ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός : Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α (συμβολισμός : α ) ονομάζουμε τον μη αρνητικό αριθμό x , που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει α . Δηλαδή τετραγωνική ρίζα του α , ονομάζεται η θετική λύση της εξίσωσης : x2=α . Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών i)
α 2 =|α|
(από τον ορισμό)
ii) α =α ( iii) α ⋅ β = α ⋅ β 2
α = β
iv)
>> ) (α,β≥0)
α β
(α≥0,β>0)
Ορισμός : ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού α ( συμβολισμός : ν α ) oνομάζεται ο (μοναδικός ) μη αρνητικός αριθμός x , που όταν υψωθεί στη ν-οστή δύναμη μας δίνει α . Δηλαδή ν-οστή ρίζα του α είναι η μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης : xv=α
Ιδιότητες ριζών i)
( α ) =α ν
ν
, α≥0
(από τον ορισμό)
ii) ν α ν =α , α≥0 ( >> ) ( Προσοχή : ν α ν =|α| , όταν α : αρνητικός και ν : άρτιος ) iii) ν α ⋅ ν β = ν α ⋅ β (α,β≥0) iv) v) vi)
ν
α = β
ν ν
α β ν⋅µ
(α≥0,β>0)
ν µ
α =
ν⋅ρ
α µ ⋅ρ = ν α µ
α κ
, (α≥0) , (α≥0)
vii) ν α κ = ν α , ν viii) ν α β = α ν β , )
(α≥0) (α,β≥0)
(βλ. αποδείξεις
Η εξίσωση : xν=α Αποδεικνύεται ότι έχει τις παρακάτω λύσεις ανάλογα με τις εξής περιπτώσεις : α α=0
ν άρτιος ή περιττός α>0 άρτιος
Λύση Μία : Το 0 Δύο : ν
α>0 α<0
περιττός άρτιος
α<0
περιττός
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ν
α ή -
α
Μία : ν α Καμμία (αδύνατη) Μία : - ν α
1. Να υπολογιστεί η παράσταση : Α= 4 − 2 3 + 9 − 4 5 . Λύση Α= 3 + 1 − 2 3 + 5 + 4 − 4 5 = =
(
)
2
3 −1 +
(
5−2
)
2
2
2 4 α + 4β +
2 4 β + 4α
+ (β2 ) − 4β2 + 4 = 2
(α
2
2 4 α + 4β +
= (α 2 ) + 4(1 − α 2 ) + 2
)
2
5 + 22 − 2 ⋅ 2 5 =
=| 3 -1|+| 5 -2|= 3 -1+ 5 -2= 3 + 5 -3 .
2. Αν α2+β2=1 (1) , να αποδείξετε ότι : Λύση
2
3 + 12 − 2 3 +
−2 +
(β
2
−2
)
2
• ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
2 2
+ 4(1 − β2 ) =
= |α2-2|+|β2-2|=
1≤0 = -α2+2-β2+2 = -(α2+β2)+4 = -1+4=3 2<α2-1 ≤ 0 2<0
(β )
2 4 β + 4α = 3
(α )
2 2
.
− 4α 2 + 4 +
(1)⇔ α2=1-β2 ≤ 1 άρα α2άρα και : α2ομοίως : β2-
1. i) Αν α= 3 − 2 ,β= 3 + 2 να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης : α23αβ+β2 . ii) Αν α= 5 − 3 ,β= 5 + 3 >> >> : α2β2+αβ . 2. Για ποιά x∈R η παράσταση : Α ( x) = 3. Δείξτε ότι ο αριθμός α=
4. Ομοίως ο β=
1
(
15 − 4
)
2
1
( +
3−2
)
2
15 + 4
)
(
)
είναι ακέραιος .
2
(
)(
16 − 3 5 + 20 − 9 ⋅ 1 − 5
3⋅ 3− 6 ⋅ 3+ 6
ii)
)(
18 − 4 2 + 3 4 − 50 ⋅ 1 + 2
iv)
3+2
(
)
είναι σταθερή ;
είναι ακέραιος .
2
5. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i)
(
2x 1
+
1
(
(3x − 1) 2
x −1+
)
(=-4)
iii)
)(
75 + 3 64 − 12 − 3 ⋅
3−2
)
(
)
v) 2 32 + 3 48 − 9 3 + 3 ÷ 27 .
6. Να γραφτούν πιο απλά οι παραστάσεις : i) 4 3 3 3
ii) 23 3 4
iii) 4 16α 4 β 8 iv) 34 35 3 3
v) 3 α 4 β 2
vi)
23 α
vii) 9αχ 2 − 5χ α + 4 χ 2 α
6
2α
4
α ⋅ 6 α 4 β ⋅ 12 αβ 10
α4
7. Αν α,β>0 να βρεθεί το εξαγόμενο :
.
8. Να μετατραπούν σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή τα κλάσματα : i) 1 3
viii)
2
2 3
iii)
vii)
4 7+ 3
x − x2 + 1 x + x2 + 1
iv)
8 5+ 3− 2
v)
1 1− 3 2
x
vi) 5
x2
8 3
16
ii)
9. Αν x= 2 + 2 + 3 , y= 2 − 2 + 3 , z= 2 + 3 να δείξετε ότι : xyz=1 .
10. Αν α= 2 , β= 2 + 2 , γ= 2 + 2 + 2 , δ= 2 − 2 + 2 να δείξετε ότι : αβγδ=2 . 11. Να υπολογίσετε τη διαφορά : i) Α = 4 + 2 3 − 4 − 2 3
ii)
Β = 13 − 4 3 − 2 3 . 9
12. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i) Α =
(1 − 3)
2
−
9
(1 + 3)
2
,
ii) Β = 4 + 2 3 + 3 − 2 2 + 5 − 2 6 + 19 + 2 48
iii) Γ = 4 + 7 − 4 − 7 − 2 iv) ∆ =
1 1 1 1 + − + 1− 3 5 1+ 3 5 2 3 + 1 2 3 − 1
ν)
Ε = 6 + 35 − 6 − 35 − 10
13. Να συγκριθούν οι αριθμοί : i) 5+ 3 iii)
(α>0) .
5
α4 ,
, 4
α 5 (α>0)
14. Αν α= 1993 x + β1993 , β= 1993 y + γ 1993 x3+y3+z3=3xyz . 15. Να δείξετε ότι : i)
iii)
(
(
)(
,
iv)
γ= 1993 z + α 1993
1 3 4 = + 6− 5 5− 2 6+ 2
)(
5 6 6 + = 3+ 3 ⋅ 2 + 2 6 −1 3− 2
2− 3⋅ 2+ 3 ⋅
ii) 3 − 2
3+ 5
)
ii)
3
,
5− 3
α2 ,
α3
δείξτε ότι :
3+ 5 =
5 +1 2
iv)
)
6− 2 =2 .
16. Να βρείτε πότε ορίζονται οι παραστάσεις : i) Α = 9 − 6x + x 2 − 3 x + 4
,
ii) Β =
x3 2 x − 6
iii)
Γ = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 − 3 − x
iv) Ε =
3
νi)
5
x + 2 − x2 + 1 + x2 − x + 1
Ζ= 4 − 3 − x νii) Η =
νiii)
x +5 −4
Θ = x2 + x + 1 − 3 −x + 1
17. i) Αν α : φυσικός δείξτε ότι : ii)
x + 3− x + 3
α + α +1
= α +1 − α
,
1 1 1 1 + + + + = 1995 − 1 . 1+ 2 2+ 3 3+ 4 1994 + 1995
18. Για ποιές τιμές του x ∈R η παράσταση Α=
x x2 − + 2 − x + 2x 2 − x 3 x x
έχει νόημα πραγματικού αριθμού ; 19. Αν -1<x<2 να απλοποιηθεί η παράσταση : A= 5 ( x − 2) 2 − 34 ( x + 3) 2 + x 2 + 4 x + 4 . 20. Να βρεθούν τα γινόμενα : i)
15
5
x2 ⋅ x4
ii)
12
x7 ⋅
20
15
x3 ⋅ x2
21. Να αποδείξετε ότι για θετικούς α , β ισχύει η ανισότητα :
iii)
2 ⋅3 3 ⋅5
α2 β2 + ≥ α+ β β α
22. Aν οι α,β,γ ακέραιοι αριθμοί αποτελούν πλευρές τριγώνου με
1 6
.
β ακέραιος και γ
ισχύει η σχέση 3 α + β − 2γ + 3 β + γ − 2α + 3 α + γ − 2 β = 0 να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο