VBTL5/6 - module vectorruimten - inkijk methode (materiaal VBTL)

Module vectorruimten

D-finaliteit gevorderde wiskunde

Vectorruimten

Vectoren danken hun ontstaan aan natuurkundige grootheden, zoals krachten die een richting, zin en grootte hebben. Krachten kunnen samengesteld (= opgeteld) worden en kunnen vervangen worden door grotere of kleinere krachten (= vermenigvuldigd worden met een reëel getal). De verzameling van de vectoren voorzien van de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen met een reëel getal heeft een aantal eigenschappen. Dat leidt tot het gekende resultaat dat R, p0, + een reële vectorruimte is. In deze module willen wij dat idee veralgemenen.

Veel wiskunde ‘gebeurt’ immers in een abstracte ‘ruimte’. Die ruimte is een verzameling van objecten en een structuur die het onderlinge verband tussen de objecten van de verzameling vastlegt. Wij behouden de eigenschappen die karakteristiek zijn voor de ‘vectoren’, maar passen ze toe op andere objecten. Deze methode is zeer nuttig gebleken. Heel wat objecten gedragen zich zoals meetkundige vectoren. De vectorruimten vormen dan ook de basis van de lineaire algebra en zijn niet weg te denken uit de hedendaagse wiskunde.

1 Reële vectorruimten

1 Inleiding

Vectorruimten vormen een belangrijk onderwerp van studie binnen de lineaire algebra. De eerste ideeën die hebben geleid tot vectorruimten voeren ons terug naar de 17e-eeuwse analytische meetkunde, matrices, stelsels van vergelijkingen en vectoren. De moderne, meer abstracte behandeling werd in de late 19e eeuw voor het eerst door Giuseppe Peano geformuleerd. Sinds het begin van de twintigste eeuw komen deze objecten voor in de speciale relativiteitstheorie, de statistiek en de kwantummechanica. Vandaag de dag vinden we vectorruimten doorheen het hele spectrum van wiskunde, natuurwetenschappen en techniek. Zij bieden ondere andere een raamwerk dat wordt gebruikt in algoritmen voor beeldcompressie.

2

Definitie

reële vectorruimte

Een reële vectorruimte R , , + is een niet-lege verzameling , voorzien van twee inwendige bewerkingen in die we optelling in en scalaire vermenigvuldiging in noemen : + : × → : (u , v ) → u + v : R × → : ( r , u ) → r u

Erwordtaanvolgendeaxioma’svoldaan:

(1) Deoptellingin is inwendigenoveralgedefinieerd

∀ u , v ∈ : u + v ∈

(2) Deoptellingin is associatief.

∀ u , v , w ∈ : (u + v )+ w = u +(v + w )

(3) Eriseen neutraalelement voordeoptellingin . ∃ o ∈ , ∀ u ∈ : u + o = u = o + u

(4) Elkelementvan heefteen symmetrischelement voordeoptellingin ∀ u ∈ , ∃! u ∈ : u + ( u ) = o = ( u ) + u

(5) Deoptellingin is commutatief

∀ u , v ∈ : u + v = v + u

(6) Devermenigvuldigingvaneenelementvan meteenscalair,iseenelementvan . ∀ r ∈ R , ∀ u ∈ : r · u ∈

(7) Descalairevermenigvuldigingin is gemengdassociatief. ∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : ( r s ) u = r ( s u )

(8) Descalairevermenigvuldigingin is distributief tenopzichtevandeoptellingin

r ∈ R , ∀ u , v ∈ : r (u + v ) = r u + r v

(9) Descalairevermenigvuldigingin is distributief tenopzichtevandeoptellingin R

∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : ( r + s ) · u = r · u + s · u

(10) Hetreëelgetal1iseen neutraalelementvoordescalairevermenigvuldiging in . ∃ 1 ∈ R , ∀ u ∈ :1 u = u

Opmerkingen :

• We noemen de elementen u , v ,... ∈ vectoren en de getallen r, s, … ∈ R ook wel scalairen

• De vijf eerste axioma’s van een vectorruimte zijn die van de optelling in . Hieruit volgt dat , + een commutatieve groep is.

• Het neutraal element o voor de optelling noemen we de nulvector.

• Het symmetrisch element u van u voor de optelling noemen we de tegengestelde vector van u

• Een vectorruimte heeft één en slechts één neutraal element. In een vectorruimte heeft elk element juist één symmetrisch element.

• In de praktijk kan een element van een matrix zijn, een koppel reële getallen, een veelterm … Het begrip vector is dus in de theorie van de vectorruimten ruimer dan het begrip vector uit de meetkunde.

3 Voorbeelden

Voorbeeld 1 :

Beschouw de verzameling van alle drietallen reële getallen

R 3 = ( x , y , z ) | x , y , z ∈ R

voorzien van de bewerkingen optelling en scalaire vermenigvuldiging

( x 1 , y1 , z 1 )+( x 2

r · ( x 1 , y1 , z 1 )=( rx 1 , ry1 , rz 1 )

dan is R, R3 , + een reële vectorruimte.

Bewijs : 1

Uitdedefinitievanhetoptellenin R 3 volgtdat (

Ditvolgtimmersuitdeassociativiteitvanhetoptellenin R

Immers: (0,0,0)+(

) ( x , y , z )+(0,0,0)=( x + 0, y + 0, z + 0)=( x , y , z ).

,

Hetdrietal (0,0,0) ishetneutraalelementvoordeoptellingin R 3

∀ ( x , y , z ) ∈ R 3 , ∃ ! ( x , y , z ) ∈ R 3 : ( x , y , z )+( x , y , z )=( x , y , z )+( x , y , z )=(0,0,0)

Immers: ( x , y , z )+( x , y , z )=( x x , y y , z z )=(0,0,0) ( x , y , z )+( x , y , z )=( x + x , y + y , z + z )=(0,0,0)

Elkelementvan R 3 heefteensymmetrischelementvoordeoptellingin R 3 .

5 ∀ ( x 1 , y1 , z 1 ), ( x 2 , y2 , z 2 ) ∈ R 3 : ( x 1 , y1 , z 1 )+( x 2 , y2 , z 2 )=( x 2 , y2 , z 2 )+( x 1 , y1 , z 1 )

Ditvolgtuitdecommutativiteitvanhetoptellenin R .

6 ∀ r ∈ R , ∀ ( x , y , z ) ∈ R 3 : r · ( x , y , z ) ∈ R 3

Uitdedefinitievanhetvermenigvuldigenin R 3 meteenreëelgetalvolgtdat

r ( x , y , z )=( rx , ry , rz ) ∈ R 3 .

7 ∀ r , s ∈ R , ∀ ( x , y , z ) ∈ R 3 : r · s · ( x , y , z ) =( rs ) · ( x , y , z )

Weberekenenbeideledenenwevindenhetzelfderesultaat:

r · s · ( x , y , z ) = r · ( sx , sy , sz )= r ( sx ), r ( sy ), r ( sz ) =( rsx , rsy , rsz ) ( rs ) ( x , y , z )= ( rs ) x , ( rs ) y , ( rs ) z =( rsx , rsy , rsz )

Ditvolgtuitdeassociativiteitvanhetvermenigvuldigenin R .

8 ∀ r ∈ R , ∀ ( x 1 , y1 , z 1 ), ( x 2 , y2 , z 2 ) ∈ R 3 : r · ( x 1 , y1 , z 1 )+( x 2 , y2 , z 2 ) = r · ( x 1 , y1 , z 1 )+ r · ( x 2 , y2 , z 2 )

Immers: r ( x 1 , y1 , z 1 )+( x 2 , y2 , z 2 ) = r ( x 1 + x 2 , y1 + y2 , z 1 + z 2 ) = r ( x 1 + x 2 ), r ( y1 + y2 ), r ( z 1 + z 2 ) =( rx 1 + rx 2 , ry1 + ry2 , rz 1 + rz 2 ) r ( x 1 , y1 , z 1 )+ r ( x 2 , y2 , z 2 )=( rx 1 , ry1 , rz 1 )+( rx 2 , ry2 , rz 2 ) =( rx 1 + rx 2 , ry1 + ry2 , rz 1 + rz 2 )

Ditvolgtuitdedistributiviteitvandevermenigvuldigingt.o.v.deoptellingin R .

9 ∀ r , s ∈ R , ∀ ( x , y , z ) ∈ R 3 : ( r + s ) · ( x , y , z )= r · ( x , y , z )+ s · ( x , y , z ) Ditbewijsverlooptanaloogmethetvorige.

10 ∃ 1 ∈ R , ∀ ( x , y , z ) ∈ R 3 :1 ( x , y , z )=( x , y , z )

Immers:1 · ( x , y , z )=(1 x ,1 y ,1 z )=( x , y , z ) 1ishetneutraalelementvoordescalairevermenigvuldigingin R 3 .

Besluit : R, R3 , + is een reële vectorruimte.

Uitbreiding :

Als we werken met de verzameling van de geordende n-tallen reële getallen R n = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) | x 1 , x 2 ,..., x n ∈ R met n ∈ N0 , dan kunnen we op dezelfde manier aantonen dat R, Rn , + een reële vectorruimte is.

Voorbeeld 2 :

Beschouw de verzameling van alle 2 × 2-matrices (respectievelijk m × n-matrices)

R 2×2 = xy zu | x , y , z , u ∈ R

voorzien van de optelling en de scalaire vermenigvuldiging

r x 1 y1 z 1 u 1 = rx 1 ry1 rz 1 ru 1

dan is R, R2 × 2 , + een reële vectorruimte.

Taak:

Ga na dat de gedefinieerde optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoen aan de 10 axioma’s van een vectorruimte.

Voorbeeld 3 :

Beschouw de verzameling van alle reële veeltermen in x

voorzien van de optelling en de scalaire vermenigvuldiging a

dan is R, R[ x ], + een reële vectorruimte.

Taak:

Ga na dat de gedefinieerde optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoen aan de 10 axioma’s van een vectorruimte.

Voorbeeld 4 :

Beschouw de verzameling van alle reële afbeeldingen

R R = f | f : R → R : x → f ( x )

voorzien van de puntsgewijze optelling en de puntsgewijze scalaire vermenigvuldiging

f + g : R → R : x → ( f + g )( x )= f ( x )+ g ( x )

r · f : R → R : x → ( r · f )( x )= r · f ( x )

dan is R, RR, + een reële vectorruimte.

Taak:

Ga na dat de gedefinieerde optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoen aan de 10 axioma’s van een vectorruimte.

Voorbeeld 5 :

Enkele vectorruimten in de meetkunde :

R, pO, +

Als we in het vlak p een bevoorrecht punt O (de oorsprong) aanduiden, dan bekomen we het gepunte vlak pO De elementen X, Y,... van pO noemen we puntvectoren

In pO kunnen we ook een optelling van vectoren en een vermenigvuldiging van een puntvector met een reëel getal definiëren (zie nevenstaande figuur).

De 10 axioma’s van een reële vectorruimte zijn hier vervuld (verklaar dit). We besluiten :

R, pO, + is een reële vectorruimte.

R, dO, +

In pO trekken we door de oorsprong O een rechte d We bekomen dan een gepunte rechte dO. Dat is de verzameling van de puntvectoren van pO die tot de rechte dO behoren.

In dO kunnen we ook een optelling van puntvectoren en een vermenigvuldiging van een puntvector met een reëel getal definiëren (zie nevenstaande figuur).

De 10 axioma’s van een reële vectorruimte zijn hier vervuld (verklaar dit). We besluiten :

R, dO, + is een reële vectorruimte.

R, O, +

De ruimte, waarin een bevoorrecht punt O is gekozen, noemen we de gepunte ruimte O (zie VBTL 5/6 ruimtemeetkunde). Op dezelfde manier als in pO kunnen we ook hier een optelling van puntvectoren en een vermenigvuldiging van een puntvector met een reëel getal definiëren.

De 10 axioma’s van een reële vectorruimte zijn hier vervuld (verklaar dit). We besluiten:

R, O, + is een reële vectorruimte.

Tegenvoorbeeld :

Beschouw Z[ x ] de verzameling van de veeltermen met gehele coëfficiënten. R, Z[ x ], + is geen reële vectorruimte, want axioma 6 is niet vervuld :

R ,

Voorbeeld :

4 Verschil van vectoren

Als R , , + eenreëlevectorruimteis,dangeldt:

u , v ∈ : u v = u + ( v )

5 Rekenregels

1 2 3 4 5 6 7 9 10

Rekenregels

6 Toepassingen

Toepassing 1 :

Voor welke waarde(n) van x ∈ R geldt volgende uitdrukking voor alle u ∈ ?

Vermeld bij elke stap welk axioma of welke rekenregel je gebruikt.

3u + 2 x u = 9u x u

Oplossing :

3u + 2 x u = 9u x u

rekenregel1

3u + 2 x u 3u + x u = 9u x u 3u + x u

axioma’s2en5

(3u 3u ) + (2 x u + x u ) = (9u 3u ) + ( x u + x u )

axioma4

o + (2 x u + x u ) = (9u 3u ) + o

axioma3

2 x u + x u = 9u 3u axioma9

(2 x + x ) u =(9 3) u rekenenin R

3 x · u = 6 · u

rekenregel10

3 x = 6 ∨ u = o

geldigvooralle u ,dusook u = o x = 2

Toepassing 2 :

Voor welke waarde(n) van x ∈ geldt volgende uitdrukking ?

Vermeld bij elke stap welk axioma of welke rekenregel je gebruikt.

x + 4u = 3x 2v

Oplossing :

x + 4u = 3x 2v rekenregel1

x + 4u 3x 4u = 3x 2v 3x 4u

axioma’s2en5

(x 3x ) + (4u 4u ) = (3x 3x ) + ( 2v 4u )

axioma4

(x 3x ) + o = o + ( 2v 4u )

axioma3

x 3x = 2v 4u

axioma9

(1 3) x = 2v 4u rekenenin R

2x = 2v 4u

axioma8

2x = 2 (v + 2u )

rekenregel9

x = v + 2u

7

Samenvatting

• Je kent de definitie van de reële vectorruimte R , , +. Een reële vectorruimte R , , + is een niet-lege verzameling , voorzien van twee inwendige bewerkingen in die we optelling in en scalaire vermenigvuldiging in noemen : + : × → : (u , v ) → u + v

R

• Je kent volgende axioma’s.

1 Deoptellingin isinwendigenoveralgedefinieerd. ∀ u , v ∈ : u + v ∈

2 Deoptellingin isassociatief.

3 Eriseenneutraalelementvoordeoptellingin .

4 Elkelementvan heefteensymmetrischelementvoordeoptellingin .

5 Deoptellingin iscommutatief.

u , v ∈ : u + v = v + u

6 Devermenigvuldigingvaneenelementvan meteenscalair,iseenelementvan . ∀ r ∈ R , ∀ u ∈

7 Descalairevermenigvuldigingin isgemengdassociatief.

8 Descalairevermenigvuldigingin isdistributieftenopzichtevandeoptellingin .

9 Descalairevermenigvuldigingin isdistributieftenopzichtevandeoptellingin R ∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : ( r + s ) · u = r · u + s · u

10 Hetreëelgetal1iseenneutraalelementvoordescalairevermenigvuldigingin

1 ∈ R , ∀ u ∈ :1 · u = u

• Je kent de betekenis van het verschil van vectoren.

Als R , , + eenreëlevectorruimteis,dangeldt: ∀ u , v ∈ : u v = u + ( v )

• Je kent de volgende rekenregels.

1 ∀ u , v , w ∈ : u + v = w + v ⇐⇒ u = w

2

3

4 ∀ u ∈ : ( 1) u = u

5 ∀ r ∈ R , ∀ u ∈ : ( r ) · u = r · ( u ) = ( r · u )

6 ∀ r ∈ R , ∀ u , v ∈ : r (u v ) = r · u r · v

8

9 ∀ r ∈ R , ∀ u , v ∈ : r u = r v ⇐⇒ r = 0 ∨ u = v

10 ∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : r · u = s · u ⇐⇒ r = s ∨ u = o

8 Oefeningen

Bewijs dat R, R, + een reële vectorruimte is.

Bewijs dat R , {o }, + een reële vectorruimte is. We noemen dat de nulruimte

Bewijs de rekenregels 6 en 9 van blz. 9.

Onderzoek of R, Q, + een reële vectorruimte is.

Beschouw de verzameling van de complexe getallen C voorzien van de klassieke optelling en de vermenigvuldiging van een complex getal met een scalair :

( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i r ( a + bi ) = ( ra ) + ( rb ) i met a, b, c, d, r ∈ R

Toon aan dat R, C, + een vectorruimte is.

Beschouw de verzameling van alle 3 × 3-diagonaalmatrices

a 00 0 b 0 00

voorzien van de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging van matrices.

Toon aan dat R, D, + een vectorruimte is.

Beschouw de verzameling van de 2 × 2-matrices van de vorm

M = a a aa a ∈ R

voorzien van de bewerkingen optelling en vermenigvuldiging van matrices.

Toon aan dat R, M, + een vectorruimte is.

Beschouw de verzameling

V = (a , b , c ) | a , b , c ∈ R

die we voorzien van de volgende optelling en scalaire vermenigvuldiging:

(a 1 , b1 , c 1 ) + (a 2 , b2 , c 2 ) = (a 1 + a 2 2, b1 + b2 , c 1 + c 2 + 2)

r (a , b , c ) = ( ra + 2 2 r , rb , rc 2 + 2 r ) met r ∈ R

a Toon aan dat R, V, + een vectorruimte is.

b Wat is het neutraal element in V ?

c Wat is het symmetrisch element van ( a , b , c ) in V ?

Beschouw de verzameling

V = ab cd a , b , c , d ∈ R

die we voorzien van de volgende optelling en scalaire vermenigvuldiging :

a 1 b1

c 1 d 1 + a 2 b2 c 2 d 2 = a 1 + a 2 + 1 b1 + b2 + 2 c 1 + c 2 + 3 d 1 + d 2 + 4

r ab cd = ra + r 1 rb + 2 r 2 rc + 3 r 3 rd + 4 r 4 met r ∈ R

a Toon aan dat R, V, + een vectorruimte is.

b Wat is het neutraal element in V ?

c Wat is het symmetrisch element van ab cd in V ?

Beschouw de verzameling V bestaande uit drie elementen : V = u , u , o , voorzien van de volgende optelling en scalaire vermenigvuldiging:

o u u . o u u

o u u r < 0 o u u u u u o 0 o o o u u o u r > 0 o u u

Toon aan dat R, V, + een vectorruimte is.

Beschouw een verzameling S met slechts één element : S = d

a Als je een inwendige optelling en scalaire vermenigvuldiging in S wil definiëren, waaraan moeten d + d en r · d (met r ∈ R ) dan gelijk zijn ?

b Toon aan dat S, voorzien van die bewerkingen, aan de axioma’s van vectorruimte voldoet.

Bereken in de reële vectorruimte R , , + :

a 2 · u 6 · u

b 9 (u v ) + 4 (2 v )

c (k 2) · (u + v ) +(1 k ) · v

d (2k + 3) (u 2 v ) (k 1) (2 u v )

Los op in R , , + naar x

a 3 u + 2 x 6 v = o

b 2 3 x 1 3 u + 0 v = 2 3 u v + 1 3 o

Voor welke waarde(n) van x ∈ R gelden volgende uitdrukkingen voor alle u ∈ in de vectorruimte R , , + ?

Vermeld bij elke stap de axioma’s en de rekenregels die je gebruikt.

a 3 2 u 2 x u = 9 2 u + x u

b 9 x · u = 3(3 x 1) · u met u = o

c 6 x u = 3(2 x 3) u + 9 u

2

Deelruimten

1 Definitie

deelruimte

Als R , , + een reële vectorruimte is en als een niet-lege deelverzameling is van , zodat R , , + een reële vectorruimte is, dan noemen we R , , + een deel(vector)ruimte van R , , + . in symbolen :

R , , + is een deel(vector)ruimte van R , , + ⟺

1 ( ≠ ∅) ⊂

2 R , , + is een vectorruimte

2 Kenmerk voor deelruimten

Als een niet-lege deelverzameling is van , met R , , + een vectorruimte, dan is R , , + een deelruimte van R , , + enkel en alleen als :

∀ r , s ∈ R , ∀ v , w ∈ : r · v + s · w ∈

Bewijs : =⇒

R , , + iseenreëlevectorruimte axioma6

∀ r ∈ R , ∀ v ∈ : r · v ∈ en ∀ s ∈ R , ∀w ∈ : s · w ∈ axioma1

∀ r , s ∈ R , ∀ v , w ∈ : r v + s w ∈

⇐=

Ergeldt: ∀ r , s ∈ R , ∀ v , w ∈ : r v + s w ∈ (1)

• stel r = s = 1,dangeldt: ∀ v , w ∈ : v + w ∈ (axioma1)

• stel s = 0,dangeldt: ∀ r ∈ R , ∀ v ∈ : r · v ∈ (axioma6)

De axioma’s2,5,7,8,9en10 geldenvooralleelementenvan ,dusookvooralleelementenvan . Enkel axioma’s3en4 blijvennogtebewijzen.

• o ∈ :ditvolgtuit (1) alswe r = s = 0stellen.

0 v + 0 w ∈ =⇒ o + o ∈ =⇒ o ∈

Bijgevolg is R , , + een reële vectorruimte.

•∀ v ∈ volgtuit (1) alswe r = 1en s = 0stellen. ( 1) · v + 0 ·w ∈ =⇒−v + o ∈ =⇒−v ∈

3 Voorbeelden

Voorbeeld 1 :

Beschouw de vectorruimte R, R3 , + en de deelverzameling

W = (3a ,5a ,7a ) | a ∈ R

Er geldt:

∀ r , s ∈ R , ∀ (3a ,5a ,7a ), (3 b ,5 b ,7 b ) ∈ W:

r (3a ,5a ,7a )+ s (3 b ,5 b ,7 b )

=(3 ra ,5 ra ,7 ra )+(3 sb ,5 sb ,7 sb )

=(3 ra + 3 sb ,5 ra + 5 sb ,7 ra + 7 sb )

= 3 ( ra + sb ),5( ra + sb ),7( ra + sb ) waarbij ra + sb ∈ R

Conclusie : R, W, + is een deelruimte van R, R3 , + .

Voorbeeld 2 :

Beschouw de vectorruimte R, R[ x ], + en de deelverzameling

R 2 [ x ]= ax 2 + bx + c | a , b , c ∈ R

van de veeltermen met graad kleiner of gelijk aan 2. Er geldt:

∀ r , s ∈ R , ∀ a 1 x 2 + b1 x + c 1 , a 2 x 2 + b2 x + c 2 ∈ R 2 [ x ] :

r (a 1 x 2 + b1 x + c 1 )+ s (a 2 x 2 + b2 x + c 2 )

=( ra 1 x 2 + rb1 x + rc 1 )+( sa 2 x 2 + sb2 x + sc 2 )

= ra 1 x 2 + rb1 x + rc 1 + sa 2 x 2 + sb2 x + sc 2

=( ra 1 + sa 2 ) x 2 +( rb1 + sb2 ) x +( rc 1 + sc 2 )

Conclusie : R, R2[ x ], + is een deelruimte van R, R[ x ], + .

Tegenvoorbeeld :

We onderzoeken of W = ( x , y , z ) ∈ R 3 | x = y + 1 een deelruimte is van R, R3 , + Blijkbaar is o =(0,0,0) / ∈ W, maar elke deelruimte van R3 moet de nulvector bevatten (axioma 3).

R, W, + is dus geen deelruimte van R, R3 , +

Taak: toon aan dat het kenmerk van deelruimten hier niet geldt.

4 Oefeningen

Toon aan dat R , {o }, + een deelruimte van R , , + is.

Is R, R2 , + een deelruimte van R, R3 , + ? Verklaar .

Ga na of de vermelde deelverzameling van R2×2 een deelruimte is van de vectorruimte R, R2×2 , +

a ab 0 a + b a , b ∈ R

b a 2a 3a 4a a ∈ R

c a 0 0 a 2 a ∈ R

d a 2a + b ba 2 b a , b ∈ R

Ga na of de vermelde deelverzameling van R3×3 een deelruimte is van de vectorruimte R, R3×3 , +. a

abc bde cef

a , b , c , d , e , f ∈ R

,deverzamelingvandesymmetrische3 × 3-matrices. b

00 a 0 b 0 c 00

a 00 010 00 a

a 00 0 b 0 00 c

a , b , c ∈ R

a ∈ R

R 3×3 a + b + c

Ga na of de vermelde deelverzameling van R2 een deelruimte is van de vectorruimte R, R2 , +

a ( u , v ) ∈ R 2 | u + v = 0

b ( u , v ) ∈ R 2 | u + v = 1

c ( u , v ) ∈ R 2 | u · v = 0

d ( u , v ) ∈ R 2 | u v 0

Ga na of de vermelde deelverzameling van R3 een deelruimte is van de vectorruimte R, R3 , +

a ( x , x + y , x + 2 y ) | x , y ∈ R

b (1, x ,1 + x ) | x ∈ R

c ( x , y , z ) ∈ R 3 | 2 x + 3 y + 4 z = 0

d ( x , y , z ) ∈ R 3 | 2 x + 3 y + 4 z = 6

Ga na of de vermelde deelverzameling van RR een deelruimte is van de vectorruimte R, RR, +.

a a · e 2 x a · e 2 x | a ∈ R

b a sin ( bx ) | a , b ∈ R

c f ∈ R R | f iseenevenfunctie

d f ∈ R R | f (0)+ f (1)= 0

Bewijs : in een reële vectorruimte is de doorsnede van twee deelruimten opnieuw een deelruimte.

Is in een reële vectorruimte de vereniging van twee deelruimten altijd opnieuw een deelruimte ? Verklaar.

3 Lineaire combinatie –lineair (on)afhankelijke vectoren

1 Lineaire combinatie

lineaire combinatie

Als R , , + eenreëlevectorruimteis,als v1 , v2 ,..., vn ∈ enals r1 , r2 ,..., rn ∈ R ,dannoemenwe

r1 · v1 + r2 · v2 + + rn · vn een lineairecombinatie vandevectoren v1 , v2 ,..., vn

Die lineaire combinatie is opnieuw een vector van . (Zie oefening 6 blz. 24)

Voorbeeld in R, R3 , + : 2 ( 2, 0, –1) + 3 ( 1, 2, 3) – 4 ( 4, 1, 0) = ( –9, 2, 7)

Voorbeeld in R, R3×1 , + :

2P1 + P2 3

Opmerkingen :

• Verkortenotatie:

r1 v1 + r2 v2 + + rn vn = n i = 1 ri vi

r1 , r2 ,..., rn noemenwedecoëfficiëntenvandielineairecombinatie.

• v1 = 1 v1 + 0 v2 + + 0 vn

• o = 0 · v1 + 0 · v2 + + 0 · vn

2 Lineair afhankelijke vectoren

lineair afhankelijke vectoren

In een reële vectorruimte noemen we enkele vectoren lineair afhankelijk als tenminste één ervan een lineaire combinatie is van de andere vectoren.

Voorbeeld in R, R3 , + :

De vectoren ( 1, 0, 0), ( 2, –1, 3) en ( –4, 3, –9) zijn lineair afhankelijk want : ( –4, 3, –9) = 2 ⋅ ( 1, 0, 0) – 3 ⋅ ( 2, –1, 3)

Het is niet altijd eenvoudig om na te gaan of enkele vectoren lineair afhankelijk zijn. Daarom zullen we meestal een beroep doen op het kenmerk.

Inleiding :

Webeschouwenineenvectorruimte R , , + eenvector p dieeenlineairecombinatieisvandevectoren a en b p = r a + s b ⇐⇒ r a + s b 1 p = o met r , s ∈ R

Als p eenlineairecombinatieisvan a en b ,dankandenulvectorgeschrevenwordenalseenlineaire combinatievan a , b en p .Indiecombinatieisdecoëfficiëntvan p verschillendvan0.Erbestaatduseenlineaire combinatievandevectoren a , b en p diegelijkisaandenulvectormettenminsteééncoëfficiëntverschillend van0.Vandaarvolgendkenmerk:

kenmerk lineair afhankelijke vectoren

Als R , , + een reële vectorruimte is, dan geldt : v1 , v2 ,..., vn ∈ zijn lineairafhankelijkevectoren

Bewijs:

Als v1 , v2 ,..., vn lineairafhankelijkzijn,daniséénvandevectoren,bijvoorbeeld vn ,eenlineairecombinatie vandeandere:

Erbestaatduseenlineairecombinatievandegegevenvectorendiegelijkisaandenulvector. Bovendienisdecoëfficiëntvan vn gelijkaan 1,zodatnietallecoëfficiëntengelijkaannulzijn.

Lineaire combinatie – lineair (on)afhankelijke

⇐=

Steldat: r1 v1 + r2 v2 + ... + rn vn = o met rn = 0

rn · vn = r1 · v1 r2 · v2 rn 1 · vn 1 rn = 0

vn = r1 rn v1 r2 rn v2 rn 1 rn vn 1

Hieruitvolgtdat v1 , v2 ,..., vn lineairafhankelijkzijn.

Opmerking :

Aangezien minstens één van de getallen r 1, r 2, … , rn verschillend is van 0, bijvoorbeeld r 3, geldt er :

v3 = 1 r3 ( r1 v1 + r2 v2 + r4 v4 + + rn vn )

Voorbeeld :

Zijn in de vectorruimte R, R3 , + de vectoren ( –1, 4, 1), ( 3, 9, 3) en ( –3, 5, 1) lineair afhankelijk ?

Oplossing :

Wij gaan na of er getallen r , s en t , niet alle drie gelijk aan 0, bestaan zodat :

r ( –1, 4, 1) + s ( 3, 9, 3) + t ( –3, 5, 1) = ( 0, 0, 0)

Wij vinden achtereenvolgens :

r ( 1,4,1)+ s (3,9,3)+ t ( 3,5,1)=(0,0,0)

( r + 3 s 3 t ,4 r + 9 s + 5 t , r + 3 s + t )=(0,0,0)

r + 3 s 3 t = 0

4 r + 9 s + 5 t = 0

r + 3 s + t = 0

r = 2k s = 1 3 k

t = k k ∈ R

Als k = 3, dan zijn r = –6, s = 1 en t = 3.

Er bestaat een lineaire combinatie van de gegeven vectoren met coëfficiënten niet alle gelijk aan 0, zodat de combinatie gelijk is aan de nulvector. De gegeven vectoren zijn lineair afhankelijk.

3 Lineair onafhankelijke vectoren

lineair onafhankelijke vectoren

In een reële vectorruimte noemen we enkele vectoren lineair onafhankelijk als geen van die vectoren een lineaire combinatie is van de andere.

Eén enkele vector, die verschilt van de nulvector, wordt als lineair onafhankelijk beschouwd.

Voorbeeld :

In R, R[ x ], + zijn –1, 2x en x 2 lineair onafhankelijk, want het is onmogelijk om x 2 te schrijven als een lineaire combinatie van –1 en 2x

Inleiding :

Vectoren die niet lineair afhankelijk zijn noemen we lineair onafhankelijk. Vectoren zijn dus lineair onafhankelijk als de enige lineaire combinatie die de nulvector oplevert uitsluitend nullen als coëfficiënten heeft. Dat betekent ook dat geen enkele vector te schrijven is als een lineaire combinatie van de andere. Dat geeft goed weer wat wij intuïtief verstaan onder ‘vectoren die niets met elkaar te maken hebben’.

Vandaar volgend kenmerk :

kenmerk lineair onafhankelijke vectoren

Als R , , + een reële vectorruimte is, dan geldt :

v1 , v2 ,..., vn ∈ zijn lineaironafhankelijkevectoren

r1 v1 + r2 v2 + +

Bewijs : zie oefening 7 blz. 24

Voorbeeld :

Zijn in de vectorruimte R, R3 , + de vectoren ( 1, 0, 0), ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 2) lineair afhankelijk of onafhankelijk ?

Oplossing :

Wij gaan na of er getallen r , s en t , niet alle gelijk aan 0, bestaan zodat : r ( 1, 0, 0) + s ( 1, 1, 1) + t ( 0, 1, 2) = ( 0, 0, 0)

Hieruit volgt :

r · (1,0,0)+ s · (1,1,1)+ t · (0,1,2)=(0,0,0)

( r + s , s + t , s + 2 t )=(0,0,0)

r + s = 0

s + t = 0

s + 2 t = 0

r = s = t = 0

De lineaire combinatie kan enkel gelijk zijn aan de nulvector als alle coëfficiënten nul zijn. De vectoren zijn lineair onafhankelijk.

4

Samenvatting

• Je weet wat bedoeld wordt met een lineaire combinatie van vectoren.

Als R , , + eenreëlevectorruimteis,als v1 , v2 ,..., vn ∈ enals r1 , r2 ,..., rn ∈ R ,dannoemenwe

r1 v1 + r2 v2 + + rn vn

eenlineairecombinatievandevectoren v1 , v2 ,..., vn

• Je kent de betekenis van lineair afhankelijke vectoren.

In een reële vectorruimte noemen we enkele vectoren lineair afhankelijk als tenminste één ervan een lineaire combinatie is van de andere vectoren.

• Je kent het kenmerk van lineair afhankelijke vectoren en kan dit bewijzen.

Als R , , + een reële vectorruimte is, dan geldt : v1 , v2 ,..., vn ∈ zijnlineairafhankelijkevectoren

∃ ( r1 , r2 ,..., rn ) ∈ R n \ (0,0,...,0) : r1 v1 + r2 v2 + ... + rn vn = o

• Je kent de betekenis van lineair onafhankelijke vectoren.

In een reële vectorruimte noemen we enkele vectoren lineair onafhankelijk als geen van die vectoren een lineaire combinatie is van de andere.

Kenmerk : als R , , + een reële vectorruimte is, dan geldt :

v1 , v2 ,..., vn ∈ zijnlineaironafhankelijkevectoren

r1 v1 + r2 v2 + ... + rn vn =

Bolzano, Grassmann en Peano

De geschiedenis van vectorruimten voert ons terug naar het begin van de negentiende eeuw. In 1804 publiceerde Bernard Bolzano (1781–1848) een werk over de grondbegrippen van elementaire meetkunde : Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie. Hij beschouwde punten, rechten en vlakken als basisbegrippen en definieerde hierop bewerkingen. Dat was een eerste stap naar abstractie.

Hermann Grassmann (1809–1877) publiceerde Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik in 1844. Hierin ontwikkelde hij een algebra waarin punten, rechten en vlakken met symbolen voorgesteld worden. Die symbolen worden met bepaalde regels ‘gemanipuleerd’. Het werk was moeilijk te lezen omdat de bestudeerde elementen niet gespecificeerd en zeer abstract waren. De eigenschappen eigen aan een vectorruimte waren in zijn werk terug te vinden. Omdat er ook een vermenigvuldiging gedefinieerd was had de structuur meer verwantschap met wat we nu een algebra noemen. (Met algebra bedoelen wij hier een structuur en niet het vak algebra). Grassmann had een duidelijk idee over lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid, over basis en over dimensie.

De eerste axiomatische definitie van een reële vectorruimte komt van Giuseppe Peano (1858–1932) in het boek Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva, gepubliceerd in Torino in 1888. In hoofdstuk IX van dat boek vermeldt hij de axioma’s van een reële vectorruimte op een manier die erg lijkt op de moderne schrijfwijze.

Bolzano

Grassmann

Peano

2 3 4 5 6 7

5 Oefeningen

Schrijf in R, R3 , + de vector w als een lineaire combinatie van u 1 , u 2 , u 3

a u 1 =(1,0,0) u 2 =(0, 4,0) u 3 =(0,0,2) w =(3,4,1)

b u 1 =(1,1,0) u 2 =( 1,2,1) u 3 =(0, 2,4) w =(3,0,19)

Onderzoek of de volgende elementen van de vectorruimte R, R3 , + lineair afhankelijk of lineair onafhankelijk zijn.

a (2,1,4), ( 1,0,5), (1,2,23)

b (0,2,3), (4,1, 2), (1,0,5)

c (3,0,1), ( 1,1,2), (0,1,4)

d (2,1,0), ( 1,0,2), (1,2, 1), (3, 1,4)

Onderzoek of de volgende elementen van de vectorruimte R, R2×2 , + lineair afhankelijk of lineair onafhankelijk zijn.

a 43 21 , 12 34 , 23 14

b 13 20 , 3 2 01 , 67 61

c 12 03 , 2 3 10 , 10 29 , 01 11

d 1 1 20 , 20 11 , 01 2 1 , 12 01

Onderzoek of de volgende elementen van de vectorruimte R, R2[ x ], +, met R2[ x ] de verzameling van de veeltermen met graad kleiner of gelijk aan 2, lineair afhankelijk of lineair onafhankelijk zijn.

a 3 x 2 , x 2 x ,2 x 2 + 1

b x 2 1, x 2 + x , x 2 2 x 3

c x 2 x + 1,2 x 2 + 3 x , x 2 + 4

d 2 x 2 + 3 x 4, x 2 + x + 3, x 2 + 14 x + 3

Voor welke waarde(n) van k ∈ R zijn de volgende vectoren van R, R3 , + lineair onafhankelijk ?

a (2,3,1), (1,6,1), (3, k ,0)

b ( 1,0,3), (2,1, 1), (0,2, k )

c (k , 1,4), (2, k , 1), (0, 1,1)

d (3, k , 2), (1, 3, k ), ( 1, 10,10)

Een lineaire combinatie van vectoren van een vectorruimte is opnieuw een vector van die vectorruimte. Bewijs.

Bewijs het kenmerk voor lineair onafhankelijke vectoren.

4 Opspanning van vectoren

1 Definitie

opspanning van vectoren in woorden :

Beschouweenvectorruimte R , , + eneeneindigaantalvectoren v1 , v2 ,..., vn ∈ .Deverzamelingvan allelineairecombinatiesvan v1 , v2 ,..., vn noemenwede opspanningvandevectoren v1 , v2 ,..., vn ennoterenwemetspan v1 , v2 ,..., vn . in symbolen : span v1 , v2 ,..., vn = r1 v1 + r2 v2 + ... + rn vn | r1 , r2 ,..., rn ∈ R

2 Eigenschappen

eigenschap 1

Zij R , , + eenvectorruimteen v1 , v2 ,..., vn ∈ ,dangeldt: R ,span v1 , v2 ,..., vn , + iseendeelruimtevan R , , +.

Bewijs :

Stel:span v1 , v2 ,..., vn =

Daarelkelineairecombinatievan v1 , v2 ,..., vn tot behoort,geldt ⊂

Ergeldt: v1 = 1 v1 + 0 v2 + ... + 0 vn ∈ .Bijgevolgis = ∅.

Volgenshetkenmerkvandeelvectorruimtenmoetenwenogaantonendat: ∀ r , s ∈ R , ∀ v , w ∈ : r v + s w ∈ Is v = k 1 · v1 + k 2 · v2 + + k n · vn (k i ∈ R ) en w = l 1 v1 + l 2 v2 + ... + l n vn (l i ∈ R )

Danis:

Hieruitvolgtdat r v + s w ∈

eigenschap 2

Zij R , , + eenvectorruimteen v1 , v2 ,..., vn ∈ en w 1 , w 2 ,..., w n ∈ ,dangeldt:

span v1 , v2 ,..., vn = span w 1 , w 2 ,..., w n

w 1 , w 2 ,..., w n ∈ span v1 , v2 ,..., vn en v1 , v2 ,..., vn ∈ span w 1 , w 2 ,..., w n

Taak: bewijs deze eigenschap.

3 Voorbeelden

Voorbeeld 1 :

Gegeven :

De vectorruimte R, R3 , + en de vectoren v1 =(3,0,1) en v2 =( 1,2,0) van R3 .

Gevraagd :

a Bepaal span v1, v2 .

b Ga na of de vectoren w 1 =(9, 6,2) en w 2 =(1,4,2) tot span v1, v2 behoren.

Oplossing :

a Eenlineairecombinatievan v1 en v2 kunnenwealsvolgtschrijven:

r1 v1 + r2 v2 = r1 (3,0,1)+ r2 ( 1,2,0)=(3 r1 r2 ,2 r2 , r1 ) waarbij r1 , r2 ∈ R

Zokunnenwedeopspanningvan v1 en v2 noterenals:

span v1, v2 = (3 r1 r2 ,2 r2 , r1 ) | r1 , r2 ∈ R

b w 1 =(9, 6,2) ∈ span v1, v2

3 r1 r2 = 9

⇐⇒∃ r1 , r2 ∈ R :

⇐⇒ r1 = 2

r2 = 3

2 r2 = 6 r1 = 2

w 2 =(1,4,2) ∈ span v1, v2

⇐⇒∃ r1 , r2 ∈ R : 

3 r1 r2 = 1 2 r2 = 4

r1 = 2

Ditiseenstrijdigstelsel,dus: w 2 =(1,4,2) / ∈ span v1, v2 .

Voorbeeld 2 :

Gegeven :

DedeelruimteW = ab a 2 b 2a + b | a , b ∈ R vandevectorruimte R , R 2×2 , +

Gevraagd :

Bepaal twee vectoren van R2×2 die deze deelruimte opspannen.

Oplossing :

W = ab a 2 b 2a + b | a , b ∈ R

= a 10 12 + b 01 21 | a , b ∈ R

= span 10 12 , 01 21

Voorbeeld 3 :

Gegeven :

De vectorruimte R, R4 , + en de vectoren

v1 =(1,2,4,6), v2 =(0,1,3,5), w 1 =(1,0, 2, 4), w 2 =( 2, 1,1,3) van R 4 .

Gevraagd :

Isspan v1, v2 = span w 1, w 2 ?

Oplossing :

w 1 =(1,0, 2, 4)=(1,2,4,6) 2 (0,1,3,5)

= v1 2 v2

w 2 =( 2, 1,1,3)= 2 · (1,2,4,6)+ 3 · (0,1,3,5) = 2 v1 + 3 v2

=⇒ w 1 , w 2 ∈ span v1 , v2

v1 =(1,2,4,6)= 3 · (1,0, 2, 4) 2 · ( 2, 1,1,3) = 3 w 1 2 w 2

v2 =(0,1,3,5)= 2 · (1,0, 2, 4) ( 2, 1,1,3)

= 2 · w 1 w 2

=⇒ v1 , v2 ∈ span w 1 , w 2

Endus:

span v1, v2 = span w 1 , w 2

4 Oefeningen

Gegeven :

Bepaal drie vectoren van R2×2 die deze deelruimte opspannen. 1 2 3 4 5

De vectorruimte R, R3 , + en de vectoren v1 =(2,0,3) en v2 =(3,1,2) van R3

Gevraagd : a Bepaal span v1, v2 . b Ga na of de vectoren w 1 =(1, 3,9) en w 2 =(0,2,5) tot span v1, v2 .behoren.

Gegeven :

De vectorruimte R, R3 , + en de vectoren v1 =(1,2,3) en v2 =(4, 2,1) van R3

Gevraagd : a Bepaal span v1, v2 b Ga na of de vectoren w 1 =(7,4,5) en w 2 =(5,0,4) tot span v1, v2 behoren.

Gegeven :

Devectorruimte R , R 2×2 , + endevectoren v1 = 12 00 , v2 = 10 30 en v3 = 10 0 1 van R 2×2 .

Gevraagd : a Bepaal span v1, v2 , v3

bGanaofdevectoren w 1 = 36 6 2 en w 2 = 32 01 totspan v1, v2 , v3 behoren.

Gegeven : Devectorruimte R , R 2×2 , + endevectoren v1 = 01 21 , v2 = 2 1 10 en v3 = 10 2 1 van R 2×2

Gevraagd : a Bepaal span v1, v2 , v3

bGanaofdevectoren w 1 = 36 43 en w 2 = 7 1 2 2 totspan v1, v2 , v3 behoren.

Gegeven :

DedeelruimteW = a + 2 b ca b + 2 c 2a + b + c 2a b c | a , b , c ∈ R vandevectorruimte R , R 2×2 , +.

Gevraagd :

Gegeven :

DedeelruimteW = (a , a 2 b , b ,2a + b ) | a , b ∈ R vandevectorruimte R , R 4 , +

Gevraagd :

Bepaal twee vectoren van R4 die deze deelruimte opspannen.

Gegeven :

Beschouwdevectorruimte R , R 3 , + endevectoren v1 =(4, 3,2), v2 =(3, 2,4), w 1 =(1,0,8), w 2 =(5, 4,0) van R 3

Gevraagd :

Isspan v1, v2 = span w 1, w 2 ?

Gegeven :

Beschouw de vectorruimte R, R2×2 , + en de vectoren v1 = 3 5 41 , v2 = 5 3 14 , w 1 = 2 14 18 4 , w 2 = 3 21 27 6 van R 2×2 .

Gevraagd :

Isspan v1, v2 = span w 1, w 2 ?

Bepaal de waarde(n) van k ∈ R zodat volgende uitspraken waar zijn.

a (4, 1, k ) ∈ span (5, 3,1), ( 3,2,4)

b (0,9, k ,8) ∈ span (2,1, 3,0), (7,5,0,2), (1,1,1,1)

Toonaandatals u ∈ span v ,danook v ∈ span u

Toonaandatals u ∈ span v , w nietnoodzakelijkgeldtdat v ∈ span u , w .

5 Voortbrengende deelverzameling

1 Definitie

voortbrengende deelverzameling

Een verzameling van vectoren uit waarvoor geldt span ( ) = noemen we een voortbrengende verzameling vectoren voor . is een voortbrengende deelverzameling van ⟺ span ( ) =

Dat betekent dus dat elke vector van geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de vectoren van

2 Voorbeelden

Voorbeeld 1:

Ga na of de deelverzameling W = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1) van R3 voortbrengend is of niet.

Oplossing :

We gaan na of een willekeurige vector ( a , b , c ) van R3 geschreven kan worden als een lineaire combinatie van vectoren uit W.

(a , b , c )= x (1,1,0)+ y (1,0,1)+ z (0,1,1)+

Besluit : De deelverzameling W = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1) van R3 is voortbrengend voor R3 .

Voortbrengende deelverzameling

Voorbeeld 2 :

GanaofdedeelverzamelingW = 10 02 , 11 13 , 12 24 , 03 31 van R 2×2 voortbrengendisofnietvoor R 2×2

Oplossing :

Wegaannaofeenwillekeurigevector ab cd van R 2×2 geschrevenkanwordenalseenlineairecombinatievan vectorenuitW.

ab cd = x 10 02 + y 11 13 + z 12 24 + t 03 31 x , y , z , t ∈ R

⇐⇒ ab cd = x + y + zy + 2 z + 3 t y + 2 z + 3 t 2 x + 3 y + 4 z + t

x + y + z = a

y + 2 z + 3 t = b

y + 2 z + 3 t = c

2 x + 3 y + 4 z + t = d

Wezienduidelijkdatals b en c verschillendzijn,ditstelselstrijdigisengeenoplossingenheeft. Erbestaandusvectoren ab cd van R 2×2 diegeenlineairecombinatiezijnvandevectorenuit dedeelverzamelingW.

3 Oefeningen

Ga na of de deelverzameling W van R3 voortbrengend is of niet voor R3

a W = (1,2,3), (3,4,5), (4,5,6)

b W = (3, 1,5), (5, 2,4), (1, 1,7)

c W = (1, 1,0), ( 1,2,1), (3,1, 1), (0,0,1)

Als we uit een voortbrengende deelverzameling van de reële vectorruimte R , , + de vectoren weglaten die lineaire combinaties zijn van de overige vectoren van de deelverzameling, dan blijft de nieuwe verzameling nog altijd een voortbrengende deelverzameling van R , , +. Bewijs dit. 1 2 3 4 5

Ga na of de deelverzameling W van R4 voortbrengend is of niet voor R4

a W = (1,0,0,0), (2,1,0,0), (3,2,1,0), (4,3,2,1)

b W = (1,0,1,0), (0,1,1,1), (1,1,0,0)

c W = (2,3,5,7), ( 3,5,7,0), ( 5,7,0,3), ( 7,0,3,5)

Ga na of de deelverzameling W van R2[ x ] voortbrengend is of niet voor R2[ x ]

a W = x 2 ,2 x ,4

b W = 2 x 2 x + 1, x 2 + 2 x , x 2 2

c W = x 2 2 x + 1, x 2 + 2 x + 1, x 2 1

Ga na of de deelverzameling W van C voortbrengend is voor R, C, +.

a W = 1, i

b W = 1,1 + i ,1 i

Basis en dimensie van een vectorruimte

1 Definities

basis in woorden :

Een deelverzameling B van wordt een basis genoemd als geldt :

• B is een deelverzameling van lineaire onafhankelijke vectoren ;

• wordt voortgebracht door B, m.a.w. span( B) = . in symbolen :

B = e 1 , e 2 ,..., e n ⊂ iseenbasisvan R , , +

1span (B)=

2 r1e 1 + r2e 2 + ... + rn e n = o =⇒ r1 = r2 = ... = rn = 0

De elementen van een basis worden basisvectoren genoemd.

Is een vectorruimte met een basis B die n elementen telt, dan noemen we n de dimensie van Notatie : dim( ) = n

Opmerkingen :

• Een deelverzameling van waarvan de vectoren lineair onafhankelijk zijn, noemen we een vrije deelverzameling van .

Zo krijgen we de volgende verkorte definitie van basis: basis

Biseenbasisvan R , , +

Biseenvrijeenvoortbrengendedeelverzamelingvan R , , +

• De nulvector kan niet tot een basis behoren.

2 Voorbeelden

Voorbeeld 1 :

Deverzamelingvectoren (1,0), (0,1) iseenbasisvoor R , R 2 , + want:

• (1,0) en (0,1) zijnlineaironafhankelijk

•∀ ( x , y ) ∈ R 2 : ( x , y )= x (1,0)+ y (0,1)

Hieruitvolgt:dim R 2 = 2

Voorbeeld 2 :

Deverzamelingvectoren (1, 2,0), (0,1,0), ( 1,0,1) iseenbasisvoor R , R 3 , + want:

• (1, 2,0), (0,1,0) en ( 1,0,1) zijnlineaironafhankelijk

•∀ ( x , y , z ) ∈ R 3 : (

Hieruitvolgt:dim R 3 = 3

Voorbeeld 3 :

Deverzamelingvectoren 00 01 , 10 02 , 21 04 , 01 10 iseenbasisvoor R , R 2×2 , + want:

• 00 01 , 10 02 , 21 04 en 01 10 zijnlineaironafhankelijk

•∀ xy zu ∈ R 2×2 : xy zu =( u 2

Hieruitvolgt:dim R 2×2 = 4

Voorbeeld 4:

Deverzamelingvectoren 1, x , x 2 iseenbasisvoor R , R 2 [ x ], + want:

• 1, x en x 2 zijnlineaironafhankelijk

•∀ax 2 + bx + c ∈ R 2 [ x ] : ax 2 + bx + c = a x 2 + b x + c 1

Hieruitvolgt:dim R 2 [ x ]= 3

Tegenvoorbeelden:

1 De verzameling vectoren ( 2,4,0), (1,0,0) is geen basis voor R, R3 , + De gegeven vectoren zijn wel lineair onafhankelijk, maar niet alle vectoren van R3 zijn er een lineaire combinatie van ( bijvoorbeeld ( 2, 1, 1)).

2 De verzameling vectoren 1,2 x , x 2 , x 2 3 is geen basis voor R, R2[ x ], +, want het zijn lineair afhankelijke vectoren :

x 2 – 3 = –3 1 + 0 2x + 1 x 2

3 Eigenschappen

eigenschap 1

In een n-dimensionale reële vectorruimte vormen n lineair onafhankelijke vectoren een basis van die vectorruimte.

Die eigenschap volgt onmiddellijk uit de definities van basis en dimensie. Ze biedt een andere manier om na te gaan of een stel vectoren een basis vormen.

eigenschap 2

In een reële vectorruimte kan t.o.v. een gegeven basis elke vector op juist één manier geschreven worden als lineaire combinatie van de basisvectoren.

Bewijs :

Wenoteren v ∈ optweemanierenalseenlineairecombinatievandebasisvectoren e

Hieruitvolgt:

Omdat e 1 , e 2 ,..., e n lineaironafhankelijkzijn,volgthieruitvolgenshetkenmerkvanlineaironafhankelijke vectoren:

k 1 l 1 = 0en k 2 l 2 = 0en...en k n l n = 0

k 1 = l 1 en k 2 = l 2 en...en k n = l n

Hetgaatdusomtweedezelfdelineairecombinaties.

4 Coördinaat van een vector t.o.v. een gegeven basis

Beschouwdevectorruimte R , , + metbasis e 1 , e 2 ,..., e n

Elkevector v van isopprecieséénmanierteschrijvenalseenlineairecombinatievandebasisvectoren: v = k 1 · e 1 + k 2 · e 2 + + k n · e n met k i ∈ R

Alswedebasisvectoreneenvastevolgordetoekennen,dannoemenwehetgeordend n -tal (k 1 , k 2 ,..., k n ) de coördinaatvan v t.o.v.degegevenbasis.

Notatie:co (v ) =(k 1 , k 2 ,..., k n )

Dus:

IsB = e 1 , e 2 ,..., e n eengeordendebasisvan R , , +,dangeldt:

v = k 1 e 1 + k 2 e 2 + ... + k n e n

co (v ) =(k 1 , k 2 ,..., k n )

Voorbeeld :

B = (1, 2,0), (0,1,0), ( 1,0,1) iseenbasisvan R , R 3 , + (zieblz.34) (2,5,1)= 3 (1, 2,0)+ 11 (0,1,0)+ 1 ( 1,0,1)

Hieruitvolgt:co (2,5,1)=(3,11,1) t.o.v.debasisB

5 Doorsnede van deelruimten

eigenschap

Zij R , , + een vectorruimte en en deelruimten van , dan is ∩ een deelruimte van .

Bewijs :

Zie opdracht 8 blz. 18.

Voorbeeld :

Beschouw de vectorruimte R, R3 , + en de deelruimten :

= span (1,2,0), (0,1,2)

= span (2,1, 4), (1,0,2)

Omeenbasisvandedoorsnedevan en tevinden,gaanwealsvolgttewerk.

Voorelkevector v ∈ R 3 geldt:

v ∈ ∩

⇐⇒ v ∈ en v ∈

⇐⇒∃ x , y ∈ R : v = x (1,2,0)+ y (0,1,2) en ∃ r , s ∈ R : v = r (2,1, 4)+ s (1,0,2)

⇐⇒∃ x , y , r , s ∈ R : v =( x ,2 x + y ,2 y )=(2 r + s , r , 4 r + 2 s )

⇐⇒∃ x , y , r , s ∈ R : 

x = 2 r + s 2 x + y = r 2 y = 4 r + 2 s ⇐⇒

x = 2 r + s y = 2 r + s 4 r + 2 s 2 r + s = r

x = 5 t

y = 7 t r = 3 t s = t ( t ∈ R )

Hieruitvolgt: v ∈ ∩ ⇐⇒∃ t ∈ R : v =( 5 t , 3 t ,14 t )

Dus: ∩ = span ( 5, 3,14) of ( 5, 3,14) iseenbasisvoor R , ∩ , +.

6 Som van deelruimten

som van deelruimten

Zij R , , + een vectorruimte en en deelruimten van . De som van en is de verzameling : + = u + w | u ∈ ∧ w ∈ .

Zij R , , + eenvectorruimteen en deelruimtenvan ,dangeldt:

• + iseendeelruimtevan ;

• + isdekleinstedeelruimtevan die ∪ omvat.

Voorbeeld :

Beschouw de vectorruimte R, R4 , + en de deelruimten :

= span (1,2,0,0), (0,1,2,0)

= span (0,1,1,0), (0, 2,1,0)

Danis + = span (1,2,0,0), (0,1,2,0), (0,1,1,0), (0, 2,1,0) .

Toonaandat (1,2,0,0), (0,1,2,0), (0,1,1,0) eenbasisisvan R , + , +

directe som van deelruimten in woorden :

Zij R , , + een vectorruimte en en deelruimten van De som + wordt een directe som genoemd als de doorsnede van die twee deelruimten alleen de nulvector omvat.

in symbolen : + iseendirectesom ⇐⇒ ∩ = o ⇐⇒ dim ( ∩ )= 0

notatie : + noterenweals ⊕

Voorbeeld :

In R , πO , + beschouwenwetweeverschillendegepunte rechten a O en bO .

Hiervoorgeldt: a O ∩ bO = o .Desomvan a O en bO isdus eendirectesom.

Wenemen e 1 ∈ a O en e 2 ∈ bO ,beideverschillend vandenulvector.

Danis: a O = span e 1 , bO = span e 2 en a O ⊕ bO = span e 1 , e 2

Ergeldtdusdat a O ⊕ bO = πO

Voorelkelement v ∈ πO geldtdus: v = x e 1 + y e 2 .

eigenschap

Elkevectorvaneendirectesom ⊕ kanopprecieséénmaniergeschrevenwordenalsdesomvan eenvectorvan eneenvectorvan .

Bewijs :

Steldat v ∈ + optweemanierengeschrevenkanwordenalseensomvaneenvectorvan eneenvector van v = u + w en v = u + w met u , u ∈ en w , w ∈

Hieruitvolgt:

u + w = u + w ⇐⇒ u u = w w ∈ ∩

Maar: ∩ = o =⇒ u = u en w = w

7 Dimensiestelling van Grassmann voor deelruimten

dimensiestelling van Grassmann

Als R , , + eeneindigdimensionalevectorruimteisen en deelruimtenzijnvan ,dangeldt: dim ( )+ dim ( )= dim ( + )+ dim ( ∩ )

Voorbeeld :

Beschouwindegepunteruimte R , O , + degepuntevlakken

αO en βO met αO ∩ βO = d O

Ergeldt:

αO + βO = O =⇒ dim (αO + βO )= 3 dim αO = dim βO = 2endim d O = 1 =⇒ dim (αO ∩ βO )= 1

Hieruitvolgt:

dim (αO + βO )= dim αO + dim βO dim (αO ∩ βO )

Dus:dim αO + dim βO = dim (αO + βO )+ dim (αO ∩ βO )

8 Supplementaire deelruimten

In een vectorruimte R , , + is de deelruimte een supplementaire deelruimte van de deelruimte als = ⊕ .

Voorbeeld 1:

Voor de vectorruimte R, R3 , + zijn de deelruimten = span (1,0,0), (0,1,0) en = span (0,0,1) supplementair.

Voorbeeld 2 :

De gepunte rechten aO en bO uit het voorbeeld van directe som (blz. 37) zijn supplementaire deelruimten van R, pO, +.

Voorbeeld 3 :

Beschouwin R , R 4 , + devolgendedeelruimten:

= (a , b ,0,0) | a , b ∈ R

= (0,0, c , d ) | c , d ∈ R

Hieruitvolgt: ∩ = (0,0,0,0) en ⊕ = R 4

Dus en zijnsupplementairedeelruimtenvan R , R 4 , +.

9 Samenvatting

• Je weet dat de elementen van een basis basisvectoren genoemd worden en je kunt de dimensie bepalen van een vectorruimte.

in woorden :

Een deelverzameling B van wordt een basis genoemd als geldt :

• B is een deelverzameling van lineaire onafhankelijke vectoren ;

• wordt voortgebracht door B, m.a.w. span( B) = in symbolen :

B = e 1 , e 2 ,..., e n ⊂ iseenbasisvan R , , +

1span (B)=

2 r1e 1 + r2e 2 + + rn e n = o =⇒ r1 = r2 = = rn = 0

• Je weet dat in een n-dimensionale reële vectorruimte n lineair onafhankelijke vectoren een basis vormen van die vectorruimte.

• Je weet dat in een reële vectorruimte t.o.v. een gegeven basis elke vector juist op één manier geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de basisvectoren.

• Je kunt de coördinaat bepalen van een vector t.o.v. een gegeven basis.

IsB = e 1 , e 2 ,..., e n eengeordendebasisvan R , , +,dangeldt:

v = k 1 e 1 + k 2 e 2 + ... + k n e n

co (v ) =(k 1 , k 2 ,..., k n )

• Je kent de definities van som (en directe som) van deelruimten. som van deelruimten

Zij R , , + een vectorruimte en en deelruimten van De som van en is de verzameling : + = u + w | u ∈ ∧ w ∈ .

directe som van deelruimten in woorden :

Zij R , , + een vectorruimte en en deelruimten van . De som + wordt een directe som genoemd als de doorsnede van die twee deelruimten alleen de nulvector omvat.

in symbolen : + iseendirectesom ⇐⇒ ∩ = o ⇐⇒ dim ( ∩ )= 0

notatie : + noterenweals ⊕

• Je weet dat elke vector van een directe som ⊕ op precies één manier kan geschreven worden als de som van een vector van en een vector van

• Je kent de dimensiestelling van Grassmann voor deelruimten.

Als R , , + eeneindigdimensionalevectorruimteisen en deelruimtenzijnvan ,dangeldt: dim ( )+ dim ( )= dim ( + )+ dim ( ∩ )

10

Oefeningen

Bepaal de dimensie van . 1 2 3 4 5 6 7

Als een basis van een reële vectorruimte n elementen telt, dan bestaat elke andere basis van die vectorruimte ook uit n elementen. Bewijs dit.

Ga na of de verzameling B een basis vormt voor R, R4 , +

a B = (2,1,0,3), (0, 3,1,2), ( 1,0,3, 2), (2,5,5,0)

b B = (1, 1,2, 2), (1,2, 1, 2), ( 2, 1,2,1), (1,1,2,2)

Ga na of de verzameling B een basis vormt voor R, R2[ x ], +

a B = x 2 + x 1, x 2 2 x + 1, x 2 + 3 x

b B = x 2 x + 4,3 x 2 2 x + 1,2 x 2 3 x + 19

Beschouw de vectorruimte R, R3×3 , + en de deelruimte bepaald door de 3 × 3-diagonaalmatrices.

a Bepaal een basis van . b Bepaal dim( )

Beschouw de vectorruimte R, R3 , + en de deelruimte = span (2,0, 5), (3,1,4), (1,1,9)

a Bepaal een basis van . b Bepaal dim( )

Beschouw de vectorruimte R, R2×2 , + en de deelruimte = span 1 3 52 , 31 4 1 , 1 7 65 , 55 3 4

a Bepaal een basis van . b Bepaal dim( ).

Gegeven is de vectorruimte R, R2×2 , + en de deelruimte

= a + b ca b + c a + b + ca b c | a , b , c ∈ R

Gegeven : De vectorruimte R, R5 , + De deelruimte = (a + d , b + d , a + c , b + d , a + c ) | a , b , c , d ∈ R .

Gevraagd: Bepaal de dimensie van

Bepaal in R , , + t.o.v. de gegeven basis de coördinaat van u .

a = R 3,basis: (1,0,0) , (1,1,0) , (1,1,1)

u =(1, 2,0)

b = R 2 [ x ],basis: 1,1 x , x 2 x + 1

u = 5 x 2 + 6 x 7

c = R 2×2,basis: 11 11 , 0 1 10 , 1 1 00 , 10 00

u = 6 3 13

Gegeven : De vectorruimte R, R3 , +.

Gevraagd: Bepaal een basis voor de deelruimte ∩

a = span (2,1,4) en = span (1,0,3), (3,1,0)

b = span (1,7,3), (1, 5,2) en = span (2,4,0), (2, 12,9)

Gegeven : Beschouw de vectorruimte R, R3 , +

Gevraagd: Bepaal een basis voor de deelruimte + .

a = span (2,1,4) en = span (1,0,3), (3,1,0)

b = span (2,0,3), (3,0,5) en = span (5,7,0), (1,1,4)

Gegeven : De vectorruimte R, R[ x ], + De deelruimten : = ax 2 + bx + c ∈ R [ x ] | a + b + c = 0 = span x 2 , x + 1

Gevraagd: Bepaal een basis van ∩

14 15 16 17 18

Gegeven : De vectorruimte R, R2 , + De deelruimten : = span (2,3) = span (3, 2)

Gevraagd:

a Toonaandat R , ∪ , + geendeelruimteisvan R , R 2 , +.

b Bepaaldim ( + )

Gegeven : De vectorruimte R, R4 , + De deelruimten : = span (3,0,1,1) = span (1,1,2,0), (2,1,0,3)

Gevraagd:

a Toonaandatdedeelruimte + eendirectesomis.

b Bepaaldim ( ⊕ )

Gegeven : De vectorruimte R, R4 , + De deelruimte = span (1,0,0,0), (1,1,0,0) .

Gevraagd: Bepaaleendeelruimte van R 4 zodat R 4 = ⊕

Gegeven : De vectorruimte R, R4 , + De deelruimte = span (2,5,1,0), (5, 1,0,3) .

Gevraagd: Bepaaleendeelruimte van R 4 zodat R 4 = ⊕

In R, R2×2 , + vormen de volgende deelverzamelingen een deelruimte. Geef voor elk geval de supplementaire deelruimte.

a k 0 0 l | k , l ∈ R

b kl m 0 | k , l , m ∈ R

In R, R3[ x ], + beschouwen we de deelruimten A en B met A = ax 3 + b | a , b ∈ R en B = cx 2 + dx | c , d ∈ R .

a Zijn A en B supplementaire deelruimten van R, R3[ x ], + ?

b Controleer de dimensiestelling van Grassmann.

Module vectorruimten

Ik ken de definitie van een reële vectorruimte (10 axioma’s).

Ik ken de rekenregels in een reële vectorruimte en kan ze toepassen.

Ik ken de definitie van een deel(vector)ruimte.

Ik ken het kenmerk voor deelruimten en kan die bewijzen.

Ik ken de definitie van een lineaire combinatie van vectoren.

Ik ken de definitie van lineair afhankelijke vectoren.

Ik ken het kenmerk van lineair afhankelijke vectoren en kan die bewijzen.

Ik ken de definitie en het kenmerk van lineair onafhankelijke vectoren.

Ik ken de definitie van de opspanning van vectoren.

Ik ken de eigenschappen van de opspanning van vectoren en kan ze bewijzen.

Ik ken de definitie van een voortbrengende deelverzameling van vectoren en kan ze toepassen.

Ik ken de definitie van basis en dimensie van een reële vectorruimte.

Ik ken de eigenschappen van basis en dimensie van een reële vectorruimte en kan ze bewijzen.

Ik kan de coördinaat van een vector t.o.v. een gegeven basis berekenen.

Ik ken de definities van een som en een directe som van deelruimten.

Ik ken de stelling van Grassmann voor deelruimten.

Ik ken de definitie van supplementaire deelruimten en kan ze toepassen.

4

9

15

15

19

20

20

22

25

25

30

33

35

35

37

38

38

Oplossingen

1 Reële vectorruimten (blz. 12)

8 b (a , b , c )

c (2,0, 2)

9 b ab cd

c 1 2 3 4

11 a d

12 a 4 · u

b 9 u v

c (k 2) u v

d 5 · u (3k + 7) · v

13 a 3 · u + 6 · v 2

b 3

2 (u v )

14 a 1

b ∅

c R

2 Deelruimten (blz. 17)

2 neen

3 deelruimte : a, b, d

4 deelruimte : a, b, d

5 deelruimte : a

6 deelruimte : a, c

7 deelruimte : a, c, d

3 Lineaire combinatie –lineaire (on)afhankelijke vectoren (blz. 24)

1 a 3 u 1 u 2 + 1 2 u 3 b 34 7 · u 1 + 13 7 · u 2 + 30 7 · u 3

2 a afhankelijk b onafhankelijk c onafhankelijk d afhankelijk

3 a onafhankelijk b afhankelijk

c afhankelijk d onafhankelijk

4 a onafhankelijk b afhankelijk c onafhankelijk d afhankelijk

5 a k ≠ –9 b k ≠ 10

c k ≠ –2 ∧ k ≠ 3

d k ≠ 4 ∧ k ≠ 16

4 Opspanning van vectoren (blz. 28)

1 a (2 r + 3 s , s ,3 r + 2 s )

b w 1 ∈ span v1 , v2 ; w 2 / ∈ span v1 , v2

2 a ( r + 4 s ,2 r 2 s ,3 r + s )

b w 1 / ∈ span v1 , v2 ; w 2 ∈ span v1 , v2

3 a r + s + t 2 r 3 s t

b w 1 ∈ span v1 , v2 ; w 2 / ∈ span v1 , v2

4 a 2 s + tr s 2 r s + 2 tr t

b w 1 / ∈ span v1 , v2 ; w 2 ∈ span v1 , v2

5 span 11 22 , 2 1 1 1 , 12 1 1

6 span (1,1,0,2), (0, 2,1,1)

7 ja

8 neen

9 a 33 b 75

5 Voortbrengende deelverzameling (blz. 32)

1 a niet voortbrengend

b voortbrengend

c voortbrengend

2 a voortbrengend

b niet voortbrengend

c voortbrengend

3 a voortbrengend

b voortbrengend

c voortbrengend

4 a voortbrengend

b voortbrengend

6 Basis en dimensie van een vectorruimte (blz. 40)

2 a geen basis b basis

3 a basis b geen basis

a

100 000 000

,

000 010 000

,

000 000 001

b 3 5 a (2,0, 5), (3,1,4) b 2 6 a 1 3 52 , 31 4 1 , 55 3 4 b 3 7 3 8 3

9 a ( 3, –2, 0)

b ( –1, –11, 5)

c ( 3, –4, 10, –7)

10 a ∩ = o

b (4, 8,9)

11 a (2,1,4), (1,0,3), (3,1,0)

b (2,0,3), (3,0,5), (1,1,4)

12 2 x 2 + x + 1 13 b 2 14 b 3 15 span (0,0,1,0), (0,0,0,1) 16 span (1,0,0,0), (0,1,0,0)

Trefwoordenregister

A associatief 4

B basis 33 basisvectoren 33 Bolzano 23

C commutatief 4 commutatieve groep 5

D deelruimte 15 dimensie van een vectorruimte 33 dimensiestelling van Grassmann 38 directe som van deelruimten 37 distributief 4

G gemengd associatief 4 gepunte rechte 8 gepunte ruimte 8 gepunt vlak 8 Grassmann 23, 38

I inwendig en overal gedefinieerd 4

L lineair afhankelijke vectoren 20 lineair onafhankelijke vectoren 22 lineaire combinatie 19

N neutraal element 4 nulruimte 12 nulvector 5

O opspanning van vectoren 25

P Peano 23 puntvector 8

R reële vectorruimte 4

S scalair 5 scalaire vermenigvuldiging 4 som van deelruimten 37 supplementaire deelruimte 38 symmetrisch element 4

T tegengestelde vector 5

V vector 5 voortbrengende deelverzameling 30 vrije deelverzameling 33

Auteurs Philip Bogaert, Filip Geeurickx, Marc Muylaert, Roger Van Nieuwenhuyze en Erik Willockx

Eerste druk 2024 - SO 2024/184 - Bestelnummer 94 505 0359

ISBN 978 90 4864 993 8 - KB D/2024/0147/234 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF

Foto’s Adobe stock, fotostock die Keure en auteurs - Lay-out en druk die Keure Verantwoordelijke uitgever N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge

Die Keure wil het milieu beschermen. Daarom kiezen wij bewust voor papier dat het keurmerk van de Forest Stewardship Council® (FSC®) draagt. Dit product is gemaakt van materiaal afkomstig uit goed beheerde, FSC®-gecertificeerde bossen en andere gecontroleerde bronnen.