Ευκλειδης α 104 by demi de

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ

για ΤΟ γυμνάσιο Ευκλείδης ../ Ιστορία των Μαθηματικών

α'

Η δύναμη των άρρητων αριθμών

Επιμέλεια: Ευάγγελος Σπανδάγος

Τεύχος 104 Απρίλιος - Μα'ίΌς - Ιούνιος 2017 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω

...................................

../ Μαθηματικά στον Κόσμο

Τα μαθηματικά σε καταστάσεις προβλήματα της καθημερινής ζωής

Σπύρος Φερεντίνος .......................................................

e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

../ Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

• Α' Ενδεικτικό Διαγώνισμα Α • Τάξης Γιάννης Λιάπης ............................................................ Προτεινόμενα Θέματα Α • Τάξη Συντακτική επιτροπή ....................................................

Τάξη

• Β' Ενδεικτικό Διαγώνισμα Β · Τάξη

Τάξη

Γιάννης Λιάπης ... ... ........... ........ . . .. . ...... ...... ............... .. . Προτεινόμενα Θέματα Γ · Τάξη

Συντακτική επιτροπή .................................................. Προχωρημένα θέματα για όλους. Γ • Τάξη Επιμέλεια: Στέφανος Κείσογλου

........ ... ...... .... ... .......... ....

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

s 9

Συντακτική επιτροπή ................................................. Προχωρημένα θέματα για όλους. Β 'Τάξη

Επιμέλεια: Στέφανος Κείσογλου ............... .... ............ .......

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

• Γ' Ενδεικτικό Διαγώνισμα Γ · Τάξη

../

Γιάννης Λιάπης .... ... ... ................. ................................. θέματα Β • Γυμνασlου και προτεινόμενες λύσεις

Δημήτρης Διαμαντίδης ............................................ Προτεινόμενα θέματα Β' Τάξη

../

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ...................................

../

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα

Χιούμορ + Μαθηματικά "Το Όνειρο του Ευκλείδη"

22 26

Ντίνος Κορδώσης ............................................... . ......... Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν ισούται πάντοτε 180°

Μαρία Κ. Ρουσούλη, Γιώργος Ε. Καραφέρης Μετρώντας το ύψος του σχολείου μας

Στάμη τσικοπούλου . .......................................... .......... 45 Αδύνατα Σχήματα και η κατασκευή τους με GEOGEBRA ....................

Μόσχου Αλέξανδρου . ............................................. . ..... 44 Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Επιμέλεια: Συντακτικιi Επιτροπ'l· ....... .............................. 48 • 4 ••••••• •••••••••••••••••••••••••••••• .

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34, 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 21Ο 3617784 21Ο 3616532 Fax: 210 3641025

•

Εκδότης:

Νικόλαος Αλεξανδρής

Διευθυντής:

Ιωάννης Τυρλής

Επιμέλεια Έκδοσης:

Κείσοyλου Στέφανος Κυριακοnούλου Αθαvααiα

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105

•

7998

Συντακτική Επιτροπή

Πρόεδρος Κεiσογλου Στέφανος Αντιπρόεδρος Λυμιιερόιτοuλος Γεώργιος Γραμματεία Κυριακοποlίλου Αθανcια!cι Μέλη Αλcιφάιcη Σταυρούλα Αρδcιβάνη Πόπη Βιτζιλcι!ου Mcιp!cι Δοργιάιιη Ιωάννα Θεοδωρόπουλος Θρασύβουλος Κωνστcινnvlδης Αριστείδης Λcιyός Γεcίιρyιος Μcιιφυvιcίιτης Ηλlcις Μεvδωvlδης Γεώργιος Μπcιιcάλης Αναστάσιος Πcιλcιιοyιcιvνίδης Δημήτριος

Υποστηρικτής Δραστηριοτήτων της Ε.Μ.Ε.

Παπαδάκη 1'ννα Παπαδάκη Θεοδcίιρα Σlσκου Μαρία π,ίφας Νικόλαος Τσuιοπούλου Στάμη Φερεvtlvος Σπύρος Χριστόπουλος Πcινcιyιcίιτης Συνεργάτες Πcιτρcίιvης Αναστάσιος (Πάτρα) Θωμσίδης Ιωάννης (Θεσσcιλονlιιη) Ράλλη ς Ιωάννης (Χ!ος) Ροuσούλη Μαρία (Καστοριά) Περιαuνάκη Εφήνη (Κρήτη) Τσαncικίδης Γεώργιος (Αγρίνιο) Ρlζος Γεcίιρyιος (Κέρκυρα) Παncιδάtιη Μcιλβίνcι (Αθήνα)

ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΕΤΡΕΛΑΙΑ

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί αναyνώατες αναyνώστριες του Ευκλείδη Α" Το τεύχος 104 είναι το τελευταίο τεύχος της φετινής σχολικής χρονιάς και για αυτό ένα μεγάλο μέρος της ύλης του αφορά σε θέματα εξετάσεων. Έχει γίνει ιδιαίτερη προσπάθεια τα θέματα αυτά να είναι πρωτότυπα, κλψακούμενα και κυρίως συμβατά με την ύλη που διδάσκεται στο Γυμνάσιο. Η πρόθεσή μας είναι να δείξουμε στους αναyνώστες μας ότι εκτός από θέματα που απαιτοόν πράξεις ή απλή εφαρμογή κανόνων υπάρχουν και θέματα που απαιτούν λίγο πιο ανεπτυγμένη Μαθηματική σκέψη. Όπως θα διαπιστώσετε υπάρχουν θέματα διαφόρων επιπέδων δυσκολίας. Το σημανtικό είναι ότι στα περισσότερα από αυτά υπάρχει μία κλιμάκωση 2 4 ερωτήσεων που έχει αφετηρία μία σχετικά απλή ερώτηση και στη συνέχεια οι ερωτήσεις είναι περισσότερο απαιτητικές. Τα τρία ενδεικτuιά διαγωνίσματα έχουν τη μορφή των διαγωνισμάτων που συχνά δίνονται στα Γυμνάσια και για αυτό τα δημοσιεύουμε. Στους μαθητές αναyνώστες μας ευχόμαστε καλή επιτυχία στις εξετάσεις, στους συναδέλφους καλή δύναμη και σε όλους καλή συνέχεια και καλές διακοπές. Εκ μέρους της Συντακτικής Επιτροπής του περιοδικού Ο πρόεδρος: Στέφανος Κείσοyλου ____ _ τ. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών.__·-_°'"" _ __

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

........................................................••••..•..••.......••.•••.....•.••........•.•••...•...••....

ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της ΕλλΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Στοιχειοθεσία - Σελιδοποίηση: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Εκτύπωση: ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ τηλ: 210 6623778- 358

& ΣΙΑ ΕΕ).

Υπεύθυνος τυποyραφείου: Δ. Πσπαδόπουλος

• •

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Α'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση

Τιμή τεύχους: ευριί> 3,00

Ετήσια συνδρομή (10,00+2,ΟΟ Ταχυδρομικά=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00

Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγε'λνονται στε'λνεται: 1. Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την τράπεζα EUROBANK

3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Η δύναμη των άρρητων αριθμών1 Από το βιβλίο του Ευαγγέλου Σπανδ άγου με τίτλο " Ματωμένα Θεωρήματα " 2 Δύο βασικά πρόσω πα της διήγησης είναι ο Πυ θαγόρας και ο 1ππασος. Ο Κύλ ων είναι επίσης ένα σημαντικό πρόσω πο με την αρνητική έννοια αφού επρ όκειτο για ένα εγωιστικό άτομο το οπο ίο πίστευε ότι αρκεί η καταγωγή του και η περιουσία του για να γίνει δεκτό στους Πυ θαγόρειους κύ κλους.

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ

ΙΠΠΑΣΟΣ

Η ΔΙ ΗΓΗΣΗ Ο Μεγάλος Δάσκαλος καθισμένος στο μεγαλοπρεπές του έδρανο κοίταξε κατάματα τους δύο όρθιους άνδρες που είχαν ζητήσει να γίνουν μαθητές της Πυθαγόρειας Σχολής . «Εσύ πώς λέγεσαι;» ρώτησε τον νεότερο . «Εγώ είμαι ο Κύλων, ο μοναχογιός του πλούσιου έμπορου Καλλι μ άχου από τον Κρότωνα», του απάντησε με κομπασμό τονίζοντας τη φράση " του πλούσιου έμπορου" . «Είμαι δε πολύ έξυπνος και πολύ διαβασμένος», συμπλήρωσε με καμάρι . «Κι εσύ;» ρώτησε τον άλλο . «Εγώ ονομάζομαι Ίππ ασος και είμαι από το Μεταπόντιο . Ασκώ το επάγγελμα του σανδαλο ποιού», αποκρίθηκε με σκυμμένο το κεφάλι . «Και γιατί θέλετε να φοιτήσετε στη Σχολή ;» «Εγώ», είπε ο Κύλων, «θέλω να διοικήσω τον Κρότωνα και μου χρειάζεται ο τίτλος του σο φού» . «Αγαπώ τα μαθηματικά και θέλω να τα μάθω και να τα ερευνώ», ψιθύρισε ντροπαλά ο δεύ τερος . Ο Πυθ αγόρ ας παρατήρησε με βλέμμα εξεταστικό και διαπεραστικό τις φυσιογνωμίες των δύο επισκεπτών . Έκλεισε για λίγο τα μάτια και έδωσε την εντολή : «0 Κύλων να φύγει . Εσύ θα μείνεις», είπε στρεφόμενος προς τον Ίππ ασο. Η έκπληξη του Κύλωνος ήταν μεγάλη ! «Εγώ να φύγω; Γιατί να φύγω; Θα φύγω εγώ, που έχω τόσα προσόντα και θα μείνει αυτός ο 1

Ενα.λλάκτικός τίτλος: "Οδός Ιππάσου". Ο τίτλος της συλλογής "Ματωμένα Θεωρήματα" επελέγη, διότι πολλοί αρχαίοι Έλληνες ιστορικοί μάς πληροφορούν για τη δολοφονία ή τον τραυματισμό πέντε μαθηματικών όπως ο Ίππασος, ο Ζήνων, η Τυμίχα, ο Αρχιμήδης και η Υπατία, οι οποίοι είναι και τα κύρια πρόσωπα σε ισάριθμα διηγήματα. Θεωρήθηκε λοιπόν σκόπιμο να "επεκταθεί" η ύπαρξη αίματος και στα υπό λοιπα, έστω και με τη μορφή αθώων τραυμάτων, ώστε να υπογραμμιστεί η δύσκολη και πολλές φορές "δραματική" πορεία ορι σμένων μαθηματικών θεωρημάτων ή γεωμετρικών κατασκευών, που αναφέρονται στα διηγήματα, μέσα από τα στενά και δύ σβατα μονοπάτια της Ιστορίας των επιστημών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/1

------

Η δύναμη των άρρητων αριθμών

παρακατιανός;» Ο Πυθαγόρας έμεινε ανέκφραστος και σιωπηλός. Δύο Πυθαγόρειοι απομάκρυναν τον Κύλωνα , που άρχιζε να εκτοξεύει απειλές. Βγαίνοντας από την πόρτα έριξε ένα φαρμακερό βλέμμα προς τον Ίππ α σο. «Εμείς κάποτε θα τα πούμε», ξεστόμισε. ***

Δακρυσμένος από συγκίνηση ο Ίππ ασος έδωσε την επόμενη ημέρα τον όρκο της Σχολής στο Υπέρτατο Συμβούλιο: 'Όύ μi:ι τον άματέρQ. ψυχ� παραδόντα τετρακτύν, παγi:ιν άενάου φύσεως, pίζωμά τ' έχουσαν " . 3 ***

Πέρασαν τέσσερα περίπου χρόνια. Ο Ίππ ασος διακρίθ� κε πολύ γρήγορα και, αφού έγινε αρ χηγός των ακουσματικών και αργότερα των μαθηματικών , αναγορεύτηκε στη συνέχεια δάσκα λος της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας. Η έρευνά του στα μαθηματικά προχωρούσε με αποτέλεσμα να παρουσιάζει ωραίες και πρωτότυπες εργασίες. Σεβόταν πάντα τον Μεγάλο Μύστη και όλους όσους είχαν σχέση με τη Σχολή, ανεξάρτητα βαθμίδας. Παντρεύτηκε την επόμενη χρονιά την όμορφη Νιόβη μια φιλόδοξη και φιλοχρήματη εξωτε ρική σπουδάστρια από τον Κρότωνα. Η Νιόβη είχε καταφέρει να ξεγελάσει ακόμα και τη διαί σθηση του Π υ θαγόρου και να γίνει δεκτή στη Σχολή . Ήταν τόσο μεγάλη η υποκρισία της ώστε, όταν κάποτ ε ο Ίππ α σος της έδειξε μια εργασία του, που αφορούσε την κατασκευή του κανονι κού δωδεκάεδρου εγγεγραμμένου σε σφαίρα, δάκρυσε δήθεν από θαυμασμό και χαρά, ενώ τη σκέψη της απασχολούσαν τα δώρα που της έταξε ο Κύλων, ο ισχ;υρός πλέον παράγοντας του Κρότωνα. ***

Ένα πρωινό βρήκε τον Ίππ α σο να χαράζει σε μια κηρωτή επιφάνεια5 γραμμές και σύμβολα, με νευρικότητα που δεν ταίριαζε στον ήρεμο χαρακτήρα του. Ο Εχεκράτης, ο επιμελητής του πρώτου τμήματος της τάξης των μαθηματικών της Πυθαγό ρειας Σχο λής, χτύπησε δειλά την πόρτα: «Δάσκαλε», ψιθύρισε, «σε περιμένουμε». Ο Ίππασος άνοιξε την πόρτα κοίταξε αφηρημένα τον νεαρό, λες και τον έβλεπε για πρώτη φορά. Μετά όμως από λίγα λεπτά, σαν να του ήρθε η έμπνευση, κραύγασε: «Έλα γρήγορα μέσα ! » Οδήγησε τον σαστισμένο μαθητή του στο τραπέζι που είχε απλωμένες πολλές κηρωτές και ' χαραγμένες πλάκες. «Κοίταξε εδώ», του είπε απότομα. Ο Εχεκράτης έσκυψε στην επιφάνεια που του έδειξε. «Τι βλέπεις;» τον ρώτησε. <<'Ένα ορθογώνιο τρίγωνο», ψιθύρισε ο μαθητής. «Δες το καλύτερα», φώναξε ο Ίππ ασος. «Ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο», απάντησε ο άλλος. «Ωραία! Βρες μου την υποτείνουσα με τ6 θεώρημά " Του " , όταν οι κάθετες πλευρές είναι ίσες με 1 ». Το " Του " 6 το τόνισε τόσο που ο Εχειφάτης κατάλαβε ότι αναφερόταν στο θεώρημα του 3 Όχι, δεν θα προδώσω, μα τον Πυθαγόρα, ο οποίος παρέδωσε στην ψυχή μας την τετρακτύ, πηγή αιώνιας φύσης, που έχει βαθύ ρίζωμα. 4 Η Πυθαγόρεια Σχολή του Κρότωνα είχε δύο τάξεις. Την τάξη των ακουσματικών και την τάξη των μαθηματικών. Οι ακουσμα τικοί ήταν εξωτερικοί σπουδαστές και οι μαθηματικοί εσωτερικοί. 5 Επιφάνεια μ' ένα λεπτό στρώμα από κερί στην οποία χάραζαν γράμματα ή σχήματα. 6 Οι Πυθαγόρειοι σπουδαστές και δάσκαλοι, δεν ανέφεραν στις μεταξύ τους συζητήσεις το όνομα του Πυθαγόρου. Έλεγαν "Αυ

τός".

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/2

------

Η δύναμη των άρρητων αριθμών

Μεγάλου Δασκάλου . Το θεώρημα που έφερε το όνομά του . Το Πυθαγόρειο θεώρημα . Ο σπουδαστής υπολόγισε εύκολα: «Είναι χ 2 = 2 », είπε με χαρά7 • Ο άλλος κραύγασε: «Ωραία . Βρες τώρα το 'Ί)>. Ο νεαρός σκέφτηκε αρκετή ώρα . Άλλωστε, αυτό είχε διδαχθεί στη Σχολή, να μη βιάζεται να απαντά . «Δεν είναι δυνατόν», απάντησε τρομαγμένος . «Δεν φαίνεται να υπάρχει αριθμός ακέραιος ούτε καν λόγος ακέραιων» . Ο Ίππασος γέλασε γεμάτος χαρά . «Καταλαβαίνεις τώρα γιατί με περιμένατε; Προσπαθώ ώρες τώρα να βρω το χ» . •••

Η σχετική ανακοίνωση έγινε μετά από δύο μέρ ες στο Υπέρτατο Συμβούλιο και στην τάξη των μαθηματικών της Πυθαγόρειας Σχολής . «Αδελφοί, συνέβη κάτι το αναπάντεχο που ταρακούνησε το οικοδόμημα των ακέραιων αριθ μών . Δεν βρίσκουμε αριθμούς που να εκφράζουν την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου όταν έχουμε δύο κάθετες πλευρές ίσες με 1 » . Μια παγωμάρα διαδέχθηκε την ανακοίνωση . . . Δάσκαλοι και σπουδαστές προσπάθησαν τις επόμενες ημέρ ες να αμφισβητήσουν την γενικό τητα του Πυθαγόρειου θεωρήματος . Άλλοι προσπάθησαν να επ_ινοήσουν το κατάλληλο κλάσμα που θα επαλήθευε την εξίσωση . Όλοι όμως γρήγορα κατάλαβαν ότι δεν μπορούσαν να βρουν την πολυπόθητη λύση . Οι διακεκριμένοι δάσκαλοι της Σχολής, η Θεανώ, ο Θυμαρίδας, ο Ίππασος και ο Φιλόλαος, ήταν απόλυτοι: «Το θεώρημα ισχύει για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο . Δ εν υπάρχουν εξαιρέσεις . Άρα, πρέπει να υπάρχουν κάποιοι περίεργοι αριθμοί που στε ρούνται λογικής» . •••

Όπως ήταν επόμενο, η εξίσωση χ 2 = 2 έγινε γρήγορα εφιάλτης στην Πυθαγόρ εια Κοινωνία, που είχε ως θρησκεία τα μαθηματικά . Ο Μεγάλος Δάσκαλος έδωσε εντολή να μείνει το μυστικό μέσα στη Σχολή . Θα το ήξε ραν μό νο οι δάσκαλοι και οι μαθηματικοί . Οι μαθητές της πρώτης τάξης, οι ακουσματικοί, δεν έπρ επε να το πληροφορηθούν, διότι, ως εξωτερικοί, κατοικούσαν στον Κρότωνα και είχαν φιλίες με Κροτωνιάτ ες . " Αυτός " έδωσε ακόμα εντολή να προσπαθήσουν δάσκαλοι και σπουδαστές, να βρουν σε σύ ντομο χρονικό διάστημα μια λύση της εξίσωσης στα πλαίσια της Πυθαγόρειας θ εωρίας των α ριθμών: «0 χ πρέπει να πάρει ακέρα�α ή κλασματική αριθμητική έκφραση ώστε το γινόμενο χ ·χ να είναι ίσο με 2» . Αυτά αποφάσισε ο Μεγάλος Μύστης . Οι μήνες όμως περνούσαν χωρίς αποτέλεσμα . Χωρίς να βρ εθεί η ποθητή απάντηση . Το μα7

Αν εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΒΓ2 Α

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/3

ΑΓ2

ΑΒ 2

χ2

Ι2

χ2

2 .

------

Η δύναμη των άρρητων αριθμών

θηματικοφιλοσοφικό σύστημα των Πυθαγόρ ειων οδηγήθηκε σε μεγάλη κρίση, εφόσον βασιζό ταν στην πεποίθηση ότι το καθ ετί στη φύση στηρίζεται στους ακέραιους αριθμούς και στις αριθ μητικές κλασματικές εκφράσεις . Ο Ίππ ασος πρότεινε να ονομασθούν, ο ζητούμενος αριθμός και οι όμοιοί του, άλογοι ή άρ ρητοι . Άλογοι για να υπογραμμισθ εί το γ εγονός ότι ήταν αταίριαστοι με τη μαθηματική λογική της Σχολής και άρρητοι για να τονισθ εί η απόφαση να μείνει μυστική η ανακάλυψή τους . Η πρόταση του Ιππάσο υ έγινε ομόφωνα δ εκτή από τον Μ εγάλο Δάσκαλο . Η Σχολή όμως υπολει τουργούσε πια . Η διδασκαλία της αριθμητικής σταμάτησ ε. Οι κοσμογονικές θ εωρίες ανατράπη καν . Μια μεγάλη αναμονή είχε επικρατήσει . Όλοι πε ρίμεναν . Πε ρίμεναν τη δύναμη που θα έδινε τη λύση στην εξίσωση και έτσι θα εξαφάνιζε την αποτελμάτωση του αριθμητικού πλέγματος . Οι μυστηριώδ εις άγνωστοι αριθμοί αποδ είχθηκαν παντοδύναμοι διότι έφεραν έριδ ες και αντι δράσεις στη Σχολή . ***

Το επόμενο χτύπημα δ εν άργησε να έρθ ει. Η σπουδάστρια της τάξης των ακουσματικών, η Ν ιόβη , ενημε ρώθηκε για το μεγάλο μυστικό στήνοντας με τρόπο αυτί έξω από τη μεγάλη αί θουσα των συσκέψεων των πρωτοκλασάτων Πυθαγόρ ειων . Άλλωστε , αυτός ήταν ο ρόλος της . Να κατασκοπεύ ει την Πυθαγόρ εια κοινωνία και να μεταφέρ ει τις διάφορ ες πληροφορίες στον εραστή της, τον πολιτικό Κύλωνα, τον αρχηγό των Δημοκρατικών του Κρότωνα . Από τότε που ο Πυθ αγόρ ας είχε αποκλείσει την είσοδο του Κύλωνος στην Πυθαγόρ εια Σχο λή, είχε αποκτήσει έναν ορκισμένο εχθρό . Έναν εχθρό που είχε βάλει ως σκοπό της ζωής του δύο στόχους: Τη δυσφήμιση και τη δολοφονία του Ιππάσο υ, και την καταστροφή της Σχολής . Η Νιόβη, μόλις πληροφορήθηκε το μεγάλο μυστικό, έσπ ευσε να ενημε ρώσει τον ωραίο και πλούσιο Κύλωνα. «Μεγάλη είναι η κρίση», είπε τελειώνοντας την ενημέρωση . «Ταρακουνιέται το αριθμητικό τους οικοδόμημα . " Αυτός " βρίσκεται σε απόγνωση» . Ο Κύλων χαμογέλασε σαρκαστικά . «Αυτή η πληροφορία σου είναι πολύτιμη για μένα», της είπε. «Θα βοηθήσει πολύ στα σχέδιά μου». Και τελειώνοντας τη φράση του, της πέρασε ένα χρυσό πε ριδέραιο στο λαιμό . Το επόμενο βράδυ τρ εις σκιές πλησίασαν σ ' ένα δρομάκι του Κρότωνα τον Πυθαγό ρ ειο Ίπ πασο , τον αγαπημένο μαθητή του Δασκάλου . Τον χτύπησαν στο κεφάλι μ' έν α αιχμηρό αντικεί μενο, τον έδεσαν χειροπόδαρα και τον φίμωσαν . Τον μετέφ ε ραν στην κοντινή ακτή και τον πέ ταξαν στη θάλασσα . Αφού β ε βαιώθηκαν για τον πνιγμό του, μετέφ ε ραν το πτώμα του κρυφά στην αγορά του Κρότωνος και το " προ ετοίμασαν " για κοινή θέα, αφού στε ρέωσαν μια πινακίδα που έγραφ ε : " Εμείς οι Πυθαγόρειοι πνίξαμε τον Ίππ ασο διότι πρόδωσε το μυστικό για τους άλογους α ριθμούς και διότι οικειοποιήθηκε την κατασκευή του κανονικού δωδεκάεδρου . " Το κείμενο της πινακίδας χαράχτηκε αργότε ρα με εντολή του Κύλωνος σε δ εκάδες πλάκες που στάλθηκαν σ ' όλες τις πόλεις της μεγάλης Ελλάδος . Οι ιστορικοί του μέλλοντος θα είχαν έτσι " πηγές " για τον Ίππ ασο , μια που οι Πυθαγόρ ειοι δ εν άφηναν γραπτά κείμεν α . Την άλλη μέρα μαθ εύτηκε το κακό μαντάτο . Θλίψη και πόνος συνταιριασμέν α αναστάτωσαν τους Πυθαγόρ ειους όλων των βαθμίδων: «Έπνιξαν τον δάσκαλο; Π οιος έδωσε την εντολή ; Πρόδωσε ο Ίππ α σος; Είναι δυνατόν;» Οι μεν άρχισαν να υποψιάζονται τους δ ε. Κανείς όμως δ εν υποψιάστηκε τον Κύλωνα. Η κοι νωνία της Σχολής γρήγορα χωρίσθηκε σε πολλά στρατόπεδα, που εξέφραζαν τις διάφορες από ψεις . Μάταια η Θ εανώ, ο Θυμα ρ ίδ ας και ο Φιλόλαος προσπαθούσαν να ηρ ε μίσουν τα πνεύ μα τα και να επαναφέρουν την τάξη . Το ε ρώτημα ποιος έπνιξε τον Ίππ ασο παρέμενε μετέωρο, όπως μετέωρο παρέμενε και το ε ρώτημα αν αυτός είχε προδώσει το μεγάλο μυστικό . ***

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/4

------

Η δύναμη των άρρητων αριθμών

Έτος 504 π.Χ. Λίγους μήνες μετά τη δολοφονία του Ιππάσο υ ο ευγενής Κύ λων, ο νέος Κυ βερνήτης του Κρότωνος διέλυσε με τη δύναμη των όπλων την Πυθαγόρεια Σχολή. Από τους Πυθαγόρειους, άλλοι σκοτώθηκαν κι άλλοι πήραν τον δύσκολο δρόμο της εξορίας. Η προκήρυξη του " δημοκρατικού " και απαίδευτου άρχοντα Κύ λωνα στην αγορά του Κρότω να στόχευε στο να δικαιολογήσει, με ανυπόστατες κατηγορίες, την καταστροφή της Πυθαγόρει ας Σχολής και τη δολοφονία εκατοντάδων Πυθαγόρειων . Η προκήρυξη τελείωνε και με κατηγο ρίες εναντίον του Ιππά σο υ . Η φιλόδοξη και φιλοχρήματη Ν tόβη έμεινε για λίγο κοντά στον Κύ λωνα, αλλά αυτός δεν άργησε να την διώξει, όταν λόγοι σκοπιμότητας του επέβαλαν να παντρευτεί μια Κροτωνιάτισ σα από τζάκι. Η Νιόβη κατέφυγε στο Μεταπόντιο και κατέληξε θεράπαινα σ' ένα πλουσιόσπιτο. ***

Εκατό περίπου χρόνια μετά, όταν κανείς από τους Πυθαγόρειους της πρώτης γενιάς δεν ζούσε, το φωτεινό μυαλό κάποιου Ευδ όξο υ από την Κνίδο, επινόησε τους μυστηριώδεις αριθμούς. Ήταν, όπως λέει η ιστορία, οι αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία, μη περιοδικά. Έτσι, η λύση της εξίσωσης ήταν η

χ=

.J2. = 1, 4 1 42 1 35 6 . . .

***

Ύστερα από αιώνες, ο Ιά μ β λιχος, έχοντας ως ιστορική πηγή το χαραγμένο κείμενο μιας πλάκας θα γράψει: 1 αm6/ι�uι

( fta/e!�_r5fΊ_ι _i --.

" Περi δί Ίππάσου μάλιστα, δς ήν μεν τών Πυθαγορείων, δια τό έξενεγκείν καi γράψασθαι πρώτος σφαίραν την έκ τών δώ δεκα πενταγώνων άπόλοιτο κατα θάλατταν ώς άσεβήσας, δό ξαν δε λάβοι ώς εύρών, εtναι δε πάντα έκείνου τού άνδρός προσαγορεύουσι γαρ οϋτω τόν Πυθαγόραν καi ού καλούσι ό νόματι . . . 'Ένιοι δε τόν 'Ίππασον, περi τής άλογίας καi τής άσυμμετρί ας έξειπόντα τούτο παθείν έλεξαν. " 8

Έτσι, η πλαστογραφία των πραγματικών γεγονότων αμαύρωσε τη φήμη και τη μνήμη του Ιπ πάσο υ, του άξιου και πιστού Πυθαγόρειου, που έπεσε θύμα της εμπάθειας ενός απαίδευτου άν δρα και της απιστίας μια αργυρώνητης γυναίκας. Δυόμισι χιλιάδες χρόνια τώρα ο Ίππασος, θεωρείται ο προδότης του μυστικού της ασυμμε τρίας και ο κλέφτης της μαθηματικής εργασίας της κατασκευής του κανονικού δωδεκάεδρου. Για τον λόγο αυτό, κανείς δρόμος της Ελλάδος δεν φέρει το όνομά του.

8 Και σχετικά με τον Ίππασο ο οποίος ήταν Πυθαγόρειος, λόγω του ότι ισχυρίστηκε ότι αυτός πρώτος κατασκεύασε κανονικό δωδεκάεδρο εγγεγραμμένο σε σφαίρα, χάθηκε στη θάλασσα, επειδή ασέβησε παίρνοντας τη δόξα ως επινοητής, ενώ όλα ανή κουν σ' αυτόν. Γιατί έτσι αποκαλούν τον Πυθαγόρα και δεν τον αποκαλούν με το όνομά του ... Μερικοί είπαν ότι το έπαθε αυτό ο Ίππασος (δηλαδή τον έπνιξαν) επειδή εκφράστηκε δημόσια για την ασυμμετρία. Παρατήρηση: Εκτός από τη Νιόβη, τον Καλλίμαχο και τον Εχεκράτη, τα άλλα πρόσωπα είναι πραγματικά. Πληροφορίες για τη ζωή του Ιππάσου δεν έχουμε. Ο Ιάμβλιχος αναφέρει απλώς για τον πνιγμό του Ιππάσου και υπονοεί ότι τον έπνιξαν οι Πυ θαγόρειοι. Η καταστροφή της Πυθαγόρειας Σχολής από τον Κύλωνα αναφέρεται από τον Ιάμβλιχο και τον Πορφύριο. Η υπό λοιπη διήγηση είναι φανταστική.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/5

μαθηματικά σε καταστάσεις προβλήματα της καθημερινής Σπύρος ζωής.ερεντίνος Τα

ο θέμα που ακολουθεί δόθηκε στους μαθητές στα πλαίσια του Προγράμματος για την α ξιολόγηση των μαθητών PISA (Programme for Intemational Student Assessment) 2000, το οποίο στοχεύει στην ανίχνευση του μαθηματικού αλφαβητισμού σε μαθητές ηλικίας 1 5 ετών. Θυμίζουμε ότι μα θηματικός αλφαβητισμός σημαίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιη θούν τα μαθηματικά σε πρακτικές εφαρμογές, δηλαδή στην επίλυση προβλημάτων που είναι δυ νατό να παρουσιασθούν στην καθημερινή - πραγματική ζωή . Ο βασικός στόχος του παρακάτω προβλήματος είναι, μέσω κατάλληλου μαθηματικού προβλή ματος να προσεγγισθεί η οικολογική συνείδηση και να δοθεί η δυνατότητα να αξιολογηθεί οικο λογική ευαισθησία διαφόρων, κυρίως μεγάλων, χωρών. Γενικότερος στόχος είναι να δοθεί η δυνατότητα να εκτιμηθεί ο ρόλος των μαθηματικών εργαλείων, κυρίως των διαγραμμάτων, στην ανάλυση και ερμηνεία πραγματικών φαινομένων. Επίσης να γίνει κατανοητό ότι η λύση ενός προβλήματος δεν είναι απαραίτητο να είναι πάντα μία. Είναι δυνατό ανάλογα με τον τρόπο θεώ ρησης των δεδομένων τ()υ προβλήματος να έχουμε περισσότερες από μία λύσεις. Το πρ όβλημα Πολλοί επιστήμονες φ οβούνται πω ς, η αύξηση του επιπέδου του C02 (διοξειδίου του άνθρακα) στην ατμόσφ αιρα προκαλεί κλιματική αλλαγή. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τα επίπεδα εκπομπής C02 το 1990 (οι άσπρες ρ άβδοι) για ορι σμένες χώρες (ή περιοχές), τα επίπεδα εκπομπής C02 το 1998 (οι μαύρες ρ άβδοι) και το ποσοστό ω;_αγής των επιπέδων εκπομπής C02 ανάμεσα στο 1990 και στο 1998 (τα βέλ η με τα ποσοστά κά τω από το κυρίω ς διάγραμμα). Ο

•

�

Peιι:erύιge a.ιgeιn erNstiDrl lewls lίam 1990 ιο 1998.

+11%

::σ

-35%

f8' i j

+10%

EmΙssΙanS irt 1990 ιιιιιιοn ισns COJΙ

Emisslons ιn 1998 (m80rι tons COJ)

1 ID

+13%

1 .. 11

+15%

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/6

�· 6

-4%

-1�

�

+n.

-----

Τα μαθηματικά σε καταστάσεις - προβλήματα της καθημερινής ζωής

----

Ερώτηση 1: Στο διάγραμμα μπορείτε να δείτε ότι στις Ηνωμένες Πολιτείες (USA) η αύξηση στο επίπεδο εκπομπής του C02 από το 1 990 έως το 1 998 ήταν 1 1% . Μπορείτε ν α δείξετε με ποιους υπολογισμούς βρήκαμε τ ο 1 1%; Ερώτηση 2: Η Ελένη ανέλυσε το διάγραμμα και ισχυρίζεται πως ανακάλυψε ένα λάθος στα πο σοστά αλλαγής των επιπέδων εκπομπής: «Η μείω ση του ποσοστο ύ στη Γερμανία (16%) είναι με γαλύτερη από τη μείω ση του ποσοστού σε όλ η την Ευρωπαϊκή Ένωση (συνολικό σε EU, 4%). Αυτό είναι αδύνατο, αφο ύ η Γερμανία είναι μέρος της Ευρωπαϊκής Ένω σης». Συμφωνείς με την Ελένη στο ότι αυτό είναι αδύνατο; Δώσε μια εξήγηση και ένα κατάλληλο πα ράδειγμα για να υποστηρίξεις την απάντησή σου. Ερώτηση 3: Η Ελένη και η Αθηνά συζητούν σχετικά με το ποια χώρα (ή περιοχή) είχε τη μεγα λύτερη αύξηση εκπομπής C02 . Κάθε μία, βασισμένη στο διάγραμμα, κατέληξε σε διαφορετικό συμπέρασμα. Δώσε δύο πιθανές «σωστές» απαντήσεις σε αυτό το ερώτημα και εξήγησε πώς μπορεί κανείς να καταλήξει σε κάθε μία από αυτές τις απαντήσεις. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Ερ.1

Αύξηση στα επίπεδα εκπομπής του C02 από το 1 990 έως το 1 998: 6772 - 6049=678 εκατομμύ ρια τόνους. Για να υπολογισθεί το ποσοστό % της αύξησης αρκεί να διαιρέσουμε την τιμή της αύξησης με το αρχικό επίπεδο εκπομπής του C02 , δηλαδή το επίπεδο εκπομπής του C02 το 1 990, επομένως θα έχουμε 678 / 6049 = Ο, 1 1 και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσουμε το αποτέ λεσμα επί 1 00, άρα το ποσοστό της αύξησης % θα είναι Ο, 1 1 . 1 00 1 1% . Παρατήρηση!: Για τον υπολογισμού του ποσοστού αύξησης μιας τιμής με τον παραπάνω τρό πο πρέπει η διαφορά τελικής τιμής - αρχικής τιμής, δηλαδή η αύξηση, να διαιρεθεί με την αρχι κή τιμή και στη συνέχεια να γίνει ο πολλαπλασιασμός επί 1 00 . Παρατήρηση2: Το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί επίσης ή με τη μέθοδο των τριών ή με εφαρμογή των αναλογιών (μπορείς να το βρεις με αυτούς τους τρόπους;) =

Ερ.2

Προφανώς δεν είναι αδύνατο, γιατί άλλες χώρες μπορεί να έχουν αύξηση διοξειδίου πχ η Ολ λανδία, άρα η Γερμανία είναι δυνατό να έχει μείωση μεγαλύτερη από το μέσο όρο της Ευρωπαϊ κής Ένωσης. Ένα κατάλληλο παράδειγμα μπορεί να είναι η μέση τιμή της βαθμολογίας μιας τά ξης στα Μαθηματικά η οποία μπορεί να είναι πχ 1 6. Όμως μπορεί να υπάρχει στην τάξη μαθη τής με βαθμολογία 1 3 , όπως μπορεί να υπάρχει ένας άλλος μαθητής με βαθμολογία 1 8 .

Ερ.3

Μπορεί να θεωρήσουμε τη σχετική αύξηση, δηλαδή το ποσοστό % της αύξησης, οπότε συγκρί νοντας τα ποσοστά αύξησης βλέπουμε ότι υπερτερεί η Αυστραλία με 1 5%. Εάν θεωρήσουμε την απόλυτη αύξηση, δηλαδή την αύξηση σε εκατομμύρια τόνους, και συγκρίνουμε τις τιμές των αυξήσεων παρατηρούμε ότι έρχεται πρώτη η Αμερική με 678 εκατομμύρια τόνους.

Το νερ ό και ο αέρας, τα δύο ζωτικά ρευστά από τα οπο ία εξαρ τάται όλ η η ζω ή , έχουν γίνει παγκό σμιοι σκου πιδοτενεκέδες. Ζαν-Υβ Κουστώ, 1910-1997, Γάλλος ω κεανογρ άφος

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/7

Ενδεικτικό Δι � νισμα Α·τάξης Π οτείνει ο ιάννης Λιά ης: Γυμνάσιο Γέρακα Αν. Αττικής ρ

3°

ΤΑΞΗ Α' ΘΕΩΡΙΑ: Επ ιλέ γετε κα ι απα ντ ά τε σε ένα α πό τα δύ ο θέμ α τα θ ε ωρ ίας. ΘΕΜΑ 1°: Α. Ν α δ ώ σ ετ ε τον ο ρ ι σ μ ό των ισο δυνάμων κλα σ μάτων. Β. Δ ύ ο κλ ά σ μ α τ α είναι ε τ ε ρ ώνυ μα ό τ αν : ( Α π ό τ ι ς π α ρ ακάτω π ρ ο τ ά σ ε ις ν α επιλέξετε αυτήν π ο υ θ ε ω ρ είτε σ ω στή ). ί) Δ εν απλ ο π ο ιούνται ίί) Έχουν δ ιαφ ο ρ ετική ο ν ο μ α σ ί α. Έχουν άν ι σ ο υ ς π α ρ ο ν ο μ α σ τ έ ς Τ ο ένα ε ί ν α ι μικ ρ ό τ ε ρ ο και τ ο ά λλο μεγαλύ τ ε ρ ο της μονάδ ας. Γ. Ν α χαρ ακτη ρίσετε τ ις π ρ ο τ ά σ ε ι ς που ακολου θ ούν Σ ω στό , ή Λάθο ς .

iii) iv) i)

Α ν σ ε ένα κλάσμ α π ρ ο σ θ έ σ ο υ μ ε στον α ρ ιθ μη τή κ α ι τ ον π α ρ ον ο μαστή τον ίδ ιο α ρ ιθ μό π ρ ο κύπτε ι κ λά σ μ α ισ ο δύν α μ ο με τ ο α ρ χικό. ίί) Αν π ο λλαπλασ ιάσου με και τ ο υ ς δύ ο ό ρ ο υ ς εν ό ς κλ άσ ματος με έν αν α ρ ι θ μ ό , τ ό τ ε τ ο κλ ά σ μ α π ο υ π ρ ο κύπτε ι είναι μεγαλύ τ ε ρ ο τ ο υ α ρ χικού. ΘΕΜΑ 2°: Α. Ν α δ ώ σ ετε τον ο ρ ι σ μ ό των ε φ εξή ς γ ω νι ών Β. Ν α δ ώ σετε τον ο ρ ι σ μ ό των π α ρ α π λη ρ ω μ ατικών γω νιών. Γ. Ν α χαρ ακτη ρίσετε τις π ρ ο τ ά σ ε ι ς που ακο λου θ ούν γ ρ άφ οντας στην κόλλα σ α ς δ ίπλα στο γ ρ ά μ μα που αντιστο ιχε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τ αση τη λέξ η Σ ω στό , α ν η π ρ ό τ α σ η είν αι σ ω στή , ή Λάθο ς αν η π ρ ότ α ση είν αι λαν θ α σ μένη. ί) Τ ό ξ ο είναι τ ο ευ θύγ ρ α μμο τ μή μα που συν δ έ ει δύ ο ση μεία τ οu κύ κλου. ίί) Ε φ απτο μένη ε ίνα ι η ευθ εία π ο υ έ χει ένα κοιν ό ση μείο με τον κύ κλο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Επ ι λέ γετε κα ι α πα ντ ά τε σε δύο α πό τις τρεις α σκή σεις. ΑΣΚΗΣΗ 1 η: Δ ίνονται ο ι α ρ ιθ μη τ ικ έ ς π α ρ αστάσεις 7 κ αι Β = -(-2 + 1 ) + ( 3- 5 )-8 - Α=-8-(-3-4 ) + 15 α) Να δ είξετε ό τ ι Α=- 1 β) Να δε ίξετε ό τι Β=-9 γ) Να λύ σετε την εξ ί σ ω σ η Α+χ=Β

(� � ) ( )

ΑΣΚΗΣΗ 2η: Στην Α τ ά ξη εν ό ς Γυ μν ασίου τ α

� των μ α θ η τ ών π α ρ ακολου θ ούν

5 Γαλλικά , το 2 5% Ιταλικά κ αι ο ι υ π ό λο ιπ ο ι Γ ε ρ μανικά. Αν ο ι μ α θ η τ έ ς που π α ρ ακολου θ ούν γ ε ρ μανικά είν α ι 24 ν α β ρ είτ ε : α) Π ό σ ο ι μ α θ η τ έ ς υ π ά ρ χουν στην Α' Γυ μν ασίου ; β ) Π ό σ ο ι μ α θ η τ έ ς π α ρ ακολου θ ούν Γ αλλικ ά ; γ) Π ό σ ο ι μ α θ η τ έ ς π α ρ ακο λου θ ούν Ιταλικ ά ; Α

ΑΣΚΗΣΗ 3η Στο δ ιπ λανό σχή μα ο ι ε υ θ ε ί ε ς ε 1 και ε1 είναι π α ρ άλλη λες και τ έ μν ο ν τ αι από τ ις η μιευ θ είες Α Δ κ α ι ΑΕ. Ν α υ π ο λογίσ ετε τις γ ων ίες a, β, y. Δικ α ι ο λογ ή σ τ ε τ ις απαντ ή σ εις σ α ς.

ε2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/8

ε1

Προτε ινόμεvα θέματα Α ·Τάξη

======

ΑΛΓΕΒΡΑ

Συντ ακτική επιτροπή .

(1+�}(1+:) (1-±}(1-l) ( �}(1-±}(1+:}(1-l) (1+k}(ι-�}(ι+�}(ι-l) (1+l}(1+�}(1-i}(1-i) 12

l ) α) Να υπολογίσετε τα γινόμενα

και

β) Να υπολογίσετε το αποτέλεσμα των πολ λαπλασιασμών l +

γ) Να υπολογίσετε το πηλίκο:

-;---"'----'___. -- ----'._, ,...-----'---""-'-

2) α) Να υπολογίσετε τη δύναμη (3 , ) και να γράψετε το αποτέλεσμα σε δεκαδική μορφή .

β) Να υπολογί σετε το άθροισμα

l + 32 + � και να το γράψετε σε δεκαδική μορφή .

200 5 γ) Αν α ο αριθμός που προκύπτει από το πρώτο ερώτημα και β ο αριθμός που προκύπτει από το δεύτερο ερώτημα να βρείτε 5 αριθμούς που να είναι μεγαλύτεροι του α αλλά μικρότεροι του β . 3) Δίνονται οι παραστάσεις: Α=

(�-1}(±-1}(:-1}(l-1)

και Β =

(1-�}(1-±}(1- :}(1-l)

α) Να βρείτε το πρόσημο του αποτελέσματος σε κάθε μία παράστ αση . β) Να υπολογίσετε το γινόμεν ο Αχ Β . γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 5(Αχ Β) και Α . 4 ) Ο Πέτρος μέτρησε τα χρήματα που έχει στο πορτοφόλι του και προγραμμάτισε τα παρακάτω: ί) Θα ξοδέψει μόνο το 24% των χρημάτων του και με αυτό θα αγοράσει αθλητικά είδη .

ίί) Με τα

ίίί) Με το

3. των χρημάτων που θα ξοδέψει θα αγοράσει αθλητικά παπούτσυ α . 3

.!_ των χρημάτων που θα ξοδέψει θα αγοράσει μία μπά λα του μπά σκετ .

4 iv ) Αφού αγοράσει τα αθλητικ ά παπούτσια και την μπάλα, με τα υπόλοι πα 1 0 € που θα του περισσέψουν (από τα χρήματα που πρόκειται να ξοδέψει) θα αγοράσει αθλη τικές κάλτσες . α) Πόσα χρήματα ξόδεψε συνολικά ο Πέτρος; β) Πόσα χρήματα είχε αρχικά στο πορτοφό λι του; 5) Πριν από αρκετούς μήνες το εισιτήριο στα μέσα μαζικής μεταφοράς μιας πόλης κόστιζε και είχες διάρκεια 70' (δηλαδή ο κάτοχος του εισιτηρίου μπορούσε επί 70' να χρησιμοποιεί όποιο μέσο μεταφοράς ήθελε) . Το υπουργ είο Συγκοινωνιών αύξησε την τιμ ή του εισιτηρίου σε α'λ λά και την διάρκεια του εισιτηρίου σε 90'. α) Να εξηγήσετε γιατί ενώ έγινε αύξηση της τιμής του εισιτηρίου εν τούτοις είναι προς το συμφέρον του επιβατικού κοινού . β) Πόση θα έπρεπε να είναι η τιμή του εισιτηρίου ώστε να μην υπάρξει όφελος χρόνου στο επ ιβατικό κοινό; 6) Σε μία ευρωπαϊ κή πόλη το εισιτήριο του μετρό δεν είναι σταθερό, αλλά εξαρτάται από την απόσταση που θα κάνεις . Το εισιτήριο τύ που Α, για μικρές διαδρομές, κο στίζει ευρώ . Το εισιτήριο τύπου Β, για διαδρομές μεσαίου μήκους, κοστίζει ευρώ . Το ευ σιτήριο τύπου Γ, για μεγάλες διαδρομές, κοστίζει ευρώ . Ο κύριος Κ χρησιμοποιεί το μετρό καθημερινά . Υπολόγισε ότι κάθε εβδομάδα το 60% των μετακινήσεών του είν αι τύπου Α, το 3 0% είναι τύπου Β και κάνει 3 μετακινήσεις τύπου Γ.

1,20€

1,40€

2,8

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/9

1,2

------

Προτεινόμενα Θέματα Α' Τάξη

-------

α) Να βρεις ποιο ποσοστό των μετακινήσεων που κάνει μέσα στην εβδομάδα ο κύριος Κ είναι τύπου Γ. β) Να βρεις πόσες μετακινήσεις κάνει κάθε εβδομάδα με το μετρό ο κύριος Κ. γ) Στους επιβάτες προσφέρονται εβδομαδιαίες κάρτες χρήσης του μετρό στην τιμή των 42 ευρώ, των 50 ευρώ, των 60 ευρώ και των 76 ευρώ. Κάθε επιβάτης μπορεί να χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε από τις κάρτες με την προϋπόθεση ότι το συνολικό κόστος των μετακινήσεών του δεν μπορεί να διαφέρει περισσότερο από 10% από την αξία της κάρτας που χρησιμοποιεί. Ποια κάρτα συμφέρει τον κύριο Κ να αγοράσει; 7) Μία ομάδα ποδοσφαίρου έχει κερδίσει μέχρι σήμερα σε 28 αγώνες στους συνολικά 40 αγώνες που θα παίξει εφέτος. α) Τι ποσοστό των αγώνων θα έχει κερδίσει στο τέλος της φετινής σαιζόν αν δεν κάνει καμία επιπλέον νίκη; β) Σε πόσους επιπλέον αγώνες θα πρέπει να κερδίσει στη συνέχεια ώστε στο τέλος της σαιζόν να έχει τελικό ποσοστό νικών 80%; 8) Ο Γιώργος πήγε με τους γονείς του στις εκπτώσεις για να του αγοράσουν κάποια ρούχα. Αγόρασαν ένα παντελόνι με έκπτωση 16%, παπούτσια με έκπτωση 20% και μία μπλούζα με έκπτωση 18%. Όταν επέστρεψαν στο σπίτι η μητέρα του Γιώργου δεν θυμόταν τις τιμές του κάθε προϊόντος και έτσι αποφάσισε να δει την απόδειξη που είχε πάρει από το ταμείο του καταστήματος. Η ' ' απόδειξη είχε την παpακατω μopcJη: Ε ΙΔ ΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ ! TlMH ΠΩΛΗΣΗΣ ΆΓΝΩΣΤΟ 60 48 ΆΓΝΩΣΤΟ 50 41 ΆΓΝΩΣΤΟ 55 46,2 Με βάση την απόδειξη και τα ποσοστά των εκπτώσεων να βρείτε σε τι τιμή αγόρασαν κάθε ένα από τα προϊόντα οι γονείς του Γιώργου. 9) Το περιοδικό Ευκλείδης Α' κάνει 4 συνολικά εκδόσεις κάθε σχολική χρονιά (μία κάθε τρίμηνο). Το πρώτο τεύχος κάθε σχολικής χρονιάς (ΙΟΥΛΙΟΣ-ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ-ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ) περιέχει θέματα από καθηγητές που διδάσκουν στην εκάστοτε πόλη η οποία φιλοξενεί το συνέδριο της ΕΜΕ. Το τελευταίο τεύχος κάθε σχολικής χρονιάς περιλαμβάνει θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων του Γυμνασίου, για παράδειγμα το τεύχος 96 του 2015 . α) Να εξετάσετε αν το τεύχος 74 περιείχε θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων. β) Να εξηγήσετε με οποιονδήποτε τρόπο γιατί το τεύχος 57 περιέχει θέματα από καθηγητές της πόλης στην οποία έγινε το Συνέδριο της ΕΜΕ εκείνη τη χρονιά. γ) Ποια χρονιά κυκλοφόρησε το τεύχος 57; 1 Ο) Η Μαρία έχει ένα πορτοφόλι με χρήματα στο συρτάρι της από το οποίο παίρνει όσα της χρειάζονται και στο οποίο βάζει όσα χρήματα της δίνουν κάθε τόσο οι γονείς της. Αυτή την εβδομάδα τη Δευτέρα ξόδεψε 5€ την Τρίτη εισέπραξε 6€ την Τετάρτη ξόδεψε 7€ την Πέμπτη εισέπραξε 8€ την Παρασκευή ξόδεψε 9€ οπότε το Σάββατο μετρά στο πορτοφόλι της τα χρήματα και βλέπει ότι της έχουν απομείνει συνολικά 13€. α) Αν χ τα χρήματα που είχε αρχικά στο πορτοφόλι της η Μαρία να γράψετε μία παράσταση ως προς χ που να εκφράζει τα χρήματα που έχει το Σάββατο στο πορτοφόλι της η Μαρία με βάση τα έσοδα και τα έξοδα. β) Να βρείτε πόσα ακριβώς χρήματα είχε αρχικά στο πορτοφόλι της η Μαρία. 11) α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π=(+3)+(-2)(-4)-(-8):(-4)-(-3)(+5) β) Να εξηγήσετε γιατί ο αριθμός αυτός είναι σύνθετος γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Π σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. δ) Να γράψετε 2 αριθμούς οι οποίοι μαζί με τον Π να δημιουργούν μία τριάδα αριθμών οι οποίοι ανά δύο να είναι πρώτοι μεταξύ τους. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/10

------

Προτεινόμενα Θέματα Α' Τάξη

------

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1) Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο η γωνία Β να είναι ίση με 70° . Να φέρετε το ύψος ΑΕ του παραλληλογράμμου από την κορυφή Α. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράμμου. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΔ γ) Ας υποθέσουμε ότι προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ και το ύψος ΑΕ μέχρι να συναντηθούν (τμηθούν) σε ένα σημείο Ζ. Πόση θα είναι η γωνία που θα σχηματιστεί στο Ζ; 2) α) Να κατασκευάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) στο οποίο κάθε μία από τις ίσες

γωνίες να είναι ίση με τα

� της γωνίας της κορυφής Α.

8 β) Να κατασκευάσετε το συμμετρικό ΑΒ' Γ' του τριγώνου ΑΒΓ ως προς το σημείο Α. γ) Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο ΒΓΒΤ' είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 3) Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στην πλευρά ΑΓ. Επιπλέον ισχύει: 8 ί) Η γωνία Γ του τριγώνου είναι ίση με 30° ίi) Η γωνία ω είναι διπλάσια από τη γωνία θ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και θ β) Να εξηγήσετε γιατί η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β του τριγώνου ΑΒΓ. Α

4) Έχουμε κατασκευάσει 6 ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Γ ° ΟΔ, ΟΕ, ΟΖ. Οι 6 γωνίες που δημιουργούνται είναι οι α=80 , β=60° , γ=40° , δ=3 0° και οι ω και θ. α) Δικαιολογήστε γιατί τα σημεία Α, Ο, Δ βρίσκονται πάνω Β στην ίδια ευθεία (είναι συνευθειακά). z β) Αν είναι γνωστό ότι η γωνία θ είναι διπλάσια της ω να υπολογίσετε τις τιμές των γωνιών ω και θ. γ) Ποια άλλα τρία σημεία, εκτός των Α, Ο, Δ, είναι συνευθειακά; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 5) Για το τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) το μόνο πουν γνωρίζουμε είναι ότι διαθέτει άξονα συμμετρίας, την ευθεία ΖΕ. α) Να εξηγήσετε γιατί το τραπέζιο αυτό είναι ισοσκελές. Δ Γ Ε -----β) Αν γνωρίζετε ότι μία γωνία του είναι κατά 30° μεγαλύτερη από το διπλάσιο μιας άλλης να υπολογίσετε Μ όλες τις γωνίες του τραπεζίου. Β γ) Να εξηγήσετε γιατί το μέσο Μ του τμήματος ΕΖ δεν Α-----Ζ είναι κέντρο συμμετρίας του τραπεζίου. 6) Το παρακάτω σχήμα διαθέτει άξονα συμμετρίας. 7) Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

α) Να εκφράσετε την περίμετρό του με βάση το χ. β) Αν η περίμετρος του σχήματος είναι ίση με 32cm να υπολογίσετε το μήκος της βάσης του σχήματος. ορθογώνιο και η γωνία Β ΑΔ είναι ίση με 64°.

α) Να βρεις το μέτρο της γωνίας Β του τριγώνου ΑΒΓ. β) Αν η ΒΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΒ Ε, να υπολογίσεις τα μέτρα των γωνιών ΑΒΔ και ΔΒ Ε . γ) Να υπολογίσεις τα μέτρα των γωνιών Αf Β και ΑΔ Β .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/1 1

χ+ +2

1 ======

Π ρ οτείνει ο Γιάννης Λιάπης: 3 ° Γυμνάσιο Γέρακα Αν.Αττικής ΤΑΞΗ Β'

ΘΕΩΡΙΑ: Επ ιλέ γετε κα ι απα ν τ ά τε σε ένα α πό τα δύ ο θ έμ ατα θ ε ωρ ί α ς. ΘΕΜΑ J0 Α. Π ο ια ε ίν αι η γ ρ α φ ική παρ άσταση τη ς συνάρτη ση ς y= αχ ; Β.

Π ο ια είναι η γ ρ α φ ική παρ άσταση τη ς συνάρτη ση ς y=�; χ Γ. Ν α επιλέξετε την σ ω στή από τ ι ς π α ρ ακάτω π ρ ο τ ά σ εις : ί) Η συν ά ρτη ση y= α χ + β έχει γ ρ α φ ική π α ρ άσταση ευ θ ε ί α π α ρ άλ λη λη στο ν άξονα χ 'χ. ίί) Η συ ν ά ρ τ η ση y= αχ+ β έχει γ ρ α φ ι κή π α ρ άσταση κ α μ πύ λη . ίίί) Η συν ά ρ τη ση y= αχ+ β έχει γ ρ αφ ική π α ρ άσταση μία ευ θ εί α που π ε ρν ά π άντα απ ό τ ο ση μείο (Ο, Ο ) . iv ) Η συν ά ρτη ση y=αχ + β έχε ι γ ρ α φ ική π α ρ άσταση μία ευ θ ε ία π ου π ε ρνά απ ό τ ο ση μείο ( Ο , β ) . Θέμα 2° Α. Ν α δ ο θ ε ί ο ο ρ ι σ μό ς του η μιτ όν ου ο ξ είας γωνίας ο ρθ ογ ωνίου τ ρ ιγώνο υ . Β. Γ ια τ ο π α ρ ακ άτ ω ο ρ θ ογ ώνιο τ ρ ίγ ων ο Α Β Γ , ν α συ μπλη ρ ώ σετε τ α ακό λου θ α κεν ά : συνΒ = . . . . . . . . . . . . η μΓ= εφΒ . =

. . . . . . . . . . . .

ΑΣΚΗ Σ Ε ΙΣ: Ε πιλέ γετε και απα ντ ά τε σε δύο από τις τρεις α σκή σεις . Άσκηση 1 η Σ ε έν α τ έ σ τ με 1 Ο ε ρ ωτή σ εις κά θ ε σ ωσ τή απάντηση β α θ μο λογείτ αι με 5 μ ον ά δ ε ς , εν ώ για κ ά θ ε ε ρ ώ τ η σ η π ου δ εν απαντιέ τ αι ή δ ίν ε τ α ι σ ε αυ τήν λ ά θ ο ς απάντη ση , α φ α ι ρ ούντ αι 3 μ ον ά δ ε ς . Ο Κώ σ τ α ς πή ρ ε σ τ ο τ έ στ 2 6 μον ά δ ε ς . Σ ε π ό σ ε ς ε ρ ωτή σ εις απ άντη σ ε σω σ τ ά ; Άσκηση 2η

Έ σ τ ω έν α ο ρ θ ογώνιο τ ρ ίγωνο Α Β Γ (Α = 90° ) με Α Β = 8 dm κ α ι Β Γ = 1.0 dm. α ) Ν α δ είξετε ό τι ΑΓ = 6 dm . β) Ν α β ρ είτε τ ο ε μ β αδ όν του τ ρ ιγ ών ου ΑΒ Γ . γ) Αν αυ ξή σ ο υ μ ε τις πλευ ρ έ ς τ ο υ π α ρ απ άν ω τ ρ ιγ ώ ν ου κατά 20c m , θ α π ρ ο κύ ψ ει π ά λι ο ρ θ ογώνιο τ ρ ίγ ων ο ; Να δ ικαιο λογή σ ε τ ε την απ άντη σή σ α ς . Άσκηση 3η Έ χο υ με μία κ ο ρ δέλα 15701 και θ έ λου με ν α φτιάξου με με αυ τήν τ ου ς 5 Ολυμπιακούς κύ κλο υ ς . Α . Ν α β ρ ε θ ε ί π ό σ ο μή κος θ α έχει η ακτίνα τ ο υ κ ά θ ε κύ κλου. Β . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ε μ β α δ ό και των 5 Ο λυ μπιακών κύ κλω ν . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/12

OQ9

Θέματα Β, Γυμνασίου και προτε ιvόμεvες λύσεις. ======

Δη μήτ ρης Διαμαντίδης: Β' Πειραματικό Γυμνάσιο Αθήνας

Τα θέματα που ακολου θο ύν δημοσιεύονται με την επισήμανση ότι έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Τα ερω τήματα σε κάθε ένα είναι κλιμακούμενης δυσκολίας, εξετάζουν ένα ικανό εύρος γνώσεων και εν ολίγοις είναι απολύτως συμβατά με το πνεύμα των εγκυκλίων που αναφέρονται στη μορφή των θεμάτων των προαγωγικώ ν και απολ υ τηρ ίων εξετάσεων. Θέμ α Ι Οι κουκκίδες στο διπλανό σχήμα απέχουν 1

και κατακό ρυφα.

οριζόντια

α) Να αποδείξετε ότι η απ όσταση των σημείων Α και Β είναι

ίση με

..Ji

cm.

β) Να σχεδιάσετε στο σχήμα ένα ευθύγρ αμμο τμήμα με άκρα

δύο κουκκίδες του σχή ματος, ώστε ευθύγ ρα μμου τμήματος να είναι J5 cm.

το

μή κος

του

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τ ριγώνου στο σχήμα.

Λ ύση α) Επιλέγουμε σημείο Γ (όπως στο διπλανό σχήμα), ώστε να

σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη καθέτων πλευρών ΑΓ= 1 cm και Β Γ= 1 cm. Λόγω του Πυθαγορείου Θεωρήματος (ΠΘ) έχουμε: ΑΒ 2=ΑΓ2 +ΒΓ2 άρα ΑΒ 2= 1 2+ 1 2 =2 Άρα το ΑΒ έχει μήκος

�

Ji. cm.

β) Μια λ ύση είναι η εξής: Επιλέγουμε κατάλληλα σημεία Κ, Λ

και Μ, ώστε να σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες

Γ Α

πλευρές ΚΛ=l cm και ΚM=2cm. Λόγω του Πυθαγορείου Θεωρήματος (ΠΘ) έχουμε: ΛΜ2=ΚΛ2+ΚΜ2 άρα ΛΜ 2= 1 2+2 2=5 οπότε ΛΜ= .J5 Τελικά το ΛΜ έχει μήκος

.J5 cm.

γ) α' τρόπο ς Σχεδιάζουμε το τετράγωνο ΕΘΙΗ με πλευρά μήκους 2 cm. Το εμβαδόν του είναι 4 cm2• Σχηματίζονται τρία ορθογώνια τρίγωνο 1χ 2 1χ 1 1 με εμβαδά: = 1 = ΕΗΖ , = ΕΘΔ = άρα ΔΙΖ =

( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + ( ΕΖΔ ) = ( ΕΘΙΗ ) - [( ΕΘΔ ) ( ΕΗΖ ) ( ΔΙΖ )] =l ,5cm2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/13

Γ Α

-------

Θέματα Β ' Γυμνασίου και προτεινόμενες λύσεις

Σχεδιάζουμε το τρίγωνο

ΔΕΖ που είναι ισοσκελές με ΕΖ=ΔΕ=J5

β ' τρόπο ς cm

ΔΖ= J2

και

cm.

Σχη ματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα με

r; ' ' ς κα' θ ετης πλευ ρα' ς υποτεινουσα ' μηκος ς 5 και μηκο '\/ J

βοήθεια του ΠΘ στο ένα από αυτά έχουμε:

( �J' ) - J2 . J4,5 ../5 ' �

Τ ελικα' ( ΔEZ _

------

+υ '

άρα υ ' 4 , 5 και

2 u�

τη

Ε -...:--e--....---.�ι-Δ

cm.

____z ____1---______

Με

,/4,5

3 --_ J9 _ _ 1 ' 5 cm2 . 2 2

Θέμα 2

Δύο εταιρείες μεταφο ράς η "F AST" και "BEST" χρεώνουν με διαφορετικό τ ρόπο , την αποστολή ενός αριθ μού αντικειμένων εντός της πόλης. Μερικές χρεώσεις των εταιρειών "FAST" και "BEST" φαίνονται στους παρακάτω πίνακες. χ

0,75

FAST

BEST

1,5

2,25

χ:

το πλήθος των αντικειμένων που θα μεταφ ερθούν y: η τι μή χρέωσης σε ευρώ Επίσης, στα παρακάτω σχήματα, η ευθεία (ε) αντιστοιχεί στη συνάρτηση που περιγρά φεται στον πίνακα της F AST, και η ευθεία (ζ) αντιστοιχεί στον πίνακα BEST. Υ

6 --------------------

ιν

Qι

α) Για ποιο πλήθος αντικειμένων η χρέωση των δύο εταιρειών είναι ίδια και ποια είναι αυτή ; β) Σε ποια εταιρεία η χρέωση είναι ανάλογη του πλήθους των αντικει μένων; Ν α βρείτε την κλίση και τον τύπο της αντίστοιχης ευθείας. γ) Αν ο τύπος της ευθείας (ζ) είναι y = !. χ + 2 , να βρείτε το μήκος του ευθύγρα μμου 2

τμήματος ΒΓ σε μονάδες μήκους. Για τη μεταφο ρά 12 αντικει μένων ποια εταιρεία είναι ακριβότε ρη και πόσο; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/14

-------

Θέματα Β ' Γυμνασίου και προτεινόμενες λύσεις

------

Λύ ση

α) Από τη γραφική παράσταση και τον πίνακα αυτό συμβαίνει για 8 αντικείμενα και η χρέωση είναι 6 ευρώ. β) Στην εταιρεία FAST που η αντίστοιχη ευθεία περνάει από το 0(0,0). � � Η κλίση τη ς ευθείας είναι α= Χ. = = (θα μπορούσε να επιλεγεί κι άλλο ζεύγο ς χ και y από χ 8 4

τον πινακα) .

' ' τυπο ς ειναι

y= -

χ . 4 γ) Το μήκος του ΒΓ ισούται με τη διαφορά των τεταγμένων των Γ και Β για χ = 12 . Άρα ΒΓ= l . Θέμ α 3 Στο π α ρ ακάτω σχήμα φαίνεται ένας δ ρόμος και τρία σημεία σε αυτόν Α, Β και Γ. Τα σημεία Α και Γ απέχουν 7 ιη μεταξύ τους. Στο σημείο Β είναι κατακόρυφα τοποθετημένος ένας στύλος ύψους ΒΚ = 3 ιη, με έναν κρίκο στην κορυφή του Κ. ,

.··..

Σύρμα

··· ··

..··.

. ·· . .

·····...

·. ·.

Στο σημείο Α είναι δεμένο ένα σύ ρμα με εο ρταστικά λα μπ άκια, π ου πε ρν άει μέσα από τον κρίκο Κ και φτ άνει ως το Γ. Το σύρμα δεν είναι τεντωμένο , όπως φαίνεται στο σχήμα. α) Ν α απ οδείξετε ότι η απόσταση των σημείων Α και Κ είναι 5 ιη. Δίνεται εφ45°=1 . β) Αν το σύρμα που είναι δεμένο στο Α, τεντω θεί τότε φτ άνει ως το σημείο Γ ' σχηματίζοντας με το δ ρόμο γωνία φ με

η μφ

σύρματος.

i . Ν α β ρείτε το συνολικό μήκος του 8

Γ'

Λύ ση α ) Με χρήση της εφαπτομένης (ή λόγω ισοσκελού ς και ορθογωνίου ΚΒΓ) ΒΓ = Άρα ΑΒ = 4 m. Με ΠΘ στο ΑΒ Κ έχουμε: ΑΒ 2 =ΑΚ 2 -Κ.Β 2 άρα ΑΚ = 5 m.

3 '

' ΚΓ ' = 8 m ' ΚΒΓ εχουμε ημφ= αρα β) Στο ορ θ ογωνιο ' = οποτε τριγωνο g ΚΓ ' S

Άρα το συνολικό μήκο ς του σύρματο ς είναι 8 +

3 = 11

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/15

Προτε ινόμενα Θέματα Β 'Τάξη

Συντακτική επιτροπή.

ΑΛΓΕΒΡΑ

�

και β= .J2 . Για τις τιμές αυτές: 2 2 2 α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης α +β > β) Να εξηγήσετε γιατί α 2 +β 2 2 . 1) Δίνεται ότι α=

�

γ) Να συγκρίνετε τον αριθμό �α 2 +β 2 με την τιμή του β . δ) Να γράψετε σε μία σειρά τις ποσότητες α, β, �α 2 + β 2 από τη μικρότερη μέχρι τη μεγαλύτερη .

2) Δίνονται οι αριθμοί Α= �3 + .J2 , Β= 3+ .J2 , Γ= �2 + J3 και Δ= �3 - .J2 . α) Να εξηγήσετε γιατί όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του 1 αλλά μικρότεροι του 5 . β) Να τοποθετήσετε σε μια σειρά, από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο, τους αριθμούς αυτούς δικαιολογώντας την επιλογή σας. γ) Με βάση τα προηγούμενα να βρείτε ποιος από τους αριθ μούς Α, Β, Γ , Δ, Α2+Δ2 είναι μεγαλύτερος. 3) Σε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΕ κατασκευάζουμε τρία σημεία Β, Γ, Δ το ευθύγραμμο τμήμα έχει χωριστ εί σε 4 τμήματα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Α

•

Τα τμήματα στα οποία χωρίστηκε το ΑΕ έχουν την εξής ιδιότητα: Κάθε τμήμα είναι κατά 2cm μεγαλύτερο από το αμέσως προηγούμενό του. α) Αν το τμήμα ΑΒ έχει μήκος χ cm Να εκφράσετε το μήκος του ΑΕ με τη βοήθεια του χ . β) Αν το μήκος του τμήματος ΑΕ είναι 3 6cm να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΔΕ. 4) Μία εταιρεία διέθεσε ένα αρχικό κεφάλαιο για να αγοράσει τον εξοπλισμό της. Τα έξοδά της y για αγορά ή ανανέωση του εξοπλισμού της εταιρείας για την επόμενη δεκαετία δίνονται από την συνάρτηση y=-0,2t+20.000 σε ευρώ. Το t εκφράζει έτη λειτουργίας της εταιρείας. e α ) Να βρείτε πόσο κόστισε στην .εταιρεία ο αρχικός ::f' εξοπλισμός. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ιο '" με βάση τη γραφική παράσταση . -ξ s ><

t) 2

·3

β) Τι ποσό θα πρέπει να διαθέσει η εταιρεία τον πέμπτο χρόνο για συντήρηση και ανανέωση εξοπλισμού;

γ) Ποιο έτος λειτουργίας η εταιρεία αναμένεται να μην έχει κανένα έξοδο για αγορά και συντήρηση ο 1 2 3 4 5 s τ e s 10 tτη εξοπλισμού; Ση μείωση : Οι τιμές που φαίνονται στον άξονα y 'y θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί 1 0.000. 5) Σε μία σχολή ο καθηγητής συνηθίζει και εξετάζει τους φοιτητές του με 50 ερωτήσεις Σωστού Λάθους. Για κάθε Σωστή απάντηση ο φοιτητής παίρνει 2 βαθμούς και για κάθε λάθος του αφαιρείται 1 βαθμός. Για να περάσει το μάθημα ο φοιτητής θα πρέπει να πάρει τουλάχιστον 60 βαθμούς στην εξέταση . Ένας φοιτητής συγκέντρωσε 76 βαθμούς. α) Αν οι ερωτήσεις που απάντησε σωστά είναι χ πόσες θα είναι οι ερωτήσεις που απάντησε λάθος; β) Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά; γ) Σε πόσες ερωτήσεις τουλάχιστον θα πρέπει ένας φοιτητής να απαντήσει σωστά ώστε να περάσει το μάθημα; a

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/16

------

Προτεινόμενα θέματα

--------

δ) Σε πόσες ερωτήσεις τουλάχιστον θα πρέπει να απαντήσει λανθασμένα ώστε να μηδενιστεί στο συγκεκριμένο μάθη μα; 6) Ο κ. Μανώλης έχει βιβλιοπωλείο και διαθέτει ένα βιβλίο με μυθιστορήματα του Ιουλίου Βερν σε 2 εκδόσεις Α και Β. Η μία έκδοση Α πωλείται 1 2€ το κάθε βιβλίο και η έκδοση Β πωλείται 8€ περισσότερο. Σήμερα ο κ. Μανώλης παρατηρεί ότι πούλησε αρκετά βιβλία από τις 2 αυτές εκδόσεις και έχει εισπράξει από τις δύο εκδόσεις συνολικά 1 80€ αλλά δεν μπορεί να καταλάβει τι ποσότητα από κάθε έκδοση πούλησε. Το μόνο που γνωρίζει είναι ότι από την ακριβότερη έκδοση Β πούλησε 7 βιβλία λιγότερα από τα βιβλία της έκδοσης Α. Με ποιον τρόπο μπορεί ο κ. Μανώλης να υπολογίσει πόσα βιβλία με μυθιστορήματα του Ιουλίου Βερν πούλησε από κάθε έκδοση ; 7) Δίνονται οι συναρτήσεις y= � x+ 1 και y=0,75x-2 των οποίων οι γραφικές παραστάσεις σε ένα 4 σύστημα αξόνων είναι οι δύο πλάγιες ευθείες που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. α) Ποια από τις δύο ευθείες είναι η γραφική παράσταση της μιας συνάρτησης και ποια της άλλης; 4 β) Να εξηγήσετε γιατί οι ευθείες εl και ε2 είναι παράλληλες. γ) Αν η κατακόρυφη ευθεία ε3 που περνά από το σημείο με τετμημένη 4 του άξονα χ ' χ κόβει τις δύο ευθείες στα σημεία Α και Β να βρείτε τις 8 6 συντεταγμένες των δύο σημείων Α, Β. ε3 δ) Πόσο απέχουν τα δύο αυτά σημεία Α, Β όταν η μονάδα μέτρησης στο σύστημα αξόνων είναι το 1 cm 8) Έχουμε καταγράψει ορισμένα ζεύγη τιμών σε έναν πίνακα τιμών για δυο αντιστρόφως ανάλογα ποσά χ, y. Ο Βασίλης παρατηρεί το γράφημα και υποστηρίζει ότι κάτι δεν πάει καλά με τις τιμές του πίνακα α) Με βάση τη γραφική παράσταση και χ Υ τα σημεία ΑΒΓΔ να εξηγήσετε γιατί 8 1 ,5 στον πίνακα τιμών υπάρχει ένα ζεύγος 5 2,4 που δεν αντιστοιχεί στα συγκεκριμένα 10 1 ,3 ποσά χ, y. 0,8 15 Δ β) Να διορθώσετε την τεταγμένη του ζεύγους αυτού ώστε να ανήκει στη 14 12 10 16 γραφική παράσταση . 9) Τέσσερα παυσίπονα καλύπτουν την αγορά αυτού του είδους φαρμάκου. Στο κυκλικό διάγραμμα ο κατασκευαστής έχει ξεχάσει να βάλει το ποσοστό κάθε φαρμάκου και έχει βάλει απλώς τη γωνία κάθε 81 περιοχής. α) Να βρείτε το ποσοστό που καλύπτει κάθε φάρμακο

84 Δ

•

β) Αν η ημερήσια συνολική πώληση παυσίπονων είναι 600 μονάδες, πόσες μονάδες πωλούνται από κάθε φάρμακο;

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1 ) Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ υπάρχουν 36 σημεία τοποθετημένα σε 6 σειρές και 6 στήλες. Κάθε σημείο απέχει 1 cm από το επόμενο ή το προηγούμενο στη σειρά ή στη στήλη στην οποία ανήκει .

α) Να εξηγήσετε με οποιονδήποτε τρόπο γιατί η διαγώνιος ΑΓ του τετραγώνου ΑΒΓΔ έχει μήκος μεγαλύτερο των 7cm. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/1 7

------

Προτεινόμενα θέματα

--------

β) Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΕ. γ) Αν με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΕ γράψουμε έναν κύκλο να εξηγήσετε γιατί θα περάσει από άλλα 3 σημεία εκ των 36 που βρίσκονται στο σχήμα. 2) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 °) ισχύει ΑΒ<ΑΓ<ΒΓ και τα μέτρα των πλευρών του είναι 5cm, xcm, 13cm σε αύξουσα σειρά. α ) Να υπολογίσετε το χ. !' ) Να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας Β γ) Να φέρετε το ύψος ΑΔ και να υπολογίσετε τα δύο τμήματα ΔΒ και ΔΓ. 3 ; Μία μικρή ρόδα ακτίνας 1Ocm αρχίζει να περιστρέφεται σε οριζόντιο έδαφος μέχρι να φτάσει η κατακόρυφη ακτίνα της να ξαναβρεθεί πάλι για πρώτη φορά σε κατακόρυφη θέση . Κατά τη διαδρομή της αυτή περνά από μία ενδιάμεση θέση κατά την οποία η ακτίνα σχηματίζει γωνία 30 ° με την νοητή οριζόντια ευθεία που περνά από το κέντρο. Σ η μείωση :

Να θεωρήσετε ότι π=3 , 1 4 και οι υπολογισμοί σας να γίνονται με προσέγγιση

εκατοστού.

1 \ \

' ',,

αρχική θέση ενδιάμεση θέση

' ' '

, ,,

.... .. - - ... ... ..

• . '

""'=

1 J

' , , ,' ,

. .

', .

... ,'

α) Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής

. ...

τελική θέση

που θα διανύσει ο κύκλος από την αρχική μέχρι την τελική του θέση .

β) Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής του κύκλου από την ενδιάμεση θέση μέχρι την τελική .

3 ) Στο παρακάτω σχήμα υπάρχει ένα κύκλος χωρισμένος σε 4 τόξα. Κάθε τόξο έχει μέτρο σε μοίρες όπως φαίνεται στο σχήμα. α) Να υπολογίσετε την τιμή του χ σε μοίρες. β) Να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΓΔ δεν είναι ισόπλευρο. γ) Να εξηγήσετε γιατί τα σημεία Β,Ο,Δ βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 8 δ) Αν η ακτίνα του κύκλου είναι 6cm να υπολογίσετε τον μήκος Δ της χορδής ΑΓ.

� ) Οι δύο μικρότεροι κύκλοι του σχήματος έχουν διαμέτρους ΑΒ και ΒΓ. Η ΑΓ είναι διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου ο οποίος έχει περίμετρο 4π cm. α) Να υπολογίσετε την ακτίνα του μεγάλου κύκλου. β) Το ΒΓ είναι τριπλάσιο του ΑΒ . Να υπολογίσετε τις διαμέτρους των δύο μικρότερων κύκλων. Γ γ) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των περιμέτρων των δύο μικρότερων κύκλων είναι ίσο με την περίμετρο του μεγάλου κύκλου. δ) Αν το τμήμα ΒΓ ήταν τετραπλάσιο από το ΑΒ θα ίσχυε το συμπέρασμα της ερώτησης β); 5)

Το τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος είναι ισοσκελές με

Προεκτείνουμε την βάση ΒΓ κατά τμήμα ώστε ΕΖ

χ-1 = -. 4

= 3x + l 4

ΑΒ

ΑΓ

= x+ 2

και

ΒΓ

χ-1 2

και σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΔΕΖΗ,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/18

-----Α

Προτεινόμενα θ έματα

α) Να εκφράσετε με την βοήθεια του

ΔΕ.

Ζ ------

το μήκος του

β) Να υπολογίσετε το χ , αν το τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθογώνιο ΔΕΖΗ έχουν ίσες περιμέτρους. χ- 1

.__Δ ---Γ-41 -� Ε+3χ χ- 1 4 2_ -

γ) Αν χ (ΔΕΖΗ).

να συγκρίνετε τα εμβαδά (ΑΒΓ) και

6) Στην παρακάτω εικόνα υπάρχει ένα ορθογώνιο ΑΒΓ τρίγωνο για το οποίο γνωρίζουμε με βεβαιότητα το μέτρο της οξείας γωνίας Α και της πλευράς ΑΒ (σε cm). Η πλευρά ΒΓ (σε cm) δεν είναι βέβαιο ότι έχει μετρηθεί σωστά. rωνια

3 0• ' 31

nυω

0.800 0,11 1

σuνω ο,ιιι 0,117

ο.u ι

Ο,'30

34•

ο.ιωs

o.1:n

0,sst

o.m

ο,aι

ο.ιοι

ο,ι1 ι

0.711

ο.ι.υ

0.78&

O,llQ

0.7•3

ο.ιοο

0,731

0,133

33• 35" 3r

0.67•

O,to!

ο.ιa

40" 41 '

42" 43•

ο.ιιι ο.ια

0.81 t

0.7"

ο.ιο1

32"

0.148

α)

ιeω 0,177

ο.ιc1

O.ιJS

0,700 0,727

0,75'

0.711

Ο,Π7

0,110

0.7SS

ο.ιιt

ο,uι

Με τη βοήθεια του πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών να εξηγήσετε γιατί η μέτρηση της πλευράς ΒΓ δεν είναι σωστή . β ) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΑΓ του τριγώνου με προσέγγιση εκατοστού.

Β 10

7) Με βάση τις πληροφορίες που παίρνετε από τις μετρήσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο αριστερά: Α α) Να υπολογίσετε την εφ49 ° β) Να υπολογίσετε το ύψος ΑΔ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ όταν η βάση του είναι ίση με 24cm. r γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του Β τριγώνου ΑΒΓ. 1 0cm 4... cm �--------28) Σε ένα ημικύκλιο διαμέτρου AB= l Ocm έχουμε εγγράψει ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ύψους 3 cm. α ) Να υπολογίσετε το μήκος ΓΔ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου __ + z __. o __ _ _ --"" E+-4B μέρους του ημικυκλίου, δηλαδή αυτού που βρίσκεται A 10 μεταξύ του ημικυκλίου και του ΖΓΔΕ. 9) Στο παρακάτω σχήμα γνωρίζουμε ότι το μήκος του κύκλου (Ο, ΟΑ) είναι 25, 1 2cm και ότι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο, Ο Γ) είναι 28,26cm2 • _ _ _

α) Να υπολογίσεις τις ακτίνες των δύο κύκλων. β) Να υπολογίσεις την περίμετρο και . το εμβαδόν του μικτόγραμμου σχήματος ΑΒΔΓ που είναι χρωματισμένο στο σχήμα.

Δίνεται ότι π

ΞΞΞ

3 , 1 4.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 1 04 τ.4/19

Προχωρημένα θέματα yια όλους. Τάξη 1: ======

Επιμέλεια Στέ φ ανος Κείσογλου

Τα 4 παρακάτω θέματα αναφέρονται κυρίως σε κύκλους και στις ιδιότητές τους. 1) Στο διπλανό σχήμα εμφανίζεται ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ και ένας κύκλος που εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΑΔ. Ο κύκλος περνά από το μέσος Μ της διαγωνίου ΑΓ. Αν ο κύκλος έχει ακτίνα 1 Ο cm να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου. Από το βιβλίο του Salkίnd.Earl: The contest problems

Βοοk ΠΙ 2)

Δέκα σωλήνες ακτίνας l Ocm ο καθένας πρόκειται να συσκευαστούν με τον τρόπο που δείχνει η εικόνα. Πόσο είναι το μήκος του σχοινιού που περιβάλλει τους σωλήνες; (Ιδέα δανεισμένη από το βιβλίο του /ναn Moscoνίch The puzzle unίνerse)

3) Δύο πανομοιότυπες ρόδες βρίσκονται σε επαφή και μεταξύ τους χωρά ακριβώς μία μικρότερη με ακτίνα 1 Ocm. Να υπολογίσετε την ακτίνα κάθε μιας από τις μεγάλες ρόδες. 4) Τα δύο τόξα α και β, που βρίσκονται σε 2 άνισους κύκλους, έχουν το ίδιο μήκος. Να βρεθεί ο λόγο των εμβαδών των δύο κύκλων.

� ,'

-··

Απαντήσεις θεμάτων τεύχους 1 03 .

Αν χ ο αριθμητής τότε χ+ 16 ο παρονομαστής και θα πρέπει 5 χ 4 από όπου χ+ 1 6 7 9 προκύπτει ότι 20<χ< 64 = 2 1, 33 άρα χ=2 1 και το ζητούμενο κλάσμα είναι το � . 3 37 2) Αν φέρουμε το ύψος δημιουργείται ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ../53 και μία κάθετη ίση με 2 οπότε το Πυθαγόρειο δίνει ύψος ίσο με 7. Αυτό το ύψος είναι το άθροισμα όλων των διαμέτρων των 3 κύκλων άρα το άθροισμα των περιμέτρων τους είναι 7π. 3) Η μικρότερη πλευρά ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο προφανώς θα αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία μικρότερη ή το πολύ ίση με 90° . Τότε, στις 90°, η πλευρά αυτή θα έχει μήκος όσο και η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με 1 (η ακτίνα του κύκλου) δηλαδή .J2 . 4) Ο αριθμός γράφεται x= �l + Jι + Jϊ = )I + .J2 άρα χ2= 1 + .J2 και χ4 = (1 + .J2) · (1 + .J2) = 3 + 2.J2 οπότε χ = (3 + 2J2) · (3 + 2J2) = 17 + 12J2 <34 καθώς 12J2 � 16, 971 5) Αν t λεπτά μετά τις 3 η ώρα ο ωροδείκτης έχει διαγράψει γωνία 90°+0,S · t τότε ο λεπτοδείκτης 1)

θα έχει διαγράψει γωνία 6 · t α� ού κάθε λεπτό ο ωροδείκτης κινείται 0,5 ° ενώ ο λεπτοδείκτης κινείται 6°. Θα έχουμε επομένως 6 · t= 90 +O,S·t ή 5,5 · t=90°

από όπου προκύπτει ότι t=16' 4" περίπου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/20

Ενδι ι

Π ρ οτείνει ο Γιάννης Λιάπης: 3 ° Γυμνάσιο Γέρακα Αν.Αττικής ΤΑΞΗ Γ ' Θ Ε Ω Ρ Ι Α : Επιλέγετε κα ι απα ντ ά τε σε ένα από τα δ ύ ο θ έμ α τα θ ε ωρ ί α ς . Θ Ε Μ Α t0 Α. i ) Π ό τ ε λέμε ότι δύο μονώνυ μα είναι αντίθ ε τ α ; i i ) Τ α μον ώνυ μα -4x 2 y , 4xy 2 ε ίν α ι αντί θ ετ α . Σ - Λ Β . Ν α σ υ μ π λη ρ ώ σ ε τ ε τ α π α ρ ακάτω κ εν ά , ώ σ τ ε ο ι ισ ό τη τ ε ς π ου θ α π ρ ο κύ ψουν ν α εκφ ρ άζουν αξιοση μείωτες τ α υ τ ό τη τ ε ς (να μετ α φ ε ρ θ ούν σ τ ο γ ρ α πτ ό σ ας ) : i) ( α+ β ) ( α- β ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ί ) ( α - β)3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Γ . Ν α απ δ είξετε την τ αυ τ ό τ η τ α ( α - β) 2 = α2 - 2αβ β 2 ο ΘΕΜΑ 2° Υ Α . Μ ε τ η β ο ή θ εια τ ο υ δ ιπλανού σχή ματ ο ς ν α συ μπλη ρ ώ σ ε τ ε τις ισ ό τη τ ε ς : α ) η μω = . . . . . . . . . . . . . ======

•

β ) συνω = . . . . . . . . . . . . χ

γ) εφω= . . . . . . . . . . Β. Ν α α π ο δ είξετε ό τ ι :

η μ2 ω

+ συν2 ω =

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ : Επιλ έ γετε κα ι α πα ν τ ά τε σε δύο α πό τ ι ς τρε ι ς α σκή σε ι ς. Α Σ ΚΗ Σ Η Ι η

Α - χ- 1 χ2 - 1

Δ ίνονται ο ι π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς :

και Β

2χ

χ -χ Α α ) Ν α απλο π ο ιή σ ε τ ε τις π α ρ α σ τ ά σ εις και Β 1 2 Α Α + Β κ αι Β = χ2 _ 1 ν α υ π ο λογίσετε την π α ρ άσταση β ) Αν = -

x+ l

ΑΣΚΗ Σ Η 2 η

Έ στ ω τ ο σύστη μ α :

{(χ + 1)2 + (y + 2)2 = χ2 y2 + χ-2 - y =

{2x + 4y 2 -4 . χ+ {2χ++ 4y -4 Ν α λ υ θ ει, το συ, στη μα χ =2

α ) Δ ε ίξ τ ε ό τ ι τ ο π α ρ απάνω σύστη μ α , μετά από π ρ άξε ι ς , γ ρ άφ ε τ αι 6y

β)

6Υ

Α Σ Κ Η Σ Η 3η Ν α κατασκευ άσετε ισ ο σκ ελέ ς τ ρ ίγ ω ν ο Α Β Γ (Α Β =Α Γ) κ α ι τ α ύ ψη Β Δ και Γ Ε . α ) Ν α α π ο δ είξετε ό τι Β Δ =Γ Ε β ) Ν α α π ο δ είξετε ό τ ι τ α τ ρ ίγ ω ν α Α Ε Γ και Η Δ Γ είναι ό μο ια και ν α γ ρ άψε τ ε τ ο υ ς λόγου ς των αντισ τ ο ίχων πλευ ρ ών τ ου ς γ ) Ν α δ είξετε ό τ ι Α Γ . Η Δ =Γ Η . Α Ε ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/21

======

ΑΛΓΕΒΡΑ

Συντακτική επιτροπή.

1 ) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ. ) 2 2 2 2 2 2 2 α Να αποδείξετε ότι (α+β) +(α+γ) +(β+γ) -α -β -γ =(α+β+γ) β) Δίνονται οι αριθμοί χ, y για τους οποίους γνωρίζουμε ότι χ>-2. Αν (x+4) 2+ (x+y) 2+(y+4)2 =x2 +y2+ 1 6 να αποδείξετε ότι y<-2.

( �) ( �)

2) Ο α είναι πραγιαιτικός αριθμός, διάφορος του μηδενός, για τον οποίο ισχύει: α+ α) Να υπολογίσετε τις δυνατές τιμές του α.

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματική τιμή για τον αριθμό α ώστε να ισχύει α+

γ)

�

Να εξηγήσετε !"' οποιονδήποτε τρόπο γιατί η εξίσωση

ο πραγματικός αριθμός κ είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 4.

( )

χ+

2 =

' =

κ έχει λό ση μόνο εφόσον

3) Για τους πραγματικούς αριθμούς χ, y, z, με xf::.yf::.z , ισχύει: x+y=2z '

x-z

y-z

' α ) να υπο λογισετε την τιμη της παραστασης: - + - .

β) Να αποδείξετε ότι

(x-z) 2 +(y-z) 2 [(x-z) (y-z)] 2 ·

2 ----

(x-z) (z-y) ·

4 ) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση α2 - 1 7α+60

β) Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο η περίμετρος είναι 34 η δε διαγώνιος 1 3 . Να υπολογίσετε τις πλευρές του ορθογωνίου. 5) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση : Α=(χ-2) 2 -(3χ-6)(2χ+5)+χ2 -4 β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Β=5χ2 -9χ-2

γ) Να λύσετε την εξίσωση Α+Β=Ο.

χ 2 -13χ 2 + 1 0χ+3 . ' ' 2 χ)= 6 ) Δινονται οι παραστασεις Α(χ)= Β( και 2 9χ - 1 χ -χ-2

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζονται οι παραστάσεις Α(χ) και Β(χ) β) Για τις τιμές του χ που βρήκατε στο παραπάνω ερώτημα να αποδείξετε ότι:

χ+3 χ -1 Α(χ)= -- και Β(χ)= -3χ - 1 χ -2 γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει πραγματικός αριθμός α για τον οποίο να ισχύει η ισότητα

3 α 2 + 1 0α+3 9α 2 - 1

----

α2 - 1 α2 - α - 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/22

------

Π ροτεινόμενα θέματα

-------

α) Για δύο οποιουσδήποiε πραγματικούς αριθμούς α και β να αποδείξετε ότι ισχύει: α2 +β 2 +(α- β) 2 = α2 -α · β+β 2 2 β) Να εξηγήσετε γιατί δ εν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε α2+β2 < α·β γ) Να αποδείξετε με οποιονδήποτε τρόπο ότι η εξίσωση 9χ2-2 1χ+49=0 δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. 7)

Αν α, β δύο ακέραιοι αριθμοί με β>Ο: α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός (α+Jβ) 2 +(α-Jβ) 2 -2(α+Jβ) · (α-Jβ) είναι ακέραιος για οποιαδήποτε τιμή του θετικού β. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α= ( � + .JTi.) 2 +(0,75-6.fi.) 2 -2( � +.JTi.) · (0,75-6.fi.) 4 4 8)

Δίνεται η εξίσωση 3 x-4y=8 μεταξύ των πραγματικών αριθμών χ, y. α) Να δείξετε ότι η σχέση παριστάνει ευθεία .

Γ-

.....

30' 3 1•

··Q,515

33°

0.505

35"

β.!574

Ο.ΟΟΖ

31"

8.'21 o.au

34• 3r 3r 40'

Q,530

a.-

.__

·-

a.sn

0,857

0,6111

•..ιu

O.ad

.....

8,82'

•...,

U88

....

ο.ιιa

D.781

·--

o.1n 0,75'

0,125

β)

0.8>5

..,.

Να κάνετε μια γραφική παράσταση της ευθείας αυτής.

Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα χ ' χ να υπολογίσετε την τιμή της ω με βάση τον τριγωνομετρικό πίνακα.

Ο,7Ζ7

γ)

0.15& 8.781

Ω.810

••••

Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς οι οποίοι είναι μήκη πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Να αποδείξετε ότι οι τρεις αυτοί ακέραιοι είναι οι μοναδικοί διαδοχικοί ακέραιοι που είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών του να είναι ρητοί αριθμοί που καθένας είναι κατά 3 μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. 1 Ο) α)

Στην παρακάτω εικόνα εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=x3+2x2 και y=2x2+x. Όπως φαίνεται στο σχήμα οι δύο γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε τρία σημεία Α, Β, Γ. Επιπλέον κάθε γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα χ ' χ σε ένα τουλάχιστον σημείο. 11)

γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x2+x φαίνεται να έχει 2 σημεία τομής με τον άξονα χ ' χ. Ποια είναι αυτά; α) Η

γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x3+2x2 φαίνεται να έχει 2 κοινά σημεία με τον άξονα χ ' χ. Ποια είναι αυτά; β) Η

γ)

Ποιες είναι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ;

κ. Πετρόπουλος επισκέφτηκε ένα ξυλουργείο και ζήτησε από τον ξυλουργό από ένα μεγάλο κομμάτι κόντρα πλακέ να του κόψει δύο μικρότερα κομμάτια. Το ένα από αυτά να είναι τετράγωνο και το άλλο ορθογώνιο του οποίου η μια πλευρά να είναι 2 dm μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου και η άλλη πλευρά να είναι ι dm μικρότερη από την πλευρά του τετραγώνου. Όταν επέστρεψε στο σπίτι του ζύγισε τα δύο κομμάτια και παρατήρησε ότι έχουν ακριβώς το ίδιο βάρος. ( l dm = l Ocm) 1 2)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/23

------- Π ροτεινόμενα θ έ ματα

-------

α) Πόσα dm είναι η πλευρά του τετραγώνου; β) Να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν το βάρος 2 , , , του συγκεκριμενου τετραγωνου να ειναι τα - του 3 βάρους του ορθογωνίου.

13) Ένας δάσκαλος εξετάζει κάθε μέρα τους μαθητές του στο μάθημα της Ιστορίας. Η εξέταση σταματάει όταν βρει 3 Διαβασμένους μαθητές ή 2 συνεχόμενα Αδιάβαστους. Να βρείτε α) Πόσους το πολύ μαθητές εξετάζει την ημέρα; β) Ποια πιθανότητα υπάρχει να βρει 3 Διαβασμένους μαθητές; γ) Ποια Πιθανότητα υπάρχει να βρει 2 διαδοχικά αδιάβαστους μαθητές; ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

1 ) Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος. Α

Στην προέκταση της πλευράς ΑΓ φέρουμε τμήμα ΓΖ=ΑΓ και στην προέκταση της πλευράς ΑΒ φέρουμε τμήμα ΒΕ=ΑΒ . Τέλος, από τα σημεία Ε και Ζ φέρουμε τα τμήματα ΕΗ και ΖΘ , κάθετα στην προέκταση της ΒΓ . Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , να δείξετε ότι: α) ΖΘ=ΑΔ β) ΒΗ=ΒΔ γ) ΕΗ=ΖΘ

2 ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ .Στην προέκταση της ΓΑ, προς τη μεριά του Α ,παίρνουμε τμήμα ΑΡ=ΑΒ. Στην προέκταση της ΒΑ , προς τη μεριά του Α ,παίρνουμε τμήμα ΑΣ=ΑΓ. Αν οι προεκτάσεις των ΣΡ και ΓΒ τέμνονται στο σημείο Κ , να αποδείξετε ότι: α) f = f

β) ΣΚ=ΓΚ γ) Η ΚΑ είναι διχοτόμος της γωνίας ΣΚf 3) Στο παρακάτω σχήμα οι γωνίες χ Ό χ και y Όy είναι ίσες. Στις πλευρές Οχ και Oy παίρνουμε τα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ . Στις πλευρές Οχ ' και Oy ' παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΔ=ΟΕ. ο

α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ=ΒΕ Υ

β) Να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΒΔ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/24

------

Π ροτεινόμενα θ έματα

4) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Α=90 ° και η ΔΕ είναι κάθετη στην ΓΒ . Αν ΔΕ=6 cm , ΔΒ=8 cm και ΔΓ = 1 2 cm, τότε: Α

α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΔΒ είναι όμοια. β) Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ. γ) Να υπολογίσετε την απόσταση της κορυφής Α από την πλευρά ΒΓ .

._ _ _ _ _ _ ....________,....._ __

5) Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι γωνία Β=ΔΕΓ, ΑΒ=8 cm,

ΔE=6cm, (ΔΕΓ) =24cm2 • Α

α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΓ είναι όμοια. β) να βρείτε το λόγο ομοιότητας των τριγώνων και τον λόγο των εμβαδών τους. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΕΔ.

6) Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ στο οποίο οι μη παράλληλες πλευρές ΒΓ και ΑΔ τέμνονται στο Ε. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι ίσο με 36cm2 , του δε τριγώνου ΕΓΔ είναι ίσο με 1 2cm2 . Το τρίγωνο ΕΓΔ έχει μήκη πλευρών EΔ=6cm και EΓ=4cm. α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΕΔΓ Ε .. ... είναι όμοια. 6cm.... ... .. \ 4cm .. .. .. 1 2cm2 \ r β) Να υπολογίσετε τον λόγο ομοιότητας των δύο Δ τριγώνων. γ) Να υπολογίσετε τα μήκη των μη παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου.

�-36c� ΔΒ

7) Σε ένα η μικύκλιο ακτίνας 4 και κέντρο στην αρχή των αξόνων έχουμε κατασκευάσει δύο γωνίες, μία στο δεξί τεταρτοκύκλιο που είναι ίση με 50° και μία στο αριστερό που είναι ίση με 40° . α) Με βάση τις συντεταγμένες του σημείου Κ να υπολογίσετε το ημίτονο και συνημίτονο των 50° . κ = (2 .57 , 3 .06)

β) Να αποδείξετε ότι τα δύο ορθογώνια τρίγωνα ΟΓΚ και ΟΔΛ είναι ίσα. Α

° ° γ) Να υπολογίσετε το η μ 1 40 και το συν 1 40 .

8) Για τη γωνία χ ισχύει: 0::Ξ;χ::Ξ;90 ° . α) Να αποδείξετε ότι: (ημχ+συνχ) 2= 1 +2ημχ·συνχ β) Αν η μχ+συνχ= l να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η γωνία χ.

γ) Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν να ισχύει η μχ+συνχ= .J3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/25

yια όΑουις.� Τάξη r: ======

Επιμέλεια Στέ φ ανος Κείσογλου

Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: α2=β+2 και β2=α+2. Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί αυτοί είναι ρητοί τότε θα πρέπει να είναι ίσοι και να τους υπολογίσετε. β ) Αν οι αριθμοί αυτοί είναι άρρητοι και α<Ο να υπολογίσετε την τιμή του β' . 2 ) Ας υποθέσουμε ότι το σημείο Σ κινείται ελεύθερα πάνω στην Δ e--ιΣι----- r πλευρά ΓΔ του τετραγώνου ΑΒΓ Δ, οπότε μεταβάλλεται το ΒΣ και η απόσταση του Α από την ΒΣ. Αν χ το μήκος της ΒΣ και y η απόσταση του Α από την ΒΣ να εξηγήσετε γιατί τα δύο ποσά χ, y είναι αντιστρόφως ανάλογα. 1) α)

Υπόδειξη: Το γινόμενο xy παραπέμπει στο μισό εμβαδόν του τριγώνου ΣΑΒ το οποίο θα πρέπει να το συσχετίσετε με το σταθερό εμβαδόν του τετραγώνου. 3) Στο τρίγωνο της διπλανής εικόνας έχουμε χωρίσει δύο πλευρές ενός τριγώνου σε 5 ίσα τμήματα την κάθε μία. Στη συνέχεια με τα 4 ενδιάμεσα ευθύγραμμα τμήματα έχουμε χωρίσει το τρίγωνο σε 5 τμήματα από τα οποία το τελευταίο (στη βάση του τριγώνου) έχει εμβαδόν 45 τετραγωνικές μονάδες. Πως μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου;

4 ) Ένα τρίγωνο

.,.____...,. Β

έχει πλευρές α, β, γ για τις οποίες ισχύει: α2+β2+γ2=α· β+β ·γ+α·γ. Να αποδείξετε

Σε ένα κύκλο εγγράφουμε ένα εξάγωνο με την εξής ιδιότητα: διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες με 3 cm κάθε μία και οι επόμενες 3 συνεχόμενες πλευρές του είναι ίσες με 6cm κάθε μία. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου. 5) 3

Από το βιβλίο των Barbeau, Klamkίn, Moser: 500 Mathematίcal challenges.

ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Απαντή σεις θεμάτων τε ύ χους 1 0 3 2 χ 2 + 1 · -y2 1 + -y 2 - 1 + -1 -χ 2 y 2 + 1 1 -χ 2 y 2 + 1 · · = Ο επομενως = Ο αρα χ + 1 · -χ χ χ χ Υ Υ Υ Υ (χ + .!_) · (y - .!_) + (.!_ - χ) · (y + _!_) = Ο άρα � = Υ οπότε x2=y2 και τελικά x=y ή x=-y χ χ Υ Υ χ Υ 2 2) Από την χ +α·χ+β = Ο για χ=α και χ=β προκύπτει αντίστοιχα 2α2+β = Ο και β2+α· β+β = Ο

με αφαίρεση κατά μέλη και παραγοντοποίηση έχουμε (α-β)(α+2β)=Ο άρα α=β ή α=-2β

από όπου

Αν οι μαθητές ήταν α το πλήθος και ο καθένας πλήρωσε αρχικά χ τότε η αξία του μικροφώνου ήταν αχ. Μετά την αποχώρηση των 2 η αξία δεν αλλάζει άρα (χ+ 1 )( α-2)=αχ οπότε α=2χ+2 και επομένως η αξία του μικροφώνου ήταν (2χ+2)χ άρα 170<2χ2+2<1 80 ή 85<χ(χ+ 1 )<95 άρα χ=9, α=20 και η αξία του μικροφώνου 1 80€. 4 ) Αν Ε το αρχικό εμβαδόν τότε το τελικό εμβαδόν είναι 1 ,44·Ε άρα λ2=1 ,44 και λ= Ι ,2 επομένως η ποσοστιαία αύξηση των πλευρών ήταν 20%. 5) α(α+l)=c άρα α2(α+1 ) 2=c2 ή α4+2α3+α2=c2 και επειδή α2+α+ l=c+l με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει α4 + 2α3 + 2α2 + α + 1=c2+c+1 6) Παρατηρήστε ότι 1 6.543 χ 1 8. 543=( 1 7.543- 1 .000) x(l 7. 543+ 1 .000)=17. 5 4 3 2-106 κ.λ.π 3)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/26

Μαθηματι κο ί Δι αγωνισμο ί

====== Επι μέλε ια: Επιτροπή Διαγων ισμών 34η

Ελλ η ν ι κ ή Μαθηματ ι κή Ολ υμπ ιά δα

110

4 Μαρτίου 2017

Αρχ ι μ ή δ η ς••

θί:μu:-ι:� μικρmν1 τcί.ξ,ε:αιν Πρ ό βλη μα 1 : Δίνεται τετ ρ άγωνο ΑΒΓ Δ πλευ ρ άς α. Πάνω στην πλευ ρ ά ΑΔ π αίρνουμε

και Α'Ζ = α . Αν οι ευθείες Β Ζ και ΓΕ τέμνονται στο 4 3 σημείο Η, να εκφ ρ άσετε το εμβαδόν του τ ρ ιγώνου ΒΓΗ ως συνά ρτηση του α. Λύση ( 1 ος τρόπος) σημεία Ε και Ζ τέτοια ώστε

ΔΕ

Σχήμα 1 Φέρνουμε το ύψος ΗΛ του τριγώνου ΒΓΗ το οποίο τέμνει κάθετα την ΑΔ στο σημείο Κ. Θέτουμε ΕΚ = χ, ΚΖ = y και ΚΗ = z. Είναι ΗΛ = + z. Το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΗ είναι ίσο Ε = -1 2 ΒΓ · ΗΛ = 1 α ( α + z ) . (1) με 2 Αρκεί να εκφράσουμε το ως συνάρτηση του α. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΕΗΚ είναι όμοια, αφού ΓΔΕ = ΕΚΗ = 90° και ΔΕΓ = ΚΕΗ ως κατά κορυφή. Επομένως, έχουμε χ ΚΕ ΚΗ = <=> - = - <=> z = 3x (2) α

ΓΔ

ΔΕ

α 3

Ομοίως, τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΖΚΗ είναι όμοια, οπότε παίρνουμε ότι Υ ΚΗ = ΚΖ <=> - = <=> z = 4 y Ζ

ΑΒ

ΑΖ

α 4

(3)

α α 5α (4) χ + y = ΑΔ - ΑΖ - ΔΕ = α - - - - = 12 4 3 5α z z 5α 5α <=> - + - = - <=> z = Αντικαθιστώντας τις (2) και (3) στην (4) παίρνουμε χ + y = 7 ' 12 3 4 12 2 οπότε η ( 1 ) γίνεται Ε = .!.. a a + 5α = 1 2α2 = 6α 2 7 7 14 α α Sα . Επομένως το εμβαδόν του - = 2°ς τρόπος. Από τα δεδομένα παίρνουμε ότι ΖΕ = α 12 4 3

Ακόμα, έχουμε ότι

( )

•

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 1 04 τ.4/27

------ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

------

α 5 17α2 . Επιπλέον τα τρίγωνα ΖΗΕ και ΒΗΓ τραπεζίου ΖΕΓΒ είναι: ( ΖΕΓΒ) = �1=2 α α = -24 2 είναι όμοια, οπότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου της )= =1 = ομοώτητας αυτών, δηλαδή i�:�\ �� ( 5�2 ) ( : )Ά ( (ΒΗΓ ) = (12)2 � (ΒΗΓ ) = 12)2 Επομένως, έχουμε (ΒΗΓ ) - (Β ΖΕΓ ) (ΒΗΓ) - 17 α 2 ( 24 και λύνοντας ως προς (ΒΗΓ) παίρνουμε ότι (ΒΗΓ ) = 6α 2 • 7 -+

_ _

Πρόβλη μα 2"Άν x, y , z θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να λύσετε το σύστημα:

{ x ( 6 - y ) = 9, y ( 6 - z ) = 9, z ( 6 - x ) = 9} . .

Λύση (1 °ς τρόπος)

Επειδή είναι χ, y, z > Ο , από τις δεδομένες εξισώσεις προκύπτει ότι Ο < χ < 6, Ο < y < 6, Ο < z < 6. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των τριών εξισώσεων λαμβάνουμε: xyz ( 6 - χ) ( 6 - y) ( 6 - z) = 9 3 � χ ( 6 - χ) y ( 6 - y) z ( 6 - z) = 93 ( Όμως ισχύει ότι 0 < χ(6 - χ) = 6χ - χ2 = 9 - ( 3 - χ) 2 ::;; 9. (2) Η ισότητα ισχύει για χ = 3 . Ομοίως ισχύουν και οι σχέσεις Q :s; y (6 - y) :s; 9 (3 ) O :s; z (6 - z) :s; 9 Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (3) και λαμβάνουμε ο < χ ( 6 - χ) Υ ( 6 - Υ ) Ζ ( 6 - Ζ ) ::;; 9 3 ' οπότε σε σύγκριση με την προκύπτει ότι οι σχέσεις (3 ) και πρέπει να ισχύουν ως ισότητες, δηλαδή χ = y = z = 3 . Εναλλακτικά οι σχέσεις (3 ) και μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή της ανισότητας αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου. Για παράδειγμα, αφού χ, 6 - χ > Ο έχουμε 0 < �χ(6 - χ) ::;; χ + 6 - χ = 3 => 0 < χ(6 - χ) :Ξ;; 9. 2°ς τρόπος: Επειδή είναι x, y, z > Ο , από τις δεδομένες εξισώσεις προκύπτει ότι 0 < χ < 6, 0 < y < 6, 0 < z < 6. Από τους τρεις αριθμούς κάποιος είναι ο μικρότερος, έστω χ ::;; y και χ ::::; z . Τότε έχουμε 9 = χ( 6 - y) ::;; χ( 6 - χ) ::;; z(6 - χ) = 9 , οπότε έπεται ότι χ(6 - χ) = 9 � χ2 - 6χ + 9 = Ο � (χ - 3)2 = Ο � χ = 3 . Αντικαθιστώντας στην πρώτη και στην τελευταία σχέση βρίσκουμε ότι y = 3 και = 3 . Πρόβλη μα 3 ··Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους b, p, όπου p πρώτος, που •

(2),

(4),

(1) (2) , (4)

είναι λύσεις της εξίσωσης

- =

(2),

+-.

Η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση p (a 2 + b 2 ) = a 2 b 2 Επειδή p πρώτος, από την προκύπτει ότι: p l a ή p l b . Λύση :

(1)

(4)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/28

α,

(4) (5 )

(1)

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

-------

Υποθέτουμε ότι p jα, οπότε α = pa1 , a1 Ν* . Επιπλέον, έχουμε ότι 1 = 1 -1 > -12 => b 2 > p => b 2 � p + l => -12 = -1 - -12 � -1 - -α p b p p + l p (p + l) p b 1_ > 1 = 1 � 1 => 1 � -1 => αι2 � 2 => αι = 1 => α = p. αι2 2 2p 2 Ρ 2 αι2 - Ρ ( Ρ + 1 ) Ρ 2 + Ρ -Τότε η εξίσωση (1) γίνεται: p ( p2 +b2 ) = p2b2 p2 +b2 = pb2 p2 =(p-1)b2 p2 -l =(p-l)b2 -1 p-1 >0 2 <::> (p - I ) (p + 1) = (p - l) b - 1 => (p - l)jl �p - 1 = 1 <::> p = 2. Επομένως, έχουμε α = p = 2 και από την εξίσωση ( 1) προκύπτει ότι b = 2 . Ομοίως εργαζόμαστε, αν υποθέσουμε ότι p jb. 2°ς τρ ό πος: Η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση p ( a2 + b 2 ) = a2 b 2 (1) 2 p(b 2 - p) + Ρ 2 Ρ2 (2) = = p + Λύνοντας ως προς α 2 έχουμε ότι α 2 pb b2 - p b2 - p b2 - p Αφού ο α 2 είναι ακέραιος, θα πρέπει b 2 - p Ι p 2 , επομένως b2 -p= l, ή b2 -p=p, ή b2 -p=p2. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ότι, b 2 - p = 1 <::> p b 2 - 1 = (b - I )(b + 1) και αφού p πρώτος, θα πρέπει b - 1 = 1 , άρα b = 2 και p = 3 . Τότε είναι α 2 = 12, άτοπο. Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι b 2 2p . Τότε b άρτιος, έστω b = 2b1 , οπότε 4q2 = 2p , άρα 2 1 p , άρα και πάλι p = 2 και b = 2 , οπότε και α = 2 . Στην τρίτη περίπτωση η (2) δίνει α 2 = p + 1 <::> p = α 2 - 1 = ( α - 1 )( α + 1) , οπότε αφού p πρώτος, θα πρέπει α - 1 = 1 , άρα α = 2 και p = 3 , οπότε προκύπτει b 2 = 3, άτοπο. ε

---

_ _ _,,,

�

•

Π ρόβλη μα 4··Μία παρέα που αποτελείται από η άτο μα παίζει ένα επιτραπέζιο παιχνίδι με τους εξής κανόνες. (α) Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτο μα ( β) Το παιχνίδι ολοκληρώνεται μετά από η γύρους (γ ) Κάθε δυάδα παικτών έχει παίξει μαζί σε τουλάχιστον ένα γύρο. Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του η. Λ ύση :

Αφού σε κάθε γύρο του παι-χνιδιού παίζουν ακριβώς 3 άτομα, το πλήθος των δυάδων σε κάθε γύρο είναι � :i . Επομένως όταν το παιχνίδι ολοκληρωθεί μΕτά από n γύρους, θα έχουν �

παίξει μαζί 3 n δυάδες ατόμων. Για να ικανοποιείται η τελευταία συνθήκη και να παίξουν όλες οι δυάδες παικτών, πρέπει το 3 n να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το συνολικό πλήθος των δυάδων, που είναι � . Δηλαδή, πρέπει: � 3 n n(n - Ι ) ,;; 3 n n � 1 ,;; 3 n ,;; 7 . 2 7 Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι η τιμή n = είναι η μεγαλύτερη δυνατή, αφού ικανοποιεί τους . 7 ' του προ βληματος. ' π ραγματι, για n κανονες = 7 ! = 6 7 = 21 = 3 · 7 ειναι 2 2 !· 5 ! 2 και αν υποθέσουμε ότι τα επτά μέλη της παρέας είναι οι : Α,Β,.Γ,Δ,Ε,Ζ,Η, τότε είναι δυνατόν να ορίσουμε επτά τριάδες που θα παίξουν στους επτά γύρους που πρέπει να γίνουν, έτσι ώστε όλα τα μέλη της παρέας ανά δύο να έχουν παίξει ένα παιγνίδι σε ένα τουλάχιστον γύρο. Μία τέτοια περίπτωση δίνουν οι τριάδες: (Α, Β, Γ), (Α, Δ, Ε), (Α, Ζ, Η), (Β, Δ, Η), (Β, Ε, Ζ), (Γ, Δ, Ζ), (Γ, Ε, Η).

( J ,;;

�

(1J

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/29

�

------ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

------

Π ροκρ ι ματ ι κός δ ι αγων ι σμός 201 7 8 Απριλίου 2017

Οι λύσεις των θεμάτων των μικρών τάξεων Π ρόβλη μα 1 . Θεωρούμε τρεις θετικού ς πραγ ματικούς αριθμούς α, b, c τέτοιους ώστε α + b + c = 1 . Ν α απο δ είξετε ότι:

(α+ 1)�2α(1-α) + (b + 1)�2b(l-b) + (c+ 1)�2c(l -c) � 8(αb + bc+ cα). Πότε ισχύει η ισότητα; Λ ύση ( 1 ος τρόπος) : Λόγω της συνθήκης α b + c = 1 , έχουμε ότι α + 1 = 2α + b + c και 1 - α = b + c. Επομένως η προς απόδειξη ανισότητα είναι ισοδύναμη με την (2α + b + c)�2a(b + c) + (2b + c + a)�2b(c + α) + (2c + α + b)�2c(a + b) z S(ab + bc + ca) +

Από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου έχουμε ότι και επομένως Όμοια, έχουμε

2α + b + c � 2�2a(b + c) (2α + b + c).J2a(b + c) z 2(2a(b + c)) (2b + c + a ).J2b(c + α) z 2(2b(c + α)) (2c + α + b).J2c(a + b ) z 2(2c(a + b))

(2) και (3) παίρνουμε το ζητούμενο. Η ισότητα ισχύει, αν, και μόνο αν, 2α = b + c, 2b = c + a, 2c = a + b

Με πρόσθεση των ( 1 ),

(1) (2), (3).

�

α = b = c = -1 .

2 °ς τρόπος: Από την ανισότητα γεωμετρικού-αρμονικού μέσου έχουμε ότι

.J2a(1 - a) � 1 2 1 = 4α(Ι - α) - + -- α + Ι 2α 1 - α

�

(α + 1)�2α(1 - α) � 4α (1 - α) .

Προσθέτοντας κατά μέλη τις όμοιες με αυτή έχουμε

1 --c-) � 4(a + b + c - a2 - b 2 - c2 ) . c (_ (α + 1) .J2a(1 - a) + (b + 1)�2b(1 - b) + (c + 1)'1�2_ Επειδή όμως α + b + c = 1 , έχουμε ότι a + b + c - a2 - b2 - c 2 = (a + b + c) 2 - α 2 - b 2 - c 2 = 2(ab + bc + ca) . Επομένως, έχουμε: (α + 1 ).J2a(1 - a) + (b + 1)�2b(1 - b) + (c + 1).J2c(l - c) � 8(ab + bc + ca) και διαιρώντας τα δύο μέλη με .J2 παίρνουμε τη ζητούμενη. Π ρόβλη μα 2 : Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O,R ) και σημείο F

στην πλευρά ΑΒ τέτοιο rοστε AF <

Β .

Ο κύκλος c1 (F, FA) τέ μνει την ευ θεία

ΟΑ

στο

σημείο Α' και τον κύκλο (c) στο σημείο Κ . Ν α απο δείξετε ότι το τετράπλευ ρο ΒΚFΑ ' είναι εγγράψιμο σε κύκλο που περνάει από το ση μείο Ο. Λ ύ ση : Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΒΚFΑ' είναι εγγράψιμο σε κύκλο ο οποίος περνά

( c ) . Το τρίγωνο AFK είναι ισοσκελές οπότε F1 = 2Α1 • Η γωνία είναι εγγεγραμμένη στο κύκλο ( c ) με αντίστοιχη επίκεντρη την 61 • Άρα 61 = 2Α1 = F1 ,

από το κέντρο Ο του κύκλου

Α1

οπότε το τετράπλευρο ΒΚFΟ είναι εγγράψιμο. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΟΒΚΑ' είναι εγγράψιμο. Έστω S το αντιδιαμετρικό σημείο του Α στο κύκλο ( c1 ) . Τότε το τρίγωνο AKS είναι ορ θ ογώνιο στο στο κύκλο

( c1

Κ , άρα §1 = 90° - Α 1 • Οι γωνίες S1 και Α.; ) και βαίνουν στο τόξο ΚΑ ) . Άρα είναι:

είναι ίσες (διότι είναι εγγεγραμμένες

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/30

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

------

Α'1 = 90° - Λ 1

(1) .

Από το ισοσκελές τρίγωνο ΟΚΒ έχουμε:

0 Βι = 900 - 1 = 90ο - Α1 Λ

Από τις σχέσεις (1), (2) έχουμε:

(2)

ΑΊ :8 1 • Άρα το τετράπλευρο ΟΒΚΑ' είναι εγγράψιμο. =

Σχήμα 1 Π ρόβλη μα 3 . Να απ οδείξετε ότι ο αριθμός Α = 720 - 48η - 1 είναι πολλαπλάσιο του 9, για κάθε θετικό ακέραιο η. Λύση ( 1 ος τρόπος) : Διακρίνουμε τις περιπτώσεις ανάλογα με το υπόλοιπο της διαίρεσης του n με το 3 . •

Αν n = 3k , τότε A = 76k - 48(3k) - 1 = 493k - 9 · 1 6k - 1 . Το 49 αφήνει υπόλοιπο 4 όταν διαιρείται με το 9, άρα το 493 αφήνει το ίδιο υπόλοιπο με το 43 = 64 , όταν διαιρείται με το 9. Αφού το 64 αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με το 9, το 493 αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με το 9. Έπεται ότι 9 l 493k

-1

, άρα 9 1 Α .

•

Αν n = 3k + 1 , τότε Α = 76k+2 - 48(3k + 1) - 1 = 72 76k - 9 · 1 6k - 49 = 49(76k - 1) - 9 · 1 6k .

•

Όπως είδαμε παραπάνω 9 1 76k - 1 , άρα και σε αυτή την περίπτωση 9 1 Α .

•

Αν n = 3k + 2 , τότε Α = 76k+4 - 48(3k + 2) - 1 = 74 76k - 9 · 1 6k - 97 . Αφού όπως είδαμε

•

παραπάνω ο

7 6k

υπόλοιπο με τον

αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με το 9, ο 74 · 76k αφήνει το ίδιο

= 492 , δηλαδή αφήνει υπόλοιπο 7 όταν διαιρείται με το 9. Όμως και

ο 9 7 αφήνει υπόλοιπο 7 όταν διαιρείται με το 9, άρα 9 1 74 · 76k - 97 , οπότε 9 1 Α . Σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι 9 1 Α , άρα το ζητούμενο έπεται. 2 °ς τρόπος: Θα αποδείξουμε την πρόταση με επαγωγή ως προς n . Έστω An = 72 n - 48n - 1 . Για n = 1 , η παράσταση ισούται με 72· 1 - 48 · 1 - 1 = Ο , που διαιρείται με το 9. Ας υποθέσουμε τώρα + ότι 9 l 72k - 48k - 1 και θα αποδείξουμε ότι 9 l 72ίk t> - 48(k + 1) - 1 .

Πράγματι, έχουμε ότι 4+1 = 72 · 72k - 4&lc -49 = 7\72k - 1) - 4&/c = 72 (4 + 4&/c) - 4&lc = 72 • 4 + 4 s2 · k . Όμως 9 1 48 2 • k και από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι 9 1 A έπεται ότι 9 1 Α +ι , που είναι k k το ζητούμενο. Π ρόβλη μα 4. Θ εωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευρά α. Έστω Δ , Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, Β Γ και ΓΑ, αντίστοιχα. Έστω Η το συμμετρικό του Δ ως π ρος την ευθεία ΒΓ . Χρωματίζου με όλα τα σημεία Α, Β , Γ , Δ , Ε , Ζ, Η με ένα από τα δύο χρώματα κ = κόκκινο και μ = μπλε. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/3 1

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

--------

(α) Να βρείτε πόσα ισόπλευ ρ α τρίγωνα ορίζονται με κορυφές από τα επτ ά σημεία Α, Β , Γ, Δ, Ε , Ζ, Η. (β) Να αποδείξετε ότι, αν τα ση μεία Β και Ε χρωματιστούν με το ίδω χρώ μα, τότε για οποωδήποτε χρωματισμό των υπόλοιπων ση μείων υπάρχει ισόπλευ ρο τρίγωνο με κορυφές από τα επτά ση μεία Α, Β, Γ, Δ, Ε , Ζ, Η του οποίου και οι τρεις κορυφές f:ι..ουν το ίδω χρώμα. (γ) Ισχύει το ίδιο συ μπέ ρ ασμα με αυτό του πρ οηγού μενου ερωτήματος, αν τα σημεία Β και Ε χρωματιστούν με διαφο ρ ετικό χρώμα;

Λύση : ( α) Ορίζονται συνολικά επτά ισόπλευρα τρίγωνα με κορυφές από τα δεδομένα επτά σημεία. Επειδή το τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το μισό της απέναντι πλευράς

έχουμε ΔΕ = ΕΖ = ΖΔ =

. 'Ετσι ισόπλευρα είναι τα

τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΔΖ, ΒΔΕ, ΕΓΖ, ΔΕΖ, ΒΗΕ (συμμετρικό του ΔΒΕ ως προς την ευθεία ΒΓ) και το ΔΗΓ (έχει ΓΗ = ΓΔ = α .J3 = ύψος ισοπλεύρου τριγώνου, ΓΔΗ =60° ) 2

(β) Έστω ότι τα σημεία Β και Ε χρωματίζονται κόκκινα. Αν τα σημεία Δ ή Η είναι επίσης κόκκινα, τότε υπάρχει το ζητούμενο τρίγωνο. Ας υποθέσουμε ότι τα σημεία Δ και Η χρωματίζονται μπλε. Αν το σημείο Γ είναι μπλε τότε πάλι ισχύει το ζητούμενο. Έστω ότι το σημείο Γ χρωματίζεται κόκκινο. Αν το σημείο Ζ χρωματιστεί κόκκινο, τότε το τρίγωνο ΕΓΖ πληροί το ζητούμενο. Έστω ότι το σημείο Ζ χρωματίζεται μπλε. Τότε όμως σε οποιοδήποτε χρωματισμό του σημείου Α ένα από τα τρίγωνα ΑΒΓ ή ΑΔΖ θα έχει και τις τρεις κορυφές του ιδίου χρώματος. (γ) Στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει το ίδιο. Στο παραπάνω σχήμα δίνεται ένας χρωματισμός στον οποίο κανένα ισόπλευρο τρίγωνο Τα σημεία Β, Γ, Ζ έχουν χρωματιστεί κόκκινα και τα υπόλοιπα σημεία μπλε.

Σχήμα 2

Σχήμα 3

Ασκήσεις για λύση Ο αριθμός α ε 1R. είναι ρίζα της Α46 . εξίσωσης χ3 2 χ + 8 = Ο. να αποδείξετε ότι -

και ο αριθμός 2 εξίσωσης.

i είναι επίσης ρίζα της α

γωνίας f' τέμνει τον περιγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ στα σημεία Γ και Ρ. Η κάθετη από το Ρ προς την πλευρά ΑΒ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΒΝ στο σημείο Δ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Κ, Δ, Ν είναι ομοκ:υκλικά.

Γ3 1. θεωρούμε σημεία Κ και Ν πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ, αντίστοιχα, τριγώνου ΑΒΓ έτσι ώστε ΚΒ = ΚΝ . Η διχοτόμος της ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/32.

Το ·ονε ιρο του =======

Ντίνο ς Κορ δ ώση ς

Το παρακάτω κείμενο είναι ένα μαθηματικό θεατρικό δρώμενο του πολυτάλαντου Μαθηματικού Ντίνου Κορδώση . Θα παρουσιαστεί σε 2 τεύχη μιας και είναι περιορισμένη η χωρητικότητα της στήλης. Στο δρώμενο αυτό εμφανίζονται 2 πράξεις, διαίρεση και πολλαπλασιασμός, και μάλιστα στην διαίρεση αντιστοιχούν 4 ρόλοι, διαιρετέος, διαιρέτης, πηλίκο, υπόλοιπο, οι οποίοι ερμηνεύονται από αντίστοιχους μαθητές και μαθήτριες. Υ Π ΟΛ Ο Ι Π Ο :

Κατάλαβες φίλε μου; Είμαι το κλωτσοσκούφι εδώ μέσα! . . Του κλώτσου και του μπάτσου ! .. του κλώτσου και του μπάτσου ! Π Η Λ Ι ΚΟ :

(Στο υπόλοιπο) Ησύχασε πια και στάσου σ' ένα μέρος, μας ζάλι,σες!

ΥΠ.:

Να ησυχάσω; Αυτή την πολυτέλεια την έχουν μόνο οι αφεντάδες (δείχνει Διαιρετέο και διαιρέτη) και οι βολεμένοι.(δείχνει το πηλίκο). Π ΗΛ. : Υπονοείς κάτι; Δεν κατάλαβα!

ΥΠ.:

Εννοώ ότι είμαι ο πιο υποβαθμισμένος, ο πιο αδικημένος, δέσμιος των ορέξεων όλων, εκείνος που κάνει τις αγγαρείες εδώ μέσα. Πως θέλεις να το δεχτώ αδιαμαρτύρητα; Π Η Λ. : Αδικημένος; Δέσμιος; Δηλαδή ποιανού είσαι δέσμιος; ΥΠ.:

Του διαιρέτη βέβαια. Δεν μ' αφήνει να κινηθώ ελεύθερα. Είμαι υποχρεωμένος να είμαι μικρότερός του. Έτσι και τολμήσω να εξισωθώ μαζί του, μετατρέπομαι αυτόματα σε μηδενικό, ενώ του λόγου σου αυξάνεσαι κατά μια μονάδα. Αυτή δεν είναι ζωή, είναι σκλαβιά! ΠΗ.\. :

Τι να σου κάνω φίλε μου όλοι έχουμε τις γονιδιακές μας αδυναμίες. Μήπως εγώ δεν είμαι εξαρτημένος απ' αυτά εκεί τα δυο ξαπλωμένα βουτυρόπαιδα; Ρε τραβιέμαι σου λέω σαν το λάστιχο ! Έτσι και του καθίσει του διαιρέτη ν' αυξηθεί εγώ αυτόματα ελαττώνομαι, αν του ' ρθει να ελαττωθεί εγώ αυξάνομαι. ΥΠ. :

Δε σου τα 'λεγα εγώ πως ο διαιρέτης είναι ο κακός μας δαίμονας;

Α, για σταθείτε. Τι νομίζεται πως εγώ είμαι προνομιούχος, πως δεν έχω περιορισμούς εγώ; Δ Ι Α Ι Ρ Ε Τ Η L. :

ΥΠ.:

Ρε, το παιδί μίλησε ! Έχει και θράσος ο τύπος!

Π Η Λ . : Δηλαδή τι περιορισμούς έχεις; ΔΙΑΙ ΡΕΤΗΣ:

Π ΗΛ.:

Πρώτον, σπάνια μπορώ να ξεπεράσω το Διαιρετέο.

Ε, αυτό εγώ δε μπορώ ποτέ να το πετύχω.

ΥΠ.:

Κοίτα ρε, κλαίνε τώρα οι χήρες κλαίνε και οι παντρεμένες! Κλαίει και των πεντακοσίων ευρώ κλαίνε και οι βουλευτές ως κακά αμειβόμενοι. ΔΙΑΙ ΡΕΤΗΣ:

Π ΗΛ. :

γενιά των ανέργων

Και το χειρότερο . . . Το χειρότερο είναι . . .

Ποιο είναι το χειρότερο;

Το χειρότερο είναι πως δεν έχω . . . δεν έχω το δικαίωμα ν' αγγίξω το μηδέν . . . δεν έχω το δικαίωμα εφ ' όρου ζωής ν' αγγίξω το μηδέν. Αααα! ΔΙΑΙ ΡΕΤΗΣ:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/33

------

ΥΠ.:

Κοίταξε υποκρισία! Μας παριστάνει τώρα και το θύμα!

Π ΗΛ.: ΥΠ.:

Ε, μην είσαι και συ τόσο άτεγκτο. Φαίνεται πως στ' αλήθεια έχει πρόβλημα.

Ωραία! Και ποιος ευθύνεται για τις συμφορές μας;

Π ΗΛ.:

(Δείχνοντας τον Διαιρετέο) Μόνο αυτός απόμεινε, άρα αυτός ευθύνεται!

ι\ Ι Λ Ι Ρ Ε ΤΑ ! ΟΣ :

Δ Ι Λ Ι Ρ Ε ΤΗ Σ :

πώς;

(Δείχνοντας κι αυτός τον Διαιρετέο) Αυτός εκεί ποιος άλλος!

Δ J Α Ι /> Ε Τ Λ Ι Ο Σ :

ΥΠ.:

Το όνειρο του Ευκλείδη

Εγώ;

Ρε σεις έχετε δίκιο. Σίγουρα αυτόος! Αυτός που μας το παίζει άνετος ευθύνεται!

Δ Ι Λ Ι Ρ ΕΤΛΙ ΟΣ:

Τι λέτε, τρελαθήκατε όλοι σας;

ΥΠ.:

Να τον λιντσάρουμε εδώ και τώρα! Εμπρός πάνω του ! (Εκείνη τη στιγμή επεμβαίνουν η πρόσθεση κι ο πολλαπλασιασμός). Π Ρ. :

ΥΠ. :

Ε, σεις φρόνιμα! Δε σας φταίει ο Διαιρετέος! Και τότε ποιος φταίει;

Π ΟΛ. :

ΠΗΛ.:

Κανείς βέβαια! Παρά μόνο ο τρόπος που βλέπετε τα πράγματα. Δηλαδή είναι ζήτημα φιλοσοφίας;

Π Ι) . :

Ακριβώς. Εσύ υπόλοιπο πρέπει να λάβεις υπ' όψη σου ότι έχεις το πλεονέκτημα να σχετίζεσαι με το μηδέν. Όσο για το διαιρέτη και το πηλίκο με λίγη διπλωματία θα μπορούσαν να εναλλάσσονται στους ρόλους, οπότε θα έχουν τη δυνατότητα να σχετίζονται με το μηδέν, και να δίνουν στο υπόλοιπο περισσότερες δυνατότητες. ΛΙΛΙΡΕΤΗΣ:

(Προς το πηλίκο).Αυτό είναι αλήθεια. Πώς δεν το σκεφτήκαμε;

ΠΗΛ.:

Τι να σου πω, δεν ήξερα πως είσαι τόσο αλτρουιστής, ώστε να μου παραχωρήσεις το ρόλο σου. Π ΟΛ. : Πηγαίνετε λοιπόν τώρα στη δουλειά σας χωρίς φασαρίες και καβγάδες. 1\ Ι Λ Ι Ρ Ε Τ Ε ΟΣ : Δεν πάω εγώ με τους τρελούς. Αυτοί εκεί με μισούν. ΠΡ:

Πήγαινε δεν κινδυνεύεις . Ξέρουν πως η ύπαρξή τους προϋποθέτει τη δική σου ύπαρξη . Τελικά το να μοιράσει κανείς ρόλους δεν είναι καθόλου εύκολη υπόθεση. Όλο και κάποιος θα είναι δυσαρεστημένος. Π ΟΛ . : Ωραία τα καταφέραμε. Θα πρέπει όμως να δώσουμε τίτλο σε τούτο το μικρό θεατρικό

δρώμενο. ΠΡ.:

Πανεύκολο. Θα τ' ονομάσουμε « το όνειρο του Ευκλείδη»

Π ΟΛ . :

fl P . :

Καλά ακούγεται αλλά . . . έχω μια ένσταση .

Ποια ένσταση ;

Π ΟΛ . : Να, αυτά που είπες για το Θεό και τους πρωτόπλαστους . . . Ο Ευκλείδης ήτανε κάποιους αιώνες πεθαμένος όταν έγινε η μετάφραση των εβδομήκοντα. Άρα δεν γνώριζε τα περί γενέσεως του πρώτου κεφαλαίου της Αγίας γραφής. ΠΡ. :

Μα όταν πρόκειται για ένα νου σαν του Ευκλείδη, η συμβατική έννοια του χρόνου καταργείται. Δεν υπάρχει πια πριν και μετά, δεν υπάρχει ροή του χρόνου προς μια κατεύθυνση . ΠΟΛ. :

Εντάξει λοιπόν ας ονομαστεί «τ' όνειρο του Ευκλείδη» Τ ΕΛΟΣ ΔΙΑΛΟΓ ΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/34

Το άθρο ι σ μ α των γων ι ών ενός τρ ι γώνου δεν ι σούτα ι πάντοτε 1 80° =======

Στά μη Τσικοπούλου

Αγαπητέ Ευ κλείδη Α, Χθες ο μα θηματικός μας είπε ότι το άθροισμα των γω ν ιών ενός τριγώνου δεν είναι πάντα 18rf αλλά μπορεί να γίνει μέχρι 540°. Δεν μας το εξήγησε όμως, γιατί όπως μας είπε, αυτό θα το μά θουμε στο πανεπιστήμιο. Επειδή δεν μ πορώ να περιμένω μέχρι τότε και δεν ξέρω και α ν θέλω να γίνω μα θηματικός, μπορείς να με βοηθήσεις, με απλά παραδείγματα, να το καταλάβω; Ευχαριστώ, Μαρία

Μαρία, έχει δίκιο ο μαθηματικός σου, ότι για την απόδειξη της πρότασης αυτής δεν αρκούν τα μαθηματικά που μαθαίνουμε στο σχολείο. Θα προσπαθήσουμε όμως στη συνέχεια, με ορισμένες απλές κατασκευές, να την καταλάβεις και εσύ και οι φίλοι μας που μας διαβάζουν. Πριν αρχίσετε φίλοι μας να διαβάζετε το άρθρο, προμηθευτείτε ορισμένα απλά υλικά : χαρτί, μολύβι, μοιρογνωμόνιο, ψαλίδι και μια λεπτή αυτοκόλλητη χάρτινη ταινία, σαν αυτές που χρησιμοποιούμε για να τυλίξουμε ένα δέμα, και ας αρχίσουμε. Κατασκευή 1 η Με τρεις λουρίδες από την χαρτοταινία, σχηματίστε πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια από φορμάικα, γυαλί ή πλαστικό, π.χ σ'ένα τραπέζι, ένα τρίγαινο (σχημ. 1 ) . Όπως μάθατε στο σχολείο, το άθ ροισ μα των γωνιών του τ ρ ιγώνου είναι 1 80° . Μπορείτε άλλωστε να το επιβεβαιώσετε, για μια ακόμα φορά, μετρώντας τις γωνίες του με το μοφογνωμόνιο σας. Κατασκευή 2η Με τη βοήθεια της χαρτοταινίας σχηματίστε πάνω σε μια σφαίρα π.χ σε μια κενή γυάλα για τα χρυσόψαρα ή σ' ένα στρογγυλό μπαλόνι, ένα τρίγωνο (σχημ.2) φροντίζοντας να μην σας διπλώνει η χαρτοταινία. Μετρήστε τις γωνίες του τριγώνου μ' ένα εύκαμπτο μοιρογνωμόνιο, που μπορείτε να φτιάξετε αντιγράφοντας σ' ένα διαφανές χαρτί το μοιρογνωμόνιο σας ή φωτοτυπώντας το και θα διαπιστώστε ότι το άθ ρ οισμα των γωνιών του τ ρ ιγώνου είν αι μεγαλύτερο από 1 80°. Κατασ κευή 3 11 Σχηματίστε πάνω σε ένα πλαστικό σκαμνί σαν αυτό του σχη μ.3, ένα ακόμα τρίγωνο με τη βοήθεια της χαρτοταινίας. Μετρήστε τις γωνίες του με το χάρτινο μοιρογνωμόνιο σας και θα διαπιστώστε ότι το άθ ρ οισμα των γωνιών του τ ρ ιγώνου είναι μικρ ότε ρο από 1 80°.

" ' /J

•

Ί'

σχημ .

1 80 .

rι + Jl • y) tBO" L σχη μ.

- - - - -----

α +

• γ < 180

σχημ.

Από τις κατασκευές αυτές διαπιστώνουμε ότι : α) Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια (σ ' ένα επίπεδο όπως συνηθίζουμε να λέμε) είναι ίσο με 1 80 ° . β) Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πάνω στην επιφάνεια της σφαίρ ας, ενός σφαιρικού τριγώνου όπως λέγεται, είναι μεγαλύ τερο από 1 80°. γ) Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πάνω στην υπερβολοειδή επιφάνεια, όπως λέγεται η επιφάνεια του σκαμπώ που χρησιμοποιήσατε πιο πάνω, είναι μικρότερο από 1 80°. ΕΥΚΛΕ Ι ΔΗΣ Α ' 1 04 τ.4/35

------

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν ισούται πάντοτε 1 80°

-----

Αιτία για όλα τα παραπάνω είναι μια ιδιότητα που έχουν οι επιφάνειες η Διαφορετικές επιφάνειες έχουν διαφορετική καμπυλότητα. Για να το καταλάβετε δοκιμάστε το εξής : Στίψτε μισό πορτοκάλι και πατήστε με την παλάμη σας τη φλούδα του. Θα γίνει μεν επίπεδη αλλά θα σκιστεί ( ! ) γιατί η σφαίρα και το επίπεδο έχουν διαφορετική καμπυλότητα. Αν μ' έν α μολύβι σχηματίσετε πάνω σ' ένα φύλλο χαρτιού το περίγραμμα της πατημένης πορτοκαλόφλουδας, όταν θελήσετε να την ανασυνθέσετε θα πρέπει να αφαιρέσετε τμήματα από την επιφάνεια του χαρτιού. Την έννοια της καμπυλότητας την εισήγαγε ο Gauss το 1 827, προκειμένου να κατατάξει τις επιφάνειες. Η κατάταξη αυτή παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα.

/,.

/\ '

' Ι

\\ ,,.._j,

., . . .. ..

. . ___

<>φυ ψ ι κ11 ;;;τ ι <� rχ Ί Τ Ι Ο. f ! π ι 1.:1Ί κr.ι μιωλr)τηω.

Όταν η επιφάνεια πάνω στην οποία είναι σχεδιασμέν ο ένα τρίγωνο έχει θετική καμπυλότητα τότε το άθροισμα των γωνιών του είναι μεγαλύτ ερο από 1 80 ° , όταν έχει μηδενική καμπυλότητα είναι ίσο με 1 80° , ενώ όταν έχει α ρνητική κα μπυλότητα τότε το άθροισμα είναι μικρότερο από 1 80 ° . Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι : • Το άθ ρ οισμα των γωνιών ενός τ ρ ιγώνου εξα ρτ άται από το εί,δος της επιφάνειας π άν ω στην οποία είναι αυτό σχεδιασμένο. • Το άθ ρ οισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 1 80° μόνο αν το τρίγωνο είναι σχεδιασμένο στο επίπεδο. Σ φ α ι ρ ι κ ά τ ρ ίγ ω να

( τ ρ ίγωνα πr.1ν(•J σ τ η ': Στην διπλανή φωτογραφία, ένα τρίγωνο είναι σχεδιασμένο πάνω στην επιφάνεια της Γης. Στο σφ ωρ ι"cΎ αυτό τρίγωνο που είναι ισοσκελές, οι δυο πλευρές του είναι τμήματα δύο μεσημ β ρ ινών της γης (μεσημβρι νο ί λέγο νται ο ι κύκλο ι της σφαίρας που διέρ χονται από τους πόλους) και σχηματίζουν μεταξύ τους στον Βόρειο Πόλο, γωνία 50 ° . Η τρίτη πλευρά του τριγώνου είναι τμήμα του κύκλου του ισημερινού της γης. Καθεμιά από τις δύο γωνίες της βάσης αυτού του τριγώνου είναι 90 ° . Το τρίγωνο έχει δίJο ο ρ θές Ί ω ν ίΕς και το άθροισμα των γωνιών του είναι : 50 ° + 90 ° + 90° 230° > 1 80 ° Αν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία 50 ° σχεδιαστεί πάνω σε μια μικρή επιφάνεια της γης (που για μικρές αποστάσεις θεωρούμε ότι είναι επίπεδη), η άλλη οξεία γωνία του θα είναι 40° (όπως σ ' αυτό στη μικρή φωτογραφία κάτω δεξιά), γιατί το επίπεδο έχει μηδενική καμπυλότητα και το άθροισμα των γωνιών του είναι 1 80° (50°+90 °+40 ° = 1 8 0 °) . Αν η γωνία των μεσημβρινών του παραπάνω σφαιρικού τριγώνου είναι και αυτή ορθή, τότε το =

Ε ΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/36

------ Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν ισούται πάντοτε 1 80°

-----

τρίγωνο, όπως αυτό της διπλανής φωτογραφίας, έχει τ ρ ε ι ς ο ρ θές γωνίε ς κω το άθροισμα τους ° ° ° είναι : 90 + 90 + 90 270 ° . =

Η γωνία των μεσημβρινών στο Β πόλο, που στο διπλανό σφαιρικό τρίγωνο είναι 90° , μπορεί να μεγαλώσει και να γίνει μέχρι 3 60° , αν οι δύο μεσημβρινοί κινηθούν προς το πίσω μέρος της σφαίρας σε μια προσπάθεια να ενωθούν. Τότε το σφαιρικό τρίγωνο θα έχει δύο ορθές γωνίες στη βάση του και άθροισμα γωνιών κάτι λιγότερο από 540° . Με τα προβλήματα επίλυσης των σφαιρικών τριγώνων και τη μέτρηση των αποστάσεων πάνω στην γήινη ή την ουράνια σφαίρα που συναντάμαι στη πράξη, ειδικά στην στην (την κατασκευή χαρτών), στην Ω κεανωτλοΤα (τη ναυσιπλοία : , -� (τη ναυσιπλο'fα σ ε πολικές πε ριοχές), ασχολε ίται η στους ωκεανούς) στην ·: ένας ιδιαίτερος κλάδος της μη Ευκλείδ ειας γεωμετρίας που πραγματεύ εται ειδικά την κυρτή επιφάνεια της σφαίρας) και ένας συναφής κλάδος με αυτήν, η Δύο κλάδοι των μαθηματικών που δ εν διδάσκονται στο σχολείο . ··

.,...,, 0 1,,,,,

-;,\)::::

στην παράπλευρη επιφάνεια ενός κυλίνδρου, π.χ στο χαρτί που είναι κολη μμένο σ ' ένα έν α κουτί κονσέρβας, τότε πόσο είναι το

Αν ένα τρίγωνο είναι σχεδιασμένο πάνω άθροισμα των γωνιών του ;

Για να απαντήσουμε θα καταφύγουμε και πάλι σε μια κατασκευή . Σ' ένα χάρτινο ρολό, δηλαδή σ' έναν κύλινδ ρο , σχηματίζουμε με την χαρτοταινία μας πάνω στην επιφάνειά του, ένα τρίγωνο. Οι πλευρές του τριγώνου αυτού μοιάζουν με έλικε ς (σχημ.4). Αν μετρήσουμε όμως τις γωνίες του θα διαπιστώσουμε κάτι απρόσμενο, ότι δηλαδή το άθροισμά τους είναι 1 80° . Από αυτό συμπε ραίνουμε ότι η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου δ εν είναι μια καμπύλη επιφάν εια. Αν την «ξετυλίξουμε» άλλωστε είναι ένα επίπεδο. .Αν ένα τρίγωνο είναι σχεδιασμένο πάνω στην το άθροισμα των γωνιών του;

σχη μ. 4

επιφάνεια ενός κώνου, τότε πόσο είναι

Στην πε ρίπτωση αυτή θα διακρίνουμε δύο πε ριπτώσεις ανάλογα με το αν βρίσκεται στο εσωτε ρικό ή το εξωτερικό του τριγώνου. Πάνω σ' ένα φύλλο χαρτιού που έχει σχήμα κυκλικού τομέα (σχη Ji . 5) σχεδιάζουμε ένα τρίγωνο. Το τρίγωνο επειδή είναι σχεδιασμένο σε επίπεδη επιφάνεια έχει άθροισμα γωνιών 1 80 ° . Στη συνέχεια ενώνουμε τις δύο άκρ ες του χαρτιού οπότε σχηματίζεται ένα κώνος που η κορυφή του Α δεν βρίσκεται στο εσωτε ρικό του τριγώνου.

κορυφή του κώνου

· ----� \

0.-i·

ζ;

-�-

�-

σ :

σχη μ. 5

Εφόσον ο κώνος σχηματίσθηκε από ένα επίπε δο, το τρίγωνο που είναι σχεδιασμένο στην παράπλευρη επιφάνειά του έχει άθροισμα γωνιών 1 80° . Από ένα φύλλο χαρτιού, που έχει σχήμα ορθογωνίου, αφαιρούμε με το ψαλίδι μια ορθή γωνία θ (σχημ. 6). Αν ενώσουμε τις δύο άκρ ες του χαρτιού που σχηματίστηκαν με το κόψιμο, τότε σχηματίζεται τοπικά μια κωνική επιφάνεια με κορυφή στο σημείο Α. Πάνω στην επιφάνεια αυτή σχηματίζουμε με την βοή θ εια της μετροταινίας ένα τρίγωνο ώστε η κορυφή Α του κώνου να βρίσκεται στο εσωτ ερικό του τριγώνου, φροντίζοντας πάντα να μην μας διπλώσει η χαρτοταινία. Η επιφάνεια του κώνου έχει θ ετική καμπυλότητα. Άρα το άθροισμα των γωνιών ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Α ' 104 τ.4/37

------

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν ισούται πάντοτε 1 80°

-----

του τριγώνου μας είναι 1 80 ° + θ, δηλαδή είναι μεγαλύτερο από 1 80 ° .

α +

+ r

•

ιsο •

ιι '

�

1 80 .

σχη μ.7

ιι,

' n,

σχημ .6

Αν τώρα αφαιρέσουμε από δύο διαδοχικές πλευρές του χαρτιού μας δύο γωνίες τις θ1 και θ2 όπως στο (σχημ.7) τότε σχηματίζουμε τοπικά δύο κωνικές κορυφές. Αν με την μετροταινία σχηματίσουμε πάνω σ ' αυτή την επιφάνει ένα τρίγωνο ώστε και οι δύο κορυφές να βρίσκονται στο εσωτερικό του τριγώνου, τότε επειδή η επιφάνεια έχει θετική καμπυλότητα, το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα είναι 1 80 ° + 8 1 + θ 2 >Ο.

Κατασκευή 7η Αν σ' ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτιού κάνουμε σε μια πλευρά του μια τομή και προσθέσουμε μια γωνία θ όπως στο (σχημ.8) τότε σχη ματίζεται μια υπερβολική, μια σαμαροειδής επιφάνεια (μια επιφάνεια σαν το σαμάρι του αλόγου). Η επιφάνεια αυτή έχει αρνητική καμπυλότητα. Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου που είναι σχεδιασμένο πάνω της, θα είναι 1 80° - θ, δηλαδή θα είναι μικρότερο από 1 80 ° .

α+

β + v =180°. θ

σ:χη μ. 8

,�.,.

Μια επιφάνεια, στον τρισδιάστατο χώρο που ζούμε , μπορ εί να έχει τμήματα με '; ν � θετική καμπυλότητα, άλλα με αρνητική ή και με μηδενική καμΠtι.>λότητα, οπότε τα τρίγωνα που σχη ματίζουμε πάνω της δεν έχουν όλα άθροισμα γωνιών 1 80° . Για να το καταλάβουμε θα καταφύγουμε και πάλι σε μια κατασκευή . Κατασκευή 8η Σχεδιάσουμε πάνω στην επιφάνεια μιας καλά φουσκωμένης σαμπρέλας (σ ' έναν τόρο όπως τον λέμε στα μαθηματικά) μικρά τρίγωνα (σχημ.9). Όλα αυτά τα τρίγωνα δεν έχουν άθροισμα γωνιών ίσο με 1 80 ° αφού υπάρχουν περιοχές στην επιφάνεια της σαμπρέλας με μηδενική, θετική και αρνητική καμπυλότητα. Όσα από αυτά τα τρίγωνα, βρίσκονται στην πάνω και την κάτω επιφάνεια της έχουν άθροισμα γωνιών ίσο με 1 80 ° , όσα βρίσκονται στην εξωτερική επιφάνεια της, μεγαλύτερο από 1 80° και όσα βρίσκονται στην εσωτερική επιφάνεια της μικρότερο από 1 80° . Ελπίζουμε Μαρία αλλά και εσείς φίλοι μας που μας διαβάζετε να καταλάβατε ότι το άθ ρ οισ μα των γωνιών ενός τ ριγώνου δεν ισούται πάντοτε με 1 80° και ότι αυτό εξαρτάται από την επιφάνεια πάνω στην οποία το τρίγωνο είναι σχεδιασμένο. Η γεωμετρία που μαθαίνουμε στο σχολείο είναι η Ευκλείδεια γεωμετρία. Ιδιαίτερο βάρος δίνουμε σ' ένα κλάδο της, στη γεωμετρία του επιπέδου, την επιπεδομετρία όπως ονομάζεται. Η επιπεδομετρία ε ξετάζε ι τα σχήματα και τις ιδιότητες των σχημάτων που βρίσκονται πάνω σε μια επίπεδη επιφάν εια. Επειδή λοιπόν τα σχήματα που εξετάζουμε στο σχολείο, βρίσκονται όλα πάνω σ' ένα επίπ εδο, γι αυτό μαθαίνουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 1 80° χωρίς να εξετάζουμε τι συμβαίνει, όταν το τρίγωνο βρίσκεται πάνω σ ε άλλες επιφάν ειες. Όσο για τις άλλες γεωμετρίες, την σφαι ρ ική και την υπερβολική, και τις ιδιότητ ες που έχουν τα σχήματα που βρίσκονται πάνω σε αυτές, θα τις μάθ ετ ε στο Παν επιστήμιο. ·

ΕΥΚΛΕΙ Δ ΗΣ Α ' 104 τ .4/38

Αδύνατα Σχήματα GEOGEBRA

======

Α.

Μα ρ ία Κ. Ρου σούλη , Γιώ ργος Ε. Καραφέρης

Αδ ύ νατα σχή ματα

Τα αδύνατα σχήματα ή αδύνατα αντικείμενα ανήκουν στις οπτικές ψευδαισθήσεις. Είναι δισδιάστατα σχήματα τα οποία στιγμιαία και υποσυνείδητα ερμηνεύονται από το οπτικό σύστημα σαν τρισδιάστατα αντικείμενα. Συνήθως χρειάζονται λίγα δευτερόλεπτα για να αντιληφθούμε το «αδύνατο», δηλαδή ότι είναι αδύνατο να υπάρξει ένα τέτοιο αντικείμενο και ότι είναι αδύνατο να κατασκευαστεί. Όμως η αρχική εντύπωση του τρισδιάστατου αντικειμένου παραμένει ακόμη κι αν έχει αντικρουστεί και οφείλεται στην έ μφυτη τάση μας να ερμηνεύουμε τα 2D σχέδια σαν 3D αντικείμενα. Γι'

αυτό και το σχέδιο του κύβου του Necker (εικ. 1) το βλέπουμε σαν κύβο και

&χι σαν δύο τετράγωνα ενωμένα με π'λiJ.για ευθύγραμμα τμήματα. Υπάρχουν βέβαια

και αδύνατα αντικείμενα των οποίων πρέπει κάποιος να εξετάσει προσεκτικά την

γεωμετρία μέχρι να τα χαρακτηρίσει αδύνατα. Τα αδύνατα αντικείμενα παρουσιάζουν ενδιαφέρον για ψυχολόγους, μαθηματικούς και καλλιτέχνες, χωρίς ωστόσο να ανήκουν σε κάποιο συγκεκριμένο επιστημονικό πεδίο [ 1 ]. «Πατέρας

των

αδύνατων

Reutersvard ( 1 9 1 5-2002),

σχημάτων»

θεωρείται

Σουηδός

Το 1 934 μαθητής ακόμη, σχεδία�� 2- .:_��<? τρίγωνο _ ..,.......,...,.,,. . 2500 από περισσότερα .

Το

έργα

γραφίστας

Oscar

πρωτοπόρος στην τέχνη του σχεδιασμού των τρισδιάστατων

αντικειμένων.

αvτικείμενα.

Εικόνα 1

του

έκαναν μεγάλη εντύπωση και το 1 982 τυπώθηκαν προς τιμήν του από την Σουηδική κυβέρνηση, γραμματόσημα με το τρίγωνο

i sνE RIGE

και άλλα 2 αδύνατα αντικείμενα. Ά λλα

αδ ύ νατα σz1Ί ματα του Re u t e π ν a ι-d

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/39

------- Αδύνατα Σχήματα και η κατασκευή τους με GEOGEBRA Α δ ύ νατο τ ρ ίγωνο 1 5 1

Το 1 95 8 ο μαθηματικός Roger Penrose επινόησε το αδύνατο tri-bar το οποίο σχεδίασε στην πιο γνωστή του μορφή (εικ.3 ,4) και δημοσίευσε ένα άρθρο (με τον

πατέρα του Lionel) στο British Joumal of Psychology

Εικόνα 3

[7] . Δεν ήξεραν ότι ο Oscar Reutersvard είχε ανακαλύψει

Εικόνα 4

το ίδιο αντικείμενο το 1 934. Σε μία κυκλική πλατεία στο East Perth στην Αυστραλία υπάρχει το παρακάτω γλυπτό που όταν το δει κανείς από τη σωστή γωνία απεικονίζει το αδύνατο τρίγωνο [8] .

διπλανή

Στη βλέπουμε

μία

κατασκευή

εικόνα

τρισδιάστατη

για

το

αδύνατο

τρίγωνο από διάφορες οπτικές γωνίες. ΑδiJνατος Κί) βος 19 1 [ 1 οι Ο αδύνατος κύβος στηρίζεται στον κύβο του

Louis Albert Necker ' ( 1 832) (εικ.5) στον οποίο οι ακμές παρουσιάζονται σαν στερεοί δοκοί και έτσι μετατρέπεται σε αδύνατο αντικείμενο. Έτσι ενώ όλες οι γωνίες είναι σωστές, η επικάλυψη ακμών γίνεται με τρόπο μη φυσικό. Εικόνα 5 Αδύνατο κύβο βρίσκουμε στη

λιθογραφία Belvedere

( 1 958)

του

εικαστικού

Ολλανδού καλλιτέχνη

Maurits Comelis Escher ( 1 898- 1 972) (εικ. 6) [ 1 1 ] , καθώς και σε έργα

του

Εικόνα 7

Φλαμανδού-Βέλγου ζωγράφου Jos

de Mey

( 1 928-2007) (εικ.7,8) [ 1 2] ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/40

Εικόνα 8

των

------- Αδύνατα Σχήματα και η κατασκευή τους με GEOGEBRA

Β. Κατασκευές με GeoGebra

Στη συνέχεια εμφανίζεται η δική μας προσπάθεια μέσω του λογισμικού GeoGebra και χωρίς καμία σχεδιαστική εκπαίδευση και ικανότητα να παρουσιάσουμε μερικά «αδύνατα σχήματα» 1) Κατασκευή του αδύνατου τριγώνου

Ξεκινήσαμε την κατασκευή με ένα ισόπλευρο τρίγωνο (σχήμα 1 ), και δυο παράλληλες ευθείες σε κάθε πλευρά του τριγώνου (σχήμα 2). Κόψαμε τις τρείς κορυφές και ενώσαμε ακτινωτά με σχήματα «V» ώστε να δημιουργηθεί το σχήμα 3 .

Σχή μα 2

Σχήμα 1

Γεμίσαμε τέλος με χρώματα τα πολύγωνα αμέσως

που

προέκυψαν

και

κατασκευάσαμε το πιο

διάσημο αδύνατο σχήμα!

Σχήμα 3 2) Κατασκευή του αδύνατου τετραγώνου

Κατασκευάσαμε τρία τετράγωνα με το ίδιο κέντρο (σχήμα 1 ), στη συνέχεια φέραμε γραμμές

όπως στο σχήμα 2 κόβοντας τις τέσσερεις κορυφές και ενώνοντας ακτινωτά με σχήματα κεφαλαίου «Γ» ώστε να δημιουργηθεί το σχήμα 3 . Γεμίσαμε στη συνέχεια με χρώματα τα πολύγωνα που προκύπτουν (σχήμα 4) και . . . έτοιμο το αδύνατο τετράγωνο. Γ

D Σχήμα 1

""'------

Σχήμα 2

Σχή μα 3

Σχήμα 4

3) Κατασκευή του αδύνατου αστεριού Πρώτα κατασκευάσαμε ένα κανονικό πεντάγωνο (σχήμα 1 ) και φέραμε τις διαγώνιες και τις ακτίνες του πενταγώνου (σχήμα 2).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/41

-------

Αδύνατα Σχήματα και η κατασκευή τους με GEOGEBRA Δ

Σχήμα 2

Σχήμα 1

Σχήμα 3

Στη συνέχεια αποκρύψαμε το πεντάγωνο και με τη βοήθεια κύκλων αποκόψαμε από τις κορυφές 5 ίσα ισοσκελή τρίγωνα (σχήμα

3), ενώνοντας τις κομμένες κορυφές σχηματίζοντας το

αστέρι του σχήματος 4.

Σχήμα 5

Σχήμα 4

Τέλος αφού ενώσαμε τις απέναντι κορυφές του κομμένου

Σχήμα 6 αστεριού όπως φαίνεται στο

σχήμα 5 και κάναμε 3 εσωτερικά πεντάγωνα, ενώσαμε με το μέσο της πλευράς του εξωτερικού πενταγώνου κυκλικά ξεκινώντας από το μεσαίο πεντάγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα 6 και δημιουργήσαμε το αδύνατο αστέρι. 4) Μία σύντομη σχεδιαστική κατασκευή του αδύνατου κύβου (σχήματα 1 ,2,3)

Σχήμα 1

Σχήμα 2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/42

Σχή μα 3

-------

Αδύνατα Σχήματα και η κατασκευή τους με GEOGEBRA

. . . ο οποίος με λίγη πονηριά μπορεί να κατασκευαστεί. . . με κομμένες ακμές και αρκεί να τον περιστρέψουμε ή να τον δούμε από την σωστή γωνία (εικόνες 9 και 1 0)

5) Τα βήματα για τον σχεδιασμό του

Εικόνα 1 0

Εικόνα 9

«διαπασών του διαβόλου» ή αδύνατης τρίαινας ή Blivet

το οποίο ανακάλυψε το 1 892 στο Pfulingen της Γερμανίας, ο Erasmus Wolfgang Blivet [ 1 3] (σχ ' ματα 1 ,2,3). Το οποίο εύκολα μετατρέπεται σε αδύνατες κολώνες (εικόνα 3) Σχήμα 1

Σχήμα2

Σχή μα 3

Επίλογος

Εικόνα 3

Μετά από αυτή τη σύντομη διαδρομή στον κόσμο των «Αδύνατων Σχημάτων» (lmpossible Shapes or Structures), έναν κόσμο που ακροβατεί μεταξύ της καλλιτεχνική ς δημιουργίας, της ψυχολογίας και των μαθηματικών, θα θέλαμε να εστιάσουμε στην τάση που έχει ο ανθρώπινος εγκέφαλος να ερμηνεύει τα σχήματα του χώρου των δύο διαστάσεων ως τρισδιάστατα, ακόμη κι αν

η λογική και η εμπειρία του υποδεικνύουν πως η κατασκευή αυτή στον πραγματικό χώρο των

τριών διαστάσεων είναι αδύνατη . Ενδιαφέρον θα είχε η μελέτη καλλιτεχνημάτων που θα προσπαθούσαν να παρουσιάσουν την αντίστοιχη μεταφορά από τις τέσσερεις διαστάσεις . στις τρείς, μέσα από τα μάτια ενός καλλιτέχνη, μεταφορά στην οποία ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν είναι καθόλου εξοικειωμένος. Βιβλιογραφία [ 1 ] https ://en. wikipedia. org/wiki/lmpossible object (4- 1 -20 1 7) [2] http://www. sandlotscience.com/Eyeonll lusions/Reutersvard.htm (4- 1 -20 1 7) [3] https ://www.google.gr/search?g= lkemath ' s+J mpossible+Gallery+vo l . 2 [4] https ://gr.pinterest. com/pin/32475 1 823 1 1 2260924/ [5] World ofMathematίcs, 2006, published by Thomson Gale [6] L.S.Penrose and R.Penrose ''Impossible obj ects: Α Special Type of Visual Illusion" British Journal of Psychology XLIX ( 1 958) [7] IllusionWorks, L.L.C http://www.psychologie.tudresden.de/i l /kaw/dίverses%20Material/www . i llus ionworks.com/html/ίmpossίble trίangle.html ( 1 6- 1 -20 1 7) [8] http://www.perthwalkabout.com/Places-of-lnterest/impossible-triangle-part-one.html(25-3-20 1 7) [9] https ://en. wikipedia.org/wiki/lmpossible cube (2 1 - 1 -20 1 7) [ 1 Ο] http://www .newworldencyc lopedia.org/entry/lmpossible cube [ 1 1 ] Vitaliy Kaurov (20 1 6). Α possible model of an impossible cube of M.C. Escher, http://community. wolfram. com/groups/-/m/t/8 7 5 044 (22- 1 -201 7) [ 1 2) https ://en .wi kipedia. org/wik i/Jos De Mey [ 1 3 ] https ://en . wikipedia. org/wiki/I mpossible trident 3 1 - 1 -20 1 7

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/43

Μόσχου Αλέξανδ ρου Πειραματικές δράσεις στη Β ' και Γ ' Γυμνασίου Σ η μάντρων Χαλκιδικής. Το σχολείο μας είναι ένα επαρχιακό γυμνάσιο με Λυκειακές Τάξεις στα Σήμαντρα Χαλκιδι κής. Βρισκόμαστε 60 χιλιόμετρα από τη πόλη της Θεσσαλονίκης και μόλις 1 2 από τα Ν. Μου δανιά που είναι ο μεγαλύτερος δήμος της Χαλκιδικής και σηματοδοτεί την αρχή του πρώτου πο διού. Τα Σή μαντρα είναι μια κωμόπολη των 3 .000 κατοίκων που ασχολούνται κυρίως με τη γε ωργία κι έχουν καταγωγή από την περιοχή Σέμεντρε της Μ . Ασίας. Στο σχολείο φοιτούν συνο λικά γύρω στους 1 70 μαθητές όλων των τάξεων γυμνασίου και λυκείου. Εξυπηρετεί μαθητές των Σημάντρων καθώς και του γειτονικού χωριού της Πορταριάς. Θα σας παρουσιάσω παρακάτω πειραματικές δράσεις που πραγματοποιήθηκαν στους μαθητές της β ' και γ' γυμνασίου του σχολείου μας. Κοινός τόπος και των δύο δραστηριοτήτων είναι ο υπο λογισμός του ύψους του σχολείου μέσα από διαφορετικές όμως μαθηματικές προσεγγίσεις. Α) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΣΤΟΥ ΧΟΛΕΙΟΥ ΜΕ Ε ΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Η πρώτη πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των μαθηματι κών Β ' Γυμνασίου στις 25 Φεβρουαρίου 201 6. Η δράση όπως περιγράφεται παρακάτω υλοποιή θηκε στο τμήμα Β2 που αποτελούνταν από 1 4 μαθητές. Αφορούσε στην διδασκαλία της εφαmο μένης οξε ίας γωνίας και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα Μαθηματικά που αποκαλείται "μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα". Έτσι συνδέεται η γνώση των Μαθηματικών με την πραγματικότητα και την καθημερινότητά μας. Φαίνεται ότι τα Μαθηματι κά δεν είναι μια αυστηρή θεωρητική επιστήμη αλλά είναι συνυφασμένη με τις πρακτικές μας ανάγκες. Στόχος ήταν να υπολογίσουν οι μαθητές το ύψος του κτιρίου του σχολείου τους χρησι μοποιώντας την τριγωνομετρία και για το λόγο αυτό κατασκεύασαν με απλά υλικά γωνιόμετρο. Χρόνος υλοποίησης δραστη ριότητας: 2 διδακτικές ώρες Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων. Ο πρώτος θα ήταν ο χειριστής του γωνιόμετρου , ο δεύτερος ο καταγραφέας που καταγράφει τις μετρήσεις στο φύλλο εργασίας , οι δύο επόμενοι μετρούσαν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στάθηκε ο χειριστής μέχρι τη βάση του σχολείου.Ο τελευταίος ήταν ο συντονιστής της ομάδας. Πορεία δ ραστη ριότητας: 1 η διδακτική ώρα: Αρχικά η κάθε ομάδα με απλά υλικά κατασκεύ ασε ένα απλό γωνιόμετρο. Τα υλικά που χρειάστηκαν ήταν: 1. Ορθογώνι ο χαρτόνι. 2. Φω τοτυπία μοιρογνωμόνιον 3. Ζιλ οτέιπ 4. Κόλλα 5. Κλ ω στή 6. Κουμπι ά ( σα βαρίδι) =======

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/44

------ Μετρώντας το ύψος του σχολείου μας

------

. Η κατασκευή του γωνιόμετρου στηρίχτηκε στον λεγόμενο " Τετράντα του Ίππαρχου" , γνωστό μετρητικό όργανο της ελληνικής αρχαιότητας που χρησιμοποιούνταν στην αστρονομία , ναυσι πλοία και στον υπολογισμό του ύψους ενός κτιρίου. Το παρακάτω κείμενο οφείλεται στον μηχανι κό κ. Κοτσανά που έχει προχωρήσει σε πάμπολλες αναπαραστάσεις αρχαίας ελληνικής τεχνολογί ας. ( www. kotsanas.gr) Στο πάνω μέρος ενός ορθογωνίου χαρτονιού κολλήσαμε μια φωτοτυπία ενός μοιρογνωμονίου( από Ο 90°). Στο πάνω άκρο επίσης κολλήσαμε μια κλωστή της οποίας την άλλη άκρη τη δέσαμε στη τρύπα ενός κουμπιού. Το κουμπί λειτουργεί ως βαρίδιο. -

Ancient Gnιek TechιlOlogy

Αρ)(Οία ΕλληVΙΚή Τε)(ΥΟλογία

Ο τετράντας του Ιππάρχου

(το τέταρτον)

Πρόκειται για ένα μ ετρητικό όργανο που χρησιμοποιούνταν στην αστρονομiα και τη ναυσιπλοία για τον υπολογισμό αστρονομικών μεγεθών και στην τοπογραφία και την οικοδομική για τη μέτρηση γήινων αποστάσεων (π.χ. το ύψος ενός κτηρiου). Αποτελούνταν από tνα β α θ μ ο ν ο μ η μ t ν ο σ ε μ ο ί ρ ε ς τεταρτοκύκλιο που στη μία ακμή του tφε ρε μια σκοπευτική διάταξη και από το κέντρο του αιωρούνταν ένα βαρ/διο. Το γεωγραφικό πλάτος κά θ ε τόπου μπορούσε να βρεθεί άμεσα με τη σ κ ό π ε υ σ η του πο λ ι κ ο ύ α σ τ έ ρα (ισοδυναμούσε με τη συμπληρωματική γωνfα της γωνiας που σχημάτιζε η γραμμή σκόπευσης με το νήμα) και έμμεσα από τη μέτρηση της μεσου ράνησης κάποιου άλλου ουρανίου σώματος (π.χ. του ήλιου). Αργότερα στην επιφάνεια του οργάνου χαράχθηκαν ευθύγραμμες κλ/μακες για τη μετατροπή των γήινων γωνιών σε αναλογlες μηκών αλλά ιcοι μηvιαlα Τόξο με καμπύλες ωριαiες γρα μ μές για ένα ή περισσότερα γεωγραφικά πλάτη (κλ/ματα). Επfσης προστέθηκε ένα κινητό κουμπl που ολlσθαινε κατά μήκος του νήματος και ρυθμιζόταν ανόΝ:ιιfο μι 10 μήνα που uποδεlκwε ο ζωδιακός στην άλλη ακμ ή του οργάνου. Το όργανο με δεδομένη οποιαδι'ιιιοιι ώρα της ημέρας μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ως εντοπιστής θtσης ενώ με δεδομένο το γιωγpαιfΙΚό πλάτος του τόπου ως ηλιακό ωρολόγιο. Εξέλιξή του αποτελούν οι επiπεδοι αστρολάβοι . ΠΗΓΕΣ: cΠτολεμαiος, Μεγόλη σύνταξις τηςΑστρονομ iας (Αλμαγtστη)»

Στη συνέχεια βγήκαμε στο προαύλιο του σχολείου. Ο χειριστής του γωνιόμετρου κάθε ομά δας στάθηκε σε ένα συγκεκριμένο και διαφορετικής απόστασης σημείο από το κτίριο του σχο λείου. Με κλειστό το ένα μάτι στόχευσε το ψηλότερο σημείο του σχολείου και όταν ήταν έτοι μος ο καταγραφέας παρατήρησε την γωνία που έδειχνε η κλωστή με το βαρίδι ( κουμπί) πάνω στη φωτοτυπία του μοιρογνωμονίου και την κατέγραψε στο φύλλο εργασίας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/45

------ Μετρώντας το ύψος του σχοΜ:ίου μας

------

Μετά οι μαθητές μέτρησαν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στάθηκε ο χειριστής μέχρι τη βάση του σχολείου καθώς και το ύψος του κάθε χειριστή . Ο καταγραφέας κατέγραψε και αυτές τις μετρήσεις. ...-r��..,,.,...,"""'=1

2η

διδακτική ώρα: Στην τάξη πλέον , με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας σχεδιάσαμε ένα πρόχειρο σχεδιάγραμμα και προβήκαμε στον υπολογισμό του ύ ους του κτιρίου .

Συγκεκριμένα χρησιμοποιήσαμε την εφαπτομένη της γωνίας ύψους που μετρήσαμε, ως το λόγο της απένα ντι προς την προσκείμενη πλευρά.

Συζητήσαμε την μέθοδο που ακολουθήσαμε και α σχοληθήκαμε με τις αποκλίσεις στα αποτελέσματα των ομάδων που τα αποδώσαμε στα σφάλματα των μετρήσεων.

Β) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΜΕ ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ. Η παρακάτω πειραματική δραστηριότητα πραγματοποιήθηκε σε διδακτική ώρα των Μαθη ματικών Γ Γυμνασίου στις 1 9 Φεβρουαρίου 20 1 6. Αφορούσε στην διδασκαλία των ομοίων τρι γώνων και ανήκει στην ειδική περίπτωση βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά που αποκαλείται " μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα" . Στόχος ήταν να υπολογίσουν οι μαθητές το ύψος του κτιρίου του σχολείου τους χρησιμοποιώντας τη θεωρία ομοίων τριγώνων και για το λόγο αυτό κατασκεύασαν με απλά υλικά υψομετρητή. Χρ όνος υλοποίησης: 2 διδακτικές ώρες. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Η τάξη χωρίστηκε σε ομάδες των 5 ατόμων. Ο ένας μα θητής ήταν ο χειριστής του υψομετρητή , ο δεύτερος ο καταγραφέας των μετρήσεων σε έν α χαρ τί , ο τρίτος κι ο τέταρτος θα μετρούν την οριζόντια απόσταση κι τελευταίος θα συντονίζει την ομάδα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 104 τ.4/46

------ )ιl;r.-,.esc ια.; το ύ•ο.; του σχολείου μ ας Πορεία δραστηριότητα.;: 1 η διδακτική ώρα: Αρχικά η κάθε ομάδα κατασκεύασε έναν υψομετρητή χρησιμοποιώντας ως υλικά τα: χαρ τόνι, καλαμάκι, χαρτί μ1λιμιτρέ, κλωστή, κουμπί, κόλλα, ψαλίδι , ζι λοτέιπ. Στη συνέχεια βγήκαμε στο προαύλιο του σχολείου. Στήθηκε ο χειριστής του υψομετρητή σε ένα σημείο και στόχευσε στην κορυφή του σχολείου. Ο καταγραφέας κατέγραψε την απόσταση σε εκατοστά που έδειξε η κλωστή με το βαρίδι (κουμπί) . Οι δύο επόμενοι μαθητές της ομάδας μέτρησαν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στάθηκε ο χειριστής έως τη βάση του σχολείου. Ο καταγραφέας κα τέγραψε κι αυτή την μέτρηση. Χρειάστηκε να μετρήσουμε και το ύψος όσων χειριστών δεν το γνώριζαν.

-------

2η διδακτική ώρα: Στην τάξη πλέον με τη βοήθεια φύλλου εργασίας υπολογίσαμε το ύψος του σχολείου. Το σκεπτικό της δραστηριότητας στηρίζεται στην ομοιότητα των τριγώνων ΔΕΖ και ΑΒΓ (παρακάτω σχήμα.) R Στηριζόμενοι στην ομοιότητα των τριγώνων ΔΒΓ και ΒΓ ΔΓ , , , ΔΕΖ σχηματισαμε τους ισους λογους ΔΖ = ΕΖ Στην ·

ι· l ,5m 20

προηγούμενη σχέση ο μόνος άγνωστος είναι το ΒΓ. Προσθέτοντας στο ΒΓ το ύψος 1 ,5m. του παρατηρητή βρίσκουμε το ζητούμενο ύψος.

Συ μπ ερ ά σματα Από την εμπλοκή των μαθηματικών σε πειραματικές και εμπειρικές δράσεις προκύπτουν τα εξής οφέλη : • Η μαθηματική γνώση συνδέεται με την πραγματικότητα και την καθημερινή ζωή . • Οι μαθητές κατασκευάζουν τη γνώση μέσα από τις εμπειρίες τους. • Οι μαθητές αναλαμβάνουν πρωτοβουλίες, δημιουργούν, πειραματίζονται και αναστοχά ζονται τις εμπειρίες τους για να δώσουν νόημα σε αυτά ποv κάνουν. • Διαφαίνεται ότι τα Μαθηματικά δεν είναι ένα σύνολο θεωρητικών δομών αλλά συνυφαί νεται με πρακτικές ενασχολήσεις. • Επιτυγχάνεται εννοιολογική κατανόηση των Μαθηματικών εννοιών και γνώσεων που αποκτήθηκαν πειραματικά. • Προβάλλεται η χρησιμότητα και χρηστικότητα των Μαθηματικών. • Επιτυγχάνεται η ελκυστικότητα των μαθηματικών δραστηριοτήτων. • Επίσης το μαζικό ενδιαφέρον των μαθητών για τη διδακτική πράξη . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 04 τ.4/47

Τα Μαθηματικά μας δ ιασκεδάζουνΑπό την Συντακτική επιτρ πή ο

1) Μία μικρή πλαστική δεξαμενή όταν είναι γεμάτη νερό ζυγίζει

συνολικά 1 50 κιλά. Όταν είναι γεμάτη κατά τα

� τότε ζυγίζει 5

69 κιλά. Πόσα κιλά νερού χωράει; 2) Ο Γιώργος μαζεύει τα ρέστα από τα ψώνια που κάνει τα οποία ρέστα είναι 1 Ολεπτα και 5λεπτα κέρματα. Κάθε φορά που τα κέρματα αυτά συμπληρώνουν την αξία 1 € ο Γιώργος τα αλλάζει στο κοντινό περίπτερο με ένα νόμισμα του 1 €. Σήμερα αντάλλαξε 1 6 κέρματα με 1 €. Πόσα 1 Ολεπτα και πόσα 5λεπτα είχε συγκεντρώσει; 3) Διαθ έτουμε τα 5 ψηφία των περιττών μονοψήφιων αριθμών και το Ο. Με τα 6 ψηφία αυτά κατασκευάζουμε 2 τριψήφιους αριθμούς (τα 3 ψηφία για τον ένα και τα άλλα 3 για τον άλλο) οι οποίοι έχουν άθροισμα 1 636. Αν σε κάθε ένα αριθμό εναλλάξουμε τη θέση του ψηφίου των μονάδων με το ψηφίο των εκατοντάδων (π.χ από 537 σε 753) ποιο θα είναι τώρα το άθροισμα των δύο αριθμών; 4) Παρατηρήστε τον παρακάτω πίνακα. Ας υποθέσουμε ότι ο πίνακας συνεχίζεται επ άπειρο και στις Α Β Δ Ε Ζ Η Γ γραμμές του συνεχίζουμε να γράφουμε τους διαδοχικούς 2 3 4 1 5 6 7 θετικούς ακέραιους. Ποιο γράμμα της αλφαβήτου θα 8 10 1 1 12 13 14 9 βρίσκεται στην ίδια στήλη που θα τοποθετηθεί ο αριθμός 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 20 2 1 1 000; 5) Διαθέτουμε 4 άνισες δεξαμενές νερού και τις γεμίζουμε με νερό. Μετά από μερικές ημέρες, και έχοντας χρησιμοποιήσει νερό από όλες τις δεξαμενές, ο δείκτης συνολικού νερού στις δεξαμενές δείχνει 1 5tn. Επιπλέον γνωρίζουμε ότι κάθε δεξαμενή περιέχει διαφορετικό όγκο νερού από τις άλλες. Ποιο είναι το ελάχιστο βάρος νερού που μπορεί να περιέχει η μεγάλη δεξαμενή ; Απαντήσεις τεύχους 1 03 1 ) Κάθε σχήμα δημιουργείται από έναν αριθμητικό σύμβολο και το συμμετρικό του. Το τελευταίο σύμβολο με το συμμετρικό του είναι το 4 άρα το επόμενο είναι 2) Αφού ΠΕΊΡΑ � 0,0 1 2€, ΕΡΠΕΤΑ � 0,0 1 5€ και ΠΑΤΕΡΑ � 0,0 1 8€ άρα το γράμμα Ε χρεώνεται 0,003€, το Α το χρεώνει 0,006€ και το σύμπλεγμα ΠΤΡ το χρεώνει 0,003€ οπότε την λέξη ΠΑΤΡΑ την χρεώνει 0,0 1 5€. 3) Αν υποθέσουμε ότι το σημείο Α είναι η αρχή των αξόνων τότε η διαγώνια ευθεία έχει τη 1 ο ' ' ' ' με 3 = ' ' οταν ' ' ' α ειναι ισο = μονο το χ ειναι πολλαπλασιο του 2 δινει μορφη' y=αχ οπου , 5 αρα 6 2 ' ' ' το α ειναι ' ' με 2 = αρα ' ' ' ' θ α πρεπει οι δ ιαστασεις ειναι ισο ακεραιο y. Αν τωρα το χ 2 χ 1 0 τοτε 10 5 να είναι πολλαπλάσιο του 5 και επομένως η ευθεία θα περνά μόνο από μία γωνία. 4) Για το 1 54+ 308 + 6 1 6+308+ 1 54 υπάρχουν πολλοί τρόποι νοερού υπολογισμού. π.χ από τα 6 1 6, 308, 308 παίρνω 32 μονάδες δηλαδή 2 φορές το 1 6. Ένα 1 6 δίνω στο πρώτο 1 54 και το άλλο 1 6 δίνω στο άλλο 1 54 οπότε το άθροισμα μετατρέπεται σε 1 70+ 1 70+ 300+ 300+600.

EJ EJ U οΑ

:::r: L_J

5) Ο αμέσως επόμενος παλίνδρομος αριθμός του 26969 είναι ο 27072 Αυτό σημαίνει ότι η διαφορά τους δηλαδή το 1 1 0 είναι η ωριαία ταχύτητα του αυτοκινήτου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 104 τ.4/48

�

Ελλ η ν ικη Μαθ η ματικη Ετα ιρεl α

Καλο κα ι q ι ν έ ς Δρ αστ ηρ ι ό τ ητ ε ς ,,

CΩΊθ μ CΩΊΤ Ι Κ ifυ

�======;ι

αuα σ κ ην , 1 ση -----

για μαθητές Δ', Ε' και Στ' Δημοτικού Γραμματι κό Αττι κής

ω t ΙwAΙw twc ι ΙwΑΙw 2011 ΖΟΥ ΜΕ ΣΕ ΟΜΑΔΕΣ ΚΑΙ ΓΝΩΡΙ ΖΟΥ ΜΕ ΤΗ ΦΥ Σ Η RΟΜΙΒΗ 88ΙΣΗ - ΔΗιuιΜΙ ΒΗ ΑΠΑΣΧΟΑΗΣΗ

Σ τόχο ς των προγραμμάτων ε ίνα ι η ανάπτυξ η της δημ ι ουργι κότητας σε θ έματα μαθ ηματ ι κ ής πα ι δ ε ίας , η ψυχαγωγ ία , η άθληση , κα ι η μύηση στα τ ι ς

Μαθ ηματ ι κά ,

για

ε ξ ε τ ά σ ε ι ς

τη

� ελτ ίωση

τ ω ν

της

επί δοσης

Π ε ι ρ α μ α τ ι κ ώ ν

στο

Σ χ ο λ ε ί ω ν

κα ι των Δ ι αγων ι σμών της 'Ελλην ι κής Μαθηματ ι κής Ετα ι ρ ε ίας

Πληροφορίε� :

στον Ιστόχωρο της κα ι στα

ΕΜΕ: www.hms.gr

τηλ. 2 10 3 6 1 6 5 3 2 , 2 10 3 6 17784

σχολε ίο ,