LEERWERKBOEK
Getallen I Algebra Data en onzekerheid
Bjรถrn Carreyn Filip Geeurickx Roger Van Nieuwenhuyze CARTOONS Dave Vanroye
Hoe gebruik je VBTL ?
Dit boek bevat zes Âhoofdstukken vol getallen, algebra, data en onzekerheid. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting. Leerstof in verband met verdiepende doelen Âherken je aan het fijne groene streepje.
Data en onzekerheid
4
  Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.
Voorbeelden :
Uit dit samengestelde diagram kunnen we het volgende afleiden : –
Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken. We tonen zo’n link in een paarsÂgekleurd kadertje.
4 34 3 = 4 2 2
Er zijn duidelijk meer producenten van biologische landbouw in WalloniĂŤ dan in Vlaanderen, en dit doorheen alle vermelde jaren.
–
Het aantal producenten van biologische landbouw is in WalloniĂŤ en in Vlaanderen van jaar tot jaar
–
In 2012 waren er in WalloniĂŤ iets meer dan drie keer zoveel producenten van biologische landbouw dan
=
toegenomen.
*
1
2
 
De nummers van de oefeningen hebben een kleur : geel (basis) of groen (verdieping). Een sterretje duidt op een extra uitdaging. De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof.
−3 3 4 5 = 5 4
81 16
=
in Vlaanderen.
=
53 43 125 64
We berekenen nu ook nog met het rekenblad de verhouding van het aantal producenten in WalloniĂŤ tot dat in Vlaanderen.
We kunnen deze rekenregel ook toepassen als deeltal en deler (of teller en noemer) letters bevatten.
Vlaanderen WalloniĂŤ
2012
2013
2014
2015
2016
2017
299
332
343
370
430
468
1090
1155
1287
1347
1493
1625
De letters zijn dan plaatsvervanger van een willekeurig getal verschillend van 0.
Voorbeelden : a 3
3,64548495 3,47891566 3,75218659 3,64054054 3,47209302 3,47222222
Rekenen met rationale getallen
We zien dat die verhouding het grootst was in 2014.
137
148
149
170
173
176
174
162
183
145
191
182
177
160
165
159
158
163
166
164
138
158
150
184
176
161
178
184
∀ a ∈ Q:
a1 = a
∀ a ∈ Q0 :
a0 = 1
167
173
178
177
195
2 =
(−3)2 a2 ¡ b2 ¡ c 2 9
a2 ¡ b2 ¡ c 2
159
178
187
188
180
193
195
185
172
174
167
178
183
185
205
188
b3
In een klas van 33 leerlingen volgt iedereen biologie en /of informatica. Drie van de leerlingen volgen beide vakken. Het aantal leerlingen dat alleen informatica volgt, is het dubbele van het aantal dat alleen biologie volgt.
3
Hoeveel leerlingen volgen informatica ?
a2
(A)
b9 3 a2
15
(B)
18
(C)
20
(D)
22
(E)
23
wizPROF 2015 vraag 7 Š Stichting Wiskunde Kangoeroe
b9 a6
Taak : controleer met de CAS van GeoGebra :
6 de exponent
202
169 170
=
=
Bij 46 noemen we 4 het grondtal 193
165 180
an = a ¡ a ¡ ‌ ¡ a
∀ a ∈ Q, ∀ n ∈ N \ { 0, 1} :
160
−3
=
machten
De resultaten van de mannen : 158
−3 a ¡b ¡c
23 a2 b3
Moeilijkere opgaven kon je met behulp van je rekenmachine berekenen.
De resultaten van de vrouwen :
149
b3
=
Vorig jaar leerde je al machten berekenen zoals 23 = 8.
Van 30 vrouwen en van 30 mannen van dezelfde leeftijdsgroep werd de lengte in cm opgetekend.
171
a3
=
6 De machtsverheffing
2 Dubbel stengelbladdiagram
172
b
1
46 de macht
Machten van 10 : de voorvoegsels De voorvoegsels die je in de wetenschappen gebruikt, duiden eigenlijk op een vermenigvuldiging van een macht
Voorbeelden :
We tekenen nu een dubbel stengelbladdiagram.
van 10. De voorvoegsels voor grotere getallen ken je wellicht van de grootte van de harde schijf van een computer.
32 = 3 ¡ 3 = 9
43 = 4 ¡ 4 ¡ 4 = 64
25 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 = 32
106 = 1 000 000
De voorvoegsels van kleinere getallen zul je later in wetenschappelijke vakken bestuderen.
We tekenen met GeoGebra 6 daarom eerst de stengelbladdiagrammen apart. –
Breng de gegevens in het rekenblad in.
Machten berekenen van een negatief getal
–
Selecteer de gegevens met de rechtermuisknop en kies voor creĂŤer. Maak er een lijst l1 van.
1
–
Geef het commando StengelBladDiagram(l1,–1) in. (Als je de –1 gebruikt, dan worden de tientallen in de stengel opgenomen.) 2
macht van 10 10 24
Bepaal het teken : –
als de exponent een oneven getal is ; het resultaat heeft dus het teken van het grondtal.
+
als de exponent een even getal is.
10 21 1018
Zoek de macht van de absolute waarde van dit getal.
Voorbeelden : (–10)2 = 100
( –2)3 = –8
Opmerkingen : –
yotta zetta
symbool Y Z E
macht van 10 10 –1
voorvoegsel deci
symbool d
10 – 2
centi
c
10 – 3
milli
m
peta
P
10 – 6
micro
Îź
1012
tera
T
10 – 9
nano
n
10 9
giga
G
10 –12
pico
p
10 6
mega
M
10 –15
femto
f
10 3
kilo
k
10 –18
atto
a
10 2
hecto
h
10 – 21
zepto
z
101
deca
da
10 – 24
yocto
y
24
Een balkvormige doos heeft een volume van 4800 cm3. Hoeveel kleine balkvormige doosjes met afmetingen l = 4 cm, b = 2 cm en h = 2 cm kunnen in die doos als je weet dat de grote doos een vierkant als grondvlak heeft en er geen lege ruimte overblijft ? Kun je met zekerheid de afmetingen van de grote doos bepalen ?
Je moet goed opletten voor de mintekens in de opgaven. Onthoud dat de exponent slaat op datgene wat er net voor staat. Als dat een haakje is, dan slaat de exponent op alles wat tussen de haakjes staat.
189
voorvoegsel
exa
1015
58
Voorbeelden : –( –5)3 = –( –125) = 125 –( –2)4 = –( 16) = –16 –8 2 = –64
–
25
De nulde macht van een getal verschillend van 0 is altijd 1.
Voorbeelden :
De breuken
70 = 1
( –18)0 = 1
–
De eerste macht van een getal is altijd dat getal zelf.
Voorbeelden : ( 5,26)1 = 5,26 ( –27,5)1 = –27,5 15
254
5 5 hebben als product en als som hetzelfde rationaal getal. Bepaal x . en 3 x
Wat moet je kennen en kunnen ?
4
Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet. Ook in het portfolioschriftje, dat bij dit boek hoort, kun je vaardigheden inoefenen.
4
Simulatie met de computer Het is mogelijk om dit alles te simuleren met de computer door gebruik te maken van GeoGebra 6. – –
Open het rekenblad en het algebravenster. Breng volgend commando in het algebravenster in :
Data en onzekerheid
A1 = toevalsgetaltussen(1,6) + toevalsgetaltussen(1,6)
Het aangepaste staafdiagram verschijnt in het tekenvenster.
Vaardigheden | Wiskundetaal bewerkingen 1
2
Ik ken het onderscheid tussen numerieke en categorische data.
173
Ik kan gegevens in een frequentietabel weergeven en interpreteren.
173
175
181
183
B
❒
T
❒
T
❒
T
❒
Ik kan een stengelbladdiagram weergeven.
T
❒
Ik ken de betekenis van het gemiddelde en kan dit berekenen (ook met ICT).
Ik kan (met behulp van ICT) gegevens voorstellen. Ik maak hiervoor gebruik van een frequentietabel, een dotplot, een staafdiagram, een lijndiagram en een cirkeldiagram.
oké voor examen
Druk nadien op Ctrl + R en er wordt voortdurend 50 keer opnieuw opgegooid met de 2 dobbelstenen.
Als je nu het gemiddelde aantal ogen, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekent in het rekenblad met de gekende commando’s, dan zullen die ook steeds wijzigen als je op Ctrl + R drukt.
ik ken het !
–
dit moet ik leren
Selecteer deze gegevens en maak er een lijst l1 van. Geef dan in het algebravenster het commando staafdiagram(l1,0.5) in.
pagina
Trek nadien de cel door naar beneden met de vulgreep tot 50.
– –
Bloom
–
T
❒
Ik ken de betekenis van de mediaan en kan die berekenen (ook met ICT).
183
T
❒
Ik ken de betekenis van de modus en kan die berekenen (ook met ICT).
183
T
❒
Ik ken de betekenis van de variatiebreedte en kan die berekenen (ook met ICT).
184
A
❒
Ik weet wanneer welke centrummaat zinvol is om te gebruiken.
184
A
❒
188
T
❒
192
3
Ik kan verschillende numerieke datasets vergelijken met behulp van staafdiagrammen, parallelle dotplots en een dubbel stengelbladdiagram. Ik kan data verzamelen en een eigen statistisch onderzoek uitvoeren.
4
Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen. Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.
3
HERHALINGSOEFENINGEN
Data en onzekerheid
Vaardigheden
Herhalingsoefeningen
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.
Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. In de eerste kolom vind je de verwijzing naar de taxonomie van Bloom : Onthouden, Begrijpen, Toepassen, Analyseren, Evalueren of Creëren. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.
Rekenen met algebraïsche vormen
Naam
Klas
Nummer
Datum
Totaal
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
VII
1
…… / 2
Bepaal de getalwaarde van …
5
a III
–2ab
als a = 5 en b = –2
b 5x 2 –y
als x = –3 en y = 50
______________________________________________
_________________________________________________
______________________________________________
_________________________________________________
II 6
7
8
9
2
Wat is bij de veelterm 2x 3 – 3x 2y – 9y 4 a
10
…… / 3
de graad in x ?
b de graad in y ?
I
c
de graad in x en y ?
11 IV
193
211
3
Werk uit, herleid en rangschik naar dalende macht in x .
VI
a
V
HORIZONTAAL
VERTICAAL
als het product van twee factoren het dubbel is
4
bij 23 = 8 noem je 2 het …
3
ander woord voor tweede macht
5
bij 5 · 6 = 30 noem je 5 een …
2
6
bij 3 + 5 = 8 noem je 3 een …
van de eerste factor, dan is de andere factor …
de nulde macht van een van nul verschillend getal is steeds …
bij 23 = 8 noem je 3 de …
7
resultaat van een aftrekking
10
resultaat van een optelling
9
resultaat van een vermenigvuldiging
11
als het aftrektal gelijk is aan de aftrekker, dan bekom je …
b
II
III
IV
V
3 4 1 6 1 1 x + x3 + x2 −1 + − x2 + x3 +4− x2 4 2 5 3 2
=
Hoofdstuk 2 wordt … I
44
−5x + 2x 3 + 3x 2 − −6x 2 + 2, 5x 3 − 5x
=
1
8
=
= VI
VII
168
…… / 3
Welkom in de wetenschappelijke wereld van de wiskunde ! De basis van de getallenleer heb je vorig schooljaar geleerd. We bouwen verder met nog meer regelmaat en patronen en belanden zo bij algebra. Een balansmethode om een vergelijking op te lossen ? Verschillende methodes om realistische vraagstukken uit te werken ? Je leert het allemaal in het tweede jaar. Zoals je merkt aan het versnellingsapparaat van deze fiets is elk onderdeeltje belangrijk om vlot te kunnen schakelen. Gewoon de juiste versnelling kiezen en trappen maar !
Inhoud
Getallen I Algebra I Data en onzekerheid
1
Rekenen met rationale getallen
4
Data en onzekerheid
1.1 Wat voorafging ��������������������������������������������������������������������� 9 1.2 Oplossingsmethodes voor vraagstukken ........................................................................ 32
2
Extra’s ����������������������������������������������������������������������������������������������������� 44
Machten 2.1 Machten met gehele exponenten ................... 51 2.2 Wetenschappelijke schrijfwijze ....................... 80
3
4.1 Frequentietabellen opstellen ......................... 173 4.2 Data onderscheiden en verwerken met ICT in tabellen en diagrammen ........... 175 4.3 Centrummaten en spreidingsmaat ............ 183 4.4 Numerieke datasets vergelijken .................. 188 4.5 Een eigen onderzoek .................................................. 192
5
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
Extra’s ....................................................................................................... 91
Rekenen met algebraïsche vormen 3.1 3.2 3.3 3.4
Eentermen en veeltermen ...................................... 99 Som en verschil van veeltermen ................... 114 Product van veeltermen ........................................ 128 Merkwaardige producten ...................................... 147
Extra’s ................................................................................................... 163
Extra’s ................................................................................................... 210
5.1 Vergelijkingen oplossen in q ............................ 217 5.2 Vraagstukken oplossen .......................................... 240
6
Extra’s ................................................................................................... 255
Evenredigheden 6.1 Evenredigheden ............................................................. 263 6.2 Recht en omgekeerd evenredig .................... 283 Extra’s ................................................................................................... 302
Trefwoordenregister 308
1
Rekenen met rationale getallen
Wiskunde is een heel oude wetenschap. Eerst dachten we dat ze ontstond in het Mesopotamië van 5000 jaar geleden, maar we moeten nog 15 000 jaar verder in de tijd. Dit beentje van Ishango werd in 1960 in toenmalig Belgisch-Kongo opgegraven. Het is 10 centimeter lang, licht gebogen en heeft drie reeksen inkervingen. Wetenschappers zoeken nog naar de juiste betekenis ervan. Was het een kalender, een toverstokje, een instrument om de visvangst te verdelen of gewoon het eerste wiskundige spelletje ? Meer dan 22 000 jaar later is het aan jou om al je kennis van het eerste jaar even op te frissen.
© Konin
klijk B
elgisc
h Insti
tuut v
oor N
atuurw
etens
chapp
en
1
Rekenen met rationale getallen 1.1 Wat voorafging
1 Getalverzamelingen ......................................................... 9 2 Symbolen in de wiskunde ...................................... 10 3 De optelling en de aftrekking ............................. 12 4 De vermenigvuldiging ................................................. 13 5 De deling .................................................................................. 14 6 De machtsverheffing .................................................... 15 7 De vierkantsworteltrekking .................................. 16 8 De volgorde van de bewerkingen ................... 17 9 Samenvatting ...................................................................... 18 10 Oefeningen .............................................................................. 19
1.2 Oplossingsmethodes voor vraagstukken
1 Hoofdbewerkingen ........................................................ 32 2 De regel van drie & de verhoudingstabel ................................................... 33 3 Het gebruik van letters bij regelmaat ....... 34 4 Vergelijkingen ..................................................................... 35 5 Vraagstukken ....................................................................... 36 6 Procentrekenen .................................................................. 37 7 Samenvatting ....................................................................... 37 8 Oefeningen ............................................................................. 38
Extra’s
Vaardigheden : wiskundetaal bewerkingen .................................. 44 Wat moet je kennen en kunnen ? .............................. 45 Herhalingsoefeningen .......................................................... 46
8
1
Rekenen met rationale getallen
1.1
Wat voorafging 1 Getalverzamelingen
Vorig schooljaar leerde je rekenen met natuurlijke, gehele en rationale getallen. Je maakte ook kennis met getallen die niet tot Q behoren. N is de verzameling van de natuurlijke getallen.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Z is de verzameling van de gehele getallen.
Z = { 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, …}
Q is de verzameling van de rationale getallen.
In deze verzameling zitten : – alle gehele getallen ; – alle breuken ; – alle decimale getallen ; – alle onbegrensde decimale Z
vormen met een periode. Irrationale getallen (getallen die niet in Q zitten) hebben een onbegrensde decimale schrijfwijze zonder periode. We stellen ze hiernaast voor in een handig overzicht.
.0
.2
.1
. 62
… … …
.–3
N –10 . 2
.–2
.3,66…
. 54
4 .–1 .– 7
Q
.p
. 12
.√2
.2,5
. –2,8484…
.0,12345…
…
9
2 Symbolen in de wiskunde
∈
⊂
⟹
Voorbeelden :
Voorbeelden :
8∈N
N⊂Z
a is een natuurlijk getal
−
Z⊂Q
a is een geheel getal
π∈ / Q
Z⊂ /N
a is een veelvoud van 2
Betekenis :
Betekenis :
8 is een element van de verzame
De verzameling van de natuurlijke
ling van de natuurlijke getallen
getallen is een deelverzameling
5 ∈Q 6
⟹
Voorbeelden :
⟺ 2 is een deler van a
van de verzameling van de gehele
5 − is een element van 6 de verzameling van de rationale getallen
Betekenis :
getallen.
Als a een natuurlijk getal is, dan is a ook een geheel getal.
De verzameling van de gehele getallen is een deelverzameling
p is geen element van de verzame
van de verzameling van
ling van de rationale getallen
de rationale getallen.
Lees :
De verzameling van de gehele
8 is een natuurlijk getal
getallen is geen deelverzameling
5 − is een rationaal getal 6 p is geen rationaal getal
van de verzameling van
a is een veelvoud van 2 als en slechts als 2 een deler is van a . Lees : Elk natuurlijk getal is ook een geheel getal.
de natuurlijke getallen.
a is een veelvoud van 2 en 2 is een deler van a zijn gelijkwaardige
Lees :
uitspraken.
Alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen. Alle gehele getallen zijn rationale getallen. Niet alle gehele getallen zijn natuurlijke getallen.
Taak : Vul telkens het correcte symbool in of geef het resultaat. Kies uit de symbolen die hierboven uitgelegd zijn.
a
–7 __________ Z
e
N __________ Q
i
a ∈ N __________ a ∈ Z
b
15 __________ N 5
f
del 6 __________ del 12
j
a > 0 __________ a is positief
c
√
9 __________ Q
g
del 12 __________ del 6
k
2x = 6 __________ x = 3
d
√
2 __________ Q
h 4N __________ 8N
l
a > 0 __________ a > –5
10
1
Rekenen met rationale getallen
Symbolen in de wiskunde worden gebruikt om bepaalde relaties kort en makkelijk weer te geven. We herhalen enkele symbolen waarmee je vorig jaar kennismaakte.
∩
∪
\
Voorbeelden :
Voorbeelden :
Voorbeelden :
del 20 = { 1, 2, 4, 5, 10, 20}
del 20 = { 1, 2, 4, 5, 10, 20}
del 20 = { 1, 2, 4, 5, 10, 20}
del 50 = { 1, 2, 5, 10, 25, 50}
del 50 = { 1, 2, 5, 10, 25, 50}
del 50 = { 1, 2, 5, 10, 25, 50}
del 20 ∩ del 50 = { 1, 2, 5, 10}
del 20 ∪ del 50
del 20 \ del 50 = { 4, 20}
= { 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50} Voorstelling :
Voorstelling :
del 20
del 50
.4 .20
.2
.1
.5
.10
.25
.50
Voorstelling :
del 20
del 20
del 50
.4 .20
.2
.1
.5
.10
.25
.50
del 50
.4 .20
del 20 ∩ del 50
.2
.1
.5
.10
.25
.50
del 20 \ del 50 del 20 ∪ del 50
Betekenis :
Betekenis :
In de doorsnede zitten
Betekenis :
In het verschil zitten de getallen
de getallen die een deler zijn
In de unie zitten de getallen
die een deler zijn van 20, maar
van 20 en die ook een deler
die een deler zijn van 20 of die
niet van 50.
zijn van 50.
een deler zijn van 50. Lees :
Algemeen :
Algemeen :
Je bekomt de verzameling met
Je bekomt de verzameling
Je bekomt de verzameling
hierin de elementen die behoren
met hierin de elementen die
met hierin de elementen die
tot de eerste, maar niet tot
behoren tot de ene en de andere
behoren tot de ene of de andere
de tweede verzameling.
verzameling.
verzameling.
Taak : Controleer met de CAS van GeoGebra. Kies hierin een nieuwe a en b en alles past zich aan.
11
3 De optelling en de aftrekking Gehele en decimale getallen Voorbeelden : 15 + 39 = 54
–104 + ( –41) = –145
17 + ( –38,15) = –21,15
–85,02 + 27,19 = –57,83
Om het verschil te zoeken van twee getallen tel je bij het eerste getal het tegengestelde van het tweede getal op en pas je de rekenregel toe.
Voorbeelden : 18 − (−3) = 18 + 3 = 21
−3, 26 − 4, 83 = −3, 26 + (−4, 83) = −8, 09
−5 − (−21) = −5 + 21 = 16
Breuken Om verschillende breuken met elkaar op te tellen (of af te trekken), ga je als volgt te werk.
Voorbeelden : 8 12 4 1 + = + 14 36 7 3
−
36 1 33 5 3 1 3 5 + − + = − + − + 96 6 22 12 8 6 2 12
=
12 7 + 21 21
= −
9 4 36 10 + − + 24 24 24 24
=
19 21
= −
31 24
Terminologie :
2 7 term
+
1 7 term
plusteken
=
3 7
12, 67
som
term
−
3, 3
=
term
minteken
Gehele en decimale getallen optellen Als de twee getallen hetzelfde teken hebben : 1 Behoud het teken ; 2 Tel de absolute waarden op. Als de twee getallen een verschillend teken hebben : 1 Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde ; 2 Trek de absolute waarden van elkaar af (grootste – kleinste).
Breuken optellen en aftrekken 1 Vereenvoudig – indien mogelijk – elke breuk. 2 Maak de breuken gelijknamig. 3 Tel de tellers op (of trek de tellers van elkaar af ) en behoud de noemer. 4 Vereenvoudig – indien mogelijk – het resultaat.
12
9, 37
verschil
Rekenen met rationale getallen
4 De vermenigvuldiging Gehele en decimale getallen Voorbeelden : 36 · ( –2) = –72 100 · ( –5) · ( –1) · 2 = 1000
(–1) · 24 · (–2) · (–3) = –144 0,5 · 12 = 6 (–36) : 6 = –6 (–8) : (–2) = 4
Breuken Om breuken met elkaar te vermenigvuldigen, ga je als volgt te werk :
Voorbeeld :
6 14 3 − · − · − 7 11 9 1
2
2
1 4 3 · 6 · =− 71 · 11 · 9 3 1 =−
4 11
Terminologie :
2 5
·
1 3
factor factor
=
2 15 product
maalteken
Gehele en decimale getallen vermenigvuldigen of delen 1 Bepaal eerst het teken :
– bij een oneven aantal mintekens in de opgave ;
+ bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Vermenigvuldig (of deel) de absolute waarden.
Breuken vermenigvuldigen 1 Bepaal het teken :
– bij een oneven aantal mintekens in de opgave ;
+ bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Noteer een grote breukstreep. 3 Vermenigvuldig de tellers met elkaar zonder dit product uit te werken. 4 Vermenigvuldig de noemers met elkaar zonder dit product uit te werken. 5 Vereenvoudig. 6 Vermenigvuldig de resterende tellers met elkaar en de resterende noemers met elkaar.
13
1
5 De deling Gehele en decimale getallen Voorbeelden : 48 : ( –3) = –16
–18,75 : ( –7,5) = 2,5
–100 : ( –10) = 10
3600 : ( –2) = –1800
1,44 : ( –1,2) = –1,2
–0,5 : 2,5 = –0,2
Breuken Om breuken door elkaar te delen ga je als volgt te werk :
Voorbeeld : −24 6 24 5 : = − · 14 5 14 6 2 4
= −
2 4 ·5 1 4 · 6
= −
2·5 7·1
= −
7
1
10 7
Terminologie :
31, 64
deeltal
:
0, 4
deler
=
79, 1
quotiënt
deelteken
Breuken delen 1 Bepaal vooraf het teken :
– bij een oneven aantal mintekens in de opgave ;
+ bij een even aantal mintekens in de opgave.
2 Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. 3 Pas de regel voor het vermenigvuldigen van breuken toe.
14
Rekenen met rationale getallen
6 De machtsverheffing Vorig jaar leerde je al machten berekenen zoals 23 = 8. Moeilijkere opgaven kon je met behulp van je rekenmachine berekenen. machten ∀ a ∈ Q, ∀ n ∈ N \ { 0, 1} :
an = a · a · … · a
∀ a ∈ Q :
a1 = a
∀ a ∈ Q0 :
a0 = 1
het grondtal Bij 46 noemen we 4 6 de exponent 46 de macht
Voorbeelden : 32 = 3 · 3 = 9 43 = 4 · 4 · 4 = 64 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
106 = 1 000 000
Machten berekenen van een negatief getal 1 Bepaal het teken :
– als de exponent een oneven getal is ; het resultaat heeft dus het teken van het grondtal.
+ als de exponent een even getal is.
2 Zoek de macht van de absolute waarde van dit getal.
Voorbeelden :
(–10) 2 = 100 (–2) 3 = –8 Opmerkingen : – Je moet goed opletten voor de mintekens in de opgaven. Onthoud dat de exponent slaat op datgene wat er net voor staat. Als dat een haakje is, dan slaat de exponent op alles wat tussen de haakjes staat.
Voorbeelden :
–( –5) 3 = –( –125) = 125
–( –2) 4 = –( 16) = –16
–8 2 = –64
– De nulde macht van een getal verschillend van 0 is altijd 1.
Voorbeelden :
70 = 1
(–18) 0 = 1
– De eerste macht van een getal is altijd dat getal zelf.
Voorbeelden :
(5,26) 1 = 5,26 (–27,5) 1 = –27,5
15
1
Het grondtal van een macht kan ook een breuk zijn. Ook hier is de exponent van belang.
Voorbeelden :
−3 4
2
=
−3 −3 9 · = 4 4 16
−32 −3 · 3 −9 = = 4 4 4 2 3 3 9 3 − · =− =− 4 4 4 16 1 3 3 − =− 4 4 0 3 − =1 4 Verderop in dit boek leer je heel wat rekenregels zodat je veel meer zult kunnen uitrekenen zonder rekenmachine.
7 De vierkantsworteltrekking Voorbeelden : √ 25 = 5
√
9 3 = 16 4
0, 36 = 0, 6
omdat 52 = 25
en omdat het resultaat positief moet zijn.
2 9 3 = omdat 4 16
en omdat het resultaat positief moet zijn.
omdat (0, 6)2 = 0, 36
en omdat het resultaat positief moet zijn.
Om de vierkantswortel van een niet-volkomen kwadraat, breuk of decimaal getal te berekenen, kun je je reken machine gebruiken. Om vlot uit het hoofd te kunnen rekenen is het zinvol om de eerste zestien volkomen kwadraten te herkennen. Leer ze daarom van boven naar onderen en van onderen naar boven uit het hoofd. x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
16
1
Rekenen met rationale getallen
8 De volgorde van de bewerkingen De volgorde van de bewerkingen. 1 Als er haakjes in de opgave staan, werk je die eerst uit. Komen er binnen deze haakjes opnieuw haakjes voor, dan start je in de binnenste haakjes. 2 Daarna bereken je alle machtsverheffingen en worteltrekkingen. 3 Dan bereken je de vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts. 4 Ten slotte reken je de optellingen en aftrekkingen uit, ook van links naar rechts.
Volgorde van de bewerkingen 1 haakjes 2 machtsverheffingen en worteltrekkingen 3 vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts 4 optellingen en aftrekkingen van links naar rechts Staan er in de opgaven verschillende soorten haakjes, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit.
Voorbeelden : 25 : 52 − 23 ·
√
16
= 25 : 25 − 8 · 4 = 1 − 32 = −31
1 3 3 2 · − + 7 3 2 4 2 3 3 2 = · − + 7 3 4 4 =
3 2 5 · − 7 3 4
=
2 5 − 7 4
=
8 35 − 28 28
=
−27 28
Taak : Controleer met de CAS van GeoGebra
17
9 Samenvatting • Je kent de betekenis van natuurlijke, gehele en rationale getallen.
.0
.2
.1
Z N –10 . 2
. 62
… … …
.–3
.–2
.3,66…
Q
. 54
4 .–1 .– 7
.p
. 12
.√2
.2,5
. –2,8484…
.0,12345…
…
• Je kent de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄, ⟹ en ⟺. ∈
… is een element van …
∉ … is geen element van … ⊂ … is een deelverzameling van … ⊄ … is geen deelverzameling van … ⟹
als … dan …
⟺
… als en slechts als …
• Je kunt volgende symbolen gebruiken : ∪, ∩ en \. A ∩ B (doorsnede) :
de verzameling van de elementen die behoren tot A en tot B.
A ∪ B (unie) :
de verzameling van de elementen die behoren tot A of tot B.
A \ B (verschil) :
de verzameling van de elementen die behoren tot A en niet tot B.
• Je kunt rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. • Je kent de definitie van machten. an = a · a · … · a
n factoren met n > 1
a1 = a a 0 = 1
a ≠0
• Je kunt een macht van een rationaal getal berekenen (ook met ICT). • Je kunt de vierkantswortel van een rationaal getal berekenen (ook met ICT). • Je kunt de volgorde van bewerkingen toepassen. 1 haakjes ; 2 machtsverheffingen en worteltrekkingen van links naar rechts ; 3 vermenigvuldigingen en aftrekkingen van links naar rechts ; 4 optellingen en aftrekkingen van links naar rechts. Staan er in de opgave verschillende soorten haakjes, dan werk je eerst de binnenste haakjes uit.
18
Rekenen met rationale getallen
10 Oefeningen 1
Plaats deze getallen in de juiste verzameling. 0
−4 3 3,6
–4
4
√
√
9
3,66 …
5
2,184 …
Q
4 3
Z
.
p
.
N
. …
4 − 2
.
… …
.
.
. .
.
. . .
…
2
Vul aan met de symbolen ∈, ∉, ⊂ of ⊄.
a 3, 5
Z
g 7
del 28
b 3, 5
Q
h 7
7N
c
Z
Q
d Z+
e {2, 4, 6} f
3
4
del 24
Q+
N
del 12
i
3N
6N
j
−
8 4
Z
k −
8 4
Q0
l
N0
Z+
del 8 ∩ del 4 = __________________________
Plaats ⟹, ⟸ of ⟺ indien mogelijk. a
x ∈ del 36
_____
x ∈ del 48
b
3x + 2 = 5
_____
x =1
c
x ∈ Q
_____
x ∈Z
d
a = b
_____ 2a = 2b
e
a > 5
_____
a >2
Vul aan. a N ∪ Z =
__________________________
f
b Z– ∪ Z+ =
__________________________
g del 8 \ del 4 =
c N ∩ Z =
__________________________ h Z+ ∩ Z– =
d N ∪ Z+ =
__________________________
e del 24 \ del 6 = __________________________
i
___________________________ __________________________
del 8 ∪ del 4 = __________________________
j 2N ∩ 4N =
__________________________
19
1
5
Werk uit.
a 17 + (−5)
=
g −5 + (−9)
=
b 29 + 18
=
h 6 + (−13)
=
−16 + 3
=
i
−6 + 13
=
d −25 + (−33)
=
j
−6 + (−13)
=
e −5 + 17
=
k −17 + (−2)
=
f
=
l
−3 + 9
=
=
15 15 g − + − = 8 4
=
=
c
6
12 + (−18)
Werk uit.
a
b
2 5 + − 7 7
5 3 + − 8 8
=
h
2 16 + 9 9
=
c
3 1 − + 4 4
=
=
i
7 3 − + − 5 5
=
d
5 + (−5) 8
=
2 5 + − 7 9
=
j
−4 +
7 6
7 3 − + 4 2
= =
20
= =
k
2 5 + − 9 6
=
f
= =
=
e
=
= =
l
7 5 + 12 16
= =
Rekenen met rationale getallen
7
Werk uit.
a −7 − (+5)
=
g −13 − 4
=
b 4 − (−9)
=
h 13 − (−6)
=
6−3
=
i
13 − 29
=
d −5 − 7
=
j
−2 − 8
=
e 3 − (−4)
=
k 24 − 37
=
l
=
g
c
f
8
−13 − (−3)
=
17 − (−4)
=
2 1 − 9 3
=
Werk uit.
a
2 5 − 3 3
=
b −
17 5 − 12 12
=
=
h
13 4 − − 5 15
=
c
13 3 − − 4 4
2 8 d − − − 5 5
=
=
i
12 2 − 25 5
8 8 − 15 15
=
=
8 3 = − − − 15 10
j
=
=
k
5 1 − − 18 4
=
f
9 3 − − 16 16
=
=
=
e
=
= =
= =
l
−7 −
1 6
= =
21
1
9
Werk uit.
a 5 + (−7) − (−3) − (+5) + (−3)
= =
b −5 − (−7) + (−9)
= =
c
25 + (−14) − (+7) − (+7) − (−9)
= =
d −4 + (−3) + (+5) + (+7) + (−2)
= =
e −4 + (−16) − (−2) + (+5) + (−1)
= =
f
15 − 7 + 3 + (−9) − 4 + 6
= =
g 112 − (−121) + 121 − 211 + (−122) = = h 12 − (−4) − (+7) + (−6) − 5
= =
i
−16 + (+5) + (−29) + (−1)
= =
Een beetje magie … Een magisch vierkant (of een tovervierkant) is een vierkant waarin de som van de getallen van elke horizontale rij, elke verticale rij en elke diagonale rij dezelfde is. Vijf eeuwen geleden was er een magisch vierkant te zien in een ets van de Duitse kunstenaar Dürer. De som is telkens 34. Hij verwerkte er meteen ook het jaartal 1514 in en zorgde voor enkele extra’s : de vier hoeken samen of de vier middelste vakken vormen 34 en als je het vierkant verdeelt in vier kleinere vierkanten, is ook daar de som steeds 34. 22
Rekenen met rationale getallen
10
Magische vierkanten. Een magisch vierkant is een vierkant waarbij de som van elke rij, kolom en diagonaal gelijk is. Vul volgende magische vierkanten aan. magische som 102 24
3
33 18 48
15
magische som
9 2
45 12
15 2 2
3 2
magische som 10,2 4,8 1,8
3
0,9
3,3 0,3
3,6
3,9
23
1
11
Werk uit.
a 6 · (−5)
=
g −4 · (−1)
=
b −4 · (−7)
=
h 9 · (−3)
=
3·8
=
i
−9 · 3
=
d −7 · 5
=
j
−6 · (−10)
=
e 0 · (−4)
=
k −11 · 7
=
l
c
f
12
−6 · 1
Werk uit.
2 22 · 11 5
=
b
1 1 · − 3 4
=
c
5 ·4 6
=
a −
d −3 ·
8 9
7 10 −14 e − · − · 5 7 5
= = =
f
6 3 81 · · − 39 27 9
= =
g
21 4 · (−2) · − 8 3
= =
25 7 h −18 · · − 9 2
= =
i
25 3 2 · − − · − 5 6 4
= =
j
11 2 −3 38 · · · 4 −19 121 9
= =
24
13 · (−10)
= =
Rekenen met rationale getallen
13
Bereken volgende gedurige producten.
a −3 · 4 · (−2) · 1 · (−3)
=
b 1 · (−1) · (−2) · (−2) · 3 · (−3) = 8 · (−5) · (−3) · 2 · (−1)
=
d 7 · (−5) · (−3) · 4 · 0 · (−6)
=
e 2 · (−4) · (−2) · 4 · 1
=
c
f
14
−3 · (−2) · (−1) · 5 · (−25)
Werk uit.
a −36 : (−4)
=
h −22 : (−11)
b −25 : (−25)
=
i
−1 : 1
=
=
j
96 : (−16)
=
d 2 : (−2)
=
k −144 : 12
=
e 0 : (−4)
=
l
=
=
m −1000 : (−25) =
=
n 360 : (−12)
c
f
−6 : 2
−36 : (−12)
g 36 : (−1)
15
=
1000 : (−8)
=
=
Werk uit en herken door een regelmaat te ontdekken welk getal in het vijfde vakje komt. 5
1
–5 + 3
30 : ( –6
2
)
3
–4 – 4
4
27 – 38 4
1
1·2·3
2
) ( –4 ) · ( –3
–48 : ( –2
3
)
(–2) · 3 · (–8)
5
25
1
16
Werk uit.
a
21 21 : 8 8
g 5:
=
3 2
=
=
b
11 8 : 8 11
=
h
=
78 2 : 9 3
=
=
c
−5 15 : 7 2
=
i
=
5 − :5 2
=
= 7 2 d − : 5 15
=
j
=
7 −1 : − 4
= 7 1 e − : − 3 6
=
k
=
−3 −7 : 22 11
=
f
5 0: − 2
l
=
a 7, 58 + 1, 04 + 21, 407
=
b −1, 407 − 9, 5
=
c
=
d 5, 4 · 7
=
e 6, 25 : (−0, 125)
=
0, 025 − 1, 01
=
g −2, 6 − (−1, 53)
=
h −12, 03 + 6, 5
=
f
i
26
−4, 5 · 2, 4 · (−0, 1)
8 −7 : 13 39
= =
Reken uit met ICT.
8, 2 : 0, 5
= =
=
17
=
=
Rekenen met rationale getallen
18
Bereik de eindmeet zonder fouten.
21
–8
: (– 3)
– 48
+ 20
·5
( )2
–5
+ 20
:7
( )3
: (– 5)
– 15
+ 225
100 AANKOMST
· (– 9)
19
Reken uit het hoofd uit.
√
=
h 25
=
=
i
√
=
2 2 3
=
j
−33
d (−2)2
=
k 117
e
√
64
=
l
f
−(−4)2
=
m −20
g
−22 3
=
n
a
144
b −42 c
20
121
= =
√
− 10 000
−3 5
= =
2 =
Reken uit met ICT.
a
b − c
676 361
=
178 111 57 382 · · · = 114 191 222 89
111 37 : 625 25
=
d 3, 53
=
e 11 · 0, 2727 . . . = f
√
14, 0625
=
27
1
21
Werk uit.
a 5 · (7 − 2) − 8
b 32 − 5 · 3 +
c
√
16
8 − (5 · 3 + 6) · 22
d (18 − 5) : (7 − 20)
28
e
[15 : (−3) − (−7)] : (−1)
f
40 · 2 + (−14 : 7)
g (−21 : 3) − 32 · 2 : (−6)
h (−14 +
√
25) : 3 · 2 − 1
Rekenen met rationale getallen
22
Werk uit.
a
7 4 1 3 − + − 8 3 12 4
d
b
4 7 2 − − + −2 9 3 9
e
c
2 3 4 3 − + − 3 4 3 2
3 2 3 1 − − + 5 5 2 2
f
2−
3 5 5 · + 5 2 4
5 6 3 1 2 · · + − 6 5 5 4 3
29
1
23
Werk uit.
1 1 3 5 3 a − : − + −3· − 2 4 8 3 2
b
c
30
4 : − 3
6 4 : − 5 14
−2 3
4−
2
d (0, 2 + 0, 8 · 1, 25) : 0, 4 − 2, 75
1 1 1 + · 16 3 2
e 1, 6 : 6, 4 − (0, 5 + 0, 125 · 4)
3 1 − 4 2
f
7, 2 : 6 · 5 − (2, 74 − 2, 34)
Rekenen met rationale getallen
24
Ingewikkelde berekeningen maak of controleer je het best met ICT.
Voorbeeld :
3 1 3 + ¡ 4 2 2
2 +
21 9 1 ¡ − + 5 4 4
Methode 1 :
Methode 3 :
controle met Photomath.
controle met de CAS van GeoGebra 6.
De CAS-versie van GeoGebra geeft na het invoeren van de uitdrukking onmiddellijk het resultaat weer als je op enter klikt.
Met deze gratis app controleer je in eerste instantie je oplossing. Open de app. Trek een foto van de opgave. Controleer jouw oplossing. Foutje g  emaakt ? Tik dan op Show solving steps en je krijgt de tussenstappen te zien.
Methode 2 :  controle met Microsoft Math Solver.
Bereken met behulp van ICT :
a
b
4 − 3
d
9 7 1 13 + + = ¡ − 27 2 3 18
62 6 − 21 3 = 7 1 − 12 3
c
2
1−
3 1 64 −2 3 3 ¡ −2¡ ¡ 2− = 4 27 24 4 4
3 1 1− ¡ 5 2 = 42 1 2 + :4 ¡ 19 5 7
31
1
1.2
Oplossingsmethodes voor vraagstukken In deze paragraaf herhalen we de oplossingsmethodes die je vorig jaar aangeleerd kreeg.
1 Hoofdbewerkingen Yes, je mag op Chirokamp ! Net voor je vertrek gaf je moeder je nog wat zakgeld mee. De helft hiervan ging naar de drankjes ’s avonds. Bij de dropping kocht je ook nog twee appelkoeken en een flesje water in een winkeltje. Je betaalde hiervoor 3,10 euro. Voor de kaartjes die je opstuurde naar het thuisfront moest je 4,40 euro betalen. Na het kamp had je nog 5 euro over, maar die mocht je van je moeder in je spaarpot stoppen. Hoeveel gaf ze jou als zakgeld mee ? Oplossing : Dit probleem kun je oplossen met hoofdbewerkingen. Als je weet dat de helft van je zakgeld naar drankjes ging, dan heb je nog steeds de andere helft over. Die wordt als volgt verdeeld : •
€ 3,10 winkeltje
•
€ 4,40 kaartjes
+ •
€ 5,00 overschot € 12,50 totaal
Om het oorspronkelijke bedrag te kennen, moet je dit totaal verdubbelen. Antwoord : Je moeder gaf je € 25 zakgeld mee voor het kamp. Taak : Als drie wafels en twee pannenkoeken samen 6,60 euro kosten en vijf wafels en twee pannenkoeken samen 9 euro kosten, hoeveel kost dan één pannenkoek ? __________________________________________________
_____________________________________________________
__________________________________________________
_____________________________________________________
__________________________________________________
_____________________________________________________
32
Rekenen met rationale getallen
2 De regel van drie & de verhoudingstabel W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N Apollo 11 was de eerste ruimtemissie waarbij de mens voet op de maan zette. De missie werd gelanceerd in 1969. De Apollo 11 deed in totaal dertig omwentelingen rond onze maan. Het duurde wel even voor die maan werd bereikt. De beginsnelheid was fenomenaal: 25 000 km/h. Zodra de raket in de ruimte was, deed ze iets meer dan 78 uur over een afstand van 384 400 km. Wat was de gemiddelde snelheid van de Apollo 11 in de ruimte ?
Oplossing : Met de regel van drie :
: 78
in een verhoudingstabel :
78 uur
⟶
384 400 km
1 uur
⟶
4928,2 km
TIJD IN UREN
: 78
AFSTAND IN KM
: 78 78
1
384 400
4928,2 : 78
Antwoord: De gemiddelde snelheid in de ruimte was ongeveer 4928 km/h.
Taak : a In elke verhoudingstabel is een fout geslopen. Verbeter die. 33
9
3
30
6
16
10
20
35
55
15
5
45
10
20
8
16
28
b Als 200 g schepsnoep 4,60 euro kost, hoeveel betaal je dan voor 450 gram ?
_______________________________________________
_____________________________________________________
_______________________________________________
_____________________________________________________
_______________________________________________
_____________________________________________________
33
1
3 Het gebruik van letters bij regelmaat De eigenaar van een feestzaal overweegt nieuwe tafels te kopen die naast elkaar opgesteld moeten worden. Hij twijfelt tussen vierkante en achthoekige tafels. Hoeveel zitplaatsen bekom je als je van elk 10 tafels voorziet ? Noteer ook de formule die het aantal zitplaatsen weergeeft in functie van het aantal tafels. 1
2
3
4
6
8
OPSTELLING 1
AANTAL STOELEN
Je merkt op de voorstelling dat elke tafel bovenaan en onderaan één stoel heeft. Helemaal links en helemaal rechts komt er telkens één stoel bij. Woordformule :
het aantal stoelen is gelijk aan het aantal tafels maal twee plus twee
Letterformule :
s =2·t +2
Oplossing :
Bij 10 tafels wordt het aantal stoelen :
2 · 10 + 2 = 20 + 2 = 22
1
2
3
8
14
20
OPSTELLING 2
AANTAL STOELEN
Je merkt op de voorstelling dat elke tafel zes stoelen heeft (drie boven en drie onder). Helemaal links en helemaal rechts komt er telkens één stoel bij. Woordformule :
het aantal stoelen is gelijk aan het aantal tafels maal zes plus twee
Letterformule :
s =6·t +2
Oplossing :
Bij 10 tafels wordt het aantal stoelen:
6 · 10 + 2 = 60 + 2 = 62
Taak : Deze tafels kunnen zowel in de lengte als in de breedte tegen elkaar geschoven worden. Bepaal voor elke mogelijkheid de letterformule en het aantal stoelen bij tien tafels.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
34
①
②
③
___________________________________ ___________________________________
Rekenen met rationale getallen
4 Vergelijkingen Zodra in een gelijkheid als 2 + ( –5) = –3 een of meerdere getallen vervangen worden door een onbekende, spreken we van een vergelijking. Vorig schooljaar leerde je deze eenvoudige vergelijkingen op te lossen.
x +a = b in beide leden a aftrekken
x ·a = b beide leden delen door a ( = 0)
x = b −a
x =
b a
x :a = b beide leden vermenigvuldigen met a
x −a = b in beide leden a optellen
x = b ·a
x = b +a
Merk op dat bij a · x = b het getal a nooit 0 mag zijn. Kun je verklaren waarom ?
Voorbeelden : x + (−5) = −13
−8 · x = 56
x − 5 = −13
x − (−2, 5) = −7
x = 56 : (−8) x = −7
x = −13 + 5
x + 2, 5 = −7 x = −7 − 2, 5
x = −8
x = −9, 5
Merk op dat je steeds je resultaat kunt controleren met ICT of door de onbekende in de opgave te vervangen door de oplossing. –8 + ( –5) = –13
–9,5 + 2,5 = –7
–8 · ( –7) = 56
Taak : a Los volgende vergelijkingen op. 2 x+ − = −1 3
−5 · x = −125
b Controleer met de CAS van GeoGebra
35
1
5 Vraagstukken Bij sommige vraagstukken kun je het te zoeken getal vervangen door x . Je ‘vertaalt’ dan het vraagstuk naar een vergelijking.
Methode : Het vraagstuk begrijpen : 1 Lees grondig het vraagstuk. 2 Wat je zoekt, stel je voor door x . Oplossing : 3 Vertaal het vraagstuk naar een vergelijking. 4 Los de vergelijking op. Antwoord : 5 Formuleer het antwoord en controleer.
Voorbeeld : Het hoofdkwartier van Apple in San Francisco is een groot cirkelvormig gebouw. Je kunt er als bezoeker niet zomaar binnen, maar je kunt wel rond het gebouw wandelen. Dat is een wandeling van 1,458 km. Bepaal de straal van de buitencirkel. Keuze van de onbekende x : x is de straal van de buitencirkel. Oplossing :
2 · π · x = 1458 x =
1458 2π
x ≈ 232 Antwoord : De straal van de buitencirkel van het gebouw is ongeveer 232 meter. Taak : Los dit vraagstuk op door het om te vormen naar een vergelijking. Een lieveheersbeestje besluit om te wandelen over alle ribben van een balk en legt 46 cm af. Hoe hoog is de balk als l = 5 cm en b = 2,5 cm ?
36
Rekenen met rationale getallen
6 Procentrekenen Veel vraagstukken in verband met procentrekenen kun je terugbrengen tot een vergelijking.
17 % van 400 is gelijk aan 68
In een opgave met procenten is ( zoals in bovenstaande zin ) een van de gekleurde getallen het te zoeken getal. We stellen het te zoeken getal voor door x en zetten dan de opgave om in een vergelijking.
Hoeveel procent
17 % van een bepaald
van 400 is gelijk aan 68 ?
getal is 68. Zoek dat getal.
x % van 400 is 68
17 % van x is 68
17 % van 400 is x
x · 400 = 68 100
17 · x = 68 100
17 · 400 = x 100
x · 400 = 68 · 100
17 · x = 68 · 100
x · 400 = 6800
17 · x = 6800
x = 6800 : 400
x = 6800 : 17
x = 17
x = 400
Hoeveel is 17 % van 400 ?
68 = x
Ook problemen met procenten kun je met de CAS van GeoGebra oplossen.
7 Samenvatting • Je kunt een probleem oplossen door gebruik te maken van : – hoofdrekenen ; – de regel van drie; – een verhoudingstabel. • Je kunt vergelijkingen oplossen van de volgende vormen.
x −a = b
x +a = b
x = b −a
x = b +a
x ·a = b b x = a
x :a = b
x = b ·a
• Je kunt eenvoudige vraagstukken oplossen met behulp van een vergelijking.
37
1
8 Oefeningen 1
Het boekenpakket van Jack bestaat uit huurboeken, werkboeken en schriften. Het pakket bestaat uit
2 1 huurboeken en werkboeken. 7 2
a Druk met een breuk uit hoeveel schriften er in het boekenpakket van Jack zitten.
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
b Als Jack vier werkboeken heeft, hoeveel boeken en schriften bevat zijn totale boekenpakket dan ?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
2
Anke en Robbe zitten in het tweede secundair en plannen hun kerstvakantie. Ze willen graag op winterkamp in Oostenrijk. Om de skiliften te mogen gebruiken gedurende een week betaalt een volwassene 135 euro. Hoeveel moeten Anke en Robbe voor 7 van het bedrag 9 van een volwassene moeten betalen ?
het gebruik van de skiliften betalen als zij maar
_____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________
3
De eigenaar van een manege kocht drie nieuwe paarden om op te leiden. 1 5 De prijs van het tweede paard is van de prijs van het eerste, maar evengoed van de prijs van het derde paard. 2 6 Voor het derde paard betaalde hij 2500 euro. Bepaal de prijs van de andere paarden. _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ 38
Rekenen met rationale getallen
*
4
W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N Een barrel is de eenheid die gebruikt wordt om olieproducten te vervoeren. Een barrel of vat (afgekort bbl) bevat 159 liter. Hoeveel barrels olie kan een schip met een opslagruimte van 200 000 m3 maximaal vervoeren ?
5
Kwik is het enige metaal dat bij kamertemperatuur vloeibaar is. Al in 1500 voor Christus waren ze op de hoogte van de gevaren van dit giftige metaal. Eén liter kwik weegt 13,6 kg. Hoeveel weegt het potje kwik dat je leerkracht in de kast staan heeft ? De inhoud van het potje is 20 cl. Het gewicht van het potje is te verwaarlozen.
6
Een kunstenaar heeft 500 cm3 koper nodig om een beeld te gieten. Het soortelijk gewicht van koper is 8,96 gram per cm3. Hoeveel zal het beeldje van de kunstenaar wegen ?
39
1
7
Regelmaat bij lucifers. Vul telkens de tabel aan door figuur 4 te schetsen en alle gebruikte aantallen lucifers te noteren in de onderste rij. Noteer ook de formule die het aantal lucifers l weergeeft in functie van de figuur met nummer n . a
FIGUUR NR. n
1
2
3
4
10
4
10
4
10
LUCIFERS
AANTAL GEBRUIKTE LUCIFERS l
b
letterformule : ______________________________________________________________
FIGUUR NR. n
1
2
3
LUCIFERS
AANTAL GEBRUIKTE LUCIFERS l
c
letterformule : ______________________________________________________________
FIGUUR NR. n
1
2
3
LUCIFERS
AANTAL GEBRUIKTE LUCIFERS l
40
letterformule : ______________________________________________________________
Rekenen met rationale getallen
8
Los volgende vergelijkingen op.
a
x + (−25) = −175
e
x : (−11) = −11
b
−4 · x = 60
f
(−3) + x = −7
g
x − 24, 75 = 4, 75
h
x : (−2) = 14
c
d
2 3 x = 3 2
x−
1 5 = 3 12
41
1
9
Los volgende vraagstukken op met behulp van een vergelijking. a Tel je bij een getal –25 op, dan bekom je –150. Bepaal dit getal.
b Als je een getal vermenigvuldigt met
2 −3 , dan bekom je . Bepaal dit getal. 7 3
10
Los volgend vraagstuk op met behulp van een vergelijking. Van de 328 000 bezoekers aan het Natuurhistorisch Museum in Brussel waren er 3 keer meer bezoekers die individueel het museum bezochten dan in groep. Hoeveel museumbezoekers kwamen in groep naar dit museum ?
11
Vul aan. a 45 % van 180 is ____________________ .
d ____________________ % van 500 is 80.
b 12,5 % van 640 is ____________________ .
e ____________________ % van 200 is 300.
c 60 % van ____________________ is 300.
f
42
25 % van ____________________ is 450.
Rekenen met rationale getallen
*
12
W ISK U N DE & A A R DR IJ K SK U N DE De grootte van het aardoppervlak is ongeveer 510 miljoen km2. 70,9 % van dit aardoppervlak bestaat uit water. 97,2 % van dit water wordt gevormd door zeeën en oceanen. a Hoeveel km2 van het aardoppervlak bestaat uit water ? ��������������������������������������������������� b Hoeveel km2 wordt ingenomen door zeeën en oceanen ? ��������������������������������������������������
13
Bereken telkens met ICT. a Iemand koopt op een veiling een schilderij van 5480 euro. Hierbij moeten nog 18 % veilingkosten en 4 % volgrecht betaald worden. Hoeveel betaalt de koper van het schilderij ?
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
b Op 1 januari 2019 telde België 11 431 406 wettelijk geregistreerde inwoners. Elk jaar groeit de Belgische bevolking met ongeveer 0,49 %. Hoeveel inwoners telde België op 1 januari 2018 ?
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
c Een gemeente telt 16 480 inwoners. 35 % van de inwoners heeft een tuin die groter is dan 2 are. Hoeveel inwoners van de gemeente hebben geen tuin die groter is dan 2 are ?
14
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
Welk getal moet je van –17 aftrekken om –33 te krijgen ? (A) –50
(B) –16
(C) 16
(D) 40
(E) 50
wizBRAIN 2017 vraag 4 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
*
15
Mike heeft honden, katten, koeien en kangoeroes als huisdier. Hij heeft 24 huisdieren, 3 2 deel is geen koe en deel is geen kat. 4 3
1 deel daarvan is hond, 8
Hoeveel kangoeroes heeft Mike ? (A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
wizPROF 2019 vraag 17 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
16
Tabita wil zes paprika’s kopen. Een paprika kost 1 euro. Vijf winkels hebben een uitzonderlijke aanbieding. – winkel 1 : ‘ Eén paprika kopen, de tweede
– winkel 4 : ‘Op alle paprika’s 25 % korting.’
aan halve prijs.’
– winkel 5 : ‘ Bij aankoop van minstens 3 paprika’s,
– winkel 2 : ‘Twee paprika’s kopen, de derde gratis.’
30 % korting !’
– winkel 3 : ‘Vijf paprika’s kopen, de zesde gratis.’ In welke winkel bespaart Tabita het meest op de aankoop van zes paprika’s ? (A) winkel 1
(B) winkel 2
(C) winkel 3
(D) winkel 4
(E) winkel 5
JWO 2020 eerste ronde, vraag 5 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
43
1
Vaardigheden | Wiskundetaal bewerkingen 1
2
3
4
VII
5
III II 6
7
8
9
10 I
11 IV
VI
V
HORIZONTAAL 1
als het product van twee factoren het dubbel is
VERTICAAL 2
van de eerste factor, dan is de andere factor …
de nulde macht van een van nul verschillend getal is steeds …
4
bij 23 = 8 noem je 2 het …
3
ander woord voor tweede macht
5
bij 5 · 6 = 30 noem je 5 een …
6
bij 3 + 5 = 8 noem je 3 een …
7
resultaat van een aftrekking
9
resultaat van een vermenigvuldiging
23
= 8 noem je 3 de …
8
bij
10
resultaat van een optelling
11
als het aftrektal gelijk is aan de aftrekker, dan bekom je …
Hoofdstuk 2 wordt … I
44
II
III
IV
V
VI
VII
T
❒
A
❒
T
❒
T
❒
T
9
Ik ken de betekenis van de symbolen ∈, ∉, ⊂ en ⊄.
10
Ik ken de betekenis van de symbolen ⟹ en ⟺ .
10
11
Ik kan rationale getallen optellen en aftrekken.
12
❒
Ik kan rationale getallen vermenigvuldigen.
13
T
❒
Ik kan een rationaal getal delen door een (van nul verschillend) rationaal getal.
14
T
❒
Ik ken de definitie van machten en kan een macht berekenen van een rationaal getal.
15
T
❒
Ik kan de vierkantswortel berekenen van een rationaal getal.
16
T
❒
Ik ken de volgorde van de bewerkingen en kan ze toepassen in oefeningen.
17
T
❒
Ik kan vraagstukken oplossen met hoofdbewerkingen.
32
T
❒
Ik kan vraagstukken oplossen met de regel van drie of met een verhoudingstabel.
33
A
❒
Ik kan regelmaat herkennen in een reeks gegevens.
34
A
❒
Ik kan regelmaat herkennen en omzetten naar een woord- en letterformule
34
T
❒
Ik ken de vier eigenschappen om een vergelijking op te lossen.
35
T
❒
Ik kan een vraagstuk oplossen met behulp van een vergelijking.
36
T
❒
Ik kan vraagstukken over procenten oplossen.
37
Ik ken de betekenis van de symbolen ∪, ∩ en \ en kan de doorsnede, unie en verschil van twee verzamelingen bepalen.
45
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
Ik weet wat natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen zijn.
oké voor examen
❒
ik ken het !
A
pagina
dit moet ik leren
Rekenen met rationale getallen
Bloom
1
HERHALINGSOEFENINGEN
1
Rekenen met rationale getallen
Naam
Klas
1
Nummer
a –7 + ( –16) =
b –12 – 5 =
c 9 + ( –13) =
d 14 + ( –3) – ( –5) – ( –6) =
e ( –1,25) · 6,5 · 4 · 2 =
−
4 2 + = 3 5
2 g 2 : − = 5 h
144 = 25
– ( –1,75) = i 3,25
j
−5 3
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
…… / 7
Werk uit.
f
46
Datum
Totaal
2 =
k
4 9 5 · · = 3 24 11
l
−
m
7 11 · − = 21 14
12 2 : − = 3 18
Rekenen met rationale getallen
2
a
√
5 2 9 121 · − − · − 11 3 4
3
…… / 4
Werk uit. Denk aan de volgorde van de bewerkingen. b 7,2 : 8 · 10 – ( 2,5 – 3,4)
Los deze vraagstukken op met een methode naar keuze.
…… / 3
a Voor een actie voor een goed doel heeft een klas besloten om bij het eerstvolgende oudercontact zelfgemaakte icetea te verkopen. Per liter water is hiervoor 8 gram thee nodig, 250 g frambozen en 30 ml honing. Er worden 200 ouders verwacht. Hoeveel thee, frambozen en honing moeten ze voorzien als we ervan uitgaan dat de helft van de ouders een glas icetea (25 cl) zal kopen ?
b Als één liedje downloaden (grootte 5 MB) exact 0,8 seconden duurt, hoelang duurt het dan om een volledig album (100 MB) te downloaden ?
47
1
4
…… / 3
Los volgende vergelijkingen op.
2 −3x = 27 a b c x− = −1 3
5
x:
1 5 = 4 3
In een klein symfonisch orkest bespeelt 35 % van de 60 muzikanten een blaasinstrument.
…… / 1
Hoeveel muzikanten zijn dat ?
6
…… / 2
Los dit vraagstuk op met behulp van een vergelijking.
James Cameron is een beroemde filmregisseur (van o.a. Titanic en Avatar) die ook een passie heeft voor de diepzee. In 2012 daalde hij in zijn eentje in deze kleine capsule (een bathyscaaf ) naar de diepste plek op onze planeet : de Marianentrog. Toen op zijn instrumentenbord stond af te lezen dat hij zich op –6711 meter bevond, was er nog een bepaalde weg af te leggen. Hoeveel moest hij nog afdalen als je weet dat deze Marianentrog zich Mark Thiessen, NG Image Collection
48
bevindt op –10 911 meter ?
0 2
Hoodstuktitel Machten
Hier komt hetgaat introductie tekstje. Met machten het serieus snel
vooruit.
Witregels worden manueel ingegeven.
Stel dat je in een raket wordt weg geschoten en dat we de afstand tot de aarde uitdrukken in kilometer. Dan is een van de verste foto’s die we kunnen bekijken, genomen op 1017 km hoogte. Je ziet dan de sterren van ons melkwegstelsel. Doordringen in de kleinste deeltjes van de kernfysica levert ons quarks op. Die quarks zijn heel veel kleine, elementaire deeltjes die nog kleiner zijn dan een atoom of een elektron. Grootte : ongeveer 10–23 m.
2
Machten 2.1 Machten met gehele exponenten 1 2
Machten met een gehele exponent .............. 51 Product van machten met hetzelfde grondtal ......................................................... 53 3 Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal ......................................................... 54 4 Macht van een macht ................................................. 55 5 Macht van een product ............................................. 56 6 Macht van een quotiënt ............................................ 57 7 Samenvatting ....................................................................... 61 8 Oefeningen ............................................................................. 62
2.2 Wetenschappelijke schrijfwijze 1 2 3
Machten van 10 .................................................................. 80 De wetenschappelijke schrijfwijze ................ 81 Omzetten naar de wetenschappelijke schrijfwijze ............................................................................. 82 4 De wetenschappelijke schrijfwijze wegwerken ............................................................................. 83 5 Rekenen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze ........................ 84 6 Samenvatting ...................................................................... 84 7 Oefeningen ............................................................................. 85
Extra’s
Vaardigheden : maten omzetten .................................. 91 Wat moet je kennen en kunnen ? .............................. 93 Herhalingsoefeningen .......................................................... 94
50
2
Machten
2.1
Machten met gehele exponenten 1 Machten met een gehele exponent Vorig schooljaar leerde je machten berekenen van rationale getallen waarbij de exponent een natuurlijk (met andere woorden een positief geheel) getal was. 74 = 7 · 7 · 7 · 7 = 2401
(een product van 4 factoren 7)
We vragen ons af wat er zou gebeuren mocht de exponent een negatief geheel getal zijn. Volg nu eens de onderstaande redenering, waarbij we de exponent telkens één geheel kleiner maken.
:2
24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
:2
23 = 2 · 2 · 2 = 8
:2
22 = 2 · 2 = 4
:2 :2 :2 :2 :2
21 = 2 = 2 2 20 = = 1 2 1 1 1 2−1 = = 1 = 2 2 2 1 1 1 2−2 = = = 2 · 2 22 4
1 1 1 = = 2−3 = 2 · 2 · 2 23 8
1 1 1 = 4= 2−4 = 2·2·2·2 2 16
·2
Vaststelling : Telkens als je de exponent met één geheel vermindert,
·2
wordt het resultaat gedeeld door twee. Telkens als je de exponent met één vermeerdert,
·2
wordt het resultaat vermenigvuldigd met twee.
·2 ·2 ·2 ·2 ·2
Je ziet dus dat 2–3 het omgekeerde is van 23. Die redenering is ook geldig voor andere grondtallen.
51
Voorbeelden : 2−3 =
3−2 =
1 23 1 3
2
=
1 8
10−4 =
=
1 9
3−3 =
1 1 = 104 10 000 1
3
3
=
10−1 =
1 27
4−2 =
1 101 1 2
4
=
=
1 10
1 16
Omdat het grondtal elk rationaal getal verschillend van 0 mag voorstellen, kunnen we die vervangen door een letter. Om te komen tot een definitie in symbolen vervangen we ook de exponent door een letter. macht met negatieve exponent
a −n =
∀a ∈ Q0 , ∀n ∈ N :
1 an
a −n b n ∀a , b ∈ Q , ∀n ∈ N : = 0 In bovenstaande definitie mag je a ookb vervangen a n door een breuk. Volg mee wat er gebeurt : −4 2 3
1 4 2 3
=
=
1 16 81
81 16
=
=
4 3 2
De breuk wordt omgedraaid en de exponent verandert van teken.
Als het grondtal een breuk is, kun je de definitie in symbolen als volgt noteren : 1 ∀a ∈ Q0 , ∀n ∈ N : a −n = n a macht met negatieve exponent a −n b n ∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ N : = b an
Voorbeelden :
−5 6
−3
= =
−
6 5
3
(0, 5)−3 =
−216 125
−3 1 2
= 23
(1, 25)−2 =
−2 5 4
2 4 = 5
= 8 =
16 25
Om het jou gemakkelijker te maken, kun je bij het rekenen met machten de oefeningen sneller oplossen door gebruik te maken van enkele rekenregels.
52
Machten
2 Product van machten met hetzelfde grondtal Voorbeelden : 24 · 23 = (2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2)
10−3 · 10−2 =
= 2·2·2·2·2·2·2
=
= 27 = 2
=
4+3
=
1
·
3
10
1 102
1 3
10 · 102
1 10 · 10 · 10 · 10 · 10 1 105
= 10−5 = 10−3+(−2)
Vanuit die getallenvoorbeelden kunnen we onderstaande rekenregel afleiden :
1 (−4)5 · (−4)−2 =rekenregel (−4)5 · 7 · 74 = 7 · (7 · 7 · 7 · 7) (−4)2 in woorden : = 7·7·7·7·7 1 machten met· (−4) hetzelfde =Om (−4) · (−4) · (−4) · (−4) grondtal · (−4) · te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten (−4) · (−4) bij elkaar op. = 75 = (−4) · (−4) · (−4) in symbolen : 2 =∀ (−4) a ∈ Q0, ∀ n, p ∈ Z : a n · a p = a n +p
= 71+4
= (−4)5+(−2)
Voorbeelden :
−
3 4
2 2+1 3 3 3 3 27 · − = − = − =− 4 4 4 64
34 · 32 = 34+2 = 36 = 729
We kunnen de rekenregel ook toepassen als het grondtal van de macht een letter is. De letter is dan de plaatsvervanger van een willekeurig grondtal verschillend van 0.
Voorbeelden : a 2 · a 4 = a 2+4
x −8 · x 3 = x −8+3
= a6
= x −5 =
1 x5
Opmerkingen : – Let op bij exponent 1 : die wordt meestal niet geschreven. – De rekenregel geldt ook voor een product van meerdere machten. x 4 · x 3 · x 2 · x = x 4 + 3 + 2 + 1 = x 10
a 2 · a 5 · a –4 = a 2 + 5 + (–4) = a 3
53
2
3 Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal Voorbeelden : 28 : 2 5 = =
28 25
102 : 104 =
2·2·2·2·2·2·2·2 2·2·2·2·2
=
= 2·2·2
=
= 23 = 2
=
8−5
102 104 10 · 10 10 · 10 · 10 · 10 1 10 · 10 1
102
= 10−2 = 102−4 Vanuit die getallenvoorbeelden kunnen we onderstaande rekenregel afleiden: rekenregel
1 1 1 in 5woorden (−4) : (−4)−2 : = (−4)5 : 7−2 : 7−3 = 2 : 3 (−4)2 7 7 Om machten met hetzelfde grondtal door elkaar te delen, behoud je het grondtal en trek je de exponenten 1 van elkaar af.= (−4)5 · (−4)2 = 2 · 73 7 7 = (−4) in symbolen : 7·7·7 = n p n –p : a : a = a ∀ a ∈ Q0, ∀ n, p ∈ Z 5−(−2) 7·7 = (−4) = 7
Voorbeelden :
5 − 8
12 9 12−9 3 5 5 5 125 : − = − = − =− 8 8 8 512
= 7−2−(−3) 0, 1 : 0, 1 = 0, 17−6 = 0, 11 = 0, 1 7
6
We kunnen deze rekenregel ook toepassen als het grondtal van de macht een letter is. De letter is dan plaatsvervanger van een willekeurig grondtal verschillend van 0.
Voorbeelden : b 5 : b −2 = b 5−(−2)
x −2 : x 4 = x −2−4
= b 5+2
= x −6
= b7
=
Opmerking : – Let op bij exponent 1 : die wordt meestal niet geschreven.
54
b 4 : b = b 4–1 = b 3
1 x6
Machten
4  Macht van een macht Voorbeelden : 3 2 = 23 · 23 2
7 −6
2
10−5
4
= 10−5 · 10−5 · 10−5 · 10−5
= 26
= 10−20
= 23 · 2
= 10−5 · 4
= 7 −6 · 7 −6
9−3
−2
=
1
−3 2
9
= 7 −12 = 7
=
−6 · 2
=
1 −3
9
1
· 9−3
9−6
= 96 = 9−3 · (−2) = 9 (−3) · (−2) Vanuit die getallenvoorbeelden kunnen we onderstaande rekenregel verwoorden : rekenregel in woorden : Om een macht tot een macht te verheffen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten. in symbolen :  p
∀ a ∈ Q0, ∀ n, p ∈ Z :  ( a n ) =  a n ·p
Voorbeelden :
3 −2 3 · (−2) −6 6 2 2 2 3 729 = = = = 3 3 3 2 64
(0, 5)−2
−1
= 0, 5−2 · (−1) = 0, 52 = 0, 25
We kunnen deze rekenregel ook toepassen als het grondtal van de macht een letter is. De letter is dan plaatsvervanger van een willekeurig grondtal verschillend van 0.
Voorbeelden :
q2
3
−a
= q2·3 = q6
4 2
=a
4·2
=a
8
x −4 x
2
= x −4 · 2 = x −8 =
−3 −2
= x
−3 · (−2)
= x
1 x8
6
55
2
5 Macht van een product Voorbeelden : (2 · 10)4 = (2 · 10) · (2 · 10) · (2 · 10) · (2 · 10)
Zo kun je op een andere manier 204 berekenen.
= 2 · 10 · 2 · 10 · 2 · 10 · 2 · 10 = 24 · 104
= 160 000 (3 · 4)3 = (3 · 4) · (3 · 4) · (3 · 4)
Zo kun je op een andere manier 123 berekenen.
= 3·4·3·4·3·4 = 33 · 43
= 1728
Vanuit die getallenvoorbeelden kunnen we onderstaande rekenregel verwoorden : rekenregel in woorden in woorden : Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor tot die macht. in symbolen : n
∀ a , b ∈ Q0, ∀ n ∈ Z : (a · b) = a n · b n
Voorbeelden :
2 1 · 3 7
2
2 2 2 1 · 3 7
=
(2 · 3)−3 = 2−3 · 3−3 1 1 · 23 33 1 1 = · 8 27 1 = 216 =
4 1 · = 9 49 4 = 441
We kunnen deze rekenregel ook toepassen als de factoren van het product letters zijn. De letter is dan plaatsvervanger van een willekeurig getal verschillend van 0.
Voorbeelden (a · b · c )3 = a 3 · b 3 · c 3
2·p ·q4
2
2 = 22 · p 2 · q 4 = 4·p2 ·q8
(−2 · a )3 = (−2)3 · a 3 = −8 · a 3
(2 · a · b )−3 = 2−3 · a −3 · b −3 = =
Opmerkingen :
1
3
2
·
1
a 1
3
·
1
b3
8·a3 · b3
– In het product kunnen er meer dan twee factoren staan. – We kunnen de rekenregel ook van rechts naar links toepassen. Dat kan je soms wat rekenvoordeel opleveren. 25 · 55 = ( 2 · 5) 5 26 · 0,56 = ( 2 · 0,5) 6
= 105 = 16
= 100 000
56
=1
Machten
6 Macht van een quotiënt Voorbeelden : (1 : 2)4 =
4 1 2
(8 : 3)3 =
3 8 3
=
1 1 1 1 · · · 2 2 2 2
=
8 8 8 · · 3 3 3
=
1·1·1·1 2·2·2·2
=
8·8·8 3·3·3
=
14 24
(= 14 : 24 )
=
83 33
(= 83 : 33 )
Vanuit deze getallenvoorbeelden kunnen we onderstaande rekenregel afleiden : rekenregel in woorden in woorden : Om een quotiënt tot een macht te verheffen, verhef je deeltal en deler tot die macht. of Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je teller en noemer tot die macht. in symbolen : ∀a , b ∈ Q0, ∀n ∈ Z : ( a : b) n = a n : b n of ∀a , b ∈ Q0, ∀n ∈ Z :
a n b
=
an bn
Grote en kleine getallen : stel je voor … 10 22 m (of 1 miljoen lichtjaren) is de doorsnede van ons melkwegstelsel. 1016 m (of 1 lichtjaar) is de afstand die het licht in 1 jaar aflegt. 107 m (of tienduizend kilometer) is de diameter van de aarde. 10 0 m (of 1 meter) is de lengte van de veer van een pauw. 10 – 5 m (of 10 micrometer) is de diameter van een cel van ons DNA. 10 –14 m (of 10 femtometer) is de diameter van een atoom. 57
2
Voorbeelden : 4 34 3 = 4 2 2 =
−3 3 4 5 = 5 4
81 16
= =
53 43 125 64
We kunnen deze rekenregel ook toepassen als deeltal en deler (of teller en noemer) letters bevatten. De letters zijn dan plaatsvervanger van een willekeurig getal verschillend van 0.
Voorbeelden : a 3 b
=
a3 b
3
−3 a ¡b ¡c
2 = =
a2 b3
−3
=
a2 ¡ b2 ¡ c 2 9
2
a ¡b2 ¡c2
3
a2
=
=
b3
(−3)2
b3 a2
3 3
b9 a6
Taak : controleer met de CAS van GeoGebra :
Machten van 10 : de voorvoegsels De voorvoegsels die je in de wetenschappen gebruikt, duiden eigenlijk op een vermenigvuldiging van een macht van 10. De voorvoegsels voor grotere getallen ken je wellicht van de grootte van de harde schijf van een computer. De voorvoegsels van kleinere getallen zul je later in wetenschappelijke vakken bestuderen.
macht van 10
voorvoegsel
symbool
macht van 10
voorvoegsel
symbool
10 24 yotta Y
–1 deci d 10 
10 21 zetta Z
– 2 centi c 10 
1018 exa E
– 3 milli m 10 
1015
peta P
– 6 micro Ο 10 
1012 tera T
– 9 nano n 10 
10 9
giga G
–12 pico p 10 
10 6
mega M
–15 femto f 10 
10 3
kilo k
–18 atto a 10 
10 2
hecto h
– 21 zepto z 10 
101
– 24 yocto y deca da 10 
58
← ➀ dunne stippellijn : KNIP
∀a ∈ Q , ∀n ∈ N :
MACHT MET NEGATIEVE EXPONENT Ø grondtal0omkeren Ø exponent van teken veranderen
∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ N :
PRODUCT VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL Ø grondtal behouden
Ø ∈ exponenten optellen ∀a Q0 , ∀n, p ∈Z:
∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z :
Z:
∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z : ∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z :
Q
Ø grondtal behouden
QUOTIËNT ∀a , b ∈VAN 0MACHTEN , ∀n ∈ MET HETZELFDE GRONDTAL
ØQ exponenten aftrekken ∀a ∈∀a ∈Z: ,0b, ∀n, ∈ Qp 0 , ∀n ∈ Z :
∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z : ∀a , b ∀n ∈ Z : ∈ Q0 ,
∀n ∈ Z :
↑ ➂ dunne stippellijn : KNIP
∀a , b
∈ Q0 ,
∀a ∈ Q0 , ∀n ∈ N :
∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z : ∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ N :
∀a ∈ Q0 , ∀n,1p ∈ Z : a −n = n a ∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z : a −n b n = a nZ ∀a∀a ∈,Q ∈ : : b 0b∈, ∀n, Q0 , p∀n ∈Z b 0∈, ∀n, Q0 , p∀n ∈Z ∀a∀a ∈,Q ∈Z : : ∀a ∈∀a Q∈ ,Q∀n, p, p∈ ∈Z :: 0 , ∀n Q ∈ZZ 0 ,p∀n ∀a∀a ∈ ,Qb00∈ , ∀n, ∈Z : : +p Z: : ∀a , b∀a ∀n a∈n∈Q ·Q a00p,, ∀n = ,ap∈n∈Z ∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈ Z :
∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ nZ:
∀a , b ∈n Q p, ∀n a ∈Z= : a n −p 0 a : a = p : ∀a ∈ Q0 , ∀n, p ∈a Z ∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z : ∀a ∀n , p ∈ Z :
∈ Q0 ,
∀a , b(a∈nQ )p0 ,=∀n a n∈·pZ :
∀a , b∀a∈, bQ∈0 ,Q∀n ∈Z: 0 , ∀n ∈ Z : ∀a ∈ Q , ∀n , p ∈ Z :
a n · a p =0 a n +p (a · b )n = a n · b n ∀a , b∀a∈, bQ∈0 ,Q∀n ∈∈ ZZ: : 0 , ∀n ∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : an n a n :(a a p: b=)n = a=n a: bn −p a0 ,p∀n ∀a , b∀a∈, bQ∈0 ,Q∀n ∈ ∈ZZ: : (a n )pa= na n ·pa n ∀a , b ∈ Q =0 , ∀n ∈ Z : b : PLOOI b n ← ➁ dikke stippellijn (a · b )n = a n · b n ∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z :
1 a −n ∀a=∈ Qn0 , ∀n , p ∈ Z : a −nn p n +p a a ·a bn = a ∀a ∈=Q0 ,n∀n , p ∈ Z : b a n
ap
a ∀aa∈n Q : 0a, p∀n=, p ∈ Z := a n −p (a ) = a
∀a , bn∈pQ0 , ∀nn∈·pZ :
∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : ∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z :
n a n(a· a· bp )n= =a na+p ·b n
∀a ∈ Q0 , ∀n , p ∈ Z : ∀a , b ∈ Q0 , ∀n ∈ Z :
n
a n n nn −p n p n (a ) : b = a =: ba a a = ∀a ∈: Q 0 , ∀n , p p∈ Z : a ∀n , pn∈ Z : ∀a n∈paQ , 0n a n ·p∈ Z : ∀a ,+p ∀n a n(a · a, b)p∈ =Q a0na = = a n ·ba p = abnn+p
(a : b ) = a : b
∀a , a∀n ,p ∈ ∀a ,∈bp Q ∈0Q , ∀n ∈ nZ Z−pn:: 0 a n(a : a =na · b )=n a= p a an ·b a n : a p = p = a n −p ∀a ∈ Q , ∀n , p ∈ Z : a n p, b ∈0Q ∈ Z :n ) = ann 0·p, ∀n (a∀a n
p
n ·p ) ∈= (a ∀an, b Q0a, ∀n ∈Z: (a · b )pn = a nn+p ·b n a n ·a a n= a a n ∀a , bn ∈n= Zn: n nn∈· b ) Q=0n, ∀n a (a(a : b·)b = a : b n ab an :ap = = a n −p ap n : a∀an, b ∈anQ 0 , ∀nn∈ Z n (a : = a :b b) = (abn )p = ba nn ·p
n an a (a · b )n = a n · b n = bn b
=
bn
an
➁ dikke stippellijn : PLOOI →
(a : b )n = a n : b n n a b
ap
an
= a n −p
a n · a p = a n +p
an :ap =
MACHT VAN EEN MACHT
(a n )p = a n ·p
Ø grondtal behouden (a ·exponenten b )n = a nvermenigvuldigen ·b n Ø
a n · a pn = a nn+p n (a : b ) = a : b
n
a a na : an p =a n = a n −p = na p b b (a n )p = a n ·p
a n · a pn = a nn +p n (a · b ) = a · b
MACHT VAN EEN PRODUCT
an p n −p Øn :verhef n = ntot a (a : ba)n = =elke a factor : b a de macht ap
(aan )pn = aann ·p = n b b (a · b )n = a n · b n
an
(a : b )n = a n : b n
=
b n VAN EEN QUOTIËNT MACHT
n
a
b
Ø verhef deler en deeltal tot de macht
➂ dunne stippellijn : KNIP ↑
59
← ➀ dunne stippellijn : KNIP
60
MACHT MET NEGATIEVE EXPONENT
PRODUCT VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL
QUOTIËNT VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL
MACHT VAN EEN MACHT
MACHT VAN EEN PRODUCT
MACHT VAN EEN QUOTIËNT
Machten
7 Samenvatting • Je kunt de definitie van een macht met gehele exponenten noteren.
∀a ∈ Q0 , ∀a , b ∈ Q0 ,
∀n ∈ N : ∀n ∈ N :
a −n =
1
an −n n a b = b a
• Je kunt de rekenregels voor machten formuleren en toepassen. Om machten met hetzelfde grondtal met elkaar te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op. Om machten met hetzelfde grondtal door elkaar te delen, behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af. Om machten tot een macht te verheffen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten. Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor tot die macht. Om een quotiënt tot een macht te verheffen, verhef je deeltal en deler tot die macht. Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je teller en noemer tot die macht.
V
erdieping • Je kunt de rekenregels van machten formaliseren aan de hand van letterexponenten. ∀a ∈ Q0, ∀n , p ∈ Z : a n · a p = a n +p ∀a ∈ Q0, ∀n , p ∈ Z : a n : a p = a n –p p
∀a ∈ Q0, ∀n , p ∈ Z : ( a n ) = a n ·p n
∀a , b ∈ Q0, ∀n ∈ Z : ( a · b) = a n · b n n
∀a , b ∈ Q0, ∀n ∈ Z : ( a : b) = a n : b n ∀a , b ∈ Q0, ∀n ∈ Z :
n a b
=
an bn
Een handig hulpblad ➀ Knip de vorige pagina uit op de stippellijn in de rug. Op die bladzijde zie je nu twee soorten lijnen : ➁ dikke stippellijn : hier plooi je over de volle breedte ; ➂ dunne stippellijn : die knip je met een schaar door. Correct uitgevoerd ? Dan heb je een handig hulpblad bij het studeren van deze belangrijke rekenregels. 61
2
8 Oefeningen 1
Schrijf de volgende producten als een macht.
a a ·a ·a ·a
=
e 0, 2 · 0, 2 · 0, 2
b (−b ) · (−b ) · (−b )
=
f
5·5·5·4·4·4·5
=
5·5·5·5·5·5
=
g
x ·y ·x ·y ·x ·y
=
c
d
2
1 1 1 1 1 · · · · 3 3 3 3 3
=
h
=
5 5 3 5 − · − · · − = 7 7 8 7
Reken uit.
a 53
=
m −16
=
b 42
=
n −30
=
=
o
c
103
−
d 0
4
3
e −2 f
(−3)0
g (−1)
6
3 4
−1 2
3 = 3
=
p
=
3 3 q − 4
=
=
r
0, 52
=
=
s
3 2 5
=
=
t
33 4
=
=
2
h
3 − 4
i
(−1)5
=
u 0, 23
j
−
−22 33
=
v
=
w (−2)5
=
x
k 0, 15
l
62
42 24
−
(−0, 7)2
(−0, 1)4
=
=
=
=
Machten
3
Bereken de volgende machten met negatieve exponenten.
a 4−2
=
j
1 −4 − − 10
b 5−3
=
k
−3 2 5
=
1−4
=
l
(−4)−3
=
d 3−4
=
m −4−3
=
=
n (−7)−1
=
=
o
−4 1 2
=
c
e
f
−
1 6
−2
(0, 5)−3
g (1, 2)
−2
h −4−2
i
4
−2 3 4
−3 2
=
−3
=
p
=
q (−1, 5)−2
=
r
=
=
(−5)−3
=
Kleur het vakje groen als de macht een positief resultaat oplevert.
(–2) 33
(–34) 2
–0,38
(–6,2) 2
–234
(–2) 5
(–7,2) 4
(–1) 0
(–0,125) 64
–( –1) 5
–642
(–2) 34
−3 7
28
−4 5
−
8
−1 7
3
63
2
5
Werk uit door de rekenregel ‘product van machten met hetzelfde grondtal’ toe te passen.
a 22 · 23
=
e 0, 32 · 0, 3−2
b 2−4 · 22
=
f
=
g 0, 53 · 0, 5−2
=
=
h 3−1 · 33
=
c
2 2 2 2 · 3 3
d 5−2 · 54
6
−
3 7
2 0 3 · − 7
=
=
Werk uit door de rekenregel ‘product van machten met hetzelfde grondtal’ toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
=
e
b2 ·b5
=
=
f
b 0 · b −2
=
x4 · x
=
g
a 3 a 3 · 2 2
=
d a −3 · a 5
=
h d −4 · d −4
a
x3 · x4
b k 4 · k −2 c
*
7
Werk uit. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a a ·a2 ·a3
=
e a 6 · a −2 · a 3
b k4 ·k ·k2
=
f
a 2 · b 3 · a −1 · b 2
=
2 · 2−2 · 25
=
g
3 2 1 1 · 42 · 4−3 · 2 2
=
d x4 · y · x2 · y 2
=
h t −2 · t 3 · t −1
c
8
=
=
=
Werk uit. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a ap ·aq
=
e a m · a m+1
b bm ·bm
=
f
ax ·ay ·az
=
=
g
b 2 · b p · b p +1
=
=
h a2 · b3 ·ak · bq
c
x y 1 1 · 2 2
d a m · a −3 64
=
=
Machten
9
Werk uit door de rekenregel ‘quotiënt van machten met hetzelfde grondtal’ toe te passen.
a 2 4 : 22
b
c
102 103 3 2 2 2 : 5 5
d 0, 54 : 0, 52
e
10
32 3−1
75 : 7−1
=
f
=
g
=
h
=
i
4 4 : 43
=
j
2−3
23
=
2−2 −
1 2
=
5 1 : − 2
2−2
= =
=
Werk uit door de rekenregel ‘quotiënt van machten met hetzelfde grondtal’ toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
=
f
b −2 b −4
=
b −2
=
g
x −3 : x 4
=
y 4 : y −2
=
h
5 2 3 3 : b b
=
d (−x )6 : (−x )4
=
i
x 5 : x −3
=
j
a a7 : a3
b
c
e
11
b5
−y
=
z2 : z3
=
(−y )3
Werk uit. Opgelet ! Zowel het grondtal als de exponent kunnen letters zijn. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a
b
c
d
bn b
3
an a2 a m +1 a
2
x y 3 3 : 4 4
e a 4p : a 2p
an
=
f
=
g
x −2 1 1 : 5 5
=
h
5p 5−p
=
i
x −x 1 1 : 3 3
=
=
j
a −n : a −2n
=
a −2
=
=
=
65
2
12
Werk uit door de rekenregel ‘macht van een macht’ toe te passen.
a
b
c
d
e
13
102
4
2 32
10−2 0, 22
1, 52
−1
2 0
=
f
=
g
=
h
=
i
=
j
3 52
(−2)2 5−1
= −1
−2
2 23
(−1)3
=
=
= −1
=
Werk uit door de rekenregel ‘macht van een macht’ toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een Ârationaal getal voor verschillend van nul.
a
b
c
d
e
14
a2
b2
3 −2
−y
a3
2 −1
3
c −2
−2
=
f
=
g
=
h
=
i
=
j
x2
−3
c −1 c2
−1
4
a −1 b3
−2
5
=
=
=
=
=
Werk uit. Opgelet ! Zowel het grondtal als de exponent kunnen letters zijn. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a (a p )q
b2
p
=
f
=
g
=
h (b n )n
−1 a 1 d 2
=
i
e (a x )2
=
j
b
c
66
b2
m
b −1
k
a −2
d −2 x −1
−q
−p a
=
=
=
= =
Machten
*
15
W ISK U N DE & A A R DR IJ K SK U N DE Een van de laatste stukjes ‘onontgonnen gebied’ van Noord-Amerika is Alaska. Het telt anderhalf miljoen vierkante kilometer en die werden allemaal in 1867 voor slechts 7 000 000 dollar overgekocht van Rusland. De hoofdstad is Juneau en de gemiddelde temperatuur in het noorden van deze staat is –12 °C. In het zuiden wordt het echter warmer, tot 35 °C. Alaska telt heel wat ‘National Parks’, waar je geniet van de ongerepte natuur en de wildernis. Maar je kunt er ook nog oog in oog komen te staan met kariboes, elanden, zwarte beren en grizzly’s. En dat is niet zonder gevaar ! De plaatselijke gidsen zullen je dan ook uitgebreid inlichten over wat je moet doen als je zo’n kanjer plots voor je ziet staan. De natuur krijgt in Alaska dus de hoofdrol. Je vindt er de hoogste berg uit Noord-Amerika, de Mount McKinley, 6194 m hoog, en er zijn 70 vulkanen. Ongeveer 5 % van Alaska is gletsjergebied. Er zijn meer dan 5000 gletsjers (waarvan sommige zelfs 8 km lang !) en je vindt er ook ontzettend veel meren. Het aantal meren in Alaska vind je door onderstaande puzzel op te lossen. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul. Verbind de opgave met de correcte oplossing en noteer dan onderaan bij de letter van de oefening het cijfer dat je boven de oplossing vindt. Het getal dat je zo vormt, is het aantal meren in Alaska. Je kunt het steeds ter plaatse gaan natellen !
3
9
2
2
( x 3)
( x 0)
x2 · x3
(–x 3)
24 · 2–6
– ( x 3)
2–4 · 24
x –2 · x 7
a
b
c
d
e
f
g
h
–x 5
x9
–x 6
x6
1
x5
1 4
–1
4
0
1
0
3
0
8
5
a
b
c
d
e
f
g
h
67
2
16
Werk uit door de rekenregel ‘macht van een product’ toe te passen.
a (2a )2
=
f
b (4c )3
=
g (2a c )3
(−a b )2
=
h
1 ac 2
d (−3c )2
=
i
(−a b )3
e (−2c )3
=
j
c
17
(−2a b )2
= =
2 = = 2
1 − ac 4
=
Werk uit door de rekenregel ‘macht van een product’ toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a
b
c
2a 2 b
4ac 4
e
18
2
10x y 2 z 3
d
2
2
4 − a 3b 4 5
−3x 2 y 4
=
f
=
g
=
h
=
i
=
j
2
3
0, 5x −2 y −3 a −1 b −1 2ab 2
−2
−3
4
5ab 2 c 3
=
=
(−abc )2
=
= 2
=
Werk uit. Opgelet ! Zowel het grondtal als de exponent kunnen letters zijn. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a
b
c
d
x·y
k
0, 1a −2 b −1 r2·s
−m
m
y · z −2
m
e (a −x · b −y · c −z )−1
68
=
f
=
g
=
h
=
i
=
j
a 2b 3c
m
−2x y 3
2m
10ab 2 c 3
5x 3
k +1
1 2 a 4
−m
m
=
= =
=
=
Machten
19
Werk uit door de rekenregel ‘macht van een quotiĂŤnt’ toe te passen.
a
2 2 3 −
b
c
f
=
g
=
h
=
i
=
j
3
2 4 5
20
1 2
=
−1 10
e
−2 3 5
−
3 5
−
1 3
3
d
−2 1 3
=
−2 2
=
−2 4 5
1 10
=
=
−3
=
Werk uit door de rekenregel ‘macht van een quotiĂŤnt’ toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een Ârationaal getal voor verschillend van nul.
a
a 2 b
x 3 b − 2
3
c
−
e
21
1 a
=
g
=
h
=
i
2
2 = −2
a2
−3
−3
y3
− =
x y
b3
4
−c −2
−
f
2
z2
d
=
j
=
2
1 ab
=
−1
x2 y
=
=
Werk uit. Opgelet ! Zowel het grondtal als de exponent kunnen letters zijn. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a
b
c
a m b p +1 x y x 2+a 2
d
−
e
3 2
x2 y3
=
f
=
g
=
h
=
i
=
j
2a
−m
−a
x2 y −1 a 3x 2y 5
2p =
2 = k =
x2 −
=
4x 5
2m =
69
2
22
Bewijzen maar … Je hoeft niet alles in de wiskunde zomaar aan te nemen. Daarom zul je geregeld een verklaring of bewijs terugvinden van rekenregels of eigenschappen. We kunnen zo’n bewijs opbouwen dankzij de gekende leerstof van dit en van het vorige schooljaar. Bij elke stap van een bewijs hoort een verantwoording. Eigenlijk een beetje het antwoord op de vraag : “Waarom mag je dat uit de vorige stap afleiden ?” Er bestaan in de wiskunde verschillende soorten bewijzen. Dit bewijs steunt op een hele reeks gelijkheden. We vertrekken bij het linkerlid en proberen (via definities en eigenschappen) bij het rechterlid uit te komen. Volg je mee ?
Voorbeeld : bewijs de eerste rekenregel ∀a ∈ Q0, ∀n ,p ∈ N : a n · a p = a n +p a ∈ Q0 n , p ∈ N
Gegeven :
voorwaarde letters
Te bewijzen : a n · a p = a n +p Bewijs :
a n · a p = (a · a · . . . · a ) · (a · a · . . . a ) n factoren
definitie macht
p factoren
= a · a · ... · a
het vermenigvuldigen in Q is associatief
= a n +p
definitie macht
n +p factoren
Ook voor gehele exponenten is de uitspraak waar. Bewijs op een analoge manier een andere rekenregel.
70
2
Machten
*
23
Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
3 2 5
=
j
b (−5)3
=
k (0, 2)8 : (0, 2)4
a
c
x
(−0, 2)3
3 4
d x5 : x3
=
l
=
m
2 2
2a 3 b
=
=
4
=
n
x3 · x4
=
3 o a4 · a2
=
=
p 14 · (−1)6
=
g −52
h 3
−4
i
x2
−3 −2
=
2
e (a · b )
f
1 − 2
=
2
·3
−3 5
=
q
4 2 −3 : = 5
r
=
−2x 2 y
2 a −2
−4
−2
=
=
71
24
Werk uit. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a
b
(−a )2 · a 5
a2
4
c
=
: a −4 =
3
3
a · b
2 4
·c
5
a 2 · b 10 · (c 2 )3
=
3
d
a ·a
(a 2 )3
e
f
4
3
a a7
=
−2
−4
2 · a −3 =
−4
m ·m m −9 · m
10 =
72
Machten
*
25
Werk uit door rekenregels van machten toe te passen. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
−2
a
a 2b 2
b
a
−2
2
·b ·a
2
k ·k
c
3
−4
k ·n
2
a bc
·n
3
=
−3
=
−2
3 3
(2ab ) 2
e
=
b4 ·a3
d
2 3
−2
=
2
1 − a 2b 2 = a 3 · b · a −2
*
26
Bereken met ICT. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a b
−8 7
2 ·
7 42 · 25 2−3
−3 −2 a2 · b3 −2 a5 · b −4
=
c
=
d
2, 53 8
2
:
16−4
(−2, 5) −2
(1, 5)−3 · 6, 22 43
=
=
73
2
27
Werk uit. Gebruik zo veel mogelijk rekenregels om de opgave te vereenvoudigen. Bestudeer vooraf grondig het voorbeeld.
Voorbeeld :
8 + 32 : 4 +
1 2−3
− 22 · 2 =
= 23 + 25 : 22 + 23 − 22 · 2 = 23 + 23 + 23 − 23 = 2 · 23 = 24 = 16 a 23 + 162 : 25
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
b 9 · 32 – 81 + 37 : 27
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
c 25 +
−2 1 1 + 56 · 52 · 5−4 : 52 + −2 + 125 : 5 5 5
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
74
Machten
28
Vul aan. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a 2...... =
1 128
d
b (3a ...... )...... = 9a 6 c
29
(. . . . . . . . .)2 = 121a 16
1 4 a 2
...... =
4 a8
e 7...... = 1 f
27d 3 = (. . . . . . . . .)3
g
h
i
e 7d 5 .........
......... 2
=
¡
e4 d2
......... 2
a ...... b 4
22 ......
=
4 121
= a 6 b 12
Bepaal telkens x . De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul.
a 1015 : 10x = 103
x=
b 103 ¡ 10–7 ¡ 102 ¡ 10x = 108
x=
c
ax = a 12 a4
d
2a 15 ax
x=
= 4a 20
x=
2
e
4 x 1 1 ¡ = 2−7 2 2
x=
f
a4 ¡ax = a8 a2
x=
g
3 3 3 x 25 5 ¡ = 6 7 42
x=
x
h ( a ¡ b 3) = a 4 ¡ b 12
i
x ( 3 2) = 3 8
x=
x=
75
2
30
Boven de poolcirkel … Op expeditie naar het noorden van Scandinavië ? Alvast geen slecht idee. Als je echt bijna in het meest noordelijke punt van Noorwegen, Zweden of Finland (je mag zelf kiezen) bent, passeer je de poolcirkel. Boven deze magische grens gaat de zon in de zomer gedurende zestig dagen niet onder ! Je ziet dan ’s nachts de middernachtzon (zie foto). De plaatse lijke bevolking moet echter in de winter een even lange poolnacht doormaken ! Ter plaatse kun je kennismaken met een ijskathedraal, een ijshotel, het noorderlichtmuseum, prehistorische rotstekeningen (zelfs tot 8000 jaar oud) en in één dorpje vind je nog een attractie: de enige echte … Om te weten te komen over wie of wat we het hier hebben, los je elke oefening op. Zoek de letter die bij het antwoord staat en vorm hiermee het antwoord. De letters in de grondtallen stellen een rationaal getal voor verschillend van nul. 2 3 (−9) (−9)22 ·· (−9) (−9)33 (−9)22 · (−9) 4 3 3 4 3 2 ·· (−9) (−9) (−9)(−9) (−9) (−9) (−9) · (−9) 4 (−9) 4 4 (−9) (−9)4 (−9) −1 −2 −1 −2 −1 5 5 −1 −1 5−2 −1 −2 −2 5 −2 −1 5 5 2 −1 −2 2 b −1 −2 a b a −2 2 −1 a b −2 −2 −2 2 −1 2 −1 a 2b −1 −2 a b a b −1 −1 7b 7b 7b 2−1 −1 −1 b 7b 7b b 22−1 7b b2 b b b 22 a 22 b c a 2b c a 22 b 3c a a2b b a b 3cc aa ab bb 33c a b ab b 33 a
−2 −2 −2 −2 −2 −2
−2 5 −1 (−1)−2 −155 ·· (−1) −155 · (−1)−2 −2 −2 −1 ·· (−1) (−1)−2 −15(−1) (−1)
−1 (−1) · (−1) (−1) (−1) (−1) (−1)
2 −1 · 5444 5 5−1 5222 ·· 5 −1 −1 ·· 5 5 · 5 54 2 −1 2 5−2 −1 · 54 5 −1 5 · 544 5 5−2 52 ··· 5 −2 · 5 −2 5 −2 5−2 5 2 −1 a b 22 2 c b a −1 b 2 2222 cc a −1 −1 23 2 −1 2 a ab a b a −1a bcc 23 ccc a c 33 a a ccc 33 a −2 −3 −2 · (−4)−3 (−4) (−4) ·· (−4) −3 (−4) (−4)−2 −4 −3 −2 −2 −3 −2 −3 (−4) (−4) (−4) · −4 (−4) (−4)(−4) (−4) ·· (−4) −4 (−4)−4 −4 (−4) (−4) (−4)−4 −1 (−9) (−9)−1 −1 (−9)−1 −1 −1 (−9) (−9) (−9)−1
76
a 2c 2 b4
O
a4 b2
Z
7 b3
T
9
K
1 9
S
0
B
−9
S
−4
D
1 4
F
b4 a 2c 2
A
−1
R
57
L
53
M
a 2b 3c 2
E
b2 a4
N
1 4
U
52
A
1
C
−
−
2
Machten
*
31
Werk uit zoals in het voorbeeld.
a
1 2 4 4 4 8 3·8 3 · = 4 9 4 · 9
3 3 9 2 · 4 3
d 43 · ( 0,5)3
1 3
=
1·2 1·3
=
4 2 3
=
16 81
4
b
−
8 5
2 2 35 · 16
c
73 ·
−2 35
3
e
−
2 17
3
· (−34)3
f (–1,5) 2 · (–6) 2
77
*
32
Werk uit zoals in het voorbeeld.
a 753 : 253
d
−144 5
3
: 723
4 4 9 3 9 3 4 : = : 8 4 8 4 3 =
1
9 · 4 8 · 3
4
2 1
=
4 3 2
=
81 16
b (–164) 4 : 824
c
3 16
3 3 −1 : 8
78
e 42 : ( 0,5) 2
f
2 2 3 9 : 8 2
Machten
33
Het getal 25 wordt vijf keer verdubbeld. Het resultaat is (A) 2 · 53
(B) 54
(C) 53
(D) 25 · 52
(E) 25 · 53
(D) 227
(E) 248
(D) 44
(E) 47
(D) 224
(E) 240
JWO 2007 eerste ronde, vraag 7 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
34
88 + 88 is gelijk aan (A) 212
(B) 222
(C) 225
JWO 2008 eerste ronde, vraag 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
35
De helft van 48 is gelijk aan (A) 24
(B) 28
(C) 215
JWO 2009 eerste ronde, vraag 3 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
36
De breuk
1616
is gelijk aan 88 (A) 22
(B) 28
(C) 216
JWO 2010 eerste ronde, vraag 5 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
37
Welke van de volgende getallen is geen kwadraat én ook geen derde macht ? (A) 29
(B) 310
(C) 411
(D) 512
(E) 613
wizPROF 2015 vraag 8 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
79
2
2.2
Wetenschappelijke schrijfwijze 1 Machten van 10 W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N Machten van tien worden in de wetenschap veel gebruikt. 1 = 100 10 = 101 100 = 102 1000 = 103
0,1 = 10–1
De exponent is gelijk aan
0,01 = 10–2
het aantal nullen achter de 1.
10 000 = 104
De exponent zonder het minteken geeft
0,001 = 10–3
het aantal nullen weer voor de 1.
0,0001 = 10–4 0,00001 = 10–5
100 000 = 105
Maak een reis mee van 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 m of (iets makkelijker) 1036 m. Eén miljoen lichtjaren van ons
Ons zonnestelsel. De blauwe
Ziehier onze planeet met
verwijderd : het melkwegstelsel.
lijn volgt onze planeet.
enkele miljarden passagiers.
≫ 1022 m ≫
≫
≫ 1013 m ≫
≫
≫ 108 m ≫
≪ 10–14 m ≪
≪
≪ 10–8 m ≪
≪
≪ 10–5 m ≪
De kern van een koolstofatoom
Spiraalgedraaide
Je ziet de individuele cellen
= 10 femtometer
strengen DNA.
van het eikenblad.
80
Machten
2 De wetenschappelijke schrijfwijze Machten van 10 zijn belangrijk om heel grote getallen (zoals 100 biljoen) en heel kleine getallen (zoals –10 miljard) makkelijk weer te geven. Maar ze zijn ook erg handig om getalletjes tussen –1 en 1 (zoals 0,000000000125) weer te geven. De wetenschappelijke schrijfwijze steunt in grote mate op machten van 10. wetenschappelijke schrijfwijze De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal verschillend van nul is dit getal geschreven als een product van twee factoren. – De eerste factor is een decimaal getal met één beduidend cijfer (een cijfer verschillend van nul) voor de komma. – De tweede factor is een macht van 10.
Voorbeelden : 7,2 · 103 –8,34 · 10–5 3 · 1017 6 · 100
10 000 km boven een deel
10 km verwijderd van een park
100 meter boven het dak van
van Amerika.
in Florida.
een labo en een bosje.
≫
≫ 104 m ≫
≫
≫ 102 m ≫
≪ 10–3 m ≪
≪
≪ 10–1 m ≪
≪
≪ 101 m ≪
≫
≫ 107 m ≫
Hier zie je het blad van een eik
1 dm boven het oppervlak van
honderd keer vergroot.
een blad van een eik.
10 m boven een eikenboom.
81
2
3 Omzetten naar de wetenschappelijke schrijfwijze De absolute waarde is groter dan 1 – Plaats de komma na het eerste beduidende cijfer. Tel hoeveel plaatsen je de komma naar links verschoven hebt.
150 000 000 = 1,5 · ……
– Vermenigvuldig met een macht van 10. De exponent is het aantal plaatsen
150 000 000 = 1,5 · 108
dat je de komma naar links verschoof. 8 cijfers naar links
Voorbeelden : 5730 = 5,73 · 103
–1012,53 = –1,01253 · 103
–273,45 = –2,7345 · 102 2 = 2 · 100
De absolute waarde is kleiner dan 1 – Plaats de komma na het eerste beduidende cijfer. Tel hoeveel plaatsen je de komma naar rechts verschoven hebt.
0,000015 = 1,5 · ……
– Vermenigvuldig met een macht van 10. De exponent is het aantal plaatsen
0,000015 = 1,5 · 10–5
dat je de komma naar rechts verschoof, voorafgegaan door een minteken. 5 cijfers naar rechts
Voorbeelden : 0,4 = 4 · 10–1 0,00000321 = 3,21 ·10–6 –0,0003 = –3 · 10–4
–0,000503 = –5,03 ·10–4
Als je rekenmachine in wetenschappelijke schrijfwijze staat (zie volgende bladzijde), zul je onmiddellijk de wetenschappelijke schrijfwijze kunnen aflezen. Tik je getal in en druk op enter .
De ingenieursnotatie Een speciale vorm van de wetenschappelijke schrijfwijze is de ingenieursnotatie (of technische notatie). Hierbij is de exponent van tien steeds een drievoud. De absolute waarde van de eerste factor is een getal tussen 0 en 1000. Zo zal 1,2 · 10 4 in de ingenieursnotatie genoteerd worden als 12 · 10 3.
82
Machten
4 De wetenschappelijke schrijfwijze wegwerken 1,5 · 108 = 150 000 000
De exponent bij de macht van tien is positief – Schuif de komma zoveel plaatsen op naar rechts als de exponent aangeeft. Voeg indien nodig nullen toe.
8 cijfers naar rechts
Voorbeelden : 2 · 107 = 2 · 10 000 000 = 20 000 000
−2, 1 · 104 = −2, 1 · 10 000 = −21 000
4, 3210987 · 106 = 4, 3210987 · 1 000 000 = 4 321 098, 7
6 · 101 = 6 · 10 = 60
−1, 90872374 · 107 = −1, 90872374 · 10 000 000 = −19 087 237, 4
−3, 1418 · 100 = −3, 1418
1,5 · 10–5 = 0,000015
De exponent bij de macht van 10 is negatief – Schuif de komma zoveel plaatsen naar links als (de absolute waarde van) de exponent aangeeft.
5 cijfers naar links
Voorbeelden : 9, 42 · 10−4 = 9, 42 · 0, 0001 = 0, 000942
4 · 10−5 = 0, 00004
−2, 5 · 10−6 = −0, 0000025
−1, 237 · 10−2 = 0, 01237
Ook deze omzetting gebeurt (meestal) heel makkelijk met je rekenmachine. Maak gebruik van de toets ×10n en zorg ervoor dat de wetenschappelijke schrijfwijze (sci) is uitgeschakeld. Wegens de beperktheid van het schermpje zal je rekenmachine getallen zoals 3,5 · 1013 niet kunnen omzetten.
83
2
5 Rekenen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze Hiervoor gebruik je de eigenschappen van het vermenigvuldigen in Q. Volg je even mee ?
(2,3 · 10–1) · (5 · 103) = 2,3 · 10–1 · 5 · 103
het vermenigvuldigen in Q is associatief
= 2,3 · 5 · 10–1 · 103
het vermenigvuldigen in Q is commutatief
= 11,5 ·
uitwerken en rekenregel van machten
102
= 1,15 · 103
omzetten naar wetenschappelijke schrijfwijze
Je zet dus de machten van 10 achteraan samen. Het product van die machten van 10 vind je door de rekenregels toe te passen. Je zoekt ook het product van de twee decimale getallen. Indien nodig moet je het eindresultaat nog omzetten in de wetenschappelijke schrijfwijze.
Voorbeelden : 3, 6 · 102 −3
9 · 10
3, 6 · 102−(−3) 9 = 0, 4 · 105 =
= 4 · 10−1 · 105
= 4 · 104
1, 2 · 10−2
2
2 = (1, 2)2 · 10−2 = 1, 44 · 10−4
6 Samenvatting • Je weet dat de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal verschillend van nul een product is van twee factoren : – een decimaal getal met één beduidend cijfer voor de komma ; – een macht van 10. • Je kunt elk rationaal getal omzetten naar de wetenschappelijke schrijfwijze. • Je kunt elke wetenschappelijke schrijfwijze omzetten naar een rationaal getal. • Je kunt rekenen met getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze.
84
Machten
7 Oefeningen 1
Zet volgende getallen om in de wetenschappelijke schrijfwijze. a
In Japan haalde de JR-Maglev, een magneetzweeftrein, een snelheidsrecord van 603 km/h. ______________________________________
b De afstand van de aarde tot de zon bedraagt ongeveer 149 500 000 000 m. ______________________________________ c
De diameter van een elektron is 0,000 000 000 000 014 m. ______________________________________
d Een zeer gevoelige stroomsterktemeter meet tot op 0,0001 ampère nauwkeurig.
______________________________________
e
De snelheid van het geluid bedraagt 1188 km/h.
______________________________________
f
De snelheid van het licht bedraagt 1 079 244 000 km/h.
______________________________________
g
De aarde weegt 5 976 000 000 000 000 000 000 000 kg.
______________________________________
h De afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 380 000 km. i
Eén potje yoghurt bevat 350 000 000 bacteriën.
j
Een kernfysicus werkt met erg kleine oppervlakten. Zo is één
k
2
______________________________________ ______________________________________
barn gelijk aan 0,000 000 000 000 000 000 000 000 1 mm2.
______________________________________
Een virus heeft een diameter van 0,000 000 009 m.
______________________________________
De massa van de zon is ongeveer 300 000 keer die van de aarde. Zoek de massa van de aarde in vraag 1 en bepaal de massa van de zon. Schrijf je getal in de wetenschappelijke schrijfwijze. __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 85
2
3
4
Schrijf deze getallen zonder macht van 10. a 7,45 · 104
= _____________________________
g 4,3 · 10 –4
= _____________________________
b –9,3 · 106
= _____________________________ h –2 · 10 –5
= _____________________________
c 2 · 108
= _____________________________
d –4,362 · 102
= _____________________________ j –3,4934 · 10 –1 = _____________________________
e 2,0085 · 103
= _____________________________
k 2,571 · 10 –4
= _____________________________
f 6,842 · 105
= _____________________________
l 6,01 · 10 –2
= _____________________________
i 7,21 · 10 –3
= _____________________________
Rangschik de getallen van klein naar groot. a –3 · 1023 5 · 1023 1,2 · 1023 –1,8 · 1023 3 · 1023
b 6,2 · 1048 –6,2 · 10 –47 6,2 · 10 –48 6,2 · 1046 –6,2 · 1047
*
5
Zet volgende getallen om in de wetenschappelijke schrijfwijze. a –310,5 · 102
=
b 25 000 · 10 –4
=
c 100
=
d –1835,5 · 105
=
e 0,01 · 10 –2
=
–0,1
=
g 0,12 · 102
=
h –0,0004 · 10 –4
=
i 0,0004 · 104
=
f
86
Machten
6
Het hoogste gebouw ter wereld. Reportage Dubai – 14 De Dagelijkse Spiegel – 5 januari 2017
Het hoogste gebouw ter wereld Ooit al eens voor het Atomium gestaan in Brussel ? Vond je dat een imposant gebouw ? Met zijn 103 m hoogte is dit echter niet het hoogste gebouw van België. Daarvoor moeten we naar het Pajottenland, waar we in Sint-PietersLeeuw de VRT-zendmast vinden, goed
2 Er werd voor dit bouwwerk 142 000 m is speciaal glas gebruikt, dat bestand tegen de warme temperaturen van Dubai. Om het hele gebouw te koelen
is 10 000 000 l water nodig. In het gebouw vind je ook de snelste liften ter wereld : ze gaan omhoog en omlaag met een snelheid van 64,8 km/h.
voor een hoogte van 302 m.
van 950 000 liter. Het prijskaartje ? Goedkoop zal het wel niet geweest zijn, maar met 5 000 000 000 euro zul je aardig in de buurt komen. Een hoog bedrag als je weet dat sommige van de 5000 arbeiders werkten voor 5 euro per dag. Wat brengt de toekomst ? Er zijn plannen om ook in het MiddenOosten een megabuilding te bouwen hoger dan 1000 m !
Kan het hoger ? Uiteraard ! Een flat gebouw is officieel een ‘wolkenkrabber’ als het hoger is dan 35 m. De stad met de meeste wolkenkrabbers is Hongkong, waar er ongeveer 6800 te vinden zijn. Waar is de hoogste ter wereld ? Niet in Kuala Lumpur, waar de Petronas Towers als een mooie identieke tweeling tot 452 m geraken. Ook niet de Willis Tower in Chicago (443 m hoog) of de Taipei 101 in de hoofdstad van Taiwan, die met zijn 508 m hoogte verschillende jaren de eerste plaats bekleedde in deze hitlijst. Voor het hoogste gebouw moeten we naar de
Verenigde Arabische Emiraten, waar in 2010 de laatste steen (en zendmast) geplaatst is op de Burj Khalifa, mede dankzij de Belgische firma Besix !
De eerste 37 verdiepingen zijn voor het Armanihotel. Op verdieping 78 is er een zwembad en daarna zijn er een heleboel appartementen. Per dag wordt gerekend op een waterverbruik
Maar hoeveel meter hoog is die wolkenkrabber eigenlijk ? Zet elk getal dat in de tekst vetgedrukt is om naar de wetenschappelijke schrijfwijze. Zoek de oplossing in dit rooster en kleur het mooi in. Je vindt de hoogte terug, uitgedrukt in meter.
3,02 · 10
9,5 · 10 4
1 · 10 –7
5 · 10
5 · 10 8
7,8 · 10 0
0,95 · 10 6 4,52 · 10 2
7,8 · 10
1 · 10 3
9,5 · 10 5 3,5 · 10
1 · 10 2
1 · 10 0
1 · 10 –3
10,3 · 10 6,48 · 10 0
3,02 · 10 2
5 · 10 0
3,02 · 10 4
1 · 10 8 1 · 10 7
5,08 · 10 2
6,8 · 10 3
5 · 10
3,7 · 10
1,42 · 10 3
5 · 10 9
1,03 · 10 2
3,02 · 10 0
6,48 · 10 0 5 · 10 3
6,48 · 10 1,42 · 10 5
4,43 · 10 2
87
2
7
Bereken met behulp van machten van 10 en noteer het resultaat in de wetenschappelijke schrijfwijze.
−4, 5 · 102 a ( 7 · 10 –1) · ( 1,2 · 10 –2) f 9 · 10−3
2
b ( 2 · 10 –4) · ( 5 · 10 6) · ( 3,2 · 10) g (1,2 · 10 –3)
2
c ( –1 · 10 3) · ( 1,25 · 10 –4) · ( 8 · 102) h (–1,5 · 10 12)
d
9, 33 · 104 3, 11 · 103
–2
i (2 · 10 5)
6, 8 · 105 · 4, 2 · 103 6 · 103 · 3 · 104 e j 2, 1 · 105 · 3, 4 · 10−2 9 · 105
88
Machten
8
Bereken met behulp van ICT.
3
−2, 5 · 10−2 a b c −2 0, 2 · 105 + 2 · 104 2 + 2 · 10−3 4 · 103 2 · 10−3 + 2
9
−2 · 102
3
____________________ ____________________ ____________________
W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N a Kleine, maar dan ook echt kleine afstanden … De Zweedse natuurkundige Ångström studeerde en werkte aan de universiteit van Uppsala in de 19e eeuw. Naar hem is de eenheid 1 ångström (1 Å, lees als ongstreum [ˈɔŋstrøm] ) genoemd. Die komt overeen met 10 –10 m. De eenheid wordt onder meer gebruikt om de a fmetingen van een atoom uit te drukken. Het kleinste atoom is dat van helium. Het heeft een straal van 0,3 Å. Hoeveel m is dat ? Noteer in de wetenschappelijke schrijfwijze. b Grote, maar dan ook echt heel grote afstanden ! De gemiddelde afstand van de aarde tot de zon wordt 1 AE (astronomische eenheid) genoemd. Die afstand bedraagt ongeveer 150 miljoen km. Afstanden tussen de sterren drukken we niet uit in AE wegens te klein. Daarvoor gebruik je een lichtjaar. Dat is de afstand die het licht aflegt in één jaar. Dat is toch nog een hele afstand als je weet dat het licht zich voortbeweegt met een snelheid van 300 000 km/s. Noteer de snelheid van het licht in km/h. Als de gemiddelde omtrek van de aarde ongeveer 40 000 km is, na hoeveel seconden is het licht dan rond de aarde gegaan ? Hoeveel km legt het licht af tijdens één jaar (365,24 dagen) ? Noteer dit wetenschappelijk en rond af op twee cijfers na de komma. De dichtstbijzijnde ster bij onze planeet (naast de zon) is de Proxima Centauri. Die bevindt zich op een a fstand van 268 000 AE van de zon. Hoeveel km is dat ? Noteer dit wetenschappelijk en rond af op twee cijfers na de komma.
89
2
10
W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N In technische vakken wordt vaak gebruikgemaakt van de ingenieursnotatie (op je rekenmachine mode ENG) of technische notatie. Die lijkt sterk op de wetenschappelijke schrijfwijze. Ook hier heb je een product van twee factoren : – eerste factor : een getal verschillend van nul met 1, 2 of 3 cijfers voor de komma – tweede factor : een macht van 10 waarbij de exponent een drievoud is Zet volgende getallen om in de ingenieursnotatie.
11
a 12 000
–0,000072 = _____________________________ e
= _____________________________
b 0,000005
= _____________________________
f
= _____________________________
c 6,7 · 10 4
= _____________________________
g 7,5 · 10 26
d –5 840 000
= _____________________________ h –3,8 · 10 –5
85 000 000 000
= _____________________________ = _____________________________
In een van deze boxen zit een slang. Maar een van de stickers heeft een opschrift dat FOUT is. Waar zit de slang ?
In deze box zit GEEN slang
*
12
24 = 42
Bij het spelletje Candy Crush is het de bedoeling om drie snoepjes in dezelfde kleur naast elkaar te krijgen. Er zijn snoepjes in zes kleuren. Hiernaast zie je een mogelijke start van het eerste level. In het eerste vakje staat een oranje snoepje, maar dat had evengoed een van de andere vijf kleuren kunnen zijn. In totaal tel je 40 vakjes. Hoeveel verschillende combinaties zijn er mogelijk ?
90
In deze box een slan zit g
Machten
Vaardigheden | Maten omzetten W ISK U N DE & B IOLOG I E
10 –1 m
Eén miljardste van een meter is een nanometer (1 nm). Of ook : één miljoenste van een millimeter. Niet echt zichtbaar dus. Links zie je een aantal foto’s van groot naar klein. De lengtes zijn telkens uitgedrukt in meter.
10 m –2
1
Vul in de vakjes de begrippen in. Kies uit : DNA – MIER – HAAR – ROODBORSTJE –
10 –3 m
MOLECULEN – BACTERIE – RODE BLOEDCELLEN – VLO – VIRUS – NANO ABACUS Deze tips zullen zeker helpen.
10 –4 m
– Een NANO ABACUS is een telraam met allemaal balletjes die 1 nm (nanometer) groot zijn. – MOLECULEN zijn kleiner dan VIRUSSEN.
10 m –5
– Een BACTERIE is tien keer groter dan een VIRUS.
10 –6 m Vergelijk even een tennisbal met onze grote aardbol. Dan is die wel klein, niet ? Dezelfde vergelijking geldt voor een mini-
10 m –7
nanoballetje tegenover de tennisbal van zonet.
10 –8 m 10 –9 m
2
Bij de productie van Legoblokjes wordt een foutenmarge toegestaan van 0,0001 mm. Druk dit uit met een macht van 10.
10 –10 m
Hoeveel nm is dit ?
Bron: Internationaal Instituut voor Nanotechnologie
91
2
3
Nano is afgeleid van het Grieks en Latijn en betekent ‘dwerg’.
a Eén nanogram is dus 10 –9 gram.
Met hoeveel kilogram komt dat overeen ?
Het voorzetsel wordt ook gebruikt bij gewicht en massa. Zo is één nanogram één miljardste van een gram.
b Je leerkracht weegt 90 kg.
Met hoeveel ng komt dit overeen ?
1 ng = 0,000 000 001 g
c Eén zandkorreltje weegt 10 –3 gram.
Hoeveel nanogram weegt één zandkorreltje ?
d Hoeveel zandkorrels zitten er in deze ‘fitness bag’ ?
Nog kleiner ? Jawel ! Duizend keer kleiner dan nano is pico (afgeleid van het Italiaanse piccolo, ‘klein’) en één miljoen keer kleiner dan nano is femto (afgeleid van het Deense femten, ‘vijftien’). Weet je waarom ‘femto’ werd gekozen ? Na femto stopt de naamgeving …
4
Bacteriën kunnen zich (in ideale omstandigheden) erg snel voortplanten. Zo ontstaan er uit één bacterie elke 20 minuten twee dochtercellen. Als je vandaag om 12.00 u. start met één bacterie, uit hoeveel bacteriën bestaat een kolonie morgenmiddag om 12.00 u. ?
_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
92
53
54
Ik kan de rekenregel toepassen om het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal te bepalen.
54
❒
Ik ken de rekenregel om een macht van een macht te bepalen (in woorden en in symbolen).
55
T
❒
Ik kan de rekenregel toepassen om een macht van een macht te bepalen.
55
T
❒
Ik ken de rekenregel om een macht van een product te bepalen (in woorden en in symbolen).
56
T
❒
Ik kan de rekenregel toepassen om een macht van een product te bepalen.
56
T
❒
Ik ken de rekenregel om een macht van een quotiënt te bepalen (in woorden en in symbolen).
57
T
❒
Ik kan de rekenregel toepassen om een macht van een quotiënt te bepalen.
57
E
❒
Ik kan één of meerdere rekenregels bewijzen.
70
T
❒
Ik ken de definitie van de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal.
81
T
❒
Ik kan een rationaal getal omzetten naar de wetenschappelijke schrijfwijze.
82
T
❒
Ik kan elke wetenschappelijke schrijfwijze omzetten naar een rationaal getal.
83
T
❒
Ik kan rekenen met getallen die genoteerd zijn in de wetenschappelijke schrijfwijze.
84
❒
T
❒
T
❒
T
❒
T
❒
T
Ik ken de definitie van een macht met een gehele exponent. Ik ken de rekenregel om het product van machten met hetzelfde grondtal te bepalen (in woorden en in symbolen). Ik kan de rekenregel toepassen om het product van machten met hetzelfde grondtal te bepalen. Ik ken de rekenregel om het quotiënt van machten met hetzelfde grondtal te bepalen (in woorden en in symbolen).
93
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
53
T
oké voor examen
dit moet ik leren
52
Bloom
ik ken het !
Machten
pagina
2
HERHALINGSOEFENINGEN
2
Machten
Naam
Klas
1
Nummer
Datum
Björn wil zijn verschillende generaties voorouders in kaart brengen
Totaal
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
…… / 3
door middel van een kwartierstaat. Zijn ouders zijn voorouders van één generatie terug. Zijn grootouders zijn voorouders van twee generaties terug. a Hoeveel voorouders van twee generaties terug heeft Björn ?
________________________________________________________
b Maak een tabel die het verband uitdrukt tussen de generaties en het aantal voorouders.
AANTAL GENERATIES TERUG
AANTAL VOOROUDERS UIT DIE GENERATIE
1 2 3 4 5
c Formuleer een verband tussen ‘het aantal generaties terug’ en ‘het aantal voorouders uit die generatie’ in woorden en in letters.
_____________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________
d Hoeveel voorouders had Björn tien generaties terug ? _______________________________________________________________________________________________________ 94
Machten
2
3
2 –3
25 · 23
– 8
215
−
1
−3
2
1 8
25
3
1 – 2 –2
3 4
28
Ken je de rekenregels ? Verbind elk bolletje met het overeenkomende vierkantje.
Om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, …
Om machten met hetzelfde grondtal door elkaar te delen, …
Om een macht tot een macht te verheffen, …
Om een product tot een macht te verheffen, …
4
…… / 2
Verbind op een passende wijze.
◯
⃞
◯
◯
⃞
◯
⃞
⃞
…… / 2
… verhef je elke factor tot die macht.
… behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af.
… behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten.
… behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op.
Pas eerst een rekenregel toe en werk (indien mogelijk) verder uit. De letters in de grondtallen
…… / 6
stellen een rationaal getal voor verschillend van nul. a a 3 · a 2 · a =
b ( –2) 3 · ( –2) –5 =
c
d
−3 2
2
:
−2ab 3
4
−3 2
e ( –1) · ( –1)
f
a −5
2
=
=
= –3
6
−2
2
· ( –1) =
95
2
5
…… / 2
Zet volgende getallen om naar de wetenschappelijke schrijfwijze. a Naar het laatste Eurovisiesongfestival keken ongeveer 182 000 000 mensen.
b De kleinste inscriptie ooit geschreven had een hoogte van 0,00000015 cm.
c De clip van Despacito (van Luis Fonsi) werd op YouTube al meer dan 6 500 000 000 keer bekeken.
d Het kleinste wagentje ooit gebouwd bestaat uit koolstofatomen en is 0,000000001 m groot.
6
7
…… / 1
Zet om naar de gewone schrijfwijze. a –6,125 · 1012 =
b 200 · 10 –9 =
…… / 2
Werk uit door te rekenen met machten van 10. Noteer je eindantwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze. 3 6, 4 · 105 · 5 · 103 −2 · 104 b a 3 3, 2 · 10
8
…… / 2
Klopt de gelijkheid ? Kleur dan het vakje groen.
34 + 34 + 34 =3 34
96
102 2
5
= 22
(−2)2
−2
= 20
3
Rekenen met algebraĂŻsche vormen
Simon Stevin was een Vlaamse wiskundige. Als jongeman hield hij van reizen en zo verzamelde hij een schat aan wiskundekennis. Hij was ook een tijd raadsman van prins Maurits van Oranje, voor wie hij in 1601 een zeilwagen ontwierp. Hij schreef heel wat boeken, waarvan De Thiende (1586) het belangrijkste was. Dat boekje telde 36 bladzijden en was in een eenvoudige taal geschreven. Hij leverde heel wat bijdragen over algebra, meetkunde en intresttabellen, en voerde breuken in met als noemer een macht van tien. Zo noteerde hij 4,58 als 4(0)5(1)8(2). Ook voor de wiskundige woordenschat was deze Bruggeling belangrijk. Hij voerde woorden in zoals wiskunde, driehoek, delen, omtrek, middellijn en wortel. Woorden die de huidige wiskunde niet hebben gehaald, waren uytbreng (voor product) en teerlincxwortel (voor derdemachtswortel). Zijn standbeeld pronkt nog steeds op het Simon Stevinplein in Brugge.
3
Rekenen met algebraïsche vormen 3.1 Eentermen en veeltermen
1 Letterformules : eentermen .................................. 99 2 Eentermen ........................................................................... 100 3 Gelijksoortige eentermen .................................... 101 4 Getalwaarde van een eenterm ........................ 101 5 Letterformules ................................................................ 102 6 Veeltermen .......................................................................... 103 7 Getalwaarde van een veelterm ..................... 104 8 Samenvatting ................................................................... 105 9 Oefeningen .......................................................................... 106
3.2 Som en verschil van veeltermen
1 Som en verschil van eentermen ................... 114 2 Veeltermen herleiden en rangschikken . 115 3 Som van veeltermen .................................................. 116 4 Verschil van veeltermen ........................................ 116 5 Samenvatting .................................................................... 117 6 Oefeningen ........................................................................... 118
3.3 Product van veeltermen 1 2 3
Product van eentermen ........................................ 128 Macht van een eenterm ......................................... 129 Product van een veelterm met een eenterm ...................................................................... 130 4 Product van veeltermen ........................................ 131 5 Samenvatting .................................................................... 133 6 Oefeningen .......................................................................... 134
3.4 Merkwaardige producten 1 2
Kwadraat van een tweeterm ............................. 147 Product van twee toegevoegde tweetermen ........................................................................ 148 3 Merkwaardige producten in een vierkant ....................................................................... 149 4 Samenvatting ................................................................... 149 5 Oefeningen .......................................................................... 150
Extra’s
Vaardigheden : diagrammen tekenen en centrummaten berekenen met ICT ..................................................................................... 163 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................ 167 Herhalingsoefeningen ....................................................... 168
98
Rekenen met algebraïsche vormen
3.1
Eentermen en veeltermen 1 Letterformules : eentermen Voorbeeld 1 : in de wei In het eerste jaar leerde je hoe je regelmaat kunt herkennen en veralgemenen. Een landbouwer wil een afsluiting bouwen in de vorm van een vierkant. NUMMER FIGUUR
1
2
3
4
…
n
4
8
12
16
…
4n
FIGUUR
AANTAL METER AFSLUITING Vul nu volgende
n
tabel aan.
4n wordt een eenterm
4n
genoemd. Een eenterm
5
bestaat uit een cijfergedeelte en
6
een lettergedeelte.
4 n ↑ ↑ cijfer- letter gedeelte gedeelte
12 15 45 A
Voorbeeld 2 : omtrek driehoek Driehoek ABC is een gelijkzijdige driehoek. De omtrek van DABC is 3a .
a
Ook 3a is een eenterm. Vul nu volgende tabel aan.
a
3a
a
7
B
13 a
32 51
C
99
3
2 Eentermen 1 4n , 3a , 5xy , 9a 2 en c worden eentermen genoemd omdat ze een product zijn van getallen en letters. 4 Het getalgedeelte wordt steeds vooraan genoteerd en noemen we de coëfficiënt. eenterm Een eenterm is een product van een coëfficiënt en letterfactoren met positieve exponenten. EENTERM
COËFFICIËNT
LETTERGEDEELTE
3a
3
a
4n
4
n
1 2 n 2
1 2
n2
5xy
5
xy
–ab
–1
ab
We maken volgende afspraken : – De coëfficiënt schrijf je steeds vooraan. – Tussen de coëfficiënt en het lettergedeelte hoef je geen maalteken te noteren. – De letterfactoren rangschik je alfabetisch. – De letterfactoren schrijf je zo compact mogelijk : gebruik hiervoor exponenten. – De coëfficiënten 1 en –1 schrijf je niet.
Voorbeelden :
1ab = ab
–1x 2y = –x 2y graad van de eenterm De graad van een eenterm in een letter is de exponent van deze letter in de eenterm. De graad van een eenterm in alle letters is de som van de exponenten van alle letters die in deze eenterm voorkomen.
Voorbeelden : 4n is van de eerste graad in n .
1 2 n is van de tweede graad in n . 2 5xy is van de eerste graad in x , van de eerste graad in y en van de tweede graad in x en y . 8a 2b 3 is van de tweede graad in a , van de derde graad in b en van de vijfde graad in a en b .
1 4x n , x p + 2 en 3x 2 y n + 3 zijn eentermen waarvan de exponenten die in de letters voorkomen, zelf letters zijn. 5 EENTERM
COËFFICIËNT
LETTERGEDEELTE
GRAAD
4x n
4
xn
n
1 p +2 x 5 3x 2y n + 3
100
1 p +2 x 5
1 p +2 x 5
p +2
3
x 2y n + 3
n +5
Rekenen met algebraïsche vormen
3 Gelijksoortige eentermen
De eentermen
7a en –41a
hebben hetzelfde lettergedeelte : a
De eentermen
–b 2 en 1,7b 2
hebben hetzelfde lettergedeelte : b 2
De eentermen
9ab 2 en 11ab 2
hebben hetzelfde lettergedeelte : ab 2
De eentermen
3x 2y en 5xy 2
hebben niet hetzelfde lettergedeelte.
gelijksoortige eentermen Gelijksoortige eentermen zijn eentermen die hetzelfde lettergedeelte hebben.
1 ab ; –9ab ; ab ; 0,25ab zijn gelijksoortige eentermen. 2 3x ; 4y ; 7x 2 zijn niet-gelijksoortige eentermen.
4 Getalwaarde van een eenterm Om de getalwaarde van een eenterm te bepalen, vervang je de letters door de gegeven getallen en werk je daarna de rekenoefening uit.
EENTERM
WAARDE VOOR DE LETTERS
4n
n =4
1 2 n 2
n =6
2ab
a = 5 en b = 3
–4xy
x = –2 en y = 5
GETALWAARDE
101
3
5 Letterformules Voorbeeld 1 : de chocoladeautomaat Een producent van automaten heeft volgende modellen op de markt. De koper kan een keuze maken uit een miniautomaatje (waarin 10 repen passen) tot heel grote automaten. Om aan het aantal repen te komen moet je ook rekening houden met de schuifjes waar telkens al een reep op jou ligt te wachten. AUTOMAAT
2
NUMMER
3
4
5
…
n
52 + 52 + 5
…
n2 + n2 + n
42
AUTOMAAT
4 AANTAL REPEN IN DE
22 + 22 + 2
32 + 32 + 3
42 + 42 + 4
AUTOMAAT Vul nu volgende tabel aan.
n 2 + n 2 + n of ook
2n2 + n
n
2n 2 + n wordt een
5
veelterm genoemd. Een veelterm is een
6
som van eentermen. 2n 2 + n ↑ ↑ eenterm eenterm
11 14 15
Voorbeeld 2 : huisje tekenen De omtrek van deze figuur is a + 2b + 2c . Ook dit noemen we een veelterm. Vul nu volgende tabel aan.
c
a
b
c
4
5
3
7
3
8
5
10
6
20
15
18
c
a + 2b + 2c
b
b
a 102
Rekenen met algebraïsche vormen
6 Veeltermen Voorbeelden : a 2 + 4a
is een veelterm
1 1 3 y + 2y − 5 5
is een veelterm
2, 5a + 3, 5b
is een veelterm
veelterm Een veelterm is een som van eentermen. Een veelterm met precies twee termen noemen we een tweeterm.
Voorbeelden : a2 – a 0,12x 2 + 0,8x 6b – 9 Een veelterm met precies drie termen noemen we een drieterm.
Voorbeelden : 2a 2 − 5a + 8
2x 2 − 6x + 7
1 3 2 y − y +4 2 3
graad in een letter van een veelterm De graad van een veelterm in een letter is de grootste exponent waarmee die letter in de veelterm voorkomt.
Voorbeelden : 3a 3 + 2a 2 −
1 a 4
2 − x 2 y 5 + 2x 3 y 2 5
is van de 3e graad in a is van de 3e graad in x is van de 5e graad in y is van de 7e graad in x en y (de eerste term heeft als graad 2+5 = 7 en de tweede term heeft als graad 3 + 2 = 5; de grootste graad van beide termen is 7)
Herkomst van de algebra : Nicholas Saunderson Nicholas Saunderson (1682 –1739) was professor aan de universiteit van Cambridge, waar hij door King George was aangesteld om les te geven en zelfs toe te treden tot de koninklijke familie. Toen Richard een jaar oud was, werd hij blind door de waterpokken. Hij leerde zichzelf lezen en schrijven door de inscripties te betasten op de graven van het kerkhof. Hij schreef voor zijn leerlingen twee boeken : ‘Elements of Algebra’ en ‘Method of Fluxions’. Bovendien ontwierp hij een ‘rekenmachine’ waarmee hij algebraïsche oefeningen door tastzin kon oplossen. In zijn geboortedorp Penistone (Groot-Brittannië) kun je een korte wiskundewandeling maken en over zijn leven is zelfs een musical gemaakt : ‘No Horizon’.
103
3
7 Getalwaarde van een veelterm Voorbeeld 1 : papegaaiduikers De grootte van een populatie papegaaiduikers laat zich voor een tiental jaren beschrijven door de formule 2t 2 + t + 40 met t : het aantal jaren
Vul nu volgende tabel aan. t
WAARDE VOOR 2t 2 + t + 40
1
2 · 1 2 + 1 + 40 = 43
2
2 · 2 2 + 2 + 40 = 50
3 4 5 … ↓
… ↓
waarde van
getalwaarde van de veelterm
de letter die voorkomt in de veelterm Om de getalwaarde van een veelterm te bepalen, vervang je de letters door de gegeven getallen en werk je daarna de rekenoefening verder uit.
Voorbeeld 2 : priemgetallen Wellicht ken je nog de betekenis van een priemgetal : een natuurlijk getal dat precies twee verschillende delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. Al eeuwenlang zijn mensen op zoek naar een formule die alleen maar priemgetallen weergeeft. Misschien is het deze formule wel …
n 2 + n + 41 met n : een natuurlijk getal
Vul nu volgende tabel aan. n
WAARDE VOOR n 2 + n + 41
PRIEMGETAL ?
0
02
+ 0 + 41 = 41
ja
1
12
+ 1 + 41 = 43
ja
2 3 4 5 … Zet je onderzoek voort voor volgende waarden van n : 12, 14, 22, 39 en 40. Wat kun je besluiten ?
104
Rekenen met algebraïsche vormen
Voorbeeld 3 : Bereken de getalwaarde van … VEELTERM n2
+n –3
WAARDE n =3
OPLOSSING 3 2
+3–3
VEELTERM p 2q
–
= 9 + 3 – 3 = 9
pq 2
–4
WAARDE p =4 q = –2
OPLOSSING 4 2 · ( –2 ) –
4 · ( –2 ) 2 – 4
= 16 · ( –2 ) – 4 · 4 – 4 = –32 – 16 – 4 = –52
8 Samenvatting • Je weet wat een eenterm is. Een eenterm is een product van een coëfficiënt en letterfactoren met positieve exponenten. • Je kunt de graad van een eenterm in een letter bepalen. De graad van een eenterm in een letter is de exponent van die letter in de eenterm. • Je kunt de graad van een eenterm (in alle letters) bepalen. De graad van een eenterm is de som van de exponenten van alle letters die in de eenterm voorkomen. • Je weet wat gelijksoortige eentermen zijn. Gelijksoortige eentermen zijn eentermen die hetzelfde lettergedeelte hebben. • Je kunt de getalwaarde berekenen van een eenterm. Om de getalwaarde te berekenen van een eenterm vervang je de letters door de gegeven getallen en werk je daarna de rekenoefening uit. • Je weet wat een veelterm is. Een veelterm is een som van eentermen. • Je kunt de graad van een veelterm in een letter bepalen. De graad van een veelterm in een letter is de grootste exponent waarmee die letter in de veelterm voorkomt. • Je kunt de getalwaarde berekenen van een veelterm. Om de getalwaarde te berekenen van een veelterm, vervang je de letters door de gegeven getallen en werk je daarna de rekenoefening uit.
105
3
9 Oefeningen 1
Door welke eenterm kun je … a … de omtrek van een ruit met zijde z weergeven ?
b … de oppervlakte van een vierkant met zijde z weergeven ?
c … een willekeurig even getal voorstellen ?
d … een willekeurig zevenvoud voorstellen ?
e … de omtrek van een cirkel met straal r voorstellen ?
f
… de oppervlakte van een parallellogram met basis b en hoogte h weergeven ?
g … de oppervlakte van een ruit met grote diagonaal D en kleine diagonaal d weergeven ?
2
Vul de tabel aan. EENTERM
3
COËFFICIËNT
LETTERGEDEELTE
e
–4
xy
f
0,5
x 3y 4
a
12n
b
8a 2b
c
–7uv
d
–10
g
x 4y 2
h
3 − xy 2 4
Zet gelijksoortige eentermen in dezelfde kleur.
a
2a
–7b
3a 2
–7a
1 − b 2
6a 2
b
3x 2
7x
8
12x
13x 2
24
106
Rekenen met algebraïsche vormen
4
Schets telkens de vierde figuur. Bepaal daarna de eenterm waarmee je het aantal streepjes in de n -de figuur weergeeft. NUMMER
1
2
3
3
6
9
1
2
3
4
n
4
n
FIGUUR
AANTAL STREEPJES
NUMMER
FIGUUR
AANTAL STREEPJES
5
In het pretpark staat een achtbaan met kevertjes. Alle keverwagentjes hebben als lengte a . a Druk met een eenterm de lengte uit van de totale keversliert.
b Hoe lang is de keversliert als de lengte a gelijk is aan 150 cm ?
107
3
6
De totale oppervlakte van een kubus wordt gegeven door A = 6z 2. Bereken de totale oppervlakte van een kubus als a
7
z = 4 cm
b z = 8 cm
c
z = 12,5 cm
Bereken de getalwaarde van de volgende eentermen. a 2ab voor a = 5 en b = –4 c –2st 2 voor s = 4 en t = –2
b –3p 2q voor p = –4 en q = 2
108
d
1 2 3 1 x y voor x = en y = − 3 2 2
Rekenen met algebraïsche vormen
8
Vul in met de gepaste graad. GEGEVEN
GEVRAAGD
ANTWOORD
graad in x
a
3x 4y
graad in y
graad in x en y
b
x 4 – 2x 3 + 8x – 5
graad in x
c
6 – 7a + a 2 + 2a 4
graad in a
graad in x d
x 3 + x 2y 5 – y 4 graad in y
e
4t 3 – 5t + t 7 – 16t 4
graad in t
graad in x f
x 4 + 3x 3y + 2x 2y 5 + 6y 2 graad in y
*
9
a Noteer een eenterm van de derde graad, waarbij de graad in x drie is. ____________________________________________ b Noteer een eenterm van de vierde graad, waarbij de graad in x drie is. ____________________________________________ c Noteer een tweeterm met twee onbekenden waarbij de graad in x twee is en de graad in y ook twee is.
____________________________________________ 109
3
10
Schets telkens de vierde figuur. Bepaal daarna de veelterm waarmee je het aantal stippen in de n -de figuur weergeeft.
a
NUMMER
1
2
3
5
9
13
1
2
3
3
5
7
4
n
4
n
FIGUUR
AANTAL STIPPEN
b
NUMMER
FIGUUR
AANTAL STIPPEN
11
Vul in de tabel de getalwaarde van de veelterm in. Je kunt gebruikmaken van een rekenblad.
x= a
3x + 4
b
3x 2 + 4
c
5x – 3
d
2x 2 – 3x + 4
110
– 4
– 3
– 2
– 1
0
1
2
3
4
Rekenen met algebraïsche vormen
12
Bereken de getalwaarde van de volgende veeltermen. a a 2 + 2ab + b 2 voor a = 4 en b = –2 c a 3 – 2a 2b + ab 2 voor a = 3 en b = 4
b –x 2 + xy – y 2 voor x = 5 en y = 3
13
d x 4 – y 4 voor x = 1 en y = 2
Jill doet in de maand augustus een vakantiejob in Disneyland Parijs in een snoepkraam. In haar arbeidscontract staat dat ze een eenmalige v erplaatsingsvergoeding krijgt van 50 euro. Per uur zal Jill 7,50 euro verdienen. a Druk met een veelterm uit hoeveel Jill zal verdienen in de maand augustus als je het aantal uren voorstelt door de letter u .
b Elke dag moet Jill 8 uur werken. Hoeveel euro verdient Jill als ze in de maand augustus 25 dagen gewerkt heeft ? Maak gebruik van de veelterm die je hierboven opstelde.
111
3
14
Oppervlakte bij meetkundige lichamen a De manteloppervlakte van een cilinder bereken je met de formule : Am = 2pr · h
h r Bereken de manteloppervlakte op 0,01 cm2 nauwkeurig als r = 4 cm en h = 12 cm. b De totale oppervlakte van een kegel bereken je met de formule : At = p · r ( r + a )
a
r Bereken de totale oppervlakte op 0,01 cm2 nauwkeurig als r = 6 cm en a = 20 cm. c De totale oppervlakte van een balk bereken je met de formule At = 2 · (l · h + l · b + b · h ).
h
l
b
Bereken de totale oppervlakte van een balk als l = 5 cm, b = 4,5 cm en h = 3 cm.
d Bereken de totale oppervlakte van een balk als l = 0,9 dm, b = 0,4 dm en h = 7 cm.
h
l
112
b
Rekenen met algebraïsche vormen
*
15
De getalwaarde van de veelterm ax 3 + 2x 2 + x – 3 voor x = –1 is –11. Zoek de waarde van a .
*
16
De getalwaarde van de veelterm ax 2 + x + b voor x = 0 is 0. De getalwaarde voor dezelfde veelterm voor x = 2 is 3. Zoek a en b .
*
17
De getalwaarde van de veelterm ax 2 – 4x – b voor x = 0 is 2. De getalwaarde voor dezelfde veelterm voor x = 2 is –8. Bepaal a en b .
18
Hoeveel gehele getallen n bestaan er zodat
(A) 2
(B) 4
12 een geheel getal is ? n +5 (C) 6
(D) 7
(E) 12
JWO 2009 eerste ronde, vraag 8 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
113
3
3.2
Som en verschil van veeltermen 1 Som en verschil van eentermen Voorbeelden : 2a + 5a = ( 2 + 5) · a
het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het optellen in Q
= 7a
1 − 3 · b het vermenigvuldigen is distributief t.o.v. het aftrekken in Q 2 1 6 = − ·b 2 2
1 b − 3b = 2
5 = − b 2
We spreken af dat we tussenstappen (zo veel mogelijk) weglaten :
7x + 18x = 25x − 9y − 5y = −14y
2x 2 + x 2 − 6x 2 = 3x 2 − 6x 2 = −3x 2 3 2 1 2 4 9 5 ab − ab = ab 2 − ab 2 = ab 2 4 3 12 12 12
Merk op dat alle eentermen hetzelfde lettergedeelte hebben. Een vorm zoals 2a + 3b kun je niet korter noteren (herleiden) omdat de eentermen niet gelijksoortig zijn.
Gelijksoortige eentermen optellen en aftrekken Om gelijksoortige eentermen op te tellen of af te trekken : – Bereken de som of het verschil van de coëfficiënten. – Behoud het lettergedeelte.
Als de eentermen letters in de exponenten hebben, gebruik je dezelfde werkwijze. Ook hier moeten de eentermen hetzelfde lettergedeelte hebben als we de vorm moeten kunnen herleiden.
Voorbeelden : 2x n + 5x n
= 7x n
−5y q + 12y q = 7y q 8 1 3x m +1 − x m +1 = x m +1 3 3
−→
lettergedeelte is x n
−→
lettergedeelte is x m+1
−→
lettergedeelte is y q
Maar xm + xn kun je niet korter noteren of herleiden omdat de eentermen niet hetzelfde lettergedeelte hebben.
114
Rekenen met algebraïsche vormen
2 Veeltermen herleiden en rangschikken Onderzoeksopdracht 1 :
A
Bereken de omtrek van de ruit. a
Noteer deze omtrek zo bondig mogelijk. De veelterm a + a + a + a kun je eenvoudiger (= met minder
a
D
termen) schrijven : a + a + a + a = 4a
B a
a C
Onderzoeksopdracht 2 :
A
4x
B
Bereken de lengte van [FE] en van [AF]. Bereken nadien de omtrek van de veelhoek ABCDEF. 2y
Noteer ook deze omtrek zo eenvoudig mogelijk. De veelterm 4x + 2y + 2x + y + 2x + 3y kun je nog herleiden. Je zult dan alle gelijksoortige eentermen optellen of aftrekken. D Tip : onderstreep alle gelijksoortige termen op dezelfde
C
y
manier. Vergeet niet om het bewerkingsteken voor elke term mee te onderstrepen.
2x
F
E
4x + 2y + 2x + y + 2x + 3y = 4x + 2x + 2x + 2y + y + 3y = 8x + 6y
Herleiden Om een veelterm te herleiden, maak je de som of het verschil van de gelijksoortige eentermen.
Voorbeeld : a 3 + a – 2a 2 + 6a – 9a 2 = a 3 + a + 6a – 2a 2 – 9a 2 = a 3 + 7a – 11a 2 Om in een veelterm wat orde te scheppen, kunnen we de veelterm rangschikken.
Rangschikken Om een veelterm te rangschikken, zul je de veelterm noteren naar dalende of stijgende machten van een bepaalde letter.
Voorbeelden : 5x 5 + 12x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 17x 2
5 − 6y + 8y − 7y 1 2 6 a − ab + b 2 4 5
4
is gerangschikt naar dalende machten van x . is gerangschikt naar stijgende machten van y . is gerangschikt naar dalende machten van a , maar ook naar stijgende machten van b .
115
3
3 Som van veeltermen Voorbeelden : ( 2a 2 + 3a ) + ( 5a 2 – 2a ) het optellen van rationale getallen is associatief = 2a 2 + 3a + 5a 2 – 2a het optellen van rationale getallen is commutatief = 2a 2 + 5a 2 + 3a – 2a = 7a 2 + a
( x 2 + 2x + 3) + ( 3x 2 – 4x + 5) (6a 3 – 5a 2 + a ) + (–8a 3 – 6a 2 – a ) = x 2 + 2x + 3 + 3x 2 – 4x + 5
= 6a 3 – 5a 2 + a – 8a 3 – 6a 2 – a
= x 2 + 3x 2 + 2x – 4x + 3 + 5
= 6a 3 – 8a 3 – 5a 2 – 6a 2 + a – a
= 4x 2
– 2x + 8
= –2a 3 – 11a 2
1 5 a+ b + a − 5b (3a m + 2a k) + (–5a k – 4a m) 2 3 = 3a m + 2a k – 5a k – 4a m 1 5 = a + b + a − 5b = 3a m – 4a m + 2a k – 5a k 2 3 = –a m – 3a k 1 5 = a + a + b − 5b 3 2 =
4 5 a− b 3 2
Som van veeltermen Om een som van veeltermen te berekenen: – Werk de haakjes weg. – Tel de gelijksoortige termen op.
4 Verschil van veeltermen Herinner je je de
a – ( b + c )
= a – b – c
regels om haakjes
a – ( b – c )
= a – b + c
weg te werken :
a – ( –b + c ) = a + b – c
a – ( –b – c ) = a + b + c
Voorbeelden : ( x 2 + x – 2) – ( 2x 2 – 2x ) – ( 2a + 3b – 4) – ( –5a + 4b – 8) = x 2 + x – 2 – 2x 2 + 2x
= –2a – 3b + 4 + 5a – 4b + 8
= x 2 – 2x 2 + x + 2x – 2
= –2a + 5a – 3b – 4b + 4 + 8
= –x 2 + 3x – 2
= 3a – 7b + 12
Verschil van veeltermen Om een verschil van twee veeltermen te berekenen: – Werk de haakjes weg : laat het minteken en de haakjes voor de tweede veelterm weg en vervang elke term van de veelterm door zijn tegengestelde. – Tel de gelijksoortige termen op.
116
Rekenen met algebraïsche vormen
Je kunt jezelf controleren door van de opgave een foto te trekken met de app Photomath of Socratic. Ook met de CAS van GeoGebra kun je rekenen met veeltermen.
Voorbeeld :
5 Samenvatting • Je kunt gelijksoortige eentermen optellen en aftrekken. – Bereken de som of het verschil van de coëfficiënten. – Behoud het lettergedeelte. • Je kunt een veelterm herleiden en rangschikken. – Om een veelterm te rangschikken zul je de veelterm noteren naar dalende of stijgende machten van een bepaalde letter. – Om een veelterm te herleiden, maak je de som of het verschil van de gelijksoortige eentermen. • Je kunt de som bepalen van veeltermen. – Werk de haakjes weg. – Tel de gelijksoortige termen op. • Je kunt het verschil bepalen van veeltermen. – Werk de haakjes weg : laat het minteken en de haakjes voor de tweede veelterm weg en vervang elke term van die veelterm door zijn tegengestelde. – Tel de gelijksoortige termen op.
117
3
6 Oefeningen 1
Maak de som of het verschil van volgende eentermen.
a 2p + 3p =
e
−s − 3s =
b 4x + x =
f
4x 2 y + 6x 2 y =
c
d
2
7m − 4m =
g 3a m + 2a m =
1 1 y + y = 2 3
h
Herleid volgende veeltermen.
a −2y + y 2 − 6y
=
b 3x − 6 + 5x − 2
=
c
4x 2 + 6x − 8 − 11x + 2x 2 − 11
=
d 5x 2 − 5x 3 + 8 − 3x 2 + 12x 3 − 4
=
e 3x 2 + 5x − 2 + 8x − 3x 2
=
f
1 5 1 3 2 1 2 2 x − x + + − x + x 4 3 5 8 3 10
= =
g 0, 4x − 0, 2x 2 − 0, 01x 2 + 2, 1x
= =
h
2 6 1 3 2 2 x − x + − x 2 + + 4x 5 3 2 4 5
= =
i
1, 5x 3 − 2, 5x 2 + 5 − 2, 5x 3 + 3, 5x 2 = =
118
4 1 x + x = 5 2
Rekenen met algebraïsche vormen
*
3
Drie op een rij … Kleur in onderstaande tabel telkens drie opeenvolgende vakjes fluogeel als de som van de eerste twee vakjes gelijk is aan het derde vakje. De vakjes kunnen zowel horizontaal, verticaal als schuin op elkaar volgen.
Voorbeelden :
2a
3a
5a
x
3
5b 4
4x
3b 7
5x
2b
–18
7
5b
b
6b
7b
5
3b
x
3
x –3
x +6
2b
21b
2a
5b
7ab
12ab
–2b
4b
4 2 x 3
2 2 x 3
2x 2
5 7
0
–16b
24y
–8y
16y
−2 7
4x 3
8
x
a
z
–1
4x 3
–3
b
y
3c 2
8 7
8x 3
–2
a m +2
25
– 13
a m +2
–5,5x 3
5
2x
2a m +2
15
2a m +2 + 15
2,5x 3
–3
6y
3x 7
3a m +2
40
c3
1 a 2
0
x7
3
2a m +2 + 45
–2
2x 2
1 a 2
x7
25
–6a
c3 + 2
x2
b
a
–7a
–6a
119
3
4
5
Rangschik deze veeltermen naar dalende machten van x . Bepaal ook de graad van de veelterm. a 8 – 4x 3 + 17x 2 – 3x 4 + 17x
=
Graad =
b x 4 – x + 7 – x 2 – 3x 3
=
Graad =
c –5 – 2x 3 + 8x – 2x 4
=
Graad =
Graad =
Rangschik deze veelterm naar dalende machten van y . Bepaal ook de graad van de veelterm.
6
– y + 2y 4 – y 2 – y 5
=
Herleid, indien mogelijk, volgende veeltermen.
a 2x n − 7x n + x n
=
b
1 n 1 x + xn 5 2
=
c
2x 2 + x n − 3x 2 − 5x n
=
d x m +1 − 3x m + 2x m −1 − 5x m +1 + x m = *
7
m +2 e 4xwat − 2x m + draaien x m +2 − het 3x mliefst rondjes = aan Heel schaatsers
5a
de buitenkant van de ijsbaan en laten de midden ruimte van de ijspiste links liggen. Op deze ovaal
3b 2 b
vormige ijspiste wordt het daarom aangenamer schaatsen dan op een rechthoekige ijsbaan. loopbrug
Hoe groot is de omtrek van deze ijspiste als a = 8 m en b = 2,5 m ?
120
kerstchalet
2a
Rekenen met algebraĂŻsche vormen
8
Schrijf de omtrek van volgende veelhoeken zo eenvoudig mogelijk.
a
1x 2
x 0,7a
b
a
6a 5
c
3a
5a 2a
6s
d
2t
t
5t
4s
s a
e
a b
c
4a
c
b a
121
3
9
Bereken de som van volgende veeltermen.
a (5 − x ) + (8 − 3x ) =
b
c
x 2 − x + −2x 2 − 3x =
2x 2 + 3x − 4 + 7x 2 − 4x + 6 =
d
e
+
1 2 4 x − 3x − 4 5
=
5 2 4 1 3 1 2 3 x − x2 + x3 + x − x − x = 5 3 6 2 3 2
2 1 1 3 − x3 + x2 +1 + x − x2 = 7 3 2
g
122
0, 7x 3 + 2, 5x − 1, 3 + −2, 5 − 3, 6x + 3x 3 =
f
h
3 2 1 x − 5x − 8 5
12, 1x 3 − 1, 21x + (2, 11x + 2, 11) =
Rekenen met algebraïsche vormen
10
Bereken het verschil van volgende veeltermen.
a (2a + 3) − (5a + 18) =
b
c
d
15x 2 − 10 − 2x 2 − 10 =
8x 2 + 5x − 20 − 2x 2 − 3x + 15 =
1, 25x 2 + 6x − 2, 4 − −0, 5x 2 + 2, 5x − 1, 2 =
e
f
−
1 2 1 x − 3x − 3 3
=
x − 2, 5 − 0, 5x 2 + x 3 − 3x 3 − 2, 5 + 1, 5x 2 − 3x =
g
h
5 2 1 x − 5x − 9 5
2 2 x + 3x 11
5 − 3x 2 + x = 2
4 1 5 − x2 − x + 3 2 6
4 1 1 − − x2 + x − = 2 2 9
123
3
11
Bereken. Controleer met ICT.
a (4a + 5b ) + (6a − 4b ) =
b (2a − 6b ) − (3a + 4b ) =
c
d
(2t − 6s ) − (−4s − 5t ) =
5x + 4y + 2 − 2y − 6x − 3 =
e
f
1 1 2 4 = m −n +1 − m+ n− 4 2 5 3
(4x + 2) − [(2x + 3) − (5x − 6)] =
g − 2a 2 + 1 − 3a 2 + 2 + a 2 − 1 =
h
124
3 1 1 2 15 = x − y +8 + − x + y − 4 3 4 6 2
Rekenen met algebraïsche vormen
*
12
Bij een magisch vierkant is de som van elke kolom, elke rij en elke diagonaal hetzelfde. Vul nu de volgende magische vierkanten in. a b 4a
9a
12x + 16
2a
6x + 1
14x + 13
a
5x + 9
13
16x + 10
2x + 7
8x + 6
10x + 11
11x + 8
Los volgend magisch vierkant op. Doe dit met ICT.
7x 2 − 4y +
1 2
x 2 – 6y + 4
9x 2 − 11y +
10x 2 − 10y +
11 2
14x 2 – 15y + 5
4x 2 − 2y +
12x 2 − 9y +
15 2
5 2
7 2
2x 2 – 7y + 6
13x 2 – 14y + 3
125
3
14
Bereken.
a (3x m + 2x n − 3x ) + (6x m − 5x n + 6x ) =
b
c
4x m + 2x m −1 − 6x − 7x m − 5x m −1 − 4x =
−x m +2 + 4, 3x m +1 − 12x m + 0, 5x m +2 + 2, 5x m+1 + 1 − 1, 2x m =
d
e
f
126
2 m 1 m 1 m 2 m − = x y + xy x y − xy 3 3 2 9
−1, 3a m + 0, 2a m −1 − 6, 8 − 0, 25a m − 0, 8a m−1 + 4, 2 =
x m +1 − x 2 − 2x m +1 + x 2 =
3
Rekenen met algebraïsche vormen
15
Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a
3 x + 4
= x
−1 = 0
b (3x n + 1) + c
+ 3 = −a − 4
(2a − 1) −
d − x m +1 − 2 − 3 − e
1 3 1 2 x + x +x 3 2
*
16
3x m +1 + 5x m − 6x m −1 + −3x m +1 − 3x m +
f g
= 8x m+1 − 1
−
2a +
−1 3 x + 3 + 2a +
= 2x m =
+
2 3 x + x2 3
= 2 (2a + 3)
Gegeven : a + b = 8m b + c = 8n c + a = 8p Gevraagd :
bepaal a + b + c .
17
a
Hoe groot is de omtrek van de figuur ?
b a 2b
(A) 3a + 4b
(B) 3a + 8b
(C) 6a + 4b
(D) 6a + 6b
(E) 6a + 8b
a b
WALLABIE 2010 vraag 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
127
3.3
Product van veeltermen 1 Product van eentermen De vloer van een garage is bedekt met vierkante tegels waarvan de zijde x cm is. De lengte van deze garage kan worden uitgedrukt met de eenterm 6x . De breedte kan worden uitgedrukt met de eenterm 5x . We willen graag de oppervlakte kennen van de vloer van deze garage.
x x
Om dit te kunnen berekenen moet je een beroep doen op een aantal zaken uit jouw wiskunderugzak. – De formule voor de oppervlakte van een rechthoek : A = l · b . – De eigenschappen van de vermenigvuldiging. ‘Het vermenigvuldigen van rationale getallen is commutatief en associatief.’ – De rekenregel voor machten met eenzelfde grondtal. ‘Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten met elkaar op.’
De oppervlakte van de vloer van de garage wordt dus : 6x · 5x = 6 · 5 · x · x = 30x 2 Controleer op de figuur en je zult 30 vierkante tegels tellen, elk met een oppervlakte van x 2 cm2.
Eentermen vermenigvuldigen Om eentermen met elkaar te vermenigvuldigen : – Bereken het product van de coëfficiënten. – Bereken het product van de letterfactoren (pas de regel toe om machten met eenzelfde grondtal met elkaar te vermenigvuldigen).
128
Rekenen met algebraïsche vormen
Voorbeelden :
Met letterexponenten :
2 · ( –4a ) = –8a
y 3m · y 2m = y 5m
1 m a · 6a m = 3a 2m 2 4a m · −3a 2 = −12a m+2
7x 3 · ( x 5) = 7x 8 0,4c · 3d = 1,2cd
2 −2 2 −3 xy · y = xy 3 7 7
x m+1 · x m+2 = x 2m +3
2 Macht van een eenterm Voorbeeld :
2a 3
2
= 2a 3 · 2a 3 = 2·a3 ·2·a3
= 2·2·a3 ·a3 2 = 22 · a 3 = 4a 6
Macht van een eenterm Om een macht van een eenterm te berekenen : – Bereken de macht van de coëfficiënt. – Bereken de macht van het lettergedeelte (pas de regel toe om een macht van een macht te berekenen).
Nog meer voorbeelden : (3x )4
= 34 · x 4 = 81x 4
1 2 a 5
=
3 1 3 · a2 5
=
1 ·a6 125
3
2 4 x 3
3 =
3 2 3 · x4 3 23
· x 12 33 8 12 = x 27 4 4 −2x m+2 = (−2)4 · x m+2 =
= 16x 4m +8
Taak : Controleer met de CAS van GeoGebra.
129
3
3 Product van een veelterm met een eenterm De oppervlakte A van de grote groene rechthoek kun je
2a
4
2a 2
4a
op verschillende manieren weergeven.
←−
A grote rechthoek = (2a + 4) · a
a
A grote rechthoek = A rechthoek 1 + A rechthoek 2 = 2a · a = 2a
2
+ 4·a
+ 4a
←−
Omdat ➊ = ➋, is dus ook ( 2a + 4) · a = 2a 2 + 4a . Inderdaad, volg even mee en herken de distributiviteit van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen :
(2a + 4) · a = 2a · a + 4 · a = 2a 2 + 4a Voorbeelden : 3 · ( b + 2) = 3b + 3 · 2
b
2
3b
6
= 3b + 6 3
x 3 · ( x – 4) = x 3 · x – x 3 · 4 =
x4
–
–2y · ( 3y 2 – 1) = –2y · 3y 2 – ( –2y ) · 1
4x 3
= –6y 3 + 2y
–4 · ( x + 1) = –4 · x + ( –4) · 1 = –4x – 4
(y + 2) ·
1 1 1 = · y + 2· 2 2 2 1 = y + 1 2
1 1 1 1 a · −4a 3 + 2a 2 + 1 = a · −4a 3 + a · 2a 2 + a · 1 3 3 3 3 −4 4 2 1 = a + a3 + a 3 3 3
130
1 1 2a · a + 1 = 2a 4 · a + 2a 4 · 1 2 2 4
= a 5 + 2a 4
(a 3 – 2) · 4a = a 3 · 4a – 2 · 4a = 4a 4 – 8a
0,5k 2 · ( – 14k – 7) = 0,5k 2 · ( – 14k ) – 0,5k 2 · 7 = –7k 3 – 3,5k 2
Rekenen met algebraïsche vormen
Product van een eenterm met een veelterm Om een eenterm met een veelterm te vermenigvuldigen : – Vermenigvuldig elke term van de veelterm met de eenterm. – Werk de verkregen producten uit. Herleid, indien mogelijk, de verkregen veelterm.
De werkwijze is ook geldig voor eentermen en veeltermen met verschillende letters.
Voorbeelden : – 3xy · ( x 2 – 5xy + 2y 2) = –3xy · x 2 – 3xy · ( –5xy ) – 3xy · 2y 2 = –3x 3y + 15x 2y 2 – 6xy 3
1 3 2 2 3 1 2 1 3 a b · ab + b = a 3 b 2 · ab + a 3 b 2 · b 2 3 7 2 3 2 7 =
3 3 3 1 4 3 a b + a b 3 14
4 Product van veeltermen Bij het vermenigvuldigen van veeltermen zullen we ook gebruikmaken van de distributieve eigenschap van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling. Bovendien weten we ook dat we gelijksoortige eentermen kunnen herleiden. a
(a + 2) · (a + 3) = a · (a + 3) + 2 · (a + 3)
2
= a 2 + 3a + 2a + 6 = a 2 + 5a + 6 a
a2
2a
3
3a
6
(2a + 3) · (4a – 5) = 2a · (4a – 5) + 3 · (4a – 5) = 8a 2 – 10a + 12a – 15 = 8a 2 + 2a – 15
Product van twee veeltermen Om twee veeltermen met elkaar te vermenigvuldigen : – Vermenigvuldig elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm. – Werk de verkregen producten uit. Herleid, indien mogelijk, de verkregen veelterm.
Opmerking : let op voor de (min)tekens ! Voorbeelden :
(2x – 3) · (2x 2 – 4x + 7) = 2x · 2x 2 + 2x · (–4x ) + 2x · 7 – 3 · 2x 2 – 3 · (–4x ) – 3 · 7 = 4x 3 – 8x 2 + 14x – 6x 2 + 12x – 21 = 4x 3 – 14x 2 + 26x – 21 131
3
(3a – 2b ) · (a – 3b ) = 3a · a + 3a · (–3b ) – 2b · a – 2b · (–3b ) = 3a 2 – 9ab – 2ab + 6b 2 = 3a 2 – 11ab + 6b 2
(5x 2 – 3xy + 6y 2) · (4x – 3y ) = 5x 2 · 4x + 5x 2 · (–3y ) – 3xy · 4x – 3xy · (–3y ) + 6y 2 · 4x + 6y 2 · (–3y ) = 20x 3 – 15x 2y – 12x 2y + 9xy 2 + 24xy 2 – 18y 3 = 20x 3 – 27x 2y + 33xy 2 – 18y 3 b k · ( b 2 + 3) = b 2+k + 3b k
(a 2m + 3) · (a 3m – 5) = a 2m · a 3m + a 2m · (–5) + 3 · a 3m + 3 · (–5) = a 5m – 5a 2m + 3a 3m – 15
Als je al veel geoefend hebt, mag je ook bepaalde tussenstappen weglaten.
(–x + y ) · (4x + 2y ) = –4x 2 – 2xy + 4xy + 2y 2 = –4x 2 + 2xy + 2y 2
Controleer met de C AS van GeoGebra :
132
Rekenen met algebraïsche vormen
5 Samenvatting • Je kunt eentermen met elkaar vermenigvuldigen. – Bereken het product van de coëfficiënten. – Bereken het product van de letterfactoren. Pas de rekenregel toe om machten met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen. • Je kunt een macht van een eenterm berekenen. – Bereken de macht van de coëfficiënt. – Bereken de macht van het lettergedeelte. Pas de rekenregel toe om een macht van een macht te berekenen. • Je kunt een eenterm met een veelterm vermenigvuldigen. – Vermenigvuldig elke term van de veelterm met de eenterm. – Werk de verkregen producten uit. Herleid, indien mogelijk, de verkregen veelterm. • Je kunt twee veeltermen met elkaar vermenigvuldigen. – Vermenigvuldig elke term van de eerste veelterm met elke term van de tweede veelterm. – Werk de verkregen producten uit. Herleid, indien mogelijk, de verkregen veelterm.
Herkomst van algebra Het leven van Evariste Galois (1811–1832) leest als een roman, gevuld met revolutionaire praktijken, een onbeantwoorde liefde, twee gevangenisbezoeken en een duel. Maar hij had ook een onmiskenbaar wiskundetalent, dat pas na zijn dood werd erkend. Hij werd ‘de tienerwiskundige’ genoemd en heeft de basis gelegd voor het al dan niet vinden van oplossingsmethodes voor algebraïsche vergelijkingen van hogere graad. Ook al was Evariste een van de knapste wiskundestudenten van zijn school, hij haalde altijd tekorten op examens en discussieerde uren met zijn leerkrachten, die zijn genie niet erkenden. Hij deed ook tweemaal mee aan het toelatingsexamen van de prestigieuze École Polytechnique, maar ving ook daar bot. De omstandigheden van zijn dood zijn vrij mysterieus, maar we weten wel dat hij in een duel is gestorven. Hij was er vrij zeker van dat hij het niet zou overleven en pende daarom de nacht voor het duel al zijn wiskundige theorieën neer in een brief. Hij werd geraakt in de buik en overleed de dag erna aan zijn verwondingen.
133
3
6 Oefeningen 1
2
Bereken. a 103 · 104
=
f –4 · ( –4t )
=
b 24 · 23
=
g 10 · 103
=
c 2 · 5x
=
h 102 · 10 · 22
=
d 1000 · 102
=
i 0 · 18m
=
e 25 · 22
=
j 102 · 101 · 10
=
Bereken de producten van de volgende eentermen. a x 3 · x 2
=
g 3a · ( –4a )
=
b a 4 · a 5
=
h 2t 4 · ( 3t 2)
=
c x 2 · a 2 · x 3 · a 3
=
i –3b 3 · ( –8b )
=
d ( 2x 2) · ( –3x 3)
=
j ( –7x 2y 3) · ( –3x )
=
e ( –2y 4) · ( –4y 2)
=
k 9a 3b 2c · 4ab 3c 2
=
=
l 4x 2yz 8 · ( –6x 6yz 5) =
f
3
–2a · 5a 3
Vervolledig onderstaande tabel.
· 4a
5
–2d
–1
134
2ab
5d 4
4a
ab
–6a 2
Rekenen met algebraïsche vormen
*
4
Bereken de producten van de volgende eentermen.
a
2 2 3 3 xy · x y 3 4
2 b −6a 3 b 2 · a 2 b 4 3 −5 2 2 3 c −ax · a x 3 3 4 −5 2 d x y· x y 5 3 e 1, 5a 3 b · 2ab · 4a 2 b f g h
5
= = = = =
−2, 5x 4 · 2x 3 · 6x 2 · 0, 1x = 4 4 x · 3x 2 7 2 3 10 a · − b5 5 9
= =
i
0, 17x 3 · 0, 2y 4
=
j
4a 2 bc 8 · −6a 6 b 3 c
=
k
4 6 5 5 3 x y · xy z · xy 3 = 7 8 10
l
−2, 3x 4 · −5x 9 y 2
=
Werk uit. a y 2x · y x
=
b a x · a x –1 · a x +2
=
c d x · d 2x –4
=
d a x –2 · a 2x +1
=
e d x · d
=
f
y · ax · yx · a
=
g a 2 · d 3 · a 1–x · d x –5
=
h 2a x +1 · 4a 2x –4
=
135
3
*
6
Vul aan zodat de gelijkheid klopt. sd
· 11x 2 = 77x 5
a sd
b 5a ·
= –25ab
1 c − x · 2
sd
= –4x 3
sd
· ( –2a ) · 3b = 12abc
d *
7
Bepaal de gevraagde machten.
a
3a 2
1 2 x y 2
b
c
d
*
8
3
e
= 2
−0, 5a b 2 c 3 4x 4
4
f
= 2
2 − xy2 3
1, 2a b 3
2 =
2
=
g (−2b c )5 =
=
h
=
2 − ab2 5
3 =
Bepaal in een lettervorm de oppervlakte van de rechthoeken en de inhoud van de kubus en de balk. 3a a
2x
c 2a
0,5x
d
b
x
2x
1,5x 3x
9
Bij een bepaalde oefening is de oplossing 36ab 2. Vind zelf drie opgaven uit met drie verschillende bewerkingen die dit als resultaat geven.
+
– ________ – ________ = 36ab 2
________ + ________ = 36ab 2
136
· ________ · ________ = 36ab 2
Rekenen met algebraïsche vormen
10
Een mengelmoes. Werk uit.
1 1 a − a3 · a3 = 2 2
d 4a 2 · a − 2a 3 =
1 1 b − a3 + a3 = 2 2
e 4a 2 b + 4a 2 b − a 2 b =
13b 4 + b 4 − 4b 4 =
c
11
9x 2 · 11x · 4x 3 =
f
Een mengelmoes met letterexponenten. Werk uit.
a 9a n − 16a n + 10a n = b c
*
12
d −27a m+1 − 8a m+1 =
1 m a · 6a m = 2 5x
m +1
· 6x
m +2
e 0, 3x p y 3 · 0, 5x p y 2 =
f
=
4 m+2 x 3
2
=
Volg de pijlen en vul aan.
a
b 10a 2
(
· –1a 2
+ 8a 4
− 4a 2
· 2a 3
)
2a4 − 2a 5
+ 5a 5
· 2a 2
· b2
……
0
*
13
……
·2
……
40a6
12a5
Wat hoort op de plaats van het vraagteken ?
3a
+ 4a
7a
·2
– 5a
?
(A) 5a
(B) 6a
(C) 7a
(D) 8a
(E) 9a
WALLABIE 2015 vraag 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
137
3
14
Bereken het product van de eenterm met de veelterm.
a 2x · (3x + 4)
=
b −3 · (a 2 − 6a + 5)
=
c
0, 5 · (4x 2 + 6x − 2)
=
d 0, 25 · (−12z 3 + 8z 2 − 16)
=
e −5x 2 · (4x − 9)
=
3x · (4x 2 + 2x − 3)
=
g −2a · (a 2 − 2a + 4)
=
f
h
1 · (3x 2 − 6) 5
=
i
1 · (18y 4 + y 2 + 2) 2
=
j
0, 5x · (4x 2 + 2x − 8)
=
2 1 3 2 k − · − x2 + x − 3 2 2 3
=
l
138
5a 3 b 2 − 3a 2 + 4b 3 · −3a 2
=
Rekenen met algebraïsche vormen
15
Bereken volgende producten van een eenterm met een veelterm.
a 4b 2 · (8b 2 − 2b )
= =
b 5y 2 · (10y 3 + 15y 2 )
= =
c
(5a 3 − 3a 2 + 4) · 3a
= =
d (6x 2 − 2x + 7) · 2x 3
= =
e
1 · (50x 3 + 25x 2 ) 5
= =
f
2 9 − x· x − 75x 2 3 4
= =
g
1 3 x · (x 5 − 1) 2
= =
h (8y 2 + 4y − 6) ·
1 y 4
= =
i
(−4, 2x 2 + 6, 3x − 1, 2) · 0, 5x 3
= =
j
1 3 5 1 a· a − a 3 4 2
= =
k (2y 4 − 8y 2 − 24) ·
1 y 4
= =
l
0, 25a 2 · (−40a 2 + 80a − 16)
= = 139
3
*
16
Carl Friedrich Gauss. Er doet een verhaal de ronde dat de jonge Johann Carl Friedrich Gauss op school als strafwerk eens de eerste 100 getallen bij elkaar moest optellen. Binnen enkele seconden had Gauss al het antwoord gevonden. Hij ging als volgt te werk :
1 100
2 99
3 98
4 97
5 96
101
101
101
101
101
...
98 3
99 2
100 1
101
101
101
Er staat nu 100 keer de uitkomst 101. Aangezien hij alle getallen twee keer had, deelde hij het product door twee.
100 · 101 = 5050. 2 Door die redenering te veralgemenen voor n natuurlijke getallen krijg je volgende formule : De som van de eerste 100 getallen =
de som van de eerste n natuurlijke getallen is gelijk aan :
1 1 Toon aan dat de formule ook te schrijven is als n 2 + n . 2 2
*
17
n · (n + 1) 2
Geef voor de totale oppervlakte van volgende figuren een passende lettervorm. a b c 2a
2x
x
18
3x
m
3a
5
6
m
__________________________ __________________________ _______________________
Welke oplossing hoort bij de vier vragen ? a de oppervlakte van het rechterzijvlak
__________
b het volume van deze balk __________
a
c de hoeveelheid draad die je nodig hebt om een draadmodel van deze balk te maken
__________
d de manteloppervlakte van deze balk
__________
2b 2a +3
12a + 8b + 12
6a + 6 2a 2 +
140
3
1 2 3
4a b + 6b
2a 2 + 3a 4a 2b + 6a b
4 5 6
2a b
3a + 2 b +3
7 8 9
4a 2 + 6a + 4a b
Rekenen met algebraïsche vormen
19
Bereken de volgende producten van veeltermen.
a (x + 5) · (2x − 3)
=
b (x + 3) · (x + 4)
=
c
(2x + 7) · (3x − 4)
a−
d
1 1 · a+ 2 3
e (x 2 − 7) · (x 2 + 4)
f
(1, 2x − 1) · (1, 2x + 1)
g
4 2 2 3 5 3 · x + x− x− 3 4 6 3 2
h (4x 2 + 3) · (6x 2 − 2x + 4)
=
=
=
=
=
=
141
3
20
Werk uit. Een mengelmoes.
a (x 2 + 3x − 4) − (2x 2 − 6x + 5)
=
b (4x 2 + 6x ) · (3x − 5)
=
c
(2x 3 − 3x 2 − 4) + (2x 2 − 3x + 6)
d (4x 3 + 2x 2 + 5) · 3x 4 e
=
=
−2 2 1 1 2 5 2 x − 3x + − x + x− = 5 3 5 3 6
(0, 5x 2 − 4x + 2, 5) · (−3x 2 )
=
g (0, 5x 4 − 4x 3 ) · (3x 2 − 2, 1)
=
h (a + 5) · (−a 2 − a + 1)
=
(−y 2 − y − 1) · (y + 2)
=
f
i
j
k
142
1 2 m − m · (2m − 4) 2
=
−1 1 1 1 · a+ a+ 2 3 2 3
=
Rekenen met algebraïsche vormen
21
Kraak de code ! a ( –x ) · ( –3x ) = e (x 2 – x + 1) . (x – 1) = i (–2x –1) . (x –2) =
3x
C
x 3 + 2x 2 + 2x – 1
A
–2x 2 + 3x + 2
O
–3x 2
E
x 3 + 2x – 1
W
–2x 2 – 5x + 2
J
3x 2
A
x 3 – 2x 2 + 2x – 1
E
2x 2 + 3x – 2
K
b –x · ( 3 – x ) = f –(3 – x ) · (x 2 – 2) = j x · (x – 1) – 2x · (2 – x ) =
–3x – x 2
D
–x 3 – 3x 2 – 2x + 6
D
–x 2 – 5x
E
3x 2
A
x 3 – 3x 2 – 2x + 6
T
–x 2 + 3x
V
x 2 – 3x
Y
x 3 – 3x 2 + 2x + 6
O
3x 2 – 5x
P
c a · ( a – 1) – a · ( a + 1) =
g –4 · ( 2 – a ) + 3 · ( a – 2) = k –( a – 1) · ( –a + 1) =
0
E
7a – 14
T
a 2 + 2a + 1
I
–2a
H
–a – 14
I
a 2 – 2a + 1
R
2a
P
a – 14
E
–a 2 – 2a – 1
O
d ( x – 1) · ( 1 – x ) = h (x 2 – x – 5) – (x 2 + 2x – 4) =
–x 2 + 2x – 1
R
–3x 2 + 9
D
x 2 + 2x – 1
S
–3x – 9
V
–x 2 – 2x – 1
V
–3x – 1
R
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
De bekende boekenreeks is
143
3
22
Werk uit en herleid. Controleer je antwoorden met ICT.
Voorbeeld :
2x · ( x – 2) – 2( x 2 + 2x – 1)
2
opsplitsen in deelproblemen
2
= 2x − 4x − 2x − 4x + 2 uitwerken
= −8x + 2
a –x · ( 5 – x ) – 2x · ( x – 1)
b ( 2b – 3a 2) · ( –2a ) + 3b · ( 2a – 3b 2)
c – d · ( c – d ) – 4 c · (2 d – 2 c ) – d 2 – 8 c 2
d ( x – 2) · ( 3 – 2x ) · ( –2x + 10)
144
herleiden
Rekenen met algebraïsche vormen
e –( 5 – 2x – x 2) – 3x · ( 6 – 2x )
f 3 – ( 6x – x 2) – ( –x 2 – 3x + 17)
g ( x 2 – y 2) · ( 2x – y ) – ( x 2 – 5x + y ) · ( y – 2x )
h ( a + b ) · ( a 2 + a b + b 2) – ( a – b ) · ( a 2 – a b + b 2)
145
3
23
De juf van deze klas schrijft voor de verandering geen opgave op het bord, maar wel een resultaat : 18x 3y 2. Bedenk per leerling een opgave zodat 18x 3y 2 het resultaat is. Hou voor de gebruikte bewerkingen rekening met wat op het T-shirt staat van de leerlingen.
24
Werk uit en herleid.
a a n · (a + 3)
=
b x n · (x 2 − x + 1)
=
c
=
x n −1 · (x + 1)
d (a n − 3) · (5 + 2a n )
25
=
Werk uit en herleid.
a
3 m +1 · (4x m − 6x ) x 2 =
b
1 m m a b · 3
3 2m+1 1 a b − a b 2m−1 4 2
=
*
26
Welke van onderstaande bewerkingen hoort op de plaats van het vraagteken zodat het hele rooster correct kan worden aangevuld voor alle waarden van x ? x +3
·(x + 1)
(A) vermenigvuldigen met x (B) vermenigvuldigen met x – 2 +1
–1
(C) vermeerderen met x 2 + 2x (D) verdubbelen
?
(E) kwadrateren JWO 2015 eerste ronde, vraag 6 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
146
Rekenen met algebraïsche vormen
3.4
Merkwaardige producten Sommige producten van veeltermen zijn zo speciaal dat je ze veel sneller kunt uitwerken. We noemen die producten merkwaardige producten. Dit schooljaar zul je twee formules leren zodat je ze gebruiksklaar in je wiskunderugzak hebt zitten.
1 Kwadraat van een tweeterm Hoe kom je aan de eerste formule? Volg even mee …
Algemeen :
Voorbeeld :
kwadraat
(a + b )2 = (a + b ) · (a + b ) tweeterm
(x + 4)2 = (x + 4) · (x + 4)
= a ·a +a ·b +b ·a +b ·b
= x · x +4· x + x ·4+4·4
= a2 +ab +ab + b2
= a 2 + 2a b + b 2
= x 2 + 4x + 4x + 16
= x 2 + 8x + 16
In het resultaat heb je naast het kwadraat van de eerste term en het kwadraat van de andere term nog het dubbel product van beide termen.
Kwadraat van een tweeterm in symbolen : ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 in woorden : Het k wadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van het kwadraat van de eerste term ; het dubbel product van de twee termen ; het kwadraat van de tweede term.
Merk op : – De twee kwadraattermen zijn steeds positief. – Het dubbel product is positief als beide termen in de opgave hetzelfde toestandsteken hebben. Is een van beide termen negatief, dan is het dubbel product negatief.
Voorbeelden :
(a + 3)2 = a 2 + 2 · 3 · a + 32 = a 2 + 6a + 9
(3a − 2b )2 = (3a )2 − 2 · 3a · 2b + (2b )2 = 9a 2 − 12a b + 4b 2
2 1 x+ 3 2
2
2 2 1 1 x · + 3 2 2 4 2 2 1 = x + x+ 9 3 4 =
2 x 3
2
+2·
(−3a m − 2b )2 = (−3a m )2 + 2 · 3a m · 2b + (−2b )2 = 9a 2m + 12a m b + 4b 2
Als je voldoende geoefend hebt, zul je de tussenstap weglaten en onmiddellijk het eindresultaat noteren.
147
3
2 Product van twee toegevoegde tweetermen Toegevoegde tweetermen zijn tweetermen waarbij één term dezelfde is gebleven en de andere term van teken is veranderd.
Voorbeelden: x + 5
x –5
en
2 – 3x en –3x – 2 a + b en a – b
Hoe kom je aan de tweede formule ? Volg even mee …
Algemeen :
Voorbeeld : (x − 8) · (x + 8) = x · x + 8 · x − 8 · x − 8 · 8
(a + b ) · (a − b ) = a · a − a · b + b · a − b · b 2
= a −ab +ab −b
= x 2 + 8x − 8x − 64
2
= a2 − b2
= x 2 − 64
Merk op : In de tussenstap staan steeds twee tegengestelde termen die verdwijnen. Het eindresultaat is het verschil van het kwadraat van de gelijke term met het kwadraat van een van de tegengestelde termen.
Product van toegevoegde tweetermen in symbolen : ( a + b ) · ( a – b ) = a 2 – b 2 in woorden : Het p roduct van twee toegevoegde tweetermen is gelijk aan het verschil van : het kwadraat van de gelijke term met het kwadraat van een van de tegengestelde termen.
Tip : – Onderstreep in de opgave de term die gelijk gebleven is. – Kijk ook na of de andere term wel degelijk van teken veranderde. Is dat niet het geval, dan heb je hier te maken met de eerste formule.
Voorbeelden:
(a + 3) · (a − 3) = a 2 − 32
= a2 −9
2 2 a + 2b · −a 2 + 2b 3 = 2b 3 − a 2 2
3
= 4b 6 − a 4
2 4 2 a b − 1 · 1 + a 4b 3 3
=
2 4 a b 3
2
− 12
4 = a 8b 2 − 1 9
= x 2 − 0, 09
2 3 3 1 3 2 1 3 1 3 3 − a+ b · = − a+ b b a 5 5 5 5 5 5 =
0, 3 + x · x − 0, 3 = x 2 − 0, 32
1 6 9 2 b − a 25 25
2 2 6x m − 5x m+1 · 6x m + 5x m+1 = (6x m ) − 5x m +1 = 36x 2m − 25x 2m+2
Als je voldoende geoefend hebt, zul je de tussenstap weglaten en onmiddellijk het eindresultaat noteren. 148
Rekenen met algebraïsche vormen
3 Merkwaardige producten in een vierkant Beide formules kun je ook voorstellen in een vierkant.
A Kwadraat van een tweeterm a
b
a
a
b
a
a2
b·a
b
a·b
b2
A groot vierkant = (a + b ) · (a + b ) = (a + b )2
b
A groot vierkant = a 2 + a b + b a + b 2 = a 2 + 2a b + b 2
Besluit : ( a + b ) 2 = a 2 + 2a b + b 2
B Product van twee toegevoegde tweetermen a
a
a
a
a b
a b a
A
+A
a
a– b
a
b
= a 2 – b 2
a
b
a
A
+A
Besluit : ( a + b ) · ( a – b ) =ba 2 – b 2
= a · ( a – b ) + bb · ( a – b ) = (a + b ) · ( a – b ) b
b
b
4 Samenvatting b
b
• Je kent volgende formules voor merkwaardige producten en kunt ze verklaren en toepassen. KWADRAAT VAN EEN TWEETERM het k wadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
het kwadraat van de eerste term ; het dubbel product van de twee termen ; het kwadraat van de tweede term. PRODUCT VAN TOEGEVOEGDE TWEETERMEN het p roduct van twee toegevoegde tweetermen is gelijk aan het verschil van :
(a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2
het kwadraat van de gelijke term met het kwadraat van een van de tegengestelde termen.
149
3
5 Oefeningen 1
Werk uit met behulp van het merkwaardig product (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2.
a (a + 4)2
=
b (3 − a )2
=
(b + 6)2
=
d (a − 2)2
=
e (−a + 2)2
=
c
f
(7 − x )2
g
h
=
2
3 +a 4
=
2
x4 +2
=
2
i
1 −a 2
j
(0, 5 + x )2
=
=
k (2a − 9)2
=
(−7 − x )2
=
l
m
150
2 +a2 5
2 =
Rekenen met algebraïsche vormen
2
Werk uit met behulp van het merkwaardig product (a + b ) 2 = a2 + 2ab + b 2.
a (a + 5b )2
b
c
d
e
f
1 1 x+ y 2 3
=
2 =
2
a3 −1
=
0, 2a 2 + 0, 1b 2
3x 2 − 2y 2
2
2
=
(0, 5a + 2b )2
=
g (3a + b )2
h
i
2 2 3 3 x − y 3 2
−a + a 2
j
=
2 =
2
=
1 1 − x3 − x2 2 3
2
1 − a 3 + 2b 3
l
(−10x − 10y )2
=
m (0, 5a − 1)2
1 −3a 2 − a 3
=
2
k
n
=
=
=
2 =
151
3
3
Werk uit met behulp van het merkwaardig product (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2.
a (a m + 5)2
b
c
d
2
a m +2 + 3
5
=
−a m +1 − a 2m−1
*
=
(a n b − a b n )2
e
4
=
2
3 2m 4 m +2 a − a 4 3
=
2 =
Wat hoort niet thuis in het rijtje ? a
(2x – 3y )2
(–3y + 2x )2
(–2x + 3y )2
4x 2 – 12x y + 9y 2
(–2x – 3y )2
b
(–a – 5)2
(a + 5)2
a 2 – 10a + 25
(–5 – a )2
(5 + a )2
Vul de ontbrekende termen aan.
2
a
+ 2a
3b +
=
+ 3b +
= 0, 04 +
+
152
− 12ab +
2
d
= 2
c
+
2
b
e
= x2 +
+ y
2 +
= x 6 + 2x 4 +
+ 0, 09r 2
Rekenen met algebraïsche vormen
6
Noteer een toegevoegde tweeterm.
x +3
→
b a −1
→
6−b
→
d 10 + x 2
→
e 0, 5 + m
→
a
c
f
7
1 − + 10a 5
→
Werk uit met behulp van het merkwaardig product (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2
a (a − 3) · (a + 3)
=
b (x − 5) · (5 + x )
=
c
(0, 5 + a ) · (−0, 5 + a ) =
d (b + 10) · (b − 10)
=
e (a 3 − 2) · (−2 − a 3 )
=
(x + 1) · (x − 1)
=
f
g (−0, 1 + a ) · (0, 1 + a ) = h
1 1 +x · − +x = 3 3
i
(a 2 − 10) · (−10 − a 2 ) =
j
(y + 2) · (2 − y )
=
2 2 = − x · −x − 5 5
1 1 − +a · +a = 3 3
k
l
m (2a − 1) · (2a + 1)
=
3 3 · y− 2 2
=
o (−x + 8) · (−x − 8)
=
n
y+
153
3
8
Werk uit met behulp van het merkwaardig product (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2.
a (2a + 3) · (2a − 3)
=
b (−a 2 + 11b ) · (a 2 + 11b )
=
(y 3 − z 7 ) · (−z 7 − y 3 )
=
d (3x 2 − 1) · (−3x 2 − 1)
=
e (b + c ) · (−b + c )
=
c
f
10 10 a +b · b − a 3 3
=
g (x 2 − y ) · (−x 2 − y )
=
h (−x 2 − y ) · (−x 2 + y )
=
i
j
5 5 − x2 + y 3 · − x2 − y 3 7 7
(0, 3a 2 − b ) · (0, 3a 2 + b )
k (x 6 − y 2 ) · (y 2 + x 6 ) l
5 4 5 4 y −1 · y +1 2 2
=
=
=
=
m (5a − c ) · (5a + c )
=
n (−1, 5a 2 + b 2 ) · (1, 5a 2 + b 2 )
=
154
Rekenen met algebraïsche vormen
9
Werk uit met behulp van het merkwaardig product (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2.
a (a n + 3) · (a n − 3)
b
x 2m +1 − 3 · x 2m+1 + 3
c
1 n 3 n −3 n 1 n x − y · y − x 3 8 8 3
11
=
=
(x − 2) − y · (x − 2) + y
=
Wat hoort niet thuis in het rijtje ?
( a + 4) ( 4 – a )
*
=
d ((a + b ) − 1) · ((a + b ) + 1)
e
10
=
(–a + 4) (4 + a )
a 2 – 16
(–a – 4) (–4 + a )
16 – a 2
Vul de ontbrekende termen aan.
+3
a
a
2m
5 + 2
x3 −
x3 +
= 49y 16 −
+
c
e
5x −
b
d
− 3 = 36a 2 −
=
−1
− 10
= a 4m −
+
−a 6 +
= a 12 −
155
3
12
Werk uit met behulp van een merkwaardig product.
a (x − 2y ) · (x + 2y )
=
b (3a + 1)2
=
x−
c
1 y 3
2 =
d (a − 4b ) · (a + 4b ) e
f
2 1 1 2 − a− · − a 3 2 2 3
(−x + 5y )2
g
2 3 x− y 3 2
j
2 =
(x + 0, 5y ) · (−x + 0, 5y )
−0, 1a 2 + b 2
k
l
1 5x 3 + x 5
2
=
=
=
2
(0, 4x − 0, 2) · (0, 2 + 0, 4x )
m (b 2 + 5) · (−b 2 + 5)
156
=
=
h (a − 6) · (−6 + a )
i
=
=
=
=
Rekenen met algebraïsche vormen
13
Het hoeft niet altijd een kruiswoordraadsel te zijn. In het onderstaande kruistermenraadsel vul je per vakje niet één letter maar één term van je uitkomst in. Kijk even mee naar het voorbeeld en je zult begrijpen hoe het werkt. Als een term een minteken voor zich heeft, moet je dit minteken ook in het vakje noteren. Los alle oefeningen op en controleer jezelf op die manier.
Voorbeeld : A ( a 2b – 2) ( a 2b + 2) = a 4b 2 – 4
A
1
2
a 4b 2
–4
3
B
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
Horizontaal
A
B
C
D
Verticaal
ab2 −1 · ab2 +1 b 4 − 1 · b 4 + 1 = ...... − 1 2 a 4 + 2b 2 = a 8 + . . . . . . + 4b 4
1
(2a − 4b ) · (2a + 4b )
2+a2
2 ab2 +2
2 (x . . . . . . . . . ) · (x + 1) = x 2 − 1
3 − 4a b 2 · (3 + . . .) = 9 − 16a 2 b 4 2 1 4 a −b2 2
3
2
4
6a b 3 − b 2 · (. . . . . . . . . ) = 36a 2 b 6 − b 4 5
2 8b 2 − 1 = 64b 4 . . . . . .
(3a b − 9a ) · (3a b + 9a )
6
1 4 a +1 2
2
b 4 − a 2b · b 4 + a 2b b 2 + 3a b
2
2a 2 b − 1 · 2a 2 b + 1 = . . . . . . . . . − 1
(b − 9a ) · (b + 9a )
157
3
14
Werk uit met behulp van merkwaardige producten en herleid. Controleer je antwoorden met ICT.
a (a + b )2 + (a − b )2
b (3 − a ) · (3 + a ) − (a − 3)2
c
d
158
x3 +3 · x3 −3 · x6 +9
x3 +3 · x3 −3 · x6 −9
Rekenen met algebraïsche vormen
e
f
x − 2y
2
2 + 2y − x
x 2 + 1 · (x − 1) · x 4 − 1 · (x + 1)
g (a + 2) · (a − 2) − 2 · (a − 2)
h
1 1 x− y 3 5
2 −
1 1 x+ y 3 5
2
159
3
*
15
Werk uit met behulp van merkwaardige producten en herleid.
(x n − 1) (x n + 1) − (x n − 1)2
= = = =
16
Bereken de oppervlakte van het grote vierkant.
a
b 9 cm2
4 cm2
17
135 cm2
81 cm2
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Toon volgende gelijkheden aan. 2
2
a ( a + 2b ) – ( a – 2b ) = 8a b
b ( a 2 + b 2) · ( c 2 + d 2) = ( a c + b d )2 + ( a d – b c )2
160
Rekenen met algebraïsche vormen
18
Als (x + 1)(x – 1) = 6, dan is (x 2 + 1)(x 2 – 1) gelijk aan (A) 12
(B) 24
(C) 36
(D) 48
(E) 60
(D) 26
(E) 52
JWO 2015 eerste ronde, vraag 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
19
Als x – y = x 2 – y 2 = 25, dan is x gelijk aan (A) 5
(B) 12
(C) 13
JWO 2010 eerste ronde, vraag 9 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Newton en Pascal Er bestaan formules om ( x + y) n te berekenen voor elk natuurlijk getal n. De formule om deze merkwaardige producten te berekenen draagt de naam ‘binomium van Newton’, genoemd naar de Britse wetenschapper uit de 17e eeuw, sir Isaac Newton (die van de appel en de zwaartekracht). Zo is (x + y)3 = x 3 + 3x 2y + 3xy 2 + y 3
( x + y)4 = x 4 + 4x 3y + 6x 2y 2 + 4xy 3 + y 4
( x + y)5 = x 5 + 5x 4y + 10x 3y 2 + 10x 2y 3 + 5xy 4 + y 5 Om aan de coëfficiënten te raken die in deze producten moeten worden gebruikt, kun je gebruikmaken van de ‘driehoek van Pascal’, genoemd naar de Franse wiskundige uit de 17e eeuw, Blaise Pascal, de schepper van de eerste mechanische rekenmachine. In deze driehoek is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die erboven staan (links en rechts). De getallen in deze driehoek spelen ook een rol bij kansberekening. Per rij geeft de som van de getallen een macht van 2 weer en zo zijn er nog wel wat gebieden in de wiskunde waar deze driehoek gebruikt kan worden (bv. in de verzamelingenleer). Zelfs de eerste vier machten van 11 zijn in deze driehoek terug te vinden. Kun je zien waar ? De driehoek van Pascal ziet er als volgt uit :
1 1 1 1 1 1 1 ...
2 3
4 5
6
1
6 10
15
1 3
1 4
10 20
1 5
15
1 6
1 ...
161
3
20
Op een erg zonnige dag wil je aan de kust een ijsje kopen. Maar heel veel mensen hadden datzelfde idee. In de lange rij wachtenden staat 70 % van de kopers voor jou in de rij en 20 % van de kopers achter jou. Hoeveel mensen staan te wachten in de rij ?
21
Welke rationale getallen stellen x , y en z voor als je weet dat
x ·y =4
y · z = 16
x ·z =1
162
Rekenen met algebraïsche vormen
Vaardigheden | Diagrammen tekenen en centrummaten berekenen met ICT 1 Een staafdiagram tekenen Deze tabel geeft een overzicht van het aantal personenwagens in België van 2014 tot 2018. 2014
5 555 499
2015
5 623 579
2016
5 712 061
2017
5 785 447
2018
5 853 782
• Breng de tabel in een rekenblad in. • Selecteer de 2 kolommen en klik op invoegen. Kies nadien voor aanbevolen grafieken en vervolgens voor staafdiagram. • Klik met de rechtermuisknop op een staaf en kies voor gegevenslabels toevoegen. • Vul een passende titel in. • Zorg er wel voor dat de verticale as op 0 begint (klik met de rechtermuisknop op die as, kies voor as opmaken en zet het minimum op 0) en voeg ook secundaire rasterlijnen toe. Je krijgt dan :
Aantal personenwagens in België 7 000 000 5 555 499
5 623 579
5 712 061
5 785 447
5 853 782
2014
2015
2016
2017
2018
6 000 000 5 000 000 4 000 000 3 000 000 2 000 000 1 000 000 0 Taak : a Teken zelf dit staafdiagram met ICT. b Met hoeveel procent is het aantal personenwagens in België gestegen van 2014 naar 2018 ?
c Maak met de gegevens ook een staafdiagram met ICT dat misleidend is. 163
3
2 Een lijndiagram tekenen
Professionele Belgische vissersvloot op 16 jaar bijna gehalveerd voor een globale capaciteit van he zeevisserijvloot uit 68 vaartuigen, goed Eind 2018 bestond de professionele Belgisc e. Dat zijn 3 vaartuigen minder tonnag qua (GT) maat tonnen bruto en 12 898 42 670 kilowatt (kW) aan motorvermogen vaartuigen. dan in 2017. In 2002 telde de vloot nog 131 en Blankenberge tellen respectieve42 schepen, Oostende voor 18. Nieuwpoort Zeebrugge was in 2018 de thuishaven voor . aartuig issersv ariumv e-estu ook nog 1 Scheld lijk 5 en 2 vaartuigen. Tot de vloot behoort
Volgende tabel geeft een overzicht van het aantal schepen : 2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
2018
127
131
121
107
100
89
83
79
72
68
• Breng de tabel in een rekenblad in. • Selecteer de 2 rijen en klik op invoegen. Kies nadien voor lijn en neem dan op de eerste lijn de vierde mogelijkheid. • Klik met de rechtermuisknop op de getekende lijn en kies voor gegevenslabels toevoegen. • Klik opnieuw op de getekende lijn en kies voor gegevenslabels opmaken. Vink bij labelpositie de optie onder aan. • Vul een passende titel in. • Klik met de rechtermuisknop op de horizontale as en voeg secundaire rasterlijnen toe. Je krijgt dan :
Visserijvloot
140 120
127
131
121
100
107
100
80
89
83
79
60
72 68
40 20 0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
2018
Taak : a Teken zelf dit lijndiagram met ICT. b Verklaar de titel : ‘Belgische vissersvloot op 16 jaar bijna gehalveerd’.
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
c Welke haven telde in 2018 het meeste aantal vissersboten ? _______________________________________________ d Teken een staafdiagram dat van 2018 het aantal vissersschepen per haven weergeeft.
164
Rekenen met algebraïsche vormen
3 Een cirkeldiagram tekenen
Onderwijsinstellingen naar onderwijsniveau Vlaamse Gemeenschap, schooljaar 2018–2019, aantal
Hogescholen en universiteiten (22) Gewoon basisonderwijs 2445
Centra voor volwassenenonderwijs en basiseducatie (95) Buitengewoon secundair onderwijs (126) Deeltijds kunstonderwijs (168)
Gewoon secundair onderwijs (950)
Buitengewoon basisonderwijs (199)
Bron: Vlaams Ministerie van Onderwijs en Vorming, bewerking Statistiek Vlaanderen
• Stel een tabel op en breng die tabel in een rekenblad in. • Selecteer de gegevens en klik op invoegen. Kies nadien voor aanbevolen grafieken en vervolgens voor een cirkeldiagram. • Klik met de rechtermuisknop op de getekende grafiek en kies voor gegevenslabels toevoegen. • Klik met de rechtermuisknop op de legenda. Kies voor legenda opmaken en vink de optie rechts aan. Taak : a Teken zelf dit lijndiagram met ICT. b Hoeveel onderwijsinstellingen zijn er die buitengewoon basisonderwijs aanbieden in Vlaanderen?
_______________________________________________________________________________________________________
c Bereken met het rekenblad de grootte van de getekende middelpuntshoeken en het percentage dat ze vertegenwoordigen.
PERCENTAGE
GROOTTE MIDDELPUNTSHOEK
gewoon basisonderwijs gewoon secundair onderwijs buitengewoon basisonderwijs deeltijds kunstonderwijs buitengewoon secundair onderwijs centra voor volwassenonderwijs en basiseducatie hogescholen en universiteiten
165
3
4 Centrummaten berekenen met het rekenblad van GeoGebra De snelheid van 40 wagens werd genoteerd in een zone waar maar 30 km/h gereden mag worden. Dit zijn de resultaten : 28
32
30
29
46
51
35
28
25
31
39
43
28
31
33
35
33
28
62
41
32
30
25
30
24
29
28
45
30
29
28
34
39
40
43
27
29
30
92
31
Bereken het gemiddelde, de mediaan en de modus. Breng de gegevens in het rekenblad van GeoGebra in, selecteer ze en klik erop met de rechtermuisknop. Kies voor creëer en maak er een lijst l1 van. Geef nadien volgende commando’s in het algebravenster in :
C12 = gemidd(l1)
C13 = mediaan(l1)
C14 = modus(l1)
Taak : a Bereken de 3 centrummaten.
b Hoeveel auto’s reden er te snel ? Je kunt hiervoor volgend commando gebruiken : telAls(x > 30,l1)
_______________________________________________________________________________________________________
c 13 auto’s reden meer dan 33 km/h. Waar of vals ?
________________________________________________
d Bereken met ICT hoeveel auto’s er minder snel reden dan het berekende gemiddelde.
________________________________________________
e Er is een waarneming die sterk afwijkt van de andere waarnemingen. Laat die waarneming weg en bereken opnieuw het gemiddelde en de mediaan. Wat besluit je uit dit onderzoek ?
166
ik ken het !
❒
Ik ken de definitie van een eenterm.
100
T
❒
Ik kan de graad bepalen van een eenterm in een letter.
100
T
❒
Ik kan de graad bepalen van een eenterm (in alle letters).
100
T
❒
Ik ken de definitie van gelijksoortige eentermen.
101
T
❒
Ik kan de getalwaarde van een eenterm berekenen.
101
T
❒
Ik ken de definitie van een veelterm.
103
T
❒
Ik kan de graad bepalen van een veelterm in een letter.
103
T
❒
Ik kan de getalwaarde van een veelterm berekenen.
104
T
❒
Ik kan gelijksoortige eentermen optellen of aftrekken.
114
T
❒
Ik kan een veelterm herleiden en rangschikken.
115
T
❒
Ik kan veeltermen optellen en aftrekken.
116
T
❒
Ik kan eentermen vermenigvuldigen.
128
T
❒
Ik kan een macht berekenen van een eenterm.
129
T
❒
Ik kan het product bepalen van een veelterm met een eenterm.
130
T
❒
Ik kan het product bepalen van twee veeltermen.
131
T
❒
147
T
❒
148
T
❒
148
Ik ken de formule voor het kwadraat van een tweeterm in woorden en in symbolen en kan ze toepassen. Ik weet wat toegevoegde tweetermen zijn. Ik ken de formule voor het product van twee toegevoegde tweetermen in woorden en in symbolen en kan ze toepassen.
167
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
pagina
T
oké voor examen
dit moet ik leren
Rekenen met algebraïsche vormen
Bloom
3
HERHALINGSOEFENINGEN
3
Rekenen met algebraïsche vormen
Naam
Klas
1
Nummer
Datum
3
Orde / Stiptheid
Correctheid
b 5x 2 –y als x = –3 en y = 50
_______________________________________________
__________________________________________________
_______________________________________________
__________________________________________________
…… / 3
Wat is bij de veelterm 2x 3 – 3x 2y – 9y 4 a de graad in x ?
b de graad in y ?
c de graad in z ?
Werk uit, herleid en rangschik naar dalende macht in x .
a
−5x + 2x 3 + 3x 2 − −6x 2 + 2, 5x 3 − 5x
= =
b
3 4 1 6 1 1 x + x3 + x2 −1 + − x2 + x3 +4− x2 4 2 5 3 2
= =
168
Punten
…… / 2
Bepaal de getalwaarde van … a –2ab als a = 5 en b = –2
2
Totaal
…… / 3
Rekenen met algebraïsche vormen
4
…… / 2
Schrijf de omtrek zo eenvoudig mogelijk. 2a
3x
a
b
4b
5
…… / 2
Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
1 a − a 3b + 4
6
8
1 3 a b 4
b 2x 2 +
= −10x 2
…… / 3
Bereken.
a 4a + 8a
=
b 4a · 8a
=
c
7
=
2 9 x · − x2 3 4
=
…… / 3
Vul aan met = of ≠. a x 3 · x 3 · x 3 ……… x 27
c 4x 4 · 4x 4 ……… 16x 8
b ( x 4 – 4)( x 4 + 4) ……… x 8 – 16
d 4x 4 + 4x 4 ……… 8x 8
…… / 2
Hoe groot is de oppervlakte van deze tuin ? a Druk uit met een veelterm.
____________________________________________________________
____________________________________________________________
3b
b Als a = 5 m en b = 8 m, hoe groot is dan de oppervlakte ?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
2a
169
3
9
…… / 3
Bereken.
a 2x · (−3x + 8)
= =
1 8 16x 2 − 4 3
b
= =
(3a + 1)(2a − 4)
c
= =
10
(a + 5) · (a − 5)
=
(−3b + 2) · (3b + 2)
=
11
1 3 1 3 b −5 · 5+ b 2 2
=
…… / 3
Werk uit met de formule (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2.
(b + 3)2
=
(4x − 3)2
=
12
…… / 3
Werk uit met de formule ( a + b ) · ( a – b ) = a 2 – b 2.
2 2 2 b −1 3
=
…… / 1
Wat hoort niet in het rijtje ?
(2x + 3) · (2x – 3)
170
(–2x – 3)2
(2x + 3) · (2x + 3)
( 2x + 3)2
(–2x – 3) · (–2x – 3)
4
Data en onzekerheid
In alle media krijg je ze voorgeschoteld : cijfertabellen, grafieken en diagrammen. Ze stellen allerhande gegevens voor die snel en handig in beeld worden gebracht. Maak in dit hoofdstuk kennis met een mooie inleiding van de statistiek. Laat Excel en GeoGebra je ICT-tools zijn om alles te verwerken. Eindig je statistische kennistocht met het uitwerken van een eigen onderzoek. Dat kan individueel of in groep. Dat kan puur wiskundig, maar ook in samenwerking met een ander vak.
4
Data en onzekerheid 4.1 Frequentietabellen opstellen 4.2 Data onderscheiden en verwerken met ICT in tabellen en diagrammen 1 2 3
De vier seizoenen ......................................................... 175 De inwoners van het Vlaamse Gewest ... 179 Een stengelbladdiagram tekenen ................ 181
4.3 Centrummaten en spreidingsmaat 1
Gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte ...................................................... 183 2 Het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekenen met ICT als de ruwe gegevens gekend zijn ............................................... 185 3 Het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekenen met ICT als een frequentietabel gegeven is .................... 186 4 Spreidingsmaat ............................................................... 187
172
4.4 Numerieke datasets vergelijken 1 2 3
Biolandbouw in België ........................................... 188 Dubbel stengelbladdiagram ............................. 189 Parallelle dotplot van de lengte van mannen en vrouwen ...................................... 191
4.5 Een eigen onderzoek
1 Een statistisch onderzoek ................................... 192 2 Samenvatting ................................................................... 194 3 Oefeningen .......................................................................... 195
Extra’s
Vaardigheden : taalvaardigheid : een bingo van statistiekwoordenschat ............................. 210 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................ 211 Herhalingsoefeningen ........................................................ 212
Data en onzekerheid
4.1
Frequentietabellen opstellen Voorbeeld 1 : een eerlijke dobbelsteen opgooien Joachim gooide een eerlijke dobbelsteen 12 keer op en noteerde telkens het aantal ogen. Dit waren de resultaten : 5
6
5
2
6
3
4
5
3
6
5
4
Die resultaten kunnen we in een overzichtelijke tabel weergeven : AANTAL GEGOOIDE OGEN
AANTAL KEER GEGOOID
1
0
2
1
3
2
4
2
5
4
6
3 TOTAAL : 12
We noemen dit een frequentietabel. In de tweede kolom zijn de absolute frequenties genoteerd. Dat is het aantal keer dat bij het 12 keer opgooien, een 1, 2, 3, … werd gegooid door Joachim. We kunnen dus volgende uitspraken doen : ‘Joachim heeft 4 keer een 5 gegooid.’ ‘Joachim heeft 3 keer een 6 gegooid.’ ‘Joachim heeft een eerlijke dobbelsteen in totaal 12 keer opgegooid en heeft het aantal ogen genoteerd.’ ‘Joachim heeft geen enkele keer 1 oog gegooid.’ De data die door Joachim werden opgetekend, zijn numerieke data. Met numerieke data kun je rekenen. Je kunt uitmaken wat het grootste en het kleinste gegeven is en je kunt het gemiddelde berekenen. Voorbeelden van numerieke data: – aantal huisdieren – massa van de boekentas – oppervlakte van bouwgronden – lengte van personen 173
4
Voorbeeld 2: een vrije dag Aan 16 leerkrachten werd gevraagd of ze een vrije dag op school hadden en zo ja, wat hun vrije dag dan was. Dit zijn de resultaten : geen
maandag
woensdag
geen
vrijdag
woensdag
maandag
geen
geen
woensdag
vrijdag
dinsdag
geen
donderdag
maandag
geen
Ook hier kunnen we een frequentietabel opstellen : VRIJE DAGEN OP SCHOOL
AANTAL LEERKRACHTEN
geen
6
maandag
3
dinsdag
1
woensdag
3
donderdag
1
vrijdag
2 TOTAAL : 16
We kunnen dus volgende uitspraken doen: ‘Zes van de 16 ondervraagde leerkrachten hebben geen vrije dag.’ ‘Drie van de 16 ondervraagde leerkrachten hebben maandag een vrije dag.’ ‘Twee van de 16 ondervraagde leerkrachten hebben vrijdag een vrije dag.’ De genoteerde data ‘geen’, ‘maandag’, … zijn categorische data. Met categorische data kun je niet rekenen. Voorbeelden van categorische data: – geboortemaand – bloedgroep – munt/kop gooien met een muntstuk – favoriete radiozender – kennis van Excel
174
Data en onzekerheid
4.2
Data onderscheiden en verwerken met ICT in tabellen en diagrammen 1 De vier seizoenen Aan 30 personen werd gevraagd wat hun favoriete seizoen is. Dit waren de antwoorden : Zomer
Herfst
Zomer
Winter
Zomer
Winter
Herfst
Zomer
Winter
Lente
Lente
Lente
Zomer
Zomer
Zomer
Herfst
Herfst
Herfst
Winter
Lente
Winter
Winter
Zomer
Zomer
Herfst
Zomer
Winter
Zomer
Zomer
Lente
We gaan het volgende uitvoeren : a een frequentietabel opstellen met GeoGebra ; b een dotplot tekenen met GeoGebra ; c een staafdiagram en een cirkeldiagram tekenen met Excel ; d de middelpuntshoeken uit het getekende cirkeldiagram berekenen. a Frequentietabel opstellen met GeoGebra Lente
5
Zomer
12
Herfst
6
Winter
7 30
Hiervoor brengen we in GeoGebra 6 de gegevens in het rekenblad in. We selecteren ze en maken er een lijst l1 van (rechtermuisknop gebruiken en kiezen voor creëer).
175
4
In het algebravenster brengen we het volgende in :
D7 = TelAls(x = = C7,l1)
Daarna trekken we de vulgreep door naar beneden. Om het totale aantal ondervraagde personen te krijgen (30), typen we in het algebravenster nog het volgende in :
D12 = som(D7 : D10)
Uit deze frequentietabel kunnen we het volgende afleiden : – Aan 30 personen werd gevraagd wat hun favoriete seizoen was. – De data die werden opgetekend zijn categorische data. – 12 van de 30 ondervraagde personen kozen de zomer als favoriete seizoen. – De herfst was het minst favoriete seizoen van de ondervraagde personen. – 7 van de 30 ondervraagde personen hadden een voorkeur voor de winter. – …
b Een dotplot tekenen met GeoGebra
We tekenen met GeoGebra 6 ook een dotplot van de gegevens :
– De gegevens zijn al geselecteerd en in een lijst gebracht met de naam l1. – Geef in het algebravenster het commando puntenplot(l1) in. – Pas de labels op de assen aan. Daarvoor druk je eerst op de selecteerknop en klik je vervolgens met de rechtermuisknop in het tekenvenster. Kies daarna onderaan voor tekenvenster en pas dan zowel op de x-as als de y-as de labels aan.
176
Data en onzekerheid
c Een staafdiagram en een cirkeldiagram tekenen met Excel – Kopieer de gegevens vanuit GeoGebra in Excel of voer ze opnieuw in Excel in. – Selecteer de gegevens in Excel en geef ze een naam door te klikken op A1 (zie pijl) :
Klik daarop en typ het woord ‘seizoenen’.
We maken dan deze tabel :
In cel D7 typen we in : = aantal.als(seizoenen; C7) (klik op C7)
Nadien trekken we alles met de vulgreep naar beneden door.
In cel D12 typen we in : = som(…) selecteer het gebied D7 tot D10. Je krijgt dan :
We tekenen dan een staafdiagram en een cirkeldiagram met de geziene methodes van vorig jaar. Selecteer de 2 kolommen uit de opgestelde frequentietabel en klik op invoegen. Klik nu op aanbevolen grafieken, kies het passende type en werk verder af door een titel in te vullen, de gegevenslabels aan te brengen …
177
4
Favoriete seizoen 14 12 10 8 6 4 2 0
12
5
Lente
7
6
Zomer
Herfst
Winter
Favoriete seizoen
Lente
7
5
6
12
Zomer
Herfst
Winter
d De middelpuntshoeken uit het getekende cirkeldiagram berekenen We berekenen nu met het rekenblad van Excel ook de groottes van de getekende middelpuntshoeken.
Een eenvoudige methode is : met de muisaanwijzer op de getekende gebieden staan, de percentages aflezen en noteren. Nadien vermenigvuldig je dan die percentages met 360. Een andere methode is in de cel E7 het volgende intypen : = D7/D$12*360 Eerst klikken we uiteraard op de nodige cellen. We typen de naam van de cellen zelf niet in en gebruiken ook de toets F4 om dollartekens bij te voegen. In dit geval klikken we tweemaal op F4. De rij 12 mag immers niet wijzigen, daarom plaatsen we er een $-teken voor. Nadien trekken we met de vulgreep alles door naar onderen. De middelpuntshoek die hoort bij Zomer meet 144°. De middelpuntshoek die hoort bij Winter meet 84°.
178
Data en onzekerheid
2 De inwoners van het Vlaamse Gewest Volgende frequentietabel geeft een overzicht : Vlaams Gewest 1 januari Aantal inwoners Groei (2005=100)
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
6 043 161
6 078 600
6 117 440
6 161 600
6 208 877
6 251 983
6 306 638
6 350 765
6 381 859
6 410 705
6 444 127
6 477 804
6 516 011
100,0
100,6
101,2
102,0
102,7
103,5
104,4
105,1
105,6
106,1
106,6
107,2
107,8
In dit geval moeten we dus de frequentietabel zelf niet meer opstellen. De opgetekende data hier zijn numeriek. Het aantal inwoners in het Vlaamse Gewest in 2011 bedroeg 6 306 638. We verklaren nu hoe we aan 104,4 komen (zie onderste lijn en kolom 2011).
6 043 161 komt overeen met 100, 0 1 komt overeen met
6 306 638 komt overeen met
100, 0 6 043 161 100, 0 · 6 306 638 = 104, 3599 . . . ≈ 104, 4 6 043 161
We brengen deze tabel (met de groeilijn) in het rekenblad van Excel in en tekenen een lijndiagram.
Groei aantal inwoners Vlaams Gewest 110,0 108,0 107,8 107,2
106,0 105,1
104,0
105,6
106,1
106,6
104,4 103,5 102,7
102,0 102,0 100,0 100,6 100,0
101,2
98,0 96,0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Deze grafiek is misleidend omdat de y -as niet op 0 begint. Daarom zetten we het minimum van de verticale as op 0 en krijgen we een eerlijke grafiek (zie volgende blz.).
179
4
Groei aantal inwoners Vlaams Gewest 120,0 106,6 107,2 107,8 100,0 103,5 104,4 105,1 105,6 106,1 100,0 100,6 101,2 102,0 102,7 80,0
60,0
40,0
20,0
0,0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Uit deze grafiek blijkt dat het aantal inwoners in het Vlaamse Gewest elk jaar toegenomen is in de periode 2005 tot 2017. In 2017 bedroeg het aantal inwoners in het Vlaamse Gewest 6 516 011. De procentuele groei van 2016 naar 2017 vinden we als volgt :
6 516 011 − 6 477 804 = 0, 005898 . . . ≈ 0, 6 % 6 477 804 We hadden dit ook zo kunnen vinden :
de groei in % in het Vlaamse Gewest van 2016 naar 2017 is :
107,8 – 107,2 = 0,6.
180
Data en onzekerheid
3 Een stengelbladdiagram tekenen
Van 20 volwassenen werd de lengte in cm opgetekend. Dit zijn de resultaten : 185
173
178
180
182
165
168
172
170
169
158
157
164
159
175
177
195
201
189
157
We sorteren eerst de gegevens : 157
157
158
159
164
165
168
169
170
172
173
175
177
178
180
182
185
189
195
201
We noteren die resultaten nu op een schematische manier :
15 16 17 18 19 20
7 4 0 0 5 1
7 5 2 2
8 8 3 5
9 9 5 7 8 9
De vetgedrukte getallen vormen de stengel. De andere zijn de bladeren. Uit dit stengelbladdiagram kunnen we heel wat info halen. – Alle gegevens blijven afleesbaar uit dit diagram. – We zien dat er maar één persoon meer dan 2 m meet. – Er zijn 6 personen die 170 cm meten of meer, maar minder 180 cm. – Er zijn 2 personen die 157 cm meten. – …
181
4
Een stengelbladdiagram tekenen met ICT Van een aantal leerlingen werd de tijd in minuten opgetekend om een bepaald probleem correct op te lossen. Dit zijn de resultaten : 16
41
26
43
42
44
37
38
36
27
17
42
29
41
18
31
36
34
19
25
22
43
56
52
38
38
36
36
42
42
43
52
42
38
30
38
58
38
55
15
De opgetekende gegevens zijn numerieke data.
We tekenen hiervan nu met GeoGebra 6 een stengelbladdiagram. – Daarom brengen we de gegevens in het rekenblad in en maken er een lijst l1 van. – Nadien geven we in het algebravenster het commando StengelBladDiagram(l1) in en het volgende wordt getekend in het tekenvenster :
1 5 6 7 8 9
2 3 4 5
2
0
5 1
6
7 6
4 1 1 2 2 2 2 5 6
9 6 2 8
6 6 7 8 2 2 3 3
8 8 3 4
8
8
8
Gegevens aflezen: 3 | 1 betekent 31 De stengel wordt hier ook gevormd door de cijfers die staan voor de verticale streep ; de rest zijn de bladeren. We kunnen ook nu alle gegevens aflezen. De computer heeft ze geordend van klein naar groot. Zo zien we dat de meeste leerlingen tussen de 30 en 40 minuten lang werkten om het probleem op te lossen. 5 leerlingen losten het probleem in minder dan 20 minuten op. Niemand werkte langer dan een uur aan het probleem. Taak : Teken van die gegevens ook een dotplot.
182
Data en onzekerheid
4.3
Centrummaten en spreidingsmaat 1 Gemiddelde, mediaan, modus en variatiebreedte Het gemiddelde, de mediaan en de modus zijn kengetallen die het ‘midden’ van een reeks gegevens beschrijven. Ze geven aan waar het ‘midden’ van een reeks gegevens zich situeert. Daarom worden ze ook centrummaten genoemd. gemiddelde Het gemiddelde van enkele getallen is gelijk aan de som van die getallen, gedeeld door het aantal getallen.
Voorbeeld : Bereken het gemiddelde van 12, 8, 14, 22 en 16. – Tel de getallen op : 12 + 8 + 14 + 22 + 16 = 72. – Delen door het aantal getallen : 72 : 5 = 14,4 – Het gemiddelde is 14,4. mediaan De mediaan van enkele getallen verkrijg je door eerst de getallen te rangschikken van klein naar groot. Is het aantal getallen … … oneven, dan is de mediaan het middelste getal ; … even, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen.
Voorbeelden : Bereken de mediaan van 12, 8, 14, 22 en 16. – Ordenen : 8 12 14 16 22 – Het middelste getal is 14, dus de mediaan is 14. Bereken de mediaan van 23, 14, 38, 12, 28 en 8. – Ordenen : 8 12 14 23 28 38 – De twee middelste getallen zijn 14 en 23. Het gemiddelde van die twee getallen is 18,5. – De mediaan is 18,5.
Merk op dat de mediaan hier geen getal uit de geordende rij is. modus De modus van een reeks gegevens is het gegeven dat het vaakst voorkomt in die reeks gegevens.
Voorbeeld : Zo is van de waarnemingen 10, 7, 8, 7, 13, 22, 24, 15 de modus 7.
183
4
Welke van deze kengetallen je kiest om het ‘centrum’ weer te geven, is afhankelijk van het onderzoek. – Als de gegevens dicht bij elkaar liggen en dus niet veel van elkaar afwijken, zal je vaak kiezen voor het gemiddelde. – Als er sprake is van uitschieters (gegevens die sterk afwijken van de rest van de waarnemingen), dan zal je eerder kiezen voor de mediaan om het midden van de gegevens te beschrijven. – Om de modus te bepalen, is er weinig rekenwerk nodig. Maar de modus zelf kan veel minder ‘in het centrum liggen’ dan de andere centrummaten. variatiebreedte De variatiebreedte is het verschil tussen de maximale en minimale waarde.
Voorbeeld : Bij de waarnemingen 67 12 9 34 21 17 5 38 is de variatiebreedte : 67 – 5 = 62
Sarah behaalde op tussentijdse toetsen voor Engels de volgende resultaten (op 20) : 17,5 18 2 17 16 16 17 17 16,5 De mediaan is hier 17. 2 16 16 16,5 17 17 17 17,5 18 Het gemiddelde is 15,22.
17, 5 + 18 + 2 + 17 + 16 + 16 + 17 + 17 + 16, 5 137 = ≈ 15, 22 9 9
De modus is 17. De variatiebreedte is 18 – 2 = 16. Welk kengetal geeft hier het best de prestaties van Sarah weer voor Engels, de mediaan of het gemiddelde ? De mediaan want het gemiddelde wordt hier sterk beïnvloed door de uitschieter 2. Wellicht had Sarah toen niet gestudeerd voor de toets of de kernzaken niet begrepen.
184
Data en onzekerheid
2 Het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekenen met ICT als de ruwe gegevens gekend zijn Charlie heeft gedurende 15 dagen het aantal mails bijgehouden dat hij per dag krijgt. 4
8
10
8
12
8
11
10
8
13
6
14
9
3
18
We berekenen van die gegevens met GeoGebra het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte.
Breng hiervoor de gegevens in het rekenblad van GeoGebra in.
Selecteer de gegevens en maak er een lijst l1 van.
De commando’s die je daarna moet gebruiken, zijn :
gemiddelde(l1) mediaan(l1) modus(l1) max(l1) - min(l1)
In Excel gelden dezelfde commando’s: – Geef eerst een naam aan de gegevens, bijvoorbeeld opgave. – Geef dan de commando’s gemiddelde(opgave), mediaan(opgave) en modus(opgave) in. – Geef ten slotte het commando max(opgave) - min(opgave) in.
185
4
3 Het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekenen met ICT als een frequentietabel gegeven is Iemand noteerde gedurende 40 dagen het aantal telefoontjes die hij per dag binnenkreeg via zijn vaste lijn : AANTAL
AANTAL DAGEN
T ELEFOONTJES 0
9
1
8
2
13
3
7
4
3
We brengen de gegevens in het rekenblad van GeoGebra 6 in en maken van de eerste kolom een lijst l1. We maken van de tweede kolom eveneens een lijst l2. Nadien geven we in het algebravenster de volgende commando’s in :
gemidd(l1,l2)
mediaan(l1,l2)
De modus kunnen we enkel van ruwe gegevens berekenen. Dat gebeurt hier dus het best niet met ICT want de ruwe gegevens zijn niet onmiddellijk beschikbaar. Aan de frequentietabel zien we wel onmiddellijk dat de modus hier 2 is. De mediaan kunnen we ook als volgt vinden. Er zijn 40 waarnemingen. De mediaan is dus het gemiddelde van de 20e en de 21e waarneming nadat die geordend zijn van klein naar groot. We zien dus snel dat de mediaan gelijk is aan 2. Zowel het 20e als het 21e waarnemingsgetal (na ordening) is 2. Het gemiddelde kunnen we als volgt vinden.
0 · 9 + 1 · 8 + 2 · 13 + 3 · 7 + 4 · 3 67 = 40 40 = 1, 675 Met ICT kunnen we dan het volgende uitvoeren : B
0 A
B
0
C
D
9
0
8
8
2
13
26
3
7
21
4
3
12
40
67
10 11 12
gem
1.675
13
In kolom D werden de producten berekend van de getallen die in kolom B en C staan en nadien opgeteld. De variatiebreedte kunnen we ook uit de tabel halen : 4 – 0 = 4. 186
Data en onzekerheid
4 Spreidingsmaat Op twee verschillende dagen in de herfst werd de temperatuur bijgehouden : 9 uur
10 uur
11 uur
12 uur
13 uur
14 uur
15 uur
16 uur
17 uur
18 uur
DAG 1
4 °C
5 °C
6 °C
7 °C
8 °C
8 °C
6 °C
6 °C
5 °C
5 °C
DAG 2
1 °C
3 °C
6 °C
8 °C
11 °C
10 °C
8 °C
7 °C
4 °C
2 °C
De gemiddelde temperatuur op dag 1 is 6 °C. De gemiddelde temperatuur op dag 2 is ook 6 °C. De spreiding van de waarnemingen op dag 2 lijkt groter te zijn dan op dag 1. Het gemiddelde geeft dus niet alle kenmerken weer van de gegevens. Het is vaak nodig om ook een idee te hebben wat de spreiding van de gegevens of waarnemingen betreft. Een eenvoudige maat om de spreiding van gegevens weer te geven is de variatiebreedte. De variatiebreedte = grootste gegeven – kleinste gegeven. De variatiebreedte van dag 1 is 8 °C – 4 °C = 4 °C 11 °C – 1 °C = 10 °C
De variatiebreedte van dag 2 is
Dat wijst er inderdaad op dat op dag 2 de waarnemingen meer verspreid waren. De variatiebreedte is echter maar een ruwe maat voor spreiding want volgende 2 reeksen waarnemingen hebben dezelfde variatiebreedte maar vertonen toch een duidelijk verschillende spreiding : VARIATIEBREEDTE REEKS 1
15
3
4
14
7
20
20 – 3 = 17
REEKS 2
9
25
22
23
24
26
26 – 9 = 17
De spreiding van de gegevens bij reeks 1 is veel groter dan de spreiding van de gegevens bij reeks 2 en toch is de variatiebreedte dezelfde. Later zal je kengetallen leren, zoals de standaardafwijking, om een betere maat voor de spreiding van de gegevens weer te geven.
187
4
4.4
Numerieke datasets vergelijken 1 Biolandbouw in België Volgende tabel geeft het aantal producenten van biologische landbouw weer in Vlaanderen en Wallonië tot 2017.
Aantal bioproducenten in België. JAAR
2012
2013
2014
2015
2016
2017
VLAANDEREN
299
332
343
370
430
468
WALLONIË
1090
1155
1287
1347
1493
1625
We willen nu de data in beeld brengen door op één grafiek twee staafdiagrammen naast elkaar te tekenen. – Breng de gegevens in het rekenblad van Excel in.
2012
2013
2014
2015
2016
2017
Vlaanderen
299
332
343
370
430
468
Wallonië
1090
1155
1287
1347
1493
1625
– Selecteer alles en klik op invoegen. Kies dan voor aanbevolen grafieken en selecteer het passende type. – Vul een passende grafiektitel in. – Klik nadien met de rechtermuis- knop op de staven die de situatie in Vlaanderen weergeven en kies voor gegevenslabels toevoegen. Doe dit ook voor de staven die de situatie in Wallonië weergeven.
188
Data en onzekerheid
Uit dit samengestelde diagram kunnen we het volgende afleiden : – Er zijn duidelijk meer producenten van biologische landbouw in Wallonië dan in Vlaanderen, en dit doorheen alle vermelde jaren. – Het aantal producenten van biologische landbouw is in Wallonië en in Vlaanderen van jaar tot jaar toegenomen. – In 2012 waren er in Wallonië iets meer dan drie keer zoveel producenten van biologische landbouw dan in Vlaanderen. We berekenen nu ook nog met het rekenblad de verhouding van het aantal producenten in Wallonië tot dat in Vlaanderen.
2012
2013
2014
2015
2016
2017
Vlaanderen
299
332
343
370
430
468
Wallonië
1090
1155
1287
1347
1493
1625
3,64548495 3,47891566 3,75218659 3,64054054 3,47209302 3,47222222 We zien dat die verhouding het grootst was in 2014.
2 Dubbel stengelbladdiagram Van 30 vrouwen en van 30 mannen van dezelfde leeftijdsgroep werd de lengte in cm opgetekend. De resultaten van de vrouwen : 137
148
149
170
173
176
174
162
183
145
191
182
177
160
165
159
158
163
166
164
172
171
149
138
158
150
184
176
161
160
De resultaten van de mannen : 158
178
184
193
167
173
178
177
195
202
165
169
159
178
187
188
180
193
195
185
180
170
172
174
167
178
183
185
205
188
We tekenen nu een dubbel stengelbladdiagram. We tekenen met GeoGebra 6 daarom eerst de stengelbladdiagrammen apart. – Breng de gegevens in het rekenblad in. – Selecteer de gegevens met de rechtermuisknop en kies voor creëer. Maak er een lijst l1 van. – Geef het commando StengelBladDiagram(l1,–1) in.
(Als je de –1 gebruikt, dan worden de tientallen in de stengel opgenomen.)
189
4
Stengelbladdiagram van de vrouwen :
13 14 15 16 17 18 19
7 5 0 0 0 2 1
8 8
9 8 8 0 1 1 2 3 4
9 9 2 3
3 4 4 6
5
6
6 7
Gegevens aflezen: 3 | 1 betekent 31 Stengelbladdiagram van de mannen :
15
8
9
17 18 19 20
0 0 3 2
2 0 3 5
16 5 7 7 9 3 3 5
4 4
5
7 5
8 5
8 7
8 8
8 8
Gegevens aflezen: 3|1 betekent 31 We verwerken die twee stengelbladdiagrammen nu in een dubbel stengelbladdiagram.
Uit dit diagram kunnen we het volgende afleiden : – De meeste mannen zijn tussen 1,70 m en 1,90 m groot. – De vrouwen zijn meestal kleiner dan de mannen en er zijn 6 vrouwen bij die kleiner zijn dan 1,50 m. – Er zijn 6 mannen die groter zijn dan 1,90 m. Slechts één vrouw is groter dan 1,90 m. – De helft van de mannen meet 1,80 m of meer. Slechts 4 vrouwen meten meer dan 1,80 m.
190
Data en onzekerheid
3 Parallelle dotplot van de lengte van mannen en vrouwen We tekenen van vorig voorbeeld met GeoGebra 6 een parallelle dotplot.
Volg hiervoor dit stappenplan : – Breng de gegevens in het rekenblad in. – Selecteer de gegevens en maak er lijsten l1 en l2 van. – Geef de commando’s puntenplot(l1) en puntenplot(l2) in. – Verander de stijl van de getekende punten van de mannen door voor een blauw kruisje te kiezen (klik op een puntje met de rechtermuisknop en ga naar instellingen ; klik dan op stijl en kies vervolgens een passende puntstijl). – Verplaats de y -as door met de rechtermuisknop in het tekenvenster te klikken en te gaan naar tekenvenster. Klik dan op y As en plaats snijpunt assen op 134. Merk op dat punten waar zowel een bolletje als een kruisje staat, weergaven zijn van mannen en vrouwen met dezelfde lengte.
Naar rechts staan meer kruisjes, dus zijn de mannen over het algemeen groter dan de vrouwen.
Je ziet hier ook duidelijk dat er 6 mannen zijn die groter zijn dan 1,90 m en dat er maar één vrouw groter is dan 1,90 m.
191
4
4.5
Een eigen onderzoek uitvoeren 1 Een statistisch onderzoek Tijd om een eigen onderzoek uit te voeren met de opgedane kennis. Hieronder zie je een voorbeeld dat je per twee leerlingen kunt uitvoeren. Twee dobbelstenen moeten 50 maal opgegooid worden en telkens moet je via turven het aantal gegooide ogen bijhouden. a Stel de volgende frequentietabel op en breng alles in het rekenblad in : AANTAL OGEN
AANTAL KEER GEGOOID
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b Teken dan zowel een staafdiagram als een dotplot van de gegevens. c Bereken nadien het gemiddelde aantal ogen dat gegooid werd en de mediaan. ���������������������������� d Bereken de variatiebreedte.
����������������������������
e Hoeveel keer gooide je 8 ogen ?
����������������������������
f
����������������������������
Is er een aantal ogen dat je geen enkele keer gooide ? Kan dat wel ?
g Wat is de modus ?
����������������������������
h Wat is de kans dat als je eenmaal 2 dobbelstenen opgooit, je 6 ogen gooit ?
����������������������������
Is de kans om 8 ogen te gooien (2 dobbelstenen eenmaal opgooien) dezelfde als de hierboven gevonden kans ? Bereken ook die kans.
����������������������������
Taak: – Werk per twee. – Stel nadien jullie bevindingen en getekende diagrammen voor aan de klasgroep. – Hebben andere klasgenoten dezelfde resultaten gevonden ? Verklaar !
192
Data en onzekerheid
Simulatie met de computer Het is mogelijk om dit alles te simuleren met de computer door gebruik te maken van GeoGebra 6. – Open het rekenblad en het algebravenster. – Breng volgend commando in het algebravenster in : A1 = toevalsgetaltussen(1,6) + toevalsgetaltussen(1,6)
– Trek nadien de cel door naar beneden met de vulgreep tot 50. – Selecteer deze gegevens en maak er een lijst l1 van. – Geef dan in het algebravenster het commando staafdiagram(l1,0.5) in. – Druk nadien op Ctrl + R en er wordt voortdurend 50 keer opnieuw opgegooid met de 2 dobbelstenen. Het aangepaste staafdiagram verschijnt in het tekenvenster. Als je nu het gemiddelde aantal ogen, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekent in het rekenblad met de gekende commando’s, dan zullen die ook steeds wijzigen als je op Ctrl + R drukt.
193
4
2 Samenvatting • Je kunt een frequentietabel opstellen. De absolute frequentie is het aantal keer dat een bepaalde waarneming voorkomt. • Je kent het verschil tussen numerieke en categorische data. Met numerieke data kun je rekenen. Je kunt uitmaken wat het grootste en het kleinste gegeven is en je kunt er het gemiddelde van berekenen. Voorbeelden : – aantal huisdieren – massa van de boekentas – oppervlakte van bouwgronden Met categorische data kun je niet rekenen. Voorbeelden : – geboortemaand – bloedgroep – kennis van Excel • Je kunt data met ICT verwerken in tabellen en diagrammen. lijngrafiek
staafdiagram
cirkeldiagram
stengelblad-
dotplot
diagram
• •
•
•
•
•
•
• •
•
11 12 13 14 15 16
0 0 3 4 0 0
2 1 3 4 2 0
2 5 5 6 4
5 6 7 8 9 9 7
• Je kent de definities van deze centrummaten: gemiddelde, mediaan en modus. Het gemiddelde van enkele getallen is gelijk aan de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen. De mediaan van enkele getallen verkrijg je door eerst de getallen te rangschikken van klein naar groot. Is het aantal getallen …
… oneven, dan is de mediaan het middelste getal ;
… even, dan is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen.
De modus van een reeks gegevens is het gegeven dat het vaakst voorkomt in die reeks gegevens. Als er meerdere gegevens het vaakst voorkomen, dan is er geen modus. • Je weet dat de variatiebreedte het verschil is tussen de maximale en minimale waarde. • Je kunt het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte berekenen met ICT. • Je kunt voorstellingen en centrummaten interpreteren bij een statistisch onderzoek.
V
erdieping • Je kunt verschillende numerieke datasets vergelijken aan de hand van een dubbel stengelbladdiagram of een parallelle dotplot.
194
Data en onzekerheid
3 Oefeningen 1
Wim noteerde van 18 voorbijrijdende personenwagens het merk. RENAULT
FORD
VOLKSWAGEN
OPEL
CITROEN RENAULT AUDI
FORD
AUDI
PORSCHE
VOLVO
RENAULT
AUDI
VOLVO
BMW
BMW
AUDI
HYUNDAI
a Stel een frequentietabel op die dit alles weergeeft.
b Hoeveel keer heeft Wim een personenwagen van het merk FORD zien voorbijrijden tijdens deze periode ?
2
__________________________________________________________
Hoeveel mensen doen aan carpoolen ? Hiervoor werd een onderzoek gedaan waarbij het aantal inzittenden van 30 passerende wagens werd geteld. Dit zijn de resultaten. 1
4
2
2
1
1
1
1
3
3
1
1
1
4
5
3
2
1
1
3
5
4
2
1
1
2
1
2
1
1
a Stel een frequentietabel op. b Teken een staafdiagram van deze gegevens.
3
Aan een aantal inwoners van het Vlaamse Gewest werd in 2019 gevraagd of er voldoende openbaar vervoer is in de buurt. Hier vind je de verdeling van de opgetekende antwoorden. 2019
ONEENS
EENS
NEUTRAAL
Vlaams Gewest
24 %
64 %
12 %
a Welke onderzoeksvraag werd er aan een aantal inwoners van het Vlaamse Gewest gesteld ?
_______________________________________________________________________________________________________
b Zijn de opgetekende data ‘oneens’, ‘eens’ en ‘neutraal’ numeriek of categorisch ?
_______________________________________________________________________________________________________
c Teken een cirkeldiagram. 195
4
4
De huisarts noteerde de hartslag van de 28 patiënten van afgelopen weekend. Dit zijn de resultaten. 65
67
72
78
58
68
72
90
94
66
58
68
64
71
70
76
82
81
59
60
70
81
79
71
a Zijn de waarnemingen numeriek of categorisch ? _________________________________________________________ b Teken een stengelbladdiagram van deze waarnemingen. c Hoeveel personen hadden een hartslag van 80 of meer ? _______________ d Teken dit diagram met ICT.
5
Via de app Fever Tracker ziet Simon zijn lichaamstemperatuur. Dit zijn de gegevens van de laatste 10 uur. 9.00 u.
10.00 u.
11.00 u.
12.00 u.
13.00 u.
14.00 u.
15.00 u.
16.00 u.
17.00 u.
18.00 u.
36,8 °
37,0 °
37,2 °
38,1 °
39,0 °
38,7 °
38,4 °
38,0 °
37,0 °
36,8 °
Teken een lijndiagram dat dit verloop van de temperatuur van Simon weergeeft.
6
Hiernaast vind je het aantal gevallen van phishing in België. a Zijn deze data numeriek of categorisch ?
___________________________________________________________
b Wat betekent phishing ?
2013
177
2014
277
2015
283
2016
475
2017
3205
2018
9747
___________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
c Teken met ICT een passend diagram dat dit cijfermateriaal weergeeft. d Bereken de procentuele toename van phishing van 2017 naar 2018.
196
Data en onzekerheid
7
Aan 18 leerlingen van een muziekschool werd gevraagd welk instrument ze bespelen. Dit zijn de antwoorden. GITAAR
VIOOL
VIOOL
PIANO
PIANO
DWARSFLUIT
HOBO
TROMPET
PIANO
HARP
GITAAR
TROMPET
VIOOL
PIANO
SAXOFOON
GITAAR
VIOOL
PIANO
a Zijn de opgetekende data numeriek of categorisch ? ______________________________________________________ b Teken een dotplot van deze gegevens. c Bepaal de modus. _____________________________________________________________________________________
8
Bij de jongste editie van de sponsorloop werden door de leerlingen van klassen 2A, 2B, 2C, 2D en 2E volgende afstanden gelopen. aantal leerlingen totaal aantal km gelopen door de leerlingen van de klas
2A
2B
2C
2D
2E
24
25
22
19
23
170
200
158
158
166
gemiddelde per leerling a Vul in de tabel voor elke klas de gemiddeld gelopen afstand per leerling aan. b Bereken het gemiddelde aantal gelopen kilometers per leerling voor de vijf klassen.
9
Lena gooide 30 keer met twee eerlijke dobbelstenen. Dit zijn de resultaten. 7
8
6
5
12
8
7
4
2
6
12
6
7
6
9
6
10
6
7
8
4
7
9
8
11
12
8
7
9
6
a Stel een frequentietabel op die deze resultaten weergeeft. b Hoeveel keer gooide Lena met de twee dobbelstenen samen 6 ? ___________________________________________ c Wat is het gemiddelde aantal gegooide ogen ? ____________________________________________________________ d Wat is de mediaan ? ____________________________________________________________________________________ e Wat is de modus ? ______________________________________________________________________________________ f
Noteer de variatiebreedte. ______________________________________________________________________________
197
4
10
Bereken van de volgende getallenreeksen telkens het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte. GETALLENREEKS
MEDIAAN
MODUS
VARIATIE BREEDTE
28 48 15 9
a
54 9 28 9
11 13 7 23
b
21 7 12
–9 –22 –1 –45 –22
c
105 108 85
d
108 90 48
17 7 11 9 7 12
e
7 9 20 17 28 13
–40 –50 –7 –45
f
–18 –7 –12 –7
1005 820 710 50
g
11
GEMIDDELDE
85 820 80 50
a Noteer 9 getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 18.
_______________________________________________________________________________________________________
b Noteer 10 getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 18.
_______________________________________________________________________________________________________
198
Data en onzekerheid
12
Bereken van volgende reeksen gegevens met ICT het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte. a
12
8
7
8
5
7
10
11
6
7
9
4
12
8
9
10
6
8
5
5
4
3
2
12
9
8
11
12
6
4
3
2
Gemiddelde :
_________________________________
Mediaan :
_________________________________
Modus :
_________________________________
Variatiebreedte : _________________________________
b
105
80
95
80
75
79
75
75
80
45
58
95
75
80
75
69
59
80
78
79
100
110
105
45
Gemiddelde :
_________________________________
Mediaan :
_________________________________
Modus :
_________________________________
Variatiebreedte : _________________________________
c
–45
–23
–18
–23
–17
–55
–7
–8
–11
–18
–18
–45
–22
–23
–18
–55
–10
–9
Gemiddelde :
_________________________________
Mediaan :
_________________________________
Modus :
_________________________________
Variatiebreedte : _________________________________
d
420
380
350
380
430
400
280
280
350
320
360
360
340
380
420
500
430
480
360
380
500
520
600
380
920
420
850
600
550
420
Gemiddelde :
_________________________________
Mediaan :
_________________________________
Modus :
_________________________________
Variatiebreedte : _________________________________
*
*
13
14
Noteer tien getallen waarvan de mediaan gelijk is aan 8,5 en het gemiddelde gelijk is aan 10,5.
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
Het gemiddelde van 15 getallen is 28. Hoe groot wordt het gemiddelde als je bij een van de getallen 12 optelt ?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
199
4
*
15
In deze dotplot wordt weergegeven hoeveel stukken fruit jij de afgelopen twee weken dagelijks hebt opgegeten. a Bepaal de mediaan. • • • • __________________________________________________ • • • • • • • • • •
0
1
2
3
4
b Bereken het gemiddelde aantal stukken fruit dat je de afgelopen twee weken dagelijks opat.
__________________________________________________
16
*
17
Het gemiddelde van de getallen 14, 12, 18, 22, x , 36, 9 en 14 is 16. Bereken x .
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
Het gemiddelde van de laatste test wiskunde was 7,4/10. De meisjes van de klas behaalden een gemiddelde van 8/10. De twaalf jongens van de klas behaalden een gemiddelde van 7/10. Hoeveel meisjes zitten er in deze klas ?
*
18
Beschouw de getallen 8, 17, 24 en 31. Voeg één getal toe zodat het gemiddelde gelijk wordt aan de mediaan.
200
Data en onzekerheid
19
Bij 30 voetbalwedstrijden heeft de assistent van de trainer het aantal doelpunten opgetekend. a Bereken het gemiddelde aantal gescoorde doelpunten per wedstrijd.
DOEL-
AANTAL
PUNTEN
KEER
0 1 2 3 4 5
6 3 14 4 2 1
b Bereken de mediaan
c Bepaal de modus en de variatiebreedte.
20
Van 30 kinderen werd de lengte gemeten in cm. De resultaten werden verwerkt in volgend stengelbladdiagram. 12 13 14 15 16 17
0 2 0 2 1 0
2 3 1 4 2 1
4 2 6 5 2
4 4 8 5
5 4
7 6
8
6
7
8
9
a Bereken de gemiddelde lengte.
b Bepaal de mediaan en de modus.
_______________________________________________________________________________________________________
c Hoeveel kinderen zijn groter dan 150 cm ? ________________________________________________________________ d Hoeveel procent van de kinderen zijn groter dan 140 cm ? e Zet de gegevens om in een dotplot. Welke centrummaat is nu onmiddellijk af te lezen ?
_______________________________________________________________________________________________________
201
4
21
Onderzoeksopdracht. Onderzoek wat er gebeurt met het gemiddelde van enkele getallen als je alle getallen … a met eenzelfde getal vermeerdert. Besluit : ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
___________________________________________________
b met eenzelfde getal vermenigvuldigt. Besluit : ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________
22
___________________________________________________
Welke centrummaat beschrijft het best het midden bij :
a
11
12
10
9
12,5
11,5
______________________________________________________________
b
12
24
9
23
3
15
______________________________________________________________
202
Data en onzekerheid
23
Stel twee rijen van telkens 10 waarnemingen op die dezelfde variatiebreedte hebben, maar die toch een duidelijk verschil in spreiding vertonen.
24
Beschouw deze elf getallen. Breng ze in een rekenblad in en werk alles uit met ICT. 9 16 48 22 9 6 31 34 28 52 20 a Bereken het gemiddelde van de getallen. ________________________________________________________________ b Bereken de mediaan. ___________________________________________________________________________________ c Verander het grootste getal door het groter te maken. Verandert de mediaan ? ______________________________
25
Verandert het gemiddelde ? _____________________________________________________________________________
In de klas van Korneel werd aan de leerlingen gevraagd hoeveel huisdieren ze hebben. Dit zijn de antwoorden. 0
3
2
1
0
0
0
0
2
4
2
3
1
0
1
0
0
0
0
4
2
2
1
2
a Zijn de opgetekende data numeriek of categorisch ? ______________________________________________________ b Teken met ICT een staafdiagram van de gegevens. c Bepaal het gemiddelde aantal dieren dat de leerlingen thuis hebben. ______________________________________ d Bepaal de mediaan. ____________________________________________________________________________________
203
4
26
Bij het medisch consult van het CLB werd van 20 kleuters de lengte (in cm) genoteerd. Dit zijn de resultaten. 83
80
86
86
82
84
84
83
83
83
64
85
87
84
82
83
81
83
87
86
a Zijn de opgetekende data numeriek of categorisch ?
____________________________________________________________________
b Teken met ICT een dotplot. c Bepaal met ICT de gemiddelde lengte, de mediaan en de modus.
d Bepaal de variatiebreedte.
_______________________________________________________________________________________________________
e Hoeveel van de 20 kleuters meten 83 cm ? ______________________________________________________________
27
f
Hoe kun je makkelijk aan de hand van de dotplot de mediaan bepalen ?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
Gegeven is deze dotplot :
a Stel een frequentietabel op.
• •
• • • •
• • • • • •
• • • •
•
22
24
25
28
32
26
29
b Bepaal het gemiddelde en de mediaan.
204
Data en onzekerheid
28
Van 28 vrouwen en 28 mannen uit dezelfde leeftijdsgroep werd de lengte opgemeten in cm. Dit zijn de resultaten. VROUWEN LENGTE IN CM
MANNEN LENGTE IN CM
162
172
166
185
162
165
166
175
178
182
175
173
169
192
184
190
162
159
172
168
158
194
202
182
184
178
178
175
154
161
160
158
170
171
167
178
182
184
188
190
192
188
170
160
166
165
168
168
162
169
180
192
192
184
185
180
a Teken met ICT een stengelbladdiagram dat de lengte van de vrouwen voorstelt. b Teken met ICT een stengelbladdiagram dat de lengte van de mannen voorstelt. c Teken een dubbel stengelbladdiagram van de gegevens.
d Hoe kun je aan dit diagram zien dat de mannen over het algemeen groter zijn dan de vrouwen ?
_______________________________________________________________________________________________________
e Hoeveel vrouwen zijn minstens 170 cm groot ? ___________________________________________________________ f
Hoeveel procent van de mannen is groter dan 180 cm ? ___________________________________________________
g Teken ook een parallelle dotplot van die gegevens. Hoe zie je hier dat de mannen over het algemeen groter zijn dan de vrouwen ?
_______________________________________________________________________________________________________
h Vul onderstaande fiches aan. VROUWEN
MANNEN
Gemiddelde lengte :
Gemiddelde lengte :
Modus :
Modus :
Variatiebreedte :
Variatiebreedte :
i
Waar is de spreiding van de gegevens het grootst ? Bij de mannen of bij de vrouwen ?
_______________________________________________________________________________________________________
205
4
29
Timo en co leveren pizza’s aan huis. Van de laatste 30 leveringen aan huis noteerden ze de tijd die nodig was om de pizza’s rond te brengen. Je vindt dit terug in de tabel hiernaast.
a Teken een dotplot van de gegevens.
15′
17′
19′
4′
22′
14′
11′
10′
17′
14′
11′
28′
29′
13′
25′
24′
12′
15′
19′
8′
9′
11′
12′
17′
20′
18′
9′
11′
12′
21′
b Hoeveel keer had Timo meer dan 15′nodig om de pizza’s ergens te bezorgen ? ______________________________ c Bereken de gemiddelde tijd die Timo nodig had om pizza’s aan huis te leveren.
d Bereken de mediaan en de variatiebreedte.
e Teken een stengelbladdiagram van die gegevens. f Waar lees je de modus af ? Bij de dotplot of op het stengelbladdiagram ?
_________________________________________
g Hoeveel keer had Timo meer dan 20′nodig om de pizza’s te leveren ? Lees dit af op het stengelbladdiagram of op de dotplot.
*
30
_______________________________________________________________________________________________________
Simuleer met de computer 80 worpen met één dobbelsteen. Teken met ICT een passend staafdiagram. Bereken het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte. Laat ook alles dynamisch wijzigen.
206
Data en onzekerheid
31
Een tehuis vangt een aantal weeskinderen op.
28
Het frequentiediagram geeft weer hoeveel kinderen er van elke leeftijd zijn.
21
Wat is de gemiddelde leeftijd van deze kinderen ?
14
7
0 1 (A) 4
(B) 4,5
(C) 5
2
3 (D) 5,5
4
5
6 (E) 17,5
JWO 2019 eerste ronde, vraag 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
*
32
Vier broers zijn verschillend van lengte ; van klein naar groot zijn de achtereenvolgende lengteverschillen telkens hetzelfde. Sietse is kleiner dan Adam, maar groter dan Hielke. Benjamin is kleiner dan Hielke. Sietse is 184 cm groot. De gemiddelde lengte is 178 cm. Hoeveel cm is Benjamin groot ? (A) 160
(B) 166
(C) 172
(D) 184
(E) 190
wizPROF 2017 vraag 17 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
*
33
Ricardo doet aan verspringen. Na een aantal sprongen heeft hij gemiddeld 3,80 meter gesprongen. Nu springt hij 3,99 meter en daarmee is zijn gemiddelde verbeterd tot 3,81 meter. Nu volgt nog een laatste sprong. Hoeveel meter moet Ricardo dan springen zodat zijn gemiddelde 3,82 meter wordt ? (A) 3,97
(B) 4,00
(C) 4,01
(D) 4,03
(E) 4,04
wizBRAIN 2018 vraag 29 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
207
4
*
34
Een statistisch onderzoek. Maak individueel of in groep een van onderstaande onderzoeken. BASISVRAGEN : dit doe je voor elk onderzoek. a Verwerk de gegevens in een frequentietabel.
b Zijn de opgetekende data numeriek of categorisch ?
c Zet de gegevens om in een staafdiagram, dotplot, cirkeldiagram of lijndiagram.
d Bepaal (indien nuttig) het gemiddelde, de mediaan, de modus en de variatiebreedte.
EXTRA VRAGEN : bij elk onderzoek staan nog enkele extra vragen. W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N MEISJES ZIJN BETERE WETENSCHAPPERS
FIETSEN
Welke wetenschappelijke vakken hebben jullie ?
Vraag aan de leerlingen van je klas hoeveel fietsen ze
Vraag de resultaten op van het laatste proefwerk.
thuis hebben.
EXTRA’S : Maak ook een parallel stengelblad waarbij je de resultaten van jongens en meisjes apart weergeeft. Klopt de titel van het onderzoek ? Verklaar grondig je
EXTRA’S :
antwoord. Vergelijk eventueel ook met de resultaten
Hoeveel procent van de leerlingen heeft meer dan drie
van andere klassen.
fietsen thuis ? LET’S GAME
SPORTEN IS GEZOND
Hoeveel tijd (in minuten) spendeer je op een school-
Dit is de top 10 van het aantal sportclubs in
dag aan gamen ?
het Vlaamse Gewest. VOETBAL 6745 WIELRENNEN 4426 WANDELEN 1539 DANSEN 1404 VOLLEYBAL 1172 PAARDRIJDEN 1121
EXTRA’S :
GYMNASTIEK 1043
Hoeveel procent
PETANQUE 1015
van de leerlingen
TENNIS 936
gamet ? Zet de gegevens
FITNESS 774
ook om in een cirkeldiagram.
Vraag aan de leerlingen
Bereken ook de grootte van de getekende middel-
van je klas wie lid is van een sportclub.
puntshoeken. Stel dezelfde vraag maar verander
EXTRA’S :
een schooldag in een weekend. Beantwoord de basis-
Zet de gegevens van het Vlaamse Gewest in een pas-
vragen en vergelijk ze met de antwoorden van je eerste
send diagram. Vergelijk de gegevens van je klas met
onderzoek.
die van het Vlaamse Gewest.
208
Data en onzekerheid
W ISK U N DE & LO DOE EEN SPRINTJE
HOOGSPRINGEN
Bij dit vakoverschrijdend onderzoek verwerk je
Tijdens de turnles noteren we de maximale hoogte
de resultaten van een les lichamelijke opvoeding.
die elke leerling van de klas springt.
Elke leerling sprint over een bepaalde afstand (bv. 100 m).
Gebruik de centimeter als eenheid.
Iemand noteert de tijd die elke leerling hiervoor nodig heeft. Noteer enkel volledige seconden (bv. 15 seconden).
EXTRA’S : Welke centrummaat gebruik je om te weten : – of je bij de snelste 50 % van de leerlingen bent ?
EXTRA’S :
– welk resultaat het vaakst werd opgetekend ?
– Is er een relatie tussen de lengte van de leerling en
Vergelijk de resultaten van jouw klas met andere klassen die ook voor dit onderzoek kozen.
de gesprongen hoogte ? – Hoeveel % van de leerlingen sprong hoger dan jij ?
W ISK U N DE & ECONOM I E WE KOPEN ONLINE …
WAAR GAAN WE OP VAKANTIE
Stel volgende twee vragen aan je klasgenoten :
Vraag aan de leerlingen van je klas in welk land ze het
– Wat koop je het vaakst online ?
afgelopen jaar op vakantie zijn geweest. Als er meerdere
– Welke online shop bezoek je het vaakst ?
keren op vakantie werd gegaan, kiest de leerling enkel
– Hoeveel euro besteed je per maand online ?
de verste vakantiebestemming. Wat is het reisbudget per persoon ?
EXTRA’S : EXTRA’S :
Hoeveel procent van de klas ging op vakantie in
Hoeveel procent van de leerlingen in je klas koopt
eigen land ? Vraag je ook met welk vervoermiddel ze
nooit online?
op vakantie gingen ? Dan kun je de basisvragen ook
Geef een aantal voor- en nadelen van online kopen.
beantwoorden bij deze onderzoeksvraag.
209
4
Vaardigheden | Taalvaardigheid : een bingo van statistiekwoordenschat Op Polpo vindt de leerkracht al het nodige om deze bingo in goede banen te leiden.
1 Noteer deze begrippen willekeurig op de bingokaart. frequentietabel – numerieke data – categorische data – GeoGebra – middelpuntshoek – stengelblad diagram – dotplot – cirkeldiagram – gemiddelde – modus – mediaan – variatiebreedte – uitschieter – dubbel stengelbladdiagram 2 Luister aandachtig (of kijk goed) naar de omschrijvingen die je leerkracht geeft of projecteert. Herken je een van de begrippen ? Kleur dan het vakje van je bingokaart in. 3 Is je bingokaart volledig ingekleurd ? Mooi zo ! Roep nu BINGO ! Laat je buur of je leerkracht je kaart controleren. Speel daarna verder door je buur te helpen.
210
ik ken het !
❒
Ik ken het onderscheid tussen numerieke en categorische data.
173
T
❒
Ik kan gegevens in een frequentietabel weergeven en interpreteren.
173
T
❒
175
T
❒
Ik kan een stengelbladdiagram weergeven.
181
T
❒
Ik ken de betekenis van het gemiddelde en kan dit berekenen (ook met ICT).
183
T
❒
Ik ken de betekenis van de mediaan en kan die berekenen (ook met ICT).
183
T
❒
Ik ken de betekenis van de modus en kan die berekenen (ook met ICT).
183
T
❒
Ik ken de betekenis van de variatiebreedte en kan die berekenen (ook met ICT).
184
A
❒
Ik weet wanneer welke centrummaat zinvol is om te gebruiken.
184
A
❒
188
T
❒
192
Ik kan (met behulp van ICT) gegevens voorstellen. Ik maak hiervoor gebruik van een frequentietabel, een dotplot, een staafdiagram, een lijndiagram en een cirkeldiagram.
Ik kan verschillende numerieke datasets vergelijken met behulp van staafdiagrammen, parallelle dotplots en een dubbel stengelbladdiagram. Ik kan data verzamelen en een eigen statistisch onderzoek uitvoeren.
211
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
pagina
B
oké voor examen
dit moet ik leren
Data en onzekerheid
Bloom
4
HERHALINGSOEFENINGEN
4
Data en onzekerheid
Naam
Klas
1
Nummer
Datum
Totaal
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
…… / 8
We noteerden de leeftijden van de leerkrachten die in onze school lesgeven :
23
31
47
49
47
25
54
60
52
37
54
31
25
28
28
62
54
58
23
41
48
21
64
55
35
28
32
49
33
53
33
29
29
35
43
49
50
51
55
25
a Zijn de data numeriek of categorisch ? ������������������������������������������������������������������� b Teken met ICT een stengelbladdiagram van die gegevens. c Hoeveel personen zijn ouder dan 60 jaar ? ��������������������������������������������������������������� d Hoeveel leerkrachten in onze school zijn jonger dan 25 ? �������������������������������������������������� e Bereken de gemiddelde leeftijd.
f
Bereken de mediaan van de leeftijden.
g Bepaal de modus. ������������������������������������������������������������������������������������� h Bereken de variatiebreedte.
212
Data en onzekerheid
2
…… / 5
In deze dotplot vind je de schoenmaten terug van de leerlingen van klas 2A.
c
• • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • •
38
41
39
40
42
43
44
a Hoeveel leerlingen telt klas 2A ? ___________________________________________________________________ b Welke centrummaat valt onmiddellijk af te lezen van de dotplot ? ___________________________________________________________________
Vul aan :
gemiddelde = _________________________________________________________________________________________ mediaan = ____________________________________________________________________________________________ modus = ______________________________________________________________________________________________
3
…… / 4
In de volgende tabel wordt een voorspelling gedaan van de groei van het aantal inwoners van het Vlaamse Gewest van 2020 tot 2035, telkens op 1 januari van het desbetreffende jaar. a Teken met ICT een lijndiagram dat dit cijfermateriaal weergeeft. b Bereken de procentuele stijging die men verwacht van 2020 naar 2035.
c Als die procentuele stijging dezelfde is van 2035 naar 2050, hoeveel inwoners telt het Vlaamse Gewest dan in 2050 ?
JAAR
AANTAL INWONERS
2020
6 621 004
2021
6 654 415
2022
6 686 296
2023
6 717 747
2024
6 748 985
2025
6 778 698
2026
6 807 702
2027
6 834 986
2028
6 910 317
2035
7 012 515
213
4
4
…… / 4
a Het gemiddelde van 12, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 28 en x is 19. Bepaal x .
������������������������������������������������������������������������������������������������������
b De mediaan van 12, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 28 en x is 20. Bepaal x .
������������������������������������������������������������������������������������������������������
c De modus van 12, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 28 en x is 21. Bepaal x .
������������������������������������������������������������������������������������������������������
d De variatiebreedte van 12, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 28 en x is 22. Bepaal x .
5
������������������������������������������������������������������������������������������������������
…… / 3
Op de sportdag konden de leerlingen kiezen uit vier programma’s. Zet deze gegevens met ICT om in een cirkeldiagram. KEUZE wildwateravontuur
134
zaalsporten
85
mountainbikeparcours
69
muurklimmen
6
AANTAL
107
…… / 6
In dit dubbel stengelbladdiagram zie je de lengtes van de leerlingen van klas 2A. a Bereken met ICT de gemiddelde lengte van 11
de jongens en van de meisjes in klas 2A.
���������������������������������������� ����������������������������������������
b Bepaal van zowel de meisjes als de jongens de mediaan en de modus.
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
214
8
12
9
7
4
13
3
6
5
3
14
0
1
2
9
5
0
15
2
3
4
7
4
4
16
2
1
17
5
5
9
5
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
De Griekse wiskundige Eratosthenes leefde rond 200 voor Christus en werd bekend door de eerste grondige schatting van de omtrek van de aarde. Hij deed een beroep op alle oplossings methodes die toen gekend waren. Die omtrek hebben we ondertussen al veel nauwkeuriger berekend. Bovendien kan de omtrek van een cirkel berekend worden door de eenterm 2πr. Met de zeef van Eratosthenes haalt hij wel nog de Vlaamse wiskundeboeken. Wellicht herinner je je die zeef nog van vorig schooljaar. Herinner je je ook nog procenten, vergelijkingen en vraagstukken ? We frissen het allemaal voor jou op.
5
Oplossingsmethodes voor vraagstukken 5.1 Vergelijkingen oplossen in q
1 Gelijkheden ......................................................................... 217 2 Vergelijkingen van de vorm x + a = b en ax = b .............................................. 219 3 De balans is in evenwicht ................................... 220 4 Vergelijkingen oplossen ......................................... 221 5 Vergelijking met haakjes oplossen ........... 222 6 Samenvatting ................................................................... 224 7 Oefeningen .......................................................................... 225
5.2 Vraagstukken oplossen
1 Betekenis van x ............................................................. 240 2 Oplossen van een vraagstuk ............................. 241 3 Samenvatting ................................................................... 243 4 Oefeningen .......................................................................... 244
Extra’s
Vaardigheden : ICT : coderen met de schildpad van GeoGebra ............................. 255 Wat moet je kennen en kunnen ? ............................ 257 Herhalingsoefeningen ....................................................... 258
216
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
5.1
Vergelijkingen oplossen in q 1 Gelijkheden Voorbeelden : 11 = 5, 5 2 20% =
+ 1 3
1 5
=
4 rechterlid
linkerlid
7 · 3 = 21 Al die uitspraken zijn voorbeelden van een gelijkheid. Wat links van het gelijkheidsteken staat, noemen we het linkerlid, wat rechts van het gelijkheidsteken staat, noemen we het rechterlid.
Onderzoek 1 : Wat zou er gebeuren als je in beide leden van een gelijkheid een getal optelt ? Hieronder zien we twee gelijke hoeveelheden taart.
1 2 = 4 8
1 Wat gebeurt er als we bij elke hoeveelheid taart van een taart toevoegen ? 8 1 1 2 1 + = + 4 8 8 8 De gelijkheid blijft behouden !
3 3 = 8 8
eigenschap in woorden in woorden : Je mag in beide leden van een gelijkheid hetzelfde getal optellen (of aftrekken). in symbolen :
∀a , b , m ∈ Q :
a = b ⇐⇒ a + m = b + m ⇐⇒ a − m = b − m
Voorbeeld : 3+1 = 4 3+1+2 = 4+2
(dit klopt, want 6 = 6) 217
5
Onderzoek 2 : Wat zou er gebeuren als je beide leden met een (van nul verschillend) getal vermenigvuldigt ? Hieronder zien we twee gelijke hoeveelheden taart.
1 2 = 4 8 Wat gebeurt er als we de hoeveelheden verdubbelen ?
2·
De gelijkheid blijft behouden !
1 2 = 2· 4 8 1 1 = 2 2
eigenschap in woorden : Je mag beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigen (of delen) met eenzelfde getal verschillend van 0. in symbolen :
∀a , b ∈ Q, ∀m ∈ Q0 :
a = b ⇐⇒ a · m = b · m b a = ⇐⇒ m m
Voorbeelden : 2 16 = 5 40
4 8 = 3 6 6·
8 4 = 6· 3 6
(dit klopt, want 8 = 8)
2 4 16 4 : = : 5 3 40 3 1 4
1
1 6 ·3 2 · 3 = 5· 4 4 0 · 4 2 10 1
218
3 3 = 10 10
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
2 Vergelijkingen van de vorm x + a = b en ax = b Vorig jaar leerde je deze vergelijkingen oplossen. We herhalen hier even de aangeleerde techniek. De eigenschappen van de gelijkheden dienen als argumentatie voor de tussenstappen. VERGELIJKING VAN DE VORM x + a = b
x+
x+
1 1 = 3 5
1 1 1 1 − = − 3 3 5 3 x = x = x =
1 1 − 5 3
3 5 − 15 15
Je mag in beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optellen of aftrekken. In de praktijk zul je deze tussenstap niet noteren.
VERGELIJKING VAN DE VORM ax = b
−1 3 x = 2 7 −1 −1 3 −1 x: = : 2 2 7 2 3 x = · (−2) 7 −6 x = 7
Je mag beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigen of delen door eenzelfde getal verschillend van 0. In de praktijk zul je deze tussenstap niet noteren.
−2 15
Voorbeelden :
x−
3 2 x = 2 5
3 −1 = 5 2 −1 3 x = + 2 5 x =
x =
−5 6 + 10 10
x =
x =
1 10
2 3 : 5 2
x =
2 2 · 5 3
4 15
219
5
3 De balans is in evenwicht … en je moet ervoor zorgen dat dat steeds zo blijft ! Bekijk deze twee voorbeelden. Onderaan zie je hoe je het moet noteren. = x kg = 1 kg
Voorbeeld 1 :
Voorbeeld 2 :
13x +19 = 9x+43
=
Neem in beide schalen 19 weg.
Neem in beide schalen 5 weg.
=
13x
= 9x+24
Houd in beide schalen de helft over.
=
Neem in beide schalen 9x weg.
=
4x
24 Houd in beide schalen één vierde over.
Je noteert :
2x + 5 = 11
=
x
6
2x + 5 − 5 = 11 − 5 2x = 6 6 2x = 2 2 x = 3
Je noteert :
13x + 19 = 9x + 43 13x + 19 − 19 = 9x + 43 − 19 13x = 9x + 24 13x − 9x = 9x + 24 − 9x 4x = 24 4x 24 = 4 4 x = 6
220
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
4 Vergelijkingen oplossen Vergelijkingen oplossen 1 Werk de haakjes weg. 2 Breng alle termen in x samen in één lid.
Alle andere termen breng je samen in het andere lid.
Je maakt gebruik van de eerste eigenschap van gelijkheden.
3 Maak de som in beide leden. 4 Deel door de coëfficiënt van x (of breng de vergelijking in de vorm x = ...).
Je maakt gebruik van de tweede eigenschap van gelijkheden.
5 Je kunt jezelf controleren door een proef uit te voeren.
Voorbeelden : 3x − 1 = 5x + 7
2x + 4 = −7 − x
3x − 5x = 7 + 1
2x + x = −7 − 4
2x + 4x = 7 + 5
−2x = 8
3x = −11 x = −
2x − 5 = 7 − 4x
11 3
6x = 12
x = 8 : (−2)
x = 12 : 6
x = −4
x = 2
Het is nuttig om ook een proef te maken. Dit kan makkelijk met ICT. Controleren kan ook door x in de opgave te vervangen door jouw oplossing. Je controleert of het linkerlid gelijk is aan het rechterlid.
Voorbeeld :
Proef :
11 11 ? 6· − +4 = 2· − −7 4 4
6x + 4 = 2x − 7 6x − 2x = −7 − 4 4x = −11 x = −
11 4
−
66 22 ? +4 = − −7 4 4
−
11 33 ? +4 = − −7 2 2
−
11 14 33 8 ? = − − + 2 2 2 2 −
25 ! 25 = − 2 2
De proef klopt !
221
5
5 Vergelijkingen met haakjes oplossen In een vergelijking kunnen er ook haakjes voorkomen. Als we zulke vergelijkingen hebben, moet je eerst de haakjes wegwerken. We kunnen dit doen door gebruik te maken van de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.
Voorbeeld :
Proef :
8 ? 3· 2· −3 = 7 3 16 ? −3 = 7 3· 3 7 ? = 7 3· 3
3 · (2x − 3) = 7 6x − 9 = 7 6x = 7 + 9 6x = 16
!
7 = 7
16 x = 6 x =
8 3
Voorbeeld :
Proef :
1 1 · (x + 3) − 2 = · (x + 1) 2 3
1 ? 1 · (5 + 3) − 2 = · (5 + 1) 2 3
3 1 1 1 x + −2 = x+ 2 2 3 3
1 ? 1 ·8−2 = ·6 2 3
1 1 3 1 x− x = − +2 2 3 3 2
?
4−2 = 2 !
2 = 2
3 2 2 9 12 x− x = − + 6 6 6 6 6
1 5 x = 6 6 x = 5
222
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
Heb je in een vergelijking veel breuken, dan kun je soms de vergelijking vereenvoudigen door de noemers weg te werken. Dat kan door elk lid te vermenigvuldigen met het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de verschillende noemers die in de vergelijking voorkomen. Uiteraard zul je altijd voorrang verlenen aan het uitwerken van de haakjes!
Voorbeelden : 3 2 4 x +5 = x− 4 3 5 kgv (4, 3, 5) = 60
2x 1 x 1 x − − = + −1 5 15 2 3 5 kgv (5, 15, 2, 3) = 30
300 40 48 45 x+ = x− 60 60 60 60 300 40 48 45 x+ = 60 · x− 60 · 60 60 60 60
2 15x 10 6x 30 12x − − = + − 30 30 30 30 30 30 2 15x 10 6x 30 12x − − = 30 · + − 30 · 30 30 30 30 30 30
45x + 300 = 40x − 48
12x − 2 − 15x = 10 + 6x − 30
45x − 40x = −48 − 300
12x − 15x − 6x = 10 − 30 + 2
5x = −348 x =
−348 5
−9x = −18 x = 2
Je kunt ook hier de proef uitvoeren door elke x in de vergelijking te vervangen door de verkregen oplossing.
−348 3 −348 4 ? 2 · +5 = · − 4 5 3 5 5
2·2 1 2 ? 1 2 − − + −1 = 5 15 2 3 5
−261 4 ? −232 +5 = − 5 5 5
12 1 15 ? 5 6 15 − − + − = 15 15 15 15 15 15
−236 ! −236 = 5 5
−4 ? −4 = 15 15
Controleer jezelf met de CAS van GeoGebra :
Typ de vergelijking in de CAS van GeoGebra in, klik daarna op het icoontje x = en de oplossing van de vergelijking verschijnt op het scherm.
223
5
6 Samenvatting • Je kent de eigenschappen van gelijkheden die het oplossen van vergelijkingen makkelijker maken. – Je mag in beide leden van een gelijkheid hetzelfde getal optellen (of aftrekken).
∀a , b , m ∈ Q :
a = b ⇐⇒ a + m = b + m ⇐⇒ a − m = b − m
– Je mag beide leden van een gelijkheid vermenigvuldigen (of delen) met eenzelfde getal, verschillend van 0.
∀a , b ∈ Q, ∀m ∈ Q0 :
a = b ⇐⇒ a · m = b · m b a = ⇐⇒ m m
• Je kunt vergelijkingen oplossen met haakjes. 1 Werk de haakjes weg. 2 Breng alle termen in x samen in één lid. Alle andere termen breng je samen in het andere lid. Je maakt gebruik van de eerste eigenschap van gelijkheden. 3 Maak de som in beide delen. 4 Deel door de coëfficiënt van x (of breng de vergelijking in de vorm x = …). Je maakt gebruik van de tweede eigenschap van gelijkheden. 5 Je kunt jezelf controleren door een proef uit te voeren.
Vergelijkingen 3000 jaar geleden ‘Aha, zijn geheel, zijn zevende, het is 19.’ Die korte vreemde zin werd gevonden in een meer dan 3000 jaar oude Egyptische papyrusrol. In 1858 kocht de Schotse antiquair Henry Rhind die papyrus in een winkeltje in het Nijldorp Luxor. Het stuk werd te zijner ere Rhind-papyrus genoemd. Het blijkt een van de oudste wiskundige documenten te zijn die nog bestaan. Het werd opgetekend door een Egyptische klerk die Ahmes heette. Het zinnetje dat hierboven staat, is een vraagstukje dat we in de vorm van een vergelijking kunnen gieten. Het betekent eigenlijk : van een onbekend getal (Aha) is de som van het getal (zijn geheel) en het zevende deel van dat getal (zijn zevende) gelijk aan 19 (het is 19). of :
1 x + x = 19 7
Deze eenvoudige vergelijking kun je ongetwijfeld zelf oplossen.
224
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
7 Oefeningen 1
Los de volgende vergelijkingen op.
a
17 + x = 34
d
b
x − 0, 5 = 7, 2
e
c
2
y+
3 −2 = 5 5
f
k−
1 = 1, 25 4
2+ x =
−1 3
4 8 +x = 3 3
g
h
i
t−
11 3 = − 4 2
0, 24 + x = −5, 17
y−
1 5 = 8 4
Los de volgende vergelijkingen op.
a
−4x = 44
c
b
2y = −0, 36
d
1 5 x = 3 2
3 −1 x = 14 7
e
f
0, 25x = 0, 5
11 −11x = − 13
225
5
3
Los de volgende vergelijkingen op.
a
b
c
4
x − 3, 75 = −2, 4
1 x = 9 3
17 4x = − 2
d
e
x+
x−
f
3 = 4 5
7 = 3, 5 2
5 1 k = − 7 14
g
h
i
1 2 +k = − 12 9
7 0, 25 + a = 8
−
5 10 x = 12 3
In de babykamer van Adil hangen speeltjes die perfect in evenwicht zijn. Op de stukjes staat het gewicht in gram. Bepaal het gewicht van het stukje met een letter op. a b c
___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ___________________________
226
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
5
Los de volgende vergelijkingen op.
a
−x − 3 = 2 + 2x
e
2x − 48 = −13x + 12
b
−4 + 4x = −4 + x
f
2x − 8 = x + 2
c
20x − 10 = 28 + x
g
−3x + 8 = 5x
d
2 + x = 4 − 3x
h
x − 15 = −3x + 1
227
5
6
Los de volgende vergelijkingen op.
a
b
c
d
228
3 1 x +4 = x −2 2 2
1 1 1 x+ = x −2 7 2 2
0, 4x − 0, 6x = 0, 8
3 1 4 x− = 2 6 3
e
f
g
h
x−
3 1 2 = x+ 2 2 3
2 1 x +4 = x −2 3 2
−9 4 1 7 x− = x+ 2 3 2 2
0, 55x + 0, 18 = 0, 35x − 0, 12
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
7
Stel telkens de vergelijking op en los ze nadien op. a b
= =
= = = x kg = x kg = 1 kg
= 1 kg
=
1 kg 2
________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________
8
Zoek x met behulp van volgende pijlvoorstelling. a –3
·2
x = _______
..............
7
b · ( – 4)
x = _______
c
..............
·
x = _______
1 2
2 · − 3
x = _______
+
7
9 4
11 .............. 4
d
+ 11
−
5 2
−9 .............. 2
229
5
9
Los de volgende vergelijkingen op.
a
7 · (p − 2) = 14
d
(4x − 2) · 5 = 27
b
18 = 3 − (−x − 5)
e
−4 · (3 − x ) + 5x = 15
c
3 · (2k − 1) = 5 · (k − 4)
f
−3 · (m + 0, 5) = −5 · (m − 0, 3)
230
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
10
11
Welke vergelijking heeft dezelfde oplossing als 2x + 3 = –9 ? A
B
C
D
–4x – 4 = –2x + 2
3x – 5 = 13
1 9 1 x+ = x 2 5 5
3 1 5 x − = x +7 2 2 2
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
________________________
Welke vergelijkingen hebben als oplossing 3 ? Werk uit en zet de vergelijkingen die 3 als oplossing hebben in een fluokleurtje. Bij elke vergelijking staat een woord. Met de fluowoorden maak je een mooi spreekwoord. 2x + 4 = 10
3 ( x – 2) = 4 – ( x – 2)
1 x + 5 = 2x 3
K L E IN E
N IE T
L E E RT
4x + 3x – ( x + 1) = 8
–5 · ( x + 2) = –10 – ( x + 12)
3x – 3 = 0
K L O K JE
HET
T H U IS
6x + 4 – 3( x + 2) = 7
10x – 10 = 20
2 1 3 1 x+ = x− 5 2 5 3
G ROT E
HET
N E RG E N S
–2,5 · x = –7,5
DOET
x x 5 + = 2 3 2 W IE
–2 ( x + 1) = –6 + ( x – 5)
VERKEERD
Met de gevonden woorden kan ik dit spreekwoord maken : __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
231
5
12
Los de volgende vergelijkingen op.
a
−(x + 6) + 2 · (5x − 3) = −13
d
5 · (x + 4) − 3 · (x − 2) = 32
b
4 · (3b + 2) = 6b + 35
e
4 · (5y + 3) + 5 · (7 − 2y ) = 0
c
14x − (9x − 7) = 62
f
7 · (x + 2) − 3 · (x − 8) + 2x = 3 · (4x + 10)
232
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
13
Controleer met ICT of de getallen 1, 2 of 3 een oplossing zijn voor de vergelijkingen. Verbind telkens de opgave met de oplossing.
1 x =1 3
2 · ( x + 1) + x = 5
6 – 2x = 4x
x +3 = 4x − 10 3
l
l
l
l
1
14
2
3
l
l
l
l
4 + 3( x – 1) = 7
5x – 8 = 2
x 5 + = x +1 2 2
3x – 8 = 2x – 5
Daan en Merel rijden, elk van bij hen thuis, met de fiets naar school. Ze wonen op dezelfde weg, maar Daan woont op 7 km van de school en Merel woont op 5,5 km van de school. Daan fietst met zo’n snelheid dat hij elke minuut 350 m aflegt. Merel is iets trager en rijdt met een snelheid van 200 m/min. Om te achterhalen wanneer en op welke afstand van de school ze elkaar zullen treffen, moeten we volgende vergelijking oplossen (alle afstanden zijn omgezet in m). 7000 – 350x = 5500 – 200x a Los de vergelijking op. Welke informatie heb je nu gekregen ?
b Hoeveel meter zijn Daan en Merel op dat moment van school verwijderd ?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________ 233
5
15
Bekijk onderstaande schema’s. Welke vergelijking hoort hierbij ? Los de vergelijking op. a · ( –3)
x ·5
+ 16
b
+2
·3
x +5
· ( –4)
c –7
x –1
·4
d
·2
–6
x –2
·8
234
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
16
Vul dit kruisgetallenraadsel in door de vergelijkingen op te lossen. In elk vakje noteer je één cijfer. A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
HORIZONTAAL VERTICAAL 1 1 1 x + x =9− x A) 4a − 7 = 157 • 3a − 5 = 2a + 6 A) −4 · (2x − 5) = −3x • 3 6 4
B) 6x − 500 = 4 · (x + 31) C) 2 · (x + 2) − 7 = −x
•
B) 19 − 2x = x − 20 − 3x = −x − 150
D) 0, 5x − 15 = 2 · (0, 2x + 7)
•
C)
x + 2 − 2x = 0
•
1 1 x +8= x 4 3
3 1 · x − 45 − 24 = 0 5 20
D) 0, 5x − 2, 5 = 0, 4x + 10
E) 4 · (x − 10 000) = −3 · (x − 700) + 166
E) 4x + 8 − 3x = 5x + 4
•
•
x −3=3− x 1 1 1 x +2= x − x −1 7 2 4
235
5
17
Los de volgende vergelijkingen op door de haakjes en noemers weg te werken.
a
b
c
236
6−
x x = −4 2 4
2 7 0, 2x − x = x − 3 15
3 1 2 x− · (x − 5) = 2 4 5
d
e
f
3 1 x + 4 − x = 5 · (3 − x ) 4 2
1 1 3 33 x− = · −x + 5 10 2 5
x x x 7 + − = 6x − 2 3 4 12
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
18
Los de volgende vergelijkingen op.
a
b
c
3x −
1 x 2 · + 5 = 10 + x 2 2 3
−3 · (x − 2) 1 = 4x − 5 5
3 · [2 · (3x − 4) + 5 · (x − 5)] = −x − 3
d
e
f
2x − 5 3x − 2 3 − = 3 5 5
−2(5x + 3) + 5(7 − 2x ) = 0
2−
x −3 x −3 = 1+ 2 2
237
5
19
Om moeilijke vergelijkingen op te lossen, gebruik je het best ICT.
Voorbeeld :
3 (x − 2) 5 4x − 9 7x − 9 + = − 8 3 3 4
Methode 1 : stap voor stap oplossen met Photomath
Methode2 : controle met Microsoft Math Solver
Methode 3 : controle met de CAS van GeoGebra 6
Je merkt dat GeoGebra de oplossing noteert als een
Los nu deze vergelijkingen op met ICT.
a
2x − 1 1 2 x x − − − = 0 6 6 3 5 3
b
3 · (2x + 1) x −1 5x + −1 = 5 2 3
c
5 · (2x − 1) 3 · (x − 5) 1 + = 4 2 4
d
1 1 7 5 2 (10x − 9) − = − · x −4 5 3 6 5 30
238
verzameling.
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
20
Omgekeerd redeneren. Vervolledig de tabel om de onderstaande vergelijking op te lossen.
2 · (x + 6) −4=2 3 WISKUNDETAAL
VERGELIJKING
REDENEREN ⟵ oplossing vergelijking
een getal x
tel er 6 bij op
vermenigvuldig met 2
deel door 3
trek er 4 van af
2 · (x + 6) −4=2 3
21
We spreken af dat a ♥ b betekent : ab + a + b . Bijvoorbeeld 5 ♥ 8 = 5 · 8 + 5 + 8 = 53. Er is een getal x waarvoor geldt : 3 ♥ 5 = 2 ♥ x . Welk getal is x ? (A) 3
(B) 6
(C) 7
(D) 10
(E) 12
wizPROF 2009 vraag 18 © Stichting Wiskunde Kangoeroe ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
Als ▴ + ▴ + 6 = ▴ + ▴ + ▴ + ▴, welk getal staat dan op de plaats van ▴ ? (A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
WALLABIE 2010 vraag 1 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________
239
5
5.2
Vraagstukken oplossen 1 Betekenis van x Hoe je een vraagstuk oplost met behulp van een vergelijking, leerde je al vorig jaar. Belangrijk hierbij is dat je werkt met (en op zoek gaat naar) een onbekende. Die stel je meestal voor door x . Omdat de omzetting van de tekst naar een wiskundige vergelijking de moeilijkste stap is bij het oplossen van het vraagstuk, geven we een opwarmertje. Bedek met een blad de rechterhelft en zoek zelf de wiskundige uitdrukking in functie van x .
•
•
•
•
•
•
•
•
het viervoud van een getal drie meer dan een getal twee opeenvolgende getallen twee opeenvolgende even getallen een oneven getal vier meer dan het dubbel van een getal het verschil van x en 7
→
→
→
→
→
→
x en x + 1 2x en 2x + 2 2x + 1
x en 10 − x
x −7 3 x 4
•
drie vierde van een getal
→
•
twee getallen die als product 10 geven
→
twee getallen waarvan het verschil 10 is
x +3
→
→
•
4x
2x + 4
twee getallen die als som 10 geven
het drievoud van de som van 2 en x
x 2
→
•
•
240
de helft van een getal
→
→
x en
10 x
3 · (2 + x ) x en 10 + x
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
2 Oplossen van een vraagstuk Hoe een vraagstuk oplossen met een vergelijking : STAP 1 :
Lees en herlees het vraagstuk. Je weet waarover het gaat en wat er gezocht wordt.
STAP 2 : Geef een betekenis aan de onbekende x. Als er meerdere dingen gevraagd zijn, kan de keuze van x het je een stuk makkelijker maken.
STAP 3 : Zet het vraagstuk om in een vergelijking. Zoek in de tekst naar een gelijkheid. Meestal is dit weergegeven door ‘is’ of ‘is gelijk aan’.
STAP 4 :
Los de vergelijking op. Dit is meestal geen probleem, omdat je al moeilijkere vergelijkingen opgelost hebt.
STAP 5 :
Geef een antwoord op de vraag.
De proef maken via de vergelijking is geen garantie, want je kunt een foute vergelijking opgesteld hebben. Maak daarom ook een proef op het vraagstuk zelf. Wees ook kritisch over je antwoord. Is je antwoord wel realistisch ? Een vader die 3,6 jaar jong is ; een persoon die per maand € 2,00 verdient ; mijn broers die –6 euro moeten verdelen of 11,24 personen die aanwezig zijn op een toneelvoorstelling … Het zijn allemaal antwoorden die erg onwaarschijnlijk zijn.
Voorbeeld 1 : een geheim getal Ismaël heeft op een papiertje een getal neergeschreven. Zijn vriend Tom moet dat getal achterhalen. Hij krijgt van Ismaël volgende informatie …
A ls je het neergeschreven getal met 2 vermenigvuldigt en het resultaat nadien met 18 vermindert, dan krijg je 12.
STAP 1 : Tom leest en herleest het vraagstuk. Hij weet dat hij een getal moet vinden.
STAP 2 : Tom geeft aan de onbekende x een betekenis : x is het neergeschreven getal. STAP 3 : Tom stelt de vergelijking op :
Het neergeschreven getal vermenigvuldigen met 2. → 2x
Dat resultaat verminderen met 18.
→ 2x – 18
Dan krijg je 12. → 2x – 18 = 12
STAP 4 : Hij lost de vergelijking op :
2x − 18 = 12 2x = 12 + 18 2x = 30 x = 15
STAP 5 :
Tom formuleert een antwoord.
Het getal dat Ismaël neergeschreven heeft, is 15.
Controle : 2 · 15 – 18 = 30 – 18 = 12. De proef klopt. 241
5
Voorbeeld 2 : in de toneelzaal Bij een toneelvoorstelling zijn er toegangskaarten van 4 euro (voor kinderen) en van 7 euro (voor volwassenen). In totaal zijn er 400 mensen in de zaal, die allen samen aan de kassa 2110 euro betaalden. Hoeveel volwassenen en hoeveel kinderen zitten er in de zaal ?
STAP 1 : Je leest een vraagstuk en merkt dat dit vraagstuk moeilijker is dan de vorige omdat hier twee dingen worden gevraagd. Ook het opstellen van de vergelijking vraagt wat meer werk. Daarom zul je eerst proberen te schatten. SCHATTEN EN REDENEREN
OPSTELLEN EN VERGELIJKEN
Stel : er zijn 250 kinderen. Dan zijn er
Om de vergelijking op te stellen zul je het blauwe
150 ( = 400 – 250) volwassenen.
en rode getal vervangen door een uitdrukking in x .
4 · 250 + 7 · 150 = bedrag in de kassa
Er zijn geen 250 kinderen maar x kinderen. Er zijn geen 150 volwassenen maar 400 – x volwassenen. Het bedrag in de kassa moet 2110 euro zijn.
STAP 2 : x is het aantal kinderen in de zaal. 400 – x is het aantal volwassenen in de zaal
STAP 3 : De vergelijking wordt dan : 4 · x + 7 · ( 400 – x ) = 2110 STAP 4 :
4x + 7 · (400 − x ) = 2110 4x + 2800 − 7x = 2110 4x − 7x = 2110 − 2800 −3x = −690 x = 230
STAP 5 :
Er waren 230 kinderen en 170 volwassenen op de voorstelling.
Controle : 4 · 230 + 7 · 170 = 2110
242
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
Voorbeeld 3 :
W ISK U N DE & C U LT U U R
Het Parthenon in Griekenland was oorspronkelijk de tempel van de godin Athena. De tempel werd voor het eerst gebouwd in de zesde eeuw voor Christus. In het begin van die eeuw was er een grondige renovatie. Heel wat stukken van het Parthenon werden weggehaald, gerestaureerd en teruggeplaatst. Als de stukken per 5 op een pallet gelegd werden, waren er 5 palletten meer nodig dan als de stukken per 6 op een pallet gelegd werden. Hoeveel stukken van het Parthenon werden gerestaureerd ?
STAP 1 : Je leest en herleest het vraagstuk. Als je verdeelt per 5, dan moet je het aantal stukken delen door 5. Als je verdeelt per 6, dan moet je het aantal delen door 6.
STAP 2 : x is het aantal stukken dat gerestaureerd werd. STAP 3 : De vergelijking wordt :
x x = +5 5 6
x x = +5 5 6
STAP 4 :
30 ·
x x = 30 · + 30 · 5 5 6
6x = 5x + 150 6x − 5x = 150 x = 150
STAP 5 :
Er werden 150 stukken van het Parthenon gerestaureerd.
Controle : Als je 150 deelt door 6, dan bekom je 25. Als je 150 deelt door 5, dan bekom je 30, dat is 5 meer dan 25.
3 Samenvatting • Je kunt een vraagstuk oplossen dat leidt tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende. Stap 1 : Lees en herlees grondig het vraagstuk. Stap 2 : Geef een betekenis aan de onbekende x . Stap 3 : Zet het vraagstuk om in een vergelijking. Stap 4 : Los de vergelijking op. Stap 5 : Geef een duidelijk antwoord op de vraag.
243
5
4 Oefeningen 1
2
Noteer in symbolen. a het zesvoud van x
___________________________________________________________________
b de helft van x
___________________________________________________________________
c acht maal x
___________________________________________________________________
d het verschil van x en 5
___________________________________________________________________
e het quotiĂŤnt van x en 3
___________________________________________________________________
f
het verschil van 5 en x
___________________________________________________________________
g het omgekeerde van x
___________________________________________________________________
h het tegengestelde van x
___________________________________________________________________
i
het dubbel van x + 1
___________________________________________________________________
j
1 meer dan het dubbel van x
___________________________________________________________________
k 6 minder dan het drievoud van x
___________________________________________________________________
l
___________________________________________________________________
de helft van x vermeerderd met 5
Noteer in symbolen. a twee opeenvolgende even getallen
_________________________________________________________
b twee opeenvolgende oneven getallen
_________________________________________________________
c vijf minder dan de helft van x
_________________________________________________________
d de som van de kwadraten van x en y
_________________________________________________________
e het kwadraat van de som van x en y
_________________________________________________________
f twee opeenvolgende oneven getallen,
waarvan 2x + 1 het grootste is
_________________________________________________________
g het tegengestelde van het omgekeerde van x
_________________________________________________________
h het omgekeerde van het tegengestelde van x
_________________________________________________________
i
de helft van het verschil van x en 8
_________________________________________________________
j
twee opeenvolgende drievouden
_________________________________________________________
k twee opeenvolgende drievouden
l
waarvan het grootste ook een zesvoud is
_________________________________________________________
drie meer dan het dubbel van x
_________________________________________________________
244
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
3
Vul in met de gepaste lettervorm. a Saartje is nu x jaar oud. Hoe oud is ze binnen 5 jaar ?
___________________________________
b Mauro heeft 65 euro in zijn spaarpot. Hij geeft er x euro van uit. Hoeveel euro heeft hij nog ?
___________________________________
c Samen hebben Miel en Tuur 1700 postzegels. Als Miel er x heeft, hoeveel heeft Tuur er dan ?
___________________________________
d Als de lengte van een rechthoek zes keer zo groot is als de breedte x , hoe noteer je dan die lengte ?
___________________________________
e Tim en Klaas maakten samen 15 doelpunten. Tim maakte er x . Hoeveel keer scoorde Klaas ?
___________________________________
f Anke en Jolien hebben samen 100 stripalbums. Anke heeft x strips. Als ze met elkaar 25 strips ruilen, hoeveel strips heeft Anke dan ?
___________________________________
g In onze klas zitten 27 leerlingen, waarvan x jongens. Hoeveel meisjes zitten er in onze klas ?
___________________________________
h Ik heb x briefjes van 10 euro in mijn portefeuille. Met hoeveel euro komt dit overeen ?
4
___________________________________
Los deze vraagstukken op door middel van een vergelijking. a Tel je bij een getal 7 op, dan bekom je –11. Wat is dat getal ?
c
Margaux en Coralie verdelen 21 euro zodat Margaux het dubbel krijgt van Coralie. Hoeveel krijgt elk ?
2 van mijn verzameling strips verkoop, 3 dan heb ik er nog 75 over. Hoeveel strips heb ik ?
b Als ik
1 van mijn spaargeld zou wegschenken, 3 dan heb ik nog net genoeg om een fiets van 249 euro te kopen. Hoeveel spaargeld heb ik ?
d Als ik
245
5
5
Oma verdeelt 30 euro onder Robbe, Klaas en Mats. Robbe krijgt de helft van het bedrag dat Klaas krijgt en Mats krijgt evenveel als de twee anderen samen. Hoeveel krijgt elk ?
6
Een man at 124 druiven op in 4 dagen. Elke dag at hij 6 druiven meer op dan de dag ervoor. Hoeveel druiven at de man de eerste dag ?
7
Volg de onderstaande stappen om de problemen op te lossen. In een paardenstal zijn een aantal paarden en vrouwen aanwezig. Tel ik het aantal hoofden (een paard is een edel dier en heeft dus ook een hoofd), dan krijg ik 41. Tel ik het aantal benen (inderdaad, een paard heeft geen poten, maar benen), dan krijg ik 116. Hoeveel paarden en hoeveel vrouwen zijn er in de stal ?
246
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
8
Enkele zoek-de-leeftijd-probleempjes. a Julie en Aurélie zijn tweelingen van 4 jaar. Wanneer zullen ze samen zo oud zijn als hun vader op dat moment ? De vader is nu 32 jaar. b Bart is 2 jaar ouder dan Lisa en de kleine Maggie is 1 jaar. Over 5 jaar zijn de drie kinderen samen even oud als mama Marge nu is, namelijk 34. Hoe oud zijn Bart en Lisa nu ? c Moeder is momenteel 32 jaar. Haar kinderen zijn 10 jaar, 5 jaar en 3 jaar. Over hoeveel jaar zal moeder net zo oud zijn als alle kinderen samen ? d Samen zijn Kuifje en Zonnebloem 70 jaar jong. Vijf jaar geleden was Zonnebloem vier keer zo oud als Kuifje op dat moment. Hoe oud is Kuifje nu ? e Lars is drie jaar ouder dan Guus. Hun vader is 32 jaar. Over 5 jaar zullen beide kinderen samen zo oud zijn als hun vader op dat moment. Hoe oud zijn ze nu ?
247
5
*
9
Via een online platform koopt Rann 30 liedjes op een legale manier. Een oud liedje kost 0,99 euro, een liedje dat nog geen jaar op de markt is, kost 1,29 euro. In totaal downloadde ze voor 36 euro aan mp3’s. Hoeveel liedjes die nog geen jaar op de markt zijn, kocht Rann ?
*
10
Boer Vandevelde heeft een aantal kippen en schapen. Als hij alle pootjes en poten optelt, komt hij aan 134. Telt hij het aantal koppen samen, dan krijgt hij 50. Hoeveel kippen en schapen heeft boer Vandevelde ? ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
*
11
Professor Arachne verzamelt allerlei soorten spinnen en bijen. In totaal heeft hij nu al 320 diertjes. Als hij alle pootjes zou tellen, zou hij er 2272 tellen. Hoeveel spinnen en hoeveel bijen heeft professor Arachne ? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
248
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
*
12
De speelgoedmaker Gepetto wil weten hoeveel keer zijn houten pop Pinocchio in het komende uur liegt. Als Pinocchio liegt, dan wordt zijn neus 2 cm langer, spreekt hij de waarheid, dan wordt zijn neus 1,5 cm korter. Bij de start van het onderzoek meet de neus van Pinocchio 5 cm. Na één uur heeft Pinocchio 22 keer een uitspraak gedaan, zijn neus is nu 14 cm lang. Hoeveel keer heeft Pinocchio gelogen ? ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
*
13
Op de Kangoeroewedstrijd worden er 24 meerkeuzevragen gesteld. Per juist antwoord krijg je 5 punten en per fout antwoord krijg je 0 punten. Vul je niets in, dan krijg je 1 punt. Van de 24 vragen had Stella er 2 fout. Hoeveel juiste antwoorden gaf Stella als je weet dat zij een score had van 70 punten ? __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
249
5
*
14
Een erfenis van 50 000 euro wordt onder vier zonen verdeeld. De eerste zoon krijgt de helft van het deel van de tweede. De derde krijgt 2500 euro meer dan de eerste en de vierde krijgt zoveel als de drie andere zonen samen. Hoeveel krijgt elke zoon ?
*
15
De rit van Grenoble naar Courchevel in de Tour de France was 195 km lang. Het aantal kilometer dat geklommen moest worden, was 10 km minder lang dan het aantal kilometer dat er afgedaald moest worden. Het vlakke gedeelte was 5 km minder lang dan de beklimmingen en afdalingen samen. Hoeveel kilometer hebben de renners moeten klimmen ?
16
Wat is er aan de hand ? Deze vraagstukken moet je niet oplossen. Bespreek wat er bijzonder aan is. a Onze school maakt voor een project eigen chocoladerepen die verkocht worden tegen 2 euro per reep. De gemiddelde verkoop per leerling bedraagt 35,5 repen. Hoeveel repen werden er door alle leerlingen samen verkocht ?
_______________________________________________________________________________________________________
b Marie laat een terras aanleggen met een oppervlakte van 90 m2. De lengte van dat terras is 10 m. Bovendien voorziet ze een houten omheining die 25 euro per m2 kost.
_______________________________________________________________________________________________________
c Eén liter benzine wordt vandaag verkocht tegen 1,204 euro per liter. In het journaal hoor je dat morgen de prijs met 4 eurocent per liter zal stijgen. Je besluit nog snel je wagen vol te tanken. Hoeveel zal je tankbeurt kosten ?
_______________________________________________________________________________________________________
250
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
*
17
W ISK U N DE & M I LI EU Oude kranten, oude proefwerken, reclamefolders, posters … Het wordt allemaal keurig selectief opgehaald en het krijgt een tweede leven als toiletpapier. a Hoeveel toiletrolletjes worden er jaarlijks verbruikt? Bepaal het aantal door middel van een vergelijking en met volgende gegevens. Als we 10 miljoen minder dan de helft van het aantal zouden nemen, hebben we toiletrolletjes na 10 jaar.
1 van het aantal 21
b Een rolletje bevat 25 m papier. Hoeveel km toiletpapier verbruikt België in 1 jaar ?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
c Hoeveel keer kunnen we hiermee de wereld (omtrek ongeveer 40 000 km) rond ?
*
18
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
Na een comedyshow biedt Xander De Rycke ook graag wat promomateriaal te koop aan, waaronder zijn dvd’s. Zijn team legt vanavond alle dvd’s in rijen van 6 stuks en heeft er dan nog 3 over. Als ze ze leggen in rijen van 8 stuks, dan hebben ze twee rijen minder, maar zijn er 3 dvd’s te kort. Hoeveel dvd’s heeft Xander vanavond in totaal meegebracht ?
© KREW
251
5
*
19
Geldproblemen. a Nadat je papa geld afhaalde aan de automaat heeft hij 270 euro in zijn portefeuille, verdeeld over briefjes van 10 euro en briefjes van 20 euro. Hoeveel briefjes van 10 euro heeft hij als je weet dat er 22 briefjes uit de automaat kwamen ?
b Hoe kun je 2,15 euro betalen in stukken van 5 cent en 20 cent als je in totaal 22 geldstukken hebt ?
c Axelle heeft surfen als nieuwe hobby en koopt een surfpak en een surfplank, samen voor 190 euro. De plank kost 10 euro meer dan het drievoud van de prijs van het surfpak. Hoeveel kost de surfplank ?
252
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
*
20
In een plaatselijke supermarkt is er koffie van 7 euro en van 8,25 euro per kg. Een caféhouder koopt beide soorten en betaalt in totaal voor 10 kg koffie 73,75 euro. Hoeveel kilogram kocht hij van elke soort ? __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
*
21
In een koffiebranderij worden drie soorten koffie gemengd. De eerste soort kost 7 euro per kg, de tweede soort kost 3,20 euro per kg en de derde soort kost 8,20 euro per kg. Van de eerste soort werd tweemaal zoveel gebruikt als van de tweede soort. Van de derde soort koffie werd maar een derde gebruikt van de hoeveelheid van de tweede soort. Bereken de kostprijs voor 1 kg gemengde koffie als je weet dat er in totaal 900 kg koffie werd gemalen. ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
22
Jip heeft n boeken. Als hij vier boeken aan Janneke zou geven, dan zou Janneke dubbel zoveel boeken hebben als Jip. Hoeveel boeken heeft Janneke ? (A) 2 ( n + 4)
(B) 2 ( n + 2)
(C) 2 ( n – 2)
(D) 2 ( n – 4)
(E) 2 ( n – 6)
JWO 2014 tweede ronde, vraag 8 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
253
5
23
In een klas van 33 leerlingen volgt iedereen biologie en /of informatica. Drie van de leerlingen volgen beide vakken. Het aantal leerlingen dat alleen informatica volgt, is het dubbele van het aantal dat alleen biologie volgt. Hoeveel leerlingen volgen informatica ? (A) 15
(B) 18
(C) 20
(D) 22
(E) 23
wizPROF 2015 vraag 7 © Stichting Wiskunde Kangoeroe
24
Een balkvormige doos heeft een volume van 4800 cm3. Hoeveel kleine balkvormige doosjes met afmetingen l = 4 cm, b = 2 cm en h = 2 cm kunnen in die doos als je weet dat de grote doos een vierkant als grondvlak heeft en er geen lege ruimte overblijft ? Kun je met zekerheid de afmetingen van de grote doos bepalen ?
25
De breuken
254
5 5 hebben als product en als som hetzelfde rationaal getal. Bepaal x . en 3 x
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
Vaardigheden | ICT : coderen met de schildpad van GeoGebra 1
Teken met de schildpad een kubus (zijde wordt bepaald door een schuifknop) in cavalièreperspectief.
2
Teken met de schildpad een balk (lengte, breedte en hoogte worden bepaald door schuifknoppen) in cavalièreperspectief.
3
Realiseer dit :
Voorzie 5 schildpadjes en elk schildpadje tekent een andere letter van het woord ‘hello’.
255
5
4
Teken het volgende huis met de schildpad(jes).
5
Laat schildpadjes het volgende kasteel tekenen :
6
Teken met drie schildpadjes een driehoek waarvan de basis 8 cm meet en de aanliggende hoeken 70° en 40° meten.
7
Maak zelf een creatieve tekening met de schildpadjes en toon je werk en de gebruikte scripting aan de klas.
256
219
❒
Ik kan vergelijkingen oplossen waarin haakjes en/of breuken voorkomen.
222
❒
Ik kan een vraagstuk oplossen met behulp van vergelijkingen.
240
❒
T
❒
T T
Ik ken de eigenschappen van gelijkheden die het oplossen van vergelijkingen makkelijker maken.
257
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
Ik kan een vergelijking van de vorm x + a = b , ax = b en ax + b = c oplossen.
T
oké voor examen
ik ken het !
dit moet ik leren
217
Bloom
pagina
5
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
HERHALINGSOEFENINGEN
5
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
Naam
Klas
1
Nummer
Datum
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
…… / 4
Los volgende vergelijkingen op. a
5 –3x = 2
⟺
c 6 – 2x = –15
⟺
b 12x – 32 = 4x + 88
4 · ( –2x + 7) = 5x – ( x + 8) ⟺
d
⟺
258
Totaal
Oplossingsmethodes voor vraagstukken
2
Los volgende vergelijking op.
3
Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing 3 ?
a 3x − 2 = 2x + 1 b x−
4
1 1 = x +1 2 2
…… / 2
3 + 5x 6 − x − = 2 2 3
c
1 1 5 x + x =5− x 3 2 6
d 6x + 2 = 2x + 6
…… / 3 e 0, 5x + 2, 5 = 2x − 3 f
4 1 1 4 x+ = x+ 5 2 2 5
…… / 2
Noteer in wiskundige symbolen. a het drievoud van x
______________________________________________
b vijf meer dan het dubbel van x
______________________________________________
c drie opeenvolgende natuurlijke getallen waarbij n de kleinste is
______________________________________________
d Erik en Sofie zijn samen x jaar. Twee jaar
5
geleden waren ze samen …
______________________________________________
Vader is nu 51 jaar en zijn zoon is 11 jaar. Ooit zal de vader kunnen zeggen dat hij dubbel zou oud is
…… / 3
als zijn zoon. Binnen hoeveel jaar zal dat gebeuren ?
259
5
6
Los volgende vraagstukken op met behulp van een vergelijking.
…… / 3
a Bij een filmvoorstelling zijn 720 betalende toeschouwers aanwezig. Een aantal van hen betaalde 10,50 euro. De anderen betaalden het verminderde tarief van 9 euro. Hoeveel toeschouwers betaalden dit verminderde tarief als je weet dat de ticketopbrengst voor deze zaal 7089 euro bedroeg ?
b Op Christmas Island in de Indische Oceaan valt niet echt veel te beleven.
…… / 3
Een kleine duizend inwoners, enkele tientallen toeristen en dat zal het zijn. Maar elk jaar speelt er zich iets merkwaardigs af. In de maand november, na de eerste regenbui, verlaten enkele krabbetjes het regenwoud, kruipen door en over alles heen en storten zich dan massaal in de oceaan. De mannetjes nemen er een frisse duik en graven zich in het zand in, wachtend op een vrouwtje om de krabbensoort voort te planten. Zodra deze taak erop zit, keren ze terug naar het regenwoud. De vrouwtjes blijven achter en keren een tweetal weken later terug. Als ik hun aantal met zeven zou vermenigvuldigen, heb ik 850 miljoen meer dan een derde van het oorspronkelijke aantal. Bereken het aantal krabben. _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________
260
6
Evenredigheden
De mens Vitruvius is een tekening van Leonardo da Vinci, waarop dit kunstwerk aan de universiteit van Milaan is gebaseerd. Op de tekening vind je een mens terug met ‘ideale verhoudingen’: de afstand van de navel tot aan de tenen verhoudt zich tot de afstand van hoofd tot tenen zoals de afstand van hoofd tot navel zich verhoudt tot de afstand van navel tot tenen. Die verhouding wordt ook wel de gulden snede genoemd en is gelijk aan √ 1+ 5 of ongeveer 1,62. 2 Maar er zitten nog meer dergelijke ideale verhoudingen in het lichaam, zoek maar even op …
Vitruv
2015
ius in Quara ntine – Inte © D W5 rni Fu Bern orisalo ard K houry ne 20 15
6
Evenredigheden 6.1 Evenredigheden
1 Verhoudingen ................................................................... 263 2 Evenredigheid .................................................................. 264 3 Kenmerk van een evenredigheid ................ 265 4 Vierde evenredige ......................................................... 267 5 Middelevenredig ............................................................ 267 6 Omvormen van formules ..................................... 268 7 Samenvatting ................................................................... 269 8 Oefeningen .......................................................................... 270
6.2 Recht en omgekeerd evenredig 1 2
Recht evenredige grootheden ........................ 283 Grafieken van recht evenredige grootheden tekenen met ICT ........................... 285 3 Omgekeerd evenredige grootheden ........ 286 4 Grafieken van omgekeerd evenredige grootheden tekenen met ICT ........................... 288 5 Niet-evenredige grootheden ........................... 289 6 Modelvraagstukken .................................................... 290 7 Samenvatting .................................................................... 291 8 Oefeningen .......................................................................... 292
Extra’s
Syntheseoefeningen ............................................................ 302 Wat moet je kennen en kunnen ? ........................... 304 Herhalingsoefeningen ....................................................... 305
262
Evenredigheden
6.1
Evenredigheden 1 Verhoudingen Verhoudingen kom je overal tegen. Je maakte eerder al kennis met een verhoudingstabel, de regel van drie, schaalberekening, gelijkvormigheid …
Voorbeeld 1: wafelbak Oom Leo en tante Suzy gaan wafels bakken. Hiervoor hebben ze onder andere 900 gram zelfrijzende bloem en 9 eieren nodig. Als Leo in de kast kijkt, vindt hij maar 600 gram bloem. Hoeveel eieren zal Suzy erin mengen ? Oplossing : we stellen een verhoudingstabel op. ·2
:3 HOEVEEL BLOEM (IN GRAM) AANTAL EIEREN
900
300
600
9
3
6
De verhoudingen zijn telkens gelijk:
900 600 300 = = 9 6 3
Antwoord : Tante Suzy zal 6 eieren in 600 gram bloem mengen. Controle : 900 : 9 = 600 : 6
Voorbeeld 2: van Parijs naar Gent Een auto rijdt lange tijd op de autosnelweg met een gemiddelde snelheid van 90 km/h. Op basis van deze gegevens kunnen we een tabel opstellen. TIJD IN UUR
1
3
4
AFGELEGDE WEG IN KM
90
270
360
12 : 00
15 : 00
16 : 00
263
6
2 Evenredigheid evenredigheid Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen. in symbolen :
c a = b d
met b = 0 en d = 0
Voorbeelden : 3 6 = 5 10
Lees: 3 staat tot 5 zoals 6 staat tot 10 of:
3 verhoudt zich tot 5 zoals 6 tot 10.
3 6 9 12 = = = 4 8 12 16
−2 −4 = 7 14
0, 7 7 1 = = 3, 5 35 5
Terminologie : 5 9
264
=
10 18
BEGRIP
a b
=
c d
5, 9, 10 en 18
termen
a , b , c en d
5
de eerste term
a
9
de tweede term
b
10
de derde term
c
18
de vierde term
d
5 en 18
de uiterste termen
a en d
9 en 10
de middelste termen
b en c
Evenredigheden
3 Kenmerk van een evenredigheid Voorbeelden :
Tegenvoorbeelden :
14 7 = 4 2
en 14 · 2 = 4 · 7
3 1 = 8 4
want 3 · 4 = 8 · 1
4 8 = 32 16
en 8 · 16 = 32 · 4
4 16 = 5 25
want 4 · 25 = 5 · 16
300 400 = en 300 · 4 = 3 · 400 3 4 eigenschap in woorden : In een evenredigheid is het product van de uiterste termen gelijk aan het product van de middelste termen. in symbolen :
∀a , c ∈ Q, ∀b , d ∈ Q0 :
a c = =⇒ a · d = b · c b d
We kunnen die eigenschap ook bewijzen. Eerst kijken we goed naar wat we moeten bewijzen. Een gelijkheid wordt herschreven tot een andere gelijkheid zonder noemers.
Bewijs : Gegeven :
c a = b d
b = 0, d = 0
Te bewijzen : a · d = b · c
c a = b d beide leden vermenigvuldigen met b ·d
Bewijs :
a c ·b ·d = ·b ·d b d vereenvoudigen a b
c b ·d = d · ·b · d a ·d = c ·b
265
6
omgekeerde van de eigenschap in woorden : Als twee producten aan elkaar gelijk zijn, dan kun je met de factoren een evenredigheid vormen. in symbolen :
∀a , c ∈ Q, ∀b , d ∈ Q0 :
a · d = b · c =⇒
a c = b d
Ook die eigenschap kunnen we bewijzen. Eerst kijken we eens goed wat we moeten bewijzen. Een gelijkheid wordt herschreven tot een andere gelijkheid met noemers.
Bewijs : Gegeven :
a ·d = b ·c
b = 0, d = 0
c a Te bewijzen : = b d Bewijs :
a ·d = b ·c beide leden delen door b en door d b ·c a ·d = b ·d b ·d vereenvoudigen
(b · d = 0)
a · d
b ·c = b · d b ·d a c = b d
De eigenschap en de omgekeerde eigenschap kunnen we samenvoegen tot een kenmerk. kenmerk van een evenredigheid
∀a , c ∈ Q, ∀b , d ∈ Q0 :
a c = ⇐⇒ a · d = b · c b d
Merk op : Het product van de middelste termen en het product van de uiterste termen worden samen soms de kruisproducten genoemd.
c a = b d
266
Evenredigheden
4 Vierde evenredige vierde evenredige x is de vierde evenredige van de getallen a , b en c ⇐⇒
c a = b x
Voorbeeld : bepaal de vierde evenredige tussen 2, 7 en 8 Dit probleem is makkelijk op te lossen met behulp van het kenmerk van een evenredigheid.
2 8 = 7 x kenmerk van een evenredigheid 2· x = 7·8 2x = 56 x = 28 Antwoord : de vierde evenredige tussen 2, 7 en 8 is 28.
5 Middelevenredig middelevenredig x is middelevenredig tussen de getallen a en b ⇐⇒
x a = x b
Voorbeeld : bepaal de middelevenredigen tussen 2 en 8 Dit probleem is gemakkelijk op te lossen met behulp van het kenmerk van een evenredigheid.
2 x = x 8 kenmerk van een evenredigheid 2·8 = x · x x
2
* We moeten ons afvragen voor welke waarde(n) van x het kwadraat 16 is. Met behulp van je rekenmachine of door jouw kennis van de volkomen
= 16 ∗
x = 4 of x = −4
kwadraten zie je al vlug dat x gelijk kan zijn aan 4. Let op ! Ook het kwadraat van een negatief getal is positief. Welk negatief getal heeft als kwadraat 16 ? Na wat denkwerk vind je dat x ook gelijk kan
zijn aan –4.
Antwoord : 4 en –4 zijn middelevenredig tussen 2 en 8.
Opmerking : – Bepaal de middelevenredigen van a en b :
x a ⇐⇒ x 2 = a · b = x b
Dat wil zeggen dat a · b strikt positief moet zijn, anders is er geen middelevenredige van a en b .
267
6
6 Omvormen van formules Voorbeeld 1 : de wet van Ohm
W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N
De wet van Ohm beschrijft de relatie tussen spanning (U ), stroomsterkte (I ) en weerstand (R ) van een object.
U R = met R : weerstand in ohm ( W) I U : spanning in volt ( V) I : stroomsterkte in ampère ( A)
Een batterij met een weerstand van 10 ohm wordt in een circuit gebracht, waar een stroom gemeten wordt van 2 ampère. Welke spanning levert die batterij ? Oplossing :
U R = I
U = R ·I
In die formule vullen we de gegeven waarden in.
U = 10 W · 2 A = 20 V
Antwoord : De spanning van deze batterij is 20 V.
Voorbeeld 2: oppervlakte trapezium
C
D
De oppervlakte van een trapezium wordt bepaald door de formule :
(B + b ) · h met A : oppervlakte A = 2 B : lengte grote basis b : lengte kleine basis 2 · A = (B + b ) · h h : hoogte
3 cm
B
5 cm
2 · A de lengte van de kleine basis van dit trapezium als je weet dat de oppervlakte 12,75 cm2 is. Bepaal = B +b h Oplossing : 2·A − B =A b= (B + b ) · h h 2 2 · A = (B + b ) · h
In de omgevormde formule vullen we de gegeven waarden in.
b =
2·A = B +b h 2·A −B = b h
2 · 12, 75 −5 3
= 8, 5 − 5 = 3, 5
Antwoord : de kleine basis heeft een lengte van 3,5 cm. Controle:
268
(5 + 3, 5) · 3 = 12, 75 2
A
Evenredigheden
7 Samenvatting • Je kunt eenvoudige problemen oplossen met een verhoudingstabel. • Je weet dat een evenredigheid een gelijkheid is van twee (of meer) verhoudingen.
a c = b d
b = 0, d = 0
• Je kent de terminologie bij evenredigheden. a
b
=
c d
a :
de eerste term
b :
de tweede term
c :
de derde term
d :
de vierde term
a en d :
de uiterste termen
b en c :
de middelste termen
• Je kunt het kenmerk van een evenredigheid formuleren in woorden en symbolen. Je kunt de twee eigenschappen bewijzen waaruit het kenmerk is opgebouwd.
∀ a , c ∈ Q, ∀ b , d ∈ Q0 :
a c = b d
⇐⇒
a ·d = b ·c
• Je kunt de vierde evenredige berekenen in een evenredigheid als de eerste drie termen in de evenredigheid gegeven zijn.
x is de vierde evenredige van de getallen a , b en c ⇐⇒
c a = b x
• Je kunt de middelevenredigen berekenen als de uiterste termen in de evenredigheid gegeven zijn.
V
x is middelevenredig tussen de getallen a en b ⇐⇒
x a = x b
erdieping • Je kunt formules omvormen.
269
6
8 Oefeningen 1
Noteer als een verhouding. a één seconde ten opzichte van één minuut b het aantal meisjes in de klas ten opzichte van het aantal jongens in de klas c het aantal lesuren wiskunde deze week t.o.v. het aantal lessen per week d één seizoen t.o.v. één jaar e één centiliter t.o.v. één liter f
de omtrek van een vierkant met zijde 1 t.o.v. de omtrek van een vierkant
met zijde 3
g de oppervlakte van een vierkant met zijde 1 t.o.v. de oppervlakte van
een vierkant met zijde 3
h de inhoud van een kubus met zijde 1 t.o.v. de inhoud van een kubus
2
met zijde 3
Waar koop je het voordeligst 30 eieren? Werk met een verhoudingstabel.
_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
3
In de middeleeuwen werd kaas in Brugge verhandeld met als eenheid de wage. Eén wage van toen komt overeen met 60,6 kg. Als een handelaar na één dag drie wagen kaas had verkocht, met hoeveel kg komt dit dan overeen ?
270
Evenredigheden
4
W ISK U N DE & T ECH N I E K
6
Het oculair van een microscoop geeft aan hoeveel keer er vergroot wordt als je erdoor kijkt. Zo zal een speelgoedmicroscoop met oculair 5 : 1 alles vijf keer vergroten.
Vul de tabel aan als je weet dat de lengte van deze hoofdluis 0,25 cm is. Werk op 0,01 cm nauwkeurig. GEBRUIKT OCULAIR
5 : 1
16 : 1
20 : 1
40 : 1
200 : 1
LENGTE
5
W ISK U N DE & A A R DR IJ K SK U N DE De schaal onderaan een kaart geeft aan in welke mate een bepaalde afstand werd weergegeven. De E 40 ligt voor 4,8 km in de gemeente Ternat.
Kaartgegevens © 2019 Google
*
a Hoe lang wordt dit weergegeven op een kaart met onderstaande schaal ? SCHAAL
1 : 100 000
1 : 25 000
1 : 20 000
1 : 10 000
LENGTE b Op de kaart hierboven ligt de E 40 over 4,8 cm in Ternat.
Op welke schaal werd bovenstaande kaart weergegeven ? ______________________________________________
271
*
6
Als je België in een boek zou weergeven gevuld met topografische kaarten op schaal 1 : 50 000, dan zou dat boek 204 bladzijden dik zijn. Maar het NGI (Nationaal Geografisch Instituut) drukt ook topografische kaarten op schaal 1 : 10 000. Waarom is het een slecht idee om ook die kaarten te bundelen in één boek ?
7
Vorm met de gegeven getallen telkens een evenredigheid. Kijk uit voor de volgorde : als de vier getallen niet in de juiste volgorde staan, moet je ze zelf eerst correct ordenen. a 4 ; 8 ; 16 en 32
b 9 ; 6 ; 24 en 36
f
0,25 ; 0,4 ; 0,5 en 0,8
Leid uit volgende gelijkheden een evenredigheid af. a 8 · 9 = 4 · 18
b –4 · ( –9) = –2 · ( –18) c –1 · ( –4) = –2 · ( –2)
9
d 3 ; 5 ; 15 en 9
8
e 16 ; 1; –2 en – 8
c 36 ; 18 ; 40 en 20
Vervolledig volgende evenredigheden.
−4 −8 −4 −4 121212 −8 −8 c c c === === 66 6
101010 2 2 2 a a a === 55 5
bb b
272
33 3 === 121212 4 4 4
−18 −18 −18 dd d === −25 125 −25 −25 125 125
ee e
−16 484848 −16 −16 === === −63 −63 −63 424242
−16 2 2 2 −16 −16 f f f === 33 3
Evenredigheden
10
Bepaal x in de volgende evenredigheden met behulp van de hoofdeigenschap.
a
b
c
d
x 3 = 3 9
4 6 = x 12
x 6 = 5 15
2 x = 3 4
e
f
x −9 = −4 10
−4 2 = 5 −x
i
j
g
−x 5 = 7 11
k
h
13 −36 = x 9
l
2x 12 = 5 3
5 −x = 10 −2
14 2 = 23 3x
−3 = 2 10x
273
6
*
11
Bepaal x in de volgende evenredigheden met behulp van het kenmerk van een evenredigheid.
a
1 −2 = 4 x 3
d
b
c
274
12 x = 25 −5 −3
5 3 1 6
=
x 9 2
e
f
1 2 3 5
=
3 2
x
x
= −3
0, 8 0, 4 = x 3, 9
x 1 = 4 8 5
3 5
g
h
i
2, 5 0, 2 = 2 x
3 −0, 75 = 2x 0, 5
Evenredigheden
12
*
13
Bepaal de vierde evenredige tot :
−6; 21 en − 24
a 5; 7 en 11
c
b 8; 4 en 64
d −11; 3 en − 7
e 1, 8; 2, 4 en 30
2 4 en 3 5
f
8;
e
9 en 0, 36
f
5000 en
Bepaal telkens de middelevenredigen tussen de twee gegeven getallen.
−4 en − 64
a 4 en 16
c
b 3 en 75
d 5 en 2000
1 2
275
6
14
Bepaal x in de volgende evenredigheden.
a
b
c
276
x +2 4 = 3 5
−2 −3 = 2− x 4
5 −3 = x −3 x −1
d
e
f
4− x 5 = −x −3
3 + 2x 2 = 7 − 4x 3
x −4 x −1 = 2 3
Evenredigheden
15
Los elke oefening op en noteer de uitkomst. Zoek de uitkomst op de tekening en kleur dit vak in.
a De vierde evenredige tot 2, −8 en 3 is . . .
c
De oplossing van
De vierde evenredige tot 12, −18 en 4 is . . .
De oplossing van
De vierde evenredige tot
De oplossing van
1 , 3 en 4 is . . . 2
De vierde evenredige tot −25, 2 en 5 is . . .
De oplossing van
De vierde evenredige tot 0, 3; 0, 1 en 0, 6 is . . .
De oplossing van
De vierde evenredige tot a , b 2 en a 2 is . . .
De oplossing van
De vierde evenredige tot a , b en a 2 is . . .
De oplossing van
De vierde evenredige tot −2, −4 en 4 is . . .
De oplossing van
x +3 = 3 is . . . 3 2x − 5 −1 De oplossing van = is . . . 4 2
d De oplossing van
b De oplossing van
De oplossing van
5 x = is . . . 6 5 x −1 = is . . . 6 4 x −9 = is . . . −18 6 2 x = is . . . 0, 4 0, 02 x 2 = is . . . 2 9 a2 a 2b = is . . . b x −a x = is . . . b2 b x −2 = is . . . 18 4, 5 10x + 2 = 2 is . . . 3 x −8 x +3 = is . . . 2 4
–12
3 –– 2
1 –– 9
y2
0,2
2,7
–6
2,4
–––5 8
5 –– 8
x+3
–2,7
–2,4
32
6
26 4,2 y
x –– y
0,8
–4,2
1 –– 4
0,8
b2
100 32
28 –10
29
–0,8
–12 –10 –––– 9
y –– x
– 0,4
–a
6,4 10 ––– 9
–0,8
–32 6,25 9 –– 4
181 –18
–y –– x –0,2
–0,1 2 ab
–ab 24 ––– 7
9 –– 4
ab2
–8
18 8 9,4 –3 ––– 2 0,4 2
–3 6 ––– 25
1
2
3
25,6
a
11
4 –– 9
6 ––– 25
0
24
0 0
19
5
x
a2
7
2 –– 3 9
z
a2b
27
x2
25 ––– 6
–1
–27 –1
–5 0,1
x2y
277
6
16
Los volgende problemen op. a
Zoek twee getallen die zich verhouden als 2 en 5
d De zijden van een driehoek verhouden zich als
en waarvan de som 28 is.
4, 5 en 7. De omtrek van de driehoek is 128 cm. Hoe lang zijn de zijden ?
b Zoek twee getallen die zich verhouden als 4 en 7
e
en waarvan het verschil 18 is.
Een breedbeeldtelevisie heeft als verhouding 16 : 9. Wat is de lengte als de breedte van het toestel 63 cm is ?
c
278
Bepaal de vierde evenredige tot 3a , 2b en 4a .
f
Bepaal de middelevenredigen van 2a en 8a .
Evenredigheden
*
17
In een rechthoekige driehoek is de hoogte op de schuine zijde middelevenredig tussen de stukken waarin zij de schuine zijde verdeelt. Noteer deze uitspraak in symbolen met behulp van de tekening en bepaal de hoogte als je weet dat de schuine zijde 7,24 cm is en | CD | = 3,24 cm. ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
B
___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
A
D
C
___________________________________________________________
18
W ISK U N DE & W E T E N SCH A PPE N
De massadichtheid r van een materiaal drukt de verhouding uit tussen de massa m van het materiaal en zijn volume V .
ρ = met
m V r : massadichtheid
m : massa V : volume
a Vorm de formule om naar V .
b Bereken het volume van een massief gouden beeldje als je weet dat de massadichtheid van goud 19,3 g/cm3 is en het beeldje een massa heeft van 200 gram.
279
6
19
Vorm de volgende formules om naar de gevraagde letter.
a
OPPERVLAKTE VAN EEN RECHTHOEK
A =l ·b
l=
b
OMTREK VAN EEN RECHTHOEK
P = 2 · (l + b )
b=
c
OMTREK VAN EEN VIERKANT
P =4·z
z=
OPPERVLAKTE VAN EEN TRAPEZIUM
A=
(B + b ) · h 2
h=
e
OPPERVLAKTE VAN EEN RUIT
A=
D ·d 2
D=
f
OPPERVLAKTE VAN EEN CIRKEL
A = p · r2
r=
g
TWEEDE WET VAN NEWTON
F =m ·a
a=
h
FORMULE VOOR DE MASSADICHTHEID
ρ=
m V
m=
i
WET VAN OHM
R=
U I
I=
j
FORMULE VOOR DRUK
P=
F A
F=
*k
LENZENFORMULE
1 1 1 = + f b v
v=
*l
WARMTECAPACITEIT
C=
*d
280
Q2 − Q1 T2 − T1
Q2=
Evenredigheden
20
W ISK U N DE & A A R DR IJ K SK U N DE De gemiddelde afstand van de aarde tot de zon wordt 1 AE (astronomische eenheid) genoemd en is ongeveer gelijk aan 150 miljoen km. De omwentelingstijd van de aarde om de zon bedraagt één jaar. Volgende tabel geeft een overzicht van de afstand en de omwentelingstijd van bepaalde planeten ten opzichte van de zon.
PLANEET
MERCURIUS
VENUS
AARDE
MARS
SATURNUS
0,24
0,61
1
1,88
29,5
0,39
0,72
1
1,52
9,54
OMWENTELINGSTIJD IN JAREN (t ) AFSTAND IN AE (d )
a Bereken telkens de verhouding
Wat stel je vast ?
t . d
MERCURIUS
VENUS
AARDE
MARS
SATURNUS
AARDE
MARS
SATURNUS
t d
b Bereken nu telkens de verhouding
Wat stel je vast ? MERCURIUS
t2 . d3 VENUS
t2 d3
* c Wat is de omwentelingstijd van Jupiter als de afstand van Jupiter tot de zon ongeveer gelijk is aan 5,20 AE?
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
281
6
21
Toon aan en probeer, indien mogelijk, de uitspraak ook in woorden te noteren. a
a c a c c a b d ⇐⇒ ⇐⇒ = = d = = b d c d b d b a
b
a c b +d a +c a c b d ⇐⇒ = = ⇐⇒ = = e b d a b b d c a
* c
282
a c b +d a +c ⇐⇒ = = b d a −c b −d
* f
a c 2b − 3d 2a − 3c = = ⇐⇒ b d 6a − c 6b − d
Evenredigheden
6.2
Recht en omgekeerd evenredig 1 Recht evenredige grootheden Voorbeeld 1 : afgelegde weg Tabel : TIJD IN UREN AFGELEGDE WEG (IN KM)
1
2
4
6
100
200
400
600
De tijd en de afgelegde weg zijn afhankelijke grootheden. Als je tweemaal langer rijdt, bij constante snelheid, dan zul je ook tweemaal meer kilometers afleggen. Grafiek : We kunnen dit voorbeeld in een grafiek weergeven. We plaatsen de punten (1, 100), (2, 200), (4, 400) en (6, 600) in het rooster. We stellen vast dat alle roosterpunten op een halfrechte liggen die start in de oorsprong. afgelegde weg in km
800 700 600 500 400 300 200 100 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
tijd in uren
Formule : Het quotiënt van de overeenkomstige maatgetallen is constant :
1 2 4 6 = = = 100 200 400 600
Zo kunnen we een formule opstellen die het lineair verband weergeeft tussen de tijd ( t ) in uren en de afgelegde weg ( s ) in km. De verhouding van de overeenkomstige maatgetallen is constant :
t 1 = ⇐⇒ s = 100 · t s 100
Hierbij noemen we 100 de evenredigheidsfactor.
283
6
Voorbeeld 2 : koffie & espresso Tabel : HOEVEEL KOFFIE (IN GRAM)
100
500
250
1000
AANTAL ESPRESSO’S
12
60
30
120
Als de hoeveelheid koffie vijfmaal groter wordt, dan kunnen er vijfmaal meer espresso’s gemaakt worden. Als de hoeveelheid koffie tweemaal kleiner wordt, dan kunnen er tweemaal minder koppen koffie gemaakt worden. Grafiek : We kunnen dit voorbeeld in een grafiek weergeven. We plaatsen de punten (100, 12), (500, 60), (250, 30) en (1000, 120) in het rooster. aantal espresso’s
140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400 hoeveelheid koffie in gram
We stellen opnieuw vast dat alle roosterpunten op een halfrechte liggen die start in de oorsprong. Formule : De verhouding van de overeenkomstige maatgetallen is constant :
100 500 250 1000 = = = 12 60 30 120
Zo kunnen we nu een formule opstellen die het verband weergeeft tussen het aantal espresso’s ( e ) en de gebruikte hoeveelheid koffie ( k ).
k 100 12 = k ⇐⇒ e = 0, 12k ⇐⇒ 100e = 12k ⇐⇒ e = e 12 100
Hierbij is 0,12 de evenredigheidsfactor. recht evenredig Twee grootheden zijn recht evenredig als het quotiënt van hun overeenkomstige maatgetallen constant is.
Opmerking : Recht evenredige grootheden zullen op een grafiek weergegeven worden als een rechte door de oorsprong. Verklaar waarom dit bij de voorbeelden telkens beperkt bleef tot een halfrechte.
284
Evenredigheden
2 Grafieken van recht evenredige grootheden tekenen met ICT Voorbeeld 1 :
Methode : – Breng de koppels in het rekenblad in. – Versleep de y -as tot de getekende punten mooi in beeld komen. – Zorg ervoor dat de getekende punten enkel de waarde weergeven en niet de naam. – Geef in het algebravenster volgend commando in : functie (100x, 0,10) – Breng de gepaste labels aan op de x -as en op de y -as. Klik daarvoor op de selecteerknop, klik nadien met de rechtermuisknop in het tekenvenster en ga naar tekenvenster ; klik dan op de x -as en pas het label aan. Doe dan hetzelfde voor de y -as.
Voorbeeld 2 :
285
6
3 Omgekeerd evenredige grootheden Voorbeeld 1 : Een auto moet een afstand van 120 km afleggen. De tijd die hiervoor nodig is, is afhankelijk van de snelheid van de auto. Tabel : SNELHEID (IN KM/H)
60
30
120
TIJD (IN UREN)
2
4
1
De snelheid en de tijd zijn afhankelijke grootheden. Als de snelheid tweemaal groter wordt, zal de tijd om dezelfde weg af te leggen tweemaal kleiner worden. Als de snelheid tweemaal kleiner wordt, zal de tijd om dezelfde weg af te leggen tweemaal groter worden. We stellen vast dat het product van de overeenkomstige maatgetallen steeds hetzelfde is. Grafiek : We kunnen ook dit voorbeeld in een grafiek weergeven. We plaatsen de punten (60, 2), (30, 4) en (120, 1) in het rooster en zoeken nog enkele andere punten. Zo vinden 4 we (15, 8) en 90, 3 tijd in uren
8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
snelheid in km
Als je alle punten met een vloeiende lijn verbindt, krijg je de grafiek die hoort bij deze situatie. Deze kromme noemen we ook wel een hyperbooltak. Formule : Het is duidelijk dat het product van de overeenkomstige maatgetallen gelijk is aan 120. 60 · 2 = 30 · 4 = 120 · 1 Woordformule :
snelheid maal tijd = 120 120 Formule in symbolen : v · t = 120 of t = v 286
Evenredigheden
Voorbeeld 2 : De oppervlakte van een parallellogram is 20 dm2. Hoe kunnen de basis en de hoogte variëren ? Tabel : BASIS IN CM
1
2
4
5
10
16
20
HOOGTE IN CM
20
10
5
4
2
1,25
1
De lengte van de basis en de lengte van de hoogte zijn afhankelijke grootheden. Als de basis tweemaal groter wordt, zal de hoogte tweemaal kleiner worden. Als de basis tweemaal kleiner wordt, zal de hoogte tweemaal groter worden. We stellen vast dat het product van de overeenkomstige maatgetallen steeds hetzelfde is. Grafiek : Ook op basis van deze gegevens kan er een grafiek getekend worden. We plaatsen de punten (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2), (16; 1,25) en (20, 1) in het rooster. We herkennen opnieuw een hyperbooltak.
hoogte in cm
12 10 8 6 4 2 0
basis in cm
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Formule : Het is duidelijk dat het product van de overeenkomstige maatgetallen gelijk is aan 20. 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5 Woordformule :
basis maal hoogte = 20
Formule in symbolen : b · h = 20 of h =
20 b
omgekeerd evenredig Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als het product van hun overeenkomstige maatgetallen constant is.
287
6
4 Grafieken van omgekeerd evenredige grootheden tekenen met ICT Voorbeeld 1 :
Methode : – Breng de koppels in het rekenblad in. – Versleep de x -as tot de getekende punten mooi in beeld komen. – Zorg ervoor dat de getekende punten enkel de waarde weergeven en niet de naam. – Geef in het algebravenster volgend commando in : functie 120 , 1,200 x – Breng de gepaste labels aan op de x -as en op de y -as.
Voorbeeld 2 :
288
Evenredigheden
5 Niet-evenredige grootheden Voorbeeld : Hiernaast zie je de aanbieding van de week bij Slagerij Schellekes.
Tabel : AANTAL HAMBURGERS PRIJS IN EURO
1
2
3
4
5
6
7
8
1,70
3,40
5,10
5,10
6,80
8,50
10,20
10,20
Als iemand drie hamburgers wil, dan krijgt hij er vier en betaalt hij 5,10 euro. Als iemand vier hamburgers wil, dan bestelt hij er drie en betaalt hij 5,10 euro. Als iemand zes hamburgers wil, dan krijgt hij een pakket van vier hamburgers voor 5,10 euro en betaalt hij apart nog twee hamburgers. Vaststelling :
3 4 = 5, 10 5, 10
De verhouding van de overeenkomstige maatgetallen is niet constant.
3 · 5,10 ≠ 4 · 5,10
Het product van de overeenkomstige maatgetallen is niet constant.
Besluit : het aantal hamburgers is niet evenredig met de prijs in euro in deze situatie.
Merk op : deze vaststelling blijkt ook duidelijk uit de grafiek. De punten liggen niet op één rechte door de oorsprong en ook niet op een hyperbooltak. prijs in euro
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
aantal hamburgers
289
6
6 Modelvraagstukken Voorbeeld 1 : wateroverlast Een kelder wordt na een overstroming leeggepompt door vier identieke pompen in drie uur. In hoeveel tijd doen zes identieke pompen dit ? Het probleem begrijpen : Ik moet de tijd berekenen. Hoe meer pompen ingezet worden, hoe sneller de kelder leeg is. Oplossing : Tabel : AANTAL POMPEN
4
6
TIJD IN UREN
3
x
Het verband is omgekeerd evenredig : het product van de overeenkomstige maatgetallen is constant.
4·3 = 6· x 12 = 6 · x
x = 2
Antwoord : zes pompen halen de kelder leeg in twee uur. Controle : ik heb minder tijd nodig : dat klopt al en 4 · 3 = 6 · 2.
Voorbeeld 2 : crazy price In de plaatselijke muziekwinkel worden alle cd’s met het label Crazy Price verkocht tegen 4 euro per stuk. Koop je vier cd’s met dit label, dan betaal je 15 euro; Hoeveel zal Laurens betalen als hij negen cd’s met dit label koopt ? Het probleem begrijpen : Ik moet de totale prijs berekenen. Hoe meer cd’s Laurens koopt, hoe meer hij zal betalen. Speciale actie : vier cd’s voor 15 euro. Oplossing : Het verband is niet evenredig omdat er een speciale actie is. Tabel : AANTAL CD’S
1
4
8
9
PRIJS IN EURO
4
15
30
34
Antwoord: Laurens zal 34 euro betalen voor negen cd’s met het label Crazy Price.
290
Evenredigheden
Voorbeeld 3 : stof voor een trouwkleed Daphné is op zoek naar stof voor haar trouwkleed. In de winkel ziet ze een soort die ze heel erg mooi vindt : 4 m stof die 210 euro kost. Hoeveel zal Daphné betalen voor 7 m van die stof ? Het probleem begrijpen : Hoe meer stof ze koopt, hoe meer ze zal betalen. Er is geen promotie. Oplossing : Tabel : LENGTE IN METER PRIJS IN EURO
4
7
210
x
Het verband is recht evenredig : het quotiënt van de overeenkomstige maatgetallen is constant, de evenredigheidsfactor is 52,50.
4 7 = 210 x 4x = 7 · 210 4x = 1470
x = 367, 50
Antwoord : voor zeven meter stof zal Daphné 367,50 euro betalen. Controle : ze zal meer betalen en
4 7 = 120 367, 50
7 Samenvatting • Je weet dat een verband tussen twee grootheden recht evenredig, omgekeerd evenredig of niet-evenredig kan zijn. Twee grootheden zijn recht evenredig als het quotiënt van hun overeenkomstige maatgetallen constant is. Twee grootheden zijn omgekeerde evenredig als het product van hun overeenkomstige maatgetallen constant is. • Je kunt de evenredigheidsfactor bepalen bij recht evenredige grootheden. • Je weet dat de grafische voorstelling van twee recht evenredige grootheden een rechte door de oorsprong is. • Je weet dat de grafische voorstelling van twee omgekeerd evenredige grootheden een hyperbool(tak) is. • Je kunt een formule opstellen die hoort bij twee recht (of omgekeerd) evenredige grootheden.
291
6
8 Oefeningen 1
Kruis aan of het verband recht evenredig (RE), omgekeerd evenredig (OE) of niet evenredig (NE) is.
RE a b c d e
2
Het aantal uren dat ik leer voor mijn
met het percentage dat ik behaal.
proefwerk wiskunde is Het aantal tegels om een garage
met de grootte van de tegels.
te vloeren is Het aantal liter verf dat
met de oppervlakte die geverfd moet
je nodig hebt, is
Mijn gewicht is
worden. met het aantal bouwvakkers die meehelpen. met mijn lengte.
Het deel van de winst van een bedrijf
met het aantal aandeelhouders.
dat één persoon krijgt, is Het brandstofverbruik van
met de afstand die hij aflegt.
een wagen is Het aantal gelijke stukken waarin ik
met de grootte van de stukken.
een taart verdeel, is
k
Het zakgeld dat ik wekelijks krijg, is
l
Het bedrag dat elke erfgenaam krijgt, is
m
met de prijs voor 100 gram snoep.
kunt kopen, is
g
j
met het aantal m3 water.
De hoeveelheid snoep die je met 5 euro
De bouwtijd is
i
NE
De prijs van het waterverbruik is
f
h
OE
met mijn leeftijd. met het aantal erfgenamen. met de tijd tussen bliksem en
De afstand tot het onweer is
donderslag.
Kruis aan of het verband recht evenredig (RE), omgekeerd evenredig (OE) of niet evenredig (NE) is.
RE a
De straal van een cirkel is
b
De hoogte van een prisma is
c
Een zijde van een ruit is
d
De basis van een driehoek is
e
De lengte van de zijde van een kubus is
292
OE
NE met de omtrek van de cirkel. met de oppervlakte van het grondvlak bij een constant volume. met de lengte van de grote diagonaal van de ruit. met de oppervlakte van de driehoek. met de inhoud van de kubus.
Evenredigheden
3
Bij de onderstaande voorbeelden zijn de grootheden steeds recht evenredig. Bepaal telkens de evenredigheidsfactor. a d omtrek opgehaald in cm
sponsorgeld in €
45
•
25
40 35
•
20
30
•
15
25 20
•
10
10
•
5 0
15
•
0
zijde vierkant in cm
1
2
4
3
5
•
5 0
•
0
1
•
•
•
•
•
gelopen km 2
3
4
5
6
b e woordformule : AANTAL CINEMA1 2 3 4 5 loon van de loodgieter = 30 keer het aantal uur TICKETS (c )
PRIJS (€) TE BETALEN (e )
dat hij heeft gewerkt 11,20
22,40
33,60
44,80
56,00
letterformule : l = 30 · u
formule : e = 11,20 · c
c aantal afgelegde km bij constante snelheid
700
• •
600
500
c
•
200
d
•
100 0
b
•
300
•
0
1
tijd in minuten 2
EVENREDIGHEIDSFACTOR
a
•
400
OPGAVE
3
4
5
e
6
293
6
4
Een tandwiel met 27 tanden grijpt in op een tandwiel met 48 tanden. Het eerste doet 96 toeren per minuut. Hoeveel omwentelingen doet het tweede in dezelfde tijd ?
___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
5
Een waterkraan met een debiet van 180 liter per minuut vult een vergaarbak in 3 uur. In hoeveel tijd zal een kraan met een debiet van 120 liter per minuut die bak vullen ? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
6
In Amerika wordt de snelheid in het wegverkeer uitgedrukt in mijl per uur (mph). Op de foto hiernaast zie je borden van snelheidsbeperkingen in Amerika. Welke snelheid zou er in België op staan, mochten die twee voorste borden hier staan, als je weet dat 5 mijl ongeveer overeenkomt met 8 km ?
___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
294
Evenredigheden
7
Een wandelaar legt 22 km af in 4 uur. Hoeveel km zal hij afleggen in 5 uur als zijn snelheid constant blijft ? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
8
Een boom is 8 m hoog en heeft een schaduw van 4,4 m. Op hetzelfde tijdstip heeft een andere boom een schaduw van 9,35 m. Hoe hoog is die andere boom ? _________________________________ _________________________________ _________________________________ _________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
9
Voor 5 m3 eikenhout betaalde een meubelmaker 4500 euro. Hoeveel zou hij voor 8 m3 van gelijkwaardige kwaliteit moeten betalen ? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
295
6
10
Kilian doet vakantiewerk bij IKEA en krijgt hiervoor 12,50 euro per uur. a Maak een tabel met het aantal gewerkte uren ( 0,5 ; 4 ; 8 ; 16 en 32) en zijn loon.
b Het verdiende loon van Kilian en het aantal gewerkte uren zijn … ⬜ recht evenredig. ⬜ omgekeerd evenredig. ⬜ niet evenredig. c Maak een lijngrafiek die het loon weergeeft in functie van het aantal gewerkte uren.
d Bepaal de evenredigheidsfactor. _____________________________________________
11
Frank zal in de zomer een vloer leggen. Hij heeft hiervoor 200 tegels nodig van 9 dm2. Maar in de doe-het-zelfzaak valt zijn oog op mooie tegels van 4 dm2. Hoeveel tegels van 4 dm2 heeft hij nodig om deze vloer te leggen ? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
12
Om een wand te schilderen van 10 m breed en 4 m hoog gebruikt een schilder 5 liter verf. Hoeveel liter verf heeft hij nodig om een wand van 7 m op 4 m te schilderen ? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
296
Evenredigheden
13
Een boer heeft genoeg voer in voorraad om zestig koeien tien weken te kunnen voeren. Hoelang komt hij met dezelfde hoeveelheid toe als hij tien koeien verkoopt ? ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
14
Lore leerde van haar mama een trucje : als je de tijd telt tussen het zien van de bliksem en het horen van de donderslag, dan weet je hoever het onweer verwijderd is. Drie seconden tellen wil zeggen dat het onweer op een kilometer van ons verwijderd is. a Maak een passende tabel bij deze situatie.
b Toon aan dat de tijd recht evenredig is met de afstand. __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ c Maak een grafiek van deze weersituatie.
15
Welke van de volgende grafieken geven het verband tussen twee recht evenredige grootheden ? Welke van de volgende grafieken geven het verband weer tussen twee omgekeerd evenredige grootheden ? y
y
y
y
y
1
1
1
1
1
0
1
➀
x
0
1
➁
recht evenredige grootheden :
x
0
1
➂
x
0
1
➃
x
0
1
➄
x
______________________________________________________________________
omgekeerd evenredige grootheden : ______________________________________________________________________
297
6
16
Kijk bij elke grafiek of de grootheden recht evenredig, omgekeerd evenredig of niet evenredig zijn. Verbind dus telkens een zwart bolletje met een groen bolletje. nodige tijd
medicijn
aantal konijnen
(in dagen)
(in cl)
120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
18
200 150 100
9
50
6
tijd
4
8
12
16
20
(in maanden)
AANTAL GEKWEEKTE KONIJNEN
1
2
3
tijd
(in uren)
4
HOEVEELHEID MEDICIJN DIE VIA INFUUS PER UUR INDRUPPELT
RECHT EVENREDIG
OMGEKEERD EVENREDIG
STROOMSTERKTE EN WEERSTAND BIJ EEN CONSTANTE SPANNING
PRIJS VAN EIEREN IN FUNCTIE VAN HET AANTAL
9
aantal schilders
18
AANTAL NODIGE SCHILDERS EN NODIGE TIJD VOOR SCHILDERWERK
HOOGTE VAN EEN BRANDENDE KAARS EN TIJD
14
1,75
12
1,50
10
2
1,25
8
1,00
6
0,75
1
0,50
4 2
0,25 0,00 0
17
6
h in cm
3
2,00
1 3
NIET EVENREDIG
prijs in euro
I in ampère
3 1
200
400
600
800
R 1000 in ohm
0
2
4
6
8
10
12
14
aantal eieren
t in h
0 0
1
2
3
4
5
Schrijf onder elke tabel of de grootheden recht evenredig, omgekeerd evenredig of niet evenredig zijn. Zet de gegevens om in een grafiek. a AFSTAND IN KM
AANTAL LITER BENZINE
15
1
30
2
60
4
90
6
120
8
__________________________________________________
298
Evenredigheden
b ZIJDE IN CM
OPPERVLAKTE IN CM 2
5
25
10
100
12
144
15
225
20
400
__________________________________________________
c AANTAL ERFGENAMEN
BEDRAG IN EURO DAT GEËRFD WORDT PER PERSOON
1
36 000
2
18 000
3
12 000
4
9000
6
6000
__________________________________________________
d WEERSTAND R
STROOMSTERKTE /
IN OHM
IN AMPÈRE
100
2,32
200
1,16
400
0,58
800
0,29
1000
0,23
__________________________________________________
299
6
*
18
Remafstand van een wagen. Leid uit dit krantenartikel af of de remafstand en snelheid recht evenredige grootheden, omgekeerd evenredige grootheden of niet-evenredige grootheden zijn.
STOPAFSTAND IN METER kilometer per uur / afstand 30 KM/H 13,5 16
DROOG NAT
50 KM/H DROOG NAT
27,5 34
70 KM/H 45,5
DROOG NAT
58
90 KM/H 67,5
DROOG NAT
83
120 KM/H 106
DROOG NAT
144
140 KM/H 140
DROOG NAT
188
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Afstand houden bij mist GENT – Rij niet te snel bij beperkte zichtbaarheid en hou afstand. Zo vermijdt u aanrijdingen bij dichte mist. Maar hoe snel is een aangepaste snelheid bij een beperkte zichtbaarheid ? De rijkswacht heeft daarvoor enkele tips: - op de autoweg is er een afstand van ongeveer veertig meter tussen twee verlichtingspalen; - ziet u slechts één verlichtingspaal, dan mag u maximaal 50 km per uur rijden; - ziet u twee verlichtingspalen, dan mag u 80 km per uur rijden; - ziet u vijf verlichtingspalen, dan mag u 100 km per uur rijden.
Vergeet niet het mistlicht achteraan aan te steken. Het mistlicht brandt uitsluitend als de koplampen zijn aangestoken. Blijf met de kruislichten aan rijden, ook als de mist minder dicht is. Enkele k ilometers verder kan er opnieuw een dicht mistgordijn hangen. ’s Winters kan de mist vastvriezen en wordt het wegdek plots spekglad. Wees daarom bijzonder voorzichtig op ijzelgevoelige plaatsen zoals bruggen en opritten. — J.M.B
__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________
19
Alain zou met een team van twaalf personen op expeditie gaan naar de Noordpool. Hij voorziet voldoende water en voedsel voor tien dagen. AANTAL EXPEDITIELEDEN
a
AANTAL DAGEN VOEDSEL
1 2 3 4 5 6 10 12 20 40 b Het aantal expeditieleden is _______________________ evenredig met het aantal dagen voedsel. c Net voor het vertrek zeggen vier expeditieleden af. Hoeveel dagen kan het team langer op de Noordpool
verblijven met het voorziene voedsel ? ___________________________________________________________________
d Maak met ICT de grafiek die het aantal dagen voedsel weergeeft in functie van het aantal expeditieleden.
300
Evenredigheden
20
Om je weg te vinden naar pakweg Amsterdam of Utrecht, kun een beroep doen op deze wegenkaart van ANWB. De kaart is weergegeven op een schaal van 1 : 200 000. a Als je op de kaart een afstand meet van 5 cm, hoe lang is dit dan in werkelijkheid ?
���������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������
b Vul de tabel verder aan en teken met ICT de bijbehorende grafiek. AFMETING OP KAART
5 cm
(k )
10 cm
15 cm
20 cm
25 cm
WERKELIJKE AFMETING
(w ) c Geef de formule die de werkelijke afstand weergeeft in functie van de gemeten afstand op de kaart.
������������������������������������������������������������������������������������������������������
d Wat is de evenredigheidsfactor ? ��������������������������������������������������������������������
21
De getallen a , b en c verhouden zich als 1 : 2 : 3. Hoe verhouden zich a ( b + c ) , b ( c + a ) en c ( a + b ) ? (A) 5 : 8 : 9
(B) 3 : 5 : 6
(C) 4 : 6 : 7
(D) 5 : 7 : 10
(E) 3 : 7 : 8
VWO 2010 eerste ronde, vraag 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
*
22 Bepaal x zodat
(A)
2 3
1 − 2x 2 − 3x 3 − 4x 4 − 5x
=
5 6
(B)
3 4
(C)
4 5
(D)
5 6
(E)
6 7
JWO 2015 eerste ronde, vraag 25 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
301
6
Syntheseoefeningen SNELREKENEN
Dit laat je zien : Je zegt dat je heel snel bepaalde vermenigvuldigingen uit het hoofd kunt uitrekenen.
Voorbeeld : 297 · 303 Na enkele seconden heb je het antwoord : 89 991.
TOVEREN MET WISKUNDE Je kent ze wel : goochelaars en illusionisten die allerhande toverkunstjes met getallen uitvoeren en daarmee even een wowgevoel creëren. Met de getallenkennis van dit jaar kun je al heel wat van die goochelacts begrijpen en misschien zelfs verklaren. We geven hier zes voorbeelden. Tip : leer eerst het trucje goed uit het hoofd. Oefen enkele keren met je buur in de klas en trek er dan de wijde wereld mee in.
Dit zul je doen : Beide getallen hebben hetzelfde verschil met 300. 297 · 303 = ( 300 – 3) · ( 300 + 3) = 3002 – 32 = 90 000 – 9 = 89 991
Dit is de uitleg : Je steunt volledig op het merkwaardig product Ben je hier goed in ? Dan kun je ook het andere merkwaardig product gebruiken. Laat iemand een getal kiezen en zeg dat jij het kwadraat uit het hoofd zult uitrekenen.
Voorbeeld : 6112 In je hoofd doe je dit : 6112 = ( 600 + 11)2 = 6002 + 2 · 600 · 11 + 112 = 360 000 + 13 200 + 121 = 373 321
LINK
T WISK ME
DE UN
Deelbaarheid door 9
HET MAGISCHE EUROBILJET
Dit laat je zien : – Je neemt een willekeurig eurobiljet uit je portefeuille en vraagt dat iemand het nummer ervan noteert op een blad papier. – Laat dit (grote) getal vermenigvuldigen met een getal naar keuze. Leen je rekenmachine hiervoor uit. – Vraag nu om één cijfer van deze reeks te omcirkelen en daarna dit gigantische getal op het bord te noteren. De cijfers mogen zelfs in een andere volgorde staan, maar het omcirkelde getal moet hij/zij geheimhouden. – Bekijk het getal vanop een afstand en zeg dan het geheime getal.
Dit zul je doen :
Dit laat je zien : – Je vraagt iemand om de maand waarin hij/zij geboren is als een getal op te schrijven. Januari is 1, februari 2 enzovoort. – Tel bij dat getal 2 op. – Vermenigvuldig met 100. – Tel je leeftijd hierbij op. – Trek er 365 van af. – Nu vraag je welk getal de persoon uitkomt. – Nu zeg jij in welke maand de persoon geboren is en hoe oud hij/zij is.
Dit zul je doen : Als de persoon het eindgetal zegt, tel jij in gedachten 165 (te onthouden !) bij dat getal op. De twee cijfers die rechts in het getal staan, wijzen op de leeftijd. Het andere cijfer (of : de andere cijfers) wijst (of : wijzen) op de geboortemaand.
Dit is de uitleg : Je steunt op algebra, de distributieve eigenschap en het rekenen met letters om deze truc te verklaren. Probeer het enkele keren.
Het eurobiljet is niet zo willekeurig gekozen. Vooraf heb je immers nagekeken of het nummer een veelvoud is van 9 ! Dit getal blijft na vermenigvuldiging een veelvoud van 9. Als het grote product op het bord staat, zul je in gedachten alle cijfers schrappen die samen 9 geven. Het geheime getal is dan het verschil van 9 met het resterende cijfer.
Dit is de uitleg : Je leerde dat een getal deelbaar is door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
302
T WISK ME
IK KEN JE LEEFTIJD
(a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2
TRUC 2
Volgorde van de bewerkingen
DE UN
TRUC 3
LINK
(a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2
T WISK ME
LINK
Merkwaardig product
DE UN
TRUC 1
Evenredigheden
TRUC 6 Dit laat je zien :
LINK
Dit laat je zien :
DE UN
KWADRATEREN
Deelbaarheid door 9 ABSURDE TRUC
Je vraagt iemand een getal te geven dat eindigt op een 5. Je belooft snel het kwadraat van dit getal te geven.
Voorbeeld : 652 Na enkele seconden heb je het antwoord : 4225.
Dit zul je doen : Omdat het getal moet eindigen op een 5, zal je antwoord steeds eindigen op 25. Maar er komen nog enkele cijfers voor ! Vermenigvuldig datgene wat voor de 5 staat in de opgave met één meer dan zichzelf. Dat getal plaats je voor de 25.
Voorbeeld : 652
6 · 7 = 4225
Dit is de uitleg : Stel, x is het cijfer dat voor de 5 komt. Dan is het getal dat je als opgave krijgt x 5 ook te noteren als 10 · x + 5. Hierin mag x zelfs een getal van meerdere cijfers vormen. Als je het kwadrateert, heb je dus : ( 10 · x + 5)2 Wat doe je in gedachten ? Je gaat x vermenigvuldigen met ( x + 1). Omdat je de uitkomst voor het getal 25 zal plaatsen, heb je dit eigenlijk met 100 vermenigvuldigd. 100 · x · ( x + 1) Niet vergeten dat je ook de 25 moet bijtellen. 100 · x · ( x + 1) + 25 Uitgewerkt wordt dit : 100x 2 + 100x + 25 En beide resultaten zijn natuurlijk gelijk ! ( 10x + 5)2 = 100x 2 + 100x + 25
Vraag iemand naar de twee laatste cijfers van zijn gsm-nummer en laat hem het volgende berekenen op zijn rekenmachine: – Deze twee cijfers vormen een getal, vermenigvuldig ze met 2. – Tel hier 50 bij op. – Trek er je schoenmaat van af. – Tel je huisnummer erbij op. – Vermenigvuldig met 27. – Trek hier 90 van af. – Maak de som van de cijfers. – Heeft het resultaat meer dan één cijfer ? Maak dan opnieuw de som van de cijfers. – Doe dit tot je maar één cijfer overhoudt. – Draai dan het bord om waar je een grote 9 hebt genoteerd.
Dit zul je doen : Vooraf noteer je een grote 9 op de achterkant van het bord. Daarna geef je de instructies waarvan het lijkt dat ze erg willekeurig zijn gekozen. Wat ook zo is, behalve deze twee : vermenigvuldigen met 27 en er 90 van aftrekken zorgt ervoor dat je resultaat een veelvoud is van 9.
Dit is de uitleg : Je leerde dat een getal deelbaar is door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
Veeltermen vermenigvuldigen
T WISK ME
DE UN
TRUC 5
T WISK ME
LINK
T WISK ME
LINK
Merkwaardig product (a + b )2 = a 2 + 2a b + b 2
DE UN
TRUC 4
SNEL VERMENIGVULDIGEN
Dit laat je zien : Als vervolg op truc drie kun je dit proberen. Vraag twee getallen van telkens twee cijfers. Jij zult zeer snel deze getallen vermenigvuldigen. Je mag zelfs op het bord deze bewerkingen uitvoeren !
Voorbeeld : 53 · 84 = ? Dit zul je doen : Start met de eenheden : 3 · 4 = 12 > eenheden (dus straks maal 1) Vermenigvuldig het eerste cijfer van het eerste getal met het tweede cijfer van het andere getal. Doe hetzelfde met de twee andere cijfers en tel op. 5 · 4 + 3 · 8 = 20 + 24 = 44 > tientallen (dus straks maal 10) Vermenigvuldig de tientallen. 5 · 8 = 40 > honderdtallen (dus straks maal 100) Alles optellen : 40 · 100 + 44 · 10 + 12 = 4000 + 440 + 12 = 4452
Dit is de uitleg : Dit is de wiskundige verklaring. Probeer dit te verklaren (redeneer met de gebruikte kleurcodes).
(50 + 3) · (80 + 4) = 50 · 80 + 50 · 4 + 3 · 80 + 3 · 4 303
6
pagina
ik ken het !
A
❒
Ik ken de definitie van een evenredigheid.
264
T
❒
Ik weet wat bedoeld wordt met eerste, tweede, derde en vierde term.
264
T
❒
Ik weet wat bedoeld wordt met middelste en uiterste termen.
264
A
❒
Ik ken het kenmerk van een evenredigheid.
265
E
❒
Ik kan het kenmerk van een evenredigheid bewijzen.
265
T
❒
Ik ken de definitie van de vierde evenredige tot drie getallen.
267
T
❒
Ik ken de definitie van de middelevenredige van twee getallen.
267
A
❒
Ik kan een formule omvormen naar een gevraagde letter.
268
T
❒
Ik ken de definitie van recht evenredige grootheden.
284
T
❒
Ik kan de evenredigheidsfactor bepalen.
284
T
❒
Ik ken de definitie van omgekeerd evenredige grootheden.
286
T
❒
Ik kan vraagstukken oplossen in verband met evenredigheden.
290
304
oké voor examen
dit moet ik leren
Evenredigheden
Bloom
WAT MOET JE KENNEN EN KUNNEN ?
6
Evenredigheden
Naam
Klas
1
Nummer
Datum
Totaal
Punten
Orde / Stiptheid
Correctheid
…… / 2
Kruis het juiste antwoord aan. RECHT
OMGEKEERD
NIET
EVENREDIG
EVENREDIG
EVENREDIG
De prijs (in euro) van verse kersen en het gewicht (in gram) per aankoop. Het aantal koekjes per persoon en het aantal personen in de groep, bij een vast aantal koekjes. Het gewicht en de leeftijd van een jongere. Het debiet van een kraan en de tijd waarin een volledige emmer wordt gevuld. De lengte van een zijde van een ruit en de omtrek van die ruit.
2
Als ik chocolademousse maak voor de 18 leerlingen van het tweede jaar, gebruik ik 9 eieren.
…… / 2
Hoeveel eieren heb ik nodig als ik chocolademousse wil maken voor 30 leerlingen?
3
Twintig leerlingen van de klas betalen elk 2,20 euro voor een cadeautje voor een zieke klasgenoot.
…… / 2
De klastitularis en de directeur beslissen om mee te doen aan dit mooie idee. Hoeveel zal elke persoon nu moeten betalen ?
305
HERHALINGSOEFENINGEN
6
4
…… / 4
Op de speelplaats van een school hangen een aantal nestkastjes. Daarin verblijven gierzwaluwen. Gierzwaluwen zijn uitstekende zwevers. In pure glijvlucht – dus zonder vleugelslagen en zonder steun van stijgende luchtstromen – kan een gierzwaluw elf meter horizontaal glijden op slechts een meter daling. Bij een daling van 3 meter is de glijafstand dus 33 meter.
DALING
GLIJAFSTAND
in mm
in m
1
11
7
a Vul de tabel hiernaast aan.
15 220 550
b Maak een grafiek in onderstaand rooster van deze situatie.
glijafstand in m
500 400 300 200 100 0
daling in mm
0
10
20
30
40
50
c Maak een formule in symbolen voor dit verband.
d Hoe noemen we de grafische voorstelling ?
5
_____________________________________________________
Vul aan. De vierde evenredige tot 6, 9 en 18 is ____________________ De middelevenredige van 2 en 72 is ____________________
306
…… / 2
Evenredigheden
6
…… / 2
Vorm een evenredigheid … a … met volgende getallen : 45, 21, 15 en 7.
7
Bereken de waarde van x door het kenmerk van een evenredigheid toe te passen.
x −11 = 24 8
a
b
8
b … waarvan 4 en 20 de middelste termen zijn.
…… / 3
−2 3 = x +2 x −1
Een garage meet 9 m bij 4 m. Thomas zal de garage betegelen en bestudeert vier verschillende
…… / 3
tegelgroottes : 10 cm op 10 cm, 20 cm op 20 cm, 30 cm op 30 cm en 40 cm op 40 cm. a Vul deze tabel aan. OPPERVLAKTE GARAGE
OPPERVLAKTE TEGELS
AANTAL TEGELS
b Bij een constante oppervlakte (hier 36 m2) is het aantal gebruikte tegels _______________________________
met de oppervlakte van één tegel.
c Maak een passende lijngrafiek die het aantal tegels weergeeft in functie van de oppervlakte van één tegel.
307
6
Trefwoordenregister
A
H
absolute frequentie 173
herleiden 115
AE 89, 281
hyperbooltak 286
Ångström 89
B
ingenieursnotatie 82, 90
bladeren 181
irrationale getallen 9
C
K
categorische data 174
kwadraat van een tweeterm 147
centrummaten 183 cijfergedeelte 99
L
coëfficiënt 100
lettergedeelte 99
D
M
deelverzameling 10
macht met negatieve exponent 52
doorsnede 11
machten 15
drieterm 103
massadichtheid 279
dubbel stengelbladdiagram 190
mediaan 183
E
merkwaardige producten 147 middelevenredig 267
eenterm 100
middelste termen 264
element 10
modus 183
evenredigheid 264 evenredigheidsfactor 283
N
exponent 15
natuurlijke getallen 9
F formules omvormen 268 frequentietabel 173
G
Newton 161 numerieke data 173
O omgekeerd evenredig 287
Galois 133
P
Gauss 140
priemgetal 104
gehele getallen 9
procentrekenen 37
gelijkheid 217
product van toegevoegde tweetermen 148
gelijksoortige eentermen 101 gemiddelde 183 getalwaarde 101, 104 graad 100, 103 grondtal 15
308
I
Trefwoordenregister
R
V
rangschikken 115
variatiebreedte 184, 187
rationale getallen 9
veelterm 103
recht evenredig 284
vergelijking 35, 219
regel van drie 33
verhoudingen 263
regelmaat 34
verhoudingstabel 33
rekenregels machten 53
verschil 11
S
vierde evenredige 267 vierkantswortel 16
spreiding 187
volgorde van de bewerkingen 17
stengel 181
vraagstuk 36, 240
stengelbladdiagram 181
T
W wetenschappelijke schrijfwijze 81
technische notatie 90 toegevoegde tweetermen 148 tweeterm 103
U uiterste termen 264 uitschieters 184 unie 11
309