90
Toepassingen op vergelijkingen van de tweede graad 3.3
1 ) Vraagstukken oplossen met behulp van vierkantsvergelijkingen
Vraagstuk
Wat wordt er gevraagd?
Probeer de tekst uit het vraagstuk
Wat moet ik zoeken?
Keuze van de oNbekende x om te zetten in een vergelijking.
Opstellen van een vergelijking
Los deze
vergelijking op.
De vergelijking oplossen
Toets of alle oplossingen wel voldoen binnen de context van het vraagstuk.
Een antwoord formuleren
Voorbeeld 1: Toen Kasper met zijn vriendinnetje Ellen terugkwam van een basketbalwedstrijd vroeg ik hem wat de eindstand was. “Ho”, zei Kasper, “ik weet het niet meer zo goed. Wij hebben wel gewonnen, want onze ploeg had 16 punten meer dan de tegenpartij, nietwaar Ellen?” “Ja”, zei Ellen, “en ik herinner mij nog dat het product van beide scores gelijk was aan de prijs die ik betaalde voor mijn laatste paar schoenen, 42,92 euro maar dan wel zonder komma hé!” Wat was de eindscore van deze basketbalwedstrijd? 1 Keuze van de onbekende x:
x = onze score
P de score van de tegenpartij = x − 16
2 Opstellen en oplossen van de vergelijking:
(onze score) ⋅ (de score van de tegenpartij) = 4292 x ⋅ (x − 16) = 4292 B
x − 16x − 4292 = 0
De oplossingen van deze vierkantsvergelijking zijn: x1 = 74 en x2 = −58.
2
3 Antwoord:
Onze score bedroeg 74 punten (waarom kan −58 niet?) en de score van de tegenpartij bedroeg
(74 − 16) punten of 58 punten.
Deel 3
Functies, vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad
91
Voorbeeld 2: Een weide is rechthoekig, de omtrek bedraagt 84 m en de oppervlakte 432 m2. Bereken de lengte en de breedte van de weide. 1 Keuze van de onbekende x:
x = lengte van de weide
Hoeveel bedraagt dan de breedte? De omtrek is 84 m, de halve omtrek is dus 42 m.
lengte + breedte = halve omtrek = 42 m
Dus:
De breedte van de weide is 42 − x
2 Opstellen en oplossen van de vergelijking:
lengte ⋅ breedte = oppervlakte x(42 − x) = 432 B
42x − x2 = 432 B
x2 − 42x + 432 = 0
De oplossingen van deze vierkantsvergelijking zijn: x1 = 24 en x2 = 18
3 Antwoord:
De lengte van de weide bedraagt 24 m en de breedte van de weide is 18 m.
Voorbeeld 3: Een handelaar bestelt bij een platenfirma een aantal cd’s van de groep ‘IKS-EIZET’. Bij levering betaalt hij 528 euro en krijgt hij 8 cd’s extra wegens een promotieactie. De oorspronkelijke prijs per cd daalt hierdoor met 0,50 euro per cd. Hoeveel cd’s waren er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs van een cd? 1 Keuze van de onbekende x: x = aantal bestelde cd’s. 528 is de oorspronkelijke prijs van een cd. P x x + 8 is het aantal geleverde cd’s. 528 is de verkoopprijs van een cd. P x+8 2 Opstellen en oplossen van de vergelijking:
oorspronkelijke prijs − 0,50 is de verkoopprijs. 528 1 528 − = x 2 x+8 B 2 ⋅ 528 − x 528 = 2x x+8 B 1056 − x 528 = xŒ0 2x x+8 B
(1056 − x) ⋅ (x + 8) = 528 ⋅ 2x B
2
1056x + 8448 − x − 8x = 1056x B
2
−x − 8x + 8448 = 0 De oplossingen van deze vergelijking zijn: x1 = 88 en x2 = −96. Deze laatste oplossing is te ver-
werpen want x Π0. 3 Antwoord:
Er werden 88 cd’s besteld. De oorspronkelijke prijs was (528 : 88) euro of 6 euro.
92
Voorbeeld 4: Bepaal x zodat de oppervlakte van het geschetste domein 53 m2 bedraagt. x
Het probleem begrijpen:
x+1
4
Om deze vraag op te lossen, zullen we de
2x + 1
figuur verdelen in drie
2x − 1
rechthoeken. Dat kan op verschillende manieren. We opteren voor drie verticale delen. 3x + 2
Oplossing: x
deel I
hoogte = 2x + 1
breedte = x
Adeel I = (2x + 1) ⋅ x
x+1
4
2
= 2x + x deel III
2x + 1
hoogte = 2x - 1
breedte = x + 1
Adeel III = (2x - 1) (x + 1)
2x − 1 deel I
deel II
= 2x + x - 1
deel II
3x + 2
hoogte = 2x + 1 - 4 = 2x - 3
breedte = 3x + 2 - x - (x + 1) = x + 1
Adeel II = (2x - 3) (x + 1)
deel III
2
= 2x2 - x - 3
Adeel I + Adeel III + Adeel II = 53 2x2 + x + 2x2 + x - 1 + 2x2 - x - 3 = 53 B
2
6x + x - 57 = 0
B
x = 3 of x =
−19 6 3m
Antwoord: De onbekende x komt overeen met 3 meter.
4m
4m
Controle: We vervangen op de
7m
4m
tekening x door 3 en
5m
noteren in elk deel de oppervlakte.
21 m2
12 m2
21 m + 12 m + 20 m = 53 m 2
2
2
2
11 m
20 m2
Deel 3
Functies, vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad
93
2 ) Oefeningen 1 Bepaal x zodat de oppervlakte van de rechthoek
A
B
gelijk is aan 308 cm2. x−3
D
x+5
C
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2 Bepaal x zodat de oppervlakte van de rechthoekige
A
driehoek gelijk is aan 71,5 cm2. x+5
C
2x + 1
B
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
94
A
3 Bepaal x.
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
x−3
x + 15
C
A
4 Bepaal x als je weet dat de oppervlakte van het
B
x + 14
2x + 3
B
trapezium gelijk is aan 30 cm . 2
x
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
D
3x + 2
C
Deel 3
Functies, vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad
95
5 De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 365. Bepaal die getallen.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6 Het product van twee opeenvolgende even getallen is 224. Bepaal die getallen.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
96
7 Als je van een reĂŤel getal zijn kwadraat aftrekt, dan krijg je −272. Bepaal dit getal.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
8 Het verschil van twee getallen is 7, hun product 800. Bepaal deze getallen.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Deel 3
Functies, vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad
97
9 Een weide is rechthoekig, de oppervlakte bedraagt 832 m2. Bereken de lengte en de breedte als je weet dat het verschil tussen beide 6 m bedraagt.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
10 Een stuk bouwgrond is rechthoekig van vorm. De lengte is slechts 1 meter langer dan de breedte. De diagonaal is 29 meter. Bepaal de oppervlakte van dit stuk bouwgrond.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
98
11 Een terrein is rechthoekig van vorm. De breedte bedraagt één meter minder dan de helft van de lengte. De twee verste punten bevinden zich op een afstand van 89 meter. Bepaal de lengte en de breedte van dit terrein.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
12 Een stuk grasland heeft de vorm van een rechthoekige driehoek met als lengte voor de schuine zijde 145 meter. Bepaal de oppervlakte van dit gebied als je weet dat de lengte één meter minder is dan zes keer de hoogte.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Deel 3
Functies, vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad
99
13 Scoutsleider Jorn bestelt slaaptenten voor de 140 deelnemers van het zomerkamp. Leider Stefan merkt op dat als er in elke tent ĂŠĂŠn persoon meer slaapt, er 7 tenten minder moeten worden besteld. Hoeveel personen slapen er volgens Stefan in een tent?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________