Reële getallen
1.2
1 ) De getallenas We kunnen rationale getallen voorstellen op de getallenas.
–2
–1,5
–1
0
Nemen we nu een
1
1 _ 1 _ 3 2
2
Q
5 __ 3 _ 11 2 4
close-up, dan krijgen we : 0
1 _ 4
1 _ 8
1 _ 2
1 _ 3
9 __ 16
5 _ 8
11 __ 16
3 _ 4
13 __ 16
Q
1
7 _ 8
Nemen we nog eens een close-up, dan krijgen we : 0
1 __ 1 __ 32 16
1 _ 8
3 __ 16
1 _ 4
7 __ 24
1 _ 3
9 __ 24
5 __ 12
Q
1 _ 2
11 __ 24
8 8 3 8 –– We zoeken tussen welke twee gehele getallen gelegen is. Er geldt : 2 < <3 3 3
Voorbeeld 1 : plaats op de getallenas.
0
1
2
8 _ 3
3
Q
Voorbeeld 2 : plaats – 0,2727... op de getallenas. –– We zoeken tussen welke twee gehele getallen – 0,2727... gelegen is. – 1 < – 0,2727… < 0 –– We verdelen verder tussen deze twee punten, maar noteren eerst het getal in breukvorm.
−0, 2727 . . . = − –1
27 3 =− 99 11 –3 __ 11
0
1
Q
Uit deze twee voorbeelden kunnen we besluiten dat elk rationaal getal door juist één punt van de getallenas voorgesteld kan worden. Zou het omgekeerde ook waar zijn ? Zou elk punt van de getallenas juist één rationaal getal voorstellen ?
22
HOOFDS TUK 1
• REËLE GETALLEN
2 ) Reële getallen De verzameling van de rationale getallen is ook de verzameling van de repeterende decimale vormen. Er bestaan ook niet-repeterende decimale vormen.
√ Voorbeelden : 1,2345... 123,456789101112... √7 = 2, 64575 . . .
412 = 20, 29778 . . .
p = 3,1415926...
– 14,01020304...
Aangezien deze decimale vormen geen periode hebben, kunnen we ze ook niet omzetten tot een breukvorm. We noemen deze getallen irrationale getallen. irrationaal getal Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale vorm. De rationale en irrationale getallen vormen samen de reële getallen. We noteren de verzameling van de reële getallen als R. We noteren de verzameling van de irrationale getallen als R \ Q ( lees : ‘R verschil Q’). Hierin zitten de getallen die wel tot R behoren, maar niet tot Q. in een tabel : in een diagram : REËLE GETALLEN RATIONALE GETALLEN 5
.5
4 7
– 4,8
p
0,82343... .
3,0505...
1,3
8,0577... 0
5 − 2
√
8,123456...
√
.− 2
.0
. 1,3
.
√
13
. 8,123456…
. −5 2
7
2
– 12,304005000…
.p
. − 4,8
4
R
R\Q
Q
IRRATIONALE GETALLEN
.
√
. 0,82343…
…
0, 3
…
reëel getal Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal. in een synthesediagram :
.0
N
.2
. – 3 .1 …
Z
. –1
1 2
. −1 2
.
. – 2
. 3,0455…
…
…
7 is een natuurlijk getal.
2 is een reëel getal.
p is een irrationaal getal.
IN SYMBOLEN 7∈N
√
2∈R
p∈R\Q
Alle natuurlijke getallen zijn gehele getallen.
N⊂Z
Alle gehele getallen zijn rationale getallen.
Z⊂Q
Alle rationale getallen zijn reële getallen.
Q⊂R N⊂Z⊂Q⊂R
√
R
3, 7
. – 8,15432…
. 0,435
IN WOORDEN
√
.
Q
.
√
…
. 16,12345…
2
.p .
√
5
∈ ∉ lees je als : lees je als : ... is een ... is geen element van ... element van ... ⊂ lees je als : ... is een deelverzameling van ... ⊄ ... is geen deelverzameling van ...
23
3 ) Reële getallen op de getallenas Hoe plaatsen we een reëel getal op de getallenas ? → Indien de getallen rationaal zijn, kunnen we de gekende manier toepassen. → Indien de getallen irrationaal zijn, moeten we even onze verbeelding laten werken. Het getal dat met het punt op de rechte overeenkomt noemen we ook de abscis van dat punt.
Voorbeeld 1 : a = 2,347... Het getal a bevat geen periode en is dus irrationaal. Het moet zeker tussen de getallen 2,347 en 2,348 liggen. Stel dat het volgende cijfer een 2 is, dan moet het getal tussen 2,3472 en 2,3473 liggen. Zo kunnen we steeds verder gaan. –2 2
2,1
2,2
–1 2,3
2,3
0 2,4
1
2,5
2,6
2 2,7
4
3 2,8
2,9
3
2,34 2,35
2,4 2,347 2,348
2,34 2,347
2,35 2,348
2,34721…
R
BENADE
BENADE
RENDE
HET GETAL
WAARDE (TE KLEIN)
RENDE WAARDE (TE GROOT)
2,34721...
3
1
2,3
2,34721...
2,4
0,1
2,34
2,34721...
2,35
0,01
2,347
2,34721...
2,348
0,001
2,3472
2,34721...
2,3473
0,0001
Stel dat we een ronde tafel hebben met straal 0,5 m. De omtrek van de tafel is dan : P = 2pr = 2 · p · 0,5 = p Onderstaande cirkel heeft een straal van 0,5. Indien we hem ‘verder rollen’ over de as volgens de aangegeven richting, dan zal na één volledige omwenteling het punt A terechtkomen in het punt B. De abscis van dit punt is p.
1m
Notatie : abs ( B) = p
0
B
1
2
3 @
R
Besluit : Elk punt op de reële getallenas bepaalt juist één reëel getal en elk reëel getal bepaalt juist één punt op de getallenas.
24
TOT OP
2
Voorbeeld 2 : a = p = 3,14159265358997932384...
A
NAUW KEURIG
HOOFDS TUK 1
• REËLE GETALLEN
4 ) Begrensde deelverzamelingen van r Op de reële getallenas hiernaast staan alle getallen aangeduid die groter dan of gelijk zijn aan – 3 en kleiner dan of gelijk zijn aan 2. We kunnen dit noteren met de symbolen die je kent vanuit de eerste graad.
–3
R
2
We noemen dit ook wel de notatie met ongelijkheden : – 3 ⩽ x ⩽ 2. Een deel van de getallenas noemen we in wiskunde een interval. Om een deel van de getallenas aan te duiden voeren we een nieuwe notatie in : de intervalnotatie.
– 3 is de ondergrens van
[– 3, 2] 2 is de bovengrens van
het interval en hoort erbij.
het interval en hoort erbij.
Het al dan niet erbij horen van de grens kun je ook mooi aflezen uit de notatie van ongelijkheden. ⩽ : de grens hoort erbij ! < : de grens hoort er niet bij. Als een grens er niet bij hoort, dan gebruik je het omgekeerde haakje. Voorbeeld :
– 3 ⩽ x < 2 → x ∈ [ – 3, 2[ VOORBEELD
ALGEMEEN
GESLOTEN INTERVAL voorstelling : leeswijze :
–3
2
R
a
b
gesloten interval
gesloten interval
[– 3, 2]
[a , b ]
– 3 ⩽ x ⩽ 2
a ⩽x ⩽b
in symbolen : notatie met ongelijkheden :
R
OPEN INTERVAL voorstelling :
–3
leeswijze : in symbolen : notatie met ongelijkheden :
2
R
a
b
open interval
open interval
]– 3, 2[
]a , b [
– 3 < x < 2
a <x <b
R
HALFOPEN OF HALFGESLOTEN INTERVAL voorstelling : leeswijze :
–3
in symbolen : notatie met ongelijkheden :
a
b
R
halfopen (of halfgesloten) interval,
open in – 3
open in a
]– 3, 2]
]a , b ]
– 3 < x ⩽ 2
a <x ⩽b
notatie met ongelijkheden :
leeswijze :
R
halfopen (of halfgesloten) interval,
in symbolen :
voorstelling :
2
–3
2
R
a
b
R
halfopen (of halfgesloten) interval,
halfopen (of halfgesloten) interval,
open in 2
open in b
[– 3, 2[
[a , b [
– 3 ⩽ x < 2
a ⩽x <b
25
5 ) Onbegrensde intervallen in r De verzameling R bevat een oneindig aantal elementen en bevat geen grootste of kleinste getal. Je kunt dus geen kleinste of grootste grens van R beschouwen. De grootste grens die niet te bereiken is, noteren we als +∞ (lees : ‘plus oneindig’). De kleinste grens die evenmin te bereiken is, noteren we als –∞ (lees : ‘min oneindig’). VOORBEELD voorstelling : leeswijze :
–5
gelijk aan a
[– 5, +∞[
[a , +∞[
x ⩾ – 5
x ⩾a
–5
R
a
R
alle reële getallen kleiner dan of
alle reële getallen kleiner dan of
gelijk aan – 5
gelijk aan a
]–∞, – 5]
]–∞, a ]
x ⩽ – 5
x ⩽a
in symbolen : notatie met ongelijkheden :
voorstelling :
–5
R
a
R
alle reële getallen groter dan – 5
alle reële getallen groter dan a
]–5, +∞[
]a , +∞[
x > – 5
x >a
in symbolen : notatie met ongelijkheden :
voorstelling :
–5
R
a
R
alle reële getallen kleiner dan – 5
alle reële getallen kleiner dan a
]–∞, – 5[
]–∞, a [
x < – 5
x <a
in symbolen : notatie met ongelijkheden :
Let op ! +∞ en –∞ zijn geen getallen en behoren niet tot R.
26
R
alle reële getallen groter dan of
voorstelling :
leeswijze :
a
gelijk aan – 5
notatie met ongelijkheden :
leeswijze :
R
alle reële getallen groter dan of
in symbolen :
leeswijze :
ALGEMEEN
HOOFDS TUK 1
• REËLE GETALLEN
6 ) Bijzondere deelverzameling in r 0 leeswijze :
alle reële getallen die groter dan of gelijk zijn aan nul
korte leeswijze :
de positieve reële getallen
in symbolen : R+ = [ 0, +∞[ 0 notatie met ongelijkheid : x ⩾ 0 0
0 0 leeswijze : korte leeswijze :
alle reële getallen die groter zijn dan nul 0 de strikt positieve reële getallen 0
in symbolen : R+0 = ]0, +∞[ 0 notatie met ongelijkheid : x > 0 0 0 0 0
R
R R
R R R R R R R R R
leeswijze :
alle reële getallen die kleiner dan of gelijk zijn aan nulR 0
korte leeswijze :
de negatieve reële getallen –
in symbolen : R = ]– ∞, 0] 0 notatie met ongelijkheid : x ⩽ 0 0
0 leeswijze :
alle reële getallen die kleiner zijn dan nul
korte leeswijze :
de strikt negatieve reële getallen
R R
R
–
in symbolen : R0 = ]– ∞, 0[ notatie met ongelijkheid :
x <0
Irrationale getallen Voor de Grieken, die dachten dat iedere lengte- of oppervlakteverhouding rationaal was, was de confrontatie met het irrationale een grote schok. Het was Hippasus, een jonge wiskundige uit de school van Pythagoras, die aantoonde dat de diagonaal van een vierkant met rationale zijden geen rationaal getal was. Zijn ontdekking stimuleerde echter niet het zoeken naar een uitgebreider getalsysteem, maar was eerder een groot struikelblok voor de ontwikkeling van het getalbegrip. Pas vele eeuwen later deden de irrationale getallen hun intrede in het wiskundig denken.
27
7 ) Doorsnede, unie en verschil van intervallen Doorsnede van intervallen Hiermee zoeken we de reële getallen die tot het eerste interval en tot het tweede interval [2, 8] ∩ [3, 9] behoren. Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vinden :
1
[2, 8]
∩
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
R
[2, 8] [3, 9] [3, 9]
We bepalen de gemeenschappelijke reële getallen. [ 2, 8] ∩ [ 3, 9] = [ 3, 8]
INCLUSIEVE ‘OF’ IN DE WISKUNDE
Unie (vereniging) van intervallen
voorbeeld : het blokje is rood of dik → blokje kan rood zijn en niet dik → blokje kan dik zijn en niet rood → blokje kan rood en dik zijn
Hiermee zoeken we de reële getallen ]– 4, 0] ∪ ]– 2,4] die tot het eerste interval of tot het tweede interval behoren. Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vinden :
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
R
]–4, 0] ]–2, 4] ]–4, 0] ∪ ]–2, 4] ]– 4, 0] ∪ ]– 2, 4] = ]– 4, 4]
Verschil van intervallen Hiermee zoeken we de reële getallen die enkel tot het eerste interval en niet tot ]– 4, 0] \ [– 2, 5] het tweede interval behoren. Grafisch kunnen we het resultaat als volgt vinden :
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
]–4, 0] [–2, 5] –4, 0 \ ] ] [–2, 5] ] – 4, 0] \ [ – 2, 5] = ]– 4, – 2[
28
2
3
4
5
R
HOOFDS TUK 1
• REËLE GETALLEN
8 ) Samenvatting –– Je weet wat een irrationaal getal is. Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale vorm. –– Je weet dat elk punt op de reële getallenas juist één reëel getal bepaalt en elk reëel getal juist één punt op de getallenas bepaalt. Het getal dat met het punt op de rechte overeenkomt, noemen we de abscis van dat punt. –– Je weet wat een reëel getal is en je kunt de voornaamste deelverzamelingen van R omschrijven en grafisch voorstellen. Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal. VERZAMELING
ALS INTERVAL
R+
[0, +∞[
R–
]– ∞, 0]
R+ 0
]0, +∞[
R–
]– ∞, 0[
0
NAAM positieve reële getallen negatieve reële getallen strikt positieve reële getallen strikt negatieve reële getallen
MET EEN ONGELIJKHEID
GRAFISCHE VOORSTELLING +
R
x ⩾0
x ⩽0
R
0 R
–
R
0 +
R0
x >0
0
R
–
x <0
R0
R
0
–– Je weet dat de verzameling van irrationale getallen voorgesteld wordt als R \ Q. –– Je kent de notatie en de grafische voorstelling van een gesloten, een open en een halfopen (of halfgesloten) interval en je kunt die omschrijven. MET EEN
NOTATIE
NAAM
[a , b ]
gesloten interval
a ⩽ x ⩽b
a
b
[a , b [
halfopen of halfgesloten interval
a ⩽ x <b
a
b
]a , b ]
halfopen of halfgesloten interval
a < x ⩽b
a
b
]a , b [
open interval
a < x <b
a
b
ONGELIJKHEID
GRAFISCHE VOORSTELLING R R R R
–– Je kent de betekenis van doorsnede ∩, unie ∪ en verschil \ van intervallen en kunt dit ook grafisch weergeven.
29
9 ) Oefeningen
1
Zet onderstaande getallen in het juiste gebied. Z
N
−3 ;
0;
2
5 ; 8
−
1 ; 2
13 ;
π ; 3
c
f
Z
−1, 6
−4, 010010001... ;
R
i
π
Z
0
Z+0
j
− 17
g 7, 2
Z
d 3, 143143 . . .
5;
20 000 ;
√
9
Q
h
√
2 3
√
R
k −3
Q
l
Z Q
12, 04199123 . . .
Q
Vul aan met ∈ of ∉.
a −2 b 5
c
−5
[−3, 0] [−4, 6] [−4, 6]
g 3
[1, 3[
m 2, 99 . . .
h π
[2, 4[
n π−2
√
3
17
[1, 3]
j
√
e 3
]1, 3]
k
2 5
f
]1, 3[
l
3
[3, +∞[ ] − ∞, π + 2]
i
d 3
[1, 7]
o 0, 1010 . . .
] − 2, 5[
1 3 , 4 4
−3, 14
p
1 3
q
π 6
r
2, 99 . . .
]−π, π[
10 , +∞ 99
] − 0, 33 . . . ; 0, 33 . . . [
−∞,
π 3
]−∞, 3[
Construeer nauwkeurig volgende getallen op de getallenas. a
11 1 b − c 1,1818... d – 1,833... 7 3
0
30
√
− 7;
6, 171717... ;
e π2
R
b −77 166
4
√
Vul aan met ∈ of ∉.
a 7
3
3, 6 ;
R
Q
1
R
HOOFDS TUK 1
5
Waar of vals ? WAAR a
Een getal kan zowel rationaal als irrationaal zijn.
b
Elk rationaal getal is ook een reëel getal.
c
2,99... is een natuurlijk getal.
d
4,023... is een irrationaal getal.
e
13,04 is een irrationaal getal.
f
13 is een rationaal getal.
g
3,75 ∈ Q
h
– 7 ∈ ] – 9, – 8[
i
1010 ∈ ] 0, +∞[
j k
6
7
• REËLE GETALLEN
VALS
3 ∈ ] 3, 4] √ √ 3 ∈ 2, 2 + 1
√
Tot welk interval uit de rechterkolom behoort het getal in de linkerkolom ? a
–1,2727…
b
3,020020002…
[–2,7; 3,005[ II
c
1,4142135
[−1,4; –1,2[
d
2,755…
[27; 28,3[
e
28,2828…
[3,002; 3,9[
[0,41; 1,42[
I
III
IV V
Noteer als een interval en stel voor op een getallenas. a alle reële getallen tussen 3 en 8 f –1 < x < 3 b alle reële getallen die groter zijn dan – 5 en kleiner zijn dan 8
g x ⩽ 0
1 3 c – 8 < x < 8 h x < 3 4 d x > 0 i – 6 < x ⩽ –2 e –1 ⩽ x ⩽ 3 j – p < x ⩽ p
8
Noteer de volgende intervallen met behulp van een ongelijkheid en stel ze voor op de getallenas.
√ √ − 2, 3
a [2, 7 ]
d ] 2, +∞[
g
b ] − 2, 7 ]
e ] − ∞, 2]
h ] − 4, 3; −3, 5 [
c
] − 7, 2 [
f
] − ∞, −7 [
i
22 −π, 7
31
9
*
Los grafisch op en noteer je resultaat in intervalvorm.
d [5, +∞[ ∩ ] − ∞, 11[
b ] − 3, 6] ∪ [−1, 8[
e
c
10
*
√
] − 9, −4[ ∪ ] − ∞, 3]
f
g
π ,0 ∩ ,π 2 4 1 1 1 3 ∩ , , 8 3 4 8 −π
2 4 1 1 , ∪ − , 9 9 3 2
∗∗
h ] − ∞, 7[ \ [−3, +∞[
∗∗
i
] − 2, 2] \ [0, 1[
Vul aan met ⊂ of ⊄.
a [1, 2]
[0, 3]
b [−5, −3] c
11
a [2, 7] ∪ [4, 10]
[−3, 4]
[−4, −2] [−4, 5]
d [2, 8]
] − ∞, 7]
g [1, 6]
e ]1, 5]
[1, 5]
h
f
]0, 17]
i
[0, π[
1 1 − , 2 2 π π , 3 2
N
Q π 4
,π
Steven rondt het getal x af tot op 0,1 nauwkeurig en hij krijgt x ≈ 2,6. Welke van de volgende getallen kan x zijn? a 2,66 c 2,546 e 2,6 g 2,602 b 2,629 d 2,54 f 2,58 h 2,599...
12
*
Bepaal tot op 10–5 nauwkeurig.
a De omtrek van een cirkel met straal 14 cm. π b De oppervlakte van een rechthoek met lengte π cm en breedte cm. 2 π c De omtrek van een vierkant met zijde m. 6 √ d De oppervlakte van een cirkel met straal 3 dm. e De inhoud van een bol met straal (π − 1) cm. f
13
**
14
**
De inhoud van een kegel met hoogte
√
7 cm en als grondvlak een cirkel met straal
Bepaal de oppervlakte van het gekleurde deel als z = 10 cm, z =
√
2 cm.
3 cm en z = p cm. Werk op 1 mm2 nauwkeurig.
FIGUUR 1
FIGUUR 2
FIGUUR 3
z
z
z
Een onderzoeksopdracht. Teken een cirkel met straal 4 cm. a Bereken de omtrek en de diameter van deze cirkel.
omtrek (P ) diameter (d ) P c Wat kun je besluiten over de verhouding als je de straal van de cirkel wijzigt ? d b Bepaal de verhouding
32
√