Sudoku leonidas tharralidis by demi de

Σε όποια κατηγορία κι αν ανήκετε, αυτό το βιβλίο γράφτηκε για σας! Εδώ, θα βρείτε: · Αναλυτικές οδηγίες και πλήθος τεχνικών για τη λύση κάθε sudoku, από τα πιο απλά μέχρι τα απίστευτα δύσκολα. · Πλήρη κωδικοποίηση της λύσης, με κατανοητή ορολογία και απλό συμβολισμό. · Πλήθος παραδειγμάτων για την κατανόηση κάθε τεχνικής. · Ερωτήσεις κατανόησης στο τέλος παρουσίασης κάθε τεχνικής. · Δώδεκα αναλυτικά λυμένα sudoku. Από ΕΥΚΟΛΟ μέχρι ΠΟΛΥ ΔΥΣΚΟΛΟ. Βήμα προς βήμα. · 112 άλυτα sudoku, κάθε βαθμού δυσκολίας. Όλα πιστοποιημένα ως προς τη μοναδικότητα της λύσης τους, η οποία προκύπτει μόνο με τη λογική. Χωρίς κουραστικές και ανούσιες δοκιμές. Ένα διασκεδαστικό βιβλίο, που ελπίζει να σας κάνει να αγαπήσετε το "νέο" γρίφο, η εξάπλωση του οποίου σαρώνει και τη χώρα μας. Η αναλυτική παρουσίαση του περιεχομένου, η πρόταση καινοτόμων τεχνικών και η πληθώρα των παραδειγμάτων, το καθιστούν μοναδικό στην παγκόσμια βιβλιογραφία. Απολαύστε το!

ISBN: 960-7991-10-9

ÔÏ SUDOKU ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø

Ή μήπως έχετε βαρεθεί τα εύκολα sudoku αλλά δεν μπορείτε να λύσετε τα δύσκολα;

ËÅÙÍÉÄÁÓ ÈÁÑÑÁËÉÄÇÓ:

ήπως κάνετε τα πρώτα σας βήματα στο sudoku; Δεν ξέρετε πώς να λύνετε και ντρέπεστε να ρωτήσετε; Αισθάνεστε άτομο μειωμένης ευφυΐας; Πως όλοι οι άλλοι ξέρουν κάτι που για σας είναι ακόμη επτασφράγιστο μυστικό;

ËÅÙÍÉÄÁÓ ÈÁÑÑÁËÉÄÇÓ

5 6

5 2

3 3

3 4

ÔÏ SUDOKU ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø

[Ó×ÅÄÏÍ ÔÁ ÐÁÍÔÁ ÃÉÁ ÔÏ SUDOKU]

ΤΟ SUDOKU ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ

[ΣΧΕ∆ΟΝ ΤΑ ΠΑΝΤΑ ΓΙΑ ΤΟ SUDOKU]

ΛΕΩΝΙ∆ΑΣ ΘΑΡΡΑΛΙ∆ΗΣ

Κάθε γνήσιο αντίγραφο υπογράφεται από τον συγγραφέα.

Απαγορεύεται η αντιγραφή με οποιοδήποτε τρόπο μέρους ή ολοκλήρου αυτού του βιβλίου, δίχως την έγγραφη άδεια συγγραφέα και εκδότη.

ΤΟ SUDOKU ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ

[ΣΧΕ∆ΟΝ ΤΑ ΠΑΝΤΑ ΓΙΑ ΤΟ SUDOKU]

Λεωνίδας Θαρραλίδης, Μεγάλου Αλεξάνδρου 105, Καστοριά, Τ.Κ. 521 00, τηλ. 24670 26754 e-mail: leo1@aias.gr και ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ, Χάρης Βαφειάδης.

Τα προτεινόμενα sudoku του βιβλίου δημοσιεύονται με την έγγραφη άδεια του δημιουργού τους. © Copyright (2005) προτεινόμενων sudoku: websudoku.com Κεντρική ∆ιάθεση: Βιβλιοπωλείο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ∆ιαλλέτη 27, (Σιντριβάνι), 546 21 Θεσσαλονίκη Τηλ.– Fax 2310 263163 Ηλεκτρονική σχεδίαση: Ρίζος Γιώργος, Σπ. Νικοκάβουρα 7, 491 00, Κέρκυρα Τηλ. 26610 47669

ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ,

Θεσσαλονίκη, 2005

Χάρης Βαφειάδης

Εξώφυλλο – Εκτύπωση: Τσιαρτσιάνης Αθανάσιος, Θεσσαλονίκη, Τηλ. 2310 682080

ISBN: 960-7991-10-9

Στην Αφροδίτη, για όλα. Κυρίως: για την ομορφιά.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΖΛ .............................................................................185

Easy .............................................................................................................187 Medium .....................................................................................................215 Hard ............................................................................................................243 Evil ..............................................................................................................271

ΛΥΣΕΙΣ ...............................................................................................................299

Περιεχόμενα

Πρόλογος .............................................................................................................. 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................ 13

§1. Μα είναι μαθηματικά αυτά; .......................................................... 15 §2. Τι είναι το sudoku; ........................................................................... 17 §3. Θέλω ή Πρέπει; ................................................................................ 19 §4. Πόσες λύσεις; .................................................................................... 22 §5. Να φοράω ρολόι; .............................................................................. 24 §6. Μολύβι ή στυλό; ............................................................................... 25 §7. Από Η/Υ ή όχι; .................................................................................. 26 §8. Σημειώσεις (Μαρκαρίσματα) ....................................................... 28 §9. Βαθμός ∆υσκολίας ............................................................................ 31

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ .................................................................................................... 37

§1. Ορολογία ............................................................................................. 39 §2. Εύκολα sudoku .................................................................................. 42 §3. Μέτρια sudoku .................................................................................. 78 §4. ∆ύσκολα sudoku ..............................................................................104

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ...........................................................327

Πρόλογος

ταν ένα μουντό πρωινό του Ιούνη… Άι, καλά, ψέματα! ∆ε θυμάμαι αν ήτανε μουντό, αλλά έτσι θα έπρεπε να είναι. Είχαν τελειώσει οι εξετάσεις στο σχολείο όπου "λειτουργώ" και περνούσα στα ατομικά δελτία των μαθητών τους (εξαίσιους…) βαθμούς στο μάθημα των μαθηματικών, που έχω την τιμή να διδάσκω. ∆ε βιαζόμουνα. Ο χρόνος, το δεύτερο δεκαπενθήμερο του Ιουνίου – όπως και το πρώτο του Σεπτεμβρίου – κυλάει στα σχολεία πιο αργά κι από το πιο νωχελικό αποστακτήριο. Ήμουν κακόκεφος. Το προηγούμενο βράδυ, είχα διαβάσει το ΑΥΡΙΟ ΚΑΙ ΓΙΑ ΠΑΝΤΑ, το μοναδικό βλακώδες μυθιστόρημα του Γιάννη Μαρή. Ως το μεσημέρι, που θα ξανάπιανα στα χέρια μου –για να ηρεμήσω– το (υπέροχο) Ο ∆ΟΛΟΦΟΝΟΣ ΦΟΡΟΥΣΕ ΣΜΟΚΙΝ (του ιδίου), πώς θα ξεχνιόμουνα; Μέχρι που ο Βασίλης (Λάζου), συνάδελφος που έζησε κάποια χρόνια στην Πολωνία, μου έφερε ένα πολωνικό περιοδικό, για να μου δείξει ένα άρθρο που αφορούσε ένα καινούργιο γρίφο, με το περίεργο όνομα: sudoku. Το άρθρο μιλούσε για μία νέα μανία, που κατέκτησε την Πολωνία, όπως

και όλη τη ∆υτική Ευρώπη και δημοσίευε δύο τέτοια παιχνίδια για τους αναγνώστες του. Παρέλειψα να σας πω ότι ο Βασίλης, αν και (!) γυμναστής, είναι φανατικός λύτης κάθε είδους γρίφου. Και μάλιστα, οικειοθελώς, ασχολείται για χρόνια με τον χειρότερο: επιμένει να βγάζει το πρόγραμμα του σχολείου! Να μην πολυλογώ: Αυτό το μουντό πρωινό του Ιούνη άλλαξε για πάντα τη ζωή μου! Ο έρωτας υπήρξε κεραυνοβόλος! Τα δύο sudoku ήταν, απλώς, το ορεκτικό. Αλλά που θα έβρισκα το κυρίως γεύμα; Πού αλλού από το internet! Χιλιάδες διευθύνσεις στο Google! Εκατομμύρια, δισεκατομμύρια άλυτα sudoku, να χορτάσει ο κάθε πεινασμένος. Και μετά… ∆ιακοπές στη Σύρο, με τις φωτοτυπίες να ανεμίζουν στην παραλία του ∆ελφινιού και τους φίλους μας εκεί να κολλάνε τον ίδιο ιό. Και, αργότερα, ελληνικές εφημερίδες να δημοσιεύουν sudoku, διστακτικά στην αρχή, με ενθουσιασμό στη συνέχεια. Λίγο μετά και περιοδικά. Ώσπου φτάσαμε, σήμερα, στο σημείο να θεωρούμε σχεδόν δεδομένο πώς, οποιοδήποτε περιοδικό έντυπο κυκλοφορεί στη χώρα μας, περιέχει οπωσδήποτε το γρίφο αυτό. Προσπαθώντας να χαρώ τη λύση κάθε sudoku, έβαλα στο περιθώριο κάθε ερευνητική διάθεση γύρω από το παιχνίδι. Σχεδόν αρνιόμουν να επινοήσω τεχνικές, από φόβο μήπως καταστρέψω την ευχαρίστηση που ένιωθα κάθε φορά που ολοκλήρωνα ένα καινούργιο. Αλλά ήταν μάταιο. Από τη μια μεριά με τραβούσαν τα δυσκολότερα sudoku, αυτά που με βασάνιζαν, από την άλλη δεν ήθελα τα κατάλληλα όπλα. Έτσι, αποφάσισα πως αρκετά είχα χαλιναγωγήσει τα μαθηματικά μου ένστικτα. Και άρχισα να μορφοποιώ μεθόδους, να

κωδικοποιώ τεχνικές. Στα τέλη Αυγούστου, παράγγειλα ένα ξενόγλωσσο βιβλίο με άλυτα sudoku και με τεχνικές για τη λύση τους. Κι εκεί, είδα κάποιες από τις, ας πούμε, δικές μου, αλλά τίποτα παραπάνω! Μόνο πράγματα που βρίσκει κάθε λύτης χωρίς βοήθεια. Τίποτα πιο προχωρημένο. Με τρία μόνο λυμένα παιχνίδια – ακόμη και το αυτοαποκαλούμενο ΠΟΛΥ ∆ΥΣΚΟΛΟ ήταν στην πραγματικότητα ΜΕΤΡΙΟ. Και τότε πήρα την απόφαση να γράψω αυτό το βιβλίο. Ελπίζω να μην το μετανιώσατε…

Λ. Θ. Καστοριά, Οκτώβριος 2005

ξανά το φίλο και εκδότη των προηγούμενων βιβλίων μου, Χάρη Βαφειάδη, για την προθυμία του να εκδώσει ένα βιβλίο που –θεματολογικά– κινείται στα όρια των ενδιαφερόντων του και, ίσως, του κοινού του. Ακόμη τον (επίσης) φίλο και συνάδελφο Γιώργο Ρίζο, για την ταχύτητά του και την προσεγμένη επιμέλεια της έκδοσης.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

Ε ΙΣΑΓΩΓΗ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

§1. Μα είναι μαθηματικά αυτά; Σεπτέμβριος 2000. Μάθημα με το τμήμα ειδικότητας "Ηλεκτρολόγων Εγκαταστάσεων Κτηρίων" στο ΤΕΕ Καστοριάς. 1η τάξη του 2ου κύκλου ήταν η επίσημη ονομασία, ΓΕΓΚ για τους φίλους. Λόγω ελλείψεως αιθουσών, κάναμε μάθημα σε μια μικρή κι άραχλη αίθουσα μέσα στα εργαστήρια. ∆ίπλα, σφυρί κι αμόνι. Μέσα, 13 αγριεμένα παλικάρια που δε μου έδιναν σημασία. Ώσπου… "ας λύσουμε μια σπαζοκεφαλιά!" Αυτό ήταν! Απόλυτη ησυχία, έξυπνες ιδέες, θρησκευτική προσήλωση, ανταγωνισμός ποιος θα βρει πρώτος τη λύση και "σκάσε ρε βλάκα, ό,τι να’ ναι λες!". Ο παράδεισος του καθηγητή (ο οποίος διαφέρει, δυστυχώς από τους άλλους παραδείσους…). Μέχρι που μου βάλανε κι αυτοί ένα γρίφο:

Α Β ∆ Ε Ζ Η Θ

Βάλτε στα κενά τετράγωνα του παραπάνω "σταυρού" τους αριθμούς 1, 2, 3, …, 8 έτσι ώστε: "γειτονικοί αριθμοί να

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

μη βρίσκονται σε γειτονικά τετράγωνα", δηλαδή, αν για παράδειγμα, βάλουμε το 4 στη θέση Α, τότε το 5 δεν μπορεί να μπει στις θέσεις Β, Ε, Γ, ∆. Στις ίδιες θέσεις δε μπορεί να μπει ούτε ο αριθμός 3, που είναι επίσης γειτονικός με το 4. Πρέπει να συμπληρωθούν, με αυτή τη λογική, και τα οχτώ τετράγωνα. ∆οκιμάστε το, είναι όμορφος γρίφος! Η λύση του στο τέλος της εισαγωγής. Αυτή η ειδυλλιακή σχέση μου με τους μαθητές κράτησε 2 (ολογράφως: δύο) διδακτικές ώρες ακόμη. Ήταν φανερό ότι τους είλκυε η έξυπνη και πρωτότυπη σκέψη αλλά όχι η ύλη ούτε το βιβλίο… μαθηματικών της τάξης τους. Και φυσικά δεν μπορούσαν να φανταστούν ότι στα προβλήματα που τους έθετα υπήρχαν κρυμμένα μαθηματικά! Πολύ καλά κρυμμένα, θα προσέθετα! Ανάλογη εμπειρία καταθέτει και ο Raymond Smullyan στο εξαιρετικό βιβλίο του ΤΗΝ ΚΥΡΙΑ Ή ΤΗΝ ΤΙΓΡΗ (εκδ. ΤΡΟΧΑΛΙΑ). Πρόκειται να μιλήσει στο γιο ενός φίλου του στο τηλέφωνο και, πριν απ’ αυτό, ο φίλος του, του λέει: «∆ιαβάζει το βιβλίο σου και το λατρεύει! Αλλά, όταν του μιλήσεις, να μην του πεις ότι αυτό που κάνει είναι μαθηματικά, γιατί μισεί τα μαθηματικά! Αν ήξερε ότι όλα αυτά ήταν στην ουσία μαθηματικά, θα παρατούσε αμέσως το βιβλίο!» Μα το θέμα μας είναι το sudoku! Έχει το sudoku κρυμμένα μαθηματικά; Ω, ναι! Και μάλιστα τόσα πολλά που και οι μαθηματικοί (όπως εγώ) δεν τα αναγνωρίζουν όλα. Κάποια από αυτά, ναι: τη συνεπαγωγή (δηλαδή τη λογική συνέπεια, το συλλογισμό), την τυπική λογική, την απαγωγή σε άτοπο… Αλλά μην ανησυχείτε! Στο βιβλίο αυτό κανείς δε θα σας καταστρέψει την απόλαυση. Είμαι επαγγελματίας μαθηματι-

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

κός αλλά ερασιτέχνης λύτης sudoku. Θα σας μιλήσω σε πρώτο πρόσωπο αλλά με τη δεύτερη ιδιότητά μου.

§2. Τι είναι το sudoku; Κάθε παιχνίδι sudoku είναι ένα τετράγωνο πλέγμα χωρισμένο σε επιμέρους πλέγματα, σχήματος ορθογωνίου, τα οποία με τη σειρά τους διαιρούνται στα στοιχειώδη τετράγωνα, τα κελιά. Ανάλογα με το πόσες γραμμές και στήλες έχει το πλέγμα αυτό, έχουμε τη διάστασή του: υπάρχουν sudoku 6×6, 8×8, 12×12… αλλά και τα τετραγωνικά (όπου τα επιμέρους πλέγματα είναι επίσης τετράγωνα) 4×4, 9×9, 16×16 ακόμη και 25×25! Το περιεχόμενο των κελιών μπορεί να είναι: αριθμοί ή γράμματα ή σχήματα.

5 1 2

1 3

Α 4

2 6

Α 2

Sudoku 6×6

Δ Γ Sudoku 4×4

Εμείς θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με sudoku αριθμών και μάλιστα με το 9×9 (κλασσικό) sudoku. Μικρότερης διάστασης παιχνίδια είναι πολύ απλά –όταν είναι 4×4– ή λίγο παράξενα στη συμπλήρωση σε άλλα μεγέθη. Μεγαλύτερης

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

διάστασης sudoku δυσκολεύουν το λύτη, όσο εύκολα κι αν είναι: εμφανίζονται και διψήφιοι αριθμοί και το αυξημένο πλήθος των πιθανών αριθμών για ένα κελί απαιτεί ελέγχους κουραστικούς και χρονοβόρους. Αποτέλεσμα; Η πλήξη. Έτσι κι αλλιώς, το 9×9 sudoku είναι το δημοφιλέστερο. Μπορεί να βρει κανείς τέτοιου είδους παιχνίδια από διάφορες πηγές: βιβλία, εφημερίδες, περιοδικά και φυσικά στο Internet.

Σκοπός του παιχνιδιού είναι να συμπληρωθεί το πλέγμα με αριθμούς στα "λευκά κελιά" του έτσι ώστε σε κάθε γραμμή, κάθε στήλη και κάθε 3×3 τετράγωνο να εμφανίζεται καθένας από τους αριθμούς 1, 2, 3…, 9 ακριβώς μία φορά. Τα κελιά κάθε γραμμής (στήλης, τετραγώνου) είναι σε πλήθος όσα και οι αριθμοί 1, 2, 3…, 9 επομένως η παρουσία όλων των αριθμών εγγυάται και για τη μοναδικότητά τους (και αντίστροφα, όπως λέμε στα μαθηματικά!). Είναι αυτονόητο ότι δίνονται πάντα κάποια συμπληρωμένα κελιά. Σε ένα κενό πλέγμα υπάρχουν αμέτρητοι συνδυασμοί, άρα πολλές λύσεις. Σε ένα πλήρως συμπληρωμένο πλέγμα, δεν υπάρχει αντικείμενο παιχνιδιού. Ωστόσο, το πλήθος των δοσμένων αριθμών ποικίλει από sudoku σε sudoku, όπως φυσικά και οι θέσεις τους, πράγμα που καθορίζει, εν μέρει, και το βαθμό δυσκολίας του παιχνιδιού. Υπάρχει, λοιπόν, ένας και μοναδικός κανόνας με τον οποίο λύνεται το sudoku: Πρέπει να συμπληρωθούν όλα τα κενά κελιά του, έτσι ώστε να υπάρχουν οι αριθμοί 1, 2, 3…, 9: • σε καθεμιά από τις εννέα γραμμές

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

• σε καθεμιά από τις εννέα στήλες • σε καθένα από τα 3×3 τετράγωνα Όταν έχουμε συμπληρώσει το πλέγμα με τρόπο που υπακούει στον παραπάνω κανόνα, τότε έχουμε λύσει το sudoku. Αν κάπου (σε κάποια γραμμή, στήλη ή τετράγωνο) εμφανίζεται ο ίδιος αριθμός δύο –τουλάχιστον…– φορές, τότε κάναμε λάθος. ∆εν έχει νόημα η συνέχιση της προσπάθειας: η "λύση" δεν είναι αποδεκτή. Το λάθος σε αυτή την περίπτωση οφείλεται: • σε βιαστική συμπλήρωση κάποιου κελιού ή • σε αυθαίρετη (δηλαδή τυχαία) συμπλήρωση κελιού ή • σε λανθασμένο σκεπτικό κατά τη συμπλήρωση κελιού. Σε κάθε περίπτωση, το παιχνίδι ξεκινάει από την αρχή! Μοναδική ελπίδα, το λάθος να συνέβη σε πρόσφατο χρόνο και ενδεχομένως να θυμόμαστε (ή να προνοήσαμε…), άρα να διορθώσουμε. ∆ιαφορετικά, η αλλαγή ενός "λάθος" αριθμού με τον "σωστό" και η "κίνηση με την όπισθεν" δεν πρόκειται να αποδώσει.

§3. Θέλω ή Πρέπει; Υποτίθεται ότι ο άνθρωπος (ως είδος) πρέπει να λύνει sudoku. Το λένε οι γιατροί! Πρέπει να ασχολούμαστε με κάθε είδους πνευματικά παιχνίδια και γρίφους γιατί κρατάνε τον εγκέφαλο σε εγρήγορση, σε συνεχή λειτουργία. Μέχρι πρόσφατα ξέραμε την ωφέλεια στα πρώτα στάδια της νόσου του

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Αλτσχάιμερ. Πριν λίγο καιρό, ανακοινώθηκαν τα αποτελέσματα έρευνας που αναφέρουν αύξηση της διάρκειας ζωής του εγκεφάλου από 7 ως 14 χρόνια! Ωστόσο, αυτού του είδους ο διδακτισμός δεν ξέρω αν πιάνει πάντα (και ποιος διδακτισμός πιάνει, θα μου πείτε…). Περί ορέξεως… . Και του αστυνόμου Μπέκα του’ χε κόψει ο γιατρός το τσιγάρο! Υπάρχει και η άλλη άποψη, που συνοδεύεται από ερωτηματικό: Γιατί θέλω να λύνω sudoku; Ποια μορφή μαζοχισμού με εξωθεί να τα βάζω με το Γολιάθ; Αφού ξέρω ότι συμμετέχω σε ένα παιχνίδι όπου το καλύτερο αποτέλεσμα είναι η ισοπαλία: αυτός που το κατασκεύασε (άνθρωπος ή Η/Υ) πίνει ξένοιαστος τον (ανατολίτικο) καφέ του (ή κολυμπάει στα κίτρινα ηλεκτρόνιά του) ενώ εγώ ιδρώνω και ξεφυσάω μέχρι να βρω τη λύση που ΑΥΤΟΣ ήδη ξέρει! Υποθέτω: για τη χαρά της πνευματικής νίκης. Έστω κι αν αυτός που νίκησα ήταν ο "άλλος", κοιμισμένος μου εαυτός που τον συναντάω συχνά στο δρόμο αλλά δε θέλω να τον χαιρετάω! Για να τα βάλω με κάτι που με ξεπερνάει, για να πάρω το δικό μου Ευρωπαϊκό, για να ανέβω λίγο ψηλότερα, που λέει κι ο ποιητής. Αυτός είναι και ο λόγος που βαριέμαι, πια, τα εύκολα sudoku. Ζητάω τον προβληματισμό, το μη προφανές. Ίσως και την έπαρση ότι έκανα κάτι που δεν μπορεί να κάνει ο καθένας. Ακόμη κι αν το κάνουν εκατομμύρια άνθρωποι στον κόσμο… Και είναι, φαινομενικά, περίεργο ότι το "νέο" αυτό παιχνίδι βρήκε φανατικούς φίλους σε τούτο τον άλογο πλανήτη. Ας βάλουμε και την παράμετρο του σχεδόν –μηδενικού ελεύθερου χρόνου για τον ιδεατό μέσο άνθρωπο των δυτικών κοινωνιών. Προκαλεί εντύπωση η εικόνα ενός εργαζόμενου

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

που πάει στη δουλειά του με το λεωφορείο και αφαιρείται, λύνοντας sudoku με αποτέλεσμα να κατεβεί σε κάποια από τις επόμενες στάσεις… πόσο μάλλον όταν το παιδί του θα κατεβεί σε μία από τις μεθεπόμενες! Ωστόσο, δεν πρέπει να παραβλέπουμε τις θετικές ιδιαιτερότητες του sudoku: Έχει απλό κανόνα, εύκολη γραμματική και διεθνές αλφάβητο. Με λίγα λόγια, είναι ένα παιχνίδι δημοκρατικό. Κάθε κάτοικος του πλανήτη μπορεί να παίξει sudoku, αρκεί να ξέρει τους αριθμούς από το 1 ως το 9. (∆εν μπορούν να παίξουν, όμως, οι αρχηγοί του G7! Ούτε οι τρεις Χάριτες, ή οι Επτά Σοφοί της αρχαιότητας. Μπορούν, αντιθέτως οι Εννέα Μούσες, οι ∆ώδεκα Απόστολοι, οι σαρανταποδαρούσες κλπ.). Όμως, όπως σε όλες τις δημοκρατίες, όπου όλοι είμαι ίσοι, κάποιοι είναι –πάντα- πιο ίσοι από τους άλλους. Τι εννοώ; ∆εν μπορεί ο καθένας να λύσει το οποιοδήποτε sudoku! Το παιχνίδι, στις απλές του μορφές ακόμη, απαιτεί αυτοσυγκέντρωση και υπομονή. Στα μέτριας δυσκολίας sudoku, χρειάζεται και ικανότητας διατύπωσης συλλογισμών. Στα δύσκολα, ο βασικός εξοπλισμός περιλαμβάνει επιπλέον και προηγμένη ικανότητα ανάλυσης, στέρεη γνώση των τεχνικών, φαντασία και θέληση. Και όλα αυτά σε ένα παιχνίδι που (υποτίθεται πως) σε διασκεδάζει! Ένα δύσκολο sudoku είναι σα μια δύσκολη άσκηση γεωμετρίας: ξέρεις όλες τις προτάσεις που αφορούν τα επιμέρους στοιχεία του προβλήματος, αυτό όμως δε σημαίνει ότι τελικά θα το λύσεις. Συμπερασματικά, είναι προφανές ότι, άνθρωποι με θετικό τρόπο σκέψης –όχι απαραίτητα μαθηματικοί…- έχουν ένα σημαντικό προβάδισμα, λόγω, ας πούμε, βελτιωμένου κινητήρα.

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

§4. Πόσες λύσεις; Είναι, νομίζω, το κατάλληλο σημείο για να ξεκαθαρίσουμε δύο πράγματα: 1. Κάθε sudoku που σέβεται τον εαυτό του και την κοινωνία πρέπει να έχει μοναδική λύση. ∆ιαφορετικά η λύση του απαιτεί τύχη. Έτσι δεν εξασκεί τη λογική σκέψη αλλά μάλλον την παραλύει. Κι είναι τόσο άδικο! Σκεφτείτε λίγο τον εαυτό σας: κοπιάσατε να τελειώσετε τη ρημάδα τη σχολή, δώσατε αμέτρητες εξετάσεις για να διοριστείτε στο ∆ημόσιο (με δέλτα κεφαλαίο!), ή, ίσως, να στήσετε την επιχείρησή σας, το γραφείο, το σουβλατζίδικό σας κλπ κι έρχεται τώρα ο γιος του Μητσάρα, χρόνιος τεμπελχανάς και αποτυχημένος (με οποιαδήποτε σημασία της λέξης) να μοστράρει την Πόρσε που πήρε με τα λεφτά του Τζόκερ δίπλα στο κάρο σας! Τόσο άδικο, ξαναλέω! Τέλος πάντων. Όλες οι θεωρίες περί αύξησης της διάρκειας ζωής του εγκεφάλου για όσους ασχολούνται με πνευματικά παιχνίδια, θα αφορούν τα υπόλοιπα πνευματικά παιχνίδια. Τα sudoku που έχουν περισσότερες από μία λύσεις, όπως και τα αδύνατα sudoku μας στέλνουν στον άλλο κόσμο (λίγο) νωρίτερα απ’ το κανονικό! 2. Η μοναδική λύση του (αξιοπρεπούς) sudoku θα πρέπει να προκύπτει με τη λογική και μόνο. Αυτός ο όρος αποκλείει μεθόδους όπως δοκιμές τύπου trial and error (∆ΟΚΙΜΗ ΚΑΙ ΠΛΑΝΗ στα ημεδαπά). Αν κάποιο κελί είναι δυνατό να συμπληρωθεί από δύο μόνο διαφορετικούς αριθμούς (προτείνουν κάποιοι να) συμπληρώνουμε τυχαία κάποιον από τους

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

δύο, μαρκάροντας τα επόμενα κελιά, έτσι ώστε, σε περίπτωση λάθους, να επιστρέψουμε και να συμπληρώσουμε τον άλλο, "σωστό" αριθμό. Και να οι ενστάσεις μου: • Κάποιος που ξεκινά με τέτοια λογική, σπάνια ολοκληρώνει το πλέγμα. Υπάρχει πιθανότητα 50% να επιλέξεις το σωστό αριθμό από τους δύο πιθανούς. Κάθε φορά που ξανακάνεις το ίδιο (τυχαία επιλογή από δύο πιθανούς αριθμούς για ένα κελί), μειώνεις την πιθανότητα να ολοκληρώσεις σωστά στο μισό! Έτσι, αν κάποιος συμπλήρωσε τρία διαφορετικά κελιά με αυτό τον τρόπο, έχει μόλις 1/8 πιθανότητα να ’χει πετύχει και τις τρεις φορές (προς το παρόν, κιόλας!) Πρέπει να’ χει Άγιο για να βρει τη λύση. • Ποιος μας βεβαιώνει ότι το λάθος, αν υπάρξει, θα εμφανιστεί σύντομα; Όσο ανεβαίνουμε επίπεδο δυσκολίας, τα sudoku γίνονται πιο μυστικά. Φαντάζεστε να φανεί το λάθος λίγο πριν την ολοκλήρωση; • Τι είδους ευχαρίστηση μπορεί να νιώσει όποιος, με τη βοήθεια του Θεού, ολοκλήρωσε το παιχνίδι με τέτοιο τρόπο; Αυτή η "μέθοδος" –που δυστυχώς προτείνεται από μερικούς και στη χώρα μας- ακυρώνει την αξία του. (Ας ρωτήσουμε, όμως και το γιο του Μητσάρα!) Είναι, επομένως, αυτονόητο ότι όλα τα sudoku αυτού του βιβλίου έχουν μοναδική λύση, η οποία προκύπτει με την κοινή (και σπάνια) λογική. Οποιοδήποτε πλέγμα δείτε εδώ είναι ελεγμένο ως προς τις δύο αυτές παραμέτρους (ISO ΛΟΓΙΚΗΣ!) Μοναδική, σκόπιμη, ατέλεια, τα μικρά παραδείγματα που συνοδεύουν τις τεχνικές λύσης καθώς και οι αντίστοιχες

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ερωτήσεις. Εδώ θα δείτε κουτσουρεμένα sudoku, όπου λείπουν τετράγωνα ολόκληρα ή κελιά. Αλλά αυτό ήταν απαραίτητο: κάθε τεχνική είναι σαν θεώρημα, δηλαδή οφείλει να είναι λιτό στη διατύπωσή του, "αφαιρετικό" και να αναφέρεται σε κατάσταση ιδεατής απλότητας, που αποκλείεται να συναντήσει κανείς στην πραγματικότητα. Ακόμη κι έτσι πάντως, σε καμία περίπτωση οι δοσμένοι αριθμοί δεν αντιφάσκουν μεταξύ τους, απλά τα στοιχεία δεν επαρκούν για να συμπληρωθούν όλα τα κελιά.

§5. Να φοράω ρολόι; Μετά τη λύση αρκετών sudoku, είναι προφανές ότι ο οποιοσδήποτε παίκτης έχει εξοικειωθεί με τις τεχνικές που απαιτούνται για την ολοκλήρωση. Η εμπειρία συσσωρεύεται είτε το θέλουμε είτε όχι. Και επομένως το ερώτημα δεν είναι αν θα λύσει ένα π.χ. μέτριας δυσκολίας sudoku, αλλά σε πόσο χρόνο. Έπεσα κι εγώ στην παγίδα αυτή, να προσπαθώ να τα βάλω μαζί του. Και δεν το συνιστώ. Ακόμη κι αν οι συλλογισμοί μας είναι σωστοί, είναι πολύ πιθανό, λίγο πριν το τέλος –όταν τα λευκά κελιά που απομένουν είναι ελάχιστα– να καταληφθούμε από την άγρια χαρά της επερχόμενης "νίκης" και, πάνω στη βιασύνη μας, να υπολογίσουμε λανθασμένα τον αριθμό που λείπει στο τελευταίο κενό κελί μιας γραμμής ή στήλης ή τετραγώνου. Το λάθος φυσικά θα φανεί λίγο αργότερα και αντί για τη χαρά της γρήγορης νίκης θα υποστούμε τον οδυνηρό εξευτελισμό του δικαίως ηττημένου!

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μην βιάζεστε, λοιπόν. Καταστρέφετε την απόλαυσή σας που είναι το μοναδικό ζητούμενο και αυξάνετε την πιθανότητα λάθους. Αν θέλετε να θέσετε κάποιο εμπόδιο στον εαυτό σας, αυτό ας μην είναι ο χρόνος. Καλύτερα να ασχοληθείτε με παιχνίδια μεγαλύτερου βαθμού δυσκολίας από αυτά που λύνατε μέχρι τώρα. Ή προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε πιο σύνθετες τεχνικές. Ή, πάλι, ανακαλύψτε νέες, δικές σας.

§6. Μολύβι ή στυλό; Τα τελευταία οχτώ χρόνια της ζωής μου είχα μόνο ένα μολύβι. ∆εν το χρησιμοποιούσα ποτέ και θα το είχα πετάξει αν δεν ήταν δώρο. Τελικά το πέταξα! Ήταν, πια, τόσο μικρό που δεν μπορούσα να το κρατήσω. Μετά το κόλλημα με τα sudoku, έχω μια μικρή συλλογή από διάφορα μολύβια, κλασσικά, μηχανικά ακόμη κι από το ΙΚΕΑ! Κυκλοφορεί η άποψη πως ένας καλός λύτης sudoku είναι σίγουρος για τους αριθμούς που συμπληρώνει, επομένως πρέπει να χρησιμοποιεί στυλό (για να διαδηλώνει τη σιγουριά του προφανώς, ή-και να μπαίνει στο μάτι των ταλαίπωρων με τα μολυβάκια). Αυτή η σιγουριά δεν υπάρχει πάντα όμως. Στα δυσκολότερα sudoku, δεν είμαστε εκ των προτέρων βέβαιοι για όλους τους αριθμούς. Για παράδειγμα στις τεχνικές των ζευγών ή των τριάδων που θα δούμε αργότερα διεξοδικά, "δεσμεύουμε" δύο ή τρία κελιά για τρεις συγκεκριμένους αριθμούς, χωρίς να ξέρουμε εκείνη τη στιγμή ποιος –μπαίνει πού. Αργότερα το τοπίο θα ξεκαθαρίσει, αλλά μέχρι τότε χρειαζόμαστε το μολύβι για να σημειώσουμε στο κελί αυ-

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

τούς τους πιθανούς αριθμούς, τους άξιους να καθίσουν στο θρόνο του. Σε ακόμη δυσκολότερα sudoku, θα χρειαστεί να μαρκάρουμε αρκετά κελιά, για να ανακαλύψουμε μηπροφανείς συσχετισμούς μεταξύ των αριθμών. Επιπλέον το γράψιμο με μολύβι μας επιτρέπει, αν ξεμείνουμε από άλυτα sudoku (πράγμα απίθανο σήμερα), να σβήσουμε κάποιο από τα λυμένα και να ξαναπαίξουμε! Είναι απαραίτητο, λοιπόν, το μολύβι. Αυτό που μπορούν να κάνουν οι επιδειξίες είναι να πετάξουν τις γομολάστιχες!

§7. Από Η/Υ ή όχι; Υπάρχουν δύο είδη sudoku, τα χειροποίητα και τα κατασκευασμένα από Η/Υ. Τα χειροποίητα έχουν κάποια σαφή πλεονεκτήματα: ο κατασκευαστής τους έχει λάβει υπ’ όψιν του τις δυνατότητες του μέσου ανθρώπινου εγκεφάλου (αχ, αυτός ο "μέσος άνθρωπος" …) και έχει σταθμίσει τις δυσκολίες που θα αντιμετωπίσει ο λύτης κατά την προσπάθειά του. Ακόμη έχει φροντίσει (με τη διάταξη των δοσμένων αριθμών) αφενός για την οπτική ικανοποίηση του λύτη –οι αριθμοί είναι συνήθως τοποθετημένοι συμμετρικά- αφετέρου για τη μέγιστη δυνατή απόλαυση κατά τη διάρκεια της λύσης. Τα γνωστότερα χειροποίητα sudoku είναι τα εξαιρετικά των εκδόσεων Nicoli, που κυκλοφορούν και στη χώρα μας από τις εκδόσεις ΣΑΒΒΑΛΑΣ, και φυσικά συνιστώ ανεπιφύλακτα. Ο ιαπωνικός εκδοτικός οίκος Nicoli κυκλοφόρησε πρώτος τα sudoku στη μορφή που τα ξέρουμε σήμερα.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Είναι δεδομένο ότι τα παιχνίδια που κατασκευάζονται από πρόγραμμα Η/Υ, όπως εκείνο που κατασκεύασε ο Νεοζηλανδός συνταξιούχος δικαστής W. Gould –και έγινε η αφορμή για την παγκόσμια αυτή μανία- δεν μπορούν να λάβουν υπ’ όψιν τους τέτοιες παραμέτρους. Ακόμη, είναι αληθές ότι τα πολύ δύσκολα sudoku που έχουν τη δυνατότητα να παράγουν τέτοια προγράμματα ξεφεύγουν από τα όρια της υπομονής αλλά και ευφυΐας του "μέσου λύτη". (Αναρωτιέμαι, όμως: είναι τόσο κακό αυτό;) Τα sudoku από υπολογιστή έχουν κι αυτά τα δίκια τους: Είναι αμέτρητα, καθώς το πρόγραμμα μπορεί να κατασκευάζει συνεχώς διαφορετικά. Είναι δωρεάν, αφού όποιος έχει πρόσβαση στο Internet μπορεί να παίξει όσα θέλει (είτε on line είτε τυπώνοντάς τα). ∆ώστε τη λέξη sudoku σε μια μηχανή αναζήτησης όπως το Google και θα εκπλαγείτε. Επιπλέον, το πρόγραμμα που ανέφερα (μπορείτε, και αξίζει να το αγοράσετε από τη διεύθυνση sudoku.com με λιγότερα από 15 ευρώ) σας δίνει τη δυνατότητα να περάσετε σε κενό πλέγμα αριθμούς σε όποιες θέσεις θέλετε και ελέγχει την λογική συνέπειά του, δηλαδή κατά πόσο: • •

τα νούμερα που δόθηκαν επαρκούν για να λύνεται η (μοναδική) λύση προκύπτει αυστηρά με τη λογική

Έτσι, μπορείτε: • • •

να κατασκευάσετε δικά σας sudoku να ελέγχετε ως προς την λογική πληρότητα όσα βρίσκετε από διάφορες πηγές να βλέπετε το βαθμό δυσκολίας και τη λύση τους

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Τέλος, το πρόγραμμα αυτό σας επιτρέπει να παίρνετε βοήθεια από τον υπολογιστή, δηλαδή σας συμπληρώνει όποιο κενό κελί σας ταλαιπωρεί. Τα προτεινόμενα sudoku αυτού του βιβλίου προέρχονται από το websudoku.com, το πιο δημοφιλές site για sudoku (περιέχει δισεκατομμύρια παιχνίδια κάθε επιπέδου δυσκολίας) και είναι επιλεγμένα αλλά και εγγυημένα ως προς τους όρους που θέσαμε: μοναδικότητα λύσης- με κοινή λογική. Τελικά, χειροποίητα ή από Η/Υ; Αρνούμαι το δίλημμα, είναι όλα τους παιδιά μου! Είναι σαν την ερώτηση κατά πόσο τα μυθιστορήματα του (θρυλικού) Γιάννη Μαρή είναι λογοτεχνία ή αν ο (μοναδικός) Αργύρης Μπακιρτζής είναι τραγουδιστής. Ναι, είναι λογοτεχνία και ναι, είναι τραγουδιστής!

§8. Σημειώσεις (Μαρκαρίσματα) Έχουμε μπροστά μας ένα νέο sudoku για λύση. Ξεκινάμε, συμπληρώνουμε κάποια κελιά και σταματάμε. Τελείωσαν τα προφανή –τα οποία, βέβαια, ποικίλουν ανάλογα με την αντίληψη και την εμπειρία κάθε λύτη- και αρχίζουν οι σκέψεις και τα πιθανά γεμίσματα κελιών: το 1 δεν μπορεί να μπει σε κάποια κελιά του τάδε τετραγώνου, άρα μπαίνει σε κάποιο από τα υπόλοιπα. Σε ένα ακριβώς από τα υπόλοιπα. Σε ποιο όμως; Μπορούμε να σημειώσουμε με το μολύβι στις δυνατές θέσεις-κελιά τον αριθμό 1, χρησιμοποιώντας μικρό ψηφίο στην πάνω αριστερά γωνία του κελιού:

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

1 4 7

Έτσι, το 3×3 τετράγωνο μπορεί να γίνει κάπως έτσι:

1467

467

147

Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος σημειώσεων, που απαιτεί λιγότερο χώρο μέσα στο κελί αλλά είναι λίγο επικίνδυνος: αντί για αριθμούς, τοποθετούμε κουκκίδες, σε θέσεις που καθορίζονται από την αντιστοιχία:

3 6 9

∆ηλαδή για το τετράγωνο που είδαμε πριν, θα είχαμε με αυτόν τον τρόπο: . . .

αν υποθέσουμε πως στα τρία κελιά της μεσαίας στήλης δεν επιτρέπεται να μπει το 1, επειδή υπάρχει ήδη 1 σε κάποιο από τα υπόλοιπα κελιά της. Φυσικά, ανάλογη δουλειά μπορεί να γίνει και για τους άλλους αριθμούς που λείπουν από το τετράγωνο. Ας πούμε ότι ελέγξαμε και τους 4, 6 και 7. ∆είτε τι –ίσως- βρήκαμε:

2 5 8

. . .

. .

. . . . . . .

Νομίζω πως είναι φανερό γιατί η μέθοδος αυτή είναι επικίνδυνη: χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή τόσο στην κωδικοποίηση αριθμός →θέση κουκκίδας, όσο και στην αποκωδικοποίηση θέση κουκκίδας→αριθμός. Τα μαρκαρίσματα είναι χρήσιμα αλλά πρέπει να χρησιμοποιούνται με φειδώ. Στα εύκολα και μέτρια sudoku, τα πράγματα είναι απλά: δεν χρειάζεστε σημειώσεις. Η επίκληση των δύο βασικών μεθόδων που θα δούμε μαζί, αρκεί. Στα δύσκολα sudoku, οι σημειώσεις είναι απαραίτητες. Έχοντας όμως πρώτα χρησιμοποιήσει όλες τις μεθόδους, ώστε να αποκλείουμε για κάθε κελί περισσότερους αριθμούς από τους προφανείς. ∆ιαφορετικά, δε θα βγαίνει άκρη. Θα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

είναι τα κελιά του sudoku μας φορτωμένα σημειώσεις και θα συγχέουμε τα γεμισμένα κελιά με τα "προς γέμιση", αν μου επιτρέπεται η έκφραση. Οι σημειώσεις (πρέπει να) βοηθάνε να δούμε αόρατες σχέσεις μεταξύ κελιών-αριθμών, να βρούμε αποκλειστικές θέσεις για ζεύγη ή τριάδες αριθμών, να αποφασίσουμε ποια αρχική υπόθεση θα κάνουμε στη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο… Φίλοι μου, τα πράγματα θα ζορίσουνε!

§9. Βαθμός ∆υσκολίας Κάθε sudoku, από όποια πηγή κι αν προέρχεται, συνοδεύεται από το βαθμό δυσκολίας του. Η ταξινόμηση και η τοποθέτησή του σε κάποια βαθμίδα της κλίμακας ποικίλει ανάλογα με τον κατασκευαστή και τις υποθέσεις που κάνει για τη "μέση ευφυΐα". Υπάρχουν και προγράμματα που εκτιμούν το βαθμό δυσκολίας, μετρώντας το πλήθος των κενών κελιών, αυτών που συμπληρώνονται εύκολα και των υποθέσεων που πρέπει να γίνουν για να φτάσει κανείς στη λύση (πηγή: wikipedia.com). Ακόμη κι έτσι το ζήτημα παραμένει υποκειμενικό. Αλλά σε οποιαδήποτε ταξινόμηση θα πρέπει να υπάρχουν ΕΥΚΟΛΑ sudoku, που λύνονται από τον καθένα που έχει κατανοήσει τους κανόνες του παιχνιδιού και ∆ΥΣΚΟΛΑ sudoku, που θα ταλαιπωρήσουν και τον έμπειρο λύτη. Κάπου ανάμεσα, υπάρχει χώρος για τα ΜΕΤΡΙΑ sudoku: με αυτά, ο μεν άπειρος παίκτης θα κουραστεί για να τα λύσει, ο δε έμπειρος θα χαμογελά. Κάπως έτσι.

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Το πρόγραμμα από το sudoku.com έχει και άλλες κατηγορίες: ΠΟΛΥ ΕΥΚΟΛΑ και ΠΟΛΥ ∆ΥΣΚΟΛΑ. Τα τελευταία απαιτούν ικανότητες –τις γνωστές…- σε υπερθετικό βαθμό. ∆εν έχω τύχει ισάξιας δυσκολίας πουθενά αλλού. Από την άλλη, στα άλυτα sudoku αυτού του βιβλίου θα δείτε και την κατηγορία EVIL: είναι, μεν, δύσκολα αλλά όμορφα και θα σας εξασκήσουν σε προχωρημένες τεχνικές και σκέψεις. Μπορεί να πετύχετε και DEVIOUS ή FIENDISH (αρνούμαι να μεταφράσω κακά λόγια!) στο Internet ή αλλού. Είναι δύσκολα αλλά πολλές φορές δεν είναι συμβατά, δηλαδή δεν πληρούν τους δύο βασικούς όρους που θέσαμε. Πάντως ό,τι πιο δύσκολο βρείτε στο βιβλίο αυτό θα είναι λυμένο. Προτίμησα να αφήσω στον κατασκευαστή το δικαίωμα να προσδιορίσει μόνος του το βαθμό δυσκολίας των άλυτων sudoku του βιβλίου και να διαιρέσω τις τεχνικές επίλυσης που θα σας αναλύσω σύμφωνα με τη δική μου εμπειρία και κρίση ως λύτη. Έτσι πρόσθεσα και τη δική μου νότα στο γενικό μπάχαλο αποτίμησης δυσκολίας! Όμως ο αναγνώστης που έχει ψάξει σε διάφορες πηγές θα με θυμηθεί: πόσες φορές ένα –αυτοχαρακτηριζόμενο- "μέτριο" sudoku δεν αποδείχτηκε χειρότερο από ένα "δύσκολο"! Κυκλοφορεί ένας μύθος στον κύκλο των νεοασθενών του παιχνιδιού: ότι όσα περισσότερα κελιά, από τα 81, δίνονται εξαρχής τόσο ευκολότερο γίνεται το sudoku. ∆είτε μερικά αντιπαραδείγματα που κατασκεύασα:

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

4 3

2 5

5 6

7 1

3 5

1 8

5 9 7

8 2

4 9

6 5

4 5

9 6

5 6

4 5

3 7

4 1

3 1

3 4

3 2

Παρατηρείστε ότι έχουν δοθεί ήδη 54 κελιά από τα 81: Και μετά προσπαθήστε να το λύσετε (χε χε χε…). Το εντυπωσιακό εδώ είναι ότι όποιος επιπλέον αριθμός και να δοθεί υποβιβάζει το παιχνίδι σε πολύ εύκολο! ∆είτε τώρα τα επόμενα τρία sudoku:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

9 7

2 9

3 4

4 5 5

5 5

9 3

Προφανώς και τα τρία έχουν την ίδια λύση αλλά δείτε διαφορά ταξινόμησης: Το πρώτο είναι ΕΥΚΟΛΟ, το δεύτερο ΜΕΤΡΙΟ και το τρίτο ∆ΥΣΚΟΛΟ! Και με τι διαφορά στα δοσμένα νούμερα; Σε σχέση με το πρώτο, στο δεύτερο λείπουν μόνο οι αριθμοί 6 και 1 της 1ης γραμμής ενώ στο τρίτο μόνο οι αριθμοί

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

7 και 9 της 1ης γραμμής! Θα τα λύσουμε στις ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΛΥΣΗΣ και τα τρία, αναλυτικά, ως παραδείγματα. Εννοείται: με εντυπωσιακά διαφορετικό τρόπο. Τέλος, δείτε και τα επόμενα δύο: 2

9 2 5

8 6

1 3

8 6

5 4

9 2 5

8 6

1 3

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Η μοναδική τους διαφορά είναι ότι στο δεύτερο δεν έχει δοθεί ο αριθμός 2 στο κεντρικό 3×3 τετράγωνο! Το δεύτερο είναι δύσκολο, ίσως το δυσκολότερο του βιβλίου και θα το λύσουμε όταν θα έχουμε εξοικειωθεί με όλες τις τεχνικές. Το πρώτο είναι μέτριας δυσκολίας και αφήνεται ως άσκηση για το σπίτι! Πριν κλείσουμε την εισαγωγή, σας χρωστάω τη λύση του γρίφου της §1: Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ ∆είτε το κελί ∆. Αν μπει σ’ αυτό ένας αριθμός, π.χ. το 5, τότε ο επόμενός του, το 6, μπαίνει μόνο στο κελί Ζ. Έτσι, ο προηγούμενος τού 5, το 4, δεν έχει θέση για να μπει, αφού στα υπόλοιπα κελιά θα γειτονεύει με το 5! Φαινομενικά δεν υπάρχει λύση, αφού όποιον και να βάλουμε –αντί του 5- στο κελί ∆, ο επόμενός του θα βολεύεται στο Ζ, κι ο προηγούμενός του πουθενά.( Αντίστοιχο πρόβλημα υπάρχει και στη συμπλήρωση του κελιού Ε). Παίζουν, όμως, κι οι αριθμοί 1 και 8. Το 1 έχει μόνο επόμενο αριθμό, το 2, ενώ το 8 μόνο προηγούμενο, το 7. Αυτοί οι δύο αριθμοί θα καταλάβουν τα κελιά ∆, Ε. ∆είτε μία λύση –υπάρχουν και συμμετρικές της:

8 8

5 4

2 9

3 1 4

5 8 6

Κάπου εδώ, η (μακροσκελέστατη) αυτή εισαγωγή ολοκληρώθηκε. Καιρός για δουλειά!

Ο Ι Τ ΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

έχουμε αριθμήσει τα εννέα τετράγωνα. ∆εν έχουμε τοποθετήσει όλα τα χωρίσματα που δημιουργούν τα κελιά: φανταστείτε ότι το τετράγωνο (1) –και όμοια όλα τα υπόλοιπααποτελείται από 9 κελιά που απλώς δεν σχεδιάστηκαν. Για να δηλώσουμε συγκεκριμένο τετράγωνο από τα εννέα, θα χρησιμοποιούμε τα εξής ονόματα:

§1.Ορολογία

πως κάθε επιστήμη, έτσι και η δική μας (!) χρειάζεται το δικό της ειδικό λεξιλόγιο. Σε όλο το υπόλοιπο βιβλίο θα χρησιμοποιούμε κάποιες συγκεκριμένες λέξεις για να χαρακτηρίσουμε σύντομα ό,τι μας ενδιαφέρει. Επιδιώκουμε απλή ονοματολογία και σύντομη. Οπωσδήποτε όμως ο αναγνώστης θα πρέπει να εξοικειωθεί μαζί της για να παρακολουθήσει απρόσκοπτα ό,τι ακολουθήσει. Λοιπόν: • Όλο μαζί το πλέγμα των 81 κελιών θα το λέμε sudoku ή παζλ ή παιχνίδι. Sudoku είναι το όνομα του γρίφου (ως είδος) αλλά και κάθε συγκεκριμένου πλέγματος που καλούμαστε να λύσουμε. • Το παζλ διαιρείται σε μικρότερα πλέγματα, διάστασης 3×3. Κάθε τέτοιο πλέγμα θα το λέμε τετράγωνο. Έχουμε, λοιπόν, εννέα τετράγωνα, καθένα από τα οποία απαρτίζεται από εννέα κελιά. • Κάθε ομάδα κελιών που βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στην ίδια στήλη ή στο ίδιο τετράγωνο θα τη λέμε σύμπλεγμα. • Κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα. Είναι ένα κενό παζλ, όπου

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(2): το πάνω τετράγωνο (8): το κάτω τετράγωνο (4): το αριστερά τετράγωνο (6): το δεξιά τετράγωνο (5): το κεντρικό τετράγωνο (1): το πάνω αριστερά τετράγωνο (3): το πάνω δεξιά τετράγωνο (7): το κάτω αριστερά τετράγωνο (9): το κάτω δεξιά τετράγωνο

• Θα χρειαστούμε και την εξής ταξινόμηση για τις ομάδες τετραγώνων: (1), (2), (3): τα πάνω τετράγωνα (4), (5), (6): τα μεσαία τετράγωνα (7), (8), (9): τα κάτω τετράγωνα

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

(1), (4), (7): τα αριστερά τετράγωνα (2), (5), (8): τα τετράγωνα της μεσαίας στήλης (3), (6), (9): τα δεξιά τετράγωνα • Τέλος, θα χρειαστούμε σύμβολα για κάθε κελί ξεχωριστά. ∆είτε το σχήμα που ακολουθεί: Α

∆

1 2 3 4

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

κελιών. Όταν είμαστε σίγουροι ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός μπαίνει σε ένα συγκεκριμένο κελί, θα γράφουμε: (αριθμός)→(όνομα κελιού). Αν δηλαδή σκοπεύουμε να βάλουμε το 3 στο κελί Β8, θα γράψουμε: 3→Β8. • Ακόμη αν δύο αριθμοί καταλαμβάνουν δύο συγκεκριμένα κελιά ενός συμπλέγματος (χωρίς ωστόσο να γνωρίζουμε ποιος αριθμός θα μπει πού) τότε θα γράφουμε: (αριθμοί)→(ζεύγος κελιών). Για παράδειγμα, ας πούμε ότι ανακάλυψα –με κάποιον τρόπο που δεν είναι της παρούσης– ότι οι αριθμοί 3 και 4 θα μπουν στα κελιά Ε5 και Ε8. ∆εν ξέρω ακόμη σε ποιο από τα δύο κελιά θα μπει το 3 ούτε και το 4. Γράφω: 34→(Ε5, Ε8). Στη συνέχεια της λύσης, να είστε βέβαιοι, η αλήθεια θα λάμψει!

6 7 8

7 4

9 Συμβολίσαμε με Α, Β, Γ, …, Ι τις στήλες και με 1, 2, 3, ..., 9 τις γραμμές του παζλ. Λέγοντας τώρα π.χ. "η στήλη Α" θα εννοούμε την ομάδα των 9 κελιών της: Α1, Α2, … Α9. Έτσι, καθένα από τα 81 κελιά του sudoku αποκτάει τις συντεταγμένες του: μια διαδοχή ενός γράμματος (από τα Α, Β, … Ι) κι ενός αριθμού (από τους 1, 2, …9). ∆είτε ξανά το σχήμα: Στο κελί (ή θέση) Ε4 έχουμε τον αριθμό 5, στο Γ8 το 4 ενώ στο κελί Η7 βρίσκεται ο αριθμός 7. • Τέλος, δυο λόγια για το συμβολισμό του γεμίσματος των

§2. Εύκολα Sudoku Ποια sudoku μπορούν να χαρακτηριστούν ΕΥΚΟΛΑ; Προφανώς όσα λύνονται μόνο με χρήση του απλού κανόνα του παιχνιδιού, χωρίς ιδιαίτερη αυτενέργεια, χωρίς πολύπλοκες σκέψεις, δίχως την επίκληση της φαντασίας. Βέβαια, για όποιον μαθαίνει να περπατάει, κάθε βήμα είναι δύσκολο-και επομένως απαιτεί σκέψη! Μην αισθάνεστε μειονεκτικά αν βρίσκεστε σ’ αυτήν την κατηγορία. Όλοι κάπως ξεκινήσαμε. Ακόμη κι ο Μ. Σουμάχερ κι ο Αλόνσο κάποτε έπαιζαν με συναρμολογούμενα αυτοκίνητα και, ίσως, αργότερα, είχαν ένα μεγάλο "Ν" στο πίσω παρμπρίζ! Ξεκινάμε, λοιπόν, με τις απλούστερες τεχνικές. Έχουμε

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ένα παζλ μπροστά μας και θέλουμε να το συμπληρώσουμε. Από πού να αρχίσουμε;

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Φανταστείτε τώρα να υπήρχαν περισσότερα 1 στο παζλ. Είναι φανερό ότι αποκλείονται περισσότερες θέσεις για το 1: Α

1. ΣΑΡΩΣΗ (ΣΚΑΝΑΡΙΣΜΑ) Ο κανόνας του παιχνιδιού είναι απλός: σε κάθε σύμπλεγμα (γραμμή, στήλη, τετράγωνο) πρέπει να βρίσκονται οι αριθμοί 1, 2, 3…, 9. Όλοι και επομένως από μία φορά. Αρχίζουμε από τον αριθμό 1. Οπουδήποτε βρίσκεται στο παζλ κάποιο 1, "διαγράφει" όλα τα κελιά της γραμμής, της στήλης και του τετραγώνου του, υπό την έννοια ότι σε όλα αυτά τα κελιά αποκλείεται να μπει 1 (ξανά). ∆είτε το παρακάτω σχήμα: Α

∆

1 2

3 4 5 6 7 8 9

Τα σκιασμένα κελιά είναι θέσεις όπου αποκλείεται να μπει 1, διότι θα παραβίαζε τον κανόνα του παιχνιδιού. Κι όλα αυτά από το 1 που βρίσκεται στο κελί ∆1!

∆

2 3 4

1 1

5 6 7 8 9

Παρατηρούμε ότι, στο κεντρικό τετράγωνο, υπάρχει μοναδική ελεύθερη θέση για το 1. Πράγματι, όλα τα υπόλοιπα κελιά του τετραγώνου είναι θέσεις αποκλειόμενες για το 1, για τον ένα ή τον άλλο λόγο. Κι επειδή το 1 πρέπει να υπάρχει σε κάθε τετράγωνο, συμπεραίνουμε ότι 1→Ε6 (δηλαδή: το 1 θα μπει στο κελί Ε6). Πώς καταλήξαμε σ’ αυτή τη βεβαιότητα; Αποκλείοντας τα υπόλοιπα κελιά από την υποψηφιότητα να φιλοξενήσουν το 1. Κι έτσι, απέμεινε μόνο μία θέση για το 1, το οποίο πρέπει να εμφανιστεί στο κεντρικό τετράγωνο, όπως και σε όλα τα υπόλοιπα. Όπως και σε κάθε γραμμή και στήλη. Από μία φορά! Ο αποκλεισμός είναι το σημαντικότερο εργαλείο στο sudoku:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• Αποκλείουμε (με διάφορους τρόπους) τη δυνατότητα να μπει ένας συγκεκριμένος αριθμός στα 8 από τα 9 κελιά ενός συμπλέγματος και συμπεραίνουμε ότι μπαίνει στο ένατο κελί (όποιο έμεινε κενό). • Αποκλείουμε τη δυνατότητα να μπουν σε ένα συγκεκριμένο κελί οι 8 από τους 9 αριθμούς (από τους 1, 2, …, 9) και συμπεραίνουμε ότι μπαίνει ο ένατος αριθμός (όποιος απέμεινε). Για να επιστρέψουμε στη βασική τεχνική μας και να συστηματοποιήσουμε τη διαδικασία αποβολής κελιών για έναν αριθμό: Εντοπίζουμε τις θέσεις του παζλ όπου εμφανίζεται ο αριθμός 1. Στη συνέχεια διαγράφουμε νοητά όλα τα κενά κελιά κάθε γραμμής στην οποία βρίσκεται κάποιο 1.Αυτά, είναι θέσεις όπου δεν μπορεί να μπει το 1. Εφόσον με αυτή την εικονική διαγραφή, απομείνει σε κάποιο από τα τετράγωνα (που δεν έχουν ήδη το 1 τους) μόνο ένα κενό κελί, τότε είμαστε βέβαιοι ότι εκεί θα μπει ο αριθμός 1. ∆είτε μερικές ευνοϊκές (ή όχι) περιπτώσεις:

1 5

6 1

Στο μεσαίο τετράγωνο, το 1 μπαίνει ανάμεσα στο 5 και το 6.

1 3 6

4 2

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Στο αριστερά τετράγωνο, το 1 μπαίνει δεξιά από το 2. Στη συνέχεια, διαγράφονται τα υπόλοιπα κελιά της τρίτης γραμμής (από υποψήφιες θέσεις για το 1), οπότε το 1 του δεξιά τετραγώνου θα μπει ανάμεσα στο 8 και το 9!

1 7

2 3

3 5 6

Λυπάμαι, αλλά εδώ δε βγαίνει άκρη!

Υπάρχουν από τρία πιθανά κελιά σε κάθε τετράγωνο (μεσαίο-δεξιά) όπου μπορεί να μπει το 1. Αλλά ποιο είναι το σωστό; ∆εν μπορούμε να ξέρουμε και επομένως δε συμπληρώνουμε στην τύχη. Η διαδικασία που ακολουθήσαμε είναι η σάρωση (ή σκανάρισμα) κατά γραμμές. Ανάλογο σκανάρισμα μπορούμε να κάνουμε κατά στήλες, διαγράφοντας νοητά τα κελιά κάθε στήλης στην οποία υπάρχει κάποιο 1: Το 1 του κάτω τετραγώνου θα μπει στο μεσαίο κελί της τελευταίας γραμμής, κάτω από το 6.

1 4 6

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

Και για να εκμεταλλευτούμε πλήρως την τεχνική αυτή, σαρώνουμε κατά γραμμή και στήλη ταυτόχρονα:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

1 8

8 9

1 5 9

(1)

(8)

(9)

4 9

4 1 3

Στο κάτω αριστερά τετράγωνο, το 1 μπαίνει δεξιά του 4, ενώ στο πάνω δεξιά τετράγωνο, μπαίνει δεξιά του 9. [Ελπίζω να μη σας ξενίζει το ότι στα παραδείγματα που χρησιμοποιώ, δεν δίνω ολόκληρο παζλ. Αλλά το είπαμε: κάθε τεχνική, πρέπει να εκφράζεται στο απλούστερο δυνατό περιβάλλον]. Έχοντας ολοκληρώσει στο παζλ τη σάρωση για το 1, συμπληρώνοντας μόνο όσα κελιά είναι "ασφαλή", συνεχίζουμε με σάρωση για το 2, το 3, … μέχρι το 9. Επειδή στην πορεία από το αρχικό παζλ μέχρι το τέλος της σάρωσης προέκυψαν κάποια στοιχεία, δηλαδή συμπληρώθηκαν κάποια κελιά, θα χρειαστεί και δεύτερη σάρωση, για όλους τους αριθμούς. Και τρίτη και τέταρτη… εφόσον ανακαλύπτουμε τον αριθμό για έστω ένα κελί. Τα εύκολα sudoku λύνονται σχεδόν αποκλειστικά με τούτη τη μέθοδο:

Παρατηρήστε το παραπάνω απόσπασμα: ∆εν μπορούμε να βάλουμε πουθενά το 1 ή το 8 με σιγουριά. Όμως με σάρωση για το 9, βάζουμε 9 δεξιά του 4 στο πάνω δεξιά τετράγωνο-το 9 που έχω γράψει μέσα στην παρένθεση. Σε επόμενη σάρωση θα μπει το 8 και σε επόμενη το 1! Και τώρα η σειρά σας. Συμπληρώστε όσα κελιά μπορείτεμε σιγουριά, εννοείται:

7 1 2

5 8

1 8

3 6

4 5

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

9 8

5 1 6

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

7 9

3 3 4

2 9

4 2

7 8 9

3 6 2

8 5

9 7 8 3 4

1 7

8 1

1 8

3 6

4 5

5 6

9 7

6 2

3 4

4 1

9 7

8 1

2 6

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

2. ΥΠΟΛΟΙΠΑ

• Αν λείπει μόνο ένας αριθμός, η συμπλήρωση είναι προφανής. Είναι εύκολο να βρούμε ποιος είναι μετρώντας νοερά από το 1 ως το 9.(Προσοχή στους βιαστικούς!) Για παράδειγμα, στη γραμμή:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Έστω ότι λείπουν σε μία γραμμή οι αριθμοί 2 και 9:

Στην περιγραφή αυτής της, απλής και αυτονόητης-στα πρώτα της βήματα –τεχνικής, θα αναφέρομαι σε γραμμές του παζλ. Ό,τι όμως πω, εξακολουθεί να ισχύει και για τις στήλες και για τα τετράγωνα. Όταν, λοιπόν, σε κάποια γραμμή του παζλ είναι τοποθετημένοι κάποιοι αριθμοί σε ορισμένα κελιά, είναι φανερό ότι στα κενά κελιά της θα πρέπει να μπουν οι υπόλοιποι αριθμοί (από τους 1, 2, ... 9). Έτσι, βλέποντας τους συμπληρωμένους, βρίσκουμε εύκολα ποιοι λείπουν και αναρωτιόμαστε ποιος θα μπει σε κάθε συγκεκριμένο κενό κελί:

ο αριθμός που θα μπει στο άδειο κελί είναι το 5. • Αν λείπουν δύο αριθμοί, τότε, αφού τους εντοπίσουμε, ελέγχουμε τις στήλες και το τετράγωνο όπου βρίσκονται τα αντίστοιχα κενά κελιά. Είναι πιθανό να συναντήσουμε τον ένα από τους δύο ελλείποντες αριθμούς π.χ. σε μία από τις στήλες των δύο κενών κελιών. Τότε, στο κενό κελί αυτής της στήλης θα τοποθετήσουμε τον άλλο αριθμό.

2 1 1

Στο κελί Β δεν επιτρέπεται να μπει ο αριθμός 2 αφού υπάρχει ήδη σε κελί της στήλης. Έτσι στο κελί Β θα μπει το 9 και στο Α το 2: Έτσι 9→Β και 2→Α:

Ανάλογα στο παρακάτω παράδειγμα, παρατηρούμε ότι λείπουν οι αριθμοί 5 και 6 της γραμμής. Επειδή στο τετράγωνο στο οποίο βρίσκεται το κελί Α, υπάρχει ήδη το 5, θα έχουμε: 6→Α και 5→Β:

5 1

Στην περίπτωση που, ενώ λείπουν δύο αριθμοί της γραμμής, δεν μπορούμε να αποκλείσουμε τον έναν για κάποιο κελί, τότε μπορούμε να σημειώσουμε τους δύο αριθμούς, πάνω

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

Αργότερα η κατάσταση θα ξεκαθαρίσει. Θα εμφανιστεί π.χ. κάποιο 3 σε μία από τις δύο στήλες των "ασαφών" κελιών, οπότε στο κελί εκείνης της στήλης θα θέσουμε το 8 και στο άλλο κενό κελί το 3. • Αν λείπουν τρεις αριθμοί, πάλι διασταυρώνουμε τα αντίστοιχα κενά κελιά με τις στήλες και τα τετράγωνα στα οποία βρίσκονται. Θα είμαστε ευτυχείς αν συμπληρωθεί έστω και ένα από τα τρία κελιά. Πότε μπορεί να συμβεί αυτό; 1η Περίπτωση Μπορεί να αποκλειστεί ο ίδιος αριθμός –από τους τρεις– από τα δύο κελιά. Τότε, αυτός ο αριθμός μπαίνει στο τρίτο κενό κελί. 2η Περίπτωση Μπορεί να αποκλειστούν οι δύο αριθμοί για το ίδιο κελί. Τότε, σε αυτό το κελί, θα μπει ο τρίτος αριθμός. Ας πούμε ότι στη γραμμή μας λείπουν οι αριθμοί 4, 5 και 9:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

1η Περίπτωση

αριστερά στα λευκά κελιά. ∆είτε:

∆είτε πώς θα μπορούσαμε να έχουμε ευνοϊκές συνθήκες:

Το 4 δεν μπορεί να μπει στα κελιά Α και Γ άρα 4→Β. 2η Περίπτωση

4 9 Στο κελί Β δεν μπορεί να μπει ούτε το 4 ούτε το 9, επομένως 5→Β. Είναι, δυστυχώς, σύνηθες να μην μπορεί να προκύψει με ασφάλεια η θέση ούτε ενός από τους τρεις αριθμούς! Αυτό συμβαίνει συχνά στα παζλ μέτριας και μεγάλης δυσκολίας. Κι εκεί όμως έχουμε το κέρδος των σημειώσεων:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Προφανώς, το 4 δεν μπαίνει στο κελί Α ούτε το 5 στο Γ. Απομένουν για κάθε κελί οι υπόλοιποι δύο υποψήφιοι αριθμοί:

Στο κελί Β, όπου και οι τρεις αριθμοί είναι πιθανοί, καλύτερα να μη σημειώσουμε τίποτα. Μόνο στα πολύ δύσκολα sudoku σημειώνω περισσότερους από δύο αριθμούς. ∆ιαφορετικά, το παζλ γεμίζει με ενοχλητικά μικροσκοπικά νούμερα που αποπροσανατολίζουν: από τη σκέψη υποπίπτουμε στην παρατήρηση. • Αν λείπουν τέσσερις ή περισσότεροι αριθμοί της γραμμής, κινούμαστε ανάλογα: εντοπίζουμε ποιοι είναι οι αριθμοί που λείπουν και, έπειτα, διασταυρώνουμε ένα-ένα τα λευκά κελιά με στήλη και τετράγωνο. Είναι πιθανό να ανακαλύψουμε αριθμό για συγκεκριμένο κελί, είτε με την 1η είτε την 2η περίπτωση. Μην παραξενευτείτε αν, εκεί που δεν το περιμένετε, βρείτε ότι απομένει μόνο ένας αριθμός για ένα ανύποπτο κελί:

1 6

2 Α

7 3 Στο κελί Α μπαίνει μόνο ο αριθμός 9!

Κλείνοντας τις δύο βασικές μεθόδους για τα εύκολα sudoku, θα ήθελα να τονίσω ότι είναι χρήσιμο να εναλλάσσετε την εφαρμογή τους: από τη ΣΑΡΩΣΗ στα ΥΠΟΛΟΙΠΑ και αντίστροφα. Η επίλυση ικανού πλήθους παζλ αυτού του βαθμού δυσκολίας, βοηθάει ώστε αφενός να διαβάζει κανείς το πλέγμα πιο ολοκληρωμένα, αφετέρου να αναπτύσσει την ταχύτητά του. Και μια και τα μέτριας δυσκολίας παιχνίδια λύνονται κατά βάση με τις ίδιες τεχνικές είναι μάλλον βέβαιο ότι η πλήξη είναι κοντά! Υπομονή! Θα έρθουν και δύσκολες μέρες! Πριν λύσουμε τρία εύκολα sudoku βήμα προς βήμα, ασχοληθείτε λίγο με τις επόμενες ερωτήσεις:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

1. Στο παρακάτω παζλ, συμπληρώστε τη γραμμή 7. Α 1 2

∆

4 1

3 6

8 9

5 7

3 4

∆

1. • Στη γραμμή 7, λείπουν οι αριθμοί 1, 2, 7 και 9. • Στο κελί Α7 δεν μπαίνει 1, 2, 9 άρα 7→Α7. • Στο Θ7, μπαίνει μόνο 9, από τους 1, 2, 9. • Στο Β7 δε μπαίνει το 1, άρα 2→Β7. • Τέλος 1→Γ7. Α

9 2

∆

Η Θ

7 1 8

5 2 3

3 6 5

8 9

3 1

7 6

∆

7 8

5 6

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

2. Συμπληρώστε επτά κελιά των στηλών ∆, Ε, Ζ. Α

3. Ποιος αριθμός μπαίνει στο κελί Α6;

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

8 9

5 1 3

9 8

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2. Μπορεί να σκεφτεί κανείς με διάφορους τρόπους. • Με σκανάρισμα 1→∆2. • Στη στήλη Ε, λείπουν 2, 4, 7, 8, 9. Στο κελί Ε4 μόνο το 8 μπορεί να μπει. Έτσι 8→Ζ2 και 2→Ε3 για να συμπληρωθεί το πάνω τετράγωνο. • Τώρα, με σκανάρισμα 2→Ζ8, 3→∆5 και 4→Ε7. Α

1 2

3 4 5

7 8

∆

9 1 7 4 3 2

6 5 2 8

3 8 4 1

4 3 1

∆

5 9 4

•

• •

2 7

2 6

8 5

8 6

8 1

4 9

∆

7 2 9

3. Στο κεντρικό τετράγωνο, λείπουν οι αριθμοί 3, 6, 8. Στο δεξιά τετράγωνο, λείπουν οι 3, 5, 6. Τώρα, στο κελί Α6, δε γίνεται να μπουν οι αριθμοί 3 και 6, αφού θα βρίσκονται στα κελιά ∆6, Ε6, Ζ6 (σε δύο από αυτά). Έτσι 5→Α6. Α

Θα λύσουμε τώρα το παρακάτω, εύκολο, sudoku χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της σάρωσης:

ΕΝΑ ΕΥΚΟΛΟ ΠΑΖΛ

5 1

Ξεκινάμε το σκανάρισμα από το 1, για να κρατήσουμε κάποια σειρά στη σκέψη μας και να μην ξεχάσουμε κάποιον αριθμό: Στο δεξιά τετράγωνο, το 1 μπαίνει στο κελί Θ5. Στη συνέχεια, στο μεσαίο τετράγωνο, το 1 μπαίνει στο Ε4. Ακόμη, στο πάνω τετράγωνο 1→∆3. Τέλος, 1→Α2. Τελείωσαν τα 1! Με τα 2, δεν έχουμε ανάλογη τύχη! Ούτε ένα δεν μπαίνει με σιγουριά. Ούτε κάποιο 3 μπορούμε να βρούμε. Πάμε στο 4. Στο πάνω αριστερά τετράγωνο: 4→Γ1. Τίποτε άλλο.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• •

Κανένα συμπέρασμα και για τους 5, 6 και 7! Στο κεντρικό τετράγωνο, βρίσκουμε 8→Ε6 και, ύστερα, 8→Γ4. Με το 9, τίποτα, προς το παρόν. Ας δούμε τι έγινε με την πρώτη σάρωση:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Α 1 2

5 9

4 2

6 5 1

• •

Παρατηρούμε ότι 3→Β5 και 3→Γ8. Έτσι 3→Ι7 και 3→Ζ9. Ακόμη 3→Η4. Τέλος τα 3! Τώρα 4→Θ7 άρα 4→Ι3 και 4→Η6. Πάνε και τα 4! Το 5 μας δυσκολεύει ακόμη! Ωστόσο 6→Α4, άρα 6→Β9, 6→Γ2, 6→Η1, 6→Ι8, 6→Ζ3 και τέλος 6→∆5! Μικρό διάλειμμα:

8 2

7 6

1 5

3 7

2 1

4 5

9 3

1 3

∆

6 8

1 3

1 4

8 3 6 2

Τώρα 7→Ζ7, 7→Α8, 7→Β3, 7→Ι2, 7→Θ9 και τέλος 7→Γ6. Για το 8: 8→Β1, 8→Θ3. Για το 9: 9→Α7, 9→Η8, 9→∆9, 9→Ζ5, 9→Ε2, 9→Θ1 και 9→Ι6. Το παζλ σχεδόν ολοκληρώθηκε:

Έχουν γεμίσει κάποια κελιά οπότε συνεχίζουμε με δεύτερη σάρωση: •

• • •

7 9

4 6

2 7

6 4

1 4

6 8

5 3

∆

3 4

3 1

∆

6 7

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

•

Έχουν απομείνει για τρίτη σάρωση, το 2 και το 5: 2→Α3 (τελευταίος αριθμός του τετραγώνου), 2→Β7, 2→Ε8, 2→∆1 και 2→Η2. Τα υπόλοιπα κενά κελιά Ζ1, Ι4, Α6 και ∆7 συμπληρώνονται με 5. Το παζλ ολοκληρώθηκε και μάλιστα μόνο με σάρωση:

∆

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΑΚΟΜΗ ΕΝΑ ΕΥΚΟΛΟ ΠΑΖΛ Θα λύσουμε ακόμη ένα εύκολο παζλ, ξεκινώντας πάλι με σκανάρισμα. Ωστόσο, αν εμφανιστεί στην πορεία περίπτωση συμπλήρωσης κελιού με προφανή αριθμό, θα διακόπτουμε τη διαδικασία της σάρωσης για να συμπληρώσουμε αυτό το κελί – και όσα ενδεχομένως συμπαρασύρει. Ιδού το sudoku μας:

• •

∆

Κατ’ αρχήν 4→Η9 (για τους 1, 2, 3 δεν βγήκε άκρη). Ακόμη 5→Γ8, 7→Γ5, 7→Ε4. Ακόμη 8→Α7, 9→Ε9 και 9→Ι5. Η πρώτη σάρωση τελείωσε και βρήκαμε μόνο όλα τα 9:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

•

• •

∆

5 9

9 3

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Τώρα είναι φανερό ότι 2→Γ9 οπότε 6→Β7 αφού είναι το τελευταίο υπόλοιπο για το κάτω αριστερά τετράγωνο. Έτσι όμως 6→∆9 και 3→Ζ9 για να συμπληρωθεί η γραμμή 9! Στη γραμμή 7, λείπουν οι αριθμοί 1 και 7. Το 7 δεν μπορεί να μπει στο κελί Ε7 άρα 1→Ε7 και 7→Θ7. Έτσι 7→Ι3 και φυσικά 1→Η8 για να συμπληρωθεί το κάτω δεξιά τετράγωνο. Στη στήλη Ι, λείπει το 3 και το 4. Το 3 δε μπαίνει στο κελί Ι6 άρα 4→Ι6 και 3→Ι4. Στη στήλη Γ, λείπουν οι αριθμοί 4, 6 επομένως 6→Γ1, 4→Γ2. Τώρα, με σκανάρισμα 6→Ε2:

3 9

•

Oλίγη επιπρόσθετη σάρωση: 4→Ε5, 4→Α4. Έτσι 6→Α5 και 6→Θ4.

•

Στη στήλη Α, λείπουν οι 3 και 5 επομένως 3→Α3 (στη γραμμή 6 υπάρχει ήδη 3) και 5→Α6. Τώρα, έχουμε: 3→Β5, 5→∆5 και 5→Β3, 5→Ε1.

•

Η γραμμή 4 συμπληρώνεται με 1→Β4 οπότε 2→Β6 για να ολοκληρωθεί το αριστερά τετράγωνο.

•

Ακόμη 1→Ζ5 (από το κεντρικό τετράγωνο) και 1→Θ6, 1→∆2 με σκανάρισμα. Πλησιάζουμε στην ολοκλήρωση του παζλ. Απέμειναν οι αριθμοί 2, 3, 7, 8:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• • •

∆

8 9

7 6

3 9

Ξεμπερδεύουμε πρώτα με το 3: 3→∆1, 3→Η2. Στη στήλη ∆, προφανώς 7→∆8 άρα 7→Ζ1. Τέλος: 8→Η1, 2→Η5, 8→Θ5, 2→Θ3, 8→Ε3, 2→Ζ2, 8→Ζ8 και 2→Ε8: Α

∆

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Η γνώμη μου είναι ότι τέτοια "άναρχη" συμπλήρωση των κελιών, με διαρκή εναλλαγή των δύο μεθόδων –ανάλογα με το ποια συμφέρει περισσότερο– προσφέρει μεγαλύτερη απόλαυση από τη θρησκευτική προσήλωση στην Αγία Σάρωση. Επιπλέον, κινητοποιεί περισσότερο τον εγκέφαλο –άρα καθυστερεί το Αλτσχάιμερ– είναι ταχύτερη και πιο αποτελεσματική. Προσωπικά, καταφεύγω στο σκανάρισμα μόνο στην αρχή του παζλ ή σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο, όταν δε μπορώ να βρω αριθμό με κανέναν άλλο τρόπο.

ΤΡΙΤΟ ΕΥΚΟΛΟ ΠΑΖΛ Και τώρα θα ασχοληθούμε με μία –την εύκολη– από τις τρεις εκδοχές του παζλ που αναφέραμε στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Προσπαθήστε καλύτερα πρώτα μόνοι σας:

7 1

2 3

∆

6 2

5 6

2 9

7 8 9

5 5

9 3

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• •

Με σκανάρισμα, λοιπόν, βρίσκουμε εύκολα ότι 4→Η3, 5→Ι2, 9→Θ8. Στη γραμμή 1 λείπουν οι αριθμοί 4 και 5 οπότε 4→Ζ1 (γιατί;) και 5→∆1. Με σκανάρισμα: 5→Ζ5 και 5→Γ4. Το παζλ έγινε ήδη:

∆

2 8

2 5

4 9

3 4

9 7

5 2

6 9

5 5

2 8

3 4

6 6

7 5 5

5 5

9 6

4 •

•

∆

•

Α Β

μών, που περιγράψαμε στην τεχνική των υπολοίπων. Ακόμη 6→∆5 και 6→Γ6. Για να ρίξουμε μια ματιά στο πεδίο της μάχης:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Στη στήλη Ι λείπουν τρεις αριθμοί: οι 1, 6 και 7. Στη γραμμή 9 υπάρχουν ήδη οι 6 και 7 άρα 1→Ι9. Έτσι 6→Ι7 και 7→Ι5. Συνέπεια: 7→Ε4. Στη γραμμή 4, θέλουμε να τοποθετήσουμε τους 1, 3, 6. Προφανώς 6→Θ4, αφού το 6 δεν μπορεί να μπει στα άλλα δύο κελιά. Οι άλλοι δύο αριθμοί δεν τοποθετούνται ακόμη αλλά εσείς είδατε ήδη και τις δύο ευνοϊκές περιπτώσεις για την τοποθέτηση τριών ελλειπόντων αριθ-

•

Στη γραμμή 6, λείπουν οι 1 και 8 άρα 1→Ε6 και 8→Η6. Έτσι 8→Θ7 και 2→Η8, για να συμπληρωθεί το κάτω δεξιά τετράγωνο. Οι εξελίξεις τρέχουν: 2→Θ5, 9→Ε5 οπότε 8→Ε3 (συμπλήρωση στήλης Ε). Τέλος 2→∆7, 6→Ζ3, 1→∆3 και 3→∆9. Τώρα, στη στήλη ∆, λείπουν μόνο οι 7 και 9 συνεπώς 7→∆8 και 9→∆2. Από το πάνω τετράγωνο 7→Ζ2. Συνέπειες: 7→Θ3 και 3→Θ2. Το πάνω δεξιά τετράγωνο ολοκληρώθηκε αλλά και το παζλ σιγά-σιγά γεμίζει:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

∆

6 6 9

2 3

5 6

7 8 9

6 5

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

•

Στη γραμμή 3 θέλουμε να βάλουμε το 3 και το 9, επομένως 3→Γ3 και 9→Β3. Στη στήλη Ζ πάλι, λείπουν οι 1, 8 και 9. Καλά τα νέα· βολεύονται όλοι: 9→Ζ9, 8→Ζ8 και 1→Ζ7. Ωραία: 8→Α9, 8→Β2 και 4→Α2.

•

Με σκανάρισμα βρίσκουμε τώρα: 1→Β8, 1→Α5, 1→Η4, (οπότε 3→Η5 για να συμπληρωθεί το δεξιά τετράγωνο) και 3→Β4, 3→Α7. Τέλος, 4→Γ8, 4→Β5, 7→Β7 και 8→Γ5. Μπράβο μας:

ΤΕΣΣΕΡΑ ΕΥΚΟΛΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ Παραδίδω στην κρίση σας τέσσερα εύκολα παζλ, δικής μου κατασκευής. Ακολουθούν οι λύσεις τους.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

1ο Β

7 9

∆

7 5

1 4

2 5

4 4

5 3

∆

2 3

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2ο Α

3 7

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

3ο

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

4ο Α

∆

2 7

4 2

∆

9 6

4 3

1 5

6 9

4 5

3 8

6 7

9 8

3 7

5 3 1

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ

Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

1 2 3

4 5 2

7 6 3

1 8 9

9 4 8

2 3 6

5 7 1

6 2 4

8 9 7

3 1 5

1 2 3

4 9 8

3 2 7

6 5 1

1 4 2

5 3 6

8 7 9

2 1 4

9 6 5

7 8 3

4 5 6

6 9 1

4 8 2

5 7 3

1 6 7

9 5 8

3 2 4

7 1 9

2 3 5

8 4 6

4 5 6

6 2 3

1 5 4

8 7 9

9 8 7

2 4 1

3 6 5

5 9 8

7 3 2

4 1 6

7 8 9

7 8 3

5 9 1

6 2 4

3 5 2

1 4 7

9 6 8

8 3 5

4 1 6

2 7 9

7 8 9

1 5 7

9 6 8

3 2 4

5 3 6

7 8 9

4 1 2

6 7 3

8 4 1

2 9 5

2ο

4ο Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

7 2 5

4 5 9

3 6 7

1 8 2

9 3 6

2 4 8

7 1 5

6 9 1

5 2 3

8 7 4

7 5 1

8 3 6

4 5 6

1 8 2

4 5 9

3 6 7

5 4 8

9 7 1

6 2 3

7 3 4

8 1 6

2 9 5

8 6 2

9 1 4

7 8 9

7 6 3

2 8 1

5 4 9

1 2 7

6 3 5

4 9 8

8 5 2

9 7 4

3 1 6

∆

Ζ Η Θ Ι

1 2 3

1 5 9

2 6 7

3 8 4

6 3 2

4 7 1

5 9 8

8 1 6

9 4 3

4 5 6

2 8 7

3 4 5

1 6 9

4 7 8

5 9 3

6 1 2

9 2 4

7 8 9

3 4 6

1 8 9

2 7 5

5 9 1

6 2 8

4 3 7

7 5 3

∆υσκολεύτηκα να αξιολογήσω τα μέτρια sudoku, δηλαδή να ορίσω το βαθμό δυσκολίας τους ως μέτρο της ικανότητας του λύτη και των απαιτούμενων τεχνικών για την επίλυσή τους. Από την εμπειρία μου, κατέληξα ότι ένα μέτριο sudoku, μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας με υπομονή τις δύο βασικές μεθόδους (σάρωση, υπόλοιπα) των οποίων εναλλάσσουμε συχνά τη χρήση. Μία επιπλέον μέθοδος, η οποία επιπρόσθετα είναι πολύ ευχάριστη στην εφαρμογή της επιταχύνει –ορισμένες φορές εντυπωσιακά– τη διαδικασία:

3. ΚΡΥΦΟΙ ∆ΙΑ∆ΡΟΜΟΙ

1 2 3

Α Β Γ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

§3. Μέτρια sudoku

3ο

1ο

Με τη μέθοδο της σάρωσης ανά αριθμό, εμφανίζεται συχνά το εξής φαινόμενο: ενώ δεν μπορούμε να βρούμε με βεβαιότητα το αποκλειστικό κελί για τον αριθμό σε κάποιο τετράγωνο, ωστόσο οι πιθανές θέσεις του αριθμού βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη). Αυτό οφείλεται στη διάταξη των ήδη τοποθετημένων αριθμών του τετραγώνου και δημιουργεί έναν κρυφό διάδρομο αποκλεισμού για τον αριθμό που ελέγχουμε υπό την έννοια ότι: στα –πέρα από το συγκεκριμένο τετράγωνο– κενά κελιά της γραμμής (ή στήλης) δεν μπορεί να μπει αυτός ο αριθμός. ∆είτε τα παρακάτω παραδείγματα:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

5 2 Α 4

1 Β 3

2 8

4 2

•

1 9

∆είτε τώρα πώς μπορεί να μας βοηθήσει αυτή η τεχνική ώστε, παράλληλα με τη σάρωση να ανακαλύπτουμε αριθμούς:

Στα γκρίζα κελιά του τετραγώνου δεν μπαίνει το 3. Το 3 θα μπει σε ένα από τα κελιά Α, Β. Στη στήλη των Α, Β, λοιπόν, δεν υπάρχει ο αριθμός 3 σε κελί έξω από αυτό το τετράγωνο!

3 Β

∆

•

Το 5 δεν μπορεί να μπει στα γκρίζα κελιά. Συμπεραίνουμε ότι το 5 αυτού του τετραγώνου θα μπει σε ένα από τα κελιά Α, Β. Έτσι στη γραμμή στην οποία βρίσκονται τα Α και Β, δεν υπάρχει 5 έξω από αυτό το τετράγωνο.

Το 3 δεν μπαίνει στις θέσεις Α1, Β1, Γ1 του πάνω αριστερά τετραγώνου αλλά σε κάποια από τις Α2, Α3. Από αυτό τον κρυφό διάδρομο, συμπεραίνουμε ότι το 3 δεν θα μπει στο κελί Α8 του κάτω αριστερά τετραγώνου. Επειδή, ούτως ή άλλως δεν έμπαινε και στα Α7, Α8, Α9 θα έχουμε 3→Γ9! Με τη μέθοδο αυτή, λοιπόν, αποκλείσαμε το κελί Α8 ως πιθανή θέση για το 3. Παρατηρήστε ότι τώρα 5→Α8. Ακόμη, οι αριθμοί 2 και 4 δεν γίνεται να μπουν στις θέσεις Α1, Α2, Α3 του πάνω αριστερά τετραγώνου. Μπαίνουν στις Β1 και Γ1 χωρίς να ξέρουμε, προς το παρόν, ποιος μπαίνει πού. Αυτό το συμβολίζουμε έτσι: 24→(Β1, Γ1). Για το 4 τώρα: ∆εν μπαίνει, εξαιτίας του κρυφού αυτού διαδρόμου, στα Η1, Θ1 του πάνω δεξιά τετραγώνου, ούτε όμως στα Η2, Θ2, Ι2 –αφού έχουμε 4 στο ∆2.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Ούτε και στο Ι3 –έχουμε 4 στο Ι6. Τελικά: 4→Θ3. ∆είτε τώρα ότι με τον ίδιο κρυφό διάδρομο για το 2, αφού κατέλαβε το 4 το κελί Θ3, έχουμε 2→Ι3!.

Πριν δούμε αναλυτικά τη λύση δύο μέτριας δυσκολίας sudoku, απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις που αφορούν στη νέα τεχνική:

Στο επόμενο σχήμα, θα προσπαθήσουμε να βάλουμε όσα περισσότερα 6 μπορούμε. Προσπαθήστε πρώτα μόνοι σας:

1. Τοποθετήστε: το 1 στο κεντρικό τετράγωνο και το 6 στο

•

∆

5 6

1 6

8 9

•

∆

5 9

Από τα 6 που βρίσκονται ήδη στα κελιά Ζ1 και Η8 συμπεραίνουμε ότι, στο κάτω τετράγωνο, το 6 μπαίνει στο Ε7 ή στο Ε9 (δηλαδή στη στήλη Ε). Από τον κρυφό διάδρομο, στο κεντρικό τετράγωνο προκύπτει 6→∆6. Από τα 6 που υπάρχουν στα Α3, ∆6 συμπεραίνουμε ότι, στο αριστερά τετράγωνο, το 6 θα μπει στο Β4 ή στο Β5 (δηλαδή στη στήλη Β). Σε συνδυασμό με τα 3 των κελιών Α3 και Η8, στο κάτω αριστερά τετράγωνο: 6→Γ7. Με απλό σκανάρισμα στο κάτω τετράγωνο, έχουμε τώρα: 6→Ε9.

3 7

1 2

6 7

1 2

2 3

πάνω αριστερά τετράγωνο.

8 4

2. Γιατί 5→Η4; Α

3 2

8 9

∆

3 3

3 9

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

3. Γιατί 4→Ι1; 1

5 3

7 3

∆

9 3

4 2

5 1 6

1 8

3 5

5 7

8 1 5

8 5 3

8 3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Στο αριστερά τετράγωνο, το 1 θα μπει στο Α4 ή Β4, επομένως, στο κεντρικό τετράγωνο, το 1 δε μπαίνει στα κελιά της γραμμής 4. Λόγω του 1 του κελιού Η5, συμπεραίνουμε ότι 1→∆6. Ανάλογα, το 6 μπαίνει σε ένα από τα Γ5, Γ6 του αριστερά τετραγώνου, οπότε στο πάνω αριστερά τετράγωνο, το 6 δε θα μπει στη στήλη Γ. Έτσι 6→Β2. Α 1 2 3 4 5 6

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2. Στο πάνω αριστερά τετράγωνο, το 5 μπαίνει σε ένα από

2 3

∆

5 6 1 9 2 3 8 7 4

1 9 5

1 4

τα Α1, Γ1. Από αυτόν τον κρυφό διάδρομο και το 5 του κελιού Θ8, συμπεραίνουμε ότι το 5 του πάνω δεξιά τετραγώνου θα μπει στο Ι2 ή Ι3, δηλαδή στη στήλη Ι. Έτσι 5→Η4! Α 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 7 3 5 8

2 3 7

∆

3 4

Η Θ

3 6

9 7

7 4

1 3

2 8

5 4

8 3 7

3. Στο δεξιά τετράγωνο, το 4 μπαίνει στα Η5, Η6. Έτσι, στο πάνω δεξιά τετράγωνο, το 4 δε θα μπει στα Η1, Η2. Ακόμη, στο πάνω αριστερά τετράγωνο, το 4 μπαίνει στο Α2 ή Γ2. Από το δεύτερο αυτό κρυφό διάδρομο, αποκλείεται και το κελί Ι2. Τελικά 4→Ι1. Α

1 2

5 3 1

4 5

6 8

6 7 8 9

7 5 3

7 3

7 8

∆

4 9 3 8 6

3 5 6 4 2 7 1 8 9

8 9 5 1 6 3

Η Θ

8 1 3 9

8 3

2 8 5 3

4 1

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΕΝΑ ΜΕΤΡΙΟ ΠΑΖΛ Ας δούμε τώρα, βήμα προς βήμα, τη λύση ενός μέτριου παζλ. Είναι η ειδική μορφή του τρίτου εύκολου λυμένου παζλ, απλώς δεν έχουν δοθεί οι αριθμοί 6 και 1 της πρώτης γραμμής. Θα λύσουμε το παζλ με δύο τρόπους: στον 1ο τρόπο θα χρησιμοποιήσουμε τις συμβατικές μεθόδους των εύκολων sudoku. Στον 2ο τρόπο, θα δουλέψουμε και με κρυφούς διαδρόμους. Ορίστε:

Α 1

2 3

∆

2 8

5 6

2 9

7 8 9

3 4

5 5

3 7

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

1ος ΤΡΟΠΟΣ • Με σκανάρισμα 4→Η3, 5→Ι2 και 9→Θ8. • Στη γραμμή 1, λείπουν οι 1, 4, 5 και 6. Στο Θ1 δεν μπορούν να μπουν οι 4, 5, 6 άρα 1→Θ1. • Στη στήλη Ι, λείπουν οι 1, 6 και 7. Έτσι: 7→Ι5, 6→Ι7 και 1→Ι9. Συμπεραίνουμε ότι 7→Ε4. • Στη γραμμή 4, λείπουν οι 1, 3, 5 και 6. Η μοναδική θέση όπου μπορεί να μπει το 5 είναι το κελί Γ4. • Ακόμη, στη γραμμή 6, λείπουν οι αριθμοί 1, 6 και 8 άρα 1→Ε6, εφόσον έχω ήδη 6 στη στήλη Ε και 8 στο κεντρικό τετράγωνο. Ακόμη 8→Η6 (αφού τώρα λείπουν στη γραμμή 6 οι 6 και 8) και 6→Γ6. • Άμεσες συνέπειες: 8→Θ7 και 2→Η8 για να συμπληρωθεί το κάτω δεξιά τετράγωνο. Αφού βάλουμε ακόμη 2→Θ5, 2→∆7 και 6→Θ4, ας δούμε πώς έγινε το sudoku μας: Α 1

2 3

∆

5 6

7 8 9

6 5

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

•

Στο κεντρικό τετράγωνο, λείπουν οι αριθμοί 5, 6 και 9. Μπορούμε να συμπληρώσουμε μόνο 9→Ε5 (δείτε τη στήλη Ε). Η στήλη Ε συμπληρώνεται με 8→Ε3. Στη στήλη Γ λείπουν 3, 4 και 8 αλλά, δυστυχώς, μόνο 3→Γ3, αλλά από αυτό βγαίνουν 3→Θ2 και 7→Θ3. Με σκανάρισμα 3→∆9: Α 1

∆

•

9 7

• •

•

6 5

Στη γραμμή 9 θέλουμε τους 8, 9 άρα 8→Α9 και 9→Ζ9. Έτσι 8→Ζ8. Στη στήλη Γ λείπουν οι 4 και 8 οπότε 4→Γ8 και 8→Γ5. Στη στήλη Α, οι 1, 3 και 4. Βάζουμε μόνο 4→Α2. Έτσι: 4→Ζ1. Στη γραμμή 1 λείπουν τώρα οι αριθμοί 5 και 6. Εύκολο: 6→Β1, 5→∆1.

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

5 6

7 8

4 5

•

Τώρα στη γραμμή 3 θέλουμε τους 1, 6 και 9 άρα 9→Β3 εφόσον έχουμε ήδη 1 και 6 στο πάνω αριστερά τετράγωνο. Το τετράγωνο συμπληρώνεται με 8→Β2.

•

Στη γραμμή 2, λείπουν οι 7 και 9 οπότε 7→Ζ2 και 9→∆2. Στο κάτω τετράγωνο συμπληρώνουμε με 1→Ζ7 και 7→∆8. Επιστρέφοντας στο πάνω τετράγωνο: 1→∆3 άρα 6→Ζ3. Και στο κεντρικό τετράγωνο: 6→∆5, 5→Ζ5.

•

Με σάρωση 4→Β5, 1→Β8, 1→Α5, 1→Η4. Τα έσχατα κελιά συμπληρώνονται ως εξής: 3→Η5, 3→Β4, 3→Α7 και 7→Β7:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

90 •

∆

2ος ΤΡΟΠΟΣ

•

Ανάλογος κρυφός διάδρομος για το 8: στο κάτω τετράγωνο, το 8 θα μπει στο Ζ7 ή Ζ8 ή Ζ9. Έτσι, στο πάνω τετράγωνο έχουμε 8→Ε3.

Συνήθης σάρωση: 4→Η3, 5→Ι2 και 9→Θ8. Στη στήλη Ι, λείπουν οι 1, 6 και 7. Έτσι: 7→Ι5, 6→Ι7 και 1→Ι9. Συμπεραίνουμε ότι 7→Ε4. Προσέξτε τώρα ότι 5→Γ4. Πράγματι, στο κεντρικό τετράγωνο έχουμε κρυφό διάδρομο για το 5, το οποίο μπορεί να μπει μόνο σε μία από τις θέσεις ∆5, Ζ5. Έτσι, στο αριστερά τετράγωνο, το 5 δεν μπαίνει στις Α5, Β5, Γ5. Αφού δε μπαίνει ούτε στα κελιά Β4 και Γ6: 5→Γ4.

8 9

• •

•

∆

4 7

4 9

Μου φάνηκε λίγο κουραστική αυτή η λύση. ∆εν χρησιμοποιήσαμε κάτι εξεζητημένο αλλά χρειαζόταν πολλή προσοχή και τακτική εναλλαγή των μεθόδων για να περατώσουμε. Ας δούμε τα μοντέρνα μας εργαλεία…

•

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

3 4

5 5

9 6

Στη στήλη Ε, λείπουν οι αριθμοί 1, 9 άρα 1→Ε6 και 9→Ε5. Κρυφός διάδρομος για το 6: στο κεντρικό τετράγωνο, θέλουμε ακόμη το 5 και το 6, επομένως το 6 δεν θα μπει στα κελιά Η5, Θ5 του δεξιά τετραγώνου. Αφού το 6 δε μπαίνει ούτε στα Η4, Η6: 6→Θ4. Έτσι, στη γραμμή 6, βρίσκουμε ότι 6→Γ6, 8→Η6. Με σάρωση, βρίσκουμε ακόμη: 8→Θ7, (άρα 2→Η8), 2→∆7, 3→∆9, 9→Ζ9, (άρα 8→Α9) και 2→Θ5.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

•

Ας ρίξουμε μια ματιά στα αποτελέσματα της υπερπροσπάθειάς μας:

Α 1

2 3

∆

• •

∆

9 7

•

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

•

Στο πάνω δεξιά τετράγωνο, λείπουν οι 1, 3 και 7, άρα 1→Θ1. Στη στήλη Γ, λείπουν 3, 4 και 8 συνεπώς 3→Γ3. Έτσι όμως: 3→Θ2 άρα 7→Θ3. Στη στήλη Α, θέλουμε 1, 3 και 4. Συμπέρασμα: 4→Α2 οπότε 4→Ζ1. Ακόμη, στη γραμμή 2, όπου δεν μπήκαν οι 7, 8, 9 βρίσκουμε 7→Ζ2. Επόμενα: 7→∆8 και 7→Β7.

•

• •

9 7

Το παζλ σχεδόν συμπληρώθηκε. Με σκανάρισμα και συμπληρώσεις των τελευταίων κενών κελιών (σε κάθε σύμπλεγμα), βρίσκουμε την-πασίγνωστη, πια-λύση! Ας πούμε ότι: 3→Α7, 1→Α5, 1→Η4, 3→Η5, 3→Β4. Στη συνέχεια: 1→Ζ7, 1→∆3, 8→Ζ8, 1→Β8 άρα 4→Γ8, 4→Β5, 8→Γ5, 8→Β2, 9→∆2, 9→Β3. Έτσι: 6→Β1, 5→∆1, 6→Ζ3, 5→Ζ5 και τέλος 6→∆5. ∆εν ήταν καλύτερα έτσι;

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΑΚΟΜΗ ΕΝΑ ΜΕΤΡΙΟ ΠΑΖΛ Θα λύσουμε ακόμη ένα παζλ μέτριας δυσκολίας. Η συμβουλή μου είναι να προσπαθήσετε μόνοι και να συγκρίνετε με τη λύση που παραθέτω. ∆εν είναι απαραίτητα "καλύτερη". Ιδού: Α 1

∆

9 6

7 4 1

5 4

8 5

•

7 7

4 4

∆

•

1 4

Με σκανάρισμα: 2→Β7, 4→Α4, 4→Η3, 5→Γ7, 6→Γ1, 7→Α2 και 3→Β1.

• •

Στο κάτω δεξιά τετράγωνο, το 9 μπαίνει μόνο στις θέσεις Η9, Θ9. Από τον κρυφό διάδρομο για το 9, συμπεραίνουμε ότι στο κάτω αριστερά τετράγωνο, το 9 δε μπαίνει στα κελιά Α9, Β9 επομένως 9→Γ8. Τώρα, στο ίδιο τετράγωνο, λείπουν οι αριθμοί 3 και 7. Έτσι 3→Α9 και 7→Β9. Στο πάνω αριστερά τετράγωνο, λείπει το 1, το 5 και το 9. Έτσι 1→Γ3, αφού στη στήλη Γ έχουμε ήδη 5 και 9. Με σκανάρισμα, συμπληρώνουμε ακόμη: 7→∆8, 3→Ε8, 2→Ζ8, 4→Ζ7, 1→Ε9. Επομένως: 6→∆9, και 4→Ι8. Τέλος: 6→Ζ5 και 6→Ε2:

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

3 4

3 3

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

•

• •

4 6

• •

9 6

Στη στήλη Ζ, λείπουν 1, 8, 9. Έτσι 1→Ζ2. Τώρα, στη γραμμή 2, δεν μπήκανε ακόμη το 2 και το 5: 2→Η2, 5→∆2. Άμεσες συνέπειες: 2→∆3, 2→Ε6, 2→Θ5, 8→Ζ1 (άρα 9→Ε1) και 9→Ζ6. Όλα αυτά με σκανάρισμα.

2 6

4 2

Οι εξελίξεις είναι δραματικές: 5→Ε4, 8→Θ3 οπότε 8→Η9 και 9→Θ9. Το 5 του δεξιά τετραγώνου μπαίνει εναλλακτικά στα κελιά Ι5, Ι6.Πάντως στη στήλη Ι. Από τον κρυφό διάδρομο, προκύπτει ότι, στο πάνω δεξιά τετράγωνο: 5→Θ1. Συνεπώς 1→Ι1. Τώρα 1→Α5 οπότε, στη στήλη Α, θέλουμε τους 5, 9. Προφανώς 5→Α6, 9→Α3. Έτσι: 5→Β3, 9→Β5, 8→Β6.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

•

∆

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

Τελειώσαμε σχεδόν: 5→Ι5, 7→Ι6 (άρα 3→Γ6, για να ολοκληρωθεί η γραμμή 6 και 7→Γ5 για το αριστερά τετράγωνο) οπότε 7→Θ7. Όλα με σκανάρισμα. Επομένως: 1→Η7, 3→Ι7, 8→Ι4, 1→Θ4 και τελικά: 8→∆5, 3→Η5, 3→∆4 και 9→Η4. Καμαρώστε:

ΤΕΣΣΕΡΑ ΜΕΤΡΙΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ Στη διάθεσή σας τα επόμενα μέτρια sudoku. Καλή διασκέδαση!

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

1ο Β

∆

2 5

6 7

5 4

∆

3 4

6 7

Α 1

1 3

5 6

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2ο Α

100

1 3

1 5

101

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

3ο Β

∆

3 4

5 9

7 5

1 6

∆

9 7

3 1

7 5 1

3 7

Α 1

2 9

9 8

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

4ο Α

102

5 4

3 6

103

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ

Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

Γ ∆

Ζ Η Θ Ι

1 2 3

1 8 9

2 7 4

6 3 5

5 2 8

9 4 7

3 6 1

4 1 2

8 9 6

7 5 3

1 2 3

4 1 9

7 5 8

2 6 3

5 3 7

9 4 1

8 2 6

3 8 4

1 6 7 9 2 5

4 5 6

2 5 7

8 3 6

4 1 9

9 6 1

3 8 2

5 7 4

6 9 3

7 2 5

1 4 8

4 5 6

8 5 6

3 9 2

7 1 4

1 4 8

2 6 7

5 3 9

6 2 5

9 4 8 7 3 1

7 8 9

3 6 4

9 1 5

8 7 2

7 4 3

1 5 6

2 9 8

5 8 7

4 3 1

6 2 9

7 8 9

3 7 2

1 6 4

5 8 9

9 2 6

8 5 3

4 1 7

7 9 1

6 2 4 3 5 8

Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

Α Β Γ

∆

Ε Ζ Η Θ

1 2 3

3 5 7

4 2 6

1 8 9

5 6 4

9 7 2

8 3 1

2 4 3

7 1 5

6 9 8

1 2 3

5 2 1

3 8 6

7 9 4

4 1 3

8 5 9

6 7 2

2 6 5

1 3 7

9 4 8

4 5 6

2 1 6

7 8 9

3 4 5

1 9 2

6 3 8

5 7 4

9 6 1

8 2 3

4 5 7

4 5 6

8 9 4

5 2 7

1 3 6

9 5 2

7 6 1

3 4 8

4 1 3

6 8 9

2 7 5

7 8 9

8 9 4

1 3 5

7 6 2

3 7 8

4 5 1

6 2 9

5 8 7

9 4 6

2 1 3

7 8 9

6 7 3

9 4 1

2 8 5

8 6 7

3 2 4

5 1 9

7 9 8

4 5 2

1 3 6

2ο

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

§4. ∆ύσκολα Sudoku

3ο

1ο

104

4ο

Φτάνοντας στον τελικό προορισμό μας, τα ∆ύσκολα (και … Πολύ ∆ύσκολα) sudoku, καθώς και τις τεχνικές που τα αφορούν, θέλω να επισημάνω δύο πράγματα: • Η διαφορά ταξινόμησης-από πλευράς δυσκολίας-για την οποία μιλήσαμε στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ, παίρνει εδώ τη μέγιστη τιμή της: τα παζλ που χαρακτηρίζονται από διαφορετικές πηγές "δύσκολα" είναι τόσο άνισα μεταξύ τους, που να διερωτάσαι για το νόημα της λέξης. Συναντά κανείς παιχνίδια που χαρακτηρίζονται δύσκολα και λύνονται σε δέκα λεπτά χωρίς ιδιαίτερη σκέψη και άλλα που ταλαιπωρούν αφάνταστα (και απαιτούν προχωρημένες και σύνθετες σκέψεις). • Τα high end παιχνίδια της κατηγορίας –το ξανάπα– δε διαφέρουν από εξαιρετικά δύσκολες ασκήσεις γεωμετρίας: έχουμε τους κανόνες, τις προτάσεις-θεωρήματα αλλά όχι την εγγύηση ότι θα "νικήσουμε". Έτσι κι εδώ: η λύση απαιτεί –πέραν της γνώσης των τεχνικών στις οποίες θα αναφερθώ– φαντασία, υπομονή κι αυτενέργεια. Οι τεχνικές είναι εργαλεία· επιλέγει ο καθένας ανάλογα με την εμπειρία και την ιδιοσυγκρασία του. Βασανίστηκα να ιεραρχήσω τις τεχνικές που ακολουθούν καθώς και τα λυμένα παραδείγματα. Ο άπειρος αναγνώστης ας μην τρομάξει: η εξάσκηση θα τον βοηθήσει να κατακτήσει τις τεχνικές. Ο έμπειρος λύτης να θυμάται ότι κάθε λύση είναι περασμένη από το προσωπικό μου φίλτρο. Μακάρι να βρει δική του, καλύτερη. Αλλά ας γνωριστούμε με τις νέες τεχνικές.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

105

106

4. ΖΕΥΓΗ Λέγοντας ζεύγος αριθμών, εννοούμε δύο συγκεκριμένους αριθμούς, οι οποίοι είναι βέβαιο ότι θα καταλάβουν δύο συγκεκριμένα κελιά ενός συμπλέγματος αλλά δε γνωρίζουμε –την παρούσα χρονική στιγμή- ποιος από τους δύο μπαίνει σε κάθε κελί. Η περίπτωση όπου αμέσως ξεκαθαρίζει ποιος θα μπει σε ποιο κελί (με διασταύρωση των κελιών αυτών) δε μας αφορά όταν μιλάμε για ζεύγη. Θα πρέπει να μεσολαβεί απόσταση από τον εντοπισμό ενός ζεύγους έως την αποκατάστασή του, δηλαδή το χωρισμό του και την τοποθέτηση κάθε εταίρου στο κελί του. Θα συμβολίζουμε 13→(Η1, Η5) την κατάσταση στην οποία οι αριθμοί 1 και 3 ανακαλύψαμε ότι θα καταλάβουν τα κελιά Η1 και Η5.

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

5 15

1 • •

Οι αριθμοί 1 και 5 μπαίνουν στο μεσαίο τετράγωνο μόνο στις σημειωμένες θέσεις! Ανάλογα οι αριθμοί 2 και 3 στο ακόλουθο σχήμα:

2 3 8

Ζεύγη εμφανίζονται κατά τη συμπλήρωση ενός παζλ στις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:

23 23

• Όταν έχουν απομείνει μόνο δύο αριθμοί για να συμπληρωθούν τα δύο τελευταία κελιά ενός συμπλέγματος (ΜΟΙΡΑΙΟ ΖΕΥΓΟΣ). • Όταν δύο γραμμές (ή δύο στήλες ή μία γραμμή και μία στήλη) έχουν δύο κοινούς αριθμούς και συναντιούνται στο ίδιο τετράγωνο –το οποίο δεν περιέχει ακόμη αυτούς τους αριθμούς– αφήνοντας ελεύθερα δύο ακριβώς κελιά (ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΖΕΥΓΟΣ). Αυτή είναι και η σημαντικότερη περίπτωση. ∆είτε τα σχήματα:

3 2 Σε ευνοϊκές περιπτώσεις (με ανοικτούς διαδρόμους) αποκαλύπτονται πιο εύκολα τα αποκλειστικά κελιά του ζεύγους:

107

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

3 7

4 79

9 79

Ή, ακόμη:

•

108

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

μείνουν ως πιθανοί για το κελί μόνο δύο. Τα ζεύγη αυτής της μορφής είναι ΠΑΘΗΤΙΚΑ ΖΕΥΓΗ. Η χρησιμότητα των ζευγών είναι κεφαλαιώδης στα δύσκολα sudoku: • Αρχικά, βρίσκοντας ένα ζεύγος, αποκλείουμε για τα δύο κελιά του την πιθανότητα να καταληφθούν από οποιονδήποτε άλλον αριθμό κατά τρόπο που δεν μπορούσε να γίνει με σκανάρισμα. Για δείτε:

Τέλος, ζεύγος εμφανίζεται όταν:

1. Ελέγχοντας κάθε γραμμή (ή κάθε στήλη), διαπιστώσουμε ότι δύο αριθμοί δε μπορούν να μπουν παρά μόνο σε δύο κελιά της. 2. Ελέγχοντας κάθε κελί, διαπιστώσουμε ότι δύο κελιά ενός τετραγώνου δέχονται μόνο τους δύο - ίδιους - αριθμούς. Για να γίνει, βέβαια, αυτό, προϋποθέτει σημειώσεις σε κάθε κελί του παζλ: Και είναι γνωστό πως όποιος παρασημειώνει τελικά τρελαίνεται. Το λογικό είναι να σημειώνουμε μόνο στα παζλ αυξημένης δυσκολίας και μόνο στα κελιά όπου συναντιούνται συμπλέγματα με πολλούς διαφορετικούς αριθμούς, έτσι ώστε να απο-

5 3

• Στα κελιά όπου θα μπουν οι 3 και 6, αποκλείεται να μπουν οι 4, 7, 9 που επίσης απουσιάζουν από το τετράγωνο. • Στα υπόλοιπα κενά κελιά (πλην του ζεύγους), θα μπουν οι υπόλοιποι ελλείποντες αριθμοί του συμπλέγματος. Στο προηγούμενο παράδειγμα:

479

∆ιασταυρώνοντας με τις στήλες του παζλ, ενδεχόμενα θα βρίσκαμε κάποιον αριθμό.

109

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• Μπορεί με τα εναπομείναντα λευκά κελιά, να προκύπτουν νέα ζεύγη. Παρατηρήστε το επόμενο σχήμα. Μετά τον εντοπισμό του ζεύγους 79, συμπεραίνουμε το 6 του τετραγώνου, που θα καταλάβει το γκρίζο κελί. Στα τελευταία κενά κελιά, έχουμε το μοιραίο ζεύγος 34!

4 3 1

79 34

5 34

• Μπορεί στο ίδιο σύμπλεγμα να εμφανιστούν δύο ζεύγη! Έτσι από το σχήμα:

Προφανώς, το τελευταίο κενό κελί του τετραγώνου, θα υποδεχθεί τον αριθμό 4. Τέλος, πρέπει να τονιστεί, ότι, πολλές φορές, δημιουργούνται αλυσίδες του ίδιου ζεύγους σε γραμμή –στήλη τετράγωνο. Η εύρεση, αργότερα, ενός από τους αριθμούς του ζεύγους, προκαλεί διαδοχικές συμπληρώσεις κελιών που προωθούν σε μεγάλο βαθμό τη λύση. Ακόμη, η ύπαρξη τέτοιων αλυσίδων, ενθαρρύνει τη δημιουργία σύνθετων σκέψεων (π.χ. Απαγωγή σε Άτοπο), όπως θα διαφανεί στα τελευταία λυμένα δύσκολα παζλ. Πριν περάσουμε στα λυμένα παζλ, εξασκηθείτε στα ζεύγη, μέσα από τις παρακάτω ερωτήσεις:

1. Αφού βρείτε δύο διαφορετικά ζεύγη στη στήλη Ι, να συ-

9 2

Α 1 2

προκύπτει το επόμενο:

8 3

∆

2 5

4 9 5

7 2

3 7

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

μπληρώσετε το κελί Α1.

3 1

110

36 79

5 5

8 3

2 9

9 8

9 4 5 8

8 9

5 9

3 7 1

111

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

2. Αφού βρείτε δύο ζεύγη στη μεσαία στήλη τετραγώνων,

112

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

4. Αποδείξτε ότι 9→Η8.

συμπληρώστε τα κελιά Ι6, Ζ9, Ε2. Α 1 2 3 4 5 6 7 8 9

∆

Α Η

7 5 2 1 1 2 9 3 5 5 4 1 2 6 1 9 4 2 7 1 8 2 9 2 4 1 5 5 2 9 6 9 1 3 4

∆

2 9 5 1 4 9 1 5 2

4 3

4 1

8 7

4 5

2 7

1 2

3 9

1 8

8 7

5. Συμπληρώστε τα κελιά Η9, Η4, Θ4. Β

∆

2 3 4

∆

8 4

2 3

3 8

δείξτε ότι 5→Ε6 και 3→Γ3. Β

3. Αφού βρείτε τρία ζεύγη στο αριστερά τετράγωνο, αποΑ

113

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

114

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Στη στήλη Ι, λείπουν οι 1, 2, 4, 6. Στα κελιά Ι1 και Ι4 δε

(7)

3 9

8 9

2. Προφανώς 67→(∆5, ∆7) για να κλείσει η στήλη Ι. Ακόμη 35→(Ε5, Ε6) αφού οι 3, 5 δε μπαίνουν στο Ζ5. Έτσι 67→(∆5, Ζ5). Με σάρωση κατά γραμμές 6→Ι6. Στη γραμμή 3, λείπουν 3, 6, 7, 8. Αφού οι 6, 7 δε μπαίνουν στα Α3 και Γ3, έχουμε τα ζεύγη 38→(Α3, Γ3) και 67→(Ε3, Ζ3). Έτσι: 8→Ζ9 για να κλείσει η στήλη Ζ και 8→Ε2 για να κλείσει το πάνω τετράγωνο (ή, αν θέλετε, με σκανάρισμα).

5 1

5 9

9 1

(8)

1 3

5 9

∆

7 2

μπορούν να μπουν οι 2 και 4 άρα 16→(Ι1, Ι4) και 24→(Ι2, Ι9). Τώρα, παρατηρούμε ότι και στο πάνω τετράγωνο έχουμε ζεύγος 16→(Ε1, Ζ3). Η γραμμή 1, κλείνει με 7→Α1.

2 9

5 1 4

(6)

3. Πρώτα 49→(Γ4, Γ5), ύστερα 26→(Α4, Α6). Τέλος 57→(Α5, Β5). Τώρα, με σάρωση: 5→Ε6. Στο πάνω αριστερά τετράγωνο έχουμε ζεύγος 26→(Β1, Γ1). Με σάρωση: 3→Γ3. 1

(3)

2 5

6 9

2 4

(5)

7 8

∆

8 1

115

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

116

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

4. Στο πάνω δεξιά τετράγωνο, έχουμε ζεύγος 37→(Η1, Η2). Έτσι, το 9 του τετραγώνου θα μπει σε ένα από τα κελιά Ι2, Ι3. Από τον κρυφό αυτό διάδρομο, αποκλείονται για το 9 τα κελιά Ι7, Ι9 του κάτω δεξιά τετραγώνου. Με σάρωση: 9→Η8. Α

∆

1 2

2 4

3 4

1 3

(8)

3 8

3 (9)

∆

(9)

7 9

(7)

1 2

5. Αρχικά 12→(Θ5, Θ6) στο δεξιά τετράγωνο. Έτσι 12→(Ι2, Ι3) στο πάνω δεξιά τετράγωνο. Στη στήλη Ι, λείπουν τώρα οι 3, 4, 8. Προφανώς 34→(Ι7, Ι8) και 8→Ι4. Έτσι 8→Η9, με σάρωση. Στο δεξιά τετράγωνο, λείπουν οι αριθμοί 7 και 9. Στο κελί Θ4, δε μπαίνει το 7, αφού έχουμε τον κρυφό διάδρομο από το κάτω δεξιά τετράγωνο, όπου θα τοποθετηθεί το 7 (σε ένα από τα κελιά Θ7, Θ8, Θ9). Τελικά: 9→Θ4 και 7→Η4.

117

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

118

ΕΝΑ ∆ΥΣΚΟΛΟ ΠΑΖΛ ΣΤΑ ΖΕΥΓΗ

•

∆είτε, τώρα, το επόμενο παζλ. Θα το λύσουμε "επιθετικά", χωρίς περιττά σκαναρίσματα, με σκοπό να μη βαρεθούμε αλλά και να εκμεταλλευτούμε πλήρως τις νέες μας γνώσεις:

•

Α 1

4 2

4 5

6 4

Καταρχήν παρατηρούμε ότι, στο αριστερά τετράγωνο, το ζεύγος 45 δε μπαίνει στις θέσεις Α5, Α6 (δείτε τη στήλη Α) ούτε στις θέσεις Β4, Γ4 (δείτε τη γραμμή 4). Έτσι, έχουμε το ενεργητικό ζεύγος 45→(Β5, Γ6) οπότε 6→Γ4 (δεν υπάρχει πια άλλο κελί για το 6 στο τετράγωνο!)

•

∆

9 1

6 8

8 9

8 6

•

Ακόμη 7→Α5, για τον ίδιο λόγο. Με σάρωση: 8→Α6 (το κελί Β5 είναι δεσμευμένο για το ζεύγος 45, θυμίζω). Το τελευταίο κενό κελί του αριστερά τετραγώνου, το Β4, θα συμπληρωθεί με 9. Ανάλογα, στο δεξιά τετράγωνο, έχουμε ζεύγος 19→(Η6, Θ5). Παρατηρήστε τη γραμμή 4 και τη στήλη Ι. Έτσι, τώρα 45→(Ι5, Ι6) !!! άρα προκύπτει και το μοιραίο ζεύγος 23→(Η4, Θ4). Προφανώς 7→∆4. Για να δούμε πού φτάσαμε:

•

∆

3 4

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

4 9

5 7

Παρατηρήστε τώρα τα κενά κελιά της στήλης Β, δηλαδή τα Β1, Β2, Β5, Β8 και Β9. Ελέγχοντάς τα ένα-ένα, βλέπουμε πως το ζεύγος 45 δε δύναται να μπει σε κανένα εκ των Β1, Β2, Β8. Έχουμε, λοιπόν, παθητικό ζεύγος

119

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

120

45→(Β5, Β9). Στα υπόλοιπα αμαρκάριστα κελιά τις στήλης, στα Β1, Β2 και Β9, θα μπουν οι αριθμοί 1, 2 και 8. Μοναδική θέση για το 8, το κελί Β2. Προκύπτει συνεπώς και μοιραίο ζεύγος 12→(Β1, Β9):

5 6

∆

9 1

6 8

4 9

•

Ας σκανάρουμε λίγο 6→Ι1 και στη στήλη Ι: 23→(Ι7, Ι8).

•

∆είτε τώρα το κελί Θ9: ∆ε μπαίνουν σε αυτό οι αριθμοί 2, 3, 5, 6, 7 που βρίσκονται ήδη στο κάτω δεξιά τετράγωνο –συνυπολογίζοντας το ζεύγος 23, φυσικά- ούτε οι αριθμοί 1, 9 (βρίσκονται στη γραμμή 9) αλλά ούτε και το 8, που υπάρχει στη στήλη Θ. Τι απέμεινε; 4→Θ9!

∆

4 9

23 23

5 4

•

Αυτό το 4 που μόλις θέσαμε στο Θ9, χωρίζει τα ζεύγη 45 του παζλ, ξεκινώντας από εκείνο της στήλης Β: 5→Β9 και 4→Β5 οπότε 5→Γ6, 4→Ι6 και 5→Ι5.

•

Στο κελί Η9 τώρα μπαίνει μόνο ο αριθμός 8 – ελέγξτε στήλη, γραμμή και τετράγωνο. Έτσι, στη γραμμή 9, απέμειναν οι αριθμοί 2, 3 οπότε 3→Γ9, 2→Ζ9. Συνεπώς 2→∆6.

•

Στο πάνω αριστερά τετράγωνο, με σάρωση έχουμε 3→Α3, 2→Β1 οπότε 1→Β8. Στο κάτω δεξιά τετράγωνο: 9→Θ8 και 1→Η7. Ακόμη στο δεξιά τετράγωνο 9→Η6 και 1→Θ5.

5 7

3 4

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

121

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

•

122

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

Στη στήλη Α, λείπουν οι 2 και 9, άρα 2→Α8 και 9→Α7. Έτσι 3→Ι8, 2→Ι7. Το κάτω αριστερά τετράγωνο συμπληρώνεται με 4→Γ7.

•

Στη γραμμή 8, τελευταίοι αριθμοί: 6→∆8 και 7→Ε8.

•

Στη στήλη Θ, λείπουν οι 2, 3, 5. Ορίστε: 3→Θ2, 2→Θ4 και 5→Θ3. Ακόμη 3→Η4.

Η ολοκλήρωση γίνεται με διάφορους πιθανούς τρόπους. Σαν κι αυτόν: • • •

2→Η3, 4→Η2, 7→Η1. 4→∆3, 1→Ζ6, 6→Ε6, 6→Ζ2, 7→Ζ3, 7→Γ2, 1→Γ1, 9→Γ3, 8→Ε3, 8→Ζ5, 8→∆7. 9→Ε5, 1→∆2, 5→∆1, 5→Ε7, 3→Ζ7, 3→Ε1 και 9→Ζ1.

123

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

124

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΑΚΟΜΗ ΕΝΑ ∆ΥΣΚΟΛΟ ΠΑΖΛ ΣΤΑ ΖΕΥΓΗ

∆είτε το ολοκληρωμένο παζλ: Α

∆

Ακόμη ένα δύσκολο παζλ, που θα το λύσουμε χρησιμοποιώντας ζεύγη. Προσπαθήστε και μόνοι και συγκρίνετε λύσεις: Α 1

∆

2 4

•

5 5

8 3

7 8

3 3

3 4

•

1 5

2 3

Με σκανάρισμα, εύκολα βρίσκουμε ότι 1→Γ8, 5→∆3, 7→Ε4 και 1→Ζ1. Τώρα, στη στήλη Α, λείπουν οι αριθμοί 1, 2, 4, 9. Προφανώς 4→Α2. Τώρα, στο πάνω τετράγωνο συμπληρώνουμε τους τελευταίους αριθμούς: 8→Ζ2 και 4→Ε1. Με σάρωση 8→Ε5, 8→Γ4. Στη στήλη Α, τώρα 2→Α7. Προφανώς η στήλη Ε, συμπληρώνεται με 2→Ε6 και 9→Ε9.

125

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

126

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

8 9

∆

1 5

•

Τώρα, στη στήλη Ι, το 2 μπαίνει μόνο στη θέση Ι3. Στη συνέχεια 8→Ι8.

•

Στη γραμμή 1, λείπουν 2, 5, 7, 8. Παρατηρήστε ότι στο κελί Θ1, μπαίνει μόνο το 5 ή το 7. Στη γραμμή 2, λείπουν οι 3, 5, 7. Στο κελί Η2 μπαίνει επίσης 5 ή 7! Ο ορισμός του παθητικού ζεύγους: 57→(Θ1, Η2):

8 9

1 5

•

Στη γραμμή 3, λείπουν οι αριθμοί 1, 4, 6, 8, 9. Νέο παθητικό ζεύγος 46→(Η3, Θ3) αφού οι 4 και 6 δεν μπορεί να βρεθούν στα κελιά Α3, Β3, Γ3. Έτσι 8→Η1.

•

Ακόμη 8→Β3 –με σάρωση– και, από τη γραμμή 3: 9→Γ3 και 1→Α3 που είναι οι τελευταίοι αριθμοί της, συνυπολογίζοντας τις καπαρωμένες θέσεις του ζεύγους 46.

•

Τέλος 9→Α4, για να συμπληρωθεί η στήλη Α.

127

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

128

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

8 9

1 5

8 2

•

Στη στήλη Ζ, λείπουν οι 4, 6, 9 άρα 6→Ζ4. Στη συνέχεια 4→Ζ7 και 9→Ζ5. Ακόμη 9→Η6 και 9→Θ7.

•

Στη στήλη Η, ολοκληρώνουμε με 7→Η8 και 5→Η2. Συνεπώς 7→Θ1.

•

Στη γραμμή 4, τελευταίοι αριθμοί: 1→Η4, 2→Θ4. Έτσι 2→Η9. Όμοια, στη στήλη Ι: 4→Ι6 και 6→Ι7. Έτσι 4→∆5 και 1→∆6.

•

Στη γραμμή 8, τελειώνουμε με 4→Θ8, 6→∆8. Ολοκλήρωση τετραγώνων: 5→Θ9, 7→∆9.

•

Και να ένας πιθανός τρόπος για να τελειώσουμε: 1→Β5, 2→Γ5, 2→Β1, 5→Γ1, 5→Β7, 7→Γ7, 7→Β2, 3→Γ2, 3→Β6, 6→Γ6, 6→Β9, 4→Γ9.

•

Ακόμη: 3→Η7, 3→Θ5 άρα 6→Η5.

•

Στο πάνω δεξιά τετράγωνο, η κατάσταση ξεκαθαρίζει: 4→Η3, 6→Θ3:

129

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

5. ΤΡΙΑ∆ΕΣ Κατ’ αναλογία με τα ζεύγη, έχουμε και τις τριάδες αριθμών: πρόκειται για τρεις αριθμούς, οι οποίοι μπαίνουν κατά αποκλειστικότητα σε τρία συγκεκριμένα κελιά ενός συμπλέγματος. Οι τριάδες δημιουργούνται σε ανάλογες ευνοϊκές συνθήκες με τα ζεύγη και επιφέρουν παρόμοια ευεργετικά αποτελέσματα. ∆είτε:

8 1

130

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Οι αριθμοί 1, 5, 9 θα μπουν στα τρία κάτω κελιά του αριστερά τετραγώνου. Οι 2, 3, 8 στα τρία κάτω κελιά του δεξιά τετραγώνου. Υπάρχει –δώστε προσοχή– δυνατότητα εμφάνισης τριάδας όταν σε ένα σύμπλεγμα του παζλ, βλέπουμε σε τρία κελιά του σημειωμένους συνδυασμούς από τους ίδιους τρεις αριθμούς:

12 α

14 β

23 γ

123 δ

48 ε

Υποτίθεται ότι, πριν τη φάση που βρισκόμαστε τώρα, έχω ελέγξει τα κελιά ένα-ένα, σε συνδυασμό με το υπόλοιπο παζλ και κατέληξα στις σημειώσεις που βλέπετε. Παρατηρούμε ότι στα κελιά α, γ, δ δεν μπορεί να μπει αριθμός διαφορετικός από τους 1, 2, 3. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι έχουμε τριάδα 123→(α, γ, δ). Έτσι, στα υπόλοιπα κελιά β, ε μπαίνουν οι άλλοι ελλείποντες αριθμοί της γραμμής αυτής. Συγκεκριμένα: 4→β και 8→ε. ∆είτε και την επόμενη γραμμή:

46 α

24 β

68 γ

27 δ

237 ε

48 ζ

Στα κελιά α, γ, ζ μπαίνουν αποκλειστικά οι αριθμοί 4, 6, 8 δηλαδή έχουμε τριάδα 468→(α, γ, ζ). Έτσι, οι αριθμοί 4, 6, 8 αποκλείονται από όλα τα υπόλοιπα κελιά όπου έχουν πιθανόν σημειωθεί. Εδώ, το 4 δεν μπαίνει-πια- στο κελί β άρα 2→β, 7→δ και 3→ε.

131

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

∆είτε το επόμενο σχήμα και απαντήστε στην εξής ερώτηση: Γιατί ο αριθμός 3 θα μπει στο κελί Γ8; Α

∆

2 4

2 8

8 9

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: • •

•

1 1

Αρχικά βλέπουμε πως οι πιθανές θέσεις για το 3 στο κάτω δεξιά τετράγωνο είναι οι Β8, Β9, Γ7, Γ8. Στο πάνω αριστερά τετράγωνο, το 3 μπαίνει μόνο στα Β2, Γ2. Αυτός ο κρυφός διάδρομος αποκλείει τα κελιά Β8 και Β9 ως πιθανές θέσεις για το 3. Μένουν Γ7, Γ8. Οι αριθμοί 7, 8, 9 μπαίνουν, στο κάτω αριστερά τετράγωνο, μόνο σε τρία κελιά, έχουμε δηλαδή τριάδα 789→(Α7, Γ7, Β9). Τούτο, στερεί και το κελί Γ7 από το 3! Τελικά 3→Γ8.

7 8 9

∆

8 7

Πριν λύσουμε ένα δύσκολο sudoku στο οποίο θα εμφανιστεί τριάδα αριθμών, δείτε το επόμενο και απαντήστε στις ερωτήσεις που το συνοδεύουν:

4 5

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

132

6 2

4 1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Γιατί 7→Ε9; 2. Γιατί 4→Γ7; 3. Σε ποιες θέσεις μπαίνει η τριάδα 179 στη στήλη Α; 4. Που μπαίνει ο αριθμός 9 της στήλης Α; 5. Ποια ζεύγη αριθμών μπορείτε να βρείτε στο παζλ; 6. Ποιος αριθμός μπαίνει στο κελί Γ4; (Αν δε μπορέσετε να απαντήσετε σε κάποια από τις δύο πρώτες, θεωρείστε τουλάχιστον γνωστά τα δεδομένα τους για να προχωρήσετε στις επόμενες).

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

133

134

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Στη στήλη Ε, λείπουν οι 1, 6, 7, 9. Στο κελί Ε9 αποκλείονται οι 1, 6, 9. 2. Στο κάτω τετράγωνο, το 4 μπαίνει μόνο στα κελιά ∆9, Ζ9 άρα στη γραμμή 9. Έτσι -κρυφός διάδρομος- το 4 δε μπαίνει στα κελιά Α9, Β9, Γ9 του κάτω αριστερά τετραγώνου. Με σάρωση 4→Γ7. 3. Η τριάδα αυτή δε μπαίνει σε δύο από τα κενά κελιά της στήλης Α, τα Α3 και Α9. Απομένουν ελεύθερα τρία ακόμη, επομένως 179→(Α4, Α7, Α8). 4. Στο κελί Α4 της τριάδας 179, μπορεί να μπει μόνο το 9, εφόσον υπάρχουν στη γραμμή 4, οι αριθμοί 1 και 7. 5. Στη στήλη Α: 17→(Α7, Α8) και 58→(Α3, Α9). Στη γραμμή 6: 57→(Β6, Γ6). Στο δεξιά τετράγωνο: 24→(Η4, Θ4). Στο πάνω τετράγωνο: 49→(∆2, Ζ2). Έτσι, στο πάνω δεξιά τετράγωνο 49→(Η3, Θ3) –αν και μπορούμε να συμπληρώσουμε άμεσα 4→Η3 και 9→Θ3. Τέλος, στη στήλη Ε: 16→(Ε1, Ε3) –αφού λείπουν οι 1, 6, 9 και υπάρχει 9 στο τετράγωνο- άρα και 35→(∆1, Ζ1) για να συμπληρωθεί το πάνω τετράγωνο. 6. Για να συμπληρωθεί η γραμμή 4: 8→Γ4.

∆ 35

Ε 16

8 16

35 49

7 8 9

4 1

ΕΝΑ ∆ΥΣΚΟΛΟ ΠΑΖΛ ΜΕ ΤΡΙΑ∆ΕΣ Είμαστε θεωρητικά εξοπλισμένοι να αντιμετωπίσουμε το δύσκολο sudoku που ακολουθεί. Ρίξτε του μια κλεφτή ματιά. Ίσως προσέξετε πως με σάρωση δεν βρίσκεται ούτε ένας αριθμός!

135

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α 1

• • •

∆

•

3 9

1 9

136 Α

1 6

8 6

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Ξεκινάμε με κρυφούς διαδρόμους. Νομίζω ότι εξοικειωθήκατε με τη λογική τους οπότε μπορώ να είμαι πιο σύντομος. Λοιπόν, στο δεξιά τετράγωνο, το 4 μπαίνει στη γραμμή 5, άρα στο κεντρικό τετράγωνο: 4→∆6.

• •

Στο αριστερά τετράγωνο, το 1 μπαίνει στη γραμμή 6, άρα στο δεξιά τετράγωνο: 1→Ι5.

•

Στο κάτω τετράγωνο, το 7 θα μπει στη γραμμή 7, επομένως στο κάτω δεξιά τετράγωνο: 7→Θ9.

•

Με σάρωση 9→Ζ8 και στο πάνω αριστερά τετράγωνο, το 9 θα μπει στη στήλη Β. Από τον τελευταίο αυτό κρυφό διάδρομο, συμπεραίνουμε: 9→Α9.

∆

7 3

6 1

4 8 1

8 6

9 6

1 7

Στο κεντρικό τετράγωνο, έχουμε ενεργητικό ζεύγος 57→(∆4, Ζ4). Στο ίδιο τετράγωνο, το 8 μπαίνει στη γραμμή 5 (∆5 ή Ε5). Αυτός ο κρυφός διάδρομος αποκλείει το 8 από το κελί Α5. Έτσι, το 8 της στήλης Α μπαίνει αναγκαστικά στο Α3. Στο αριστερά τετράγωνο, προκύπτουν δύο μοιραία ζεύγη: 23→(Α4, Α5) και 18→(Β6, Γ6). Και άλλα τρία ζεύγη: ΜΟΙΡΑΙΟ 23→(Ζ6, Ι6), ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ 49→(Η4, Θ4). Τώρα 6→Ζ5 και 9→Ι7 (μοναδική θέση για 9 στη στήλη Ι). Να το τρίτο ζεύγος: 23→(Ι6, Ι8).

137

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

3 9 57

5 1 9

Το παζλ φαίνεται τώρα να "κολλάει". Ελέγχουμε τα κενά κελιά ως προς τους αριθμούς που μπορεί να φιλοξενήσει το καθένα, ξεκινώντας από κείνα όπου διασταυρώνονται πολλοί διαφορετικοί αριθμοί. Μετράμε, από μνήμης, τους αριθμούς από το 1 ως το 9 και, σβήνοντας όσους απ’ αυτούς βρίσκονται σε κάποιο από τα συμπλέγματα του ελεγχόμενου κελιού, σημειώνουμε στο κελί όσους απομένουν. Έτσι, βρίσκουμε ότι: στο κελί ∆7 μπαίνει μόνο 3 ή 7, ενώ στο κελί ∆8 μόνο 3 ή 5:

5 1 9

4 8

9 2

7 3

∆

9 6

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

6 8

138

9 23

1 7

•

Έτσι, έχουμε τριάδα αριθμών: 357→(∆4, ∆7, ∆8). Αυτό σημαίνει ότι στα υπόλοιπα κενά κελιά της στήλης ∆ δε μπαίνουν οι αριθμοί 3, 5 και 7. Συμπεραίνουμε ότι στο πάνω τετράγωνο έχουμε ζεύγος 37→(Ε3, Ζ3). Επομένως 2→Γ3, για να ολοκληρωθεί η γραμμή 3.

•

Εύκολα τώρα 2→Β8, κίνηση που θα προετοιμάσει την αναμενόμενη έκρηξη, μέσω του κελιού Ι8. Αλλά ας προφυλαχτούμε από τα σκάγια:

139

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

•

∆

7 6

9 23

∆

8 2

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

6 37

140

Στο κάτω δεξιά τετράγωνο 3→Ι8 (άρα 2→Ι6), οπότε 5→∆8, 7→∆4 και 5→Ζ4. Ακόμη: 7→Ζ3, 3→Ε3 και 3→∆7. Πόσα χωρισμένα ζευγάρια! Η συνέχεια είναι εύκολη. Χρησιμοποιώντας μόνο σάρωση και υπόλοιπα, το παζλ συμπληρώνεται. Ας πούμε ότι: 2→∆5, 8→Ε5, 3→Α5, 2→Α4, 2→Ζ2, 3→Θ4, 6→Η4, 2→Η7, 6→Θ7, 2→Θ1, 5→Ε2, 7→Ε7, 4→Ε8, 4→Η9 και 8→Θ8. Τέλος: 9→Η5, 4→Θ5, 9→Θ2, 8→Η1, 8→∆2, 1→∆1, 1→Β2, 8→Β6, 1→Γ6, 8→Γ9, 3→Β9, 4→Γ7, 3→Γ1 και 9→Β1.

6. ΕΞΥΠΝΗ ΣΑΡΩΣΗ Ας ρίξουμε, τώρα, μια ματιά στο επόμενο παζλ. Είναι μέτριας δυσκολίας και ο αναγνώστης που έχει φτάσει μέχρι εδώ, δε θα προβληματιστεί στη λύση του. Θέλω να συγκεντρωθούμε στο εξής: Στα μεσαία τετράγωνα του παζλ δεν εμφανίζεται πουθενά ο αριθμός 2:

141

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

1 2

2 3

2 7

είναι επιθετική μέθοδος που ικανοποιεί το μυαλό και μεγιστοποιεί την ευχαρίστηση του λύτη

•

προηγείται χρονικά των υπόλοιπων μεθόδων αφού μπορεί να πραγματοποιηθεί από το ξεκίνημα ακόμη, παράλληλα με την (απλή) σάρωση

•

αναπτύσσει την ταχύτητα ολοκλήρωσης του παζλ

Με τη σάρωση που χρησιμοποιούσαμε ως τώρα δεν προκύπτει άμεσο αποτέλεσμα: δεν μπορούμε να βάλουμε πουθενά κανένα 2. Παρατηρήστε όμως το εξής. Οι πιθανές θέσεις για το 2 είναι: στο πάνω τετράγωνο, τα κελιά ∆2, Ζ2 (που βρίσκονται στις στήλες ∆, Ζ) • στο κάτω τετράγωνο, τα κελιά ∆8, Ζ8 (επίσης στις στήλες ∆, Ζ!) Έτσι, είναι φανερό ότι η συμπλήρωση του 2 σε ένα κελί της στήλης ∆ στο ένα από τα δύο τετράγωνα επιφέρει συμπλήρωση του 2 σε κελί της στήλης Ζ στο άλλο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, στο κεντρικό τετράγωνο δε μπαίνει 2 στις στήλες ∆ και Ζ, αλλά στη στήλη Ε. Και αυτό γίνεται μόνο με 2→Ε4. •

•

2 9

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Στο ίδιο, βέβαια, συμπέρασμα θα κατέληγε κανείς παρατηρώντας τη στήλη Ε: θα διαπίστωνε ότι η μοναδική θέση για να μπει το 2 είναι το κελί Ε4. Σύμφωνοι. Όμως τα πλεονεκτήματα της έξυπνης σάρωσης που χρησιμοποιήσαμε στην ομάδα τετραγώνων είναι ότι:

9 8

6 7

4 5

∆

142

αξιοποιεί και ανάγει σε σημαντικό παράγοντα λύσης αυτό που δε γνωρίζουμε (ακόμη). Πού εφαρμόζεται η έξυπνη σάρωση; Σε ομάδες τετραγώνων, είτε οριζόντιες είτε κατακόρυφες. Αρκεί να μην περιέχεται ένας συγκεκριμένος αριθμός σε κανένα κελί των τριών τετραγώνων της ομάδας. Και φυσικά απαιτούνται ευνοϊκές συνθήκες για να προκύψει αξιόλογο αποτέλεσμα. Αν δούμε, για παράδειγμα, σε μία οριζόντια ομάδα τετραγώνων (πάνω τετράγωνα ή μεσαία ή κάτω τετράγωνα) ότι ο αριθμός 8 μπορεί να μπει: •

• στην 1η ή 2η γραμμή του αριστερά τετραγώνου • στην 2η ή 3η γραμμή του μεσαίου και • στην 1η ή 3η γραμμή του δεξιά τετραγώνου τότε, λυπάμαι, αλλά δε βγαίνει άκρη!

143

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

144

Αν όμως το 8 μπαίνει: • στην 1η ή 2η γραμμή του αριστερά τετραγώνου και • στην 1η ή 2η γραμμή του μεσαίου τότε υποχρεωτικά θα μπει στην 3η γραμμή του δεξιά τετραγώνου, αφού η τοποθέτηση ενός 8 σε κελί της 1ης ή 2ης γραμμής στο αριστερά τετράγωνο συνεπάγεται την τοποθέτηση του 8 στην άλλη γραμμή του μεσαίου τετραγώνου. Έτσι οι γραμμές 1 και 2 "έκλεισαν" για το 8. Στο δεξιά τετράγωνο, το 8 θα μπει στην 3η γραμμή:

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Α 1

8 (8)

(8)

•

Το πόσο μπορεί να αναπτύξει αυτή η μέθοδος τη συλλογιστική μας, θα φανεί στο επόμενο παράδειγμα. •

Το παζλ που ακολουθεί είναι πολύ δύσκολο. Θα κάνουμε ένα δυνατό ξεκίνημα, χρησιμοποιώντας ένα κοκτέιλ φαρμάκων:τη νέα μέθοδο μαζί με κάποιες γνωστές (ζεύγη, κρυμμένοι διάδρομοι):

• •

•

7 9

2 8

4 5 4

(8)

∆

•

9 8

2 8 3

6 4

Καταρχήν στο κεντρικό τετράγωνο έχουμε ζεύγος 19→(Ζ4, Ζ6) Έτσι, το 7 μπαίνει σε ένα από τα κελιά Ε5, Ζ5 του τετραγώνου. Συμπεραίνουμε, από αυτό τον κρυφό διάδρομο, ότι, στο αριστερά τετράγωνο, το 7 θα μπει σε ένα από τα Γ4, Γ6 δηλαδή στη στήλη Γ. Νέος κρυφός διάδρομος, λοιπόν! Στο κάτω αριστερά τετράγωνο, το 7 μπαίνει στο Α8 ή στο Α9, δηλαδή στη γραμμή 8 ή 9. Στο πάνω δεξιά τετράγωνο, το 7 μπαίνει στις θέσεις Η3, Θ3 άρα στις στήλες Η ή Θ. Λόγω του κρυφού διαδρόμου του κεντρικού τετραγώνου, στο δεξιά τετράγωνο, το 7 θα μπει σε ένα από τα κελιά Η4, Θ4, Η6, Θ6 επομένως πάλι στις στήλες Η ή Θ! Με έξυπνη σάρωση, συμπεραίνουμε ότι στο κάτω δεξιά

145

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

•

τετράγωνο, το 7 θα μπει σε ένα από τα Ι8, Ι9 δηλαδή στις γραμμές 8 ή 9! Από τα κάτω τετράγωνα, πάλι με έξυπνη σάρωση προκύπτει ότι το 7 του κάτω τετραγώνου θα μπει στην γραμμή 7. Σε κάποια από τις θέσεις Ε7, Ζ7! Α

7 9

6 7 7

8 3

8 2

∆

7 19

9 7

6 8

6 4

7 7

Μπορεί να μη βρήκαμε κάποιον αριθμό αλλά τι ωραίοι συλλογισμοί! Κι αν σας φάνηκε άχρηστο όλο αυτό και θέλετε πρακτικό αποτέλεσμα, δείτε ότι τώρα: 9→Ε9 ! Πράγματι, στο κελί Ε9, πριν τις σκέψεις που κάναμε, μπορούσε να μπει 7 ή 9 (δείτε το γιατί). Τώρα, όμως, που ανακαλύψαμε ότι το 7 δεν μπορεί να μπει στα κελιά Ε8 και Ε9… Καλή συνέχεια!

146

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

7. ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ Η μέθοδος της ΑΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ είναι, στα μαθηματικά, ένας τρόπος απόδειξης που αντιδιαστέλλεται προς την ΕΥΘΕΙΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ (στην οποία, με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, καταλήγουμε απ’ ευθείας στο ζητούμενο με συλλογισμό). Θα περιγράψω, σύντομα, τα βήματα της μεθόδου: • Ας υποθέσουμε ότι έχει δοθεί ένα σύνολο δεδομένων που αφορά μαθηματικές οντότητες, π.χ. ένα γεωμετρικό σχήμα ή μία ομάδα μεταβλητών αριθμών οι οποίοι πληρούν κάποιες σχέσεις. Με βάση αυτά τα δεδομένα, μας ζητείται να αποδείξουμε μία πρόταση που σχετίζεται με τα αντικείμενά μας. Ας ονομάσουμε p αυτήν την πρόταση. • Ενώ, όμως, μας ζητείται η απόδειξη της p, εμείς υποθέτουμε αυθαίρετα ότι η p δεν ισχύει. Η άρνηση αυτής της πρότασης, όταν συνδεθεί με τα δεδομένα και επεξεργαστεί –από μας- λογικά, οδηγεί σε αντίφαση (παράλογο, άτοπο στα αρχαία). Η αντίφαση δημιουργείται ανάμεσα σε ένα συμπέρασμα που βγάζουμε και στα αρχικά δεδομένα ή άλλες προγενέστερα αποδεδειγμένες και πάντως αναμφισβήτητες προτάσεις… • Έτσι, συμπεραίνουμε ότι η αυθαίρετη υπόθεσή μας (ότι η πρόταση p δεν ισχύει) ήταν λανθασμένη (αφού οδήγησε σε παραλογισμό) επομένως η p είναι σωστή και μ’ αυτόν τον πλάγιο τρόπο την αποδείξαμε. Με απλά λόγια: αφού η αυθαίρετη υπόθεση αντιφάσκει (με λογική επεξεργασία) με την αλήθεια (ό,τι θεωρούμε ως αλήθεια στα μαθηματικά), φταίει η υπόθεση, δηλαδή είναι λανθασμένη.

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

147

Μπορεί η απαγωγή σε άτοπο να χρησιμοποιηθεί ως μέθοδος στη λύση ενός sudoku; Και βέβαια! Έχουμε κι εδώ ένα σύνολο δεδομένων (το παζλ με τα γεμάτα κελιά του – αρχικά και όσα συμπληρώσαμε στην πορεία) και το παιχνίδι είναι δομημένο με λογικούς κανόνες: η συμπλήρωση ενός κελιού με έναν συγκεκριμένο αριθμό προκαλεί επόμενες συμπληρώσεις και αποκλεισμούς, έχει δηλαδή λογικές συνέπειες. Τι σημαίνει, όμως, απαγωγή σε άτοπο σε sudoku; Οπωσδήποτε, δε σημαίνει: • Την οποιαδήποτε διαδικασία αποβολής ενός αριθμού από τη δυνατότητα να καταλάβει ένα κελί. Όταν, για παράδειγμα κάνουμε μία σκέψη του τύπου "έμειναν οι αριθμοί 2 και 4 για να συμπληρωθεί η γραμμή τάδε, αλλά στο ένα κελί δε μπορεί να μπει το 2 άρα μπαίνει το 4", αυτή η παρατήρηση –σε καμία περίπτωση- δεν μπορεί να ειπωθεί απαγωγή σε άτοπο. Αποκλεισμός, ναι. Αποβολή, ναι. Αλλά η απαγωγή σε άτοπο, προϋποθέτει στοιχειώδη –έστω- συλλογισμό. Ακόμη και σε λίγα βήματα σκέψης. Όχι αυτοματοποιημένες απορρίψεις. Γελοιοποιούμε τη μέθοδο όταν την επικαλούμαστε με το παραμικρό. • Την αυθαίρετη τοποθέτηση κάποιου αριθμού (από δύο –στην καλύτερη περίπτωση…- πιθανούς) σε ένα κελί και την παρακολούθηση των συνεπειών αυτής της αυθαιρεσίας (εννοώ: τη συμπλήρωση όσων κελιών συνεπάγεται αυτή η επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος) μέχρι τη φανέρωση κάποιου λάθους. Τι ωραία! Αν δεν προκύψει λάθος, πάμε να παίξουμε κι ένα Τζόκερ. Κι αν μας κάτσει... αγοράζουμε όλα τα

148

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

sudoku του κόσμου και τα καίμε. Αν πάλι όλα χαλάσουν – χωρίς να μπούμε στον κόπο να κατανοήσουμε το πώς και το γιατί- τότε φταίει η μαύρη η γάτα που μας κοίταξε χθες με νόημα ή η τρελή του 2ου ορόφου που γυρνώντας φορτωμένη απ’ τη λαϊκή έπεσε πάνω μας και μας έσπρωξε κάτω από την (κακιά) σκάλα του μπογιατζή κλπ. Και φυσικά μετά την ανακάλυψη του λάθους, επειδή κατά βάθος είμαστε έξυπνοι εμείς, σπεύδουμε να σβήσουμε όσα κελιά συμπληρώσαμε με ειδικό τρόπο (διαφορετικό χρώμα μολύβι ή κουκκίδες ή αστεράκια ή καρδούλες ή ψίχουλα…) και δοκιμάζουμε άλλο αριθμό! Ε, τι; Μόνο ο Κοντορεβιθούλης και η Αριάδνη είχαν μυαλό; Και στις δύο, ευρέως διαδεδομένες, χρήσεις του ονόματος της μεθόδου υπάρχει πρόβλημα: στην πρώτη περίπτωση δεν υπάρχει καν συλλογισμός, στη δεύτερη διολισθαίνουμε σε trial and error: παρακολουθούμε την εξέλιξη της αυθαιρεσίας μας, χωρίς λογική επέμβαση. Είναι σα να λύνει το παζλ κάποιος άλλος. Και είναι λυπηρό το ότι περιοδικά αποκλειστικά με sudoku προτείνουν τέτοιους τρόπους λύσης. Ακούω ήδη τις αντιρρήσεις: «Καλά για το trial and error (δοκιμή και πλάνη, το λέμε στην Ελλάδα, κύριε), θυμόμαστε τα τρυφερά αισθήματά σου από την ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Αλλά κι εσύ, μη μας πεις πως όταν κόλλησες σε ένα δύσκολο sudoku και συνειδητοποίησες πως όλα κρέμονται από μια κλωστή, κι εσύ, λοιπόν, παραδέξου πως μπήκες στον πειρασμό να δοκιμάσεις, πως είδες στη δοκιμή την έσχατη ελπίδα να γλιτώσεις από την τρέλα». Ακούστε τώρα τις απαντήσεις: «Όχι μόνο, αγριεμένοι φίλοι μου, μπήκα στον πειρασμό μα αμάρτησα κιόλας. ∆οκίμασα, το ομολογώ! Αλλά ακόμα και στις

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

149

περιπτώσεις που δεν έκανα λάθος, έμεινα ανικανοποίητος. Ένιωσα ότι νικήθηκα- από ποιόν;- τη στιγμή που συμπλήρωσα χωρίς αδιάσειστα στοιχεία ένα κελί. Και προσπάθησα…, προσπάθησα να σκεφτώ βαθύτερα και περισσότερο, όταν διαπίστωσα ότι αναγκαζόμουν να δοκιμάσω από έλλειψη υπομονής ή ανεπάρκεια αναλυτικής σκέψης. Σε όλα τα παζλ η λύση (πρέπει να) προκύπτει με τη λογική. Αυτήν πρέπει να βελτιώσουμε». Θα λύσουμε δύο παζλ χρησιμοποιώντας απαγωγή σε άτοπο. Το ένα αμέσως τώρα, το άλλο αργότερα. Και στις δύο περιπτώσεις, η χρήση της μεθόδου θα μας βγάλει από αδιέξοδο. Όμως η υπόθεση που θα κάνουμε κάθε φορά:

150

ΕΝΑ ∆ΥΣΚΟΛΟ ΠΑΖΛ ΜΕ ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ Έχουμε, λοιπόν, το επόμενο παζλ, την εύκολη και μέτρια εκδοχή του οποίου, έχουμε ήδη λύσει αναλυτικά. Το γλωσσοφάγαμε αυτό το παζλ στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ, στο βαθμό δυσκολίας. Σειρά του να μας εκδικηθεί:

∆

3 1

• Θα είναι αυξημένης βαρύτητας για την επίλυση του παζλ και θα γίνεται σε χρονικό σημείο όπου οι υπόλοιπες μέθοδοι έχουν εξαντλήσει τις δυνατότητές τους. Έτσι, η επίκληση της μεθόδου θα δώσει σημαντική ώθηση στη λύση.

6 2

5 6

2 9

• Θα αποκαλύπτεται λανθασμένη σε μικρό αριθμό βημάτων, με λογική μεν, αλλά χωρίς να απαιτηθεί να γράψουμε στο παζλ – διαφορετικά θα έχουμε χρησιμοποιήσει ανομολόγητα δοκιμή και πλάνη. Με αυτούς τους δύο όρους αντιλαμβάνομαι την απαγωγή σε άτοπο σε sudoku. Επειδή θεωρώ ότι ο γρίφος αυτός (πρέπει να) εξασκεί τη λογική σκέψη. Κι επομένως, αν δεν μπορώ να το λύσω, φταίω εγώ κι όχι αυτός. Αλλά αρκετά μιλήσαμε για γυναίκες, που λένε κι οι Σικελοί του Αστερίξ.

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

8 9

• • • • •

5 5

9 3

Με σκανάρισμα βρίσκουμε απλώς 5→Ι2. Στη στήλη Ι, λείπουν οι 1, 6, 7 άρα 1→Ι9. Στη στήλη Ε, λείπουν οι 1, 7, 8, 9 επομένως 1→Ε6, 8→Ε3, 7→Ε4 και 9→Ε5. Τώρα, στη γραμμή 6, έχουμε 8→Η6, 6→Γ6. Στη γραμμή 4, το 6 μπαίνει μόνο στη θέση Θ4.

151

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• •

Έτσι: 6→Ι7 και 7→Ι5. Στη γραμμή 4, λείπουν οι αριθμοί 1, 3, 5 συνεπώς 5→Γ4. ∆είτε μέχρι εδώ:

∆

•

9 7

6 9

1 4

(3)

9 6

Α 1

Στο δεξιά τετράγωνο λείπουν οι αριθμοί 1, 2, 3 συνεπώς στο κελί Θ5 μπαίνουν οι 2 ή 3. Θα αποδείξουμε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι 2→Θ5. Υποθέτουμε, αντίθετα, ότι δε μπαίνει το 2 στο κελί Θ5 αλλά ότι 3→Θ5. Από την υπόθεση αυτή, προκύπτουν οι επόμενες συμπληρώσεις: 3→Η3, 3→Β4, 3→Α2. Έτσι, όμως, δεν υπάρχει κελί για να μπει το 3 στο κάτω αριστερά τετράγωνο, πράγμα που αντιφά-

∆

(3)

•

6 9

(3)

7 8

3 7

σκει με τον κανόνα του παιχνιδιού (σε κάθε σύμπλεγμα πρέπει να βρίσκονται όλοι οι αριθμοί). Καταλήξαμε, επομένως, σε άτοπο. Άρα η υπόθεσή μας (ότι 3→Θ5) ήταν λανθασμένη, συνεπώς το σωστό είναι: 2→Θ5. ∆είτε την αντίφαση που δημιουργείται με την αυθαίρετη υπόθεση:

5 5

•

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

7 8

5 6

3 1

•

152

1 4

(3)

5 5

3 7

Άμεσες συνέπειες: 2→Η8, 2→∆7, 3→∆9 και, στο κάτω δεξιά τετράγωνο –όπου έλειπαν οι αριθμοί 8, 9: 8→Θ7, 9→Θ8. Ακόμη 9→Ζ9, άρα 8→Α9 και 8→Β2, 8→Γ5, 9→Β3, 9→Η1, 9→∆2 και 8→Ζ8. Έχετε αγωνία να δείτε τι έγινε;

153

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

6 8

2 3

• • • •

8 7

∆

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

8 5

•

∆

5 6

154

Στη στήλη Γ, το 3 μπαίνει μόνο στη θέση Γ3. Έτσι 3→Θ2 άρα 7→Θ3 και 4→Η3. Στη γραμμή 2, λείπουν 4 και 7. Εύκολο: 4→Α2, 7→Ζ2. Τώρα 4→Ζ1 και στα τελευταία υπόλοιπα της γραμμής 1: 5→∆1, 7→Γ1. Ακόμη, στη στήλη Γ: 4→Γ8. Με σκανάρισμα, βρίσκουμε ακόμη ότι 4→Β5, 5→Ζ5, 6→∆5. Πού φτάσαμε;

• • •

4 5

Τώρα 7→∆8 άρα 7→Β7, 1→Β8 και 1→Α5. Τα τετράγωνα συμπληρώνονται με: 3→Β4 (άρα 1→Η4 και 3→Η5) και 3→Α7 (άρα 1→Ζ7). Τέλος 1→∆3, 6→Ζ3. Ουφ!!!

155

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

156

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

Πώς σας φάνηκε; Μελετήστε καλά τη λύση. Κυρίως στο κρίσιμο σημείο όπου εφαρμόσαμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, σκεφτείτε εναλλακτικούς τρόπους λύσης. Σημειώστε στα κενά κελιά τις δυνατότητες συμπλήρωσης πριν από κείνο το σημείο –μετά το παζλ δεν παρουσίασε τίποτε το ιδιαίτερο. Μπορεί να βρείτε καλύτερο τρόπο ή, ακόμη, διαφορετική υπόθεση που να καταλήγει σε άτοπο. Πριν προχωρήσουμε, έχω κάτι παλιό για σας: Το παζλ που χρησιμοποιήσαμε ως παράδειγμα στην έξυπνη σάρωση. Ίσως κάποιος να το συνέχισε. Θα διαπίστωσε ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο. ∆είτε πού το αφήσαμε:

∆

2 8

4 5

9 8

6 8

1 3

5 9

6 4

7 7

Στη γραμμή 9, λείπουν οι 1, 2, 5, 7. Ειδικά στο κελί Β9 μπορούν να μπουν μόνο οι 2, 5. Αποδείξτε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι 5→Β9. [Υπόδειξη: Φυσικά, θα υποθέσετε ότι 2→Β9. Συνδυάστε τα ακόλουθα: • Το 9 της στήλης Α, μπαίνει μόνο σε ένα εκ των κελιών Α1, Α8. • Το 2 του κελιού Β9, έχει συνέπειες ως προς το 2 του κάτω δεξιά τετραγώνου και τα 7 των κάτω τετραγώνων. • Αναζητήστε το 9 του πάνω δεξιά και κάτω δεξιά τετραγώνου.]

157

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(9)

∆

8 (9)

6 8

(2) 3

9 8

(7) 8

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

8. ΠΡΟΤΕΛΕΥΤΑΙΕΣ Ι∆ΕΕΣ

Το 2→Β9 φέρνει 2→Ι8 και τα 7 των κάτω τετραγώνων κατανέμονται ως εξής: 7→Α9 και 7→Α8.Έτσι, το 9 της στήλης Α, αναγκάζεται να τεθεί στο κελί Α1. Με σάρωση 9→Η3. Έτσι, δεν υπάρχει θέση για το 9 στο κάτω δεξιά τετράγωνο! ∆είτε το με τα μάτια σας:

158

1 8

5 9

6 (2) 4

(7)

Ας κάνουμε μια μικρή στάση. Φοβάμαι ότι τρομοκράτησα τον άπειρο λύτη, αυτόν που κάνει τα πρώτα του βήματα στο sudoku. ∆εν ξέρω καν αν είχε το κουράγιο να διαβάσει μέχρι εδώ! Αλλά με παρηγορεί η σκέψη πως ίσως, αργότερα, θα θελήσει να ανέβει επίπεδο και να χαρεί τα δυσκολότερα παζλ, χρησιμοποιώντας πιο προωθημένες τεχνικές. Από την άλλη, ο έμπειρος λύτης νομίζω πως αποζητάει αυτές τις τεχνικές. Μπορεί κιόλας να έχει ανακαλύψει και κάποια άλλη, που δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το βιβλίο. Θεωρώ πάντως δεδομένο ότι, αργά ή γρήγορα, ο καθένας θα θελήσει να ασχοληθεί με την ανώτατη κατηγορία δυσκολίας. Το ξανάπα: δε μας ικανοποιεί το εύκολο, το σίγουρο. Όλοι μας κρύβουμε έναν καταπιεσμένο ήρωα που ανυπομονεί να διαπρέψει, όχι απαραίτητα από εγωισμό. Απλά για να δηλώσει την ύπαρξή του. "Κάνε το θαύμα για να τ’ αρνηθείς" που έλεγαν ο Μπρετόν με τον Ελυάρ. Τι απέμεινε να πούμε, λοιπόν; Για τη σειρά που πρέπει να ακολουθήσει κάποιος για να λύσει ένα παζλ; Μα … δεν πρέπει τίποτα, πια! Ο καθένας διαλέγει μόνος του τη σειρά εφαρμογής τεχνικών, με μόνο κριτήριο τη μέγιστη δυνατή ευχαρίστησή του (θα προέτρεπα). Για το πώς να αντιμετωπίσει το αδιέξοδο που εμφανίζεται συχνά σε κάποιο σημείο κάθε πολύ-δύσκολου παζλ; Γι’ αυτό, μάλιστα! Ας δώσω, λοιπόν, μερικές ακόμη γενικές ιδέες, αν και στο επίπεδο που βρισκόμαστε –το ξανάπα, επίσης– έχουμε μπροστά μας, όχι ένα ταπεινό sudoku, μα μία σύνθετη άσκηση

159

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

γεωμετρίας. Χρειάζεται υπομονή, φαντασία, εγρήγορση και ταλέντο! Στοιχεία που, ως ένα βαθμό, καλλιεργούνται. Κοιτάξτε την επόμενη σειρά τετραγώνων. Προέρχεται από ένα λυμένο παζλ:

Υπάρχουν τρία ζεύγη αριθμών, τα 16, 29 και 35, καθένα από τα οποία: • Εμφανίζεται μαζί σε κάθε γραμμή καθενός από τα τετράγωνα • Συνυπάρχει σε κάθε γραμμή με έναν από τους αριθμούςμπαλαντέρ που δε συμμετέχουν σε ζεύγος, δηλαδή τους 4, 7 και 8. Ανάλογη κατάσταση (τρία ζεύγη, τρεις μπαλαντέρ) υπάρχει και σε κάθε ομάδα τετραγώνων κατά στήλη, μόνο που εκεί τα ζεύγη εμφανίζονται κατακόρυφα. Πάρτε ένα οποιοδήποτε λυμένο παζλ και αναζητήστε τα. Η εύρεση, σε ένα ημιτελές παζλ των ζευγών και των μπαλαντέρ σε κάποια ομάδα τετραγώνων, μπορεί να προωθήσει απροσδόκητα τη λύση. Προσοχή όμως! Σε σπάνιες περιπτώσεις ενδέχεται να μην έχουμε μπαλαντέρ, αλλά τρεις τριάδες αριθμών:

160

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Εδώ έχουμε τις τριάδες 168, 249 και 357. Ο αποκλεισμός όμως της περίπτωσης των τριών τριάδων είναι συνήθως εύκολος όταν έχουμε αρκετά γεμισμένα κελιά. Μία ακόμη τεχνική με σπάνια εφαρμογή είναι οι τετράδες. Βέβαια, όποιος κατανόησε και εφάρμοσε τα ζεύγη ή τις τριάδες στη λύση παζλ, θεωρεί αυτονόητο το επόμενο βήμα, της τετράδας αριθμών, οι οποίοι δεν μπορούν να καταλάβουν κάποια κελιά ενός συμπλέγματος επομένως θα μπουν στα υπόλοιπα, αφήνοντας ταυτόχρονα χώρο στους υπόλοιπους αριθμούς που δεν είναι συμπληρωμένοι στο σύμπλεγμα:

3 6 Στα κελιά Α, Β και Γ του δεξιά τετραγώνου δεν μπορούν να μπουν οι αριθμοί 1, 2, 5 και 9. Αυτή η τετράδα θα μπει στα υπόλοιπα τέσσερα κενά κελιά του τετραγώνου, δεξιά από

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

161

τους αριθμούς 3 και 6. Σε συνδυασμό με το υπόλοιπο παζλ, διασταυρώνοντας τα τέσσερα αυτά κελιά με τις στήλες, θα βρίσκαμε οπωσδήποτε κάποια στοιχεία. Το σίγουρο, όπως έχουν τα πράγματα, είναι ότι στα κελιά Α, Β και Γ θα μπουν οι αριθμοί 4, 7 και 8. Έτσι, στα δύο κενά κελιά της πρώτης γραμμής, έχουμε ζεύγος 36. Ανάλογα, σας εύχομαι να σας τύχουν και πεντάδες αριθμών. Εγώ είμαι καλό παιδί αλλά άτυχο. ∆εν έχω συναντήσει καμία πεντάδα μέχρι τώρα!

Και για το τέλος; Ποιο είναι το έσχατο όπλο που έχουμε όταν όλα τα άλλα έχουν πάθει αφλογιστία; Προτείνω τον έλεγχο κελί προς κελί και την σημείωση εκείνων των κελιών όπου μπορούν να μπουν –σε ένα πρώτο στάδιο σημειώσεωνδύο μόνο αριθμοί. Αυτού του είδους οι σημειώσεις θα σας αποκαλύψουν συσχετισμούς καθόλου προφανείς, που απαιτούν σύνθετες σκέψεις για να φανερωθούν. Μπορεί να προκύψει ένα παθητικό ζεύγος ή τριάδα αριθμών. Μπορεί να προκύψει ακόμη και μονοσήμαντος αριθμός για ένα κελί! Εννοείται, όμως, ότι η διασταύρωση γραμμής- στήλης- τετραγώνου για κάθε κελί, θα πρέπει να γίνεται με στρατηγική: Ξεκινάμε από τα κελιά όπου διασταυρώνονται συμπλέγματα που περιέχουν διαφορετικούς αριθμούς- όχι πολλούς αλλά διαφορετικούς, ώστε να απομένουν λίγοι πιθανοί αριθμοί για να καταλάβουν το κελί.

162

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

9. ΑΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ, ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΙΕΣ Για το τέλος κράτησα δύο πολύ δύσκολα sudoku. Θα τα λύσουμε αναλυτικά και θα εκτιμήσουμε το σύνθετο των σκέψεων που απαιτούνται για τη λύση τους. ∆εν θα συναντήσετε εύκολα τέτοια παζλ. Τουλάχιστον αυτά που κυκλοφορούν στις εφημερίδες και τα περιοδικά της χώρας μας σπάνια προσεγγίζουν ακόμα και το δύσκολο, άσχετα πώς αυτοχαρακτηρίζονται. "Τότε γιατί τις λύνουμε αυτές τις ασκήσεις;", που ρωτάνε κι οι μαθητές, "αφού δεν θα πέσουν στις πανελλήνιες…" Μα, για την ευχαρίστηση, φίλοι μου! Ένα πρώτο ερώτημα που θα μπορούσε να διατυπώσει κάποιος στην τεχνική της απαγωγής σε άτοπο, θα ήταν "τι να υποθέσω;" Και πως θα είμαι σίγουρος ότι αυτό που υπέθεσα είναι λάθος; ∆ιότι διαφορετικά, αν αυτό που υπέθεσα είναι σωστό, δε θα βγάλω συμπέρασμα! Συμφωνώ αλλά κρατάω μερικά κρατούμενα: • Το τι -θα –υποθέσω εξαρτάται από τους συσχετισμούς των κελιών (κενών και γεμάτων), από τον βαθμό εξάντλησης των υπόλοιπων μεθόδων (δεν αρχίζουμε τις υποθέσεις όταν μας περιμένει δουλειά!) και από την κρισιμότητα της υπόθεσης που θα κάνουμε (πρέπει το συμπέρασμα να είναι αξιόλογο). • ∆εν είναι τόσο κακό να μην έχεις κάνει λάθος! Ο έλεγχος των συσχετισμών των κελιών και των συνεπαγωγών στις οποίες οδηγεί μία αυθαίρετη παραδοχή, μας διδάσκει καλύτερα το sudoku που έχουμε να λύσουμε. • Η αλυσίδα των συνεπειών στις οποίες οδηγεί μία υπόθεση

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

163

μπορεί να αποκαλύψει κρυμμένες αλήθειες. Ας πούμε ότι σε ένα κελί δύνανται να τεθούν ακριβώς δύο αριθμοί. Η συμπλήρωση του κελιού με τον ένα από τους δύο, επιφέρει διαδοχικές συμπληρώσεις κελιών (όπως και με τον άλλο). Παρατηρήστε τα κελιά που θα συμπληρωθούν άμεσα. Ενδέχεται να βρείτε πως σε ένα άλλο κελί μπαίνει ο ίδιος, φαινομενικά άσχετος αριθμός, και στις δύο περιπτώσεις! Ξεκαθαρίζω για ακόμη μία φορά, με τη βεβαιότητα ότι γίνομαι κουραστικός πως ουδόλως αναφέρομαι σε trial and error. Κάθε υπόθεση, είτε καρποφορήσει είτε όχι, θα πρέπει να βγάζει συμπέρασμα σε ελάχιστα βήματα, τόσο λίγα που δεν απαιτούν γράψιμο! Στο δεύτερο από τα δύο –τελευταία- λυμένα παζλ που ακολουθούν, θα δείτε και έναν ισοδύναμο μετασχηματισμό, από αυτούς που συνηθίζουμε στα μαθηματικά. Είναι άξιο παρατήρησης ότι ο μετασχηματισμός ξεκινάει από κάτι προφανώς μη πραγματοποιήσιμο και οδηγεί σε αξιόλογο συμπέρασμα με θετικό τρόπο σκέψης! Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο συμπέρασμα με απαγωγή σε άτοπο, αλλά αυτός ο τρόπος είναι πιο δημιουργικός και όμορφος. Τόσο δύσκολα παζλ είναι σαν ανοιχτά προβλήματα: δεν ξέρουμε ποια είναι η αλήθεια, δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων τι ισχύει ούτε πώς να το αποδείξουμε. Γι’ αυτό πιστεύω ότι με τέτοια sudoku εμβαθύνει ο λύτης στην ουσία της μαθηματικής (λογικής) σκέψης. Ας προσευχηθούμε κάποια από τις επόμενες γενιές μαθητών να τα δει στα σχολικά εγχειρίδια!

164

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

ΠΡΩΤΟ ΟΡΙΑΚΟ ΠΑΖΛ Ας δούμε το πρώτο από τα δύο τελευταία λυμένα παζλ. Θα κάνουμε μία πρωτότυπη, επομένως δύσκολη σκέψη, σε ένα σημείο όπου το sudoku φαίνεται να μπλοκάρει. Από την πρώτη ματιά όμως είναι φανερό ότι, το παιχνίδι που έχουμε μπροστά μας είναι δύσκολο. ∆οκιμάστε να συμπληρώσετε "στα γρήγορα" έστω και έναν αριθμό! Α

8 2

5 6

∆

2 3 7 6 5

6 5

•

6 9

Στη γραμμή 8, έχουμε ζεύγος 49→(Θ8, Ι8). Έτσι, το 2 του κάτω δεξιά τετραγώνου, θα μπει σε ένα από τα κελιά Η7, Η9 δηλαδή στη στήλη Η. Από αυτό τον κρυφό διάδρομο προκύπτει 2→Θ6.

165

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

• •

•

Στη στήλη Θ, λείπουν 1, 4, 5, 8, 9. Ειδικά στο κελί Θ4, μόνο 4 ή 9. Έτσι έχουμε ζεύγος 49→(Θ4, Θ8). Στο κελί Β6 μπαίνει μόνο ο αριθμός 3! Όμοια 8→Ζ6. Το 3 της στήλης Ζ μπαίνει μόνο στο Ζ5 και, ύστερα, το 5 της στήλης Ζ μόνο στο κελί Ζ9. ∆είτε τώρα και δύο ζεύγη: 18→(∆2, ∆8) και 26→(Ζ2, Ζ8). Μικρή ανάπαυση: Α

8 9

• • •

•

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Νομίζω ότι έγινε ήδη αισθητή η διαφορά δυσκολίας από προγενέστερα, επίσης δύσκολα παζλ. Ρίξτε μια ματιά, πριν διατυπώσουμε τη σύνθετη σκέψη που ακολουθεί. Το παιχνίδι, σ’ αυτό το σημείο, μοιάζει αδιέξοδο.

4 6

5 49

Συνέπειες των προηγουμένων: 3→Η4, 3→Ι7, 3→Α8. Στο κελί Β5 μπαίνει μόνο το 5! Όμοια 6→Β4. Επίσης το 6 της γραμμής 9, μπαίνει μόνο στο κελί Γ9 επομένως, τώρα, το 6 της γραμμής 1, μόνο στο Α1. Γίνεται και με έξυπνη σάρωση. Ακόμη 5→Ε4. Έχουμε και τα ζεύγη: 49→(Γ4, Θ4) και 49→(Ε5, Ε6).

1 8

7 8

∆

9 6

8 7

5 6

∆

166

Μελετώντας το παζλ, βλέπουμε μια ενδιαφέρουσα αλληλουχία από ζεύγη 49. Παρατηρήστε την αλυσίδα των κελιών Θ4, Θ8, Ι8: Όποιος από τους αριθμούς 4, 9 μπει στο κελί Θ4, ο ίδιος θα μπει και στο Ι8! Σκεφτείτε το. Παρατηρούμε επίσης ότι στις στήλες Θ και Ι, υπάρχει ο αριθμός 7 και μάλιστα στο δεξιά και κάτω δεξιά τετράγωνο. Αλλά και στη γραμμή 1, υπάρχουν οι τρεις αριθμοί 4, 7, 9. Έτσι, όποιος από τους αριθμούς 4, 9 μπει ταυτόχρονα στα κελιά Θ4 και Ι8, θα ενώσει τις δυνάμεις του με τα 7 των στηλών Θ και Ι και θα βομβαρδίσουν το πάνω δεξιά τετράγωνο από τρεις πλευρές: τη γραμμή 1, τη στήλη Θ

167

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

και τη στήλη Ι. Αφήνοντας μάλιστα, ανέγγιχτα μόνο δύο κελιά του τετραγώνου, τα Η2 και Η3. Ήρθε η ώρα της περίπλοκης σκέψης:: Θα αποδείξουμε ότι στο κελί Η6 μπαίνει ένας από τους αριθμούς 4 ή 9. Θα αποκλείσουμε δηλαδή τη δυνατότητα να πει στο συγκεκριμένο κελί ο αριθμός 1, όπως φαίνεται αρχικά ερευνώντας τη γραμμή 6. Για να διευκολυνθεί ο αναγνώστης, θα δώσω δύο σχήματα με τις περιπτώσεις. Το σκεπτικό, όμως, είναι ίδιο: όποιος από τους 4, 9 μπει στα κελιά Θ4, Ι8 δημιουργεί με το 7, ενεργητικό ζεύγος που θα μπει στα κελιά (Η2, Η3) του πάνω δεξιά τετραγώνου: η

1 Περίπτωση Αν στα Θ4, Ι8 μπει 4 έχουμε ζεύγος 47→(Η2, Η3). Έτσι, το 9 του πάνω δεξιά τετραγώνου θα μπει στα Ι2 ή Ι3 άρα 9→Η6: 1

5 6

∆

3 4

7 8

(9)

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2η Περίπτωση Αν στα Θ4, Ι8 μπει 9 έχουμε ζεύγος 79→(Η2, Η3). Έτσι, το 4 του πάνω δεξιά τετραγώνου θα μπει στα Ι2 ή Ι3 άρα 4→Η6:

4 3

3 4

6 5

5 6

3 9

7 8

∆

3 9

(4)

168

Σε κάθε περίπτωση, λοιπόν, στο κελί Η6 μπαίνει 4 ή 9! Έτσι 49→(Θ4, Η6). Φαίνεται ασήμαντο ως συμπέρασμα αλλά είναι η αρχή του τέλους… Κατ’ αρχήν, στο δεξιά τετράγωνο απομένει 18→(Θ5, Ι5). Στη γραμμή 5, λείπουν 49→(Α5, Ε5). Και στο κελί Α5, δε μπαίνει 4 αλλά 9. Ρίξτε μια ματιά πριν την έκρηξη:

169

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

5 6

∆

3 4

7 8

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2 3

∆

•

∆ιαδοχικές συμπληρώσεις σε κελιά: 9→Α5, 4→Ε5, 9→Ε6, 4→Η6, 9→Θ4, 4→Γ4, 1→ Γ6. Από δω και πέρα είναι ένα, το πολύ μέτριας δυσκολίας, sudoku.

•

Ένας τρόπος για να ολοκληρώσουμε: 1→Α7, 5→Γ7, 4→Ι2, 79→(Η2, Η3), 6→Ι3, 5→Α2, 5→Θ1, 2→Α3, 8→Γ1, 1→Η1, 8→Θ2 (λόγω του ζεύγους 79).

•

170

Έτσι, 1→Θ5, 8→Ι5, 1→Ι9. Φυσικά 9→Ι8, 4→Θ8. Στη στήλη ∆: 1→∆2 και 8→∆8 οπότε 8→Η7, 2→Ε7, 6→Ζ8, 2→Ζ2, 1→Ε8, 2→Η9, 8→Β9, 2→Β8, 7→Γ8, 7→Β2, 7→Η3, 8→Ε3, 6→Ε2 και τέλος 9→Η2. Ωραία ήτανε!

∆ΕΥΤΕΡΟ ΟΡΙΑΚΟ ΠΑΖΛ Και τώρα το τελευταίο και πιο δύσκολο, μάλλον, παζλ αυτού του βιβλίου. Ελπίζω να σας άνοιξα την όρεξη για δύσκολα παιχνίδια και, κατά δεύτερο λόγο, να σας έπεισα ότι αξίζει να σκέφτεται κανείς λίγο παραπάνω όταν ζορίζεται, απ’ το να καταφεύγει σε τυχαίες δοκιμές αριθμών. Το sudoku που θα δούμε είναι η δύσκολη εκδοχή της ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ (§9. Βαθμός ∆υσκολίας). Καλή μας όρεξη!

171

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

2 5

2 8

8 6

1 3

6 7

5 4

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

5 6

∆

172

• •

Με σκανάρισμα 2→Γ9, 3→Α7, 3→Θ8.

•

Στο κάτω αριστερά τετράγωνο, το 5 μπαίνει σε μία από τις θέσεις Β7, Β8, Β9 άρα (κρυφός διάδρομος): 5→Α5.

•

Στη στήλη Α, λείπουν τώρα οι αριθμοί 1, 8 και 9 άρα 1→Α1.

•

Με σκανάρισμα βρίσκουμε 7→Β2, 8→Β4, 8→Ε5, 8→∆3, 8→Α2. Έτσι 9→Α3 και συμπληρώθηκε η στήλη Α. Ακόμη 7→∆7.

• •

• • •

∆

9 2 5

8 6

2 1

2 8 5 8

2 9

Στη στήλη Ι, το 7 μπαίνει μόνο στο κελί Ι1. Τώρα, λείπουν στη στήλη Ι, οι 3, 4, 5, 6. ∆ιαδοχικά έχουμε 4→Ι5, 6→Ι7, 3→Ι3 και 5→Ι2. Με σάρωση: 4→Θ7, 6→Ε9, 9→Β7. Στη γραμμή 9, λείπουν οι αριθμοί 1, 5, 7.Αλλά 17→(Η9, Θ9) για να συμπληρωθεί το κάτω δεξιά τετράγωνο. Έτσι: 5→Β9 οπότε 1→Β8. Ακόμη 5→Ε8. Στη στήλη ∆, το 1 μπαίνει μόνο στο ∆6. Τώρα, λείπουν οι αριθμοί 5, 9 της στήλης άρα: 9→∆4, 5→∆1. Στη γραμμή 5, οι τελευταίοι αριθμοί τακτοποιούνται ως εξής: 1→Γ5, 9→Η5. Συνεπώς 9→Θ2. Στη στήλη Γ, το 9 μπαίνει μόνο στο κελί Γ6. Ας πάρουμε μια ανάσα:

173

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

8 9

∆

2 5

6 7

174

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

κρατήσει όσες σημειώσεις είναι απαραίτητες για να διατυπώσω μία υπόθεση που θα αποδειχτεί λανθασμένη. Αφορά τα πάνω τετράγωνα, όπου λείπουν οι αριθμοί 1, 3, 4, 6. Θα εργαστώ, λοιπόν, με απαγωγή σε άτοπο:

∆

346

134

8 9

Σιγά το δύσκολο, θα μου πείτε. Έχουμε ήδη συμπληρωμένα τα 58 από τα 81 κελιά του παζλ. Και μάλιστα χωρίς να’ χουμε καταφύγει σε κάποια εξεζητημένη μέθοδο. Τι μπορεί να μας ζορίσει από δω και πέρα; ∆είτε όμως μόνοι σας. ∆εν είναι εύκολο να μπει ούτε ένας αριθμός. Μπορούν να βρεθούν κάποια ζεύγη μεν, όμως από μόνα τους δεν οδηγούν σε συμπέρασμα. Θα χρειαστούμε σημειώσεις και όχι μόνο για τα ζεύγη. Σ’ αυτό το σημείο του παζλ, επιβάλλεται να χρησιμοποιεί κανείς όλα του τα όπλα. Ελέγχοντας, λοιπόν, όλα τα κελιά με διασταύρωση γραμμής– στήλης -τετραγώνου καταλήγουμε στους πιθανούς αριθμούς που μπορεί να φιλοξενήσει κάθε κενό κελί. Παρατηρήστε τώρα την επόμενη μορφή του παζλ. Έχω

• •

•

4 8

2 9

Θα αποδείξω ότι στο κελί Ε2 δε μπορεί να μπει ο αριθμός 3. Υποθέτω, αντίθετα ότι 3→Ε2. Τότε όμως 4→Γ2 και 4→Ζ2. Έτσι στο δεξιά τετράγωνο δε μπορεί να μπει πουθενά το 4! Πράγμα προφανώς λανθασμένο. Ώστε, τελικά το 3 δε μπαίνει στο κελί Ε2. Συνέπειες: 3→Ζ1 (κάπου πρέπει να τοποθετηθεί το 3 του πάνω τετραγώνου) οπότε 3→Γ2. ∆υστυχώς, η πρόοδος είναι πολύ μικρή:

175

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Α

∆

176

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

∆

567

245

2 9

Σημείωσα και τα κενά κελιά των μεσαίων τετραγώνων. •

∆εύτερη απαγωγή σε άτοπο. Θα αποδείξω ότι το 6 δε μπαίνει στο κελί Η6.

•

Αν ήταν 6→Η6, τότε θα είχαμε διαδοχικά: 6→Γ4, 6→Θ3 και δε θα υπήρχε θέση για το 6 στο πάνω αριστερά τετράγωνο, πράγμα άτοπο.

•

Ώστε το 6 δε μπαίνει στο Η6. Έτσι 3→Η6 συνεπώς 3→Ε4. ∆είτε όμως:

567

245

Η πρόοδος είναι πάλι σχεδόν αμελητέα. Θα διατυπώσουμε, τώρα, μία σύνθετη μεν αλλά –ελπίζω να σας φανεί- όμορφη σκέψη. Έχουμε σημειώσει όλους τους αριθμούς στα κενά κελιά των δύο πάνω ομάδων τετραγώνων και παρατηρούμε ότι ο αριθμός που λείπει τις περισσότερες φορές είναι το 4. Σα να μας προκαλεί να ασχοληθούμε μαζί του. ∆εχόμαστε την πρόκληση. Παρατηρήστε, λοιπόν, ότι δεν είναι δυνατό να τεθούν ταυτόχρονα (4→Β6 και 4→Ζ3) διότι κλείνουν τους διαδρόμους για το 4 στο κεντρικό τετράγωνο. Έτσι ο συνδυασμός (4→Β6 και 4→Ζ3) είναι αδύνατος. Όμως η κίνηση 4→Β6 είναι ισοδύναμη με την κίνηση 4→Γ1, υπό την έννοια ότι αν συμβεί η μία συμπλήρωση τότε θα συμβεί υποχρεωτικά και η άλλη.

177

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

Συμπεραίνουμε ότι ο αδύνατος συνδυασμός (4→Β6 και 4→Ζ3) γράφεται (4→Γ1 και 4→Ζ3). Αυτός όμως ο συνδυασμός κινήσεων είναι ισοδύναμος με μία κίνηση, την 4→Η2. Έτσι, βγάλαμε το τρομερό συμπέρασμα ότι η κίνηση 4→Η2 είναι αδύνατη. Επομένως 1→Η2 και το παζλ θα λυθεί σχεδόν αυτοματοποιημένα: 6→Θ3, 4→Β3, 6→Γ1, 4→Η1, 4→Ε2, 1→Ζ3, 6→Β6, 4→Γ4, 5→Ζ4, 2→Ζ7, 1→Ε7, 2→Ε6, 4→Ζ6, 5→Θ6, 7→Θ4, 6→Η4, 7→Η9 και 1→Θ9. Όμορφα!

∆

178

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Ένα μικρό σχόλιο, πριν σας αδειάσω τη γωνιά και σας αφήσω να ασχοληθείτε με τα άλυτα παζλ του βιβλίου. Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε τον πολύπλοκο ισοδύναμο μετασχηματισμό της τελευταίας κρίσιμης σκέψης και να εργαστούμε ξανά με απαγωγή σε άτοπο. Σκεφτείτε το: ας υποθέσουμε ότι 4→Η2. Τότε, θα είχαμε 4→Ζ3 και 4→Γ1, άρα 4→Β6. Από το 4→Ζ3 και 4→Γ6, θα βλέπαμε ότι δεν υπάρχει θέση για το 4 στο κεντρικό τετράγωνο, άτοπο! Όμως, ο μετασχηματισμός μου φαίνεται ομορφότερος, γιατί ξεκινήσαμε με θετική σκέψη. Υπήρξε και για μένα έκπληξη το ότι προέκυψε αξιόλογο αποτέλεσμα. Και από τότε, το εφαρμόζω, όπου και όποτε βολεύει. Στο επανιδείν!

ΤΕΣΣΕΡΑ ∆ΥΣΚΟΛΑ ΚΟΜΜΑΤΙΑ Και τώρα η σειρά σας:

179

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

∆

4 5

6 7

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

2ο

1ο

180

1 3

∆

7 8

3 4

7 1

2 9

1 3

1 5

181

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

∆

3 4

7 5

2 9

5 9

∆

6 3

4 8

3 7

9 8

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

4ο

3ο

182

7 7

183

ΟΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ

3ο

1ο Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

1 2 3

1 5 7

4 8 3

2 6 9

7 1 4

8 9 6

5 3 2

6 2 5

3 4 8

9 7 1

1 2 3

4 1 9

7 5 8

2 6 3

5 3 7

9 4 1

8 2 6

3 8 4

1 7 2

6 9 5

4 5 6

8 3 6

2 7 9

4 1 5

5 6 3

1 2 7

9 4 8

7 8 1

6 9 2

3 5 4

4 5 6

8 5 6

3 9 2

7 1 4

1 4 8

2 6 7

5 3 9

6 2 5

9 8 3

4 7 1

7 8 9

2 4 9

5 6 1

8 3 7

9 8 2

4 5 3

1 7 6

3 9 4

7 1 5

6 2 8

7 8 9

3 7 2

1 6 4

5 8 9

9 2 6

8 5 3

4 1 7

7 9 1

6 4 5

2 3 8

Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

1 2 3

3 5 7

4 2 6

1 8 9

5 6 4

9 7 2

8 3 1

2 4 3

7 1 5

6 9 8

4 5 6

2 1 6

7 8 9

3 4 5

1 9 2

6 3 8

5 7 4

9 6 1

8 2 3

4 5 7

7 8 9

8 9 4

1 3 5

7 6 2

3 7 8

4 5 1

6 2 9

5 8 7

9 4 6

2 1 3

2ο

4ο Α Β Γ

∆

Ζ Η Θ Ι

1 2 3

4 2 5

9 6 7

3 1 8

6 9 2

7 4 1

8 5 3

5 3 9

2 7 4

1 8 6

4 5 6

6 7 8

1 2 3

5 4 9

4 8 7

3 6 5

2 9 1

8 1 2

9 3 6

7 5 4

7 8 9

1 3 9

5 4 8

6 2 7

3 1 5

9 8 2

4 7 6

7 6 4

8 5 1

2 9 3

184

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

Π ΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ S UDOKU

E ASY

189

[1]

3 2 6 8 8 4 9 6 2 7 5 4 2 1 5 8 7 6 1 2 7 3 5 9 6 8 7 4 8 4 6 9 1 2 9

190

[2]

191

[3]

1 1 7 4 9 1 9 5

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

3 9 7 5 3

4 2 9 8 2 9 5 7 7 3 1 4 1 8 9 6 1 2

9 7 4 1 5 3 8 5 2 7 1

8 7 5 9 3

1 7

6 2 7 3 4 8 4 8 9 9 1 8 4 2 3 1 9 7

192

[4]

2 4 9 6 1 9 8 4 5 8 2 9 5 1 5 6 3 8 8

EASY

SUDOKU (ÁÐÏ ôï Á ÙÓ ÔÏ Ø)

193

[5]

3 8 1 2 5 2 1 1 6 7 6 2 7 8 4 3

6 1 2 5 4 5 2 8 4 3 7 6 1 3 5 6 9 2 4 5 8 5 8 6 9 6 1 4 9 7

4 3 1 2

194

[6]

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

4 6 3 2 3 2 1 6

195

[7]

2 6 3 7 1 8 4 9 2 7 6 2 9 7 8 3 6 5 1 8 9 5 7 8 2

9 7 2 5 8 4 2 4 6 3 9 3 4 7 7 2 9 1 8 6 7 9 5 9 2 8 4 3 5

4 2 5

196

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[8]

[9]

8 3 5 6 1 5 4 4 8 7 2 3 7 6 1 3 9 7 4

7 1 5 3 6 5 7 3 9 4 6 9 5 2 8 6 3

7 5 7 9 5 1 3 5 1 8 2 9 7 4 7 4 1 3 8 6 3 2 4 7 6 2 3 5 9 8 6 9 1 7 1 3

197

198

[10]

3 1 5 4 6 1 7 5 8 8 2 5 9 4 3 7 1 4 2 2 9 7 6 2 3 4 9 1 8 6

199

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[11]

2 8

8 1 5 3 6 4 1 5 7 3 1 4 6 7 2 8 9 5 4 6 5 8 9 4 9 4 9 1 5

200

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[12]

201

[13]

2 5 4 7 9 1 9 3 3 4 2 8 1 6 8 5 1 8 3

4 8 7 2 5 2 4 1 6 3 9 4 5 2 1

8 9 3 6 7 3 5 8 1 2 9 4 2 8 3 2 3 1 5 7 8 9 5 2 6 1 2 8 5 3 4 7 5 1 7

202

[14]

[15]

4 2 5 9 7 8 1 9 3

203

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

8 3 7 6 1 3 9

2 5

1 5

2 5 2 4 2 6 9 6 3 5 4 7 9 6 8

4 9 1 9 4 8 5 2 1 7 4 7 2 5 9 7 4 9 6 3 1 9 6 4 4 2 9

3 6 8 4 5 8 7 4

204

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[16]

8 2 5 3 9 7 7 4 1 2 6 6 4 3 7 5 7 5 3 1 1 4 6 7 2 6 9 3 1 2 7 5 9 6 8 3

205

[17]

3 6 7 4 9 2 6

4 9 5 1 7 4 3 6 7 1 9 7 1 9 6 3 2 1 8 6 3 9 2 1 6 8 2 3

206

207

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[18]

[19]

9 8 3 5 6 7 5 2 7 4 6 1 4 1 2 6 8 4 6 2

5 1 3

4 5 3

7 5

8 7

7 1 2 8 9 6

1 8 7 4 3 9 6 3 1

3 1 5

9 3 5

8 9 6

5 8 2 2 8 3 6 6 2 3 8 1 3 6 4

208

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[20]

9 2 7 3 5 2 4 1 9 4 8 6 2 2 8 8 2 7 3 3 9 1 5 2 8 3 4 9 5

209

[21]

4 5

3 8

7 9

1 6

7 3 5 2 8 7 8 3 2 6 7 8 1 6 4 7 9 9 3 4 6 1 8 9

5 8 1 5 3

210

[22]

9 3 6 5 2 4 8

211

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[23]

4 1 6 5 9 4 2 1 2 9 9 3 1 8 9 8 6 3 1 8 6 9 2 6 5 2 8

3 7

9 2 4 5 3 8 9 1 5 7 3 8 4 5 2 1 4 7 7 6 2 8 1 1 4 8 5 1 7 3 4

212

[24]

213

E ASY

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[25]

4 8 5 4 3 9 1 9 7 5 7 8 7 5 2 9 1 4 3 6 4 8 5 9 8 2 9 7 5 4 1 7 9

3 9

1 8

5 1

1 4 8 6 9 3 7 5 9 6 8 1 9 3 6 4 9 2 6 5 3 1 4 7 7 8 6 2 6 3

M EDIUM

217

MEDIUM

[26]

2 1 5 4 6 8 4 9 5 3 4 9 6 5 2

4 1

8 3 5 6 7

5 2 6 1 8 4 9 7

218

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[27]

7 4 1 5 5 2 4 7 6 5 1 8 4 9 3 6 4 9 3 1 1 7 5 2 8 4 6 7 8 1

219

[28]

6 7

7 2 3 4 1 6 9 1 7 8 5 1 3 6 2 1 6 7 9 5 2 7 3 2 1 3 6 9

220

221

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ôï Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[29]

[30]

5 4

1 4 8

6 2

4 6 1

9 4 8 7 6

2 6 5

6 7 4 3 2

2 9

7 1 5

8 5

7 3

7 8 1

8 3

1 7

5 8 2

3 2 5 9

4 2 6

6 5

222

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[31]

223

[32]

4 7 8 2 3 7 6 9 2 4

3 1

5 3 9

6 8

2 1

1 1 2

3 8 4

8 2 8 4 5 6 9 5 7

5 3 9

6 9

1 7 2 6 9 4 3 5 8 4 1 2 3 4 8 2 3 8 6 1 2 9 8 4

224

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[33]

7 3 6 6 1 9 8 2 5 8 1 6 5 2 1 1 9 5 8 3 6 4 4 6 1 9 4 7 2

225

[34]

4 2 1 4 8 5 3 7 2 8 9 5 4 9 1 7 9 6 8 5 6 7 1 8 1 7 5 6 9

226

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[35]

[36]

4 5 3 7

5 8 4

227

9 1 4 7

3 4 9 6 1 7 8 7 3 6 2 5 1 9

3 2 4 1 9 1 8 5 2 3 7 8 2 8 5 6 4 9 6 7 3 5 4 7 3 6 1 9 2 4

228

[37]

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

229

[38]

9 2 1 8 7 2 3 2 5 4 6 1 5 2 1 9 8 5 6 2 4 7 3 4 6 5 1

2 5 6 3 2 1 8 2 1 6 7 5 8 4 5 3 6 1 8 6 3 8 7 1 5 7 4 6 3 9

230

[39]

231

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[40]

9 8 2 8 3 4 1 8 6 8 7 9 5 1 5 2 8 5 1 9 4 7 6 5 2 4 1 6 8 9 4

4 6 2 3 2 8 5 9 2 1 3 4

9 4 7 6 3

1 5

2 7 6 8 7 1

232

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[41]

233

[42]

1 4 3 4

9 9

2 7 6 1 5

6 9 4 1 5

6 1 5

1 3 9 8 7 2

6 8 5 9 1 3 5 2 3 1 4 6 7 8 4 1 2 6 5 8 4 9 6 8 5 2 5 8 4 2 1

234

[43]

8 9 1 6 5 3 2 3 1 8 7 5 1 7 8 3 2

235

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[44]

7 3 4 2

1 1 5 6 5 6

2 4 5

3 7 9 9 7

1 4 5 4 7 4

5 6 2 9 1 6

9 1 7 3 7 2

9 5 5 2 2 1

3 1 8 5

236

237

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[45]

[46]

3 5

8 4

7 7

1 3 7 8 2

1 9 8 2 9

9 6 1

4 2 5 8

8 1 4 7 3 5 1 8 4 7 4 9 8 1 9 3 2 7 4 8

8 6 1 9 4 2 3 9 3 5 7 4

3 5 8 9

7 3

238

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[47]

[48]

8 2

8 5 4 2

2 1 6 8 5 3 7

3 7

8 9

239

5 4

5 3

9 4

7 3 2 4 1 8

3 1 2 6 2 7 8 1 6 8 9 4

9 1 5 5 8 3 4 6 9 1 5 8 4 7 2

9 7

240

[49]

241

MEDIUM

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[50]

8 6

5 9 3 2 1 7 5 8 6 1 3 7 4 6 8 2 5 2 1 8 9 7 2 5 4 6 8 3 6

9 7 1

4 2

4 9 3 2 7 4 8 2 9 6

5 1 3

7 2 1 8 7 3 6 1 8

H ARD

245

HARD

[51]

5 9 6 7

7 8 1 5 3

2 3 1 8 7 5 2 8 3

3 7 6 4

246

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[52]

247

[53]

5 6 8 9 3 1 9 5 6 1

4 7 3 8 9

8 2 9 7 4

7 4 6 1 3 2 6 7

3 9 3 5 6 1 3 6 4 2 1 8 8 3 1 7 9 4 2 1 8 6 1 4 7 3 7

248

[54]

[55]

8 7

249

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ôï Á ÙÓ ÔÏ Ø)

2 9 1 7

6 9 4 4 5 2 1 6 6 2 3 9 6 1 2 6 8 6 5

1 2

4 8

3 2 5 5 8 1

6 3 9 4

6 4 6 7 9 4 7 6 5 2

6 3

250

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[56]

[57]

1 3

2 7

1 8

4 7 9 8 6 5 1

251

6 8 6

4 3

4 9 8 6 7 7 5 6 9

1 8

4 8 1 9 5 9 3

3 2 6 9 4 2 3 7 8 5 1 5 3 7 9 1 2 9 5

252

253

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[58]

[59]

1 6 3

2 1 7 9 4 1 6 7

6 5 2 3 4

4 5 6 9

1 8

6 2

7 4

8 8 1 2

2 7

7 9

4 9 6

7 3

6 8 1 9

254

[60]

[61]

7 5

255

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

8 6 2 3 1 5

1 8

8 2

1 7 6

3 8 2 5 4 2 5 3 1 7 6 9

9 6 5 3 8 9 4 7 6 1 3

7 1

5 1 3

2 9 6 5

7 2

256

[62]

7 2 6 4 1 1 6 9 9 6 2 6 7 4 2 1 5 7 1 2 7 9 6 4 8 3 5

257

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[63]

1 9 8 2 2

2 3 3 2

6 8

1 4 1

7 6

3 3 9 1

4 9 6

4 5

258

[64]

[65]

8 2 7 9 5 6 2 7 9 5 9 1 8 4 5

8 1

6 4 5

9 5

8 3 1 8 9 1 3

4 5

3 2 7

3 7 9 1 8 3 6

5 9 1

1 6

259

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

5 4 1

260

261

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[66]

[67]

3 8 4

8 2 7

9 1 7 1 4 3 6 9

6 1 7 5 4 9 1 3 9 7 5 8 8

6 1

5 3 2 9 6 4 3 2 3 5 8 4 2 7 6 1 5 3

7 7

6 3

262

263

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[68]

[69]

1 3 9 2 6 8 1 6

7 4

9 3 6 7 7 2

4 2

6 1 5 2

5 3 7 9 2 8 4 5 9

8 2

9 7 6

1 7 8 9

6 3 7

9 1 2 7 3 5

264

[70]

265

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[71]

9 7 6 6 2 9 2

3 8 7 5 9 7 6

5 2

4 1

4 2 7 7 5 4 6 3

1 3

3 4

4 2 1

6 5

1 5 8 5 4

2 1 5 9 8 7

266

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[72]

267

[73]

5 7 9 6

9 5 1

1 7

8 5

6 1

2 3

4 8

5 2 6 4 2 7

3 5

8 1 2

9 6 1 2 4

5 2 7 3 4 6 9 8 1 3 5 6 3 7 2 8 6 1

268

269

HARD

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[74]

[75]

7 6 3 4 8 8 9 2 6 3 7

6 3 9

9 5

2 7 9 8 2 7 4 2 8

1 4 5 1 5

1 2

6 5

3 2 4 2 8 9

4 1 9 7 5 2 9 7 1 4 2 3 4 1

E VIL

273

EVIL

[76]

6 7

9 5 8 2 3 4 8 3 7

9 3

8 7

4 2 2

8 1 2 4 9 5

274

275

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[77]

[78]

3 9 7 8 5 4

8 4 1 6

8 3

4 9

6 3 8 2

7 9

6 9

7 9 5 6

4 9

7 5 2 6

1 5

5 9 1 3

8 6

7 6

276

277

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ôï Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[79]

[80]

4 3

8 2 7 6

7 9 6

6 7 8

4 8 1

1 5 8 4

6 3 2 9

4 5

7 8 9 1 2 3 6 2 2 6 4 1 6 2 7 5 8 2 7 1

278

279

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[81]

[82]

8 9

8 1

2 8 7

4 9 2 1 5 7 9 6 1 8 5 2 6 1 2 5 3 4

7 8

3 2 1

7 7 1 5

4 5 7

1 3 6

9 6 8 1

6 5 8 7 4

280

281

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[83]

[84]

1 2

6 6 8 7

8 7

1 7

3 2 1

2 7 9 9 8

7 9

4 6 3 8 5 6

9 3 5 4 8 5 7 1 7 2 1 3 3 2 7 6 2 9 7 4 8 6 5

282

283

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[85]

[86]

9 2 6 7

3 7 5 9

4 3 5 8

8 4 1 4 9

8 6 5 1 8

2 9 6

6 2 3 6 1

2 5 6

5 6 3 8 9 7

2 9 8 5 3 5 9

284

285

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[87]

[88]

7 1 8

5 9 1 6 3 4 2 7 4 6

3 7 2 9 1

2 8 4 1 5 1 6 9 5 2

1 3

2 6

4 9 5

3 8 6

4 9

8 5 1

4 1

4 7 8

286

[89]

[90]

2 1

4 4 5

9 1

8 2

2 6 5

9 4

5 7 4

9 2 4

6 1 9 7

287

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

8 7 6 1

3 2

1 7

8 5

9 4 2 9 8

288

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[91]

289

[92]

9 5

3 3 1

6 3

6 7 2 6

3 6

6 3 8 1 9 3 7 7 4 6 5 2 5 1 4 8 6 2 7 3 1 3 9 2

5 7 6

1 5 2

4 8 3

9 2 8

290

[93]

8 5 6 3 2 5 1 9 6 8 2 5 7

291

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[94]

2 8 5 7 9 7 6 3 9 5 1 4

5 8

4 3 1 9 6 8 7 3 8 1 1 5 6 5 9 1 4 6 8 4

292

293

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[95]

[96]

8 5 2 1 8

1 6 7 9 2 3 1 3

6 7 9 7 8

9 8 4 5 9 6 2

7 1 9 8 7 4 3

7 1 2 4 1 9 6 2 2 8

6 5

294

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[97]

[98]

2 9

4 5

7 8

1 8

1 7 5 3 8

1 4

6 9 5 9

2 7

295

6 2 4

7 6 6 4

2 3 8 1 5 2 5 1 6 4 8 5 1 9 3 8 4 7 9

296

297

EVIL

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

[99]

[100]

7 6

6 8 9 1

4 1 5 4

3 8 2 9

5 4 7 3 2 1

5 8 7 6

4 2

2 4

3 8

8 7 4 6

6 8 9 9 5 3

2 4

3 9 2 6 1

Λ ΥΣΕΙΣ

Π ΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΩΝ S UDOKU

301

Ë ÕÓÅÉÓ

[1] 8 1 2 5 4 7 6 9 3

4 3 5 9 6 2 1 8 7

6 9 7 8 3 1 2 5 4

7 4 3 1 2 9 8 6 5

[3] 3 7 1 9 6 2 5 8 4

[2]

Easy

9 8 5 3 4 7 6 2 1

1 8 9 4 5 6 7 3 2

5 2 6 3 7 8 9 4 1

3 6 1 2 8 5 4 7 9

2 5 8 7 9 4 3 1 6

9 7 4 6 1 3 5 2 8

Easy 6 4 2 8 5 1 7 3 9

1 2 6 5 8 9 3 4 7

4 5 7 1 2 3 9 6 8

8 9 3 4 7 6 1 5 2

9 6 4 3 2 7 5 8 1

Easy 7 5 8 1 4 6 2 9 3

2 3 1 8 9 5 4 7 6

6 1 7 9 8 2 3 5 4

[4] 7 1 8 6 3 4 2 9 5

5 6 9 2 1 8 4 7 3

2 3 4 7 9 5 8 1 6

8 7 2 1 6 3 4 5 9

5 4 3 8 7 9 1 6 2

3 4 9 7 5 1 8 6 2

8 2 5 6 3 4 9 1 7

1 9 3 2 7 8 6 4 5

4 8 6 5 1 3 7 2 9

5 7 2 4 6 9 1 3 8

3 8 4 9 1 6 2 7 5

9 1 5 2 4 7 3 8 6

6 2 7 3 5 8 9 1 4

Easy 1 9 6 4 2 5 7 3 8

2 6 1 5 3 4 8 9 7

7 3 9 6 8 2 5 4 1

4 5 8 7 9 1 6 2 3

302

[5] 3 1 5 4 7 2 8 9 6

9 2 6 1 3 8 7 4 5

8 7 4 6 5 9 3 2 1

6 9 3 7 2 1 5 8 4

[7] 3 8 9 7 4 2 1 6 5

[6]

Easy 1 4 7 5 8 3 2 6 9

2 5 8 9 4 6 1 3 7

5 8 9 3 6 7 4 1 2

7 6 2 8 1 4 9 5 3

4 3 1 2 9 5 6 7 8

Easy 7 4 5 1 9 6 3 8 2

2 1 6 3 8 5 9 4 7

1 7 3 4 6 9 5 2 8

9 6 8 5 2 7 4 1 3

4 5 2 8 3 1 6 7 9

9 5 2 7 1 6 8 4 3

4 6 3 2 8 5 7 9 1

2 7 1 9 6 8 4 3 5

[8] 6 9 4 2 5 8 7 3 1

5 2 1 6 7 3 8 9 4

8 3 7 9 1 4 2 5 6

9 7 4 8 1 5 6 3 2

[9]

Easy 7 1 8 3 9 4 2 5 6

6 8 4 1 5 3 9 2 7

3 9 5 4 7 2 6 1 8

1 3 7 6 4 9 5 8 2

8 2 9 5 3 7 1 6 4

5 4 6 8 2 1 3 7 9

8 2 5 9 6 3 1 4 7

3 5 1 6 8 7 2 9 4

4 6 8 2 3 9 7 1 5

7 9 2 5 4 1 3 8 6

1 6 2 8 4 3 9 7 5

1 4 9 7 2 8 5 6 3

5 8 7 3 9 6 4 2 1

2 3 6 1 5 4 9 7 8

6 7 8 5 9 3 4 1 2

[10]

Easy 5 3 9 6 7 2 1 4 8

4 8 7 5 9 1 3 6 2

8 2 4 1 3 7 5 9 6

[11]

Easy 6 1 3 4 7 2 8 5 9

303

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

4 3 9 2 1 8 7 5 6

7 9 6 2 5 4 8 1 3

3 5 1 9 8 6 4 2 7

2 1 8 3 6 9 7 5 4

9 4 3 7 2 5 6 8 1

6 7 5 4 1 8 2 3 9

Easy 2 5 1 6 4 7 3 8 9

7 8 5 1 3 9 6 2 4

9 4 3 8 6 2 5 7 1

1 2 6 7 5 4 8 9 3

2 3 6 9 5 1 8 4 7

8 9 5 7 3 4 2 1 6

Easy 7 1 4 6 8 2 9 3 5

1 7 8 4 9 6 5 2 3

[12] 8 6 2 4 7 1 9 3 5

5 9 7 3 2 6 1 4 8

3 1 4 9 8 5 2 6 7

9 5 3 6 7 8 1 4 2

6 8 4 5 2 1 7 9 3

5 2 9 3 7 8 1 6 4

4 6 3 1 2 5 7 8 9

9 5 1 8 6 3 4 7 2

3 8 7 2 4 9 6 5 1

6 4 2 5 1 7 3 9 8

7 2 5 8 9 3 4 6 1

4 3 6 2 1 7 5 8 9

1 9 8 4 5 6 3 2 7

Easy 2 1 7 3 4 9 8 5 6

5 6 9 7 3 4 2 1 8

3 4 1 9 8 2 6 7 5

8 7 2 1 6 5 9 3 4

304

[13] 7 3 8 9 5 6 4 2 1

2 9 1 4 8 3 5 6 7

5 6 4 2 7 1 3 9 8

1 8 2 6 4 5 7 3 9

[15] 7 1 8 4 3 5 6 2 9

4 3 5 2 9 6 7 8 1

[14]

Easy 3 7 9 8 1 2 6 4 5

4 5 6 3 9 7 1 8 2

6 1 3 5 2 8 9 7 4

8 4 5 7 6 9 2 1 3

9 2 7 1 3 4 8 5 6

Easy 9 6 2 1 7 8 4 5 3

8 9 1 7 4 3 2 6 5

2 4 7 5 6 1 3 9 8

3 5 6 8 2 9 1 4 7

4 1 5 9 7 8 2 6 3

2 6 3 4 5 1 9 8 7

6 3 7 1 9 4 8 2 5

[16] 6 8 4 3 5 7 9 1 2

1 7 9 6 8 2 5 3 4

5 2 3 9 1 4 8 7 6

3 2 5 9 4 6 7 8 1

9 4 6 1 8 7 5 2 3

[17]

Easy 7 8 9 6 3 2 1 5 4

9 2 4 7 8 5 6 3 1

1 5 8 3 2 6 4 7 9

5 4 1 8 6 3 7 9 2

8 9 2 5 1 7 3 4 6

3 7 6 2 4 9 5 1 8

4 8 9 2 1 5 3 7 6

2 3 7 6 9 4 1 5 8

5 6 1 8 7 3 4 9 2

2 5 6 3 9 1 8 7 4

8 3 7 4 2 6 5 9 1

6 9 2 4 5 1 8 3 7

8 7 4 3 2 9 6 1 5

1 5 3 7 6 8 2 4 9

1 9 2 6 3 5 7 4 8

5 8 4 2 1 7 9 6 3

[18]

Easy 9 4 1 8 5 7 3 6 2

1 8 3 9 6 4 2 5 7

[19]

Easy 7 1 8 5 3 2 9 6 4

305

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

6 2 9 5 7 8 4 1 3

5 7 4 2 1 3 6 8 9

4 9 5 1 8 2 7 3 6

3 6 8 7 4 9 1 2 5

7 1 2 6 3 5 9 4 8

Easy 6 7 3 9 4 8 2 5 1

8 4 9 5 7 3 1 2 6

2 1 7 8 9 6 4 3 5

3 5 6 4 2 1 8 7 9

3 2 1 9 7 8 6 4 5

5 7 8 1 4 6 2 9 3

Easy 4 9 6 3 5 2 8 7 1

1 5 7 2 9 4 3 6 8

[20] 4 2 5 1 6 9 3 8 7

9 3 8 7 5 4 6 1 2

7 6 1 3 8 2 5 9 4

1 8 9 2 4 7 3 6 5

4 6 5 1 8 3 9 2 7

9 3 2 6 8 5 4 1 7

8 6 4 7 3 1 9 5 2

2 1 5 8 6 9 7 3 4

6 8 3 4 1 7 5 2 9

7 4 9 5 2 3 1 8 6

2 3 6 9 7 8 4 5 1

7 5 1 4 2 6 8 9 3

8 9 4 5 3 1 6 7 2

Easy 3 2 7 6 5 9 1 8 4

6 4 8 7 1 5 2 3 9

5 1 3 8 9 2 7 4 6

9 7 2 3 6 4 5 1 8

306

[21] 2 6 1 8 3 5 4 7 9

8 7 3 4 9 1 6 2 5

4 9 5 7 6 2 8 1 3

9 3 6 5 1 7 2 4 8

[23] 4 7 8 9 3 2 5 6 1

3 5 9 6 8 1 2 4 7

[22]

Easy 1 5 8 2 4 9 3 6 7

7 2 4 6 8 3 5 9 1

3 8 7 9 2 6 1 5 4

5 4 2 1 7 8 9 3 6

6 1 9 3 5 4 7 8 2

Easy 1 2 6 7 4 5 8 3 9

5 1 4 3 7 6 9 2 8

6 9 3 2 5 8 1 7 4

7 8 2 1 9 4 3 5 6

7 9 3 6 5 2 1 4 8

5 1 4 8 3 7 2 9 6

9 6 2 3 4 8 7 5 1

[24] 8 6 1 5 2 7 4 9 3

9 4 5 8 6 3 7 1 2

2 3 7 4 1 9 6 8 5

3 6 4 9 8 2 1 5 7

9 5 8 1 7 6 4 2 3

[25]

Easy 2 8 6 9 1 4 3 7 5

3 7 1 5 2 6 4 8 9

8 4 5 1 7 9 6 2 3

4 3 9 7 8 1 5 6 2

1 2 8 4 6 5 9 3 7

6 5 7 2 9 3 8 1 4

6 1 9 5 2 8 3 7 4

8 2 7 4 9 3 5 6 1

5 4 3 6 1 7 9 8 2

4 9 5 7 8 3 6 1 2

3 2 1 5 4 6 8 7 9

2 3 5 7 4 9 6 1 8

7 9 6 8 3 1 2 4 5

4 8 1 2 6 5 7 3 9

1 7 4 3 5 2 6 9 8

5 9 8 4 6 7 2 3 1

[26]

Easy 6 8 7 9 2 1 5 3 4

[27]

Easy 1 7 2 3 5 4 8 9 6

307

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

9 7 4 2 1 8 3 5 6

2 3 8 4 6 5 1 9 7

1 5 6 3 9 7 4 2 8

7 6 9 1 3 4 2 8 5

8 1 2 6 5 9 7 4 3

5 4 3 8 7 2 9 6 1

Medium 6 2 3 9 8 1 7 4 5

3 4 5 2 1 6 8 7 9

2 1 7 8 9 3 5 6 4

8 6 9 7 4 5 1 2 3

9 5 6 1 7 4 3 8 2

7 9 2 8 1 3 4 5 6

1 5 6 4 2 7 9 3 8

Medium 3 4 8 9 6 5 7 1 2

[28] 7 8 2 5 3 9 4 1 6

4 3 1 6 2 8 9 5 7

1 7 8 4 5 2 9 6 3

3 2 5 9 8 6 1 7 4

2 3 7 1 9 8 5 6 4

5 6 9 3 7 4 8 2 1

8 1 4 2 5 6 3 9 7

4 2 1 7 3 9 6 8 5

6 7 3 5 8 2 1 4 9

9 8 5 6 4 1 2 7 3

4 3 7 8 9 1 6 2 5

8 9 6 5 2 3 4 1 7

Medium 6 4 9 3 1 7 2 5 8

7 1 3 6 4 9 5 8 2

5 6 4 2 3 8 7 9 1

9 8 2 1 7 5 3 4 6

2 5 1 7 6 4 8 3 9

308

[29] 3 4 6 8 1 2 5 9 7

1 8 7 6 5 9 2 4 3

2 5 9 7 4 3 6 8 1

[31] 5 9 1 3 6 2 4 8 7

6 8 2 7 9 4 3 1 5

[30]

Medium 5 9 1 3 7 8 4 6 2

4 7 3 2 6 5 9 1 8

8 6 2 1 9 4 3 7 5

9 2 5 4 8 7 1 3 6

7 1 4 5 3 6 8 2 9

6 3 8 9 2 1 7 5 4

Medium 4 7 3 5 1 8 9 2 6

7 2 5 6 8 3 1 4 9

8 1 4 9 7 5 6 3 2

3 6 9 4 2 1 7 5 8

2 5 6 1 3 7 8 9 4

6 4 2 1 7 3 5 9 8

5 8 9 6 2 4 3 7 1

[32] 9 3 8 2 4 6 5 7 1

1 4 7 8 5 9 2 6 3

2 6 8 1 5 3 9 4 7

3 7 4 2 6 9 8 1 5

[33]

Medium 3 7 1 5 8 9 6 4 2

1 3 4 2 5 6 9 8 7

8 2 5 9 4 7 1 3 6

7 9 6 3 1 8 2 5 4

9 1 7 4 6 5 8 2 3

4 6 3 8 9 2 7 1 5

2 5 8 7 3 1 4 6 9

6 9 3 8 1 7 4 5 2

8 4 7 9 2 5 1 3 6

1 2 5 6 3 4 7 9 8

4 1 2 3 8 6 5 7 9

3 6 2 4 9 1 8 7 5

8 1 9 7 5 3 2 4 6

5 3 6 7 9 1 2 8 4

7 8 9 5 4 2 3 6 1

4 1 2 9 6 3 7 8 5

5 8 3 7 1 2 4 9 6

[34]

Medium 7 4 5 6 8 2 1 3 9

[35]

Medium 9 5 1 4 7 8 6 2 3

309

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

4 5 8 3 2 9 7 6 1

6 2 3 8 1 7 9 5 4

1 9 7 5 4 6 3 2 8

9 7 4 1 3 5 6 8 2

2 8 6 9 7 4 5 1 3

5 3 1 2 6 8 4 9 7

Medium 9 7 6 5 4 8 3 1 2

6 2 8 3 5 1 9 4 7

7 5 9 2 8 4 1 6 3

3 4 1 6 7 9 2 5 8

1 9 5 8 2 7 6 3 4

2 3 8 1 4 5 7 6 9

5 7 9 6 8 2 1 3 4

Medium 6 4 1 3 7 9 8 5 2

[36] 8 3 7 4 9 6 5 2 1

2 6 4 1 3 5 8 7 9

9 3 5 8 1 7 2 4 6

4 1 7 2 6 3 8 9 5

1 8 4 7 3 6 9 2 5

3 5 2 9 1 8 6 4 7

7 9 6 5 2 4 3 1 8

8 1 5 4 9 3 2 7 6

9 6 3 2 5 7 4 8 1

4 2 7 8 6 1 5 9 3

8 2 4 3 5 9 6 1 7

1 5 3 7 2 6 4 8 9

Medium 6 8 2 9 4 5 1 7 3

5 9 6 1 3 8 7 2 4

2 7 1 6 9 4 3 5 8

3 4 8 5 7 2 9 6 1

7 6 9 4 8 1 5 3 2

310

[37] 9 5 3 1 8 6 7 4 2

4 6 7 9 5 2 1 8 3

8 1 2 3 4 7 5 6 9

[39] 5 7 1 3 8 4 9 6 2

6 3 8 9 1 2 4 7 5

[38]

Medium 3 4 9 2 6 1 8 7 5

1 2 8 5 7 9 6 3 4

5 7 6 4 3 8 9 2 1

6 3 4 7 9 5 2 1 8

2 8 5 6 1 3 4 9 7

7 9 1 8 2 4 3 5 6

Medium 4 9 2 5 6 7 3 8 1

2 4 6 1 7 3 8 5 9

9 5 7 6 2 8 1 3 4

8 1 3 4 9 5 6 2 7

3 2 5 8 4 1 7 9 6

5 9 3 2 4 8 1 6 7

8 2 6 7 1 5 4 3 9

[40] 7 6 4 2 3 9 5 1 8

1 8 9 7 5 6 2 4 3

6 1 8 2 9 7 5 3 4

2 3 5 1 8 4 9 6 7

[41]

Medium 4 1 7 6 9 3 8 2 5

1 4 5 9 3 6 7 8 2

7 3 9 8 2 1 5 4 6

6 8 2 4 5 7 9 1 3

9 7 1 3 8 2 6 5 4

2 5 4 1 6 9 3 7 8

3 6 8 5 7 4 2 9 1

5 6 2 7 1 8 4 9 3

9 8 3 5 4 6 7 2 1

4 7 1 9 2 3 6 8 5

3 9 4 6 5 1 8 7 2

9 6 2 8 4 5 7 1 3

3 4 5 7 1 2 6 8 9

8 2 7 4 3 9 1 5 6

1 5 6 8 7 2 3 4 9

8 2 4 7 1 5 3 6 9

6 3 9 4 8 2 5 7 1

[42]

Medium 1 8 7 6 9 3 2 4 5

[43]

Medium 7 4 9 3 6 5 2 1 8

311

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

4 3 8 1 5 7 9 2 6

6 2 9 4 3 8 5 7 1

7 5 1 2 6 9 4 3 8

5 1 3 9 2 4 8 6 7

2 7 6 5 8 1 3 9 4

8 9 4 3 7 6 1 5 2

Medium 5 7 1 3 9 6 4 8 2

4 9 6 1 2 7 8 3 5

7 8 5 9 3 4 1 2 6

2 1 3 5 6 8 7 9 4

1 5 2 6 7 3 9 4 8

4 6 8 5 3 2 7 9 1

1 5 3 4 7 9 8 2 6

Medium 7 2 9 6 8 1 3 5 4

[44] 9 6 7 8 4 1 2 5 3

3 4 8 2 5 9 6 1 7

7 4 8 1 5 2 9 3 6

3 9 2 8 6 7 1 5 4

3 7 5 8 4 6 9 1 2

2 9 6 7 1 5 4 8 3

8 4 1 9 2 3 5 6 7

5 1 7 3 6 8 2 4 9

9 3 2 1 5 4 6 7 8

6 8 4 2 9 7 1 3 5

5 2 1 6 7 4 3 9 8

9 6 7 3 2 8 4 1 5

Medium 6 1 5 9 4 3 7 8 2

8 5 4 2 3 9 6 7 1

2 3 6 7 1 5 8 4 9

1 7 9 4 8 6 5 2 3

4 8 3 5 9 1 2 6 7

312

[45] 8 4 6 1 9 2 5 7 3

1 5 7 4 6 3 9 8 2

3 9 2 8 7 5 1 4 6

[47] 7 1 5 4 3 2 6 8 9

6 8 4 5 7 9 1 3 2

[46]

Medium 5 3 1 2 8 7 4 6 9

2 7 4 9 5 6 8 3 1

6 8 9 3 4 1 2 5 7

7 2 8 5 3 9 6 1 4

9 6 5 7 1 4 3 2 8

4 1 3 6 2 8 7 9 5

Medium 3 9 2 6 1 8 5 7 4

8 7 1 2 6 4 9 5 3

9 5 6 1 8 3 4 2 7

4 2 3 9 5 7 8 6 1

1 4 8 3 2 5 7 9 6

4 9 7 5 6 8 2 1 3

2 8 1 3 4 9 7 5 6

[48] 2 6 7 8 9 1 3 4 5

5 3 9 7 4 6 2 1 8

5 7 8 3 2 9 4 6 1

9 4 6 8 1 5 7 2 3

[49]

Medium 5 6 3 2 7 1 4 8 9

1 4 5 8 3 6 9 7 2

9 7 6 1 2 4 8 3 5

3 2 8 9 5 7 6 4 1

8 5 9 4 1 2 3 6 7

6 1 2 7 8 3 5 9 4

7 3 4 6 9 5 1 2 8

4 2 7 6 9 8 3 1 5

6 9 5 1 3 4 2 8 7

1 8 3 5 7 2 9 4 6

8 6 4 9 5 3 1 7 2

1 9 2 3 7 6 5 8 4

8 6 4 1 5 9 2 7 3

7 3 1 2 8 6 5 9 4

2 5 9 7 4 1 6 3 8

3 1 2 6 4 9 8 5 7

9 8 4 2 5 7 1 3 6

[50]

Medium 3 5 7 2 4 8 1 9 6

6 3 9 7 1 4 8 5 2

[51]

Medium 3 1 2 4 6 7 8 5 9

313

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

7 2 5 8 6 3 9 4 1

4 1 8 5 9 2 3 6 7

5 8 6 4 2 1 7 3 9

9 7 1 6 3 5 4 2 8

2 4 3 9 8 7 6 1 5

Hard 7 5 6 1 3 8 2 9 4

4 9 5 7 6 2 3 1 8

2 6 3 8 1 5 4 7 9

8 7 1 4 9 3 5 6 2

3 6 4 9 1 7 5 8 2

5 2 8 3 6 4 9 1 7

Medium 1 7 9 5 2 8 3 4 6

9 1 3 7 8 5 2 6 4

[52] 5 4 9 3 8 6 7 2 1

6 2 8 5 7 1 9 4 3

1 3 7 9 2 4 6 8 5

7 4 3 1 2 9 6 8 5

5 8 1 6 7 3 2 9 4

7 5 6 4 3 2 8 9 1

8 4 2 6 9 1 7 5 3

4 8 1 2 7 9 6 3 5

6 9 7 1 5 3 4 2 8

2 3 5 8 4 6 1 7 9

3 2 9 8 1 7 5 4 6

4 6 8 2 9 5 3 1 7

1 7 5 3 6 4 8 2 9

Hard 6 9 2 4 5 8 7 3 1

2 5 4 7 8 1 9 6 3

8 3 7 9 4 6 1 5 2

9 1 6 5 3 2 4 7 8

314

[53] 8 2 1 4 9 3 5 6 7

4 9 3 6 5 7 2 1 8

6 7 5 2 8 1 3 4 9

[55] 4 8 3 2 6 7 5 1 9

7 6 9 3 5 1 4 2 8

[54]

Hard 7 3 9 1 4 8 6 2 5

5 4 2 7 3 6 9 8 1

1 8 6 5 2 9 4 7 3

2 5 8 3 1 4 7 9 6

9 6 4 8 7 5 1 3 2

3 1 7 9 6 2 8 5 4

Hard 1 5 2 9 4 8 6 3 7

2 4 1 5 7 9 3 8 6

9 3 5 8 2 6 7 4 1

6 7 8 1 3 4 2 9 5

4 5 7 3 8 9 2 6 1

8 2 6 5 1 7 3 4 9

[56] 3 1 4 6 8 5 9 7 2

8 2 6 7 9 3 1 5 4

5 9 7 4 1 2 8 6 3

6 3 7 4 8 5 9 1 2

1 2 8 3 6 9 5 7 4

[57]

Hard 9 1 3 4 6 2 8 7 5

1 6 9 8 7 3 4 5 2

3 8 5 1 2 4 7 9 6

7 4 2 6 9 5 1 8 3

2 3 8 9 4 6 5 1 7

6 7 4 2 5 1 9 3 8

5 9 1 7 3 8 6 2 4

7 1 2 9 5 4 6 3 8

4 8 5 6 7 3 2 9 1

3 9 6 1 2 8 4 5 7

9 7 6 2 3 5 4 8 1

5 4 1 8 7 6 3 9 2

2 7 9 8 3 6 1 4 5

8 6 3 5 4 1 7 2 9

5 4 1 2 9 7 8 6 3

3 1 9 8 6 5 7 4 2

4 8 6 2 7 9 1 3 5

[58]

Hard 2 3 8 4 1 9 7 5 6

8 6 2 5 4 7 9 1 3

[59]

Hard 9 5 4 7 1 2 3 8 6

315

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

4 1 7 9 8 3 6 2 5

3 9 5 6 2 1 8 7 4

6 2 9 7 5 4 1 3 8

7 8 3 1 6 2 5 4 9

1 5 4 3 9 8 2 6 7

Hard 7 5 2 1 3 4 8 9 6

1 4 7 9 2 3 6 5 8

6 9 8 5 4 7 3 2 1

2 3 5 6 8 1 4 7 9

4 3 1 2 7 8 9 6 5

5 7 9 1 3 6 4 8 2

Hard 6 2 8 5 4 9 1 7 3

2 8 7 6 9 5 3 1 4

[60] 8 2 3 7 5 6 9 1 4

5 7 1 4 9 8 2 6 3

9 6 4 3 1 2 5 8 7

9 2 3 4 8 1 7 6 5

6 5 1 2 7 9 8 4 3

9 4 5 8 1 3 6 2 7

3 1 6 4 2 7 5 9 8

7 5 2 9 6 4 8 3 1

8 9 3 7 5 1 2 4 6

1 6 4 3 8 2 7 5 9

5 1 9 8 3 2 4 7 6

2 6 7 9 4 5 3 1 8

3 8 4 6 1 7 5 2 9

Hard 7 4 8 3 5 6 1 9 2

8 3 2 1 6 4 9 5 7

4 7 6 5 9 3 2 8 1

1 9 5 7 2 8 6 3 4

316

[61] 3 9 5 2 4 6 7 1 8

8 2 6 5 1 7 4 3 9

7 1 4 9 8 3 5 2 6

[63] 6 9 5 2 7 1 8 4 3

3 8 2 5 4 6 1 7 9

[62]

Hard 1 6 3 7 2 8 9 4 5

4 7 2 6 9 5 1 8 3

9 5 8 4 3 1 2 6 7

6 8 7 1 5 2 3 9 4

5 4 1 3 6 9 8 7 2

2 3 9 8 7 4 6 5 1

Hard 7 1 4 9 3 8 2 5 6

9 5 7 8 2 4 6 3 1

1 6 8 3 5 7 9 2 4

2 4 3 6 1 9 5 8 7

8 5 6 4 1 2 3 7 9

7 1 9 6 5 3 8 4 2

[64] 4 3 9 1 8 5 7 6 2

5 7 1 4 6 2 3 9 8

8 2 6 7 9 3 4 1 5

3 9 4 8 5 7 1 2 6

6 1 2 4 3 9 8 5 7

[65]

Hard 2 3 4 8 7 9 1 5 6

5 6 7 2 8 1 9 3 4

9 8 3 7 4 6 5 2 1

4 2 1 9 3 5 6 8 7

6 7 5 1 2 8 4 9 3

1 4 8 3 9 7 2 6 5

3 9 2 5 6 4 7 1 8

9 8 6 1 7 2 5 3 4

5 2 3 6 9 4 7 1 8

4 7 1 3 8 5 2 6 9

9 8 7 6 4 2 3 1 5

5 1 2 7 8 3 9 6 4

2 4 7 5 6 3 9 8 1

1 6 5 9 4 8 3 7 2

8 3 9 7 2 1 6 4 5

6 1 4 5 9 3 8 7 2

9 3 5 2 8 7 6 4 1

[66]

Hard 6 3 4 5 9 1 7 8 2

2 4 5 9 6 8 1 3 7

[67]

Hard 7 5 8 2 1 6 4 9 3

317

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

1 7 8 3 5 4 6 2 9

3 9 6 1 2 7 5 4 8

7 2 9 8 3 6 4 5 1

4 6 1 2 7 5 8 9 3

8 5 3 4 1 9 2 7 6

Hard 8 7 2 1 4 6 3 5 9

1 8 9 3 6 4 7 2 5

3 2 7 8 5 1 4 9 6

5 4 6 9 7 2 1 3 8

4 5 2 8 6 1 7 3 9

3 9 7 2 5 4 1 6 8

Hard 1 8 6 9 7 3 4 5 2

5 2 8 4 1 9 3 7 6

[68] 7 9 3 6 2 8 5 1 4

2 6 1 4 3 5 9 8 7

4 5 8 7 1 9 2 6 3

8 3 9 6 7 1 4 5 2

1 4 2 5 8 9 6 3 7

7 4 3 5 8 6 2 9 1

9 6 1 3 2 7 8 4 5

8 3 5 7 9 2 6 1 4

2 1 4 6 3 5 9 8 7

6 7 9 1 4 8 5 2 3

6 8 4 9 3 7 5 2 1

5 1 7 8 2 6 3 4 9

2 9 3 4 1 5 7 8 6

Hard 7 6 5 3 4 2 9 1 8

9 7 8 1 5 4 2 6 3

3 5 6 2 9 8 1 7 4

4 2 1 7 6 3 8 9 5

318

[69] 7 3 6 1 2 9 5 8 4

4 9 1 5 8 6 3 7 2

8 2 5 3 4 7 1 9 6

[71] 5 1 6 8 9 3 4 7 2

9 2 4 5 1 7 8 3 6

[70]

Hard 3 6 7 2 1 8 4 5 9

9 8 2 4 7 5 6 3 1

5 1 4 9 6 3 8 2 7

1 5 9 7 3 4 2 6 8

2 7 8 6 5 1 9 4 3

6 4 3 8 9 2 7 1 5

Hard 3 8 7 4 6 2 9 1 5

8 7 9 1 5 4 2 6 3

4 6 2 7 3 9 1 5 8

1 3 5 2 8 6 7 9 4

1 5 8 3 7 6 4 9 2

4 3 6 2 9 5 8 1 7

[72] 2 5 3 9 4 1 6 8 7

7 9 8 6 2 5 3 4 1

6 4 1 3 7 8 5 2 9

3 4 6 1 8 5 2 7 9

9 5 7 2 4 3 1 6 8

[73]

Hard 9 7 2 1 4 8 5 6 3

5 6 7 9 8 2 3 4 1

8 9 3 4 1 7 6 2 5

2 1 4 5 6 3 9 7 8

6 8 9 7 3 1 2 5 4

3 2 1 6 5 4 7 8 9

7 4 5 8 2 9 1 3 6

6 3 8 5 1 9 4 2 7

1 2 4 8 3 7 6 9 5

5 7 9 6 2 4 8 3 1

7 9 4 8 3 5 2 1 6

1 8 2 6 7 9 4 3 5

2 9 5 3 6 1 7 8 4

7 6 3 4 5 8 9 1 2

4 8 1 7 9 2 3 5 6

4 1 7 3 9 8 5 6 2

5 9 6 7 2 4 1 3 8

[74]

Hard 3 5 6 1 2 4 8 7 9

4 7 3 5 6 8 9 2 1

[75]

Hard 8 1 2 9 7 6 5 4 3

319

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

2 6 5 7 9 1 3 8 4

9 1 8 3 4 2 6 5 7

5 2 9 4 1 3 7 6 8

8 4 7 2 5 6 1 9 3

6 3 1 9 8 7 5 4 2

Hard 2 3 8 5 6 1 4 7 9

7 4 5 6 1 9 2 8 3

8 2 9 4 3 7 6 1 5

1 6 3 2 8 5 7 9 4

2 1 5 4 3 7 9 6 8

6 3 7 8 9 1 5 2 4

Hard 8 4 9 6 2 5 1 7 3

1 8 4 7 5 6 3 9 2

[76] 9 5 4 8 7 6 3 2 1

3 7 1 9 5 2 8 4 6

6 8 2 1 4 3 9 5 7

1 3 6 8 2 5 7 4 9

7 9 8 3 1 4 5 2 6

7 9 6 2 1 3 4 8 5

5 2 3 9 8 4 7 1 6

3 6 1 5 7 8 2 4 9

9 7 8 3 4 2 6 5 1

4 5 2 1 6 9 8 3 7

4 8 5 6 9 7 2 1 3

2 6 1 5 3 8 4 9 7

3 7 9 2 4 1 6 8 5

Evil 5 4 2 9 7 6 1 3 8

8 1 7 4 5 9 3 6 2

9 5 3 1 6 2 8 7 4

6 2 4 7 8 3 9 5 1

320

[77] 3 7 6 2 5 4 8 9 1

9 5 8 7 1 3 4 2 6

2 1 4 9 6 8 3 7 5

6 3 9 1 8 7 2 5 4

[79] 7 9 6 3 4 8 1 2 5

3 2 1 5 9 7 6 8 4

[78]

Evil 7 8 1 5 4 2 9 6 3

5 4 2 6 3 9 1 8 7

4 2 3 8 7 6 5 1 9

1 9 7 3 2 5 6 4 8

8 6 5 4 9 1 7 3 2

Evil 8 4 5 6 2 1 3 9 7

2 1 3 4 5 9 7 6 8

5 7 4 2 8 6 9 3 1

9 6 8 1 7 3 4 5 2

1 8 7 5 3 9 2 4 6

9 3 5 6 4 2 7 1 8

8 9 4 3 2 5 6 7 1

[80] 6 5 2 7 3 4 8 1 9

4 3 9 8 1 5 2 7 6

1 8 7 9 6 2 5 4 3

7 4 5 3 9 8 1 6 2

2 8 1 7 5 6 4 3 9

[81]

Evil 6 4 2 8 7 1 3 5 9

7 1 6 4 9 8 5 2 3

5 2 3 7 1 6 8 9 4

2 6 1 9 8 7 4 3 5

3 5 9 2 6 4 1 8 7

4 7 8 1 5 3 9 6 2

8 9 6 4 3 1 7 2 5

1 2 4 5 6 7 9 8 3

5 3 7 8 2 9 6 4 1

7 6 2 3 8 4 5 1 9

8 1 9 5 2 6 4 7 3

4 5 8 9 7 2 3 1 6

6 7 3 1 4 5 2 9 8

9 1 2 6 8 3 5 7 4

1 4 7 9 8 6 5 2 3

2 9 8 7 3 5 6 1 4

[82]

Evil 5 3 4 7 1 9 2 8 6

9 4 7 6 5 1 3 2 8

[83]

Evil 3 6 9 2 1 4 8 5 7

321

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

1 2 6 4 3 8 9 5 7

3 8 5 9 7 2 6 4 1

4 5 3 1 9 7 8 6 2

2 9 1 8 6 5 7 3 4

6 7 8 2 4 3 1 9 5

Evil 5 6 3 4 2 1 7 8 9

6 8 2 3 1 4 9 5 7

9 7 5 8 6 2 3 4 1

3 1 4 5 7 9 2 6 8

7 9 4 8 6 3 5 1 2

6 8 5 4 1 2 7 9 3

Evil 1 3 2 7 5 9 4 6 8

8 6 7 1 3 4 2 5 9

[84] 4 5 1 6 9 7 8 3 2

7 3 6 2 4 8 1 9 5

8 2 9 1 5 3 4 7 6

5 2 1 4 6 3 8 9 7

8 7 3 9 5 1 4 2 6

9 4 1 2 8 5 6 3 7

2 5 3 9 7 6 1 8 4

4 7 6 5 9 8 3 2 1

5 2 9 3 4 1 8 7 6

3 1 8 6 2 7 9 4 5

6 8 9 7 3 5 2 1 4

1 4 7 2 9 6 3 8 5

3 5 2 1 4 8 7 6 9

Evil 9 6 4 8 7 2 5 3 1

4 1 5 3 2 9 6 7 8

2 9 6 5 8 7 1 4 3

7 3 8 6 1 4 9 5 2

322

[85] 5 7 4 6 3 8 2 9 1

1 3 2 7 9 4 6 5 8

9 8 6 5 2 1 7 4 3

2 1 3 9 6 5 4 8 7

[87] 4 2 1 5 3 7 8 6 9

7 8 6 9 4 2 1 3 5

[86]

Evil 6 4 5 1 8 7 9 3 2

8 9 7 3 4 2 1 6 5

7 2 9 4 5 3 8 1 6

4 5 8 2 1 6 3 7 9

3 6 1 8 7 9 5 2 4

Evil 3 5 9 1 6 8 4 7 2

6 9 7 8 2 4 5 1 3

8 1 5 3 9 6 2 4 7

2 3 4 7 5 1 9 8 6

3 2 6 9 5 4 8 7 1

7 8 1 3 6 2 5 9 4

1 4 3 2 8 9 7 6 5

[88] 5 7 3 4 1 9 6 2 8

9 4 2 6 8 3 7 5 1

1 6 8 2 7 5 3 9 4

4 9 5 6 3 8 1 2 7

7 2 1 9 5 4 8 3 6

[89]

Evil 5 9 4 1 7 8 6 2 3

2 6 8 5 4 7 3 1 9

9 7 5 6 3 1 4 8 2

6 1 7 4 9 5 2 3 8

4 3 2 8 1 6 9 5 7

8 5 9 7 2 3 1 4 6

5 6 3 4 2 7 9 8 1

9 1 4 3 8 6 7 5 2

2 7 8 1 9 5 6 4 3

6 3 8 2 5 9 4 1 7

7 9 5 8 4 1 3 2 6

6 8 7 5 4 3 2 1 9

1 4 2 8 7 9 3 6 5

3 5 9 2 6 1 4 7 8

9 5 1 4 2 7 8 6 3

7 2 4 3 8 6 9 1 5

[90]

Evil 4 2 1 7 3 6 9 8 5

5 4 9 3 6 8 2 7 1

[91]

Evil 8 3 6 7 1 2 5 9 4

323

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

1 7 6 9 2 4 8 5 3

3 8 2 1 7 5 6 9 4

8 6 7 4 1 2 5 3 9

9 5 3 6 8 7 1 4 2

2 1 4 5 9 3 7 6 8

Evil 6 8 3 1 9 5 4 7 2

2 9 8 5 6 4 7 3 1

3 4 5 9 7 1 2 8 6

1 6 7 2 3 8 5 9 4

3 1 4 9 7 6 5 8 2

8 2 6 4 5 3 9 1 7

Evil 9 5 7 8 1 2 3 4 6

2 4 9 5 3 8 7 6 1

[92] 4 7 2 8 1 3 6 5 9

8 3 9 6 5 2 1 4 7

5 1 6 7 4 9 3 2 8

4 1 7 9 5 8 6 3 2

6 8 5 4 2 3 7 1 9

6 8 1 7 2 9 4 3 5

5 7 3 1 6 4 8 2 9

7 6 5 3 4 1 2 9 8

4 9 2 6 8 5 1 7 3

1 3 8 2 9 7 6 5 4

5 7 9 8 3 4 1 2 6

2 6 4 5 9 1 3 8 7

1 3 8 2 7 6 9 4 5

Evil 3 9 2 6 1 7 4 5 8

7 5 3 1 6 2 8 9 4

9 4 6 3 8 5 2 7 1

8 2 1 7 4 9 5 6 3

324

[93] 4 3 9 2 6 5 1 7 8

8 2 6 4 1 7 9 5 3

5 7 1 9 3 8 4 2 6

6 5 8 3 9 4 2 1 7

[95] 8 7 3 2 1 4 6 9 5

9 5 1 7 8 6 3 4 2

[94]

Evil 7 1 3 6 5 2 8 4 9

2 9 4 7 8 1 3 6 5

3 6 2 5 4 9 7 8 1

9 8 7 1 2 6 5 3 4

1 4 5 8 7 3 6 9 2

Evil 4 2 6 9 5 3 7 8 1

6 4 7 1 2 5 8 3 9

5 1 9 8 3 7 4 2 6

3 8 2 4 6 9 5 1 7

7 3 6 8 5 2 9 1 4

8 9 1 4 3 7 6 5 2

6 7 3 2 9 1 5 4 8

[96] 1 6 5 3 4 2 9 7 8

7 3 8 5 9 1 2 6 4

2 9 4 6 7 8 1 5 3

4 1 3 8 2 7 5 6 9

2 9 7 6 5 1 4 8 3

[97]

Evil 5 4 2 6 1 9 8 7 3

9 8 5 7 6 4 2 3 1

2 1 4 3 8 5 7 9 6

4 2 9 1 7 6 3 8 5

1 5 8 9 2 3 4 6 7

3 6 7 5 4 8 1 2 9

7 6 2 1 8 3 9 5 4

9 4 5 7 6 2 3 1 8

8 3 1 5 4 9 7 2 6

5 2 1 8 6 4 3 7 9

4 6 7 3 1 9 2 8 5

3 5 9 2 7 6 8 4 1

1 2 8 4 9 5 6 3 7

6 7 4 3 1 8 2 9 5

4 6 3 5 8 2 1 9 7

2 9 7 6 4 1 5 8 3

[98]

Evil 8 9 3 5 7 2 4 6 1

7 8 5 9 4 3 6 1 2

[99]

Evil 5 8 6 9 3 4 1 7 2

325

Ë ÕÓÅÉÓ

SUDOKU (ÁÐÏ ÔÏ Á ÙÓ ÔÏ Ø)

2 3 6 1 5 8 7 9 4

9 1 4 7 2 6 5 3 8

6 5 9 4 3 1 8 2 7

3 4 8 2 9 7 1 5 6

1 7 2 6 8 5 9 4 3

Evil 5 8 1 7 9 3 4 6 2

7 2 5 4 6 9 8 3 1

3 4 8 1 2 5 6 7 9

6 1 9 3 7 8 2 5 4

4 8 6 2 9 3 7 5 1

9 3 7 5 1 8 2 4 6

Evil 5 1 2 4 6 7 9 8 3

2 5 3 1 8 9 4 6 7

[100] 8 3 4 2 5 7 9 1 6

9 7 2 8 1 6 3 4 5

1 5 6 9 3 4 7 2 8

6 1 7 2 9 4 3 8 5

4 3 5 7 1 8 9 2 6

7 4 1 6 5 2 8 3 9

6 9 8 3 7 4 5 1 2

3 6 9 7 4 5 1 2 8

1 7 4 8 2 6 3 9 5

8 2 5 9 3 1 6 7 4

5 8 6 1 3 7 2 9 4

1 7 3 4 2 9 6 5 8

9 2 4 5 8 6 7 1 3

Evil 2 9 8 3 6 5 4 7 1

3 5 1 6 7 2 8 4 9

8 4 2 9 5 3 1 6 7

7 6 9 8 4 1 5 3 2

328 •

•

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ Όταν ξεκίνησα να γράφω το βιβλίο, δεν είχε κυκλοφορήσει ακόμη κανένα βιβλίο με sudoku στη χώρα μας. Κατά τη διάρκεια, κυκλοφόρησε το βιβλίο ΤΑ ΑΥΘΕΝΤΙΚΑ SUDOKU (εκδόσεις ΣΑΒΒΑΛΑ, δύο τόμοι). Έχω ήδη αναφερθεί σ’ αυτό, στην εισαγωγή. Τώρα, που το παρόν βιβλίο ετοιμάζεται για εκτύπωση, έμαθα πως κυκλοφόρησαν και τα ακόλουθα: • Gould, Wayne: SUDOKU 1, εκδόσεις ΚΕ∆ΡΟΣ • Mepham, Michael: SUDOKU 1, εκδόσεις ΚΕ∆ΡΟΣ • Sendem, Pete: ΤΟ ΑΠΟΛΥΤΟ ΒΙΒΛΙΟ SUDOKU, εκδόσεις ΝΕΑ ΣΥΝΟΡΑ

•

Huckvale, Mark: ΤΟ ΜΕΓΑΛΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ SUDOKU, εκδόσεις ΠΑΤΑΚΗ.

∆εν τα διάβασα ακόμη· τα αναφέρω για λόγους ενημέρωσης. Από κει και πέρα, η σημαντικότερη πηγή πληροφοριών είναι, φυσικά, το ∆ιαδίκτυο. Όποιος ενδιαφέρεται, το καλύτερο που μπορεί να κάνει είναι να περάσει τη λέξη sudoku σε μια μηχανή αναζήτησης. Κέφι να υπάρχει… Εγώ συνιστώ τις διευθύνσεις:

•

SUDOKU (ΑΠΟ ΤΟ Α ΩΣ ΤΟ Ψ)

sudoku.com, όπου μπορείτε να κατεβάσετε δοκιμαστικά, για 28 μέρες, το πολύ καλό πρόγραμμα ή να το αγοράσετε για λιγότερο από 15 ευρώ. websudoku.com, όπου μπορείτε να παίξετε όσα παιχνίδια θέλετε δωρεάν, είτε στον υπολογιστή σας είτε τυπώνοντάς τα σε βολική μορφή. Από αυτή την πηγή έχουν αγοραστεί τα άλυτα παζλ αυτού του βιβλίου. Είναι η πιο πολυσύχναστη διεύθυνση για λύτες sudoku στο internet. wikipedia.com, η διεύθυνση της καταπληκτικής διαδικτυακής εγκυκλοπαίδειας, με δωρεάν χρήση και πάνω από 2 εκατομμύρια λήμματα. Από αυτά, γύρω στις 800 χιλιάδες στα αγγλικά. (Έτσι, όσοι έχουν μόνο ένα παλιοLower, όπως εγώ, χάνουν 1.200.000 λήμματα. Αδικία!).