Soorten gegevens en opstellen van frequentietabellen
2
1 ) Soorten gegevens Als we de lichaamslengte opmeten van bepaalde personen dan kunnen we met die meetresultaten gaan rekenen. We kunnen bijvoorbeeld de gemiddelde lichaamslengte bepalen. Daarom noemen we de lichaamslengte van personen een kwantitatief gegeven. Bij kwantitatieve gegevens maken we ook nog onderscheid tussen discrete en continue gegevens. • Discrete gegevens: de uitkomstenverzameling telt slechts een bepaald aantal elementen.
Voorbeelden: aantal kinderen in een gezin, aantal ogen bij het opgooien van een dobbelsteen, aantal doelpun ten in een voetbalmatch, aantal dagen vakantie, aantal kamers in een huis …
• Continue gegevens: de uitkomstenverzameling bevat reële waarden binnen een bepaald interval.
Voorbeelden: lichaamslengte, massa van een boekentas, temperatuur, gegooide afstand bij het kogelstoten …
Als we aan een aantal personen vragen hoe goed ze met Excel kunnen omgaan, laten we ze kiezen tussen ZEER GOED / GOED / VOLDOENDE / ONVOLDOENDE / SLECHT / NIET Dan hebben we te maken met een kwalitatief gegeven omdat rekenen hiermee niet mogelijk is. We kunnen wel een zekere ordening doorvoeren en de resultaten rangschikken. Daarom noemen we dit gegeven ook een ordinaal gegeven. Als we de kleur van iemands ogen willen weten, dan is het niet aangewezen om met dit gegeven te rekenen. De kleur van iemands ogen noemen we een kwalitatief gegeven. Omdat ook het zinvol ordenen hier niet van toepassing is, spreken we van een nominaal gegeven. We vatten alles samen in volgend schema: GEGEVEN zinvol rekenen mogelijk? JA
NEEN
kwantitatief gegeven
kwalitatief gegeven
liggen de waarden binnen
zinvol ordenen mogelijk?
een bepaald interval? JA continu gegeven
NEEN discreet gegeven
JA ordinaal gegeven
NEEN nominaal gegeven
Taak: Ga na met welk soort gegeven je te maken hebt bij: • geslacht van personen • postnummer van de woonplaats • tijden gelopen bij een marathonwedstrijd • aantal kinderen in een huisgezin • examenresultaten (grootste onderscheiding, grote onderscheiding, onderscheiding, voldoende, onvoldoende)
26
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
2 ) Sommatieteken Inleiding Stel dat we volgende som moeten maken: 2 + 4 + 6 + 8 + 10. We kunnen dit ook bekijken als de som van de even natuurlijke getallen vanaf 2 tot en met 10. Deze opdracht kunnen we ook herschrijven met behulp van het sommatieteken 5
2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 =
Σ:
Σ 2i i=1
Een ander voorbeeld: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243. Die opdracht kunnen we ook herschrijven als: 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35
5
Dit is de som van de machten van 3 waarvan de exponent varieert van 0 tot en met 5 of:
Σ3
i
i=0
We kunnen ook omgekeerd te werk gaan en een sommatie uitschrijven: 8
Σ (2i + 1) = (2 ⋅ 4 + 1) + (2 ⋅ 5 + 1) + (2 ⋅ 6 + 1) + (2 ⋅ 7 + 1) + (2 ⋅ 8 + 1) = 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65 i=4
Voorbeeld: In een bepaalde klas wordt gevraagd hoe leerlingen naar school komen. Dit zijn de resultaten: TE VOET
6
n1 = 6
FIETS
8
n2 = 8
BUS
3
n3 = 3
BROMFIETS
5
n4 = 5
TREIN
4
n5 = 4
ANDERE
2
n6 = 2
Het sigmateken
Er geldt: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 28 6
Verkorte notatie:
Σ n = 28 i=1
i
Σ wordt het sommatieteken genoemd.
i: index ni: algemene term De letter i is een sommeringsletter en neemt in dit geval de waarden 1, 2, 3, 4, 5 en 6 aan. 6
Er geldt ook:
6
6
Σn =Σn =Σn i=1
i
j=1
j
k=1
k
Opmerking: Het heeft dus geen belang welke letter men als index gebruikt. Meestal gebruikt men bij één sommatieteken de index i.
27
Eigenschappen n
n
n
Σ (x + y ) = Σ x + Σ y
i=1
i
i
i
i=1
n
Bewijs:
Σ (x + y ) = (x i
i=1
i
i=1
i
1
+ y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) + … + (xn + yn)
de optelling is associatief en commutatief in R
= (x1 + x2 + x3 + … + xn) + (y1 + y2 + y3 + … + yn) n
=
n
Σx +Σy i =1
i
i
i =1
Σ ax = aΣ x met a ∈ R n
n
i
i=1
i=1
i
n
Bewijs:
Σ ax = ax i
1
+ ax2 + ax3 + … + axn
de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in R i=1
= a(x1 + x2 + x3 + … + xn) n
Σx
= a
i
i =1
n
Σ a = n ⋅ a
i=1
met a ∈ R
n
Bewijs:
Σx i =1
i
= x1 + x2 + x3 + … + xn vervangen we nu elke x door a, dan geldt er:
n
Σ
=a+a+a+…+a i =1 n termen
{
a
= n ⋅ a
Σ of het symbool sigma Sigma is de achttiende letter van het Griekse alfabet en staat voor de hoofdletter S. In de wiskunde wordt het bijbehorende grafische symbool Σ gebruikt om het sommatieteken voor te stellen, dat is het symbool voor de som van gelijksoortige termen. Je vindt het symbool ook in de formules van het gemiddelde (zie pagina 66) en de standaardafwijking (zie pagina 95). In de wiskundeanalyse wordt Σ ook gebruikt om bijvoorbeeld (oneindige) reeksen kort voor te stellen. +3
/ 21
k=1
28
k
1 1 =1 2 + 4 + 8 + … of
+3
/ 21
k=1
k
=1
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
3 ) Frequentietabellen In een bepaalde afdeling van een school werken 40 leerkrachten. Van de directie mogen deze leerkrachten bij het samenstellen van het uurrooster één dag vrij kiezen. De keuzes zijn: ma
wo
ma
di
ma
vr
ma
do
vr
ma
wo
vr
ma
di
ma
wo
wo
vr
do
vr
vr
ma
wo
di
do
ma
wo
vr
do
ma
wo
wo
wo
ma
ma
vr
di
wo
vr
wo
Belangrijk is te tellen (te turven) hoeveel keer (frequentie) elke werkdag (ma, di, wo, do, vr) als vrije dag wordt gekozen. We maken daarom het volgende overzicht: xi
turven
frequentie
ma
IIII IIII II
12
di
IIII
4
wo
IIII IIII I
11
do
IIII
4
vr
IIII IIII
9 40
Er zijn 5 verschillende waarnemingsgetallen: ma, di, wo, do, vr. Zijn de gegevens hier kwalitatief of kwantitatief? Zijn ze ordinaal of nominaal?
29
4 ) Absolute frequentie xi
FREQUENTIE ni (A.F.)
ma
12
di
4
wo
11
do
4
vr
9 40
12 is het aantal keren dat maandag als vrije dag werd gekozen bij de 40 leerkrachten. 12 is de absolute frequentie van ‘ma’, het eerste waarnemingsgetal of n1 = 12. absolute frequentie De absolute frequentie ni van een waarnemingsgetal xi is het aantal keer dat xi voorkomt als waarnemings getal.
Als we alle absolute frequenties optellen, bekomen we: 12 + 4 + 11 + 4 + 9 = 40 n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 40 5
Σ n = 40 i =1
i
We krijgen als eigenschap: eigenschap absolute frequentie De som van de absolute frequenties van de verschillende waarnemingsgetallen is gelijk aan het aantal elementen van de steekproef. k
Σ n = n met n: i=1
i
en k:
aantal elementen van de steekproef aantal ‘verschillende’ waarnemingsgetallen
Statistische grafieken De bekendste lijn-, staaf- en cirkeldiagrammen werden ontwikkeld door de Schotse ingenieur en politiek econoom William Playfair (1759 - 1823). Hij was de jongere broer van John Playfair (1748 - 1819), wiskundige, filosoof en hoogleraar aan de universiteit van Edinburgh. Williams streefdoel was informatie bondig en overzichtelijk weergeven. De eerste diagrammen vinden we in zijn boek The Commercial and Political Atlas uit 1786. Hierin gaf hij een beeld van de import en export van Engeland tijdens de achttiende eeuw met behulp van een combinatie van lijn-, oppervlakte- en staafdiagrammen. In 1801 verschijnt The Statistical Breviary, zijn meest theoretische boek over grafieken. Hierin gebruikt hij cirkeldiagrammen om bijvoorbeeld de oppervlakte, het aantal inwoners en de inkomsten van de belangrijkste Europese landen te vergelijken. William Playfair wordt terecht beschouwd als de grondlegger van de grafische methoden van de statistiek.
30
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
5 ) Relatieve frequentie Veronderstel dat we in twee scholen aan de leerkrachten vragen om een vrije dag te kiezen. - Op school A kiezen 12 leerkrachten maandag als vrije dag. - Op school B kiezen 8 leerkrachten maandag als vrije dag.
Omdat 12 Œ 8 besluit men dat er op school A meer leerkrachten maandag als vrije dag kiezen dan op school B. Dat is natuurlijk ook zo … … maar! School A telt 40 leraars en school B telt 20 leraars. 12 3 8 4 = en = 40 10 20 10
Nu is
Dus in school B wordt, relatief gezien, maandag meer als vrije dag gekozen dan in school A, want We zeggen dat:
4 3 Π10 10
- de relatieve frequentie fA van school A van waarnemingsgetal maandag gelijk is aan 0,3; - de relatieve frequentie fB van school B van waarnemingsgetal maandag gelijk is aan 0,4. relatieve frequentie in woorden: De relatieve frequentie fi van het waarnemingsgetal xi is het quotiënt van de absolute frequentie ni van xi met n het aantal elementen van de steekproef. in symbolen: fi =
ni n A.F.
R.F.
frequentie
ni
fi
ma
12
0,3
di
4
0,1
wo
11
0,275
do
4
0,1
vr
9
0,225
40
1
Er geldt:
0,3 + 0,1 + 0,275 + 0,1 + 0,225 = 1 f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 1 5
Σf =1 i =1
i
We krijgen als eigenschap: eigenschap relatieve frequentie in woorden: De som van de relatieve frequenties van de verschillende waarnemingsgetallen is gelijk aan 1. in symbolen: k
Σ f = 1 i =1
i
met k het aantal 'verschillende' waarnemingsgetallen
31
k
Verklaring:
Σf =f i =1
i
k
k
ni
Σf =Σ n
+ f2 + f3 + … + fk Korter:
1
i =1
i
i =1
n n n n 1 k = 1 + 2 + 3 + … + k = ⋅ ni n i =1 n n n n n + n2 + n3 + … + nk 1 = ⋅ n = 1 = 1 n n
Σ
=
n n
= 1
Opmerking: Soms drukt men de relatieve frequenties ook uit in procenten. In ons voorbeeld over de vrije dagen op school wordt dit: xi
ni
fi
fi (in %)
ma
12
0,3
30 %
di
4
0,1
10 %
wo
11
0,275
27,5 %
do
4
0,1
10 %
vr
9
0,225
22,5 %
40
1
100 %
30 % van de leerkrachten van een bepaalde school koos maandag als vrije dag 27,5 % van de leerkrachten van een bepaalde school koos woensdag als vrije dag
6 ) Cumulatieve frequentie In een klas met 25 leerlingen werd een toets Frans op 20 punten gehouden en de resultaten waren de volgende:
32
4
17
12
9
17
9
15
13
12
11
9
12
14
16
11
11
13
8
9
12
15
12
11
8
13
A.F.
R.F.
xi
ni
fi
4
1
0,04 = 4 %
8
2
0,08 = 8 %
9
4
0,16 = 16 %
11
4
0,16 = 16 %
Het aantal leerlingen dat op de toets Frans 9 of minder heeft
12
5
0,20 = 20 %
behaald is: 1 + 2 + 4 = 7.
13
3
0,12 = 12 %
Dat is ook 28 % van het totale aantal leerlingen. We zeggen dat de
14
1
0,04 = 4 %
15
2
0,08 = 8 %
We zeggen dat de cumulatieve relatieve frequentie (C.R.F.) van
16
1
0,04 = 4 %
het waarnemingsgetal 9 gelijk is aan
17
2
0,08 = 8 %
Zijn de gegevens hier kwalitatief of kwantitatief? Indien kwantitatief, zijn ze dan discreet of continu?
cumulatieve absolute frequentie (C.A.F.) van het waarnemings getal 9 gelijk is aan: 1 + 2 + 4 = 7.
4 % + 8 % + 16 % = 28 %.
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
We kunnen dan de volgende kolommen aan de bestaande tabel toevoegen: A.F.
R.F.
C.A.F.
C.R.F.
xi
ni
fi
cni
cfi
4
1
0,04 = 4 %
1
4 %
8
2
0,08 = 8 %
3
12 %
9
4
0,16 = 16 %
7
28 %
11
4
0,16 = 16 %
11
44 %
12
5
0,20 = 20 %
16
64 %
13
3
0,12 = 12 %
19
76 %
14
1
0,04 = 4 %
20
80 %
15
2
0,08 = 8 %
22
88 %
16
1
0,04 = 4 %
23
92 %
17
2
0,08 = 8 %
25
100 %
Uit de tabel halen we volgende informatie over de toets Frans. - 2 leerlingen behaalden 17 op 20. - 20 % van de leerlingen behaalde 12 op 20. - 19 leerlingen behaalden hoogstens 13 op 20. - 76 % van de leerlingen behaalde hoogstens 13 op 20. - 14 leerlingen (25 − 11 = 14) behaalden meer dan 11 op 20. -
72 % (100 % − 28 %) van de leerlingen behaalde minstens een 11.
Beantwoord nu zelf volgende vragen: - Hoeveel leerlingen behaalden 15 op 20? - Hoeveel leerlingen behaalden minder dan 10 op 20? - Hoeveel % van de leerlingen behaalde 14 op 20?
hoogstens 5 betekent 5 of minder dan 5
minstens 12 betekent 12 of meer dan 12
- Hoeveel leerlingen behaalden minstens 12 op 20? - Hoeveel % van de leerlingen behaalde meer dan 13 op 20? Stel nu zelf drie vragen aan de hand van de tabel. Geef ook de antwoorden op je vragen.
cumulatieve absolute frequentie in woorden: De cumulatieve absolute frequentie cnk van een waarnemingsgetal xk is het aantal waarnemingsgetallen kleiner dan of gelijk aan xk. in symbolen:
k
cnk = n1 + n2 + n3 + … + nk =
Σn i =1
i
cumulatieve relatieve frequentie in woorden: De cumulatieve relatieve frequentie cfk van een waarnemingsgetal xk is de som van de relatieve frequenties van de waarnemingsgetallen, kleiner dan of gelijk aan xk. in symbolen: cfk = f1 + f2 + f3 + … + fk =
k
Σf i =1
i
33
eigenschap cumulatieve relatieve frequentie in woorden: De cumulatieve relatieve frequentie van een waarnemingsgetal is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie en het aantal elementen van de steekproef. in symbolen: cfi =
cni n
Verklaring: cfi = f1 + f2 + f3 + … + fi n1 n2 n + + … + i n n n n1 + n2 + … + ni = n
=
=
cni n
Opmerking: Het opstellen van cumulatieve frequenties heeft enkel zin bij kwantitatieve gegevens of bij kwalitatieve gegevens die ordinaal zijn. Verklaar waarom het zinloos is om over cumulatieve frequenties te spreken bij nominale gegevens.
34
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
7 ) Samenvatting - Je kent het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve gegevens. - Je kent het onderscheid tussen discrete en continue variabelen en tussen nominale en ordinale gegevens. - Je kent de betekenis van het sommatieteken. k
Σn =n
i
i =1
1
+ n2 + n3 + … + nk
- Je kent de eigenschappen van het sommatieteken. n
n
n
Σ (x + y ) = Σ x + Σ y
1
i
i =1
i
n
i =1
i
i
i =1
n
Σ ax = aΣ x
2
i
i =1
i =1
i
n
Σa=n⋅a
3
i =1
- Je kent de betekenis van de absolute en relatieve frequentie. De absolute frequentie ni van het waarnemingsgetal xi is het aantal keer dat xi voorkomt als waarnemingsgetal. Eigenschap: de som van de absolute frequenties van de verschillende waarnemingsgetallen is gelijk
aan het aantal elementen van de steekproef. k
In symbolen:
Σ n = n met n: aantal elementen van de steekproef i
i =1
en k: aantal ‘verschillende’ waarnemingsgetallen De relatieve frequentie fi van het waarnemingsgetal xi is het quotiënt van de absolute frequentie ni van xi door n, het aantal elementen van de steekproef. fi =
ni n
Eigenschap: de som van de relatieve frequenties van de verschillende waarnemingsgetallen is gelijk aan 1. k
Σ f = 1
In symbolen:
i =1
i
met k het aantal verschillende waarnemingsgetallen
- Je kent de betekenis van cumulatieve absolute frequentie en cumulatieve relatieve frequentie. De cumulatieve absolute frequentie cnk van het waarnemingsgetal xk is het aantal waarnemingsgetallen
kleiner dan of gelijk aan xk. k
cnk =
Σn i =1
i
De cumulatieve relatieve frequentie cfi van het waarnemingsgetal xi is de som van de relatieve
frequenties van de waarnemingsgetallen, kleiner dan of gelijk aan xi.
cfi =
cni n
Eigenschap: de cumulatieve relatieve frequentie van een waarnemingsgetal is het quotiënt van de
cumulatieve absolute frequentie en het aantal elementen van de steekproef.
35
8 ) Oefeningen
1
Noteer over welk soort gegevens het hier gaat. a Er werd aan jonge kinderen gevraagd naar hun lievelingsprogramma’s. Ze konden kiezen tussen K3, Uki, Kaatje en Piet Piraat. b De leraar heeft op een sportdag de resultaten van het verspringen van alle leerlingen opgetekend. c Een echte fan van de lotto heeft gedurende tien jaar alle winnende lottogetallen genoteerd. d In een bepaalde school werden op een maandag alle boekentassen van de leerlingen uit de tweede graad gewogen. e Een gemeente vroeg aan 1000 inwoners hoeveel fietsen ze thuis hadden. f
Jasper heeft van 80 familieleden de kleur van de ogen genoteerd.
g Aan 100 leerlingen van de 2e graad werd gevraagd hoe goed ze met Excel kunnen werken: zeer goed, goed, voldoende, zwak, onvoldoende, slecht. h Een school met 575 leerlingen start een verkeersbeleid op met de vraag hoe elke leerling naar school komt.
2
In een klas van 26 leerlingen werd gevraagd hoeveel uren ze (afgerond op een halfuur) de dag voordien naar tv hebben gekeken. De resultaten vind je terug in de tabel. aantal uren
aantal leerlingen
0,5
2
b Stel een frequentietabel op.
1
1
c Lees nu in de tabel de antwoorden af op onderstaande vragen:
1,5
6
Hoeveel leerlingen keken minstens 2,5 uur naar tv?
2
11
Hoeveel % van de leerlingen keek anderhalf uur tv?
2,5
5
Hoeveel leerlingen keken minstens 2 uur naar tv?
3
1
Hoeveel % van de leerlingen keek minder dan 2,5 uur tv?
a Zijn die gegevens kwantitatief of kwalitatief?
26
3
Aan 40 supporters van een plaatselijke provinciale voetbalploeg werd gevraagd naar welke topclub uit België hun voorkeur uitgaat. Men kon kiezen tussen Anderlecht (A), Club Brugge (B), Gent (G), Standard (S) of geen van de vier vermelde clubs (N). Dit waren de resultaten:
A N N A
B G N N
S A A N
A A B S
N B B A
G S S B
S B S A
a Zijn de waarnemingen kwantitatief of kwalitatief? b Stel een frequentietabel op en bepaal de absolute en de relatieve frequenties. c Beantwoord de volgende vragen.
Hoeveel supporters kozen voor Anderlecht?
Hoeveel % van de ondervraagde supporters koos voor Standard?
Kozen er meer supporters voor Brugge dan voor Genk?
Hoeveel waren er dat?
Gaat het hier om een steekproef?
d Teken een staafdiagram van de gegevens. e Waarom heeft het bepalen van de cumulatieve frequenties hier geen zin?
36
A S S S
A A G N
B B G G
H O O FDS TUK 2
4
*
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
De leerlingen van de tweede graad mogen hun keuze maken voor een daguitstap. Zij kunnen kiezen uit Walibi (WA), Technopolis (TP), Planckendael (PD), Plopsaland (PS) en Bellewaerde (BW). Een steekproef van 40 leerlingen in het derde jaar geeft het volgende resultaat: WA TP PD PS BW WA WA BW WA TP WA WA TP WA TP WA BW TP BW PS PS WA BW PD WA BW BW WA TP PS TP PD TP PS PS PD WA WA BW PD Een steekproef van 50 leerlingen in het vierde jaar geeft het volgende resultaat: BW WA PS TP PD PS TP BW PS WA WA PS TP PS BW TP PS TP BW PD TP PS WA BW TP PS WA PS PD WA PS TP PD PS WA BW PS PD WA TP WA WA WA PD PS PS BW BW BW BW a Maak een frequentietabel voor zowel de leerlingen van het derde als de leerlingen van het vierde jaar en noteer of onderstaande stellingen waar of niet waar zijn. - De leerlingen van het vierde jaar gaan liever naar Planckendael dan de leerlingen van het derde jaar. - De leerlingen van het derde jaar gaan liever naar Technopolis dan de leerlingen van het vierde jaar. - Beiden (zowel de leerlingen van het derde als van het vierde jaar) gaan even graag naar Bellewaerde. - Meer dan een kwart van de leerlingen kiest voor Walibi. - Meer dan 50 % van de leerlingen kiest voor Walibi.
b Voor de daguitstap worden broodjes besteld. Vul de tabel verder in en maak een staafdiagram. absolute frequentie
uitkomsten
turven
1
broodje kaas
IIII IIII II
2
broodje ham
IIII IIII IIII
3
broodje tonijn
IIII IIII IIII IIII II
4
broodje zalm
IIII IIII IIII II
5
broodje gehakt
IIII IIII
6
broodje gezond
IIII IIII IIII I
relatieve frequentie
procentuele frequentie
c Na de uitstap werd aan een aantal leerlingen gevraagd wat ze van de uitstap vonden. Vul de tabel aan.
uitkomsten
absolute frequentie
1
zeer tevreden
17
2
goed
11
3
matig
4
ontevreden
relatieve frequentie
procentuele frequentie 42,5 %
0,175
Hoeveel leerlingen werden ondervraagd? Zet de gegevens om in een strookdiagram.
37
5
Aan 30 personen werd gevraagd hoeveel fietsen ze thuis hebben. Dit zijn de resultaten: 0
2
3
4
1
2
2
1
2
3
3
3
1
0
4
5
2
3
1
4
3
2
1
3
2
4
3
4
2
3
a Stel een frequentietabel op en bepaal de absolute, relatieve en cumulatieve frequenties van de waarnemingsgetallen. b Beantwoord aan de hand van de frequentietabel de volgende vragen.
Hoeveel % van de ondervraagde personen heeft drie fietsen thuis? Hoeveel van de ondervraagde personen hebben minstens drie fietsen thuis?
Hoeveel % van de ondervraagde personen heeft meer dan twee fietsen thuis?
Hoeveel van de ondervraagde personen hebben hoogstens één fiets thuis?
c Zet de gegevens om in een strookdiagram.
6
Zelf op onderzoek? Kies een van de vorige of volgende opdrachten en voer ze uit. a Stel vraag 3 of vraag 8 aan alle leerlingen van het derde en/of vierde jaar van je school. b Verwerk de gegevens die je binnenkrijgt per klas en geef in een staafdiagram en strookdiagram de resultaten weer. Kies passende titels. c Maak ook een totaaloverzicht van de antwoorden van alle leerlingen van het derde en vierde jaar. d Verdeel de taken. e Bezorg aan elke klasgroep de resultaten.
7
Een huisdokter heeft van 36 patiënten onderzocht hoeveel keer ze de afgelopen 6 maanden op raadpleging bij hem thuis zijn geweest. De resultaten vind je terug in de tabel. 12
2
1
2
4
8
0
2
6
4
10
6
3
2
0
1
2
8
10
6
4
0
2
5
5
3
2
1
0
6
6
4
1
0
8
0
a Stel een frequentietabel op en bepaal de absolute, relatieve en cumulatieve frequenties van de waarnemingsgetallen. b Beantwoord nu aan de hand van de frequentietabel onderstaande vragen.
Hoeveel van de ondervraagde patiënten kwamen zes keer bij de dokter?
Hoeveel % van de ondervraagde patiënten kwam minstens vier keer op consultatie?
Hoeveel patiënten kwamen hoogstens vijf keer op consultatie?
Stel zelf twee vragen aan de hand van de opgestelde frequentietabel. Laat je buur die vragen beantwoorden.
38
H O O FDS TUK 2
8
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
Bij een online onderzoek van de VRT werd gevraagd hoeveel uur per dag een 14-jarige spendeert aan gamen. De antwoorden van 2136 personen zitten vervat in dit resultaat: Nooit
8%
Minder dan 1 uur
36%
1 tot 2 uur
27%
meer dan 2 uur
29%
a Zet die gegevens om in een schijfdiagram. b Hoeveel van de jongeren die het online document invulden, beweren dat ze nooit gamen?
9
Leeftijd van leerkrachten in het secundair onderwijs Hoe oud zijn de leerkrachten die les geven in het secundair onderwijs?
Duitsland
Nederland
België
Luxemburg
Portugal
Hieronder vind je de percentages terug van enkele landen.
jonger dan 30 jaar
3
11
16
20
12
30 - 39 jaar
21
17
23
25
36
40 - 49 jaar
27
29
29
25
32
50 jaar of ouder
49
43
32
30
20
a Teken met behulp van ICT een schijfdiagram dat de situatie in Portugal weergeeft. b Teken met behulp van ICT een staafdiagram dat de situatie in België weergeeft. c Is deze uitspraak waar of vals: de Duitse leerkrachten in het secundair onderwijs zijn oud vergeleken met andere Europese vermelde landen. d Is deze uitspraak waar of vals:
10
voor een jong lerarenkorps in het secundair onderwijs moet je in Nederland zijn.
De cumulatieve relatieve frequentie van het grootste waarnemingsgetal is 1. Verklaar.
39
11
Vul de volgende tabellen verder aan: a d xi ni fi cni cfi
xi 2
4
30
5
3
7
40
2
5
11
50
8
7
15
11
20
13
b e xi ni fi cni cfi
xi
cni
0,04
110
0,2
−4
0,2
120
0,1
−3
0,5
160
0,3
0
0,7
180
0,15
5
0,9
200
0,15
8
1
60
50
xi
ni
fi
cni
3
1
5 %
4
2
2
19 %
8
8
3
24 %
12
11
4
30 %
16
10
5
62 %
20
7
6
100 % 100
9
3
Σx
k=1
2 k
b
Σ k(k + 1)
3
c
k=1
4
Σ (2 + j)
d
j=1
n
i=1
4
n
Σ (x + 5) = Σ x + 5n i
i=1
i
b
Σ (a
k=1
k
+ bk) =
Σi i=0
Toon aan: a
cfi
0
Schrijf voluit en bereken indien mogelijk. 5
cfi
−6
24
40
fi
0,1
c f xi ni fi cni cfi
14
ni
100
a
cfi
11
80
13
cni
4
70
*
fi
20
60 7
12
ni
4
4
Σa +Σb
k=1
k
k=1
k
Schrijf met behulp van het sommatieteken. 1 1 1 1 1 + + + + 2 3 4 5 6 16 + 25 + 36 + 49
a 1 + 2 + 3 + 4
e
b 2 + 4 + 6 + 8 + 10
f
c 1 + 2 + 4 + 8 + 16
g 100 + 101 + 102 + … + 200
d 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
h 2 + 5 + 10 + … + 101
2
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
Vaardigheden ICT: walvissen nog steeds bedreigd
Walvissen horen bij de grootste dieren die ooit op aarde hebben geleefd. Het grootste deel van deze indrukwekkende zeezoogdieren, die de oceanen afzoeken naar voedsel, verkeert vandaag in gevaar. De walvissen staan helemaal bovenaan in de voedselketen en zonder hen zouden de mariene ecosystemen helemaal overhoop gehaald worden. Jammer genoeg wordt het voortbestaan van vijf van de 13 soorten baleinwalvissen bedreigd. De walvisjacht is de belangrijkste doodsoorzaak voor walvissen. Want ondanks het verbod op walvisjacht voor commerciële doeleinden van 1986 blijft de jacht zich voordoen in sommige regio’s van Noorwegen, Japan en IJsland. Meer dan 1000 walvissen blijven jaarlijks gedood worden. Bijvangst in visnetten, gevaarlijke chemische producten, botsingen met boten, geluidshinder en de opwarming van de aarde vormen andere serieuze risico’s voor de walvissen. bron: wwf.be
Walvissen laten zich heel moeilijk tellen. Ze zijn niet makkelijk te volgen omdat ze lang onder water kunnen blijven en soms enorme afstanden afleggen. De onderstaande aantallen van enkele soorten walvissen zijn dan ook ruwe schattingen.
walvissoort
huidig aantal
oorspronkelijk aantal
gewone vinvis
80 000
428 000
noordse vinvis
65 000
210 000
blauwe vinvis
4000
156 000
dwergwalvis
9000
7500
bultrug
28 000
110 000
grijze walvis
25 000
20 000
dwergvinvis
150 000
150 000
huidig aantal als procent van het oorspronkelijk aantal
a Vul de vierde kolom in. b Maak de staafdiagrammen van het huidige aantal en het oorspronkelijke aantal in één diagram. Duid hierop ook de percentages uit kolom 4 aan. Zorg ervoor dat de walvissoorten langs de horizontale as zo geplaatst zijn dat de oorspronkelijke aantallen van links naar rechts afnemen. c Vergelijk beide staafdiagrammen. Welke soort wordt het meest bedreigd?
Welke soort wordt het minst bedreigd?
41
Voer de gegevens in een Excelblad in.
Om de laatste kolom in te vullen typ je in E3 het volgende in: = C3/D3 (je typt C3 en D3 niet in maar je klikt in de passende cellen) Nadien trek je door met de vulgreep en de laatste kolom wordt ingevuld. Zet dan alles om naar procenten. Vervolgens selecteer je het gebied D3:D9 en je klikt met de rechtermuisknop op het geselecteerde gebied. Je kiest voor Sorteren en nadien voor Aflopend. Het volgende scherm opent zich:
Je klikt op Sorteren. Het gebied in D3:D9 past zich aan en wordt:
We tekenen nu volgende grafiek:
42
H O O FDS TUK 2
• S OORTEN GEGEV EN S EN OP S TELLEN VAN FREQUEN TIETABELLEN
Om dit te realiseren in Excel gebruik je volgend stappenplan: • Selecteer het gebied van B3 tot E9 en klik nadien op Grafieken. Kies dan voor Kolom en kies bovenaan het meest linkse type. Je krijgt dan:
• Klik dan op Snelle indeling voor grafieken en kies het eerste type. Je kunt dan de titel Walvissen invoeren.
• Klik dan zo dat enkel reeks3 geselecteerd is en klik er nadien met de rechtermuisknop op; kies nadien voor gegevensreeks opmaken, klik op As en vink secundaire as aan. • Klik vervolgens in hetzelfde geopende venster op Vulling en kies een passende lichte kleur. Zet de doorzichtigheid op 50 %. • Klik ten slotte nog op de staven met de oorspronkelijke aantallen; klik er met de rechtermuisknop op en ga naar Gegevensreeks opmaken. Klik op opties en zet de over lapping op -30 %.
De blauwe vinvis wordt het meest bedreigd.
De grijze walvis wordt het minst bedreigd.
43