འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སློབ་དེབ། རྩིས་རིག
(AB)2 + (BC)2 = (AC)2
འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སློབ་དེབ།
རྩིས་རིག
A
B
C
(AB)22 + (AB) + (BC) (BC)22 = = (AC) (AC)22
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས།
འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སློབ་དེབ།
རྩིས་རིག
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས།
བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་དང་པོ།
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་བ་དགུ་པ། དཔར་ཐེངས་དང་པོ། དཔར་གྲངས། ༡༠༠༠
Printed and Distributed by: Sherig Parkhang R-27 & 28, Ramesh Park Laxmi Nagar, New Delhi- 110092 Phone: 2245-3672
First Review September 2017 First Printing 1000 Copies
Copyright © 2017 Department of Education སྤྱི་ཁྱབ་འགན་འཛིན། རྩོམ་སྒྲིག་འགན་འཁུར། རྩོམ་སྒྲིག་པ། ཞུ་དག་པ།
དེབ་གཟུགས་ཇུས་འགོད།
བསྐྱར་ཞིབ་དང་གཏན་འབེབས་ཚོགས་མི།
བསོད་ནམས་བཟང་པོ།
ཤེས་ལྷན་ཟུང་དྲུང་།
ངག་དབང་རྡོ་རྗེ།
དྷ་ཤོད ་བོད ་ཁྱིམ་རྩིས་དགེ ་ ཟུར་པ།
བསྟན་འཛིན་རྡོ་རྗེ། པདྨ་རྒྱལ་མཚན།
ཚེ་རིང་བསམ་གྲུབ། བསོད་ནམས་བཟང་པོ། བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ། པདྨ་རྒྱལ་མཚན། བློ་བཟང་ལེགས་གྲུབ། བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།
དེང་སྲོལ་ཚན་པའི་འགན་འཛིན། སིམ་ལ་གཏན་སློབ་ཀྱི་རྩིས་དགེ།
བསོད་ནམས་རྒྱལ་པོ།
བོད་ཁྱིམ་ཨང་རྩིས་རྒྱུས་སྟོན་པ།
བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ།
ཨང་རྩིས་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
བློ་བཟང་བསྟན་འཛིན།
ཨང་རྩིས་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
སློབ་དེབ་འདི་ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱི་དྲ་ཚིགས་ www.sherig.org དང་ http://bodyiglobjong.com བརྒྱུད་ལྟ་ཀློག་ དང་ཕབ་ལེན་བྱེད་ཐུབ། Disclaimer This Mathematics textbook is made possible by the support of the American people through the United States Agency for International Development (USAID). The contents of this textbook are the sole responsibility of Department of Education, Central Tibetan Administration and do not necessarily reflect the views of USAID or the United States Government.
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས།
Department of Education Central Tibetan Administration
༄༅།
Cable : SHERIG Phone : 01892-222572 : 01892-222721 Fax : 01892-223481 Email : education@tibet.net Web : www.sherig.org : http://bodyiglobjong.com GANGCHEN KYISHONG DHARAMSALA - 176215 DISTT. KANGRA, H.P. INDIA
ཆེད་བརྗོད།
།སྤྱི་ནོར་༸གོང་ས་༸སྐྱབས་མགོན་ཆེན་པོ་མཆོག་གི་བཀའ་སློབ་ལམ་སྟོན་རིམ་ཕེབས་ཀྱི་དགོངས་དོན་ལྟར།
བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་སློབ་གྲྭ་ཁག་ཏུ་སློབ་ཚན་བརྒྱུད་ལམ་རང་སྐད་ཐོག་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་པའི་ལས་གཞི་དེ་བཞིན་བཙན་
བྱོལ་བོད་མིའི་བཅའ་ཁྲིམས་ཀྱི་དགོངས་དོན་ལྟར་ ༡༩༨༦ ལོ་ནས་བཟུང་འགོ་བཙུགས། ༡༩༩༩ ལོ་ནས་བཟུང་ད་བར་ འཛིན་རིམ་ལྔ་པ་བར་གྱི་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་བཞི་བྱས། ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༢ ནས་བཟུང་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་ཁང་ (NCERT) གིས་རྩོམ་སྒྲིག་དང་འགྲེམས་སྤེལ་ཞུས་པའི་འཛིན་རིམ་དྲུག་
པ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་གྱི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ཁག་འདི་ག་ལས་ཁུངས་ནས་རྩོམ་སྒྱུར་ཚོགས་ཆུང་ཆེད་བཙུགས་ཀྱིས་
བོད་སྒྱུར་འགྲེམས་སྤེལ་ཞུས་ཡོད།
ཐེངས་འདིའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ནི་ ༢༠༠༤ ལོར་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་གཞི་རིམ་ཤོས་ཡོན་
རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་འདི་སློབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་དུ་བགོས་ཡོད། སློབ་ཚན་དེ་དག་ནང་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་
སྲིད་བྱུས་ཀྱི་དགོངས་དོན་འོག་ ༢༠༠༨ ལོར་བཀའ་ཤག་གིས་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་རིག་བསླབ་ གཞིའི་རྩ་འཛིན་གྱི་འབྲུ་དོན་གཞི་རྩར་བཟུང་སྟེ་རྩོམ་སྒྲིག་བྱས་པ་ཡིན།
དང་བགོད་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་དང་། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ངོ་སྤྲོད། སྟོན་གྲངས། གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ། ཚབ་རྩིས་ལས་
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་འཐེན་དང་ཚུལ་གྱི་ཐང་འཚོལ་སྟངས། མཉམ་བྱ་འགྲོལ་སྟངས། ཟུར་གྱི་འབྲེལ་བ། གསེག་ ཐིག་གིས་གྲུབ་པའི་ཟུར། ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ཐིག་དང་དཔངས། པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་ གསུམ་མའི་ཆ་རྐྱེན། ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་སྟངས། ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ལས་ 3-D གཟུགས་ཀྱི་དྲ་བ་ དང་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་ རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ་ལས་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་དང་། གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་ རིས་བཅས་ཡོད། སློབ་དེབ་འདིའི་མཐའ་མཇུག་ལ་སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན་དང་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་ དེབ་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱས་པའི་ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཀྱི་ཤན་སྦྱར་ཡོད།
སློབ་དེབ་འདི་རྩོམ་སྒྲིག་སྐབས་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་ཁང་ནས་
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༧ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་དང་། འདི་ག་ཤེས་རིག་ལས་ཁུགས་ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༦ ལོར་བཏོན་
པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ། ཀེམ་བྷིར་ཇི་གཙུག་ལག་སློབ་ཁང་ (CAMBRIDGE UNIVERSITY) ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༣ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ།
སྔ་ཕྱིར་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་དགེ་ཁག་དང་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཚོགས་མི་
ལྷན་རྒྱས་ཀྱི་དགོངས་འཆར། དོ་དག་རམ ྩོ ་སྒྲིག་པ་གཞི་རིམ་བར་མའི་སབ ློ ་གྲྭ་ཁག་ལ་དངོས་བསྐྱོད་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པའི་
གྲུབ་དོན་བཅས་གཞི་རྩར་བཟུང་ཏེ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་བསྐོ་འཛུགས་གནང་བའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་རིག་ ཚོགས་ཆུང་གིས་མཐའ་མའི་བསྐྱར་ཞིབ་དང་སྦྲགས་གཏན་འབེབས་གནང་བ་ཡིན།
སློབ་དེབ་འདིའི་ཐད་རིན་ཐང་
ཅན་གྱི་དགོངས་འཆར་ལྷུག་སྩོལ་གནང་བར་དགའ་བསུ་ཞུ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་ ༩ ཚེས་ ༡ ལ།
དཀར་ཆག
སློབ་ཚན་དང་པོ། རིལ་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 1
སློབ་ཚན་གཉིས་པ། ལུགས་ལྡན་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 21
སློབ་ཚན་གསུམ་པ། སྟོན་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 39 སློབ་ཚན་བཞི་པ། གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 55
སློབ་ཚན་ལྔ་པ། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 72 སློབ་ཚན་དྲུག་པ། མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 93 སློབ་ཚན་བདུན་པ། ཟུར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 106
སློབ་ཚན་བརྒྱད་པ། ཟུར་གསུམ་མ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 129 སློབ་ཚན་དགུ་པ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 143
སློབ་ཚན་བཅུ་པ། བཀོད་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 162 སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ། ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 173 སློབ་ཚན་བཅུ་གཉིས་པ། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 188
སློབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་པ། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 212
སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 230 ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 244
སློབ་ཚན་དང་པོ།
རིལ་གྲངས།
༡་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་དང་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་འཐེན་སྦྱངས་ཡོད།
སློབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས། དེ་དག་གི་ཁྱད་ཆོས་ བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
དྲན་གསོ་བྱེད་ཀྱི་ཡིན།
སྔོན་ལ་ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་རིལ་གྲངས་སྦྱངས་པ་རྣམས་
−1
8 −9 −7 50 2 9 0 4 −36 66 −5
༡་༢ དྲན་གསོ། Recall
ང་ཚོས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གྲངས་མཚོན་སྟངས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐིག་སྟེང་རིལ་གྲངས་འགའ་ལ་ སྒོར་རྟགས་བརྒྱབ་ཡོད། −6
−5
−4
−3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
ཁྱེད་ཀྱིས་སར ྒོ ་རྟགས་བརྒྱབ་པའི་རིལ་གྲངས་རྣམས་འཕར་རིམ་བཞིན་འབྲི་ཐུབ་བམ། གྲངས་འདི་དག་འཕར་རིམ་བཞིན་ − 5, − 1, 3 བཅས་ཡིན།
གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐིག་ཐོག་གི་རིལ་གྲངས་རྣམས་ཆག་རིམ་བཞིན་བྲིས། −16
−9
−4
0
3
8
14
གྲངས་འདི་དག་ཆག་རིམ་བཞིན་ 14, 8, 3, 0, − 4, − 9, − 16 བཅས་ཡིན།
གཤམ་གྱི་བརྗོད་པ་རྣམས་བཀླགས་ཏེ་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། གྲངས་ཐིག་ཐོག (ཀ) རིལ་གྲངས་ཕོ་སྡོམ་སྐབས། ང་ཚོས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་དགོས།
(ཁ) རིལ་གྲངས་མོ་སྡོམ་སྐབས། ང་ཚོས་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་དགོས།
(ག) རིལ་གྲངས་ཕོ་འཐེན་སྐབས། ང་ཚོས་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་དགོས། (ང) རིལ་གྲངས་མོ་འཐེན་སྐབས། ང་ཚོས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་སྤོ་དགོས།
1
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
༡། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐིག་སྟེང་གི་གསལ་བྱེད་ཀྱིས་རིལ་གྲངས་མཚོན་གྱི་ཡོད། A B
C D
E
F
G H
I
J
K
L M N O
−3 −2
− 3 དང་ − 2 ཀྱིས་ E དང་ F སོ་སོར་མཚོན་གྱི་ཡོད། B དང་ D, H, J, M, O བཅས་ཀྱིས་
གང་མཚོན་ནམ།
༢། 7 དང་ − 5, 4, 0, − 4 བཅས་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ཏེ། དེ་དག་གྲངས་ཐིག་ཐོག་བྲིས།
༡་༣ རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of addition and subtraction of integers ༡་༣་༡ སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། ཁྱད་ཆོས།
བསྡུ་སྲོལ། བརྗེ་སྲོལ།
སྡེབ་སྲོལ།
དཔེ་མཚོན།
(− 3) + 6 = 3; 3 + (− 6) = − 3 ༡། (− 5) + 7 = 7 + (− 5) = 2
༢། (− 5) + (− 7) = (− 7) + (− 5) = − 12
༡། 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 = 6
༢། 1 + [(− 2) + 3] = [1 + (− 2)] + 3 =2
ཟུར་མཆན།
བསྡོམས་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
རིལ་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ་ལ་མ་ལྟོས་པར་ཕྱོགས་ གཉི ས ་ཀའི ་ བསྡོ མ ས་ཐོ བ ་གཅི ག ་མཚུངས་ ཡིན།
སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་གོ་རིམ་བརྗེས་ནའང་། བསྡོམས་ ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
རྩིས་དཔེ།
༡༽ གཤམ་གྱི་རྩིས་བརྗོད་རྣམས་འགྲིག་མིན་ལྟོས།
(ཀ) རིལ་གྲངས་ཕོ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་རིལ་གྲངས་ཕོ་འབྱུང་།
2
རིལ་གྲངས། (ཁ) རིལ་གྲངས་མོ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་རིལ་གྲངས་ཕོ་འབྱུང་།
(ག) རིལ་གྲངས་ཕོ་དང་རིལ་གྲངས་མོ་གཉིས་བསྡོམས་པ་ཡིན་ན། རིལ་གྲངས་མོ་འབྱུང་། (ང) རིལ་གྲངས་ 8 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ − 8 དང་། − 8 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ 8 ཡིན།
(ཅ) (− 10) + 3 = 10 − 3
(ཆ) 8 + (− 7) − (− 4) = 8 + 7 − 4
ལན།
(ཀ) འགྲིག དཔེར་ན། 56 + 73 = 129 དང་། 125 + 75 = 200 སོགས། (ཁ) (− 7) + (−5) = − 12 ནི་རིལ་གྲངས་མོ་ཡིན་པས། དེ་ནོར་ཡོད།
བརྗོད་པ་འགྲིག་པ་ནི། རིལ་གྲངས་མོ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་མོ་ཡིན།
(ག) − 9 + 15 = 6 ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན་པས། དེ་ནོར་ཡོད།
བརྗོད་པ་འགྲིག་པ་ནི། རིལ་གྲངས་ཕོ་དང་རིལ་གྲངས་མོ་སྡོམ་སྐབས། དེ་དག་གི་ཧེ་བག་བཙལ་ཏེ་རིལ་
གྲངས་ཆེ་བའི་རྟགས་འཇོག་དགོས། རིལ་གྲངས་ཆེ་བ་ནི་རིལ་གྲངས་ཀྱི་རྟགས་ལ་མ་ལྟོས་པར་ཐག་གཅོད་ དགོས།
དཔེར་ན། (− 56) + 73 = 17 དང་། 82 + (− 113) = − 31
(ང) འགྲིག དཔེར་ན། རིལ་གྲངས། 10 − 10 82 − 82
ལྡོག་གྲངས། − 10 10 − 82 82
+17
−17
−90
+ 90
(ཅ) དེ་ནོར་ཡོད། གང་ཡིན་ཟེར་ན། (− 10) + 3 = − 7 དང་། 10 − 3 = 7 དེར་བརྟེན།
(− 10) + 3 ≠ 10 − 3
དང་།
8 + 7 − 4 = 15 − 4 = 11
(ཆ) དེ་ནོར་ཡོད། གང་ཡིན་ཟེར་ན། 8 + (− 7) − (− 4) = 8 + (− 7) + 4 = 1 + 4 = 5
3
༡་༣་༢ འཐེན་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། ཁྱད་ཆོས།
རྩིས་རིག དཔེ་མཚོན།
༡། (− 3) − (6) = −9
བསྡུ་སྲོལ།
༢། 3 − (− 6) = 9
ཟུར་མཆན།
འཐེན་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
༡། 4 − 5 ≠ 5 − 4 དེ་ནི། − 1 ≠ 1 རིལ་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ་བརྗེས་པ་ཡིན་ན། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་འཐེན་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། ༢། 1 − (− 2) ≠ (− 2) − 1
བརྗེ་སྲོལ།
དེ་ནི། 3 ≠ − 3
སྡེབ་སྲོལ།
1 − (2 − 3) ≠ (1 − 2) − 3 དེ་ནི། 2 ≠ − 4
དེར་བརྟེན། a − b ≠ b − a
འཐེན་རྩིས་ཀྱི་གོ་རིམ་བརྗེས་པ་ཡིན་ན། འཐེན་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། a − (b − c) ≠ (a −b) − c
སེམས་ལ་ཞོག
• རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་དང་། བརྗེ་སྲོལ། སྡེབ་སྲོལ་བཅས་གནས་ཀྱི་ཡོད། • རིལ་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་མ་གཏོགས་བརྗེ་སྲོལ་དང་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད། རྩིས་དཔེ།
༢༽ རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 103 རེད། གལ་ཏེ་རིལ་གྲངས་གཅིག་ 37 ཡིན་ན། རིལ་གྲངས་གཞན་དེ་ ཚོལ།
ལན། འདིར། ང་ཚོས་མ་ཤེས་པའི་རིལ་གྲངས་འཚོལ་དགོས། གལ་ཏེ་དེ་ x ཡིན་ན། 37 + x = 103 x = 103 − 37 x = 66 དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་གཞན་ནི་ 66 ཡིན།
༣༽ 15 དང་ 6, − 10 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ 10 དང་ 7, − 3 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་འཐེན། ལན། 15 དང་ 6, − 10 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ = 15 + 6 + (− 10)
4
རིལ་གྲངས།
= 21 − 10 = 11 10 དང་ 7, − 3 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ = 10 + 7 + (− 3) = 17 − 3 = 14
དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་འཐེན་ཐོབ་ = 11 − 14 = − 3
༤༽ གཤམ་གསལ་ཐོབ་གྲངས་ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་བྲིས། (ཀ) བསྡོམས་ཐོབ་ 0
(ཁ) འཐེན་ཐོབ་ 0
(ཇ) བསྡོམས་ཐོབ་ནི་གྲངས་གཉིས་ཀ་ལས་ཆུང་བ།
(ཉ) འཐེན་ཐོབ་ནི་གྲངས་གཉིས་ཀ་ལས་ཆེ་བ།
(ག) བསྡོམས་ཐོབ་ཕོ་གྲངས་ཤིག
ལན།
(ཅ) བསྡོམས་ཐོབ་མོ་གྲངས་ཤིག
(ཀ) 5 དང་ − 5 ∴ 5 + (− 5) = 5 − 5 = 0
(ང) འཐེན་ཐོབ་ཕོ་གྲངས་ཤིག
(ཆ) འཐེན་ཐོབ་མོ་གྲངས་ཤིག
(ཁ) 7 དང་ 7 ∴ 7−7 =0 (ག) 3 དང་ 5 ∴ 3+5 =8
(ང) 3 དང་ − 6 ∴ 3 − (− 6) = 3 + 6 = 9
(ཅ) 2 དང་ − 6 ∴ 2 + (− 6) = 2 − 6 = − 4
(ཆ) − 9 དང་ − 4 ∴ − 9 − (− 4) = − 9 + 4 = − 5 (ཇ) − 2 དང་ − 1 ∴ − 2 + (− 1) = − 2 − 1 = − 3
(ཉ) − 2 དང་ − 3 ∴ − 2 − (− 3) = − 2 + 3 = 1
(− 3 ནི་ − 2 དང་ − 1 ལས་ཆུང་བ་ཡིན།)
(1 ནི་ − 2 དང་ − 3 ལས་ཆེ་བ་ཡིན།)
5
རྩིས་རིག
༡། འཐེན་རྩིས་རྒྱོབ།
(ཀ) 0 ནས་ − 48
སྦྱོང་ཚན། ༡་༡ (ཁ) − 67 ནས་ 0
(ག) 8 ནས་ − 42
(ང) − 30 ནས་ − 68
(ཅ) − 1009 ནས་ − 2009
(ང) 9 + 23 − (− 25)
(ཅ) 509 − (− 19) + (− 19)
༢། རྩིས་འབྲས་ཚོལ།
(ཀ) 24 + (− 6)
(ཆ) − 5700 ནས་ 5700
(ཁ) 15 − (− 20)
(ག) − 25 − (− 25) + 5
(ཁ) − 125
(ག) 0
༣། ཐོབ་གྲངས་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་བྲིས། (ཀ) + 100
༤། གཤམ་གྱི་འཐེན་ཐོབ་ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་མོ་ཆ་རེ་བྲིས། (ཀ) 15
(ཁ) − 50
(ཆ) (30 + 10) − (40 − 20)
(ག) 25
༥། 237 ནས་ 38 དང་ 97 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་འཐེན།
༦། − 34 དང་ − 49 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ − 48 འཐེན།
༡་༤ རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས། Multiplication of Integers
༡་༤་༡ རིལ་གྲངས་ཕོ་དང་མོའི་སྒྱུར་རྩིས། Multiplication of a positive and a negative integers ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ནི་སྡོམ་རྩིས་བསྐྱར་ཟློས་ཡིན་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། 5 × 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
གྲངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྟོན་ཐུབ།
དཔེར་ན། (− 5) + (− 5) + (− 5) = − 15 −20
−15
−10
−5
རྩིས་དང་།
གྲངས་ཐིག་སྤྱད་དེ་ཚོལ།
དེར་བརྟེན། (− 5) + (− 5) + (− 5) = 3 × (− 5) = − 15 དེ་བཞིན།
6
(− 2) + (− 2) + (− 2) =
(ཀ) 4 × (− 3)
0
(ཁ) 3 × (− 8)
(ག) 8 × (− 2)
=
(− 7) + (− 7) + (− 7) + (− 7) =
(− 3) + (− 3) + (− 3) + (− 3) + (− 3) =
= =
རིལ་གྲངས།
གལ་ཏེ་ 3 × (− 5) ཐབས་ལམ་གཞན་སྤྱད་དེ་བཙལ་ན། 3 དང་ 5 གཉིས་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འཐེན་རྟགས་བྲིས།
ཁྱེད་ལ་ − 15 འབྱུང་། དེ་ནི།
ཚོལ།
− (3 × 5) = − 15
(ཀ) 12 × (− 10)
དེ་བཞིན། 5 × − 4 = − (5 × 4) = − 20 3×−7 =
(ཁ) 21 × (− 32)
=
(ག) (− 42) × 12
− 6 × 5 = − (6 × 5) = − 30 − 9 × 10 =
(ང) − 55 × 15
=
རྟགས་མི་མཐུན་པའི་གྲངས་གཉིས་སྒྱུར་སྐབས་ལྟོས་མེད་ཐང་གཉིས་བསྒྱུར་ནས། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་མོ་གྲངས་འབྱུང་། a × (− b) = (− a) × b = −(a × b)
༡་༤་༢ རིལ་གྲངས་མོ་གཉིས་སྒྱུར་བ། Multiplication of two negative integers ཁྱེད་ཀྱིས་ (− 3) × (− 2) ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་འཚོལ་ཐུབ་བམ། (− 3) × (− 2) = 6
འདིར་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 6 ཡིན།
(− a) × (− b) = a × b
རྩིས་དཔེ།
༥༽ རྩིས་འབྲས་ཚོལ། (ཀ) (− 4) × (− 5) ལན།
(ཁ) (− 25) × (− 50)
(ཀ) 4 དང་ 5 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 20 རེད།
(ག) (− 31) × (− 110)
(ང) (− 83) × (− 28)
(− 4) × (− 5) = 20
(ཁ) 25 དང་ 50 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 1250 རེད།
(− 25) × (− 50) = 1250 (ག) 31 དང་ 110 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 3410 རེད། (− 31) × (− 110) = 3410
(ང) 83 དང་ 28 ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 2324 རེད། (− 83) × (− 28) = 2324
7
རྩིས་རིག སེམས་ལ་ཞོག
• རྟགས་མཐུན་རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན། • རྟགས་མི་མཐུན་རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་མོ་ཡིན།
དགོས་མཁོ།
བྱེད་སྒོ།
(ཀ) དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་རིལ་གྲངས་ − 104 ནས་ 104 བར་ཡོད་པའི་ཤོག་བྱང་།
(ཁ) ཤོ་སྔོན་པོ་དང་དམར་པོ་འགའ་དགོས། ཤོ་སྔོན་པོས་རིལ་གྲངས་ཕོ་དང་ཤོ་དམར་པོས་རིལ་གྲངས་མོ་མཚོན། བྱེད་ཐབས།
(༡) དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་ཕྲུག་རྣམས་སྡེ་ཚན་སོ་སོར་བགོ་དགོས། (༢) རྩེད་མོ་བ་རེ་རེ་ཡིས་ཤོ་གཉིས་རེ་བླངས་ཏེ་གཡུག་དགོས།
(༣) ཤོ་གཡུགས་རྗེས། རྩེད་མོ་བས་ཤོ་མིག་སྟེང་གི་གྲངས་རྣམས་བསྒྱུར་དགོས།
(༤) གལ་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན་ན་རྩེད་མོ་བས་ 0 ནས་ 104 ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་བསྐྱོད་པ་དང་། བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གྲངས་མོ་ཡིན་ན་ 0 ནས་ − 104 ཕྱོགས་སུ་བསྐྱོད་དགོས།
(༥) རྩེད་མོ་བ་སུས་ 104 ལ་དང་པོ་སླེབས་ན། དེ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
8
རིལ་གྲངས། 104 83 82 61 60 39 38 17 16 −5 −6 −27 −28 −49 −50 −71 −72 −93 −94
103 84 81 62 59 40 37 18 15 −4 −7 −26 −29 −48 −51 −70 −73 −92 −95
102 85 80 63 58 41 36 19 14 −3 −8 −25 −30 −47 −52 −69 −74 −91 −96
101 86 79 64 57 42 35 20 13 −2 −9 −24 −31 −46 −53 68 −75 −90 −97
100 87 78 65 56 43 34 21 12 −1 −10 −23 −32 −45 −54 −67 −76 −89 −98
99 98 88 89 77 76 66 67 55 54 44 45 33 32 22 23 11 10 0 1 −11 −12 −22 −21 −33 −34 −44 −43 −55 −56 −66 −65 −77 −78 −88 −87 −99 −100
97 90 75 68 53 46 31 24 9 2 −13 −20 −35 −42 −57 −64 −79 −86 −101
༡་༤་༣ རིལ་གྲངས་མོ་གསུམ་མམ་ཡང་ན་དུ་མའི་བསྒྱུར་ཐོབ།
96 91 74 69 52 47 30 25 8 3 −14 −19 −36 −41 −58 −63 −80 −85 −102
95 92 73 70 51 48 29 26 7 4 −15 −18 −37 −40 −59 −62 −81 −84 −103
94 93 72 71 50 49 28 27 6 5 −16 −17 −38 −39 −60 −61 −82 −83 −104
Product of three or more negative integers
ང་ཚོས་རིལ་གྲངས་མོ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད།
རིལ་གྲངས་མོ་བཞིའི་བསྒྱུར་ཐོབ་གང་ཡིན་ནམ། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། ༡། (− 4) × (− 3) = 12
བྱས་ན་རིལ་གྲངས་མོ་གསུམ་དང་
༢། (− 4) × (− 3) × (− 2) = [(− 4) × (− 3)] × (− 2) = 12 × (− 2) = − 24
༣། (− 4) × (− 3) × (− 2) × (− 1) = [(− 4) × (− 3) × (− 2)] × (− 1) = − 24 × − 1 = 24 ༤། (− 5) × [(− 4) × (− 3) × (− 2) × (− 1)] = (− 5) × 24 = − 120
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ (༡) དང་ (༣) ནང་། རིལ་གྲངས་མོའི་གྲངས་ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པས། དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཕོ་ གྲངས་ཡིན།
9
རྩིས་རིག
དཔེ་མཚོན་ (༢) དང་ (༤) ནང་རིལ་གྲངས་མོའི་གྲངས་ནི་
ཡ་གྲངས་ཡིན་པས། དེ་དག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་མོ་གྲངས་ཡིན། གོང་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལས་ང་ཚོས་དོ་སྣང་བྱུང་བ་ལ།
(ཀ) རིལ་གྲངས་མོ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཕོ་གྲངས་ཡིན།
(ཁ) རིལ་གྲངས་མོ་གསུམ་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་མོ་གྲངས་ཡིན། (ག) རིལ་གྲངས་མོ་བཞི་ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ཕོ་གྲངས་ཡིན། (ང) རིལ་གྲངས་མོ་ལྔའི་བསྒྱུར་ཐོབ་གང་ཡིན་ནམ།
(ཅ) རིལ་གྲངས་མོ་དྲུག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་གང་ཡིན་ནམ།
གཤམ་གྱི་རྩིས་བརྗོད་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། ༡། (− 1) × (− 1) = 1 ༢། (− 1) × (− 1) × (− 1) = − 1
༣། (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) = 1
༤། (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) = − 1 སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་ (− 1) གི་གྲངས་ནི་ཆ་གྲངས་ ཡིན་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ 1 རེད། གལ་ཏེ་ (− 1) གི་ གྲངས་ནི་ཡ་གྲངས་ཡིན་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ (− 1) རེད།
གལ་ཏེ་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ནང་རིལ་གྲངས་མོའི་གྲངས་ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན། གལ་ཏེ་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ནང་རིལ་གྲངས་མོའི་གྲངས་ནི་ཡ་གྲངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་དེ་རིལ་གྲངས་མོ་ཡིན།
༡་༥ རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of multiplication of integers ༡། བསྡུ་སྲོལ། Closure property
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས།
རྩིས་བརྗོད།
(− 20) × (− 5) = 100 (− 15) × 17 = − 255 (− 30) × 12 = (− 25) × (− 15) = 12 × (− 30) =
རྗེས་དཔག
བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན། བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གྲངས་ཡིན།
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་རིལ་གྲངས་ཁོ་ན་འབྱུང་།
གལ་ཏེ་ a དང་ b རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a × b ཡང་རིལ་གྲངས་ཡིན།
༢། བརྗེ་སྲོལ། Commutative property
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས།
10
རིལ་གྲངས། རྩིས་བརྗོད་ ༡
རྩིས་བརྗོད་ ༢
3 × (− 4) = − 12
(− 4) × 3 = − 12
(− 20) × 12 =
12 × (− 20) =
(− 15) × (− 10) = 150
(− 10) × (− 15) = 150
(− 35) × (− 12) =
(− 12) × (− 35) =
རྗེས་དཔག
3 × (− 4) = (− 4) × 3
=
(− 19) × 0 = =
(− 1) × (− 15) =
རིལ་གྲངས་སྒྱུར་སྐབས་སྒྱུར་གྲངས་རྣམས།། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ནི་འགྱུར་བ་མེད།།
གོ་རིམ་ཇི་ལྟར་བརྗེས་གྱུར་ཀྱང་།།
དེས་ན། a དང་ b རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a × b = b × a
༣། སྡེབ་སྲོལ། Associative property − 3 དང་། − 2, 5 ལ་དཔེ་བཞག་ན།
གནས་སྟངས་ ༡ : [(− 3) × (− 2)] × 5 = 6 × 5 = 30
གནས་སྟངས་ ༢ : (− 3) × [(− 2) × 5] = (− 3) × (− 10) = 30 དེས་ན། གནས་སྟངས་གཉིས་ཀའི་བསྒྱུར་ཐོབ་གཅིག་པ་ཡིན།
དེར་བརྟེན། [(− 3) × (− 2)] × 5 = (− 3) × [(− 2) × 5] གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གྱི་ལན་བྲིས། (ཀ) [(7) × (− 6)] × 4 =
×4=
(ཁ) 7 × [(− 6) × 4] = 7 ×
=
(ག) [(7) × (− 6)] × 4 = 7 × [(− 6) × 4] རེད་དམ། (ང) [(− 5) × (− 9)] × 6 =
×6=
(ཅ) (− 5) × [(− 9) × 6] = 6 ×
=
(ཆ) [(− 5) × (− 9)] × 6 = (− 5) × [(− 9) × 6] རེད་དམ། གྲངས་གསུམ་སྒྱུར་སྐབས་ཐོག་མ་རུ།། ཡང་ན་གྲངས་ཀ་ཕྱི་མ་གཉིས།།
སྔ་མ་གཉིས་ཀ་བསྒྱུར་བ་འམ།།
བསྒྱུར་ཀྱང་བསྒྱུར་ཐོབ་མི་འགྱུར་རོ།།
a × (b × c) = (a × b) × c
11
རྩིས་རིག
རྩིས་དཔེ།
༦༽ བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) (− 18) × (− 10) × 9
(ཁ) (− 20) × (− 2) × (− 5) × 7
(ག) (− 1) × (− 5) × (− 4) × (− 6)
ལན། (ཀ) (− 18) × (− 10) × 9 = [(− 18) × (− 10)] × 9 = 180 × 9 = 1620
(ཁ) (− 20) × (− 2) × (− 5) × 7 = − 20 × (− 2 × − 5) × 7 = (− 20 × 10) × 7 = (− 200) × 7 = − 1400
(ག) (− 1) × (− 5) × (− 4) × (− 6) = [(− 1) × (− 5)] × [(− 4) × (− 6)] = 5 × 24 = 120 ༤། ཀླད་ཀོར་དང་སྒྱུར་བ། Multiplication by zero
ང་ཚོས་ཧྲིལ་གྲངས་ཤིག་དང་ཀླད་ཀོར་བསྒྱུར་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀླད་ཀོར་ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དང་ཀླད་ཀོར་གྱི་སྒྱུར་རྩིས་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ) (− 3) × 0 = 0 (ག) 55 × 0 =
(ཁ) 0 × 4 = 0
གཤམ་གསལ་རིལ་གྲངས་
(ང) 0 × (− 69) =
རིལ་གྲངས་གང་ཞིག་ཀླད་ཀོར་དང་།།
བསྒྱུར་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀླད་ཀོར་ཡིན།།
0×a=a×0=0
༥། སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ངོ་བོ། Multiplicative identity
གཤམ་གྱི་རིལ་གྲངས་དང་ 1 གི་སྒྱུར་རྩིས་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ) (−3) × 1 = − 3
(ག) (− 4) × 1 = − 4 (ཅ) 1 × (− 59) =
(ཇ) 1 × (− 100) =
(ཁ) 1 × 5 = 5 (ང) 1 × 8 =
(ཆ) 25 × 1 = (ཉ) 99 × 1 =
རིལ་གྲངས་གང་ཞིག་གྲངས་གཞན་དང་།། སྒྱུར་ཚེ་རིལ་གྲངས་རང་ཉིད་ཐོབ།། 1×a=a×1=a
12
༦། བགོ་སྲོལ། Distributive property
རིལ་གྲངས།
གཤམ་གསལ་ལ་ལྟོས་དང་།
(ཀ) (− 2) × (3 + 5) = (− 2) × 8 = − 16
[(− 2) × 3] + [(− 2) × 5] = (− 6) + (− 10) = − 16 དེར་བརྟེན། (− 2) × (3 + 5) = [(− 2) × 3] + [(− 2) × 5]
(ཁ) (− 4) × [(− 2) + 7] = (− 4) × 5 = − 20
[(− 4) × (− 2)] + [(− 4) × 7] = 8 + (− 28) = − 20
དེར་བརྟེན། (− 4) × [(− 2) + 7] = [(− 4) × (− 2)] + [(− 4) × 7]
(ག) (− 8) × [(− 2) + (− 1)] = (− 8) × (− 3) = 24
[(− 8) × (− 2)] + [(− 8) × (− 1)] = 16 + 8 = 24
དེར་བརྟེན། (− 8) × [(− 2) + (− 1)] = [(− 8) × (− 2)] + [(− 8) × (− 1)] གྲངས་གཉིས་བསྡོམས་པའི་བསྡོམས་ཐོབ་ལ།། གྲངས་གཉིས་སོ་སོར་བསྒྱུར་ཟིན་རྗེས།།
རིལ་གྲངས་གཞན་གྱིས་བསྒྱུར་བ་ནི།།
བསྒྱུར་ཐོབ་ལྷན་ཅིག་བསྡོམས་དང་མཚུངས།།
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
བགོ་སྲོལ་བེད་སྤྱོད་བྱས་འདུག་གམ།
(ཀ) 3 × [(− 10) + 4] = 3 × (− 10) + 3 × 4
(ཁ) 10 × [6 + (− 2)] = 10 × 6 + 10 × (− 2)
(ག) (− 15) × [(− 7) + (− 1)] = (− 15) × (− 7) + (− 15) × (− 1)
གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། (༡) 4 × (3 − 8) = (4 × 3) − (4 × 8) རེད་དམ། 4 × (3 − 8) = 4 × (− 5) = − 20
(4 × 3) − (4 × 8) = 12 − 32 = − 20 དེར་བརྟེན། 4 × (3 − 8) = (4 × 3) − (4 × 8)
(༢) (− 5) × [(− 4) − (− 6)] = [(− 5) × (− 4)] − [(− 5) × (− 6)] རེད་དམ། (− 5) × [(− 4) − (− 6)] = (− 5) × 2 = − 10
[(− 5) × (− 4)] − [(− 5) × (− 6)] = 20 − 30 = − 10
13
རྩིས་རིག
དེར་བརྟེན། (− 5) × [(− 4) − (− 6)] = [(− 5) × (− 4)] − [(− 5) × (− 6)] གྲངས་གཉིས་འཐེན་པའི་འཐེན་ཐོབ་ལ།། གྲངས་གཉིས་སོ་སོར་བསྒྱུར་ཟིན་རྗེས།།
རིལ་གྲངས་གཞན་གྱིས་བསྒྱུར་བ་ནི།།
བསྒྱུར་ཐོབ་ལྷན་ཅིག་འཐེན་དང་མཚུངས།།
a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
བགོ་སྲོལ་བེད་སྤྱོད་བྱས་འདུག་གམ།
(ཀ) 10 × [6 − (− 2)] = 10 × 6 − 10 × (− 4) རེད་དམ།
རྩིས་དཔེ།
(ཁ) (− 15) × [(− 7) − (− 1)] = (− 15) × (− 7) − (− 15) × (− 1) རེད་དམ།
༧༽ བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ།
(− 30) × [13 + (− 3)] = [(− 30) × 13] + [(− 30) × (− 3)]
ལན། (− 30) × [13 + (− 3)] = (− 30) × 10 = − 300
[(− 30) × 13] + [(− 30) × (− 3)] = − 390 + 90 = − 300 དེར་བརྟེན། (− 30) × [13 + (− 3)] = [(− 30) × 13] + [(− 30) × (− 3)]
༨༽ བགོ་སྲོལ་སྤྱད་དེ་རྩིས་འབྲས་ཚོལ། (ཀ) − 42 × 1001
ལན།
(ཁ) (− 19) × (− 68)
(ཀ) − 42 × 1001 = − 42 × (1000 + 1) = (− 42 × 1000) + (− 42 × 1)
= − 42000 − 42
= − 42042 (ཁ) (− 19) × (− 68) = (− 20 + 1) × (− 68) = (− 20 × − 68) + (1 × − 68) = 1360 − 68 = 1292
14
(བགོ་སྲོལ་ལས།)
(བགོ་སྲོལ་ལས།)
རིལ་གྲངས།
སྦྱོང་ཚན། ༡་༢
༡། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) 7 × (− 1)
(ག) (− 316) × (− 1)
(ཅ) (− 15) × 0 × (− 18)
(ཇ) (− 12) × (− 11) × (− 10)
(ཏ) (− 1) × (− 2) × (− 3) × 4
༢། བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ།
(ཁ) (− 2) × 225
(ང) (− 21) × (− 30)
(ཆ) 9 × (− 3) × (− 6)
(ཉ) (− 18) × (− 5) × (− 4)
(ཐ) (− 3) × (− 6) × (− 2) × (− 1)
(ཀ) 18 × [7 + (− 3)] = [18 × 7] + [18 × (− 3)]
(ཁ) (− 21) × [(− 4) + (− 6)] = [(− 21) × (− 4)] + [(− 21) × (− 6)]
༣། (ཀ) རིལ་གྲངས་ a ལ། (− 1) × a གང་རེད་དམ།
(ཁ) བསྒྱུར་ཐོབ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྱུང་བར། (− 1) ལ་རིལ་གྲངས་གང་གིས་བསྒྱུར་དགོས། (༡) − 22
(༢) 37
༤། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) − 8 དང་། 1
(༣) 0
(ཁ) 16 དང་། − 6
(ག) − 25 དང་། 5
(ང) − 199 དང་། − 10
(ཀ) 7 × (50 − 2)
(ཁ) 26 × (− 48) + (− 48) × (− 36)
༥། ཁྱད་ཆོས་རན་པོར་བེད་སྤྱད་དེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ག) 8 × 53 × (− 125) (ཅ) (− 41) × 102
(ང) 15 × (− 25) × (− 4) × (− 10)
(ཆ) 625 × (− 35) + (− 625) × 65
(ཇ) (− 17) × (− 29)
(ཉ) (− 57) × (− 19) + 57
(ཀ) (− 3) ×
(ཁ) 5 ×
༦། བར་སྟོང་སྐོངས། (ག)
= 27
× (− 8) = − 56
(ང)
= − 35 × (− 12) = 132
15
རྩིས་རིག
༡་༦ རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས། Division of integers
བགོད་རྩིས་ནི་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ལུགས་ལྡོག་ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། 2 × 3 = 6 གི་བགོད་རྩིས་རྣམ་པ་ནི་ 6 ÷ 2 = 3 དང་། 6 ÷ 3 = 2 རེད། གཤམ་གསལ་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་བརྗོད།
དེ་དང་མཚུངས་པའི་བགོད་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་བརྗོད།
2 × (− 6) = (− 12)
(− 12) ÷ (− 6) = 2
;
(− 12) ÷ 2 = (− 6)
(− 4) × 5 = (− 20)
(− 20) ÷ 5 = (− 4)
;
(− 20) ÷ (− 4) = 5
(− 8) × (− 9) = 72
72 ÷
;
72 ÷
= ÷ (− 3) =
(− 3) × (− 7) =
;
(− 8) × 4 =
;
5 × (− 9) =
;
(− 10) × (− 5) =
;
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་ང་ཚོར་དོ་སྣང་བྱུང་བ་ནི།
གནས་སྟངས་དང་པོ། དཔེར་ན། (ཀ) (− 12) ÷ 2 = (− 6)
(ག) (− 20) ÷ 5 = (− 4) (ཅ) (− 32) ÷ 4 = (− 8)
(ཁ) 21 ÷ (− 3) = (− 7)
(ང) 50 ÷ (− 5) = (− 10)
(ཆ) 72 ÷ (− 8) = (− 9)
རྟགས་མི་མཐུན་པའི་གྲངས་གཉིས་བགོད་སྐབས། བགོས་ཐོབ་ཏུ་མོ་གྲངས་བྲིས།
ལྟོས་མེད་ཐང་གཉིས་བགོས་ཏེ།
a ÷ (−b) = (−a) ÷ b འདིར། b ≠ 0
གནས་སྟངས་གཉིས་པ། དཔེར་ན། (ཀ) (− 12) ÷ (− 6) = 2
(ག) (− 32) ÷ (− 8) = 4
རྟགས་མཐུན་པའི་གྲངས་གཉིས་བགོད་སྐབས། བགོས་ཐོབ་ཏུ་ཕོ་གྲངས་བྲིས།
(ཁ) (− 20) ÷ (− 4) = 5
(ང) (− 45) ÷ (− 9) = 5
ལྟོས་མེད་ཐང་གཉིས་བགོས་ཏེ།
(+ a) ÷ (+ b) = (− a) ÷ (− b) = a ÷ b འདིར། b ≠ 0
16
=
རིལ་གྲངས།
རྩིས་དང་།
(ཀ) (− 32) ÷ 2
(ཁ) (− 100) ÷ 5
(ག) 64 ÷ (− 16)
(ཅ) 125 ÷ (− 25)
(ཇ) (− 201) ÷ (− 3)
(ང) 80 ÷ (− 5)
(ཆ) (− 36) ÷ (− 4)
(ཉ) (− 325) ÷ (− 13)
༡་༧ རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of division of integers ༡། བསྡུ་སྲོལ། Closure property
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ཏེ་ཁ་སྐོངས། རྩིས་བརྗོད།
(− 8) ÷ (− 4) = 2 (− 4) ÷ (− 8) = − 4 −8
རྗེས་དཔག
རྩིས་བརྗོད།
−8 3 བགོས་ཐོབ་རིལ་གྲངས་མ་རེད། 3 ÷ (− 8) = 3 −8 བགོས་ཐོབ་རིལ་གྲངས་རེད།
(− 8) ÷ 3 =
རྗེས་དཔག
a དང་ b རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a ÷ b ནི་རིལ་གྲངས་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད།
དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
༢། བརྗེ་སྲོལ། Commutative Property
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད། དེ་རིལ་གྲངས་སྐབས་གནས་ཀྱི་ཡོད་དམ། དཔེར་ན། (− 8) ÷ (− 4) = 2 དང་། (− 4) ÷ (− 8) = 0.5 དེར་བརྟེན། (− 8) ÷ (− 4) ≠ (− 4) ÷ (− 8) a དང་ b རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a ÷ b ≠ b ÷ a
དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་སུའང་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
༣། སྡེབ་སྲོལ། Associative property
[(− 16) ÷ 4] ÷ (− 2) = (− 16) ÷ [4 ÷ (− 2)] རེད་དམ།
ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། [(− 16) ÷ 4] ÷ (− 2) = (− 4) ÷ (− 2) = 2 དང་།
(− 16) ÷ [4 ÷ (− 2)] = (− 16) ÷ (− 2) = 8
དེས་ན། [(− 16) ÷ 4] ÷ (− 2) ≠ (− 16) ÷ [4 ÷ (− 2)]
དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད།
17
རྩིས་རིག
༤། རིལ་གྲངས་ a ལ། a ÷ 0 ནི་གོ་དོན་མེད། འོན་ཀྱང་ 0 ÷ a = 0, a ≠ 0 ༥། རིལ་གྲངས་ཤིག་ལ་ 1 གིས་བགོས་ན་རིལ་གྲངས་རང་ཉིད་འབྱུང་། གཤམ་གསལ་ཁ་སྐོངས། (− 8) ÷ 1 = (− 8)
(− 11) ÷ 1 = (− 11)
(− 99) ÷ 1 = (− 99)
(− 25) ÷ 1 =
(− 77) ÷ 1 =
(− 500) ÷ 1 =
དེ་ནི་རིལ་གྲངས་ a ལ། a ÷ 1 = a ཡིན།
༦། རིལ་གྲངས་ཤིག་ལ་ (−1) གིས་བགོས་ན་གང་འབྱུང་ངམ། ཁ་སྐོངས།
(− 8) ÷ (− 1) = 8
11 ÷ (− 1) = (− 11)
(− 25) ÷ (− 1) =
77 ÷ (− 1) =
99 ÷ (− 1) = (− 99) (− 500) ÷ (− 1) =
རིལ་གྲངས་ཤིག་ལ་ (−1) གིས་བགོས་ན། བགོས་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་དེའི་ལྡོག་གྲངས་ཡིན།
དེར་བརྟེན། a ÷ (− 1) = − a ཡིན། རྩིས་དཔེ།
༩༽ བགོས་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) 0 ÷ (−100)
(ང) (−42 + 52) ÷ 0
ལན།
(ཁ) (−417) ÷ (−3)
(ཅ) 85 ÷ (7 − 2)
(ག) (−84) ÷ 84
(ཆ) (−8 + 15) ÷ (− 4 − 3)
(ཀ) ཀླད་ཀོར་ལ་གྲངས་ཤིག་གིས་བགོས་ན། བགོས་ཐོབ་ཏུ་ཀླད་ཀོར་འབྱུང་། དེར་བརྟེན། 0 ÷ (− 100) = 0 (ཁ) (− 417) ÷ (− 3) = 139 (ག) (− 84) ÷ 84 = − 1
(ང) གྲངས་ཤིག་ལ་ཀླད་ཀོར་གྱིས་བགོས་ན་གོ་དོན་མེད། དེས་ན། 52 ÷ 0 ལ་གོ་དོན་མེད། (ཅ) 85 ÷ (7 − 2) = 85 ÷ 5 = 17
(ཆ) (− 8 + 15) ÷ (− 4 − 3) = 7 ÷ (− 7) = − 1
༡༠༽ ཡིག་ཚད་ཅིག་གི་ནང་ལན་འགྲིག་པ་རེར་ཨང་ཀི་ (+ 5) ཐོབ་པ་དང་ལན་ནོར་བ་རེར་ཨང་ཀི་ (− 2) ཐོབ་ ཀྱི་ཡོད།
(ཀ) དཔལ་མོས་དྲི་བ་ཆ་ཚང་ལ་ལན་འདེབས་བྱས་ཀྱང་ལན་ 10 ལས་འགྲིག་མེད། གལ་ཏེ་མོས་ཨང་ཀི་ 30 བླངས་ཡོད་ན། ལན་ག་ཚོད་ནོར་ཡོད་དམ།
18
རིལ་གྲངས། ལན། ལན་འགྲིག་པ་རེ་ལ་སྤྲད་པའི་ཨང་ཀི་ = 5
དེས་ན། ལན་ 10 འགྲིག་པ་ལ་སྤྲད་པའི་ཨང་ཀི་ = 5 × 10 = 50 དཔལ་མོའི་ཨང་ཐོབ་ = 30
ལན་ནོར་བ་ལ་ཐོབ་པའི་ཨང་ཀི་ = 30 − 50 = − 20 ལན་ནོར་བ་རེ་ལ་སྤྲད་པའི་ཨང་ཀི་ = − 2
དེར་བརྟེན། ལན་ནོར་བའི་གྲངས་ = (− 20) ÷ (− 2) = 10
(ཁ) ཆོས་འཕེལ་གྱིས་དྲི་བ་ཆ་ཚང་ལ་ལན་འདེབས་བྱས་ཀྱང་ལན་ 16 ནོར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོས་ཨང་ཀི་ − 12 བླངས་ཡོད་ན། ལན་ག་ཚོད་འགྲིག་ཡོད་དམ།
ལན། ལན་མི་འགྲིག་པ་ 16 ལ་སྤྲད་པའི་ཨང་ཀི་ = − 2 × 16 = − 32 ཆོས་འཕེལ་གྱི་ཨང་ཐོབ་ = − 12
ལན་འགྲིག་པ་ལ་ཐོབ་པའི་ཨང་ཀི་ = −12 − (− 32) = 20 ལན་འགྲིག་པ་རེ་ལ་སྤྲད་པའི་ཨང་ཀི་ = 5
དེར་བརྟེན། ལན་འགྲིག་པའི་གྲངས་ = 20 ÷ 5 = 4
སྦྱོང་ཚན། ༡་༣
༡། རྩིས་འབྲས་ཚོལ།
(ཀ) (− 30) ÷ 10
(ཁ) 0 ÷ (− 12)
(ང) (− 49) ÷ (− 49)
(ཇ) (9 + 6 − 12 − 3) ÷ (− 48)
༢། ཁ་སྐོངས།
(ཀ) 369 ÷
(ག) (− 205) ÷
(ཅ)
(ཇ)
= 369
=1 ÷ 1 = (− 103) ÷ (− 48) = 2
(ཅ) 13 ÷ [(− 2) + 1]
(ག) 36 ÷ (− 9)
(ཆ) (12 + 9) ÷ (− 9 ÷ 3)
(ཉ) [(− 36) ÷ 12] ÷ 3 (ཁ) 20 ÷
(ང) (− 97) ÷
(ཆ)
(ཉ) 200 ÷
= (− 2) = (− 1)
÷ 4 = (− 3) = (− 50)
༣། a ÷ b = − 3 ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་ (a, b) ཡི་ཆ་ལྔ་བྲིས། དེ་འདྲའི་ཆ་གཅིག་ནི་ (6, − 2) རེད། གང་ཡིན་ ཟེར་ན། 6 ÷ (− 2) = − 3
19
རྩིས་རིག
༤། ཚོང་བདག་གིས་པར་སྒྲོམ་ 15 བཙོངས་ཏེ་ཁེ་ ` 2250 བླངས་ཡོད་ན། པར་སྒྲོམ་རེ་ལ་ཁེ་ག་ཚོད་བྱུང་བ་ཚོལ།
༥། ཉིན་གུང་ཆུ་ཚོད་ 12 ལ་དྲོད་ཚད་ཀླད་ཀོར་ལས་ 10oC མཐོ་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་མཚན་གུང་བར་ཆུ་ཚོད་རེ་ལ་དྲོད་ ཚད་ 2oC ཆག་གི་ཡོད་ན། ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ཐོག་དྲོད་ཚད་ཀླད་ཀོར་ལས་ 8oC དམའ་བ་ཆགས་ཀྱི་རེད་དམ།
མཚན་གུང་ལ་དྲོད་ཚད་ག་ཚོད་ཆགས་ཀྱི་རེད་དམ། ༡། རིལ་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། ཁྱད་ཆོས།
བསྡུ་སྲོལ། བརྗེ་སྲོལ།
སྡེབ་སྲོལ།
སྡོམ་རྩིས།
དྲན་གསོ་གྱིས།
འཐེན་རྩིས།
སྒྱུར་རྩིས།
བགོད་རྩིས།
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། ' ' ཡིས་རྩིས་ཐབས་སོ་སོའི་སྐབས་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་དང་། '' ཡིས་ རྩིས་ཐབས་སོ་སོའི་སྐབས་གནས་ཀྱི་མེད་པ་མཚོན་གྱི་ཡོད།
༢། ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་མོ་གྲངས་ཡིན། འོན་ཀྱང་། ཕོ་གྲངས་གཉིས་སམ་མོ་གྲངས་ གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཕོ་གྲངས་ཡིན།
དཔེར་ན། − a × b = − ab དང་། − a × (− b) = ab, a × b = ab
༣། རིལ་གྲངས་མོའི་གྲངས་ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན། ཡིན་ནའང་། རིལ་ གྲངས་མོའི་གྲངས་ནི་ཡ་གྲངས་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རིལ་གྲངས་མོ་ཡིན།
༤། རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྣོན་རྩིས་ཀྱི་ངོ་བོ་དང་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་ངོ་བོ་ནི་ 0 དང་ 1 སོ་སོར་ཡིན། དཔེར་ན། a + 0 = a དང་ a × 1 = a
༥། རིལ་གྲངས་ a དང་ b, c སྐབས་བགོ་སྲོལ་ནི། a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
༦། ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་ཀྱི་བགོས་ཐོབ་ནི་མོ་གྲངས་ཡིན། ༧། མོ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བགོས་ཐོབ་ནི་ཕོ་གྲངས་ཡིན། ༨། རིལ་གྲངས་ a ལས།
(ཀ) a ÷ 0 ལ་གོ་དོན་མེད། (ཁ) a ÷ 1 = a
20
སློབ་ཚན་གཉིས་པ།
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
༢་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་གྲངས་ཆ་དང་། སིལ་གྲངས། རང་བྱུང་གྲངས། ཧྲིལ་གྲངས། རིལ་གྲངས་སོགས་སྦྱངས་ཡོད།
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་གྲངས་ཀྱི་ལུགས་གསར་པ་ཞིག་ངོ་སྤྲོད་བྱ་རྒྱུ་ཡིན། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ (Rational number) ཡིན། འདིར་ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་གོ་དོན་དང་། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་དང་མོ། གྲངས་ཐིག་ཐོག་
ལུགས་ལྡན་གྲངས་མཚོན་སྟངས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་བསྡུར་བ། ལུགས་ལྡན་ གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༢་༢ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་དགོས་པ། Need for rational numbers
ད་སྔ་ང་ཚོས་གྲངས་ཤིག་གི་ལྡོག་ཕྱོགས་མཚོན་པར་རིལ་གྲངས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད། དཔེར་ན།
• གལ་ཏེ་གནས་ཤིག་གི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་བར་ཐག་ 3 km ནི་ 3 གྱིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། གནས་དེའི་གཡོན་ཕྱོགས་ སུ་བར་ཐག་ 3 km ནི་ − 3 གྱིས་མཚོན་ཐུབ།
• གལ་ཏེ་ཁེ་ ` 150 ནི་ 150 ཡིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། གྱོང་ ` 100 ནི་ − 100 ལྟར་འབྲི་ཆོག −3 3 • གལ་ཏེ་རྒྱ་མཚོ་ལས་ 750 m མཐོ་བ་ནི་ 4 ཡིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། རྒྱ་མཚོ་ལས་ 750 m དམའ་བ་ནི་ 4 ཡིས་མཚོན་ཐུབ། −3 ནི་རིལ་གྲངས་དང་གྲངས་ཆ་གཉིས་ཀ་མིན། དེར་བརྟེན། དེ་འདྲ་བའི་གྲངས་འཚུད་པའི་ 4 ཆེད་དུ་གྲངས་ལུགས་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱ་དགོས།
༢་༣ ལུགས་ལྡན་གྲངས། Rational numbers
'Rational' ནི་ཐ་སྙད་ 'ratio' ལས་བྱུང་བ་རེད། ཁྱེད་ཀྱི་ཤེས་གསལ་ལ་སྡུར་ཚད་ 3:2 ནི་ 3 ལྟར་འབྲི་ཆོག འདིར། 2 p 3 དང་ 2 གཉིས་རང་བྱུང་གྲངས་ཡིན། དེ་བཞིན། རིལ་གྲངས་ p དང་ q (q ≠ 0) གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ p:q ནི་ q
21
རྩིས་རིག
ལྟར་འབྲི་ཆོག ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་འདི་ལྟར་མཚོན་དགོས།
p རིལ་གྲངས་ p དང་ q ལས་ q ≠ 0 ཡིན་པའི་གྲངས་ q ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཟེར།
དཔེར་ན། 4 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། འདིར། p = 4 དང་ q = 5 5 −3 ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། p = − 3 དང་ q = 4 བཅས་རིལ་གྲངས་རེད། 4 • གྲངས་ཆ་ 3 , 4 , 1 2 སོགས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 5 8 3 • སིལ་གྲངས་ 0.5, 3.2 སོགས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། དེ་དག་རེ་རེ་བཞིན་གྲངས་ཆའི་ཐོག་བྲིས་ན། 32 5 0.5 = 10 དང་ 3.2 = 10 ལྟ་བུ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། • རིལ་གྲངས་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། རེད། དཔེར་ན། རིལ་གྲངས་ − 5 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
རྒྱུ་མཚན་ནི། −5 ལྟར་འབྲི་ཆོག 1 0 0 རིལ་གྲངས་ 0 ནི་ 0 = 2 ཡང་ན་ 9 ལྟར་འབྲི་ཆོག དེར་བརྟེན། རིལ་གྲངས་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
མཆན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནང་རིལ་གྲངས་དང་གྲངས་ཆ་ཚུད་ཡོད།
༡། 4 ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། −5 ༢། ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་བྲིས།
༢་༣་༡ བུ་ཆ་དང་མ་ཆ། Numerator and denominator p ལུགས་ལྡན་གྲངས་ q ནང་རིལ་གྲངས་ p ནི་བུ་ཆ་དང་རིལ་གྲངས་ q ནི་མ་ཆ་རེད། དེས་ན། −3 ནང་ − 3 བུ་ཆ་དང་ 7 མ་ཆ་རེད། 7 གཤམ་གསལ་བརྗོད་པ་ལྟར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་རེ་བྲིས། (ཀ) བུ་ཆ་མོ་གྲངས་དང་མ་ཆ་ཕོ་གྲངས།
(ཁ) བུ་ཆ་ཕོ་གྲངས་དང་མ་ཆ་མོ་གྲངས།
(ག) བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ཀ་མོ་གྲངས། (ང) བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ཀ་ཕོ་གྲངས།
22
ལུགས་ལྡན་གྲངས། སེམས་ལ་ཞོག
• • • • •
རང་བྱུང་གྲངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། ཧྲིལ་གྲངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། རིལ་གྲངས་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། གྲངས་ཆ་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། ལུགས་ལྡན་གྲངས་འགའ་ཤས་རིལ་གྲངས་དང་གྲངས་ཆ་གཉིས་ཀ་མ་ཡིན་པའང་ཡོད། དཔེར་ན། −3 , 10 སོགས། 5 −15 5 32 • སིལ་གྲངས་འགའ་ཤས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། དཔེར་ན། 0.6 = 10 , 0.32 = 100 ༢་༣་༢ འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གྲངས། Equivalent rational numbers
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་འདྲ་མིན་བེད་སྤྱད་དེ་འབྲི་ཐུབ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ −2 ལ་དཔེ་བཞག་ན། 3 −2 −2 × 2 −4 −2 −4 3 = 3 × 2 = 6 དེས་ན་ 3 དང་ 6 གཅིག་པ་ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། 10 10 −2 (−2) × (−5) དེས་ན། −2 དང་ −15 གཉིས་ཀྱང་གཅིག་པ་ཡིན། = = −15 3 × (−5) 3 3
དེར་བརྟེན། −2 = −4 = 10 བཅས་ལ་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཟེར། 6 −15 3 −10 དང་ 10 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་ནམ། −15 15
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་རིལ་ གྲངས་གཅིག་པས་བསྒྱུར་པ་ཡིན་ན། ང་ཚོར་ཤེས་ཟིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་
ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཐོབ་ཀྱི་རེད།
དེ་ནི་འདྲ་མཚུངས་གྲངས་ཆ་འཚོལ་བ་དང་གཅིག་པ་ཡིན།
སྒྱུར་རྩིས་ལྟར།
བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་ཀླད་ཀོར་མ་ཡིན་པའི་རིལ་གྲངས་
སྒམ་ཆུང་ནང་སྐོངས།
(༡) 5 = = 25 = −15 4 16 (༢) −3 = = 9 = −6 14 7
གཅིག་པས་བགོས་ན་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཐོབ། དཔེར་ན།
10 ÷ (−5) −2 10 −12 −12 ÷ 12 −1 = −15 −15 ÷ (−5) = 3 ; 24 = 24 ÷ 12 = 2
ང་ཚོས་ −2 ལ་ − 2 དང་། 10 ལ་ − 10 སོགས་ལྟར་འབྲི་ཆོག −15 3 3 15
23
རྩིས་རིག
༢་༤ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་དང་མོ། Positive and negative rational numbers ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚང་མ་ཕོ་གྲངས་སམ་ཡང་ན་མོ་གྲངས་རེད།
༢་༤་༡ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ། Positive rational numbers −p p གལ་ཏེ་ p དང་ q གཉིས་ཀ་ཕོ་གྲངས་ཡང་ན་མོ་གྲངས་ཡིན་ན། q དང་ −q གཉིས་ཀ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་ཡིན། དཔེར་ན། 1 , −5 , 3 , 15 , −30 སོགས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་ཡིན། 2 −7 8 13 −58 ༢་༤་༢ ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ། Negative rational numbers p −p གལ་ཏེ་ p དང་ q ལས་གཅིག་མོ་གྲངས་ཡིན་ན། q དང་ −q གཉིས་ཀ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་ཡིན། དཔེར་ན། −1 , 5 , −3 , −15 , 30 སོགས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་ཡིན། 2 −7 8 13 −58 ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་ངོས་ཟུངས། (༡) −2 3
(༢) 5 7
(༣) 3 −5
(༥) 6 13
(༤) 0
(༦) −9 −150
༢་༥ གྲངས་ཐིག་ཐོག་ལུགས་ལྡན་གྲངས། Rational numbers on a number line
རིལ་གྲངས་ལྟར་གྲངས་ཐིག་ཐོག་ 0 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་གྲངས་རྣམས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་དང་། གཡོན་ཕྱོགས་
སུ་ཡོད་པའི་གྲངས་རྣམས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་ཡིན།
− 1 གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན་ན། − 1 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་ཡིན་པས་དེ་ 0 གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་འབྲི་དགོས། ལུགས་ 2 2 ལྡན་གྲངས་ 1 དང་ − 1 ནི་ 0 ནས་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 1 ནི་ 0 དང་ 1 གི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ 2 2 2 ཡོད། དེས་ན། − 1 ནི་ 0 དང་ −1 གི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 −1
−1 2
0
1 2
1
གྲངས་ཐིག་ཐོག་ 3 མཚོན་ན། དེ་ 0 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་འབྲི་བ་དང་། 1 དང་ 2 ཀྱི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 − 3 ནི་ 0 གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པ་དང་། − 1 དང་ − 2 ཀྱི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 −1 , −2 (= − 1) , −3 , −4 (= − 2) སོགས་ཆག་རིམ་བཞིན་བྲིས་ཡོད། དེ་ནི། −3 ནི་ − 1 དང་ − 2 ཀྱི་དབར་ 2 2 2 2 2
24
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
ལ་ཡོད་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། −3 ནི་ −1 དང་ −2 ཀྱི་དབར་བར་ཐག་མཉམ་པ་ལ་ཡོད། 2 −4 = (−2) −3 2 2
−2 = (−1) −1 2 2
0 = (0) 2
1 2
2 = (1) 2
3 2
4 = (2) 2
༢་༦ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ཚད་ལྡན་རྣམ་པ། Rational numbers in standard form
ལུགས་ལྡན་གྲངས་རྣམས་ལ་ལྟོས་དང་། 3 , −5 , 2 , −7 , 23 5 8 9 11 31 ལུགས་ལྡན་གྲངས་འདི་དག་གི་མ་ཆ་ཕོ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 1 ཡིན། དོ་སྣང་བྱ་དགོས་པ་ཞིག་ལ། མོ་གྲངས་ནི་བུ་ཆ་ཁོ་ན་ལ་མ་གཏོགས་མེད།
མ་ཆ་ཕོ་གྲངས་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བསྡུས་ཤོས་ལ་ཚད་ལྡན་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཟེར། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་མ་ ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 1 ལས་མེད་ན། དེ་ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བསྡུས་ཤོས་ཟེར། རྩིས་དཔེ།
༡༽ ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་སྒྱུར།
(ཀ) −45 30 ལན།
(ཁ) 36 −24
(ག) −3 −15
(ཀ) 45 དང་ 30 ཡི་ HCF ནི་ 15 ཡིན།
དེར་བརྟེན། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀ་ལ་ 15 ཡིས་བགོ་དགོས།
−45 = −45 ÷ 15 = −3 30 ÷ 15 2 30
དེས་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ་བཟོ་བར། དེའི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་ལ་དེ་དག་གི་ HCF ཡིས་བགོ་
དགོས། གལ་ཏེ་མ་ཆ་མོ་རྟགས་ཡིན་ན། '− HCF' ཡིས་བགོ་དགོས། (ཁ) 36 དང་ 24 ཡི་ HCF ནི་ 12 ཡིན།
དེར་བརྟེན། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀ་ལ་ − 12 ཀྱིས་བགོ་དགོས།
36 = 36 ÷ (−12) = −3 −24 (−24) ÷ (−12) 2
25
རྩིས་རིག (ག) 3 དང་ 15 ཡི་ HCF ནི་ 3 ཡིན།
(−3) ÷ (−3) དེར་བརྟེན། −3 = = 1 −15 (−15) ÷ (−3) 5
ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་སྒྱུར། (༡) −12 18
(༢) −18 45
(༣) −240 −840
༢་༧ ལུགས་ལྡན་གྲངས་སྡུར་བ། Comparison of rational numbers
ང་ཚོས་རིལ་གྲངས་གཉིས་དང་ཡང་ན་གྲངས་ཆ་གཉིས་ཀྱི་ཆེ་ཆུང་སྡུར་སྟངས་སྦྱངས་ཟིན། འདིར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ གཉིས་སྡུར་སྟངས་སྦྱང་གི་ཡིན།
• ལྷ་མོས་ −1 དང་ −1 གྲངས་ཐིག་ཐོག་བསྡུར་བ་རེད། མོས་གྲངས་ཐིག་སྟེང་ −1 དང་ −1 གཤམ་གསལ་ལྟར་ 2 5 2 5 བྲིས་པ་རེད། −1
0 −1 −5 2 = 10
1
−1 −2 5 = 10
−1 ནི་ −1 གི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། −1 −1 ཡང་ན། −1 −1 5 2 5 > 2 2 < 5 གནས་སྟངས་ ༡ གལ་ཏེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་རྟགས་ལྡོག་པ་ཡིན་ན། དེ་ནི་མོ་གྲངས་གཅིག་དང་ཕོ་གྲངས་གཅིག་
ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀྱི་ཆེ་ཆུང་གསལ་པོ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། མོ་གྲངས་ནི་ཀླད་ཀོར་གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་
ཡོད་པ་དང་ཕོ་གྲངས་ནི་ཀླད་ཀོར་གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་ནི་རྟག་ ཏུ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་ལས་ཆུང་བ་ཡིན། དཔེར་ན། − 2 < 1 5 2
གནས་སྟངས་ ༢ གལ་ཏེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་རྟགས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། དེ་ནི་གྲངས་གཉིས་ཀ་ཕོ་གྲངས་ཡང་ན་ མོ་གྲངས་ཡིན་ན། གཤམ་གྱི་གནས་སྟངས་གཉིས་འབྱུང་སྲིད།
(ཀ) གལ་ཏེ་མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་ན། བུ་ཆ་གཉིས་བསྡུར་ཏེ་བུ་ཆ་ཆུང་བ་ཡོད་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ དེ་ཆུང་བ་རེད། དཔེར་ན། −5 < −2 དང་ −9 < −6 7 15 15 7
26
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
(ཁ) གལ་ཏེ་མ་ཆ་གཅིག་པ་མ་ཡིན་ན། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་ LCM བཙལ་ཏེ་མ་ཆ་གཅིག་པ་ བཟོ་དགོས། དེ་ནས་ (ཀ) ལྟར་མུ་མཐུད་དེ་འཚོལ་དགོས།
དཔེར་ན། −2 དང་ −1 སྡུར། 5 3 −2 = −2 × 5 = −10 དང་། −1 = −1 × 3 = −3 བཟོས་རྗེས། 3 5 × 3 15 3×5 15 5
ང་ཚོས་ −10 དང་ −3 བསྡུར་དགོས། 15 15 འདིར། − 10 < − 3 ཡིན་པས། −10 < −3 ཡིན། 15 15 དེ་ནི། −2 < −1 ཡིན། 3 5 རྩིས་དཔེ།
༢༽ ལུགས་ལྡན་གྲངས་རྣམས་སྡུར། (ཀ) −3 དང་ 2 5 7 ལན།
(ཁ) −3 དང་ 2 7 −5
(ཀ) མོ་གྲངས་ < ཕོ་གྲངས།
(ག) 6 དང་ −13 −18 −5
དེར་བརྟེན། −3 < 2 7 5 (ཁ) −3 དང་ 2 7 −5 7 དང་ 5 ཡི་ LCM ནི་ 35 རེད།
དེར་བརྟེན། −3 = −3 × 5 = −15 དང་། 2 = −2 = −2 × 7 = −14 5 5×7 7 7×5 35 −5 35 འདིར། −15 < −14 ཡིན་པས། −15 < −14 ཡིན། དེ་ནི། −3 < 2 ཡིན། 35 35 7 −5 (ག) 6 = −6 (ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ།) དང་། −13 = 13 (ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ།) −18 18 5 −5 མོ་གྲངས། < ཕོ་གྲངས། དེར་བརྟེན། −6 < −13 ཡང་ན། 6 < −13 5 −18 −5 −18
27
རྩིས་རིག
༢་༨ ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས། Rational numbers between two rational numbers
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ −3 དང་ −1 ལ་དཔེ་བཞག་ན། ང་ཚོས་དེ་གཉིས་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་འཚོལ་ཐུབ། 3 5 ཐོག་མར་མ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་ LCM བཙལ་ཏེ་མ་ཆ་འདྲ་མཚུངས་བཟོ་དགོས། 5 དང་ 3 གྱི་ LCM ནི་ 15 ཡིན། དེས་ན། −3 = −3 × 3 = −9 དང་། −1 = −1 × 5 = −5 5 5 × 3 15 3 3 × 5 15 ང་ཚོས་མཐོང་གསལ་ལ། −9 དང་ −5 དབར་ −9 < −8 < −7 < −6 < −5 བཅས་ཡོད། 15 15 15 15 15 15 15 དེར་བརྟེན། −3 དང་ −1 དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནི་ −8 , −7 , −6 སོགས་ཡིན། 15 15 15 5 3 རྩིས་དཔེ།
༣༽ −1 དང་ 2 དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་རུང་བཅུ་ཚོལ། 2 3
ལན། 2 དང་ 3 གྱི་ LCM ནི་ 6 རེད། −1 −1 × 3 −3 འདིར། 2 = 2 × 3 = 6 དང་། 2 = 2 × 2 = 4 3 3×2 6 དེས་ན། −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 6 6 6 6 6 6 6 6 འོན་ཀྱང་། −1 དང་ 2 དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དྲུག་མ་གཏོགས་ཤེས་མེད། 2 3 ལུགས་ལྡན་གྲངས་དྲུག་ལས་མང་བ་བཙལ་བར། མ་ཆ་དང་བུ་ཆ་གཉིས་ཀར་ 10 ཡིས་བསྒྱུར་དགོས།
དེར་བརྟེན། −1 = −3 = −3 × 10 = −30 དང་། 2 = 4 = 4 × 10 = 40 ཡིན་པས། 2 6 6 10 60 3 6 6 10 60 ང་ཚོས་ −30 དང་ 40 དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་ལས་སླ་པོར་འབྲི་ཐུབ། 60 60 དེས་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་ནི་ −29 , −27 , 5 , 7 , 15 , 25 , 32 , 37 , 38 , 39 བཅས་ཡིན། 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
༤༽ གཤམ་གྱི་དཔེ་འགྲོས་ནང་ད་དུང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གསུམ་བྲིས། −1 , −2 , −3 , −4 , . . . 3 6 9 12
ལན། −2 −1 × 2 , −3 −1 × 3 , −4 −1 × 4 = = = 3×2 9 3 × 3 12 3 × 4 6
28
ལུགས་ལྡན་གྲངས། ཡང་ན། −1 × 1 = −1 , −1 × 2 = −2 , −1 × 3 = −3 , −1 × 4 = −4 3×1 3 3×2 3×3 9 3 × 4 12 6 དེས་ན། དཔེ་འགྲོས་དང་མཐུན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གསུམ་ནི། −1 × 5 = −5 , −1 × 6 = −6 , −1 × 7 = −7 ཡིན། 3 × 5 15 3 × 6 18 3 × 7 21
སྦྱོང་ཚན། ༢་༡
༡། གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་རེ་ཡོད་པ་ལས། གང་དག་གཅིག་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ) −2 དང་ 2 −5 5 (ང) −7 དང་ 3 21 9
༢། གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན།
(ཀ) 3 (ཁ) −5 4 8 ༣། ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་བྲིས།
(ཁ) −3 དང་ −12 5 20 (ཅ)
(ཀ) −8 (ཁ) 25 6 −50 ༤། ཆེ་བ་དེ་ངོས་ཟུངས།
(ག) −5 དང་ 5 −9 −9
(ཆ) −16 དང་ 20 20 −25
8 དང་ −24 −5 15 (ག) −7 4
(ང) 7 8
(ག) 47 18
(ང) −144 −504
(ག) 2 , 5 (ཀ) −1 , 1 (ཁ) −5 , −4 3 2 4 4 6 3 ༥། འཕར་རིམ་བཞིན་བྲིས། (ཀ) −3 , −2 , −1 (ཁ) −1 , −2 , −4 5 5 5 3 9 3 ༦། སྒམ་ཆུང་ནང་ > དང་། < , = གང་འོས་སྐོངས། 2 (ཀ) −7 (ཁ) −4 3 5 9 14 (ང) −7 (ཅ) −1 8 −16 4
−6 5 1 −3
༧། གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་གསུམ་རེ་བྲིས།
(ང) −3 , 2 4 −3
(ཅ) −3 2 , −3 4 7 5
(ག) −3 , −3 , −3 7 2 4 (ག) 0
(ཆ) −8 5
−3 8 −7 4
29
རྩིས་རིག (ཀ) −2 (ཁ) 5 (ག) 4 −3 9 7 ༨། གཤམ་གསལ་གྲངས་དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་རེ་བྲིས།
(ང) 5 6 (ང) −1 དང་ 2 2 3
(ག) −4 དང་ −2 5 3 ༩། གཤམ་གསལ་དཔེ་འགྲོས་ཁག་ནང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཞི་བྲིས། (ཀ) −1 དང་ 0
(ཁ) −2 དང་ −1
(ཀ) −3 , −6 , −9 , −12 ,.... 5 10 15 20
(ཁ) −1 , −2 , −3 ,.... 4 8 12
(ག) −1 , 2 , 3 , 4 ,.... 6 −12 −18 −24
(ང) −2 , 2 , 4 , 6 ,.... 3 −3 −6 −9
༢་༩ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས། Operations on rational numbers
ང་ཚོས་གྲངས་ཆ་དང་རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་། འཐེན་རྩིས། སྒྱུར་རྩིས། བགོད་རྩིས་བཅས་རྒྱག་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད། འདིར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་རྩ་བའི་རྩིས་ཐབས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ༢་༩་༡ སྡོམ་རྩིས། Addition
• ང་ཚོས་མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 7 དང་ −5 གཉིས་བསྡོམས་ན། 3 3 7 + −5 3 3
( (
གྲངས་ཐིག་ཐོག −3 3
−2 3
−1 3
0 3
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
6 3
7 3
8 3
གནས་བསྟུད་མ་གཉིས་ཀྱི་དབར་བར་ཐག་ 1 ཡོད། དེར་བརྟེན། 7 དང་ −5 སྡོམ་སྐབས། 7 གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་ 3 3 3 3 2 པ་ 5 བསྐྱོད་དགོས། ང་ཚོ་ ཡོད་སར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། 3 དེར་བརྟེན། 7 + −5 = 2 3 3 3 ཡང་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརྩིས་ན།
( (
7 + (−5) = 7 + (−5) = 7 −5 = 2 3 3 3 3 3 ང་ཚོར་ལན་གཅིག་པ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
30
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
གོང་གི་བྱེད་ཐབས་གཉིས་སྤྱད་དེ་ 6 + (−2) དང་། 3 + (−5) ཚོལ། ཁྱེད་ལ་ལན་གཅིག་པ་ཐོབ་བྱུང་ངམ། 5 7 7 5 དེ་བཞིན། −7 + 5 ནི། 8 8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 8 8 8 8 8 8 8 8
0 8
1 8
2 8
3 8
4 8
5 8
6 8
7 8
3 5
5, 3 5, 1 1, 1
8 8
−7 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 5 བསྐྱོད་ན། ང་ཚོ་ −2 ཡོད་སར་སླེབས་ཡོད། 8 8 ཡང་། −7 + 5 = −7 + 5 = ? ཐོབ་གྲངས་གཉིས་གཅིག་པ་རེད་དམ། 8 8 8 ཚོལ།
−13 + 6 , 19 (−7) + 7 5 7 5
དེས་ན། མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་སྡོམ་སྐབས། བུ་ཆ་བསྡོམ་དགོས།
དཔེར་ན། −15 + 6 = −15 + 6 = −9 5 5 5 5 • ང་ཚོས་མ་ཆ་གཅིག་པ་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ −7 དང་ −2 བསྡོམས་ན། 3 5 ཐོག་མར་མ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་ LCM འཚོལ་དགོས། 5 དང་ 3 གྱི་ LCM ནི་ 15 ཡིན།
དེས་ན། −7 = −7 × 3 = −21 དང་། −2 = −2 × 5 = −10 3 5 5×3 15 3×5 15 དེར་བརྟེན། −7 + (−2) = −21 + (−10) 5 15 15 3 (−10) −31 = −21 + = 15 15
དེས་ན། མ་ཆ་གཅིག་པ་མ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་སྡོམ་སྐབས། ང་ཚོས་
མ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་ LCM བཙལ་ཏེ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་མ་ཆ་རྣམས་དེ་དག་གི་ LCM དང་མཉམ་པ་བཟོ་དགོས། དེ་རྗེས་མ་ཆ་གཅིག་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྟར་
བསྡོམ་དགོས།
ཚོལ།
(༡) −3 + 2 7 3 (༢) −5 + −3 6 11
31
རྩིས་རིག
༢་༩་༢ ལྡོག་གྲངས། Additive inverse
−5 5 + = ? གང་རེད་དམ། 7 7 −5 5 −5 + 5 0 ཡང་། 5 + −5 + = = 7 7 =0 7 7 7 p −p དེ་ནི། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ q ཡི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ q ཡིན།
( (
ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། རིལ་གྲངས་སྐབས། − 2 ནི་ 2 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་དང་ 2 ནི་ − 2 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་རེད། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལའང་ཁྱད་ཆོས་འདི་བཞིན་ཡོད། དཔེར་ན། −2 ནི་ 2 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་དང། 2 ནི་ −2 ཀྱི་ལྡོག་ 3 3 3 3 གྲངས་རེད། རྩིས་དཔེ།
2 5 ༥༽ བྱང་ཆུབ་ཀྱིས་གནས་ P ནས་ཤར་ཕྱོགས་སུ་ 3 km གོམ་བགྲོད་ཕྱིན་པ་དང་། དེ་རྗེས་གནས་དེ་ནས་ 1 7 km ནུབ་ཕྱོགས་སུ་ཕྱིན་པ་རེད། ད་ལྟ་བྱང་ཆུབ་གནས་ P ནས་ག་པར་སླེབས་ཡོད་དམ། ལན།
ཤར་ཕྱོགས་སུ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི་ཕོ་རྟགས་དང་ནུབ་ཕྱོགས་སུ་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི་མོ་རྟགས་ཀྱིས་མཚོན། ནུབ།
2 km 3 12 km 7
P
ཤར།
དེར་བརྟེན། བྱང་ཆུབ་ཀྱིས་གནས་ P ནས་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི།
( (
2 −1 5 2 (−12) 2 × 7 (−12) × 3 14 − 36 −22 −1 1 + = + = + = = = 3 7 3 3×7 7 7×3 21 21 21
1 བར་ཐག་ནི་མོ་རྟགས་ཡིན་པས། བྱང་ཆུབ་ནི་གནས་ P ཡི་ནུབ་ཕྱོགས་སུ་བར་ཐག་ 1 21 km ཐོག་ཡོད།
32
༢་༩་༣ འཐེན་རྩིས། Subtraction
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
• སྒྲོལ་དཀར་གྱིས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་ 5 དང་ 3 གཤམ་གསལ་ལྟར་འཐེན་པ་རེད། 7 7 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 7 7 7 7 7 7 7 7
1 7
2 7
3 7
4 7
5 7
6 7
7 7
5 ནས་ 3 འཐེན་སྐབས། 5 ཡི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་གོམ་པ་ 3 བསྐྱོད་དགོས། ང་ཚོ་ 2 ཡོད་སར་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། 7 7 7 7 དེར་བརྟེན། 5 − 3 = 2 7 7 7 ཡང་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརྩིས་ན། 5 3 5−3 2 − = = 7 7 7 7 ང་ཚོར་ལན་གཅིག་པ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
དེས་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་འཐེན་སྐབས། འཐེན་བྱེད་གྲངས་ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་དེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཞན་ལ་བསྡོམ་ དགོས།
དཔེར་ན།
༡། 1 2 − 2 4 5 3 5 14 = − 3 5 5 (−14) = 25 − 42 = + 15 3 5 −17 −1 2 = 5 = 15
༢།
( ( −5 2 = 7 − ( 6( 2 − −5 6 7
2 5 12 + 35 =7+6 = 42 47 1 5 = = 42 42
རྩིས་དཔེ།
༦༽ 15 དང་ −3 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ −8 དང་ 5 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་འཐེན། 14 4 7 8 ལན།
−8 དང་ 5 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ། = −8 + 5 = −8 × 8 + 5 × 7 (7 དང་ 8 ཀྱི་ LCM ནི་ 56 རེད།) 7 8 7 8 56 = −64 + 35 = −29 56 56
33
( (
རྩིས་རིག
15 དང་ −3 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ། 15 −3 15 3 = 14 + 4 = 14 − 4 4 14
(15 × 2) − (3 × 7) (14 དང་ 4 ཡི་ LCM ནི་ 28 རེད།) 28 30 − 21 9 = = 28 28 = 9 − −29 = 9 + 29 28 56 28 56 =
དགོས་མཁོའི་འཐེན་ཐོབ།
( (
= 18 + 29 = 47 56 56
(28 དང་ 56 གི་ LCM ནི་ 56 རེད།)
༢་༩་༤ སྒྱུར་རྩིས། Multiplication
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ནི། གྲངས་ཆའི་སྒྱུར་རྩིས་དང་མཉམ་པ་རེད། གལ་ཏེ། གཉིས་ཡིན་ན།
བུ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ། p×r p r q × s = q × s = མ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ།
དཔེ་མཚོན། −5 × 3 ཚོལ། 7 8 གོམ་པ་ ༡ ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བུ་ཆ་སྒྱུར།
−5 × 3 = −15
བུ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ།
−5 × 3 −15 = 7×8 56
གོམ་པ་ ༢ ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་མ་ཆ་སྒྱུར། གོམ་པ་ ༣
མ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ།
རྩིས་དཔེ།
p དང་ r ལུགས་ལྡན་གྲངས་ q s
7 × 8 = 56
༧༽ བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) −3 དང་ 2 (ཁ) −2 དང་ −6 (ག) 3 2 དང་ −5 5 11 5 7 5 (−2) (−6) 12 × ལན། (ཀ) −3 × 2 = −3 × 2 = −6 (ཁ) −2 × −6 = = 5×1 5 1 5 11 5 55 11 × 5 17 17 × (−5) −5 17 −5 2 −85 (ག) 3 × × = = −17 = = 7 5 7 5 35 7 5×7 7
34
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
༢་༩་༥ བགོད་རྩིས། Division
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་གྲངས་ཆའི་ལོག་གྲངས་སྦྱངས་ཡོད། གྲངས་ 7 ནི་ 3 གྱི་ལོག་གྲངས་རེད། འདིར་ང་ཚོས་ 3 7 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ལོག་གྲངས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
(
(
−2 ཀྱི་ལོག་གྲངས་ནི་ 7 7 = −7 རེད། 7 −2 −2 2
−9 ཡི་ལོག་གྲངས་ནི་ −13 རེད། 13 9 རྩིས་དང་།
−6 དང་། −8 , 50 བཅས་ཀྱི་ལོག་གྲངས་བྲིས། 11 5 −3
ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་མ་ཆ་དང་བུ་ཆའི་གོ་ས་བརྗེས་ན་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེའི་ལོག་གྲངས་ཐོབ། དེར་བརྟེན།
q p ཡི་ལོག་གྲངས་ནི་ རེད། p q སེམས་ལ་ཞོག
• ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དང་། དེའི་ལོག་གྲངས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་ 1 ཡིན། དཔེར་ན།
(
(
−4 −4 ཡི་ལོག་གྲངས། × =1 9 9 −4 −9 = × =1 9 4 • ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ལོག་གྲངས་ཀྱི་ལོག་གྲངས་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེ་རང་ཡིན།
མཚོ་མོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 4 དང་ −5 གཤམ་གསལ་ལྟར་བགོས་པ་རེད། 7 9
((
4 −5 4 −5 ཡི་ལོག་གྲངས། 4 −7 −28 ÷ = × = × = 7 9 7 9 9 5 45
གོང་གསལ་ལས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལ་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཞན་ཞིག་གིས་བགོད་སྐབས། ལུགས་
ལྡན་གྲངས་ལ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ལོག་གྲངས་ཀྱིས་བསྒྱུར་དགོས། དེར་བརྟེན།
((
6 −2 6 −2 ཀྱི་ལོག་གྲངས། 6 3 18 9 ÷ = × = × = = −5 3 −5 −5 −2 10 5 3
35
རྩིས་རིག
༡། བསྡོམས་ཐོབ་ཚོལ།
སྦྱོང་ཚན། ༢་༢
( (
(ཀ) 5 + 3 3 5 (ང) −3 + 5 −11 9
(ཁ) 5 + −11 4 4 (ཅ) −9 + 22 10 15
(ཀ) 7 − 17 24 36
(ཁ) 5 − −6 63 21
(ཇ) −2 1 + 4 3 5 3 ༢། འཐེན་ཐོབ་ཚོལ།
( (
(ག) −2 + 0 13 (ཆ) −8 + (−2) 19 57
( (
(ག) −6 − −7 13 15
(ང) −3 − 7 8 11
(ཅ) −2 1 − 6 9
(ཀ) 3 × −9 10 (ང) −6 × 9 5 11
(ཁ) 3 × −2 7 5
(ཅ)
(ག) 3 × 0 11
(ཀ) (−4) ÷ 2 3 (ང) −1 ÷ 3 8 4
(ཁ) −3 ÷ 2 5 (ཅ) −7 ÷ −2 12 13 (ཉ) 0 ÷ −5 2 4
(ག) −6 ÷ 3 3 5 (ཆ) 5 ÷ −15 11 22
༣། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
༤། བགོས་ཐོབ་ཚོལ།
(ཇ) 3 1 ÷ 11 7 −13
( (
3 −5 −5 × 3
( (
(ཆ) −5 − 11 −7 9
(ཆ) −1 2 × 27 9 55
༥། 3 དང་ 7 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ 11 དང་ 5 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་འཐེན། 8 13 26 4
༦། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་ −81 རེད། གལ་ཏེ་གྲངས་གཅིག་ −9 ཡིན་ན། གྲངས་གཞན་དེ་ཚོལ། 7 91
36
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
དྲན་གསོ་གྱིས།
p ༡། རིལ་གྲངས་ p དང་ q ལས་ q ≠ 0 ཡིན་པའི་གྲངས་ q ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཟེར། −2 , 3 , 5 སོགས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 7 8 1 ༢། རིལ་གྲངས་དང་གྲངས་ཆ་ཚང་མ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
༣། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་གྲངས་གཅིག་པས་བགོས་པའམ་ ཡང་ན་བསྒྱུར་བ་ཡིན་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེའི་འདྲ་མཚུངས་གྲངས་ཐོབ།
དཔེར་ན། −3 = −3 × 2 = −6 དེར་བརྟེན། −3 དང་ −6 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ལུགས་ལྡན་ 7 7 × 2 14 7 14 གྲངས་རེད།
༤། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནི་ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་བཅས་སྡེ་ཚན་གཉིས་སུ་ཕྱེས་ཡོད། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་
ཆ་གཉིས་ཀ་ཕོ་གྲངས་ཡང་ན་མོ་གྲངས་ཡིན་ན། དེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་དང་། བུ་ཆའམ་ཡང་ན་ , ག་མོ་གྲངས་ཡིན་ན། དེ་,ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་རེད། མ་ཆ་གང་རུང་གཅི
དཔེར་ན། 4 −2 ནི་ཕོ་གྲངས་དང་། −1 2 ནི་མོ་གྲངས་རེད། 9 −5 7 −5 ༥། གྲངས་ 0 ནི་ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་གང་ཡང་མིན།
༦། གལ་ཏེ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་གི་མ་ཆ་ཕོ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་ 1 མ་གཏོགས་མེད་ན། གྲངས་དེར་ཚད་ལྡན་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཟེར། −1 , 2 སོགས་ཚད་ལྡན་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 3 9 ༧། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གྲངས་མེད་ཡོད།
༨། མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་སྡོམ་སྐབས། བུ་ཆ་གཉིས་བསྡོམ་དགོས།
དཔེར་ན། 4 + 3 = 4 + 3 = 7 9 9 9 9 ༩། མ་ཆ་གཅིག་པ་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་སྡོམ་སྐབས། ཐོག་མར་མ་ཆ་གཉིས་ཀྱི་ LCM
བཙལ་ཏེ་མ་ཆ་རུ་ LCM བཞག་རྗེས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་འདྲ་མཚུངས་གྲངས་སུ་བསྒྱུར་ དགོས། དཔེར་ན། −2 + 3 = −16 + 9 = −16 + 9 = −7 24 24 24 24 3 8 ༡༠། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་འཐེན་སྐབས། འཐེན་བྱེད་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་དེ་འཐེན་ བྱའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལ་བསྡོམ་དགོས།
37
རྩིས་རིག དཔེར་ན། 7 − 2 = 7 + 2 ཀྱི་ལྡོག་གྲངས། = 7 + (−2) = 21 + (−16) = 5 8 3 8 3 8 24 24 3 ༡༡། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་སྒྱུར་སྐབས། བུ་ཆས་བུ་ཆ་དང་མ་ཆས་མ་ཆར་བསྒྱུར་དགོས། བུ་ཆ་ × བུ་ཆ།
མ་ཆ་ × མ་ཆ།
=
བུ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ།
མ་ཆའི་བསྒྱུར་ཐོབ།
༡༢། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་ལ་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཞན་ཞིག་གིས་བགོད་སྐབས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ལོག་གྲངས་ཀྱིས་བསྒྱུར་དགོས། དཔེར་ན།
38
−7 4 −7 × 4 ཡི་ལོག་གྲངས་ = −7 × 3 = −21 ÷ = 2 2 4 8 3 2 3
སློབ་ཚན་གསུམ་པ།
སྟོན་གྲངས།
༣་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛམ་གླིང་གི་གདོས་ཚད་ཤེས་ཀྱི་ཡོད་དམ།
དེ་ 5,970,000,000,000,000,000,000,000 kg རེད། ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་དེ་ཀློག་ཐུབ་བམ།
ཁྱེད་ཀྱིས་འདི་ཀློག་ཐུབ་བམ།
5,970,000,000,000,000,000,000,000
གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་ (Uranus) གྱི་གདོས་ཚད་ནི་
86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg རེད།
འཛམ་གླིང་དང་གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་གཉིས་ལས་གང་ལ་གདོས་ཚད་ མང་བ་འདུག་གམ།
ཉི་མ་དང་གཟའ་སྤེན་པའི་ (Saturn) དབར་བར་ཐག་ 1,433,500,000,000 m ཡོད། གཟའ་སྤེན་པ་དང་
གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་དབར་བར་ཐག་ 1,439,000,000,000 m ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་འདི་དག་ཀློག་ཐུབ་བམ། བར་ ཐག་གཉིས་ལས་གང་ཉུང་བ་འདུག་གམ། དེ་འདྲ་བའི་གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཀློག་ཁག་པོ་དང་། གོ་དོན་རྟོགས་ཁག་པོ། བསྡུར་ཁག་པོ་ཡོད། དེར་བརྟེན་ང་ཚོས་སྟོན་གྲངས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། སློབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་སྟོན་གྲངས་དང་ དེའི་བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༣་༢ སྟོན་གྲངས། Exponents
ང་ཚོས་སྟོན་གྲངས་བེད་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་བསྡུས་པའི་རྣམ་པར་འབྲི་ཐུབ།
དོ་སྣང་བྱོས་དང་། 10000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104 104 ཡིས་ 10 × 10 × 10 × 10 མཚོན་གྱི་ཡོད། འདིར། 10 ནི་ཞབས་དང་ 4 ལ་སྟོན་གྲངས་སམ་ཐེངས་གྲངས་
(Exponent or Power) ཟེར། གྲངས་ 104 ཀློག་སྐབས། 10 བཞི་སྒྱུར་ (10 raised to the power of 4)
ཡང་ན། 10 ཡི་སྒྱུར་ཐེངས་ 4 (fourth power of 10) ཞེས་ཀློག་དགོས། 104 ལ་ 10,000 ཡི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ རྣམ་པ་ཟེར།
39
རྩིས་རིག
དེ་མཚུངས་ང་ཚོས་ 1000 ནི་ 10 ཡི་ཐེངས་གྲངས་ཐོག་མཚོན་ཐུབ། 1000 ནི་ 10 རང་སྒྱུར་གསུམ་ཡིན་པས། 1000 = 10 × 10 × 10 = 103
འདིར། 103 ནི་ 1000 ཡི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ཡིན།
དེ་བཞིན། 100000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105
103 m = 1 km 105 cm = 1 km
105 ནི་ 100000 ཡི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ཡིན།
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་ཀའི་ནང་ཞབས་ 10 ཡིན་པ་དང་།
103 སྐབས་སྟོན་གྲངས་ 3 དང་། 105 སྐབས་སྟོན་གྲངས་ 5 ཡིན།
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ཚང་མའི་ནང་ཞབས་ 10 ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། འོན་ཀྱང་། ཞབས་གྲངས་སུ་གྲངས་གཞན་གང་རུང་ ཡང་ཡིན་ཆོག དཔེར་ན།
81 = 3 × 3 × 3 × 3 ནི་ 81 = 34 ལྟར་བྲིས་ཆོག འདིར་ཞབས་གྲངས་ 3 དང་སྟོན་གྲངས་ 4 རེད།
ཡང་སྟོན་གྲངས་འགའ་ལ་མིང་དམིགས་བསལ་ཡོད། དཔེར་ན།
102 ནི་ 10 ཉིས་སྒྱུར་རེད། དེ་ 10 རང་ཉིས་སྒྱུར་ (10 squared) ཡང་ཀློག་ཆོག 103 ནི་ 10 སུམ་སྒྱུར་རེད། དེ་ 10 རང་སུམ་སྒྱུར་ (10 cubed) ཡང་ཀློག་ཆོག
53 གྱིས་གང་མཚོན་ནམ།
53 ནི་ 5 རང་སུམ་སྒྱུར་རེད། དེ་ནི། 53 = 5 × 5 × 5 = 125
དེས་ན། 125 ནི་ 5 ཡི་སྒྱུར་ཐེངས་ 3 རེད།
དེ་མཚུངས། 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ནི་ 2 ཀྱི་སྒྱུར་ཐེངས་ 5 རེད། འདིར། ཞབས་གྲངས་ 2 དང་སྟོན་ གྲངས་ 5 རེད། 102 10 རང་ཉིས་སྒྱུར།
103 10 རང་སུམ་སྒྱུར། དེ་བཞིན།
ངས་ཀློག་སྟངས་གཉིས་ཀ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད།
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 54
(− 2)3 གྱིས་གང་མཚོན་ནམ། དེ་ནི། (− 2)3 = (− 2) × (− 2) × (− 2) = − 8
40
102 10 ཉིས་སྒྱུར།
103 10 སུམ་སྒྱུར།
སྟོན་གྲངས།
གལ་ཏེ་ཞབས་གྲངས་རིལ་གྲངས་ a ཞིག་ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི་ཆོག
a × a = a2 (དེ་ a རང་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་ན། a ཉིས་སྒྱུར་ཞེས་ཀློག་དགོས།)
a × a × a = a3 (དེ་ a རང་སུམ་སྒྱུར་ཡང་ན། a སུམ་སྒྱུར་ཞེས་ཀློག་དགོས།)
a × a × a × a = a4 (དེ་ a རང་བཞི་སྒྱུར་ཡང་ན། a བཞི་སྒྱུར་ཞེས་ཀློག་དགོས།) ............................
a × a × a × a × a × a × a = a7 (དེ་ a རང་བདུན་སྒྱུར་ཡང་ན། a བདུན་སྒྱུར་ཞེས་ཀློག་དགོས།) སོགས་ཡིན།
a × a × a × b × b ནི་ a3 b2 ལྟར་མཚོན་ཐུབ། (དེ་ a རང་སུམ་སྒྱུར་ b རང་ཉིས་སྒྱུར་ཞེས་ཀློག་དགོས།)
a × a × b × b × b × b ནི་ a2 b4 ལྟར་མཚོན་ཐུབ། (དེ་ a རང་ཉིས་སྒྱུར་ b རང་བཞི་སྒྱུར་ཞེས་ཀློག་དགོས།) རྩིས་དཔེ།
༡༽ 256 ཞབས་གྲངས་ 2 ཐོག་མཚོན།
ལན། 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 དེས་ན། 256 = 28 ༢༽ 82 ཡང་ན་ 28 གཉིས་ལས་གང་ཆེ་བ་རེད་དམ། ལན། 82 = 8 × 8 = 64
28 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
དེས་ན། 28 > 82
༣༽ a3 b2, a2 b3, b2 a3, b3 a2 བཅས་ཁ་བཀྲལ་ཏེ། དེ་དག་གཅིག་པ་ཡིན་མིན་ལྟོས།
ལན། a3 b2 = a3 × b2 = (a × a × a) × (b × b) = a × a × a × b × b a2 b3 = a2 × b3 = a × a × b × b × b
b2 a3 = b2 × a3 = b × b × a × a × a b3 a2 = b3 × a2 = b × b × b × a × a
• ཚན་པ་ a3 b2 དང་ a2 b3 གཉིས་ལས། a དང་ b ཡི་ཐེངས་གྲངས་གཅིག་པ་མིན། དེར་བརྟེན། a3 b2 དང་ a2 b3 གཉིས་གཅིག་པ་མ་རེད།
• ཡིན་ནའང་། a3 b2 དང་ b2 a3 གཉིས་གཅིག་པ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། ཚན་པ་དེ་གཉིས་ནང་ a དང་ b ཡི་ཐེངས་གྲངས་གཅིག་པ་རེད།
དེར་བརྟེན། a3 b2 = a3 × b2 = b2 × a3 = b2 a3 དེ་མཚུངས། a2 b3 དང་ b3 a2 གཉིས་གཅིག་པ་རེད།
41
རྩིས་རིག ༤༽ གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གྲངས་ཀྱི་ཐེངས་གྲངས་ཐོག་མཚོན། ལན།
(ཀ) 72
(ཁ) 432
(ག) 1000
(ང) 16000
(ཀ) 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32
དེར་བརྟེན། 72 = 23 × 32 (དགོས་མཁོའི་རྣམ་པ།)
(ཁ) 432 = 2 × 216 = 2 × 2 × 108 = 2 × 2 × 2 × 54
2 72 2 36 2 18 3 9 3
= 2 × 2 × 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 9 =2×2×2×2×3×3×3
དེར་བརྟེན། 432 = 24 × 33
(ག) 1000 = 2 × 500 = 2 × 2 × 250 = 2 × 2 × 2 × 125
= 2 × 2 × 2 × 5 × 25 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
དེར་བརྟེན། 1000 = 23 × 53
(ང) 16000 = 16 × 1000 = (2 × 2 × 2 × 2) × 1000
= (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5) = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5)
དེར་བརྟེན། 16000 = 27 × 53
༥༽ རྩིས་འབྲས་ཚོལ། ལན།
(ཀ) (1)5
(ཁ) (−1)3
(ག) (−1)4
(ཀ) (1)5 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
(ང) (−10)3
(ཁ) (− 1) = (− 1) × (− 1) × (− 1) = 1 × (− 1) = (− 1) 3
(ག) (− 1) = (− 1) × (− 1) × (− 1) × (− 1) = 1 × 1 = 1 4
(ཅ) (−5)4 (− 1)
(− 1)
(ང) (− 10)3 = (− 10) × (− 10) × (− 10) = 100 × (− 10) = − 1000 (ཅ) (− 5)4 = (− 5) × (− 5) × (− 5) × (− 5) = 25 × 25 = 625
(མཆན། 1 རང་སྒྱུར་ནི་ 1 རེད།)
42
ཡ་གྲངས།
ཆ་གྲངས།
= −1 = +1
སྟོན་གྲངས།
སྦྱོང་ཚན། ༣་༡
༡། བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) 26
༢། སྟོན་གྲངས་ཐོག་བྲིས།
(ཁ) 93
(ཀ) 6 × 6 × 6 × 6
(ང) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
༣། སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་བྲིས།
(ག) 113 (ཁ) m × m
(ཅ) 2 × 2 × a × a
(ང) 54 (ག) b × b × b × b
(ཆ) a × a × a × c × c × c × c × d
(ཀ) 512
(ཁ) 343
(ག) 729
(ང) 3125
(ཀ) 43 ཡང་ན། 34
(ཁ) 210 ཡང་ན། 102
(ག) 53 ཡང་ན། 35
(ང) 1002 ཡང་ན། 2100
(ཀ) 405
(ཁ) 540
(ག) 648
(ང) 3600
(ཀ) 2 × 103
(ཁ) 0 × 105
(ག) 23 × 5
(ང) 32 × 24
༤། གཤམ་གསལ་ཁག་ལས་གྲངས་ཆེ་བ་ངོས་ཟུངས།
༥། གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གྲངས་ཀྱི་ཐེངས་གྲངས་ཐོག་མཚོན། ༦། སྟབས་བདེ་བཟོས། (ཅ) 3 × 44
༧། སྟབས་བདེ་བཟོས། (ཀ) (−4)3
(ཆ) 32 × 104
(ཁ) (−3) × (−2)3
༨། གཤམ་གསལ་ཁག་སྡུར།
(ཀ) 2.7 × 1012 ; 1.5 × 108
(ཇ) 52 × 33 (ག) (−3)2 × (−5)2
(ཉ) 72 × 22 (ང) (−2)3 × (−10)3
(ཁ) 4 × 1014 ; 3 × 1017
༣་༣ སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས། Laws of exponents
༣་༣་༡ ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གྲངས་སྒྱུར་བ། Multiplying powers with the same base (༡) 22 × 23 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 22+3
22 དང་ 23 གྱི་ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་། སྟོན་གྲངས་ 2 དང་ 3 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 5 རེད།
(༢) (− 3)4 × (− 3)3 = [(− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3)] × [(− 3) × (− 3) × (− 3)]
43
རྩིས་རིག
= (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) × (− 3) = (− 3)7 = (− 3)4+3 ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་། སྟོན་གྲངས་ 4 དང་ 3 གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 7 རེད།
(༣) a2 × a4 = (a × a) × (a × a × a × a)
= a × a × a × a × a × a = a6 = a2 + 4
ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 2 + 4 = 6 རེད། དེ་མཚུངས།
42 × 42 = 42 + 2
རྩིས་དང་།
3 ×3 =3 2
3
2+3
m ×m =m 10
20
སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ ཐོག་མཚོན།
10 + 20
(༡) 25 × 23
སྒམ་ཆུང་ནང་གྲངས་གང་འོས་བྲིས།
(−11) × (−11) = (−11) 2
6
b2 × b3 = b c3 × c4 = c d10 × d20 = d
(b ནི་རིལ་གྲངས་རེད།) (c ནི་རིལ་གྲངས་རེད།)
(༢) p3 × p2 (༣) 43 × 42
(༤) (−4)100 × (−4)20 (༥) 53 × 57 × 512
གལ་ཏེ་ a ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། m དང་ n གཉིས་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། am × an = am + n
མཆན།
23 × 32 ལ་དཔེ་བཞག་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་སྟོན་གྲངས་གཉིས་བསྡོམ་ཐུབ་བམ། མི་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི། 23 དང་ 32 ཀྱི་ཞབས་ གྲངས་སོ་སོར་ 2 དང་ 3 རེད། དེ་ནི་ཞབས་གྲངས་གཉིས་གཅིག་པ་མིན་པས་སོ།
༣་༣་༢ ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གྲངས་བགོད་པ། Dividing powers with the same base 37 ÷ 34 སྟབས་བདེ་བཟོས། 37 ÷ 34 =
44
37 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 34 3×3×3×3
སྟོན་གྲངས།
= 3 × 3 × 3 = 33 = 37 - 4 དེར་བརྟེན།
37 ÷ 34 = 37 - 4
(འདིར། ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པས། 37 ÷ 34 = 37 - 4 ལྟར་འབྲི་ཆོག) དེ་མཚུངས།
5 ÷5 = 6
2
56 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 52 5×5
= 5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 56 - 2 ཡང་ན།
56 ÷ 52 = 56 - 2
a ནི་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཤིག་ཡིན།
4 a4 ÷ a2 = a2 = a × a × a × a a a×a = a × a = a2 = a4 - 2
ཡང་ན།
a4 ÷ a2 = a4 - 2
སྒམ་ཆུང་ནང་སྐོངས།
རྩིས་དང་།
སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ ཐོག་མཚོན།
79 ÷ 76 = 7
(༡) 29 ÷ 23
b10 ÷ b5 = b c100 ÷ c90 = c
གལ་ཏེ་ a ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཤིག་དང་།
m དང་ n གཉིས་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་། m > n ཡིན་ན། a ÷a =a m
n
m-n
(༢) n11 ÷ n7
(༣) 108 ÷ 106
(༤) 2515 ÷ 2513
(༥) 10013 ÷ 10010
༣་༣་༣ ཐེངས་གྲངས་ཀྱི་ཐེངས་གྲངས་བླངས་པ། Taking power of a power སྟབས་བདེ་བཟོས། (23 )2 དང་ (32 )4 འདིར། (23 )2 ནི་ 23 རང་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། (23 )2 = 23 × 23
= 23 + 3 (am × an = am + n) = 26 = 23 × 2 དེར་བརྟེན། (23 )2 = 23 × 2
45
དེ་བཞིན།
(32 )4 = 32 × 32 × 32 × 32
དེས་ན།
(23 )2 = 23 × 2 = 26
རྩིས་རིག
= 32 + 2 + 2 + 2
སྟབས་བདེ ་ བཟོ ས ་ཏེ ་ སྟོན་གྲངས་ཐོ ག ་ མཚོན།
=3 =3 8
རྩིས་དང་།
2×4
༡། (62 )4
༣། (53 )7
(32 )4 = 32 × 4 = 38 (72 )10 = 72 × 10 = 720
༢། (22 )100 ༤། (750 )2
(a2 )3 = a2 × 3 = a6 (am )3 = am × 3 = a3m གལ་ཏེ་ a ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ཤིག་དང་། m དང་ n གཉིས་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། (am )n = amn
རྩིས་དཔེ།
༦༽ (52 ) × 3 ཡང་ན། (52 )3 གང་ཆེ་བ་ཡིན་ནམ། ལན།
(52 ) × 3 = 5 × 5 × 3 = 75
(52 )3 = 52 × 52 × 52 = 56 = 15,625 དེར་བརྟེན། (52 )3 > (52 ) × 3 ༣་༣་༤ སྟོན་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གྲངས་སྒྱུར་བ། Multiplying powers with the same exponents
23 × 33 སྟབས་བདེ་བཟོས། འདིར་ཚན་པ་ 23 དང་ 33 གཉིས་ཀྱི་ཞབས་གྲངས་གཅིག་པ་མིན་ནའང་སྟོན་གྲངས་གཅིག་པ་རེད། 23 × 33 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3)
= (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = 6 × 6 × 6 = 63 (6 ནི་ཞབས་གྲངས་ 2 དང་ 3 གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན།) 44 × 34 ལ་དཔེ་བཞག་ན། 44 × 34 = (4 × 4 × 4 × 4) × (3 × 3 × 3 × 3)
= (4 × 3) × (4 × 3) × (4 × 3) × (4 × 3)
46
སྟོན་གྲངས།
= 12 × 12 × 12 × 12 = 124 32 × a2 ལ་དཔེ་བཞག་ན།
32 × a2 = (3 × 3) × (a × a) = (3 × a) × (3 × a) = (3 × a)2 = (3a)2
དེ་བཞིན།
(མཆན། 3 × a = 3a)
a5 × b5 = (a × a × a × a × a) × (b × b × b × b × b) = (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × b)5 = (ab)5
(མཆན། a × b = ab)
ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་གང་རུང་ a དང་ b ལས། m ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། am × bm = (ab)m
རྩིས་དཔེ།
༧༽ སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) (2 × 3)5 ལན།
(ཁ) (2a)4
(ག) (− 4m)3
(ཀ) (2 × 3)5 = (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3 × 3 × 3) = 25 × 35
(ཁ)
(2a)4 = 2a × 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2 × 2) × (a × a × a × a) = 24 × a4
(ག) (− 4m)3 = (− 4 × m)3
= (− 4 × m) × (− 4 × m) × (− 4 × m) = (− 4) × (− 4) × (− 4) × (m × m × m) = (− 4)3 × (m)3
47
རྩིས་རིག
༣་༣་༥ སྟོན་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གྲངས་བགོད་པ། Dividing powers with the same exponents གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
((
(༡) 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 34 3 × 3 × 3 × 3 3 3 3 3 3 4
4
((
3 3 (༢) a3 = a × a × a = a × a × a = a b b b×b×b b b b
༨༽ བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བྲིས། ལན།
((
am am = b bm
རྩིས་དཔེ།
((
4 (༡) 3 5
3 4 34 3 × 3 × 3 × 3 = 4= 5 5 5×5×5×5 5
5
5
སྟོན་གྲངས་ཀླད་ཀོར་ཡིན་པའི་གྲངས།
35 ཚོལ། 35
35 3 × 3 × 3 × 3 × 3 1 = = 35 3 × 3 × 3 × 3 × 3 སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས་སྤྱད་ནས། 35 ÷ 35 = 35 − 5 = 30
དེས་ན། 30 = 1
དེ་བཞིན། 73 ÷ 73 = 73 − 3 = 70 = 1
48
m
ཐོག་མཚོན།
( (
5 (༢) −4 7
(( (༢) (−4( = (−4) = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) × (−4) 7 7×7×7×7×7 7 (༡)
( (
a mཡི་རྣམ་པའི་ a ÷b = b m
(༡) 45 ÷ 23 (༢) 25 ÷ b5 (༣) (−2)3 ÷ a3 (༤) p7 ÷ q7 (༥) 510 ÷ (−2)10
རིལ་གྲངས་ a དང་ b ལས། m ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། am ÷ bm =
རྩིས་དང་།
གཤམ་གྱི་དཔེ་འགྲོས་ལ་ལྟོས་དང་།
26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = ? 21 = ? 20 = ? a0 གང་རེད་དམ།
ཁྱེད་ཀྱིས་དཔེ་འགྲོས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཏེ་ 20 གྱི་ཐོབ་
གྲངས་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཐུབ་བམ། 20 = 1 རེད།
གལ་ཏེ་ 36 = 729 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གོང་གི་དཔེ་
འགྲོས་ལྟར་ 35, 34, 33,... བཙལ་བ་ཡིན་ན། 30 ག་
ཚོད་ཡིན་ནམ།
སྟོན་གྲངས།
73 7 × 7 × 7 1 = = 73 7 × 7 × 7 དེས་ན། 70 = 1 དེ་བཞིན། a3 ÷ a3 = a3 − 3 = a0 3 དང་། a3 ÷ a3 = a = a × a × a = 1 a3 a × a × a དེས་ན། a0 = 1 (a ནི་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས།) དང་།
དེར་བརྟེན། ཀླད་ཀོར་ཕུད་པའི་ཞབས་གྲངས་ཤིག་གི་སྟོན་གྲངས་ 0 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་ 1 རེད།
༣་༤ སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས་སྤྱད་པའི་དཔེ་མཚོན་སྣ་ཚོགས། Miscellaneous examples using laws of exponents རྩིས་དཔེ།
༩༽ 8 × 8 × 8 × 8 ཞབས་ 2 ཡིན་པའི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་མཚོན། ལན། 8 × 8 × 8 × 8 = 84 ཡིན་ནའང་། 8 = 2 × 2 × 2 = 23 དེར་བརྟེན། 84 = (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23 × 4 = 212
༡༠༽ སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་བྲིས།
( (
7 (༡) 32 × 35 3 (༣) (62 × 64) ÷ 63
ལན།
(༥) 82 ÷ 23 (༡)
(༢) 23 × 22 × 55
(༤) [(22)3 × 36] × 56
( (
37 × 35 = (37 − 2) × 35 = 35 × 35 = 35 + 5 = 310 32
(༢) 23 × 22 × 55 = 23 + 2 × 55 = 25 × 55 = (2 × 5)5 = 105 (༣) (62 × 64) ÷ 63 = 62 + 4 ÷ 63 = 66 ÷ 63 = 66 − 3 = 63
(༤) [(22)3 × 36] × 56 = [26 × 36] × 56 = (2 × 3)6 × 56 = (2 × 3 × 5)6 = 306 (༥) 82 ÷ 23 = (23)2 ÷ 23 = 26 ÷ 23 = 26 − 3 = 23
49
རྩིས་རིག
༡༡༽ སྟབས་བདེ་བཟོས། ལན།
4 × 93 × 4 (༡) 12 63 × 82 × 27
(༢) 23 × a3 ×5a4
4 3 2 ( 2 )4 ( 2)3 (༡) 123 × 29 × 4 = 2 × 3 3 × 33 2 × 23 (2 × 3) × (2 ) × 3 6 × 8 × 27
=
(22)4 × 34 × 32 x 3 × 22 23 × 33 × 23 x 2 × 33
28 × 22 × 34 × 36 = 3 2 × 26 × 33 × 33 =
28 + 2 × 34 + 6 23 + 6 × 33 + 3
=
210 × 310 29 × 36
= 210 − 9 × 310 − 6 = 21 × 34 = 2 × 81 = 162 (༢) 23 × a3 × 5a4 = 23 × a3 × 5 × a4 = 23 × 5 × a3 × a4 = 8 × 5 × a3 + 4 = 40a7 4 5 4 5 (༣) 2 × 3 × 2 = 2 × 3 × 22 9 × 42 32 × (22)
= = = = = =
50
21 + 5 × 34 24 × 32 26 × 34 24 × 32 26 - 4 × 34 - 2 22 × 32 4×9 36
4 5 (༣) 2 × 3 ×2 2 9×4
སྟོན་གྲངས།
སྦྱོང་ཚན། ༣་༢
༡། སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) 32 × 34 × 38
(ཁ) 615 ÷ 610
(ག) a3 × a2
(ཅ) (52 )3 ÷ 53
(ང) 7x × 72
(ཇ) a4 × b4
(ཆ) 25 × 55
(ཉ) 8t ÷ 82
(ཏ) (220 ÷ 215) × 23
༢། སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ཐོག་མཚོན། 3 4 (ཀ) 2 × 3 × 4 3 × 32
(ཁ) [(52 )3 × 54] ÷ 57
2 8 (ང) 3 × 7 × 11 21 × 113
(ཅ)
(ཇ) 20 × 30 × 40
37 34 × 33
(ཉ) (30 + 20) × 50
( (
5 (ཐ) a3 × a8 a
༣། འགྲིག་ནོར་བྲིས་ཏེ་རྒྱུ་མཚན་ཤོད། (ཀ) 10 × 1011 = 10011
༤། གཤམ་གསལ་ཁག་རྒྱུ་གྲངས་ཀྱི་ཐེངས་གྲངས་ཐོག་མཚོན། (ཀ) 64
༥། སྟབས་བདེ་བཟོས། 2 (ཀ) (25) × 73 83 × 7
(ཁ) 270
(ཆ) 20 + 30 + 40 (ཏ)
5 8 3 (ད) 45 × a5 b2 4 ×a b
(ཁ) 23 > 52
(ག) 254 ÷ 53 28 × a5 43 × a3
(ན) (23 × 2)2
(ག) 23 × 32 = 65 (ག) 768
(ཁ) 25 × 52 × t8 103 × t 4
(ང) 30 = (1000)0 (ང) 2 × 192
(ག) 35 × 105 × 25 57 × 65
༣་༥ སིལ་གྲངས་ལམ་ལུགས། Decimal number system 47561 ཁ་བཀྲལ་ན།
47561 = 4 × 10000 + 7 × 1000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 1
47561 ནི་ང་ཚོས་ 10 ཡི་ཐེངས་གྲངས་བེད་སྤྱད་དེ་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ།
51
རྩིས་རིག
47561 = 4 × 104 + 7 × 103 + 5 × 102 + 6 × 101 + 1 × 100 (མཆན། 10000 = 104; 1000 = 103; 100 = 102; 10 = 101; 1 = 100)
104278 ཁ་བཀྲལ་ན།
104278 = 1 × 100000 + 0 × 10000 + 4 × 1000 + 2 × 100 + 7 × 10 + 8 × 1 = 1 × 105 + 0 × 104 + 4 × 103 + 2 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100
= 1 × 105 + 4 × 103 + 2 × 102 + 7 × 101 + 8 × 100
༣་༦ གྲངས་ཆེན་པོ་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན་པ། Expressing large numbers in the standard form གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
59 = 5.9 × 10 = 5.9 × 101 590 = 5.9 × 100 = 5.9 × 102 5900 = 5.9 × 1000 = 5.9 × 103 59000 = 5.9 × 10000 = 5.9 × 104
གོང་གི་གྲངས་རྣམས་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན་ཡོད། གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ 1.0 དང་ 10.0 ཡི་དབར་སིལ་གྲངས་ རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ། དེ་འདྲ་བའི་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ལ་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ་ཟེར། དཔེར་ན།
5985 = 5.985 × 1000 = 5.985 × 103 ནི་ 5985 ཡི་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ་རེད།
མཆན། 5985 ནི་ 59.85 × 100 ཡང་ན། 59.85 × 102 ལྟར་ཡང་མཚོན་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། འདི་དག་ཚད་ལྡན་
གྱི་རྣམ་པ་མིན། དེ་བཞིན། 5985 = 0.5985 × 10000 = 0.5985 × 104 ཀྱང་ 5985 ཡི་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་
པ་མིན།
ང་ཚོས་སློབ་ཚན་གྱི་ངོ་སྤྲོད་སྐབས་སྤྱད་པའི་གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན་གྱི་ཡིན། • དགུ་ཚིགས་སྐྱ་མོ་དང་ཉི་མར་དབར་གྱི་བར་ཐག
300,000,000,000,000,000,000 m ནི་
3.0 × 100, 000,000,000,000,000,000 = 3.0 × 1020 m ལྟར་འབྲི་ཆོག
• 40,000,000,000 ལ་དཔེ་བཞག་ན། དེའི་ནང་ཀླད་ཀོར་ 10 ཡོད། དེར་བརྟེན། 40,000,000,000 = 4.0 × 1010
52
• འཛམ་གླིང་གི་གདོས་ཚད།
སྟོན་གྲངས།
= 5,976,000,000,000,000,000,000,000 kg = 5.976 × 1024 kg
• གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་གྱི་གདོས་ཚད། = 86,800,000,000,000,000,000,000,000 kg = 8.68 × 1025 kg
• ཉི་མ་དང་གཟའ་སྤེན་པའི་དབར་གྱི་བར་ཐག་ནི་ 1,433,500,000,000 m ཡང་ན། 1.4335 × 1012 m རེད། གཟའ་སྤེན་པ་དང་གཟའ་རྣམ་རྒྱལ་དབར་གྱི་བར་ཐག་ནི་ 1,439,000,000,000 m ཡང་ན།
1.439 × 1012 m རེད།
ཉི་མ་དང་འཛམ་གླིང་དབར་གྱི་བར་ཐག་ནི་ 149,600,000,000 m ཡང་ན། 1.496 × 1011 m རེད། བར་ཐག་འདི་དག་གསུམ་ལས་ཆུང་ཤོས་གང་ཡིན་ནམ། རྩིས་དཔེ།
༡༢༽ ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) 5985.3
ལན།
(ཁ) 65950
(ག) 3430000
(ང) 70,040,000,000
(ཀ) 5985.3 = 5.985 × 1000 = 5.985 × 103
(ཁ) 65,950 = 6.5950 × 10000 = 6.5950 × 104
(ག) 3,430,000 = 3.43 × 1000000 = 3.43 × 106
(ང) 70,040,000,000 = 7.004 × 10,000,000,000 = 7.004 × 1010
༡། བཀྲལ་བའི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) 20068
(ཁ) 120719
སྦྱོང་ཚན། ༣་༣ (ག) 279404
༢། གཤམ་གསལ་བཀྲལ་བའི་རྣམ་པས་མཚོན་པའི་གྲངས་ཚོལ།
(ང) 2806196
(ཀ) 8 × 104 + 6 × 103 + 0 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100
(ཅ) 3006194
(ཁ) 4 × 105 + 5 × 103 + 3 × 102 + 2 × 100 (ག) 3 × 104 + 7 × 102 + 5 × 100
(ང) 9 × 105 + 2 × 102 + 3 × 101
53
རྩིས་རིག
༣། ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) 70,00,000
(ཁ) 5,00,000,000
(ང) 3,90,878
(ཅ) 39087.8
༤། གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་ནང་གི་གྲངས་རྣམས་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) བོད་པའི་མི་འབོར་ནི་ 6,000,000 རེད།
(ག) 3,18,65,00,000
(ཆ) 3908.78
(ཁ) འཛམ་གླིང་དང་ཟླ་བའི་དབར་གྱི་བར་ཐག་ནི་ 384,000,000 m རེད། (ག) སའི་གོ་ལའི་ཚངས་ཐིག་ནི་ 1,27,56,000 m རེད།
(ང) དགུ་ཚིགས་སྐྱ་མོའི་ནང་ཆ་སྙོམས་སྐར་མ་ 100,000,000,000 ཡོད།
(ཅ) འཇིག་རྟེན་ཁམས་ཆགས་ནས་ལོ་ 12,000,000,000 སོང་བར་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཀློག་ཁག་པོ་དང་། གོ་དོན་རྟོགས་ཁག་པོ། བསྡུར་ཁག་པོ། བེད་སྤྱོད་བྱེད་
ཁག་པོ་ཡོད། གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ལས་སླ་པོ་དང་བསྡུས་པའི་རྣམ་པ་བཟོ་བར། ང་ཚོས་སྟོན་ གྲངས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
༢། གཤམ་གསལ་ནི་གྲངས་འགའི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ཡིན། 10000 = 104; 243 = 35; 128 = 27
འདིར། 10 དང་། 3, 2 བཅས་ནི་ཞབས་གྲངས་དང་། 4 དང་། 5, 7 བཅས་ནི་ཞབས་གྲངས་
སོ་སོའི་སྟོན་གྲངས་རེད།
༣། སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས།
ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ a དང་ b དང་། ཧྲིལ་གྲངས་ m དང་ n ལས། (ཀ) am × an = am + n
(ག) (am)n = amn
((
am (ཅ) a ÷ b = b m
m
(ཇ) (−1)ཆ་གྲངས། = 1
(−1)ཡ་གྲངས། = −1
54
(ཁ) am ÷ an = am − n, m>n
(ང) am × bm = (ab)m (ཆ) a0 = 1
སློབ་ཚན་བཞི་པ།
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
༤་༡ སྡུར་ཚད་དང་བརྒྱ་ཆའི་དྲན་གསོ། Recalling ratios and percentages
ང་ཚོས་རིགས་མཚུངས་གྲངས་འབོར་གཉིས་བགོས་ཏེ་བསྡུར་ན། དེ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་སྟོན་གྱི་ཡོད། སླེ་པོ་ཞིག་གི་ནང་ཤིང་ཏོག་སྣེ་ཁ་གཉིས་ཡོད། ཀུ་ཤུ་ 20 དང་ཚ་ལུ་མ་ 5 ཡོད་པ་ཆ་འཇོག ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་དང་ཀུ་ཤུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 5 : 20
ང་ཚོས་དེ་གྲངས་ཆའི་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ། 5 : 20 = 5 = 1 20 4 ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་ནི་ཀུ་ཤུའི་གྲངས་ཀྱི་ 1 རེད། དེ་སྡུར་ཚད་ 1 : 4 ལྟར་འབྲི་ཆོག དེ་ཀློག་སྐབས་ 1 སྡུར་ 4 ཞེས་ཀློག་ 4 དགོས། ཡང་ན། 4 ཀུ་ཤུའི་གྲངས་ལ་ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 20 = 5 1 དེའི་དོན་ནི། ཀུ་ཤུའི་གྲངས་ནི་ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་ཀྱི་ལྡབ་ བཞི་ཡིན། དེ་བརྒྱ་ཆ་བེད་སྤྱད་ནས་ཀྱང་བསྡུར་ཐུབ། ཤིང་ཏོག་ 25 ལས་ཚ་ལུ་མ་ 5 ཡོད། དེས་ན། ཚ་ལུ་མའི་བརྒྱ་ཆ་ནི།
20 = 20 % 5 × 1 25 4 = 100 [མ་ཆ་ 100 བཟོས་པ།]
སླེ་པོའི་
ཡང་ན།
རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས།
ཤིང་ཏོག་ 25 ལས་ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་ 5 ཡིན།
དེས་ན། ཤིང་ཏོག་ 100 ལས་ཚ་ལུ་མའི་གྲངས། = 5 × 100 = 20 25
ནང་ཀུ་ཤུ་དང་ཚ་ལུ་མ་ཁོ་ན་ལས་མེད་པས།
དེས་ན། ཀུ་ཤུའི་བརྒྱ་ཆ་ + ཚ་ལུ་མའི་བརྒྱ་ཆ་ = 100
ཡང་ན། ཀུ་ཤུའི་བརྒྱ་ཆ་ + 20 = 100
ཡང་ན། ཀུ་ཤུའི་བརྒྱ་ཆ་ = 100 − 20 = 80
དེར་བརྟེན། སླེ་པོའི་ནང་ཚ་ལུ་མ་ 20 % དང་ཀུ་ཤུ་ 80 % ཡོད།
55
རྩིས་རིག
རྩིས་དཔེ།
༡༽ སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སློབ་མ་རྣམས་གླིང་ཁར་འགྲོ་འཆར་ཡོད། འཛིན་གྲྭའི་ནང་བུ་མོ་ 18 ཡོད། དེ་ནི་ཁྱོན་བསྡོམས་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་ 60 % ཡིན།
གླིང་ཁ་གཏོང་ས་ནི་སློབ་གྲྭ་ནས་ 55 km ཡི་བར་ཐག་ལ་ཡོད། སྐྱེལ་འདྲེན་ཆེད་ཀི་ལོ་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 12 གནས་ ཀྱི་ཡོད། ཞལ་ལག་ཆེད་ཁྱོན་བསྡོམས་ ` 4280 གནས་ཀྱི་ཡོད།
ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་རྒྱོབ།
༡། འཛིན་གྲྭའི་ནང་བུ་མོའི་གྲངས་དང་བུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད།
༢། གལ་ཏེ་རྒན་ལགས་གཉིས་སློབ་ཕྲུག་མཉམ་དུ་གླིང་ཁར་ཕྱིན་པ་ཡིན་ན། མི་རེའི་འགྲོ་གྲོན་ཚོལ།
ལན།
༣། གལ་ཏེ་ཁོ་ཚོས་སློབ་གྲྭ་ནས་བར་ཐག་ 22 km སར་ཚ་ཕོག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན། དེ་ཁྱོན་བསྡོམས་བར་ཐག་ 55 km ཡི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་རེད་དམ། ད་དུང་བར་ཐག་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་བསྐྱོད་དགོས་སམ།
༡། བུ་མོ་དང་བུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་འཚོལ་བར། བློ་བཟང་དང་ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྱས་ཡོད། ཁོ་ཚོས་བུའི་གྲངས་དང་ཁྱོན་བསྡོམས་སློབ་མའི་གྲངས་འཚོལ་དགོས། བློ་བཟང་།
ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་བེད་སྤྱད་དེ།
ཁྱོན་སློབ་མའི་གྲངས་ x ཡིན་ན། x ཡི་ 60 % ནི་བུ་མོ་རེད།
དེར་བརྟེན། x ཡི་ 60 % = 18
60 100 × x = 18 ཡང་ན། x = 18 × 100 = 30 60 དེར་བརྟེན། སློབ་མའི་གྲངས་ = 30
ཡང་ན།
སློབ་མའི་གྲངས་ = 30, བུ་མོའི་གྲངས་ = 18 དེས་ན། བུའི་གྲངས་ = 30 − 18 = 12
སློབ་མ་ 100 ལས་ 60 བུ་མོ་རེད། 100 སློབ་མ་ 60 ལས་བུ་མོ་ 1 རེད། དེས་ན། སློབ་མ་ག་ཚོད་ལས་བུ་མོ་ 18 རེད་དམ། 100 སློབ་མའི་གྲངས་ = 60 × 18 = 30 དེར་བརྟེན། སློབ་མའི་གྲངས་ = 30
དེར་བརྟེན། བུ་མོའི་གྲངས་དང་བུའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ = 18 : 12 ཡང་ན། 18 = 3 12 2 3 ནི་ 3 : 2 ལྟར་འབྲི་བ་དང་། དེ་ 3 སྡུར་ 2 ཞེས་ཀློག་དགོས། 2
56
༢། མི་རེའི་འགྲོ་གྲོན་འཚོལ་བར།
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
སྐྱེལ་འདྲེན་གྱི་རིན་འབབ་ = འགྲོ་ལམ་གཉིས་ཀྱི་བར་ཐག × གོང་ཚད། = (55 × 2) × 12 = 110 × 12 = ` 1320
ཁྱོན་བསྡོམས་འགྲོ་གྲོན་
= ཞལ་ལག་གི་རིན་འབབ་ + སྐྱེལ་འདྲེན་གྱི་རིན་འབབ།
ཁྱོན་བསྡོམས་མི་གྲངས་
= བུ་མོ་ 18 + བུ་ 12 + དགེ་རྒན་ 2
= ` 4280 + ` 1320 = ` 5600
= 32
རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་སྤྱད་ན།
མི་ 32 ལ་འགྲོ་སོང་ = ` 5600 མི་ 1 ལ་འགྲོ་སོང་ = ` 5600 32 = ` 175 དེར་བརྟེན། མི་རེར་ ` 175 གནས་ཀྱི་ཡོད།
༣། ཚ་ཕོག་རྒྱག་པའི་བར་ཐག = 22 km བར་ཐག་གི་བརྒྱ་ཆ་འཚོལ་བར།
དབང་མོས་འདི་ལྟར་བྱེད་པ་རེད།
22 = 22 × 100 = 40 % 55 55 100 ཁོས་སྡུར་ཚད་ལ་ 100 ཡིས་ 100 བསྒྱུར་ཏེ་བརྒྱ་ཆ་ལ་ཕབ་སྒྱུར་ བྱས་ཡོད།
ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་བེད་སྤྱད་ཡོད།
ཡང་ན།
བར་ཐག་ 55 km ནས་ 22 km བསྐྱོད་ཡོད། 1 km ནས་ 22 km བསྐྱོད་ཡོད། 55 100 km ནས་ 22 × 100 km = 40 km བསྐྱོད་ཡོད། 55 དེ་ནི། ཁྱོན་བར་ཐག་གི་ 40 % བསྐྱོད་ཡོད།
དེར་བརྟེན། ད་དུང་བསྐྱོད་དགོས་པའི་བར་ཐག་གི་བརྒྱ་ཆ་ = 100 − 40 = 60
57
རྩིས་རིག
རྩིས་དང་།
གཞི་རིམ་འོག་མའི་སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་། ཕ་མ་རྣམས་ལ་ཉིན་ལྟར་རང་གི་ཕྲུ་གུའི་རང་སྦྱོང་ཆེད་དུས་ཚོད་ག་ 1 1 ཚོད་གཏོང་གི་ཡོད་མིན་དྲིས་པར། ཆུ་ཚོད་ 2 ནས་ 1 2 བར་དུས་ཚོད་གཏོང་མཁན་ཕ་མ་ 90 འདུག
གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ནང་ཕ་མ་སོ་སོས་དུས་ཚོད་བཏང་བ་བཞིན་བགོས་ཡོད། 1 20 % ཡིས་ཉིན་རེར་ཆུ་ཚོད་ 1 2 ལས་མང་བ་གཏོང་གི་ཡོད། 1 1 30 % ཡིས་ཆུ་ཚོད་ 2 ནས་ 1 2 བར་གཏོང་གི་ཡོད། 50 % ཡིས་དུས་ཚོད་གཏོང་གི་མེད། གནས་ཚུལ་འདི་བེད་སྤྱད་དེ། གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་རྒྱོབ། (ཀ) ཕ་མ་ག་ཚོད་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས་ཡོད་དམ།
1
དུས་ཚོད་གཏོང་ གི་མེད།
50% 30% 1
ཆུ་ཚོད་ ནས 1 (ཁ) ཕ་མ་ག་ཚོད་ཀྱིས་དུས་ཚོད་གཏོང་གི་མེད་དམ། 2 2 1 (ག) ཕ་མ་ག་ཚོད་ཀྱིས་ཚུ་ཚོད་ 1 2 ལས་མང་བ་གཏོང་གི་འདུག་ གམ།
༡། གཤམ་གསལ་ཁག་གི་སྡུར་ཚད་ཚོལ།
20% 1 ཆུ་ཚོད་ 1 ལས་མང་བ། 2
སྦྱོང་ཚན། ༤་༡
(ཀ) རྐང་འཁོར་གྱི་མྱུར་ཚད་ཆུ་ཚོད་རེར་ 15 km དང་སྦག་སྦག་གི་མྱུར་ཚད་ཆུ་ཚོད་རེར་ 30 km (ཁ) 5 m དང་ 10 km
༢། གཤམ་གསལ་སྡུར་ཚད་རྣམས་བརྒྱ་ཆར་སྒྱུར། (ཀ) 2 : 3
(ག) སྐར་མ་ 50 དང་ཆུ་ཚོད་ 5
(ཁ) 3 : 4
༣། སློབ་ཕྲུག་ 20 ནས་ 70% ཨང་རྩིས་ལ་དགའ་མོས་ཡོད། བྱས་ན་སློབ་ཕྲུག་ག་ཚོད་ཨང་རྩིས་ལ་དགའ་པོ་མེད།
༤། རྐང་པོལ་རུ་ཁག་གཅིག་གིས་རྩེད་འགྲན་ 10 ཐོབ་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོ་ཚོའི་རྒྱལ་ཁ་ཐོབ་པའི་བརྒྱ་ཆ་ནི་ 40 ཡིན་ན། ཁོ་ཚོས་ཁྱོན་བསྡོམས་རྩེད་འགྲན་ཐེངས་ག་ཚོད་རྩེད་ཡོད་དམ།
༥། གལ་ཏེ་བདེ་སྐྱིད་ཀྱིས་རང་གི་དངུལ་ 75% འགྲོ་སོང་བཏང་རྗེས་ ` 600 ལྷག་ཡོད་ན། ཐོག་མར་བདེ་སྐྱིད་ལ་
58
དངུལ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
༦། གྲོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་ནང་མི་ 60 % རྐང་པོལ་དང་། 30 % ཁི་རི་ཀེཊ། ལྷག་མ་རྣམས་རྩེད་མོ་གཞན་ལ་དགའ་པོ་ཡོད།
བྱས་ན་རྩེད་མོ་གཞན་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ། གལ་ཏེ་གྲོང་ཁྱེར་དེར་མི་འབུམ་ 50 ཡོད་ན། རྩེད་མོ་
རིགས་རེ་རེ་ལ་དགའ་མཁན་གྱི་མི་གྲངས་སོ་སོར་ཚོལ།
༤་༢ འཕར་བ་དང་ཆག་པའི་བརྒྱ་ཆ། Increase or decrease as percent ང་ཚོའི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་གཤམ་གྱི་གནས་ཚུལ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། (༡) ཁྲོམ་རའི་གོང་ཚད་སྟེང་ཆག་ཡང་ 25 %
(༢) རྡོ་སྣུམ་གྱི་གོང་ཚད་ 10 % ཡི་འཕར་བ།
ང་ཚོས་དེ་འདྲ་བའི་དཔེ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། རྩིས་དཔེ།
༢༽ སྔ་ལོ་ཀམ་པུ་ཊར་ཞིག་གི་གོང་ཚད་ནི་ ` 34,000 ཡིན། འདི་ལོ་དེའི་གོང་ཚད་ 20 % ཡིས་འཕར་ཡོད་ན། ལན།
འདི་ལོའི་གོང་ཚད་ཚོལ།
པད་མས་དང་པོ་གོང་ཚད་འཕར་བ་དེ་བཙལ་བ་རེད། དེ་ནི་ ` 34,000 ཡི་ 20 % རེད།
20 ` 34000 ཡི་ 20 % = ` 100 × 34,000
20 % འཕར་བའི་དོན་ནི།
` 100 ནི་ ` 120 ལ་འཕར་བ་རེད། ཡང་ན། དེས་ན། ` 34,000 ནི་ག་ཚོད་ལ་འཕར་གྱི་
= ` 6,800
དེ་རྗེས་གོང་ཚད་གསར་པ་བཙལ་བ་རེད།
ཟླ་བས་རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་བེད་སྤྱད་པ་རེད།
གོང་ཚད་གསར་པ་ = གོང་ཚད་རྙིང་པ་ + འཕར་བ། = ` 34,000 + ` 6,800 = ` 40,800
རེད་དམ།
གོང་ཚད་གསར་པ་ = ` 120 × 34,000 100 = ` 40,800
དེ་མཚུངས། གོང་ཚད་ལ་བརྒྱ་ཆ་ཆག་པའི་སྐབས། གོང་ཚད་ཆག་པ་དེ་བཙལ་རྗེས་དེ་གོང་ཚད་རྙིང་པ་ནས་འཐེན་དགོས།
ཀམ་པུ་ཊར་བྲིན་པའི་ཆེད་དེའི་གོང་ཚད་ 5 % ཆག་ཡང་བཏང་ཡོད་པ་ཆ་ཞོག ཀམ་པུ་ཊར་གྱི་གོང་ཚད་ = ` 34,000
གོང་ཚད་ཆག་པ་ = ` 34,000 ཡི་ 5 % = ` 5 × 34,000 100 = ` 1700
59
རྩིས་རིག
གོང་ཚད་གསར་པ་ = རྙིང་པ་ − ཆག་པ།
= ` 34,000 − ` 1,700 = ` 32,300
༤་༣ གཅོག་ཆ། Discount
དངོས་པོ་ཞིག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ (Marked Price) སྟེང་ ཆག་ཡང་བཏང་བ་དེ་ལ་གཅོག་ཆ་ (Discount) ཟེར། སྤྱིར་བཏང་
25% oFF
ཆག་ཡང་ནི་ཉོ་མཁན་གྱི་ཡིད་འཕྲོག་སྟེ་ཅ་ལག་ཉོ་བའི་ཆེད་དམ་
SALE
SAL
E
ཡང་ན། ཚོང་འབབ་གོང་སྤེལ་གཏོང་ཆེད་སོགས་ཀྱི་ཆེད་ཡིན།
FF 50% o
ཁྱེད་ཀྱི ས ་ཐོ ་ གསལ་གོ ང ་ཚད་ནས་ཚོ ང ་སྒྱུར་རི ན ་གོ ང ་འཐེ ན ་ཏེ ་ གཅོག་ཆ་འཚོལ་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། གཅོག་ཆ་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ (MP) − ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། (SP) རྩིས་དཔེ།
༣༽ ཁྲོམ་རའི་གོང་ཚད་ ` 840 ཡིན་པའི་རྐུབ་བཀྱག་གཅིག་ ` 714 ལ་བཙོངས་ཡོད། རྐུབ་བཀྱག་དེའི་གཅོག་ཆ་ དང་གཅོག་ཆའི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
ལན། རྐུབ་བཀྱག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ (MP) = ` 840
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (SP) = ` 714
དེར་བརྟེན། གཅོག་ཆ་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ − ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། = ` 840 − ` 714 = ` 126
མཆན། གཅོག་ཆ་ནི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་སྟེང་ཡིན་པས། མ་ཆ་ལ་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་འཇོག་དགོས།
ཁྲོམ་རའི་གོང་ཚད་ ` 840 ལ་གཅོག་ཆ་ ` 126 རེད།
ཁྲོམ་རའི་གོང་ཚད་ ` 100 ལ་གཅོག་ཆ་ག་ཚོད་རེད་དམ། གཅོག་ཆ་ % =
60
གཅོག་ཆ།
ཐོ་གསལ་གོང་ཚད།
× 100
གཅོག་ཆ་ = 126 × 100 = 15 % 840 དེར་བརྟེན། རྐུབ་བཀྱག་གི་གཅོག་ཆ་ནི་ ` 126 དང་དེ་ནི་ 15 % རེད།
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
༤༽ གྱོན་གོས་ཤིག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ནི་ ` 420 ཡིན། དེ་ 20 % གཅོག་ཆ་བྱས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད་ན། གྱོན་གོས་ དེའི་གཅོག་ཆ་དང་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།
ལན། གྱོན་གོས་ཀྱི་ MP = ` 420 གཅོག་ཆ་ % = 20 %
གཅོག་ཆ་ = ` 420 ཡི་ 20 % = ` 20 × 420 = ` 84 100 ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (SP) = ཐོ་གཞུང་གོང་ཚད་ − གཅོག་ཆ།
20% ཆག་ཡང་།
` 420
= ` 420 − ` 84 = ` 336
༥༽ ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ཞིག་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ལས་ 15 % གཅོག་ཆ་བྱས་ཏེ་ ` 4,420 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། དེའི་ ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།
ལན། ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གྱི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` x ཡིན་ན། གཅོག་ཆ་ = ` x ཡི་ 15% = ` x × 15 = ` 15 x 100 100
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ − གཅོག་ཆ། 4,420 = x − 15 x 100 4,420 = x 1 − 15 100 4,420 = x 85 100 x = 4,420 × 100 85 x = 5,200
( ( ( (
དེར་བརྟེན། ལག་ཐོགས་ཁ་པར་གྱི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ནི་ ` 5,200 རེད།
རྩིས་དང་།
༡། ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་གཅོག་ཆ་ 20 % སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། གཤམ་གསལ་ཁག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ། (ཀ) ཞྭ་མོའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 120
(ག) ལྷམ་ཆ་གཅིག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 750
(ཁ) དཔེ་ཁུག་གི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 250
(ང) བང་ཁྲིའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 1000
61
རྩིས་རིག ༢། ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 15,000 ཡིན་པའི་ཅོག་ཙེ་ཞིག་ ` 14,400 ལ་བཅོངས་ཡོད་ན། ཅོག་ཙེ་དེའི་གཅོག་ ཆ་དང་དེའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༣། རྐང་འཁོར་ཞིག་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ལས་ 5% གཅོག་ཆ་བྱས་ཏེ་ ` 5,225 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། རྐང་འཁོར་ དེའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།
༤་༤ ཁེ་དང་གྱོང་། Profit and loss
ངས་སློབ་གྲྭའི་ཁྲོམ་འདུས་ལ་མིག་བཙུམ་རྒྱན་སྒྲུག་གི་ཁྲོམ་སྟེགས་ཤིག་འཛུགས་འཆར་ཡོད།
མིག་བཙུམ་རྒྱན་སྒྲུག་རེར་ ` 10 རེད། ཡིན་ནའང་། ངས་ ` 5 ཡིན་པའི་དངོས་པོ་ཉོ་འཆར་ཡོད། བྱས་ན་ཁྱེད་ལ་ཁེ་ 100 % འབྱུང་གི་རེད།
མ་རེད། ངས་ ` 3 ལག་རྟགས་ཀྱི་ཐུམ་ཤོག་ལ་འགྲོ་གྲོན་གཏོང་གི་ཡིན། དེས་ན། ངའི་ཁྱོན་བསྡོམས་ འགྲོ་གྲོན་ ` 8 རེད། དེར་བརྟེན། ང་ལ་ཁེ་ ` 2 འབྱུང་གི་རེད། དེ་ནི། 2 × 100 = 25 % 8
སྐབས་འགར་ང་ཚོས་དངོས་པོ་ཉོ་སྐབས་སམ་ཡང་ན་མ་བཙོང་གོང་འགྲོ་སོང་འཕར་མ་གཏོང་དགོས་ ཀྱི་ཡོད། འགྲོ་སོང་འདི་དག་མ་གནས་རིན་གོང་ནང་འཚུད་ཀྱི་ཡོད།
འགྲོ་སོང་འདི་དག་ལ་འགྲོ་གྲོན་འཕར་མ་ (Overhead Expenses) ཟེར། དཔེར་ན། བཟོ་བཅོས་ རྒྱག་པ་དང། སྐྱེལ་འདྲེན་པའི་གླ་སོགས་འགྲོ་གྲོན་འཕར་མའི་རིགས་ཡིན།
༤་༤་༡ མ་གནས་རིན་གོང་དང་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། ཁེའི་ % དང་གྱོང་གི་ % བཅས་འཚོལ་བ། Finding cost price/selling price, profit % / loss % རྩིས་དཔེ།
༦༽ བྱང་ཆུབ་ཀྱིས་ ` 4,500 སྤྲད་དེ་འཁྱག་སྒམ་རྙིང་པ་ཞིག་ཉོས་པ་རེད། དེའི་བཟོ་བཅོས་ཆེད་འགྲོ་སོང་ ` 1500 བཏང་ཡོད། ཕྱིས་སུ་དེ་ ` 5,400 ལ་བཙོངས་ཡོད་ན། བྱང་ཆུབ་ལ་ཁེའམ་གྱོང་ག་ཚོད་བྱུང་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
ལན། མ་གནས་རིན་གོང་ནང་འགྲོ་གྲོན་འཕར་མའི་རིགས་འཚུད་དགོས་པར་བརྟེན།
62
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
མ་གནས་རིན་གོང་ (CP) = ` 4,500 + ` 1,500 = ` 6,000
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ (SP) = ` 5,400
འདིར། SP < CP ཡིན་པས། ཁོང་ལ་གྱོང་ = ` 6,000 − ` 5,400 = ` 600 རག་ཡོད།
` 6,000 ལ་གྱོང་ ` 600 རེད། འོ་ན་ ` 100 ལ་གྱོང་ག་ཚོད་རེད་དམ། གྱོང་ % = 600 × 100 = 60 = 10 % 6000 6 Loss Loss % = CP × 100 དེར་བརྟེན། བྱང་ཆུབ་ལ་གྱོང་ 10 % རག་ཡོད།
༧༽ ཚོང་བདག་གཅིག་གིས་ཤེལ་རྡོག་རེ་ལ་ ` 10 སྤྲད་དེ་ཤེལ་རྡོག་ 200 ཉོས་པ་རེད། ཡིན་ནའང་། ཤེལ་རྡོག་ 5
ཚིག་ནས་གཡུག་དགོས་བྱུང་ཡོད། ཤེལ་རྡོག་ལྷག་མ་རེར་ ` 12 བྱས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད་ན། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་ གྱོང་བྱུང་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
ལན། ཤེལ་རྡོག་ 200 ཡི་མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 10 × 200 = ` 2000
ཤེལ་རྡོག་ 5 ཚིག་ཡོད། དེར་བརྟེན། ཤེལ་རྡོག་ལྷག་མའི་གྲངས་ = 200 − 5 = 195 ཤེལ་རྡོག་ལྷག་མ་རེ་ལ་ ` 12 བྱས་ཏེ་བཙོངས་ཡོད།
ཤེལ་རྡོག་ 195 ཡི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ = ` 12 × 195 = ` 2340
འདིར། SP > CP ཡིན་པས། ཁེ་ = ` 2340 − ` 2000 = ` 340
` 2000 ལ་ཁེ་ ` 340 རེད། འོ་ན་ ` 100 ལ་ཁེ་ག་ཚོད་རེད་དམ། ཁེ་ % = 340 × 100 = 17 % 2000 དེར་བརྟེན། ཚོང་བདག་ལ་ཁེ་ 17 % བྱུང་ཡོད།
Profit Profit % = CP × 100
༨༽ བརན ྩོ ་འགྲུས་ཀྱིས་རྐང་འཁོར་རེ་ལ་ ` 1200 སྤྲད་དེ་རྐང་འཁོར་གཉིས་ཉོས་པ་རེད། ཁོས་རྐང་འཁོར་གཅིག་གྱོང་
5 % ཐོག་བཙོངས་པ་དང་གཞན་དེ་ཁེ་ 10 % ཐོག་བཙོངས་ཡོད་ན། རྐང་འཁོར་རེ་རེའི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ ཚོལ། ཁེའམ་ཡང་ན་གྱོང་ག་ཚོད་བྱུང་བ་ཡང་ཚོལ།
ལན། རྐང་འཁོར་རེའི་ CP = ` 1200
རྐང་འཁོར་གཅིག་གྱོང་ 5 % ཐོག་བཙོངས་ཡོད།
དེ་ནི། གལ་ཏེ་ CP = ` 100 ཡིན་ན། SP = ` 95 རེད། དེར་བརྟེན། CP = ` 1200 ཡིན་ན། SP = `
95 × 1200 = ` 1140 100
63
རྩིས་རིག
རྐང་འཁོར་གཉིས་པ་དེ་ཁེ་ 10 % ཐོག་བཙོངས་ཡོད།
དེ་ནི། གལ་ཏེ་ CP = ` 100 ཡིན་ན། SP = ` 110 རེད།
དེར་བརྟེན། CP = ` 1200 ཡིན་ན། SP = ` 110 × 1200 = ` 1320 100
ཁེའམ་ཡང་ན་གྱོང་ག་ཚོད་བྱུང་བ་འཚོལ་བར། ང་ཚོས་ཁྱོན་བསྡོམས་ CP དང་ SP འཚོལ་དགོས།
CP = ` 1200 + ` 1200 = ` 2400 SP = ` 1140 + ` 1320 = ` 2460
SP > CP ཡིན་པས། ཁེ་ = ` 2460 − ` 2400 = ` 60 དེར་བརྟེན། བརྩོན་འགྲུས་ལ་ཁེ་ ` 60 བྱུང་ཡོད།
རྩིས་དང་།
ཚོང་བདག་གིས་བརྙན་འཕྲིན་རེར་ ` 10,000 སྤྲད་དེ་བརྙན་འཕྲིན་གཉིས་ཉོས་པ་རེད། ཁོས་བརྙན་འཕྲིན་
གཅིག་ཁེ་ 10 % དང་གཞན་དེ་གྱོང་ 10 % ཐོག་བཙོངས་པ་རེད། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་གྱོང་བྱུང་བ་ཚོལ།
༤་༥ དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁྲལ། Goods and Services Tax (GST)
རྒན་ལགས་ཀྱིས་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གཤམ་གསལ་འགོ་བརྗོད་ཡོད་པའི་འཛིན་ཤོག་ཅིག་བསྟན་པ་རེད། ཨང་གྲངས།
འཛིན་ཨང་། སྣེ་ཁ། ཁྱོན།
ཐོ་གཞུང་།
གྲངས་འབོར།
ཐོབ་འཛིན་དངུལ། + GST (5 %)
ཚེས།
གོང་ཚད།
དངུལ་འབོར།
དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁྲལ་ནི་ང་ཚོས་དངོས་པོ་ཉོ་བའི་སྐབས་སྤྲད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ཚོང་བདག་གིས་ཉོ་མཁན་གྱི་ལག་ནས་
བསྡུས་ཏེ་གཞུང་ལ་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁྲལ་ནི་རྟག་ཏུ་དངོས་པོ་ཞིག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་ གོང་སྟེང་ཡིན་པ་དང་དེ་ཐོབ་འཛིན་གྱི་དངུལ་གྱི་སྒང་ལ་བསྡོམ་དགོས། ཡིན་ནའང་། དེང་སང་དངོས་པོའི་གོང་ཚད་ མཉམ་དུ་ཁྲལ་ཡང་ཚུད་ཀྱི་ཡོད། ཁྲལ་འདི་དག་ལ་དངོས་པོ་དང་ཞབས་ཞུའི་ཁྲལ་ (GST) ཟེར།
64
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
རྩིས་དཔེ།
༩༽ ཚོང་ཁང་ཞིག་ལ་འཁོར་ལྷམ་ཆ་གཅིག་གི་རིན་གོང་ ` 4500 རེད། ཚོང་ ཁྲལ་ 5 % ཡིན་ན། ཚོང་པས་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་ཚོལ།
ལན། ` 100 ལ་ཁྲལ་ ` 5 སྤྲད་པ་རེད།
` 4500 ལ་སྤྲད་པའི་ཁྲལ་ = ` 4500 × 5 100 = ` 225
ཚོང་པས་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར། = ` 4500 + ` 225 = ` 4725
༡༠༽ ཉི་མས་གྲང་འཁོར་ཞིག་ལ་ ` 3300 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་དང་། དེའི་ནང་ཁྲལ་ 10 % ཚུད་ཡོད། ཁྲལ་མ་ཚུད་སྔོན་ལ་གྲང་འཁོར་དེའི་གོང་ཚད་ཚོལ།
ལན། གོང་ཚད་ནང་ཁྲལ་ 10 % ཚུད་ཡོད།
ཁྲལ་ཕུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 100 ཡིན་ན། ཁྲལ་ཚུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 110 རེད།
ཁྲལ་ཚུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 110 ལ་མ་གནས་རིན་གོང་ ` 100 རེད། དེས་ན། ཁྲལ་ཚུད་པའི་གོང་ཚད་ ` 3300 ལ། 100 མ་གནས་རིན་གོང་ = ` 3300 × 110 = ` 3000
དེར་བརྟེན། ཁྲལ་མ་ཚུད་སྔོན་ལ་གྲང་འཁོར་དེའི་གོང་ཚད་ནི་ ` 3000 རེད། ཡང་ན།
མ་གནས་རིན་གོང་། = ` 3300 − ` 300 = ` 3000
རྩིས་དང་།
སྒྲུང་དེབ་གཅིག་ལ་ ` 210 སྤྲད་དེ་ཉོ་སྐབས། དེའི་ནང་ཁྲལ་ 5 % ཚུད་ཡོད་ན། དེའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།
65
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༤་༢
༡། ཚེ་རིང་གི་གླ་ཕོགས་ 10 % འཕར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོང་གི་གླ་ཕོགས་གསར་པ་དེ་ ` 1,54,000 ཡིན་ན། ཁོང་གི་ གླ་ཕོགས་རྙིང་པ་ཚོལ།
༢། རེས་གཟའ་ཉི་མའི་ཉིན་མི་ 845 སྤྱན་གཟིགས་ཁང་ལ་ཕྱིན་པ་རེད། རེས་གཟའ་ཟླ་བའི་ཉིན་མི་ 169 ལས་ཕྱིན་ མེད་ན། རེས་གཟའ་ཟླ་བར་འགྲོ་མཁན་གྱི་བརྒྱ་ཆ་ག་ཚོད་ཀྱི་ཉུང་དུ་ཕྱིན་ཡོད་དམ།
༣། ཚོང་བདག་གཅིག་གིས་ཅ་དངོས་ 80 ལ་ ` 2,400 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་དང་། དེ་དག་ལ་ཁེ་འབབ་ 16 % བླངས་ཏེ་ བཙོངས་ཡོད་ན། ཅ་དངོས་གཅིག་གི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།
༤། པར་ཆས་ཤིག་གི་རིན་གོང་ ` 15,500 ཡིན་པ་དང་དེའི་བཟོ་བཅོས་རྒྱག་ཆེད་ ` 450 ཕྱིན་པ་ རེད། གལ་ཏེ་པར་ཆས་དེ་ 15 % ཁེ་ཐོག་བཙོངས་ཡོད་ན། པར་ཆས་ཀྱི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཚོལ།
༥། ཆ་སྒམ་དང་འཁྱག་སྒམ་རེ་ལ་ ` 8,000 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་རེད། ཚོང་བདག་གིས་ཆ་སྒམ་ 4 % གྱོང་དང་འཁྱག་ སྒམ་ 8 % ཁེ་ཐོག་བཙོངས་ཡོད་ན། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་གྱོང་བྱུང་བའི་བརྒྱ་ཆ་ཚོལ།
༦། ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་དངོས་པོ་ཚང་མའི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་སྟེང་གཅོག་ཆ་ 10 %
བཏང་ཡོད། བདེ་སྐྱོང་གིས་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ ` 1450 ཡིན་པའི་ལྭ་རིང་གཅིག་ དང་སྟོད་ཐུང་ལ་ ` 850 ཡིན་པའི་སྟོད་ཐུང་གཉིས་ལ་དངུལ་ག་ཚོད་སྤྲོད་དགོས་ སམ།
༧། ཆོས་ལྡན་གྱིས་བ་ཕྱུགས་རེ་ལ་ ` 20,000 བྱས་ཏེ་བ་ཕྱུགས་གཉིས་བཙོངས་པ་རེད། གཅིག་ལ་ 5 % ཁེ་དང་གཞན་ དེ་ལ་ 10 % གྱོང་བྱུང་ཡོད། ཁོང་ལ་ཁེའམ་ཡང་ན་གྱོང་བྱུང་བ་ཚོལ།
༨། བརྙན་འཕྲིན་ཞིག་གི་གོང་ཚད་ ` 13,000 རེད། དེའི་སྟེང་ཁྲལ་ 10 % སྤྲོད་དགོས། གལ་ཏེ་རྒྱལ་མཚན་གྱིས་ བརྙན་འཕྲིན་དེ་ཉོས་ན་དངུལ་ག་ཚོད་སྤྲད་དགོས་སམ།
༩། སྒྲོལ་མས་ཚོང་ཁང་ཞིག་ནས་གཅོག་ཆ་ 20 % བཏང་བའི་ལྷམ་ཆ་གཅིག་ཉོས་པ་རེད། གལ་ཏེ་ཁོ་མོས་སྤྲད་པའི་ དངུལ་ནི་ ` 1,600 ཡིན་ན། ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཚོལ།
༡༠། ངས་ཆུ་ཚགས་ཤིག་ལ་ ` 5,400 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་ཡིན། དེའི་ནང་ 8 % ཁྲལ་ཚུད་ཡོད། ཁྲལ་མ་བསྡོམས་གོང་ལ་
66
ཆུ་ཚགས་ཀྱི་གོང་ཚད་ཚོལ།
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
༤་༦ མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། Simple interest
ང་ཚོས་མོ་ཊ་གསར་པ་ཞིག་ཉོ་ཡས་རེད།
མོ་ཊ་ཉོ་བར་ཁྱེད་ཚོར་དངུལ་ཡོད་དམ།
ཁྱེད་ཀྱིས་དངུལ་ཁང་ནས་དུས་ངེས་ཅན་ཞིག་གི་རིང་དངུལ་གཡར་བ་ན། གཡར་བའི་དངུལ་དང་མཉམ་དུ།
ངའི་ཨ་མ་ལགས་ཀྱིས་དངུལ་
ཁང་ནས་བུ་ལོན་ལེན་གྱི་རེད།
ཁྱེད་ཀྱིས་དུས་ཚོད་རྫོགས་མཚམས་དེ་སྔོན་
དངུལ་ཁང་གི་དངུལ་བེད་སྤྱོད་བཏང་གླའི་ཆེད་དངུལ་འཕར་མ་ཡང་སྤྲོད་དགོས་ཀྱི་
ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་བུ་ལོན་བླངས་པའི་དངུལ་དེར་མ་དངུལ་ (Principal) དང་དངུལ་འཕར་མ་ཕྱིར་སློག་བྱས་པ་དེ་ལ་སྐྱེད་
ཀ་ (Interest) ཟེར། དུས་ཡུན་ཁ་གསལ་རྗེས་ཕྱིར་སློག་བྱས་པའི་བསྡོམས་འབོར་ལ་དངུལ་འབོར་ (Amount) ཟེར། དེས་ན།
དངུལ་འབོར་ = མ་དངུལ་ + སྐྱེད་ཀ
སྐྱེད་ཀ་ནི་ལོ་རེའི་བརྒྱ་ཆའི་ཐོག་སྟོན་གྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ལོ་རེར་ 10 % ཡང་ན། 10 % p.a. (per annum) སོགས་ཡིན། འདིར། 10 % ནི་སྐྱེད་ཚད་ (Rate) རེད། རྩིས་དཔེ།
༡༡༽ དཔལ་སྐྱིད་ཀྱིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 15 % ཐོག་ ` 5,000 བུ་ལོན་བླངས་པ་རེད། ལོ་གཅིག་རྗེས་ཁོ་མོས་སྐྱེད་ ཀ་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་སྤྲོད་དགོས་སམ།
ལན། མ་དངུལ་ = ` 5,000 ; སྐྱེད་ཚད་ = ལོ་རེར་ 15 %
དེའི་དོན་ནི། ` 100 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ = ` 15 15 དེར་བརྟེན། ` 5,000 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ = ` 100 × 5000 = ` 750
དེར་བརྟེན། ལོ་གཅིག་རྗེས་ཁོ་མོས་སྐྱེད་ཀ་ ` 750 དང་དངུལ་འབོར་ ` 5,000 + ` 750 = ` 5,750
སྤྲོད་དགོས།
གལ་ཏེ་ང་ཚོས་མ་དངུལ་ལ་ P དང་སྐྱེད་ཚད་ལ་ R བཅས་ཀྱིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། ` 100 རེ་གཡར་བ་ལ། སྐྱེད་ཀ་ R % རེད། དེར་བརྟེན། ` P གཡར་བ་ལ། ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ = P × R 100
67
རྩིས་རིག
༤་༦་༡ ལོ་དུ་མའི་སྐྱེད་ཀ Interest for multiple years
གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་དངུལ་འབོར་ལོ་གཅིག་ལས་མང་བའི་རིང་གཡར་བ་ཡིན་ན། སྐྱེད་ཀ་དེ་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་རིང་དངུལ་ ཉར་བའི་ཐོག་རྩི་དགོས། དཔེར་ན། དཔལ་སྐྱིད་ཀྱིས་དངུལ་འབོར་ལོ་གཉིས་རྗེས་སྤྲད་པ་དང་སྐྱེད་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་ ན། ཁོ་མོས་སྐྱེད་ཀའི་ཉིས་ལྡབ་སྤྲད་དགོས། དེ་ནི། ལོ་དང་པོར་ ` 750 དང་ལོ་གཉིས་པར་ ` 750
བུ་ལོན་གཡར་བའི་དུས་ཡུན་རིང་ཐུང་ལ་མ་བལྟོས་པར་དུས་ཡུན་ཆ་ཚང་རིང་མ་དངུལ་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་མེད་ན། དེ་འདྲའི་སྐབས་ཀྱི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ (Simple Interest) ཟེར། བུ་ལོན་གྱི་དུས་ཡུན་མང་དུ་འགྲོ་དུས་ སྐྱེད་ཀ་ཡང་འཕར་གྱི་ཡོད།
དཔེར་ན། ` 100 སྐྱེད་ཚད་ 18 % ཐོག་ལོ་གསུམ་རིང་གཡར་བ་ཡིན་ན།
ལོ་གསུམ་རྗེས་སྐྱེད་ཀ་སྤྲོད་དགོས་པ་ནི། 18 + 18 + 18 = 3 × 18 = ` 54 ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་ = P × R 100 དེར་བརྟེན། ལོ་ T ཡི་སྐྱེད་ཀ་ I = P × R × T ཡང་ན། PRT 100 100 ལོ་ T རྗེས་དངུལ་འབོར་སྤྲོད་དགོས་པ་ནི་ A = P + I རེད། རྩིས་དཔེ།
༡༢༽ ` 500 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 8 % ཐོག་ལོ་ 4 རིང་བཅོལ་འཇོག་བྱས་པའི་སྐྱེད་ཀ་ཚོལ། དུས་ཡུན་རྫོགས་རྗེས་ དངུལ་འབོར་ཐོབ་པའང་ཚོལ།
ལན། ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཚད་ = 8 %
` 100 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་ = ` 8
8 ` 500 ལ་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་ = ` 500 × = ` 40 100 དེར་བརྟེན། ` 500 ལ་ལོ་བཞི་ཡི་སྐྱེད་ཀ་ = ` 40 × 4 = ` 160
དངུལ་འབོར་ (A) = P + I
= ` 500 + ` 160 = ` 660
དེར་བརྟེན། སྐྱེད་ཀ་ནི་ ` 160 དང་ལོ་ 4 རྗེས་དངུལ་འབོར་ ` 660 ཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
༡༣༽ རྒྱ་མཚོས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 6.5 % ཐོག་དངུལ་ཁང་ནས་ ` 6,050 བུ་ལོན་ལེན་ཡོད། ལོ་ 3 རྗེས་སྐྱེད་ཀ་ དང་དངུལ་འབོར་སྤྲོད་དགོས་པ་ཚོལ།
ལན། སྐྱེད་ཚད་ = 6.5 %; མ་དངུལ་ = ` 6,050; དུས་ཡུན་ = ལོ་ 3
68
སྐྱེད་ཀ་ = =
P×R×T 100
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
6050 × 3 × 6.5 100
= ` 1179.75 དངུལ་འབོར་ = P + I = 6050 + 1179.75 = ` 7229.75
དེར་བརྟེན། ལོ་ 3 རྗེས་རྒྱ་མཚོས་སྐྱེད་ཀ་ ` 1179.75 དང་དངུལ་འབོར་ ` 7229.75 སྤྲོད་དགོས།
རྩིས་དང་།
༡༽ ` 3,500 ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 7 % ཡིན་ན། ལོ་ 2 རྗེས་སྐྱེད་ཀ་ག་ཚོད་ཐོབ་པ་ཚོལ།
༢༽ ལྷག་པས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 3.5 % ཐོག་ ` 7,000 ལོ་ 2 ཀྱི་རིང་བུ་ལོན་ལེན་ཡོད། ལོ་ 2 རྗེས་སྤྲོད་ དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་ཚོལ།
རྩིས་དཔེ།
༡༤༽ གལ་ཏེ་མ་དངུལ་ ` 4,500 ལ་བཟང་མོས་ལོ་ 2 ཀྱི་སྐྱེད་ཀ་ ` 750 སྤྲད་ཡོད་ན། སྐྱེད་ཚད་ཚོལ།
ལན།
I=
ཐབས་ལམ་ ༡
P×R×T 100
དེར་བརྟེན། 750 = 4500 × 2 × R 100 ཡང་ན། 750 = R 45 × 2 དེར་བརྟེན། སྐྱེད་ཚད། (Rate) = 8 1 % 3
ཐབས་ལམ་ ༢
ལོ་ 2 ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 750 སྤྲད་པ་རེད།
དེར་བརྟེན། ལོ་ 1 ལ་སྐྱེད་ཀ་ 750 = ` 375 རེད། 2 ` 4500 ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 375 སྤྲད་པ་རེད། དེར་བརྟེན། ` 100 ལ་སྤྲད་པའི་སྐྱེད་ཚད། = 375 × 100 = 8 1 % 3 4500
༡༥༽ ཁྱེད་རང་གི་དངུལ་ཁང་ནང་ ` 2,400 ཡོད་པ་དང་སྐྱེད་ཚད་ 5 % རེད། ལོ་ག་ཚོད་རྗེས་ཁྱེད་ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 240 ཐོབ་བམ།
ལན། I = P × R × T ཡིན་པས། 100 240 = 2400 × 5 × T 100
69
རྩིས་རིག
240 24 × 5 T=2 T=
དེར་བརྟེན། ལོ་ 2 རྗེས་སྐྱེད་ཀ་ ` 240 ཐོབ་ཀྱི་རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༤་༣
༡། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནང་སྐོངས། (ཀ)
མ་དངུལ། ` 500
(ཁ)
` 2000
(ང)
` 2600
(ག)
` 1800
(ཅ)
` 6000
སྐྱེད་ཚད། 8%
51 % 2 4% 41 % 2
ལོ། 3
སྐྱེད་ཀ
4
` 480 ` 198
1 2 31 2 2
༢། གཤམ་གསལ་གནས་སྟངས་ཁག་གི་དངུལ་འབོར་ཚོལ།
(ཀ) མ་དངུལ། = ` 1200, སྐྱེད་ཚད། = 12 % p.a, ལོ་ = 3 (ཁ) མ་དངུལ། = ` 7500, སྐྱེད་ཚད། = 5 % p.a, ལོ་ = 2
༣། སྐྱེད་ཚད་ག་ཚོད་ཀྱིས་མ་དངུལ་ ` 5,600 ལ་ལོ་ 2 ཀྱི་རིང་སྐྱེད་ཀ་ ` 280 སྤྲོད་ཀྱི་རེད།
༤། གལ་ཏེ་འབྲུག་ཚེ་རིང་གིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཚད་ 9 % ཐོག་སྐྱེད་ཀ་ ` 45 སྤྲད་ཡོད་ན། ཁོང་གིས་མ་དངུལ་ག་ཚོད་ གཡར་ཡོད་དམ།
70
གྲངས་འབོར་བསྡུར་བ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཁེ་ = SP − CP (གལ་ཏེ། SP > CP)
གྱོང་ = CP − SP (གལ་ཏེ། SP < CP)
༢། གཅོག་ཆ་ནི་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་སྟེང་ཆག་ཡང་བཏང་བ་ལ་ཟེར། གཅོག་ཆ་ = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ − ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།
༣། འགྲོ་གྲོན་འཕར་མ་ནི་མ་དངུལ་ནང་ཚུད་ཡོད།
མ་གནས་རིན་གོང་ (CP) = ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ + འགྲོ་གྲོན་འཕར་མ།
༤། ཁེའི་བརྒྱ་ཆ་
=
གྱོང་གི་བརྒྱ་ཆ་ =
ཁེ།
× 100
གྱོང་།
× 100
མ་གནས་རིན་གོང་། མ་གནས་རིན་གོང་།
༥། ཁྲལ་ནི་དངོས་པོ་བཙོང་བའི་སྐབས་རྒྱག་གི་ཡོད་པ་དང་དེ་ཐོ་གསལ་གོང་ཚད་ཀྱི་ཐོག་བརྩི་ཡི་ཡོད། ཁྲལ་ = ཁྲལ་ % × ཐོ་གསལ་གོང་ཚད།
༦། བུ་ལོན་ལེན་པའི་དངུལ་དེར་མ་དངུལ་ཟེར། དུས་ཡུན་ཁ་གསལ་རྗེས་མ་དངུལ་མཉམ་དུ་དངུལ་ འཕར་མ་སྤྲོད་དགོས་པ་དེ་ལ་སྐྱེད་ཀ་ཟེར།
༧། དུས་ཡུན་ངེས་ཅན་རྗེས་ཕྱིར་སློག་བྱས་པའི་བསྡོམས་འབོར་དེར་དངུལ་འབོར་ཟེར། དེས་ན། དངུལ་འབོར་ = མ་དངུལ་ + སྐྱེད་ཀ ཡང་ན། A = P + I
༨། བུ་ལོན་གཡར་བའི་དུས་ཡུན་ཆ་ཚང་རིང་མ་དངུལ་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་མེད་ན། དེའི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་ སྐྱེད་རྐྱང་པ་ཟེར།
མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། (I) =
P×R×T 100
འདིར། P = མ་དངུལ། R = སྐྱེད་ཚད། T = དུས་ཡུན།
༩། P = 100 × I ; R = 100 × I ; T = 100 × I P×T R×T P×R
71
སློབ་ཚན་ལྔ་པ།
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
༥་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་གོ་དོན་དང་དེའི་བེད་སྤྱོད་སྦྱངས་ཡོད། x + 3, y − 5, 4x + 5, 10y − 5 སོགས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་རེད། སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་འགྲུབ་སྟངས་དང་། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ ཚུལ་གྱི་ཚན་པ། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་འཐེན། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་ཐང་འཚོལ་སྟངས། དེའི་བེད་སྤྱོད་སོགས་སྦྱང་ རྒྱུ་ཡིན།
བྱེད་སྒོ།
དཔེ་འགྲོས་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་བར་སྟོང་སྐོངས། (རྟག་གྲངས་དང་རྒྱུ་བེད་སྤྱོད་བྱོས།) (ཀ)
(ཁ)
སྨྱུ་གུའི་གྲངས།
1
རིན་གོང་། ( ` ནང་།)
2
3
4
5
6
ཙག་སྒྲའི་ གྲངས།
1 4
10
10 20 30 40
2
3
11
x
110
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་འདི་དག་ཙག་སྒྲ་བེད་སྤྱད་དེ་བཟོས་པ་རེད།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ མའི་གྲངས།
8
4
5
6
x
4 + (3 × 1) 4 + (3 × 2) 4 + (3 × 3) 4 + (3 × 4) 4 + (3 × 5) =7 = 10 = 13 = 16 = 19
༥་༢ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ཇི་ལྟར་འགྲུབ་བམ། How are expressions formed?
ང་ཚོས་རྒྱུ་ (Variable) གང་ཡིན་པ་གསལ་པོ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ང་ཚོས་ཡིག་འབྲུ་ x, y, l, m སོགས་རྒྱུ་མཚོན་བྱེད་དུ་
72
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
བེད་སྤྱོད་བྱེེད་ཀྱི་ཡོད། རྒྱུ་ལ་གྲངས་ཚད་འདྲ་མིན་ལེན་ཆོག དེའི་ཐང་ནི་བརྟན་པོ་མེད། ཡིན་ནའང་། རྟག་གྲངས་ (Constant) ལ་ཐང་བརྟན་པོ་ཡོད། 4, 100, −17 སོགས་རྟག་གྲངས་ཡིན།
ང་ཚོས་རྒྱུ་དང་རྟག་གྲངས། རྩིས་ཐབས་བཅས་བེད་སྤྱད་དེ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བཟོ་ཡི་ཡོད། ཚུལ་ 4x + 5 དང་ 10y − 5 ལ་དཔེ་བཞག་ན།
4x + 5 ནི་རྒྱུ་ x ལ་རྟག་གྲངས་ 4 ཡིས་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་སྟེང་རྟག་གྲངས་ 5 བསྡོམས་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་ཡིན། 10y − 5 ནི་རྒྱུ་ y ལ་རྟག་གྲངས་ 10 ཡིས་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་རྟག་གྲངས་ 5 འཐེན་ཏེ་གྲུབ་པ་ཞིག་ཡིན།
གོང་གི་ཚུལ་རྣམས་རྒྱུ་དང་རྟག་གྲངས་བསྡེབས་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་རེད། ང་ཚོས་རྒྱུ་རང་ཉིད་དང་བསྡེབས་པའམ་ཡང་ན་ རྒྱུ་གཞན་མཉམ་དུ་བསྡེབས་ནས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་འགྲུབ་ཐུབ། གཤམ་གསལ་གྱི་ཚུལ་གྱི་འགྲུབ་ཚུལ་ལ་ལྟོས་དང་།
(ཀ) 4 × 4 = 42 བྲིས་པ་ལྟར། ང་ཚོས་ x × x = x2 འབྲི་དགོས། དེ་ཀློག་སྐབས་ x རང་ཉིས་སྒྱུར་ (x squared)
ཞེས་ཀློག་དགོས། དེ་བཞིན། ང་ཚོས་ x × x × x = x3 བཅས་འབྲི་ཆོག དེ་ x རང་སུམ་སྒྱུར་ (x cubed) ཞེས་ ཀློག་དགོས། དེར་བརྟེན། x, x2, x3, ... སོགས་ x ལས་གྲུབ་པའི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་རེད།
(ཁ) ཚུལ་ 2y2 ནི་རྒྱུ་ y ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། 2y2 = 2 × y × y
འདིར། y ལ་ y ཡིས་བསྒྱུར་ནས་བསྒྱུར་ཐོབ་ y2 ལ་རྟག་གྲངས་ 2 ཀྱིས་བསྒྱུར་ཡོད།
(ག) ཚུལ་ (3x2 − 5) ནང་དང་པོ་ང་ཚོར་ x2 ཐོབ་རྗེས་ x2 ལ་ 3 གྱིས་བསྒྱུར། དེ་ནས་ བསྒྱུར་ཐོབ་ 3x2 ནས་ 5 འཐེན་ཡོད།
(ང) ཚུལ་ xy ནང་རྒྱུ་ x ལ་རྒྱུ་གཞན་ y ཡིས་བསྒྱུར་ཡོད། དེས་ན། x × y = xy
2
5y − y
4 ཡིས་བསྒྱུར་ནས་བསྒྱུར་ཐོབ་ 4xy སྟེང་ 7 བསྡོམས་ན། ཚུལ་ (4xy + 7)
3x + x
(ཅ) ཚུལ་ (4xy + 7) ནང་དང་པོ་ང་ཚོས་ x དང་ y སྒྱུར་རྗེས། དེའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ ཐོབ།
༥་༣ ཚུལ་གྱི་ཚན་པ། Terms of an expression
ཚུལ་(4x2 − 3xy) ལ་དཔེ་བཞག་ན། འདིར་ང་ཚོས་དང་པོར་ཚུལ་གྱི་ཆ་ཤས་ 4x2 དང་ − 3xy གཉིས་ལོགས་སུ་
གྲུབ་སྟེ་སྡོམ་གྱི་ཡོད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཤས་ལ་ཚན་པ་ (Terms) ཟེར།
ཚུལ་ (4x2 − 3xy) ནང་ཚན་པ་གཉིས་ཡོད། ཚན་པ་ 4x2 ནི་ 4 དང་ x, x བཅས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན་པ་དང་། ཚན་ པ་ (− 3xy) ནི་ (−3) དང་ x, y བཅས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད།
ཚན་པ་ཁག་བསྡོམས་ཏེ་ཚུལ་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ཚན་པ་ 4x དང་ 5 བསྡོམས་ཏེ་ཚུལ་ (4x + 5) གྲུབ་པ་བཞིན། ཚན་པ་
73
རྩིས་རིག
4x2 དང་ (− 3xy) གཉིས་བསྡོམས་ཏེ་ཚུལ་ (4x2 − 3xy) འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི། 4x2 + (− 3xy) = 4x2 − 3xy མཆན། འཐེན་རྟགས་ (−) ནི་ཚན་པའི་ནང་ཚུད་ཡོད། ཚུལ་ (4x2 − 3xy) ནང་ང་ཚོས་ཚན་པ་ (− 3xy) ལེན་པ་དང་ (3xy) ལེན་མི་དགོས། དེར་བརྟེན། ཚུལ་ནི་ཚན་པ་བསྡོམས་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་ནས་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་ པ་བཤད་མི་དགོས་པར་བསྡོམས་ནས་ཁོ་ན་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ།
༥་༣་༡ ཚན་པའི་བགོད་གྲངས། Factors of a term
གོང་དུ་ང་ཚོས་ཚུལ་ (4x2 − 3xy) ནང་ཚན་པ་ 4x2 དང་ (− 3xy) བཅས་གཉིས་ཡོད་པ་མཐོང་ཡོད། ཚན་པ་ 4x2 ནི་ 4 དང་ x, x བཅས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། འདིར་ 4 དང་ x, x བཅས་ལ་ཚན་པ་ 4x2 ཡི་བགོད་གྲངས་ཟེར། ཚན་
པ་ནི་ཚན་པ་དེའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན། དེར་བརྟེན། ཚན་པ་ (− 3xy) ནི་བགོད་གྲངས་ (−3) དང་ x, y
བཅས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན།
ཚུལ་ཞིག་གི་ཚན་པ་དང་ཚན་པ་དེའི་བགོད་
ཚུལ།
གཡས་ཀྱི་ཚུལ་ (4x2 − 3xy) དང་ཚུལ་
བགོད་གྲངས།
གྲངས་སྡོ ང ་འགྲེ མ ས་དཔེ ་ རི ས ་བེ ད ་སྤྱད་དེ ་ མཚོན་གྱི་ཡིན།
(5xy + 10) ཡི་སྡོང་འགྲེམས་དཔེ་རིས་ལ་ ལྟོས་དང་།
མཆན། སྡོང་འགྲེམས་དཔེ་རིས་ནང། བགོད་ གྲངས་ལ་ཚེག་ཐིག་དང་ཚན་པ་ལ་ནག་ཐིག་ བེད་སྤྱད་ཡོད།
༥་༣་༢ བཏགས་གྲངས། Coefficients
ཚན་པ།
ཚན་པ།
བགོད་གྲངས།
བགོད་གྲངས་འདི་དག་ལས་གཅིག་ཨང་ཀི་དང་གཞན་རྣམས་ རྒྱུ་ཡིན་སྲིད། ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་ལ་ཚན་པ་དེའི་ཨང་ཀིའི་ བཏགས་གྲངས་ (Numerical coefficient) ཟེར།
− 3xy
4x2 4
ཚུལ།
ང་ཚོས་བགོད་གྲངས་བསྒྱུར་ནས་ཚན་པ་འབྲི་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད།
དཔེར་ན།
(4x2 − 3xy)
x
x
−3
x
(5xy + 10) 5xy 5
x
10 y
2
74
5
རྩིས་དང་།
༡། གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་སྡོང་འགྲེམས་ དཔེ་རིས་བྲིས།
8y + 3x2, 7mn − 4, 2x2y ༢། ཚན་པ་བཞི་ཡོད་པའི་ཚུལ་གསུམ་རེ་བྲིས།
(༡) 5xy ནང་ 5 ནི་ཚན་པ་དེའི་བཏགས་གྲངས་ཡིན། 5 ནི་ 5xy ཡི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་ཀྱང་ཡིན། (༢) − 7x2y2 ནང་ − 7 ནི་ x2y2 ཡི་བཏགས་གྲངས་ཡིན།
y
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
གལ་ཏེ་ཚན་པ་ཞིག་གི་བཏགས་གྲངས་ 1 ཡིན་ན། དེ་རྒྱུན་དུ་
འབྲི་ཡི་མེད། དཔེར་ན། 1x ནི་ x དང་ 1x2y2 ནི་ x2y2 ལྟར་
འབྲི་ཡི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། བཏགས་གྲངས་ (− 1) སྐབས་འཐེན་ རྟགས་ཁོ་ནས་མཚོན་གྱི་ཡོད།
རྩིས་དང་།
གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་ཁག་གི་བཏགས་ གྲངས་ངོས་ཟུངས། 4x − 3y, a + b + 5, 2y + 5, 2xy
དཔེར་ན། (− 1) x ནི་ − x དང་། (− 1) x2y2 ནི་ − x2y2 སོགས་ལྟར་འབྲི་ཡི་ཡོད།
སྐབས་འགར་ཐ་སྙད་བཏགས་གྲངས་ནི་སྤྱི་ཡོངས་ཀྱི་འགྲོ་སྟངས་ལྟར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
(༡) 5xy ནང་ 5 ནི་ xy ཡི་བཏགས་གྲངས་དང་། x ནི་ 5y ཡི་བཏགས་གྲངས། y ནི་ 5x ཡི་བཏགས་གྲངས་བཅས་ ཡིན།
(༢) 10xy2 ནང་ 10 ནི་ xy2 ཡི་བཏགས་གྲངས་དང་། x ནི་ 10y2 ཡི་བཏགས་གྲངས། y2 ནི་ 10x ཡི་བཏགས་ གྲངས་བཅས་ཡིན།
མཆན། བཏགས་གྲངས་ནི་ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་སམ། ཡང་ན་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་གཉིས་ལས་གང་རུང་ངམ།
ཡང་ན་བགོད་གྲངས་གཉིས་སམ། ཡང་ན་དུ་མའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཡིན་ཆོག རྩིས་དཔེ།
༡༽ གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་དང་། ཚན་པའི་བགོད་གྲངས། ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་བཅས་བྲིས། ལན།
(ཀ) 15xy + 4 (ང) yx − y ཚུལ།
15xy + 4 − 18xp + y2z 70x2yp + 67m yx − y
(ཁ) − 18xp + y2z
(ག) 70x2yp + 67m
(ཅ) 10x − 9y
ཚན་པ།
15xy
4 − 18xp y2z 70x2yp 67m yx
(ཆ) 16p2q − 10xy + 13n
ཚན་པའི་བགོད་གྲངས། 15, x, y
4 − 18, x, p y, y, z 70, x, x, y, p 67, m y, x
ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས། 15
4 − 18 1 70 67 1
75
ཚུལ།
10x − 9y 16p2q − 10xy + 13n
ཚན་པ།
−y 10x − 9y 16p2q − 10xy 13n
རྩིས་རིག
ཚན་པའི་བགོད་གྲངས།
ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས། −1 10 −9 16 −10 13
−1, y 10, x − 9, y 16, p, p, q − 10, x, y 13, n
༢༽ (ཀ) གཤམ་གྱི་ཚུལ་རེའི་ནང་ x ཡི་བཏགས་གྲངས་ཚང་མ་བྲིས། 4x − 3y, 8 − x + y, y2x − y, 2z − 5xz
ལན།
(ཁ) གཤམ་གྱི་ཚུལ་རེའི་ནང་ y ཡི་བཏགས་གྲངས་ཚང་མ་བྲིས། 4x − 3y, 8 + yz, yz2 + 5, my + m
(ཀ) ང་ཚོས་ཚུལ་རེའི་ནང་ x ཡོད་པའི་ཚན་པ་ལ་ལྟ་དགོས། ཚན་པ་དེའི་ཆ་ཤས་ལྷག་མ་ནི་ x ཡི་བཏགས་གྲངས་རེད། ཚུལ།
བགོད་གྲངས་ x ཡོད་པའི་ཚན་པ།
x ཡི་བཏགས་གྲངས།
ཚུལ།
བགོད་གྲངས་ y ཡོད་པའི་ཚན་པ།
y ཡི་བཏགས་གྲངས།
4x − 3y 8−x+y y 2x − y 2z − 5xz (ཁ) གོང་བཞིན།
4x − 3y 8 + yz yz2 + 5 my + m
4x −x y2x − 5xz
− 3y yz yz2 my
4 −1 y2 − 5z
༥་༤ ཚན་མཐུན་དང་མི་མཐུན་ཚན་པ། Like and unlike terms
−3 z z2 m
གལ་ཏེ་ཚན་པ་ཞིག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། ཚན་པ་དེ་ལ་ཚན་མཐུན་ (Like terms) ཟེར། ཚན་པ་ཞིག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་མི་འདྲ་བ་ཡིན་ན། དེ་ལ་མི་མཐུན་ཚན་པ་ (Unlike terms) ཟེར།
76
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
དཔེར་ན། ཚུལ་ x2 + 2xy − 3x + 5xy − 4
ནང་ཚན་པ་ 2xy དང་ 5xy ལ་ལྟོས་དང་། 2xy
ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 2 དང་ x, y བཅས་དང་། 5xy ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 5 དང་ x, y བཅས་
རྩིས་དང་།
གཤམ་གསལ་ལས་ཚན་མཐུན་ཚུལ་རྣམས་སྡེ་ཚན་སུ་དབྱེ། 12x, 12, − 25x,− 25, 25y, 1, x, 12y, y
ཡིན། དེར་བརྟེན། ཚན་པ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་མཚུངས་པས་དེ་དག་ཚན་མཐུན་རེད། ཡིན་ནའང་།
ཚན་པ་ 2xy དང་ − 3x ལ་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་མི་འདྲ་བ་ཡོད། དེ་དག་མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད། དེ་མཚུངས། ཚན་པ་ 2xy དང་ − 4 ཡང་མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད། དེ་བཞིན་ཚན་པ་ − 3x དང་ x2 མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད། རྩིས་དཔེ།
༣༽ གཤམ་གྱི་ཚུལ་རྣམས་ལས་གང་ཞིག་ཚན་མཐུན་དང་གང་ཞིག་མི་མཐུན་ཚན་པ་ཡིན་ངོས་ཟུངས། (༡) 7x, 12y
(༥) 6ab2, 9a2b ཚུལ།
(༡) (༢) (༣) (༤)
7x
(༢) 15x, − 21x
(༦) pq2, − 4pq2
བགོད་གྲངས། 7, x
12y
12, y
15x
15, x
− 21x
− 21, x
− 4ab
− 4, a, b
7ba
7, b, a
3xy
3, x, y
3x
3, x
(༥)
6ab
9a2b
9, a, a, b
(༦)
pq2
p, q, q
− 4pq2
− 4, p, q, q
2
6, a, b, b
(༣) − 4ab, 7ba
(༧) mn2, 10mn
ཡིག་འབྲུའི་བགོད་ ཚན་མཐུན་/ གྲངས། མི་མཐུན་ཚན་པ། མི་མཚུངས། མཚུངས།
མི་མཐུན་ཚན་པ། ཚན་མཐུན།
(༤) 3xy, 3x
(༨) − 2p2q, pq2 ཟུར་མཆན།
ཚན་པའི་བགོད་གྲངས་མི་ འདྲ་བ་རེད།
དྲན་གསོ་གྱིས་དང་།
མཚུངས།
ཚན་མཐུན།
མི་མཚུངས།
མི་མཐུན་ཚན་པ།
མི་མཚུངས།
མི་མཐུན་ཚན་པ། པ་ཡིན་ནའང་དེ་དག་གི་ཐེངས་ གྲངས་གཅིག་པ་མིན།
མཚུངས།
ཚན་མཐུན།
ab = ba
རྒྱུ་ y ནི་ཚན་པ་གཅིག་ལ་ མ་གཏོགས་མེད།
ཚན་པ་གཉིས་ཀའི་རྒྱུ་གཅིག་ ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་ 1 བྲིས་མེད།
77
རྩིས་རིག (༧) (༨)
mn2
m, n, n
10mn
10, m, n
− 2p2q
− 2, p, p, q
pq2
p, q, q
མི་མཚུངས། མི་མཚུངས།
ཚན་པ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱུ་མཚུངས་
མི་མཐུན་ཚན་པ། ནའང་དེ་དག་གི་ཐེངས་གྲངས་ མཚུངས་ཀྱི་མེད། ཚན་པ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱུ་མཚུངས་
མི་མཐུན་ཚན་པ། ནའང་དེ་དག་གི་ཐེངས་གྲངས་ མཚུངས་ཀྱི་མེད།
༥་༥ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ། ཚན་མང་ཚུལ། Monomials, binomials, trinomials and polynomials.
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ལ་ཚན་པ་གཅིག་ལས་མེད་པ་དེ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ (Monomial) ཟེར། དཔེར་ན། 9, 5x, 2m, − 7xy སོགས། ཚན་པ་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ (Binomial) ཟེར། དཔེར་ན། 3 + 5x, 2x + y,
m − 5, mn + 4m, a2 − b2 སོགས། ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་སུམ་ཚན་ཚུལ་ (Trinomial) ཟེར།
དཔེར་ན། ཚུལ་ x + y + 7, ab + a + b, 3x2 − 5x +2, m + n + 10 སོགས་སུམ་ཚན་ཚུལ་ཡིན།
ཚུལ་ x + y +5x ནི་སུམ་ཚན་ཚུལ་མིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཚན་པ་ x དང་ 5x གཉིས་ཚན་མཐུན་ཡིན་པས་ 6x + y
ཚན་པ་གཅིག་གམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ (Polynomial) ཟེར། དེར་བརྟེན། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་
དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་བཅས་ནི་ཚན་མང་ཚུལ་ཡིན། རྩིས་དང་།
གཤམ་གྱི་ཚུལ་རྣམས་ལས་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་གང་ཡིན་ངོས་ཟུངས།
a + b, ab + a + b, ab + a + b − 5, xy, xy + 5, 5x2 − x + 2, 4pq − 3q + 5p, 7, 4m − 7n + 10, 4mn + 7
སྦྱོང་ཚན། ༥་༡
༡། རྒྱུ་དང་རྟག་གྲངས་། རྩིས་ཐབས་བེད་སྤྱད་དེ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བྲིས། (ཀ) y ནས་ z འཐེན་པ།
78
(ཁ) གྲངས་ x དང་ y ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ཀྱི་གཉིས་ཆ་གཅིག
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
(ག) གྲངས་ z རང་སྒྱུར་བྱེད་པ།
(ང) གྲངས་ p དང་ q ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀྱི་བཞི་ཆ་གཅིག
(ཅ) གྲངས་ x དང་ y གཉིས་ཀ་རང་ཉིས་སྒྱུར་དང་སྡོམ་པ།
(ཆ) གྲངས་ m དང་ n ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀྱི་ལྡབ་གསུམ་ལ་ 5 སྡོམ་པ། (ཇ) 10 ནས་གྲངས་ y དང་ z ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་འཐེན་པ།
(ཉ) a དང་ b ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་དེ་དག་གི་བསྡོམས་ཐོབ་འཐེན་པ།
༢། (ཀ) སྡོང་འགྲེམས་དཔེ་རིས་སྤྱད་དེ་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་དང་བགོད་གྲངས་ངོས་ཟུངས། (༡) x − 3
(༢) 1 + x + x2
(༣) y − y2
(༡) − 4x + 5
(༢) −4x + 5y
(༣) 5y + 3y2
(༤) 5xy2 + 7x2y
(༥) −ab + 2b2 − 3a2
(ཁ) གཤམ་གྱི་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་དང་བགོད་གྲངས་ངོས་ཟུངས། (༤) xy + 2x2y2 (༧) 3 x + 1 4 4
(༥) pq + q
(༨) − 0.1p2 + 0.2q2
(༦) 1.2ab − 2.4b + 3.6a
༣། གཤམ་གྱི་ཚན་པའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་ (རྟག་གྲངས་མ་ཡིན་པ་) ངོས་ཟུངས། (ཀ) 5 − 3t2
(ང) 100m + 1000n (ཇ) 3.14r2
(ཁ) 1 + t + t2 + t3
(ཅ) − p2q2 + 7pq
(༤) 5 + z + zx
(ཏ) 0.1y + 0.01y2
(༢) 13y2 − 8yx
(༣) 7x + xy2
(༥) 1 + x + xy
(ཁ) y2 ཡོད་པའི་ཚན་པ་ངོས་བཟུང་ཏེ་ y2 ཡི་བཏགས་གྲངས་བྲིས། (༡) 8 − xy2
(ཆ) 1.2a + 0.8b
(ཉ) 2(l + b)
༤། (ཀ) x ཡོད་པའི་ཚན་པ་ངོས་བཟུང་ཏེ་ x ཡི་བཏགས་གྲངས་བྲིས། (༡) y2x + y
(ག) x + 2xy + 3y
(༢) 5y2 + 7x
(༦) 12xy2 + 25 (༣) 2x2y − 15xy2 + 7y2
༥། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་བཅས་སོ་སོར་དབྱེ་བ་ཕྱེས། (ཀ) 4y − 7z
(ཅ) ab − a − b
(ཏ) z2 −3z + 8
(ཁ) y2
(ཆ) 5 − 3t
(ཐ) a2 + b2
(ག) x + y − xy
(ཇ) 4p2q − 4pq2 (ད) z2 + z
(ང) 100
(ཉ) 7mn
(ན) 1 + x+ x2
79
རྩིས་རིག
༦། གཤམ་གྱི་ཚན་པ་རྣམས་ལས་ཚན་མཐུན་ཡང་ན་མི་མཐུན་ཚན་པ་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 1, 100 (ཁ) − 7x, 1 x (ག) − 29x, − 29y 4 (ང) 14xy, 42yx (ཅ) 4m2p, 4mp2 (ཆ) 12xz, 12x2z2 ༧། གཤམ་གསལ་ལས་མཐུན་པའི་ཚན་པ་ངོས་ཟུངས།
(ཀ) − xy2, − 4yx2, 8x2, 2xy2, 7y, − 11x2, − 100x, − 11yx, 20x2y, − 6x2, y, 2xy, 3x
(ཁ) 10pq, 7p, 8q, − p2q2, − 7qp, − 100q, − 23, 12q2p2, − 5p2, 41, 2405p, 78qp, 13p2q, qp2, 701p2
༥་༦ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས། Addition and subtraction of algebraic expressions གཤམ་གྱི་དཀའ་རྙོག་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། ༡།
ལྷ་སྐྱིད་ལ་ཤེལ་རྡོ་འགའ་ཡོད། སྒྲོལ་མ་ལ་ལྷ་སྐྱིད་ལས་ 10 ཡི་མང་བ་ཡོད། ཟླ་བ་ལ་ལྷ་སྐྱིད་དང་སྒྲོལ་མའི་ཤེལ་
རྡོའི་གྲངས་ཀྱི་ཁྱོན་བསྡོམས་ལས་ 3 མང་བ་ཡོད། བྱས་ན་ཁྱེད་ཀྱིས་ཟླ་བའི་ཤེལ་རྡོ་གྲངས་གང་འདྲ་བྱས་ནས་ འཚོལ་ཐུབ་བམ།
ལྷ་སྐྱིད་ཀྱི་ཤེལ་རྡོའི་གྲངས་ཤེས་ཀྱི་མེད་སྟབས། ང་ཚོས་དེ་ x ཡིན་པ་ཆ་ཞོག སྒྲོལ་མ་ལ་ 10 ཡིས་མང་བ་ཡོད།
དེ་ནི། x + 10 ཟླ་བ་ལ་ལྷ་སྐྱིད་དང་སྒྲོལ་མའི་ཤེལ་རྡོའི་ཁྱོན་བསྡོམས་གྲངས་ལས་ 3 མང་བ་ཡོད། དེར་བརྟེན། ཟླ་བའི་ཤེལ་རྡོ་གྲངས་འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ལྷ་སྐྱིད་དང་སྒྲོལ་མའི་ཤེལ་རྡོའི་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། དེའི་
༢།
སྟེང་ 3 བསྡོམ་དགོས། དེ་ནི། x དང་ x + 10, 3 བཅས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་བཙལ་བས་ x + (x +10) + 3 རེད། ད་ལྟ་ཕུར་བུའི་པ་ལགས་ནི་ཕུར་བུའི་ལོའི་ལྡབ་ 3 རེད། ཕུར་བུའི་སྤོ་པོ་ནི་ཕུར་བུའི་ལོ་དང་ཕུར་བུའི་པ་ལགས་
ཀྱི་ལོའི་བསྡོམས་ཐོབ་ལས་ལོ་ 3 གྱིས་ཉུང་བ་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཕུར་བུའི་སྤོ་པོའི་ལོ་གང་འདྲ་བྱས་ནས་འཚོལ་ཐུབ་
བམ།
ཕུར་བུའི་ལོ་སྤྲད་མེད་ཙང་ང་ཚོས་དེ་ y ཡིས་མཚོན། དེས་ན་ཁོང་གི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 3y རེད། ཕུར་བུའི་སྤོ་པོའི་
ལོ་འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ཕུར་བུའི་ལོ་ y དང་ཁོའི་པ་ལགས་ཀྱི་ལོ་ 3y ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། དེ་ནས་ 3 འཐེན་ དགོས། དེ་ནི། (y + 3y) − 3 རེད།
གོང་གི་གནས་སྟངས་གཉིས་ཀྱི་ནང་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་བརྒྱབ་ཡོད། ང་ཚོས་རྒྱུན་
གཏན་འཚོ་བའི་ནང་ཚུལ་བེད་སྤྱད་དེ་རྩིས་རྒྱག་གི་ཡོད། འཐེན་རྩིས་རྒྱག་སྟངས་སྦྱང་གི་ཡིན།
80
སྡེ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
༥་༦་༡ ཚན་མཐུན་གྱི་སྡོམ་འཐེན། Addition and subtraction of like terms • 3x དང་ 4x སྡོམ་དགོས་ན།
3x + 4x = (3 × x) + (4 × x) = (3 + 4) × x = 7 × x = 7x 3x + 4x = 7x
• 8xy དང་ 4xy, 2xy སྡོམས།
(བགོ་སྲོལ་སྤྱད་པ།)
8xy + 4xy + 2xy = (8 × xy) + (4 × xy) + (2 × xy) = (8 + 4 + 2) × xy = 14 × xy = 14xy 8xy + 4xy + 2xy = 14xy
• 7n ནས་ 4n འཐེན།
7n − 4n = (7 × n) − (4 × n) = (7 − 4) × n = 3 × n = 3n 7n − 4n = 3n
• དེ་བཞིན་ 11ab ནས་ 5ab འཐེན།
11ab − 5ab = (11 − 5)ab = 6ab
དེར་བརྟེན། ཚན་མཐུན་གཉིས་སམ་དུ་མའི་བསམ ྡོ ས་ཐོབ་ནི། ཚན་མཐུན་ཚང་མའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་
ཐོབ་དང་མཉམ་པའི་ཚན་མཐུན་དེ་ཡིན།
དེ་བཞིན། ཚན་མཐུན་གཉིས་ཀྱི་ཧེ་བག་ནི་ཚན་མཐུན་གཉིས་པོའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་ཀྱི་ཧེ་བག་དང་མཉམ་པའི་
ཚན་མཐུན་དེ་ཡིན།
མཆན། མི་མཐུན་ཚན་པའི་སྡོམ་འཐེན་ནི་ཚན་མཐུན་གྱི་སྡོམ་འཐེན་ལྟར་བྱེད་མི་ཐུབ། དཔེར་ན།
མི་མཐུན་ཚན་པ་ 3xy དང་ 7 བསྡོམས་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ 3xy + 7 རེད། འདིར་ཚན་པ་ 3xy དང་ 7 གཉིས་ཀ་རང་ འཇགས་གནས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་ 3xy ནས་ 7 འཐེན་པ་ཡིན་ན། འཐེན་ཐོབ་ 3xy − 7 རེད།
81
༥་༦་༢ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་འཐེན།
རྩིས་རིག
Addition and subtraction of algebraic expressions གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
• 3x + 11 དང་ 7x − 5 སྡོམས།
བསྡོམས་ཐོབ་ = 3x + 11 + 7x − 5
འདིར། ཚན་པ་ 3x དང་ 7x གཉིས་ཚན་མཐུན་ཡིན་པ་དང་། 11 དང་ − 5 ཡང་ཚན་མཐུན་རེད།
དེས་ན། 3x + 7x = 10x དང་ 11 + (− 5) = 6 བསྡོམས་ཐོབ་ = 3x + 11 + 7x − 5
= 3x + 7x + 11 − 5 = 10x + 6
དེར་བརྟེན། 3x + 11 + 7x − 5 = 10x + 6
• 3x + 11 + 8z དང་ 7x − 5 སྡོམས།
བསྡོམས་ཐོབ་ = 3x + 11 + 8z + 7x − 5
= 3x + 7x + 11 − 5 + 8z
(ཚན་པ་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱེད་པ།)
(ཚན་པ་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱེད་པ།)
མཆན། ང་ཚོས་ཚན་མཐུན་རྣམས་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཡོད། མི་མཐུན་ཚན་པ་ 8z རང་འཇགས་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། བསྡོམས་ཐོབ་ = 10x + 6 + 8z
• 3a − b + 4 ནས་ a − b འཐེན།
འཐེན་ཐོབ་ = 3a − b + 4 − (a − b) = 3a − b + 4 − a + b = 3a − a + b − b + 4
= (3 − 1) a + (1 − 1) b + 4 = 2a + (0) b + 4 = 2a + 4 དེར་བརྟེན། 3a − b + 4 − (a − b) = 2a + 4 ༤༽
82
རྩིས་དཔེ།
ཚན་མཐུན་རྣམས་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་སྟབས་བསྡུས་བཟོས།
12m2 − 9m + 5m − 4m2 − 7m + 10
དོ་སྣང་བྱ་རྒྱུ།
− (5 − 3) = − 5 + 3, − (a − b) = − a + b ཡིག་འབྲུ་ཚན་པའི་རྩིས་རྟགས་ནི་
ཨང་ཀིའི་རྩིས་རྟགས་ལྟར་བྱ་དགོས།
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
ལན། ཚན་པ་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་པས།
12m2 − 4m2 + 5m − 9m − 7m + 10 = (12 − 4) m2 + (5 − 9 − 7) m + 10
= 8m + (− 11) m + 10 2
= 8m2 − 11m + 10 ༥༽ 30ab + 12b + 14a ནས་ 24ab − 10b − 18a འཐེན། ལན། 30ab + 12b + 14a − (24ab − 10b − 18a)
འཐེན།
༡། m − n, m + n
༢། mn + 5 − 2, mn + 3
= 30ab + 12b + 14a − 24ab + 10b + 18a = 30ab − 24ab + 12b + 10b + 14a + 18a = 6ab + 22b + 32a
ཚབ་རྩི ས ་ཀྱི ་ ཚུལ་སྡོ མ ་སྐབས་ང་ཚོ ས ་ཚན་མཐུན་རྣམས་སྡོ མ ་དགོ ས །
སྟབས་བདེའི་ཆེད་ཚུལ་ཀྱི་ཚན་མཐུན་རྣམས་གཡས་སུ་བསྟན་པ་བཞིན་ གཞུང་སྒྲིག་ནང་དུའང་འཐེན་ཐུབ།
30ab + 12b + 14a 24ab − 10b − 18a − + + 6ab + 22b + 32a
ཚུལ་གྱི་འོག་ཏུ་ཡོད་པའི་རྟགས་ཀྱིས་འཐེན་རྩིས་རྒྱག་པར་རོགས་རམ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
མཆན། ཚན་པ་ཞིག་གི་འཐེན་རྩིས་ནི་ཚན་པ་དེའི་ལྡོག་གྲངས་སྡོམ་པ་དང་མཉམ་པ་རེད། དཔེར་ན།
− 10 འཐེན་པ་ནི་ + 10 སྡོམ་པ་དང་མཉམ་པ་རེད། 24ab འཐེན་པ་ནི་ − 24ab སྡོམ་པ་དང་མཉམ་པ་རེད། ༦༽ 2y2 + 3yz དང་ − y2 − yz − z2, yz + z2 བཅས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ 3y2 − z2 དང་། − y2 + yz + z2 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་འཐེན།
ལན། ཐོག་མར་ 2y2 + 3yz དང་ − y2 − yz − z2, yz + z2 སྡོམ་དགོས། 2y2 − y2 y2
+ 3yz − yz + yz
−
+ 3yz
+
z2
+ 2z2 z2
(༡)
83
རྩིས་རིག
དེ་རྗེས་ 3y2 − z2 དང་ − y2 + yz + z2 སྡོམ་དགོས། 3y2 − y2
+
yz
2y2
+
yz
−
z2
+
z2
བསྡོམས་ཐོབ་ (༡) ནས་བསྡོམས་ཐོབ་ (༢) འཐེན། y2 2y2
− − y2
+ 3yz + yz − + 2yz
+
z2
+
z2
༡། བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་སྟབས་བསྡུས་བཟོས།
སྦྱོང་ཚན། ༥་༢
(ཀ) 21b − 32 + 7b − 20b
(ཁ) − z2 + 13z2 − 5z + 7z3 − 15z (ག) p − (p − q) − q − (q − p)
(ང) 3a − 2b − ab − (a − b + ab) + 3ab + b − a
(ཅ) 5x2y − 5x2 + 3yx2 − 3y2 + x2 − y2 + 8xy2 − 3y2
(ཆ) (3y2 + 5y − 4) − (8y − y2 − 4)
༢། སྡོམས།
(ཀ) 3mn, − 5mn, 8mn, − 4mn (ཁ) t − 8tz, 3tz − z, z − t
(ག) − 7mn + 5, 12mn + 2, 9mn − 8, −2mn − 3 (ང) a + b − 3, b − a + 3, a − b + 3
(ཅ) 14x + 10y − 12xy − 13, 18 − 7x − 10y + 8xy, 4xy (ཆ) 5m − 7n, 3n − 4m + 2, 2m − 3mn − 5 (ཇ) 4x2y, − 3xy2, − 5xy2, 5x2y
84
(༢)
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
(ཉ) x2 − y2 − 1, y2 − 1 − x2, 1 − x2 − y2
༣། འཐེན།
(ཀ) y2 ནས་ −5y2
(ཁ) − 12xy ནས་ 6xy
(ག) (a + b) ནས་ (a − b)
(ང) b (5 − a) ནས་ a (b − 5)
(ཅ) 4m2 − 3mn + 8 ནས་ −m2 + 5mn (ཆ) 5x − 10 ནས་ − x2 + 10x − 5
(ཇ) 3ab − 2a2 − 2b2 ནས་ 5a2 − 7ab + 5b2
(ཉ) 5p2 + 3q2 − pq ནས་ 4pq − 5q2 − 3p2
༤། (ཀ) x2 + xy + y2 ལ་ཚུལ་གང་བསྡོམས་ན་ 2x2 + 3xy འབྱུང་ངམ།
(ཁ) 2a + 8b + 10 ལས་ཚུལ་གང་འཐེན་ན་ − 3a + 7b + 16 འབྱུང་ངམ།
༥། ཚུལ་ − x2 − y2 + 6xy + 20 ཐོབ་པར་ཚུལ་ 3x2 − 4y2 + 5xy + 20 ནས་ཚུལ་གང་འཐེན་དགོས་སམ།
༦། (ཀ) 3x − y + 11 དང་ − y − 11 གི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ 3x − y − 11 འཐེན།
(ཁ) 4 + 3x དང་ 5 − 4x + 2x2 གི་བསྡོམས་ཐོབ་ནས་ 3x2 − 5x དང་ − x2 + 2x + 5 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ འཐེན།
༥་༧ ཚུལ་གྱི་ཐང་འཚོལ་བ། Finding the value of an expression ཚུལ་ 2a + 3b ལ་དཔེ་བཞག་ན།
གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ a དང་ b ཡི་ཐང་ཤེས་ཀྱི་ཡོད་ན། 2a + 3b ཡི་ཐང་འཚོལ་ཐུབ། གལ་ཏེ་ 2a + 3b ནང་ a ནི་ 10 དང་ b ནི་ 6 ཡིན་ན། ཚུལ་དེའི་ཐང་ནི་ 2 × 10 + 3 × 6 = 38 རེད། ༧༽
རྩིས་དཔེ།
x = 2 ཡིན་ན། གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ།
(ཀ) x + 4
ལན། x = 2 ཡིན་ན།
(ཁ) 4x − 3
(ཀ) x + 4 = 2 + 4 = 6
(ག) 19 − 5x2
(ང) 100 − 10x3
85
(ཁ) 4x − 3 = 4 × 2 − 3 = 5
རྩིས་རིག
(ག) 19 − 5x2 = 19 − (5 × 22) = 19 − (5 × 4) = 19 − 20 = −1
(ང) 100 − 10x3 = 100 − (10 × 23) = 100 − (10 × 8) = 100 − 80 = 20
༨༽ གལ་ཏེ་ n = − 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) 5n − 2
(ཁ) 5n2 + 5n − 2
ལན། n = − 2 ཡིན་ན།
(ག) n3 + 5n2 + 5n − 2
(ཀ) 5n − 2 = 5 (− 2) − 2 = − 10 − 2 = − 12 (ཁ) 5n2 + 5n − 2 = 5 (− 2)2 + 5 (− 2) − 2 = 5 × 4 − 10 − 2 = 20 − 12 =8
(ག) n3 + 5n2 + 5n − 2 = (− 2)3 + 5 (− 2)2 + 5 (− 2) − 2 = − 8 + 20 − 10 − 2 = 20 − 20 =0 ང་ཚོས་རྒྱུ་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚུལ་གི་ཐོབ་འབྲས་འཚོལ་བར། རྒྱུ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཐང་ཤེས་དགོས།
དཔེར་ན། (x + y) ནང་ x ཡིས་ 3 དང་ y ཡིས་ 5 མཚོན་ན། དེའི་ཐང་ནི་ 3 + 5 = 8 རེད།
༩༽ གལ་ཏེ་ a = 3 དང་ b = 2 ཡིན་ན་གཤམ་གྱི་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) a + b
(ག) a2 + 2ab + b2
ལན། a = 3 དང་ b = 2 སྐབས།
(ཁ) 7a − 4b
(ང) a3 − b3
(ཀ) a + b = 3 + 2 = 5
(ཁ) 7a − 4b = 7 × 3 − 4 × 2 = 21 − 8 = 13
(ག) a2 + 2ab + b2 = 32 + 2 × 3 × 2 + 22 = 9 + 12 + 4 = 25
(ང) a3 − b3 = 33 − 23 = 3 × 3 × 3 − 2 × 2 × 2 = 9 × 3 − 4 × 2 = 27 − 8 = 19
86
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
སྦྱོང་ཚན། ༥་༣
༡། གལ་ཏེ་ m = 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) m − 2
(ཁ) 3m − 5 (ང) 3m2 − 2m − 7 (ཅ) 5m − 4 2 ༢། གལ་ཏེ་ p = − 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ།
(ག) 9 − 5m
(ཀ) 4p + 7
(ཁ) − 3p2 + 4p + 7
(ག) − 2p3 − 3p2 + 4p + 7
(ཀ) 2x − 7
(ཁ) − x + 2
(ག) x2 + 2x + 1
༣། གལ་ཏེ་ x = − 1 ཡིན་ན་གཤམ་གྱི་ཚུལ་ཀྱི་ཐང་ཚོལ། (ང) 2x2 − x − 2
༤། གལ་ཏེ་ a = 2 དང་ b = − 2 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ། (ཀ) a2 + b2
(ཁ) a2 + ab + b2
(ག) a2 − b2
(ཀ) 2a + 2b
(ཁ) 2a2 + b2 + 1
(ག) 2a2b − 2ab2 + ab
༥། གལ་ཏེ་ a = 0 དང་ b = − 1 ཡིན་ན་གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་ཐང་ཚོལ། (ང) a2 + ab + 2
༦། གལ་ཏེ་ x = 2 ཡིན་ན། སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐང་ཚོལ། (ཀ) x + 7 + 4 (x − 5)
(ཁ) 3 (x + 2) + 5x − 7
(ག) 6x + 5 (x − 2)
(ང) 4 (2x − 1) + 3x + 11
(ཀ) 3x − 5 − x + 9
(ཁ) 2 − 8x + 4x + 4
༧། གལ་ཏེ་ x = 3, a = − 1, b = − 2 ཡིན་ན། སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐང་ཚོལ། (ག) 3a + 5 − 8a + 1
(ཅ) 2a − 2b − 4 − 5 + a
(ང) 10 − 3b − 4 − 5b
༨། (ཀ) གལ་ཏེ་ z = 10 ཡིན་ན་ z3 − 3 (z − 10) ཡི་ཐང་ཚོལ།
(ཁ) གལ་ཏེ་ n = − 10 ཡིན་ན་ n2 − 2n − 100 ཡི་ཐང་ཚོལ།
༩། གལ་ཏེ་ a = 5 དང་ b = − 3 ཡིན་ན། ཚུལ་ 2 (a2 + ab) + 3 − ab སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐང་ཚོལ།
87
རྩིས་རིག
༥་༨ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་སྤྱོད་པ། - ཆོ་ག་དང་སྤྱི་སྲོལ། Using algebraic expressions - Formulas and rules གཤམ་གྱི་དཔེར་བརྗོད་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། • མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀྱི་ཆོ་ག
༡། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3 × མཐའ། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་ l ཡིས་མཚོན་ན། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3l
༢། དེ་བཞིན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4l འདིར། l = གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད།
༣། མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 5l འདིར། l = མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་མཐའི་རིང་ཚད།
• རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཆོ་ག
༡། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་ l ཡིས་མཚོན་ན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l2
༢། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ l དང་ཞེང་ b ཡིས་མཚོན་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = lb ༣། དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ b ཡིས་ཞབས་དང་ h ཡིས་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་མཚོན་ན།
ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། = bh 2 • གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ཀྱི་སྤྱི་སྲོལ།
གཤམ་གྱི་བརྗོད་པ་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་།
༡། གལ་ཏེ་ n ཡིས་རང་བྱུང་གྲངས་ཤིག་མཚོན་ན། དེའི་རྗེས་གྲངས་ནི་ (n + 1) རེད། དཔེར་ན། n = 10 ཡིན་ན། དེའི་རྗེས་གྲངས་ནི་ n + 1 = 10 + 1 = 11 རེད། (n + 1) ནི་གྲངས་ n ཡི་རྗེས་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་རེད།
༢། གལ་ཏེ་ n ཡིས་ཧྲིལ་གྲངས་ཤིག་མཚོན་ན། 2n ནི་ཆ་གྲངས་དང་ (2n + 1) ནི་ཡ་གྲངས་རེད། དཔེར་ན། n = 15 ཡིན་ན། 2n = 2 × 15 = 30 ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་། 2n + 1 = 2 × 15 + 1 = 30 + 1 = 31 ནི་ཡ་གྲངས་རེད། (2n + 1) ནི་གྲངས་ n ནི་ཡ་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་རེད།
• གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་མང་ཙམ།
གཤམ་གསལ་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ལ་ལྟོས་དང་།
88
3, 6, 9, 12, ..., 3n, ...
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
གྲངས་འདི་དག་ 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས་རེད། འདིར་ 3 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ཡོད། 3n ནི་ཚན་ པ་ nth དེ་རེད། དེས་ན།
ང་ཚོས་ཚན་པ་ 10th ལས་སླ་པོར་འཚོལ་ཐུབ། དེ་ནི་ 3 × 10 = 30 ཚན་པ་ 100th ནི་ 3 × 100 = 300 སོགས།
• དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་ག་ཚོད་འབྲི་ཐུབ་བམ། གཏད་ཐིག་གཅིག་འབྲི་ཐུབ།
དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་གཉིས་འབྲི་ཐུབ། དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མའི་ཟུར་ཚེག་ གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་ 3 འབྲི་ཐུབ། D
E
D
C B
A
F
A
C
D
A B
B
E
C
ང་ཚོས་མཐའ་ n ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་གཏད་ཐིག་གྲངས་ (n − 3) འབྲི་ ཐུབ། ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་མཐའ་བདུན་མ་དང་དབྱིབས་མཐའ་བརྒྱད་མའི་དཔེ་རིས་བྲིས་ཏེ་ཞིབ་འཇུག་བྱོས་དང་། ཟུར་ གསུམ་མ་ལ་ག་ཚོད་འབྲི་ཐུབ་བམ།
སྦྱོང་ཚན། ༥་༤
༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་འགས ྲོ ་ལ་ལྟོས་དང་། ཨང་ཀི་འདི་དག་གྲངས་འཛིན་ཆུ་ཚོད་ཡང་ན་རྩིས་འཁོར་སྟེང་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། (ཀ)
(ཁ)
6
11
16
21 ...
(5n + 1) ...
4
7
10
13 ...
(3n + 1) ...
89
རྩིས་རིག (ག)
7
17
12
22 ...
(5n + 2) ...
གལ་ཏེ་ཨང་ཀི་གྲུབ་པའི་གྲངས་ n ཡིན་ན། ཨང་ཀི་ n གྲུབ་པར་ཐིག་དུམ་དགོས་པའི་གྲངས་ནི་དཔེ་འགྲོས་ཀྱི་ གཡས་སུ་ཡོད་པའི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱིས་སྟོན་གྱི་ཡོད། , ,
ཐེངས་ 5, 10, 100 བཅས་རེ་རེ་བཟོ་བར་ཐིག་དུམ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༢། སྤྲད་ཟིན་པའི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བེད་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ཀྱི་རེའུ་མིག་སྐོངས། ཚུལ།
ལྔ་པ།
1
3
5
7
3n + 2
2
5
8
11
9 _
4n + 1
5
9
13
17
7n + 20
27
34
41
n2 + 1
2
5
10
2n − 1
90
དང་པོ། གཉིས་པ། གསུམ་པ། བཞི་པ།
ཚན་པ།
... _
བཅུ་པ།
... _
བརྒྱ་པ། _
...
_
_
_
_
_
19 _
_
_
_
_
_
_
48
_
_
_
_
_
_
17
_
_
_
_
10,001
_
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ། དགོས་མཁོ།
(ཀ) ཤོག་བྱང་འགའ། བྱེད་ཐབས།
(ཁ) དབྱིབས་ཆས་སྒམ།
བྱེད་སྒོ།
ཤོག་བྱང་ནས་སྒོར་དབྱིབས་དང་།
ཟུར་གསུམ་མ།
ཚན་པ།
དབྱིབས།
(ག) ཇེམ་ཙེ།
(ང) ཚོན་སྨྱུག
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བཅས་ཀྱི་དབྱིབས་ཆུང་ཉི་ཤུ་གཏུབས།
དབྱིབས་ཆུང་འགའ་ལས་བཅུ་ལ་ཚོན་བཏང་སྟེ་ལྷག་མ་རྣམས་ཚོན་མ་གཏང་བར་རང་འཇགས་ཞོག གཤམ་གསལ་རྟགས་རྣམས་བེད་སྤྱད་དེ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་འཐེན་གྱིས། x2
ཚན་པ། − x2
x
−x
1
−1
དབྱིབས།
དཔེ་མཚོན།
(ཀ) (3x2 − 4x + 3) + (x2 + 5x − 2) = 4x2 + x + 1 ནི་གོང་གི་རྟགས་བེད་སྤྱད་དེ་མཚོན་ཐུབ།
+
=
(ཁ) (3x2 − 4x + 3) − (x2 + 5x − 2) = 2x2 − 9x + 5
+
=
གོང་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་གཤམ་གྱི་གྲངས་ཚབ་ཚུལ་ཁག་སྟབས་བསྡུས་བཟོས། (ཀ) (x2 + x + 1) + (x2 − x − 1) = ................
(ཁ) (x2 + x + 1) − (x2 − x − 1) = ................
(ག) (2x2 + 3x + 5) + (x2 − 4x + 1) = ................
(ང) (2x2 + 3x + 5) − (x2 − 4x + 1) = ................
91
རྩིས་རིག
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ནི་རྒྱུ་དང་། རྟག་གྲངས། རྩིས་ཐབས་ཐུན་མོང་ལས་གྲུབ་པ་རེད།
དཔེར་ན། ཚུལ་ 4xy + 7 ནི། རྟག་གྲངས་ 4 དང་རྒྱུ་ x དང་ y བཅས་གསུམ་བསྒྱུར་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་
4xy སྟེང་རྟག་གྲངས་ 7 བསྡོམས་ཏེ་གྲུབ་པ་རེད།
༢། ཚུལ་ནི་ཚན་པ་ཡིས་གྲུབ་ཡོད། ཚུལ་འགྲུབ་པར་ཚན་པ་རྣམས་སྡོམ་དགོས།
དཔེར་ན། ཚན་པ་ 4xy དང་ 7 གཉིས་བསྡོམས་ཏེ་ཚུལ་ 4xy + 7 འབྱུང་།
༣། ཚན་པ་ནི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། ཚུལ་ 4xy + 7 ལས། ཚན་པ་ 4xy ནི་ 4 དང་ x, y བཅས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། རྒྱུ་ཡོད་པའི་བགོད་གྲངས་ལ་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་ཟེར།
༤། ཚན་པའི་ནང་ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་ལ་བཏགས་གྲངས་ཟེར། ཚན་པའི་བགོད་གྲངས་གང་རུང་གཅིག་ ལ་བགོད་གྲངས་གཞན་རྣམས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀྱི་བཏགས་གྲངས་ཟེར།
༥། ཚན་པ་གཅིག་གམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་ཚན་པ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེར། ཚན་པ་གཅིག་ཡོད་པའི་
ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་། ཚན་པ་གཉིས་ཡོད་པ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ། ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པ་ལ་སུམ་ ཚན་ཚུལ་བཅས་ཟེར།
༦། ཚན་པ་ཁག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། ཚན་པ་དེ་དག་ལ་ཚན་མཐུན་ཟེར། ཚན་ པ་ཁག་གི་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་གཅིག་པ་མིན་པ་ལ་མི་མཐུན་ཚན་པ་ཟེར། དཔེར་ན། 4xy དང་ − 3xy གཉིས་ཚན་མཐུན་རེད། ཡིན་ནའང་། 4xy དང་ − 3x གཉིས་མི་མཐུན་ཚན་པ་རེད།
༧། ཚན་མཐུན་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ (ཡང་ན་ཧེ་བག) ནི། དེ་དག་གི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་ཀྱི་ བསྡོམས་ཐོབ་ (ཡང་ན་ཧེ་བག) དེ་ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས་ཡིན་པའི་ཚན་པ་དེ་ཡིན། དཔེར་ན། 8xy − 3xy = (8 − 3) xy = 5xy
༨། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་འཐེན་སྐབས། ཚན་མཐུན་རྣམས་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་དེ་དག་གི་བསྡོམས་ ཐོབ་བམ་ཡང་ན་ཧེ་བག་འཚོལ་དགོས།
༩། མཉམ་བྱ་འགྲོལ་བ་དང་ཆོ་ག་བེད་སྤྱད་པའི་སྐབས། ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་ཐང་འཚོལ་དགོས། དཔེར་ན།
x = 5 ཡིན་ན། 7x − 3 ཡི་ཐང་ནི་ 7(5) − 3 = 35 − 3 = 32 རེད།
92
སློབ་ཚན་དྲུག་པ།
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
༦་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ངོ་སྤྲོད་སྦྱངས་ཟིན། མཉམ་བྱའི་ནང་རྟག་ཏུ་མཚུངས་རྟགས་ཡོད། མཚུངས་
རྟགས་ཀྱིས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀྱི་ཚུལ་མཚུངས་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
མཉམ་བྱ་ 4x + 5 = 65 ལ་དཔེ་བཞག་ན། (4x + 5) ནི་ LHS དང་། 65 ནི་ RHS རེད། དེ་བཞིན། མཉམ་བྱ་
4y + 5 = 6y − 25 ནང་། (4y + 5) ནི་ LHS དང་ (6y − 25) ནི་ RHS རེད།
གལ་ཏེ་ LHS དང་ RHS དབར་མཚུངས་རྟགས་མིན་པའི་རྟགས་ཤིག་ཡོད་ན། དེ་མཉམ་བྱ་མིན། དཔེར་ན། 4x + 5 > 65 ནི་མཉམ་བྱ་མིན། (4x + 5) ཡི་ཐང་ནི་ 65 ལས་ཆེ་བ་ཡིན།
དེ་བཞིན། 4x + 5 < 65 ཡང་མཉམ་བྱ་མིན། (4x + 5) ཡི་ཐང་ནི་ 65 ལས་ཆུང་བ་ཡིན།
མདོར་ན། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་ཐང་མཉམ་པ་དགོས། ཚུལ་གཉིས་ལས་གཅིག་གི་ནང་རྒྱུ་ངེས་པར་དུ་ ཡོད་དགོས།
མཉམ་བྱ་ 4x + 5 = 65 དང་ 65 = 4x + 5 གཉིས་གཅིག་པ་རེད། དེ་བཞིན། མཉམ་བྱ་ 4y + 5 = 6y − 25
དང་ 6y − 25 = 4y + 5 གཉིས་གཅིག་པ་རེད། དེར་བརྟེན། གཡས་སུ་ཡོད་པའི་ཚུལ་དང་གཡོན་དུ་ཡོད་པའི་ཚུལ་
གཉིས་ཕན་ཚུན་བརྗེ་རེས་བྱས་ཀྱང་མཉམ་བྱ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། ༡༽
རྩིས་དཔེ།
གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་ཁག་མཉམ་བྱས་མཚོན།
(ཀ) x སུམ་ལྡབ་དང་ 11 གི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 32 རེད།
(ཁ) 6 དང་གྲངས་ཤིག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 5 འཐེན་ན། 7 འབྱུང་།
93
རྩིས་རིག
(ག) m ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ 7 ལས་ 3 གྱིས་མང་བ་ཡིན། (ང) གྲངས་ཤིག་གི་གསུམ་ཆ་གཅིག་སྡོམ་ 5 ནི་ 8 ཡིན།
ལན། (ཀ) x སུམ་ལྡབ་ནི་ 3x རེད།
3x སྟེང་ 11 བསྡོམས་ན་ 3x + 11 འབྱུང་། བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 32 རེད། དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱ་ནི་ 3x + 11 = 32 རེད།
(ཁ) གལ་ཏེ་གྲངས་དེ་ y ཡིན་ན། y ལ་ 6 གིས་བསྒྱུར་ན་ 6y ཐོབ།
6y ནས་ 5 འཐེན་ན། 6y − 5 འབྱུང་། འཐེན་ཐོབ་ནི་ 7 རེད། དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱ་ནི་ 6y − 5 = 7 རེད།
(ག) m ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ m རེད། 4 དེ་ 7 ལས་ 3 གྱིས་མང་བ་རེད། འཐེན་ཐོབ་ནི་ 3 རེད། དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱ་ནི་
m − 7 = 3 རེད། 4
(ང) གྲངས་དེ་ n ཡིན་ན། n ཡི་གསུམ་ཆ་གཅིག་ནི་
n རེད། 3
n n སྡོམ་ 5 ནི་ + 5 རེད། བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 8 རེད། 3 3 n དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱ་ནི་ + 5 = 8 རེད། 3
༢༽ གཤམ་གྱི་མཉམ་བྱའི་བརྗོད་པ་བྲིས། (ཀ) x − 5 = 9
(ག) 3n + 7 = 1
ལན། (ཀ) x ནས་ 5 འཐེན་ན་ 9 འབྱུང་།
(ཁ) གྲངས་ p སྒྱུར་ 5 ནི་ 20 ཡིན།
(ཁ) 5p = 20 m (ང) − 2 = 6 4
(ག) 1 ཐོབ་པར་གྲངས་ n སྒྱུར་ 3 གྱི་སྟེང་ 7 སྡོམས།
(ང) གྲངས་ m ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནས་ 2 འཐེན་ན། 6 འབྱུང་།
༣༽ བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་པ་ལགས་ནི་བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 5 ཡིས་རྒན་པ་རེད། བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་པ་ལགས་ནི་ ལོ་ 44 རེད། འོ་ན་བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་ལོ་འཚོལ་བར་མཉམ་བྱ་བཟོས།
ལན། ང་ཚོས་བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་ལོ་ཤེས་ཀྱི་མེད། ཁོང་ལོ་ y ཡིན་ན། བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ནི་ལོ་ 3y རེད།
94
བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་པ་ལགས་ནི་ 3y ལས་ལོ་ 5 ཡིས་རྒན་པ་ཡིན། དེ་ནི། བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ (3y + 5) རེད།
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 44 ཡིན་པས།
3y + 5 = 44 མཉམ་བྱ་དེ་བཀྲལ་ཏེ་ང་ཚོས་བཀྲ་ཤིས་ཀྱི་ལོ་འཚོལ་ཐུབ།
༤༽ ཚོང་བདག་གིས་སྒམ་ཆེ་ཆུང་གཉིས་ནང་ཚ་ལུ་མ་བླུགས་པ་རེད། སྒམ་ཆེ་བའི་ནང་སྒམ་ཆུང་བ་ 8 ཀྱི་ཚ་ལུ་མ་ དང་ཚ་ལུ་མ་ 4 ཤོང་གི་ཡོད། སྒམ་ཆུང་རེའི་ནང་ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་བསྟན་པར་མཉམ་བྱ་བཟོས། སྒམ་ཆེ་བའི་ནང་ ཚ་ལུ་མ་ 100 ཡོད།
ལན། སྒམ་ཆུང་བའི་ནང་ཚ་ལུ་མ་ n ཡོད་ན། སྒམ་ཆེ་བའི་ནང་ 8 སྒྱུར་ n ལས་ 4 ཡིས་མང་བ་ཤོང་གི་ཡོད། དེ་ནི། ཚ་ལུ་མ་ 8n + 4 རེད། ཡིན་ནའང་དེ་ 100 ཡིན་པ་སྤྲད་ཡོད།
དེར་བརྟེན། 8n + 4 = 100
ཁྱེད་ཀྱིས་མཉམ་བྱ་དེ་བཀྲལ་ཏེ་སྒམ་ཆུང་བ་གཅིག་གི་ནང་ཡོད་པའི་ཚ་ལུ་མའི་གྲངས་འཚོལ་ཐུབ།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༡
༡། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་གི་གཞུང་བཞི་པའི་ནང་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན་མིན་བྲིས། ཀ ཁ ག ང ཅ ཆ ཇ ཉ ཏ ཐ ད
མཉམ་བྱ།
x+3=0 x+3=0 x+3=0 x−7=1 x −7 = 1 5x = 25 5x = 25 5x = 25 m 3 =2 m 3 =2 m 3 =2
ཐང་།
x=3 x=0 x = −3 x=7 x=8 x=0 x=5 x=−5
འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན། / མིན།
m=−6 m=0 m=6
95
རྩིས་རིག
༢། གུག་རྟགས་ནང་གི་ཐང་ནི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན་མིན་ལྟོས། (ཀ) 7n + 5 = 19 (n = 1)
(ཁ) 7n + 5 = 19 (n = −2)
(ག) 7n + 5 = 19 (n = 2)
(ང) 4p − 3 = 13 (p = 1)
(ཅ) 4p − 3 = 13 (p = −4)
༣། གཤམ་གྱི་རྩིས་བརྗོད་མཚོན་པའི་མཉམ་བྱ་བྲིས།
(ཆ) 4p − 3 = 13 (p = 0)
(ཀ) གྲངས་ x དང་ 4 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ 9 རེད། (ག) བཅུ་སྒྱུར་ a ནི་ 70 རེད།
(ཅ) t ཡི་བཞི་ཆ་གསུམ་ནི་ 15 རེད།
(ཁ) y ནས་ 2 འཐེན་ན་ 8 རེད།
(ང) གྲངས་ d ལ་ 5 ཡིས་བགོས་ན་ 6 ཐོབ།
(ཆ) བདུན་སྒྱུར་ m སྡོམ་ 7 གྱིས་ 77 འབྱུང་།
(ཇ) གྲངས་ x ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནས་ 4 འཐེན་ན་ 4 འབྱུང་། (ཉ) 6 སྒྱུར་ y ནས་ 6 འཐེན་ན། 60 འབྱུང་།
(ཏ) z ཡི་གསུམ་ཆ་གཅིག་སྟེང་ 3 བསྡོམས་ན། 30 འབྱུང་།
༤། གཤམ་གྱི་མཉམ་བྱའི་བརྗོད་པ་བྲིས། (ཀ) p + 4 = 15
(ང)
m =3 5
(ཇ) 4p − 2 = 18
(ཁ) m − 7 = 3
(ཅ) 3m = 6 5 p (ཉ) +2=8 2
(ག) 2m = 7
(ཆ) 3p + 4 = 25
༥། གཤམ་གསལ་གནས་སྟངས་ཁག་ལ་མཉམ་བྱ་བཟོས།
(ཀ) དཔལ་ལྡན་ལ་བདེ་སྐྱིད་ཀྱི་ཤེལ་རྡོའི་གྲངས་ཀྱི་ལྡབ་ 5 དང་ཤེལ་རྡོ་ 7 གྱིས་མང་བ་ཡོད། དཔལ་ལྡན་ལ་ཤེལ་ རྡོ་ 37 ཡོད། (བདེ་སྐྱོད་ཀྱི་ཤེལ་རྡོའི་གྲངས་ m གྱིས་མཚོན།)
(ཁ) ཆོས་སྒྲོན་གྱི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 49 རེད། ཁོང་ནི་ཆོས་སྒྲོན་གྱི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 4 ཡིས་རྒན་པ་རེད། (ཆོས་སྒྲོན་གྱི་ལོ་ y ཡིས་མཚོན།)
༦་༢ མཉམ་བྱ་འགྲོལ་བ། Solving an equation མཉམ་བྱ་ 10 − 3 = 6 + 1 ལ་དཔེ་བཞག་ན།
དེ་ནི་མཚུངས་པའི་རྩིས་ཕྲེང་རེད། དེའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་རྩིས་འབྲས་མཉམ་པ་ཡིན། དེ་ནི། 10 − 3 = 6 + 1 = 7 • ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེ་བསྣན་ན།
LHS = 10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9; RHS = 6 + 1 + 2 = 7 + 2 = 9
96
རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་མེད། (དེ་ནི། LHS = RHS)
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་བསྡོམས་ན། རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
• ཡང་ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 2 རེ་འཐེན་པ་ཡིན་ན།
LHS = 10 − 3 − 2 = 7 − 2 = 5; RHS = 6 + 1 − 2 = 7 − 2 = 5 རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་འཐེན་ན། རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
• དེ་བཞིན། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་གཅིག་པས་བསྒྱུར་བའམ་ཡང་ན་བགོས་པ་ཡིན་ན། རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
དཔེར་ན། ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་བསྒྱུར་པ་ཡིན་ན།
LHS = (10 − 3) × 2 = 7 × 2 = 14
RHS = (6 + 1) × 2 = 7 × 2 = 14
ཡང་བསྐྱར་རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་བགོས་པ་ཡིན་ན། LHS = (10 − 3) ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 7 2 ཡང་བསྐྱར་འགྲོལ་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
RHS = (6 + 1) ÷ 2 = 7 ÷ 2 =
7 2
མཆན། གལ་ཏེ་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་མི་འདྲ་བས་སྡོམ་པའམ། ཡང་ན་འཐེན་པའམ། ཡང་ན་སྒྱུར་
བའམ། ཡང་ན་བགོད་པ་ཡིན་ན་རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་རེད།
དཔེར་ན། མཉམ་བྱ་ 10 − 3 = 6 + 1 གི་ LHS ལ་ 2 དང་ RHS ལ་ 3 བསྡོམས་ན།
LHS གསར་པ་ནི་ 10 − 3 + 2 = 9 དང་། RHS གསར་པ་ནི་ 6 + 1 + 3 = 10 རེད། འདིར་རྩིས་འབྲས་གཉིས་མཚུངས་ཀྱི་མེད། དེ་ནི། LHS ≠ RHS
མཉམ་བྱ་ནི་ལྗིད་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་རྒྱ་མའི་སྡེར་མ་གཉིས་ཀྱི་ནང་ལྗིད་
ཚད་མཉམ་པ་ཡོད་པ་དང་འདྲ།
འདིར་རྒྱ་མའི་སྡེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་
ཡོད། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སྡེར་མ་གཉིས་སྟེང་ལྗིད་ཚད་གཅིག་པ་བཞག་ན། སླར་ ཡང་སྡེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་གནས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སྡེར་མ་གཉིས་ ནས་ལྗིད་ཚད་གཅིག་པ་ཕྱིར་འཐེན་ན། ད་དུང་སྡེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་ གནས་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། སྡེར་མ་གཉིས་ནང་ལྗིད་ཚད་གཅིག་པ་སྣོན་ འཕྲི་གང་རུང་བྱས་ཀྱང་། སྡེར་མ་དེ་གཉིས་མུ་མཐུད་གོང་བཞིན་སྙོམས་པོར་ གནས་ཀྱི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སྡེར་མ་གཉིས་ནང་ལྗིད་ཚད་
མི་མཉམ་པ་གཉིས་སྣོན་འཕྲི་གང་རུང་བྱས་ན། སྡེར་མ་གཉིས་སྙོམས་པོར་ གནས་ཀྱི་མེད།
LHS
RHS
མཉམ་བྱ་ནི ་ སྡེ ར ་མ་གཉི ས ་ཀའི ་
སྟེང་ལྗིད་ཚད་མཉམ་པ་ཡོད་པའི་
ལྗིད་ཚད་འཇལ་བྱེད་ཀྱི་རྒྱ་མ་
དང་འདྲ།
97
རྩིས་རིག
• མཉམ་བྱ་ x + 3 = 8 ལ་ཆ་འཇོག
ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 3 རེ་འཐེན་པ་ཡིན་ན།
LHS གསར་པ་ནི་ x + 3 − 3 = x དང་ RHS གསར་པ་ནི་ 8 − 3 = 5 རེད།
x+3
8
ང་ཚོས་ 3 རེ་འཐེན་དགོས་པའི་རྒྱུ་མཚན་ནི། 3 འཐེན་ རྗེས་ LHS ལ་ x ལྷག་གི་ཡོད།
ང་ཚོར། LHS གསར་པ་ = RHS གསར་པ། ཡང་ན། x = 5 ཐོབ།
དེ་བཤེར་རྩིས་སྐབས། མཉམ་བྱ་ངོ་མའི་ནང་ x དེ་ 5 ཡིས་བརྗེས་ན། ང་ཚོར་ LHS = x + 3 = 5 + 3 = 8 དེ་ནི་ RHS དང་མཚུངས།
• མཉམ་བྱ་ x − 3 = 10 སྐབས།
མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ལ་ 3 རེ་བསྡོམ་དགོས། LHS གསར་པ་ = x − 3 + 3 = x RHS གསར་པ་ = 10 + 3 = 13
x−3
དེར་བརྟེན། x = 13 ནི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་རེད།
མཉམ་བྱ་ངོ་མའི་ནང་ x = 13 བཅུག་སྟེ་ང་ཚོས་དེ་འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ།
མཉམ་བྱ་ངོ་མའི་ LHS = x − 3 = 13 − 3 = 10 དེ་ནི་ RHS དང་མཚུངས།
• དེ་མཚུངས། གཤམ་གྱི་མཉམ་བྱ་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (༡) 5y = 35
འདིར། ང་ཚོས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ལ་ 5 རེས་བགོད་ཀྱི་ཡིན། 5y 5 × y LHS གསར་པ་ = = = y དང་། 5 5 35 =7 RHS གསར་པ། = 5 དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ནི་ y = 7 རེད། ང་ཚོས་ y = 7 བླངས་ཏེ་དེ་བཤེར་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ།
མཉམ་བྱ་ངོ་མའི་ LHS = 5y = 5 × 7 = 35 དེ་ནི་ RHS དང་མཚུངས།
98
10
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
(༢) m = 5 2 འདིར། ང་ཚོས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་སྒྱུར་གྱི་ཡིན། m LHS གསར་པ་ = × 2 = m དང་། 2 RHS གསར་པ་ = 5 × 2 = 10 དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ནི་ m = 10 རེད།
མཆན། གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས་མཐོང་གསལ་ལ། ང་ཚོས་མཉམ་བྱ་ལ་གཞིགས་ཏེ་རྩིས་ཐབས་བེད་སྤྱོད་དགོས། ང་
ཚོའི་དམིགས་ཡུལ་ནི་མཉམ་བྱའི་ནང་རྒྱུ་ལོགས་སུ་སྟོན་ཐབས་བྱ་རྒྱུ་དེ་ཡིན། སྐབས་འགར། ང་ཚོས་རྩིས་ཐབས་
གཅིག་ལས་མང་བ་བེད་སྤྱོད་བྱ་དགོས་ཀྱི་རེད། དེ་སེམས་ལ་བཞག་སྟེ་ང་ཚོས་རྩིས་དཔེ་འགའ་སྟོན་རྒྱུ་ཡིན། རྩིས་དཔེ།
༥༽ འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) 3n + 7 = 25
(ཁ) 2p − 1 = 23
ལན།
(ཀ) མཉམ་བྱའི་ LHS ལ་རྒྱུ་ n ལོགས་སུ་དབྱེ་བར།
ཐོག་མར་ LHS ནས་ 7 འཐེན་ཏེ་ 3n ཐོབ་པར་བྱ། དེ་ནས་གོམ་པ་གཉིས་པར་ང་ཚོས་ 3 གྱིས་བགོས་ཏེ་ n
ཐོབ་པར་བྱ།
དེར་བརྟེན། ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 7 རེ་འཐེན།
3n + 7 − 7 = 25 − 7 3n = 18
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས།
18 3n = 3 3 n = 6 ནི་འགྲོལ་ཐོབ་རེད།
(ཁ) ཐོག་མར་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 1 རེ་སྡོམས།
2p − 1 + 1 = 23 + 1 2p = 24
(གོམ་པ་ ༡) (གོམ་པ་ ༢)
(གོམ་པ་ ༡)
99
རྩིས་རིག
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་བགོས།
2p 24 = 2 2
(གོམ་པ་ ༢)
p = 12 ནི་འགྲོལ་ཐོབ་རེད།
འགྲོལ་ཐོབ་བཤེར་རྩིས་རྒྱག་སྐབས། p = 12 མཉམ་བྱའི་ནང་བཅུག་ན། LHS = 2 × 12 − 1 = 23 = RHS
དེར་བརྟེན། འགྲོལ་ཐོབ་ p = 12 འགྲིག་ཡོད།
༡། འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) x − 1 = 0 (ང) y + 4 = 4
(ཇ) b = 6 2
༢། འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) 2q − 6 = 0
(ང) 3n − 2 = 46
(ཇ) 12x + 12 = 72
སྦྱོང་ཚན། ༦་༢ (ཁ) x + 6 = 2
(ག) y − 4 = − 7
(ཉ)
(ཏ)
(ཅ) 3l = 42 z 5 = 3 4
(ཁ) 5m + 7 = 17 3p (ཅ) 10 = 6 x+8 (ཉ) =2 4
(ཆ) 20t = − 10 7 a = 5 15
(ག) 10p + 10 = 100 20q (ཆ) 3 = 40
༦་༣ མཉམ་བྱ་མང་བ། More equations
མཉམ་བྱ་འགྲོལ་སྐབས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་སྡོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་གྱི་ཡོད། གྲངས་ཤིག་གི་གནས་ས་ (ཕྱོགས་) བརྗེས་པ་ནི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་དེས་སྡོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་པ་དང་མཉམ་
པ་རེད། དེ་བྱེད་སྐབས་གྲངས་ཀྱི་རྟགས་བརྗེ་དགོས། གྲངས་ཀྱི་ཕྱོགས་བརྗེས་པ་ལ་གནས་ས་བརྗེ་བ་ཟེར། གྲངས་ཤིག་གི་
གནས་ས་བརྗེ་སྐབས། ང་ཚོས་གྲངས་དེའི་རྟགས་བརྗེ་ཡི་ཡོད། ང་ཚོས་གནས་ས་བརྗེ་ལེན་གྱི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ལྟ་རྒྱུ་
ཡིན།
100
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་སྡོམ་པའམ་ཡང་ན་འཐེན་པ།
(༡) 3p − 10 = 5
(༡) 3p − 10 = 5
− 10 ཡི་གནས་ས་ LHS ནས་ RHS ལ་རྗེས།
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 10 རེ་སྡོམས།
(གནས་ས་བརྗེ་སྐབས་ − 10 ནི་ + 10 ཆགས།)
3p − 10 + 10 = 5 + 10
3p = 5 + 10
3p = 15
དེས་ན། p = 5
དེས་ན། p = 5
ཡང་ན། 3p = 15
(༢) 5x + 12 = 27
(༢) 5x + 12 = 27
+ 12 ཀྱི་གནས་ས་བརྗེ་བ།
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 12 རེ་འཐེན།
(གནས་ས་བརྗེ་སྐབས་ + 12 ནི་ − 12 ཆགས།)
5x + 12 − 12 = 27 − 12
5x = 27 − 12 ཡང་ན། 5x = 15
5x = 15
དེས་ན། x = 3
དེས་ན། x = 3
༦༽
གནས་ས་བརྗེ་བ།
རྩིས་དཔེ།
འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) 4(m + 3) = 18
(ཁ) − 2(x + 3) = 8
ལན། (ཀ) 4(m + 3) = 18
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེས་བགོས་ནས། LHS ལ་གུག་རྟགས་མེད་པ་བཟོས། m+3=
18 ཡང་ན། 4
m+3=
9 2
9 −3 (3 RHS ལ་སྤོ་བ།) 2 9 6 3 m= − = 2 2 2 m=
བཤེར་རྩིས། LHS = 4
3 3 + 3 = 4 × + 4 × 3 = 2 × 3 + 4 × 3 = 18 = RHS 2 2
(ཁ) − 2(x + 3) = 8
LHS ལ་གུག་རྟགས་མེད་པ་བཟོ་བར། ང་ཚོས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ (− 2) རེས་བགོས། x+3=−
8 ཡང་ན། 2
x+3=−4
101
དེ་ནི། x = − 4 − 3
རྩིས་རིག
(3 RHS ལ་སྤོ་བ།)
ཡང་ན།
x=−7
བཤེར་རྩིས། LHS = − 2 (− 7 + 3) = − 2 (− 4) = 8 = RHS
༧༽ x = 5 ཡིན་པའི་མཉམ་བྱ་གཉིས་བཟོས། ལན། (༡) མཉམ་བྱ་དང་པོ།
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེ་སྣོན།
x + 4 = 5 + 4 x+4=9
(༡) མཉམ་བྱ་གཉིས་པ།
x=5
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་སྒྱུར།
༡། འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
3x = 15
སྦྱོང་ཚན། ༦་༣ (ཁ) 6z +10 = −2
(ཅ)
a +3=2 5 b (ཆ) − 5 = 3 2
(ང) − 4(2 + x) = 8
(ཁ) 3(n − 5) = 21
(ཅ) 4(2 − x) = 8
(ག) 3(n − 5) = − 21
(ཀ) 4 = 5( p − 2)
(ཁ) −4 = 5(p − 2)
(ག) 16 = 4 + 3(t + 2)
(ཀ) 5t + 28 = 10
q −7=5 4 5 37 (ཇ) 2y + = 2 2 ༢། འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། (ང)
(ཀ) 2(x + 4) = 12
༣། འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
(ང) 4 + 5( p − 1) = 34
5 25 x= 2 4 19 (ཉ) 7m + = 13 2
(ཅ) 0 = 16 + 4(m − 6)
༤། (ཀ) x = 2 ཡིན་པའི་མཉམ་བྱ་གསུམ་བཟོས།
102
x=5
(ཁ) x = − 2 ཡིན་པའི་མཉམ་བྱ་གསུམ་བཟོས།
(ག)
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
༦་༤ མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེའི་བེད་སྤྱོད། Application of simple equations རྩིས་དཔེ།
༨༽ གྲངས་ཤིག་གི་སུམ་ལྡབ་དང་ 11 གི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 32 རེད། གྲངས་དེ་ཚོལ།
ལན།
• གལ་ཏེ་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་དེ་ x ཡིན་ན། གྲངས་དེའི་སུམ་ལྡབ་ནི་ 3x ཡིན་པ་དང་། 3x དང་ 11 གི་བསྡོམས་ ཐོབ་ནི་ 32 རེད། དེ་ནི། 3x + 11 = 32
• མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར། ང་ཚོས་ 11 དེ་ RHS ལ་སྤོ་དགོས། 3x = 32 − 11 ཡང་ན། 3x = 21 དེ་ནས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས།
21 =7 3 དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གྲངས་ནི་ 7 རེད། དེས་ན། x =
བཤེར་རྩིས། LHS = 3 × 7 + 11 = 32 = RHS
༩༽ གྲངས་ཤིག་གི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ 7 ལས་ 3 གྱིས་མང་བ་རེད། གྲངས་དེ་ཚོལ། ལན།
y • གལ་ཏེ་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་དེ་ y ཡིན་ན། y ཡི་བཞི་ཆ་གཅིག་ནི་ རེད། 4 y གྲངས་ ནི་ 7 ལས་ 3 གྱིས་མང་བ་ཡོད། 4 y དེར་བརྟེན། ང་ཚོར་ y ཡི་མཉམ་བྱ་ − 7 = 3 བྱུང་། 4 • མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར། 7 དེ་ RHS ལ་སྤོས། y = 3 + 7 = 10 4 དེ་ནས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེས་སྒྱུར། y × 4 = 10 × 4 = 40 ཡང་ན། 4 དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གྲངས་ནི་ 40 རེད།
y = 40
བཤེར་རྩིས། LHS = 40 − 7 = 10 − 7 = 3 = RHS 4
103
རྩིས་རིག
༡༠༽ བྱང་ཆུབ་ཀྱི་པ་ལགས་ནི་བྱང་ཆུབ་ཀྱི་ལོའི་ལྡབ་ 3 ལས་ལོ་ 5 ཡིས་རྒན་པ་རེད། གལ་ཏེ་པ་ལགས་ལོ་ 44 ཡིན་ན་བྱང་ཆུབ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
ལན། པ་ལགས་ཀྱི་ལོའི་མཉམ་བྱ།
3y + 5 = 44
དེའི་འགྲོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར། 5 དེ་ RHS ལ་སྤོ་དགོས། 3y = 44 − 5 = 39
3y = 39
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས།
དེས་ན། བྱང་ཆུབ་ལོ་ 13 རེད། (ཁྱེད་ཀྱིས་དེ་བཤེར་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ།)
y = 13
རྩིས་དང་།
(༡) ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་ཤིག་ལ་ 6 གིས་བསྒྱུར་པ་དང་དེའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནས་ 5 འཐེན་ན། ཁྱེད་ལ་ 7 བྱུང་། ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་དེ་གང་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ་བམ།
(༢) གྲངས་ཤིག་གི་གསུམ་ཆ་གཅིག་ཁར་ 5 བསྡོམས་ན་ 8 འབྱུང་བའི་གྲངས་དེ་ཚོལ།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༤
༡། རྩིས་བརྗོད་ཁག་མཉམ་བྱ་བཟོས་ཏེ་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) གྲངས་ཤིག་གི་ལྡབ་ 8 སྟེང་ལ་ 4 བསྡོམས་ན། 60 འབྱུང་། (ཁ) གྲངས་ཤིག་གི་ལྔ་ཆ་གཅིག་ནས་ 4 འཐེན་ན་ 3 འབྱུང་།
(ག) གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་བཞི་ཆ་གསུམ་ལེན་ཏེ་དེའི་སྟེང་ 3 བསྡོམས་ན། 21 འཐོབ།
(ང) གྲངས་ཤིག་གི་ཉིས་ལྡབ་ནས་ 11 འཐེན་ན། 15 འཐོབ།
(ཅ) ཚེ་རིང་གིས་ 50 ནས་གྲངས་ཤིག་གི་ལྡབ་གསུམ་འཐེན་ན། ཁོ་ལ་ 8 ལྷག
(ཆ) ལྷག་སྒྲོན་གྱིས་གྲངས་ཤིག་སེམས་ལ་ཉར་ཡོད། གལ་ཏེ་མོས་གྲངས་དེ་ལ་ 19 བསྣན་ནས་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་ 5 ཡིས་བགོས་ན། 8 འཐོབ།
(ཇ) བློ་བཟང་གིས་གྲངས་ཤིག་སེམས་ལ་ཉར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོས་གྲངས་དེའི་ 5 ནས་ 7 ཕྱིར་བླངས་ན། 23 འཐོབ། 2 ༢། རྩིས་བརྗོད་ཁག་གི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་ལེན་མཁན་གྱི་སློབ་མས་ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ཀྱི་ཉིས་ལྡབ་ལས་ 7 གྱིས་ མང་བ་བླངས་ཡོད། ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་ནི་ 87 རེད། བྱས་ན་ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།
104
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ།
(ཁ) ཉི་མས་པ་སངས་ཀྱིས་བཟོས་པའི་མོག་མོག་གི་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་ལྡབ་བཟོས་པ་རེད། ཁྱོན་བསྡོམས་ཁོ་གཉིས་ཀྱིས་
མོག་མོག་བརྒྱ་ཕྲག་གཉིས་ལས་གཉིས་ཀྱིས་ཉུང་བ་བཟོས་ཡོད། ཁོ་གཉིས་སོ་སོས་བཟོས་པའི་མོག་མོག་གི་གྲངས་ ཚོལ།
(ག) དཔལ་སྒྲོན་ལ་ལྷ་མོའི་ཤེལ་རྡོའི་ལྡབ་ལྔ་ལས་ཤེལ་རྡོ་ 7 གྱིས་མང་བ་ཡོད། དཔལ་སྒྲོན་ལ་ཤེལ་རྡོ་ 37 ཡོད་ན། ལྷ་མོ་ལ་ཤེལ་རྡོ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
(ང) ཆོས་ལྡན་གྱི་པ་ལགས་ནི་ལོ་ 49 རེད། ཁོང་ཆོས་ལྡན་གྱི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ལོ་ 4 ཡིས་རྒན་པ་རེད། ཆོས་ ལྡན་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ཅ) ལྡུམ་རའི་ནང་ཤིང་སྡོང་མང་པོ་ཡོད་པ་ལས། འགའ་ཤས་ནི་ཤིང་ཏོག་གི་སྡོང་པོ་རེད། ཤིང་ཏོག་མིན་པའི་སྡོང་ པོའི་གྲངས་ནི་ཤིང་ཏོག་གི་སྡོང་པོའི་གྲངས་ཀྱི་ལྡབ་གསུམ་ལས་ 2 ཀྱིས་མང་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་ཤིང་ཏོག་མིན་ པའི་སྡོང་པོའི་གྲངས་ 77 ཡིན་ན། ཤིང་ཏོག་གི་སྡོང་པོའི་གྲངས་ཚོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡༽ མཉམ་བྱ་ནི་མཚུངས་པའི་རྩིས་ཕྲེང་ཞིག་ལ་ཟེར།
༢༽ LHS དང་ RHS གཉིས་ཕན་ཚུན་གནས་ས་བརྗེས་ནའང་མཉམ་བྱ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། ༣༽ གཤམ་གསལ་རྩིས་ཐབས་སྐབས་སུ་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་མེད། (ཀ) མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་སྡོམ་པ།
(ཁ) མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་འཐེན་པ། (ག) མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་སྒྱུར་བ།
(ང) མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་གྲངས་གཅིག་པ་ཞིག་གིས་བགོད་པ།
༤༽ གྲངས་ཤིག་གི་ཕྱོགས་བརྗེས་པ་ལ་གནས་ས་བརྗེ་བ་ཟེར། གྲངས་ཤིག་གི་གནས་ས་བརྗེ་སྐབས་ང་ཚོས་
གྲངས་དེའི་རྟགས་བརྗེ་ཡི་ཡོད། དཔེར་ན། མཉམ་བྱ་ x + 3 = 8 ལས། LHS ནང་ 3 ཡི་གནས་ས་
བརྗེས་ཏེ་ RHS ལ་སྤོས་ན། x = 8 − 3 = 5 འབྱུང་།
105
སློབ་ཚན་བདུན་པ།
ཟུར།
༧་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་གོང་མར་སྦྱངས་ཟིན་པའི་དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྩ་བའི་གོ་དོན་འགའ་དྲན་གསོ་བྱ་རྒྱུ་ཡིན།
ཁྱེད་ཀྱིས་
སྤྲད་ཟིན་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་ནང་ཐིག་དང་། ཐིག་དུམ། ཟུར་བཅས་ངོས་འཛིན་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་ དཔེ་རིས་ ༧་༡ ལས་ཐིག་དུམ་དང་ཟུར་ངོས་འཛིན་བྱོས།
(ཀ)
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༡
(ག)
(ང)
དཔེ་རིས་ ༧་༡ ལ་བལྟས་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་རྣོ་ཟུར་དང་། རྟུལ་ཟུར། དྲང་ཟུར་བཅས་ངོས་འཛིན་བྱོས།
དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། ཐིག་དུམ་ལ་སྣེ་གནས་གཉིས་ཡོད། གལ་ཏེ་དེ་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་མུ་མཐའ་མེད་པར་བརྐྱངས་པ་
ཡིན་ན། ང་ཚོར་ཐིག་འབྱུང་། དེར་བརྟེན། ཐིག་ལ་སྣེ་གནས་མེད། ཡིན་ནའང་འཕྲོ་ཐིག་ལ་སྣེ་གནས་གཅིག་ (དེའི་འགོ་ གནས་) ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་བལྟས་ཏེ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། Q
A
P
106
(ཀ)
O དཔེ་རིས་ ༧་༢
(ཁ)
B P
(ག)
ཟུར།
དཔེ་རིས་ ༧་༢ (ཀ) པས་ཐིག་དུམ་དང་། དཔེ་རིས་ ༧་༢ (ཁ) པས་ཐིག དཔེ་རིས་ ༧་༢ (ག) པས་འཕྲོ་ཐིག་བཅས་སྟོན་ གྱི་ཡོད། ཐིག་དུམ་ PQ ནི་རྟགས་ PQ ཡིས་མཚོན་པ་དང་། ཐིག་ AB ནི་རྟགས་ AB དང་འཕྲོ་ཐིག་ OP ནི་རྟགས་
OP ཡིས་མཚོན། ཁྱེད་ཀྱི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བ་ལས་ཐིག་དུམ་དང་འཕྲོ་ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་འཛིན་གྲོགས་མཉམ་དུ་ གྲོས་བསྡུར་བྱོས།
ཟུར་ནི་ཐིག་གམ་ཡང་ན་ཐིག་དུམ་གཉིས་འཕྲད་དེ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། དཔེ་རིས་ ༧་༡ ནང་གི་ཟུར་ལ་ ལྟོས་དང་། ཟུར་འདི་དག་ཐིག་གཉིས་འཕྲད་དེ་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། A
P
S O
B
C
(ཀ)
R དཔེ་རིས་ ༧་༣
Q
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི་ནང་། ཐིག་དུམ་ AB དང་ BC གཉིས་ B ལ་འཕྲད་དེ་ཟུར་ ABC གྲུབ་པ་དང་། ཐིག་དུམ་
BC དང་ AC གཉིས་ C ལ་འཕྲད་དེ་ཟུར་ ACB གྲུབ་པ་སོགས་ཡིན། དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཁ) པའི་ནང་། ཐིག་ PQ
དང་ RS གཉིས་ O ལ་འཕྲད་དེ་ཟུར་ POS དང་ SOQ, QOR, ROP བཅས་ཟུར་བཞི་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཀ) པའི་ནང་གྲུབ་པའི་ཟུར་གསུམ་ནི། དཔེ་རིས་ ༧་༣ (ཁ) པའི་ནང་གྲུབ་པའི་ཟུར་བཞི་ནི།
POS དང་
ABC དང་ SOQ,
༧་༢ འབྲེལ་བ་ཡོད་པའི་ཟུར། Related angles
BCA,
QOR,
BAC དང་།
POR བཅས་ཡིན།
༧་༢་༡ གྲོགས་ཟུར། Complementary angles
གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 90o ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ལ་གྲོགས་ཟུར་ (Complementary angles) ཟེར། 60o
30o
(ཀ)
65o
35o
དཔེ་རིས་ ༧་༤
(ཁ)
107
རྩིས་རིག
དཔེ་རིས་ ༧་༤ (ཀ) པའི་ནང་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ་གྲངས་ནི་ 90o རེད། དེར་བརྟེན། དེ་གཉིས་གྲོགས་ཟུར་ཡིན་པ་དང་།
30o དང་ 60o གཉིས་ཕན་ཚུན་གྲོགས་ཟུར་རེད། ཡིན་ནའང་། དཔེ་རིས་ ༧་༤ (ཁ) པའི་ནང་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ་
གྲངས་ 90o མིན་པས་དེ་དག་གྲོགས་ཟུར་མ་རེད།
གྲོས་བསྡུར་བྱས་ཏེ་ལན་བྲིས།
༡། རྣོ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གྲོགས་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༢། རྟུལ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གྲོགས་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ། རྩིས་དང་།
༣། དྲང་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གྲོགས་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༡། གཤམ་གསལ་ཟུར་རྣམས་ལས་གྲོགས་ཟུར་ངོས་ཟུངས། (དཔེ་རིས་ ༧་༥) 20o 25o
75o
70o
(ཀ)
(ཁ) 52o
48o
35o
(ག)
༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གྱི་གྲོགས་ཟུར་ཚོལ། (ཀ) 41o
(ཁ) 45o
དཔེ་རིས་ ༧་༥
(ག) 54o
(ང) (ང) 65o
༣། གལ་ཏེ་གྲོགས་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ཧེ་བག་ 12o ཡིན་ན། ཟུར་རེ་རེའི་ཚད་ཚོལ།
108
55o
༧་༢་༢ གསབ་ཟུར། Supplementary angles
ཟུར།
135 o
གཤམ་གསལ་ཆ་ཟུར་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༧་༦)
60
o
45
120o
o
(ཀ)
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༦
ཁྱེད་ཀྱིས་དཔེ་རིས་ ༧་༦ ནང་ཆ་ཟུར་རེའི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 180o ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། དེ་འདྲའི་ཆ་ཟུར་ལ་གསབ་ཟུར་ (Supplementary angles) ཟེར།
གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 180o ཡིན་ན་དེ་གཉིས་ལ་གསབ་ཟུར་ཟེར། དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་གསབ་ཟུར་ཡིན། གྲོས་བསྡུར་བྱས་ཏེ་ལན་བྲིས།
༡། རྟུལ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ། ༢། རྣོ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༣། དྲང་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ། རྩིས་དང་།
༡། དཔེ་རིས་ ༧་༧ ལས་གསབ་ཟུར་ངོས་ཟུངས།
65o
50o
110o
(ཀ)
105o
དཔེ་རིས་ ༧་༧
(ཁ)
109
རྩིས་རིག
50o
0
13
༢། གསབ་ཟུར་ཚོལ། (ཀ) 100o
45o
o
(ག) (ཁ) 90o
45o
(ང)
དཔེ་རིས་ ༧་༧
(ག) 55o
(ང) 125o
༣། གསབ་ཟུར་གཉིས་ལས། གཅིག་ནི་ 44o ཡིས་མང་བ་ཡོད་ན། ཟུར་རེ་རེའི་ཚད་ཚོལ། ༧་༢་༣ ཉེ་ཟུར། Adjacent angles གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།
12 9
3 6
ཁྱེད་ཀྱིས་དེབ་ཅིག་ཁ་ཕྱེ་བ་ཡིན་ན་དེ་གོང་གི་
དཔེ་རིས་ལྟར་མཐོང་གི་རེད། འདིར་ང་ཚོས་ཟུར་ ཆ་གཅིག་ཕན་ཚུན་འགྲམ་ལ་ཡོད་པ་མཐོང་ཐུབ།
ཆུ་ཚོད་འཁོར་ལོ་ལ་ལྟོས་དང་། འདིར་ཆུ་ཚོད་ཀྱི་མདའ་
དང་། སྐར་མའི་མདའ། སྐར་ཆའི་མདའ་བཅས་ཀྱིས་ཟུར་ གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ཟུར་འདི་དག་ཕན་ཚུན་འགྲམ་ལ་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༧་༨ ལ་ལྟོས་དང་། ∠AOB དང་ ∠BOC གཉིས་ལ། (༡) སྤྱིའི་ཟུར་ཚེག O ཡོད།
(༢) སྤྱིའི་དཔུང་པ་ OB ཡོད།
(༣) ཟུར་གྱི་དཔུང་པ་གཞན་གཉིས་ཏེ་ OA དང་ OC གཉིས་ནི་
སྤྱིའི་དཔུང་པ་ OB ཡི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཟུར་ ལ་ཉེ་ཟུར་ (Adjacent angles) ཟེར། དེར་བརྟེན།
C
B
O
དཔེ་རིས་ ༧་༨
A
ཉེ་ཟུར་ལ་སྤྱིའི་ཟུར་ཚེག་དང་སྤྱིའི་དཔུང་པ་ཡོད་པ་དང་། དཔུང་པ་གཞན་གཉིས་སྤྱིའི་དཔུང་པའི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད།
110
ཟུར།
རྩིས་དང་།
༡། དཔེ་རིས་ ༧་༩ ལས་ཟུར་ 1 དང་ 2 གཉིས་ཉེ་ཟུར་ཡིན་མིན་ལྟོས། གལ་ཏེ་ཉེ་ཟུར་མིན་ན་རྒྱུ་མཚན་ཤོད། 1
1 2
2
(ཀ)
(ཁ)
1
2 (ག)
དཔེ་རིས་ ༧་༩
༢། དཔེ་རིས་ ༧་༡༠ ལས། གཤམ་གྱི་ཟུར་རྣམས་ཉེ་ཟུར་ཡིན་ནམ།
B
(ཀ) ∠AOB དང་ ∠BOC
(ཁ) ∠BOD དང་ ∠BOC
A
(ག) ∠AOB དང་ ∠COD གྲོས་བསྡུར་བྱས་ཏེ་ལན་བྲིས།
C O
དཔེ་རིས་ ༧་༡༠
D
༡། ཉེ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༢། ཉེ་ཟུར་གཉིས་གྲོགས་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༣། རྣོ་ཟུར་ཞིག་རྟུལ་ཟུར་དང་ཉེ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༧་༢་༤ ཉེ་གསབ་ཟུར། Linear pair
གལ་ཏེ་ཉེ་ཟུར་གྱི་སྤྱིའི་དཔུང་པ་མིན་པ་གཉིས་འཕྲོ་ཐིག་ལྡོག་མ་ཡིན་ན། ཟུར་གཉིས་ཉེ་གསབ་ཡིན། 1
1
2
∠1 དང་ ∠2 གཉིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་རེད། (ཀ)
དཔེ་རིས་ ༧་༡༡
2
∠1 དང་ ∠2 གཉིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་མ་རེད། (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༡༡ (ཀ) པ་ལས། འཕྲོ་ཐིག་ལྡོག་མ་གཉིས་ (∠1 དང་ ∠2 ཀྱི་སྤྱིའི་དཔུང་པ་མིན་པ་) ཀྱིས་ཐིག་གྲུབ་ཀྱི་
111
རྩིས་རིག
ཡོད་པ་དོ་སྣང་གྱིས་དང་། དེར་བརྟེན། ∠1 + ∠2 ནི་ 180o རེད། དེས་ན། ཉེ་གསབ་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་ཡང་རེད།
མཆན། ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆགས་པའི་ཟུར་གཉིས་ནི་རྟག་ཏུ་ཉེ་ཟུར་ཡིན་ཡང་། ཉེ་ཟུར་གྱིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆགས་པའི་ངེས་
པ་མེད།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་མཐོང་བའི་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྱི་དཔེ་མཚོན་འགའ་བྲིས། འོག་གི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།
ལམ་གཉིས་མཐུད་པའི་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་པ།
སྨྱུ་གུས་སྨྱུ་གུ་འཇོག་ས་དང་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
གྲོས་བསྡུར་བྱས་ཏེ་ལན་བྲིས།
༡། རྣོ་ཟུར་གཉིས་ཀྱིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
༢། རྟུལ་ཟུར་གཉིས་ཀྱིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ། རྩིས་དང་།
༣། དྲང་ཟུར་གཉིས་ཀྱིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ།
60o 140o
40o
(ཀ)
o
80
(ག)
112
60 o
གཤམ་གྱི་ཆ་ཟུར་ཁག་ལས་གང་གིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་མིན་ལྟོས། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༢)
(ཁ)
90o
65o
དཔེ་རིས་ ༧་༡༢
115o
(ང)
ཟུར།
༧་༢་༥ ལྡོག་འཕྲད་ཟུར། Vertically opposite angles
ཁྱེད་ཀྱིས་ཞ་སྨྱུག་གཉིས་བླངས་ཏེ་དཔེ་རིས་ ༧་༡༣ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་དཀྱིལ་
1
ནས་འགྱིག་ཐག་གིས་སྡོམས།
4
2
∠1 དང་ ∠2, ∠3, ∠4 བཅས་ཟུར་བཞི་གྲུབ་ཡོད།
3
∠1 ནི་ ∠3 དང་ལྡོག་འཕྲད་རེད། དེ་བཞིན། ∠2 ནི་ ∠4 དང་ལྡོག་འཕྲད་རེད།
དཔེ་རིས་ ༧་༡༣
∠2 དང་ ∠4 ལ་ལྡོག་འཕྲད་ཆ་ཟུར་ཟེར།
ལྡོག་འཕྲད་ཆ་ཟུར་གཞན་དེ་འབྲི་ཐུབ་བམ། ∠1 ནི་ ∠3 དང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་མཐོང་གི་འདུག་གམ།
∠2 དང་ ∠4 གཉིས་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པ་མཐོང་གི་འདུག་གམ། དེར་ཞིབ་བཤེར་མ་བྱས་གོང་ལ་ང་ཚོས་དངོས་ཡོད་ འཚོ་བའི་ནང་གི་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་གྱི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༧་༡༤)
X དཔེ་རིས་ ༧་༡༤
བྱེད་སྒོ།
ཐིག་ l དང་ m གཉིས་གནས་ཤིག་ལ་བསྣོལ་ཏེ་ ∠1 དང་ ∠2, ∠3, ∠4 བཅས་གྲུབ་པའི་ཟུར་བྲིས།
(དཔེ་རིས་ ༧་༡༥) ཁྱེད་ཀྱིས་ ∠1 དང་ ∠3 དབར་དང་། ∠2 དང་ ∠4 དབར་འབྲེལ་བ་གང་མཐོང་གི་འདུག་ གམ།
དཔེ་རིས་ ༧་༡༥ ཡི་བརྩེགས་རིས་བྲིས། བརྩེགས་རིས་དེ་དཔེ་རིས་ངོ་མའི་སྟེང་བཞག་ཏེ་ ∠1 དང་། ∠2 སོགས་
ཀྱི་བརྩེགས་རིས་དང་མཐུན་པ་སོ་སོར་འཇོག ཐིག་ l དང་ m བསྣོལ་ས་ལ་གཟེར་ཞིག་རྒྱོབ། བརྩེགས་རིས་དེ་
180o སྐོར་བ་རྒྱོབ། ཐིག་རྣམས་ཡང་བསྐྱར་ཕན་ཚུན་གཅིག་གི་སྟེང་གཅིག་གནས་ཀྱི་ཡོད་མེད་ལྟོས། 2
l
1 3
m
o
180 སྐོར་བ་བརྒྱབ།
4 m
དཔེ་རིས་ ༧་༡༥
3 4
1
2
l
113
རྩིས་རིག
གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ལས། ང་ཚོས་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ། དེར་བརྟེན། ∠1 = ∠3 དང་། ∠2 = ∠4 རྩིས་དཔེ།
E
༡༽ དཔེ་རིས་ ༧་༡༦ ནང་གཤམ་གསལ་ཁག་ངོས་ཟུངས། (ཀ) ཉེ་ཟུར་ཆ་ལྔ།
ལན།
(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆ་གསུམ།
C O
A
(ག) ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་ཆ་གཉིས།
D
B དཔེ་རིས་ ༧་༡༦
(ཀ) ཉེ་ཟུར་ཆ་ལྔ་ནི་ (∠AOE, ∠EOC), (∠EOC, ∠COB),
(∠AOC, ∠COB), (∠COB, ∠EOB), (∠AOC, ∠COB) རེད།
(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར་ནི་ (∠AOE, ∠EOB), (∠AOC, ∠COB), (∠COB, ∠BOD) རེད། (ག) ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་ནི་ (∠COB, ∠AOD), (∠AOC, ∠BOD) རེད།
མིང་། གྲོགས་ཟུར།
གསབ་ཟུར།
114
གོ་དོན།
ཟུར་གྱི་འབྲེལ་བ།
གལ་ཏེ ་ ཟུར་གཉི ས ་ཀྱི ་ བསྡོ མ ས་གྲངས་ 90o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་ལ་གྲོགས་ཟུར་ཟེར།
གལ་ཏེ ་ ཟུར་གཉི ས ་ཀྱི ་ བསྡོ མ ས་གྲངས་ 180o ཡིན་ན། ཟུར་དེ་ལ་གསབ་ཟུར་ཟེར།
དཔེ་རིས།
D
A
o
55
o
35
B
C
E
F
∠ABC དང་ ∠DEF གཉིས་གྲོགས་ཟུར་རེད། A
D o
105
o
75
B
C
E
F
∠ABC དང་ ∠DEF གཉིས་གསབ་ཟུར་རེད།
ཟུར། ཟུར་གཉིས་ལ།
(༡) སྤྱིའི་ཟུར་ཚེག་ཡོད་ན།
ཉེ་ཟུར།
(༣) སྤྱིའི་དཔུང་པ་མིན་པ་གཉིས་སྤྱིའི་
O
དཔུང་པའི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པ།
ཉེ་གསབ་ཟུར་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
o
O
A
o
60
C
∠AOB དང་ ∠BOC ཡིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་ ཀྱི་ཡོད། A
B O
སྤྲོད་ཟུར་གཉིས་ལ་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་
D
ཟེར། ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་
C
∠AOB དང་ ∠COD ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་རེད།
གཅིག་མཚུངས་ཡིན།
༡། གཤམ་གསལ་ཟུར་གྱི་གྲོགས་ཟུར་ཚོལ།
ཡིན་པའི་ཉེ་ཟུར་རེད།
0
ཐི ག ་གཉི ས ་བསྣོལ་ཏེ ་ གྲུབ་པའི ་ ཁ་
ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།
C
12
o
གྲངས་ 180 ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀྱིས་
O དང་སྤྱིའི་དཔུང་པ་ OB
B
གལ་ཏེ ་ ཉེ ་ ཟུར་གཉི ས ་ཀྱི ས ་བསྡོ མ ས་
ཉེ་གསབ་ཟུར།
གཉི ས ་ལ་སྤྱི འི ་ ཟུར་ཚེག་
B
A
(༢) སྤྱིའི་དཔུང་པ་ཡོད་ན།
∠AOB དང་ ∠BOC
∠BOC དང་ ∠AOD ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༡ 63o
20o
(ཀ)
57o
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༡༧
(ག)
115
རྩིས་རིག
༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གྱི་གསབ་ཟུར་ཚོལ།
105o
(ཀ)
87o
154o
(ཁ)
(ག)
དཔེ་རིས་ ༧་༡༨
༣། གཤམ་གསལ་ལས་གྲོགས་ཟུར་དང་། གསབ་ཟུར་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 65o, 115o
(ང) 45o, 45o
(ཁ) 63o, 27o
(ག) 80o, 10o
(ཅ) 112o, 68o
༤། རང་ཉིད་དང་ཕན་ཚུན་གྲོགས་ཟུར་ཡིན་པའི་ཟུར་དེ་གང་ཡིན་ནམ།
(ཆ) 130o, 50o
༥། རང་ཉིད་དང་ཕན་ཚུན་གསབ་ཟུར་ཡིན་པའི་ཟུར་དེ་གང་ཡིན་ནམ། ༦། གཤམ་གྱི་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡིན་ནམ། གལ་ཏེ་གཉིས་ཀ་ (ཀ) རྣོ་ཟུར་ཡིན་ན།
(ཁ) རྟུལ་ཟུར་ཡིན་ན།
(ག) དྲང་ཟུར་ཡིན་ན།
༧། ཟུར་ཞིག་ 45o ལས་ཆེ་བ་ཡོད་ན། དེའི་གྲོགས་ཟུར་ནི་ 45o ལས་ཆེ་བའམ། ཡང་ན་ཆུང་བའམ། ཡང་ན་མཉམ་པ་ ཡོད།
༨། དཔེ་རིས་ ༧་༡༧ ལས།
(ཀ) ∠1 ནི་ ∠2 ཡི་ཉེ་ཟུར་རེད་དམ།
(ཁ) ∠AOC ནི་ ∠AOE ཡི་ཉེ་ཟུར་རེད་དམ།
(ག) ∠COE དང་ ∠EOD ཡི་ཉེ་གསབ་ཟུར་ཆགས་ཀྱི་རེད་དམ། (ང) ∠BOD དང་ ∠DOA གཉིས་གསབ་ཟུར་རེད་དམ། (ཅ) ∠1 དང་ ∠2 གཉིས་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་རེད་དམ། (ཆ) ∠5 ཡི་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་གང་རེད་དམ།
༩། དཔེ་རིས་ ༧་༡༨ ལས་གཤམ་གསལ་བྲིས། (ཀ) ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།
116
C
A
(ཁ) ཉེ་གསབ་ཟུར།
1 5 O 4
D
2 3
E
B དཔེ་རིས་ ༧་༡༩
5
4
3
1 2
དཔེ་རིས་ ༧་༢༠
ཟུར།
༡༠། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་གཉིས་ནང་ x དང་ y, z ཚོལ།
x
y 55o
o
40
x
z
z
25o
y
(ཀ)
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༢༡
༡༡། བར་སྟོང་སྐོངས།
(ཀ) གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གྲོགས་ཟུར་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་བསྡོམས་གྲངས་ནི་
རེད།
(ཁ) གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཕན་ཚུན་གསབ་ཟུར་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་བསྡོམས་གྲངས་ནི་ (ག) ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་པའི་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་
(ང) གལ་ཏེ་ཉེ་ཟུར་གཉིས་གསབ་ཟུར་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཀྱིས་
རེད།
རེད།
ཆགས་པ་ཡིན།
(ཅ) གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་གནས་ཤིག་ལ་བསྣོལ་པ་ཡིན་ན། ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་གཉིས་རྟག་ཏུ་
རེད།
(ཆ) གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་གནས་ཤིག་ལ་བསྣོལ་པ་དང་། གལ་ཏེ་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་གཅིག་རྣོ་ཟུར་ཡིན་ན། ལྡོག་འཕྲད་ ཟུར་གཞན་ནི་
རེད།
༧་༣ གསེག་ཐིག Transversal lines
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢
དཔེ་རིས་ ༧་༡༩ ནི་གསེག་ཐིག་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་རེད། ཐིག་ཅིག་གིས་ཐིག་གཉིས་སམ་ཡང་ན་དུ་མ་ལ་གནས་མི་ འདྲ་བར་བསྣོལ་གྱི་ཡོད་ན། ཐིག་དེ་ལ་གསེག་ཐིག་ (Transversal line) ཟེར།
117
རྩིས་རིག
དཔེ་རིས་ ༧་༢༠ ནང་། ཐིག་ p ཡིས་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་གོ་རིམ་བཞིན་གནས་ A དང་ B ལ་བསྣོལ་ཡོད་པས། ཐིག་
p ལ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་གསེག་ཐིག་ཟེར། p
m
A
l A
l B
p
m
དཔེ་རིས་ ༧་༢༣
དཔེ་རིས་ ༧་༢༤
དཔེ་རིས་ ༧་༢༡ ནང་། ཐིག་ p ནི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་གསེག་ཐིག་ཡིན་ནམ། ཐིག་ p ཡིས་ཐིག་ l དང་ m སྟེང་
གནས་ཐ་དད་ལ་སྣོལ་གྱི་མེད་པས། ཐིག་ p ནི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་གསེག་ཐིག་མ་རེད།
ཐིག་གཉིས་སམ་ཡང་ན་དུ་མ་བརྒྱུད་ང་ཚོས་གསེག་ཐིག་ཚད་མེད་འབྲི་ཐུབ། ༧་༣་༡ གསེག་ཐིག་གིས་གྲུབ་པའི་ཟུར། Angles made by a transversal
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ནང་ཐིག་ p ནི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་གསེག་ཐིག་རེད། དེའི་ནང་གི་ ∠1 ནས་ ∠8 དབར་
དམིགས་བསལ་འབྲེལ་བ་ཡོད།
p
5 7
1
2
3
4
6 8 དཔེ་རིས་ ༧་༢༥
གསེག་ཐིག་གིས་གྲུབ་པའི་ཟུར་གྱི་འབྲེལ་བ་དེ་དག་ནི།
118
l
m
ཟུར།
༡༽ ནང་ཟུར། Interior angles
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གྱི་ནང་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་ནང་ཟུར་ཟེར།
འདིར། ∠3, ∠4, ∠5, ∠6 རྣམས་ནང་ཟུར་རེད།
༢༽ ཕྱི་ཟུར། Exterior angles
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གྱི་ཕྱི་རོལ་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་ཕྱི་ཟུར་ཟེར།
འདིར། ∠1, ∠2, ∠7, ∠8 རྣམས་ཕྱི་ཟུར་རེད།
༣༽ གནས་མཐུན་ཟུར། Corresponding angles
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། གསེག་ཐིག་ p ཡི་ཕྱོགས་གཅིག་ན་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་གནས་མཐུན་ཟུར་ཟེར།
འདིར། ∠1 དང་ ∠5, ∠2 དང་ ∠6, ∠3 དང་ ∠7, ∠4 དང་ ∠8 རྣམས་གནས་མཐུན་ཟུར་རེད། 1 5
2 6
4
3 8
7
མཆན། གནས་མཐུན་ཟུར་གྲུབ་པར་ཆ་རྐྱེན།
(ཀ) ཟུར་གཉིས་ཀ་གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ལ་ཡོད་པ།
(ཁ) ཟུར་དེ་གཉིས་ལས་གཅིག་ནི་གསེག་ཐིག་གི་ཕྱི་ཟུར་དང་། གཞན་ནི་གསེག་ཐིག་གི་ནང་ཟུར་ཡིན་པ། (ག) ཟུར་དེ་གཉིས་ཀྱིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་མི་གྲུབ་པ།
༤༽ ནང་སྣོལ་ཟུར། Alternate interior angles
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་ནང་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་དང་གསེག་ཐིག་ p ཡི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་ པའི་ཟུར་ལ་ནང་སྣོལ་ཟུར་ཟེར། འདིར། ∠3 དང་ ∠6, ∠4 དང་ ∠5 ནང་སྣོལ་ཟུར་རེད།
མཆན། ནང་སྣོལ་ཟུར་གྲུབ་པར་ཆ་རྐྱེན།
(ཀ) ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚེག་མི་འདྲ་བ་རེད།
(ཁ) ཟུར་གཉིས་གསེག་ཐིག་གི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། (ག) དེ་དག་ཐིག་གཉིས་ཀྱི་དབར་ལ་ཡོད།
3 6
5
4
119
རྩིས་རིག
༥༽ ཕྱི་སྣོལ་ཟུར། Alternate exterior angles
དཔེ་རིས་ ༧་༢༢ ལས། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་
1
ཕྱི་རོལ་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་དང་གསེག་ཐིག་ p ཡི་ལྡོག་
ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་ཟུར་ལ་ཕྱི་སྣོལ་ཟུར་ཟེར། འདིར། ∠1 དང་ ∠8, ∠2 དང་ ∠7 ཕྱི་སྣོལ་ཟུར་རེད། ཟུར་གྱི་མིང་། ནང་ཟུར།
8
7
ཟུར།
∠3, ∠4, ∠5, ∠6
ཕྱི་ཟུར།
2
∠1, ∠2, ∠7, ∠8
གནས་མཐུན་ཟུར།
∠1 དང་ ∠5, ∠2 དང་ ∠6, ∠3 དང་ ∠7, ∠4 དང་ ∠8
ཕྱི་སྣོལ་ཟུར།
∠1 དང་ ∠8, ∠2 དང་ ∠7
∠3 དང་ ∠6, ∠4 དང་ ∠5
ནང་སྣོལ་ཟུར།
དཔེ་རིས་ནང་གི་ཆ་ཟུར་ངོས་ཟུངས། 1
3
2 (ཀ)
4 (ཁ)
5 6 (ག)
9 8
7 (ང)
120
10 (ཅ)
11 12 (ཆ)
ཟུར།
༧་༣་༢ མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གི་གསེག་ཐིག Transversal of parallel lines
ཁྱེད་ཀྱིས་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་དྲན་གསོ་བྱོས་དང་། མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ནི་སྙོམས་ངོས་སྟེང་དུ་ཡོད་པའི་ཐིག་གཉིས་རྩ་བ་ནས་ མི་སྣོལ་མཁན་ཞིག་ལ་ཟེར། ཁྱེད་ཀྱིས་དཔེ་རིས་ ༧་༢༣ ནང་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ངོས་འཛིན་བྱེད་ཐུབ་བམ།
དཔེ་རིས་ ༧་༢༦
བྱེད་སྒོ།
༡། ཐིག་རིས་ཅན་གྱི་ཤོག་བུ་ཞིག་བླངས། མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་བྲིས། ཐིག་ l དང་ m ཡི་གསེག་
ཐིག t བྲིས། དཔེ་རིས་ ༧་༢༤ (ཀ) པའི་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ ∠1 དང་ ∠2 བཅས་བྲིས། བྲིས་ཟིན་པའི་
དཔེ་རིས་སྟེང་བརྩེགས་ཤོག་བཞག་སྟེ། ཐིག་ l དང་ m, t བཅས་ཀྱི་བརྩེགས་རིས་བྲིས། བརྩེགས་ཤོག་དེ་ t བརྒྱུད་ཐིག་ l དང་ m མཉམ་དུ་མ་འཁེལ་བར་དུ་འདྲེད་ཤུད་བྱོས།
ཁྱེད་ཀྱིས་བརྩེགས་རིས་སྟེང་ ∠1 དང་དཔེ་རིས་ངོ་མའི་ ∠2 གཉིས་མཉམ་དུ་འཁེལ་གྱི་ཡོད་པ་མཐོང་ ཐུབ།
༢། དཔེ་རིས་ ༧་༢༤ (ཁ) པའི་བརྩེགས་རིས་བྲིས་ཏེ་བྱེད་སྒོ་ ༡ ལྟར་བྱོས། ཁྱེད་ལ་གྲུབ་འབྲས་གཅིག་པ་ཐོབ་ཀྱི་ ཡོད་མེད་ལྟོས།
t 1 2
(ཀ)
t l
3
m
m
4
དཔེ་རིས་ ༧་༢༧
གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ཡིས་གཤམ་གསལ་གསལ་ཁ་འདོན་གྱི་ཡོད།
l
(ཁ)
གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་ཅིག་གིས་བསྣོལ་ན། དེ་ལས་གྲུབ་པའི་གནས་མཐུན་ ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན།
121
རྩིས་རིག
t
དཔེ་རིས་ ༧་༢༥ ལ་ལྟོས་དང་། t ཡིས་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་
ལ་སྣོལ་སྐབས། ང་ཚོར་ ∠3 = ∠7 (ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།) བྱུང་། ཡིན་ནའང་། ∠7 = ∠8 (གནས་མཐུན་ཟུར།) དེར་བརྟེན། ∠3 = ∠8
དེ་བཞིན་ཁྱེད་ཀྱིས་ ∠1 = ∠6 ཡིན་པ་སྟོན་ཐུབ། དེར་བརྟེན།
5 7 3 1 6 8 4 2 དཔེ་རིས་ ༧་༢༨
གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་གཅིག་གིས་བསྣོལ་ན། དེ་ལས་གྲུབ་པའི་ནང་ སྣོལ་ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན།
ཡང་ཁྱེད་ཀྱིས་དཔེ་རིས་ ༧་༢༥ ལས། ∠3 + ∠1 = 180o (∠3 དང་ ∠1 ཡིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།) ཡིན་ནའང་། ∠1 = ∠6 ཡིན། (ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར།)
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ ∠3 + ∠6 = 180o ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ།
དེ་བཞིན། ∠1 + ∠8 = 180o
དེར་བརྟེན།
གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་གཅིག་གིས་བསྣོལ་ན། གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་ གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ཆ་རྣམས་གསབ་ཟུར་ཡིན།
གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ l དང་ m ལ་གསེག་ཐིག་ t ཡིས་བསྣོལ་ན། གཤམ་གྱི་ཁྱད་ཆོས་ཁག་ཡོད། t
7 5 1 3 8 6 2 4 དཔེ་རིས་ ༧་༢༩
122
l
m
གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་རེད།
∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4
ཕྱི་སྣོལ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་རེད།
∠5 = ∠2, ∠7 = ∠4
ནང་སྣོལ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་རེད།
∠1 = ∠6, ∠3 = ∠8
གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ ནང་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།
∠1 + ∠8 = 180o,
གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ ཕྱི་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།
∠3 + ∠6 = 180o ∠5 + ∠4 = 180o, ∠7 + ∠2 = 180o
l m
ཟུར།
རྩིས་དང་།
t l
o
60
x
b
a
l2
1
55o
c
m
l1
t
y
2
ཐིག་ a || b;
ཐིག་ l || m;
l1, l2 ཐིག་གཉིས་རེད།
t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན། x=?
c ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན། y=?
t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན།
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
t
m
60o z
l
l
12
0o
l
∠1 = ∠2 རེད་དམ།
m
z=? (ང)
a
60
b c
x
t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན།
p
o
t
ཐིག་ l || m;
m
ཐིག་ l || m;
t ནི་གསེག་ཐིག་ཡིན། x=? (ཅ)
d
q
ཐིག་ l || m, p || q; a, b, c, d ཚོལ། (ཆ)
གལ་ཏེ་ཐིག་གཉིས་དང་གསེག་ཐིག་བསྣོལ་ཏེ་གཤམ་གསལ་གང་རུང་བྱུང་ན། ཐིག་དེ་གཉིས་མཉམ་འགྲོ་རེད། ༡། གནས་མཐུན་ཟུར་གཅིག་པ། ༢། ནང་སྣོལ་ཟུར་གཅིག་པ།
༣། གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་གསབ་ཟུར་ཡིན་པ།
123
རྩིས་རིག
རྩིས་དཔེ།
༢༽ དཔེ་རིས་ ༧་༢༧ ནང་གི་ཐིག་ p དང་ q ནི་མཉམ་འགྲོ་དང་ r ནི་གསེག་ཐིག་རེད། གལ་ཏེ་ ∠2 = 65o ཡིན་ ན། ཟུར་གཞན་རྣམས་ཚོལ།
r
1 4 5 8
2
p
3
6 7
q
དཔེ་རིས་ ༧་༣༠
ལན། འདིར། p || q དང་ r ནི་གསེག་ཐིག་རེད། ང་ཚོས་ཤེས་ཟིན་པ་ནི། ∠2 = 65o
∠1 + ∠2 = 180o (ཉེ་གསབ་ཟུར།)
∠1 + 65o = 180o
དེར་བརྟེན། ∠1 = 180o − 65o = 115o ∠3 = ∠1 (ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།)
དེར་བརྟེན། ∠3 = 115o
དེ་མཚུངས། ∠4 = ∠2 (ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།)
དེར་བརྟེན། ∠4 = ∠2 = 65o
གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན་སྟབས། ∠5 = ∠1 ⇒ ∠5 = 115o
∠6 = ∠2 ⇒ ∠6 = 65o ∠7 = ∠3 ⇒ ∠7 = 115o ∠8 = ∠4 ⇒ ∠8 = 65o དེས་ན་ཟུར་གཞན་རྣམས་ནི། ∠1 = 115o, ∠3 = 115o, ∠4 = 65o, ∠5 = 115o,
124
∠6 = 65o, ∠7 = 115o, ∠8 = 65o བཅས་ཡིན།
ཟུར།
༣༽ དཔེ་རིས་ ༧་༢༨ ནང་ ∠1 = 150o དང་ ∠8 = 80o ལན།
r
རེད། དེས་ན་ཐིག་ p དང་ q མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ནམ།
4 3
8
ང་ཚོས་ཤེས་ཟིན་པ་ནི། ∠1 = 150o; ∠8 = 80o
p
1 2
q 7
5 6
o
∠1 + ∠2 = 180 (ཉེ་གསབ་ཆ་ཟུར།)
དཔེ་རིས་ ༧་༣༡
དེར་བརྟེན། ∠2 = 180o − ∠1
∠2 = 180o − 150o = 30o ∠8 = 80o (དྲི་བ་ནས་ཤེས་ཡོད།)
ཡང་།
∠2 དང་ ∠8 གཉིས་གཅིག་པ་མིན་པས། ཐིག་ p དང་ q ནི་མཉམ་འགྲོ་མ་རེད།
རྩིས་དང་།
t
t
t l
o
60
o
60
l
70
x
m
m
l
o
50
o
m
130o
l || m རེད་དམ། (ཀ)
l || m རེད་དམ། (ཁ)
l || m ཡིན་ན་ x ཚོལ། (ག)
སྦྱོང་ཚན། ༧་༢ ༡། གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་ནང་བེད་སྤྱོད་བྱས་པའི་ཁྱད་ཆོས་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༧་༢༩)
(ཀ) གལ་ཏེ་ a || b ཡིན་ན། ∠1 = ∠5 (ཁ) གལ་ཏེ་ ∠4 = ∠6 ཡིན་ན། a || b
(ག) གལ་ཏེ་ ∠4 + ∠5 = 180o ཡིན་ན། a || b
12 43 56 78
a b
དཔེ་རིས་ ༧་༣༢
125
རྩིས་རིག
༢། དཔེ་རིས་ ༧་༣༠ ལས་གཤམ་གསལ་ཁག་ངོས་ཟུངས།
4 1 3 2
(ཀ) གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་བཞི། (ཁ) ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་གཉིས།
a
8 5 7 6
(ག) གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ཆ་གཉིས།
b དཔེ་རིས་ ༧་༣༣
(ང) ལྡོག་འཕྲད་ཆ་ཟུར་བཞི།
p
q
e
༣། དཔེ་རིས་ ༧་༣༡ ནང་ p || q ཡིན། མ་ཤེས་པའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ།
125o
a
f d
༤། གལ་ཏེ་ l || m ཡིན་ན། དཔེ་རིས་སོ་སོའི་ནང་ x ཡི་ཐོབ་འབྲས་ཚོལ། t
o
110
n
44
(ཀ)
126
n
l m
126
l m
o
75
n
b (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༧་༣༥
༥། འོག་གི་དཔེ་རིས་ནང་། l དང་ m མཉམ་འགྲོ་ཡིན་མིན་ལྟོས།
o
a
80o
m
(ཀ)
o
m
x
l x
57o
72o
l
n m
དཔེ་རིས་ ༧་༣༦
m
l
123o
75o
(ཁ)
c
དཔེ་རིས་ ༧་༣༤
l
110o
b
(ག)
o
98
(ང)
ཟུར།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡༽ ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ཁག་དྲན་གསོ་བྱས་ཡོད། (ཀ) ཐིག་དུམ་ལ་སྣེ་གནས་གཉིས་ཡོད།
(ཁ) འཕྲོ་ཐིག་ལ་སྣེ་གནས་གཅིག་ལས་མེད།
(ག) ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་སྣེ་གནས་མེད།
༢༽ ཐིག་གཉིས་བསྣོལ་ན་ཟུར་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ཆ་ཟུར།
གྲོགས་ཟུར་གཉིས། གསབ་ཟུར་གཉིས། ཉེ་ཟུར་གཉིས། ཉེ་གསབ་ཟུར།
ཆ་རྐྱེན།
ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་གྲངས་ 90o རེད།
ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་གྲངས་ 180o རེད།
སྤྱིའི་ཟུར་ཚེག་དང་སྤྱིའི་དཔུང་པ་ཡོད་པ་དང་། དཔུང་པ་ གཞན་རྣམས་སྤྱིའི་དཔུང་པའི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད། ཉེ་ཟུར་དང་གསབ་ཟུར་རེད།
༣༽ གལ་ཏེ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་གནས་གཅིག་གི་ཐོག་སྣོལ་བ་ཡིན་ན། གནས་དེ་ལ་སྣོལ་གནས་ཟེར། ༤༽ སྙོམས་ངོས་སྟེང་ཐིག་གཉིས་གནས་གང་རུང་སྟེང་བསྣོལ་མེད་ན། ཐིག་དེ་གཉིས་མཉམ་འགྲོ་རེད།
༥༽ ཐིག་གཉིས་སྣོལ་སྐབས་ཡིག་འབྲུ་ X ལྟར་ཁ་སྤྲོད་ཟུར་བྱུང་། ཟུར་དེ་གཉིས་ལ་ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་ཟེར། དེ་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་གཅིག་པ་རེད།
༦༽ ཐིག་གཉིས་ལ་ཐིག་གཞན་ཞིག་གིས་གནས་མི་འདྲ་བར་བསྣོལ་ན། ཐིག་དེ་ལ་གསེག་ཐིག་ཟེར། ༧༽ ཟུར་གྱི་རིགས།
ཟུར་གྱི་རིགས།
ཟུར།
ནང་ཟུར།
∠3, ∠4, ∠5, ∠6
གནས་མཐུན་ཟུར།
∠1 དང་ ∠5, ∠2 དང་ ∠6, ∠3 དང་ ∠7, ∠4 དང་ ∠8,
ཕྱི་ཟུར།
∠1, ∠2, ∠7, ∠8
2
1 3
4 5
6 7
8
127
རྩིས་རིག ཟུར་གྱི་རིགས།
ཟུར།
ནང་སྣོལ་ཟུར།
∠3 དང་ ∠6, ∠4 དང་ ∠5
གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར།
∠3 དང་ ∠5, ∠4 དང་ ∠6
ཕྱི་སྣོལ་ཟུར།
གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ ཏུ་ཡོད་པའི་ཕྱི་ཟུར།
∠1 དང་ ∠8, ∠2 དང་ ∠7
∠1 དང་ ∠7, ∠2 དང་ ∠8
༨༽ མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་གིས་སྣོལ་སྐབས། གཤམ་གསལ་འབྲེལ་བ་ཁག་འབྱུང་གི་རེད། 1
2
3 4 5 6 7 8
(ཀ) གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན།
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8
(ཁ) ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན། ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠5 (ག) གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་གཉིས་ནི་གསབ་ཟུར་ཡིན། ∠3 + ∠5 = 180o,
∠4 + ∠6 = 180o
128
སློབ་ཚན་བརྒྱད་པ།
ཟུར་གསུམ་མ།
༨་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཟུར་གསུམ་མ་ནི་ཐིག་དུམ་གསུམ་ལས་གྲུབ་པའི་ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་ཡིན། དང་། མཐའ་གསུམ། ཟུར་གསུམ་ཡོད། ∆ ABC ནང་། (དཔེ་རིས་ ༨་༡) མཐའ།
ཟུར།
ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་གསུམ་ A
: AB, BC, CA
: ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA
ཟུར་ཚེག : A, B, C
B
དཔེ་རིས་ ༨་༡
C
ཟུར་ཚེག་ A ཡི་གཏད་མཐའ་ནི་ BC ཡིན། མཐའ་ AB ཡི་གཏད་ཟུར་ནི་ ∠BCA ཡིན། ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་ འོག་མར་ཟུར་གསུམ་མ་ནི་མཐའ་དང་། ཟུར་གཞིར་བཟུང་དབྱེ་བ་འབྱེད་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད།
(ཀ) མཐའ་གཞིར་བཟུང་། : མཐའ་མི་མཉམ་པ་དང་། སྐེད་མཉམ། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། (ཁ) ཟུར་གཞིར་བཟུང་། རྩིས་དང་།
: རྣོ་ཟུར་དང་། རྟུལ་ཟུར། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
༡། ∆ABC ཡི་རྩ་བའི་རྒྱུ་དྲུག་བྲིས། ༢། གཤམ་གསལ་བྲིས།
(ཀ) ∆PQR ཡི་ཟུར་ཚེག་ Q ཡི་གཏད་མཐའ། (ཁ) ∆LMN ཡི་མཐའ་ LM ཡི་གཏད་ཟུར། (ག) ∆XYZ ཡི་མཐའ་ XZ ཡི་གཏད་ཚེག
༣། དཔེ་རིས་ ༨་༢ ལ་བལྟས་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་མཐའ་དང་ཟུར་གཞིར་བཟུང་དབྱེ་བ་ཕྱེས།
129
རྩིས་རིག A
C
8 cm (ཀ)
5.2 cm (ང)
Q 6 cm R (ཁ)
A
cm 5.2
5.2 cm
R
S
8 cm
10
m
5 cm
B
cm
8c
L
P
T
P
m
B
ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་སྐོར་མང་ཙམ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
M
7c
3 cm
7 cm 7 cm (ག)
N
6 cm
3 cm (ཅ)
C
Q
དཔེ་རིས་ ༨་༢
6 cm (ཆ)
R
༨་༢ ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ཐིག Medians of a triangle
ཤོག་བུ་ཞིག་ལས་ ∆ABC གཏུབ།(དཔེ་རིས་ ༨་༣) ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་མཐའ་ BC ལ་ཆ་འཇོག ཤོག་བུ་ལྟེབ་རྩེག་
བརྒྱབ་ཏེ་ BC མཉམ་བགོད་བྱོས། ལྟེབ་སུལ་དེ་ BC སྟེང་གནས་ D (BC ཡི་དཀྱིལ་གནས་) ལ་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད།
AD མཐུད།
B
A
D
A
C
B
དཔེ་རིས་ ༨་༣
D
C
BC ཡི་དཀྱིལ་གནས་དང་དེའི་གཏད་ཚེག་ A གཉིས་མཐུད་པའི་ཐིག་དུམ་ AD ལ་ ∆ABC ཡི་དཀྱིལ་ཐིག་ (Median) ཟེར། མཐའ་ AB དང་ CA ཡི་དཀྱིལ་ཐིག་བྲིས།
ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་དང་། དེའི་གཏད་མཐའི་དཀྱིལ་གནས་མཐུད་པའི་ཐིག་དུམ་ལ། ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ ཐིག་ཟེར། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་གསུམ་ཡོད་པས། དེར་དཀྱིལ་ཐིག་གསུམ་ཡོད།
130
ཟུར་གསུམ་མ།
༨་༣ ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས། Altitudes of a triangle
A
མཁྲེགས་ཤོག་ཅིག་གིས་ ∆ABC བཟོས། དེ་སྒྲོག་ཙེ་སྟེང་
བླངས་ནས་འཇོག ཟུར་ཚེག་ A ནས་ཞབས་ཐིག་ BC བར་
B
C
གྱི་བར་ཐག་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་ (Altitude) ཟེར།
(དཔེ་རིས་ ༨་༤)
དཔེ་རིས་ ༨་༤
ཁྱེད་ཀྱིས་ A ནས་ BC བར་ཐིག་དུམ་མང་པོ་འབྲི་ཐུབ།
དཔེ་རིས་ ༨་༥ ནང་ཐིག་དུམ་གང་གིས་དཔངས་མཚོན་གྱི་ཡོད།
A
ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་ A ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་ BC དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ AL ལ་ ∆ABC ཡི་ དཔངས་ཟེར།
B
ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ཟུར་ཚེག་གསུམ་ཡོད་པའི་
MN O L P དཔེ་རིས་ ༨་༥
ཟུར་ཚེག་རེ་ནས་དཔངས་གཅིག་རེ་ཡོད།
བསམ་བློ་བཏང་སྟེ་ལན་བྲིས།
༡། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་དཔངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༢། གཤམ་གྱི་ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་ལ་དཔངས་ (A ནས་ BC ལ་) བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༨་༦) A
B
རྣོ་ཟུར་ ∆ (ཀ)
C
C
C
A
དྲང་ཟུར་ ∆ (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༨་༦
B
B
A
C རྟུལ་ཟུར་ ∆ (ག)
བྱེད་སྒོ།
གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་གི་དྲས་དབྱིབས་འགའ་བླངས། (ཀ) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།
(ཁ) སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།
(ག) མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ།
ཟུར་གསུམ་མ་དེ་དག་གི་དཀྱིལ་ཐིག་དང་དཔངས་བྲིས། ཁྱེད་ཀྱིས་དོ་སྣང་གང་བྱུང་བ་དེ་ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་རོགས་ མཉམ་དུ་གྲོས་བསྡུར་བྱོས།
131
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༨་༡
༡། ∆ PQR ནང་། D ནི་ QR ཡི་དཀྱིལ་གནས་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༨་༧)
P
PM ནི་ PD ནི་
QM = MR ཡིན་ནམ།
Q
༢། གཤམ་གསལ་ཁག་གི་སྐྱ་རིས་བྲིས།
(ཀ) ∆ ABC ནང་། BE ནི་དཀྱིལ་ཐིག་ཡིན།
(ཁ) ∆ PQR ནང་། PQ དང་ PR ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་ཡིན།
M
D
དཔེ་རིས་ ༨་༧
R
༣། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བྲིས་ཏེ། དེའི་དཀྱིལ་ཐིག་དང་དཔངས་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན་མིན་ལྟོས།
༨་༤ ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ཟུར་དང་དེའི་ཁྱད་ཆོས། Exterior angle of a triangle and its properties
བྱེད་སྒོ།
A
༡། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཞིག་བྲིས། དཔེ་རིས་ ༨་༨ ནང་བསྟན་ པ་བཞིན་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ BC བསྣར་ཏེ་འཕྲོ་ཐིག་
B
དཔེ་རིས་ ༨་༨ C
D
BC གྲུབ་པ་དེའི་སྟེང་གནས་ D བྲིས། གནས་ C རུ་གྲུབ་པའི་
∠ACD ལ་ལྟོས་དང་། ཟུར་འདི་ ∆ABC ཡི་ཕྱི་ཁུལ་དུ་ ཡོད། ང་ཚོས་དེར་ ∆ABC ཡི་ཟུར་ཚེག་ C ཡི་ཕྱི་ཟུར་ཟེར།
∠BCA ནི་ ∠ACD ཡི་ཉེ་ཟུར་རེད། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ལྷག་མ་གཉིས་ ∠A དང་ ∠B ལ་ ∠ACD ཡི་ ནང་གི་གཏད་ཟུར་ (Interior opposite angles) ཟེེར།
∠A དང་ ∠B གཏུབས་ཏེ་ (ཡང་ན་བརྩེགས་རིས་བྲིས་ཏེ་) དཔེ་
A
རིས་ ༨་༩ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཕན་ཚུན་ཉེ་འགྲམ་དུ་འཇོག དུམ་ བུ་འདི་གཉིས་ཀྱིས་ ∠ACD ཆ་ཚང་ཁེབས་སམ། ∠ACD = ∠A + ∠B རེད་དམ།
132
B
B དཔེ་རིས་ ༨་༩
C
A
D
ཟུར་གསུམ་མ། ༢། དེ་བཞིན། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་དེའི་ཕྱི་ཟུར་ ACD བྲིས། ཕྱི་ཟུར་ ACD དང་། ནང་གི་གཏད་ཟུར་
∠A དང་ ∠B གཉིས་སྒོར་ཕྱེད་ཀྱིས་འཇོལ། ∠A + ∠B ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ་ ∠ACD ཡི་ཟུར་ ཚད་དང་སྡུར། ཁྱེད་ཀྱིས་ ∠ACD ནི་ ∠A + ∠B དང་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ།
གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ལས། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཕྱི་ཟུར་དང་མཚུངས།
སྤྲད་ཟིན་པ། ∆ABC
A
∠ACD ནི་ཕྱི་ཟུར་རེད།
1
∠ACD = ∠A + ∠B ཡིན་པ་སྟོན།
དཔེ་རིས་ ༨་༡༠ ནང་བསྟན་པ་བཞིན། C བརྒྱུད་ CE ནི་ BA དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ་བྲིས། དག་སྐྱེལ།
གོམ་པ།
E
x
2 B
y
C
དཔེ་རིས་ ༨་༡༠
རྒྱུ་མཚན།
(༡) ∠1 = ∠x
BA || CE དང་ AC ནི་གསེག་ཐིག་རེད།
(༢) ∠2 = ∠y
BA || CE དང་ BD ནི་གསེག་ཐིག་རེད།
(༣) ∠1 + ∠2 = ∠x + ∠y
(༤) འདིར། ∠x + ∠y = ∠ACD
དེས་ན། ∠1 + ∠2 = ∠ACD
D
དེར་བརྟེན། ནང་སྣོལ་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན། དེར་བརྟེན། གནས་མཐུན་ཟུར་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན། དཔེ་རིས་ ༨་༡༠ ལས།
གོང་གི་ཕྱི་ཟུར་དང་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་དབར་གྱི་འབྲེལ་བ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ཟུར་ཁྱད་ཆོས་ཟེར། རྩིས་དཔེ།
༡༽ དཔེ་རིས་ ༨་༡༡ ནང་ a དང་ b ཚོལ།
ལན། ∆XYZ ནང་།
∠X + ∠XZY = ∠ZYQ 35o + ∠XZY = 68o
(ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ཟུར་ཁྱད་ཆོས།)
133
རྩིས་རིག
∠XZY = 68o − 35o = 33o
དེ་བཞིན། ∠XZY + ∠YZP = 180o (ཉེ་གསབ་ཟུར།) o
P
Z b
o
33 + b = 180
b = 180o − 33o = 147o
དེ་བཞིན། ∠XYZ + ∠ZYQ = 180o (ཉེ་གསབ་ཟུར།) o
o
a + 68 = 180
o
o
o
a = 180 − 68 = 112
X
a
35o
དེར་བརྟེན། a = 112o དང་ b = 147o རེད།
68o
Y
Q
དཔེ་རིས་ ༨་༡༡
རྩིས་དང་།
༡། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་ཕྱི་ཟུར་ནི་ 70o ཡིན་པ་དང་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་ གཅིག་ནི་ 25o རེད། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཞན་ཚོལ།
༢། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ནི་ 60o དང་ 80o སོ་སོ་རེད། དེའི་ཕྱི་ཟུར་ཚོལ།
༣། དཔེ་རིས་ ༨་༡༢ ནང་ནོར་འཁྲུལ་འདུག་གམ། འགྲེལ་བརྗོད་གྱིས།
༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ།
50o
50o
50o
དཔེ་རིས་ ༨་༡༢
སྦྱོང་ཚན། ༨་༢ 65o
50o
x o
70
(ཀ)
134
45o
x x
(ཁ)
30o
40o
(ག)
ཟུར་གསུམ་མ། 50o
60o
x o
30
x
50o
60o
(ང)
x
(ཅ)
༢། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ།
60o
(ཆ)
70o
50o
125o
x 115o
x
o
100
(ཀ)
x (ཁ)
(ག)
x
o
60
80o 120o
x
35o 75o
x
30o
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
༨་༥ ཟུར་གསུམ་མ་དམིགས་བསལ་གཉིས། མཐའ་མཉམ་དང་སྐེད་མཉམ། Two special Triangles : Equilateral and Isosceles མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་
A
A
པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་མཉམ་ཟུར་ གསུམ་མ་ཟེར།
མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC གཉིས་ བླངས། (དཔེ་རིས་ ༨་༡༣)
60o
B
(༡)
C
B
60o
དཔེ་རིས་ ༨་༡༣
60o
(༢)
C
135
ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་བརྟན་པོར་བཞག་སྟེ།
རྩིས་རིག
དེའི་སྟེང་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་པ་འཇོག
ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་པ་དེ་
ཟུར་གསུམ་མ་དང་པོའི་ཟུར་ཚད་དང་མཚུངས་ཀྱི་ཡོད། དེ་སྐོར་བ་བརྒྱབ་ནའང་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་ གཅིག་པ་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེས་ན། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚང་མ་ 60o རེད།
ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་ན། དེ་ལ་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེར། X
X
Y
Z
(༡)
Y
Z
M
(༢)
དཔེ་རིས་ ༨་༡༤
ཤོག་ལྷེ་ཞིག་ནས་ XY = XZ ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ XYZ ཞིག་གཏུབས། (དཔེ་རིས་ ༨་༡༤) དེ་ལྟེབ་ རྩེག་བརྒྱབ་སྟེ་ Z ནི་ Y སྟེང་གནས་པར་བྱ། ཐིག་ XM ནི་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་རེད། ∠Y དང་ ∠Z གཉིས་ཕན་ཚུན་ ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀྱི་ཡོད། YZ ལ་ཞབས་། ∠Y དང་ ∠Z གཉིས་ཞབས་ཟུར་རེད། དེར་བརྟེན། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི།
(༡) མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཉམ་པ་རེད།
(༢) དེའི་ཞབས་ཟུར་གཉིས་ཀྱང་མཉམ་པ་རེད།
༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ། x
x
136
(ཀ)
སྦྱོང་ཚན། ༨་༣ x 80o
40o
x
110o 120o
(ང)
(ག)
(ཁ)
(ཅ)
x
x 30o
(ཆ)
ཟུར་གསུམ་མ།
༨་༦ དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་དང་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས། Right-angled triangle and Pythagoras property
པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ནི་ཡི་ཤུ་སྔོན་གྱི་དུས་རབས་དྲུག་པའི་གྷི་རིག་ཡུལ་གྱི་རིགས་པ་སྨྲ་བ་དང་རྩིས་རིག་པ་ཞིག་རེད། ཁོང་ གིས་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས་གལ་ཆེན་པོ་ཞིག་གསར་རྙེད་བྱུང་བ་རེད། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་དྲང་ཟུར་དང་ཁ་གཏད་ཡིན་པའི་མཐའ་ལ་གསེག་ མཐའ་ (hypotenuse) ཟེར། དྲང་ཟུར་འཚུད་པའི་མཐའ་གཞན་གཉིས་
ལ་དཔུང་པ་ (legs) ཟེར། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་ཆེ་ཤོས་ནི་
དྲང་ཟུར་དང་མཐའ་རིང་ཤོས་ནི་གསེག་མཐའ་རེད། ∆ABC (དཔེ་རིས་ ༨་༡༥) ནང་། ཟུར་ B ནི་དྲང་ཟུར་རེད། དེས་ན། AC ནི་གསེག་མཐའ་རེད།
C
AB དང་ BC གཉིས་ ∆ABC ཡི་དཔུང་པ་རེད།
A
འ།
ཐ ེག་མ
གས
B
དཔེ་རིས་ ༨་༡༥
དཔེ་རིས་ ༨་༡༥ ∆ABC སྐབས། AB2 + BC2 = AC2 རེད། ཁྱད་ཆོས་འདི་ལ་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ཟེར། དེ་ནི།
བྱེད་སྒོ།
གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = དཔུང་པ་གཉིས་ཀྱི་ཉིས་ཐེངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།
དམིགས་ཡུལ། པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ཀྱི་ཞིབ་བཤེར། དགོས་མཁོ།
བྱེད་ཐབས།
(ཀ) ཤོག་བུ།
(ཁ) དྲ་མིག་ཤོག་བུ།
(ག) དབྱིབས་ཆས་སྒམ། (ང) འབྱར་རྩི། (ཅ) ཇེམ་ཙེ།
ཤོག་བུའི་སྟེང་དྲང་ཟུར་ Y ཡིན་པ་དང་། XY = 3 cm དང་ YZ = 4 cm ཡིན་པའི་ ∆XYZ བྲིས། ཐིག་ཤིང་བེད་སྤྱད་དེ་ གསེག་མཐའི་རིང་ཚད་འཇོལ། དེ་ 5 cm རེད།
དྲ་མིག་ཤོག་བུ་ལས་མཐའ་ 3 cm དང་། 4 cm, 5 cm ཅན་གྱི་ གྲུ་བཞི་མ་གསུམ་གཤམ་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་གཏུབས།
X 3 Y
4
Z
137
རྩིས་རིག
3 × 3 གྲུ་བཞི་མ།
4 × 4 གྲུ་བཞི་མ།
5 × 5 གྲུ་བཞི་མ།
གཤམ་དུ་བསྟན་པ་བཞིན་གྲུ་བཞི་མ་ 3 × 3 གྱི་མཐའ་གཅིག་ ∆XYZ ཡི་མཐའ་ XY སྟེང་འཇོག དེ་མཚུངས། གྲུ་བཞི་མ་གཞན་གཉིས་ཀྱང་གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ལྟར་ཞོག
25
X 9
འདིར། XY2 = 32 = 9
YZ2 = 42 = 16
XZ2 = 52 = 25
Z
Y 16
དང་། 9 + 16 = 25
∙∙∙
XY2 + YZ2 = XZ2
དེར་བརྟེན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་།
གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = དཔུང་པ་གཉིས་ཀྱི་ཉིས་ཐེངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།
138
ཟུར་གསུམ་མ།
རྩིས་དཔེ།
༢༽ མཐའི་རིང་ཚད་ 6 cm དང་། 8 cm, 10 cm བཅས་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འདི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ རེད་དམ།
ལན། 62 = 6 × 6 = 36; 82 = 8 × 8 = 64; 102 = 10 × 10 = 100 ང་ཚོར། 62 + 82 = 102
དེར་བརྟེན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་དྲང་ཟུར་རེད།
མཆན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གསེག་མཐའ་རེད། འདིར། རིང་ཚད་ 10 cm ཡོད་པའི་ མཐའ་དེ་གསེག་མཐའ་རེད།
༣༽ ∆ABC ནང་ C ནི་དྲང་ཟུར་རེད། གལ་ཏེ་ AC = 5 cm དང་ BC = 12 cm ཡིན་ན། AB ཡི་རིང་ཚད་ཚོལ།
ལན། ∆ABC ཡི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༨་༡༦) པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ལས།
AB = AC + BC 2
2
2
AB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 AB = 13
A ?
5 cm C
B
12 cm དཔེ་རིས་ ༨་༡༦
C
དེར་བརྟེན། AB ཡི་རིང་ཚད་ནི་ 13 cm རེད།
༤༽ ཤིང་སྡོང་ཞིག་མཚམས་ཤིག་ནས་ཆག་སྟེ་དེའི་རྩེ་མོ་རྩ་བ་ནས་
A
བར་ཐག་ 8 m ཡོད་པའི་སར་ཐུག་ཡོད། གལ་ཏེ་ཤིང་སྡོང་ཆག་
སའི་གནས་དེ་རྩ་བ་ནས་མཐོ་ཚད་ 15 m ལ་ཡོད་ན། ཤིང་སྡོང་
གི་མཐོ་ཚད་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
ལན། CAB ནི་ཤིང་སྡོང་ཡིན་པ་ཆ་འཇོག (དཔེ་རིས་ ༨་༡༧)
ཤིང་སྡོང་ CAB ཆག་རྗེས་དེའི་རྩེ་མོ་ C རྩ་བ་ B ནས་བར་
ཐག་ 8 m ལ་ཐུག་ཡོད། འདིར། ∆ABC གྲུབ་སྟེ་ B ནི་དྲང་
ཟུར་རེད།
པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས་ལས། ∆ABC ནང་། AC2 = AB2 + BC2
མ་ཆག་གོང་།
B
ས།
A
15 m C 8 m B ཆག་རྗེས། དཔེ་རིས་ ༨་༡༧
ས།
139
རྩིས་རིག
AC2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172 AC = 17
དེར་བརྟེན། ཤིང་སྡོང་གི་རིང་ཚད་ = CA + AB = 17 + 15 = 32 m རེད།
མཆན། ཡོངས་རྫོགས་ཉིས་སྒྱུར་ངོས་བཟུང་བར་ཁྱེད་ཀྱིས་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲལ་བའི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤྱོད་དགོས།
༥༽ ཞེང་ 7 cm དང་གཏད་ཐིག་ 25 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
ལན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་ཡིན་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། གྲུ་ནར་ ABCD ནང་ ∆ADC ལ་ཆ་ བཞག་ན། དེ་ནི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་པས།
AD2 + DC2 = AC2 (པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས།)
72 + DC2 = 252
49 + DC2 = 625
A
DC2 = 576
7 cm
DC2 = 242
D
DC = 24
∙∙∙ གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ = 24 cm
B 25 c
m
7 cm
DC = 625 − 49 2
C
དཔེ་རིས་ ༨་༡༨
དེས་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 (l + b) = 2 (24 + 7) = 2 × 31 = 62 cm དང་། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = 24 × 7 = 168 cm2
རྩིས་དང་།
གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ ༨་༡༩ ནང་ x ཚོལ། (ཚད་གཞི་ cm ནང་།) x
x
6 8 (ཀ)
140
8
17 (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༨་༡༩
37
12 x (ག)
37
ཟུར་གསུམ་མ།
སྦྱོང་ཚན། ༨་༤
༡། ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ནང་ P ནི་དྲང་ཟུར་རེད། གལ་ཏེ་ PQ = 10 cm དང་ PR = 24 cm ཡིན་ན། QR ཚོལ།
༢། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ནང་ C ནི་དྲང་ཟུར་རེད། གལ་ཏེ་
15 m
AB = 25 cm དང་ AC = 7 cm ཡིན་ན། BC ཚོལ།
༣། རིང་ཚད་ 15 m ཅན་གྱི་སྐས་འཛེག་ཅིག་མཐོ་ཚད་12 m སར་ཡོད་པའི་སྒེའུ་ཁུང་ཁར་བཙུགས་ཡོད། སྐས་འཛེག་དེའི་ རྐང་པ་གྱང་ནས་བར་ཐག་ག་ཚོད་སར་བཞག་ཡོད་དམ།
12 m
a
(དཔེ་རིས་ ༨་༢༠)
༤། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ཡིན་ནམ།
དཔེ་རིས་ ༨་༢༠
(ཀ) 2 cm, 2 cm, 5 cm
(ཁ) 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm
(ག) 2.5 cm, 6.5 cm, 6 cm
གལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་ན། དྲང་ཟུར་ངོས་ཟུངས།
16 m
༥། གྲུ་ཞིག་གི་དར་ཤིང་ནི་ཐག་པ་བརྟན་པོ་ཞིག་གིས་དར་ཤིང་གི་
རྩེ་ནས་གྲུའི་ཁྱམས་རའི་གནས་ཤིག་ལ་བསྡམས་ཡོད། གལ་ ཏེ་དར་ཤིང་གི་མཐོ་ཚད་ནི་ 16 m དང་ཐག་པ་དེ་དར་ཤིང་
12 m
གི་ཞབས་ནས་བར་ཐག་ 12 m ཡོད་སར་མཐུད་ཡོད་ན།
དཔེ་རིས་ ༨་༢༡
ཐག་པའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༨་༢༡)
༦། ཤིང་སྡོང་ཞིག་རྩ་བ་ནས་མཐོ་ཚད་ 5 m ཡོད་སར་ཆག་སྟེ། དེའི་རྩེ་མོ་རྩ་བ་ནས་བར་ཐག་ 12 m ཡོད་སར་ཐུག་ ཡོད། ཤིང་སྡོང་གི་མཐོ་ཚད་ཚོལ།
༧། ∆ PQR ནང་། ∠Q = 25o དང་ ∠R = 65o རེད། (དཔེ་རིས་ ༨་༢༢) གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཞིག་བདེན་པ་ཡིན་ནམ། (ཀ) PQ2 + QR2 = RP2
(ཁ) PQ2 + RP2 = QR2 (ག) RP + QR = PQ 2
2
2
Q
25o
P
65o དཔེ་རིས་ ༨་༢༢
R
༨། དཀྱུས་ 40 cm དང་གཏད་ཐིག་ 41 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
141
བསམ་བློ་བཏང་སྟེ་ལན་བྲིས།
རྩིས་རིག
༡། ཟུར་གསུམ་མ་ PQR ནང་ P དྲང་ཟུར་ཡིན་ན། མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གང་ཡིན་ནམ།
༢། ཟུར་གསུམ་མ་ XYZ ནང་ Y དྲང་ཟུར་ཡིན་ན། མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གང་ཡིན་ནམ། ༣། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་རིང་ཤོས་དེ་གང་ཡིན་ནམ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡༽ ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་དྲུག་ནི་དེའི་ཟུར་གསུམ་དང་མཐའ་གསུམ་ཡིན།
༢༽ ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་དང་། དེའི་གཏད་མཐའི་དཀྱིལ་གནས་སྦྲེལ་བའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟུར་ གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ཐིག་ཟེར། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་དཀྱིལ་ཐིག་གསུམ་ཡོད།
༣༽ ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟུར་ གསུམ་མའི་དཔངས་ཟེར།
༤༽ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་ཞིག་བསྣར་ཏེ། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་ཕྱི་ཟུར་གྲུབ་ཐུབ། ཟུར་ཚེག་རེ་ ནས་ཕྱི་ཟུར་གཉིས་རེ་འབྲི་ཐུབ།
༥༽ ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ཟུར་ནི་དེའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་དང་མཚུངས།
༦༽ མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེར། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་ཚང་མ་ 60o རེད།
༧༽ མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཚུངས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཟེར།
སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་མཐའ་མི་གཅིག་པ་དེ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཞབས་ཟེར། སྐེད་མཉམ་ ཟུར་གསུམ་མའི་ཞབས་ཟུར་གཉིས་གཅིག་པ་རེད།
༨༽ དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། དྲང་ཟུར་གྱི་གཏད་མཐའ་ལ་གསེག་མཐའ་དང་། མཐའ་གཞན་གཉིས་ ལ་དེའི་དཔུང་པ་ཟེར།
༩༽ པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་།
གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = མཐའ་གཉིས་ཀྱི་ཉིས་ཐེངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།
ཁྱད་ཆོས་འདི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཡིན་མིན་ཐག་གཅོད་བྱ་བར་ཕན་ཐོགས་ཡོད།
142
སློབ་ཚན་དགུ་པ།
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
༩་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཡོངས་མཚུངས་སྐོར་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ཡོངས་མཚུངས་ཀྱི་གོ་དོན་གང་ཡིན་ཤེས་
པར། ང་ཚོས་བྱེད་སྒོ་ཞིག་སྤེལ་གྱི་ཡིན།
བྱེད་སྒོ།
ཧིན་སྒོར་ 10 ཡི་ཤོག་དངུལ་གཉིས་བླངས། (དཔེ་རིས་ ༩་༡) ཤོག་དངུལ་གཅིག་གཞན་དེའི་སྟེང་དུ་འཇོག ཁྱེད་ ཀྱིས་གང་མཐོང་ངམ།
དཔེ་རིས་ ༩་༡
ཤོག་དངུལ་གཅིག་གིས་གཞན་དེ་ཆ་ཚང་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀྱི་ཡོད། དེས་ཤོག་དངུལ་གཉིས་ཀའི་དབྱིབས་དང་ཆེ་
ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། དེ་འདྲའི་དབྱིབས་ལ་ཡོངས་མཚུངས་དབྱིབས་ཟེར། ཁྱེད་ཀྱིས་བེད་སྤྱད་པའི་ ཤོག་དངུལ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ཡོངས་མཚུངས་རེད།
གཤམ་གསལ་ཅ་དངོས་རྣམས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་ལ་ལྟོས། (ཀ) སྒོ་ལྕགས་དེ་རང་གི་ལྡེ་མིག་གཉིས། [དཔེ་རིས་ ༩་༢ (ཀ)] (ཁ) དེབ་གཅིག་གི་ཤོག་བུ། [དཔེ་རིས་ ༩་༢ (ཁ)] (ག) འགྱིག་སུབ་ཀྱི་ངོས། [དཔེ་རིས་ ༩་༢ (ག)] (ཀ)
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༩་༢
(ག)
143
རྩིས་རིག
༩་༢ ཡོངས་མཚུངས་དཔེ་རིས། Congruent figures ༡། སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས།
དཔེ་རིས་ ༩་༣ ནང་སྤྲད་པའི་དཔེ་རིས་གཉིས་ལ་ལྟོས་དང་། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། F1
F2 དཔེ་རིས་ ༩་༣
ཁྱེད་ཀྱིས་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤྱད་ཆོག དཔེ་རིས་ F1 བརྩེགས་ཤོག་ཐོག་བརྩེགས་
རིས་བླངས་ཏེ། F1 དེ་དཔེ་རིས་ F2 སྟེང་འཇོག་སྐབས། གལ་ཏེ་ F1 ཆ་ཚང་ F2 ཡིས་ཏག་ཏག་ཁེབས་ན། དེ་དག་
གི་དབྱིབས་དང་ཆེ་ཆུང་མཚུངས་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། F1 དང་ F2 གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།
དཔེ་རིས་ ༩་༣ ནང་ F1 དང་ F2 ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ཡོངས་མཚུངས་ནི་རྟགས་ ≅ ཡིས་མཚོན།
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ F1 ≅ F2 ལྟར་འབྲི་དགོས།
༢། ཐིག་དུམ།
ཐིག་དུམ་གཉིས་ག་དུས་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། དཔེ་རིས་ ༩་༤ ནང་གི་ཐིག་དུམ་ཆ་གཉིས་ལ་ལྟོས་དང་། A
B
C
(ཀ)
P
D
R དཔེ་རིས་ ༩་༤
(ཁ)
Q
S
དཔེ་རིས་ ༩་༤ (ཀ) ཡི་ནང་ཐིག་དུམ་གཉིས་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤྱད།
CD ཡི་བརྩེགས་རིས་བྲིས་ཏེ་ AB སྟེང་འཇོག C ནི་ A སྟེང་དང་ D ནི་ B སྟེང་ཏག་ཏག་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་ མཐོང་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། ང་ཚོས་ AB ≅ CD ལྟར་འབྲི་དགོས།
བྱེད་སྒོ་འདི་དཔེ་རིས་ ༩་༤ (ཁ) ནང་གི་ཐིག་དུམ་གཉིས་བསྐྱར་ཟློས་བྱོས། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་མ་ རེད། ཐིག་དུམ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མི་མཉམ་པས། དེ་དག་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ན་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀྱི་མེད།
གལ་ཏེ་ཐིག་དུམ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཉམ་ན། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ཐིག་དུམ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། ཐིག་དུམ་དེ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཉམ་པ་རེད།
144
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
༣། ཟུར།
གཤམ་གྱི་ཟུར་ཁག་ལ་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༩་༥) N
C B
40o (༡)
Z R
A
M
40o (༢)
L
Q
30o
དཔེ་རིས་ ༩་༥
(༣)
P
Y
40o (༤)
X →
∠LMN ཡི་བརྩེགས་རིས་བྲིས་ཏེ་ ∠ABC སྟེང་འཇོག འདིར་ང་ཚོས་དང་པོ་ M ནི་ B སྟེང་དང་ ML ནི་ → → → → BA ཡོད་སར་འཇོག་དགོས། MN ག་པར་འཁེལ་གྱི་འདུག་གམ། MN ནི་ BC སྟེང་འཁེལ་གྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། ∠ABC དང་ ∠LMN གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། དེ་ནི། ∠ABC ≅ ∠LMN
(མཆན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་མཉམ་པ་ཡིན།)
ཡང་ཁྱེད་ཀྱིས་ ∠PQR ཡི་བརྩེགས་རིས་བྲིས་ཏེ་ ∠ABC སྟེང་དུ་འཇོག འདིར་ཁྱེད་ཀྱིས་ Q ནི་ B སྟེང་དང་ → → → → QP ནི་ BA ཡོད་སར་འཇོག QR ནི་ BC སྟེང་འཁེལ་གྱི་མེད། དེ་ནི། ∠ABC དང་ ∠PQR གཉིས་ཕན་
ཚུན་ཆ་ཚང་ཁེབས་མེད། དེར་བརྟེན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་མ་རེད། (མཆན། འདིར་ ∠ABC དང་ ∠PQR གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་མི་མཉམ།)
→ → → ∠XYZ དང་ ∠ABC གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། འདིར། འཕྲོ་ཐིག་ YX དང་ YZ ནི་ BA དང་ → BC སོ་སོར་ལས་རིང་བ་ཡོད་པས། ∠ABC ནི་ ∠XYZ ལས་ཆུང་བ་ཡིན་པ་བསམ་སྲིད། དེ་མ་རེད། དཔེ་རིས་
ནང་འཕྲོ་ཐིག་གིས་ཁ་ཕྱོགས་མ་གཏོགས་རིང་ཚད་སྟོན་གྱི་མེད། དེ་དག་གཅིག་གི་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ནས་བལྟས་ པ་ཡིན་ན་ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། དེས་ན། ∠ABC ≅ ∠XYZ
གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་མཉམ་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ཟུར་གཉིས་
ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་མཉམ་པ་རེད།
145
རྩིས་རིག
༤། ཟུར་གསུམ་མ།
གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཕན་ཚུན་གྱི་འདྲ་བཤུས་ཡིན་པ་དང་།
གཅིག་གི་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་སྐབས་ཕན་
ཚུན་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀྱི་ཡོད་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད། A
P
B
C
Q
R
དཔེ་རིས་ ༩་༦
∆ABC དང་ ∆PQR གཉིས་ཀྱི་དབྱིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན་པས། དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད། ང་ཚོས་ འདི་ལྟར་འབྲི་ཆོག ∆ABC ≅ ∆PQR
དེ་ནི། གལ་ཏེ་ ∆ABC ཐོག་ ∆PQR བཞག་པ་ཡིན་ན། P ནི་ A སྟེང་དང་། Q ནི་ B སྟེང་། R ནི་ C སྟེང་ གནས་པ་དང་། PQ ནི་ AB སྒང་དང་། QR ནི་ BC སྒང་། PR ནི་ AC སྒང་ལ་གནས་ཀྱི་ཡོད།
གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅིག་པ་རེད། དེར་བརྟེན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་འདི་གཉིས་ནང་།
གནས་མཐུན་ཟུར་ཚེག་ནི་ A དང་ P, B དང་ Q, C དང་ R
གནས་མཐུན་མཐའ་ནི་ AB དང་ PQ, BC དང་ QR, AC དང་ PR
གནས་མཐུན་ཟུར་ནི་ ∠A དང་ ∠P, ∠B དང་ ∠Q, ∠C དང་ ∠R
ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། གོང་གི་ ∆ABC དང་ ∆PQR ལས་གཤམ་གསལ་ཁག་གནས་མཐུན་རེད།
གནས་མཐུན་ཟུར་ཚེག A↔P
གནས་མཐུན་མཐའ། AB ↔ PQ
གནས་མཐུན་ཟུར། ∠A ↔ ∠P
གནས་མཐུན་ཟུར་གསུམ་མ།
B↔Q
BC ↔ QR
∠B ↔ ∠Q
∆BAC ↔ ∆QPR
C↔R
CA ↔ RP
∠C ↔ ∠R
∆ACB ↔ ∆PRQ
མཆན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་གཅིག་པ་ཡིན།
146
∆ABC ↔ ∆PQR
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
རྩིས་དཔེ།
༡༽ ∆ABC དང་ ∆RQP གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་དང་ ABC ↔ RQP རེད། གཤམ་གསལ་དང་གནས་ མཐུན་ཡིན་པའི་ ∆ABC ཡི་རྒྱུ་རྣམས་བྲིས། (ཀ) PQ
(ཁ) ∠Q
(ག) RP
ལན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྟོགས་པར། ང་ཚོས་དཔེ་རིས་བེད་སྤྱོད་ཀྱི་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༩་༧) A
B
P
Q
C
R དཔེ་རིས་ ༩་༧
འདིར། ABC ↔ RQP དེའི་དོན་ནི། A ↔ R དང་། B ↔ Q, C ↔ P
དེས་ན། (ཀ) PQ ↔ CB
༡། གཤམ་གྱི་བརྗོད་པ་ཁ་སྐོངས། (ཀ) གལ་ཏེ་
(ཁ) ∠Q ↔ ∠B
(ག) RP ↔ AC
སྦྱོང་ཚན། ༩་༡ ཡིན་ན། ཐིག་དུམ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
(ཁ) ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གཉིས་ལས། གཅིག་ 70o ཡིན་ན། ཟུར་གཞན་ནི་
༢། ཁྱེད་རང་གི་ཉེ་འཁོར་ནས་ཡོངས་མཚུངས་ཀྱི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་བྲིས།
རེད།
༣། གལ་ཏེ་ ∆ABC ≅ ∆FED སྐབས་ ABC ↔ FED ཡིན་ན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་ རྒྱུ་རྣམས་བྲིས།
༤། གལ་ཏེ་ ∆DEF ≅ ∆BCA ཡིན་ན། གཤམ་དང་གནས་མཐུན་ཡིན་པའི་ ∆BCA ཡི་རྒྱུ་རྣམས་བྲིས། (ཀ) ∠E
(ཁ) EF
(ག) ∠F
(ང) DF
༥། ∆ABC ≅ ∆PQR དང་། གལ་ཏེ་ ∠BAC = 75o ཡིན་ན། ∠QPR ཚོལ། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀ་ཡོངས་ མཚུངས་གྲུབ་པའི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་བྲིས།
147
རྩིས་རིག
༩་༣ ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཆ་རྐྱེན། Criteria for congruence of triangles
གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་རྟོགས་དགོས་ན། ལེ་ཚན་སྔོན་མའི་ནང་སྦྱངས་པ་བཞིན་
ཁྱེད་ཀྱིས་རྟག་ཏུ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་དྲས་ཏེ་གཅིག་གི་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཐུབ་ཀྱི་
མེད། དེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་འགའ་ངོ་སྤྲོད་བྱ་རྒྱུ་ཡིན།
༩་༣་༡ མཐའ་མཐའ་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན། SSS congruence criterion
བྱེད་སྒོ།
ཐིག་ཤིང་སྤྱད་དེ། གཤམ་གསལ་མཐའི་རིང་ཚད་ཅན་གྱི་ ∆ABC དང་ ∆PQR བྲིས། ∆ABC ནང་། AB = 3 cm, BC = 4 cm, CA = 4.5 cm ∆PQR ནང་། PQ = 3 cm, QR = 4 cm, RP = 4.5 cm A
4.5 cm
3 cm B
4 cm
3 cm C
དཔེ་རིས་ ༩་༨
Q
P 4.5 cm
4 cm
R
∆ABC དྲས་ཏེ་ ∆PQR ཐོག་གནས་མཐུན་ ABC ↔ PQR ཡིན་པ་འཇོག ∆ABC ཡིས་ ∆PQR ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆ABC དང་ ∆PQR ཡི་དབྱིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།
དེར་བརྟེན། ∆ABC ≅ ∆PQR སྐབས། AB = PQ དང་། BC = QR, CA = RP ཡིས་ SSS ཡི་ཆ་
རྐྱེན་ར་སྤྲོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་མཐའ་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་གསུམ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་
གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་མཐའ་མཐའ་མཐའི་ (SSS) ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ཟེར། རྩིས་དཔེ།
༢༽ ∆LMN དང་ ∆XYZ ནང་། LM = 3.5 cm དང་ MN = 7.1 cm, LN = 5 cm, XY = 7.1 cm,
148
YZ = 5 cm, XZ = 3.5 cm བཅས་ཡིན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་ལྟ་ཞིབ་བྱོས།
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
ལན།
གལ་ཏེ་ཡིན་ན། ཡོངས་མཚུངས་ཀྱི་རྟགས་སྤྱད་དེ་མཚོན། འདིར།
L
LM = XZ = 3.5 cm
MN = XY = 7.1 cm LN = YZ = 5 cm
དེ ས ་ཟུར་གསུམ་མ་གཅི ག ་གི ་ མཐའ་གསུམ་པོ ་ ཟུར་ གསུམ་མ་གཞན་གྱི་མཐའ་གསུམ་དང་མཉམ་པ་ཡིན་ པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། SSS ཆ་རྐྱེན་ལས། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་
5 3.
cm
M
5c
m
N
7.1 cm 7.1 cm
X
3.
གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།
5
m
cm
གོང་གི་གནས་མཐུན་ M ↔ X དང་ N ↔ Y, L↔ Z སྐབས་ང་ཚོར། ∆LMN ≅ ∆ZXY རེད།
Y
Z
5c
དཔེ་རིས་ ༩་༩
མཆན། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་མིང་གི་གོ་རིམ་གྱིས་གནས་མཐུན་འབྲེལ་བ་སྟོན་གྱི་ཡོད། དེས་ན།
∆LMN ≅ ∆ZXY སྐབས། Z དང་ L དང་། X དང་ M, Y དང་ N, ZX དང་ LM, XY དང་ MN, ZY
དང་ LN བཅས་ནི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་ཡིན། ༣༽
D
དཔེ་རིས་ ༩་༡༠ ནང་། AD = CD དང་ AB = CB
(ཀ) ∆ABD དང་ ∆CBD ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་བྲིས། (ཁ) ∆ABD ≅ ∆CBD ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར།
(ག) BD ཡིས་ ∠ABC མཉམ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་དམ། ཅིའི་ཕྱིར།
ལན། (ཀ) ∆ABD དང་ ∆CBD ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་ནི།
A
C
AD = CD (ཤེས་ཟིན།) AB = CB (ཤེས་ཟིན།)
BD = BD (སྤྱི་མཐའ།)
(ཁ) གོང་གི་ལན་ (ཀ) ལས། ∆ABD ≅ ∆CBD ཡིན། (SSS ཆ་རྐྱེན།)
(ག) ∠ABD = ∠CBD (ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་ཟུར།) དེས་ན། BD ཡིས་ ∠ABC མཉམ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
B དཔེ་རིས་ ༩་༡༠
149
རྩིས་རིག
རྩིས་དཔེ།
P
༡། དཔེ་རིས་ ༩་༡༡ ནང་། PQ = PR དང་། S ནི་ QR ཡི་དཀྱིལ་གནས་ཡིན། (ཀ) ∆PSQ དང་ ∆PSR ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བྲིས། (ཁ) ∆PSQ ≅ ∆PSR ཡིན་ནམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས།
Q
(ག) ∠Q = ∠R རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས། D
A
C
དཔེ་རིས་ ༩་༡༢
B
S
R
དཔེ་རིས་ ༩་༡༡
༢། དཔེ་རིས་ ༩་༡༢ ནང་། AC = BD དང་། AD = BC གཤམ་གསལ་བརྗོད་པ་ལས་གང་ཞིག་བདེན་པ་རེད།
(ཀ) ∆ABC ≅ ∆ABD (ཁ) ∆ABC ≅ ∆BAD
༩་༣་༢ མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན། SAS congruence criterion
བྱེད་སྒོ།
ཐིག་ཤིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི་ཅན་གྱི་ ∆ABC དང་ ∆PQR བྲིས།
∆ABC ནང་། AB = 4 cm, ∠B = 60o, BC = 5 cm
∆PQR ནང་། PQ = 4 cm, ∠Q = 60o, QR = 5 cm
B
60o
4c m
P
4c m
A
5 cm
C
དཔེ་རིས་ ༩་༡༣
Q
60o
5 cm
R
∆ABC དྲས་ཏེ་ ∆PQR ཐོག་གནས་མཐུན་ ABC ↔ PQR ཡིན་པ་འཇོག ∆ABC ཡིས་ ∆PQR ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆ABC དང་ ∆PQR ཡི་དབྱིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།
དེར་བརྟེན། ∆ABC ≅ ∆PQR སྐབས། AB = PQ དང་། ∠B = ∠Q, BC = QR ཡིས་ SAS ཡི་ ཆ་རྐྱེན་ར་སྤྲོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
150
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚུད་ཟུར་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་གཉིས་དང་
དེའི་ཚུད་ཟུར་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་མཐའ་ཟུར་མཐའི་ (SAS) ཡོངས་
མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ཟེར། རྩིས་དཔེ།
༤༽ དཔེ་རིས་ ༩་༡༤ ནང་། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་
D
མིང་བྲིས། ཡོངས་མཚུངས་ཀྱི་ཆ་རྐྱེན་གང་སྤྱད་ཡོད་དམ།
ལན། ∆ABD དང་ ∆CDB ནང་།
AB = CD = 5 cm (ཤེས་ཟིན།) ∠B = ∠C = 30o (ཤེས་ཟིན།) BD = BD
A
(སྤྱི་མཐའ།)
དེར་བརྟེན། SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆ADB ≅ ∆CDB
o
30
5 cm
5 cm
C
30o
B
དཔེ་རིས་ ༩་༡༤
དེས་ན། དཔེ་རིས་ནང་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ནི་ ∆ADB དང་ ∆CDB རེད།
༥༽ དཔེ་རིས་ ༩་༡༥ ནང་། AB = AC དང་ AD ནི་ ∠BAC མཉམ་བགོད་ཐིག་ཡིན། (ཀ) ∆ADB དང་ ∆ADC ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བྲིས། (ཁ) ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར།
A
(ག) ∠B = ∠C ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར།
ལན། (ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་གསུམ་ནི། AB = AC (ཤེས་ཟིན།)
∠BAD = ∠CAD (AD ཡིས་ ∠BAC མཉམ་བགོད་བྱེད་པ།) AD = AD (སྤྱི་མཐའ།)
(ཁ) SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན།
B
D
C
དཔེ་རིས་ ༩་༡༥
(ག) གནས་མཐུན་ཟུར་ལས། ∠B = ∠C ཡིན།
རྩིས་དང་།
༡། ∆DEF ནང་མཐའ་ DE དང་ EF དབར་གྱི་ཚུད་ཟུར་བྲིས།
༢། དཔེ་རིས་ ༩་༡༦ ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་རྒྱུ་འགའི་ཚད་གཞི་སྤྲད་ཡོད། SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་རྣམས་མཚོན་རྟགས་སྤྱད་དེ་བྲིས།
151
A
2.5
cm
2.5 cm
A
B
70o
3 cm D
C B (ཀ)
A 80o
3. 40o 3 cm
C
3 cm
B
P 3.5
m 5c
E
རྩིས་རིག
cm cm 5 . 2 35o C P 35o 3 cm 3 cm (ཁ)
P
30o
Q
4 cm
Q
cm
40 3 cm
F Q (ག)
R
2.5
o
S
R
4 cm (ང)
དཔེ་རིས་ ༩་༡༦
30o
R
༩་༣་༣ ཟུར་མཐའ་ཟུར་གྱི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན། ASA congruence criterion
བྱེད་སྒོ།
ཐིག་ཤིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི་ཅན་གྱི་ ∆MNO དང་ ∆ABC བྲིས། ∆MNO ནང་། ∠M = 50o, MN = 4 cm, ∠N = 70o
∆ABC ནང་། ∠A = 50o, AB = 4 cm, ∠B = 70o O
M
50o
4 cm
70o
N
དཔེ་རིས་ ༩་༡༧
C
A
50o
4 cm
70o
B
∆MNO དྲས་ཏེ་ ∆ABC ཐོག་གནས་མཐུན་ MNO ↔ ABC ཡིན་པ་འཇོག ∆MNO ཡིས་ ∆ABC
ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆MNO དང་ ∆ABC ཡི་དབྱིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།
དེར་བརྟེན། ∆MNO ≅ ∆ABC སྐབས། ∠M = ∠A དང་། MN = AB, ∠N = ∠B ཡིས་ ASA
152
ཡི་ཆ་རྐྱེན་ར་སྤྲོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚུད་མཐའ་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་ཟུར་གཉིས་
དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་ཟུར་མཐའ་ཟུར་གྱི་ (ASA)
ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ཟེར། མཆན།
གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་ཤེས་ན། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས་སྤྱད་དེ་ཟུར་གསུམ་པ་
འཚོལ་ཐུབ། དེས་ན། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་ཞིག་དང་ཟུར་གང་རུང་གཉིས་ནི། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་ མཐའ་དང་ཟུར་གང་རུང་གཉིས་དང་མཉམ་ན། དེ་ཟུར་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་བཙལ་ཏེ། ཡོངས་མཚུངས་ཁྱད་ ཆོས་སྤྱོད་ཆོག
རྩིས་དཔེ།
༦༽ ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ་ ∆ABC ≅ ∆QRP ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། འདིར་ BC = RP སྤྲད་ ཡོད། ཡོངས་མཚུངས་འདི་འགྲུབ་པར་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གང་ཤེས་དགོས་སམ།
ལན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ཆེད། ང་ཚོར་ BC དང་ RP གཉིས་ཚུད་མཐའ་ཡིན་པའི་ཟུར་གཉིས་པོ་ཤེས་ དགོས། དེས་ན། གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གཤམ་གསལ་ཤེས་དགོས། སྤྱད་དེ་ ∆AOC ≅ ∆BOD མཐའ་སྡོམ་རྒྱག་ཐུབ་བམ།
ལན། ཟུར་གསུམ་མ་ AOC དང་ BOD གཉིས་ཀྱི་ནང་། ∠C = ∠D = 70 (ཤེས་ཟིན།) o
AC = BD = 1.5 cm (ཤེས་ཟིན།)
D A 1.5 cm
༧༽ དཔེ་རིས་ ༩་༡༨ ནང་། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཁྱད་ཆོས་བེད་
o
70
C
30o
O
དཔེ་རིས་ ༩་༡༨
70o
1.5 cm
∠B = ∠R དང་ ∠C = ∠P
B
∠AOC = ∠BOD = 30o (ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།)
དེས་ན། ∆AOC ནང་ ∠A = 180o − (70o + 30o) = 80o
(ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས་ལས།)
དེ་བཞིན། ∆BOD ནང་ ∠B = 180o − (70o + 30o) = 80o
དེས་ན། ∠A = ∠B དང་། AC = BD, ∠C = ∠D
འདིར། AC ནི་ ∠A དང་ ∠C ཡི་ཚུད་མཐའ་དང་ BD ནི་ ∠B དང་ ∠D ཡི་ཚུད་མཐའ་རེད།
དེར་བརྟེན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆AOC ≅ ∆BOD
153
རྩིས་རིག
རྩིས་དང་།
༡། ∆MNP ནང་། ཟུར་ M དང་ N དབར་གྱི་ཚུད་མཐའ་བྲིས།
༢། ཁྱེད་ཀྱིས་ ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ་ ∆DEF ≅ ∆MNP ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། འདིར་ཁྱེད་ལ་
∠D = ∠M དང་ ∠F = ∠P སྤྲད་ཡོད། ཡོངས་མཚུངས་འདི་འགྲུབ་པར་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གང་ཤེས་ དགོས་སམ། (དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བྲིས་ཏེ་ཚོད་ལྟ་བྱོས།)
༣། དཔེ་རིས་ ༩་༡༩ ནང་། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་འགའ་སྤྲད་ཡོད། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ། ཡོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ངོས་ཟུངས། ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་རྣམས་མཚོན་རྟགས་སྤྱད་དེ་བྲིས། P
B
m
C
D 3c
A
3 cm 60o 40o
60o 40o 3 cm
E (ཀ)
R o
60
30o
Q O (ག)
དཔེ་རིས་ ༩་༡༩
དང་ ∠DCB མཉམ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
(ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་ BAC དང་ DAC ཡི་གནས་ (ཁ) ∆BAC ≅ ∆DAC རེད་དམ། ཅིའི་ཕྱིར།
(ང) CD = CB རེད་དམ། ཅིའི་ཕྱིར།
154
(ཁ)
60o
4 cm
30o
N
D
༤། དཔེ་རིས་ ༩་༢༠ ནང་། འཕྲོ་ཐིག་ AZ ཡིས་ ∠DAB
(ག) AB = AD རེད་དམ། ཅིའི་ཕྱིར།
F
m
P
མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བྲིས།
R
M
4c
50o 3.3 cm
E
50o
Q
F
D
A
C B
དཔེ་རིས་ ༩་༢༠
Z
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
༩་༤ དྲང་གསེག་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན། RHS congruence criterion
བྱེད་སྒོ།
ཐིག་ཤིང་དང་ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས་སྤྱད་དེ། གཤམ་གསལ་ཚད་གཞི་ཅན་གྱི་ ∆XYZ དང་ ∆DEF བྲིས། ∆XYZ ནང་། ∠Y = 90o, XZ = 5 cm, XY = 3 cm ∆DEF ནང་། ∠E = 90o, DF = 5 cm, DE = 3 cm X
5c
3 cm
3 cm
m
Z
Y
D
དཔེ་རིས་ ༩་༢༡
5c
m
F
E
∆XYZ དྲས་ཏེ་ ∆DEF ཐོག་གནས་མཐུན་ XYZ ↔ DEF ཡིན་པ་འཇོག ∆XYZ ཡིས་ ∆DEF ཏག་ ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེ་ནི། ∆XYZ དང་ ∆DEF ཡི་དབྱིབས་དང་ཆེ་ཆུང་གཅིག་པ་ཡིན།
དེར་བརྟེན། ∆XYZ ≅ ∆DEF སྐབས། ∠Y = ∠E དང་། XZ = DF, XY = DE ཡིས་ RHS ཡི་ཆ་ རྐྱེན་ར་སྤྲོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
གལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་དཔུང་པ་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གསེག་མཐའ་
དང་གནས་མཐུན་དཔུང་པ་ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ལ་དྲང་གསེག་མཐའི་
(RHS) ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ཟེར། རྩིས་དཔེ།
༨༽ གཤམ་གསལ་ནི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱུ་འགའ་ཡིན། RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་
དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟ་བྱོས། གལ་ཏེ་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ན། དེ་དག་མཚོན་རྟགས་ཐོག་ བྲིས།
∆ABC
(ཀ) ∠B = 90o, AC = 4 cm, AB = 2 cm
(ཁ) ∠A = 90o, AC = 3.5 cm, BC = 5 cm
∆PQR ∠P = 90o, PR = 2 cm, QR = 4 cm ∠Q = 90o, PR = 5.5 cm, PQ = 3.5 cm
155
རྩིས་རིག
ལན། (ཀ) འདིར།
∠B = ∠P = 90o
དེས་ན། ∆ABC ≅ ∆RPQ
(RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།)
4c
m
2 cm
AB = RP = 2 cm
2 cm
AC = RQ = 4 cm
R
A
R C
cm
cm
3.5 cm
5.5
5
ཡོངས་མཚུངས་མིན།
Q
དཔེ་རིས་ ༩་༢༢
AC = PQ = 3.5 cm དེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་
m
C P
B
(ཁ) འདིར། ∠A = ∠Q = 90o
ཡིན་ནའང་། BC ≠ PR
4c
A
༩༽ དཔེ་རིས་ ༩་༢༤ ནང་། DA ⊥ AB དང་ CB ⊥ AB,
B
Q
དཔེ་རིས་ ༩་༢༣
3.5 cm
D
P
C
AC = BD ཡིན། ∆ABC དང་ ∆DAB ཡི་གནས་ མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བྲིས། གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་ གཉིས་ལས་གང་བདེན་པ་ཡིན་ནམ།
(ཀ) ∆ABC ≅ ∆BAD (ཁ) ∆ABC ≅ ∆ABD
A
ལན། ∆ABC དང་ ∆DAB ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་ནི། ∠ABC = ∠BAD = 90o
AC = BD (ཤེས་ཟིན།) AB = BA (སྤྱི་མཐའ།)
དེར་བརྟེན། ∆ABC ≅ ∆BAD (RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས།) རྩིས་བརྗོད་ (ཀ) བདེན་པ་ཡིན།
156
དཔེ་རིས་ ༩་༢༤
B
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
རྩིས་དཔེ།
༡། དཔེ་རིས་ ༩་༢༥ ནང་། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་འགའ་སྤྲད་ཡོད། RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ། ཡོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ངོས་ཟུངས། ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པ་རྣམས་མཚོན་རྟགས་སྤྱད་དེ་བྲིས། C
E
3.6
A
cm A
m
3.6
cm
(ག)
5c
C
D
B
5.5 cm (ཁ) P
m
B
R F (ཀ)
5c
2 cm Q
m
4c
m
3c
m
4c
3c
2.5 cm
P
D
m
D
Q
R
S (ང)
དཔེ་རིས་ ༩་༢༥
༢། RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ་ ∆ABC ≅ ∆RPQ ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། གལ་ཏེ་ ∠B = ∠P
= 90o དང་། AB = RP སྤྲད་ཡོད་ན། ཡོངས་མཚུངས་འགྲུབ་པར་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་གང་ཤེས་དགོས་ སམ།
A
༣། དཔེ་རིས་ ༩་༢༦ ནང་། BD དང་ CE ནི་ ∆ABC ཡི་དཔངས་ཡིན། འདིར་ BD = CE
(ཀ) ∆CBD དང་ ∆BCE ཡི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་མཉམ་པ་གསུམ་བྲིས། ~ ∆BCE ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར། (ཁ) ∆CBD = (ག) ∠DCB = ∠EBC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར།
B
E
D
དཔེ་རིས་ ༩་༢༦
C
157
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༩་༢
༡། གཤམ་གསལ་ནང་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ངོས་ཟུངས། (ཀ) ཤེས་ཟིན།
A
AC = DF
D
AB = EF
BC = EF ~ ∆DEF དེས་ན། ∆ABC = (ཁ) ཤེས་ཟིན། ZX = RP
B
C
E
R
F
Z
RQ = ZY
∠PRQ = ∠XZY ~ ∆XYZ དེས་ན། ∆PQR =
P
(ག) ཤེས་ཟིན།
Y
L
∠MLN = ∠FGH
H N F
∠NML = ∠GFH
ML = FG ~ ∆FGH དེས་ན། ∆LMN = (ང) ཤེས་ཟིན།
X
Q
M
G D E
EB = DB AE = BC
∠A = ∠C = 90o ~ ∆CBD དེས་ན། ∆ABE =
~ ∆PEN ཡིན་པ་སྟོན་དགོས། ༢། ཁྱེད་ཀྱིས་ ∆ART =
A
A
R
158
T
B
C
P
E
N
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
(ཀ) SSS ཆ་རྐྱེན་བེད་སྤྱོད་པར། ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་ཁག་ཤེས་དགོས། (༡) AR =
(༢) RT =
(༣) AT =
(ཁ) SAS ཆ་རྐྱེན་བེད་སྤྱོད་པར། ∠T = ∠N དང་གཤམ་གསལ་ཁག་ཤེས་དགོས། (༡) RT =
(༢) PN =
(ག) ASA ཆ་རྐྱེན་བེད་སྤྱོད་པར། AT = PN ཡིན་ན། ད་དུང་གཤམ་གསལ་ཁག་ཤེས་དགོས། (༡)
=
(༢)
=
༣། ∆AMP ≅ ∆AMQ སྟོན་པར།
གཤམ་གསལ་ཁ་སྐོངས། (དཔེ་རིས་ ༩་༢༧) གོམ་པ།
(ཀ) PM = QM
(ཁ) ∠PMA = ∠QMA (ག) AM = AM
(ང) ∆AMP = ∆AMQ
(ཀ)
(ཁ)
A རྒྱུ་མཚན།
P
(ག) (ང)
༤། དཔེ་རིས་ ༩་༢༨ ནང་། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། དེ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་རྣམས་བསྟན་ཡོད། དེས་ན། ∆RAT ≅
༥། དཔེ་རིས་ ༩་༢༩ ནང་། AD ཡིས་ ∠A མཉམ་བགོད་བྱས་པ་དང་ AD ⊥ BC ཡིན། ~ ∆ADC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར། (ཀ) ∆ADB = (ཁ) BD = DC ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར།
(ག) ∠C = ∠B ཡིན་ནམ། ཅིའི་ཕྱིར།
M
དཔེ་རིས་ ༩་༢༧
Q
R
A
T N
དཔེ་རིས་ ༩་༢༨
O W
A དཔེ་རིས་ ༩་༢༩
༦། དྲ་མིག་ཤོག་བུ་ཞིག་གི་སྟེང་རྒྱ་ཁྱོན་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྲིས།
C
D
B
(ཀ) ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ།
(ཁ) ཡོངས་མཚུངས་མིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ།
༧། ཡོངས་མཚུངས་མིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་གི་ཟུར་གསུམ་ཀ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་ཟུར་དང་ མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་བྲིས།
159
R
A
B
C
རྩིས་རིག
༨། དཔེ་རིས་ ༩་༣༠ ཡི་ ∆ABC དང་ ∆PQR གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་
ཡིན་ན། གནས་མཐུན་རྒྱུ་འཕར་མ་གང་ཤེས་དགོས་སམ། ཡོངས་
P
དཔེ་རིས་ ༩་༣༠
Q
མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་གང་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཡོད་དམ། A
~ ∆FED ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༩་༣༡) ༩། ∆ABC =
D
B
C
དཔེ་རིས་ ༩་༣༡
E F
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡༽ དཔེ་རིས་གཉིས་ཀྱི་དབྱིབས་དང་། ཆེ་ཆུང་མཉམ་ན་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
༢༽ དཔེ་རིས་ F1 དང་ F2 གཉིས་ལས། གལ་ཏེ་ F1 ཡི་འདྲ་བཤུས་ཀྱིས་ F2 ཏག་ཏག་ཁེབས་ཀྱི་ཡོད་ན། ~ F བཅས་འབྲི་དགོས། དཔེ་རིས་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་ F = 1
2
༣༽ ཐིག་དུམ་ AB དང་ CD གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཉམ་པ་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ~ CD ཡང་ན། AB = CD བཅས་འབྲི་ཆོག ང་ཚོས་དེ་ AB = ༤༽ ∠ABC དང་ ∠PQR གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་མཉམ་ན། ཟུར་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་ ∠ABC ≅ ∠PQR ཡང་ན། ∠ABC = ∠PQR བཅས་འབྲི་ཆོག
༥༽ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་རྒྱུ་དང་མཉམ་ ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
༦༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
༧༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚུད་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་ མཐའ་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
༨༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་དང་ཟུར་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚུད་མཐའ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་
160
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། མཐུན་ཟུར་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན།
༩༽ གལ་ཏེ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་། དེའི་དཔུང་པ་ཞིག་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་
གྱི་གསེག་མཐའ་དང་གནས་མཐུན་དཔུང་པ་ལ་མཉམ་ན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ ཡིན།
161
སློབ་ཚན་བཅུ་པ།
བཀོད་པ།
༡༠་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་མང་པོ་མཐོང་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་སྔོན་མའི་ནང་དབྱིབས་འགའ་འགོད་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད།
དཔེར་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་ཐིག་དུམ་དང་། དྲང་འཕྱང་ཐིག ཟུར། ཟུར་གྱི་མཉམ་བགོད་ཐིག སྒོར་དབྱིབས་སོགས་འབྲི་ཐུབ་ཀྱི་ ཡོད།
སློབ་ཚན་འདིར་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་དང་ཟུར་གསུམ་མ་རིགས་འགའ་འགོད་སྟངས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༡༠་༢ མཉམ་འགྲོ་ཐིག་འགོད་པ། Construction of parallel lines ང་ཚོས་བྱེད་སྒོ་ཞིག་སྤེལ་རྒྱུ་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡)
༡། ཤོག་བུ་ཞིག་བླངས་ཏེ། དེའི་སྟེང་ཐིག་ l བྲིས། ཐིག་ l སྟེང་མིན་པའི་གནས་ A ཞིག་བྲིས། A
A
l
B
༡
༢
A
A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡
༢། ཤོག་ལྷེ་དེ་ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་ཏེ་གནས་ A བརྒྱུད་པར་གྱིས།
m B l
l
༣
༤
༣། ལྟེབ་ཤུལ་སྟེང་དྲང་འཕྱང་ AB བྲིས།
༤། AB ལ་དྲང་འཕྱང་དང་གནས་ A བརྒྱུད་པར། ལྟེབ་རྩེག་གཞན་ཞིག་རྒྱོབ། ལྟེབ་ཤུལ་དེས་དྲང་འཕྱང་གཞན་ཞིག་ འབྱུང་། དྲང་འཕྱང་དེའི་མིང་ལ་ m བྲིས། དེས་ན། l ནི་ m དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན།
བཤེར་རྩིས།
AB ⊥ l ∴ ∠B = 90o, m ⊥ AB ∴ ∠A = 90o o
དེར་བརྟེན། ∠A = ∠B (= 90 ) (གནས་མཐུན་ཟུར་གཅིག་པ་ཡིན་པས།) ∴ l ནི་ m དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན། ཡང་ན། l || m
162
A m B
l
བཀོད་པ།
A
སྒོར་ཆས་དང་ཐིག་ཤིང་སྤྱད་དེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་འགོད་པ།
གོམ་པ་ ༡། ཐིག་ l དང་། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ P ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༡)]
གོམ་པ་ ༢། ཐིག་ l སྟེང་གནས་ B བྲིས། A དང་ B མཐུད། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༢)]
གོམ་པ་ ༣། སྒོར་ལྟེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེད་གང་འོས་ཤིག་བླངས་ཏེ་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ བྲིས། ཐིག་ l དང་ AB ཐོག་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ C དང་ D སོ་སོར་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༣)]
གོམ་པ་ ༤། སྒོར་ལྟེ་ A དང་ཚངས་ཕྱེད་གོང་དང་མཉམ་པའི་གཞུ་ཐིག་གཞན་ ཞིག་བྲིས། AB ཐོག་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ E བྲིས།
[དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༤)]
གོམ་པ་ ༥། སྒོར་ལྟེ་ E དང་ཚངས་ཕྱེད་ CD (C དང་ D དབར་གྱི་བར་ཐག) ཡིན་པའི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་གོམ་པ་ ༤ པའི་གཞུ་ཐིག་ལ་འཕྲད་པར་
བྲིས། གཞུ་ཐིག་དེ་གཉིས་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ F བྲིས། [དཔེ་རིས་
༡༠་༢(༥)]
གོམ་པ་ ༦། AF མཐུད་དེ་ཐིག་ m བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༢(༦)] འདིར། ∠ABC = ∠BAF (ནང་སྣོལ་ཟུར།) དེར་བརྟེན། m || l
མཆན། ཐིག་ m ནི་གནས་ A བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ l ཡི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ཡིན།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༡)
l
B
l
A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༢)
A
D B
l
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༣)
A
D B
E l
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༤)
A
F
D B
E l
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༥)
A
F
D B
m
E C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢ (༦)
l
163
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༡
༡། ཐིག་ AB དང་། དེའི་སྟེང་མེད་པའི་གནས་ C ཞིག་བྲིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་ C བརྒྱུད་ཐིག་ AB ཡི་ མཉམ་འགྲོ་ཐིག་བྲིས།
༢། ཐིག་ l བྲིས། l ཡི་གནས་གང་རུང་སྟེང་ l ཡི་དྲང་འཕྱང་བྲིས། དྲང་འཕྱང་དེའི་སྟེང་ l ནས་བར་ཐག་ 4 cm ཐོག་ གནས་ X ཞིག་བྲིས། X བརྒྱུད་ཐིག་ l དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་ཐིག་ m བྲིས།
༣། ཐིག་ PQ དང་། དེའི་སྟེང་གི་གནས་ A དང་ B གཉིས་བྲིས། ཐིག་ཤིང་དང་སྒོར་ཆས་སྤྱད་དེ་གནས་ A དང་ B གཉིས་ནས་ཐིག་ PQ དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཁོད། ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཕན་ཚུན་ མཉམ་འགྲོ་རེད་དམ།
༡༠་༣ ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Construction of triangles
ད་བར་ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་དབྱེ་བ་དང་ཁྱད་ཆོས་སྦྱངས་པས། ཁྱད་ཆོས་གལ་ཆེ་འགའ་ཤས་ནི། (༡) ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ནི་ 180o རེད།
(༢) ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡོད། (༣) ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཕྱི་ཟུར་དང་མཚུངས།
(༤) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་། གསེག་མཐའི་ཉིས་ཐེངས་ = དཔུང་པ་གཉིས་ཀྱི་ཉིས་ཐེངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། A
X
1 2
B 1+
c 3
2+
C
3 = 180o
Y
A 1
b
a a+b >c
X
Z
B
3
2 3=
1+
C
b Y
2
ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ལ་གཤམ་གྱི་རྒྱུ་གསུམ་རེ་ཤེས་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་འགོད་ཐུབ། (༡) མཐའ་གསུམ། (SSS ཆ་རྐྱེན།)
(༢) མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར། (SAS ཆ་རྐྱེན།)
(༣) ཟུར་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ། (ASA ཆ་རྐྱེན།)
(༤) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་དཔུང་པ་གང་རུང་གཅིག (RHS ཆ་རྐྱེན།)
ང་ཚོས་ཆ་རྐྱེན་འདི་དག་སྤྱད་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་རྒྱུ་ཡིན།
164
c a 2 b + a2 = c2
Z
བཀོད་པ།
༡༠་༣་༡ མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་ཤེས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a triangle when the lengths of its three sides are known (SSS criterion)
མཐའ་ཚང་མའི་རིང་ཚད་ཤེས་པའི་ཟུར་མ་འགོད་པ་ལ། ཐོག་མར་ང་ཚོས་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བྲིས་ཏེ་རིང་ཚད་སོ་ སོར་སྟོན་དགོས། འདི་ལྟར་བྱས་ན་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་སྐབས་ཀྱི་བརྒྱུད་རིམ་གོ་རྟོགས་ཡོང་ཐུབ། རྩིས་དཔེ།
ལན།
གོམ་པ་ ༡། ཐོག་མར་སྤྲད་ཟིན་པའི་རིང་ཚད་ཀྱི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༡)]
གོམ་པ་ ༢། རིང་ཚད་ 4 cm ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ BC བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༢)]
3 cm
༡༽ AB = 3 cm དང་ BC = 4 cm, AC = 5 cm ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད། B
A (དཔེ་རིས་རགས་པ།) 5
cm
4 cm
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༡)
B
4 cm
C
4 cm
C
4 cm
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༢)
གོམ་པ་ ༣། གནས་ A ནི་ B ནས་བར་ཐག་ 3 cm ལ་ཡོད། དེས་ན། སྒོར་ལྟེ་ B དང་ཚངས་ཕྱེད་ 3 cm ཅན་གྱི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་བྲིས། (A ནི་ གཞུ་ཐིག་དེའི་གནས་གང་རུང་ལ་ཡོད། ང་ཚོས་དེ་འཚོལ་དགོས།) [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༣)]
B A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༣)
གོམ་པ་ ༤། གནས་ C ནི་ A ནས་བར་ཐག་ 5 cm ལ་ཡོད། དེས་ན། སྒོར་ལྟེ་
C དང་ཚངས་ཕྱེད་ 5 cm ཅན་གྱི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་གོམ་པ་ ༣ པའི་གཞུ་ཐིག་དང་འཕྲད་པར་བྲིས། སའི་གནས་ལ་ A བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༤)]
གཞུ་ཐིག་དེ་གཉིས་འཕྲད་
B
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༤)
165
གོམ་པ་ ༥། AB དང་ AC མཐུད། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༣(༥)]
དེས་ན། ∆ABC ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན།
A
3 cm
རྩིས་རིག
B
བྱེད་སྒོ།
5c
m
4 cm དཔེ་རིས་ ༡༠་༣ (༥)
C
DE = 3 cm དང་ EF = 4 cm, DF = 5 cm ཡིན་པའི་ ∆DEF ཞིག་ཁོད། ∆DEF ཡི་དྲས་དབྱིབས་
བཟོས་ཏེ་ ∆ABC སྟེང་དུ་འཇོག ∆DEF ཡིས་ ∆ABC ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེས་ན། གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་ མ་ཞིག་གི་མཐའ་གསུམ་པོ་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་དང་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ནི་ SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་རེད།
བསམ་བློ་བཏང་སྟེ་བྲིས།
སློབ་མ་ཞིག་གིས་དཔེ་རིས་ ༡༠་༤ ཡི་ཟུར་གསུམ་མ་རགས་པ་དེ་འགོད་ཐབས་བྱེད་པ་རེད།
ཁོས་ཐོག་མར་ QR = 6 cm བྲིས་པ་རེད། དེ་ནས་སྒོར་ལྟེ་ Q ཡིན་པའི་ 3 cm ཅན་གྱི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་དང་།
སྒོར་ལྟེ་ R ཡིན་པའི་ 2 cm ཅན་གྱི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་བྲིས་པ་རེད། ཡིན་ནའང་ཁོ་ལ་ P རྙེད་མེད། རྒྱུ་མཚན་ གང་ཡིན་ནམ། དཀའ་རྙོག་འདི་ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས་གང་དང་འབྲེལ་བ་ཆགས་ཀྱི་འདུག་གམ།
3 cm Q
P
2c
6 cm
m R
དཔེ་རིས་ ༡༠་༤ (དཔེ་རིས་རགས་པ།)
དེ་འདྲའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཡོད་དམ།
Q
R
(ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་མཐའ་
གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་ཡོད་པའི་ཁྱད་ཆོས་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་།)
166
6 cm
བཀོད་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༢
༡། AB = 4.5 cm དང་། BC = 5 cm, AC = 6 cm ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཁོད། ༢། མཐའ་ 5.5 cm ཡིན་པའི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་བྲིས།
༣། PQ = 4 cm དང་། QR = 3.5 cm, PR = 4 cm ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད། ཟུར་གསུམ་མའི་རིགས་ཀྱི་མིང་ བྲིས།
༤། XY = 2.5 cm དང་། YZ = 6 cm, ZX = 6.5 cm ཡིན་པའི་ ∆XYZ ཁོད། ∠Y ཡི་ཚད་འཇོལ།
༡༠་༣་༢ མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ཤེས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a triangle when the lengths of two sides and the measure of the angle between them are known (SAS criterion) འདིར་ང་ཚོར་མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་སྤྲད་ཡོད།
ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད།
Q
གོམ་པ་ ༡། ཤེས་ཟིན་པའི་ ∆PQR ཡི་དཔེ་རིས་
རགས་པ་ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༡)]
གོམ་པ་ ༢། རིང་ཚད་ 5.5 cm ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ QR
60o 5.5 cm
R
དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༡)
5.5 cm
Q
དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༢)
བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༢)]
R
X
གོམ་པ་ ༣། གནས་ Q ལ། 60o ཅན་གྱི་ ∠XQR བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༣)]
(དཔེ་རིས་རགས་པ།)
m
༢༽ PQ = 3 cm དང་ QR = 5.5 cm, ∠PQR = 60o
ལན།
P
རྩིས་དཔེ།
3c
དགོས།
ཐོག་མར་ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་མའི་དཔེ་རིས་རགས་པ་འབྲི་
Q
60o
5.5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༣)
R
167
རྩིས་རིག
གོམ་པ་ ༥། PR མཐུད། ∆PQR ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་གསུམ་ མ་ཡིན། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༥)]
m 3c
འཕྲད་པར་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༥(༤)]
Q
60o
5.5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༤)
P
R
X
m
ཐིག་ཅིག་འཕྲོ་ཐིག་ QX སྟེང་གནས་ P ལ་
P
X
3c
གོམ་པ་ ༤། སྒོར་ལྟེ་ Q དང་ཚངས་ཕྱེད་ 3 cm ཅན་གྱི་གཞུ་
Q
60o
བྱེད་སྒོ།
5.5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༠་༥ (༥)
R
AB = 3 cm དང་ BC = 5.5 cm, ∠ABC = 60o ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཞིག་ཁོད། ∆ABC
ཡི་དྲས་དབྱིབས་བཟོས་ཏེ་ ∆PQR སྟེང་དུ་འཇོག ∆ABC ཡིས་ ∆PQR ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེས་ན། ཟུར་
གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ནི་ SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༣
༡། DE = 5 cm དང་ DF = 3 cm, ∠EDF = 90o ཡིན་པའི་ ∆DEF ཁོད།
༢། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་མཉམ་པའི་རིང་ཚད་ 6.5 cm དང་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚུད་ཟུར་ནི་ 110o ཡིན་པའི་ སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཁོད།
༣། BC = 7.5 cm དང་ AC = 5 cm, ∠C = 60o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད།
168
བཀོད་པ།
༡༠་༣་༣ ཟུར་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་ཤེས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a triangle when the measures of two of its angles and the length of the side included between them is given (ASA criterion) རྩིས་དཔེ།
༣༽ XY = 5 cm དང་། ∠ZXY = 30o, ∠XYZ = 100o ཡིན་པའི་ ∆XYZ ཁོད།
ལན།
གོམ་པ་ ༡། ∆XYZ ཡི་དཔེ་རིས་རགས་ཟིན་ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༡)]
30o
X
100o 5 cm
Y
དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༡)
གོམ་པ་ ༢། ཐིག་དུམ་ XY = 5 cm བྲིས།
X
[དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༢)]
5 cm
Y
དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༢)
P
གོམ་པ་ ༣། གནས་ X ལ། ∠PXY = 30o ཡོད་པ་ ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༣)]
X
30o
5 cm
Y
དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༣)
Q
P
གོམ་པ་ ༤། གནས་ Y ལ། ∠QYX = 100 ཡོད་པ་ o
ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༤)]
Z
(དཔེ་རིས་རགས་པ།)
X
30o
100o 5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༤)
Y
169
རྩིས་རིག
གོམ་པ་ ༥། Z ནི་འཕྲོ་ཐིག་ XP དང་ YQ གཉིས་ཀའི་
Z
སྟེང་ལ་ཡོད་པས། XP བསྣར་ཏེ་ YQ དང་ འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ Z བྲིས།
P
[དཔེ་རིས་ ༡༠་༦(༥)]
དེར་བརྟེན། ∆XYZ ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་ གསུམ་མ་ཡིན།
བྱེད་སྒོ།
Q
X
30o
100o 5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ (༥)
Y
∠NLM = 30o དང་ LM = 5 cm, ∠NML = 100o ཡིན་པའི་ ∆LMN ཁོད། ∆LMN ཡི་དྲས་
དབྱིབས་བཟོས་ཏེ་ ∆XYZ སྟེང་དུ་འཇོག ∆LMN ཡིས་ ∆XYZ ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ། དེས་ན། གལ་ཏེ་ཟུར་
གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་དང་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཚུད་མཐའ་དེ། ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་གྱི་གནས་མཐུན་ཟུར་དང་དེའི་ཚུད་ མཐའ་ལ་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། འདི་ནི་ ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ཡིན།
བསམ་བློ་བཏང་སྟེ་བྲིས།
AC = 7 cm དང་། ∠A = 60o, ∠B = 50o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཞིག་འགོད་ཐུབ་བམ།
(ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་སྤྱོད།)
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༤
༡། ∠A = 60o དང་། ∠B = 30o, AB = 5.8 cm ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད།
༢། PQ = 5 cm དང་། ∠PQR = 105o, ∠QRP = 40o ཡིན་པའི་ ∆ABC ཁོད། (ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་།)
༣། ཁྱེད་ཀྱིས་ཚད་གཞི་ EF = 7.2 cm དང་ ∠E = 110o, ∠F = 80o བཅས་ཡིན་པའི་ ∆DEF ཞིག་འགོད་ ཐུབ་བམ།
170
བཀོད་པ།
༡༠་༣་༤ གསེག་མཐའ་དང་དཔུང་པ་གཅིག་ཤེས་པའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་པ། Constructing a right-angled triangle when the length of one leg and its hypotenuse are given (RHS criterion) L
(དཔེ་རིས་རགས་པ།)
ལན།
∆LMN ཁོད།
གོམ་པ་ ༡། ∆LMN ཡི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༡)]
cm
༤༽ LN = 5 cm དང་ MN = 3 cm, ∠M དྲང་ཟུར་ཡིན་པའི་
5
རྩིས་དཔེ།
M
M
དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༡)
3 cm
N
X
[དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༢)]
[དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༣)]
N
དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༢)
གོམ་པ་ ༢། ཐིག་དུམ་ MN = 3 cm བྲིས།
གོམ་པ་ ༣། གནས་ M ལ། ∠NMX = 90o ཡིན་པ་བྲིས།
3 cm
M
L
3 cm
X
N
དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༣)
གོམ་པ་ ༤། སྒོར་ལྟེ་ N དང་ཚངས་ཕྱེད་ 5 cm ཅན་གྱི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ MX སྟེང་གནས་ L ལ་འཕྲད་པར་བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༤)]
M
3 cm
N
དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༤)
171
རྩིས་རིག གོམ་པ་ ༥། LN མཐུད།
L
X
དེར་བརྟེན། ∆LMN ནི་དགོས་མཁོའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན། [དཔེ་རིས་ ༡༠་༧(༥)]
M
སྦྱོང་ཚན། ༡༠་༥
3 cm
དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ (༥)
༡། ∠Q = 90o དང་། QR = 8 cm, PR = 10 cm ཡིན་པའི་ ∆PQR ཁོད།
༢། གསེག་མཐའ་ 6 cm དང་དཔུང་པ་གཅིག་ 4 cm ཡིན་པའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཁོད། ༣། ∠ACB = 90o དང་། AC = 6 cm ཡིན་པའི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཁོད།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡༽ སྤྲད་ཟིན་པའི་ཐིག་ l དང་དེའི་སྟེང་མིན་པའི་གནས་ལས་ང་ཚོས་གནས་མཐུན་ཟུར་གྱི་ཁྱད་ཆོས་བེད་ སྤྱད་དེ་ l གྱི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་འགོད་ཐུབ།
༢༽ གཤམ་གསལ་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཆ་རྐྱེན་བེད་སྤྱད་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་ཐུབ། (ཀ) SSS: ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་ག་ཤེས་པ།
(ཁ) SAS: མཐའ་གང་རུང་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ཤེས་པ།
(ག) ASA: ཟུར་གང་རུང་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་མཐའ་ཤེས་པ།
(ང) RHS: དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་དང་དེའི་དཔུང་པ་གཅིག་ཤེས་པ།
172
N
སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ།
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
༡༡་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་གོང་མར་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས་དང་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་སྦྱངས་ཡོད།
ཤོག་བུའི་སྟེང་བྲིས་པའི་དཔེ་རིས་ལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་ལས་མེད་ན། དཔེ་རིས་དེ་དག་ལ་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས་
(སྙོམས་ངོས་དབྱིབས་) ཟེར། དཔེར་ན། སྒོར་དབྱིབས་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་སོགས། ང་ཚོའི་ཉེ་འཁོར་དུ་གཟུགས་མི་འདྲ་ བའི་དངོས་པོ་མང་པོ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། དཔེར་ན། འབྲི་དེབ་དང་སྒམ་སོགས། དངོས་པོ་འདི་དག་ལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་། དཔངས་བཅས་གསུམ་ཡོད་པས་དངོས་པོ་དེ་དག་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་རེད། ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། སྒོར་དབྱིབས། ཟུར་གསུམ་མ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། མཐའ་བཞི་དབྱིབས།
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
ཤོ་གཟུགས།
ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།
ཟླུམ་གཟུགས།
གྲུ་ནར་གཟུགས།
སྙུང་གཟུགས།
གྲུ་སྙུང་།
173
རྩིས་རིག
མཆན། ང་ཚོས་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ལ་ 2-D དང་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་ལ་ 3-D ཞེས་འབྲི་ཆོག
༡༡་༢ ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག Faces, edges and vertices
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་སྦྱངས་པའི་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡ གིས་ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་དང་གྲུ། ཟུར་ཚེག་བཅས་སྟོན་གྱི་ཡོད། ངོས། (ཀ)
ཟུར་ཚེག
གྲུ། (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡
(ག)
ཤོ་གཟུགས་ལ་ངོས་ 6 དང་། གྲུ་ 12 ཟུར་ཚེག་ 8 བཅས་ཡོད། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ཁ་སྐོངས། ཟུར་ཚེག
ངོས། གྲུ།
ཟུར་ཚེག
ངོས།
གྲུ།
6 12 8
ཁྱེད་ཀྱིས་དོ་སྣང་བྱུང་ཡོད་ན། ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ལྟར་ ངོས་འཛིན་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ འདི་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ངོས་བཞི་ཡོད།
ལ་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ངོས་གཉིས་ཡོད་པ་དང་། གྲུ་སྙུང་
ང་ཚོས་ 3-D གཟུགས་རྣམས་ 2-D དབྱིབས་ཡང་ན་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཇི་ལྟར་མངོན་ཚུལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།
174
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
༡༡་༣ 3-D གཟུགས་ཀྱི་དྲ་བ། Nets for building 3-D shapes
ཤོག་སྒམ་ཆུང་ངུ་ཞིག་ལོངས། ཤོག་སྒམ་གྱི་གྲུ་རྣམས་དྲས་ཏེ་ཁ་ཁྲོམས། དེ་ནི་སྒམ་གྱི་དྲ་བ་རེད། འདིར་དྲ་བ་ནི་ 2-D རྣམ་པར་སྟོན་པའི་ཕྱིའི་སྒྲོམ་གཞི་ [དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ (ཀ)] ལ་ཟེར་བ་དང་། དེ་དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ (ཁ) ལྟར་ལྟེབ་རྩེག་ བརྒྱབ་ན་དཔེ་རིས་ ༡༡་༢ (ག) ཡི་ 3-D གཟུགས་ཆགས་ཀྱི་རེད།
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢
དཔེ་རིས་ ༡༡་༣ ནི་ཤོག་སྒམ་ཞིག་གི་དྲ་བ་རེད། ཁྱེད་ ཀྱིས་དྲ་བ་རྒྱ་ཆེ་རུ་བཏང་ཏེ་དེའི་འདྲ་བཤུས་བཟོས། དེ་
ལྟེབ་རྩེག་རན་པོ་རྒྱག་པ་དང་འབྱར་རྩི་ཡིས་སྦྱར་ཏེ་ཤོག་ སྒམ་བཟོ་ཐབས་བྱོས།
ཁྱེད་ལ་བྱུང་བའི་སྒམ་ནི་ཕྱོགས་
ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ཤིག་ཡིན།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༣
O
དེ་མཚུངས། ཁྱེད་ལ་སྙུང་གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་ནས་གཞུང་གཤག་བཏང་ ན་སྙུང་གཟུགས་དེའི་དྲ་བ་ཐོབ་ཀྱི་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༤)
དེ་ལྟར་གཟུགས་འདྲ་མིན་ལ་དྲ་བ་མི་འདྲ་བ་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༡༡་༥ ནང་གི་ དྲ་བས་ 3-D གཟུགས་སོ་སོར་བཟོས།
ཤོ་གཟུགས།
ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།
O འདི་ནས་གཏུབས།
སྙུང་གཟུགས།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༥
དཔེ་རིས་ ༡༡་༤
གྲུ་སྙུང་།
175
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༡
༡། གཤམ་གསལ་ཁག་ལས་ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་དྲ་བ་ངོས་ཟུངས།
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
(ཅ)
(ཆ)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༦
༢། ཤོ་ནི་ཤོ་གཟུགས་ཤིག་རེད། དེའི་ངོས་སྟེང་ཤོ་མིག་ཡོད། དེའི་གཏད་ངོས་གཉིས་ལ་ཁྱོན་བསྡོམས་ཤོ་མིག་བདུན་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༡༡་༧ ནང་ཤོ་ཡི་དྲ་བ་གཉིས་སྤྲད་ཡོད། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེའི་ནང་བྲིས་པའི་ཨང་ཀིས་སྒམ་ཆུང་དེའི་ ནང་ཤོ་མིག་མཚོན་གྱི་ཡོད། 4
1
5 6
2
3 དཔེ་རིས་ ༡༡་༧
ཤོ་ཡི་གཏད་ངོས་གཉིས་ལ་ཤོ་མིག་ 7 ཡོད་པ་སེམས་ལ་བཞག་སྟེ་དྲ་བའི་སྒམ་ཆུང་ནང་ཨང་ཀི་གང་འོས་སྐོངས།
༣། གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ (དཔེ་རིས་ ༡༡་༨) འདི་ཤོ་ཡི་དྲ་བ་ཡོང་སྲིད་དམ། འགྲེལ་བཤད་བྱོས།
176
1
2 3
4 5
དཔེ་རིས་ ༡༡་༨
6
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
༤། དྲ་བ་རྣམས་གཟུགས་དང་མཐུན་སྦྱོར་གྱིས། (ཀ)
(༡)
(ཁ)
(༢)
(ག)
(༣)
(ང)
(༤)
༡༡་༤ སྙོམས་ངོས་སྟེང་སྲ་གཟུགས་འབྲི་བ། Drawing solids on flat surface འདིར་སྙོམས་ངོས་ནི་ཤོག་བུ་ཡིན། ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་གཉིས་ནང་སྲ་གཟུགས་འབྲི་རྒྱུ་ཡིན། ༡༡་༤་༡ འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་རིས། Oblique sketches
དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་ནང་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ཆུང་ཆུང་ཡོད། དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཚད་གཞི་ 3 ཅན་གྱི་ ཤོ་གཟུགས་འབྲི་དགོས་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༩) ཤོ་གཟུགས་ལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ངོས་ 6 ཡོད། ཡིན་ནའང་། དྲ་མིག་ ཤོག་བུའི་སྟེང་ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ངོས་གཉིས་ལས་སྟོན་མི་ཐུབ་པ་དང་ངོས་གཞན་རྣམས་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་ བཞི་མ་ལྟར་འབྲི་དགོས། (རྒྱུ་མཚན་ནི་ང་ཚོས་ 3-D གཟུགས་ཤིག་ 2-D ཤོག་བུའི་སྟེང་འབྲི་ཡི་ཡོད།)
གོམ་པ་ ༡ མདུན་ངོས་བྲིས།
གོམ་པ་ ༢ གཏད་ངོས་བྲིས།
177
རྩིས་རིག
གོམ་པ་ ༣ གནས་མཐུན་གྲུ་ཟུར་རྣམས་མཐུད།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༩
དཔེ་རིས་ ༡༡་༩ ནང་ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་ཁག་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ།
གོམ་པ་ ༤ སྐྱ་རིས་དེ་ཤོ་གཟུགས་རེད།
(ཀ) མདུན་ངོས་ཀྱི་ཚད་གཞི་དང་དེའི་གཏད་ངོས་ཀྱི་ཚད་གཞི་མཉམ་པ་རེད།
(ཁ) ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་གྲུ་ཚང་མ་མཉམ་ནའང་། སྐྱ་རིས་ནང་ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་གྲུ་རྣམས་ཚད་གཞི་ཏག་ཏག་མེད།
ཁྱེད་ཀྱིས་དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་གྲུ་ནར་གཟུགས་འབྲི་ཐབས་བྱོས་དང་། (གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་རེད།) ༡༡་༤་༢ བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས། Isometric sketches
ཁྱེད་ཀྱིས་བར་མཚུངས་ཚེག་ཅན་གྱི་ཤོག་བུ་མཐོང་མྱོང་ངམ། དེ་འདྲའི་ཤོག་བུ་ནི་ཚེག་དུ་མས་གྲུབ་པས། ཚེག་དེ་དག་
མཐུད་པ་ཡིན་ན་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
ཚོས་བར་མཚུངས་ཚེག་ཅན་གྱི་ཤོག་བུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཆོག
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་སྐྱ་རིས་འབྲི་བར་ང་
ཚད་གཞི་ 4 × 3 × 3 (དེ་ནི་དཀྱུས་དང་། ཞེང་། དཔངས་ནི་ཚད་གཞི་ 4, 3, 3 སོ་སོ་) ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ ཤིག་བྲིས། (དཔེ་རིས་༡༡་༡༠)
178
གོམ་པ་ ༡ གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས། དེ་ནི་མདུན་ངོས་ཡིན།
གོམ་པ་ ༢ ཚད་གཞི་ 3 ཅན་གྱི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་དུམ་བཞི་བྲིས།
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
གོམ་པ་ ༣ ཐིག་དུམ་གྱིས་གནས་མཐུན་ཚེག་རྣམས་མཐུད།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༠
གོམ་པ་ ༤ འདི་ནི་གྲུ་ནར་གྱི་གཟུགས་རེད།
མཆན། བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་ནང་ཚད་གཞི་ཏག་ཏག་ཡོད། དེ་འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་རིས་སྐབས་མེད། རྩིས་དཔེ།
༡༽ དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡ (ཀ) ནི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་སྐྱ་རིས་རེད། དཔེ་རིས་འདི་དང་མཐུན་པའི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བྲིས། ལན། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡ (ཁ) ནི་དགོས་མཁོའི་སྐྱ་རིས་ཡིན། འདིར་ཚད་གཞི་རྣམས་མ་ནོར་བར་འབྲི་དགོས།
6
3
(ཀ)
3 དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡
(ཁ)
ཁྱེད་ཀྱིས་དཀྱུས་དང་། ཞེང་། དཔངས་བཅས་ལ་ཚད་གཞི་ག་ཚོད་བླངས་ཡོད་དམ།
179
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༢
༡། བར་མཚུངས་ཚེག་ཅན་གྱི་ཤོག་བུ་བེད་སྤྱད་དེ། གཤམ་གསལ་དབྱིབས་ཀྱི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བྲིས།
3 2
6
(ཁ)
(ཀ)
2 2 3
2
3
2
2 2
8 (ག)
2 2 2
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༢
2
4
(ང)
༢། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ཆ་ཚད་ནི་ 5 cm དང་། 3 cm, 2 cm ཡིན། གྲུ་ནར་གཟུགས་འདིའི་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་ མི་འདྲ་བ་གསུམ་བྲིས།
༣། མཐའ་ 2 cm ཅན་གྱི་ཤོ་གཟུགས་གསུམ་གཅིག་གི་འཁྲིས་ལ་གཅིག་བཞག་སྟེ་གྲུ་ནར་གཟུགས་གྲུབ་ཡོད། གྲུ་ནར་ གཟུགས་འདིའི་འཕྲེད་གསེག་གམ་ཡང་ན་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བྲིས།
༤། གཤམ་གསལ་ཆ་ཚད་མཉམ་པའི་གཟུགས་རྣམས་ཀྱི་འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་རིས་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༣)
180
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
(ཀ)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༣
(ཁ)
༥། གཤམ་གསལ་ཆ་ཚད་ཅན་གྱི་འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་རིས་དང་། བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་བྲིས། (ཀ) ཆ་ཚད་ 5 cm དང་། 3 cm, 2 cm ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས། (ཁ) མཐའ་ 4 cm ཅན་གྱི་ཤོ་གཟུགས།
༡༡་༥ སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། Visualising solid objects བྱེད་སྒོ།
༡། ཤོ་གཟུགས་འགའ་བླངས་ཏེ། དེ་དག་དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༤ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒྲིགས།
༢། ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲོགས་ལ་མདའ་རྟགས་ཀྱིས་བསྟན་པའི་ཕྱོགས་ནས་བལྟས་ན་ཤོ་གཟུགས་ག་ཚོད་ཡོད་པ་ ཚོད་དཔག་བྱ་རུ་ཆུག
(ཀ)
རྩིས་དཔེ།
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༤
(ག)
༢༽ ཆ་ཚད་ 2 cm × 2 cm × 2 cm ཅན་གྱི་ཤོ་གཟུགས་གཉིས་གཅིག་གི་འཁྲིས་ལ་གཅིག་བཞག་པ་ཡིན་ན། དེ་ ལས་གྲུབ་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ཆ་ཚད་གང་ཡིན་ནམ།
181
རྩིས་རིག
ལན། ཁྱེད་ཀྱིས་མཐོང་གསལ་ལ་ (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༥) ཤོ་གཟུགས་ གཉིས་གཅིག་གི་འཁྲིས་ལ་གཅིག་འཇོག་སྐབས། གྲུ་ནར་ གཟུགས་ཀྱི་དཀྱུས་རིང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
དེ་ནི། དཀྱུས་ = 2 cm + 2 cm = 4 cm
ཞེང་ = 2 cm དང་། དཔངས་ = 2 cm ཡིན།
h = 2 cm
2 cm
བྱེད་སྒོ།
2 cm
b = 2 cm
l
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༥
༡། ཤོ་གཉིས་གཅིག་གི་འཁྲིས་ལ་གཅིག་བཞག་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༦)
ཁྱེད་ཀྱིས་ (ཀ) 5 + 6 དང་། (ཁ) 4 + 3 གྱི་གཏད་ངོས་གཉིས་ཀྱི་
ཤོ་མིག་ག་ཚོད་ཡོད་པ་བཤད་ཐུབ་བམ།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༦
༡༡་༥་༡ སྲ་གཟུགས་ཀྱི་བཅད་ཁ་འདྲ་མིན་གྱི་མངོན་ཚུལ། Viewing different sections of a solid
༡། ལྷེབ་གཞོག་གི་རྩེད་མོ།
བག་ལེབ་ནར་ནར་གང་ཚང་ཞིག་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧) དེ་ངོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ལྟར་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་བག་ལེབ་དེ་གྲི་ཡིས་གཏུབས།
བག་ལེབ་དེ་གཞུང་གཏུབ་བྱེད་སྐབས། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཁྱེད་
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧
ལ་དུམ་བུ་མང་པོ་ཐོབ་ཀྱི་རེད། དུམ་བུ་རེའི་ངོས་ནི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེད། ང་ཚོས་ངོས་དེ་ལ་བག་ལེབ་གང་ཚང་གི་ བཅད་ཁ་ (cross-section) ཟེར།
མཆན། གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་གཞུང་གཏུབ་མ་བྱས་ན། ཁྱེད་ལ་བཅད་ཁ་གཞན་ཞིག་ཐོབ་ཀྱི་རེད། ༢། རྩེད་མོ།
འདམ་བག་གམ་ཡང་ན་སྦྱར་འདམ་གྱིས་གཤམ་གསལ་དཔེ་གཟུགས་བཟོས་ཏེ། འདི་དག་གཞུང་ངམ་ཡང་ན་འཕྲེད་ལ་ གཏུབས། དེ་ནས་ཁྱེད་ལ་ཐོབ་པའི་བཅད་ཁའི་མིང་བྲིས།
182
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༣
༡། ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་གཟུགས་རྣམས་ (ཀ) གཞུང་གཏུབ་དང་། (ཁ) འཕྲེད་གཏུབ་བྱས་པ་ཡིན་ན། ཁྱེད་ལ་བཅད་ ཁ་གང་དག་འབྱུང་ངམ། (ཀ) སོ་ཕག
(ཁ) ཚ་ལུ་མ།
(ག) ཤོ།
༡༡་༥་༢ སྲ་གཟུགས་ཀྱི་གྲིབ་ནག Shadow of a solid
(ང) གླིང་བུ།
(ཅ) ལམ་ཐོ།
གྲིབ་ནག་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་རྣམས་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ནང་སྟོན་པའི་ཐབས་ལམ་ཞིག་རེད།
གྲིབ་ནག་རྩེད་མོ།
བྱེད་སྒོ་འདི་བསྒྲུབ་པར་ཁྱེད་ལ་འོད་དང་སྲ་གཟུགས་འགའ་དགོས། (བྱུང་ན་བརྙན་སྟོན་འཕྲུལ་ཆས་བེད་སྤྱད་དེ་རྟོག་ ཞིབ་བྱོས།)
༡༽ སྙུང་གཟུགས་ཀྱི་མདུན་ལ་གློག་གཞུ་སྤོར། བརྙན་ཡོལ་སྟེང་གྲིབ་ ནག་གང་འདྲ་ཞིག་ཕོག་གི་འདུག་གམ། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༨)
གོང་གི་རྩེད་མོའི་ནང་། གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་སྙུང་གཟུགས་ཚབ་ཏུ་ ཤོ་གཟུགས་བཞག་ན། ཁྱེད་ལ་གྲིབ་ནག་གང་འབྱུང་ངམ།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༨
༢༽ ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཤིག་ཆ་འཇོག གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཀྱི་སྒང་ནས་གློག་གཞུ་སྤར་ན། གྲིབ་ནག་གྲུ་བཞི་
ནར་མོ་ཐོབ་ཀྱི་རེད། [དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩ (ཀ)] ཡང་གལ་ཏེ་ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཀྱི་གཡོན་ནས་གློག་གཞུ་སྤར་ན། གྲིབ་ ནག་ནི་སྒོར་དབྱིབས་རེད། [དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩ (ཁ)]
ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། (ཀ)
གྲིབ་ནག
ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩
(ཁ)
གྲིབ་ནག
183
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༤
༡། གཤམ་གསལ་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་སྒང་ལ་ཤེལ་ཏོག་སྤར་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༠) སྲ་གཟུགས་རེ་རེ་ལས་གྲུབ་པའི་གྲིབ་ ནག་གི་མིང་བྲིས། གྲིབ་ནག་གི་སྐྱ་རིས་བྲིས།
པོ་ལོ།
ལྕགས་ཀྲིན།
(ཀ)
དེབ།
(ཁ)
(ག)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༠
༢། གཤམ་གསལ་ནི་ 3-D དངོས་པོ་འགའ་ཡི་གྲིབ་ནག་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༡) གྲིབ་ནག་སོ་སོ་དང་མཐུན་པའི་ དངོས་པོ་འགའ་ངོས་ཟུངས། སྒོར་དབྱིབས།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
ཟུར་གསུམ་མ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༡
༣། གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་རྣམས་བདེན་པ་ཡིན་མིན་དཔྱད་ཞིབ་བྱོས། (ཀ) ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་གྲིབ་ནག་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་རེད།
(ཁ) སྒམ་གཟུགས་ཀྱི་གྲིབ་ནག་དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ་རེད།
184
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
༡༡་༥་༣ སྲ་གཟུགས་ལ་ཕྱོགས་ངེས་ཅན་ནས་ལྟ་ཚུལ། Looking at solids from certain angles
ཁྱེད་ཀྱིས་དངོས་པོ་ཞིག་གི་མདུན་ལ་ལངས་ནས་དེར་ལྟ་བའམ་ཡང་ན། དེའི་གཞོགས་སམ་ཡང་ན་སྟེང་ནས་ལྟ་ཐུབ། ལྟ་ ཐེངས་རེར་ཁྱེད་ལ་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་འབྱུང་གི་རེད། དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༢ ལ་ལྟོས་དང་།
མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།
གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ། དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༢
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༣ ནི་ཁང་པ་ཞིག་གི་མཐོང་ཚུལ་མ་འདྲ་བའི་དཔེ་མཚོན་ཡིན།
ཁང་པ།
མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།
གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༣
སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།
ཁྱེད་ཀྱིས་འདི་ཤོ་གཟུགས་མང་པོ་མཐུད་ནས་གྲུབ་པའི་དཔེ་རིས་ལ་འབྱེད་ཆོག (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༤)
ཤོ་གཟུགས་ལས་གྲུབ་ པའི་དཔེ་རིས།
མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།
གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༤
སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།
185
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
༡། སྲ་གཟུགས་རེའི་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་གསུམ་སྤྲད་ཡོད། སྲ་གཟུགས་རེའི་སྟེང་དང་། མདུན། གཞོགས་བཅས་ ཀྱི་མཐོང་ཚུལ་སོ་སོར་ངོས་ཟུངས། སྲ་གཟུགས། སྟེང་།
(༡) གཞོགས།
མདུན། སྟེང་། གཞོགས། མདུན། སྟེང་། གཞོགས། མདུན།
སྟེང་། གཞོགས།
མདུན།
186
དེའི་མཐོང་ཚུལ། (༢)
(༣)
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། སྒོར་དབྱིབས་དང་། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། ཟུར་གསུམ་མ་སོགས་
སྙོམས་ངོས་དབྱིབས་རེད། ཤོ་གཟུགས་དང་། ཟླུམ་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས། གྲུ་སྙུང་སོགས་སྲ་ གཟུགས་རེད།
༢། སྙོམས་ངོས་དབྱིབས་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ (2-D) དང་སྲ་གཟུགས་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་ (3-D) རེད།
༣། དྲ་བ་ནི་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ཕྱིའི་སྒྲོམ་གཞི་ལ་ཟེར། དེ་ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན་སྲ་གཟུགས་གྲུབ་ཀྱི་རེད། སྲ་གཟུགས་ཤིག་ལ་དྲ་བ་དུ་མ་ཡོང་སྲིད།
༤། སྲ་གཟུགས་ནི་སྙོམས་ངོས་ (ཤོག་བུ་ལྟ་བུ་) སྟེང་འབྲི་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། ང་ཚོས་དེ་ལ་ 3-D གཟུགས་ཀྱི་ 2-D རྣམ་པ་ཟེར། སྲ་གཟུགས་ནི་འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་རིས་དང་བར་མཚུངས་སྐྱ་རིས་ཐོག་འབྲི་ཐུབ།
༥། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ་ནི་སྒྱུ་རྩལ་ཕན་ཐོགས་པོ་ཞིག་ཡིན། དེ་ཡིས་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མི་མངོན་པའི་ཆ་ ཤས་རྣམས་ཤེས་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད།
༦། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ་མི་འདྲ་བ།
(ཀ) སྲ་གཟུགས་ཀྱི་བཅད་ཁའི་མངོན་ཚུལ། འདིར་སྲ་གཟུགས་ཚན་པར་གཏུབས་ཏེ་དེའི་བཅད་ཁ་ གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
(ཁ) ཐབས་ལམ་གཞན་ནི་ 3-D གཟུགས་ཀྱི་ 2-D གྲིབ་ནག་ལྟ་བ།
(ག) ཐབས་ལམ་གསུམ་པ་ནི་སྲ་གཟུགས་ལ་ཕྱོགས་མི་འདྲ་བ་ནས་ལྟ་ཚུལ།- མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ་ ཚུལ་དང་། གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ། སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ་བཅས་གསུམ་ཡིན།
187
སློབ་ཚན་བཅུ་གཉིས་པ།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
༡༢་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་སྙོམས་ངོས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་
ཁྱོན་སྦྱངས་ཡོད། ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་གྱི་བར་ཐག་ནི་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་རེེད། སྙོམས་ ངོས་ཀྱི་ཆ་ཤས་སམ་ཡང་ན་ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གིས་ཁེབས་པའི་ས་ཁུལ་ལ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཟེར། སློབ་ཚན་འདིར་དབྱིབས་མི་འདྲ་བ་འགའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༡༢་༢ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ། Squares and Rectangles
དོན་གྲུབ་རྒྱལ་དང་ལྷ་སྐྱིད་གཉིས་ཀྱིས་རི་མོ་བྲིས་པ་རེད། དོན་གྲུབ་རྒྱལ་གྱིས་རི་མོ་དཀྱུས་ 60 cm དང་ཞེང་ 20 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་བྲིས་པ་དང་། ལྷ་སྐྱིད་ཀྱིས་རི་མོ་དཀྱུས་ 40 cm དང་ཞེང་ 35 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་ མོ་ཞིག་བྲིས་པ་རེད། རི་མོ་གཉིས་ལ་པར་སྒྲོམ་བཟོ་བ་དང་སྲབ་ཤུན་འགེབས་དགོས་ཀྱི་ཡོད།
གལ་ཏེ་པར་སྒྲོམ་བཟོ་བར་ cm རེར་ ` 3 གནས་ཀྱི་ཡོད་ན། ཁོ་གཉིས་ལས་སུས་པར་སྒྲོམ་ཆེད་དངུལ་མང་བ་སྤྲོད་ དགོས་སམ།
གལ་ཏེ་སྲབ་ཤུན་འགེབས་པར་ cm2 རེར་ ` 2 གནས་ཀྱི་ཡོད་ན། སྲབ་ཤུན་འགེབས་ཆེད་སུས་དངུལ་མང་བ་སྤྲོད་
དགོས་སམ།
པར་སྒྲོམ་གྱི་རིན་པ་འཚོལ་བར། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་བརྩིས་ཏེ་པར་སྒྲོམ་གྱི་གོང་ཚད་དང་བསྒྱུར་དགོས། སྲབ་ཤུན་གྱི་རིན་པ་འཚོལ་བར། རྒྱ་ཁྱོན་བརྩིས་ཏེ་སྲབ་ཤུན་གྱི་གོང་ཚད་དང་བསྒྱུར་དགོས། ཁྱེད་ཀྱིས་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་།
མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = མཐའི་གྲངས་ × མཐའི་རིང་ཚད། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 3 × མཐའ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ།
188
མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 6 × མཐའ།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
བྱེད་སྒོ། A B A B A B
D
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢
དཔེ་རིས་ ༡༢་༣
C D C D C
རྩིས་དཔེ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (l + b) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ།
སྒྲིག་རྩལ་ཞིག་བཟོ་བར་དབང་མོར་མཐའ་ 4 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་
དགོས་ཀྱི་ཡོད། མོ་ལ་དཀྱུས་ 28 cm དང་ཞེང་ 21 cm ཅན་གྱི་ཤོག་ལྷེ་གྲུ་
བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ཡོད། མོས་ཤོག་ལྷེ་གྲུ་ནར་ནས་མཐའ་ 4 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ ཁ་གང་མ་གཏུབས་པ་རེད། དེས་ན་ཤོག་ལྷེ་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་མང་དུ་ འགྲོ་ཡི་འདུག་གམ་ཡང་ན་ཉུང་དུ་འགྲོ་ཡི་འདུག
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཏུབས་རྗེས་མཐའ་ A ནས་ D བར་གྱི་རིང་ཚད་མང་དུ་ཕྱིན་ འདུག་གམ། དབྱིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་རུའམ་ཡང་ན་ཆུང་དུ་སོང་འདུག་གམ། དབང་མོས་མཐའ་ BC ནས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཞན་ཞིག་གཏུབས་པ་རེད།
(དཔེ་རིས་༡༢་༣) ཤོག་ལྷེ་ལྷག་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་མང་བའམ་ཡང་ན་ ཉུང་དུ་འགྲོ་འདུག་གམ། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་རུའམ་ཡང་ན་ཆུང་དུ་སོང་འདུག་གམ།
དེས་ན། ང་ཚོས་གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ལས། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཕར་བ་ཡིན་ན་རྒྱ་ ཁྱོན་འཕར་གྱི་མེད་པ་གསལ་ཁ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
༡༽ ཆ་ཚད་ 3 m × 2 m ཅན་གྱི་སྒོ་སྒྲོམ་ཞིག་ཆ་ཚད་ 10 m × 10 m ཅན་གྱི་གྱང་ ནས་བཏོན་ཡོད། གལ་ཏེ་གྱང་ 1 m2 ཚོན་གཏོང་བར་ངལ་རྩོལ་བའི་གླ་ ` 2.50 ཡིན་ན། གྱང་ཚོན་གཏོང་བར་ངལ་རྩོལ་བའི་གླ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
ལན། གྱང་ནས་སྒོ་ཕུད་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལྷག་མ་ལ་ཚོན་གཏོང་དགོས། སྒོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b
= 3 × 2 m2
དཔེ་རིས་ ༡༢་༤
= 6 m2
སྒོ་ཚུད་པའི་གྱང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ། = 10 m × 10 m = 100 m2 སྒོ་ཕུད་པའི་གྱང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (100 − 6) m2 = 94 m2 ངལ་རྩོལ་བའི་གླ་ = ` 2.50 × 94 = ` 235
189
རྩིས་རིག
༢༽ གྲུ་ནར་ཤོག་ལྷེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ 500 cm2 དང་དཀྱུས་ 25 cm ཡིན་ན། དེའི་ཞེང་ཚོལ། ཤོག་ལྷེ་དེའི་མཐའ་འཁོར་ རིང་ཚད་ཀྱང་ཚོལ།
ལན། གྲུ་ནར་ཤོག་ལྷེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 500 cm2 ; དཀྱུས་ (l) = 25 cm གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b རྒྱ་ཁྱོན།
500 = 20 cm 25 l ཤོག་ལྷེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (l + b) = 2 × (25 + 20) cm = 90 cm
དེར་བརྟེན། ཞེང་ (b) =
=
དེས་ན། གྲུ་ནར་ཤོག་ལྷེའི་ཞེང་ནི་ 20 cm དང་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 90 cm རེད།
༣༽ མཐའ་ 10 cm ཡིན་པའི་ལྕགས་སྐུད་གཅིག་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་དབྱིབས་ཀྱི་ནང་ཡོད། གལ་ཏེ་ལྕགས་སྐུད་དེ་
དཀྱུས་ 12 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ཏུ་བཀུག་པ་ཡིན་ན། དེའི་ཞེང་ཚོལ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའམ་ཡང་ན་ གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཉིས་ལས་གང་ལ་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་འདུག་གམ།
ལན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ = 10 cm
ལྕགས་སྐུད་ཀྱི་རིང་ཚད་ = གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། = 4 × མཐའ། = 4 × 10 cm = 40 cm
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ (l) = 12 cm; b ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ཡིན་པ་ཆ་འཇོག
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = ལྕགས་སྐུད་ཀྱི་རིང་ཚད། = 40 cm གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 (l + b)
40 = 2 (12 + b)
40 = 12 + b 2
b = 20 − 12 = 8 cm དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ནི་ 8 cm རེད།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (མཐའ།)2
= 10 cm × 10 cm = 100 cm2
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b
= 12 cm × 8 cm = 96 cm2
དེས་ན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཉིས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་ཡང་། གྲུ་བཞི་ཁ་
190
གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་འདུག
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༡
༡། ས་ཆ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་ལ་ 500 m དང་ 300 m སོ་སོར་ཡོད། (ཀ) དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཁ) ས་ཆ་ 1 m2 གི་རིན་གོང་ ` 10,000 ཡིན་ན། ས་ཆ་དེའི་རིན་གོང་ཚོལ།
༢། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 320 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༣། རྩེད་ཐང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 440 m2 དང་དཀྱུས་ 22 m རེད། རྩེད་ཐང་དེའི་ཞེང་ཚོལ། དེའི་མཐའ་ འཁོར་རིང་ཚད་ཀྱང་ཚོལ།
༤། ཤོག་ལྷེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 100 cm རེད། གལ་ཏེ་དེའི་དཀྱུས་ 35 cm ཡིན་ན། དེའི་ ཞེང་དང་རྒྱ་ཁྱོན་གཉིས་ཀ་ཚོལ།
༥། ལྡུམ་རྭ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད། གལ་ཏེ་ལྡུམ་ར་
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ 60 m དང་ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ 90 m ཡིན་ན། ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ ཞེང་ཚོལ།
༦། ལྕགས་སྐུད་ཅིག་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དབྱིབས་ནང་ཡོད། དེའི་དཀྱུས་ནི་ 40 cm དང་ཞེང་ནི་ 22 cm རེད། གལ་ཏེ་
ལྕགས་སྐུད་དེ་བཀུག་ནས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བཟོས་པ་ཡིན་ན། མཐའ་རེའི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། དབྱིབས་ གང་གིས་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་ཁེབས་ཀྱི་འདུག་གམ།
༧། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 130 cm རེད། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་ 30 cm ཡིན་ན། དེའི་ དཀྱུས་ཚོལ། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་ཚོལ།
༨། གྱང་ངོས་སུ་དཀྱུས་ལ་ 2 m དང་ཞེང་ལ་ 1 m ཡིན་པའི་སྒོ་ཞིག་ཡོད། གྱང་གི་དཀྱུས་
ནི་ 4.5 m དང་ཞེང་ནི་ 3.6 m རེད། གལ་ཏེ་གྱང་ 1 m2 ལ་དཀར་རྩི་གཏོང་བར་ གོང་ཚད་ ` 20 ཡིན་ན། གྱང་དེ་དཀར་རྩི་གཏོང་བར་གོང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༡༢་༣ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of a parallelogram
ད་བར་ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་མིན་པའི་དབྱིབས་གཞན་མང་པོ་སྦྱངས་ཟིན། ཁྱེད་ཀྱིས་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གང་འདྲ་འཚོལ་གྱི་ཡིན་ནམ།
191
རྩིས་རིག
བྱེད་སྒོ།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༥ (ཀ) ནང་སྟོན་པ་བཞིན་དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་བྲིས་ཏེ་གཏུབས། མཉམ་འགྲོ་
མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནས་ཐིག་ཅིག་དེའི་གཏད་མཐའ་དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པ་ [དཔེ་རིས་ ༡༢་༥ (ཁ)] བྲིས། ཁྱེད་ལ་བྱུང་བའི་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཏུབས་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཕྱོགས་གཞན་དུ་ཞོག [དཔེ་རིས་ ༡༢་༥ (ག)]
(ཀ)
(ཁ) དཔེ་རིས་ ༡༢་༥
(ག)
ཁྱེད་ལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་བྱུང་། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ རྒྱ་ཁྱོན་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད་དམ། རེད།
མཉམ་འག་ྲོ མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུབ་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་ མོའི་རྒྱ་ཁྱོན།
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གང་རེད།
གྲུ་བཞི ་ ནར་མོ འི ་ དཀྱུས་དང་མཉམ་འགྲོ ་ མཐའ་བཞི ་ མའི ་ ཞབས་གཅིག་པ་དང་། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཞེང་དང་མཉམ་འགྲོ་ མཐའ་བཞི་མའི་དཔངས་གཅིག་པ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༦)
འདིར། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན། = དཀྱུས་ × ཞེང་།
ཞབས་ = དཀྱུས།
ཞེང་ = དཔངས།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༦
=l×b
དེ་ལྟར། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ l དང་ཞེང་ b ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཞབས་ b དང་དཔངས་ h སོ་སོར་གཅིག་ པ་རེད།
དེས་ན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཞབས་ × དཔངས།
192
= b× h
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཞབས་ནི་མཐའ་གང་རུང་གཅིག་ཡིན་ཆོག
D
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་ཅིག་ནས་དེའི་གཏད་མཐའ་ལ་ དཔངས། དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ཐིག་དེ་ལ་དཔངས་ཟེར། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་ A མ་ ABCD ནང་། DE ནི་ AB དང་དྲང་འཕྱང་རེད། འདིར། AB O
ཞབས།
N
P L
རྩིས་དཔེ།
M དཔངས།
C
E
B ཞབས།
ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཞབས་དང་། DE ནི་དཔངས་རེད། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ LMNO ནང་། MP ནི་དེའི་གཏད་
མཐའ་ LO དང་དྲང་འཕྱང་རེད། འདིར། LO ནི་ཞབས་དང་
MP ནི་དཔངས་རེད།
༤༽ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་མཐའ་གཅིག་དང་དེའི་གནས་མཐུན་དཔངས་ནི་ 2 cm དང་ 4 cm སོ་སོར་ཡིན། ལན། ཞབས་ (b) = 4 cm ; དཔངས་ (h) = 2 cm མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × h
= 4 × 2 cm2 = 8 cm2
༥༽ གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ 24 cm དང་ཞབས་ 4 cm 2
ཡིན་ན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་དཔངས་ 'x' ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༨)
ལན། རྒྱ་ཁྱོན་ (A) = 24 cm2 ; ཞབས་ (b) = 4 cm དེར་བརྟེན། 24 = 4 × x ཡང་ན།
24 =x 4
ཡང་ན།
4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༢་༧
x
4c
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × h
2 cm
m
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༧)
x = 6 cm
དེར་བརྟེན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་དཔངས་ 6 cm རེད།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༨
༦༽ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་ཉེ་མཐའ་གཉིས་ནི་ 6 cm དང་ 4 cm སོ་སོར་རེད། ཞབས་ CD ཡི་ གནས་མཐུན་དཔངས་ནི་ 3 cm རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༩) གཤམ་གསལ་ཚོལ།
(ཀ) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།
(ཁ) ཞབས་ AD ཡི་གནས་མཐུན་དཔངས།
193
རྩིས་རིག
ལན། (ཀ) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × h
= 6 cm × 3 cm = 18 cm2
(ཁ) ཞབས་ = 4 cm ; དཔངས་ = x (ཆ་འཇོག) ; རྒྱ་ཁྱོན་ = 18 cm2 མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = b × x
A
B
18 =x 4
6 cm
D
x = 4.5 cm
3 cm
x
m 4c
18 = 4 × x
C
དཔེ་རིས་ ༡༢་༩
དེར་བརྟེན། ཞབས་ AD ཡི་གནས་མཐུན་དཔངས་ནི་ 4.5 cm རེད།
རྩིས་དང་།
གཤམ་གསལ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (༡)
2.5 cm
8 cm
(༢) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནང་། AB = 7.2 cm དང་ C ནས་ AB ལ་དྲང་འཕྱང་ནི་ 4.5 cm རེད།
༡༢་༤ ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of a triangle བྱེད་སྒོ།
ཤོ ག ་བུའི ་ སྟེང་མཐའ་མི ་ མཉམ་པའི ་ ཟུར་གསུམ་མ་ཞི ག ་བྲི ས ་ཏེ ་ གཏུབས། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ཤོག་བུ་གཞན་ཞིག་གི་སྟེང་དུ་བཞག་སྟེ་ དེའི་ཚད་གཞི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཞན་ཞིག་གཏུབས།
ཁྱེད་ལ་ཚད་གཞི ་ གཅི ག ་པ་ཡི ན ་པའི ་ མཐའ་མི ་ མཉམ་པའི ་ ཟུར་
B
A
C
གསུམ་མ་གཉིས་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད་
E
དམ།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་གཅིག་གི་སྟེང་ལ་གཅིག་འཇོག་
སྐབས་ཕན་ཚུན་ཏག་ཏག་ཁེབས་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། དེས་ན། ཟུར་གསུམ་ མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།
194
D
F
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ལས་གཅིག་སྐོར་བ་བརྒྱབ་ཏེ། གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ནང་ སྟོན་པ་བཞིན་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་མཐུད། ཁྱེད་ལ་གྲུབ་པའི་དཔེ་རིས་དེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་མཐུད་ནས་གྲུབ་པ་ཞིག་རེད།
A
C
E
B
F
D དེར་བརྟེན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཉིས་ལྡབ་རེད། ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཞབས་ × དཔངས། དེར་བརྟེན།
1 × མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། 2 1 = (ཞབས་ × དཔངས།) 2 P 1 1 = (b × h) [ཡང་ན། bh] 2 2
ཟུར་གསུམ་མ་རེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
Q
R
S
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༠ ཡི་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མ་ཞབས་ AB = 6 cm གི་སྟེང་ལ་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཟུར་གསུམ་མ་རེའི་ཞབས་ AB ཡི་ གནས་མཐུན་དཔངས་འབྲི་ཐུབ་བམ།
A
འདིར་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད་དམ། རེད།
6 cm
B
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༠
ཟུར་གསུམ་མ་དེ་དག་ཡོངས་མཚུངས་རེད་དམ། མ་རེད།
དེས་ན། གཤམ་གསལ་མཇུག་བསྡོམས་རྒྱག་ཐུབ། ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་རེད་དེ།
ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་པ་ཡིན་ན་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད། རྩིས་དཔེ།
༧༽ གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༡) 2 cm Q
S
4 cm
(ཀ)
L
2 cm
P
R དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༡
O
M
(ཁ)
3 cm
N
195
རྩིས་རིག
1 1 bh = × QR × PS 2 2 1 = × 4 cm × 2 cm = 4 cm2 2 1 1 (ཁ) ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = bh = × MN × LO 2 2 1 = × 3 cm × 2 cm = 3 cm2 2
ལན། (ཀ) ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
༨༽ གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ 18 cm2 དང་དཔངས་ AD ནི་ 3 cm ཡིན་ན། ཞབས་ BC ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༢)
ལན། རྒྱ་ཁྱོན་ = 18 cm2, དཔངས་ = 3 cm 1 ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = bh 2 1 18 = × b × 3 2 18 × 2 དེ་ནི། b= = 12 cm 3 དེར་བརྟེན།
A 3 cm
B
C
D
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༢
BC = 12 cm
༩༽ ∆PQR ནང་། PR = 8 cm དང་། QR = 4 cm, PL = 5 cm རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༣) (ཀ) ∆PQR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཁ) QM ཚོལ།
ལན། (ཀ) QR = ཞབས་ = 4 cm, PL = དཔངས་ = 5 cm ∆PQR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
1 1 bh = × 4 × 5 = 10 cm2 2 2
P
(ཁ) PR = ཞབས་ = 8 cm, QM = དཔངས་ = ?
196
8c
m
5 cm
1 bh 2 1 དེ་ནི། 10 = × 8 × h 2 10 = 2.5 cm h= 4 དེར་བརྟེན། QM = 2.5 cm
ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
L
M
Q
4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༣
R
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༢
༡། གཤམ་གསལ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
5 cm
4 cm
3 cm
7 cm
(ཁ)
cm
4.8 cm
(ང)
cm 2 3.
༣། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོངས།
(ཁ)
(ག) (ང)
cm
(ཀ)
(ཀ)
4 cm
5
4 cm
(ག)
(ཅ)
༢། གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། 3 cm
2.5 cm
2 cm
4.4
3.5 cm 5 cm
2 cm
(ཀ)
ཞབས།
20 cm
15.6 cm
3 cm
(ཁ)
(ག)
(ང)
3 cm
དཔངས།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།
15 cm
154.5 cm2
8.4 cm
48.72 cm2
246 cm2
16.38 cm2
197
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
ཞབས།
15 cm
དཔངས།
ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།
31.4 cm
1256 cm2
22 cm
87 cm2
170.5 cm2
P
༥། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༤ ནང་གི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS ལ་
Q 7.6 cm
༤། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོངས།
རྩིས་རིག
N
ལྟོས་དང་། QM ནི་ Q ནས་ SR ཐོག་གི་དཔངས་དང་། QN
S
ནི་ Q ནས་ PS ཐོག་གི་དཔངས་རེད།
གལ་ཏེ་ SR = 12 cm དང་ QM = 7.6 cm ཡིན་ན།
(ཀ) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
མའི་མཐའ་ AB དང་ AD སོ་སོའི་སྟེང་གི་དཔངས་རེད།
A
གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 1470 cm2 དང་།
AB = 35 cm, AD = 49 cm ཡིན་ན། BM དང་ DL ཚོལ།
ཡིན་ན། ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། AD ཡང་ཚོལ།
198
cm
C
D 13 cm
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༦
A
E
cm 7.5 B
6 cm D
9 cm
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༧
cm
∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། དཔངས་ CE ཡང་ཚོལ།
12
7.5
6 cm རེད།
B
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༥
m B
༨། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༧ ནང་ ∆ABC ནི་སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཡིན་
པ་དང་། AB = AC = 7.5 cm དང་། BC = 9 cm, AD =
L
5c
གལ་ཏེ་ AB = 5 cm དང་། BC = 13 cm, AC = 12 cm
C
A
o
རེད།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༤
R
M
༦། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༥ ནང་། DL དང་ BM ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་
༧། དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༦ ཡི་ ∆ABC ནང་། ∠A = 90 དང་ AD ⊥ BC
12 cm
D
(ཁ) PS = 8 cm སྐབས། QN ཚོལ།
M
C
༡༢་༥ སྒོར་དབྱིབས། Circle
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
དབྱིབས་མཐའ་མང་ནི་ཐིག་དུམ་ལས་གྲུབ་པ་རེད། ང་ཚོས་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཚོལ་ཐུབ་ ཀྱི་ཡོད། སྒོར་དབྱིབས་ལ་ཆ་བཞག་ན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་དེའི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཡིན། ༡༢་༥་༡ སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད། Circumference of a circle
ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་ཤོག་པང་ཞིག་ནས་སྒོར་དབྱིབས་གཅིག་གཏུབས་པ་རེད། ཁོ་མོས་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་བརྒྱུད་སྐུད་ པས་བསྐོར་ན། སྐུད་པའི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཐིག་ཤིང་སྤྱད་དེ་ཁྱོག་ཐིག་འཇལ་ཐུབ་ཀྱི་མ་རེད། འོ་ན་ཁྱེད་ཀྱིས་གང་བྱ་དགོས་སམ།
འདིར་སྐུད་པའི་རིང་ཚད་འཚོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཅིག་ཡོད། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་སྟེང་ཚེག་ P ཞིག་བྲིས།
[དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨ (ཀ)] ཚེག་ P ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་སྐུད་པ་ཞིག་སྒོར་མཐའ་བརྒྱུད་སྐོར་བ་གཅིག་རྒྱོབ། གནས་དེར་ R བྲིས། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨ (ཁ)] དེ་ནས་སྐུད་པ་ཐང་ཐང་བཟོས་ཏེ་དེའི་རིང་ཚད་འཇོལ། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨ (ག)] P
P
(ཀ)
R
P
(ཁ) དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༨
R (ག)
སྒོར་དབྱིབས་ཁུལ་གྱི་འཁོར་རྒྱའི་བར་ཐག་ལ་དེའི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཟེར།
བྱེད་སྒོ།
ཆུ་དམ་གྱི་ཁེབས་གཅོད་དང་། ལག་གདུབ། ཡང་ན་སྒོར་སྒོར་ཡིན་པའི་དངོས་པོ་གང་རུང་ཞིག་བླངས་ཏེ་དེའི་སྒོར་ མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ།
ཁྱེད་ཀྱིས་གོང་གི་བྱེད་ཐབས་སྤྱད་དེ། རྩེད་འགྲན་པ་ཞིག་རྒྱུག་འགྲན་ཐང་སྟེང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་འཚོལ་ཐུབ་བམ།
སྐུད་པ་བེད་སྤྱད་དེ་རྒྱུག་འགྲན་ཐང་སྟེང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་གམ་ཡང་ན་སྒོར་སྒོར་ཡིན་པའི་དངོས་པོའི་བར་ ཐག་བཙལ་ཁག་པོ་ཡོད། དེར་མ་ཟད་འཇལ་ཚད་ཡང་ཏག་ཏག་ཡོང་གི་མེད།
དེས་ན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་དང་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀྱི་འབྲེལ་བ་གང་ཡོད་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།
199
རྩིས་རིག
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་།
སྒོར་དབྱིབས། ཚངས་ཕྱེད། (r) ཚངས་ཐིག (d) སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད། (C) སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ཚངས་ ཐིག་གི་སྡུར་ཚད། C d 22 = 3.14 ༡ 3.5 cm 7.0 cm 22.0 cm 7 44 ༢ 7.0 cm 14.0 cm 44.0 cm = 3.14 14 66 = 3.14 ༣ 10.5 cm 21.0 cm 66.0 cm 21 32 5.0 cm 10.0 cm 32.0 cm = 3.2 ༤ 10 94 ༥ 15.0 cm 30.0 cm 94.0 cm = 3.13 30 132 = 3.14 ༦ 21.0 cm 42.0 cm 132.0 cm 42
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས།
((
སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ཚངས་ཐིག་གི་སྡུར་ཚད་རྣམས་ཕལ་ཆེར་གཅིག་པ་ཡིན་པ་མཐོང་
ཐུབ། སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་གི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་རྟག་ཏུ་དེའི་ཚངས་ཐིག་གི་ལྡབ་གསུམ་ལས་མང་བ་ཡོད་པ་བཤད་ ཐུབ། སྡུར་ཚད་འདི་རྟག་གྲངས་ཡིན་པ་དང་དེ་ π (པཱཡི་) ཡིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། དེའི་ཚོད་དཔག་ཐང་ནི་ 22 ཡང་ན་ 7 3.14 རེད། C = π , C ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ d ནི་དེའི་ཚངས་ཐིག་མཚོན་གྱི་ཡོད། d ཡང་ན། C = π d ང་ཚོས་ཤེས་གསལ་ལ། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་ (d ) ནི་ཚངས་ཕྱེད་ (r) ཀྱི་ཉིས་ལྡབ་རེད། དེ་ནི། d = 2r
དེར་བརྟེན། དེས་ན།
C = π d = π × 2r
བྱེད་སྒོ།
ཡང་ན།
C = 2π r
སྡེར་མ་སྒོར་མོ་ཆེ་ཆུང་མི་འདྲ་བ་གཉིས་བླངས། དེ་ནས་སྡེར་མ་གཉིས་ཀ་རིམ་བཞིན་ཅོག་ཙེའི་སྟེང་སྒྲིལ། བསྐོར་ བསྐྱོད་གཅིག་རྗེས་སྡེར་མ་གང་དེས་བར་ཐག་མང་བ་འགྲོ་ཡི་འདུག་གམ།
200
རྩིས་དཔེ།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
༡༠༽ ཚངས་ཐིག་ 10 cm ཡིན་པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།) ལན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་ (d ) = 10 cm སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = π d
= 3.14 × 10 cm = 31.4 cm
དེར་བརྟེན། ཚངས་ཐིག་ 10 cm ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 31.4 cm རེད།
༡༡༽ ཚངས་ཕྱེད་ 14 cm ཡིན་པའི་འཁོར་སྡེར་གྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ལན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཕྱེད་ (r) = 14 cm སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = 2π r
= 2 × 22 × 14 cm = 88 cm 7 དེར་བརྟེན། ཚངས་ཐིག་ 14 cm ཅན་གྱི་འཁོར་སྡེར་གྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 88 cm རེད།
༡༢༽ མཁའ་འགྲོ་ལ་ཁྱི་ཞིག་ཡོད། ཁོ་མོས་རིང་ཚད་ 100 cm ཅན་གྱི་ཐག་པས་ཁྱི་དེ་ཕུར་པར་བཏགས་པ་རེད། ཁྱི་
དེས་ཐག་པ་ཐང་པོར་སྐོར་བ་གཅིག་བརྒྱབ་པ་ཡིན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༩) དེས་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཡོད་ དམ། (π = 3.14 ལེན།)
ལན། ཚངས་ཕྱེད་ (r) = ཐག་པའི་རིང་ཚད། ∴ r = 100 cm
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = 2π r
100 cm
= 2 × 3.14 × 100 cm = 628 cm
དེར་བརྟེན། ཁྱི་དེས་སྐོར་བ་གཅིག་ལ་བར་ཐག་ 628 cm བསྐྱོད་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡༩
༡༣༽ གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༠ ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ལན། འདིར་ང་ཚོས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་རེའི་སྟེང་ཡོད་པའི་ཕྱེད་སྒོར་གྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་འཚོལ་དགོས། ཁྱེད་ཀྱིས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀྱང་འཚོལ་དགོས་སམ། མི་དགོས།
དཔེ་རིས་འདིའི་མཐའ་མཚམས་ནི་ཕྱེད་སྒོར་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། ཕྱེད་སྒོར་རེའི་ཚངས་ཐིག་ནི་ 14 cm རེད།
201
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = π d
རྩིས་རིག 14 cm 14 cm
1 ཕྱེད་སྒོར་གྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = π d 2 = 1 × 22 × 14 cm 2 7 = 22 cm
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༠
ཕྱེད་སྒོར་རེའི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ 22 cm རེད།
དེར་བརྟེན། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × 22 cm = 88 cm
༡༢་༥་༢ སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of a Circle གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་ཞོག
• ངག་དབང་གིས་ལྡུམ་རའི་ནང་དུ་ཚངས་ཕྱེད་ 7 m ཅན་གྱི་མེ་ཏོག་ས་མལ་བྲུས་པ་རེད། དེའི་ཆེད་ཁོས་ཚྭ་ལུད་ཉོ་ དགོས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་མི་ཊར་གྲུ་བཞི་མ་ 1 ལ་ཚྭ་ལུད་ 1 kg དགོས་ཀྱི་ཡོད་ན། ཚྭ་ལུད་ག་ཚོད་ཉོ་དགོས་སམ།
• ཅོག་ཙེ་སྟེང་ངོས་སྒོར་མོའི་ཚངས་ཕྱེད་ 2 m ཡིན། གལ་ཏེ་མི་ཊར་གྲུ་བཞི་མ་ 1 ལ་རྩི་གཏོང་བར་ ` 20 ཡིན་ན། ཅོག་ཙེ་སྟེང་ངོས་ཆ་ཚང་ལ་རྩི་གཏོང་བར་རིན་གོང་ཚོལ།
དེ་འདྲའི་གནས་སྟངས་སྐབས་ང་ཚོས་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་ན་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཉིས་ལས་གང་འཚོལ་དགོས་སམ།
དེ་སྐབས་ང་ཚོས་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། ང་ཚོས་དྲ་མིག་ཤོག་བུ་བེད་སྤྱད་དེ་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་རྒྱུ་ཡིན།
དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཚངས་ཕྱེད་ 3 cm ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༡) སྒོར་ དབྱིབས་ནང་ཁེབས་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་བགྲངས་ཏེ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་ཁ་ཐུག་མིན་པས།
བྱེད་ཐབས་འདི་བརྒྱུད་ང་ཚོར་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
རོབ་ཚོད་ཅིག་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཞན་ཡང་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༡
སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས། དེ་དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་གཉིས་སུ་བཏང་སྟེ་དུམ་བུ་གཅིག་ལ་ནག་གྲིབ་ཐོངས། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢ (ཀ)]
(ཀ)
202
(ཁ) དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢
(ག)
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
སྒོར་དབྱིབས་དེ་ཆ་སྙོམས་དུམ་བུ་བརྒྱད་ནང་ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་སྟེ་ལྟེབ་སུལ་བརྒྱུད་གཏུབས། [དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢ (ཁ)] ཆ་ཤས་རྣམས་ལོགས་སུ་དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༢ (ག) ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒྲིག ཁྱེད་ལ་འབྱུང་བའི་དཔེ་རིས་དེ་ཕལ་ཆེར་
མཉམ་འག་ྲོ མཐའ་བཞི་མ་རེད། འཚམས་པོ་ཞིག་ཐོབ་ཀྱི་རེད།
ང་ཚོར་སོག་དབྱིབས་མང་བ་ཡོད་ན།
དེ་ཙམ་གྱིས་ང་ཚོར་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་
གོང་བཞིན་ང་ཚོས་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་སོག་དབྱིབས་ 64 ནང་བགོས་ཏེ་འདི་དག་དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒྲིགས། ཚངས་ཕྱེད།
དེ་ཡིས་ཕལ་ཆེར་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གྲུབ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༣)
སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀྱི་ཕྱེད་ཀ
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༣
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདིའི་ཞེང་གང་རེད་དམ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདིའི་ཞེང་ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཕྱེད་ (r) རེད།
སྒོར་དབྱིབས་གང་ཚང་དེ་སོག་དབྱིབས་ 64 ལ་བགོས་པས་ཕྱོགས་རེ་ལ་སོག་དབྱིབས་ 32 ཡོད། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདིའི་ དཀྱུས་ནི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀྱི་ཕྱེད་ཀ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༣)
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དེ་ལས་གྲུབ་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན། = l × b = (སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཀྱི་ཕྱེད་ཀ) × ཚངས་ཕྱེད་ =
དེར་བརྟེན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r 2
( 12 × 2π r( × r = π r
2
རྩིས་དཔེ།
༡༤༽ ཚངས་ཕྱེད་ 30 cm ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)
ལན། ཚངས་ཕྱེད་ (r) = 30 cm
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r 2 = 3.14 × 302 = 2826 cm2
༡༥༽ ལྡུམ་ར་སྒོར་མོ་ཞིག་གི་ཚངས་ཐིག་ 9.8 m ཡིན། ལྡུམ་ར་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ལན། ཚངས་ཐིག་ (d ) = 9.8 m དེར་བརྟེན། r = 9.8 ÷ 2 = 4.9 m སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r 2
= 22 × (4.9)2 m2 = 22 × 4.9 × 4.9 m2 = 75.46 m2 7 7
203
རྩིས་རིག
༡༦༽ གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ནི་སྒོར་ལྟེ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་སྒོར་དབྱིབས་གཉིས་སྟོན་གྱི་ཡོད། སྒོར་དབྱིབས་ཕྱི་མའི་ཚངས་
ཕྱེད་ནི་ 10 cm དང་སྒོར་དབྱིབས་ནང་མའི་ཚངས་ཕྱེད་ནི་ 4 cm རེད། སྒོར་དབྱིབས་གཉིས་དབར་ནག་གྲིབ་
བཏང་བའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)
ལན། ང་ཚོས་སྔོན་ལ་སྒོར་དབྱིབས་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། (ཀ) སྒོར་དབྱིབས་ཕྱི་མའི་ཚངས་ཕྱེད་ (R) = 10 cm དེར་བརྟེན། སྒོར་དབྱིབས་ཕྱི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π R
2
4 cm 10 cm
= 3.14 × 10 × 10 = 314 cm2
(ཁ) སྒོར་དབྱིབས་ནང་མའི་ཚངས་ཕྱེད་ (r) = 4 cm
དེར་བརྟེན། སྒོར་དབྱིབས་ནང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = π r2 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24 cm2
ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = སྒོར་དབྱིབས་ཕྱི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ − སྒོར་དབྱིབས་ནང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། = (314 − 50.24) cm2 = 263.76 cm2
དེར་བརྟེན། སྒོར་དབྱིབས་གཉིས་དབར་ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 263.76 cm2 རེད།
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༣
༡། གཤམ་གསལ་ཚངས་ཕྱེད་ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 (ཀ) 14 cm (ཁ) 28 mm (ག) 21 cm ༢། གཤམ་གསལ་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཀ) ཚངས་ཕྱེད་ = 14 mm (π = 22 ལེན།) 7 (ག) ཚངས་ཕྱེད་ = 5 cm
(ཁ) ཚངས་ཐིག = 49 m
(ང) ཚངས་ཐིག = 98 cm
༣། ཤོག་ལྷེ་སྒོར་མོ་ཞིག་གི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ 154 cm ཡིན་ན། དེའི་ཚངས་ཕྱེད་ཚོལ། ཤོག་ལྷེ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་
ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ༤། ཚངས་ཐིག་ 21 m ཡོད་པའི་ལྡུམ་ར་སྒོར་མོ་ཞིག་ལ་ར་བ་བསྐོར་འཆར་ཡོད། གལ་ཏེ་ར་བ་བསྐོར་བ་གཉིས་བརྒྱབ་ པ་ཡིན་ན། ཐག་པ་རིང་ཚད་ག་ཚོད་དགོས་སམ། གལ་ཏེ་ཐག་པ་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 4 ཡིན་ན། བསྐོར་བ་གཉིས་འཁོར་
བའི་ཐག་པའི་རིན་གོང་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ༥། ཚངས་ཕྱེད་ 4 cm ཅན་གྱི་ཤོག་ལྷེ་སྒོར་མོ་ཞིག་ནས་ཚངས་ཕྱེད་ 3 cm ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་གཏུབས་ན། ཤོག་ལྷེ་ ལྷག་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)
204
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
༦། དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༤ ནང་གི་ཕྱེད་སྒོར་གྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། ཕྱེད་སྒོར་གྱི་ ཚངས་ཐིག་ 10 cm རེད། (π = 3.14 ལེན།)
༧། ཚངས་ཐིག་ 1.6 m ཅན་གྱི་ཅོག་ཙེའི་སྟེང་ངོས་སྒོར་དབྱིབས་ལ་རྩི་གཏོང་བར་ རིན་གོང་ཚོལ། མི་ཊར་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེར་རྩི་གཏོང་བར་ ` 15 གནས་ཀྱི་ ཡོད། (π = 3.14 ལེན།)
10 cm
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༤
༨། རིང་ཚད་ 44 cm ཅན་གྱི་ལྕགས་སྐུད་ཅིག་སྒོར་དབྱིབས་ནང་བཀུག་པ་རེད། སྒོར་དབྱིབས་དེའི་ཚངས་ཕྱེད་དང་རྒྱ་
ཁྱོན་ཚོལ། གལ་ཏེ་ལྕགས་སྐུད་དེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ནང་བཀུག་པ་ཡིན་ན། དེའི་མཐའ་རེའི་རིང་ཚད་ཚོལ། སྒོར་
དབྱིབས་དང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཉིས་ལས་གང་གིས་རྒྱ་ཁྱོན་མང་བ་ཁེབས་ཀྱི་འདུག་གམ། (π = 22 ལེན།) 7 ༩། ཚངས་ཕྱེད་ 14 cm ཡོད་པའི་ཤོག་ལྷེ་སྒོར་མོ་ (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༥) ནས་ཚངས་ཕྱེད་ 3.5 cm
ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་གཉིས་དང་། དཀྱུས་དང་ཞེང་ལ་ 3 cm དང་ 1 cm སོ་སོར་ཡོད་པའི་ དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༥ གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གཅིག་གཏུབས་པ་རེད། ཤོག་ལྷེ་ལྷག་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 22 ལེན།) 7 ༡༠། མཐའ་ 6 cm ཅན་གྱི་ཤོག་བུ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ནས་ཚངས་ཕྱེད་ 2 cm ཅན་གྱི་སར ྒོ ་དབྱིབས་ཤིག་གཏུབས་ པ་རེད། ཤོག་བུ་ལྷག་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)
༡༡། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ 31.4 cm རེད། སྒོར་དབྱིབས་དེའི་ཚངས་ཕྱེད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)
༡༢། མེ་ཏོག་ས་མལ་སྒོར་མོ་ཞིག་ལ་ཁ་ཞེང་ 4 m ཡོད་པའི་རྐང་ལམ་གྱིས་མཐའ་བསྐོར་ཡོད། མེ་
ཏོག་ས་མལ་དེའི་ཚངས་ཐིག་ 66 m རེད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༦) (π = 3.14 ལེན།)
༡༣། དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༧ ཡི་སྒོར་དབྱིབས་ནང་མ་དང་ཕྱི་མ་གཉིས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (π = 3.14 ལེན།)
༡༤། སྐྱེད་ཚལ་སྒོར་མོ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ 314 m2 རེད། སྐྱེད་ཚལ་གྱི་དཀྱིལ་དུ་ཡོད་པའི་ཆུ་ཟེགས་
གཏོར་ཆས་ཀྱིས་ཚངས་ཕྱེད་ 12 m ཡིན་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་ཆུ་གཏོར་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། ཆུ་ཟེགས་
གཏོར་ཆས་ཀྱིས་སྐྱེད་ཚལ་ཆ་ཚང་ལ་ཆུ་གཏོར་ཐུབ་ཀྱི་རེད་དམ། (π = 3.14 ལེན།)
66 m 4m
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༦ 10 m 19 m
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༧
༡༥། ཚངས་ཕྱེད་ 28 cm ཅན་གྱི་འཁོར་ལོ་ཞིག་བར་ཐག་ 352 m བསྐྱོད་པར་སྐོར་བ་ག་ཚོད་རྒྱག་དགོས་སམ། (π = 22 ལེན།) 7
205
རྩིས་རིག
༡༦། མདའ་འཁོར་ཆུ་ཚོད་ཀྱི་སྐར་མའི་མདའི་རིང་ཚད་ 15 cm རེད། ཚུ་ཚོད་ 1 གི་ནང་སྐར་མའི་མདའ་རྩེ་དེས་བར་ ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཡོད་དམ། (π = 3.14 ལེན།)
༡༢་༦ ཚད་གཞི་ཕབ་སྒྱུར། Conversion of units
ང་ཚོས་ 1 cm = 10 mm ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་ 1 cm2 ནི་ mm2 ག་ཚོད་དང་མཉམ་པ་ཤོད་ཐུབ་བམ། ང་ཚོས་དེ་འདྲ་བའི་དྲི་བ་མང་ཙམ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།
མཐའ་ 1 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་མཐའ་ 1 mm ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཆུང་ཆུང་ 100 ལ་བགོས་
ཐུབ་ཀྱི་ཡོད།
མཐའ་ 1 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ 1 mm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ 100 ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། དེར་བརྟེན།
1 cm2 = 100 × 1 mm2 1 cm2 = 100 mm2
དེ་མཚུངས།
1 m2 = 1 m × 1 m
∴ = 100 cm × 100 cm ( 1 m = 100 cm)
= 10000 cm2
ཁྱེད་ཀྱིས་ 1 km2 ནི་ m2 ལ་སྒྱུར་ཐུབ་བམ།
ང་ཚོས་ས་ཆའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཧེག་ཊར་ (hectare) ནང་འཇལ་གྱི་ཡོད། མཐའ་ 100 m ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་
ཁྱོན་ལ་ཧེག་ཊར་ 1 ཡོད། དེར་བརྟེན།
ཧེག་ཊར་ 1 = 100 × 100 m2 = 10000 m2
རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཚད་གཞི་ཆེ་བ་ཞིག་ཆུང་བ་ལ་སྒྱུར་སྐབས། སྒྱུར་རྩིས་རྒྱག་དགོས། དཔེར་ན། 1000 cm2 = 1000 × 100 mm2 = 100000 mm2
ཡིན་ནའང་། རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཚད་གཞི་ཆུང་བ་ཞིག་ཆེ་བ་ལ་སྒྱུར་སྐབས། བགོད་རྩིས་རྒྱག་དགོས། དཔེར་ན། 1000 cm2 =
1000 2 m 10000
= 0.1 m2
ཕབ་སྒྱུར་བྱོས།
(ཀ) 50 cm2 ནི་ mm2 ལ།
206
(ཁ) 100 cm2 ནི་ m2 ལ།
(ག) 2 ha ནི་ m2 ལ།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
༡༢་༧ བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི། Applications
ཁྱེད་རང་གིས་སྔ་དགོང་མི་རྣམས་སྐྱེད་ཚལ་གྱི་ཕྱི་ནང་གི་རྐང་ལམ་དང་བཞི་མདོ་སོགས་སུ་གོམ་འགྲོད་བྱེད་པ་དོ་སྣང་
བྱུང་ཡོད་ཀྱི་རེད། མཐོང་རྒྱུ་ཡོད།
རི་མོ་སོགས་ཀྱི་དཔར་སྒྲོམ་སྒྲིག་སྐབས་རི་མོའི་མཐའ་འཁོར་དུ་སྟོང་ཆ་ཞིག་འཇོག་གི་ཡོད་པའང་
དེ་འདྲའི་རྐང་ལམ་བཟོ་བྱེད་ཀྱི་འགྲོ་གྲོན་ཤེས་པར། རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས། དེ་ལྟ་བུའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་སྟངས་
ཀྱི་ཐབས་ལམ་རྩིས་དཔེ་འགའ་བརྒྱུད་ནས་འགྲེལ་བརྗོད་བྱ་རྒྱུ་ཡིན།
མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་གྱི་ཕྱི་རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 2.5 m ཅན་ གྱི་རྐང་ལམ་གྱིས་བསྐོར་ཡོད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
ལན། ང་ཚོས་སྤང་དེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡིས་མཚོན་པ་དང་།
མཐའ་འཁོར་གྱི་རྐང་ལམ་ནི་ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གྱིས་ S མཚོན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༨)
2.5 m 45 m
A
Q B 2.5 m
༡༧༽ དཀྱུས་ 45 m དང་ཞེང་ 30 m ཅན་གྱི་སྤང་གྲུ་བཞི་ནར་
P
↔
རྩིས་དཔེ།
30 m
↔
D
C R
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༨
རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ − གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། PQ = (45 + 2.5 + 2.5) m = 50 m PS = (30 + 2.5 + 2.5) m = 35 m
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = (50 × 35) m2 = 1750 m2
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = (45 × 30) m2 = 1350 m2
རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ − གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། = (1750 − 1350) m2 = 400 m2
དེར་བརྟེན། རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 400 m2 རེད།
༡༨༽ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་ 100 m ཡིན་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྱི་མཐའ་འཁོར་གྱི་
ནང་རོལ་བརྒྱུད་རྐང་ལམ་ཁ་ཞེང་ 5 m ཅན་ཞིག་ཡོད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་
ཁྱོན་ཚོལ། གལ་ཏེ་རྐང་ལམ་དེར་ 10 m2 རེ་ལ་ ` 250 ཡི་ཨར་འདམ་ འདིང་དགོས་ན། འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་གཏོང་དགོས་སམ།
100 m
A
ལན། ང་ཚོས་སྐྱེད་ཚལ་དེ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ ABCD ཡིས་མཚོན་པ་དང་། ནང་ D
B
P
Q
S
R
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༩
C
207
རྩིས་རིག
རོལ་མཐའ་འཁོར་གྱི་རྐང་ལམ་ནི་ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གྱིས་མཚོན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢༩) PQ = 100 − (5 + 5) = 90 m
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (མཐའ།)2 = (100)2 m2 = 10000 m2 གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (མཐའ།)2 = (90)2 m2 = 8100 m2 དེར་བརྟེན། རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (10000 − 8100) m2 = 1900 m2 10 m2 ལ་ཨར་འདམ་འདིང་བར་འགྲོ་གྲོན་ = ` 250
དེར་བརྟེན། 1 m2 ལ་ཨར་འདམ་འདིང་བར་འགྲོ་གྲོན་ = ` 250 10 དེས་ན། 1900 m2 ལ་ཨར་འདམ་འདིང་བར་འགྲོ་གྲོན་ = ` 250 × 1900 = ` 47,500 10
༡༩༽ སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 70 m དང་ཞེང་ལ་ 45 m ཡོད། དེའི་དཀྱིལ་ཏག་ཏག་ནས་ཁ་ཞེང་
5 m ཡིན་པའི་རྐང་ལམ་གཉིས་དྲང་འཕྱང་དུ་གྲུབ་ཡོད་ན། རྐང་ལམ་དེ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། གལ་ཏེ་ m2 རེ་
བཟོ་ཆེད་ ` 105 འགྲོ་སོང་གཏོང་དགོས་ན། རྐང་ལམ་དེ་གཉིས་བཟོ་རྒྱུར་འགྲོ་གྲོན་ཚོལ།
ལན། ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་རྐང་ལམ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་རེད། དེ་ནི། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་
ཁྱོན་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ EFGH ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་རེད། འོན་ཀྱང་དེ་འཚོལ་སྐབས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ KLMN ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཐེངས་གཉིས་ལེན་གྱི་ཡོད་པས། དོན་དངོས་ཐོག་ཐེངས་གཅིག་ལས་བརྩི་མི་དགོས་པས་གཅིག་འཐེན་ དགོས། འདིར།
PQ = 5 m དང་། PS = 45 m
EH = 5 m དང་། EF = 70 m KL = 5 m དང་། KN = 5 m
རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ + གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ EFGH ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ − གྲུ་བཞི་ ནར་མོ་ KLMN ཡི་རྒྱ་ཁྱོན།
= (PS × PQ) + (EF × EH) − (KL × KN) = (45 × 5) + (70 × 5) − (5 × 5)
E
= 225 + 350 − 25
45 m H
= 550 m2 དེར་བརྟེན། རྐང་ལམ་བཟོ་བར་འགྲོ་གྲོན་ = 550 × ` 105 = ` 57,750
208
PQ
A
D
K
L
N
M SR
70 m
དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༠
B F G C
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༤
༡། ལྡུམ་ར་ཞིག་གི་དཀྱུས་ལ་ 90 m དང་ཞེང་ལ་ 75 m ཡོད། ལྡུམ་རའི་ཕྱི་རོལ་གྱི་མཐའ་འཁོར་ལ་རྐང་ལམ་ཁ་ཞེང་ 5 m ཅན་ཞིག་བཟོ་དགོས་ན། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལྡུམ་རའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཧེག་ཊར་ནང་ཚོལ།
༢། དཀྱུས་ལ་ 125 m དང་ཞེང་ལ་ 65 m ཡོད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་ཞིག་གི་ཕྱི་རོལ་གྱི་མཐའ་འཁོར་ལ་ཁ་ཞེང་ 3 m ཅན་ གྱི་རྐང་ལམ་ཞིག་ཡོད། རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༣། དཀྱུས་ལ་ 8 m དང་ཞེང་ལ་ 5 m ཡོད་པའི་ཤོག་པང་ཞིག་གི་མཐའ་ལ་སྟོང་ཆ་ 1.5 m རེ་བཞག་སྟེ་དེར་རི་མོ་བྲིས་ ཡོད་ན། སྟོང་ཆ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༤། ཁང་པའི་དཀྱུས་ལ་ 5.5 m དང་ཞེང་ལ་ 4 m ཅན་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་ཁ་ཞེང་ 2.25 m ཡོད་པའི་ཁྱམས་ར་ ཞིག་བཟོས་ཡོད་ན།
(ཀ) ཁྱམས་རའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཁ) ཁྱམས་རའི་ཞ་ལར་ཨར་འདམ་འདིང་ཆེད། ས་ཁྱོན་ m2 རེ་ལ་ ` 200 དགོས་ན། ཨར་འདམ་འདིང་ཆེད་འགྲོ་ གྲོན་ཚོལ།
༥། མཐའ་ 30 m ཡོད་པའི་ལྡུམ་ར་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་གྱི་ནང་རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 1 m ཅན་གྱི་རྐང་ལམ་ ཞིག་བཟོས་ཡོད་ན།
(ཀ) རྐང་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཁ) ལྡུམ་ར་དེའི་ཆ་ཤས་ལྷག་མའི་ནང་རྩྭ་འདེབས་ཆེད། ས་ཁྱོན་ m2 རེའི་གོང་ཚད་ ` 40 ཡིན་ན། རྩྭ་འདེབས་ པར་འགྲོ་གྲོན་ཚོལ།
༦། དཀྱུས་ལ་ 700 m དང་ཞེང་ལ་ 300 m ཡོད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་ཞིག་གི་དཀྱིལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 6 m ཡོད་པའི་ལམ་
གཉིས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་དུ་ཡོད། ལམ་དེ་གཉིས་རེ་རེ་བཞིན་སྐྱེད་ཚལ་གྲུ་ནར་གྱི་མཐའ་དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ ན། ལམ་དེ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ལམ་ཕུད་པའི་སྐྱེད་ཚལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཧེག་ཊར་ནང་ཚོལ།
༧། དཀྱུས་ལ་ 90 m དང་ཞེང་ལ་ 60 m ཡོད་པའི་ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་གཉིས་ལ་མཉམ་འགྲོ་དང་།
ས་ཞིང་དེའི་དཀྱིལ་ནས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་རྐང་ལམ་གཉིས་བཟོས་ཡོད། གལ་ཏེ་རྐང་ལམ་རེའི་ཁ་ཞེང་ 3 m ཡིན་ན།
(ཀ) རྐང་ལམ་གཉིས་ཀྱིས་ཁེབས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཁ) རྐང་ལམ་བཟོ་ཆེད་ས་ཁྱོན་ m2 རེ་བཟོ་གླ་ ` 110 ཡིན་ན། རྐང་ལམ་གྱི་འགྲོ་གྲོན་ཚོལ།
༨། དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༡ ནི་སྤང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱིལ་དུ་མེ་ཏོག་ས་མལ་སྒོར་མོ་ཞིག་ཡོད་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། (ཀ) སྤང་ཆ་ཚང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
209
རྩིས་རིག
(ཁ) མེ་ཏོག་ས་མལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
2
(ག) མེ་ཏོག་ས་མལ་ཕུད་པའི་སྤང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ང) ས་མལ་དེའི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ།
m
5m
10 m
དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༡
༩། འཕྲིན་ལས་ཀྱིས་ཚངས་ཕྱེད་ 4 cm ཡིན་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་དུ་ཐག་པས་བསྒྲིལ་ཏེ་དགོས་མཁོའི་
རིང་ཚད་ཀྱི་ཐག་པ་གཏུབས་པ་རེད། དེ་ནས་ཁོས་མཐའ་ 4 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་ཤོག་སྒམ་ཞིག་གི་ མཐའ་འཁོར་དུ་ཐག་པ་དེས་བསྒྲིལ་བ་རེད། ཁོ་ལ་ཐག་པ་ལྷག་མ་ཡོད་དམ། (π = 3.14 ལེན)
༡༠། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་། ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༢) 8 cm
6 cm 4 cm
D
P
Q
T
10 cm
F
B
20 cm
E
10 cm
10 cm
A
C
18 cm
(ཀ)
དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༢
༡༡། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༣) འདིར། AC = 22 cm, BM = 3 cm, DN = 3 cm དང་།
BM ⊥ AC, DN ⊥ AC
3 cm
B
N 22 cm
M
3 cm
A
D
210
དཔེ་རིས་ ༡༢་༣༣
C
S 10 cm U 10 cm R (ཁ)
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའ་འཁོར་གྱི་བར་ཐག་ལ་ཟེར་བ་དང་། ཁ་ ཟུམ་པའི་དབྱིབས་ཀྱིས་འཛིན་པའི་ཁུལ་ལ་རྒྱ་ཁྱོན་ཟེར།
༢། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། (ཀ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × མཐའ།
(ཁ) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།) (ག) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = མཐའ་ × མཐའ། (ང) གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = དཀྱུས་ × ཞེང་།
༣། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཞབས་ × དཔངས།
1 མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། × 2 1 = × ཞབས་ × དཔངས། 2 ༥། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་བར་ཐག་ལ་དེའི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ཟེར།
༤། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ = πd ཡང་ན། 2πr འདིར་ d = ཚངས་ཐིག་དང་། r = ཚངས་ཕྱེད། π = 22 ཡང་ན། 3.14 7 ༦། སར ྒོ ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = πr 2 ༧། རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཚད་གཞི་ཕབ་སྒྱུར། 1 cm2 = 100 mm2
1 m2 = 10000 cm2 1 hectare = 10000 m2
211
སློབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་པ།
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
༡༣་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་ནང་གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་དང་། གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འབྲི་སྟངས་བཅས་ སྦྱངས་ཡོད།
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་གྲངས་ཐོ་དང་ཐིག་རིས་མི་འདྲ་བ་མང་ཙམ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ཚགས་པར་དང་། དུས་དེབ། གསར་ འཕྲིན་སོགས་བརྒྱུད་གྲངས་ཐོ་འདྲ་མིན་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། གྲངས་ཐོ་དེ་དག་གིས་གནས་ཚུལ་སྟོན་གྱི་ཡོད། ང་ཚོས་ཉིན་ རེའི་འཚོ་བའི་ཁྲོད་ཡང་ཡང་མཐོང་བའི་གྲངས་ཐོ་འགའ་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། རེའུ་མིག་ ༡༣་༡
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༦ ཟླ་ ༦ ཚེས་ ༡༥ ཉིན་ གྲོང་ཁྱེར་འགའི་ཚ་ཚད།
གྲོང་ཁྱེར།
མཐོ་ཚད།
དམའ་ཚད།
ཇེཡ་པུར།
39 C
29 C
དྷ་རམ་ས་ལ།
o
28 C
19 C
40o C
29o C
པུཎེ།
30o C
24o C
བ་རོ་ཌ།
40o C
30o C
28o C
20o C
ཧུབ་ལི།
29o C
22o C
ཀོའེམ་བ་ཊོར། ལྡི་ལི།
བེངྒ་ལོར།
212
32 C o
o
23 C o
o
o
ཟླ་བ།
རེའུ་མིག་ ༡༣་༢
འཛིན་གྲྭར་ཆད་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་ཐོ།
མིག་དམར།
−
ཕུར་བུ།
སྤེན་པ།
ལྷག་པ།
པ་སངས།
− སློབ་མ་ 1 མཚོན།
སློབ་ཕྲུག་ལྔ་ཡི་བོད་ཡིག་ཡིག་རྒྱུགས་ཀྱི་ཨང་ཐོབ་བརྒྱ་ ཆ། : 88, 95, 60, 74, 49
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
གྲངས་ཐོ་འདི་དག་གིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གྱི་འདུག་གམ། དཔེར་ན། • ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༦ ཟླ་ ༦ ཚེས་ ༡༥ ཉིན་དྲོད་ཚད་མཐོ་ཤོས་ནི་ལྡི་ལི་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། (རེའུ་མིག་ ༡༣་༡) • རེས་གཟའ་མིག་དམར་ཉིན་སློབ་མ་ཆ་ཚང་འཛིན་གྲྭར་བཅར་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། (རེའུ་མིག་ ༡༣་༢)
༡༣་༢ གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ། Collection of data གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་བྱ་བར་ཐབས་ལམ་མང་པོ་ཡོད།
(ཀ) གྲངས་ཐོ་ནི་ཚགས་པར་དང་དྲ་རྒྱ་ཡང་ན་བརྒྱུད་ལམ་གཞན་ནས་བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཐུབ། དཔེར་ན། རྩོམ་པ་པོ་ཞིག་གིས་ ད་བར་བྲིས་པའི་དེབ་ཀྱི་གྲངས་ཤེས་འདོད་ན། བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཐུབ།
དེའི་གྲངས་ཐོ་ཚགས་པར་རམ་ཡང་ན་བརྙན་འཕྲིན་སོགས་ནས་
(ཁ) གྲངས་ཐོ་ནི་སོ་སོ་རང་ཉིད་ནས་བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཐུབ། དཔེར་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གི་སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་ནང་ དུ་ཁྱི་ཡོད་པ་ཤེས་འདོད་ན། སློབ་མ་རེ་རེའི་འགྲམ་དུ་ཕྱིན་ཏེ་ནང་དུ་ཁྱི་ཡོད་མེད་སྐད་ཆ་འདྲི་ཆོག
གྲངས་ཐོ་ཞིག་བསྡུ་རུབ་མ་བྱས་གོང་ལ། ང་ཚོས་དེ་ག་རེའི་ཆེད་དུ་བེད་སྤྱོད་བྱ་རྒྱུ་ཡིན་པ་ངེས་པར་དུ་ཤེས་དགོས།
དཔེར་ན།
ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་གནས་ཚུལ་ཁག་གི་སྐོར་ཤེས་འདོད་ཡོད་པར་ཆ་འཇོག • ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་ཨང་རྩིས་ཀྱི་གྲུབ་འབྲས། • ཕ་རན་སི་ཡི་རྐང་རྩེད་པོ་ལོའི་གྲུབ་འབྲས།
• ས་གནས་ཤིག་ཏུ་འཚོ་ཐབས་བྱེད་མཁན་གྱི་ནང་མིའི་གྲངས་ཐོ།
• འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་སློབ་མ་རྣམས་སློབ་གྲྭར་བསྐྱོད་སྐབས་ཀྱི་འགྲུལ་འཁོར་བརྒྱུད་ལམ།
གོང་གི་གནས་སྟངས་ཁག་ལ་གྲངས་ཐོ་འོས་འཚམ་ཞིག་བསྡུ་རུབ་བྱེད་དགོས། དེ་མིན། ཁྱེད་ཀྱིས་དགོས་མཁོའི་གནས་ ཚུལ་ཤེས་ཐུབ་ཀྱི་མ་རེད།
༡༣་༣ གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག Organisation of data
གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་བྱས་རྗེས་བཀོད་སྒྲིག་བྱ་དགོས། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་འཇོག
དབྱངས་སྐྱིད་ལ་སློབ་མ་རྣམས་ཀྱི་ཨིན་ཇིའི་ཡིག་རྒྱུགས་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི་གྲངས་ཐོ་དགོས་ཀྱི་ཡོད། མོས་སློབ་མ་རྣམས་ཀྱི་ ཨང་ཐོབ་གཤམ་གསལ་ལྟར་བྲིས་པ་རེད།
23, 36, 48, 15, 40, 45, 27, 39, 31, 35
རྣམ་པ་འདིའི་ནང་གྲངས་ཐོའི་གོ་དོན་ལས་སླ་པོར་རྟོགས་ཐུབ་ཀྱི་མེད། དེར་མ་ཟད་སློབ་མ་སོ་སོའི་ཨང་ཐོབ་གསལ་པོ་ སྟོན་གྱི་མེད།
213
རྩིས་རིག
རྒན་ལགས་ཀྱིས་མོ་ལ་གཤམ་གསལ་ལྟར་གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག་བྱ་བར་རོགས་རམ་བྱས་པ་རེད། རེའུ་མིག་ ༡༣་༣
མིང་།
ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།
ནམ་མཁའ།
36
འཇིགས་མེད།
15
བསོད་ནམས།
23
ཆོས་དབྱངས།
48
དཔལ་སྒྲོན།
40
མིང་།
ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།
དཔལ་སྐྱིད།
27
ཆོས་ལྡན།
31
ངག་དབང་།
45
བུ་ཁྲིད།
39
དཔའ་མོ།
35
རྣམ་པ་འདིའི་ནང་། དབྱངས་སྐྱིད་ཀྱིས་སློབ་མ་སུས་ཨང་ཐོབ་ག་ཚོད་བླངས་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། མོ་ལ་ གནས་ཚུལ་དེ་ལས་མང་བ་དགོས་ཀྱི་ཡོད། ཚེ་རིང་གིས་གྲངས་ཐོ་འདི་བཀོད་སྒྲིག་བྱ་བར་ཐབས་ལམ་གཞན་ཞིག་བསམ་
འཆར་བཏོན་པ་རེད།
རེའུ་མིག་ ༡༣་༤
མིང་།
ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།
ངག་དབང་།
45
ཆོས་དབྱངས།
48
དཔལ་སྒྲོན།
40
ནམ་མཁའ།
36
བུ་ཁྲིད།
39
མིང་།
ཨང་ཐོབ་ 50 ནས།
ཆོས་ལྡན།
31
བསོད་ནམས།
23
དཔའ་མོ།
དཔལ་སྐྱིད།
འཇིགས་མེད།
35
27 15
རྣམ་པ་འདིའི་ནང་། སློབ་མ་སུས་ཨང་ཐོབ་ཐོ་ཤོས་བླངས་པ་དང་སུ་ལ་རོགས་པ་བྱེད་དགོས་པ་མཐོང་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། གྲངས་ཐོ་ཞིག་རེའུ་མིག་རྣམ་པའི་ཐོག་བཀོད་སྒྲིག་བྱས་པ་ཡིན་ན། གྲངས་ཐོའི་གོ་དོན་རྟོགས་ཐུབ་པ་དང་ འགྲེལ་བརྗོད་བྱེད་ཐུབ། བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་རང་གིས་འཛིན་གྲོགས་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ (kg ནང་) ཁྱོགས། གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག་བྱས་ཏེ། གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ ཁག་ལ་ལན་རྒྱོབ། (ཀ) ལྗིད་ཤོས་སུ་རེད་དམ།
(ཁ) ཡང་ཤོས་སུ་རེད་དམ།
(ག) ཁྱེད་རང་གི་ལྗིད་ཚད་དང་སློབ་མ་ལྗིད་ཤོས་དབར་ཁྱད་པར་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
214
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
༡༣་༤ ཆ་སྙོམས་། Average
ཁྱེད་ཀྱིས་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་ཆ་སྙོམས་བེད་སྤྱོད་བཏང་བའི་བརྗོད་པ་མང་པོ་མཐོང་ཐོས་བྱུང་ཡོད་ཀྱི་རེད། དཔེར་ན།
• འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ཨང་རྩིས་ཡིག་རྒྱུགས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་ཐོབ་ཆ་ནི་ 67 % རེད།
• མོ་ཊ་ཞིག་གི་ཆ་སྙོམས་མགྱོགས་ཚད་ནི་ 100 km/hr རེད། • སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་དགེ་རྒན་གྱི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ཚད་ 35 རེད།
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ནང་། འཛིན་གྲྭའི་ནང་སློབ་མ་རེ་རེས་བླངས་པའི་ཐོབ་ཆ་ནི་ 67 % མ་རེད། སློབ་མ་འགས་ 67 % ལས་མང་བ་བླངས་ཡོད་པ་དང་ཡང་འགས་ 67 % ལས་ཉུང་བ་བླངས་ཡོད། དེ་མཚུངས། ཆུ་ཚོད་རེའི་ནང་མོ་ཊའི་ མགྱོགས་ཚད་ནི་ 100 km མ་རེད། དེ་བཞིན། སློབ་གྲྭའི་ནང་དགེ་རྒན་ཁ་ཤས་ལོ་ 35 མ་རེད། དགེ་རྒན་ཁ་ཤས་ལོ་
35 ལས་རྒན་པ་དང་འགའ་ཤས་ལོ་ 35 ལས་གཞོན་པ་ཡོད།
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་ཀྱིས་བྱེ་བྲག་ (observations) གྲངས་ཐོ་ཞིག་གི་དཀྱིལ་ཐང་མཚོན་གྱི་ཡོད་པ་ཤེས་ ཐུབ། ཆ་སྙོམས་ནི་བྱེ་བྲག་པའི་ཐང་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་དབར་གནས་ཀྱི་ཡོད་པས། ང་ཚོས་དེ་ལ་བྱེ་བྲག་གྲངས་
ཐོའི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ (measure of the central tendency) ཟེར། དེ་ལ་རྣམ་པ་མི་ འདྲ་བ་གསུམ་སྟེ། དེ་དག་ནི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་དང་། དཀྱིལ་གྲངས། བྱིངས་གྲངས་བཅས་ཡིན།
༡༣་༥ ཆ་སྙོམས་གྲངས། Arithmetic Mean (or Mean)
ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་བྱེ་བྲག་གི་ཚོ་ཁག་གམ་ཡང་ན་གྲངས་ཐོའི་དཀྱིལ་ཐང་གི་ངོ་ཚབ་མཚོན་པའི་གྲངས་ཀ་ཞིག་ལ་ ཟེར། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ཀྱི་གོ་དོན་ཟབ་པོ་ཤེས་པར། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
ཆུ་སྣོད་གཉིས་ནང་ཆུ་ 20 L དང་ 60 L སོ་སོར་ཡོད། གལ་ཏེ་ཆུ་སྣོད་གཉིས་ཀའི་ནང་ཆུ་མང་ཉུང་གཅིག་པ་བཟོས་
ན། ཆུ་སྣོད་རེ་རེའི་ནང་ཆུ་ལི་ཊར་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། འདིར་ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་གྲངས་འཚོལ་དགོས། ཆ་སྙོམས་ (Average or Mean) =
ཆུ།
ཆུ་སྣོད་ཀྱི་གྲངས།
20 + 60 = 40 L 2 དེར་བརྟེན། ཆུ་སྣོད་རེ་རེའི་ནང་ཆུ་ 40 L རེ་ཡོད། =
ཆ་སྙོམས་ =
བྱེ་བྲག་ཡོངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། བྱེ་བྲག་པའི་གྲངས།
215
རྩིས་རིག
རྩིས་དཔེ།
༡༽ འཕྲིན་ལས་ཀྱིས་ཉིན་གསུམ་རིང་བསྟུད་མར་ཆུ་ཚོད་ 4 དང་ཆུ་ཚོད་ 5 ཆུ་ཚོད་ 3 བཅས་སོ་སོར་སློབ་སྦྱོང་བྱས་པ་ རེད། ཁོས་ཆ་སྙོམས་ཉིན་རེར་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་སློབ་སྦྱོང་བྱས་ཡོད་དམ།
ལན། འཕྲིན་ལས་ཀྱིས་ཆ་སྙོམས་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་པའི་དུས་ཡུན་ནི། ཆ་སྙོམས་ =
སློབ་སྦྱོང་བྱས་པའི་ཆུ་ཚོད་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། སློབ་སྦྱོང་བྱས་པའི་ཉིན་གྲངས།
= ཆུ་ཚོད་
4+5+3 = ཆུ་ཚོད་ 4 3
དེར་བརྟེན། འཕྲིན་ལས་ཀྱིས་ཆ་སྙོམས་ཉིན་རེར་ཆུ་ཚོད་ 4 སློབ་སྦྱོང་བྱས་ཡོད།
༢༽ ཚོགས་པ་ཞིག་གི་ནང་ལས་བྱེད་པ་ 10 ཡོད། དེ་དག་གི་ལྗིད་ཚད་ནི་ཀི་ལོ་གྷ་རམ་ནང་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་ན། ལས་བྱེད་པ་རྣམས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་ལྗིད་ཚད་ཚོལ།
58, 50, 74, 49, 56, 60, 71, 55, 65, 72
ལན། ཁྱོན་བསྡོམས་ལྗིད་ཚད་ = 58 + 50 + 74 + 49 + 56 + 60 + 71 + 55 + 65 + 72 = 610 ཆ་སྙོམས་འཚོལ་བར། བྱེ་བྲག་ཡོངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། དེ་ལ་བྱེ་བྲག་པའི་གྲངས་ཀྱིས་བགོས། 610 10 = 61 kg
ཆ་སྙོམས་ =
དེར་བརྟེན། ལས་བྱེད་པ་རྣམས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་ལྗིད་ཚད་ 61 kg རེད།
བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་རང་བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ནང་ཆ་སྙོམས་གཉིད་ཉལ་བའི་དུས་ཡུན་ཚོལ།
༡༣་༦ ཁྱབ་ཚད། Range
བྱེ་བྲག་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་དབར་གྱི་ཁྱད་པར་གྱིས་བྱེ་བྲག་གི་ཁྱབ་ཚད་ཀྱི་གོ་དོན་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། བྱེ་བྲག་གི་ཁྱབ་ ཚད་ནི་བྱེ་བྲག་མཐོ་ཤོས་ནས་དམའ་ཤོས་འཐེན་ཏེ་འཚོལ་ཐུབ། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། རྩིས་དཔེ།
༣༽ སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་དགེ་རྒན་གྲངས་བཅུ་ཡི་ལོ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན། 32, 41, 29, 54, 35, 26, 55, 60, 38, 40
216
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
(ཀ) དགེ་རྒན་རྒན་ཤོས་དང་གཞོན་ཤོས་ཀྱི་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ། ལན།
(ཁ) དགེ་རྒན་རྣམས་ཀྱི་ལོའི་ཁྱབ་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། (ག) དགེ་རྒན་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
(ཀ) དགེ་རྒན་གྱི་ལོ་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ན།
26, 29, 32, 35, 38, 40, 41, 54, 55, 60
དགེ་རྒན་རྒན་ཤོས་ཀྱི་ལོ་ 60 དང་གཞོན་ཤོས་ཀྱི་ལོ་ 26 རེད།
(ཁ) དགེ་རྒན་རྣམས་ཀྱི་ལོའི་ཁྱབ་ཚད་ = ལོ་ (60 − 26) = ལོ་ 34
26 + 29 + 32 + 35 + 38 + 40 + 41 + 54 + 55 + 60 10 410 = 41 = 10 དེར་བརྟེན། དགེ་རྒན་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ 41 རེད།
(ག) དགེ་རྒན་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་ལོ་ =
སྦྱོང་ཚན། ༡༣་༡
༡། ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་ནང་གི་སློབ་མ་བཅུ་ཡི་ལུས་པོའི་མཐོ་ཚད་ཀྱི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ།
༢། གཤམ་གསལ་ནི་སློབ་ཕྲུག་ 20 ཡི་ཡིག་རྒྱུགས་ཐོབ་ཆ་ཡིན། ཁྲམ་རྟགས་བེད་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཐོ་འདི་རེའུ་མིག་ནང་ བྲིས།
4, 6, 7, 5, 3, 5, 4, 5, 2, 6, 2, 5, 1, 9, 6, 5, 8, 4, 6, 7
(ཀ) ཨང་ཀི་མཐོ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ག) གྲངས་མཐོའི་ཁྱབ་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༣། ཧྲིལ་གྲངས་དང་པོ་ལྔའི་ཆ་སྙོམས་ཚོལ།
(ཁ) ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ང) ཆ་སྙོམས་ཚོལ།
༤། རྩེད་མོ་བ་ཞིག་གིས་ཁི་རེ་ཀེཊ་རྩེད་འགྲན་ཐེངས་བརྒྱད་ལ་ཞུགས་ཏེ་གཞུས་པའི་རྒྱུག་གྲངས་སོ་སོ་ནི་ 58, 76, 40, 35, 46, 45, 0, 100 རེད། ཆ་སྙོམས་རྒྱུག་གྲངས་ཚོལ།
༥། སློབ་ཕྲུག་ཁག་གཅིག་གི་ཚན་རིག་གི་ཐོབ་ཆའི་བརྒྱ་ཆ་ནི་ 85 དང་། 76, 90, 85, 39, 48, 56, 95, 81, 75 ཡིན།
(ཀ) ཐོབ་ཆ་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ཤོས་ག་ཚོད་རེད་དམ།
217
རྩིས་རིག
(ཁ) ཐོབ་ཆའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ།
(ག) ཆ་སྙོམས་ཐོབ་ཆ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
༦། སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ལོ་དྲུག་བསྟུད་མར་སློབ་ཕྲུག་གི་གྲངས་འབོར་ 155, 166, 175, 214, 240, 280 བཅས་ ཡིན་པས། དུས་ཡུན་དེའི་རིང་སློབ་ཕྲུག་གི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་འབོར་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༧། བདུན་ཕྲག་གཅིག་གི་ཉིན་ཞག་བདུན་རིང་གྲོང་ཁྱེར་ཞིག་ལ་ཆར་བ་འབབ་ཚད་ (mm) གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོ་ འགོད་བྱས་ཡོད།
རེས་གཟའ།
ཆར་ཚད། (mm)
ཟླ་བ། 0.0
མིག་དམར། 12.2
ལྷག་པ།
ཕུར་བུ།
2.1
0.0
པ་སངས། 20.5
སྤེན་པ།
ཉི་མ།
5.5
1.0
(ཀ) གོང་གི་གྲངས་ཐོའི་ཁྱབ་ཚད་ཚོལ།
(ཁ) བདུན་ཕྲག་དེའི་ཆ་སྙོམས་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ཚོལ།
(ག) ཆ་སྙོམས་ཆར་པ་འབབ་ཚད་ལས་ཉུང་བའི་ཉིན་ཞག་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
༨། བུ་མོ་ 10 ཡི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) གཤམ་གསལ་ལྟར།
135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141
(ཀ) བུ་མོ་རིང་ཤོས་ཀྱི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ཁ) བུ་མོ་ཐུང་ཤོས་ཀྱི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ག) གྲངས་ཐོ་འདི་ཡི་ཁྱབ་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ང) བུ་མོ་དེ་དག་གི་ཆ་སྙོམས་རིང་ཚད་ཚོལ།
(ཅ) ཆ་སྙོམས་རིང་ཚད་ལས་ཐུང་བའི་བུ་མོ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
༩། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནི་རྩེད་མོ་བ་རེ་རེའི་རྩེད་འགྲན་ཐེངས་བཞིའི་ནང་གི་ཨང་ཐོབ་སྟོན་གྱི་ཡོད། རྩེད་མོ་བ། ཀ ཁ ག
རྩེད་འགྲན་དང་པོ། 14 0 8
གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབ།
རྩེད་འགྲན་གཉིས་པ། རྩེད་འགྲན་གསུམ་པ། 16 8 11
10 6 རྩེད་མོ་བརྩེས་མེད།
(ཀ) རྩེད་འགྲན་ནང་རྩེད་མོ་བ་ཀ་པས་བླངས་པའི་ཆ་སྙོམས་ཨང་ཐོབ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
རྩེད་འགྲན་བཞི་པ། 10 4 13
(ཁ) རྩེད་འགྲན་ནང་རྩེད་མོ་བ་ག་པའི་ཆ་སྙོམས་ཨང་ཐོབ་འཚོལ་བར། ཁྱོན་བསྡོམས་ཨང་ཐོབ་ལ་ 3 ཡང་ན་ 4 ཡིས་བགོ་དགོས་སམ། རྒྱུ་མཚན་ཤོད།
(ག) རྩེད་མོ་བ་ཁ་པས་རྩེད་འགྲན་ཚང་མ་ལ་བརྩེས་ཡོད། ཁ་པའི་ཆ་སྙོམས་ཚོལ།
218
༡༣་༧ བྱིངས་གྲངས། Mode
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
ང་ཚོས་གོང་དུ་བཤད་ཟིན་པ་ལྟར་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ཁོ་ན་མིན། གྲངས་ཐོ་ ཞིག་ནས་དགོས་མཁོ་ལྟར་གནས་ཚུལ་འདྲ་མིན་ལེན་ཆེད། བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་གཞན་རྣམས་
བྱེ་བྲག་གི་ཚོགས་སམ་ཡང་ན་གྲངས་ཐོ་ཞིག་གི་ནང་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོོས་བྱེད་པའི་བྱེ་བྲག་དེ་ལ་བྱིངས་གྲངས་ཟེར། རྩིས་དཔེ།
༤༽ གྲངས་ཐོ་ 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4 བཅས་ཀྱི་བྱིངས་གྲངས་ཚོལ། ལན། ཐང་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་གྲངས་རྣམས་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཉམ་སྒྲིག་བྱོས། 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4
འདིར། 2 ནི་བྱེ་བྲག་གཞན་ལས་མང་བ་བསྐྱར་ཟློས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་པས། གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་ 2 རེད།
༥༽ གཤམ་གསལ་ནི་འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་སློབ་མ་རྣམས་ཀྱི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) རེད།
141, 152, 153, 154, 152, 151, 153, 146, 154, 149, 146, 153, 152, 153, 151, 151, 146, 152, 152, 151, 152, 149, 153, 152 གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་ཚོལ།
ལན། ང་ཚོས་གྲངས་ཐོ་འདི་རེའུ་མིག་ནང་འབྲི་རྒྱུ་ཡིན། གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད། (cm ནང་) 141
ཁྲམ་རྟགས།
སློབ་མའི་གྲངས། 1
146
3
149
2
151
4
152
7
153
5
154
2 ཁྱོན་བསྡོམས།
24
219
རྩིས་རིག
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། 152 ནི་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོས་ཏེ་ 7 ཡིན་པས་བྱིངས་གྲངས་ 152 ཡིན་པ་བཤད་ཐུབ།
༦༽ གྲངས་ཐོ་ 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8 བཅས་ཀྱི་བྱིངས་གྲངས་ཚོལ།
ལན། འདིར། 2 དང་ 5 གཉིས་ཀ་ཐེངས་གསུམ་རེ་བསྐྱར་ཟློས་བྱས་ཡོད། དེར་བརྟེན། གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་ 2 དང་ 5 གཉིས་ཀ་ཡིན།
རྩིས་དང་།
༡། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐོ་ཡི་བྱིངས་གྲངས་ཚོལ།
12, 14, 12, 16, 15, 13, 14, 18, 19, 12, 14, 15, 16, 15, 16, 16, 15, 17, 13, 16, 16, 15, 15, 13, 15, 17, 15, 14, 15, 13, 15, 14
༢། སློབ་ཕྲུག་ 25 ཡི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) གཤམ་གསལ།
168, 165, 163, 160, 163, 161, 162, 164, 163, 162, 164, 163, 160, 163, 160, 165, 163, 162, 163, 164, 163, 160, 165, 163, 162 སློབ་ཕྲུག་དེ་དག་གི་རིང་ཚད་ཀྱི་བྱིངས་གྲངས་ཚོལ།
མཆན། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐོ་ཞིག་གི་བྱེ་བྲག་ཚང་མའི་ཆ་སྙོམས་སྟོན་གྱི་ཡོད་ན། བྱིངས་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐོའི་ ནང་བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོས་ཀྱི་བྱེ་བྲག་སྟོན་གྱི་ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་འཇོག
(ཀ) ཁྱེད་ཀྱིས་གསོལ་སྟོན་དུ་གདན་འདྲེན་ཞུས་པའི་མི་ 25 ཆེད་ཀྲིང་མོག་ག་ཚོད་བཟོ་དགོས་པ་ཐག་གཅོད་བྱ་དགོས། (ཁ) ཁྱེད་ཀྱི་ཁྱིམ་གྱི་སྒོ་བཟོ་ཆེད་སྒོའི་མཐོ་ཚད་འཚོལ་དགོས།
(ག) གླིང་ཁ་རུ་འགྲོ་སྐབས། གལ་ཏེ་སློབ་མ་ཚང་མས་ཤིང་ཏོག་གཅིག་ལས་འཁྱེར་ཆོག་གི་མེད་ན། ཁྱེད་ཚོས་ཤིང་ཏོག་ ག་རེ་འཁྱེར་དགོས་སམ།
འདི་དག་ལས་གནས་སྟངས་གང་གི་སྐབས་ང་ཚོས་བྱིངས་གྲངས་བེད་སྤྱོད་བྱ་དགོས་སམ།
བརྗོད་པ་ཀ་པ་ལ་ཆ་འཇོག གལ་ཏེ་མི་རེ་རེར་དགོས་པའི་ཀྲིང་མོག་གྲངས་ 2, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 5 ཡིན་ན།
གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་ 2 ཡིན། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་འདིར་བྱིངས་གྲངས་བེད་སྤྱད་ན། ང་ཚོར་ཀྲིང་མོག་ 50 སྟེ། མི་ 25 ལ་ཀྲིང་མོག་ 2 རེ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། ཀྲིང་མོག་ 50 ཡིས་འདང་གི་མེད། དེར་བརྟེན། འདིར་ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་བེད་སྤྱོད་བྱ་དགོས།
220
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
དེ་མཚུངས། བརྗོད་པ་ལྷག་མ་གཉིས་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས་ཏེ། གནས་སྟངས་དེའི་སྐབས་ཆ་སྙོམས་སམ་ཡང་ན་བྱིངས་ གྲངས་གཉིས་ལས་གང་བེད་སྤྱོད་བྱ་དགོས་མིན་ལྟོས།
༡༣་༨ དཀྱིལ་གྲངས། Median
ང་ཚོས་གནས་སྟངས་འགའི་སྐབས་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ཡིན་པ་དང་། ཡང་ གནས་སྟངས་འགའི་སྐབས་བྱིངས་གྲངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ཡིན་པ་སྦྱངས་ཡོད། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
སློབ་མ་ 17 གྱི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་) གཤམ་གསལ།
106, 110, 123, 125, 117, 120, 112, 115, 110, 120, 115, 102, 115, 115, 109, 115, 101 རྩེད་རིག་དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཉིས་སུ་བགོས་ཏེ།
ཚོགས་པ་རེའི་ནང་དུ་སློབ་མ་གྲངས་གཅིག་པ་
བགོ་དགོས། བྱེ་བྲག་རིང་ཚད་ཅིག་ལས་ཐུང་བ་ཡོད་པའི་སློབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཅིག་གི་ནང་འཇོག་པ་དང་། བྱེ་ བྲག་དེ་ལས་རིང་བ་ཡོད་པའི་སློབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཞན་གྱི་ནང་འཇོག་དགོས། མོས་དེ་གང་འདྲ་བྱ་དགོས་སམ། (ཀ) ཆ་སྙོམས་འཚོལ་བ།
106 + 110 + 123 + 125 + 117 + 120 + 112 + 115 + 110 + 120 + 115 + 102 + 115 + 115 + 109 + 115 + 101 ཆ་སྙོམས་ = 17
1930 = 113.5 17 གལ་ཏེ་དགེ་རྒན་གྱིས་ཆ་སྙོམས་མཐོ་ཚད་གཞིར་བཟུང་གོང་གི་ཆ་རྐྱེན་ལྟར་སློབ་མ་རྣམས་ཚོགས་པ་གཉིས་སུ་ =
བགོས་པ་ཡིན་ན། ཚོགས་པ་གཉིས་ཀྱི་ནང་སློབ་མའི་གྲངས་གཅིག་པ་ཡོང་གི་མ་རེད། དེ་དག་གི་ནང་སློབ་མ་ 7 དང་ 10 སོ་སོར་ཡོད། དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཆ་སྙོམས་གྲངས་བེད་སྤྱད་དེ་ཚོགས་པ་གཉིས་དུམ་བུ་འདྲ་མཉམ་དུ་ བགོས་ཐུབ་མེད།
(ཁ) བྱིངས་གྲངས་འཚོལ་བ།
གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་ནི་ 115 རེད།
བྱིངས་གྲངས་ལས་ཐུང་བ་སློབ་མ་ 7 དང་བྱིངས་གྲངས་དང་དེ་ལས་རིང་བ་སློབ་མ་ 10 ཡོད།
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་བྱིངས་གྲངས་བེད་སྤྱད་ནས་ཀྱང་ཚོགས་པ་གཉིས་དུམ་བུ་འདྲ་མཉམ་དུ་བགོ་ཐུབ་མེད།
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་གཞན་ཞིག་འཚོལ་དགོས། དེའི་ཆེད་སློབ་མ་ཚོའི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་འཕར་རིམ་ བཞིན་སྒྲིག་དགོས།
221
རྩིས་རིག
101, 102, 106, 109, 110, 110, 112, 115, 115, 115, 115, 115, 117, 120, 120, 123, 125 གྲངས་ཐོ་འདིའི་དཀྱིལ་ཐང་ནི་ 115 ཡིན། རྒྱུ་མཚན་ནི་ 115 ཡིས་ཚོགས་པ་གཉིས་སུ་སློབ་མ་ 8 རེ་ཆ་སྙོམས་སུ་ བགོས་ཐུབ། ཐང་འདི་ལ་དཀྱིལ་གྲངས་ཟེར།
དཀྱིལ་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐོ་ཞིག་གོ་རིམ་བཞིན་ (འཕར་རིམ་ཡང་ན་ཆག་རིམ་) བསྒྲིགས་ཡོད་པའི་དཀྱིལ་གྱི་གྲངས་དེ་ ལ་ཟེར། བྱེ་བྲག་ཕྱེད་ཀ་དཀྱིལ་གྲངས་ཀྱི་གོང་ལ་ཡོད་པ་དང་བྱེ་བྲག་ཕྱེད་ཀ་དཀྱིལ་གྲངས་ཀྱི་གཤམ་ལ་ཡོད། རྩེད་རིག་དགེ་རྒན་གྱིས་སློབ་མ་དཀྱིལ་མ་དེ་རྩེད་དཔང་བྱེད་དུ་བཅུག་པ་རེད། སེམས་ལ་ཞོག
• ཆ་སྙོམས་གྲངས་དང་། བྱིངས་གྲངས། དཀྱིལ་གྲངས་བཅས་ཀྱི་ཐང་མི་འདྲ་བ་གསུམ་ཡིན་ཆོག
• ཆ་སྙོམས་གྲངས་དང་། བྱིངས་གྲངས། དཀྱིལ་གྲངས་བཅས་ཀྱི་ཐང་ནི་རྟག་ཏུ་བྱེ་བྲག་གི་ཐང་མཐོ་ཤོས་དང་དམའ་ ཤོས་ཀྱི་དབར་ལ་ཡོད། རྩིས་དཔེ།
༧༽ གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐོའི་དཀྱིལ་གྲངས་ཚོལ།
15, 16, 34, 50, 10, 14, 35, 55, 47, 11, 13, 45, 14
ལན། གྲངས་ཐོ་དེ་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ན།
10,11, 13, 14, 14, 15, 16, 34, 35, 45, 47, 50, 55 འདིར། བྱེ་བྲག་ 13 ཡོད་པས། བྱེ་བྲག་བདུན་པ་དེ་གྲངས་ཐོའི་དཀྱིལ་དུ་ཡོད། དེར་བརྟེན། དཀྱིལ་གྲངས་ = བྱེ་བྲག་བདུན་པ་ = 16
སྦྱོང་ཚན། ༡༣་༢
༡། སློབ་མ་ 15 ཡི་ཨང་རྩིས་ཡིག་ཚད་ཀྱི་ཐོབ་ཆ་ (25 ནས་) གཤམ་གསལ།
19, 25, 23, 20, 9, 20, 15, 10, 5, 16, 25, 20, 24, 12, 20
གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་དང་དཀྱིལ་གྲངས་ཚོལ། དེ་དག་གཅིག་པ་རེད་དམ།
༢། ཁི་རི་ཀེཊ་རྩེད་འགྲན་ཞིག་གི་ནང་རྩེད་མོ་བ་ 11 གིས་བཟོས་པའི་རྒྱུག་གྲངས་གཤམ་གསལ། 6, 15, 120, 50, 100, 80, 10, 15, 8, 10, 15
222
གྲངས་ཐོ་འདིའི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་དང་། བྱིངས་གྲངས། དཀྱིལ་གྲངས་ཚོལ། དེ་གསུམ་ཀ་གཅིག་པ་རེད་དམ།
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
༣། སློབ་མ་ 15 ཡི་ལྗིད་ཚད་ (kg ནང་) གཤམ་གསལ།
38, 42, 35, 37, 45, 50, 32, 43, 43, 40, 36, 38, 43, 38, 47
(ཀ) གྲངས་ཐོ་འདིའི་བྱིངས་གྲངས་དང་དཀྱིལ་གྲངས་ཚོལ། (ཁ) འདིར་བྱིངས་གྲངས་གཅིག་ལས་མང་བ་འདུག་གམ།
༤། ཀུན་བཟང་གིས་གྲངས་ཐོ་ 11, 1, 15, 16, 17, 12, 20, 25, 11, 8, 6, 15, 7, 9, 15 བཅས་ཀྱི་དཀྱིལ་
གྲངས་སུ་ 17 དང་བྱིངས་གྲངས་སུ་ 11 བཙལ་བ་རེད། ཁོའི་ལན་འགྲིག་མིན་ལྟོས། འགྲིག་མེད་ན་ནོར་བཅོས་གྱིས།
༥། གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་རྣམས་འགྲིག་ནོར་ལྟོས།
(ཀ) བྱིངས་གྲངས་ནི་རྟག་ཏུ་གྲངས་ཐོའི་ནང་གི་གྲངས་ཤིག་རེད། (ཁ) ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐོའི་ནང་གི་གྲངས་ཤིག་རེད།
(ག) གྲངས་ཐོ་ 6, 4, 3, 8, 9, 12, 13, 9 ཡི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ 9 རེད།
༡༣་༩ གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ཀྱི་བེད་སྤྱོད། Use of bar graph
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་ཁ་ཞེང་མཚུངས་པའི་གྲུ་ནར་བེད་སྤྱད་དེ། གྲངས་ཐོ་མཚོན་ཐབས་བྱེད་པའི་པར་རིས་ལ་ཟེར། གྲུ་
ནར་ཐིག་རིས་ནང་སྤྱད་པའི་གྲུ་ནར་གྱི་ཁ་ཞེང་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་དང་དེའི་རིང་ཚད་ནི་ཟློས་ཕྱོད་དང་ཐིག་ཚད་ ལ་རག་ལས་ཡོད། དཔེར་ན།
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་ཚད་གཞི་གཅིག་གིས་བྱེ་བྲག་གཅིག་མཚོན་གྱི་ཡོད་པ་དང་།
གལ་ཏེ་ཐིག་རིས་ནི་
གྲངས་བཅུ་འམ་ཡང་ན་བརྒྱའི་ནང་སྟོན་དགོས་ན། ཚད་གཞི་གཅིག་གིས་བྱེ་བྲག་ 10 ཡང་ན་ 100 མཚོན་གྱི་ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། རྩིས་དཔེ།
༨༽ འཛིན་རིམ་དྲུག་པ་དང་བདུན་པའི་སློབ་མ་ 200 ཡི་ཚོན་མདོག་དགའ་ཤོས་ཀྱི་མིང་དྲིས་པ་རེད། ཁོང་ཚོའི་ལན་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་བཀོད་ཡོད། གྲངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། ཚོན་མདོག་དགའ་ཤོས། སློབ་མའི་གྲངས།
དམར་པོ། 43
ལི་ཝང་། 19
སྔོན་པོ། 55
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་བེད་སྤྱད་དེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་བྲིས།
སེར་པོ། 49
ལྗང་ཁུ། 34
(ཀ) སློབ་མ་མང་ཤོས་ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱེད་པའི་ཚོན་མདོག་གང་རེད་དམ།
(ཁ) སློབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱེད་པའི་ཚོན་མདོག་གང་རེད་དམ། (ག) ཁྱོན་བསྡོམས་ཚོན་མདོག་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། དེ་དག་གི་མིང་བྲིས།
223
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་འབྲི་བར། ཐོག་མར་
60
ང་ཚོས་འཕྲེད་ཐིག་དང་གཞུང་ཐིག་
50
བྲིས་ཏེ། དེ་གཉིས་འཕྲད་སའི་གནས་
40
ལ་ 0 བྲིས། གྲངས་ཐོ་འདིའི་ནང་བྱེ་
30
བྲག་མཐོ་ཤོས་ནི་ 55 ཡིན་པས། ང་
20 སློབ་མ།
ཚོས་ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 10
རིས་བྲིས།
ལྗང་ཁུ།
སེར་པོ།
དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཐིག་
སྔོན་པོ།
0
དེ་ནས་གཡས་ཀྱི་
ལི་ཝང་།
10
མཚོན་པར་བྱས་ཏེ་སློབ་མ་ 60 བར་ ཐིག་ཚད་བྲིས།
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = སློབ་མ་ 10
དམར་པོ།
ལན།
རྩིས་རིག
ཚོན་མདོག
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ལས་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ཤེས་ཐུབ།
(ཀ) སབ ློ ་མ་མང་ཤོས་ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱེད་པའི་ཚོན་མདོག་སྔོན་པོ་རེད། (སྔོན་པོ་མཚོན་པར་བྱེད་པའི་གྲུ་ནར་ རིང་ཤོས་ཡིན་པས་སོ།)
(ཁ) སབ ློ ་མ་ཉུང་ཤོས་ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱེད་པའི་ཚོན་མདོག་ལི་ཝང་རེད། (ལི་ཝང་མཚོན་པར་བྱེད་པའི་གྲུ་ནར་ ཐུང་ཤོས་ཡིན་པས་སོ།)
(ག) ཁྱོན་བསྡོམས་ཚོན་མདོག་ལྔ་ཡོད། དེ་དག་ནི་དམར་པོ་དང་། ལི་ཝང་། སྔོན་པོ། སེར་པོ། ལྗང་ཁུ་བཅས་སོ།
༩༽ གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐོ་ནི་འཛིན་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སློབ་མ་དྲུག་གིས་བླངས་པའི་ཁྱོན་བསྡོམས་ཐོབ་ཆ་ (600 ནས་) སྟོན་གྱི་ཡོད། གྲངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན། སློབ་མ།
བླངས་པའི་ཐོབ་ཆ།
བློ་བཟང་། 450
དཔལ་སྒྲོན། 500
བསོད་ནམས། 300
ཚེ་རིང་། 360
ལྷ་མོ། 400
ཀུན་དགའ། 540
ལན། (ཀ) ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་གདམ་པར། ང་ཚོས་དུམ་བུ་རེ་ལ་སྤར་ཆ་ 100 རེ་བརྩིས་ནས་དུམ་བུ་འདྲ་མཉམ་
དུ་གཏོང་དགོས། དེས་ན། ཚད་གཞི་ 1 གིས་ཨང་ཐོབ་ 100 མཚོན་གྱི་རེད། (གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཚད་གཞི་ 1
ལ་ཨང་ཐོབ་ 10 ཡིས་མཚོན་པར་བྱས་ན་དཀའ་ངལ་གང་ཡོད་དམ།)
(ཁ) གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་སྟོན་པ་བཞིན། གྲངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན།
224
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = ཨང་ཐོབ་ 100
600 500
0
ཀུན་དགའ།
ལྷ་མོ།
ཚེ་རིང་།
100
བསོད་ནམས།
200
དཔལ་སྒྲོན།
ཨང་ཐོབ་ 600 ནས།
300
བློ་བཟང་།
400
སློབ་མ།
༡༣་༩་༡ གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས། Double Bar Graph
གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ནང་། ང་ཚོས་ཐིག་རིས་གཅིག་གི་སྟེང་ཐིག་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་གྲངས་ཐོ་གཉིས་འབྲི་
ཡི་ཡོད། གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ཀྱིས་ཤེས་ཟིན་པའི་གྲངས་ཐོ་གཉིས་བསྡུར་བར་རོགས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ལ་ཆ་འཇོག
ཨང་རྩིས་དགེ་རྒན་གྱིས་ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད་རྗེས་སློབ་ཁྲིད་ཐབས་ལམ་གསར་པ་ཞིག་ཉམས་ལེན་བྱས་པ་དེ་ནུས་པ་
ཅན་ཞིག་བྱུང་ཡོད་མེད་ཀྱི་རྟོག་ཞིབ་བྱ་འདོད་ཡོད། མོས་ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད་ (25 ནས་) དང་ལོ་ཕྱེད་ཡིག་ཚད་ (25 ནས་) ནང་ཨང་ཐོབ་དམའ་ཤོས་བླངས་བའི་སློབ་མ་ 5 ཡི་ཐོབ་ཆ་ལེན་པ་རེད། སློབ་མ།
ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད། ལོ་ཕྱེད་ཡིག་ཚད། 25 20
ཆོས་ལྡན། 10
དཔའ་མོ།
15
18
15
རབ་རྒྱས། བཀྲ་ཤིས། 12
20
བུ་ཁྲིད།
16
21
15
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = ཨང་ཐོབ་ 5
ཨང་ཐོབ་ 25 ནས།
15
ཟླ་བཞིའི་ཡིག་ཚད།
10
ལོ་ཕྱེད་ཡིག་ཚད།
5 0
9
ཆོས་ལྡན།
དཔའ་མོ།
སློབ་མ།
རབ་རྒྱས།
བཀྲ་ཤིས།
བུ་ཁྲིད།
225
རྩིས་རིག
གོང་གི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ལས། སློབ་མ་མང་ཆེ་བའི་གྲུབ་འབྲས་ལ་ཡར་རྒྱས་ཀྱི་རྣམ་པ་གསལ་པོ་མཐོང་ཐུབ། དེས་ན། རྒན་ལགས་ཀྱིས་སློབ་ཁྲིད་ཐབས་ལམ་གསར་པ་དེ་མུ་མཐུད་བེད་སྤྱོད་བྱ་རྒྱུའི་ཐག་བཅད་པ་རེད། རྩིས་དཔེ།
༡༠༽ ས་གནས་ཤིག་ལ་དཔྱད་ཞིབ་བྱས་པའི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གསལ། ལྟ་མཁན།
རྩེད་མཁན།
རྐང་པོལ། 1200
ཁི་རི་ཀེཊ། 1550
བྱ་སྒྲོ། 605
སིལ་པོལ། 650
ལུས་རྩེད།
820
1090
110
255
250
890
ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ། གྲངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན།
ལན། གྲངས་ཐོའི་ནང་མི་གྲངས་མང་པོ་ཡོད་པས། ཐིག་ཚད་ནི་ཚད་གཞི་ 1 = མི་ 100 མཚོན་པར་བྱེད་ཀྱི་ཡིན། གྲངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ནང་མཚོན་པ་གཤམ་གསལ།
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = མི་ 100 ལྟ་མཁན།
རྩེད་མཁན།
མིའི་གྲངས།
1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
226
རྐང་པོལ།
ཁི་རི་ཀེཊ།
རྩེད་མོ།
བྱ་སྒྲོ།
སིལ་པོལ།
ལུས་རྩེད།
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༡༣་༣
༡། དཔེ་རིས་ ༡༣་༡ ནང་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སློབ་མ་རྣམས་ཀྱི་གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན་གྱི་གྲངས་ སྟོན་གྱི་ཡོད། དེ་བེད་སྤྱད་དེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབ། (ཀ) སྤྱི་མོས་ཀྱི་གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན་གྱི་མིང་བྲིས།
(ཁ) གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན་ནེ་ཙོ་ཡིན་པའི་སློབ་མ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
གཅེས་ཉར་སེམས་ཅན།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡
ཕྱི་ལོ།
2014 2013
2012
2011
ཐིག་ཚད། ཚད་གཞི་ 1 = དེབ་ 100
2010
600 500 400 300 200 100 0
དེབ་ཀྱི་གྲངས།
གཞན།
ནེ་ཙོ།
ཁྱི།
ཞི་མི།
རི་བོང་།
སློབ་མ།
12 10 8 6 4 2 0
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢
༢། དེབ་ཚོང་ཁང་ཞིག་གིས་ལོ་ལྔ་བསྟུད་མར་དེབ་བཙོངས་པའི་གྲངས་ཀྱི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ (དཔེ་རིས་ ༡༣་༢) བཀླགས་ ཏེ། གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་བྲིས།
(ཀ) ཕྱི་ལོ་ 2010 དང་། 2011, 2013 བཅས་ཀྱི་ནང་དེབ་ག་ཚོད་བཙོངས་ཡོད་དམ། (ཁ) ཕྱི་ལོ་གང་གི་ལོར་དེབ་གྲངས་ 475 ཙམ་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ག) ཕྱི་ལོ་གང་གི་ལོར་དེབ་གྲངས་ 250 ལས་ཉུང་བ་བཙོངས་ཡོད་དམ།
(ང) ཕྱི་ལོ་ 2010 ལོར་བཙོངས་པའི་དེབ་གྲངས་ཚོད་དཔག་བྱེད་སྟངས་བྲིས།
༣། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐོ་ནི་འཛིན་རིམ་དྲུག་གི་སློབ་མའི་གྲངས་སྟོན་གྱི་ཡོད། གྲངས་ཐོ་འདི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནང་ མཚོན།
འཛིན་རིམ།
སློབ་མའི་གྲངས།
ལྔ་པ། 135
དྲུག་པ། 120
བདུན་པ། 95
བརྒྱད་པ། 100
དགུ་པ། 90
བཅུ་པ། 80
(ཀ) ཁྱེད་ཀྱིས་ཐིག་ཚད་ཇི་ལྟར་གདམ་གྱི་ཡིན་ནམ། (ཁ) གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་བྲིས།
227
རྩིས་རིག
(༡) སློབ་མ་མང་ཤོས་ཡོད་པ་དང་སློབ་མ་ཉུང་ཤོས་ཡོད་པའི་འཛིན་གྲྭ་གང་རེད་དམ།
(༢) འཛིན་རིམ་དྲུག་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་དང་འཛིན་རིམ་བརྒྱད་པའི་སློབ་མའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ཚོལ།
༤། སློབ་མ་ཞིག་གིས་དུས་ཚིགས་དང་པོ་དང་དུས་ཚིགས་གཉིས་པའི་གྲུབ་འབྲས་གྲངས་ཐོ་གཤམ་དུ་སྤྲད་ཡོད། ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ། གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་བྲིས། སློབ་ཚན།
དུས་ཚིགས་དང་པོ། (100 ནས།)
བོད་ཡིག 67
ཨིན་ཇི། 72
ཨང་རྩིས། 88
ཚན་རིག 81
སྤྱི་ཚན།
70
65
95
85
75
དུས་ཚིགས་གཉིས་པ། (100 ནས།)
73
ཐིག་རིས་བེད་སྤྱད་དེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་རྣམས་ལ་ལན་རྒྱོབ།
(ཀ) སློབ་མ་དེའི་གྲུབ་འབྲས་ལ་ཡར་རྒྱས་ཆེ་ཤོས་ཕྱིན་པའི་སློབ་ཚན་དེ་གང་རེད་དམ། (ཁ) སློབ་ཚན་གང་ལ་ཡར་རྒྱས་ཉུང་ཤོས་ཕྱིན་འདུག་གམ། (ག) སློབ་ཚན་གང་ཞིག་གི་གྲུབ་འབྲས་ཆག་འདུག་གམ།
༥། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ནི་ཕྱི་ཟླ་གསུམ་པའི་བདུན་ཕྲག་དང་པོའི་སྔ་དྲོ་དང་དགོང་དྲོའི་དྲོད་ཚད་སྟོན་གྱི་ཡོད། རེས་གཟའ།
སྔ་དྲོའི་དྲོད་ཚད།
དགོང་དྲོའི་དྲོད་ཚད།
ཟླ་བ།
30oC
མིག་དམར། 21oC
ལྷག་པ། 17oC
ཕུར་བུ། 22oC
པ་སངས། 21oC
སྤེན་པ། 17oC
12oC
22oC
15oC
20oC
20oC
15oC
12oC
18oC
གོང་གི་གྲངས་ཐོ་མཚོན་པའི་གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་བྲིས།
༦། གཤམ་གསལ་ནི་བོད་མི་གཞིས་ཆགས་ཁག་ལྔའི་ཕོ་མོའི་གྲངས་ཐོ་ཡིན། མོ། ཕོ།
ཀ
1000
ཁ
470
ག
510
ང
430
250
620
320
320
250
500
(ཀ) ཐིག་ཚད་འོས་འཚམ་ཞིག་བདམས་ཏེ་གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་བྲིས། (ཁ) མི་འབོར་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་གཞིས་ཆགས་དེ་གང་རེད་དམ། (ཁ) ཕོ་མོ་གཉིས་ལས་གང་མང་བ་འདུག་གམ།
228
ཅ
ཉི་མ།
སྡོམ་རྩིས་རིག་པ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གྲངས་ཐོ་ཞིག་བསྡུ་རུབ་མ་བྱས་གོང་ལ། དེ་གང་གི་ཆེད་དུ་བེད་སྤྱོད་བྱ་རྒྱུ་ཡིན་པ་གསལ་པོ་ཤེས་དགོས། ༢། བསྡུ་རུབ་བྱས་ཟིན་པའི་གྲངས་ཐོ་དེ་རེའུ་མིག་འོས་འཚམ་ཞིག་གི་ནང་བཀོད་སྒྲིག་བྱས་ཚེ། གྲངས་ཐོ་ དེའི་གོ་དོན་དང་འགྲེལ་བཤད་ལས་སླ་པོ་རྒྱག་ཐུབ།
༣། ཆ་སྙོམས་ནི་བྱེ་བྲག་གི་ཚོ་ཁག་གམ་ཡང་ན་གྲངས་ཐོའི་དཀྱིལ་ཐང་གི་ངོ་ཚབ་མཚོན་པའི་གྲངས་ལ་ ཟེར།
༤། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐོའི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཤིག་རེད།
༥། བྱིངས་གྲངས་ནི་གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་རྣམ་པ་ཤིག་ཡིན། གྲངས་ཐོ་ཞིག་གི་བྱིངས་གྲངས་ནི་ བསྐྱར་ཟློས་མང་ཤོོས་བྱེད་པའི་བྱེ་བྲག་དེ་ཡིན།
༦། དཀྱིལ་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐོ་གོ་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ཡོད་པའི་དཀྱིལ་གྱི་ཐང་དེ་ལ་ཟེར། བྱེ་བྲག་ཕྱེད་ཀ་ དཀྱིལ་གྲངས་ཀྱི་གོང་དང་ཕྱེད་ཀ་གཤམ་དུ་ཡོད།
༧། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་ནི་ཁ་ཞེང་མཉམ་པའི་གྲུ་ནར་བེད་སྤྱད་དེ། གྲངས་ཐོ་མཚོན་པའི་པར་རིས་ལ་ཟེར།
༨། གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ནི་ཐིག་རིས་གཅིག་གི་སྟེང་གྲངས་ཐོ་གཉིས་བསྡུར་བར་བེད་སྤྱོད་ཡོད།
229
སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། ༡། (ཀ) 48
༢། (ཀ) 18
༣། (ཀ) 75, 25
(ཁ) − 67
(ཁ) 35
༤། (ཀ) − 5, − 20 ༥། 102
༡། (ཀ) − 7
(ཁ) − 450
(ཇ) 493
(ཉ) 1140
(ཁ) − 96 (ཁ) 480
༦། (ཀ) − 9
(ཁ) − 7
༡། (ཀ) − 3
(ཁ) 0
༢། (ཀ) 1
(ཇ) − 96
(ག) 5
༦། − 35
(ཁ) ༡། 22
(ཇ) 0
(ང) 38
(ཉ) − 1
(ཁ) − 10 (ཉ) − 4
(ཅ) 1000
(ང) 57
(ཅ) 509
(ག) − 9, 9
(ཁ) − 250, − 200
༣། (ཀ) − a
༥། (ཀ) 336
(ག) 50
(ཁ) − 150, 25
(ཇ) − 1320 (ཉ) − 360
༤། (ཀ) − 8
སྦྱོང་ཚན། ༡་༡
(ག) 10, − 15
སྦྱོང་ཚན། ༡་༢
(ག) 316
(ང) 630
(ཏ) − 24 ༢། − 37
(ག) − 125
(ཅ) 0
(ཐ) 36 ༣། 0
(ང) 1990
(ག) − 53000 (ང) − 15000 (ཅ) − 4182 (ག) 7
(ང) − 11
སྦྱོང་ཚན། ༡་༣
(ག) − 4
(ག) − 205
(ང) 1
(ཅ) − 13
(ང) 97
(ཅ) − 103
༣། (− 6, 2), (− 12, 4), (12, − 4), (9, − 3), (− 9, 3) ༤། ` 150
༥། (ཀ) 9 p.m ; − 14o C
༡། ཀ, ཁ, ཅ, ཆ ༢། (ཀ)
230
སྦྱོང་ཚན། ༢་༡ 3 4
−2
−1
0
1
2
(ཆ) 0
(ཆ) 20
(ཆ) 162
(ཆ) − 62500
(ཆ) − 7
(ཆ) − 12
ལན།
(ཁ)
−1 −7 4
(ག)
−2
(ང)
−1
༣། (ཀ) −4 3 ༤། (ཀ) 1 4
−1
(ཁ) −1 2
0
1
0 (ག) 47 18
(ཁ) −5 6
༧། (ཀ) −4 , −6 , −8 14 21 28
2
(ཁ) 23 63
(ང) 2 −3
(ཁ) −4 , −1 , −2 3 3 9 (ག) > (ང) =
(ཁ) 10 , 15 , 20 −6 −9 −12
༩། (ཀ) −15 , −18 , −21 , −24 25 30 35 40 (ག) 5 , 6 , 7 , 8 −30 −36 −42 −48 (ཁ) −3 2
1 (ང) 6 21
(ག) 5 2
༨། (ཀ) −5 , −2 , −1 , −1 , −1 6 3 2 3 6 (ག) −7 , −34 , −11 , −32 , −31 9 45 15 45 45
༢། (ཀ) −13 72
1
7 8
༥། (ཀ) −3 , −2 , −1 5 5 5 ༦། (ཀ) < (ཁ) >
༡། (ཀ) 34 15
0
−5 8
(ག) −2 13
(ག) 1 195
(ཅ) −3 2 7
(ག) −3 , −3 , −3 2 4 7 (ཅ) < (ཆ) >
(ག) 8 , 12 , 16 18 27 36
(ཁ) −11 , −5 , −3 , −4 , −7 6 3 2 3 6 (ང) −1 , −1 , 0 , 1 , 1 6 3 3 6
(ང) 10 , 15 , 20 12 18 24
(ཁ) −4 , −5 , −6 , −7 16 20 24 28 (ང) 8 , 10 , 12 , 14 −12 −15 −18 −21
སྦྱོང་ཚན། ༢་༢ (ང) 82 99
(ང) −89 88
(ཅ) 17 30
(ཅ) −73 9
(ཆ) −26 57 (ཆ) −32 63
(ཇ) 34 15
231
རྩིས་རིག
༣། (ཀ) −27 (ཁ) −6 10 35 ༤། (ཀ) −6 ༥། 61 104
(ག) 0 (ང) −54 55
(ཁ) −3 10
(ག) −5 3
༦། 9 13
༢། (ཀ) 64 ༣། (ཀ) 29
༤། (ཀ) 34
༥། (ཀ) 5 × 34 ༦། (ཀ) 2000
(ཁ) m2
(ཁ) 73
(ཁ) 0
(ཇ) 675
(ང) 5 × 5 × 5 × 5 (ང) 52 × 73
(ག) b4
(ང) 55
(ག) 35 (ཁ) 22 × 33 × 5
(ང) 2100 (ག) 23 × 34
(ག) 40
(ཉ) 196
༧། (ཀ) − 64
(ཁ) 9 × 9 × 9
(ག) 36
(ཁ) 210
(ཁ) 24 (ག) 225 ༨། (ཀ) 2.7 × 1012 > 1.5 × 108 ༡། (ཀ) 314
(ཇ) (ab)4
༢། (ཀ) 33 (ཇ) 1
(ཁ) 65
(ཉ) 8 t − 2
(ཁ) 53 (ཉ) 2
(ག) a5
(ཅ) 91 24
(ཏ) 28
(ག) 55
(ང) 144
(ང) 8000
སྦྱོང་ཚན། ༣་༢
(ཏ) (2a)2
(ག) ནོར། ; 65 = 25 × 35
(ང) འགྲིག ; 30 = 1 , (1000)0 = 1
༥། (ཀ) 98
232
(ཆ) −2 3
(ཇ) −26 7
(ཉ) 0
(ཁ) 2 × 33 × 5 4 (ཁ) 5t 8
(ཅ) 22 × a2
(ཆ) a3 × c4 × d
(ང) 24 × 32 × 52
(ཅ) 768
(ཆ) 90000
(ཁ) 4 × 1014 < 3 × 1017
(ང) 7 x + 2
(ཅ) 53
(ཆ) (10)5
(ཐ) a10
(ད) a3b
(ན) 28
(ང) 7 × 115
༣། (ཀ) ནོར། ; 10 × 1011 = 1012 དང་ (100)11 = 1022 (ཁ) ནོར། ; 23 = 8 , 52 = 25 ༤། (ཀ) 26
(ཆ) −3 5
སྦྱོང་ཚན། ༣་༡
༡། (ཀ) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (ག) 11 × 11 × 11
(ང) −1 6
(ཅ) 1
(ག) 28 × 3
(ག) 1
(ཅ) 30 ཡང་ན་ 0 (ཆ) 3
(ང) 27 × 3
ལན།
སྦྱོང་ཚན། ༣་༣
༡། 20068 = 2 × 104 + 0 × 103 + 0 × 102 + 6 × 101 + 8 × 100
120719 = 1 × 105 + 2 × 104 + 0 × 103 + 7 × 102 + 1 × 101 + 9 × 100 279404 = 2 × 105 + 7 × 104 + 9 × 103 + 4 × 102 + 0 × 101 + 4 × 100 2806196 = 2 × 106 + 8 × 105 + 0 × 104 + 6 × 103 + 1 × 102 + 9 × 101 + 6 × 100 3006194 = 3 × 106 + 0 × 105 + 0 × 104 + 6 × 103 + 1 × 102 + 9 × 101 + 4 × 100
༢། (ཀ) 86045
(ཁ) 405302
༤། (ཀ) 6 × 106
(ཁ) 3.84 × 108 m
༣། (ཀ) 7 × 106
(ཁ) 5 × 108
(ཅ) 3.90878 × 104
(ང) 1 × 1011
༡། (ཀ) 1 : 2
(ཅ) ལོ་ 1.2 × 1010
(ཁ) 1 : 2000
(ང) 900230
(ག) 3.1865 × 109
(ཆ) 3.90878 × 103
༢། (ཀ) 66.66 % (ཁ) 75 % ༣། 6
(ག) 30705
(ག) 1.2756 × 107 m
(ང) 3.90878 × 105
སྦྱོང་ཚན། ༤་༡
(ག) 1 : 6
༤། 25
༥། ` 2,400
༦། གཞན་ = 10 % ; རྐང་པོལ་ = 3000000 ; དབྱུག་རྩེད་པོ་ལོ་ = 1500000 ; གཞན་ = 500000 ༡། ` 1,40,000 ༥། ཁེ་ 2 %
༩། ` 2,000
༡། (ཀ) ` 120
༢། (ཀ) ` 1,632 ༣། 2.5 % ༤། ` 500
༢། 80 %
༦། ` 2,835
༡༠། ` 5,000
(ཁ) 6 %
(ཁ) ` 8,250
སྦྱོང་ཚན། ༤་༢
༣། ` 34.80
༧། གྱོང་ ` 1,269.84
སྦྱོང་ཚན། ༤་༣
(ག) 2
(ང) ` 260
༤། ` 18,342.50
༨། ` 14,300
(ཅ) ` 945
233
རྩིས་རིག
༡། (ཀ) y − z
(ཇ) 10 − yz
༢། (ཀ)
༡།
༣།
སྦྱོང་ཚན། ༥་༡
1 (ཁ) 2 (x + y)
1 (ང) 4 (p × q) (ཉ) ab − (a + b)
(ག) z2
x−3
༢།
−3
x
༤།
y − y3 − y3
y
− 1 y y y ༥།
− ab − 1 (ཁ)
༣།
༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨
ཀ
ཁ
234
a
b
(ཆ) 5 + 3mn
(ཅ) x2 + y2 1 + x + x2 1
x2
x x
x
5xy2 + 7x2y 5xy2
7x2y
5 x y y
7 x x y
−ab + 2b2 − 3a2 2b2 2
b
− 3a2 b
− 3
a
a
ཚུལ།
ཚན་པ།
བགོད་གྲངས།
ཚུལ།
ཚན་པ།
ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས།
− 4x + 5 − 4x, 5 − 4, x, 5 − 4x + 5y − 4x, 5y − 4, x, 5, y 5y + 3y2 5y, 3y2 5, y, 3, y, y xy + 2x2y2 xy, 2x2y2 x, y, 2, x, x, y, y pq + q pq, q p, q, q 1.2ab − 2.4b + 3.6a 1.2ab, − 2.4b, 3.6a 1.2, a, b, − 2.4, b, 3.6, a 3x + 1 3 x, 1 3 , x, 1 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 − 0.1p + 0.2q − 0.1p , 0.2q − 0.1, p, p, 0.2, q, q 5 − 3t2 1 + t + t2 + t3
− 3t2 t t2 t3
−3 1 1 1
ག
x + 2xy + 3y
ང
100m + 1000n
ཆ
1.2a + 0.8b
ཅ
−p2q2 + 7pq
ཇ ཉ
3.14r2 2(l + b) = 2l + 2b
ཏ
༤། (ཀ)
0.1y + 0.01y2
ཚུལ།
x ཡོད་པའི་ཚན་པ།
x ཡི་བཏགས་གྲངས།
y2 ཡི་བཏགས་གྲངས།
y2x + y 13y2 − 8yx 7x + xy2
༦
12xy2 + 25
y2x − 8yx 7x xy2 zx x xy 12xy2
ཚུལ།
y2 ཡོད་པའི་ཚན་པ།
5 + z + zx 1 + x + xy
8 − xy2 ༡ 5y2 + 7x ༢ 2 2 2 ༣ 2x y − 15xy + 7y
༥། (ཀ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།
(ཅ) སུམ་ཚན་ཚུལ།
1 2 3 100 1000 −1 7 1.2 0.8 3.14 2 2 0.1 0.01
x 2xy 3y 100m 1000n −p2q2 7pq 1.2a 0.8b 3.14r2 2l 2b 0.1y 0.01y2
༡ ༢ ༣ ༤ ༥
(ཁ)
ལན།
−xy2 5y2 − 15xy2 7y2
(ཁ) ཚན་རྐྱང་ཚུལ།
(ཆ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།
y2 − 8y 7 y2 z 1 y 12y2
(ག) སུམ་ཚན་ཚུལ།
(ཇ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།
−x 5 − 15x 7
(ང) ཚན་རྐྱང་ཚུལ།
(ཉ) ཚན་རྐྱང་ཚུལ།
235
(ཏ) སུམ་ཚན་ཚུལ།
(ཐ) ཉིས་ཚན་ཚུལ།
༦། (ཀ) ཚན་མཐུན།
རྩིས་རིག
(ཁ) ཚན་མཐུན།
(ཅ) མི་མཐུན་ཚན་པ།
(ཆ) མི་མཐུན་ཚན་པ།
(ད) ཉིས་ཚན་ཚུལ།
(ག) མི་མཐུན་ཚན་པ།
(ན) སུམ་ཚན་ཚུལ། (ང) ཚན་མཐུན།
༧། (ཀ) (− xy2, 2xy2), (− 4yx2, 20x2y), (8x2, − 11x2, − 6x2), (7y, y), (− 100x, 3x), (− 11yx, 2xy)
(ཁ) (10pq, − 7qp, 78qp), (7p, 2405p), (8q, − 100q), (− p2q2, 12q2p2), (− 23, 41), (− 5p2, 701p2), (13p2q, qp2)
སྦྱོང་ཚན། ༥་༢
༡། (ཀ) 8b − 32
(ཁ) 7z3 + 12z2 − 20z
(ག) p − q
(ང) a + b + 3
(ཅ) 7x + 5
(ཆ) 3m − 4n − 3mn − 3
(ང) 5a + 5b − 2ab
(ཅ) 5m2 − 8mn + 8
(ཆ) x2 − 5x − 5
༦། (ཀ) − y + 11
(ཁ) 2x + 4
(ང) a + ab
(ཅ) 8x2y + 8xy2 − 4x2 − 7y2
༢། (ཀ) 2mn
(ཁ) − 5tz
(ཇ) 9x2y − 8xy2
༣། (ཀ) 6y2
(ཉ) − x2 − y2 − 1 (ཁ) − 18xy
༥། 4x2 − 3y2 − xy
(ཁ) 5a + b − 6
སྦྱོང་ཚན། ༥་༣
༡། (ཀ) 0
(ཁ) 1
(ག) − 1
༤། (ཀ) 8
(ཁ) 4
(ག) 0
༢། (ཀ) − 1 ༣། (ཀ) − 9 ༥། (ཀ) − 2
༦། (ཀ) 5x − 13; − 3
(ཁ) − 13 (ཁ) 3
(ཁ) 2
(ག) 11x − 10; 12
236
(ག) 3
(ག) 0
(ག) 0
(ཁ) 8x − 1; 15
(ང) 11x + 7; 29
(ག) 12mn − 4
(ག) 2b
(ཇ) − 7a2 − 7b2 + 10ab (ཉ) 8p2 + 8q2 − 5pq
༤། (ཀ) x2 + 2xy − y2
(ཆ) 4y2 − 3y
(ང) 1
(ང) 1
(ང) 2
(ཅ) 1
༧། (ཀ) 10
ལན།
(ཁ) − 6
༨། (ཀ) 1000
(ག) 11
(ཁ) 20
༡༠། 2a2 + ab + 3; 38 ༡།
ཀ
དཔེ་འགྲོས།
ཨང་ཀིའི་གྲངས།
དཔེ་འགྲོས་ཀྱི་ཆོ་ག
5
10
དུམ་བུའི་གྲངས། 26 51
(5n + 1)
501 16
100 5 10
31
(3n + 1)
301 27
100 5
ག
ཚུལ།
(ཅ) − 8
སྦྱོང་ཚན། ༥་༤
ཁ
༢།
(ང) 22
10
52
(5n + 2)
502
100
1
3
5
7
ལྔ་པ། 9
... _
བཅུ་པ། 19
... _
བརྒྱ་པ། 199
...
3n + 2
5
8
11
14
17
_
32
_
302
_
4n + 1
5
9
13
17
21
_
41
_
401
_
7n + 20
27
34
41
48
55
_
90
_
720
_
n2 + 1
2
5
10
17
26
_
101
_
10,001
_
2n − 1
༡། (ཀ) མིན།
(ཇ) ཡིན།
༢། (ཀ) མིན།
དང་པོ། གཉིས་པ། གསུམ་པ། བཞི་པ།
ཚན་པ།
(ཁ) མིན།
(ཉ) མིན།
(ཁ) མིན།
སྦྱོང་ཚན། ༦་༡
(ག) ཡིན། (ཏ) མིན།
(ག) ཡིན།
(ང) མིན།
(ཐ) མིན།
(ང) མིན།
(ཅ) ཡིན།
(ད) ཡིན།
(ཅ) མིན།
_
(ཆ) མིན།
(ཆ) མིན།
237
རྩིས་རིག
༣། (ཀ) x + 4 = 9
(ཁ) y − 2 = 8
x (ཆ) 7m + 7 = 77 (ཇ) 4 − 4 = 4 ༤། (ཀ) p དང་ 4 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ 15 རེད། (ག) 2 སྒྱུར་ m ནི་ 7 རེད།
(ཅ) m ཡི་ལྔ་ཆ་གསུམ་ནི་ 6 རེད།
d 3t (ང) 5 = 6 (ཅ) 4 = 15 z (ཉ) 6y − 6 = 60 (ཏ) 3 + 3 = 30 (ཁ) m ནས་ 7 འཐེན་ན་ 3 འབྱུང་།
(ག) 10a = 70
(ང) m ཡི་ལྔ་ཆ་གཅིག་ནི་ 3 རེད།
(ཆ) གསུམ་སྒྱུར་ p སྡོམ་ 4 ཡིས་ 25 འབྱུང་།
(ཇ) བཞི་སྒྱུར་ p འཐེན་ 2 ཀྱིས་ 18 འབྱུང་། (ཉ) p ཡི་གཉིས་ཆ་གཅིག་སྟེང་ 2 བསྡོམས་ན་ 8 འབྱུང་།
༥། (ཀ) 5m + 7 = 37
(ཁ) 3y + 4 = 49
༡། (ཀ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 1 རེ་སྡོམས། ; x = 1
སྦྱོང་ཚན། ༦་༢
(ཁ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 6 རེ་འཐེན། ; x = − 4 (ག) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 4 རེ་སྡོམས། ; y = − 3 (ང) ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ 4 རེ་འཐེན། ; y = 0
(ཅ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་བགོས། ; l = 14
1 (ཆ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 20 རེས་བགོས། ; t = − 2 (ཇ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 རེས་སྒྱུར། ; b = 12 15 (ཉ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 རེས་སྒྱུར། ; z = 4 7 (ཏ) ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 5 རེས་སྒྱུར། ; a = 3 ༢། (ཀ) q = 3 (ཁ) m = 2 (ག) p = 9 (ཇ) x = 5
(ཉ) x = 0
−18 5 (ཇ) y = 8
(ཁ) z = − 2 1 (ཉ) m = 2 (ཁ) n = 12
༡། (ཀ) t =
༢། (ཀ) x = 2
14 ༣། (ཀ) p = 5
238
6 (ཁ) p = 5
(ང) n = 16
(ཅ) p = 20
(ཆ) q = 6
(ང) q = 48
5 (ཅ) x = 2
(ཆ) b = 16
(ང) x = − 4
(ཅ) x = 0
སྦྱོང་ཚན། ༦་༣
(ག) a = − 5
(ག) n = − 2
(ག) t = 2
(ང) p = 7
(ཅ) m = 2
ལན། x 2 ༤། (ཀ) 10x + 2 = 22; 5 = 5 ; 5x − 3 = 7
སྦྱོང་ཚན། ༦་༤
x (ཁ) 5 − 4 = 3; x = 35
༡། (ཀ) 8x + 4 = 60; x = 7 3y (ག) 4 + 3 = 21; y = 24 (ཅ) 50 − 3x = 8; x = 14 5n (ཇ) 2 − 7 = 23; n = 12 ༢། (ཀ) ཨང་ཀི་དམའ་ཤོས་ = 40 (ག) 6
༢། (ཀ) 75o
༣། (ཀ) གསབ་ཟུར། (ཅ) གསབ་ཟུར།
༤། 45
o
༦། (ཀ) མ་རེད།
༧། 45 ལས་ཆུང་བ། o
༨། (ཀ) རེད།
(ང) 2m − 11 = 15; m = 13 x + 19 (ཆ) 5 = 8; x = 21
(ང) ལོ་ 15
༡། (ཀ) 70o
(ཁ) 27o
(ཅ) 25
(ག) 26o
(ཁ) གྲོགས་ཟུར།
(ཆ) གསབ་ཟུར།
༥། 90o
(ཁ) མ་རེད།
(ཁ) མ་རེད།
༩། (ཀ) ∠1, ∠4; ∠5, ∠2 + ∠3
(ག) གྲོགས་ཟུར།
(ག) རེད།
(ག) རེད།
༡༠། (ཀ) x = 55o, y = 125o, z = 125o ༡༡། (ཀ) 90o
(ཁ) 180o
(ཁ) ཉི་མ་ = 132; པ་སངས་ = 66
སྦྱོང་ཚན། ༧་༡
(ག) 33o
(ཁ) 93o
(ཁ) 3x = − 6; 3x + 7 = 1; 3x + 10 = 4
(ག) གསབ་ཟུར།
(ང) རེད།
(ཅ) མ་རེད།
(ཆ) ∠COB
(ཅ) གཅིག་པ།
(ཆ) རྟུལ་ཟུར།
(ཁ) ∠1, ∠5; ∠4, ∠5
(ཁ) x = 115o, y = 140o, z = 40o
(ང) ཉེ་གསབ་ཟུར།
སྦྱོང་ཚན། ༧་༢
༡། (ཀ) གནས་མཐུན་ཟུར་གཉིས་མཚུངས་པས་སོ།།
(ང) གྲོགས་ཟུར།
(ཁ) ནང་སྣོལ་ཟུར་གཉིས་མཚུངས་པས་སོ།།
(ག) གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།
༢། (ཀ) ∠1, ∠5; ∠2, ∠6; ∠3, ∠7; ∠4, ∠8
(ཁ) ∠2, ∠8; ∠3, ∠5
239
རྩིས་རིག
(ག) ∠2, ∠5; ∠3, ∠8
(ང) ∠1, ∠3; ∠2, ∠4; ∠5, ∠7; ∠6, ∠8
༣། a = 55o, b = 125o, c = 55o, d = 125o, e = 55o, f = 55o ༤། (ཀ) x = 70o
(ཁ) x = 100o
༥། (ཀ) l ནི་ m དང་མཉམ་འགྲོ་མིན།
(ག) l ནི་ m དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན།
(ཁ) 110o
(ང) l ནི་ m དང་མཉམ་འགྲོ་མིན།
སྦྱོང་ཚན། ༨་༡
༡། དཔངས་རེད། དཀྱིལ་ཐིག མ་རེད། ༡། (ཀ) 120o
(ཁ) l ནི་ m དང་མཉམ་འགྲོ་མིན།
སྦྱོང་ཚན། ༨་༢
(ག) 70o
(ང) 120o
(ཅ) 100o
(ཆ) 90o
(ཆ) 30o
༢། (ཀ) 65o
(ཁ) 30o
(ག) 35o
(ང) 60o
(ཅ) 50o
༡། (ཀ) 40o
(ཁ) 45o
(ག) 50o
(ང) 60o
(ཅ) 55o
༡། QR = 26 cm ༥། 20 m
སྦྱོང་ཚན། ༨་༣ སྦྱོང་ཚན། ༨་༤
༢། BC = 24 cm ༦། 18 m
༣། 9 cm ༧། (ཁ)
༨། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 98 cm; རྒྱ་ཁྱོན་ = 360 cm2 ༡། (ཀ) ཐིག་དུམ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་གཅིག་པ།
སྦྱོང་ཚན། ༩་༡
(ཁ) 70o
(ཆ) 40o
༤། (ཁ) དང་ (ག)
(ག) ∠A = ∠B
༣། ∠A ↔ ∠F, ∠B ↔ ∠E, ∠C ↔ ∠D; AB ↔ FE, BC ↔ ED, AC ↔ FD ༤། (ཀ) ∠C
(ཁ) CA
(ག) ∠A
(ང) BA
༥། ∠QPR = 75 ; ∠A ↔ ∠P, ∠B ↔ ∠Q, ∠C ↔ ∠R; AB ↔ PQ, BC ↔ QR, AC ↔ PR o
༡། (ཀ) SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
240
(ག) ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
སྦྱོང་ཚན། ༩་༢
(ཁ) SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
(ཁ) RHS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
ལན།
༢། (ཀ) ༡། PE ༢། EN ༣། PN (ཁ) ༡། EN ༢། AT (ག) ༡། ∠RAT = ∠EPN ༢། ∠ATR = ∠PNE ༣། (ཀ) ཤེས་ཟིན།
(ཁ) ཤེས་ཟིན།
༤། ∆WON
(ག) སྤྱི་མཐའ།
༥། (ཀ) ཡིན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
(ག) ཡིན། ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན་པའི་ཕྱིར།
(ང) SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
(ཁ) ཡིན། ∆ADB ≅ ∆ADC ཡིན་པའི་ཕྱིར།
༩། BC = DE, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D, ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན།
སྦྱོང་ཚན། ༡༡་༡
༡། (ཁ), (ག), (ང), (ཆ) ༢།
1 3
2
4
1 5
5
3
6
4
6
2
༣། མ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཤོའི་གཏད་ངོས་ཆ་གཅིག་ལ་ 1 དང་ 4 ཡོད་པ་དང་དེ་དག་གི་ཁྱོན་བསྡོམས་ 7 མིན། ཡང་ གཏད་ངོས་ཆ་གཞན་ཞིག་ལ་ 3 དང་ 6 ཡོད་པ་དང་དེ་དག་གི་ཁྱོན་བསྡོམས་ཀྱང་ 7 མིན།
༤། (ཀ) (༢)
(ཁ) (༣)
༡། (ཀ) 150000 m2 ༢། 6400 m2
(ག) (༤)
(ང) (༡)
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༡
(ཁ) ` 1,500,000,000 ༣། 20 m, 84 m
༦། 31 cm; གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། ༧། 35 cm, 1050 cm2 ༡། (ཀ) 28 cm2 ༢། (ཀ) 6 cm2
༣། (ཀ) 12.3 cm ༤། (ཀ) 11.6 cm
(ཁ) 15 cm2
(ཁ) 8 cm2
༥། (ཀ) 91.2 cm2 (ཁ) 11.4 cm
༨། ` 284
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༢
(ག) 8.75 cm2
(ག) 6 cm2
(ཁ) 10.3 cm (ག) 5.8 cm
(ཁ) 80 cm
༤། 15 cm, 525 cm2
(ག) 15.5 cm
(ང) 8.8 cm2 (ང) 3 cm2
(ང) 1.05 cm
༥། 40 m
(ཅ) 24 cm2
༦། BM ཡི་རིང་ཚད་ = 30 cm; DL ཡི་རིང་ཚད་ = 42 cm
241
རྩིས་རིག
60 cm 13 ༨། ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 27 cm2 ; CE ཡི་རིང་ཚད་ = 7.2 cm ༧། ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 30 cm2 ; AD ཡི་རིང་ཚད་ =
༡། (ཀ) 88 cm
(ག) 132 cm 550 ༢། (ཀ) 616 mm2 (ཁ) 1886.5 m2 (ག) 7 cm2 (ང) 7539.14 cm2 ༣། 24.5 m; 1886.5 m2 ༤། 132 m; ` 528 ༥། 21.98 cm2 ༦། 25.7 cm ༧། ` 30.14
༡༠། 23.44 cm2 ༡༤། རེད།
(ཁ) 176 mm
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༣
༨། 7 cm; 154 cm2; 11 cm; སྒོར་དབྱིབས།
༡༡། 5 cm; 78.5 cm2
༡༥། ཐེངས་ 200
༡། 1750 m2 ; 0.675 ha
༧། (ཀ) 441 m2 (ཁ) ` 48,510 ༨། (ཀ) 50 m2
(ཁ) 12.56 m2
༩། ཡོད། ཐག་པ་ 9.12 m ལྷག་ཡོད། ༢།
242
༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩
ཐོབ་ཆ། 1 2 3 4 5 6 7 8 9
༡༦། 94.2 cm
སྦྱོང་ཚན། ༡༢་༤
༢། 1176 m2
༥། (ཀ) 116 m2 (ཁ) ` 31,360
༡༢། 879.20 m2
༣། 30 m2
༩། 536 cm2
༡༣། 119.32 m; 56.52 m
༤། (ཀ) 63 m2 (ཁ) ` 12,600
༦། 0.5964 ha; 20.4036 ha (ག) 37.44 m2
(ང) 12.56 m
༡༠། (ཀ) 110 cm2
(ཁ) 150 cm2
ཁྲམ་རྟགས།
སློབ་མའི་གྲངས། 1 2 1 3 5 4 2 1 1
སྦྱོང་ཚན། ༡༣་༡
༡༡། 66 cm2
(ཀ) 9
༣། 2
(ཁ) 1
༤། 50
(ག) 8
(ང) 5
༥། (ཀ) མཐོ་ཤོས་ = 95; དམའ་ཤོས་ = 39 ༦། 205
༧། (ཀ) 20.5
༨། (ཀ) 151 cm ༩། (ཀ) 12.5
(ཁ) 5.9
(ཁ) 128 cm (ཁ) 3
ལན།
(ཁ) 56 (ག) 5
(ག) 23 cm 9 (ག) 2
(ག) 73
(ང) 141.4 cm
(ཅ) 5
སྦྱོང་ཚན། ༡༣་༢
༡། བྱིངས་གྲངས་ = 20, དཀྱིལ་གྲངས་ = 20, རེད།
༢། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ = 39, བྱིངས་གྲངས་ = 15, དཀྱིལ་གྲངས་ = 15, མ་རེད། ༣། (ཀ) བྱིངས་གྲངས་ = 38 kg, 43 kg; དཀྱིལ་གྲངས་ = 40 kg (ཁ) འདུག བྱིངས་གྲངས་ 2 འདུག
༤། བཟོ་བཅོས་བརྒྱབ་པའི་དཀྱིལ་གྲངས་ = 12; བཟོ་བཅོས་བརྒྱབ་པའི་བྱིངས་གྲངས་ = 15 ༥། (ཀ) འགྲིགས། ༡། (ཀ) ཁྱི།
(ཁ) 5
༤། (ཀ) ཨང་རྩིས། ༦། (ཁ) ཀ་པ།
(ཁ) ནོར།
(ཁ) སྤྱི་ཚན།
(ག) མོ།
(ག) ནོར།
སྦྱོང་ཚན། ༡༣་༣
(ག) ཨིན་ཇི།
243
Absolute value Acute angle Acute triangle Additive inverse Adjacent angles Adjacent sides Algebra Algebraic expression Alternate exterior angles Alternate interior angles Altitude Amount Angle bisector Arc Area ASA criterion Associative property Average Bar graph Base Binomial Centre
244
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར།
ལྟོས་མེད་ཐང་།
Chord
ལྡོག་གྲངས།
Closed curve
ཚབ་རྩིས།
Coefficient
ཕྱི་སྣོལ་ཟུར།
Common factor
རྒྱུད་ཐིག
རྣོ་ཟུར།
Circle
ཉེ་ཟུར།
Closed figure
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
Collection of data གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ།
རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
Circumference
ཉེ་མཐའ།
Closure property
Collinear points Common side
ནང་སྣོལ་ཟུར།
Commutative
དངུལ་འབོར།
angles
རྒྱ་ཁྱོན།
Congruence
property
དཔངས།
Complementary
གཞུ་ཐིག
Concurrent lines
སྡེབ་སྲོལ།
Congruent
གྲུ་ནར་ཐིག་རིས།
Constant
སྒོར་ལྟེ།
angles
ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག
Complete angle
སྒོར་དབྱིབས།
སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད།
ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས། བསྡུ་སྲོལ།
བཏགས་གྲངས།
ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས། སྤྱི་མཐའ།
བརྗེ་སྲོལ།
གྲོགས་ཟུར།
སྒོར་མཐའི་ཟུར།
གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག ཡོངས་མཚུངས།
ཟུར་མཐའ་ཟུར་གྱི་ཆ་རྐྱེན། Congruent figures ཡོངས་མཚུངས་དབྱིབས། triangles
ཆ་སྙོམས།
Cone
ཉིས་ཚན་ཚུལ།
Corrosponding
ཞབས། ཞབས་གྲངས།
Construction
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ། སྙུང་གཟུགས། རྟག་གྲངས།
འགོད་པ། འབྲི་བ།
གནས་མཐུན་ཟུར།
Corrosponding parts Cost price Cube Cuboid Cylinder Data Degree Denominator Diagonal Diameter Dimension Discount Distributive property Dividend Divider Divisor Double bar graph Edge End point Equation Equilateral triangle Exponent Expression Extended line
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར།
གནས་མཐུན་རྒྱུ།
Interior angle
ཤོ་གཟུགས། སུམ་སྒྱུར།
Factor
ཀ་ཟླུམ་གཟུགས།
Geometry box
མ་ཆ།
Included angle
ཆ་ཚད།
Initial point
Extreme terms
མ་གནས་རིན་གོང་།
Face
སྒམ་གཟུགས།
Formula
ཌིག་རི།
Hypotenuse
ཚངས་ཐིག
Infinity
བགོ་སྲོལ།
Integer system
བགོད་ཐུར།
Isosceles triangle
རིས།
LHS
མཉམ་བྱ།
Linear equation
སྟོན་གྲངས།
Literal factor
གྲུ་ནར་གཟུགས།
Factorisation
གྲངས་ཐོ།
Graph paper
གཏད་ཐིག
Included side
གཅོག་ཆ།
Integer
བགོད་བྱའི་གྲངས།
Interior angle
གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་
LCM
སྣེ་གནས།
Line segment
གསུམ་མ།
Line symmetry
བསྲིངས་ཐིག
Literals
Interest
བགོད་བྱེད་གྲངས།
Law
གྲུ། གཞོགས། མཐའ།
Like terms
མཐའ་མཉམ་པའི་ཟུར་
Linear pair
ཚུལ།
Literal number
ཕྱི་ཟུར།
ཕྱི་ཚན། ངོས།
བགོད་གྲངས།
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ཆོ་ག
དབྱིབས་ཆས་སྒམ། དྲ་མིག་ཤོག་བུ། གསེག་མཐའ། ཚུད་ཟུར།
ཚུད་མཐའ། ཚད་མེད།
འགོ་གནས། རིལ་གྲངས།
རིལ་གྲངས་ལམ་ལུགས། སྐྱེད་ཀ
ནང་ཟུར།
སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ཁྲིམས།
སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས། གཡོན་ཕྱོགས། ཚན་མཐུན། ཐིག་དུམ།
ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། ཉེ་གསབ་ཟུར།
ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག
ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས། ཡིག་འབྲུའི་གྲངས། ཡིག་འབྲུ།
245
Loss Major arc Marked price Mean Median Median of a Triangle Mid-point Minor arc Mode Monomial Multiple Multiplicative identity Natural number Negative integer Negative number Negative power Negative rational number Number line Numerals Numerator Numerical coefficient Numerical factor Observation Obtuse angle Obtuse triangle
246
གྱོང་།
རྩིས་རིག
Operation
གཞུ་རིང་། གཞུ་ཆེན།
Opposite side
དཀྱིལ་གྲངས།
Overhead expenses
དཀྱིལ་གནས།
Parallelogram
ཚན་རྐྱང་ཚུལ།
Perimeter
ཐོ་གསལ་གོང་ཚད།
Organisation of
ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་
Pair of angles
གཞུ་ཐུང་། གཞུ་ཆུང་།
Pattern
ལྡབ་གྲངས།
Perpendicular
རང་བྱུང་གྲངས།
Pictograph
སྟོན་གྲངས་མོ།
Polygon
གྲངས་ཐིག
Positive number
ཆ་སྙོམས་གྲངས།
data
ཐིག
Parallel lines
བྱིངས་གྲངས།
Percentage
སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ།
Perpendicular
རིལ་གྲངས་མོ།
Plane
ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ།
Polynomial
གྲངས་ཀ ཨང་ཀི།
Positive rational
མོ་གྲངས།
bisector
Point
Positive integer
བུ་ཆ།
number
ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས།
Prime factorisation
རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
Prism
ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས། Power བྱེ་བྲག
རྟུལ་ཟུར།
Practical problem Prime number Principal
རྩིས་ཐབས།
གཏད་མཐའ།
གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག འགྲོ་གྲོན་འཕར་མ། ཆ་ཟུར།
མཉམ་འགྲོ་ཐིག
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། དཔེ་འགྲོས། བརྒྱ་ཆ།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། དྲང་འཕྱང་།
དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ ཐིག
པར་རིས།
ངོས། སྙོམས་ངོས། གནས། ཚེག
དབྱིབས་མཐའ་མང་། ཚན་མང་ཚུལ། རིལ་གྲངས་ཕོ། ཕོ་གྲངས།
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ། ཐེངས་གྲངས།
བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི།
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། རྒྱུ་གྲངས། མ་དངུལ། གྲུ་ཀ
Profit Property Proportion Protractor Pyramid Pythagoras property Quadrilateral Quotient Rational number Radius Ratio Ray Reciprocal Rectangle Reflex angle Remainder Right angle RHS RHS criterion Right triangle Scalene triangle Sector Selling price Semi-circle Set-square SAS criterion SSS criterion
ཁེ།
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར།
Simple curve
འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།
ཁྱད་ཆོས།
Simple interest
གྲུ་སྙུང།
Sphere
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
Standard unit
ཚངས་ཕྱེད།
Supplementary
ལོག་གྲངས།
Three dimensional ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན།
བགོས་ལྷག
Trinomial
དྲང་གསེག་མཐའི་ཆ་རྐྱེན།
Unitary method
གསུམ་མ།
Vertex
སྒོར་ཕྱེད།
Whole number
སྡུར་ཕྲེང་།
Solid
པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ཁྱད་ཆོས།
Square
བགོས་ཐོབ།
Statistics
སྡུར་ཚད།
angles
གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
Transversal
ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས།
Solution
Standard form
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
Straight angle
འཕྲོ་ཐིག
Term
ལྡོག་འཕྲོ་ཟུར།
Triangle
མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། སྲ་གཟུགས། འགྲོལ་ཐོབ།
ཟླུམ་གཟུགས།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ། ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། སྙོམས་ཟུར།
གསབ་ཟུར། ཚན་པ།
གསེག་ཐིག
ཟུར་གསུམ་མ།
སུམ་ཚན་ཚུལ།
དྲང་ཟུར།
Transpose
དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ།
Unlike terms
སོག་དབྱིབས།
Vertically opposite ལྡོག་འཕྲད་ཟུར།
གཡས་ཕྱོགས།
Two dimensional
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་
Variable
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་།
angles
ཟུར་གསུམ་ཐིག་ཤིང་།
མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཆ་རྐྱེན།
མཐའ་མཐའ་མཐའི་ཆ་རྐྱེན།
གནས་ས་བརྗེ་བ།
ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན། རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས། མི་མཐུན་ཚན་པ། རྒྱུ།
ཟུར་ཚེག
ཧྲིལ་གྲངས།
247