της ευθείας ΒΙ με την ευθεία ΜΝ . Θα δείξουμε ότι το R είναι το έκκεντρο του τραπεζίου ABCD . ·

Για το σκοπό αυτό αρκεί να αποδείξουμε ότι η CR είναι διχοτόμος της γωνίας LC Οι γωνίες LABC και LBCD είναι παραπληρωματικές. Επομένως. οι διχοτόμοι τους τέμνονται κάθετα. Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι CR .l. BR Παρατηρούμε τώρα ότι από το ισοσκελές τρίγωνο .

LAlvfN = LANM= 90° - AC

ΑΝΜ έχουμε όiι:

Εmπλέον αφού το

(1)

�

είναι το έκκεντρο του τριγώνου ABC

είναι γνωστό ότι : LBIC = 90° LB C (2) Σχήμα 1 Από τις και έπεται ότι το τετράπλευρο CIRN είναι εγγράψιμο, οπότε LCRI = L.JNC = 90°, που είναι και το ζητούμενο.

2°ς τρόπος (Β αγγέλη ς Ψύχας)

Έστω ότι η προέκταση της ΜΝ , τέμνει τη πλευρά CD στο σημείο S. Στο τραπέζιο BCSM , θα (1) BC = ΒΜ + CS αποδείξουμε ότι : (το άθροισμα των βάσεων ισούται με μία Q.Πό τις μη παράλληλες), οπότε οι διχοτόμοι των γωνιών Β και C θα τέμνονται στο μέσο L της SM Πράγματι, αν από το L θεωρήσουμε την παράλληλη προς τις βάσεις που τέμνει την BC στο σημείο Q , τότε η LQ είναι μεσοπαράλληλη στο τραπέζιο BCSM , επομένως .

LQ =

ΒΜ + SC

BC , , με το μισο της αντιστοιχης , στο τριγωνο , 'L Q ισουται C'LB η διαμεσος = Τ , οποτε ,

πλευpάς, επομένως το τρίγωνο CLB είναι ορθcηίώνιο και . από τα ισοσκελή τρίγωνα BLQ και CLQ συμπεράίνουμε ότι οι διχοτόμοt των γωνιών Β και e θα τέμνονται στο μέσο L της SM Θα αποδείξουμε τώρα την (1). Από τις ισότητες των γωνιών Αι = C ι (εντός εναλλάξ) και Μ ι = Νι = Ν2 = Sι , συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο SCN είναι ισοσκελές ( CN = CS ) . Ισχύουν επίσης οι ισότητες των τμημάτων CN = CT και ΒΜ = ΒΤ (εφαπτόμενα τμήματα). Άρα BC = ΒΤ + CT :::: ΒΜ + CS : .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' ι οι τ.ι/35 .

_.._________

____

Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί

-------

Πρόβλημα 2. Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί

και c . Να αποδείξετε ότι: α, b 8 8 8 8 8 8 + a z + b z + cz � + + -+ + --�-2 2 2 a+3 b+3 c+3 (a + b) + 4abc (b + c) + 4abc (c + a) + 4abc --

Λύση.

Από τη γνωστή ανισότητα (α + b )2 ;;::: 4αb, παίρνουμε ότι: 8

(α + b)2 + 4αbc

;;:::

(α + b)2 + (α + b)2 c

(Βοσνία)

(α + h )2 (c + 1)

(1 )

Επιπλέον, από την · ανισότητq του Α ριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου και την ανισότητα ..

2(α2 + b2 );;::: ( α + b)2 , παίρνουμε ότι:

(α + b) (c + 1)

α2 + b2 4(α2 + b2 ) 2.J2 . ;;::: 2 . ;;::: r-:-; (2) 2 (α + b) 2 ( c + l ) ν c + 1

Τέλος, από την ανισότητα του Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέcrου παίρνοuμε: . 4 = -8- (3) .Jc + 1 �2(c + 1) (c + 1) + 2 c + 3 2 8 α2 + b2 8 ;;::: Από τις ( 1 ),(2) και (3) παίρνουμε ότι: + 2 c+3 2 (α + b) + 4αbc 2.J2

;;:::

Προσθέτοντας κυκλικά τις όμοιες με αυτή, παίρνουμε το ζητούμενο.

Πρόβλημα 3 .

Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων (a, b,c), για τις οποίες ο αριθμός

Ν = (a - b)(b.- �)(c - a) + 2 2

είναι δύναμη του 2016. (Δύναμη του 2016 είναι ένας ακέραιος

αριθμός της μορφής 2016� , όπου

είναι ένας μη αρνηπκός ακέραιο ς.) (Ελλάδα - Σ. Μπραζιτίκος)

Υποθέτουμε αρχικά ότι υπάρχει z > Ο, τέτοιος ώστε: (α - b)(b - c)(c - α) + 4 = 2 · 20 1 6z Θέτουμε α - b = -χ, b - c = - y . Η παραπqνω εξ!σωση γράφεται ως: Λύση.

(1)

xy(x + y ) + 4 = 2 · 20 1 6z

xy(x + y) + 4 Ξ 0

Αφού 7 1 20 1 6, θα έχουμε: 3 .xy (x + y ) Ξ 2

(mod 7)

(2)

(mod 7)

ή (x + y)3 - x3 - y3 Ξ 2 (mod 7) (3) Από το μικρό Θεώρημα του Fermat παίρνουμε ότι για . κάθε ακέραιο k τα κυβικά υπόλοιπα είναι 1 k 3 Ξ - 1, Ο, 1 ( mod 7) . Επομένως, από την (3) έπεται ότι κάποιος από τους (χ + y )3 , χ �αι y3 πρέπει να διαιρείται με το 7 Αλλά αν αυτό ισχύει, τότε ο αριθμός .xy( χ + y) διαιρείται και αυτός με το 7 , άτοπο. Επομένως, πρέπει z = Ο και 1 2 3 4 5 6 τότε: xy(x + y) + 4 = 2 <:::::> xy(x + y) = -2 Οι λύσεις της 2 6 5 6 2 ο τελευταίας είναι (x, y) ε {( - 1, - 1), (2, - 1), (- 1, 2) } , οΠότε 2 2 6 ο 5 (α, b, c) ε {(k - 2, k - 1, k), (k, k - 2, k - 1), ( k - 1, k, k - 2)} , όπου 5 ο 1 ι χ

5 5

2 ι

k ε Ζ.

Σημείωση 1 . Εναλλακτικά, για να αποδείξουμε ότι η (2) είναι αδύνατη,

αρκεί να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα με τις δυνατές τιμές των και

πίνακα, είναι οι τιμές της παράστασης

y ως προς modulo 7 Οι τιμές xy( χ + y) ως προς modulo 7 . .

Σημείωση 2 . Φτάνοντας στη σχέση (1) μπορούμε αντί . για modulo θεωρώντας την ως προς modulo 9 .

που γράφουμε σε κάθε κελί του ·

να καταλήξουμε σε άτοπο

Πρόβλημα 4Ό Μία 5 χ 5 τετραγωνική δ ιάταξη καλείται κανονική} αν κάθε κελί τη ς περιέχει ακριβώς έναν από τέσσερεις διαφορετικούς πραγ ματικούς αριθμούς και κάθε αριθμός εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε οποιαδήποτε 2 χ 2. τετραγωνική διάταξή της. Τ ο άθροισμα όλων των αριθμών μιας κανονικής τετραγωνικής διάταξης καλείται ολικό άθροισμα. Για οποιου σδήποτε τέσσερεις πραγματικούς αρίθμούς, κατασκευάζουμε όλες τις δυνατές κανονικές τετραγωνικές διατάξεις, ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ. 1/36

--------�--

Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί

--------

υπολογίζουμε τα ολικά αθροίσματά τους και καταγρ άφουμε τον αριθμό των διακεκριμένων ολικών (Ελλάδα - Σ. Μπpαζιτίκος) αθροισμάτων. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του αριθμού αυτού. Λύση.

Θα αποδείξουμε ότι η μέγιστη τιμή του αριθμού αυτού είνaι 60.

Η !1Πόδειξη βασίζεται στον ακόλουθο ισχυρισμό.

Είτε κάθε γ.ραμμή έχει ακριβώς δύο από τους αριθμούς, είτε κάθε στήλη έχει ακριβώς δύο από τους αριθμούς. Απόδειξη του Ισχυρισμού .Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι στη γραμμή' R υπάρχουν τουλάχιστον τρεις από τους αριθμούς. Τότε στη γραμμή R μπορούμε να βρούμε τρεις από τους αριθμούς σε διαδοχικά κελιά της τετραγων�κής διάταξης, έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι αυτοί είναι οι α , b , c . Σύμφωνα με την υπόθεση ότι σε κάθε 2 χ 2 τετραγωνική διάταξη κάθε αριθμός εμφανίζεται ακριβώς μία φορά, στην ακριβώς επάνω γραμμή από την R (αν υπάρχει τέτοια), θα βρίσκονται οι αριθμοί c , α b c d , α , με αυτή τη σεφά. Και στην mo πάνω θα βpίσιcονται οι αριθμοί α , b , c με c d α αυτή τη σεφά. Το ίδιο συμβαίνει ιcαι για τις γραμμές κάτω από την R, όπως φαίνεται α b c στον πίνακα. c d α Συμπληρώνοντας όλη την τετραγωνική διάταξη βάσει της παραπάνω τοποθέτησης, προκύπτει ότι κάθε στήλη έχει ακριβώς δύο από τους αριθμούς και ο ισχυρισμός έχει α b c αποδειχθεί. Λόγω της συμμετρίας ω·ς προς γραμμές ιcαι στήλες, μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε γραμμή περιέχει ακριβώς δύο από τους αριθμούς. Αν τώρα αγνοήσουμε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλή, τότε το 4 χ 4 κομμάτι που αποκόπτεται έχει συνολικό άθροισμα ίσο με 4( α + b + c + d) Επομένως, αρκεί να βρούμε με πόσους διαφορετικούς . τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς στην πρώτη γραμμή R1 και την πρώτη στήλη C1 • Αν συμβολίσουμε με a1 , b1 � c1 και d1 το πλήθος των εμφανίσεων των · α , b , c και d στην R1 και την C1 , τότε το συνολικό άθροισμα σε ολόκληρη . την 5χ5 τετρα-γωνική διάταξη ισούται με: S = 4(a + b + c + d) + a1 · a + b1 · b + c1 · c + d1 · d. Αν η πρώτη, η τρίτη και η πέ μπτη γραμμή περιέχουν μόνο τους αριθμούς α και b , τότε η δεύτερη και η τέταρτη θα περιέχουν μόνο τους αριθμούς c και d . Τότε a1 + b1 = 7 με a1� b1 και c1 + d1 = 2 με c1�d1 Έχουμε λοιπόν τις ακόλουθες τέσσερεις περιπτώσεις (a1 , b1 , c1 , d1 ) ε {(5, 2, 2, 0), (5, 2 , 1 , ι), ( 4, 3, 2, 0), ( 4, 3, ι, ι)} ιcαι όλες τις μεταθέσεις iους. Σε καθεμιά από τις παραπάνω τετράδες και τις μεταθέσεις τους αντιστοιχεί ακριβώς μία κανονική τετραγωνική διάταξη. Πράγματι, αν πάρουμε τρεις γραμμές α b α b α που εναλλάσσονται με δύο c d c d c παίρνουμε την (5, 2, 2, 0) . Αν πάρουμε τρεις γραμμές α b α b α που εναλλάσσονται με μία c d c d c και μία d c d c d παίρνουμε την (5, 2, ι, ι) Αν πάρουμε τρεις γρ αμμές α b α b c να εναλλάσσονται με δύο γραμμές c d c d c παίρνουμε την ( 4, 3, 2, Ο) τέλος, αν πάρουμε τρεις γραμμές α b c d α να εναλλάσσονται με δύο γραμμές c d α b c παίρνουμε την ( 4, 3, ι, ι) . Ισχυρισμός.

•

= ι 2 μεταθέσεις για την (5, 2, 2, 0), . ι 2 μεταθέσεις για την (5, 2, ι, ι), 2 4 2! μεταθέσεις για την (4, 3, 2, Ο) και τέλος ι 2 μεταθέσεις για την ( 4, 3, 1, ι) . Επομένως, υπάρχουν το πολύ 1 2 + 1 2 + 24 + 1 2 = 60 διαφορετικά συνολικά αθροίσματα. Παίρνοντας για παράδειγμα 2 α = ι 03 ' b = ι 0 ' c = ι ο, d = ι , δηλαδή τη βάση για το δεκαδικό σύστημα, μπορούμε να εmτύχουμε όλα τα συνολικά αθροίσματα να είναι 60 Επομένως, αυτό είναι το ζητούμενο μέγιστο .

Υπάρχουν συνολικά

Προκριματικός διαγωνισμός 201 6 26 Μαρτίου 2016 Θέματα μικρών τάξεων

Πρόβλη μα 1 : (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγ ματικό αριθμό χ>Ο ισχύει : χ3 - 3χ � -2 . ( β ) Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, y, z > Ο ισχύει: 2 χ y z

.·

2 z χ

(

+-+-+2 -+-+- � 9 . χ

ΕΥΚΛεΙΔΗΣ Α' 101 τ. 1/37

(1) Πότε ισχύει η ισότητα; .

------- Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί -------

Λύση : (α) Έχουμε ότι

χ3 - 3χ � -2 � χ3 - 3χ + 2 � ο � χ 3 - χ - 2χ + 2 � ο � χ(χ - 1)(χ + 1) - 2(χ � 1) � Ο � (χ - 1)(χ 2 + χ - 2) � Ο � (χ + 2)(χ - 1) 2 � Ο που ισχύει, αφού είναι χ > Ο � Σημειώνουμε ότι η ισότητα ισχύει για χ = 1 . , ισοδυναμη , , , ( β ) Η ανισοτητα ειναι με την ανισοτητα -Υ χ 2 + -2 + -z y 2 + -2 + -χ z 2 + -2 � 9 . (2) , z z χ χ Υ Υ 2 Από το ερώτημα (α), διαιρώντας τα δύο μέλη με χ > Ο έχουμε ότι χ2 + - � 3 . χ Ομοίως, λαμβάνουμε / + � � 3 και z2 + � � 3 . Επομένως, · αρκεί να αποδείξουμε ότι: z Υ Υ y 3 + .Ξ. + � � 9 � + .Ξ. + � � 3 . (3) z χ Υ z χ Υ

) ( ) ( )

(

)

Η τελευταία όμως ισχύει από εφαρμογή της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

vyzx

-Υ + -z + -χ � 3 3 - = 3 zxy z χ y

Πρόβλημα 2 : Δίνεται κύκλος

(4) Η ισότητα ισχύει για

χ = y = z = 1.

c(O,R) και δύο μη aντιδιαμετρικά σημεία του Α, Β . Η διχοτόμος της γωνίας ΑΒΟ τέμνει τον κύκλο c(O, R) στο σημεί� C , το περιεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΟΒ (έστω (c1 ) ) στο σημείο Κ και το περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AOC (έστω (c ) ) στο 2 ση μείο L Να αποδείξετε ότι το σημείο Κ είναι το περίκεντρο του τριγώνου Α OC και το σημείο L , είναι το έκκεντρο του τριγώνου ΑΟΒ . •

Λύση : Τα τμήματα

OB, OC είναι ίσα μεταξύ τους, διότι είναι ακτίνες του κύκλου ( c} , άρα το τρίγωνο ΟΒ C είναι ισοσκελές και κατά συνέπεια: (l) . Β1 = CΊ = χ Η

BC είναι διχοτόμος της γωνίας ΟΒΑ , άρα Λ

(2) .

Οι γωνίες Β2 και 01 είναι iγγεγραμμένες στο κύκλο ( c1 } και βαίνουν στο τόξο ΟΚ , άρα Λ

Σχήμα 1

(3) .

Τα τμήματα KO, KC είναι ίσα μεταξύ τους, διότι είναι ακτίνες του κύκλου "( c2 } , άρα το τρίγωνο

KOC είναι ισοσκελές και κατά συνέπεια:

0 = CΊ = .i 2

(4) .

Από τις προηγούμενες ισότητες γωνιών (1) - ( 4) προκύπτει ότι: ό1 ό2 Χ Δηλαδή η ΟΚ είναι διχοτόμος, άρα και μεσοκάθετη του ισοσκελούς τριγώνου OA C . Το σημείο Κ είναι μέσο του τόξου ΟΚ (διότι ΒΚ διχοτόμος της ΟΒΑ ) . Άρα η μεσcηςάθετη της χορδής ΑΟ του κύκλου ( c 1 } (που είναι ταυτόχρονα και πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου ΟΑ C ) , θα διέρχεται από το σημείο Κ . Δηλαδή το σημείο Κ είναι περίκεντρο του τριγώνου OA C . Από τις ισότητες γωνιών (1 ), (2), προκύπτει επίσης ότι: Β2 = C1 .i και κατά συνέπεια ΑΒ 11 OC . =

Από τη παραλληλία τώρα προκύπτει η ισόiητα γωνιών ΟΑΒ Α OC . Δηλαδή Α1 + .ιι ό1 + ό2 και επειδή ό1 ό2 χ καταλήγουμε: Α1 Λ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/38

Α2

2ό1

2χ .

------- Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί ------

Οι γωνίες Α και C είναι εγγεγραμμένες στο κύκλο ( c2 ) και βαίνουν στο τόξο OL . Άρα Λ

1 1 Από τις δύο τελέυταίες ισότητες γωνιών συ μπεραίνουμε ότι Α χ Α1 = C1 = 1 .

είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑ Ο .

Πρόβλημα 3 : Ο θετικός ακέραιος

θετικούς διαιρέτες. Να αποδείξετε ότι

είν αι τέτοιος ώστε ο αριθμός

ΜΚΔ(n � 3, n + 3)

n2 - 9

Α2 , δηλαδή η AL

να έχει ακριβώς 6

Για να έχει ο θεiικός ακέραιος n ακριβώς 6. θετικούς διαιρέτες, θα πρέπει να είναι της μορφής , , p, q πρωτοι, διαφορετικοι, μεταξυ' τους. n 2 - 9 = q 5 η, n 2 - 9 = p 2 q , ()που 5 (1) Στην πρώτη περίπτωση έχουμε: n2 - 9 = q :::> (n - 3)(n + 3) = q 5 Τότε πρέπει οι n - 3, n + 3 να είναι δυνάμεις του q , δηλαδή n - 3 = qs και n + 3 = q 1 με t > s και t + s = 5 . Αφαιρώντας 'θα έχουμε ότι q1 - qs = 6 <;:::;> qs (qι-s - 1) = 2 3 οπότε q = 2 ή q 3 . Για q = 2 η ( 1 ) δίνει n 2 = 41 , που δεν έχει λύση στους φυσικούς, ενώ για q 3 η ( 1 ) δίνει n 2 = 252 , που επίσης δεν έχεί λύση στους φυσικούς. Στη δεύτερη περίπτωση όπου n2 - 9 = p2 q , έπεται ότι ( ri - 3) (n + 3) = p2 q , άρα έχουμε: ( n + 3 = pq και n - 3 = p ) είτε ( n + 3 = q και n - 3 = p2 ) είτε ( n + 3 = p 2 και n - 3 = q ) Στην πρώτη · περίπτωση έχουμε με αφαίρεσ:'l των δύο ισο�των παίρνουμε p ( q - 1 ) = 6 , οπότε ( p = 3 και q = 3 ) , που απορρίπτεται γιατί έχουμε υποθέσει ότι p * q . Επομένως, οι μόνες δυνατές είναι η δεύτερη και η τρίτη περίπτωση σης οποίες ισχύει ότι: ΜΚΔ(n -3, n +3) = ΜΚΔ(p2, q) = 1 ή ΜΚΔ(n-3,n+3) = ΜΚΔ( q,p2) = 1 , Που είναι το ζητούμενο. Λύση :

;

Πρόβλημα 4 : Ο Βαγγέλης έχει ένα κουτί που περιέχει 2015 άσπρες και 2015 μαύρες μπάλες. Σε κάθε βήμα, ακολουθεί την παρακάτω διαδικασία: Επ�ει τυχαία δύο μπάλες από το κουτί. Αν είναι και οι δύο μαύρες, βάφει τη μία άσπρη και την κρατάει στο κουτί, ενώ την άλλη μαύρη την πετάει έξω από το κουτί. Αν είν.αι και οι δύο άσπρες, κρατάει τη μίά στο κουτί και την άλλη την πετάει έξω� Αν είναι μία άσπρη και μία μαύρη, τότε πετάει την άσπρη και κρατάει τη μαύρη στο κουτί. Συνεχίζει αυτή τη διαδικασία μέχρις ότου μείνουν 3 μπάλες στο κουτί. Τότε κοιτάζει μέσα και βλέπει ότι υπάρχουν μπάλες και των δύο χρωμάτων. Πόσες ρ.σπρες βλέπει και πόσες μαύρες; Λύση : Θα εξετάσουμε τι συμβαίνει σε κάθε βήμα της διαδικασίας για το πλήθος από τις μαύρες μπάλες. Στην πρώτη περίΠτωση που παίρνει δύο μαύ ρες μπάλες, ουσιαστικά δεν επιστρέφει καμία μαύρη μπάλα στο κουτί, οπότε το πλήθος τους μειώνεται κατά 2. Στην ·δεύτερη περίπτωση που παίρνει δύο άσnρες μπάλες και εmστρέφει τη μία από αυτές στο κουτί, το πλήθος των μαύρων παραμένει αμετάβλητο. ' Στην τρίτη περίπτωση που παίρνει μία μαύρη και μία άσπρη και επιστρέφει την μαύρη, το πλήθος των μαuρων παραμένει αμετάβλητο. Παρατηρούμε επομένως ότι σε κάθε βήμα, το πλήθος των μαύρων είτε μειώνεται κατά 2, είτε παραμένει αμετάβλητο. Αφού το .πλήθος τους αρχικά είναι 20 1 5 ,που είναι περιττός, σε κάθε βήμα το πλήθος των μαύρων θα είναι περιττός. Επομένως όταν μείνουν τρεις μπάλες, το πλήθος των μαύρων θα είναι επίσης περιττό, δηλαδή οι μαύρες θα είναι είτε 3 είτε 1 . Όμως όταν κοίταξε ο Βαγγέλης είδε μπάλες και των δύο χρωμάτων, άρα είδε 1 μαύρη και 2 άσπρες μπάλες. .

Ο ι λύσεις των

�σκήσεων του τεύχους 1 00

Ν32. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε 7 θετικούς ακέραιους, υπάρχουν πάντα 4 με άθροισμα που διαιρείται με το 4. Λύση : Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι ανάμεσα σε τρεις ακέραιους θα υπάρχουν ή δύο άρτιοι ή δύο περιττοί ακέραιοι μεταξύ αυτών, οπότε μπQρούμε πάντοτε να βρούμε δύο από αυτούς με άθροισμα άρτιο. Στη συνέχεια θεωρούμε τους επτά θετικούς ακέραιους. Παίρνουμε μiα τυχαία τριάδα από τους επτά θε'tlJ(ούς ακέραιους, οπότε σύμφωνα με την προηγούμενη παρατήρηση θα υπάρχουν δύο με άθροισμα άρτιο, έστω οι α1 , α2 με α1 + α2 = 2 k , k ε Ν* . Από τους υπόλοιπους 5 θετικούς ακέραιους παίρνουμε μία ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/39

------- Μαθη μαnκοί Διαγωνισμοί

-------

τυχαία τριάδα και όπως παραπάνω υπάρχουν δύο με άθροισμα άρτιο, έστω οι a3, a4 με a3 + a4 = 2m, m Ε Ν• . Έτσι από τους επτά ακέραιους απομένει μία τριάδα στην οποία επίσης υπάρχουν δύο με άθροισμα άρτιο, έστω οι α5 ,ρ6 με a5 + a6 2n, n Ε Ν · . Τώρα από τους ακέραιους k, m, n θα · υπάρχουν δύο με άθροισμα άρτιο. Αν αυτοί είναι οι m, n, με m + n = 2 f, .e Ε Ν• , τότε =

a3 + a4 + a5 + a6 = 2m + 2n = 2 ( m + n) = 2 2f = 4f = πολ.(4). ·

Α43. Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

.J2 + a 2 + .J2 + b 2 + .J2 + c 2 � 3.J3 .

Λύση :

α+

b+ c =

3 , να αποδείξετε ότι:

Πότε ισχύει η ισότητα;

Θα αποδείξουμε πρώτα την ανισότητα 3 ( χ2 + y2 + z 2 ) � ( .t + y + z )2 , Πράγματι, η ( 1 ) είναι ισοδύναμη με την ανισότητα

χ, y, z Ε JR.

(1)

2χ2 + 2y 2 + 2z 2 � 2xy - 2yz - 2zx � Ο <:::> (χ - y ) 2 + (y - z)2 + ( z - x )2 � Ο, που ισχύει για κάθε χ, y, z Ε JR. Εφαρμόζουμε την ανισότητά ( 1 ) για χ = y = 1, z = α > Ο , λαμβάνουμε 3 (2 + a 2 ) � (2 + a) 2 <::> J2 + a 2 � 2 a r::-:? ν ΙJ-

Ομοίως, λαμβάνουμε και τις ανισότητες

L+

+b � 2.J3 ,

r::---:2 ν �

�

+c . 2 + c- 2.J3

οπότε (2)

(3 )

Με ·πρόσθεση κατά μέλη των (2) και (3) λαμβάνουμε:

r:::-::2 r:--2 6 + α + b + c νr;:.--:; L + a- + ν2 + b- + ν2 + c- � .J3

Γ28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΑΓ = "3 ΑΒΓ < 90·. Έστω ΑΕ η διχοτό μος τη ς γωνίας ΒΑΓ με το 4

Ε σημείο της πλευράς ΒΓ. Το ση μείο Ζ ανήκει στη διχοτόμο 1 ΑΕ έτσι ώστε ΑΒΖ = - · ΒΑΓ και ΑΖ = ΑΓ .Βρείτε το μέτρο Α

της γωνίας

Bf'Z .

Λύση :

'Εστω

Ρουμανία 2015

Τότε θα είναι BAr = 4χ 3 ΑΒΓ = -Β ΑΓ = 3χ και ΒΑΖ = ΓΑΖ = ΑΒΖ = 2χ, ΓΒΖ = χ . 4

. Επειδή

ότι

Ι ΑΒΖ = 2" · ΒΑΓ = ΒΑΖ , το Α

/� Α

/ /. !

σημείο

/. Δ /("

βρίσκεται στη

μεσοκάθετη ΔΖ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Επιπλέον, επειδή BAr > ΑΒΓ είναι ΒΓ > ΑΓ , οπότε η μεσοκάθετη του ΑΒ τέμνει την προέκταση του ΑΓ προς το μέρος του Γ σε · σημείο, έστω Σ. Τότε το τρίγωνο ΑΒΣ είναι ισοσκελές και το σημείο Ζ είναι το . έ1C1Cεντρό του. Το τρίγωνο ΑΖΓ είναι από την υπόθεση ισοσκελές με ZAr = 2χ οπότε

ΓΖΑ = ztΑ = .!. ( 1 80° - 2χ) = 90° - χ . Επειδή ΔΖ μεσοκάθετη του ΑΒ και Μ Ε ΔΖ το τρίγωνο ΒΜΑ 2 . ΑΒ Μ = 3χ και zAM = MAr = χ . Επομένως η ΑΜ είναι είναι ισοσκελές με ΜΑ = ΜΒ, οπότε ΒΑΜ διχοτόμος της γωνίας ΓAz και μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος ΖΓ, οπότε Brz = M rz = ΜΖΓ = ΜΖΑ - ΓΖΑ = 90° + 2χ - ( 9οο - χ) = 3χ έχουμε Όμως. Βf'Σ = ΑΒΓ +ΓΑΒ = χ+4χ = Ίχ , οπότε 1 80" = ΣfA = Bi'Σ+BfZ+ztA = ( 3x +4x) +3x+90. -χ<=> 9χ = 90° <:::> χ = 1 0° . Άρα είναι Bfz= 30" . Σημείωση. Ο προσδιορισμός της γωνίας χ θα μπορούσε να γίνει από τις γωνίες του τριγώνου ΕΙΖ που •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

101 τ.l/40

------- Μαθηματικοί ΔιαΎωνισμοί είναι

ΕΓΖ = 3χ, ΕΖΓ = 90° + χ, ΖΕΓ = 3χ + 2χ = 5χ

--------

Α σκή σεις για λύ ση

Ν33. Βρείτε τον θετικό ακέραω abc 1 ΟΟα 1 Ob c ο οποίος είναι 1 3 φορές μεγαλύτερος από τον διψήφω αριθμό που προκύπτει αν του διαγράψουμε το ψηφίο των δεκάδων.

( )

Α44. Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων χ, y που είναι λύσεις της εξίσωσης Γ29. Δίνεται ορθογώνω τρίγωνο

ABC

τέμνει την πλευρά

Α = 90°. Η διχοτόμος της γωνίας ACB τέμνει την πλευρά ΑΒ

BC στο σημείο Ε . Αν F είναι το συμμετρικό του Ε BC στο σημείο Ρ , να αποδείξετε ότι ΕΡ .l CF.

και την κάθετη στο Β προς την πλευρά και η εuθεία

με

x+y=Γx +.JY+.j;Y.

στο D

ως προς το σημείο Β

Συνέχεια από τη σελίδα 1 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ. i. Κάθε σημείο του διαγράμματος έχει ως τετμημένη χ τον αριθμό των πελατών και ως τεταγμένη y το κέρδος του ξενοδοχείου. Άρα για να απαντηθεί το 1° ερώτημα αρκεί να βρούμε την τεταγμένη του σημείου του οποίου η τετμημένη είναι το 22. Επομένως από την τιμή 22 στον άξονα χχ ' φέρνουμε κάθετη στον άξονα και από το σημείο που η ' κάθετη τέμνει το διάγραμμα φέρνουμε κάθετη στον άξονα yy που τον τέμνει στο σημείο 1 70, άρα το ξενοδοχείο όταν φιλοξενεί 22 πελάτες έχει κέρδος 1 70 ευρώ. ii. Για να απαντηθεί το 2° ερώτημα αρκεί να κάνουμε την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή να βρούμε την τετμημένη του σημείου του οποίου η τεταγμένη είναι το 1 50. ' Επομένως από την τιμή 1 50 στον άξονα yy φέρνουμε κάθετη στον άξονα και από το σημείο που η κάθετη τέμνει το διάγραμμα φέρνουμε κάθετη στον άξονα χχ ' που τον τέμνει στο σημείο 20, άρα το ξενοδοχείο για να κερδίζει 1 50 ευρώ την ημέρα πρέπει να φιλοξενεί 20 πελάτες. iii. Για να μην έχει το ξενοδοχείο ούτε κέρδος ούτε ζημιά, δηλαδή να έχει Ο κέρδος, πρέπει να βρούμε το σημείο του διαγράμματος που είναι στον άξονα χχ ' και το οποίο έχει ως τετμημένη τον αριθμό των πελατών που αντιστοιχεί σε Ο κέρδος για το ξενοδοχείο. Από το διάγραμμα το σημείο αυτό είναι το 5 . Επομένως εάν το ξενοδοχείο έχει 5 πελάτες δεν θα έχει ούτε κέρδος ούτε ζημιά. iv. Με βάση το προηγούμενο ερώτημα είναι φανερό ότι το ξενοδοχείο, για να μην έχει ζημιά πρέπει να φιλοξενεί τουλάχιστον 5 πελάτες την ημέρα. Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί παρατηρώντας ότι οι τιμές στον ημιάξονα Oy', δηλαδή οι τιμές που δηλώνουν κέρδος μεγαλύτερο ή ίσο από το Ο, έχουν ως αντίστοιχες τετμημένες τις τιμές στον ημιάξονα Οχ' που είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το 5. v. Η μέγιστη ημερήσια ζημιά του ξενοδοχείου είναι προφανές ότι συμβαίνει όταν το ξενοδοχείο είναι άδειο, δηλαδή έχει Ο πελάτες, επομένως πρέπει να βρεθεί η τεταγμένη του σημείου του ' διαγράμματος με τετμημένη Ο, που είναι το σημείο 50 του άξονα yy . Άρα η μέγιστη ζημιά είναι τα 50 ευρώ. Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί με τον υπολογισμό της τεταγμένης του σημείου που ' η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα yy . vi. Η τιμή χ = 42 που παριστάνει τον αριθμό των πελατών δεν φαίνεται στον άξονα χχ ' , έτσι προκειμένου να υπολογίσουμε την τεταγμένη του σημείου με τετμημένη 42, αλλά και γενικότερα προκειμένου να υπολογίσουμε τις τεταγμένες ή τις τετμημένες σημείων που δεν φαίνονται στο σχήμα, χρειάζεται να βρούμε ένα γενικό (αλγεβρικό) τρόπο που δεν εξαρτάται από το συγκεκριμένο σχήμα. Ο τρόπος αυτός είναι η εύρεση του τύπου της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που συνδέει τα χ και y, δηλαδή της ευθείας με τύπο y = αχ + β. Από τα προηγούμενα ερωτήματα γνωρίζουμε ότι στην τιμή χ=5 αντιστοιχεί y=O και στην τιμή χ=20 αντιστοιχεί y= 1 50. Αντικαθιστώντας διαδοχικά τα 2 παραπάνω ζεύγη τιμών στην y = αχ + β θα έχουμε 5α + β = Ο και 20α + β = 1 50. Λύνοντας το σύστημα των 2 εξισώσεων (ένας τρόπος είναι η αφαίρεση κατά μέλη) θα προκύψει α = 1 0, β = -50, επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι y= I Ox -5 Ο. Θέτοντας στην εξίσωση της ευθείας χ= 42 θα προκύψει y=370, άρα εάν το ξενοδοχείο φιλοξενεί 42 πελάτες το · ημερήσιο κέρδος του είναι 370 ευρώ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/41

ΜΑΘΑΙ Ν Ω ΑΠ Ο ΤΑ ΜΘ Η ΜΟΥ

=======

Τα λάθ η στη ν παραyοντοπο ί η ση

Επιμέλεια Νίκος Τζίφ ας

Ένα σημαντικό μέρος των λαθών των μαθητών στην παραγοντοποίηση οφείλεται στην παραποίηση των ερωτήσεων ή στην λάθος εφαρμογή ταυτοτήτων. Από το βιβλίο του Allen R. Angel elementary Algebra 4th ed 1 996 New Jersey USA παραθέτουμε μια σειρά από λάθη που έγιναν από μαθητές. ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΑΘΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Στην περίπτωση 1 ) Σε άσκηση που δόθηκε σε μαθητές. αυτή ο μαθητής Μπορείτε να παραγοvτοποιήσετε στους χρησιμοποιεί την ταυτότητα α2 - β 2 = (α + β ) (α - β ) λανθασμένα πραγματικούς αριθμούς την παράσταση a2 + β z Μαθητής α2 + β 2 = (α + β ) (α + β ) Το σωστό Η παράσταση αυτή δεν παραγοντοποιείται στους πραγματικούς αριθμούς . 2) Επίσης σε άσκηση που δόθηκε στους 2) Στην περίπτωση αυτή ο μαθητής συγχέει την παραγοντοποίηση ενός τριωνύμου με την λύση μαθητές. 2 Να παραγοvτοποιήσετε το τριώνυμο μιας εξίσωσης. Η παράσταση χ + 3χ + 2 είναι ένα πολυώννμο (τριώννμο) και όχι μια χ2 + 3χ + 2 εξίσωση. Έτσι όταν δίνετε ένα πολυώννμο Μαθητής χ 2 + 3χ + 2 = (χ + 2) (χ + 1) εμείς δεν μπορούμε να το εξισώνουμε με το μηδέν και να φτιάχνουμε εξίσωση χ ± 2 = O l] x = - 2

χ+ι =

n χ = -ι

Το σωστό χ 2 + 3χ + 2 = (χ + 2) (χ + 1)

Από την φίλη μας .Ά ρτεμις Βλασσοπούλου , μαθήτρια της Β ' Γυμνασίου, λάβαμε το παρακάτω μήννμα: . . . . . . .. θα ήθελα να σας περιγράψω πώς σκέφτηκα έναν τρόπο για να υπολογίζουμε εύκολα τα τετράγωνα των αριθμών που τελειώνουν σε 5 . Καθώς προετοιμαζόμουν για το διαγώνισμα των μαθηματικών, ξεκίνησα να διαβάζω το κεφάλαιο : τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού . Η κυρία για να μας διευκολύνει , μας είχε γράψει στο τετράδιο τις ρίζες κάποιων αριθμών , για να τις μάθουμε . Σκέφτηκα ότι μιας και είχαμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στην ύλη , θα ήταν καλό να μάθω τα τετράγωνα κάποιων αριθμών( από το 1 έως το 30).0πότε ξεκίνησα να τους γράφω . Στην πορεία μου φάνηκε πολύ διασκεδαστικό. Κατάλαβα όμως πως ήταν αδύνατο να μάθω όλα τα τετράγωνα απέξω. Έτσι αποφάσισα να βρω έναν τρόπο να τα υπολογίζω γρήγορα. Κοίταξα όλους τους αριθμούς . Παρατήρησα ότι όλοι οι αριθμοί που τελείωναν σε πέντε είχαν τετράγωνο που τελείωνε σε 25.Προσπάθησα να το αναλύσω ακόμη περισσότερο. Αρχικά σκέφτηκα (έχοντας στο μυαλό μου το 1 5) να προσθέτω την δεκάδα των δύο αριθμών και να 'κολλάω ' το 25. Αφού αυτό δεν ίσχυε με τους υπόλοιπους αριθμούς , κατέληξα στον πολλαπλασιασμό. Έτσι σκέφτηκα ότι το τετράγωνο των αριθμών που τελειώνουν σε πέντε είναι ο αριθμός που τελειώνει σε 25 και για εκατοντάδα έχει το γινόμενο της δεκάδας δ του αρχικού αριθμού επί τον επόμενο της φυσικό αριθμό. (δ5)2= 1 00 · δ · (δ+ 1 )+25 καθώς σύμφωνα με το τετράγωνο αθροίσματος: (δ5)2:: ( 1 0 · δ+5)2= ( 1 0 ·δ)2+ 1 00 ·δ+25= 1 00 · δ2+ 1 00 · δ+25= 1 00 · δ · (δ+ 1 )+25 Έτσι κατέληξα σε αυτό το συμπέρασμα .Ευχαριστώ για την προσοχή σας! ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/42

Μαθηματ ι

α,

μ ια

=======

κ:

όσμ ια yΑώσσα.

Ευ ριπίδης Θ έ μελης - Παράρτημα ΕΜΕ Χανίων

θε χρόνο με την έναρξη της σχολικής χρονιάς, αλλά και κατά τη διάρκεια αυτής, δεν ίναι λίγοι οι μαθητές που θα κάνουν στον καθηγητή των μαθηματικών τους την εξής ρώτηση : «Γιατί να το μάθουμε αυτό κύριε, που θα μας χρησιμεύσει;;» Η ερώτηση αυτή αφορά όλη την ύλη των Μαθηματικών Γυμνασίου και Λυκείου και γίνεται από όλους σχεδόν τους μαθητές, τουλάχιστον μία φορά στη μαθητική τους ζωή. Κάθε φορά λοιπόν ο εκάστοτε καθηγητής καλείται να απαντήσει σε αυτή την τόσο γενική ερώτηση και άλλοτε δίνει μια πειστική απάντηση, ενώ υπάρχουν και περιπτώσεις που ούτε ο ίδιος ο εκπαιδευτικός φαίνεται να πείθεται από τη δική του απάντηση . Ας αντιστρέψουμε τώρα το ερώτημα προς τους μαθητές και ας τους ρωτήσουμε γιατί μαθαίνουν Ελληνικά, Αγγλικά, Γαλλικά, Γερμανικά ή όλα αυτά μαζί. Γιατί μαθαίνουμε μία δεύτερη ξένη προς τη μητρική μας γλώσσα; Το ίδιο ακριβώς ισχύει και με τα Μαθηματικά. Υπάρχει όμως μία μεγάλη διαφορά ανάμεσα στα Μαθηματικά και τις υπόλοιπες γλώσσες: τα Μαθηματικά είναι παγκόσμια και όταν εμφανίζονται σε γραπτό κείμενο, μπορούν να διαβαστούν από τον οποιοδήποτε ανεξάρτητα από ποιον έχουν γραφτεί, πριν πόσο καιρό αλλά και ποια είναι η μητρική γλώσσα του αναγνώστη . Δεν έχει καμία σημασία αν κάποιος μιλάει ελληνικά, αγγλικά ή ακόμα και σουαχίλι. Όλοι μπορούν αν διαβάσουν με την ίδια ευκολία ένα κείμενο που έχει γραφτεί πριν από 1 50 χρόνια και επάνω του εμφανίζεται η πράξη 1 + 1 =2. Αλλά ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή . Θα κάνω μία αντιπαραβολή των Μαθηματικών με την ελληνική γλώσσα, αλλά η αντιπαραβολή αυτή μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε γλώσσα και αν επιλέξουμε. Ξεχάστε λοιπόν ό, τι ξέρετε για τα Μαθηματικά και ας αρχίσουμε από την αρχή . Όπως κάθε γλώσσα έτσι και τα Μαθηματικά έχον το δικό τους αλφάβητο. Το αλφάβητο το Μαθηματικών έχει μόλις δέκα γράμματα, τους αριθμούς Ο, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 σε αντίθεση με το ελληνικό αλφάβητο που έχει είκοσι τέσσερα γράμματα. Όπως και με την ελληνική γλώσσα, έτσι και με τα Μαθηματικά, ο συνδυασμός των γραμμάτων του αλφαβήτου δημιουργεί νέες λέξεις. Οι λέξεις των Μαθηματικών μπορεiί να σχηματιστούν με δύο γράμματα του αλφαβήτου του, π.χ. 1 2, 27, 98, 54 ή με τρία γράμματα, π.χ. 1 54, 6 8 7 , 999, 1 57 κ.ο.κ. Στη συνέχεια ενώνοντας τις λέξεις δημιουργούμε 7 1 προτάσεις. Έτσι και στα Μαθηματικά με τη βοήθεια των 6 � � τεσσάρων πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, 5\--1 διαίρεση) φτιάχνουμε τις προτάσεις των μαθηματικών, τις οποίες � 3 1 καλούμε αλγεβρικές παραστάσεις, π.χ. 1 2+753-324*456/3 . Αλλά 5 όπως και στην ελληνική γλώσσα υπάρχουν κανόνες για το πώς θα g; r-'..-_"1\, πρέπει να μπουν οι λέξεις σε μία πρόταση, το ίδιο ακριβώς ισχύει 4 και στα Μαθηματικά. Έτσι αντί για τον κανόνα «υποκείμενο - ρήμα - αντικείμενο» στα Μαθηματικά υπάρχει η προτεραιότητα πράξεων και οι παρενθέσεις. Στην ελληνική γλώσσα πολλές προτάσεις, που αφορούν το ίδιο θέμα ή ζήτημα τις τοποθετούμε σε παραγράφους. Αντίστοιχα για να χωρίσουμε τις μαθηματικές μας προτάσεις, χρησιμοποιούμε τελεστές και ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/43

------- Μαθη ματικά, μια παγκόσμια γλώ σσα .

σύμβολά (=, <, >, <=> κ.α.) δημιουργώντας έτσι εξισώσεις ή ανισώσεις που μαζί με την επίλυσή τους αποτελούν μία μαθηματική παράγραφο. Φυσικά τα Μαθηματικά έχουν και τις συντομογραφίες τους, όπως για παράδειγμα οι δυνάμεις, οι ρίζες, οι άρρητοι αριθμοί και οι περιοδικοί αριθμοί. Τα πρόσημα (+ και -) λειτουργούν στα Μαθηματικά με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τον οποίο λειτουργούν στην ελληνική γλώσσα οι προθέσεις, αλλάζοντας τη σημασία των λέξεων δημιουργώντας αντώwμα, δηλαδή τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς. Η χρήση του φανταστικού αριθμού i αλλάζει τους αριθμούς, από πραγματικούς σε φανταστικούς, όπως οι βαθμοί (θετικός και υπερθετικός) της ελληνικής γλώσσας. Και φυσικά η σωστή γραφή των Μαθηματικών δεν είναι τίποτα περισσότερο από αυτό που οι Π ρώτοι μας δάσκαλοι στο δημοτικό μας έλεγαν ορθογραφία! Τα παραδείγματα είναι ατελείωτα και βρίσκονται ακριβώς εκεί για όποιον θέλει να τα εξερευνήσει λίγο περισσότερο. Με όλα όμως όσα ανέφερα παραπάνω καλύπτω τα μαθηματικά του Δημοτικού, και ένα μέρος των Μαθηματικών του Γυμνασίου. Τα υπόλοιπα; Εκείνα τα περίεργα εξωκοσμικά μαθηματικά που πρέπει να μάθουν οι μαθητές της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών τι είναι; Αν σκεφτούμε με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω δεν είναι τίποτε άλλο παρά δοκίμια και ποιήματα. Οι παράγωγοι και τα ολοκληρώματα δεν είναι τίποτα περισσότερο από ποιήματα, γραμμένα από εκείνους που ξέρουν να μιλούν τη γλώσσα των Μαθηματικών. Οι σειρές και οι ακολουθίες είναι πεζογραφήματα που αν κάποιος ξέρει να τα διαβάσει μπορεί να ανακαλύψει την πραγματική αξία που κρύβουν. Τα πάντα ενώνονται, περιπλέκονται και αποκαλύπτονται όσο περισσότερο μαθαίνει κανείς αυτή τη μοναδική γλώσσα των Μαθηματικών. Βεβαία το ερώτημα που βασανίζει τους μαθητές παραμένει αναπάντητο, αλλά ας σταματήσουμε για μια στιγμή και ας σκεφτούμε τους εαυτούς μας ως μαθητές. Ρωτήσαμε ποτέ τον καθηγητή μας γιατί μαθαίνουμε τις αντωwμίες ή τα ρήματα; Ρωτήσαμε ποτέ γιατί μάθαμε την αλφαβήτα; Και αργότερα όταν ξεκινήσαμε να μαθαίνουμε μία ξένη γλώσσα, όπως τα αγγλικά, ρωτήσαμε ποτέ τον καθηγητή μας γιατί μας μαθαίνει τα ανώμαλα ρήματα; Η απάντηση είναι όχι. Ποτέ δε ρωτήσαμε, γιατί θεωρούμε αυτονόητο πως για να μάθουμε να μιλάμε και να γράφουμε μία γλώσσα, τη μητρική μας ή μία ξένη, πρέπει πρώτα να ξεκινήσουμε από το μηδέν. Ε ναι λοιπόν και στα Μαθηματικά ισχύει το ίδιο ακριβώς. Δεν μπορείς να κατανοήσεις ένα ολοκλήρωμα αν δεν γνωρίζεις τι είναι η παράγωγος και για να ξέρεις τι είναι η παράγωγος, πρέπει να ξέρεις τι είναι συνάρτηση . Για να ξέρεις τι είναι συνάρτηση πρέπει να ξέρεις να ξεχωρίζεις τους γνωστούς από τους αγνώστους, να διακρίνεις τους τελεστές και τα σύμβολα, και να λύνεις εξισώσεις και ανισώσεις. Για να κάνεις το τελευταίο πρέπει να ξέρεις να κάνεις πράξεις και φυσικά να ξέρεις την προπαίδεια! Και όλα καταλήγουν σέ κάτι πολύ απλό, στο ότι θα πρέπει να ξέρεις να μετράς! Διαφορετικά είναι σαν να προσπαθείς να διδάξεις σε κάποιον αγγλική ,.,.rv λογοτεχνία, στα αγγλικά, ενώ το μόνο που ξέρει αυτός να γράφει στα αγγλικά είναι το hello ή να προσπαθείς να αναλύσεις ένα δοκίμιο σε ένα μαθητή του νηπιαγωγείου ή να εμβαθύνεις στη μοντέρνα ποίηση με έναν μαθητή δημοτικού. Αντιμετωπίζοντας λοιπόν τα Μαθηματικά όπως και κάθε άλλη ξένη γλώσσα που πρέπει ή θέλουμε να μάθουμε, τα πάντα γίνονται πολύ πιο απλά και εύκολα. Σίγουρα τα Μαθηματικά δεν είναι μία εύκολη ξένη γλώσσα, αλλά είναι η βάση για όλες τις θετικές επιστήμες. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ A'lOl τ.l/44

ΜΑΘΗΜΑΠΚQ XJ:QYMQP

Το Μαθηματικό χιούμορ έχει αναπτυχθεί σε μεγάλη έκταση και μπορεί πλέον να β ρει κανείς στο διαδίκτuο άφθονο υλικό άλλοτε καλόγουστο και έξυπνο και άλλοτε ανούσιο. Εμείς στον Ευκλείδη Α' θα προσπαθήσουμε να παρουσιάζουμε καλόγουστα κείμενα και σκίτσα Μαθηματικού χιούμορ είτε από αναδημοσίευση είτε από πρωτοπαρουσιαζόμενες εργασίες. Αναμένουμε κείμενα και σκίτσα από μαθητές και συναδέλφους καθηγητές που συμπαθούν το Μαθηματικό χιούμορ. Στο τεύχος αυτό έχουμε συμπεριλάβει ένα κείμενο του πολυτάλαντου συναδέλφου Ντίνου Κορδώση και σκίτσα από την Μαθηματικό Άννα Παπαδάκη.

τ�� ΠΑΘι-tΜΑr τ-ον ΜΑΘWΜ�ν

(Απ' το θεατρικό έργο του Ντίνου Κορδώση «01 ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΕΣ ΤΟΥ ΜΠΑΡΜΠΑθΑΝΑΣΗ»)

Η υπόθεση εξελίσσεται προς τα τέλη της δεκαετίας του 1 970. Κάτω από περίεργα κρίσιμες και πιεστικές συνθήκες ο Χάρης, ένας εικοσιτετράχρονος μαθηματικός, αναγκάζεται να διεκδικήσει την καρδιά της Γαρουφαλλιάς, μιας ορεσίβιας δεκαεφτάχρονης μοναχοκόρης κτηνοτρόφου, που μόνο τη στοιχειώδη εκπαίδευση αξιώθηκε να λάβει. Στην προσπάθειά του να εντυπωσιάσει τη Γαρουφαλλιά, ο Χάρης χρησιμοποιεί ένα μαθηματικό σόφισμα, αλλά στο τέλος βρίσκει το δάσκαλό του στο πρόσωπο της μικρής, όπως φαίνεται απ' το παρακάτω απόσπασμα. ΧΑΡΙΙΣ: Αλήθεια, γιατί δεν πήγες στο Γυμνάσιο Γαρουφαλλιά;

ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Είχα δλειες, πουλές δλειές. Ύστερα δεν ήμνα καλή μαθήτρια. Ιέχου παρ' ιγώ π' μι βλεπς μηδενικά ούου! Μιας Λαμπρής κλούρια! ΧΑΡΙΙΣ: (Γελώντας) Μα το μηδενικό είναι ο αριθμός με τη μεγαλύτερη αξία! ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Μι κοροϊδεύς, του μηδενικό είνι τίπουτα. ΧΑΡΙΙΣ: Δε σε κοροϊδεύω. Να, κοίταξε! (Βγάζει απ' την τσέπη του ένα ειαιτpντάδραχμο και το δείχνει) Τι είναι αυτό; ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Κατουστάρκου. ΧΑΡΙΙΣ: Σωστά, γιατί γράφει εκατό. (Κρύβει με τα χέρια του τα δυο μηδενικά) Τώρα τι γράφει; ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Ιένα! ΧΑΡΙΙΣ: Είδες λοιπόν; Οι εκατό δραχμές, μόλις έφυγαν τα δυο μηδενικά, έγιναν μια δραχμή ! Επομένως τα δυο μηδενικά αξίζουν ενενηνταεννέα δραχμές! ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Α, ισύ είσι πονηρός, αλλά ξιέρου κι γω πονηριές. ΧΑΡΙΙΣ: Δηλαδή δεν το mστεύεις; ΓΑΡΟΥΦΑΛΙΑ: Αμέ, του mστεύου. Στας να δεις! (Παίρνει ένα λευκό χαρτί και γράφει με ένα μολύβι. Ύστερα βγάζει απ' την τσέπη της μια δραχμή την βάζει πάνω στο χαρτί και τα δίνει στο Χάρη) Ουpίστι! ΧΑΡΙΙΣ: Δυο μηδενικά και μια δραχμή . . . Γιατί μου τα δίνεις αυτά; ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Ε, για να μι δώσεις του κατουστάρκου. ΧΑΡΙΙΣ: (Με απορημένο ύφος) Το κατοστάρικο; ΓΑΡΟΥΦΑΛΛΙΑ: Ναι, ισύ δεν είmς πως τα δυο μηδενικά αξίζνι ενενηνταεννιά δραχμές.; Ουρίστι! ενενηνταεννιά κι μία εκατό. Δώσ' μι τώρα του κατουστάρκου. ΧΑΡΗΣ: (Γελώντας ξεκαρδιστικά) Χα -χα -χαα . . . Την έπαθα! Εγώ ο μαθηματικός την έπαθα σαν αγράμματος! Ήθελα να δείξω την αξία του μηδενός στο δεκαδικό, θεσιακό σύστημα αρίθμησης κι αυτό μου κόστισε εκατό δραχμές. Δικό σου το καταστάρικο Γαρουφαλλιά, σου αξίζει! Πάλι καλά που δεν είχα στην τσέπη μου χιλιάρικο! Θα μου έδινες τρία μηδενικά και μια δραχμή και θα το έχανα κι αυτό. Βρε τι έπαθα!

Πω�

φέρνουμε

κάθετη;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/45

Σκίτσα Αννα Παπαδάκη

5 η Ε ΚθΕΣΗ ΜΑθ ΗΜΑΤΙ ΚΩΝ στο

1 ° ΓΥΜ ΝΑΣ Ι Ο ΣΚΑΛΑΣ ΩΡΩ Π ΟΥ

Παρουσίαση : Τσικοπούλου Στάμη τ. Σχολική Σύμβουλος Μαθηματικών Στην προσπάθεια να αμβλυνθεί η σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Τέχνης με εναλλακτικές μεθό δους διδασκαλίας, η καθηγήτρια των μαθηματικών κ. Γεωργία Μαραγκού , λειτουργεί τις πέντε τελευ ταίες σχολικές χρονιές, στο I ο Γυμνάσιο Σ κάλας Ωρωπού Αττ ικής, παράλληλα με τη διδασκαλία του μαθήματος και ένα Μαθηματικό Εργαστήρι. Οι μαθητές που συμμετέχουν στο Εργαστήρι έχουν την ευκαιρία να κατασκευάζουν έργα πρωτότυ πα, εμπνευσμένα από τα μαθηματικά ,τα οποία εκτός από τον πλούτο των γεωμετρικών δομών που κρύβουν έχουν κι ένα αισθητικό ενδιαφέρον και αποτελούν τα εκθέματα της Έκθεσης Μα θηματικών που οργανώνεται στο τέλος κάθε χρονιάς. Για να κατασκευάσουν οι μαθητές τα έργα τους, αντλούν ιδέες από τις διάφορες ενότητες των μαθηματικών που διδάσκονται στο γυμνάσιο αλλά και από τις γενικότερες συζητήσεις που γίνονται στην τάξη για τα μαθηματικά με αφορμή τα ιστορικά σημειώματα ή τις εφαρμογές τους στη φύση και στην τέχνη. Επειδή στη λαϊκή μας τέχνη η εφαρμογή των Μαθηματικών και ειδικότερα της Γεωμετρίας είναι περισσότερο αναγνωρίσιμη, οι κεία και προσιτή, οι μαθητές τη σχολική χρονιά 20 1 5-20 1 6, επι χείρησαν να «σκύψουν» πάνω στην τέχνη του λαϊκού μάστορη, γι αυτό και ο τίτλος της Έκθεσης ήταν : «στη σκιά του κυρ μάστο ρη ». Η γεωμετ ρ ία αποτέλεσε άλλωστε πηγή έμπνευσης για την τέχνη. Η άμεση σχέση των μαθηματικών με τις τέχνες καταγράφε ται ήδη από την αρχαιότητα. Περισσότερο από ότι σε άλλους λαούς στη λαϊκή μας τέχνη προέχουν τα γεωμετρικά σχήματα, τρί γωνα, τετράγωνα, ρόμβοι, μαίανδροι, σταυροί, ζιγκζαγκ κ.ά. ...

Ένας από τους τομείς της ελληνικής λαϊκής αρχιτεκτονικής είναι τα πλακόστρωτα δάπεδα που τα βρίσκουμε παντού, σε αυλές, σε πλατείες, σε δρόμους, σε εκκλησιές. Οι μαθητές του Εργα στηρίου, αφού τα μελέτησαν, οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι ένας μάστορης, όσο κι αν λέγε ται πως ενεργεί με το συναίσθημα και τη φαντασία, λειτουργεί και με τη λογική και τη μαθημα τική αντίληψη . Οι μαθητές αναρωτήθηκαν αρχικά πως μπορεί ο μάστορης να χάραζε τσ σχέδιο επί τόπου στον αυλόγυρο μιας εκκλησιάς για να φτιάξει το βοτσαλωτό με μαιάνδρους, φύλλα, κλαδιά, λουλούδια, ήλιους, άγκυρες, δελφίνια κ.ά. Όπως διαπίστωσαν στην πράξη, μπορεί να γί νει με τη βοήθεια των μαθηματικών. Με τη χρήση μιας κλίμακας (αναλογίας) μεγεθύνουμε το αρχικό σχέδιο όσο θέλουμε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/46

-------

Sη Έκθεση

Mc'τna8ι.J8118IIIIί-� - r r:-..... �...;;•: Ωρcο.ΟΟ

Τα βοτσαλωτά είναι μια αρχαία � .ι.JCι:ι:, t=tt�� 1li.."') :α 4τrα της στολίζουν σπίτια, αυλές, βεράντες και όχι μόνο. Κύρια uλιιαi; η J:έ:::ί..'τ.. = �.-:-.:-_ η άμμος και βέβαια το βότσαλο.

Πηγή έμπνευσηc; ό.u r*t*i • εξάνει τη φαντασία και να δημιουργήσει στο νου παραστάσεις και σχήματα, m 08ιΙ8 CIJI,IIIiιιiζoν :ιφοσεκτικά στο χαρτί και στη συνέχεια μεγεθύνονται στο δάπεδο με δι.άφοpς dι ες Τα πιο πο1ιiι fllt f.ίaιι6 JaJO σώζονται στον ελλαδικό χώρο, ανήκουν την εποχή της μυκηναϊ κής και μινοιιιd.ς aqMtδou. Αχό την εποχή εκείνη έχουν διασωθεί μοναδικά δείγματα ψηφιδωτών δαπέδων με γεωμετρικά σχή ματα. Η τεχνική αυτή άντεξε μέχρι και τη ρωμαϊκή περίοδο καθώς και τη βυζαντινή που τη διαδέχτηκε, για να κρατηθεί ζωντανή ως τις μέρες μας από τα «χέρια» των μαστόρων που την υπηρετούν με ιδιαίτερο με ράκι, κυρίως σε μέρη της νησιωτι κής Ελλάδας. Τα βοτσαλωτά δάπε δα αποτελούν κληρονομιά για τον τόπο μας που δεν θα πρέπει να χα θεί τουλάχιστον λόγω άγνοιας του τρόπου αποκατάστασής τους, του πώς δηλαδή να επαναφέρουν το έρ γο στο νόημα και τη μορφή που είχε πριν υποστεί τις φθορές. Χταπόδια από πέτρα, δελφίνια από γκρίζο βό τσαλο, αμέτρητα γεωμετρικά σχέ-: δια με λεπτομέρειες που εντυπω σιάζουν και συμμετρία που εμπνέ ει. Η ανάγκη του ωραίου συντρο φεύει την ανθρωπότητα από τα πρώτα του βήματα. Οι μαθητές ξεκίνησαν τις εργασί ες τους αναζητώντας . αρχικa πλη ροφορίες και μοτίβα βοτσαλωτών. Βοτσαλωτά λέγονται τα δάπεδα τα διακοσμημένα με βόΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' lOl .τ.l/47

-------

5" Έκθεση Μαθη ματικών στο 1 ° Γυμνάσιο Σκάλας Ωρωπού

τσαλα. Ένα βότσαλο� δύο� τρία� «λιλάδια» τα λεν� στη Χιό. Το ένα αγκαλιά με το άλλο. Τα πε ρισσότερα άσπρα� τα υπόλοιπα μαύρα. Τέσσερα . . . πέντε . . . έξι . . . τόσα κι άλλα τόσα . . . Πόση υπομονή ! ! ! Ώρες στα γόνατα οι μάστορες . . . Στις πρώτες συναντήσεις των μαθητών� έγιναν συζητήσεις για την επιλογή των υλικών και των τεχνικών που θα ακολουθούσαν ώστε να μπορέσουν να κατασκευάσουν τα έργα τους που επιλέχθηκαν να είναι αντίγραφα παραδοσιακών μοτίβων από αυλές και πλατείες της νησιωτικής Ελλάδας� όπως π. χ την Ίο, τις Κυκλάδες και τη Χίο. Ακολούθησε πειραματισμός με τη χρήση εν,αλλακτικών υλικών. Στη συνέχεια έγιναν με ιδιαίτερη σχολαστικότητα τα γεωμετρικά σχέδια στο χαρτί τα οποία μετα φέρθηκαν στη συνέχεια σε άλλη κλίμακα πάνω σε διάφορα υλικά όπως ξύλο και μάρμαρο. Τέλος δεν έμενε παρά να κολλήσουν πάνω στα επιλεγμένα αυ τά υλικά τα βότσαλα� που οι ίδιοι είχαν μαζέψει στην ακροθαλασσιά που βρίσκεται πλησίον του σχολείου. Η διαλογή των βοτσάλων κατά χρώμα και μέγεθος είχε γίνει με μεράκι και υπομονή από τους μαθητές. Τα γεωμετρικά σχέδια έγιναν με μεγάλη σχολαστικό τητα από τους μικρούς μαθητές της Α ' Γυμνασίου με τη βοήθεια των μεγαλυτέρων μαθητών του τμήματος Γ ι . Οι μεγαλύτεροι μαθητές, έχοντας δουλέψει στο Εργαστήρι με την κ. Μαραγκού τις δύο προηγούμενες χρονιές� είχαν αποκτήσει αυτοπεποίθηση και ευχέρεια στο να χρησιμοποιούν τα γεωμετρικά όργανα και να σχεδιάζουν με επιτυχία το σχέδιο που είχαν επιλέξει. Γνώριζαν ε πιπλέον πως ακόμα κι αν λάθευαν, μπορούσαν να δοκιμάζουν και να ξαναδοκιμάζουν διορθώ νοντας το σχέδιό τους μέχρι να τα καταφέρουν. Οι μικροί μαθητές για να σχεδιάσουν στο χαρτί, τα σχέδια που εί χαν επιλέξει για τα βο τσαλωτά τους, αξιοποίη σαν τις γνώσεις τους σχε τικά με την καθετότητα και την παραλληλία των ευθειών καθώς και την έννοια του κύκλου και των στοιχείων του� ημι κύκλιο, τόξα� κ.ά. Οι μεγαλύτεροι μα θητές αξιοποίησαν και τις γνώσεις τους σχετικά με τα κανονικά πολύγωνα που είχαν διδαχθεί ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/48

-------

5η Έκθεση Μαθη ματικών στο 1

Γυμνάσιο Σκάλας Ωρωπού

την προηγούμενη χρονιά.

Η συλλογι κότητα

στη

σκέψη και η συνεργασία στην

εκτέ

λεση

του

έργου τα

ήταν κύρια

χαρακτηριστικά της ομαδικής αυτής εργασίας που είχε σαν αποτέλεσμα και μεγαλύτερο ενδια φέρον να δείξουν οι μαθητές για το μάθη μα των μαθη ματικών και ν' αποδώσουν περισσότερο σ ' αυτό. Διεγείροντας τη φαντασία και το ενδιαφέρον των μαθητών της η κ Μαραγκού πέτυχε οι βα σικές έννοιες των μαθη ματικών να «ζωντανεύψουν» και έτσι να γίνουν ευκολότερα αντιληπτές. Γιατί από αντικείμενα ψυχρής θεωρητι κής

ανάπτυξης

μπόρεσαν

να

γίνουν

κίνητρα για συζήτηση και συμμετοχή σε δη μιουργικές δραστη ριότητες. « Τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο α σκιί σεις, υπάρχου ν σ 'αυτά πο)J,ές ο μορφιές, μόνο που είναι καλά κρ υμμέ νες!», τονίζει η κ Μαραγκού.

Ένα μεγάλο εύγε στην κ Μαραγκού για τη δουλειά που κάνει με τους μαθητές της όλα αυτά τα χρόνια. Εύγε και στον κ

κ. Ηλιάσκο Ευάγγελο που αναλαμβάνοντας κατά τη σχολική χρονιά

20 1 5-20 1 6 τα καθήκοντα του ως Διευθυντής της σχολικής μονάδας, εκτίμησε τη σπουδαιότητα του εγχειρή ματος της καθηγήτριας και τη στήριξε ηθικά ώστε να συνεχίσει να λειτουργεί το Ερ γαστή ρι των Μαθη ματικών, δίνοντας έτσι την ευκαιρία στους μαθητές να γνωρίσουν τα Μαθη ματικά από μια ξεχωριστή και ενδιαφέρουσα πλευρά. Θα περιμένουμε και τη επόμενη Έκθεση και πιστεύουμε ότι το θέμα της και η ποιότητα της δουλειάς θα μας εντυπωσιάσει για μια ακόμα φορά. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 101 τ.1/49