Digarcas, vivir la matemática by Diego García Castaño

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

DIEGO GARCÍA CASTAÑO

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA 1

DIego GARcía CAStaño

Diego Garcíaº Castaño Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid, Profesor de Cálculo y Geometría Analítica ( preparación

para

Ingenieros

Industriales ), Curso de Iniciación, Preuniversitario y C.O.U en la Academia Peñalver y Colegio Inmaculada Madrid.

Concepción

Catedrático

Matemáticas en los Institutos de Caravaca de la Cruz, San Vicente del Raspeig y "Carrús" de Elche. Autor de los libros: " Matemáticas

Teóricas "

" Matemáticas Prácticas " del Curso

Preuniversitario

( este

Último en colaboración con Luis M.

Mateo

Agrónomo ),

López, Ingeniero " Biografía

Matemática de Jorge Juan ", “ Avivando

los

Recuerdos ”,

“Trascendencia Científica de Jorge Juan Santacilia”, “Vicente Quiles, un alcalde que pensó en futuro” y “Las Rutas de los Mercaderes y el alborear de la Matemática”.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

Ser matemático es ser poeta. Diego García Castaño

A Maru mi esposa Una gota de alegría llena desliza por el surco señalado queriendo el Creador que fuera buena en lugar de afearla con pecado. Esta gota son dos vidas que se unen; y estas vidas son la tuya y la mía, para Él será como un resumen que juzgará cuando amanezca el Día. Ese Día Maruja te lo pido, abrázate a mí con violencia, para que Dios se sienta erigido, y, en vez de juez, Padre parezca que sólo nuestra dicha ansía, y en sus brazos nunca anochezca.

DIego GARcía CAStaño

Depósito Legal © Diego García Castaño

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

También conocemos con detalle el problema matemático y su solución, en lo que ha reparado con bastante intención didáctica el profesor Diego García Castaño, aclarando de una vez a los profanos lo que era tan difícil de seguir en los textos de Jorge Juan.

Luis Gómez Urdáñez Catedrático de Historia Moderna de la Universidad de la Rioja

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

ÍNDICE

Prólogo……….………………….

………………….pág. 13

Capítulo

I.- Inicios y amaneceres…..…..pág.

Capítulo II.- Andamiajes y decisiones…..pág.

Capítulo III.- Destrezas y utilidades……..pág.

Reportaje Gráfico………….…………………..pág. 103 Capítulo IV.- Frutos y Recompensas.......pág. 121 Capítulo V.- Experiencias y consejos…..pág. 149

Epílogo

.- Escritos sobre Jorge Juan..pág.177

Jorge Juan: El introductor del Cálculo Infinitesimal en España 186

Bibliografía……………………………………pág. 216

DIego GARcía CAStaño

DIEGO GARCÍA CASTAÑO 10

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

PRÓLOGO En DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA (Vivencias del profesor DIGARCAS), utilizamos el acrónimo DIGARCAS, con las primeras sílabas de nuestro nombre y apellidos porque, como el protagonista de una obra se nombra tantas veces, mejor que tenga tres sílabas que nueve y como éste, además, adquiere

personalidad

suficientes

grados

propia libertad

podremos para

disponer

“pespuntar”,

de sin

personalismos que empalaguen, la complicidad del mismo con las ensoñaciones del lector. Esta (Vivencias

obra, del

DIGARCAS:

profesor

VIVIR

DIGARCAS),

MATEMÁTICA

aunque

empezó

escribirse en las inmediaciones del Solsticio de Verano para “encariñar” con la Matemática al lector con estudios medios, sin embargo, como rebasado el Equinoccio de Otoño el informe

Pisa

adultos-2013

alertó

que,

“de

los

ciudadanos de los países de la OCDE los peores en Matemáticas eran los españoles”, no tuvimos más remedios que ampliar nuestros objetivos para que el libro, con el slogan en ristre: “el lenguaje del progreso es matemático”, ayudara a sacarnos del marasmo matemático en que estamos sumidos. Para laborar como queremos este guión, recurrimos a las “vivencias matemáticas” y a los “destellos estudiantiles y profesionales” del profesor DIGARCAS, por ser éste un Catedrático de Bachillerato “de ir por casa” que sintió la Matemática como algo “suyo” y que, por lo tanto, pudo transmitírsela a los demás con la sencillez que pregonan los que le conocieron y que el lector, puede comprobar en sendas cartas, textualmente reproducidas, en los capítulos IV y V. Sus “vivencias matemáticas”, no exentas de originalidad e ingenio, nos muestran pasajes matemáticos sencillos 13

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algunos de ellos difíciles de encontrar en otros libros y, sus “destellos estudiantiles y profesionales”, aparecen pactados en texto alternativo al puramente matemático para paliar el esfuerzo que requieren algunas cuestiones que, aún siendo triviales, pueden turbar al lector. Y es que lo único que pretende esta obra es que el lector se sienta cómodo y aproveche la ocasión de DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA. Esta obra se inicia con unas secuencias sobre la estancia de DIGARCAS en Caravaca de la Cruz, como director del Instituto de Bachillerato de dicha población, y continúa con el enfoque retrospectivo sobre la evolución de su personalidad matemática, que no debemos confundir con su biografía por el halo permanentemente matemático que de ella emana. En el capítulo I incluimos, por ejemplo, pasajes de sus estudios primarios y del Ingreso de Bachillerato, que realizó, respectivamente, en Elche y Orihuela. Relatamos sus perspectivas matemáticas sobre medidas de

agrimensura,

áreas

del

rectángulo,

paralelogramo,

triángulo y trapecio por este orden; sobre unidades de medidas de ángulos; sobre la longitud de la circunferencia. El área de sector circular la saca utilizando, de forma ingeniosa, la fórmula del área del triángulo y, con ello, el área del círculo. En el Capítulo II, recopilamos pasajes matemáticos de los siete cursos de Bachillerato que comenzó, tras un veraneo en Santa Pola y después de disfrutar las fiestas de Elche, las de la Noche de la Alborada y las representaciones del Misterio de Elche. En el segundo trimestre del curso 1943-44, una terrible gripe colapsó sus estudios en Orihuela y le llevó a proseguir sus estudios de Primero de Bachillerato en el Colegio Ntra. Sra. de la Asunción de Elche, su ciudad natal.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Su connivencia con la Matemática le permitió idear “trucos” para justificar la forma de operar con las fracciones, realizar repartos proporcionales, demostrar el Teorema de Thales, los de la altura, el cateto y el de Pitágoras. Con el pie de meridiano, ideado por DIGARCAS, en su libro Biografía y Matemática de Jorge Juan, tradujo, al Sistema Métrico Decimal unidades de medida como la línea, la pulgada y la milla marina. A partir de la definición de metro calculó el radio de la Tierra e ideó una vuelta a la Tierra manteniendo constante las manecillas del reloj en las18 horas. Halló la probabilidad de hacer pleno en una quiniela y en el bonoloto. Hizo problemas sobre depósitos, ciclistas, relojes, etc. Elevó el nivel de sus conocimientos con los conceptos de límite, función continua, derivable e integrable, calculó formalmente en 7º de Bachillerato el área del círculo, la superficie y volumen de la esfera, contrastando esto último con la fórmula del volumen del cono aplicada, de forma ingeniosa, al sector esférico considerando como casquete del mismo toda la superficie esférica. Con el Examen de Estado que realizó en Murcia se hizo acreedor al título de Bachiller. En

capítulo

III,

contamos

que

matriculó, en el curso 1950-51, por libre,

DIGARCAS

de Primero de

Ciencias Matemáticas en la Universidad de Zaragoza y, se quedó en Elche ayudando a su padre en sus negocios agrícolas, por lo que ese curso, matemáticamente, fue un desastre. Cuando hablamos, de los matemáticos Manuel y Tomás, conocidos en Elche como los mellizos, manifestamos el agradecimiento de DIGARCAS porque éstos pusieran como libro de texto sus Matemáticas de Preuniversitario, en el Instituto Ntra. Sra. de la Asunción y, por lo tanto, en las Jesuitinas al ser éste un centro adscrito a dicho instituto. 15

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Destacamos también que, DIGARCAS, fue muy crítico con las autoridades docentes españolas, por no atender, en 1963, los consejos de la Reunión Internacional de Didáctica y Metodología de Atenas y por el cambio del Preuniversitario al C.O.U., exiliando a la Geometría de España y trayendo consigo el fatal veredicto del informe Pisa. Alabó la forma como los matemáticos

establecieron

base

axiomatizada

Geometría y, criticó a los lingüistas que no hicieran lo mismo. Ya en Zaragoza, en el curso 1951-52, disfrutó y trabajó como nunca en la Universidad, en la Sala de Estudios de la Residencia Miraflores, en su habitáculo de la calle Prudencio y, en tiempos de exámenes, en casa de su amigo Valdés. Y es que allí todo funcionó a la perfección, a pesar de su negativa a ingresar en el Opus Dei, por tener novia, a requerimiento de Sabino Gabiola, compañero de curso y un gran amigo de por vida. Con un recordatorio sobre el encuadre que hacía DIGARCAS de la Matemática, “como un conjunto finito e inacabado de problemas cuya teoría, su columna vertebral, la conforman los Problemas Madres, o sea, los teoremas” y un laudatorio sobre tres magníficos matemáticos: Javier Etayo, José Luis Viviente y Sancho Guimerá acaba el Capítulo III. En el curso 1953-54, ya en Madrid, disfrutó a raudales en las clases de Abellanas, Sixto Ríos, Navarro Borrás y Sánchez del Río, que por su ingenio innovador, nos recuerda que DIGARCAS, en su libro Matemáticas de Preuniversitario, 2ª

edición,

innovó

Geometría

con

las

matrices

características de los movimientos del plano y del espacio tridimensional y, que presenció en la Real Academia de Ciencias Exactas Físicas y Naturales las tomas de posesión, como académicos, de Puig Adam y Ricardo San-Juán.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Una

vez

licenciado

Ciencias

Matemáticas,

DIGARCAS, daría clases particulares, en colegios y formaría parte de una peña de amigos, con toreros como Paco Herrera y Alfonso Ordóñez, hermano de Cayetano y Antonio Ordóñez. Uno

los

acontecimientos

más

celebrados

por

Digarcas, fue su entrada como profesor en la Academia Peñalver, que le permitió casarse. También fue importante el que los alumnos de Preuniversitario, le pidieran que escribiera a modo de apuntes lo que explicaba en clase porque, aunque él estuvo remiso a hacerlos, “asediado” por éstos y contando con su colaboración incondicional, en 1963, claudicó y los hizo. De este modo lo que empezaron siendo unos simples apuntes, se publicaron como libro, en 1964, bajo el título de Matemáticas de Preuniversitario. DIGARCAS,

sus

comunicaciones,

sobre

Matemática Moderna, desvelaba que “ésta descubría las analogías existentes entre todas las ramas de la Matemática y, el

porqué

razonado

las

creaciones

matemáticas,

aparentemente tan artificiosas e ingeniosas”. En los albores de los años 70 del siglo XX, hizo los cursos de doctorado, porque la Peñalver, con la muerte de su director, ya no era la de antes. En septiembre de 1974, aprobó las

oposiciones

Catedráticos

Matemáticas

Bachillerato, por lo que durante dos cursos, a partir del 1-X1975, estuvo como director del Instituto de Caravaca de la Cruz, del que se trasladó al de San Vicente del Raspeig, en el que permaneció hasta el 30-IX- 1981, en que recaló por fin en su ciudad natal, en el Instituto Carrús de Elche. Como, desde Elche, llevaba un día a la semana a sus hijos al Conservatorio de Música de Alicante, para no perder tiempo,

organizó

cursillo 17

sobre

programación

para

DIego GARcía CAStaño

profesores en esta ciudad. Este cursillo, lo retomaría el Departamento de Matemáticas del Instituto de Carrús, del que él era el jefe y, traería bajo el brazo, al Seminario de Informática de Elche con veinte profesores de institutos, colegios nacionales y de la UNED,

que dieron todos los

cursillos de Informática habidos y por haber en Elche. Por eso no es extraño que, el Instituto de Carrús, fuera uno de los tres primeros de la Comunidad Valenciana que tuvieron Aulas de Informática, con DIGARCAS como jefe de la misma. Recordamos también la anécdota de que, Antonio Ramón Guilabert, director del Periódico Elche, tuvo que recurrir a DIGARCAS para que le hiciera un programa que, por sus sesgos matemáticos, nadie antes fue capaz de hacerle. DIGARCAS, daba las derivadas y las integrales, en C.O.U., en una clase, intercalada con las tres teóricas de la semana, para que los alumnos mantuvieran activa la tabla de derivadas, durante todo el curso, y aprendieran a operar con soltura. En las integrales empezaba por las inmediatas, continuaba con la integración por partes, descomposición en fracciones

simples

acababa

con

las

integrales

trigonométricas del tipo F(sen x,cosx) dx, siendo F una función racional. En el 2000, en el Año Mundial de la Matemática, por recomendación de DIGARCAS, algunos profesores de su Departamento hablaron en sus clases de la Historia de la Matemática y otros, hicieron problemas de ingenio. Él, por su parte, publicó en la prensa multitud de artículos, entre ellos, El Año de la Matemática; El Año Mundial de la Matemática; Observaciones Astronómicas de Jorge Juan; El XXV aniversario del Carrús y Jorge Juan; Por un monumento a Jorge Juan en Elche y El Instituto de Carrús, el buque insignia de Jorge Juan y, a partir de jubilarse en el 2002, sus libros: Biografía y Matemática de Jorge Juan; Trascendencia Científica de Jorge 18

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Juan Santacilia; Las Rutas de los Mercaderes y el alborear de la Matemática y Jorge Juan y la Línea Roja Transoceánica, que fueron presentados y prologados por grandes figuras de la cultura científica española, por un Secretario de Estado, de Educación y Ciencia, dos Rectores, dos insignes Catedráticos de Universidad y por el Presidente de la Asamblea Amistosa Literaria que fundara el propio Jorge Juan en 1755.

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DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

CAPÍTULO I

INICIOS Y AMANECERES

Sea como fuere, la cuestión es que cuando sonaban las siete campanadas del reloj el tono del subconsciente del profesor

DIGARCAS, se elevaba de tal modo que a partir de

entonces iniciaba el proceso que le llevaba, al filo de las ocho, a

intuir

forma

difuminada,

amortiguada

casi

imperceptible, prácticamente entre sueños, el bullir de la gente, por la calle Gran Vía de Caravaca de la Cruz, que se afanaba por llegar a tiempo a su puesto de trabajo en las oficinas, bufetes, supermercados, centros de enseñanza, comercios, negocios, fábricas, empresas exportadoras u otros centros de trabajo. Como él se quedaba hasta altas horas de la noche escribiendo, sobre sus experiencias docentes y sus saberes científicos como catedrático de Matemáticas de institutos de Bachillerato que era, no es extraño, que con el sonoro trasiego o trajín que armaban los viandantes al pasar por debajo de la ventana de su habitación, que estaba situada en una 1ª planta, como sucedía a partir de las ocho de la mañana, se 21

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estimulase en un plus su consciencia y

empezara éste a

percibir, cada vez con más claridad y nitidez, la realidad en la que estaba inmerso y se desenvolvía. A pesar de este cúmulo de estímulos que bombardeaba el subconsciente, del profesor DIGARCAS, la verdad es que como no iniciaba su trabajo hasta las nueve de la mañana, todo su ser se retraía, se resistía en suma, consciente o inconscientemente, a levantarse para no perderse esos reconfortantes instantes en que se gloriaba en prolongar, al menos hasta las ocho y media, o sea, media “horita” más la somnolencia

consentida,

esparcimiento

matutino

programado de antemano, con innovadoras aventuras no vividas, ensoñaciones caprichosas, historietas, dichos, dimes y diretes y situaciones variopintas vividas, estas sí, con la gente que le rodeaba y compartía con él sitios comunes, o sea, con la familia, tanto en la ciudad como en sus esporádicas estancias en los campos o fincas de amigos y conocidos; con los compañeros del instituto donde impartía docencia; con los amigos en las reuniones a las que se le invitaba; con los vecinos de la calle Gran Vía y sus aledaños, e incluso, de toda Caravaca; con la iglesia-convento San Juan de la Cruz donde oía la misa dominical, y con todo ser viviente que le afectara en su discurrir por la ciudad. Con esta sinopsis de recuerdos que fluían en su mente antes de levantarse, pasaba plácidamente la media “horita” sin preocuparse en absoluto de que todo ello se interrumpiría de cuajo con el toque de las medias horas del reloj, que inexorablemente se produciría a las ocho y media, hora en la que no tendría más remedio que levantarse, pues llegado ese instante, como acto reflejo que repetía a diario, de forma decidida, tajante, instantánea y automática giraba su cuerpo sobre

cama

90º

presionando, 22

continuación,

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA fuertemente la almohada con su mano izquierda lograba impulsar fuera de la cama ambas piernas hasta tocar con los pies en el suelo y quedarse perfectamente sentado en la misma, entonces se ponía las zapatillas e iba al cuarto de baño desde el que regresaba a la habitación, tras evacuar, lavarse o ducharse, peinarse y asearse, para embutirse la camisa y abrocharse con pasmosa parsimonia, uno a uno, todos los botones de la misma, “enfundarse” hasta lo más alto el pantalón, hasta la altura del ombligo, y rematar, por fin, su vestimenta poniéndose los calcetines y zapatos. Después, rápidamente, sin perder tiempo, acudía a la cocina donde su señora le preparaba con esmero el desayuno, que él consumía tranquilamente o se lo engullía como podía según los minutos que faltaran para las nueve. Cumplimentado lo anterior se dirigía, normalmente en automóvil, al instituto, con la cartera de mano donde llevaba todo lo que podría necesitar para desarrollar su quehacer docente del día. Si el tiempo no le apremiaba conducía más lento e, incluso, en sus paradas en los semáforos, disfrutaba contemplando el verdor de los árboles, la gama de colores que se entretejía en su interior desdibujando el verde intenso de los mismos al filtrarse, expandirse y diversificarse con gran variedad de colores los rayos del sol por entre sus ramas. Se distraía incluso viendo lo alargadas e interminables que eran las sombras que, a esa hora de la mañana, proyectaban los semáforos sobre el asfalto. Una vez aparcaba, en las proximidades del instituto, complaciente

correspondía

cortésmente

con

una

amplia

sonrisa en sus labios, a los saludos de sus alumnos hasta que entraba por fin al centro docente, por su espaciosa y encristalada portalada. Allí estaría laborando toda la mañana, 23

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dando clases y más clases con el rigor y entusiasmo que le caracterizaban, ocupándose y preocupándose además del perfecto funcionamiento del centro como director del mismo. Ya en la Sala de Profesores contactaba con unos y con otros

cambiando

impresiones,

intercambiando

pareceres

docentes con los que tenía necesidad de hacerlo, escuchando sus opiniones al respecto y dejando constancia de su forma de pensar durante los minutos que faltaban para entrar a impartir la primera clase del día. Desde luego, no se privaba de charlar y comentar

con los profesores los temas más

candentes del instituto, en especial de los que afectaban o derivaban hacia el Departamento de Matemáticas del que él era el jefe. Así continuaba hasta que oía el timbre, la llamada, para

entrar

clase;

entonces

Sala

Profesores

prácticamente se vaciaba, quedando en ella solo los profesores que a esa hora tenían guardia, porque ellos tenían que esperar unos cuantos minutos antes de recorrer por los pasillos todo el centro y, comprobar que el orden imperaba en el mismo porque, en caso contrario, tenían que echar una mano donde hiciera falta. Ahora, retrocediendo en el tiempo, proyectaremos un foco

luz,

aclaratorio,

sobre

figura

del

profesor

DIGARCAS, indagando y recorriendo, sin pretender ser exhaustivos el proceso, preferentemente matemático y escolar, llevado por él hasta alcanzar la posición que actualmente ocupaba. Por lo pronto les hablaremos de los inicios y amaneceres de sus estudios primarios en Elche, su ciudad natal, en una escuela unitaria, que como todas las de su época comulgaba con una visión “agónica” de la enseñanza, provista de unos métodos pedagógicos decimonónicos emparentados a más no

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA poder con aquel esperpéntico y populachero dicho de que, “las letras con sangre entran”. El maestro que lo instruía, aunque era una persona abnegada

voluntariosa,

estaba

desprovisto

del

despotismo que caracterizaba a prácticamente todos los docentes de aquellos tiempos. Enarbolaba, por ejemplo, con singular destreza su hacha de guerra, su prismática regla con aristas metálicamente reforzadas con la que lograba sembrar el pánico entre todos sus alumnos, especialmente, entre los más díscolos. Por ejemplo, era tan tiránico el trato que les daba, a todos los que acudían a su escuela los sábados, que era el día en que él explicaba los números romanos, que hasta el que más tarde seguiría la senda de los muchos matemáticos que en el mundo han sido, como era el caso del pequeño DIGARCAS,

evitaba

personarse

ese

día

montándose una estrategia y vieja treta que

colegio, consistía,

simplemente, en apoyarse en el punto flaco que suelen tener bastantes madres, como es el de proteger a sus hijos en demasía, llegando a extremos ridículos como es, por ejemplo, creerse que un niño puede estar tan profundamente dormido que no hay quien lo despierte, de modo que si éste finge estar dormido hasta los tuétanos ellas, ingenuamente, sin previo análisis de la situación, pueden llegar a pensar que el niño está agotado por todo lo que ha hecho en días anteriores y necesita imperiosamente, como válvula de escape, el descanso extra

que

está

tomando,

sin

“saberlo”

él,

con

contundente amodorramiento en que está sumido. Y es que estas madres están más adormecidas que sus propios hijos, pues no se dan cuenta, ni por asomo, de que la situación que están viviendo puede ser bastante diferente de 25

DIego GARcía CAStaño

lo que ellas piensan, porque estando su hijo más fuerte que un roble intente, por motivos quizás justificables, escabullirse de ir, por ejemplo, un cierto día a la escuela, y se monte, como hacía

pequeño

DIGARCAS,

plan

diseñado

con

“sapiencia” para que a su progenitora le sonaran lejos sus tiros, o sea, para que no se enterara del entrampillado que él le estaba tendiendo con tal de salirse con la suya, que es lo que hacía DIGARCAS, los sábados. Y él lo hacía porque sabía que su madre no le exigiría ir al colegio a deshoras, por lo que no se levantaba hasta no oír las diez campanadas del reloj, momento en que se redimía del martirio de tener que estar fingiendo en la cama que estaba durmiendo, con tal de salir airoso de la trama que había montado. Para afianzar con más firmeza aún el éxito de su estrategia, no se privaba de aprovechar la primera ocasión, en que

veía

madre,

para

lamentarse,

“condolido

compungido”, por no haberse despertado a tiempo para ir al colegio con lo mucho que le interesaba todo eso de los números romanos. La farsa terminaba cuando nada más pasar unos minutos su “disgusto” se extinguía y, olvidándose de cautelas, cortapisas y disimulos, se pasaba la mañana sabatina a lo grande, disfrutando, por ejemplo, leyendo el libro de las Mil Mejores Poesías, haciendo lo que le venía en gana o simplemente

entretenía

ensimismado

sus

pensamientos. No obstante lo dicho y, a pesar de tener que soportar una

enseñanza

tan

dirigida

maniatada,

pequeño

DIGARCAS aprovechaba el tiempo, aprendió perfectamente las cuatro operaciones básicas, o sea, a sumar, restar, multiplicar y dividir, con números naturales, enteros y positivos, y decimales, con cualquier número de cifras. Cantaba a coro 26

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA con sus compañeros las tablas de multiplicar y, si al multiplicar, por ejemplo, 21.215 x 417 le salía 8.846.755 que estaba mal, y él lo sabía porque se lo indicaba la prueba del nueve que también haría el maestro cuando se la corrigiese, ni corto ni perezoso, cambiaba, por ejemplo, el 4 de dicho resultado por el 3 y ponía que el producto daba 8.836.755, que aunque estaba peor que el resultado que le había dado al multiplicar, porque se alejaba más del resultado correcto que era 8.846.655, sin embargo, pasaría sin inconvenientes la prueba del nueve que realizaría su maestro. Y es que él, aunque no fuera consciente de ello, tenía cierta complicidad conspirativa con la Matemática. Por eso era capaz de hacer esos tejemanejes, esos interesados

cambalaches,

porque

olfato

matemático

funcionaba y se daba cuenta, sin que nadie se lo dijera, del alcance de la prueba del nueve, porque entre pícaro y pensador que era, en sus cálculos había notado que si el resultado de la multiplicación era el correcto la prueba del nueve salía bien, pero que podía salirle del mismo modo bien, en muchos otros casos en la que el resultado no fuera el correcto ya que él había comprobado, por ejemplo, que si tenía el resultado bueno y, a partir de él, tomaba otra ordenación de las cifras de dicho número, aunque ésta no fuera ya lo que tenía que salir, sin embargo, la prueba del nueve seguía verificándose, es decir, era capaz de pergeñar, por sí mismo, que en la prueba del nueve era necesario pero no suficiente que se verificara para poder asegurar que la multiplicación estaba bien. Así pues, su gusto por la Matemática, empezaba a darle los primeros frutos sacándole de algunos apuros. No obstante lo dicho, aunque fuera la Matemática la materia que más le atraía, sin embargo, todo lo que le enseñaban en la escuela lo agradecía, por ejemplo, en 27

DIego GARcía CAStaño

Geografía se sabía de corrido los ríos de España: Miño, Duero, Tajo, Guadiana, Guadalquivir, Ebro, Júcar y Segura; Las provincias de cada una de las regiones de nuestro país, por ejemplo, que las de Castilla la Vieja eran: Santander, Burgos, Logroño, Soria, Segovia y Ávila, que el pico más alto de los Pirineos era el Aneto con sus 3.404 metros de altura, recordaba, también, los nombres de las cordilleras y cabos de nuestro país y los diferentes mares y océanos del planeta Tierra. Le encantaba la Historia, alucinaba con lo que hicieron en los siglos XV y XVI los navegantes, tanto portugueses como españoles, le maravillaban los avances hacia el Índico de los portugueses desde el cabo Borjador por el cabo de Buena Esperanza, y la de los españoles con los descubrimientos de América, por Cristóbal Colón, y el estrecho de Magallanes por intrépidos navegantes como Magallanes y Elcano en su intento de llegar a las Indias Orientales y darle la vuelta por mar a la Tierra, en la que Magallanes perdió la vida en Filipinas y Juan Sebastián Elcano se llenó de gloria, aunque al final estuviera rodeado solamente por unos cuantos supervivientes ya que la mayoría, de los que con él salieron, perecieron en el intento. También le entusiasmaba la Historia Sagrada por los preciosos dibujos, a todo color, que él hacía de la Sagrada Familia, de temas de las parábolas en las que se apoyaba Jesús, en su vida pública, al dirigirse a la gente y de algunos pasajes bíblicos. Con todo este fondo doctrinal y el catecismo que aprendió de memoria, estuvo listo para realizar su primera comunión en la Iglesia de Santa María de Elche que posteriormente festejaría, con todos sus compañeros y su maestro, con un chocolatada y bollos en la Escuela Pública

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA más cercana a dicha iglesia y, en la que su futura esposa Maru estudió en su infancia. Practicó, como antes se hacía, la Caligrafía y la reforma de letra, la gótica, la vertical y otras muchas. En cuanto a las Ciencias Naturales, se

organizaban de

vez

cuando

excursiones a los montes, de las afueras de Elche, por el pantano, carrús y “llimeta”, para recoger y coleccionar minerales y clasificar alguna de las plantas que en ellos crecían, como era el caso del tomillo, cantueso y romero. Reproducía también en sus dibujos láminas sobre el cuerpo humano. En aquella enseñanza que recibió, ni peor ni mejor que otras muchas, él fue siempre hacia adelante aunque, como es lógico, viviera momentos buenos y malos, ilusionantes y tristes, estelares y anodinos, que terminaron de golpe cuando sus padres decidieron enviarle al Colegio de los Jesuitas en Orihuela, a unos 30Km. de Elche, o sea al colegio de Santo Domingo, que para muchos ciudadanos era el mejor centro docente de Bachillerato que había en la provincia de Alicante y que contaba con las mismas dependencias que antaño tuviera la Universidad que hubo en dicha ciudad. Él, que era disciplinado, aceptó de lleno la decisión de sus padres, porque añoraba ver otro mundo y, estar interno en dicho colegio le permitiría convivir con nuevos compañeros, participar de otras historias distintas a las de su pueblo, aprender con profesores expertos, licenciados, en distintas ramas del saber, pudiendo beber en fuentes de cultura más sublimes, de mayor prestigio en las Ciencias y las Letras. Como el cambio tendría lugar en la última decena de septiembre,

disponía

aún

para

preparar

sus

cosas

prácticamente de un margen de tres meses para incorporarse 29

DIego GARcía CAStaño

a su nuevo hábitat, no obstante había cuestiones que podría ir resolviendo, como era la de las botas de fútbol que llevaría su tiempo hacerlas porque, aprovechando el hecho de que en su ciudad existían innumerables fábricas de calzado, quería que se las hicieran a medida, para que se ajustaran perfectamente a sus pies; dejando para más tarde, porque no habría pega alguna, todo lo relativo a la ropa que tenía que llevarse,

chaquetas,

camisas,

camisetas,

pantalones,

calzoncillos, calcetines, zapatos y zapatillas; y, para los últimos días todo lo relativo al aseo personal, peine, cepillo y pasta de dientes, gomina, colonia y lo que le hiciera falta y le permitiera

llevar

dirección

del

centro

productos

perecederos, como mantequilla, mermelada u otros productos para consumir en el desayuno. Para él, la entrada en el colegio, en 1942, a las 16:30 del día 21 de septiembre, día del Equinoccio de Otoño, fue crucial y extraordinaria, nada más sobrepasar el portal del colegio lo atendieron en Recepción, con toda clase de detalles y deferencias. Allí le dieron todos los datos que necesitaba para desenvolverse con propiedad por el recinto docente, todas las “coordenadas” de los puntos neurálgicos del mismo, de forma muy especial, las de los lugares que le afectaban directamente a él como nuevo “huésped” colegial del centro, o sea, le indicaron donde estaba la 4ª Brigada a la que iba destinado, al igual que la habitación, cama, y el pequeño ropero que le correspondían y donde se encontraba el comedor, la capilla o las duchas, además le dijeron que a las 20 horas tendría que formar en la Sala de Estudios de la 4ª Brigada en rigurosa fila de a uno, para bajar al comedor a cenar a las 20:15. Nada más abandonar la portería del colegio, donde le habían atendido en Recepción, franqueó la puerta que daba paso a las diferentes dependencias propiamente dichas del 30

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA recinto escolar. Lo primero que vieron sus ojos fue la recoleta fuente

central

jardín,

rodeado

claustro

rectangular, sostenido por grandes columnas por el que él ya había iniciado su lento caminar, fijándose en todo lo que le rodeaba, después giraría hacia la izquierda hasta alcanzar una suntuosa escalinata situada, ahora, a su derecha por la que, cargado con su inseparable maleta, subió hasta la primera planta. Se adentró por el pasillo-corredor de la izquierda, larguísimo por cierto, hasta encontrar el rótulo “Sala de estudios de la 4ª Brigada” que buscaba, entró a la misma como le habían indicado que hiciera y la atravesó de cabo a rabo, y, cuando abrió la puerta del fondo se quedó estupefacto mientras su mente que volaba rauda y veloz, recordó el cuento de Blancanieves y los siete enanitos, pues ante sí tenía un dormitorio interminable, ¡impresionante!, en forma de ele con un tramo tan largo como la banda lateral de un campo de fútbol y el otro de longitud no inferior al ancho de un terreno de juego, poblado por camitas a ambos lados y estrechos pasillos entre las camas contiguas que enfrontaban con unos pequeños roperos con sus correspondientes espejos. La verdad es que la situación de su cama le encantó por estar cerca de la sala de estudios, pues era la sexta de la derecha si se entraba por donde él lo había hecho. Como él le sacaba punta al lápiz aunque no tuviera sacapuntas, y también estaba satisfecho del número de colegial que le habían dado, que era el 347, no es extraño que al enterarse del mismo a través de una carta que el colegio le envió a su casa, le comentara a su madre que, “dicho número era bonito y tenía su sentido porque la verdad es que 3 y 4 son 7, ¿o no, madre?” ésta, algo perpleja por la triquiñuela del pensamiento filial que no esperaba, simplemente, esbozó una breve sonrisa, a modo de extraña mueca. 31

DIego GARcía CAStaño

Para él el día que estaba viviendo, el del ingreso en el colegio de los Jesuitas era excepcional, como ya hemos dicho, máxime cuando se encontraba ya en su habitación al lado de la cama que le habían asignado. Por eso con decisión abrió la maleta en el pasillo central del dormitorio, sin molestar a los que por allí pasaban, y también la del ropero y, poco a poco, fue emparejando en este último lo mejor que pudo todo lo que traía, como hacían otros muchos alumnos novatos que deambulaban por el dormitorio realizando tareas análogas a las que él estaba haciendo. Con la alegría de haberse librado de la engorrosa y pesada

maleta con todos sus bártulos, el mundo que le

ocupaba en esos momentos, el de sus cosas, se le quedaba pequeño y quiso ensancharlo viendo todo lo que le quedaba aún por ver del colegio que era mucho. En esta ansiosa vorágine por descubrir lo desconocido bajó de nuevo al claustro, por el que había accedido a las dependencias interiores del colegio, abrió la primera puerta que encontró y comprobó que el gran salón, al que acababa de entrar, era la antesala del comedor, al que le echó un vistazo a través de los cristales de la puerta de entrada al mismo, que estaba cerrada. El comedor no era demasiado ancho, tenía dos filas de mesas de albañilería, que tampoco eran muy amplias aunque sí eran bastante largas, con un pasillo central no demasiado espaciado aunque tampoco podría tildarse de estrecho. Salió de nuevo al claustro, recorrió unos cuantos metros y cuando se disponía a girar hacia la derecha, por el pasadizo que tenía ante sí, atraído por una puerta rústica monacal, como de convento, que había al fondo prosiguió su andadura por el claustro y abriéndola pudo contemplar la hermosa y amplia iglesia que, a modo de capilla, utilizaban los residentes 32

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA del colegio, alumnos y profesores, aunque estaba a ciertas horas y días abierta al culto para la gente de la “calle” que, por ejemplo, asistía en ella a misa los domingos. Esta iglesia tenía una gran portalada a la calle, muy próxima a la puerta por la que había accedido, el pequeño DIGARCAS, a la Recepción del colegio. Satisfecha su curiosidad, volvió al claustro. Avanzó hasta el pasadizo que había visto, lo traspasó y pudo entrar en un gran patio con sendas porterías de fútbol en sus extremos. Su interés por lo que veía se incrementó varios grados al comprobar, por los letreros que habían en las dos puertas que existían en la pared de enfrente, que era, ni más ni menos, el espacio donde podría practicar el fútbol que tanto le gustaba, ya que dichas puertas eran, respectivamente, las de entrada a las aulas donde se daban las clases de Ingreso, que eran precisamente a las que él asistiría, y las de Primero de Bachillerato. En este campo de deportes jugaría al fútbol, o a otros juegos, con sus compañeros de clase en los dos recreos que tendría todos los días uno de ellos, por la mañana, de 11 a 11:30, y el otro, por la tarde, de 18 a 18:30; y recibiría sus clases en el aula que le correspondía de 9 a 11, de 11:30 a 12:30 y, de 16 a 18. Las horas de estudios vigilados en la Sala de Estudios de la 4ª Brigada serían de 8:30 a 9, de 12:30 a 14, hora en la que en perfecta formación, en rigurosa fila de a uno, se dirigiría desde la Sala de Estudios al comedor; de 18:30 a 20 horas, en que se repetiría su marcha hacia el comedor para cenar, y de 20:45 a 22, hora en la que se iría a dormir. Continuó escrudiñando con todo detenimiento el colegio y, tras pasar por el pequeño callejón que separaba las aulas 33

DIego GARcía CAStaño

de Ingreso y 1º de Bachillerato, llegó a los campos de deportes de la 3ª Brigada. Le chocó el hecho de que una de las dos porterías tuviera red, cuando todas las demás que había visto no la tenían y pensó, que era lo suyo, que sería porque al distar poco más de tres metros del peñasco rocoso del monte que descendía verticalmente, a plomo, sobre dicho patio, podría crear discusiones entre los jugadores que al chutar, sobre esa portería, como el balón rebotaría en el muro rocoso y volvería de forma casi instantánea de nuevo al terreno de juego, dijeran que había sido gol cuando no lo era. Este recinto, normalmente, para los alumnos de 2º y 3º de Bachillerato, era francamente espacioso. Bordeando la falda de la sierra, que por la parte norte marcaba los lindes del colegio, llegó a los campos de deportes de la 2ª Brigada, o sea, al de los alumnos de 4º y 5º, y de la 1ª Brigada, que era el de los mayores del colegio, el de los de 6º y 7º. Al

pequeño

esparcimientos

DIGARCAS, ambas

pareció

Brigadas

estaban

que

estos

demasiado

cercanos el uno del otro. Como se habrá dado cuenta el lector, el Bachillerato en aquella época, o sea, en la década de los cuarenta del siglo XX, tenía

siete cursos, además del Ingreso en el mismo, y

como culmen para obtener el título había que aprobar el Examen de Estado en la Universidad. Continuó

recorrido

por

patio

grandes

dimensiones, que era en el que se hacían las celebraciones más destacadas del centro, o sea, los actos más carismáticos y protocolarios

del

colegio,

aunque

veces,

actos

multitudinarios con presencia de familiares de los colegiales se trasladaba, con todo su boato y parafernalia, al suntuoso 34

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA escenario del Teatro Circo de Orihuela, cerca del cual discurren las aguas del Río Segura y, a no mucha distancia de él, se encuentra el señorial Casino de esta ciudad. Analizando la enseñanza en sí que impartía el centro y la

adaptación

misma

del

pequeño

DIGARCAS,

destacaremos que muchos días las clases en el Colegio Santo Domingo eran muy activas, pues en muchas asignaturas los alumnos permanecían en pie en fila india, uno detrás de otro, durante largos trechos de la clase, intentando desbancar cada uno a los que tenía delante, pues si el profesor le hacía una pregunta al que ocupaba, por ejemplo, el séptimo lugar y este no daba la contestación correcta, entonces si el de la posición octava la respondía bien, intercambiaban sus puestos, y si el octavo no la sabía tampoco y la acertaba el que se encontraba en novena posición, éste pasaba a ocupar el séptimo lugar, retrocediendo respectivamente una posición cada uno de los dos que antes le precedían. Éste método no tenemos que esforzarnos demasiado para que el lector se de cuenta que, para los alumnos, era de una motivación delirante que les hacía estudiar una enormidad. Competitivo, sí que lo era y mucho, al igual que lo es la vida, normal y corriente. Todas las asignaturas tenían pasajes, capítulos, que se adaptaban como anillo al dedo a éste método docente, por ejemplo, los verbos en Lengua, daban un gran juego para hacer preguntas como, ¿cuál es la segunda persona del plural del futuro imperfecto de indicativo del verbo romper? ¡Y la fila enardecía!, porque casi todos sabían que la respuesta correcta era: “vosotros romperéis”. Los símbolos en Química, permitían hacer preguntas como, ¿cuál es el símbolo del manganeso? Si al que le

DIego GARcía CAStaño

preguntaba el profesor decía, por ejemplo, “ma” y el siguiente contestaba “mn”, cambiaban entre sí sus posiciones. En Geografía habían mil y una preguntas para hacer, sobre capitales de diferentes países, ríos, montes, cabos, por ejemplo, preguntas como ¿dónde nace el Río de la Plata? Podía dar la oportunidad al número 22, por decir un número cualquiera, de ponerse el primero de la fila, porque se da el caso en esta ocasión que la contestación correcta es bastante inesperada ya que, “no nace en parte alguna” pues este río pone solo su cuenca, porque los que se la llenan son esos dos grandes ríos llamados Uruguay y Paraná, que acaban mezclando sus aguas con las del Océano Atlántico. En Historia también abundaban las preguntas a realizar, por ejemplo, ¿Quién fue el que descubrió Brasil? Y si al que se le preguntaba contestaba, por ejemplo, Américo Vespucio y el siguiente decía Cabral, intercambiaban ipso facto sus posiciones en la fila. En matemáticas, el pequeño DIGARCAS, ocupaba siempre una de las primeras posiciones, sus razonamientos fijaban sobremanera los conceptos matemáticos, él recordaba perfectamente, por ejemplo, que la hectárea, tan empleada en agrimensura, tenía 10.000 m2, y como sabía que la hectárea, por su prefijo, tenía 100 áreas, deducía que un área equivalía a100 m2 al igual que la centiárea, la centésima parte del área, era 1m2. Por eso cuando el profesor le preguntó al primero de la fila ¿cuántas centiáreas tenía 1 Km 2?, y no lo supo, igual que le aconteció al segundo y él, o sea, DIGARCAS, que estaba el tercero dijo que tenía 1.000.000 de centiáreas, pasó a encabezar la fila. Y es, que él sabía perfectamente que un Km 2 se podía cuadricular en 1.000 filas y 1.000 columnas de cuadrados de lado 1m, o sea de área 1m 2, y que, por lo tanto

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA 1Km2 = (1.000 x 1.000) m2 = 1.000.000 m2 = 1.000.000 de centiáreas. Otra vez que el profesor preguntó, si era lo mismo “medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado”, famoso, llamémosle, chascarrillo comentado ya en toda España por las discusiones que siempre ha provocado, y ninguno de los cinco que le precedían dio la respuesta correcta, él contestó con firmeza que “sí que eran iguales” y adelantó en la fila a los cinco. La respuesta de DIGARCAS, tuvo réplicas apasionadas, como era de esperar por lo ya comentado, por parte de los que decían que la mitad de un metro cuadrado, era el doble de medio metro cuadrado, por lo que tuvo que emplearse a fondo el profesor para que vieran que lo que había contestado DIGARCAS, era lo correcto, porque el error de lo que defendían algunos estaba en que pensaban que si 1m 2 era el área de un cuadrado de lado 1 m., el ½ m2 sería el área de un cuadrado de ½ m. de lado, y eso no es así porque, ½ m. x ½ m. = ¼ m2. Además, para convencer a los que, a pesar de estar tan claro el razonamiento, aún no lo entendían, les dijo, si es lo mismo media manzana que la mitad de una manzana, medio queso que la mitad de un queso ¿porqué iba a ser distinto medio metro cuadrado que la mitad de un metro cuadrado? Y es que media cosa, de lo que sea, siempre es igual a la mitad de esa cosa. Este ejemplo dijo, es ilustrativo de que a veces los conceptos no se asimilan bien y vale de poco haber tenido la oportunidad de verlos, porque cualquiera, sin haber estudiado el Sistema Métrico Decimal podría haber contestado esta pregunta bien y, es inconcebible, raro al menos, que gente que lo conoce tergiverse el Sistema Métrico Decimal y, ¡de qué manera! Al donaire de lo que estamos diciendo, haremos un pequeño comentario sobre la ágil forma de pensar sobre áreas 37

DIego GARcía CAStaño

del ya mozalbete DIGARCAS. Por ejemplo, él sabía, igual que el lector, sin utilizar fórmula alguna, que si un rectángulo tenía 2 filas de 7 cuadrados de 1cm. de lado, su área era 14 cm2, por lo que no es nada extraño que entendiera o sacara, que el área de un rectángulo era lado por lado, y en el caso de que fuera un cuadrado lado2. Sin embargo, lo más meritorio era que también tenía la capacidad suficiente, sin dibujo de ninguna clase, (aunque el lector pueda dibujársela si no se aclara), de configurar en su mente un rectángulo, desplazar el lado superior, arrastrando toda la figura, a lo largo de la recta que lo contiene dándose cuenta que, el paralelogramo resultante tenía la misma área que el rectángulo, porque el primer triángulo que inicialmente perdía el paralelogramo lo recuperaba al final, aunque ya no fuera la fórmula del área de éste lado por lado, como en el caso del rectángulo, sino base por altura. También tenía que si a un triángulo se le agregaba el triángulo que resultaba al girarlo 180º, alrededor del punto medio de uno de sus lados, se obtenía un paralelogramo cuya área, como él sabía era base por altura, siendo dicha base y su altura las mismas que la del triángulo dado, que el lector puede, si lo cree conveniente, dibujar, aunque DIGARCAS no necesitara

hacerlo, y como veía de esta forma que el

paralelogramo estaba compuesto por dos triángulos de la misma área, DIGARCAS averiguaba mentalmente que el área del triángulo era base por altura partido por dos. Lo mismo hacía con el trapecio, porque agregándole el que salía al girarlo 180º alrededor del punto medio de uno de los dos lados no paralelos, que tenía la misma área que el dado obtenía un paralelogramo, de base la suma de las dos bases del trapecio y altura la misma que éste, por lo que

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA hallaba que “el área del trapecio era igual a la semisuma de las bases por la altura”. Por otro lado, como todos sabemos, una semirrecta tiene principio, origen, pero no tiene fin y, un ángulo es la porción de plano limitado por dos semirrectas que tienen sus orígenes coincidentes. De esta definición de ángulo deducía algo, por raro que parezca, en lo que no repara prácticamente ningún estudiante, o sea, que el área de cualquier ángulo, por pequeño que sea, es siempre infinita, y que, por eso, en los ángulos no sirve para nada hablar de áreas si lo que se quiere es ver que un ángulo es mayor, igual o menor que otro, cuestión ésta que no pasa, por ejemplo, en el caso de los polígonos, que el que tiene más área es más grande. Por eso en los ángulos nunca se habla de áreas sino de aberturas de los mismos, bien sea en unidades o grados sexagesimales, grados centesimales o en radianes. DIGARCAS, tenía una idea clara de estas unidades, como todo estudiante tiene de los grados sexagesimales y centesimales y algo más que muchos de ellos de los radianes, él sabía que la abertura de un ángulo era de 1radián, cuando trazando con centro el vértice del ángulo una circunferencia cualquiera, de radio r, ésta delimitaba entre los lados del ángulo, o sea, entre las dos semirrectas que lo definen, un arco de longitud r. Así pues, si el arco tenía de longitud 2,15 veces r, la abertura del ángulo en radianes era 2,15. De esta forma, DIGARCAS, sabía que “si el ángulo central en radianes abarcaba un cierto arco, la longitud del mismo se hallaba multiplicando dicho ángulo por r”. Cuando se enteró que el número π indicaba las veces que la longitud de la circunferencia contenía a su diámetro 2r, escribió π=longitud circunferencia/2r, y multiplicando ambos 39

DIego GARcía CAStaño

miembros por 2r sacó de inmediato que la “longitud de la circunferencia=2πr”; de donde dedujo, apoyándose en que

“longitud del arco=ángulo en radianes por el r”, que el ángulo completo, el de 360º sexagesimales, o sea, el de 400 g centesimales era de 2π radianes. Con lo que podía convertir entre sí estas tres clases de unidades, por ejemplo, cuando viniera αsex. en grados sexagesimales, podría pasarlo a grados centesimales αcen.= αsex. . 400/360= αsex. . 10/9. y si αrad. Lo tuviera en radianes, lo podría pasar a sexagesimales de la siguiente forma: αsex.= αrad. 360/(2π)= αrad. 180/π. Y con razonamientos análogos podría hacerlo en los demás casos. Además, con el ingenio que tenía, pensó que el área del sector, en el caso de que se tomara por base el arco del mismo, podría hallarse considerando dicho sector como si fuera un triángulo, o sea, como la mitad de la base, o sea, del arco, por la altura, es decir, el radio, por lo que encontró que “área sector circular=α.r.r/2=α.r2/2, (estando α expresado, como ya hemos dicho, en radianes), que como sabe el lector es la correcta. Con esto, aplicando el área del sector circular al círculo como sector circular de abertura α=2π radianes, obtuvo “área del círculo= α.r2/2=2πr2/2=πr2. Por todo lo dicho, no tiene nada de extraño, que al finalizar declarado

Ingreso Apto.

Bachillerato,

Téngase

cuenta

DIGARCAS, que

las

fuera únicas

calificaciones que existían para dichas pruebas eran las de Apto y No Apto. No obstante, todo hay que decirlo, pues la verdad es que se llevó, una gran sorpresa cuando en el solemne acto de final de curso, al igual que otros muchos de sus compañeros, tuvo que subir al escenario del grandioso Teatro Circo orcelitano, donde le impusieron una banda honorífica en Música y Solfeo. 40

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Acabaremos este primer capítulo con una breve reseña, sin pararnos demasiado en la misma, de las excursiones que hizo, DIGARCAS, a lo largo del curso académico de Ingreso de Bachillerato en el colegio de Santo Domingo. La primera excursión, que por cierto fue bastante corta, la inició nada más comer en el colegio. Junto con todos los que cursaban el Ingreso de bachillerato, marchó a una finca de naranjos del término municipal de Orihuela, propiedad del padre de uno de sus compañeros. Allí pasaron la tarde, fueron espléndidamente obsequiados por los propietarios con una gran merienda, jugaron al fútbol en un terreno plano y sin árboles, comieron naranjas recién cogidas de los árboles y cantaron a diestro y siniestro pasándolo “pipa”, como calificaron algunos la excursión que acababan de realizar. Fue un cambio de aires, un oxigenarse, que todos, alumnos y profesores, agradecieron. En la segunda excursión pasaron todo el día en Santa Pola. En esta ciudad se aposentaron junto al mar en unos pequeños chalés propiedad también de los padres de algunos alumnos que estaban alineados en una primera fila de la costa, desde el final del casco urbano de dicha población hasta prácticamente la actual Gran Playa, concretamente hasta el Cequión, en el que por aquella época existía una gran noria que sacaba agua del mar para rebalsar las superficies acuosas de las famosas salinas de esta villa marinera. DIGARCAS fue, en esta ocasión, uno de los más privilegiados al recibir la visita de sus padres, que habiéndose enterado de la excursión que iba a realizar su hijo a Santa Pola, se desplazaron desde Elche, que dista de la misma unos 14 Km., para ver, charlar, abrazar y departir con él el tiempo que les dejaran y fuera posible. Fue un día de Sol y playa, de 41

DIego GARcía CAStaño

convivencia

mutua

entre

todos

los

que

allí

estaban.

DIGARCAS además de estar con sus padres, jugó y se divirtió, por supuesto, de lo lindo con sus compañeros. A nadie se le antojó bañarse porque, además de que en el mes de marzo la temperatura del agua del mar no era la más apropiada para darse un chapuzón, lo tenían taxativamente prohibido por los profesores que les acompañaban. Después de despedirse de sus padres aún permaneció dos horas en Santa Pola, visitando el puerto, el centro y el comercio de esta ciudad, hasta que llegó el instante de regresar a Orihuela. Su paso por Elche, fue cuando empezaba ya a anochecer, o sea, cuando las palmeras estaban ya sumidas en la penumbra. Lo cierto es que esa noche la durmió de un tirón, como un tronco como suele decirse, por la constante brega, interés y desparpajo que puso en sus juegos, charloteos y emociones durante todo el día en Santa Pola. También estuvo de excursión todo un día en la Virgen de la Fuensanta, cuyo enclave está prácticamente en la misma ciudad de Murcia. El autobús salió de la misma puerta del colegio, en dirección este, y nada más rebasar, a los pocos metros, el pétreo arco de salida de la calle giró a la izquierda marchando por la carretera de acceso a Orihuela hasta el cruce con la carretera general Alicante-Murcia. Mientras el autobús giraba de nuevo a la izquierda en sentido hacia Murcia, DIGARCAS, al divisar a través de la ventanilla, en todo lo alto del monte, la erguida y grandiosa Cruz de la Muela, que ennoblece el entorno, recordó el día que subió a la cima buscando mientras lo hacía minerales, sobre todo cuarzo, que era el que más abundaba por aquellos lares. El autobús, impertérrito, erre que erre, subió hasta lo más alto de la larga cuesta de la ladera sur de la Cruz de la Muela,

que

culminaba

con 42

recoleto

mirador,

que

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA sorprendía a los que por allí pasaban y se detenían, contemplando el bello paisaje que desde el mismo se veía: un extenso huerto de palmeras que se desparramaba por la derecha y se extendía prácticamente hasta el mismo colegio de Santo Domingo. Después del descenso y de recorrer algunos kilómetros más, pasaron por debajo de la enorme e impresionante tubería canalizada del trasvase Tajo-Segura, y como media hora más tarde, desde el autobús comenzó a verse, por fin, la grandiosa estatua del Creador en lo alto de Monteagudo, que era la señal que indicaba a los excursionistas que estaban llegando a Murcia. Atravesaron la capital murciana y después de callejear unos cuantos minutos por la misma, enfocaron la calle-carretera que asciende el montículo que alberga la Iglesia de la Virgen de la Fuensanta, con rellanos extensos rodeados de arbustos, pinos y una variada y frondosa vegetación. Lo primero que hicieron algunos, nada más bajar de los autobuses, fue entrar en el recinto sagrado y postrarse ante la venerada imagen de la Virgen de la Fuensanta, DIGARCAS, por ejemplo, compró unas cuantas postales de recuerdo y un rosario para su madre. Poco a poco fueron saliendo del templo, unos se dirigieron balón en mano al mejor rellano de la zona, y empezaron a jugar al fútbol, enfrentándose una selección de alumnos murcianos contra otra de alicantinos, después de marcar con piedras las porterías. El resultado, después de una hora de juego, fue de 5-3 a favor de los murcianos. Los encargados de hacer la comida, una paella con conejo y pollo, empezaron a limpiar la zona de los fogones y acondicionarla para cuando tuvieran que bajar del autobús los ingredientes que traían semi-preparados del colegio. 43

DIego GARcía CAStaño

Muchos alumnos paseaban por sendas pre-señaladas entre los matorrales o bajo las sombras de los pinos. Algunos leían y había grupos que charlaban entre ellos, algunos de forma

perezosa

sosegada

caminaban,

hacía

puntos

concretos que quizás conocieran por ser de aquella zona. Después de unas cuantas horas la gente se fue agrupando atraída, quizás por su olfato y apetito, y se arremolinaba cerca de los fogones y de las mesas que ya estaban preparadas, con sus platos plastificados, vasos de cartoné y cubiertos de plástico duro. Justo a las dos y media se

inició

comida,

una

sabrosa

rica

paella

bien

condimentada. Por cierto, que los platos con patatas fritas a la inglesa que “adornaban” las mesas, prácticamente se vaciaron durante la breve bendición de la mesa, con el ir y venir continuo e indisimulado de las manos a las patatas, a pesar de las severas miradas de los profesores hacia los alumnos más próximos que se las comían. Después del postre, o sea, de la fruta, melón, manzana o pera, los alumnos en minúsculos grupos se repartieron por el entorno donde estaban los autobuses, unos sentados charlando entre sí, otros tumbados sobre una especie de césped, de “malas” hierbas, que brotaban por doquier. Después, a eso de las 6 de la tarde, vino la revancha del partido de la mañana y cuando al final quedaron 4-2 a favor de los alicantinos e iba a lanzarse la tanda de penaltis, los profesores tocaron el silbato para que se subiera a los autobuses inmediatamente, para regresar a Orihuela. Algunos

dijeron

que

dicha

tanda

penaltis

efectuaría al día siguiente en el colegio, pero la realidad es que como los alumnos eran de varias Brigadas nunca llegaron a lanzarse.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

CAPÍTULO II

ANDAMIAJES Y DECISIONES

DIGARCAS pasó, el verano de 1943, compartiendo con su familia unas largas vacaciones, primero en su ciudad natal de Elche, del 21 al 30 de junio, ultimando los preparativos para su desplazamiento a la ciudad marítima de Santa Pola, a una de las muchas barracas que se alineaban, por cientos, en la zona conocida hoy día con el nombre de Gran

Playa,

escasamente

cinco

metros

del

mar

Mediterráneo, bañándose para paliar los calores de mediodía con su familia, amigos y conocidos, pescando al amanecer o haciendo excursiones matinales, algunos fines de semana, por la orilla del mar hasta las salinas de la Marina o las dunas del Carabasí. Sus quehaceres después de la cena, se reducían a cantar a coro con los vecinos toda clase de canciones, rancheras y melodías de la tierra alicantina, entre ellas las habaneras torrevejenses más famosas, a jugar al parchís, ajedrez, dominó o baraja, con la que pasaba el tiempo jugando

DIego GARcía CAStaño

al siete y medio, a la brisca o haciendo filigranas, pruebas ingeniosas a modo de “trampas”, con la misma. A veces dedicaba un dinero a lanzar con desmedido impulso, pensando que al hacerlo de esta forma, la flecha del artilugio rotatorio del barquillero, se detendría señalando un número mayor de barquillos. También, aunque era de muy tarde en tarde iba al cine de verano en la misma Santa Pola. Así pues, haciendo una vida llamémosla indiana o primitiva, de sana holganza, pasaba todo el mes de julio y los diez primeros días de agosto sin quitarse el bañador en todo el día, descalzo o con sandalias de goma, desde que se levantaba hasta que se iba a la cama a las once de la noche o más tarde, cuando ya la luna, que es la que reinaba en la noche, iluminaba extensas superficies de las mansas aguas de un mar en calma y sumiso, como suele serlo normalmente el Mediterráneo. Este discurrir placentero y beatífico en Santa Pola, de calma chicha y sosiego que disfrutaba DIGARCAS, finalizaba con la llamada implícita, aunque sonora en sentimientos religiosos y festivos arraigados, que significaba para los ilicitanos la Nit de l’Albá, del día 13 de agosto, y las representaciones del Misterio de Elche que los embelesaba, a modo de éxtasis teresiano. Era tan

radical la atracción

ejercida por las mismas que, olvidándose del bañador, de las sandalias y de todo el disfrute y beneplácito veraniego, acudían masivamente, como avispas a un panal, en cuerpo y alma, a su patria chica dejando la playa prácticamente desierta. ¡Así es como demostraban los ciudadanos de Elche la querencia, que sus queridos ancestros les imbuyeron, por sus tradiciones! Contagio puro de unas generaciones amortizadas 48

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA sobre otras que emergían, manantial sublime de fe y esperanza, legado asuncionista mariano con el que los ilicitanos sorprendían a familiares, amigos y conocidos, en fin de cuentas, a todo el mundo, porque presumían de traer a Elche

algunas

personalidades

las

más

célebres,

distinguidas y encumbradas de la nación y alguna que otra foránea, para que vieran el Misterio de Elche y lo expandieran y difundieran por todas partes, dando a conocer con sus escritos la representación sacro-lírica de la ascensión corporal de la madre de Dios, en su advocación de la Virgen de la Asunción, a los cielos. Por esta ciudad pasaban, y lo siguen haciendo, “la flor y nata” de la élite eclesial española, que a veces alcanzaba incluso a altos personajes la deslumbrante curia romana, a los hombres más preclaros

del docto cuerpo de escritores,

nacionales y extranjeros, del momento; los cargos públicos más relevantes y los cantantes de moda, de relumbrón, que actuaban en las galas sociales vespertinas, de alto copete, del Hort de Baix. El día 22 de septiembre, mostrando un rostro morenoaceituna envidiable, reflejo fiel de haber vivido al aire libre, “tostándose” al Sol durante todo el día, marchó a la capital de la Vega Baja, a Orihuela, al Colegio Santo Domingo, donde debía cursar el Primero de Bachillerato. Lo que nunca se esperaba DIGARCAS es que, junto con unos cuantos compañeros más, fuera trasladado a la 3ª Brigada y que por lo tanto tendría, a partir de entonces, nueva sala de estudios, dormiría en una habitación distinta a la del curso anterior, situada en la 2ª planta, donde estaban también las duchas y la enfermería. Su patio de juego, en adelante, sería muchas veces aquél que le llamara tanto la 49

DIego GARcía CAStaño

atención, por lo de la red de la portería próxima a la marmórea “pared” montañosa que descendía vertical, desde lo más alto de la montaña hasta el patio. Así es como inició el nuevo curso, como fue poniendo en su vida los ”andamiajes y decisiones“ para su futuro científico, pues su ilusión por los estudios no decaía, así es que con ánimos redoblados se enfrentó a las asignaturas de Primero de Bachillerato que para él fueron, sin lugar a dudas, de mucho más enjundia que las que le habían impartido sus profesores en el Ingreso de Bachillerato. Él, no obstante se defendió bien en todas ellas, especialmente en las que eran sus preferidas como era el caso de las Matemáticas y la Historia. En la primera, a veces deducía por su cuenta, de forma muy personal y efectiva, las consecuencias más evidentes de todo lo que explicaba el profesor, por lo que se le grababa con fijeza todo lo que éste comentaba en clase, por ejemplo, cuando veía la fracción pensamientos,

para

x/y, él la transportaba con sus

mejor

entenderla,

hechos

reales

considerándola, por ejemplo, como el resultado de lo que le correspondería a cada una de las “y” personas que se repartiesen a partes iguales una finca de “x” hectáreas, y a partir de ahí elevaba su razonamiento para contrastar que si, en una fracción, se multiplicaban el numerador y el denominador por un mismo número, el valor de la fracción no variaba, porque veía claro, con aplastante lógica aristotélica, que si la fracción anterior indicaba la parte de finca que le correspondía a cada uno, en el caso de que las hectáreas fueran, por ejemplo, el triple, 3x, y el número de personas también el triple, 3y, lo que le correspondería a cada una de las personas, 3x/3y, sería lo mismo que antes y escribía, por lo tanto, 3x/3y=x/y, o sea, que cuadraba con lo que decía el 50

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA profesor:

que

una

fracción

varía

multiplicar

numerador y el denominador, por un mismo número. De forma similar razonaba que si se repartiesen la tercera parte de hectáreas entre la tercera parte personas, a cada una le tocaría lo mismo que antes, por lo que era legal dividir el numerador y el denominador por un mismo número, porque como él veía la fracción valía lo mismo. En esta línea de pensamientos y razonamientos veía, por ejemplo, que si se repartían doble número de hectáreas, en nuestro ejemplo 2x hectáreas, manteniendo fijo el número de personas “y”, a cada una le correspondería el doble que antes, por lo que sacaba que (2x)/y= 2(x/y) con lo que comprobaba, (leyendo esta igualdad de derecha a izquierda), que para multiplicar un número por una fracción bastaba multiplicar por dicho número el numerador. Del mismo modo llegó a la conclusión de que para dividir una fracción por un número había que multiplicar el denominador por dicho número ya que x/(2y)= ½ (x/y). Además,

apoyándose

estos

últimos

resultados,

interpretaba que x/y=x(1/y), y entrelazándolo con lo ya dicho escribía cadenas de igualdades como la siguiente, x/y + z/t = xt/yt + zy/ty = xt (1/yt) + zy (1/ty) = (xt+zy)(1/ty)=(xt+zy)/yt {ya que xt veces (1/yt) más zy veces lo mismo, o sea, (1/ty) es, evidentemente igual a (xt + zy) veces (1/ty), según las formas de concebir las cosas DIGARCAS, y que según siguiera avanzando el curso reconocería formalmente como propiedad distributiva del producto respecto a la suma, con lo que él entendía perfectamente lo que afirmaba su profesor, es decir, que para sumar quebrados, lo que había que hacer era sumarle al producto del numerador del primero por el denominador del segundo, el producto del numerador del 51

DIego GARcía CAStaño

segundo por el denominador del primero, dividiendo el resultado obtenido por el producto de los denominadores. Con el tiempo, aprendería a hacerlo, aún mejor, a través del mínimo común múltiplo de los denominadores, que obtendría, si los números eran, más o menos pequeños y con divisores primos también no muy grandes, descomponiendo dichos denominadores en factores primos, y en el caso de no tener divisores, por ejemplo, menores que quinientos, por el método de las divisiones sucesivas o Algoritmo de Euclides. Como (x/y).(z/t) significaba para él, por la visto, que había que multiplicar la fracción z/t por “x” y dividirla por “y”, sacaba que (x/y).(z/t)=(xz)/(yt), o sea, que el producto de dos fracciones daba como resultado otra fracción cuyo numerador era el producto de los numeradores de ambas y, de la misma forma, como denominador el producto de los denominadores. El aprendió a restar fracciones a través de la suma que ya dominaba escribiendo x/y-z/t=x/y+(-z)/t= {xt+y(-z)}/(yt)= (xt-yz)/(yt). De forma análoga para dividir fracciones se apoyó en el producto poniendo que x/y:z/t=x/y.t/z=xt/yz de este modo rentabilizaba las operaciones de sumar y multiplicar. Una vez vista la forma con la que se defendía, en las clases que recibía, en el proyecto estudiantil establecido en el Colegio de Santo Domingo, veamos algo sobre su quehacer diario, sobre cómo se relacionaba con los que lo rodeaban, cómo era su comportamiento y cómo se manejaba en las distintas situaciones que se le presentaban en su entorno en la 3ª Brigada, plagada de alumnos mayores que él de 2º y 3º de Bachillerato. DIGARCAS, que estaba hastiado del estudio de cinco horas del domingo por la tarde, a pesar de que en él se pudieran sacar libros de la pequeña biblioteca que disponía la 52

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA 3ª Brigada, logró que se le nombrara Bibliotecario junto a un alumno de 3º, con ello mataba dos pájaros de un tiro, poder moverse por la Sala de Estudio, como perro por su casa, atendiendo las peticiones de libros de sus compañeros, con lo cual mataba mejor el tiempo, y disponiendo de los libros más sugestivos, sobre todo, de los que tenían más fotografías. Uno de ellos, de un tamaño descomunal y un grosor fuera de lo común estaba solicitadísimo, hasta el extremo que había quejas por parte de algunos alumnos sobre que los dos bibliotecarios eran los acaparadores perpetuos del mismo y que, rara vez, podía tenerlo nadie que no fuera uno de los dos encargados de repartir los libros. Éste libro, era el más deseado de todos para paliar el tedio del domingo por la tarde, por sus espectaculares fotografías alpinas, de los hielos y fauna polares, por las vistas panorámicas de las frondosas y exóticas islas tropicales que en él se insertaban, de deportes acuáticos, ecuestres, etc. Con el tiempo, aunque DIGARCAS ya no estuviera en el colegio, el duro trance del domingo por la tarde, el “infierno” que suponía para muchos el interminable estudio vigilado dominical vigente desapareció, al dotarse el Colegio de Santo Domingo de un salón de actos, en el que los domingos por la tarde se proyectaban dos películas de largometraje. Antes de la venida del cine al colegio la únicas válvulas de escape, de aquel maldito “sinsentido” dominical, del estudio

más

odiado,

tanto

por

DIGARCAS

como

por

cualquiera de los que allí estudiaban, era lograr un permiso para pasar el domingo en casa de sus padres o bien que éstos vinieran a visitarlos y marchasen con ellos a pasear por Orihuela, a conocer la ciudad, o que los padres de alguno de sus compañeros que fueran amigos, conocidos o familiares de

DIego GARcía CAStaño

sus padres lo reclamaran para llevárselo con ellos ese día de asueto. Los dos o tres permisos domingueros trimestrales que le daban a DIGARCAS, para pasar el día en casa de sus padres en Elche siempre los aprovechó al máximo. Se apuntaba en una lista que había en el tablón de anuncios de su dormitorio para que, el llamémosle sereno del colegio, con un farol, a modo de gran linterna, le despertara a las 6:30. Entonces él, con sigilo y destreza en la semioscuridad se vestía sin hacerse notar por sus compañeros que dormían, de modo que a las 7 salía, a veces en compañía de otros paisanos suyos, algunos de ellos primos o conocidos, por la puerta del colegio, pletórico de moral, a tragarse el mundo, hacia la estación del tren, a la que llegaba pasadas las 7:30; sacaba el billete para Elche, se sentaba en uno de los bancos del andén durante escasos minutos, a esperar que llegara el tren, porque a las 7:50 sonaba el portentoso silbato de la locomotora y éste seguía su férrea ruta hacia sus otros puntos de destino. La cuestión es que a las 9 solía estar ya en su casa. Abrazos, besos de bienvenida al estudiante ausente, seguido de un copioso desayuno e intercambio de informaciones o novedades acaecidas desde la última vez que se vieron, a las 11 solía ir a misa a Santa María, a esa mayestática y grandiosa basílica de la Festa y el Misteri, sede y escenario de la representación del mundialmente conocido Misterio de Elche. El día que pasaba en Elche, su ciudad natal como ya hemos dicho, de la que saldría a las 7 de la tarde de regreso a Orihuela con tal de llegar antes de las 9 al colegio, era de una normalidad manifiestamente rutinaria, visitaba a sus abuelos paternos y maternos, a alguno de sus tíos, sobre todo a los más allegados o que vivían más cerca de su casa, jugaba con sus primos o con algunos amigos de su barrio con los que 54

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA casualmente se encontraba. Un dato a reseñar es la forma maternal con la que era sobrealimentado por su progenitora, para que DIGARCAS, según ella, resistiera el futuro “envite” del Colegio de Santo Domingo. Cuando sus padres le visitaban algún domingo, evento que acontecía muy pocas veces, paseaban por el pueblo después de oír misa de 12, en una antigua iglesia que había en la calle-carretera de salida por el noroeste de Orihuela a la carretera general de Alicante-Murcia, próxima en cierto modo, aunque a diferente altura, al Seminario Diocesano de dicha ciudad.

Comían, sobre las 3 de la tarde, en cualquier

merendero que les cogiera al paso a esa hora. La zona más distante a la que llegaban, en su lento caminar, era la del entorno del campo de fútbol de “Los Arcos”, del Orihuela C.F., que estaba por la otra parte del río Segura a la del Teatro Circo o el colegio. Normalmente se sentaban, a charlar y pasar el tiempo, en la terraza de cualquier cafetería del centro de Orihuela, cerca del Casino, del puente sobre el río Segura que está a su lado, del Teatro Circo y de un convento de Monjas, en el que la madre de DIGARCAS se aprovisionaba de pastas y dulces artesanales elaboradas por las propias monjas. A las 7:30 de la tarde era la despedida familiar, sus padres marchaban hacia la estación donde a las 8:15 tomarían el tren que les llevaría a Elche. Él, por su parte, sin prisas, a modo de turista despistado, se dirigía callejeando hacia el colegio y si, en su deambular pasaba, por ejemplo, por la Casa Episcopal, sede del obispado de la diócesis, Orihuela-Alicante, y le sobraba tiempo, igual se paraba y contemplaba extasiado como él hacía a veces y, absorto, admiraba la belleza arquitectónica de la misma. 55

DIego GARcía CAStaño

Antes de las 9, desde luego, él estaba en el colegio. Entraba, eso sí, algo cabizbajo, pensativo, aunque lo cierto es que sus sentimientos irían normalizándose, a partir de entonces, de modo que el lunes, con ánimos renovados, tornaba

trepidante

eficiente

quehacer,

que

caracterizaba en sus estudios. Reseñaremos también, por la novedad que tuvo, el que un domingo, en compañía de la familia de un compañero de Elche, que cursaba 2º de Bachillerato, marchara a la capital murciana, comiendo de “lujo”, según palabras suyas, en un restaurante y viendo una corrida de toros, en la que el primer espada era un tal Barrera de Alicante, eventos éstos del agrado de DIGARCAS por lo poco comunes que le resultaron, pues nunca había estado en un restaurante de tanta categoría ni

una

plaza

toros.

Murcia

impresionó

favorablemente, y al escribir a sus padres les contó con todo detalle los buenos momentos vividos en dicha capital. Pero lo que no se esperaba ni por asomo, DIGARCAS, era el desbarajuste organizativo que se cerniría sobre el Colegio de Santo Domingo, por culpa de una terrible epidemia de gripe, que estaba al llegar y lo catapultaría a casa de sus padres, al igual que haría con cientos de alumnos con los que él convivía a diario, al no poder ser atendidos adecuadamente con los habituales medios y recursos regulares de que disponía este centro docente pensados, como no podía ser de otra forma, para situaciones normales y no perentoriamente catastróficas como era la que se avecinaba. Sin pararnos en detalles superfluos sobre tan dramático escenario, haremos de la forma más simple y breve posible, una

instantánea

del

modo en

que se desarrolló esta

devastadora y cruel gripe, en la que el protagonismo poliédrico de este relato fue compartido por DIGARCAS. 56

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Veamos, mediado el mes de enero de 1944, unos cincuenta

alumnos

del

colegio

Santo

Domingo

contagiaron de una gripe nunca vista en el colegio, que los tumbó en sus camas con fiebres de 39, 40 y hasta 41 de fiebre. Pero esto era la punta del iceberg de la enfermedad, porque lo cierto es que a partir de entonces el imparable contagio fue en aumento, y

muchos de los que con ellos

convivían claudicaban ante la potencia transmisora de la gripe. Fue tan rápido todo que, una semana después del inicio de la misma, la cifra de enfermos superaba los 200, siendo DIGARCAS uno de los afectados. Estuvo en la enfermería con los primeros síntomas de la susodicha gripe que amenazaba a la par a toda la comunidad docente, indefensa ante una situación de emergencia de tal envergadura. Pero, al igual que en otros casos, como su estado empeoraba y la enfermería no daba abasto para atender a los muchos contagios que a diario se producían, la dirección del centro no tuvo más remedio que comunicarles a sus padres, como se venía haciendo de continuo, en una decisión a ultranza por lo inhabitual de la misma, el estado en el que se encontraba su hijo y la conveniencia de que se lo llevaran con ellos, para de este modo poder ser atendido convenientemente, ya que el colegio no podía sacar a flote, como sería su deseo, a todos los alumnos que a diario enfermaban. Los padres de DIGARCAS y los de Antonio Segarra, compañero suyo de curso, que tenían una céntrica platería en Elche y, por lo tanto, era una familia muy conocida en esta población, pronto se movilizaron, y al día siguiente el 23 de enero con un taxi, cuyo carburante obligaba a llevar un descomunal cachumbo acuestas por el retraso energético propio de aquellos tiempos, ambos llegaron a Elche. Fue 57

DIego GARcía CAStaño

triste, muy descorazonador, para DIGARCAS, enterarse a los pocos días de llegar, de la muerte de su compañero Antonio Segarra. A DIGARCAS le impactó sobremanera el estado anímico, de envejecimiento repentino de los padres de su amigo, explicable por el intenso padecimiento de los mismos por el fallecimiento de su hijo. También DIGARCAS tuvo sus problemas, porque una vez restablecido de la gripe pasó lo suyo, se le inflamó la pleura y después tuvo el tránsito amargo de una pulmonía doble, que definitivamente impidió, por la flojera física que se le vino encima, el que pudiera regresar al Colegio Santo Domingo de Orihuela. Además su madre, al traspapelarse una analítica de DIGARCAS con la de otro enfermo de leucemia, vivió unos días de puro agobio con constantes visitas a los mejores médicos de Alicante, como eran José Sánchez San Julián, Antonio Barbero Carnicero o el mismo Carlos Manero, que después de realizar nuevas analíticas rechazaron de plano, todos ellos, el que DIGARCAS tuviera leucemia, llegando a la conclusión de que la analítica que exhibía su madre era de otro enfermo. En Elche fue tratado durante todo el proceso de recuperación de todas sus secuelas de la gripe por el Dr. Carrión. Trasladado pues, su expediente académico al colegio Ntra. Sra. de la Asunción en Elche, que ocupaba los mismos terrenos donde hoy día presta sus servicios La Mutua Ilicitana, junto a la Basílica de Santamaría, poco antes de finalizar el mes de febrero reanudó sus estudios de Primero de Bachillerato. El edificio de este colegio, era el de un viejo caserón, con una gran portalada, en el que nada más entrar a la izquierda 58

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA había una gran aula y una amplia escalinata, con una puerta al fondo por la que se accedía a un patio, donde los alumnos solían jugar al fútbol con una pelota minúscula, tan pequeña como las de jugar al frontón, descabelladamente impropia para practicar el balompié aunque, a decir verdad, habían virtuosos que con una habilidad encomiable, impensable con este tipo de pelota, la levantaban, con lo difícil que resultaba hacerlo, y con magia de por medio realizaban verdaderas filigranas y la enviaban con inusitada fuerza hacia la portería contraria logrando goles, algunos de ellos de sublime factura. Uno, de estos malabaristas, un tal Jaime, fichó por el Deportivo de la Coruña, porque los que le hicieron la prueba de manejo de balón quedaron maravillados, les gustó tanto que lo ficharon de inmediato por un montón de dinero, pero como no era todo oro lo que relucía el aparente astro del fútbol fue todo un fracaso, porque su entrega y lucha en los partidos dejaba mucho que desear, era bastante indolente y desaborida. La escalinata, a la que hemos hecho referencia con anterioridad, conducía a las dependencias

de la primera

planta, en la que nada más acceder a la misma, si se giraba caminando por el pasillo de la derecha se llegaba a un aula, en la que a DIGARCAS le dio clase de Filosofía, el que fuera primer director de este colegio y alcalde de Elche, D. Luis Chorro y Juan; de Literatura D. Antonio Sánchez, al que a DIGARCAS le hubiese gustado verlo en el momento de levantarse de la cama por la mañana, para comprobar si era tan larga, como él suponía, la estrecha mecha o melena de pelo de la cabeza, que tan bien emparejaba su poseedor con gomina

pegándola

forma

círculos

concéntricos,

centrados, tal como él se la distribuía para cubrirse toda su

DIego GARcía CAStaño

“amelonada” cabeza, en el centro de gravedad de su corteza craneal. En esta misma aula le dio clase de Matemáticas, Laustalet, perteneciente a una familia de raigambre en la provincia por ser la concesionaria de la línea de autobuses entre Elche y Alicante. Este profesor vivía en esta última ciudad, muy cerca del monumental Mercado Central de Abastos, en su casa estuvo DIGARCAS antes de iniciar la Carrera de Ciencias Matemáticas en Zaragoza, compartiendo mesa y mantel con Laustaled y su señora, porque Laustalet lo invitó para darle unos cuantos consejos sobre la carrera que iba a iniciar. Según este profesor, que era químico aunque daba clases de Matemáticas, DIGARCAS, debía estudiar una carrera donde la Matemática estuviera presente sí, por ejemplo, Físicas o Químicas, pero no donde fuera la única protagonista, como pasaba lógicamente en la licenciatura de Ciencias Matemáticas que él quería estudiar. DIGARCAS le entendió y agradeció la ayuda que podría reportarle el consejo de su profesor, pero lo cierto es que terminaría la Licenciatura en Matemáticas que tanto ansiaba con la meritoria calificación de Notable en su título académico. DIGARCAS, como apasionado sempiterno a la Matemática afirma, en muchos de sus libros, con rotundidad manifiesta que esta ciencia, o sea “la Matemática, es la madre de todas las ciencias”. Siguiendo recorriendo el colegio donde DIGARCAS acabaría el Bachillerato, tenemos que después del aula a la que nos hemos referido venía la Secretaría, en la que la directora Dª Carmen, profesora de Latín, y la secretaria Dª Mª Teresa, profesora de Historia, dos grandes profesionales de la 60

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA enseñanza,

marcaban

rumbo

pedagógico

del

centro.

Finalmente decir que el aula que venía a continuación se comunicaba con las dos aulas, prácticamente hechas una, de que constaba la Sala de Estudio vigilado, a cargo de D. Alfredo, profesor que impartía además clases de Dibujo. Tenía su mesa en el lugar donde en otros tiempos debió existir una puerta corredera que separaría las susodichas aulas. El método de enseñanza en este centro era bastante eficiente, bastante exigente y quizás bastante chapado a la antigua, porque si un alumno normalmente no se sabía la lección,

llegaba el día en que el profesor harto de tanta

indolencia le obligaba a copiarla 10, 20 o 50 veces, según fuera la extensión de la misma y, mientras no entregara el trabajo, no se le permitía entrar a clase. No obstante lo dicho, había aspectos muy positivos en la metodología utilizada por algunos profesores, en el colegio N tra. Sra. de la Asunción, pues al alumno se le obligaba en la asignatura de Historia, a estudiar, por ejemplo, todo lo que hizo Cristóbal Colón, sin explicaciones previas del profesor, de modo que el alumno tenía que estudiar a solas y a fondo el personaje, aunque le quedaran algunos pasajes por aclarar ya que podría resolver sus, cuando la profesora de Historia, que en este caso era, según ya hemos dicho, Dª Mª Teresa, preguntara al alumno de turno, porque ella aprovechaba los fallos del alumno para explicar exhaustivamente todas las dudas que revoloteaban por el aula, sobre la lección del día. En Matemáticas, DIGARCAS, se alegró mucho cuando el profesor D. Álvaro, le hizo repetir la forma en que había resuelto un problema de repartos proporcionales, para que sus compañeros se enteraran perfectamente del proceso que él había seguido en el mismo. Él con la convicción en su 61

DIego GARcía CAStaño

rostro dijo de forma sencilla y clara, que si tres socios ponían respectivamente C1,C2 y C3 euros y obtenían un beneficio de B euros, como B/(C1+C2+C3) era lo que ganaba cada euro, el primer socio ganaría C1.{B/( C1+C2+C3)} y que, de la misma forma, se sacaría lo que les correspondía a los otros dos socios. También fue una grata sorpresa, para DIGARCAS, cuando su profesora, la señorita Serrano, explicó el Teorema de Thales diciéndoles, que si dos transversales eran cruzadas por

sistema

rectas

paralelas

los

segmentos

correspondientes que determinaban sobre las mismas eran proporcionales, porque él pensó nada más oírla que si tenía un segmento de diez centímetros de largo podría dividirlo en milímetros sin más que trazar una semirrecta, con el mismo origen que tenía el segmento y que formara con él un cierto ángulo, ya que con una abertura fija del compás, podría empezar desde el origen de la semirrecta y marcar cien puntos, distantes entre sí los contiguos la abertura del compás. Después uniría el último de dichos puntos con el extremo del segmento y trazando paralelas a la misma por cada uno de los 99 puntos restantes, el segmento de diez centímetros quedaría dividido, según el Teorema de Thales, en cien partes iguales, o sea, en milímetros. Sabiendo esto, pensaba él, de forma ingenua y caprichosa, que podría ganarse la vida fabricando metros en los que los milímetros, centímetros y decímetros estuvieran correctamente dibujados. Además como el teorema de Thales desembocaba en los criterios de semejanza de triángulos, disfrutó viendo como su profesora, la señorita Serrano, trazando desde el vértice del ángulo recto, de un triángulo rectángulo, la perpendicular a la hipotenusa del mismo, descomponía dicho triángulo en dos semejantes al dado, y también entre ellos, ya que los tres 62

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA tenían los mismos ángulos. Con los dos pequeños que acababa de crear obtuvo, de forma inusualmente fácil el teorema de la altura como media proporcional, o sea, como raíz cuadrada del producto de los dos segmentos en que se proyectaban los catetos sobre la hipotenusa, tenía pues que h2=BH.CH, o lo que es lo mismo,

h= √ BH .CH

siendo BH y

CH, respectivamente, las proyecciones de los catetos “c” y “b” sobre la hipotenusa. Como también el triángulo total era semejante a cada uno de los dos en que lo había descompuesto, la profesora no tuvo problemas para demostrar el Teorema del Cateto, que dice que, un cateto es media proporcional, es decir, la raíz cuadrada de la hipotenusa por su proyección sobre la misma, o sea, obtuvo que b2=BC.CH, siendo BC la hipotenusa, también pudo escribir c2=BC.BH, y a partir de estas dos últimas igualdades obtuvo, sin más que sumarlas miembro a miembro, cadena

el famoso Teorema de Pitágoras, operando la

igualdades

forma:

b 2+c2 =

BC.CH+BC.BH=BC(CH+BH)=BC.BC=BC2=a2 , ( siendo “a” la hipotenusa). Así pues, quedaba claro que “en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos era igual al cuadrado de la hipotenusa”. Por

otro

lado,

como

sus

ansias

saber

eran

insaciables, al enterarse, en la asignatura de Historia, de que en el Congreso que se celebró en Francia en la última década del siglo XVIII, con tal de homogeneizar, en los países que se adhiriesen a las recomendaciones del mismo, las diferentes unidades de medidas tan varias y diferentes que se utilizaban, con el que vino nuevo a este mundo, o sea, con el Sistema Métrico Decimal, siendo el metro “la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano”, (concebido el meridiano, en esa 63

DIego GARcía CAStaño

ocasión, como una circunferencia máxima terrestre completa que pasa por los polos, en lugar de ser la mitad de ella, como comúnmente se considera), pronto empezó a escudriñar dicha definición, viendo que el cuadrante de meridiano, o sea, la cuarta parte de una circunferencia máxima de las que envuelven a la Tierra tenía diez millones de metros, o sea, 10.000 Km., averiguó que completa tenía 40.000 Km, lo que le permitió escribir la siguiente igualdad 40.000 = 2πr, siendo “r” el radio de la Tierra, y con ello pudo sacar que el radio r de la Tierra era, r=40.000/(2π) Km.

6.366,198 Km.

Tomando como pie, “el pie de meridiano”, que creara el propio DIGARCAS al escribir en el 2002 su libro, Biografía y Matemática de Jorge Juan, y que tenía en su mente desde bien pequeño, como la longitud del arco de meridiano que se divisa desde el centro de la Tierra bajo un ángulo de nueve décimas de segundo, o sea, de unos 27 7/9 cm. de longitud, o sea, muy parecido al pie de Castilla que era de 28 cm. Con las equivalencias que a continuación adoptamos, encontró que los valores de las principales unidades de medida que se utilizaban en Europa, antes de establecerse el Sistema Métrico Decimal, en el nuevo sistema, eran: punto=1/1728 pies=0,12 cm.; línea= 1/144; pies=1,929 cm.; dedo=1/16 pies=17 1/3 cm.; pulgada=1/12 pies=23 148/999 cm.; palmo=3/4 pies=20 5/6 cm.; codo=3/2 pies = 41 2/3 cm.; vara= 3 pies = 83 1/3 cm.; paso= 5 pies = 138 8/9 cm.; braza = 6 pies = 166 2/3 cm.; milla marina= 1’ de meridiano = 20.000/3 pies = 1851,85 m. y legua marina = 20.000 pies = 3 millas marinas=5.555,55 m. También llegó a reflexionar algo que vino a su mente, o sea, que si el paralelo de latitud 60º tenía una longitud de 20.000 Km. y él montaba en uno de los puntos de dicho 64

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA paralelo a un avión, que elevara su vuelo a las 6 de la tarde, con una velocidad de crucero de 833,335 Km/hora, en un día, recorrería totalmente dicho paralelo, ya que el resultado de multiplicar 833,335 Km. por 24 da 20.000,04 Km., sin cambiar de hora, o sea, siendo las 6 de la tarde, en todo instante del recorrido realizado hasta aterrizar en el punto de partida al día siguiente. Día éste en el que se encontraría desde el instante en que atravesara el antimeridiano de Greenwich, llevando “tras sus orejas” a la noche que le perseguía con saña a sus espaldas, pretendiendo alcanzarle, aunque primero fuera la correspondiente al día de salida la que se esfumara, en el antimeridiano de Greenwich, sin lograrlo y, después, la del día siguiente, que solo pudo alcanzarlo a las pocas horas de su llegada al completar su viaje en el mismo punto desde el que había salido, pero nunca antes de bajar del avión. Y es que él tenía claro, “saboreaba” con deleite, lo de los 24 usos horarios, de 15º de amplitud, que cubren las 24 horas del día, en cualquier instante de los que vivimos, siendo dichas 24 horas del mismo día solo a las 12 horas de Greenwich, porque a partir de entonces nace otro día en el resquebrajado antimeridiano de Greenvich, con tal de evitar que haya islas del Pacífico en la que funcionen a la vez dos días diferentes. También se entretenía

confrontando la Combinatoria

con el Cálculo de Probabilidades, de modo, que hallaba la probabilidad de acertar los 14 signos de una quiniela, de dos maneras diferentes que le dieron, lógicamente, el mismo resultado.

Primero

utilizó

combinatoria

poniendo

probabilidad= casos favorables/ casos posibles = 1/314= 1/4.782.969

0.000000209, porque casos favorables solo 65

DIego GARcía CAStaño

hay 1 que es el del acierto pleno de los 14 signos 1,X y 2 de la quiniela, y el número de quinielas posibles, como estas dependen del número de 1,X y 2 que salgan y del orden entre los mismos, serían Variaciones con Repetición de 3 elementos tomados 14 a 14, o sea, VR

3,14

=314=4.782.969.

En la segunda forma de hacerlo, él viendo que los sucesos de salir en una casilla 1, X ó 2, no implicaba nada a favor o en contra de los signos que salieran en las otras casillas, o sea, que eran sucesos estocásticos independientes, se dio cuenta que podía aplicar el teorema de la Probabilidad Compuesta y escribir, por lo tanto, que la probabilidad de acertar los catorce signos de una quiniela era igual a la probabilidad, 1/3, de acertar el primer signo y, 1/3, de acertar el segundo y, 1/3 de acertar el tercero, y así hasta, el 1/3, de acertar el signo 14. Como sabía que cada conjunción copulativa “y”, en el teorema de la Probabilidad Compuesta se sustituía por el signo “por” del producto, que representaremos por un punto escribió: probabilidad de acertar una quiniela= 1/3 . 1/3 . 1/3 ...(14)…1/3= 1/314 resultado que efectivamente coincidía con el que le dio en la primera forma que lo hizo. Esto le confirmó que los dos procedimientos que había seguido eran correctos. También le atrajo encontrar la probabilidad de acertar los 5 números del bonoloto de 49 números, que la halló también

dos formas

diferentes

para

contrastar los

resultados obtenidos. Como en este caso el orden no influía y no había repetición, porque los cinco números tenían que ser distintos,

nº

casos

posibles

era

C49,5=V49,5/P5 =

49.48.47.46.45/(5.4.3.2.1) = 228.826.080/120 =1.906.884 luego

probabilidad

acertar

favorables/casos posibles= 1/1.906.884

bonoloto= ¿

casos

0,0000005244

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA que aunque era muy pequeña, resultaba ser algo más del doble que el de la quiniela. Como no esperaba que esto fuera así por los muchos millones que se acumulan en el bonoloto, que le indicaba que era más fácil acertar una quiniela que el bonoloto, se estrujó un poco la “mente”, hasta descubrir que aunque todos los cálculos matemáticos estaban bien hechos, lo que pasaba era que en las quinielas habían algunos resultados previsibles porque, por ejemplo, un partido Madrid-Elche pinta siempre más a 1 que a X ó 2. Si los resultados de las quinielas se sacaran aleatoriamente de un bombo con tres bolas con los signos 1,X y 2 esto no pasaría, no habría discordancia alguna, como pasa en el bonoloto que por la forma de realizarse es completamente aleatorio. No obstante lo dicho él comprobó que no había cometido error alguno en el cálculo de la probabilidad de acertar el bonoloto, viendo que la probabilidad de que saliera uno de los cinco números que él jugara en la primera extracción del bonoloto era 5/49 y, de que en la segunda extracción saliera otro de los cuatro que le quedaban era 4/48, y para que salieran los tres restantes las probabilidades eran, respectivamente 3/47, 2/46 y 1/45, pudo escribir que, la probabilidad de acertar el bonoloto= 5/49 . 4/48 . 3/47 . 2/46 .1/45 = 120/(49.48.47.46.45) = 120/228.826.080 =0,0000005244, era la misma que había obtenido antes. Pero su curiosidad le invitaba a pensar, por ejemplo, que si el resultado del Madrid-Elche al menos en el 65% de las veces sería un 1 igual que el del BarcelonaGranada, la probabilidad de acertar una quiniela en la que figurasen

estos

dos

partidos,

sería

1/312.

0.652=0.0000007950, o sea, sería mucho más fácil acertar esa quiniela

que

bonoloto.

Así

adecuadamente. 67

pues

todo

funcionaba

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS, que trabajaba de lo lindo, apoyándose en lo que estudiaba y le oía al profesor, resolvía problemas, como los que vamos a mostrar, por ejemplo, el que decía, “si un grifo llena un depósito en 2 hora y otro lo hace en 5 horas ¿cuánto tiempo tardaría en llenarse si se abrieran los dos grifos a la vez?” Él lo razonaba diciendo, que si al depósito le cabía un volumen de agua V, en 1 hora el primer grifo llenaría V/2 del mismo y el segundo V/5, por lo que si el depósito se llenara en “h” horas, tendría que verificarse que, h(V/2 +V/5)=V, y dividiendo, ambos miembros por V, encontró que h(1/2+1/5)=1,

sea,

h.7/10=1,

donde

h=10/7

horas=1,42857= 1hora 25 minutos 42,85 segundos, (al ver las últimas operaciones que tuvo que hacer, se dio cuenta que pudo decir, sin restricción de ninguna clase, que el volumen de agua que cabía en el depósito era, evidentemente, el de 1 depósito, y se hubiera ahorrado el tener que dividir por V). Resolvía

problemas sobre ciclistas: “Si dos ciclistas

salen a la vez hacia Alicante, uno a 30 Km/h, desde Elche, que está a 23 Km.de dicha ciudad, y otro a 17 Km/h, desde Torrellano que se encuentra a 16 Km. de la capital de la provincia ¿a qué distancia de Alicante se encuentran?” Como siendo “t” el tiempo que tardan en encontrase se verifica que 30t=17t+7, por estar Torrellano a 7 Km. de Elche, o sea, 13t=7 luego t=7/13 horas. Se encuentran pues a 23-7/13 . 30=2316,154 Km=6,846 Km. de Alicante. Disfrutaba también resolviendo problemas como el siguiente, “Con un solo sistema de pesas de 1 Kg, 3Kg., 3 2 Kg., 33 Kg., pesar 32 Kg.” (pudiéndose poner pesas en los dos platillos). Para resolverlo dividió sucesivamente 32 y los cocientes que le iban saliendo entre 3, unas veces por defecto y otras por exceso cuando asomaba el 2 como resto, ya que solo 68

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA disponía de un juego de pesas. Al obtener los restos

- 1,-1,1

y 1, como último cociente, que al ser menor que 3 le prohibía seguir dividiendo, pudo escribir, -1-3+3 2+33=-4+36=32, con lo que poniendo, por ejemplo, en el platillo de la derecha las pesas de 32 y 33 Kg., y en el de la izquierda las de 1 y 3 Kg., como la diferencia de pesos entre ambos platillos era de 32 Kg, a favor del platillo de la derecha, le bastaría ir poniendo en el platillo de la izquierda lo que quería pesar, hasta que la balanza se equilibrara. También le apetecía averiguar “el instante exacto, en que las manecillas del reloj, por ejemplo, entre las 3 y las 4, formaran un ángulo de 180º.” Él pensó que para que esto aconteciera entre las 3 y las 4, como la manecilla minutero, a las 3, llevaba un retraso respecto a la horaria de 3/12 de la esfera del reloj y, debería sacarle además una ventaja de 6/12 que es lo que haría que el ángulo de las manecillas fuera de 180º, tendría que verificarse que la diferencia entre lo recorrido por la horaria y la minutero fuera de 9/12, por lo que escribió 9/12 = 1.t – 1/12 t ya que la velocidad de la manecilla horaria era 1/12 de la esfera del reloj por hora, mientras que la de la minutero era de 1 esfera completa del reloj por hora, sacó, por lo tanto que 9/12=(11/12)t y de ahí que t=9/11 horas del tramo recorrido entre las 3 y las 4, que equivale a 49 minutos y 5,448 segundos. Lo que pedía el problema sucedía exactamente, por lo tanto, a las 3 horas 49 minutos 5,448 segundos. Ya en séptimo de Bachillerato pudo ver los inicios del Cálculo Diferencial e Integral, creados por Newton, Leibnitz y alimentado por Barrow y tantos otros fundadores de la Ciencia Moderna. El concepto de límite que marca el linde que separa la Matemática elemental de la Superior, esa forma precisa y justa, donde no sobra ni falta precisión alguna le 69

DIego GARcía CAStaño

encantó, a DIGARCAS, nada más leer que el límite de una función y=f(x) para x tendiendo a x 0 es m, que escribió como

lím f ( x )=m

x →x 0

, si y solo si los valores de la función pueden

aproximarse a “m” tanto como queramos, aproximándonos lo que haga falta con x a x0. Él entendía perfectamente que si, m=

∞ , habría que hablar de que para todo número K, por

grande que fuera, el valor de la función lo superaría siempre que nos aproximáramos con x lo que hiciera falta a x0. Pensando en todo esto razonó, a su modo, el porqué los matemáticos afirman, por ejemplo, que 1/0= ∞ , diciendo que si uno partido por una millonésima es un millón y disminuyendo el denominador a una billonésima su valor se dispara a un billón, estaba claro que cuanto más se disminuyera el denominador, poniendo ceros y mas ceros antes del último uno, de las millonésimas o billonésimas como él había puesto, la fracción iría in crescendo tanto como quisiéramos,

digamos

cuando

fuera

cero

denominador, o lo que es lo mismo 0,00…, con los infinitos ceros detrás de la coma sin tan siquiera poner el uno , que se saldría de “madre”, sobrepasando a los trillones, cuatrillones y a todo nº, o “bicho” viviente, que se pusiera por delante por grande

que

este

fuera.

Por

matemáticos dijeran que 1/0 = También pensaba que

eso

comprendía

que

los

∞.

0 =0 ∞

porque en lo que respecta

al cero del numerador, si el denominador fuera un nº real distinto de cero, la fracción valdría cero y, como, respecto al ∞

del denominador, si el numerador fuera un nº real

distinto de cero, saldría cero, por lo tanto, estando de acuerdo el numerador y el denominador en que su valor era cero, no

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA 0 =0. De la misma guisa sacó ∞

había duda posible de que que

∞ =∞ y, de forma similar, averiguó que no había 0

posibilidad de saber, a priori, lo que valían cualquiera de las siete formas indeterminaciones que se podían presentar 0 ∞ ∞−∞ ; 0. ∞ ; ; ; 0 0 ∞

; ∞

,1 ∞

sin un estudio a fondo, sin

una técnica a adquirir, para desvelar las indeterminaciones. Para auto-convencerse, lo comprobó para el 0/0, viendo que el 0 del numerador al dividirlo por un nº real distinto de cero daba 0, y que cuando el numerador era un número real distinto de cero, el cero del denominador hacía la fracción ∞

ceros

como ya había comprobado con la 1/0, por lo tanto, los del

numerador

del

denominador

conducían

resultados distintos, o sea, “para ser gráficos”, a valores que se pegaban de “bofetadas” entre ellos, con lo que quedaba claro que la fracción 0/0 era efectivamente indeterminada. Igual razonó para las otras seis indeterminaciones. Para

diagnosticar

precisiones

que

estaba

estudiando, trazó una porción de curva en un papel, sin interrumpir en ningún momento el trazo de la misma, o sea, como gráfica de una función continua, y se dio cuenta que si x→x0 entonces f(x)→f(x0) por lo que podía escribir que si la

función era continua se verificaba que

como evidentemente

f (x 0 )=f ( lím x ) x→ x 0

lím f ( x)= f ( x 0 )

x →x 0

, y

pudo ver que el límite

de una función continua es la función en el límite, por lo que

DIego GARcía CAStaño

lím Δf( x) = lím [ f ( x+Δx) − f ( x)] =0

Δx→0

Δx→ 0

pudo escribir

y ver que

el incremento de una función continua f(x) tiende a cero cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero

revés,

efecto

x=x0+∆x0

tenía

que:

lím [ f ( x 0 +Δx 0 )-f (x 0 )]=0 x →x 0

donde

lím f ( x )=f ( x 0 )

x →x 0

sacó:

o sea, la

condición

necesaria y suficiente para que una función fuera contínua. Entre los límites funcionales más importantes, por su trascendencia científica, que estudió DIGARCAS en el último curso de Bachillerato, se encontraba el de la función derivada f’(x)

una

función

real

variable

real

f(x):

f '( x ) = lím Δy/Δx = lím [f (x+Δx)-f (x )]/ Δx Δx →0

Δx →0

si existía y era finito. Al indagar sobre la misma vio que el valor de este límite y’=f’(x), por ser el límite del cociente incremental

∆y ∆x

que es

la pendiente de la secante a la curva en los puntos de abscisas x+∆x y x, cuando ∆x tiende a cero se convertía en la pendiente de la tangente a la curva y=f(x) en el punto [x,f(x)]. Profundizando algo más sobre la definición de derivada, se dio cuenta que esta no existiría si ∆y no tendía a cero, o sea, si la función no fuera continua, aunque podría ser que fuera continua y tampoco tuviera derivada porque, después de resuelta la indeterminación, el límite le saliera infinito. Así pues tuvo claro que “la condición necesaria, aunque no 72

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA suficiente, para que una función tuviera derivada es que fuera continua” y que “toda función derivable era continua”. Las funciones derivables eran pues un subconjunto de las funciones continuas. Él para comprobar todo esto halló la ecuación de la tangente geométrica en el punto (3,9) a la parábola y=x 2. Obtuvo la derivada de esta función a partir de la definición de derivada, como veremos dentro de un momento, aunque después aprendería la tabla de derivadas para derivar con más rapidez. También aprendería la tabla al revés, para dada la derivada de una función hallar su función primitiva, o sea, la integral de la misma. Para saber que si f’(x)=2x, su función primitiva era f(x)=x2+K, operaba de la siguiente forma

∫ 2x dx =

2∫ xdx= 2 x2/2+K

=x2 +K.

Veamos como averiguó, a partir de la definición de derivada, como ya indicamos, que 2x era la derivada de x2:

lím

y’=

Δx → 0

[(x+∆x)2 – x2]/∆x=

lím

Δx → 0

[2x∆x+(∆x)2]/∆x=

lím

Δx → 0

(2x+∆x) =2x luego la pendiente de la tangente es y’=(2x) 3=6 y su ecuación: y-9=6(x-3). Otro límite importante era el de la integral:

∫ f '( x) dx= f( x)+K

Indefinida xn

∫x

;

definida

i=n−1

f( x ) dx = lím

∑ f ( x i ). Δx i

n→ ∞ i=1

, considerando la función y=f(x)

creciente y, en cualquier caso, él vio de inmediato que la integral definida era la suma de las áreas de los rectángulos de bases [x1,x2], [x2,x3],…, [xn-1,xn] y altura el mínimo valor de la función en cada uno de los intervalos, cuando la amplitud 73

DIego GARcía CAStaño

de los mismos tendía a cero, representaba por lo tanto el área del trapecio mixtilíneo formado por [x 1,xn], las ordenadas extremas f(x1), f(xn) y la curva, o gráfica de la función y=f(x). Esto le llevó a ejercitarse, en esta forma de concebir las cosas, hallando el área del círculo, que ya había hallado con anterioridad, según vimos en el capítulo I, y que le llevaría a practicar los métodos de sustitución y por partes en las integrales. Sus cálculos se redujeron, por lo tanto, a los siguientes: como la ecuación de la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio r es x2+y2=r2 (1)tenía que y=f(x)=

√ x2−r 2

y x =r

dx =

por

s ent

cost ¿=

tanto

dt ¿ Π 2 2 r 2 ∫− Π

área

cos 2

del

círculo

era

√

2∫- r

−r

dx =

¿ por ¿

(

sustitución =¿

2) para resolver esta integral utilizó el método de Integración por partes: u =cos t ; du = -sen t dt

Π 2

∫

−Π 2

dv = cos t dt ; v= sent ¿ ¿= ¿ ¿ ¿

cos t dt = 2

[ sen t cos t ]

Π 2 −

2 Π +∫ Π sen tdt = [ sen t cos t ] −

Π 2

de donde 2

Π 2

∫

−Π 2

Π 2

cos t dt =π y

∫

−Π 2

−

2 Π + ∫ Π ( 1−cos t ) dt 2

−

=[ t ]−2 Π −∫−2Π cos2 t dt 2

cos t dt = π/2 .

sustituyó este valor en (2) y obtuvo, como área del círculo, el que esperaba, 2r2. π/2= πr2. Halló de forma mucho más breve el área de la esfera, aplicando la fórmula correspondiente que, según él recordaba, r

era:

2Π ∫−r y √ 1+y' dx 2

(3), para hallar y’ derivó (1) y obtuvo

2x+2yy’=0 con lo que encontró y’=-x/y, que sustituido en 3, le dio el área o superficie de la esfera tras la siguiente cadena de

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA igualdades:

√

r r x2 2Π∫−r y 1+ 2 dx= 2Π∫-r √ y 2 +x 2 dx= 2Π∫−r √ r 2 dx=2Π r [ x ]r−r=4Πr 2 y r

Para hallar el volumen de la esfera, apoyándose por tercera vez en la circunferencia con centro en el origen de r

coordenadas, integrando

resolvió

Π y2

integral

∫−r Π y dx 2

porque

dx al ser el volumen de un cilindro de radio

de las bases “y” y altura dx, su integral era la suma de infinitos cilindros de altura dx→0 (porque dx=∆x, ya que si df(x)=f’(x).∆x, y si f(x)=x, tenía que dx=1.∆x=∆x). Así pues, escribió: r

∫−r Π y

dx=Π ∫−r ( r 2− x2 ) dx=Π [ r 2 x−x 3 /3 ]r−r = ¿ Π ( r 3− r + r 3− r )= r

4 3 Πr Π(2r3-2r3/3)= 3 . Él, como gran aficionado a la Matemática que era

intentó comprobar el resultado,

4 3 Πr 3 , que había obtenido

del Volumen de la esfera. Razonó de la siguiente forma, considerando que el sector esférico respondía, en cuanto al cálculo de su volumen siempre que se considerase como base del mismo su casquete, como si fuera un cono, escribió, V sector esférico

= 1/3 área casquete por su altura que, en este caso era

el radio r de la esfera, con lo que podía hallar el volumen de la esfera en la que el área del casquete era el de toda la esfera, o sea, 4πr2, según tenía ya comprobado, con lo que obtuvo:

DIego GARcía CAStaño

4 3 Πr Vesfera = 1/3 4πr2.r= 3 , quedándose satisfecho de controlar con tino lo que hacía. Con algo de lo visto, de lo mucho que él hizo, llegó junio de 1950 y, DIGARCAS, marchó a la Universidad de Murcia en la que realizó las pruebas del llamado Examen de Estado, análogo a la Selectividad que se hace hoy día. Para él fueron unos días de fábula en una gran ciudad, charlando, repasando temas y compartiendo hotel con algunos de sus amigos. Primero fue el examen escrito, con pruebas de Latín y Matemáticas, después, una vez aprobado éste, venía el aparatoso

examen

asignaturas

había

oral,

con

estudiado

tantos

catedráticos

como

Bachillerato,

para

preguntarle sobre todo lo estudiado en los siete cursos del mismo. DIGARCAS, sin embargo, no perdió la ocasión de comprarse, en una librería especializada en ciencias, una revista Euclides, con artículos selectos de Matemáticas y multitud de problemas propuestos, bien seleccionados, que con el tiempo fue una de las revistas, junto con otras, como Gaceta

Matemática

Revista

Hispanoamericana

Matemáticas, de las que DIGARCAS haría uso en la Academia Peñalver para proponer problemas a sus alumnos de Ingreso en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

CAPÍTULO III

DESTREZAS Y UTILIDADES

DIego GARcía CAStaño

curso

1950-51,

DIGARCAS,

por

indecisiones

familiares, se matriculó como alumno libre en la Universidad de Zaragoza, quedándose en Elche hasta el mes de junio de 1951, en que viajó a la capital aragonesa, a casa de su tía abuela Adela, tía de su madre, para examinarse de las asignaturas de Primero de Ciencias Matemáticas, o sea, de Física

General,

Análisis

Algebraico,

Geometría

Métrica,

Astronomía y las tres Marías: Religión, Educación Física y Formación Política. La realidad cruda y dura, tozuda como suele ser de ordinario, desbarataría, según veremos más adelante, ¡y de qué forma!, todo lo que él tan optimistamente había proyectado, para dicho curso escolar. 1950-51, fue un curso apacible pero sin frutos docentes apreciables y, por lo tanto, muy distinto a todos los vividos con anterioridad por DIGARCAS. Y es que no podía ser de otra forma al dedicarse por las mañanas, a modo de empleado en el negocio agrícola que llevaban su padre y su tío Pepico, a controlar, en lo que cabía hacerlo en estos casos a la cuadrilla de jornaleros que a diario invadían, para recoger tan preciado fruto en su más sazonada madurez, los planteles de granadas que su padre y su tío arrendaban a los labradores del campo de Elche, al igual que lo hiciera su patriarcal abuelo antes de quedarse ciego. El trabajo de los que allí laboraban era duro y cuidadoso, para que la recolección de las granadas estuviera acorde con su tamaño, madurez y colorido y, el fruto no sufriera la torpeza de golpes bruscos al trasladarlas de un sitio para otro o depositarlas en el suelo. Así pues, los capazos repletos de tan exquisito fruto eran manejados con esmero, porque a nadie le gustaba que se le advirtiera de que así lo 78

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA hiciera. Por eso los trabajadores se los echaban al hombro sujetándolos

firmemente

con

mano

derecha

los

depositaban en cajas, o los volcaban sobre un montón, que se hacía normalmente cerca del camino al que accederían los camiones para trasladar las granadas, bien a la estación del ferrocarril para ser cargadas en vagones con destino a Bilbao, Valencia y sobre todo al Mercado del Borne de Barcelona, o bien al puerto de Santa Pola desde donde grandes barcazas que

cargaban

hasta

90.000

Kg.

las

llevaran,

preferentemente, al puerto de Barcelona. DIGARCAS le escribía a su padre, incluso, las cartas que éste le dirigía a los asentadores del Mercado del Borne de Barcelona,

los

que

veces

progenitor

visitaba

personalmente. En una de estas idas y venidas de su padre a Cataluña, DIGARCAS le encargó de forma expresa que le trajera de dicha capital catalana los Diálogos de Platón, que el mismo le trajo en unos cuatro o cinco libritos, que fueron todo un placer de dioses para el ingenio del joven DIGARCAS. No obstante lo dicho, DIGARCAS seguía con su empeño de siempre de ser matemático, aunque poco realista en ese curso, como lo demostraba palpablemente el hecho de rechazar, con el apoyo de su madre, el marcharse a Barcelona, como quería su padre para in situ, atender en el Puerto y Mercado del Borne el negocio; y además el de haberse matriculado, como hemos dejado constancia, como alumno libre de Primero de Ciencias Matemáticas en la Universidad de Zaragoza. Téngase en cuenta que la Licenciatura en Ciencias Matemáticas solo existía en las universidades de Madrid, Zaragoza y Barcelona, y que una tía de su madre ya citada, su tía abuela Adela, vivía en Zaragoza, con la casual conexión de 79

DIego GARcía CAStaño

que uno de sus hijos, José Luis Viviente Mateu, que había ejercido como empleado de correos y telégrafos en Barcelona y que, por una grave enfermedad estaba en el hogar de sus progenitores en Zaragoza, cursaba el 3er curso de la Facultad de Ciencias Matemáticas. DIGARCAS que ni tan siquiera lo conocía esperaba impaciente contactar con su primo segundo, por la experiencia matemática que el mismo poseería. Por las tardes, DIGARCAS, era adiestrado en Geometría Métrica por Manuel, un aparejador que era además Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Barcelona, al igual que su hermano Tomás que era arquitecto. Dos grandes personas, de entente cordial y colaboradora, conocidas en todo Elche con proximidad y cariño, como “los mellizos”. Ellos, siempre fueron protagonistas culturales en la ciudad, tanto en la Corporación Municipal, donde desempeñaron diversos cargos, como en el Patronato del Misterio de Elche que dirigió Tomás durante algún tiempo, o en cualquier otra institución como el Casino. Eran autores de libros relacionados con la Edificación y la Geometría, publicados por la Diputación Provincial de Alicante en los que, por ejemplo, la ”definición” que ellos daban sobre el concepto de edificio fue resaltada, casi aceptada diríamos, como modélica, en algún que otro Congreso Internacional de Arquitectura. Fue un inmenso honor para DIGARCAS, pues, que los mellizos, adoptaran como libro de texto de Matemáticas de Preuniversitario en el Instituto N tra. Sra. de la Asunción, cuando aún estaba por Candalix, el que él escribió siendo profesor de la Academia Peñalver de Madrid. Además, como el Colegio de las Jesuitinas era un Centro Adscrito a dicho instituto de la Asunción,

también

compraban

sus

alumnos

libro,

Matemáticas de Preuniversitario, del profesor DIGARCAS, en 80

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA la céntrica y prestigiosa librería Agulló de Elche, lo mismo que hacían miles de estudiantes, por diferentes zonas de España como era el caso, entre otras, de las de Barcelona, Madrid, Murcia o Don Benito en Badajoz. A

Manuel

privaba

explicarle

DIGARCAS

Geometría Métrica de Puig Adam, libro intuitivo y claro donde los haya y escrito con un gusto especial que embelesa. Era el libro que Cervera daba en Primer Curso de Ciencias Matemáticas en Zaragoza. Este profesor, Cervera tenía un memorión descomunal hasta el extremo que explicaba, “pe a pa”, con las mismas palabras, comas y puntos, que venían en el libro de Puig Adam, a veces sin dibujar ni tan siquiera lo que exponía en la pizarra, ¡de raza le venía al galgo!, ya que era sobrino de Pedro Abellanas, o sea, de uno de los más grandes matemáticos españoles, portador a nuestro país de la seriedad y sapiencia alemana y Catedrático de Geometría Proyectiva, de DIGARCAS, en la Universidad Complutense de Madrid. Abellanas era tan estricto como profesor, que exigía incluso a sus alumnos, cada día, le entregasen para visualizarlos los apuntes en limpio que le habían tomado en la clase del día anterior y, la cuestión era que, anotando la calidad de los mismos, que influía en la calificación final. A DIGARCAS le gustó tanto la Geometría Métrica, que durante su vida docente acuñó frases como las siguientes: “con la Geometría hay quién, habiendo sido mediocre, llega a ser ingenioso”, o pensando que la Geometría se exilió de la Enseñanza Media en España, con el cambio que hubo, como ya hemos citado con anterioridad, a mediados de los sesenta del siglo XX, del Preuniversitario por el C.O.U., afirmaba “cuanto más dure el “abandono” de la Geometría Métrica, en nuestro país, más dolorosa será la amputación que que haya que practicar para su puesta en marcha el día de mañana”, 81

DIego GARcía CAStaño

porque se preguntaba, ¿en qué curso de la Enseñanza Media, de nuestra patria, se estudian las matrices características de los movimientos en el plano y en el espacio, la geometría esférica, las Fórmulas de Bessel, para el cálculo de los ángulos diedros de los poliedros o para estudiar el triángulo astronómico

Polo-Cénit-Astro?

¿dónde

estudian

los

problemas de tangencia de Apolonio PPP, PPR, PPC, PRC, RRR, RRP, RRC, CCP, CCR, CCC,

donde la P, R y C

representan respectivamente al punto, a la recta y a la circunferencia, de modo que, por ejemplo, la terna PRC requiere:

“Hallar

las

circunferencias

tangentes

circunferencia C y a la recta R, en un punto P de la misma” y, la

CCC

“hallar

las

circunferencias

tangentes

tres

circunferencias dadas” y, lo mismo para las otras ocho ternas. Recordaba, DIGARCAS, sobre incumplimientos o cosas mal hechas en la Enseñanza Media española de que, aunque las conclusiones didácticas de la Sesión Internacional sobre “Metodología y Didáctica de la Matemática”, celebrada el año 1963 en Atenas, señalaban, por ejemplo, como elementos esenciales de la exposición de la Matemática la Teoría de Conjuntos y las Relaciones, aconsejando que “cada país debía proceder a la modernización de sus cursos de Matemáticas, lo más

rápida

profundamente

que

permitieran

sus

posibilidades”, sin embargo, la cuestión es que, en la Enseñanza Media española, hemos ido retrocediendo en todo ello de una forma escandalosa desde que vino el C.O.U. y, no digamos, la E.S.O. y el raquítico Bachillerato de dos cursos, por eso no vale lamentarse del veredicto para España del Informe Pisa de adultos 2013, sino ponerse manos a la obra para corregir entuertos. DIGARCAS, siempre pensó, que este retroceso se inició por el miedo escénico de los políticos y, también, por el 82

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA malestar de las familias españolas por los muchos suspensos que se cosechaban en las Pruebas de Madurez del curso Preuniversitario, cifrados en más de un 30% de matriculados. Por eso hubo que cargarse el Preuniversitario, con el beneplácito de muchos colegios religiosos de alcurnia, que impotentes para enfrentarse cara a cara con el problema, dejaron de impartir el Preuniversitario y, vieron el cielo abierto, cuando en los albores de la mitad de la década de los sesenta del siglo XX fue sustituido por el C.O.U., con muchos menos suspensos. Se repetía una vez más lo que se hizo con la venida del Curso de Iniciación Universitario con el Ingreso, “llamado” heroico de las Escuelas Técnicas Superiores de Ingeniería y Arquitectura. Y no digamos nada sobre el sinsentido de las pruebas de la Selectividad actual, cuyo número de aprobados rara vez baja del 90%, a pesar de que España ocupa en el ranking mundial de la enseñanza el furgón de cola escoltada siempre por Grecia y Portugal. Lo intolerable es que España no sitúe, hoy día, a ninguna de sus Universidades entre las doscientas mejores del mundo. DIGARCAS siempre fue partidario de que desapareciese

Selectividad

porque

¿qué

forma

seleccionar es esa en la que aprueban casi todos?, y que la nota que sirviera para elegir carrera fuera la nota media obtenida en el Bachillerato, con inspecciones docentes serias en los centros escolares de Enseñanza Media, para que estos no favorecieran a sus alumnos. Se evitaría con ello, qué duda cabe, el azar sobre la suerte o desgracia de los alumnos en dicho examen de Selectividad y el gasto descomunal que conlleva formar cientos de tribunales, pagar a miles de correctores y el dinero que suponen las decenas de miles de impresos con dibujos, gráficos, etc., que se necesitan para llevarlo a cabo. 83

DIego GARcía CAStaño

Es triste que hoy, en la Enseñanza Media, suene a “hueco” lo que escribía DIGARCAS, en 1964, en el prólogo, de uno de sus libros de texto, refiriéndose a que, “a medida que se vayan introduciendo en los cursos de Bachillerato algunos conceptos de Álgebra

Moderna

(Grupo, Anillo, Cuerpo,

Relaciones Binarias,…), el alumno irá adquiriendo una base Matemática previa cada vez más sólida”, o esta otra, “en el curso 1.965-66 ha entrado en vigor el nuevo plan de estudios para el primer curso de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas Superiores; hemos notado en sus programas de Matemáticas una gran modernización que obligará a cambiar el enfoque y desarrollo de la Matemática en el Bachillerato”. DIGARCAS, estudió con Manuel, los fundamentos de la Geometría, vio la precisión de sus definiciones, cómo se estableció la base de la misma, entendió perfectamente que los axiomas, las verdades matemáticas que se toman como evidentes, sin necesidad de tenerlas que demostrar, debían ser claras, nítidas, las mínimas posibles y, lógicamente, no entrar en contradicción entre ellas. Como no podía ser de otra forma apreció en profundidad la delicadeza matemática de dichas definiciones, porque no se podía continuar con la cantinela de “que un punto era la intersección de dos rectas”, cuando la recta es un conjunto de puntos y para entender lo que es un punto hay que saber antes lo que es una recta, lo que evidenciaba que esta forma de definir desestabilizaba, aunque fuera implícitamente, el aserto lógico de que “lo definido no puede entrar en la definición”. Por otro lado, decir que “un punto es aquello que no tiene partes”, tampoco le parecía correcto, porque la “nada”, por ejemplo, no tiene partes y no es un punto. DIGARCAS pues, entraba de lleno en una filosofía pura y dura. 84

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Por eso, los matemáticos dedicados a analizar y construir los fundamentos de la Matemática como Ciencia bien estructurada, pensaron, más o menos, lo siguiente: se debía establecer una base de la misma con conceptos evidentes, sin definirlos por lo tanto, porque si se definieran sería, lógicamente, en función de otros más elementales y ya no estarían ellos en la base de la Matemática, porque habrían otros más conocidos como serían los que entrasen en su definición. Además como los conceptos no pueden ser infinitos, más tarde o más temprano, se producirían círculos viciosos. Todo esto le hizo pensar a DIGARCAS algo que le sorprendió de lleno, porque lo cierto es que si un diccionario de español, con un número finito de palabras explicaba y definía

cada

una

las

palabras

que

contiene,

obligatoriamente se producirían en él círculos viciosos, y a él le resultaba tan extraño todo esto que criticaba por dentro a los lingüistas que fueran tan poco rigurosos y que no imitaran en este acontecer a los matemáticos. Según él, los diccionarios deberían dejar algunas palabras sin explicar o definir pues, de este modo, el conjunto de todas ellas, de las que no se definiesen formarían la base de la lengua española. Por ejemplo, la palabra conjunto podría ser una de ellas y aparecería solo la palabra “conjunto.” con su punto final y se acabó, ya que no se diría nada de la misma. La verdad es que en los diccionarios se encuentran círculos viciosos muy rápidos, uno podría ser, por ejemplo, a modo de trabalenguas el siguiente: “reino es un territorio regido por un Rey”, y al buscar que es un Rey, leemos que, “Rey es el que rige un reino”, con lo que resulta que para saber lo que es un reino antes debemos saber lo que es un Rey, y para saber lo que es un Rey necesitamos saber lo que 85

DIego GARcía CAStaño

es un reino, operando con el rigor que impone la lógica, ni sabremos lo que es un Rey ni lo que es un reino. Por eso en Matemáticas, por ejemplo, si consideramos el concepto de “conjunto”, como hemos dicho, como básico éste no se define, primero, porque nadie ignora lo que es, por ejemplo, “un conjunto de sillas” y, segundo y principal, porque si es un concepto básico no puede sustentarse en otros más elementales, como ya hemos razonado. De este modo, DIGARCAS, no solo comprobó que no hay carencias en la Matemática porque no se definan

algunos

conceptos por ser básicos, sino todo lo contrario porque veía la perfección envidiable de los matemáticos ya que diciendo simplemente que, ”reconocían la existencia de infinitos entes llamados puntos a cuyo conjunto llamamos espacio y que la recta y el plano son subconjuntos de dicho espacio”, lo que lograban, sin comprometerse en nada que es lo bueno, es expresar tácitamente un reconocimiento de su existencia sin arrastrar tras de sí las secuelas de los círculos viciosos. Además

eso

impide

los

matemáticos

dejar

definitivamente claros estos conceptos, que son estrictamente mentales o ideales, porque pueden dar gráficamente por abstracción una idea de lo que es una recta identificándola, por ejemplo, como representante de una cierta dirección inmaterial poniendo como estímulo sugerente de la misma un hilo finísimo de pescar tirante, sin grosor ni peso. Del mismo modo, una piscina helada les permite idealizar o sugerir el concepto de plano. Que dos puntos determinen una recta y, tres, un plano, tampoco se demuestra en Matemáticas, pues se toman como axiomas, o sea, como verdades evidentes que son y que pertenecen a la base de dicha Ciencia.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Con Manuel, DIGARCAS recorrió, dulcemente diríamos nosotros pensando en lo que pasó cuando llegó a Zaragoza y tuvo que enfrentarse a una realidad más exigente, a los movimientos del plano y del espacio de tres dimensiones, las simetrías

central,

axial

especular;

los

giros

las

traslaciones. La recta de Eüler, los inicios de la teoría de la medida, el Teorema de Tolomeo, la homotecia, semejanza e inversión, la proyección estereográfica y la Geometría Esférica. En solitario, DIGARCAS, ojeó el Análisis Algebraico de Rey Pastor, técnicamente superior, con un rigor teórico nunca visto antes en nuestro país, cuyo autor, considerado por DIGARCAS y por otros muchos científicos españoles, como el “padre” de los matemáticos españoles del siglo XX, logró elevar unos cuantos grados la categoría científico-matemática de España. Su libro, teóricamente hablando no tenía desperdicio, fracciones continuas, límites y series numéricas…, aunque prácticamente desarmara, en cierto modo, al lector, por los pocos ejemplos con enjundia que en él aparecían, tanto recopilatorios de la teoría expuesta como propuestos a final de los diferentes capítulos para que practicase el lector. DIGARCAS en Elche, se tomó con calma aquel curso, 1950-51, por lo que no le sorprendió nada de lo que le pasó en el mes de junio cuando contactó con la realidad Matemática de la Universidad aragonesa. A primeros de junio de 1951, marchó a Alicante para tomar el tren hacia Valencia, se hospedó para pasar la noche en un hotel de la capital levantina cerca de la Estación de Aragón, porque tan pronto como amaneciera su destino, en un largo y para él “eterno” recorrido ferroviario, sería Zaragoza, la capital maña.

DIego GARcía CAStaño

No obstante, antes de acostarse, “revoloteó” por la Plaza de las Flores y pasó por delante del Ayuntamiento que a la misma mira, deambulando por las calles más céntricas de Valencia. Se paró frente al magistral edificio de la Plaza de Toros, contiguo a la Estación de Renfe, y lo contempló con cierto rictus admirativo durante unos minutos. Nada más amanecer subió al tren. En Teruel, donde el tren se detenía algo más que en otros lugares, compró en la cantina y “devoró” en el tren un bocata de grandes dimensiones. Le asombró ver en lontananza por la ventanilla que tenía a su lado, a un pastor por la alta sierra circundante con dos o tres corderillos, porque se preguntó ¿qué beneficio económico puede sacar ese pastor con un número tan reducido de ovejas? De cualquier forma lo que es cierto es que se atiborró de tanto monte durante el viaje, tanto que, en sus sueños, ya en casa de la familia de su tía abuela Adela, repasó con todo detenimiento y detalle, de forma fantasmagórica, las sierras turolenses de las que salió hasta la coronilla. Y menos mal que la noche no se alargó tanto como el viaje, porque las animadas conversaciones con su primo segundo José Luis, con su hermana Pilarín, así como, con su tío Domingo y su tía Adela fueron largas e instructivas y, duraron, hasta altas horas de la noche. Nada más levantarse y desayunar, DIGARCAS, salió por el portal de la casa de la calle Prudencio en la que residió durante unas dos semanas y, como nada más llegar a la calle Alfonso, vio que la Basílica del Pilar estaba a tiro de arco, hacia ella se dirigió, contempló en el lateral derecho del altar mayor la imagen de la Virgen del Pilar, se arrodilló en un reclinatorio en una capilla, que había algo más al fondo, precisamente a la derecha del pasillo que había recorrido 88

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA desde que entró en el templo, en la que estaba expuesto el Santísimo, después recorrió en parte el pasillo posterior al altar mayor, donde presionando el rostro, sobre todo la nariz, sobre la funda circular metálica, que defendía el pilar de la virgen de la devoción de la gente que ahondaba sin miramientos, cada vez más en él, en el centenario e increíble socavón, que con los sutiles y ardorosos besos que le daban los que por allí pasaban con el tiempo hicieron. Una vez salió de la Basílica, volvió a la calle Alfonso, con su caminar contemplativo de todo lo que le rodeaba, hasta que la recorrió por completo, de principio a fin. Cruzando después la calle Coso, anduvo por la acera de la fachada del Casino

hasta

enfilar

los

soportales

del

Paseo

Independencia, descubriendo que en la acera opuesta a la que por él caminaba se erguía presuntuosamente el noble edificio de Correos, finalmente llegó a la Plaza Aragón, en la que se encontraba la Universidad, su punto de destino, donde esperaba adquirir las “Destrezas y utilidades” científicas que buscaba. Subió con entusiasmo la gran escalinata del frontispicio de la misma, y ya en su interior subió por otra escalinata hasta la primera planta, giró a la derecha y nada más hacerlo encontró el rótulo que ponía “Biblioteca Galdeano” y que él buscaba, porque aunque su primo José Luis le dio un adelanto de lo que se iba a encontrar en dicha Facultad de Ciencias

Matemática,

DIGARCAS,

quería

contactar

directamente con estudiantes de Primero de la carrera que había elegido. Tuvo suerte, porque al sentarse al lado de uno de ellos, que por su juventud podía ser de Primero, acertó plenamente,

DIego GARcía CAStaño

y éste con cordialidad manifiesta contestó a todas sus preguntas que no fueron pocas. DIGARCAS, captó porque su interlocutor le habló claro y diáfano, que la exigencia práctica en las diferentes materias era tan abismal respecto a lo realizado por él en Elche que, sus expectativas de superarlas se difuminaban por momentos, prácticamente estaba volcado al fracaso en sus exámenes como alumno libre porque, por ejemplo, en la asignatura de Física General, si no aprobaba la prueba práctica previa, la de hallar, por ejemplo, una determinada longitud de onda con el espectroscopio, que él nunca había tenido entre sus manos, ni tan siquiera le dejarían examinarse de la parte teórica. En Geometría Métrica, según su interlocutor, había que enfrentarse a tres problemas de feliz idea, tildándolos de “escándolo” por la dificultad que encerraban, en un plazo de cinco horas, desde las 9 de la mañana hasta las 14 horas, en las que la gente se los leía y releía, tomaba notas en el papel, dibujaba la figura contextual del problema, buscaba si algún punto del entramado del problema, de la figura dibujada en el papel, se mantenía fijo, o sea, pudiera ser centro de homotecia o de inversión en el que apoyarse como punto de lanzamiento para “meterle mano” a la cuestión propuesta. Total, que la mayoría de alumnos, por expertos que fueran en la materia, solían dedicar a cada uno de los tres problemas aproximadamente una hora para todas estas indagaciones, de modo que rondando las 12 tenían ya las motivaciones necesarias, aunque no siempre suficientes, para elegir el primer problema al que iban a dedicar, en principio y de forma definitiva, todos sus esfuerzos pensando, que era el más “potable” de los tres.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Si lograban triunfar en el empeño, con una moral desbordante, se metían a laborar con otro de los dos problemas que les quedaban por hacer, a veces lograban dar en el clavo y lo resolvían también, aunque muchas otras, el incipiente parpadeo de las luces del horizonte terminaba apagándose. Resolver los tres problemas era prácticamente imposible según se demostraba año tras año. DIGARCAS, por su lado, en junio de 1952, o sea, un año después de lo que estamos narrando, estuvo a punto de lograrlo aunque no pudo culminar la gesta, aunque, eso sí, se emocionó tanto que ni firmó su examen, por lo que la misma tarde del examen tuvo que informarse sobre donde vivía Cervera, el profesor de Geometría Métrica. Al día siguiente, a las 9 de la mañana, sonaba el timbre, impulsado por DIGARCAS, en la vivienda de su profesor, que entreabrió la puerta llevando aún el pijama. Charlaron unos instantes y, al contarle DIGARCAS que no había firmado el examen, Cervera le dijo que no se preocupara que él se había dado cuenta nada más abandonar DIGARCAS el aula. Retrocediendo de nuevo a 1951, DIGARCAS, tras contrastar, con unos y con otros, enterarse, por ejemplo, que en los exámenes se podían entrar y consultar toda clase de libros, como el FGM francés que tenían casi todos los alumnos con los que habló, con cientos de problemas resueltos y otros muchos propuestos; el Olabarrieta, libro de problemas de Geometría

Métrica

que

empezaba

con

los

enunciados

perfectamente numerados que después, a lo largo de todo el libro, ofrecía resueltos; también se podían consultar, en los exámenes, toda clase de apuntes por lo que DIGARCAS, pensó que aquello era otro mundo, el mundo candente de la Ciencia.

DIego GARcía CAStaño

Según todo lo que oyó a unos y otros, él pensó que necesitaría aclimatarse al “calor” matemático de la ciudad del Ebro y el Gallego, porque la verdad es que lo visto o estudiado en Elche no era homologable o equiparable sino simplemente ridículo e insignificante, por decirlo de forma fina y benévola, respecto a lo que se hacía en la Universidad de las catedrales del Pilar y La Seo, de la calle Alfonso, del Coso, el “Tubo” y el Paseo de la Independencia. Porque, los problemas que se ponían en Primero de Ciencias Matemáticas, en estos parajes, tenían un nivel estratosférico o galáctico respecto a los realizados por DIGARCAS entre palmeras. Con

esa

realidad

que

rodeó

atenazándolo

científicamente, lo único rentable que pudo hacer DIGARCAS fue, olvidándose pues de los exámenes como alumno libre, proveerse con vistas al curso 1951-52 del material docente que por allí circulaba, de los libros más usados por los alumnos de Primero y de sacar fotocopias de algunos apuntes valiosos que cayeron en sus manos. Entraría al examen de alguna de las asignaturas, en las que se había matriculado como alumno libre, para comprobar que era verdad lo que le habían contado. Su fracaso, que él nunca aceptó como tal, pensando que algún motivo tendrían sus padres para no estar él en Zaragoza en el curso 1950-51, fue total y absoluto, aunque se resarciría con creces en el curso subsiguiente 1951-52. Dos semanas después, como depositario de todos estos tesoros, de los consejos y detallados informes recibidos regresó a Elche. El veraneo fue muy parecido al de otros años, aunque su mente estuviera con frecuencia muy alejada de las costas “santapoleras” en las que se encontraba.

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Su instinto matemático solo estaba en lo que haría en Zaragoza, a partir del 12 de octubre, festividad de la Virgen del Pilar, que es cuando le dijeron que empezarían las clases en la Universidad. Así pues, llegó el día más añorado por él durante todo el verano, el 10 de octubre que fue cuando salió de Elche y después de hacer escala nocturna en Valencia, la tarde del día siguiente se apeaba del tren en Zaragoza, marchando directamente a la calle Prudencio a casa de su tía abuela Adela, donde nada más cenar se fue a la cama. Empezó el curso con total normalidad y, se hizo amigos por todas partes, entre ellos los más cercanos, el vasco Sabino Gabiola, Rafael, hijo de una profesora de Teruel y un compañero de curso apellidado Sanz. Aunque compartía habitación con su primo José Luis, DIGARCAS, era bastante independiente, rara vez distraía en su trabajo a su primo o entraba a alguna de las dependencias de la casa como la cocina. Al comedor, por ejemplo, no lo hacía prácticamente fuera de las horas de comer o cenar. Su vida

transcurría

pues,

cuando

estaba

casa

habitación, en el habitáculo que compartía con José Luis y, en la que disponía de una mesa en la que poder estudiar, aunque él iba casi todos los días, por la tarde, al Colegio Mayor o Residencia de Miraflores que algunos decían y otros lo negaban que era del Opus Dei, porque en ella no solamente podía estudiar con su amigo Sabino, en una silenciosa y gran sala de estudios, frecuentada por titulados, ingenieros, licenciados

distintas

especialidades,

residentes

que

preparaban oposiciones, incluso a cátedras de universidad, y estaban dispuestos a ayudar dentro de su especialidad a los que se lo pidieran. 93

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS congenió con muchos de los que residían en Miraflores, compartía con ellos ratos de asueto, por ejemplo, en el gimnasio se calzaba los guantes de boxear y le daba puñetazos a un saco terrero que allí había o festejaba, con todos

ellos,

Premio

Nacional

Literatura

que

concedieron al Doctor Casas, a uno de los residentes en Miraflores. Formó parte alguna vez que otra, aunque no fueron muchas, del equipo de fútbol de dicha residencia. Con “Pichote”, un hombretón que daría miedo a sus rivales como jugador de Rugbi que era, además de ser un insigne ingeniero de Caminos, Canales y Puertos, en el que encontró DIGARCAS grandes apoyos científicos, tanto en Geometría Métrica como en Análisis Algebraico y Física. DIGARCAS, también frecuentaba la recoleta Capilla de la Residencia Miraflores, para vigorizar su ánimo con un halo placentero de tranquilidad espiritual. En ella reflexionaba sobre algún punto de la gloriada obra, Camino, de Vicente Escrivá, fundador del Opus Dei. En un ambiente de recogimiento y eficacia, como el que estamos relatando, compartido con su buen amigo Sabino, que con el tiempo se haría sacerdote y que le presentó a muchos de los que más tarde serían entrañables amigos suyos, DIGARCAS, era feliz en Zaragoza. Por la mañana acudía a la Facultad de Ciencias Matemáticas, donde disfrutaba con las explicaciones de Ciriquián, en Análisis Algebraico, Cervera en Geometría Métrica, Velasco en Física General y, con las de un Comandante del Ejército del Aire que le daba la asignatura de Astronomía. La mayoría de las tardes estudiaba en la Residencia Miraflores y, alguna de ellas, en su habitáculo de la calle Prudencio que compartía con José Luis, siempre enfrascado en sus estudios de Cuarto de Ciencias Matemáticas, con el que se llevaba a las mil maravillas. 94

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Con su primo José Luis compartió, como es lógico, ratos de esparcimiento inolvidables, por ejemplo, viendo la obra de teatro Las de Caín, pasaron un rato increíblemente feliz, riéndose a carcajada limpia, como pocas veces antes lo habían hecho; DIGARCAS, además, algunas veces, acompañaba a su primo

Club

Náutico

Helios,

pegado

río

Ebro,

prácticamente enfrente de la Basílica del Pilar que está al otro lado del río, en el que él, que era socio del mismo, jugaba al frontón y remaba por el río más caudaloso de España. También iba con su primo alguna tarde, normalmente de día festivo, a un local juvenil, que había cuando se entraba desde la calle Alfonso al vericueto de la zona conocida popularmente como El Tubo, donde los jóvenes charlaban formando grupos, merendaban y se lo pasaban en grande. A DIGARCAS le recordaba aquel caserón, en algunos aspectos, los locales de Acción Católica de Elche. La vida rutinaria de DIGARCAS en Zaragoza, se zarandeaba con vigor cuando se acercaban los exámenes de fin de curso porque, por ejemplo, iba a estudiar todas las noches a casa de su amigo Valdés, hijo del traumatólogo del Real Zaragoza C.F., que vivía en los soportales del Paseo de la Independencia y, que era muy amigo de Cabrera, uno de los físicos más grande que ha tenido España, y con el que compartía su afición futbolera, ¿cuántas veces se vería a tan deslumbrante científico llegar a la universidad con su Marca bajo el brazo? DIGARCAS llegaba a casa de su amigo a eso de las once de la noche, prácticamente cuando la familia del Dr. Valdés acababa de cenar. Entonces él y su amigo pasaban a un salón, a una especie de gran comedor que pocas veces sería utilizado como tal por la familia, en el que había una larguísima mesa en cuyos extremos se situaban, con sus 95

DIego GARcía CAStaño

libros, apuntes y utensilios de trabajo, los que allí estarían de tres a cuatro horas estudiando, desentrañando teoremas, problemas resueltos y por resolver. Como es lógico, por lo distante que estaban el uno del otro,

los

comentarios

que

hacían

entre

ellos

los

verbalizaban en voz alta. Igual uno enunciaba un teorema de convergencia de series del Análisis Algebraico de Rey Pastor, y preguntaba al otro las dudas que sobre el mismo albergaba, y si el interpelado se encontraba en condiciones de aclararlas lo hacía y seguían estudiando, en caso contrario leían ambos dicho teorema en otro libro, por ejemplo, en el Análisis Matemático de Íñiguez, lo comparaban con el leído en el Rey Pastor, lo discutían y si les convencían sus razonamientos se quedaba zanjada la cuestión. De

no ser así, DIGARCAS,

tomaba buena nota de la misma, para comentársela, por ejemplo, a Pichote cuando lo tuviera a “tiro” en la Residencia de Miraflores. A eso de la una y media, aparecía por el salón donde estaban DIGARCAS y su amigo, el Dr. Valdés con chaqueta de pijama y calzoncillos, y automáticamente, como todas las noches se iban con él los dos que allí estudiaban. Muchas veces cuando llegaban al despacho del doctor, ya estaban en él otro de sus hijos y un primo de éste, natural de Mallorca, que estudiaban Medicina, y que colaboraban entre ellos en otra sala de la casa igual que lo hacían DIGARCAS y su amigo. El

doctor,

que

era

muy

cuidadoso,

atento

complaciente, repartía algo que masticar en el cuarto de hora de descanso, chocolatinas, minúsculas y sabrosas galletas, lo que fuera para animar el cotarro, la charla desenfadada que allí se establecía, acababa siempre contando los tertulianos unos cuantos chistes. 96

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Una noche, en que quizás por el agobiante calor, DIGARCAS

amigo

dejaron

puerta

del

balcón

entreabierta, un vecino desde su terraza gritó al oír los comentarios en voz alta que estos hacían sobre diversas cuestiones y teoremas, del Análisis Algebraico de Rey Pastor, “¡ya está bien, que son horas de dormir y no de molestar a la gente!”, el contar este pasaje o chascarrillo se debe a que las quejas del susodicho vecino coincidieron con la entrada, del Dr. Valdés, en el salón donde estaban DIGARCAS y su hijo, y porque ni corto ni perezoso el doctor, dando unas cuantas zancadas, salió al balcón y le recriminó al que no podía conciliar el sueño diciéndole, “¡Vd. lo que debería hacer, en lugar de quejarse, es ser más respetuoso con el progreso de la Ciencia!”. Concluidos todos los exámenes, del curso 1951-52, y encarrilada perfectamente la carrera por DIGARCAS, hasta el extremo que a partir de entonces siguiendo la rutina ensayada y contrastada en Primero, o sea, dejando pasar los años, terminaría

siendo

Licenciado

Ciencias

Matemáticas,

habiéndose sacudido de encima, con ello, la negra nube que en el curso 1950-51 se cernía sobre sus perspectivas matemáticas en la ciudad que le vio nacer. La verdad es que esa nube “borrascosa” se diluyó por completo, como terrón de azúcar en el agua, sin dejar ni rastro con lo que el ánimo, el sosiego y la confianza en sí mismo alcanzaron los niveles habituales a los que estaba acostumbrado DIGARCAS. Como DIGARCAS siempre pensó terminar la carrera en Madrid, y tenía proyectado realizar sus estudios a partir de Tercero en la capital de España, creyendo que, de este modo, tendría más oportunidades de encauzar su futuro laboral que en otras ciudades de nuestro país, el curso 1952-53 sería el último curso que estaría en Zaragoza cursando, como estaba, 97

DIego GARcía CAStaño

el Segundo Curso de Ciencias Matemáticas, el de su despedida de la ciudad que le devolvió el empuje matemático de antaño, su vocación matemática. Este último curso en la capital aragonesa fue de una normalidad apabullante en cuanto a los estudios, pero existieron otros ingredientes que merecen ser mencionados. DIGARCAS, en las vacaciones de Semana Santa, ahondando sus raíces ilicitanas se echó novia en la ciudad que le vio nacer, o sea, encontró su media naranja entre palmeras, a una jovencita encantadora, Maru García Sevilla, de quince años de edad, cuando él tenía ya veinte. Ilusionada mutuamente la pareja se carteó cuanto pudo en el último trimestre de dicho curso académico. Él la suscribió, primero, a la revista Mujer, la de moda por aquel entonces para las féminas y, ya estando en Madrid a Selecciones del Reader Digest, como sabemos, con artículos más sustanciosos. A esa gran novedad, que supuso el que DIGARCAS encontrara a la mujer de su vida, a la que en las décadas de los sesenta y setenta del siglo XX le diera ocho hijos, cinco chicas y tres chicos, todos ellos grandes profesionales, las chicas, como economistas, profesoras de primaria, secundaria universitaria

y sicopedagogas,

y los

chicos,

dos

como

abogados y uno graduado social, hay que añadir otra que no fue nada fácil para DIGARCAS solucionar. La cuestión “espinosa” a lidiar por DIGARCAS, por la querencia hacia sus amigos, los últimos meses de su estancia en Zaragoza, fue la siguiente, un día, como otros tantos, al llegar a la Residencia Miraflores y contactar con su amigo Sabino, pasaron a la sala de estudios. Una vez desenfundados los bártulos para aquella sesión, Sabino, con voz titubeante y grave, que le dio a entender a DIGARCAS que algo muy 98

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA importante y trascendente llevaba entre manos, le espetó “DIGARCAS, si no te importa, podríamos ir a la salita que hay frente a la capilla, porque tengo que comunicarte algo especialmente delicado, mejor dicho, que te interesa”. La contestación de DIGARCAS fue próxima y amistosa, “no faltaba más, estoy impaciente en saber de qué se trata, en oírte lo que quieres decirme”. Ya en la susodicha salita y, de bote pronto, Sabino le dijo que “todos los de la Residencia de Miraflores habían rezado para que DIGARCAS se hiciera del Opus Dei”. DIGARCAS, perplejo por lo que acababa de oír le contestó, con la convicción del que no duda en absoluto lo que va a hacer, del que no piensa rectificar ni un ápice de lo que dice, “Sabino, sabes lo mucho que te aprecio, lo que estimo a los amigos que tengo en esta residencia e incluso que soy pregonero nato, y lo seré siempre, del bien que hacéis a este mundo los del Opus Dei, pero quiero que entiendas que mi futuro, con lo que amo a mi novia, a Maru, no pasa por ser del Opus Dei”. DIGARCAS,

sin

embargo,

tuvo

que

escuchar

parafraseadas réplicas de Sabino, más o menos gratas a sus oídos, como las siguientes, “DIGARCAS, no seas cobarde, no temas entregarte en cuerpo y alma al Señor, porque tu alma será la primera beneficiada”. Pero DIGARCAS tampoco se quedó corto defendiéndose, como gato panza arriba, y lo cierto es que debió hacerle reflexionar, a Sabino, todo lo que DIGARCAS le dijo porque la verdad es que se comunicaron, eso sí en la distancia durante años y años, hasta el extremo que Francisca, una de las hijas de DIGARCAS, fue con su marido y sus dos hijas a charlar con Sabino, por encargo expreso de DIGARCAS, en la calle Bruno Buozi de Roma, sede

DIego GARcía CAStaño

de la cúpula del Opus Dei, donde residió Sabino muchos años, a la vera del Papa Benedicto XVI. No obstante lo dicho, el final de curso 1952-53, fue algo extraño y estrambótico para DIGARCAS, pues se encontraba con amigos de la Residencia Miraflores, por sitios donde nunca antes los había visto, además todas las conversaciones que mantenía con ellos le llevaban a pensar en dobleces dialécticas y dobles sentidos, que le molestaban por la culpabilidad implícita que irradiaban sobre su persona. El colmo de esta situación “maquiavélica”, aunque apreciaba sobremanera a todos los del Opus Dei, se produjo el día que, en el rellano final de la escalinata de acceso a la Universidad, al lado de la grandiosa portalada de entrada a la misma, saludó a su amigo Pichote, el cual le dijo, “estaba esperándote para decirte que pasado mañana nos vamos a la casa de ejercicios espirituales, bueno de recogimiento, que el Opus Dei tiene en Cuenca y que hemos pensado que te vendría muy bien para reflexionar sobre lo que te dijo el otro día

Sabino”,

DIGARCAS

fue

tajante,

“mira

Pichote

precisamente dentro de tres días tengo un examen y, por lo tanto, como es lógico, no

voy a ir con vosotros a Cuenca

aunque quisiera, eso sí, dejar bien sentado de una vez por todas, una cosa que es muy simple de entender y es que, “¡quiero a mi novia y pienso, tan pronto me sea posible casarme con ella!”, Pichote, aparentemente haciendo oídos sordos, le dijo que él podría hablar con el profesor que le iba a examinas, para ver de que no saliera perjudicado por no asistir a la prueba programada, pero DIGARCAS con energía, con la fuerza de la razón por delante, le dijo que nunca permitiría que nadie hablase por él con el profesor que le iba a examinar.

100

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Con todas estas intrigas, no es extraño que DIGARCAS deseara fervientemente, a pesar de lo bien que lo había pasado en Zaragoza, que terminara de una vez su periplo universitario en esta ciudad, añoraba que el aire fresco de Madrid le desembarazara de todo aquello, de no poder satisfacer la petición de su amigo Sabino. No podemos terminar de escribir este capítulo sin rendir tributo, a esa hornada de excelentes matemáticos aragoneses, que salieron de una palada en el curso de José Luis Viviente, primo segundo de DIGARCAS. Javier Etayo Miqueo, que falleció, en el 2012, fue uno de ellos, autor de numerosos libros y artículos periodísticos de Matemáticas, director de Tesis Doctorales, Secretario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, logró cátedra en la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, fue el promotor de la Facultad

Ciencias

Matemáticas

Universidad

Autónoma de Madrid en la que dejaría, como “encargado” de la misma, al volver él a la Complutense, al matemático Viñas que acabaría siendo Catedrático de la Universidad de Murcia. José Luis Viviente Mateu, otro gran profesor de Matemáticas en la Academia Peñalver, o sea, en el mejor centro docente español de preparación para el Ingreso en la Escuela

Técnica

Superior

Ingenieros

Industriales,

Catedrático en la Facultad de Ciencias Matemáticas de Zaragoza,

autor

libros

artículos

periodísticos

Matemáticas, director de varias Tesis Doctorales, académico de la Academia de Ciencias de Zaragoza, presentador de académicos en la misma, promotor de la Facultad de Ciencias Matemáticas de Valencia, donde Valdivia, uno de los mejores matemáticos del mundo hoy día, imparte conferencias, donde 101

DIego GARcía CAStaño

nunca ningún español lo hizo, por ejemplo, en Alemania y es requerido en otros muchos puntos del planeta Tierra. José Luis disfruta los últimos pasajes de su exitosa vida, como jubilado, en “la millor terreta del mon”, o sea, en Alicante, en la ciudad que vio nacer a su madre y a muchos de sus ancestros. Finalmente recordaremos al genial Sancho Guimerá, que sentó sus reales, durante toda su vida profesional, en la Universidad de Barcelona como Catedrático de Análisis Matemático de la Facultad de Ciencias Matemáticas. Dirigió Tesis Doctorales, escribió libros de Cálculo magníficos y compartió con Linés el reconocimiento, gloria y el aprecio al que se hizo acreedor por el progreso que imprimió a la Ciencia en Cataluña.

102

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

103

DIego GARcía CAStaño

REPORTAJE GRÁFICO DE DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

104

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

Ladera izquierda del Río Vinalopó y Palacio de Altamira (Elche).

Torre de Ressemblanc (Elche).

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DIego GARcía CAStaño

Alumnos del Colegio de Santo Domingo (DIGARCAS a la derecha en todo lo alto).

DIGARCAS de pie a la derecha.

El próximo DIGARCAS.

106

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMĂ TICA

DIGARCAS tiene la cabeza entre tubos.

Humareda por anormalidad en el disparo.

El Pater Aliste y DIGARCAS.

107

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS con dos amigos de curso (Madrid).

El Pater Aliste.

El Pater Aliste en el Parque del Retiro.

108

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

El Pater Aliste y su Iglesia San Manuel y San Benito.

DIGARCAS en el Parque del Retiro.

109

DIego GARcía CAStaño

Calle Arenal. La Academia PEÑALVER, en la tercera planta.

A la derecha DIGARCAS, con su mujer, su madre y Pepe Landaluce.

Profesores de la Peñalver en el bautizo de la hija mayor de DIGARCAS.

110

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMร TICA

DIGARCAS con sus dos hijas mayores.

DIGARCAS fumรกndose un puro.

Alumnos con el profesor DIGARCAS, al fondo a la izquierda. 111

DIego GARcía CAStaño

El profesor Montoya con alumnos de la Peñalver.

Alumnas en la galería de la casa de DIGARCAS.

DIGARCAS, a la derecha, dando clase en la Academia Peñalver de Madrid.

112

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

Profesores de la Peñalver con DIGARCAS a la derecha.

DIGARCAS con su señora, en la finca de Diego Jimenez, con gafas.

Matanza en Caravaca de la Cruz a la que asistió DIGARCAS

113

DIego GARcía CAStaño

Bodas de Plata de DIGARCAS con su familia al completo.

DIGARCAS por el paseo la Independencia de Zaragoza.

114

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMĂ TICA

DIGARCAS e Isidro, casero de la casa natalicia de Jorge Juan.

DIGARCAS y uno de sus hijos en la casa natalicia . 115

DIego GARcía CAStaño

Casa natalicia de Jorge Juan Santacilia en el Hondón de Novelda

Comedor del casero, en la Casa Natalicia, en el que Isidro agasajaba al Departamento de Matemáticas del Instituto Carrús de Elche que dirigía DIGARCAS.

116

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

Una de las reuniones del Departamento de Matemáticas del Carrús en el Hondón.

Profesores del Instituto Carrús de Elche en el restaurante La Magrana. 117

DIego GARcía CAStaño

Comida de jubilación de DIGARCAS como profesor.

DIGARCAS en Tenerife, recién jubilado. 118

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

DIGARCAS, jubilado, escribió siete libros, en seis de ellos entra Jorge Juan.

DIGARCAS, en la presentación de su libro Biografía y Matemática de Jorge Juan. 119

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS y su Sra. con Gaspar Mora, Director del Departamento de Análisis Matemático de la UA, y el Sr. Ordóñez, Secretario de Estado de Universidades y Cultura y exRector de la UA, respectivamente, prologuista y presentador del libro “Trascendencia Científica de Jorge Juan Santacilia” del que es autor DIGARCAS.

Vista del Palmeral de Elche, que divisa DIGARCAS desde el despacho de su casa.

120

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

121

DIego GARcía CAStaño

CAPÍTULO IV

FRUTOS Y RECOMPENSAS

Finalizado el curso 1952-53, DIGARCAS regresó a Elche, fue un verano muy especial en el que la protagonista destacada fue Maru, su novia. La veía todos los días, paseaba con ella, por ejemplo, por el Parque Municipal de Elche y por la Glorieta. Iban al cine, asistían a competiciones de natación en el Parque Deportivo. Recuperaban, qué duda cabe, el tiempo “perdido” que estuvieron sin verse, ella en Elche y él en Zaragoza. Finalizado el verano, ya en otoño, a principios de octubre de 1953, DIGARCAS, marchó a Madrid a casa de los suegros de su primo hermano, Diego Pascual García, que alquilaban habitaciones, por ejemplo, a empleados, como era el caso de dos hermanos, dependientes de una importante tienda de zapatos que eran forofos acérrimos del Atlético de Madrid. DIGARCAS llegó a su nuevo hábitat en la calle, Martín de los Heros, en el Barrio de Argüelles, en las cercanías inmediatas del Ministerio del Aire, cuando los coches con 122

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA matrículas españolas “ciento diez mil y pico” eran todos de ciudadanos americanos. Esa era, por otro lado, la matrícula asignada a los espléndidos cochazos estadounidenses que aparcaban en el barrio de Argüelles, en el que DIGARCAS vivía, pues por aquel entonces decenas de militares de EE.UU., que trabajaban en el Aeropuerto Militar de Torrejón de Ardoz, pululaban por el Ministerio del Aire español. Su nuevo enclave residencial era privilegiado para un estudiante de la Universidad Complutense, como era el caso de DIGARCAS, porque estaba cerca de la Plaza de la Moncloa, que encaraba a la fachada del Ministerio del Aire y de la que salían los autocares repletos, a reventar, de alumnos que parecían iban a salirse por las ventanillas y puertas, al igual que pasaba en el metro en las horas punta cada día, que se dirigían hacia todas las facultades de la complutense, en especial, a las de Medicina, Ciencias Naturales, Físicas, Químicas, Matemáticas, Filosofía y Letras, que era la preferida por las chicas, y a algunas Escuelas Especiales como las de Ingenieros Aeronáuticos y Agrónomos o la de Arquitectura. También estaba, en la parte alta de aquella zona la Escuela de Ingenieros de Montes y la de Dirección de Cine y Teatro. Entre los profesores que le darían clase a DIGARCAS, en Tercer Curso de Ciencias Matemáticas, figuraban Pedro Abellanas Cebollero, del que ya dimos alguna referencia en el Capítulo III, por la familiaridad que le ligaba a Cervera, y del que

añadiremos

que

era

tan

gran

profesor

que

sus

investigaciones solía, a veces, llevarlas al aula, a su cátedra de Geometría Proyectiva, mostrando esos días el encanto en toda su salsa de la matemática que de él fluía, porque trabajando sobre terrenos pedregosos y movedizos, abandonando los terrenos trillados por la rutina y pavimentados por otros, o sea, cargando sobre sus espaldas con toda la responsabilidad, 123

DIego GARcía CAStaño

es decir, siendo él el hacedor, el creador de los pasajes que explicaba se ofrecía a sus alumnos en toda su dimensión de conspicuo profesor. No es extraño, no obstante, que con esta forma de operar a veces tuviera que borrar pizarras enteras, al darse cuenta, como experto investigador que era, que por el camino emprendido se le cerraban las puertas que conducen al acierto y, que no tenía más remedio que cambiar de rumbo, con el fastidio que suponía para sus alumnos tener que tachar, dar por perdidas páginas y páginas de su cuaderno de apuntes. Esto le reportaba, como es lógico, comentarios adversos porque muchas veces acababa la clase a deshoras y no había podido concretar nada de lo que él perseguía. Aunque todo esto, a matemáticos con la rectitud moral y capacidad de trabajo, al por mayor diríamos nosotros, de Abellanas, no suele

afectarles,

que

compensan

con

creces

estas

situaciones con otras muchas, casi todas las restantes, en las que se salen con la suya y son brillantes en su quehacer y exposición de la Matemática. El que se desesperaba a veces, con todo esto, porque los alumnos llegaban tarde a su clase que venía de seguido de la de Abellanas, era Sánchez del Río, magnífico profesor de Óptica y Electricidad, que al ser nuevo en la Universidad Complutense de Madrid, a la que acababa de dar el salto desde la Universidad de la Laguna de Tenerife, en las Islas Canarias, desconocía lo que pasaba a veces con las clases de Abellanas, o sea, que la perseverancia del mismo por terminar las cosas, aunque sobrepasara en algunos minutos su hora de clase retardaba la salida de la misma. Pero como esto no pasaba a diario, sino muy de tarde en tarde, Sánchez del Río,

124

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA tuvo que atemperarse, adoptando una actitud, diríamos nosotros, comprensiva, dúctil y maleable. Sánchez del Río, como gran catedrático de universidad que era, no dejaba de investigar para ser transmisor nato, claro y contundente, de sus saberes, por ejemplo, llegó a una forma tan esquemática de edificar, desarrollar y exponer su asignatura Óptica y Electricidad, que enarbolando, única y exclusivamente, como bandera la de las Fórmulas de Maxwel, la explicaba de principio a fin, durante todo el curso, haciendo los alardes y artificios convenientes, o sea, dándole los valores que en cada caso requerían las variables que intervenían en dichas fórmulas para demostrar lo que se proponía. Algo parecido hizo DIGARCAS cuando en la 2ª edición, de su libro Matemáticas de Preuniversitario, cambió la forma geométrica

realizar el

producto,

o composición,

movimientos en el plano y en el espacio tridimensional, al comprobar la dificultad que significaba, la misma, para algunos de sus alumnos. Él, preocupado por lo que la realidad le hizo ver, ideó un método más analítico o algebraico, más mecánico, en el que el alumno no tuviera dificultades añadidas. Recurrió a las matrices con tal de mecanizar, es decir, de hacer accesible el proceso a todos sus alumnos, de modo que a partir de entonces fue raro encontrar alumnos que tuvieran dificultades para demostrar, por ejemplo, que “el producto de dos simetrías especulares de planos perpendiculares era una simetría axial de eje la recta de corte de dichos planos”, pues bastaba con operar de la siguiente forma:

σ οσ XY

(

)(

)σ

1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 1 0 = ο 0 1 0 = 0 1 0 = YZ 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 125

DIego GARcía CAStaño

Donde

era el producto o composición de las

dos simetrías especulares de plano OZ ∪ OY, o sea, el x=0, leyéndolas de derecha a izquierda como se hace con los movimientos por ser, realmente, aplicaciones, por la de plano OX ∪ OY, es decir, el z=0. Y

OY, que podemos escribir como

era la simetría axial de eje

{

x=0 z=0 . Además, para

recordar estas matrices y no equivocarse, bastaba recordar la siguiente regla nemotécnica, si el -1 está en la 1ª,2ª o 3ª fila no afecta ,respectivamente, a los ejse OX, OY u OZ, por eso como en la 1ª matriz el -1 está en la 3ª fila falta el eje OZ por lo que

, representa a la simetría respecto al plano xy ,

en la 2ª por estar el -1 en la 1ª fila falta el eje OX y

representa a la simetría respecto al plano yz. Y al tener la 3ª matriz, es decir el resultado, el -1 en las filas 1ª y 3ª faltarán los ejes OX y OZ y, por lo tanto queda,

, que representa

a la simetría axial de eje OY, es decir, de eje la intersección de los planos coordenados XY e YZ. Recordando las matrices características de las simetrías central y axial, las del giro y la traslación, del plano y del espacio de tres dimensiones, y las especulares, de forma mecánica, o sea, prácticamente sin pensar, como ya hemos visto, el alumno sin más que saber multiplicar matrices lo tenía todo hecho (recuerde el lector que para poner el numero en la matriz situado, por ejemplo, en la segunda fila y de la tercera columna, se multiplican los elementos de la segunda fila del multiplicando por los correspondientes de la columna tercera del multiplicador y se suman).

126

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Cambiando de chip, diremos, que tenía razón, Rey Pastor, cuando afirmó que Sixto Ríos, “fue novio del Análisis Matemático pero se casó con la Estadística”, porque la verdad es que nadie como él hizo tanto en España por el prestigio científico de la Estadística, tratando, por ejemplo, en sus libros al nivel que les correspondía la de Student o la

de Pearson, la

de Ficher, el contraste de hipótesis

estadísticas, los estimadores de máxima verisimilitud y el control de la Calidad. Fue, además, el que creó en los locales de la antigua Universidad de la calle San Bernardo los graduados en Estadística, en su grado Medio, y Superior Matemático. DIGARCAS, por cierto, superó todas las asignaturas de este grado Superior Matemático, pero aunque estaba dispuesto a realizar el trabajo fin de carrera que le hubiera proporcionado el título correspondiente, sin embargo, nunca lo hizo, enfrascado como estuvo con la preparación Matemática de los futuros

Ingenieros

posteriormente

con

Industriales su

Cátedra

en de

Peñalver

Matemáticas

y de

Bachillerato y Director del Instituto de Enseñanza Media de Caravaca de la Cruz. Con todo lo dicho sobre Sixto Ríos, como padre que fue de la Estadística en España, no obstante para, DIGARCAS, este profesor nunca fue santo de su devoción porque eso de “criar fama y acostarse a dormir”, nunca le pareció correcto, y el caso es que para él, al menos, Sixto Ríos cuando le dio clase de Cálculo de Probabilidades, en la antigua casona de San Bernardo, dejó relucir atisbos en este sentido porque mientras paseaba por la tarima, DIGARCAS, estaba

completamente

convencido de que cuando se apoyaba en la barandilla metálica

que

cercaba,

dicha 127

tarima,

inclinando

DIego GARcía CAStaño

descaradamente el torso hacia adelante,

era porque se le

olvidaba parte de lo que tenía que explicar, y que no había preparado, o sea, para poder leer u orientarse con la figura visible del libro que DIGARCAS tenía abierto, en la primera fila del aula, pegada completamente a la tarima. No obstante lo que acabamos de exponer, DIGARCAS, disfrutó de lo lindo, como nunca lo había hecho diríamos nosotros, con el ambiente científico de la Capital de España, como lo demuestra el hecho de que estando residiendo en las calles Santa Brígida y Fuencarral, muy próximas a la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, asistió al Discurso de Ingreso en la misma de Puig Adam, o sea, del autor de ese magnífico libro que es su Geometría Métrica, con leves pecados intuitivos, que estudió DIGARCAS con Cervera en Zaragoza.

Tampoco faltó a la toma de posesión, como

académico de la misma Real Academia de Ricardo San Juan, Catedrático de Análisis II, porque aunque no había sido profesor suyo, debido a que dicha asignatura la traía aprobada de Zaragoza, sin embargo le atrajo sobremanera el que su padrino, en este solemne acto, fuera Rey Pastor, el que le dio seriedad científica a la Matemática española y que para muchos, fue el padre de los matemáticos españoles del siglo XX, como ya dijimos. Además, DIGARCAS, no lo había visto nunca, al tener Rey Pastor su residencia habitual desde hacía muchos años en Argentina, en la que siempre se le admiró por el vuelco positivo que le dio a la Matemática de aquel país. Por otro lado recordaremos que DIGARCAS compartió pensión en la calle Santa Brígida, donde se encontraba el teatro Maravillas, con Lolita Caballero, cantante que se casó con su jefe Juanito Valderrama y que cambió su nombre artístico por el de Dolores Abril, el mismo que utiliza hoy día su hija, una de las artistas del elenco femenino de Pedro 128

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Almodovar. En la calle Fuencarral, próxima a la anterior, coincidió también con un personaje muy singular, con un licenciado en Matemáticas que se ganaba la vida haciendo jeroglíficos para muchos periódicos, para lo que utilizaba un diccionario bastante especial, en el que en lugar de venir las palabras por orden alfabético, venían clasificadas por el nº de letras que tenían y que abarcaban, empezando por las palabras que tenían dos sílabas. Volviendo

nuestro,

recordar

que

como,

DIGARCAS, le encantó la intervención de Rey Pastor, como padrino de ceremonias de Ricardo San Juan, no tuvo nada de extraño que al enterarse de que en el acto del Centenario del Nacimiento de Menéndez Pelayo, que iba a celebrarse en la casona de la Universidad antigua de la calle San Bernardo, intervendría junto al Ministro de Educación y Ciencia y de Laín Entralgo, Presidente de la Real Academia de la Lengua, decidió asistir al mismo, aunque la verdad es que le salió el tiro por la culata, porque le gustó más el discurso de Laín Entralgo, e incluso el del ministro de turno, que el de Rey Pastor que le pareció bastante deslavazado, chabacano, y desde

luego

menos

refinado

estilísticamente

hablando.

Además, a DIGARCAS, le pareció entender que Rey Pastor, despreció olímpicamente la inteligencia de los españoles, quizás sin proponérselo, al decirles a los estudiantes allí presentes, quizás con menos claridad que lo vamos a exponer nosotros que, ”tendrían que estar contentos, porque con poco que supieran podrían llegar a formar parte de la élite de nuestra patria”. Para colmo de males el acto, que se había iniciado a las dos de la tarde, concluyó casi a las cuatro, cuando todos pensaban más en comer que en otras cosas. Ahora daremos unas rudas y burdas pinceladas sobre las clases de Mecánica Racional, que impartía el competente y 129

DIego GARcía CAStaño

severo Navarro Borrás porque lo cierto es que fueron muy especiales, por darles algún calificativo. Éste catedrático solo daba de las tres clases semanales de su asignatura la de los miércoles, porque las otras dos las daba Arregui, su auxiliar, que con el tiempo obtendría la Cátedra de Topología. Ese día aunque la clase fuera de gran nivel científico, por la sapiencia de Navarro Borrás, la cruda realidad es que los alumnos lo pasaban horrible, aquello era “esperpéntico”, porque por un lado había que salir, durante el curso, algún día a la pizarra, ya que era prácticamente la única vía, según veremos más adelante, para aprobar la asignatura, y por otro salir a la pizarra era “de muerte”. El rato que se pasaba sobre la tarima “dialogando”, de vez en cuando, con Navarro Borrás, era “horripilante e incivilizado”, de un nerviosismo extremo por la forma como se comportaba e interpelaba al exponente de la lección del día, que Navarro Borrás, había señalado el día anterior diciendo, simplemente, mañana empezaremos a partir, por ejemplo, de la página 151. Pero veamos, aunque solo sea a grandes rasgos, como se desarrollaba la clase de Mecánica Racional de los miércoles. Empezaremos diciendo que era un “suplicio” para todos los asistentes, porque Navarro Borras, entraba al aula, tiraba de cuaderno y nombraba a un alumno para que saliera a explicar el tema del día, y con lo que interesaba salir, por lo ya dicho para poder aprobar, era curioso observar que gente presente en el aula oía su nombre y no salía, ¿cuánto no sería el miedo que sentían de enfrentarse a una explicación salpicada de “impertinencias” por todas partes?, Navarro Borrás con paciencia estoica seguía nombrando alumnos, hasta que uno echado “palante”, un valiente aprobar la asignatura

que quería

y que se sabía perfectamente lo que

130

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA había que explicar ese día salía, como hizo, con resultados dispares, DIGARCAS dos veces durante el curso. Continuando con las “inclemencias” de las clases de Mecánica Racional de 4º curso de Ciencias Matemáticas, haremos referencia a la que trajo consigo un importante acto cultural, en el que intervino Navarro Borrás, celebrado en una residencia de monjas, porque al final del mismo, en el ágape posterior a dicha celebración, la madre superiora le comentó a Navarro Borrás, que una de las monjas era alumna suya y éste, según le comentó la madre superiora a la susodicha monja, tomó nota del nombre y apellidos de la misma. Pues bien, ahora comentaremos lo que aconteció al día siguiente

con

monjita

Facultad

Ciencias

Matemáticas. Diez minutos antes de aparecer por el fondo del pasillo la figura del profesor de Mecánica Racional, todos los compañeros de la monja, entre ellos DIGARCAS, después de oír lo que esta les contaba la animaban diciéndole que, Navarro Borrás, tomaría nota de su nombre como deferencia a la madre superiora, para que ésta viera que tomaba en cuenta lo que acababa de decirle, pero no para lo que temía su compañera la monja que esperaba que la sacara a explicar el tema del día. La cuestión fue que la monja-alumna acertó de pleno, pues nada más iniciarse la clase, Navarro Borrás, en lugar de sacar su libreta, con la lista de sus alumnos como siempre hacía, sacó un papelito del bolsillo de su chaqueta y leyó el nombre de la monja. Esta subió al estrado, a la tarima, y empezó con embeleso su disertación de forma convincente hasta que, el profesor, le mandó explicar de nuevo lo último que había dicho la monja, y cuando ésta acabó, le criticó que se apoyara en algo que no había demostrado, exigiéndole que 131

DIego GARcía CAStaño

lo hiciera. Aquí se acabó la dicha y placidez de la monja, que con lo nerviosa que se puso y, siendo así que dicha demostración ni venía en el libro ni ella sabía hacerla, dejó el campo libre al profesor para que le dijera, entre otras lindezas que, “la responsabilidad en los incumplimientos de los deberes de las personas tiene sus grados y no es siempre la misma porque, por ejemplo en su caso, al ser monja se agrava porque parece lógico pensar que debería ser Vd. más responsable que otras muchas personas.” La monja se desmoronó, las lágrimas inundaron su rostro y la clase, aquél “rocambolesco” día, acabó trece minutos antes de lo que debía hacerlo. Cortando finalmente el hilo conductor que nos ha llevado a comentar lo de las clases de Mecánica Racional, decirles que hasta el propio Navarro Borrás debía pensar que sus notas a los alumnos no estaban bien ajustadas a la realidad, porque en caso contrario no se entendería que un alumno con dos ceros y un uno aprobara por curso sin tener que hacer el examen final, como él hacía. Lo malo para, Navarro Borrás, era que el alumno careciera de notas, el no haberse atrevido éste a pasar el “sofocón” de salir a exponer el tema del día en la pizarra. Así transcurrieron los cursos, para DIGARCAS, hasta terminar el 5º Curso de Ciencias Matemáticas con los ket y los brack de la Física Matemática y los tensores, que vieron con el gran matemático Pineda, entre ellos el de Ricci que utilizó el propio Einstein para construir su teoría de la Relatividad, que es como terminaba el libro de Calculo Tensorial. A DIGARCAS, todo lo de los tensores, le sirvió para apreciar en su justo término la importancia que tiene en la ciencia

una

buena

notación, 132

que

permita

operar

con

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA elementos complejos, sumamente complicados, con relativa comodidad, y ¡cómo no!, para descubrir matemáticamente otra concepción del mundo, una nueva aproximación a cómo Dios creó todo lo que existe y nos rodea en el Universo en el que estamos inmersos. DIGARCAS

obtuvo,

Licenciatura

Ciencias

Matemáticas, viviendo ya en el Barrio del Retiro, primero en la calle Menorca, después en las de Sainz de Baranda y Fernán González, de la que salió con Pepe Landaluce para casarse en Elche, con billete de ida y vuelta, con su querida Maru, el 26 de septiembre de 1959. Como

despedida

Universidad

Complutense,

recordaremos que, mientras hacía la carrera, estudiaba alguna tarde con el Pater Ceferino Aliste, o sea, con uno de los sacerdotes benedictinos de San Manuel y San Benito, de esa hermosa iglesia de la calle Alcalá, que enfronta al Parque del Retiro a escasa distancia de donde se encuentra la famosa estatua ecuestre de Espartero. Y muchas noches, hasta altas horas de la madrugada, como hizo en Zaragoza con su amigo Valdés, estudiaba con Ángel Rodríguez Heppe, que vivía, como DIGARCAS, en el Barrio del Retiro. Con el Pater Aliste, que hablaba correctamente el Alemán por sus largas estancias en dicho país y, que le contaba que en Alemania disfrutaba hablando el latín con muchos compañeros sacerdotes, DIGARCAS, asistió, por ejemplo, a una de las mejores obras de teatro de aquellos tiempos como fue La Herencia, protagonizada por el gran actor Rafael Rivelles y el elenco de actores que lo secundaban. El mismo Padre Félix García, famoso escritor y dominico como el Páter Aliste, le dedicó uno de sus libros a DIGARCAS y a Maru 133

DIego GARcía CAStaño

y, el Pater, en cierta ocasión hizo un reportaje gráfico, con fotografías de DIGARCAS por el Parque del Retiro para que éste se lo enviara a Maru. Con Ángel Rodríguez Heppe, solo decir que DIGARCAS estuvo en su boda, en una bonita iglesia de la calle Conde Peñalver y en el suculento banquete, posterior a la misma, que ofreció a todos sus invitados por Cuatro Caminos. DIGARCAS siempre recordó su reencuentro con él en Alicante, frente al monumental Mercado de Abastos de dicha ciudad, más de cincuenta años después de acabar la carrera, en el que se contaron sus peripecias por la vida. y se enteró que Ángel había sido profesor en la Academia Militar de Zaragoza, como Ingeniero de Armamento y Construcción que era. DIGARCAS, una vez acabada la carrera, dio clases, por ejemplo, en los colegios Salamanca, del barrio del mismo nombre, e Isabel la Católica del Barrio del Retiro, que hacía esquina a la calle Menéndez Pelayo que bordea por la parte este el Parque del Retiro, lo que le permitía a él dar apacibles paseos por sus jardines o estanque, antes o después de sus clases. También dio clases particulares a un alumno que se preparaba para ingresar, en la ya citada, Academia Militar de Zaragoza, al hijo de un tal Polo, que había sido Gobernador de Cádiz, a dos mecánicos de Iberia que intentaban mejorar su estatus en la empresa y a un asesor financiero, cuya afición por la matemática, según él, le llevaba a revisar sus conocimientos matemáticos de una forma total, de abajo arriba, queriéndolo lograr obsesivamente de una forma estructuralmente correcta. Para enseñanzas

alargarnos

que

realizó,

demasiado, el 134

profesor

este

tipo

DIGARCAS,

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA aproximándose cada vez más a su sino matemático en la vida, nos

saltaremos

algunos

escalones

dicho

proceso

hablándoles, de una vez, como resumen de otras muchas, de la clase particular que le dio a Pepe Landaluce para que terminase felizmente el Bachillerato en el Instituto San Isidro, pegado secuencialmente al caserón, tantas veces nombrado, de la antigua Universidad de la calle San Bernardo. El hacerlo de este modo, se debe a la gran trascendencia que tuvo para el discurrir de DIGARCAS, por el Barrio del Retiro, la espontánea y grata amistad que brotó entre él y Pepe Landaluce, debido a que sus edades no eran muy dispares, y que, incluso, llevó a este último a acompañar a DIGARCAS a Elche, el día anterior a casarse con Maru, o sea, el 25 de septiembre de 1959. Pepe Landaluce fue, ciertamente, el introductor de DIGARCAS

peña

amigos,

una

las

más

significativas y selecta de las que por el Barrio del Retiro habían en aquel momento. Pertenecían a la misma, por ejemplo, Adolfo un paisano de Santiago Bernabeu, del mítico Presidente del Real Madrid, afincado largas temporadas

Santa Pola por su gran afición a la pesca con una barquichuela nada ostentosa, la “Saeta Rubia” en homenaje a Alfredo Di Stéfano, o sea, al que quizás haya sido el mejor futbolista de todos los tiempos. Adolfo, atendía desde su despacho en la casa de sus padres las peticiones de sus clientes, es decir, las de los establecimientos

que

vendían

los

productos

que

representaba, de forma muy especial la de su producto estrella que era el conguito de chocolate. La peña, que se distinguía por su “entente” taurómaco, contaba entre sus miembros con el gran torero que fue Paco 135

DIego GARcía CAStaño

Herrera, una de las promesas del panorama

taurino de la

época en nuestro país, como lo demuestra el hecho de que superara en repetidas ocasiones, en varios mano a mano, al Viti en el pique que como novilleros y toreros sostuvieron siempre ambos. Solo la desgracia de sufrir, a sus 21 años, una enfermedad tan traidora, como es la meningitis le apartó de cuajo de los ruedos y le catapultó al negocio de las piedras preciosas, montando una joyería. El día que se inauguró la primera Peña Taurina Paco Herrera, Paco se encontró a DIGARCAS casualmente en la calle Fernán González, cuando éste salía por el portal de su casa y le pidió que le acompañara a una cafetería en la que se iba a montar una peña taurina a su nombre, DIGARCAS solícito, sin pensárselo dos veces, le acompañó y el resultado fue que, este último salió de la reunión como Secretario de la asociación taurina que acababa de fundarse. El proceso para que esto aconteciera de esta forma, no fue otro que en el momento de elegir los cargos directivos de esta asociación, Paco intervino. Levantando la voz dijo, “¡un momento!, el Secretario de la Peña lo he traído yo conmigo porque

nadie,

como

matemático

DIGARCAS,

puede

desempeñar este cargo”, DIGARCAS, que era remiso a serlo por la pérdida de tiempo que esto podría suponerle, puso condiciones, exigiendo que se le tuviera enterado por teléfono de todo lo concerniente a su “parcela”, y que todas sus comunicaciones se harían también por teléfono, porque en el caso de que se le obligara asistir a todas las reuniones que convocara la Peña, a él no le interesaría el cargo que solo por amistad con el diestro aceptó. DIGARCAS siempre entró en las Ventas, a ver torear a Paco Herrera, con su entrada con el distintivo del cuño-sello 136

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA del torito,

que distinguía a las entradas que regalaba el

torero, hasta que a los pocos meses de casarse con Maru, tuvo que dejar de ir a la Plaza de las Ventas, porque su esposa no podía permitir que le pasara algo, a DIGARCAS,

ya que

cuando Paco se ceñía mucho al toro el rostro de su marido cambiaba de color, se tornaba de un blanco nieve que a ella le preocupaba y es que, DIGARCAS, sufría en demasía las embestidas, los probables achuchones que el toro podría infringir a su buen amigo Paco. Respecto a Alfonso Ordóñez, hermano e hijo de toreros, como miembro de la Peña, solo comentar que cuando DIGARCAS fue por primera vez a su casa, a la de su madre se entiende, que estaba muy cercana de la de Pepe Landaluce, le impresionó sorpresivamente que al abrir Alfonso la puerta de entrada quedara él frente a frente con la cabeza, disecada pero descomunal, de un toro, con una cornúpeta enorme que parecía estar vivo por la fijeza con que le miraba. Alfonso, hermano como era de Cayetano y Antonio Ordóñez, éste último uno de los mejores toreros, sino el mejor, de su tiempo, probó suerte en el toreo aunque no alcanzara, ni mucho menos, la calidad de sus hermanos, y terminara siendo banderillero de ese gran torero que fue Paquirri, su cuñado. ¡Cuántas veces, DIGARCAS, al estar tomándose el aperitivo con Alfonso, fue invitado por Cayetano o Antonio, o sea, por los hermanos de Alfonso! Para no alargar más estos entresijos de la Peña en la que se integró DIGARCAS, en el Barrio del Retiro, finalmente nos referiremos a la familia de Pepe Landaluce, al alumno de DIGARCAS que le introdujo en la Peña. Su padre tenía una gran nave cerca del Río Manzanares, del Estadio del Atlético de Madrid, con la maquinaria pesada adecuada para convertir en láminas de mármol enormes cubos de este material. Su 137

DIego GARcía CAStaño

madre era una buena ama de casa, una mujer íntegra, dedicada de cuerpo entero a su familia. Los hermanos de Pepe, Tuti que era mellizo suyo y Daniel que era el mayor también formaban parte de la peña, quizás Tuti la frecuentara algo

más

que

comportamiento

Daniel. fraterno

Era de

los

divertido mellizos

observar Pepe

Tuti,

colaborador unas veces y discrepante otras, por ejemplo, en las partidas de póquer que jugaban de vez en cuando los de la Peña, en las que cada jugador iniciaba la partida con un resto de cien pesetas, de modo que si uno perdía dicha cantidad dejaba de jugar, al no permitírsele sacar más dinero por las reglas establecidas. Sin embargo, Tuti y Pepe, la armaban a veces porque, como hermanos, por bajo mano, sin que se dieran cuenta los demás, uno de ellos quería que el otro le dejara dinero para poder continuar jugando y, al no lograrlo, el que pedía ayuda se levantaba y despotricando contra su hermano se iba a la calle. Pasando página, diremos, que el verano de 1958 cuando, recién cumplidos los 26 años, DIGARCAS, se encontraba en casa de Maru, disfrutando de las vacaciones de verano en Elche, exactamente a las 10:15 del día 13 de agosto, o sea, nada más iniciarse la Nit de l’Albá en la ciudad, cuando el cielo parecía encenderse por todas partes, sobre todo, con los cohetes que salían de muchísimas terrazas, atestadas de gente apasionada con su Patrona la Virgen de la Asunción, sonó reiteradamente el teléfono en casa de los padres de DIGARCAS. La llamada la realizaba José Luis Viviente Mateu, que como recordará el lector era primo de DIGARCAS y Licenciado en Ciencias Matemáticas igual que nuestro personaje. La llamada debía ser muy importante, ¡y vaya si lo era!, porque al decirle la madre de DIGARCAS que éste se encontraba en casa 138

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA de su novia José Luis quedó en volver a llamarle pasada media hora. La madre avisó a DIGARCAS y éste sin reparar en el peligro que suponían los fuegos artificiales para transitar aquellas horas por las calles de Elche, oyendo explosionar petardos cada vez más cercanos, esquivando alguna carretilla que otra de las que lanzaban desde las azoteas llegó a su casa en la calle Gabriel y Galán nº 3, 1ª planta. Al hablar con su primo José Luis, se enteró de que su llamada era para decirle que se iba a París, a ver de terminar su tesis doctoral con ese gran matemático que era Cartan, y que había pensado en él, en DIGARCAS, como el profesor adecuado para sustituirlo en la Academia Peñalver, en el mejor centro docente de España de preparación del ingreso en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid, como ya dijimos. DIGARCAS vio el cielo abierto, entraba por fin en la vía docente que él deseaba, era el inicio de la recogida de los “Frutos y Recompensas” de todos sus estudios, lo que le posibilitaría, en no mucho tiempo, casarse con su querida Maru. Aceptó de inmediato, sin pensárselo dos veces, como siempre hacía, agradeciéndole a José Luis el que se acordara de él para relevarle como profesor de la Peñalver. Porque lo cierto es que él estaba dispuesto a echar el resto como profesor en dicha academia. Después de desearle suerte a su primo en su periplo francés y despedirse del mismo, les contó a sus padres lo que había hablado con su pariente y lo feliz que se sentía porque iba a formar parte de un selecto plantel de profesores. Deshizo rápidamente el camino recorrido desde casa de Maru a su casa, abrazó a su novia nada más verla dándole sendos besos en las mejillas y, a renglón seguido, le explicó con todo detalle 139

DIego GARcía CAStaño

la conversación sostenida con José Luis. Dos días después ya estaba, DIGARCAS, en Madrid, y tras las correspondientes entrevistas con Emilio Gómez Sellés y Francisco Portuondo, respectivamente,

Director

Secretario

Academia

Peñalver, se hizo cargo del grupo de alumnos a los que José Luis les daba el Cálculo, o sea, el Análisis Matemático. Los alumnos de este grupo, tenían ya aprobada la primera prueba de ingreso en la E.T.S. de Ingenieros Industriales, por lo que cuando aprobaran también la segunda y definitiva empezarían a cursar los estudios reglados en la susodicha Escuela Técnica Superior. DIGARCAS preparaba con todo esmero, los dieciocho problemas que cada semana imprimía la academia y repartía entre los alumnos de su grupo, para que éstos intentaran resolverlos y entregaran cada día tres de ellos, incluso los sábados porque por aquel entonces también ese día era lectivo. Los depositaban nada más entrar en la academia en una especie de urnas, a modo de cajones, de las que Valentín, el conserje, los recogía y se los ponía a DIGARCAS en su taquilla, éste los corregía con toda clase de anotaciones, los devolvía a los alumnos y tirando de tiza los explicaba minuciosamente en la pizarra, una vez terminado este trámite continuaba, a partir de lo último que había explicado el día anterior, demostrando la teoría matemática correspondiente al Análisis Matemático de la segunda prueba de Ingreso. Ahora

haremos

una

pequeña

reflexión

sobre

importancia que DIGARCAS daba a la teoría y a los problemas en Matemáticas. Él solía decir que en Matemáticas todo son problemas y algunos de ellos, a los que él llamaba problemas madres, una vez resueltos ayudaban a resolver otros muchos. Insistía él diciendo que un ejemplo de problema madre, conocido por todo el mundo es el que afirma que “el cuadrado 140

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”. Estos problemas una vez resueltos, o sea, comprobado que lo que dicen es cierto, pasan a formar parte de la teoría, como es el caso del Teorema de Pitágoras entrecomillado anteriormente. Así pues, para DIGARCAS, las matemáticas eran un conjunto finito inacabado de problemas, muchos de los cuales, como flor de un día mueren en sí mismos, porque aunque tienen su protagonismo, su importancia en el momento de resolverlos, sin embargo, no son aprovechables para ayudarnos a resolver otros, o lo son en grado tan débil que no hace falta recordarlos. Sin embargo hay algunos, como es el caso de los problemas madres más portentosos, que conforman lo que llamamos teoremas, o sea, lo más exquisito de la Matemática, o sea la “teoría matemática”. La teoría en matemáticas, como la conforman las claves, los teoremas, que nos permiten resolver muchas otras cuestiones, hay que meditarla y estudiarla con detenimiento como si estuviéramos creándola nosotros, o sea, sacándole todo el jugo que conllevan sus conclusiones y sus métodos, la mayoría de ellos ingeniosos, como los grandes matemáticos que los resolvieron y demostraron. Es, por lo tanto, lo que hay que dominar, por ser la pista de lanzamiento que nos permitirá solventar muchas cuestiones matemáticas. No se trata pues de hacer muchos problemas, que también, sino de razonar

encadenando adecuadamente la teoría que hemos

estudiado y, debemos conocer para, resolver el problema que llevamos entre manos, porque la ignorancia de aspectos teóricos fundamentales es la que impide casi siempre resolver un problema ya que, ¿a ver quién es capaz de inventar la teoría que le hace falta, cuando la necesita?

141

DIego GARcía CAStaño

Volviendo

quehacer

diario,

DIGARCAS,

recordaremos que los comienzos, como profesor de la Peñalver, fueron de un trabajo inmenso, piénsese si no, para darse cuenta que no podía ser de otra forma, que la mayoría de los alumnos estaban varios años en la academia, pues de los tres mil, más o menos, alumnos que se presentaban en la Escuela de Ingenieros Industriales de Madrid, solamente ingresaban unos cuarenta. Por eso, casi todos ellos, disponían de grandes colecciones de problemas, de miles de ellos resueltos en fichas, lo cual obligaba a DIGARCAS a tener que buscar, en las mejores revistas matemáticas del momento, como eran por ejemplo La Gaceta Matemática, Euclides o la Revista

Matemática

Hispanoamericana,

problemas

verdaderamente intrincados, propuestos en las mismas, para que, incluso los alumnos más expertos tuvieran dificultades, en pocas palabras aprovecharan el tiempo, viéndose en apuros para hacerlos, teniendo que romperse la “cabeza”, como suele decirse, para resolverlos. Y si esto le llevaba tiempo, ¡no digamos la corrección de los tres problemas que entregaban a diario cada uno de sus alumnos!, pues él con su bolígrafo rojo, orientaba al alumno en cada uno de los fallos que cometía para que no los volviera a hacer. Daba un solo grupo pero tenía trabajo para todo el día, hasta el extremo que comía en un restaurante muy próximo a la academia y mucho más cerca aún del Ayuntamiento. Después se metía directamente en un salón de una cafetería, por la puerta contigua a la de la entrada principal a la misma, donde con el bolígrafo rojo en ristre iniciaba su labor de corrección, de los noventa problemas que le entregaban a diario los alumnos de su grupo. Allí estaba, al principio, unas tres horas. Según pasaron los meses, como “la experiencia es la madre de la Ciencia”, en hora y media o 142

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA menos, liquidaba el “incidente”, la corrección de todos los problemas. En las academias de preparación del ingreso, llamado heroico, en las diferentes Escuelas Técnicas Superiores de Ingeniería y Arquitectura, como era el caso de la Peñalver, se aplicaba un régimen de funcionamiento interno, que hoy día, con

tantos

adelantos

que

existen,

serían

tildados

“revolucionarios”. Por ejemplo, todo alumno podía entrar o salir de clase cuando quisiera, siempre y cuando lo hiciera con la corrección y el silencio adecuados en estos casos y, esto era así, porque como los alumnos tenían ya veintitantos años, cuando se explicaba algo que tenían resabido, por habérselo oído explicar en repetidas ocasiones, durante varios años, al profesor, se salían del aula para dedicarse a trabajar, en los bancos del pasillo o en la cafetería más cercana, los problemas del día siguiente

o algún tema que tenían más

flojo. Una anécdota. Como, DIGARCAS, pasaba muchos días paseando por la puerta del Ayuntamiento y, algunas veces entraba a leer el tablón de anuncios, un día al ver el anuncio de un concurso oposición para Jefe de los Servicios Técnicos del Ayuntamiento de Madrid, y comprobar que él cumplía con todos los requisitos que se exigían para poder presentarse, tomó nota de los mismos. A los pocos días, habiendo recogido todos los papeles y certificados que le hacían falta, los entregó en el departamento correspondiente para participar en dicho concurso oposición. Aproximadamente un mes más tarde se efectuaron las pruebas programadas para aquella oposición y, de entre varias decenas de concursantes, solo dos sobrepasaron el listón de los 5 puntos, un catedrático de la E.T.S. de 143

DIego GARcía CAStaño

Arquitectura, que trabajaba

desde hacía años

en el

Ayuntamiento y que, según comentarios de los que se examinaban, fue el que propuso que se creara la plaza de Jefe de los Servicios Ténicos del Ayuntamiento de Madrid y fue puntuado con un 8,4 y DIGARCAS, que obtuvo un 6,5. Como solo había una plaza, DIGARCAS, aunque resultó ser un buen “comparsa” para el elegido, pasó el trámite de dicho concurso oposición sin pena ni gloria. Pero como para DIGARCAS, como para otros muchos “no hay nada más viejo que un periódico de ayer”, pronto olvidó lo acontecido en dicha oposición, porque la verdad es que para él, con lo de la Peñalver, todo había cambiado en un año,

pues

expectativas

había

consolidado,

docentes.

Daba

¡y

Cálculo,

qué o

modo!, sea,

sus

Análisis

Matemático a un grupo y Geometría Analítica a otro, además, previendo el final del ingreso heroico en ingeniería, como sucedió a mediados de la década de los sesenta del siglo XX, Emilio, el director de la Peñalver pidió la autorización del Centro para impartir los estudios del Preuniversitario, que empezarían a funcionar en septiembre de 1960, a la vez que seguían vigentes los grupos de ingeniería. Animado de esta guisa, es decir viendo perspectivas de futuro, decidió casarse y, el día 25 de septiembre de 1959, acompañado por Pepe Landaluce, como representante de la Peña, marchó, según comentamos con anterioridad, a Elche. A su llegada a dicha ciudad se dirigieron directamente a la casa de los padres de DIGARCAS, con la maleta acuestas en la que llevaba el traje a medida que le había hecho un sastre de la calle Narváez, para el acto protocolario de la boda del día 26, o sea del día siguiente al de su llegada. La alegría de la familia, que lo tenía todo preparado para recibirle, fue grandiosa. Después de intercambiar diversos 144

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA parabienes, comentarios, merendar y descansar un rato, DIGARCAS,

acompañado

siempre

por

Pepe

Landaluce,

marchó a casa de Maru, donde le esperaba toda la familia de su novia y, en la que igual que había pasado en la casa de sus padres, abundaron las señales de bienvenida con afectuosos besos, abrazos, saludos e intercambio de noticias de una y otra parte. De entre ellas, la que más le sorprendió a DIGARCAS,

fue

que

Maru

padre

pudieran

cumplimentar sin estar él presente lo del casamiento civil de él y Maru. Aunque agradeció, lógicamente, que este trámite no hubiera ya que realizarlo. De este modo llegó el día siguiente, el de la boda. Exactamente a las diez de la mañana, mientras tocaban las campanadas del Reloj de Calendura, entraban por el pasillo central de la gran nave de la Basílica de Santa María, Maru, hecha una diosa, del brazo de su padre y DIGARCAS, serio, con paso firme y decidido, del de su madre. Fueron momentos emocionantes para las familias de los contrayentes pero, de forma muy especial, para los propios novios, con la guinda posterior que significó el banquete de boda, el ágape, en casa de los padres de Maru. Maru le comentaría a DIGARCAS, durante su viaje de novios a Valencia, que a ella le dio la impresión que él estuvo demasiado serio en la ceremonia nupcial, y éste le contestaría, galantemente, que mantuvo durante dicho acto la actitud de solemnidad que requería al casarse con la mujer más bella del mundo. Después del convite, o sea, de la invitación a los asistentes a la boda y los brindis y las panoplias de que se besen los novios, Maru y DIGARCAS, dos almas unidas para siempre, se fueron de viaje de novios a Valencia, como ya 145

DIego GARcía CAStaño

hemos citado y, a su regreso a Elche, con Pepe Landaluce ya esfumado y ocupado en Madrid contándoles a los demás miembros de la Peña todo lo acontecido en la boda. En los prolegómenos de su viaje a Madrid, donde DIGARCAS tenía que empezar las clases, del curso 1959-60, en la Peñalver, tomaron posesión en solitario de la vivienda de una abuela de Maru, de la que sería para los hijos de DIGARCAS “la abuelita pequeña”, en realidad su bisabuela María. Allí pasaron unos días deliciosos, con unas atenciones tan precisas, que les proveían de las pastas y todo lo que necesitaban para desayunar. Además, comían y cenaban en casa de los padres de Maru o de DIGARCAS. Como el tiempo apremiaba, pronto marcharon a Madrid, a pesar de que el piso que habían comprado los padres de DIGARCAS, en la calle Avda. Donostiarra nº24,11º, puerta 6, del Barrio de la Concepción, cerca de la plaza de toros de las Ventas aún no estaba disponible, pues tenía detalles por rematar, por eso se instalaron hasta que estuviera listo, y se pudieran traer los muebles desde Elche, o sea, durante algunas semanas, en una pensión muy al final de la calle Velázquez, en el Barrio Salamanca. A mediados de noviembre, de 1959, ya disfrutaban en plenitud el piso nuevo y, en las vacaciones de Navidad, de dicho año, estando en Elche en el piso de la madre de Maru, ésta abortó un par de mellizos, ambos varones. Éste fue el preludio del nacimiento de los ocho hijos que Maru trajo al mundo: Mª Remedios (28-01-1961), Mª Dolores (03-03-1962), Diego (27-07-1963), Mª del Mar (29-07-1965), Fca. María (28-01-1968), Francisco (08-12-1969), Antonio (2309-1971) y Margarita de la Cruz (26-03-1978), que con el tiempo se convertiría en una gran familia: padres, Diego y 146

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Maruja García { hija mayor, Mª Remedios y su esposo, Julián Montesinos [nietos: Julián y Juan Diego]; Mª Dolores y José Antonio Lidón [Carlos, Santiago, Jorge y Gemma]; Diego y Mª José Boix

[Cristina, Mª Asunción y Diego]; Mª del Mar y

Joaquín Parejo [Marina y Joaquín]; Francisca María y José Miguel Berbegal [Almudena y Belén Mª]; Francisco y Ángela Molina ( α −ω ) [Andrea-Ángela]; Antonio y Josefina Guilabert [Esther y Antonio]; Margarita de la Cruz [ ]}. Transcribimos literal e íntegramente una carta fechada el día 27 de septiembre de 1960, justo un año después de la boda, que pone de manifiesto que profesionalmente las cosas le iban bien al profesor DIGARCAS. La escribió D. Emilio Panizo Vigal, Paseo del Prado 26, Madrid, y decía: "Estimado Sr. DIGARCAS, Muy sr. mío y distinguido amigo: Tengo la gran satisfacción de enviarle la presente para con ella, testimoniarle mi profundo agradecimiento por la meritoria labor que como profesor de Analítica y de Cálculo de mi sobrino y ahijado, Don Manuel Flórez Panizo, ha realizado durante el pequeño tiempo de sólo tres meses de este verano, que le ha permitido conseguir su ingreso en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales, después de su brillante y holgada actuación en los exámenes celebrados últimamente para el ingreso en dicha Escuela. Todos estos detalles, ponen de manifiesto su gran competencia y eficacia como profesor, pues sin estas excelentes condiciones que en Vd. se reúnen, mi sobrino, no hubiera podido conseguir el brillante resultado que este momento le rodea. 147

DIego GARcía CAStaño

Al rendirle mi tributo de admiración y reconocimiento a sus excelentes dotes como profesor, le hago presente mi agradecimiento y mi gratitud por su competencia y por el feliz resultado que en este momento disfrutamos. Aprovecho esta ocasión para saludarle cordialmente su afmo. y agradecido amigo.

q.e.s.m.

(y debajo su firma)"

Después hizo ir a su casa, a Maru y a DIGARCAS, sita en la Castellana, frente al Museo del Prado, y les ofreció un estupendo y suculento “tente-en-pié”, a modo de merienda. Casos como éste son los que compensan la labor entusiasta y vocacional de los profesores. Lo de DIGARCAS como profesor de

matemáticas

tuvo

siempre

esa

entonación

ciertamente, siempre vibró con la Matemática.

148

porque,

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

149

DIego GARcía CAStaño

CAPÍTULO V

EXPERIENCIAS Y CONSEJOS

DIGARCAS, a partir de impartirse en la Academia Peñalver el Preuniversitario, siempre compartió su trabajo con los grupos de Ingreso en la E.T.S. de Ingenieros Industriales y los de esta nueva enseñanza, a los que se adaptó con la ilusión de siempre como lo confirma, por ejemplo, el hecho de que a partir del primer año de entrar estos nuevos estudios en la academia y, a pesar de que el libro de texto para Preuniversitario que se llevaba en la misma, estaba escrito por esos dos grandes matemáticos españoles que fueron Rey Pastor y Puig Adam, sin embargo, los alumnos le pedían insistentemente a DIGARCAS que escribiera él, aunque fuera a modo de una especie de apuntes las Matemáticas de Preuniversitario tal y como él las explicaba en clase porque, según ellos, lo que él exponía en la pizarra lo entendían, cuando por la tarde lo estudiaban en el libro, en sus casas, no pasaba lo mismo. 150

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA DIGARCAS, sin embargo se resistía a hacerlo y se escudaba haciéndoles ver que era lógico que se entendieran más las exposiciones de los profesores que lo escrito en los libros, porque el profesor si ve que algunos alumnos no se enteran de lo que dice, puede dar otra versión de lo mismo para que lo comprendan. Incluso, decía DIGARCAS, ciertos gestos del profesor pueden ayudar a entender a los alumnos algo que no comprendían, es decir, los profesores disponen de unas posibilidades, de unos privilegios, que no tienen los libros. Por eso aconsejaba a sus alumnos que debían atender en clase con los cinco sentidos para entender lo que él explicaba, preguntándole todo lo que no quedaba claro, y con todo esto, aunque en el libro no diga, con puntos y comas, lo mismo que él decía se podía y se debía entender lo que en él venía. Acababa diciéndoles, “si las clases las tomaran Vds. como sesiones de estudio, preguntando todo lo que no entienden, otro gallo les cantara y no tendrían que pedirme que les escribiera lo que explico”. Sin embargo, en 1963, DIGARCAS no tuvo más remedio que caer del burro y hacer realidad lo de los apuntes, porque además de que arreciaron las peticiones para que los hiciera la predisposición de los alumnos a colaborar era total, pues ellos se encargarían de sacar las fotocopias, de repartirlas entre sus compañeros y de entregarle a DIGARCAS el dinero sobrante, de restar de los ingresos obtenidos de los alumnos, los gastos del material y de hacer las fotocopias junto con lo que se le pagaba a Guzmán, un oficial de la secretaría de la Peñalver, que los escribía a máquina, de 7 a 8 de la tarde, al dictado de DIGARCAS, dejando los espacios correspondientes a las figuras que posteriormente este último dibujaba. Guzmán, a veces, le comentaba a DIGARCAS, lo novedoso que 151

DIego GARcía CAStaño

le resultaba lo que hacían, pensando que todo ello era el preludio, como así fue, del nacimiento en 1964 del libro MATEMÁTICAS,

clases

teóricas

Preuniversitario,

del

profesor DIGARCAS. En este libro de 289 páginas y 35 lecciones, DIGARCAS, decía que se había visto obligado a suavizar la modernidad, aconsejada en la ya citada reunión internacional de Didáctica de la Matemática en Atenas, para no sorprender en demasía al alumno no preparado. Por eso, presentaba

el número natural y entero en

forma clásica, aunque de este último introducía su definición moderna en ejercicios que aparecen en la 4ª lección. Para el número racional utilizaba la definición por abstracción y, en algunas lecciones, las notaciones y símbolos del Álgebra Moderna por considerar que proporcionaban gran concisión y precisión a las definiciones y a los teoremas, intentando con ello que los alumnos se familiarizasen con el moderno lenguaje de la Matemática. En la teoría de la divisibilidad en el anillo Z de los números enteros, subrayaba la descomposición lógica de los teoremas en hipótesis, tesis y demostración por el valor formativo en esta forma de proceder. Incluía el enunciado del teorema de Rouchè, definiendo previamente lo que es una matriz y su rango, para con ello poder interpretar geométricamente, de forma sencilla, los sistemas lineales con dos y tres incógnitas, sin olvidarse de la condición

compatibilidad

los

sistemas

lineales

homogéneos. La estadística la desarrollaba en el tema teórico “Variable estadística bidimensional. Regresión y correlación”, llegando hasta el contraste de hipótesis estadísticas.

152

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Para el estudio de los movimientos y transformaciones geométricas, tanto del plano como del espacio tridimensional, siguía siempre el mismo recorrido: 1º.- Definición partiendo del homólogo de un punto cualquiera. 2º.- Estudio de los puntos, rectas y planos dobles si los hay. 3º.- Rectas y planos en general. 4º.- Ver si el conjunto de transformaciones forman grupo. 5º.- Obtener su ecuación analítica para, a partir de ella, sacar su matriz característica. Por ejemplo, apoyándose en la inversión en el plano construyó

una

elegante

demostración

del

teorema

Ptolomeo. Incluyó también algunas demostraciones, ya conocidas por el alumno, sobre las caras y ángulos diedros de un triedro, que son interesantes por utilizar en las mismas propiedades de los triángulos esféricos. Demostrando con todo detalle las fórmulas de los diferentes grupos de Bessel y, aplicando las fórmulas de los triángulos esféricos rectángulos y

rectiláteros,

con

sus

correspondientes

pentágonos

mnemotécnicos de Neper, al cálculo de los ángulos diedros de pirámides, poliedros regulares y finalmente en las nociones de Cosmografía, en las que intentaba, como en el resto del libro, la máxima concisión, subrayando la aplicación práctica de estos conocimientos, con el fin de darle un carácter esencialmente formativo a todos sus escritos. El libro, como es lógico, incluía problemas resueltos al final de las lecciones, para

aclarar los conceptos teóricos y

adiestrar al alumno en su aplicación. Proponía además algunos problemas, en su mayoría seleccionados entre los propuestos

los

exámenes

Madurez

del

Curso

Preuniversitario, para que los alumnos demostrasen sus destrezas. Al entrar en vigor, el curso 1965-66, el nuevo plan de estudios para el primer curso de las Facultades de Ciencias y 153

DIego GARcía CAStaño

Escuelas Técnicas Superiores, o sea, el Curso de Iniciación Universitaria

comprobar

DIGARCAS,

carga

modernidad, en sus programas de Matemáticas (Algebra Lineal y Calculo), modifica, en la 2ª edición de su libro MATEMÁTICAS, de Preuniversitario, el enfoque de la mayoría de los temas de Algebra, y de unos cuantos de Geometría para ensamblar una conexión acorde y sólida entre ambos cursos. Ahora que hablamos de modernidad en la Matemática es curioso pensar que por la década de los sesenta del siglo XX, en escritos de DIGARCAS se leyera, por ejemplo, a modo de experiencias y consejos que el innegable interés que despierta hoy día la Matemática, en círculos de gente más o menos alejados de dicha ciencia, no es por la propia esencia de la misma sino por haber oído comentarios sobre el cambio radical que se ha operado en ella, a sus hijos en edad escolar, estar estudiando o haber leído algún artículo periodístico o libro al respecto. Como a la mayoría de estas personas lo que les agradaría saber es, de una forma concreta y a poder ser corta, lo que se entiende por Matemática Moderna, qué utilidad práctica tiene, el porqué del cambio en esta ciencia, e, incluso, matizando algo más, en qué niveles de la enseñanza debería estudiarse y si es rentable el esfuerzo del alumno y del profesor al adentrarse en estas nuevas técnicas, DIGARCAS, en sus múltiples reflexiones afirma que las respuestas a estas preguntas, por lo pronto cortas no pueden ser y que para sacar una idea clara de las mismas obligaría, a cualquier persona que conociera la Matemática Clásica, a estudiar profundamente la Matemática Actual porque, así sería la única forma de encontrar los pasajes donde realmente la Matemática Moderna introduce efectividad, bien por economía de razonamiento, o lo que es más importante, por su creatividad, rompiendo barreras insalvables para los métodos 154

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA antiguos, aunque siendo realistas debemos pensar que los progresos de cualquier ciencia, y la Matemática no es una excepción, se apoyan en conocimientos ya descubiertos, que a modo de trampolín nos llevan a otros nuevos, que después constituirán el punto de arranque hacia otros más novedosos. Resumiendo, para DIGARCAS, la Matemática Actual es consecuencia de la herencia recibida de la Matemática del pasado. Otra

cuestión,

sería

averiguar

las

motivaciones

matemáticas y los matemáticos que más directamente han influido en la Matemática de nuestros días, aunque deben tenerse en cuenta, según veremos más adelante, que éstas provienen de problemas concretos que requerían técnicas nuevas creadas por grandes matemáticos, ex profeso, para resolverlos. Esas técnicas, por otro lado, al venirles como anillo al dedo a muchos capítulos de la Matemática Clásica, han sido utilizadas para reestructurar toda la Matemática existente dándole una unidad, rigor y potencia demostrativa que no había tenido hasta nuestros días. Llevándonos actualmente a presenciar el nacimiento de teorías nuevas casi sin interrupción. Solo teniendo esto en cuenta puede celebrarse con gratitud la venida de la Matemática Actual, más comúnmente llamada Matemática Moderna. Por eso pensaba DIGARCAS que, al menos, en la enseñanza universitaria debiera introducirse plenamente la Nueva Matemática y, se lamentaba de que los catedráticos que le dieron clases en Zaragoza y Madrid, no se enteraran de que por toda Europa estaba ya contrastada y estudiándose, con la misma naturalidad que se comían el pan de cada día. Que DIGARCAS en la década de los cincuenta, mientras se licenciaba en Ciencias Matemáticas, no oyera hablar de aplicación, homomorfismo, grupo, etc., siempre lo calificó él de verdadero disparate. 155

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS

preguntaba

con

frecuencia

era

conveniente que en la Enseñanza Media “se pusiera de moda” la Matemática Moderna

y de forma muy particular en el

Curso de Orientación Universitaria. Sus respuestas a esas preguntas siempre las iniciaba reconociendo que al haber tantos factores implicados, y tratarse de una materia tan controvertida por las distintas tendencias, habría que recurrir primero a las fuentes de donde mana dicha Matemática Moderna, o sea, a los inicios, a los rasgos históricos de estos métodos. Habría que recordar, por ejemplo, que Ruffini (17651822) al tratar de la imposibilidad de la resolución por cuadraturas de la ecuación general de quinto grado trajo el concepto de Grupo; que Abel (1802-1829) al demostrar en general la imposibilidad del problema anterior creó la Teoría de Grupos de Transformación; que Galois (1811-1832) sistematizó en la forma que hoy día la conocemos la Teoría de Grupos

que

Klein

(1839-1925)

hizo

una

nueva

interpretación de la Geometría con el concepto de Grupo y, que fue Cantor (1845-1918) el que creó la Teoría de Conjuntos, considerada hoy día como la “pieza clave” para reconstruir toda la Matemática y lanzarse, hasta ahora con éxito, en busca de nuevos conocimientos matemáticos. ¿Qué se ha logrado con ésta nueva Matemática, de la que la Escuela Bourbaki lleva la voz cantante? Según DIGARCAS, por lo pronto, poner de manifiesto las grandes analogías que existen entre las diferentes ramas de la Matemática, clasificando su certeza y estudiando su alcance. Ya que permite estudiar lo más profundo de esta ciencia y, el porqué

razonado

las

creaciones

matemáticas,

aparentemente tan artificiosas e ingeniosas. Los campos donde opera, barren prácticamente todos los capítulos de la Matemática. 156

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA DIGARCAS exponía los propósitos del Álgebra de Conjuntos,

diciendo,

que

estudia

las

“estructuras

algebraicas”, o sea, los conjuntos en los que hay definidas unas operaciones internas o externas, o unas relaciones binarias

con

sus

propiedades

axiomatizadas.

Estas

estructuras afirmaba, reúnen en grandes compartimentos estancos conocimientos aparentemente muy distintos y que sin embargo tienen en común su esencia, o sea su estructura algebraica. Aunque se diferencien en el nombre de sus elementos y de sus operaciones, sin embargo, al proceder de un mismo sistema de axiomas, su modo de comportarse es el mismo. Esto implica un gran adelanto porque permite estudiar las propiedades del mismo, sin necesidad de detenernos a indagar, cada vez, la de cada uno de los elementos que dicho departamento

contiene.

Entre

dichos

departamentos

estructuras algebraicas destacaba las Categorías, Grupoides, Cuerpos, Espacios Vectoriales, Variedades Diferenciables, etc. El

matemático,

pues,

estudia

las

propiedades

teoremas por los que se rigen cada una de estas estructuras y, cuando se encuentra con un caso que encaja con una de ellas le aplica las leyes que rigen en la misma, con lo que obtiene rapidez y seguridad en su caminar matemático. Consecuencia directa de lo que acabamos de exponer es que una estructura algebraica es tanto más importante cuántos más casos particulares existan de la misma en las diferentes partes de la Matemática y, que es una aberración crear una estructura algebraica, estudiar sus propiedades y teoremas, y como les pasa a algunos seudo – matemáticos, no tienen ni un solo ejemplo que proporcionarnos de la misma. En la Matemática actual existe un profundo grado de abstracción, ya que la composición de los conjuntos es muy extensa y diversa, a veces se trata de números naturales, 157

DIego GARcía CAStaño

enteros, racionales¸ etc., otras veces son aplicaciones o funciones, o de otra índole. Por ejemplo, consideremos el conjunto “D” de los días de la semana: D = {lunes=l, martes=m, miércoles=x, jueves=j, viernes=v, sábado=s, domingo=d} si en él definimos la operación producto “.”: l.cualquier día de la semana = al día siguiente a dicho día. m.

“

= a dos días después de dicho día

“

= a tres

“

= a cuatro “

“

= a cinco

“

= a seis

“

= a siete

“

construyendo la tabla de multiplicar días de la semana: . l m x j v s d

l m x j v s d l

m x j v s d l m

x j v s d l m x

j v s d l m x j

v s d l m x j v

s d l m x j v s

d l m x j v s d

Podemos observar que el producto “.” en el conjunto D{d,l,m,x,j,v,s,d} es una operación interna, o sea, que al multiplicar dos elementos de D el resultado está en D, que es conmutativa al ser simétrica respecto a la diagonal principal, o sea, que al cambiar el orden de los elementos que se multiplican el resultado no altera, por ejemplo, j.v=v.j=m, que el “d” es el elemento unidad, que todo elemento de D tiene inverso, por ejemplo, el inverso del “j”, o sea, j -1=x porque j.x=d y que la operación “.” es asociativa pues, por ejemplo, j. (m.v)=(j.m).v=j. Por lo tanto la estructura algebraica de {D,.} es de grupo abeliano. Y como en los grupos abelianos existe ley 158

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA de simplificación y toda ecuación de primer grado tiene solución única, podremos resolver la siguiente ecuación, con la incógnita “y”: (m.x.s.y)/j=(m.s)/(v.j) Simplificándola tenemos xy=d/v, (téngase en cuenta que “d” es el elemento unidad) es decir x.y=m, con lo que la solución es y=s. Lo anterior pone de manifiesto que todos los signos matemáticos son convencionales, que no tienen significado en sí mismos, sino que éste se lo atribuye el matemático cuando lo define, o sea, podíamos haber definido todo lo anterior poniendo en lugar de “·”, por ejemplo, “*”, o, “+”, y escribir: m*j=dos días después del jueves= s m+j= “

“

“ =s

porque nadie nos obligó a poner

“.” como símbolo de la

operación. Todo ello nos viene a decir que si hoy día 2+3=5,

porque se ha querido que sea así, porque en realidad el 2 pudo escribirse como hoy día escribimos el 7, y leerse incluso como siete, y, en este caso, como decía DIGARCAS, para pagar 7+3 pesetas lo haríamos, aunque eran otros tiempos en los que no existían los euros, con un duro. De este modo descubrimos que el número no es el signo que lo representa sino el significado que le damos al mismo. Si convenimos, por ejemplo que 2+3 son dos veces tres ó tres veces dos, escribiríamos 2+3=6. ¿Y porqué? Sencillamente porque al signo más se le ha dado este significado. Poner más “+”, o por “.” o asterisco “*” no es lo importante, porque lo que caracteriza a la operación no es el signo que se ponga sino el significado que se le atribuya. Además, el lector debe entender que si definimos la operación “*” en el conjunto Q+, de los números racionales positivos como a*b=(k.a)/b, tendremos que a*k=a, o sea, que k 159

DIego GARcía CAStaño

será el elemento neutro (como el 1 en el producto) por la derecha, y como, por otra parte k*a=k 2/a, dicha k no es elemento neutro (como el 1 en el producto) por la izquierda. Por lo que la estructura {Q +,*} no es un grupo, al no tener elemento unidad, o sea, al no ser la unidad por la derecha también unidad por la izquierda, y es que ni tan siquiera es semigrupo, porque no se verifica la propiedad asociativa, ya que: (a*b)*c= (k2.a)/(b.c) y por lo tanto

y a*(b*c)= (a.c)/b

(a*b)*c es distinto de a*(b*c).

El lector, puede comprobar sin embargo, que si hubiéramos puesto a*b=(a.b)/k,

aunque aparentemente sea

muy parecido a lo puesto antes, se verificaría que la operación * es interna, asociativa pues (a*b)*c= [(a.b).c]/k 2, y, a*(b*c)=[a. (b.c)]/k2 (al ser el producto ordinario de los números racionales

asociativo).

Conmutativa

a*b=b*a. Y como todo número

pues

evidentemente

de Q +, por ejemplo “a” tiene

como inverso k2/a tendríamos, ahora sí, que la estructura {Q+,*} es un grupo abeliano. El que una estructura sea, por ejemplo, grupo tiene su importancia por ser esta estructura la más pequeña (en cuanto al nº de propiedades se refiere) en la que se puede resolver, además con solución única y en general la ecuación de primer grado a.x=b, ya que al tener elemento inverso podemos escribir, a-1.(a.x)= a-1.b; por la propiedad asociativa, podemos poner que, (a -1.a).x=a-1.b, por tener elemento unidad tendrá sentido el producto 1.x, piénsese que en el conjunto de los días de la semana, solo tiene sentido la operación entre días de la semana. Y como la operación es interna y a -1 y b pertenecen al grupo x= a-1.b, que es la solución, también. La idea absurda de que la Matemática Moderna ha venido a cambiar nombres y a complicar las cosas sin traer beneficios es una utopía, piénsese en los odontólogos como 160

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA han cambiado su instrumental clínico, y también el beneficio que les ha reportado. Lo mismo pasa en Matemáticas como vamos a comprobar, por ejemplo, con la regla de los signos y con la propiedad distributiva del máximo común divisor respecto al mínimo común múltiplo. En la Matemática Clásica, tenemos, por ejemplo que: 2x3 = 3+3 = 6, o sea, que (+) por (+) da (+) 2x(-3) = -3 -3 = -6 luego (+) por (-) da (-) -2 x 3 = -2-2-2 = -6 por lo tanto (-) por (+) da (-) pero no podemos seguir razonando como antes para ver que da -2 x (-3), porque no entendemos eso de repetir menos dos veces el -3 o menos tres veces el -2. Por eso en la Matemática Clásica para ver que (-) por (-) da (+), se necesita hacer un artificio, o sea, poner, -2 x [3 + (-3)] que por un lado da cero y por otro -2x3 + (-2)x(-3) y como -2x3 = -6, tenemos que, -6 + (-2)x(-3)=0, es decir, (-2)x(-3)=6 y por lo tanto (-) por (-) da (+). En la Matemática Moderna, no es necesario hacer artificio alguno porque el -2 viene representado por su elemento canónico (0,2) y, el -3 por el (0,3) y podemos escribir: -2x(-3)=(0,2)x(0,3)= (1ºx1º+2ºx2º, 1ºx2º+2ºx1º)=(6,0)=+6 ya que el (6,0) es el elemento canónico que representa al +6, por lo tanto (-)por(-) da directamente (+) sin artificio de ninguna clase, aunque eso sí con un instrumental, como el de los elementos canónicos, más fino. Todo esto le recordaba a DIGARCAS lo del odontólogo ya citado, porque aunque antes sacaba las muelas más o menos como hoy día, sin embargo, no disponía del instrumental que hoy día le permite, por ejemplo, hacer la ortodoncia. Que ha tenido que estudiar más y manejar correctamente el sofisticado instrumental que la ciencia ha puesto en sus manos, no cabe duda, pero la verdad es que la humanidad se lo agradece. No obstante lo que acabamos de decir, como se sabe que las proposiciones “tener -3 millones” y “deber 3 millones” 161

DIego GARcía CAStaño

son

equivalentes,

consecuentemente

también

son

equivalentes, por extraño que le parezca al lector, las proposiciones “deber -3 millones” es “tener 3 millones”, DIGARCAS, como leía el producto -2x(-3) diciendo “el que debe, el doble de -3, debe -6, es decir tiene 6” escribía directamente, de forma lógica aplastante, que -2x(-3)=6 por lo que entendía perfectamente porqué (-) por (-) daba (+), sin tener, ni tan siquiera en cuenta todas las consideraciones de la forma de operar en las Matemáticas, Clásica o Moderna. En cuanto a la propiedad distributiva del máximo común divisor, (^), respecto al mínimo común múltiplo,( V), o sea, a que a^(b

c)= (a^b)

(a^c), empezaremos dando la

definición de número primario. Llamamos número primario a cualquier potencia de un número primo, por ejemplo, dado el número 72=2 3.32 el conjunto de sus divisores primarios es A= {1,2,22,23,3,32}. A cada número natural le corresponde pues un solo conjunto de divisores primarios, e inversamente dado el conjunto de divisores primarios de un número solo hay un número que lo asuma, el que resulta de multiplicar las máximas potencias de los números primos que en él figuran. Por ejemplo al conjunto de divisores primarios B={1,2,3,5,5 2}le corresponde el número 2.3.52=150. Igual que en la Matemática Clásica para hallar el m.c.d. de dos números, o sea, el mayor divisor común a ambos, una vez descompuestos estos números en factores primos, se multiplican los comunes al menor exponente, y el m.c.m., es decir el menor múltiplo común a ambos, multiplicando los comunes y no comunes al mayor exponente; En la Matemática Moderna dados dos números, por ejemplo 72 y 150 se hallan los conjuntos A y B, anteriormente escritos, y el m.c.d. se obtiene como el número que tiene como conjunto de divisores primarios A ∩ B={1,2,3} (formado por los elementos comunes 162

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA a los conjuntos A y B). Luego m.c.d. (72,150)= 72^150=2.3=6 y el m.c.m. será el número que tenga como conjunto de divisores primarios A ∪ B = {1,2,22,23,3,32,5,52} (formado por los elementos comunes y no comunes a los conjuntos A y B)por lo tanto m.c.m.(72,150)= 72 V150=23 .32 .52 = 1800. Como vemos la forma de hallar el 72^150 y el 72 V150 en la Matemática Moderna necesita de un instrumental más complejo pero más potente, porque con él igual que el odontólogo aborda con facilidad el problema de la ortodoncia, el matemático sin más que apoyarse Conjuntos

que

propiedad

en la Teoría de distributiva

intersección respecto a la unión de conjuntos, es decir, A ∩ (B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A V

c) = (a^b)

∩ C) es cierta encuentra que a^(b

(a^c).

A DIGARCAS siempre le extrañó que en los libros españoles, de Matemáticas, fuera prácticamente imposible leer nada sobre los números primarios, y la “cosa” parece ser que sigue igual, porque estaba convencido, como tantas veces comentó, que con la definición clásica de m.c.d. y de m.c.m., no es nada fácil demostrar, en general, la propiedad distributiva del m.c.d respecto al m.c.m., cuando de forma tan sencilla se demuestra según hemos visto, como consecuencia de la propiedad distributiva de la

∩

respecto a la

∪

de la

Teoría de Conjuntos. Tiene gracia, decía DIGARCAS, que si en una oposición a profesores de matemáticas de institutos, se obligara en alguno de los problemas a demostrar dicha propiedad distributiva, o sea que, a^(b V c) = (a^b)

(a^c) podría darse el

caso que no lo supiera hacer casi nadie. Cambiando de rumbo nuestro discurso recordaremos que el 20 de junio de 1966 recibía DIGARCAS, estando de vacaciones en Elche, una carta de Sor Carmen Ramírez, directora

del

Colegio

Inmaculada 163

Concepción

(monjas

DIego GARcía CAStaño

Agustinas Misioneras),

Calle General Pardiñas nº 34 de

Madrid, que confirmaba el buen hacer docente de nuestro personaje, y que transcribimos literal e íntegramente, decía: "Sr. DIGARCAS. Elche. Estimado Sr.: Por referencia de una de sus alumnas, sé que es Vd. profesor competente de Matemáticas en la academia Peñalver, yo quisiera pedirle, si es posible, que el Curso próximo diera clases de Matemáticas de Preuniversitario en nuestro colegio. Como todavía no hemos pensado el horario, podría Vd., en caso de acceder a mi petición elegir hora, siempre que fuera por la mañana y mejor a primeras horas. Económicamente,

aunque

pagamos

establecido

oficialmente, al no tener por el momento a nadie a quien le correspondan los puntos y estando Vd., como creo, casado y con hijos los cobraría íntegros. Espero de su amabilidad me conteste lo antes posible y en caso de no poder VD., me recomendase a alguien de su categoría. En espera de sus noticias, queda a su disposición suya affma en Xto. (y firma) Como económicamente, con lo de los puntos que citaba la carta, resultaba atractiva la oferta y DIGARCAS, por otro lado, necesitaba cotizar a la Seguridad Social, para cuando se jubilara cobrar el máximo establecido por la legislación vigente, cuestión ésta que no le aseguraba la Academia Peñalver aunque en ella cobrara mucho más que en cualquier centro docente o instituto de Enseñanza Media de la Capital de España, accedió gustoso a la petición que le formulaba Sor Carmen Ramirez.

164

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA En dicho colegio iniciaba la única clase, de una hora, que en él impartía a las 7:45 de la mañana, para poder estar a partir de las 9 en la Academia Peñalver. Como con el tiempo se puso sobre el tapete cambiar el Curso Preuniversitario por el Curso de Orientación Universitaria, o sea, por el C.O.U., y ello

conllevaría

programas

nuevos

las

diferentes

asignaturas, y por lo tanto en el de Matemáticas, DIGARCAS, previsor, con tal de que no le cogiera el toro, y tuviera que verse obligado a escribir el libro de Matemáticas de C.O.U., en unos pocos días de septiembre, los que mediaran entre la salida de los programas y su puesta en marcha, inició sus pesquisas por la Facultad de Matemáticas de la Complutense de Madrid, ya que pensó, por lógica aristotélica, que de ella saldría el programa, ya que cada uno de los Distritos Universitarios de España, según una Orden del Ministerio de Educación y Ciencia, tendría potestad de confeccionar el suyo. Para él fue una gran sorpresa, que fuera la Universidad Autónoma de Madrid la encargada de confeccionar dicho programa. Sea como fuere, el buceo indagador de DIGARCAS fue fructífero, porque encontró al encargado de realizar dicho programa, y aunque hubo dificultades añadidas, porque éste había sufrido un accidente y él tuvo que sortear los inconvenientes propios del caso como fueron las largas esperas, las continuas interrupciones y las pausas provocadas por la anómala situación creada, sin embargo, todo lo dio por bien empleado al caer en sus manos el tan deseado programa. Le chocó, eso sí, que las cinco primeras lecciones fueran sobre la historia de la Matemática como nunca antes se hizo, aunque él consideró que las mismas suponían un gran acierto del “ponente”, después seguían unas cuantas lecciones sobre estructuras algebraicas, criterio general de divisibilidad, ecuaciones diofánticas, entre ellas la ecuación Pitagórica, etc.

165

DIego GARcía CAStaño

DIGARCAS, nada más disponer del programa, empezó a escribir el nuevo libro de Matemáticas de C.O.U. El editor, cuando DIGARCAS le llamaba pasaba por su domicilio y se llevaba la parte del original que éste le tenía preparado para que fuera imprimiéndolo. No obstante, el proceso que estaba perfectamente encauzado se vino abajo porque una llamada telefónica, desde la Complutense, le alertó de que unos cuantos catedráticos de la misma, capitaneados por Pedro Abellanas, intentaban que la Complutense, por su historia y prestigio, fuera la que se llevara el gato al agua del programa de Matemáticas de C.O.U. Efectivamente, ¡lo lograron!, y José Javier Etayo hizo el programa. Quitó todo lo de la Historia de la Matemática, que ya DIGARCAS había entregado al editor, después de ser revisada por Sor Arminda, monja del Colegio Inmaculada Concepción, que colaboraba como correctora lexicográfica. Como a DIGARCAS, todo esto le resultó sumamente frustrante, ¡tanto tiempo perdido!, no es extraño que decidiera abandonar totalmente su proyecto, olvidándose del mismo por completo. Así fue como, la perspectiva de escribir el libro de Matemáticas de C.O.U., encontró su punto de fuga, su “sepultura”, en una voluminosa carpeta con todo lo que había escrito sobre el mismo y que era papel mojado, según el nuevo y definitivo programa realizado por José Javier Etayo Miqueo. Al nombrar a José Javier, nos viene a la mente que en los albores de los años 70 del siglo XX, DIGARCAS, regresó a la Universidad Complutense y se entrevistó con él, para ver de cumplimentar lo de los dos cursos de doctorado, temiendo lo que pudiera pasar, al morir Emilio de Gómez Sellés, director de la Academia Peñalver, y hacerse cargo de la misma un sobrino suyo, que era Ingeniero Industrial y ostentaba un alto cargo nacional en una multinacional del petróleo. Por eso no es extraño que el nuevo negocio no ilusionara mucho a dicha 166

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA persona y, en efecto, la Peñalver perdió nervio y empezó a decaer con el nuevo dueño que no tardó mucho en tomar la decisión de liquidarla. Para ello, en noviembre de 1973, Emilio, que así se llamaba también el sobrino, empezó a finiquitar el negocio y, por ejemplo, a DIGARCAS que daba clases a siete grupos se le dijo que en el curso 1974-75 daría cinco grupos, aunque seguiría cobrando siete como forma de pagarle el despido de dos de los grupos, durante el curso 1975-76 daría tres y cobraría cinco y, al final de dicho curso se le pagaría el despido por los tres grupos restantes. DIGARCAS, fue uno de los profesores de la Peñalver que salió mejor parado, porque además de hacer con Etayo en poco más de tres meses la Tesina, sobre operaciones ternarias, que era necesaria para poderse matricular de los cursos de doctorado, sacó ambos cursos con sobresalientes como suele, o solía ser, la costumbre. En septiembre de 1974 se presentó a las oposiciones para Catedrático de Matemáticas y las aprobó. Como la plaza que estaba más cerca de Elche, cuando a él le tocó elegir, el 20 de octubre, era la de Caravaca de la Cruz la pidió y se la dieron, aunque el comisionado del Ministerio de Educación y Ciencia propusiera, a todos los que habían sacado cátedra, la opción de integrarse como profesores interinos en las plazas asignadas o esperar hasta el 1 de octubre de 1975 e incorporarse a los respectivos institutos como Catedráticos. DIGARCAS fue de los que esperó y el curso, 1974-75, con el título de Catedrático de Instituto en el “bolsillo”, y con una tranquilidad absoluta por lo que estaba pasando en la Peñalver siguió en Madrid, en la que había sido la mejor academia de ingreso en la E.T.S. de Ingenieros Industriales y que, por avatares de la vida, estaba a punto de perecer.

167

DIego GARcía CAStaño

Ese curso, el de su despedida de Madrid después de habitar en la capital de España durante más de veinte años, fue muy especial para DIGARCAS, por ejemplo, mientras seguía con normalidad sus clases en la Peñalver y en el Colegio Inmaculada Concepción, fue informado a través del también catedrático lorquino de Matemáticas Paco Ros, director de un instituto de Lorca que hoy día, por cierto, lleva su nombre y del que el Instituto de Caravaca de la Cruz fue Sección Delegada, de que

Augusto, es decir, el Delegado

Provincial de Murcia, había pensado que DIGARCAS fuera el director del Instituto de Caravaca desde su incorporación al mismo, el 1 de octubre de 1975. DIGARCAS consideró un honor el poder integrarse en dicho centro docente, en lugar de cómo funcionario interino como le ofertaron en 1974 como director, o sea, como máximo responsable y mandatario del Instituto de Caravaca de la Cruz, además de actuar, aunque fuera mínimamente, dando clases de Matemáticas de C.O.U. a dos grupos de alumnos. Al pasar las vacaciones de Navidad de ese año, en Elche, aprovechó para entrevistarse en la cafetería del Corte Inglés de Murcia con Pepe Cos director del Instituto de Caravaca de la Cruz, al que reemplazaría cuando éste se trasladara, el 1 de octubre de 1975, a otro instituto de Murcia capital. Para DIGARCAS la reunión, con Pepe Cos fue muy provechosa porque éste hizo un repaso exhaustivo de las actividades del Instituto de Caravaca de la Cruz, de las opiniones que le merecían los treinta y tantos profesores del mismo, las relaciones con las autoridades locales y de la Delegación de Educación y Ciencia de Murcia, sobre todo, en lo respecta a las singularidades que adornaban al Inspector Vilaplana, aparte de hablarle de Paco el librero

y de otras

muchas cuestiones de Secretaría y la relación con los bancos.

168

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA También acordaron celebrar dos cenas, en el propio Instituto, una en Semana Santa y otra a final de curso, para que DIGARCAS conociera a todo el profesorado y pudiera confeccionar, con conocimiento de causa, la Junta Directiva que, empezaría a funcionar, a regir los destinos de dicho centro docente, nada más iniciarse el curso 1975-76. En la cena de Semana Santa, bajo la batuta de Paco el librero, que se encargó de todo lo relativo a la misma, DIGARCAS aunque como los demás profesores asistió con su esposa, tuvo ocasión de hablar con todos ellos, de conocerlos, de detectar en lo posible sus inquietudes, antigüedad en el centro, etc. Fue muy reconfortante para DIGARCAS que Pepe Molla, un gran profesor de Matemáticas, que había sido director del Colegio

Cervantes,

sea,

del

más

prestigioso

centro

educacional de la ciudad antes de que hubiera instituto en la misma, especializado en “enderezar” alumnos de la provincia de Murcia y sus contornos, le dijera que había seguido durante varios años el libro que DIGARCAS había escrito, de Matemáticas de Preuniversitario, por considerarlo el más apropiado de los que conocía, por parecerle bastante original en el tratamiento de los diferentes temas del cuestionario y, sobre todo, por lo práctico que resultaba para la composición de movimientos, del plano y del espacio, la introducción de las matrices características de los mismos que en ningún otro libro encontró. La reunión de finales de junio aunque discurrió por los mismos cauces que la celebrada en Semana Santa, fue muy decisoria para DIGARCAS, que traía conformada desde Madrid, tras mucho reflexionar sobre la misma, la lista completa de los profesores que desempeñarían los cargos de Vicedirector, Secretario, Vicesecretario y Jefe de Estudios. Habló con cada uno de ellos y, comprobada su predisposición 169

DIego GARcía CAStaño

a cumplir los cometidos correspondientes por parte de todos ellos, la hizo pública a los demás profesores. DIGARCAS estuvo en Caravaca de la Cruz, solo los dos cursos, 1975-76 y 1976-77, o sea, los que le obligaba la legislación vigente a estar en dicha ciudad antes de pedir su traslado al Instituto de San Vicente del Raspeig, contiguo a la Universidad de Alicante, donde todos sus hijos harían sus carreras. En éste instituto estuvo desde el curso 1977-78 hasta el 1980-81 en que marchó al Instituto de Carrús de Elche, de su ciudad natal, que es en el que se jubilaría en el mes de junio de 2002, cuando contaba la edad de 70 años. Del instituto de San Vicente, donde estuvo cuatro años, los dos primeros viviendo en Alicante capital y los dos últimos desplazándose desde Elche, poco habría que contar porque, DIGARCAS, aunque había vivido como un “rey” en Caravaca de la Cruz como director, con toda clase de atenciones, algunas de las cuales relataremos a continuación, sin embargo, seguía siendo un vocacional de cuerpo entero de la Matemática, que es a lo que se dedicó, a partir de entonces, tanto en San Vicente como en el Carrús de Elche, como lo demuestra el hecho de que a pesar de que algunos profesores le animaron para que se presentara para ser director él nunca lo hizo. En Caravaca de la Cruz logró, después de convencer a Mariano, al alcalde y, de uno en uno, a todos los concejales, que cedieran al instituto más de 1.000 m 2 que exigía Augusto, el Delegado provincial, para construir un gran comedor, en el que los alumnos que venían de Moratalla, Calasparras y diversas pedanías comieran a mediodía de caliente en lugar del bocadillo que acostumbraban a tomarse, por medio de los bancales del entorno del instituto. En el momento de abandonar, DIGARCAS, Caravaca de la Cruz el comedor estaba terminado y, además, fue utilizado, 170

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA antes de cómo comedor, como foro de los mítines de los partidos políticos existentes en España y, que intervinieron en las primeras elecciones generales de la, hoy día, consolidada democracia española. DIGARCAS, tuvo la ocasión de ver funcionando el comedor, e incluso comer en él, cuando regresó a dicho instituto, invitado en el 25 Aniversario de la creación del mismo.

Además, en la revista conmemorativa de dicha

celebración, apareció al inicio de la misma un artículo de DIGARCAS como ex-director del Instituto de Caravaca de la Cruz. Durante los dos años que estuvo en Caravaca, formó parte de los Tribunales Examinadores en los concursosoposición para Policías Locales, compuesto por Mariano, el alcalde, un representante provincial que venía de Murcia y DIGARCAS que, como director del instituto era el encargado de confeccionar los problemas y el dictado a los que se sometían los aspirantes a estas plazas. Las pruebas físicas se realizaban en el propio instituto. Las invitaciones le llovían por todas partes. En las fiestas de Moros y Cristianos, fue huésped DIGARCAS y toda su familia, en la comida de mediodía del día de la Santa Cruz, un año de la Reina Cristiana y otro de la Reina Mora. Estuvo una semana en la Playa de Calabardina invitado por la familia de los Marines, en la Matanza, en una finca de Diego Jiménez, comiendo migas en una finca de Mula, propiedad de Pepe Molla, etc. Con Joaquín, el Juez, y Mariano el alcalde fue a ver al Gobernador de Murcia, para intentar que se construyera una Residencia de Ancianos en Caravaca. DIGARCAS la vio casi terminada, antes de irse. Y al regresar, por lo del 25 aniversario del instituto, pasó a saludar a la directora, que se

171

DIego GARcía CAStaño

lo mostró de arriba abajo, quedando impresionado por las grandes prestaciones del mismo. Sobre su paso por el Instituto de San Vicente del Raspeig, poco tenemos que decir, fue feliz como lo había sido en todos los centros de enseñanza donde estuvo. Su labor como profesor se desarrolló con eficacia y dedicación pero, con una normalidad tal que no cabe destacar hechos singulares. Lo único que cabría recordar es, que los dos últimos años en dicho instituto, como iba desde Elche en autobús hasta Alicante y después atravesaba todo el centro de dicha ciudad, desde la estación de autobuses hasta la plaza de toros, donde cogía una camioneta que le llevaba, prácticamente, hasta el mismo instituto donde impartía sus clases, y una vez finalizadas las mismas deshacía el camino realizado por la mañana, aprovechaba, mientras atravesaba el centro de la capital alicantina, para comprar todo lo que le hacía falta para la cría de canarios, en la que se había metido de lleno, alpiste, bizcocho con vitaminas, desinfectantes etc., así es que no se le moría ni uno, por eso de las dos parejas que tenía cuando inició la crianza contaba ya en los jaulones con más cincuenta, y todo ello porque quería que sus hijos vieran como actuaba la madre naturaleza en la reproducción de una de las especies más atractivas para ellos. Como fin del largo trayecto docente recorrido por DIGARCAS, hablaremos algo sobre los veintiún años últimos como catedrático de Matemáticas de institutos de Enseñanza Media, que pasó en el Instituto Carrús de Elche, o sea, de su pueblo natal, relatando algunos de los pasajes acontecidos en dicho centro docente, en el que se jubiló, el año 2002, a la edad de setenta años, como ya comentamos con anterioridad. DIGARCAS, como llevaba un día a la semana a varios de sus hijos al Conservatorio de Música de Alicante y, tenía que esperar unas dos horas a que salieran, intentó aprovechar ese 172

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA lapsus de tiempo. Habló con Fernando, el catedrático que le sustituyó en el instituto de San Vicente, que era experto en máquinas de calcular programables, para que diera a los profesores que les interesaran unas primeras nociones sobre las mismas. Como él vivía cerca del Instituto Miguel Hernández, DIGARCAS logró que dicho centro docente les dejara un aula durante hora y media, mientras sus hijos estaban en el Conservatorio. El curso fue un éxito con tres profesores del instituto Carrús, uno de la Asunción de Elche, dos de San Vicente y dos del Miguel Hernández, donde se daban las clases. Este cursillo, lo retomaron en Elche varios profesores del Departamento de Matemáticas del Instituto de Carrús, del que DIGARCAS era el Jefe. Después fueron agregándose profesores de otros Departamentos, del de Químicas e Historia. Las reuniones de los sábados por la mañana del Carrús hicieron que el Instituto se abriera los sábados como nunca lo había hecho antes. La verdad es que estas jornadas organizadas por este grupo de ilusionados profesores por la Informática, por una materia que se preveía como así lo confirmaría el paso del tiempo como básica en todas las ramas del saber, de la industria, del comercio, y en todas las existentes habidas y por haber, fueron acogidas con un interés inusitado por parte tanto de alumnos como de profesores, los alumnos llenaban las dos aulas destinadas a este menester, todos los profesores del Departamento de Matemáticas como el de los demás que se agregaron aprendían más que enseñaban, sin cobrar ni perra y constándoles dinero de sus bolsillos para comprar el material que necesitaban, hasta que la dirección de centro, apreciando lo que se hacía inició a sufragar los gastos más cuantiosos.

173

DIego GARcía CAStaño

Hasta la UNED llegaron rumores de lo que pasaba en Carrús, por lo que Antonio Fuentes García, su Secretario “Perpetuo”, al que DIGARCAS ni tan siquiera conocía a pesar de ser primo segundo suyo, se presentó en el departamento de Matemáticas, charló con DIGARCAS y pudieron asistir él y Diego Miñano a los cursillos de los sábados. Con el tiempo la UNED compró buenos ordenadores, de los que carecía el Instituto de Carrús, a los que DIGARCAS

siempre tuvo

acceso. Con el tiempo, DIGARCAS, dirigió el Seminario de Informática de Elche, que es en lo que se transformaron los cursillos de los sábados del Carrús, dicho Seminario, con más de veinte profesores de institutos, colegios nacionales y de la UNED, dio todos los cursillos que en aquellos tiempos se impartieron en Elche en el Centro de Profesores de esta ciudad, aunque venían profesores de toda la comarca, todos los que se dieron en la Universidad Popular, dependiente del Ayuntamiento y, lógicamente todos los que se dieron en la UNED de Elche. El Carrús, como recompensa a la labor realizada, fue uno de los tres institutos de la Comunidad en los que la Generalitat Valenciana, en una primera tanda, montó Aulas de Informática, con una dotación de cinco ordenadores. DIGARCAS, como Jefe de la misma, estuvo en Valencia en alguna que otra reunión para concretar la forma de gestionar dicha aula, como Jefe de la misma. Asistió también a cursillos en

Alicante,

con

dos

profesores

del

Departamento

Matemáticas del Carrús, para aprender a manejar los programas que tenían que impartir en el Aula de Informática. DIGARCAS

realizó

multitud

programas,

para

confeccionar las listas de los diferentes grupos de alumnos del Carrús, otros sobre una gasolinera en el que según salía el combustible el contador marcaba de forma continua el 174

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA importe, otro que permitía generar a la vez los programas que se quisieran, por lo que le puso de nombre Menuplas, para coleccionar sellos, gastos de una casa, biblioteca de libros, etc., y, que permitía gestionar en un solo programa, de forma independiente, cada colección de fichas de los mismos. Todos esos programas se exhibieron, junto con otros muchos, por los componentes del Seminario de Informática de Elche, en la Escola d’Estiú que se celebraba en dicha ciudad muchos veranos. Para no alargarnos más en el proceso informático del Carrús, acabaremos haciendo mención a las dificultades que encontró, Antonio Ramón Guilabert, Gerente de Radio Elche y director del Periódico Elche, para que le hicieran un programa que sacara todas las fichas posibles, con el nombre de tres empresas de las que sufragaban los gastos del concurso “La Carambola” en cada ficha, fuera el número de empresas el que fuera, ya que podían ser en cierta época veinte empresas y en otras setenta. El premio de 10.000 pts., lo ganaba el lector que tuviera la ficha con los nombres de las tres empresas que habían salido en el sorteo, y en el mismo orden que se habían extraído estas. Al charlar Antonio Ramón con Paco Vives, pariente suyo y uno de los componentes del Seminario de Informática de Elche, y darse cuenta de que lo que dificultaba realizar el programa era la componente matemática implícita del mismo, le dijo a Paco ¿y qué puedo hacer para hacerme con el programa que necesito? Paco sin pensárselo dos veces le contestó ir al Carrús y hablar con DIGARCAS. Así lo hizo y DIGARCAS realizó el programa que funcionó a satisfacción de todos. Los contactos de DIGARCAS y Antonio Ramón, a partir de entonces fueron frecuentes, éste último asistía a todas las presentaciones de los libros de DIGARCAS sobre Jorge Juan, en el Salón de Plenos del 175

DIego GARcía CAStaño

Ayuntamiento de Elche, se aficionó tanto al personaje que hizo para Canal Nou un documental, de dos capítulos de una hora de duración cada uno, titulado Jordi Joan Santacilia, del que DIGARCAS fue asesor científico y en el que apareció en pantalla explicando facetas matemáticas de Jorge Juan, cinco o seis veces por capítulo. Volviendo a su quehacer docente, recordar, que como desde que se implantó el COU, estando aún en la Academia Peñalver de Madrid, DIGARCAS, consideraba que algunos temas de este Curso de Orientación Universitaria resultaban demasiado teóricos para los alumnos, cuando por contra al final de curso, mediado mayo, o sea, cuando los alumnos sólo pensaban ya en los exámenes, tenía que empezar a explicarles otros eminentemente prácticos como eran los de derivadas e integrales, decidió trabajar estos dos últimos temas en la clase semanal de los jueves, a lo largo de todo el curso, dedicando las otras tres clases de la semana a explicar los temas teóricos del programa. Con ello perseguía, que hubiera una clase a la semana de trabajo en grupo, al menos, para “descansar” del esfuerzo de atención personal que realizaban en ese lapsus de tiempo en las clases teóricas, lograr que la tabla de derivadas se mantuviera activa durante todo el curso y que aprendieran, de una vez por todas, a operar con soltura. Les decía, que para derivar correctamente bastaba con retener en la memoria la tabla de derivadas pero que una cosa muy distinta era lo de integrar que requería saberse de memoria la tabla de derivadas, al derecho y al revés y conocer los métodos de integración. Por eso a las derivadas le dedicaba solo los cuatro jueves del primer mes del curso y, a las integrales, los restantes jueves hasta junio.

176

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA En las integrales empezaba, lógicamente, por las inmediatas, o sea, por las que se pueden hacer sin más que saber de memoria la tabla de derivadas y unas cuantas propiedades como, por ejemplo, que las constantes que multiplican o dividen fuera

a todo el integrando pueden sacarse

integral

multiplicando

dividiendo

respectivamente y al revés, si están fuera pueden entrar dentro. Él para fijar estas ideas les decía, gráficamente y con cierto humor, que las constantes podían entrar o salir de las integrales como perro por su casa y se reía a carcajadas cuando afirmaba: "¡que lástima que no se pueda hacer lo mismo

con

las

variables

tendríamos

siempre

que

partes,

por

F(x)dx= F(x) dx = F(x)(x+cte)!” Después

veía

integración

por

descomposición de una fracción, en fracciones simples, hasta llegar

las

integrales

trigonométricas

del

tipo:

F(sen x,cosx) dx, siendo F una función racional. En las que les indicaba que si la función F era impar en el seno el cambio a realizar era cos x = t, si era impar en el coseno, sen x = t, si la suma de los exponentes del seno y del coseno en todos sus términos era par tg x = t, y que el cambio general, el que se podía utilizar siempre, o sea, el de tg x/ 2 = t, tenía sin embargo el inconveniente de que normalmente era el más farragoso.

177

DIego GARcía CAStaño

EPÍLOGO

ESCRITOS SOBRE JORGE JUAN

Como el año 2000 fue el Año Mundial de la Matemática, no

nada

extraño

que

DIGARCAS

como

Jefe

del

Departamento de Matemáticas de Carrús, invitara a todos los profesores de esta asignatura, en la reunión correspondiente al mes de diciembre de 1999, a hacer algo especial ese año que estaba a punto de empezar, rindiendo el tributo que se merecía la Matemática, según indicación expresa dada por la UNESCO, para que se divulgara públicamente esta ciencia, se mostrara a los alumnos la utilidad práctica de la misma resaltando la dependencia de las demás ciencias de la Matemática. DIGARCAS les dijo a cada uno de los profesores del departamento que fueran pensándose, por lo tanto, como podían contribuir a resaltar la importancia de la madre de todas las ciencias ese Año Mundial de las Matemáticas.

178

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Algunos le comentaron que, a lo mejor, les hablarían a sus alumnos sobre algún pasaje relevante de la historia de la Matemática; otros que realizarían algunos problemas de ingenio distintos a los que habitualmente se hacían en clase. Alguien insinuó que, DIGARCAS, como Jefe del Departamento podría escribir algún artículo en la prensa, relacionado con esta celebración. Destacaremos, por lo que pasó meses más tarde, que a los que no tenían una idea clara de lo que podrían

hacer,

DIGARCAS,

modo

comentarios

resultados a obtener, les insinuó que quizás fuera interesante dedicarse, ayudados por sus alumnos, a averiguar quién fue y lo que hizo, matemáticamente hablando, Jorge Juan, el famoso marino nacido en Novelda, porque entre otras cosas había vivido algunos años en Elche. El día 2 de enero del año 2000, y no el 1 porque ese día no salió Información de Alicante publicó, DIGARCAS, en ese periódico el artículo El Año de la Matemática en el que decía, poco más o menos, que el año que acababa de nacer iba a ser un año de reconocimientos a la Matemática, a una ciencia que está presente en todas las actividades de la vida: en el comercio, industria, navegación, enseñanza, investigación, etc. Hablaba de la Matemática, como actividad vital del hombre en su trato con la realidad que le rodea para poderla entender y vivir en ella, y del proceso mental posterior que organiza y da estructura a los diversos aspectos que tal realidad presenta. También el domingo día 27 de febrero en el Periódico La Verdad de Murcia publicó el artículo El Año Mundial de la Matemática, en el que informaba que en el 2000 España sería el Centro Internacional de la Matemática porque en ella se celebrarían: la Reunión Anual de la IMU (Unión Matemática Internacional) en Madrid, el Tercer Congreso Europeo de 179

DIego GARcía CAStaño

Matemáticos en Barcelona o el Congreso Internacional de Análisis Funcional en Valencia. Comentaba en el mismo, entre otras cosas, algunas cuestiones expuestas por David Hilbert en la conferencia que dio sobre Problemas matemáticos, en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, sobre todo la de la predicción

los

problemas

más

importantes

que

abordarían en el siglo XX, entre los que incluyó el Teorema de Fermat que efectivamente se demostró en dicho siglo. Hizo referencia a todo esto hasta conectar con lo que se pretendía hacer el año 2000, que no era diferente a lo que hizo de forma tan exitosa Hilbert. Para ello la American Mathematical Society formuló una propuesta, en 1990, para que se organizaran equipos de matemáticos de primera fila, por especialidades, que dieran a conocer el año 2000, Centenario de la Conferencia de Hilbert, los principales problemas matemáticos que estarían "sobre el tapete" durante el siglo XXI. Entre los "desafíos a la inteligencia" que se vaticinaron para este siglo se encontraban algunos Problemas de la Teoría de Números, ciertos Modelos Teóricos de realidades complejas, etc., que los matemáticos esperan superar con el espíritu que Hilbert les insufló al afirmar que "todo problema que tenga solución será resuelto y el que no la tenga se demostrará que no la tiene". Finalizando

referido

artículo,

hizo

una

breve

referencia a las investigaciones, que llevó a cabo George Boole, en el siglo XIX, sobre Las Leyes del Pensamiento, que culminaron con la tan conocida Álgebra de Boole, o sea, con el Modelo Teórico del Álgebra de Proposiciones, que más tarde, en el siglo XX, Claude E. Shannon demostraría que era 180

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA isomorfo al Modelo Teórico del Álgebra de Circuitos, con dispositivos biestables, por lo que podría utilizarse para diseñar computadoras electrónicas (las cuales ni existían cuando Boole construyó su álgebra), simplificar circuitos, etc. Y es que probablemente no haya rama de la Matemática por pura, abstracta o teórica que sea, por alejada que se encuentre de la realidad, que al menos en parte no sea utilizada de forma práctica para el progreso de la Humanidad. Porque como dijo Julio Rey Pastor, "De la Matemática más abstracta y tenida por inútil, fue de donde Einstein, por ejemplo, obtuvo el instrumental más valioso para su Teoría de la Relatividad". Haciendo bueno lo acordado por el Departamento de Matemáticas del Instituto Carrús de Elche, en su última reunión del año 1999,

durante varios meses del año 2000

fueron apareciendo en la prensa artículos de DIGARCAS sobre la Matemática, a partir de marzo específicos sobre la matemática de Jorge Juan Santacilia. El "pistoletazo de salida", para que esto sucediera de este modo, resonó por el equinoccio de primavera del Año Mundial de la Matemática al llevar DIGARCAS a su señora a Novelda y Monforte del Cid donde ésta tenía familia, aunque con anterioridad existiera una predisposición previa alimentada por su ilicitanismo, porque según decía DIGARCAS, "desde su infancia le interesó todo lo relacionado con Jorge Juan Santacilia, por haber residido algún tiempo en Elche, en su ciudad natal", y quizás también por las coincidencias de ser Jorge Juan, como él: matemático, adquirir las primeras nociones de latín con los jesuitas de Alicante y residir, algunos años, en Zaragoza y Madrid. No obstante decía, DIGARCAS, que esta, llamémosle afinidad con el personaje, se mantuvo siempre en capas demasiado profundas de su subconsciente. 181

DIego GARcía CAStaño

Que DIGARCAS quería conocer a Jorge Juan Santacilia no nos cabe la menor duda, aunque la verdad es que su interés por saber de él no acababa de activarse del todo, a lo sumo despertaba en ocasiones y preguntaba a profesores de Historia sobre ¿cuántos años habría vivido Jorge Juan Santacilia en Elche? Porque aunque él sabía, porque así se lo indicaba la existencia en Elche de la Casa Palacio Jorge Juan, que había residido en esta ciudad, sin embargo ignoraba cuándo estuvo en ella, si en su niñez, juventud o a una edad más avanzada. Lo cierto fue que ninguno, de dichos profesores, supo sacarle de dudas ni él puso demasiado empeño en averiguar lo que, en el fondo, deseaba porque, si lo hubiera intentado, con sólo leer alguna de las biografías escritas sobre Jorge Juan Santacilia o ir a Novelda y preguntárselo a cualquier especialista o enterado en la materia, lógicamente, lo hubiera logrado. No obstante, lo lógico en este caso, según veremos después, podría haberle fallado porque todas las biografías escritas, sobre Jorge Juan Santacilia, ignoraban tanto su matemática como el ilicitanismo que él buscaba. Por eso, casi sin percibirlo, se sintió culpable por no contribuir a divulgar, apoyándose en lo que escribió Jorge Juan, la matemática de este gran científico y el ilicitanismo al que estuvo expuesto y que le rodeó durante toda su vida. Una vez lo hizo, al contactar con los lectores a través de la prensa, "redimido se adentró con entusiasmo en su mundo, buscó a los más destacados jorgejuanistas, y se ocupó con intensidad del personaje del que, en realidad, sólo su sombra conocía". DIGARCAS, haciendo cábalas, sobre el motivo que empujó a Jorge Juan a venir a Elche, supuso, por ejemplo, 182

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA que sus padres llegarían a la ciudad de las palmeras y el Misteri

buscando trabajo, como él había visto hacer en su

juventud a tantos manchegos, andaluces, etc., y hoy día a tantos ciudadanos del Este de Europa, África, América del Sur o de tantos otros países. Pero esto no fue así, ¡ni mucho menos!, según fue descubriendo en sus investigaciones, porque al formar sus padres parte de esa pequeña nobleza que hubo en el Reino de Valencia en el siglo XVIII, él recibió la educación que su linaje requería. Y averiguó que, si vinieron a Elche cuando Jorge Juan Santacilia tenía tres años, fue porque murió su padre, y su madre que era ilicitana poseía el Señorío de Asprillas en esta ciudad. La ignorancia en sus inicios, de DIGARCAS, sobre Jorge Juan Santacilia, podríamos hacerla extensiva a muchos ilicitanos y españoles. Por eso, DIGARCAS, renegaba de que tanto los historiadores, literatos y científicos de Elche, como los matemáticos de nuestro país, se ocuparon poco de él y siempre dejaron que fueran otros los que escribieran sobre el Sabio Español. Él pudo comprobar a nivel local, por ejemplo, que a la inmensa mayoría de ilicitanos el nombre de este gran científico lo único que les traía a la mente era la Calle Jorge Juan, y aunque con ello no quería sentenciar que no hubiera gente en esta ciudad que supiera que fue marino, matemático y que nació en Novelda, sin embargo era muy probable, según sus propios y limitados sondeos, que casi

nadie en ella

supiera que Violante, la madre del mejor científico español del siglo XVIII, que fue Jorge Juan, nació en Elche. Por ejemplo, José Quiles, un paisano de DIGARCAS le dijo a éste que: "como estaba en el ánimo del Rector Pedreño ponerle el nombre de Jorge Juan a la futura Universidad de 183

DIego GARcía CAStaño

Elche, que se intentaba crear bajo el patrocinio de la de Alicante, tuvo que informarse sobre Jorge Juan por lo que conocía algo sobre su vida"; pues bien, a pesar de todo, cuando DIGARCAS le dijo que la madre de Jorge Juan era ilicitana no se lo podía creer ni lo había leído en biografía alguna. Tampoco los matemáticos españoles, si prescindimos de los reconocimientos públicos que le tributaron, se ocuparon demasiado en divulgar y dar a conocer la vertiente matemática de nuestro personaje porque, como decía el prologuista de uno de los libros escritos por DIGARCAS sobre Jorge Juan "la figura de Jorge Juan Santacilia ha sido abordada por varios historiadores en numerosos trabajos, pero apenas se ha estudiado su faceta de matemático". Así pues, como DIGARCAS "cabalgaba" en pos de Jorge Juan Santacilia, cada vez que llevaba a Novelda y Monforte del Cid a su esposa a visitar a sus parientes del Medio Vinalopó, no es extraño que una de las veces que por allí estuvo comprara El Legado de Jorge Juan que acababa de publicarse en Novelda. Después de leer el Legado y visitar varias veces las bibliotecas de San José de Elche y Gabriel Miró de Alicante, para ir documentándose, publicó en el mes de marzo de 2000, el artículo Jorge Juan y la Matemática que leyó, en Madrid, Jorge Juan Guillén Salvetti, Secretario Perpetuo de la Fundación Jorge Juan de Madrid. Le gustó tanto que felicitó a DIGARCAS por el mismo, por lo que al publicar éste, por el mes de abril, el artículo Observaciones Astronómicas de Jorge Juan, lo colgó en la web de dicha Fundación, en la que permanece todavía.

184

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Decía DIGARCAS, en dicho artículo: "Hemos recorrido, con papel y bolígrafo, realizando los cálculos más importantes, los capítulos de la obra más matemática de las escritas por Jorge Juan Santacilia, o sea, Observaciones Astronómicas, y hemos podido intuir rasgos de su quehacer científico y la clase de libros que debió estudiar y consultar, pensamos que la mayoría de ellos fueron extranjeros, pues aún en el caso de que hubiera nacido cien años después es posible que sólo con libros

españoles,

hubiera

podido

alcanzar

nivel

matemático que tuvo”. Todo ello fue así, como pudo comprobarlo DIGARCAS al tener conocimiento de los libros que Jorge Juan manejó, pues solo habían dos de ellos en su biblioteca sobre Aritmética, Geometría elemental y Trigonometría que fueran españoles, casi todos los demás eran libros franceses o traducidos al francés, sobre cónicas, análisis infinitesimal o métodos de los infinitamente pequeños, curvas de doble curvatura, álgebra, integrales y series; sus autores eran, entre otros, Mac Laurin, Cramer, Clairaut, Leibniz, Euler, L'Hôpital, Carré y Stone". Con la bibliografía que manejó para escribir estos artículos, configuró su idea sobre quién fue y lo que hizo Jorge Juan Santacilia y, a partir del mes de octubre de 2000, se dispuso a escribir Biografía y Matemática de Jorge Juan, para enmendar las carencias dolientes de las demás biografías sobre su matemática e ilicitanismo. A la vez que escribía el libro Biografía y Matemática de Jorge Juan aún seguía publicando artículos como, El XXV aniversario del Carrús y Jorge Juan, Por un monumento a Jorge Juan en Elche, El Instituto de Carrús el buque insignia de Jorge Juan y otros muchos.

185

DIego GARcía CAStaño

Los libros escritos por DIGARCAS, en el siglo XXI, a partir de jubilarse en el 2002, fueron: Biografía y Matemática de Jorge Juan; Trascendencia Científica de Jorge Juan Santacilia; Avivando los Recuerdos; Vicente Quiles, un alcalde que pensó en futuro; Las Rutas de los Mercaderes y el alborear de la Matemática; Jorge Juan y la Línea Roja Transoceánica, destacando el artículo “Jorge Juan: el introductor del Cálculo Infinitesimal en España” que publicó la Revista Suma, una de las revistas científicas más importantes de España y que reproducimos a continuación:

186

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

El autor de este artículo y el monumento a Jorge Juan Santacilia de Novelda. JORGE JUAN: el introductor del cálculo infinitesimal en españa. Cuestión 1: PRELIMINARES. En este trabajo pretendemos mostrar desde Novelda, desde la ciudad que le vio nacer, la excelencia científica de Jorge Juan como matemático

187

DIego GARcía CAStaño

que subió a los “altares” de la Ciencia siendo profesional distinguido de la Marina Española. Y es que Jorge Juan, como veremos, fue uno de los matemáticos españoles más prestigiosos, si no el que más, del siglo XVIII, como lo demuestra el hecho, entre otros tantos que podríamos citar, de que en el discurso de Ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, (1866), el Premio Nobel José Echegaray después de afirmar, refiriéndose a la Matemática pura del siglo en que vivió Jorge Juan, “otro siglo más de gloria para Europa, otro más de silencio y abatimiento para España", reconoció, sin embargo, que “la Matemática aplicada, debido al afán de Jorge Juan por enrolar a España en el desarrollo científico de los países más avanzados y preparar en ella un clima para la Ciencia, había alcanzado una merecida reputación europea”. Para que las personas con estudios medios o superiores, comprueben por sí mismas la categoría matemática de Jorge Juan, vemos en este trabajo, de la forma que consideramos más asequible para el lector, cómo resolvió el problema de hallar la longitud de los meridianos terrestres, o sea, cómo rectificó la elipse que los contiene, o como él solía decir, cómo calculó la “peripheria”, el perímetro, de los mismos, utilizando el Cálculo Infinitesimal, que incluyó en su libro “Observaciones astronómicas y físicas hechas en los reinos del Perú”, y como esto no lo había hecho nadie en nuestro país hasta entonces, se erigió en el “el introductor del cálculo infinitesimal en españa” permitiéndole a Benito Bails introducir en la enseñanza, el Cálculo Infinitesimal de “Observaciones astronómicas…”, a través de su enciclopédica obra, en once tomos, que tituló “Elementos de Matemáticas”. 188

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Como preámbulo a nuestro trabajo hacemos algunas consideraciones sobre la longitud de la elipse que, hoy día, se obtiene a través de una integral elíptica completa de segunda especie, en la cual al aparecer una serie infinita, como podrá comprobar el lector al final de este trabajo, por no haber función alguna que la satisfaga, nada más podremos conocer valores aproximados de su longitud, según el número de términos que cojamos en dicha serie infinita. Así pues, mientras el área de la elipse, la longitud de la circunferencia y el área del círculo podemos hallarlas exactamente, no pasa lo mismo con la longitud de la elipse. Para que los protagonistas de nuestro trabajo nos cuenten lo que hicieron recordamos que, Newton, como creador del Cálculo Infinitesimal compartido con Leibniz, manifestó

, “a comienzos de 1665 descubrí el

método de las series aproximativas y la regla para reducir cualquier potencia de un binomio a dichas series,…”, y que Jorge Juan al abordar el problema de hallar la longitud del cuadrante de elipse, de la mitad del meridiano terrestre, afirmó

, "este problema está resuelto en muchos libros pero la

fórmula que sacan sólo sirve para arcos pequeños, pues si se aplica a todo el cuadrante de la elipse, los términos de la serie disminuyen tan lentamente que es impracticable, por ello me ha parecido que puede gustar, a los geómetras, el método que yo he seguido, pues en él se evita el inconveniente que padecen los demás”. Respecto a este método que siguió,

Jorge Juan, con series que

convergían rápidamente, para calcular la longitud del cuadrante de la elipse, de semieje mayor el radio del Ecuador, que él eligió como unidad de

189

DIego GARcía CAStaño

265 medida, y semieje menor el semieje de giro de la Tierra, b = 266 , según había sacado al resolver el problema de la forma de nuestro planeta, decirles que él trazó la mediatriz del semieje mayor relativo al cuadrante de la elipse que quería medir, dividiendo los cuadrantes de la elipse y de la circunferencia, de diámetro el eje mayor de la elipse, en dos partes. En la circunferencia, respectivamente, de 30º y 60º, y calculó la longitud de los arcos de elipse correspondientes, al de 30º de la circunferencia, a partir de dicha elipse con centro en el origen de coordenadas, y al de 60º de la circunferencia, hasta completar el cuadrante de la misma elipse, con el centro de esta en el punto (1,0) pasando por el punto (0,0), por el extremo del semieje mayor mencionado. Todo esto nos descubre a un Jorge Juan, voluntarioso, responsable y pensador que conocía a la perfección, todo lo relativo a la circunferencia, y como tenía que calcular la longitud del cuadrante de elipse a través de series infinitas, se “entrenó”, como suponemos por las diferenciales de arcos de circunferencia dA y dB de la Cuestión 3, hallando la longitud del cuadrante de la circunferencia, utilizando dichas series infinitas, porque al conocer de antemano los resultados que tenían que salirle, podría detectar los fallos y los aciertos para evitarlos o potenciarlos, respectivamente, cuando calculara la longitud del cuadrante de elipse, que multiplicada por dos le daría la longitud del meridiano terrestre. Nuestra suposición, de cómo vislumbró el método que según sus propias palabras “evitaba los inconvenientes que padecían los demás”, solo pretende mostrar algo que aunque Jorge Juan lo hiciera, como no tenía 190

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA porqué pregonarlo, nos lleva a nosotros a intuirlo razonadamente porque pedagógicamente, según nuestra forma de pensar, puede resultarle muy aclaratorio e instructivo al lector. Para que éste intuya el panorama matemático en los años en que Jorge Juan resolvió dicho problema, y pueda valorar adecuadamente la resolución del mismo, recordamos, por ejemplo, que el número π, con infinitas cifras decimales no periódico, irracional y trascendente, es decir, no raíz de polinomios no nulos con coeficientes enteros, tomó el relevo del número “p” (inicial de peripheria) para designar la “razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro” a principios del siglo XVIII que fue cuando el inglés, William Jones, empezó a utilizar 3 la letra griega π, para representar dicha razón, en lugar de la “p”, en sus trabajos matemáticos. No obstante lo dicho, el que tuvo mayor protagonismo, en este cambio, fue Eüler que difundió, avanzado dicho siglo, el número π por todos los estamentos matemáticos europeos al adoptarlo en su libro, “Introductio in Analysin Infinitorum”, que publicó en 1748, dando a luz al Análisis Matemático. Ese mismo año, Jorge Juan editó su libro “Observaciones astronómicas…” en el que incluía la resolución del problema de hallar la longitud del cuadrante de la elipse meridiana de la Tierra, del que nosotros nos ocuparemos. Antes de entrar en materia destacaremos: a) Que, en este problema, al no calcular Jorge Juan la cota de error que se comete en una serie infinita del tipo:

1 2

() () () ()

(a+b ) =

1 2

a +

−

1 2

−

3 2

b +

191

−

5 2

() 1

b +. ..+

−

2 k −1 2

bk + .. .

(1 )

DIego GARcía CAStaño

al tomar en ella un determinado número de términos, sin tener en cuenta los restantes, porque no solía hacerse en esa época ya que la bondad de los resultados avalaban los cálculos, debemos pensar que disponía de otras alertas que le avisarían de cuándo debía corregir el rumbo de sus investigaciones con tal de encontrar el resultado matemático más acorde con la realidad, una de ellas, desde luego, era la de operar antes con series infinitas en la circunferencia, como nosotros pensamos que hizo, para ir acumulando recursos útiles para sus trabajos con la elipse. b) Que ponemos a disposición del lector algunas cuestiones rutinarias de cálculo, para que éste no tenga que molestarse ni distraerse en nada que no sea seguir el hilo de lo que vayamos diciendo, sobre el proceso que llevó a “∈mente ” .

cabo, Jorge Juan, para hacer realidad todo lo que tenía

(a−b)

Recordamos, pues, dos formas de expresar

1 2

observando los

valores de las siguientes igualdades:

() () () 1

=1 ;

1 = ; 2

1 1 ⋅(− ) 2 2 1 1⋅3 1 = =− =− ⋅ ; 2 8 2⋅4 3

() 1

1 1 3 ⋅(− )⋅(− ) 2 2 2 1 1⋅3⋅5 1 = = = ⋅ ; 2⋅3 16 2⋅4⋅6 5

() 1

1 1 3 5 ⋅(− )⋅(− )⋅(− ) 2 2 2 2 5 1⋅3⋅5⋅7 1 = =− =− ⋅ ; . .. 2⋅3 ⋅4 128 2⋅4⋅6⋅8 7

porque sin más que cambiar “b” por “-b” en (1), podemos escribir: 1 2

1 2

1 − 1 − 1 − 5 −2 4 (a−b) = a − a 2 b− a 2 b2 − a 2 b3 − a b − . .. 2 8 16 128

192

(2)

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA y hallando

por inducción, con lo fácil que resulta hacerlo, el término

general en semifactoriales (!!) expresar la (2) en la siguiente forma: 1 2

1 2

∞

− (2 k −1)!! 1 (a−b) = a − ∑ ⋅ ⋅a 2k −1 k = 1 (2 k )!!

2 k−1 2

⋅b k

(3)

2 k ‼=2 ∙ 4 ∙ 6∙ 8 … ( 2 k−2 ) ∙ 2 k y

siendo

( 2k −1 ) ‼=1∙ 3 ∙5 … ( 2 k−3 ) ∙( 2 k−1) Cuestión 2:LONGITUD DEL CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA. Simulando que Jorge Juan practicó con las series infinitas para hallar la longitud del cuadrante de la circunferencia, con tal de encontrar el mejor método de hacerlo con el cuadrante de la elipse meridiana terrestre que era el que le interesaba, como ya hemos manifestado con anterioridad, digamos que consideró la circunferencia de centro el punto (0,0) y radio “1”

y, como su ecuación es: x2 + y2 =1 obtuvo:

x dy = − dx y

con lo que pudo

calcular el elemento diferencial ds del arco de dicha circunferencia:

ds = √ dx 2 + dy 2 =

1 (1 − x 2

)

1 2

(4 )

193

DIego GARcía CAStaño

Reunión del Departamento de Matemáticas del IES CARRÚS de Elche, en el Hondón de Novelda donde nació Jorge Juan Santacilia.

y dividiendo el “1” entre el desarrollo en serie de

(1−x

)

1 2

, a partir de

(2), con a=1 y b=x2 , como si de polinomios se tratara, obtuvo que: 2

x 3 x 5 x 35 x 63x 231 x 429 x ds = ( 1 + + + + + + + + ...) dx 2 8 16 128 256 1024 2048 integrando encontró que:

x 3 3 x5 5 x 7 35 x 9 63 x 11 231 x 13 429 x 15 s= x + + + + + + + + ... (5) 6 40 112 1152 2816 13312 30720 por lo que para x=1, sacó una burda aproximación de la longitud del cuadrante de la circunferencia:

194

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA s≃1 +

1 3 5 35 63 231 429 + + + + + + = 1, 370381236 6 40 112 1152 2816 13312 30720

cuando en realidad vale 1,570796327. Por eso, al ver la lenta convergencia de esta serie para x=1, le dio a

la “x” el valor

1 1 2 , en (5), y como arco sen 2 = 30º, pudo escribir: longitud del arco de 30º

1 1 3 5 35 63 231 ¿ + + + + + + 2 48 1280 14336 589824 5767168 109051904 cuyo valor es 0,523598237 cuando el verdadero es 0,523598775, por lo que en este caso el error era menor que una millonésima, a sea, mucho más aproximado que en el caso anterior. Así pues a través del arco de 30º la longitud de la circunferencia salía mucho más ajustada a la real que considerando todo el cuadrante. Disponía ya, por lo tanto, de experiencias que podría aprovechar, cuando se enfrentara al problema de hallar la longitud del cuadrante de la elipse, pero lo cierto es que aunque conociendo el valor de la longitud de un arco de circunferencia, como era el correspondiente al de 30º, podría encontrar la longitud de cualquier arco, sin embargo, eso no le serviría para calcular el cuadrante de la elipse al ser distintos en ésta los arcos de 30º según la región en que se tomen. Necesitaba hallar, por lo tanto, la longitud del cuadrante completo, porque ese sí que, multiplicándolo por 2, le daría la longitud del meridiano terrestre. Por eso, a renglón seguido, probó con la 195

DIego GARcía CAStaño

misma circunferencia de radio “1”, en distinta posición, o sea, con centro el punto (1,0) que pasaba, lógicamente, por el origen (0,0). Como su ecuación es: (x-1)2 + y2 = 1 repitió todo el proceso anterior, obteniendo:

dy =

1−x 1−x dx = dx y √2 x−x 2

por lo que:

ds = √dx +dy = 2

√

(1−x )2 2 x−x

dx =

1 2 2

(2 x−x )

(6)

por (2), con a=2x y b=x 2, desarrolló en serie el denominador, efectuó el cociente, del “1” entre dicha serie infinita, como si de polinomios se tratara, y obtuvo:

ds =

1 (x √2

1 − 2

1 2

3 2

5 2

x x 5x + + +. .. ) dx 4 32 128

e integrando sacó que:

1 2

3 2

5 2

7 2

1 x 3x 5x (2 x + + + + .. .) 6 80 448 √2

(7 )

por lo que para x=1 la aproximación de la longitud del cuadrante de la circunferencia le salió 1.5664730, cuando en realidad es 1,5707963, o sea, la encontró con un error inferior a una décima. Por eso, recordando que en

196

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA el caso anterior para

1 2

el error disminuyó ostensiblemente, hizo lo

propio dándole a “x” en (7) dicho valor, volviendo a comprobar la mejora en la aproximación de la longitud 1,0470517 del arco de 60º, (ya que arco cos

1 2 = 60º) que le salió, cuando en realidad es 1,0471975, que llevaba implícito un error menor de una milésima, con la ventaja que ello suponía.

Sumó los dos valores que había encontrado para

1 2 , que era

el valor para el que más rápidamente convergían, según hemos visto, las series (5) y (7) y sacó que: Longitud del cuadrante de la circunferencia de radio “1” con un error inferior a una milésima.

197

1,5706499

DIego GARcía CAStaño

Jorge Juan es el paje de la derecha

Cuestión 3: LONGITUD DEL MERIDIANO TERRESTRE Con todo el bagaje de experiencias adquirido, a través de las series infinitas de rápida convergencia, hallando la longitud del cuadrante de la circunferencia, encontró el camino a seguir para calcular con la mayor fiabilidad posible la longitud del cuadrante de la elipse meridiana terrestre:

Primero, hallaría la longitud del arco de la elipse

x2 +

y =1 b2 , que había

1 ( , 0) por encima del segmento de extremos (0,0) y 2 , correspondiente al

198

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA arco de 30º de la circunferencia de centro (0,0) y radio 1, o sea, tangente en los extremos del eje mayor de la elipse de centro en el punto (0,0), semieje mayor el radio del Ecuador, que había tomado como “1” y de semieje menor

265 el semieje de la Tierra, b = 266

que, según dijimos, había encontrado al

resolver

problema

forma

nuestro

planeta.

y2 ( x−1) + 2 =1 b Segundo, calcularía la longitud del arco de elipse 2

por

1 ( , 0) encima del segmento de extremos (0,0) y 2 , correspondiente al arco de 60º de la circunferencia concéntrica con la elipse y de radio 1, o sea, tangente a la misma en los extremos de su eje mayor, que pasa por el punto (0,0), tiene su centro en el punto (1,0), de semieje mayor 1 y el mismo semieje menor “b” que antes. Ese es el método que dijimos comentó, Jorge Juan, al iniciar este trabajo, diciendo que lo había seguido porque “en él se evitaba el inconveniente que padecían los demás”. Como en el primero, de los pasos, utilizó, según hemos dicho, la

elipse

x2 +

y2 =1 b2

sacó que: 2

b x dx b x dx dy = − =− y √1− x 2 199

DIego GARcía CAStaño

y pudo escribir que:

√

ds = √dx 2 +dy 2 = 1+

siendo

√

2 2

1 2 2 2

1− (1−b ) x (1−e x ) b x dx = dx = dx ( 8) 2 2 1 1−x 1− x (1− x 2 ) 2

c √ 1−b 2 e= = a 1

la excentricidad de la elipse, c la semidistancia

focal y a=1, el semieje mayor. Jorge Juan desarrolló en serie por (2), con a=1 y b= e 2x2, el numerador y escribió: 2 2

1− ds =

4 4

6 6

e x e x e x 5e x − − − − .. . 2 8 16 128 1 2 2

(1 − x )

operando puso ds en la siguiente forma:

ds=

1 1 2 2

dx −

−

2 4

en la que a

1 2 2

6 8

1 2 2

(1− x ) 1

4 6

x e x e x 5 e x + + + + .. . 2 8 16 128

(1 −x )

(1−x )

le llamó dA por ser, según (4), la diferencial del

arco de la circunferencia de centro (0,0) y radio “1”. Desarrolló en serie por (2), con a=1 y b=x2, el denominador y encontró que:

ds=dA−e 2

−

2 4

4 6

x e x e x 5 e x + + + + .. . 2 8 16 128 dx x2 x4 x6 5 x8 1−− − − − − . .. 2 8 16 128

200

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA y realizando este cociente de series infinitas, como si de polinomios se tratara, sacó que:

ds=dA −e2 [

x 2 ( e +2) x (e +e +3 ) x (5 e +4 e +6 e +20 )x + + + +. .. ] 2 8 16 128

integró y obtuvo que el arco de elipse que había por encima del intervalo de

1 ( ,0) 2 , o sea, el correspondiente al de 30º de la

extremos (0,0) y

circunferencia de centro (0,0) y radio “1”, como ya dijimos, era: 2

x3 ( e + 2)x (e +e +3 ) x (5 e +4 e +6 e +20 ) x s= A −e [ + + + +. . . ] 6 40 112 1152 2

el cual para

1 2 , ya que no lo hizo para x=1 por las experiencias

realizadas en la circunferencia, le dio:

π e 2 +2 e 4 + e2 + 3 5 e 6 + 4 e 4 +6 e 2 +20 2 1 s= −e [ + + + +.. . ] 6 48 1280 14336 589824 una vez calculado, despreciando en el corchete todo lo que llevaba potencias de “e” y la última fracción, por ser cantidades muy pequeñas, encontró que:

π 1 1 3 s≃ −e 2 ( + + ) 6 48 640 14336 por lo que:

0,5234291

(9)

finalmente, inició el segundo paso, por lo que tomó la elipse:

( x−1)2 +

y2 =1 b2

201

DIego GARcía CAStaño

y operando de forma análoga a como lo había hecho antes encontró:

dy=

b(1−x ) 1 2 2

(2 x−x )

√ dx

ds=

√

+dy = 1+

b 2 (1−x )2 2 x−x 2

expresó ds como sigue:

ds=

√

b 2 + ( 1−b 2 )( 2 x−x 2 ) 2 x −x

dx =

[b 2 + e 2 ( 2 x−x 2 ) 1 2 2

]

1 2

( 2 x−x )

y desarrollando en serie el numerador por (1), con a= b2 y b=e2(2x-x2), escribió: 2

b+ ds=

e e b + e 2 e b + e 3 e b +6 e b +5 e 4 x− x + x − x +. . . b 2b 3 2 b5 8b 7 1 2 2

( 2 x−x )

puso el ds en la forma:

ds=

dx 1 2 2

e e b +e 2 e b +e 3 e b +6 e b +5 e 4 x− x + x− x +. .. b 2 b3 2 b5 8 b7 1 2 2

( 2 x −x )

( 2 x−x )

dx y reconociendo, por (6) que

1 2 2

(2 x−x )

era la diferencial, dB, del arco de

la circunferencia de centro (1,0) y radio”1” desarrolló en serie el denominador por (2), con a=2x y b=x2, sacando:

202

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA 1 2 2

1 2

(2 x−x ) =2 x −

3 2

x −

1 2

2 .2

1 1 2

5 2

x −

2 . 16

1 1 2

7 2

x −

2 . 64

1 1 2

9 2

x −.. .

2 .1024

realizó el cociente de las dos series, como si de polinomios se tratara, y escribió: 1

e 2 1 2 b2 + 2e 2 2 −b4 +12 e2 b2 +16 e 4 2 b6 + 6 e 2 b4 +80 e 4 b2 +80 e 6 2 ds=b⋅dB+ ( x − x + x − x +. . .) √2 b 4 b3 32 b5 128 b7 integrando obtuvo: 3

s=b ⋅B+

que para

e 2 2 2 b2 +2 e 2 2 −b 4 +12 e2 b 2 +16 e 4 2 b6 + 6 e2 b 4 +80 e 4 b 2 +80 e 6 2 ( x − x + x − x +. . .) √2 3 b 10 b3 112 b5 576 b7

1 2

le dio:

π e 2 1 b2 +2 e 2 −b4 +12 e2 b2 +16 e 4 b6 + 6 e 2 b4 + 80 e 4 b 2 +80 e 6 s=b ⋅ + ( − + − +. .. ) 3 2 3 b 40 b 3 896 b5 9216 b 7

y despreciando los términos del paréntesis que llevan potencias de “e”, obtuvo: 2

π e 1 1 1 1 π e 1 1 1 1 s≃b ⋅ + ( − − − )= b . + ( − − − ) 3 2 3 b 40 b 896 b 9216 b 3 2b 3 40 896 9216 sacando que: s

1,0444174

sumó (9) y (10) y encontró que:

203

(10)

DIego GARcía CAStaño

longitud de un cuadrante de la elipse meridiana de la Tierra ≅

1,5678465

radios del ecuador, y como este radio medía 6.390,6968 Km., según obtuvo al resolver el problema de la forma de la Tierra, encontró que: longitud meridiano terrestre

2∙ 1,5678465 ∙6.390,6968=20.039,26322km

Cuestión 4 : FILOSOFÍA DEL CÁLCULO INFINITESIMAL.

Newton Antes de calcular, como ya dijimos, mediante la integral elíptica completa de segunda especie, la longitud del cuadrante de la elipse y ver el grado de aproximación a la misma por la obtenida por Jorge Juan, hacemos 204

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA de nuevo un poco de historia para seguir auscultando el ambiente matemático del siglo XVIII y ver el mérito que tuvo, Jorge Juan, al entender, transmitir a sus compatriotas y utilizar prácticamente el Cálculo Infinitesimal. Desde luego, Jorge Juan, a lo largo del trabajo que acabamos de describir, al manejar la ds, o sea, la diferencial del arco de elipse, ese elemento infinitesimal, que tiende a cero con toda la esencia de la “peripheria” de dicha cónica, e integrar después, sumando infinitos de estos elementos para conformar el cuadrante de la elipse, se metió de lleno en la, llamémosle, filosofía del Cálculo Infinitesimal, o sea, en uno de los recursos más potentes de la Matemática que, como madre de las demás ciencias, lo cede con generosidad a todas ellas, a la Física, Biología, Economía, Astronomía, Medicina, etc., que cada vez lo utilizan más. La verdad es que los infinitamente pequeños que arman, sustentan y son la esencia del Cálculo Infinitesimal, inquietaron grandemente, durante muchos siglos, a mentes de matemáticos como Arquímedes que, en el siglo III a.C., inseminó la Matemática con el método de exhaución, de Eudoxio de Cnido, que dio a luz en el siglo XVII, al Cálculo Infinitesimal: diferencial e integral, de la “mano” de Newton y Leibniz, después de que un siglo antes, en el XVI, se reeditasen las obras o trabajos de Arquímedes, o sea, diecinueve siglos después de que él, respectivamente, las escribiera o los realizase. Por eso debemos reconocer que fue un hecho histórico trascendental, uno de los más grandes avances de la Matemática lo que 205

DIego GARcía CAStaño

aconteció en los “anni mirabilis”, 1665 y 1666, cuando al cerrarse la Universidad de Cambridge, por la epidemia de peste, Newton se recluyó en su ciudad natal de Woolsthorpe y descubrió el Cálculo Infinitesimal, aunque no lo hiciera público hasta el año 1711, en su “De Analysi per æquationes numero terminorum infinitas”, que escribió en 1669. Como todo lo que se crea suele necesitar un reposo previo de ideas para poder sonsacarle todo el provecho que almacena, no es extraño que uno de los problemas del Cálculo Infinitesimal, en tiempos de Jorge Juan, fuera el de definir de forma comprensiva la derivada, o sea, el cociente de

infinitésimos

f ( x + Δx )−f (x ) Δx , cuando Δx=0 . Téngase en cuenta que

Newton nunca nombró las derivadas ni las funciones, porque él se defendía simplemente con las cantidades “evanescentes” que, al hacerse “desvanecían”. Por eso entendemos

Δx=0 , se

perfectamente que al Cálculo

Infinitesimal que se manejaba en 1748, el año en que Jorge Juan publicó su libro ”Observaciones astronómicas…”, en el que lo dio a conocer como primicia nacional a los españoles, le faltara fundamentación teórica. Piénsese a este respecto, por ejemplo, que en 1734, George Berkeley, filósofo, matemático y obispo de Cloyne, criticaba estos métodos infinitesimales diciendo que, “si un incremento va disminuyendo cualquier propiedad que se obtenga, bajo estas condiciones, no será válida cuando él desaparezca”, afirmando además que, “si un incremento es algo, no puede ser a la vez nada y viceversa, y si no son cantidades finitas, ni tan siquiera

206

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA infinitamente pequeñas, entonces es como si operásemos con los espíritus de las cantidades perdidas”. Esta falta de rigor matemático, que padeció el Cálculo Diferencial no es óbice, sino todo lo contrario, para que manifestemos la desbordante intuición de los grandes matemáticos, entre ellos, la de Jorge Juan. Y es que no había llegado aún la época en que matemáticos como Cauchy pusieran los cimientos estables a la función continua, 1822, que proseguiría después Baire, o Weierstrass que avanzado el siglo XIX le dio al concepto de límite el sentido aritmético finito que hoy día conocemos, con lo que los contenidos del Cálculo Infinitesimal se desligaron de toda interpretación geométrica, que venía de antaño, de los griegos, y en el fondo, es lo que exigía Berkeley y deseaban todos los matemáticos. La evolución de estos métodos infinitesimales, como estamos viendo, fue lenta. D’Alembert, por ejemplo, dio una primera definición de límite en el XVIII que no se formalizaría, hasta que Weierstrass lo hiciera en el XIX, como ya hemos dicho. Para que el lector entienda, en parte o en toda su extensión, lo que acabamos de narrar, decirles que aunque todos sabemos que si escribimos el número 1,99…9; con la finitud que nos es dado hacerlo, pero con los nueves que queramos, ese número será menor que 2 y que, sin embargo, el número N=1,999…, con infinitos nueves, alcanza el valor 2, ya que es exactamente 2. La demostración de esto último es muy sencilla, pues basta poner para verlo que: 10N-N=19,999… - 1,999…= 18; de donde: 9N= 18, o sea, N=1,999…=2. 207

DIego GARcía CAStaño

Todo esto desemboca en la paradoja de Aquiles y la Tortuga, es decir, en la paradoja más famosa de Zenón. Que Aquiles, siendo más veloz que la tortuga, la alcanza, está claro, porque, por ejemplo, si la tortuga está a 50 kilómetros, camina a 0,1 km/h y Aquiles corre a 10 km/h, se producirá el encuentro cuando éste recorra esos 50 km más todo lo que la tortuga haya avanzado desde que empezó la persecución, o sea, cuando se verifique que:

10t = 50 + 0,1t es decir, después de que transcurran 1,8 s.

(11)

50 horas ≃¿ 9,9 ¿ 5h3m

En las que Aquiles y la tortuga habrán recorrido,

respectivamente 50,505050…km y 0,505050…km.

(12)

Esta paradoja, este desafío a la inteligencia, que induce a que Aquiles no alcanza a la tortuga se “derrumba”, porque igual que vimos que 1,999…, es 2, alcanza al 2, comprobaremos, a continuación, que al ser infinitas las secuencias aproximativas, Aquiles alcanza a la tortuga. Cosa que no pasaría si el número de secuencias fuera finito. Por eso podemos afirmar, en este caso, que en el infinito está la verdad. Veámoslo. Teniendo las siguientes series infinitas:

AT =

R= T

1 1 1 1 1 1 1 5 + 20 + 2. 000 + 200 . 000 + . .. = 5+ 2 ( + 3 + 5 + . .. ) 10 10 10 1 1 1 50 + 2 + 200 + 20 . 000

1 1 1 + . . . = 50 + 2 ( 1+ + 4 + .. .) 2 10 10

1 1 1 1 1 1 1 1 + + 20 . 000 + 2 .000 . 000 + . . . = 2 ( 1+ + 4 + 6 + .. .) 2 2 200 10 10 10

208

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA la del tiempo total en horas, t AT, que tardan en las infinitas secuencias, tanto Aquiles como la tortuga, las de los kilómetros R A y RT que recorren, respectivamente, en las mismas Aquiles y la tortuga, en las que los primeros términos representan las 5 horas que emplea Aquiles en recorrer 50 km, mientras la tortuga recorre ½ km. De forma análoga a la que representan los segundos, terceros etc. términos. Para hallar los valores de las series efectuamos las sumas de los términos de las progresiones geométricas ilimitadas decrecientes, de los paréntesis en directo, o sea, sin aplicar la

a1 fórmula, 1−r , pues si:

S 1=

1 1 1 + 3 + 5 +. . . 10 10 10

la dividimos por 102: S1 102

1 1 + +. . . 103 105

y se la restamos a ella misma, encontramos:

S1 −

S1 10

1 10 de donde S 1 = 10 99

y t AT = 5+

5 =5 , 050505 .. .=5 h . 3 m 1,8 s 99

que coincide, con lo que habíamos sacado en (11). Así pues la paradoja de Aquiles y la Tortuga se “derrumba” de golpe cuando las secuencias son infinitas porque, como acabamos de comprobar, en ese caso, Aquiles alcanza a la tortuga.

209

DIego GARcía CAStaño

De forma análoga tenemos que si:

S 2 = 1+

1 1 1 + 4 + 6 +.. . 2 10 10 10 ,

la dividimos por 102; S2 2

1 1 1 + 4 + 6 +.. . 2 10 10 10

y después se la restamos a ella misma, como antes, sacamos:

S2 −

S2 10

= 1 de donde S 2 =

100 99

y R A = 50+

50 50 =50 , 505050. .. km y RT = = 0 ,505050 . .. km 99 99

que también nos muestra lo que obtuvimos en (12). Cuestión 5: EXCELENCIA MATEMÁTICA DE JORGE JUAN

210

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

Jorge Juan Santacilia Finalmente contrastaremos el ajuste del resultado que sacó Jorge Juan, de la longitud del cuadrante de la elipse meridiana terrestre, con el que se obtiene hoy día,

a través de la integral elíptica completa de segunda

especie. Para ello consideramos la elipse primera que utilizó Jorge Juan, o

sea, la

x2 +

y =1 b2

porque tomando el valor de ds que él encontró en (8),

211

DIego GARcía CAStaño

tenemos que la longitud del cuadrante de elipse lo podemos hallar mediante la siguiente integral:

∫0

ds =

∫0

1 2 2

(1−e x ) 1 2 2

dx = { x=sen t ; dx= cos t dt } = ∫

π 2 0

1 2

(1−e sen t ) dt

(1−x )

= desarrollando en serie infinita el integrando, de esta integral elíptica completa de segunda especie, por (3), con a=1 y b=e 2 ∙ sen2t, podemos seguir la igualdad de la siguiente forma: π

π ∞ (2 k−1 )!! e2 k = −∑ ⋅ ⋅ ∫ 02 sen 2 k t dt 2 k=1 (2k )!! 2 k −1

(13)

utilizando la integración por partes en esta última integral, tenemos: u = sen2k-1t y, por lo tanto, dv = sent dt; sacamos pues que du=(2k-1)sen2k-2t ∙ cost dt y que v= -cost; por lo que tenemos:

∫

π 2 0

sen tdt=[− sen π 2 0

2 k −1

t⋅cos t

=(2k−1)∫ (1−sen t )⋅sen 2

2k−2

]

π 2 0 +(2 k −1)

∫

π 2 0

cos 2 t ⋅sen2 k −2 t dt= π 2 0

t dt=(2k−1)[ ∫ sen

2 k−2

pasando esta última integral al primer miembro, sacamos:

212

π 2 0

t dt−∫ sen 2 k t dt ]

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA π 2 0

π 2 0

2k ∫ sen t dt=(2k −1)∫ sen 2 k− 2 t dt

y llamando Ik =

∫

π 2 0

sen 2 k t dt

aprovechamos la recurrencia que nos

proporciona esta última igualdad para escribir: 2k −1 ⋅ 2k

2 k−3 ⋅ Ik-1 = 2k−2

k −2

2 k−5 ⋅ 2 Ik-2 = k −4

k −3

Ik =

k−1

... 1 ⋅ 2

I1=

multiplicando miembro a miembro estas igualdades y simplificando, tenemos:

I k=∫

π 2 0

(2k−1)!! (2k−1)!! 2 (2k−1)!! π sen 2k tdt = ⋅ I0 = ⋅∫ 0 dt = ⋅ (2k )!! (2k)!! (2k)!! 2

finalmente, sustituimos la (14) en la (13) y, obtenemos: 2

longitud del cuadrante de la elipse

∞ (2 k−1)!! π e2 k [1−∑ ⋅ ] 2 2 2 k−1 k =1 (2 k)!!

por lo que desarrollando explícitamente el sumatorio, hasta el tercer término ya que el cuarto es ya muy pequeño debido a que e8 = 0,0000000017 tenemos:

213

(14)

DIego GARcía CAStaño

longitud del cuadrante de la elipse

1,5678451

este resultado que obtenemos , hoy día, con la integral elíptica completa de segunda especie nos confirma, una vez más, la excelencia matemática del noveldense Jorge Juan Santacilia al hallarlo, hace doscientos sesenta y seis años, de 1,5678465, o sea, con un error inferior a una cienmilésima. NOTAS BIBLIOGRÁFICAS DE PIE DE PÁGINA 1

(1711), De Analysi per æquationes numero terminorum infinitas. (1748), Observaciones astronómicas y físicas hechas en los reinos del

Perú. 3

(1706), Sinopsis palmariorum matheseos.

BIBLIOGRAFÍA 214

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

BAILS, B. (1772-1783): Elementos de Matemáticas (11 tomos), Viuda de Don Joaquín Ibarra, Madrid. DURÁN, A.J. (2011): La verdad está en el límite, Rodesa, Villatuerta (Navarra). EÜLER, L. (1748): Introductio in Analysin Infinitorum, M.-M. Bousquet & Soc., Lausanne. GARCÍA CASTAÑO, D. (2002): Biografía y Matemática de Jorge Juan, Edicions Locals, Novelda. GARCÍA CASTAÑO, D. (2005): Trascendencia Científica de Jorge Juan Santacilia, Club Universitario, San Vicente del Raspeig. JONES, W. (1706): Sinopsis palmariorum matheseos, Jeft Walle, Londres. JUAN SANTACILIA, J.

(1978): Observaciones astronómicas y físicas

hechas en los reinos del Perú, Fundación Universitaria Española, Madrid. NEWTON, I. (2003): De Analysi per æquationes numero terminorum infinitas, Saem Thales RSME, España. PUIG ADAM, P. (1979): Calculo Integral, EULER EDITORIAL, Madrid. REY PASTOR, J. y BABINI, J. (1985): Historia de la Matemática, Gedisa, Barcelona. TORROJA, J.M. (1973): Aportación de Jorge Juan al desarrollo científico español, Instituto de España. Madrid.

Finalmente, como colofón al buen hacer jorgejuanista de DIGARCAS, explicitar el agradecimiento por la buena acogida del mismo por parte de expertos catedráticos de universidad como José Luis Gómez Urdáñez, Catedrático de Historia Moderna de la Universidad de la Rioja que, el año 2002, en la 215

DIego GARcía CAStaño

pág. 116 del nº 51 de la Revista Canalobre de la Diputación Provincial de Alicante, en un amplio artículo intitulado “El iIustrado Jorge Juan, Espía y Diplomático”, págs. 106-127, dijo textualmente que “…También conocemos con detalle el problema matemático y su solución, en lo que ha reparado con bastante intención didáctica el profesor DIGARCAS, aclarando de una vez a los profanos lo que era tan difícil de seguir en los textos de Jorge Juan, nada menos que la comprobación de que el gran Newton llevaba razón cuando de sus teorías se concluía que la tierra era una esfera, sí, pero achatada por los polos…” Resaltando para terminar que, como el ingenioso y fructífero renacer matemático del siglo XVIII, por su bisoñez estuvo

muchas

veces

carente

una

fundamentación

adecuada, no es extraño, como acabamos de leer a Luis Gómez Urdáñez, que las explicaciones matemáticas en los textos de Jorge Juan no alcanzaran, como en todos los libros de su época, el rigor y la claridad que se necesitaba para una “cómoda” comprensión de las mismas, por eso resultan reconfortantes

los

comentarios

del

profesor

Torregrosa,

Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Alicante, que presentó en Novelda el libro de DIGARCAS, Trascendencia Científica de Jorge Juan Santacilia, recordando que “con motivo de la celebración en España, del VIII Congreso Internacional de Educación Matemática, en la ciudad de Sevilla,

año

1996,

dentro

los

actos

sociales

programados tuve la ocasión de asistir a una exposición de libros antiguos de matemática, entre los cuales, para mi satisfacción

personal,

como

noveldense,

había

algunos

volúmenes de Jorge Juan, que revisé de forma bastante superficial, pero que fueron la causa de que desde aquel momento tuviera la imperiosa curiosidad por saber lo que realmente había aportado a la ciencia nuestro insigne paisano. 216

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA Hoy, después de leer la obra Trascendencia Científica de Jorge Juan Santacilia, del profesor DIGARCAS, puedo dar por satisfecha aquella curiosidad y he de decir que la figura de Jorge Juan se ha engrandecido considerablemente en mi interior tanto por sus cualidades demostradas en la gestión de asuntos de Estado como, sobre todo, como científico. La

oportunidad

que

presentado

para

composición de este libro, sin duda, no se debe al azar, era necesario que un profesional de la enseñanza, además de matemático, el profesor DIGARCAS, con una voluntad firme de tratar con profundidad científica la obra de Jorge Juan se introdujera en los libros antiguos tanto de matemáticas como de historia e hiciera un alarde de buen profesor para plasmar en este libro, con gran claridad y pedagogía, una buena parte de la mejor obra de Jorge Juan”. Finalmente, dejaremos constancia de la satisfacción, honor y pláceme que nos produce haberles hablado, como lo hemos hecho, de la Matemática, o sea, con la esperanza de que el lector intuya, entre líneas, que el lenguaje del progreso, el de la Matemática, es el instrumento base e insustituible, el eslabón de oro, de la cadena de descubrimientos de las leyes que rigen el Universo que habitamos y que, por lo tanto, es el que nos aproxima, cada vez más, a concebir como Dios hizo el Mundo.

217

DIego GARcía CAStaño

BIBLIOGRAFÍA

Observaciones Astronómicas ………….……………...Jorge Juan

Geometría Métrica ………………………………..Pedro Puig Adam

Análisis Algebraico …………………………………Julio Rey Pastor

Estadística…………………………………………..……….Sixto Ríos

Matemáticas de Preuniversitario…………Diego García Castaño

Biografía y Matemática de Jorge Juan….Diego García Castaño

Trascendencia Científica de Jorge Juan..Diego García Castaño

La Ruta de los Mercaderes y el alborear..Diego García Castaño La expedición geodésica al V. del Perú ..F. González de Posada La Ciencia en la España Ilustrada………F. González de Posada

218

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

219

DIego GARcía CAStaño

Este libro acabó de escribirse el día de los Santos, Cosme y Damián, coincidiendo con el LIV aniversario de la boda de Maru y Diego.

220

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

221

DIego GARcía CAStaño

222

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

223

DIego GARcía CAStaño

DIEGO GARCÍA CASTAÑO

Biografía y Matemática de Jorge Juan

224

DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA

Diego García Castaño Esta obra, DIGARCAS: VIVIR LA MATEMÁTICA, aunque empezó a escribirse en las inmediaciones del Solsticio de Verano para “encariñar” con la Matemática al lector con estudios medios, sin embargo, como rebasado el Equinoccio de Otoño el informe Pisa de adultos-2013 alertó de que, “de los ciudadanos de los países de la OCDE los peores en Matemáticas eran los españoles”, no tuvimos más remedio que ampliar nuestros objetivos para que el libro, con el slogan en ristre: “el lenguaje del progreso es matemático”, ayudara a sacarnos del marasmo matemático en que estamos sumidos. Para elaborar como queremos este guión, recurrimos a las “vivencias matemáticas” y a los “destellos estudiantiles y profesionales” del profesor DIGARCAS, por ser éste un Catedrático de Bachillerato “de ir por casa” que sintió la Matemática como algo “suyo” y que, por lo tanto, pudo transmitírsela a los demás con la sencillez que pregonan los que le conocieron. Sus “vivencias matemáticas”, no exentas de originalidad e ingenio, nos muestran pasajes matemáticos sencillos algunos de ellos difíciles de encontrar en otros libros y, sus “destellos estudiantiles y profesionales”, aparecen pactados en texto alternativo al puramente matemático para paliar el esfuerzo que el lector realice en ciertas cuestiones que, aún siendo triviales, puedan turbarle. Y es que lo único que

pretendemos con esta obra es que el lector se sienta

cómodo y aproveche la ocasión de Vivir la Matemática. 225