VBTL 3/4 D - Leerboek Logica en telproblemen - inkijk methode

LEERBOEK

Logica i Telproblemen D-finaliteit

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

Dit boek bevat twee hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen. Aan het einde is er een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, algoritmes en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken. We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets.

Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen?

Na elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen. Elk hoofdstuk sluit af met een of twee pagina’s herhalingsoefeningen

Zoals de titel doet vermoeden, behandelen we in dit boek twee hoofdstukken.

In hoofdstuk 1 gaat het over logica, een onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de regels van het redeneren. Je zult syllogismen, uitspraken (proposities) en logische wetten bestuderen. Je zult de waarheidswaarde van logische uitspraken leren bepalen met behulp van waarheidstabellen. Hierbij worden de logische operatoren ∧, ∨, ¬ , ⇒, ⇔ gebruikt. Leuke toepassingen hierop zijn logische raadsels en logische poorten. Op de foto herken je misschien Athene, waar Aristoteles, toch zo’n beetje de grondlegger van de logica, het gros van z’n leven doorbracht.

In hoofdstuk 2 maak je kennis met telproblemen, een onderdeel van de discrete wiskunde waarbij een eindige structuur herkenbaar is of een zekere regelmaat aanwezig is.

Het gaat hier voornamelijk om het uittellen van mogelijkheden met behulp van boomdiagrammen, venndiagrammen, wegen- en roosterdiagrammen. Je zult ook de somregel, productregel en complementregel leren gebruiken om telproblemen op te lossen.

Logica I Telproblemen

Logica 1

Het woord logica komt van het Griekse woord logos. Dat betekent woord, argument, idee en rede. Logica is een onderdeel van de filosofie, maar evengoed van de wiskunde. Dat hebben we te danken aan Aristoteles, die leefde in de vierde eeuw voor Christus. Hij was naast wetenschapper een erg invloedrijke filosoof. Hij bestudeerde beweringen, definities, gevolgtrekkingen en wiskundige bewijzen. Zo zie je maar dat de wiskunde een erg oude wetenschap is. Net als Aristoteles weet jij immers ook wat bedoeld wordt met definities, eigenschappen en bewijzen …

Een opwarmertje ?

Je ziet hier vier levende standbeelden die zonder geluid elk een bewering kenbaar maken. De eerste beeldt ‘we liegen alle vier’ uit; de tweede gebaart ‘er is bij ons één leugenaar’; de derde maakt duidelijk dat ‘twee van ons leugenaars zijn’. De bewering van de vierde is: ‘ik lieg niet’.

Klopt de bewering van het vierde standbeeld ?

© Jeroen Muller Photography

Logica

1.1 Inleiding

1Wat is logica?

Logica of redeneerkunst is het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de regels van het redeneren.

Het gaat hier over propositielogica: het redeneren met proposities.

Een propositie is een uitspraak die waar of onwaar kan zijn.

Een propositie kan enkelvoudig zijn.

Voorbeelden :

• Lucas eet een hamburger.

• Lucas drinkt cola.

Een propositie kan samengesteld zijn uit twee of meer proposities. Ze is dan verbonden met behulp van voegwoorden (connectieven genoemd).

Voorbeelden :

• Lucas eet een hamburger en Lucas drinkt cola.

• Als Lucas een hamburger eet, dan drinkt Lucas cola.

2Syllogismen

Logisch redeneren is niet altijd even eenvoudig. Syllogismen zijn redeneringen uit de logica die uit drie delen bestaan: twee proposities (premissen genoemd) en een conclusie. Syllogismen worden dikwijls gevraagd op assessments, sollicitatietrainingen en capaciteitentests.

Voorbeelden :

1 Socrates

Alle mensen zijn sterfelijk (premisse).

Socrates is een mens (premisse).

Socrates is sterfelijk (conclusie).

Is dat een geldige redenering ?

We stellen dit voor met venndiagrammen waarbij de lege gebieden gearceerd worden.

Stel : M is de verzameling van de mensen.

S is de verzameling van de sterfelijken.

Deze redenering is geldig en is dus een geldig syllogisme.

Socrates

2 De Kerstman

Alle mensen zijn sterfelijk (premisse).

De Kerstman is niet sterfelijk (premisse).

De Kerstman is geen mens (conclusie).

Is dat een geldige redenering ?

We stellen dit voor met venndiagrammen.

Stel : M is de verzameling van de mensen.

S is de verzameling van de sterfelijken.

K is de Kerstman.

Dit is een geldige redenering en dus een geldig syllogisme.

3 Clever

Alle mensen zijn sterfelijk (premisse).

Mijn hond Clever is geen mens (premisse).

Clever is niet sterfelijk (conclusie).

Is dat een geldige redenering ?

We stellen dit voor met venndiagrammen.

Stel : M is de verzameling van de mensen.

S is de verzameling van de sterfelijken.

H is de verzameling van de honden.

Dit is een ongeldige redenering en dus geen geldig syllogisme.

4 Paars en rond

Alle paarse dingen kunnen vliegen (premisse).

Alle vliegende dingen zijn rond (premisse).

Alle paarse dingen zijn rond (conclusie 1).

Alle ronde dingen zijn paars (conclusie 2).

Welke van die redeneringen is geldig ?

We stellen dit voor met venndiagrammen.

Stel: V is de verzameling van de vliegende dingen.

R is de verzameling van de ronde dingen.

P is de verzameling van de paarse dingen.

De redenering met als conclusie Alle paarse dingen zijn rond is een geldige redenering.

De redenering met als conclusie Alle ronde dingen zijn paars is geen geldige redenering.

3Samenvatting

• Je weet dat logica hetzelfde is als redeneren met proposities.

• Je weet dat een syllogisme een redenering is die bestaat uit drie delen : – twee proposities (premissen);

– een conclusie.

• Je kunt nagaan of een redenering geldig is.

4Oefeningen

Beoordeel volgende syllogismen.

PREMISSE 1

a Sommige jobstudenten zijn pizzabezorger.

b Alle wandelaars dragen een hoed.

c Sommige appels zijn peren.

d Geen enkele visser spreekt Chinees.

e Alles wat blauw is, is ook geel.

f Alle linkshandigen doen graag wiskunde.

g Sommige mensen eten graag tomaten.

PREMISSE 2

Alle pizzabezorgers kunnen goed fietsen.

Sommige wandelaars spreken Spaans.

CONCLUSIE

Sommige jobstudenten kunnen goed fietsen.

Al wie Spaans spreekt, draagt een hoed.

Alle peren zijn bananen.Alle bananen zijn appels.

Alle inwoners van Malta zijn vissers.

Sommige mensen die Chinees spreken, zijn geen inwoner van Malta.

De zee is blauw. De zee is geel.

Mexicanen doen niet graag wiskunde.

Alle rechtshandigen zijn Mexicaans.

Baloe eet graag tomaten.Baloe is een mens.

h Alles wat rood is, is rond.Alles wat niet rond is, is blauw.

Er bestaan gele dingen die niet rond zijn.

i Alle spinnen zijn zwart.Alle spinnen zijn giftig.Sommige giftige dieren zijn zwart.

j Alle vierkanten hebben vier rechte hoeken.

k Alle redders op het strand zijn knap.

l Alle leerkrachten biologie eten graag pasta.

m Alle witte dieren kunnen zwemmen.

n Alle krokussen zijn bloemen.

Alle figuren met vier rechte hoeken zijn een rechthoek.

Sommige redders op het strand zijn Portugees.

Alle Italianen eten graag pasta.

Sommige rechthoeken zijn een vierkant.

Alle Portugezen zijn knap.

Alle leerkrachten biologie zijn Italiaans.

Mijn tamme rat is wit.Mijn rat kan zwemmen.

Alle bloemen zijn planten.Alle krokussen zijn planten.

GELDIG OF ONGELDIG ?

WISKUNDE & SOLLICITEREN

Als je solliciteert voor een job, moet je soms een assessment volgen. Zo probeert de werkgever te kijken of jij geschikt bent voor die functie. Wat je vaak voorgeschoteld krijgt tijdens zo’n assessment, is een syllogismentest. Enkele voorbeelden. Welke conclusie(s) moet je trekken uit volgende premissen om een geldige redenering te krijgen ?

1 Alle klaslokalen hebben borden. Alle scholen hebben klaslokalen.

a Alle scholen hebben borden.

b Alle borden hebben scholen.

c Niet alle borden hebben scholen.

2 Alle brandweermannen zijn helden. Geen enkele brandweerman is een voetballer.

a Geen enkele held is een voetballer.

b Geen enkele voetballer is een held.

c Sommige helden zijn geen voetballer.

3 Sommige politici zijn mannen. Alle mannen zijn macho’s.

a Alle macho’s zijn mannen.

b Sommige mannen zijn geen macho’s.

c Sommige politici zijn macho’s.

4 Alle Belgen houden van stoofvlees met frieten. Sommige Fransen houden van stoofvlees met frieten.

a Sommige Fransen zijn Belgen.

b Sommige Belgen zijn Fransen.

c Sommige Fransen zijn Belgen die houden van stoofvlees met frieten.

5 Geen enkele leraar is een komiek. Alle kunstenaars zijn komieken.

a Sommige kunstenaars zijn leraars.

b Alle leraars zijn geen kunstenaars.

c Sommige kunstenaars zijn geen komieken.

Aristoteles (385 – 323 v.Chr.)

Grieks filosoof en wetenschapper die beschouwd wordt als de grondlegger van de logica. In zijn werk Organon, een verzameling van logische geschriften, behandelt hij de redeneervorm syllogisme Aristoteles beschrijft de voorwaarden waaronder zo’n syllogisme correct is en geeft voorbeelden van verschillende foutieve gebruikswijzen, die hij ‘sofismen’ noemt.

Aristoteles

1.2 Propositielogica

1Uitspraken

In de propositielogica werken we met uitspraken, ook wel proposities genoemd. Daarom is het belangrijk dat we specificeren wat er precies bedoeld wordt met een logische uitspraak.

Je doet een uitspraak wanneer je een zin neerschrijft of uitspreekt. Met een uitspraak beweer je iets. Een uitspraak in de logica is ofwel waar (w) ofwel onwaar (o).

Voorbeelden van uitspraken in de logica :

• Het regent. ware of onware uitspraak naargelang het regent of niet

• 8 + 17 = 25 ware uitspraak

• 4 6 = 23 onware uitspraak

• Miro eet een appel. ware of onware uitspraak naargelang Miro een appel eet of niet

• Een vierkant is een ruit.ware uitspraak

• Elke rechthoek is een vierkant.onware uitspraak

• Lyssa draagt een rode blouse. ware of onware uitspraak naargelang Lyssa een rode blouse draagt of niet

Vraagzinnen, zinnen in gebiedende wijs en subjectieve uitspraken stellen geen uitspraken voor omdat je niet weet of ze waar zijn of niet.

Voorbeelden van uitspraken die niet logisch zijn :

• Welke film spelen ze vandaag?

• Haal me een kopje koffie.

• De kapper heeft je haar mooi geknipt.

Net zoals we met getallen kunnen rekenen en redeneren, willen we dat ook doen met uitspraken.

Hiervoor moeten (spel)regels worden vastgelegd.

Meerdere uitspraken zullen we met elkaar verbinden met behulp van connectieven, waarbij we de bijbehorende spelregel telkens zullen definiëren.

Om gemakkelijk met uitspraken te kunnen redeneren, stellen we ze voor door de letters p, q en r.

De connectieven die we zullen aanreiken, zijn:

– negatie van een uitspraak;

– conjunctie van twee uitspraken;

– disjunctie van twee uitspraken;

– implicatie van twee uitspraken;

– equivalentie van twee uitspraken;

– samengestelde uitspraken.

2Negatie van een uitspraak

We nemen de uitspraak : p : Kasper eet een appel.

De negatie van deze uitspraak is : q : Kasper eet geen appel.

Als de eerste uitspraak p waar is, is de tweede uitspraak q onwaar.

Als de eerste uitspraak p onwaar is, is de tweede uitspraak q waar.

Notatie :

q is de negatie van p en wordt genoteerd als ¬p

Voor de uitspraak p zijn er blijkbaar twee mogelijkheden: waar of onwaar. Uit de waarde van p volgt dan de waarde van ¬p

Dat kunnen we samenvatten in een waarheidstabel. In de eerste kolom zetten we de mogelijke waarde van p . In de tweede kolom de waarde van ¬p

p ¬p

Merk op dat ¬( ¬p ) ⟺ p.

p ¬p ¬( ¬p )

Omgezet in taal is het dus zo dat de uitspraak

‘Het is niet waar dat Kasper geen appel eet’

hetzelfde betekent als de uitspraak ‘Kasper eet een appel’.

Taak :

‘Het is niet waar dat Ella geen wortelen lust’ is onwaar. Lust Ella dan wortelen?

3Conjunctie van twee uitspraken

We nemen de volgende uitspraken : p : Daan eet een appel. q : Nora eet een banaan.

We maken met die uitspraken een nieuwe uitspraak : Daan eet een appel en Nora eet een banaan.

Die nieuwe uitspraak wordt de conjunctie van p en q genoemd en is in de logica enkel waar als zowel Daan een appel eet én Nora een banaan eet (m.a.w. als de twee oorspronkelijke uitspraken waar zijn).

Notatie : p ∧ q

Voor de uitspraken p en q zijn er blijkbaar vier mogelijkheden. p en q zijn beide waar, p is waar en q niet, p is niet waar maar q wel, p en q zijn beide onwaar. Samengevat geeft dat de volgende waarheidstabel.

p q p ∧ q

w w w

w o o

o w o

o o o

De uitspraak ‘Daan eet een appel en Nora eet geen banaan’ kunnen we nu noteren als: p ∧¬q

4Disjunctie van twee uitspraken

We nemen de uitspraken : p : Mats eet een kiwi. q : Sara eet een kiwi.

We maken met die uitspraken een nieuwe uitspraak : Mats eet een kiwi of Sara eet een kiwi.

Die nieuwe uitspraak wordt de disjunctie van p en q genoemd en is in de logica waar als Mats een kiwi eet en Sara niet, of als Mats geen kiwi eet maar Sara wel, maar ook als zowel Mats als Sara een kiwi eten.

M.a.w. zodra één van de twee oorspronkelijke uitspraken waar is, is de disjunctie van beide uitspraken waar.

Notatie :

p ∨ q

Waarheidstabel :

p q p ∨ q

o

De uitspraak ‘Het is niet waar dat Mats of Sara een kiwi eet’ kunnen we nu noteren als: ¬( p ∨ q ) Via waarheidstabellen kunnen we aantonen dat dit gelijkwaardig is met de uitspraak : Mats eet geen kiwi en Sara eet geen kiwi.

¬p : Mats eet geen kiwi.

¬q : Sara eet geen kiwi.

¬p ∧¬q : Mats eet geen kiwi en Sara eet geen Kiwi.

p q p ∨ q ¬( p ∨ q ) ¬p ¬q ¬p ∧¬q

w w w o o o o

w o w o o w o

o w w o w o o

o o o w w w w

‘inclusieve of’ versus ‘exclusieve of’

De of uit de logica wordt ook wel de inclusieve of genoemd.

De uitspraak is waar zodra een van de twee uitspraken waar is.

Dit in tegenstelling tot de exclusieve of uit de omgangstaal (het ene of het andere maar niet beide).

De uitspraak is waar zodra een van de twee uitspraken waar is, maar niet beide waar zijn.

Voorbeeld 1 :

Ik kom bij je op bezoek en je hebt zonet lekkere taartjes gekocht. Je vraagt aan mij of ik een aardbeientaartje wil of een stukje chocoladetaart.

In de logica (inclusieve of) blijf je beleefd als je van beide een stukje neemt, want ‘of’ betekent hier en/of.

In werkelijkheid neem je slechts een stukje (exclusieve of).

Voorbeeld 2 :

p : ik gooi met een dobbelsteen een even aantal ogen.

q : ik gooi met een dobbelsteen een oneven aantal ogen.

Dat is een voorbeeld van een exclusieve of. Je kunt immers niet met een dobbelsteen zowel een even aantal als een oneven aantal ogen gooien.

Taak :

Bekijk opnieuw het voorbeeld bovenaan deze bladzijde.

Hoe noteer je de uitspraak ‘Het is niet waar dat Mats een kiwi eet en Sara geen kiwi eet’ ?

Herformuleer die uitspraak in een gelijkwaardige uitspraak.

5Implicatie van twee uitspraken

We nemen de uitspraken : p : Bent eet een hamburger. q : Bent drinkt cola.

We maken met die uitspraken een nieuwe uitspraak : als Bent een hamburger eet, dan drinkt Bent cola.

Die nieuwe uitspraak (p impliceert q , p is het antecedens en q het consequens) verplicht Bent om cola te drinken als hij een hamburger eet. Eet Bent geen hamburger, dan kan hij al dan niet cola drinken. De uitspraak is enkel onwaar als Bent een hamburger eet en geen cola drinkt.

Notatie : p ⟹ q

Waarheidstabel : p q p =⇒ q

Voorbeeld :

p : Jeroen heeft geen enkele onvoldoende op zijn rapport.

q : Jeroen krijgt een nieuwe gsm.

p ⟹ q : als Jeroen geen enkele onvoldoende heeft op zijn rapport, dan krijgt Jeroen een nieuwe gsm.

De ouders van Jeroen handelen niet logisch als Jeroen geen enkele onvoldoende heeft op zijn rapport en geen nieuwe gsm krijgt.

Als Jeroen wel onvoldoendes op zijn rapport heeft, hebben zijn ouders niets beloofd. Dan is zowel het geven als het niet geven van een nieuwe gsm te rechtvaardigen.

Opmerking :

Merk op dat als het antecedens onwaar is, de uitspraak dan steeds waar is. Dit zie je duidelijk in de waarheidstabel. Zo is volgende uitspraak een ware uitspraak in de logica : 2 + 3 = 7 ⟹ 2 3 = 10

Taak : Beschouw de uitspraken : p : Finn gaat voetballen.

q : Finn neemt de fiets.

Zet volgende uitspraken in een waarheidstabel. Wat merk je op ?

Uitspraak 1: als Finn gaat voetballen, dan neemt Finn de fiets.

Uitspraak 2: Finn gaat niet voetballen of Finn neemt de fiets.

6Equivalentie van twee uitspraken

Beschouw de uitspraken : p : Sofia eet een pizza.

q : Sofia drinkt een Fanta.

We maken met die uitspraken een nieuwe uitspraak : Sofia eet een pizza enkel en alleen indien Sofia een Fanta drinkt.

Die enkel en alleen indien kunnen we wiskundig vertalen in als en slechts als. Dat wordt voorgesteld met een equivalentiepijl ⟺

Die nieuwe uitspraak (de equivalentie van p en q ) is waar als Sofia zowel een pizza eet als een Fanta drinkt. Maar ze is ook waar als Sofia geen pizza eet en ook geen Fanta drinkt.

Notatie : p ⟺ q

Waarheidstabel :

p q p ⇐⇒ q

w w w

w o o

o w o

o o w

Merk op : p ⟺ q is gelijkwaardig met ¬p ⟺ ¬q

p q p ⇐⇒ q ¬p ¬q ¬p ⇐⇒¬q

w w w o o w

w o o o w o

o w o w o o

o o w w w w

Implicatie, equivalentie en negatie

Het was de Duitse wiskundige Gottlob Frege (1848–1925) die voor het eerst een logisch systeem met ontkenning (niet), implicatie (als … dan …) en equivalentie (… als en slechts als …) beschreef. Hij deed dat in zijn werk Begriffsschrift uit 1879. De symbolen die hij gebruikte, zijn wel verdwenen en vervangen door de moderne notaties ¬ , ⟹ en ⟺

7Samengestelde uitspraken

We vatten de connectieven samen in deze tabel.

p q ¬p p ∧ qp ∨ q p =⇒ q p ⇐⇒ q

w w o w w w w

w o o o w o o

o w w o w w o

o o w o o w w

Elke uitspraak die is opgebouwd uit gegeven uitspraken p , q, r , … en één of meerdere van de symbolen ¬ , ∧, ∨, ⟹, ⟺ noemen we een samengestelde uitspraak

Voorbeeld 1 : naar de bioscoop

Gegeven : de uitspraken:

p : Mia gaat naar de film.

q : Lara gaat naar de film.

r : Kian gaat naar de film.

Gevraagd :

Formuleer volgende uitspraak in symbolen en ga via een waarheidstabel na wanneer die uitspraak waar of onwaar is.

Als Mia of Lara naar de film gaat, dan gaat Kian niet naar de film.

Oplossing :

De uitspraak in symbolen: ( p ∨ q ) ⟹¬r

Waarheidstabel :

p q r p ∨ q ¬r ( p ∨ q ) (p ∨ q )=⇒¬r

w w w w o o

w w o w w w

w o w w o o

w o o w w w

o w w w o o

o w o w w w

o o w o o w

o o o o w w

Antwoord :

De gegeven uitspraak is onwaar als :

– ze alle drie naar de film gaan ;

– Lara niet naar de film gaat en Mia en Kian wel ;

– Mia niet naar de film gaat en Lara en Kian wel.

Voorbeeld 2 : de fruitmand

Gegeven : de uitspraken :

p : in de fruitmand liggen appelen.

q : in de fruitmand liggen druiven.

r : in de fruitmand liggen mango’s.

Gevraagd :

Formuleer volgende uitspraak in symbolen en ga via een waarheidstabel na wanneer die uitspraak waar of onwaar is.

Als in de fruitmand appelen liggen, dan liggen er ook druiven, maar (en) het is niet zo dat als er in de fruitmand druiven liggen er ook mango’s liggen.

Oplossing :

De uitspraak in symbolen: ( p ⟹ q ) ∧¬( q ⟹ r )

Waarheidstabel :

Antwoord:

De uitspraak is dus (volgens de regels van de logica) enkel waar als er in de fruitmand appelen en druiven liggen maar geen mango’s, of als er in de fruitmand enkel druiven liggen.

Voorbeeld 3 : getallenleer

Gegeven : de uitspraken:

p : 2 + 3 = 7

q : 2 3 = 7

r : 23 = 7

Gevraagd :

Is volgende uitspraak volgens de regels van de logica waar of onwaar ?

Als 2 + 3 = 7 en 2 3 = 7, dan is 23 = 7.

Oplossing :

p q p ∧ q r ( p ∧ q ) (p ∧ q )=⇒ r

o o o o w

Antwoord :

De uitspraak ‘als 2 + 3 = 7 en 2 3 = 7, dan is 23 = 7’ is dus waar.

Voorbeeld 4 : getallenleer

Gegeven : de uitspraken :

p : 2 + 3 = 7

q : 2 ⋅ 3 = 7

r : 23 = 7

Gevraagd :

Is de volgende uitspraak volgens de regels van de logica waar of onwaar: ¬( p ∨ q ) ⟹ [ p ⟹ ( ¬q ∧ r )]?

Oplossing : pqr p ∨ q ¬( p ∨ q ) ¬q ∧ r p =⇒ (¬q ∧ r ) ( ¬q ∧ r ) opgave oooowo w w

Antwoord : De uitspraak is waar.

8Samenvatting

• Je weet dat in de propositielogica uitspraken (proposities) gedaan worden. Die uitspraak is waar (w) of onwaar (o).

• Je kent de betekenis van de negatie van een uitspraak en kunt dat met een symbool noteren. p : Marie is jarig.

¬p : Marie is niet jarig.

• Je kunt uitspraken noteren in een waarheidstabel.

• Je kent de betekenis van de conjunctie van twee uitspraken.

Notatie : p ∧ q

• Je kent de betekenis van de disjunctie van twee uitspraken.

Notatie : p ∨ q

• Je kent het verschil tussen een inclusieve of en een exclusieve of.

Inclusieve of: de uitspraak is waar zodra een van de twee uitspraken waar is.

Exclusieve of: de uitspraak is waar als een van de twee uitspraken waar is, maar niet beide.

• Je kent de betekenis van de implicatie (als ... dan ...) en equivalentie (... als en slechts als ...) van twee uitspraken.

Waarheidstabel:

p q ¬p p ∧ qp ∨ q p =⇒ q p ⇐⇒ q w

9Oefeningen

Formuleer de uitspraak u in symbolen op basis van de gegeven uitspraken p , q , r en s en ga via een waarheidstabel na wanneer de uitspraak u waar of onwaar is.

a p Mila speelt gitaar.

q Noah drumt.

r Elena speelt piano.

u Als het niet waar is dat Mila gitaar speelt of Noah drumt, dan speelt Mila gitaar en Elena piano.

b p Storm is een kat.

q Bliksem is een hond.

r Thor is een paard.

s Risk is een geit.

u Als Storm een kat is en Bliksem een hond, dan is het niet waar dat Thor een paard is of Risk een geit.

c p Louise bakt wafels.

q Vic grilt hamburgers.

r Karen maakt spaghettisaus.

u Als Louise wafels bakt, dan grilt Vic hamburgers of als Karen spaghettisaus maakt, dan grilt Vic hamburgers.

d p Laura gaat zwemmen.

q Lewis gaat zwemmen.

r Wolf gaat zwemmen.

s Luca gaat zwemmen.

u Als Laura gaat zwemmen enkel en alleen als Lewis gaat zwemmen, dan gaat Wolf zwemmen en Luca niet.

e p Amir speelt Uno.

q Matteo speelt Uno.

r Tuur speelt Uno.

u Als Amir Uno speelt, dan zal Tuur Uno spelen als ook Matteo Uno speelt.

f p Ella koopt een rode sjaal.

q Ella koopt een gele T-shirt.

r Ella koopt blauwe kousen.

u Ella koopt een gele T-shirt of koopt geen rode sjaal enkel en alleen als Ella een rode sjaal en blauwe kousen koopt.

g p In de kamer staat een bed.

q In de kamer staat een tafel.

r In de kamer staat een zetel.

u In de kamer staat een bed en een tafel of in de kamer staat een zetel en geen tafel.

h p Jack liegt.

q John spreekt de waarheid.

u Als het waar is dat als Jack liegt ook John liegt, dan zal als John de waarheid spreekt, Jack ook de waarheid spreken.

i p Nathan liegt.

q Lisa spreekt de waarheid.

r Quinten spreekt de waarheid.

s Matteo liegt.

u Als het niet waar is dat Nathan of Lisa liegt, dan is het niet waar dat Quinten en Matteo de waarheid spreken.

j p Ruben surft.

q Arkan snorkelt.

r Tess zwemt.

u Het is niet waar dat het niet waar is dat Ruben surft of Tess zwemt als en slechts als het niet waar is dat Arkan snorkelt en Tess zwemt.

k p België wint het EK voetbal.

q België wint het WK voetbal.

r België wint het Eurovisiesongfestival.

u Als het niet waar is dat België het EK of het WK wint, dan wint België het Eurovisiesongfestival.

Ga na of op basis van de gegeven uitspraken p , q , r en s , waarvan je kunt nagaan of ze waar zijn of niet, de samengestelde uitspraak volgens de regels van de logica waar is of niet.

a p Elk vierkant is een rechthoek.

q Elke ruit is een vierkant.

r Elke vlieger is een vierhoek.

¬p ∧ q ∨¬r ⇐⇒ r =⇒ p ∨ ¬p =⇒ q

b p 23 – 17 = 8

q 23 – 17 = 17 – 12

r 23 – 17 = 6

s 23 – 17 = 17 – 11

p ∨¬q =⇒ (¬r ∧ s ) =⇒ ¬p =⇒¬s ∨ s

c p oppervlakte cirkel : A = pr 2

q omtrek cirkel : p = 2pr

r oppervlakte rechthoek : A = l ⋅ b

s omtrek rechthoek : p = 2( l + b )

q ∨¬r ∧¬ p ∨ s =⇒ ¬ ¬p ∧ r ∨ q

d p 2 3 + 3 2 = 13 6

q 3 2 + 4 3 = 19 6

r 3 4 2 3 = 1 12

p =⇒¬ q =⇒ r ⇐⇒¬ ¬p =⇒ r =⇒ q

1.3 Logische wetten

1Logische equivalente uitspraken

Twee uitspraken noemen we logisch equivalent als ze dezelfde waarheidstabel hebben.

Voorbeeld 1 :

p ⟹ q en ¬p ∨ q

p q p =⇒ q ¬p ¬p ∨ q

w w w o w

w o o o o

o w w w w

o o w w w

Notatie : ( p ⟹ q ) ⟺ ( ¬p ∨ q )

Voorbeeld 2 :

p ⟹ q en ¬q ⟹¬p

p q p =⇒ q ¬p ¬q ¬q =⇒¬p

w w w o o w

w o o o w o

o w w w o w

o o w w w w

Notatie : ( p ⟹ q ) ⟺ ( ¬q ⟹¬p )

2Tautologie en contradictie

Een samengestelde uitspraak wordt een tautologie genoemd als die samengestelde uitspraak voor alle waarden van de enkelvoudige uitspraken waar is.

Een samengestelde uitspraak wordt een contradictie genoemd als die samengestelde uitspraak voor alle waarden van de enkelvoudige uitspraken vals is.

Voorbeeld :

p ∨¬p is een tautologie.

p ∧¬p is een contradictie.

p ¬p p ∨¬p p ∧¬p

w o w o

o w w o

3Logische wetten

Logische wetten zijn tautologieën (logische waarheden).

1 : wet van de dubbele negatie

¬( ¬p ) ⟺ p

Het is niet zo dat een uitspraak niet waar is als en slechts als de uitspraak waar is.

p ¬p ¬( ¬p ) ¬ ¬p ⇐⇒ p

w o w w

o w o w

Voorbeeld : Die fysicaproef is niet ongevaarlijk.

Deze uitspraak is gelijkwaardig met : Die fysicaproef is gevaarlijk.

2 : wet van de uitgesloten derde p ∨¬p

Een uitspraak is waar of niet waar. Er is geen derde mogelijkheid.

p ¬p p ∨¬p

Voorbeeld : Twee rechten zijn snijdend of niet snijdend.

3 : omzetting van een implicatie in een disjunctie ( p ⟹ q ) ⟺ ( ¬p ∨ q )

p q p =⇒ q ¬p ¬p ∨ q

w

Voorbeeld:

Als het regent, dan blijft onze hond binnen. Deze uitspraak is gelijkwaardig met : Het regent niet of onze hond blijft binnen.

4 : contrapositie van een implicatie

( p ⟹ q ) ⟺ ( ¬q ⟹¬p )

Een uitspraak leidt tot een tweede uitspraak als en slechts als de negatie van de tweede uitspraak leidt tot de negatie van de eerste.

p q p =⇒ q ¬p ¬q ¬q =⇒¬p

w w w o o w

w o o o w o

o w w w o w

o o w w w w

Voorbeeld :

Als ik tandpijn heb, ga ik naar de tandarts.

Deze uitspraak is gelijkwaardig met :

Als ik niet naar de tandarts ga, heb ik geen tandpijn.

5 : omzetting van een equivalentie in een conjunctie

( p ⟺ q ) ⟺ ( p ⟹ q ) ∧ ( q ⟹ p )

p q p ⇐⇒ q p =⇒ q q =⇒ p (p =⇒ q ) ∧ (q =⇒ p )

w w w w w w

w o o o w o

o w o w o o

o o w w w w

Voorbeeld :

Het is vandaag maandag als en slechts als het morgen dinsdag is.

Deze uitspraak is gelijkwaardig met :

Als het vandaag maandag is, dan is het morgen dinsdag én als het morgen dinsdag is, dan is het vandaag maandag.

6 : wetten van De Morgan

¬( p ∧ q ) ⟺¬p ∨¬q

¬( p ∨ q ) ⟺¬p ∧¬q

De negatie van een conjunctie is de disjunctie van de negaties. De negatie van een disjunctie is de conjunctie van de negaties.

pq p ∧ q ¬( p ∧ q ) ¬p ¬q ¬p ∨¬q

Voorbeeld :

Het is niet zo dat ik goed oplet in de klas en mijn taken maak.

Deze uitspraak is gelijkwaardig met : Ik let niet goed op in de klas of ik maak mijn taken niet.

pq p ∨ q ¬( p ∨ q ) ¬p ¬q ¬p ∧¬q

4Bewijzen met behulp van logische wetten

Voorbeeld 1 :

Te bewijzen : ¬p ∨ q ⇐⇒ ¬q =⇒¬p

Bewijs : ¬p ∨ q

⇐⇒ p =⇒ q

⇐⇒ ¬q =⇒¬p

Voorbeeld 2 :

Te bewijzen : p ∨ q ⇐⇒¬ ¬p ∧¬q

Bewijs : ¬ ¬p ∧¬q

⇐⇒¬ ¬p ∨¬ ¬q

⇐⇒ p ∨ q

5Samenvatting

omzettingvaneenimplicatieineendisjunctie

contrapositievaneenimplicatie

wettenvanDeMorgan

wetvandedubbelenegatie

• Je weet dat twee uitspraken logisch equivalent zijn als ze dezelfde waarheidstabel hebben.

• Je weet dat een samengestelde uitspraak een tautologie is, als die samengestelde uitspraak voor alle waarden van de enkelvoudige uitspraken waar is.

• Je weet dat een samengestelde uitspraak een contradictie is, als die samengestelde uitspraak voor alle waarden van de enkelvoudige uitspraken vals is.

• Je kent de volgende logische wetten.

1 ¬ ¬p ⇐⇒ p wetvandedubbelenegatie

2 p ∨¬p wetvandeuitgeslotenderde

3 (p =⇒ q ) ⇐⇒ (¬p ∨ q ) omzettingvaneenimplicatieineendisjunctie

4 (p =⇒ q ) ⇐⇒ (¬q =⇒¬p ) contrapositievaneenimplicatie

5 (p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ (p =⇒ q ) ∧ (q =⇒ p ) omzettingvaneenequivalentieineenconjunctie

6 ¬ p ∧ q ⇐⇒¬p ∨¬q wettenvanDeMorgan

¬ p ∨ q ⇐⇒¬p ∧¬q

6Oefeningen

Bewijs volgende logische wetten met behulp van waarheidstabellen.

a commutativiteit

COMMUTATIVITEIT

COMMUTATIVITEIT

COMMUTATIVITEIT

b associativiteit

ASSOCIATIVITEIT

ASSOCIATIVITEIT

ASSOCIATIVITEIT

c distributiviteit

DISTRIBUTIVITEIT VAN DE CONJUNCTIE T.O.V. DE DISJUNCTIE

DISTRIBUTIVITEIT VAN DE DISJUNCTIE T.O.V. DE CONJUNCTIE

d transitiviteit

TRANSITIVITEIT VAN DE IMPLICATIE (hypothetisch syllogisme)

TRANSITIVITEIT VAN DE EQUIVALENTIE

e modus

MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

Augustus De Morgan (1806 – 1871)

Deze Britse wiskundige en logicus was samen met George Boole een van de grondleggers van de symbolische logica in Engeland. Hij formuleerde de wetten van De Morgan (die je zonet leerde) en was de eerste die het bewijs van volledige inductie van een stevige basis voorzag. Zijn belangrijkste werk heet Formal Logica en werd gepubliceerd in 1847.

De wetten van De Morgan: ¬(p ∧ q) ⟺¬p ∨¬q

¬(p ∨ q) ⟺¬p ∧¬q

Augustus De Morgan

3

Bewijs volgende logische wetten met behulp van waarheidstabellen.

a (¬p =⇒ p ) ⇐⇒ p

b (p ∧ q )=⇒ p

c p =⇒ (p ∨ q )

d p =⇒ (q =⇒ p )

e ¬p =⇒ (p =⇒ q )

f (p ∧¬p )=⇒ q

g (p ∧ q ) ∨ p ⇐⇒ p

h q =⇒ p =⇒ (q =⇒ p )

i (p =⇒ q ) ∨ (q =⇒ p )

j (¬p =⇒ q ) ⇐⇒ (¬q =⇒ p )

k ¬(p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ (p ⇐⇒¬q )

l (p =⇒ q ) ∧ (p =⇒¬q ) ⇐⇒¬p

m (p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ (p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q )

n p =⇒ q =⇒ ( r =⇒ p )

o p =⇒ (q =⇒ r ) ⇐⇒ (p ∧ q )=⇒ r p (p =⇒ r ) ∧ (q =⇒ r ) ⇐⇒ (p ∨ q )=⇒ r

q (p =⇒ q ) ∨ ( r =⇒ s ) =⇒ (p ∧ r )=⇒ (q ∨ s )

Bewijs volgende logische wetten door de zes geziene wetten toe te passen.

a p ∧ (p ⇐⇒ q ) =⇒ q

b (p =⇒ r ) ∧ (q =⇒ r ) ⇐⇒ (p ∨ q )=⇒ r

c p =⇒ (q ∧ r ) ⇐⇒ (p =⇒ q ) ∧ (p =⇒ r )

d (p ⇐⇒ q ) ⇐⇒ (¬p ∨ q ) ∧ (p ∨¬q )

e p ∧¬(¬q ∨ r ) ⇐⇒¬ (p ∧ q )=⇒ r

f p =⇒ (¬ r =⇒¬q ) ⇐⇒ (p ∧ q )=⇒ r

1.4 Logische raadsels

1Voorbeelden

aTjebbe gaat kleuren

Tjebbe moet drie vakjes kleuren. Hij kan hiervoor kiezen uit drie verschillende kleuren :

GEEL, BLAUW en ROOD

vakje 1vakje 2vakje 3

Bovendien weet je het volgende:

– Tjebbe gebruikt slechts 2 kleuren;

– als vakje 2 rood is, dan zijn vakjes 1 en 3 geel ; (uitspraak p )

– als vakje 1 geel is, dan zijn vakjes 3 en 2 blauw ; (uitspraak q )

– als vakje 3 geel is, dan zijn vakjes 2 en 1 rood.(uitspraak r )

Welke kleur heeft elk vakje ?

Oplossing :

Uitspraak p is in strijd met uitspraak q en kan dus niet waar zijn. Uitspraak r kan niet samen met uitspraak p waar zijn en is dus onwaar. Uitspraak q is dus de enige mogelijk ware uitspraak.

bWie brak de vaas?

Toen Arne met zijn vrienden Bert, Cas, Dean en Evert in de woonkamer aan het spelen was, brak er een vaas.

De mama van Arne was niet boos, maar wilde wel weten wie de vaas gebroken had.

Ze vroeg aan iedereen wie het gedaan had.

• Arne zei: “Ik was het niet.”

• Bert zei: “Cas of Dean heeft het gedaan.”

• Cas zei: “Evert brak de vaas.”

• Dean zei: “Arne heeft het gedaan.”

• Evert zei: “Dean of Arne brak de vaas.”

Kleine zus Lizzy die alles gezien had maar niemand wou verklikken, zei tegen haar mama: “Twee van hen liegen.”

Nu wist mama wie de vaas gebroken had. Wie was het ?

Oplossing :

Veronderstel even dat Arne de vaas brak, dan is :

– de uitspraak van Arne onwaar (o) ;

– de uitspraak van Bert onwaar (o) ;

– de uitspraak van Cas onwaar (o) ;

– de uitspraak van Dean waar (w) ;

– de uitspraak van Evert waar (w).

We maken dezelfde veronderstelling, maar nu met als mogelijke daders Bert, Cas, Dean of Evert.

We vatten alles samen in deze tabel :

Slechts in één geval hebben we twee onware uitspraken (leugens), namelijk het geval waarbij Dean de persoon is die de vaas brak.

Antwoord :

Dean is de schuldige.

cVakjes kleuren

Pieterjan heeft twee kleurstiften. De ene kleurt rood en de andere blauw. Hij kleurt vier vakjes (A, B, C en D).

Bovendien weet je het volgende :

• Als vakje A blauw is, dan is vakje B rood. (1)

• Als vakje B blauw is, dan hebben de vakjes C en D een verschillende kleur. (2)

• Als C rood is, dan is B blauw. (3)

• D heeft dezelfde kleur als C. (4)

• Het aantal rode vakjes is niet gelijk aan het aantal blauwe vakjes. (5)

Bepaal welke kleur welk vakje heeft.

Oplossing :

We zetten alle mogelijke oplossingen in een tabel en gaan na welke mogelijkheden we moeten uitsluiten op basis van de gegevens.

VAKJE AVAKJE BVAKJE CVAKJE DIN STRIJD MET UITSPRAAK ...

B B B B (1) (2)

B B B R (1) (4)

B B R B (1) (4)

B B R R (1) (2) (5)

B R B B

B R B R (4) (5)

B R R B (3) (4) (5)

B R R R (3)

R B B B (2)

R B B R (4) (5)

R B R B (4) (5)

R B R R (2)

R R B B (5)

R R B R (4)

R R R B (3) (4)

R R R R (3)

Enkel de mogelijkheid A blauw, B rood, C blauw en D blauw blijft over.

Antwoord :

Vakken A, C en D hebben als kleur blauw. Vak B is rood ingekleurd.

2Oefeningen

Wie at van de taart ?

Wie vergat het hek te sluiten ?

Daan heeft als verrassing voor zijn vriend Levi een taart gebakken. Plots blijkt er een stuk van de taart verdwenen te zijn. Hij kijkt beschuldigend naar zijn tweelingzusjes Romi en Bruna en hun twee vriendinnen Pippa en Lies.

• Romi zegt: “Bruna of Lies heeft een stuk van de taart gegeten.”

• Bruna zegt: “Ik en Romi waren het zeker niet.”

• Pippa zegt : “Lies of Romi nam een stukje taart.”

• Lies zegt: “Een van je zusjes beet van de taart.”

Als je weet dat enkel de schuldige liegt, wie heeft dan een stukje van de taart genomen ?

Oom Robbe heeft een geitenboerderij. Zijn neefjes Ivor, Jesse, Kian, Liam en Milan zijn op bezoek om naar de pasgeboren geitjes te komen kijken. Toen Robbe naar de geitenstal ging, zag hij dat het hek niet dicht was. Hij vroeg aan zijn neefjes wie het hek vergeten te sluiten was. Natuurlijk had niemand dit gedaan … Ze vertelden oom Robbe het volgende.

• Ivor zei : “Ik, Kian en Milan kunnen het niet geweest zijn, want we gingen als eersten weg uit de stal.”

• Jesse zei: “Ik denk dat Kian of Liam als laatste uit de stal kwam.”

• Kian zei: “Het zal wel weer Ivor of Jesse geweest zijn, zij zijn altijd verstrooid.”

• Liam zei: “Toen ik samen met Jesse en Kian de stal verliet, was er nog iemand, dus wij waren niet de laatsten.”

• Milan zei : “Wie het was weet ik niet, ik weet alleen dat ik het niet was.”

Als je nu de tip krijgt dat er twee van de vijf gelogen hebben, weet jij dan wie het hek liet openstaan ?

Wie veranderde Thorin in een standbeeld ?

We gaan even naar Midden-Aarde, de fantasywereld die je misschien kent van de films van The Hobbit. De dwergen Balin, Bofur, Dori, Dwalin, Kili, Fili en Thorin volgen toverles bij Gandalf de tovenaar.

Plots verandert Thorin in een standbeeld. Iemand van de zes overige dwergen sprak een verkeerde spreuk uit, maar wie? Hier volgen hun antwoorden :

• Balin : “Volgens mij was het Dwalin of Dori die een verkeerde spreuk gebruikte.”

• Bofur: “Enkel Dori, Kili of Fili maakt zulke onvoorzichtige fouten.”

• Dori: “Balin of Bofur moet het geweest zijn, zij zijn dikwijls verstrooid.”

• Dwalin: “Dori, Kili, Fili en ikzelf kunnen het niet geweest zijn, wij waren nog niet begonnen met spreuklezen.”

• Kili : “Ikzelf en Fili waren het zeker niet.”

• Fili : “Wie het was, weet ik niet. Ik weet enkel dat ik het niet was.”

“Drie van de vuurstenen op mijn toverstaf lichten op, dat betekent dat drie van jullie niet de waarheid spreken”, sprak Gandalf. “Geen probleem, ik weet nu wie de verkeerde spreuk gebruikte.”

Wie veranderde Thorin in een standbeeld ?

Potjes kleuren

Lyssa volgt een cursus pottenbakken. Ze heeft net drie kleine aarden potjes (A, B en C) gebakken en gaat deze nu verven. Ze heeft twee kleuren gekocht: paars en oranje. Welke kleur heeft welk potje als je weet dat :

• als potje A paars is, dan is potje C oranje ;

• als potje C oranje is, dan is potje B paars ;

• potje A en potje C een andere kleur hebben dan potje B.

Beertjes en leeuwtjes

Grootvader Victor is op daguitstap naar de zoo. In de zoowinkel verkopen ze pluchen beertjes en leeuwtjes. Hij heeft vier kleinkinderen (Amber, Emma, Levi en Mattis) en wil voor elk van hen een pluchen diertje kopen. Hij redeneert als volgt :

• Voor Amber koop ik hetzelfde als voor Levi of Mattis.

• Voor Emma koop ik hetzelfde als voor Amber of Levi.

• Ik koop minstens evenveel leeuwtjes als beertjes.

• Als ik voor Levi een leeuwtje koop, dan koop ik voor Mattis een beertje, maar voor Emma koop ik dan geen beertje.

• Als ik voor Mattis een beertje koop, dan koop ik voor Levi ook een beertje. Maar als ik voor Mattis een leeuwtje koop, dan koop ik voor Emma een beertje.

Wat kocht opa Victor voor elk van zijn kleinkinderen ?

De keuze van de ridders

Drie ridders, Niels, Koen en Lander, mochten van koning Arthur een wapen kiezen. Ze mochten kiezen tussen een zwaard, een boog met pijlen of een dolk.

• Niels zei: “Ik wil een ander wapen dan Koen en Lander.”

• Koen zei: “Als Niels het zwaard kiest, dan wil ik de dolk. Maar als Lander het zwaard kiest, dan wil ik de boog met pijlen.”

• Lander zei:“Ik zou het waarderen als je Niels geen dolk geeft en Koen geen zwaard.”

Arthur ging te rade bij Merlijn. Hij gaf Arthur de volgende raad: “Voldoe aan hun wensen, maar geef ze elk een

verschillend wapen.”

Welk wapen kreeg elk, rekening houdend met het advies van Merlijn ?

UIT DE VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE

De politie ondervraagt vijf leden van een Chinese dievenbende: Pang, Peng, Ping, Pong en Pung. Een van hen pleegde een diefstal. Om elkaar te beschermen spreken de dieven af dat precies één van hen zal liegen.

• Pang zegt : “Peng heeft het niet gedaan.”

• Peng zegt : “Ping heeft het niet gedaan.”

• Ping zegt : “Pong liegt.”

• Pong zegt : “Ik heb het gedaan.”

• Pung zegt : “Het was Pang of Peng.”

Wie heeft de diefstal gepleegd ?

(A)Pang (B)Peng (C)Ping (D)Pong (E)Pung

JWO 2017 tweede ronde, vraag 14© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Een detective houdt de schuilplaats van vier verdachte individuen Joe, Jack, William en Averell in de gaten. Hij stelt het volgende vast :

• Als Joe afwezig is, dan is William of Averell aanwezig, maar niet beiden ;

• Als Jack afwezig is, dan zijn Joe en William beiden aanwezig of beiden afwezig ;

• Als William aanwezig is, dan is Joe of Averell afwezig, maar niet beiden.

Wie kan er alleen in de schuilplaats zijn ?

(A) Joe (B)Jack(C)William(D)Averell(E)Niemand kan alleen in de schuilplaats zijn.

JWO 2019 tweede ronde, vraag 23© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Als het in Knokke minstens 27 °C en zonnig is, dan zit het strand overvol. Op 21 juli zat het strand niet overvol. Wat kun je dan besluiten over het weer op die dag ?

(A)

Als het minstens 27°C was, dan was het zonnig.

(B)

Als het minder dan 27°C was, dan was het zonnig.

(C)

Als het minder dan 27°C was, dan was het niet zonnig.

JWO 2015 tweede ronde, vraag 27© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D)

Het was minder dan 27°C en het was niet zonnig.

(E)

Het was minder dan 27°C of het was niet zonnig.

In sprookjesland liegen de trollen altijd en spreken de elfen altijd de waarheid. Vijf van hen gaan één voor één een kasteel binnen en doen net voor het binnengaan een uitspraak.

• De eerste : “In onze groep zijn meer trollen dan elfen.”

• De tweede : “Voor mij ging een elf binnen.”

• De derde : “Er is al precies één elf binnen.”

• De vierde : “Er is al precies één elf binnen.”

• De laatste : “Er is al precies één elf binnen.”

Hoeveel trollen zijn er in de groep ?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

JWO 2019 eerste ronde, vraag 25© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D) 4

(E) 5

Toen de zoon van Indira deze ochtend vol met rode stipjes opstond, dacht zij: “Hij heeft mazelen of hij heeft windpokken.” De dokter sprak haar vermoeden tegen. Welke uitspraak zou de dokter gedaan kunnen hebben ?

(A)

Als je zoon geen mazelen heeft, dan heeft hij beslist windpokken.

(B)

Als je zoon geen windpokken heeft, dan heeft hij beslist mazelen.

(C)

Je zoon heeft geen mazelen of hij heeft geen windpokken.

JWO 2020 eerste ronde, vraag 28© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D)

Je zoon heeft mazelen, maar hij heeft geen windpokken.

(E)

Je zoon heeft geen mazelen en hij heeft geen windpokken.

Sommige aliens hebben groene tenen, de andere hebben paarse tenen. Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor. Welke van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars ?

(A)

De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

(B)

De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

(C)

De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

JWO 2020 eerste ronde, vraag 14© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D)

De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

(E)

De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

Vijf vrienden spelen een spel. Een van hen is de mol en liegt altijd. De andere spreken altijd de waarheid.

• Wout zegt : “Maarten of Jens is de mol.”

• Lisa antwoordt : “De mol is een man.”

• Jens zegt : “Lisa is de mol niet en ik ook niet.”

• Maarten stelt : “De mol is een vrouw.”

• Inneke beweert : “Ik ben de mol niet.”

Wie is de mol ?

(A)Wout (B)Lisa (C)Jens(D)Maarten(E)Inneke

JWO 2020 tweede ronde, vraag 13© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In het Babbelbos wonen dieren die ofwel de waarheid spreken ofwel liegen. Op een zonnige zondagnamiddag ontmoet Reynaert tijdens een wandeling een groepje van vier dieren die hem spontaan het volgende melden.

• Beer: “Wij zijn alle vier leugenaars.”

• Das: “Precies een van ons is een leugenaar.”

• Wolf: “Precies twee van ons zijn leugenaars.”

• Haas: “Ik spreek de waarheid.”

Welke van de onderstaande uitspraken is correct?

(A)

De beer en de das spreken de waarheid.

(B)

De beer liegt en de das spreekt de waarheid.

(C)

De beer en de wolf spreken de waarheid.

JWO 2022 tweede ronde, vraag 22 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D)

De das liegt en de haas spreekt de waarheid.

(E)

De wolf en de haas liegen.

Een jeugdbeweging koopt T-shirts aan. Elk lid moet kiezen tussen katoen en polyester, tussen blauw en rood en tussen de maten M en L. Bij de levering merkt de hoofdleider dat:

• alle T-shirts met maat L van polyester gemaakt zijn.

• alle rode T-shirts van katoen gemaakt zijn.

Welke bewering over de levering is zeker waar?

(A)

Alle blauwe T-shirts zijn van polyester gemaakt.

(B)

Alle rode T-shirts hebben maat M.

(C)

Alle T-shirts met maat M zijn rood.

JWO 2023 eerste ronde, vraag 13 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D)

Alle katoenen T-shirts zijn rood.

(E)

Alle polyester T-shirts hebben maat L.

Waarachtige wolven spreken altijd de waarheid en leugenachtige luipaarden liegen altijd. Tien zulke dieren zitten in een kring, zodat elk dier negen andere ziet. Vijf dieren doen elk een uitspraak.

• Eén dier zegt: “Ik zie precies één luipaard.”

• Eén dier zegt: “Ik zie precies vijf wolven.”

• Eén dier zegt: “Ik zie dubbel zoveel luipaarden als wolven.”

• Eén dier zegt: “Ik zie precies zeven luipaarden.”

• Eén dier zegt: “Ik zie precies negen wolven.”

De vijf dieren die zwijgen, zijn van dezelfde soort. De vijf dieren die spreken, zijn niet van dezelfde soort. Hoeveel wolven zitten er in de kring?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

JWO 2023 eerste ronde, vraag 28 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Hoeveel van deze vier uitspraken zijn waar?

• Als x deelbaar is door 3 en y deelbaar door 6, dan is x + y deelbaar door 6.

• Als x deelbaar is door 3 en y deelbaar door 6, dan is x + y deelbaar door 9.

• Als x deelbaar is door 3 en y deelbaar door 6, dan is xy deelbaar door 6.

• Als x deelbaar is door 3 en y deelbaar door 6, dan is xy deelbaar door 18.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

JWO 2024 eerste ronde, vraag 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Johnny liegt op de even dagen van de maand, anders niet. Amber liegt in de even maanden van het jaar, anders niet. Bijvoorbeeld: op 26 mei (26/5) liegt Johnny, want 26 is even; maar op dezelfde dag spreekt Amber de waarheid, want 5 is oneven.

Op een dag zegt Johnny: “Overmorgen zal ik liegen.”

Amber antwoordt: “Morgen is het de laatste dag van de maand.”

Op welke dag zou dat gesprek kunnen plaatsvinden?

(A) op 31 mei

(B) op 30 juni

(C) op 30 juli

JWO 2024 eerste ronde, vraag 29 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(D) op 30 augustus

(E) op 29 september

1.5 Logische poorten

1Soorten poorten

Logische poorten zijn elektronische schakelingen die werken volgens de booleaanse logica of propositielogica.

2Toepassingen

Gevraagd : welke waarde hebben A, B en C als je weet dat X de waarde 1 heeft ?

Oplossing :

• X kan maar 1 zijn als zowel P als Q de waarde 1 heeft, m.a.w. P = 1 en Q = 1.

• Als P = 1, dan moet A = 0.

• Q kan maar 1 zijn als zowel R als C de waarde 0 heeft, m.a.w. R = 0 en C = 0.

• Omdat R = 0 en A = 0, moet B = 1.

Antwoord : A = 0, B = 1, C = 0

3Samenvatting

• Je kent de betekenis van deze logische poorten.

De

of Invertor komt overeen met de negatie uit de logica.

4Oefeningen

Gegeven: volgende schakeling

Gevraagd: bepaal de waarde van X onder de gegeven waarden van A, B en C.

volgende schakeling

Gegeven: volgende schakeling

Welke waarde hebben A, B en C als je weet dat X de waarde 0 heeft ?

Welke waarde hebben A, B en C als je weet dat X de waarde 1

George Boole (1815 – 1864)

Deze Engelse wiskundige, filosoof en logicus is vooral bekend als de auteur van An Investigation of the Laws of Thought (uit 1854). Dat werk bevat booleaanse algebra, een tak van de algebra waarin de waarden van de variabelen de waarheidswaarden waar (w) of onwaar (o) zijn. Die worden meestal respectievelijk aangeduid met de binaire getallen 1 en 0, de basis voor digitale computerlogica. Boole was vanaf 1849 hoogleraar in de wiskunde aan het Queens college in Cork (Ierland).

George Boole

1.6 Wiskundige redeneringen

1Kwantoren

aDe universele kwantor

Het symbool ∀ lees je als ‘voor alle’ en noemen we de universele kwantor.

Voorbeelden :

De uitspraak ‘alle vierkanten zijn ook rechthoeken’ noteren we in de logica als volgt :

∀ x (als x een vierkant is, dan is x een rechthoek)

De uitspraak ‘alle mensen zijn sterfelijk’ noteer je als :

∀ x (x is een mens ⟹ x is sterfelijk)

De uitspraak ‘het kwadraat van elk geheel getal is steeds positief’ noteer je als :

∀ x ∈ Z: x 2 ⩾ 0

bDe existentiële kwantor

Het symbool ∃ lees je als ‘er bestaan’ of ‘er bestaat minstens één’ en noemen we de existentiële kwantor

Voorbeelden :

De uitspraak ‘er bestaan rechthoeken die een vierkant zijn’ noteren we in de logica als volgt :

∃ x (x is een rechthoek): (x is een vierkant)

De uitspraak ‘er bestaan gehele getallen waarvan het kwadraat gelijk is aan 4’ noteer je als :

∃ x ∈ Z: x 2 = 4

De uitspraak ‘er bestaan natuurlijke getallen die een pythagorisch drietal vormen’ noteer je als :

∃ a, b, c ∈ N: a 2 = b 2 + c 2

cDe uniciteitskwantor

Het symbool ∃! lees je als ‘er bestaat juist één’ en noemen we de uniciteitskwantor

Voorbeeld :

De uitspraak ‘er bestaat juist één geheel getal dat oplossing is van de vergelijking x + 5 = 0’ noteren we in de logica als volgt :

∃! x ∈ Z: x + 5 = 0

dDe volgorde van de kwantoren

Net zoals je connectieven kunt combineren, kun je kwantoren combineren. Naargelang van de volgorde van de kwantoren krijgen uitspraken andere betekenissen.

∃! a ∈ Z, ∀ x ∈ Z: a x = x a = x betekent : er bestaat een geheel getal (namelijk 1) dat, vermenigvuldigd met om het even welk ander geheel getal, dat getal als uitkomst heeft.

∀ x ∈ Z, ∃ a ∈ Z: a + x = x + a = 0betekent: voor elk geheel getal bestaat er een geheel getal (namelijk –x, dat weliswaar voor elk geheel getal anders is), zodanig dat de som van de twee getallen nul is.

Wiskundige redeneringen (bewijzen) maken vaak gebruik van de symbolen uit de logica. Er zijn verschillende methodes om wiskundige redeneringen en uitspraken te bewijzen. We bespreken achtereenvolgens : – een rechtstreeks bewijs;

– vermoedens en tegenvoorbeeld;

– bewijs uit het ongerijmde; – bewijs door contrapositie;

– bewijs door uitputting;

– voldoende en nodige voorwaarde.

2Rechtstreeks bewijs

Bij een rechtstreeks bewijs wordt een uitspraak (stelling of eigenschap) bewezen door middel van een logische combinatie van definities, axioma’s en vroeger bewezen uitspraken.

Voorbeeld :

Als n oneven is, dan is n 2 ook oneven.

Gegeven : n is een oneven natuurlijk getal.

Te bewijzen : n 2 is oneven.

Bewijs : n isoneven

n = 2k + 1

n 2 = (2k + 1)2

k ∈ N

n 2 = 4k 2 + 4k + 1

n 2 = 2 2k 2 + 2k + 1

m = 2k 2 + 2k iseennatuurlijkgetal

n 2 = 2m + 1

n 2 isoneven

2m iseven

3Vermoedens en tegenvoorbeeld

Lukt het niet om een vermoeden te bewijzen, dan kun je je afvragen of het vermoeden wel juist is. Het geven van slechts één tegenvoorbeeld is voldoende om aan te tonen dat het vermoeden niet juist is.

Voorbeeld :

Vermoeden :

De som van de echte delers van een getal (natuurlijke delers kleiner dan dat getal) is steeds kleiner dan of gelijk aan dat getal.

Voorbeelden die het vermoeden staven : delers van 4: 1 en 2 1 + 2 < 4 delers van 6: 1, 2 en 3 1 + 2 + 3 = 6 delers van 10 : 1, 2 en 5 1 + 2 + 5 < 10

Tegenvoorbeeld : delers van 12: 1, 2, 3, 4, 61 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12

Besluit : Het vermoeden klopt niet.

4Bewijs uit het ongerijmde (contradictie)

Bij een bewijs uit het ongerijmde gaan we uit van de negatie van het te bewijzen dat je toevoegt aan de gegevens. Zo probeer je om tot een contradictie te komen.

Voorbeeld 1 :

Een rechte die één van twee evenwijdigen snijdt, snijdt ook de andere.

Gegeven : a ⫽ b

c ⫽⧵ a

c ∩ a = { P}

Te bewijzen : c ⫽⧵ b

Bewijs :

In het vlak zijn twee rechten c en b ofwel evenwijdig ofwel snijdend.

Als je moet bewijzen dat c ⫽⧵ b, dan is de negatie van het te bewijzen: c ⫽ b .

Stel dat c ⫽ b .

Dan gaan er door het punt P twee rechten die evenwijdig zijn met b , namelijk a en c

Dat is in strijd met het axioma van Euclides.

Axioma van Euclides

Door elk punt van het vlak kun je precies één rechte tekenen die evenwijdig is met een gegeven rechte.

We komen dus tot een contradictie.

Besluit: c ⫽⧵ b

Voorbeeld 2 : √2isirrationaal.

Dat √2geenrationaalgetalis,wilzeggendat,indienwe √2inzijndecimalevormzoudenschrijven,weindie vorm geen periodeterugvinden,metanderewoorden √2isniet inbreukvormteschrijven.

Webewijzenditvanuithetongerijmde.

Steldat √2welalseenonvereenvoudigbarebreukgeschrevenkanworden.

√2 = p q met q = 0enggd (p , q )= 1

kwadraterenvanbeideleden

2 = p 2 q 2

p 2 = 2q 2 (1)

p 2 iseven indien p onevenzouzijn,dankunje p gelijkstellenaan

p iseven

2k + 1endus p 2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 → oneven

∃ r ∈ N : p = 2 r (2)

Wevervangenditin (1) : p 2 = 2q 2 enkrijgen:

p 2 = 2q 2

(2 r )2 = 2q 2

4 r 2 = 2q 2

2 r 2 = q 2

q 2 iseven

p = 2 r

q iseven (3)

Webesluitenuit (2) en (3) datzowel p als q evengetallenzijn.Datbetekentdat p q vereenvoudigbaaris.Datis instrijdmetwatweveronderstelden.Dusis √2geenrationaalgetal.Wenoemen √2eenirrationaalgetal.

5Bewijs door contrapositie

Een bewijs door contrapositie steunt op de gelijkwaardigheid van de logische uitspraken p ⟹ q en ¬q ⟹¬p .

p q p =⇒ q ¬q =⇒¬p

w w w w

w o o o

o w w w

o o w w

Voorbeeld : Als n 2 even is, dan is n even.

Bewijs : De contrapositie van de te bewijzen uitspraak is: ‘als n niet even is, dan is n 2 niet even’ of ‘als n oneven is, dan is n 2 oneven’. Die laatste uitspraak hebben we al bewezen in punt 2 op pagina 46.

6Bewijs door uitputting

Bij een bewijs door uitputting of door exhaustie (ook wel gevallenonderzoek genoemd) wordt de te bewijzen uitspraak opgedeeld in alle mogelijke gevallen die zich kunnen voordoen. Elk deelgeval wordt dan afzonderlijk bewezen.

Voorbeeld :

Voor elk natuurlijk getal n geldt: n ( n + 1) is even.

Bewijs : We splitsen het bewijs op in twee gevallen.

Geval 1 : n is even,

m.a.w. n = 2k met k ∈ N, dan is

n ( n + 1) = 2k ( 2k + 1)

= 4k 2 + 2k

= 2( 2k 2 + k )

Dus: n ( n + 1) is even.

Geval 2 : n is oneven,

m.a.w. n = 2k + 1 met k ∈ N, dan is

n ( n + 1)

= ( 2k + 1) ⋅ ( 2k + 2)

= 4k 2 + 6k + 2

= 2( 2k 2 + 3k + 1)

Dus: n ( n + 1) is even.

7Voldoende en nodige voorwaarde

Nodige voorwaarde

Voorbeeld 1 :

Als een vierhoek een ruit is, dan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

Die uitspraak kunnen we noteren als : p ⟹ q met p : de vierhoek is een ruit.

q : de diagonalen staan loodrecht op elkaar.

We zeggen dat het loodrecht staan van de diagonalen in een vierhoek een nodige voorwaarde is opdat de vierhoek een ruit zou zijn. Want als de diagonalen niet loodrecht op elkaar staan, dan kan de vierhoek geen ruit zijn.

Opdat p zou waar zijn, moet al ten minste q waar zijn.

Inderdaad als p ⟹ q waar is en q niet waar, dan kan p onmogelijk waar zijn.

Het loodrecht zijn van de diagonalen in een vierhoek is een eigenschap van een ruit.

Voldoende voorwaarde

We kunnen ook zeggen dat het ruit zijn van een vierhoek een voldoende voorwaarde is voor het loodrecht zijn van de diagonalen.

Als p ⟹ q en p waar zijn, dan is ook q waar.

Voorbeeld 2 :

Als een getal deelbaar is door 6, dan is het deelbaar door 3.

Het deelbaar zijn door 6 is voldoende om deelbaar te zijn door 3.

Het deelbaar zijn door 3 van een getal is nodig om deelbaar te zijn door 6.

Nodige en voldoende voorwaarde

Voorbeeld 3 :

Een vierhoek is een parallellogram als en slechts als de diagonalen elkaar middendoor delen.

Die uitspraak kunnen we noteren als :

p ⟺ q met p : de vierhoek is een parallellogram.

q : de diagonalen delen elkaar middendoor.

p ⟹ q Het middendoor delen van de diagonalen in een vierhoek is een nodige voorwaarde voor parallellogram zijn.

q ⟹ p Het middendoor delen van de diagonalen in een vierhoek is een voldoende voorwaarde voor parallellogram zijn.

Besluit : het middendoor delen van de diagonalen van een vierhoek is een nodige en voldoende voorwaarde opdat de vierhoek een parallellogram zou zijn. Het middendoor delen van de diagonalen in een vierhoek is een kenmerk voor parallellogram zijn.

Een eigenschap wordt vertolkt door een nodige voorwaarde.

Een kenmerk wordt vertolkt door een nodige en voldoende voorwaarde.

8Oefeningen

Vul in met N (nodig), V (voldoende) of N en V (nodig en voldoende).

a Opdat een driehoek ABC gelijkbenig zou zijn, is het … dat hij gelijkzijdig is.

b Opdat een driehoek ABC gelijkzijdig zou zijn, is het … dat hij gelijkbenig is.

c‘a is een even natuurlijk getal’ is de … voorwaarde opdat a + 1 oneven zou zijn.

d Het even lang zijn van de diagonalen is een … voorwaarde voor het rechthoekig zijn van de vierhoek ABCD.

e Opdat een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk [ AB] zou liggen, is het … dat het op gelijke afstand ligt van de uiteinden van het lijnstuk.

f Het kloppen van de negenproef is een … voorwaarde voor het juist zijn van een bepaalde bewerking.

g Het groter zijn dan 3 van een natuurlijk getal a is een … voorwaarde voor het groter zijn dan 1 van dat getal.

h Opdat A ∩ B = B ∩ A is het … dat A =∅.

i Opdat a b = 0 is het … dat a = 0 (a en b zijn reële getallen).

j Opdat a ⫽ b is het … dat a = b

k De … voorwaarde opdat een driehoek rechthoekig is, is dat het kwadraat van de langste zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

Is drie scherpe hoeken hebben een eigenschap of een kenmerk van een :

a scherphoekige driehoek ?

b gelijkzijdige driehoek ?

Overstaande hoeken die even groot zijn, is dat een eigenschap of een kenmerk van een parallellogram ?

Overstaande hoeken die even groot zijn, is dat een eigenschap of een kenmerk van een rechthoek ?

Geef een nodige en voldoende voorwaarde opdat een vierhoek een ruit zou zijn.

Geef een kenmerk van een rechthoek.

Er bestaat één natuurlijk getal van twee cijfers, zodat het getal gelijk is aan het dubbel product van de cijfers. Bewijs. 6

Het middendoor delen van de diagonalen en het loodrecht staan van de diagonalen, is dat een eigenschap of een kenmerk van een ruit ?

Verklaar waarom een definitie steeds vertolkt wordt door een N en V-voorwaarde.

Geef een mogelijke definitie van een vierkant, rechthoek, ruit en parallellogram.

Als een getal deelbaar is door 4, dan is het ook deelbaar door 2.

Bewijs deze uitspraak.

Als een getal niet deelbaar is door 3, dan is het ook niet deelbaar door 6.

Bewijs deze uitspraak.

Als twee overeenkomstige hoeken, bepaald door twee rechten en een snijlijn, even groot zijn, dan zijn de twee rechten evenwijdig.

Bewijs deze uitspraak.

Als a ⫽ b en b ⫽ c , dan is a ⫽ c Bewijs.

Logica 1

moet ik leren pagina ik ken het ! oké voor examen

dit

❒ Ik weet dat een syllogisme is opgebouwd uit twee proposities en een conclusie.

 

❒ Ik kan nagaan wanneer een redenering geldig is. 9  

❒ Ik weet dat in de propositielogica uitspraken worden gedaan (proposities) die waar of onwaar zijn. 13  

❒ Ik ken de betekenis van de negatie van een uitspraak en kan dat noteren met een symbool.

❒ Ik weet wat bedoeld wordt met de conjunctie van twee uitspraken.

❒

❒

 

Gegeven:

p : Mohamed heeft een hond.

q : Haroun basket.

r : Robbe speelt gitaar

Gevraagd:

Formuleer de volgende uitspraken in symbolen op basis van de gegeven uitspraken p, q en r

a Als Robbe geen gitaar speelt of Mohamed een hond heeft, dan is het niet waar dat Haroun basket en Robbe gitaar speelt.

b Mohamed heeft geen hond en Haroun basket of Haroun basket niet en Robbe speelt geen gitaar.

Is de uitspraak s ∨ q ∧¬ ¬p ∨ r ⇔ p ⇒ s waar of onwaar, als je weet dat:

a p en q waar zijn en r en s niet waar zijn;

b p, r en s waar zijn en q niet waar is. pqrs

Bepaal de waarde van X onder de gegeven waarden van A, B en C in volgende schakeling.

Orde / Stiptheid Punten Correctheid Klas Datum Nummer

Telproblemen 2

In dit hoofdstuk leer je verschillende manieren om telproblemen op te lossen. Daarbij maak je gebruik van heel wat wiskundige technieken.

Een smakelijk opwarmertje?

Na een lekkere lunch in je favoriete restaurant heb je nog zin in een ijsje.

Ze hebben er drie verschillende smaken (vanille, M&M’S en Oreo).

Bovendien kun je er een van de drie sausjes als extraatje bij nemen (karamel, chocolade of aardbei).

Ten slotte wordt gevraagd of je er al dan niet nootjes bovenop wil hebben.

Hoeveel verschillende ijsjes kunnen er gemaakt worden?

Telproblemen