Ευκλειδης α 96 by demi de

Μαθηματικό περιοδικό yια το

Γυμνάσιο

υκλείδης ΑΠΡΙΛΙΟΣ

•

�

•

:Ξ

•

ΜΑiΟΣ

•

ΙΟΥΝΙΟΣ 2015 ευρώ 3,00

Π ροτεινόμενα γενικά θέματα και διαγωνίσματα προαγωγικών ε�ετάσεων για το Γυμνάσιο

.Α

�ffiwο 1� !-C .� pi!i �

ι.

��

Ο Ρ'ΌΛΟΣ ΤΗΣ Π Ι Θ ΑΝΌΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ Κ'ΙΝΔΥΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ1ΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ /

για το γυμνάσιο

Τεύχος 96

Απρίλιος - Μάιος - Ιούνιος 2015

Τιμή Τεύχους, 3,00 Ευρώ

Ευκλείδης

e-mail: info@hms.gr,

Τα Μαθηματικά σrο Σχολείο

Τα Μαθηματικά σrον Κόσμο Κωστας Γ. Σαλαρης ...................................................................... 1

ο ρόλος τη� πιθανότητας στον Κίνδυνο, ,

Ιστορία των Μαθηματικών Δημήτρης Παλαιοyιαwίδης ........................................................ 4

Το 5ο αίτημα των Στοιχείων του Ευκλείδη,

Μαθηματικά και Τεχνολογία Δημήτρης Παλαιοyιαwίδης ...... . .......................................... . ...... 6

Παραλληλόyραμμα,

ΑΎάξη

Συντακτική Επιτροπή .......................................................... . .... 10

Διαyωνίσματα εκφωνήσεις yενικών θεμάτων, •

ΒΎάξη

Συντακτική Επιτροπή ............. . ................. . .......................... . .... 14

Διαyωνίσματα εκφωνήσεις yενικών θεμάτων,

Συντακτική Επιτροπή ............................................................... 16

Επαναληπτικά Θέματα Β 'τάξης,

Νίκος Τζίφας. Αριστείδης Κωνσταντινίδης, Γιώργος Λα}'ός . .... 18

Ασκήσεις Β' Τάξης yια προχωρημένους,

ΠΑΝΕΠιΣlΉΜιΟΥ 34, 106 79 ΑθΗΝΑ

Τηλ.: 210 3617784 Fa: 210 3641025

•

210 3616532

Εκδότης: rεΜρy ιος Δημάκος Διευθυντής:

Επιμέλεια Έκδοσης: Κuρισκοπούλοu Νόναu Σόλσρης Κωνατσντίνος

Εμμανουήλ Κρητικός

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 7998

Πρόεδροςο

Κεf.,οyλοu tτcφανος Α· Αντιπρόεδρος:

Κuράνας Πσναyιώτης β· Αντιπρόεδρος:

Λuμηερ6ηοuλος 1\:ώρyιος Μ<ληο Ayycλή Jt.ννο Αλοφ6κη tτοuρούλο Αλcξσνδρ6τοu Jt.ννο Αντωνοπούλοu tcστtάννσ Αηοατ6λοu Ayycλtκή Αρδαβ6νη Π6ηη 1\:ωρyίοu tηύρος Δορyι6κη Ιω6ννο Θcοδωρ6ηοuλος ΘροαύΡοuλος Κιούφτη Ροδαύλο Κuρ6νος Π-ιώτης Κuριοιιοnούλοu Νόναu Κωνατσντινlδηc; Αριατείδης

ΜΕΓΑΛΟΣ ΧΟΡΗΓΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Ε.Μ.Ε.

•

rΎάξη

Συντακτική Επιτροπή ................. . ............................................. 19

Διαyωνίσματα εκφωνήσεις yενικών θεμάτων,

Συντακτική Επιτροπή ............................................................... 22

Επαναληπτικά θέματα f' Τάξης,

Στέφανος Κείσοyλου ................................................................. 24

Ασκήσεις f' Τάξης yια προχωρημένους,

Συντακτική Επιτροπή ............................................................... 25

Υποδείξεις yια τα yενικά θέματα fυμvασίου,

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Τα Μαθηματικά σrο Σχολείο •

www.hms.gr

, ......................................... 33 Επιμελεια: Επιτροπη Διαyωνισμων

Μαθ�ματικοί Δι�ωνισμοί,

Διάφορα OXI Αδιάφορα

Στε φανος Κεισοyλου ................................................................. 40

�vθρώπιv11_. ευφυ"ίί:ι χθες και σήμερα,

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Καλοyερακη Δεσποιvα Κουμεντακου Μαρια ......................... 44

Τα Μαθηyατι�ά yύρω μας

Λοy6ς ΙΙ:ώρyιος Λuμηερ6ηοuλος ΙΙ:ώρyιος Μεν6ωνlδης 1\:ώρyιος Μορφοηούλοu Μαρία Μηοκ6λης Ανοατ6crιος Πολοιοyιοννίδης Δημήτριος t6λορης Κωνατσντίνος Σίcnc.ou Μαρία Τζίφος Νίκος τ..ικοηούλοu tτ6μη Φερεντίνος tηuρίδων ΧΡιατοδαύλοu Ντ6pο Xpu.,oρtpyης Μιχαήλ Αnοκεντρωμένοι αuνερy6τε:ς

Ανοατ6.,ιος Ποτρώνης (Π6τpο) Γι6ννης Θωμοfδης (θC(7/νίκη) Γιώρyος Ρίζος (Κipκupo) Γιώρyος Τ(70Ποκίδης (Αγρίνιο) Ειρήνη Πεpιαuν6κη (Κρήτη) Γι6ννης Ρ6λλης (Χίος)

1 ς

απ'Jn. ""

wσττς.

Κατά αρχήν ευχόμαστε καλή δύναμη για το υπόλοιπο διάστημα της στους ·λη < ..ι Σχολικής χρονιάς 2014-15 και κυρίως διαγωνιζόμενους κατά τον Μάϊο και Ιούνιο. Όπως πέρυσι έτσι και εφέτος ο Ευκλείδης Α' προσφέρει, στο τελευταίο του τεύχος πριν τις προαγωγικές εξετάσεις, μία σειρά από

κt

ιι

ολες

ς �αξεις.

Βασικός μας στόχος είναι η εξάσκηση όσων πρόκειται να δώσουν εξετάσεις, αλλά και η δημιουργία μιας μικρής βάσης θεμάτων για τους συναδέλφους που θα κληθούν να δημιουργήσουν τα διαγωνίσματα των προαγωγικών εξετάσεων στα σχολεία τους. Έχουμε καταβάλει ιδιαίτερη προσπάθεια τα θέματα να βρίσκονται όσο το δυνατόν ,. Vil � στο σύγχρονο πνεύμα της θεματοδότησης με κλιμακούμενες ερωτήσεις και κλιμακούμενη δυσκολία. Επιπλέον έχει καταβληθεί προσπάθεια να είναι τα θέματα, ιδιαίτερα των διαγωνισμάτων, όσο το δυνατόν πιο συμβατά με τις εγκυκλίους που καθορίζουν τη μορφή και την έκταση των θεμάτων. Προφανώς εκτός των θεμάτων με καθαρά Μαθηματικό περιεχόμενο υπάρχουν και θέματα από τις ενότητες της ιιrrορ ας rων

.., αr· ων -ο κοc ο, τη ν δραστηριοτή rω σrο ια :ροντος. �ο u κό του παρόντος · και δύνιι. η για το

Ελπίζοντας ότι θα είναι ιδιαίτερα τεύχους ευχόμαστε και πάλι υπόλοιπο της σχολικής χρονιάς και υποσχόμαστε ότι την επόμενη σχολική χρονιά ' ι. <>ς. Για τη Συντακτική Επιτροπή . Στέφανος Κέίaογλου Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β' Αθήνας

....••••••..•.•••••••....••••••••••••.............• • .... . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . ...... . ..•••••••••••

ιΔιΟΚΤΗΣιΑ

της

ΕΛΛΗΝιΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ1ΙΚΗΣ ΕΤΑιΡΕιΑΣ

Στοιχειοθεαία - Σελιδοποίηαη: ΕΜΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ETAIPEIA

Εκτύπωση:

ROTOPRINT

IA.

ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & ΣΙΑ

ΕΕ).

τηλ.: 210 6623778-358 Υπεύθuνος τunoypaφεiou: Δ. Παπαδόπουλος

Τα διαφημιζ όμενα β ι β λία δε: σημαlνε:ι ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνε:ργασlε:ς, τα άρΘρα, οι προτεινόμενες ασκnσε:ις, οι λύσεις ασκnσε:ων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφε:Γα της Ε.Μ.Ε. με: την ένδει ξ η "Για τον Ευκλε:Γδη Α"". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρΘρα υπόκεινται σε: κρlση

Ετnαιa αuνδρ

0,00+2,00

μικά=εu

ώ 12,00).

γιο Σχολείο ευρώ για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται: Το Με: απλn ταχυδρομικn ε:πιταγn σε: διαταγn Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφε:Γο ΑΘnνα 54 Τ.Θ. 30044 Στην ιστοσε:λlδα της Ε.Μ.Ε .• όπου υπάρχει δυνατότητα τραπε: ζ ικnς συναλλαγnς με: την τράπε ζα EUROBANK Πληρώνεται στα γραφε:Ια της Ε.Μ.Ε.

ΡΟΛΟΣ

ΤΗΣ ΠlθΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΚΙΝΔΥΝΟ Κώστας Γ. Σάλαρης

Σε ένα γενικό λεξικό, «κίνδυνος» ορίζεται ως «η πιθανότητα εμφάνισης ατυχήματος ή ζημιάς». Η συμμετοχή μας στα τυχερά παιχνίδια ενέχει μια μορφή ανάληψης κινδύνου. Σχεδόν ότι κάνουμε στη ζωή μας περιλαμβάνει κάποιο μέρος κινδύνου. Κάθε μέρα, που πηγαίνουμε στην εργασία μας εκτιθέμεθα σε κάποιον κίνδυνο. Όταν πηγαίνουμε στην καφετέρια παρόλο που εμείς δεν καπνίζουμε, εκτιθέμεθα στον καπνό των άλλων κι έτσι αυξάνονται οι πιθανότητες να προσβληθούμε από κάποια αρρώστια, η οποία είναι αποτέλεσμα της εισπνοής καπνού. Προκειμένου να αποτιμήσουμε τον κίνδυνο, πρέπει να ποσοτικοποιούμε τις συνισταμένες του, να υπολογίσουμε και να συγκρίνουμε τις πιθανότητες, που αντιστοιχούν σε διάφορα σενά ρια κινδύνου. Στον παρακάτω πίνακα που πήραμε από στοιχεία της Εθνικής Στατιστικής Υπη ρεσίας της Ελλάδας δίνονται οι νεκροί σε οδικά ατυχήματα τα έτη 1995- 2003 σ' όλη την Ελ ληνική επικράτεια, σε συνάρτηση με τον ολικό πληθυσμό αλλά και τον αριθμό των οχημάτων, που κυκλοφορούν στους Ελληνικούς δρόμους. Έτος 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Νεκροι'

απ ο' ο δ ικα' ατuχτ ματαστον Ελλ�ηνικο χωρο. Νεκροί ανά εκατομΝεκροί ανά Πληθυσμός Αριθμός Νεκρών εκατομμύριο οχημάτων μύριο πληθυσμού 2043 2157 2105 2182 2116 2037 1880 1634 1650

10.454.019 10.456.059 10.486.595

10.510.965 10.521.669 10.554.404 10.964.020 10.987.559 11.023.763

195 206 201 208 201 193 171 149 146

414 414 381

374 335 309 269 224 212

Παρατηρώντας την εξέλιξη του στατιστικού αυτού φαινομένου από το έτος 1995 μέχρι το έτος 2003 βλέπουμε ότι οι θάνατοι από αυτοκινητιστικά ατυχήματα έχουν μία σημαντική μείω ση ανά εκατομμύριο πληθυσμού αλλά πολύ μεγαλύτερη ανά εκατομμύριο οχημάτων. Αυτό ση μαίνει ότι η στατιστική πιθανότητα για την πραγματοποίηση αυτοκινητιστικών ατυχημάτων με νεκρούς έχει μειωθεί σημαντικά στην πορεία των εννέαc) ετών. Μία εξήγηση είναι ότι άλλαξαν οι νόμοι κι οι συνθήκες που δημιουργούν τα ατυχήματα όπως: ι::) Βελτίωση οδικού δικτύου. ι::) Βελτίωση της οδικής συμπεριφοράς αυτοκινήτων. ι::) Βελτίωση οδικής συμπεριφοράς οδηγών. ι::) Ενεργοποίηση της τροχαίας. ι::) Ενεργοποίηση των μέσων μαζικής επικοινωνίας προς την κατεύθυνση ενημέρωσης των ο δηγών. Η εκτίμηση του κινδύνου είναι ένα σύνθετο γεγονός και ο υπολογισμός της πιθανότητας πραγματοποίησης κάποιου δυσάρεστου γεγονότος είναι πολύπλοκη διαδικασία. Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν μπορούν να χρησιμοποιούν τη μαθηματική πιθανότητα σαν οδηγό στη ζωή τους και δεν μπορούν πάντοτε να κάνουν ορθολογικές επιλογές σε ότι αφορά διαφορετικούς κινδύ νους αναλαμβάνοντας συγκεκριμένες δραστηριότητες. Πολλοί φοβούνται να πετάξουν με αεροπλάνο, αλλά κανένας δε φοβάται να ταξιδέψει με αυτοκίνητο ή τρένο παρόλο που όλοι γνωρίζουμε ότι θάνατοι προερχόμενοι από αεροπορικό δυ στύχημα έχουν τη μικρότερη πιθανότητα πραγματοποίησης σε σύγκριση με θανάτους προερχό μενους από δυστυχήματα με τρένο ή αυτοκίνητο για τον ίδιο αριθμό ανθρώπινου πληθυσμού που διακινείται με τα μέσα αυτά. Μια υποκειμενική ερμηνεία, που μπορούμε να δώσουμε σε αυΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/1

-------

Ο ρόλος της πιθανότητας στον Κίνδυνο

-------

τή την αντίληψη είναι ότι ένα αεροπορικό δυστύχημα έχει ομαδικό χαρακτήρα κι αποτελεί ένα εφιαλτικό τρόπο θανάτου. Η κοινή γνώμη επηρεάζεται από τις εφημερίδες και την τηλεόραση κι έχει σαφώς εσφαλμένη αντιμετώπιση των καθημερινών κινδύνων. Η αντίληψη αυτή τεκμηριώνεται από το γεγονός ότι ο άνθρωπος αν είχε σωστή αντιμετώπι ση απέναντι στους κινδύνους, θα εμπόδιζε σε μεγάλο βαθμό τα αποτελέσματα των διαφόρων κινδύνων προσαρμόζοντας αναλόγως τον τρόπο ζωής του και τις καθημερινές συνήθειές του. Πίνακ

ανά 100.000 κατοίκου των ΗΠΑ σε ένα έτος. Θν σι ό

τα/Α ιθ

2000 300 36 5 0.06 0.05

Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η πραγματική εικόνα είναι εντελώς διαφορετική από αυτή που δίνει στην κοινή γνώμη η συντεταγμένη πολιτεία αλλά και τα Μαζικά Μέσα Ενη μέρωσης (Μ.Μ.Ε.). Το κάπνισμα είναι μία κακή συνήθεια, η οποία αποδεδειγμένα βλάπτει την υγεία του ανθρώπου και δημιουργεί σοβαρά προβλήματα στην εθνική αλλά και στην οικογενει ακή οικονομία. Διατίθενται τεράστια ποσά για να προπαγανδίσουν στις ΗΠΑ τις βλάβες, που προκαλεί το κάπνισμα και αυτό για να προληφθούν οι 300 θάνατοι που συμβαίνουν ανά 1 00.000 κατοίκους στις ΗΠΑ. Αντίθετα, για να προληφθούν οι 2000 θάνατοι που οφείλονται στην οδή γηση μοτοσικλέτας δεν ανησυχεί η εθνική κυβέρνηση των ΗΠΑ, ώστε να διατεθούν μεγάλα πο σά προπαγανδίζοντας τα μέτρα που πρέπει να λάβουν οι οδηγοί μοτοσικλέτας. Το πιο πάνω παράδειγμα είναι χαρακτηριστικό και δείχνει καθαρά ότι απέναντι σ' έναν κίν δυνο οι άνθρωποι τοποθετούνται διαφορετικά χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη υποκειμενική πιθα νότητα, η οποία μπορεί να διαφέρει σημαντικά από άνθρωπο σε άνθρωπο. Βέβαια στο παρά δειγμά μας υπεισέρχονται κι άλλες σκοπιμότητες και οικονομικά συμφέροντα μεγάλης κλίμα κας, που αφορούν εθνικές οικονομίες ή συμφέροντα μεγάλων πολυεθνικών εταιρειών. Οι ασφαλιστικές εταιρείες κατ' εξοχήν αναλαμβάνουν οικονομικούς κινδύνους απέναντι στους πελάτες τους. Ο κίνδυνος αφορά είτε τη ζωή πελάτη, άρα και την αντίστοιχη οικονομική αποζημίωση, είτε αφορά την καταστροφή από πυρκαγιά, σεισμό ή άλλες ζημιές. Τα εργαλεία, που χρησιμοποιούν οι ασφαλιστικές εταιρίες είναι η στατιστική κι οι πιθανότητες και δημιουρ γούν για κάθε περίπτωση ένα μαθηματικό μοντέλο, στο οποίο εντάσσουν όλα τα γνωστά δεδο μένα και προσπαθούν να προβλέψουν την πραγματοποίηση του δυσάρεστου γεγονότος με όσο πιο συγκεκριμένη μαθηματική πιθανότητα. Ανάλογα τώρα με την αριθμητιΚή τιμή της πιθανότητας ορίζεται και το αντίστοιχο ασφάλι στρο, που καλείται να δώσει ο πελάτης στην ασφαλιστική εταιρεία. Για παράδειγμα, αν μία πε ριοχή μέχρι σήμερα έχει χαρακτηριστεί ως περιοχή χαμηλής σεισμικότητας τότε και το ασφάλι στρο για κατάρρευση κατοικίας από σεισμό θα είναι χαμηλό γιατί κι η αντίστοιχη πιθανότητα πραγματοποίησης μεγάλου σεισμού είναι μικρή. Αν όμως στο μέλλον πραγματοποιηθεί μεγάλος σεισμός στην περιοχή κι η περιοχή χαρα κτηριστεί ως υψηλής σεισμικότητας, τότε οι ασφαλιστικές εταιρείες θα αναθεωρήσουν σαφώς και το αντίστοιχο ασφάλιστρο κι ίσως ζητήσουν από τους πελάτες τους να λάβουν και άλλα πρόσθετα μέτρα προστασίας των κατοικιών τους, όπως στατική βελτίωση της οικοδομής ή υπο στύλωση των θεμελίων αυτής, προκειμένου να δεχθούν την ασφάλιση του κινδύνου από σεισμό. Πολλές φορές, ενώ έχουμε συνειδητοποιήσει τον κίνδυνο και μπορούμε να μειώσουμε δρα στικά την πιθανότητα ύπαρξης οδικού ατυχήματος, εντούτοις συνειδητά δεν παίρνουμε τα κα τάλληλα μέτρα, δηλαδή δεν υλοποιούμε κανόνες - νόμους, γιατί το κόστος κρίνεται μεγάλο. Θα περιγράψουμε ένα υποθετικό σενάριο, το οποίο προσεγγίζει την πραγματικότητα και μέσω του οποίου μπορούμε να αποτιμήσουμε ακόμα το κόστος της ανθρώπινης ζωής στηριζόΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/2

-------

Ο ρόλος της πιθανότητας στον Κίνδυνο

-------

μενοι σε εργαλεία που διαθέτει η θεωρία κινδύνου. Το σενάριο αυτό αφορά την περίοδο 19801 990. Στο γνωστό σε όλους μας Μαλιακό Τόξο στη περιοχή της Λαμίας, σε έναν οδικό άξονα 50 χιλιομέτρων, κάθε χρόνο χάνει τη ζωή τους ένας μεγάλος αριθμός ανθρώπων από αυτοκινητι στικά ατυχήματα. Φανταστείτε ότι παίρνουμε μία σειρά απλών μέτρων, όπως: ι::> Η ταχύτητα των αυτοκινήτων περιορίζεται στα 50 km\h. ι::> Στη διαχωριστική γραμμή μπαίνει μπάρα ασφαλείας, έτσι ώστε να αποφεύγουμε τις μετωπι κές συγκρούσεις. ι::> Τέλος, κάθε 1 00 μέτρα υπάρχει μονίμως ένας τροχονόμος ο οποίος παρακολουθεί την κυ κλοφορία και καταγράφει τις παραβάσεις. Είναι βέβαιο ότι με τη λήψη αυτών των μέτρων θα μειωθεί σημαντικά ο αριθμός των νε κρών, εξαιτίας αυτοκινητιστικών ατυχημάτων. Βέβαια, το ποσοστό της μείωσης, που θα έχουμε, δεν μπορούμε να το προβλέψουμε. Η εφαρμογή αυτών των μέτρων έχει μεγάλο οικονομικό κό στος για το κράτος κι ίσως δημιουργεί και παράπλευρες οικονομικές και κυκλοφοριακές δυσλει τουργίες. Το κράτος δεν εφαρμόζει τα επιπλέον μέτρα, τα οποία εάν κοστολογηθούν και διαιρε θούν με τον αριθμό, που αντιστοιχεί στη μείωση των νεκρών λόγω λήψης των νέων μέτρων, μπορούμε να εκτιμήσουμε το κόστος σε € της ανθρώπινης ζωής. Μέσα στα δέκα τέσσερα χρόνια που ακολούθησαν έγιναν μεγάλα κατασκευαστικά έργα και χωρίς να έχω συμβουλευτεί την στατιστική γνωρίζω ότι ι αριθμός των θυμάτων έχει μειωθεί σημαντικά. Το πιο πάνω παράδειγ μα αναφέρεται για να δείξουμε ότι ενώ μπορούμε, πολλές φορές, να εκτιμήσουμε τον κίνδυνο και να λάβουμε μέτρα για τη μείωσή του, εντούτοις δεν εφαρμόζουμε τα μέτρα αυτά λόγω του κόστους, που υπεισέρχεται. Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα πρόβλεψης κινδύνου, αντλεί ται από το κύκλωμα κατασκευής του αεροπλάνου. Οι σχεδιαστές των αεροπλάνων έχουν καθιε ρώσει το λεγόμενο «δείκτη αξιοπιστίας» του αεροπλάνου. Ο δείκτης δίνεται σε αριθμό επί τοις εκατό κι ανέρχεται συνήθως σε 99,2% περίπου. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα ολικής απώλει ας του αεροπλάνου είναι της τάξεως του 0,8%, πιθανότητα πολύ μικρή σε σύγκριση με τα άλλα μεταφορικά μέσα. Εάν οι σχεδιαστές προτείνουν αύξηση του δείκτη αξιοπιστίας κατά 0,3%, δηλαδή ο δείκτης αξιοπιστίας να φθάσει στο 99,5%, τότε θα χρειαζόταν διπλάσιο κόστος για την κατασκευή του αεροπλάνου. Λαμβάνοντας υπόψη την αύξηση του κόστους κατασκευής κατά 1 00%, ενώ ο δείκτης αξιοπιστίας θα αυξηθεί κατά 0.3%, οι κατασκευάστριες εταιρείες αποφασί ζουν την κατασκευή του αεροπλάνου με μικρότερο δείκτη ασφαλείας. Πολλές φορές η αυστηρή χρησιμοποίηση των πιθανοτήτων στην καθημερινή μας ζωή, προ κειμένου να προβλέψουμε τον κίνδυνο, δημιουργεί ευτράπελες καταστάσεις που δίνουν τροφή σε ανέκδοτα όπως: Ένας γνωστός μαθηματικός ποτέ δεν ταξίδευε με αεροπλάνο γιατί έβρισκε ότι η πιθανότητα να υπάρχει βόμβα τρομοκράτη στο αεροπλάνο ήταν μία στο εκατομμύριο, πι θανότητα η οποία κατά τη γνώμη του περιλάμβανε μεγάλο συντελεστή κινδύνου. Σε κάποιο συ νέδριο, που συμμετείχε όταν τον ρώτησαν οι συνάδελφοί του πώς ήλθε, απάντησε ότι ήλθε με το αεροπλάνο. Και τι γίνεται με την πιθανότητα της βόμβας; Ο μαθηματικός απάντησε «Κάθισα και σκέφτηκα, αφού η τοποθέτηση βόμβας στο αεροπλάνο είναι μία στο εκατομμύριο, τότε η πιθανότη τα να υπάρχουν δύο βόμβες στο ίδιο αεροπλάνο είναι πολύ μικρή, σχεδόν αμελητέα. Έτσι, ο κίνδυ νος είναι πολύ μικρός και μπορώ να τον αποδεχθώ. Κατόπιν τούτου κυκλοφορώ πάντα με τη δική

μου βόμβα».

Με το παράδειγμα αυτό προσπαθούμε να δείξουμε, ότι οι άνθρωποι εκτιμούν με διαφορετι κό τρόπο ο καθένας τον κίνδυνο και βέβαια δεν κάθονται κάθε φορά με τον calculator να υπολο γίζουν την πιθανότητα εμφάνισης του κινδύνου πριν από κάθε ενέργεια ή πράξη τους. Συμπερασματικά, καταλήγουμε ότι ο κίνδυνος κυκλοφορεί ανάμεσά μας, τον αντιλαμβανό μαστε όταν πλέον πραγματοποιηθεί, προσπαθούμε πολλές φορές να τον προβλέψουμε ή να τον μειώσουμε καθιερώνοντας ανθρώπινους νόμους, διαδικασίες, μέτρα προφύλαξης και πολλές φο ρές επικαλούμενοι ή ξορκίζοντας την τύχη μας ή τη μοίρα μας.

Το παρόν άρθρο προέρχεται από το pιpλίο «Προσεγγίζοντας την Τύχη» Συγγραφέας: Κώστας Γ. Σάλαρης ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/3

Το 5°

αίτημα των Στοιχείων του Ευκλείδη

=======

Δημήτρης Παλαιογιαννίδης

Ευκλείδης στήριξε τη γεωμετρία του, τα «Στοιχεία», σε πέντε αιτήματα ή, όπως τα ονομάζουμε σήμερα, σε πέντε αξιώματα. Τα Αιτήματα ή αξιώματα, όπως είδαμε σε προηγούμενο τεύχος, είναι θεμελιώδεις προτάσεις που προ κύπτουν άμεσα από την εμπειρία μας ή από τη μελέτη των ιδιοτήτων γεωμε τρικών αντικειμένων και θεωρούμε ότι είναι αληθείς χωρίς να χρειαστεί να τις αποδείξουμε. Είναι οι μόνες προτάσεις που δεν απαιτείται να αποδείξουμε στηριζόμενοι σε άλλες προτάσεις. Τα αιτήματα στα οποία στηρίχτηκε ο Ευ κλείδης είναι τα εξής: 1° Αίτημα: Ας απαιτήσουμε από σημείο προς κάθε σημείο να άγεται ευθεία γραμμή (Ή ιτήσθω άπο παντος σημείου έπί παν σημείον εύθείαν γραμμήν άγαγείν).

2ο Αίτημα: Και ότι πεπερασμένη ευθεία μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθύγραμμα (καl πεπερασμένην εύθείαν κατα το

συνεχf:ς έπ' εύθεlας έκβαλείν).

3ο Αίτημα: Και ότι με κάθε κέντρο και κάθε ακτίνα μπορεί να γραφτεί κύΚλος (καl παντl κέντ� καl διαστήματι κύκλον γράq:εσθαι). 4ο Αίτημα: Και ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους (καl πάσας τaς όρθaς γωνίας 'ίσας άλλήλαις είναι).

5ο Αίτημα: Και αν ευθεία τέμνει δύο ευθείες και σχηματίζει εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, όταν οι δύο ευθε ίες προεκταθούν επ' άπειρον θα τέμνονται προς το μέρος προς το οποίο σχημα τίζονται οι γωνίες που έχουν άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών (καl έaν είς δύο εύθείας εύθεία έμπίπτοuσα τaς έντος καl έπl τα αύτα μέρη γωνίας δuο όρθών ελάσσονας παfί, έκβαλλq..ιένας τaς δuο εύθείας έπ' άπειρον συμπίπτειν έφ' α ' μέρη είσlν αί τών δύο όρθών έλάσσονες).

.... ..

.,.,.. Μπορούμε αμέσως να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις. ....--ι-.a---------'- '-' .-.. ε2 Πρώτον, ότι στο δεύτερο αίτημα με τον όρο πεπερασμένη ευθεία φαίνεται να εννοείται αυτό που σήμερα ονομάζουμε ευθύγραμμο τμήμα. Δεύτερον, ότι πουθενά δεν αναφέρεται ότι η ευθεία που ορίζεται από δύο σημεία είναι μοναδική. Αυτή η απαίτηση, κατά τον Ε. Σταμάτη, εισάγεται από τον Ευκλείδη ως Κοινή Έννοια (πρόταση της οποίας αποδεχόμαστε την αλήθεια χωρίς να απαιτείται απόδειξή της -όπως ακριβώς συμβαίνει και με τα αιτήματα- αλλά που μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε άλλες θετι κές επιστήμες και όχι μόνο στη γεωμετρία. Ουσιαστικά, δηλαδή, πρόκειται για μια πρόταση της επιστήμης της Λογικής). Έτσι, με τα δύο πρώτα αιτήματα ο Ευκλείδης εξασφαλίζει την ύπαρξη και τη δυνατότητα κατασκευής της ευθείας. Μία ακόμα παρατήρηση είναι ότι με το τρίτο αξίωμα εξα σφαλίζεται η ύπαρξη και η δυνατότητα κατασκευής ενός ακόμα θεμελιώδους γεωμετρικού αντικειμένου, του κύκλου. Φαίνεται, λοιπόν, ότι με τα τρία πρώτα αιτήματα ο Ευκλείδης φροντίζει να εξασφαλίσει τη δυνατότητα των γεωμετρικών κατασκευών, δη λαδή κατασκευών που γίνονται μόνο με κανόνα (αβαθμολόγητο χάρακα) και διαβήτη. Στο σημείο αυτό να σημειώσουμε απλά ότι οι γεωμετρικές κατασκευές υπήρξαν εξαιρετικά σημαντικές για τα αρχαία μαθηματικά και αποτέλεσαν έναν καθοριστικό παράγοντα στην εξέλιξη της γεωμετρίΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96

τ.4/4

------

° Το 5 αίτημα των Στοιχείων του Ευκλείδη

-------

ας. Τα δύο τελευταία αιτήματα είναι διαφορετικά από τα τρία πρώτα από την άποψη ότι δεν φαί νεται να διασφαλίζουν την ύπαρξη κάποιου γεωμετρικού αντικειμένου ή τη δυνατότητα κάποιας κατασκευής. Με τη βοήθεια του τέταρτου αιτήματος, που είναι εξίσου απλό με αυτά που προη γούνται, επιτυγχάνεται η κατηγοριοποίηση των γωνιών σε οξείες, ορθές και αμβλείες. Το πέμπτο όμως αίτημα δεν είναι απλό όπως τα τέσσερα πρώτα. Δεν φαίνεται να ταιριάζει με αυτά. Είναι μια σύνθετη πρόταση που μοιάζει περισσότερο με τις προτάσεις που αποδεικνύει στα «Στοιχεία» ο Ευκλείδης παρά με τα τέσσερα πρώτα αιτήματα. Το γεγονός αυτό αποτέλεσε για σχεδόν 22 αιώνες αφορμή για διαδοχικές aποτυχημένες προσπάθειες των μαθηματικών σε κάθε σημείο του κόσμου να αποδείξουν ότι η πρόταση αυτή δεν είναι ένα αξίωμα ανεξάρτητο από τα τέσσε ρα πρώτα, αλλά ότι μπορεί να αποδειχτεί από αυτά. Από τον Ποσειδώνιο (135 π. Χ. - 35 μ. Χ.) τον Κλαύδιο Πτολεμαίο (2°ς μ.Χ. αιώνας) και τον Πρόκλο (5°ς αιώνας μ. Χ.), τους άραβες μαθη ματικούς (Αλ-Τζαουχαρί, Ιμπν Σίνα, Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα, Αλ-Χαιθάμ, Ομάρ Χαγιάμ και πολ λούς άλλους), τον Πέρση Ναζίρ Εντίν, μέχρι τους Wallis, Saccheri, Lambert και Legendre δεκά δες μαθηματικοί αποτυγχάνουν στην προσπάθεια αυτή. Ο Κrίigel, το 1 763 στη διδακτορική του διατριβή, διατυπώνει την άποψη ότι το 5° αίτημα δεν μπορεί να αποδειχτεί σε μια γεωμετρία που βασίζεται στα υπόλοιπα τέσσερα. Τελικά, ο Eugenio Beltrami αποδεικνύει, το 1 868, την ανε ξαρτησία του 5°υ αιτήματος από τα άλλα. Στο μεταξύ, ήδη σχεδόν από την αρχή αυτής της προσπάθειας, είχαν γίνει πολλές απόπειρες να αντικατασταθεί το 5° αίτημα από άλλες ισοδύναμές του πιο απλές προτάσεις. Η προφανής προσπάθεια στην κατεύθυνση αυτή είναι η αντικατάστασή του από την πρόταση: Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται είναι παραπληρωματικές.

πρόταση αυτή είναι, ουσιαστικά, η 29η πρόταση του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη και είναι η πρώτη πρόταση στην απόδειξη της οποίας Α ε' χρησιμοποιείται το 5° αίτημα. Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι αν η πρόταση αυτή αντικαταστήσει το 5° αίτημα, τότε αυτό θα καταλάβει τη θέση της ως 29η πρόταση του α' βιβλίου. Έχει αποδειχθεί ότι υπάρχουν αρκετές προτάσεις που μπο- ε ρούν να αντικαταστήσουν το 5° αίτημα χωρίς να αλλάξει η γεωμετρία. Μία τέτοια πρόταση είναι η: Η

-------

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μία παράλληλη προς αυτήν.

Την αντικατάσταση του 5ου αιτήματος από την παραπάνω πρόταση πρότεινε ο John Playfair (1748- 1 81 9). Η πρόταση αυτή αντιστοιχεί στην 3 1 η πρόταση των Στοιχείων και, προφανώς, η διατύπωσή της είναι σαφώς απλούστερη από αυτήν του 5ου αιτήματος. Γι αυτό και έχει επικρα τήσει του 5ου αιτήματος σε όλες τις μεταγενέστερες απόπειρες θεμελίωσης της Ευκλείδειας γεω μετρίας. Παράλληλα, όμως, οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να αναρωτιούνται τι θα μπορούσε να ση μαίνει η άρνηση του 5ου αιτήματος. Ο Gauss και οι νεότεροί του Bolyai, Lobachevsy, Klein, Riemman επιχειρούν να διερευνήσουν τις δυνατότητες που ανοίγονται και οδηγούνται στις λε γόμενες μη Ευκλείδειες γεωμετρίες. Βιβλιογραφία

Β. L. Van Der Waerden: Η Αφύπνιση της Επιστήμης (Μετάφραση Γιάννης Χριστιανίδης, Πανε πιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης). Victor J. Katz: Ιστορία των Μαθηματικών (Μετάφραση Κώστας Χατζηκυριάκου, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης). Τ. L. Heath: Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών (Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ.). Τ. L. Heath: The Thirteen Books of Euclid's Elements (Dover Publications, Inc.). Σταμάτη Ευάγγελου: Ευκλείδου Γεωμετρία, Στοιχεία, Βιβλία 1 ,2, 3,4. (ΟΕΔΒ). Στράντζαλος Χρόνης: Η εξέλιξη των Ευκλείδειων και των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών (Εκδό σεις Καρδαμίτσα). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/5

Παραλληλόγραμμα

=======

Δημήτρης Παλαιογιαννίδης

Η αρχιτεκτονική πολύ συχνά χρησιμοποιεί και αξιοποιεί τα χαρακτηριστικά των γεωμετρι κών σχημάτων. Η σχολή του Bauhaus εκμεταλλεύ τηκε τη λειτουργικότητα και το συμπαγές κατα σκευών σε μορφή κύβου ή ορθογώνιου παραλληλε πιπέδου. Η σύγχρονη αρχιτεκτονική συχνά ακολου θεί αυτή την τάση. Στη λαϊκή τέχνη είναι συνηθισμένη η χρήση γεωμετρικών μοτίβων. Τα σχήματα που συναντάμε με μεγαλύτερη συχνότητα είναι τα τετράπλευρα, τα εξάγωνα και οι κύκλοι. Μια συγκεκριμένη κατηγορία τετρα πλεύρων, όπως αυτά που μπορείς να δεις στην εικόνα που ακο λουθεί θα μας απασχολήσουν στη συνέχεια.

Ποια κοινά στοιχεία και ποιες διαφορές έχουν τα τετράπλευρα αυτά; Παρατηρούμε ότι είναι όλα κυρτά τετράπλευρα και ότι έχουν τις πλευρές τους παράλλη λες ανά δύο. Τέτοιου είδους τετράπλευρα λέγονται παραλληλόγραμμα. Τα στοιχεία στα οποία διαφοροποι ούνται μεταξύ τους είναι η ισότητα των γωνιών και των πλευρών τους. Για παράδειγμα, ένα χαρα κτηριστικό του δεύτερου και του τρίτου σχήματος, που δεν έχουν τα υπόλοιπα, είναι ότι έχουν τις τέσσερεις γωνίες τους ίσες, ενώ το χαρακτηριστικό που διαφοροποιεί το τρίτο και το τέταρτο από τα υπόλοιπα είναι ότι έχουν τις τέσσερεις πλευρές τους ίσες. Ας επιχειρήσουμε με τη βοήθεια του λογι σμικού GeoGebra να ανακαλύψουμε τις ιδιότητες αυτών των σχημάτων. Το

πα

αΜ λό

ο και οι ιδιό

τέ του

Άνοιξε ένα αρχείο του λογισμικού GeoGebra και προ σπάθησε να κατασκευάσεις ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ που δεν θα καταστρέφεται όταν σύρεις με το ποντίκι σου μια κορυφή του. Πώς μπορείς να το πετύχεις αυτό; Χρησιμοποίησε τον ορισμό του παραλληλογράμμου. Κατασκεύασε, τώρα, τις δύο διαγωνίους του παραλλη λογράμμου και βρες το κέντρο του Κ. Χρησιμοποίησε το λογισμικό για να βρεις το συμμετρικό του παραλληλογράμμου ως προς το σημείο Κ. Τι παρατη ρείς; Αν Α ' είναι το συμμετρικό της κορυφής Α ως προς το σημείο Κ, τ6tε που βρίσκεται το Α'; Μπορούμε να πούμε ότι οι πλευρές

ΑΒ

και ΓΔ είναι ίσες; Αξιοποίησε τη συμμετρία του

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

96 τ.4/6

------

Παραλλη λόγραμμα

Είναι τα τμήματα ΑΚ και ΚΓ ίσα; Προσπάθησε να επιχειρηματολογήσεις υπέρ της άποψης ότι είναι ίσα. Συ αίνει το ίδιο ια τα ΚΒ και ΚΔ; Μπορείς να βρεις άξονες συμμετρίας του παραλληλσyράμμου; Δοκίμασε να βρεις το συμμετρικό του ως προς μία διαγώνιο ή μία ευθεία που περνάει από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών. Τι παΒ ρατηρείς; Στο σχήμα φαίνεται το συμμετρικό Α'Β'ΓΔ' του ΑΒΓΔ ως προς τη διαγώνιο ΑΓ. Τα συμμετρικά των κορυφών Α και Γ ταυτίζονται με τον εαυτό τους; Μπορείς να το εξηγήσεις; Δ J.C... Ι,----Ι---71 Τελικά, υπάρχει άξονας συμμετρίας του σχήματος; Είναι λάθος να ισχυριστούμε ότι ένα παραλληλόγραμμο δεν έχει άξονες συ Επομένως: --

• • • •

•

Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του. Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. Οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται (δηλαδή κάθε μία από τις διαγω νίους διέρχεται από το μέσο της άλλης). Ένα παραλληλόγραμμο δεν έχει άξονα συμμετρίας. Το

θο ώνιο και οι ιδιότ τές του

Σε ένα αρχείο του λογισμικού GeoGebra να κατασκευά σεις ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που να έχει όλες τις γωνίες του ορθές. Το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο, έτσι δεν είναι; Μπορείς να αιτιολογήσεις τον ισχυρισμό αυτό; Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέ γεται ορ θογώνιο παραλλη λόγ ραμμο ή απλά ορ θογώνιο.

Κατασκεύασε ένα παραλληλόγραμμο που δεν θα χαλάει όταν μετακινείς μια κορυφή ή μια πλευρά του. Να μετακινήσεις μια κορυφή ή μια πλευρά του, ώστε μια γωνία του να γίνει ορθή. Να μετρήσεις με τη βοήθεια του λογισμικού τις υπόλοιπες γωνίες του. Το παραλληλόγραμμο έινε ο θο ώνιο. Σωστά; Π οσπάθ σε να ε 'σει ιατί συ αίνει αυτό. Ένα ορθογώνιο έχει άξονες συμμετρίας; Αν ναι, ποιοι είναι : αυτοί; Μήπως οι ευθείες που διέρχονται από τα μέσα δύο απένα- Α..,.,.. _.1� Ε ....,., ντι πλευρών; Έλεγξε την εικασία αυτή με τη βοήθεια του λογι σμικού. Μπορείς να εξηγήσεις γιατί οι ευθείες αυτές είναι μεσο κάθετοι των πλευρών του; Οι διαγώνιοί του είναι άξονες συμμετρίας του; Δοκίμασε να Γ βρεις με τη βοήθεια του λογισμικού το συμμετρικού του ορθογώ- Δ δια ώνιο ΑΓ ' τ ν ΒΔ. νιου ΑΒΓΔ ω π ο Μπορούμε να πούμε ότι οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες; Αξιοποίησε τη συμμετρία του ατο ___

�--

Επομένως: • • • • •

Το τετράπλευρο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές είναι ορθογώνιο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει μια ορθή γωνία είναι ορθογώνιο. Οι απέναντι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι ίσες. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες και διχοτομούνται. Οι ευθείες που διέρχονται από τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός ορθογωνίου είναι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.417

-------

•

Παραλληλόγραμμα

μεσοκάθετοι των πλευρών του και άξονες συμμετρίας του. Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του. Ο

ος και οι ιδιότ τές του

Σε ένα αρχείο του λογισμικού GeoGebra να κατασκευάσεις ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που να έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Να ελέγξεις, με τη βοήθεια του λογισμικού, αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται ρόμβος. Κατασκεύασε, τώρα, ένα παραλληλόγραμμο του οποίου τα μήκη δύο διαδοχικών πλευρών θα ελέγχονται από δύο δρομείς. Με τη βοήθεια των δρομέων κατασκεύασε ένα παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Να μετρήσεις με τη βοή θεια του λογισμικού τις υπόλοιπες πλευρές του. Το παραλληλό γραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, έτσι δεν είναι; Μπορείς να εξηγή σεις γιατί συμβαίνει αυτό; Αφού παρατηρήσεις το διπλανό σχήμα, μπορείς να διακρίνεις άξονες συμμετρίας ενός ρόμβου; Πόσοι είναι αυτοί; Υπάρχουν και άλλοι άξονες συμμετρίας του ρόμβου εκτός από τις ευθείες των διαγωνίων του; Έλεγξε την εικασία σου με τη βοήθεια του λογισμικού. Μπορείς να εξηγήσεις γιατί οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι άξονες συμμετρίας του;

Α 8

a•3.9 b•3.9 Δ

Να μετρήσεις με τη βοήθεια του λογισμικού τις γωνίες που σχηματίζουν οι διαγώνιοι του ρόμβου. Μπορείς να εξηγήσεις γιατί είναι ορθές; Να μετρήσεις, τώρα, με τη βοήθεια του λογισμικού, τις γωνίες στις οποίες χωρίζει η διαγώ νιος ΑΓ τη γωνία Α του ρόμβου. Διχοτομεί η διαγώνιος ΑΓ και τη γωνία Γ; Ισχύει ότι και η δια ώνια ΒΔ δι στο εί τι ωνίε Β και Δ; Μπο εί να το ε Επομένως: • • • • • • •

Το τετράπλευρο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες είναι ρόμβος. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες είναι ρόμβος. Οι απέναντι γωνίες ενός ρόμβου είναι ίσες. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι άξονες συμμετρίας του. Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός ρόμβου είναι κέντρο συμμετρίας του. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούνται. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου δι χοτομούν τις γωνίες του. Το τετ ά ωνο και οι ιδιότ τές του

Σε ένα αρχείο του λογισμικού GeoGebra να κατασκευάσεις ένα ιταραλληλόγραμμο ΑΒΓ Δ, ώστε τα μήκη των διαδοχικών πλευρών tου ΑΒ και ΑΔ να ελέγχονται από δύο δρομείς a και b αντίστοιχα και η γωνία Α να ελέγχεται από έναν τρίτο δρομέα α. Μπορείς να μετασχηματίσεις, με τη βοήθεια των δρομέων, το παραλληλόγραμμο σε τετράγωνο; Τι μπορείς να πεις για τις πλευρές του και για τις γω νίες του τετραγώνου; Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται τετράγωνο. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/8

••42

Δ-.---·Γ---.

Α._______. Β

------

Παραλλη λόγραμμα

Ένα τετράγωνο είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. Επομένως, έχει τις ιδιότητες του παραλληλόγραμμου, του ορθογώνιου και του ρόμβου. Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα τετράγωνο; Ποιοι είναι αυ' ,Δ Γ � τοί; Έλεγξε την εικασία σου με τη βοήθεια του λογισμικού. '' ι � ' Αν λάβεις υπόψη σου ότι ένα τετράγωνο είναι ταυτόχρονα ορ' ' ι �� θογώνιο και ρόμβος, μπορείς να αιτιολογήσεις γιατί έχει τέσσερεις � :κ �ι άξονες συμμετρίας; �, ι ' ' �

- -

�

----

� ��

�

----

ι, ' ι ι , '' I

Β '

Επομένως: •

•

• • • • •

Το τετράπλευρο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες είναι τετράγωνο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες και μια γωνία του ορθή είναι τετράγωνο. Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου είναι άξονες συμμετρίας του. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τετραγώνου είναι άξονες συμμετρίας του. Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός τετραγώνου είναι κέντρο συμμετρίας του. Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου διχοτομούνται, είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου διχοτομούν τις γωνίες του.

Ασκήσεις 1. Να σχεδιάσεις ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, αν ΑΒ=4,2 cm, ΑΔ=3 cm και λ= ss-. 2. Να σχεδιάσεις ένα παραλληλόγραμμο, αν ΑΓ=5 cm, ΒΔ=4 cm και οι δύο διαγώνιοι σχημα τίζουν γωνία 30°. 3. Να σχεδιάσεις ένα ορθογώνιο, αν μία πλευρά του είναι διπλάσια από μία άλλη και η περίμε τρός του είναι 14 cm. 4. Να σχεδιάσεις ένα ορθογώνιο με διαγώνιο ίση με 5 cm, αν οι διαγώνιοί του σχηματίζουν γωνία 35°. 5. Να σχεδιάσεις έναν ρόμβο, αν οι διαγώνιοί του έχουν μήκος 3,6 cm και 4,8 cm. 6. Η πλευρά ενός ρόμβου είναι 3,6 cm και μία γωνία του είναι 50°. Ποιο είναι το μέτρο των υπόλοιπων γωνιών του; Να σχεδιάσεις τον ρόμβο αυτό. 7. Οι πλευρές ενός ορθογωνίου έχουν μήκη 7 cm και 5 cm. Να σχεδιάσεις έναν ρόμβο που έχει περίμετρο ίση με την περίμετρο του ορθογωνίου και λ 40". 8. Να σχεδιάσεις ένα τετράγωνο, αν η διαγώνιός του είναι 4 cm. 9. Στο διπλανό σχήμα μπορείς να δεις έναν κύκλο με κέντρο το σημείο Ο και δύο διαμέτρους του, την ΑΓ και την ΒΔ. Α. Τι είδους τετράπλευρο είναι το ΑΒΓΔ; Να δικαιολογήσεις Δ την απάντησή σου. Β Β. Μπορεί το ΑΒΓΔ να γίνει τετράγωνο; Τι πρέπει να συμβαί νει τότε με τις διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ; 10. Να σχεδιάσεις ένα παραλληλόγραμμο, ένα ορθογώνιο, ένανρόμβο και ένα τετράγωνο. Να χαράξεις τις διαγωνίους των τεσσάρων σχημάτων. Α. Σε ποια από τα σχήματα οι διαγώνιοι σχηματίζουν ισοσκελή τρίγωνα; Β. Σε ποια από τα σχήματα οι διαγώνιοι σχηματίζουν τέσσερα ίσα τρίγωνα; Γ. Μπορεί σε κάποιο από τα τέσσερα σχήματα μία διαγώνιος να ορίζει με τις πλευρές του ισόπλευρα τρίγωνα; Ποιο πρέπει να είναι τότε το μέτρο των γωνιών του τετραπλεύρου; =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/9

Δ ι αγών ι σμα γ ι α την Α' Τά ξη Γ υ μνασίου ======

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α'

ΘΕΩΡΙΑ

Θέμα 1. α. Διαθέτουμε δύο ποσά χ, ψ. Πότε λέμε ότι αυτά είναι ανάλογα και πότε αντιστρόφως ανάλογα; β. Ποια σχέση συνδέει τα ποσά χ και ψ σε κάθε μία από τις περιπτώσεις του ερωτήματος α); γ. Ποια ιδιότητα έχουν τα σημεία (χ, ψ) όταν τα ποσά χ και ψ είναι ανάλογα; Θέμα 2. α. Πότε μία γωνία ονομάζεται οξεία, πότε ορθή και πότε αμβλεία; β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές και πότε παραπληρωματικές; γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 1. , ' 2 4 62 3 1 1 7 5 Δινονται οι παραστασεις: Α =7 · ( ), Β =( + + · 3: 3- 1 0 3 S "2 "6-24) : 2 α) Να υπολογίσετε τα αποτελέσματα των δύο παραστάσεων Α, Β και να τα γράψετε σε δεκαδική μορφή. 2 2 β) Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης Α -Β • Θέμα 2. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η γωνία Α=χ, η γωνία Β = χ+ 1 0 και η γωνία Γ = χ+20. Χαράζουμε τις διχοτόμους ΒΟ και ΓΟ των γωνιών Β και Γ του τριγώνου JCαι από το Ο την ΔΟΕ πq.ράλληλη προς την πλευρά ΒΓ του τριγώνου, που τέμνει rτην ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. Να υπολογισθούν: α. Οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β. Οι γωνίες των τριγώνων ΔΒΟ και ΕΓΟ. γ. Να αιτιολογηθεί γιατί τα δύο τρίγωνα ΔΒΟ και ΕΓΟ είναι ισοσκελή.

Θ�μα 3. Είναι γνωστό ότι το αλεύρι που παράγεται, όταν αλέθεται σιτάρι, έχει βάρος κατά 20% μειωμένο από το βάρος του σιταριού που αλέσθηκε. Όταν το αλεύρι ζυμώνεται για να γίνει ζυμάρι, αυξάνει το βάρος κατά 50%. Τέλος, το ζυμάρι κατά το ψήσιμό του σε ψωμί χάνει το 20% του βάρους του. Διαθέτουμε 500 γραμμάρια σιτάρι. α) Να υπολογίσετε το βάρος του ψωμιού που παραχθεί. β) Να υπολογίσετε πόσο τοις εκατό λιγότερο θα είναι τελικά το βάρος του ψωμιού από το αρχικό βάρος του σιταριού. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

96 τ.4/10

Δ ι α γών ι σμ α γ ι α την Α' Τά ξ η Γυμν α σίου ======

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α'

ΘΕΩΡΙΑ Θέμαl.

α) Αν τα κλ'ασματα

' ' α * . . . .. - β * . . . . ' ισοδυναμα, βα και δγ ειναι τοτε .

α , , , ο . . . . . . . και του , ο . . . . . . . , του -1 ειναι αντιστροφος του αριθ μου, α ειναι ειναι ο . . . . . . . α β γ) Μόνο ο αριθμός . . . ισούται με τον aντίστροφό του. β)ο

Θέμα 2.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. Α) Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι μεσοκάθετος ενός βάσης του. Β) Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι οξείες. Γ) Η γωνία ενός κορυφής ενός ισοσκελούς τριγώνου δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Θέμα 1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

α) Να υπολογίσετε τις τιμές των χ, y αν χ = 1 ,5 - (8--4):8 και y =2 3 - 4°-31• 6 β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης : (1-x)4 ·y + (xy) 3 - (y-2x) • Θέμα 2.

2 1 , , , ' μου αγορασα τηλεοραση, με τα - των χρηματων μου αγορασα Με το - των χρηματων 3 15 2 ραδιόφωνο, με τα αγόρασα πλυντήριο και μου έμειναν 60 ευρώ. 5 α) Πόσα χρήματα είχα; β) Με πόσα χρήματα αγόρασα την κάθε μία συσκευή; ,

Θέμα3.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ//ΒΓ, ΔΖJ_ΖΕ και ΔΖ διχοτόμος της Α

α) Τη γωνία χ. β) Τις γωνίες b),fl, ι!tf,.i. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α' 96 τ.4/11

ΒΔΕ.

Να βρείτε:

Επαναληπτικά Θέματα Α' Γυμνασίου ======

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α'

ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέμα 1. Ο Νίκος έχει ύψος 1 , 70 m και φωτογραφήθηκε κάτω από ένα δέντρο. Για να υπολογίσει το ύψος του δέντρου μέτρησε το ύψος της εικόνας του και της εικόνας . i του δέντρου στη φωτογραφία και τα αποτελέσματα φαίνονται στη διπλανή εικόνα. α) Να βρείτε πόσες φορές ψηλότερο είναι το δέντρο από τον Νίκο. β) Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου. 7an! γ) Ένας τοπογράφος με ένα κατάλληλο ψηφιακό όργανο υπολόγισε με i; �; μεγάλη ακρίβεια το ύψος του δέντρου και το βρήκε 8,95 m. Ποιο είναι � το ποσοστό του σφάλματος στους υπολογισμούς του Νίκου; ---

' !

Θέμα 2.

� ,

Δίνονται οι παραστάσεις: Α =

2 4 - 42 · 5 2 2 - 32 - 4 2 - 52 και Β= 900 80

---

Α , , της παραστασης Β.

α) Να υπολογισετε την τιμη

Α2 , , την τιμη, της παραστασης Β. β) Να υπολογισετε Θέμα 3.

Τρία αδέλφια μοιράζονται ένα ποσό. Ο πρώτος πήρε το .!.. του ποσού, ο δεύτερος πήρε το 3 1 , πηρε , το "31 του ποσου, και 1 00 € επιπλέον. του ποσου, και ο τριτος 4 α) Ποιος από τους τρεις πήρε το μεγαλύτερο ποσό; β) Πόσο ήταν το ποσό που μοίρασαν; Θέμα 4.

Τρεις διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί έχουν γινόμενο 1 20. α) Να βρείτε ποιοι είναι οι τρεις αυτοί αριθμοί. β) Αν ο μικρότερος από αυτούς αυξηθεί κατά 1 κατά τι ποσοστό αυξάνεται το νέο γινόμενο; Θέμα 5.

Διαθέτουμε δύο ειδών πορτοκάλια, τα πορτοκάλια τύπου Α και τα πορτοκάλια τύπου Β.

'Ενα πορτοκάλι τύπου Α βγάζει χυμό τα .i του βάρους του ενώ ένα πορτοκάλι τύπου Β βγάζει 5 3 ' χυμο, τα '4 του β αρους του. α) Πόσα

κιλά πορτοκάλια τύπου Α χρειαζόμαστε για να έχουμε 1 ,6 κιλά χυμό; β) Στύψαμε 28 κιλά πορτοκάλια ανάμικτα και από τους δύο τύπους και πήραμε 22 κιλά χυμό. Πόσα κιλά από κάθε τύπο πορτοκαλιών στύψαμε; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

96 τ.4/12

-------

Επαναληπτικά Θέματα Α' Γυμνασίου

------

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Θέμα 1. Οι δύο κύκλοι της παρακάτω εικόνας έχουν κέντρα τα σημεία Α και Β. α) Να εξηγήσετε γιατί οι δύο κύκλοι είναι ίσοι. β) Να βρείτε τους άξονες συμμετρίας του σχήματος των δύο κύκλων. γ) Να εξηγήσετε γιατί τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι κορυφές ρόμβου.

Θέμα 2. Στον κύκλο του παρακάτω σχήματος έχουμε κατασκευάσει 4 ίσες χορδές: ΑΒ =ΒΓ =ΔΕ=ΕΖ κάθε μία από τις οποίες είναι ίση με την ακτίνα ρ του κύκλου. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΟΓ και ΔΟΖ. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να υπολογίσετε τη σχέση του αθροίσματος των τόξων ΑΔ + Zr με ολόκληρο τον κύκλο.

Θέμα 3. Στο παρακάτω σχήμα οι δύο παράλληλες ευθείες ΑΒ και ΓΔ τέμνονται από δύο άλλες ΑΔ και ΓΒ. Όπως φαίνεται και στην εικόνα τα τμήματα ΕΓ και ΕΔ είναι ίσα. α) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔΓ. β) Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του τριγώνου ΕΔΓ. γ) Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΒ.

Θέμα 4. Στο τρίγωνο ΑΒΓ υπάρχει ένα σημείο Δ πάνω στο τμήμα ΒΓ. Από το σημείο Δ έχουμε φέρει τα κάθετα τμήματα ΔΖ και ΔΕ προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Με βάση τις μετρήσεις των γωνιών Α και Β του τριγώνου ΑΒΓ: Α α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ. β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΖΒ. γ) Δ

Να υπολογίσετε τη γωνία ω.

Θέμα 5. Η συμπληρωματική της παραπληρωματικής γωνίας της ω είναι 35° . α) Να υπολογίσετε την παραπληρωματική της ω. β) Να υπολογίσετε την παραπληρωματική της παραπληρωματικής της γωνίας ω. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/13

Δ ι αγών ι σμα γ ι α την Β ' τά ξ η Γυ μνασίου ======

θεωρία

Θέμα 1. α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. β) Να διατυπώσετε το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.

Συντακτι κή Επιτροπή Ευκλείδη Α'

1) Ισχύει μόνο η Α) 2) Ισχύει μόνο η Γ) 3) Ισχύουν όλες οι προτάσεις Α), Β), Γ). 4) Δεν ισχύει καμία από τις προτάσεις Α),

Β),

Γ).

Ασκήσεις Θέμα 1. α) Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις:

4χ χ ::;; 3(χ-2)<-12 και -2 χ9 3 β) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις τους. γ) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις τους.

γ)

Με βάση το σχήμα να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες αν είναι σωστές με (Σ) ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) ΒΓ2=ΑΒ2+ΑΓ2 2 2 2 β) ΑΒ =ΑΓ +ΒΓ 2 2 2 γ) ΑΓ =ΒΓ +ΑΒ

Θέμα 2. Οι μαθητές ενός Γυμνασίου είναι 420. Η Β ' τάξη έχει διπλάσιους μαθητές από την Α ' τάξη και η Γ ' τάξη 30 λιγότερους από την Β ' . Να βρείτε πόσους μαθητές έχει η κάθε τάξη.

Θέμα 2 . α) Να δώσετε τον ορισμό του κανονικού πολυγώνου. β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές με (Σ) ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. Α) Η γωνία φ ενός κανονικού ν- γώνου είναι συμπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν γώνου. Β) Η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν, ιση ' με 360° . γωνου ειναι

Θέμα 3. Στο σχήμα ΑΒ 82° και Br 128° α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) Έστω ρ η ακτίνα του δοθέντος κύκλου. Δημιουργώ έναν ομόκεντρο κύκλο με ακτίνα διπλάσια του δοθέντος κύκλου και προεκτείνω τις πλευρές της γωνίας ΒΟΓ. Αν Ει είναι το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζουν η γωνία ΒΟΓ και ο κύκλος ακτίνας ρ και Ε2 το εμβαδό που ορίζουν η γωνία ΒΟΓ και ο κύκλος ακτίνας 2ρ, να βρείτε το λόγο Ει I Ε2 .

γ)

Δίνονται οι προτάσεις: Α) Κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι κανονικό. Β) Ο ρόμβος είναι κανονικό πολύγωνο. Γ) Το ισοσκελές τρίγωνο είναι κανονικό πολύγωνο. Από τις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/14

Δ ι α γών ι σμ α y ι α τ ην Β ' τάξη Γ υ μνασίου ======

Θέμα 1. α) Έστω

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α'

Θέμα 1.

�

. Στο σχήμα εμφανίζεται . . . - η γραφική παράσταση . . μιας ευθείας που περνά από την αρχή των αξόνων και δύο σημεία ..,. ... Α, Β. -..,. __ α) Να βρείτε την . . . . εξίσωση της ευθείας με . . . βάση τις · πληροφορίες που προκύπτουν για το σημείο Α. β) Για το σημείο Β είναι γνωστό ότι η απόστασή του από τον άξονα χ ' χ είναι 3, 75. Θέμα 2. α) Από τις παρακάτω προτάσεις να βρείτε Πόση είναι η απόστασή του από τον κατακόρυφο άξονα; αυτήν που είναι λάθος: Α) Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν που ορίζεται από την ευθεία αυτή, τον άξονα χ ' χ και την θετικός αριθμός. Β) Το εμβαδόν μιας επιφάνειας εκφράζει την ευθεία χ=2. έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια. Θέμα 2. Γ) Το εμβαδόν μιας επιφάνειας είναι Τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι διαδοχικοί και έχουν άθροισμα μεγαλύτερο ανεξάρτητο από την μονάδα μέτρησης. Δ) Ως μονάδα μέτρησης μιας επιφάνειας του 1 50 αλλά μικρότερο του 1 60. μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα α) Αν συμβολίσουμε με χ τον μεσαίο από τους τρεις πώς θα συμβολίσουμε τους δύο άλλους; ορθογώνιο τρίγωνο. β) Ένα τρίγωνο έχει βάση β και ύψος υ. Να β) Να βρείτε όλες τις τριάδες των αριθμών γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του που έχουν τις παραπάνω ιδιότητες. τριγώνου και να εξηγήσετε, με βάση τον τύπο γ) Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν οι αριθμοί του εμβαδού του παραλληλογράμμου, πως που έχουν τις αρχικές ιδιότητες να είναι 3 διαδοχικοί άρτιοι. προκύπτει αυτός ο τύπος. γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Θέμα 3. κατασκευάσει τρία τετράγωνα, ένα σε κάθε Ένα κανονικό εξάγωνο πλευρά του. Οι πλευρές του τριγώνου έχουν είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1 Ocm. μήκη α, β, γ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αποκόπτουμε τον τομέα που φαίνεται στην εικόνα. α) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του κύκλου. β) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τομέα. Να γράψετε μία ισότητα που συνδέει τα γ) Να βρείτε τη σχέση που έχουν τα εμβαδά τετράγωνα των πλευρών του ορθογωνίου των δύο γραμμοσκιασμένων σχημάτων (του τριγώνου. Ποια σχέση συνδέει τα εμβαδά των τμήματος του κανονικού εξαγώνου και του τριών τετραγώνων; κυκλικού τομέα).

ότι δύο ποσά χ και ψ συνδέονται με μία σχέση. Πότε η σχέση αυτή ονομάζεται συνάρτηση; Γράψτε μία σχέση μεταξύ των ποσών χ και ψ που είναι συνάρτηση. β) τι ιδιότητες έχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=α · χ; Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας του άξονα χ ' χ; γ) Τι ιδιότητες έχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=α · χ+ β; Ποια είναι η σχέση της γραφικής παράστασης της y=α · χ+ β με την γραφική παράσταση της y=α · χ;

- - - -� - - - -� - - - I

_ _ _

I .

•

... - - - - � - .

- t. - - - - �

ι Ο ι

- - - -�

_ _ _

. I I Ι

_._ _ _ _ _

_ _ _ _

�

_ _ _ _ ._. _ _ _ _

•

_ _ _ _ ...

�

·\)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/15

Επαναλ η πτ ι κά Θέμ ατα

Β'

======

Τάξ η ς Συντακτική Ε πιτροπή Ευκλείδη Α '

ΜΓΕΒΡΑ

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. Θ έμα 1. α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ α α+l α+2 και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΓ. Τι , α=3 . Α = -- -- + -- α οταν παρατηρείτε για τα δύο τρίγωνα; 3 4 5 x+ l χ -χ+2 = + -, β) Να λ:υσετε ' την εξισωση -+ . Θ χ έμα 5. 4 3 5 Σε μία συνάντηση 40 υπαλλήλων μιας εταιρίας ο οργανωτής της συνάντησης Θ έμα 2. να φτιάξει διαφορετικές Στο παρακάτω σχήμα είναι γνωστό ότι όλες οι σκέφτηκε προσκλήσεις για άνδρες και διαφορετικές για κυρτές γωνίες είναι ορθές. γυναίκες. Πληροφορήθηκε από τον γραμματέα 2χ+1 της εταιρίας ότι οι άνδρες ήταν κατά 5 λιγότεροι από το διπλάσιο του αριθμού των χ γυναικών. α) Πόσες προσκλήσεις για άνδρες και πόσες για γυναίκες θα πρέπει να κατασκευάσει ο 3χ-2 οργανωτής; β) Ο γραμματέας αρχικά είχε πληροφορήσει μ τον οργανωτή ότι οι άνδρες ήταν κατά 4 α) Να υπολογίσετε το συνολικό ύψος του υ λιγότεροι από το διπλάσιο των γυναικών και ο οργανωτής του ζήτησε να είναι πιο και το συνολικό μήκος του μ με βάση το χ. β) Αν η περίμετρος του σχήματος είναι 42cm, προσεκτικός οπότε και διόρθωσε τον αριθμό. Πώς ο οργανωτής κατάλαβε ότι ήταν λάθος η να υπολογίσετε τις τιμές των μ και υ. αρχική πληροφορία του γραμματέα; Θ έμα 3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ α) Να υπολογίσετε τον θετικό ακέραιο με τον οποίο ισούται η παράσταση: Θ έμα 1. Στο παρακάτω ορθογώνιο τραπtζιο να φέρετε �6 + J6 + .J6 + .J9 το ύψος του ΒΕ από την κορυφή Β και στη β) Αν ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν ίσο με συνέχεια: 4cm .... .;.; Α .-.,...-....;.� 6 + �6 + �6 + .J6 + .J9 cm2, να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου. υ

Θ έμα 4. Σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο Ο να κατασκευάσετε το σημείο Α(-2, 4), το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα α) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ. ' y y (έστω Β) και το συμμετρικό του Α ως β) Να υπολογίσετε τη διαγώνιο ΒΔ και να τη προς τον άξονα χ ' χ (έστω Γ). συγκρίνετε με την πλευρά ΒΓ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/16

------

Επαναληπτικά Θέματα Β ' Τάξης

Θέμα 2. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έχουν μετρηθεί το ύψος του ΑΔ και η γωνία της κορυφής του Α=50° , όπως βλέπετε στο παρακάτω σχήμα. Επιπλέον έχετε στη διάθεσή σας έναν τριγωνομετρικό πίνακα γωνιών μεταξύ 20° και 30°' ω

ημω

αυνω

O,U2

0,940

21° 22"

0,388 0,3711

O,SM 0,927

0,391

0,921

20"

24.

23"

28" 27"

211"

28"

0,407 0,4.23 0,438

Ο,tοβ

0,914

εφω

0,384 0,348

ο,ω.ι

Στο τραπέζιο ΑΒΓ Δ να υπολογίσετε το ύψος ΑΕ. γ) Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Θέμα 4. Διαθέτουμε ένα σχοινί ΑΒ μήκους 40cm. Α

40cm

0,424 0,4411 0,488

O,ltt

0,488

0,4114

0,891

0,1110

0,469

0,883

U,DIIII

β)

0,1132

Ο,ΙΙΠ

α) Αν με αυτό κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο, πόσο θα είναι το εμβαδόν του; 8 β) Αν με αυτό κατασκευάσουμε έναν κύκλο, α) Εξηγήστε γιατί το ύψος ΑΔ είναι και πόσο θα είναι το εμβαδόν του; γ) Να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα για τα διχοτόμος. β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου τετράγωνα και τους κύκλους με την ίδια περίμετρο. ΑΒΓ. γ) Να υπολογίσετε τα άλλα δύο ύψη του Θέμα 5. τριγώνου. Τα παλαιότερα χρόνια κατασκεύαζαν ποδήλατα των οποίων οι ρόδες δεν είχαν την Θέμα 3. Δίνονται δύο σχήματα, ένα ορθογώνιο τρίγωνο ίδια ακτίνα. και ένα τραπέζιο, στα οποία έχουν γίνει κάποιες επιλεγμένες μετρήσεις γωνιών και πλευρών. Οι δεκαδικές μετρήσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουν γίνει με προσέγγιση εκατοστού. 30"

29"

0.4811

0,8711 0,886

0,11114

Στο ποδήλατο της εικόνας η μία ρόδα έχει ακτίνα 60cm ενώ η άλλη ρόδα έχει ακτίνα 7,88c m 25cm. Σε μία διαδρομή του ποδηλάτου η Α 20cm Β μικρή ρόδα εκτέλεσε 1 000 περιστροφές. α) Πόση ήταν η απόσταση που διένυσε το ποδήλατο; β) Πόσες ακέραιες (ολόκληρες) στροφές πήρε κατά τη διαδρομή αυτή η μεγάλη ρόδα; α) Με τη βοήθεια των μετρήσεων στο (Να θεωρήσετε σε κάθε περίπτωση ότι ο ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε το ημίτονο αριθμός π είναι ο 3,14) και το συνημίτονο των 40° .

21 �r

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/17

Ασ κή σ ε ι ς Β ' Τάξη ς γ ι α προχωρη μ ένου ς =======

Επιμέλεια: Τζίφας Νίκος, Κωνσταντινίδης Άρης

1) Ένα αυτοκίνητο και ένα τρένο κινούνται σε παράλληλες πορείες ξεκινώντας από την πόλη Α

με προορισμό την πόλη Β . Το τρένο καλύπτει κατά μέσο όρο 70 km/h και το αυτοκίνητο 50kmlh. Αν το τρένο φτάνει στην πόλη Β 2,2 h πριν από το αυτοκίνητο, να βρείτε την απόσταση από την πόλη Α έως την πόλη Β. 2) Ο Γιάννης κάνει ποδήλατο κάθε Σάββατο σε ένα γειτονικό πάρκο. Στο πρώτο μέρος της ποδηλασίας ο δρόμος είναι ανηφορικός και η ταχύτητα του κατά μέσο όρο είναι μέσο

12 km/h. Από ένα σημείο και μετά ο δρόμος είναι κατηφορικός και η ταχύτητα του κατά όρο είναι 1 8 km/h Αν η συνολική απόσταση που καλύπτει είναι 30 km και ο συνολικός .

χρόνος που ποδηλατεί είναι 2,2 h, πόσο χρόνο κάνει ποδηλασία με tην κάθε ταχύτητα ξεχωριστά; 3) Κατά την διάρκεια της πρώτης εβδομάδας των εκπτώσεαιν του Ιανουαρίου, ένα κατάστημα

που πουλάει ρούχα, μείωσε την τιμή σε όλα τα είδη του κατά

20%.

Κατά τη διάρκεια της

100 € κατά 25 € .Η Μαίρη αγόρασε ένα παλτό κατά την διάρκεια της δεύτερηζ εβδομάδας για 23 1 €. δεύτερης εβδομάδας των εκπτώσεων, μείωσε την τιμή σε όλα τα είδη του με τιμή πάνω από

Ποια ήταν η αρχική τιμή που είχε το παλτό;

4) Θέλουμε να φτιάξουμε μία βιβλιοθήκη με τέσσερα ράφια (συμπεριλαμβανομένου του ραφιού της οροφής). Το ύψος της βιβλιοθήκης πρέπει να είναι

1 m περισσότερο από το πλάτος. Να

βρείτε τις διαστάσεις της βιβλιοθήκης αν έχουμε διαθέσιμη ξυλεία σχήματος ορθογωνίου με μήκος

14m και πλάτος 0,3m. (Η βιβλιοθήκη δεν έχει πλάτη) : I

Συντακτική Επιτροπή του Ευκλείδη

Α'

Σας εύχεται καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας και καλό καλοκαίρι I

σας περιμένουμε στα καλοκαιρινά σχολεία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α '

96 τ.4/18

Δ ι α γών ι σμα γ ι α την Γ ' Τά ξη Γυ μνα σ ίου ======

Θέμα 1.

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α '

θεωρία

α) Να αποδείξετε την ταυτότητα ( α - β ) 3 = α 3 - 3 α 2 β + 3 α β 2 - β 3 β) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το ανάπτυγμα του (χ - 3 ) 3 είναι : β 1) χ 3 - 27 ' β2) χ 3 - 9χ 2 + 27χ + 27 ' β3) χ 3 + 9χ 2 - 27χ + 27 ' β4) χ 3 + 27 γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες αν είναι σωστές με (Σ) ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. 3 3 3 γ l) ( α + 2 β ) = α 3 - 6 α 2 β + 12 αβ2 - 8β 3 , γ2) (χ - 1) = (χ + 1) = -6χ 2 - 2 •

Θέμα 2.

α) Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας 0° :::;ω:::; 1 80° με την βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές με (Σ) ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. Α) Αν δύο γωνίες ω, φ έχουν το ίδιο ημίτονο και ισχύει 0° :::; ω, φ :::; 1 80°, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές . Β) Για κάθε γωνία ω ισχύει συν2ω=ημ2ω-1 . Γ) Το συνημίτονο μιας γωνίας ω με 0° :::;ω:::; 1 80° είναι πάντοτε θετικό. Θέμα 1.

Ασκήσεις

α) Να λύσετε την εξίσωση χ 2 - 4 = Ο . χ-2 4 8 β) Να λύσετε την εξίσωση -- + -- = 2 χ χ - 2 χ - 2χ I

--=---

Θέμα 2

Αν Α=2χ4-7χ2+7χ-2, Β= χ-1 και Γ=2χ2-5χ+6 , να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α) Β·Γ β) Α:Β Θέμα 3.

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με Α = 30° . α) Να φέρετε το ύψος ΒΔ και να το εκφράσετε με τη βοήθεια της πλευράς ΑΒ. β) Αν το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι 25 cm2 , να υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 96 τ.4/19

Δ ι αγών ι σ μα γ ι α τ η ν Γ ' Τάξη Γυ μνα σίου ======

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α '

θεωρ\α Θέμα 1.

α) Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης δευτέρου βαθμού. β) Σε

μία εξίσωση της μορφής αχ2+ βχ+γ=Ο με α;t:Ο ονομάζουμε διακρίνουσα Δ την ποσότητα: Α) α2-4βγ Β) γ2-4βα Γ) β2-4γα Δ) 4αγ-β2 • γ)

Ας υποθέσουμε ότι είναι Δ η διακρίνουσα μίας εξίσωσης της μορφής αχ2+ βχ+γ=Ο με α;t:Ο . Σε κάθε γράμμα της Στήλης Α να aντιστοιχήσετε ένα μόνο αριθμό από τη Στήλη Β. Β

α.

Δ�Ο

β. Δ=Ο γ. δ.

Δ<Ο Δ>Ο

1. Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις 2. Η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις 3. Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση 4. Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση

Θέμα 2.

α) Για να είναι όμοια δύο πολύγωνα αρκεί να έχουν: Α) όλες τις γωνίες τους ίσες. Β) όλες τις πλευρές τους ανάλογες. Γ) τις πλευρές και τις γωνίες τους ίσες. Δ) τις γωνίες τους ίσες και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες. β) Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε ο λόγος των περιμέτρων τους ισούται:

Α) με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. Β) με το λόγο των εμβαδών τους. Γ) με τον λόγο δύο ομολόγων πλΕυρών τους. Δ) τίποτε από τα προηγούμενα. γ) Να· επιλέξετε από τις παρακάτω προτάσεις αυτή που είναι λάθος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/20

------

Διαγώνισμα για την Γ Τάξη Γυμνασίου

--------

Για να είναι όμοια δύο τρίγωνα αρκεί: Α) Να έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία. Β) Να έχουν τις γωνίες τους ανάλογες. Γ) Να είναι το ένα σμίκρυνση του άλλου. Δ) Να είναι το ένα μεγέθυνση του άλλου.

Ασκήσεις

Θέμα 1.

Με βάση τις πληροφορίες που προκύπτουν από τις γραφικές παραστάσεις των δύο παραβολών της μορφής y=αχ2+βχ+γ :

α) Να β ρείτε για κάθε μία παραβολή

τους συντελεστές α, β , γ.

β) Να β ρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους Α και Β. Θέμα 2.

α) Να αποδείξετε ότι:

(α+β)4 - (α-β)4=8αβ(α2+β2). β) Με βάση την παραπάνω ταυτότητα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: (1 00 1)4-(999)4• Θέμα 3.

Έστω ότι για τη γωνία ω ισχύει 90° <ω< 1 80° α. Να αποδείξετε ότι 1 +εφ2ω = _1_ β . Αν εφω=

συν2

J3 να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας.

γ. Να υπολογίσετε την τιμή

της παράστασης

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 96 τ.4/21

Επα ν α λ η πτ ι κ ά Θέ μα τα Γ ' Τά ξ ης ======

Θέμα 1.

β) Να δειχθεί ότι:

ΑΛΓΕΒΡΑ

Δίνονται οι παραστάσεις: Α= ,Β= και Γ = +4χ+4. α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β, Γ. β) Να αποδείξετε ότι: Α 1 ΒΓ Α - = -

Θέμα 2.

Δίνονται οι παραστάσεις: 3 3 Α= α +β β αα α-β και 3 - β3 α----= Β =� β α+ α α+β α) Να γίνουν οι πράξεις σε κάθε μία από τις παραστάσεις Α και Β και να γραφούν σε α πλούστερη μορφή. β) Να δειχθεί ότι: Α+Β α Α-Β β -

-- = -

Θέμα 3.

Συντακτική Επιτροπή Ευκλείδη Α '

Δίνονται οι παραστάσεις: α 2 + β-2 + 2 ----'α β Α= 1 1 -+ α β και α2 + β2 2 α β Β= 1 1 α β α) Να γίνουν οι πράξεις σε κάθε μία από τις παραστάσεις Α και Β και να γραφούν σε α πλούστερη μορφή.

Α-Β = � Α+Β α

Θέμα 4.

Η εξίσωση 2χ2+ βχ+γ=Ο έχει ρίζες του αριθ, 2 και - -1 . μους 2

Να β ρείτε τους συντελεστές β και γ της ε ξίσωσης. β) Να λύσετε την εξίσωση 1 6χ2-24χ-1 6=0. α)

Θέμα 5.

Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ διπλασιάζουμε την πλευρά ΑΒ και της προσθέτουμε 5cm επιπλέ ον. Από την πλευρά ΒΓ αφαιρούμε 3cm οπότε προκύπτει ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που έχει το ίδιο εμβαδόν με το αρχικό τετρά γωνο. α) Να λύσετε την εξίσωση χ2-Ίχ-30=0. β) Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Θέμα 6.

Δίνονται τα πολυώνυμα: Α=(χ-1)2-(χ+1)2 και Β=4χ2 - 3χ. α) Να λυθεί η εξίσωση: Α+Β =0. β) Να λυθεί η εξίσωση: .!!. = Ο Α γ) Να λυθεί η ανίσωση: Α> Ο . Θέμα 7.

Κάποιοι μαθητές μοιράστηκαν το ποσό των 1 600 € εξίσου. Γνωρίζουμε ότι αν ήταν 7 πε ρισσότεροι, θα έπαιρνε ο καθένας τους από 14€ λιγότερα. Να β ρείτε πόσοι μαθητές μοι ράστηκαν το παραπάνω ποσό. Θέμα 8. Να βρεθεί διψήφιος αριθμός <αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι 8 και ότι ελαττώνεται κατά 1 8 αν aντιμεταθέσουμε τα ψηφία του.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/22

------ Γενικά Θέματα Ασκήσεων Γ ' Τάξη ς

rEΩMETPIA

Θέμα 1. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ, προς το μέρος του Β, κατά τμήμα ΒΔ. Στην συνέχεια προε κτείνουμε την πλευρά ΑΓ, προς το μέρος του Γ, κατά τμήμα ΓΕ έτσι ώστε ΒΔ=ΓΕ. α) Να αποδείξετε ότι ΓΔ=ΒΕ. β) Αν Ο το σημείο τομής των ΓΔ και ΒΕ να αποδείξετε ότι ΟΒ=ΟΓ. Θέμα 2. Για το παρακάτω σχήμα δίνονται οι εξής πλη ροφορίες: Β i) ΑΒ//ΓΔ ii) BΓ=l2cm iii) (ΟΓΔ)=36cm2 και (OAB)=4cm2 Με βάση τις πληρο Δ φορίες αυτές: α) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΟΒ και ΟΓ. Γ β) Να υπολογίσετε τα ύψη των τριγώνων ΟΑΒ και ΟΓΔ που άγονται από τις κορυφές Α και Γ αντίστοιχα. Θέμα 3. Τα σημεία Α και Β βρίσκονται σε ένα Καρτε σιανό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Ο. Ι ι τ-I

'Β

- - -

Ι ι ,. Ι I

- - -, - - - ., - 4 Ι ι

I ι

Ι I

I I

- - - - - -

------

β) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας Α. γ) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ. Θέμα 5, Ένα τρίγωνο έχει πλευρές των οποίων τα μήκη είναι 4, 5 και 6 μονάδες αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε το ημίτονο οποιασδήποτε γωνίας του. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. Θέμα 6. Η πυραμίδα του Χέοπα έχει βάση τετράγωνο με μήκος πλευράς 227m και ύψος 138m. Να υπολογίσετε: α) τις ακμές της, β) τη γωνία φ που σχηματίζουν οι ακμές με τις διαγώνιες του τετραγώνου της βάσης, γ) σε ποιά απόσταση από μια κορυφή της βά σης και στην προέκταση της διαγωνίου του τε τραγώνου της βάσης που διέρχεται από αυτή, πρέπει να στήσει τη μηχανή του ένας φωτο γράφος, ώστε να φωτογραφήσει την πυραμίδα, εφ όσον η οπτική γωνία της μηχανής του είναι ω=1 8 ° . ο

Θέμα 7. Δύο ορθογώνια τρί γωνα έχουν την υ τους ποτείνουσά 4 -3 -2 -1 ο ο 1 2 3 κοινή. Ν α δείξετε - ·1 ότι υπάρχει κύκλος α) Να υπολογίσετε τα ημω και ημφ. που διέρχεται από β) Να υπολογίσετε το ημ2ω+ημ2φ. τις τέσσερις κορυ γ) Να εξηγήσετε γιατί η γωνία ΑΟΒ είναι ορ φές του τετραπλεύ θή. ρου που σχηματίζουν τα δυο τρίγωνα. Θέμα 4. Θέμα 8. Στο τρίγωνο ΑΒΓ εκτός Αν Β=60° και ΑΜ είναι η διάμεσος ενός ορθο Α από τα μήκη των πλευρών γωνίου τριγώνου ΑΒΓ, του ΑΒ και ΑΓ γνωρίζου α) Να δείξετε ότι: ΑΒ= ΒΓ/2. Γ με και το εμβαδόν του που β) Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες που σχημα είναι 1 Ο τετρα'γωνικές μο τίζονται στο τρίγωνο νάδες. γ) Αν φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΜΒ, α) Να υπολογίσετε το ύ να δείξετε ότι αυτή διέρχεται από το μέσο της ψος του ΒΔ. ΑΒ. I

ι .. ι

- - -

ι � ι

- -

ι -ι ι

- -

ι .. ι

ι -ι - ι

ι .. ι

ι ... ι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/23

Θέ μα τα Γ ' Γυμν α σίου γ ι α προχωρ η μ ένου ς ======

Στέφ ανος Κέίσογλου

Θ έμα 1.

α) Να υπολογίσετε το ανάπτυγμα της παράστασης: (α+ β+y)3 • β) Με βά� το αποτέλεσμα της α) να υπολογίσετε τα αναπτύγματα των παραστάσεων: Α=(α-β-γ) και Β=(β+y-α) 3 • Τι παρατηρείτε; Θ έμ α 2.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=α και γωνία κορυφής Α ίση με 30° . α) Να εκφράσετε την πλευρά ΒΓ ως συνάρτηση του α. β) Να υπολογίσετε το ημ1 5°. γ) Να υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 1 5°. Θέμα 3.

Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας παραβολής σε ένα Καρτεσιανό σύστημα. Το σημείο Κ είναι η κορυφή της παραβολής το δε εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ είναι 1 τετραγωνική μονάδα. α) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής. β) Το σημείο Σ μπορεί να μετακινηθεί μόνο πάνω - κάτω ή δεξιά αριστερά. Πόσο θα πρέπει να μετακινηθεί προς τα πάνω ώστε να συναντήσει την παραβολή; γ) Πόσο θα πρέπει να μετακινηθεί προς τα αριστερά ώστε να συναντήσει για πρώτη φορά την παραβολή; κ

Θ έμ α 4.

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ κάνουμε τις παρακάτω βηματικές κατασκευές. Βή μα 1. Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓ και σχηματίζουμε το τρίγωνο 1 . Βή μα 2. Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου 1 και σχηματίζουμε το τρίγωνο 2. Βή μα 3 . Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του τριγώνου 2 και σχηματίζουμε το τρίγωνο 3. Συνεχίζουμε με την ίδια διαδικασία. α) Μετά από πόσα τουλάχιστον βήματα το τρίγωνο που θα προκύψει θα έχει περίμετρο μικρότερη από το Ο, 1 % του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ; β) Μετά από πόσα τουλάχιστον βήματα το τρίγωνο που θα προκύψει θα έχει εμβαδόν μικρότερο από το Ο, 1 % του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ; Θ έ μ α 5.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90° ) έχουμε φέρει το ύψος του ΑΔ. Α

1) 2) 3)

Να αποδείξετε ότι τα δύο τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το ΑΒΓ είναι όμοια. Να αποδείξετε ότι: (ΑΓημα+ΑΒσυνα)2=ΑΒ2+ΑΓ2 . Με βάση το ερώτημα 2) να δείξετε, χωρίς να κάνετε πράξεις, την ισότητα: (χημα+ψσυνα/+(ψημα-χσυνα)2=χ2+ψ2 •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/24

Υποδείξε ις y ιο τα ΕπανοΑηπτ ι θέματα Α ' ruμνασίοu '

ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέμα 1 .

.2_ 5, 38 περίπου. 1, 3 β) Αν χ το πραγματικό ύψος του δέντρου τότε __χ_ = .2_ άρα χ= 1 , 70 · .2_ 9, 1 5m 1 ,3 1 ,70 1 ,3 γ) 2,2% περίπου. α) Ο λόγος των δύο υψών είναι

Θέμα 2. α) Παρατηρήστε ότι 2 2 · 3 2 · 5 2=900

άρα Α=42=1 6. Όμοια στο Β 42 ·5=80 άρα Β= 24= 1 6

Α =1. Β Α2 =A=l6. γ) Προκύπτει άμεσα ότι Β β) Προκύπτει άμεσα ότι

Θέμα 3.

.!.. > ..!.. 3 4 β) Αν χ το ποσό που μοίρασαν τότε .!... χ+..!..·χ+.!..·χ+ l ΟΟ=χ οπότε χ=1200€. 3 4 3

α) Να λάβεις υπ όψιν ότι

Θέμα 4. α) Οι αριθμοί αυτοί θα πρέπει να είναι μονοψήφιοι διαιρέτες του

120 και η μοναδική επιλογή

που έχουμε είναι οι 4, 5 και 6. β) Το γινόμενο θα γίνει 1 50 άρα το ποσοστό αύξησης θα είναι 25%. Θέμα 5.

.±.χ=1,6 άρα χ=2 5 β) Α χ τα κιλά από τα πορτοκάλια τύπου Α τότε 22-χ θα είναι τα πορτοκάλια τύπου Β και θα ισχύει: .± · χ+ � · (28 - χ)=22 από όπου προκύπτει ότι χ=20. 5 4 α) Αν χ τα κιλά πορτοκάλια τύπου Α τότε

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Θέμα 1. α) Παρατηρήστε ότι η ακτίνα του ενός είναι το τμήμα ΑΒ όπως και η ακτίνα του άλλου κύκλου. β) Η ευθεία ΑΒ περνά από τα κέντρα των κύκλων άρα είναι άξονας συμμετρίας όπως και η ΔΓ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/25

------

Υποδείξεις στα διαΎωνίσματα Α'-Β '-Γ ' Γυμνασίου

αφού οι κύκλοι είναι ίσοι. γ) ΑΔ=ΔΒ=ΒΓ=ΓΑ γιατί όλα είναι ακτίνες ίσων κύκλων. Θέμα 2. α) Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΔΟΕ και ΕΟΖ είναι ισόπλευρα άρα οι ζητούμενες γωνίες είναι ίσες με 1 20° . β) Τα δύο τόξα έχουν άθροισμα 360° - 240° = 1 20° άρα η ζητούμενη σχέση εκφράζεται από το 1 20 1 κλάσμα - = 3 60 3 Θέμα 3. α) 40° ως παραπληρωματική της δοσμένης ω. β) Λόγω ισοσκελούς τριγώνου οι δύο άλλες γωνίες θα είναι ίσες με 40° και 1 00° . γ) Παρατηρήστε ότι οι γωνίες του ΑΕΒ είναι ίσες μία προς μία με τις γωνίες του ΕΔΓ. Θέμα 4. α) Η γωνία Γ είναι ίση με 40° Άρα οι ζητούμενες δύο άλλες γωνίες του ΓΔΕ είναι 90° και 50° . β) Η γωνία Δ στο τρίγωνο ΔΖΒ ανήκει σε ορθογώνιο τρίγωνο και είναι ίση με 46°. γ) Η γωνία ω είναι παραπληρωματική του αθροίσματος 46° + 50° .

Θέμα 5. α) Η παραπληρωματική της ω είναι 90° -35° =55° άρα η ω είναι 1 25° . β) Είναι η ίδια η γωνία ω.

Υποδε ί ξε ις y ια τα Επαναληuτ ι θέματα Β � rυμναοίου ff

ΑΛrΕΒΡΑ

Θέμα 1. α) Α=Ο. β) Η εξίσωση προκύπτει από την αντικατάσταση του α με χ και κατάλληλες μεταφορές άρα χ=3 . Θέμα 2. α) υ=4χ-2 και μ=6χ-2. β) Η εξίσωση (2x+ 1 )+x+(4x-3)+(3x-2)=2 1 cm δίνει x=2,5cm και υ=8cm και μ= 1 3cm. Θέμα 3. α) Επειδή J9 = 3 όλα τα υπόριζα δίνουν 9 και η παράσταση είναι ίση με 3. β) Το εμβαδόν, με βάση το ερώτημα α), είναι ίσο με 6+3=9 (τετρ. εκατοστά) άρα η πλευρά είναι 3 cm. Θέμα 4. α) Οι συντεταγμένες του Β είναι (2, 4) και το εμβαδόν του ΟΑΒ είναι 8 τετρ. μονάδες.

β) Οι συντεταγμένες του Γ είναι (-2, --4) και το εμβαδόν του ΟΑΓ είναι πάλι 8 τετρ. μονάδες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/26

----

Υποδείξεις στα διαγωνίσ ματα Α'-Β '-Γ ' Γυμνασίου

5. α) Η εξίσωση που προκύπτει από τα δεδομένα είναι 2χ-5+χ=40 όπου χ ο αριθμός των γυναικών. Προκύπτει ότι χ= 1 5 γυναίκες και 25 άνδρες. β) Η εξίσωση θα έδινε 2χ-4+χ=40 άρα 3χ=44 και ο χ δεν θα ήταν ακέραιος. Θέμα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1.

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ που δημιουργείται οι δύο κάθετες πλευρές έχουν μήκη 4cm και 3cm άρα η υποτείνουσα έχει μήκος 5cm. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΑΔ η υποτείνουσα ΒΔ έχει μήκος 4 · .ficm 4 · 1 ,4 1 cm=5,64cm άρα είναι μεγαλύτερη από την ΒΓ. β)

Θέμα 2.

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ η οξεία γωνία στην κορυφή του Α είναι 25° και επομένως ΒΔ= 1 Ocm ·εφ25°=4,66cm. � 1 Ocm 1 Ocm = 1 1 ' 04cm. Ακόμη ΑΒ συν25° Ο, 906 =

β)

Το ύψος ΒΕ από την κορυφή Β ανήκει σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΒ με υποτείνουσα AB=1 1 ,4cm και απέναντι γωνία 50° αλλά ο πίνακας δεν διαθέτει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 50°. Υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ως .!. Br ΑΔ και αυτό 2 είναι ίσο με .!.. ΑΓ · ΒΕ από όπου υπολογίζουμε το ΒΕ. 2 ·

θα

Θέμα 3.

α) Μπορείτε να υπολογίσετε άμεσα ημ40°=0,643 και συν40°=0,766. β) Το ΑΕ είναι κάθετη γ)

πλευρά ορθογωνίου τριγώνου απέναντι από γωνία 40°.

Η ΔΕ είναι κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου προσκείμενη σε γωνία 40° .

Θέμα 4.

α) Η πλευρά του τετραγώνου είναι 1 0cm άρα το εμβαδόν του 1 00cm2 • Η περίμετρο� του κύκλου ισούται με 6,28 φορές την ακτίνα άρα η ακτίνα είναι 6,37cm και το εμβαδόν 127cm περίπου. β)

γ) Ο κύκλος που έχει ίδια περίμετρο

με το τετράγωνο έχει αρκετά μεγαλύτερο εμβαδόν.

5. α) Σε κάθε περιστροφή της μικρής ρόδας το ποδήλατο διανύει 6,28 · 25cm, δηλαδή 1 ,57m και αυτό σημαίνει ότι στις 1 000 περιστροφές διένυσε 1 570 m. Θέμα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/27

------

Υποδείξεις στα διαγωνίσματα Α '-Β '-Γ' Γυμνασίου

β) Την ίδια απόσταση διένυσε και η μεγάλη ρόδα που σε κάθε περιστροφή διανύει 6,28·60cm= 3,768m. 1 570 Άρα πήρε = 4 1 6, 67 ή σε ακέραιο αριθμό 4 1 6 στροφές. 3, 7 6 8

ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ θΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟΥΣ Β * ΤΑΞΗΣ

======Επιμέλεια : Νίκος Τζίφας, Αριστείδης Κωνσταντινίδης 1 . Έστω χ το πλήθος των κοριτσιών

1 ο Η Ελένη χόρεψε με 6+ 1 αγόρια 2° Η Μαρία χόρεψε με 6+2 αγόρια 3° Η Πόπη χόρεψε με 6+3 αγόρια

χ0 Η Βανέσα χόρεψε με 6+χ αγόρια οπότε έχουμε την εξίσωση χ+(6+χ)=20 όπου χ τα κορίτσια και 6+χ τα αγόρια οπότε χ=7 τα κο ρίτσια και 20-7=13 τα αγό ρια. 2. Όλα μαζί τα αδέλφια έχουν x+y+z+ω=45 . Τ α χρήματα του πρώτου θ α γίνουν χ+2. Τα χρήματα του δεύτερου θα γίνουν y-2. Τα χρήματα του τρίτου θα γίνουν 2z. ω , , , 2. α χρηματα του τεταρτου θ α γινουν τ

Τότε όλοι θα έχουν το ίδιο ποσό x+2=y-2=2z= x+2 = y-2 x + 2 = 2z ω χ+2 =2

ω 2 y = x+4 χ+2 z = -2 ω = 2χ + 4

χ+2 ' , τις τιμες , , εξισωση , στην πρωτη αντικαθιστουμε και εχουμε: χ + χ + 4 + -- + 2 χ + 4 = 45 2 Οπότε y=12, z=5 και ω=20. 3. Το εμβαδόν του κύκλου είναι Ε = πρ2 = π , Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ε ' = 2ρ2 = 2 οπότε το ποσοστό εμβαδού του εγγεγραμμένου τετραγώνου σε σχέση με το εμβαδόν του Ε' κύκλου είναι = 3. :: � :: 0, 64Ψ64% . Ε π 3, 1 4

στην πρώτη περίπτωση και Γ ' = 2π ( h + 2 ) = 2πh + 4π

στην δεύτερη περίπτωση επομένως το μήκος της τροχιάς του στη δεύτερη περίπτωση θα είναι κατά 4π km ή περίπου 12, 56 km.

4. Είναι Γ = 2πh

Είναι

χ Υ ω χ + y + ω 39 = = = = = 3 οπότε προκύπτουν χ=9, y= 1 2 και ω=1 8. 3 4 6 13 13 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/28

Υποδείξεις στα διαγωνίσματα Α'-Β '-Γ ' Γυμνασίου

-------

, Ειναι

χ = = ω = χ - Υ + ω = 40 = -y - 8 3 4+6 5 3 -4 6

, προκυπτουν χ=24 , οποτε

- . 32 και ω=48

ελάχιστος δυνατός αριθμός ασημένιων νομισμάτων σε ένα σακουλάκι είναι προφανώς Ο. Ο επόμενος μεγαλύτερος αριθμός είναι τουλάχιστον 1, ο επόμενος μεγαλύτερος τουλάχιστον 2, . . και ο αριθμός στο τελευταίο (δέκατο) σακουλάκι τουλάχιστον 9. Άρα, ο αναγκαίος αριθμός νομισμάτων είναι τουλάχιστον 0+1+2+3+ . . . +9=45. Ο Νίκος δεν μπορεί να το κάνει αυτό έχει μόνο 44 ασημένια νομίσματα. Ο

Ένας τόμος με 999 σελίδες χρειάζεται 9+2·90+3·900=2889 ψηφία. Αν ο ογκώδης τόμος του προβλήματος έχει χ σελίδες, τότε: 2889+4(χ-999)=2989, χ=1 024.

Υποδείξε ις y ιο τα ΕπαvαΑηuτ ι θέματα r ruμνασίου �

ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέμα 1 . Αναλύουμε τις παραστάσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. 1.

Α = χ 2 - 5χ + 2χ - 10 = ( χ 2 - 5χ ) + (2χ - 1 0) = 5 (χ - 5) + 2(χ - 5) = (χ - 5) (χ + 2) , Β = (χ - 5)2 , Γ = (χ + 2)2

2. Είναι :

(χ - 5) ( χ + 2) 1 1 Α = = = 2 2 ΒΓ (χ - 5) (χ + 2) (χ - 5) ( χ + 2 ) Α

Θέμα 2.

Η παράσταση Α μετά από πράξεις γίνεται:

Παρόμοια η παράσταση Έχουμε τώρα:

Β γίνεται: Β =α(α-β)

Θέμα 3.

Η παράσταση Α μετά από πράξεις γίνεται: α 2 + β 2 + 2 αβ α 2 + 2 αβ + β 2 α2 + β2 + 2 α αβ ( α 2 + 2 αβ + β 2 ) αβ ( α + β )2 β= β = α (α + β) = = β = Α= β α+β α+β _!_ + ! β (α + β) β (α + β) αβ αβ α β ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 96 τ.4/29

Υποδείξεις στα διαγωνίσματα Α'-Β '-Γ Γυμνασίου

Παρόμοια η παράσταση Β γίνεται: Β =α( α-β) Έχουμε τώρα : Θέμα 4. α) Αφού είναι γνωστές οι ρίζες μπορούμε να γράψουμε 2χ2+βχ+γ = 2(χ-2)·( χ + .!_ ) από όπου 2 μετά τις πράξεις προκύπτει ότι β= -3 και γ= -2. β ) Παρατηρήστε ότι η εξίσωση του ερωτήματος β) προκύπτει από την εξίσωση του ερωτήματος α) αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της με τον αριθμό 8 άρα έχει τις ίδιες ρίζες. Θέμα 5. α) Η εξίσωση έχει διακρίνουσα 1 69 και ρίζες 10 και -3 . β ) Αν χ η πλευρά του τετραγώνου τότε οι πλευρές του ορθογωνίου είναι 2χ+5 και χ-3 οπότε ισχύει (2χ+5)·(χ-3)=χ2 όπου μετά τις πράξεις προκύπτει η εξίσωση του α) ερωτήματος. Αυτό σημαίνει ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι l Ocm.

Θέμα 6. α) Εφαρμογή της ταυτότητας διαφοράς τετραγώνων στην παράσταση Α και κοινός παράγοντας το χ στην παράσταση Β, οπότε: Α+Β= -4χ+χ(4χ-3) =Ο και τελικά . . . χ=7/4 ή χ=Ο β) Περιορισμοί για τον παρονομαστή, 4x:;t:O, x:;t:O και μηδενίζω τον αριθμητή του κλάσματος,δηλ.Β=Ο, χ(4χ-3)=0, οπότε χ=Ο ή χ=3/4. Η χ=Ο απορρίπτεται λόγω του περιορισμού κι έτσι η λύση της εξίσωσης είναι η : χ=3/4.

γ) Για την Α>Ο έχουμε -4χ, άρα: χ<Ο. Θέμα 7.

Από το πρόβλημα προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση :

1 600 1 600 ' ' των -= -- + 1 4 , οπου χ ο αριθμος

χ+7 χ μαθητών που μοιράστηκαν τα χρήματα. Πρέπει: χ '# Ο και χ + 7 '# Ο . Λύνοντας την εξίσωση έχουμε: χ= -32 ή χ= 25. Η χ= -32 απορρίπτεται, άρα οι μαθητές που μοιράστηκαν τα χρήματα είναι 25.

Θέμα 8 . Έστω χ, ψ τα ψηφία του αριθμού, όπου χ το ψηφίο των δεκάδων και ψ το ψηφίο των μονάδων. Αν aντιμεταθέσουμε τα ψηφία του τότε είναι ψ το ψηφίο των δεκάδων και χ το ψηφίο των μονάδων, οπότε ο αριθμός θα έχει συνολικά 1 0ψ+χ μονάδες και σύμφωνα με την εκφώνηση του χ+ψ = 8 χ+ψ = 8 χ=5 ' , προβληματος θα ειναι: ... ... 1 0ψ + χ - l Ox + ψ = 1 8 χ-ψ = 2 ψ=3

{

(

)

{

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 3 5 . rEΩMETPIA

Θέμα 1 . α ) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα καθώς έχουν ΑΒ=ΑΓ και ΑΕ=ΑΔ ενώ η γωνία Α είναι κοινή. β) Από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΕ και ΑΓΔ προκύπτει ότι οι γωνίες ΓΒΕ και ΔΓΒ είναι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/30

----

Υποδείξεις στα διαγωνίσ ματα Α'-Β '-Γ ' Γυμνασίου

ίσες αφού είναι ίσα και τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΒΓΕ (οι πλευρές τους είναι ίσες μία προς μία). Θέμα 2. α) Τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο εμβαδόν 9 άρα λόγο ομοιότητας 3. Αυτό σημαίνει ότι ΟΓ=30Β επομένως OB=3cm και OΓ=9cm. β) Τα εμβαδά των τριγώνων είναι γνωστά καθώς και οι βάσεις τους ΟΒ και ΟΓ και το ύψος στο

ΟΑΒ είναι Θέμα 3.

� cm ενώ το ζητούμενο ύψος στο τρίγωνο ΟΓΔ είναι 8 cm. 3

α) Με πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι ΟΑ=ΟΒ=5 άρα ημω= ± και ημφ= � . 5 5 16 + 9 1 β) ημ2 ω+ημ2φ = 25 25 γ) Ισχύει ημφ=ημθ ως ημίτονα παραπληρωματικών γωνιών. Ακόμη, παρατηρούμε ότι ημφ=συνω κάτι που συμβαίνει στις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου άρα οι γωνίες θ και ω είναι συμπληρωματικές και επομένως η ΑΟΒ είναι ορθή. -

Θέμα 4. α) Το ύψος είναι ίσο με 5 μονάδες αφού η βάση είναι 4 και εμβαδόν 1 0. β) Το ημίτονο της γωνίας Α είναι ίσο με

� στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ. Το συνημίτονο της 6

..fϊϊ ' θ α υπολογιστει' απο' τον τυπο ' η μ2 α+συν2 α= 1 και ειναι ' γωνιας -- . 6 γ) Από τον νόμο των συνημιτόνων ΒΓ2=62+42-2·6·4·

..fϊϊ . . . . . . . . 6

Θέμα 5. α) Με τη βοήθεια του θεωρήματος των συνημιτόνων μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της γωνίας ω που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος 6.

'Ετσι θα έχουμε ότι 62=42+5 2-2·4·5·συνω από όπου προκύπτει ότι συνω= .!.. . Από το συνημίτονο 8 μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε το ημίτονο της ω. β) Φέρνουμε το ύψος που βρίσκεται απέναντι από την ω και στο ορθογώνιο τρίγωνο που δημιουργείται υπολογίζουμε με τη βοήθεια του ημιτόνου της ω το ύψος αυτό και στη συνέχεια το εμβαδόν του τριγώνου.

Θέμα 6. Αν ΟΑΒΓΔ η πυραμίδα με κορυφή και ύψος τότε: α) για να υπολογίσουμε την ακμή της υπολογίζουμε πρώτα την ΚΓ:

Ο ΑΓ = �(ΑΔ)2 +(ΔΓ)2 ΚΓ=ΑΓ/2 και ΟΓ = �( ΟΚ )2 +(ΚΓ)2 = . . .2 1 1, 67m

ΟΚ,

β) αν φ είναι η γωνία ακμής και διαγωνίου της βάσης, τότε: εφφ= ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/31

ΟΚ . . .=0,860 ή φ=40,7° ΚΓ

------

Υποδείξεις στα διαΎωνίσ ματα Α'-Β '-Γ ' Γυμνασίου

κ . . . ΡΚ== 424 εφ 1 8 ο=,62 m,όπου Ρ το σημείο που ο φωτογράφος θα τοποθετήσει τη ΡΚ μηχανή του. ο

γ)

Θέμα 7.

Έστω το τρίγωνο ΒΑΔ (ορθογώνιο στο Α) και το τρίγωνο ΒΓΔ (ορθογώνιο στο Γ). Για τη διάμεσο ΑΜ του ΒΑΔ ισχύει: ΑΜ=ΒΔ/2=ΜΒ=ΜΔ Για τη διάμεσο ΓΜ του ΒΓΔ ισχύει: ΓΜ=ΒΔ/2=ΒΜ=ΜΔ. Έχουμε λοιπόν: ΜΑ=ΜΒ=ΜΓ=ΜΔ. Έτσι αν χαράξουμε ένα κύκλο με κέντρο το Μ και ακτίνα τη ΜΑ, αυτός θα περνά και από τα σημεία Β , Γ , Δ. Θέμα

8. ΒΓ α) Επειδή η γωνία Β είναι 60° και ΑΜ= =ΜΓ , το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές και η 2 ° γωνία ΒΑΜ είναι 60 . ΕπομΧνω ς το ΑΜ Β εΩναι ι σό πλευρο κ α ι ισχύει: ΑΒ=ΑΜ=ΒΓ/2. β)

Η διχοτόμος ΜΔ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΜΒ είναι ύψος και διάμεσος, άρα διέρχεται από το μέσο της ΑΒ.

yt α

Το εμβαδόν της σκούρας περιοχής είναι 0 , 1 9x600cm2 =1 14cm2 και επομένως του μεγάλου ορθογωνίου είναι 714cm2 • Οι διαστάσεις του μεγάλου ορθογωνίου είναι 1 5+χ και 40+χ άρα ισχύει (1 5+χ)·(40+χ)=7 14 ή χ2+ 55χ-1 14=0 που έχει ρίζες το 2 και μία αρνητική η οποία απορρίπτεται. Άρα, οι διαστάσεις του μεγάλου ορθογωνίου είναι 1 7cm και 42cm. 1)

α4 ·β4-10 α2 ·β2t9=0 ή α4 ·β4-2·5·α2 ·β2+25=16 άρα (α2 ·β2-5)2=16 Η δοσμένη σχέση γράτεται 2 από όπου προκύπτει ότι α ·β -5=4 ή α2 ·β2-5=-4 οπότε α·β=3 ή α·β=--3 ή α·β=1 ή α·β=-- 1 και τα ζεύγη τιμών θα είναι ( 1 ,3), (3, 1 ), (-1 ,-3), (-3,-1) (-1 ,3), (1 ,-3), (1 , 1 ), (-1 , -1), (-1 , 1), ( 1 ,-1). 2)

Αν χ οι στροφές της μεγάλης και y οι στροφές της μικρής ρόδας ανά λεπτό τότε ισχύει: 1 y- χ =400 και 2. - 2. - ή x·y=300(y-x). Τελικά χ=200 και y=600. χ y 60 =

Από τις πληροφορίες του προβλήματος προκύπτει ότι εργάστηκαν 5 εργάτες συνολικά ο ένας μετά τον άλλο. Αν ο τελευταίος εργάστηκε χ ώρες τότε οι συνολικές εργατοώρες είναι χ+2χ+3χ+4χ+ 5χ=1 5χ όμως οι aνθρωποώρες που απαιτούνται για να τελειώσει το έργο είναι 6·5=30 καθώς 5 εργάτες θα χρειάζονταν 6 ώρες για να τελειώσουν όλοι μαζί το έργο. Άρα χ=2 και επομένως το έργο ολοκληρώθηκε σε 5·2=1 0 ώρες. 5) Η ευθεία με εξίσωση y=2x+ 1 κόβει τον άξονα χ 'χ στο -1/2 και τον y 'y στο 1 . Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις οι άξονες θα πρέπει να κατασκευαστούν έτσι ώστε το ορθογώνιο τρίγωνο που δημιουργείται από τους άξονες και την ευθεία να βρίσκεται δεξιά της ευθείας. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/32

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Προκρ ι ματ ι κός δ ι αγων ι σμός 201 5 4 Απριλίου 2014

θέματα μικρών τάξεων Πρόβλημα ι Αν x , y, z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

( 3 χ + y )( 3 y + z ) ( 3 z + x ) � 64xyz Πότε ισχύει η ισότητα; Λύση

Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου για 4 θετικούς όρους

όπου η ισότητα, όταν

= α1 = α2 = α3 α4

3x + y ____.:_ = 4 3Υ + z 4

•

Για κάθε χ, y > Ο , έχουμε

x. + x + x + y >- "J4 �

3x + y >_ 4<iJ4 � XY

(1)

+ + +z = Υ Υ 4 Υ � Wz :::::> 3Υ + z � 4Wz

(2)

X Y ===>

3z + x = z + z + z + x > 4Γ3 _ ν z-χ :::::> 3 z + χ >_ 4ν4Γ3 z-χ 4 4

Με πολλαπλασιασμό

(3)

κατά μέλη των (1) , (2) και (3) κατά μέλη λαμβάνουμε

, (2) και (3) ισχύει όταν χ = y , y = z και z = χ , αντίστοιχα, οπότε και στην τελευταία ανισότητα η ισότητα ισχύει όταν χ = y = z . Η ισότητα στις ανισότητες (1)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/33

-------

Μαθη ματικοί Διαγων ισμο ί -------

Πρόβλη μα 2

Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο . Τα ύψη ΒΔ,ΓΕ τέμνονται στο Η .

Αν 0 1 είναι το περίκεντρο του τριγώνου

ΒΗΓ ,

να αποδείξετε ότι το ΑΗ010 είναι

παραλληλόγραμμο. Λύση .

Παρατηρούμε ότι το Οι είναι στη μεσοκάθετη ΟΜ του ΒΓ . Επιπλέον ισχύει ότι ΑΗ // ΟΟι (ως κάθετες στη ΒΓ ), οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΗ = ΟΟι . Όμως είναι γνωστό ότι ΑΗ = 20Μ , οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι ΟΜ = Μ Οι . Το τετράπλευρο ΕΑΔΗ είναι εγγράψιμο, οπότε Λ

ΒΗΓ = 1 80° - Α . Τώρα η ΒΗΓ είναι εγγεγραμμένη στον περιγεγραμμένο κύκλο του Λ

ΒΗΓ και η ΒΟιΓ είναι επίκεντρη. Λ

. . ' ' ' ' '

' ' I I I

I ,

Σχήμα 1 Επομένως ΒΟιΓ = 2 Α . Επομένως τα ισοσκελή τρίγωνα ΒΟΓ, ΒΟιΓ έχουν τις γωνίες της κορυφής ίσες, άρα έχουν όλες τις γωνίες ίσες και έχουν και κοινή τη ΒΓ , οπότε είναι ίσα. Επομένως η ΒΓ είναι μεσοκάθετος της ΟΟι , οπότε Μ μέσο του Οι Ο , οπότε ΟΜ = ΜΟι Πρόβλη μα 3

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει θετικός ακέραιος

( n + 3) 2n+2 να είναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα.

τέτοιος, ώστε οι αριθμοί

(n + 1) 2n

και

Λύση

Έστω A = ( n + 1 ) 2n και B = ( n + 3 ) 2n+Z . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν

άρτιος, τότε οι αριθμοί Ζ"*1 2"'*""�είναι τέλεια τετράγωνα, οπότε αφού οι αριθμοί τι + :1.1 n + ! είναι περιττοί, θα πρέπει να είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα.

ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Α' 96 τ.4/34

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

( )

(

--------

)

Πράγματι, αν είναι n = 2k , k ε N, και A = n + 1 2n = 2k + 1 2 2k = r2 , τότε 2 2 k r 2 , 2 k r και 2 2k + Ι = Ομοίως προκύπτει και ότι ο n + 3 = 2k + 3 θα είναι τέλειο τετράγωνο.

( ;. )

•

Όμως αυτό είναι άτοπο , γιατί δεν υπάρχουν τέλεια τετράγωνα που να απέχουν κατά δύο. Πράγματι, η διαφορά δύο οποιωνδήποτε τέλειων τετραγώνων ακεραίων μορφής α2 - b2 = (α b) (α + b) � 1 · 3 = 3 .

α, b, (α b � 1 ) είναι της >

Αν n = 2k + 1 , τότε οι αριθμοί γράφονται

(

)

( )

(

)

(

)

A = 2k + 1 + 1 2 2 k +Z = k + 1 2 2 k+ Z και B = 2k + 1 + 3 2 2 k +3 = k + 2 2 2 k +4 , οπότε σε αυτή την περίπτωση οι αριθμοί k + 1 , k + 2 πρέπει να είναι τέλεια τετράγωνα. Όμως, αυτό είναι άτοπο , αφού όπως αποδείξαμε προηγουμένως, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι που να είναι τέλεια τετράγωνα και να απέχουν κατά ένα. Πρόβλημα 4. Σε ένα σχολείο έχουν δημιουργηθεί

112 ομάδες που η καθεμιά αποτελείται από 11 μαθητές.

Επίσης, οποιεσδήποτε δύο ομάδες έχουν ακριβώς έναν κοινό μαθητή. Να αποδειχθεί ότι:

(α) Υπάρχει ένας μαθητής που ανή κει σε τουλάχιστον 12 ομάδες. (β) Υπάρχει ένας μαθητής που ανήκει σε όλες τις ομάδες. Λύση (α) Θεωρούμε

μία τυχαία ομάδα Ο . Καθεμία από τις υπόλοιπες 1 1 1 ομάδες έχει ακριβώς έναν

μαθητή της Ο . Αφού 1 1 1 = 1 1 · 1 Ο + 1 , από την αρχή της περιστεροφωλιάς, θα υπάρχει ένας μαθητής που ανήκει σε τουλάχιστον 1 1 ομάδες. Επομένως ο

στην Ο

(μαζί με την Ο ) ανήκει σε συνολικά 12 ομάδες, έστω 01 , 0 , ••• , 01 • 2 2

Θα δείξουμε ότι ο ομάδα Ο' . (β)

ανήκει σε όλες τις ομάδες. Πράγματι, έστω ότι ο

ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Α' 96 τ.4/35

δεν ανήκει στην

-------

Μαθηματικο ί Διαγωνισμοί

--------

Τότε η Ο' έχει ακριβώς έναν κοινό μαθητή με τις 01 , 02 , , 012 0 αλλά επειδή η Ο' έχει 1 1 μαθητές, θα υπάρχουν δύο ομάδες, έστω οι Ο; , Ο j που ο κοινός μαθητής με την Ο' θα είναι ο ίδιος, έστω y . Τότε όμως οι ομάδες Ο; , Ο j έχουν δύο κοινούς μαθητές, τον χ και τον y , άτοπο. Άρα ο χ ανήκει σε όλες τις ομάδες. • • •

Λύσε ι ς ασκήσεων τεύχους 95

Γ22. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΔ διάμεσός του. Έστω

Ο το

περίκεντρο του

τριγώνου ΑΒΔ. (α) Να αποδείξετε ότι, αν το

Ο βρίσκεται πάνω

σε ένα μεσοπαράλληλο τμήμα (χωρίς να

είναι κάποιο από τα άκρα του) του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. (β) Ισχύει το ίδιο, αν το

Ο είναι

ένα από τα άκρα ενός μεσοπαράλληλου τμήματος του

τριγώνου ΑΒΓ; Λ ύση

Σχήμα 1 (α) Έστω Ε και Ζ τα

Σχήμα 2

Σχήμα 3

μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, αντίστοιχα.

Αν το περίκεντρο Ο του τριγώνου ΑΒΔ βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος ΕΔ (σχήμα 1 ), τότε η ευθεία ΔΕ είναι μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ . Επειδή είναι ΔΕ 1 1 ΑΓ , θα είναι ΑΓ .l ΑΒ , οπότε το τρίγωνο ΑΒ Γ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν το Ο βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος ΕΖ (σχήμα 2), τότε η ΕΖ είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ και μεσοκάθετη της πλευράς ΑΒ , οπότε θα είναιΒΓ .l ΑΒ , οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Β . Αν το Ο βρίσκεται στο εσωτερικό του ευθύγραμμου τμήματος ΔΖ (σχήμα 3), τότε η γωνία ΑΒ Γ είναι οξεία, αφού οι ΟΔ και ΜΒ είναι κάθετες προς την ΟΕ και ΟΔ < ΖΔ = . Όμως, η γωνία

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/36

-----

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

------

ΑΒΔ πρέπει να είναι αμβλεία, αφού το περίκεντρο Ο του τριγώνου ΑΒΔ βρίσκεται στο εξωτερικό του τριγώνου ΑΒΔ, άτοπο.

Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, τότε η διάμεσος ΑΔ αυτού είναι και ύψος και το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα ΑΒ. Τότε το περίκεντρο Ο του τριγώνου ΑΒΔ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, αλλά το τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο. (β)

Γ23. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓ Δ.

(α) Να αποδείξετε ότι, αν το έκκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο ΒΔ,

τότε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

(β) Είναι το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ρόμβος, αν το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο ΒΔ; Λύ ση

(α) Επειδή το έκκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο ΒΔ, η διαγώνιος ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ Επομένως έχουμε ΑΙΜ = ΓΒ Δ . Όμως το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΒΔ = ΓΔΒ . Άρα είναι ΑΒΔ ΓΔΒ , οπότε το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ισοσκελές με ΒΓ Γ Δ. Επομένως είναι ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ και το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, σχήμα 4. .

a ------ιr r

Α ό----» Δ

Σχήμα 5 Σχήμα 4 (β) Η απάντηση είναι όχι. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ορθογώνιο ΑΒΓ Δ με μήκη διαδοχικών πλευρών διαφορετικά μεταξύ τους (σχήμα 5), τότε το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου. Επομένως το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο ΒΔ, αλλά το τετράπλευρο ΑΒΓΔ δεν είναι ρόμβος. Γ24. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ι

ΒΓ = α, ΓΑ = β, ΑΒ = y . Να αποδείξετε ότι: ι

+ -- = � ΑΒΓ = 60·. α+β β+y α+β+y

Λύση

Το πρώτο μέλος της δεδομένης ισοδυναμίας γίνεται: ΕΥΚΛΕΙ ΔΗΣ Α' 96 τ.4/37

------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------1- -13 = ς:} ( α + β + y ) ( α + 2β + y ) = 3 ( α + β ) {β + y ) + α+β β+y α+β+y ς:} α 2 + 2β 2 + y 2 + 3αβ + 3βy + 2 yα = 3αy + 3β 2 + 3αβ + 3βy ς:} β2 = α 2 + y 2 - ay Όμως από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε (2) β2 = a 2 + y 2 - 2 ayσv v .B , οπότε με σύγκριση των (1) και (2 ) λαμβάνουμε:

συ ν

Β = .!_ ς:} Β = 60° . 2

n, να αποδείξετε ότι το άθροισμα των θετικών ακέραιων που είναι πρώτοι, είναι μεγαλύτερο του n2• Ν27. Για κάθε θετικό ακέραιο

(1)

πρώτων στη σειρά

Λύση

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι ο n-στός πρώτος αριθμός, έστω Pn , ικανοποιεί την ανισότητα: Pn � 2n - l , για κάθε n ε Ν* . Πράγματι, το ζητούμενο ισχύει για n = 1, αφού p1 = 2 > l . Αν υποθέσουμε ότι πρώτος pk+Ι είναι περιττός μεγαλύτερος του pk , οπότε

pk �

2k - l, τότε ο

Έστω SP. = p1 + p2 + + Pn το άθροισμα των n πρώτων στη σειρά αριθμών. Τότε SP. > 1 + 3 + . . . + (2n - l ) = (12 - 02 ) + ( 22 - 12 ) + . . + ( n2 - (n - 1)2 ) = n2 • · · · ·

Α34. Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών

ικανοποιούν την εξίσωση :

( a2 + b2) ( a3 + b3) a4 + b4 •

( a,b)

με άθροισμα

α+b

Λύση (1 ο ς τρόπος)

Επειδή α + b = 1 η εξίσωση ( α2 + b2 ) ( α3 + b3 ) = α4 + b4 γίνεται: ( α2 + b2 ) ( α + b ) ( α2 - αb + b2 ) = α4 + b4 ς:} ( α2 + b2 ) ( α2 - αb - b2 ) = α4 + b4 ς:} α4 + b4 + 2α2b2 - αb ( α2 + b2 ) = α4 + b4 ς:} -αb ( α - b ) 2 = Ο ς:} α = Ο ή b = Ο ή α = b. α+b =1 1 1 ς:} { α , b) = { Ο , 1) ή { α , b) = { 1, Ο) ή { α , b) = - , Άρα έχουμε: , , 2 2 α=Ο η b=Ο η α=b

{

}

zο ς τρόπος

Θέτουμε αb = c. Τότε έχουμε α2 + b2 = ( α + b ) 2 - 2αb = 1 - 2c, α3 + b3 = (α + b) ( α2 + b2 - αb) = 1 - 3c, α4 + b4 = (α2 + b2 ) 2 - 2α2b2 = { 1 - 2c )2 - 2c2 = 2c2 - 4c + l , ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/38

( )

που

-------

Μα θη ματικοί Διαγωνισμοί -------

οπότε η εξίσωση γίνεται: ( 1 - 2c) ( 1 - 3c) = 2c 2 - 4c + 1 � c ( 4c - 1) = Ο � c Ο ή c = .!_ . 4 α + b = 1 και αb = c Έτσι από τις εξισώσεις =

πάλι λαμβάνουμε τις λύσεις ( α, b ) = ( Ο, 1 ) ή ( α, b ) = ( 1, Ο ) ή ( α, b ) =

( � , �).

Α3 5 . Αν a, b, c είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Ο ::::; a, b , c ::::; 4 , να

αποδείξετε ότι το σύστημα λύσεις

(p,q,r} .

{ p2

- aq

3, q

2 r -

-4 ,

r2 -cp -5} =

δεν έχει πραγματικές

Λύση

Με πρόσθεση κατά μέλη των τριών ανισοτήτων λαμβάνουμε:

όπου η ισότητα ισχύει

�

όταν k = 4 κα ι χ = = 2 , οπότε p 2 - cp � -4, q 2 - αq � -4 r 2 - br � -4, από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη, προκύπτει: p 2 - cp + q 2 - αq + r 2 - br � -12.

(2)

από τις (1) και (2) λαμβάνουμε p 2 - cp + q 2 -αq + r2 - br = -12 � α = b = c = 4 και p = q = r = 2, τα οποία δεν ικανοποιούν τις αρχικές εξισώσεις.

Ασκήσε ι ς για λύση Ν28. Ο

μέγιστος κοινός διαιρέτης των θετικών ακέραιων α, b, c ισούται με 1 . Αν ο c διαιρεί τους α + 2b, α 2 - b 2 , να αποδείξετε ότι διαιρεί και τον α - b. Δl l .

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1 ,2,3,4,5 και 6. Σε κάθε βήμα διαγράφουμε δύο από τους αριθμούς αυτούς, έστω α και b και αντί αυτών γράφουμε τον αριθμό αb + α + b . Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρις ότου μείνει στον πίνακα μόνο ένας αριθμός. Γ24.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα μέσα Δ,Ε και Ζ των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΕΖ, ΒΖΔ και ΓΔΕ περνούν από το ίδιο σημείο. Α36. Να λύσετε στους θετικούς πραγματικούς αριθμούς το

{

σύστημα: 1 1 1 χ - y + - = 20 1 3, y - z + - = 2 - 1 3, z - x + - = 20 1 3 . z χ Υ

}

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/39

ανθρώπ ινη ευφυ"ίο χοες κα ι σήμερα Κείσογλου Στέφ ανος

Το κείμενο αυτό είναι μία εισαγωγή στην έννοια της ανθρώπινης ευφυΊας. Θα ακολουθήσουν κείμενα που θα εστιάζουν ιδιαίτερα στη λογικομαθηματική πτυχή της ευφυίας. Έχετε ποτέ αναρωτηθεί γιατί μερικά άτομα χαρακτηρίζονται ευφυή; Γιατί κάποιοι άνθρωποι θεωρούνται περισσότερο έξυπνοι από κάποιους άλλους; Τι σημαίνει ότι ο Γιάννης είναι ικανότερος από τον Βασίλη; Γιατί μερικές φορές οι άνθρωποι κατατάσσουν τους συνανθρώπους τους σε ιδιοφυείς, έξυπνους, κοινούς, μειωμένης αντίληψης και ιδιότες (κρετίνους) Στο κείμενο που ακολουθεί θα επιχειρήσω να κάνω όχι μία κριτική των απαντήσεων που κατά καιρούς έχουν δοθεί στα ερωτήματα αυτά αλλά μία μικρή επισκόπηση των απόψεων που έχουν διατυπωθεί για τα συγκεκριμένα θέματα. Η λέξη ευφυία (intelligence) χρησιμοποιήθηκε για πρώτη ίσως φορά από τον Φράνσις Γκάλτον στα μέσα του 1 9ου αιώνα. Ο Γκάλτον είχε σκοπό να περιγράψει την ευφυία ως ένα φαινόμενο όπως αυτά που περιγράφει η Φυσική με τους νόμους της με στόχο να εξηγήσει τις κοινωνικές διαφορές. Είχε βαθιά την πεποίθηση ότι η διανοητική ικανότητα του ατόμου κληρονομείται από τους προγόνους του. Δεν ξέρω αν ήταν τυχαίο το γεγονός ότι ο συγκεκριμένος επιστήμονας ήταν γόνος μιας εύπορης οικογένειας της οποίας ο πατέρας διέθετε ένα εργοστάσιο όπλων και ανθηρές τραπεζικές επιχειρήσεις. Επιπλέον να υπογραμμίσω το γεγονός ότι ήταν εξάδελφος του Δαρβίνου δηλαδή του ανθρώπου που καθόρισε τους νόμους της εξέλιξης των ειδών. Ο Γκάλτον πέθανε το 1 9 1 1 αλλά ήδη από το 1 905 δύο Γάλλοι γιατροί, ο Αλφρέ Μπινέ και ο Τεοντόρ Σιμόν, κατασκεύασαν το πρώτο τεστ ευφυίας με στόχο να εξακριβώσουν ποιοι μαθητές των σχολείων δεν ήταν ικανοί να παρακολουθούν τα μαθήματα. Το τεστ αυτό ζητούσε από τους μαθητές: Να εντοπίσουν προτάσεις που δεν έχουν νόημα. Να σχηματίσουν μια πρόταση από 3 δεδομένες λέξεις Να πουν μέσα σε 3 λεπτά τουλάχιστον 60 λέξεις Να δώσουν τον ορισμό μερικών εννοιών που τους δίνονται. Να σχηματίσουν μία σωστή πρόταση από ανακατεμένες λέξεις. Ένα βελτιωμένο τεστ των Μπινέ - Σιμόν πέρασε στην Αμερική όπου χρησιμοποιήθηκε σε εκατομμύρια στρατιώτες και διατυπώθηκε και η πρώτη διαφωνία για την προέλευση της ευφυίας. Ενώ οι Άγγλοι συνέχισαν να υποστηρίζουν ότι η ευφυία είναι ένα χαρακτηριστικό που κληρονομείται οι Αμερικάνοι υποστήριξαν ότι το περιβάλλον του ανθρώπου συμμετέχει ισότιμα με την κληρονομικότητα στην δημιουργία αυτού που αποκαλούμε ευφυία. Τα τεστ ευφυίας είχαν ως αποτέλεσμα να δημιουργηθεί ο δείκτης ευφυΊας ενός ατόμου που δεν είναι τίποτε άλλο από το σκορ που φέρνει το άτομο στα συγκεκριμένα τεστ. Ο δείκτης ευφυίας χρησιμοποιήθηκε για πολλά χρόνια ως ένα κριτήριο κατάταξης των ανθρώπων με αρνητικά αποτελέσματα με πιο σπουδαίο αυτό της κοινωνικής διάκρισης που •

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/40

-------

Η αν θ ρ ώπινη ευ φυία χθ ες και σή με ρα

-------

οδήγησε πολλές φορές στην δημιουργία μιας υποτιθέμενης ελίτ των ατόμων με ιδιαίτερες διανοητικές ικανότητες. Ας δούμε μερικά παραδείγματα από τέτοια τεστ ευφυίας για να καταλάβουμε καλύτερα περί τίνος πρόκειται. 1) Από το παρακάτω σύνολο λέξεων να βρείτε αυτή που δεν ταιριάζει σημασιολογικά: Α) Γιαούρτι Β) Τυρί Γ) Γάλα Δ) Βούτυρο 2) Δίνεται η τριάδα των λέξεων τραπέζι - ξύλο - λεύκα. Η τριάδα αυτή κατασκευάζεται με βάση κάποια λογική ακολουθία. Αν εφαρμόσουμε την ίδια λογική ακολουθία τότε στις λέξεις παντελόνι - ύφασμα θα πρέπει να προσθέσουμε και την λέξη: Α) ραφή Β) δέντρο Γ) ένδυμα Δ) βαμβάκι 3) Στην παρακάτω εικόνα εμφανίζεται ένα τετράγωνο από το οποίο έχει αποκοπεί ένα τμήμα.

Από τα παρακάτω τμήματα αυτό που έχει αποκοπεί από τα αρχικό τετράγωνο είναι το:

4) Από τα 4 σχήματα Α, Β, C, D να βρείτε αυτό που δημιουργεί μία λογική σειρά με τα τρία πρώτα.

5) Να συμπληρώσετε τον αριθμό που λογικά ακολουθεί στην σειρά: 4, 5, 8, 1 7 , 44, Αν παρατηρήσουμε τις παραπάνω ερωτήσεις θα δούμε ότι κατατάσσονται σε ερωτήσεις σημασιολογικής οργάνωσης, χωρικής αντίληψης και λογικομαθηματικής ικανότητας. Τα είδη αυτά των ερωτήσεων χρησιμοποιούνται ακόμη σε όλα σχεδόν τεστ ευφυίας τα οποία σημειωτέον αποτελούν, σε ορισμένες χώρες, απαραίτητες δοκιμασίες για την πρόσληψη σε μεγάλες εταιρείες. Την δεκαετία του 80 άρχισε να αναπτύσσεται η αντίληψη ότι ο μέχρι τότε τρόπος μέτρησης της ευφυ1:ας είναι και ακατάλληλος αλλά και aντιπαιδαγωγικός όταν εφαρμόζεται σε μαθητές οποιασδήποτε ηλικίας. Στη δεκαετία αυτή προτάθηκε στην Αμερική η διάκριση 14 διαφορετικών ειδών δεξιοτήτων οι οποίες έγιναν αντικείμενο αξιολόγησης τόσο σε υποψηφίους για εργασία, όσο και σε άτομα που φοιτούσαν σε διάφορες βαθμίδες της εκπαίδευσης. Η διάκριση και αναγνώριση πολλαπλών δεξιοτήτων στηρίζεται στη θεωρία που ανέπτυξε ο Howard Gardner το 1 9 83 στο κλασικό πλέον βιβλίο του 'Frames ofmind: The theory of multiple intelligences. Ν�· York: Basίc Books. . '

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/41

-------

Η ανθρώπινη ευφυία χθ ες και σή με ρ α

-------

Η θεωρία αυτή βασίζεται στην παραδοχή ότι σε κάθε άτομο η ευφυία συντίθεται από πολλαπλά είδη δεξιοτήτων, η καθεμία από τις οποίες έχει τη δική της ανεξάρτητη δράση στον ανθρώπινο νου. Ανάμεσα στις δεξιότητες αυτές, διέκρινε τις λεκτικές, τις λογικομαθηματικές, τις χωρικές, τις δεξιότητες που σχετίζονται με την κίνηση και τη σωματικότητά μας, τις μουσικές, τις διαπροσωπικές και άλλες. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο Gardner μελέτησε 6 προσωπικότητες του 20ού αιώνα, για καθεμία από τις οποίες θεωρεί ότι αποτελεί δείγμα ενός είδους ευφυίας. Πρ οσωπικότητα

Μ ορφή ευφυίας

Αϊνστάιν

Λογικομαθηματική

Έλλιοτ

Λεκτική

Μάρθα Γκράχαμ

Αισθησιοκινητική

Ιγκορ Στραβίνσκυ Μουσική Πάμπλο Πικάσο

Χωρική

Μαχάτμα Γκάντι

Διαπροσωπική

Η θεωρία των πολλαπλών ικανοτήτων (multiple intelligence) μας υποδεικνύει στην ουσία ότι θα ήταν άστοχο να θεωρούμε ότι ένα άτομο έχει υψηλό δείκτη ευφυίας μόνο και μόνο επειδή μπορεί να κάνει γρήγορους υπολογισμούς, να ανακαλύπτει εύκολα κανονικότητες σε σχήματα ή να κατασκευάζει γρήγορα προτάσεις με μία σειρά ασύνδετες λέξεις. Ολοκληρωμένος είναι πλέον ο άνθρωπος που διαθέτει ικανότητα να επικοινωνεί με τους άλλους, να έχει αντίληψη των διαφόρων μορφών τέχνης, να έχει μία υγιή σχέση με την σωματικότητά του και γενικά να είναι αυτό που λέμε «ισορροπημένο άτομο». Μπορεί κανείς εδώ να αναγνωρίσει την επιστροφή στην αναζήτηση της σωστής σχέσης του σώματος με τον νου κάτι που παραπέμπει στις αρχέτυπες αξίες της ισόρροπης ανάπτυξης των δύο αυτών ανθρώπινων συνιστωσών. Βιβλιογρα φ ία:

Cooper Colin (1 999) Intellίgence and Abilίtίes (Psychology Focus). Routledge 1 edition England. 2) Gardner Howard (1 983) Frames of mind. Theory of multίple Intel/ίgence. New Υork: Basic Books 3) Gardner, Howard (1 999) Intellίgence Reframed. Multίple intellίgences for the 21st century, New Υork: Basic Books. 1)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/42

Τα

Μ α θ η μα τ ι κά μ ας δ ι ασ κ ε δ ά ζο υν !

1) Η κ. Πελαγία πήγε σε ένα κατάστημα και εξόδευσε τα μισά της χρήματα και 20€ επιπλέον. Στη συνέχεια πήγε σε ένα δεύτερο κατάστημα και εξόδευσε τα μισά χρήματα από αυτά που της απέμειναν και 20€ επιπλέον. Ήθελε να πάει και σε τρίτο κατάστημα αλλά διαπίστωσε ότι δεν είχε καθόλου χρήματα. Με πόσα χρήματα ξεκίνησε από το σπίτι της η κ. 4) Η Δήμητρα ρώτησε τον Βασίλη και την Αλεξάνδρα πόσα χρήματα είχαν και από τα Πελαγία; χρήματά της έδωσε στον καθένα από αυτούς τόσα χρήματα όσα είχε ο καθένας. Στη συνέχεια ο Βασίλης ρώτησε τη Δήμητρα και την Αλεξάνδρα πόσα χρήματα είχαν και από τα χρήματά του έδωσε στον καθένα από αυτούς τόσα χρήματα όσα είχε ο καθένας. Αφού έγιναν όλα αυτά η Αλεξάνδρα ρώτησε τον Βασίλη και την Δήμητρα πόσα χρήματα είχαν και από τα χρήματά της έδωσε στον 2) Παρατηρήστε την παρακάτω aριθμομηχανή καθένα από αυτούς τόσα χρήματα όσα είχε ο στην οποία όταν εισάγετε έναν αριθμό αυτή καθένας. Στο τέλος αποφάσισαν να μετρήσουν αμέσως κάνει τις παρακάτω ενέργειες τη μία πόσα χρήματα είχαν και βρήκαν ότι είχαν από μετά την άλλη: 24€. Πόσα χρήματα είχε καθένας στην αρχή;

α) προσθέτει 7 β) πολλαπλασιάζει το προηγούμενο

αποτέλεσμα επί 6 γ) αφαιρεί από το προηγούμενο αποτέλεσμα 18 δ) διαιρεί το προηγούμενο αποτέλεσμα με το 2 και εξάγει το τελικό αποτέλεσμα.

Απ αντήσεις τ ου τεύχους 9 5

�!-----;

: _____

---- ---

2) 8 8 8+8 8+8+8+8

ΑΡΙθΜΟΜΗΧΑΝΗ

3) 3 5 0€ για 7 κοψίματα 4)

Ποιος αριθμός μπήκε στην aριθμομηχανή αυτή; 3) Στην παρακάτω εικόνα υπάρχουν 3 τετράγωνα που έχουμε κατασκευάσει με δώδεκα οδοντογλυφίδες. Πως μπορούμε να κατασκευάσουμε 5 τετράγωνα μετατοπίζοντας μόνο 3 από τις 1 2 οδοντογλυφίδες;

5) Ζυγίζοντας σε τριάδες. Μ ε το πρώτο ζύγισμα βρίσκουμε σε ποια 3άδα είναι η ελαφρύτερη και μετά από αυτήν ζυγίζουμε τυχαία δύο σακούλες.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/43

Τα Μαθηματικά Γύρω μας Καλογεράκη Δέσποινα - Κουμεντάκου Μαρία [ Ι 0 Γυμνάσιο Ηρακλείου Αττικής]

Το κείμενο που ακολουθεί αναφέρεται σε μια εκδήλωση που πραγματοποιήθηκε στο 1 ο Γυ μνάσιο Ηρακλείου Αττικής το Μάιο του 20 14. Στην εκδήλωση συμμετείχαν μαθητές και από τις τρεις τάξεις του σχολείου υπό την καθοδήγηση και τον συντονισμό των εκπαιδευτικών Μαθη ματικών Αλεξάνδρας Γεωργίου (Ειδικής Αγωγής), Δέσποινας Καλογεράκη, Μαρίας Κουμεντά κου και Βασιλικής Λάζαρη. Η εκδήλωση διαρθρώθηκε σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάστηκαν, σε θεατρική μορφή, θέματα που αφορούν στη σύνδεση των Μαθηματικών με τη ζωή γύρω μας. Αφόρμηση για τη βασική ιδέα αποτέλεσαν οι ήρωες του βιβλίου του Χανς Μάγκνους Εντσενσμπέργκερ «Το Πειραχτήρι των Αριθμών».

Συγκεκριμένα, ένας μικρός μαθητής, που δυ σκολεύεται με τα Μαθηματικά, συναντά στον ύπνο του ένα πονηρούλι Πειραχτήρι Αριθμών, που του εξηγεί ότι τα Μαθηματικά τα συναντάμε σχεδόν πα ντού, όπως: Υ

στη Λογοτεχνία Υ στην Ποίηση του Ελύτη Υ στη Μουσική Κατ' αντιστοιχία, από ομάδες μαθητών παρουσιάστηκαν Εν συντομία βιβλία της Ελληνικής και Ξένης Μαθηματικής Λογοτεχνίας, διαβάστηκαν στίχοι από έργα του Ελύτη στα οποία αναφέ ρονται Μαθηματικές έννοιες αλλά και πώς οι Πυθαγόρειοι συσχέτισαν τους

ιιιιι-ιι ..._ ,:'

ι -..ι .

ι ιιιιtιιιις

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/44

',_

ι -..ι

Τα Μαθη ματικά γύρ ω μας

αριθμούς με τους aρμονικούς ήχους οδηγώντας τους στην κατασκευή του αρχαίου μονόχορδου. Ακολούθως παρουσιάστηκαν οι έννοιες του π , του φ και της Χρυσής Τομής , καθώς και η σχέση που έχουν οι μέλισσες με τα Μαθηματικά. Ειδικότερα αναφέρθηκε γιατί οι κηρύθρες κα τασκευάζονται σε σχήμα κανονικού εξαγώνου, αλλά και το ότι το γενεαλογικό δέντρο ενός κη φήνα είναι μια ακολουθία Fibonacci 1

Λε( 2 Το

6 κύκλου

θεό«;

μή ο 7

Ι'ΊcιpιΠcινε

αρι8μόν

Ουδάισιε

ωον

μ.έναι;

yειιιμειpε( 8

ίνα ορισει

διαμέtρω

ακtρανι:ον 6

θνητο(

Στη συνέχεια παρουσιάστηκε .μια πολύ όμορφη εργασία (σε μορφή Power Point) για τα Fractals, την Λογαριθμική.

8ιι

111111.

ον

+ευ ι

ε(ιρωσι

Σπείρα και την ακολουθία Fibonacci και πώς συναντώνται όλα αυτά στη φύση.

Ως επίλογο του πρώτου μέρους της εκδήλωσης, μα θητές που φοιτούσαν σε τμήματα ένταξης παρου σίασαν γνωστές προσωπικότητες οι οποίες μολο νότι είχαν δυσκολίες μάθησης ή άλλου είδους δυ σκολίες, εν τούτοις διέπρεψαν στους τομείς τους. Δόθηκε έτσι ένα μήνυμα πως πρέπει πάντα να προ σπαθούμε για το καλύτερο.

•

F racta

Η παρουσίαση όλων των παραπάνω θεμάτων διανθίστηκε από τρία θεατρικά μονόπρακτα σε κείμενα του απόμαχου πλέον Μαθηματικού Ντίνου Κορδώση με τίτλους : .,,,..,.,,f..CΙΙr ιΜιι οι """'ι ...., οδιι!ο:ί --οο;ιι.ι. 'llmM .&.>ιm-i .., IM>,1II!IrII w.ι&>-�•

�«'Όλες οι σχέσεις έχουν τα προβλήματά τους» (Αναφορά στις παραπληρωματικές και κατακο ρυφήν γωνίες) �«Η πρωτευουσιάνα και οι επαρχιώτισσες» νία)

(Αναφορά στην επίκεντρη και εγγεγραμμένη γω

�«0 κύκλος και όλοι οι άλλοι» ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96

τ.4/45

Τα Μαθηματικά γύρ ω μας

Προβλήθηκε επίσης μια μικρή ταινία στην οποία παρουσιάστηκε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να μπουν σε σειρά 2 , 3 ή 4 μαθητές ( αναφορά στις Μεταθέσεις), καθώς και μια δεύτερη με ένα μαθηματικό «μαγικό» παιγνίδι. Στο δεύτ ε ρο μέρο ς . . . . . .

Οι μαθητές της Β ' και Γ ' τάξης κάνοντας χρήση του λογισμικού geogebra παρουσίασαν κατασκευές από τα «fractals» και τις πλακοστρώσεις , στη συνέχεια δύο μαθήτριες από την Γ 'τάξη παρουσίασαν τον «χρυσό διαβήτη» και τέλος προβλήθηκε σε νideo ένα δρώμενο με την συμμετοχή των τμημάτων Γ ι και Γ2 που είχε ως θέμα τον υπολογισμό του ύψους του στύλου της σημαίας , με την βοήθεια των ομοίων τριγώνων. Οι μαθη τ ές τη ς Β 'τάξης παρουσίασαν κατασκευές πλακοστρώσεων ,διαχωρίζοντάς τις σε κανονικές και ημικανονικές. Για Κανονική πλακόστρωση είναι κατάλληλα τα κανονικά πολύγωνα που η γωνία τους φ είναι διαιρέτης του 360. Δηλαδή φ=60° ή φ=90° ή φ=1 20° . Η η μικανονική πλακόστρωση αποτελείται από δύο ή περισσότερα κανονικά πολύγωνα

επ ιλέ συν την κατα σκευή του κανονικού εξαγώνου

==��----�--�--�

·�

Παρατηρούμε τις τιμές των περιμέτρων και των εμβαδών των κανονικών πολυγώνων που φτιάχνουν κανο νική πλακόστρωση . : =..-:. Ενώ έχουν ίσες περιμέτρους το κανονικό εξάγωνο ;=i έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν. �� λ. ---- --��-------�- ----------Άρα οι μέλισσες όταν κατασκευάζουν την κυψέλη τους χρησιμοποιούν την ίδια ποσότητα κερήθρας (περί μετρος) που θα χρειαζόταν για την κατασκευή τριγωνικής ή τετραγωνικής ή εξαγωνικής κατασκευής, αλλά με την εξαγωνική κατασκευή πετυχαίνουν το μεγαλύτερο εμβαδόν άρα και χώρο στην κυψέλη (περισσότερη ποσότητα μελιού) . Οι μέλισσες γνωρίζουν ότι η εξαγωνική κατασκευή τους είναι πιο οικονομική σε κατανάλωση κερήθρας , εξασφαλίζουν μεγαλύτερο χώρο για την . ...-

(ι • 4.8

πι - •

.. . .

fι . J.»

.. . ..

••

: =-:""..: =-: =:::

----- ------ -------------�---

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96 τ.4/46

Τα Μαθηματικά γύρ ω μας

αποθήκευση μελιού και είναι πιο ανθεκτική από άποψη κατασκευής. Οι κατασκευές δοχείων που έχουν σαν βάση κανονικό εξάγωνο δεν παρουσιάζουν το βα ρελοειδές φαινόμενο. Οι μεγάλες αρχιτεκτονικές κατασκευές κάνουν χρήση του κανονικού ε ξαγώνου, γιατί έχουν οικονομία στο υλικό που χρησιμοποιούν και έχουν καλύτερο στατικό α ποτέλεσμα . Οι μέλισσες με . σοφία διάλεξαν αυτή την κατασκευή ! ! ! (κατασκευή Αντώνης Μαυρίδης και Σωτηρία Μαζαράκη) .

. .

Κατασκευάζοντας κανο νικά εξάγωνα, πετυχαί νουμε τρισδιάστατη αίσθηση. Κατασκευή Φαίης Ευαγγέ λου Οι μαθη τ ές τη ς Γ τ άξη ς παρουσ ίασ αν: Fractals

Με τον όρο φράκταλ στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστή μες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέ θυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Τα φράκταλ είναι ένα πολύ καλό και οικονομικό εργαλείο για την παραγωγή εικόνων με υψηλή απόδοση στην λεπτομέρεια. Έ χουν εφαρμογή στην σύγχρονη τέχνη και την επιστήμη. Είναι η αρχή της εικονικής πραγματι κότητας :

Στο τρίγωνο Sierpήnski. Από τα μέσα των πλευρών ενός ισο πλεύρου δημιουργείται ένα νέο ισόπλευρο με λόγο ομοιότητας Υ2 και λόγο εμβαδών Κ( Κατασκευή Αλέξανδρος Ασλάνης)

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα των fractals είναι η Χιο νονιφάδα του Koch. Με κέντρο ομοιοθεσίας το μέσον της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου και με λόγο ομοιοθεσίας 1/3 , δημιουργείται ένα νέο ισόπλευρο. (κατασκευή Θανάσης Βενιαμίν) Χρυ σή αναλογία-χρυσή σπείρα : Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα προσάρμο σαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία. Η συνηθέστερη κατασκευή είναι η κα τασκευή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι ο αριθμός φ. Αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη. ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 96 τ.4/47

Τα Μαθηματικά γύ ρω μας

�-=--�-=-==-=-�-=-----��

%:::.� �'-._,;�; . "-·· ;;;.�;

"' '

* ,.

Ξεκινώντας από την κατασκευή ενός τετραγώνου κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που ο λόγος των πλευρών του είναι ίσος με φ (κατασκευή Ηλίας Αγγελόπουλος)

Χ ρυσός δ ια βήτη ς

τpιτ.ΑΒΕ... τp•τ.ΕΔΙ' τuιτι ψ1ιν aς τωνίaς wις (ιt- urο.,.ι1;ή μa τωνίaς ιcοp1>φής t.ις)

Κατασκευάζουμε δύο πήχεις , από χαρ τόνι ή ξύλο, με μήκος 34cm (1 3,2 1 ,34 εί ναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonachi) . Στις άκρες φροντίζουμε να σχηματί σουμε «μύτες» , ώστε να έχουμε καλύτερη ένδειξη κατά την μέτρηση. Στους δύο πήχεις και σε απόσταση 1 3cm από το ένα άκρο (2 1 cm από το άλ λο) ανοίγουμε τρύπα . Ενώνουμε τους δύο πήχεις με μία καρ φίδα έτσι ώστε να μπορούμε να ανοιγο κλείνουμε την κατασκευή. (παρουσίαση Βασιλική Βλασταρά-Δήμητρα Κρεβατά)

Er ΕΔ 21 ΕΑ = = 3 = ι , 615 = φ 1 ΕΒ οττόιτ και

Δr ΑΒ = 1 , 615 = φ

Μ έτ ρηση ύ ψ ους εν ός απρ όσ ιτου ση μείου

Κατά την διάρκεια μιας διδακτικής ώρας και αφού είχαμε ολοκληρώσει τα όμοια τρίγωνα, οι μαθητές των τμημάτων Γl, Γ2 και εγώ, συγκεντρωθήκαμε στο θεατράκι του σχολείου για να μετρήσουμε το ύψος «ενός απρόσιτου σημείου». Είχαμε αποφασίσει να μετρήσουμε το ύψος του στύλου της Σημαίας και είχαμε κατανέμει τους σχετικούς μονολόγους. Συγκεντρωθήκαμε περί που κατά τις l lπ.μ., ώστε η σκιά να είναι ευδιάκριτη και να μπορεί να γίνει η μέτρηση. Τέσσε ρεις μαθητές βιντεοσκόπησαν το δρώμενο. Δύο μαθητές ανάλαβαν το μοντάζ. Κάποια στιγμιότυπα τα επαναλάβαμε. Η εμπειρία ήταν συναρπαστική ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 96

τ.4/48

;::; ; ' .

.... ' J

l nvited G u

Official Participants Albanιa

Azerbaijan

Bosnia and

Herzegoνίna

B u l garιa

Πυθαyόρε ι ο Θεώρημα

Cyprus

Former

Hellas

I n d ι pendent team from l ran

ltaly

'1\Jgoslaν Republic

Kazakhstan

of Macedonia

Hel las

Kyrgyzstan

Montenegro

Saudi Arab i a

Republic of Moldova

Tajikistan

Romania

Serbia

Turkmenistan

Repu b l ic of l reland

Turkey

•

Hel len ic Mathematical Society U nder the auspices of the Greek Ministry of Cu lture, Education and Rel igion ff irs

Ελλην ι κή Μαθη ματ ι κή Ετα ι ρεία

ΜΑΘΗΜΑΠΚΟ ΚΑλΟΚΑΙΡΙΝΟ ΣΧΟλΕΙΟ ΛΕmΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 1 9 Ιουλίου- 25 Ιουλίου 20 1 5 Καλοκαιρινές Δραστηρ ι ότητες

για μαθητές Γυ μνασίου - Λυ κείου

1 Πληροφορίες : στον Ιστοχwρο της ΕΜΕ: www.hms. g r και στα τηλ. 2 1 0 3 6 1 6 5 3 2 , 2 1 0 3 6 17784

Καλο κα ι ρ ι ν έ ς ΖΟΥΜΕ ΣΕ ΟΜΑΔΕΣ '-0'1 vi σ

Ε αι Ε αι � � �

Άγ ιοs Ν ι κόλαοs Nάouσas

Δραστηρ ι ότητες

ΚΑΙ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ τΗ ΦΥΣΗ

Στόχος των προγραμμάτων είναι η ανάπτυξη της δημιουργικότητας σε θέματα μαθηματικής παιδείας, η ψυχαγωγία, η άθληση, και στα τ ι ς

Μαθηματι κά,

για

ε ξ ε τά σ ε ι ς

τη

r>ελτίωση

τ ω ν

της

επίδοσης

π ε ι ρ α μ α τ ι κ ώ ν

στο

η μύηση σχολείο,

σχ ο λ ε ί ω ν

και των δ ιαγωνισμών της "Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Κατασκήνωση bιi

για μαθητές Δ', Ε' και Στ' Δημσrικοιί �� f...(JUΙ;Ι5�Q U"' {1.!2

Af:l\trlflfi!i:Qfl �

� � '1. -

στον Ιστοχώρο της ΕΜΕ: www.hms.gr

και aτa τηλ. �. 210 3616532. 210 3617784 '-

:r.�ΈtJ1 'J