Σύλλογος Θετικών Επιστημόνων Δράμας
Διαγωνισμός στη μνήμη του καθηγητή Βασίλη Ξανθόπουλου
Μαθηματικά
Τάξη:
Δράμα 02 Απριλίου 2016
A΄
Θέμα Α Δίνονται οι εξισώσεις: 𝛼𝛼𝜒𝜒 2 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝛾𝛾 = 0 (1) 𝛾𝛾𝜒𝜒 2 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝛼𝛼 = 0 (2) με αγ≠0. οι οποίες δεν έχουν καμιά κοινή ρίζα. Α. Να δείξετε ότι: i) η (1) δεν έχει ρίζα τον αριθμό 0. ii) η (1) δεν έχει ρίζα τον αριθμό 1. Β. Αν μεταξύ των ριζών 𝜒𝜒1 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝜒𝜒2 της (1) και των συντελεστών α,β,γ ισχύει η σχέση: 𝛼𝛼(𝜒𝜒1)2 + 𝛽𝛽𝜒𝜒1𝜒𝜒2 + 𝛾𝛾(𝜒𝜒2 )2 = 0 (3) Να δείξετε ότι: 𝜒𝜒1 = (𝜒𝜒2)2 Γ. Αν επιπλέον ισχύει η σχέση: 𝜒𝜒1𝛽𝛽 2 − (𝜒𝜒1 + 𝜒𝜒2 )𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝜒𝜒2𝛾𝛾 2 = 0 (4) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1), δηλαδή τους αριθμούς 𝜒𝜒1 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝜒𝜒2. Θέμα Β
Δίνεται στο διπλανό σχήμα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά μήκους 1. Ισχύει ότι ΒΔ=ΔΓ και ΖΓ=ΒΗ. Να δειχθεί ότι: Α. ΔΖ=ΔΗ Β. ΔΕ μεσοκάθετος του ΖΗ Γ. Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΕ
Ευχόμαστε Επιτυχία
Διαγωνισμός στη μνήμη του καθηγητή Βασίλη Ξανθόπουλου
Σύλλογος Θετικών Επιστημόνων Δράμας
Μαθηματικά
Τάξη:
Δράμα 02 Απριλίου 2016
B΄
Θέμα Α Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 𝜋𝜋
𝟏𝟏
�𝟏𝟏−𝒙𝒙𝟐𝟐
, χ∈(-1,1).
α. Αν θ∈ (0, ) να αποδείξετε ότι f(ημθ)+f(συνθ)≥ 2√2. 2
β. Θέτουμε g(θ)=
𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂+𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎
1+𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂
. Να αποδείξετε ότι
β1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών. β2. Η συνάρτηση g είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π. β3. Να αποδείξετε ότι |g(θ)|≤1 για κάθε θ ∈ ℝ. 𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂+𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 𝜋𝜋 )≥ 3 όταν θ∈ (0, ). γ. Να αποδειχτεί ότι f( 1+𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂
2
δ. Αφού αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,1) να δικαιολογήσετε ότι
Θέμα Β
𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂+𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎
1+𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂𝜂
≥
2√ 2 3
.
Δίνεται η εξίσωση (ε): χ+ψ-1+λ2(χ-ψ-3)=0 όπου 𝜆𝜆 ∈ ℝ. α. Δείξτε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, η (ε) παριστάνει ευθεία που δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0). β. Δείξτε ότι όλες οι ευθείες (ε) διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α το οποίο και να καθορίσετε. 1 γ. Να αποδείξετε ότι ≤ 𝑑𝑑(𝑂𝑂, 𝜀𝜀) ≤ √5 και να βρείτε τα μέλη της √2 οικογένειας ευθειών (ε) που απέχουν από την αρχή Ο την ελάχιστη και την μέγιστη απόσταση. δ. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα χ΄χ να αποδείξετε ότι 45° < 𝜔𝜔 ≤ 135°. ε. Αν ζ είναι η ευθεία της οικογένειας που σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα χ΄χ όπου 45° < 𝜔𝜔 < 90°, να βρείτε συναρτήσει του ω, την εξίσωση της ευθείας της οικογένειας που προκύπτει από τη στροφή της (ζ) γύρω από το σημείο Α κατά 45° προς τη θετική φορά περιστροφής. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 1
Σύλλογος Θετικών Επιστημόνων Δράμας
Διαγωνισμός στη μνήμη του καθηγητή Βασίλη Ξανθόπουλου
Μαθηματικά
Τάξη:
Δράμα 02 Απριλίου 2016
Γ΄
Θέμα Α Δίνεται η συνάρτηση f(x)=-ln(συνχ) με
.
Α. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα, και να γίνει η γραφική της παράσταση. Β. Αν Α(x1,f(x1)), Β(x 2 ,f(x2 )), Γ(x 3, ,f(x3 )) τρία σημεία της γραφικής παράστασης έτσι ώστε τα x1,x2,x3 να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με 0 x1 <x2 <x3 , να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης στα Α, Β, Γ ανά δυο τεμνόμενες σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Γ. Στην περίπτωση όπου x1=0, x2 =ω, x3=2ω με
και Ε(ω) είναι
το εμβαδόν του παραπάνω ισοσκελούς τριγώνου, να βρείτε το
Θέμα Β Έστω η συνεχής συνάρτηση f(f(x))=x+2 για κάθε x ∈ R
f :R → R
για την οποία ισχύει
Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1. Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 ∈ ℜ ώστε f(x 0)=x 0+1 Γ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f΄(x)=1 έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση για κάθε x ∈ R . ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 1