ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 1)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) έστω ΑΔ,ΑΜ το ύψος και η διάμεσος,που αντιστοιχούν στην υποτείνουσα ΒΓ με ΒΑ Μ = 60° .Να δειχθεί ότι α)ΑΜ=ΑΒ β)ΑΔ=
ΑΓ 2
γ)ΜΓ=2ΜΔ
2) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) με βάσεις τις κάθετες πλευρές του ΑΒ,ΑΓ και στο εξωτερικό του κατασκευάζουμε τα ισοσκελοί τρίγωνα ΔΑΒ,ΕΑΓ.Αν Ζ μέσο της ΒΓ,να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ορθογώνιο
3)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 2Γ και το ύψος του ΑΗ.Αν Δ,Μ μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΜΗΔ είναι ισοσκελές
4) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το ύψος του ΒΔ.Φέρνουμε ΔΗ ⊥ ΑΒ που τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Κ.Να δειχθεί ότι α) Α = 2∆Β Γ β)ΒΔΚ ισοσκελές γ)ΒΓ>ΚΓ
5)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και η διάμεσος του ΑΜ.Από το Μ φέρνουμε ευθεία χχ΄ κάθετη στην ΑΜ που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε.Αν ΑΗ η διάμεσος του τριγώνου ΑΔΕ αποδείξτε ότι ΑΗ ⊥ ΒΓ 6) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 75° και τα ύψη του ΒΔ και Ε = 30° ΓΕ.Αν Μ μέσο της ΒΓ να δειχθεί ότι ∆Μ
7) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και στην προέκταση της ΑΒ παίρνουμε τμήμα ΒΔ και στην πλευρά ΑΓ τμήμα ΓΕ τέτοιο ώστε ΓΕ=ΒΔ.Αν Ζ είναι το σημείο τομής των ΒΓ και ΔΕ,να δειχθεί ότι το Ζ είναι το μέσο της ΔΕ 8)Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ γράφουμε με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ τόξο ΒΓ.Αν θεωρήσουμε τυχαίο σημείο του τόξου ΒΓ και τα Δ,Ε,Ζ και Η των ΑΒ,ΑΓ,ΝΓ,ΝΒ αντίστοιχα,να δειχθεί ότι οι διαγώνιοι του ΔΕΖΗ τέμνονται κάθετα 9)Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ φέρνουμε ΔΕ//ΑΒ και ΔΕ=ΑΒ,να διεχθεί ότι το τμήμα ΕΓ είναι παράλληλο προς το τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων και διπλάσιο από αυτό 10)Στις πλευρές ΑΔ και ΔΓ τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε τμήματα ΑΖ=ΔΕ.Αν Η και Θ είναι τα μέσα των ΕΖ και ΕΒ αντίστοιχα,να δειχθεί ότι το τμήμα ΗΘ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΕ 11)Από τα μέσα Ε και Ζ των δαιγωνίων ΒΔ και ΑΓ τραπεζίου ΑΒΓΔ φέρνουμε κάθετες ΕΜ και ΖΝ στις μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ του τραπεζίου.Να δειχθεί ότι οι δύο αυτές κάθετες και η μεσοκάθετος της μεγαλύτερης βάσης διέρχονται από το ίδιο σημείο 12)Έστω κύκλος διαμέτρου ΑΒ και Γ τυχαίο σημείο της ΑΒ.Έστω η χορδή ΔΕ που διέρχεται από το Γ.Να δειχθεί ότι οι προβολές των ΑΔ και ΒΕ πάνω στην ΔΕ είναι ίσες 13) Έστω κύκλος διαμέτρου ΑΒ και Γ τυχαίο σημείο της ΑΒ.Γράφουμε κύκλους με διαμέτρους ΑΓ και ΒΓ.Αν μία χορδή ΔΕ του κύκλου με διάμετρο το ΑΒ διέρχεται από το Γ και τέμνει τους κύκλους με διαμέρους τα ΑΓ και ΒΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα,να δειχθεί ότι ΔΖ=ΕΗ 14)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ο στο εσωτερικό του.Αν ΟΑ=χ,ΟΒ=y και ΟΓ=ω,να δειχθεί ότι α2+β2+γ2<α(ω+y)=β(χ+ω)+γ(χ+y)<2(αβ+βγ+γα)
15)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ).Αν Μ είναι τυχαίο σημείο της ΑΒ και στην προέκταση της ΒΓ πάρουμε ΓΝ=ΒΜ και ΓΣ=ΑΒ,να δειχθεί ότι τα μέσα των τμήματψν ΒΓ,ΜΝ και ΑΣ είναι συνευθειακά 16) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ).Να διεχθεί ότι α)Αν ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β και ΔΕ και ΔΖ οι διχοτόμοι της εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας Β∆ Γ αντίστοιχα,τότε ΕΖ=2ΒΔ β)Αν Σ τυχαίο σημείο της ΒΔ και Ι τυχαίο σημείο της προέκτασης της πλευράς ΑΒ,προς το μέρος του Β,τότε ΣΓ+ΣΙ>ΒΓ+ΒΙ 17) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ,Ε,Ζ τα μέσα των πλευρών του ΒΓ,ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.Προεκτείνουμε την ΕΖ κατά τμήμα ΖΘ=ΕΖ.Να δειχθεί ότι α)Οι πλευρές του τριγώνου ΑΘΔ είναι ίσες με τις διαμέσους του τριγώνου ΑΒΓ β)Οι διάμεσοι του τριγώνου ΑΘΔ είναι ίσες με τα ¾ των πλευρών του ΑΒΓ 18)Από τυχαίο σημείο του ύψους ΑΗ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ( Α = 90° ) φέρνουμε την παράλληλη προς την υποτείνουσα ΒΓ,η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε και την κάθετη στη ΔΓστο Δ η οποία τέμνει την προέκταση της ΒΑ στο Ζ.Να δειχθεί ότι ΒΕ=ΑΖ 19)Θεωρούμε μία ευθεία (ε).Επί της (ε) παίρνουμε τρία διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ τέτοια ώστε να είναι ΑΒ=2α και ΒΓ=α.Κατασκευάζουμε προς το αυτό μέρος της (ε) τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ και φέρνουμε την ευθεία ΔΕ,η οποία τέμνει την (ε) στο Ζ.Να δειχθεί ότι α)Το Β είναι μέσο της ΑΖ β)Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ορθογώνιο στο Δ γ)Αν Θ είναι το σημείο τομής της ΑΕ και της ΒΔ,θα είναι ΘΔ=2ΘΒ 20)Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και έστω Ρ τυχαίο σημείο της διαγωνίου του ΒΔ διαφορετικό από το κέτρο του ορθογωνίου. προεκτείνουμε τη ΓΡ κατά τμήμα ΡΕ=ΓΡ και φέρνουμε ΕΖ ⊥ ΑΒ.Να δειχθεί ότι α)ΖΗ//ΑΓ β)τα σημεία Ζ,Η,Ρ είναι συνευθειακά
21) Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ).Στην 2 3
πλευρά ΑΒ παίρουμε ένα σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ= ΑΒ και στην Ε 1 3
τέτοιο ώστε ΑΕ= ΑΓ .Να δειχθεί ότι Α∆ Ε = ΕΒ Γ 22)Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη του ΑΔ,ΒΕ και ΓΖ.Από το Δ φέρνουμε ΔΗ ⊥ ΑΒ και ΘΔ ⊥ ΑΓ.Να δειχθεί ότι ΖΕ//ΗΘ 23) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη του ΑΔ,ΒΕ και ΓΖ.Από το Ε και Ζ φέρνουμε ΕΗ ⊥ ΑΒ και ΘΖ ⊥ ΑΓ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι ΒΓ//ΗΘ 24)Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ,του οποίου οι διαγώνιες τέμνονται κάθετα,είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R).Να δειχθεί ότι η απόσταση του κέντρου Ο του κύκλου από μια πλευρά του τετραπλεύρου είναι ίση με το μισό της απέναντι πλευράς 25)Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ τα σημεία τομής των προεκτάσεων των απέναντι πλευρών του.Να δειχθεί ότι η γωνία η σχηματίζόμενη από τις διχοτόμους των γωνιών Ε και Ζ ισούται με
26)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (
+ ∆ Β 2
ΑΓ < ΑΒ < ΑΓ ).Έστω Β΄ το συμμετρικό του Β 3
ως προς τη διχοτόμο Αχ της γωνίας Α και Ε το κοινό σημείο της Αχ με τη ΒΒ΄.Αν η παράλληλη από το μέσο Δ της ΒΓ προς την Αχ τέμνει την ΑΓ στο Ζ να δειχθεί ότι α)ΑΖ=
ΑΓ − ΑΒ 3ΑΒ − ΑΓ β)ΖΒ΄= 2 2
27) Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) και Γ = 30° εγγεγραμένο σε κύκλο (Ο,R).Η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει τον κύκλο στο Δ,ενώ η διχοτόμος της γωνίας Β∆ Γ τέμνει τον κύκλο στο Ε.Η παράλληλη από το Δ προς τη ΒΓ τέμνει τον κύκλο στο Ζ.Να δειχθεί ότι το ΔΕΖ είναι ισόπλευρο
28)Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο ίσες χορδές του ΑΒ και ΑΓ.Αν το άθροισμα των αποστάσεων του Ο από το τις ΑΒ,ΑΓ είναι ίσο με R,να δειχθεί ότι το Ο συμπίπτει με το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ 29)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,4),ώστε το τόξο ΒΓ=40.Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ α)Να υπολογιστεί η ακτίνα R του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο ΑΓΔ κύκλου β) Να υπολογιστεί η γωνία ΑΓ ∆ γ)Να προσδιοριστεί η θεση του ορθόκεντρου του τριγώνου ΑΓΔ 30)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλό (Ο,R).H μεσοκάθετος της ΒΓ τέμνει τον κύκλο στο Δ.Αν Κ,Λ οι προβολές του Δ στις ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα να δειχθεί α)ΒΚ=ΓΛ β)ΑΚ=ΑΛ=
ΑΓ − ΑΒ (ΑΓ>ΑΒ) 2
31)Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο,να δείχθεί ότι οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες προς τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι διαγώνιές του 32)Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με γωνία ΒΑ Γ = 60° .Μια ευθεία διέρχεται από την κορυφή Γ και τέμνει τις ευθείες ΑΒ και ΑΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.Έστω Μ το κοινό σημείο των ευθειών ΒΖ και ΔΕ.Να δειχθεί ότι α)Το γινόμενο ΒΕ*ΔΖ είναι σταθερό β)Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΔΖΒ είναι όμοια γ)Το τετράπλευρο ΑΒΔΜ είναι εγγράψιμο 33) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ρ σημείο εσωτερικό του έτσι ώστε ΡΑ Β = ΡΒ Γ και ΡΒ Α = ΒΑ Γ να δειχθεί ότι ΑΡ=ΒΓ 34) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Ρ σημείο εσωτερικό του έτσι ώστε ΡΑ Β = 15° , ΡΑ Γ = 25° , ΡΒ Γ = 30° .Η ΡΒ τέμνει την ΑΓ στο Ε και το ύψος από το Α τέμνει την ΒΡ στο Δ.Να δειχθεί ότι ΔΕ+ΑΔ=ΒΡ+ΒΓ
35)Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμενο σε κύκλο.Αν ΒΓ=ΔΓ και ισχύει Α = 2Β∆ Γ να δειχθεί ότι ΒΔ=ΑΔ+ΑΒ 36)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 45° , Β = 105° .Να δειχθεί ότι ΑΒ= 37) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 45° , Β = 75° .Να δειχθεί ότι ΑΓ=
2 ΑΒ + ΒΓ 2
2 ΒΓ 2