VBTL 4 D 5u - Leerboek Goniometrie en meetkunde - inkijk website

LEERBOEK

Goniometrie i Meetkunde

D-finaliteit 5 uur

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

Dit boek bevat vier hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 2 *

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Vaardigheden

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet.

Wat moet je kennen en kunnen?

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Herhalingsoefeningen

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met enkele herhalingsoefeningen

Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

Van wiskunde in de klas tot wiskunde op het strand. Julian Richardson en zijn team hebben dit vak broodnodig bij de voorbereiding en de uitvoering van hun strandtekeningen, die ze met harken in het zand maken. Vaak zijn ze er meer dan zes uur mee bezig, maar de voorbereiding duurt een stuk langer. Loodrechte stand, afstanden, evenwijdigheid en een driedimensionale figuur tweedimensionaal weergeven : het werd hier allemaal op een behendige manier toegepast. De meeste tekeningen worden gemaakt in de baai van Brean (bij Somerset, in het Verenigd Koninkrijk), mocht je ooit eens in de buurt zijn … De auteurs van dit boek hebben geprobeerd om de leerstof op een boeiende wijze voor te stellen. Veel plezier ermee.

Inhoud

Goniometrie I Meetkunde

1

Goniometrie

1.1 Goniometrische getallen  9

1.2 Goniometrische getallen van verwante hoeken  26

2

Driehoeksmeting en de cirkel

2.1 Willekeurige driehoeken  49

2.2 Krachtvectoren  71

2.3 De cirkel  78

3

Analytische meetkunde

3.1 Vectoren  105

3.2 Vergelijkingen van een rechte  124

3.3 Loodrechte stand van rechten  135

3.4 Afstanden in het vlak  147

3.5 Vergelijking van een cirkel  158

Extra’s  176

4

Ruimtemeetkunde

4.1 Punten, rechten en vlakken  183

4.2 Evenwijdige stand van rechten en vlakken  200

4.3 Doorsneden  207

4.4 Loodrechte stand van rechten en vlakken  217

Goniometrie 1

In Dunedin (Nieuw-Zeeland) vind je de steilste straat ter wereld (of toch als we Guinness World Records mogen geloven). Op het steilste punt krijg je een hellingspercentage van 35% voorgeschoteld. Hieronder zie je hoe wij dat op een Belgisch verkeersbord zouden voorstellen. Bij ons merk je dat de zwarte driehoek geen correcte wiskundige weergave is. Zo moet de rechte hoek onderaan zitten en hoort het getal 35 bij de kortste rechthoekszijde en het getal 100 bij de andere rechthoekszijde. Maar zo’n correcte weergave zou de borden plots minder leesbaar maken. Met al die gegevens is het mogelijk om ook alle hoeken van de driehoek terug te vinden. Die driehoeksmeting lukt dankzij de kennis van de goniometrische getallen: sinus, cosinus en tangens.

Goniometrie

1.1 Goniometrische getallen

1 Hoofdwaarde van een georiënteerde hoek  9

2 De goniometrische cirkel  10

3 Goniometrische getallen : sinus en cosinus  10

4 Goniometrische getallen : tangens  11

5 Goniometrische getallen : cotangens  13

6 Goniometrische getallen : secans en cosecans  15

7 Grondformule van de goniometrie  16

8 Goniometrische gelijkheden bewijzen  17

9 Bijzondere hoeken  18

10 Samenvatting  20 11 Oefeningen  21

1.2 Goniometrische getallen van verwante hoeken

1 Gelijke hoeken  26

2 Tegengestelde hoeken  27

3 Supplementaire hoeken  28

4 Antisupplementaire hoeken  30

5 Complementaire hoeken  32

6 Anticomplementaire hoeken  34

7 Herleiden naar het eerste kwadrant  35

8 Hoek bepalen als het goniometrisch getal gegeven is  36

9 Samenvatting  37

10 Oefeningen  38

Extra’s Vaardigheden : wiskundetaal  44 Wat moet je kennen en kunnen ?  45

Herhalingsoefeningen  46

1.1 Goniometrische getallen

1Hoofdwaarde van een georiënteerde hoek

Een hoek kan op twee manieren doorlopen of georiënteerd worden. in positieve zin : in negatieve zin :

Het been [ OA kan op [ OB afgebeeld worden door oneindig veel draaiingen.

Zo is r ( O, 60°) = r (O, 420°) = r (O, 60° + 360°)

= r (O, 780°) = r (O, 60° + 2 · 360°)

= r (O, 1140°) = r (O, 60° + 3 · 360°)

= r (O, −300°) = r (O, 60° + (−1) · 360°)

= r (O, 60° + k · 360°) met k ∈ z

TEGENWIJZERZIN = POSITIEF

Het been [ OB kan op [ OA afgebeeld worden door oneindig veel draaiingen.

Zo is r ( O, 60°) = r (O, 300°) = r (O, −60° + 360°)

= r (O, 660°) = r (O, −60° + 2 · 360°)

= r (O, −420°) = r (O, −60° + ( 1) 360°)

= r (O, −60° + k · 360°) met k ∈ z

Besluit :

WIJZERZIN = NEGATIEF

Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel waarden. Als α een waarde is van de hoek, dan zijn α + k 360° (met k ∈ z ) alle waarden voor die hoek. De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is die waarde die behoort tot ] 180°, 180°]

Voorbeelden :

2De goniometrische

cirkel

goniometrische cirkel

Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van een orthonormaal assenstelsel en waarvan de straal als eenheid wordt gekozen.

De assen van het orthonormaal assenstelsel verdelen de cirkel in vier gebieden, kwadranten genoemd.

Om een georiënteerde hoek in een goniometrische cirkel voor te stellen, kiezen we als beginbeen steeds het positieve gedeelte van de x -as.

Op de goniometrische cirkel kunnen we een punt F aanduiden zodat EOF = PAQ

Het snijpunt F van het eindbeen van de georiënteerde hoek met de goniometrische cirkel noemen we het beeldpunt van PAQ op de goniometrische cirkel. Elke georiënteerde hoek heeft zo precies één beeldpunt. Elk beeldpunt bepaalt oneindig veel georiënteerde hoeken.

3Goniometrische getallen: sinus en cosinus

Vorig jaar hebben we de sinus en cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd.

overstaanderechthoekszijde schuinezijde

aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

Op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek α. ∆ OMNisrechthoekig N = 90 ◦ cos α = | ON | | OM | = | ON | 1 = | ON | sin α = | MN | | OM | = | MN | 1 = | MN |

cos α is dus het eerste coördinaatgetal van M en sin α is het tweede coördinaatgetal van M. We breiden dat uit tot de volgende twee definities :

cosinus

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

sinus

De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

Opmerking :

Voor een beeldpunt M van een hoek α schrijven we: co( M) = ( cos α, sin α)

Gevolgen :

• Tekentabel : α I

• Bijzondere hoeken :

• Merk op dat | ON | = | cos α | | MN | = | sin α |

• 1 cos α 1en 1 sin α 1 ofzowelcos α alssin α behorentot [ 1,1].

4Goniometrische getallen: tangens

Vorig jaar werd de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gedefinieerd : A B C a b c

tan B = | AC | | AB | = b c = overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

Op de onderstaande goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek α. x y E N O M 1 1 α 0

∆ OMNisrechthoekig N = 90 ◦ .

Ergeldtdus: tan α = | MN | | ON | = sin α cos α

We breiden dit uit tot de volgende definitie. tangens

De tangens van een hoek α ( α ≠ 90° + k 180°) is het quotiënt van de sinus van die hoek α en de cosinus van die hoek α tan α = sin α cos α metcos α = 0

Hoe kun je tan α aflezen op de goniometrische cirkel ?

x y E O E′ 1 1 P( 1, tan α) M( cos α, sin α)

OM gaat door de oorsprong O( 0, 0) en door M( cos α, sin α)

OM ↔ y = sin α cos α x

OM ↔ y = tan α · x

Hieruit leiden we af dat tan α de rico is van OM. Tekenen we nu de raaklijn in E aan de goniometrische cirkel, dan kunnen we de coördinaat van P bepalen.

co( P) = ( 1, tan α)

Besluit : –

De tangens van een hoek α met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel lezen we af als het tweede coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt E( 1, 0) aan de goniometrische cirkel en de rechte OM.

– De tangens van de hoek α is de richtingscoëfficiënt van de rechte OM.

′( 0, 1) M

E( 1, 0)

1, tan α)

Gevolgen :

• Merk op dat tan90° en tan ( 90° + k · 180°) (met k ∈ Z) niet bestaan aangezien cos ( 90° + k · 180°) = 0 en je dus in de noemer 0 krijgt. De raaklijn in E( 1, 0) snijdt de rechte OM niet.

• tan α ∈ R ( α ≠ 90° + k 180° met k ∈ z )

• Tekentabel :

• Bijzondere hoeken :

5Goniometrische getallen: cotangens

cotangens

cot α = cos α sin α (metsin α = 0) cot α = 1 tan α (mettan α = 0)

Gevolg :

In een rechthoekige driehoek geldt :

cot α = aanliggenderechthoekszijde overstaanderechthoekszijde = | AB | | AC | = c b

Op de goniometrische cirkel is M het beeldpunt van een georiënteerde hoek α

cot α = | ON | | MN | = cos α sin α (metsin α = 0)

Hoe kun je cot α aflezen op de goniometrische cirkel ?

, sin α)

OM ⟷ y = tan α x

Tekenen we nu de raaklijn in E′ aan de goniometrische cirkel, dan kunnen we co( P) bepalen.

Het tweede coördinaatgetal van P is 1.

P ∈ OM,dusis:1 = tan α x x = 1 tan α = cot α en dus is cot α het eerste coördinaatgetal van P.

Dus co( P) = ( cot α, 1)

Besluit :

De cotangens van een hoek α, met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel, lezen we af als het eerste coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt ( 0, 1) aan de goniometrische cirkel en de rechte OM.

Gevolgen :

• Merk op dat cot ( k 180°)( met k ∈ Z) niet bestaat omdat de raaklijn in ( 0, 1) de rechte OM niet snijdt. Bij die hoeken is de sinus ook altijd 0 !

• cot α ∈ R ( α ≠ k 180°)

• Tekentabel :

• Bijzondere hoeken :

Samenvatting

6Goniometrische getallen: secans en cosecans

secans, cosecans

sec α = 1 cos α (cos α = 0) csc α = 1 sin α (sin α = 0)

Gevolgen :

• cos α en sec α hebben hetzelfde teken. Ook sin α en csc α hebben hetzelfde teken.

• Omdat sin α en cos α beide tot het interval [ 1, 1] behoren, geldt voor de reële getallen csc α en sec α dat zij elementen zijn van ] ∞, 1] ∪ [ 1, +∞[ .

Waar vinden we de sec α en csc α op de goniometrische cirkel terug ?

Construeer de raaklijn a in P die de x -as in Q en de y -as in S snijdt.

In ∆ OPQgeldt:cos α = | OP | | OQ | | OQ | = 1 cos α = sec α

Als P het beeldpunt is van α op de goniometrische cirkel en a de raaklijn aan de cirkel in P, dan is sec α het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van a met de x -as.

Q S x y ( 0, csc α) ( sec α, 0) O a 1 1 α 0

In ∆ OPSgeldt: S = α hebbenbeide Qalscomplement sin α = sin S = | OP | | OS | | OS | = 1 sin α = csc α csc α ishettweedecoördinaatgetalvanhetsnijpuntvan a metde y -as.

7Grondformule van de goniometrie

grondformule goniometrie

sin2 α + cos2 α = 1

We bewijzen de stelling voor een hoek die behoort tot ]90°, 180°[ x y O B

Gegeven : willekeurige hoek α in het tweede kwadrant met beeldpunt A

A( cos α, sin α) 1 1 α 0

Te bewijzen : sin2 α + cos2 α = 1

Uit de grondformule leiden we af: 1 cos2 α = sin2 α en1 sin2 α = cos2 α

Bovendien :

Bewijs : ∆ OABisrechthoekiginB | AB |2 + | OB |2 = | OA |2 (sin α)2 + (| cos α |)2 = 1 sin2 α + cos2 α = 1 sin2 α + cos2 α = 1

1 + cot2 α = csc2 α entan2 α + 1 = sec2 α

afgeleide formules

1 + cot2 α = csc2 α 1 + tan2 α = sec2 α

Toepassing 1 :

Bepaal cos α en tan α (zonder de hoek te berekenen) als de hoek α behoort tot het eerste kwadrant en als sin α = 1 5 .

Oplossing : ① cos α = ? ② tan α = ?

sin2 α + cos2 α = 1 grondformule

cos α = 1 sin2 α aangezien α behoorttot heteerstekwadrantiscos α > 0 cos α = 1 1 5 2

α = 24 25 cos α = 2√6 5

Toepassing 2 :

Bepaal cos α en sin α als de hoek α behoort tot het derde kwadrant en als tan α = √3.

Oplossing : ① cos α = ? ② sin α = ?

1 + tan2 α = sec2 α

sec2 α = 1 + √3 2

sec2 α = 4 1

cos2 α = 4

cos2 α = 1 4 aangezien α behoorttothetderdekwadrantiscos α < 0 cos α = 1 2

tan α = sin α cos α sin α = tan α cos α sin α = √3 1 2 sin α = √3 2

8Goniometrische identiteiten bewijzen

Voorbeeld 1 :

Toon aan dat voor elke α waarvoor de goniometrische getallen bestaan, geldt : 1

cos α + sin α tan α = cos α

Bewijs :

We starten in het linkerlid en proberen het rechterlid te bekomen.

1

cos α + sin α tan α = 1 cos α + sin α sin α cos α = 1 cos2 α + sin2 α cos α = cos α cos2 α + sin2 α = cos α 1 = cos α

Voorbeeld 2 :

Toon aan dat voor elke α, waarvoor de goniometrische getallen bestaan, geldt : ( tan α + cot α)2 = sec2 α + csc2 α

Bewijs :

We proberen de identiteit te bewijzen door beide leden tegelijkertijd om te vormen. (tan α + cot α)2 = sec2 α + csc2 α

tan2 α + 2tan α · cot α + cot2 α = 1 + tan2 α + 1 + cot2 α tan α cot α = 1 tan2 α + 2 + cot2 α = 2 + tan2 α + cot2 α

De gelijkheid is waar.

9Bijzondere hoeken

aGoniometrische getallen van een hoek van 45°

sin45° = cos45° (1) Δ OAB is rechthoekig en gelijkbenig

sin2 45 ◦ + cos2 45 ◦ = 1 grondformule (1)

2sin2 45 ◦ = 1

sin2 45 ◦ = 1 2

sin45 ◦ = cos45 ◦ = 1 2 = √2 2 sin45 ◦ encos45 ◦ zijnbeidepositief

tan45 ◦ = cot45 ◦ = 1

sin45 ◦ = √2 2 tan45 ◦ = 1

cos45 ◦ = √2 2 cot45 ◦ = 1

bGoniometrische getallen van een hoek van 60°

Omdat | OA | = | OB | = 1, is D OAB gelijkbenig, dus A = B A + B + O = 180 ◦ A + A + 60 ◦ = 180

Dus : D OAB is gelijkzijdig.

Nu: | OQ | = | QB | = 1 2 ineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijndoordetopookdezwaartelijndoordetop en | OQ | = cos60 ◦

Dus:cos60 ◦ = 1 2

sin2 60 ◦ + cos2 60 ◦ = 1 grondformule sin2 60 ◦ + 1 4 =

cos60 ◦ = 1 2 cot60 ◦ = √3 3

cGoniometrische getallen van een hoek van 30°

x P

Omdat | OA | = | OE′ | = 1, is D OE′A gelijkbenig, dus OAE = OE A

OAE + OE A + AOE = 180 ◦

2OAE + AOE = 180 ◦

2OAE + (90 ◦ 30 ◦ ) = 180 ◦ OAE = 60 ◦

Dus : D OE′A is gelijkzijdig.

Nu : | OP | = | PE | = 1 2 ineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijn doordetopookdezwaartelijndoordetop

Dus :

10Samenvatting

• Je kent de betekenis van de hoofdwaarde van een georiënteerde hoek. De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek α is die waarde die behoort tot ] 180°, 180°]

Als α de hoofdwaarde is van een georiënteerde hoek, dan stelt α + k 360° ( k ∈ Z) alle waarden van de hoek voor.

• Je kent de betekenis van een goniometrische cirkel en kunt voor elke hoek het beeldpunt aanduiden op die cirkel.

Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan het middelpunt de oorsprong is van een orthonormaal assenstelsel en waarvan de straal als een eenheid wordt gekozen.

• Je kunt de sinus, cosinus, tangens en cotangens terugvinden op de goniometrische cirkel.

geldt : –1 ⩽

en

De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

– De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

– De tangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel lezen we af als het tweede coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (1, 0) aan de goniometrische cirkel en de rechte OM.tan α = sin α cos α

–

De cotangens van een hoek met als beeldpunt M op de goniometrische cirkel lezen we af als het eerste coördinaatgetal van het punt dat we verkrijgen als snijpunt van de raaklijn in het punt (0, 1) aan de goniometrische cirkel en de rechte OM.cot α = cos α sin α

• Je kent de definities van secans en cosecans. sec α = 1 cos α (cos α = 0) csc α = 1 sin α (sin α = 0)

• Je kent de grondformule van de goniometrie, alsook de afgeleide formules. sin2 α + cos2 α = 11 + cot2 α = csc2 α 1 + tan2 α = sec2 α

• Je kunt de goniometrische getallen van een hoek berekenen als je weet in welk kwadrant de hoek ligt en als je één goniometrische waarde gegeven krijgt.

• Je kent de goniometrische getallen van bijzondere hoeken.

11 Oefeningen

d 2 cos α h sin2 α l 2 sec ( 3b ) 1 2 3 4

Een hulpmiddeltje? Om de goniometrische getallen van enkele bijzondere hoeken uit het hoofd te leren, kun je onderstaand hulpmiddeltje gebruiken.

a Probeer de verschillende stappen te begrijpen.

b Leid ook volgende goniometrische getallen af voor sec α, csc α, tan α en cot α

1

Stap 3

Bepaal de hoofdwaarde van volgende georiënteerde hoeken.

a 75° e 760° i 6228°16′

b 210° f 340° j 278°19′34″ c 145°

761° k 612°26′31″ d 300° h 3428° l 455°15′42″

Bereken (tot op 5 decimalen) met ICT.

a cos35°17′48″ e csc108°44′ i tan246°08′

b sin ( 122°1′38″ ) f cot55°33′11″ j cot357°19′

c tan92°1′38″ g sin123° k csc ( 100°1′10″ )

d sec138°17′02″ h cos ( 10°20′30″ ) l sec100°1′10″

Bereken (tot op 5 decimalen) met ICT als je weet dat α = 57°12′ 04″ en β = 30°11′ 23″

a sin ( α + b ) e tan ( α b) i cos ( 2α 3b )

b sin α + sin b f tan ( b α) j sin α cos β tan α + β

c cos ( 2α) g tan α tan b k cot ( 2b )

Bepaal.

a sin b k cos180°

b cos α l cos b

c | ON′ | m sin α

d cos0° n sin90°

e cos90° o sin180°

f | OM | p | ON |

g | OP | q cot b

h | OQ | r | ON | | ON′|

i tan α s sec α

j sin0° t csc b

Teken een goniometrische cirkel (straal 6 cm) en teken daarin een georiënteerde hoek α = 55°.

a Teken nu de volgende punten : A( cos α, sin α), B( cos α, 0), C( 0, sin α), D( 1, tan α) en E( cot α, 1).

b Toon aan : | OD | = sec α en | OE | = csc α.

Teken een goniometrische cirkel (straal 5 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van 35° en stel de sinus, cosinus, tangens en cotangens van die hoek grafisch voor.

Bepaal het teken van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van volgende hoeken. α sin α cos α tan α cot α 280° +

a 220°

b 80°

c 160°

d 50°

e 200° f 140°

Bepaal de beeldpunten op de goniometrische cirkel van de hoeken waarvan de volgende goniometrische getallen gegeven zijn.

a cos α = 0,5 f tan α = 1 2 k tan2 α = 4

b sin α = 0,5 g tan α = 3 2 l cot2 α = 9

c cos α = 2 3 h | tan α | = 4 3 m sec α = 3

d sin α = 3 4 i cot α = 5 6 n csc α = 2

e | cos α | = 3 4 j (tan α) 1 = 1 2

Onderzoek op de goniometrische cirkel welke waarden tan α in de volgende gevallen aanneemt.

a α = 45°

b 0° ⩽ α ⩽ 45°

c 45° ⩽ α ⩽ 90°

Bestaan er hoeken α waarvoor geldt :

asin α = 1,3 · tan74 ◦

bcos α = √2 3 tan20 ◦ Verklaartelkensjeantwoord.

Bereken zonder ICT.

a sin30° cos60° + cos30° sin60°

b ( cos60° sin60°) · ( cos60° + sin60°)

c cos60° cos90° + sin60° sin90°

d cos60° sin45° tan45° + tan30° cos45° sin60°

e 3 sec2 30° 4 sin2 30° + tan2 60° + cot45°

Bepaal zonder α te berekenen de goniometrische getallen van α

cos α = 0,5

c sin α = 1 4

= 3 5

e csc α = √3

√

Bereken3tan α 5cos α + 2alssin α = 4 5 en α totheteerstekwadrantbehoort.

Gegeven: sin α = 3 cos α. Bereken nu :

a tan α + cot α b sin α cos α

Vereenvoudig : a sin α cos α + cos α sin α c 2 sin2 α ( 2 + cos2 α) b ( 1 cos2 α) cot2 α

( 1 cos α) (1 + cos α) + ( cos α sin α)2

Toon volgende gelijkheden aan.

a sin α cot α = cos α

b tan α cot α = 1

c sin4 α + 2 · sin2 α · cos2 α + cos4 α = 1

d ( sin α + cos α)2 + ( sin α cos α)2 = 2

e tan α + cot α = 1 sin α · cos α

f tan α 1 tan2 α = sin α · cos α cos2 α sin2 α

g (1 + tan α) · sin α sin α + cos α = tan α

h ( sin α + cos α +1) · ( sin α + cos α 1) = 2 · sin α · cos α

i sin2 α = tan2 α 1 + tan2 α

j 1 + cos α sin α = sin α 1 cos α

k sin α sin3 α = sin α · cos2 α

l ( 1 + cot2 α) · ( 1 cos2 α) = 1

m sin4 α cos4 α = 1 2cos2 α

n sec2 α + csc2 α = sec2 α · csc2 α

o ( sec α + tan α 1)( sec α tan α + 1) = 2tan α

p tan2 α + csc2 α = cot2 α + sec2 α

q sin α 1 cot α + cos α 1 tan α = sin α + cos α

r sec2 α tan2 α cot2 α csc2 α = 1

s cos α + cos α sin2 α + sin4 α cos α = sec α

t cos α (2 + tan α) (1 + 2tan α) = 2 cos α + 5sin α

u ( 1 tan α)2 + ( 1 cot α)2 = (sec α csc α)2

v ( sec α + csc α) · ( sin α + cos α) = sec α · csc α + 2

Als v ( x )= x 1 x ,danis v (sin x ) v (cos x ) vooralle x tussen0 ◦ en90 ◦ gelijkaan

( A) tan x ( B) tan3 x ( C) cot x ( D) cot3 x ( E) 1

VWO 2022 eerste ronde, vraag 15 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Hoe groot is de sinus van de hoek α in de figuur ?

Controleer dit ook met ICT.

(A) 2 3 (B) 2 5 (C) 4 5 (D) 1 2 (E) 3 4

VWO 2021 tweede ronde, vraag 6 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

De olympische schans van Garmisch-Partenkirchen kunnen we modelleren door een lijnstuk in het cartesische vlak door de punten

A( 0, a ) en B( b , 0) met lengte 104 m en torenhoogte a = 60 m.

De hoek ϑ is de hellingshoek van de schans (hoek van de schans met de horizontale).

Welke van onderstaande beweringen is correct ?

(A)cos ϑ = 60 104

(B)sin ϑ = 60 104

(C)tan ϑ = 60 104

(D)cot ϑ = 60 104

Oefenmodules ijkingstoets 2022-2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 1.36

1.2 Goniometrische getallen van verwante hoeken

1Gelijke hoeken

De beeldpunten van α en van b = α + k 360° (met k ∈ Z) vallen samen op de goniometrische cirkel in het punt A.

Er geldt dus :

sin ( α + k 360°) = sin α tan ( α + k 360°) = tan α cos ( α + k 360°) = cos α cot ( α + k 360°) = cot α met k ∈ Z

Voorbeelden :

sin730° = sin ( 10° + 2 360°) = sin10°

cos ( 320°) = cos ( 320° + 1 360°) = cos40°

tan ( 210°) = tan ( 210° + 360°) = tan150°

Goniometrie

In de tweede eeuw na Christus bevatte de Almagest, het grote werk van de Alexandrijnse sterrenkundige Claudius Ptolemaeus (85–165), belangrijke goniometrische methoden.

De formule sin2 α + cos2 α = 1 werd al door de Hindoes gebruikt, maar onder een andere vorm, en verscheen in een Arabische vertaling in de achtste eeuw.

Het woord sinus komt het eerst voor bij de Italiaan Gerard van Cremona (1114–1187), die in 1175 in Toledo een Latijnse vertaling maakte van de Arabische vertaling van de Almagest. Het Arabische woord ‘ḥabl’ ( ﻞﺒﺣ ; koord) zou hierbij verward zijn met het Arabische woord ‘jayb’ ( ﺐﻴﺟ ; bocht), wat tot het Latijnse woord ‘sinus’ (golf) geleid zou hebben.

Het woord cosinus komt voor het eerst voor in 1620 bij de Engelse sterrenkundige Gunter (1581–1626), ook de maker van de eerste rekenlat (gunterschaal). Vanaf die tijd worden de woorden sinus en cosinus afgekort.

De eerste afkortingen waren s, si, sin voor sinus en sco, sico, cos voor cosinus. Vanaf 1753 gebruikte de Zwitserse wiskundige Euler (1707–1783) nog alleen de afkortingen sin en cos en worden die algemeen aanvaard. Het is ook Euler die in 1763 de betekenis van een sinus of een cosinus vastlegde zoals we die nu kennen met de grondformule sin2 α + cos2 α = 1.

De goniometrie krijgt vanaf 1763 haar hedendaagse gedaante.

Het woord tangens is een verouderde benaming voor ‘raaklijn’ en komt van het Latijnse ‘tangere’ (raken). Het woord secans houdt verband met het Latijnse ‘secare’ (snijden).

Cosinus, cotangens en cosecans van een hoek zijn gevormd uit sinus, tangens en secans van het complement van die hoek.

2Tegengestelde

hoeken

Beschouwen we in de goniometrische cirkel een georiënteerde hoek α

De hoek α kunnen we bepalen door [ OA te spiegelen t.o.v. de x -as.

Aangezien de x -as een symmetrieas is van de cirkel geldt: BOA = A OB

Bijgevolg is D OAC ≅ D OA′C en cos ( α) = cos α en sin (–α) = –sin α

Uit tan ( α) = sin ( α) cos ( α) leiden we af dat tan ( α) = tan α

Besluit :

sin ( α) = sin α cos ( α) = cos α tan ( α) = tan α cot ( α) = cot α

Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen en tegengestelde sinussen.

Gevolg :

Uit de eigenschap leiden we af dat tegengestelde hoeken een tegengestelde tangens en cotangens hebben.

Voorbeeld :

cos ( 70°) = cos70°

sin ( 120°) = sin120° tan ( 34°) = tan34° cos α = 3 4

Opmerking :

Tegengestelde hoeken hebben beeldpunten die spiegelsymmetrisch liggen om de x -as.

3Supplementaire hoeken

supplementaire hoeken

Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.

Dus:

α + ( 180° α) = 180°

Voorbeelden

sin30° = 0,5

sin150° = 0,5

sin114° = 0,913545

sin66° = 0,913545

− α

cos30° = 0,866025

cos150° = 0,866025

cos114° = 0,406737 cos66° = 0,406737

tan30° = 0,577350 tan150° = 0,577350

tan114° = 2,246037

tan66° = 2,246037

Uit die voorbeelden blijkt dat supplementaire hoeken gelijke sinussen, tegengestelde cosinussen en tegengestelde tangenten hebben.

Supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen.

Gegeven : de hoek α ∈ I

Te bewijzen : sin ( 180° α) = sin α cos ( 180° α) = cos α

Bewijs : A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel. B is het beeldpunt van 180° α op de goniometrische cirkel. EOB + BOE = 180 ◦

180 ◦ α + BOE = 180 ◦

BOE = α

DatbetekentookdatE OB = 90 ◦ α = AOE endusis de y -asdebissectricevanAOB.

B = s y (A) want | OB | = | OA | en ∆ OABisdusgelijkbenigenineengelijkbenige driehoekisdebissectricevandetophoekookdemiddelloodlijn.

In D OBC en D OAD geldt : C = D = 90 ◦ BOC = AOD = α | OB | = | OA | = 1   

ZHH =⇒ ∆ OBC ∼ = ∆ OAD definitiecongruentedriehoeken | OC | = | OD | en | BC | = | AD |

cos (180 ◦ α) = cos α en sin (180 ◦ α) = sin α

cos (180 ◦ α) = cos α en sin (180 ◦ α) = sin α

Opmerking :

Supplementaire hoeken hebben beeldpunten die spiegelsymmetrisch liggen om de y -as.

Gevolg :

Supplementaire hoeken hebben tegengestelde tangenten.

Inderdaad:tan (180 ◦ α) = sin (180 ◦ α)

Besluit :

sin ( 180° α) = sin α

cos ( 180° α) = cos

tan ( 180° α) = tan

cot ( 180° α) = cot

= cos ( 180° –

Voorbeelden :

sin150° = sin ( 180° 150°) = sin30°

cos20° = cos ( 180° 20°) = cos160° tan ( 140°) = tan140° = tan ( 180° 140°) = tan40°

α = 2 3

4Antisupplementaire hoeken

antisupplementaire hoeken

Antisupplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan het verschil 180° is.

Dus:

( α + 180°) α = 180°

Voorbeelden :

We berekenen nu met de rekenmachine :

sin30° = 0,5

sin210° = 0,5

sin ( 35°) = 0,573576

sin145° = 0,573576

cos30° = 0,866025 cos210° = 0,866025

cos ( 35°) = 0,819152

cos145° = 0,819152

tan30° = 0,577350 tan210° = 0,577350

tan ( 35°) = 0,700208 tan145° = 0,700208

Uit die voorbeelden blijkt dat antisupplementaire hoeken een gelijke tangens en een tegengestelde cosinus en sinus hebben.

Antisupplementaire hoeken hebben tegengestelde sinussen en tegengestelde cosinussen.

Gegeven : de hoek α ∈ I

Te bewijzen : sin ( 180° + α) = sin α cos ( 180° + α) = cos α

Bewijs : A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel.

B is het beeldpunt van 180° + α op de goniometrische cirkel.

In D ADO en D BCO geldt : | OA | = | OB | = 1

AOD = BOC overstaandehoeken

D = C = 90 ◦

Gevolg :

Antisupplementaire hoeken die niet recht zijn, hebben gelijke tangenten.

Inderdaad,tan (180 ◦ + α) = sin (180 ◦ + α) cos (180 ◦ + α) = sin α cos α = tan α

Opmerking :

Antisupplementaire hoeken hebben beeldpunten die spiegelsymmetrisch liggen om het punt O.

Besluit :

sin ( 180° + α) = sin α

cos ( 180° + α) = cos α

tan ( 180° + α) = tan α

cot ( 180° + α) = cot α

( 1, tan α) = ( 1, tan( 180° + α)) –cos α = cos( 180° + α) 1 1 O cos α sin α 180° + α –sin α = sin( 180° + α) 0

Voorbeelden :

tan224° = tan ( 180° + 44°) = tan44°

sin320° = sin140°

( 40°) = cos140°

= 5

( 180° + 51°20′25″) + k 360° ( k ∈ Z) ⟺ α = 51°20′25″ + k 360° ( k ∈ Z) of

= 231°20′25″ + k 360° ( k ∈ Z) of korter: α = 51°20′25″ + k 180° ( k ∈ Z)

5Complementaire hoeken

complementaire hoeken

Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is.

Dus:

α + ( 90° α) = 90°

Voorbeelden :

We berekenen nu met de rekenmachine :

sin30° = 0,5

cos60° = 0,5

cos30° = 0,866025

sin60° = 0,866025

tan30° = 0,577350 cot60° = 0,577350

Uit die voorbeelden blijkt dat de sinus van een hoek gelijk is aan de cosinus van zijn complement, dat de cosinus van een hoek gelijk is aan de sinus van zijn complement, dat de tangens van een hoek gelijk is aan de cotangens van zijn complement en dat de cotangens van een hoek gelijk is aan de tangens van zijn complement.

De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement.

De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement.

Gegeven : de hoek α ∈ I

Te bewijzen : sin α = cos ( 90° − α) cos α = sin ( 90° − α)

Bewijs : • A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel. B is het beeldpunt van 90° α op de goniometrische cirkel.

BOE + EOB = 90 ◦

BOE + 90 ◦ α = 90 ◦ BOE = α • In D AOA′ en D BOB′ geldt : A OA = BOB = α | OA | = | OB | = r A = B = 90 ◦

Opmerking : AangezienBOB = A OA = α isBhetspiegelbeeldvanAmetspiegelasderechtemetvergelijking y = x Bijgevolghebbencomplementairehoekenbeeldpuntendiespiegelsymmetrischliggenomdeeerstebissectrice.

Opmerking : De beeldpunten van complementaire hoeken zijn elkaars spiegelbeeld om de eerste bissectrice.

Gevolg :

tan (90 ◦ α) = sin (90 ◦ α)

cos (90 ◦ α) = cos α sin α = cot α

cot (90 ◦ α) = cos (90 ◦ α)

sin (90 ◦ α) = sin α cos α = tan α

Besluit :

sin ( 90° α) = cos α

cos ( 90° α) = sin α

tan ( 90° α) = cot α

cot ( 90° α) = tan α

sin( 90° – α) cos α = sin α cos( 90° – α) sinα = ( 1, tan( 90° – α)) ( 1, cot α) = ( cot α, 1) ( 1, tan α) ( cot( 90° – α), 1) ( tan α, 1) =

6Anticomplementaire hoeken

anticomplementaire hoeken

Anticomplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan het verschil 90° is.

Dus : ( 90° + α) – α = 90°

Voorbeeld :

156° en 66° zijn anticomplementaire hoeken want 156° 66° = 90°.

We berekenen nu met de rekenmachine :

sin156° = 0,406737

cos66° = 0,406737

Uit de voorbeelden merken we op :

sin ( 90° + α ) = cos α

cos ( 90° + α ) = sin α

Gegeven : de hoek α ∈ I

Te bewijzen : sin ( 90° + α) = cos α

cos ( 90° + α) = sin α

Bewijs : sin (90 ◦ + α) = sin (90 ◦ ( α))

= cos ( α) = cos α

cos156° = –0,913545

sin66° = 0,913545

tan156° = 0,445229

cot66° = 0,445229

complementaire hoeken

tegengestelde hoeken

cos (90 ◦ + α) = cos (90 ◦ ( α)) = sin ( α) = sin α

complementaire hoeken

tegengestelde hoeken

90° + α cos α sin α sin( 90° + α) = cos α A 0 cos( 90° + α) –sin α =

Gevolg : tan (90 ◦ + α) = sin (90 ◦ + α) cos (90 ◦ + α) = cos α sin α = cot α cot (90 ◦ + α) = cos (90 ◦ + α) sin (90 ◦ + α) = sin α cos α = tan α

Besluit :

sin ( 90° + α) = cos α

cos ( 90° + α) = sin α

tan ( 90° + α) = cot α cot ( 90° + α) = tan α

Voorbeelden :

sin120° = cos30°

cos170° = sin80° tan40° = cot ( –50°) F O B y x α D C 1 1

7Herleiden naar het eerste kwadrant

Door te steunen op de formules van verwante hoeken kun je de goniometrische getallen van hoeken die niet tot het eerste kwadrant behoren, herleiden tot goniometrische getallen van hoeken die wel tot het eerste kwadrant behoren. Die methode wordt ook herleiden naar het eerste kwadrant genoemd.

Voorbeelden :

sin160° = sin ( 180° 160°) = sin20° behoort tot behoort tot het tweede kwadrant het eerste kwadrant

tan ( 85°) = tan85° behoort tot behoort tot het vierde kwadrant het eerste kwadrant

aHerleiden van het tweede kwadrant naar het eerste kwadrant

Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek bij te tellen of af te trekken, kun je altijd een hoekgrootte krijgen tussen 90° en 180°.

Daarna gebruik je de formules voor supplementaire hoeken.

Voorbeelden :

cos165° = cos15°

cot828° = cot ( 828° 720°) = cot108° = cot72°

sin ( 225°) = sin ( –225° + 360°) = sin135° = sin45°

bHerleiden van het derde kwadrant naar het eerste kwadrant

Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kun je altijd een hoekgrootte krijgen tussen 180° en 270°.

Daarna gebruik je de formules voor antisupplementaire hoeken.

Voorbeelden :

tan220° = tan ( 180° + 40°) = tan40°

cos ( − 107°) = cos ( 107° + 360°) = cos253° = cos ( 180° + 73°) = cos73°

cHerleiden van het vierde kwadrant naar het eerste kwadrant

Door een geheel aantal keren 360° bij de gegeven hoek op te tellen of af te trekken, kun je altijd een hoekgrootte krijgen tussen 90° en 0°.

Daarna gebruik je de formules voor tegengestelde hoeken.

Voorbeelden :

cot ( 65°) = cot65°

cos700° = cos ( 700° 720°) = cos ( 20°) = cos20°

8 Hoek bepalen als het goniometrisch getal gegeven is

Voorbeeld 1 : Algemeen :

sin x = √3 2

sin x = sin60 ◦ supplementairehoeken

x =

Voorbeeld 2 : Algemeen :

tegengesteldehoeken

Voorbeeld 3 : Algemeen :

Voorbeeld 4 : Algemeen

9Samenvatting

• Je kent de betekenis van tegengestelde, supplementaire, antisupplementaire, complementaire en anticomplementaire hoeken.

Tegengestelde hoeken zijn twee hoeken waarbij enkel het toestandsteken verschilt.

Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.

Antisupplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan het verschil 180° is.

Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is.

Anticomplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan het verschil 90° is.

• Je kent het verband tussen deze hoeken en hun goniometrische getallen.

hoeken

• Je kunt de hoeken herleiden naar het eerste kwadrant.

• Je kunt een hoek berekenen als een goniometrisch getal gegeven is. ( k ∈ Z)

=

x = tan

10Oefeningen

Vul volgende tabel aan :

a 68°

b 134°

c 222°

d 281°

e 37°

f 100°

g 90°

h 180°

i b + 10°

j 20° − b

k b − 30°

l b − 2γ

Vereenvoudig :

a sin ( 360° + α)

b cos ( α 180°)

c tan ( 360° α)

d cot ( α 90°)

e sec ( 540° + α)

f csc ( 540° α)

g sin ( 270° α)

h cos ( α 360°)

i tan ( α + 90°)

j cot ( α 270°)

k sec ( 810° + α)

l csc ( 720° α)

m sin ( 900° + α)

n tan ( 990° α)

o cot ( 990° + α)

Herleid naar een goniometrisch getal van een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.

a sin130°

b cos340°

c tan410°

d cot100°

e sin ( 43°)

f cos ( 67°20′31″)

g tan110°40′38″

h cot ( 60°14′33″)

i sin428°18′31″

j cos ( 92°59′59″)

k tan96°34′22″

l cot640°22′31″

m sec200°40′30″

n csc ( 43°25′31″)

o sin1350°

Bereken volgende goniometrische getallen zonder gebruik te maken van ICT door eerst te herleiden naar een goniometrisch getal van een hoek die tot het eerste kwadrant behoort.

a sin210°

b cos300°

c tan ( 45°)

d cot390°

e sin120°

g tan ( 120°)

h cot ( 60°)

i sin135°

j cos330°

k tan405°

f cos225°

m sin315°

n cos ( 135°)

o tan150°

p cot ( 30°)

q sin420°

r cos240° 1 2 3 4

l cot ( 150°)

Vervolledig volgende tabel door de hoeken naar het eerste kwadrant te herleiden :

Bereken zonder gebruik te maken van ICT : asin2 150 ◦ tan ( 45 ◦ ) cot225 ◦ cos120 ◦

b sin60 ◦ · cos45 ◦ cos45 ◦ · tan30 ◦ cot60 ◦ sin45 ◦

c cos ( 30 ◦ ) sin225 ◦ + cos135 ◦ sin300 ◦ cos ( 45 ◦ )

Gegeven : sin23° = 0,390731

Gevraagd : bereken zonder gebruik te maken van ICT en verantwoord.

a sin157° b cos67° c cos113°

Gegeven : sin75 ◦ = √6 + √2 4

Gevraagd : bereken zonder gebruik te maken van ICT en verantwoord. a cos15° b cos165° c sin105° d sin ( 75°)

Gegeven :

f γ + δ = 5 6 7 8 9 y x O 1

Gevraagd :

a α en b zijn …

b α en γ zijn …

c α en δ zijn …

d b en γ zijn …

e b en δ zijn …

Waar of niet waar ? Verklaar je antwoord.

a De sinus is een hoek tussen 1 en 1.

b In het eerste kwadrant wordt de sinus van een hoek groter naarmate de hoek groter wordt.

c Met elke hoek komt één cosinuswaarde overeen en omgekeerd.

d Als de tangens van een hoek 1 is, is die hoek gelijk aan 45° (op 360° na).

e De cosecans van een hoek is in absolute waarde groter dan of gelijk aan 1.

f Bij een rechte hoek is de sinus gelijk aan de cosecans en omgekeerd.

g De cosinus en sinus van een hoek hebben altijd hetzelfde teken.

h Als de secans van een hoek negatief is en de cosecans van een hoek positief, dan ligt de hoek in het vierde kwadrant.

i Supplementaire hoeken hebben gelijke sinussen.

j In het tweede kwadrant wordt de cosinus van een hoek groter naarmate de hoek kleiner wordt.

k De cosinus van de anticomplementaire hoek van een hoek is gelijk aan de sinus van die hoek.

l Als de sinus van een hoek 1 is, is die hoek gelijk aan 450° + k 360°.

m De tangens van een hoek is het omgekeerde van de cotangens van die hoek.

n Als de sinus en de cosinus van een hoek gelijk zijn, ligt die hoek in het eerste of derde kwadrant.

o Het kwadraat van de secans van een hoek plus één is gelijk aan het kwadraat van de tangens van die hoek.

p Gelijke hoeken zijn hoeken die dezelfde sinus hebben.

q Als de cosinus van een hoek negatief is en de cotangens van die hoek positief, dan ligt die hoek in het derde kwadrant.

r Tegengestelde hoeken hebben tegengestelde cosinussen.

s Als de tangens en de cotangens van een hoek gelijk zijn, dan ligt die hoek in het eerste of derde kwadrant.

t De cosinus van een hoek is het omgekeerde van de secans van die hoek.

Gegeven : sin α = 3 5 encos α < 0

Gevraagd :a Bereken de tangens van de supplementaire hoek.

b Bereken de cotangens van de complementaire hoek.

c Bereken de cosinus van de antisupplementaire hoek.

d Bereken de secans van de tegengestelde hoek.

e Bereken de cosecans van de anticomplementaire hoek.

Vereenvoudig. Controleer met ICT.

a sin α cos ( 180° α) + cos α sin ( 180° α)

b sin α sin ( 180° α) cos α cos ( 180° α)

c cos ( 90° + α) + cos ( 90° α) + cos ( α 90°) + cos ( 360° α)

d cos ( α 180°) + cos ( 360° α) + cos ( 90° α) + cos ( 180° + α)

e tan ( 180° + α) + tan ( 90° + α) + tan ( α 90°) + tan ( 180° α)

f sin (180 ◦ + α) · tan (180 ◦ α)

cos ( α 90 ◦ ) cot (270 ◦ α)

* g sin (720 ◦ α) cos (180 ◦ + α) sec (90 ◦ α) tan (360 ◦ + α) cot (α 270 ◦ ) · cot (540 ◦ α) · csc (1080 ◦ + α) · cos2 (α 180 ◦ )

* h sin (540 ◦ + α) · cos (90 ◦ α) · sec (α 360 ◦ ) tan (270 ◦ α) tan ( α 540 ◦ ) csc (α 630 ◦ )

* i cos (α + 180 ◦ ) sin (450 ◦ + α) sec ( 360 ◦ + α) csc ( α) · tan (900 ◦ α)

* j sin (270 ◦ + α) · tan (450 ◦ α) cot (α 180 ◦ ) sec ( α) cos (α 630 ◦ ) · csc (720 ◦ α) tan (180 ◦ α) cot (180 ◦ + α)

* k tan (α 720 ◦ ) cot (α 270 ◦ ) sin (540 ◦ + α) · cos (270 ◦ α) + sin (90 ◦ + α) sec (360 ◦ + α) cos (α 90 ◦ ) · sec (90 ◦ α)

Verklaar volgende gelijkheden :

a sin ( 70° α) = cos ( 20° + α)

b cos ( 65° + α) = sin ( α + 155°)

c tan ( 48° ( α + b)) = cot ( 42° + α + b)

Toon volgende gelijkheden aan.

a cos α + cos(180° α) = 0

b 2 sin α + sin(180° α) = 3 sin α

c tan(36° + α) tan(54° α) = sin2( 20° + α) + sin2( 70° α)

d sin ( 5° α) tan ( 85° + α) sec ( 5° α) = 1

Als α en b elkaars complement zijn, bewijs dan het volgende :

a sin2α + sin2b = 1

b tan α · tan b = 1

c cos2α + cos2b = 1

Toon aan : a 4 sin3

3 sin2

Toon aan :

α + b = 90°

Bepaal α als :

a sin α = 0,25

b cos α = 0,38

c tan α = 15,62

d

21

Bepaal op de goniometrische cirkel de gevraagde hoeken zodat :

b1 = α + 180°

b2 = α + 90°

b3 = α 180°

b4 = 180° α

b5 = α 90°

a c b d

Als α, b en γ de hoeken zijn van een driehoek, vereenvoudig dan sin α + sin β + γ tan β + γ .

Welke betrekking geldt in elke driehoek ABC? Verklaar telkens waarom.

asin A 2 = sin B + C 2

btan A = tan B C

c tan A + B tan C = tan2 C

Als B het beeldpunt is van een georiënteerde hoek van 120° en D het beeldpunt is van 30°, bereken dan de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Werk dit ook uit met ICT.

Waaraanis sin2021 ◦ sin41 ◦ + cos2021 ◦ cos41 ◦ gelijk?

VWO 2021 eerste ronde, vraag 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

x iseenhoekenbehoorttot [0 ◦,90 ◦ [ zodat sin4 x 9 + cos4 x 16 = 1 25 Wat is dan tan x ?

VWO 2020 finalevraag 1 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Als

Toelatingsexamen arts 2020, vraag 1

Elke kleur stelt hetzelfde getal voor. Welk getal staat op de eerste rij (en dus ook op de tweede en derde rij)?

Vaardigheden | Wiskundetaal

I:

Zoek het wiskundig begrip dat hoort bij elke omschrijving. De eerste letter krijg je steeds cadeau.

OPGAVE

Zo zijn twee hoeken die samen 90° vormen.

Omgekeerde van de sinus van een hoek.

Als je de sinus van een hoek deelt door de tangens van die hoek, dan bekom je de ... van de hoek.

Tangens van het complement van een hoek.

Tak van de wiskunde die zich bezighoudt met (o.a. verhoudingen in) driehoeken, sinus, cosinus, tangens ...

Cirkelsector (bepaald door een deel van de x -as en de y -as) met een kwart van de oppervlakte van de cirkel.

OPLOSSING

Omgekeerde van de cosinus van een hoek. S

Het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel is de ... van die hoek.

α is het ... van 180° – α

Lees je af op een evenwijdige aan de y -as door ( 1, 0) op de goniometrische cirkel.

II:

Zoek de oplossing van elke omschrijving in het rooster. Je vindt de woorden horizontaal, verticaal en schuin (pas op: ook in omgekeerde richting). Doorstreep die woorden. BEPASSECANSALDE

III: Met de resterende letters kun je een vraag vormen. Noteer de vraag en bereken het antwoord.

Goniometrie 1

moet ik leren

dit

❒ Ik ken de betekenis van een goniometrische cirkel.

pagina ik ken het ! oké voor examen

10

❒ Ik ken de betekenis van de goniometrische getallen sinus en cosinus van een georiënteerde hoek. 10

❒ Ik ken de betekenis van de goniometrische getallen tangens en cotangens van een georiënteerde hoek. 11

❒ Ik ken de betekenis van de goniometrische getallen secans en cosecans van een georiënteerde hoek. 15

❒ Ik ken het verband tussen de verschillende goniometrische getallen van een hoek.

❒ Ik ken de grondformule van de goniometrie.

❒ Ik kan de goniometrische getallen van een hoek berekenen als de hoek gegeven is.

❒ Ik kan goniometrische formules selecteren en toepassen om goniometrische identiteiten te bewijzen.

❒ Ik kan de goniometrische getallen van verwante hoeken berekenen (gelijke, tegengestelde, complementaire, anticomplementaire, supplementaire en antisupplementaire hoeken).

❒ Ik kan de andere goniometrische getallen van een hoek berekenen als één goniometrisch getal van die hoek gekend is en ook het kwadrant gekend is waarin die hoek ligt.

15

16

16

17

26

36

Goniometrie 1

Gegeven : cos α = 15 17 met α ∈ II

Gevraagd : bereken.

acos (180 ◦ + α)

btan (90 ◦ α)

ccot (180 ◦ α)

dsin (270 ◦ + α)

asin170 ◦

btan210 ◦

ccot ( 40 ◦ )

Gegeven : cos α = 1 4 ensin α < 0

ecos (90 ◦ + α)

fsin (360 ◦ α)

gtan (720 ◦ + α)

hcot (270 ◦ α)

Herleid naar een goniometrisch getal van een hoek in het eerste kwadrant.

dsec ( 100 ◦ )

ecsc240 ◦

2 / 4 3 / 2 4 / 2 5 / 2 6 / 2

Gevraagd : a Bereken sin α. b Bereken de tangens van de complementaire hoek. c Bereken de cotangens van de supplementaire hoek.

Teken een willekeurige hoek α in het tweede kwadrant. Bepaal op de goniometrische cirkel het beeldpunt van:

a β1 = α 90 ◦

b β2 = α + 90 ◦ c β3 = α + 180 ◦ d β4 = α 180 ◦

Bereken zonder gebruik van ICT: sin2 150° tan ( –45°) – cot225° cos120°

Vereenvoudig:

sin ( α – 90°) sec ( 180° + α) + sin ( 360° – α) cot ( –180° – α)

7 / 2

Toon aan : 2cos200 ◦ tan ( 20 ◦ ) sin160 ◦ sin2 ( 40 ◦ ) + sin2 130 ◦ = sin20 ◦ 1

Driehoeksmeting en de cirkel 2

Een op- en afrittencomplex van een autosnelweg wordt vaak cirkelvormig aangelegd. In Wetteren werd hiervoor zelfs een rotonde gebouwd boven de E40. Vaak zie je dat de snelweg een raaklijn vormt aan de cirkels van de op- en afritten.

Als op de rivier dan nog eens een schip zou worden voortgetrokken door twee sleepboten, dan heb je wel erg veel wiskunde op één plaatje verzameld. De sleepboten maken namelijk gebruik van krachtvectoren, driehoeksmeting en zelfs goniometrie.

Analytische meetkunde 3

Wat Julian Richardson in het zand verwezenlijkt, zal ook lukken in de sneeuw, moet Simon Beck gedacht hebben. Deze Engelsman, die in de winter vooral huist in het Franse skigebied Les Arcs, maakt prachtige geometrische vormen en tekeningen door gewoon door de sneeuw te lopen. De grondige (wiskundige) planning neemt het meest tijd in beslag; aan de uitvoering zelf besteedt hij – gewapend met sneeuwlaarzen en wat muziek –minimaal 11 uur. Misschien een idee voor je volgende skivakantie?

4Ruimtemeetkunde

Als je dit kasteeltje goed bekijkt, dan zie je al snel dat er hier en daar iets niet klopt met het perspectief. Een pionier in dergelijke onmogelijke figuren was de Zweed Oscar Reutersvärd, hij tekende er meer dan 2500. Hij beperkte zich wel tot puur geometrische vormen, terwijl de Nederlandse kunstenaar M.C. Escher bewoonde werelden creëerde waarin dergelijke figuren verwerkt zaten. Een van de meest bekende onmogelijke figuren is de Penrose-driehoek. Die werd genoemd naar een Engelse wiskundige die de driehoek publiceerde in 1958, hoewel hij bijna 25 jaar eerder was ontdekt door Reutersvärd.