Ευκλειδης β 103 by demi de

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τεύχος 103

Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος

e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

2017

Ευρώ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ το ΛΥΚΕΙΟ

..- ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Γενικά Θέματα

Να μελετούμε τα Ελληνικά Μαθηματικά στη γλώσσα τους ........................... Μια Μια παράξενη Γεωμετρία... ................................ . ...................................... Μια ενδιαφέρουσα άσκηση ··παίζοντας·· με το geogebra. ................................ Μαθηματικές Ολυμπιάδες, ................................................................................. Homo Mathematicus, ..........................................................................................

λλγι;βρα:

Α'

Τάξη

1 4 7 8 20

Ανισώσεις 8' Βαθμού Ακολουθίες, ........ . ............................ .......... 29 Επτά Θέματα Σχετικά με το Τ ριώνυμο, ........ . ............. ........................... . ........... 30 Μερικές χρήσιμες επισημάνσεις σχετικές με το πρόσημο του Τ ριωνύμου f(x) = αχ2 + βχ+γ, ......................................... .. . ........................ ...... . .... 32 Γεωμετρία: Εγγεγραμμένα σχήματα στον κύκλο ............................. . ..... . .......... 33

8' Τάξη Άλγεl!ρσ: Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση, ........................................... Γεωμετρία: Ασκήσεις στις Κωνικές Τομές, .................................................... . .. Πέντε Θέματα Στερεομετρίας, ............................. ................ .......... Κατεύθυνση: Ασκήσεις στις Κωνικές Τομές, ...................................................

Γ Τάξη

Γενική Παιδεία:

Ασκήσεις, ................................................................................. Κατεύθυνη: Επαναληπτικά Θέματα Προσανατολισμού, .............................. . Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων για τα (Α.Ε.Ι) Παλαιοτέρων Εποχών, ...... Βήμα του Ευκλείδη: Σχετικά με το όριο Σύνθεσης συναρτήσεων. Μια μεγάλη πιθανότητα λάθους .......................................................................... Χρήσιμες Επισημάνσεις -Ασκήσεις,...................................................................

Γενικά Θέματα

Ευκλείδης Προτείνει, ... ......... ................................... ............ ............................... Μαθηματικά και Λογοτεχνία. ......... . ...................................................................

Κάθε Σάββατο γίνονται ΔΩΡΕΑΝ μαθήματα,

Στα γραφεία της Ε.Μ.Ε., Από 8 Οκτωβρίου 2016. Θυμίζουμε ότι: Ερωτήματα σχετικά με τα θέματα Διαγωνισμών υποβάλλονται στην

Η έγκαψη πληρωμή της συνδρομής βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού επιτ

οπ ' Δια ωνισ ών τ

Ε.Μ.Ε.

36 46 51 54

58 62 69 72 76 78 81

Εκτελεστική Γραμματεία Πρόεδρος: Τασσόπουλος Γ ιώργος Αντιπρόεδροι:

Ευσταθίου Βαγγέλης Κερασαρίδης Γιάννης Μέλη: Αργυράκης Δημήτριος Λουρίδας Σωτήρης Στεφανής Παναγιώτης Ταπεινός Νικόλαος

Υποστηρικτής Δραστηριοτήτων της Ε.Μ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΕΤΡΕΛΑΙΑ

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 • 8005

• •

Γράμμα της Σύνταξης

Αγαπητοί Μαθητέςκαι Συνάδελφοι, Οι πρόσφατες εκλογές για την ανάδειξη του νέου Δ.Σ. της Ε.Μ.Ε. είχαν ως αποτέλεσμα μια μικρή καθυστέρηση του 3ου τεύχους. Όμως είναι ήδη έτοιμο και το 4ο τεύχος και μ' αυτό τον τρόπο θα μπορέσουμε να μετριάσουμε το πρόβλημα. Ευχόμαστε η περίοδος αυτή της τελικής προσπάθειας και των επαναλήψεων εν' όψει των Πανελλαδικών Εξετάσεων να αποβεί γόνιμη κ α ι το πε ρι ο δ ι κ ό μ α ς να σας σταθεί χ ρήσιμος συμπαραστάτηςσ' αυτή σαςτην προσπάθεια. Ο πρόεδρος της Συντακτικής Επιτροπής: Γιώρyος Τασσόπουλος Οι αντιπρόεδροι: ΒαyyεΛης Ευσταθίου, Γιάννης Κερασαρι'δης

Υπεύθυνοι γ ια την ε πιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι:

Υ.Γ.

Α'Λυκείου ΙΧρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης[. Β'Λυκείου ΙΒ. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης, Απ. Κακκαβάς[. Γ'Λυκείου

[Δ. Αργυράκης,

Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, 1. Λουpιδάς]

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Θαλής:

12 Νοεμβρίου 2016

Ευκλείδης: ,. - "'; Αρχιμ δης:·

28.Ιαvουαρίου 2017

4 Μαρτίου 2017 ,,.,.,..,

Προκριματικός:

Μεσοyε ιάδα:

Εξώφυλλο:

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34 106 79ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 210 3617784-210 3616532 Fax: 210 3641025 Εκδότης: Ν ι κόλαος Αλεξανδρής Διευθυντής: Ιωάννης Τυρλής

3,50

8 Απριλίου 2017

9 Απριλίου 2017

Εικαστική σύνθεση βασισμένη

στη Γεωμετρία

Συντακτική Επιτροπή Αθανασόπουλος Γεώργιος Ανδρουλακάκης Νίκος Αντωνόπουλος Γεώργιος Αντωνόπουλος Νίκος Αργυράκης Δημήτριος Βακαλόπουλος Κώστας Γαβράς Τάσος Ευσταθίου Βαγγέλης Ζαχαρόπουλος Κων/νος Κακαβάς Απόστολος Καλίκας Σταμάτης Καμπούκος Κυριάκος Κανέλλος Χρήστος Καρκάνης Βασίλης Κατσούλης Γιώργος Κερασαρίδης Γιάννης Καρδαμίτσης Σπύρος ΚονόμηςΆρτι Κοτσιφάκης Γιώργος Κουλουμέντας Φώτηςης Κυριαζής Ιωάννης Κυριακόπουλος Αντώνης

Κυριακοπούλου Κων/να Κυβερνήτου Χρυστ. Λαζαρίδης Χρήστος Λάππας Λευτέρης Λουριδάς Γιάννης Λουρίδας Σωτήρης Μαλαφέκας Θανάσης Μανιάτης Ανδρέας Μανιατοπούλου Αμαλία Μαυρογιαννάκης Λεωνίδας Μενδρινός Γιάννης Μεταξάς Νικόλαος Μήλιος Γεώργιος Μπερσίμης Φραγκίσκος Μπρίνος Παναγιώτης Μυλωνάς Δημήτρης Μώκος ΧρήστοςΧ Πανδής Χρήστος Παπαπέτρος Βαγγέλης Σίσκου Μαρία Σαίτη Εύα Στaίκος Κώστας

Στάϊκος Παναγιώτης Στεφανής Παναγιώτης Στρατής Γιάννης Ταπεινός Νικόλαος Τασσόπουλος Γιώργος Τζελέπης ΆΜης Τζιώτζιος Θανάσης Τουρναβίτης Στέργιος Τριάντος Γεώργιος Τσαγκάρης Ανδρέας Τσαγκάρης Κώστας Τσικαλουδάκης Γιώργος Τσιούμας Θανάσης Τσουλουχάς Χάρης Τυρλής Ιωάννης ΦανέληΆννυ Χαραλαμπάκης Ευστάθιος Χαραλαμποπούλου Λίνα ΧΡιστιάς Σπύρος Χριστόπουλος Θανάσης Χριστόπουλος Παναγιώτης Ψύχος Βαγγέλης

Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr

Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50 Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, [τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κλπ.] πρέπει να στεΛνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την

εισηγητής. Ετήσια συνδρομή (12,00 + 2,00 Ταχυδρομικά = ευρώ 14,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολ ε ία ευρώ 12,00 Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγεΛνονται στε'λνεται: (1 ) . Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γρ αφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 (2). Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την τράπεζα EUROBANK (3). Π λ ηρώ νε ται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. (4). Με αντικαταβολή, σε εταιρεία ταχυμεταφορών στο χώρο σας, κατά την παραλαβή. ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Β'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρ ια ευ θύνη τη φέρει ο

Εκτύπωση:

ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΜΗ & ΣΙΑ ΕΕ). τηλ.: 210 6623778 - 358 Υπεύθυνος τυ π ογρα φ είου : �-

Παπαδόπουλος

Να

μελετούμε τα ΕΑΑηνικά Μαθηματικά στη yΑιίιοσα τους Γεώργιος Κατσανεpάκης. Πολιτικός Μηχανικός

Α) Υπομνήσεις 1) Αρχή παιδεύσεως η των ονομάτων επίσκεψις. (Αντισθένης, φιλόσοφος, ιδρυτής της Σχολής των Κυνικών) 2) Μήγαρις έχω τιποτ' άλλο στο νου μου, πάρεξ ελευθερία και γλώσσα. (Διονύσης Σολωμός) 3) Μονάχη έγνοια η γλώσσα μου (Οδυσσέας Ελύτης) 4) Ο Θεός μας χάρισε μια γλώσσα ζωντανή, εύρωστη, πεισματάρα, χαριτωμένη, που αντέχει μολονότι έχουμε εξαπολύσει όλα τα θεριά να τη φάνε. (Γιώργος Σεφέρης) 5) Η γλώσσα μας είναι η αληθινή πατρίδα μας και αν η γλώσσα μας χαθεί, χάνεται και ο λαός της. (Νίκος Καζαντζάκης)

Η περίοδος που εγκαινιάζεται από το θάνατο του Μ. Αλεξάνδρου (323 π.Χ.) ως την κατάληψη της Αιγύπτου (30 π.Χ) από τους Ρωμαίους ονομάστηκε Ελληνιστική. Το όνομα της προέρχεται από ρήμα «ελληνίζω» που

Β) Η Αλεξανδρινή γλώσσα

και δείχνει την επίδραση του Ελληνικού πολιτισμού σε όλα τα μέρη από όπου πέρασε ο Αλέξανδρος. Η Αλεξάνδρεια κατέστη το κορυφαίο νέο πνευματικό κέντρο του ελληνόφωνου κόσμου. Υπολογίζεται ότι η βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας διέθετε 500.000 χειρόγραφα. Η κυριαρχία του Ελληνισμού στην Ανατολή είχε ως αποτέλεσμα τη διαμόρφωση ενιαίου γλωσσικού οργάνου, της "Κοινής ελληνικής" ή "Αλεξανδρινής " η οποία διατηρήθηκε ατόφια μέχρι τους χρόνους του Μεγάλου Κωνσταντίνου .Στη γλώσσα αυτή γράφτηκε το Ευαγγέλιο και διεδόθη ο Χριστιανισμός. Στην ίδια γλώσσα έγραψαν το έργο τους, κατά την Ελληνιστική περίοδο τρεις κορυφαίοι Έλληνες μαθηματικοί, ο Ευκλείδης,ο Αρχιμήδης και ο Απολλώνιος. Άξια μνείας είναι μια εργασία του πατέρα της Ελληνικής γλωσσολογίας, καθηγητή του Πανεπιστημίου, Γεωργίου Χ ατζηδάκη, ο οποίος μελετώντας το κείμενο της Καινής Διαθήκης, γραμμένο στην Κοινή/Αλεξανδρινή γλώσσα παρατήρησε ότι: Από τις 4900 λέξεις της Καινής Διαθήκης ( 1 ος_2ος αι. μ.χ) οι μισές περίπου, δηλαδή οι 2280 (47%) χρησιμοποιούνται ευρέως και σήμερα, οι 2220 (45%) είναι ευκολονόητες από τους Νεοέλληνες και μόνο περίπου 400 (8%) χρειάζονται ερμηνευτικό σχολιασμό, για να γίνουν κατανοητές .Εύλογα λοιπόν είναι τα ερωτήματα: Μήπως θα κατανοήσομε καλλίτερα τον πολιτισμό της Ελληνιστικής περιόδου και ειδικότερα τον Ευκλείδη αν τον μελετήσομε στο πρωτότυπό του; σημαίνει «συ μπεριφέρομαι σαν Έλληνας»

Μήπως η "Κοινή/Αλεξανδρινή - δημοτική γλώσσα της εποχής της -κακώς αντιμετωπίζεται ως ξένη γλώσσα όταν οι ξένοι μελετητές του Ελληνικού πολιτισμού θεωρούν αναγκαία προtmό θεση τη γνώση της αρχαίας ελληνικής γλώσσας για την πλήρη κατανόησή του;

Μήπως οι χρυσοί αιώνες των ελληνικών τουλάχιστον μαθηματικών της Αλεξανδρινής περιόδου κατανοούνται καλλίτερα αν το εκπαιδευτικό μας σύστημα είχε ως προαπαιτούμενο τη γνώση τουλάχιστον της -σχετικά εύκολης κοινής Αλεξανδρινής γλώσσας; Στη γλώσσα έχομε το ση μαίνον (τη λέξη ) και το σημαινόμενο (την έννοια). Η Ελληνική γλώσσα είναι "εννοιολογική" σε αντίθεση με τις άλλες Ευρωπαϊκές γλώσσες που είναι "σημειολογικές"· Μάλιστα ο μεγάλος φιλόσοφος και μαθηματικός Βένερ Χα'iζενμπεργκ είχε παρατηρήσει αυτή τη σημαντική ιδιότητα για την οποία είχε πει: 'Ή θητεία μου στην αρχαία Ελληνική γλώσσα υπήρξε η σπουδαιότερη πνευματική μου άσκηση. Στη γλώσσα αυτή υπάρχει η πληρέστερη αντιστοιχία ανάμεσα στη λέξη και στο εννοιολογικό της περιεχόμενο . Με άλλα λόγια, το να μπορείς να μιλάς σωστά σημαίνει ότι ήδη είσαι σε θέση να σκέφτεσαι σωστά και να γεννάς νέες ιδέες. Χαρακτηριστική είναι η άποψη του περίφημου Ρωμαίου ποιητή Οράτιου : 'Ή Ελληνική φυλή γεννήθηκε ευνοημένη με μια γλώσσα εύηχη, γεμάτη μουσικότητα. Η Ελλάδα κατακτημένη με τα όπλα, νίκησε τον κατακτητή και έφερε τις τέχνες στο απολίτιστο Λάτιο''. Μάλιστα την περίοδο της Ρωμαιοκρατίας καθιερώθηκε και ο σκωπτικός όρος γραικύλος για όσους Ρωμαίους πολίτες παρίσταναν ότι ήταν κάτοχοι της Ελληνικής παιδείας ενώ δεν ήσαν . ''

Γ) Τα μαθηματικά είναι προγύμνασμα της φιλοσοφίας .

Κατά την αφήγηση πολλών αρχαίων συγγραφέων μεταξύ αυτών ο Κικέρων και ο Διογένης Λαέρτιος, ο Πυθαγόρας διατρέχοντας την Ελλάδα έφτασε στο Φλιούντα, μια πόλη κοντά στην Κόρινθο. Ο τύραννός της Λέων έχοντας ακούσει για το μεγαλείο της προσωπικότητάς του τον κάλεσε στο αρχοντικό του για να τον γνωρίσει καλλίτερα. Αφού εξέφρασε το θαυμασμό του για τις ιδέες που του ανέπτυξε τον ρώτησε πια είναι η ασχολία του.

Είμαι φιλόσοφος απάντησε ο Πυθαγόρας .Η λέξη φιλόσοφος ακούστηκε για πρώτη φορά στην Ελληνική γλώσσα. Στην απορία του Λέοντος τι σημαίνει η λέξη ο Πυθαγόρας απάντησε: Η σοφία ανήκει μόνο στη θεότητα. Σε μας τους ανθρώπους δόθηκε η αγάπη της Σοφίας -η φιλοσοφία- να την πλησιάσαμε και να γίνομε φίλοι της, δηλαδή φιλόσοφοι. Στη φιλοσοφική σχολή του Πυθαγόρα ακούστηκε για πρώτη ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

103 τ.3/1

-------

Να μελετούμε τα Ελληνικά Μαθηματικά στη γλώσσα τους

--------

φορά η λέξη μαθηματικός, με την ευρύτερη όμως έννοια του μανθάνω τη διδασκαλία και όχι τη σημερινή, την αυστηρά "μαθηματική" . Οι μαθητές της Σχολής ήσαν δύο κατηγοριών. Σε αυτούς που απλώς άκουαν, τους ακουσματικούς (στο Ομακοείον) και σε αυτούς που μάθαιναν, εμυούντο στη φιλοσοφία του, τους μαθηματικούς. Ειρήσθω εν παρόδω και είναι δηλωτικόν του πλούτου της Ελληνικής γλώσσας ότι ομόρριζες λέξεις με το μανθάνω είναι και οι λέξεις μούσα, μουσική, μουσείο,μνημοσύνη, μάντης, μνηστή, μνήμα, μνήμη ενώ παράγωγες είναι οι λέξεις μάθημα, μαθητής, μαθητεία, μάθηση, μαθητεύω, μαθητολόγιο, μαθητιώσα (νεολαία), μαθητική (ποδιά). Ο Πυθαγόρας στην κορύφωση της φιλοσοφίας του καθιέρωσε τις 4 πρώτες επιστήμες για τις οποίες εδίδασκε ότι: Αριθμοί εν στάσει είναι η αριθμητική. Αριθμοί εν κινήσει είναι η μουσική Σχήματα εν στάσει είναι η γεωμετρία και Σχήματα εν κινήσει είναι η αστρονομία Κείμενα του Πυθαγόρα δεν υπάρχουν . Διασώθηκε όμως και διαδόθηκε μεγάλο μέρος της διδασκαλίας του από τους μαθητές του. Σημαντικό μέρος της έχει περιληφθεί από τον Ευκλείδη στα "Στοιχεία" του. Ας μη μας διαφεύγει και η ρήση του Πυθαγόρα "Το παν αριθμός" που δηλώνει ότι τα πάντα μπορούν να μετρηθούν, ότι δηλαδή τα πάντα έχουν το δικό τους μέτρο και οι άνθρωποι έχουν προορισμό την αναζήτησή του. Αυτό άλλωστε εννοεί και ο Αισχύλος στην τραγωδία ' ' Προμηθέας Δεσμώτης'', όπου ο Προμηθέας απαριθμεί στο χορό των Ωκεανίδων όσα πρόσφερε στους ανθρώπους: "και τον αριθμό την πιο τρανή σοφία βρήκα για χάρη τους". Το ότι τα μαθηματικά είναι θεμελιώδες συστατικό της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας φαίνεται και από την επιγραφή στην είσοδο της Ακαδημίας του Πλάτωνος: "Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω", όπου γεωμετρία (γη+μετρώ) κατά τον Πλάτωνα είναι η "γνώσις του αεί όντος". Μάλιστα ο Ξενοκράτης, διάδοχος του Πλάτωνος στην Ακαδημία μετά το θάνατό του, δεν δέχτηκε ένα υποψήφιο που δεν ήξερε γεωμετρία λέγοντάς του: "Πορεύου ουκ έχεις λαβάς της φιλοσοφίας". Ρίζα λοιπόν και θεμέλιο της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας είναι τα μαθηματικά . Οφείλομε λοιπόν να τα μελετούμε στο πρωτότυπο για να αφομοιώνομε πλήρως το εννοιολογικό περιεχόμενό τους. Δ) Μελετώντας τον Ευκλείδη στο πρωτότυπο

Όσο καλή και εάν είναι η μετάφραση των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, από την Αλεξανδρινή κοινή στη νεοελληνική δημοτική, σε αρκετές περιπτώσεις υπάρχουν εννοιολογικές αποκλίσεις, αλλά και απώλειες του σημαινομένου των λέξεων του πρωτοτύπου. Ας δούμε 3 χαρακτηριστικά παραδείγματα: α) Η απόδειξη του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών κατατάσσεται - σύμφωνα με ένα δημοψήφισμα του 1990 μεταξύ των μαθηματικών - στις 4 κομψότερες αποδείξεις της μαθηματικής επιστή μης. Μπορεί να διδαχθεί και να κατανοηθεί και από μαθητή του δημοτικού που έχει μάθει τη διαίρεση. Η πρωτότυπη διατύπωση της είναι (βιβλίο ΙΧ θεώρημα 20): «Οι πρώτοι αριθμοί πλείους εισί παντός του προτεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών». (Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι παντός του προτεθέντος πλήθους πρώτων αριθμών). Η λέξη άπειροι δεν υπάρχει. Έννοια «δύσπεπτη» από παιδί του δημοτικού το οποίο - λόγω της καθαρότητας του μυαλού του - μπορεί να ρωτήσει το δάσκαλο: Ποιος αριθμός είναι το άπειρο; Μετά από ποιόν αριθμό αρχίζει το άπειρο; Το σημαινόμενο που προκύπτει από τη διατύπωση του Ευκλείδη δεν είναι πιο κατανοητό από το μαθητή με αποτέλεσμα να του καλλιεργείται περισσότερη περιέργεια και αγάπη για την αριθμητική, τη φύτρα των

β) Η θεωρία αριθμών κατά Ευκλείδη ξεκινά με 23 όρους (ορισμούς) στο βιβλίο VII. Οι δύο πρώτοι όροι είναι: μαθηματικών;

Μονάς εστίν, καθ' ήν έκαστον των όντων εν λέγεται. Αριθμός δε το εκ μονάδων συγκείμενου πλήθος.

Απλή διαπίστωση: Το 1 εξ ορισμού δεν είναι αριθμός. Οι αριθμοί αρχίζουν από το 2. Δύο χιλιετίες μετά τη διατύπωση του Ευκλείδη - περίπου πριν 200 χρόνια - η μαθηματική κοινότητα, λόγω του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής (δηλαδή της μοναδικότητας της παραγοντοποίησης) απεφάνθη ότι το 1 δεν είναι ούτε πρώτος αριθμός ούτε σύνθετος αριθμός. Απόφανση που μπερδεύει το μαθητή και τον κάνει να απορεί: Αφού μας μάθατε ότι ένας αριθμός είναι ή πρώτος ή σύνθετος γιατί εξακολουθείτε να λέτε τη μονάδα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/2

------- Να μελετούμε τα Ελληνικά Μαθηματικά στη γλώσσα τους

-------

αριθμό; Άλλωστε και ο Θαλής, ο θεμελιωτής της αναγκαιότητας της απόδειξης στα μαθηματικά, 3 αιώνες πριν τον Ευκλείδη είχε ορίσει τον αριθμόν ως «μονάδων σύστημα». γ) Ο δ ωδέκατος όρος (ορισμός) είναι: Πρώτος αριθμός εστίν ο μονάδι μόνη μετρούμενος

(Πρώτος αριθμός είναι ο μετρούμενος μόνο υπό της μονάδος). Η διατύπωση εμπεριέχει τη γενική έννοια του μέτρου κατά την Ελληνική φιλοσοφική σκέψη. Ο ορισμός είναι εννοιολογικός και υπερέχει εμφανώς του κρατούντος σημειολογικού ορισμού κατά τον οποίον: Πρώτος αριθμός είναι ο αριθμός που διαιρείται μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό του. Ε) Η καλλιέργεια της σκέψης είναι ανώτερη τη ς γνώσης.

Αν ρίξομε μια ματιά στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη θα διαπιστώσουμε ότι όλο το κείμενο αποτελείται από απλούς και άμεσα κατανοητούς συλλογισμούς. Εμφανείς υπολογισμοί δεν υπάρχουν.

Οι λανθάνοντες υπολογισμοί είναι έννοιες που καλλιεργούν τη μαθησιακή φανtασία του αναγνώστη / μαθητή και εν τέλει βελτιώνουν τη σκέψη του. Η χρησιμοποίηση στα «Στοιχεία» των απλουστέρων γεωμετρικών σχημάτων - της ευθείας και του κύκλου - δεν είναι τυχαία. Είναι συνεπής με τη γενική τάση του ελληνικού πνεύματος να θεμελιώσει τα πάντα σε λίγες γενικές έννοιες, συναφείς όμως προς την πραγματικότητα. Τα ελληνικά μαθηματικά της αρχαιότητας έχουν σκοπό - πέραν των άλλων - την άσκηση της διανοίας. Ακριβώς αυτό είχε στο μυαλό του ο Αϊνστάιν όταν κατανοώντας την ελληνική μαθηματική σκέψη είπε ότι: «τα καθαρά μαθηματικά είναι με τον τρόπο τους η ποίηση των λογικών ιδεών», η οποία κατακτάται όμως με την συνεχή φιλοσοφική καλλιέργεια και προσπάθεια. Γιατί «τα καλά κόποις κτώνται».

Η ανάλογη εμφανής στάση του Ευκλείδη ορίζεται από τα παρακάτω δύο περιστατικά: Ερωτηθείς από τον φιλομαθή Πτολεμαίον Α' εάν υπάρχει συντομότερα οδός για την εκμάθηση της γεωμετρίας, του απάντησε ότι: «Δεν υπάρχει βασιλική ατραπός δια την εκμάθησιν της γεωμετρίας» και IJ) Όταν ένας μαθητής έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: «τι δε μοι πλέον έστω ταύτα μανθάνοντα;». Τότε ο Ευκλείδης κάλεσε τον υπηρέτη του λέγοντας του: «δός αυτώ τριώβολον, επειδή δει αυτώ εξ ών μανθάνει κερδαίνει». Στη συνέχεια φυσικά τον απέβαλε. Το ότι πρωτεύων στόχος των μαθηματικών - με την ελληνική έννοια της λέξης - είναι η ανάπτυξη της σκέψης και η καλλιέργεια του πνεύματος, με επακόλουθο την απόκτηση της εκπορευομένης γνώσης, φαίνεται και από τα εξής χαρακτηριστικά αποφθέγματα δύο σπουδαίων προσωκρατικών φιλοσόφων: 1) Πυθαγόρας: «Απαιδευσία πάντων των παθών μήτηρ το δε παπαιδεύσθαι ουκ εν πολυμαθείας λόγω α)

αναλήψει, εν απαλλάξει δε των φύσει παθών θεωρείται»

(Παίδευση όμως δεν θεωρείται η πολυμάθεια, αλλά η απαλλαγή από τα πάθη της ανθρώπινης φύσης). Ηράκλειτος: «Πολυμαθίη νοόν έχειν ου διδάσκει». (Η πολυμάθεια δεν μας βοηθά στην κατανόηση). Λυδία λίθος της Ελληνικής Παιδείας είναι τα ελληνικά μαθηματικά. Κατά τον Αριστοτέλη μάλιστα: «Εστίν γάρ απαιδευσία το μη γιγνώσκειν τίνων δεί ζητείν απόδειξιν και τίνων ου δεί». καρπός του ελεύθερου ελληνικού πνεύματος, που εκπορεύεται από τον Όμηρο και τις αρχαίες τραγωδίες - παράγει και μορφοποιεί τη γνώση προάγοντας

Η ελεύθερη ελληνική μαθηματική σκέψη λοιπόν τον ανθρώπινο πολιτισμό, όπου υπάρχει.

Ζ) Συμπέρασμα

Η ελληνική γλώσσα - από τον Όμηρο μέχρι σήμερα - συνεχώς εμπλουτιζομένη είναι ενιαία και αδιάσπαστη. Τα αρχαία ελληνικά δεν είναι ξένη γλώσσα για να διδάσκονται μ ' αυτό τον τρόπο. Είναι χρέος μας να αναδείξομε τη γλωσσική σχολάζουσα κληρονομιά μας. Εμείς έχομε μεγαλύτερη υποχρέωση - έναντι των φιλελλήνων - να βιώσουμε έστω ένα μικρό μέρος του γλωσσικού πολιτισμού μας. Τουλάχιστον από την ελληνιστική περίοδο μέχρι σήμερα. Για να νιώσομε - πέραν των άλλων - ότι τα μαθηματικά είναι θεμελιώδες συστατικό της φιλοσοφ ίας. Για να βελτιώσομε την ελευθερία του πνεύματος μας και κατ ' επέκταση την προσωπικότητα μας. Για να δικαιολογήσομε - εν τέλει - την ελληνικότητα της ύπαρξης μας. Έχει απόλυτο δίκιο ο Ανάξαρχος, όταν από την αρχαιότητα διαλαλεί ότι: «Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα των

πραγμάτων (πραγματικότητας)». Ας τα διδαχθούμε όμως στη

γλώσσα τους. Την ελληνική της εποχής τους. Τότε, όχι μόνο δεν θα έχομε απώλειες νοήματος, αλλά θα καλλιεργήσομε και την εννοιολογική γλώσσα του πνεύματος μας, νιώθοντας ουσιαστικά ότι τα ελληνικά μαθηματικά είναι η κορυφαία ανθρωπιστική επιστή μη. Για τις προαιώνιες άυλες πολιτισμικές μας αξίες η Κρητική θυμοσοφία είναι κατηγορηματική και μας προτρέπει: Γιατί δεν πρέπει να χαθούν και πάντα να μαστούνε στα ζάλα που πορπάτηξαν και μείς να πορπατούμε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/3

Μια

αράξενrι

Γεwμετρία ...

Α. Εισαγωγή

Θα ξεκινήσουμε την περιήγησή μας στον «παράξενο κόσμο» την Μαθηματικών ξεκινώντας με ένα ερώτημα που σε πρώτη φάση θα έλ.εγε κα νείς ότι μπορεί πολύ εύκολα να απαντηθεί από την πλ,ειοψηφία των μαθητών που φοιτούν στη Β' Τά ξη του Γενικού Λυκείου. Τι είδους σχήμα είναι αυ τό που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα (σχήμα 1 ); )'

Επιμέλεια: Βλαχάκη Χ. Λαμπρινή - Μαθηματικός

Επιβιβαζόμαστε σε ένα ταξί και θέλουμε να μετακινηθούμε από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β της πόλης αυτής. Το ερώτημα που τίθεται είναι με ποιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε την από στάση που θα διανύσουμε (άρα και τα χρήματα που θα πληρώσουμε) κατά την μετακίνησή μας αυτή. Αν Α(χ ι ,y ι ) και Β(χ2,Υ2) είναι οι συντεταγ μένες των παραπάνω σημείων, τότε η ελάχιστη με ταξύ τους απόσταση δίνεται από το μήκος του ευ θυγράμμου τμήματος ΑΒ (σχήμα 3). Υ

-1

0(0,0)

-1

Σχήμα 1 Οι περισσότεροι σίγουρα θα απαντούσατε ότι πρόκειται για ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς α = .fi.. Πως θα αντιδρούσατε αν κάποιος σας έ λεγε ότι το εν λόγω σχήμα είναι ένας κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων 0(0,0) και ακτίνα ρ = 1 ; Είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα θεωρούσατε την άποψή του λανθασμένη και θα την απορρίπτα τε. Μπορώ με βεβαιότητα να σας πω ότι και οι δύο απαντήσεις στο πρώτο ερώτημα θα μπορούσαν να είναι σωστές υπό προϋποθέσεις!!! Το σχήμα της εικόνας 1 είναι ένα τετράγωνο της γεωμετρίας του επιπέδου, δηλαδή της Ευκλ.είδειας Γεωμετρίας, την οποία μελ.ετήσαμε σε όλ.ες σχεδόν τις τάξεις των σχολικών μας χρόνων. Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι το ίδιο σχήμα σε μια άλλη γεωμετρία, η οποία ονομάζεται Taxicab Γεωμετρία και παρουσιάζει αρκετές διαφορές από την Ευκλ.είδεια Γεωμετρία, είναι ένας κύκλος με αρχή το σημείο 0(0,0) και ακτίναρ = 1. Β. Η Taxicab Γεωμετρία

Ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε μια πόλη η οποία είναι χωρισμένη σε οικοδομικά τετράγωνα (σχήμα 2). ' 1

' .. Β 1

A(x1,y1)

ί '

Σχήμα 3 Πρόκειται για την ΕυΊ<λείδεια απόσταση, η οποία όπως διδαχτήκαμε στα Μαθηματικά Προσα νατολισμού Θετικών Σπουδιών της Β ' Λυκείου δί νεται από τη συνάρτηση: dε(Α,Β) = (ΑΒ)

1) 2-+ ).-( x- 2- -- x- (y-2 -- -y -1)-2

Όμως, η πόλη μέσα στην οποία κινούμαστε είναι χωρισμένη σε οικοδομικά τετράγωνα και εί ναι αδύνατον να μετακινηθεί το ταξί ευθύγραμμα μέσα σε μια πόλη με αυτή την οικοδόμηση. Επο μένως, η συνάρτηση της Ευκλ.είδειας απόστασης δεν μπορεί να μας βοηθήσει να υπολογίσουμε την απόσταση που θα διανύσουμε αν μετακινηθούμε από το σημείο Α στο σημείο Β αυτής της πόλης. Για το λόγο αυτό πρέπει να αναζητήσουμε μια άλ λη συνάρτηση για τον υπολογισμό της συγκεκρι μένης απόστασης. Στο σχήμα 4 βλέπουμε τη διαδρομή που θα ακολουθήσει το ταξί αν μετακινηθούμε από το ση μείο Α(χ ι ,Υ ι ) στο σημείο Β (χ2 ,Υ2) της παραπάνω πόλης: d = ΑΚ + ΚΒ. Επομένως: dτ(Α,Β) = (ΑΚ) + (ΚΒ) = dε(Α,Κ) + dε(Κ,Β) = )( Xz - Χι) 2+ ο + ) ο + (yz - yι) Ζ =χ Ι z - Χι 1 + IYz - Υι 1 Β(Σz,Υι)

-··�

ΙΥι-Υιl]

·------

- -- --- -- y,

/ ,...___,,( "--

K(x,.y1)

"--

Υι Ζι

Σχήμα 2

dr.(A.B)

Ζ1

�·----+-----? 1'1-Ιιl

Σχήμα 4 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/4

-------

Μια παράξενη Γεωμετρία ...

Άρα, η απόσταση δίνεται, τελικά, από τη σχέ ση: dτ(Α,Β) = Ιχ2 χι l + IY2 - Υι l Πρόκειται για τη συνάρτηση της Taxicab α πόστασης, η οποία πήρε το όνομα της από την αγ γλική λέξη «taxicab», η οποία σε ελεύθερη μετά φραση σημαίνει «η διαδρομή που ακολουθεί το ταξί μέσα στην πόλη και τα χρήματα που πληρώ νουμε». Παρατήρηση 1:

Προφανώς: (ΑΚ) + (ΚΒ) ;:::: (ΑΒ) , δηλαδή dτ(Α,Β) ;:::: dε(Α,Β). Η ισότητα ισχύει μόνο όταν ΑΒ//χχ' ή AB//yy', δηλαδή μόνο όταν Υι = Υ2 ή Χι = χ2 αντιστοίχως. Για παράδειγμα: dτ(Α,Κ) = dε(Α,Κ) = Ιχ2 -χι l dτ(Κ,Β) = dε(Κ,Β) = IY2 - Υι l

Εξάλλου, στην Taxicab Γεωμετρία ισχύουν οι τέσσερις ιδιότητες του μετρικού χώρου, δηλαδή: • • • •

dτ(Α,Β) ;:::: Ο dτ(Α,Β) = Ο αν και μόνο αν ΑΞΒ dτ(Α,Β) = dτ(Β,Α) dτ(Α,C) + dτ(C,Β) 2:: dτ(Α,Β)

για οποιαδήποτε σημεία Α(χ ι ,Υ ι ), Β(χ2 ,Υ2) και C(x3 ,y3 ) του επιπέδου. Οι τρεις πρώτες είναι προφανείς. Η τέταρτη (τριγωνική ανισότητα για την τριάδα σημείων Α, Β και C) προκύπτει με πρόσθεση κατά μέλη των ανι σοτήτων:

Ιχ3-Χιl +Ιχ2 χ3Ι 2::Ιχ3- Χι+ Χ2 -X3I = lx2-xιl IY3 - Υι 1 + IY2 - Υ31 2:: I Y 3 - Υι+ Υ2 - Υ31 = IY2-yιl Παράδειγμα 1:

-------

σηρ>. Θα προκύψει, τελικά, μια νέα γεωμετρία, η οποία παρουσιάζει αρκετές ομοιότητες, αλλά και σημαντικές διαφορές με την Ευκλείδεια Γεωμετρί α. Η γεωμετρία αυτή ονομάζεται Taxicab Γεωμε τρία (Taxicab Geometιγ). Γ. Ο κύκλος στην Taxicab Γεωμετρία

Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε τον κύκλο της Taxicab Γεωμετρίας και θα τον συγκρί νουμε με τον κύκλο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ορισμός

Έστω xOy ορθοκανονικό σύστημα συντεταγ μένων. Κύκλος C με κέντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ > Ο ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των ση μείων Σ(χ,y) του επιπέδου με την ιδιότητα d(K, Σ) = ρ, όπου d μια συνάρτηση απόστασης οποιασδήποτε γεωμετρίας. Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία κύκλος Cε με κέ ντρο Κ(χο,Υο) και ακτίνα ρ > Ο είναι ο γεωμετρι κός τόπος των σημείων M(x,y) του επιπέδου με την ιδιότητα dε (Κ, Μ) = ρ. Όμως, σε αυτή τη γεωμετρία: _.._ _ dε(Κ,Μ) = (ΚΜ) = �,_(x ---x- 0--,)2,.+ (y-- - �-0�)2

Επομένως, η εξίσωση του κύκλου παίρνει την μορφή: (χ-Χο)2 +(y - Υο)2 = ρ2 Αποδείξαμε, τελικά, ότι: ( -yo)2 = ρ2 Cε:(χχο)2 +y

Στο σχήμα 6 παριστάνεται ο κύκλος με κέ ντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Υ

M(x..y)

Στο σχήμα 5 δίνονται τα σημεία 0(0,0) και C(l , l). Τότε: -.,... -0 2+ 0 dε(Ο,C) = ).-( - --1 ).... ( ---1-2) = .../2 dτ(Ο,C) = IO -11 + IO - 11 = 2 Υ

Σχήμα 6 Στην Taxicab Γεωμετρία κύκλος Cτ με κέντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ > Ο είναι ο γεωμετρικός τό πος των σημείων N(x,y) του επιπέδου με την ιδιό τητα dτ(Κ, Ν) = ρ. Όμως, σε αυτή τη γεωμετρία:

C(J,1)

0(0,0)

Σχήμα 5 Δημιουργείται, επομένως, το εξής ερώτημα: «Τι θα συμβεί στη γεωμετρία του επιπέδου αν α ντικαταστήσουμε τη συνάρτηση της Ευκλείδειας απόστασης με τη συνάρτηση της Taxicab απόστα-

dτ(Κ, Ν) = (ΚΛ) +(ΑΝ) =χ Ι -x ol + IY-Yol

Επομένως, η εξίσωση του κύκλου παίρνει την μορφή: Ιχ-χοl +ly- Yol = ρ

Αποδείξαμε, τελικά, ότι:

Cτ:Ιχ-χοl +y l - Yol = ρ

Στο σχήμα 7 παριστάνεται ο κύκλος με κέ ντρο K(x0,y0) και ακτίνα ρ στην Taxicab Γεωμε τρία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 -:.�.'5

------

Μια παράξενη Γεωμετρία...

------

Α(τ... -tρ. ,... , χ

ο ()(1',.,y.-pl

Σχήμα 7 Διαπιστώνουμε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ(χο,Υο) και ακτίνα ρ στην Taxicab Γεωμετρία εί ναι ένα τετράγωνο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με κορυφές τα σημεία Α(χο+ρ,y0), Β(χσ,y0+ ρ), C(x0ρ,yo) και D(x0,y0-ρ). Παρατήρηση 2:

{

Είναι προφανές ότι ισχύουν τα εξής (σχήματα 6 και 7):

ΜεC

ΝεCτ

Ε =>

(ΚΜ) = ρ (ΚΛ) + (ΛΝ) = ρ

Όμως, (ΚΝ) S +ΚΛ ( )+ (ΛΝ) . Άρα: (ΚΝ) S ρ (ΚΜ) Επομένως όλα τα σημεία του κύκλου Cτ είναι εσωτερικά σημεία του κύκλου CE εκτός από τα σημεία Α, Β, C, D που είναι κοινά σημεία και των δύο κύκλων. =

ΙΙ(χ.,. ,•• ρ/

q... ρ.y.,j

A(.. +p.y.)

-1

Σχήμα 9

Δ. Συμπέρασμα

Είναι, επομένως, φανερό ότι το γεωμετρικό σχήμα που φαίνεται στο σχήμα 1 είναι ένα τετρά γωνο της γεωμετρίας του επιπέδου, αν εισάγουμε σε αυτή τη συνάρτηση της Ευκλείδειας απόστασης (Ευκλείδεια Γεωμετρία) ή ένας κύκλος της γεωμε τ�ίας του επιπέδ�υ αν 11ε�σάγουμε σε αυτή τη συ ναρτηση της Taxιcab <ΧftΟστασης (Taxicab Γεωμε τρία). Ιδιαίτερο, επίσης,,ενδιαφέρον παρουσιάζει η μορφή που παίρνουν οι υπόλοιπες κωνικές τομές (έλλειψη, υπερβολή και παραβολή) στην Taxicab Γεωμετρία. Περισσότερες πληροφορίες μπορεί να αναζητήσει ο αναγνώστης στις σελίδες 62- 127 της Διπλωματικής Εpγασίας με τίτλο «Μετρική Προ σέγγιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με Μοντέλα Το Taxicab Μοντέλο και η Χρήση του στη Διδα κτική των Μαθηματικών" που έχει αναρτηθεί στην ιστοσελίδα του του Π.Μ.Σ. «Διδακτική και Μεθο δολογία των Μαθηματικών» του Πανεπιστημίου Αθηνών στο link: http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl νlachaki%20 lampriπi%20pdf. pdf. _

Ενδεικτική Βιβλιογραφία:

οι:.-...y.-ρj

Σχήμα 8 Στο σχήμα 8 παριστάνονται στο ίδιο σύστημα συ ντεταγμέμων οι κύκλοι με κέντρο K(x0,y0) και α κτίνα ρ και στις δύο γεωμετρίες (Taxicab και Ευ κλείδεια). Παράδειγμα 2

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ένα σημείο N(x,y) του επιπέδου ανήκει στον Taxicab κύκλο Cτ, αν και μόνο αν ικανοποιείται η σχέση: Ιχl +yl l

1, δηλαδή Cτ : lxl + IYI =1

Επίσης, ένα σημείο M(x,y) του επιπέδου ανή κει στον Ευκλείδειο κύκλο CE, αν και μόνο αν ικα νοποιείται η σχέση: 1, δηλαδή CE : χ2 + Υ2 =1 χ2 +y 2

Blazenka, D. (2000). Notes οπ Taxicab Geometry. Faculty of Orgaπizatioπ aπd Iformatic. Eugeπe, F. Κ. (1 986). Taxicab Geometry. New Υork: Dover Publicatioπs. Jaπsseπ, C. (2007). Taxicab Geometry: Note the Shortest Ride Across Τοwπ - Exploriπg Coπics with a ποπ Euclidean Metric. Disser tatioπ: Lowa State Uπiversity, U.S.A. Parker, D., Millmaπ, Ρ. & George, D. (1 99 1). Ge ometry: Α Metric Approach with Models. Spriπger - Verlag. Poore, Κ. (2006). Taxicab Geometry: Expository Paper. Dissertatioπ: Uπiversity of Nebraska, Croatia. Sowell, Κ. (1 989). Taxicab Geometry: Α New Slaπt. Mathematics Magaziπe.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/6

Αλεξίου Γιάννης

Μαθηματικός M.Sc, 2ο Γυμνάσιο Χαλκίδας Εκφώνηση: Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη του. Αν 1 το ορθόκεντρό του, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων 1 όταν μια κορυφή του τριγώνου κινείται παράλληλα στην ευθεία της πλευράς που σχηματίζουν οι άλλες δύο κορυφές του. lη Φάση

-1

-2

...

..... . . .. .. .. .. ... .

•• ο

.. .. .. ·2 • .. . .) ... • _,

Παρατηρώντας την

2η Φάση

β Ε

κίνηση στο λογισμικό .

Ο γεωμετρικός τόπος των 1, είναι παραβολή που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, όταν η κορυφή Γ κινείται παράλληλα στην ευθεία της πλευράς ΑΒ. Διατύπωση εικασίας:

3η Φάση

Απόδειξη εικασίας

Αφού το σημείο Γ κινείται παράλληλα στην ευθεία της ΑΒ, δηλαδή στον άξονα χ 'χ, θα ισχύει

(x,yo)

xr = χ, = χ . Επίσης, για τα διανύσματα ΑΖ και �

ΒΓ

ΑΖ 1- ΒΓ �ΑΖ·ΒΓ =Ο� �(χ, y)·(χ-χι, Υο) =0 � �χ2-χχ1 +yy0 =0 � 1 2 x +-χ (1) �y=-Υο Υο �

�

ισχύει ότι

Β Α

( χι, Ο)

Χι

(1) παριστάνει παραβολή που διέρχεται από τα σημεία αντίστοιχα. Ε ΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/7

και

Ύια

χ=Ο

και

χ=χ1

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Ε .Μ.Ε .

7� ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1Ό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" 28 Ιανουαρίου 2017 Οι λύσεις των θεμάτων Α' Λυκείου

Πρόβλημα 1 2 Να λύ σετε στους πραγματικο ύς αριθμούς την εξίσωση χ + 4χ -9 =

4lxl.

Λύση: Για χ�Ο η εξίσωση γίνεται: χ 2 -9 = Ο � χ = ± J9 �χ = 3 ή χ = -3, από τις οποίες είναι δεκτή μόνο η λύση: χ = 3. Για χ < Ο η εξίσωση γίνεται χ2 + 8χ -9= ο' (2 ) με διαιφίνουσα Δ = 6 4 + 36 = 100 . Επομένως, η εξίσωση αυτή έχει 2 διαφορετικές μεταξύ τους -8± 1 0 λ' ' ειναι ' δ εκτη' μονο � χ = -9 η ' χ =1 , απο' τις οποιες ' η χ = -9 . :υσεις στο � , τις χ = 2 Επομένως, η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις χ = 3 και χ = -9. 1!])

Πρόβλημα 2 Βρείτε όλους τους τρι ψήφιους θετικο ύς ακέραιους abc = 1ΟΟα+1 Ob+ c που ικανοποιο ύν την εξί σω ση : abc = α + b + c + α + b + c. Λύση:

(

δεδομένη εξίσωση με αγνώστους τα ψηφία του αριθμού γράφεται: abc =( a+ b+ c)2 + a+ b+ c�100 a+10 b+ c =( a + b+c)2 +a+ b+ c

2 = 99 a+ 9 b � ( a + b + c)2 =9(11 a + b) .

� ( a+ b+ c)

Επειδή 1 ::::;; α ::::;; 9, Ο ::::;; b ::::;; 9, από την τελευταία ισότητα μπορούμε να έχουμε έναν περιορισμό για τον αριθμό ( α+ b+c)2 Πράγματι, έχουμε •

1·1 + Ο) = 9 9�9(1l a+ b)::::;;9(11·9 +9) =9 72=> 99�( a+ b +c)2�9 72=>10� a+ b + c� 3 1 Όμως είναι a + b+ c ::::;; 27, οπότε: 1 0 � a+ b + c � 2 7. Επίσης από την ισότητα ( a + b+ c)2 =9(11 a + b) προκύπτει ότι ο αριθμός (a+ b +c) 2 είναι πολλαπλάσιο του 9, οπότε ο αριθμός a+ b+ c θα είναι πολλαπλάσιο του 3. Πράγματι, αν ήταν α + b + c * 3k, όπου k θετικός ακέραιος, τότε θα είχαμε τις περιπτώσεις έπεται k ε Ζ, από τις οποίες ότι a + b + c = 3k +1 ή α + b + c = 3k + 2 , 2 2 (a+ b+ c) =πολ.3+1, δηλαδή ( a+ b+ c) "Φπολ.9 , δηλαδή ο αριθμός ( a+ b+ c) 2 δεν θα ήταν πολλαπλάσιο του 9, άτοπο. Επομένως οι δυνατές τιμές του αθροίσματος α+ b+c είναι οι: 1 2, 1 5, 1 8, 21, 24, 27. Αν α+b+c=12 , τότε 11α+ b =16�α=1, b =5, οπότεc =6και a bc=1 56 Αν α+ b +c = 15 , τότε 1 la + b = 25�α= 2, b = 3 , οπότεc = 1 0 , άτοπο. Αν a+b+c = 18, τότε 1Ia + b = 36�α = 3, b = 3 , οπότε c = 1 2 , άτοπο. Αν α+b+c=2 1, τότε 11α + b = 49�α= 4 , b =5, οπότε c = 12 , άτοπο. Αν α+b+c=2 4, τότε 11α+ b = 64�α=5, b =9, οπότεc = 1 0 , άτοπο. 9·(1

•

• •

•

------ Μ αθηματικοί Δ ιαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Αν α + b + c = 2 7 , τότε l la + b 81 <=> α 7, b 4 , οπότε c = 16, άτοπο. Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 156. Π ρό βλη μ α 3 Θεωρ ούμε τετράπ λευρ ο ΑΒΓΔ ώστε :B+f'=240° και ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ. Ν α αποδείξετε •

------

διχοτ όμ οι των γωνιών Β, t τ έμν ονται π άνω στην π λευρά

ΑΔ.

ότι οι

Έστω οι διχοτόμοι των γωνιών :B,f τέμνονται στο Ε . Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία Α, Ε και Δ είναι συνευθειακά, δηλαδή το Ε βρίσκεται πάνω στην πλευρά ΑΔ. Έχουμε ΑΒΕ = ΕΒΓ =χ και ΕΓΒ = ErΔ = y με χ+ y 1 20° .Τα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΕ είναι ίσα, αφού έχουν ΑΒ ΒΓ , ΒΕ κοινή -κ:αι την περιεχόμενη γωνία ίση. Επομένως θα είναι ΒΑΕ = y και από το τρίγωνο ΒΑΕ έχουμε ΑΕΒ = 1 8 0° χ Υ 60° . Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε ΒΕΓ = ΒΕΑ = 60°. Όμοια τα τρίγωνα ΒΕΓ, ΓΔΕ είναι ίσα αφού έχουν Β Γ = ΓΔ, ΓΕ κοινή και την περιεχόμενη γωνία ίση λόγω διχοτόμου. Άρα θα είναι: ΓΕΔ= ΓΕΒ 60° . Επομένως ΑΕΒ + ΒΕΓ + ΓΕΔ = 60° + 60° + 60° = 180° και άρα το Ε ανήκει στην ΑΔ . Λύση :

Σχήμα 3 Πρόβλημα 4 Δύ ο φί λοι Α και Β αν έλαβαν την εκτ έλεση ενό ς έργ ου . Ο Β ξεκίνησε να εργάζεται μία ώρα μετά το ξεκίνημα του Α. Τ ρεις ώρε ς με τά το ξεκίνημα τη ς ερ γασίας το υ Α διαπίστωσαν ότι

έχουν ακόμη να εκτε λέσουν τα

_..!_ τ ου έργ ου . 'Οταν τε λείω σε το έργ ο δ ιαπίστωσαν ότι ο

20 καθένα ς τ ου ς εί χε εκτε λέσει τ ο μισ ό τ ου έργου . Να βρείτε σε πόσε ς ώρ ες μπορεί ο καθένα ς απ ό τ ου δύ ο φίλου ς να τε λειώσει τ ο έργ ο, αν εργάζεται μόν ος τ ου . Λύση: Έστω ότι για την αποπεράτωση του έργου, ο Α, αν εργάζεται μόνος του, χρειάζεται χ

ώρες και ο Β, αν εργάζεται μόνος του, χρειάζεται

ώρες. Τότε σε μία ώρα ο Α θα εκτελεί το .!. χ

του έργου, ενώ ο Β θα εκτελεί το _!_ του έργου. 'Ετσι 3 ώρες μετά την έναρξη εργασίας του Α Υ

αυτός θα έχει εκτελέσει τα � του έργου, ενώ ο Β θα έχει εργαστεί 2 ώρες και θα έχει εκτελέσει χ

τα 3_ του έργου. Σύμφωνα με την υπόθεση, σε 3 ώρες το μέρος του έργου που έχει εκτελεστεί Υ

' 1 9 = 1 1 , οποτε θ α εχουμε ' ειναι την εξ'ισωση 2 0 20 3 2 11 -+-= χ y 20 '

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/9

(1 )

-------.--

Μ�θημ,ατικοί Διαγfl)νισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες

-------

Επειδή στο τελείωμα του έργου ο καθένας έχει εκτελέσει το μισό μέρος του έργου, θα έχουν �ργαστεί ο Α

; ώρες και ο Β � ώρες, αντίστοιχα. Επομένως, θα έχουμε χ_ Υ =1 2 2

Άρα έχουμε το σύστημα

(2)

!�+ �=��1<=>{20(2x+3y)=llxy}<=>{20(2x+3y)=llxy} x-y=2 y=x-2 y =l �2 2 <=> {20(4χ+3(χ-2))=l lx(x-2)} <=> {1ΟΟχ-120=l lx2-22χ} y=x-2 y=x-2 {1 lx2-1�;��20=ο}<=> {χ2 -( 10+ �� )χ+Ι Ο· ��=ο}<=> {χ=10 χ=��} y=x-2 y=x-2 χ=�11 (x,y)=(10,8) , ή

<:::>

αφού η λύση

απορρ ίπτεται, γιατί σύμφωνα με την

υπόθεση πρέπει να είναι χ> 3. Άρα, ο Α τελειώνει μόνος του το έργο σε 1Ο ώρες και Β το τελειώνει μόνος του σε 8 ώρες. Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Πρ6βλημα ί Να βρείτε τις αναγκαίες και ι�αvές συνθήκε� μεταξύ των παραμέτρων α,b e R.,αb 9Δ Ο, έτσι ώστε η εξίσωση

χ2 +αχ+ b = α

lxl να έχει δύο δ�αφορετικές μεταξύ τους λύσεις στο R

Είναι δυvατόν η εξίσωση να έχει τρεις διαφορΕ1'ικές μεταξύ τους πραγματικές λύσεις; , \.1\ση: Σύμq)ωνα με την υπόθεση είναι

α :F- Ο και b *Ο . Για χ� Ο η εξίσωση γίνεται: χ2 + b = O<=>x = ± H, εφόσον b<O. (1)

Επομένως η εξίσωση έχει μία μόνο θετική ρίζα στο 1R την

χ = Η, αν, και μόνο ν αν, b<Ο.

η εξίσωση δεν έχει καμία λύση στους πραγματικούς αριθμούς.

+2αχ+ Ο

Για χ <0 η εξίσωση γίνεται χ2 b= , με διακρίνουσα Δ = 4 ( α2 - b ) . Επομένως, η εξίσωση (2) έχει 2 ρίζες στο

α2

1R,

Αν

b>Ο

(2) αν και μόνον αν,

1R , πρέπει και αρκεί 2 Δ= 4 ( a2 -b ) >O, Χι +χ = -2α<Ο και ΧιΧ = b>0 <=>a2 >b, a>O, b>O, 2 2 Η εξίσωση (2) έχει μία μόνο αρνητική ρίζα, αν και μόνον αν, α2 > b και b <Ο<=> b <Ο. Η περίπtωση με Δ <=> = b > , δίνει μία αρνητική λύση, εφόσον α>Ο, WJ.iJ. δεν δίνει μη αρνητική αφού b >Ο. Συνοψiζοντας τα αποτελέσματα των δύο προηγούμενων περtπtώσεων έχουμε: λύση • Η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις, αν και μόνον αν, α2 >b,a>O,b>O ή b<O. • Η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές λύσεις, αν και μόνον αν, α2 > b, a > O,b >Ο και b (αδύνατο). Άρα η εξίσωση /ιεν είναι δυνατόν να έχει τρεις διαφορετικές λύσεις στο 1R . >

b Όμως για να έχει δύο αρνητικές ρίζες Χι < χ <Ο στο .

=Ο α2 Ο

< Ο,

Πμ{ιβλημα 2 Να λύσετε στους πραγματ�κούς αριθμούς το σύστημα:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/10

------

{

}

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί- Μαθηματικές Ολt>μπιάδες ------

Χ1+Χ2+ ...+χ2017+2017=0 3 3 3 χ +χ + +χ οι1 = -χι + -χ2 + + -χ2011

(

) (

Λύση: Η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται: •••

(Χι+1 )+ (Χ2+1)+... + (Χ2οι1+1 ) = 0

Η δεύτερη εξίσωση γράφεται:

)

•••

(

)

(1 )

Χι +Χ2 + ...+Χ2οι7 =-Χι3 -Χ23+... -Χ23οι1 Χι + χι3+Χ2 +Χ23+... +Χ2οι1+Χ23οι1 = ο χ:(χι+1)+χ;(χ2+1)+...+χ;ΟΙ7(Χ2οι7+1) = Q 4

•

(2)

Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) λαμβάνουμε:

(χι+1 )(χ;+1)+ (χ2+l )(x;+1)+...+ (χ2017+l )( χ;0ι7+1) = Ο <=> (Χι+1 ) 2 (Χ� - Χι+1) + (Χ2+1) 2 ( χ; -Χ2+1)+...+ (Χ2οι7+1 ) 2 ( χ;Οι7 - Χ2017+1) = Q 2 Επειδή ισχύει ότι: χ,' - χ,+1 = χ, + > Ο , για κάθε χ, e IR, ί =1, 2, ... , 2017 , η τελευταία

( �) �

εξίσωση αληθεύει, αν, και μόνον αν,

Χ;+1 = Ο, ί =1, 2, ... , 2017 <=>Χ; = -1, ί =1, 2, ... , 20 17 <=> Χι = χ2 = . =Χ20ι7 = -1.

Πρόβλημα 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒ Γ εγγ εγραμμένο σε κύκλο c( O,R) (με ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ) και τυχόν σημείο Δ τη ς πλευράς ΑΒ. Από το σημείο Δ φέρουμε κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, η οποία τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Αν Ε είναι το μέ σο της ΑΔ και Μ το μέ σο της ΑΓ, να αποδείξ ετε ότι τα σημεία Β, Ε, Ζ κ αι Μ είναι ομο κυκλικά, δηλαδή α νήκουν στον ίδιο κύκλο. Λύση: Πρώτα θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΒΔΖΓ είναι εγγράψιμο. Από το ισοσκελές

τρίγωνο

ΟΑΒ

έχουμε:

Αι =

�(

180°

- ΑΟΒ) = 90° - t.. Από την καθετότητα

των

ΟΑ και ΔΖ

έχουμε: Δ2 = 90° Αι. Από τις παραπάνω ισότητες γωνιών, συμπεραίνουμε ότι: Δ2 = r και κατά συνέπεια, το τετράπλευρο ΒΔΖΓ είναι εγγράψιμο (η εξωτερική γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική). Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΒΔΖΓ, έχουμε: Δ1 = ι1. (η ΒΓ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Δ, Ζ υπό ίσες γωνίες). Στο τρίγωνο ΑΔΓ, η ΕΜ συνδέει τα μέσα των πλευρών του ΑΔ και ΑΓ, οπότε είναι παράλληλη προς την πλευρά ΔΓ, δηλαδή ΕΜΙΙΔΓ. -

Α -----

Σχήμα4 Από την παραλληλία ΕΜΙΙΔΓ, συμπεραίνουμε ότι : Δ1 = �1 (εντός εκτός επί τα αυτά γωνίες). Άρα είναι: �1 = ι1 και επομένως το τετράπλευρο ΒΕΖΜ είναι εγγράψιμο, οπότε τα σημεία Ε, Ζ και Μ είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Πρόβλημα 4

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ρητ ών .(a,b) που είναι τέτοια ώ στε οι αριθ μοί και

ab+ 1 ' ακέ ραιοι. να ειναι και οι δυο b ,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/11

Β,

ab+l α

------ Μαθηματικοί Δ ιαγωνισμοί - Μ αθηματικές Ολυμπιάδ ες

Λύση :

ab +1 = και -ab +1 = q -p b

Αφού οι αριθμοί

-----(1 )

είναι θετικοί ακέραιοι, και το γινόμενό τους θα είναι θετικός ακέραιος. Δηλαδή, το κλάσμα (ab+ 1 )2 είναι θετικός ακέραιος. Θέτουμε a b = χ και τότε (χ +1)2 = k, k > Ο, k ε Ζ . χ ab Η τελευταία γράφεται: χ2 + 2χ +1 = kx <:::> χ2 + ( 2 - k) x +1 = Ο . (2) Ζητάμε η (2) να έχει ρητές λύσεις, επομένως η διακρίνουσα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Επομένως ( 2 - k )2 - 4 = s2 για κάποιο μη αρνητικό ακέραιο s . k- 2- s =l ή k- 2- s =2 Τότε (k 2 - s ) ( k 2 + s) =4 , επομένως έχουμε τις περιπτώσεις: -

{k- 2+s =4 {k- 2+s =2

s = Ο και k = 4 . Τότε η (2) γίνεται (χ -1)2 = Ο , οπότε χ =1 , δηλαδή ab 1 . (3 ) Αντικαθιστώντας στην (1 ) έχουμε = p = οπότε η (3 ) γίνεται pq =4 , με , q, Η μόνη περίπτωση που δίνει λύσεις είναι η δεύτερη όπου

ακεραίους. 'Επεται ότι

�

( p q ) ε { (1,4 ), (2, ,

ΛΥΚΕΙΟΥ

Να λύσετε στ ου ς πραγματικ ού ς αριθμού ς την εξίσωση : Λύ ση : Η

p q ,

θετικούς

2), (4, 1)} , οπότε έχουμε: (a, b ) ε { ( 2, � ).(ι, 1). ( �· 2 )} .

Γ'

Π ρό βλη μα 1 .

χ4 - 32χ2 + 257

δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

4 lx + 21 = Ο . χ + 4χ + 8 2

χ 4 - 32χ2 + 2 5 7 = χ24+l x4χ+ 2+1 8

(1 )

Το πρώτο μέλος της ( 1 ) γράφεται: χ4 - 3 2χ 2 + 257 = ( χ 2 -1 6 ) 2 +1 ;:::1 . Η ισότητα ισχύει όταν χ 2 -1 6 = Ο <:::> χ 2 =1 6 <:::> χ = -4 ή χ =4.

4 lx + 2 1 4 lx + 21 = 1 . 4 lx + 2 1 = 4 lx + 2 1 χ2 + 4χ + 8 (χ + 2) 2 + 22 l x + 2 1 2 + 2 2 2 · 1 χ + 2 1 · 2

Το δ ευτερο , . με' λος της (l ) γραφεται: Η ισότητα ισχύει όταν

lx + 21 = 2 <:::> χ + 2 =

±2

<:::>

χ = Ο ή χ = -4.

Επομένως η εξίσωση (1 ) έχει λύση, αν και μόνον αν, και τα δύο μέλη της είναι ίσα με 1, δηλαδή αν και μόνον αν χ = -4.

Π ρό β λη μα 2 . Να πρ οσδιορίσετε τι ς τιμ ές τ ου θετικ ού ακ έραι ου

Α=

�η (η + 182) είναι ρητό ς .

για τι ς οπ οίε ς ο αριθμό ς

Λύ ση

Για να είναι ο αριθμός Α ρητός, πρέπει και αρκεί να υπάρχει k ε Q έτσι ώστε να ισχύει: Α = n ( n +1 82 = k <:::> n ( n +1 82 = k 2 • (1 ) Επειδή ο αριθμός n ( n +1 82 είναι θετικός ακέραιος, ο αριθμός k είναι ακέραιος. Πράγματι, αν ήταν k = μ , όπου μ, ν ε Ν* με (μ, ν = 1 , τότε θα είχαμε

�

)

(μ,v )=l 42 = n ( n + 1 82) ε N* ::::> v 2 1μ2 => ν l μ => ν = 1 . γ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/12

------ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες -------

Η εξίσωση (1) γίνεται: n ( n + 1 82) = k 2 <::> n 2 + 1 82n k 2 <::> ( n + 9 1) 2 - k 2 = 9 1 2 <=> (n + 9 1 - k ) ( n + 9 l + k ) = 9 1 2 = 7 2 · 1 3 2 • Επειδή n + 9 1 - k < n + 9 1 + k , η τελευταία εξίσωση είναι ισοδύναμη με τα συστήματα n + 91 - k = l n + 91 - k = 7 n + 91 - k = l3 n + 91 - k = 7 2 ή ή ή n+9l + k = 72 · 132 n + 9 l + k = 7 · 13 2 n + 9 l + k = 7 2 · 13 n + 9l + k = l32 <=> ( n, k) = ( 504, 588) ή ( n, k) = ( 234, 3 12 ) ή ( n, k ) = (18, 60 ) ή ( n, k) = ( 4050, 4140) Επομένως οι δυνατές τιμές του n είναι οι 1 8, 234, 504 και 4050. =

{

}{

}

Π ρό β λη μ α 3

Δίνεται τρίγων ο ΑΒΓ εγγεγραμμ έν ο σε κύκ λο c(O,R) (με ΑΒ < ΑΓ < ΒΓ) και τυχόν σημείο Δ τ ου μικρ ού τ όξ ου ΑΒ . Απ ό τ ο σημεί ο Δ φ έρ ουμε ευθεία παρά λλη λη πρ ος τη ΒΓ, η οποία τ έμνει την ΑΒ στ ο Ε, την ΑΓ στ ο Ζ και τ ον περιγεγραμμ έν ο κύκ λο c(O,R) (για δεύτερη φ ορά) στ ο Η . Ο περιγεγραμμ έν ος κύ κλος c1 τ ου τριγών ου ΒΔΕ τ έμνει την Β Ζ στ ο Κ και την ΒΓ στ ο Λ.

περιγεγραμμ έν ος κύκλος c2 τ ου τριγών ου ΓΖΗ τέμνει την ΕΓ στ ο Μ και

την ΒΓ στ ο Ν . Να απ οδείξετε ότι τα σημεία Κ, Μ, Ζ, Ε βρίσκ ονται επάνω στ ον ίδιο κύ κλο, στ ον οπ οί ο εφάπτεται η ευθεία ΝΖ . Λύση : Το τραπέζιο ΒΓΗΔ είναι ισοσκελές (διότι είναι εγγεγραμμένο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ), οπότε ΔΒ=ΗΓ και Δ = Η.

Το τραπέζιο ΒΔΕΛ είναι ισοσκελές (διότι είναι εγγεγραμμένο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου C1(ΒΔΕ), οπότε ΔΒ=ΕΛ και Α ι 1 8 0° - Δ. Το τραπέζιο ΖΗΓΝ είναι ισοσκελές (διότι είναι εγγεγραμμένο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου C2(ΖΗΓ), οπότε ΖΝ=ΗΓ και Ν ι = 1 8 0 ° - Η . Άρα είναι: Α ι = Ν1 . =

Α �---

Σχήμα 5 Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΒΕΚΛ, έχουμε: Κ 2 Α ι . Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΓΖΜΝ, έχουμε: Μ 2 = Ν ι . Από τις τρεις τελευταίες ισότητες γωνιών, συμπεραίνουμε ότι: Κ 2 = Μ 2 <=> 1 8 0° - Κ ι = 1 8 0 ° - Μ ι <=> R ι = Μ ι . Άρα τα σημεία Κ,Μ,Ε,Ζ βρίσκονται επάνω στον ίδιο κύκλο. Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΓΖΜΝ, έχουμε: ΜΖΝ = Ζ 1 = Γ1 = ΒΓΕ. . Από την παραλληλία ΕΒ και ΗΓ έχουμε: Ε 1 = ΜΕΖ = ΒΓΕ = Γ 1 • Επομένως έχουμε ότι: ΜΕΖ ΜΖΝ , δηλαδή η εγγεγραμμένη γωνία ΜΕΖ στον κύκλο c1 ισούται με τη γωνία ΜΖΝ που έχει πλευρές τη χορδή ΜΖ του κύκλου c1 και την ευθεία ΝΖ και επιπλέον περιέχει το αντίστοιχο τόξο ΜΖ . Άρα η ΖΝ εφάπτεται στον κύκλο που ανήκουν τα σημεία Κ, Μ, Ζ , Ε. =

Π ρό β λη μ α 4 Η συνάρτηση / : JR

....+

ικαν οπ οιεί την ισ ότητα ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 '!.3/Η

------ Μαθηματικο( Διαγωνισμο( - Μαθηματικές Ολυμπιάδες

------

/{ 2x/(y) + y) + !( 2x ( y + 1)) /(2χ + y) + 4xy ,

για κάθε

(ί)

χ, y e 1R.

α e

Να αποδείξετε ότι υπά ρχει

(ίί)

(1)

Να β ρείτε τον τύπο της

R τέτοιο ώστε

Λύση : (ί) Παρατηρούμε ότι υπάρχουν τιμές των

x, y

f ( α) = 1 .

τέτοιες ώστε

2x(y + 1) = 2χ + y .

2x (y + 1 ) = 2χ + y <=> 2xy + 2x = 2χ + y <=> 2.xy = y <=> χ = .!.. , y e R ή χ e IR, y = 0 . 2 Επειδή θέλουμε να βρούμε ζευγάρι (χ, y) τέτοιο ώστε 4.xy = 1 , παίρνουμε τις τιμές , , , , 1 Μ 1 ε αυτες τις τιμες η σχεση ( 1 ) γινεται: χ = ,Υ = 2 2 Πράγματι,

( (�) �) (;) ( ; ) = �) � ( +

ι ι

δηλαδή για το

α f

ι +

ισχύ ει ότι:

f ( f ( y) +

y ) = 2y, για κάθε y ε

ι,

f ( α) = 1 .

Διαφορετικά, αν θεωρήσουμε το ζευγάρι με σχέση

( ω t) =

ι�ι ι

JR,

(�, )

y , y e IR στη σχέση ( 1 ), τότε λαμβάνουμε την

από την οποία έπεται ότι η συνάρτηση είναι επί

του IR Επομένως, το σύνολο τιμών της f είναι το IR , οπότε παίρνει και την τιμή 1 . Αυτό 1 , , , ευκολα προκυπτει από την παρ απανω σχεση για y = 2 . .

( 1 ) για y = α και χ ε JR , λαμβάνουμε: f ( 2x + a ) + f ( 2x (a + 1 )) = f(2x + a ) + 4xa <=> f ( 2x( a + 1 )) 4χα. (2) Παρατη ρούμε ότι είναι α :;: -1, αφού αν ήταν α = - 1 , τότε f (Ο) = -2χ, για κάθε χ e IR, t Επομένως μπορούμε να θέσουμε στη σχέση (2) χ = , t ε � ,οπότε λαμβάνουμε: 2 (a + l ) (ii) Από τη σχέση

άτοπο.

( )

f ( t) = � t = ct, t ε IR, c =� . α+1 α +Ι Επειδή η συνάρτηση f πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση ( 1 ), έχου με: c ( 2xcy + y)+ 2cxy + 2cx = 2cx+ cy + 4.xy, για κάθε χ, y e IR <=> 2 ( c2+ c - 2 ) xy = Ο, για κάθε x, y e IR <=> c = 1 ή c = -2 . Άρα οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι: f(x) = x, x e IR ή f ( x) = -2x, x ε IR. Λύσεις των ασκήσεων του τεύχους 1 02/Ευκλείδη

x, y , z τέτοιοι ώστε χ + y + z = xy + yz + zx = - 1 . { xy - z2 ) { yz - χ2 ) { zx - y2 ) xyz - 1 . (Λευκορ ωσία, 2016)

Α4 6 . Δίνονται πραγματικοί αριθμοί Να αποδείξετε ότι:

Β'

Λύση Έχουμε

( xy- z2){�-x2){ :χ-1 ) =(x;lz-i3y -yi+ x2z2){ :χ-1 ) =x2lz2 -x4�-�4+ i; - xy4z+ iy +y; -x21z2 ( 1) =iy+ y;+ ;; -�(i+ y+ ;) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/14

------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες ------

Όμως από τις αρχικές υποθέσεις έπεται ότι: (xy + yz + zx ) 3 = { -1) 3 <=> x3y3 + y3z3 + z3x3 + 3.xyz (x + y ) (y + z ) (z + x) = -1, �

(χ + y + z ) 3 = {-1)3 �

{2)

x3y3 + y3z3 + z3x3 = -1 - 3.xyz (x + y ) ( y + z ) (z + χ) <=>

(

)

χ3 + y3 + z3 + 3 (χ + y)(y + z ) (z + χ) = - 1 (3)

xyz x3 + y 3 + z3 = -xyz - 3.xyz (x + y)(y + z) (z + x)

Λόγω των (2) και (3) η σχέση (1 ) γίνεται: Xy - z2 yz - χ2

(

)(

ΖΧ

)

- y2 = xyz - 1 .

jι

Ν 4 0 . Δίνεται πρώτος θετίκός ακέράιος p τέτοιος ώστε ο αριθμός 2p ίσούται με το ιiθροισ α των tεtραγώνων τεσσdρων διαδοχικών ακέραιων. Ν;α αποδείξετε ότί ο 36 διαιρ�ι τον ακέραιο p-7 (Λευκορωσία, 2016) Λ{)ση :

Έστω α2 + (a + 1) 2 + (a + 2) 2 + (a + 3) 2 = 2p . Τόtε 4α2 + 1 2α + 1 4 = 2 p <=> 2α2 + 6α + 7 = p <=> 2α( α + 3) + 7 = p <=> 2α { a + 3) = p - 7 .

Παρατηρούμε ότι η δεδομένη υπόθεση είναι δυνατόν να ισχύει μόνο για

α =

3k, k e Ζ Πράγματι,

για a = 3k, k e Z έχουμε 2α (α + 3) + 7 = 1 8k (k + 1) + 7 = πολ.36 + 7 , που για τα k e Z που είναι πρώτος, δίνει ότι 36 lp - 7 . Για

= 3k + 1, k e Ζ έχούμε

2 α ( a + 3) + 7 = 2 (3k + 1) (3k + 4) + 7 = 1 8k2 + 30k + 1 5 =

που δεν είναι πρώτος. Για

= 3k + 2, k e Ζ έχουμε

3( 6k2 + 1 0k + 5 ) , k

(

Ζ,

)

2a (a + 3) + 7 = 2 {3k + 2){3k + 5) + 7 = 1 8k2 + 42k + 27 = 3 6k2 + 1 4k + 9 , k e Ζ , που δεν είναι πρώτος.

Γ 3 8 . Έστω 1 το έκκεντρο t ριγώνου ABC και έσ"ίω σημείο D της πλέυράς AC τέτοιο ώστε 1 AB=DB. Ο εγγεγραμμένο� κύκλος του τριγώνουΒCD ε φάπτεται tων πλευρών AC και tιD στα σημεία Ε και F, αντίστοιχα� Να αποδείξετε ότι η ευθεία EF περνάει αΠό 10 μέ σ ο . του (Κροατία• 2016) ευθυγράμμου τμήματος DI Λύση

Ι<

Έστω a = BC, b = CA, c = ΑΒ . Έστω Κ το σημείο στο οποίο ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC τέμνει την πλευρά Α C. Έστω Ν το ίχνος του ύψους του τριγώνου ABC από την κορυφή Β . Έστω ακόμη J το σημείο τομής του ύψους ΒΝ με την ευθεία EF . ADB BAC 1 Παρατηρούμε ότι JNE = ΑΚ1 = 90° και NEJ = - 1 80° - FDE = -- = -- = ΙΑΚ . 2 2 2 c+d-a c + d- a b - d b + c - a Έστω d = AC . Τότε ED = + -- = και EN = ED + DN = = ΑΚ. 2 2 2 2 '

Σχήμα 2

(

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/15

)

Μ αθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Επομένως τα τρίγωνα ΑΙΚ και EJN είναι ίσα, οπότε θα είναι τετράπλευρ ο IJNK είναι ορθογώνιο, οπότε IJ = ΚΝ και IJ 1 1 A C . -------

Επιπλέον έχουμε IJ = ΚΝ = ΑΚ - ΑΝ =

ΙΚ = JN

--------

και επομένως το

- -- = = ED. 2 2 2 Επομένως το τετράπλευρο EDJI είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοι του EJ και DI διχοτομούνται. Άρα η ευθεία EF περνάει από το μέσο του ευθυγράμμου τμή ματος Dl.

b +c-a b-d c+d-a

Πώς να γίνεται καλύτεροι- πιο ικανοί-στη λύση

προβλημάτων

ασ, κ

ή σε ων και

Α φ ιέρωμα στου ς μ α θητές που συμμετέχουν σε Μα θημ ατι κές Ολυμπιάδες

Σπύρου Κο.λομητσίνη, Μαθηματικού

Δύο είναι οι δυσκολίες που συναντάμε όταν προσπαθούμε να λύσουμε μία πρωτότυπη, δύσκολη για μας, άσκηση: Πρώτη δυσκολία: Να «κολλήσει» το μυαλό μας και να μην κατεβάζει ιδέες. Να κοιτάζουμε την εκφώνηση «ακίνητοι» ή vα προχωρήσουμε λίγο ή αρκετά, αλλά πάλι να κολλήσουμε. Δεύτερη δυσκολία: Να έχουμε ιδέες, αλλά να ερχόμαστε σε «αδιέξοδο». Να παγιδευόμαστε στα ίδια και στα ίδια. Να μην μπορούμε να ξεφύγουμε, να βρούμε άλλες ιδέες, άλλους τρόπους να προχωρήσουμε. Ας συζητήσουμε λίγο την πρώτη δυσκολία. Τι μπορούμε να κάνουμε; Πως μπορούμε να βοηθήσουμε το μυαλό μας να προχωράει, να κάνει δοκιμές; Προσοχή: Για να σας βοηθήσουν αυτά που θα γράψουμε παρακάτω προϋπόθεση είναι να έχετε εξασκηθεί στην ύλη που έχετε διδαχθεί μέχρι τώρα. Έστω λοιπόν ότι προσπαθώντας να λύσετε μία άσκηση κολλήσατε ή ήλθατε σε αδιέξοδο. Προφανώς υπάρχει κάποιο «πονηρό>> σημείο. Ποιο είναι; Που είναι κρυμμένο; Πως θα το «ξετρυπώσεις»; Αυτό μοιάζει με την προσπάθεια που κάνει ένας ανακριτής για να εξιχνιάσει μία υπόθεση. Ισχύει στα προβλήματα, αλλά και πιο γενικά στην έρευνα. Προσοχή: Αυξάνεις πολύ την πιθανότητα να βρεις τη λύση, αν αντί να «σκέπτεσαι» μόνο, αρχίζεις να . . .

«ενεργείς και να σκέπτεσαι».

Τι ακριβώς εννοούμε; Προσπαθώ με όλη μου τη δύναμη, με πείσμα, να εντοπίσω το «πονηρό» σημείο, αναζητώντας την άλλη όψη της ίδιας «λεπτομέρειας» Αυτό ακριβώς είναι το πιο δύσκολο πράγμα: Να βρω την άλλη όψη ή άποψη, της ίδιας «λεπτομέρειας». Εδώ σας προτείνουμε την μέθοδο ή τεχνική ποu ακολουθεί παρακάτω, την οποία πρέπει να εφαρμόζετε όσο πιο γρήγορα μπορείτε είτε γράφοντας είτε σκεπτόμενοι με τη φαντασία σας ή και με τα δύο. Μέθοδος ή τεχνι κ ή

1 . Χωρίζω τα δεδομένα από το ζητούμενο.

Δεδομένα

Ζητούμενο

Δίνω έμφαση στο ζητούμενο, αναζητώντας ισοδύναμα ή προηγούμενα βήματα. 2. Εντοπίζω τυχόν ομοιότητες ή διαφορές ανάμεσα στα δεδομένα και στο ζητούμενο. 3 . Προσπαθώ να καλύψω τις διαφορές ανάμεσα στα δεδομένα και το ζητούμενο. Για να καλύψω αυτές τις διαφορές , βάζω όλη μου τη δύναμη: Από τα δεδομένα προχωράω προς τα «εμπρός» εφαρμόζοντας ειδικές μεθοδολογίες που έχω μάθει, τύπους, θεωρία και γενικά οτιδήποτε προσφέρεται . . . . . Αναπτύσσω το κάθε τι. Τολμώ να δοκιμάζω, δεν διστάζω, έχω ελεύθερο το μυαλό μου. Από το ζητούμενο προσπαθώ να καλύψω τη διαφορά κάνοντας βήματα προς τα πίσω, αναδρομικά, αν γίνεται . . . . '

Εδώ χρειάζεται προσοχή: Όταν σκέπτεστε ή γρ άφετε, να χρησιμοπο ιε ίτε μ ι κρ ο ύ ς στίχου ς, όχι

μ ακρόσυρ τες φράσει ς . . . Έτσι βοη θάτε τη φ αντασία σας . . . Εξάλλ ου, έτσι εξελίχθηκε και η γλώσσα που μ ιλάμε. Στην αρχή ο ι ά νθρωποι μιλο ύ σα ν με μ ι κρές φράσε ις σαν να έλεγαν ένα « αφελές» μ ικρό πο ίημ α . Ο πεζός λό γο ς (πι ο μεyάλες εκφράσε ις), ήλθε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/16

------

Μαθηματικο( Διαγωνισμο( - Μαθηματικές Ολυμπιάδες

αργό τερα, γ ι ατί έτσι διευκολύ νετα ι η μνήμη κα ι η λει τουργ ία τη ς .

Συνεχίζουμε με παραδείγματα: Π αράδειγμα 1 . (Διαγωνισμός ΘΑΛ ΗΣ 20 1 6). Αν

-------

α > Ο , να αποδείξετε ότι: ( 2α + 1 ) {2 α + 3 ) ( 2 α + S ) ( 2 α + 7 ) > 6 α +-4 1 α α ( α + 1 ) ( α + 2 ) (α + 3 )

�-----------

Σκέψη - Λύση Χωρίζουμε

Δεδομένα (με ευρεία έννοια)

�-----------

χ 2 + y 2 � 2 .xy χ + y � 2.rx; Ισότητα για χ = y

προηγούμενο βήμα άλλη όψη-λεπτομέρειες,

16 = 2· 2 · 2 · 2

Διαφορές;

Πιο κοντά βρίσκεται η σχέση

Ομοιότητες;

Κά λυ ψ η διαφοράς;

χ + y � 2-FY , χωρίς το ίσον, άρα χ :;:. y (κρίσιμη ιδέα)

{

Δοκιμές τώρα:

{

Ζητούμενο ( 2α + 1 ) ( 2α + 3 ) ( 2α + S ) ( 2α + 7 ) > 6 -+4 1 α α α ( α + 1 ) (a + 2 ) (α + 3 )

2α + 1 = 1 α + 1 > α + 1 2 + α α α 2α + 3 = α + 1 + α + 2 = l α + 2 > 2 + α+1 α+1 α+1 2α + 5 α + 2 + α + 3 + = =1+ α 3 > 2 α+2 α+2 α+2 2α + 7 α + 3 + α + 4 l α + 4 > = = + 2 α+3 α+3 α+3

{ { {

α+2 α+1 α+3 α+2 α+4 α+3

Η συνέχεια είναι εύκολη με πολλαπλασιασμό κατά μέλη ανισοτήτων με θετικά μέλη και της ιδίας φοράς, για να πάρουμε τελικά το ζητούμενο

{

( 2 α + Ι ) ( 2 α + 3 ) ( 2α + S ) ( 2α + 7 ) > \ 6 α + Ι . α + 2 . α + 3 . α + 4 Ι 6 α + 4 = α (α + 1 ) ( α + 2 ) (α + 3 ) α α+1 α+2 α+3 α ·

Στο καθαρό γράφουμε με συντομία τη λύση. Σημείωση. Μπορείτε να βρείτε κα ι άλλους τρ όπου ς να λύσετε την άσκηση.

Εμείς εδώ α ναφερ όμ αστε σε μ ία δοκιμασμένη δ ι αδ ι κασία. Ο κα θένας με τις δ ικές του ι κανότητες , μπορεί να παραλλά σει τη δ ιαδικασία, να πρω τοτυ πε ί. Εδώ δίνετα ι μ ία κατεύθυνση γ ι α να δουλέ ψει η πε ίρα κα ι το ταλέντο σας.

Π αράδειγμα 2 . (Α ρχιμήδης 2003). Αν

a, b, c, d θετικοί πραγματικοί αριθμοί και 3 α + b3 + 3ab = c + d = 1,

να αποδείξετε ότι:

Σκέψη - Λύση Χωρίζουμε

Δεδομένα α

+ b3 + 3 ab = + d = 1,

Θυμόμαστε συγγενείς σχέσεις

( a + � )' + + Η + (c+H ψ + �)' � 40 Ζητούμενο

Προηγούμενο βήμα;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/17

------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες ------

α3 + b3 + c3 - 3abc = α + b c = α = b = c, α α + -α1 � 2 α2 + b 2 2ab a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca a,b O,a + b � 2.,J;i, Ο

Αν

Άλλη όψη-λεπτομέρειες,

χ3 + y3 � ..... , χ3 + y3 = ( χ+ Υ ) ( χ2 - xy + Υ2 ) � ( χ + y ) { 2xy - xy ) = xy ( x + y ) (c +H + + �)' � (c+ d +� + �)(c +υ(c+ �) � ( 2 + 2)·2·2 = 16 κάνει)

Οή

Ανισότητα με Δοκιμη :

> Ο, τότε �

�

(δεν μας

Άλλη όψη :

(c+H + (d + �)' � (c+ d +� + �)(c +�)(c +�) � (1 + c;dd} 2·2 = 4 (1+ c�)

Διαφορές; Ομοιότητες; Κάλυψη διαφοράς;

c + d � 2.Jcd => 1 � 2.Jcd => νc/--;d � 2 => .-c1d � 4 => ( c+ H ψ + � )' � 4 ( 1+4 } = 20 α( + �)3 + ( b + t)3 � 20 α3 + b3 + 3ab = 1 α3 +b3 +c3 - 3abc = Ο => a+b + c = Ο ή α = b = c . α3 + b3 + ( -1 )3 - 3ab · ( -1 ) = Ο => α + b -1 = Ο ή α = b = -1 => α + b = 1, α = b = -1, α, b

Επομένως, μένει να αποδείξουμε ότι:

ή αρκεί ν α αποδείξουμε ότι:

Αυτό θα προκύψει από τη δεδομένη ισότητα

α+ = 1.

σε σύγκριση με τη γνωστή σχέση :

Η σύγκριση εδώ οδηγεί στη σχέση :

αφού αποκλείουμε τη σχέση γιατί > Ο. Είναι φανερό πλέον ότι με μία πρόσθεση κατά μέλη ομόστροφων ανισοτήτων, φθάνουμε στο ζητούμενο. Στη συνέχεια γράφουμε στο καθαρό σύντομα τη λύση . Π αράδειγ μα 3 . (Ολυμπιάδα Μαθηματικών Β ου λγ αρίας). Δίνεται τρίγωνο ABC με AC > BC . Έστω Ο το περίκεντρο και 1 το έκκεντρο του τριγώνου ABC . Έστω επίσης τα ύψη AD και ΒΕ του

τριγώνου ABC . Αν ισχύει ότι ΑΒ DE , να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία AiO . Σκέψη - Λύση Κατασκευάζουμε ένα όσο γίνεται καλύτερο σχήμα.

=2·

Χωρίζουμε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/18

-------

Μ αθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Ζητούμενο

Δεδομένα AC > BC , AB = 2 · DE

Υπολογισμός

-------

Aio

περίκεντρο έκκεντρο AD, BE ύψη

Σκέψη - Όλες οι όψεις

Προηγούμενο ή ισοδύναμο βήμα

ΑΒ

AB = 2 · DE � DE = 2

Αναπτύσσω όλες τις όψεις για το Μ :

AM = MB = DE

Συσχέτιση με άλλες γωνίες

Μ μέσον υποτείνουσας στα ADB , ΑΒΕ :

ΜΑ = ΜΕ = ΜΒ

� MDE

= DE

ισόπλευρο (η άλλη όψη)

=>EMD = 60° Όλες οι-όψεις για τη γωνία Μ . 60° = EMD = 1 8Q° - M1 - Μ2 = 1 80° - 1 80° - 2 Λ - 1 80° - 2.8

(

) = -180° +2 ( Λ + .Β) = -180° + 1 ( 180° -c) ) (

= 1 80° - 26 Άρα είναι C = 6 0° . Όλες οι όψεις για το Ο AOB = 2C

Όμοια τρίγωνα 'Ισα τρίγωνα Διπλανές γωνίες:

AiB 1 80° - Α + Β = 90° + c 2 2 0 6 0 = 900 + = 1 200 2 Ομοιότητες - Διαφορές Συσχετίσεις ΑΟΒ AiB 1 2 0° � ΑΟΙΒ εγγράψιμο =

� AiO = ABO

Αρκεί να βρω την

ΑΒΟ

Με πλήρη χρήση δεδομένων

ΑΒΟ

ισοσκελές,

� Aio = AfJo = 30°

ΑΟΒ = 12Q °

Τελειώνουμε γράφοντας τη λύση συντομότερα στο καθαρό. Ε π ίλογος Το άρθρο αυτό απευθύνεται στους μαθητές που λαμβάνουν μέρος σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, με την ελπίδα ότι θα τους βοηθήσει. Φυσικά πρώτο ρόλο παίζει η δουλειά που κάνουν μόνοι τους και στο Σχολείο τους, όπου αποκτούν το αναγκαίο υπόβαθρο για να αξιοποιήσουν καλύτερα τις γνώσεις, τη μεθοδολογία, την πείρα τους και το ταλέντο τους. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου που παρουσιάσαμε παραπάνω έχει κριθεί με βάση τις αρχές της Γνωστικής Ψυχολογίας. Έχουν γίνει σχετικά υπολογιστικά προγράμματα, εφαρμογές στην Τεχνική Νοημοσύνη με τις αρχές της Γνωστικής Ψυχολογίας. Αυτός είναι ο πιο αυστηρός τρόπος ελέγχου της αποτελεσματικότητας μιας μεθόδου. Με απλά λόγια: Αν μία προτεινόμενη μέθοδος μπορεί να οδηγήσει σε σχετικά υπολογιστικά προγράμματα, ώστε ο υπολογιστής να λύσει προβλήματα, τότε είναι αποδεκτή . Αν όχι, τότε η μέθοδος έχει πολλή γενικότητα, δεν είναι αποτελεσματική και πρέπει να βελτιωθεί ή να απορριφθεί. 1.

Β ιβλιογραφία

Kalomitsines S., Two methods for solving problems, Educational studies in Mathematics, Vol. 14, 3, Cambridge, 1 983. 2. Kalomitsines S., The spiral method for solving problems, lnternational Journal of Mathematical Education in Sciences and Technology, Vol. 1 6, 4 , 1 985 . Kalomitsines S., Some new ways ofproceeding in problem solving, Pittsburgh University , 1 985. 3 4 . Kalomitsines S., How to solve problems: New methods and ideas, NOVA, Publishers, Ν . York, 2008 5. Kalomitsines S., How to become a bother problem solver, ΑΜΑΖΟΝ, 201 5, e-book. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/19

------ ΗΟ ΜΟ MATHEMATICUS

------

ΗΟΜΟ MA THEMA TICUS Η Homo Mathematicus είναι μια στήλη στο περιοδικό μας, με σκοπό την ανταλλαγή απόψεων και την ανάπτυξη προβλη ματισμού πάνω στα εξής θέματα: 1) Τι είναι τα Μαθηματικά, 2) Πρέπει ή όχι να διδάσκονται, 3) Ποιοι είναι οι κλάδοι των Μαθηματικών και ποιο το αντικείμενο του καθενός, 4) Ποιες είναι οι εφαρμογές τους, S) Ποιες επι στήμες ή κλάδοι επιστημών απαιτούν καλή γνώση των Μαθηματικών για να μπορέσει κάποιος να τους σπουδάσει. trοντακτική επιτροπή

Κεpασαρίδης Γιάννης, Μανιατοπούλου Α μαλία, Μήλιος Γιώργος, Τσουλουχάς Χάρης

/. τι είιιαι τα Μαθηματικά;

<<Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στη ν ποίηση» προλεγδμενα Σ' αυτό το σημείωμα, εκθέτουμε την άποψη του ακαδημαϊκού Ljubomir Iliev, σχετικά με το αμφιλεγόμενο θέμα της μ αθηματικής έμπνευ σης

«0 Πούσκιν είχε πει: 'Ή έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση" . Είναι χαρακτηριστικό των νέων να εμπνέονται από τα μεγάλα έργα. Τα πιο θαυμαστά έργα, οι πιο τολ μηρές ιδέες των μεγάλων μαστόρων της Τέχνης και της Επιστήμης είναι ή άμεσο γέννημα του νεανικού ζήλου, ή ώριμη επεξεργασία ιδεών μετά από μα κροχρόνια μελέτη, που αντανακλούν νεανικές πα ρωθήσεις. Ο δρόμος της δημιουργίας στα Μαθημα τικά αποκαλύπτεται σ' όποιον εμπνέεται από τα προβλήματα τους. «Τι είναι όμως αυτή η έμπνευση ; Εμφανίζεται σαν κάτι που κυριεύει τον άνθρωπο χωρίς κανενός είδους προσπάθεια εκ μέρους του και πρέπει να την περιμένει, όπως οι ναυτικοί τον ούριο άνεμο; Αν ασχοληθείτε με τις βιογραφίες των μεγάλων προσωπικοτήτων, μουσικών, ποιητών, ζωγράφων, επιστημόνων, πουθενά δε θα βρείτε τη λεγόμενη «έμπνευση» σαν κάτι το ανεξάρτητο από τις προσπάθειες της δημιουργικής προσωπικότητας. Έτσι την εννοούν μόνο οι απελπισμένοι ερασιτέ χνες, ενώ κάθε αληθινή δημιουργία είναι αποτέλε σμα κολοσσιαίας έντασης όλων των δυνάμεων της βούλησης. Η έμπνευση δεν είναι τίποτε άλλο από τη συγκέντρωση των δυνάμεων ενός προσώπου σε ορισμένο αντικείμενο. Μονάχα μ' αυτήν την τερά στια συγκέντρωση δυνάμεων, βουλητικών, διανοη τικών, συναισθηματικών, δηλ. όλων των δυνάμεων που διαθέτει ο άνθρωπος, οδηγούμαστε σε δη μι ουργικό αποτέλεσμα». Τα έργα και των μεγαλύτε ρων ακόμα δημιουργών συνοδεύονται από κολοσ σιαία ικανότητα για εργασία. Αμφιβολίες και αδιάll. 'Έυιι-J.είδεια Γεωμετρία, αγάπη μου "

κοπες αναζητήσεις ακολουθούν αναπόφευκτα τις προσπάθειες κάθε σοβαρού ερευνητή. Ο ίδιος ο Λομπατσέφκι περιέλαβε στο έμβλημα της οικογέ νειας του τη μέλισσα ως σύμβολο της εργατικότη τας. Όποιος επιθυμεί να δημιουργήσει στα Μαθη ματικά, πρέπει από νωρίς να καλλιεργήσει μέσα του τις αρετές της επιμονής, της συστηματικότητας και της αγάπης στην εργασία, που θα του είναι α πολύτως απαραίτητη στην επαφή του με μια ευρεία βιβλιογραφία, η οποία θα τον κατευθύνει στη σύγ χρονη κατάσταση των προβλημάτων που τον ενδι αφέρουν. Δεν μπορούμε να απολαύσουμε τους α πέραντους ορίζοντες πριν να βαδίσουμε το δρόμο για την κορυφή . Σ' εκείνους που θα επιθυμούσαν να ασχοληθούν με τον κόσμο αυτό, θα ήθελα, αφού γίνεται λόγος για αγάπη και ικανότητα για δουλειά, να αναφέρω τα λόγια του Κλάιν («Είναι απαραίτη το να διδαχτούμε την τέχνη από την αχανή ποσότη τα του μαθηματικού υλικού που μας δίνει η βιβλιο γραφία και να ανασύρουμε τις βασικές ιδέες και τις γενικές σχέσεις μεταξύ τους, χωρίς σπάταλο χάσιμο χρόνου για την επεξεργασία πολλών μεμονωμένων περιπτώσεων, και συγχρόνως να μην καταλήγουμε σε ερασιτεχνισμό και επιπολαιότητα. Μόνο μ' αυ τόν τον τρόπο αποκτούμε ολόπλευρη μαθηματική παιδεία, χωρίς την οποία δεν θα ήταν δυνατό να βγει απ' το Πανεπιστήμιο κανείς απ' αυτούς που ε πιθυμούν να εργαστούν παραπέρα»).

[πηγή:«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΝΆΠΤΥΞΗ», Ljubo mir Iliev, εκδ. "Επιστήμη και Κοινωνία", Θεσ/νίκ:η 1 988]

προαγγελία από το επόμενο τεύχος, θα δημοσιεύουμε σε συνέχειες, σπουδαία ευρήματα από την πρωτό

τυπη εργασία Αργύρη Καντεμίρη, που έχει τίτλο «Πως μετατρέπεται η Επιπεδομετρία σε Στερεομετρία»

(Αθήνα 1 97 1 )

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 1 03 τ.3/20

<<ευθεiα Gauss»

------

τα μέσα των τριών ευθ. τμημάτων, με άκρα καθενός δύο απέναντι κορυφές πλήρους τετραπλεύρου, ορίζουν την ευθεία Gauss

«ευθεiα Pascal»

ΗΟΜΟ MATHEMATICUS

είναι η ευθεία πάνω στην οποία τέμνονται τα ζεύγη των απέναντι πλευρών εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ,-1f N

(ι) ; Α Ζ

σχήμα 1

Ill1• «Α υτδ το ξέρατε;» (01)

-------

Ι \

, Β : ' .:.. ,Λ

r · ::ιt

κ.

σε κάθε τρίγωνο, οι προβολές των ιχνών των υψών του στις άλλες δύο πλευρές, ορίζουν εξάγωνο εγγράψιμο σε κύκλο C. Ο C είναι ο ο κύκλο Ta lor

Δ \,

.. ...

αχήμα 2

.. ...

\' \\

· . :.._ Μ 1

ποιος είναι ο αριθμός Apery (Απερί); [Roger Apery (1 9 1 6 -1 994 ) ]

Il/2• «Α υτr) δεν το ξέρατε>> (02)

σχήμα

Γ 3

[η απάντηση στο τέλος της στήλης]

πο ι ο ς είνα ι ο Έλληνας « Μιχα ήλ Ά γγελο ς του Καπι τωλίου» ;

η απάντηση

το ερώτημα αυτό μου τέθηκε στα Χανιά (33° Συ νέδρ. ΕΜΕ), στα πλαίσια φιλικής συζήτησης με τη συναδέλφισα Γεωργία Μαραγκού ( 1° Γυμνάσιο Σκάλας Ωρωπού) κι είχε σχέση με το ερώτημα: πως συνδέεται η Ζωγραφική με τη Γεωμετρία» Είναι γεγονός πως με . . . έπιασε αδιάβαστο . . . Για το λόγο αυτό, την παρακάλεσα να μας στείλει ένα μικρό σημείωμα στη στήλη μας, όπου θα μας αποκα λύπτει το όνομα και το ιστορικό του θέματος. Η καλή συναδέλφισα, μας έστειλε ένα σχετικό ση μείωμα. Δυστυχώς, λόγω έλλειψης χώρου, δεν μπορούμε να το δημοσιεύσουμε ολόκληρο. Η στή λη ζητά την κατανόησή της. Όπως προκύπτει, από το σημείωμα, το όνομα αυτού του σημαντικού Έλ ληνα είναι Κων/νος Μπρουμίδης, από τα Φιλιατρά Μεσσηνίας, κι η επιστολογράφος μας είναι απόγο νός του. « . Σε πολλούς Έλληνες το όνομά του ίσως να μην είναι και τόσο γνωστό, όμως στις Ηνωμένες Πολι τείες Αμερικής ο Κωνσταντίνος Μπρουμίδης απο τελεί προσωπικότητα που με το έργο της σφράγισε την ιστορία αυτής της χώρας.

Είναι ο καλλιτέχνης τον οποίο οι Αμερικανοί τιμη τικά επρόκειτο να αποκαλέσουν «Μιχαήλ Άγγελο του Καπιτωλίου» αφού ήταν εκείνος που με τον χρωστήρα του διακόσμησε το πλέον μεγαλοπρεπές κτίριο που στεγάζει τη Βουλή και τη Γερουσία . . . Στις 1 1 Ιουλίου 20 12, οι Αμερικάνοι τον τίμησαν με το "Congressional Gold Medal". Πρέπει να το νιστεί η δημοκρατική του ευαισθησία και η δεινό τητα του στην τέχνη του χρωστήρα με την οποία κατέθεσε τα καλλιτεχνικά του διαπιστευτήρια σε δύο μεγάλες χώρες, την Ιταλία πρώτα και, στη συ νέχεια, την Αμερική . Το να συντηρείς Ραφαέλο και Μιχαήλ Αγγελο στο Β ατικανό και μετά να εξωραί ζεις το Καπιτώλιο είναι εικαστικό επίτευγμα . . . », που έχει άμεση σχέση με τη Γεωμετρία, συμπληρώνουμε εμείς.

. .

I V. " Οι συνεργάτες της στιμης γράφου ν-ερωτούν " 1" θέμα: Παναγιώτη Οιιωνομάκου

προλεγδμενα ο φίλος της στήλης Παναγιώτης Οικονομάκος, κάνει στροφή στο θεματολόγιό του, κι από

το τεύχος τούτο, ορισμένα θέματα θα ασχολούνται με τη Γεωμετρία του χώρου (την απίθανης ομορφιάς, Στερεομετρία). Το θέμα που μας έστειλε, θα το δημοσιεύσουμε σε δυο συνέχειες, λόγω της έκτασής του. το πρl}βλημα

«πάνω στις ακμές ox,oy,oz, τρισορθογώνιας τp ίεδρης χωνίας o.xyz, παίρνουμε τα σημεία Α,Β,Γ αντί στοιχα. Τότε ισχύει (ΑΒΓ) 2= (ΟΒΓ)2 +( 0ΑΓ) +( ΟΑΒ) α ' μέρος: ορισμδς εννοιιύν του χιύρου Δ ίεδρη Γωνία

δiεδρη γω νiα δίνονται δύο ημιεπίπεδα (Π1),(Π2 ) με που ορίζεται από τα δοσμένα στοιχεία, ένα σημειο κοινή αρχική ευθεία (ε). Ονομάζουμε δίεδρη γωνία, σύνολο που σαν στοιχεία έχει, τα σημεία των δοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/2 1

------- ΗΟΜ Ο MATHEMATICUS και μια ημιευθεία Ay .l (ε), σμένων η μιεπιπέδων (σχ. 1) που να ανήκει στην (Π2 ) . Η τη δίεδρη θ α τη συμβολίζουμε με < ΠιεΠ . Αυτή 2 έδρες δiεδρης τα ημιεπίπεδα (Π ι), (Π2 ) λέγονται < xAy λέγεται αντίστοιχη έδρες της δίεδρης. επίπεδη γωνία της δοσμένης ακμή δiεδρης η κοινή αρχική ευθεία (ε) των εδρών δίεδρης. ορθογώνια δiεδpη μια δίε (Πι), (Π2) λέγεται ακμή της δίεδρη ς . αντiστοιχη επiπεδη γω νiα δiεδρης ας είναι Α ένα δρη θα λέγεται ορθογώνια, σημείο της ακμής (ε), στο σχ. 1 . Θεωρούμε μια η αν η αντίστοιχη επίπεδή της μιευθεία Αχ .l (ε), που να ανήκει στην έδρα ( Πι) είναι ορθή γωνία.

--------

(c)

Τρίεδρη Γωνία

τρ ίεδρη γ ω νiα δίνοντάι τρεις μη συνεπίπεδες ημιευθείες ox,oy,oz, δηλ. με κοινό αρχικό σημείο . Τρίεδρη, οριζόμενη από τα δοσμένα στοιχεία, είναι ένα σημειοσύνολο που σαν στοιχεία έχει τα σημεία των δοσμένων ημιευθειών καθώς και τα σημεία που είναι εσωτερικά των γωνιών που ορίζουν ανά δύο οι δοσμένες ημιευθείες ( σχ. 2) Αυτή την τρίεδρη θα τη συμβολίζουμε με < o.xyz έδρες τρίεδρης τα εσωτερικά των κυρτών < xoy, < yoz, < zox μαζί με τις ακμές ox,oy ,oz λέγονται

έδρες της τρίεδρης ακμές τρiεδρης οι δοσμένες ημιευθείες ox,oy,oz λέγονται ακμές της τρίεδρης αντiστοιχη επiπεδη είναι φανερό πως κάθε τρίε δρη έχει τρεις αντίστοιχες επίπεδες με αντίστοιχες ακμές τις ox,oy ,oz τρισορθογώνια τρiεδρη μια τρίεδρη γωνία θα λέ γεται τρισορθογώνια, αν και οι τρεις δίεδρές της εί ναι ορθογώνιες

βοη θη τικές προτάσεις λιίμμα (α)

πάνω σ' ένα επίπεδο (Π) παίρνουμε δύο ση μεία Β,Γ κι ένα σημείο Α εκτός αυτού. Τότε, το εμβαδό της προβο λής του ΑΒΓ πάνω στο (Π), είναι ίσο με το εμβαδό του τριγώ νου ΑΒΓ επί το συνη μίτονο της αντίστοιχης

επίπεδης της δίεδρης γωνίας (Π,ΒΓ,Ρ) όπου (Ρ) το επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ (σχ. 3 ) απόδειξη αν ΑΑ ' .l ( Π) και ΑΔ .l ΒΓ, τότε, με βά ση το Θεώρημα Τριών Καθέτων (ΘΤΚ), θα έχουμε Α ' Δ .l ΒΓ, οπότε < ΑΔΑ ' =θ, δηλ. θα είναι η αντί στοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης (Π,ΒΓ,Ρ). Επειδή τα Α ' ,Β,Γ είναι προβολές αντίστοιχα των Α,Β,Γ στο επίπεδο (Π), θα έχουμε, διαδοχικά:

αχ. 2

(Α ' ΒΓ)=

! .ΒΓ .Α ' Δ= ! .ΒΓ .ΑΔ.συνθ=(ΑΒΓ)συνθ 2 2

γενίκευση του λήμματος (α) λήμμα (β)

τώρα, τα σημεία Β,Γ του λήμματος (α) βρίσκονται, κι αυτά, εκτός του επιπέδου (Π) απόδει ξη αν Δ,Ε,Ζ είναι οι τομές αντίστοιχα των ευθειών (Α,Β), (Α,Γ), (Β,Γ), με το επίπεδο (Π), τό τε τα σημεία Δ,Ε,Ζ θα βρίσκονται στην τομή των επιπέδων ( Π) και (Α,Β,Γ), άρα θα είναι συνευθεια κά. Επίσης, αν Α ' ,Β ' ,Γ ' είναι οι προβολές αντί στοιχα των Α,Β,Γ στο (Π), τότε τα σημεία Α ',Β ' ,Δ είναι συνευθειακά. Το ίδιο συμβαίνει και με τις

τριάδες σημείων Α ' ,Γ ' ,Ε και Β ' ,Γ ' ,Ζ. Το τρίγωνο Α ' Β Τ ' είναι η προβολή του ΑΒ Γ στο (Π) , οπότε, (σχ. 3), θα έχουμε (Α ' Β Τ ' )=(Α ' ΔΕ)-(ΔΒ Τ Έ) ή (Α ' Β Τ ' )= =(Α ' ΔΕ)-[(ΔΒ ' Ζ)-(ΕΓ ' Ζ)]=(Α ' ΔΕ)-(ΔΒ ' Ζ)+(ΕΓ ' Ζ) =(ΑΔΕ)συνθ-( ΔΒΖ)συνθ+(ΕΓΖ)συνθ= =[(ΑΔΕ)-[(ΔΒΓΕ)+(ΕΓΖ)]+(ΕΓΖ)]συνθ =[(ΑΔΕ)-(ΔΒΓΕ)- (ΕΓΖ)]+(ΕΓΖ)]συνθ= =(ΑΒΓ)συνθ>>

2° θέμα: Βάσως Πρεβεζιάνου « Τα μαθηματικά φέρνουν... επανάσταση στο ποδό σφαιρο»

ένας καλός φίλος, μας παραπονέθηκε πως, κάποτε, η στήλη μας ασχολιόταν και με αθλητικο-μαθηματικά θέματα. Κι επειδή εμείς α κολουθούμε το αξίωμα «είδε ο κλέφτης τη γενιά του κι αναγάλλιασε η καρδιά του», το "ψάξαμε" και βρήκαμε ότι (π.χ. στο τεύχος 40, το 2001), είχαμε δη μοσιεύσει ένα σημείωμα με τίτλο «Όποιος ξέρει καλά Μαθημα τικά ξέρει και καλό . . . μπάσκετ;». Η μαθηματική τύχη, μας ευνόησε, και στην ιστοσελίδα " Sports DNA", βρήκαμε κι αναδημοσιεύουμε προλεγόμενα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/22

------

ΗΟΜΟ MATHEMATICUS

-------

ένα σημείωμα της αθλητικογράφου Βάσως Πρεβεζιάνου με τίτλο «Τα Μαθηματικά φέρνουν. . . επανάοτα ση οτο ποδόσφαιρο» (από ρεπορτάζ της ισπανικής εφημερίδας ΕΙ Pais) το

σημ είωμα

«Πως μπορούν τα μαθηματικά να εφαρμοοτούν οτο ποδόσφαιρο; Και δεν μιλάμε για. . . οτοίχημα. Τι μπορεί να συμβεί όταν μια ομάδα ενδιαφέρεται για έναν ποδοσφαιριστή και αποφασίζει αν θα τον πάρει ή όχι με βάση τα μαθηματικά; Ομάδες που χρησιμοποιούν οτατιοτικά μοντέλα για να κάνουν μεταγραφές. Αυτή είναι η νέα τάση. Προ πονητές και οτελέχη ομάδων που. . . ψάχνονται σε μια προσπάθεια να πετύχουν το καλύτερο δυνατό αποτέ λεσμα. Για παράδειγμα, ο Χοσέ Λουίς Μεντόθα, οτέλεχος της Μούρθια, που αγωνίζεται στην ισπανι κή Segunda Α. Ως υπεύθυνος για τους ποδοσφαιρι οτές που αποκτά η ομάδα, αντιμετώπιζε ένα πρό, βλημα. «Μου πρότειναν παίκτες και μου έλεγαν ότι ο ένας είναι καλός επειδή έχει δύναμη ή αίσθηση του παι χνιδιού. Συμπλήρωναν πως έχει παίξει τόσους αγώ νες στην τάδε ομάδα και έχει αυτές τις διακρίσεις. Θα ήθελα, όμως, να έρθουν και να πουν κάτι δια φορετικό από αυτό. Να μου πουν ότι ένας ποδο σφαιριστής είναι καλός επειδή π.χ. έχει ποσοστό επιτυχίας στις πάσες 80%, το οποίο είναι άνω του μέσου όρου στο πρωτάθλημα. Ή ότι έχει τρεις επι λογές στην τελική του πάσα, κάτι πολύ περισσότε ρο από το μέσο όρο» λέει ο Μεντόθα. Πριν από μερικά χρόνια αποφάσισε να πάει στο Πανεπιστήμιο Μπέρκλεϊ, όπου ήδη μελετούσαν την εφαρμογή της στατιστικής στο αμερικάνικο ποδό σφαιρο, αλλά και στο μπάσκετ και στο μπέιζμπολ. Στις ΗΠΑ, ο Μεντόθα συνάντησε δύο συμπατριώ τες του, τον Νταβίντ Ρουέδα, ο οποίος είχε ιδρύσει την 'Όrigami Sports", με βασικό στόχο να «προω θήσει» τη στατιστική στο ποδόσφαιρο, και τον Σαλβαδόρ Καρμόνα, ο οποίος εργαζόταν στην ε ταιρεία του πρώτου ως αναλυτής. Ο Καρμόνα είχε δημιουργήσει μια βάση δεδομένων με 12.500 παίκτες στα μεγάλα πρωταθλήματα. Τα δεδομένα κάθε ποδοσφαιριστή δεν αφορούσαν μό νο τις συμμετοχές του, τα γκολ, τα σουτ. Τα στοι χεία ήταν πολύ πιο αναλυτικά και ακριβή : πόσες πάσες έβγαλε ένας παίκτης, πόσες ευκαιρίες δη μιούργησε, πόσες ντρίμπλες έβγαλε κτλ. Ένα παράδειγμα για τον τρόπο με τον οποίο αξιο λογείται ένας παίκτης βάσει των Μαθηματικών θα μπορούσε να είναι ο εξής: ας πάρουμε έναν επιθε τικό. Σύμφωνα με αυτή την ανάλυση, αυτό που θα πρέπει να υπολογίζεται δεν είναι μόνο ο αριθμός των γκολ που σημειώνει. κι αυτό διότι κάθε γκολ επηρεάζεται και από άλλους παράγοντες, όπως η ταχύτητα του σουτ, το σημείο από το οποίο γίνεται το σουτ, αλλά και πόσα μέλη του σώματος συμμε τέχουν.

Αναφέρεται, έτσι, πως ένα πέναλτι έχει 8 1 % πιθα νότητα να γίνει γκολ, ενώ ένα σουτ σε απόσταση ένα μέτρο από τη γραμμή του τέρματος ξεπερνάει το 90% . Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με τις ασίστ. Χάρη στον Μεντόθα η 'Όrigami Sports" επεκτάθη κε στην Ευρώπη . Πρώτα στην Ισπανία και στη συ νέχεια στην Ιταλία και στην Αγγλία. Και δεν πρό κειται πια μόνο για θεωρίες. Υπάρχουν αποτελέ σματα. Η "Λέστερ" , οι "Σιάτλ" και η "Μίντιλαντ" , πρωτα θλητές σε Αγγλία, ΗΠΑ και Δανία, έχουν χρησιμο ποιήσει αυτές τις μεθόδους όχι μόνο για να φτιά ξουν τα ρόστερ τους, αλλά φυσικά και στην προπό νηση και στην ανάλυση των αντιπάλων, τομείς στους οποίους η στατιστική είναι έτσι κι αλλιώς παγιωμένη μέθοδος. ·ι

•.

-h .:

'Wrι�-�-��

χ � --�---"

: =·

� -:.

.J.1"

..+ _, ..

l " 1 ..;. 1

.:!

ιl

ιι:

� ι

ι·

.. " .,, ' · .ι · d

Ως χαρακτηριστικότερο παράδειγμα εμφανίζεται η "Σεβίλλη " . Είναι η ομάδα που έχει κάνει τις καλύ τερες μεταγραφές τα δύο τελευταία χρόνια στην Ισπανία. Συνολικά 1 6 άτομα αποτελούν το τμήμα σκάουτινγκ, παρακολουθούν ποδοσφαιριστές και φτιάχνουν λίστες για τον τεχνικό διευθυντή, ο ο ποίος θα έχει τον τελευταίο λόγο. «Μεταξύ των 1 00, που μπορούν να έρθουν στη Σε βίλλη, έχουμε δει 99 και 20 από αυτούς, όπως 'λένε οι τεχνικοί μπορούν να παίξουν στην πρώτη ομάδα. Αυτό είναι το πρώτο φίλτρο καi είναι υποκειμενι κό» λέει ο αναλυτής της ομάδας της Ανδαλουσίας, Χεσούς Ολιβέρα. Υπάρχουν, προφανώς, και δυσκολίες στην εφαρμο γή . Για παράδειγμα, ένα πρόβλη μα είναι πως τα πόδια είναι λιγότερο αξιόπιστα από τα χέρια. Είναι, επίσης, δύσκολος ο συνδυασμός έντεκα παικτών. Είναι ακόμα περίπλοκο για τους αναλυτές να συν δυάσουν με μαθηματικό τρόπο την επίδοση κάθε παίκτη με τον κάθε ένα από τους δέκα συμπαίκτες του. Και, προφανώς, υπάρχει δυσπιστία για τα αποτελέ σματα των μαθηματικών δεδομένων. Η ανθρώπινη κρίση θα υπερισχύει πάντα. Ακόμα και αν λαμβά νονται εξ ολοκλήρου υπόψη τα στατιστικά στοιχεία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/23

------ ΗΟΜΟ MATHEMATICUS ενός υποψήφιου μεταγραφικού στόχου, η τελική λυση» κρίση θα είναι αυτή που θα γίνει με βάση τα πραγ- [πηγή:http://www . sdna.gr/podosfairo/article/2 83744/ta ματικά στοιχεία. Διότι «έτσι είναι το ποδόσφαιρο», mathimatika-fernoyn-epanastasi-sto-podosfairo] όπως λέγεται κοινώς. Χωρίς πολύ σκέψη και ανά-

--------

30 θέμα: <<Περί των Μαθηματικ(ί.Jν εν τη Μέση Εκπαιδεύσει»

τμήμα της ομιλίας του Κων/νου Καραθεοδωρή, που έγινε στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία στις πρωτότυπη ορθογραφία απλοποιώντας σε μονοτονικό. Το πλήρες κείμενο, μας το παραχώρησαν οι Σάκης Λιπορδέζης και Παναγ. Χρονόπουλος (Παρμενίδης)] προλεγόμενα

1 9 Μαίου 1 924. Έχει διατηρηθεί η

« . . . Το πώς θα ηδύνατο τις να ποικίλη την διδασκα λίαν του συμφώνως προς το άνω πνεύμα δεικνύου σι μεταξύ πολλών άλλων τα ακόλουθα παραδείγμα τα. 1 ον) . Παντός είδους γραφικαί παραστάσεις, ως η γραφική παράστασις της πορείας αμαξοστοιχιών μιας γραμμής, ήτις συντελλούσα εις εμπέδωσιν της έννοιας της συναρτήσεως δίδει συνάμα αφορμήν και εις πολλάς εφαρμογάς εννοιών εκ της Μηχανι κής. Επίσης γραφικαί παραστάσεις της πορείας της θερμοκρασίας ή της ατμοσφαιρικής πιέσεως ή άλ λων μετεωρολογικών ποσοτήτων. Επίσης γραφική παράστασις αξιών του χρηματιστηρίου κ.λ.π. 2°ν). Εξοικείωσις του μαθητού με την τρίτην διά στασιν δια των υπ' αυτού ακριβώς εκτελουμένων γεωμετρικών σχεδίων και προπλασμάτων διαφό ρων στερεών. Είναι απλουστάτη πχ. η κατασκευή

κανονικού εικοσαέδρου εξ απλού χάρτου, πολύ ευ κολωτέρα και αυτής της κατασκευής του κύβου. Επίσης δύναται ο μαθητής, χωρίς να θεωρήται τού το άσκησις εις την παραστατικήν Γεωμετρίαν, να εξασκήται εις την προβολήν διαφόρων απλών στε ρεών, ως επί παδαδείγματι της κατόψεως κύβου με κατακόρυφον διαγώνιον. 3 °ν). Να γίνουν εφαρμογαί πολλαί της γεωμετρικής ομοιότητος, ως, π.χ. , η ακόλουθος. Αν εκ δεδομέ νης ποσότητος ύλης σχη ματίσομεν ίσας σφαίρες να

(/;

δειχθή ότι η ολική επιφάνεια αυξάνει μετά του . Εφαρμογήν τούτου εις τον καθημερινόν βίον έχο μεν παρατηρούντες ότι κονιορτοποιημένη ζάχαρις διαλύεται ταχύτερον ή η αυτή ποσότης στερεάς τοιαύτης . . . ))

V. ειδιί σεις - ειδη σούλες

Ι ".

Πωλείται η πρώτη έκδοση του "Ρι·ίnι·ίρία 1\ιlat/1ematίca "

Ένα σπάνιο αντίγραφο της πρώτης έκδοσης του διάσημου βιβλίου του Ισαάκ Νεύτωνα «Μαθηματι κές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίαρ) ή «Principia Mathematica» θα βγει σε δημοπρασία από τον οίκο Κρίστις στη Νέα Υόρκη με τιμή εκίνησης τουλάχι στον ένα εκατομμύριο δολάρια. Είναι η υψηλότερη αρχική τιμή για αντίγραφο του συγκεκριμένου βι βλίου, το οποίο αποτελεί ορόσημο στην ιστορία της επιστήμης. Ένα άλλο αντίγραφο είχε δημοπρατηθεί το 201 3 με τιμή εκκίνησης 600.000 δολάρια, αλλά είχε τελικά «πιάσει)) πάνω από 2,5 εκατομμύρια δολάρια. Το συγκεκριμένο αντίγραφο είναι ένα από τα ελάχιστα που προορίζονταν για το αναγνωστικό κοινό της Ευρώπης και έχει μικρές διαφορές με το κείμενο που κυκλοφόρησε στην Αγγλία από τον Νεύτωνα και τον εκδότη του αστρονόμο Έντμοντ Χάλει (του γνωστού κομήτη), σύμφωνα με τη βρε τανική «Γκάρντιαν)). Περίπου 400 αντίγραφα της πρώτης έκδοσης του Principia Mathematica είχαν τυπωθεί το 1 687 και, από αυτά, το ένα πέμπτο κατευθύνθηκε στην Ευρώπη . Ο Χάλεϊ έπεισε το Νεύτωνα να εκδώσει τις θεωρίες του σε βιβλίο και κατέβαλε εκείνος το κόστος της έκδοσης, καθώς η Βασιλική Εταιρεία επιστημών, όπου και οι δύο ήσαν μέλη, είχε ξεμεί-

νει από χρήματα. Σή μερα η Βασιλική Εταιρεία φυ λάσσει δύο αντίγραφα της πρώτης έκδοσης, καθώς και το αρχικό χειρόγραφο του Νεύτωνα. Το έργο του βρετανού φυσικομαθηματικού επέ δρασε όσο λίγα όχι μόνο στις θετικές επιστήμες, αλλά γενικότερα στην ανθρώπινη σκέψη και στον δυτικό πολιτισμό. Μαζί με τη γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, θεωρούνται τα θεμέλια της σύγχρονης επιστήμης και τεχνολογίας. [πηγή :http://www. nooz.gr/scίencelpoleίtaί-ί-protίekdos ί-tou-prίncίpίa-mathematica]

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/24

2η.

------

ΗΟΜΟ MATHEMATICUS

------

αν σας ενδιαφέρει να διδαχθείτε "Απλά Μαθηματικά", από τον ... Θανάση Βέγγο (! !), αποταθείτε στη διεύθυνση: https://www.youtube.com/watch?ν=S s3KOjy2tY&feature= youtu.be&app=desktop _

3ιι.

η συναδέλφισα Ευαγγελία Λώλη, μας έθεσε (στο facekook) , ένα πρόβλημα Ανάλυσης αρκετά πρωτότυπο και μας "προκαλεί" να το λύσουμε. Η εκφώνηση του προβλήματος είναι το διπλανό σχήμα [πηγή :

{ ,.{. ) ;> ο

((,, )< ο

https://www . facebook. com/profile. php?id= 1 4 788567 1 S&fref=nt]

4ιι,

αν σας ενδιαφέρει να μάθετε πώς θα φτιάχνετε, με μαθηματικό τρόπο, χάρτινες συσκευασίες, αποτα θείτε στη διεύθυνση http://www . gizmodo.co.uk/20 1 6/12/neatly-wrap-your-christmas-gifts-by-following these-mathematical-tricks-2/ S".

αν σας ενδιαφέρει να μάθετε πώς οι 3D εκτυπωτές θα βοηθήσουν τους μαθηματικούς στην . . . 4D γε ωμετρία αποταθείτε στη διεύθυνση: http://techit.gr/20 1 6/1 1/pos-oi-3d-ektipotes/

6η. Ο σκηνοθέτης Σωτήρης Τσαφούλιας, ο μαθηματικός και συγγραφέας Τεύκρος Μιχαηλίδης και ο καλλιτεχνικός διευθυντής του Φεστιβάλ Κινηματογράφου Θεσσαλονίκης Ορέστης Ανδρεαδάκης, συναντήθηκαν στις 9 Ιανουαρίου στο Cafe του ΙΑΝΟΥ σε μια συζήτηση με αφορμή τη νέα ταινία «ΕΤΕΡΟΣ ΕΓΩ>> του Σωτήρη Τσαφούλια που απέσπασε το Βραβείο Κοινού στο 570 ΦΚΘ. Η ταινία 7'1•

Στην διάλεξη

άρχισε να προβάλλεται στις αίθουσες από τις 1 9 Ιανουαρίου. Πρόκειται για ένα αστυνομικό θρίλερ, στο ύφος των ευρωπαϊκών ταινιών του είδους, με πυκνό μυστήριο, αινιγματική ατμόσφαιρα, γρίφους, συναρπαστικές μαθηματικές αναφορές και πολλές ανατροπές. Είναι η δεύτερη ταινία του σκηνοθέτη ο οποίος υπογράφει και το σενάριο

ση της δομής ) ενός μουσικού έργου-τραγουδιού ως μαθηματική διαδικασία και στην έννοια των καθο γινε την Παρασκευή 20 Ιανουαρίου στο Μουσείο λικών στοιχείων που υπάρχουν στις μουσικές όλων Ηρακλειδών, η μουσικός και μαθηματικός Σουζάνα των λαών, εκείνων δηλαδή που κάθε άνθρωπος Βουγιουκλή μίλησε για τους δεσμούς των Μαθη- μπορεί να αναγνωρίσει και να νιώσει, ανεξάρτητα ματικών με τη μουσική και την αλληλεπίδρασή από την εποχή του και τον τόπο που έχει μεγαλώ τους με τον άνθρωπο. Πρόκειται, άλλωστε, για δύο σει. Πρόκειται για στοιχεία κοινά, αναλλοίωτα στο τέχνες-επιστήμες που έχουν κοινή μήτρα, για δύο χώρο και το χρόνο, που συνδέονται με πανανθρώ γλώσσες με τις οποίες μπορούν να συνεννοηθούν πινα συναισθήματα και εκτείνονται από την πεντα και να επικοινωνήσουν οι άνθρωποι μεταξύ τους. τονία μέχρι την επαναληπτικότητα των μουσικών Η ομιλήτρια αναφέρθηκε στη μορφολογία ( ανάλυ- ρυθμών. [http://www .blod.gr/lectures/Pages/νiewlecture.aspx?LectureID=3254], «

Μαθηματικά και Μουσική. Δύο παγκόσμιες γλώσσες και η πολυσημία τους » που έ-

VI. "Απάντη ση στο «Α υτό το ξέρατε;»

1 1 1 1 00 1 . ' Σ -s , για s=3,είναι: Η τιμη' της συναρτησης Rιemann ζ(s) = s + s + s + s + .. η=Ι 2 3 4 5 n 1 1 1 1 ζ(3) = - + 3 + - + 3 + .. =1 ,202056903 1 594 ... 23 3 43 5 -

Αυτός, ο τελευταίος αριθμός, ονομάζεται αριθμός Apery [πηγή :

https://physίcsgg. me/201 1/06/l 8/o-%ce%b 1 O/oe./°/o 81 O/oee%b90/oee%b8%ce%bc0/oe./°/o8c0/oe./°/o82-

ιyoee%b 1 O/oe./°/o 800/oee%b50/oe./°/o8 l O/oee%ae-aperyl}

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/25

Μαθηματικά για την Α' Λυκείου

Υπεύθυνοι τάξης:

Α ΆΥΚΕΙΟΥ

Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης

Ανισώσε ι ς Β ' Βαθμού - Α κολουθίες Άσκηση 1 .

Α)

Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου f(x)=-Sx2 + 3χ +2. Β) Να λύσετε την ανίσωση: 3χ+2�5χ2 • Γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Ο,

r( {13), {k}

Λύση

και Δ = β2 - 4αγ = 2 =3 - 4(-5)2=49, έχει ρίζες: - + .JΔ -3 + 7 2 και χ -3 - 7 1 Χι = β 2α -10 5 2 -10 Α) Το τριώνυμο f(x) με α = -5 = -- = --

Το πρόσημο του τριωνύμου απεικονίζεται στο δι πλανό πίνακα. Β) Έχουμε διαδοχικά: 3 χ+22:5 χ2 <=:> -5 χ2 + 3χ +2 2 2:0 <=:> χ ε (-οο, - -] υ[l ,+οο). 5 Γ) Έχουμε: r (-V3 ) < 0 αφού -V3 > 1 1 � 1 Εξάλλου r ( -- J > O , αφού - <- -- <1 5

Τελικά:

r ( if3" ) < ο < r ( � J

•

2χ - 3

Γ) Για χ> � , να λύσετε την ανίσωση: 2

Λύση : Α) Για

Α�

χ-1.

να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η πα ράσταση Α πρέπει και αρκεί 2χ2 - 7χ+6 :;ι!:Ο. Λύνοντας την εξίσωση: 2χ2 - 7χ+6 =Ο, βρίσκουμε 3 , ' η παρασταση λυσεις χ ι = 2 και χ = 2 , Ε πομενως '

χ 2 - 3χ + 2 (χ - 1)(χ - 2) = χ - 1 2χ 2 - 7 χ + 6 2(χ - 2)(χ - �) 2(χ - �) 2 2 χ - 1 , για κάθε χ ε D . 2χ - 3 Γ) Για χ> � , έχουμε 2χ - 3>0 , επομένως στο 2

Α=

(% , + ) (% ,2) u (2,+oo) έχουμε: 00

χ - 1 :::: χ-1 <=:> (2χ - 3) χ - 1 2: χ-1 <=:> -2χ -3 2χ - 3 1)(2 1) <=:> 1 (2χ 3)(χ χ (χ χ - 3) <=:> <=:> χ - 1 � 2χ2 - 3χ - 2χ +3 <=:> 2χ2 - 6χ + 4 � ο <=:> χ2 - 3χ + 2 � ο (1). --

;:::

πλανό πίνακα. Άρα: ( 1 ) <=:> χ ε [l,2] <=:> χ ε (� ,2) .

Χ2 - 3χ + 2 • Δινεται η παράσταση: Α = 2χ2 - 7χ + 6 Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται η παράσταση Α. Β) Να δείξετε ότι η παράσταση Α γράφεται Α=

Σμύρνης

Οι ρίζες του τριωνύμου χ2 - 3 χ + 2 είναι χι = 1 και χ2 = 2. Το πρόσημο του τριωνύμου απεικονίζεται στο δι-

V16

Άσκηση 2.

χ-1

Ν.

Οι ρίζες του τριωνύμου χ2 - 3 χ+2 είναι χ 1 =1 και χ2 = 2. Επομένως η παράσταση Α γράφεται: Β)

Α ::::

�

Παναγιώτης Μπρίνος 7° Γ .Ε.Λ. Α ορίζεται μόνο για χ ε R-{2, � }=D.

Άσκηση 3 .

Να βρεθούν οι τιμές του λεR ώστε η εξίσωση (λ+l)χ2 +(λ+3)χ +2λ=Ο (1), να έχει δύο άνισες λύ σεις.

{α

α=λ+ 1 , β=λ+3, γ=2λ, οπότε: η ( 1 ) � ...ι.n ' ανισες ' δυο ' λυσεις ' '1 -L 1 και <=:> ινrεχει <=:> Δ '*> 0Ο , u.rυ Λύση : Έχουμε:

τότε Δ= β2-4αγ= (λ+3 )2-4(λ+1)2λ= -7λ2-2λ+9. Για το τριώνυμο -7λ2-2λ+9, έχουμε: Δ ' = β ' 2-4 α 'γ ' = (-2)2-4(-7)9= 4+4·7·9= 4(1+7·9) = 4·64 >Ο, οπότε οι ρίζες του είναι λι -

-β'

+ JΔ' - -(-2) + J4-°64 2(-7 ) 2α'

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/26

Μαθηματικά για την Α' Λυ κείου

18 14

2 16 2+2·8 = -7 ' λ2= - = 1 -14 -14 και το πρόσημό του τριωνύμου απεικονίζεται στο διπλανό πίνακα. -=;

7λ2

-χ

2.λ + 9

- ο +ι ι +

, Επομένως: η ( 1 ) εχει δύο

<=>

{

+χ

-1

λ λ ε* (-7,9 1) -l

Άσκηση 4.

{

-3λ 2 + 8λ

Για (#0, δηλαδή

1 ) +J 1 +

{

λ=2

λ :;e 2 -3λ' + Βλ < Ο

Άσκηση 5.

λ=Ο λ ,ο Ο

.... 1

+χ

Ι•

α=0

λ+4>0 β = Ο <=> ή λ ' + 24λ + 1 6 < 0 r >ο

{

λ > -4

4 ή λ ε (-4 ' - -) .5

{

α>Ο Δ<Ο

λ+4=0 λ + 4 = 0 <=> -λ > 0

λ = -4 λ = -4 <::::> λ ε (-4,λ<Ο

�) 5

Η ( 1 ) είναι ταυτοτική <::::>

{

α>Ο ΔsΟ

{; : � . y�O

Παρατηρούμε ότι α=Ο <=>λ(λ- 1 )=0<::::> λ=Ο ή λ= l . Επομένως: Για (#0, δηλαδή λ� {Ο,1}, έχουμε: Δ= β2 -4αγ=

Το πρόσημο της Δ=-3λ2+ 8 λ απεικονίζεται στο διπλανό πίνακα. : Επομένως: α=Ο α :;e Ο ή β = Ο <=> Η ( 1) είναι αδύνατη <::::> Δ<Ο y :;e O

{

Λύση : Έχουμε: α=λ(λ- 1 ), β=-(λ- 1 ), γ= 1 , οπότε:

=λ2-4(λ-2)λ= λ(λ-4λ+ 8 )=λ(-3λ+ 8 )=-3λ2+ 8 λ

S.λ2 + 24.λ + 16

-4

-χ

Να βρεθούν οι τιμές του λeR ώστε λ(λ-l)χ2 -(λ-l)χ +ι::=ο (1), για κάθε xeR.

λ;:F2, έχουμε: Δ=β2-4αγ=

:> =Ο ή λ= � . και Δ=Ο <:::λ

y>O

4 λ=-4 <::::> λε [-4, - - ). 5 Άσκηση 6.

+χ

Επομένως: Η ( 1 ) είναι ταυτοτική <::::>

Λύση : Έχουμε: α=λ-2, β=λ, γ=λ, οπότε: η ( 1 ) είναι α=Ο α :;e Ο ή β=Ο. αδύνατη <::::> Δ<Ο y :;e O -χ

Δ>Ο

Να βρεθούν οι τιμές του λεR ώστε η εξίσωση (λ-2)χ2 +λχ +λ=Ο (1), να είναι αδύνατη.

Δ<Ο

Για α;tΟ, δηλαδή Ί4 - 4, έχουμε: Δ= β2-4αγ= (λ+4)2+4(λ+4)λ= (λ+4)(λ+4+4λ)=(λ+4)(5λ+4)

α :;e Ο

<=> λ ε (- 2- - 1 ) u(- 1 , 1 ) .

{

{; : � .

=5λ2+24λ+ 1 6 και Δ=Ο <::::>λ=-4 ή λ=- � . 5 Το πρό σημο της Δ=5λ2+24λ+ 1 6 απεικονίζεται στο διπλανό πίνακα. :

άνισες λύσεις <::::>

( 1 ) είναι ταυτοτική <=>

α>Ο

(λ- 1 )2-λ(λ- 1 )= (λ- 1 )(λ- 1 -4λ)=(λ- 1 )(-3λ- 1 )=

<::::> λe (-oo,O)u( - ,+οο .

=-3λ2+2λ+ 1 και Δ=Ο <::::>λ= l ή λ=- .!.. . 3 Το πρό σημο της Δ=-3λ2+2λ+ 1 λ

αδύνατο

Να βρεθούν οι τιμές του λeR ώστε (λ+4)χ2 -(λ+4)χ -λ>Ο (1), για κάθε xeR. Λύση : Έχουμε: α=λ+4, β=-(λ+4), γ=-λ, οπότε: Η

-χ

-3 ι

+χ

+ και του α=λ(λ- 1 )=λ2 -λ απεικονίζεται στου ς δι πλανούς πίνακες: Επομένως:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/27

Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου λ

+χ

-χ

+ Η

{

(1 ) είναι ταυτοτική

λ -λ>ο -3 λ + 2 λ + 1 s ο 2

{λ λ

<=:>{αΔ s> ΟΟ

{

{;: �

<:::::>

y�O

λ2 - λ = ο ή -(λ - 1) ο <:::::> 1�ο λ=Οήλ 1 Ε (-oo , O) u (l,+oo) 2

(-οο ' - -) υ [1 ' +οο)

1 <:::::> λε(-οο,- 3 )υ(l ,+οο)

{

λ=l

Επομενως η ακολου-

θία (βv) είναι γεωμετρική πρόοδο ς με λόγο λ = και πρώτο όρο

β 1 = α 1 +2 = 3.

νΙ Ο νιο στό ς όρο ς τη ς (βv) είναι βν = βι · λ - = 3 Για την ακολουθία (αν) έχουμε: αν =

βν - 2 <:::::> αν =3

Άσκηση 9

1�0

4αν + 2 4αν + 2 + 6 +2 3 3 = = αν + 2

βν+Ι βν 4αν + 8 3 = 4(αν + 2) -4 . αν + 2 3 ( αν + 2) 3

Άρα:

αν+! + 2 = αν + 2

{�)

ν -Ι

βν = αν + 2

(�)

4 3 ν -Ι

<:::::>

-2.

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν) με διαφορά ή λ=l ω=2 και η γεωμετρική πρόοδος (βν) με λόγο 3 1 , α1 και ο δεύλ= 4 και θετικους , ο, ρους. ο πρωτος <:::::> λε(-οο,- - )υ[l ,+οο). 3 τερος όρος αz της (αν) είναι ρίζες της εξίσωσης Άσκη ση 7. Οι αριθμοί χ, y, z είναι διαδοχικοί όροι γεωμε χ2 - βι χ +β2 = Ο ( 1 ), όπου β ι , βz ο πρώτος και ο τρική ς προόδου με άθροισμα 28. Αν ο μεσαίος δεύτερος όρος της (βν)• αυξηθεί κατά 2 γίνονται διαδοχικοί όροι αριθ ί ) Αν Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης (1), να δείξετε ότι Δ=(α2 - α1)2. μητική ς προόδου. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Να βρείτε τους νιοστούς όρους των παρα ) ίί Λύση : πάνω ακολουθιών. Επειδή οι αριθμοί χ , y , z είναι διαδοχικοί όροι ίίί ) Να αποδείξετε ότι ένας μόνο αριθμός είναι γεωμετρικής προόδου, έχουμε: y2 = x·z ( 1 ). κοινός όρος των δύο ακολουθιών. Έχουμε: x+y+z = 28 � x+z = 28 - y (2). iv) Να υπολογίσετε το άθροισμα: Οι αριθμοί χ, y +2, z είναι διαδοχικοί όροι αριθ Α = 1+3+5 + . . ..• +201 μητικής προόδου, επομένω ς 81 (2) , αποτελει, ορο αν ο αριθ μος , , 2 (y+2) = x +z � 2(y+2) = 28 - y � 3y = 24 � y= v) Ν α εξετασετε 64 τη Από τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει το σύ σ της ακολουθίας (βν).

{χ.

= 64 , δηλαδή οι χ, z είναι οι λύ σεις της x + z = 20 εξίσωση ς : ω2 - 20ω+64 =Ο. Οι λύ σεις τη ς τελευ ταίας είναι ω1 =4 και ω 2= 1 6. Επομένως: (x,y,z)=(4 ,8,1 6) ή (x,y,z)=(l 6,8,4). μα:

Λύση :

ί ) Η διακρίνουσα τη ς ( 1 ) είναι Δ=β 1 2 - 4β2 .

Ε πειδή οι α ι ,α2 αποτελούν λύσεις τη ς (1), προ κύπτει από τους τύπου ς Vieta: S= α 1 +α2 =

- -i1 = β ι και Ρ= αι · α2 = � = β2 . Επομέ 2

Άσκηση 8.

Έστω η ακολουθία (αν) με α1 = 1 και αν+ι = 4αν + 2 , νεΝ*. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία 3 <Pv> με γενικό όρο: βv = αν + 2 είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ = � Στη συνέχεια να βρείτε 3 τους νιοστούς όρους βν και αν των ακολουθιών (Pv) και (αν) αντιστοίχως. •

Λύση : Έχου με : αv>Ο, και β,,>Ο οπότε Ιί,#0 για κάθε ν εΝ* (γιατί;)

Ι· ι· )

νω ς : (α2 - α ι )2 = α/ - 2α ι ·α2 + α 1 2 = = α/+α ι 2-2 α ι ·α2 =(αz + α ι )2 - 2α ι ·α2 =(α2 + α ι )2 - 4α 1 ·α2 = β ι 2 - 4β2 = Δ.

- 2α ι · α2=

3 - α ι = 2 και βz= 4 β ι . Επομένως: Δ=(α2 - αι )2� β 1 2 - 4β2 = 22 3 � β ι 2 - 4 4 β ι = 4 � β ι 2 - 3 β ι -4 = Ο � β 1

' Απο' υπο' θεση εχουμε: αz

= - 1 ή β ι =4 � β ι =4, επειδή οι όροι βy είναι θετικοί. Επομένως β2=3. Η εξίσωση (1) γράφε ται χ2 -4χ +3 = Ο και έχει λύσεις χ 1 =1 και χ2 =3 .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/28

Μαθηματικά για την Α ' Λυ κείου

Οι α 1 και α2 είναι λύσεις της (1) με α2 - α 1 =2, επομένως α2>α 1 . Έτσι, α 1 =1 και α2 =3. Από τα παραπάνω προκύπτουν οι νιοστοί όροι των ακολουθιών: αν = αl+(ν-l)ω=l+(ν - 1)2= 2v - 1 και Ιί, β 1 ·λ"· ' � 4 �

ίί ί)

" '

(�τ· <1 =>4 (�τ· <4 => Ιί, <4.

Επομένως από τον 3° και πάνω όλοι οι όροι της (αν) είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 5, ενώ της (13ν) είναι μικρότεροι του 4. Έτσι μόνο ο αριθμός 3 εί ναι κοινός όρος των δύο ακολουθιών. Παρατηρούμε ότι οι όροι 1 ,3,5, . . . ,20 1 είναι διαδοχικοί όροι της (αν), οπότε: αν = 201 � 2ν - 1=201 � ν = 1 0 1 . Επομένως Α = S ιο 1 =

1 + 201 101 = 101 2= 1 020 1 . = 101 2 2 Αναζητούμε, αν υπάρχει, νε Ν * τέτοιο ώστε 81 3 ν 81 βν = ( 1 ) . 'Εχουμε: ( 1) <::> 4 ( 4) - = <=> 64 64 (�)ν-1 = ξ516 <::> (�)ν-1 = (�)4 <::> ν l = αι + αιοι

ν)

2 Ει = 3 ·243 = 1 62 ·

Ισχύει α 1 'Φ- βl και α2 = β2=3. Παρατηρούμε ότι: ν;:::3 � 2ν;:::6� 2ν - 1;::: 5 � αν;::: 5 , και 3� '< 4�• =>

ί ν)

(�)

δόν που απομένει μετά την νιοστή τομή. Τότε

ίί)

()

ίίί)

4 <=> ν = 5.

ίν)

(�)5

(�)

( 2 )ν-Ι 4 (�Γ {Η ν <ο>

()

<ο>

ν " 1 ο.

Επομένως η πρώτη τομή είναι η 1 Οη . Μετά την lη τομή η απώλεια του εμβαδού εί-

ναι α 1 = .!_ 243=8 1 . Αν συμβολίσουμε με

Να βρείτε σε ποιες τρεις διαδοχικές τομές το γινόμενο τών απωλειών του εμβαδού είναι ίσο 3 · με

( �J

Κάθε φορά αφαιρούμε το ένα από τα τρία ι σεμβαδικά τρίγωνα, επομένως μένουν τα � του εμβαδού. 'Ετσι το εμβαδό που απομέ-

νει σε κάθε τομή αποτελεί γεωμετρική πρόο-

δο με λόγο λ= � . Συμβολίζω με Εν το εμβα-

αν

την απώλεια του εμβαδού μετά την νιοστή τομή, τότε η (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α 1 =8 1 και λόγο λ= .!_ .

στός όρος της είναι

αν

= 81·

(�)v-l . Ζ 3

τον φυσικό αριθμό ν τέτοιο ώστε:

Λύση : ί)

ί ν)

Ε4 =

Ζητάμε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό ν ώστε: 5 ' (2) Εχουμε: :ς Εv 2 ν- Ι 210 (2)<=> 1 62· - ::; (-) 5 <=> 2 . 3 4 • - :ς 3 3 35 3

<ο>

Άσκηση 1 0

{�)ν-Ι .

που απομένει μετά την 4η τομή είναι 41 2 1 62 · 3 - = 1 62 · = 48.

Ένα τρίγωνο εμβαδού 243 (σε cm2) το χωρίζουμε κάθε φορά σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα και του αφαιρούμε το ένα από αυτά. ί) Να δείξετε ότι η πρώτη τομή θα μας δώσει τρίγωνο με εμβαδόν 162 ί ί ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που θα μείνει μετά την 4η τομή ίίί) Να βρείτε την πρώτη τομή που το εμβαδόν του τριγώνου που μένει δεν ξεπερνά το

Ο νιοστός όρος της ακολουθίας είναι Εν= Επομένως το εμβαδόν Ε 1 · λν- l = 1 62

α., α,,. . α,,., -

�

Έχουμε:

νιο-

ητ άμε

ω, (3)

( )ν-Ι ·8 1 · (31 )ν ·8 1 · (31 )ν+l = (31 )3 34 _ 31 ν1_-l 34 _!_3ν 34 _3ν+l1_ = _!_33 <::> �33ν _!_33 3 5 <=> ν=5. 1 (3) <=> 8 1 · 3

<::>

3 3v

<=> =

Επομένως το γινόμενο της 5η\ 6ης και 7ης απώλειας θα είναι ίσο με

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/29

(�J3 .

Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου

Ε1tτά θέματα Σχετικά

Τριώνυμο

Από τον Τιμόθεο Κόρδα 2°υ ΓΕΛ ΠΥΡΓΟΥ

ι.

Να βρεθεί το π λήθ ος των ριζών τη ς εξί σωση ς ( 2κ - 1 χ 2 - 4κ - 2 1 χ + 4κ 2 - 1 = 0 ( 1 )

)

για τι ς διάφ ορε ς τιμ ές τη ς παραμ έτρ ου

κ.

Λύ ση

= Ο δηλαδή κ = .!..2 τότε η ( 1) γίνεται Ο χ 2 - Ο χ - 2 = Ο που είναι αδύνατη. Ο δηλαδή κ .!..2 τότε έχει διακρίνουσα Αν Δ = ( 4κ - 2} 2 - 4(2κ - 1){ 4κ2 - 1) = = 4(2κ - 1) 2 - 4(2κ - 1)2 (2κ + 1) = = 4(2κ - 1) 2 (1 - 2κ - 1) = -8κ(2κ - 1)2 Επομένως: με κ .!.. έχουμε: Δ = Ο <:::> κ = Ο (1 2 διπλή ρίζα ) Δ Ο <:::> κ < Ο (2 άνισες ρίζες) Δ < Ο <:::> κ Ο και 1 / 2 (αδύνατη) 2. Δίνεται η εξίσωση χ2 + ( κ+2) χ+6-κ=Ο ( 1 )

Αν

με το

α*

κ*

α. Να βρείτε την τιμή τ ου κ ώστε η εξίσω ση(l) να έχει μια διπ λή ρίζα και κατόπιν να πρ οσδι ορίσετε την διπ λή ρίζα . β . Για π οια τιμή τ ου κ η εξίσωση (1) έχει ρίζα τ ον αριθμό 3; Π οια είναι η ά λλη ρίζα τη ς εξίσωση ς ;

δι

= Χι + Χ2 ' Λύ ση 3

Αρχικά παρατηρούμε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες αφού Δ=13>0 . Προ σοχή υπάρχει κίνδυνος να γράψουμε

Χι + χ 2 = αβ ή χ1 χ 2 = 1.α και να έχουμε Δ<Ο π.χ. χ 2 - 5χ + 7 = Ο Στην περίπτωση μας έχουμε Χι + χ 2 = 5 , χ 1 χ = 3 , οποτε α = -1ι + -1 = Χ ι +· Χ2 = -53 Χ Χ2 Χ1 Χ2 βι = χ� + χ; = ( Χ1 + Χ2 )2 - 2χ ι . Χ 2 = 25 - 6 = 1 9 19 βι = Χ2 + Χ1 = Χ� + χ ; = Υ1 = Χ ι Χ2 Χ1 Χ2 3 3

·2

δι

=xi + χ; = ( χι + χ2 )3 -3χιχ2 ( χι + χ2 ) =

= 125 - 45 = 80 ή δ, = χ: +χ; =(χ , +χ2 ) ( χ� -χ , χ2 +χ;) = 5( β, -3) =80 ε , = l x � - χ ; ι = Ι χ , - x 2 llx, + Χ2 Ι = 5�( Χ1 - Χ2 )2 = 5�β1 - 2χ 1 χ 2 = 5Jϊ3 Δίνεται το τριώνυμο χ2 - ( κ+ l) χ + 4 , ιc e JR 4.

α. Να βρείτε για ποιες τιμές του κ το τριώνυμο

έχει πραγματικές και άνισες ρίζες. β. Αν χ ι , χ 2 οι ρίζες του τριωνύμου να αποδείξεΓια να έχει μια διπλή ρίζα η ( 1) πρέπει και αρ τε ότι d ( xι , l ) · d ( χ 2 ,1 ) = 4 Αλλά γ. Να προσδιορίσετε την τιμή του κ ώστε η α Δ=Ο κεί πόσταση των ριζών του τριωνύμου να είναι μι Δ = Ο <:::> κ2 + 8κ - 20 = Ο <:::> κ = 2 ή κ = -10 κρότερη του 2. β . Για να έχει ρίζα τον αριθμό 3 πρέπει και αρ- Λύ ση α. Για να έχει το τριώνυμο πραγματικές και άνι κεί 2 + (κ + 2)3 + 6 - κ = Ο δηλαδή κ = - Ε Λύ ση

2 α . 'Εχουμε: Δ = ( κ + 2) - 4( 6 - κ ) = κ 2 + 8κ - 20

Την άλλη λύση τη βρίσκουμε είτε με χρήση της διακρίνουσας είτε με χρήση των τύπων 21 κ = -Vietta με έχουμε:

3χ 2 = -γ <:::> 3χ 2 = 6 -

<:::>

11 21 <:::> = 3χ 2 = 6 + Χ2 2 2

σες ρίζες πρέπει και αρκεί Δ>Ο 2 ΑJλά Δ > Ο <:::> ( κ + 1) - 1 6 > Ο <:::> l κ + 1 1 > 4 <:::> =Α κ+ 1 > 4 ή κ+1 < -4 <:> β . Με κ Α έχουμε: d ( x , , l) d( χ2 , 1) = 4 � l x 1 - Il · l x 2 - 11 = 4

κε(-οο, -5)υ( 3,+οο)

� Ι χ 1Χ 2 - ( χ 1 + χ2 ) + 1 1 = 4 �

Έ στω Χι ,χ 2 οι ρίζες τη ς εξίσωσης 14 - κl = 4 <:::> κ - 4 = 4 ή κ - 4 = -4 <:::> ο 2 5 χ + 3 = κ = 8 ή κ = Ο <:> κ = 8 χ . Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων γ. Πρέπει και αρκεί Ι χ , - χ2 Ι < 2 (i) 1 1 ι β Χ Χ 2 2 2 αι = - + - , Αλλά στο Α έχουμε: ι = χι + χ2 γ ι = - + - , ' Χι Χ2 Χι Χ2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/30

(1)

Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου

(

Χ12 - 2 Χ1Χ 2 + Χ 22 < 4 <=> Χ1 + Χ 2 ) 2 - 4 Χ1Χ < 4 2 <=> κ + 1 ) 2 - 1 6 < 4 <=> 1 κ + l l < 2 ν'5 <=:> -2 ν'5 - 1 < κ < 2.)5 - 1 <=> -2.JS - 1 < κ: < -5 ή αφού -s - -2 .JS - 1 = 2 .)5 - 4 = J20 - J16 > Ο και

(

<=> Χ 2 + 2χ = 0 <=> Χ Ε { 0, -2 }

Να αποδεiξετε ότι: α) χ 2 > 4χ - 5 για κάθε χ ε 1R β) χ 2 - 3 xy + 3y 2 + 1 > Ο για κάθε x, y e 1R Λύ ση

α) Αρκεί χ 2 - 4 χ + 5 > Ο, που ισχύει αφού το τριώνυμο έχει διακρύνουσα Δ=-4<0 και α=l>Ο β) Α ρκεί f { x ) = x 2 - 3y ) x + 3 y 2 + 1 ) > 0 , που ισχύει αφού το f χ) έχει Δ = -3 y2 - 4 < Ο και α = 1 > Ο .

)

(

( 2ν'5 - 1 ) - 3 = 2ν'5 - 4 = J20 - JΙ6 > 0

Να λυθ ούν οι εξισώσει ς:

(2χ - 1) 2 - 4�4χ 2 - 4 x + l + 3 = 0 (1) ( x - l )( x - 2)( x + 3)( x + 4} = 24 (2) Λύ ση

(

( 1

�(

<=> 2χ - 11 2 - 4 2χ - 1 + 3 = Ο <=>

2χ - l l = κ: <=> κ: 2 - 4κ: + 3 = ο

2χ - 1 = κ: <=> 1 2χ - 1 1 = 3 ή 1 2χ - 1 1 = 1 <=> κ: = 3 η κ: = l <::> 2χ -1 = 3 ή 2χ - 1 = -3 ή 2χ - 1 = 1 ή 2χ - 1 = -1<=:> Χ Ε { 2, -1, 1, 0 } Για τη λύση της (2) πολλαπλασιάζουμε την lη με την 3η παρένθεση και την 2η με την 4η διότι -1 + 3 = -2 + 4 = 2 και έχουμε: { 2 ) <=> χ 2 + 2χ + 2 ) χ 2 + 2χ + 12 = 24 <=>

•

(

{(

{

)

χ2 + 2χ + 2 = κ: χ 2 + 2χ + 2 = κ: <=> <=:> κ: κ: + 1 0 ) = 24 κ: = 2 ή κ: = -12 <=:> χ 2 + 2χ + 2 = 2 ή χ 2 + 2χ + 2 = -12 <=>

<=:>

Δίνεται η εξίσωση r + ( α-3) χ+6-α= Ο (1) α . Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες. β. Αν χ1 , χ 2 είναι οι ρίζες της ( 1) να βρείτε την μεγαλύτερη τιμή του α ώστε χ : + χ ; + 1 ::; -2(2χ 1χ 2 - s) (Ι) Λ ύ ση α) Για να έχει η (1) πραγματικές ρίζες πρέπει και αρκεί Δ � Ο. Αλλά Δ � Ο <=> α 2 - 2α - 1 5 � Ο <=> α + 3 ) α - 5 ) � Ο <=> α ε -οο, -3 ] υ [ 5, +οο ) = Α β) Από τους τύπους του Vietta έχουμε χ 1 + χ = 3 - α , χ 1 χ = 6 - α . Στο Α έχουμε: 2 2 2 ) <=> x + χ 1 2 ) + 2 Χ1Χ - 9 $ 0 <::> {l 2 2 <=> 3 - α ) + 2 6 - α ) - 9 $ 0 <=> <=> α 2 - 8α + 12 ::; Ο <=> α - 2 ) α - 6 ) ::; Ο <=> 2 $ α $ 6 <::> 5 $ α $ 6 Συνεπώς η μεγαλύτερη τιμή του α είναι το 6.

(

Η συντακτική επιτροπή του ΕΥΚΛ Ε Ι Δ Η Β' εύχεται σε όλο υ ς το υ ς αναγνώστες

., 8 ι. 8',

Α ν�ι,�, ,_......- � · ναcπαση κα� "� •

(

'Εχουμε: 1 ) <=> 2χ - 1 ) 2 - 4 2χ - 1 ) 2 + 3 = Ο <::> <=> 2χ - 1 ) 2 - 4 2 x - l + 3 = ο

(

π· ασχ:α ·

Μ ε χαρά περ ιμένου με νέες συνε ργασίες, άρθρα, λύσεις ασκή σεων αλλά και τις παρατη ρ ή σε ις σας για να γίνο υ με καλύτεροι . . .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/31

Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου

Μ ερι κ ές χρ ήσι μες επ ι σημ άνσε ι ς σχετ ι κ ές με το πρ όσημο του τρ ι ωνύμου f(χ) = αχ 2 + βχ+ γ . Από τον Γιώργο Τασσόπουλο

Ξεκινάμε με μια άμεση απόδειξη της πρότασης: Δ<�αf(χ)>Ο, για κάθε χεR (Ι). Έχουμε: β2-4αγ<Ο ( 1 ). Αν λοιπόν υπήρχε χεR με αf(χ)::;Ο, δηλαδή α2χ2+α·βχ+α·γ::;Ο, τότε 4α2χ2+4α·βχ+4α·γ:ς0 (2), οπό τε: ( 1),(2) � 4α2χ2+4α·βχ+β2 <Ο � (2αχ+β)2<0, άτο πο. Άρα η πρόταση (1) αληθεύει. Εξάλλου για Δ=Ο βρήκαμε α =α2(χ+ 1- )2 �. f(χ) 2α για κάθε χ εR, το ίσον μόνο για χ=- 1_ . με 2α Τέλος για Δ>Ο βρήκαμε f(x) = α(χ2+ Ι χ + 1- ) = α α α[χ2 - (χ ι +χ2)Χ + ΧιΧ2] = α(χ2 - ΧιΧ - Χ2Χ + ΧιΧ2) =α[χ(χ-χι) - Χ2(χ - χ ι )]=α(χ-χ ι )(χ-χ2), όπου Χι ,Χ2 οι ρίζες του f(x) με Χι #2 . Αν χ ι <χ2 τότε για το γινόμενο Γ=(χ-χι )(χ-χ2) βρήκαμε εύκολα ότι το πρόσημό του εναλλάσσεται στα διαδοχικά διαστήματα που ορί ζουν οι ρίζες χ ι ,Χ2 με Γ>Ο στο (χ2,+οο). Το αποτέλεσμα απεικονίζεται στον άξονα: Το ίδιο διαπι στώνουμε για το + + γινόμενο Γ=(χ - χ ι )(χ - χ2) (χ - Χ3 ) με χ ι <χ2<Χ3 . Ομοίως για κάθε γινόμενο της μορφής αυτής με περισσότερους παράγοντες. Αυτό που θέλου να κατανοήσουν οι μαθητές με προκειμένου να αποφύγουν άσκοπες ποινακοποιήσεις είναι ότι η εύρεση του προσήμου κάθε πολυωνύμου που έχει αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων της μορφή ς (αιχ2+β ιχ+rι )μ, (α2χ+�)ν, όπου μ, ν ε Ν * , τελικά ανάγεται στην εύρεση του προσήμου ενός γινομένου της μορφής Γ=(χ - Χι }(χ - Χ2)· (χ - J'3) · . . . . ·(χ - Xv) με χ ι <χ2<χ3 < . . . . . . < Χν . Για να γίνει κατανοητός στην πράξη αυτός ο ισχυρισμός θα θεωρήσουμε ένα συ γκεκριμένο παράδειγμα. Έστω A=(x+1)(2x2-3x+l)(l-x)3(x-3 )3(-3x2+x-2)(x2-4x+4) . Ας αναζητήσουμε τις τιμές του χ για τις οποίες ι σχύει Α<Ο (1). Τα τριώνυμα που έχουν αρνητική διακρίνουσα έχουν συγκεκριμένο πρόσημο. Π . χ. -3χ2+χ - 2<0, για κάθε χεR αφού α = - 3<0 και Δ= -23<0. Επομένως μπορούν να παραλειφ θούν, διατηρούμενης ή μη της φοράς της ανίσωσης αναλόγως του προσήμου τους. Εδώ έχουμε: (l)<=>(x+ 1 )(2χ2-3χ+ 1)(1-2χ)3 (χ-3)3 (χ2- 4χ+4)>0 (2 Για τα άλλα δύο τριώνυμα έχουμε: 2χ2 - 3 χ + 1 = 1 =2(χ - l)(x - ) και χ2-4χ+4=(χ-2) 2 , οπότε: •

•

-χ

•

Χι

χ2

�

+χ

1 2 3 -1 3 3 (1�χ+1 )2(χ-1 )(χ - 2 Η-2) (χ- 2 ) (χ-3) (χ-2) >0

1 1 <=> (x+l }(x-l}(x- )·(χ- )3 ·(χ-3)3 ·(χ-2)2 <Ο (3). 2 2 Καταλήγουμε λοιπόν πάντα σε γινόμενο δυνάμεων μόνο πρωτοβαθμίων παραγόντων. Επειδή οι αριθ μοί α2ν+ 1 , α έχουν το ίδιο πρόσημο όταν α#) , νεΝ, π.χ. οι (χ-3)3 , χ-3 όταν x;i:3, θα έχουμε: (3)<:::>(x+l}(x-1)-(x- )4 ·(χ-3)·(χ-2)2 <Ο (4).

�

' ' Στο σημει'ο αυτο' παρατηρουμε

οτι

για

χε { , 2 } η 2

(4) δεν επαληθεύεται, ενώ για χ � { _!_ 2 , 2} έχουμε

(χ- 2 )4·(χ - 2)2 >Ο. Άρα: (4) <::>χ � { 2 ,2} και (x+l)-(x-l)·(x-3)<0. Τοποθετώντας τις ρίζες στον άξονα έχουμε τελικά:

(l)<=>xε(-oo,-l)u(l,3 )-{ 2 ,2} =(-oo,-l)u(l ,2)u(2,3). •

Αν βέβαια θέλαμε Α�Ο (i), τότε για χ ε { _!_ 2 ,2}

η (i) επαληθεύεται, οπότε: (i)<:::>χ ε { _!_ 2 ,2} ή (x+l)·(x - l )·(x - 3) �Ο <=>χ ε { 2 ,2} ή χ ε [- 1 , 1 ] u[ 3,+oo)<:::>x ε [- 1 , l ]u[3 ,+oo) u {2} . Προσοχή : Στη μορφή (1) (Α<Ο ή Α>Ο) πρέπει να ε.ξαι1 ώ στη μορφή (ΜΟ ή να τις με 2 ρού τιμές ;1. εν (i) �)

_!_

τις συμπερtλαμβάνου

στην τελική απάντηση.

με Ελπίζουμε οι παρατηρήσεις μας να αξιοποιηθούν στις επόμενες τάξεις, προκειμένου να αποφευ χθούν τελείως οι πίνακες προσήμων. Κλείνοντας προτείνουμε μια ενδιαφέρουσα ε φαρμογή επί του προσήμου τριωνύμου: Αν x,yεR με xy> 1 , τότε να δείξετε ότι: (αβχ)2+y2 +(α2+β2)χy+ 2 (α+β)(αβχ+y)+4αβ >Ο, για κάθε α,β εR. Υ πό δ ειξη : Αν f(t)=x·t2+2t+y, τότε xy>l� x;i:O και Δ=4·(1 -χy)<Ο�f(α)·f(β)>Ο για κάθε α, βεR. κ.λ.π •

Υ , χ3 ) κ.λ.π.

Ειδικές περιπτώσεις: (α= l , β=2), (α= 2 β=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/32

------- Μ αθηματικά για την Α ' Λυκείου

-------

Εγγεγραμμένα σχήματα στον κύκλο

Στέργιος Τουρναβίτης

Ένας από τους στόχους αυτής της εργασίας, είναι η ενθάρρυνση στην επίλυση ασκήσεων με γεωμετρικά σχήματα που είναι εγγεγραμμένα στον κύκλο. Αρχίζοντας από τις εγγεγραμμένες γωνίες, τις σχέσεις τους με τα τόξα στα οποία βαί νουν, τις γωνίες χορδής και εφαπτομένης και φθάνοντας μέχρι τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα, παραθέτουμε κάποιες ασκήσεις με κλιμακούμενη δυσκολία, ακολουθώντας την ύλη, έτσι όπως είναι διαρθρωμένη και στο Κεφάλαιο 6 του σχολικού βιβλίου.

1 . Σε δύο σημεία Α και Β ενός κύκλου φέραμε 3 . Γράφουμε κύκλο με διάμετρο τη μία κάθετη τις εφαπτόμενες, οι οποίες τέμνονται σ' ένα ση πλευρά ορθογωνίου τριγώνου, ο οποίος τέμνει μείο Γ εκτός αυτού. Μετρήσαμε τις γωνίες φ την υποτείνουσα σ' ένα σημείο Μ. Γιατί η εφα και ω και βρήκαμε ότι είναι παραπληρωματι πτομένη ε του κύκλου στο Μ, διέρχεται από το κές. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυ μέσο Δ της άλλης κάθετης πλευράς ΑΓ; Λύση : Πατό;

Λύση : α 'τρόπος: Το άθροισμα των γωνιών του τε τραπλεύρου ΟΑΓΒ είναι 360 ° . Επειδή οι γωνίες Α και Β είναι ορθές, το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών του θα είναι φ + {ίJ = 180 ° .

Δ.

··· ·· · ··· ..· ψ .:. :;:.· .....

β ·τρόπος: Φέρνουμε την χορδή ΑΒ και αφού όπως γνωρίζουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΓΑ και ΓΒ είναι ίσα, το τρίγωνο ΑΓΒ είναι ισοσκελές. Επομέ νως θα έχει τις προσκείμενες γωνίες στη βάση του ίσες. Η κάθεμιά όμως από αυτές τις ίσες γωνίες a, Ρ είναι γωνίες που σχηματίζονται με την χορδή ΑΒ και τις εφαπτόμενες, άρα θα είναι ίσες με το μισό της επίκεντρης φ, που βαίνει στο ίδιο τόξο. Από το άθροισμα των γωνιών το παραπάνω τριγώνου, έχουμε : ω + + = 180 ° � +ω + φ = 180 ° . Καταλήγουμε και πάλι ότι οι δύο γωνίες φ και ω , είναι παραπληρωματικές.

� �

ρατηρούμε από τον τρό κατα πο σκευής του σχήματος και την υπό θεση, ότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ εφάπτεται στην ΑΓ και ότι η εγγεγραμμένη γωνία . ΑΜ Β επειδή βαίνει σε ημικύκλιο είναι ο ρθή. Τα εφαπτόμενα τμήματα ΔΜ και ΔΑ είναι ίσα, οπότε το τρίγωνο ΑΔΜ είναι ισοσκελές και ΔΑΜ = ΑΜΔ . (Μπορείτε να συμπεο ράνετε μ' έναν δεύτερο τρόπο, γιατί οι παραπάνω γωνίες είΓ ναι ίσες;) Το τρίγωνο ΜΔΓ εί ναι και αυτό ισοσκελές γιατί έχει τις προσκείμενες γωνίες στη βάση του ΜΓ, ΔΜΓ και f ίσες, ως συμπληρωματικές ίσων γωνιών. (Ποιες είναι οι συμπηρωματικές τους που είναι ίσες;) Άρα λοιπόν είναι ΜΔ = ΔΑ = ΔΓ, που σημαίνει ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου διέρχεται από το μέσο Δ της ΑΓ.

Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Δ και Β και Α, Γ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Δ στους δύο αυτούς κύκλους. Π αρατηρούμε ότι αν φέρουμε την ευθεία ΑΓ, διέρχεται από το Β. 4. Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρου με τον περ ι γεγραμμένο κύκλο του c 1 και τα δύο ύψη ΑΔ, Μπορείτε να το δικαιολογήσετε; Λύση : Φέρνουμε τις χορδές ΑΒ, ΓΒ και βλέπουμε ΒΕ, τα οποία τέμνονται στο Η (ορθόκεντρο του ότι οι εγγεγραμμένες γωνίες ΔΒΑ, ΔΒΓ βαίνουν σε τριγώνου). Να αποδείξετε ότι: ημικύκλια, άρα είναι ορθές. Επομένως το άθροι α) Τα συμμετρικά του Η ως προς τις πλευ ρ ές είναι σημεία του περιγεγρ αμμένου σμα τους ΑΒ Γ είναι μία ευθεία γωνία και από αυτό του τριγώνου c1 • κύκλου συμπεραίνουμε, ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συ β) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τρ ιγώνων νευθειακά. ΑΒΓ, ΗΒΓ, ΗΓΑ και ΗΑΒ είναι ίσοι. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/33

-------

Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου

--------

και 0181 των δύο περιγεγραμμένων κύκλων, είναι ίσες, δηλαδή οι περιγεγραμμένοι κύκλοι δυο ίσων τριγώνων, είναι ίσοι. Παρατηρούμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒ Γ είναι ταυτόχρονα και περιγεγραμ μένος για το τρίγωνο Η'ΒΓ όπως αποδείξαμε από το l o ερώτημα. Τα τρίγωνα όμως ΗΒΓ και Η'ΒΓ είναι ίσα επειδή είναι συμμετρικά ως προς την Β Γ. Άρα και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι c2 και c1 που διέρχονται από τις κορυφές τους, είναι αντί στοιχα ίσοι.

5. Ο Κύκλος του Eu ler ή κύκλος των 9 σημεί ων" Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ και Η το ορθόκεντρό του. Π αίρνουμε τα μέ σα Κ, Λ, Μ των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τα μέσα Ν, Σ, Τ των τμημάτων ΗΑ, ΗΒ, ΗΓ αντί στοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ, Κ, Λ, Μ, Ν, Σ, Τ είναι ομοκυκλικά. ''

ΛίJση : α) Προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ και έστω Η' το σημείο που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ. Οι γωνίες f/' και f' είναι ίσες επειδή είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο ίδιο τόξο. Το ίδιο συμβαίνει και με τις γωνίες Β1 και Α1 . Η γωνία f/1 είναι ίση με την f/2 ως κατακορυ φή και η f/2 είναι συμληρωματική της Α1 από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΗ . Επομένως οι γωνίες fl ' και f/1 είναι ίσες ως συμπληρωματικές ίσων γω νιών. Άρα το τρίγωνο ΗΒ Η' είναι ισοσκελές και το ύψος του ΒΔ είναι και διάμεσος. Άρα ΗΔ = ΗΔ ' που σε συνδυασμό με του ότι ΗΗ' J_ ΒΓ, συμπε ραίνουμε ότι τα σημεία Η, Η ' είναι συμμετρικά ως προς την ΒΓ. Με παρόμοιες διαδικασίες μπορεί να αποδειχθεί ότι τα συμμετρικά του Η ως προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ, είναι σημεία του κύκλου c1 . β) Για το ερώτημα αυτό θα μας χρειαστεί μία πρό ταση: Όταν δύο τρίγωνα είναι ίσα έχουν ίσους πε ριγεγραμμένους κύκλους. Έχουμε σχεδιάσει δύο τρίγωνα ίσα και έχουμε φέ ρει τους περιγεγραμμένους τους κύκλους c, d. Οι εγγεγραμμένες γωνίες Α και Α1 είναι ίσες ως ομό λογες γωνίες των ίσων τριγώνων. Άρα και οι αντί στοιχες επίκεντρες γωνίες δ και 01 είναι ίσες ως διπλάσιες των παραπάνω εγγεγραμμένων γωνιών.

Λύ ση : Όπως βλέπουμε κατά τη σχεδίαση της ά σκησης, προκύπτουν τρία ορθογώνια παραλληλό γραμμα τα ΜΛΤΣ, ΝΤΚΜ και ΝΛΚΣ (γιατί;) τα οποία αν τα πάρουμε ανά δύο έχουν μία κοινή δια γώνιο. Π.χ. τα δύο πρώτα έχουν κοινή διαγώνιο την ΜΤ. Το μέσο Ο αυτής της διαγωνίου, ταυτίζε ται με το μέσο της άλλης διαγωνίου ΛΣ του ΜΛΤΣ, που είναι ταυτόχρονα διαγώνιος του τρί του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. •

, .

Σύμφωνα με τα προηγούμενα και επειδή οι διαγώ νιες ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ί σες και διχοτομούνται, τα σημεία Μ, Λ, Τ, Σ, Ν, Κ, ως κορυφές των τριών ορθογωνίων, ισαπέχουν από το κοινό τους κέντρο Ο. Άρα είναι ομοκυκλι κά ενός κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα ΜΤ ΛΣ p =- =- . 2 2

Τα ισοσκελή τρίγωνα ΒΟΓ και Β1 01 Ιί είναι ίσα γιατί έχουν τις βάσεις τους ίσες και τις προσκείμε νες γωνίες στη βάση τους ίσες, επειδή το άθροισμά τους (ουσιαστικά το διπλάσιο της μιας από αυτές) είναι παραπλήρωμα των ίσων γωνιών της κορυφής τους. Από το 2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (ΓΠΓ) τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα και οι ακτίνες Ο Β

Επίσης επειδή η ΝΔΚ = 90 ° , συμπεραίνουμε ότι το Δ ανήκει και αυτό στον παραπάνω κύκλο, αφού η ΝΚ είναι διάμετρός του (γιατί;). Το ίδιο βέβαια συμβαίνει και για τα Ε και Ζ, αφού είναι κορυφές ορθών γωνιών (ποιες;) που βαίνουν σε ημικύκλια. 6.

Αν Η είναι το σημείο τομή ς των υψών ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ τριγώνου ΑΒΓ (ορθόκεντρο του τριγώ-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/34

-------

Μαθηματικά για την Α' Λυκείου

--------

νου) μπορ είτε να βρείτε τα έξι εγγρ άψιμα τε- τρων των τόξων που περιέχονται στη γωνία αυτή ή στην κατακορυφήν της (Κλασική εφαρμογή των τράπλευ ρα του σχήματος;

Λύ ση : Παρατηρούμε ότι κάθε πλευρά του τριγώνου, φαίνεται από τα ίχνη των δύο υψών που φέρονται προς τις άλλες δύο πλευρές του, υπό ορθές γωνίες. Άρα τα τετράπλευρα ΒΓΕΖ, ΑΓΔΖ και ΑΒΔΕ είναι εγγράψιμα . •,

εγγεγραμένων γωνιών). Συγκεκριμένα: Αν οι ευ θείες ΑΒ, ΓΔ τέμνονται σε σημείο Μ εσωτερικό του κύκλου, τότε: ΒΔ ΑΓ + ΒΔ (Α ΜΓ) = ( @ ) + (ψ) = ΑΓ + 2 2 2 Αν τέμνονται σε σημείο Μ εξωτερικό του κύκλου, τότε έχουμε:

{.-.) {.-.) {.-.) {.-.)

•

Επίσης τα τετράπλευρα ΑΕΗΖ, ΒΔΗΖ και Γ ΔΗΕ είναι εγγράψιμα επειδή έχουν δύο απέναντι γωνίες ορθές, οπότε είναι και παραπληρωματικές.

Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες ενός κύ κλου (Ο, ρ) στα άκρα δύο κάθ ετων χορδών του είναι κορυφές εγγρ αψίμου τετραπλεύ ρου.

Π\ TJ l l l ;1

Λ ί>ση : α ·τρόπος: Όπως γνωρίζουμε τα εφαπτόμε να τμήματα ΖΓ και ΖΒ είναι ίσα, όπως συμβαίνει και με τα ΘΑ και ΘΔ. Αρα τα τρίγωνα ΓΖΒ και ΑΘΔ είναι ισοσκελή. Επομένως οι προσκείμενες γωνίες στις βάσεις αυτών των τριγώνων, θα είναι μεταξύ τους ίσες. Άρα Χι = χ2 και Ψι = Ψ2 . Η καθεμιά από αυτές είναι γωνίες που σχηματίζονται από χορδή και εφαπτομένη. Μπορείτε να αναφέρετε την χορδή και εφαπτομένη που ,,...'\\ σχηματίζονται κά,,,,,,,- / θεμιά από αυτές; Επίσης οι γωνίες χ3 και φ3 είναι εγγε γραμμένες και βαί νουν στα αντίστοι χα τόξα ΒΓ και ΑΔ των χορδών. Επομένως θα ισχύουν οι ισότητες: χ1 = χ2 = χ3 και, Ψι = ψ2 = ψ3 • Όμως από το άθροισμα των γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ΑΚΓ, θα ισχύει ψ3+χ3 = 90 ° . Άρα για τις απέναντι γωνίες Θ, Ζ του τετραπλεύρου ΕΖΗΘ, θα ισχύει:

(Α ΜΓ) = ( @ ) - (ψ) =

(ΑΓ)-(ΒΔ) 2

Η πρόταση αυτή προφανώς εξακολουθεί να ισχύει, ακόμη και όταν μία τουλάχιστον πλευρά της γωνί ας εφάπτεται του κύκλου, δηλαδή όταν Α Ξ Β ή r Ξ Δ (σχήμα γ) και (σχήμα δ).

' '

'·

------'eH

2+θ = = 180 ° 2 χ3 + 180 °

2 ψ3 = . . . = 180 ° ,

επο μένως παραπληρωματικές και το τετράπλευρο ΕΖΗΘ εγγράψιμο. -

Σχόλιο της Συντ α κτικής Επιτροπής Στη σελίδα 1 25 του σχολικού βιβλίου,

υπολογίζε ται το μέτρο της γωνίας που σχηματίζουν οι φορείς δύο χορδών ενός κύκλου ως συνάρτηση των μέ-

•

Η παραπάνω άσκηση μπορεί να δοθεί στους μαθητές ως μια θαυμάσια εφαρμογή αυτής της πρότασης προκειμένου να εξοικειωθούν με την έννοια της κίνησης στη Γεωμετρία και τις ορι ακές μορφές κάποων σχημάτων. Πράγματι σύμφωνα με το (σχήμα δ) στο τετράπλευρο ΕΖΗΘ έχουμε:

(Θ) = ( ΑΓ) +(iΉ ): ( Μ)-( ΑΔ)

{Ζ) = ( ΓΑ) + (ΑΔ) :(ΔΒ) -(Βr) , (Θ) + (z) = ( ΑΓ ) + (ΒΔ) . Σύμφωνα

και

(σχήμα α) όμως έχουμε ( ΑΓ ) + ( ΒΔ) = 2 ( ΑΚr ) = 2 . 90° = 1 so0 •

Άρα

( Θ) + ( z) = 1 so0 •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/35

οπότε με το

Μ αθηματικά για την Β' Λυκείου

Β ' λΥΚΕΙΟΥ

Υπεύθυνοι τάξης: Β. Καρκάνη ς, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης, Απ. Κα1C1Cαβάς

Τάξη : Α.

Ε κθ ετ ι κή και λογαρι θμ ι κή Συνάρ τηση

Β'

Κώστα Βακαλόπουλου, Χάρη Τσουλουχά

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΉ

Πολλά φαινόμενα της πραγματικότητας συνδέονται με την έννοια της εκθετικής μεταβολής. Θα αναφέρουμε λίγα τέτοια προβλήματα για κατανόηση και εμπέδωση της έννοιας αυτής. Η συνάρτηση που περιγράφει αυτή τη μεταβολή έχει τη μορφή: Q( t) = Q 0 • ecι , όπου Q( t) ποσότητα σε χρόνο t, Q0 η αρχική ποσότητα, c σταθερά και t ο χρόνος.

Π ρόβλη μα 1 Ο αριθμός των βακτηρίων σε μια καλλιέργεια που ακολουθεί την εκθετική μεταβολή και διπλασιάζεται κάθε 4 ώρες. Στην αρχή της παρατήρησης έχουμε 3000 βακτήρια. Α) Δείξτε ότι η εξέλιξη της καλλιέργειας ·

Q( t )

ο αριθμός των

Q(t) = 3000 · 24 , όπου βακτηρίων και t οι ώρες

δίνεται από τον τύπο:

μετά την έναρξη. Β ) Πόσα βακτήρια έχουμε 10 ώρες μετά; Ο Γ) Πόσα βακτήρια είχαμε 1 ώρες πριν; Δ) Κάτω από ιδιαίτερα ευμενείς συνθήκες τα βακτήρια διπλασιάζονται κάθε 20 λεπτά. Σχηματίστε μια εξίσωση που θα περιγράφει την εξέλιξη της καλλιέργειας και υπολογίστε τον αριθμό των βακτηρίων 10 ώρες μετά. Λύ ση Α) Σύμφωνα με την εκθετική μεταβολή θα

ισχύει: Q(t) = 3000 · ecι ( 1). Όμως στο τέλος της 4ης ώρας θα είναι: Q( 4 ) = 6000 . Άρα:

6000 = 3000 · e4c => (ec )4 = 2 => ec = 241 . Άρα ο τύπος ( 1) γίνεται: ι Q(t) = 3000 · (ec )' => Q(t) = 3000 · 24 . 10 . Β ) Q(10) = 3000 24 = 3ooom = 16.970 Γ) Έστω Q 0 τα βακτήρια που είχαμε 1 Ο ώρες Q(10) = 3000 . Οπότε: Τότε πριν. 10

Q0 · 24 = 3000 <:::> Q0 = 3000 + .)32 ::: 530 Δ) Αφού διπλασιάζονται κάθε 20 λεπτά θα ισχύει: Q = 6000 . Άρα: 3000 · e; = 6000

(�)

=> (ec )31 = 2 => ec = 8 . Άρα: Q(t) = 3000 · 81 • 0 Οπότε: Q ( 1 Ο ) = 3000 · 8 1 = 3, 2 · 1012 βακτήρια.

Π ρόβλη μα 2 Ο χρόνος ημιζωής των ραδιενεργών ισοτόπων αζώτου με μαζικό αριθμό 13 ανέρχεται σε 10 λεπτά. Στην αρχή της παρατήρησης έχουμε Ν 0

αδιάσπαστους πυρήνες. Α) Να δείξετε ότι η καταστροφή των πυρήνων περιγράφεται από τον τύπο: Ν ( t = Ν 0 Ο , 561 ,

)

•

όπου t σε ώρες. Β ) Τι ποσοστό πυρήνων δεν έχουν διασπαστεί μισή ώρα μετά την έναρξη ; Γ) Τι ποσοστό πυρήνων έχει διασπαστεί μέσα σε μια ώρα από την έναρξη; Λ ύση

Α)

Από την υπόθεση έχουμε:

Υο · ei =

(i) = �ο . Άρα:

( ec }� = ± => ec = 0,5 6 • N(t) = N0 · (ec )' = Ν 0 · (0,5 6 )1 = Ν 0 · 0,5 61 3 0 = • Β Ν ± = Ν 0 · (0,5) � = Ν 0 )

{±) �

()

κΥο -Κ 8 · 100 = · 100 = 87,5

Άρα:

'Ετσι:

Άρα: Το ποσοστό

που δεν έχει διασπαστεί μισή ώρα μετά την έναρξη είναι: 87 ,5% . = N4° . 'Ετσι: Γ) N (l) = N0 · (0,5) 6 = N0 · 2 6

�

Νο

· 100 = 1, 5625 . είναι 1 ,5625% Νο

Β.

Άρα το ζητούμενο ποσοστό

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ Ε ΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ

Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές εξισώσεις και συστήματα επιλύονται εφαρμόζοντας την ιδιότητα της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης σύμφωνα με την οποία ισχύει: Για κάθε χ 1 , χ 2 ε JR , α χ1 = α χ2 <:::> χ 1 = χ 2 ( 1) •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/36

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου •

Για κάθε Χ Ι , Χ > ο ' log. Χ Ι =log. Χ <::? Χ Ι = � 2 2 Όπου α > Ο , α :;t: l

Ά σ κηση 1

(2)

J3sx -2 + 2 4χ = J2 sx+ 2 3 4 χ -2 <:::> 8χ-2 8+ 3 -2- + 2 4 χ = 2-χ2-2 - 34 χ -2 <:::> 34 χ -Ι + 2 4χ = 2 4χ +Ι 3 4 χ -2 <:::? 34χ = 2 . 24 χ - 2 χ <:::> -4 . 3 4 χ = 2 4 χ <:::> 34χ + ( ) 4 9 3 9 ' " 2 χ χ 5. 3 ' 1 _ 2•· = 2 3 � + 2" - ' ( %)4 = � <::> ( %)4 = ( % ) 6 4x = 2 <::> x = i J3 sx- 2 + 24 χ = J2sx+ 2 _ 34χ- 1 7) 3 • 2 = 7 · 5 2 • <:::> ln3 x- 2 <:::> ln( 7 · 5 2 • ) <:::> 6. 7. 3 •- 1 = 7 · 5 2 ' (χ - 2) ln 3 = ln 7 + 2χ ln 5 <:::> χ ( ln 3 - 2 ln 5) = 8. Ιη ( 3' + 3 · 2' ) + Ιη 27 = χ · Ιη 2 + Ιη 89 ln 7 + 2ln3 <::> x = ln 7 + 2tn3 = 1 ' 95 2 ο • ln3 - 2ln 5 1 •ηχ + 10 -10 = 101 9. x 1η{3χ ) + ln 27 = x · ln 2 + ln 89 <::> + 3 · 2 8) 1 0 . log ( log ( χ 2 - 5 χ + 16 ) ) = Ο Ιη{3χ + 3 · 2 • ) - ln 2 x = ln89 - ln 27 <:::> Λί>ση : Τα σύνολα ορισμού των εξισώσεων 1-8 είναι το 1R . Οπότε για κάθε χ ε IR έχουμε: < 2 > -3 χ + 3 = 89 <::> 89 <::> ln ( 3χ + 3 · 2· ) = ln ( 1) ) 2 . 8 2χ = 8 . 2sx <:::> 2 . { 23 )2χ = 23 . 2sx <:::> 27 2 27 2χ (1) 3 χ χ 2 · 2 6 χ = 2 3 · 28 χ <:::> 2 1 +6 χ = 23+sx <:::> 1 + 6χ = 3 + 8χ <:::> = = ( %) ξ7 (% ) % ) <:::> χ = -3 <:::> 2χ = -2 <:::> χ = -1 2) 4 - 2χ = 4100 - 5 · 2' <::> 4 · 2χ = 4196 <::> 9 ) Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το ) ( 0 1 (Ο, +οο ) . Οπότε για κάθε χ ε (Ο, +οο) έχουμε: 2χ = 1024 <:::> 2χ = 2 1 <:::> χ = 10 10Ιη χ + 102-ln x = 101 <:::? 10 Ιη χ + 1001 • = 101 <:::? 10 η 1 10 η χ = y 101η χ = y <:::> <:::> <:::> Υ>Ο Υ>Ο y2 - 101y + 100 = 0 y = lOO ή y = l () ( 101η χ = 100 ή 10ln x = 1 )<:2 ::> ( ln χ = 2 ή ln χ = Ο) <:::> (χ = e 2 ή χ = 1) 1 Ο) Για να ανήκει ο αριθμός χ στο σύνολο Να λυθούν οι εξισώσεις: 1. 2 81 χ = 8 2 8χ 2. 4 - 2· = 4100 - 5 · 2· 3. 81 · 4 χ+3 = 2 56 . 3 4 χ 4 3 1χ+ Ι + 17 3 χ - 7 = 0 4. •

•

(

•

)

(

{

<:::>

=y (1) <::> 3χ -1 <::> 3 χ = 3- <::> χ - 1 y>O 3 1 y = 3 η y = -4

(

Γ1 - 2" = 2 ( 3"! + 2"·' ) "" 1

3χ . 334 - (2 3 ) ' = 2 • 3 Χ . 33 + (2 3 )Χ <:::?

3' ( W - 2 .{13) = 2 · 8χ <:::?

(%} = � <:::?

{

ορισμού της εξίσωσης πρέπει και αρκεί: χ 2 - 5χ + 16 > 0 και log(x 2 - 5χ + 16) > 0 . Όμως: χ 2 - 5χ + 16 > Ο ισχύει για κάθε χ ε IR ενώ

log (χ 2 - 5 χ + 16) > Ο <:::> χ 2 - 5 χ + 16 > 1 <:::> χ 2 - 5χ + 15 > Ο που ισχύει για κάθε χ ε IR . Άρα το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το IR . Οπότε για κάθε χ ε IR έχουμε: log ( log (χ 2 - 5 χ + 16)) = Ο <:::> () log ( log (χ 2 - 5 χ + 16)) = log 1 <:::>2 log( χ 2 - 5χ + 16) = 1 <:::> log( χ 2 - 5χ + 16) = loglO

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/37

(

Μ αθηματικά για την Β' Λυκείου

( 2) <::> χ2 -5χ+16=10<::> χ2 -5χ+6=0<=> χ = 2 ή χ = 3

_ί\σκηση 2

Να λυθεί η εξίσωση :

2 )χ2- 20171 χ + 2χ 2 (

)

1 (1)

Λ ύση

Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός χ στο σύνολο ορισμού της εξίσωσης πρέπει και αρκεί: χ 2 + 2χ - 2 > Ο ή και ( χ 2 + 2χ - 2 = Ο x2 - 20 1 7x :;t: O ) ή ( χ2 + 2χ - 2 < 0 και χ2 - 2017χ : ακέραιος). 1 11 περίπτωση : Αν χ2 + 2χ - 2 > Ο τότε διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: 1 η υποπερίπτωση : Αν χ 2 + 2χ - 2 = 1 δηλαδή χ = 1 ή χ = -3 , τότε η εξίσωση επαληθεύεται. 2η υποπερίπτωση: Αν χ2 + 2χ - 2 :;t: 1 δηλαδή χ :;t: 1 και χ :;t: 3 τότε:

( l ) <=> ( x2 + 2χ - 2 ) χ2 -20 1 7 χ = ( χ2 + 2χ - 2 ) <=>(1 ) χ2 - 20 1 7χ = 0 <=> χ ( χ - 20 1 7 ) = 0 <=> χ = Ο ή ο

Επίσης: Από ισότητες: (2), (3) και (4) έχουμε: αγ = 4 και α + γ = 7 - 2 = 5 . Άρα οι αριθμοί α και γ θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης: χ2 - 5 χ + 4 = Ο δηλαδή α = 1 και γ = 4 ή α = 4 και γ = 1 . Άσκηση 4 Να λυθούν τα συστήματα:

{

Α)

2 2 Ιη χ lny 2Ιη6 , Β) 1 =

e· =

eι + y

Για να ανήκει ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών χ, y στο σύνολο ορισμού του συστήματος αυτού πρέπει και αρκεί να είναι: χ :;t: Ο και y :;t: Ο . Έτσι έχουμε: Λύση : Α)

( )

{ln ln ln {ln ) ln {( ) [{ {

Υ2 = 2 6 <=> ( xy 2 = 6 2 <=> 1 χ e = -y eχ = e 1 y eι+ xy = 6 ή xy = - 6 xy 2 = 3 6 <=> x = -1 - y x = -1 - y x = -1 - y χ

[{

)

<=>

χ = 201 7 <=> χ = 20 17 . (Η τιμή χ=Ο (-1 - y)y = 6 (-1 - y)y = -6 <=> ή απορρίπτεται αφού, 02 + 2 · Ο - 2 < Ο ). x = -1 - y . x = -1 - y περίπτωση : Αν χ2 + 2χ - 2 = 0 τότε 2'1 � y2 + y - 6 = Ο χ2 - 20 1 7χ :;t: Ο οπότε η εξίσωση δεν [{ y2 + y ή <=> επαληθεύεται. x = -1 - y 1-y 311 περίπτωση : Αν χ2 + 2χ - 2 < 0 τότε διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις: ή <o> x, y = 2, -3 ή (-3, 2) 3 111 υποπερίπτωση : Αν χ2 + 2χ - 2 = -1 δηλαδή χ = -1 ± J2 , τότε ο αριθμός χ2 - 20 1 7χ δεν είναι Ση μείωση : Στη λύση του παραπάνω συστήματος ακέραιος οπότε η εξίσωση δεν έχει νόημα. προσέξτε ότι: ln ( xy 2 :;t: 2 ln xy αφού δεν 2η υποπερίπτωση : Αν χ2 + 2x - 2 :;t: -l δηλαδή γνωρίζουμε αν χ · y > Ο . χ :;t: -1 + J2 χ :;t: -1 - J2 και τότε Β) Για να ανήκει ένα ζεύγος πραγματικών (1) αριθμών χ, y στο σύνολο ορισμού του 1 <=> χ2 + 2χ - 2 = χ2 + 2χ - 2 <=> <=> χ2 - 20 1 7χ = ο <=> χ = ο ή χ = 20 1 7 <=> χ = ο . συστήματος αυτού πρέπει και αρκεί να είναι: = y1 x για χ = 201 7 απορρίπτεται αφού χ > Ο και y > Ο . Επίσης ισχύει: (Η τιμή κάθε χ, y > Ο . Πράγματι για κάθε χ, y > Ο ισχύει: 20 1 72 + 2 . 20 1 7 - 2 > ο ). ( Άρα το σύνολο λύσεων της εξίσωσης είναι: ln Υ · ln χ = ln χ · ln y => ln χ 1" Υ = ln y => L = -3, 0, 1, 20 1 7 χ1" Υ = y " x . Έτσι έχουμε: Άσκηση 3 χ + y - 2 e3 + = 2e3 Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, <=> <=> 1 β, γ αν είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής -lnxy =2 ln..{xY = 2 2 Ιη α + Ιηγ = Ιηβ + Ιη2 (1) προοδου και ισχυει: ( x1" Y ) = lne3 3 α + β + γ = 7 (2) {ln 2x = 2e3 e = <=> <=> Λ ί> ση : Αφού οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί ln xy = 4 ln x + ln y = 4 ln x + ln y = 4 όροι γεωμετρικής προόδου θα ισχύει: β2 = αγ (3). ln y · ln x = 3 <=> ( Σ) . Οι αριθμοί: ln χ και ln y Από τη σχέση (3) έχουμε: 1η β2 = lη αγ => ln x + ln y = 4 2 1η β = lη α + lη γ (3). Από τις ισότητες (1) και (3) 2 έχουμε: 2 1η β = Ιη β + ln 2 => Ιη β = ln 2 => β = 2 (4) είναι οι ρίζες της εξίσωσης: t - 4χ + 3 = Ο δηλαδή

_/[{::�

) χ2 -20 1 7 χ

() ( {

}

{

{ {::: J

( ) ( }

)

(

)

( )

1x ny n n ( ) 1 χ) 1 { ln y Ιηχ y {x1n Υ1η χ n n y y 1 { {x { 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/38

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου

( Σ ) <=> ( ln χ = 1 και ln y = 3) ή ( ln χ = 3 και ln y = l) δηλαδή: (x, y) = ( e,e3 ) ή ( e3 ,e ) .

Ά σ κ η ση 5

Αν α = log 2 4χ , β = Jϊ5 και γ = log 2 2χ να υπολογιστεί η τιμή του χ ώστε οι αριθμοί: α, β, α + γ να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Λ ύ ση : Για να είναι οι αριθμοί α, β και γ διαδοχικοί

όροι γεωμετρικής προόδου πρέπει και αρκεί:

{�Ιϊsγ = log2 4x · (log2 4x + log2 2x)

(1)

Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης αυτής είναι το (Ο, +οο ) . Οπότε για κάθε χ ε (Ο, +οο ) έχουμε:

(1) <=> 15 = ( log 2 2 2 χ ) ( log 2 8 χ 2 ) <=> 15 = ( log 2 2 2 + log 2 χ ) ( log 2 8 + log 2 χ 2 ) <=> 15 = ( 2 + log 2 χ) ( log 2 8 + log 2 χ 2 ) <=> 1 5 = ( 2 + log 2 χ ) ( log 2 23 + 2 log 2 χ ) <=> 15 = ( 2 + log 2 χ) ( 3 + 2 log 2 χ ) log 2 χ = y log 2 χ = y <=> <=> 2 15 = (2 + y)(3 + 2y) 2y + 7y - 9 = 0

{

{(

{

5. 6.

( 3 + Ιη χ)( 4 - Ιη χ) � Ο

�ΧιοιJϊ > 104

Λ ύ ση : 1 )

1 5 . 3χ - 3645 < Ο <=> 3χ < 3 645 + 1 5 <=> (ι ) 3χ < 243 <=> 3χ < 3 5 <=> χ > 5 (2) 2) ο, 2 2 χ 3+ χ 2+ι > ο, 2-2 χ 2+ 5 χ -3 <=> 2χ3 + χ 2 + 1 < -2χ 2 + 5χ - 3 <::::> 2χ3 + χ 2 - 5χ + 2 < 0

Παραγοντοποιώντας το πολυώνυμο του 1 μέλους της ανίσωσης με τη βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε: ου

1 -5 2 ρ = l 2 3 -2 -!. 2 3 -2 ο Έτσι: 2χ3 + χ 2 - 5χ + 2 = (χ - 1) ( 2χ 2 + 3χ - 2 ) Οπότε η ανίσωση γίνεται: ( χ - 1 ) ( 2χ 2 + 3χ - 2 ) < Ο 2

χ-1

-ω

2χ 2 + 3χ - 2

-2

Γινόμενο

Άρα:

<=>

Γ.

ΚΑΙ

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ

Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές ανισώσεις επιλύονται εφαρμόζοντας την ιδιότητα της μονοτονίας της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης σύμφωνα με την οποία ισχύει: Για κάθε Χ ι , χ 2 ε IR , Αν α > 1 τότε: α χ < αχ2 <=> Χ ι < χ 2 (1) Αν Ο< α < 1 τότε: αχ' < αχ2 <=> χ ι > χ 2 (2) Για κάθε Χ ι , Χ 2 > Ο , Αν α > 1 τότε: logα χ ι < logα χ 2 <=> χ ι < χ 2 (3) Αν Ο < α < l τότε: lοgα χ ι < logα x 2 <=> Χ ι > χ 2 (4) •

•

Ά σ κηση 1 Να λυθούν οι ανισώσεις: 1.

1 5 . 3 1 - 3 645 < ο

πημι: > .JΠ στο Ο, π

2. 4.

2 ο , 2 13 +χ2 +Ι

> o, 2-2 x2 + Sx-3

( )

Ιη(χ + 2) > 1η( 3 - χ)

+οο

(χ - 1) ( 2χ 2 + 3χ - 2 ) < 0 <=>

( ιοg2 χ = 1 ή log2 χ = _ .!! ) (-2 < χ < � ή χ > l) 4 )� � Στο (Ο, π) έχουμε: ι ( 0 + = 2 ή χ = 2 ) <ο> ( χ = 2 ή χ = 2 = � ) 16 πημχ > .JΠ <=> πημχ > π2 <=>

log2 χ = Υ , 18 y = l η y = -4

�

�L. �----Ι

--+---�--..--�---+,,.

(ι) π 5π <=>ημχ > -1 <=> - < χ < 6 2 6

4) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός χ στο σύνολο ορισμού της ανίσωσης πρέπει και αρκεί: χ + 2 > Ο και 3 - χ > Ο δηλαδή -2 < χ < 3 Άρα ο σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το: (-2,3) . Έτσι έχουμε: (3) .

ln(x + 2) > ln(3 - x )<=> χ + 2 > 3 - χ

�

<=> 2χ > l <=> χ > . Άρα: χ ε

(� ,3)

Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το: (Ο, +οο ) . Έτσι έχουμε: (3 + ln x)(ln x - 4) <=>

{ (3

{

ln χ = Υ ln χ = Υ <=> <=> -3 $; ln χ $; 4 y ) ( y 4) � 0 -3 $; y $; 4 +

e-3 � χ � e4 ) (3 -3lne � ln x � 4lne <=> ln e-3 � ln x � lne4 <=>

Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το: (Ο, +οο ) . 'Ετσι έχουμε: �χ ιog .JX > 104 <=>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/39

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

(-_:: ) ( ) _:: ( ) + �J' i (i) ( )

χ 10g .,Γχ > 108 � log x 10g .,Γx > logl08 � log� log x > α ε .:: υ .:: .:: 3 3'2 2 ' = y log χ 1 � � - ( log χ ) 2 > 8 � ( log χ ) 2 > 16 � 2 y > 16 2 Β ) Για α = η συνάρτηση γίνεται: 6 log x = y � ( log χ < -4 ή log χ > 4 ) � ' y < -4 η, y > 4 = ( JJ)' που είναι f (χ) = 2συν � (log x < -4log10 ή log x > 4log 10) � m , γνησίως αύξουσα. Άρα: > � r > r { log x < logl0-4 ή log x > logl04 ) � % % 5 π η συναρτηση ( χ < 10-4 ή χ > 104 ) .Άρα: χ ε ( Ο, 10-4 ) υ ( 104, +οο ) Γ) Για α = l2 , f ειναι ' γνησιως '

{

Δ.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΛΟΓ ΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η εκθετική συνάρτηση: f(x) = αχ , Ο < α * 1

και η λογαριθμική συνάρτηση: g(x) = loga χ είναι γνησίως αύξουσα αν α > 1 και γνησίως φθίνουσα αν Ο < α < l . Άσκηση 1

Δίνεται η συνάρτηση :

f(χ) = (2συνα)' , αe -π π 2'2

(

)

Α ) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η

συνάρτηση f να είναι: ί)

γνησίως αύξουσα, ίί) γνησίως φθίνουσα

Β)

Αν

α=

π 6

να συγκριθούν οι αριθμοί:

Γ)

Αν

( ;)

και

( ;)

, Sπ λ , α = 12 να υ θει η ανισωση :

f ( 2χ ) > f ( 1024)

Κατ' αρχήν η συνάρτηση για να ορίζεται πρέπει και αρκεί 2συνα > Ο που ισχύει αφου, α ε π π Λύση : Α)

(-2,2) .

Για να είναι γνησίως αύξουσα πρέπει και αρκεί: 2συνα > 1 . Όμως: 2συνα > 1 � συνα > .!. � α ε - .:: , .:: 3 3 2 ίί) Για να είναι γνησίως φθίνουσα πρέπει και αρκεί: Ο < 2συνα < 1 . Όμως: Ο < 2συνα < 1 � Ο < συνα < .!. � 2 ί)

( )

5 π < π . Ά ρα: , φθινουσα αφου, 3π < 12 2 (2)

1 (1)

r ( 2χ ) > f (1024)� 2x < 1024 � 2' < 2 0 � χ < 10 Άσκηση 2

Δίνονται οι συναρτήσεις:

f(x) = 2χ , g(x) = f (-χ) , h(x) = -f (χ) Αν η ευθεία y = 2 τέμνει την παράσταση της f στο Α και την παράσταση της g στο Β και η ευθεία

γραφική παράσταση της

γραφική γραφική

χ=1

την

h στο Γ, να βρεθούν οι

συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές και να αποδειχθεί ότι: ( ΑΒΓ = 2( ΟΑΒ) .

)

Λύση

άρα A(l, 2) , f(x) = 2 � 2x = 2 � x = l , g(x) = 2 � f(-x ) = 2 � 2-χ = 2 � -χ = 1 � χ = -1 άρα Β { -1,2) . Για χ = 1 , h(l) = -f(l) = -2 1 = -2 , άρα: Γ(l,-2 ) . Το σημείο Ο( Ο, Ο) είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ αφού Β(-1,2) , Γ(l,-2) και 0 = -l + 1 , 2 ο 2-2 = -- . Ό μως οι ευθειες ' ' y = 2 και χ = 1 ειναι 2 κάθετες. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α = 9 0° . Επομένως η διάμεσος του ΑΟ ισούται με το ήμισυ της υποτείνουσάς του. Άρα: ΑΟ = ΟΒ οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. Από τη Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα. Γ) Άρα (ΟΑΒ ) = (ΟΑΓ ) = { ΑΒ . 2 Οπότε: ( ΑΒΓ) = 2( ΟΑΒ ) .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/40

»<- -

·.

, . .. ;• ι �Ά/iΥ,Κ_ξΊ.QΥ,χ.,;·:.υ _,: 'Ή';,·,_

. _. ,, .

ΑΒΑΓΙΑΝΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΖΩΗ Γ. ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΑΒΡΑΝΤΙΝΗ ΑΒΗΝΑ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΓΓΕΛΗ ΟΥΡΑΝΙΑ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΓΕΛΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΝΕΣΙΣ ΑΓΓΕΛΙΔΟΥ ΘΕΟΑQΡΑ, ΕΜΗΝ Ι ΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ-ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΝΔΙΝΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΑ·ΝΙΚΗΤΑ ΜΑΡΙΑ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ•ΑΜΑΡΑΝΤΑ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΑΓΕΡΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΑΓΙΟΣΤΡΑΤΙΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΑΓΡΑΦΙQΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΗΤΑΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ-ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΝΔΙΝΟΥ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΜΗΝΗΣ ΑΘΑΝΑΣΑΚΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΩΤΗΡΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΟΥ ΟΛΓΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1 ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΕΒΙΖΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΣΤΟΜΕΝΗΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΑΗΣ ΦΟΤΙΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΑΛΕΞΙΑΔΗΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ ΜΑΡΙΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΜΙΘΕΑΣ ΑΛΕΞΙΟΥ ΑΝΝΑ-ΜΑΡΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΑΛΕΞΙΟΥ ΠΟΛΥΞΕΝΗ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΦΡΕΝΤ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΛΗΖΙΟΤΗΣ ΑΗΜΗΤΡΗΣ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΑΛΟΓΟΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΟΑΟΡΟΣ, ΕΡΑΣΜΕΙΟΣ ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΝΑΓΝΟΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΑΝΑΓΝΟΣΤΟΠΟΥΛΟΥ-ΜΕΡΚΟΥΡΗ ΜΑΡΙΝΑ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΑΝΑΝΙί\ΔΗΣ ΠΑΥΛΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΔΟΥ ΤΡΙΑΔΑ, 1 ο ΠΕΙΡΑΜΑ τικ ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ·ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΝΔΡΕΑΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΑΝΔΡΕΑΔΗΣ ΓΕΟΡΠΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΚΥΔΩΝΙΑΣ ΑΝΔΡΕΟΛΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΝΔΡΕΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΗΛ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΑΝΔΡΙΑΝΟΥ ΘΑΛΕΙΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΠΟΥΓΑ ΑΝΑΡΙΤΣΟΣ ΑΗΜΗΤΡΗΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΑΝΑΡΟΝΙΚΟΥ ΕΛΙΣΑΒΕΤ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗ Σ ΑΝΑΡΟΥΛΑΚΗ ΣΟΦΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΝΑΡΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΝΕΣΤΗ ΓΕQΡΓΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΑΝΤΟΝΕΝΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙΣΑΡΙΑΝΗΣ ΑΝΤΟΝΙΑΔΟΥ ΙΟΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΓΚΑΔΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΤΟΝΙΟΥ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗ ΑΟΥΑΝΤ ΦΙΛΙΠ, ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΥΛΟΣ ΑΠΟΣΚΙΤΗ ΖΟΗ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΥ ΙΟΑΝΝΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΙΟΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΡΕΒΕΝΩΝ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΜΜΙΝΑΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗ ΙΑΚQΒΙΝΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑ ΝΙΩΝ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΝΗΘΟΥ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΜΥΡΟΥ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΑΡΓΥΡΙΟΥ ΕΙΡΗΝΗ, ΕΜΗΝ Ι ΚΟ ΚΟΜΕΠΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΑΡΓΥΡΟΥΛΗ ΜΑΡΙΑ, 1 0ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΑΡΕΝΙΚΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΤΖΙΔΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΑΡΝΑΟΥΤΟΓΛΟΥ ΚQΝ/ΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΑΡΧΟΝΤΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΑΡΧΟΝ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΕΡΑΠΕΤΡΑΣ ΜΣΙΘΙΟΥ ΑΣΒΕΣΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΣΑΚΗΣ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΑΣΤΡΕΙΝΙΑΗΣ ΖΑΦΕΙΡΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ Η ΕΜΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΑΥΓΕΡΗΣ ΤΙΜΟΛΕΟΝ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΠΟΥ ΑΥΓΕΡΙΝΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΑΦΕΝΤΟΥΛΙΑΗΣ ΑΦΕΝΤΟΥΛΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΒΑΒΛΙΑΚΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΠΑΚΟΠΑΝΝΗ Ν. ΒΑΒΟΥΛΑΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗ Ν Ι ΚΟΥ ΒΑΛΑΚΟΣΤΑΣ ΜΑΡΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΒΑΛΣΑΜΙΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΒΑΜΒΑΚΙΔΟΥ ΙΟΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΩΤΗΡΙΟΥ ΒΑΡΔΑΤΣΙΚΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ • ΑΝΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΒΑΡΕΛΑΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑτικο ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΣΙΛΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗ ΝΕΦΕΛΗ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ·ΛΙΑΚΟΚΑΠΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ-ΦΙΛΙΠΠΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ ΙΟΑΝΝΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΕΥΤΥΧΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ Π Ε Ι ΡΑΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΒΑΣΙΛΙΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΒΑΣΙΛΟΓΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΒΑΣΣΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΝΙΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ-ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ, ΡΙΖΑΡΕΙΟΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΒΕΛΟΝΙΑΣ ΜΠΕΛΟΝΙΑΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ

Υ ΔΙΑΓΩΝΊΣΜQΥ σ:

ΒΕΜΜΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΠΙΚΗΣ ΒΕΝΙΖΕΛΟΥ ΜΑΡΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΒΕΡΝΑΡΔΑΚΗ ΘΕΟΑΟΡΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΒΕΡΥΚΙΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΡΕΒΕΖΑΣ ΒΙΑΑΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΠΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΒΙΣΒΑΡΑΗ ΘΕΟΑΟΡΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΜΙΑΔΑΣ ΗΛΕΙΑΣ ΒΛΑΣΤΑΡΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1 ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΜΑΣ ΒΛΑΤΑΚΗΣ ΛΕΟΝΙΔΑΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΒΛΑΧΑΚΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΒΛΑΧΑΣ ΛΑΜΠΡΟΣ, ΔΩΔΩΝΑΙΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΒΛΑΧΟΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΒΟΝΤΑΣ ΕΡΜΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΒΟΡΒΙΛΑ ΜΑΡΙΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΠΟΥΓΑ ΒΟΥΒΟΥΛΗ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΟΛΙΧΝΙΤΟΥ ΛΕΣΒΟΥ ΒΟΥΓΙΟΥΚΑ ΕΙΡΗΝΗ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΒΟΥΤΣΙΝΑ ΕΛΕΝΑ, 1ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΒΟΥΤΣΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ, 2ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΑΒΡΙΟΤΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΓΑΖΗ ΜΑΡΙΝΑ, PIERCE COLLEGE ΓAITΑΝΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥΠΟΛΗΣ ΓΑΛΑΝΟΣ ΣΤΑΜΑΤΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΓΑΛΑΤΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΠΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΓΑΝΤΑΔΑΚΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΕΘΥΜΝΟΥ ΓΑΡΓΑΛΑΚΟΣ ΑΝΤΟΝΗΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΓΑΡΟΥΦΑΛΗΣ ΚΙΜΟΝ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΓΑΤΣΙΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΡΜΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ ΓΕΡΟΔΗΜΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΥΛΙΔΑΣ ΓΕΡΟΝΙΚΟΛΟΣ ΠΑΝΤΑΖΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΛΙΣΣΙΩΝ ΓΕΟΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΓΕΟΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΓΕΟΡΓΙΑΔΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΥΛΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, "JEANNE D' ARC" ΕΜΗΝΟΓΑΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΓΕΟΡΓΙΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΔΡΑΒΙΔΑΣ ΗΛΕΙΑΣ ΓΕΟΡΓΙΟΥ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΓΕΟΡΓΙΟΥ ΧΑΡΙΑΗΜΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝ ΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ Π Ε Ι ΡΑΙΑ ΓΕΟΡΓΟΥΛΑΣ ΜΑΤΘΑΙΟΣ, ΔΩΔΩΝΑΙΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΟΡΓΟΥΣΑΚΗ ΧΡΥΣΟΥΛΑ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΗΡΟΥΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΩΤΗΡΙΟΥ ΓΙΑΒΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΘΟΜΑΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ·ΓΕΙΤΟΝΑ ΓΙΑΚΟΥΜΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, .3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΓΙΑΚΟΥΜΑΚΗΣ ΣΤΡΑΤΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΙΑΚΟΥΜΕΛΟΥ ΗΛΙΑΝΑ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΓΙΑΝΝΑΚΑΣ ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΙΜΥΣΟΥ ΡΟΔΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ, PΙERCE COLLEGE ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΗΜΑΤΑΡΙΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΜΥΡΟΝ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΡΜΑΙΚΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑθΡΥΤΩΝ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ XAIΔAPIOY ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑJ:ΑΑΛΗΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΓΙΑΝΝΟΥΣΙΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΖΑΓΟΡΙΑΝΑΚΟΥ ΓΙΑΠΑΝΤΖΗ ΦΟΤΕΙΝΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΙΟΒΑΝΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, 530 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΙΟΥΡΗΣ ΣΠΥΡΙΑΟΝ, 2ο ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΚΑΛΤΣΙΔΟΥ ΑΘΗΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΓΚΑΡΟΥΤΣΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ· ΟΜΗΡΕΙΟ ΓΚΕΣΟΣ ΑΝΑΡΕΑΣ ΜΑΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΜΤΑΝΟΥ ΠΕΛΜΣ ΜΕΝΕΜΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ ΓΚΙΖΑΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΓΚΛΑΒΑ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ, 4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΓΚΟΓΚΟΥ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΓΚΟΥΜΑ ΓΕΡΑΣΙΜΟΥΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΜΟΥΣ

ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΓΚΟΥΣΤΟΒΑ ΑΘΗΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΓΚΥΖΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΓΛΑΚΟΥΣΑΚΗ ΘΕΟΔΟΣΙΑ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΝΟΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ. ΚΟΜΕΠΟ ΡΟΔΟΥ ΑΕΜΕ (ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ) ΓΟΥΒΙΑΝΑΚΗΣ ΓΙΟΡΓΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΜΗΝΗΣ ΓΟΥΛΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΜΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝIΑΣ ΓΟΥΛΙΑΝΣ ΘΕΟΑΟΡΟΣ, ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΕΥΚΑΡΠΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΟΥΜΕΝΟΥ ΑΓΑΘΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑθΜΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΓΥΠΑΡΗ ΑΛΕΞΑΝΑΡΑ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΓΥΦΤΟΑΗΜΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ.QΡΑΙΟΖΗΛΗ, 1ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΑΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΗΛ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ ΔΑΚΙΔΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΜΑΣ ΔΑΝΑΛΑΤΟΥ ΑΘΗΝΑ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΑΝΤΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΚΟΝΟΥ ΑΑΣΚΑΛΑΚΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΑΑΣΟΥΛΑ ΜΑΡΙΑ·ΓΕΟΡΓΙΑ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΕΛΗ ΕΛΕΝΗ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΜΣ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΡΚΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΩΘΗΣΗ ΔΕΛΗΚΟΥΡΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΑΕΠΟΥΝΤΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΑΕΡΜΙΤΖΑΚΗΣ ΙΑΣΟΝΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΔΕΡΜΠΖΑΚΗΣ ΠΑΥΛΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΑΗΜΑΔΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΑΗΜΗΤΡΑΚΑΚΟΥ ΑΛΙΚΗ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΙΜΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΙΟΑΝΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΑΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΓΙΟΡΓΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ Ι . Μ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/41

ΑΗΜΟΠΟΥΛΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΜΙΟΥ ΦΜΗΡΟΥ ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΗΜΟΣ ΓΑΒΡΙΗΛ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΑΙΑΛΙΑΤΣΗΣ ΣΠΥΡΙΑΟΝ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗΝΙΚΟΥ ΑΙΑΜΑΝΤΙΑΗΣ ΘΕΟΧΑΡΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ ΑΟΝΤΑΣ ΣΑΒΒΑΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΡΟΔΟΥ ΑΕΜΕ (ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ) ΑΟΡΚΟΦΙΚΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΑΟΥΚΗ ΕΥΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΑΟΥΛΑΛΑΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΑΟΥΡΟΣ ΕΠΑΜΕΙΝΟΝΑΑΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΔΡΑΒΙΛΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΜΝΔΡΙΟΥ ΔΡΑΚΟΝΤΑΕΙΔΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΗΞΟΥΡΙΟΥ ΚΕΦΑΜΟΝΙΑΣ ΔΡΑΚΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ ΔΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΟΙΞΗΣ ΑΡΟΣΟΥ ΜΑΡΙΝΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΠΑΝΤΕΛΗΣ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΕΜΠΟΡΟΠΟΥΛΟΣ ΘΟΜΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ ΕΞΑΡΧΑΙΟΥ ΑΝΝΑ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΠΑΣΧΑΛΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΥΚΑΣΤΡΟΥ ΚΙΛΚΙΣ ΕΥΣΤΡΑΤΙΑΔΟΥ ΣΟΦΙΑ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ ΕΥΦΡΑΙΜΙΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗΝΙ ΚΟΥ ΖΑIΦΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ ΖΑΜΑΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΖΑΜΠΟΠΟΥΛΟΥ ΑΡΙΑΝΑΗ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ ΖΑΝΑΚΗ ΜΑΡΚΕΛΛΑ ΙΟΑΝΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΠΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΖΑΡΙΑΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΖΑΡΙΦΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΜΝΔΡΙΟΥ ΖΑΡΚΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΑΤΟΥ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΟΣΙΑΣ ΖΑΧΑΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΧΑΡΑ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΖΑΧΑΡΗ BAIA, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΜΙΑΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΖΑΧΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΖΕΚΑΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΜΕΠΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ ΖΕΡΒΑ ΜΑΡΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΖΕΡΕΝΙΔΗΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΖΗΚΟΥ ΝΕΦΕΛΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΖΗΜΙΑΝΙΤΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΖΗΣΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΖΗΣΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΖΙΑΚΑ ΜΑΡΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΖΙΑΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΗΛΙΑΔΗ ΑΝΑΡΟΝΙΚΗ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΗΛΙΑΔΟΥ ΑΡΤΕΜΙΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ MIMOY ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 8ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΤΣΙΜΑΡΑΤΟΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΘΑΝΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΘΕΙΑΚΟΥΛΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΙΝΟΦΥΤΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΘΕΟΔΟΣΑΚΗ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΟΔΟΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ ΘΕΟΑΟΡΑΚΗ ΚΑΜΙΟΠΗ, 1ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΥΚΕΩΝ ΘΕΟΔΟΡΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙQΤΗΣ, 1 Οο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΘΕΟΑΟΡΟΥ ΕΛΕΝΗ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΚΕΦΑΜΟΝΙΑΣ ΘΕΟΥ ΔΑΝΑΗ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΟΧΑΡΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΡΙΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΙΑΤΡΟΥ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ . ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΙΕΝΤΣΕΚ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΡΗΣ ΙΣΜΑΗΛ ΑΧΜΕΤ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΙΟΑΝΝΙΑΗΣ ΑΝΑΡΕΑΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΜΕΠΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ ΙΟΑΝΝΙΑΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΙΟΑΝΝΙΔΗΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ ΙΟΑΝΝΙΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΙΟΑΝΝΙΔΟΥ ΕΛΕΝΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΚΑΒΑΛΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΑΒΒΑΔΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ . ΜΑΡΙΝΟΣ ΚΟΡΠΜΕΝΙΟΣ· ΚΕΦ/ΝΙΑΣ ΚΑΒΒΑΘΑ ΑΓΓΕΛΙΝΑ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΚΑIΠΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΠΟΥ ΚΑΛΑΜΑΡΑ ΕΙΡΗΝΗ ΖΟΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΚΑΛΑΡΥΤΗ ΘΕΟΑΟΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΜΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΚΑΛΑΦΑΤΙΑΗΣ ΜΑΞΙΜΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΛΕΣΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΑΜΟΥ ΕΛΠΙΔΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΝΕΣΙΣ ΚΑΛΟΞΙΑΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΛΟΣΠΥΡΟΥ ΙΟΑΝΝΑ, ΕΚΠΙΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ·ΓΕΙΤΟΝΑ ΚΑΛΤΟΥΡΟΥΜΙΑΟΥ ΣΟΦΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΟΣΙΑΣ ΚΑΜΠΙΤΣΗ ΔΑΦΝΗ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΚΑΜΠΟΣΙΟΡΑΣ ΑΗΜΟΣΘΕΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ ΚΑΜΠΟΥΡΙΔΟΥ ΗΛΙΑΝΑ, 1 ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΜΣ ΚΑΝΑΚΑΣ ΘΕΟΦΙΛΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΚΑΝΑΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΑΝΙΟΥΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΚΑΝΙΠΑ ΜΑΝΟΛΗΣ, ΕΜΗ Ν Ι ΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ·ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΝΔΙΝΟΥ ΚΑΟΥΚΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΓΜΕΩ ΚΑΟΥΡΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΚΑΠΕΤΑΝΑΚΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΚΑΠΟΑΟΥΚΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΝΤΕΛΗΣ ΚΑΠΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΥΡΓΟΥ ΗΛΕΙΑΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ ΖΑΧΑΡΙΑ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΜΕΠΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΚΑΡΑΒΑΤΑΚΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΡΑΒΙΤΗ ΑΗΜΗΤΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΙΟΝΥΣΟΥ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙΔΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΚΑΡΑΔΗΜΑΣ ΠΕΤΡΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΑΡΑΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΜΤΣΙΟΥ ΚΑΡΑΚΟΥΛΑΚΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΜΕΠΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΚΑΡΑΚΟΥΣΗΣ ΣΠΥΡΙΑΟΝ, βο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ

-------

ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ 77ov ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝ ΙΣΜΟΥ

ΚΑΡΑΜΑΝΙΑΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΥΣ ΟΡΕΣΤΙΚΟΥ

ΚΑΡΑΜΑΝΙΑΗΣ ΓΕDΡΓΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΝΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΑΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΚΑΡΑΜΠΑΤΣΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΚΑΡΑΟΥΛΑΣ ΘΕΟΦΑΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΚΑΡΑΧΑΣΑΝ ΑΛΗ ΚΑΑΝ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΧΙΟΝ ΞΑΝΘΗΣ ΚΑΡΒΟΥΝΗ ΛΥΑΙΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΚΑΡΓΑΚΟΥ ΑΘΗΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΚΑΡΠΟΤΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΡΙΟΤΗΣ ΠΑΥΛΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΑΡΡΑ ΑΑΦΝΗ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΚΑΡΦΑΚΗΣ ΓΙQΡΓΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΚΑΡQΝΗ ΘΕΑΝΟ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΚΑΣΑΠΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΜΣ ΚΑΣΛΑΣ ΜΑΡΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΚΑΣΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΚΑΤΖΟΥΡΑΚΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΛ.

στα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ cO ΘΑΛΗΣ»

ΚΟΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΚΟΝΣΤΑΝΤQΝΗ ΓΕΟΡΓΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΣΤΑΝΙΑΝ ΑΡΜΑΝ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΡΜΑΙΚΟΥ ΚΟΣΤΑΡΑ ΒΙΡΓΙΝΙΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ ΚDΣΤΕΛΙΝΟΣ ΑΡΙΣΤDΤΕΛΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΟΣΤΟΥΛΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΔΙΝ Η Σ ΙΩΑΝ Ν Ι ΝΩΝ

ΚΟΤΟΥΛΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΗΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ Ι . Μ . ΚDΤΣΟΣ ΑΝΑΡΕΑΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΚΟΦΟΚDΠΙΟΥ ΜΕΛΙΝΑ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΛΑΓDΝΙΚΑΚΟΥ ΠΑΝΑΓΙDΤΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΥΘΕΙΟΥ ΛΑΚΩΝΙΑΣ ΛΑΖΑΡΙΑΝ ΗΛΙΑΣ, ΕΝIΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΠΕΜΚΙΩΝ ΣΑΜΜΙΝΑΣ ΛΑΖΑΡΙΑΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΛΑΖΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΕΡΥΘΡΑΙΑΣ ΛΑIΝΑΣ ΠΑΝΑΓΙQΤΗΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΒΕΝΙΖΕΛΟΥ ΛΑΛΙDΤΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΑΤΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ', 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΛΑΜΠΡΑΚΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, CAMPION SCHOOL ATHENS ΚΑΤΗΣ ΙQΑΝΝΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ ΛΑΡΑΑΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ ΚΑΤΗΦΟΡΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΜΝΔΡΙΟΥ ΛΑΣΠΑΣ ΠΑΝΑΓΙDΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΑΦΗΝΑΣ ΚΑΤΡΑΝΑΡΑ ΝΕΚΤΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΛΕΜΠΕΣΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΜΜΙΝΑΣ ΚΑΤΣΑΝΑΡΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΛΕΝΟΥ ΑΝΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ ΚΑΤΣΑΡΑΣ ΘΕΟΑΟΣΗΣ·ΙDΑΝΝΗΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΛΕΟΝΤΑΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΗΣ·ΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΤΣΑΡΟΥ ΦDΤΕΙΝΗ, ΓΕΛ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑΣ ΠΙΕΡΙΑΣ ΛΕΟΝΤΑΡΙΤΗ ΕΜΗ ΚΑΜΙΟΠΗ, PIERCE COLLEGE ΚΑΤΣΙΡΟΥΜΠΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛQΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΡΓΜΙΑΝΩΝ ΛJΜΙΟΥ ΗΛΙΑΝΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΦΙΛΟΧΙΑΣ ΛΙΑΠΑ ΕΛΕΝΗ • ΜΑΡΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΚΑΨΑΛΑΣ ΜΑΡΙΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΥΛΙΔΑΣ ΛΙΑΠΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΠΕΛΩΝΑ ΚΑΨΑΛΗ ΠΑΝΑΠΟΤΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΕΝΩΝ ΒΟΥΡΛΩΝ ΛΙΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΛΕΟΠΑΤΡΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ·ΓΕΙΤΟΝΑ ΛΙΑΡΟΣ ΑΙΟΝΥΣΙΟΣ, θο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΜΝΔΡΙΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΚΑΨΙΜΑΛΗΣ ΑΙΟΝΥΣΙΟΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΟΛΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΝΝΑ, 2ο ΓΕΛ ΜΙΚΡΑΣ ΛΙΟΥΛΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΦΙΛΙΑΤΡΩΝ ΚΕΛΕΠΟΥΡΗΣ ΠΑΝΤΕΛΕΗΜQΝ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΙ<Ο ΛΟΡΕΝΤΖΑΚΗΣ ΑΑΑΜ ΙΑΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΕΛΕΣΙΑΑΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΚΕΜΑΡΗ ΜΥΡΣΙΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΑΤΟΥ ΛΟΥΚΑΝΑΡΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΚΕΡΑΜΙΑΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΛΟΥΛΑΚΗ ΜΑΡΙΝΑ, 2ο ΕΝ IΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΥΛΑΣ ΚΕΡΑΣΟΤΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΛΟΥΜΙ ΡΡΑΧΜΑΝ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν . ΜΟΥΔΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΧΜΚΙΔΙΚΗΣ ΚΕΧΡΑΚΟΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΛΟΥΡΑΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΚΙΟΣΚΛΗ ΕΥΑΟΚΙΑ, ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓ ιιι.ΥΓΓΙΤΣΟΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΛΥΓΟΥΡΑ ΜΑΡΙΑ, θο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΣΑΒΒΑ ΚΙΤΣΗΣ ΘΟΑDΡΗΣ, ΔΩΔΩΝΑΙΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΛΥΚΑΣ ΑΟΥΚΑΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΙΜΟΥ ΚΛΑΑΑΚΗΣ ΓΕΟΡΠΟΣ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΛΥΡΙΝΤΖΗΣ ΦΟΙΒΟΣ, 10 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΚΟΒΑΤΣΕΒΑ ΑΛΕΞΑΝΑΡΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ λuτροσ δημητρησ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΚΟΓΙΑ ΗΛΙΑΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΦΑΔΩΝ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΛDΛΑΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ ΚΟΖΗ ΕΥΓΕΝΙΑ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΛDΛΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΚΟΚΚΑΛΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΗΜΑΤΑΡΙΟΥ ΜΑΒΙΑΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΘΕΣ/Ν Ι ΚΗΣ ΜΑΓΕΙΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΛΙΑ, ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΚΟΚΚΙΝΑΚΟΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΜΑΓΚΟΥΤΑΣ ΑΝΑΡΕΑΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ • ΡΑΠΤΟΥ Μ. ΜΑΑΕΝΤΖΟΓΛΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΟΚΚΙΝΗΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΑΣ ΜΑIΣΤΡΟΣ ΚQΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΟΚΚΟΡΗ MYPTQ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΜΑΚΡΗ ΕΥΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ ΚΟΚΜΟΤΟΣ ΠΑΝΑΠΟΤΗΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΚΡΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΓΕΛ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑΣ Π ΙΕΡΙΑΣ ΚΟΚΟΤΟΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΜΑΚΡΗΣ ΑΗΜΗΤΡΗΣ-ΜΕΛΕΤΗΣ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΜΑΚΡΙΑΗΣ ΜΗΝΑΣ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΚΟΛΙΟΤΑΣΟΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΙΛΙΟΜΟΔΙΟΥ ΜΑΚΡΥΑΑΚΗ ΑΡΙΑΑΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΑΣ ΛΕΣΒΟΥ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΜΑΛΛΙΑΡΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, PIERCE COLLEGE ΚΟΛΛΙΑ ΝΙΚΟΛΕΤΑ, ΕΜΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ ΜΑΛΛJΑΣ ΣΑΚΕΛΛΑΡΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΜΥΜΝΟΥ ΚΟΜΙΑ ΣΟΦΙΑ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΑΛΛΙΟΥ ΡΑΦΑΕΛΑ ΜΑΡΙΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΚΟΛΟΒΟΥ ΑΡΕΤΗ, ΕΜΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΓΙΟΣ ΙΩΣΗΦ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΚΟΛDΝΑΣ ΜΙΧΑΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΤΑΣ ΜΑΛΟ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ ΚΟΝΑΥΛΙΑΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΜΑΜΠΛΕΚΟΥ ΑΝΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΚΟΝΙΑΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΜΑΝ ZDH, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΣΜΥΡΝΗ ΜΑΝΑΑΛΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΟΝΤΗΣ ΠΑΝΤΕΛΕΗΜDΝ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑτικο ΜΑΝΙΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ·ΙDΑΝΝΑ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΜΑΝΙΑΤΑΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΝΑΓΙQΤΗΣ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΚΟΝΤΟΚDΣΤΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΕΥΚΛΕΙΑΗΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΠΥΛΗΣ ΤΡΙΚΜΩΝ ΜΑΝΟΥΣΟΥ ΣΤΕΦΑΝΑΚΗ KQN/NA, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΝΤΟΜΙΧΑΛΟΣ ΚDΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ ΚΟΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΟΝΗΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΜΑΝΤΑ ΛΥΔΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙ ΘΕΑΣ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΜΑΝΤΖΑΡΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ ΚΟΣΚΙΝΑΣ ΣΟΤΗΡΙΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΜΑΝΤΖΟΥΝΗ ΦDΤΟΥΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΓΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΚΟΣΜΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΝQΛΑΣ ΚDΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΜΑΝQΛΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΚΟΤΖΟΧΑΜΠΟΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛIΝΑΡΔΑΤΟΥ ΜΑΝQΛΟΥΑΗΣ ΦΙΛΙΠΠΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΚΑΒΑΜΣ ΚΟΤΣΙΦΑΚΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 3ο ΕΝIΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΑΦΝΗΣ ΜΑΡΑΝΤΙΑΟΥ ΑΑΝΑΗ, ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΕΥΚΑΡΠΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΟΠΟΜΠΟΛΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 1 ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΜΑΡΓΕΤΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΟΠΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, PIERCE COLLEGE ΜΑΡΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 7ο ΕΝΙΑIΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΚΟΥΒΕΛΑ ΕΥΘΥΜΙΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΙΝΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΥΛΟΥΡΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ·ΣΠΥΡΟΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΜΑΡΙΝΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ, 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΜΑΡΚΑΚΗΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΦΟΥΡΝΩΝ ΣΑΜΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΚΟΥΜΑΝΙΟΤΗΣ ΛΕΟΝΙΑΑΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 2ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΚΟΥΝΑΑΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΥΝΤΟΥΡΑΚΗΣ ΟΑΥΣΣΕΑΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΥΔΑΣ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΥΝΤΟΥΡΑΚΗΣ ΕΠΙΜΕΝΙΑΗΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΥΔΑΣ ΜΑΣΣΙΑΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΜΑΣΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΧΑΝΙΩΝ ΚΟΥΡΑΝΤΗΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΜΑΣΤΡΟΑΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙDΤΗΣ, 1ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΚΟΥΡΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΟΥΡΤΗ ΑΡΕΤΗ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΜΑΤΘΑΙΟΥ ΑΛΕΞΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΜΟΥ ΚΟΥΣΤΑΣ ΘΕΟΦΑΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΛΑΩΝ ΛΑΚΩΝΙΑΣ ΜΑΤΡΑΚΟΥ ΜΕΛΠΟΜΕΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ ΚΟΥΤΜΟΣ ΠΑΝΑΓΙQΤΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΗΜΑΘΙΑΣ ΚΟΥΤΡΟΥΛΗΣ ΚDΝ/ΝΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΜΑΥΡΟΓΕDΡΓΗ ΑΝΝΑ ΜΑΡΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΛΙΜΟΥ ΚΟΥΠΙΚΟΣ ΘΟΜΑΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΜΑΥΡΟΜΜΑΤΗ ΑΘΗΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ ΚΟΥΤΣΙΟΥΜΠΑΣ ΕΥΡΥΠΙΑΗΣ, PΙERCE COLLEGE ΜΑΧΑΙΡΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 2ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΥΤΣΟΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΦΙΛΙΠΠΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΑΘΗΝΩΝ ΜΕΓΑΓΙΑΝΝΗ ΖΑΧΑΡΟΥΛΑ, ΕΝΙΑIΟ ΡΑΛΛΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΚΟΥΤΣΟΥ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗ ΚΟΥΤΣΟΥΛΑ ΕΛΕΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΥΦΛΙΟΥ ΕΒΡΟΥ ΜΕΓΑΛΟΚΟΝΟΜΟΣ ΜΙΧΑΗΛ, 1ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΥΤΣΟΥΡΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΥΦΑΚΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, PIERCE COLLEGE ΜΕΓΓΟΥ ΛΥΔΙΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΡΑΒΑΡΙΤΗΣ ΝΙΚΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΑΦΗΝΑΣ ΜΕΑΙΤΣΚΟΥ ΓΕDΡΓΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΚΡΑΛΗ ΚDΝΣΤΑΝΤΙΝΑ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΜΕΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙDΤΗΣ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΦΟΥΡΝΩΝ ΣΑΜΟΥ ΚΡΑΣΝΙΔΟΥ ΓΕDΡΓΙΑ ΑΝΤΟΝΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΜΕΝΤΗΣ ΚΡΑΒΑΡΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΡΟΥΣΤΑΛΗ ΔΗΜΗΤΡΑ ΚΑΛΟΜΟΙΡΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΝΥΧΤΑ ΣΤΑΜΑΤΙΑ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΑΣ ΜΕΞΑΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑτικο ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΝΝΕΙΟΥ ΘΗΒΑΣ ΚΥΡΑΤΖΗΣ ΑΝΑΡΕΑΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΕΡΕΚΟΥΛΙΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΥΡΙΑΖΗ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΑΛΟΥΣ ΜΕΡΙΚΑ ΡΑΦΑΕΛΑ, PΙERCE COLLEGE ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΜΕΡΙΚΑΣ ΓΕDΡΓΙΟΣ, PIERCE COLLEGE ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΥ ΕΙΡΗΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ ΜΕΡΟΛΛΑΡΙ ΜΑΡΙΣΕΛ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΕΡΤΕΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΗΜΑΘΙΑΣ ΜΕΣΟΓΕΙΤΗ ΛΥΑΙΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΚΥΡΜΙΖΟΓΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΜΗΣ ΜΕΤΑΞΑΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΟΝΣΤΑΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΣ ΟΡΕΣΤΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΜΗΛΙDΝΗΣ ΟΡΦΕΑΣ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΜΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΑΤΟΣ ΟΑΥΣΣΕΑΣ ΜΑΤΘΑΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΗΛΙDΡΗ ΕΙΡΗΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ·ΜΑΡΙΝΟΣ ΚΟΡΓΙΑΛΕΝΙΟΣ· ΚΕΦ/ΝΙΑΣ ΜΗΤΙΚΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 1 20 Ε Ν ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΚDΝ/ΝΟΣ, ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/42

------

ΜΗΤΡΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΓΕΛ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑΣ Π ΙΕΡΙΑΣ ΜΗΤΣΙΟΥ ΗΛΙΑΝΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΜΙΚΟΥ ΕΙΡΗΝΗ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗ ΜΑΡΙΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΜΩΝ ΜΙΧΑΛΑΡΟΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ ΜΟΣΧΑΚΟΣ ΑΧΙΛΛΕΑΣ, PIERCE COLLEGE ΜΟΣΧΟΝΑ ΝΙΚΟΛΕΤΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΜΟΣΧΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΛΑΩΝ ΛΑΚΩΝΙΑΣ ΜΟΤΣΑΚΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΜΟΥΝΤΖDΥΡΙΑΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΜΟΥΡΑΤΙΑΗΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ·ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΝΔΙΝΟΥ

ΜΟΥΡΛΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ ΜΟΥΣΚΑ ΝΙΚΟΛΕΤΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΜΟΥΣΤΑΚΑΣ ΘΟΜΑΣ, 2ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΜΟΥΤΑΦΗ ΑΝΝΑ ΜΑΡΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΜΝΔΡΙΟΥ ΜΟΥΤΕΒΕΛΗ ΠΑΝΑΓΙQΤΑ, ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΝΝΕΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΜΠΑΑΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΑΗΜΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΠΑΚΗΣ ΑΠΟΛΛDΝ ΦΟΙΒΟΣ, θο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΜΠΑΚΟΥΛΑΣ ΑΝΤΟΝΗΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ Ι . Μ .

ΜΠΑΛΑΜΠΑΝΟΣ ΓΕDΡΠΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥ Κ Ε Ι Ο ΣΚΑΛΑΣ ΛΑΚΩΝΙΑΣ

ΜΠΑΛΕΖΟΥ ΦDΤΕΙΝΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ

ΜΠΑΛΗΣ ΛΕΥΤΕΡΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΜΠΑΛΙΑΦΑ ΕΛΕΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΥΡΝΑΒΟΥ ΜΠΑΛΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΜΠΑΛΤΑΣ ΦΙΛΙΠΠΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ·ΓΕΙΤΟΝΑ ΜΠΑΜΠΑΝΑΡΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΜΩΝ ΜΠΑΜΠΑΝΗΣ ΓΕΟΡΠΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑ τικ ο Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ

ΜΠΑΝΤΟΥΒΑ ΓΕΟΡΓΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΖΙΟΥ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΜΠΑΡΚΑ ΑΡΤΕΜΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΜΠΑΡΚΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ • ΕΦΡΑΙΙΜ, ΕΚΠ/ΡΙΑ • ΡΑΠΤΟΥ Μ. ΜΠΑΣΜΠΟΥΚΕΑ ΓΕQΡΓΙΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΠΑΧΑΡΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΜΠΕΖΑΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΜΠΕΚΟΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΜΠΕΛJΟΤΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΟΝ ΜΠΕΛΛΟΣ ΠΥΡΟΣ, 10 Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΠΕΛΛΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1 5ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΜΠΕΛΛΟΣ ΤΖΗΛΟΣ ΘΗΣΕΑΣ ΚΟΣΜΑΣ, 260 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΜΠΕΝΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΜΠΕΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΟΜΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΛΑΡΓΟΥ ΜΠΕΡΔΕΛΗ ΧΑΡΑ ΓΕΟΡΠΑ, 2ο ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΜΠΕΡΝΙΤΣΑΣ ΙDΑΝΝΗΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΠΛΑΝΤΗ ΝΙΚΟΛΕΤΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΜΠΟΓΛΟΥ ΕΛΕΑΝΑ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΠΟΑΙDΤΗΣ ΑΝΑΡΕΑΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓΙΟΥ ΜΠΟΣΙΝΑΚΗ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΑ, 1 00 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΜΠΟΤΣΚΑΡΗΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, 2ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΠΥΛΑΙΑΣ ΜΠΟΥΖΑ MYPTQ ΕΛΕΝΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ

ΜΠΟΥΖΑ ΑΦΡΟΑΙΤΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΜΠΟΥΛΑΜΑΠΗΣ ΚΟΝΙΝΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΜΠΟΥΛΟΥΓΟΥΡΗ KQN/NA ΑΣΠΑΣΙΑ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ

ΜΠΟΥΜΠΑΛΗΣ ΠDΡΓΟΣ, ΡΙΖΑΡΕΙΟΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤIΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΠΟΥΡΓΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΤΥΛΙΔΑΣ ΜΠΟΥΤΣΙΝΗ θΕΟΑQΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙΩΝ ΣΑΜΟΥ

ΜΠΟΥΦΙΚΟΥ ΡΑΦΑΗΛΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΑΛΑΝΗΣ ΜΠΡΕΠ Α ΕΛΕΝΗ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΜΠΡΚΟΒΙΤΣ ΜΑΡΙΑ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΜΠΡΟVΖΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΕΜΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

Ο ΡΣΟΥΛΙΝΩΝ

ΜΠΡΟΥΠΗ ΕΥΦΡΟΣΥΝΗ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΑΘΗΝΩΝ

ΜΥΡΓΙΟΤΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 49ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΥΡΙΟΚΕΦΑΛΙΤΑΚΗΣ ΧΑΡΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

ΜΥΣΕΡΛΗΣ ΗΛJΑΣ, ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΥΛΟΣ ΜΥΤΚΟΛΛΙ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΜQΥΣΙΑΑΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΓΕDΡΠΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΑΣΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΑΡΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΝΕΑΜΟΝΙΤΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΡΑΛΛΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΝΕΡΟΥΠΟΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΝΙΚΗΦΟΡΑΚΗΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΝΙΚΗΦΟΡΙΑΟΥ ΑΗΜΗΤΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΑΣ ΣΕΡΡΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΣΠΥΡΙΔΟΝ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΝΙΚΟΛJΑΑΚΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΙΚΟΛΙΝΤΑΗΣ ΦDΤΗΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΝΙΣΤΟΡ ΝΤΙΑΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΡΓΑΛΙΑΝΩΝ ΝΤΑΒΕΑ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ, 20 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΝΤ ΜΑΡΙΤΙΝΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑ τικ ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΝΤΑΝΟΒΑΣΙΛΗ ΔΗΜΗΤΡΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΝΤΑΝΟΥ ΝΑΤΑΛΙΑ, 530 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΝΤΑΟΥΛΑΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΝΤΑΦΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΠΑΚΟΓΙΑΝΝΗ Ν . ΝΤΕΛΗ ΑΕΣΠΟΙΝΑ, 1 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΤΕΛΗ ΜΑΡΙΑ, 1ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΤΙΚΟΣ ΑΠΕΛΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΝΤΙΝΟΣ ΠΕΡΙΚΛΗΣ, PΙERCE COLLEGE ΝΤΟΤΣΕΤ ΠΑΥΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΙΝΟΦΥΤΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΝΤΟΥΜΟΥ ΣΤΥΛΙΑΝΗ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΝΤΟΥΡΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΝΤΟΥΡΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΤΥΜΕΝΟΣ ΡΑΦΑΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ NTDNE ΜΑΡΙΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ

Αlκο

------ ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ 77ov ΜΑΘ ΗΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΞλΝθΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕIΟΣ, ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΞΕθΑΛΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΞΕΝΑΚΗ ΕΛΕΝΗ ΑΕλλΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΞΕΝΟΠΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΦΑΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΜΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΑΙΟΝΥΣΙΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΟΝΟΥΦΡΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ ΟΡΓΙΑΝΕΛΗΣ ΗΛΙΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΟΡΦΑΝΟΠΟΥΛΟΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, 40 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΜΑΙΟΥ ΦΑΛΗΡΟΥ ΠΑΓΙΑ ΤΖΕΣΙΚΑ, 40 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΠΑΓΚΑΛΑΚΗ ΙQΑΝΝΑ • ΜΑΡΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΠΑΓQΜΕΝΟΣ ΠΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΤΕΜΙΔΟΣ ΠΑΖΙΟΤΑ ΕΥΑΓΓΕΛIΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΥΣ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ ΠΑΛΙΟΥΡΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΠΑΛΤΑΚΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΠΑΜΠΑΛΟΥ ΡΑΦΑΕΜΑ ΜΑΡΚΕΛΛΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΟΤΙΑΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΠΑΝΑΓΙΟΤΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΗΤΑΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗΣ ΈΥΑΓΓΕΛΟΣ ΠΑΠΑΝΟΥΤΣΟΣ' ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΡΓΑΛΙΑΝΩΝ ΠΑΝΑΓΟΣ ΣΟΤΗΡΗΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΑΦΝΗΣ ΠΑΝΑΓΟΥ ΙΟΑΝΝΑ ΜΑΡΙΑ, 80 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΠΑΝΗΓΥΡΑΚΗ ΧΡΥΣΟΥΛΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΠΑΝΗΓΥΡΑΚΗΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡtΣΤΙΝΑ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΙΟΑΝΝΑ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΠΑΝ ΟΥ θΕΟΔΟΡΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ ΠΑΝΟΥΣΗ ΣΟΦΙΑ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΠΑΝΤΑΖΑΡΑΣ θΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΤΑΖΗΣ ΚΟΣΤΑΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΛΗΝΗΣ ΠΑΝΤΕΛΙΑΗ ΕΛΕΥθΕΡΙΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΠΑΝΤΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΧΟΝΤΗΣ-ΑΓΓΕΛΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΠΑΝΤΕΡΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΠΑΝΤΗ ΜΑΡΑΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΣΤΟΥΝΗΣ ΗΛΕΙΑΣ ΠΑΠΑΓΕQΡΠΟΥ ΙΟΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓΙΟΥ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΓΙΟΥ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΠΑΔΑΚΗ-ΚΟΥΝΑΔΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΛΗ ΝΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡtΟΥ ΙΑΣQΝΑΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΝΕΣΙΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡtΟΥ ΒΙΟΛΕΠΑ ΦΡΑΝΤΖΕΣΚΑ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΑΡΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓIΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΠΑΠΑΔΟΓΓΟΝΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΠΑΠΑΔΟΛΟΥΚΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ θΕΟΔΟΡΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡtΔΟΝ, 10 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΥΜΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΟΡΕΣΤΗΣ, ΙΟΝΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΠΟΤΗΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΦΑJ60Ν, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΠΑθλΝΑΣΙΟΥ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑθλΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚQΝ/ΝΟΣ ΕΙΡΗΝΑΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΠΑΠΑΚΟΣΤΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΧΙΟΥ ΠΑΠΑΛΕΞΙΟΥ ΒΙΟΛΕΤΑ, ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΠΑΝΑΡΕΑ IQANNA, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ ΠΑΠΑΝΑΡΕΟΥ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΠΑΠΑΝΑΡΕΟΥ ΠΟΛΥΞΕΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΠΑΠΑΝΑΡΕΟΥ ΣΟΦΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΕΛΕΝΗ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, PIERCE COLLEGE ΠΑΠΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΜΑΡΓΑΡΠΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΜΙΑΣ ΠΑΠΑΣΠΥΡΙΑΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΠΙΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΧΙΟΝ ΞΑΝΘΗΣ ΠΑΠΑΦΡΑΓΚΑΚΗΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΜΟΥ ΜΣΙΘΙΟΥ ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΠΑΠΟΥΤΣΗ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΠΠΑ ΕΛΕΝΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΠΑΠΠΑ ΑΘΑΝΑΣΙΑ. 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΠΑΠΠΑΣ ΑθλΝΑΣΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΠΑΡΘΕΝΙΔΗΣ ΓΕQΡΠΟΣ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΤΗΣΙΩΝ ΠΑΡθΕΝΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ ΠΑΡΧΑΡΙΑΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΠΑΣΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΣΣΑΣ ΓΕQΡΠΟΣ, 20 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΑΣΧΟΣ ΙQΑΝΝΗΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΤΕΜΗ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΥΜΝΟΥ ΠΑΤΖΑΛΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΠΑΤΣΙΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε . ΠΑΥΛΙΑΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΥΛΙΑΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, 10 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΡΕΒΕΝΩΝ ΠΕΠΟΥΔΗ ΜΑΡΙΑ ΜΥΡΤΟ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΜΤΕΟΣ ΗΜΑΘΙΑΣ ΠΕΠΠΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ ΙΑΣΟΝ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ ΠΕΠΠΑΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΜΣ ΠΕΡΡΑ ΜΑΡΙΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΠΕΡΠΙΟΥΝΗΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑΣ ΗΜΑΘΙΑΣ ΠΕΤΚΟΥ ΕΡΜΙΟΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ

στα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «0 ΘΑΛΗΣ»

ΠΕΤΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΠΕΤΡΙΚΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΠΕΤΣΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, PIERCE COLLEGE ΠΙΕΡΡΑΚΗΣ ΑΗΜΗΤΡΗΣ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΠΙΚΟΥΛΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΠΙΤΣΙΑΒΑΣ ΑΧΙΛΛΕΑΣ, 1 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΛΕΣΤΗ ΕΛΕΥθΕΡIΑ. ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ ΠΛΟΙΡΑΙΑΗΣ ΟΡΦΕΑΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΠΟΛΙΤΗ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΠΟΡΤΟΛΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΟΤΟΓΛΟΥ ΕΛΕΝΗ ΙΟΑΝΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑ ΑΝΤΙΓΟΝΗ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΠΟΥΛΑΚΙΑΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ ΠΟΥΛΟΥ ΕΥΘΥΜΙΑ ΜΑΡΙΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΥΛΟΣ ΠΡΑΠΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1 50 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΠΡΑΠΗΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΠΡΕΜΠΤΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΠΡΕΝΤΟΥ ΣΜΑΡΑΓΑΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΠΡΙΝΤΖΙΟΣ ΛΑΜΠΡΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓΙΟΥ ΠΡΙΦΤΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΠΡΟΔΡΟΜΙΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΑΡΙΑΔΝΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΠΡΟΤΟΓΕΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΥΛΙΟΤΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΑΒΑΝΟΣ ΑΗΜΗΤΡΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΡΑΓΚΟΥ BAIA, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΡΑΠΤΗ ΜΑΡΙΑ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΡΑΦΤΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΡΕΚΚΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΡΕΚ-ΝΤΟΥΛΟΣ ΑΝΤΡΕΑΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ ΡΕΜΜΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΗΟΜΟ EDUCANDUS-AΓΩΓH ΡΕΜΠΟΥΤΣΙΚΑΣ ΑΝΑΡΕΑΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΡΕΝΤΖΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΕΡΧΕΙΑΔΑΣ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΡΕΤΖΙΟΣ ΦΟΤΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ ΡΕΠΙΝΑ ZQH, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΡΕΥΝΙΚ ΓΕQΡΓΙΟΣ ΡΟΜΠΕΡΤ, ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΙΚΟ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ ΡΗΓΑ ΝΙΚΟΛΕΤλ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΩΝ ΡΗΓΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΧΑΡΩΣ ΗΛΕΙΑΣ ΡΙΖΟΥ ΒΑΣΟ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΕΝΩΝ ΒΟΥΡΛΩΝ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΡΙΦΟΥΝΑΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΙΘΕΑΣ ΡΟΖΟΥ ΕΛΕΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ ΡΟΝΤΟΠΑΝΝΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΡΟΝΤΟΠΑΝΝΗΣ ΑΡΙΣΤΟΦΑΝΗΣ, 1ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΡΟΤΖΙΟΚΟΣ ΚQΝΣΤΑΝΤΙΝΟ, 1 ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΡΟΥΜΕΛΙQΤΗΣ ΙQΑΝΝΗΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΡΟΥΜΠΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ Σ Γ, ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ-ΛΥΚΕΙΟ Ε.Κ. Κ.Ν.Α. ΣΑΒΒΑ ΑΡΤΕΜΙΣ ΧΡΥΣΑΝθΗ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΑΜΑΡΑΣ ΙQΑΝΝΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΑΜΠΑΝΗΣ ΑθλΝΑΣΙΟΣ, 20 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΗΒΩΝ ΣΑΜΠΑΝΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 10 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ ΣΑΝΙΑΑ ΑθλΝΑΣΙΑ MAPIA, 6ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΙΘΕΑΣ ΣΑΡΑΝΤΑΕΝΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΕΥΚΑΔΑΣ ΣΑΡΑΝΤΕΜΗΣ ΚΟΜΗΝΕΛΛΗΣ ΙQΑΝΝΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΣΑΡΙΑΝΙΔΗΣ ΑΧIΛΛΕΑΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΑΡΜΑ ΑΝΔΡΟΝΙΚΗ, 80 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΜΩΝ ΣΑΡΡΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ, ΕΚΠΙΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΣΑΧΠΑΖΙΑΟΥ ΝΙΚΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΟΞΑΤΟΥ ΔΡΑΜΑΣ ΣΕΛΒΗ ΑΝΔΡΙΑΝΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΣΕΡΓΕΝΤΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΣΕΡΦΙΟΤΗ ΕΥΑ ΕΛΕΝΗ, PΙERCE COLLEGE ΣΕΦΕΡΙΑΔΗ ΜΑΡΙΑ, βο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΣΙΓΑΝΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΑΛΛΗΝΗΣ ΣΙΑΕΡΗ ΡΟΞΑΝΗ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ·ΓΕΙΤΟΝΑ ΣΙΔΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠΑΜΕΙΝΟΝΑΑΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ ΣΙΔΗΡΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΝΑ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΙΜΟΣ ΓΙΟΡΓΟΣ, ΡΙΖΑΡΕΙΟΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΣΙΜΟΝΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΑΡΩΝ ΣΙΟΡΕΝΤΟΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ . ΣΙΣΙΑΡΙΑΗΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΡΥΞΕΛΩΝ ΣΚΕΝΑΕΡΗΣ ΑΡΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΚΙΑΘΙΤΗ ΕΛΕΝΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΣΚΛΙΒΑΝΑΚΗ ΣΕΜΕΛΗ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΣΚΟΥΜΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΚΟΥΡΜΑΛΛΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΩ ΣΜΥΡΝΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ, ΓΙΑΓΚΡΗΤΙΟΝ ΣΟΝΙΑΔΟΥ θΕΟΑQΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΣΟΥΚΑΡΑΣ ΑΗΜΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΥΛΗ ΕΥθΥΜΙλ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΣΟΥΛΙΔΗΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΟΥΡΜΠΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΝΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΣΟΦΙΚΙΤΗΣ ΟΑΥΣΣΕΑΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝ/ΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΠΑΝΟΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΣΠΑΝΟΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ· ΡΑΦΑΗΛ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΣΠΑΡΤΑΛΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΕΥΚΑΡΠΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΠΙΝΟΣ ΚΛΟΓΚΕΡΗΣ ΣΠΥΡΙΑΟΝ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΣΠΙΝΟΥΛΑ ΑΔΑΜΑΝΤΙΑ, ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝIΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ • ΣΑΒΒΑ ΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΑΣ ΣΤΑΓΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΝ/ΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΣΤΑΜΑΤΑΚΟΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΑΜΣ ΜΚΩΝΙΑΣ ΣΤΑΜΑΤΗ ΕΙΡΗΝΗ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΣΤΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ ΣΤΑΜΟΥΛΗ ΧΡtΣΤΙΝλ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΤΑΜΟΥΛΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΦΑΔΩΝ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΣΤΑΜΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΣΤΑΥΡΙΑΝΑΚΟΥ ΑΝΝΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΣΤΑΥΡΙΝΟΥΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΩ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙQΑΝΝΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΙΘΕΑΣ ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΜΑΤΑΣ ΣΤΕΛΛΑΚΟΣ ΑΛΕΞΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΣΤΕΡΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΙΣΤIΝΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/43

------

ΣΤΡΑΑΑ ΕΛΕΝΗ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΣΤΡΙΚΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, ΚΑΜΙΤΕΧΝΙΚΟ ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΩΝ ΣΤΡQΤΟΥ ΜΑΡΙΑΝθΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΥΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡtΟΣ, ΕΡΑΣΜΕΙΟΣ ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΣΥΚΟΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΑΜΣ ΜΚΩΝΙΑΣ ΣΥΜΕQΝΟΓΛΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, "JEANNE D' ARC" ΕΜΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΣΥΡΑ ΣΟΦΙΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΟΣΜΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΦΥΡΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΣΧΟΙΝΟΧΟΡΙΤΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΣQΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΜΑΜΑ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΣΟΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΑΠΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΤΑΜΠΑΚΟΠΟΥΛΟΥ EYAOKIA, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΑΡΣΑΝΗΣ ΕΛΕΥθΕΡΙΟΣ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΤΑΤΣΗ ΑΡΤΕΜΙΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΕΡΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΤΖΑΒΕΛΛΑΣ ΗΛΙΑΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΤΖΑΝΕΤΑΚΗΣ ΑθλΝΑΣΙΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΖΑΝΕΤΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΣΤΕΦΑΝΟΥ ΤΖΑΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΜΟΥ ΤΖΑΧΡΗΣΤΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΣΙΜΑΙΑΣ ΣΧΟΛΗΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΖΕΡΜΠΟΥ ΕΙΡΗΝΗ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΖΗΚΑ ΓΕΟΡΠΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΠΙΕΡΙΑΣ ΤΖΙΝΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΖΙQΡΤΖΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΖΟΛΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΖΟΤΖΗΣ ΚQΝ/ΝΟΣ, 1ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΟΙΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΤΟΛΑΝΟΥΑΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΤΟΜΠΟΥΛΙΑΗΣ ΡΟΜΑΝΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΤΟΠΙ ΣΑΜΟΥΕΛ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΜΟΥ ΜΣΙΘΙΟΥ ΤΟΥΛΚΕΡΙΔΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΤΟΥΤΟΥΤΖΗΣ ΕΥθΥΜΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΙΜΟΥ ΤΡΑΓΑΡΗ ΑΗΜΗΤΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΓΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΤΡΙΑΝΤΗ ΝΕΦΕΛΗ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΤΡΙΑΝΤΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΥΛΗΣ ΤΡΙΚΜΩΝ ΤΡΙΒΕΛΛΑ ΣΟΦΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΤΡΟΜΠΟΥΚΗ ΑθΗΝλ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ ΠΑΓΚΑΡΗ ΜΑΡΙΑ, ΛΟΥΜΠΟΥΜΠΑΣΙ ΚΟΓΚΟ ΤΣΑΚΙΡΑΚΗ ΜΙΧΑΕΛΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΠΑΚΙΡΗ ΙΣΜΗΝΗ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΠΑΚΛΙΑΗΣ ΑΗΜΗΤΡΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΤΣΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΓΙΑΤΡΩΝ ΠΑΜΟΥΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΤΣΑΜΠΙΡΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΜΥΡΟΥ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΤΣΑΝΗ ΑθΑΝΑΣΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΣΑΝΤΙΡΗ ΕΛΕΝΑ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΡΑΧΩΝ ΙΚΑΡΙΑΣ ΠΑΠΙΚΟΥΝΗΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΣΑΡΑΓΚΛΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΕΥΚΑΔΑΣ ΤΣΑΤΑΛΜΠΑΣΙΑΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΕΜΠΕΡΗΣ θΟΔΟΡΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΤΣΕΣΜΕΛΗΣ ΜΕΛΕΤΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΜΣ ΠΙΑΜΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΠΙΑΜΑΣ ΑθλΝΑΣΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΤΣΙΑΜΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΠΑΝΑΓΙΑ ΠΡΟΥΣΙΩΤΙΣΣΑ ΤΣΙΑΡΕΑ ΜΥΡΤΟ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΣΙΑΡΕΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΣΙΓΑΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑIΔΑΡΙΟΥ ΤΣΙΓΑΡΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΣΙΟΛΑΚΟΓΛΟΥ ΑΝΤΙΟΧΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΕΒΡΟΥ ΠΙΡΟΖΙΑΗΣ ΙQΑΝΝΗΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ ΠΙΡΟΝΗΣ ΓΕΟΡΠΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΤΣΙΠΙΚΑ ΧΡΥΣΟΥΛΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΤΣΟΠΑΝΙΑΗΣ ΑΝΤΟΝΙΝΟΣ, ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΑΓΩΓΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΑΓΕΑ - ΣΑΒΒΑ ΤΣΟΥΜΠΟΥ ΙΣΜΗΝΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓΙΟΥ ΦΕΙΑΑΚΗΣ ΛΕQΝΙΑΑΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΦΙΚΙΟΡΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ, ΡΙΖΑΡΕΙΟΣ ΕΚΚΛΗΣΙΑΣΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΙΛΙΠΠΑΣ ΠΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΦΙΛΙΠΠΑΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ Ι.Μ. ΦΛΕΒΑΡΑΚΗ ΑΙΑΜΑΝΤΕΝΙΑ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΦΙ\ΟΡΟΣ ΑΛΕΞΑΝΑΡΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ ΣΤΕΛΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΜΟΥΣΙΚΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΛΗΝΗΣ ΦΡΑΓΚΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΛΙΟΥ ΦΡΑΝΤΖΕΣΚΑΚΗ ΑΕΣΠΟΙΝΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΕΘΥΜΝΟΥ ΦΡΑΝΤΖΕΣΚΟΥ ΑΛΚΥQΝΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΦΥΝΤΙΚΟΓΛΟΥ ΡQΜΑΝΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, 1ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΟκΑIΔΗΣ ΨΥΛΛΑΣ ΑθΑΝΑΣΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Ν ΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΦQΤΙΑΔΗ ΖΕΦΗ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗ ΦΟΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚQΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΧΑΒΑΛΙΝΑ ΑθλΝΑΣΙλ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΧΑΒΙΑΡΗ ΕΥΜΟΡΦΙΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ χΑ!ΜΑΛΑΣ ΓΕQΡΓΙΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΧΑΛΙΜΟΥΡΑΑΣ ΠΑΝΑΓΙQΤΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΧΑΡΙΣΙΑΔΗ ΕΛΠΙΑΑ ΚQΝ/Νλ, 20 ΠΕΙΡΑΜΑτικο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΧΑΤΖΗΑΝΑΓΝΟΣΤΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, 1 50 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΡΙΣΑΣ ΧΑΤΖΗΓΙΑΝΝΗΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΧΑΤΖΗΑΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑθΑΝΑΣΙΟΣ, 1ο ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΧΑΤΖΗΛΙΑ ΗΛΙΑΝΑ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΧΑΤΖΗΠΑΝΑΠΟΤΙΑΟΥ ΝΙΚΟΛΕΤΑ, ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΥΚΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΧΑΤΖΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΧΑΤΖΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΧΑΤΖΗΣΑΒΒΙΑΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, 1ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΧΑΤΖΗΣΤΑΥΡΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, 1ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΧΑΤΖΗΣΤΕΡΠΟΥ ΧΡtΣΤΙΝΑ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΧΕΝΤΟ ΑΛΤ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΧΗΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, So ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΧΙQΤΟΥ MANTQ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

-------

ΕΠ ΙΤΥΧΟΝΤΕΣ 77ov ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝ ΙΣΜΟΥ

ΧΛΕΧΕΛ ΜΕΛΙΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΔΡΟΥ ΧΛΙΟΥΜΗ ΚΑΛΛJ Ο ΠΗ, ΕΝ ΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΟΛΥΓΥΡΟΥ ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ ΧΡΗΠΙΔΟΥ ΡΟΞΑΝΗ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΧΡΗΠΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΧΡΗΣΤΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΥΛΟΣ ΧΡΙΣΚΟΣ ΑΡΣΕΝΙΟΣ ΚΛΕΟΝ, 1ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΧΡΙΣΤΑΚΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙ ΝΑΡΔΑΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥ ΛΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΧΡΙΣΤΟΦΙΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, PΙERCE COLLEGE ΧΡΟΝΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 1 ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1 1 0 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΝΑ-ΚΑΛΗ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΨΑΘΑ ΕΥΤΕΡΠΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓIΑΝΝΙΤΣΩΝ ΠΕΛΛΑΣ ΨΥΧΟΓΙΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΨΥΧΟΓΥΙΟΥ ΑΝΝΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΠΙΚΗΣ

;:.· ΛΥV: Ε. ! 0 -'!

ΑΓΑΛΙΑΝΟΣ ΘΕΟΔΟΡΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΓΓΕΛΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΑΤΟΥ ΑΓΓΛΟΓΑΛΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΑΘΟΥΣΑΚΗ ΜΥΡΤΟ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΑΛΑΦΟΥΖΟΣ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ, 1ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗΝΙΚΟΥ ΑΛΕΞΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΛΕΞΙΟΥ ΑΛΚΗΣΤΙΣ ΚΥΡΙΑΚΗ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΑΛΕΡΤΑ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΑΛΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΑΝΑΝΙΑΔΗΣ ΣΥΜΕΟΝ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΗΣ', ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕΙΤΟΝΑ ΑΝΔΡΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗΝΙΚΟΥ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΥ ΦΑΙΔΡΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΤΟΝΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΔΙ ΝΗΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΙΡΩΝ

ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΕΝΑΚΗ ΓΙΟΥΒΑΝΟΓΛΟΥ ΕΙΡΗΝΗ, ENIAIO ΡΑΜΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΑΣΗΜΑΚΙΔΗΣ ΣΤΑΜΑΤΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ ΑΣΗΜΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΑΡΓΥΡΗ ΕΛΕΝΗ, PIERCE COLLEGE ΑΣΚΕΙΤΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΕΜΗΝ Ι ΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΒΑΓΕΝΑΣ ΝΙΚΗΦΟΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΒΑΓΙΑΝΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝ ΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΒΑΜΗΝΔΡΑΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΒΑΣΙΛΑΚΗ ΑΓΝΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΒΑΣΙΛΟΓΑΜΒΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 5ο ΕΝΙΑIΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΒΑΣΙΛΟΓΛΟΥ ΠΑΥΛΟΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΥ ΛΑΜΠΡΙΝΗ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΑΥΠΑΚΤΟΥ ΒΑΣΤΑΡΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ ΒΑΤΙΣΤΑΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΝΝΕΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ ΒΕΡΓΟΥ ΚΟΝΔΥΛΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΙΣΤΟΜΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΒΠΟΡΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΜΗΝΙΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΒΛΑΧΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ ΒΟΒΑΤΖΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ ΛΑΣΙΘΙΟΥ ΒΟΥΖΙΝΑ ΟΛΥΜΠΙΑ ΔΙΑΛΕΧΤΗ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΛΚΙΣ ΒΡΕΤΟΥΔΑΚΗΣ ΜΑΝΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΡΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΓΑΖΕΠΗ ΣΗΛΙΑ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΓΑΚΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΓΑΛΑΝΗ ΙΟΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΙΑΤΡΩΝ ΓΕΟΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΣΧΑΤΟΥ ΓΙΑΛΑΜΑΣ ΚΟΝΙΝΟΣ, 1ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΣΧΑΤΟΥ ΓΙΑΠΙΤΖΑΚΗΣ ΤΖΙΝΤΑΝΟΣ ΓΕΒΡΠΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚ ΛΥΚΕΙΟ ΓΚΑΝΤΣΙΟΥΛΗΣ ΗΛΙΑΣ, 1 50 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΓΚΑΤΣΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΚΙΖΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ ΓΚΙΟΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1ο ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ ΓΚΟΤΣΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΓΚΟΥΡΑ ΕΛΕΝΗ, 320 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΓΚΡΙΝΙΑΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΓΚΡΙΝΤΖΙΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΚΡΟΥΚΟΣ-ΚΑΨΥΧΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΓΟΓΟΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΓΟΥΡΓΟΥΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΙΔΥΜΟΤΕΙΧΟΥ ΕΒΡΟΥ ΓΡΗΓΟΡΟΥΔΗΣ ΘΕΟΔΟΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΓΡΙΒΑΚΗ ΕΙΡΗΝΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ ΕΥΤ'ΙΧΙΑ, 2ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΩΡΑΙΟΚΑΣΤΡΟΥ ΔΕΛΕΓΓΡΙΝΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΔΕΛΗΠΡΙΜΗΣ ΚΑΡΑΚΟΣΤΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ, 2ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΔΕΡΛΕΡΕΣ ΜΙΧΑΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΔΕΤΣΗ ΣΤΑΜΑΤΙΝΑ, ΕΜΗΝΟΓΑΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠόΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΜΑΡΙΟΣ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΔΗΜΟΥ ΜΠΕΛΕΓΡΑΤΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ, ΕΡΑΣΜΕΙΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΔΟΝΤΑ ΕΥΣΤΑΘΙΑ, ΕΡΑΣΜΕΙΟΣ ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΟΥΡΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΡΜΑΙΚΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΝΟΥ ΟΛΓΑ. 1 ο ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΛΑΜΙ ΝΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗΣ ΕΛΙΣΣΑΙΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΟΥ ΧΡΥΣΟΒΑΛΑΝΤΟΥ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΕΡΚΕΚΟΓΛΟΥ ΕΛΙΣΑΒΕΤ ΚΟΝ/ΝΑ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΙΘΕΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΑΤΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΖΑΝΙΑΣ ΦΟΙΒΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΖΑΧΑΡΙΟΥΔΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΔΩΔΩΝΑΙΑ ΕΚΠ/ΡΙΑ

στα

ΜΑΘ ΗΜΑΤΙΚΑ «0 ΘΑΛΗΣ»

ΖΕΝΕΛΑΣ ΕΡΑΛΝΤΟ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΡΑΧΩΝ ΙΚΑΡΙΑΣ ΖΕΡΒΑΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΖΕΡΒΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΖΗΚΟΥ ΜΕΛΙΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΖΗΣΗΣ ΧΡΙΣΤΟΦ ΟΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΖΟΡΜΠΑΛΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΖΟΤΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΗΛΙΑΝΑ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΗΛΙΑΚΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΛΜΥΡΟΥ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΥ ΑΦΡΟΔΙΤΗ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΗΦΙΣΙΑΣ ΘΕΜΑΣ ΤΡΥΦΟΝΑΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΟΔΟΡΙΔΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΘΕΟΔΟΡΟΥ ΑΠΟΛΛΟΝΑΣ, 590 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΟΛΟΓΗΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΘΕΟΤΟΚΑΤΟΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΧΑΡΝΩΝ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΕΒΡΟΥ ΙΑΤΡΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΙΒΑΝΟΒΙΤΣ ΜΑΡΙΑ ΝΕΦΕΛΗ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΙΟΣΗΦΙΔΟΥ ΠΟΛΥΤΙΜΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΥΤΡΑΚΙΟΥ ΚΑΖΑΚΟΥ ΕΡΙΕΤΑ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜ ΑΣ ΚΑΚΛΑΜΑΚΗ ΜΑΡΙΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΑΚΛΑΜΑΝΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΑΛΑIΔΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ ΚΑΛΑΜΑΡΑΚΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΚΑΛΑΡΑΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΜΙΘΕΑΣ ΚΑΛΕΜΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, PIERCE COLLEGE ΚΑΛΛ Ε ΜΥΡΣΙΝΗ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΚΑΛΛΙΓΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΚΑΛΛΙΓΕΡΗΣ ΚΩΝΙΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ ΚΑΛΟΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΑΛΠΑΞΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΖΑΝΝΕΙΟΥ Π Ε Ι ΡΑΙΑ ΚΑΛΤΣΟΓΙΑΝΝΗ ΗΛΕΚΤΡΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΚΑΛΤΣΟΥΝΗΣ ΚΟΣΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΚΑΛΥΒΑΣ ΣΠΥΡΙΔΟΝ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΚΑΜΠΑΝΟΥ ΜΑΡΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΥΔΑΜΟΥ ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΚΑΠΕΤΑΝΙΟΣ ΠΑΥΛΟΣ, 1ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΚΑΡΑΒΑ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ ΚΑΡΑΒΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΙΔΗΣ ΜΙΝΩΑΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΗΣ ΘΟΜΑΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝ ΝΙΝΩΝ ΚΑΡΑΜΠΑΣΗΣ ΚΛΕΙΤΟΣ, PΙERCE COLLEGE ΚΑΡΑΜΠΙΝΟΣ ΚΩΝΙΝΟΣ, 1ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΚΑΡΑΝΙΚΟΛΑ ΦΡΕΙΔΕΡΙΚΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΟΥΤΣΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ ΚΑΣΒΙΚΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΚΑΣΤΡΙΩΤΗΣ ΑΛΚΙΒΙΑΔΗΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΚΑΤΙΔΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΚΑΤΣΑΡΕΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ ΚΑΤΣΙΛΙΕΡΗΣ ΣΠΥΡΟΣ, 4ο ΛΥΚΕΙΟ ΠΥΡΓΟΥ ΗΛΕΙΑΣ ΚΕΜΕΝΤΖΙΔΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΚΗΠΟΥΡΟΣ ΘΟΜΑΣ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΛΕΝΙΑΤΗ ΧΡΥΣΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΕΧΑΙΟΥ ΚΟΙΛΑΚΟΥ ΜΑΡΙΑ ΕΛΕΝΗ, PIERCE COLLEGE ΚΟΚΚΑΛΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΚΟΚΚΙΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ ΛΑΣΙΘΙΟΥ ΚΟΚΚΙΝΙΔΟΥ ΛΥΔΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΚΟΚΛΑ ΕΛΕΝΗ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΚΟΣΗ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΑΛΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΚΟΚΟΤΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΛΕΤΑΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΦΑΡΣΑΛΩΝ ΚΟΛΛΙΑ ΕΛΕΑΝΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΛΟΒΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ-ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΚΟΝΤΟΛΕΞΗ ΜΑΡΙΝΑ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ ΚΟΝΤΟΣ ΠΑΝΑΠΟΤΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΙΟΥ ΛΑΚΩΝΙΑΣ ΚΟΡΔΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 260 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΡΔΗΣ ΚΕΜΕΡΙΔΗΣ ΜΑΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ ΚΟΣΜΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΚΟΣΜΑΤΟΥ ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΚΟΤΣΙΝΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΚΟΤΣΙΦΑΚΟΥ ΚΟΝΤΙΛΕΝΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΑΦΝΗΣ ΚΟΥΒΑΡΑΤΗ ΘΕΟΔΟΡΑ, 2ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ Ε Ν ΙΑIΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΥΓΙΟΥΜΤΖΙΔΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, PΙ ERCE COLLEGE ΚΟΥΕΡΙΝΗ ΙΖΑΜΠΕΛΛΑ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΚΟΥΜΕΛΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΕΥΚΛΕΙΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΥΡΙΔΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΚΥΔΩΝΙΑΣ ΚΟΥΡΤΣΟΥΝΗ ΚΟΝ/ΝΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΛΑΚΗΣ ΣΟΤΗΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΟΛΑΩΝ ΛΑΚΩΝΙΑΣ ΚΟΥΤΣΙΟΥΜΠΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΚΟΥΤΣΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ ΚΟΥΦΟΧΡΗΣΤΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΚΥΒΕΡΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΠΙΚΗΣ ΚΥΡΑΤΖΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΚΥΡΙΑΖΗ ΕΛΕΝΗ ΠΑΓΟΝΑ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, 2ο ΛΥΚΕΙΟ ΙΛΙΟΥ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΚΟΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΙΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΊΉ ΚΟΣΤΑ ΜΑΤΙΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗΣ ΚΩΣΤΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΚΟΤΟΥΛΑ ΑΡΤΕΜΙΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΛΑΓΚΑΚΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΛΕΚΚΑ ΖΑΧΑΡΕΝΙΑ, 4ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΛΕΛΕΔΑΚΗ ΑΝΝΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΛΕΟΝΤΙΔΗΣ ΣΑΡΑΝΤΗΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΧΑΡΝΩΝ ΛΕΣΙ ΑΝΝΑ, 530 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΛΕΥΚΑΔΙΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΟΝΤΑΔΟΥ ΧΙΟΥ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΛΟΥΛΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ, 2ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΛΥΡΑΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΑΚΑΡ ΜΑΡΙΑΜ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/44

------

ΜΑΚΡΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΑΚΡΥΓΙΑΝΝΗ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΥΚΟΥΡΙΟΥ ΜΑΝΙΦΑΒΑ ΓΕΟΡΓΙΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΜΑΡΑΣ ΑΛΕΞΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΜΑΡΓΚΑΣ ΣΤΕΛΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΠΑΚΟΓΙΑΝΝΗ Ν. ΜΑΡΤΙΝΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ ΜΑΤΘΑΙΟΥ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΜΟΥ ΜΑΥΡΙΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΚΥΡΙΑΚΗ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΡΜΑΙΚΟΥ ΜΕΛΑΣ ΑΛΚΙΝΟΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΜΕΛΑΧΡΟΙΝΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΧΙΟΥ ΜΕΡΙΚΑ ΞΑΚΟΥΡΣΤΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ, PΙERCE COLLEGE ΜΗΛΑΙΟΥ ΕΛΕΝΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΙΛΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΜΙΧΑΛΑΚΗΣ ΒΑΪΟΣ ΡΑΦΑΗΛ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΣ ΠΙΝΕIΡΟ ΣΠΥΡΙΔΟΝ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑ\ΤΗ ΜΙΧΑΛΟΠΟΥΛΟΥ ΝΙΚΗ, 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΟΙΡΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΟΘΕΗΣ ΜΟΙΡΩΤΣΟΣ ΣΤΑΜΑΤΙΟΣ, ΚΟΛΕΓΙΟ "ΔΕΛΑΣΜ" ΜΟΙΡΟΤΣΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΚΟΛΕΓΙΟ "ΔΕΛΑΣΜ" ΜΟΥΡΒΑΚΗ ΜΥΡΤΟ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΜΠΑΚΑΛΗΣ ΣΠΥΡΙΔΟΝ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ ΦΑΛΗΡΟΥ ΜΠΑΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΜΠΑΛΤΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΑΜΕΡΙΚΑΝ ΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΠΑΝΙΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΝΑΥΠΑΚΤΟΥ ΜΠΑΡΤΣΙΟΚΑ ΛΑΜΠΡΙΝΗ ΗΡΟ, ΠΕΙΡΑΜΑΤ Ι ΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΠΑΤΣΑΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, "JEANNE D' ARC" ΕΜΗΝΟΓΑΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΜΠΑΤΣΟΛΑΚΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΟΘΕΗΣ ΜΠΕΚΥΡΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΜΙΑΡΑ ΜΠΕΛΙΑ ΜΙΧΑΕΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΧΗΜΑΤΑΡΙΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΜΠΕΛΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝ Η Σ ΜΠΕΣΣΑ ΚΟΝΙΝΑ, ΕΜΗ Ν Ι ΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΘΕΣ/ΝΙΚΗΣ ΜΠΕΤΣΑΚΟΥ ΕΛΕΝΗ, 1 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝIΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΜΠΙΤΣΙΚΑ ΣΤΥΛΙΑΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΑΣ ΜΠΟΥΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΕΜΗ Ν Ι ΚΟ ΚΟΜΕΓΙΟ ΘΕΣ/ΝΙ ΚΗΣ ΜΠΟΥΦΑΛΗΣ ΟΔΥΣΣΕΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΜΗΝΟΓΑΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΓΙΟΣ ΙΩΣΗΦ ΜΥΛΟΝΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 1ο Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΑΣΑΡ-ΚΥΡΙΑΚΙΔΟΥ ΧΑΛΙΜΑ-ΔΗΜΗΤΡΑ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙ ΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΝΑΣΤΟΥΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ ΜΕΝΕΛΑΟΣ, 1ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΝΕΔΙΟΣ ΚΟΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ ΝΙΚΟΛΑΚΟΠΟΥ ΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, βο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΝΙΛΣΕΝ ΝΑΤ ΑΛΙΑ, ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΚΥΔΩΝΙΑΣ ΞΥΔΙΑ ΑΡΙΑΔΝΗ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΘΡΑΣΥΒΟΥΛΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΟΡΑΜΑΤΟΣ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΣ ΡΑΦΑΗΛ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗΣ ΈΥΑΓΓΕΛΟΣ ΠΑΠΑΝΟΥΤΣΟΣ' ΠΑΝΑΓΙΟΤΟΠΟΥΛΟΥ ΘΕΟΔΩΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΑΣ ΠΑΝΤΑΖΗ ΑΘΗΝΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΠΑΠΑΒΛΑΣΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΓΑΡΠΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΠΑΠΑΔΑΚΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΜΑΡΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΩ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 1ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΑΥΠΛΙΟΥ ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΙΣΜΗΝΗ, 2ο ΕΝIΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΟΛΑΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΥΔΑΣ ΧΑΝΙΩΝ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΖΩΗ ΜΑΡΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΑΠΑΔΟΥΛΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΠΑΠΑΝΙΚΗΤΑΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛ ΑΓΓΕ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ

ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ ΠΑΠΑΡΡΗΓΟΠΟΥΛΟΣ ΘΟΔΟΡΗΣ ΦΡΙΞΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΣΟΤΗΡΙΟΥ ΣΟΤΗΡΙΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΦΟΤΙΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΠΑΠΙΓΓΙΟΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΠΑΠΠΑΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΠΑΠΠΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΠΑΡΑΝΟΜΟΣ ΣΟΤΗΡΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΕΥΒΟΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΠΑΣΤΡΙΚΟΥ ΒΑΡΒΑΡΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΡΚΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΑΥΛΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΠΕΝΤΟΓΕΝΝΗ ΜΑΡΙΑΝΘΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΠΕΣΣΙΡΙΔΗΣ ΙΑΣΣΑΚ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΠΕΤΡΑΚΙΔΗΣ ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΠΕΤΣΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΗΛΙΑΝΙΔΗΣ ΗΛΙΑΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΠΙΚΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΠΙΤΥΡΗΣ ΑΛΕΞΗΣ, 10 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΠΛΑΤΑΝΙΑ ΠΟΛΥΞΕΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΑΛΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΠΟΛΥΖΟΥ ΑΛΚΗΣΤΙΣ ΘΕΟΔΩΡΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΠΟΥΛΙΑ ΗΛIΑΝΑ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΡΕΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΖΩΗ Γ. ΠΡΟΔΡΟΜΙΔΗΣ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΙΑΣΟΝ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΠΡΟΕΣΤΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΡΑΛΛΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΡΑΦΤΗΣ ΚΟΝ/ΝΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΡΟΖΑΚΛΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΙΟΥ ΛΑΚΩΝΙΑΣ ΡΟΥΜΕΛΙΟΤΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΙΣΤΙΑΙΑΣ ΡΟΥΣΣΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ ΡΟΥΣΣΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, 2ο Ε ΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ ΣΑΛΑΒΡΑΚΟΥ ΚΟΝ/ΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ ΣΑΛΜΑΤΖΙΔΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΣΑΜΑΡΑ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΕΜΗΝΟΓΑΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

------- ΕΠΙΤΥΧΟΝΤΕΣ 77ov ΜΑΘΗ ΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝ Ι ΣΜΟΥ ΣΑΜΟΝΑΣ ΓΕΟΡΠΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΙΜΟΥ ΣΑΝΤΟΡΙΝΑΙΟΣ ΜΙΧΑΗΛ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΠΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΣΑΡΑΝΤΗ ΑΡΙΑΔΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΥΣΤΟΥ ΕΥΒΟΙΑΣ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΡΑΦΑΗΛΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΣΑΡΡΗ ΜΑΤΟΥΛΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΣΕΡΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1 1 0 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΙΒΕΝΑ ΚΟΝ/ΝΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ ΣΙΣΚΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΣΙΤΑΡΙΔΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ ΣΙΦΟΝΙΟΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΣΚΑΛΟΥΜΠΑΚΑ ΝΙΚΟΛΕΠΑ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΣΚΑΦΙΑΔΑΣ ΑΝΑΡΓΥΡΟΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗΝΙΚΟΥ ΣΚΟΥΡΤΣΗ ΔΗΜΗΤΡΑ ΑΝΝΑ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ Ι . Μ . ΣΚΠΑ ΚΟΝ/ΝΑ, 2 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΜΟΥΔΑΝΙΩΝ ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ ΣΟΦΙΑΝΙΔΗ ΑΜΜΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΟΥΤΡΑΚΙΟΥ ΣΠΑΝΟΥ ΔΙΟΓΕΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΣΠΥΡΙΔΗΣ ΜΕΞΗΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΣΤΑΘΟΥΛΙΑΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΙΜΟΥ ΣΤΑIΚΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΟΝΟΡΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΔΥΣΣΕΑΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΣΤΑΥΡΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝ Ν Ι ΝΩΝ ΣΤΕΦΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, 4ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΣΤΟΓΙΑΝ ΝΤΑΝΙΕΛΑ, ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ ΣΤΡΑΤΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ ΣΥΜΕΩΝΙΔΗΣ ΑΝΤΑΜ ΤΖΕΙΜΣ, ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΥΡΟΚΩΣΤΑΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΣΦΟΥΝΤΟΥΡΗΣ ΛΟΥΚΑΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΛΙΟΥ ΣΧΟΙΝΑΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΟΤΗΡΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ ΣΟΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ ΣΩΤΗΡΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΙΟΥ ΤΑΜΠΑΧΑΝΙΩΤΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΤΑΜΠΙΖΙΒΑ ΘΕΟΔΩΡΑ ΕΛΕΝΗ, ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑΜΙΑΡΑ ΤΑΤΛΗ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΚΟΜΕΠΟ ΑΝΑΤΟΛΙΑ ΤΕΡΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΕΞΑΝΔΡΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΩΡΑΙΟΚΑΣΤΡΟΥ ΤΕΠΕΡΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΤΖΑΒΙΔΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΟΥΤΓΚΑΡΔΗΣ ΤΖΙΕΡΑΣ ΙΑΣΟΝ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΤΖΙΚΑΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΖΟΥΜΑΝΕΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΗΒΑΣ ΤΟΛΗ ΠΑΝΑΓΙΟΤΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΙΑΤΩΝ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΤΟΛΙΑΣ ΑθΑΝΑΣΙΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΟΥΛΟΥΠΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΤΟΥΜΠΕΚΗΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΥΡΓΟΥ ΗΛΕΙΑΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΜΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΣΑΚΙΡΗΣ ΑΝΕΣΤΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΣΑΜΠΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΣΑΡΟΥΧΑΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΗΒΑΣ ΤΣΑΡΤΣΜΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΣΑΡΤΣΑΡΑΚΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΣΑΤΣΑΡΩΝΗΣ ΘΟΔΩΡΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΣΙΜΑΙΑΣ

ΣΧΟΛΗΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΣΕΠΕΛΕ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΣΕΠΕΡΚΑ ΜΑΓΔΑ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΡΑΧΩΝ ΙΚΑΡΙΑΣ ΤΣΙΑΜΗΣ ΡΑΦΑΗΛ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΤΣΙΓΑΛΟΣ ΧΡΥΣΟΒΜΑΝΤΗΣ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΤΣΙΓΑΡΑ ΜΑΡΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ ΤΣΙΝΝΑΣ ΝΙΚΗΤΑΣ, ΡΟΔΙΩΝ ΠΑΙΔΕΙΑ ΤΣΙΡΟΓΙΑΝΝΗ ΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΟΘΕΗΣ ΤΣΙΤΟΥΡΑΣ ΚΑΝΕΜΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ MIMOY ΤΣΟΥΚΑΝΕΡΗ ΓΕΩΡΓΙΑ • ΠΑΥΛΙΝΑ, 9ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΤΣΟΥΝΗΣ ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡΙΝΙΟΥ ΤΣΟΥΤΣΟΥΞΑΝΟΥ ΤΣΙΠΡΙΑΝ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΧΑΡΝΩΝ ΤΥΡΟΒΟΛΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΤΩΡΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ ΝΤΑΓΚΑΣ Σ. ΦΙΚΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΦΡΑΓΚΑΚΟΣ ΗΛΙΑΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΧΜΑΝΤΖΟΥΚΑΣ ΦΟΙΒΟΣ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝ ΕΠ ΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΧΑΛΙΠΙΛΑ ΝΙΚΗ, ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΥΞΕΛΩΝ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΧΑΡΑΜΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 1 1 0 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΧΑΤΖΗ ΗΒΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΧΑΤΖΗΚΑΝΕΜΟΥ ΕΛΙΣΑΒΕΤ ΜΥΡΤΩ, ΕΝΙΑΙΟ ΡΑΜΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΧΑΤΖΗΣΙΑΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΑΦΝΗΣ ΧΑΤΖΗΦΩΤΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΥΚΟΒΡΥΣΗΣ ΑΠΙΚΗΣ ΧΟΝΤΟΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΧΟΥΛΙΑΡΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕΙΤΟΝΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ ΒΕΛΙΣΣΑΡΙΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΑΤΟΥ ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΑΚΗ ΕΛΕΑΝΝΑ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΧΡΥΣΙΚΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΦΙΛΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΧΡΥΣΙΚΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΧΡΥΣΟΣΠΑΘΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΥΚΗΣ ΨΑΡΙΑΝΟΥ ΕΜΗ, 2ο ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΨΑΡΟΜΜΑΤΗ ΜΙΧΑΕΛΑ ΖΩΗ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ APM NΙ

•

q f· ·

•

Γ:Ήiϊ'fί{J:;/QΥ; .

. ..

ΑΓΓΕΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΟΤΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ ΚΟΣΤΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΝΑΓΝΟΣΤΟΠΟΥΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΑΝΔΡΕΑΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΜΗΣ ΑΝΔΡΕΟΥ ΣΤΕΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΣΠΡΩΝ ΣΠΙΤΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΚΡΩΤΗΡΙΟΥ ΑΡΑIΛΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ ΒΑΣΣΟΣ ΗΛΙΑΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΒΕΝΕΤΣΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΒΕΠΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΒΙΡΒΙΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ

στα

ΜΑΘΗ ΜΑΤΙΚΑ «0 ΘΑΛΗΣ» ------

ΒΛΑΧΟΣ ΕΥΤΥΧΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΒΟΖΙΚΗ ΜΑΡΙΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΜΗ Ν Ι ΚΟΥ ΒΡΕΤΑΚΟΥ ΟΛΓΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΓΑΖΕΠΗΣ ΜΑΡΚΟΣ, ΚΟΜΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΜΑΝΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΓΑΡΔΕΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΓΕΡΟΧΡΗΣΤΟΥ ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ, ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΡΑΘΟΚΑΜΠΟΥ ΣΑΜΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ, ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑΝ ΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΓΕΩΡΓΟΥΔΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΧΑΓΓΕΛΟΥ ΓΙΑΛΙΔΗ ΛΕΜΟΝΙΑ, 3ο Ε Ν ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΓΙΑΝΝΕΛΟΥ ΠΗΝΕΛΟΠΗ ΑΝΝΑ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΓΙΑΡΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ ΠΟΤΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΑΡΚΑΔΟΝΑΣ ΤΡΙΚΜΩΝ ΓΚΟΛΦΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΥΡΩΝΑ ΓΚΟΤΣΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ ΓΛΥΤΣΟΣ ΜΑΡΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΓΡΑΤΣΙΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ ΓΡΗΓΟΡΙΟΥ ΣΤΕΡΓΙΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΡΙΣΑΣ ΓΡΙΒΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΥΠΑΡΗΣ ΙΑΣΟΝΑΣ, ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΡΠΕΝΗΣΙΟΥ ΔΑΛΠΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ι ΚΕΡΜΙΟΥ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΒΛΑΣΣΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΔΗΜΑΚΗΣ ΣΥΜΕΩΝ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΟΘΕΗΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΚΟΥΣΟΥΛΑΚ ΠΕΤΡΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜ ΕΡΙΚΑΝ Ι ΚΟ ΔΗΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΟΛΗΣ ΠΑΝΑΠΩΤΟΠΟΥΛΟΥ Ι . Μ . ΔΗΜΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΔΙΓΜΑΚΗ ΚΟΡΙΝΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΔΟΥΚΑΣ ΧΑΡΑΛΑΜ ΠΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΔΡΑΓΑΖΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ ΚΟΝ/ΝΟΣ, βο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΔΡΙΚΟΥ ΜΥΡΤΩ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΔΡΟΣΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΔΡΟΣΟΣ ΠΕΤΡΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΕΜΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΕΥΓΕΝΙΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ • ΡΑΠΤΟΥ Μ. ΖΑΦΕΙΡΗΣ ΣΠΥΡΙΔΟΝ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ ΓΕΩΡΠΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΖΙΒΑΝΙ ΣΥΛΒΙΑ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΖΟΥΓΡΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΘΑΜΠΕΤ ΑΝΔΡΕΑΣ ΝΑΟΥΜΑΝ, ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΘΕΜΕΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΡ Ι Ν Ι ΟΥ ΘΕΟΛΟΓΙΤΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, Ε Ν ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΙΛΟΘΕΗΣ ΘΩΜΑΔΑΚΗΣ ΡΑΦΑΗΛ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝ ΙΩΝ ΚΑΚΑΒΟΥΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΚΑΛΙΒΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ ΚΑΜΙΤΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΙΟΥ ΚΑΝΕΜΟΠΟΥΛΟΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ, ΕΡΑΣΜΕΙΟΣ ΕΜΗΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΣΣΑ ΑΦΡΟΔΙΤΗ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ

ΣΜΥΡΝΗ ΚΑΨΑΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΚΕΛΛΑΡΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΙΑΤΟΥ ΚΟΒΑΝΗ ΚΩΝ/ΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΚΟΕΝ ΛΕΟΝΑΡΝΤΟ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΚΟΚΚΟΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΚΟΜΙΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΚΟΛΩΝΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΤΑΣ ΚΟΝΙΔΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΥΒΑΤΣΟΣ ΝΙΚΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΥΜΠΛΗΣ ΑΡΗΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΥΡΟΥ ΚΑΔΗΡ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ ΚΟΥΤΣΗΣ ΠΕΤΡΟΣ ΑΝΤΟΝΙΟΣ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ ΚΟΥΤΣΟΓΕΩΡΓΟΣ ΠΑΡΜΕΝΙΟΝ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΚΟΥΤΣΟΠΕΤΡΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝ ΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙ ΡΑΙΑ ΚΟΨΙΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΘΕΟΜΗΤΩΡ ΚΡΗΤΙΚΟΣ ΙΑΚΟΒΟΣ ΦΑΝΟΥΡΙΟΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ • ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΚΡΙΕΖΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΥΠΡΑΙΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 20 ΠΕΙΡΑΜΑτικο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΑΘΗΝΩΝ ΚΥΡΙΜΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΚΥΡΙΤΣΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΣΑΒΒΑΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ ΚΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΣΟΤΗΡΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΛΑΒΔΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗΣ ΛΑΖΑΡΗΣ ΠΕΤΡΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΛΑΜΠΡΟΥ ΜΑΡΙΑ ΕΙΡΗΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΛΑΤΖΟΥΡΑΚΗΣ ΜΑΝΟΛΗΣ, ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΕΥΚΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΗ • ΜΑΡΙΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΠΑΚΟΠΑΝΝΗ Ν. ΛΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΞΥΛΟΚΑΣΤΡΟΥ ΛΙΑΣΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΑΚΥΝΘΟΥ ΛΟΥΚΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ-ΑΝΝΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΝΑΤΩΝ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΛΟΥΠΟΥΛ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΜΦΙΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ ΛΟΥΡΔΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΛΥΔΑΚΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΛΥΜΠΕΡΗ ΑΝΔΡΙΑΝΑ, Ε Ν ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΜΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΜΑΚΡΗΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ, ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΚΟΜΕΠΟ ΜΑΝΤΟΥΒΑΛΟΣ ΧΑΡΜΑΜΠΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝ ΙΑΣ ΜΑΡΜΑΓΚΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ, ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΣΙΜΑΙΑΣ ΣΧΟΛΗΣ Ι ΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΑΥΡΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ·ΑΣΠΑΣΙΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΝΑΤΩΝ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ ΜΕΓΓΟΥΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΕΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑ1ΤΗ ΜΕΜΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Ε Ν ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΜΕΝΕΝΑΚΟΣ ΗΛΙΑΣ, ΚΟΜΕΠΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΕΤΑΜΙΔΗΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, 1ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/45

ΜΗΛΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝ ΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΗΛΙΑΚΟΥ ΓΕΟΡΓΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΜΗΤΡΑΚΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΥΔΑΜΟΥ ΜΟΖΕΡ ΚΑΛΟΜΟΙΡΗΣ ΛΕΟΝΙΔΑΣ, 2ο ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΟΥΣΑ ΠΑΝΑΓΙΟΤΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΜΠΑΓΑΚΗ ΔΗΜΗΤΡΑ ΑΝΤΩΝΙΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ ΜΠΑΛΙΔΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ, 1ο ΕΝ ΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΜΠΑΛΤΑ ΑIΚΑΤΕΡΙΝΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΩΠΙΟΥ ΜΠΑΛΤΑΔΟΥΡΟΣ ΣΕΡΑΦΕΙΜ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΜΠΑΡΜΠΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΜΠΑΧΑΡΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΠΟΛΗΣ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 1 50 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΜΠΕΚΡΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΘΗΒΑΣ ΜΠΟΡΜΠΑΝΤΟΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΚΥΔΩΝΙΑΣ ΝΑΟΥΜ ΠΑΝΤΕΛΗΣ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΜΗΝΗΣ ΝΟΤΗ ΣΟΦΙΑ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΑΙΟΥ ΦΜΗΡΟΥ ΟΙΚΟΝΘΜΑΚΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ, βο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ ΠΑΖΙΟΝΗΣ ΠΑΤΡΟΚΛΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΠΑΝΤΑΖΗ ΜΑΡΙΑ ΕΛΕΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΑΝΤΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 2ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΤΙΣΚΑ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΓΟΥΝΤ ΦΡΑΝΚ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΜΟΥΣΙΚΟ ΑΓΡΙ ΝΙΟΥ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΗΛΙΑΣ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΘΕΣΣΜΟΝΙΚΗΣ ΠΑΠΑΔΟΣΗΦΟΣ ΜΑΝΟΥΣΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΕΘΥΜΝΟΥ ΠΑΠΑΘΕΟΔΩΡΟΥ ΝΕΦΕΛΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, ΕΛΛΗΝΟΓΑΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ ΠΑΠΑΚΩΣΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΠΑΚΟΠΑΝΝΗ Ν. ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΗΛΙΑΣ, 7ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΠΑΣΙΔΕΡΗ ΔΗΜΗΤΡΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΠΑΠΑΧΛΙΜΙΝΤΖΟΣ ΓΙΑΝΝΗ, ΤΟΣΙΤΣΕΙΟ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΕΚΜΗΣ ΠΑΤΣΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΣΟΥΡΑ ΜΑΡΙΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΦΡΥΓΑΝΙΩΤΗ ΑΕ ΠΑΠΑΣ ΓΕΩΡΠΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΙΒΕΡΙΟΥ ΕΥΒΟΙΑΣ ΠΑΧΥΛΗ ΕΛΕΝΗ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ ΠΕΡΙΣΤΕΡΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 2ο ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΜΠΟΝΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝΙΑΣ ΡΗΓΑ ΧΡΙΣΤΙΝΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΣΟΛΟΓΠΟΥ ΡΙΣΣΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΓΟΥΛΑΣ ΡΟΥΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΡΩΜΑΝΟΥ ΠΥΜΗ ΣΑΒΒΙΝΑ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ ΚΑΜΙΟΠΗ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΑΝΤΟΡΙΝΑΙΟΣ ΙΑΚΩΒΟΣ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΣΑΠΟΥΝΤΖΑΚΗΣ ΓΕΟΡΓΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ Π Ε Ι ΡΑΙΑ ΣΗΜΑΝΤΗΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, 1ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ ΣΙΔΕΡΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΙΔΕΡΗ ΕΛΠΙΔΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΧΗΜΑΤΑΡΙΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΣΚΑΡΝΑΒΗ ΣΠΥΡΙΔΟΥΛΑ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΒΜΟΥΣ ΑΙΤΩΛΟΑΚΑΡΝΑΝΙΑΣ ΣΚΡΕΜΠΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, ΑΥΓΟΥΛΕΑ - ΛΙΝΑΡΔΑΤΟΥ ΣΟΥΜΕΛΙΔΟΥ ΧΑΡΑ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΣΟΛΟΓΠΟΥ ΣΤΑΜΕΛΟΥ ΕΛΕΝΗ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΧΟΜΕΝΟΥ ΒΟΙΩΤΙΑΣ ΣΤΕΤΣΙΚΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ, 1 ο Ε Ν ΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΛΑΡΓΟΥ ΣΤΡΙΦΤΑΡΗΣ ΧΑΛΚΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΣΤΟΔΗΜΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΦΕΤΣΩΡΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑ, ΠΕΙ ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΣΧΟΙΝΑΣ ΙΟΑΝΝΗΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΡΘΟΛΟΜΙΟΥ ΗΛΕΙΑΣ ΣΩΤΗΡΙΑΔΗ ΜΑΡΙΑ ΜΙΧΑΕΛΑ, ΝΕΑ ΓΕΝΙΑ ΖΗΡΙΔΗ ΣΩΤΗΡΙΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ, 1 ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ ΤΑΣΙΟΥ ΜΑΡΙΝΑ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝ ΙΑΣ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ ΤΑΣΙΟΥ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΤΕΡΖΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΕΡΒΕΝΙΟΥ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΤΖΙΒΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑΝΝΑ, ΠΕΙΡ. ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΟΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΙΔΙΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΤΡΟΜΠΟΥΚΗ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ, Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΤΣΑΓΚΑΔΟΠΟΥΛΟΥ ΖΩΗ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΡΙΚΜΩΝ ΤΣΑΓΚΑΡΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, ΛΟΥΜΠΟΥΜΠΑΣΙ ΚΟΓΚΟ ΤΣΑΚΙΡΗ ΕΥΑΝΘΙΑ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΝΙΤΣΩΝ ΠΕΛΛΑΣ ΤΣΑΜΑΣΙΟΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 60 ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ ΤΣΑΝΑΚΤΣΙΔΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ, 4ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ ΤΣΙΝΤΣΙΛΙΔΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΠΑΚΙΟΥ ΔΡΑΜΑΣ ΤΣΟΥΚΑΝΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΦΟΓΚΤ ΚΙΜΩΝ, ΕΜΗ Ν Ι ΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ/Ν ΙΚΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΑΡΙΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΤΤΙΚΗΣ ΦΩΚΟΛΩΡΟΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ, ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΑΡΚΑΔΟΝΑΣ ΤΡΙΚΜΩΝ ΦΩΤΕΙΝΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, 3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΛΙΟΥΠΟΛΗΣ ΧΑΝΑΣ ΠΕΤΡΟΣ, ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι ΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΤΖΑΡΑΣ ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ ΧΑΡΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ, ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΗ Ε. ΧΑΤΖΗΠΕΤΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ, 1 ο ΕΝIΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΜΥΒΙΩΝ ΧΑΤΖΗΣΤΑΜΑΤΗ ΕΛΕΝΗ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΧΛΑΠΑΝΗΣ ΟΔΥUΕΑΣ, 2ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΩ ΨΑΘΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ, 1ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠΗΣ ΨΥΡΟΥΚΗΣ ΡΑΦΑΗΛ, 5ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

Τάξη :

Μ ι κτ όγρ α μμ α Σχ ή μ α τ α , Ε μ β α δά

Β'

Στερ εο μ ετρ ί α Χρήστος Π. Τσιφάκης

Ά σκη ση Ι η .

Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ (ΟΑ = ΟΒ = R) και με διαμέτρους ΟΑ, ΟΒ φέρνουμε ημικύκλια που τέμνονται στο σημείο Γ. Δύο δρομείς ξεκινούν από το σημείο Α και τρέχουν με την ίδια σταθε ρή ταχύτητα, ο πρώτος στην διαδρομή κατά μήκος του τόξου ΑΕΒ και ο δεύτερος στην δια δρομή τόξο ΑΓ + τόξο ΓΒ.

ί) Ποιος θα φτάσει πιο γρήγορα στο σημείο Β;

Π · �' -�' - + · �� -�} R2 = R2 - R2 - Π · R2 + Π·2 4 4 8 R2 R2 R2 ( π-2 ) . π· g- - 4 = gΆσκηση 2 η .

Με διάμετρο ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο. Πάνω

i ί ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του καμπυλό

στην ΑΒ παίρνουμε τυχαίο σημείο Γ και με δια

Λ ί;ση :

τερικά. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου

γραμμου σχήματος ΑΕΒΓ Α. Β

μέτρους ΑΓ και ΒΓ γράφουμε ημικύκλια εσω που περικλείεται ανάμεσα στα τρία ημικύκλια ισούται με το εμβαδόν του κύκλου οπου γρά φουμε με διάμετρο το ΓΔ

κοινό εφαπτόμενο

τμήμα των ημικυκλίων ΑΓ, ΒΓ .

ΛίJ σ η :

- είναι ΑΕΒ _ 2πR πR ΛΕΒ - 4 - 2 ·

Το μήκος του τόξου f

.-.. -

Τα τόξα ΑΓ και ΑΒ είναι ίσα και το άθροισμά , , τους ισουτ. αι με μηκος ημικυκλ'ιου ακτινας Άρα f

ΑΕ8

Ai + ί\Β

R 2π ·= -2-'2=- = _π:-, οπότε φ

f f ΑΓ + ί\Β

R. 2

� πR ' - (� π ( �)' � π ( Β;)} +

_!_2 π ( R2 - ΑΓ2 - ΒΓ2 J = ΒΓ) 2 ΑΓ2 ΒΓ2 = π ΑΓ · ΒΓ ( π 2 J ΓΔ2 = ΑΓ · ΒΓ

και α ού οι δρομείς τρέχουν με 4 4 την ίδια σταθερή ταχύτητα, θα φτάσουν στο ση _!_ ( ΑΒ + _ _ μείο Β ταυτόχρονα. 4 4 4 4 ii) Το εμβαδόν του κα μπυλόγραμμου σχήματος Το ΑΔΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο και το ΓΔ ύψος ΑΕΒΓΑ δίνεται: του , άρα ( (

( ΑΕΒΓΑ) = κτΑΕΒΑ ) -2 κτΑr) =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/46

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου

: { :)

Άσκη ση 4η.

Οπότε Ε = π · r ' = π r '

Α σκ η σ η

3η.

Σε κύκλο ακτίνας α εγγράφουμε ισόπλευρο τρί γωνο ΑΒΓ. Με διάμετρο την πλευρά ΑΓ γρά

Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδόν του

φουμε κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν του κοινού

γραμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος καθώς

μέρους των δύο κυκλων συναρτήσει του α.

και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Λ 1ιση :

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το άθροισμα του εμ βαδού του ημικυκλίου ΟΑΜΓ και του κυκλικού τμήματος ΑΝΓ. ' { π ) = · ΑΓ' = (ΟΑΜΓ) = τ 2 8 3π · α 2 π · ( α..f3 ) 2 -= 8 8 π

ΛίJσιι :

Το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και η = 1 5° , άρα η επίκεντρη γωνία = και η οπότε = δηλαδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο, οπότε = 4 . Λ

ΟΓΒ Β Ο Γ 1 5 0° Β ΟΑ 60° Λ

Α Ο Γ = 90° ,

ί)

Το κυκλικό τμήμα ΑΓ έχει εμβαδόν

(κτΑΝΓ) = (κτομΟΑΝΓ)-(ΟΑ Γ) = π · (ΟΑ)2 · 1 20° (ΑΒΓ) =

( κτΑΓ ) = ( κτομοΑΓ ) - ( ΟΑ Γ) =

360°

R2 R2 R 1

π · 4 - 2 = 4 ( π - 2) = 4(π - 2)

π · α2 3

(

α 2 ..f3 2 4π - .J3 =α 12 12

(ΑΒ Γ) = ( ΟΒΑ) + ( ΟΑ Γ) - ( ΟΒ Γ) = 1 R 2 ημ ·2 · 60 + 21 · R2 - 21 · R 2 ημ1 5 0 = _!. . R 2 ( .J3 1 - _!. J = _!. . R 2 ( .J3 + 1 = 2 2 2 2 2

Αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο

= 4 · ..f3 + 1

σε κύκλο (O,R). Η ακτίνα ΟΑ διχοτομείται από

ίί)

•

(

)

•

Ε=

.J3 2 (ΟΑΜΓ) + (κτΑΝΓ) = α ( 1 7π24- 2 ) . •

Λ σκη ση Sη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/47

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου Λ

την πλευρά ΒΓ. Να δείξετε ότι εφ Β · εφ Γ = 3

2ημ Β · ημ Γ = -συν Α � Λ

( )

2ημ Β · ημ Γ = συν Β+ Γ �

Λί> σ η :

Φέρνουμε το ύψος ΑΚ .l ΒΓ και την 3ημ Β · ημ Γ = συν Β · ημ Γ � εφ Β · εφ Γ = -1 3 ΟΜ .l ΒΓ . Αν Δ είναι το σημείο τομής της ΒΓ με την ΟΑ τότε: Τα τρίγωνα ΑΚΔ, ΟΔΜ είναι ίσα, άρα ΑΚ ΟΜ Ασ κη σ η 6 η . Στο παρακάτω σχήμα είναι ΒΓ = 4.Ji το τόξο και τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΟΒΓ είναι ισεμβαδικά. Br 9 0° και η χορδή ΒΔ = 4.fj . Να βρείτε το Με βάση τον νόμο ημιτόνων Λ

. Λ

ημ Α

β = γ = 2R

ημ Β

ημ Γ

μήκος του ΑΕ και το εμβαδόν του μικτόγραμ-

μου τριγώνου ΑΒΔ .

Έχουμε: ΑΓ = 2R · ημ Β και ΑΒ = 2R · ημ Γ . Λ

ημ Α

β = γ = 2R

ημ Β

ημ Γ

Έχουμε: ΑΓ = 2R · ημ Β και ΑΒ = 2R · ημ Γ . Λ

Ε Δ

Λ\Jσ η :

----

Αφού ΒΓ = 90° έχουμε ότι

ΒΓ = λ4 � 4 ../2 = R J2 � R = 4 .

Αφού ΒΔ = 4 .J3 � ΒΔ = R .J3 � ΒΔ = λ3 .

Άρα ΒΔ = 120° � ΓΔ = 30° και ΑΒ = 60° . Αφού το τόξο ΓΔ = 30° έχουμε ότι ΓΔ = λ1 2 και ----

..--..

Άρα ( ΑΒΓ ) = ( ΟΒΓ ) �

----

-1 ΑΒ · ΑΓ · ημ Α = -1 R2 · ημ ΒΟΓ � 2 2 2R2 · ημ Α· ημ Β· ημ Γ = -1 R 2 · ημ ΒΟΓ � 2 Λ

(

)

4 · ημ Α · ημ Β · ημ f = ημ 3 60° - 2 Α. � Λ

( ) Λ

4 · ημ Α· ημ Β· ημ Γ = -ημ 2 Α �

από τον τύπο του Αρχιμήδη λ ν 2 = 2R(R - αν ) 2

έχουμε ότι

(

4 .J3 - � λ1 2 2 = 2 · 4 · 4 - 2

/. /. 4 · ,mt A · ημ Β· ημ Γ = -2 · _mι Α · συν Α � Λ

,-....

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/48

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου Δ

(ΑΕΖ) = (ΖΜΔ) (2). \

R '

. . . . . .\�· · · Α

Ε Δ

ΓΔ = λ1 2 = 4�2 - Ji και = 4 �2 + .J3 . Ισχύει ότι ΑΓ2 = ΑΕ · ΑΔ ΑΕ = 1 6 ( 2; ,/3 ) = 2 ( 2 + ,/3 ) .

Άρα ΑΓ

e> Μ

Άρα

(ΑΔΜΒΑ) = (ΑΔΜrΑ) .

Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΔ δί- Έτσι από (1) και (2) έχουμε: νεται: +

(ΑΒΔ) = (ΟΒΔ)

( ομΟΑΒ ) = 2· ο _!_ . R 2 · ημ1 20 ο + πR 6 Ο = 2 3 60° 1 π 8π 8 Jj + 6 = 4.fj + 3 2 6 +

κτ

Άσκη ση 7η.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R). Φέρνουμε την διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ. Η παράλ ληλη από το μέσο Δ της ΒΓ προς την ΑΜ τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Ε και έστω

( ΑΔΜΒΑ) ( ΑΕΖ)- (ΜΔΖ) = = ( ΑΔΜrΑ) + (ΜΔΖ)-( Α&) Άρα τελικά ( ΑΕ ΜΒΑ) = ( ΓΕΜr). Άσκη ση 8 η.

Δίνεται τεταρτοκύκλιο ΟΑΒ και με διάμετρο την ΟΑ γράφουμε ημικύκλιο, εντός του τεταρ τοκυκλίου. Κύκλος (Κ, χ ) εφάπτεται στην ΟΒ,

στο ημικύκλιο ΟΑ και στο τεταρτοκύκλιο. Να υπολογίσετε την ακτίνα

του κύκλου.

Λύση :

Ζ το σημείο το

μής των ΑΔ, ΕΜ. Να δείξετε ότι η ΕΜ διχοτο μεί το εμβαδόν του μικτόγραμμου σχή ματος ΑΒΜΓΑ.

Φέρνουμε την διάκεντρο ΟΚ που τέμνει το τεταρ Η ΑΔ είναι η διάμεσος του τριγώνου, οπότε τοκύκλιο στο Θ (σημείο που εφάπτονται οι δύο R - χ και επειδή το ΟΕ είναι κύκλοι). Τότε ( 1 ) και η ΜΔ χωρίζει το κυεφαπτομενο τμήμα στον κύκλο (Κ,χ) κλικό τμήμα ΒΜΓΒ σε δύο ίσα μέρη. R χ Το σχήμα ΑΜΔΕ είναι τραπέζιο, άρα ΚΕ 2 + e> 2 � . Άρα Λύση : Δ

ΟΚ =

(ΑΒΔ) = (ΑΔΓ)

ΟΕ =

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/49

ΟΚ2 =

ΟΕ2

Μαθηματικά για την Β' Λυκείου Λ

Επίσης Ε Β Ο = Α Β Η = Ε Β Κ . Άρα Ο Κ οπότε ΟΒ 1- DE και τα σημεία D, Ο, Ε είναι συνευθειακά.. Ξ

Άσ κη ση 9 η .

Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σ ε κύκλο

( Ο, R ) και ΒΗ = R .fi. το ύψος του. Από το Η HD 1- ΑΒ και ΗΕ 1- BC . Να δείξετε ΟΒ 1- DE και ότι τα σημεία D, Ο, Ε είναι

Ένα Θέμα Στερεομετρίας

φέρουμε

Άσ κ η ση 1 0 η .

ότι:

Ν α δείξετε ότι, αν ένα επίπεδο τέμνει δύο άλλα

συνευθειακά.

τεμνόμενα επίπεδα, τότε οι τρεις τομές θα είναι

Λύση :

ή παράλληλες μεταξύ τους ή θα διέρχονται από

( ABC ) = i1 ΒΑ · ΒC · ημ Β = i1 AC · BH Λ

ς::>

ΒΑ · BC = 2R · ΒΗ ( 1 ) .

Από μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΗ και BHC έχουμε BD ΒΑ = ΒΗ 2 και ΒΕ · BC = ΒΗ 2 •

το ίδιο σημείο. Λύση :

Έστω ότι τα επίπεδα Π και Ρ τέμνονται κατά την ευθεία χ , τα Σ και Ρ κατά την ευθεία y και τα Π και Σ κατά την ευθεία z .

.ι

Οι ευθείες χ , y ανήκουν στο επίπεδο Ρ άρα ή θα τέμνονται ή θα είναι παράλληλες. Αν τέμνονται στο σημείο Ο αυτό θα είναι κοινό σημείο και των τριων επιπέδων άρα και η ευθεία z θα διέρχεται από το Ο Άρα BD · ΒΑ = ΒΗ 2 = ΒΕ · BC δηλαδή τα τρί γωνα ABC και BDE είναι όμοια, οπότε Λ

. . - _J·

Β Ε D = Β Α Η και Β D Ε = Β C Α .

Στο τρίγωνο BDE φέρνουμε το ύψος ΒΚ 1- ED και έστω K,i'O . Τότε τα τρίγωνα BHC και BDK είναι όμοια, οπότε ΒΚ ΒΗ

BD BC

-=-=

BK = R .

ΒΗ 2 BA · BC

2R 2 2R · BH

R ΒΗ

= - =>

...., ..

Αν οι ευθείες χ , y είναι παράλληλες τότε και η z θα είναι παράλληλη προς αυτές, διότι αν δεν ήταν παράλληλη αλλά τέμνονταν με μία από τις χ , y τότε σύμφωνα με τη προηγούμενη περίπτωση θα έ πρεπε και οι τρεις ευθείες να διέρχονταν από το ίδιο σημείο. Άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι οι ευθείες χ, y είναι παράλληλες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/50

Μ αθηματικά για την Β' Λυκείου

Πέντε Θέματα Στερεομετρίας

Είναι πράγματι καλό να χρησιμοποιούμε την λογική που αποδεικνύει, στο χώρο που ζούμε και αναπνέουμε, δηλαδή στον όμορφο χώρο των τριών διαστάσεων. Ας μη ξεχνάμε ότι τα Μαθηματικά έγιναν επιστήμη από την εποχή που ο Θαλής εισήγαγε την αποδεικτική διαδικασία, ως διαδικασία επιστημονικής ισχυρής αποδοχής. Δίνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ , Α1 Β 1 Γ 1 στον χώρο τέτοια που ανήκουν σε δύο διαφορετικά επίπεδα ( π ) , ( Π1 ) αντιστοίχως και οι πλευρές 1.

τους

ΑΒ, Α1 Β 1

τέμνονται σε σημείο Τ 1 , οι

ΒΓ, Β 1 Γ 1 ΓΑ, Γ1Α 1

πλευρές τους τέμνονται και οι πλευρές τους

σε σημείο Τ 2 τέμνονται σε

σημείο Τ 3 Αποδείξτε ότι: ί. Τα επίπεδα ( π ) , ( π 1 } δεν είναι παράλληλα, •

ίί.

Τα σημεία Τ 1 , Τ 2 , Τ 3 είναι συνευθειακά

(Θεώρημα Desargues)

Λύση :

Έστω επίπεδο

και ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους. Θεωρούμε ευθεία ε που διέρχεται από το Ο και . σχηματίζει με κάθε μία από αυτές γωνία φ. Αποδείξτε ότι: ί. Η ευθεία ε δεν είναι ευθ εία του επιπέδου ( Π ) ,

ίί. Η ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδο

(Π ) .

Λύση :

ί.

Έστω ότι η ευθεία & ανήκει στο επίπεδο ( Π ) . Αν θεωρήσουμε τρία σημεία Α,Β,Γ αντίστοιχα των ευθειών ε1 , ε 2 , ε 3 διάφορα του σημείου Ο, τότε τουλάχιστον τα δύο από αuτά, έστω τα Α, Β, θα βρίσκονται προς το ίδιο μέρος (ημιεπiπεδο) της ε. Τότε αν Σ σημείο της ε διάφορο του Ο, θα είχαμε το Σχήμα 1 , όπου θα ίσχυε LΑΟΣ = LΒΟΣ = φ. Αλλά τότε οι ευθείες ε1 , ε 2 θα ταυτίζονταν, πράγμα άτοπο με βάση τα δεδομένα της εκφώνησης. Συνεπώς η ευθεία ε δεν είναι ευθεία του επιπέδου. ε

ί. Από την υπόθεση έχουμε ότι η πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ ορίζει ευθεία του επιπέδου Π. Το σημείο Τι είναι σημείο της πλευράς ΑΒ , οπότε θα είναι και σημείο του επιπέδου Π. Ομοίως παίρνουμε ότι η πλευρά Α1 Β1 του τριγώνου ΑιΒιΓ1 ορίζει ευθεία του επιπέδου Πι . Το σημείο Τι είναι σημείο της πλευράς ΑιΒι , οπότε θα είναι και σημείο του επιπέδου Π 1 • Επομένως το σημείο Τι θα είναι κοινό σημείο των επιπέδων Π, Π 1 , οπότε αυτά δεν είναι παράλληλα. ίί. Από το ί παίρνουμε ότι υπάρχει η τομή των επιπέδων Π, Π1 , οπότε ως γνωστόν αυτή θα είναι ευθεία έστω ε. Είδαμε ότι το σημείο Τ1 , είναι σημείο της. Κατά τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα σημεία Τ2 , Τ3 είναι σημεία της. Άρα τα σημεία Τι , Τ2 ' Τ3 είναι συνευθειακά.

Σωτήρης Ε. Λουρίδας

(Π } ,

σημείο του Ο

και

τρείς ευθείες του ε1 , ε 2 , ε 3 διερχόμενες από το Ο

Σχ . 1

ίί. Με βάση το συμπέρασμα από το i, η ευθεία ε δεν είναι ευθεία του επιπέδου (Π) (σχ. 2). Έχουμε: LΑΟΣ = LΒΟΣ = LΓΟΣ = φ (1) , αν Α, Β, Γ αντίστοιχα σημεία των ευθειών ε 1 , ε 2 , ε 3 διάφορα του σημείου Ο, με ΟΑ = Ο Β = Ο Γ Αν υποθέσουμε ότι φ :;t: 90° , τότε στο επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες ε1 , ε θεωρούμε ΑΜ l. ε οπότε Μ :;t: Ο . Τα τρίγωνα ΑΜΟ, ΒΜΟ, ΓΜΟ είναι ίσα επειδή ΟΜ κοινή, LΑΟΜ=.LΒΟΜ=ΔΌΜ, ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ με το τρίγωνο ΜΟΑ να είναι ορθογώνιο στην κορυφή Μ. Άρα και τα τρίγωνα ΒΜΟ, ΓΜΟ θα είναι ορθογώνια στη κορυφή Μ. Συνεπώς οι ευθείες ΜΑ, ΜΒ, ΜΓ θα ανήκουν στο κάθετο επίπεδο στην ε και στο σημείο της Μ το οποίο έχει με το επίπεδο (Π) τρία κοινά σημεία οπότε θα ταυτίζεται με αυτό .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/51

(2).

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου

είναι μοναδική. Σ 8

.Α.

Σχ.2

Αλλά τότε και το (Π) θα είναι κάθετο στην ε οπότε φ = 90° , που είναι άτοπο. Επομένως φ = 90° που σημαίνει ότι η ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδο ( Π). : Για συγκριτικούς λόγους παραθέτουμε και την ακόλουθη κλασική απόδειξη: Επί των ευθειών ε1 , ε2 , &; θεωρούμε τα Α,Β, Γ , ώστε ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ. . Τότε τα τρίγωνα ΣΟΑ, ΣΟΒ, ΣΟΓ είναι ίσα αφού LΑΟΣ = LΒΟΣ = LΓΟΣ = φ επιπλέον έχουν τη ΣΟ κοινή. Άρα ΣΑ = ΣΒ = ΣΓ. Αν ΣΟ' ..L Π, τότε, αν φ -:ι:. 90° έχουμε Ο -:ι:. Ο'. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΣΟΑ ', ΣΒΟ ', ΣΟΓ' είναι ίσα αφού έχουν την ΣΟ' κοινή και ΣΑ = ΣΒ = ΣΓ. Άρα Ο'Α = Ο'Β = Ο ' Γ. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ έχει δύο περίκεντρα τα Ο και Ο', πράγμα άτοπο. Επομένως Ο Ξ Ο ' οπότε ΣΟ .l (Π). ••

Οι ευθείες ΑΒ, ΑΓ έχουν μοναδικό κοινό σημείο το Ααφού από σημείο του επιπέδου υπάρχει μόνο μία ευθεία κάθετη σε αυτό που στην rι;ερίπτωση μας είναι η ΑΒ. Οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ ως τεμνόμενες στο Α, ορίζουν επίπεδο, έστω το (Π '). Τα επίπεδα (Π ') και (Π) έχουν κοινό το σημείο Α. Άρα τα επίπεδα (π) και (Π ') θα τέμνονται κατά ευθεία, έστω την ΑΕ. Θεωρούμε σημείο Δ του ( Π) , ώστε η ευθεία. ΑΔ να είναι κάθετη στην ευθεία ΑΕ. Τότε η ευθεία ΑΒ ως κάθετη στο (Π) θα είναι κάθετη και στην ευθεία του ΑΔ. Επομένως η ευθεία ΑΔ ως κάθετη σε δύο ευθείες του επιπέδου (Π ' ) θα είναι κάθετη σε αυτό. Θα αποδείξουμε ότι η ΑΔ είναι μοναδική ευθεία του ( Π) κάθετη στο ( Π ') Αν υπήρχε ευθεία ΑΔ' του (Π) διαφορετική της ΑΔ , τέτοια ώστε να ήταν κάθετη στο (Π ') , αυτή θα ήταν κάθετη σε κάθε ευθεία του, οπότε θα ήταν κάθετη και στην ευθεία του ΑΕ. Αυτό είναι άτοπο γιατί θα είχαμε στο επίπεδο (Π) από το σημείο Α της ευθείας ΑΕ δύο ευθείες του τις ΑΔ, ΑΔ ' διαφορετικές μεταξύ τους και κάθετες στην ΑΕ. Άρα η ΑΔ είναι μοναδική. 4 . Α . Αποδείξτε ότι μία ευθεία f παράλληλη

3 . Δίνεται επίπεδο

(Π), και σημείο του Α. Θεωρούμε ευθεία ΑΒ κάθετη στο (Π} και ευθεία ΑΓ που δεν είναι κάθετη στο ( Π} . Αποδείξτε ότι υπάρχει μόνο μία ευθεία του ( Π) διερχόμενη από το Α κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ . Λύση :

Αρχικά θα αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ευθεία του (Π) διερχόμενη από το Α κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ, και στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι αυτή

προς δύο τεμνόμενα επίπεδα (Ρ 1 ) και (Ρ 2 ) , θα είναι παράλληλη και προς στην τομή τους τ. Β . Δίνονται τρείς ευθείες ε 1 , ε1 , ε 3 που δεν

ανήκουν ανά δύο στο ίδιο επίπεδο. Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρες ευθείες που τέμνουν και τις τρείς ευθείες ε 1 , ε 2 , ε 3 • Λύσ η : Α.

: Η

είναι παράλληλη στο επίπεδο ( Ρ1 ). Επομένως το τυχόν σημείο Μ του ( Ρ1 ) που δεν ανήκει στην ( τ ) , με την f θα ορίζουν επίπεδο ( q ) που η τομή του ( .e 1 ) με το ( Ρ , ). θα είναι παράλληλη της ( .e). Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ••

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/52

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

ότι f 1 11 τ. Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Αν η ( f 1 ) έτεμνε την ( τ) , τότε, θα έτεμνε και το ( Ρ 2 ) , άρα και η παράλληλη της ( f ) θα έτεμνε και αυτή το ( Ρ2 ) .πράγμα άτοπο. Συνεπώς f 1 11 τ , οπότε f 11 τ.

Σ;:.1

Για λόγους πλουραλισμού παραθέτουμε και : την εξής κλασική απόδειξη: Αν από τυχόν σημείο Σ της τ θεωρήσουμε ευθεία Σχ 11 f , τότε αυτή η ευθεία θα είναι ευθεία τόσο του επιπέδου ( Ρ 1 ) , όσο και του επιπέδου ( Ρ 2 ) Άρα η Σ.χ ταυτίζεται με την ( τ) ' δηλαδή τ 1 1 ι Β. Για κάθε σημείο Σ της ευθείας ε 1 ορίζεται ένα επίπεδο (Σ, ε3 ) , αφού Σ � ( ε3 ) . Τα επίπεδα αυτά εκτός από ένα το πολύ τέμνουν την ε 2 Πράγματι αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία Σ, Σ' της ε1 τέτοια ώστε τα επίπεδα (Σ, ε3 ) και (Σ ',ε 3 ) να είναι παράλληλα της (ε3), τότε θα οδηγηθούμε σε άτοπο. Αν (Σ, ε3 ),i(Σ',ε3 ) , τότε από το πρώτο ερώτημα θα έχου με ε2 Ι I ε3 δηλαδή οι ευθείες ε 2 ,ε3 θα είναι συνεπίπεδες, πράγμα άτοπο. Αν (Σ, ε3 ) Ξ (Σ ', ε3 ) , τότε η ΣΣ ' δηλαδή η ε 1 , θα είναι συνεπίπεδη με την ε3 , πράγμα άτοπο. Για άπειρα λοιπόν σημεία Α της ε1 , το επίπεδο Π = ( Α, ε3 ) τέμνει το Π 1 κατά ευθεία τ1 11 ε3 από το Α, την ε 2 σε σημείο Β και το Π 2 κατά ευθεία τ 2 11 ε3 από το Β. ••

5. Έστω τυχόν τρίγωνο ΑΒΓ. Από τις κορυφές του τριγώνου θεωρούμε τα κάθετα στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ ευθύγραμμα ΑΑ ' = ΒΓ = α, ΒΒ ' = ΑΓ = β και τμήματα ΓΓ ' = ΑΒ = γ, προς το ίδιο μέρος του επιπέδου του τριγώνου ΑΒΓ. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο Α 'Β ' Γ ' είναι οξυγώνιο. Λύση : Α'

•

• • • ι ι ο ι • .. .. • • • • • • • • • • • ' ' ·ο '

•

. . . . . . .. ·

Α; . . . .. . . . . .

β · · · · · .. . . .

ο ' •\------...,, ν

"·

Τα σημεία Α'Β'Γ' σχηματίζουν τρίγωνο αφού αν ήταν συνευθειακά, τότε, και οι αντίστοιχες προβόλές τους Α,Β,Γ στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ θα ήταν συνευθειακά σημεία πράγμα άτοπο.

Μπορούμε να θεωρήσουμε γ ::;; β ::;; α. Για να είναι LB Ά ' Γ ' < 90° , αρκεί να αποδείξουμε ότι Β ' Γ ' 2 < Α 'Β' 2 + Α ' Γ ' 2 . Από το τραπέζιο ΒΓΓ 'Β ', θεωρώντας το ύψος του Γ' Δ, με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΓ'Β' παίρνουμε. Όμοια έχουμε Β'Α' 2 =γ2 +( α - β) z και 2 Α' Γ' 2 = β2 +( α - γ) . Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι r1 +( β-γ)z <Υ +( α-β)z +β2 +( α-γ)z ή α2 + β 2 + γ 2 - 2βγ < 2α2 + 2β 2 + 2γ 2 - 2 αβ-2αγ , ή Ο < (β + γ - α ) 2 που ισχύει αφού β+γ * α καθόσον Τότε η ευθεία ΒΑ θα τέμνει και την ε3 έστω στο Ι β - γ l < α <β + γ. σημείο Γ. •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/53

Μαθηματικά για την Β ' Λυκείου

Τάξη :

Β'

Ασκήσε ι ς στις Κωνι κές Τομές

Άσκη ση 1 η : Δίνονται ο ι κύκλοι 2 2 και c 2 : χ - 3 + y - 2 = 4

(

Χρήστος Π. Τσιφάκης

C1 : χ2 + y2 1 =

) ( ) α) Να δείξετε ότι δεν tχουν κοινά σημεία. β) Να βρείτε την εξίσωση της διακέντρου

προκύπτουν τα σημεία

(

Β 3 - 6'/f3 ' 2- 4fι3 ' Δ 3 + 6'/f3 ' 2 + 4fι3 13 13 13 13

(Κι:Ιί,). Έτσι το ζεύγος σημείων (Α, Β) που απέχουν την

γ ) Αν το Α ανήκει στον C 1 και το Β στον C2 να βρεθεί το ζε6γος σημείων (Α, Β), για το οποίο τα Α, Β απtχουν τη μικρότερη απόσταση. δ) Όμοια να βρεθεί το ζε6γος σημείων (Γ, Δ) (το Γ στον C1, το Δ στον C 2) που tχουν τη μεyαλύτερη απόσταση.

(

, , A 3 Jϊj 2 Jϊ3 και , μικροτερη αποσταση ειναι 13 , 13

(

Β 3-6

Jϊ3 4Jϊ3 2' 13 13

άρα Κ1 (0, Ο) και δ) το ζεύγος σημείων (Γ, Δ) που απέχουν την με, ' R1 = 1 . Όμοια Κ 2 (3, 2) και R 2 = 2 . αποσταση γαλυτερη ειναι Γ - 3 Jϊ3 , 2 Jϊ3

Λύσ η : α) C 1 : x 2 + y2 = 1 ,

(

4 Jϊ3 + 2 Δ 3 + 6 Jϊ3 13 13 '

)

- --

)

Άσκηση 2 η . Δίνεται ο κύκλος C : χ2 + ψ 2 = 4 και η ευθεία ( ε) : y = κχ + α) Αν η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία να 2 < 4 1 + κ2 . δείξετε

λ.

ότι λ

Παρατηρούμε ότι · I I<i�l =�Y +i =fι3 >3=Rι +Rz, άρα οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία. β) Η εξίσωση της διακέντρου (Κ1Κ2 ) , αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων είναι y = λκ1κ2 χ και αφού λκ1 κ2 = � έχουμε ( Κ1Κ2 ) y = � χ . γ) Η διάκεντρος τέμνει τους κύκλους C 1 , C στα 2 σημεία Α,Γ και Β,Δ αντίστοιχα. Αν Μ και Μ ' σημεία των κύκλων C1 , C 2 αντίστοιχα, έχουμε ότι I ABl s lM1M 2 l s l rΔΙ και I M 1M 2 ιn = I AB I I Μ ι Μ 2 ιaχ = Ι rΔΙ Λύνοντας το σύστημα

)

(

β) Έστω Α(4,2) και Β(2συνθ,2ημθ) μεταβλητό σημείο του κύκλου. Να δείξετε ότι το μέσον Μ του τμήματος ΑΒ ανήκει σε κύκλο. Λύση : α) 1 °ς τρόπος:

Αφού η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία, θα έχουμε: κ λl < 2 => d(Κ ,(ε)) < ρ => l � κ2 + 1 l λ l < 2 . .Jκ2 + 1 => λ 2 < 4 · ( κ2 + 1) . 2°ς τρόπος: Πρέπει το σύστημα των δύο εξισώσε ων να έχει δύο ρίζες άνισες. Αλλά: 2 2 χ +y -4 => χ 2 + (κχ + λ )2 = 4 => y = κχ + λ (1 + κ2 )χ 2 + 2κλχ + λ 2 - 4 = Ο (1). Πρέπει λοιπόν Δ > Ο . Αλλά: Δ > Ο => 4κ2 λ 2 4(λ 2 4)( 2 1) > Ο ::::> σημεία λ2 < 4 ( κ2 + 1) . •

2 2 C ι : χ .+ Υ =

Κ1 Κ2 y 23 _

βρίσκουμε

τα

.J13 .J13 2.J13 ) A ( 3 ' 2 13 ) ' r ( - 3 .Jl3 13 ' 13 13 .

,Όμοια απο, το συ, στημα C2 : ( χ - 3)2 + ( y - 2)2 = 4 2 Κ1 Κ2 : y = - x 3

}

β) Το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες

Μ{2 + συνθ,l + ημθ) με θ ε [ Ο,2 π] .

}

χ Μ = 2 + συνθ � χ Μ - 2 συνθ - 1 + η μθ ΥΜ - 1 - η μ θ ΥΜ _ =>( � -2)2 +( yM -1)2 =1 , αφού ημ 2 θ + συν 2 θ = 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/54

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

Κ < -2 ή Κ > 2 . β) Με κ < -2 ή κ > 2 ο κύκλος έχει κέντρο , 2κ - 1 κ -�.-� ή κ -

)

5.Jκ 2 - 4 και ακτίνα ρ = .JA2 + 2Β 2 - 4Γ ρ = -2 γ) Αν K(x,y) τότε:

ο ο

·1

) (Τ

(

{

-1

Άρα το μέσο Μ του ΑΒ κινείται σε κύκλο με κέ ντρο το σημείο Κ(2, 1) και ακτίνα ρ = 1 . Άσκη ση 3 η : Να λυθεί το σύστημα: χ + y < 1 και χ 2 + y 2 - 4χ - 6y < Ο .

http://www.mathematica.gr/forum/νiewtopic.php?f

=23&t= 13250

κ 2χ;2 "" y�2κ-� κ� ς1 Για να υπάρχει τέτοιο κ ε IR πρέπει και αρκεί 2χ + 2 = Υ + l δηλαδη' 4χ + 3 y + 7 = Ο (3) -3- -2- ' Όμως: κ < -2 <=> 3κ < -6 <=> 3κ + 2 < -4 <=> 3κ + 2 < -2 <=> --3κ + 2 > 2 <=> χ > 2 -2 2 και κ > 2 <=> 3κ > 6 <=> 3κ + 2 > 8 <=> 3κ + 2 > 4 <=> --3κ + 2 < -4 <::> χ < -4 -2 2 Αν χ = 2 από τη (3) βρίσκουμε ότι y = -5 ενώ αν χ = -4 από τη (3) βρίσκουμε ότι y = 3 . Άρα ο γεω χ=- 3κ+2

{

ανίσωση χ + y < 1 εκφράζει το ημιπεπίπεδο με ακμή την ευθεία με εξίσωση χ + y = 1 και περιέχει την αρχή των αξόνων . Επίσης η ανί σωση χ2 + y2 -4x - 6y < O � (x-2)2 +(y-3)2 < 13 εκφράζει το εσωτερικό του κύκλου με κέντρο το Κ(2,3) και ακτίνα R = Jϊ3 . Η τομή των δύο μετρικός τόπος των κέντρων Κ είναι η ημιευθεία με σχημάτων φαίνεται στο συνημμένο σχήμα φορέα την ευθεία (ε): 4χ + 3y + 7 = Ο , με αρχή το ση μείο Μ ( 2, -5) και χ > 2 και η ημιευθεία με φο ρέα την ευθεία (ε): 4χ + 3y = -7 , με αρχή το ση μείο Ν ( -4, 3) και χ < -4 χωρίς τα σημεία Μ και Ν . Λύση :

y=1·X

( χ - 2 ) +(y-3) 2

Άσκηση Sη : Δίνεται η εξίσωση : χ 2 + ψ 2 2λχ 2 (λ l)ψ + (λ 1)2 = Ο (1) α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ε R η εξίσω ση (1) είναι εξίσωση οικογένειας κύκλων. β) Να βρείτε αν υπάρχουν κύκλοι αυτής της οι κογένειας και ποιοι , οι οποίοι εφάπτονται της ευθείας (ε) : 3χ + 4ψ - 8 = Ο . -

Άσκη ση Δίνεται η εξίσωση 4η : 2 2 χ + y + (3k + 2 ) χ + (2 - 4k)y + 27 - k = Ο , (1) με k πραγματικό αριθμό. Για ποιες τιμές του k η εξίσωση παριστάνει κύκλο. β) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση (1).

α)

Λύση :

α) Για να παριστάνει η εξίσωση

Λύση : α)

Παρατηρούμε ότι

Α2 + Β2 -4Γ = 4λ2 + 4(λ - 1)2 -4(λ - 1)2 = 4λ 2 � Ο . Αν λ = Ο τότε η εξίσωση παριστάνει σημείο . Αν λ -::F- Ο τότε η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ ( λ, λ - 1) και ακτίνα.

• •

-JΑ 2 + Β2 - 4Γ j4λ2

χ 2 + y2 + (3κ + 2) χ + (2 - 4κ)y + 27 - κ = Ο κύκλο R= = l λl · 2 2 πρέπει και αρκεί: Α2 + Β 2 - 4Γ > Ο . Αλλά: β) Για να εφάπτεται κύκλος της ( 1) στην ευθεία Α 2 + Β 2 - 4Γ > 0 <=> (ε) αρκεί d(Κ,(ε)) = R <=> J3λ + 4(λ - 1) - 8J = J λl (3κ + 2) 2 + (2 - 4κ) 2 - 4(27 - κ) > Ο <::> .J32 + 42 9κ2 + 12κ + 4 + 4 - 16κ + 16κ2 - 108 + 4κ > Ο <=> <=> l 7λ - Ι 2 Ι = Jλl <=> J7λ - 12J 5Jλ l <=> 25κ 2 - 100 > Ο <=> 25 ( κ 2 - 4) > Ο <=> κ 2 > 4 <=> 5 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/55

Μαθηματικά για την Β' Λυκείου

λ = 6 ή λ = 1 . Για λ = 6 ο κύκλος είναι

ενώ για λ = 1 ο κύκλος είναι (Ci ) : x2 + ψ2 - 2x = 0

Ά σκη ση 6η : Δίνεται η παραβολή

y=λ·

παραβολή έχει εξίσωση C : y2 2px . Εάν Α, Β τα σημεία της παραβολής με Α ( χ Α , yΑ ) και B(x 8 , y8 ) τότε έχου με y; = 2px8 και y � = 2px A με χ Α χ8 Λύση :

(C6 ) : χ 2 + ψ 2 - 1 2χ - 1 0ψ + 2 5 = Ο ,

C: r =-/:-λ +1 · y

χ + 1 , λεR και η ευθεία (ε): ί . Δείξτε ότι η παραβολή τέμνει την ευθεία σε δύο διαφορετικά σημεία για κάθε λ ε R ίί. Να βρείτε που κινείται το μέσο Μ του ευθυ γράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α,Β τα σημεία του (α) ερωτήματος καθώς το λ διατρέχει το R. Λύση : (λ 2 + 1)χ 2 - λχ - 1 = Ο = 5λ2 + 4 > Ο .

Λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε στην η οποία έχει διαεξίσωση κρίνουσα Δ

. ·

)

Οι εφαπτόμενες στα Α και Β αντίστοιχα έχουν εξι σώσεις (ει) : y · yA = p · (x + x A ) και ( ε2): Υ · Υ 8 = p · ( χ + Χ 8 ) Αφ ού διέρχονται και οι δύο από το έχουμε ότι Υ ο · Υ 0 = p · (x o + χ Β ) και Υο · y A = p · (x o + χ Α ) και άρα επαληθεύουν μία ευθεία με εξίσωση (ΑΒ): Υ 0 Υ = p · ( χ 0 + χ) αυτή έχει συντελεστή διεύθυνΥΒ + ΥΑ σης λΑΒ --ΥΒ -- yΑΑ 2+py -Ρ � yo = --� 2 Υ0 ΧΒ Χ A Υο Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες και η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία A(x A , yA ) Δηλαδή η ευθεία y = yo διέρχεται από το μέσο του ΑΒ οπότε τα τρiγωνα έχουν ίδια βάση CD και ίδιο και Β( χ 8 , y 8 ) για τα οποία ισχύει ότι ύψος. Αν χ Α χ 8 τότε είναι προφανές λ και Άσκη ση 8η : Η εστία της παραβολής ΧΑ + χ Β = 2χ Μ = λ2 +1 .J

··

'·.

•

·1

ΥΑ

+ Ya = λ (χΑ + xa ) + 2 :::} 2(yM - 1) = 2-· λ +1

Άρα:

λ2 � 4 χ � + 4 ( yM - 1) 2 = 2+1

1 5 4x2M + 4( yM - 1)2 = 2( yM - l) � x 2M + ( yM - ) 2 = · s 4

Το Μ λοιπόν ανήκει στον κύκλο:

1 5 χ 2 + (y - )2 = 4 s Άσκη ση 7η : Οι εφαπτόμενες στα σημεία Α, Β της παραβολής y 2 2px , τέμνονται στο σημείο Η παράλληλη από το προς τον άξονα χχ' τέμνει το ΑΒ, στο Να δειχθεί ότι:

C. (ACD) = (BCD)

C D.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=

C 1 : y 2 = 2px, p

έλλειψης

> Ο συμπίπτει με μία χ2 2 Υ = 1, Ο < β < α . C 2 : -2 + β2 α

εστία της

α) Έστω (ει ), (ε2) οι εφαπτόμενες της παραβο λής που άγονται από την εστία της έλλειψη που δεν είναι εστία της παραβ0ολής. ί ) Να βρείτε τις εξισώσεις των (ε ι ), (ε2) και να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β των (ε ι), (ε2) με την παραβολή C ι . ίί) Να δείξετε ότι οι (ει ), (εz) τέμνονται κάθετα. β) Αν τα σημεία Α, Β ανή κουν στην έλλειψη C 2 ν' αποδείξετε ότι γι� την εκκεντρότητά της ε

είναι: ε = Λύση :

�3 - 2.Ji .

Αν Ε (� , Ο) = (γ, Ο) είναι η κοινή εστία,

23&t=1 4224

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/56

Μαθηματικά για την Β' Λυκείου

τότε:

Ρ..2 = γ = �α2 - β2 � Ρ...42 .. = α 2 - β2

Α. ί )

Είναι Ε' - • Ο

( % J.

(1)

Αν ( x 1 , y 1 ) είναι ση μείο

επαφής τότε: y 1 2 = 2px1 ( 2 ) και η εφαπτόμενη έχει εξίσωση : y · y 1 = p( x + x 1 ) (3) η οποία επα λη θεύεται από τις συντεταγμένες του Ε ' , αν και

μόνον αν: p - + x, = o � x, = · Από τη (2)

(ε Β ) : y · � = 2(x + _!_) => t t2 xt 2 + l xt + l => (2) (ε Β ) : y = (ε Β ) : = 2 t

f :

{ �J

και (εc ) : y -

= 2(x +

� ) =>

xt 2 + 1 y xt 2 + 1 (εc ) : - = -- => (εc ) : - y = -t t2 t

(3)

προκύπτει y1 = ± p . Έτσι, τα σημεία επαφής είναι

Οι συντεταγμένες του D προκύπτουν από τις ( 1 ), (2) . xt 2 + 1 Εχουμε: yt = χ + t 2 y = -- => t

( % J, (% J Β

·Ρ

, - p και οι εφαπτόμενες έχουν

εξισώσεις (ε1 ) : y = χ + Ρ.. , ( ε ) : Υ = - χ - Ρ.. . 2 2 ) Είναι = -1 ίί � (ε1 ) J_ (ε 2 ) . λ1 λ2 β) Τα Α, Β ανήκουν στην έλλειψη αν και μόνον αν:

•

� γ2 + _2 α

γ2

4 (α -y). ) 2

γ2 4 =1 <=>-:Ί + α

γ2

ι� = +ιαιi • =�)

α2 2 � 2 + 4-- = 1 � ε - 6 ε + 1 = Ο 1 - ε2

�

ε2 =

3±

�

ε2 =

- J2

(διτετράγωνη)

� ε = �3 - .J2 � ε = .J2 - 1, αφού Ο<ε< l .

Άσκη ση 9 η : Η εφαπτομένη της παραβολής: y 2 = 4χ , στο σημείο της A(t 2 ,2t) , ( t > 1 ) τέμνει

xt2 + 1 t = x + t2 y = xt2 + 1 -t t

�

xt2 + 1 xt2 + 1 xt 2 + l = x + t2 y = -- => xt2 - x = t2 - ly = -- => t t xt2 + 1 t2 + 1 => -t2 + 1 { t2 -l) x = t2 - ly =--=> x = ly = -D 1, t t t Οι συντεταγμένες τού Ζ προκύπτουν από τις ( 1 ) ,

( )

t>I

(3). .Εχουμε: yt =χ + t2 -y = xf +1

�

xt 2 + 1 xt 2 + 1 --- t = x + t 2 y = --- => t t 2 +1 xt -xt 2 - l = x + t 2 y = - -- => t xt 2 + 1 => xt 2 + χ = - ( t 2 + 1 ) y = --t 2 +1 xt ( t 2 + 1 ) χ = - ( t 2 + 1 ) y = - -t -t 2+ 1 => -l t2 - 1 => X = - l y = - Z , t t

1 2 τις εφ απτόμενες στα σημεία της Β(1 , -) και t t 1 2 C(1 , - -) στα D και Ζ αντίστοιχα. Να δειχθ εί t t t2 - 1 t2 + 1 2 D ότι: ( Z) > 2 . = Οπότε ( DZ) = (-1 - 1) 2 + t t _ _ _ Λύση : Ε y · 2t = + 2 => t>I

ίναι : (εΑ ) : 2(χ t ) (ε A ) : yt = x + t 2 ( 1) , ομοίως

( ) ) ( _

� => ( DZ) > 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/57

Μ αθηματικά για την Γ' Λ\Ικείο\Ι

Υπεύθυνοι τάξης:

Τάξη :

Γ ' λΥΚΕΙΟΥ

Δ.

Αργυράκης, Ν . Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς

Μ αθηματι κά Γενι κής Πα ι δ ε ίας

Γ'

Ασκήσε ι ς

των Βασίλη Καρκάνη, Φραγκίσκου Μπερσίμη, Παναγιώτη Ανδρεόπουλου Ά σκη ση 1 '1 α) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής χ2 Ιπ(16 ) . = παράστασης της / στο σημείο της A l,f(l) . Δίνεται η συνάρτηση f(x) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της β) Να υπολογίσετε το συνάρτησης f . 1. x(x 2 + l) · f '( x ) - 4 x + 2 ό ριο: ιιη β) Να βρείτε τα ακρότατα της f . • -+ ! χ-1 γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f ' . γ) Να βρείτε τα ακρότατα της f f '( x ) δ) Να αποδείξετε ότι: δ) Να υπολογίσετε το όριό: Ιίιη

(

)

•

Λύ ση

Ι -+Ο

χ + 16 4 - ν�

•

Είναι :

16-χ2 >0 <=:> -4<χ< 4 οπότε Α = (-4,4) f είναι παραγωγίσιμη στο Α με 2χ = 2χ = 2χ f '(χ) = 16-χ 2 χ2 -16 ( χ -4 ) ( χ + 4 ) f '(χ) = ο <=:> χ= ο f '(χ) > 0 <=:> Χ Ε ( -4,0 ) f '(x) < 0 <=:> Χ Ε ( 0,4 ) Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο χ0 = Ο το /(Ο) = ln16 ) -2χ· 2χ = 2χ2 -32-4χ2 γ) /"(χ) = 2(χ2 (χ-162 -16 )2 (χ2 -1 6)2 , γνησιως = (χ2χ2 2_+163)22 < Ο . Άρα η f ειναι φθίνουσα στο (-4, 4) . 2χ 'Εστω h ( χ) = . f '(χ) = Χ 2 -l 6 = 4-.Jx + 16 4-.Jx + 16 α)

β) Η

•

;

δ)

( χ2 + 1)3 f " ( χ ) + ( χ2 + 1)2 f ' (χ ) = -6χ 2 + 2 + 2χ •

•

με x e JR .

Λύ ση

f είναι παραγωγίσιμη στο με f '(χ) = ... = (χ22χ+ 1)2 Αν ε:y = λχ + β στο Α ( 1 , f (1 )) τότε εφαπτομένη τη ς 1 + β. Επίσης λ = f'(l) =-21 άρα ε:y =-χ 2 f(1) = � οπότε Α ( 1, � ) και 1 1 + β <=:> β = Ο άρα ε:y=-χ. 1 Α e ε <=:> -=2 2 2 2 ) 'Εστω h(χ) = x(x + 1)·----χf'-(x)1 -4x + 2 = 2χ2 χ-4-1χ + 2 = 2(χχ --11 )2 = 2(χ -1) . Τότε =Ο α) Η

•

---

X-+f

lim h(x)

Έχουμε:

γ)

f '(χ) = ο <=:> χ= ο f '(χ) > ο <=:> χ > ο f '(χ) < ο <=:> χ < ο ) . Τότε limh (x) = 2(4 + 4) =1 Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( Ο] και = 2(-4 �+ .Jχ+ί6 2 -1 � 16 γνησίως αύξουσα στο [Ο, +οο) . Άρα στο χ = Ο εμφανίζει ελάχιστο το f ( Ο ) Ο . f είναι παραγωγίσιμη στο με -6χ2 + 2 f(x) ! "(χ) = ... = 2 1 οπότε: (χ + ) 2χ 2χ( 4 + J;+ϊ6) = = (x2 - 1 6)(4 - .Jx + 1 6) (χ2 - 1 6)(16 -- χ - 1 6)

• • •

-οο,

χ -+ 0

.ί\.σ κη ση

2 '1

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1

χ = -1 ,χ e χ +1

δ) Η

9t .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 88 τ.4/58

Μαθηματικά για την Γ ' Λυκείου

β) Αν Ιίm f (χ) = 6 να βρείτε το δειγματικό χώρο

(χ2 + 1)3 . f "(x) + (χ2 + 1)2 . f '(χ) = 2χ - χ2 + 2 ( χ 2 + 1)3 . 6 + ( χ 2 + 1)2 (χ2 + 1)2 (χ2 + 1)3 = -6χ2 + 2 + 2χ .

χ -+0

· ---

Ά σ κ η ση 6η όπου Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2χ + e 9t Μία εταιρεία αθλητικών ειδών έχει έσοδα Ε(χ) , από τα προtόντα της σε χιλιάδες ευρώ που δίνονται από τον τύπο Ε(χ) = (χ l)f(x), χ � Ο όπου χ είναι ο χρόνος σε έτη. Το κόστος λειτουργίας της εταιρείας (υπάλληλοι, εγκαταστάσεις, κλπ) σε χιλιάδες ευρώ δίνεται από τον τύπο Κ(χ) = f (χ + 4), χ � Ο . α ) Να βρεθεί η συνάρτηση του κέρδους Ρ(χ), όταν είναι γνωστό ότι η εταιρεία, κατά τον πρώτο χρόνο λειτουργίας της (ως αφετηρία είναι το έτος 2016), είχε ζημιά 12.000 ευρώ. β) Ποια χρονική στιγμή η εταιρεία θα αρχίσει να παρουσιάζει κέρδη από τις πωλήσεις της; γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης του κέρδους στο τέλος του δεύτερου χρόνου λειτουργίας της. Λ ύ ση

λ,

•

α)

Ω. γ) Να βρεθούν οι πιθανότητες

P(l), Ρ(2) ν Ρ(3 ) αν Ρ{l) = -- , Ρ{2) = � , Sν + l ν+l Ρ( 3 ) = -ν- . ν+2 Λύση

α) Η /

και

ορίζεται αν και μόνο αν χ2 +χ+1 � 0 και

�i +x+l -l;t:Q (1). Όμως χ2 +χ+l> Ο για κάθε χ ε � , διότι α = 1 και Δ = -3 < Ο . Επίσης αφού τα δύο μέλη της (1) είναι ομό σημα θα έχουμε: ( 1 ) <=> �i +x+l ;t:l <=> x(x + l) ;t: Q <=> χ ;t: - 1 και χ ;t: Ο οπότε Α1 = (-oo, - l) u (-1, O) u (O, + οο) β)

Το lim f(x) οδηγεί σε μορφή χ -+ 0

(Q) . Έχουμε: ο

( κχ 2 + κχ ){ .Jχ2 + x + l + 1 ) = ... = ( f (χ) = ( .Jx2 + x + l - l ) .Jx2 + x + l + l ) κ: ( .Jχ2 + χ + 1 + 1 ) => lim f(x) = 2κ: => 2κ = 6 => κ = 3 , οπότε Ω = {1, 2, 3} .

Έχουμε : Κέρδος = Έ σοδα - Έξοδα οπότε Ρ(χ) Ε ( χ) - Κ ( χ) = (χ - 1)/ (χ) - f(x + 4) Για το 1° έτος λειτουργίας της εταιρείας δηλαδή γ) Θα πρέπει να ισχύει P(l) + Ρ(2) + Ρ(3) = 1 => v v v για x=l έχουμε P(l) = - 1 2 => - 1 2 = -/(5) -- + -- + -- = 1 => . . . => - 1 2 = - 1 0 - λ => λ = 2 => f(x) = 2χ + 2 . 5v + 1 v + 1 v + 2 Επομένως (v - 1)(v2 + 4v + 1) = 0 => v = 1 ή ν = -2 + f3 ή Ρ(χ) = ( χ- 1 )( 2χ + 2 ) - (2χ + 1 0) = 2χ2 - 2χ - 1 2 ν = -2 - f3 β) Για να έχει κέρδος η εταιρεία πρέπει και αρκεί -2 + J3 � =>. Ρ(2) = v = -2 + v-' J3 < 0 Ρ(χ) > Ο ( 1 ). Αλλά -1 + 3 (1) <=> 2χ2 - 2χ - 1 2 > Ο <=> χ > 3 .Άρα η εταιρεία απορρίπτεται θα έχει κέρδη μετά από το 3 ° έτος της λειτουργίας 1 v = -2 - J3 => Ρ(3) = - - < Ο της . J3 γ) Είναι Ρ '(χ) = 4χ - 2 οπότε απορρίπτεται Ρ '(2) = 4 2 - 2 = 6 χιλιάδες ευρώ είναι ο 1 1 v = 1 => P(l) = '6 , Ρ(2) = '2 και ζητούμενος ρυθμός μεταβ ολής. =

Χ -+ 0

•

Ά σ κ η ση 7 '1 . Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={l,2,3,, ,κ-1,κ} ενός πειράματος τύχης, όπου ο κ είναι θετικός ακέραιος και η συνάρτηση • • •

f(x) =

+ κχ κχ .Jx2 + χ + 1 - 1 2

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτηση

Ρ(3) = .!. που είναι οι ζητούμενες πιθανότητες. 3

Ά σ κη ση 811

Το 50% των κατοίκων μιας πόλης ενημερώνονται για τα πολιτικά γεγονότα από τον ιστότοπο (α), ενώ το 30% των κατοίκων ενημερώνονται από τον ιστότοπο (α) και δεν ενημερώνονται από τον ιστότοπο (β).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 88 τ.4/59

Μαθηματικά για την Γ ' Λυκείου

α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία να μην ενημερώνεται από τον ιστότοπο (α) ή να ενημερώνεται από τον ιστότοπο ( β). β) Ορίζουμε το ενδεχόμενο Γ: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία να ενημερώνεται από τον ιστότοπο ( β)». Να δείξετε 1 7 ότι - s P Γ s 5 10 η γ) Να αποδείξετε ότι συνάρτηση 1 f ( x) = χ 3 - - χ 2 + Ρ Γ · χ δεν έχει ακρότατα. 2

( )

Λύση α)

Έστω τα ενδεχόμενα Β: «ο κάτοικος ενημερώνεται από τον ιστότοπο α)), Γ: «Ο κάτοικος ενημερώνεται από τον ιστότοπο β)) τότε, Β-Γ είναι το ενδεχόμενο «ο κάτοικος ενημερώνεται από τον ιστότοπο α και δεν ενημερώνεται από τον ιστότοπο β)). Δίνεται ότι Ρ(Β) = 50% , Ρ(Β - Γ) = 30% .Το ενδεχόμενο «Ο κάτοικος δεν ενημερώνεται από τον ιστότοπο α ή ενημερώνεται από τον β» είναι το Β 'u Γ οπότε Ρ(Β ' u Γ) = Ρ(Β ') + Ρ(Γ) - Ρ(Β 'n Γ) = 1 - Ρ(Β) + Ρ(Γ) - Ρ(Γ) + Ρ(Β n Γ) = 1 - [Ρ(Β) - Ρ(Β n Γ) ] 30 7 = = 70% = 1 - Ρ(Β - Γ) = l 100 10

β)

Ισχύει ότι

Γ ς Γ u Β ' => Ρ(Γ) s; Ρ(Γ u Β ') => Ρ(Γ) s;

εμφανίζει ακρότατα. Άσ κη ση 9 η

{ } Α - Β = { 2, 6 } και Γ =

{

{ } χ+l :2: 2 χ e Ω - { 1} ι χ-1

}

α) Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ (Γ). β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιείται ένα μόνο από τα Β, Γ. γ) Αν S είναι η τυπική απόκλιση των τιμών λ, 3λ, 5λ όπου λ e Ω , ποια η πιθανότητα του

{

ενδεχομένου Θ = λ e Ω Ι s > Λύση α)

.J24} .

Ισχύει

ότι A n B = {l, 3, 4} και Α - Β = {2, 6} , οπότε Α = {1, 2, 3, 4, 6} Άρα Ρ(Α) 2_ . Επίσης ισχύει ότι 10 =

A n B = {1, 3, 4} , A u B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , Α = {1, 2, 3, 4, 6} οπότε Β = {1, 3, 4, 5} Άρα 4 χ+1 , Ρ(Β) = ϊQ · Στο Ω - { 1 } εχουμε: �2 � χ-1 3-χ χ+1 --2 � 0 � � Ο � (3 - χ)(χ - 1) � 0 χ-1 χ-1 � 1 < χ s; 3 => χ 2 ή χ = 3 δηλαδή Γ= {2,3 } οπότε Ρ(Γ) 120 . β) Είναι Γ - Β .= {2} και (Β - Γ) u (Γ - Β) = {1, 2, 4, 5} . Επομένως Ρ[(Β - Γ) u (Γ - Β) ] = 14Ο ' - λ + 3 λ + 5 λ = 3 και γ) Ειναι χ = λ 3 --

�

(1) Ρ(Β - Γ) = 30% => Ρ(Β) - Ρ(Β n Γ) = 30% => 50% - Ρ(Β n Γ) = 30% => Ρ(Β n Γ) = 20% (2) . Όμως Β n Γ ς Γ => Ρ(Β n Γ) ς Ρ(Γ) ( 2 ) 20 (1) 1 7 1 s; Ρ(Γ) => s; Ρ(Γ) => s; Ρ(Γ) s; => 1Ο S S 1 00 2 γ) f ' (χ) = 3χ - χ + Ρ(Γ) με διακρίνουσα Δ = 1 - 12Ρ(Γ) . Από το ερώτημα β) έχουμε 7 1 7 1 s; Ρ(Γ) s; οπότε 12 s; 12 Ρ(Γ) s; 8 S 10 S 10 7 74 :::> . . . => -- � Δ � -- => Δ < Ο . 10 5 Άρα το τριώνυμο f '(χ) είναι ομόσημο του α=3, δηλαδή θετικό, για κάθε χ ε � . Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα οπότε δεν ·

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ο Έστω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Δίνεται ότι για τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ του Ω είναι A U B = l, 2, 3, 4, 5, 6 , Α Π Β = l,3,4 ,

= -

-3 2 3 -3 2 5 -3 2 λ ) + ( λ λ) + ( λ λ) λ ( s2 3 οπότε στο Ω έχουμε: s > J24. � s 2 =

8λ2

= -

24 �

Sλ 2 > 24 � λ 2 > 9 � λ < -3 ή λ > 3 3 � λ ε {4, 5, 6, 7,8, 9, 1 0 } Θ και Ρ(Θ) = 7 . 10 =

Άσκη σ η Ι Οη Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης περιέχει 2019 ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α, Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 8' 88 τ.4/60

Μαθηματικά για την Γ' Λυκείου

ώστε να ισχύει

13Ρ(Β) + Ρ( Α ) = 9Ρ 2 (Β) + 5 ,

τότε

α) Να αποδείξετε ότι: [ 3 Ρ(Β ) 2 J 2 = Ο β) Να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ (Α) , Ρ(Β) και

P(A U B)

γ) Να υπολογίσετε το πλήθος των στοιχείων των ενδεχομένων Α και Β. Λύση

α) Είναι13Ρ(Β) + Ρ(Α) = 9Ρ2(Β) + 5 9Ρ2(Β) - 12Ρ(Β) + 4 = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 1 ( 1 ) Τα Α, Β ασυμβίβαστα P(A uB) = Ρ(Α) + Ρ(Β) . Οπότε η ( 1 ) γίνεται 9Ρ2 (Β) - 12Ρ(Β) + 4 = P(A uB) - 1 (2) Όμως P(A u B) ::; l Ρ( Α uΒ) - l ::; Ο οπότε (2) => 9Ρ 2 (Β) - 12Ρ(Β) + 4 ::; Ο [3Ρ(Β) - 2]2 ::; Ο 3Ρ (Β) - 2 = 0 =>

Λόγω του α) έχουμε: 3Ρ (Β) = 2 Ρ(Β) = �3 . Επίσης: 13Ρ(Β) + Ρ(Α) = 9Ρ2 (Β) + 5

β)

P ( t ) = Ρ (2) = 2Ρ ( 3 ) = 3Ρ ( 4) 3Ρ(5) =

υπολογίσετε τις πιθανότητες

P(l ) , Ρ( 2 ) , Ρ( 3 ) , Ρ ( 4) , Ρ ( 5) γ) Δίνεται η συνάρτηση

f(x) =

ιη( χ 2 + 3λχ + 9λ ) με λ

Ω.

Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α = { λ e IR / η f να έχει πεδίο ορισμού το IR}

Λ ύ ση

α) Ισχύει Ρ(Ι ) + Ρ( 2 ) + Ρ(3) + Ρ(4) + Ρ(5) = 1(1) οπότε: -Χ = Ρ(Ι ) + Ρ(2) + Ρ(3) + Ρ( 4) + Ρ(5) 1 = -5 . 5 Επίσης P(l) - � )2 + ( Ρ(2) -� ) 2 + ... + ( Ρ(5) -� )2 ( s2 = 5 (Ρο) - + Ρ<2) - + ... + Ρ(5) 5 OJ

Η( Η ( Η )-�( ( ·-ds)

( Ρ2 (1) + ... + Ρ 2 (5)

�

να

P(l) + ... + Ρ(5) ) + 5

5 1 Ρ(Α) = -3 άρα P(A u B) = P(A) + P(B ) = .!. + � = 1 . 3 3 Άρα χ = , Ρ(Α) = .!_ Ν ( Α) = .!_ Ν (Α) = .!_ β) Από τα δεδομένα ισχύει ι) 3 Ν(Ω) 3 2019 3 Ρ(Ι ) = Ρ(2) = 2Ρ(3) = 3Ρ( 4) = 3 Ρ(5) με Ν ( Α) = 673 . Ο � ω � 1 . Άρα: P(l) = Ρ ( 2 ) = , Ρ(3) = και Ν (Β) = � Ν (Β) = � 2 Ρ(Β) = �3 (Ω) 3 2019 3 Ν Ρ(4) = Ρ(5) = 3 οπότε (Β) = 1346 . Ν ω ω ω 6 , ( 1 ) ω + ω + - + - + - = 1 => ... => ω = - δεκτη Ά σκη ση J 1 '1 2 3 3 19 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {1,2, 3,4, 5} τιμή. Άρα P(l) = Ρ(2) = � , Ρ(3) = � και ενός πειράματος τύχης. 19 19 Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων Ρ(4) = Ρ(5) = � του Ω ισχύει: 19 . => . . . =>

s .

ω ,

Ρ 2 (1) + Ρ 2 (2) + Ρ 2 ( 3) + p 2 ( 4) + p 2 ( s ) = � . 5

α)

Να αποδείξετε ότι για τη μέση τιμή χ και την τυπική απόκλιση s των αριθμών Ρ ( ι) , Ρ( 2) , Ρ ( 3) , Ρ ( 4) , Ρ ( ισχύει: χ = s .

β) Αν ισχύει

Προφανώς

Α = {λ e Ω / Δ < Ο} , Δ = 9λ 2 - 36λ , οπότε Δ < Ο � 9λ ( λ - 4) < Ο � Ο < λ < 4 . Άρα: Α = { 1 , 2 , 3 } και

γ)

όπου

15 . Ρ( Α) = Ρ(Ι ) + Ρ(2) + Ρ(3) = 196 + 196 + 193 = 19

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 88 τ.4/61

Μ αθηματικά για την Γ' Λυκείου

Τάξη :

-""'�'

ΕΠΑΝΑΛΗΠΠΚΑ ΘΕΜΑΤ Α ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Δημήτρης Π. Μιχαλόπουλος - 6° ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Θ έμα ι

Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύ νολο τιμών το IR , για την οποία, ισχ6ει η σχέση e'2f<ι) +er<x}H +f(x)-2e1=x (1) για κάθε χ e 1R . α . Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR . β . Ν α βρείτε την αντίστροφη της f γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) 2:: χ και να δείξετε ότι: f(x) � 1 για κάθε χ 2:: 1 Ιίιη

f(ημχ) Γ' (χ) ε. Να βρεθούν οι αριθμοί χ,ψ e [ ο , π ]

δ. Να βρείτε το

• -+-

για

Απάντηση α) Αρκεί να δείξουμε ότι: Για κάθε

χι,χ2 εR ισχύει η συνεπαγωγή : χ ι <χ2 => f(xι)<f(x2).

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση g(x) = e2 + eχ+ ι +χ - 2e2 είναι γνησίως αύ ξουσα στο R αφού g ' (x) = 2 e2 + eχ+ Ι + 1 > Ο για κάθε χ ε R και ( 1 )=> xι=g(f(x1)), x2=g(f(x2 )), οπότε χι<χ2 => g(f(xι))<g(f(x2 )) x

=> f(x1)<f(x2). Β ' τ ρ όπος :

Έστω ότι υπάρχουν χ1, χ2 εR, με χ1<χ2 και f(x1)� f(x2). Τότε f(x1)� f(x2) => g(f(x ι ))�g(f(x2)) => χι�χ2 , πράγμα άτοπο αφού

Χ ι<Χ2 . β) Η

τους οποίους ισχύει:

2f {2 + συνψ) + 3f(l + χ - ημχ)

e2 x + eχ + Ι + x - 2 e2 � e2 x + ex+1 _ 2e2 � Ο � <:::> e2 x + eex - 2e2 ::;;; Ο <=> (ex + 2e) (ex-e) ::;;; Ο <=> <=> e x -e ::;;; ο <=> ex ::;;; e <=> χ ::;;; 1 Επιπλέον: /-1 (1) 1 <=> /(1) = 1 , και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο 91 θα ισχύει: χ � 1 => /(χ) � /(1) => f(x) � 1 . δ ) . Η f είναι γνησίως αύξουσα στο JR , οπό τε: -1 ::;;; ημχ ::;;; 1 => /(-1) ::;;; f( ημχ) ::;;; /(1) . Αν k = max {I /(-1) 1 . 1 /(1) 1 } Ε JR θα ισχύει ( 1 f ημχ) Ι =Ι 1 Ι Ι /( ημχ ) 1 -<Ι 1 l k ' ι- Ι (χ) ι- Ι (χ) ι - Ι (χ) ) ' θ α ειναι ' οποτε - 1 1 1 k < f(ημχ c1-:::i 1 1 k Γ1(χ) Γ1(χ) Γ1(χ)

f θα είναι και ένα προς ένα, οπότε θα

αντιστρέφεται και η αντιστροφή της θα έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το 91 .Η αρ χική σχέση θα ισχύει και για Χ = f -1 (x) Ε 91 ,δηλαδή θα είναι

e2f<Γ' <x>> + ef<Γ' < χ»+Ι + f(f-1 (x)) - 2e2 = ι- Ι (χ)

Άρα Γ 1(x) = g(x) = e2x +e'+1 +x-2e2 με χ ε 91 . γ) Για κάθε χ ε 1R είναι (/-1 )' (χ) g' (x) > Ο . Άρα η /-1 γνησίως αύξουσα στο JR =

•

f(x) � χ <=> 1 -1 (/(χ)) � 1 - 1 (χ) <=> χ �

Εξάλλου:

lim ι-Ι (χ)

Χ-Η«>

lim (e2 x + ex +I + χ - 2 e2 ) = +οο '

Χ-+ +«>

l-+im - 1 = Ο χ +«> ι 1 (χ)

�

lim (- 1 -+

και

+«>

1 l k) ι - Ι (χ) ·

l k) O k O οπότε από το κριτήριο limG χ-++«> Γ (χ) Ι μx) παρεμβολής θα είναι και lim ( ; ) = 0 . χ-++«> f (χ) ε) Είναι -1 ::;;; συvψ => 1 ::;;; 2 + συvψ )'ια κάθε ψ ε [Ο, π] με το «=» να ισχύει μόνο για συ vψ - 1 δηλαδή ψ = π και για κά θε χ ε [Ο, π] είναι 1 ημz 1 ::;; χ => -χ ::;;; ημχ ::;;; χ => -ημχ � -χ => => χ - η μχ � Ο => 1 + χ - η μχ � 1 με το «=» να ισχύει μόνο για χ=Ο. Λόγω του (γ) ερωτήματος είναι f (χ) � 1 για κάθε χ � 1 με το «=» να ι=

�

σχύει

μόνο

για

χ= 1 ,έτσι

θα

είναι: και f (2 + συvψ) � 1 => 2f(2 + συvψ) � 2 f(1 + χ - ημχ) � 1 => 3/(1 + χ - ημχ) � 3 ,οπότε η εξίσωση 2/(2 + συvψ) + 3/(1 + χ - ημχ) =5 θα αληθεύει μόνο για 2 + συvψ = 1 και 1 + χ - ημχ = 1 , δηλαδή για χ=Ο και ψ = π . Θ έ μ α 2.

Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσι μη για την οποία ισχύουν:

f(O) = l , f(x) � x + l

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/62

και

f (x) ;e O για κάθε x e JR .

Μαθηματικά για την Γ' Λυκείου

Επίσης, δίνεται η συνάρτηση 2 f(x) - 1 2 g(x) = + e χ - χ ,χ > 0

•

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε χ1 , χ 2 e JR ισχύει f " ( χ , ) · f "(x 2 ) > Ο . β) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή και να

βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, όπου ώστε α�l,τέτοιο, να ισχύει:

( )

α + α3 - f(α) + f(α 3 ) 2

•

γ) Να αποδείξετε ότι g είναι γνησίως αύξουσα. δ ) Να βρείτε το όριο: Απάντη ση

!�� [( e1<χ>-χ-ι - 1 ) ιη χ J .

α ) Έστω ότι υπάρχουν x1 , x2 e JR (x1 < x2 ) τέτοια ώστε f ' '(x, ) · f " (χ2 ) < Ο . Αν είναι f ' '(x, ) < 0 και f " (x2 ) > 0 τότε: 1. f' (x) - f' (x, ) 1. f' (x) - f' (x 2 ) ιm < 0 και ιm >Ο. x�xj Χ - χ1 Χ - Χ2 χ ..... χ2 Θα υπάρχουν λοιπόν δ > Ο και ε > Ο τέτοια f' (x) - f ' (x, ) ώστε < 0 για κάθε x e (x1 , x1 + δ ) χ - χ, δη λαδή ( (χ) ::;; ( (χ, ) , για κάθε χ e [χ, , χ, + δ ) f' (x) - f' (x ) , > 0 για καθε και χ e (χ2 - ε, χ2 ) , Χ - Χ2 δηλαδή ( (χ) ::;; f' (x2 ) , για κάθε χ e (χ 2 - ε , χ2 ] . Άρα η ( παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στα χ, και χ2 • Η ( είναι συνεχής στο [χ1 , χ2 ] , οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.κ' .Ε.Τ. θα παίρνει μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή στο [χ1 , χ2 ] και επειδή στα άκρα χ, και χ 2 παρουσιάζει μέγι στο, θα υπάρχει χ0 e (χ, , χ 2 ) στο οποίο η ( θα παίρνει ελάχιστη τιμή . Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat θα είναι (' (χ0 ) = Ο πράγμα πράγμα άτοπο, αφού ( ' (χ) :;e Ο για κάθε x e JR . Αν ( '(χ, ) > 0 και f " (χ 2 ) < 0 ομοίως καταλή γουμε σε άτοπο. Συνεπώς για κάθε χ1 , χ2 e JR είναι f ' '(x1 ) · f " (x2 ) > 0 . β) Θεωρούμε την συνάρτηση h(x) = f(x) - x - 1 με χ e JR . Είναι h(O) = Ο οπότε f ( x ) ;;:: x + l � h(x) ;;:: O � h(x) ;;:: h(O) για κάθε χ e JR , δηλαδή η h παρουσιάζει στο Ο ακρό2

τατο. Όμως h' (x) = f' (x) - 1 για κάθε x e JR . Έτσι από το θεώρημα Fermat θα έχουμε: h' (Ο) = ο � f' (0) - 1 = Ο � f' (Ο) = 1 . Η εφαπτομένη της Cr ,στο (Ο, 1 ) είναι η y - f(O) = f' (O) · x δηλαδή η y = x + l . Σύμφωνα με το (α) η f " θα διατηρεί πρόσημο στο JR . Αν ήταν f ' ' (x) < Ο , τότε η f θα ήταν κοίλη οπότε θα ήταν f(x) ::;; χ + 1 για κάθε χ e JR . Τελικά λοιπόν θα ήταν f ( χ ) χ + 1 για κάθε

x e JR , οπότε f " (x) = O για κάθε x e JR , άτοπο. Συνεπώς f " (χ) > Ο για κάθε χ e JR . Άρα η f

θα είναι κυρτή . Αν α > l θα είναι και α3 > α . Από Θ.Μ.Τ. για α + α3 α + α3 την f στο [α, ] και στο [ -- , α 3 ] θ α 2 2 α+ α + α3 , υπάρχουν χ, e (α, α3 ) και χ 2 e (-α3 ) 2 2

---

τέτοια ώστε

και

2f( α3 ) - 2f( α + α 3 ) 2 Αφού η f είναι ( (χ2 ) = ----,----=α3 - α -

κυρτή η ( είναι γνησίως αύξουσα στο JR ο. α + α3 < Χ 2 � f . (x1 ) < f ( Χ 2 ) � πότε: Χ1 < 2 α + α3 α + α3 ) � 2f( ) - 2f( α ) < 2f( α3 ) - 2f( 2 2 α + α3 < f( α ) + f(α3 ) f( ) ' αφού α3 - α > Ο . 2 2 α + α3 - f(α) + f( α3 ) , f(-) Αν α- 1 τοτε - f(l) 2 2 Συνεπώς α= 1 . 2 xf' (x) - �(x) - 1 ) γ) g' (x) = + 2xe • - 2χ με χ χ > 0 . Από Θ.Μ.Τ. για την f στο [Ο, χ ] υπάρ χει ξ e (Ο, χ) τέτοιο ώστε f(x) - f(O) f(x) - l , είναι Ο < ξ < χ και = ( (ξ) = χ χ αφού ( γνησίως αύξουσα, θα έχουμε: f(x) - 1 ξ < χ � ( (ξ) < f' (χ) � < f' (x) � χ xf' (x) - (f(x) - 1) . >0. xf (x) - (f(x) - 1) > 0 � 2 χ 2 χ2 Επίσης 2xe• - 2χ = 2χ( e - 1 ) > ο για κάθε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/63

Μ αθηματικά για την Γ Λυκείου

χ > Ο . Άρα g' (x) > Ο για κάθε χ > Ο , συνεπώς g γνησίως αύξουσα στο (Ο, +οο ) . δ) Σύμφωνα με το β ερώτημα έχουμε: [ e ( )- x - ι - 1 J ln χ = [ eh < x J - 1 J ln χ = eh ( x ) - 1 χ ln χ = χ eh <x J - 1 ln x = .- = φ ( χ ) . Εξάλλου βρήκαμε 1 χ χ lim h ( χ ) = f (Ο) - Ο - 1 = Ο όμως Είναι 0 lim er = e = 1 Άρα lim eh( x ) = 1 f x

•

χ -+0+

y -+ o•

χ -+ ο·

Το όριο του πρώτου κλάσματος λοιπόν οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή και του δευτέ-

( �)

( )

, +ΟΟ . , σε μορφη ιv.ασματος ρου .Λ +οο Εφαρμόζεται λοιπόν ο κανόνας de L 'Hospital eΨJ 1 • = e h ( x ) · h '(χ) . Τότε Έστω φι ( χ ) = (χ)'

(

)

lim φι ( χ ) = e h (O) · h '(Ο) = 1 · Ο = Ο . Εξάλλου

χ -+0+

1 · _i_ (hlx � (x) = � = =-x και lin!� (x) = lim(-x) = O . 2

Θ)

�

�·

Άρα lim φ (χ) = lim φι ( χ ) lim φ2 ( χ ) = Ο · Ο = Ο χ -+ ο+

χ -. ο+

χ -.ο+

Θέμ α 3 .

f : [ 1 , +οο ) � JR 2xf(x) - x + l 1 για = 1 + f 2 (χ)

Έστω η συνεχής συνάρτηση

για την οποία ισχυει: κάθε α.

χ e [ t, +oo) .

Να δείξετε ότι η

είναι 1-1 .

β. Αν 1 < α < β, με f(α) < f(β) , να δείξετε ότι

για οποιοδήποτε ξ Ε ( α,β), η συνάρτηση g με g(x) = f(α) + f(β) - f(ξ) - f(x) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). Να δείξετε ότι έχει νόημα το όριο :

γ.

+ lim f( 6 Ji · x ) 3 •-+ 0

6 + J2 · x ) - f(2) f( J2 + ! Iim 3 (1) και = δ. Αν 2 χ 3 4f(2) = 4f'(2) + 4 + Ji (2), τότε να δείξετε ότι Χ-+ 0

f (2) = 2 + J2 και να βρείτε τον τύπο της f ε. Αν f(x) = χ + .Jx 2 - χ , χ e [ t, +oo) , να υπολο •

γίσετε το όριο

(

lim r(x) · η μ 1009 χ

• -+ -

)

Απάντη ση

2 2 Έχουμε 2xf(x) -x + 1 = 1 +f (x) =>2xf(x) -x =f (x) για κάθε χ e [1, +οο) (1) α ) Έστω Χ ι , Χ 2 e [l, +oo) με f(x ι ) = f(x 2 ) (11) . 2 2 Τότε (11)� f (x ι ) = f (x 2 ) => 2χι f(χι ) - Χ ι = 2χ 2 f(x 2 ) - x 2 => Χ ι (2f(χι ) - 1) = x 2 (2f(x 2 ) - 1) (111) . Αλλά 2 f (χ ) - 1 :ι: Ο για κάθε χ ε JR . Διαφορετικά, ·

•

αν δηλαδή υπήρχε ρ ;::: 1 με f(ρ) = .!. , τότε 2 2 (1)� 2ρf(ρ) - ρ = f (ρ) => 2ρ - ρ = => ο = ,

�

άτοπο. Άρα 2f(xι ) - 1 = 2f(x 2 ) - l ;t 0 , οπότε: (111)� Χ ι = χ 2 συνεπώς η f είναι 1-1 στο [1 , +οο) . β) Η g είναι συνεχής στο [ α,β] ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. και g( α) = f ( β ) - f (ξ) Έχουμε: g(β) = f(α) - f(ξ) . Αφού η f είναι 1-1 και 1 < α < ξ < β θα είναι f (α) * f(ξ) * f(β) * f(α) . Αλλά f(α) < f( β ) , οπότε θα ισχύει μια από τις παρακάτω σχέσεις f(α) < f(ξ) < f(β) (1) ή f(ξ) < f(α) < f(β) (2) ή f(α) < f(β) < f (ξ) (3) Έστω ότι ισχύει η σχέση (2). Τότε αφού η f είναι συνεχής στο [ξ,β], σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. θα υπάρχει χ0 e (ξ , β ) τέτοιο ώστε f(x0 ) = f(α) και αφού f ένα προς ένα θα είναι χ0 = α άτο πο, διότι 1 < α < ξ < χ0 < β. Ομοίως απορρίπτε ται και η σχέση (3). Τελικά θα ισχύει μόνο η σχέση ( 1 ) δηλαδή θα έχουμε g ( α) > Ο και g(β) < Ο . Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση g(x) = Ο έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). 6 + .J2x , , γ) Η συνά ρτηση f 3 ειναι της μορφης

(

f(g(x)) με g(x)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/64

6 + ..fi.x

, , x e R. Αλλα:

Μαθηματικά για την Γ ' Λυκείου

.J2 x � 1 } = [- � ,+οο). Ορίζε+ 6 Arog= {χε R/ 3 ν2 ται λοιπόν στο (-

� ,O)u(O,+oo), οπότε έχει

* νόημα το εν λόγω J2 όριο .

x =Ο και lim f( 2 + y) - f( 2 )

δ) Αλλά: lim χ� Ο

f ' (2), οπότε:

l im χ �Ο

y� O

J2 f(2 + x ) - f(2)

h2χ

= f (2) => '

4 f (2) = 4+3 .J2 + 4 + .J2 => f(2)=2+ .J2 . Εξάλλου: (1) � f 2 (x) = 2xf(x) - x =>

=>f2 (x) - 2xf(x) + x2 = χ2 - χ �(f(x) - x)2 = χ2 - χ Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = f(x) - x . Με χ ε [l,+οο] , έχουμε h 2 (x) = x 2 - x και h(x) = Ο <:::> h 2 (x) = Ο <:::> χ 2 - χ = Ο <:::> χ = 1 . Έτσι h(x) ψ. Ο για κάθε χ ε (1, +οο) και αφού η h εί ναι συνεχής, θα διατηρεί πρόσημο στο ( 1 , + οο ) . J2 Όμως h( 2 ) = > Ο . Άρα h(x) > Ο , δηλαδή h(x) = Jx2 - x για χ ε (l, +οο) Επίσης είναι h(l) = Ο και � = Ο , οπότε h(x) = Jx2 - χ για κάθε [1, +οο ) . Άρα f ( χ) - χ = Jχ 2 - χ � f (χ) = χ + Jχ 2 - χ για χ ε

(1,+οο) . ε) Για χ > Ο είναι 1009 = [(χ + -y/χ 2 - χ) · ημ1009 ] = f(χ) · ημχ χ 1009 =[x(l+ 1 - - ) ·ημ-] 1 009 = [(χ + χ ) ·ημ-] χ χ2 χ Χ Ε

Αντιθέτως παρατηρήστε ότι αν είχαμε π.χ. Ar [ 3, +οο ) , τότε το εν λόγω όριο δεν θα είχε νόημα (γιατί;) •

χ -+κο

3 J2 f( 6 + 3 x ) - f(2) J2 f ' (2) και = lim χ�Ο Χ 3 J2 J2 (1) � + .!.. = f '(2) � f ' (2) = 3 J22 3 = 1 + 3 � 4f '(2)) = 4 +3 .J2 . 4 Έτσι: (2)

1 009 ημ1 009 · 1 χ ]. [(1+ ) · η μ1- ] = [1 009(1 + 1 - -) 009 χ2 χ χ 1009 = Ο και lim ημu = 1 � Αλλά lim u -->o

1009 ημ� = l . Άρα Δ� 100 χ 1009 . - 0 ) 1 = 201 8 lιm f(χ) · ημ-- = 100 9 ( Ι + νl � χ

χ -->+α>

Θ έμα 4

Έστω συνάρτηση f : IR � IR παραγωγίσιμη για την οπ οία ισ χύ ουν: • 2r' (x)f( l - x) = -eJe για κάθε χ ε JR (1) 2-χ f(l + x) - f( -) 3 2 • lim - - Je (2 ) • .... ο χ 4 Να απ οδείξετε ότι: α . Η συνάρτηση f' είναι παραγωγίσιμη και 1

ισ χυει f (1) = - ν e 2 ,

β . Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίν ουσα και κυρτή. Η εξίσωση r· (χ) + 2χ = Ο έχει ακριβ ώς μια

γ.

ρίζα στ ο (0 , 1 ) δ. Αν επιπ λέον ισ χύει 2f(x)+ex � 2e για κάθε -�+Ι e χ e IR , τ ότε: f (Ο) = - - και f (χ) = e 2 , 2 x e IR . e-1 f ( l - x) x = -d 2 f( l - x) + f ( x - e) ε. 1 •

Α πάντ η σ η α ) Από την σχέση ( 1 ) συμπεραίνουμε ότι

((χ) ψ. Ο ,

και f(l - χ) ψ. Ο για κάθε

τε εχουμε f (x) = -

χ ε IR , οπό-

e Je για κα' θ ε 2 f ( l - x)

χ ε� .

( λοιπόν είναι παραγωγίσιμη στο

JR.

με

e Je · [ - ]' eJef ( l - x) =x) f(l ( ( χ) = 2f 2 (1 - χ) 2f 2 (1 - χ) Έστω χ ψ. Ο και 2 - χ f(l + x) - f(l - -χ ) f(l + x) - f(-) 2 = 2 = Φ(χ) = χ χ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/65

Μ αθηματικά για την Γ' Λυκείου

( �)r(o) = -ev'e => f (O) = e

=> 2 -

f{ l + x) - f(l) - f(l - �) + f(l)

-------=2,____ =

χ f(l - 2) - f(l) f(l + x) - f(l) --=-= χ χ χ ) - f(l) f(l 2 l f( 1 ) = f(l + x) - + 2 • · '\ '\ .ι. ι ιm Α11,/W, Χ -+ 0

(- -χ2 ) = ο και

Η)

ι· f(l + y) - f(l) ιm y--+ 0 Υ

r(ι)

χ f(l - -) - f(l) 2 οπότε: lim = f{l) χ 2 χ --+0

( )

{2) � �f( l ) = -�v'e => f( l ) = - ν'e . 2 2 4

β ) Από τη σχέση ( 1 ) έχουμε: r' (x) * Ο για κά-

θε χ e R και αφού είναι συνεχής ως παραγω γ{αιμη θα διατηρεί πρόσημο. Όμως είναι

fe ' f 0 (χ ) < 0 για κα' f, (1) = - < Ο . 'Ετσι θ α ειναι 2 θε χ e JR , οπότε η f γνησίως φθίνουσα στο R . Αφού είναι ( (1 - χ) < Ο και f 2 (1 - x) > 0 για κάθε χ ε JR , θα ισχύει .. . efef' (1 - χ) > 0 , οποτε η f θ α ειναι f (χ) = 2 2f (1 - χ) ιroptή στο R . γ'ί Θεωρούμε την συνάρτηση g(x) = r' (x) + 2x με χ e R . Η g είναι συνεχής στο [Ο, 1 ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και •

4- ν'e

g(O) =f (O) < O , g(l) = f 0) + 2 = -2 + 2 = -- > 0 . 2 = Ο έ g(x) Από θεώρημα Bolzano η εξίσωση χει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1 ). Όμως α φού g' (x) = f "(x) + 2 > 0 για κάθε x ε JR , η g θα είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η παραπάνω ρ(ζα θα είναι μοναδική. Τελικά η εξίσωση f' (χ) + 2χ = Ο έχει μοναδική ρίζα στο (Ο, 1 ). δ) Για χ = 1 από τη σχέση ( 1 ) παίρνουμε: 2f '(1) f(Ο) = -efe =:> f (Ο) = e ·

h (Ο) = Ο =:> 2f (Ο) + e = Ο =:> f (Ο) = -2 . ( ,

Άρα Ιίm Φ (χ) = f ( l ) + .!.r(ι) = � ( (1). 'Ετσι Χ -+0

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x) = 2f (χ) + ex - 2e με χ e R . 'Εχουμε: h '(χ) = 2f '( χ) + e και h(O) = 2f(0) - 2e = 2e - 2e = Ο . Άρα h(x) � Ο =:> h(x) � h(O) για κάθε χ ε JR . Συνε πώς η h παρουσιάζει ακρότατο (ο.ε.) στο εσωτερικό σημείο χ 0 = Ο και επειδή είναι πάραγωγίσιμη σε αυτό, σύμφωνα με το θεώρημα fermat θα έχουμε: ,

Η σχέση ( 1 ) θα ισχύει και για 1 - χ) ε JR , δηλ. θα ισχύει 2 f '(1 - χ) · f(x) = -efe (3) Επομένως ( 1 ) και ( 3) =:> 2f 0 (1 - χ) · f(x) = 2f ' ( χ) · f(l - x) =:> f '(x) · f(l - x) - f 0(1 - x) · f(x) = O =:> f '(x) · f(l - x) + [f (1 - x)]' · f(x) = O =:> { f ( x) · f (l - x)) 0 = O � f(x) · f(l - x) = c για κάθε χ ε JR . Για χ = 0 έχουμε: e · f(l) = c . (από την σχέση ( 1 ) για χ = Ο βρίσκουμε:

( �) f(l) = -eJe =:> f(l) = Je.

2f °(O) · f(l) = -eJe =:> 2 -

Άρα: c = efe και f(x) f(l - χ) = efe για κάθε x ε JR (4). AJJ.ά (3), (4) => f(x) * O, f( l - x) * O και 2 f °( χ) · f(l - χ) = -f(x)f (1 - χ) :ψ. Ο =:> f '(χ) = _.!_ (5) 2 f(x) Αφού η f είναι συνεχής με f (χ) * ο για κάθε χ ε JR θα διατηρεί πρόσημο στο JR . Αλλά f (1) = Fe > Ο οπότε f(x)>O για κάθε χ ε JR . ·

( ; ) =:> ln f(x) = - ; + c.

Άρα (5) � {In f(x)) ' = -

Για χ = 0 έχουμε: ln f(O) = c =:> ln e = c =:> c = 1 . �� χ Άρα lnf(x) = - + t =:>f(x) = e 2 για καθε χ ε JR . 2 f (Ι - χ) είε . Η συνάρτηση h(x) = /(1 - χ) + f(x - e) ναι συνεχής στο [ l ,e], αφού f(x)>O, για κάθε x e R. Θέτουμε x= l +e-u=g(u) . Έχουμε έtσι μια έκφραση του χ συμμετρική ως προς τα άκρα του ολοκληρώματος. Επιπλέον l =g(e), •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/66

•

Μαθηματικά για την Γ ' Λυκείου

g ( 1 ) και η g ' (u) = - 1 είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα Δ με άκρα e, 1 που είναι, e=

συμπτωματικά εδώ, ίδιο με το προηγούμενο ( 1 ,e], δη λαδή Δ=g (Δ). Προφανώς και η h(g(u)) είναι συνεχής στο [ l ,e] . Σύμφωνα λοιπόν με το θεώρημα αντικατάστασης από το 2° στ 1 ° e

g(I)

J h(x)dx = J h(x)dx =

μέλος θα έχουμε: Ι=

J h((g(u)) g '(u)du =

g(e)

J e

f( l - (1 + e - u)) (- l )du = (1 ( + / l e - u )) + f(( l + e - u ) - e ) ι f(u - e ) du . Άρα J . f(u - e ) + / (1 - u )

f(l - x) f(x - e) dx dx + Je f(l - x) + f(x - e) e) + f( x) f(x l 1 f(l x) + f(x e) dx = dx = e - 1 . = f(l - x) + f(x - e) 1 e-1 Συνεπώς 1 = 2 Γενικότερα αποδεικνύεται ότι: 2I = Je

•

f f(α + β - x)dx = J f(x)dx για κάθε συβ

νάρτηση f συνεχή στο R, οπότε το προη γούμενο θέμα μπορεί να προκύψει ως ε φαρμογή αφού: f(x - e) h(l + e - x) = f(x - e) + f(l - x)

Θέμα 3

Δίνεται συνάρτηση f πα ραγ ωγίσιμη στ ο (Ο, +οο ) για την οπ οία ισχύ ουν:

xf'(x) = 2(f(x) + x2 + κ) για κάθε x e ( O,i<X>) όπου κ s -3 f(l) = O και r(x) s -4x + 4 για κάθε x e ( 0,1 ] α. Να αποδείξετε ότι: f ( l ) = -4 και κ = -3 β. Να αποδείξετε ότι f (x) = 2χ 2 Ιη χ - 3χ 2 + 3 για κάθε χ > Ο •

•

γ.

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτη ση ς f ρ

f(x-l) = (x- e)· Jf(x)dx 1

πτεται της Cr στο σημείο καμπή ς της και 3 2x 2 ln x dx > 13 2J χ 1 2

να αποδείξετε ότι ισχύει:

στ.

Να υπολογιστεί το :

Απάντη ση

α) Για χ = 1 παίρνουμε:

e-(ψ)-3)1 lim x-+O' (f(X) - 3)

•

f 0(1) = 2( f(l) + ι + k)

f 0(1) = 2 + 2k � k = r ·<�H . Όμως k � -3 �

f '(i- 2 � -3 � f '(1) � -4 ( 1 ) Για χ e (0, 1) έχουμε:

( χ - ι <ΟJ

f(x) � -4x + 4 � f(x) � -4(x - 1) ::::>

f(x) � -4 x-l

f(x) - f(l) � -4 , χ-1 f(x) - f(l ) Όμως επειδή lim = f 0(1) , θα είναι -+Γ Χ-1 χ f °(1) � -4 (2) Από ( 1 ) και (2) προκύπτει ότι f 0(1) = -4 και k = -4 - 2 = -3 , οπότε xf(x) = 2{f(x)+ x 2 -3) 2 για κάθε χ e (ο, +οο) (2). β) ( 2) � xf 0{ x) = 2 {f(x) + x 2 - 3 ) �

� xf '(x) - 2f(x) = 2x 2 - 6 � � x 2 f '(x) - 2xf(x) = 2x3 - 6χ � x2 f '(x) -2xf(x) 2 6 =- -- � � χ4 χ χ3 �

•

δ . Να δείξετε ότι η εξίσωση

( 2, ρ + 1 ) , ό που ρ* l ρίζα τη ς εξίσωση ς f ( χ ) = Ο ε. Να δείξετε ότι η ευθεία y -4χ + 4 εφά έχει μια τουλάχιστον λύση στο

( f��) ) = (2lnx + :2 ) �

f( ) � � = 2 ln x + � + c για κάθε χ e (Ο, +οο) (3) χ χ Για χ = 1 παίρνουμε: f(l) = 3 + c � 0 = 3 + c � c = -3 , οπότε f(x) = 2 ln x + 2- - 3 => (3) � χ2 χ2 f(x) = 2x 2 ln x - 3χ 2 + 3, για κάθε χ e (Ο, +οο) . γ) Έχουμε: f '(χ) = 4x ln x + 2χ - 6χ = 4χ lη χ - 4χ = = 4x (ln x - 1) με χ > Ο . Το πρόσημο της ( (χ) καθώς και η μονοτονία της f απεικονίζονται

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/67

Μ αθηματικά για την Γ Λυκείου

στον παpακατω πινακα χ f '(χ)

+οο

+ '\ι f ? ο.ε. Η συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 1 =(Ο,e] και γνησίως αύξουσα στο Δ2=[e,+οο). Για να βρούμε το σύνολο τιμών τη ς λοιπόν, χρειαζόμαστε τα όρια: lim f(χ) και -

σωση

χ--+ο•

g (x) = Ο ,

δηλαδή η

f(x - l) = ( x - e) f(x)dx 1

έχει μια τουλάχιστον λύση στο (2, ρ + 1) . ε) Έχουμε: f '(x) = 4x ln x - 4x και f " (x) = 4 ln x , οπότε: χ > Ο , είναι ( (χ) � Ο <=> ln χ � Ο <=> χ � 1 . Το πρόσημο της ( (χ) καθώς και η κυρτότητα τη f' απεικονί ονται στον πα ακάτω πίνακα χ f "(χ)

+ σ.κ. κυ Κοίλ f Σημείο καμπής της Cr είναι το A(l ,O) και η εφα 1 + 1 ' (- ) πτόμεvή της σε αυτό, είναι η ευθεία χ2 χ2 με lim+ (-χ 2)=0. Άρα lim (2χ21ηχ) =Ο, οπότε: (ε): y - f(l) = f ' (1) - (χ - 1) δηλαδή η (ε): y = -4χ + 4 . χ--+0+ χ...+Ο Αφού η f είναι κυρτή στο [ 1, +οο] και η (ε) lim f(x) = 3 και f(Δ 1 ) = [f(e), 3). χ--+ο• εφαπτόμενή της στο A( l ,O) θα ισχύει Για το δεύτερο όριο παρατηρούμε ότι: f(x) = f(x) � -4x + 4, για κάθε χ ε [l, +οο) με το «=» να ισχύει μόνο για χ = 1 . Συνεπώς χ ε [ 2, 3] χ2 (21ηχ - 3+ χ ), οπότε χlim f(x) = +οο και lim f(x). Για το πρώτο όριο παρατηρούμε ότι: 2x2lnx= 2 ln χ (μορφή - οο ) και ( 2 ln χ ) ' = -χ2 χ ...++οο

-ξ-

...+ +οο

f(Δ2) = [f(e), +οο). Τελικά f(A) = f(Δ1) u f(Δ2 ) = [f(e), +οο) = [3 - e2 ,+oo). δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση Ρ

g(x)=f(x - 1 ) - (χ- e) f (x) dx με f(ρ)=f( l )=O, 1

ρ;tl . Αφού f � Δ1 και t-1' Δ2 , ο αριθμός 1 θα είναι μοναδική ρίζα της f στο Δ 1 , οπότε ο ρ θα είναι η μοναδική ρίζα της f στο Δ2 , δηλαδή Ρ

l <e<ρ. 'Εχουμε: g(2)= f( l ) - (2-e) f (x ) dx = 1

� f(x) > -4χ + 4 � 2x 2 ln x - 3x 2 + 3 > -4χ + 4 � 2x 2 ln χ > 3 χ 2 - 4 χ + 1 1 2x 2 ln x > 3χ - 1 � 2 χ 2 ln x > 3(x - l)(x - -) � 3 χ-1 3 3 2 2 ln Επομένως έχουμε: χ χdx > ( 3χ - 1 )dx χ-1 2 2 3 2 x 2 ln x > dχ > � => χ-1 2

f3 2 x 2 ln xdx [ 3χ 2 - χ ] 3 2 χ -12 2 2 2 � 2 f χ ln χ dx 1 3. 2 χ-1

�

g(2) g(ρ+ 1) = (e - 2)(e - ρ - 1 )( f (x) dx )2 . 1

Αλλά: e>2=>e-2>0 και ρ+ l>ρ>e=>e-ρ - 1 <Ο. Ρ

=> f (x) dx <Ο =>

e U ί χ >-3>'

( / (χ) - 3 ) 2

----

( / (χ) - 3 ) 2 )

;_ 3) 2 και h(y)= ; .

h(φ(χ) με φ(χ) = (/(χ

f ( l) = f ( ρ ) = Ο

=(e - ρ - 1 ) f ( x) dx . Άρα:

Εξάλλου

=(e-2) f(x)dx και g(ρ+ l)=f(ρ}-{ρ+ 1 -e) f(x)dx στ) Έχουμε: 1

και f(x)<O στο (1 ,ρ),

Έχουμε δείξει στο (β) ερώτημα ότι lim• f(x)=3, χ--+ο•

δηγεί σε μορφή ( y� +oo

Άρα g(2) g(ρ+ 1 )<Ο. Από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξί-

1 - =Ο,

+ 00 ). 'Ομως + οο

y +oo (y) 1 =(e Y ) ' e Y '

οπότε και lim h(y)=O. Άρα y...++oo eY lim h(φ(χ) )=Ο. lim

f(x) dx ) 2>0.

χ...+ο

οπότε lim φ(χ)=+οο. Εξάλλου το lim h(y) ο--+

χ �ο·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/68

και

Θέματα παλαιοτέρων εποχών

Επιμέλεια: Γιώργος Τασσ όπουλος

Με μεγάλη ικανοποίηση πληροφορηθήκαμε ότι πιθανόν να αρχίσει επιτέλους η διδασκαλία της Στερεομετρίας στο Λύκειο. Αυτό, πράγματι είναι ευχής έργο, διότι τόσα χρόνια οι μαθητές τελείωναν το Λύκειο γνωρίζοντας μόνο Γεωμετρία δύο διαστάσεων, τη στιγμή μάλιστα που μερικοί από αυτούς επέλεγαν να σπουδάσουν Μηχανικοί , Αρχιτέκτονες, Φυσικοί κλπ. Με την ευκαιρία αυτή θα μελετήσουμε στη συνέχεια ένα θέμα Στερεομετρίας του Ε.Μ.Π που βασίζεται σε ένα από τα αρχικά της θεωρήματα, το θεώρημα των τριών καθέτων. Η απόδειξη αυτού μπορεί να γίνει, και με το Πυθαγόρειο Θεώρημα μόνο, που δεν απαιτεί ιδιαίτερη εξοικείωση με το χώρο και μάλιστα χωρίς να προηγηθούν οι ορθογώνιες ασύμβατες. (βλέπε Σχολική Γεωμετρία Β Άυκείου Λ. Αλιμπινίση, Γ. Δημάκου, Π. Δρακόπουλου, Θ. Κυριαζή 1 99 1 )

Ζήτη μα 4°" : Έστω ΑΒΓ

και Γ. Τασσόπουλου

ισοσκελές ορθογώνιον τρίγωνον με υποτείνουσαν την ΒΓ = 2α . Εκ σημείου Μ του χώρου φέρομεν τας καθέτους ΜΑ', ΜΒ', ΜΓ' επί τας ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ αντιστοίχως. Ζητείται να ευρεθη ο ΜΑ' ΜΒ' ΜΓ' γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του χώρου, διά τα οποία είναι: -- = -- = -- (1). 2α αJ2 αJ2 (1) ΜΒ' = ΜΓ' ΜΑ' � Λύση : Προφανώς, (1) <::::> ΜΒ' = ΜΓ' = � <::::> ν2 ΜΑ' = ΜΒ' · ν2 (2) Έστω Η η προβολή του Μ στο (Ρ). Τότε, οι ΗΑ', ΗΒ', ΗΓ' είναι κάθετες στις ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ αντιστοίχως. Εξ άλλου από τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΗΒ',ΜΗΓ' έχουμε:

{

(1) <::::> τρ.ΜΗΒ' = τρ.ΜΗΓ' <=> ΗΒ' = ΗΓ' <=> Η ε (δ1 ) υ (δ 2 ) , όπου η ευθεία (δ 1 ) διχοτομεί την ΒΑΓ και διέρχεται προφανώς από το μέσο 1 Α' της ΒΓ (αφού ΑΒ=ΑΓ), ενώ η (δ 2 ) διχοτομεί την εφεξής παραπληρωματική της, δηλαδή (δ 1 ) 1- (δ 2 ) . 1 '1 περίπτωση : Αν Η ε (δ 1 ) , τότε το Μ ανήκει στο επίπεδο (Ρ1 ) l. (Ρ) που διέρχεται από τη Ξ

(δ 1 )

και

ΗΒ' = ΑΒ' =

11},

(ι),

αφού

ΗΑΒ' = ΗΑΓ' = 45 ° . Άρα (2) <::::> Α 'Μ 2 = 2 · Β'Μ 2 <::::> ΙΜ 2 = 2 · Β'Μ 2 <::::> ΜΗ2 + ΙΠ2 = 2(ΜΗ2 + ΒΉ2 ) <=> Λ

(ι)

<::::> ΙΠ2 = ΜΗ2 + 2 · ΒΉ2 <::::> ΙΠ2 = ΜΗ2 + ΗΑ2 <::::> (ε) <::::> ΙΠ2 = ΜΑ2 <::::> ΙΠ = ΜΑ <::::> :ΜΚ = ΜΑ ΗΙ = ΜΑ <::::> ΜΚ = ΜΑ , όπου Κ η προβολή του Ρι Μ στην ευθεία (ε) l. (Ρ) στο 1. Άρα: (2) <::::> Μ ε (C) , όπου (C) η παραβολή με εστία Α και διευθετούσα (ε), φυσικά επί του επιπέδ ου (Ρ1 ) . 2" περ ίπτωση : Αν Η ε (δ 2 ) τότε το Μ ανήκει στο επίπεδο (Ρ2 ) l. (Ρ) που διέρχεται από τη (δ 2 ) . Ισχύει επίσης η (ι) και (δ 2 ) Ι ΙΒΓ , οπότε ΗΑ' = ΑΙ = ΒΓ = α . Άρα, (2) <::::> Α'Μ 2 = 2 · Β'Μ 2 <::::> (ι)

ΜΗ 2 + ΑΉ 2 = 2(ΜΗ 2 + ΒΉ 2 ) <::::> α2 = ΜΗ 2 + 2 · ΒΉ 2 <::::> α2 = ΜΗ 2 + ΗΑ 2 <::::> α2 = ΜΑ 2 <::::> ΜΑ = α Μ ε (γ) , όπου (γ) ο κύκλος κέντρου Α και ακτίνας α, φυσικά επί του επιπέδου (Ρ2 ) . Προφανώς, ο (γ) έχει διάμετρο την προβολή Β 1 Γ1 της ΒΓ στη (δ 2 ) . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/69

-------

Θέματα Παλαιοτέρων εποχών

------

Λόγω των ισοδυναμιών που τηρήσαμε το αντίστροφο εμπεριέχεται στη διαδικασία αυτή. Δείξαμε ότι για τα σημεία Μ e (Ρ1 ) ισχύει : και για τα Μ e (Ρ2 ) ότι (2) <::::> ΜΑ = ΜΚ (2) <::::> ΜΑ = α . Σ η μείωση : Το γεγονός ότι τότε δεν διδάσκονταν οι κωνικές τομές στα Σχολεία, ήταν δηλαδή ένα θέμα εκτός του Αναλυτικ:ού προγράμματος, επικαλέσθηκε ο αείμνηστος Αριστείδης Πάλλαι; και μαζί με μερικές άλλες σημαντικές παρατυπίες που επεσήμανε, έκανε μεγάλο αγώνα προκειμένου να ακυρωθούν οι εξετάσεις ( Μαύρη Βίβλος 1 962), δυστυχώς και τότε χωρίς αποτέλεσμα. ο

1 959

Ε . Μ . Π . Μηχανολόγο ι

(εξεταστή� : Παwαίwάννοu Κ . )

Γ Ε Ω Μ [ Τ Ρ Ι Λ : Δίδεται περιφέρεια Π κέντρου Ο και ακτίνος ΟΑ. Προεκτείνομεν την ΟΑ πέραν του Α και λαμβάνομεν μήκος (ΑΒ) = μ(ΟΑ). Έστω Β Γ η εφαπτομένη της Π, όπου Γ το σημείον επαφής.

Γεώργιος Τ σιώλη ς, Τρίπολη

Ζητείται να υπολογισθή συναρτήσει του μ και του μήκους λ της χορδής ΑΓ η ακτίς της περί το τρίγωνον ΑΒΓ περιγεγραμμένης περιφερείας. Λ ί1ση l η

Γ ------

Θέτουμε ΟΑ=ρ οπότε: ΟΒ=(μ+ 1 )ρ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΓΒ έχουμε:

JoB2 - 0A2 Jcμ + 1)2 ρ 2 - ρ 2 ΒΓ=ρ �μ (μ + 2 ) (1).

ΒΓ = Α

μρ

Αν είναι ΓΔl.ΟΒ , τότε ΒΓ2 = ΟΒ·Β Δ (2).

Σχ. 1

ρμ (μ + 2) . μ+l ρ�μ(μ + Ζ) μ+l .

Από τις (1) και (2) παίρνουμε: ρ2μ·(μ+2) = (μ+ l )-ρ· ΒΔ και ΒΔ

ρ 2μ(μ + 2 ) , η' ΓΔ = (μ + 1)2 1 1 ρ 2μ� ' Το εμβαδόν του ΑΒΓ ειναι: (ΑΒΓ) = - ΑΒ·ΓΔ = 2 2

2 έχουμε: ΓΔ2 = ΒΓ2 - ΒΔ2 , η' ΓΔ =

Με το Π.Θ. στο ΓΔΒ

---'----

Αν R είναι η ακτίνα της περιγεγραμμένης περιφέρειας του ΑΒΓ, τότε είναι: R= Λ ί)ση 2 "

ΑΒ · ΑΓ · ΒΓ - . . . . . = -1 λ(μ+ l ). 2 4(ΑΒΓ)

Γράφουμε κατά τ α γνωστά την περί το τρίγωνο ΑΒ Γ περιγεγραμμένη περιφέρεια κέντρου Κ και ακτίνας R.

Β είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο (K,R) και η Γ Α είναι η αντίστοιχη επίκεντρη. Αν είναι ΚΑlΑΓ, έχουμε:

Λ Β

ΓΚΑ

= -- =

Λ Κ

1 ,

' ' ' __οποτε: το τριγωνο ΑΛΚ ειναι ομοιο με το ΟΓΒ.;:-..._ . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/70

Σχ.

-------

, ΚΑ = ΛΑ η Άρα -

ΟΒ ΟΓ

------

λ ( μ + l) . =λ η R= ,

(κ + l)ρ

Λύση 311 ( Μ ε τ ρ ιγωνομετρία)

Θέματα Παλαιοτέρων εποχών

2ρ

(Σχ. 1 ) Με τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: λ =2 Rη μΒ (1) αλλά ημΒ=

(μ + 1)ρ

= -- (2) από το ορθογώνιο ΟΓΒ. Από ( 1 ) και (2) παίρνουμε: R= λ (μ + 1)

1 μ+l

Επιστροφή

σε

μ ι α παλα ιότερη δ ι ευκρ ίνιση

Από τον Γιώργο Σ. Tασcr6DtJi.e

Με απορία διαπιστώνω ότι εξακολουθεί να απασχολεί μερικούς συναδέλφους το αν μπορεί ή όχι να εφαρμοστεί (και να τους εκπλήσσει μάλιστα η εφαρμογή της) η μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου σε κάθε παράσταση τη ς μορφή ς α·δ2+β·δ+γ, ότ αν α e R*, β, γ, δ e R καθώς και γενικότερα αν τα α, β, γ, δ είναι τιμές πραγματικών συναρτήσεων. Δεν νομίζω ότι υπάρχει αμφιβολία για το ότι η ισότητα: α·δ2 +β·δ+γ= α[(δ+ 1- )2 -

2α

� α ] 4 2

π ροκύπτει απ' αυτήν η ισοδυναμία:

είναι προφανής, ούτε για το ότι στην περίπτωση Δ=β2 - 4αγ �Ο

α·δ2 +β·δ + γ= Ο �

(

)

JΔ 2 β 2 -β ± /Δ . δ+- = - � δ = 2α

2α

Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι η παράσταση α·δ2 +β ·δ + γ είναι τριώνυμο ως προς δ παρά μόνο αν το δ είναι το βασικό πολυώνυμο χ και α, β, γ e R. Π.χ. : Η ισοδυναμία 3 ·7 2 - 4·7 - 4 = Ο � (7 =

4±

αφού και τα δύο μέλη της είναι ψευδείς προτάσεις.

.J64 ) � 7=2 ή

Επίσης η ισοδυναμία: 3 · 22 -4 ·2 - 4 = Ο � 2=2 ή 2 =

-� 3

προφανώς είναι αληθήι;

είναι αληθής αφού και τα δύο μέλη τη ς είναι

αληθείς προτάσεις. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι πρόκειται για εξισώσεις με άγνωστο το 7 ή το 2 (εκτός αν αγνοούμε την έννοια της εξίσωσης και του αγνώστου) ή για τριώνυμα ως προς 7 ή 2. Ουσιαστικά βρίσκουμε απλώς ότι: 3δ 2 - 4δ - 4 = ( δ - 2 )( 3δ + 2 ) για δ = ή δ = 2 . 7 Εντελώς όμοια προκειμένου για εξισώσεις: Οι ισοδυναμίες:

χ2 -(2x - l )x + (x2 - χ - 12)=0 � χ = Οχ=3 ή Οχ= - 4 (αδύνατη εξίσωση) και χ2 -(3x - l )x + (2x2 -5χ - 1 2)=0 � χ =

' 2χ - 1 ± J49 � χ =χ+3 η χ = χ - 4 � 2

3χ - 1 ± �(χ + 7) 2 � χ =2χ+3 η χ = χ - 4 � 2 '

χ = -3 ή Οχ = - 4 � χ = - 3, είναι αληθείς. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι πρόκειται για τριώνυμα ή για δευτεροβάθμιες εξισώσεις με συντελεστές α= l , (β = 2χ - 1 ή β = 3χ - 1 ) και (γ = χ2 - χ - 1 2 ή γ 2χ2 -S x - 1 2). =

•

Γίνεται πλέον κατανοητό νομίζω, ότι τελικά πρόκειται απλώς για μετασχηματισμούς παραστάσεων σε πιο εύχρηστες μορφές (παραγοντοποίηση) και τίποτα περισότερο.

Το πρόβλημα όπως έχω επισημάνει και παλαιότερα, (αλλά μάλλον δεν έγινε κατανοητό) είναι καθαρά εκφραστικό. Δεν επιτρέπεται λοιπόν τέτοιες παραστάσεις να τις αποκαλούμε τριώνυμα. Πρόκειται δηλαδή για κακή διατύπωση και μόνο .. Δεν υπάρχει επομένως λόγος νομίζω να μας απασχολήσει πλέον παρόμοιο θέμα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/71

Το Βή μα του Ε υ κλείδη Επι έλεια:

Γιάν

έλ

Ευσταθ(ου

Σχ ετι κά με το όρ ιο Σύνθεσης συναρτήσεων . Μια μεγάλη πιθανότητα λάθους . Γιώ ργος Σ . Τ ασσόπουλος .

Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών - Διδάκτορας ΕκΚΠΑ Αναδιατυπώνουμε αρχικά τη σχετική πρόταση ως συγκερασμό των διατυπώσεων του Σχολικού βιβλίου και του Απειροστικού Λογισμού του μεγάλου δασκάλου μας Δ. Κάππου. Έστω συνάρτηση f:Δ-R και χ0 σημείο συσσώρευσης 1 του Δ με . lim f(x) =y0• Έστω επί πλέον Χ-+Χο συνάρτηση g ορισμένη στο f(Δ). Δεχόμαστε ότι το y0 είναι σημείο συσσώρευσης του f(Δ) και ότι f(x):;ty0, κοντά στο χ0, δηλαδή ότι υπάρχει περιοχή m(x0), τέτοια ώστε f(x):;ty0, για κάθε χε Δn(m{x0)-{x0}). Αν lim g(y) f , τότε lim g(f(x) f . •

y-. yo

Συνοπτικά:

lim f(x) =y0 και lim g(y)

χ -.χ ο

y-.y o

χ -. χ ο

=> lim g(f(x)) χ -. χ ο

Αντ' αυτού υπάρχει κίνδυνος να διαπράξουμε to εξής λάθος: Να βρούμε το lim g(f(x)) Χ-+Χο οποιοδήποτε άλλο τρόπο και να συμπεράνουμε απ' αυτό ότι: lim g(y) f . y-. yo

με

Στην αντιμετώπιση του παρακάτω απλού θέματος υπάρχει κίνδυνος να διαπράξουμε ανεπαίσθητα αυτό το λάθος, ευτυχώς εδώ στη διατύπωση μόνο, οπότε μπορεί να ξεπεραστεί. •

2 + 1) =2λ, τότε να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λεR. Αν g(χ)=λ2χ2 - λχ - 8 και limg(x χ-+1 Λύση : Ας διατυπώσουμε λοιπόν τη λύση ως εξής: Έχουμε: g(x2+ l) = g(f(x)) με f(x) = χ2+1 και limg(f(x)) =2λ (1 ), limf(x) =2. Χ-+\ χ->\ 2 2 = = Άρα y-+ lim g(y) 2λ (2) => λ 2 - λ2 - 8 2λ. Τότε δίνουμε την εντύπωση ότι η σχέση (2) 2 προκύπτει από την (1), ενώ σύμφωνα με το θεώρημα συμβαίνει το αντίστροφο. Δηλαδή: Αν lim g(y) = f τότε limg(f(x)) = .e , αφού lim /(x) =2 . Η σωστή λοιπόν διατύπωση θα ήταν: χ-+! χ->1 y 2 =2, lim g(y) =λ222 - λ2 - 8 = 4λ2 - 2λ - 8 Έχουμε: g(x2+ Ι ) = g(f(x)) με f(x) = χ2+ 1 και limf(x) Χ-+\ y-> 2 ( 3). Άρα: limg(f(x)) =4λ2 - 2λ - 8 (4), δηλαδή ( 3 )=>(4). _

χ -.\

Έχει δοθεί όμως ότι: limg(f(x)) =2λ, οπότε (4)=> 2λ=4λ2 - 2λ - 8 => λ2 - λ - 2=0 => λ ε {2, -1 } . χ -+ 1

Εδώ το πρόβλημα ξεπεράστηκε διότι υπήρχε το lim g(y) . y-> 2 λ2 χ 2 - 2λ · χ-3 ' το 1'ιmg ( y) οδηγει' σε μορφη ' ' ' Τι θ α γινοταν ομως αν π.χ. ειχαμε g ( χ) = , οποτε y->2 χ2 - 4 '

1 Το να είναι το χ0 σημείο συσσώρευσης του Δ, είναι απαραίτητη προϋπόθεση για να έχει νόημα το lim f(x) και

σημαίνει ότι: Για κάθε περιοχή α:ι(χ0)= (χ0- ε, χ0+ε), δηλαδή για κάθε ε>Ο, ισχύει Δnα:ι(χ0)- { χ0 } i-eJ ( 1) . Το Σχολικό βιβλίο όμως απαιτεί κάτι περισσότερο, δηλαδή η f να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μο ρφής ( α, χ 0 ) u ( χ 0 , β ) ή ( α, χ 0 ) ή ( χ 0 , β ) . Αυτό εξασφαλίζει μεν την ( 1) , αλλά δεν προκύπτει απ ' αυτήν, δη λαδή οι δύο απαιτήσεις δεν είναι ισοδύναμες.. Χ -+ Χ.ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/72

------- Σχετικά με το όριο Σύνθεσης συναρτήσεων

α 0 με

' να α ε R και πιθανον

-------

' μην υπαρχει;

Δεν μπορούμε λοιπόν, σύμφωνα με το θεώρημα, τότε, προκειμένου να βρούμε το λ, να απαιτήσουμε: limg(y) =2λ. Αν το κάνουμε διαπράττουμε σαφώς το συγκεκριμένο λάθος. y-> 2

Κάτι ανάλογο είχαμε τονίσει σε παλαιότερο τεύχος σχετικά με τον κανόνα De' Hospital. f (x) Συνοπτικά εκεί είχαμε: lim f(x) =κ, lim g(x) =κ με κ=Ο ή κε {-οο,+οο} και lim � =f Χ--+Χο Χ ->Χο Χ ->Χο g (χ ) Η 1. f(x) ι· f '(x) ι· f (x) ' ' ' ' =:> ιm = . ισοτητα δη λαδη:' ιm , - = Χ ->ιmΧο g (x) ισχυει εκει με την προϋποθεση οτι Χ -> Χο g (χ ) Χ -> Χο g (x) υπάρχει το δεύτερο όριο. Ομοίως η ισότητα lim g( f ( χ)) = lim g(y) , ισχύει εδώ, επίσης με την προϋπόθεση ότι υπάρχει το /) {,

χ -> χ ο

•

Υ-> Υο

δεύτερο όριο. Πιθανόν όμως να υπάρχουν τα πρώτα όρια, χωρίς να υπάρχουν τα δεύτερα. Για τη χρησιμότητα του f(x)iy0 κοντά στο χ0, παραθέτουμε δύο αντιπαραδείγματα, από τον Απειροστικό Λογισμό του Δ. Κάππου σελίδα 1 68, όπου φυσικά δεν ισχύει f(x)i y0, κοντά στο χο και γίνεται εμφανές ότι πιθανόν τα δύο όρια να μην είναι ίσα. Παράδειγμα 1°

Έστω g(x) =

{ο, ο και f(x)=O , για καθε, χ +=

χ ε R.

, με χ0 =Ο έχουμε: limf(x) =O= y0 και Τοτε

1, Χ = 0 limg(y) =O, ενώ g(f(x))=l , για κάθε χ ε R. Συνεπώς limg(f(x)) =liO = lim0 g(y) . Παρατηρήστε y--+ ότι: 1 =g(y0). χ -> Ο

Χ -> 0

y-> 0

Παράδειγμα 2°

•

Έστω g:R*-+R, με g(x)=O για κάθε χ ε R * και f(x)=O, για κάθε χ ε R. Τότε με χο=Ο , έχουμε : limf (x ) =O= y0 και lim g(y) =Ο, ενώ η g(f(x)) δεν ορίζεται καν. y--.O χ -> Ο ί λ Στην περ πτωση ο ι πό ν που δεν ισχύε ι: f(x)i y0, κοντά στο χ0 , πι θανό ν να έχουμε lim g(f(x )) =g(y0) i

lim g(y) = R

lim g( f ( χ )) , κα θόσον η g ορ ίζεται στο y0 ή όχι.

Χ -+ Χο

ή να μην υπάρχει

Στα δύο παραδείγματα βέβαια είχαμε ro(x0)=ro(O)=R και f(x)=y0 για κάθε χ ε rο(χ0) . Στα ίδια συμπεράσματα θα καταλήγαμε αν είχαμε: f(x)=yo για κάθε χ ε (rο(χο)- { χο }) και f(xo)iYo ή Χο � Δ. χ Π .χ. ftx)= ή f:R*-+R με f(x)=O για κάθε χ ε R * (γιατί; ). Θα μπορούσαμε βέβαια 2, χ * =Ο γενικότερα να πάρουμε rο(Ο)=(-ε, ε), όπου φυσικά ε>Ο. Το λάθος λοιπόν που προαναφέραμε μπορεί για παράδειγμα να διαπραχθεί και στην προσπάθειά μας να δείξουμε την παρακάτω βασική πρόταση: Α ν Δ διάστημα 2και η συνάρτηση f'Δ-+R είναι 1-1 και συνεχής, τό τε η α ντίστρ ο φή της f1.f(Δ)-+R ε ίναι συ νεχής, δημιουργώντας την ψευδαίσθηση ότι πρόκειται για απλό θέμα. Πιθανόν λοιπόν να σκεφτούμε ως εξής: Έχουμε f 1 (f(x))=x, για κάθε χ ε Δ . Άρα lim Γ 1 (f( χ )) = χ 0 = Γ 1 (y0 ) Αλλά lim /(χ) Χ � Χο Χ Υ-> Υο

Χ -> Χο

{ο ο '

•

-+ Χο

2 Αν το Δ δεν είναι διάστημα, πιθανόν η f 1 να μην είναι συνεχής στο y0=f(x0) (βλέπε χαρακτηριστικό παράδειγμα

{

από τον Απειροστικό Λογισμό των Σ. Νεγρεπόντη, Σ. Γιωτόπουλου, Ε. Γιαννακούλια σελίδα 149). Με χ, Ο < χ < 1 είναι 1- 1 και συνεχής στο χ0=2 με f(Δ)=[Ο,2]. Δ=[O, l]u[2,3], η συνάρτηση f(x)= χ - 1, 2 :::; χ :::; 3 Ο :::; χ < l ' Ό μως η f ι (χ) = χ, και οι αντιστοιχες γραφικες δεν ειναι ' ' συνεχης ' ' στο y0=fi'\χ0)= 1 . (Ας γινουν χ + 1, 1 :::; χ :::; 2 παραστάσεις οι οποίες μας βοη θ άνε να βρούμε και άλλα αντιπαραδείγματα).

{

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/73

------

Σχετικά με το όριο Σύνθεση ς συναρτή σεων

-------

=f(xo)=yo . Επομένως lim Γ 1 (y) Γ 1 (y0 ) , δηλαδή η f1 είναι συνεχής στο Υο · =

Υ-+ Υο

Πέραν του προηγούμενου λάθους που διαπράττεται, έτσι δεν λαμβάνεται καν υπόψιν ότι το Δ είναι διάστημα. Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι αρκετά δύσκολη και βασίζεται σε δύο απλούστερες προτάσεις τις εξής: lη ) Αν η f: Δ-R είναι γνησίως μονότονη τότε και η f1 έχει το ίδιο μονοτονίας (απόδειξη απλή,

με απαγωγή σε άτοπο: Αν π.χ. r ./' Δ και υπήρχαν Υ ι ,y2 ε f(Δ) με y ι <y2 και f1 (Υ ι )� f1(y2 ), τότε f( f 1 (y ι ))�f( f 1 (y2 )), δηλαδή Υι �Υ2 , ενώ Υι<Υ2 , άτοπο). 2η) Αν Δ διάστημα και η f:Δ-R είναι 1 - 1 και συνεχής, τότε η f είναι γνησίως μονότονη (επιλέγουμε α,β εΔ με α<β. Τότε f(α)#(β). Αν f(α)< f(β) τότε για κάθε χ, y ε Δ με x<y ισχύει f(x)<f(y). Γι' αυτό αποδεικνύουμε αρχικά, ότι για κάθε τριάδα κ,λ,μεΔ η διάταξη των f(κ), f(λ), f(μ) συμφωνεί με τη διάταξη των κ, λ, μ. Διαφορετικά αν π.χ. κ < λ< μ και f(λ)< f(κ)< f(μ) τότε θα υπήρχε ξε(λ, μ) ώστε f(ξ)=f(κ), άτοπο. f(x) < f(α) < f(β) Έτσι αν π.χ. χ< α < β < y, τότε � f(x)<f(y) κ.λ.π. f(α) < f(β) < f(y) Αν f(α)> f(β) τότε για κάθε χ, y εΔ αποδεικνύεται ομοίως ότι x<y �f(x)>f(y). (Βλέπε Απειροστικό Λογισμό των Σ. Νεγρεπόντη, Σ. Γιωτόπουλου, Ε. Γιαννακούλια σελίδα 1 78. Για την περίπτωση που το Δ είναι κλειστό διάστημα δίνεται σύντομη απόδειξη και στο βιβλίο Μαθηματική Ανάλυση 1 των Κ. Καμπούκου - Γ. Τασσόπουλου σελίδα 330, εξαντλημένο).

)

•

Παραθέτουμε ελαφρώς συντομευμένη την απόδειξη του θεωρήματος από το βιβλίο Διαφορικός και ολοκληρωτικός Λογισμός του Michael Spiνak σελ. 1 97 η οποία κατά τη γνώμη μας ικανοποιεί στο έπακρο τις αρχές της Διδακτικής, βασιζόμενη απλώς στον ορισμό του ορίου. Απόδειξη :

Αρκεί να δείξουμε ότι:

lim Γ

X -+b

1 (χ) Γ 1 (b) για κάθε b ε f(Δ). =

Αν f 1(b) = αε Δ, τότε b=f( α). Αρκεί λοιπόν:

lim Γ 1 ( χ )

α , δηλαδή αρκεί: Για κάθε ε>Ο, να υπάρχει δ>Ο ώστε 1 f1(x) - α 1 < ε, όταν 1 χ - b 1 = 1 χ - f(α) 1 < δ, δηλαδή α - ε< f 1 (x)< α+ε, όταν f(α) - δ < χ < f(α)+δ.

•

X-+b

Αφού f ./' Δ (πρόταση 2η) θα είναι και f1 ./' f(Δ) (πρόταση 1 η) οπότε αρκεί f( α - ε)< χ< f( α+ε), όταν f(α) - δ< χ< f(α) +δ. Αυτό προφανώς εξασφαλίζεται αν πάρουμε f(α - ε)s;f(α) - δ και f(α+ε)�f(α) +δ, δηλαδή δs; f(α) - f(α - ε) και δs; f(α + ε) - f(α). Τελικά δηλαδή δ s; min { f(α) f(α - ε), f(α + ε) - f(α)} και δ>Ο αφού f(α - ε)< f(α) < f(α+ε)� f(α)- f(α - ε)>Ο , f(α+ε)- f(α)>Ο. Μπορείτε να βρείτε και άλλες αποδείξεις στα βιβλία π.χ. Απειροστικός Λογισμός του Δ. Κάππου σελ. 200 , Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης του Σ. Κανέλλου σελ. 1 4 8, Συναρτήσεις 5 του Θ. Καλαντζή σελ. 24 1 κ.λ.π .. Ακολουθεί ένα παράδειγμα το οποίο βασίζεται στο προηγούμενο θεώρημα, όπου θα μας δοθεί η ευκαιρία να αναλύσουμε εμφανώς την εφαρμογή του ορίου σύνθεσης, προκειμένου αναχθούμε από την f 1 στην f. Το ζητούμενο όριο βέβαια όπως θα δούμε προκύπτει και χωρίς αυτήν την αναγωγή. Έστω συνάρτηση f:A-R με Α=(Ο,+οο), συνεχής και γνησίως φθίνουσα με lim f(x) +οο , χ-+Ο+ 1 lim f(x) - οο . Να βρεθεί το lim χΓ ( χ ) . -++οο

•

Χ -+-00

Λύση :

Προφανώς f(A)=(-oo ,+oo)=R. Υπάρχει λοιπόν η αντίστροφη f1 :R-+R της f και f1 '\ιι R. Έχουμε: χ f 1 (x) = f(f 1 (x)) f1(x) = h(f 1 (x)), όπου h(y) f(y)y, με yεΑ. Αφού η f 1 είναι συνεχής στο R και f 1 '\ιι R θα έχουμε: f 1 (R) = ( lim r- 1 (x), lim Γ1 ( χ )) . Αλλά: f1 (R) =Α = (Ο, +οο),

Χ -+ +οο

X-t -00

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 103 τ.3/74

Σχετικά με το ό ριο Σύνθεσης συναρτή σεων

-------

οπότε: lim

y -++ oo

lim

χ-+οο

Γ 1 (χ) Ο και

lim

χ--οο

Γ 1 (χ)) = +οο. Αφού

f(y)y = -οο(+οο)=-οο, θα είναι και \

\ Υ \

lim

χ-+οο

χ--οο

r- 1 (x)

h(Γ 1 (χ) = - οο δηλαδή

+οο και lim h(y) =

lim

y-++«>

χ--οο

χΓ 1 (χ)) = - οο .

f (χ) -1

χ'

Μετά την διαπίστωση όμως του ότι

Σημείωση :

lim

--------

χωρίς όριο σύνθεσης. Πράγματι,

lim Χ --+ - 00

lim Χ--+-00

χ -

Γ 1 (χ}} =+οο, το όριο υπολογίζεται απ' ευθείας,

χΓ 1 (χ)) =-οο(+οο)=-οο . Το θέμα αuτό συζητήθηκε στην

συνεδρίαση της Συντακτικής Επιτροπής του Ευκλείδη Β ' στις 1 2- 1 2- 1 6 και οι διαφορετικές απόψεις που ακούστηκαν ήταν αφορμή να γραφεί αυτό το άρθρο. Θα κλείσουμε με μια ακόμη πιθανή παρεξήγηση Με τον κανόνα de L Ήospita1 βρίσκουμε ότι: ( lim _e ) lim eY +οο => lim � +οο ( 1 ). y-++oo Υ (y)'

•

_ =

y-++oo

y -++oo

Αν λοιχόν lim

�

f (χ) = +οο , τότε σύμφωνα με το θεώρημα ορίου σύνθεσης θα έχουμε: lim __ = +οο e

f(x)

� ιw

Αυτό όμως δεν σημαiνει ότι εφαρμόσαμε τον κανόνα de' Hospital στην ( 1 ) με y=f(x), η οποία πιθανόν να μην παραγωγίζεται κοντά στο Χο , αλλά απλώς με y#J. Εξάλλου δεν γράψαμε

διατύπωση λοιπόν:

lim

Ι -+ �

ef\z) j ( :ι )=_>

f(χ)

lim

.1 -+•Χ

e>. Υ

lim

y -+ +oo

( eY ) ' (y) '

lim

y-++oo

��;., ;�! =

f(x)

f (x)

Χ-+Χο

(! !).

Μια λοιπόν ακόμη ευκαιρία για να επαναλάβουμε ότι δεν επιτρέπεται να γράφουμε : f(x)=y

+οο , η οποία κακώς

συνηθίζεται, δίνει την ψευδή εντύπωση ότι ο κανόνας de L 'Hospital εφαρμόζεται στην

lim g(f(x))

lim g(y) = R , χωρίς να έχουν προηγηθεί οι σχέσεις lim f ( χ) = y0 και lim g(y) = R .

y-+yo

Χ-+Χο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 103 τ.3/75

y-+ Yo

ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ

- ΑΣΚ"ΗΣΕΙΣ

Αντώνης Κυριακόπουλος

Συνεπαγωγές και ισοδυναμίες να εκφραζόμαστε με ακρίβεαι και σαφήνεια. Τα Πρέπει να έχουμε υπόψη μας ,γενικά, ότι σε μια σύμβολά τους μας επιτρέπουν να εφαρμόζουμε σωστά λύση ενός προβλήματος στα Μαθηματικά δεν είναι τους νόμους που διέπουν τις έννοιες αυτές. Χωρίς την επιτρεπτό να γράφουμε αλλού συνεπαγωγές και πλήρη γνώση των νόμων των ποσοδει1ctών, είναι σΝ..ι:Jύ ισοδυναμίες. Σε κάθε φάση της λύσης θα σχ.,εδόν βέβαιο ότι σε ορισμένα σημεία τον πρέπει να χρησιμοποιούμε: ή παντού συνεπαγωγές ή μαθηματικών, κυρiως στην ανάλυση, θα κάνουμε λάθη παντού ισοδυναμίες(αν χρειάζονται και οι χωρίς να το καταλάβουμε. αντίστροφες συνεπαγωγές). Υπενθυμίζουμε ότι « p Άσκησηl . Να αποδείξετε ότι, για κάθε αριθμό πρέπει q» σημαίνει « p => q >>. Αν χρειάζονται ε>Ο, υπάρχει αριθμός ν 0 e Ν" τέτοιος ώστε να συνεπαγωγές και συμβαίνει να ισχύουν και οι - 1 < ε , για κάθε αριθμό ν e Ν" με αντίστροφες τους, δεν θα τις γράφουμε, διότι, σε μια ισχύει: 1 + λύση ενός προβλήματος , σκοπός μας δεν είναι να αναφέρουμε όλα όσα ισχύουν στα Μαθηματικά, άλλα ν 2 ν 0 • Ποια είναι η άρνηση της πρότασης αυτής ; από αυτά που ισχύουν, εκείνα που χρειάζονται για να Λύση. Έστω ένας αριθμός ε>Ο. Για κάθε αριθμό φθάσουμε στη λύση του προβλήματος. ν ε Ν* έχουμε: Παράδειγμα 1. Να βρείτε το σύνολο ορισμού Α

( �)3

της συν ά ρτησης: f(x) = '11 - χ

•

Ένας αριθμός χ ε IR για να ανήκει στο σύνολο ορισμό της συνάρτησης f (όχι πρ έπει, αλλά) πρέπει και αρκεί: 1 - χ 2 2 Ο ( 1). Αλλά: Άρα: ( 1) <=> χ 2� 1 <=> lxl� 1 <=> -1 � χ ::;; 1 . Λύση.

Α = [-1,1] .

Παράδειγμα 2. Για τους πραγματικούς αριθμούς α και Ρ ισχύει: α+ β=l. να αποδείξετε ότι: α 2 + 2Ρ = β 2 + 1.

Λύση 1 ( κακή ). 'Εχουμε:

α + β = l � α = 1 - β => α2 = (1 - β) 2 � α 2 = 1 - 2β + β 2 � α 2 + 2β = β 2 + 1 . Λύση 2 (σωστή ). 'Εχουμε:

α + β = 1 ::::> α = 1 - β ::::> α 2 = (1 - β) 2 ::::>

α 2 = 1 - 2β + β 2 => α 2 + 2β = β 2 + 1 . Λύση 3 (σωστή). Για να αποδείξουμε ότι: α2 + 2β = β2 + 1 , αρκεί να αποδείξουμε ότι: α2 = β2 -2β+1 , αρκεί: ά2 = ( 1 - β)2 , αρκεί: α = 1 - β , αρκεί: α+β=Ι , που ισχύει. (υπενθυμίζουμε ότι «q, αρκεί p», σημαίνει «p ::::> q») . Λύση 4 (Λανθασμένη). α 2 + 2β β 2 + 1 => α 2 = β 2 - 2β + 1 => α 2 = (1 - β ) 2 ::::> α = 1 - β ::::> α+β= 1 που ισχύει. (Ποια λάθη εντοπίσατε;) =

Π οσοδείκτες: «Για κάθε» και «Υπ ά ρχει>> . Οι

ποσοδεί1ctες, « για κάθε ( V) >> και « υπάρχει ( 3) , είτε χρησιμοποιούμε τα σύμβολά τους, είτε όχι, παίζουν πολύ σπουδαίο ρόλο στα μαθηματικά. Μας επιτρέπουν

(1 + �Ι -1 = i ( 1 + �)-1i . (1 + �) 2 + (1 + �) + 1 .!.. ( 2 2 + 2 + 1) 2.

�

( �)3 - 1 < ε , αρκεί να

Συνεπώς , για να ισχύει: 1 +

, 7 < ε , αρκει:, ν > 7 . 'Ετσι, αν θεωρησουμε ισχυει , :ν ε

έναν αριθμό ν 0 ε Ν" με ν 0 > -7 , τότε, όπως ε μπορούμε να αποδείξουομε εύκολα, ισχύει:

(1+�)3 -l < ε , για κάθε αριθμό ν ε Ν" με ν 2 ν0

(και τούτο, για κάθε αριθμό ε>Ο). • Για να σχηματίσουμε την άρνηση της προτάσεις που αποδείξαμε , θα πρέπει πρώτα να γράψουμε την πρόταση αυτή στην αυστηρή μαθηματική μορφή της, η οποία είναι:

( �)3

'v'ε > 0, 3ν 0 ε Ν' , 'v'ν ε Ν' , ν 2 ν 0 => ι +

- 1 < ε.

Τώρα, γνωρίζοντας τους νόμους και τους κανόνες της Μαθηματικής Λογικής, βρίσκουμε εύκολα ότι η άρνηση της είναι:

3ε > Ο, 'v'v0

Ν' ,3ν

Ν' , ν �

ν0

και 1( 1 + �)3 - 11 � ε.

Πρόκειται για μία άσκηση Άλγεβρας της Α ' τάξης του Λυκείου. Στην Ανάλυση όμως είναι η απόδειξη, με τον ορισμό του ο ρίου ακολουθίας, ότι η Σχόλιο.

( �)3

ακολουθία: αν = 1 +

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Β ' 103 τ.3/76

,ν = l, 2,3 ... έχει όριο το 1 .

Ε υ κλεf δ η ς

«Η

καρδιά των μαθηματικών είναι τα προ βλήματα και οι λύσεις και ο κύριος λόγος ύπαρξης του μαθηματικού είναι να λύνει προβλήματα». Ρ. R. HALMOS

π ρ οτείνει

Επ ΑΣΚΗΣΗ 263 (

ιμέλεια: Γ. Κ. ΤΡΙΑΝΤΟΣ -

ΤΕΥΧΟΥΣ

97 )

Να βρεθούν όλες οι τιμές των πραγματικών αριθμών x,y,z που ικανοποιούν την εξίσωση: �Χ 2 - 14χ + 65 + �y 2 + 1 0y + 37 = 6z + 12 + ez +6z - z 3 - 5 (Γιώργος Νικητάκης - Σητεία Κρήτης ) ΛΥΣΗ ( Γιάννης Τσόπελας - Αμαλιάδα ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R � R με τύπο 6z 12 , δυο , φορες , f( z ) = + - z 3 + 6z - 5 που ειναι ez παραγωγίσιμη στο R με παραγώγους z l - ez f'(z) = -6 + l _ 3z 2 + 6 , fw(z) = 6z . Είναι ez ez f"(z) = O <::> z = O , fw (z) < O <::> z ε R - {O} . Δηλαδή είναι f"(z ) � Ο = f(O ) , για κάθε z ε R οπότε η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο R. Έτσι, z < Ο � f'(z) > f'(O) = Ο � f /' (-οο, Ο] και z > Ο � f'(z) < f'(O) = Ο � f \.ι [ Ο, +οο ) . Τελικά, η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο f (Ο) = 7 . Όμως, �χ 2 - 14χ + 65 + �y2 + 1 0y + 37 = �(χ - 7)2 + 1 6 + �(y + 5) 2 + 12 "?. 4 + 2J3 > 7 Συνεπώς, για κάθε x, y, z ε R ισχύει ότι: �χ 2 - 14χ + 65 + �y 2 + 1 0y + 37 > 7 "?. 6z + l2 + ez 3 +6z - z - 5 Και η εξίσωση είναι αδύνατη στο R.

Αν είχε δοθεί σταθερ ό ς ό ρο ς στο Παρατήρηση: δεύτερο ριζικό ο αριθμό ς 34 αντί του 37, τότε τα δύ ο μέλη της εξίσωση ς θα ήταν ίσα με 7 για χ = 7 , y = -5, z = Ο , και η τριάδα αυτή θα αποτελού σε την μοναδ ική λύ ση . Λύση έστειλαν: Χ ρ ή στ ο ς Κυ ριαζή ς - Πειραιάς, Γιώργος Δελη στάθη ς - Κάτω Πατήσια, Διονύση ς Γιάνναρος Πύργος, Γιά\'\Τ) ς Ηλιόπουλος -

Καλαμάτα, Μεσολόγγι,

Γιcοργος

λποστολόπουλος

Αντώ\Τ] ς Ι ω αννίδη ς Ροδόλφος Μπόρης - Δάφνη .

ΑΣΚΗΣΗ 264 (ΤΕΥΧΟΥΣ

97 )

Χολαργός.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒ Γ με Β = 2 Γ . Στην προέκταση της Β Γ προς το μέρος του Γ θεωρούμε σημείο Κ τέτοιο, ώστε ΓΚ = .!.. ΒΓ . Να δειχθεί ότι: 3 Λ

Ν. Θ. ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ

ΑΚ = ΑΒ + 2 · ΓΚ .

- Θ. Α. ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ

(Γιώργος Αποστολόπουλος - Μεσολόγγι ) ΛΥΣΗ 1" ( Διονύσης Γιάνν αρος - Πύργος ) Α

α=3λ

Αν Γ = ω , ΓΚ = λ , τότε Β = 2ω , ΒΓ = α = 3 λ . Από τον νό μο των η μιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: β γ β γ β γ =- = - η, -- = - η' ημΒ ημΓ ημ2ω ημω 2ημωσυνω ημω

: 1στο ίδιο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε:

ή σuνω = γ

( l) . Από τον νό μο των

συνημιτόνων

β 2 = γ 2 + α2 - 2γασυν2ω =

(\)

= γ2 + α 2 - 2γα(2συν 2 ω - 1) = 2β 2 αβ 2 = γ2 + α2 - 2γα(-2 - l ) = (γ + α) 2 - � 4γ γ αβ 2 β 2 + - = ( γ + α) 2 γ (2) Άρα, β 2 = γ(α + γ) Τέλος, από τον νό μο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΚ παίρνουμε: ΑΚ2 = ΑΒ 2 + ΒΚ 2 - 2ΑΒ · ΒΚ · συν2ω = = γ2 + 1 6λ2 - 2γ · 4λ(2συν 2 ω - 1) = (2) β2 = γ 2 + 1 6λ2 - 8γλ(2 1) = γ 2 + 1 6λ2 4γ 2 γ(α γ) α-8γλ( +2 - 1) = γ2 + 1 6λ2 - 8γλ γ = 2γ 2γ = γ2 + 1 6λ2 - 4αλ + 4γλ = γ 2 + 1 6λ2 - 12λ2 + 4γλ = (γ + 2λ) 2 � ΑΚ 2 = (γ + 2 λ) 2 Άρα, ΑΚ = γ + 2λ = ΑΒ + 2 ΓΚ . ΛΥΣΗ 28 (Γιάννης Σταματογιάννης - Δροσιά ) Θεωρούμε την διχοτόμο ΒΜ της γωνίας Β και φέρουμε το ύψος ΑΖ και την ΜΝ .l ΒΓ . Από το

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΒΊΟ3 τ.3177

-------

Ο Ευκλείδης προτείνει . . .

δεύτερο θεώρημα της δ ιαμέσου στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: ΑΓ 2 - ΑΒ 2 = 2ΒΓ . ΖΝ δηλαδή β z - γ 2 = 2α . ΖΝ ( l ). Α

-------

ώστε η πλευρά ΒΓ να βρίσκεται στον άξονα ΟΧ με Β(-1 ,0) και Γ(2,Ο) οπότε η αρχή των αξόνων θα βpίσκεται στο πρώ:ο τρίτο τη ς ΒΓ από το Β. Τό:ε, ειναι κ(3 , 0) . Αν ειναι Βp η διχοτομος της γωνιας . Β , τότε η ΒΡ δεν μπορεί να είναι κατακόρυφη π (γιατί τότε θα ήταν θ = οπότε Β = π , άτοπο) , 2

ενώ χΡ = .!.. (αφού το Ρ προβάλλεται στο μέσον 2 του ΒΓ , λόγω του ισοσκελούς ΒΡΓ). Ο συντελεστής διεύθυνσης τη ς ΒΡ είναι λ = εφθ και επειδή διέρχεται από το Β( - 1,0) έχει εξίσωση: Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου ΒΡ : y = λ(χ + 1) . Ο συντελεστής διεύθυνσης της έχουμε τα μήκη των τμημάτων ΡΓ είναι λ pr = εφ( π - θ ) = -εφθ = -λ , οπότε (2). Από το θεώρημα επειδή η ΡΓ διέρχεται από το Γ(2,Ο) έχει εξίσωση ΑΜ = _k_, ΜΓ = � α+γ α+γ ΡΓ : y = -λ(χ - 2) ίδια με την εξίσωση της ΑΓ. του Θαλή στο τρίγωνο ΑΖΓ είναι π Επειδή Β + Γ < π � 3 θ < π e> θ < και η εφθ 3 _k_ . � ΖΝ 2 ΝΓ γ ΖΝ ΜΑ · ΝΓ + α = = = είναι γνησίως αύξουσα στο (Ο, �) είναι και αβ => ΜΑ ΜΓ => ΜΓ 2 α+γ π π εφθ < εφ � λ < J3 . 'Εστω θ * · 4 3 (3 ) Ο συντελεστής διευθύνσεως της ΑΒ είναι: 2λ 2εφθ Η (1) λόγω της ( 3) δίνει: β 2 - γ 2 = αγ (4) = λΑ8 = εφ2θ = = και επειδή 1 - εφ 2 θ 1 - λ2 Από το θεώρημα του Stewart στο τρίγωνο ΑΒΚ διέρχεται από το Β (-1 ,0) έχει εξίσωση: έχουμε: 2 2 2 2 ΓΚ · ΑΒ + ΒΓ · ΑΚ = ΒΚ · ΑΓ + ΒΚ · ΒΓ · ΓΚ AB : y = \ (x + l) . Λύνουμε το σύστημα των 1-λ α 2 α · 2 = 4α 2 4α · α => α -β + ΑΚ + -γ · => 3 3 3 3 ΑΒ ·· y = _E:_2 (x + l) 2 ( z ) και βρίσκου με 4 εξισώσεων 1-λ 4α2 γ 4β 2 4α2 γ 4 = ΑΚ 2 = - + - - - = -(αγ + γ 2 ) + - - ΑΓ : y = -λ(χ - 2) 3 9 3 3 3 9 τις συντεταγμένες του σημείου Α που είναι: 4αγ 4γ2 4α 2 γ 2 =-+-+--- = 2λ2 -6λ 3 3 9 3 Α( 2 ' 2 ) . λ -3 λ -3 α 2α 2α = γ 2 + 1 · γ + ( ) 2 = (γ + 2 3) 2 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις αποστάσεις ΑΚ, 3 3 ΑΒ +2 ΓΚ. α Έχουμε: Επομένως, ΑΚ = γ + 2 = ΑΒ + 2 · ΓΚ . 3 ΑΚ = �( Χ κ - χ Α ) 2 + ( Υκ - yA )2 = ΛΥΣΗ 38 (Δη μ11 τρης Μανωλόπουλος - Κατερίνη) -6λ 2λ2 Υ = (3 - 2 ) 2 + (Ο - 2 )2 = λ -3 λ -3 (λ2 + 9) 2 λ2 + 9 λ2 + 9 = (λ2 - 3) 2 Ι λ2 - 3 = 3 - λ.2 ΑΒ + 2ΓΚ = �( χΒ - χ Α )2 + ( yB - yA )2 + 2 · 1 = Β

α/2

l 1

{

Κ(3.Ο)

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων ΟΧΥ τέτοιο,

6λ 2λ2 (-1 - -2-) 2 + (0 - -2-)2 + 2 = .. .. = λ -3 λ -3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β '103 τ.3178

------

Ο Ευκλείδης προτείνει . . .

2 2 +9 2 2 = 3 (λ + 1) + 2 = 3 λ + 21 + 2 = λ _ 2 3 λ 3-λ (λ2 - 3) 2 Τελικά, ΑΚ = ΑΒ + 2 · ΚΓ . 'Εστω θ = π . Τότε, 2θ = π , δηλαδή η ΑΒ είναι 4 2 κατακόρυφη, οπότε χΑ = χ8 = - 1 , λ = εφ � = 1 και 4 άρα ΑΓ : y = -x + 2 . Έτσι, Α ε ΑΓ => ΥΑ = -(-1) + 2 = 3 => Α(-1,3) .τότε ΑΚ = �(3 + 1) 2 + (0 - 3 ) 2 = 5 , ενώ ΑΚ. + 2ΚΓ = yΑ + 2 · 1 = 3 + 2 = 5 . Δηλ. το ζητούμενο. Λύση έστειλαν: Γιάννης Τσόπελας - Αμαλιάδα, Ροδόλφος Μπόρης - Δάφνη, Γιώργος Τσιώλης Τρίπολη, Στέλιος Πετρολέκας - Δραπετσώνα, Δήμος Παπαδόπουλος - Έδεσσα, Αντώνης Ιωαννίδης - Χολαργός.

(ΤΕΥΧΟΥΣ 98 )

Έστω Δ τυχαίο σημείο της διαμέσου ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ. Αν η ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ε, η ΓΔ τέμνει την ΑΒ στο Ζ και είναι ΑΖ=μ , ΖΒ=ν, τότε να βρεθεί συναρτήσει των μ , ν ο λόγος των εμβαδών: ( ΒΓΖ) (Λ ' -Γαλατσι ' ) ευτερης Τ συ.ιακος ( ΓΖΕ) ΛΥΣΗ ( Δή μος Παπαδόπουλος - Έδεσσα ) ΑΣΚΗΣΗ 265

ΑΖ .

-------

Ε ΜΒ . ΕΓ ΕΓ = � = 1 M�r � . Γ = 1 <=> ΕΑ ν ΕΑ μ ΖΒ ΜΓ ΕΑ νν - <=> ΕΓ = ΕΓ = <=> μ + ν ΕΓ + ΕΑ ν + μ ΑΓ ΑΓ μ + ν <=> - = (4) ν ΕΓ ΓΑ = � · μ + ν = μ + ν (Β Γ) (3 ) � Ζ = � · (ΖΓΕ) μ ΓΕ μ ν μ (ΒΖΓ) = μ + ν = l � => + μ μ (ΖΓΕ) --

Λύση έστειλαν: Θ ωμάς Τσάκας - Πάτρα, Γιώργος Τσιώλης - Τρίπολη, Γιώργος Αποστολόπουλος Μεσολόγγι, Γιάννης Σταματογιάννης - Δροσιά, Αντώνης Ιωαννίδης - Χολαργός, Δη μήτρης Μ ανωλόπουλος - Κατερίνη, Δημήτρης Καραβότας - Αχαία, Διονύσης Γιάνναρος - Πύργος, Ροδόλφος Π ροβλη μάτων Μπόρης - Δάφνη, Ομάδα Ιδιωτικού Λυκείου Παναγία Προυσιώτισσα -

Αγρίνιο.

ΑΣΚΗΣΗ 266

(ΤΕΥΧΟΥΣ 98 ) Τ

.,_-+-...-_� ....

� = �,: : , /

ι /

\ 1 \ '

Επειδή ΒΖΓ+ ΑΖΓ = π , έχουμε: Λ

(ΒΖΓ) ΖΒ =-, (ΑΖΓ) ΖΑ

(ΒΖΓ) = � ( 1 ). Επειδή τα τρίγωνα ΖΓΑ, (ΓΖΑ) μ ΖΓΕ έχουν κοινή την γωνία Γ, έχουμε (ΖΓΑ) = ΓΑ (2). Από τις ( 1),(2) με πολ/σιασμό (ΖΓΕ) ΓΕ (ΒΖΓ) . (ΖΓΑ) � · ΓΑ => (ΒΖΓ) � · ΓΑ 3 = = ( ) (ΓΖΑ) (ΖΓΕ) μ ΓΕ (ΖΓΕ) μ ΓΕ Από το θεώρημα του Ceva στο τριγ.ΑΒΓ έχουμε: δηλ.

..., ....R ....

e•,-___,�s�

' \

/ G _ -τ _ ""1 _ z .___...,... / Ι ' \ χ .... ' , , / / // Ε \

ι-;;..-+---/� Η .,.. ,,,,.. -

Στο σχήμα ο σταυρός αποτελείται από πέντε ίσα τετράγωνα και αφήνει ελευθερα τέσσερα ίσα τετράγωνα από το εγγεγραμμένο στον κύκλο (O, R) τετράγωνο ΑΒΓΔ. Να δειχθεί ότι ισχύει η Τ\Ε = Φ = 1 + ..J5 σχέση .. ΝΡ = ΝΑ Τ\Τ 2 ( Γιώργος Τριάντος - Αθήνα) ΛΥΣΗ ( Γιώργος Τσιώλης Τρίπολη ) Αν χ είναι η πλευρά καθενός από τα ελεύθερα τετράγωνα και y η πλευρά καθενός από τα 5 τετράγωνα του σταυρού, τότε ΝΑ = ΝΕ = χ , ΝΡ = y και ΝΤ = y - χ . Από τις τεμνόμενες στο Ν χορδές TV , ΑΒ έχουμε: ΝΤ · NV = ΝΑ · ΝΒ ή (y - x)(x + 2y) = x(x + y) ή χ 2 = y(y - x) ή ΝΕ 2 = ΝΡ · ΝΤ (l) <::> NE · NA = NP · NT και

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΒΊΟ3 τ.3/79

------ Ο Ευκλείδης προτείνει . . . -----,

ΝΡ

ΝΕ , Όμως, ΝΤ + ΝΕ = ΝΡ (2). ΝΑ ΝΤ · Από τις ( 1 ),(2) έπεται ότι ΝΕ 2 (ΝΤ + ΝΕ) · ΝΤ ή ΝΕ ΝΕ 2 = ΝΕ . ΝΤ + ΝΤ 2 ή ( ) 2 ΝΕ - l = Ο . Η ΝΤ ΝΤ τελευταία είναι δευτεροβάθμια με άγνωστο τον ζητούμενο λόγο και μοναδική θετική ρίζα τον ΝΡ ΝΕ 1 + (;'5 = Φ · Λυ' ση = αριθ μο' -ν;, - = Φ · Άρα, ΝΑ ΝΤ 2

τελικα:

έστειλαν : Θ ωμάς Τσάκας - Πάτρα, Δημήτρης Καραβότας - Λουσικά Αχαίας, Ροδόλφος Μπόρης - Δάφνη, Γιάννης Σταματογιάννης - Δροσιά Αττικής, Διονύσης Γιάνναρος - Πύργος, Δημήτρης Μανωλόπουλος - Κατερίνη.

ΑΣΚΗΣΗ 267 ( ΤΕΥΧΟΥΣ 98 ) Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y ,z ισχύει χ + y + z = k , τότε να δειχθεί ότι: k χ5 Ζ5 Υ5 >- ---- + + 2 2 2 2 2 yz ( x + y ) zx(y + z ) xy(z2 + χ ) 2 ( Γιώργος Αποστολόπουλος - Μεσολόγγι ) ΛΥΣΗ ( Δημήτρης Καραβότας - Λουσικά Αχαίας) . Η αποδεικτέα είναι ισοδύναμη με : χ6 k ' Υ6 Ζ6 >- ----- + + η 2 2 2 2 xyz ( x 2 + y2 ) xyz ( y + z ) xyz(z + χ ) 2 χ6 k Υ6 + Ζ6 > --- + xyz 2 2 2 2 2 2 x +y y +z z +x 2 (z 2 ) 3 k ( y2 ) 3 (χ 2 )3 η, 2 2 + 2 2 + 2 2 >- -2 xyz ( 1 ) χ +Υ Υ +Ζ Ζ +χ όμως, για το πρώτο μέλος της ( 1 ) ισχύει (z 2 ) 3 > ( χ 2 + Υ2 + z 2 )3 . ( y2 )3 (χ 2 )3 --+ + ( ) x 2 + y2 y2 + z 2 z 2 + x2 - 6( x2 + y2 + z 2 ) ( χ 2 + Υ2 + z 2 ) 2 , οπότε αρκεί να δειχθεί ότι = 6 k (χ 2 + Υ 2 + Ζ 2 ) 2 � xyz � (χ 2 + Υ2 + z 2 ) 2 � 3kxyz 2 6 � 2 2 2 9(χ + Υ + z ) 2 � 27kxyz � 3 [ (χ 2 + Υ2 + z 2 )] 2 � 27kxyz (2) Λόγω της γνωστής ανισότητας: 2 2 2 2 3( χ + y + z ) � (x + y + z) , αρκεί να δειχθεί η (x + y + z) 4 � 27kxyz ή η (x + y + z) 3 � 27χyz που ,όμως, ισχύει από την ανισότητα Cauchy. ( ) *

_;___ ....;.,_ ,,_ .;..._ .._

με

κατάλληλη

χρήση

της

257.

Να λυθεί στο σύνολο R το σύστημα: χ 3 + 12y 2 + 4 8y + 64 = 0 (Σ) y3 + 12z 2 + 48z + 64 = Ο z 3 + 12χ 2 + 48χ + 64 = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 294.

{

(Ομάδα Προβλημάτων Ιδιωτικού Λυκείου Παναγία Προυσιώτισσα - Αγρίνιο )

295. Στις πλευρές ΑΔ και ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα σημεία Ε και Ζ αντιστοίχως,

ώστε

ΑΕ ΑΖ

= 2 ( 1 ). Τα τμήματα ΓΕ και ΓΖ ΕΔ ΖΒ τέμνουν τη διαγώνιο ΒΔ τοu παραλληλογράμμου στα σημεία Ρ και Q αντιστοίχως. Να δειχθεί ότι οι κύκλοι (Ρ, ΡΔ) και (Q, QB) τέμνονται ορθογωνίως. (Γιώργος Αποστολόπουλος - Μεσολόγγι ) 296. Δίνεται η συνάρτηση f : R --; R με f(x) = ax 2 + bx + c με a,b, c ε R . Αν ισχύουν οι σχέσεις: ab > Ο ( 1) και Ρ = 8a + 27b + 2 1 6c = Ο , τότε να δειχθεί ότι: 1) Υπάρχει χ 1 ε (0, 1) τέτοιο, ώστε f( x1 ) = 0 . 2) f(l) · f(202 1) > 0 . (Γιώργος Μήτσιος - Ράμια Άρτας ) 297. Στον πίνακα σχεδιάζοuμε κυρτό τετράπλευρο ABCD. Σημειώνουμε τα κέντρα E,F,G,H των τεσσάρων κύκλων καθένας από τους οποίους εφάπτεται σε μία πλευρά του τετραπλεύρου και στις προεκτάσεις των δύο διαδοχικών με αυτή πλευρών του. Μετά από αυτό σβήνουμε το τετράπλευρο ABCD. Μπορεί να καθορισθεί η περίμετρός του ; (Διονύ σης Γιάνναρος - Πύργος ) ·

Έγινε

αριθμό

Λύση έστειλαν: Θ ωμάς Τσάκας - Πάτρα, Πειραιάς, Διονύ σης Χ ρήστος Κυριαζής Γιάνναρος Πύργος, Ροδόλφος Μπόρης Δάφνη, Δημήτρης Μανωλόπουλος - Κατερίνη, Δήμος Παπαδόπουλος - Έδεσσα, Αντώνης Ιωαννίδης Χολαργός ,Γιάννης Τσόπελας - Αμαλιάδα, Ομάδα Προβλη μάτων Ιδιωτικού Λυκείου Παναγία Προυσιώτισσα, Αγρίνιο.

ανισότη τας

χ 3 Υ3 z 3 ( χ + Υ + z)3 , που ισχύει για τους -+-+-� a b c 3(a + b + c) θετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z,a,b,c και έχει προταθεί παρό μοια για λύση στο τεύχος ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΒΊΟ3 τ.3/80

Μαθηματι κά και λογοτεχνία

Ηλίας Κwνστaντόπουλος

Η Λ ΥΤΡΩΣΗ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑ ΤΙΚΟΥ

G Ό D EL

Αν στα εξήντα σου νοιώσεις

Αγώνας για να επιβεβαιωθεί η απόδειξη

πως κάτι δεν πήγε καλά στη zωή σου πως τόσα χρόνια έδειχνες στους μαθnτές σου Λάθος δρόμους

ή για να απορριφθεί

τότε μπορεfς να ανακα?ι ύψεις πά?ιι το σχnμα

η πρόταση

(κάντε ένα σχnμα . . ) .

και να Βροvτοφωνάξεις πως «έσφα?ια».

Τιτάνια μάχη του μυαλού με το άγνωστο με στόχο την ικανοποίηση

Αν κοντεύοντας να πάρεις σύνταξη νοιώθεις κάτι να σε π?ιακώνει

την καταξίωση

Κι έρχεται άξαφνα το θεώρημα

θα 'ναι οι τύψεις σου Γιατί κατάφερες τόσα πολλά παιδιά να μισnσουν τα μαθnματικά

«της μη πληρότητας»

να κλονίσει συθέμελα την πίστη : Δεν μπορείς να τα αποδείξεις όλα !

κι ά?ι?ια τόσα να τα πεfσεις πως δε μπορούν να κατα?ιάΒουν . . . Αν κοιτάξεις προς τα πίσω τη zωή σου

Μαzεύτηκαν ψελλίzοντας:

και τn Β?ιέπεις Βουρκωμένn

Θα μπορούσαμε τουλάχιστον να ξέρουμε

εfναι τα δάκρυα των μαθnτών σου

τι μπορούμε και τι όχι;

Γιατί τους έπεισες ότι «χωρfς κόπο δεν καταχτιέται τfποτα»

Έρχεται το τελειωτικό χτύπημα: Όχι δεν μπορείτε να ξέρετε

(α?ι?ιά για τα μαθnματικά χρειάzεται πο?ι ύς κόπος !) Τότε μπορείς να διδάξεις ξανά

αν μπορείτε ή δεν μπορείτε!

την απόλυτη τιμή

Αγωνιστείτε!

αλλά γεωμετρικά - σαν απόσταση Αν το «να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος σnμεfου κυ?ιιομένου σε επιφάνεια n οποfα κυ?ιfεται σε ά?ι?ιn επιφάνεια» σου φαfνεται σαν ένα κακό όνειρο, σκέψου πως πο?ι?ιοf ά?ι?ιοι θα φύγουν χωρfς να αναρωτnθούν

Η δικn σου n ?ι ύτρωσn, ας εfναι n κραυγn : αν έσφα?ιαν.

έσφα?ια !!!

Σημείωση : Τις εικονογραφήσεις έκαναν μαθήτριές μου, όπως αυτές «εισέπραξαν» τα ποιήματα.

Στην τέχνη δεν υπάρχει απόλυτη αλήθεια. Αλήθεια στην τέχνη είναι αυτό που και το αντίθετό του είναι αλήθεια

Oscar Wίlde