ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ
, Α .Αν ονομάσουμε Μ 1)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ,ΑΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Α εξ το μέσο του τμήματος ΔΕ,να αποδείξετε ότι το Μ ισαπέχει από τα σημεία Α,Δ και Ε 2) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ,ΓΕ τα ύψη που αντιστοιχούν στις πλευρές ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα,Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και Ζ,Θ τα μέσα των τμημάτων ΑΗ και ΒΓ.Να αποδείξετε ότι ΖΘ ⊥ ΔΕ 3)Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓΔ,σημείο Ε της διαγωνίου ΑΓ και το συμμετρικό σημείο Ζ του σημείου Β ως προς το σημείο Ε.Αν ονομάσουμε Η,Θ τις προβολές του Ζ στις ευθείες ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα ,να αποδείξετε ότι τα σημεία Ε,Η και Θ είναι συνευθειακά 4)Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ορθές γωνίες τις Β και Δ.Ονομάζουμε Ε και Ζ τα συμμετρικά σημεία του Α ως προς τις κορυφές Β και Δ αντίστοιχα.Αν Ο είναι το μέσο του τμ’ηματος ΕΖ,να δειχθεί ότι ΟΓ ⊥ ΒΔ
= 90° και ΑΓ>ΑΒ.Στην πλευρά ΑΓ 5)Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΓΔ=ΑΒ.Αν ονομάσουμε Μ το μέσο του τμήματος ΒΓ και Ε το μέσο του τμήματος ΑΔ,να δειχθεί ότι ΓΕ Μ = 45° = 90° ,φέρνουμε την ευθεία ΒΖ,που 6) Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α Α = Β .Εάν από το Γ φέρουμε τη ΓΗ ⊥ ΑΖ που τέμνει τέμνει την ΑΓ στο Ζ,ώστε ΖΒ 3 ΖΗ τη ΒΖ στο Η,να δείξετε ότι ΒΓ = 2 7)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B = 45° και Γ = 15° .Στην προέκταση της ΒΑ προς τοΑ,παίρνουμε τμήμα ΑΔ=2ΑΒ.Να βρείτε το μέτρο της γωνίας Α∆ Γ
= 90° και η διάμεσος ΑΜ.Από τυχαίο 8) Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α σημείο Ρ της ΑΜ φέρνουμε κάθετο στην ΑΜ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα.Αν Ν το μέσο της ΕΖ, δείξετε ότι ΑΝ ⊥ ΒΓ 9) Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90° και ΑΔ ύψος στη ΒΓ.ΑΝ Ε,Ζ ΒΓ μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα και Η το μέσο ΕΖ να δειχθεί ότι ΔΗ= 2
10)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,το ύψος ΑΔ και Ε,Ζ τα μέσα των ΑΔ,ΔΓ αντίστοιχα.Αν = 90° ΒΕ ⊥ ΑΖ τότε Α 11)Έστω Δ,Ε τα συμμετρικά των κορυφ΄ψν Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ως προς τα μέσα Μ,Ν των πλευρών ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι α)Α,Δ,Ε συνευθειακά β)ΔΕ=4ΜΝ 12) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ,η διάμεσος ΒΔ και Ε το μέσον της.Φέρνουμε την ΑΕ και στην προέκταση της,παίρνω τμήμα ΕΖ=ΕΑ.Αν η ΑΖ τέμννει τη ΒΓ στο Η,να δειχθεί ΑΗ ότι ΗΖ = 2 = 90° και ΑΔ το ύψος,η διάμεσος ΑΜ 13) Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α και Ε,Ζ τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Αν Η το σημείο τομής των ΑΜ και ΕΖ,να = 30° δειχθεί ότι ΑΖΔΗ ρόμβος αν και μόνο αν Β
= ∆ να δειχθεί ότι = 150° ,ΒΓ ⊥ ΔΓ και Α 14)Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Β ΑΔ+ΑΒ=2ΔΓ 15) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΑΔ και Μ το μέσο της ΓΔ.Αν ΑΜ ⊥ ΒΔ τότε να δειχθεί ότι ΒΓ//ΑΜ 16) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ=2ΑΒ.Στην προέκταση της ΑΒ παίρνουμε ΑΔ=ΒΓ.Αν Μ μέσο της ΒΓ να δειχθεί ότι ΑΜ ⊥ ΔΜ 17)Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και η ΑΓ είναι διχοτόμος της Γ και Ν το μέσο της Γ = ∆ να δειχθεί ότι ΒΝ= Α∆ ΑΓ.Αν ισχύει ΝΒ 2 18) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ε,Ζ τα συμμετρικά του Δ ως προς το Β,Γ Ζ είναι το ύψοες του ΑΒΓ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι η διχοτόμος της ΕΑ 19) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και οι διαγώνιες τέμνονται κάθετα.Αν Ε,Ζ τα συμμετρικά του Α ως προς τα Β,Δ αντίστοιχα να δειχθεί ΕΖ ⊥ ΑΓ
20) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΜ διάμεσο και ισχύει ΑΜ=ΑΒ.ΑΔ το ύψος του ΑΒΓ και από το Δ φέρνουμε παράλληλη στη ΑΒ που τέμνει την ΑΜ στο Ζ.Αν Ε το μέσο ΒΓ του ΑΔ να δειχθεί ότι ΕΖ= 8 21) ) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και έστω σημεία Κ,Λ,Μ,Ν των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ έτσι ώστε ΚΜ ⊥ ΛΝ αν Δ,Ε τα συμμετρικά των Κ,Μ ως προς το Λ και Ζ,Η ως προς το Ν.Να δειχθεί ότι ΔΕΖΗ ορθογώνιο 22) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Κ εκτός αυτού.Να δειχθεί ότι τα συμμετρικά του Κ ως προς τα μέσα των πλευρών σχηματίζουν τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ
> Γ φέρνουμε το ύψος ΑΔ.Αν Μ,Ν τα μέσα των ΑΓ,ΒΓ 23)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β Ν = Β − Γ αντίστοιχα να δειχθεί ότι ∆Μ = 2Γ φέρνουμε το ύψος ΑΔ.Αν Ν το μέσο του ΒΓ να 24) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β ΑΒ δειχθεί ότι ∆Ν = 2 = 90° φέρνουμε ΑΔ το ύψος και τη 25) Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α Μ = Β − Γ διάμεσος ΑΜ.Να δειχθεί ότι ∆Α = 70° και Γ = 50° .Από το Μ μέσο της ΑΓ φέρνουμε 26)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει την ΑΒ στο Δ.Να βρεθεί η γωνία ∆Γ Β