Una alternativa metodológica para la enseñanza del teorema de Pitágoras by Diego Marín

Área de Educación Matemática

UNA ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

EDWARD ANTONIO BENAVIDES ROSERO

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SANTIAGO DE CALI 2005

Área de Educación Matemática

UNA ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

EDWARD ANTONIO BENAVIDES ROSERO

Trabajo de grado para optar al título de Licenciado en Educación Matemática y Física.

Director DIEGO GARZÓN CASTRO Magíster en Educación

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SANTIAGO DE CALI 2005

Nota de aceptación

Jurado Diego Luís Hoyos

Jurado María Eugenia Martínez

Santiago de Cali, Agosto de 2005

A mi Dios, a mis padres, a mi hermana, a mi familia y amigos.

AGRADECIMIENTOS

Mi más sincero agradecimiento al profesor Diego Garzón Castro, Magíster en Educación y director de este trabajo de grado, por sus valiosas orientaciones. Agradezco a los estudiantes que participaron en el desarrollo de la prueba piloto de las situaciones problema y al profesor de matemáticas Sergio Iván Valencia por su colaboración en la recolección de observaciones durante la prueba piloto, y por las sugerencias en el análisis de los resultados. Igualmente quiero agradecer al profesor Octavio Pabón por las referencias bibliográficas sugeridas, a mis compañeros Bayron Rodríguez, María del Carmen Obregón y Francy Lined Obando por su constante respaldo y aliento. Gracias al señor Juan Manuel Córdoba, jefe y amigo de mi padre, por su incondicional respaldo durante mi carrera universitaria. En general, agradezco a todos quienes de una u otra manera hicieron un aporte en la elaboración de éste trabajo.

CONTENIDO

Pág. INTRODUCCIÓN 1. EL PROBLEMA: “ENSEÑANZA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS” 1.1 SENTIDO Y ALCANCES DE LA GEOMETRÍA EN LA ENSEÑANZA 1.2 ENSEÑANZA TRADICIONAL DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 2. DIMENSIÓN HISTÓRICA – EPISTEMOLÓGICA 2.1 HISTORIA 2.2 CONSIDERACIONES SOBRE LA DEMOSTRACIÓN 3. DIMENSIÓN MATEMÁTICA 3.1 DEMOSTRACIÓN FORMAL DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 3.2 DEMOSTRACIÓN DEL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 3.3 PRUEBAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 3.3.1 Pruebas Algebraicas 3.3.2 Prueba de Perigal 3.3.3 Prueba en Origami 3.4 GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 3.4.1 Relación Pitagórica con Triángulos Equiláteros 3.4.2 Relación Pitagórica con Semicírculos 3.4.3 Relación Pitagórica con Rectángulos Semejantes 3.4.4 Teoremas Previos a la Generalización del Teorema de Pitágoras 3.4.5 Generalización del Teorema de Pitágoras 3.5 APLICACIONES DE LA RELACIÓN PITAGÓRICA 3.5.1 La Métrica Euclidiana 3.5.2 Pitágoras en el Espacio 3.5.3 Pitágoras y la Trigonometría 3.5.4 La Ley del Coseno 4. DIMENSIÓN DIDÁCTICA 4.1 PRUEBA Y DEMOSTRACIÓN 4.1.1 Sentidos y Alcances de la Prueba en el Ámbito Escolar 4.1.2 Prueba Matemática 4.1.3 El Razonamiento en Geometría 4.1.4 La Visualización 4.1.5 Tipos de Prueba 4.1.6 Situaciones Problema de Prueba 4.2 LA PRUEBA EN UN SOFTWARE O SISTEMA DE GEOMETRÍA DINÁMICA 4.2.1 Software o Sistema de Geometría Dinámica (S.G.D) 4.2.2 Potencial de un S.G.D. en un Proceso de Prueba 5. DIMENSIÓN CURRICULAR 5.1 MODELO CURRICULAR 5.1.1 El Razonamiento Matemático

11 12 12 14 22 23 27 30 31 33 34 34 35 36 38 38 39 41 42 45 47 47 48 49 50 53 53 53 55 56 58 60 64 66 66 68 72 72 75

5.1.2 Pensamiento Espacial y Sistemas Geométricos 5.1.3 El Teorema de Pitágoras 5.2 CONSIDERACIONES SEGÚN LOS ESTÁNDARES BÁSICOS DE MATEMÁTICAS 5.2.1 Coherencia Vertical 5.2.2 Coherencia Horizontal 5.3 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y NUEVAS TECNOLOGÍAS 5.3.1 El Contexto y la Tecnología 6. METODOLOGÍA 6.1 EL DISEÑO DIDÁCTICO 7. ACTIVIDADES 7.1 Presentación 7.1.1 Página Web “PRINCIPAL” 7.1.2 Página Web “INTRODUCCIÓN” 7.1.3 Página Web “ACTIVIDADES” 7.1.4 Hojas de Respuestas 7.2 ACTIVIDAD 1: EXPLORANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS 7.2.1 Análisis Previo 7.2.2 Intervención en el Aula 7.2.3 Análisis Posterior 7.3 ACTIVIDAD 2: APROPIANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS 7.3.1 Análisis Previo 7.3.2 Intervención en el Aula 7.3.3 Análisis Posterior 7.4 ACTIVIDAD 3: VERIFICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS 7.4.1 Análisis Previo 7.4.2 Intervención en el Aula 7.4.3 Análisis Posterior 7.5 ACTIVIDAD 4: PROBANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS 7.5.1 Análisis Previo 7.5.2 Intervención en el Aula 7.5.3 Análisis Posterior 8. CONCLUSIONES 8.1 ACERCA DE LOS RESULTADOS 8.2 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN BIBLIOGRAFÍA ANEXOS

76 77 80 81 82 85 85 87 87 93 93 94 95 95 96 97 97 99 101 103 103 105 107 109 109 111 113 114 114 116 122 125 125 126 128 132

LISTA DE FIGURAS

Pág. Figura 1. Demostración del Teorema de Pitágoras. Figura 2. Demostración del Recíproco del Teorema de Pitágoras. Figura 3. Pruebas algebraicas del Teorema de Pitágoras. Figura 4. Prueba de Perigal del Teorema de Pitágoras. Figura 5. Primer paso prueba en origami. Figura 6. Segundo paso prueba en origami. Figura 7. Paso final prueba en origami. Figura 8. Relación Pitagórica con Triángulos Equiláteros. Figura 9. Relación Pitagórica con Semicírculos. Figura 10. Relación Pitagórica con Rectángulos Semejantes. Figura 11. Teorema Previo 1. Figura 12. Teorema Previo 2. Figura 13. Teorema Previo 3. Figura 14. Generalización del Teorema de Pitágoras. Figura 15. Definición de la métrica euclidiana. Figura 16. Pitágoras en 3-D. Figura 17. Definición de la métrica en el espacio. Figura 18. Razones trigonométricas para el triángulo rectángulo. Figura 19. Círculo Unitario e Identidad pitagórica. Figura 20. Ley del Coseno – Triángulo Acutángulo. Figura 21. Ley del Coseno – Triángulo Obtusángulo. Figura 22. Prueba de Bhascara del Teorema de Pitágoras. Figura 23. Modelo 1. Componentes Organización Curricular. Figura 24. Modelo Curricular. Figura 25. Modelo de Diseño Didáctico. Figura 26. Sitio Web: Página Principal. Figura 27. Sitio Web: Página Introducción Figura 28. Sitio Web: Página Actividades Figura 29. Encabezado Hoja de Respuestas. Figura 30. Dispositivo A1_P1.fig Figura 31. Dispositivo A1_P2.fig Figura 32. Dispositivo A2_P1.fig Figura 33. Dispositivo A2_P2.fig Figura 34. Dispositivo A3_P1_2.fig Figura 35. Dispositivo A4_P1.fig Figura 36. Dispositivo A4_P2.fig Figura 37. Dispositivo A4_P3.fig Figura 38. Intentos de Solución a la A4_P2, pregunta b.

31 33 35 36 36 37 37 38 40 41 42 43 44 46 47 48 48 49 50 51 52 60 73 74 88 94 95 96 96 99 100 105 106 111 116 117 118 121

LISTA DE TABLAS

Pág. Tabla 1. Transición entre Tipos de Pruebas y Demostración.

Tabla 2. Dispositivos Técnicos de las Actividades.

Tabla 3. Desempeños Evaluados en la Actividad 1.

Tabla 4. Sistematización de Resultados Actividad 1- Problema 1.

102

Tabla 5. Sistematización de Resultados Actividad 1- Problema 2.

102

Tabla 6. Desempeños Evaluados en la Actividad 2.

103

Tabla 7. Sistematización de Resultados Actividad 2- Problema 1.

108

Tabla 8. Sistematización de Resultados Actividad 2- Problema 2.

108

Tabla 9. Desempeños Evaluados en la Actividad 3.

109

Tabla 10. Sistematización de Resultados Actividad 3- Problema 1.

113

Tabla 11. Sistematización de Resultados Actividad 3- Problema 2.

113

Tabla 12. Desempeños Evaluados en la Actividad 3.

115

Tabla 13. Sistematización de Resultados Actividad 4- Problema 1.

122

Tabla 14. Sistematización de Resultados Actividad 4- Problema 2.

123

Tabla 15. Sistematización de Resultados Actividad 4- Problema 3.

123

LISTA DE ANEXOS

Pág. Anexo A. “El Teorema de Pitágoras en el Texto Escolar Matemáticas Sigma 7º, Editorial Vicens Vives, 2004”.

133

Anexo B. “Postulados, Nociones Comunes y Proposiciones usadas en la demostración del Teorema de Pitágoras y su recíproco”. 145 Anexo C. “Clasificación de Unidades Figurales Elementales”.

146

Anexo D. “Estándares de Matemáticas. Grados 7º, 9º y 11º”.

147

Anexo E. “Hojas de Respuestas. Prueba Piloto”

154

INTRODUCCIÓN

Este documento presenta los elementos teóricos, técnicos y resultados del trabajo de grado “Una Alternativa Metodológica para la Enseñanza del Teorema de Pitágoras”, cuyo título conjetura el planteamiento de una secuencia de situaciones problema o conjunto de actividades en clase para enseñar el Teorema de Pitágoras, también conocido en el ámbito escolar como Relación Pitagórica. Las actividades se abordan desde el amplio enfoque de la Resolución de Problemas, en el cual se favorecen la exploración y construcción activa del conocimiento por parte de los estudiantes, y están asociadas con la apropiación de la prueba del teorema de Pitágoras. Por esta razón, el planteamiento didáctico de las actividades se basa en el trabajo de Nicolás Balacheff sobre ”Los Procesos de Prueba en los Alumnos de Matemáticas”; investigación que brinda un marco teórico con base a la teoría de las situaciones didácticas en el sentido de Brosseau y en el modelo de Lakatos sobre la dialéctica de las pruebas y las refutaciones. La metodología a seguir es el modelo de Diseño Didáctico, en el sentido descrito por Luis Moreno: para el diseño de las situaciones problema se tiene en cuenta el análisis preliminar desde las distintas dimensiones necesarias para este fin (Histórico-Epistemológica, Matemática, Didáctica y Curricular). Los aspectos analizados convergen hacia el Acto Pedagógico (Intervención en el Aula) y luego hacia la Sistematización (Análisis posterior y entrega de resultados), esto enmarcado en un proceso de Desarrollo Curricular que pretende evidenciar la potencialidad de la integración de tecnologías computacionales en la enseñanza de la geometría. Aprovechando la experiencia del profesor Diego Garzón Castro, director de este trabajo, y siguiendo la propuesta del profesor Diego Luis Hoyos, evaluador del mismo; las situaciones problema, serán realizadas en un ambiente computacional conocido como Software o Sistema de Geometría Dinámica (S.G.D). Para esto, se tendrán en cuenta todas las consideraciones teóricas sobre la enseñanza de la demostración en geometría mediada por un S.G.D. desde su dimensión didáctica-cognitiva y curricular. Se espera que el desarrollo de este trabajo sea del interés de todas aquellas personas que, de una u otra forma, tenga relación con la tarea de la enseñanza de las matemáticas; y en especial de la geometría, en la educación básica y media.

1. EL PROBLEMA: “ENSEÑANZA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS”

El conocimiento matemático en cuestión, el Teorema de Pitágoras, tiene una innegable importancia dentro y fuera del ámbito de las matemáticas. Dentro de la geometría, especialmente la euclidiana, se puede decir que es el teorema más relevante, por su utilidad práctica y teórica. Desde el punto de vista teórico ha sido utilizado para demostrar otras proposiciones geométricas y descubrir propiedades numéricas; y desde el práctico, ha sido una herramienta para calcular ángulos, áreas y distancias. En lo que concierne al ámbito educativo, Luis Moreno dice: “El reto de la didáctica es buscar hacer significativo1 el conocimiento matemático que en esencia es abstracto y descontextualizado”2. Pero, en el afán de buscar formas de enseñanza que produzcan dicho aprendizaje significativo, se puede percibir de cierta manera un énfasis mayor en el tratamiento didáctico de los conocimientos referentes a la geometría desde su punto de vista práctico, olvidándose de la importancia que tiene el tratamiento didáctico desde un enfoque más teórico3; en especial, del teorema en cuestión. A continuación, se presenta un apartado para destacar el sentido y los alcances que tiene el tratamiento de la geometría en la escuela, de tal manera que, quede clara la concepción de geometría para efectos de este trabajo; al igual que la importancia que tiene la enseñanza de la geometría euclidiana.

1.1 SENTIDO Y ALCANCES DE LA GEOMETRÍA EN LA ENSEÑANZA. La palabra “geometría” encierra diversas concepciones y acercamientos respecto a la misma rama de las matemáticas; entre los cuales se tienen la geometría plana o euclídea, la del espacio o 3D, la proyectiva, las geometrías no euclidianas (hiperbólica y elíptica), la geometría analítica y la topología general. 1

Un aprendizaje es significativo cuando lo que se adquiere no solo se queda en el ámbito teórico de la materia, sino también es posible asociar dicho conocimiento con la práctica y aplicación en otros campos de la ciencia y/o vivir cotidiano. 2 Citado por Leonor Camargo Uribe en su ponencia: Una experiencia de “descubrimiento” en clase de geometría. En: Tecnologías Computacionales en el Currículo de Matemáticas. Serie Memorias. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, Dic-2003. p.122. 3 Para la finalidad de este trabajo, al emplearse el término “tratamiento teórico del teorema de Pitágoras”, se refiere específicamente al tratamiento didáctico de la prueba matemática del mismo.

Para evitar confusiones, y con el fin de precisar que la idea de geometría en este trabajo será la de Geometría Euclidiana, se hace referencia a Hansen, quien define la geometría clásica griega o euclidiana de la siguiente manera: Geometría se deriva de la palabra griega geometría , que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo... En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos.4

Dando por entendido que el conocimiento en cuestión de este trabajo, el teorema de Pitágoras, se tratará desde el punto de vista de la enseñanza de la geometría euclidiana, se presentan seguidamente algunas consideraciones generales de tipo curricular para destacar cómo la geometría euclidiana ha sido tratada en la escuela, y cuál es la tendencia actual para su enseñanza, según las propuestas curriculares del Ministerio de Educación Nacional (MEN). El estudio de la geometría intuitiva en los currículos de las matemáticas escolares en Colombia se había abandonado como una consecuencia de la adopción (en 1963 para los programas de primaria y en 1974 los de secundaria) de la llamada “Matemática Moderna”5. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría. Dicha necesidad es uno de los motivos que impulsa la realización de este trabajo. Con la intención de destacar el sentido y los alcances que tiene la enseñanza de la geometría euclidiana en el ámbito escolar, se cita de nuevo a Hansen:

HANSEN, Vagn Lundsgaard. Everlasting Geometry. En: Perspectives on the Teaching of st Geometry for the 21 Century, An ICMI Study. Vol.5. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. p. 10. 5 “Nueva matemática” o “New math”: tendencia curricular propuesta en los Estados Unidos, en los años 60 y 70, que produjo una transformación de la enseñanza y cuyas principales características fueron: énfasis en las estructuras abstractas; profundización en el rigor lógico, lo cual condujo al énfasis en la fundamentación a través de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor se alcanza fácilmente; detrimento de la geometría elemental y el pensamiento espacial; ausencia de actividades y problemas interesantes y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera tautología y reconocimiento de nombres.

La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos.6

Del mismo modo, Gardner, destaca la importancia del desarrollo del pensamiento espacial. En su “Teoría de las múltiples inteligencias”, considera como una de dichas inteligencias a la “espacial” y plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas.7 Se estima que la mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física, matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial. Es así que, con los anteriores referentes, se planteó la actual propuesta de Renovación Curricular, la cual avanzó en el proceso de cambio de la enseñanza de la geometría, enfatizando la geometría activa8 como una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio. Hasta aquí se tiene lo referido a grandes rasgos sobre la importancia del tratamiento del teorema de Pitágoras como parte de la enseñanza de la geometría en la escuela, haciendo énfasis en los cambios desde el punto de vista curricular, que están sucediendo gracias a las propuestas del MEN. En el siguiente apartado se describe el problema que se tiene con respecto a la enseñanza tradicional del conocimiento en cuestión, con la intención de justificar la importancia de la finalidad de este trabajo.

1.2 ENSEÑANZA TRADICIONAL DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Del anterior apartado queda claro que, en los currículos de la educación básica y media, la geometría tiene un papel muy importante en el desarrollo del pensamiento espacial, y por tanto, el teorema de Pitágoras como objeto de estudio de esta rama de las matemáticas, debe ser tratado desde un enfoque 6

Ibíd. p.11. GARDNER, Howard. Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences. New York: NY Basic Books, 1983. 8 Ver en Capítulo 5. Dimensión Curricular: 5.1.2 Pensamiento Geométrico y Sistemas Geométricos; p.76. 7

didáctico que resalte más el sentido geométrico de su prueba, antes que ser utilizado por los estudiantes con un enfoque meramente numérico en la resolución de problemas de aplicación. Pero, los diversos factores que intervienen en la forma de enseñar un conocimiento matemático en el aula (como son: la acción del docente, los materiales de apoyo y la ausencia de herramientas para la construcción de conocimientos geométricos asociados al teorema en cuestión, los programas curriculares, las concepciones tradicionales, la disposición del estudiante hacia el tema, entre otros); han reducido la gran importancia del Teorema de Pitágoras y su significado geométrico a una simple fórmula. Tanto en los niveles de la Educación Básica como Media, el estudio del teorema de Pitágoras o relación pitagórica, tiene una forma de presentación o “tratamiento habitual”, en la que se parte de su enunciado (por ejemplo: “En todo triángulo rectángulo, donde a y b son las medidas de los catetos y c de la hipotenusa, se verifica que c2 = a2 + b2”), haciendo paso directo a su aplicación en la resolución de triángulos rectángulos. Siguiendo la perspectiva que se tiene sobre el uso de los textos escolares, como uno de los principales referentes que emplean los profesores y/o las instituciones educativas para el planteamiento curricular de los cursos de matemáticas, se puede sustentar la afirmación realizada en el párrafo anterior. Dicho tratamiento habitual del teorema de Pitágoras se presenta en la mayoría de los textos escolares9, los cuales tienen una gran influencia en la acción del docente. El tratamiento habitual en la enseñanza del teorema de Pitágoras, tomando como evidencia, los textos escolares, ha sido enfocado en la presentación de la relación pitagórica del triángulo rectángulo, para ser usada principalmente en el cálculo de distancias. No obstante, son pocos los textos escolares que presentan un tratamiento didáctico sobre la prueba geométrica del mismo. Por ejemplo, entre los textos escolares más solicitados y utilizados en la actualidad (edición 2004), se puede destacar: Matemáticas Sigma 7º, de la Editorial Vicens Vives, el cual intenta dar una perspectiva distinta, expone una demostración sencilla del teorema. Sin embargo, en las actividades solo propone un problema en el que se debe realizar un proceso de visualización sobre una prueba del mismo, con la desventaja de presentar la pregunta estilo ICFES para escoger la respuesta. Lo que no se evidencia en los textos escolares es una aproximación sobre el sentido y los alcances de la validación del conocimiento matemático, en este caso del teorema de Pitágoras. Es probable que los editores de los textos no 9

Anexo A. “El Teorema de Pitágoras en el Texto Escolar Matemáticas Sigma 7º, Editorial Vicens Vives, 2004”. p.133.

deseen complicarse con las consideraciones epistemológicas, cognitivas, didácticas y curriculares, entre otras, que se deben tener en cuenta para el tratamiento de la prueba de este teorema geométrico, por lo cual, se comete el grave error de olvidarse de la importancia que tiene la realización de un proceso de prueba en el desarrollo del pensamiento geométrico del estudiante. Mediante este trabajo se expone una alternativa al tratamiento habitual del teorema de Pitágoras, presentando una serie de actividades que motiven al estudiante a explorar, descubrir y conjeturar respecto al teorema de Pitágoras. Se puede asegurar que un proceso de exploración en el que el estudiante descubra por si mismo las propiedades geométricas que encierra el tratamiento de este teorema, desarrollando el pensamiento espacial; es más significativo que el uso del mismo en la solución de problemas de aplicación (calculo de distancias, resolución de triángulos, planteamiento de ecuaciones en problemas de variación, suma de vectores, etc.), el cual está más orientado al desarrollo de operaciones numéricas. Lo que se quiere en este trabajo es resaltar la importancia que tiene el teorema de Pitágoras desde el punto de vista geométrico por el tratamiento didáctico de su prueba. Se ha puesto en evidencia que el tratamiento tradicional del teorema ha generado un aprendizaje poco relevante para los estudiantes. La enseñanza habitual busca que el teorema quede en la mente del estudiante como un objeto matemático de gran utilidad, “herramienta”10; sin embargo, esto no está sucediendo. El conocimiento del teorema de Pitágoras, entre otros temas del currículo matemático de grado 8º y 9º de educación básica, presenta problemas al evidenciar su aplicación en las evaluaciones de los estudiantes. La mayoría de los educandos que ya han recibido una enseñanza del teorema de Pitágoras, no son capaces de emplearlo de una manera adecuada en el momento en que es necesario hacer uso de él, más aún, en ocasiones ni siquiera es recordado. Esto es manifiesto en los resultados obtenidos por los estudiantes de grado 9° de educación básica en las Pruebas de Evaluación Censal de la Educación del año 2002, Programa Nuevo Sistema Escolar del Ministerio de Educación Nacional, en particular por los resultados obtenidos para la pregunta 12 en el ámbito de la resolución de problemas. A los estudiantes se les presentó la siguiente información para responder las preguntas 11 y 12 del cuestionario11: 10

De acuerdo a lo expresado por Régine Douady en el artículo “Juego de Marcos y Dialéctica Herramienta-Objeto”: un concepto matemático adquiere la connotación de herramienta por su funcionamiento científico en los diferentes problemas que permite resolver. Distinguiéndolo de esta manera de la connotación de objeto, la cual da un sentido a dicho conocimiento como un saber erudito reconocido socialmente en un momento dado. 11 MEN. Evaluación Censal de la Calidad de la Educación, Matemáticas 9º Grado Educación Básica. Programa Nuevo Sistema Escolar. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, 2002. p. 9 – 10.

Información Preguntas 11 y 12. Para armar una carpa como la que se muestra en el dibujo, es necesario que los dos tubos de la puerta sean iguales y que la distancia entre ellos, en el piso, sea la mitad de uno de los tubos.

Cremallera Costura

Tubo

Pregunta 12. Cuando el turista lleva a su familia a acampar, utiliza una carpa más grande, pero con la misma relación entre los tubos de la puerta y su distancia en el piso. Si en esta carpa cada uno de los tubos de la puerta mide 4 m. y el turista mide 2,18 m. ¿Se puede afirmar que el turista puede estar de pie en la puerta de la carpa? a. b. c. d.

sí, porque la altura de la carpa está entre 4 m y 5 m. no, porque la altura de la carpa está entre 0 m y 1 m. sí, porque la altura de la carpa está entre 3 m y 4 m. no, porque la altura de la carpa está entre 1 m y 2 m.

Este problema se propuso a los estudiantes con la finalidad de evaluar lo estipulado en el cuarto logro de Pensamiento geométrico y sistemas geométricos de los “Estándares Básicos de Matemáticas del MEN” para el grado noveno: Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas. De acuerdo a la forma en que el estudiante realice el proceso de representación geométrica del problema, éste tiene la posibilidad de seguir al menos dos caminos de resolución. El primero, teniendo los tres lados del triángulo isósceles desea conocer la altura sobre uno de sus lados, problema cuya resolución requiere el conocimiento previo de la “fórmula de Herón”. El segundo en el cual el estudiante debe realizar una división de la figura inicial “triángulo isósceles” en dos triángulos rectángulos, para trabajar con uno de ellos debe tener en mente un teorema en acto (en el sentido expresado por Duval), el cual le permite aplicar directamente el hecho de que la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide exactamente a la mitad. Después de tener la configuración de un triangulo rectángulo conociendo un cateto y la hipotenusa el estudiante debe conocer el “teorema de Pitágoras” y su aplicación para despejar el valor del otro lado, en este caso la altura buscada. 17

Así pues, según el enunciado del problema, los datos proporcionados, la pregunta y las respuestas a escoger; se esperaba que los estudiantes siguieran un proceso de resolución parecido a uno de los dos siguientes12; para concluir que la respuesta correcta es la C. Solución 1. La distancia en el piso de los tubos es igual a la mitad de la longitud de uno de los tubos, es decir la mitad de 4m, 2 m. Esto origina el siguiente triángulo isósceles:

2 s(s  a )(s  b )(s  c ) ; b s  Semiperímetro  5m 2 x 5(5  4)(5  2)(5  4) 2 x  5(1)(3)(1)  15 x

a =4 m.

c =4 m. x

9  15  16 3x4

b =2 m.

Solución 2. El triángulo isósceles de la representación anterior origina dos triángulos rectángulos como el siguiente:

4 m.

x  4 2  12  16  1  15 9  15  16 3x4

1 m.

En cuanto al conocimiento de la fórmula de Herón, se puede decir que es muy poco tratado por los profesores de matemáticas en sus cursos de geometría. Por esta razón, se esperaba que el estudiante se inclinara más por el segundo proceso de solución en el que se hace aplicación del teorema de Pitágoras. Sin embargo, los resultados estadísticos de estas pruebas indican que en el municipio de Santiago de Cali, sólo el 43% de los estudiantes evaluados tuvieron éxito al contestar esta pregunta. Este resultado puede dar motivos para pensar en un posible problema sobre el aprendizaje del teorema de Pitágoras por parte de los estudiantes evaluados. Problema que puede situarse en dos momentos: en el reconocimiento de la figura geométrica y/o en la operación numérica. 12

Sin pretender decir que estos sean los únicos procedimientos de solución del problema.

En este trabajo se pondrá atención sobre el primero de estos momentos, claro está, porque la intención de éste es el tratamiento didáctico de la prueba del teorema de Pitágoras, enfocado hacia el desarrollo de pensamiento espacial, y no de pensamiento numérico. De este modo, se plantea el problema a emprender: ¿De qué manera puede ser abordado el teorema de Pitágoras, desde un tratamiento didáctico, en el cual se recurre al diseño de una secuencia de situaciones problema – en el contexto de la dialéctica conjeturación-prueba – en la cual se integra con sentido el uso de un Sistema de Geometría Dinámica? Para dar respuesta a esta pregunta, el desarrollo de este trabajo se enfoca hacia el diseño de una secuencia de situaciones problema, sustentadas con las consideraciones teóricas desde las distintas dimensiones necesarias para el caso (histórica-epistemológica, matemática, didáctica y curricular). La secuencia de situaciones problema consta de una serie de actividades encaminadas hacia la comprensión de la prueba del teorema de Pitágoras, desde un seguimiento visual de las figuras geométricas, empezando por la exploración de las propiedades geométricas, para casos particulares, siguiendo con el descubrimiento de la generalización y finalmente, sus pruebas más reconocidas con un intento de aproximación a la escritura simbólica del mismo. Se asume en este trabajo la idea de que el tratamiento del teorema de Pitágoras, de esta manera, desencadena en el estudiante una serie de procesos de exploración, visualización, conjeturación y sistematización sobre las propiedades geométricas inherentes de este teorema; procesos de suma importancia para el desarrollo del pensamiento espacial. Respecto a la necesidad de realizar un proceso de prueba de un teorema geométrico, cabe acuñar la siguiente expresión de una estudiante francesa, la cual es muy común en la mayoría de los estudiantes: “Si yo supiera para qué sirve el teorema de Pitágoras, cómo ha sido inventado, podría aprenderlo, pero así, no me fío” (Virginie, alumna de 3ème, 15 años)13. Esta frase deja ver lo que un estudiante interesado, quiere le sea dado en sus clases de matemáticas, es decir, que se le enseñe en forma integrada, no solo el uso sino también el origen del conocimiento en cuestión. La situación que presenta en la escuela la enseñanza de la geometría respecto al tratamiento de un proceso de prueba o demostración (en especial del teorema de Pitágoras), no sólo es de olvido, sino también, que en el caso de ser tenido en cuenta, la enseñanza tradicional de la demostración en las matemáticas escolares en general, ha venido presentando problemas para su comprensión por parte de los estudiantes. 13

Frase citada por: BARBIN, Evelyne. ¿Qué concepciones epistemológicas de la demostración para qué tipos de aprendizaje? En: La enseñanza de las matemáticas: puntos de referencia entre los saberes, los programas y la práctica. París: I.R.E.M., 1996, p. 203.

Al respecto, se tienen las siguientes consideraciones asintiendo las ideas que expresa Evelyne Barbin en el artículo ya citado: La demostración en la enseñanza de las matemáticas ocupa un lugar fundamental: muchos profesores consideran que la demostración constituye la entrada al mundo de las matemáticas. Sin embargo, muchos estudiantes piensan que ésta representa el inicio de su fracaso escolar en la asignatura. Además, en la enseñanza de las matemáticas, la demostración se encuentra enfocada principalmente desde la lógica deductiva, hecho que trae consigo dificultades para el aprendizaje de varios conocimientos matemáticos, como los teoremas en geometría. Sobre la situación tradicional en la enseñanza de la demostración en matemáticas, Barbin dice: Una demostración es, en primer lugar, un texto que responde a ciertas normas, yendo de la hipótesis a las conclusiones, enunciando correctamente los teoremas utilizados, empleando en el momento oportuno las conjunciones gramaticales. Una demostración indica el buen camino, muy diferente del que se sigue en una investigación. Porque la formalización deductiva elimina todo resto de duda, de zonas de inestabilidad, de las tensiones que constituyen el preludio al deseo y a la necesidad de demostrar. De esta manera, la demostración aparece a menudo ante el alumno como un texto formalizado, normalizado y ritual. Se trata de reproducir un texto que no tendrá forzosamente sentido para él.14

Así, se vislumbra el problema que tiene la enseñanza de la demostración desde las metodologías tradicionales. La enseñanza “tradicional” es la que muchos profesores activos actualmente han conocido cuando eran estudiantes, en la cual no existe el aprendizaje de la demostración propiamente dicho. Para ejemplificar lo que es una demostración, el profesor escribe distintas demostraciones en el tablero, explica cómo se deben escribir a la izquierda las hipótesis y a la derecha las conclusiones; pasando de unas a otras mediante un razonamiento deductivo, citando los teoremas utilizados o especificándolos mediante unos códigos y mostrando claramente a qué objetos son aplicables dichos teoremas. Luego se invita al estudiante a realizar demostraciones, y es aquí donde la situación se complica para él, pues para demostrar el profesor ha entregado el procedimiento correcto, sin embargo, no es claro cómo se llegó al mismo. Ahora bien, siguiendo una de las principales ideas que promueve el proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías en el Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia, el cual es desarrollado por el Ministerio de Educación en coordinación con universidades y colegios públicos15, la alternativa metodológica objetivo de este trabajo integra el uso de las nuevas 14 15

Ibíd. p. 195. Proyecto del cual el profesor Diego Garzón Castro, director de este trabajo de grado, es Coordinador del Departamento del Valle.

tecnologías en la enseñanza de la geometría euclidiana, en particular del teorema de Pitágoras. Dicha idea expresa que las calculadoras y los computadores, para hacer matemáticas, proporcionan como vía principal la manipulación directa con objetos y relaciones matemáticas; vía muy distinta de la que ofrece el tratamiento con lápiz y papel. Además, esta idea está tomando fuerza, gracias a que las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas no sólo se están implementando para agilizar cálculos o elaborar gráficas, sino que también están influyendo en la naturaleza misma de los problemas que son interesantes desde el punto de vista didáctico. Las actividades de la secuencia de situaciones problema propuesta en este trabajo, se plantean en un ambiente computacional, mediante la integración del software de geometría dinámica (S.G.D) llamado Cabri Géomètre II; el cual es un software educativo adecuado para la enseñanza de la geometría, de gran impacto y potencialidad por su dinamismo16, el cual permite explorar propiedades de los objetos geométricos de forma rápida y fácil. El proyecto mencionado del MEN considera que: el software Cabri Géomètre se convierte en una fuente de exploración que modifica la forma de concebir los objetos geométricos y las estrategias de resolución de problemas, contribuyendo a construir el puente entre la geometría de los dibujos y la geometría de los objetos geométricos.17 Cabe destacar que la mediación del ambiente tecnológico en la propuesta didáctica genera gran expectativa en los estudiantes, mejorando el aspecto de actitud y disposición, el cual es uno de los factores influyentes en el aprendizaje de cualquier conocimiento. Los estudiantes no deben preocuparse por procesos repetitivos de la enseñanza tradicional de la geometría, sino enfocarse en reflexionar sobre lo presentado en la pantalla del computador respecto a las propiedades de los objetos geométricos que manipula. Así, es claro que el problema tratado en este trabajo es relacionado con un conocimiento matemático propio de la geometría euclidiana, el “teorema de Pitágoras”; con un enfoque hacia la comprensión de su prueba mediante una serie de actividades, tratadas en un contexto de ambiente computacional. Hasta aquí se ha planteado cuál es el problema a tratar, la justificación, importancia e intención de este trabajo. A continuación, se presentan las consideraciones teóricas que se deben tener en cuenta para el desarrollo de una posible solución a dicho problema: “Enseñanza del Teorema de Pitágoras”. 16

Ver en Capítulo 4. Dimensión Didáctica: 4.2.1 Software o Sistema de Geometría Dinámica (S.G.D). p.66. 17 MORENO, Luis. Cognición y computación, el caso de la geometría y la visualización. En: Memorias del Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, 2002. p. 89.

2. DIMENSIÓN HISTÓRICA – EPISTEMOLÓGICA

En el ámbito educativo lo histórico es algo que no se puede olvidar al tratar cualquier conocimiento. Por tanto, es de gran interés conocer el desarrollo histórico del conocimiento matemático objeto de estudio. El presente seguimiento histórico se realiza teniendo en cuenta las ideas expresadas por Luís Moreno Armella, en el artículo “La construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-crítico”: La tentación por la historia de las matemáticas no se traduce en un mecanismo cuyo propósito sea forzar una identificación de la historia con los procesos constructivos inherentes al aprendizaje de las matemáticas. Se trata más bien, de buscar aquellos lugares en donde la enseñanza encuentre cuestiones de orden epistemológico, como el ideal de simplicidad y el problema de la demostración. Imaginamos la historia como algo que puede ser interrogado a propósito de las condiciones de construcción del conocimiento, del cambio conceptual, de la relación entre conocimiento formal y realidad educativa.18

Los esfuerzos de fundamentación de la enseñanza de las matemáticas, no pueden desconocer la necesidad de la reflexión epistemológica. Por ejemplo, al tratar de transmitir el saber matemático, quedan planteados diversos problemas de relaciones entre la constitución y la adquisición del conocimiento; el estudiante debe intentar entonces apropiarse de un conocimiento que le es ajeno. En el mismo artículo Moreno afirma: No se puede dar la espalda a la necesaria distinción entre el acto de conocer y el conocimiento en sí mismo. Y a su necesaria articulación. La historia no ha de usarse para buscar un origen, casi siempre ilusorio, con la esperanza de hallar las claves para develar la esencia de las nociones. Más bien, ella nos acerca a la comprensión de cierto desarrollo (de un conocimiento), que no es el desarrollo de tal conocimiento en el estudiante, 19 pero que hace viable una cierta problematización de la enseñanza.

El análisis histórico crítico de las ideas matemáticas permite identificar en el proceso de elaboración de las ideas, ciertas formas de concebir que, eventualmente, se convierten en obstáculos para el desarrollo de tales ideas. Como la epistemología trata de las circunstancias que hacen posible el conocimiento, a tales obstáculos se les llama obstáculos epistemológicos. 18

MORENO, Luís. La construcción del espacio geométrico, un ensayo histórico-crítico. En: Memorias del Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, 2002. p. 99. 19 Ibíd. p. 100.

Un obstáculo epistemológico es pues una forma de conocimiento que se torna inadecuada (es decir, ya no es viable) para una cierta tarea cognitiva. Los obstáculos no desaparecen cuando las ideas matemáticas son trasladadas al discurso escolarizado. Allí, toman otras formas, por ejemplo, aparecen como errores que el estudiante comete reiteradamente. Aquellos errores que aparecen cuando el estudiante no puede resolver un problema, cuando no entiende un enunciado (el no poder, no entender, desde la perspectiva del profesor) son manifestación de que una determinada estructura cognitiva no puede ya asimilar una nueva situación que se le presenta. Es necesario entonces que el profesor cuente con un modelo de cómo funciona cognitivamente el estudiante, para que encuentre, en consecuencia, las situaciones propicias a las que, a través de su mediación, se enfrente el estudiante en busca de una asimilación y acomodación posibles. Este recorrido histórico epistemológico, como se hace explícito más adelante, sirve de referente para el planteamiento de la secuencia de situaciones problema objetivo de este trabajo; teniendo en cuenta las posibles dificultades que se presentaron en el desarrollo histórico del teorema en cuestión, con especial detalle en lo referido a su demostración.

2.1 HISTORIA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS. Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras de Samos (585 – 500 a. C), filósofo y matemático griego, el enunciado y demostración del teorema geométrico que lleva su nombre y que expresa la relación entre los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo. Algunos historiadores consideran que Pitágoras no fue el autor de este enunciado ni de su demostración, lo cual es difícil probar debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la Escuela Pitagórica, así como el carácter verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela. Además, existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema aunque no de su demostración. Se asegura que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoció el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla. Más allá de los anteriores comentarios anecdóticos, lo verdaderamente importante de un recorrido histórico es destacar los posibles orígenes y causas que condujeron al descubrimiento de este resultado matemático. Así, el profesor Alberto Campos al tratar la demostración del teorema de Pitágoras según los Elementos de Euclides, propone una pregunta clave para este recorrido: 23

¿Cómo fue conducido Pitágoras hacia el enunciado general? y todos aquellos que hayan alcanzado a darse cuenta de su generalidad? 20 Como una posible respuesta a la anterior pregunta se tiene el siguiente análisis histórico. Es muy probable que la primera tripla pitagórica conocida haya sido la así llamada del triángulo egipcio: 3, 4, 5. En el papiro de Kahun21 hay datos numéricos que indican que los egipcios conocían, 2000 años a.C., que 3 2  4 2  5 2 . Sin embargo, la matemática egipcia era únicamente de tipo calculista, útil para la administración del imperio, y no se tuvo en ella preocupación por la descripción de procedimientos o enunciados generales. Entre las civilizaciones primitivas que más avanzaron en la búsqueda de un enunciado general se encuentran esbozos en los que se puede suponer que estos observaron con atención lo sucedido en un triángulo rectángulo isósceles, para resolver los problemas que lograron resolver. Los más adelantados hacia la concepción de un enunciado general (exceptuando a los griegos, obviamente) fueron los matemáticos indios, quienes enunciaron dos notables resultados:  El cuadrado sobre la diagonal es igual a los cuadrados sobre los lados de un rectángulo.  La diagonal de un cuadrado produce un cuadrado de área doble de la 22 del cuadrado inicial.

El primero corresponde al enunciado de Pitágoras y el segundo al problema de la duplicación del cuadrado tratado por Platón en el diálogo de Menón. Sin embargo, la conclusión de algunos historiadores de la matemática afirma que los matemáticos indios se dieron cuenta mediante ensayos, en casos particulares, de la veracidad de la primera afirmación, la cual enunciaron en forma general, pero jamás intentaron establecer una demostración. El británico Thomas Heath, historiador y analista de los Elementos de Euclides afirma que: “la geometría india era puramente práctica y sin abstracciones; pues, a partir de siete triplas pitagóricas habían intuido la generalidad de la relación pitagórica, pero no hay muestra de ningún intento de prueba”.23

CAMPOS, Alberto. Axiomática y Geometría desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki. Capítulo II: Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro I de los Elementos. Bogota: Editor Alberto Campos, 1994. p. 27 – 154. 21 El papiro de Kahun realmente no es un papiro, pero si fragmentos de varios papiros encontrados en 1889 en esta región de Egipto, por William Matthew Flinders Petrie, arqueólogo y egiptólogo británico. 22 Ibíd. p. 116. 23 Citado por CAMPOS, Alberto. Op. Cit. p.117.

En conclusión, es probable que en diversas civilizaciones antiguas, aparezcan evidencias de las triplas pitagóricas. Lo cual puede significar que un determinado tipo de problemas (de construcción como en los monumentos megalíticos en Gran Bretaña y Escocia, al igual que en Egipto y la India) se resolvían mediante dichas triplas pitagóricas y que ciertas civilizaciones avanzaron al resolverlos de esta manera. No obstante, en los egipcios no hay indicios de una generalización del problema; en los chinos y babilonios se encuentran resultados de la aplicación a números dados, nunca la descripción del método, ni de enunciados generales. Una búsqueda de la explicación general es lo que caracteriza la contribución griega. Solo con los griegos comienza la matemática demostrativa, más allá de los simples cálculos. Al hablar del teorema de Pitágoras, uno se refiere a “teorema en el sentido griego”. Por tanto, una colección de triplas pitagóricas no es una demostración del teorema, aunque si sea ya un conocimiento experimental del mismo. Respecto a la búsqueda de las triplas pitagóricas, se puede afirmar que son los griegos quienes le añaden un sentido, al proponerse racionalizarla, en un proceso que comienza con un enunciado general, en el que aparece el papel del ángulo recto, no advertido, al parecer, en las otras culturas mencionadas; enunciado posiblemente logrado por Pitágoras, quien impulsa el proceso hacia la creación de un conocimiento sistemático que las envuelva. Dicho proceso culmina en la exposición realizada por Euclides en su obra Los Elementos. Además de las aplicaciones en el desarrollo de la Geometría Euclidiana, entre ellas la cuadratura de figuras rectilíneas y la medida de distancias24, se tiene que, históricamente el problema de encontrar las tripletas de números que cumpliesen la relación pitagórica marcó el inicio hacia la concepción de las magnitudes inconmensurables (números irracionales). Cabe destacar que este fue uno de los problemas que evidenció un obstáculo epistemológico propio en la adquisición de la idea de lo que se conoce hoy como números irracionales. Al respecto, Egmont Colerus comenta en su libro “Historia de la Matemática. De Pitágoras a Hilbert”, una breve reseña sobre el desarrollo de este problema: No cualquier par de magnitudes dadas para los catetos podían definir una magnitud conmensurable para la hipotenusa, a pesar de que se formara un triángulo rectángulo. En vista de tal dificultad Pitágoras encontró la solución para hallar dichos valores, partiendo de un número impar, la cual en la forma moderna se expresa: Sea a = 2n+1, entonces b = 2n2 + 2n y la hipotenusa: c = 2n2 + 2n + 1.

Ver en Capítulo 3. Dimensión Matemática: 3.5.1 La métrica euclidiana; p. 47.

Platón, gran discípulo de Pitágoras, unos siglos después enuncia la solución al problema partiendo de un número par, enunciada en términos modernos de la siguiente manera: Sea a = 2n, luego b = n2 - 1 y la hipotenusa c = n2 + 1.

Euclides (s. III a.C.) en su obra “Los Elementos” realiza una recopilación sistemática del pensamiento matemático existente hasta su época. En su primer libro, realiza un constructo axiomático para demostrar varias proposiciones sobre figuras rectilíneas con el fin de obtener la cuadratura de cualquier tipo de figuras. Este libro termina con las proposiciones 47 y 48 (teorema de Pitágoras y su recíproco, respectivamente) demostradas por Euclides, con todo su rigor basado en las proposiciones anteriores.26 En cuanto a esta obra es interesante destacar la naturaleza de la geometría definida por Euclides y su intencionalidad de uso. Marco Panza opina acerca de la intención que tiene cada parte de la obra de Euclides, destacando especialmente en ella la idea del continuo y los objetos geométricos como cantidades: La geometría bidimensional de Euclides se trata esencialmente de líneas rectas, ángulos, círculos, y polígonos. De mi punto de vista, se pensaron los primeros dos libros de los Elementos para mostrar que las líneas rectas, ángulos, y polígonos son cantidades.27 Esto significa que Euclides (implícitamente) define tres relaciones de igualdad, tres relaciones de orden estrictas, y tres operaciones de adición que sostiene respectivamente para las líneas rectas, ángulos, y polígonos... Tiene que ser notado que para Euclides estas cantidades son magnitudes, 28 es decir, que ellas son cantidades continuas.

La anterior idea despeja claramente la relación que existe entre el tratamiento del teorema de Pitágoras por medio de la construcción de las figuras geométricas en cuestión, y el tratamiento a través de la búsqueda de las tripletas pitagóricas, el cual es de carácter numérico. 25

COLERUS, Egmont. Historia de la Matemática. De Pitágoras a Hilbert. Buenos Aires: Ediciones Progreso y Cultura, 1943. p.27 26 Ver en Capítulo 3. Dimensión Matemática: 3.1 Demostración Formal del Teorema de Pitágoras y 3.2 Demostración del Recíproco del Teorema de Pitágoras; pp. 31 – 34. 27 En el primer libro de los Elementos, Euclides usa también los círculos pero sólo como herramientas para la construcción de las líneas rectas. Entendidos como objetos geométricos en si mismos, se tratan los círculos en el tercer libro donde, sin embargo, no son considerados como cantidades. 28 PANZA, Marco. How Axiomatic Can Generate Mathematical Objects. The Example of the Construction of a Right Angle in the First Book of Euclid's Elements. En: The axiomatic Way. París: en progreso por Ed. Brepols. 2004. (Traducción propia).

Respecto a la demostración del teorema de Pitágoras en los Elementos, se tienen unos datos interesantes, los cuales permiten ver la grandeza intencional de Euclides al acomodar todo el conocimiento geométrico de su época, en dicho sistema axiomático. Para poder demostrar el teorema de Pitágoras en una forma más general, como la que enuncia en la proposición 31 del libro VI: “En los triángulos rectángulos, la figura construida sobre el lado opuesto al ángulo recto es equivalente a las figuras semejantes y semejantemente dispuestas construidas sobre los lados del ángulo recto”, es necesario usar la teoría general de la proporción de Eudoxio, teoría enunciada en el libro V, la cual legitima los inconmensurables como números. A la vez, necesitaba el teorema de Pitágoras para demostrar algunas proposiciones en el libro II, por esta razón lo enuncia y demuestra para el caso particular de los cuadrados, el cual no requería de la teoría de Eudoxio. En las proposiciones 12 y 13 del libro II, Euclides demuestra teoremas análogos al de Pitágoras, para los casos en que los triángulos son obtusángulos ó acutángulos, respectivamente. De acuerdo a Proclo29, la demostración general del teorema de Pitágoras se le debe atribuir a Euclides, precisando que este es un teorema general valedero solo para figuras “rectilíneas” semejantes. El teorema general, para figuras “curvilíneas”, habría necesitado el método de exhaución usado a fondo por Euclides en el libro XII. Hasta aquí se tiene una idea del desarrollo histórico del teorema de Pitágoras desde sus apariciones en forma implícita por uso experimental en las antiguas civilizaciones, hasta su enunciado y demostración general por parte de los griegos. A continuación se realizan algunas consideraciones de tipo epistemológico respecto al proceso de demostración.

2.2 CONSIDERACIONES SOBRE LA DEMOSTRACIÓN.

En las matemáticas modernas una demostración comienza con una o más declaraciones denominadas premisas, y prueba, utilizando las reglas de la lógica, que si las premisas son verdaderas, entonces una determinada conclusión debe ser también cierta. La intención filosófica de construir una ciencia desde sus primeros principios, se halla en Aristóteles quien se propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa. El tema central del libro de

Proclo (410-485 d.C.), último de los filósofos clásicos griegos importantes, el exponente más representativo de la escuela ateniense del neoplatonismo.

Aristóteles, “Tópicos”, es la demostración y la facultad que la realiza. Allí se encuentran clasificados los elementos que componen una ciencia demostrativa: (i) las definiciones (ii) los primeros principios, que los hay de dos clases: los específicos de cada ciencia, llamados postulados y los comunes a todas, los axiomas (iii) finalmente, está el cuerpo deductivo, compuesto por las proposiciones demostradas a través de la inferencia.30

A grandes rasgos, estos son los antecedentes de la organización axiomática de la geometría griega. Los métodos y estrategias utilizados para construir un argumento matemático convincente han evolucionado desde los tiempos antiguos y todavía siguen cambiando. Esto se puede comprobar con el teorema de Pitágoras. La mayoría de las civilizaciones antiguas consideraron que este teorema era cierto pues coincidía con sus observaciones experimentales. Sin embargo, los griegos, entre otros, comprobaron que la simple observación o la opinión común no garantizan la verdad matemática. Así, antes del siglo V a.C. se aceptaba que todas las longitudes se podían expresar como el cociente de dos números enteros, pero un anónimo matemático griego demostró que esto no era posible con la longitud de la diagonal de un cuadrado cuya área fuese la unidad 31. La demostración de Euclides es lo que se ha llamado tradicionalmente una exposición sintética. De la hipótesis a la conclusión se ha fabricado una cadena de implicaciones, valiéndose de los primeros principios o de teoremas ya demostrados. De resultados conocidos se hallan resultados nuevos. Este proceder de Euclides casualmente genera una opinión de resentimiento en dos grandes filósofos de teorías adversas, los alemanes Hegel y Schopenhauer. Schopenhauer en “El mundo como voluntad y representación” (1819), afirma que hay cierta arbitrariedad en las construcciones matemáticas para demostrar los teoremas. De lo propuesto por este autor, se destaca especialmente lo referido al teorema de Pitágoras: A menudo, como sucede en el teorema de Pitágoras, se trazan líneas sin que sepamos porqué; luego averiguamos que eran lazos dispuestos para coger desprevenido y arrancar el asentimiento del estudioso, el cual tiene que conceder con asombro lo que en su esencia interior le es incomprensible, tanto, que puede estudiar del principio al fin todo Euclides sin formarse un juicio propio de las leyes de las relaciones espaciales y obteniendo solo algunos resultados de ellas aprendidos de memoria.32 30

ARISTÓTELES. “Tópicos 1.1”. p. 39. Problema que generó la investigación sobre medidas inconmensurables y el nacimiento de los números irracionales, en este caso de 2 32 SHOPENHAUER. El mundo como voluntad y representación. Tomo I. 1819. 31

La anterior crítica es digna de tenerse en cuenta, especialmente para el caso de los pedagogos, porque da indicios de los problemas que se presentan al tratar de entender la demostración de un teorema, como el tratado aquí. Hasta comienzos del siglo pasado pues, la idea de lo que constituía una demostración en geometría fue esencialmente la misma que la establecida oficialmente en los Elementos de Euclides. Sin embargo, la exploración rigurosa de los fundamentos de la matemática durante el siglo XIX, condujo a la desvalorización de la figura como objeto cognitivo dentro de la matemática. Este abandono de lo visual trajo como consecuencia, el predominio del lenguaje analítico para comunicar las matemáticas. Hasta el siglo XIX la obra de Euclides fue considerada como uno de los modelos de la matemática por la metodología mediante la cual valida sus resultados. Cuando Newton publica su obra, los “Principia”, toma como modelo a los Elementos de Euclides. Empero, en su trabajo sobre el cálculo, que se desarrolla mediante el lenguaje del álgebra, sus criterios de legitimación son diferentes. Esto enseña que hasta el siglo XVIII la geometría y el álgebra se regían por diferentes criterios validatorios.33 La situación que se acaba de describir cambió radicalmente durante el siglo XIX. Entonces, la metodología de la geometría fue adoptada por el álgebra y el análisis. La geometría misma sufrió cambios radicales a través de la obra “Fundamentos de Geometría” (1899) de David Hilbert, que reemplazó eficazmente la geometría euclídea con un conjunto de 21 axiomas mucho más completos y abstractos (sin basarse en las figuras), que tratan sobre puntos, líneas y planos y seis tipos de relaciones entre ellos. En los Elementos, los axiomas son verdades evidentes por lo cual no necesitan de una demostración que los justifique como tales. En consecuencia, lo que se pueda deducir de ellos, tendrá también el carácter de verdad que tienen los axiomas. En cambio, en el trabajo de Hilbert, no se tiene en cuenta el carácter de verdad de los axiomas; lo fundamental es que el conjunto de axiomas sea consistente. Es decir, que los axiomas no se contradigan entre sí. Lo anterior es presentado como una referencia acerca de la transformación que ha sufrido la metodología de la demostración, en especial en geometría; destacando las axiomáticas más notables, la de Euclides y la de Hilbert. No obstante, como ya se había aclarado en el primer capítulo, la idea de geometría (con su modo de demostración) considerada para el desarrollo de este trabajo es específicamente la de geometría euclidiana.

Véase el trabajo de Newton sobre Series Infinitas, edición de Whiteside.

3. DIMENSIÓN MATEMÁTICA

La geometría euclidiana, como campo de investigación para los matemáticos, no parece tener mayor importancia hoy en día. Sin embargo, hay un gran potencial formativo en sus contenidos, por ejemplo en los métodos de demostración, que le dan un lugar en la matemática educativa de mucha importancia. Siendo el teorema de Pitágoras un conocimiento matemático de tanta aplicación en el desarrollo de las mismas matemáticas, el tratamiento desde esta dimensión es demasiado extenso. Por esta razón, sólo se destacan las demostraciones según el Libro I de los Elementos de Euclides relacionadas a este teorema, las pruebas mas reconocidas de la relación pitagórica, así como las relaciones más relevantes con otros temas de las matemáticas, especialmente con la teoría de la métrica y las aplicaciones en la trigonometría. En cuanto al ámbito matemático, el principal referente teórico para tratar el teorema de Pitágoras, es el Libro I de la obra de Euclides “Los Elementos”.34 Libro en el cual se tratan proposiciones sobre triángulos, líneas paralelas y paralelogramos, figurando en la parte final la clásica demostración euclídea del Teorema de Pitágoras35. El libro segundo aplica, en una forma muy amplia, el teorema de Pitágoras o "Magíster Matheseos" (como más tarde se le llamaba). Destacando la extraordinaria generalización que por obra de Euclides alcanzaron los teoremas conocidos hasta su época, se hace referencia especial a la proposición 31 del sexto libro, en la que se enuncia con carácter completamente general que la suma de las áreas de dos figuras semejantes, construidas sobre los catetos de un triangulo rectángulo, es siempre igual al área de una figura análoga y semejante, construida sobre la hipotenusa. El tratamiento matemático de la prueba de esta generalización mencionada se realiza más adelante, con base a las notas de clase publicadas en la revista Educación Matemática, por el profesor de la Universidad Pedagógica Nacional de México Eduardo Zárate.36

Obra sobre la cual se comentó en el capítulo anterior “Dimensión Histórica-Epistemológica”, p. 26 del presente documento. 35 Al respecto, cabe mencionar que la modalidad actual de la demostración, consistente de "hipótesis", "demostración" (propiamente dicha) y "formula final" ("lo que queríamos demostrar"), por primera vez aparece en Euclides de un modo consecuente. En las proposiciones de construcciones pone como cierre: "lo que se proponía construir". 36 ZÁRATE S. Eduardo. Generalización del Teorema de Pitágoras. En: Revista Educación Matemática. México: Grupo Editorial Iberoamericana. Vol. 8. No. 2. Agosto 1996, p.127–144.

3.1 DEMOSTRACIÓN FORMAL DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

La proposición 47 del libro I de Los Elementos, ofrece el enunciado y la demostración formal basada en el rigor de la axiomática de la geometría euclidiana. Elementos: Libro I – Proposición 47. “En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el lado opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto” Demostración:37

Figura 1. Demostración del Teorema de Pitágoras.

 Sean AB, BC y CA los lados respectivos del ABC. Se tiene BC  CA .  Se definen, por la “Proposición I-46”: Q(CF): Cuadrado sobre el lado BC , Q(AH): Cuadrado sobre el lado CA y Q(BD): Cuadrado sobre el lado AB .  De acuerdo a la “Proposición I-31”, trazar CJ || AD (CJ || BE ) .  Trazar, según “Postulado 1”: CD y BI

Ver Anexo B. “Postulados, Nociones Comunes y Proposiciones usadas en la demostración del Teorema de Pitágoras y su recíproco”. p. 145.

 Por la “Proposición I-14” se tiene: ACB  ACH  90 . Así, (BC,CH )  180  . Por lo tanto: BH es una recta.  Igualmente: ACB  BCG  90 . Así, ( AC,CG )  180  . Por lo tanto: AG es una recta.  Por el “Postulado 4”: IAC  BAD  90 Ahora, según la “Noción Común 2”: IAC  CAB  BAD  CAB IAB  CAD  Por la “Proposición I-4”, conocida como el criterio de semejanza entre triángulos Lado-Ángulo-Lado (L.A.L), se tiene: IA  AC , DA  AB y IAB  CAD  CAD  IAB  Se definen:

P (AJ): Paralelogramo de vértices ADJK P (BJ): Paralelogramo de vértices BEJK

 Por la “Proposición I-41“ se tiene: P(AJ) y CAD tienen la misma base AD y están entre las mismas paralelas AD y CJ .  P AJ   2 CAD  Igualmente: Q(AH) y IAB tienen la misma base IB y están entre las mismas paralelas IA y HC .  QAH   2 IAB  Reuniendo las tres conclusiones anteriores se tiene38: P AJ   2 CAD  2 IAB  QAH   Realizando un procedimiento igual al anterior con P(BJ), se llega a: P BJ   2 CBE  2 ABF  QCF 

Por la “Noción Común 4” según versión de Los Elementos por Heiberg: “Dobles de una misma cosa son iguales entre sí”

 Finalmente, como: QBD   P AJ   P BJ  . Se sustituyen las dos afirmaciones anteriores, por la “Noción Común 1”, queda entonces demostrado que: QBD   QAH   QCF 

3.2 DEMOSTRACIÓN DEL RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

De igual forma, Euclides presenta en su obra la demostración del recíproco del teorema de Pitágoras. Elementos: Libro I – Proposición 48 “Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo formado por esos dos lados es recto”. Demostración:39

Figura 2. Demostración del Recíproco del Teorema de Pitágoras.

 

 Se tiene el ABC de lados tales que cumplen: Q AB  Q AC  Q CB  Por la “Proposición I-11”, trazar CD  CA

con | CD || CB | y según el

“Postulado 1”, trazar DA . Entonces: DCA  90  Como | CD || CB | , entonces los cuadrados construidos sobre ellos son

   

iguales: Q CB  Q CD .

Se sigue con las mismas convenciones de nomenclatura de la demostración anterior.

 Por la “Noción Común 2”, se tiene: Q CB  Q CD

    QCB   QAC   QCD   QAC 

 El triángulo ACD es rectángulo, luego por la “Proposición I-47”: Q DA  Q CD  Q AC .

     

 Uniendo la hipótesis con las dos conclusiones anteriores, por la “Noción Común 2”, se llega a que: Q DA  Q AB , y por tanto: DA  AB .

 

 Los triángulos ABC y ADC, tienen bases iguales CD  CB y lados iguales DA  AB , AC  AC , por la “Proposición I-8”, conocida como criterio de semejanza de triángulos Lado-Lado-Lado (L.L.L), se concluye que  DCA   ACB . Y por lo tanto, queda demostrado que:  ACB  90

3.3 PRUEBAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

A continuación se presentan las pruebas más destacadas que se han realizado sobre el teorema de Pitágoras, algunas algebraicas y otras más didácticas y visuales, como en el caso de la prueba en origami.

3.3.1 Pruebas Algebraicas. En este tipo de pruebas se realiza un proceso algebraico, basado en la información visual que brinda la figura, para obtener como resultado la fórmula del teorema de Pitágoras. Fórmula que da a entender que el cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos del mismo. Según Melzac40, existe evidencia histórica de que la prueba original del teorema de Pitágoras tuvo como referencia alguna de las dos figuras presentadas y analizadas a continuación:

Melzac, Z. A. Class notes for a course in the history of mathematics. University of British Columbia. 1988.

Figura 3. Pruebas algebraicas del Teorema de Pitágoras.

El razonamiento deductivo que se realiza sobre la primera figura, conlleva a calcular algebraicamente el área del cuadrado grande (de lado a+b), e igualar con la suma de las áreas de las figuras interiores (cuadrado de lado c y los cuatro triángulos rectángulos de hipotenusa c y catetos a,b), obteniendo la siguiente expresión algebraica:

a  b 2  c 2  4 ab 

 2  a  2ab  b  c 2  2ab 2

a2  b2  c 2

Del mismo modo, para la segunda figura se iguala el área del cuadrado grande (de lado c) con la suma de las áreas de las figuras interiores (cuadrado de lado b – a, y los cuatro triángulos rectángulos de hipotenusa c y catetos a, b), dando una expresión algebraica similar:  ab  2 c 2  b  a   4   2  2 2 c  b  2ab  a 2  2ab c 2  b2  a2

3.3.2 Prueba de Perigal. Entre el tipo de pruebas visuales por descomposición de figuras más importantes, encontramos la demostración del teorema propuesta por el matemático inglés Henry Perigal (1801-1898). Esta consiste en una figura que muestra por cubrimiento de áreas que el cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos del mismo.

Figura 4. Prueba de Perigal del Teorema de Pitágoras. Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo, se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto se puede cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

3.3.3 Prueba en Origami. Existen varias pruebas que utilizan la papiroflexia para demostrar este teorema, las cuales se basan en demostraciones geométricas clásicas. La más antigua que se conoce es la que publicó Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" (1893), recopilada también por Kunihiko Kasahara en su libro “ORIGAMI: La Era Nueva” (1989) y Jesús de la Peña Hernández en “Matemáticas y Papiroflexia” (2000). Esta es una prueba “papirofléxica” del teorema de Pitágoras basada en la ya mencionada prueba de Perigal:41 Primer Paso (figura 5): Dados en papel un triángulo rectángulo cualquiera y un cuadrado cuyo lado sea igual al cateto mayor del triángulo anterior.

Figura 5. Primer paso prueba en origami.

GARRIDO G. Belén. “Papiro-Demostración del Teorema de Pitágoras”. 2002. Disponible en Internet: http://www.pajarita.org/aep/articulos/ARTIC6-2.PDF

Determine el punto medio M del cateto menor b en el triรกngulo y en el cuadrado haga lo mismo sobre uno de sus lados. Haciendo coincidir los puntos medios, marque los extremos del cateto sobre el lado del cuadrado (marcas p,q).

Figura 6. Segundo paso prueba en origami.

Realice los siguientes pliegues y obtenga el trapezoide sugerido. Repita el proceso para obtener cuatro piezas iguales a la mostrada en el numeral 6 de la Figura 7.

Figura 7. Paso final prueba en origami.

Como se vio en la prueba de Perigal, con las cuatro piezas obtenidas se pueden construir dos cuadrados, de distintas dimensiones: Uno menor, cuyo lado sea igual al cateto mayor a del triángulo rectángulo, y otro mayor, cuyo lado es igual a la hipotenusa c del triángulo rectángulo, el cual tiene en el centro un hueco cuadrado de longitud igual al cateto menor b. Por comparación entonces se tiene la relación pitagórica: a 2 + b 2 = c 2.

3.4 GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS. Tradicionalmente, el manejo y la interpretación del teorema de Pitágoras se limita a la presentación de la Proposición 47 del Libro I de los Elementos. Sin embargo, como ya se mencionó en el capítulo de la Dimensión HistóricoEpistemológica, el mayor aporte de Euclides en su obra fue la demostración del teorema de Pitágoras en general para cualquier tipo de figuras semejantes construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo. A continuación, se presenta la demostración del teorema de Pitágoras para el caso de triángulos equiláteros, semicírculos y rectángulos, como ejemplos particulares de la Generalización del Teorema de Pitágoras.

3.4.1 Relación Pitagórica con Triángulos Equiláteros. La suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa del mismo.

Figura 8. Relación Pitagórica con Triángulos Equiláteros. 38

Hipótesis: considérese la Figura 8, en la cual aparece un triángulo rectángulo de catetos a y b, e hipotenusa c. En tales lados se han trazado sendos triángulos equiláteros (por tanto, semejantes) de alturas h1, h2 y h3 respectivamente. Sean A, B y C, respectivamente sus áreas. Tesis: A + B = C Demostración: Como es claro, las alturas dividen en dos triángulos rectángulos semejantes a cada uno de los triángulos equiláteros. Entonces:  Usando el teorema de Pitágoras se encuentran las magnitudes de las alturas: 3 2 h1  a 2   21 a   a 2  41 a 2  34 a 2  a. 2 3 3 c. b y h3  Del mismo modo: h2  2 2  Considerando ahora las áreas de los tres triángulos equiláteros, se tiene: ah 3 2 3 2 3 2 A 1  a . Análogamente: B  b yC c 2 4 4 4  Entonces: A  B 

3 2 3 2 3 2 a  b  (a  b 2 ) . 4 4 4

 Pero, por el teorema de Pitágoras, se sabe que el triángulo rectángulo de la Figura 8 cumple con a 2  b 2  c 2 .  Por lo tanto, la expresión anterior cambia a: A  B 

3 2 c , cuyo segundo 4

miembro, como ya se tuvo, es C.  Finalmente, lo que se quería demostrar:

A+B=C

3.4.2 Relación Pitagórica con Semicírculos. La suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa del mismo. Hipótesis: considérese la Figura 9, en la cual aparece un triángulo rectángulo de catetos a y b, e hipotenusa c. Sobre tales lados se han construido sendos semicírculos (obviamente, figuras semejantes), cuyas áreas se designan A, B y C, respectivamente. 39

Figura 9. Relación Pitagórica con Semicírculos.

Tesis: A + B = C Demostración: 1  a   a2    .r 2        a 2 2 2 2 2 4  8 2

 De la Figura 9 se deduce que: A  Análogamente: B 

 Entonces: A  B 

 8

b2 y C 

a2 

 8

b2 

 8



c2 .

(a 2  b 2 )

 Pero, por el teorema de Pitágoras, se sabe que el triángulo rectángulo de la Figura 9 cumple con a 2  b 2  c 2 .  La expresión anterior cambia a: A  B 

 8

c 2 , donde el segundo miembro,

como ya se tuvo, es C.  Finalmente, lo que se quería demostrar:

A+B=C

Hasta aquí se ha presentado la demostración de la relación pitagórica con cuadrados, triángulos equiláteros y semicírculos, los cuales son figuras regulares. A continuación, se da la demostración de esta relación con rectángulos semejantes, para evidenciar que también se cumple con figuras irregulares. 40

3.4.3 Relación Pitagórica con Rectángulos Semejantes. Si sobre los lados de un triángulo rectángulo se construyen rectángulos semejantes de modo que tales lados sean homólogos en dicha relación, entonces la suma de las áreas de los dos rectángulos construidos sobre los catetos es igual al área del rectángulo construido sobre la hipotenusa.

Figura 10. Relación Pitagórica con Rectángulos Semejantes.

Hipótesis: considérese la Figura 10, en de catetos a y b, e hipotenusa c. Sobre semejantes, de alturas h1, h2 y h3 respectivamente sus áreas, y sean a, semejanza.

la cual aparece un triángulo rectángulo tales lados se han trazado rectángulos respectivamente. Sean A, B y C, b y c homólogos en esa relación de

Tesis: A + B = C

Demostración:  Por la semejanza de los rectángulos se tiene: h h2 b b c c  , de donde h2  h1 ; y 3  , de donde h3  h1 . a a h1 a h1 a  Por lo tanto, para las áreas se tiene: 2 b  b A  a.h1 ; B  b.h2  b h1   h1 a  a

c  c C  c.h3  c h1   h1 . a  a 2

 De los resultados anteriores se sigue que:   a2  b2  b2 b2  h1   h1 A  B  a.h1  h1   a  a a    a   Por el teorema de Pitágoras, se sabe que el triángulo rectángulo de la Figura 10 cumple con a 2  b 2  c 2 .  La expresión anterior cambia a: A  B 

c2 h1 , donde el segundo miembro, a

como se vio antes, es C.  Teniendo así, lo que se quería demostrar:

A+B=C

De este modo, finalizan los ejemplos del cumplimiento del teorema de Pitágoras generalizado para cualquier tipo de figuras semejantes. No obstante, es igual de interesante la presentación de la demostración de este teorema en general. Sin embargo, antes de pasar a su demostración es necesario tratar tres teoremas previos, en los que se basa la generalización del teorema de Pitágoras.

3.4.4 Teoremas Previos a la Generalización del Teorema de Pitágoras. Teorema 1. Si dos triángulos son semejantes, las alturas correspondientes conservan la razón de semejanza.

Figura 11. Teorema Previo 1.

Hipótesis: Se consideran los triángulos semejantes ABC y A’B’C’ de la Figura 11; en la cual, h y h’ son las alturas correspondientes, D y D’ los pies de las alturas y r es la razón de semejanza (es decir, rL es el cociente de las longitudes de los lados homólogos).

Tesis:

h  rL . h'

Demostración:  Por hipótesis se tiene que:

a b c   a' b' c ' b)    ' y    '  90º

a) rL 

 Por el inciso (b) y por el criterio de semejanza AA (ángulo-ángulo), se deduce que los triángulos ABD y A’B’D’ son semejantes, de donde resulta que: c h  c ' h'  Pero de acuerdo al inciso (a) rL 

c . c'

 De estas dos últimas igualdades se concluye:

h  rL . h'

Teorema 2. La razón que hay entre las áreas de dos triángulos semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza.

Figura 12. Teorema Previo 2.

Hipótesis: Considérense los triángulos semejantes STU y S’T’U’ de la Figura 12. En esta h y h’ son las alturas correspondientes, y A1, A2 las áreas respectivas. Sean rL la razón de semejanza y rA la razón entre sus áreas. Tesis: r A  rL . 2

Demostración:  Por hipótesis y por el teorema 1, acabado de demostrar, se tiene que: s t u h rL     . s' t ' u ' h'  Por lo tanto:  uh    A1 uh u h 2 2 rA         rL  rL  rL , lo que se quería demostrar. A2  u ' h'  u ' h' u ' h'    2 

Teorema 3. La razón que hay entre las áreas de dos polígonos semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza.

Figura 13. Teorema Previo 3.

Hipótesis: Considérense los polígonos semejantes P1 y P2 de la Figura 13, donde:  Q y Q’ son puntos interiores homólogos (en casos especiales puede requerirse más de un punto interior en cada polígono; el objetivo es que el área de cada polígono quede adecuadamente dividida en triángulos mediante puntos interiores vértices comunes de triángulos que sean homólogos de un polígono a otro).  A1, A2, A3, ... , An y B1, B2, B3, ... , Bn son las áreas de los triángulos que se generan al unir Q y Q’ con sus respectivos vértices.  Se designa con: A y B las áreas de los polígonos P1 y P2, respectivamente; rL la razón de semejanza que hay entre ellos y rA la razón entre sus áreas. Tesis: r A  rL . 2

Demostración:  Con base a las hipótesis, se tiene que:

A  A1 A2  ...  An , B  B1 B2  ...  Bn , rL 

a1 a2 an .   ...  b1 b2 bn

 Por la semejanza entre los polígonos P1 y P2, por ser Q y Q’ homólogos, resulta que cada triángulo del polígono P1 es semejante a su correspondiente triángulo del polígono P2. Luego, por el teorema 2, demostrado antes, se tiene que: A1 A2 An   ...   ( rL ) 2 B1 B2 Bn  De lo anterior se sigue que: A1  B1.rL , A2  B 2.rL , ... , An  Bn.rL . 2

 Se considera ahora la razón entre las áreas de los polígonos: 2 2 2 A A1  A2  ...  An B1.rL  B 2.rL  ...  Bn.rL rA     B B1  B 2  ...  Bn B1  B 2  ...  Bn 2 (B1  B 2  ...  Bn )rL B 2 2   rL  rL , lo cual se quería probar.42 B1  B 2  ...  Bn B 3.4.5 Generalización del Teorema de Pitágoras.43 Si sobre los lados de un triángulo rectángulo se trazan sendas figuras semejantes de modo que dichos lados sean homólogos en esa relación de semejanza, entonces la suma de las áreas de las figuras trazadas sobre los catetos es igual al área de la figura trazada sobre la hipotenusa. Hipótesis: Considérese la Figura 14, en la cual:  a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y c es la hipotenusa.  A, B y C son las áreas de las tres figuras semejantes trazadas, respectivamente, sobre a, b y c, y estos lados son homólogos en esa relación de semejanza.

Como toda curva se puede considerar como una sucesión de segmentos infinitamente pequeños, entonces toda superficie plana limitada por una curva puede ser considerada como la superficie interior de un polígono. Por esto, el teorema 3, acabado de probar, es válido en general para cualquier figura plana. 43 Se especifica, que es la generalización del teorema de Pitágoras para toda terna de figuras semejantes trazadas sobre los lados de un triángulo rectángulo; distinguiendo de la generalización que es equivalente a la Ley o Teorema del Coseno, que se tratara más adelante.

A a

b c C

Figura 14. Generalización del Teorema de Pitágoras.

Tesis: A + B = C Demostración:  Por hipótesis y por el teorema 3, probado antes, se tiene que: 2

A a a2 B b b2     2 y que    2 C c  C c  c c  Por lo tanto:

 a2  A  C  2  c 

 b2 y B  C  2 c

  

 a2   b2   a2 b2   a2  b2    Entonces resulta que: A  B  C 2   C 2   C 2  2   C 2 c  c  c  c  c   Pero, por el teorema de Pitágoras, se sabe que el triángulo rectángulo de la figura cumple que a 2  b 2  c 2 .  De modo que la suma de las áreas de interés queda expresada como:

 c2  A  B  C  2   C 1  C , como se quería probar. c 

3.5 APLICACIONES DE LA RELACIÓN PITAGÓRICA.

Las justificaciones que a lo largo de la historia se han dado para la introducción del teorema de Pitágoras en el ámbito escolar han oscilado en dos aspectos: su vertiente formativa y su rol instrumental o utilitario. Empezando por la vertiente utilitaria es absolutamente necesario para la enseñanza posterior de numerosos conceptos científicos, no sólo matemáticos sino físicos. Pero además se destaca su carácter instrumental para resolver multitud de problemas, por ejemplo de cálculos de distancias en el plano, en los mapas, en la realidad. El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa “c” a partir de los dos catetos “a y b”: c  a 2  b 2 , o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto: a  c 2  b 2 . El teorema de Pitágoras ha jugado un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas. Mediante él fueron descubiertos los números irracionales: usando el teorema, se sabe que la diagonal de un cuadrado de lado la unidad tiene longitud 2 , que es un número irracional, es decir, la diagonal del cuadrado resulta inconmensurable con el lado. Igualmente el teorema de Pitágoras sugiere una forma de definir distancia en un plano coordenado y la generalización del teorema a tres dimensiones indica como se puede definir la distancia en espacios de más dimensiones.

3.5.1 La Métrica Euclidiana. Si a un plano lo dotamos de un sistema rectangular de coordenadas, se puede utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera P  ( x1; y 1 ) y Q  ( x 2 ; y 2 ) . y

Q  (x2 ; y 2 )

d P  ( x1; y1 )

y 2  y1

x 2  x1

Figura 15. Definición de la métrica euclidiana.

En la Figura 15, la distancia d entre los dos puntos es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo, cuyos catetos están dados por x2 – x1 , y y2 – y1 . Por lo tanto, aplicando el teorema se tiene: d2 = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2. Se define entonces la distancia entre dos puntos P  ( x1; y 1 ) y Q  ( x 2 ; y 2 ) :

d  ( x2  x1 )2  ( y 2  y1 )2 3.5.2 Pitágoras en el Espacio. El teorema de Pitágoras también se puede generalizar a tres dimensiones. En un paralelepípedo, como el de la Figura 16, el cuadrado de la diagonal d es la suma de los cuadrados de los tres lados a, b y c, es decir: d 2  a 2  b 2  c 2 .

d a b Figura 16. Pitágoras en 3-D.

Demostración:  El resultado para el espacio se obtiene aplicando dos veces el teorema de 2 2 Pitágoras en el plano (ver Figura17): d 1  a 2  b 2 y d 2  d 1  c 2 .  Sustituyendo d12, se tiene: d 2  a 2  b 2  c 2 , lo que se quería probar.

d d1

a b

Figura 17. Definición de la métrica en el espacio. 48

Del anterior procedimiento se puede observar que la métrica euclidiana puede ser generalizada a espacios coordenados de n-dimensiones. Si X  ( x1, x 2 ,..., x n ) y Y  ( y 1, y 2 ,..., y n ) son dos puntos en un plano de coordenadas de dimensión n, la distancia entre ellos se puede definir como: n  d ( X ,Y )   ( xi  y i )2   i 1 

1/ 2

3.5.3 Pitágoras y la Trigonometría. Las funciones trigonométricas seno y coseno en los triángulos rectángulos se definen, como razones entre los lados, de la siguiente manera:

Figura 18. Razones trigonométricas para el triángulo rectángulo.

 Seno del ángulo X cociente del cateto opuesto sobre la hipotenusa: sen( x ) 

a . c

 Coseno del ángulo X cociente del cateto adyacente sobre la hipotenusa: cos(x ) 

a . c

Como dos triángulos que tienen los ángulos correspondientes iguales entre sí son semejantes (criterio de semejanza A.A), entonces sus lados correspondientes son proporcionales: si en uno las medidas son a, b, c en el otro serán ka, kb, kc. Es decir, las razones de los lados correspondientes no varían de un triángulo a otro. De aquí se sigue que las funciones seno y coseno sólo dependen del ángulo “x”, y no del tamaño del triángulo. Gracias a la consideración anterior, se pueden definir las funciones seno y coseno para cualquier ángulo, mediante una extensión de la definición dada antes: En un círculo unitario (radio igual a la unidad), como en la Figura 19, si A es el punto que determina el ángulo x (un arco de longitud x), entonces cos(x) es igual a OB (proyección horizontal de OA), sen(x) se define como AB (proyección vertical de OA). 49

 Con 0 < x < 90º, AB es el cateto opuesto, OB el adyacente y OA la hipotenusa, se tiene: Sen( x ) 

AB AB   AB OA 1

Cos( x ) 

OB OB   OB OA 1

Para los otros ángulos solo varía el signo del resultado según el cuadrante en el que se encuentre posicionado el punto A que determina el ángulo x.  El teorema de Pitágoras es equivalente a la “Identidad Trigonométrica Fundamental”, llamada también “Identidad pitagórica”: Sen 2 x  Cos 2 x  1

A 1

Sen x x O Cos x B

Figura 19. Círculo Unitario e Identidad pitagórica.

3.5.4 La Ley del Coseno. Algunas veces la ley del coseno (conocida también como teorema del coseno) se le da el nombre de “Teorema General de Pitágoras” o “Generalización del Teorema de Pitágoras”; debido a que es aplicable a cualquier triángulo y a que su aplicación al triángulo rectángulo viene siendo sólo un caso particular, el cual constituye lo que tradicionalmente se conoce como el “Teorema de Pitágoras”, referido únicamente a los cuadrados de los lados. La siguiente demostración de la ley del coseno se divide en dos partes. Ley del Coseno: En todo triángulo, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de esos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que ellos dos forman.

Primera Parte (triángulo acutángulo) 44: Hipótesis: Se considera el triángulo de la Figura 20, en el cual a, b y c son sus lados, m y n son las partes en que la altura h divide al lado c, y  < 90º.

Figura 20. Ley del Coseno – Triángulo Acutángulo.

Tesis: a 2  b 2  c 2  2bc cos Demostración:  Aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos definidos por la altura h, se tienen las siguientes expresiones: a 2  h 2  m 2 (1) b 2  h 2  n 2 , entonces h 2  b 2  n 2 (2) y  Por hipótesis, se tiene: c  m  n ; entonces: c 2  m  n   m 2  2mn  n 2 Y de lo anterior se tiene la expresión: m 2  c 2  2mn  n 2 (3) 2

 Se sustituyen los miembros derechos de (2) y (3) en (1), resulta que: a 2  b 2  n 2  c 2  2mn  n 2 a 2  b 2  c 2  2mn  2n 2 a 2  b 2  c 2  2n(m  n )  Pero, c  m  n entonces: a 2  b 2  c 2  2nc  Como cos   Por lo tanto:

n , se tiene: n  b cos . b a 2  b 2  c 2  2bc cos

Como se puede observar en la Figura 20, el ángulo formado por los lados a y b puede ser agudo u obtuso sin que afecte el desarrollo anterior, pues en ambos casos la altura h sigue definiendo los dos triángulos rectángulos tratados. Esto muestra que la relación se cumple para los ángulos agudos de cualquier triángulo.

Segunda Parte (triángulo obtusángulo): Hipótesis: Considérese el triángulo de la Figura 21, en el cual a, b y c son sus lados, h una altura, m la proyección de b sobre c, y  > 90º.

Figura 21. Ley del Coseno – Triángulo Obtusángulo.

Tesis: a 2  b 2  c 2  2bc cos Demostración:  Se aplica el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos definidos por la altura h, para tener: a 2  h 2  (m  c ) 2  h 2  m 2  2mc  c 2 (1) 2 2 2 2 2 2 b  h  m , entonces h  b  m (2)  Sustituyendo (2) en (1), se tiene: a 2  b 2  m 2  m 2  2mc  c 2 , es decir, a 2  b 2  c 2  2mc

m , b entonces: m  b cos(180º )  b( cos )  b cos

 Pero, cos(180º  ) 

 Por lo tanto: a 2  b 2  c 2  2bc cos , lo que se quería probar45.

Nótese que si  = 90º, el resultado se reduce a la forma tradicional de teorema de Pitágoras pues cos 90º = 0.

4. DIMENSIÓN DIDÁCTICA

4.1 PRUEBA Y DEMOSTRACIÓN

Como el objetivo de este trabajo es plantear una secuencia de situaciones problema para la enseñanza del teorema de Pitágoras, en especial su prueba, se hace necesaria una reflexión sobre el tratamiento de la demostración en geometría desde una perspectiva de las teorías de la didáctica de las matemáticas. Para el caso se considera el trabajo de investigación de Nicolás Balacheff, mencionado antes, “Procesos de Prueba en los alumnos de matemáticas”, cuyo marco teórico se elaboró con base a la “Teoría de las Situaciones Didácticas” de Guy Brosseau, y en el modelo de Lakatos sobre la dialéctica de las pruebas y refutaciones.

4.1.1 Sentidos y Alcances de la Prueba en el Ámbito Escolar. En la actualidad es necesario resaltar la importancia que tiene el tratamiento de la demostración o procesos de prueba, como un objeto de enseñanza en la educación matemática a nivel básico y medio. Balacheff en el planteamiento teórico de su investigación afirma: ... resulta más pertinente señalar que el hecho de que la demostración sea, por sí sola, un objeto de enseñanza, o que se convierta en una herramienta (no explícita) de la actividad matemática de los estudiantes, no implica que se pueda dudar de ésta como tema específico y esencial de las matemáticas en sí, y de su enseñanza (es decir, de la educación matemática).46

De igual manera los investigadores en didáctica de la prueba en matemáticas, Hanna y Janke destacan, en el International Handbook of Mathematics Education, la importancia de incluir en los planes de estudio el acto de la prueba matemática: La contribución potencial más significativa de la prueba a la educación matemática es la comunicación del conocimiento matemático [...] Un plan de estudios de matemáticas que apunte a reflejar el papel real de la prueba rigurosa en las matemáticas debe presentarla como una herramienta indispensable de las matemáticas en un mejor lugar que el mismo centro de esta ciencia. (Hanna y Janke, 1996, pp.877-879)

BALACHEFF, Nicolás. Op. Cit. p. 2.

Relacionando las consideraciones sobre la prueba y la demostración, desde la perspectiva didáctica con lo expresado en la dimensión históricaepistemológica, se hace evidente que al realizar cualquier propuesta didáctica es importante y necesario tener en cuenta el desarrollo histórico del conocimiento matemático en cuestión (en este caso la demostración de un resultado geométrico), sin pretender que dicho conocimiento se aprenda en la escuela del mismo modo que ha sido obtenido en el ámbito científico. Sobre esto Balacheff afirma: En el campo de las matemáticas, o en cualquier otra rama del conocimiento, es fundamental tener en cuenta que la demostración no puede ser enseñada del mismo modo en un aula de clase que en un ambiente puramente científico. Para convertirse en contenido de enseñanza, las matemáticas deben sufrir una transformación adaptativa, una transposición didáctica (citando a Chevallard), bajo un conjunto de límites específicos del sistema didáctico.47

Como será mencionado más adelante, en el ámbito escolar la actividad de demostrar abarca además de la demostración contemplada de forma tradicional, otros procesos de validación como la explicación y la prueba. Contemplando de esta manera la tarea de demostrar en geometría, las profesoras de la Universidad Pedagógica Nacional (UPN), Carmen Samper, Leonor Camargo y Cecilia Leguizamón48; presentan en su informe de investigación la siguiente lista de obstáculos para comprender la demostración: Que los alumnos:  No experimentan la necesidad de demostrar proposiciones geométricas, porque las representaciones gráficas que se hacen de la situación aseguran la validez de la afirmación.  Tienen dificultades para coordinar la información proveniente de una figura con las proposiciones geométricas que se enuncian de ella.  No logran distinguir cuándo un tratamiento espontáneo, sobre una figura o un discurso, es aceptable en geometría y cuándo éste se rechaza.  Tienen creencias limitadas acerca de cómo se hace matemáticas, puesto que las actividades que han experimentado en su educación, giran alrededor del aprendizaje de algoritmos y su aplicación.  Cuando, en geometría, se les pide una demostración, se les obliga a 49 formular explicaciones en un estilo que no es natural para ellos.

Ibíd. p.2. Como resultado de una síntesis de análisis sobre el estudio de autores como Duval, de Viellers y Balacheff; 49 SAMPER, Carmen. CAMARGO, Leonor y LEGUIZAMÓN, Cecilia. Cómo promover el razonamiento en el aula por medio de la geometría. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional, 2003. p. 139. 48

4.1.2 Prueba Matemática. Antes de ser enunciada una clasificación sobre la tipología de las pruebas en matemáticas, para efectos de este trabajo, se hace necesario distinguir bien lo que se entenderá por prueba matemática. En la práctica de la enseñanza de las matemáticas frecuentemente se consideran los verbos explicar, probar y demostrar, como sinónimos; hecho que se puede verificar en los textos escolares. Confundir estos tres verbos puede conducir a una mala interpretación de los niveles de actividad de los estudiantes en un proceso de prueba. Respecto a la concepción de la explicación Balacheff dice: Siguiendo a los lingüistas, situamos la explicación al nivel del sujeto locutor. Para él ésta establece y garantiza la validez de una proposición, se arraiga en sus conocimientos y en lo que constituye su racionalidad, es decir, sus propias reglas de decisión de la verdad. En el momento en que la explicación se expresa en un discurso, ésta pretende hacer inteligible a los espectadores la verdad de la proposición ya adquirida por el locutor. La explicación no se reduce necesariamente a una cadena deductiva... La base de la explicación es esencialmente la lengua natural.50

De igual modo, Balacheff distingue el término prueba como aquel que permite marcar una distinción del sujeto locutor de una explicación, cuando esta es reconocida y aceptada. Además, él precisa: El paso de la explicación a la prueba hace referencia a un proceso social por el cual un discurso que asegura la validez de una proposición cambia de posición siendo aceptada por una comunidad. Esta posición no es definitiva; con el tiempo puede evolucionar simultáneamente con el avance de los saberes en los cuales se apoya. Por otro lado, una prueba puede ser aceptada por una comunidad, pero también puede ser rechazada por otra.51

Finalmente, se sigue la concepción de Balacheff para la demostración como el tipo de prueba dominante en matemáticas, la cual se trata de una serie de enunciados que se organizan siguiendo un conjunto bien definido de reglas. Lo que caracteriza a las demostraciones como género del discurso es su forma estrictamente codificada. Más aun, este rigor formal debe ser matizado a la luz de la práctica. Por ejemplo, ciertas etapas de la demostración pueden no estar explícitas; el descubrirlas depende del lector. Si, en principio, una demostración señala criterios lógicos por medio de un discurso, en la realidad, los procesos sociales en el seno de la comunidad matemática juegan un papel importante.52 50

BALACHEFF, Nicolás. Op. Cit. p 12. Ibíd. 52 Ibíd. p. 13. 51

En su estudio Balacheff utiliza la palabra razonamiento para designar la actividad intelectual no completamente explícita que se ocupa de la manipulación de la información dada o adquirida, para producir una nueva información. Del mismo modo, asigna el término procesos de validación a esta misma actividad cuando tenga como fin asegurarse de la validez de una proposición y, eventualmente, producir una explicación, una prueba o una demostración. La aclaración de estos dos términos conlleva a la clasificación que Balacheff realiza de las pruebas de acuerdo a cuatro tipos de razonamiento (descritos más adelante): el empirismo ingenuo, la experiencia crucial, el ejemplo genérico y la experiencia mental.

4.1.3 El Razonamiento en Geometría. Respecto al proceso de razonamiento en geometría, objeto central de estudio en la investigación mencionada antes de las profesoras de la UPN, se tiene una clasificación de los tipos de razonamiento que se favorecen en la tarea de demostrar: razonamiento visual, razonamiento informal y razonamiento formal. Estos tipos de razonamiento tienen una correspondencia con las tres clases de procesos cognitivos involucrados en la geometría, descritos por Duval: procesos de visualización, de construcción y discursivos. 53 Razonamiento Visual o Visualización: se refiere a los procesos cognitivos relacionados con las representaciones espaciales, usadas para la ilustración de proposiciones, la exploración heurística de una situación compleja, echar un vistazo sinóptico sobre ella, o para una verificación subjetiva. Clements et al. afirman que: “El razonamiento visual integra los procesos por medio de los cuales se obtienen conclusiones, a partir de las representaciones de los objetos bi o tridimensionales y de las relaciones o transformaciones observadas en construcciones y manipulaciones”.54 La visualización es un caso de aprehensión perceptual 55 que representa un interés especial en la matemática escolar porque provee información base para demostrar. Permite la diferenciación entre dibujo y una figura geométrica al identificar la información que se puede obtener de la figura y cuál no, distinción cuya ausencia conlleva frecuentemente al error de concluir, a partir de la figura, hechos que deben ser demostrados. 53

DUVAL, Raymond. Geometría desde un punto de vista cognitivo. En: Perspectives on the st Teaching of Geometry for the 21 Century. ICMI Study Series, volume 5. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. 54 CLEMENTS, D. y BATTISTA, M. Geometría y razonamiento espacial. En: Handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematics, NCTM. New York: 1992. 55 Duval considera la aprehensión perceptual de una figura como la forma de llegar al conocimiento por medio de la información obtenida de la percepción visual. Distinta de la aprehensión discursiva en la cual se tiene en cuenta el enunciado escrito que la acompaña. Ver más en la p. 59 de este trabajo.

El razonamiento informal: es aquel que se relaciona con los procesos de construcción mediante herramientas. La construcción de configuraciones puede servir como un modelo en el que la acción sobre los representantes y los resultados observados están relacionados con los objetos matemáticos que éstos representan. El razonamiento informal involucra las ideas espontáneas que se emiten en lenguaje natural, a través de la descripción, la explicación y la formulación de argumentos, los cuales son producto del establecimiento de asociaciones u oposiciones con un fuerte apoyo en la visualización. Sobre este tipo de razonamiento se tendrá mayor cuidado al analizar los procedimientos de los estudiantes, cuando intenten solucionar las situaciones problema planteadas aquí. Se puede afirmar que este es el tipo de razonamiento que más desarrollan los estudiantes al tratar de explicar lo que observa en las figuras para dar solución al problema. Después de procesos de exploración visual y explicaciones informales, se hace necesario que el estudiante realice un esfuerzo por llegar a un proceso de razonamiento formal. El razonamiento formal: es el relacionado con los procesos discursivos, que se usan para la extensión del conocimiento, para la demostración, o para la explicación. El razonamiento formal puede integrar procesos inductivos, abductivos56 y deductivos, y se puede decir que consiste en la elaboración de discursos formales encaminados a la construcción de demostraciones para probar la validez de una afirmación. Para aclarar más la concepción de este tipo de razonamiento, se presentan las siguientes consideraciones de Duval: En geometría, razonar con el fin de demostrar requiere dos condiciones críticas: 1. Usar proposiciones, cada una con un estatus teórico específico anterior: axioma, definición, teorema, hipótesis, conjetura, etc. 2. Usar solamente teoremas, axiomas o definiciones para dar un paso hacia la conclusión. En otras palabras, aquí la forma en que la información está dada es diferente: pueden ser solamente proposiciones. Y la organización es totalmente diferente. Tenemos tres niveles de organización: - Un nivel global en el que los pasos son ligados de acuerdo a su conclusión. - Un nivel local en el que al menos las tres proposiciones son organizadas de acuerdo a su estatus (hipótesis o conclusión previa, definición o teorema, conclusión local). 56

Abducción: Ver la concepción de este término en la p.59 de este trabajo.

- Un micro-nivel interno a las proposiciones usadas como reglas (definiciones, teoremas,...) en las que uno debe distinguir dos partes, la 57 parte de condiciones a verificar y la que es una conclusión a establecer.

4.1.4 La Visualización. El planteamiento de las pruebas en las actividades, objetivo de este trabajo, se presentan de tal manera que el estudiante debe realizar un proceso cognitivo o razonamiento visual (según la concepción propuesta por Duval); por esta razón es pertinente el desarrollo de este apartado, con el fin de aclarar las consideraciones hechas con base a la obra de Duval, “Semiosis y Pensamiento Humano. Registros Semióticos y Aprendizajes Intelectuales”. Para el tratamiento de una figura, es necesaria la distinción entre dos tipos de variaciones visuales: las dimensionales, ligada al número de dimensiones, 0 (un punto), 1 (una línea) ó 2 (un área); y las cualitativas, variaciones de forma (línea recta o curva, contorno abierto o cerrado de un área), variaciones de tamaño, de orientación (en elación con el plano frontal-paralelo), variaciones de granulación, de color, etc. La anterior distinción facilita la determinación de los elementos que van a funcionar como unidades de base representativa, es decir, como unidades figurales elementales.58 Cuando se requiere analizar una figura geométrica en función de las mencionadas unidades figurales elementales59, se deben tener en cuenta las siguientes afirmaciones de Duval:  Una figura geométrica es siempre una configuración de al menos dos unidades figurales elementales. Ejemplo un círculo y su centro.  Las unidades figurales elementales de dimensión 2 (límite cerrado de un área) son estudiadas en geometría como configuraciones de unidades figurales de dimensión 1 (forma línea).  Un mismo “objeto matemático” puede ser representado por unidades figurales diferentes. Ejemplo un punto, puede ser representado por la unidad figural de dimensión 0 (fuera o sobre otra unidad figural), o las unidades figurales de dimensión 2, “esquina” o “cruz” (vértice, intersección).60

DUVAL, Raymond. Op. Cit. 1998. DUVAL, Raymond. Semiosis y Pensamiento Humano. Registros Semióticos y Aprendizajes Intelectuales. Capítulo IV: Figuras Geométricas y Discurso Matemático. Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Grupo de Educación Matemática. 1999. p.259. 59 Ver Anexo C. “Clasificación de Unidades Figurales Elementales”. p. 146. 60 DUVAL, R. Op. Cit. 1999. p.262-263. 58

Las anteriores afirmaciones permiten comprender ciertas dificultades en el aprendizaje de la geometría, especialmente las relacionadas con la articulación entre el registro del discurso matemático y el registro de las figuras geométricas. Duval propone en general la dificultad cognitiva principal: “los alumnos evitan al máximo transformar una unidad figural de dimensión 2 en una configuración de unidades figurales de dimensión 1 o 0”. 61 Es evidente la importancia que tienen las figuras como soporte intuitivo para las actividades en geometría. En la resolución de un problema o en la búsqueda de una demostración, las figuras permiten aquélla conducta que Pierce describió bajo el término de “abducción”. Conducta que consiste en limitar de entrada la clase de hipótesis o de alternativas para ser consideradas: “de entrada, la figura ha de evitar la exploración de todos los caminos posibles captando la atención sólo sobre aquellos susceptibles de conducir a la solución o sobre los que ya han conducido a ella”.62 Para comprender como las figuras pueden facilitar el desarrollo de la conducta de abducción descrita antes, se deben distinguir dos niveles de aprehensión de las figuras geométricas: Aprehensión Perceptual o Gestáltica. En el que se opera el reconocimiento de las diferentes unidades figurales que son discernibles en una figura dada. Aprehensión Operatoria. En el que se efectúan las modificaciones posibles de las relaciones de las partes con el todo (ópticas o posicionales) de las unidades figurales reconocidas y de la figura dada.63 Entre las modificaciones posibles que se pueden llevar a cabo en el nivel de la aprehensión operatoria de las figuras, se destaca en especial la reconfiguración, por ser (a consideración propia) la de mayor importancia en un proceso de prueba visual como el que se propone en este trabajo para el teorema de Pitágoras. Al respecto de esta modificación, Duval menciona: La reconfiguración es un tratamiento que consiste en la división una figura en sub-figuras, en su comparación y en su reagrupamiento eventual en una figura de un contorno global diferente. Es importante no confundir “unidad figural elemental” y “sub-figura”. Las unidades elementales son las formas de base en las cuales todas las figuras pueden ser analizadas. Las sub-figuras son el resultado de una división de la figura que depende de las necesidades de un problema propuesto: pueden consistir en una unidad figural o en una combinación de ellas. 61

Ibíd. p.264. Ibíd. p.264-265. 63 Ibíd. p.266. 62

Es igualmente importante no confundir la figura de partida y la transformación de esta figura por la aplicación de tratamientos figurales en la reconfiguración. La figura de partida es la figura que se puede construir tomando en consideración ya sea, los datos del enunciado de un problema, o los datos de la formulación de una proposición para ser demostrada. A veces en la presentación de una demostración, es la figura transformada la que está dada como la figura que acompaña al texto.64

Otra afirmación planteada por Duval, igual de relevante para el presente trabajo, es la relacionada con la importancia de la coordinación entre figura y discurso en geometría: “Una figura representa una situación geométrica sólo en la medida en que la significación de ciertas unidades figurales y de algunas de sus relaciones, estén explícitamente fijadas de entrada... Es necesaria una indicación verbal para anclar la figura como representación de uno u otro objeto matemático”.65 Los anteriores aportes son de gran importancia si se tienen en cuenta en el siguiente apartado de este capítulo, pues al realizar la clasificación de los tipos de prueba, Balacheff retoma varias ideas de las expresadas por Duval respecto a los procesos desarrollados en el acto de demostrar.

4.1.5 Tipos de Prueba. Para dar paso a una tipología de las pruebas matemáticas, se cita de nuevo el trabajo de Balacheff, en el cual diferencia dos tipos de pruebas: las pruebas pragmáticas y las pruebas intelectuales66. Pruebas Pragmáticas: son aquellas que recurren a la acción o a la ostensión. Es decir, las operaciones y los conceptos que ésta entraña son ejecutados; no son diferenciados ni articulados, y solamente se prestan para ser observados. Como ejemplo de este tipo de prueba se presenta la figura 22. Esta prueba se fundamenta en la capacidad que tenga la persona que observa la figura para reconstruir las razones que el locutor tiene en mente y que no sabe explicitar de otra manera.

Figura 22. Prueba de Bhascara del Teorema de Pitágoras. 64

Ibíd. p. 270. Ibíd. p. 274 66 BALACHEFF, Nicolás. Op. Cit. p. 20. 65

Sémadéni, citado por Balacheff67, recomienda el uso de las pruebas pragmáticas en la educación elemental y al respecto expone: Una prueba de una afirmación S debe seguir el siguiente procedimiento: 1. Escoger un caso especial de S. El caso debe ser genérico (es decir, sin características especiales), no muy complicado, pero tampoco muy simple (un ejemplo trivial puede ser posteriormente difícil de generalizar). Escoger una representación activa y/o icónica de este caso, o un ejemplo paradigmático. Ejecutar ciertas acciones físicas concretas (manipular objetos, hacer dibujos, mover el cuerpo, etc.) para verificar la afirmación en un caso dado. 2. Escoger otros ejemplos conservando el esquema general, pero variando las restricciones involucradas. Verificar la afirmación para cada caso tratando de usar el mismo método expuesto en el numeral 1. 3. Cuando las acciones físicas ya no sean necesarias, continuar ejecutándolas mentalmente hasta estar convencido de que sabe como aplicar el mismo procedimiento a otros ejemplos. 4. Tratar de determinar la clase o las clases para las cuales este método funciona. (Sémadéni, 1984, pp. 32-4)

Lo anterior ofrece una visión de la intencionalidad que se debe tener al proponer una prueba de este tipo e igualmente las características para su identificación y distinción de otro tipo de prueba. Respecto a las pruebas pragmáticas, Balacheff afirma que: “Los teoremas en acto68 juegan un papel fundamental en este tipo de prueba. Consisten en determinadas propiedades que el individuo utiliza en la solución de problemas, sin que por lo tanto pueda enunciarlos”69, y adhiere que en una prueba de este tipo, si así es requerido, presenta un lenguaje de la familiaridad, cuyo soporte es la lengua natural.

Pruebas Intelectuales: son las pruebas que, separándose de la acción, se apoyan en formulaciones de las propiedades en juego y de sus relaciones. Es decir, que en este tipo de pruebas el locutor debe alejarse de la acción y del proceso efectivo del problema, para convertir el conocimiento tratado en objeto de reflexión, discurso y debate. En este tipo de pruebas el lenguaje debe convertirse en una herramienta para el cálculo lógico y no solamente en un medio de comunicación, por lo tanto se requiere de un lenguaje funcional, que se caracteriza por la introducción de un léxico específico o un simbolismo. En estas pruebas inteletuales, también se 67

Ibíd. p. 21. Siguiendo la concepción sobre este término de G. Vergnaud (1981). 69 Ibíd. p. 22. 68

puede presentar lo que Bourbaki llama “el formalismo ingenuo”, una asociación entre el lenguaje natural y la lengua simbólica, que se da por razones de economía en la práctica matemática. Al respecto del lenguaje funcional propio de las pruebas intelectuales Balacheff dice que: La elaboración de este lenguaje requiere en particular de:  una descontextualización. o renuncia al objeto actual como medio efectivo para la realización de las acciones, para acceder a la categoría de los objetos, independientemente de las circunstancias anexas o anecdóticas de su aparición;  una despersonalización, separando la acción de quien ha sido su actor, y del cual ésta debe ser independiente;  una destemporalización, liberando las operaciones de la fecha en la que fueron realizadas y de su duración anecdótica. Este proceso marca la transición del universo de las acciones al de las relaciones y las operaciones (en el sentido de Piaget).70

Siguiendo la tipología propuesta por Balacheff, se considera la demostración como la prueba matemática que ha adquirido el mayor nivel de elaboración y rigor; muy distinta de una prueba intelectual y mucho más de una prueba pragmática. La demostración en matemáticas se fundamenta sobre un cuerpo de conocimientos fuertemente institucionalizado, sobre un conjunto de definiciones, de teoremas y de reglas de deducción, cuya validez es aceptada socialmente. A través de la siguiente tabla se ilustra la correspondencia que existe entre los tres polos (según Balacheff) que intervienen en la transición de pruebas pragmáticas a pruebas intelectuales, y en especial a la demostración; respecto a las jerarquías que cubren:71  El polo de los conocimientos,  El polo lingüístico o de formulación  El polo de la validación.

70 71

Ibíd. p. 23. La tabla indica las posiciones relativas aproximadas y no las correspondencias estrictas entre los niveles de las diferentes columnas.

Naturaleza de las concepciones

Formulación

Validación

Ostensión

Pruebas pragmáticas

Prácticas (saber-hacer, teorema en acto)

Lenguaje de la familiaridad

Conocimientos como objeto (saber)

Lenguaje funcional

Pruebas intelectuales

Formalismo ingenuo

Demostración

Conocimiento teórico y reconocido (saber científico, teorema)

Tabla 1. Transición entre Tipos de Pruebas y Demostración. 72

Para terminar este apartado, se presentan los cuatro tipos de prueba distinguidos por Balacheff, entre los cuales se puede encontrar cualquier prueba pragmática o intelectual. Esta clasificación es planteada en un orden jerárquico de acuerdo al nivel de exigencia de generalidad y al nivel de conceptualización de los conocimientos que necesita. El empiricismo ingenuo consiste en asegurar la validez de un enunciado después de haberlo verificado en algunos casos. Este modo de validación tan rudimentario e insuficiente, es una de las primeras formas de los procesos de generalización (Piaget, 1978)... Podríamos afirmar que el empiricismo ingenuo constituye una forma resistente de generalización. La expresión "experiencia crucial" fue una invención de Francis Bacon (1620), que designa una experimentación cuyo resultado permite escoger entre dos hipótesis, siendo verdadera sólo una de ellas. Tengamos en cuenta que si esta experiencia permite rechazar una hipótesis, no es posible afirmar que la otra es verdadera. Utilizaremos esta misma expresión para designar el proceso que consiste en verificar una proposición de un caso para el cual no se asume que "si funciona ahora, entonces funcionará siempre"... La experiencia crucial servirá de cierta manera para decidir entre una proposición y su negación. Este tipo de validación se distingue del empiricismo ingenuo en que el individuo plantea explícitamente el problema de la generalización y lo resuelve, aventurándose a la ejecución de un caso que reconoce tan poco particular como le es posible. 72

Ibíd. p. 24.

El ejemplo genérico consiste en la explicación de las razones de validez de una aserción para la validación de operaciones o transformaciones de un objeto en calidad de representante característico de determinada clase. La formulación libera las propiedades, características y las estructuras de una clase, estando siempre ligada a su categoría y a la exhibición de uno de sus representantes. La experiencia mental se centra en la acción, interiorizándola y separándola de su ejecución sobre un representante en particular. Se desarrolla en una temporalidad anecdótica, pero las operaciones y las relaciones que inician la prueba nunca están designadas por su puesta en práctica. Las operaciones y las relaciones que sirven de preludio a la prueba nunca son escogidas por el resultado de su puesta en práctica; este 73 es el caso genérico.

Cabe aclarar que la anterior clasificación permite vislumbrar y plantear ciertas estrategias de observación en el desempeño de los estudiantes al momento de realizar una prueba y, por tanto, será útil al momento de evaluar una situación didáctica.

4.1.6 Situaciones Problema de Prueba. En la actualidad la enseñanza de las matemáticas está orientada hacia la resolución de situaciones problema. Este enfoque se desarrolló a partir de varios estudios y su principal sustento teórico en la didáctica de las matemáticas es dado por el trabajo de Guy Brousseau sobre las situaciones didácticas en matemáticas74. Para facilitar la comprensión de esta obra y tomar consideraciones teóricas en este informe, se tendrán en cuenta trabajos de otros autores, basados en dicha teoría. Para iniciar las consideraciones de este apartado, se presenta una breve y concisa idea de lo que es la enseñanza a través de situaciones problema: “se trata de una enseñanza que parte de un campo de problemas para construir un campo de saberes. Una situación problema debe ser, al mismo tiempo, una situación de construcción, o de nuevas aplicaciones del saber, y un problema que provoque una actividad intelectual en el alumno”.75 Las situaciones problema en matemáticas pueden ser clasificadas de diversas maneras, pero no es el objetivo de este apartado. Lo que se quiere es dar unas pautas para reconocer una situación problema de prueba, especialmente en geometría, distinguiéndola de otras situaciones problema. Por esta razón, se 73

Ibíd. p.26-27. BROUSSEAU, Guy. Teoría de las Situaciones Didácticas: Didáctica de las Matemáticas 1970-1990. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. 75 BARBIN, Evelyn. ¿Qué concepciones epistemológicas de la demostración para qué tipos de aprendizaje? En: La enseñanza de las matemáticas: puntos de referencia entre los saberes, los programas y la práctica. París: I.R.E.M., 1996, p. 195-210. 74

cita de nuevo a Balacheff, quien en su trabajo considera una clasificación de tres tipos de situaciones problema: las esferas de práctica, las situaciones de decisión y las situaciones de validación.76 Las esferas de práctica: se refieren al caso de las situaciones en las que el estudiante debe aplicar algoritmos o sucesiones numéricas, o trabajar con prácticas determinadas por elementos que no cambian, es decir aplican directamente un conocimiento adquirido. Estas acciones no generan conocimientos nuevos, porque no plantean su validez o su consistencia. Las situaciones de decisión: exigen la ejecución de procesos de validación sin que sea necesaria una producción explicita de una prueba, es decir, lo que se debe producir es una proposición y no la prueba de esta proposición. Las actividades de este tipo invitan a la construcción de conjeturas con el fin de diseñar una estrategia para la resolución de una situación problema y aunque no haga explicita una prueba el razonamiento hipotético-deductivo se hace presente. Las situaciones de validación: son aquellas en las que el estudiante socializa sus explicaciones acerca de una afirmación, siendo este uno de los pasos en el proceso de la demostración. Aunque se exijan procesos de prueba en este tipo de situaciones, estos no son equivalentes a los procesos de demostración, pues no se exige necesariamente una secuencia de afirmaciones construidas dentro de un sistema axiomático deductivo. Los ejemplos que se dan a continuación tienen la finalidad de ilustrar la diferencia entre las tres actividades descritas: esferas de práctica, situaciones de decisión y situaciones de validación: Cuando se propone a los estudiantes verificar que algunas ternas de números corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, éste se halla frente a un ejercicio que conlleva una práctica mecánica de aplicación del teorema de Pitágoras y por lo tanto corresponde a la esfera de práctica. En cambio, el ejercicio puede constituirse en un caso de situación de decisión si se propone diseñar una estrategia para encontrar los valores de x para los cuales las expresiones x, x + 1 y 6 – 2x, sean las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Se convertiría en situación de validación si se pide a los estudiantes justificar la existencia de valores de x para que exista triángulo que a la vez sea rectángulo.77

76 77

BALACHEFF, Nicolás. Op. Cit. p.15. SAMPER, Carmen; et. ál. Op. Cit. p. 96.

Las actividades diseñadas en este trabajo, enfocadas hacia la prueba de una propiedad de un objeto geométrico, tendrán una mayor orientación hacia el desarrollo, tanto del razonamiento visual como del informal, según las concepciones descritas por Duval. Sobre estos dos tipos de razonamiento se puede establecer una correspondencia con los tipos de prueba dados por Balacheff; es decir, que las pruebas pragmáticas se asocian con el razonamiento visual, y las intelectuales con el razonamiento informal. Las situaciones problemas a tratar no estarán enmarcadas de manera específica en lo que se asentó como razonamiento formal, tipo de razonamiento propio de la demostración, según la concepción de Balacheff.

4.2 LA PRUEBA EN UN SOFTWARE O SISTEMA DE GEOMETRÍA DINÁMICA (S.G.D)

Como ya se expresó previamente, el objetivo de este trabajo es desarrollar una serie de actividades para la enseñanza del teorema de Pitágoras, encaminadas a la comprensión de su prueba, utilizando el software educativo Cabri Géomètre. Este software tiene las características de lo que se conoce, en el ámbito de las nuevas tecnologías en la educación matemática, como Sistema de Geometría Dinámica (S.G.D). A continuación, se describen las características de un S.G.D y las implicaciones didácticas que conllevan su uso en la enseñanza de la prueba en cuestión. 4.2.1 Software o Sistema de Geometría Dinámica (S.G.D). Para una persona que trabaje por primera vez con un software de este tipo, puede parecerle inicialmente que se trata de un editor gráfico, el cual ofrece la posibilidad de dibujar diagramas geométricos en la pantalla del computador. Pero, luego se dará cuenta que un Software de Geometría Dinámica es mucho más que un simple editor en el que los elementos del diagrama se pueden agarrar con el ratón y arrastrar en la pantalla. En palabras de Colette Laborde, la principal característica de un S.G.D. es que: “el diagrama se redibuja de manera continua conservando intactas las relaciones geométricas que hayan sido declaradas en su construcción, así como todas las propiedades geométricas implícitas en ella”. 78

LABORDE, Colette. Los Fenómenos Visuales en la Enseñanza-Aprendizaje de la Geometría en un Ambiente Basado en Computador. En: Perspectives on the Teaching of Geometry for st the 21 Century. ICMI Study Series, volume 5. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. p.114.

Por ejemplo, en uno de estos software como el ya mencionado Cabri Géomètre79, la construcción de una figura se hace mediante la utilización de herramientas para crear elementos geométricos básicos como puntos, rectas o circunferencias y otras construcciones que se realizan sobre estas, como rectas perpendiculares, bisectrices, simetrías, entre otras. Cabri proporciona un modelo “real” del campo teórico de la geometría euclidiana en el cual es posible manipular, en un sentido físico, los objetos teóricos que aparecen como dibujos en la pantalla. El comportamiento de este software se basa en el conocimiento geométrico de dos maneras:  Los dibujos pueden ser trazados, basados en primitivas geométricas las cuales tienen en cuenta objetos y relaciones geométricas relevantes.  Este ofrece la retro-alimentación que puede distinguir entre esquemas dibujados de una manera empírica y esquemas que resultan del uso de primitivas geométricas.80

Las características fundamentales de un Sistema de Geometría Dinámica, como Cabri son:  La capacidad de arrastre (dragging) de las figuras construidas, que favorecen la búsqueda de rasgos que permanecen vivos durante la deformación.  El uso extensivo de locus (lugar geométrico) y trace (huella que deja una figura geométrica cuando se le arrastra), que permite visualizar y descubrir hechos geométricos.  La animación de figuras, que permite presenciar el proceso constructivo de un hecho geométrico.81

De las anteriores características se destaca la importancia de la primera de ellas, pues precisamente, el dinamismo ofrecido por el arrastre es la principal diferencia entre un entorno de lápiz y papel y un entorno de geometría dinámica. Al ser construcciones dinámicas, las figuras en la pantalla adquieren una temporalidad, esto es, ya no son estáticas, sino móviles, y por tanto sus propiedades deben estar presentes en todas las posibles posiciones que tomen en la pantalla.

Otros S.G.D. muy usados: Geometre Stketch Pad, Regla y Compás, y Cinderella. Ibíd. 81 MEN. Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales. Proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia. Bogotá: MEN, abril 2004. p.19-22. 80

Esta opción hace posible el reconocimiento de las invariantes de una construcción mediante la comprobación por medio del arrastre de la conservación de las propiedades geométricas de dicha construcción. De este modo se puede decir que la geometría dinámica, instalada en un ambiente computacional, se coloca a medio camino entre el mundo sensible, en este caso esencialmente visual, y el mundo matemático (esencialmente abstracto). Para hacer efectiva la característica fundamental del arrastre de un S.G.D; en la base de cualquier uso de la geometría dinámica, deben estar presentes dos principios fundamentales, los cuales se relacionan específicamente con el proceso de visualización (tratado en el capítulo anterior): Dudar de lo que se ve, es decir, no tomar por verdaderas relaciones percibidas en una imagen estática, sino tratar de confirmar su invariabilidad durante el arrastre. Ver más de lo que se ve, significa estudiar una figura para tratar de descubrir relaciones que no están presentes a simple vista. Esto es posible enriqueciendo la figura con construcciones auxiliares, marcas y mediciones, lo que constituye un verdadero trabajo de experimentación.82

A continuación se intenta vislumbrar, cómo las características de un S.G.D. como Cabri facilitan y potencian el aprendizaje de la geometría; destacándose especialmente los aspectos que se relacionan en forma más directa con el problema tratado en este trabajo, es decir, hacia la comprensión de una prueba visual del teorema de Pitágoras.

4.2.2 Potencial de un S.G.D en un Proceso de Prueba. Con base a lo expresado en el documento del MEN citado antes, se presentan los aspectos que enfatizan la potencialidad del uso de un S.G.D. en el desarrollo del pensamiento geométrico, en especial el papel que juega la visualización en un proceso de prueba. El primero de estos aspectos es la articulación entre los procesos de visualización y los procesos de justificación. Al respecto el documento del MEN afirma: El aprendizaje de la geometría implica el desarrollo de habilidades visuales y de argumentación, y para que sea un aprendizaje significativo, es necesario construir una interacción fuerte entre estos dos componentes, de tal modo que el discurso teórico quede anclado en experiencias perceptivas que ayuden a construir su sentido, y a su vez las habilidades visuales sean guiadas por la teoría, para ganar en precisión y potencia.83 82 83

Ibíd. p. 23. Ibíd. p. 25.

La relación entre la percepción visual y la justificación presenta un carácter dialéctico en cuanto a la complementariedad y oposición que tienen a la vez. Es decir, en ocasiones una puede ser obstáculo para la otra o, por el contrario, puede ser un apoyo indiscutible. La anterior consideración sobre los problemas ligados a la percepción visual y su articulación con el discurso matemático, preocupó a los matemáticos por muchos siglos, quienes buscaron bajo el paradigma griego encontrar un fundamento exclusivamente racional a la geometría, prescindiendo de la percepción visual. Como fue aclarado en el capítulo de la Dimensión HistóricoEpistemológica, este intento de los matemáticos enfrentó muchos fracasos debido a la estrecha relación entre la percepción y el razonamiento, hasta que Hilbert logró formular la estructura axiomática de la geometría independiente de toda percepción. El trabajo con geometría dinámica ofrece una alternativa razonable para comprender las relaciones y mutuas influencias entre los procesos de visualización y los procesos de organización discursiva de hechos geométricos, estrechando sus lazos de manera que puedan superarse los obstáculos de dichas relaciones y se logre un aprendizaje significativo. El potencial didáctico de la geometría dinámica va más allá de su poder ilustrativo. Siguiendo las ideas de Duval sobre los procesos de visualización, el verdadero potencial de un S.G.D se presenta cuando se problematizan dichos procesos, haciéndolos operativos, de modo que surja de una manera natural la necesidad de explorar, conjeturar, predecir y/o verificar. Así, la elaboración de proposiciones geométricas adquiere sentido para los alumnos al responder a esa necesidad explicativa de los fenómenos observados. El segundo aspecto a tener en cuenta es la diferenciación entre dibujo y objeto geométrico. Debido a la relación entre la visualización y la justificación, que se hace mucho más fuerte al usar un S.G.D, se crea un puente entre el dibujo (producido usando únicamente ajustes perceptivos) y el objeto geométrico que dicho dibujo representa (producido con base en relaciones geométricas). La dificultad para hacer esta distinción ha sido identificada como una de las fuentes de la escasez del desarrollo del pensamiento geométrico. De nuevo, el uso de un S.G.D con relación a este aspecto, presenta un potencial didáctico relevante: La exploración que se puede implementar en el medio geométrico propio de Cabri, contiene el criterio fundamental para distinguir entre “dibujo” y “objeto geométrico” sobre el cual se considera necesario insistir: un hecho geométrico es tal, cuando es capaz de aprobar el test del arrastre.84

Ibíd. p. 27.

Un tercer aspecto es la problematización de las construcciones geométricas. Estas se convierten en “objetos” de experimentación sobre la teoría, sin utilizar directamente el discurso, por lo cual contribuyen a superar las tensiones entre los procesos de visualización, con su potencial heurístico en la resolución de problemas, y los procesos de justificación, con su potencial pedagógico, para dar sentido a la organización deductiva del conocimiento matemático. Para aprovechar el potencial de un S.G.D no basta proponer a los estudiantes que realicen un proceso de construcción geométrica. Esta tarea debe ser un problema en cuya solución se pongan en juego los conocimientos previos del estudiante y las posibilidades ofrecidas por el software. El cuarto aspecto se refiere a la dinámica entre la exploración y la sistematización. Un S.G.D ofrece las posibilidades de exploración de relaciones geométricas, es decir, que se convierte en un socio cognitivo del estudiante en sus indagaciones sobre los objetos matemáticos. Así, el software brinda a los estudiantes un campo de experimentación en el cual realizan secuencias de exploración, y sistematizan sus acciones y argumentaciones para llevar a cabo procesos de abstracción situada85. Lo anterior es posible gracias a la característica fundamental del arrastre, la cual enriquece las posibilidades de una figura y ayuda a invalidar propiedades no invariantes. Un último aspecto, y quizás el más importante para los fines de este trabajo, es considerar las recomendaciones para el uso de un S.G.D. en los procesos de validación. Realizando las actividades de “explorar y sistematizar propiedades y relaciones presentes en la solución de un problema”, descritas en el aspecto anterior, se generan argumentos para comprobar afirmaciones y validarlas dentro del contexto geométrico en el que se trabaja. De este modo, el uso del software se convierte en un puente entre el conocimiento empírico, que se valida a través de la ostensión, y el conocimiento formal, que se valida a través de la deducción. Finalmente, y a modo de conclusión, se puede afirmar que para aprovechar al máximo el potencial del software en una actividad que requiera un proceso de validación, es necesario conjugar cuatro momentos estrechamente relacionados que se combinan permanentemente en el trabajo matemático: La exploración, que surge al intentar enfrentarse a la solución de un problema y que da pie a la formulación de conjeturas para generar estrategias de solución. La construcción, que pone en evidencia las propiedades geométricas en juego y las relaciones entre ellas, constituyéndose en la semilla de la deducción. 85

Es decir, la abstracción entendida desde una postura empirista (que exige un fundamento en la experiencia sensible), de tal manera que, depende fuertemente en su construcción de la especificad del contexto. En este caso situada en un S.G.D.

La argumentación, que se constituye en un mecanismo para validar afirmaciones dentro del contexto en el que se está trabajando, a partir de la elaboración de inferencias de carácter deductivo. La demostración, con la cuales proposiciones geométricas se incorporan a una teoría geométrica.86

De esta manera, se finaliza el tratamiento teórico sobre el problema en cuestión desde de su perspectiva didáctica. Quedando claro que para el objetivo de este trabajo, “diseñar una secuencia de situaciones problema para la enseñanza de la prueba del teorema de Pitágoras, utilizando Cabri Géomètre”, se tendrán en cuenta las consideraciones aquí descritas.

Ibíd. p. 41–42.

5. DIMENSIÓN CURRICULAR

Como principal referente para el planteamiento de este capítulo se tiene lo expresado por el Ministerio de Educación Nacional en Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas; publicación en la cual se destaca que el aprendizaje de las matemáticas debe posibilitar al alumno la aplicación de sus conocimientos fuera del ámbito escolar, donde debe tomar decisiones, enfrentarse y adaptarse a situaciones nuevas, exponer sus opiniones y ser receptivo a las de los demás. Por esta razón, el docente juega un papel importante como el facilitador de situaciones didácticas apropiadas para el desarrollo del pensamiento matemático en todo el contenido que este involucra. También se tienen en cuenta algunas consideraciones necesarias para el diseño de la secuencia de situaciones problema, basadas en lo expresado por el MEN en los Estándares Básicos de Matemáticas. Esto, mediante la realización de un análisis de coherencia vertical y coherencia horizontal entre los estándares propuestos en relación con el conocimiento matemático en cuestión, es decir, el teorema de Pitágoras. Y, al final de este capítulo, se presentan observaciones sobre la relación entre el currículo de matemáticas y el uso de las nuevas tecnologías en la Educación Básica.

5.1 MODELO CURRICULAR

De acuerdo a las afirmaciones del MEN, es necesario relacionar los contenidos del aprendizaje con la experiencia cotidiana de los alumnos, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de situaciones problemáticas y de intercambio de puntos de vista. Según esta visión global e integral del quehacer matemático hay que considerar tres grandes aspectos para organizar el currículo de matemáticas en una forma armónica: los procesos generales, que tienen que ver con el aprendizaje; los conocimientos básicos, que tienen que ver con procesos específicos que desarrollan el pensamiento matemático y con sistemas propios de las matemáticas; y el contexto, referido a los ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a las matemáticas que aprende.87

MEN. Lineamientos Curriculares de Matemáticas. Serie Lineamientos Curriculares. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, 1998. [Versión electrónica]. p.20.

En la publicación de los Lineamientos Curriculares se proponen varios modelos para representar la interrelación existente entre los tres componentes de la organización curricular mencionados. El primero de ellos es el presentado en la figura 23, en el cual se consideran los procesos generales, los conocimientos básicos y el contexto como las dimensiones de un cubo.

Figura 23. Modelo 1. Componentes Organización Curricular.

Este modelo da a entender la presencia de los tres componentes en cualquier momento del acto educativo, y es considerado como el modelo curricular más adecuado para organizar el desarrollo de una propuesta didáctica que integre el uso de nuevas tecnologías para la enseñanza de un conocimiento matemático. Sin embargo, presenta el inconveniente de la interpretación pasiva que se le pueda dar, sin atribuirle la interrelación y dinámica de los tres aspectos. Además, el hecho de presentar bajo un mismo aspecto los diferentes tipos de pensamiento y los sistemas, podría interpretarse como si cada pensamiento se desarrollara solamente a través del respectivo sistema, desconociendo el carácter transistémico de cada tipo de pensamiento. No obstante, el segundo modelo dado en los Lineamientos Curriculares, el cual considera los mismos componentes del modelo anterior como los ejes de un espacio tridimensional, permite realizar un análisis desde la dimensión curricular para aclarar en dónde se va a mover la propuesta didáctica objetivo de este 88

Ibíd. p. 20.

trabajo. Basado en dicho modelo; se representa para el caso de este trabajo el modelo curricular general a seguir:  En el eje de los Procesos Generales se destaca el razonamiento (especificado en el acto de la prueba) con la visualización (V) y la conjeturación (C).  En el eje del Contexto se tienen las situaciones problemas extraídas desde las mismas matemáticas, de Exploración (E) y de Prueba (P).  En el eje de los Conocimientos Básicos propios del Pensamiento Geométrico se ubica el Teorema de Pitágoras (T) con un tratamiento específico desde un Sistema de Geometría Dinámica (S.G.D).

Figura 24. Modelo Curricular.

El cubo que se forma en la figura del modelo curricular representa el espacio en el que se encuentran inmersas las actividades, interpretando las distintas relaciones que se puedan dar entre los tres ejes componentes del modelo curricular. Aunque es una buena representación, el modelo es muy general y puede obviar ciertos aspectos particulares que son igual de importantes. Por 74

esta razón se realiza el siguiente tratamiento particular para cada uno de los ejes componentes del modelo; en especial, lo referido al proceso general del razonamiento matemático, y en el eje de conocimientos básicos, las consideraciones sobre el pensamiento espacial, los sistemas geométricos y el mismo teorema de Pitágoras.

5.1.1 El Razonamiento Matemático. En general, se entiende por razonar: la acción de ordenar ideas en la mente para llegar a una conclusión 89. El razonamiento matemático, en el contexto de planteamiento y resolución de problemas, tiene que ver estrechamente con las matemáticas como comunicación, como modelación y como procedimientos. Sin embargo, en las actividades que se plantearan en este trabajo, se especifica un mayor interés hacia los procedimientos de visualización y conjeturación; y de una manera exigua por la comunicación, en especial al momento de solicitarse una conclusión en forma simbólica. El razonamiento matemático debe estar presente en todo el trabajo matemático de los estudiantes y por consiguiente, este eje se debe articular con todas sus actividades matemáticas. Por esta razón, las actividades intentan alcanzar los siguientes logros (propuestos por el MEN) propios de la acción de razonar en matemáticas: 

Dar cuenta del cómo y del porqué de los procesos que se siguen para llegar a conclusiones.



Justificar las estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.



Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos, propiedades y relaciones para explicar otros hechos.



Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.



Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y algoritmos, son 90 lógicas y potencian la capacidad de pensar.

Del mismos modo, entre las consideraciones propuestas por el MEN que son necesarias para favorecer el desarrollo del razonamiento matemático, se toman en cuenta las siguientes como las más acordes para diseñar las actividades de este trabajo: 

89 90

Propiciar una atmósfera que estimule a los estudiantes a explorar, comprobar y aplicar ideas. Esto implica que los maestros escuchen con

Ibíd. p. 54. Ibíd.

atención a sus estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso extensivo y reflexivo de los materiales físicos que posibiliten la comprensión de ideas abstractas.



Crear en el aula un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del proceso docente. Toda afirmación hecha, tanto por el maestro como por los estudiantes, debe estar abierta a posibles preguntas, reacciones y reelaboraciones por parte de los demás.91

5.1.2 Pensamiento Espacial y Sistemas Geométricos. Los Lineamientos Curriculares ponen en claro que desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, actualmente se considera una necesidad ineludible de volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría. De este modo, se tiene en la geometría activa 92 una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio. En este enfoque se parte de la actividad del alumno y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones en la comprensión aun de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos. Se trata pues de ‘hacer cosas’, de moverse, dibujar, construir, producir y tomar de estos esquemas operatorios el material para la conceptualización o representación interna. Esta conceptualización va acompañada en un principio por gestos y palabras del lenguaje ordinario, hasta que los conceptos estén incipientemente construidos a un nivel suficientemente estable para que los alumnos mismos puedan proponer y evaluar posibles definiciones y simbolismos formales. Al tratar el desarrollo del pensamiento geométrico las investigaciones modernas indican que el proceso de construcción de éste sigue una evolución muy lenta desde las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales. El modelo de los esposos Van Hiele93, describe con bastante exactitud dicha evolución y está adquiriendo cada vez mayor aceptación a nivel internacional en lo que se refiere a geometría escolar. Van Hiele propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento geométrico que muestran un modo de estructurar el aprendizaje de la geometría, de los cuales se destacan los primeros cuatro, debido a que estos niveles son los que se pretenden alcanzar con el desarrollo de las actividades en este trabajo:

Ibíd. Ibíd. p. 37 93 van HIELE, P. y van HIELE, D. The didactics on geometry in the lowest class of secondary school. En: English translation of selected writings of Dina van Hiele – Geldof and Pierre van Hiele. Brooklyn NY: Brooklyn College, School of Education, 1984. 92

El Nivel 1. Es el nivel de la visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. En este nivel, los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de figuras reconocidas visualmente como de “la misma forma”. El Nivel 2. Es un nivel de análisis, de conocimiento de las componentes de las figuras, de sus propiedades básicas. Estas propiedades van siendo comprendidas a través de observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de modelos, etc. En este nivel los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son las clases de figuras, piensan en términos de conjuntos de propiedades que asocian con esas figuras. El Nivel 3. Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus clasificaciones. Comienzan a establecerse las conexiones lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento. En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las propiedades de clases de figuras. El Nivel 4. Es ya de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende suficientemente el significado del rigor de las demostraciones. 94

Aunque los niveles presentados son una aproximación aceptable a las posibles etapas en las que progresa el pensamiento geométrico, en la práctica docente se debe ser más crítico con respecto a ellos, pues la propuesta de geometría activa no coincide con la descripción de Van Hiele, la cual esta más orientada a la didáctica clásica de la geometría euclidiana y al ejercicio de las demostraciones en T o a doble columna. En especial, las actividades aquí propuestas se orientan más hacia la formulación y discusión de conjeturas.

5.1.3 El Teorema de Pitágoras. Como se mencionó antes, el modelo curricular propuesto inicialmente es demasiado general para dar cuenta de todas las particularidades que involucra el tratamiento didáctico del teorema de Pitágoras. Por esta razón, para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar, se debe partir de una concepción en la cual se reconocen dos aspectos, el conceptual y el procedimental, según lo plantea el siguiente modelo dado por el español Luis Rico:

MEN. (1998). Op. Cit. p. 38 – 39.

a) El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones, que constituyen lo que se denomina estructura conceptual. Rico reconoce tres niveles en el campo conceptual: -

Los hechos: son unidades de información que sirven como registro de acontecimientos. Conviene tener en cuenta que tomados aisladamente los hechos carecen de significado, el cual se da al interior de una estructura matemática. Los conceptos: se consideran como una serie de unidades de información (hechos) conectadas entre sí por medio de relaciones. Los conceptos se representan mediante sistemas simbólicos y gráficos. Las estructuras conceptuales: en ellas los conceptos se unen o se relacionan, constituyendo en ocasiones, conceptos de orden superior. Así, el manejo significativo de la estructura conceptual va más allá de la memorización de definiciones, y permite establecer propiedades e inferir conclusiones a partir de los conceptos básicos de cada estructura. “Son los conceptos y las estructuras conceptuales los que constituyen la esencia del conocimiento matemático organizado” (Rico, 1990).

b) El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. En él se distinguen tres niveles: -

Destrezas: suponen el dominio de los hechos; tienen significado para quien las utiliza y su ejecución debe darse al interior de una estructura conceptual. Según el campo de la matemática escolar donde operen, se distinguen entre destrezas aritméticas, geométricas, métricas, gráficas, y de representación. Razonamientos en matemáticas: un razonamiento (según Giménez, 1997) es un conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. En la construcción de las pruebas se toman en consideración algunos razonamientos matemáticos que se pueden caracterizar así: i. Pretende descubrir o explicitar generalidades mediante la observación y la combinación de casos particulares, tratando de encontrar regularidades y patrones. ii. Llevan a establecer relaciones y sentido espacial. Estrategias: consideradas como formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual. Dado que el conocimiento matemático es dinámico, hablar de estrategias implica ser creativo para elegir entre varias vías la más adecuada o inventar otras nuevas para responder a una situación. El uso de una estrategia implica el dominio de la estructura conceptual, así como grandes dosis de creatividad e imaginación, que permitan descubrir nuevas relaciones o nuevos sentidos en relaciones ya conocidas. Entre las estrategias más utilizadas por los estudiantes en la educación básica se 78

encuentran la estimación, la aproximación, la elaboración de modelos, la construcción de tablas, la búsqueda de patrones y regularidades, la simplificación de tareas difíciles, la comprobación y el establecimiento 95 de conjeturas.

El conocimiento conceptual (evidenciado por el dominio de los hechos y de los conceptos matemáticos), adquiere significado dentro de una estructura, y es precisamente en ella donde desempeña su papel. Los procedimientos constituyen una herramienta que permite encontrar un resultado, no se consideran de manera aislada de las estructuras conceptuales subyacentes a las situaciones problema, ya que éstas permiten elegir, modificar o generar procedimientos que se adecuen a las situaciones en las que sea presentado el concepto. Es claro que para elaborar una propuesta didáctica, el principal aspecto para tener en cuenta es el conocimiento mismo que será tratado. En su análisis previo se deben tener claros los procesos y conceptos que se ponen en juego al tratar dicho conocimiento matemático. En el caso de este trabajo, se identifican a continuación los subprocesos que se desencadenan al realizar un proceso de prueba del teorema de Pitágoras, así como los conceptos inherentes y necesarios para la aprehensión de este resultado geométrico. Conceptos: - Triángulo (clasificación según ángulos y lados). - Triángulo rectángulo (catetos, hipotenusa). - Cuadrado (Propiedades, área). - Paralelogramo (Propiedades, área). - Línea recta (paralelismo, colinealidad). Procesos: - Trazar un triángulo rectángulo. - Construir un cuadrado dado un segmento de recta. - Trazar una línea recta (líneas paralelas) - Propiedad de la igualdad respecto a la adición. - Congruencia de triángulos (criterio L.A.L). - Comparación de áreas. - Propiedad transitiva de la igualdad.

ICFES, Grupo de Evaluación de la Educación Básica y Media. PRUEBAS SABER LENGUAJE Y MATEMÁTICAS. Grados 3, 5, 7 y 9. Fundamentación Conceptual. Bogotá: Enero de 2003. p. 10 – 24. Disponible en: http://200.14.205.40:8080/portalicfes/home_2/rec/arc_593.pdf

5.2 CONSIDERACIONES MATEMÁTICAS

SEGÚN

LOS

ESTÁNDARES

BÁSICOS

Como lo expresa el doctor Carlos Eduardo Vasco: “un estándar es un criterio claro y público que permite juzgar si una persona, institución, proceso o producto cumple ciertas expectativas sociales de calidad”96. Basados en esta idea el Ministerio de Educación Nacional realizó la propuesta de Estándares Básicos de Calidad para la Educación, y en especial publicó el documento de los estándares básicos de lenguaje y matemáticas.97 Vasco aclara que estos estándares pueden ser tomados como estándares curriculares, si se tienen como referentes para organizar y mejorar el diseño de los currículos por parte de los grupos de docentes y de instituciones, de acuerdo con su propio Proyecto Educativo Institucional y los lineamientos de las respectivas áreas. Los estándares descritos por el MEN tienen en cuenta tres aspectos que deben estar presentes en la actividad matemática: - Planteamiento y resolución de problemas. - Razonamiento matemático (formulación, argumentación, demostración). - Comunicación matemática. Consolidación de la manera de pensar (coherente, clara, precisa).98

Los estándares están organizados en los cinco tipos de pensamiento matemático descritos en los Lineamientos Curriculares: pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos, pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de datos, y pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Respecto al pensamiento espacial y sistemas geométricos, los estándares plantean en general realizar: -

El examen y análisis de las propiedades de los espacios en dos y en tres dimensiones, y las formas y figuras que éstos contienen. La comprensión de herramientas como las transformaciones, traslaciones y simetrías; las relaciones de congruencia y semejanza entre formas y figuras, y las nociones de perímetro, área y volumen. La aplicación en otras áreas de estudio.99

VASCO U, Carlos Eduardo. Introducción a los estándares Básicos de Calidad. MEN. La Revolución Educativa. Estándares Básicos de Matemáticas y Lenguaje. Educación Básica y Media. Bogotá: Mayo de 2003. 37 p. Disponible en Internet: http://www.mineducacion.gov.co/estandares/estandares.pdf 98 Ibíd. p. 4 99 Ibíd. p. 5 97

Al ubicar el conocimiento objeto de este trabajo, “teorema de Pitágoras”, en los estándares del MEN100, se tiene que el tratamiento del teorema de Pitágoras se propone en el segundo estándar básico para el pensamiento espacial y sistemas geométricos de los grados 8º – 9º. El interés de este referente curricular es destacar la articulación que tiene dicho estándar con los demás del mismo tipo de pensamiento (coherencia vertical), e igualmente la articulación con otros estándares de los demás tipos de pensamiento (coherencia horizontal). De esta manera se puede vislumbrar una red conceptual, los procesos y procedimientos que se presentan en el tratamiento del conocimiento en cuestión.

5.2.1 Coherencia Vertical. En la publicación del MEN sobre los estándares en matemáticas se plantean cuatro estándares para tratar el pensamiento espacial y sistemas geométricos, en los grados de 8º y 9º: 1. Hacer conjeturas y verificar propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. 2. Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). 3. Aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. 4. Usar representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

Respecto al conocimiento matemático tratado en este trabajo, como ya se dijo, es claramente enunciado en el segundo estándar. En este se propone un proceso de demostración de teoremas básicos como el de Pitágoras, mediante el reconocimiento y contraste de propiedades y relaciones geométricas, aprendidas previamente. Si se analiza la coherencia de éste con los otros tres estándares se puede decir que:

- Entre el primero y el segundo estándar, se presenta un orden ascendente de acuerdo a los procesos de construcción de los conocimientos geométricos tratados. En cuanto al teorema de Pitágoras se refiere, es necesario que primero se tenga una claridad sobre las propiedades de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales, en especial de los cuadrados.

- El tercer estándar es referido especialmente al uso de los criterios de congruencia y semejanza entre triángulos, e igualmente se relaciona estrechamente con el segundo estándar en cuanto a la demostración del 100

Anexo D. “ Estándares Curriculares de Matemáticas. Grados 7º, 9º y 11º ”. p. 147.

teorema de Pitágoras; en especial, si se considera la enseñanza de la prueba formal presentada en los Elementos, la cual necesita el criterio de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado (LAL) para su desarrollo.

- El cuarto estándar propone específicamente la aplicación de todos los conocimientos geométricos adquiridos en la resolución y formulación de problemas, en las matemáticas y otras disciplinas, mediante un proceso de modelación, usando representaciones geométricas. De acuerdo a este estándar, se destaca la importancia del tratamiento de problemas de aplicación, por ejemplo del teorema de Pitágoras en la medición de distancias, definición de conceptos trigonométricos, modelación de problemas de física, etc. Ahora, realizando un análisis relativo con los estándares del pensamiento espacial y sistemas geométricos propuestos para los grados anteriores (6º, 7º), se puede decir que la coherencia vertical se evidencia en el estándar siguiente: -

Resolver y formular problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. El anterior estándar propone el trabajo con semejanza y congruencia mediante representaciones visuales, el cual como se expresó antes, es necesario para el tratamiento de la prueba del teorema de Pitágoras.

Para los grados posteriores (10º y 11º) el único estándar que representa una coherencia vertical dentro del pensamiento espacial y sistemas geométricos con el caso del teorema de Pitágoras es: -

Resolver problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas de manera algebraica. Este estándar propone el uso de las propiedades geométricas de las cónicas, las cuales requieren del conocimiento previo de la relación pitagórica para la descripción de sus parámetros, especialmente al tratar las cónicas como lugares geométricos, es decir, como conjuntos de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica.

5.2.2 Coherencia Horizontal. Para este análisis se intenta observar la articulación del segundo estándar para el pensamiento espacial y sistemas geométricos del grado noveno, respecto a los estándares planteados para otros tipos de pensamiento del mismo grado. Por consideración propia, se exceptúan los estándares del tipo de pensamiento aleatorio y sistemas de datos, pues es evidente la falta de relación de estos con el estándar correspondiente al tratamiento del teorema de Pitágoras.

Respecto al pensamiento numérico y sistemas numéricos, se puede afirmar que los estándares que mayor relación tienen con el tratamiento del teorema de Pitágoras son: -

Utilizar números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos. Para comprender el teorema de Pitágoras, en especial lo referido a las ternas pitagóricas, es necesaria la comprensión de los números reales (racionales e irracionales).

Identificar la potenciación y la radicación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas. Las operaciones de potenciación y radicación son necesarias en el tratamiento algebraico del teorema de Pitágoras, el cual es una relación cuadrática.

Para el pensamiento métrico y sistemas de medidas, se tiene: -

Generalizar procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volumen de sólidos. Es evidente su relación con el tratamiento del teorema de Pitágoras, la necesidad del proceso de calcular áreas de regiones planas, en especial del cuadrado.

Seleccionar y usar técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados. Igualmente, es obvia la relación de este con el teorema de Pitágoras, especialmente en lo referido a la medición de longitudes, áreas y ángulos.

La relación con los estándares de pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos, es más clara en los siguientes:

- Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. Especialmente se refiere al uso de la factorización, proceso algebraico necesario para el desarrollo de las pruebas del teorema de Pitágoras más usadas en la escuela. -

Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas. Procesos necesarios para la presentación de una demostración formal del teorema de Pitágoras.

Igualmente, se tiene el análisis de la coherencia con los estándares de los grados anteriores (6º, 7º), correspondientes a los otros tipos de pensamiento y sistemas matemáticos:

Resolver y formular problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. Séptimo estándar del pensamiento numérico y sistemas numéricos, que es necesario para el tratamiento del teorema de Pitágoras desde su enfoque de operación numérica, es decir, aplicación en el cálculo de una distancia.

Calcular áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. Tercer estándar del pensamiento métrico y sistemas de medidas, el cual es necesario para la comprensión de la congruencia entre áreas, especialmente en el proceso de recubrimiento de áreas por descomposición y composición de figuras planas. Proceso requerido en el desarrollo de las pruebas del teorema de Pitágoras que se proponen en este trabajo.

Predecir y justificar razonamientos y conclusiones usando información estadística. Octavo estándar del pensamiento aleatorio y sistemas de datos, que puede ser útil en el caso de tratar el descubrimiento de la relación pitagórica mediante un conjunto de datos apropiado para distintas ternas pitagóricas, llegando a la conclusión de que el triángulo formado debe ser rectángulo.

Finalmente, la coherencia con los estándares de los grados posteriores (10º y 11º) se destaca el siguiente: -

Reconocer la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos. Segundo estándar del pensamiento numérico y sistemas numéricos, el cual se relaciona con la relación pitagórica precisamente con la concepción de los números irracionales. Como se mencionó antes en la dimensión histórica-epistemológica, el tratamiento de las ternas pitagóricas y el análisis sobre la diagonal del cuadrado de lado 1 fueron problemas claves para el surgimiento de los números irracionales.

Aunque no sean explícitos en los estándares propuestos para 10º y 11º, el teorema de Pitágoras es una herramienta de operación numérica muy importante en los conocimientos relacionados con la trigonometría, especialmente en la definición de las identidades pitagóricas. Además, en el cálculo se utiliza para modelizar mediante su fórmula, algunos problemas de variación relacionados con distancias para triángulos rectángulos.

5.3 LINEAMIENTOS CURRICULARES Y NUEVAS TECNOLOGÍAS.

Las nuevas tecnologías no solo han hecho más fáciles los cálculos y la elaboración de gráficas, sino que han cambiado la naturaleza misma de los problemas que interesan a las matemáticas y los métodos que usan los matemáticos para investigarlos. Así, el uso de las tecnologías computacionales en la escuela para la enseñanza de las matemáticas adquieren una importancia y necesidad ineludible. Inicialmente, cuando las calculadoras y los computadores comenzaron a introducirse en las aulas de clase, se concibieron como “facilitadores del trabajo mecánico”. Sin embargo, con el correr del tiempo, se ha identificado que estas herramientas producen cambios sustanciales en la experiencia matemática de los estudiantes a nivel epistemológico101. Es debido al énfasis actual de la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas, que se evidencia la relevancia del uso del recurso tecnológico para pasar de un currículo centrado en contenidos, a uno centrado en la resolución de problemas. Por esta razón, es pertinente aclarar cómo afectan las nuevas tecnologías los ejes del currículo, descritos previamente en el modelo curricular general, y en especial enfocado al objetivo del presente trabajo. Respecto a los procesos y habilidades cognitivas favorecidas mediante el uso de un Sistema de Geometría Dinámica, como Cabri, ya se ha destacado en el apartado “4.2.2 Potencial de un S.G.D en un Proceso de Prueba” (p.67) lo referente a la visualización y la promoción de una capacidad investigativa. En el mismo apartado se presentan los principales aspectos que dan cuenta de la contribución de la tecnología en el aprendizaje de la geometría. Entonces lo referente a la relación entre el uso de las nuevas tecnologías y los ejes del currículo, “Procesos Generales y Conocimientos Básicos”, ya fueron abarcados en el capítulo anterior; por esta razón, solo queda pendiente la siguiente consideración sobre la relación entre la tecnología y el eje del “Contexto”.

5.3.1 El Contexto y la Tecnología. El acercamiento de los estudiantes a las matemáticas a través de la exploración, formulación y resolución de situaciones problemas, constituye el contexto general de aprendizaje, estrechamente relacionado con el ambiente de trabajo y con la naturaleza de las actividades propuestas a los estudiantes. De este modo el currículo es modificado con la intención de crear un ambiente de trabajo en el aula, en el que se valore la exploración, el descubrimiento y la creación de patrones.

101

MEN. Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas. Serie Lineamientos Curriculares. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional, 1999. p. 34.

Para el planteamiento de las actividades se debe considerar que un contexto no es significativo sólo porque recree de manera ficticia un aspecto de la realidad exterior de la escuela. Es significativo en tanto le permita al estudiante comprender la complejidad de los fenómenos que lo rodean, pero además, y principalmente, porque le permita aprender los conceptos matemáticos que se le quieren enseñar.102 Por ejemplo el caso tratado aquí, la enseñanza de un conocimiento geométrico como el teorema de Pitágoras se hacía de manera estática con objetos abstractos y con sus representaciones en el papel. Ahora se dispone de un S.G.D. en el que se crea un micromundo de experimentación que propicia la interacción concreta con los objetos geométricos (triángulos, cuadriláteros y polígonos) y facilita la construcción del conocimiento.

102

Ibíd. p. 25.

6. METODOLOGÍA

Este trabajo de grado, como ya se ha mencionado antes, se inscribe en una Alternativa de Sistematización de una Experiencia de Aula, la cual se enmarca dentro de una propuesta curricular encaminada hacia el diseño de una Secuencia de Situaciones Problema (nombradas como “Actividades”, sin perder la característica de ser situaciones problema) para la enseñanza de la prueba del teorema de Pitágoras, integrando el Sistema de Geometría Dinámica Cabri Géomètre. Toda práctica investigativa requiere una buena sistematización de acciones innovadoras y establecer unas categorías de análisis. Por esta razón, este trabajo se realizó tomando como referente metodológico para su desarrollo: el modelo de Diseño Didáctico como estructura de análisis de las actividades propuestas.

6.1 EL DISEÑO DIDÁCTICO Según Luís Moreno, este modelo es el más adecuado par dar cuenta del estado de las prácticas de aula, en las que se implementen actividades diseñadas para el tratamiento didáctico de un conocimiento matemático y que, como en este caso, integran el uso de tecnologías computacionales: El diseño didáctico pasa por la reflexión sobre la naturaleza del conocimiento y la cognición. Estos son los dos ejes sobre los que éste descansa con la ayuda de la gestión del profesor, quien se pregunta permanentemente qué es lo tiene que hacer ahora que dispone de dispositivos computacionales que procesan información. De esta reflexión surgen los actos pedagógicos (experiencias de aula) que se sistematizan a través de documentos como: artículos, ponencias y materiales de divulgación. En la siguiente figura se ilustran estas ideas103:

103

MEN. Tecnología Informática: Innovación en el Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media. Serie Estudios. Proyecto de Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia. Santafé de Bogotá: Enlace Editores Ltda., Abril 2004. p. 56.

NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO DIDÁCTICA

GESTIÓN

COGNICIÓN

DISEÑO CURRICULAR

ACTOS PEDAGÓGICOS

SISTEMATIZACIÓN

Figura 25. Modelo de Diseño Didáctico.

En el anterior modelo se toma en consideración el principio que subyace a la Transposición Informática de Balacheff, mediante el cual se establece que la naturaleza de los conceptos matemáticos sufre modificaciones por los propósitos con los cuales se elabora un software. Es así como, la didáctica en donde está instalada la tecnología, redimensiona y redirige los tratamientos usuales de los mismos temas, como en este caso el teorema de Pitágoras. La naturaleza del conocimiento que se moviliza en el aula cambia y a la vez, cambia el propósito de la enseñanza; por lo que se requiere poner en práctica nuevas actividades que se correspondan con la nueva manera de concebir la matemática. La Sistematización de la experiencia de aula, es entendida como un proceso que hace divulgativa la indagación y los esfuerzos de innovación emprendidos por el profesor con el propósito de generar situaciones problema que sean significativas en el aprendizaje del estudiante. Precisando aún más esta idea, la sistematización da cuenta, tanto del proceso de la fundamentación, como del proceso del diseño didáctico, y la puesta en escena en el aula de las situaciones problema, se dirige específicamente a evidenciar cómo la implementación del recurso tecnológico (aquí utilizado para mediar las actividades), moviliza y potencia en los estudiantes los procesos cognitivos de visualización y conjeturación, al igual que el proceso de escritura simbólica, al tratar la prueba del teorema de Pitágoras. Existen dos supuestos respecto a la integración de tecnología en los actos pedagógicos, los cuales le dan sentido al proceso de sistematización de experiencias de aula de este tipo:  El supuesto de que la integración se lleva a cabo en el marco de un proceso que tiene sus propias dinámicas y,

 El supuesto de que la integración de tecnología genera como uno de sus principales impactos ciertas modificaciones que, en este caso, tendrán que ver con la innovación al amplificar el currículo o reorganizarlo. Es decir, que la propuesta de esta investigación se encuentra inscrita en un proceso de desarrollo curricular, en el cual se enfatiza sobre la transformación del currículo por medio de desarrollos investigativos y por ende de prácticas pedagógicas movilizadas en el aula; apuntando siempre hacia el proceso de sistematización. Siguiendo el modelo descrito, se diseñó la secuencia de situaciones problema fundamentadas con un Análisis Preliminar sobre el teorema de Pitágoras, desde distintas dimensiones para dar cuenta de todo lo que involucra su tratamiento en un acto pedagógico. En este análisis no solo se destacó la naturaleza del conocimiento matemático en la historia, su desempeño en las matemáticas mismas y en el ámbito escolar; sino también, su naturaleza cuando forma parte de una herramienta computacional como el S.G.D, aquí empleado. Michelle Artigue104 sugiere una serie de aspectos que podrían considerarse dentro de un análisis preliminar. De estos, se resaltan aquellos que fueron tomados en cuenta para el diseño de las actividades aquí propuestas:  el saber matemático en juego y,  las características de la cognición de los estudiantes con respecto a ese saber matemático. Para dar cuenta de ello, se formulan las siguientes preguntas:  ¿Cuál es el objetivo de la realización105?  ¿En qué consiste el problema que se observa comúnmente en el desempeño de los estudiantes frente al tema matemático de la realización?  ¿Cuáles son los errores que se observan en los estudiantes?  ¿Cuáles son las razones, asociadas con la manera de enseñanza tradicional, de que se cometan esos errores?  ¿Cuáles son las características de los conocimientos, desde el punto de vista matemático, de los objetos involucrados en la realización?

104

ARTIGUE, M. “Ingeniería Didáctica”. En: Ingeniería didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: una empresa docente - GEI, 1995. pp. 33 – 60. 105 Entendiendo el término “realización”, como el proceso que se desarrolla durante la intervención en el aula.

La repuesta a las cuatro primeras preguntas se encuentra en el desarrollo del primer capítulo de este informe “EL PROBLEMA: ENSEÑANZA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS”, en el cual se planteó el problema y el objetivo de este trabajo. La respuesta a la última pregunta, se presenta específicamente en el tercer capítulo, sobre la “DIMENSIÓN MATEMÁTICA”. El aspecto cognitivo del tratamiento didáctico del objeto matemático en cuestión, es desarrollado de manera específica en el segundo capítulo, “DIMENSIÓN HISTÓRICO-EPISTEMOLÓGICA”. En este se destaca lo referido al proceso de la demostración en geometría. También, sobre este aspecto se destacan en el cuarto capítulo, “DIMENSIÓN DIDÁCTICA”, los procesos cognitivos que se movilizan propiamente al realizar un trabajo con pruebas visuales106 del teorema de Pitágoras; colocando especial atención sobre los procesos cognitivos de la visualización y la conjeturación107. Además, en este mismo capítulo se presentan las consideraciones desde la dimensión didáctica la implementación de un S.G.D. para presentar las actividades objetivo de este trabajo. Gracias al desarrollo de este análisis preliminar se obtuvieron distintas variables que influyeron en el diseño de las actividades. Por ejemplo, para la Actividad 1, se rescató del recorrido histórico-epistemológico la intención de proponer el trabajo con dos ternas pitagóricas notables, para verificar que tres segmentos con estas medidas cumplen la propiedad de formar un triángulo rectángulo. Del mismo recorrido histórico-epistemológico se extrajo la idea de proponer la Actividad 2, para evidenciar que el teorema de Pitágoras es propio de los triángulos rectángulos mediante la realización de un contraste con lo sucedido en los casos de triángulos oblicuángulos y acutángulos. En el tercer capítulo, “DIMENSIÓN MATEMÁTICA”, se reconocieron las pruebas más importantes de este teorema con la finalidad de vislumbrar la naturaleza de los conocimientos matemáticos que se movilizan al tratar cada una de ellas y así, poder plantear el trabajo sobre éstas en el ambiente tecnológico, de tal manera que cumpliesen las condiciones para ser catalogadas como pruebas visuales y ser propuestas en las Actividades 3 y 4. El diseño de las actividades tiene en el quinto capítulo, “DIMENSIÓN CURRICULAR”, un referente curricular de acuerdo a lo propuesto por el MEN, teniendo en cuenta lo expresado en los Lineamientos Curriculares y los 106

Tipo de prueba categorizada entre las pruebas pragmáticas, de acuerdo a lo propuesto en el trabajo de Nicolás Balacheff, “Procesos de Prueba en los alumnos de matemáticas”, referenciado en la Dimensión Didáctica: 4.1.5 Tipos de Prueba. p. 60. 107 Procesos entendidos desde la perspectiva dada en los trabajos de Duval, en la Dimensión Didáctica: 4.1.3 El Razonamiento en Geometría. p. 56. y 4.1.4 La Visualización. p. 58.

Estándares Básicos para Matemáticas sobre el conocimiento matemático en cuestión. Igualmente, al estar este trabajo enmarcado en una propuesta curricular que asume la integración de un S.G.D para enseñar la prueba del teorema de Pitágoras, se prestó especial cuidado en el desarrollo de la dimensión curricular, sobre las posibles modificaciones al currículo que puede desencadenar el uso de nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas. Después de diseñar las actividades, teniendo en cuenta el desarrollo del análisis preliminar, es pertinente proponer la realización de un Análisis Previo sobre las mismas, antes de ser implementadas mediante una intervención en el aula, Nuevamente, de acuerdo a lo planteado por Artigue, en el análisis previo de las actividades:  se determinan las selecciones para la formulación de las mismas en cuanto al contenido,  se formulan las actividades en sí,  se hace una previsión de la manera como el estudiante abordaría dichas actividades. En este análisis previo se destacan los desempeños que se esperan movilizar en los estudiantes y los indicadores de logros, de acuerdo a los ejemplos dados en el trabajo sobre “Evaluación de competencias” de Myriam Acevedo y Gloria García108. De aquí, se plantea una rejilla de análisis en la cual se registrarán los resultados, para luego ser interpretados de acuerdo a lo esperado. Según la Ingeniería Didáctica de Artigue, mediante una Intervención en el Aula se pone a prueba con los estudiantes la realización didáctica (secuencia de situaciones problema) diseñada por el investigador o profesor (ingeniero). Esta intervención consiste no sólo en que el profesor ejecute en su clase la secuencia (acto pedagógico), sino en que también logre realizar algún tipo de observación acerca de lo que sucede con los estudiantes cuando se enfrentan al problema. De esta manera, se puede decir, que la importancia de realizar una intervención en el aula está en la posibilidad de recoger, en la medida de lo posible, información que sirva posteriormente para evaluar la pertinencia y utilidad de la secuencia de situaciones diseñadas en relación con el aprendizaje de los estudiantes. Lo que más interesa ser observado y registrado durante la intervención en el aula es “La actuación del estudiante”; es decir, cómo se involucró en el desarrollo de las mismas y cómo reaccionó frente a las variables didácticas (o 108

sea, aquellos aspectos propios de las actividades que controlan o afectan el proceso de solución del estudiante, entre los cuales están: los conocimientos previos necesarios, la formulación de preguntas intencionales para guiar el proceso de solución, la presentación de información numérica, de etiquetas, de líneas guía, el color, etc.). En este trabajo la intervención en el aula con las actividades diseñadas se realizó a manera de Prueba Piloto, en la cual se contó con la colaboración de cinco (5) estudiantes de diversos grados (entre 8º y 10º), y de un profesor de matemáticas para la recolección de observaciones; con la finalidad de poder cerrar el trabajo investigativo con una evaluación basada en dicha prueba. El desarrollo de la misma se hizo en dos secciones de clase con una duración de dos horas cada una. Artigue propone que con base en la información obtenida en la intervención en el aula, el profesor-investigador puede contrastar lo que sucedió en la aplicación de las actividades, con las previsiones que había realizado en el análisis previo. Siguiendo esta idea, se realiza un Análisis Posterior sobre la implementación de las actividades, en el cual se pretende determinar:  si las actividades diseñadas efectivamente permitieron al estudiante involucrarse en un juego de producción de conocimiento,  si el conocimiento alcanzado por los estudiantes es apropiado, ó si se necesita seguir generando más actividades o correcciones sobre las mismas, para que los estudiantes alcancen un conocimiento adecuado, sobre el tema en cuestión. La utilidad más práctica de realizar un análisis posterior para el profesorinvestigador radica en la posibilidad de evaluar críticamente su trabajo y poder reformularlo para que se adecue a las necesidades de aprendizaje de los estudiantes. La evaluación de este trabajo es presentada en las Conclusiones bajo el subtítulo de Resultados de la Investigación. Sin embargo, en el caso de este trabajo las modificaciones que se tengan que realizar sobre el diseño de las actividades, de acuerdo a los resultados del análisis posterior y la evaluación, quedarán propuestas para la continuación de este trabajo como una posible futura línea de investigación. En el siguiente capítulo se presentan las Actividades diseñadas, cada una acompañada por su Análisis Previo, Intervención en el Aula y Análisis Posterior.

7. ACTIVIDADES Como se aclaró antes, el término “Actividades” es aquí utilizado para nombrar las divisiones que forman parte de la Secuencia de Situaciones Problema. A continuación se presentan las actividades diseñadas como objetivo de este trabajo y, de acuerdo a la metodología expuesta en el capítulo anterior, se realiza para cada una de ellas el desarrollo de las consideraciones relativas a: el Análisis Previo, la Intervención en el Aula y el Análisis Posterior.

PRESENTACIÓN Las actividades se diseñaron con la mediación del Sistema de Geometría Dinámica llamado Cabri Géomètre II. Cada situación problema planteada en las actividades cuenta con un archivo propio, el cual presenta el dispositivo adecuado para el proceso de solución de la misma por parte del estudiante. Dichos dispositivos han sido denominados de la siguiente forma:

Actividad-Problema (Archivo)

Dispositivo Generador de Triángulos (G.T.)

 A1_P1.fig

 G.T. con marcas guía.

 A1_P2a.fig

 G.T. con Cuadrados y Medición de Áreas.

 A1_P2b.fig

 G.T. con Cuadrados y M. de Áreas – Esc.1:4

 A2_P1.fig

 G.T. Rectángulos (GTR), con Cuadrados y

 A2_P2.fig

 G.T. sin marcas guía, con Cuadrados y

 A3_P1_2.fig

 Prueba de Euclides

 A4_P1.fig

 GTR - Prueba de Melzac

 A4_P2.fig

 GTR - Prueba de Bhascara

 A4_P3.fig

 GTR - Prueba de Perigal

Medición de Áreas. Medición de Áreas.

Tabla 2. Dispositivos Técnicos de las Actividades.

Con la finalidad de difundir este trabajo de investigación aprovechando los beneficios que ofrece la internet, se diseñaron dos versiones de un sitio web para la presentación de las actividades:  La versión sencilla consta de tres páginas enlazadas, descritas a continuación, y presenta al estudiante estrictamente lo necesario para desarrollar la experiencia de aula.  La versión completa, para la cual se realizará la gestión de publicación, presenta una cuarta página denominada “CRÉDITOS”, donde se tiene acceso a la información del autor y los agradecimientos a los colaboradores. Además, en la página “Actividades” se presentan los indicadores de logros, lo que es de más interés para los profesores que visiten el web. 7.1.1 Página Web “PRINCIPAL”. En esta se tiene una breve presentación de lo que se trata el sitio en general, destacándose las actividades diseñadas como el “producto” resultado de este trabajo de grado.

Figura 26. Sitio Web: Página Principal.

7.1.2 Página Web “INTRODUCCIÓN”. Aquí se encuentra la presentación de los dispositivos, la historia de su diseño y las consideraciones técnicas que se deben tener en cuenta para el manejo de cada dispositivo en las actividades. Se recomienda ver la sección de Consideraciones Técnicas antes de trabajar las actividades.

Figura 27. Sitio Web: Página Introducción.

7.1.3 Página Web “ACTIVIDADES”. En esta página, dando clic sobre los distintos hipervínculos, se accede a cada una de las actividades, con su respectivo dispositivo (Applet) y el enunciado de las preguntas que plantean el problema a solucionar. Para realizar la presentación en formato estilo página web de los dispositivos de cada actividad, se tomó la decisión de transformar los archivos *.fig diseñados en Cabri Géomètre, en presentaciones conocidas como Applet's, archivos de formato Java; esto con el fin de evitar problemas de carácter técnico, pues de esta manera el manejo de los dispositivos es mucho más fácil y no es necesario tener instalado el programa Cabri Géomètre.

La transformación de los archivos se realizó mediante el software CabriWeb109, el cual integra un subprograma llamado CabriJava. Con éste las figuras de Cabri se pueden convertir en archivos *.htm, listos para ser modificados y publicados con un software editor de páginas web.

Figura 28. Sitio Web: Página Actividades.

7.1.4 Hojas de Respuestas. Los estudiantes entregan sus respuestas en las hojas que son diseñadas específicamente para este fin. En estas se tienen los espacios para identificar al estudiante y un código asignado para facilitar la sistematización de los resultados.

Figura 29. Encabezado Hoja de Respuestas. 109

Versión gratuita disponible en www.cabri.net/cabrijava

ACTIVIDAD 1: EXPLORANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS

La intención de esta actividad es explorar la relación pitagórica mediante la observación de dos triángulos rectángulos en especial, los construidos con segmentos cuyas medidas corresponden a las ternas pitagóricas más reconocidas 3:4:5 y 5:12:13. La actividad se divide en dos momentos (Problemas 1 y 2): en el primero se quiere evidenciar que efectivamente estas ternas generan un triángulo rectángulo, y en el segundo se intenta visualizar la relación pitagórica entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de dichos triángulos.

7.2.1 Análisis Previo.  Desempeños Evaluados.

NIVEL DE COMPETENCIA 1. Reconocimiento y Distinción

DESEMPEÑO EVALUADO  Reconocer figuras geométricas y atributos medibles.  Interpretar y describir información gráfica.

2. Interpretación  Dar significado a información numérica y traducir entre diferentes representaciones. Tabla 3. Desempeños Evaluados en la Actividad 1.

 Indicadores de Logros.  El estudiante reconoce los triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13 como triángulos rectángulos, (Problema 1).  El estudiante identifica y describe la relación existente entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de los triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13, (Problema 2).

 Conocimientos Asociados. Conceptuales:  Ángulo (definición y clasificación).  Triángulo (desigualdad triangular y clasificación).  Cuadrado (propiedades, área) Procedimentales:    

Construcción de un triángulo. Medición de longitudes, áreas y ángulos. Comparación de áreas (por información numérica). Escritura simbólica.

 Respuestas Esperadas. De acuerdo a los procedimientos que se pueden esperar por parte de los estudiantes en el desarrollo de cada uno de los dos momentos de esta actividad, se identifican las siguientes categorías de posibles respuestas, con su código respectivo, para luego sistematizar los resultados en el Análisis Posterior.  Problema 1:  Categoría C1: no identifican o expresan la propiedad de ser triángulo rectángulo para ninguno de los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13.  Categoría C2: identifican la propiedad de ser triángulo rectángulo sólo para uno de los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13, pero no en general.  Categoría C3: identifican la propiedad de ser triángulo rectángulo por separado para los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13, pero no en general.  Categoría C4: identifican la propiedad de ser triángulo rectángulo para los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13, por separado y en general.  Problema 2:  Categoría C1: no identifican la relación existente entre las áreas de los cuadrados, para ninguno de los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13.  Categoría C2: identifican la relación existente entre las áreas de los cuadrados, solo para uno de los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13. 98

 Categoría C3: identifican la relación existente entre las áreas de los cuadrados, para los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13, pero no la exponen en general por expresiones simbólicas.  Categoría C4: identifican la relación existente entre las áreas de los cuadrados, para los dos triángulos de lados 3:4:5 y 5:12:13, y la exponen en general por expresiones simbólicas.

7.2.2 Intervención en el Aula.  Descripción.  Problema 1: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda del dispositivo presentado en la figura 30.

Figura 30. Dispositivo A1_P1. fig

a. Obtenga un triángulo de lados a, b y c, cuyos lados sean de 3, 4 y 5 cm, respectivamente. ¿Observa en éste alguna propiedad en especial? b. Obtenga un triángulo de lados a, b y c, cuyos lados sean de 5, 12 y 13 cm, respectivamente. ¿Observa en éste alguna propiedad en especial? c. ¿Puede concluir algo en general, para los triángulos de medidas 3:4:5 y 5:12:13? 99

 Problema 2: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda de dos dispositivos que solo difieren en la escala de las medidas, uno para la pegunta a (figura 31) y el otro para la pregunta b.

Figura 31. Dispositivo A1_P2_a. fig

a. ¿Qué relación puede establecer entre la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados menores del triángulo 3:4:5, con el valor del área del cuadrado construido sobre el lado mayor del mismo? b. ¿Qué relación puede establecer entre la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados menores del triángulo 5:12:13, con el valor del área del cuadrado construido sobre el lado mayor del mismo? c. ¿Puede concluir algo en general, para los triángulos de medidas 3:4:5 y 5:12:13? Escriba dos expresiones simbólicas para dar su conclusión: 

Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.

 Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo respectivo.  Procedimientos Observados. Cabe aclarar que antes de empezar la actividad se realizó un breve repaso sobre los conocimientos previos necesarios. En este subapartado se describen los desempeños que realizaron los estudiantes, teniendo mayor atención sobre la visualización. 100

 Problema 1: Respecto al proceso de reconocimiento sobre la propiedad de

ser triángulo rectángulo para el primero de los triángulos propuestos (3:4:5), se notó que al hacer esto 4 de 5 estudiantes, justificaron su hallazgo inicialmente por la forma del triángulo, mas no por la propiedad de tener un ángulo recto. Este hecho lo notaron después de una pregunta de control realizada por el profesor: “¿Está seguro que es un triángulo rectángulo?¿Por qué?¿Qué caracteriza a un triángulo rectángulo?”. Para el triángulo de medidas 5:12:13 evidenciaron la propiedad, lógicamente, con mayor rapidez. Aunque, todavía se presentaba la misma razón para afirmar que el triángulo era rectángulo, es decir por su forma. Igualmente se notó en tres casos que realizaron comparaciones sobre la forma y tamaño respecto al triángulo de medidas 3:4:5. Por ejemplo, E1 expresó: “Este triángulo es parecido al otro. Pero es más grande y alargado a la derecha”.  Problema 2: En cuanto al proceso de comparación de áreas las variables

didácticas asociadas a la presentación en pantalla, intervinieron tanto positiva como negativamente, para el desarrollo de la actividad. Por ejemplo, el color y las etiquetas jugaron un papel importante para la identificación de las correspondencias entre las áreas de los cuadrados respecto a los lados y los valores de sus áreas. La presentación movilizó mayor atención sobre los cambios en el triángulo generado, más que en la información numérica donde se daba la medida de las áreas de los cuadrados, la cual era pertinente para apreciar la relación solicitada. A diferencia de los otros, el estudiante E3 evidenció que la suma de los cuadrados no era igual si el triángulo era distinto de 3:4:5, hecho que descubrió al ver lo que sucedía con las medidas de las áreas cuando el triángulo no era el de lados 3:4:5. Textualmente expresó en la respuesta a: “La relación que hay es que las sumas dan iguales y si no lo es (aludiendo a ser o no ser un triángulo de medidas 3:4:5) no son iguales”.110

7.2.3 Análisis Posterior.  Sistematización. Las respuestas dadas por los estudiantes para cada uno de los dos problemas se sistematizan en las siguientes tablas, de acuerdo con las categorías identificadas en el análisis previo (p.98 – 99).

110

Ver Anexo E. p. 157.

101

Estudiante E1 E2 E3 E4 E5 Total





    0

Tabla 4. Sistematización de Resultados Actividad 1- Problema 1.

Estudiante E1 E2 E3 E4 E5 Total

     0

Tabla 5. Sistematización de Resultados Actividad 1- Problema 2.

 Análisis de Resultados. De acuerdo a lo que se tiene en las tablas 4 y 5, así como a lo expresado en los “Procedimientos Observados” (p. 100 – 101), se puede decir que:  Los estudiantes al conocer previamente la clasificación de los triángulos de acuerdo a los ángulos, identifican que los triángulos de medidas 3:4:5 y 5:12:13 son rectángulos de manera inmediata, y logran concluir dicha característica por separado y en general. Sin embargo, siguieron la misma tendencia de tomar como única razón la “forma” del triángulo presentado en pantalla, para afirmar que los triángulos eran rectángulos; olvidándose inicialmente de la definición, sin prestar atención a la medida del ángulo opuesto al lado c ( 90º), lo que indicaba que era recto.  La relación de las áreas igualmente es clara cuando se tiene el conocimiento previo sobre la forma de calcular el área de un cuadrado. La presentación numérica del dispositivo permitió vislumbrar dicha relación de igualdad; éste entrega la suma de las áreas especificando como unidad de medida el cm2 (aunque algunos estudiantes confirmaron 102

la suma en la hoja de respuestas, esto da cuenta implícitamente del conocimiento de la propiedad aditiva de la magnitud de área). No obstante, hay que tener cuidado con la confusión que se realiza al relacionar las etiquetas de objetos cuyas dimensiones son distintas, es decir, longitudes de los segmentos (dimensión 1) con áreas de los cuadrados (dimensión 2).

ACTIVIDAD 2: APROPIANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Siguiendo la secuencia, en esta actividad se proponen dos problemas en los cuales se pretende que el estudiante, confirme que la relación pitagórica entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de un triángulo, solo es válida para el caso de triángulos rectángulos. Para tal fin, se propone evidenciar la relación entre dichas áreas: primero para el caso de que el triángulo sea rectángulo, y luego cuando el triángulo sea acutángulo u obtusángulo.

7.3.1 Análisis Previo.  Desempeños Evaluados. NIVEL DE COMPETENCIA 1. Reconocimiento y Distinción

DESEMPEÑO EVALUADO 

Reconocer figuras geométricas y atributos medibles.



Interpretar y describir información gráfica.



Dar significado a información numérica y traducir entre diferentes representaciones.



Deducir y geométricas.

2. Interpretación

3. Producción

generalizar

Tabla 6. Desempeños Evaluados en la Actividad 2.

103

propiedades

 Indicadores de Logros.  El estudiante interpreta y describe la relación existente entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de cualquier triángulo rectángulo.  El estudiante reconoce que la relación pitagórica es una propiedad exclusiva de los triángulos rectángulos, al analizar lo sucedido con los triángulos acutángulos y obtusángulos.  El estudiante presenta sus conclusiones en forma simbólica.  Conocimientos Asociados. Conceptuales:    

Ángulo (definición y clasificación). Triángulo (desigualdad triangular y clasificación). Cuadrado (propiedades, área) Relaciones: de equivalencia y de orden (=, <, >)

Procedimentales:    

Construcción de un triángulo. Medición de longitudes, áreas y ángulos. Comparación de áreas (por información numérica). Escritura simbólica.

 Respuestas Esperadas.  Problema 1:  Categoría C1: no identifican o expresan la relación pitagórica entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo.  Categoría C2: identifican la relación pitagórica entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, pero no exponen ninguna expresión simbólica correcta.  Categoría C3: identifican la relación pitagórica entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, y exponen correctamente solo una de las dos expresiones simbólicas solicitadas.  Categoría C4: identifican la relación pitagórica entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, y exponen correctamente las dos expresiones simbólicas solicitadas. 104

 Problema 2:  Categoría C1: no identifican o expresan ninguna de las relaciones entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de los triángulos acutángulos u obtusángulos.  Categoría C2: identifican las relaciones entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de los triángulos acutángulos u obtusángulos, pero no argumentan ninguna expresión simbólica correcta.  Categoría C3: identifican las relaciones entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de los triángulos acutángulos u obtusángulos, y argumentan solo una de las expresiones simbólicas solicitadas.  Categoría C4: identifican las relaciones entre las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de los triángulos acutángulos u obtusángulos, y argumentan las dos expresiones simbólicas solicitadas. 7.3.2 Intervención en el Aula.  Descripción.  Problema 1: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda del dispositivo presentado en la figura 32.

Figura 32. Dispositivo A2_P1. fig 105

a. ¿Qué relación puede establecer entre la suma de las áreas de los cuadrados Q1 y Q2, trazados sobre los catetos a y b de un triángulo rectángulo, y el área del cuadrado Q3, trazado sobre la hipotenusa c del mismo? b. Escriba dos expresiones simbólicas para dar su conclusión:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en laque relacione los lados a, b y c del triángulo rectángulo.

 Problema 2: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda del dispositivo presentado en la figura 33.

Figura 33. Dispositivo A2_P2. fig

a. Obtenga un triángulo acutángulo cualquiera, es decir, que tenga los tres ángulos agudos; (siendo el lado mayor c) y conteste: ¿Qué relación existe entre la suma de las áreas de los cuadrados Q1 y Q2, trazados sobre los lados menores a y b de un triángulo acutángulo, y el área del cuadrado Q3, trazado sobre el lado mayor c del mismo? Escriba dos expresiones simbólicas para exponer dicha relación:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo acutángulo. 106

b. Obtenga un triángulo obtusángulo cualquiera, es decir, que tenga un ángulo obtuso (siendo el lado mayor c); y conteste: ¿Qué relación existe entre la suma de las áreas de los cuadrados Q1 y Q2, trazados sobre los lados menores a y b de un triángulo obtusángulo, y el área del cuadrado Q3, trazado sobre el lado mayor c del mismo? Escriba dos expresiones simbólicas para exponer dicha relación:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo obtusángulo.  Procedimientos Observados.  Problema 1: Se vio la necesidad de aclarar para el problema 1, que a diferencia de la anterior actividad, los triángulos generados eran siempre rectángulos; esto debido a lo que expresó la estudiante E1: “Cómo se que son triángulos rectángulos si no tienen las medidas de los lados”. Esto da a entender que al pasar a la actividad 2, el hecho de haber trabajado con dos triángulos en particular (de lados 3:4:5 y 5:12:13) puede dejar en la mente del estudiante la idea que para generar un triángulo rectángulo deben tenerse específicamente para las medidas de los lados los valores de dichas ternas numéricas. Luego, los estudiantes centraron la atención nuevamente sobre la información numérica de la medida de las áreas de los cuadrados, para establecer la relación de igualdad que existe entre estas.  Problema 2: Todos los estudiantes interpretaron la información numérica de las medidas de las áreas para concluir que en el caso del triángulo obtusángulo la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados menores era menor que la del cuadrado sobre el lado mayor. Como caso especial el estudiante E2 al observar y expresar lo sucedido para el triángulo obtusángulo, realizó un proceso de comparación con el caso del triángulo acutángulo. Esto mediante la modificación del triángulo pasando de obtusángulo a acutángulo y viceversa; apreciando a la vez el cambio en la información numérica para concluir que pasaba igualmente de mayor (Q1+Q2>Q3) a menor (Q1+Q2<Q3) y viceversa.

7.3.3 Análisis Posterior.  Sistematización. Las respuestas dadas por los estudiantes para cada uno de los dos problemas se sistematizan en las siguientes tablas, de acuerdo con las categorías identificadas en el análisis previo (p.104 – 105). 107

Estudiante E1 E2 E3 E4 E5 Total

     0

Tabla 7. Sistematización de Resultados Actividad 2- Problema 1.

Estudiante E1 E2 E3 E4 E5 Total

     0

Tabla 8. Sistematización de Resultados Actividad 2- Problema 2.

 Análisis de Resultados. Según los datos obtenidos en las tablas 7 y 8, y a lo expresado en los “Procedimientos Observados” (página anterior) se tienen las siguientes conclusiones:  La actividad alcanzó con la mayoría de los participantes a evidenciar que el teorema de Pitágoras se cumple para cualquier triángulo rectángulo, esto mediante la confirmación visual que se realizó de la relación entre las áreas de los cuadrados para distintos triángulos rectángulos. Los estudiantes comprobaron con la información numérica que la suma de áreas de los dos cuadrados menores era igual al área del mayor; sin importar el tamaño del triángulo generado.  De la misma manera los estudiantes encontraron las relaciones correspondientes para los casos de triángulos acutángulos y obtusángulos. 108

 No obstante, las expresiones simbólicas fallaron principalmente en aquella que debían usar las etiquetas de los lados a, b y c. Posiblemente las causas de estos errores sea la falta de trabajo con expresiones simbólicas, además de la falta de claridad o conocimiento de conceptos y propiedades geométricas elementales.

7.4 ACTIVIDAD 3: VERIFICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS Esta actividad también consta de dos problemas en los cuales se quiere que el estudiante, realice un proceso de conjeturación para explicar la validez del teorema de Pitágoras, al visualizar la prueba formal de Euclides. Primero para el caso de que los cuadriláteros trazados sobre los lados del triángulo rectángulo son cuadrados y luego cuando estos son rectángulos, manteniendo una relación de semejanza entre ellos.

7.4.1 Análisis Previo.  Desempeños Evaluados. NIVEL DE COMPETENCIA

DESEMPEÑO EVALUADO

1. Reconocimiento y Distinción



Reconocer figuras geométricas y atributos medibles.

2. Interpretación



Interpretar y describir información gráfica.



Deducir y geométricas.

3. Producción

generalizar

propiedades

Tabla 9. Desempeños Evaluados en la Actividad 3.

 Indicadores de Logros.  El estudiante explica correctamente la verificación del teorema de Pitágoras, mediante la comparación de las áreas de los cuadrados trazados sobre los lados de un triángulo rectángulo.  El estudiante verifica que el teorema de Pitágoras se cumple igualmente para todo trío de cuadriláteros semejantes trazados sobre los lados de un triángulo rectángulo.  El estudiante presenta sus conclusiones en forma simbólica. 109

 Conocimientos Asociados. Conceptuales:     

Triángulos (clasificación). Semejanza entre cuadriláteros. Teorema de Pitágoras. Congruencia entre polígonos (cuadriláteros y triángulos). Propiedades de la igualdad. (Transitiva).

Procedimentales:    

Visualización. Desplazamiento y comparación de áreas. Proposición de conjeturas. Escritura simbólica.

 Respuestas Esperadas.  Problema 1:  Categoría C1: no brindan una argumentación satisfactoria sobre el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dado.  Categoría C2: brindan una argumentación satisfactoria sobre el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dado, pero no entregan las expresiones simbólicas adecuadamente.  Categoría C3: brindan una argumentación satisfactoria sobre el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dado, y entregan adecuadamente las expresiones simbólicas solicitadas.  Problema 2:  Categoría C1: no brindan una argumentación satisfactoria sobre el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dado.  Categoría C2: brindan una argumentación satisfactoria sobre el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dado, pero no concluyen algo en especial respecto a la relación entre la semejanza de los cuadriláteros y el teorema de Pitágoras.  Categoría C3: brindan una argumentación satisfactoria sobre el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo dado, y entregan una conclusión satisfactoria respecto a la relación entre la semejanza de los cuadriláteros y el teorema de Pitágoras. 110

7.4.2 Intervención en el Aula.  Descripción.  Problema 1: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda

del dispositivo presentado en la figura 34.

Figura 34. Dispositivo A3_P1_2. fig

a. Sin modificar los cuadrados (punto R, corrido totalmente a la derecha). Explique, ¿de qué manera el desplazamiento de las áreas de los cuadrados Q1 y Q2, puede dar a entender el cumplimiento del teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de lados a, b y c? b. Escriba dos expresiones simbólicas para exponer su conclusión:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo rectángulo.

 Problema 2: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda

del dispositivo presentado en la figura 34.

111

a. Modifique los cuadriláteros, desplazando el punto R. (Los cuadriláteros obtenidos son semejantes). ¿Puede explicar el cumplimiento de la relación pitagórica, para el triángulo rectángulo de lados a, b y c, mediante el desplazamiento de las áreas de los cuadriláteros Q1 y Q2? b. De acuerdo a lo anterior, ¿puede expresar alguna propiedad en especial para el triángulo rectángulo de lados a, b y c?  Procedimientos Observados.  Problema 1: Los estudiantes de acuerdo a lo concluido en la actividad anterior tenían claro que el triángulo debía ser rectángulo, y a pesar de saber que este es así por tener un ángulo recto (cuya característica se puede destacar ya sea por su medida directa, 90º, o por una marca de ángulo en forma de cuadrito), surgió de nuevo un inconveniente para reconocer el triángulo rectángulo. Los estudiantes parecen estar mas predispuestos para reconocer un triángulo rectángulo cuando éste reposa uno de sus dos catetos sobre la horizontal, pero no cuando se tiene la hipotenusa sobre la horizontal (ver figura 34). Al intentar dar una argumentación sobre la relación que existe entre las áreas de los cuadrados, ya sea en forma escrita u oral, tres de los estudiantes siguieron la misma tendencia de utilizar como si fueran equivalentes, las etiquetas de las áreas de los cuadrados y las etiquetas de los lados correspondientes: “Q1 + Q2 = Q3; a + b = c”. Cuando se les recordó la formula para determinar el área de un cuadrado dos de ellos corrigieron la escritura de la segunda expresión. El desplazamiento de las áreas de los cuadrados trazados sobre los catetos les permitió visualizar que a pesar de cambiar la forma de la figura, la cantidad de superficie cubierta era la misma y que por eso, se podía argumentar el cumplimiento del teorema de Pitágoras al darse cuenta que al desplazar dichas áreas se cubría por completo la superficie del cuadrado trazado sobre la hipotenusa.  Problema 2: La finalidad de este problema era comprobar que el teorema

de Pitágoras era válido también para el caso de figuras semejantes como los rectángulos que se formaban sobre los lados del triángulo rectángulo. Pero se tuvo el inconveniente de que los estudiantes poseían una escasa formación en conceptos y procesos de la geometría básica, en especial de los asociados a la semejanza de figuras geométricas (cuadriláteros). Se intentó realizar una pequeña indagación sobre el conocimiento que ellos tenían sobre la relación de semejanza, y de acuerdo a lo que observaban al 112

manipular el dispositivo expresaban que los tres cuadriláteros eran semejantes porque tenían la misma forma y/o porque aumentaban y disminuían su tamaño los tres a la vez. Aunque se acercaron a una buena argumentación para explicar la semejanza, a los estudiantes no les parecía pertinente ni clara la pregunta c para llegar a la conclusión general que se les solicitaba. Solo el estudiante E2 se aproximó al dar la siguiente respuesta: “En el triángulo rectángulo no importa si las figuras son cuadrados o rectángulos, en el cual Q1 y Q2 siempre llenarán el espacio de Q3”.111

7.4.3 Análisis Posterior.  Sistematización. Las respuestas dadas por los estudiantes para cada uno de los dos problemas se sistematizan en las siguientes tablas, de acuerdo con las categorías identificadas en el análisis previo (p.103 - 104). Estudiante E1 E2 E3 E4 E5 Total

     0

Tabla 10. Sistematización de Resultados Actividad 3- Problema 1.

Estudiante E1 E2 E3 E4 E5 Total

     1

Tabla 11. Sistematización de Resultados Actividad 3- Problema 2.

111

Ver Anexo E. p. 166.

113

 Análisis de Resultados. Según los datos en las tablas 10 y 11, y a lo dicho en los “Procedimientos Observados” (p.112–113) se puede afirmar que:  El dispositivo facilitó la verificación del cumplimiento del teorema de Pitágoras mediante el desplazamiento de las áreas de los cuadrados trazados sobre los catetos hacia el área del cuadrado trazado sobre la hipotenusa. Sin embargo, en sus expresiones escritas en lenguaje natural, no se apropian de los términos claves catetos o hipotenusa, lo cual puede ser debido a la influencia de las etiquetas.  Aunque al desplazar las áreas de los rectángulos menores y ver que cubrían la superficie del rectángulo mayor los estudiantes verificaron que el teorema de Pitágoras se cumple también para el caso rectángulos semejantes trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, no se logró que éstos expresaran la generalidad de dicho cumplimiento para cualquier trío de cuadriláteros, siempre y cuando sean semejantes.

7.5

ACTIVIDAD 4: PROBANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS

La actividad consta de tres problemas en los cuales se quiere que el estudiante, realice un proceso de conjeturación para explicar la validez del teorema de Pitágoras, al visualizar distintas pruebas, en las que requiere hacer un proceso de reconfiguración. Los dispositivos de los problemas de esta actividad son lo que se denominan puzzles o rompecabezas, y se diseñaron con base a tres pruebas muy conocidas del teorema de Pitágoras: la de Melzac, Bhascara y Perigal.

7.5.1 Análisis Previo. A diferencia de las tres actividades anteriores, en ésta se planteará (en lugar de la categorización de “Respuestas Esperadas”) un subapartado en el Análisis Previo titulado “Procedimientos Esperados”. Esto con el fin de centrar una mayor atención sobre los procesos de visualización y argumentación realizados por los estudiantes al realizar las distintas pruebas del teorema de Pitágoras. Pues dichos procedimientos son más importantes para analizar el papel de esta actividad en especial, que las respuestas en sí que los estudiantes den a las preguntas planteadas. Es decir que el registro escrito de las respuestas, mejor será tomado en cuenta para dar evidencia de los procedimientos que se desencadenaron en esta actividad, a manera de ejemplos.

114

 Desempeños Evaluados.

NIVEL DE COMPETENCIA

DESEMPEÑO EVALUADO

1. Reconocimiento y Distinción



Reconocer figuras geométricas y atributos medibles.

2. Interpretación



Interpretar y describir información gráfica.



Deducir y geométricas.

3. Producción

generalizar

propiedades

Tabla 12. Desempeños Evaluados en la Actividad 3.

 Indicadores de Logros.  El estudiante realiza conjeturaciones sobre lo observado en las figuras.  El estudiante interpreta y realiza adecuadamente las pruebas visuales del teorema de Pitágoras.  El estudiante presenta sus conclusiones en forma simbólica.  Conocimientos Asociados. Conceptuales:     

Triángulos (clasificación). Semejanza entre cuadriláteros. Teorema de Pitágoras. Congruencia entre polígonos (cuadriláteros y triángulos). Propiedades de la igualdad. (Transitiva).

Procedimentales:    

Visualización. Desplazamiento y comparación de áreas. Proposición de conjeturas. Escritura simbólica.

115

 Procedimientos Esperados.  Problemas 1, 2 y 3:  Categoría P1: hacen uso adecuado del dispositivo para intentar dar una respuesta a las preguntas planteadas.  Categoría P2: expresan argumentos adecuados para explicar que el teorema de Pitágoras se cumple en el triángulo rectángulo generado.  Categoría P3: escriben en forma simbólica una expresión adecuada para representar sus argumentos.  Categoría P4: reconfirman la utilidad del dispositivo para probar la validez del teorema de Pitágoras, en el caso especial de tener las longitudes de los catetos a y b iguales.

7.5.2 Intervención en el Aula.  Descripción.  Problema 1: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda

del dispositivo presentado en la figura 35.

Figura 35. Dispositivo A4_P1. fig 116

a. Modifique la longitud de los segmentos a y b. Conteste: ¿Qué relación puede establecer entre las áreas de los cuadrados Q1, Q2, Q3, y los cuadrados trazados sobre los lados a, b y c del triángulo rectángulo base? b. ¿Puede usted recubrir el área de la Base haciendo uso de los triángulos T1, T2, T3, T4, y los cuadrados Q1, Q2? ¿Puede hacer lo mismo, usando los triángulos T1, T2, T3, T4, y el cuadrado Q3? c. ¿Explique de qué manera, el proceso de comparación de áreas realizado en la pregunta b, puede probar el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo de lados a, b y c? d. Escriba dos expresiones simbólicas para exponer su conclusión:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo rectángulo. Observe y describa que sucede si modifica las longitudes de los segmentos a y b, de tal manera que sean iguales: e. ¿Qué sucede con los triángulos T1,T2,T3,T4, y los cuadrados Q1,Q2? f. ¿Aún sirve la presentación en pantalla del dispositivo para probar el teorema de Pitágoras?  Problema 2: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda

del dispositivo presentado en la figura 36.

Figura 36. Dispositivo A4_P2. fig 117

a. Modifique la longitud de los segmentos a y b. Conteste: ¿Qué relación puede establecer entre las áreas de los cuadrados Q1, Q2, Q3, y los cuadrados trazados sobre los lados a, b y c del triángulo rectángulo? ¿Qué relación puede establecer entre las áreas de los cuadrados Q1, Q2, Q3, respecto a los cuadrados de las Bases 1 y 2? b. ¿Usando los triángulos T1, T2, T3, T4, y el cuadrado Q4 puede usted recubrir el área del cuadrado grande de la Base 2? ¿Con los mismos triángulos T1, T2, T3, T4, y el cuadrado Q4, puede recubrir el área de los dos cuadrados de la Base 1? c. ¿Explique de qué manera, el proceso de comparación de áreas realizado en la pregunta b, puede probar el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo de lados a, b y c? d. Escriba dos expresiones simbólicas para exponer su conclusión:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo rectángulo. Observe y describa que sucede si fija las longitudes de los segmentos a y b, de tal manera que sean iguales: e. ¿Qué sucede con los triángulos T1, T2, T3, T4, y el cuadrado Q4? f. ¿Aún sirve la presentación en pantalla del dispositivo para probar el teorema de Pitágoras?  Problema 3: Consiste en responder las siguientes preguntas, con la ayuda

del dispositivo presentado en la figura 37.

Figura 37. Dispositivo A4_P3. fig 118

a. Modifique la longitud de los segmentos a y b. (Mantenga la longitud de a menor que la de b, por razones técnicas). ¿Qué relación puede establecer entre el cuadrado K, y el cuadrado Q1? ¿Qué relación puede establecer entre el cuadrado Q2 y los polígonos P1, P2, P3 y P4? b. ¿Puede usted recubrir el área del cuadrado Q3, trazado sobre la hipotenusa c del triángulo rectángulo base, usando los polígonos P1, P2, P3, P4, y el cuadrado K? c. ¿Explique de qué manera, el proceso de comparación de áreas realizado en la pregunta b, puede probar el cumplimiento del teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo de lados a, b y c? d. Escriba dos expresiones simbólicas para exponer su conclusión:  Una en la cual se relacionen las áreas de los cuadrados Q1, Q2 y Q3.  Otra en la que relacione los lados a, b y c del triángulo rectángulo. Observe y describa que sucede si fija las longitudes de los segmentos a y b, de tal manera que sean iguales: e. ¿Qué sucede con los polígonos P1, P2, P3, P4? f. ¿Aún sirve la presentación en pantalla del dispositivo para probar el teorema de Pitágoras?  Procedimientos observados.  Problema 1: Primero los estudiantes confirmaron fácilmente que los cuadrados Q1, Q2 y Q3, correspondían a los cuadrados trazados sobre los lados a, b y c del triángulo rectángulo. Para esto realizaron observaciones sobre lo que sucedía si cambiaban, por ejemplo, la longitud del lado a, (se hacía evidente que cambiaba el tamaño de Q1 en la misma forma que el cuadrado del lado a); y que si cambiaban la longitud del lado b pasaba lo mismo con el cuadrado Q2. Para el caso del cuadrado Q3 se observaba que cambiaba automáticamente su tamaño y posición, igual a lo que sucedía con el cuadrado sobre el lado c, cuando se hacían variar los otros dos lados. Como se puede comprobar, para recubrir el área de la Base con los cuatro triángulos y los dos cuadrados menores Q1 y Q2, existen ocho maneras básicas distintas, las cuales corresponden a dos posiciones específicas: colocando los dos cuadrados en forma contigua horizontal o vertical, ó colocándolos en posición diagonal, teniendo cada una cuatro variaciones. Para dar evidencia del procedimiento seguido en la solución de la primera parte de la pregunta b. se solicitó dibujar en la hoja de respuestas la forma 119

en que recubrieron la Base. De los cinco estudiantes, dos colocaron en manera contigua los cuadrados Q1 y Q2; los otros tres estudiantes ubicaron los cuadrados Q1 y Q2 en posición diagonal.112 Ya para el caso de la segunda parte de la pregunta b. recubrir la misma Base con los cuatro triángulos y el cuadrado mayor Q3, el procedimiento fue más sencillo, pues la posición de Q3 indica una sola forma para ser ubicado dentro de la Base. Respecto al proceso de argumentación para dar cuenta del cumplimiento del teorema de Pitágoras, se siguió un proceso de reconfiguración sobre las configuraciones obtenidas para el cubrimiento de la Base: al ser el área de la Base la misma en ambos casos y teniendo que los cuatro triángulos son los mismos también, implícitamente los estudiantes hicieron uso de la noción común “Si a cosas iguales se quitan partes iguales, resultan cosas iguales”. Esta forma de razonamiento lo expresaron de diversas maneras:113 

En lenguaje natural: presentada por las estudiantes E1, E4 y E5, siendo mejor elaborada la expresión de la primera de ellas.



En forma simbólica: como el caso del estudiante E2, quien presentó sus argumentos por medio de ecuaciones al igualar las dos expresiones que había obtenido previamente de los cubrimientos de la misma Base, y luego eliminó a ambos lados de la ecuación los triángulos para obtener que Q1 + Q2 = Q3.

 En forma gráfica, acompañada de una explicación en lenguaje natural: como el caso del estudiante E3, el cual dibujó como quedaban las dos configuraciones si se quitan los cuatro triángulos en cada una de ellas. Para el caso de lo sucedido cuando los segmentos a y b son de igual medida, los cinco estudiantes lograron identificar que los triángulos se convertían en isósceles (dando como justificación la forma) y que, claramente, Q1 y Q2 eran iguales (congruentes). Solo la estudiante E1 además de enunciar que los triángulos eran isósceles por la forma, justificó en la respuesta e. una asociación con las longitudes de los lados a y b: “Los triángulos son isósceles porque tienen dos lados iguales, y corresponden: a y b” 114. Además, afirmaron que la presentación en pantalla aún servía para probar el teorema de Pitágoras, porque se podían realizar de nuevo los mismos recubrimientos con los cuadrados y los triángulos obtenidos.  Problema 2: Para confirmar de nuevo que los cuadrados Q1, Q2 y Q3, correspondían a los cuadrados trazados sobre los lados a, b y c del triángulo rectángulo los estudiantes realizaron el mismo procedimiento del problema anterior. En este caso no se solicitó dibujar las configuraciones obtenidas 112

Ver Anexo E. Actividad 4, Problema 1. p. 170, 172, 174, 176 y 178. Ibíd. 114 Ibíd. p. 171. 113

120

porque, como pueden darse cuenta, son de solución única, y por tanto todos debían llegar a la misma. La mayor dificultad se presentó en la pregunta b. al tratar de recubrir el área de la Base 1, se puede decir que los cinco estudiantes probaron antes de llegar al cubrimiento correcto al menos dos de los siguientes intentos:

Figura 38. Intentos de solución a la pregunta b. Problema2, Actividad 2.

Nótese que la posible causa de esta tendencia por realizar primero alguno de dichos intentos, puede ser la presencia de la línea que divide a la base en dos cuadrados, la cual induce a creer que las una de las figuras debe tener un lado que coincida con dicha línea; pero la solución no es así. Para cubrir el área de la Base 2, fue más rápida la consecución de lo solicitado porque la guía del cuadrado congruente con Q4 facilitaba la ubicación de los triángulos. Quizás este es el problema de mayor complejidad entre los tres propuestos en esta actividad. Para argumentar el cumplimiento del teorema de Pitágoras se debe realizar un proceso de comparación de áreas en el que debe al final tenerse en cuenta la propiedad transitiva de la igualdad. Primero los cuadrados Q1, Q2 y Q3 se deben comparar no solo con los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, sino con las respectivas Bases 1 y 2. Luego por los cubrimientos realizados con los cuatro triángulos y el cuadrado Q4, se concluye que las Bases 1 y 2 tienen la misma área, y por transitividad Q1 + Q2 = Q3. Igualmente, en el caso de que las longitudes de a y b son iguales, los cinco estudiantes concluyeron que los triángulos se convierten en isósceles y que el cuadrado Q4 desaparecía. También, afirmaron que el dispositivo aún servía para probar el teorema de Pitágoras porque con los cuatro triángulos se podían cubrir de nuevo las dos bases.115  Problema 3: Siendo el último problema, los procedimientos parecen haber sido ya mecanizados por parte de los estudiantes, así que la disposición de actitud disminuye y los procedimientos son repetitivos. Cabe apuntar que 115

Ver Anexo E. Preguntas e. y f. del Problema 2, Actividad 4. p. 180 – 184.

121

este problema es más sencillo que el anterior porque la comparación de las áreas se realiza de manera directa, es decir, las figuras son para recubrir los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, casi al mismo estilo que lo sucedido en la actividad 3. Se puede destacar que para el caso de la pregunta e. el estudiante E2 realizó una observación adicional a las comunes hechas por los otros estudiantes; después de ver que los cuatro polígonos se convirtieron en cuatro triángulos isósceles, para responder si aún servía el dispositivo para probar el teorema de Pitágoras él dijo: “Claro, si con los cuatro triángulos puedo cubrir a Q2 de nuevo, ahh y también a Q1 y a K, porque todos son iguales, pues a y b son lados iguales”. Lo anterior indica que este estudiante gracias a la presentación de las figuras en la pantalla, puede dar explicaciones lógicas de lo que observa cada vez más elaboradas.

7.5.3 Análisis Posterior.  Sistematización. Como se mencionó antes, para cada uno de los tres problemas de esta actividad se sistematizan los procedimientos observados en las siguientes tablas, de acuerdo con las categorías identificadas en el análisis previo (p.116) y analizando las respuestas entregadas por los estudiantes. En este caso, si el estudiante realizó el procedimiento la casilla se marca con ““, de lo contrario se marca con ““.

Estudiante

E1 E2 E3 E4 E5

    

 

Total : 

        5

Tabla 13. Sistematización de Resultados Actividad 4 - Problema 1.

122

Estudiante

E1 E2 E3 E4 E5

    

 

Total : 

        5

Tabla 14. Sistematización de Resultados Actividad 4 - Problema 2.

Estudiante

E1 E2 E3 E4 E5

    

  

 

Total : 



       



Tabla 15. Sistematización de Resultados Actividad 4 - Problema 3.

 Análisis de Resultados. De acuerdo a los datos de las tablas 13, 14 y 15, y a las observación de los procesos realizada, se concluye que:  Desde el punto de vista de la ejecutabilidad del dispositivo como medio facilitador de información visual, para la conjeturación de ideas respecto a las preguntas hechas, se puede decir que la presentación tuvo una buena manipulación por parte de los estudiantes, quienes la utilizaron adecuadamente para dar cuenta de los argumentos que querían sostener respecto a la validez del teorema de Pitágoras.  Tres de los estudiantes ya habían realizado algún tipo de trabajo con dispositivos de este estilo (puzles, rompecabezas, tangramas), y al realizar esta actividad catalogaron de inmediato los dispositivos como un tangram. Sin embargo, opinaron que estos en el computador eran más interesantes.

123

 La aclaración previa de las nociones comunes asociadas al trabajo con la igualdad o congruencia, tales como las expresadas para el caso del problema 2 y la propiedad de transitividad en los problemas 2 y 3, fue primordial para que los estudiantes pudiesen explicar cómo la congruencia hallada entre las áreas finalizaba con la conclusión de la expresión del teorema de Pitágoras a la cual querían llegar, tomando de nuevo como meta la expresión “Q1 + Q2 = Q3”.  Como se expresó antes, a pesar de lo rutinario que se volvió la secuencia al final en los tres problemas de la actividad 4, se puede afirmar que la actividad en general tuvo éxito porque los estudiantes conociendo previamente el enunciado del teorema de Pitágoras, tenían claro que debían llegar a concluir que “Q1 + Q2 = Q3” (de acuerdo a sus expresiones), por lo tanto, sus explicaciones tenían ya una orientación y la mayoría para abreviar tiempo y evitar confundirse, expresaron sus argumentos usando símbolos, dibujos, solo palabras o combinaciones de estos. Un caso curioso es el de la estudiante E1, que reemplaza en sus expresiones simbólicas el signo “+” por “comas para dar una suma.116

116

Ver Anexo E. Actividad 4. p. 176 y 181.

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8. CONCLUSIONES

8.1 ACERCA DE LOS RESULTADOS Gracias a las observaciones realizadas durante la prueba piloto y los resultados obtenidos en la misma, se pueden realizar las siguientes afirmaciones acerca del papel que jugaron las actividades diseñadas en este trabajo, y las modificaciones que probablemente mejorarían su diseño, para facilitar su comprensión al realizar una futura intervención en el aula. El aspecto técnico de los dispositivos, en cada una de las actividades, presentó una gran influencia respecto al acto pedagógico. Las variables didácticas asociadas a la presentación en la pantalla, tales como: el color, las etiquetas, la información gráfica y numérica, mediaron el proceso de solución de las situaciones problema y promovieron una disposición activa por parte de los estudiantes. Del aspecto curricular se destaca la consideración sobre la apremiante necesidad de tratar previamente los conceptos y procedimientos que se movilizan en las actividades, los cuales son inherentes al trabajo con el teorema de Pitágoras. Además, se sugiere replantear la duración de las secciones de trabajo para evitar la monotonía en el desarrollo de las actividades; aunque, curiosamente este hecho influenció que los estudiantes abreviaran sus repuestas en expresiones simbólicas y demorarse menos al entregar sus respuestas. Respecto al desempeño general que tuvo la secuencia de situaciones problema, se puede afirmar que la coherencia en su planeación fue adecuada para el objetivo que se tenía, es decir, fue acorde para movilizar un trabajo encaminado hacia la conjeturación sobre las pruebas visuales del teorema de Pitágoras. El camino que se siguió fue primero dos actividades de exploración y apropiación del teorema de Pitágoras, luego una prueba reconocida (prueba de Euclides) en la que se verifica por visualización el cumplimiento del teorema de Pitágoras no solo para los cuadrados trazados sobre los lados del triángulo rectángulo, sino también para los cuadriláteros que sean semejantes (en este caso, rectángulos). Para finalizar la secuencia, se plantearon los tres problemas propios de las pruebas visuales, sobre las cuales se centró el desarrollo de este trabajo de grado. Como una posible modificación al orden dado de la secuencia de las situaciones problema, se plantea en las pruebas visuales de la actividad 4, trabajar primero la prueba de Perigal dada en el problema 3 y luego si, trabajar con las otras dos pruebas la de Melzac y por último la de Bhascara. Esto se 125

propone debido a la necesaria tendencia de organizar la secuencia de problemas en orden ascendente de acuerdo a la dificultad de solución. Hecho que en este caso se pasó por alto, pues como se mencionó en los Procedimientos Observados (p.119 -122), los procesos asociados a la visualización que se realizan en estas pruebas son más fáciles en la presentación de la prueba de Perigal (comparación directa entre las áreas) que en las otras dos pruebas (comparación de áreas por transitividad). Aunque el proceso de visualización permitió una conjeturación adecuada sobre las pruebas, se encontró problemas con la forma de expresar las ideas sobre lo que se observaba: “Los estudiantes ven lo que se les solicita pero no son capaces de expresarlo bien en forma escrita, ya sea porque no tienen la facilidad lingüística y/o no tienen la claridad de los conceptos necesarios para hacerlo”. Finalmente, con el desarrollo de este trabajo, en especial lo referido a lo vivenciado durante la prueba piloto, se reafirmó la idea concebida sobre el papel que juega el profesor en un proceso de enseñanza que involucra el uso de tecnologías computacionales. Como se reportó en los Procedimientos Observados el profesor, debía hacer algunas aclaraciones, preguntas de control y sugerencias para que el estudiante pudiese llevar a cabo satisfactoriamente el desarrollo de las actividades. De este modo, se puede decir que, la alternativa metodológica aquí desarrollada, la cual se movió en un marco de propuesta curricular de acuerdo al modelo de Diseño Didáctico, permitió confirmar la validez de la concepción que se tiene sobre la gestión del profesor al actuar en presencia de un socio en la clase (en este caso el SGD), que funciona como soporte para ejecutar ciertas funciones cognitivas; como por ejemplo, entregar información gráfica o numérica pertinente al instante que se necesita: La tarea del profesor se centra en dirigir el proceso de gestión simbólica. Es decir, que el auge de realizar prácticas educativas en el aula de matemáticas con la presencia de nuevas tecnologías de la información y la comunicación, no representan una amenaza para la labor del profesor; más bien es una herramienta que debe ser aprovechada lo mejor posible, para diseñar y obtener experiencias de aula enriquecedoras que faciliten un aprendizaje más significativo en sus estudiantes.

8.2 FUTURAS LÍNEAS DE TRABAJO Este trabajo enmarcado en la línea del tratamiento de demostraciones o pruebas visuales sobre teoremas geométricos mediados por el uso de tecnologías computacionales, es un ejemplo que vislumbra las posibilidades que ofrece un S.G.D. y las consideraciones a tener en cuenta, para diseñar y 126

proponer prácticas innovadoras en el aula, que conduzcan a un mejor entendimiento de la geometría a nivel de la Educación Básica y Media. De acuerdo a las deficiencias observadas sobre ciertos conocimientos matemáticos por parte de los estudiantes se propone realizar un diseño de actividades extras, que aunque no están en la línea de trabajo de las Pruebas Visuales, si sería pertinente colocar atención sobre los siguientes temas: 

Ángulos y Triángulos: diseñar situaciones problema cuyo objetivo sea destacar las definiciones de los conceptos básicos, como lo son la clasificación de los ángulos y de los triángulos. Un posible tratamiento sería proponer la construcción de los triángulos para visualizar sus propiedades y apropiarse de sus definiciones, no solo por la forma o representación gráfica típica sino por la interpretación de sus características específicas.



Medición de Longitudes y Áreas: propuesta para tratar la diferencia que existe entre los procesos de medición de segmentos versus la medición de superficies, esto con el fin de subsanar las confusiones que existen entre las medidas de longitud y área. Puede realizarse como caso especial sobre cuadriláteros.



Semejanza de Figuras Geométricas: Es probable que hallan dificultades en el tratamiento de la semejanza de figuras geométricas, en especial de triángulos y cuadriláteros, que pueden ser abordadas desde el ámbito de la geometría transformacional. Un Sistema de Geometría Dinámica como Cabri Géomètre brinda con su dinamismo un eficaz ambiente para el diseño de situaciones problema apropiadas para este fin.

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