wiskunde
Aangepast aan de hervorming van de eerste graad secundair onderwijs.
2> 3
Hoe dit boekje gebruiken?
Joepie! Het is vakantie. Je tweede jaar in het middelbaar onderwijs zit erop. Mooi zo. En wat heb je nu in je handen? Een vakantieboekje wiskunde!
Ten eerste: geniet van je vakantie!
Neem rustig een volledige maand vrijaf! Het is je gegund. Als je dan in augustus elke dag één of twee bladzijden in dit boekje werkt, dan heb je de leerstof opgefrist als je op 1 september in je derde jaar start.
Ten tweede: leuke thema's.
We hebben geprobeerd om in dit boekje de wiskunde heel cool voor te stellen. Alle oefeningen zijn ingekleed in een van deze drie thema's: Egypte, Muziek en Kicks and Tricks.
Ten derde: toch een probleem?
Je kunt achteraan een theoriegids vinden. Hierin is het tweede jaar wiskunde samengevat in zes bladzijden. De gids zal je zeker helpen bij het oplossen van oefeningen.
Hou je van een wiskundige uitdaging? Durf je af en toe een echte breinbreker aan?
Ik plan dit op:
1.
Egypte
O
Verder
7 Suske
.............................................. 8 Waar
9 Het
10 Een
11 De
12 Goden in
13 Knutsel
in
..................................... 13 Mysteries
14
15
Met de bus van Aswan naar Abu Simbel .......... 4
verleven in de woestijn ................................................ 6
reizen door Egypte
en Wiske in Egypte
of vals?
land van de farao's
opdracht van de farao ...........................................
tempel van Luxor
het Egyptische rijk
je piramide
elkaar
in Egypte
Tijd voor een zandrace ...................................................
Vermenigvuldigen aan de Nijl ................................... 16
THEMA 1 BLZ. OEFENING BV 4a 5b, c, d 6 7 a, b 8 9 10 a, b, c, d 11 12 13 14 a, b, c 15 16 17 2. Muziek Waar of niet waar? ............................................................. 18 Muzikale supersterren ..................................................... 19 Night of the Proms 20 The Beatles winnen........................................................... 21 Maak kennis met een paradox 21 Is dat echt zo? 22 Ben jij ook FAN? ................................................................. 22 Een eigen YouTube–kanaal? 23 Symmetrie in muzieklogo's 24 Grote en kleine getallen ................................................ 25 Van welke muziek hou jij? 26 Made in Belgium ................................................................ 27 Woordenschat van het 2e jaar wiskunde ........ 28 Ultratop 30 Play music................................................................................. 31
plan dit op: THEMA 2 BLZ. OEFENING BV 18 19 20 21 a–j 21 paradoxen 22 23 24 25 26 27 28 30 31
Ik
In het middenvan dit boekje vind jede oplossingen van de oefeningen. Haal de oplossingen uit het boekje en gebruik ze om jezelf te verbeteren.
vergeten hoe een oefening
worden? De theoriegids vind je van blz. 46tot en met 51.
De theoriegids
Een overzicht van de leerstof wiskunde in het tweede jaar
46
3
..............................................
inhoud 17 Thema 1 Egypte Product van toegevoegde tweetermen ( + 7) – 7) = ____________________________________________________________________________ b ( – 2) + 2) = ____________________________________________________________________________ c (–6 + a a + 6) = ____________________________________________________________________________ d (3 4 (3 4 + ) (–0,5 + ) + 0,5) = ____________________________________________________________________________ ( 4 5 xy) xy 4 5 = ____________________________________________________________________________ g (–a – 5) (5 – a = ____________________________________________________________________________ h (xy z – 1) xy + 1) = ____________________________________________________________________________ ( 7 8 (– 7 8 (–10 – (–10 + ) = ____________________________________________________________________________ k ( a + b – 2 ( a + b + 2 = ____________________________________________________________________________ breker Brein Verdeel dit plusteken in vier congruente figuren. De theoriegids Delen Om breuken door elkaar te delen (waarbij de tweede breuk niet nul is), vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. a b c d a b d vb.: 7 2 7 3 21 Machten Om een breuk tot een macht te verheffen moet je de teller en de noemer van die breuk tot de macht verheffen. vb.: ( 3 4 ) 3 4 9 16 3. Volgorde van de bewerkingen –Eerst reken je uit wat tussen haakjes staat. –Bereken de machten en de vierkantswortels. –Maak de vermenigvuldigingen en de delingen. Indien er meerdere vermenigvuldigingen en/of delingen staan, dan werk je die uit van links naar rechts. –Maak de optellingen en aftrekkingen. Indien er meerdere optellingen en/of aftrekkingen staan, dan werk je die uit van links naar rechts. vb.: 9 + 2 3 4 – (4 + 6) = 9 + 2 3 4 – 10 = 9 + 2 9 4 – 10 = 9 + 72 – 10 = 71 4. Machten a a a a a n factoren = a a b ( b b vb 5 = 5 5 5 = 125 –3 64 5 = ( 7 5 ) = 49 25 1. Rekenen met gehele getallen Hoe tel je gehele getallen op? –Hebben de gehele getallen hetzelfde teken, dan tel je de absolute waarden op en je behoudt het teken. vb.: (–9) + (–6) = –15 –Hebben de gehele getallen een verschillend teken, dan trek je de absolute waarden af en neem je het teken van het getal met de grootste absolute waarde. vb.: 9 + (–6) = 3–9 + 6 = –3 Hoe trek je twee gehele getallen van elkaar af? b + (–b vb.: –9 – 6 = –9 + (–6) = –15 Hoe vermenigvuldig (of deel) je gehele getallen? Bepaal vooraf het teken (negatief als er een oneven aantal mintekens in de opgave staat). Vermenigvuldig (of deel) dan de absolute waarden. vb.: –5 3 = –15 –18 (–3) = 6 Hoe bereken je de macht van een negatief getal? Bereken de macht van de absolute waarde van dit getal. Is de exponent even, dan is het resultaat positief; is de exponent oneven, dan is het resultaat negatief. vb.: (–5) = 25(–5) = –125 Merk op: – (zonder haakjes) is steeds negatief! vb.: –5 = –25 2. Rekenen met breuken Om breuken op te tellen of af te trekken: –Vereenvoudig (indien mogelijk) elke breuk. –Maak de breuken gelijknamig. –Maak de som of het verschil van de tellers en behoud de –Vereenvoudig (indien mogelijk) het resultaat. a b c b a c b vb.: 1 3 20 16 1 3 5 4 4 12 15 12 19 12 Vermenigvuldigen Om breuken te vermenigvuldigen bepaal je vooraf het teken van het product. Vermenigvuldig de tellers met elkaar en vermenigvuldig de noemers met elkaar en vereenvoudig indien mogelijk. (Je kan zelfs vereenvoudigen voor je het product uitrekent.) b d b d vb.: 9 7 15 9 7 21 5 3 5 uitneembaar uitneembaar Oplossingen blz.26 c 120 personen blz. 27 (– √ – 2 ) – (– ) • •• • • • • x –x x blz. 27 BREINBREKER leeftijd Lise 1 2 x leeftijd Tine 3 x leeftijd Marie vergelijking: + 2 + 3 = 11 6 + 3 + 2 = 66 Antwoord: Lise is 6, Tine is 3 en Marie is 2 jaar jong. blz. 28 SCHALMEI (middeleeuws blaasinstrument) blz. 28 BREINBREKER cd van Ed Sheeran: 11 euro cd van The Chainsmokers: 14 euro cd van Drake: 17 euro blz. 29 gelijksoortig 12 2 evenredigheid 13 acht 3 nevenhoeken 14 supplement 4 congruent 15 coëfficiënt 5 vector 16 kegel 6 product 17 complement bissectrice 18 toegevoegde 8 positief 19 veertig 9 hoek 20 ruit 10 dertien 21 trapezium 11 lengte 22 ZZZ blz. 21 BREINBREKER De uitspraak is: ‘Ik zal worden gevierendeeld’. blz. 22 AAAI LOVE MATH F en F even groot overeenkomstig supplementair  en  supplementair binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn N en N even groot verwisselende binnenhoeken blz. 23 blz. 23 BREINBREKER Vbekertje 16 cm ≈ 0,804248 dm aantal bekertjes: 10 138 (8154 0,804248) blz. 24 a draaisymetrie (72°, 144°, 216° en 288° om het midden van de figuur) b symmetrie om een as c symmetrie om een as dsymmetrie om een as esymmetrie om een punt en draaisymmetrie (180°) fgeen symmetrie blz. 25 d 5,6 g 1,7 b 10–6 e 1,5 10 h 4,5 10 c 5,1 10 7 10 10 blz. 25 BREINBREKER 5,3 10 30
Even
opgelostmoet
Ik plan dit op: 3. K icks and Tricks Getalwaardepaintball ...................................................... 32 Merkwaardige producten ............................................ 33 Zeg het met letters 33 Bij het kampvuur ................................................................ 34 Op pad met een kompas 34 Terug in ons tentenkamp 35 Rafting......................................................................................... 36 Mountainbikeparcours 37 Een weekje surfclub! 38 Vive le tour! ............................................................................. 40 Algebraklimmen 41 Bungeejumpen, rappel en parapente ................ 42 Oefen je tekenvaardigheid .......................................... 43 Sk ateboarding Yeah! 44 Tablettransformaties ........................................................ 45 THEMA 3 BLZ. OEFENING BV 32 33 34 kampvuur 34 kompas 34kampbuur b 35 36 I, III, IV 36 II, V 37 I, III, IV 37 II, V, VI 38 39 40 41 42 43 44 45
Thema 1 EGYPTE
Met de bus
van Aswan naar
Abu Simbel
Abu Simbel is een archeologische site in het zuiden van Egypte aan het Nassermeer. Het bestaat uit twee Egyptische tempels. Die tempels werden uit de bergwand gehouwen onder het bewind van Ramses II (in de 13e eeuw voor Christus).
Een van de tempels is zo georiënteerd dat het opkomende zonlicht er tweemaal per jaar recht kon binnendringen, zodat de opgestelde goden prachtig konden worden belicht. Alleen de god van de duisternis bleef in de schaduw.
Tussen 1964 en 1968 werden beide tempels in grote blokken gezaagd en heropgebouwd op een locatie die hoger lag en verder verwijderd was van de nabijgelegen rivier.
a In hoeveel grote blokken werden de tempels gezaagd? Verzamel daarvoor de cijfers die horen bij de juiste antwoorden. De vier cijfers (in de gegeven volgorde) vormen het antwoord.
PROBLEEMPJE
Bereken.
Bereken.
Los de vergelijking op.
3 · (2x – 1) = –2 · (1 – x)
OPLOSSING
honderd–tallen:
cijfer tientallen:
Wat hoort er op de puntjes?
Antwoord: de tempel werd in ________ stukken gezaagd.
eenheden:
MOGELIJKE OPLOSSINGEN CIJFER VOOR DE CODE
6 + (–5)2 2 – 8 : 2 2 = 54 24 58 1 2 4 cijfer
duizend–tallen:
7
27 15 : ( 9 5
2 = 1 2 1 3 –1 3 3 6 0 cijfer
9 –
)2
–1 4 1 4 1 8 9 3 5
x16 x = x2 8 18 14 4 2 6 cijfer
b De tempel ligt nu hoger dan vroeger. Hoeveel meter werd hij hoger gebouwd?
Om dit te weten los je volgend vraagstuk op.
Als je bij 2 5 van een getal 14 optelt, dan verkrijg je 40. Welk getal is dit?
c De tempel werd ook een aantal meter verder gebouwd van de rivier, veilig weg van het water. Om die afstand te vinden moet je de twee gezochte hoeken optellen en hiervan het maatgetal nemen.
d Heb je de (Egyptische) smaak te pakken? Dan kun je nog veel meer over die tempels opzoeken.
• Hoe heette de vrouw van Ramses II?
• Op welke dagen scheen het zonlicht recht in op de tempel?
• Hoe heette de god van de duisternis?
• Met de bus rijden van Aswan naar Abu Simbel is een gevaarlijke onderneming.
Zijn hierbij al Belgen verongelukt?
Duid de vakjes aan die nog ingekleurd kunnen worden zodat de verkregen figuur de ontwikkeling is van een kubus. Geef alle mogelijkheden.
5 Thema 1 Egypte
breker Brein ? ? 60° 10° A B C D E 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8
Overleven in de woestijn
Egypte is niet enkel bekend voor zijn prachtige piramides, maar ook voor zijn woestijnen. Stel je even voor ...
Je bent al 4 dagen aan het wandelen in de verschroeiende hitte, het water is al sinds gisteren opgebruikt en je bent nog niemand tegengekomen die jou kan helpen. Je voelt je benen niet meer, je wil slapen, opgeven ...
Tot plots ... Ja! Aan de horizon zie je een dorp, maar het lijkt nog heel ver weg en je weet niet of je het zult halen. Je belooft jezelf dat, wanneer het dorp minder dan 6 km ver is, je die afstand wel nog wil afleggen.
Een afstand van meer dan 6 km haal je niet meer.
Bereken de afstand tot het dorp als je weet dat de gegeven driehoeken congruent zijn, dus ∆ABC ≅ ∆DBE.
Zal je de tocht overleven? De getallen zijn uitgedrukt in km.
Thema 1
3x – 2 4 x –1 2,5 A C B E D
Verder reizen door Egypte
Een groep van 150 toeristen maakt een reis door Egypte. Op de laatste dag van de reis mogen ze zelf kiezen wat ze die dag willen bezoeken. Ze kunnen kiezen tussen vijf verschillende excursies.
28 % wil het dodenmasker en de andere gouden sieraden van Toetanchamon in het Egyptisch Museum bezoeken. één tiende wil met de jeep een rit maken door de woestijn.
2 5 kiest voor de Vallei der Koningen, waar men graven van de farao’s kan bekijken.
2 % kiest voor een excursie met kamelen naar duikplaatsen die per boot en per jeep niet bereikbaar zijn. de rest wil een dagje aan het strand doorbrengen.
a Vul de tabel verder aan.
GEKOZEN BESTEMMING AANTAL TOERISTEN
Egyptisch Museum rit door de woestijn
Vallei der Koningen excursie kamelen strand totaal
b Stel de gegevens voor in een cirkeldiagram.
Gebruik de percentages.
Werk deze opdracht (ook) uit met ICT.
Brein
breker
Zoek het kleinste natuurlijk getal (groter dan 90) dat 15 verschillende natuurlijke delers heeft.
7 Thema 1 Egypte
Suske en Wiske in Egypte
In verschillende verhalen van Suske en Wiske kom je in aanraking met de Egyptische cultuur. Misschien heb je wel een van bovenstaande nummers? Toch niet? Dan kan je steeds naar de bibliotheek op zoek naar een Egyptisch avontuur met Suske en Wiske.
In de Poezelige Poes speelt de kat Maroef een belangrijke rol. Wist je dat de kat in het oude Egypte een heilig dier was? Ze werd bovendien vereerd in heel wat tempels. Archeologen hebben ook duizenden gemummificeerde dieren gevonden, waaronder heel veel katten. Bastet, de godin van de vruchtbaarheid, kreeg de kop van een kat. Suske en Wiske komen in hun albums in heel wat avonturen terecht. Ze moeten zich vaak uit hachelijke situaties redden en heel wat problemen oplossen. Speel jij even Suske (of Wiske) en los jij deze problemen op?
a Volstaat het geven van 2 gelijkheden van zijden of hoeken van twee driehoeken om uit te maken of die driehoeken congruent zijn met elkaar?
Zo ja, verklaar.
Zo neen, construeer een tegenvoorbeeld.
c Gegeven: ABCD is een parallellogram.
Gevraagd: toon aan ∆ABC ∆CDA
b Volstaat het geven van 3 gelijkheden van zijden of hoeken van twee driehoeken om uit te maken of die driehoeken congruent zijn met elkaar?
Zo ja, verklaar.
Zo neen, construeer een tegenvoorbeeld.
d Bepaal x als 7 x = 0,5 8 e Bepaal x als x + 2 3 = 2x – 1 5
Thema 1
A 2 1 B D C 2 1
1951 1975 2002 2013
f Twee ICT-opdrachten.
Teken een parallellogram ABCD en een willekeurig punt O.
① Teken de diagonalen van dit parallellogram en noem hun snijpunt M. Zoek het spiegelbeeld van ABCD om O. Versleep O zodat het spiegelbeeld van ABCD samenvalt met zichzelf. Waar ligt O nu?
② Verschuif dit parallellogram volgens → OD.
Noteer in de oorspronkeljke figuur de oppervlakte en doe dit ook in het schuifbeeld. Welke eigenschap heb je geïllustreerd?
Waar of vals?
1 Een gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn.
2 Een rotatie behoudt de evenwijdigheid van rechten.
3 Er bestaan driehoeken met een symmetriemiddelpunt.
4 Vpiramide = Agrondvlak · hoogte
5 Bij cavalièreperspectief worden evenwijdige rechten in de ruimte in de vlakke voorstelling niet altijd evenwijdig getekend.
6 Als in een vierhoek de diagonalen even lang zijn, dan is het een rechthoek.
7 Een piramide en een kubus kunnen nooit dezelfde inhoud hebben.
Brein
breker
Neem een startgetal a. Als a even is, dan halveer je a, zo niet vermenigvuldig je a met 3 en tel je er 1 bij op. Blijf dit herhalen tot je 1 uitkomt.
Voorbeeld: 3 3 + 1 10 : 2 5 3 + 1 16 : 2 8 : 2 4 : 2 2 : 2 1
Hier heb je dus 7 stappen nodig. Hoeveel stappen heb je nodig als je als startgetal 46 neemt?
9 Thema 1 Egypte
VALS EEN WOORDJE
DIT MOET JE BEOORDELEN WAAR
UITLEG
Het land van de farao's
Egypte werd eeuwenlang bestuurd door farao’s. De farao had alle macht in handen en werd aanzien als de vertegenwoordiger van de goden op aarde. Hij was dus eigenlijk half mens en half god. De Egyptenaren dachten dat de farao verder zou leven in het rijk der goden. Daarom moest zijn lichaam goed bewaard blijven en werd het dus zorgvuldig gebalsemd.
Howard Carter ontdekte in 1922 in de Vallei der Koningen het ongeschonden graf van Toetanchamon. De schat die in Toetanchamons graf werd gevonden is te bezichtigen in het Egyptisch Museum in Caïro.
Piramides zijn begraafplaatsen van farao’s. Wellicht ken je de piramide van Cheops, het enige van de zeven klassieke wereldwonderen dat tot vandaag bewaard is gebleven.
a Zoek de andere zes klassieke wereldwonderen op.
b Bereken telkens het volume. Gebruik het formularium op blz. 51.
KUBUS
Een kubus waarvan de zijde 4,5 m lang is.
Druk het volume uit in m3.
BALK
Een balk met l = 7,8 cm; b = 25 cm en h = 4 dm.
Druk het volume uit in dm3.
c Kijk aandachtig naar de piramide die hiernaast werd getekend.
– Snijden TC en AB elkaar?
– Snijden TC en AC elkaar?
– Welke drie rechten gaan door één punt?
Zo ja, in welk punt?
Zo ja, in welk punt?
d Dit is het vooraanzicht van een piramide. Zoek het bijpassende bovenaanzicht.
PIRAMIDE
Een piramide met een vierkant als grondvlak (zijde 30 cm) en een hoogte van 50 cm.
Druk het volume uit in dm3
Thema 1
A B C T (1)
(3) (4)
(2)