དཔེ་རིས་ཅན་གྱི་ཨང་རྩིས་ཚིག་མཛོད།
དཔེ་རིས་ཅན་གྱི་ཚིག་མཛོད། རྩིས་རིག
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས།
དཔེ་རིས་ཅན་གྱི་ཚིག་མཛོད། Illustrated Maths Dictionary
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས།
སྤྱི་ཁྱབ་འགན་འཛིན། དྲུང་འཕར་ཚེ་རིང་བསམ་གྲུབ། རྩོམ་སྒྲིག་འགན་ཁུར། ཟུང་དྲུང་བསོད་ནམས་བཟང་པོ། རྩོམ་སྒྲིག་དང་ཇུས་འགོད། བློ་བཟང་བསྟན་འཛིིན། ཞུ་དག་པ། ན་ག་སངས་རྒྱས་བསྟན་དར། པདྨ་རྒྱལ་མཚན། བློ་བཟང་ལེགས་སྒྲུབ།
བསྐྱར་ཞིབ་དང་གཏན་འབེབས་ཚོགས་ཆུང་། ཚེ་རིང་བསམ་གྲུབ། ཤེས་ཡོན་ལྷན་ཚོགས་ཀྱི་འགན་འཛིན། བསྟན་འཛིན་རྡོ་རྗེ། དེང་སྲོལ་ཚན་པའི་འགན་འཛིན། ཨོ་རྒྱན་བསྟན་འཛིན། ཐ་སྙད་ཚན་པའི་འགན་འཛིན། བསོད་ནམས་བཟང་པོ། ཤེས་ཡོན་ལྷན་ཚོགས་ཀྱི་ཟུང་དྲུང་། པདྨ་རྒྱལ་མཚན། སིམ་ལ་གཏན་སློབ་ཀྱི་རྩིས་དགེ བསོད་ནམས་རྒྱལ་པོ། བོད་ཁྱིམ་ཨང་རྩིས་རྒྱུས་སྟོན་པ། ངག་དབང་རྡོ་རྗེ། དྷ་ཤོད་བོད་ཁྱིམ་རྩིས་དགེ་ཟུར་པ། འཕྲིན་ལས་དཔལ་མོ། བོད་ཁྱིམ་ཨང་རྩིས་རྒྱུས་སྟོན་པ། དགེ་འདུན་དོན་ཡོད། བོད་ཡིག་སློབ་དེབ་རྩོམ་སྒྲིག་པ། བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ། ཨང་རྩིས་སློབ་དེབ་རྩོམ་སྒྲིག་པ། བློ་བཟང་བསྟན་འཛིན། ཨང་རྩིས་སློབ་དེབ་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས། ཤེས་རིག་པར་ཁང་གིས་དཔར་བཏབ། ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་བ་གསུམ་པར་དཔར་གཞི་དང་པོ་བསྒྲིགས། ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་བ་གསུམ་པར་དཔར་ཐེངས་དང་པོ་བརྒྱབ། དཔར་གྲངས། ༡༥༠༠
Department of Education CTA
This dictionary is avialable on http://bodyiglobjong.com Funded by: Global Affairs Canada
ཆེད་བརྗོད།
༄༅། །སྤྱི་ནོར་༧གོང་ས་༧སྐྱབས་མགོན་ཆེན་པོ་མཆོག་ གི ་ བཀའ་སློ བ ་ལམ་སྟོ ན ་རི མ ་ཕེ བ ས་ཀྱི ་ དགོ ང ས་དོ ན ་ ལྟར། ཕྱི་ལོ་ ༡༩༨༦ ལོ་ནས་དྷ་སྟེང་བོད་ཕྲུག་ཁྱིམ་སྡེས་ གཞི་རིམ་འོག་མའི་སློབ་ཚན་ཁག་བོད་སྐད་ཡིག་ཐོག་ ཕབ་སྒྱུར་དང་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་འགོ་བཙུགས་ཤིང་། ཕྱི་ལོ་ ༡༩༩༤ ལོར་ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་ཛ་དྲག་དགོས་ མཁོ་ཆེ་བའི་སློབ་ཚན་ཁག་ཅིག་བོད་སྒྱུར་དང་། སློབ་ དེབ་བསྐྱར་ཞིབ། སློབ་དགེ་འོས་སྦྱོང་དང་ཟབ་སྦྱོང་ སོགས་ལས་རིམ་ཁག་རིམ་བཞིན་ལག་བསྟར་བྱས་ཏེ། ཕྱི་ ལོ་ ༢༠༠༠ ལོར་སྔོན་འགྲོ་ནས་གཞི་རིམ་འོག་མ་བར་གྱི་ སློ བ ་ཚན་ཡོ ང ས་རྫོ ག ས་བོ ད ་སྐད་ཡི ག ་ཐོ ག ་ཕབ་སྒྱུར་ དང་སློབ་ཁྲིད་ལག་བསྟར་ཐུབ་པ་བྱུང་བ་དང་། དེ་བཞིན་ གཞི ་ རི མ ་བར་མའི ་ ཚན་རྩི ས ་སློ བ ་དེ བ ་ཀྱང་ཕབ་སྒྱུར་ ཞུས་ཏེ ་ སློ བ ་གྲྭ་ཁག་ལ་ཟུར་བལྟའི ་ ཆེ ད ་འགྲེ མ ས་སྤེ ལ ་ ཞུས།
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༤ ལོར་བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་གཞི་རིམ་ ཤེས་ཡོན་སྲིད་བྱུས་གཏན་ལ་ཕབ་པ་དང་། ༢༠༡༠ ལོར་ གཞི་རིམ་བར་མའི་བསླབ་གཞི་རྩ་འཛིན་བཟོ་སྒྲིག་བྱས་ ཏེ་ད་བར་གཞི་རིམ་འོག་མའི་ཨང་རྩིས་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ ཞིབ་ཐེངས་བཞི་དང་། གཞི་རིམ་བར་མའི་ཨང་རྩིས་སློབ་ དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་གཉིས་བྱས་ཡོད། བརྒྱུད་རིམ་ དེའི་ནང་རྩིས་རིག་གི་ཐ་སྙད་སྣ་ཚོགས་ཤིག་བཀོལ་སྤྱོད་ བྱས་ཡོད་སྟབས། ཐ་སྙད་གཅིག་འགྱུར་དགོས་རྒྱུ་ནི་གལ་ འགངས་ཆེ་ཤོས་ཡིན་པའི་ངོས་འཛིན་གསལ་ཐོབ་བྱུང་། དེ་བཞིན་ལག་ལེན་དངོས་ལ་ཞུགས་པའི་དགེ་རྒན་དང་ སློབ་གསོ་བ་མང་དག་ཅིག་གིས་ཀྱང་རྩིས་རིག་གི་བརྡ་ ཆད་ཕྱོགས་བསྒྲིགས་ཤིག་དགོས་གལ་གྱི་དགོངས་འཆར་ ལྷུག་སྩོལ་གནང་བ་ལྟར། རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་ཁང་ནས་བཏོན་ པའི་འཛིན་རིམ་དང་པོ་ནས་བཅུ་པ་བར་གྱི ་རྩི ས་རི ག ་ སློབ་དེབ་ཀྱི་གལ་ཆེའི་བརྡ་ཆད་ཁག་ཟུར་བཀོལ་གྱིས། རང་རེའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ནང་གི་བོད་སྐད་བརྡ་ཆད་ ཁག་དང་། བོད་ནས་འདོན་སྤེལ་ཞུས་པའི་རྩིས་རིག་
སློབ་དེབ་ཁག ༡༩༩༩ ལོར་པར་སྐྲུན་བྱས་པའི་ <<བོད་ ཡིག་གི་གྲངས་རིག་ཚིག་མཛོད།>> ༢༠༠༠ ལོར་པར་སྐྲུན་ བྱས་པའི ་ <<གྲངས་རི ག >> སོ ག ས་ཀྱི ་ བརྡ་ཆད་ཁག་ ལའང་ཞིབ་བསྡུར་གྱིས་སྒྱུར་སྒྲིག་བྱས་ཤིང་། ཤེས་རིག་ ལས་ཁུངས་ནས་བསྐོ་འཛུགས་གནང་བའི་གཞི་རིམ་རྩིས་ རིག་ཚོགས་ཆུང་གིས་བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་གཉིས་གནང་ སྟེ། མཐར་ཆེས་མཐོའ་ི གཏན་འབེབས་ལྷན་ཚོགས་ཀྱིས་ གཏན་འབེབས་གནང་རྗེས་པར་སྐྲུན་དང་འགྲེམས་སྤེལ་ ཞུས་པ་ཡིན། དཔེ་རིས་ཅན་གྱི་ཚིག་མཛོད་འདིའི་ནང་བརྡ་ ཆད་སོ་སོའ་ི འགྲེལ་པ་ཙམ་མ་ཟད། དཔེ་མཚོན་དང་། པར་རིས་སོགས་གཞི་རིམ་སློབ་མ་རྣམས་དང་། དགེ་རྒན་ རྣམ་པའི་གཞོ ག ས་འདེགས་རྒྱུ་ཆའི་དགོ ས ་མཁོ ར ་ དམིགས་ནས་པར་སྐྲུན་ཞུས་ཡོད་པས་ཕན་ཐོགས་གང་ ལེགས་ཡོང་ངེས་ཡིན་ལ། སླད་མར་ལེགས་བཅོས་ཆེད་ རྒྱ་ཆེའི་ཀློག་པ་པོ་རྣམས་ཀྱིས་དགོངས་འཆར་ལྷུག་སྩོལ་ གནང་རྒྱུར་དགའ་བསུ་ཞུ་རྒྱུ་ཡིན། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༧ ཟླ་ ༣ ཚེས་ ༣༠ ལ།
དཀར་ཆག། Abacus ཟོན་ཕན། ..................................... ༡ Abscissa འཕྲེད་གནས་ཚད། .......................... ༡ Absolute value ལྟོས་མེད་ཐང། ................. ༢ Acute angle རྣོ་ཟུར། ................................. ༢ Acute triangle རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། .............༣ Addend སྡོམ་བྱེད་གྲངས། ........................... ༣ Addition སྡོམ་རྩིས། .................................. ༣ Additive identity སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ། ........... ༤ Additive property of rational numbers ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་ཁྱད་ཆོས། .............. ༤ Adjacent angles ཉེ་ཟུར། ......................... ༧ Adjacent faces ཉེ་འབྲེལ་ངོས། ................... ༨ Adjacent sides ཉེ་མཐའ། ......................... ༩ Algebra ཚབ་རྩིས། .................................. ༩ i
Algebraic identities ཚབ་རྩིས་གཏན་མཚུངས། .. ............................................................. ༡༢ Algebraic expression ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ། .. ༡༣ Alternate interior angles ནང་སྣོལ་ཟུར། . ༡༣ Altitude མཐོ་ཚད། དཔངས། དྲང་འཕྱང་། ........ ༡༤ Altitude of a triangle ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས། ... ............................................................. ༡༤ Amount འབོར། .................................... ༡༥ Analog watch མདའ་འཁོར་ཆུ་ཚོད། ......... ༡༥ Angle ཟུར། ........................................... ༡༥ Angle bisector ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག ...... ༡༦ Angle bisector of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ མཉམ་བགོད་ཐིག། ..................................... ༡༦ Angle in a segment གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་མཐའི་ ཟུར། ...................................................... ༡༧ Angle in a semi-cicle ཕྱེད་སྒོར་གྱིི་ནང་འབྲེལ་ ཟུར། ....................................................... ༡༧ Angles made by a transversal with two ii
parallel lines མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་ལ་གསེག་ཐིག་ ཅིག་བརྒྱུད་ནས་གྲུབ་པའི་ཟུར། ........................ ༡༨ Angle of depression ཐུར་ཟུར། ................ ༡༩ Angle of elevation གྱེན་ཟུར། .................. ༢༠ Angles subtented by equal chords at the center རྒྱུད་ཐིག་མཚུངས་པའི་སྒོར་ལྟེ་ཟུར། ...... ༢༠ Angle sum property of quadrilateral དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ ཆོས། ...................................................... ༢༡ Angle sum property of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས། ...................༢༣ Approximate ཉེ་མཚུངས། ....................... ༢༤ Arc གཞུ་ཐིག། ........................................ ༢༤ Area རྒྱ་ཁྱོན། ........................................... ༢༥ Area of circle སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། ........ ༢༥ Area of parallelogram མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་ མའི་རྒྱ་ཁྱོན། .............................................. ༢༦ Area of the path འགྲོ་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན། ........ ༢༦ iii
Area of rectangle གྲུ་བཞི་ནར་མོའ་ི རྒྱ་ཁྱོན། .༢༧ Area of sector སོག་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། .........༢༨ Area of segment གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། ... ༢༩ Area of square གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། .. ༣༠ Area of trapezium སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། . ༣༡ Area of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། ... ༣༢ Arithmetic mean ཆ་སྙོམས་གྲངས། ........... ༣༣ Arithmetic progression ཨང་རྩིས་སྟར་གྲངས། .. ............................................................. ༣༤ Arm དཔུང་པ། ....................................... ༣༥ ASA congrunece rule ཟུར་མཐའ་ཟུར་གྱི་ཡོངས་ མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། ....................................... ༣༥ Associative property སྡེབ་སྲོལ། ............. ༣༦ Assumed mean method ཆ་བཞག་ཆ་སྙོམས་ གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ། ................................. ༣༩ Average ཆ་སྙོམས། .................................. ༤༡ Axis མདའ། ....................................... ༤༢ Axiom སྤྱི་སྲོལ། ..................................... ༤༢ iv
Bar ནར་རིས། ..................................... ༤༣ Bar graph དྲ་མིག་ཐིག་རིས། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས། ༤༣ Base ཞབས། གཞི། ................................. ༤༤ Base line ཞབས་ཐིག .............................. ༤༥ Basic shapes རྩ་བའི་དབྱིབས། ................ ༤༥ Binomial ཉིས་ཚན་ཚུལ། .......................... ༤༥ BODMAS rule ཐབས་བཞི་རྩིས་གཞིའི་རྩིས་ཐབས་ ལུགས། .................................................... ༤༦ Bracket གུག་རྟགས། .............................. ༤༧ Breath ཞེང། .......................................... ༤༨ Capacity ཤོང་ཚད། ............................... ༤༨ Cartesian plane ཀཱ་ཊི་ཤུན་སྙོམས་ངོས། .......... ༤༩ Cartesian system ཀཱ་ཊི་ཤུན་ལམ་ལུགས། ..... ༥༠ Center སྒོར་ལྟེ། ....................................... ༥༠ Central angle of an arc གཞུ་ཐིག་གི་སྒོར་ལྟེ་ཟུར། .............................................................. ༥༡ Central tendency གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས། .... ............................................................. ༥༡ v
Centroid ལྗིད་ལྟེ། ................................... ༥༢ Chart རེའུ་མིག། དཔེ་རིས། ........................ ༥༣ Chord རྒྱུད་ཐིག། .................................... ༥༣ Circle སྒོར་དབྱིབས། ................................ ༥༤ Circular region སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཁུལ། ......... ༥༤ Circumference སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད། ......... ༥༥ Circumcentre of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ལྟེ། ............................................................. ༥༥ Class interval བར་ཚོ། ........................... ༥༦ Class size བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད། ..................... ༥༧ Closed figure ཟུམ་དབྱིབས། .................... ༥༧ Closure property བསྡུ་སྲོལ། ................... ༥༧ Coefficient བཏགས་གྲངས། .................... ༦༡ Collinear points ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས། ...... ༦༡ Column གཞུང་། .................................. ༦༢ Column data གཞུང་བཀོད་གྲངས་ཐོ། ........... ༦༢ Common factor སྤྱིའི་བགོད་གྲངས། .......... ༦༣ Common multiple སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས། ......... ༦༣ vi
Common side སྤྱི་མཐའ། ........................ ༦༤ Commutative property བརྗེ་སྲོལ། .......... ༦༤ Compare བསྡུར་བ། ................................ ༦༦ Compass སྒོར་ཆས། ................................ ༦༧ Complementary angles གྲོགས་ཟུར། ........ ༦༧ Complete angle སྒོར་ཟུར། ...................... ༦༨ Composite number འདུ་གྲངས། ............... ༦༨ Compound interest མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། ......... ༦༨ Compounded annually ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས། ... .............................................................. ༧༠ Computation རྩིས་རྒྱག ........................... ༧༠ Concentric circle ལྟེ་མཐུན་སྒོར་དབྱིབས། ..... ༧༡ Concept གོ་དོན། གོ་བ། ............................. ༧༡ Concurrent lines གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག ... ༧༡ Concyclic points སྤྱི་མཐུན་སྒོར་མཐའི་གནས། .... ............................................................. ༧༢ Cone སྙུང་གཟུགས། ................................. ༧༢ Congruence ཡོངས་མཚུངས། .................... ༧༣ vii
Congruent triangles ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་ མ། ....................................................... ༧༣ Conjecture འདེད་དཔག། ......................... ༧༣ Consecutive interior angles མུ་འབྲེལ་ནང་ཟུར། ............................................................. ༧༤ Consistent གཅིག་མཐུན། ......................... ༧༥ Constant རྟག་གྲངས། ............................ ༧༦ Construct འགོད་པ། .............................. ༧༧ Continued division method བསྟུད་མའི་བགོད་ ཐབས། ..................................................... ༧༧ Continued proportion བསྟུད་མའི་སྡུར་ཕྲེང་། ༧༨ Continuous class intervals རྒྱུན་མཐུད་བར་ཚོ། ............................................................. ༧༨ Converse ལྡོག་པ། ................................... ༧༨ Converse of a statement བརྗོད་པ་ལྡོག་འདྲེན། . ............................................................. ༧༩ Conversion མཚུངས་སྒྱུར། ....................... ༨༠ Conversion period བརྗེ་བསྒྱུར་དུས་ཡུན། .... ༨༠ viii
Coordinate geometry གནས་ཚད་དབྱིབས་རྩིས་ རིག ...................................................... ༨༠ Co-prime ཕན་ཚུན་རྒྱུ་གྲངས། .................... ༨༠ Corresponding angles གནས་མཐུན་ཟུར། .. ༨༡ Corresponding parts of congruent triangles ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་རྒྱུ། ............................................................. ༨༢ Cosine ཀོ་སན། ..................................... ༨༣ Cost price མ་གནས་རིན་གོང་། ................... ༨༣ Counter example ལྡོག་དཔེ། .................... ༨༣ Criteria of congruence of triangles ཡོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཚད་འཛིན་ཆ་རྐྱེན། ........ ༨༤ Cross product སྣོལ་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ། ......... ༨༤ Cube ཁ་གང་གཟུགས། .............................. ༨༥ Cube root སུམ་སྒྱུར་གཞི། ......................... ༨༥ Cubic number སུར་སྒྱུར་གྲངས། .................. ༨༥ Cubic polynomial ཐེངས་གསུམ་ཚན་མང་ཚུལ། .. ............................................................. ༨༦ ix
Cubit ཁྲུ། .............................................. ༨༦ Cuboid གྲུ་ནར་གཟུགས། ............................ ༨༦ Cumulative frequency རིམ་གསོག་ཟློས་ཕྱོད། .. ............................................................. ༨༧ Curved ཁྱོག་ཐིག། འབུར་ཆ། ཁུག་ཆ། ............. ༨༨ Curved surface འབུར་ངོས། .................... ༨༨ Cyclic quadrilateral སྒོར་དབྱིབས་ནང་འབྲེལ་ མཐའ་བཞི་མ། ........................................... ༨༨ Cylinder ཀ་ཟླུམ། ................................. ༨༩ Data གྲངས་ཐོ། ......................................... ༩༠ Decimal སིལ་གྲངས། .............................. ༩༠ Decimal point སིལ་གྲངས་ཚེག། ............... ༩༡ Decreasing order ཆག་རིམ། .................... ༩༡ Deductive reasoning རྣམ་འབྱེད་རིགས་འདེད། . ............................................................. ༩༡ Degree of polynomial ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐེངས་ གྲངས། .................................................. ༩༣ Denominator མ་ཆ། .............................. ༩༣ x
Dependent གཞན་བརྟེན། ......................... ༩༣ Diagonal གཏད་ཐིག། ........................... ༩༤ Diameter ཚངས་ཐིག། ............................. ༩༥ Difference ཧེ་བག། འཐེན་ཐོབ། .................. ༩༥ Digit གྲངས་གནས། .................................. ༩༥ Digital watch/Clock གྲངས་འཛིན་ཆུ་ཚོད། ........ ............................................................ ༩༦ Direct variation མཐུན་འགྱུར། ................. ༩༦ Discount གཅོག་ཆ། ............................... ༩༧ Discriminant དབྱེ་བ་འབྱེད་པ། ................... ༩༧ Distance བར་ཐག། ................................. ༩༨ Distance formula བར་ཐག་ཆོ་ག། ............... ༩༩ Distributive property བགོ་སྲོལ། ........... ༩༩ Deviation ཡོ་ཁྱད། ............................... ༡༠༢ Dividend བགོ་བྱའི་གྲངས། ...................... ༡༠༢ Divide བགོ་བ། .................................... ༡༠༣ Divider བགོད་ཐུར། .............................. ༡༠༣ Divisible བགོ་ཐུབ་པའི། བགོ་རུང་བ། ....... ༡༠༣ xi
Divisibility rules བགོ་རུང་བའི་སྤྱི་སྲོལ། .... ༡༠༣ Division algorithm བགོད་རྩིས་བརྩི་ལུགས། ..... ............................................................ ༡༠༦ Division of a line segment ཐིག་དུམ་ཆ་བགོད་ བྱེད་པ། .................................................. ༡༠༦ Divisor བགོད་བྱེད་གྲངས། ........................ ༡༠༧ Dot Plot ཚེག་རིས། ................................ ༡༠༧ Edge གཞོགས། .................................... ༡༠༨ Elementary event གཞི་རྩའི་བྱུང་བ། ......... ༡༠༨ Empirical probability ཉམས་མྱོང་སྲིད་ཕྱོད། ..... ............................................................ ༡༠༨ End points སྣེ་གནས། .......................... ༡༡༠ Equal intercept property བཅད་ཐིག་མཉམ་ པའི་ཁྱད་ཆོས། .......................................... ༡༡༠ Equiangular triangle ཟུར་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ............................................................ ༡༡༡ Equilateral triangle མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། ............................................................ ༡༡༢ xii
Equation མཉམ་བྱ། ................................ ༡༡༢ Equivalent འདྲ་མཚུངས། ......................... ༡༡༢ Equivalent decimals འདྲ་མཚུངས་སིལ་གྲངས། .. ............................................................ ༡༡༢ Equivalent fractions འདྲ་མཚུངས་གྲངས་ཆ། ..... ............................................................ ༡༡༢ Estimate ཚོད་དཔག། .......................... ༡༡༣ Euclid’s axiom ཡུག་ལིཌི་སྤྱི་སྲོལ། ............ ༡༡༣ Euclid’s division algorithm ཡུག་ལིཌི་ཡི་ བགོད་རྩིས་ལུགས། ................................... ༡༡༥ Euclid’s division lemma ཡུག་ལིཌ་ཡི་བགོད་ རྩིས་རམ་འདེགས། .................................... ༡༡༦ Euclidean geometry ཡུག་ལིཌིན་དབྱིབས་རྩིས་ རིག་པ། .................................................. ༡༡༦ Euclid’s five postulates ཡུག་ལིཌི་ཡི་བདེན་ གྲུབ་ལྔ། ............................................... ༡༡༧ Even number ཆ་གྲངས། ....................... ༡༡༨ Expanded form བཀྲལ་བའི་རྣམ་པ། ........ ༡༡༩ xiii
Exponent སྟོན་གྲངས། ............................ ༡༡༩ Exterior angle of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ ཟུར། ..................................................... ༡༡༩ Exterior region of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ ཁུལ། .................................................... ༡༢༠ Extreme terms ཕྱི་ཚན། ....................... ༡༢༠ Factor བགོད་གྲངས། ........................... ༡༢༡ Factor method བགོད་གྲངས་ཐབས་ལམ། .. ༡༢༢ Factor theorem བགོད་གྲངས་ངེས་སྲོལ། ... ༡༢༣ Factor tree method བགོད་གྲངས་སྡོང་འགྲེམས། .. ........................................................... ༡༢༣ Factorisation of polynomal ཚན་མང་གི་ཚུལ་ བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། .......................... ༡༢༤ Finite arithmetic progression ཚད་ཡོད་ཨང་རྩིས་ སྟར་གྲངས། .............................................. ༡༢༤ Formula ཆོ་ག། ..................................... ༡༢༤ Forward counting མུ་མཐུད་བགྲང་ཐབས། . ༡༢༥ Four fundamental operations རྩ་བའི་རྩིས་ xiv
ཐབས་བཞི། ............................................ ༡༢༦ Fraction གྲངས་ཆ། ................................ ༡༢༦ Frequency ཟློས་ཕྱོད། ............................ ༡༢༧ Frequency distribution ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ། ..... ........................................................... ༡༢༧ Frequency polygon ཟློས་ཕྱོད་མཐའ་མང་དབྱིབས། ........................................................... ༡༢༨ Frustum of cone སྙུང་གཟུགས་བཅད་མ། ༡༣༠ Gain ཁེ་སྤོགས། .................................... ༡༣༡ Geoboard དབྱིབས་པང། ........................ ༡༣༡ Geometry དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ། ............... ༡༣༢ Geometry box དབྱིབས་ཆས་སྒམ། ........... ༡༣༢ Graph ཐིག་རིས། .................................. ༡༣༢ Gram གྷ་རམ། ...................................... ༡༣༣ Graph of linear equation of two variables རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱའི་ཐིག་རིས། ... ༡༣༣ Graph paper ཐིག་རིས་ཤོག་བུ། ................ ༡༣༥ Grouped frequency distribution ཚན་སྒྲིལ་ xv
གྱི་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ། ................................. ༡༣༥ Height དཔངས། ................................. ༡༣༧ Hemisphere ཟླུམ་ཕྱེད། ......................... ༡༣༨ Heron’s formula ཧི་རོན་ཆོ་ག ................ ༡༣༨ Highest common factor སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ ཤོས། ................................................... ༡༣༩ Histogram གྱེན་ལང་བཀོད་རིས། ............... ༡༤༣ Hollow cylinder ཀ་ཟླུམ་ཁོག་སྟོང་། .......... ༡༤༤ Horizontal axis འཕྲེད་མདའ། ............... ༡༤༦ Horizontal bar འཕྲེད་བཀོད་ནར་རིས། ...... ༡༤༦ Hour ཆུ་ཚོད། ....................................... ༡༤༧ Hour hand ཆུ་ཚོད་ཀྱི་མདའ། ................... ༡༤༧ Hypotenuse གསེག་མཐའ། .................... ༡༤༧ Improper fraction གྲངས་ཆ་ལྟར་སྣང་། .... ༡༤༨ Incentre ནང་ལྟེ། .................................... ༡༤༨ Included angle ཚུད་ཟུར། ................... ༡༤༩ Included side ཚུད་མཐའ། ....................... ༡༤༩ Incidence property སྙོམས་ངོས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། ..... xvi
............................................................ ༡༥༠ Inconsistent གཅིག་མཐུན་མིན་པ། ............ ༡༥༡ Increasing order འཕར་རིམ། ................. ༡༥༣ Index of radical གཞིའི་སྟོན་གྲངས། ........ ༡༥༣ Infinite arithmetic progression ཚད་མེད་ ཨང་རྩིས་སྟར་གྲངས། .................................. ༡༥༣ Inner scale ཐིག་ཚད་ནང་མ། .................. ༡༥༣ Inscribed angle ནང་སྦྲེལ་ཟུར། ............. ༡༥༤ Inscribed angle theorem ནང་སྦྲེལ་ཟུར་གྱི་ངེས་ སྲོལ། .................................................... ༡༥༤ Integer རིལ་གྲངས། ............................... ༡༥༥ Interior angle ནང་ཟུར། ........................ ༡༥༥ Interior region ནང་ཁུལ། ...................... ༡༥༦ Interior region of a triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ ནང་ཁུལ། ............................................... ༡༥༦ Intial point འགོ་ཚེག། .......................... ༡༥༦ Intercept བཅད་ཐིག ............................ ༡༥༧ Intercepted arc གཞུ་ཐིག་བཅད་མ། .......... ༡༥༧ xvii
Interest སྐྱེད་ཀ། ................................. ༡༥༨ Intersect སྣོལ་བ། ................................. ༡༥༩ Intersecting point སྣོལ་གནས། .............. ༡༥༩ Inverse ལྡོག་གྲངས། .............................. ༡༥༩ Inverse variation ལྡོག་འགྱུར། .................. ༡༥༩ Irrational number ལུགས་མེད་གྲངས། ..... ༡༦༡ Irregular figure མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས། ..... ........................................................... ༡༦༢ Isometric sketches བར་མཚུངས་སྐྱ་ཐིག། .. ༡༦༢ Isosceles triangle སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། .... ............................................................ ༡༦༣ Lateral faces ལོགས་ངོས། ...................... ༡༦༤ Law of exponent སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས། .... ༡༦༤ Leap year བཤོལ་ལོ། ............................. ༡༦༥ Left hand side (LHS) གཡོན་ངོས། ......... ༡༦༦ Left most གཡོན་མཐའ། ........................ ༡༦༧ Length རིང་ཚད། ................................... ༡༦༧ Like terms ཚན་མཐུན། .......................... ༡༦༧ xviii
Line ཐིག། ............................................ ༡༦༨ Line of sight མཐོང་ཐིག ......................... ༡༦༨ Line segment ཐིག་དུམ། ........................ ༡༦༨ Line of symmetry ཆ་འགྲིག་ཐིག། .......... ༡༦༩ Linear equation ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། . ༡༦༩ Linear equation in one variable རྒྱུ་གཅིག་ ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། ........................... ༡༧༠ Linear equation in two variables རྒྱུ་གཉིས་ ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། ............................ ༡༧༠ Linear pair ཉེ་གསབ་ཟུར། ....................... ༡༧༠ Linear polynomial ཐེངས་གཅིག་ཚན་མང་ཚུལ། . ............................................................ ༡༧༡ Literal factor ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས། ....... ༡༧༡ Long division བགོད་རྩིས་གཞུང་སྒྲིག། ..... ༡༧༢ Loss གྱོང་། ............................................ ༡༧༢ Lower class limit བར་ཚོའི་འོག་མཐའ། ..... ༡༧༢ Lowest common multiple སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ ཤོས། .................................................... ༡༧༣ xix
Lowest term བསྡུས་ཤོས། ....................... ༡༧༣ Magic square ཀུན་བཟང་འཁོར་ལོ། ........... ༡༧༥ Major arc གཞུ་རིང། ........................... ༡༧༦ Marked price ཐོ་གསལ་གོང་ཚད། .............. ༡༧༦ Mass གདོས་ཚད། ................................... ༡༧༦ Mathematically acceptable statement རྩིས་རིག་ཐོག་ནས་དང་ལེན་རུང་བའི་བརྗོད་པ། .. ༡༧༧ Mathematical modelling རྩིས་ལུགས་མ་དཔེ། . ............................................................ ༡༧༧ Mathematical proof རྩིས་ཀྱི་ཁུངས་སྐྱེལ། ... ༡༨༡ Mean ཆ་སྙོམས་གྲངས། .............................. ༡༨༢ Mean deviation ཆ་སྙོམས་ཡོ་ཁྱད། ............ ༡༨༣ Measure of an angle ཟུར་གྱི་ཚད། .......... ༡༨༦ Measures of central tendency གཅིག་བསྡུས་ འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ། ........................... ༡༨༦ Median དཀྱིལ་གྲངས། ............................. ༡༨༧ Medians of a triangle ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ ཐིག། ..................................................... ༡༩༠ xx
Methods of squaring numbers ཉིས་སྒྱུར་ གཏོང་ཐབས། ........................................... ༡༩༠ Mid point theorem དཀྱིལ་གནས་ངེས་སྲོལ། ..... ............................................................ ༡༩༡ Mid-value of class / class mark བར་ཚོའི་ དཀྱིལ་ཐང་། .......................................... ༡༩༢ Minuend འཐེན་བྱ། .............................. ༡༩༢ Minute སྐར་མ། .................................... ༡༩༢ Mixed fraction གྲངས་ཆ་སྦྲགས་མ། ......... ༡༩༣ Mode བྱིངས་གྲངས། ................................ ༡༩༣ Model དཔེ་གཟུགས། མ་དཔེ། ................... ༡༩༥ Monomial ཚན་རྐྱང་ཚུལ། ...................... ༡༩༦ Multiple ལྡབ་གྲངས། ............................. ༡༩༦ Multiplicand བསྒྱུར་བྱ། ......................... ༡༩༦ Multiplication སྒྱུར་རྩིས། ...................... ༡༩༦ Multiplicative inverse སྒྱུར་ལྡོག་གྲངས། ལོག་ གྲངས། .................................................. ༡༩༧ Multiplier སྒྱུར་བྱེད། ............................. ༡༩༧ xxi
Natural number རང་བྱུང་གྲངས། ............ ༡༩༨ Negative exponents སྟོན་གྲངས་མོ། ........ ༡༩༨ Negative intergers རིལ་གྲངས་མོ། ......... ༡༩༩ Negative number མོ་གྲངས། .................. ༡༩༩ Negative rational exponents ལུགས་ལྡན་སྟོན་ གྲངས་མོ། .............................................. ༢༠༠ Negative rational numbers ལུགས་ལྡན་གྲངས་ མོ། ....................................................... ༢༠༠ Non-collinear point ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་ མིན་པ། ................................................ ༢༠༡ Non-terminating decimal ཚད་མེད་སིལ་ གྲངས། ................................................... ༢༠༡ Not defined གོ་དོན་མེད་པ། .................... ༢༠༢ Number གྲངས། .................................... ༢༠༢ Number line གྲངས་ཐིག ......................... ༢༠༢ Numeral ཨང་ཀི ................................. ༢༠༣ Numerical data ཨང་ཀིའི་གྲངས་ཐོ། གཞི་གྲངས། .. ........................................................... ༢༠༣ xxii
Numerical factor ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས། .. ༢༠༣ Numeration system གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུགས། ........ ........................................................... ༢༠༣ Numerator བུ་ཆ། ................................. ༢༠༤ Oblique sketches འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་ཐིག ... ༢༠༤ Obtuse angle རྟུལ་ཟུར། ...................... ༢༠༥ Obtuse triangle རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། ... ༢༠༥ Odd number ཡ་གྲངས། ....................... ༢༠༦ Open figure ཁ་ཕྱེ་བའི་དབྱིབས། ................ ༢༠༦ Oppposite angles གཏད་ཟུར། ............... ༢༠༦ Opposite ray འཕྲོ་ཐིག་ལྡོག་མ། ............... ༢༠༧ Opposite side གཏད་མཐའ། ................... ༢༠༧ Opposite side of an angle ཟུར་གྱི་གཏད་མཐའ། ........................................................... ༢༠༨ Order གོ་རིམ། ...................................... ༢༠༨ Ordinate གཞུང་མདའི་གནས་ཚད། ............ ༢༠༩ Orthocentre འཕྱངས་ལྟེ། ...................... ༢༠༩ Pair of angles ཆ་ཟུར། ......................... ༢༡༠ xxiii
Pair of linear equation in two variables རྒྱུ་ གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག། ......... ༢༡༡ Parabolas པེ་ར་བོ་ལ། (དངོས་འཕངས་ཐིག ) ......... ............................................................ ༢༡༡ Parallel lines མཉམ་འགྲོ་ཐིག། ཐད་གཤིབ་ཐིག། .... ........................................................... ༢༡༣ Parallelogram མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། .... ༢༡༣ Pattern དཔེ་འགྲོས། ............................... ༢༡༤ Pentagon དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ། ................. ༢༡༥ Percentage བརྒྱ་ཆ། ............................... ༢༡༦ Perfect cube numbers སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག། ༢༡༦ Perfect square ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག། ............ ༢༡༦ Perimeter མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། .............. ༢༡༦ Perpendicular bisector དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ ཐིག། ................................................... ༢༡༨ Perpendicular from the centre of a chord སྒོར་ལྟེ་ནས་རྒྱུད་ཐིག་ལ་དྲང་འཕྱང། ............... ༢༡༨ Perpendicular lines དྲང་འཕྱང་ཐིག། ........ ༢༡༩ xxiv
Pi པཱཡེ། .............................................. ༢༡༩ Pictographs པར་རིས། .......................... ༢༢༠ Place value གནས་ཐོབ། ....................... ༢༢༡ Plane surface སྙོམས་ངོས། ..................... ༢༢༢ Point ཚེག། གནས། ................................ ༢༢༣ Point of concurrence ཐིག་གི་ཆུན་པོའ་ི གནས། ... ........................................................... ༢༢༣ Polygon དབྱིབས་མཐའ་མང་། .................... ༢༢༣ Polynomial ཚན་མང་ཚུལ། ..................... ༢༢༤ Polynomial in one variable རྒྱུ་གཅིག་ཚན་ མང་ཚུལ། .............................................. ༢༢༤ Positive exponent སྟོན་གྲངས་ཕོ། ........... ༢༢༤ Positive integer རིལ་གྲངས་ཕོ། ............. ༢༢༥ Positive rational exponent ལུགས་ལྡན་སྟོན་ གྲངས་ཕོ། ............................................... ༢༢༥ Power ཐེངས་གྲངས། ............................. ༢༢༦ Predecessor སྔོན་གྲངས། ...................... ༢༢༧ Prime factorisation རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ༢༢༧ xxv
Prime number རྒྱུ་གྲངས། ...................... ༢༢༧ Principal མ་དངུལ། ............................ ༢༢༧ Prism གྲུ་ཀ། ........................................ ༢༢༨ Probability སྲིད་ཕྱོད། .......................... ༢༢༩ Product བསྒྱུར་ཐོབ། .............................. ༢༢༩ Profit ཁེ། ........................................... ༢༢༩ Proper fraction གྲངས་ཆ་ཡང་དག། .......... ༢༢༩ Properties of isosceles triangle སྐེད་མཉམ་ ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས། ............................ ༢༣༠ Protractor ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས། ............... ༢༣༠ Proportion སྡུར་ཕྲེང། ........................... ༢༣༡ Propotional intercepts property བཅད་ཐིག་ གི་སྡུར་ཚད་ཁྱད་ཆོས། ............................... ༢༣༡ Pyramid གྲུ་སྙུང་། ................................. ༢༣༢ Pythagoras theorem པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ངེས་སྲོལ། .. ........................................................... ༢༣༣ Quadratic equation ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ། ༢༣༤ Quadratic formula ཐེངས་གཉིས་ཆོ་ག .... ༢༣༥ xxvi
Quadratic polynomial ཐེངས་གཉིས་ཚན་མང་ ཚུལ། .................................................... ༢༣༥ Quadrilateral དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། ........ ༢༣༥ Quotient བགོས་ཐོབ། .......................... ༢༣༦ Radical གཞི་ཚུལ། ................................. ༢༣༦ Radical sign གཞི་རྟགས། ...................... ༢༣༧ Radicand སྒྱུར་གཞིའི་གྲངས། ................... ༢༣༧ Radius ཚངས་ཕྱེད། ............................... ༢༣༧ Random variables སྐབས་བསྟུན་འགྱུར་ཚད། ...... ........................................................... ༢༣༧ Range ཁྱབ་ཚད། .................................. ༢༣༨ Rate of interest (R) སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། .. ༢༣༨ Ratio སྡུར་ཚད། སྡུར། ............................. ༢༣༩ Rational number ལུགས་ལྡན་གྲངས། ...... ༢༣༩ Raw data གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ། ................. ༢༣༩ Ray འཕྲོ་ཐིག། ..................................... ༢༤༠ Real number དངོས་གྲངས། ..................... ༢༤༠ Reciprocal ལོག་གྲངས། .......................... ༢༤༡ xxvii
Rectangle གྲུ་བཞི་ནར་མོ། ....................... ༢༤༡ Rectangular path གྲུ་ནར་ཤུར་ལམ། .......... ༢༤༡ Rectangular pyramid གྲུ་ནར་གྲུ་སྙུང་། ..... ༢༤༣ Recurring decimal རེས་འཁོར་སིལ་གྲངས། ༢༤༣ Reflex angle འཕྲོ་ཟུར། .......................... ༢༤༣ Regular figure མཐའ་མཉམ་དབྱིབས། ........ ༢༤༣ Remainder བགོས་ལྷག། ....................... ༢༤༤ Remainder theorem ལྷག་གྲངས་ངེས་སྲོལ། ༢༤༤ RHS congruence rule དྲང་གསེག་མཐའི་ཡོངས་ མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། ..................................... ༢༤༥ Rhombus གཟེ་དབྱིབས། ....................... ༢༤༦ Right angle དྲང་ཟུར། ............................ ༢༤༦ Right circular cone སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ། .. ༢༤༧ Right hand side (RHS) of equation མཉམ་ བྱའི་གཡས་ཕྱོགས། ................................... ༢༤༧ Right angled triangle དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། .. ........................................................... ༢༤༨ Roman numerals རོ་མན་ཨང་ཀི ............. ༢༤༨ xxviii
Rounding ཉེ་འགྲིལ། ............................. ༢༤༩ Root གཞི། ........................................... ༢༤༩ SAS congruence rule མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཡོངས་ མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། ..................................... ༢༥༠ Scale ཐིག་ཚད། ................................... ༢༥༡ Scalene triangle མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་གསུམ་ མ། ....................................................... ༢༥༡ Section formula བཅད་ཚེག་ཆོ་ག། .......... ༢༥༢ Sector སོག་དབྱིབས། ............................. ༢༥༣ Segment གཞུ་དབྱིབས། ........................... ༢༥༣ Selling price ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང། ............ ༢༥༣ Semi-circle ཕྱེད་སྒོར། ......................... ༢༥༤ Set-squares ཟུར་གསུམ་ཐིག་ཤིང་། ........... ༢༥༤ Side མཐའ། གྲུ། .................................... ༢༥༥ Sieve method ཚགས་མའི་ཐབས་ལམ། ........ ༢༥༥ Sigma སིག་མ། སྤྱི་སྡོམ། .......................... ༢༥༦ Similar འདྲ་མཚུངས། ............................. ༢༥༦ Simple interest མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། ........... ༢༥༧ xxix
Simplify སྟབས་བསྡུས། ......................... ༢༥༧ Sine སན། ............................................ ༢༥༨ Six elements of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་ དྲུག། ................................................... ༢༥༨ Solid སྲ་གཟུགས། .................................. ༢༥༨ Solution of the equation མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ། ........................................................... ༢༥༩ Speed མགྱོགས་ཚད། .............................. ༢༥༩ Sphere ཟླུམ་གཟུགས། ........................... ༢༥༩ Square གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། ........................ ༢༦༠ Square pyramid ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་། ............. ༢༦༠ Square root ཉིས་སྒྱུར་གཞི། ..................... ༢༦༡ SSS congruence rule མཐའ་མཐའ་མཐའི་ཡོངས་ མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། ....................................... ༢༦༡ Standard unit ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི། ......... ༢༦༢ Statistics སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ...................... ༢༦༢ Step-deviation method གོམ་འགྲིལ་ཡོ་ཁྱད་ཀྱི་ ཐབས་ལམ། ............................................ ༢༦༢ xxx
Straight angle སྙོམས་ཟུར། .................... ༢༦༥ Straight line དྲང་ཐིག། ......................... ༢༦༥ Successor རྗེས་གྲངས། ............................ ༢༦༥ Substitution བརྗེ་ལེན། ......................... ༢༦༥ Subtraction འཐེན་རྩིས། ...................... ༢༦༦ Subtrahend འཐེན་བྱེད། ........................ ༢༦༦ Sum བསྡོམས་ཐོབ། ................................. ༢༦༦ Supplementary angles གསབ་ཟུར། ....... ༢༦༧ Surface ངོས། ........................................ ༢༦༧ Surface area ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། ................... ༢༦༨ Symbol མཚོན་རྟགས། .......................... ༢༦༨ Symmetry ཆ་འགྲིག། ............................. ༢༦༨ Tally mark ཁྲམ་རྟགས། ......................... ༢༦༩ Tangent དྲང་ཕྲད། ཕྲད་ཐིག། .................... ༢༧༠ Tangram སྒྲིག་སྤང་། .............................. ༢༧༡ Temperature དྲོད་ཚད། ......................... ༢༧༢ Terminating decimal ཚད་ཡོད་སིལ་གྲངས། ༢༧༢ Terms of polynomial ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ། ... xxxi
........................................................... ༢༧༣ Thales theorem ཐེལ་སེའི་ངེས་སྲོལ། ....... ༢༧༣ Theorem ངེས་སྲོལ། ............................. ༢༧༤ Thermometer དྲོད་ཚད་འཇལ་ཆས། ......... ༢༧༤ Three dimension ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན། ... ༢༧༤ Transpose གནས་ས་སྤོ་བ། ..................... ༢༧༥ Transversal གསེག་ཐིག ....................... ༢༧༥ Trapezium སྐས་དབྱིབས། .................... ༢༧༥ Trial-and-error ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས། ......... ༢༧༦ Triangle ཟུར་གསུམ་མ། ....................... ༢༧༧ Triangular number ཟུར་གསུམ་གྲངས། ..... ༢༧༧ Triangular prism ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ། .......... ༢༧༧ Triangular pyramid ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་། ... ༢༧༨ Trigonometry མཐའ་གསུམ་འཇལ་རིག། ..... ༢༧༨ Trigonometric ratio མཐའ་གསུམ་སྡུར་ཚད། ༢༧༨ Trinomial སུམ་ཚན་ཚུལ། ................... ༢༧༩ Two dimension ཕྱོགས་ཚད་ཉིས་ལྡན། ....... ༢༧༩ Types of polygon དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་དབྱེ་བ། . xxxii
........................................................... ༢༧༩ Unit ཚད་གཞི། .................................... ༢༨༡ Unit fraction གྲངས་ཆ་རྐྱང་པ། ................ ༢༨༡ Unitary method རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས། ....... ༢༨༡ Unlike terms མི་མཐུན་ཚན་པ། ................. ༢༨༢ Upper class limit བར་ཚོའི་གོང་མཐའ། .... ༢༨༢ Variables རྒྱུ། ..................................... ༢༨༣ Variation འགྱུར་ཆ། .............................. ༢༨༣ Verification བཤེར་རྩིས། ....................... ༢༨༤ Vertex ཟུར་ཚེག། .................................. ༢༨༤ Vertically opposite angles ལྡོག་འཕྲད་ཟུར། .... ........................................................... ༢༨༤ Volume བོངས་ཚད། ............................. ༢༨༥ Width ཞེང་། ཞེང་ཚད། ........................... ༢༨༥ Weight ལྗིད་ཚད། ................................... ༢༨༦ Whole number ཧྲིལ་གྲངས། ................... ༢༨༦ Word problem ཡིག་ཐོག་རྩིས་གཞི། .......... ༢༨༦ Zero angle ཐིག་ལེ་ཟུར། ....................... ༢༨༧ xxxiii
Zero polynomial ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐིག་ལེ། .. ༢༨༧ Zero of quadratic polynomial ཐེངས་གཉིས་ ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐིག་ལེ། ............................. ༢༨༧ ཟུར་སྦྱར། ༡ ཚད་ཀྱི་ཚོད་དཔག་ལ་སྤྱོད་ཆེ་བའི་ཐ་སྙད་ ཁག་ཅིག། .............................................. ༢༨༩ ཟུར་སྦྱར། ༢ དགུ་མཐའི་རེའུ་མིག། ................ ༢༩༡ ཟུར་སྦྱར། ༣ དུང་ཕྱུར་བར་གྱི་གནས་ཐོབ་རེའུ་མིག། ... ........................................................... ༢༩༢ ཟུར་སྦྱར། ༤ ཚད་འཇལ་ཕབ་སྒྱུར། ................. ༢༩༣ ཟུར་སྦྱར། ༥ ཚད་འཇལ་ཆོ་ག་འགའ། .............. ༢༩༥ ཟུར་སྦྱར། ༦ ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་བོངས་ཚད་ཀྱི་ཆོ་ག་ འགའ། ................................................. ༢༩༦ ཟུར་སྦྱར། ༧ ཆོ་ག་གཞན་འགའ། ................... ༢༩༧ ཟུར་སྦྱར། ༨ རྩིས་རིག་གི་མཚོན་རྟགས། ........... ༣༠༡
xxxiv
Abacus
A Abacus ཟོན་ཕན། ཟོན་ཕན་ཞེས་པ་ནི་རྒྱ་སྐད (suཕྲེང་བ་ 1 གིས་ 5 མཚོན།
anpan Counting
ནས་སྒྲ་སྒྱུར་ བྱས་པར་སྣང་ཞིང་། དོ ན ་སྒྱུར་དུ་རྩིས་ ཐེར་ དུང་ བྱེ་ ས་ འབུམ། ཁྲི། སྟོང་། བརྒྱ། བཅུ། གཅིག། འབུམ། ཕྱུར། བ། ཡ། སྒྲོ མ ་ཡི ན ་པ་དང་། དེ་ནི་ལོ་ 2500 གོང་ཙམ་ལ་རྒྱ་ནག་ཏུ་གསར་གཏོད་བྱས་ ཤིང་། གཞི་རྩའི་སྡོམ་འཐེན་སྒྱུར་བགོད་ཀྱི་སྟབས་བདེའི་ རྩིས་རྒྱག་ཡོ་ཆས་ཤིག་ཡིན། tray)
ཕྲེང་བ་1 གིས་ 1 མཚོན།
Abscissa འཕྲེད་མདའི་ གནས་ཚད། x ཡི་གནས་ ཚད་ལ་འཕྲེད་མདའི་གནས་ ཚད་ཟེར། དཔེར་ན། ཀཱ་ཊི་
y-axis
3 2
P
1 -3 -2 -1 0 -1
1 2 3
x-axis
1
Absolute value
ཤུན་སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་ P ཡི་གནས་ ཚད་ (3, 2) སྐབས། 3 ནི་ x འཕྲེད་མདའི་གནས་ཚད་ ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Absolute value ལྟོས་མེད་ཐང། གྲངས་ཀྱི་ལྟོས་ མེད་ཐང་ནི་ངོས་གྲངས་ཤིག་གི་ཕོ་མོའ་ི རྟགས་ལ་མ་ལྟོས་ པའི་ཨང་ཀི་དེ་ལ་ཟེར། མོ་གྲངས་ཀྱི་ལྟོས་མེད་ཐང་ནི་ དེའི་ལྡོག་པའི་གྲངས་ཡིན་ཞིང་། ཐིག་ལེའི་ལྟོས་མེད་ཐང་ ནི་ཐིག་ལེ་ཡིན། གྲངས་ a ཡི་ལྟོས་མེད་ཐང་གི་རྟགས་ནི་ |a|
ལྟར་འགོད། དཔེར་ན། | 5 | = 5 དང་ | − 6 | = 6,
3 3 | 0 | = 0, | − √2 | = √2, -1 4 = 1 4 , |-3.5| = 3.5, 3 3 4 = 4 ལྟ་བུ།
Acute angle རྣོ་ཟུར། ཟུར་ཚད་ 0˚ ལས་ཆེ་ཞིང་ C 90˚ ལས་ཆུང་བའི་ཟུར་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ∠ABC = 30˚ ལྟ་ 30˚ B A བུ།
2
Acute triangle
Acute triangle
རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། ཟུར་
གསུམ་གའི་ཟུར་ཚད་ 90˚ ལས་ཆུང་བ་ཡོད་པའི་ཟུར་ གསུམ་མ་ལ་ཟེར། རྣོ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ནི་ཟུར་ C བརྒྱུད་ཟུར་གསུམ་མའི ་ དབྱེ ་ བ་འབྱེ ད ་ 65˚
A
70˚
45˚
B
སྟངས་གཅིག་ཡིན། དཔེར་ན། ∆ABC ཡི་
ཟུར་གསུམ་གྱི་ཟུར་ཚད་ལ་ 70˚ དང་། 45˚,
65˚ བཅས་སོ་སོར་ཡོད་པ་ལྟ་བུ།
Addend སྡོམ་བྱེད་གྲངས། བསྡོམ་རྒྱུའི་གྲངས་ཏེ་ བསྡོམ་བྱ་དང་སྡོམ་བྱེད་གཉིས་ཀར་སྡོམ་བྱེད་གྲངས་ཞེས་ ཟེར། Addition སྡོམ་རྩིས། སྤྱིར་དངོས་པོ་གཉིས་སམ་དུ་ མ་བསྲེ་སྡུད་བྱེད་པའི་རྩིས་རྒྱག་ཅིག་ 3 + 2 = 5 ལ་ཟེར་ཞིང་། བྱེ་བྲག་ཏུ་དངོས་ཁག་ a སྡོམ་བྱེད་གྲངས། དང་དངོས་ཁག་ b ལྷན་དུ་བསྡུ་བ་ལ་
3
Additive identity
སྡོམ་རྩིས་དང་། དངོས་ཁག་ a ཐོག་དངོས་ཁག་ b བསྣན་ ན་དེར་སྣོན་རྩིས་ཞེས་ཟེར། “+” རྟགས་ལ་སྣོན་རྟགས་ སམ་སྡོམ་རྟགས་ཟེར། དཔེར་ན། ༡། ཁམ་བུ་ སྒང་ལ་ཁམ་བུ་ བསྡོམས་པས། ཁམ་བུ་ ཆགས། ཡོད་པའི་ཐོག་ད་དུང་ལི་ བསྣན་ ༢། ལི་ པས། ལི་ ཆགས།
Additive identity སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ། གྲངས་གང་ ཞིག་དང་ཀླད་ཀོར་བསྡོམས་ཀྱང་བསྡོམས་ཐོབ་ཏུ་གྲངས་ རང་ཉིད་ཡིན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 0 + 3 = 3 དང་ 5 + 0 = 5 སྐབས་ཀྱི་ 0 ལ་སྣོན་ གྲངས་ཀྱི་ངོ་བོ་ཟེར།
Additive property of rational numbers ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་ཁྱད་ཆོས། ཧྲིལ་ གྲངས་དང་རི ལ ་གྲངས་ཀྱི ་ སྡོ མ ་རྩི ས ་ཁྱད་ཆོ ས ་བཞི ན ་
4
Additive property of rational numbers
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལའང་ཡོད། x དང་ y གཉིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ན། x + y = y + x ལྟར་གནས་ས་བརྗེས་ཀྱང་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད་ པའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཀ) -9 + 17 = 17 + -9 13
13 13 13 8 = 8 13 13 -9 ཁ) + -4 = -4 + -9 5 7 7 5 -63 + -20 = -20 + -63 35 35 35 35 -83 = -83 ལྟ་བུ་དང་། 35 35 ༢། x, y, z བཅས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ན།
ལྟར་སྡེབ་སྟངས་མི་འདྲ་བ་ བྱས་ཏེ་བསྡོམས་ཀྱང་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། (སྣོན་ གྲངས་སྡེབ་སྲོལ། ) དཔེར་ན།
(x + y) + z = x + (y + z)
4 3 3 -5 -5 4 + + = + + 3 5 2 2 3 5
5
Additive property of rational numbers 3×3+(-5)×2 + 4 = 3 + -5×5+4×3 6 5 2 15 -1 + 4 = 3 + -13 6 5 2 15 -1×5+4×6 = 30 19 = 19 ལྟ་བུ། 30 30
༣། x ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ན། 0 + x = x + 0 = x སྟེ། གྲངས་ཀ་ཞིག་དང་ཀླད་ཀོར་ བསྡོམས་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་གྲངས་དེ་ཉིད་ཡིན། (སྣོན་ གྲངས་ངོ་བོ།) དཔེར་ན། 0+ 7 = 7 +0 9 9 0 + 7 =7+ 0 9 9 9 9 0+7 = 7+0 9 9 7 = 7 ལྟ་བུ། 9 9
༤། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ x ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ - x (ལྡོག་
6
Adjacent angles
གྲངས་) བསྣན་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་ཀླད་ཀོར་ཡིན། (སྣོན་ གྲངས་ལྡོག་སྲོལ།) དཔེར་ན། -9 ཀ) 9 + -9 = 911 = 0 =0 11 11 11 -3 + 3 3 -3 ཁ) + = = 0 = 0 ལྟ་བུའོ།། 11 7
7
7
Adjacent angles ཉེ་ཟུར། སྤྱིའི་རྩེ་གནས་དང་སྤྱིའི་
དཔུང་པ་ཡོད་པ་དང་། དཔུང་པ་གཞན་གཉིས་ནི་སྤྱིའི་ དཔུང་པ་དེའི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་ཟུར་གཉིས་ལ་ཉེ་ ཟུར་ཟེར། དཔེར་ན། ∠AOB དང་ ∠BOC C གཉིས་ཀྱི་སྤྱིའི་རྩེ་གནས་ O དང་། B སྤྱིའི་དཔུང་པ་ OB ཡིན། ཟུར་གྱི་ དཔུང་པ་གཞན་གཉིས་ཏེ་ OA O A དང་ OC གཉིས་ནི་སྤྱིའི་དཔུང་པ་ OB ཡི་ལྡོག་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པ་ལྟ་བུ་དང་། མཐའ་བཞི་ དབྱིབས་ལ། ཟུར་བཞི་དང་མཐའ་བཞི་ཡོད་པ་ལས། ཟུར་
7
Adjacent faces
གཉིས་ཀྱིས་མཐའ་གཅིག་ཐུན་མོང་དུ་སྤྱོད་པ་ལའང་ཉེ་ ཟུར་ཟེར། དཔེར་ན། མཐའ་བཞི་དབྱིབས་ EFGH ལ་ མཚོན་ན། མཐའ་བཞི་ནི་ HE H G དང་ EF, FG, GH བཅས་དང་། ཟུར་བཞི་ནི་ ∠E དང་། ∠F, E F ∠G, ∠H བཅས་ཡིན་པ་ལས། ∠E དང་ ∠F ཡིས་མཐའ་ EF ཐུན་མོང་དུ་སྤྱོད་པས། ∠E དང་ ∠F ནི་ཉེ་ཟུར་དང་། ∠F དང་ ∠G ཡིས་མཐའ་ FG ཐུན་མོང་དུ་སྤྱོད་པས། ∠F དང་ ∠G ཡང་ཉེ་ཟུར་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Adjacent faces ཉེ་འབྲེལ་ངོས། ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ ལྡན་དབྱི བ ས་ཀྱི ་ སྐབས་སུ་མཐའ་གཅི ག ་ཐུན་མོ ང ་དུ་ D C སྤྱོ ད ་པའི ་ ངོ ས ་གཉི ས ་ལ་ཉེ ་ A B འབྲེལ་ངོས་ཟེར། དཔེར་ན། G H E F དཔེ་རིས་ནང་གི་གྲུ་ནར་ གཟུགས་ཀྱི་ཐུན་མོང་དུ་སྤྱོད་
8
Adjacent sides
པའི་མཐའ་ AB ཡི་ངོས་ ABCD དང་ ABFE གཉིས་ ལ་ཉེ་འབྲེལ་ངོས་ཟེར་བ་ལྟ་བུ།
Adjacent sides ཉེ་མཐའ། དབྱིབས་མཐའ་གསུམ་ H མམ་མཐའ་བཞི་མ་སོགས་ཀྱི་རྩེ་ G ཚེ ག ་ ཐུ ན ་ མོ ང ་ དུ ་ སྤྱོ ད ་ པ འི ་ མཐའ་གཉི ས ་ལ་ཉེ ་ མཐའ་ཟེ ར ། E F དཔེར་ན། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་ མ་ EFGH ལ་མཚོན་ན། མཐའ་ EH དང་ EF གཉིས་ནི་ཉེ་མཐའ་ཡིན་ཏེ། དེ་གཉིས་ཀྱི་ ཐུན་མོང་རྩེ་ཚེག་ནི་ E རེད། དེ་བཞིན། མཐའ་ HE དང་ HG, མཐའ་ GH དང་ GF, མཐའ་ FG དང་ FE བཅས་ སོ་སོའ་ི ཉེ་མཐའ་རེད། Algebra
ཚབ་རྩིས།
ཡི་གེ་དང་རྟགས་སོགས་ བེད་སྤྱད་དེ་ཆོ་གའམ་མཉམ་བྱའི་གྲངས་འབོར་མཚོན་ པར་བྱེད་པའི་རྩིས་རིག་གི་ཆ་ཤས་ཤིག་ལ་ཟེར། ཚབ་
9
Algebra
རྩིས་ལ་ཨ་རབ་སྐད་དུ་ al-jabr འབོད་ཅིང་། ཆག་དུམ་ བསྐྱར་སྒྲིག་ཅེས་པའི་དོན་ཡིན་པ་དང་། དེ་ནི་རྩིས་རིག་ པའི་ཆ་ཤས་ཆེ་བའི་གྲས་ཤིག་རེད། ཚབ་རྩིས་རིག་པ་ནི་ ཐོག་མར་གྷི་རིག་གི་རྩིས་རིག་མཁས་པ་ཌི་ཡེ་ཕན་ཊསེ་ (Diophantus) སྟེ་ཡོངས་གྲགས་སུ་ཁོང་ལ་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ པ་ལགས་ཞེས་འབོད་ཅིང་། ཁོང་གིས་དུས་རབས་གསུམ་ པ་ཙམ་ལ་གསར་གཏོད་བྱས་པར་བཤད་ཀྱང་། དེང་སང་ པར་ཤི་ཡའི་རྩིས་རིག་མཁས་པ་ཨལ་ཁ་ཝར་ཛི་མི་ (alKhwarizmi) ཡིས་དུས་རབས་བཅུ་གཉིས་པའི་ནང་ ཚབ་རྩིས་རིག་པའི་མ་གཞི་གསར་གཏོད་བྱས་པར་མང་ ཆེ་བས་བསམ་ཞིབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་ལ། དུས་རབས་བདུན་ པ་ནས་རྒྱ་ནག་གི ་རྩི ས ་རི ག ་མཁས་པས་ཐེ ང ས་གསུམ་ མཉམ་བྱའི ་ཉེ ་ མཚུངས་འགྲེ ལ ་ཐབས་གཏོ ད ་ཡོ ད ་པར་ བཤད་ཅིང་། དུས་རབས་བཅུ་དྲུག་ཙམ་དུ་ཧྥ་རན་སི་ཡི་ རྩིས་རིག་མཁས་པ་ཧྥོན་སོའ་ཝེཊ་ (Francois Viete) ཡིས་ཚབ་རྩིས་རིག་པ་གོང་སྤེལ་གྱིས་མཉམ་བྱར་གསལ་
10
Algebra
བྱེ ད ་གྲངས་བེ ད ་སྤྱོ ད ་སོ ག ས་ཐེ ང ས་བཞི འི ་ མཉམ་བྱའི ་ སྤྱིར་བཏང་འགྲེལ་ཐབས་གཏོད་པ་དང་། དུས་རབས་ བཅོ་བརྒྱད་ནང་ཉི་ཧོང་གི་རྩིས་རིག་མཁས་པ་སེཀི་ཀོཝ་ (Seki Kōwa) ཡིས་རྩིས་རིག་པའི་རྩ་བའི་ངེས་སྲོལ་ལ་ སྒྲུབ་བྱེད་བཀོད་པ་སོགས་དུས་རབས་རིམ་པར་བྱས་ཏེ་ ཚབ་རྩིས་རིག་པ་འདི་རྒྱ་བསྐྱེད་བྱུང་བ་རེད། དཔེར་ན།
ནི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ ཀྱི་ཆོ་ག་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། P ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ དང་། s ཡིས་མཐའི་རིང་ཚད་མཚོན་པ་ལྟ་བུ་གསལ་བྱེད་ གྲངས་ཀྱི་ཚབ་བྱེད་པའི་གཞི་རྩ་ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་ད་ བར་ཚབ་རྩིས་རྩི་ཚུལ་གྱི་སྔོན་འགྲོ་ནས་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ དང་ཉིས་ཚན་གྱི་ཚུལ། སུམ་ཚན་གྱི་ཚུལ། ཚན་མང་གི་ ཚུལ། རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་དང་ཐེངས་གཉིས་སོགས་ ཀྱི་མཉམ་བྱ། ཐེངས་གཅིག་མཉམ་བྱའི་སྐོར། ཚོ་གྲངས་ དང་ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ། ལིང་ཚེ། ཐེངས་གཅིག་མི་ མཉམ་ཚུལ། ཕྱོགས་བསྡུས་རྩིས་ཐབས་རིག་པ། སྟར་སྒྲིག་
P=4×s
11
Algebraic identities
དང་སྐོར་སྒྲིག། རིམ་ཕྲེང་དང་སྟར་གྲངས་སོགས་ཚབ་ རྩིས་རིག་པའི་རྣམ་གྲངས་དུ་མའི་སྐོར་གསར་གཏོད་དང་ གོང་སྤེལ་བྱས་ཡོད།
Algebraic identities ཚབ་རྩིས་གཏན་མཚུངས། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་སྐབས། མཉམ་བྱའི་གཡས་གཡོན་རྟག་ཏུ་ མཚུངས་པ་ལ་ཟེར། ཚབ་རྩིས་གཏན་མཚུངས་ཁག་ཅིག་ ནི། ༡། (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ༢། (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 ༣། x2 - y2 = (x + y) (x - y) ༤། (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab ༥། (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ༦། (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y) ༧། (x - y)3 = x3 - y3 - 3xy (x - y) ཡང་ན། = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 ལྟ་བུ།
12
Algebraic expression
Algebraic expression ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ། ཨང་ ཀི ་ དང་གྲངས་ཀའམ་གྲངས་འབོ ར ་མཚོ ན ་པའི ་ གསལ་ བྱེད་ཡི་གེས་རྒྱུ་གྲངས་ཤིག་ལ་སྣོན། འཕྲི། སྒྱུར། བགོད། རང་སྒྱུར་དང། སྒྱུར་བྱེད་སོགས་བྱས་ནས་སྟོན་པའི་ཚུལ་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། y - 3x དང་ a + b - c, 4pq × 4pr, x2 + xy, 18xyz + 3 སོགས་ལྟ་བུ། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་གི་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་གྱི་ ཚུལ། སུམ་ཚན་གྱི་ཚུལ་བཅས་ཡོད། Alternate interior angles
ནང་སྣོལ་ཟུར།
གསེག་ཐིག་གི་རྒྱབ་སྤྲོད་དུ་གྲུབ་པའི་ཆ་ཟུར་གང་ཞིག་ ཐི ག ་གཉི ས ་ཀྱི ་ ནང་ཟུར་དུ་ p ཡོད་ན། ཆ་ཟུར་དེ་གཉིས་ལ་ 13 ནང་སྣོལ་ཟུར་ཟེར། ནང་སྣོལ་ 42 l m ཟུར་ཡིན་ན་ཁྱད་ཆོས་གསུམ་ ཚང་དགོས་ཏེ། ༡། ཟུར་གཉིས་ ཀ་ནང་ཟུར་ཡིན་པ་དང་། ༢། ཟུར་གཉིས་ཀ་གསེག་ཐིག་
13
Altitude
གི་རྒྱབ་སྤྲོད་དུ་ཡོད་པ། ༣། ཟུར་དེ་གཉིས་ཀྱིས་ཉེ་ཟུར་མི་ གྲུབ་པ་བཅས་ཡིན་དགོས། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ཆ་ཟུར་ (∠1, ∠2) དང་ (∠3, ∠4) ལྟ་བུ།
Altitude མཐོ་ཚད། དཔངས། དྲང་འཕྱང་། གཞི་ གང་རུང་ནས་བརྩིས་པའི་དཔངས་སམ་མཐོ་ཚད་དེ་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། རྒྱ་མཚོའི་ངོས་ནས་བརྩིས་པའི་མཐོ་ཚད་ ལྟ་བུ།
Altitude of a triangle ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས། ཟུར་གསུམ་མའི ་ ཟུར་རྩེ ་ ཞི ག ་ནས་དེ འི ་ གཏད་མཐའ་ ( འམ་དེའི་བསྲིངས་ A A ཐིག་) དང་དྲང་འཕྱང་ ཡིན་པའི་ཐིག་དུམ་ལ་ B L C C L B ཟུ ར ་ ག སུ མ ་ མ འི ་ (ཀ) (ཁ) ན།
14
དཔངས་ཟེར། དཔེར་ དཔེ་རིས་ནང་གི་ཟུར་གསུམ་མ་ཀ་པ་དང་ཁ་པའི་
Amount
དཔངས་ AL ལྟ་བུ།
Amount
འབོར། བྱ་དངོས་ཅི་ཡང་རུང་བའི་ཁྱོན་
འབོར་ཞིག་སྟེ། རྫས་ཤིག་གམ་དངོས་ཁག་ཆ་ཚང་གི་ཁྱོན་ བསྡོམས་སམ། ཆེ་ཆུང། གནས་ཐང་། ཁྱོན་འབོར་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དངུལ་རྩིས་ལ་སྦྱར་ན། དངུལ་འབོར་རམ། མ་ བསྐྱེད་བསྡོམས་འབོར་དང་། སྤྱིར་བཏང་རྩིས་རྒྱག་ལ་སྦྱར་ ན། ཁྱོན་འབོར་དང་། གྲངས་འབོར། བསྡོམས་འབོར་ལྟ་བུ། སྐར་ཆ།
11 12 1 10 2 3 9 4 8 7 6 5
མདའ་འཁོར་ཆུ་ཚོད། ཆུ་ཚོད་
སྐར་མ།
ཆུ་ཚོད།
འ ཁོ ར ་ ལོ འི་ ངོ ས ་ སྟེ ང ་ གི ་ མདའི་འཁོར་སྐྱོད་ཀྱིས་དུས་ ཚོ ད ་སྟོ ན ་པར་བྱེ ད ་པའི ་ ཆུ་ ཚོད་ཅིག་ལ་ཟེར།
Angle ཟུར། དྲང་ཐིག་གཉིས་ཀྱི་སྤྱི་ སྣེ ་ ནས་སོ ་ སོ ར ་གྱེ ས ་པས་དཔེ ་ རི ས ་ ཤིག་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་ཅིང་། དཔེ་རིས་
།
མདའ་འཁོར་ཆུ་ཚོད།
དཔུ ང་པ
Analog watch
ཟུར།
དཔུང་པ།
15
Angle bisector
དེའི་གྲུ་ཕྱི་ནང་ལ་ཟུར་དང་། སྤྱི་སྣེ་ལ་ཟུར་ཚེག་ཅེས་ཟེར། ཟུར་ལ་སྣ་ཚོགས་ཡོད་དེ། དཔེར་ན། ཕྱི་ཟུར་རམ་འཕྲོ་ ཟུར་དང་། སྒོར་ཟུར། སྙོམས་ཟུར། དྲང་ཟུར་ལྟ་བུ།
Angle bisector ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག། ཟུར་ཞིག་ B ཟུར་གཅི ག ་མཚུངས་གཉི ས ་སུ་བགོ ་ L བ ར ་ བྱེད ་ པ འི ་ འཕྲོ ་ཐི ག ་ ལ ་ ཟེར ། 40˚ O
40˚
A
དཔེར་ན། 80˚ ཡོད་པའི་ ∠AOB དེ་
འཕྲོ་ཐིག་ OL ཡིས་ 40˚ བྱས་པའི་ ཟུར་གཉིས་སུ་བགོས་པ་ལྟ་བུ། མའི་ནང་ཟུར་མཉམ་བགོད་བྱེད་པའི་ ཐིག་དུམ་ལ་ཟེར་ཞིང་། ཐིག་དུམ་དེ་ ཟུར་གྱི་རྩེ་ནས་ཐད་ཀར་གཏད་མཐར་ འཕྲད་ཀྱི་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མར་ཟུར་
16
˚ 20 20˚
Angle bisector of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག། ཟུར་གསུམ་ P T
U 45˚ 45˚
Q
S
25 ˚ 25˚
R
Angle in a segment
གསུམ་རེ་ཡོད་པས། ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག་གསུམ་འབྲི་ ཐུབ། དཔེར་ན། ∆PQR ཡི་དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་ P དང་ Q, R ནས་སོ་སོའ ི་གཏད་མཐར་ཐིག་གཅིག་རེ་བྲིས་པས། ཐིག་དུམ་ PS དང་ QT, RU གྲུབ་ཅིང་། ཐིག་དུམ་དེ་དག་ ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག་ཟེར། Angle in a segment
གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་
མཐའི་ཟུར། གཞུ་དབྱིབས་སྟེང་གི་གནས་ཤིག་ནས་རྒྱུད་
ཐི ག ་གི ་ སྣེ ་ གནས་གཉི ས ་མཐུད་ནས་གྲུབ་པའི ་ ཟུར་ལ་ P S ཟེར། དཔེར་ན། སྒོར་ལྟེ་ O དང་གཞུ་ T R དབྱིབས་ RST ཡིན་པའི་སྒོར་ O དབྱིབས་ཤིག་བཀོད་རྗེས། སྒོར་མཐའི་ གནས་ R དང་ T ཡི་བར་ན་གནས་ བླངས་ཏེ་ RP དང་ PT མཐུད་པ་ལས་ ∠RPT གྲུབ། དེ་ལ་སྒོར་མཐའི་ཟུར་ཟེར།
P
Angle in a semi-circle
ཕྱེད་སྒོར་གྱིི་སྒོར་
17
Angles made by a transversal with two parallel lines
མཐའི་ཟུར། ཕྱེད་སྒོར་སྟེང་གི་གནས་ཤིག་ནས་ཚངས་ ˚
D
180 O
90˚
Y
C
ཐིག་གི་སྣེ་གནས་གཉིས་ལ་མཐུད་དེ་ གྲུབ་པ་ལ་ཟེར། དེའི་ཟུར་ཚད་ནི་
90˚ ཡིན། དཔེར་ན། སྒོར་ལྟེ་ O ཅན་
གྱི་དཔེ་རིས་དེའི་ ∠DYC ལ་ 90˚ ཡོད་པ་ལྟ་བུ།
Angles made by a transversal with two parallel lines མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་དང་གསེག་ ཐིག་ལས་གྲུབ་པའི་ཟུར། མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་དང་ གསེག་ཐིག་ཅིག་ཡོད་ན། ཁྱད་ཆོས་ཁག་གསུམ་ཚང་ དགོས་པ་ནི། p 4 1 གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་ m ༡། 3 2 གཅིག་པ། དཔེར་ན། དཔེ་ 8 5 l 7 6 རིས་ནང་གི་ཐིག་ m , l ནི་མཉམ་འགྲོ ་ ཡིན་པས། གསེག་ཐིག་ p དང་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ m , l ལས་གྲུབ་པའི་
18
Angle of depression
ཆ་ཟུར་ (∠1, ∠5 ) དང་ (∠2 , ∠6), (∠4 , ∠8), (∠3 ,∠7) ནི་གནས་མཐུན་ཆ་ཟུར་ཡིན་པས། ∠1 = ∠5 དང་ ∠2 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠3 =∠7 བཅས་ ལྟ་བུ་དང། ༢། ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་གཅིག་པ། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་ གི་ ∠2 , ∠8) དང་ (∠3, ∠5) ནི་ནང་སྣོལ་ཆ་ཟུར་ ཡིན་ཞིང་། ཐིག་ m , l ནི་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པས། ∠2 = ∠8 དང་ ∠3 = ∠5 རེད། ༣། མུ་འབྲེལ་ནང་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 180˚ ཡིན། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ (∠2, ∠5) དང་ (∠3, ∠8) ནི་མུ་འབྲེལ་ནང་ཟུར་ཡིན་ཞིང་། ཐིག་ m , l ནི་ མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པས། ∠2 + ∠5 = 180˚ དང་ ∠3 + ∠8 = 180˚ གྲུབ་པ་བཅས་གསུམ་མོ།།
Angle of depression ཐུར་ཟུར། ལྟ་ཞིབ་པ་ཞིག་ གིས་མཐོ་ས་ནས་དམའ་སར་ཡོད་པའི་བལྟ་ཡུལ་གྱི་བྱ་ དངོས་གང་རུང་ཞིག་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱེད་སྐབས། ཁོའ་ི མིག་
19
Angle of elevation
ིག། ་ཐ
ོང མཐ
ནས་བྱ་ཡུལ་གྱི ་ སྣེ ་ གནས་བར་ལ་ཐི ག ་ཅི ག ་འགོ ད ་ཀྱི ་ འཕྲེད་ཐིག། ཡོད། ཐིག་དེ་ལ་མཐོང་ཐིག་ ཐུར་ཟུ ར། ཟེར་བ་དང་། མཐོང་ཐིག་དང་ ཡུལ། འཕྲེ ད ་ཐི ག ་གཉི ས ་ཐུག་སར་ ཟུར་ཞིག་གྲུབ་པ་དེ་ལ་ཟེར།
Angle of elevation གྱེན་ཟུར། ལྟ་ཞིབ་པ་ཞིག་ ཡུལ། གིས་དམའ་ས་ནས་བལྟ་ཡུལ་གྱི་བྱ་ མཐ ོང་ཐ ིག། དངོ ས ་གང་རུང་ཞིག་ལ་ཡར་ལྟ་ གྱེན ་ཟུར ། བྱེད་སྐབས། ཁོའ་ི མིག་ནས་བྱ་ཡུལ་ འཕྲེད་ཐིག། གྱི་སྣེ་གནས་བར་ལ་ཐིག་ཅིག་ འགོད་ཀྱི་ཡོད། ཐིག་དེ་ལ་མཐོང་ཐིག་ཟེར་བ་དང་། མཐོང་ཐིག་དང་འཕྲེད་ཐིག་གཉིས་ཐུག་སར་ཟུར་ཞིག་ གྲུབ་པ་དེ་ལ་ཟེར། Angles subtented by equal chords at the center
20
རྒྱུད་ཐིག་མཚུངས་པའི་སྒོར་ལྟེ་ཟུར། སྒོར་
Angle sum property of quadrilateral
དབྱིབས་ཤིག་གི་རྒྱུད་ཐིག་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཐུང་མཚུངས་ན། དེ འི ་ སྒོ ར ་ལྟེ འི ་ ཟུར་རྣམས་ཕན་ཚུན་མཚུངས་ཀྱི ་ ཡོ ད ། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་སྒོར་ལྟེ་ O C D O ཅན་གྱི་སྒོར་དབྱིབས་ལ་མཚོན་ན། རྒྱུད་ A B ཐིག་ AB = CD གཉིས་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ ཕྱོ ག ས་སོ ་ སོ ར ་བྲི ས ་ཏེ ་ རྒྱུད་ཐི ག ་གི ་ སྣེ ་ གནས་སོ་སོ་ནས་སྒོར་ལྟེ་ O ལ་ཚངས་ཕྱེད་རེ་རེ་བཀོད་
པས། ∠AOB = ∠COD ཡིན་ཏེ། རྒྱུ་མཚན་ནི་ AO = BO = CO = DO དང་ AB = CD ཡིན་པས། མཐའ་ མཐའ་མཐའི་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་རེད། (∆AOB ≅ ∆COD) དེར་བརྟེན། ∠AOB = ∠COD རེད་ལྟ་བུ། Angle sum property of quadrilateral
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ ཁྱད་ཆོས། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་གང་ཡང་རུང་བ་ཞིག་
གི་ནང་ཟུར་བཞིའི་བསྡོམས་གྲངས་ 360˚ ཡིན་པའི་ཁྱད་ ཆོས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་དབྱིབས་མཐའ་
21
Angle sum property of quadrilateral
བཞི་མ་ ABCD ལ་མཚོན་ན། རྩེ་ ཚེག་ C ནས་ A ལ་གཏད་ཐིག་ D ཅིག་བྲིས་པས། གཏད་ཐིག་གིས་ 1 2 དབྱིབས་ ABCD ནི་ ∆ABC དང་ A B ∆ACD གཉིས་སུ་ཆ་བགོས་བྱས་ ཡོད། གཏད་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀྱི་ནང་ཟུར་ལ་ 1, 2, 3, 4 བཀོད་པས། ∠1 + ∠2 = ∠A ... (༡) དང་། ∠3 + ∠4 = ∠C ... (༢) གྲུབ་ཅིང་། ཟུར་གསུམ་མའི་ ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ 180˚ ཡིན་པར་བརྟེན། ∆ABC ནང་ ∠2 + ∠4 + ∠B =180˚ དང་། ∆ACD ནང་ ∠1 + ∠3 + ∠D = 180˚ རེད། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ནང་ཟུར་རྣམས་ཀྱི་བསྡོམས་ གྲངས་ནི། ∠2 + ∠4 + ∠B + ∠1 + ∠3 + ∠D = 360˚ C
3 4
⇒(∠1 + ∠2) + ∠B + ( ∠3 + ∠4) + ∠D =
22
Angle sum property of triangle 360˚
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360˚ [ ∵ (༡) དང་ (༢) ] དེས་ན། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་གི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་ གྲངས་ 360˚ ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Angle sum property of triangle ཟུར་གསུམ་ མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས། ཟུར་གསུམ་ མའི་ནང་ཟུར་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ 180˚ ཡོད་པའི་ ཁྱད་ཆོས་ལ་ཟེར། A དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ཕྱི་ཟུར། X ནང་གི་ ΔABC ལ་ཆ་ B C བཞག་ན། དེའི་མཐའ་ BC བསྣར་ཏེ་ཕྱི་ཟུར་ ACX ཆགས་ཤིང་། ཟུར་གསུམ་ མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་གྲངས་ནི་ཕྱི་ ཟུར་དང་མཚུངས་པའི ་ ཁྱད་ཆོ ས ་སམ་ཡང་ན་ཟུར་དེ ་ དག་གི་ཚད་འཇལ་ན། ཕྱི་ཟུར་ ACX དང་ནང་གི་གཏད་
23
Approximate
ཟུར་ (∠A + ∠B) གཉིས་དབར་ཟུར་ཚད་གཅིག་པ་ ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། དེས་ན། ∠BCD = 180˚ ཡིན་པས། ∠ACX + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB = 180˚ ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ་པ་ལྟ་བུ།
Approximate ཉེ་མཚུངས། གྲངས་འབོར་གང་ཞིག་ གྲངས་འབོར་དངོས་དང་ཉེ་ཤོས་ཡིན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 3 ∼ 1, ∆ABC ≅ ∆A’B’C’, π ≈ 3.14 ལྟ་བུ། 4
Arc གཞུ་ཐིག།
སྒོར་དབྱིབས་སྟེང་གི་གནས་གང་ N རུང་གཉིས་བར་གྱི་གཞུ་ལ་ཟེར། གཞུ་ B A ཐིག་ AB ནི་ AB ལྟར་འབྲི་ཆོག། O དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ANB ལྟ་བུ་ཕྱེ ད ་སྒོ ར ་ལས་ཐུང་བའི ་ གཞུ་ M ཐིག་ལ་གཞུ་ཐུང་ཟེར། དེ་བཞིན་དཔེ་ རིས་ནང་གི་ AMB ལྟ་བུ་ཕྱེད་སྒོར་ལས་རིང་བའི་གཞུ་ ཐིག་ལ་གཞུ་རིང་ཟེར།
24
Area 3 cm
Area རྒྱ་ཁྱོན། སྙོམས་ངོས་སམ་ འབུར་ངོ ས ་ཤི ག ་གི ས ་འཛི ན ་པའི ་ ཁུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ནང་གི་གྲུ་ནར་དབྱིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 5 × 3 = 15 cm2 རེད་ལྟ་བུ།
5 cm
Area of circle སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། སྒོར་ དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་དེའི་ཚངས་ཕྱེད་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་དང་ π ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ πr ཡིན། ཕྱི་ལོའ ི་སྔོན་གྱི་ལོ་ ༤༧༦-༥༥༠ ཙམ་ལ་བྱུང་བའི་རྒྱ་གར་གྱི་རྩིས་རིག་མཁས་ཅན་ཨརྱ་ བྷཊ་ (Aryabhata) ཡིས་པཡེ་ཡི་ཐང་ནི་ 62832 བྱས་ 20000 པས། 3.1416 ནི་ཉེ་མཚུངས་སུ་ངོས་འཛིན་བྱས་ཡོད། འོན་ ཀྱང་། རྩིས་རྒྱག་སྐབས་པཡེ་ཡི་ཐང་ནི་ 22 འམ་ 3.14 ལ་ 7 ཚོད་རྩིས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ཚངས་ཕྱེད་ 7cm ཅན་ གྱི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ = πr2 2
= 22 × 72 cm2 7 = 154 cm2
25
Area of parallelogram
དེར་བརྟེན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 154 cm2 རེད་ལྟ་ བུ།
Area of parallelogram མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་
མའི་རྒྱ་ཁྱོན།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ ཞབས་སྒྱུར་དཔངས་རེད། དེའི་ཆོ་ག་ནི་ b × h སྟེ། b ཡིས་ ཞབས་དང་ h ཡིས་དཔངས་མཚོན། དཔེར་ན། ཞབས་ནི་
དང་། དཔངས་ནི་ 5cm ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་ མཐའ་བཞི་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། 20cm
= 20 × 5
= 100 cm2 རེད།
Area of the path འགྲོ་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན། ས་ཆའམ་ དངོས་པོ་ཞིག་གི་མཐར་བེད་སྤྱོད་གཞན་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་ ཆ་ཤས་ཟུར་འདོན་བྱས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་ཟེར། བེད་སྤྱོད་ ལ་དཔག་པའི་དེར་འགྲོ་ལམ་དང་། རྐང་ལམ། ཤུར་ལམ་ སོགས་སྤྱོད་པ་ཡོད།
26
Area of rectangle
དཔེར་ན། དཀྱུས་ལ་ 54 m དང་ཞེང་ 39 m ཡོད་པའི་ ལྡུམ་ར་ཞིག་གི་ས་མཚམས་ནས་ནང་རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ 2 m ཅན་གྱི་འགྲོ་ལམ་ཞིག་བཟོ་དགོས་ན། ལྡུམ་རའི་རྒྱ་ཁྱོནཡོངས་ = 54 × 39 = 2106 m2 དང་། འགྲོ་ ལམ་མ་ཐེ་བའི་ལྡུམ་རའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 50 × 35 =1750 m2 ཡིན་པས། འགྲོ་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ = (2106 - 1750) m2 = 356 m2 རེད་ལྟ་བུ།
2cm
Area of rectangle གྲུ་བཞི་ནར་མོའ་ི རྒྱ་ཁྱོན། གྲུ་ 3cm བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་ དང་ཞེང་གི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ ཟེར་ཞིང་། དེའི་ཆོ་ག་ནི་ l × b རེད། དཔེར་ན། དཀྱུས་ 3 cm དང་ཞེང་ ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། = l × b =3 ×2
2 cm
27
Area of sector = 6 cm2 རེད།
དེར་བརྟེན། གྲུ་ནར་དབྱིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་ 6 cm2 རེད་ ལྟ་བུ། Area of sector སོག་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། སྒོར་ དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཕྱེད་ r དང་སོག་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་ལྟེ་ ཟུར་ θ སོག་དབྱིབས་ཀྱི་གཞུའི་རིང་ཚད་ l སོག་ ། ིབས ་དབྱ སགོ
སྒོར་དབྱིབས་གང་ཚང་།
θ
2π
r
A
r
= π × r2
A
= ( 2θπ ) × π × r2 = ( θ ) × r2 2
དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ S བཅས་ཡིན་པའི་དབང་དུ་བཏང་
28
Area of sector θπr2 ན། སོག་དབྱིབས་ S ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ = 360 = 12 lr2 ཡིན་ཏེ། སྒོར་དབྱིབས་གང་ཚང་ = 360˚ = 2π དང་།
སྒོར་ལྟེའི་ཟུར་ = l ཡིན། θ སྒོར་ལྟེའི་ཟུར་དུ་སྤྱད་དེ་ སོག་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་སྐབས། གོང་གི་དཔེ་རིས་ ལྟར་སོག་དབྱིབས་ཤིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། = θ × π r2 = =
2π θ × r2 (θ ཚངས་ཕྱེད་ཀྱི་རིང་ཚད་ནང་འཇལ་སྐབས།) 2 θπ × r2 (θ ཟུར་ཚད་ཌིག་རི་ནང་འཇལ་སྐབས།) རེད། 360
Area of segment གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། རྒྱུད་ ཐི ག ་ཅི ག ་དང་དེ འི ་ གཞུ་ཐི ག ་ གཞུ ་དབྱ ིབས ། གིས་བསྐོ ར ་བའི་ཆ་ཤས་དེ འི ་ θ ཁུལ་ལ་ཟེར། གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ r ཁྱོན་འཚོལ་བར། ཚངས་ཕྱེད་ དབྱི བ ས་ཀྱི ་ རྒྱ་ཁྱོ ན ་ནས་དེ འི ་ 1 ཟུར་གསུམ་མའི ་ རྒྱ་ཁྱོ ན ་འཐེ ན ་ A = 2 ) × (θ - sin θ ) × r 2
29
Area of square
དགོས་ཏེ། དཔེར་ན། θ སྤྱད་དེ་གཞུ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ འཚོལ་སྐབས། གོང་གི་དཔེ་རིས་ལྟར་སོག་དབྱིབས་ཤིག་གི་ རྒྱ་ཁྱོན་ནི།
(θ - sin θ) × r2 (θ ཚངས་ཕྱེད་ཀྱི་རིང་ཚད་ནང་འཇལ་སྐབས།) 2 θπ (π - sin θ) = 360 × × r2 (θ ཟུར་ཚད་ཌིག་རི་ནང་འཇལ་ 2 =
སྐབས།)
རེད།
Area of square གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། གྲུ་ བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་བཞི་མཚུངས་པས། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ ནི་མཐའ་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན། དེའི་ཆོ་ག་ནི་ = s2 རེད། དཔེར་ ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་སྒམ་ཆུང་དེའི་མཐའི་ རིང་ཚད་ལ་ 10 cm ཡིན་ན། དེའི་ངོས་གཅིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། 10cm = s2
= 102
30
= 100 cm2 རེད་ལྟ་བུ།
Area of trapezium
Area of trapezium སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། སྐས་ དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་གཏད་ཐིག་མཉམ་འགྲོ་གཉིས་ཀྱི་ཆ་ སྙོ མ ས་བསྡོ མ ས་ཐོ བ ་ལ་དཔངས་སམ་མཐོ ་ ཚད་ཀྱི ས ་ བསྒྱུར་པའི ་ བསྒྱུར་ཐོ བ ་ལ་ཟེ ར ། M D C དེའི་ཆོ་ག་ནི་ = 1 h ( a + b) རེད། 2 བྱས་ན་ཆོ ་ ག་དེ ་ ཇི་ལྟར་བྱུང་ངམ་ A L B ཞེ་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་སྐས་ དབྱིབས་ ABCD ལས་ CL དང་ AM གཉིས་དཔངས་ ཡིན་པ་དང་། སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་ A ནས་ C ལ་གཏད་ཐིག་ གཅིག་བྲིས་ན། དབྱིབས་དེ་ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ ACD ལ་བགོད་ཀྱི་ཡོད་ཅིང་། མཐའ་འམ་ཞབས་ AB དང་ DC གཉིས་ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ a དང་ b དང་། དཔངས་ CL དང་ AM གཉིས་ལ་ h བཅས་སོ་སོར་མིང་ བཏགས་པས། སྐས་དབྱིབས་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། = ∆ABC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ + ∆ACD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། =
1 1 AB × CL + DC × AM 2 2
31
Area of triangle 1 1 a×h+ ×b×h 2 2 1 = h (a + b) རེད། 2
15 cm
=
7 cm 25 cm
དཔེར་ན། སྐས་དབྱིབས་ཤིག་ལ་ དཔངས་ 7 cm དང་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཅིག་ 25 cm, མཐའ་གཞན་དེ་ 15 cm བཅས་ཡིན་ན། སྐས་དབྱིབས་ དེའི་རྒྱ་ཁྱོན། 1 = × h (a + b) 2 1 × 7 × (25 +15) 2
=
= 140 cm2 རེད་ལྟ་བུ།
12 cm
Area of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། ཟུར་ གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཞབས་ལ་དཔངས་ཀྱིས་བསྒྱུར་ཏེ། 2 ཀྱིས་བགོད་པ་དང་མཚུངས། དེའི་ ཆོ་ག་ནི། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 20 cm
32
1 2
=
ཞབས་ × དཔངས་སམ། ཡང་ན། 1 2
bh
ཡིན།
དཔེར་ན། ཟུར་
Arithmetic mean
གསུམ་མ་དེའི་ཞབས་ལ་ 20 cm དང་དཔངས་ལ་ 12 cm ཡོད་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། =
1 2
bh
1 = × 20 × 12 2
= 120 cm2
རེད་ལྟ་བུ།
Arithmetic mean ཆ་སྙོམས་གྲངས། བྱེ་བྲག་གི་ ཚོ་ཁག་དང་། ཡང་ན་གྲངས་ཐོ འ ་ི ཐང་དཀྱི ལ ་མའི ་ ངོ ་ ཚབ་མཚོ ན ་པའི ་ གྲངས་དེ ་ ལ་ཆ་སྙོ མ ས་ཞེ ས ་འབོ ད ་ ཅི ང ་། གྲངས་ཐོའ་ི ཚོ་ཁག་ཅིག་བསྡོམས་པའི་ཐོབ་ལ་བྱེ་ བྲག་ཡོངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་དང་། གྲངས་ཐོའ་ི ཚོ་ཁག་ ཅིག་ནང་ཚན་པ་ག་ཚོད་ཡོད་པའི་གྲངས་དེ་ལ་བྱེ་བྲག་ གི་གྲངས་ཟེར། ཆ་སྙོམས་གྲངས་འཚོལ་ཐབས་ནི་བྱེ་ བྲག་ཡོངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་བྱེ་བྲག་པའི་གྲངས་ཀྱིས་ བགོད་པ་དེ་ཡིན། དཔེར་ན། སློབ་ཕྲུག་ 10 ཡི་ལོ་འཁོར་ རྩིས་རིག་ཡིག་རྒྱུགས་སྦྱངས་འབྲས་ནི་ 89, 60, 43, 33,
33
Arithmetic progression 95, 99, 55, 45, 78, 36 ཡིན་ན།
སློབ་ཕྲུག་དེ་དག་གི་ལོ་ འཁོར་རྩིས་རིག་ཡིག་རྒྱུགས་སྦྱངས་འབྲས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་ ག་ཚོད་རེད་དམ་ཞེ་ན། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་ནི། = ∑nx
= =
ཅེས་པའམ་ཡང་ན།
བྱེ་བྲག་ཡོངས་ཀྱི་ཁྱོན་བསྡོམས། བྱེ་བྲག་པའི་གྲངས།
89+60+43+33+95+99+55+45+78+36
630 10
10
དེར་བརྟེན། སློབ་ཕྲུག་ 10 ཡི་ལོ་འཁོར་རྩིས་ རིག་ཡིག་རྒྱུགས་སྦྱངས་འབྲས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་ནི་ 63 རེད། Arithmetic progression ཨང་རྩིས་སྟར་གྲངས། ཨང་ཀི ་ གོ ་ རི མ ་སྟར་ཆགས་སུ་ཡོ ད ་པ་གང་ཞི ག ་གི ་ སྔོ ན ་རྗེ ས ་ཀྱི ་ ཚན་པ་རེ ་ རེ འི ་ བར་ཁྱད་རྟག་པ་ཡི ན ་པ་ སྟེ། 9, 11, 13, 15, ....... ལྟ་བུ་བར་ཁྱད་གཅིག་མཚུངས་ སུ་ཡོད་པའི་གྲངས་ཁག་ཅིག་ལ་ཟེར། ཨང་རྩིས་སྟར་ གྲངས་ཚན་པ་ n ཡི་ཆོ་ག་ནི་ an = a + (n - 1) d ཡིན་ པ་དང་། a ནི་སྟར་གྲངས་ཀྱི་ཚན་པ་དང་པོ་དང་། d ནི་ = 63
34
Arm
གཅིག་མཚུངས་བར་ཁྱད་རེད།
ཟུར།
Arm དཔུང་པ། ཟུར་ཞིག་འགྲུབ་ དཔུང་པ། པར་བྱེ ད ་པའི ་ ཐི ག ་གང་རུང་གཉི ས ་ ཟུར་ཚེག། དཔུ ང་པ ། ལ་ཟུར ་དེའི་དཔུང་པ་ཞེས་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ཐིག་དུམ་ གཉི ས ་ཀྱི ་ སྣེ ་ གནས་ཕན་ཚུན་གནས་གཅི ག ་ཐོ ག ་ཕྲད་ པས། སྣེ་གནས་དེ་ལ་ཟུར་ཚེག་དང་། ཐིག་དེ་གཉིས་ལ་ ཟུར་དེའི་དཔུང་པ་ཞེས་ཟེར། ASA congruence rule
ཟུར་མཐའ་ཟུར་གྱི་
ཡོངས་མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་ཟུར་
ག ཉི ས ་ ད ང ་ དེ འི ་ ཚུ ད ་ མ ཐ འ ་ ཟུ ར ་ ག སུ མ ་ D A མ་གཞན་ ཞི ག ་ གི ་ 35˚ C F 35˚ 50˚ E B 50˚ ག ན ས ་ 3 cm 3 cm དཔེ་རིས་ ༡ མ ཐུ ན ་ གྱི ་
35
Associative property
ཟུར་གཉི ས ་དང་དེ འི ་ ཚུད་མཐའ་ཕན་ཚུན་མཉམ་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ཞེས་པའི་ སྤྱི་སྲོལ་ལ་ཡོངས་མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ་ལམ་ཟུར་མཐའ་ཟུར་ གྱི་ཚད་འཛིན་ཆ་རྐྱེན་ (ASA criterion) ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ BC = 3 cm , ∠B = 50˚, ∠C = 35˚ བཅས་ཡིན་པའི་ ∆ABC དང་ EF = 3 cm , ∠E = 50˚, ∠F = 35˚ བཅས་ཡིན་པའི་ ∆DEF ནི་ཟུར་མཐའ་ཟུར་ ཚད་འཛིན་ཆ་རྐྱེན་ལས་ཡོངས་མཚུངས་ངེས་པ་ལྟ་བུ། Associative property སྡེབ་སྲོལ། གྲངས་ཀྱི་ ཚོགས་ཤིག་སྡོམ་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་རྒྱག་སྐབས། ཚོ་ཁག་ ལྟོས་མེད་དུ་བསྡེབས་ནས་བསྒྱུར་བའམ་བསྡོམས་ན། ཐོབ་ གྲངས་ལ་འགྱུར་བ་མེད་པའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་ཟེར། འདིར་ཚོ་ ཁག་ཅེས་པ་ནི་གུག་རྟགས་ནང་དུ་བཅུག་པའི་གྲངས་ཀྱི་ ཚན་པ་ལ་ཟེར་ཞིང་། རྩིས་བརྗོད་ཅིག་ནང་གུག་རྟགས་ ཀྱིས་ཚན་པ་ཇི་ལྟར་དབྱེ་རུང་ཐོབ་གྲངས་རང་འཇགས་ ཡིན། དཔེར་ན།
36
Associative property
ཀ) ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡེབ་སྲོལ། བྱེད་ལས།
གྲངས།
2+7+5=2+7+5
ཟུར་མཆན།
(2 + 7) + 5 = 2 + (7 + 5) (9) + 5 = 2 + (12)
སྡོམ་རྩིས།
ཧྲི ལ ་གྲངས་ཀྱི ་ སྡོ མ ་ རྩི ས ་ ལ ་ ལྟ་བུ་སྟེ། ཧྲིལ་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་སྡོམ་ སྡེབ་སྲོལ་ཡོད། སྐབས། (a + b) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ c ལ་སྡོམ་ ཡང་རུང་། (b + c) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ a ལ་སྡོམ་ ཡང་རུང་། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། 14 = 14
(4 × 6) × 0 = 4 × (6 × 0) (24) × 0 = 4 × (0)
སྒྱུར་རྩིས།
ཧྲི ལ ་གྲངས་ཀྱི ་ 0=0 ལྟ་བུ་སྟེ། ཧྲིལ་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་སྒྱུར་ སྒྱུ ར ་ རྩི ས ་ ལ ་ སྐབས། (a × b) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ c ལ་སྒྱུར་ སྡེབ་སྲོལ་ཡོད། ཡང་རུང་། (b × c) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ a ལ་སྒྱུར་ ཡང་རུང་། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
ཁ) རིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡེབ་སྲོལ། བྱེད་ ལས།
གྲངས།
ཟུར་མཆན།
37
Associative property (-2) + [3 + (-4)] = [(-2) + 3] + (-4) = (-2) -1 = 1 + (-4)
སྡོམ་རྩིས།
རིལ་གྲངས་ཀྱི་ -3 = -3 ལྟ་བུ་སྟེ། རིལ་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་སྡོམ་ སྡོ མ ་ རྩི ས ་ ལ ་ སྐབས། (a + b) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ c ལ་སྡོམ་ སྡེབ་སྲོལ་ཡོད། ཡང་རུང་། (b + c) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ a ལ་སྡོམ་ ཡང་རུང་། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། 5 × [(-7) × (-8)] = [5 × (-7)] × (-8) 5 × (-56) = 35 × (-8)
སྒྱུར་རྩིས།
རིལ་གྲངས་ཀྱི་ -280 = -280 ལྟ་བུ་སྟེ། རིལ་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་སྒྱུར་ སྒྱུ ར ་ རྩི ས ་ ལ ་ སྐབས། (a × b) གཉིས་བསྡེབས་ནས་སྒྱུར་ཡང་ སྡེབ་སྲོལ་ཡོད། རུང་། (b × c) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ a ལ་སྒྱུར་ཡང་ རུང་། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
ག) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡེབ་སྲོལ། བྱེད་ ལས།
གྲངས།
ཟུར་ མཆན།
ལུགས་ལྡན་ གྲ ང ས ་ ཀྱི ་ སྡོམ་རྩིས། -2 + 3 + -5 = -1 + -5 = -9 ལྟ་བུ་སྟེ། ལུགས་ལྡན་ སྡོམ་རྩིས་ལ་ 5 3 6 15 6 10 གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་སྡོམ་སྐབས། (a + b) སྡེ བ ་ སྲོ ལ ་ ཡོད། གཉིས་བསྡེབས་ནས་ c ལ་སྡོམ་ཡང་རུང་།
38
-2 -7 -9 -2 3 -5 + + = + = 3 30 10 3 5 6
Assumed mean method གཉིས་བསྡེབས་ནས་ བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
(b + c)
a
ལ་སྡོམ་ཡང་རུང་།
2 -7 105 -35 -7 5 × × = × = 9 3 3 4 3618 54
ལུགས་ལྡན་ གྲ ང ས ་ ཀྱི ་ སྒྱུར་རྩིས། ལྟ་བུ་སྟེ། གསུམ་པོ་ སྒྱུར་རྩིས་ལ་ སྒྱུར་སྐབས། (a × b) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ c ལ་སྒྱུར་ སྡེ བ ་ སྲོ ལ ་ ཡང་རུང་། (b × c) གཉིས་བསྡེབས་ནས་ a ལ་སྒྱུར་ཡང་ ཡོད། རུང་། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། 2 -35 21 -35 -7 5 × × = × = 4 9 12 3 9 54 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a6 དང་ b, c
མཆན། ཧྲིལ་གྲངས་དང་རིལ་གྲངས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ བཅས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་དང་བགོད་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་ མེད།
Assumed mean method ཆ་བཞག་ཆ་སྙོམས་ གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ། སྡོམ་རྩིས་རིག་པའི་ནང་། གྲངས་ ཐོ འ་ི ཚོ ག ས་ཤི ག ་གི ་ ཆ་བཞག་ཆ་སྙོ མ ས་གྲངས་དང་བྱེ ་ བྲག་གི་ཡོ་ཁྱད་ཀྱི་རྩིས་རྒྱག་ཐབས་ལམ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན།
39
Assumed mean method བར་ཚོ། 10-25 25-40
བར་ཚོའི་ དཀྱིལ་ཐང་།
ཡོ་ཁྱད་ = d = x -a a = 47.5
fi x di
2
17.5
-30
-60
3
32.5
-15
-45
སློབ་མའི་ གྲངས། fi
xi
40-55
7
47.5
0
0
55-70
6
62.5
15
90 180
70-85
6
77.5
30
85-100
6
92.5
45
ཁྱོན་བསྡོམས།
∑fi =30
270 ∑fidi = 435
གོང་གི་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་གྱི་རེའུ་མིག་བརྒྱུད་ ཆ་སྙོམས་གྲངས་འཚོལ་དགོས་ན། ༡། དང་ ཡི་འབྲེལ་བ་འཚོལ་དགོས། དེའང་། ཡོ་ཁྱད་ di ནི་ xi བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་རེ་རེ་ ནས་དེའི་དཀྱིལ་གྲངས་སམ་ཆ་བཞག་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ a འཐེན་པ་དེ་ཡིན་ཞིང་། ལ་ a བསྡོམས་པས། ཐོབ་སྟེ། ཆོ་ག་བཀྲལ་ཏེ་འགྲེལ་ན།
40
Average ∑fidi
∑fi(xi-a) ∑fixi ∑fia = = ∑fi ∑fi ∑fi ∑fidi - a = a + = a + ∑f i
= ∑f = i =
-a
∑fi ∑fi
དེས་ན།
= 47.5 + 435 = 47.5 + 14.5 = 62 30
དེར་བརྟེན། སློབ་ཕྲུག་ 30 ལ་ཐོབ་པའི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་
ནི་ 62 རེད། གོང་གི་བརྒྱུད་རིམ་ཆ་ཚང་བ་ཞིག་ལ་ཆ་ བཞག་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་ཟེར། Average
ཆ་སྙོམས།
ཆ་སྙོམས་ཞེས་པ་ནི་གྲངས་ ཐོ ་ ཁྱོ ན ་བསྡོ མ ས་ལ་བྱེ ་ བྲག་གི ་ གྲངས་ཀྱི ས ་བགོ ས ་པའི ་ བགོས་ཐོབ་ལ་ཟེར། ཆ་སྙོམས་ནི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ དང་། ཆ་སྙོམས་དཀྱིལ་གྲངས། བྱིངས་གྲངས་སོགས་ ལའང་འཇུག། དཔེར་ན། 2 དང་ 4, 6, 8 བཅས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་འཚོལ་
41
Axis
དགོས་ན། = 2 + 4 + 6 + 8 = 5 4 དེར་བརྟེན། 2 དང་ 4, 6, 8 བཅས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ ནི་ 5 ཡིན་ལྟ་བུ། Axis
མདའ། གནས་ཚད་སྙོམས་ངོས་ཤིག་གི་ཐོག་ y axis
2 1 -3 -2 -1 0
1 2 3
-1 -2
(y-axis)
ཟེར།
x axis
གྲངས་ཐིག་གི་མདའ་གཉིས་སྟོན་ གྱི་ཡོད་ཅིང་། མདའ་གཅིག་ལ་ འཕྲེད་མདའ་ (x-axis) དང་།
མདའ་གཞན་དེ་ལ་གཞུང་མདའ་
Axiom སྤྱི་སྲོལ། ཁུངས་འདྲེན་གང་ཡང་མེད་ཀྱང་ བརྗོ ད ་པ་ཞི ག ་རང་ངོ ས ་ནས་བདེ ན ་པར་གྲུབ་པའམ་ འཁྲུལ་བ་མིན་པ་དངོས་སུ་འགྲུབ་པའི་ངོས་འཛིན་བྱེད་ ནུས་ཤིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། རང་ལྡོག་མངོན་སུམ་ལྟར་ ན། གྲངས་ཤིག་དང་གྲངས་དེ་ཉིད་ནི་གཅིག་པ་ཡིན་ཏེ། a
=a
42
ལྟ་བུ་དང་། སྣོན་རྩིས་སྤྱི་སྲོལ་ལྟར་ན། a = b དང་
Bar
ཡིན་ན། a + c = b + d སོགས་དངོས་སུ་འགྲུབ་ པ་ལྟ་བུ།
c=d
B Bar ནར་རིས། གྲངས་ཐོ་གང་ཞིག་སྟོན་ཆེད་འཕྲེད་ ཐིག་གམ་འཕྲེད་ཤིང་དཔེ་རིས་ཏེ། ཡོངས་གྲགས་སུ་ནར་ དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེར།
Bar graph དྲ་མིག་ཐིག་རིས། གྲུ་ནར་ཐིག་རིས། དྲ་མིག་ནང་ཐིག་རིས་ནར་དབྱིབས་སྤྱད་དེ། གྲངས་ཐོ་ མཚོན་ཐབས་བྱེད་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། ཐིག་རིས་དེའི་ དབྱིབས་ནི་གྲུ་ནར་ཡིན་པས། དེར་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་
43
Base
ཀྱང་ཟེར། དེ་ ལ ་ འ ཕྲེ ད ་ 100 90 གཞུང་གཉི ས ་ 80 70 ཀར་དགོད་པ་ སྦྱངས་ 60 འབྲས་ 50 བརྒྱ་ ཡོད། དཔེར་ ཆ། 40 30 ན། གོང་གི་དྲ་ 20 10 མི ག ་ ཐི ག ་ 0 བོད་ཡིག། ཨང་རྩིས། སྤྱི་ཚན། ཚན་རིག། ཨིན་ཡིག། རི ས ་ དེ ་ ནི ་ གཞུང་དུ་བཀོད་པ་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། དེས་འཛིན་གྲྭ་ལྔ་ པའི་སློབ་ཕྲུག་ 23 གྱི་སློབ་ཚན་ 5 ཡི་སྦྱངས་འབྲས་སྟོན་ པ་ལྟ་བུ། འཛིན་གྲྭ་ལྔ་པའི་སློབ་ཕྲུག་གི་ལོ་འཁོར་ཡིག་ རྒྱུགས་སྦྱངས་འབྲས།
Base ཞབས། གཞི། དབྱིབས་རྩིས་ནང་ཟུར་གསུམ་ མ་དང་། སྙོམས་དབྱིབས་སོགས་ཀྱི་འོག་མཐའ་དང་། གཞན་སྲ་གཟུགས་ཤོ་གཟུགས་དང་སྒམ་གཟུགས་སོགས་ ཀྱི་ཞབས་ལྟ་བུ་དང། སིལ་གྲངས་མ་ལག་ནང་གྲངས་ གནས་ 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) སྤྱོད་པར་བརྟེན། དེ་
44
Base line
ལ་གཞི་ 10 ཟེར་ཞིང་། གྲངས་གནས་ཉིས་ཚན་མ་ལག་ སྐབས་གཞི་ 2 ཏེ། 0 དང་ 1 ཁོ་ན་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Base line ཞབས་ཐིག ངོས་སྙོམས་དབྱིབས་དང་སྲ་ གཟུགས། ཐིག་རིས་སོགས་ཀྱི་འོག་མཐའི་ཐིག་དེ་ལ་ ཞབས་ཐིག་ཟེར་ཞིང་། སྒོར་ཕྱེད་ཀྱི་འཇལ་ཚད་འཛིན་ སའི་ཐིག་དེ་ལའང་ཞབས་ཐིག་ཟེར། Basic shapes
རྩ་བའི་དབྱིབས། དབྱིབས་རྩིས་
ནང་གི ་ ངོ ས ་སྙོ མ ས་དབྱི བ ས་ཁག་ལ་རྩ་བའི ་ དབྱི བ ས་ ཞེས་ཟེར། དཔེར་ན། ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་། གྲུ་ནར་ དབྱིབས། ཁ་གང་དབྱིབས། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། སྒོར་ དབྱིབས། འཇོང་དབྱིབས། གཟེ་དབྱིབས། སྐས་དབྱིབས། དབྱིབས་མཐའ་ལྔ། དབྱིབས་མཐའ་དྲུག། དབྱིབས་མཐའ་ བརྒྱད་ལྟ་བུ། Binomial
ཉིས་ཚན་ཚུལ། ཚན་པ་གཉིས་ཅན་གྱི་
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 3x2 + 2 དང་ 5x -
45
BODMAS Rule 1, y - 3x, 23 - z སོགས་ལྟ་བུ།
BODMAS Rule
ཐབས་བཞི་རྩིས་གཞིའི་རྩིས་
ཐབས་ལུགས། སྐབས་འདིར་
ཡིས་གུག་རྟགས་ (bracket) དང་། O ཡིས་འབྲེལ་ཚིག་ (of) D ཡིས་ བགོད་རྩིས། (Division) M ཡིས་སྒྱུར་རྩིས། (Multiplication) A ཡིས་སྡོམ་རྩིས། (Addition) S ཡིས་འཐེན་ རྩིས་ (Subtraction) བཅས་མཚོན་ཞིང་། རྩིས་ཐབས་ འདིའི་མན་ངག་ནི། B
ཐབས་བཞི་མཉམ་བསྲེས་རྩིས་གཞི་ལ།
བགོད་སྒྱུར་སྔོན་དང་སྡོམ་འཐེན་རྗེས། ། གོ་རིམ་མ་ནོར་བརྩི་བར་བྱ།
གུག་རྟགས་དང་ནི་འབྲེལ་ཚིག་སྐབས། ། ཐོག་མར་གུག་རྟགས་ནང་བརྩིས་ཏེ། དེ་རྗེས་འབྲེལ་ཚིག་བརྩི་བར་བྱ། །
ཞེས་ཏེ། ཐབས་བཞི་མཉམ་བསྲེས་རྩིས་གཞི་སྐབས། བགོད་ རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་སྔོན་ལ་བརྩི་དགོས་དང་དེ་རྗེས་སྡོམ་
46
Bracket
རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་བརྩི་དགོས་ཀྱང་། གུག་རྟགས་ཁག་ དང་འབྲེལ་ཚིག་ཡོད་སྐབས། དང་པོ་གུག་རྟགས་ཆུང་ བ་ནས་འབྲིང་བ་དང་ཆེ་བ་གོ་རིམ་གྱིས་བརྩི་དགོས་པ་ དང་། དེ་རྗེས་འབྲེལ་ཚིག། མཇུག་ཏུ་བགོད་རྩིས། དེ་ནས་ སྒྱུར་རྩིས། སྡོམ་རྩིས། འཐེན་རྩིས་བཅས་རིམ་བཞིན་བརྩི་ དགོས། དཔེར་ན། 30 - 5 × 2 ཀྱི་ 3 + (19 - 3) ÷ 8 ལྟ་
བུའི་རྩིས་འབྲས་འཚོལ་དགོས་ན།
30 - 5 × 2 ཀྱི་ 3 + (19 - 3) ÷ 8
= 30 - 5 × 2 ཀྱི་ 3 + 16 ÷ 8 = 30 - 5 × 6 + 16 ÷ 8 = 30 - 5 × 6 + 2 = 30 - 30 + 2 = 32 - 30 = 2 ལྟ་བུ།
Bracket གུག་རྟགས། ཚིག་གམ་ཨང་ཀི་ལ་སོགས་ ལོགས་སུ་འདོན་བྱེད་དུ་སྤྱོད་པའི་རྟགས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན།
47
Breadth
གུག་རྟགས་ཆུང་བ་ “( )” དང་། གུག་རྟགས་འབྲིང་བ་ “{ }” གུག་རྟགས་ཆེ་བ་ “[ ]” ལྟ་བུ།
Breadth ཞེང། འཕྲེད་ཀྱི་བར་ཐག་གམ་འཇལ་ཚད་ ཅིག་ལ་ཟེར་ཏེ། ཞེང་ཚད་དང་། ཁ་ཞེང་ ཡང་འབོད། དཔེར་ན། སྒོ་ཡི་ཞེང་ལ་ 80 cm འདུག་ལྟ་བུ།
C Capacity ཤོང་ཚད། གྲངས་འབོར་གང་ཡང་རུང་བ་ འཚོ ག ་པའམ་ཤོ ང ་ཐུབ་པའི ་ ཚད་ཅི ག། དེ འི ་ 200mL ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི་ནི་མི་ལི་ལི་ཊར་ (mL)
48
Cartesian plane
དང་། ལི་ཊར་ (L) ཡིན། དཔེར་ན། ཆུ་ཕོར་འདིར་ཤོང་ ཚད་མི་ལི་ལི་ཊར་ 200 འདུག་ལྟ་བུ།
Cartesian plane ཀཱ་ཊི་ཤུན་སྙོམས་ངོས། དྲ་མིག་ ཤོག་བུའམ་སྙོམས་ངོས་ཤིག་གི་ཐོག་ 90˚ མཚམས་སུ་ ཐི ག ་གཉི ས ་ཕན་ཚུན་འཕྲེ ད ་སྣོ ལ ་གྱི ས ་ཐི ག ་གཅི ག ་ y-axis འ ཕྲེ ད ་ དུ ་ ད ང ་ ག ཞ ན ་ དེ ་ 3 གཞུང་དུ་འགྲོ་བ་སྟེ། འཕྲེད་ 2 P ཐིག་དེར་འཕྲེད་མདའ་དང་། 1 x-axis -3 -2 -1 0 1 2 3 ག ཞུ ང ་ ཐི ག ་ དེ ར ་ ག ཞུ ང ་ -1 -2 མདའ་ཟེར་ཞིང་། ཐིག་དེ་ -3 གཉི ས ་ཀྱི ་ འཕྲེ ད ་སྣོ ལ ་བྱེ ད ་ ས འི ་ ག ན ས ་ དེ ་ ལ ་ ( 0 , 0 ) གནས་ཚད་ཀྱི་སྣེ་གནས་གཞི་ཞེས་འབོད། སྣེ་གནས་གཞི་ དེ ་ནས་སྟེ ང་དང་གཡས་གཉི ས ་ཀྱི ་ གྲངས་ཐི ག ་ནི ་ རི ལ ་ གྲངས་ཕོ་ཡིན་པ་དང་འོག་དང་གཡོན་གཉིས་ཀྱི་གྲངས་ ཐིག་ནི་རིལ་གྲངས་མོ་རེད། དེ་འདྲའི་དཔེ་རིས་ཤིག་ལ་
49
Cartesian system
ཀཱ་ཊི་ཤུན་སྙོམས་ངོས་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ གནས་ P ནི་སྣེ་གནས་གཞི་ནས་འཕྲེད་མདའི་ཚད་གཞི་ 3 དང་། གཞུང་མདའི་ཚད་གཞི་ 2 ཐོག་ཡོད་པས། གནས་ P ཡི་གནས་ས་ནི་ (3, 2) རེད།
Cartesian System ཀཱ་ཊི་ཤུན་ལམ་ལུགས། དུས་ རབས་བཅུ་བདུན་པའི་ནང་ཧྥ་རན་སིའི ་ རྩི ས ་རིག་ མཁས་ཅན་རཱེ་ནི་ཌི་ཁར་ཊི་ (Rene Descartes) ཡིས་
གཞུང་ཐིག་དང་འཕྲེད་ཐིག་གི་རིག་པ་རྙིང་པ་ཞིག་རྒྱ་ བསྐྱེད་ཅིང། སྙོམས་ངོས་ཐོག་གི་སྣེ་གནས་ཀྱི་ཁ་ཕྱོགས་ འགྲེལ་བཤད་བྱེད་ཆེད་དུ་སྤྱད་པའི་ལམ་ལུགས་ལ་ཀཱ་ཊི་ ཤུན་ལམ་ལུགས་ཞེས་ཁོང་ལ་ཆེ་བསྟོད་དུ་མིང་དེ་ལྟར་ བཏགས།
Center སྒོར་ལྟེ། གཏན་ཚེག་ཅིག་ནས་ སྒོ ར ་མཐའི ་ གནས་རེ ་ རེ འི ་ དབར་གྱི ་ བར་ ཐག་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ན། གཏན་ཚེག་
50
སྒོར་ལྟེ།
Central angle of an arc
དེར་སྒོར་ལྟེ་ཟེར།
Central angle of an arc གཞུ་ཐིག་གི་སྒོར་ལྟེ་ ཟུར། གཞུ་ཐིག་གི་སྣེ་ཚེག་སོ་སོ་ནས་སྒོར་ལྟེ་ལ་ཚངས་ ཕྱེད་བྲིས་པས། སྒོར་ལྟེར་ནང་ཟུར་ཞིག་དང་ཕྱི་ཟུར་ཞིག་ གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པའི་ནང་ཟུར་དེ་ལ་ཟེར། སྒོར་ལྟེའི་ནང་ཟུར་ གྱི་ཚད་འཇལ་བ་དང་གཞུ་ཐུང་གི་ཚད་འཇལ་བ་ གཅིག་པ་ཡིན་པ་དང་། ཕྱི་ཟུར་གྱི་ཚད་ 85˚ དང་གཞུ་རི ང ་གི ་ ཚད་ཀྱང་དེ ་ བཞི ན ་ O ཡིན། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་སྒོར་ དབྱིབས་ O ཡི་ནང་ཟུར་ AOB ཡི་ ཚད་ནི་ 85˚ ཡིན་པ་དང་། གཞུ་ཐུང་ ACB ཡི་ཚད་ཀྱང་ 85˚ ཡིན་པ་ལྟ་བུ། A
C
B
Central tendency གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས། དཀྱི ལ ་ཐང་ངམ་ཡང་ན་གྲངས་ཐོ འ་ི ཚན་པ་གཅི ག ་ཏུ་ བསྡུས་པའམ་དེའི་དཀྱིལ་ཐང་སྟེ། བྱེ་བྲག་པའི་ཐང་
51
Centroid
ཞིག་ལ་ཟེར་ཞིང་། དེའི་ཚད་འཇལ་བར་ཆ་སྙོམས་དང་། དཀྱིལ་གྲངས། བྱིངས་གྲངས་བཅས་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད།
Centroid ལྗིད་ལྟེ། ཟུར་གསུམ་མའམ་དབྱིབས་གང་ ཞིག་གི་སྤྱི་ཡོངས་ཀྱི་དཀྱིལ་ལྟེ་ཞིག་སྟེ། དཀྱིལ་ལྟེ་དེས་ ལྗིད་སྙོམས་བཟོ་ཐུབ་པས་ལྗིད་ལྟེ་ དང་། ཡང་ཟུར་གསུམ་མ་ལྟ་བུར་ མཚོན་ན། ཟུར་སོོ་སོའ་ི རྩེ་ཚེག་ ནས་གཏད་མཐའི་དབུས་སུ་ཐིག་རེ་བཀོད་ན། ཐིག་དེ་ གསུམ་ཕན་ཚུན་འཕྲེ ད ་སྣོ ལ ་བྱེ ད ་སའི ་ སྤྱི ་ གནས་སམ། ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ཐིག་གི་སྤྱི་གནས་ལ་ལྗིད་ལྟེ་ཟེར། དཔེར་ན། ∆ABC ལྟ་བུར་མཚོན་ན། ∠A ནས་ གཏད་མཐའ་ BC ལ་དཀྱིལ་ ཐིག་ཅིག་དང་། ∠B ནས་ A
F
G
E
གཏད་མཐའ་ AC ལ་དཀྱིལ་ ཐིག་ཅིག། ∠C ནས་གཏད་ མཐའ་ AB ལ་དཀྱིལ་ཐིག་ཅིག་བཅས་བཀོད་པས། དེ་ B
52
D
C
Chart
གསུམ་ཕན་ཚུན་འཕྲེད་སྣོལ་བྱེད་སའི་གནས་ G ལ་ལྗིད་ ལྟེ་ཟེར།
Chart རེའུ་མིག། དཔེ་རིས། རེའུ་མིག་དང་། ཐིག་ རིས། ཡང་ན་བཀོད་རིས་སོགས་ཀྱི་བཟོ་དབྱིབས་ནང་ ལོ་འཁོར་གྲུབ་འབྲས་དཔེ་རིས། གནས་ཚུལ་ཕྱོ ག ས་བསྡུས་ གྲུབ་ བྱས་ཡོ ད ་པའི་གྱང་སྦྱར་ འབྲས། ཞིག། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ཨང་ བོད་ སྤྱི་ ཚན་ ལུས་ དེ་ནི་ལོ་འཁོར་ཡིག་རྒྱུགས་ རྩིས། ཡིག། ཚན། རིག། རྩལ། གྲུབ་འབྲས་ཀྱི་གྲུ་ནར་དཔེ་ རིས་ཤིག་ཡིན་ལྟ་བུ། 100 90
80 60 40 20 0
Chord རྒྱུད་ཐིག། སྒོར་མཐའི་སྟེང་གི་གནས་གང་རུང་ གཉིས་མཐུད་པའི་ཐིག་དུམ་ལ་རྒྱུད་ཐིག་ ཟེར་ཞིང་། རྒྱུད་ཐིག་རིང་ཤས ོ ་ནི་ཚངས་ རྒྱུད་A ཐིག། B ཐིག་རེད། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ C སྒོར་མཐའི་གནས་ B ནས་གནས་ C ལ་
53
Circle
མཐུད་པས། རྒྱུད་ཐིག་ BC ཡང་ན་
གྲུབ་པ་ལྟ་བུ།
Circle སྒོར་དབྱིབས། གཏན་ཚེག་ཞིག་དང་བར་ཐག་ རིང་ཐུང་མཉམ་པའི་ས་ནས་ཚེག་མང་པོ་མཉམ་དུ་མཐུད་ དེ ་ སྒོ ར ་སྒོ ར ་གྲུབ་པའི ་ ངོ ས ་སྙོ མ ས་ A དབྱིབས་སྒོར་མོ་ཞིག་ལ་ཟེར། གཏན་ ཚེ ག ་གམ་སྤྲད་ཟི ན ་པའི ་ ཚེ ག ་དེ ར ་ སྒོར་ལྟེ་ཞེས་ཟེར། སྒོར་ལྟེ་ནས་སྒོར་ མཐའི་ཕྱོགས་གང་དུའང་རིང་ཚད་གཅིག་མཚུངས་ཡིན།
Circular region སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཁུལ། སྒོར་ དབྱི བ ས་དང་དེ འི ་ ནང་ཁུལ་མཉམ་ P བསྡེ བ ས་ཀྱི ས ་བྱུང་བའི ་ ཁུལ་དེ ་ ལ་ O ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་ཚོན་ བཏང་བའི་ཆ་ཤས་དང་སྒོར་དབྱིབས་ བཅས་ལ། སྒོར་ལྟེ་ O ཡིན་པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཁུལ་ ཟེར།
54
Circumference
ད།
Circumference སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད། སྒོར་ ་མཐའི་རིང་ཚ དབྱིབས་ཀྱི་མཐའི་རིང་ཚད་ལ་ཟེར། དཔེར་ སྒོར ན། སྒོར་དབྱིབས་ O ཡི་ཚངས་ཕྱེད་ལ་ 2 སྒོར་ལྟེ། cm ཡིན་པས། དེའི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་ ནི། = 2πr ( = 3.14 སྤྱད་ན།)
= 2 × 3.14 × 2 = 12.56 cm
རེད་ལྟ་བུ།
Circumcentre of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ ལྟེ། ཟུར་གསུམ་མའི་དབྱིབས་གང་ཡང་རུང་བ་ཞིག་གི་ A མ ཐ འ ་ l A l
ག སུ མ ་ ལ ་ དྲང་འཕྱང་ O O s M B མ ཉ མ ་ (ཀ) (ཁ) བགོ ད ་ཐི ག ་ རེ་རེ་འགོད་སྐབས། དྲང་ཐིག་གསུམ་ཕན་ཚུན་བསྣོལ་ R
B
M
Q
s
C
R
Q
55
Class interval
བའི་སྤྱི་གནས་དེ་ལ་ཟེར། ཕྱི་ལྟེ་དེ་ནི་ཟུར་གསུམ་མའི་ དབྱིབས་ལ་གཞིགས་ཏེ་ཕྱི་ནང་གང་དུའང་བྱུང་སྲིད་ལ། ཡང་སྒོར་དབྱིབས་ནང་བྲིས་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་ ཟུ ར ་ ག སུ མ ་ ཀ ར ་ སྒོ ར ་ C དབྱི བ ས་ཀྱི ་ མུ་ཁྱུད་ s ལ ་ ཐུ ག ་ སྐ བ ས ། དྲ ང ་ M Q O འཕྱང་མཉམ་བགོ ད ་ ཐི ག ་ ག སུ མ ་ ཕ ན ་ l ཚུ ན ་ R B A བསྣོལ་པས། སྤྱི་ (ག) གནས་དེ་ནི་སྒོར་ལྟེ་ དང་མཉམ་པ་ཡིན། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ཀ་པ་དང་། ཁ་པ། ག་པ་ལྟ་བུ།
Class Interval བར་ཚོ། གཞི་འཛིན་གྲངས་རྣམས་ ཚན་པར་བསྒྲིལ་བའི་ཚན་པ་རེ་རེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གཞི་འཛིན་གྲངས་ཡོངས་རྫོགས་ 0-5, 5-10, 10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35, 35-40, 40-45 བཅས་སུ་
56
Class size
བསྡུས་པའི་ཚན་པ་རེ་རེ་ལ་བར་ཚོ་ཟེར། Class size
བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད། བར་ཚོའི་གོང་
མཐའ་དང་འོག་མཐའ་དབར་གྱི་ཧེ་བག་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། བར་ཚོ་ 10 -15 ཡི་ཞེང་ཚད་ནི་ 15 - 10 = 5 ཡིན་ ལྟ་བུ། Closed figure
ཟུམ་དབྱིབས།
དབྱིབས་ གང་ཡང་རུང་བ་ཞིག་གི་ མགོ ་ མཇུག་གཉི ས ་ཀྱི ་ སྣེ ་ ཚེ ག ་གཅི ག ་ཐོ ག ་ཡོ ད ་པ། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་ གི་ཁ་བསུམ་པའི་དབྱིབས་ལྟ་བུ།
Closure Property བསྡུ་སྲོལ། ཚོགས་ཤིག་གི་ནང་ གྲངས་གང་རུང་གཉིས་བརྩི་སྐབས་རྩིས་འབྲས་དེ་ཉིད་ ཚོགས་དེའི་ཁོངས་གཏོགས་ཡིན་ན། དེ་འདྲའི་གྲངས་ཀྱི་ ཚོ ག ས་ཁོ ང ས་སུ་སྡུད་པའམ་གཏོ ག ས་པ་སྟེ ་ བསྡུ་སྲོ ལ ་
57
Closure property
ཞེས་ཟེར། དཔེར་ན། ཀ) ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བསྡུ་སྲོལ། བྱེད་ལས། སྡོམ་རྩིས། འཐེན་རྩིས། སྒྱུར་རྩིས།
བགོད་རྩིས
གྲངས།
ལྟ་བུའི་བསྡོམས་ སྡོ མ ་རྩིས་སྐབས་ ཐོབ་ཧྲིལ་གྲངས་རེད། དེར་བརྟེན། a དང་ ཧྲིལ་གྲངས་བསྡུས་ b གཉིས་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a + b ཡི་ ཡོད། བསྡོམས་ཐོབ་ཀྱང་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན། 0 + 5 = 5, 4 + 7 = 11
5 - 7 = -2,
ལྟ་བུ་ཧྲིལ་གྲངས་མིན།
58
འཐེན་རྩིས་སྐབས་ ཧྲིལ་གྲངས་བསྡུས་ མེད།
0 × 3 = 0, 3 × 7 = 21 ལྟ་བུའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་ ཧྲིལ་གྲངས་རེད། དེར་བརྟན། a དང་ ཧྲིལ་གྲངས་བསྡུས་ b གཉིས་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a × b ཡི་ ཡོད། བསྒྱུར་ཐོབ་ ab ཡང་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན། 5 5÷8= , 8
ལྟ་བུ་ཧྲིལ་གྲངས་མིན།
ཁ) རིལ་གྲངས་བསྡུ་སྲོལ། བྱེད་ལས།
ཟུར་མཆན།
གྲངས།
བགོད་རྩིས་སྐབས་ ཧྲིལ་གྲངས་བསྡུས་ མེད།
ཟུར་མཆན།
Closure property སྡོམ་རྩིས།
-6 + 5 = -1, -7 + (-5) = -12, 8 + 5 = 13 ལྟ་བུའི་ བསྡོམས་ཐོབ་རིལ་གྲངས་རེད། དེར་བརྟེན། a དང་ b གཉིས་རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a + b ཡི་ བསྡོམས་ཐོབ་ཀྱང་རིལ་གྲངས་ཡིན། 7 - 5 = 2, 5 - 7 = -2, -6 - 8 = -14 , -6 - (-8)
ལྟ་བུའི་འཐེན་ཐོབ་རིལ་ གྲངས་རེད། དེར་བརྟེན། a དང་ b གཉིས་ རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a - b འམ་ b - a ཡི་འཐེན་ ཐོབ་ཀྱང་རིལ་གྲངས་ཡིན།
= 2, 8 - (-6) = 14,
འཐེན་རྩིས།
སྒྱུར་རྩིས།
བགོད་རྩིས
5 × 8= 40, -5 × 8 = -40, -5 × (-8) = 40 ལྟ་ བུའི་བསྒྱུར་ཐོབ་རིལ་གྲངས་རེད། དེར་བརྟེན། a དང་ b གཉིས་རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a × b ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀྱང་རིལ་གྲངས་ཡིན། 5 5÷8= , 8
ལྟ་བུ་རིལ་གྲངས་མིན།
ག) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བསྡུ་སྲོལ། བྱེད་ལས།
གྲངས།
སྡོ མ ་ རྩི ས ་ སྐ བ ས ་ རི ལ ་ གྲངས་བསྡུས་ ཡོད།
འ ཐེ ན ་ རྩི ས ་ སྐ བ ས ་ རི ལ ་ གྲ ང ས ་ བ སྡུ ས ་ ཡོད།
སྒྱུ ར ་ རྩི ས ་ སྐ བ ས ་ རི ལ ་ གྲ ང ས ་ བ སྡུ ས ་ ཡོད།
བ གོ ད ་ རྩི ས ་ སྐ བ ས ་ རི ལ ་ གྲ ང ས ་ བ སྡུ ས ་ མེད།
ཟུར་མཆན།
59
Closure property སྡོམ་རྩིས།
3 (-5) -19 + = 56 8 7
དང་
-3 (-4) -47 + = 40 8 5
ལྟ་བུ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ཏེ། b གཉིས་
a
སྡོ མ ་རྩིས་སྐབས་ དང་ ལུགས་ལྡན་གྲངས་
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་པས། a + b ཡི་ བསྡོམས་ཐོབ་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན། -29 -5 2 = 21 7 3
འཐེན་རྩིས།
དང་
བགོད་རྩིས།
60
-7 5 4 = 40 8 5
ལྟ་ བུ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ཏེ། a དང་ b འཐེན་རྩིས་སྐབས་ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ གཉིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་པས། a - b བསྡུས་ཡོད། ཡི ་ འཐེ ན ་ཐོ བ ་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ ཡིན། -8 -2 4 × = 15 3 5
སྒྱུར་རྩིས།
བསྡུས་ཡོད།
3
6
དང་ 7 × 2 = 35 5 ལྟ་བུ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ཏེ a དང་ སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ b གཉིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་པས། a བསྡུས་ཡོད། × b ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ ཡིན།
-25 6 -5 2 2 ÷ = དང་ 7 ÷ 5 = 35 བགོད་རྩིས་ཁོངས་ 6 3 5 3 སུ ་ ལུ ག ས ་ ལྡ ན ་ ལྟ་བུ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ཏེ། a དང་ གྲངས་ཀྱང་། 4 b གཉིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་པས། a ÷ 0 b ཡི་བགོས་ཐོབ་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་ གྲངས་ ལྟ་བུར་ གོ་དོན་ ཡིན། འོན་ཏེ། a དང་ b ལས། a ནི་ 4 དང་ མེད་ན།
Coefficient 4
ནི་ 0 ཡིན་ན། 4 ÷ 0 འམ་ 0 ཡིན་པས། དེར་མཚན་ཉིད་བརྗོད་རྒྱུ་མེད། b
དེ འི ་ ཁོ ང ས་སུ་མི ་ བསྡུས།
Coefficient བཏགས་གྲངས། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ སྐབས་སུ་རྒྱུ་ལ་བཏགས་ བཏགས་གྲངས། རྒྱུ། རྟག་གྲངས། པའམ་རྒྱུ་དང་ལྷན་དུ་སྦྲེལ་ 4x - 7 = 5 བའི་རྒྱུ་ཡི་བསྒྱུར་བྱ་དེ་ལ་ བཏགས་གྲངས་ཟེར། སྐབས་རེ་ཡི་གེས་ཀྱང་གྲངས་ མཚོན་གྱི་ཡོད། སྐབས་དེར་ཡི་གེ་གང་ཞིག་གིས་རྒྱུ་ལ་ བསྒྱུར་བ་དེ་དག་ལ་བཏགས་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། ax2 + bx + c ལ་མཚོན་ན། “x” ནི་རྒྱུ་ཞིག་དང་། “a” དང་ “b” ནི་བཏགས་གྲངས་ཡིན་པ་དང་། “c” ནི་རྟག་གྲངས་ ཡིན།
Collinear points ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས། དྲང་ ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་གསུམ་མམ་གསུམ་ལས་མང་བ་ P l ཡོ ད ་པའི ་ གནས་ལ་ཟེ ར ། P P 1
2
3
61
Column
དཔེར་ན། ཐིག་ l སྟེང་གི་གནས་ P1 དང་ P2, P3 བཅས་ ལྟ་བུ།
གཞུང་། དབྱིབས་དང་། དཔེ་
Column
རིས། རེའུ་མིག་སོགས་ཀྱི་གོ་རིམ་སྒྲིག་སྟངས་ ཤིག་སྟེ། གཞུང་དང་། འཕྲེད་གཉིས་སུ་འབྱེད་ ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གྲངས་དེ་ དག་ནི་གཞུང་དུ་སྒྲིག་པ་ལྟ་བུ།
12 25 17 92 14
Column data གཞུང་བཀོད་གྲངས་ཐོ། གཞི་འཛིན་ སློབ་ཚན་ ༣ གྱི་ཡིག་རྒྱུགས་སྦྱངས་འབྲས།
འགྲུབ་འབྲས།
སློབ་མའི་མིང་།
ཨང་རྩིས།
བོད་ཡིག།
ཨིན་ཡིག།
མེ་ཏོག།
ཚེ་རིང་།
ལྷ་མོ།
80
84
65
76
75
80
75
80
75
གྲངས་ཐོའམ་གྲངས་ཐོ་གང་ཞིག་གཞུང་སྒྲིག་གིས་བཀོད་
62
Common factor
པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གཞུང་བཀོད་ གྲངས་ཐོ་ནི་སློབ་ཕྲུག་ 3 གྱིི་སློབ་ཚན་གསུམ་གྱི་སྦྱང་ འབྲས་གཞུང་སྒྲིག་ཏུ་སྟོན་པ་ལྟ་བུ། Common factor སྤྱིའི་བགོད་གྲངས། གྲངས་ གཉིས་སམ་དུ་མར་སྤྱི་ 12 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 3, 4, 6, 12 16 གི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2,
4, 8, 16
མཐུན་དུ་ཡོ ད ་པའི་ སྤྱིའི་བགོད་གྲངས། བགོ ད ་གྲངས་ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། 12 དང་ 16 གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 4 བཅས་ཡིན་པ་ལྟ་ བུ།
Common multiple སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས། གྲངས་ གཉི ས ་སམ་དུ་མར་སྤྱི ་ 4 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 4, 8, 12, 16, 20, 24.. མ ཐུ ན ་ དུ ་ ཡོ ད ་ པ འི ་ 6 གི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 6, 12, 18, 24, 30.. 12 དང་ 24, སོགས་ནི་ 4 དང་ 6 གི་སྤྱིའི་ལྡབ་ ལྡ བ ་ གྲ ང ས ་ ལ ་ ཟེ ར ། གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་སུ་
63
Common side
སྟོན་པ་ལྟར། 4 དང་ 6 གི་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 12, 24 སོགས་ཡིན་པ་ལྟ་བུ། Common side སྤྱི་མཐའ། ཐུན་མོང་གི་མཐའ་སྟེ། ཆ་
O
ཟུར་གྱི་ཟུར་གཉིས་དབར་ཐུན་མོང་དུ་སྤྱོད་པའི་མཐའ་ འམ་དཔུང་པ་ལྟ་བུ་དང་། དེ་ A བཞིན་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ ཀྱི ས ་མཐའ་གཅི ག ་ཐུན་མོ ང ་ D དུ་སྤྱོད་པ་སོགས། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ∠AOD དང་ ∠DOC གཉིས་ཀྱིས་ C དཔུང་པ་ OD ཐུན་མོང་དུ་ སྤྱོད་པ་ལྟ་བུ། Commutative property བརྗེ་སྲོལ། གྲངས་ཀྱི་ གཞི་རྩའི་རྩིས་རྒྱག་ཅིག་སྟེ། གནས་སའམ་བྱ་བྱེད་བརྗེ་ སྒྱུར་གྱིས་རྩིས་བརྒྱབ་ཀྱང་། ཐོབ་གྲངས་ལ་འགྱུར་བ་མེད་
64
Commutative property
པའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཀ) ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ། བྱེད་ལས། སྡོམ་རྩིས།
གྲངས།
0 + 7 = 7 + 0 = 7 ལྟ་བུ་སྟེ། ཧྲིལ་གྲངས་ a དང་ b གཉིས་ཀྱི་གནས་ས་བརྗེས་ཀྱང་། བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
ལྟ་བུ་སྟེ། ཧྲིལ་གྲངས་ དང་ b གཉིས་ཀྱི་གནས་ས་བརྗེས་ ཀྱང་། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
8 × 2 = 2 × 8 = 16
སྒྱུར་རྩིས།
a
ཟུར་མཆན།
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་ རྩི ས ་ལ་བརྗེ ་ སྲོ ལ ་ ཡོད། ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་ རྩི ས ་ལ་བརྗེ ་ སྲོ ལ ་ ཡོད།
ཁ) རིལ་གྲངས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ། བྱེད་ལས། སྡོམ་རྩིས།
གྲངས།
4 + (-3) = -3 + 4 = 1
-5 + (-7) = -7 + (-5)= -12 ལྟ་བུ་སྟེ།
རིལ་གྲངས་ གཉིས་ཀྱི་གནས་ས་བརྗེས་ཀྱང་། བསྡོམས་ཐོབ་ ལ་འགྱུར་བ་མེད།
-4 × 5 = 5 × (-4) = -20,
སྒྱུར་རྩིས།
ཟུར་མཆན།
རི ལ ་གྲངས་ཀྱི ་ སྡོ མ ་ རྩི ས ་ ལ ་ བརྗེ་སྲོལ་ཡོད།
a དང་ b རི ལ ་གྲངས་ཀྱི ་ གཉིས་རིལ་གྲངས་ཡིན་ན། a × b དང་ b × a སྒྱུ ར ་ རྩི ས ་ ལ ་ བརྗེ་སྲོལ་ཡོད། ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད། -4 × (-3) = -3 × (-4) = 12 ལྟ་བུ་སྟེ།
65
Compare
ག) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ། བྱེད་ ལས།
སྡོམ་རྩིས།
སྒྱུར་རྩིས།
གྲངས།
5 1 5 1 -2 -2 + = དང་ 7 + 3 = 21 , 7 21 3 -3 1 1 -6 -8 -8 -6 -3 + = + , + = + 8 7 7 5 3 3 5 8
ལྟ་བུ་སྟེ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་ b གཉིས་ནི་ a + b = b + a ཞེས་གནས་ས་བརྗེས་ཀྱང་བསྡོམས་ ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
62 -14 62 -7 -7 -14 × = དང་ 5 × 3 = 5 , 5 31 5 1 -8 -4 -4 -8 9 × 7 = 7 × 9 , ལྟ་བུ་སྟེ། ལུགས་ལྡན་ གྲངས་ a དང་ b གཉིས་ནི་ a × b = b × a ཞེས་
གནས་ས་བརྗེས་ཀྱང་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་བ་ མེད།
ཟུར་མཆན། ལུ ག ས ་ ལྡ ན ་ གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་ རྩིས་ལ་བརྗེ་ སྲོལ་ཡོད། ལུ ག ས ་ ལྡ ན ་ གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་ རྩིས་ལ་བརྗེ་ སྲོལ་ཡོད།
མཆན། ཧྲིལ་གྲངས་དང་། རིལ་གྲངས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ བཅས་ལ་འཐེན་རྩིས་དང་བགོད་རྩིས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ་མེད།
Compare བསྡུར་བ། གྲངས་སམ་དངོས་པོ་སོགས་ཀྱི་ ཆེ་ཆུང་ངམ་མང་ཉུང་ལྟ་བ་སྟེ། ཆེ་ རྟགས་སམ་མང་རྟགས་ “>” དང་། 4=4 4>3 3<4
66
Compass
ཆུང་རྟགས་སམ་ཉུང་རྟགས་ “<” མཚུངས་རྟགས་ “=”བཅས་སྤྱད་དེ་གྲངས་གཉིས་བསྡུར་བ།
Compass སྒོར་ཆས། དཔུང་པ་གཉིས་ཡོད་པའི་སྒོར་ སྒོར་ཆས། དབྱི བ ས་འབྲི ་ བྱེ ད ་ཀྱི ་ ཡོ ་ བྱད་ཅི ག ་སྟེ ། དཔུང་པ་གཅིག་གི་རྩེ་ཁབ་ལྟར་རྣོ་པོ་ ཡོད་པ་དང་། གཞན་དེའི་རྩེར་ཞ་སྨྱུག་ འཛིན་བྱེད་ཡོད། ཡོ་བྱད་དེ་སྒོར་ དབྱིབས་དང་། གཞུ་ཐིག། གཞི་རྩའི་དབྱིབས། ཟུར། ངོས་ བཅས་བཀོད་བྱེད་དུ་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད།
Complementary angles གྲོགས་ཟུར། ཟུར་ གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་ 90˚ ཡོད་ A C པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ༡ 60˚ ནང་གི་ ∠AOC O 30˚ P དཔེ་རིས་ ༡B དང་ ∠COB 70˚ Q R གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 90˚ དང་། དཔེ་རིས་ ༢
67
Complete angle X Y
20˚
དཔེ་རིས་ ༣
Z
ཡང་དཔེ་རིས་ ༢ དང་ ༣ ནང་གི་ ∠PQR དང་ ∠XYZ གཉིས་ཀྱི་ བསྡོམས་ཐོབ་ཀྱང་ 90˚ ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Complete angle སྒོར་ཟུར། ཌིག་རི་ 360 ཡོ ད ་པའི་ཟུར་ལ་ཟེར། A C B དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་ གི་ ABC = 360 རེད་ ལྟ་བུ།
Composite number འདུ་གྲངས། བགོད་གྲངས་ གཉིས་ལས་མང་བའི་ཧྲིལ་གྲངས་ཤིག། དཔེར་ན། 9 ཡི་ བགོད་གྲངས་ནི་ 1 དང་ 3, 9 བཅས་ཡིན་པས། འདུ་ གྲངས་ཡིན། འོན་ཀྱང་། 7 ལ་བགོད་གྲངས་ 1 དང་། གྲངས་རང་ཉིད་ལས་མེད་པས་འདུ་གྲངས་མིན་ལྟ་བུ། Compound interest མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། མ་དངུལ་ གཡར་བཅོལ་གྱི་དུས་ཡུན་དེ་སྐྱེད་ཐོབ་བརྒྱ་ཆའི་ཕྱོགས་
68
Compound interest
བསྡུས་སམ་སྡེ བ ་འབབ་དུས་ཡུན་ལས་མང་བ་ཡོ ད ་ན། དུས་ཡུན་རེ་རེའི་སྐྱེད་ཀ་བསྣན་ཏེ་མཐའ་མའི་སྐྱེད་ཀ་ འཚོལ་བ་ལ་ཟེར། P ཡིས་མ་དངུལ་དང་། R གྱིས་སྐྱེད་ ཀའི་སྐོར་ཐང་། n ཀྱིས་སྐྱེད་ཀའི་ལྡེབ་འབབ་དུས་ཡུན་ གྲངས་བཅས་མཚོན་གྱི་ཡོད་པས། འབོར་གྱི་ཆོ་ག་ནི།
རེད། དཔེར་ན། ཚེ་རིང་གིས་ཚོང་ ལ ས ་ ཀ མ ་ པ ་ ནི ་ ཞི ག ་ ན ས ་ སྒོ ར ་ 5000.00 ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 8% དེ་ལོ་རེའི་ལྡེེབ་ འབབ་ཐོག་དུས་ཡུན་ལོ་གཉིས་རིང་གཡར་ན། ལོ་གཉིས་ ཚང་མཚམས་ཚེ་རིང་གིས་ཀམ་པ་ནི་ལ་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ ཇི་ཙམ་སྤྲོད་དགོས་ཞེ་ན། `5000 ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 8% དེ་ལོ་རེའི་ལྡེེབ་ A
འབབ་ཐོག་ལོ་གཉིས་མཚམས་ཀྱི་འབོར་ནི། 8
= 5000 1+ 100
2
69
Compounded annually 108
2
= 5000 100 = 5000 (1.08)2 = 5000 × 1.1664 = `5832
དེར་བརྟེན། = 5832 - 5000 = `832 ཡིན་པས། ཚེ་རིང་ གིས་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ `832 སྤྲོད་དགོས་ལྟ་བུ། Compounded Annually ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས། ལོ་རེའི་བུན་ལོན་ནམ་ཡང་ན་མ་འཛུགས་སོགས་ཀྱི་ཐོག་ སྐྱེད་ཀ་སྡོམ་རྩིས་རྒྱག་ཐབས་ཤིག་སྟེ། དཔེར་ན། ལོ་རེའི་ ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀ་ 5% ཐོག་སྒོར་ 100,000 གཡར་ན། ལོ་དང་པོ་དེའི་རྗེས་མ་དངུལ་སྒོར་ 105,000 ཐོག་སྐྱེད་ཀ་ 5,250 འབབ་རྒྱུ་རེད།
Computation རྩིས་རྒྱག རྩིས་རིག་ནང་རྩིས་འབྲས་ འཚོོལ་བ་ལ་རྩིས་རྒྱག་ཟེར་ཞིང་། རྒྱུན་དུ་ང་ཚོས་སྡོམ་ འཐེན་སྒྱུར་བགོད་སོགས་བྱེད་སྐབས་ཀྱང་རྩིས་རྒྱག་བྱེད་
70
Concentric circle
པ་ལྟ་བུ།
Concentric circle
ལྟེ་མཐུན་སྒོར་དབྱིབས།
སྒོ ར ་ལྟེ་གཅིག་ཐོ ག ་ནས་སྒོ ར ་དབྱིབས་གཉིས་སམ་ གསུམ་སོགས་བྲིས་ན། སྒོར་དབྱིབས་དེ་ རིགས་ལ་ལྟེ་མཐུན་སྒོར་དབྱིབས་ཟེར། O དཔེར་ན། སྒོར་དབྱིབས་གསུམ་གྱི་སྒོར་ ལྟེ་ O ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Concept གོ་དོན། གོ་བ། ལྟ་ཚུལ་དང་། བསམ་ཚུལ། གོ་རྟོགས་སོགས་སུ་འཇུག་ཀྱང་། རྩིས་རིག་ཏུ་བརྗོད་བྱ་ ཕལ་ཆེ་བར་གོ་དོན་དང་གོ་བ་ལ་འཇུག། Concurrent lines
གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག།
ཐི ག ་གསུམ་མམ་དུ་མ་ཕན་ཚུན་གནས་གཅི ག ་ཐོ ག ་ l
m
n
P
འཕྲད་ཀྱི ་ ཡོ ད ་པའི ་ ཐི ག ་དེ ་ ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ཐིག་ l དང་ m, n ནི་ P བརྒྱུད་པའི་གནས་
71
Concyclic points
གཅིག་བརྒྱུད་ཐིག་རེད་ལྟ་བུ།
Concyclic points སྤྱི་མཐུན་སྒོར་མཐའི་གནས། སྒོ ར ་དབྱི བ ས་ནང་འབྲེ ལ ་དབྱི བ ས་མཐའ་བཞི ་ མའི ་ W སྐབས་དབྱི བ ས་མཐའ་བཞི ་ མའི ་ ཟུར་ X ཚེག་རྣམས་སྒོར་མཐའི་སྟེང་ཕྲད་ཡོད་ O པའི་གནས་དེ་དག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། Y Z དཔེ་རིས་ནང་གི་སྒོར་དབྱིབས་ O སྟེང་
འཕྲད་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་ W, X, Y, Z ལྟ་བུ།
Cone སྙུང་གཟུགས། གཟུགས་ཤིག་གི་ཞབས་དབྱིབས་ སྒོར་མོ་ལ་མཐའི་ཁ་ཞེང་ཆུང་ནས་ཆུང་དུ་གྲུབ་པའི་རྩེ་ ཚེག སྙུང་ཅན་གྱི་གཟུགས་ལ་ཟེར། སྙུང་ འབུར་ངོས། གཟུགས་ལ་ཟུར་ཚེག་གཅིག་དང་། སྙོམས་ངོས། འབུར་ངོས་གཅིག། ཞབས་ (སྙོམས་ ཞབས། ངོས་) གཅིག་བཅས་ཡོད།
72
Congruence
Congruence ཡོངས་མཚུངས། བཟོ་དབྱིབས་དང་ ཆེ་ཆུང་ཡོངས་སུ་མཚུངས་པ་ལ་ཟེར། ཡོངས་མཚུངས་ མཚོན་རྟགས་ནི་ ≅ ཡིན།
ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་
Congruent triangles
གསུམ་མ། ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་
དང་གནས་མཐུན་
A
D
ཟུ ར ་ ཕ ན ་ ཚུ ན ་ སོ ་ སོོ ར ་ ཡོ ང ས ་ སུ ་ B C F E མཚུངས་པ་ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ∆ABC དང་ ∆DEF གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་མཐའ་ཕན་ཚུན་ཡོ ང ས་སུ་ མཚུངས་པས། ∆ABC ≅ ∆DEF གྲུབ་པ་ལྟ་བུ། Conjecture འདེད་དཔག། རྒྱུ་རྐྱེན་གང་ཞིག་རིགས་ པས་འདེད་དེ། ཤེས་ཟིན་པའི་རྟགས་དང་རྒྱུ་མཚན་ལ་ བརྟེན་ནས་མ་ཤེས་པའི་དོན་ཤེས་པར་བྱེད་པའམ། བློ་
73
Consecutive interior angles
གྲོས་དང་ཉམས་མྱོང་གཞིར་བཞག་ནས་གང་ཞིག་བདེན་ པར་འཛིན་པའི་བརྗོད་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། འདེད་དཔག་ནི་བདེན་རྫུན་གཉིས་ཀར་བྱུང་སྲིད། གལ་ སྲིད་བརྗོད་པ་དེ་ཁུངས་འདྲེན་བྱས་ན། དེ་ངེས་སྲོལ་ལ་ འགྱུར། དཔེར་ན། མུ་འབྲེལ་ཆ་གྲངས་གང་རུང་གསུམ་ བསྡོམས་པ་ནི། 2 + 4 + 6 = 12, 4 + 6 + 8 = 18, 6 + 8 + 10 = 24, 8 + 10 + 12 = 30,
བཅས་རེད། དེ་དག་ལས་འདེད་ དཔག་གཅིག་ནི། མུ་འབྲེལ་ཆ་གྲངས་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ ཐོབ་ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་” དང་། གཞན་ཞིག་ནི་། “མུ་
20 + 22 + 24 = 66
འབྲེལ་ཆ་གྲངས་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 6 གིས་ཧྲིལ་ བགོ་ཐུབ་” ཞེས་པ་ལྟ་བུ།
Consecutive interior angles / Co-interior
74
Angles
angles མུ་འབྲེལ་ནང་ཟུར། 1 3 གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་མཚུངས་ 2 4 ཐོག་གི་ནང་ཟུར་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ∠1 དང་ ∠2, ∠3 དང་ ∠4 ལྟ་ བུ། n
l
m
Consistent གཅིག་མཐུན། རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་ གི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་གི་དཔེ་རིས་ནང་། ཐིག་གཉིས་ གནས་གཅིག་ཐོག་འཕྲེད་སྣོལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་ན། གནས་ དེས་མཉམ་བྱ་གཉིས་ཀྱི་འགྲོལ་ཐོབ་སྤྲོད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ འདྲའི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ལ་གཅིག་མཐུན་ཟེར། དཔེར་ན། ལྷ་མོས་ཁ་དཀྲིས་སྔོན་པོ་ 1 དང་དམར་པོ་ 1 ལ་ `150 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་དང་། མོའ་ི གྲོགས་མོས་ཁ་དཀྲིས་སྔོན་པོ་ 2 དང་དམར་པོ་ 3 ལ་ `350 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་རེད། ཁ་ དཀྲིས་སྔོན་པོ་ 1 གི་རིན་གོང་ལ་ x དང་། ཁ་དཀྲིས་ དམར་པོ་ 1 གི་རིན་གོང་ལ་ y བྱས་ན། ཚབ་རྩིས་ཐོག་
75
Constant
ནས་མཚོན་སྟངས་ནི།
(༡)
x + y = 150
(༢)
ཡིན་པ་དང་། དེ་གཉིས་རེའུ་ མིག་ནང་ཕབ་རྗེས་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་འབྲས་དཔེ་རིས་སུ་ x 150 100 x 100 25 བཀོད་པས། དྲང་ y = x - 150 350 - 2x 50 100 0 50 y= 3 ཐི ག ་ ག ཉི ས ་ 2x + 3y = 350
y
2x +
125
100
3y =
35 0
75 50 25 -1 0
2x
y= +3 25
Constant
150
50
Q(100,50)
75 100 125 150
གནས་ Q (100, 50) ཐོག་འཕྲེད་ སྣོ ལ ་ བྱེ ད ་ ཀྱི ་ ཡོད། དེ་འདྲའི་ མ ཉ མ ་ བྱ ་ ཆ ་ x སྒྲིག་ལ་གཅིག་ མཐུན་ཟེར།
རྟག་གྲངས། ཨང་ཀི་རྐྱང་པའི་གྲངས་
རྟག་གྲངས། ཐང་འགྱུར་མེད་ཅིག་གམ་ངེས་ ཅན་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 2x + 1 = 3
76
Construct ax + b = c 2
ཡིན་ལྟ་བུ།
Construct
ལ་མཚོན་ན། “b” དང་ “c” ནི་རྟག་གྲངས་
འགོད་པ། རྩིས་རིག་ནང་ཐིག་དང་།
ཟུར། དབྱིབས་མཐའ་མང་། སྒོར་དབྱིབས། གྱེན་ལང་བཀོད་ རིས། ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་སོགས་འགོད་པ་ལ་འཇུག།
Continued division method བསྟུད་མའི་ བགོད་ཐབས། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་འཚོལ་བའི་ ཐབས་ལམ་ཞིག་སྟེ། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་གཉིས་ལས་ ཆུང་བས་ཆེ་བར་བགོས་རྗེས། དེའི་ 1 20 2 4 ལྷག་གྲངས་ཀྱིས་བགོད་བྱེད་གྲངས་ལ་ 20 5 བགོ་དགོས། དེ་ལྟར་མཐའ་མའི་ལྷག་ 4 20 2 0 གྲངས་ཀླད་ཀོ ར ་མ་ཐོ བ ་བར་གོ ་ རི མ ་ 0 བརྗེ ས ་ཏེ ་ ལུ་གུ་རྒྱུད་ཀྱི ས ་བགོ ས ་ན། ལྷག་གྲངས་ཀླད་ཀོ ར ་ཐོ བ ་སྐབས་ཀྱི ་ བགོད་བྱེད་གྲངས་དེ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཡིན།
77
Continued proportion
Continued proportion བསྟུད་མའི་སྡུར་ཕྲེང་། སྡུར་ཕྲེང་ནང་བར་ཚན་བསྐྱར་ཟློས་ཡོད་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 3 དང་ 9, 9, 27 བཅས་ལྟ་བུར་མཚོན་ན། འདིའི་ སྐབས་སུ་ 9 ནི་ཚན་པ་གཉིས་པ་དང་གསུམ་པ་གཉིས་ ཀར་བསྐྱར་ཟློས་བྱས་ཡོད། འདི་འདྲའི་སྐབས་སུ་ 3, 9, 27 ལ་བསྟུད་མའི་སྡུར་ཕྲེང་ཟེར།
Continuous class intervals རྒྱུན་མཐུད་བར་ ཚོ། བར་ཚོ་དང་པོའ ི་འོག་ ལྗིད་ཚད། (kg) སློབ་མའི་གྲངས། མཐའ་དང་བར་ཚོ་གཉིས་ 35 - 40 6 40 45 15 པའི་གོང་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་ 45 - 50 3 གྲངས་གཅིག་མཚུངས་ ཁྱོན་བསྡོམས། 33 སྤྱད་དེ ་ བར་ཚོ ་ གོ ་ རི མ ་ བཞིན་བཀོད་པ་སྟེ། ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་གྱི་རེའུ་མིག་གི་ བར་ཚོ་ 35-40 དང་ 40-45, 45-50 སོགས་ལྟ་བུ། Converse ལྡོག་འདྲེན། ཚོད་དཔག་གཞིར་གཞག་གི་
78
Converse of a statement
འགྱུར་བ་དང་བརྗོད་པ་ལྟོས་བཅས་ཤིག་གི་མཐའ་བསྡོམས་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ‘གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ མཚུངས་ན། དེའི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱང་མཚུངས།’ ཞེས་པ་ དེ། ‘གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གཉིས་མཚུངས་ན། དེའི་ གཏད་མཐའ་ཡང་མཚུངས།’ ཞེས་བརྗོད་པ་ལྡོག་པ་ལྟ་བུ། Converse of a statement བརྗོད་པ་ལྡོག་འདྲེན།
5c m
m 5c
བརྗོད་པ་གང་ཞིག་ཐད་ཀར་རྒྱུ་མཚན་མ་འདྲེན་པར། གོ་ ལྡོག་ནས་རྒྱུ་མཚན་འདྲེན་ A པ་ལ་ཟེར། དེའི་དོན་ནི་ ‘དེའི་སྐབས། དེ་ཡིན། - if and then’ རེད། དཔེར་ 50˚ 50˚ C B ན། སྐེད་མཉམ་ཟུར་ གསུམ་མའི་ ཁྱད་ཆོ ས ་ནང། ཟུར་གསུམ་མའི ་ མཐའ་ གཉིས་མཚུངས་སྐབས། དེའི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱང་ མཚུངས་ཏེ། དཔེ་རིས་ནང་གི་ ΔABC ཡི་མཐའ་ AB དང་ AC གཉིས་ལ 5cm གཅིག་མཚུངས་ཡིན་སྐབས།
79
Conversion
དེའི་ ∠C དང་ ∠B གཉིས་ལ་ 50˚ གཅིག་མཚུངས་ ཡོད་པ་ལྟ་བུ།
Conversion མཚུངས་སྒྱུར། ཆེ་ཆུང་དང་མང་ཉུང་ ལ་འགྱུར་བ་གང་ཡང་མེ ད་པར་ཚད་གཞི ་མི ་འདྲ་བའི ་ ཐོག་མཚོན་པ་ལ་ཟེར།
Conversion period བརྗེ་སྒྱུར་དུས་ཡུན། མ་སྐྱེད་ བུ་སྐྱེད་ཀྱི་སྐབས་སུ་སྐྱེད་དུས་རེ་རེ་རྫོགས་མཚམས་སུ། སྐྱེད་འབབ་དེ་མ་དངུལ་ལ་བསྣན་རྗེས་མ་དངུལ་གསར་ པ་ཞིག་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པའི་དུས་ཡུན་དེ་ལ་ཟེར། འདི་ནི་ ལོ་གཅིག་གམ། ཟླ་བ་དྲུག། ཟླ་བ་གསུམ། ཟླ་རེ་སོགས་ གང་ཡང་འབྱུང་སྲིད། Coordinate geometry
གནས་ཚད་དབྱིབས་
རྩིས་རིག་པ། ཚབ་རྩིས་སྤྱད་དེ་དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་དཀའ་ རྙོག་བསལ་བའི་རྩིས་ཀྱི་རིག་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། Co-prime
80
ཕན་ཚུན་རྒྱུ་གྲངས། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་
Corresponding angles
བགོད་གྲངས་ 1 མ་གཏོགས་མེད་པའི་གྲངས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 21 དང་ 22 ནི་ཕན་ཚུན་རྒྱུ་གྲངས་ཡིན་ཏེ། 21 དང་ 22 གཉིས་ལ་ཐུན་མོང་གི་བགོད་གྲངས་ 1 མ་ གཏོགས་མེད་པ་ལྟ་བུ། Corresponding
angles
གནས་མཐུན་ཟུར།
གསེག་ཐིག་གཅིག་གིས་ཐིག་གཉིས་འཕྲེད་གཅོད་བྱེད་ སྐབས། གསེག་མཉམ་ཆ་ཟུར་མང་པོ་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པ་ p
5 7 31 62 8 4
པ་ནི།
ལས། ཕྱོགས་གཅིག་ན་ཡོད་ པའི་ནང་ཟུར་དང་ཕྱི་ཟུར་ གཉི ས ་ནི ་ གནས་མཐུན་ཟུར་ l གནས་མཐུན་ཟུར་ཡིན་ m ཡིན། ན་ཆ་རྐྱེན་གསུམ་ཚང་དགོས་
༡། ཟུར་གཉིས་ཀ་གསེག་ཐིག་གི་ཕྱོགས་གཅིག་ན་ཡོད་པ།
༢། ཟུར་དེ་གཉིས་ལས་གཅིག་ནི་གསེག་ཐིག་གི་ཕྱི་ཟུར་དང་། གཅིག་ཤོས་ནི་ནང་ཟུར་ཡིན་པ།
81
Corresponding parts of congruent triangles ༣། ཟུར་དེ་གཉིས་ཀྱིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་མ་གྲུབ་པ་བཅས་ཡིན།
དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ཆ་ཟུར་ ∠1 དང་∠2 དང་། ∠3 དང་∠4, ∠5 དང་∠6, ∠7 དང་∠8 བཅས་ནི་གནས་ མཐུན་ཟུར་ཡིན།
Corresponding parts of congruent triangles ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་གནས་མཐུན་ ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་0 རྒྱུ། B C སྐབས། དེ་གཉིས་ཀྱི་གནས་མཐུན་ རྒྱུ་རྣམས་མཚུངས། དཔེར་ན། ∆ABC ≅ ∆DEF ཡིན་ ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ A གནས་མཐུན་ཟུར་ A, D; B, E; C, D F, དང་། གནས་མཐུན་མཐའ་ AB, DE; BC, EF; CA, FD ཡིན་པས། E
82
F
AB ≅ DE
Cosine BC ≅ EF AC ≅ DF ∠BAC ≅ ∠EDF ∠ABC ≅ ∠DEF ∠BCA ≅ ∠EFD
བཅས་ཡིན་པ་འགྲུབ་ཐུབ།
Cosine ཀོ་སན། (ལྷག་རྒྱུད།) དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་ མ་ཞིག་གི་ཉེ་མཐའ་དང་གསེག་མཐའི་སྡུར་ལ་ཟེར། དེའི་ བསྡུས་ཚིག་ཏུ་ cos ཞེས་འབྲི་བ་དང་། དེ་དང་འབྲེལ་ ཉེ་མཐའ། བའི་ཆོ་ག་ནི་ cosθ = གསེག་མཐའ། རེད།
Cost price མ་གནས་རིན་གོང་། ཚོང་པའམ་སིལ་ ཚོང་བས་ཉོ་སྐབས་སྤྲད་པའི་དངུལ་འབོར་དེར་མ་གནས་ རིན་གོང་ཟེར།
Counter example ལྡོག་དཔེ། བརྗོད་པ་གང་ཞིག་ ལྡོག་འགྲེལ་བྱེད་པའམ་ཁུངས་དག་མིན་པ་ར་སྤྲོད་བྱེད་
83
Criteria of congruence of triangles
ཀྱི་དཔེ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། རྒྱུ་གྲངས་ཚང་མ་ཡ་ གྲངས་རེད་ཅེས་པའི་བརྗོད་པ་ལས་རྒྱུ་གྲངས་ 2 ནི་ཆ་ གྲངས་ཡིན་པས་ལྡོག་དཔེ་ཞིག་རེད་ལྟ་བུ། Criteria of congruence of triangles ཡོངས་ མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མའི་ཚད་འཛིན་ཆ་རྐྱེན། ཆ་ རྐྱེན་བཞི་བརྒྱུད་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ ཡིན་མིན་ཁུངས་འདྲེན་བྱེད་ཐབས་ཤིག་སྟེ། དེ་དག་ནི། མཐའ་མཐའ་མཐའ་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ (SSS cri-
དང་། མཐའ་ཟུར་མཐའ་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན། (SAS criteria ) དྲང་གསེག་མཐའ་ཡོངས་མཚུངས་ཆ་ རྐྱེན། (RHS criteria ) ཟུར་མཐའ་ཟུར་ཡོངས་མཚུངས་ ཆ་རྐྱེན་ (ASA criteria ) བཅས་ཡིན།
teria )
Cross product
སྣོལ་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ། མཉམ་
བྱའི་སྐབས་ཕྱོགས་ཤིག་གི་བུ་ཆས་ཕྱོགས་གཞན་དེའི་མ་ ཆར་བསྒྱུར་བའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན།
84
Cube 4 = 12 7 21 4 × 21 = 12 × 7 = 84
ལྟ་བུ།
Cube ཁ་གང་གཟུགས། སུམ་སྒྱུར། ངོས་གྲུ་བཞི་ཁ་ གང་མ་གཅིག་མཚུངས་དྲུག་ལས་གྲུབ་པའི་གཟུགས་ཤིག་ ལ་ཟེར། དེ་ལ་ཤོ་གཟུགས་ཀྱང་འབོད། ཁ་གང་གཟུགས་ ལ་ངོས་ 6 དང་། གཞོགས་ 12 ཟུར་ཚེག་ 8 བཅས་ཡོད། སུམ་སྒྱུར་ནི་གྲངས་རང་ཉིད་ཐེངས་གསུམ་བསྒྱུར་བ་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 6 གི་སུམ་སྒྱུར་ནི་ 216 ཡིན་ལྟ་བུ།
Cube root སུམ་སྒྱུར་གཞི། གལ་ཏེ་ n སུམ་སྒྱུར་ གྲངས་ཤིག་ཡིན་ན། རིལ་གྲངས་ m ནི་ n = m3 ཡིན། འདིར་གྲངས་ m ནི་ n གྱི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཟེར། དཔེར་ན།
2 × 2 × 2 = 8 འམ་ 23 ལྟ་བུར་མཚོན་ན། 3 ནི་སུམ་སྒྱུར་
གྱི་སྟོན་གྲངས་སམ་ཐེངས་གྲངས་དང་། 2 ནི་སུམ་སྒྱུར་ གཞིའམ་ཞབས་གྲངས་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Cubic number སུམ་སྒྱུར་གྲངས། གྲངས་ཀ་ x ལྟ་
85
Cubic polynomial
བུ་ཞིག་རང་སྒྱུར་ཐེངས་གསུམ་ x × x × x བྱས་པས། x3 ཡང་ན་ x སུམ་སྒྱུར་ཟེར། དཔེར་ན། 27 = 3 × 3 × 3 = 33 ཡིན་པས། 27 ནི་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་ཡིན།
Cubic Polynomial ཐེངས་གསུམ་ཚན་མང་གི་ ཚུལ། ཐེངས་གྲངས་གསུམ་ཡོད་པའི་ཚན་མང་གི་ཚུལ་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 4x3, 2y3 + 1, 5x3 + x2, 6y3 - y, 2x3 + 4x2 + 6x + 7 ལྟ་བུ།
ཁྲུ།
Cubit ཁྲུ། ལག་ངར་གྱི་རིང་ཚད་དང་ཉེ་མཚུངས་ཡིན་ པའི་འཇལ་ཚད་ཅིག་སྟེ། གྲུ་མོ་ནས་དཀྱིལ་མཛུབ་ཀྱི་རྩེ་ བར་གྱི ་ རི ང ་ཚད་སྤྱད་དེ ་ ཚད་ འཇལ་བའི་གནའ་རབས་ཀྱི་ཐིག་ ཚད་ཅིག་ལ་ཟེར།
Cuboid གྲུ་ནར་གཟུགས། གྲུ་བཞི་ནར་མོའ ི་ངོས་དྲུག་ ལས་གྲུབ་པའི་གཟུགས་ལ་ཟེར། དེའི་གཏད་ངོས་ཕན་ཚུན་
86
Cumulative frequency
དབར་ཡོ ང ས་མཚུངས་དང་ མཉམ་འགྲོ ་ ཡི ན ་པ་དང་། ངོས། དེར་ཟུར་ཚེག་ 8 ཡོད་པ་ ལ ས ་ ཟུ ར ་ ཚེ ག ་ རེ ་ རེ འི ་ མཚམས་སུ་ངོས་ 3 པོའ ི་རྩེ་ཐུག་པས་ཕན་ཚུན་དབར་དྲང་ ཟུར་གྲུབ་ཡོད། ངོས་ 6 དང་མཐའ་འམ་གཞོགས་ 12 བཅས་ཡོད། ཟུར་ཚེག།
གཞོགས།
Cumulative frequency རིམ་གསོག་ཟློས་ཕྱོད། ཟློས་ཕྱོད་ཀྱི་མུ་འབྲེལ་ཆ་ཚང་གི་ཐང་སྟེ། ཟློས་ཕྱོད་ རྣ མ ས ་ རི མ ་ པ ར ་ ཟློས་ཕྱོད། པོ་ལོ་བླུགས་ རིམ་གསོག་ (པོ་ལོ་བླུགས་ བསགས་པའི ་ ཐང་ པའི་གྲངས། ཟློས་ཕྱོད། པའི་གྲངས།) 1 2 2 ངམ་བསྡོ མ ས་ཐོ བ ་ 2 5 7 ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 3 4 11 4 2 13 པོ ་ ལོ ་ རྩེད་མཁན་ 5 1 14 ཁག་ཅི ག ་གི ས ་པོ ་
87
Curve
ལོ་བླུགས་པའི་གྲངས་ནི་ 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, བཅས་རེད། གྲངས་ཐོ་དེ་དག་རེའུ་མིག་ཏུ་བཀོད་ དེ། པོ་ལོ་ 3 བར་བླུགས་པའི་གྲངས་ཐོ་རྣམས་ཀྱི་རིམ་ གསོག་ཟློས་ཕྱོད་བཙལ་བ་ནི་ 2 + 5 + 4 = 11 རེད་ལྟ་ བུ།
Curve ཁྱོག་ཐིག། འབུར་ཆ། ཁུག་ཆ། ངོས་སྙོམས་ པའི་གཞི་ལས་ཡར་འཕགས་པའམ། བཀུག་པའམ། ཁྱོག་ པ། Curved surface འབུར་ངོས། ངོས་སྙོམས་པའི་ གཞི་ལས་ཡར་འཕགས་པའི་ངོས་ཏེ། སྙུང་གཟུགས་དང་ ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཀྱི་འབུར་ངོས་ལྟ་བུ། Cyclic quadrilateral སྒོར་དབྱིབས་ནང་འབྲེལ་ མཐའ་བཞི་མ། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་ལ་དབྱིབས་ མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་བཞི་འཕྲད་ཡོད་ན། དེ་ལ་སྒོར་ དབྱིབས་ནང་འབྲེལ་མཐའ་བཞི་མ་ཟེར་ཞིང་། སྒོར་
88
Cylinder
དབྱིབས་ཀྱི་ནང་འབྲེལ་མཐའ་བཞི་ དབྱིབས་ཀྱི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ 85˚ 100˚ བསྡོམས་ཐོབ་ལ་ 180˚ ཡིན། O ˚ དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་སྒོར་ 80˚ 95 Y Z དབྱིབས་ O ཡི་མཐའ་འཁོར་དུ་ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་ WXYZ བཞི་པོ་ འཕྲད་པ་དང་། དེའི་གཏད་ཟུར་བསྡོམས་པ་ནི་ X + Z = 180˚ དང་ W + Y = 180˚ ཡིན་ལྟ་བུ། W
X
Cylinder ཞོགས།
འབུར་ངོས། ཞབས།
ཀ་ཟླུམ།
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་ གཟུགས་ཤིག་སྟེ། ཞབས་གཉིས་ནི་ ཡོ ང ས་མཚུངས་སྒོ ར ་དབྱི བ ས་དང་ ལོ ག ་ངོ ས ་ནི ་ འབུར་ངོ ས ་ཡི ན ་པའི ་ གཟུགས་ལ་ཟེར།
89
Data
D
Data གྲངས་ཐོ། རྩིས་བཟོ་རྒྱུའམ་མཐའ་སྡོམ་སྟོན་རྒྱུ་ གཞི ་ རྩར་བཞག་ནས་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི ་ གནས་ཚུལ་ ལམ། བརྟག་དཔྱད་བྱས་ནས་ཐོབ་པའི་གནས་ཚུལ། རི་ མོའ་ི ངོ་བོར་ཐོན་པའི་གནས་ཚུལ། Decimal སིལ་གྲངས། སིལ་གྲངས་ལ་ལེ་ཊིན་ཚིག་ ཏུ་ decimus ཞེས་ཟེར་ཞིང་། དེ་ནི་བཅུ་ཆ་ཞེས་པའི་དོན་ ཡིན། སྤྱིར་བཏང་ཧྲིལ་བགོ་མ་ཐུབ་པའི་གྲངས་ཚང་མའི་
རྗེས་སུ་ཚེག་བརྒྱབ་སྟེ་བགོས་པའི་ཐོབ་དེ་ལ་ཟེར། 14 = འདི་ལྟ་བུའི་སིལ་གྲངས་ལ་ཚད་ཡོད་སིལ་གྲངས་ 0.25
5 = 0.185185185... འདི་ལྟ་བུའི་སིལ་གྲངས་ལ་ དང་། 27 རྗེས་ཟློས་སིལ་གྲངས་ཟེར། འདི་གཉིས་ནང་ལུགས་ལྡན་
90
Decimal point
གྲངས་ཡོངས་སུ་བསྡུས་ཡོད། ཚད་ཡོད་དང་རྗེས་ཟློས་སིལ་ ཧྲིལ་གྲངས་ཁག། སིལ་གྲངས་ཁག གྲངས་གཉི ས ་ཀར་མ་བསྡུས་ 5 . 0 2 4 པའི་སིལ་གྲངས་རིགས་ནི་ སིལ་གྲངས་ཚེག། ལུགས་མེད་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ ན། π = 3.41593... ནི་སིལ་ གྲངས་གནས་དུ་མ་བྲིས་ཀྱང་རྫོགས་མཐའ་མེད་པ་ལྟ་བུ།
Decimal point སིལ་གྲངས་ཚེག། ཧྲིལ་གྲངས་ དང་སིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་གནས་དབྱེ་མཚམས་གཅོད་ བྱེད་ཀྱི་ཚེག་ལ་ཟེར།
Decreasing order ཆག་རིམ། གྲངས་སམ་དངོས་ ཁ ག ་ གི ་ ཆེ ་ ཆུ ང ་ སྒྲི ག ་ 7 5 2 1 0 སྐབས་ཆེ་བ་ནས་ཆུང་ བར་གོ་རིམ་བཞིན་སྒྲིག་ པར་ཟེར། དེ་ལ་འགྲིབ་རིམ་ཡང་འབོད། Deductive reasoning
རྣམ་འབྱེད་རིགས་
91
Deductive reasoning
འདེད།
སྤྱིར་བཏང་བ་ནས་ཁྱད་པར་བ་རིགས་འདེད་ བྱེད་པའི་གཏན་ཚིགས་ཤིག་ལ་ཟེར། སྒྲུབ་སྣ་གསུམ་ལྡན་ ནི་རྣམ་འབྱེད་རིགས་འདེད་ཀྱི་བརྗོད་སྙིང་ཡིན། སྒྲུབ་ སྣ་གསུམ་ལྡན་ཞེས་པ་ནི་ཤེས་ཟིན་པའི་བརྡར་ཤ་བཅད་ པ་གཉིས་ལས་བརྡར་ཤ་གཅོད་པ་གསུམ་པ་ཞིག་རིགས་ འདེད་བྱེད་ཐབས་དེ་ཡིན། དེ་ལ་སྔོན་འགྲོ་ཆེ་ཆུང་གཉིས་ དང་སྡོམ་ཚིག་བཅས་འདུ། སྔོན་འགྲོ་ཆེ་བ་ནི་སྤྱིར་བཏང་ གི་གོ་དོན་དང་སྔོན་འགྲོ་ཆུང་བ་ནི་སྔོན་འགྲོ་ཆེ་བ་དང་ འབྲེལ་བའི་ཁྱད་ཆོས་ཁྱད་པར་བ་ཞིག་ཡིན། སྡོམ་ཚིག་ ནི་སྔོན་འགྲོ་དེ་གཉིས་ཀྱི་བརྡར་ཤ་བཅད་ནས་ཐོབ་པ་དེ་ ཡིན། དཔེར་ན། ཐོག་མའི་བརྗོད་པ་དང་པོ། ཀུ་ཤུ་ཚང་མ་ཤིང་ཏོག་ རེད། (སྤྱིར་བཏང་གི་བརྗོོད་པ།) ཐོག་མའི་བརྗོད་པ་གཉིས་པ། བྱེ་ཐང་གི་ཀུ་ཤུ་ (Granny Smith) ནི་ཀུ་ཤུ་ཞིག་ཡིན། (ཁྱད་ཆོས་ཁྱད་པར་བ་སྟོན་པའི་ བརྗོད་པ།)
92
Degree of polynomial
དེར་བརྟེན་བྱེ་ཐང་གི་ཀུ་ཤུ་ནི་ཤིང་ཏོག་ཅིག་རེད་ ལྟ་བུ་ལས། བརྗོད་པ་དང་པོ་སྤྱིར་བཏང་བ་ནས་བརྗོད་པ་ གཉིས་པ་བྱེ་བྲག་ཏུ་རིགས་འདེད་ཀྱིས་རྣམ་པར་འབྱེད་ པ་སྟེ། རྗེས་དཔག་ཏུ་ཁུངས་འདྲེན་པ་ལྟ་བུ། སྡོམ་ཚིག།
Degree of polynomial ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐེངས་ གྲངས། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་རྒྱུ་ཡི་སྟོན་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 5x2 + 13x - 9 ནང་ x ཡི་ཐེངས་གྲངས་ མཐོ་ཤོས་ 2 ཡིན་པས། འདི་ལ་ཉིས་ཐེངས་ཚན་མང་ཚུལ་ ལམ་ཡང་ན་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐེངས་གྲངས་ 2 ཟེར་ཞིང་། y3 + 17y ནང་ཐེངས་གྲངས་མཐོ་ཤོས་ 3 ཡིན་པས། འདི་ ལ་སུམ་ཐེངས་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེར། 2p + 3 ནང་ཐེངས་ གྲངས་མཐོ་ཤོས་ 1 ཡིན་པས། འདི་ལ་གཅིག་ཐེངས་ཚན་ མང་ཚུལ་ཟེར་བ་ལྟ་བུ། Denominator མ་ཆ། གྲངས་ཆའི་འཕྲེད་ཐིག་འོག་ གི་གྲངས་རྣམས་ལ་ཟེར། Dependent གཞན་བརྟེན། རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་
93
Diagonal
གི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ནང་། ཐིག་གཉིས་གཅིག་ཐོག་ གཅིག་བསྣོལ་བའམ་བརྩེགས་ཡོད་ན། མཉམ་བྱའི་ཐིག་ དེའི་གནས་རེ་རེ་བཞིན་འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན་པས། འགྲོལ་ ཐོབ་ལ་ཚད་མེད། དེ་འདྲའི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ནི་གཞན་ བརྟེན་རེད། དཔེར་ན། མཉམ་བྱ་ y = 3x + 6 དང་ 2y
= 6x + 12 ལྟ་བུར་མཚོན་ན།
མཉམ་བྱ་དང་པོར་ 2 ཀྱིས་ བསྒྱུར་ནས་མཉམ་བྱ་གཉིས་པ་ཐོབ་པ་དང་། དེ་བཞིན་ མཉམ་བྱ་གཉིས་པར་ 2 ཀྱིས་བགོས་ན་མཉམ་བྱ་དང་པོ་ ཐོབ་པས། དེ་གཉིས་ལ་འགྲོལ་འབྲས་ཚད་མེད་ཡོད། དེ་ འདྲའི་མཉམ་བྱ་ལ་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ཟེར། Diagonal
གཏད་ཐིག། དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་
གི་ཁ་གཏད་ཀྱི་ཟུར་ཚེག་གཉིས་མཐུད་ དེ་ཐོབ་པའི་ཐིག་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ ་ རི ས ་ནང་གི ་ གྲུ་ནར་དབྱི བ ས་ཀྱི ་ གཏད་ཐིག་ལྟ་བུ། གཏ
ད་ཐ
94
ིག།
Diameter
Diameter ཚངས་ཐིག། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་སྒོར་ལྟེ་ བརྒྱུད་པའི་རྒྱུད་ཐིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ་ཐིག། ཚངས O དཔེ་རིས་ནང་གི་སྒོར་ལྟེ་ O བརྒྱུད་པའི་ རྒྱུད་ཐིག་ལ་ཚངས་ཐིག་ཟེར་བ་ལྟ་བུ། Difference
ཧེ་བག། འཐེན་ཐོབ། གྲངས་དང་
གྲངས་འབོར་སོགས་གྱི་ཁྱད་པར་ལ་ཟེར།
8 - 5 = 3
གོང་གི་འཐེན་ རྩི ས ་ ཀྱི ་ ད པེ ་ མཚོན་ལྟར་ན། 8 ནས་ 5 འཐེན་པས། འཐེན་ཐོབ་ནི་ 3 རེད་ལྟ་བུ། འཐེན་བྱའི་གྲངས། འཐེན་བྱེད་གྲངས། འཐེན་ཐོབ།
Digit གྲངས་གནས། གྲངས་གནས་ཇི་ཡོད་ཀྱི་ཚད་དེ། གྲངས་གནས་གཉིས་ལ་བཅུ་དང་། གྲངས་གནས་གསུམ་ ལ་བརྒྱ། གྲངས་གནས་བཞི་ལ་སྟོང་སོགས་ཡིན། དཔེར་ན། 2568 ལ་མཚོན་ན། 8 ནི་གཅིག་གནས་དང་། 6 ནི་བཅུ་ གནས། 5 ནི་བརྒྱ་གནས། 2 ནི་སྟོང་གནས་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
95
Digital watch / clock
Digital watch / Clock གྲངས་འཛིན་ཆུ་ཚོད། གྲངས་འཛིན་ཆུ་ཚོད། སྐར་མ། གྲངས་ཀྱི ་ རྣམ་པས་དུས་ཚོ ད ་སྟོ ན ་པར་ ཆུ་ཚོད། སྐར་ཆ། བྱེད་པའི་ཆུ་ཚོད་ཅིག།
Direct variation མཐུན་འགྱུར། གྲངས་འབོར་ x དང་ y གཉིས་གལ་ཏེ་མཉམ་དུ་འཕེལ་འགྲིབ་བྱེད་པ་ དང་། དེ་དང་ཆབས་ཅིག་དེ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་རྟག་གྲངས་ ཡིན་ན། x དང་ y གཉིས་ཕན་ཚུན་མཐུན་འགྱུར་ཡིན། x མཐུན་འགྱུར་དེའི་སྐབས། y = k ཡང་ན་ x = ky དང་། k ནི་རྟག་གྲངས་ཕོ་ཡིན། དཔེར་ན། ལྷ་མོས་བདུན་ཕྲག་ རེར་ `50 རེ་གསོག་འཇོག་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་ན། བདུན་ཕྲག་ འགའི་ནང་ལྷ་མོས་དངུལ་བསགས་པ་འཚོལ་སྐབས། གསོག་དངུལ་ = x དང་། བདུན་ཕྲག་གི་གྲངས་ = y, རྟག་གྲངས་ k = `50 དེར་བརྟེན། བདུན་ཕྲག་གཅིག་ལ་ བསགས་པའི་དངུལ་ x = 50 × 1 བདུན་ཕྲག་གཉིས་ལ་ x = 50 × 2 བདུན་ཕྲག་གསུམ་ལ་ x = 50 × 3
96
Discount
བདུན་ཕྲག་བཞི་ལ་ x = 50 × 4 ལྟ་བུ་དང་། རེའུ་མིག་ y (མདུན་ཕྲག་གྲངས།) x གསོག་དངུལ། (`)
1
2
3
4
5
6
7
50 100 150 200 250 300 350
8
400
དེ ས་ལྷ་མོས་བདུན་ཕྲག་དང་པོ ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་ལ་ བསགས་པའི་དངུལ་འབོར་སྟོན་པ་ལྟ་བུ།
Discount གཅོག་ཆ། ཅ་དངོས་ཤིག་ཁྲོམ་རའི་གོང་ ཚད་ལས་ཆག་ཡང་བཏང་བ་དེ་ལ་གཅོག་ཆ་ཟེར། དཔེར་ ན། དེབ་ཅིག་གི་ཁྲོམ་རའི་གོང་ཚད་ `30 ཡིན་པ་དང་། དེབ་དེ་ 10% གཅོག་ཆ་བྱས་ཏེ་བཙོངས་པས། གཅོག་ཆ་ 10 སྤྲད་པ་ = `30 ཡི་བརྒྱ་ཆ་ 10 = 100 × `30 = `3/- ལྟ་བུ།
Discriminant དབྱེ་བ་འབྱེད་པ། ཐེངས་གཉིས་ མཉམ་བྱ་ ax2 + bx + c = 0 འདིའི་འགྲོལ་ཐོབ་དངོས་ གྲངས་ཡིན་མིན་ b2 - 4ac ཡིས་གཏན་ལ་འབེབས་པའམ་
97
Distance
དབྱེ་བ་འབྱེད་པས། b2 - 4ac ལ་དབྱེ་བ་འབྱེད་པ་ཞེས་ ཟེར། ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ་ ax2 + bx + c = 0 ཞིག་ལ་ གནས་སྟངས་གསུམ་བྱུང་སྲིད་པ་ནི། ༡། གལ་སྲིད་ b2 - 4ac > 0 ཡིན་ན། དངོས་གྲངས་འགྲོལ་ ཐོབ་ཐ་དད་གཉིས་བྱུང་བ་དང་། ༢། གལ་སྲིད་ b2 - 4ac = 0 ཡིན་ན། དངོས་གྲངས་འགྲོལ་ ཐོབ་གཉིས་ཀ་གཅིག་པ་བྱུང་བ། ༣། གལ་སྲིད་ b2 - 4ac < 0 ཡིན་ན། དངོས་གྲངས་འགྲོལ་ ཐོབ་མེད་པ་བཅས་གསུམ་ཡིན། དཔེར་ན། ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ་ 2x2 - 4x + 3 = 0 གྱི་ དབྱེ་བ་འབྱེད་པ་ནི། b2 - 4ac = (-4)2 - (4 × 2 × 3)
རེད། མཉམ་བྱ་འདི་ལ་དངོས་གྲངས་འགྲོལ་ཐོབ་
= 16 - 24 = -8 < 0
དེར་བརྟེན། མེད་ལྟ་བུ།
Distance
98
བར་ཐག།
སྣེ་ཚེག་གམ་གནས་གཉིས་
Distance formula
དབར་གྱི་རིང་ཚད་ལ་ཟེར།
Distance formula བར་ཐག་ཆོ་ག། གནས་གཉིས་ དབར་གྱི་བར་ཐག་འཚོལ་བར་སྤྱོད་པའི་ཆོ་ག་ལ་ཟེར། གལ་སྲིད་གནས་གཉིས་ནི་ P(x1, y1) དང་ Q(x2, y2) ཡིན་ན། བར་ཐག་ཆོ་ག་ནི་ = (x - x ) + (y - y ) རེད། 2
1
2
2
1
2
Distributive property བགོ་སྲོལ། གྲངས་ཀྱི་རྩིས་ རྒྱག་སྐབས། གྲངས་རྣམས་ཚན་པར་བགོས་པ་སྟེ། དང་པོ་ སྡོམ་/འཐེན་རྩིས་བརྒྱབ་རྗེས་སྒྱུར་བའམ། ཡང་ན། དང་པོ་ སྒྱུར་རྩིས་བརྒྱབ་རྗེས་སྡོམ་/འཐེན་རྩིས་བརྒྱབ་པ་གཉིས་ ཀྱི་ཐོབ་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་ཞེས་པའི་དོན་ཡིན་ཞིང། བགོ་སྲོལ་ནི། a(b + c) = ab + ac དང་། a(b - c) = ab - ac
ཡིན།
ཀ) ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོ་སྲོལ།
99
Distributive property བྱེད་ལས། སྡོམ་རྩིས་ ཀྱི་བགོ་ སྲོལ་སྐབས།
གྲངས།
2 (3 + 7) = 2 × 3 + 2 × 7 2 (10) = 6 + 14 20 = 20
ལྟ་བུ་སྟེ། ཧྲིལ་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་ ཚན་པར་བགོས་ཏེ། b དང་ c གཉིས་བསྡོམས་
ཟུར་མཆན།
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ སྡོ མ ་ རྩི ས ་ ལ ་ བགོ་སྲོལ་ཡོད།
རྗེས། a ཡིས་བསྒྱུར་བ་དང་། a ཡིས་ b དང་ c ལ་བསྒྱུར་རྗེས་བསྡོམས་པའི་ཐོབ་གཉིས་ གཅིག་པ་ཡིན། 3 (7 - 2) = 3 × 7 - 3 × 2 3 (5) = 21 - 6 15 = 15
འཐེན་ རྩིས་ཀྱི་ བགོ་སྲོལ་ སྐབས།
-8 = -8
ལྟ་བུ་སྟེ། ཧྲིལ་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་པོ་ ཚན་པར་བགོས་ཏེ། b དང་ c གཉིས་འཐེན་ རྗེས་ a ཡིས་བསྒྱུར་བ་དང་། a ཡིས་ b དང་ c ལ་བསྒྱུར་རྗེས་འཐེན་པའི་ཐོབ་གྲངས་གཉིས་ གཅིག་པ་ཡིན།
ཁ) རིལ་གྲངས་ཀྱི་བགོ་སྲོལ། བྱེད་ལས།
100
དང་
4 (3 - 5) = 4 × 3 - 4 × 5 4 (-2) = 12 - 20
གྲངས།
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ འཐེན་རྩིས་ལ་ བགོ་སྲོལ་ཡོད།
ཟུར་མཆན།
Distributive property -2 (4 + 3) = (-2 × 4) + (-2 × 3)
སྡོམ་རྩིས་ ཀྱི་བགོ་ སྲོལ་སྐབས།
འཐེན་ རྩིས་ཀྱི་ བགོ་སྲོལ་ སྐབས།
-2(7) = -8 + (-6) -14 = -14
ལྟ་བུ་སྟེ། རིལ་གྲངས་ a དང་ b, c ལས། (a × b) དང་ (a × c) བྱས་ཏེ་བསྒྱུར་ནས་བསྡོམས་ པ་དང་། བསྡོམས་ནས་བསྒྱུར་བ་གཉིས་ཀྱི་ཐོབ་ གྲངས་ལ་འགྱུར་བ་མེད། -2 (4 - 3) =(-2 × 4) - (-2 × 3) = -2(1) = -8 - (-6)
ལྟ་བུ་སྟེ། རིལ་གྲངས་ a དང་ b, c ལས། (a × b) དང་ (a × c) བྱས་ཏེ་བསྒྱུར་ནས་ འཐེན་པ་དང་། འཐེན་ནས་བསྒྱུར་བ་གཉིས་ཀྱི་ ཐོབ་གྲངས་ལ་འགྱུར་བ་མེད། -2 = -2
ག) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བགོ་སྲོལ། བྱེད་ ལས།
སྡོམ་རྩིས་ ཀྱི་བགོ་ སྲོལ་ སྐབས།
རིལ་གྲངས་ཀྱི་ སྡོ མ ་རྩིས་ལ་ བགོ་སྲོལ་ཡོད།
གྲངས།
7 7 3 × 5 +2 ×7 3 2 × + = × 2 2 7 5 35 7 3 7 2 7 29 × + × = × 2 7 2 5 2 35 21 14 29 + = 14 10 10
རིལ་གྲངས་ཀྱི་ འཐེན་རྩིས་ལ་ བགོ་སྲོལ་ཡོད།
ཟུར་ མཆན།
ལུགས་ལྡན་ གྲ ང ས ་ ཀྱི ་ སྡོམ་རྩིས་ལ་ བ གོ ་ སྲོ ལ ་ ཡོད།
101
Deviation 29 29 = 10 10 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a
ལྟ་བུ་སྟེ། དང་ b, c གསུམ་པོ་ སྒྱུར་སྡོམ་བྱེད་སྐབས། (b + c) གཉིས་བསྡོམས་ཏེ་ a ཡིས་བསྒྱུར་བ་དང། (a × b) དང་ (a × c) བྱས་ནས་ བསྡོམས་པའི་ཐོབ་གྲངས་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན།
འཐེན་ རྩིས་ ཀྱི་བགོ་ སྲོལ་ སྐབས།
7 7 3 2 3 2 × = × 2 2 7 5 7 5 3 7 2 7 3 × 5 -2 × 7 7 × × = × 7 2 5 2 2 35 21 14 7 1 = × 14 10 2 35 1 1 = 10 10
ལྟ་བུ་སྟེ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་ b, c གསུམ་ པོ་སྒྱུར་འཐེན་བྱེད་སྐབས། (b - c) གཉིས་འཐེན་ཏེ་ a ཡིས་བསྒྱུར་བ་དང། (a × b) དང་ (a × c) བྱས་ནས་ འཐེན་པའི་ཐོབ་གྲངས་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན།
ལུགས་ལྡན་ གྲ ང ས ་ ཀྱི ་ འཐེན་རྩིས་ ལ་བགོ་སྲོལ་ ཡོད།
Deviation ཡོ་ཁྱད། ཆ་སྙོམས་ཡོ་ཁྱད་ལ་ལྟོས། Dividend
བགོ་བྱའི་གྲངས།
གྲངས་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། a ÷ b = c སྐབས་ a ལ་བགོ་བྱ་ ཟེར།
102
བགོ་དགོས་པའི་
12 ÷ 3 = 4 བགོ་བྱའི་གྲངས།
Divide
Divide བགོ་བ། བགོ་བྱ་བགོད་བྱེད་ཀྱིས་བགོད་པར་ བྱེད་པ་ལ་ཟེར། Divider
བགོད་ཐུར། དབྱིབས་རྩིས་ཡོ་ཆས་ཤིག་སྟེ།
ཕྱོ ག ས་གཅི ག ་ཏུ་ཁབ་རྩེ ་ ལྟ་བུའི ་ རྩེ ་ གཉི ས ་དང་ཕྱོ ག ས་ གཞན་དེ ར ་ལག་པ་འཇུ་བྱེ ད ་སྣེ ་ ཞི ག ་ ཡོད་པའི་ཡོ་ཆས་ཤིག་ལ་ཟེར། དེ་ཚད་ འཛིན་དང་། ཚད་འཇལ། ཐིག་དུམ་ དུམ་བུུར་བགོད་ཆེད་སོགས་སུ་སྤྱོད་ ཀྱི་ཡོད།
Divisible བགོ་ཐུབ་པ། བགོ་རུང་བ། གྲངས་ཤིག་ གྲངས་གཞན་ཞི ག ་གི ས ་ཧྲི ལ ་པོ ར ་བགོ ་ ཐུབ་པ་ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། 3 གྱིས་ 15 ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པ་ལྟ་བུ།
Divisibility rule བགོ་རུང་བའི་སྤྱི་སྲོལ། གྲངས་ གང་ཞིག་ལ་བགོ་བྱ་ཞིག་གིས་བགོད་རྩིས་མ་སྤྱོད་པར་ སྟབས་བདེ འི ་ ལམ་ནས་བགོ ་ རུང་ཡི ན ་མི ན ་བརྩི ་ ཐུབ་
103
Divisibility rule
པའི་སྤྱི་སྲོལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གཤམ་གསལ་ 2 ནས་ 11 བར་གྱི་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་མིན་གྱི་སྤྱི་སྲོལ་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་ དང་། བགོ་རུང་ཡིན་མིན་གྱི་ཚོད་ལྟའི་རེའུ་མིག བགོ་བྱ་ བརྟན་གྲངས། 2
3
ཆ་རྐྱེན།
གྲངས་གནས་མཐའ་མ་ དེ་ 0 ཡང་ན་ཆ་གྲངས་ ཡིན་པ། ( 0, 2, 4, 6, 8 )
དཔེ་མཚོན།
༡། 128 ལ་ 2 ཀྱིས་བགོ་ཐུབ། ༢། 129 ལ་ 2 ཀྱིས་བགོ་མི་ཐུབ།
༡། 381 ལ་ 3 གྱིས་བགོ་ཐུབ། ( 3 + 8 + གྲངས་གནས་ཚང་མའི ་ 1 = 12, 12 ÷ 3 = 4 ) བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ 3 གྱིས་ ༢། 217 ལ་ 3 གྱིས་བགོ་མི་ཐུབ། ( 2 ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ། + 1 + 7 = 10)
4
5
6
104
གྲ ངས་གནས་ག ཡས་ མཐའ་གཉིས་ལ་ 4 ཡིས་ ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ།
གྲངས་གནས་མཐའ་མ་ དེ་ 0 ཡང་ན་ 5 ཡིན་པ།
གྲངས་གང་ཞིག་ལ་ 2 དང་ 3 གཉིས་ཀས་བགོ་ ཐུབ་པ།
༡།
1312
÷ 4 = 3)
ལ་
4
ཡིས་བགོ་ཐུབ།
(12
༢། 7019 ལ་ 4 ཡིས་བགོ་མི་ཐུབ།
༡། 175 ལ་ 5 ཡིས་བགོ་ཐུབ། ༢། 809 ལ་ 5 ཡིས་བགོ་མི་ཐུབ།
༡། 114 ལ་ 2 དང་ 3 གཉིས་ཀས་ བགོ་ཐུབ་པས། 114 ལ་ 6 གིས་བགོ་ ཐུབ། ༢། 308 ལ་ 2 ཀྱིས་བགོ་ཐུབ་ཀྱང་། 3 གྱིས་བགོ་མི་ཐུབ་པས། དེ་ནི་ 6 གིས་ ཧྲིལ་བགོ་མི་ཐུབ།
Divisibility rule
7
8
9
10
11
༡། 672 ཀྱི་གྲངས་གནས་མཐའ་མ་ 2 གྲངས་གནས་མཐའ་མ་ ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ནི་ 4 ཡིན་པར་བརྟེན། དེ་ཉིས་སྒྱུར་བྱས་རྗེས། 67- 4 = 63 དང་ 63 ÷ 7 = 9 ཡིན་ གྲ ང ས ་ ག ན ས ་ དེ ས ་ པས། དེ་ནི་ 7 གྱིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ། གྲངས་ལྷག་མ་རྣམས་ ༢། 905 ཡི་གྲངས་གནས་མཐའ་མ་ 0 ཡིན་པའམ། ཡང་ན་ 5 ཡི་ལྡབ་གཅིག་ནི་ 10 ཡིན་པར་ བགོ་བྱའི་གྲངས་ 7 གྱིས་ བརྟེན། 90 - 10 = 80 དང་ 80 ÷ 7 ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ། བྱས་ན་ཧྲིལ་བགོ་མི་ཐུབ།
༡། 109816 ལས་( 816 ÷ 8 = 102 ) ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པས། 109816 ལ་ 8 གྲ ངས་གནས་ ག ཡས་ ཀྱིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ། མཐའ་གསུམ་ལ་ 8 ཀྱིས་ ༢། 216302 ལྟ་བུའི་གྲངས་གནས་ ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ། གཡས་མཐའ་གསུམ་ལས་གྲུབ་པའི་ 302 དེ་ལ་ 8 ཀྱིས་ཧྲིལ་བགོ་མི་ཐུབ།
༡། 1629 ནི་ 1 + 6 + 2 + 9 =18 ལ་ 9 གྲངས་གནས་ཚང་མའི ་ ཡིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ། བསྡོམས་ཐོབ་དེ་ 9 ཡིས་ ༢ 2019 ནི་ 3 + 0 + 1 + 9 = 13 ལ་ 9 ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ། ཡིས་ཧྲིལ་བགོ་མི་ཐུབ། ༡། 220 ལ་ 10 ཡིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ། གྲངས་གནས་མཐའ་མ་ ༢། 221 ལ་ 10 ཡིས་ཧྲིལ་བགོ་མི་ དེ་ 0 ཡིན་པ། ཐུབ།
གྲངས་གནས་ཚང་མ་ འཁོ ར ་རེས་ཀྱིས་སྡོ མ ་ འཐེན་བྱས་པའི་ཐོ བ ་ ཏུ་ 0 ཡིན་པའམ། ཡང་ ན་ 11 ཡིན་ན། 11 གིས་ ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ།
༡། 1364 ནི་ 1 - 3 + 6 - 4 = 0 ཡིན་ པས། 11 གིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ། ༢། 913 ནི་ 9 - 1 + 3 = 11 ཡིན་པས། 11 གིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ། ༣། 3729 ནི་ 3 - 7 + 2 - 9 = -11 ཡིན་ པས། 11 གིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ།
105
Division algorithm
Division algorithm བགོད་རྩིས་བརྩི་ལུགས། བགོ་བྱའི་གྲངས་ a དང་། བགོད་བྱེད་གྲངས་ b བགོས་ ཐོབ་ q བགོས་ལྷག་ r བཅས་ཀྱིས་མཚོན་ན། འབྲེལ་བ་ a = bq + r དང་། r ≠ 0, r < b ཡིན། འབྲེལ་བ་དེ་ལ་བགོད་ རྩིས་བརྩི་སྲོལ་ལམ་བགོད་རྩིས་བརྩི་ལུགས་ཟེར། དཔེར་ན། 45998 དེ་ 356 གིས་བགོད་སྟངས་བགོད་རྩིས་ བརྩི་ལུགས་ལྟར་བྱས་ན། a = bq + r
45998 = 356 × 129 + 74
= 45922 + 74
= 45998
ལྟ་བུ།
Division of a line segment ཐིག་དུམ་ཆ་བགོད་ C B བྱེད་པ། ཐིག་དུམ་ཞིག་སྡུར་ A A ཚད་གཞིར་བཟུང་གིས་ཆ་ཤས་ A A A × སོ་སོར་བགོ་བ་ལ་ཟེར། དཔེར་ A ན། ཐིག་དུམ་ AB དེ་སྡུར་ཚད་ 1
2
3
4
5
106
Divisor 3:2
ནང་བགོད་པ་ལྟ་བུ།
Divisor བགོད་བྱེད་གྲངས། གྲངས་གང་ཞིག་གིས་ བགོད་བྱེད་གྲངས། བགོད་པར་བྱེད་པའི་གྲངས་དེ་ལ་ཟེར། 12 ÷ 3 = 4 དཔེར་ན། 12 ÷ 3 = 4 སྐབས་ 3 ནི་ བགོད་བྱེད་གྲངས་རེད།
Dot plot ཚེག་རིས། སྡོམ་རྩིས་རིག་པའི་དཔེ་རིས་ ཤིག་སྟེ། ཚེག་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཐོ་རྣམས་དཔེ་རིས་སུ་སྟོན་ པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གཤམ་གསལ་འཛིན་གྲྭ་བཞི་པའི་ 6
ཨང་རྩིས།
7
ཨིན་ཡིག།
6
སློབ་མ་ ༢༨ ཀྱིས་དགའ་མོས་ བྱེ ད ་ པ འི ་ སློ བ ་ ཚ ན ་ གྱི ་ གྲངས་ཐོོ ་ རེ འུ ་མི ག ་དེ ་ ཚེ ག ་ རིས་ཐོག་ཏུ་སྟོན་པ་ལྟ་བུ།
ལུས་རྩལ།
4
རི་མོ།
3
རོལ་ཆ།
2
སློབ་ཕྲུག་ ༢༨ ཀྱིས་དགའ་མོས་བྱེད་ སློབ་མའི་གྲངས།
བོད་ཡིག།
པའི་སློབ་ཚན་གྱི་ཚེག་རིས།
བོད་ ཨང་ ཨིན་ ལུས་ རི་ རོལ་ ཡིག རྩིས། ཡིག། རྩལ། མོ། ཆ།
སློབ་ཚན།
107
Edge
E Edge གཞོགས། དངོས་པོའམ། རྒྱ་ཁྱོན་ནམ། ངོོས་ཤིག་ གི་བཅད་མཚམས་སམ་མཐའ་ལ་ཟེར། དེར་གྲུ་ཡང་ གཞོགས། འབོད། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ གྲུ་ནར་གཟུགས་ལ་གཞོགས་ 12 ཡོད་ པ་ལྟ་བུ།
Elementary event གཞི་རྩའི་བྱུང་བ། ཚོད་ལྟའི་ སྐབས་མཇུག་འབྲས་གཅི ག ་ཁོ ་ ན་ཡི ན ་པའི ་ བྱུང་བ་ལ་ ཟེར། ལྕགས་སྒོར་ཞིག་འཕེན་པའི་ཚོད་ལྟའི་སྐབས། རྒྱབ་ དང་མདུན་གཉིས་ལས་གང་རུང་གཅིག་བྱུང་བ་ལྟ་བུ།
Empirical probability ཉམས་མྱོང་སྲིད་ཕྱོད། སྲི ད ་རུང་གི ་ བྱུང་བ་གང་ཞི ག ་དངོ ས ་ཐོ ག ་ཉམས་མྱོ ང ་ གཞི ་ བཞག་གི ་ སྲི ད ་ཕྱོ ད ་ཀྱི ་ འགྲོ ་ ལུགས་ཤི ག ་ལ་ཟེ ར །
108
Empirical probability
ཉམས་མྱོང་སྲིད་ཕྱོད་ཀྱི་ཆོ་ག་ནི།
བྱུང་བ་ (E) ལ་འཚམས་པའི་མཇུག་འབྲས་གྲངས།
རེད། དཔེར་ན། ཤོ་ཞིག་ཐེངས་གཅིག་འཕངས་པས། བྱུང་སྲིད་ པའི་མཇུག་འབྲས་ནི་ 1, 2, 3, 4, 5, 6 བཅས་དང་། ཤོ་ མིག་ 4 ལས་ཆེ་བའི་བྱུང་བ་ནི་ 5 དང་ 6 རེད། དེས་ན། བྱུང་བ་ E ཡི་མཇུག་འབྲས་གྲངས་ནི་ 2 རེད། P(E) =
བྱུང་བ་ཡོངས་ཀྱི་གྲངས།
2
1
དེར་བརྟེན། P(E) = P (4ལས་ཆེ་བའི་གྲངས་) = 6 = 3 རེད། F ནི 4 ལས་ཆུང་བའི་གྲངས་སམ་ 4 ཐོབ་པའི་བྱུང་བར་ ཆ་བཞག། བྱུང་སྲིད་པའི་མཇུག་འབྲས་གྲངས་ནི་ 1, 2, 3, 4 བཅས་རེད། དེས་ན། བྱུང་བ་ F ཡི་མཇུག་འབྲས་ 4 2 གྲངས་ནི་ 4 རེད། དེར་བརྟེན། P(F) = 6 = 3 རེད། གོང་གི་བྱུང་བ་ E དང་ F ཡི་དཔེ་མཚོན་དེ་གཞི་རྩའི་
བྱུང་བ་རེད་དམ་ཞེ་ན། མིན་ཏེ། བྱུང་བ་ E ལ་རྗེས་ཡོང་ 2 དང་། བྱུང་བ་ F ལ་རྗེས་ཡོང་ 4 ཡིན་པའི་ཕྱིར། དེས་ན། བྱུང་བ་ E དང་ F ནི་ཆ་མ་ངེས་པ་ཞིག་རེད།
109
End points
ཡང་ཤོ་ཞིག་གི་མཇུག་འབྲས་གྲངས་ 6 དང་ E ལ་འཚམ་ པའི་མཇུག་འབྲས་གྲངས་དེ་ 8 ཡིན་ན། ཤོའ་ི ངོས་སུ་ 8 མེད་པས། P(E) = P(8 ཐོབ་པར།) = 06 = 0 སྟེ། 0 ནི་ མི་སྲིད་པའི་བྱུང་བ་དང་། དེ་བཞིན། P(E) = P (7 ལས་ 6 ཆུང་བའི་གྲངས་ཐོབ་པར།) = 6 = 1 སྟེ། 1 ནི་ངེས་པའི་ བྱུང་བ་ཡིན་ལྟ་བུ། End points སྣེ་གནས། ཐིག་དུམ་ཞིག་གི་སྣེ་གང་ y (3,4) རུང་གི་གནས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་ སྣེ་གནས། x M (0,-2) རིས་ནང་གི་སྣེ་གནས་ (3,4) དང་ (0,-2) ལྟ་བུ།
Equal intercept property བཅད་ཐིག་མཉམ་ པའི་ཁྱད་ཆོས། གལ་ཏེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གསུམ་མམ་དེ་ ལས་མང་བའི ་ གསེ ག ་ཐི ག ་ཅི ག ་ལ་བཅད་ཐི ག ་མཉམ་ པས་བགོས་ན། དེ་དག་གིས་གསེག་ཐིག་གཞན་ལའང་ བཅད་ཐིག་མཉམ་བགོད་བྱེད་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་
110
Equiangular triangle
རིས་ནང་གི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ l1 དང་ l2, l3 བཅས་གསུམ་ ལ་གསེག་ཐིག་ p བྲིས་ཏེ་ q p འཕྲ ད་ག ནས་སོ ་ སོ ར ་ l A E མིང་ A དང་ B, C l F B བཏགས་པས། p སྟེང་དུ་ l G C བཅད་ཐིག་ AB, BC བཅས་གྲུབ་པ་དང་། ཡང་ མཉམ་འགྲོ འ་ི ཐི ག ་གི ་ གནས་གཞན་ཞི ག ་ནས་གསེ ག ་ ཐིག་ q བཀོད་དེ་འཕྲད་གནས་སོ་སོར་ E དང་ F, G བཏགས་པས། q སྟེང་དུ་བཅད་ཐིག་ EF, FG བཅས་གྲུབ་ ཡོད། དེར་བརྟེན། AB = BC ཡིན་པས། EF = FG རེད་ ལྟ་བུ། 1
2
3
Equiangular triangle ཟུར་མཉམ་ཟུར་གསུམ་ མ། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་གསུམ་ཀའི་ཟུར་ ཚད་མཉམ་པའམ་ཟུར་གསུམ་མའི ་ཟུར་ ཚད་ 60˚ ཡོད་པ་ལ་ཟེར། 60˚
60˚
60˚
111
Equilateral triangle
Equilateral triangle མཐའ་མཉམ་ཟུར་ གསུམ་མ། མཐའ་གསུམ་ཀའི ་ རི ང ་ཚད་ གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ ལ་ཟེར། Equation མཉམ་བྱ། མཚུངས་རྟགས་ཡོད་པའི་རྩིས་ བརྗོད་ཅིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x + 2 = 10 ལྟ་བུ།
Equivalent འདྲ་མཚུངས། གྲངས་གཉིས་རྣམ་པ་མི་ འདྲ་བར་སྟོན་ཡང་། དེ་གཉིས་ཀྱི་གནས་ཐང་གཅིག་པ་ ཡིན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 24 = 48 ལྟ་བུ།
Equivalent decimals འདྲ་མཚུངས་སིལ་གྲངས།
སིལ་གྲངས་གཉིས་རྣམ་པ་མི་འདྲ་བར་སྟོན་ཡང་། དེ་ གཉིས་གནས་ཐང་གཅིག་པ་ཡིན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 0.1 དང་ 0.10, 0.100 བཅས་ནི་འདྲ་མཚུངས་སིལ་ གྲངས་ཡིན་ལྟ་བུ།
Equivalent fractions འདྲ་མཚུངས་གྲངས་ཆ།
112
Estimate
གནས་ཐང་གཅིག་ པ ་ ཡི ན ་ པ འི ་ གྲངས་ཆ་གཉིས་ སམ་དུ་མ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གྲངས་ཆ། གྲངས་ཆ་ཡིན་ལྟ་བུ།
=
6 8
དང་
9 12
ནི་འདྲ་མཚུངས་
Estimate ཚོད་དཔག། གྲངས་དང་ཁྱོན་འབོར་ སོགས་འོལ་ཚོད་ཀྱིས་གནས་ཐང་ཐོག་མཚོན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ཀྱི་ཕོར་པ་དེའི་ ནང་དུ་སྲན་ལྗང་ཆིག་སྟོང་ཙམ་ཡོད་ ལྟ་བུ།
Euclid’s axiom ཡུག་ལིཌི་སྤྱི་སྲོལ། ཡུག་ལིཌི་སྤྱི་ སྲོལ་ནི་ཁུངས་འདྲེན་གང་ཡང་མེད་ཀྱང་བདེན་པ་རང་ ངོས་ནས་གྲུབ་པ་སྤྱི་སྲོལ་དུ་གྱུར་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། སྤྱི་སྲོལ་ ༡། གྲངས་ (དངོས་པོ་) གང་རུང་གཉིས་
113
Euclid’s axiom
གཅི ག ་མཚུངས་ཡི ན ་ན་དེ ་ གཉི ས ་ཕན་ཚུན་མཚུངས། གལ་ཏེ་ a = b དང་ a = c ཡིན་ན། b = c རེད་དང་། ༢། གཅིག་པ་གཉིས་བསྡོམས་ན། བསྡོམས་ཐོབ་ཆ་ཚང་ གཅིག་པ་ཡིན། གལ་ཏེ་ a = b དང་ c = d ཡིན་ན། a + c = b + d རེད། ༣། གཅིག་པ་ནས་གཅིག་པ་འཐེན་ན། ལྷག་གྲངས་ མཚུངས། གལ་ཏེ་ a = b དང་ c = d ཡིན་ན། a - c = b - d རེད། ༤། གཅིག་མཐུན་གྱི་གྲངས་ (དངོས་པོ་) གང་རུང་གཉིས་ ཕན་ཚུན་མཚུངས། x དང་ x གཉིས་གཅིག་མཐུན་ཡིན་ པས། x = x རེད། ༥། གང་ཚང་ནི་དེའི་ཆ་ཤས་ལས་ཆེ་བ་ཡིན། a > 3a , a a > 4 རེད། ༦། གྲངས་ (དངོས་པོ་) གཅིག་མཚུངས་གཉིས་ལ་ཉིས་ སྒྱུར་བྱས་ཀྱང་དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཚུངས། གལ་ཏེ་ a = b ཡིན་ན། 2a = 2b རེད།
114
Euclid’s division algorithm
༧། གྲངས་ (དངོས་པོ་) གཅིག་མཚུངས་གཉིས་ཕྱེད་ཀར་ བཏང་ཡང་། དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཚུངས། གལ་ཏེ་ a = b ཡིན་ན། a = b ལྟ་བུ། 2
2
Euclid’s division algorithm ཡུག་ལིཌི་ཡི་ བགོད་རྩིས་ལུགས། བགོད་རྩིས་ལམ་ནས་གྲངས་གཉིས་ ཀྱི ་ སྤྱི འི ་ བགོ ད ་གྲངས་ཆེ ་ 1 ཤོས་འཚོལ་ཐབས་ཤིག་ལ་ 192 270 192 2 ཟེར། 78 192 དཔེར་ན། 270 དང་ 192 156 2 ཀྱི ་ སྤྱི འི ་ བགོ ད ་གྲངས་ཆེ ་ 36 78 72 6 ཤོས་འཚོལ་སྐབས། ཡུག་ 6 36 ལི ཌི ་ ཡི ་ བ གོ ད ་ རྩི ས ་ 36 ལུགས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་ 0 ན། 270 = 192 × 1 + 78 192 = 78 × 2 + 36,
115
Euclid’s division lemma 78 = 36 × 2 + 6,
བཅས་གོ་རིམ་བཞིན་བགོས་པས། མཐར་ 0 ཐོབ་སྐབས་ཀྱི་བགོད་བྱེད་ 6 ནི་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་ཆེ་ཤོས་རེད།
36 = 6 × 6 + 0
Euclid’s division lemma ཡུག་ལིཌི་ཡི་བགོད་ རྩིས་རམ་འདེགས། ཡུག་ལིཌི་ཡི་བགོད་རྩིས་སྤྱི་སྲོལ་ ཁུངས་འདྲེན་ཆེད་དུ་རམ་འདེགས་བྱེད་པའི་རྨང་གཞིའི་ བགོད་ཐབས་ཤིག་ལ་ཟེར། དེའི་ངེས་སྲོལ་ནི་ a = bq + r, 0 ≤ r < b ཡིན། Euclidean geometry ཡུག་ལིཌི་ཡི་དབྱིབས་རྩིས་
རིག་པ། གྷི་རིག་རྩིས་རིག་མཁས་ཅན་ཡུག་ལེཌི་ནི་ཕྱི་
ལོ་སྔོན་གྱི་ལོ་ ༣༢༥ ཙམ་ལ་སྐྱེས་ཤིང་། མང་ཆེ་བས་ཁོང་ ནི་པཱེལེ་ཊོ་ (Plato) ཡི་སློབ་མ་ཞིག་ཡིན་པར་ངོས་འཛིན་ བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཡུག་ལེཌི་ཡིས་དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་རྨང་གཞི་ ཞེས་པའི་བརྗོད་གཞིའི་ལེའུ་ ༡༣ སྤྱན་བསྟར་བྱེད་སྐབས།
116
Euclid’s five postulates
ཁོང་གིས་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་སྤྱི་སྲོལ་གྱི་འཆར་སྒོ་ ཞིག་གསར་གཏོད་བྱས་པ་རེད། ཁོང་གིས་གསར་གཏོད་ བྱས་པའི་རྨང་གཞི་དེ་དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་གཞི་རྩའི་ རྣམ་གཞག་སྟབས་བདེ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། དེ་ལ་སྤྱི་སྲོལ་ ལམ་མངོན་སུམ་དང་བདེན་གྲུབ་ཅེས་འབོད། དོ་སྣང་ བྱེད་འོས་པ་དེ་ནི་ཡུག་ལེཌི་ཡི་བདེན་གྲུབ་ལྔ་ཡིན། ཡུག་ ལེཌི་ཡི་བདེན་གྲུབ་ལྔ་ནི་ཡུག་ལིཌིའི་དབྱིབས་རྩིས་རིག་ པའི་རྨང་གཞི་ཡིན།
Euclid’s five postulates ཡུག་ལིཌི་ཡི་བདེན་ གྲུབ་ལྔ། ༡། གནས་གང་རུང་གཉིས་བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ གཅིག་རང་འབྲི་ཐུབ། ༢། ཐིག་དུམ་ཞིག་ཚད་མེད་པར་བསྲིང་ཐུབ། ༣། སྒོར་ལྟེ་དང་ཚངས་ཕྱེད་ངེས་པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་ འབྲི་ཐུབ། ༤། དྲང་ཟུར་ཚང་མ་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན། ༥། གལ་སྲིད་ཐིག་གཉིས་ལ་ཐིག་གཞན་ཞིག་གིས་འཕྲེད་
117
Even number
བཅད་བྱེད་སྐབས། མུ་འབྲེལ་ནང་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ ཐོབ་ནི་དྲང་ཟུར་གཉིས་ལས་ཆུང་བ་ཡོད་ན། ཐིག་དེ་ ཡུག་ལིཌི་ཡི་བདེན་གྲུབ་ གཉིས་སྲིང་སྐབས་ཕྱོ ག ས་དེར་ ལྔའི་དཔེ་རིས། འཕྲད་ཀྱི ་ ཡོ ད ་པ་བཅས་ལ་ཡུག་ ༡ ལིཌི་ཡི་བདེན་གྲུབ་ལྔ་ཟེར། ༢ རྩིས་རིག་མཁས་པ་རེ་འགས་ཡུག་ ལི ཌི ་བདེ ན་གྲུབ་ལྔ་པ་དེ ་ནི ་ཡི ད ་ རྟོ ན ་མེད་པའམ་ཆ་མ་ཚང་བ་ ༣ ཞི ག ་ཏུ་ངོ ས ་འཛི ན ་བྱེ ད ་ཀྱི ་ ཡོ ད ། རྒྱུ་མཚན་དེ ་ འདྲ་ལ་གཞི ག ས་ཏེ ། ༤ བདེ ན ་གྲུབ་འདི ས ་དབྱི བ ས་རྩི ས ་ རིག་པ་གསར་པ་ཞིག་ཏུ་ཁྲིད་ a b ཡོད་པ་དེ་ལ་ཡུག་ལིཌི་མིན་པའི་ a + b<180˚ ༥ དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ་ཞེས་འབོད། Even number ཆ་གྲངས། 2 ཀྱིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་ པའི་གྲངས་ལ་ཟེེར།
118
Expanded form
Expanded form བཀྲལ་བའི་རྣམ་པ། གྲངས་སམ་ ཚུལ་ཞིག་བསིལ་བའམ་བཀྲལ་ཏེ། སྟོན་པར་བྱེད་པའི་རྣམ་ པ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 355 བཀྲལ་བའི་རྣམ་པའི་ཐོག་ བྲིས་ན། 355 = 300 + 50 + 5 དང་། (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 ལྟ་བུ།
an
སྟོན་གྲངས། Exponent སྟོན་གྲངས། ཞབས་ གྲངས་ཤིག་རང་སྒྱུར་ག་ཚོད་བྱེད་པ་ སྟོན་པའི་གྲངས་ལ་ཟེར། གྲངས་དེ་ ཞབས་གྲངས། གྲངས་ཆུང་གི་ཚུལ་དུ་ཞབས་གྲངས་ ཀྱི་གཡས་སྟེང་དུ་འབྲི་ཡི་ཡོད། དཔེར་ན། 82 སྐབས། 2 ནི་སྟོན་གྲངས་རེད།
Exterior angle of triangle
ཕྱི་ཟུར། ཟུར་གསུམ་མའི་ མཐའ་གཅིག་ཕྱི་རོལ་དུ་ བ རྐྱ ང ས ་ ཏེ ་ ཐོ བ ་ པ འི ་
A
B
ཟུར་གསུམ་མའི་ ཕྱི་ཟུར། C
X
119
Exterior region of triangle
ནང་ཟུར་གྱི་ཉེ་མཐའི་ཟུར་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ནང་གི་ ΔABC ལྟ་བུར་མཚོན་ན། དེའི་མཐའ་ BC བསྣར་པས། ཟུར་ ∠ACX ཐོབ་པ་ལ་ཕྱི་ཟུར་ཟེར་ཞིང་། ∠ACX = ∠A + ∠B ཡིན། གང་ལ་ཞེ་ན། ཟུར་གསུམ་ མ་ཚང་མར་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་གི་གཏད་ཟུར་གཉིས་ ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ཕྱི་ཟུར་དང་མཚུངས་ཞེས་པའི་ཁྱད་ ཆོས་ཡོད་པས་ཡིན།
Exterior region of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ A ཕྱི་ཁུལ། ཕྱི་ཁུལ། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་ Q གྱི ་ ཕྱི ་ རོ ལ ་ན་ཡོ ད ་པའི ་ ཁུལ་ལ་ཟེ ར ། B C དཔེར་ན། ∆ABC ཡི་དཔེ་རིས་ཀྱི་ མཐའི་ཕྱི་རོལ་དུ་ཡོད་པའི་གནས་ Q ལྟ་བུ་ལས་གྲུབ་པའི་ སྙོམས་ངོས་ཀྱི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་ཕྱི་ཁུལ་ ཟེར། Extreme terms
120
ཕྱི་ཚན། སྡུར་ཕྲེང་སྐབས་སུ་
Factor
མཚོན་རྟགས་ :: འདིས་སྡུར་ཚད་གཉིས་མཚུངས་པ་ 5 : 8 : : 800 : 1280 སྟེ། མཚོན། དཔེར་ན། ཕྱི་ཚན་ དང་ ནང་ཚན། 4 : 5 : : 40 : 50 འདི་ལྟར་ན། 5 × 1280 = 8 × 800 གྲངས་བཞི ་ པོ ་ རེ ་ རེ ་ ལ་ཚན་ 6400 = 6400 པ་ཟེར་ཞིང་། ཚན་པ་དང་པོ་ དང་བཞི་པ་ལ་ཕྱི་ཚན་ཟེར།
F Factor བགོད་གྲངས། གྲངས་ཤིག་གིས་གྲངས་གཞན་ ཞིག་ལ་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་ན། བགོད་བྱེད་གྲངས་དེ་བགོ་བྱའི་ གྲངས་ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། 3 གྱིིས་ 6 ཧྲིལ་
121
Factor method
6 ÷ 3 = 2 ( x + 3) ( x + 1 ) = x2 + 4x + 3 བགོད་གྲངས།
བགོད་གྲངས།
བགོ་ཐུབ་པས། 3 ནི་ 6 གི་བགོད་གྲངས་ཡིན། དེ་བཞིན་ ( x + 3) དང་ ( x + 1 ) ཡིས་ x2 + 4x + 3 ལ་བགོ་ཐུབ་ པས། ( x + 3) དང་ ( x + 1 ) ནི་དེའི་བགོད་གྲངས་ཡིིན་ ལྟ་བུ།
Factor method བགོད་གྲངས་ཐབས་ལམ། བགོད་ གྲངས་ཐབས་ལམ་ནི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་འཚོལ་ ཐབས་ཤིག་སྟེ། དེས་གྲངས་གཉིས་སམ་གསུམ་སོགས་ཀྱི་ བགོད་གྲངས་རྣམས་སོ་སོར་བཙལ་བ་དང་། དེ་དག་ལས་ གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་གཉིས་སམ་གསུམ་ དག་གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤས ོ ་ཡིན། ོ ་ནི། དཔེར་ན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤས 20 ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 4, 5, 10, 20 24 ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
122
Factor theorem
དེར་བརྟེན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1 དང་ 2, 4 བཅས་ཡིན་པ་དང་། 4 ནི་དེ་དག་ལས་ཆེ་ཤས ོ ་ཡིན་ པས། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤས ོ ་ནི་ 4 རེད་ ལྟ་བུ།
Factor theorem བགོད་གྲངས་ངེས་སྲོལ། གལ་ སྲིད་ p(x) ནི་ཐེངས་གྲངས་ n ≥ 1 ཚན་མང་གི་ཚུལ་
ཅན་དང་། a དངོས་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ཡིན་སྐབས། གལ་སྲིད་ p(a) = 0 ཡིན་ན། x - a ནི་ p(x) ཡི་བགོད་ གྲངས་རེད། གལ་སྲིད་ x - a ནི་ p(x) ཡི་བགོད་གྲངས་ ཡིན་ན། p(a) = 0 ཡིན་ཞེས་པའི་ངེས་སྲོལ་ལ་བགོད་ གྲངས་ངེས་སྲོལ་ཟེར།
Factor tree method བགོད་གྲངས་སྡོང་འགྲེམས། སྡོ ང ་པོ ་ ལས་འགྱེ ་ བ་ལྟར་ གྱི་དམིགས་གསལ་གྱི་དཔེ་ རིས་ཤིག་སྟེ། ཤིང་སྡོང་ལས་
123
Factorisation of polynomal
ཡལ་ག་འགྱེ་བ་ལྟར་སྤྲད་ཟིན་པའི་ཧྲིལ་གྲངས་དག་གི་ བགོད་གྲངས་རྣམས་སོ་སོར་བཙལ་ཏེ། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ ཆེ་ཤོས་འཚོལ་ཐབས་ལ་ཟེར།
Factorisation of polynomal ཚན་མང་གི་ཚུལ་ བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ཚན་མང་གི་ཚུལ་ x2 + 2x
ལྟ་བུ་བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲལ་ན། x དང་ (x + 2) ཞེས་ ཚུལ་གཉིས་སུ་འཀྲོལ་ཐུབ་ཅིང་། x དང་ (x + 2) ནི་ x2 + 2x ཡི་བགོད་གྲངས་རེད།
Finite arithmetic progression ཚད་ཡོད་ཨང་ རྩིས་སྟར་གྲངས། ཨང་རྩིས་སྟར་གྲངས་ནང་གི་མཐའ་ ཚན་དེ་ཡོད་པའམ་ཡང་ན་ n གྲངས་དེ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད་ན། དེ་ལ་ཚད་ཡོད་ཨང་རྩིས་སྟར་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། 2, 4, 6, 8, 10 བཅས་ལ་མཚོན་ན་ n = 5 དང་། མཐའ་ཚན་དེ་ 10 ཡིན་ལྟ་བུ།
Formula ཆོ་ག།
124
རྩིས་རིག་མཚོན་རྟགས་ཀྱི་ཚོགས་
Forward counting
ཤིག་སྟེ་བྱ་དངོ ས ་ཀྱི་ཆོ ས ་ཉིད་རིགས་སྤྱི་འགྲོ ས ་སུ་ བསྒྲིགས་པའི་ཚིག་གི་མིང་ངམ། རྩིས་བརྗོད་ཅིག་གི་ དཀའ་རྙོ ག ་སེ ལ ་བར་བྱེ ད ་པའི ་ ལམ་ལུགས་ཤི ག ་གམ། རྩིས་ཀྱི་གཞུང་དོན་གནས་གཅིག་ཏུ་བསྡུས་ཏེ་བྲིས་པ་ལ་ ཟེར། Forward counting མུ་མཐུད་བགྲང་ཐབས། སྡོམ་
རྩིས་ཀྱི་སྔོན་འགྲོའ་ི རྩིས་ཐབས་ཤིག་སྟེ། གྲངས་ཤིག་གི་ ཐོག་ 2 སམ་ 3 སོགས་སྡོམ་སྐབས། གྲངས་དེའི་ཐོག་ བསྡོམ་བྱའི་གྲངས་ཚད་ཇི་ཡིན་མུ་མཐུད་བགྲང་ཐབས་ ཤིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 2 དང་ 5 སྡོམ་དགོས་ན། 2 ནས་ ཡར་ལྔ་བརྩི་བ་སྟེ། 3, 4, 5, 6, 7 བཅས་ 7 ལ་སླེབས་ཤིང་། ཡང་ 5 ཐོག་གཉིས་བརྩིས་ན། 6, 7 བཅས་ཐོབ་གྲངས་སུ་ 7 རང་འཇགས་སླེབས་པ་ཡིན། དེར་བརྟེན། སྡོམ་སྟངས་ འདི་གཉིས་ལས། གྲངས་ཀ་ཆེ་བའི་ཐོག་ཆུང་བ་བརྩིས་ན། སྟབས་བདེ་ཞིང་དུས་ཚོད་ཀྱང་གྲོན་ཆུང་བྱེད་ཐུབ། རྩིས་ ཐབས་དེ་ལ་མུ་མཐུད་བགྲང་ཐབས་ཟེར།
125
Four fundamental operations
Four fundamental operations རྩ་བའི་རྩིས་ ཐབས་བཞི། སྡོམ་ཐབས་དང་། འཐེན་ཐབས། སྒྱུར་ཐབས། བགོད་ཐབས་བཅས་ཀྱི་རྩིས་རྒྱག་རྨང་གཞི་བཞི་ལ་ཟེར།
Fraction གྲངས་ཆ། ཧྲིལ་པོའམ་གང་ཚང་ཞིག་ཆ་ སྙོམས་ཀྱིས་ཆ་ཤས་དུ་མར་བགོས་ན། དེ་ལྟ་བུའི་ཆ་ཤས་ གཅིག་གམ་དུ་མ་མཚོན་པའི་གྲངས་ཀ་ལ་ཟེར། གྲངས་ ཆར་ཐིག་དུམ་ཞིག་ཡོད་པ་དེར་གྲངས་ཆའི་འཕྲེད་ཐིག་ ཟེར། འཕྲེད་ཐིག་དེས་གྲངས་ཆ་སྟེང་འོག་གཉིས་སུ་འབྱེད་ ཀྱི་ཡོད་པ་ལས། སྟེང་གི་ཆ་ཤས་དེར་བུ་ཆ་དང་། འོག་གི་ཆ་ བུ་ཆ། 1 གྲངས་ཆ། ཤས་དེར་མ་ཆ་ཟེར། དེས་གང་ཚང་ མ་ཆ། 2 ཞིག་ཆ་ཤས་གཅིག་མཚུངས་སུ་ བགོད་སྟངས་དང་། གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་སྡུར་ཚད་ སོགས་སྟོན་པར་བེད་སྤྱོད་བྱེད་པ་མ་ཟད། 1 3 བགོད་རྩིས་རྒྱག་སྐབས་ཀྱང་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ༡། གང་ཚང་ཞིག་ཆ་ཤས་གཅིག་ མཚུངས་ 3 དུ་བགོས་པའི་ཆ་ཤས་ 1 སྟེ།
126
Frequency
སུམ་ཆ་གཅིག་ལྟ་བུ་དང་། ༢། ཚོགས་པ་ཞིག་ཆ་ཤས་གཅིག་ མཚུངས་ 3 དུ་བགོས་པའི་ཆ་ཤས་ 2 ཏེ། སུམ་ཆ་གཉིས་སོགས་ལྟ་བུ།
2 3
Frequency ཟློས་ཕྱོད། གྲངས་ཀྱི་ཚན་པ་ཞིག་གི་ནང་ བསྐྱར་ཟློས་སུ་བྱུང་བའི་ཨང་ཀིའི་གྲངས་ཚད་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སློབ་ཕྲུག་ 12 ཀྱི་ཡིག་རྒྱུགས་བརྒྱ་ཆ་ 66, 87,
བཅས་ཡིན་ པས། བརྒྱ་ཆ་ 66 བསྐྱར་ཟློས་ 2 དང་། 55 བསྐྱར་ཟློས་ 4 སོགས་བྱུང་ཡོད་པས། 2 དང་ 4 སོགས་ལ་ཟློས་ཕྱོད་ཟེར།
66, 55, 87, 45, 55, 87, 90, 55, 55, 60
Frequency distribution ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ། བརྒྱ་ཆ། སློབ་ཕྲུག་གི་གྲངས། (ཟློས་ཕྱོད།) གྲངས་ཀྱི་ཚན་པ་ 55 2 ཞིག་གི་ནང་བསྐྱར་ 60 3 ཟློ ས ་ སུ ་ བྱུ ང ་ བ འི ་ 70 1 གྲངས་ཚད་དེ ་ དག་ ཁྱོན་བསྡོམས།
6
127
Frequency polygon
རེའུ་མིག་ཏུ་སྟོན་པར་བྱེད་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 60, 60, 70, 55, 55, 60 བཅས་ནི་སློབ་ཕྲུག་ 6 གི་ཡིག་རྒྱུགས་ བརྒྱ་ཆའི་གྲངས་ཐོ་རེད། གོང་གི་དཔེ་རིས་ནི་དེ་དག་ཟློས་ ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་གྱི་རེའུ་མིག་ཏུ་སྟོན་པ་ལྟ་བུ། Frequency
polygon
ཟློས་ཕྱོད་མཐའ་མང་
དབྱིབས། མངོན་འགྱུར་ལམ་ནས་གྲངས་ཐོའ ི་ཁྱོན་འབོར་
ད ང ་ དེ འི ་ 40-50 45 5 ཟློ ས ་ ཕྱོ ད ་ 50-60 55 10 སྤྱན་བསྟར་ 60-70 65 20 བྱེ ད ་ ཐ བ ས ་ 70-80 75 9 ཤིག་སྟེ། གྱེན་ 80-90 85 6 ལང་བཀོ ད ་ 90-100 95 2 ཁྱོན་བསྡོམས། 52 རི ས ་ཀྱི ་ གོ ང ་ མ ཐ འ་ད ང ་ འོག ་མཐའི ་ དཀྱི ལ ་གནས་རྣམས་དྲང་ཐི ག ་གི ས ་མཐུད་ པས། དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། དབྱིབས་ བརྒྱ་ཆ།
128
བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་།
སློབ་ཕྲུག་གི་གྲངས།
Frequency polygon
གཟུགས་དེ་ལ་ཟློས་ཕྱོད་མཐའ་མང་དབྱིབས་ཟེར། དཔེར་ ན། འཛིན་ གྲྭ་ཞི ག ་གི ་ སློ བ ་ཕྲུག་ 52 ཀྱི་ཡིག་ རྒྱུ ག ས ་ བརྒྱ་ཆ། བརྒྱ་ཆའི་ རེ འུ ་མི ག ་དེ ་ གྱེ ན ་ལང་བཀོ ད ་རི ས ་ཐོ ག ་ཏུ་བསྟན་པས། 25
D
སློབ་ཕྲུག་གྲངས།
20 15
C
10
0
E
F
B
5
G
A
40
50
60
70
80
90
100
དབྱིབས་ནི་ཟློས་ཕྱོད་མཐའ་མང་དབྱིབས་ ཤིག་རེད། འཕྲེད་མདའི་སྟེང་གི་རྟགས་ འདིས་ 0 ནས་ 40 བར་གྱི་བར་ཐག་ཆ་ཚང་སྟོན་གྱི་མེད་པའམ་ བསྡུས་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། ཟློས་ཕྱོད་མཐའ་མང་དབྱིབས་ནི་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ལ་ བརྟེན་མ་དགོས་པར་བྲིས་ཀྱང་ཆོག་སྟེ། གཤམ་གསལ་དཔེ་ རིས་ནང་གི་ཟློས་ཕྱོད་མཐའ་མང་དབྱིབས་ ABCDEFG ABCDEFG
ལྟ་བུ་དང་།
འདིར་བར་ཚོ་ནས་བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་
129
Frustum of cone
བཙལ་རྗེས། བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་རྣམས་འཕྲེད་མདའི་ འོག་དང་། ཟློས་ཕྱོད་ཀྱི་གྲངས་རྣམས་གཞུང་མདའི་གཡོན་ དུ་གོ་རིམ་ བ ཞི ན ་ འ བྲི ་ དགོས། དེ་ རྗེས་བར་ བརྒྱ་ཆ། ཚོ འི ་ དཀྱི ལ ་ཐང་དང་ཟློ ས ་ཕྱོ ད ་ཀྱི ་ གྲངས་གཉི ས ་ཀྱི ་ འཕྲད་ གནས་སུ་ཚེག་རེ་བྲིས་ཏེ་དེ་དག་ཐད་ཀར་མཐུད་དགོས། 25
D
སློབ་ཕྲུག་གྲངས།
20 15
C
10 5 0
A 30
E
F
B
G
45
55
65
75
85
95
Frustum of cone སྙུང་གཟུགས་བཅད་མ། སྙུང་ གཟུགས་ཤི ག ་གི ་ མའམ་གཞི ་ དང་དེ འི ་ སྐེ ད ་མཚམས་ གང་ཞི ག ་ལ་མཉམ་འགྲོ ་ ངོ ས ་ Q སྙོ མ ས་ཡི ན ་པའི ་ མཚམས་ནས་ འཕྲེད་དུ་བཅད་པས། ཆ་ཤས་ གཅིག་ནི་སྙུང་གཟུགས་དང་། ཆ་
130
B
O A སྙུང་གཟུགས་ བཅད་མ།
Gain
ཤས་གཞན་དེ་ནི་སྙུང་གཟུགས་བཅད་མ་ཡིན། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ཚངས་ཕྱེད་ AO དང་ BQ གཉིས་ཀྱི་ རིང་ཚད་མི་མཉམ། དེ་ཡང་དྲང་ཟུར་སྐས་དབྱིབས་ཤིག་ (OQAB ལྟ་བུ) ཞབས་མཐའ་དང་དྲང་འཕྱང་དུ་གནས་ པའི་སྐེད་ (OQ) ལ་སྐོར་བ་རང་འཁོར་གཅིག་བརྒྱབ་སྟེ་ ཐོབ་པར་བལྟ་ཆོག།
G
Gain ཁེ་སྤོགས། ཁེ་བཟང་སྟེ་གྱོང་གུད་ཀྱི་ལྡོག་ཟླ། ཚོང་གི་ཁེ་སྤོགས་ལྟ་བུ།
Geoboard དབྱིབས་པང། ངོས་སྙོམས་དབྱིབས་ཀྱི་ ཁྱད་ཆོས་དང་། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། རྒྱ་ཁྱོན་སོགས་ཀྱི་
131
Geometry
གཞི་རྩའི་གོ་དོན་སྤེལ་ཐབས་ཀྱི་ཡོ་ཆས་ ལེབ་མོ་ཞིག་ལ་ཟེར། ཡོ་ཆས་དེ་ནི་པང་ ལེབ་བམ་དངོས་པོ་ལེབ་མོ་ཞིག་ཐོག་བར་ ཐག་གཅིག་མཚུངས་སུ་གཟེར་ཆུང་ འདེབས་པ་ཞིག་ཡིན།
Geometry དབྱིབས་རྩིས་རིག་པ། ཚེག་གམ་སྣེ་ གནས་དང་། ཐིག། ངོས། སྲ་གཟུགས། ཕྱོགས་འདྲ་མིན་ རིགས་ཀྱི་དབྱིབས་དབར་གྱི་འབྲེལ་བ་དང་། དེ་དག་གི་ ཁྱད་ཆོས་དང་ལྷན་དུ་འབྲེལ་བའི་རྩིས་རིག་གི་ཡན་ལག་ ཅིག། Geometry box དབྱིབས་ཆས་སྒམ། དབྱིབས་འབྲི་ བའི་ཡོ་ཆས་བླུགས་སྣོད་ཀྱི་སྒམ་ཞིག་ལ་ཟེར། Graph
ཐིག་རིས།
དངོས་པོ་གཉིས་སམ་དུ་མའི་ དབར་འབྲེལ་ལམ་མཚོན་སྟངས་སྟོན་པའི་དཔེ་རིས་ཤིག་ ལ་ཟེར། དེར་ཚེག་རིས་དང་། ཐིག་རིས། དྲ་མིག་བཀོད་
132
Gram
རི ས ་སོ ག ས་དབྱེ ་ བ་མི ་ འདྲ་བ་ ཡོད། དཔེར་ན། གཡོན་གྱི་དཔེ་ རིས་དེ་ནི་དྲང་ཐིག་བཀོད་རིས་ ཤིག་རེད།
Gram གྷ་རམ། ལྗིད་ཚད་ཀྱི་ཚད་གཞི་ཞིག། དེའི་མཚོན་ རྟགས་ནི་ g ཡིན། དཔེར་ན། 1 kg = 1000 g ཡོད་ལྟ་བུ།
Graph of linear equation in two variables
རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱའི་ཐིག་རིས། རྒྱུ་
གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་ བྱ་ཐིག་རིས་ཐོག་ནས་སྟོན་པར་ ax = r ཟེར་ཏེ། མཉམ་བྱ་ ax + by = r
ལ་མཚོན་ན། ༡། གལ་སྲིད། b = 0 ཡིན་ན། མཉམ་བྱ་ ax + by = r r ནི་ ax = r ཡིན་པས། a ཡིས་བགོས་ན། x = a ཡིན་པར་ བརྟེན། མཉམ་བྱ་འདིའི་འགྲོལ་ཐོབ་ནི་འཕྲེད་མདའི་གནས་ /
r a
133
Graph of linear equation in two variables
སྟེང་དུུ་ཡིན་པ་དང་། x གནས་ཚད་ནི་ ar ཡིན། ༢། གལ་སྲིད། b ≠ 0 ཡིན་ན། ax + by = r (b ≠0) མཉམ་བྱ་ ax + by = r འདིས་ རྣམ་པ་གཞན་ཞིག་འགྲུབ་ཀྱི་ གསེག་ངོས། - / ཡོད་པ་ནི་ - ba x + ar = y རེད། དྲང་ཐིག་གི་མཉམ་བྱའི་ -a གསེག་ངོས་ནི་ b ཡིན་པ་དང་། y གཅོད་མཚམས་ནི་ a
b
r b
རེད། དཔེར་ན། མཉམ་བྱ་ 8x + 7y = 38 དང་ 3x - 5y = -1 གི་ x དང་ y ཡི་ཐང་དཔེ་རིས་ཐོག་ནས་འཚོལ་དགོས་ན།
8x + 7y = 38
3x - 5y = -1
0 2 x 0 2 x 4.75 3 y 0.2 1.4
y
y
0
(3,2)
x
དེ ར ་ བ རྟེ ན ། མ ཉ མ ་ བྱ ་ 8x + 7y = 38 དང་ 3x - 5y = -1 ཡི་ x དང་ y ཡི་ཐང་
134
Graph paper (3,2) རེད།
Graph paper ཐིག་རིས་ཤོག་བུ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ ཆུང་ཆུང་དྲ་བ་ལྟར་བྲིས་ཡོད་པའི་ ཤོག་བུ་དམིགས་བསལ་བ་ཞིག་སྟེ། དྲ་མིག ་ཤག ོ ་བུ ། དེ ་ ནི ་ ཐི ག ་དང་འབྲེ ལ ་བའི ་ དཔེ ་ རིས་བགོ་བར་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། Grouped frequency distribution ཚན་སྒྲིལ་ གྱི་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ། གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ་ཞིག་ཚན་ པར་བསྒྲིལ་ཏེ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་གི་རྣམ་པར་ བཀོད་སྒྲིག་བྱས་པ་སྟེ། དཔེར་ན། སློབ་ཕྲུག་ 60 ལ་ཐོབ་ པའི་སྤྱི་ཚོགས་ཚན་རིག་གི་ཐོབ་ཆ་ (50) ཡི་ཟློས་ཕྱོད་ ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ཏུ་བཀོད་པ་ནི། གཞི་འཛིན་གྲངས་ནི་ 23, 24, 27, 37, 40, 41, 42, 21, 17, 19, 34, 36, 29, 38, 42, 39, 42, 36, 24, 21, 24, 19, 18, 27, 25, 41, 40, 30, 29, 27, 31, 37, 34, 36, 37, 42, 36, 35, 43, 37, 29, 24, 25, 29, 28, 46, 29,
135
Grouped frequency distribution 39, 41, 32, 31, 32, 17, 18, 19, 23, 24, 42, 36, 35
ཡིན་པས། དེ་དག་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ཏུ་བཀོད་ པར། བར་ཚན་འཚོལ་དགོས་པ་དང་། བར་ཚན་ལས་ རྩིས་རྟགས་དང་རྩིས་རྟགས་ལས་ཟློས་ཕྱོད་འཚོལ་ཐུབ་ པ་གཤམ་གསལ། བར་ཚན། (ཐོབ་ཆ།)
17-19 20-22 23-25 26-28 29-31 32-34 35-37 38-40 41-43
136
རྩིས་རྟགས།
||
||
|||| ||| ||||
||||
|
ཟློས་ཕྱོད།
7 2 9 4 8 4 11 5 9
Height
44-46
|
ཁྱོན་བསྡོམས།
1 60
གོང་གི་རེའུ་མིག་ནང་། སྤྲད་ཟིན་པའི་བྱེ་བྲག་ 60 ཡོངས་ རྫོགས་ཚན་པ་བཅུ་རུ་བསྡུས་ཡོད་ཅིང་། ཚན་པ་རེ་རེར་ བར་ཚན་ཟེར་བ་དང་། བར་ཚན་རེ་རེའི་ནང་བསྐྱར་ཟློས་ ཇི་ཡོད་དེ་དག་རྩིས་རྟགས་ཀྱི་གྲངས་ཡིན་ཞིང་། རྩིས་ རྟགས་ཀྱི་གྲངས་དེ་ཟློས་ཕྱོད་ཀྱི་གྲངས་ཡིན་ལྟ་བུ།
H Height དཔངས། གཞུང་གི་བར་ ཐག་ཅིག་སྟེ་མཐོ་ཚད་ལ་ཟེར། དེ་
h
137
Hemisphere
ལ་རིང་ཚད་དང་། མཐོ་ཚད། དམིགས་བསལ་དབྱིབས་ རྩིས་སྐབས་དཔངས་ཞེས་འབོད།
Hemisphere ཟླུམ་ཕྱེད། ཟླུམ་གཟུགས་ཤིག་གི་ཕྱེད་ ཀ་ཏག་ཏག་ལ་ཟེར་བ་མ་ཟད། ཕྱེད་གོ་ལའང་འབོད་དེ། གོ་ ལའི་ཐིག་དམར་ཡན་ཆད་ལ་ཕྱེད་ གོ་ལ་བྱང་མ་དང་། གོ་ལའི་ཐིག་ དམར་མན་ཆད་ལ་ཕྱེད་གོ་ལ་ལྷོ་ ཟླུམ་ཕྱེད། མ་ཞེས་ཟེར་ཞིང་། ཟླུམ་ཕྱེད་དང་ འབྲེལ་བའི་ཆོ་ག་ནི། ༡། ཟླུམ་ཕྱེད་ཀྱི་འབུར་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2πr2 ༢། ཟླུམ་ཕྱེད་ཀྱི་བོངས་ཚད་
=
2 3
πr3 བཅས་ཡིན།
Heron’s formula ཧི་རོན་ཆོ་ག གྷི་རིག་རྩིས་རིག་
མཁས་ཅན་ཧི་རོན་གྱིས་ (Heron of Alexandria) ལོ་ ༢༠༠༠ ཙམ་གྱི་གོང་དུ་གསར་གཏོད་མཛད་པའི་ཟུར་ གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་ཐབས་ཀྱི་ཆོ་ག་ཞིག་ལ་ཟེར།
138
Highest common factor
ཆོ་ག་དེ་ནི་ A = s(s-a)(s-b)(s-c) ཡིན་ཞིང་། a དང་ b, c བཅས་ནི་མཐའ་གསུམ་སོ་སོའ་ི རིང་ཚད་དང་། s ནི་ ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀྱི་ཕྱེད་ཀ་སྟེ། s འཚོལ་བར། ཆོ་ག་ s = a+b+c སྤྱོད་དགོས། དཔེར་ན། 2 ཟུར་གསུམ་མའི་དཔེ་རིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་བཙལ་ན། s=
S=
a+b+c 2 4+4+4 2
=6
4cm
4cm
A = s(s-a)(s-b)(s-c) A=
6×6×6×6
4cm
A= 6 × 6 A = 36 cm2
ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Highest common factor སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ ཆེ་ཤོས། ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་སམ་གསུམ་གྱི་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་དེ ་ དག་ལས་མཐོ ་ཤོ ས ་སམ་ཆེ ་ཤོ ས ་དེ ་ ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ འཚོལ་དགོས་ན། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་འཚོལ་བར་
139
Highest common factor
ཐབས་ལམ་འགའ་ཡོད་པ་ནི།
དང་པོ། བགོད་གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་ནི། སྤྲད་ཟིན་པའི་ཧྲིལ་
གྲངས་གཉིས་སམ་གསུམ་གྱི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་རྣམས་ སོ་སོར་འཚོལ་བ་དང་། དེ་དག་ལས་ཆེ་ཤོས་ནི་སྤྲད་ཟིན་ པའི་ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་སམ་གསུམ་དག་གི་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཡིན། དཔེར་ན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི།
ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 4, 5, 10, 20 24 ཡི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 དེར་བརྟེན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 1 དང་ 2, 4 བཅས་ཡིན་པས། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 4 རེད་ལྟ་བུ་དང་། 20
གཉིས་པ། རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་ལ་ཐབས་ལམ་ ནང་གསེས་ཁག་གསུམ་ཡོད་དེ།
༡། སྡོང་འགྲེམས་ཐབས་ལམ་ནི། སྡོང་པོ་ལས་ཡན་ལག་འགྱེ་
བ་ལྟར་གྱི་དཔེ་རིས་ཤིག་སྟེ། དེས་ཤིང་སྡོང་ལས་ཡལ་ག་
140
Highest common factor
འགྱེ་བ་ལྟར་སྤྲད་ཟིན་པའི་ ཧྲིལ་གྲངས་དག་གི་བགོད་ གྲ ང ས ་ རྣ མ ས ་ སོ ་ སོ ར ་ བ ཙ ལ ་ ཏེ ་ སྤྱི འི ་ བ གོ ད ་ གྲངས་ཆེ་ཤོས་འཚོལ་བའི་
ཐབས་ལམ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི།
20 = 2 × 2 × 5
ཡིན་པ་དང་། འདིར་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་ཁག་བླངས་ཏེ། མཉམ་དུ་བསྒྱུར་དགོས། 2 × 2 = 4 དེར་བརྟེན། 20 དང་ 24 སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 4 ཡིན་ལྟ་བུ་དང་། ༢། བགོད་ཐབས་ནི། སྤྲད་ཟིན་པའི་ 2 2 0 2 2 4 2 12 ཧྲི ལ ་གྲངས་དེ ་ དག་ལ་རྒྱུ་གྲངས་ 2 1 0 2 6 5 5 ཆུང་ཤོས་ནས་རིམ་པས་ཧྲིལ་བགོ་ 3 3 1 1 བྱས་ཏེ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ 24 = 2 × 2 × 2 × 3
141
Highest common factor
འཚོལ་བའི་ཐབས་ལམ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 2 × 2 = 4 ཡིན་པ་དང་། འདིར་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 2 དང་ 2 བླངས་ཏེ་མཉམ་དུ་ སྒྱུར་དགོས། 2 × 2 = 4 དེར་བརྟེན། 20 དང་ 24 སྤྱིའི་ བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 4 ཡིན་ལྟ་བུ་དང་། ༣། བསྟུད་མའི་བགོད་ཐབས་ནི། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་ གཉིས་ལས་ཆུང་བས་ཆེ་བར་བགོས་རྗེས། དེའི་ལྷག་ གྲངས་ཀྱིས་བགོད་བྱེད་གྲངས་ལ་བགོ་དགོས། དེ་ལྟར་ མཐའ་མའི ་ ལྷག་གྲངས་ཀླད་ཀོ ར ་མ་ 1 20 2 4 ཐོབ་བར་གོ་རིམ་བརྗེས་ཏེ་ལུ་གུ་རྒྱུད་ 20 5 ཀྱིས་བགོས་ན། ལྷག་གྲངས་ཀླད་ཀོར་ 4 20 ཐོ བ ་སྐབས་ཀྱི ་ བགོ ད ་བྱེ ད ་གྲངས་དེ ་ 20 0 སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཡིན། སྤྱིའི་ བགོ ད ་གྲངས་འཚོལ་ཐབས་འདིར་ བསྟུད་མའི་བགོད་ཐབས་ཞེས་ཟེར། དཔེར་ན། རེའུ་མིག་ནང་གི་ 20 དང་ 24 ཡི་སྤྱིའི་བགོད་
142
Histogram
གྲངས་ཆེ་ཤོས་འཚོལ་ཐབས་ལ་མཐའ་མའི་ལྷག་གྲངས་ ཀླད་ཀོར་ཐོབ་སྐབས་ཀྱི་བགོད་བྱེད་གྲངས་དེ་ནི་ 4 ཡིན་ པས། སྤྱི་བགོད་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 4 ཡིན་ལྟ་བུའོ། Histogram གྱེན་ལང་བཀོད་རིས། གྷི་རིག་གི་ཚིག་ ཅིག་ཡིན་ཞིང་། དེ་ཡར་བསླངས་པའི་དངོས་པོའ ི་ཚོགས་
ཅི་ཡང་རུང་བ་ཞིག་གིས་གྲངས་ཐོ་བཀོད་རིས་ (gramma) སུ་སྟོན་པའི་དཔེ་རིས་ཤིག་ལ་ཟེར། མདོར་ན་ གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཤེས་པ་ནི་གྲངས་ཐོའ་ི དགོས་མཁོ་ དང་འཚམ་པའི་གྲུ་ནར་ཀེར་ལང་འགའ་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཐོ་ བཀོད་རིས་སུ་སྟོན་པ་ཞིག་ཡིན། དཔེར་ན། གཤམ་གསལ་ གྲངས་ཐོ་རྣམས་ནི་གཞོན་ནུ་ 16 གི་གཟུགས་པོའ ི་རིང་ ཚད་སན་ཊི་མི་ཊར་ཐོག་སྟོན་གྱི་ཡོད། (histos)
162, 168, 157, 147, 189, 171, 173, 168, 178, 184, 165, 153, 179, 166, 168, 165
གོང་གི་གཟུགས་པོའ ི་རིང་ཚད་དེ་དག་ 140 cm ནས་ 190 cm ནང་ཚུད་པས། དེ་དག་བར་ཚན་ 5 ལ་བགོས་ཏེ། གྱེན་
143
Hollow cylinder
ལང་བཀོད་རིས་ཐོག་སྟོན་པ་ནི། 140 cm ནས་ 190 cm ནང་ཚུད་ཀྱི་བར་ཚན་རིང་ཐུང་གཅིག་པ་ 5 ལ་བགོས་ན། བར་ཚན་གྱི་ཁྱབ་ཚད་ནི་ 10 ཡིན་པས། དེ་དག་རེའུ་མིག་ ཏུ་བསྟན་རྗེས་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་སུ་སྟོན་པ་ལྟ་བུ། བར་ཚན།
140-150 150-160 160-170 170-180 180-190
གྲངས།
1
2
7
4
2
8 7 6 5 4 3 2 1 0
140
150
160
170
180
190
Hollow cylinder ཀ་ཟླུམ་ཁོག་སྟོང་། ཆུ་འགྲོ་ སོ ག ས་ལ་བེ ད ་སྤྱོ ད ་པའི ་ ཁོ ག ་སྟོ ང ་ངམ་སྦུག་གཟུགས་ རིགས་ལ་ཟེར་ཞིང་། དེ་དང་འབྲེལ་བའི་ཆོ་ག་ནི། ༡། བོངས་ཚད། V = πh (R2 - r2)
144
Hollow cylinder
༢། ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། F = 2πh (R + r) ༣། ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། S = F + 2π (R2- r2) དཔེར་ན། ཟངས་སྦུག་སྟོང་པ་ཞིག་གི་རིང་ཚད་ 210 cm R ཡིན་པ་དང་། དེའི་ཕྱི་དང་ནང་གི་ ཚངས་ཐིག་ལ་ 10 cm དང་ 6 cm h སོ་སོར་ཡོད། དེ་ལྟ་བུའི་སྦུག་སྟོང་ ཞི ག ་ བ ཟོ ་ བ ར ་ དེ འིི ་ རི ང ་ ཚ ད ་ r h = 210 cm 10
ཕྱིའི་ཚངས་ཕྱེད་ R = 2 = 5 cm 6 ནང་གི་ཚངས་ཕྱེད་ r= 2 = 3 cm སྦུག་གཟུགས་བཟོ་བར་ཟངས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ = ཕྱིའི་ཀ་ ཟླུམ་གྱི་བོངས་ཚད་ - ནང་གི་ཀ་ཟླུམ་གྱི་བོངས་ཚད། = πR2h - πr2h = (R2 - r2) πh
= 22/7 × 210 (25 - 9) = 22 × 30 × 16
145
Horizontal axis = 10560 cm3
དེར་བརྟེན། དེ་ལྟ་བུའི་ཟངས་སྦུག་ཁོག་ སྟོང་ཞིག་བཟོ་བར་ཟངས་ 10560 cm3 སྤྱོད་དགོས།
Horizontal axis འཕྲེད་མདའ། དཔེ་རིས་ཤིག་གི་ སྟེང་ x དང་ y ཞེས་མིང་ བཏགས་པའི་ཐིག་གཉིས་ཡོད་ པ་ལས། ཐིག་ x ནི་ 0 ནས་ འཕྲེ ད ་དུ་མདའ་གཏད་ཡོ ད ་ པས། མདའ་དེ་ལ་ཟེར།
Horizontal bar འཕྲེད་བཀོད་ནར་རིས། གྲུ་ནར་ ཐི ག ་རི ས ་ ( F) ཤི ག ་ གི ་ ཁ་ཕྱོ ག ས་ འཕྲེ ད ་དུ་ བསྟན་དེ ་ བཀོ ད ་པ་ ( f
146
)
Hour
ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གྲུ་ནར་ཐིག་རིས་དེ་ ནི ་ནམ་དུས་བཞི འི ་ ཆ་སྙོ མ ས་དྲོ ད ་ཚད་ཇི ་ ཡི ན ་འཕྲེ ད ་ བཀོད་ཐོག་སྟོན་པ་ལྟ་བུ།
Hour ཆུ་ཚོད། ཉིན་ཞག་གཅིག་དུས་ཚོད་ཆ་ཤས་ གཅིག་མཚུངས་ 24 རུ་ཕྱེས་ཡོད་པའི་དུས་ཡུན་དེར་ཆུ་ ཚོད་ཟེར། ཆུ་ཚོད་ 1 ལ་སྐར་མ་ 60 ཡོད། Hour hand ཆུ་ཚོད་ཀྱི་མདའ། ཆུ་ ཚོད་འཁོར་ལོའ་ི ནང་གི་མདའ་ཐུང་ཤོས་ དེ་ལ་ཟེར། སྐར་མའི་མདའ་སྐོར་བ་ཆ་ ཚང་གཅིག་འཁོར་རྗེས་ཆུ་ཚོད་ 1 རེ་ བརྩི་ཡི་ཡོད།
ཆུ་ཚོད་ཀྱི་མདའ། 11 12 1 10 2 3 9 4 8 7 6 5
Hypotenuse གསེག་མཐའ། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་ མ་ཞིག་གི་མཐའ་རིང་ཤོས་དེའམ། A གས ེག་མ ཐའ ཡང་ན་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ ། C B ཞིག་གི་དྲང་ཟུར་གྱི་གཏད་མཐའ་
147
Improper fraction
ལ་ཟུར་གསུམ་མའི་གསེག་མཐའ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་ རིས་ནང་གི་མཐའ་ AC ནི་ ∆ABC ཡི་གསེག་མཐའ་
ཟེར།
I Improper fraction གྲངས་ཆ་ལྟར་སྣང། བུ་ཆ་ ལས་མ་ཆ་ཆུང་བའམ་མཚུངས་པའི ་ གྲངས་ཆ་ལ་ཟེ ར ། a ནི་གྲངས་ཆ་ལྟར་སྣང་ཞིག་ཡིན་ན། ba ≥ 1 ཡིན། b དཔེར་ན། 53 ལྟ་བུ། Incentre ནང་ལྟེ། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་མཉམ་བགོད་ ཐིག་གི་སྤྱི་གནས་ལ་ནང་ལྟེ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་
148
Included angle
ནང་གི ་ ཟུར་གསུམ་མ་ཁག་གཉི ས ་ཀྱི ་ གཏད་ཟུར་གང་ རུ ང ་ ག ཉི ས ་ A A ནས་གཏད་ G Q R མཐའ་སོ་སོར་ I I B C B C R ཟུ ར ་ མ ཉ མ ་ བ གོ ད ་ ཐི ག ་ རེ་བྲིས་པས། ཐིག་དེ་གཉིས་གནས་ I སྟེང་ནས་འཕྲེད་ སྣོལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གནས་དེ་ལ་ནང་ལྟེ་ཟེར། Included angle
ཚུད་ཟུར། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་
གི་མཐའ་གཉིས་དབར་གྱི་ཟུར་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ∆ABC ནང་གི་ ∠A ནི་ BA དང་ CA ཡི་ཚུད་ཟུར་དང་། ∠B B ནི་ BA དང་ BC ཡི་ཚུད་ཟུར། ∠C ནི་ CB དང་ CA ཡི་ཚུད་ཟུར་ཡིན།
C
ཚུད་ཟུར།
A
Included side ཚུད་མཐའ། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་
149
Incidence property
ཟུར་གཉིས་དབར་གྱི་མཐའ་ལ་ཟེར། A དཔེར་ན། ∆ABC ནང་གི་ BC ནི་ ∠B དང་ ∠C ཡི་ཚུད་མཐའ་དང་། B ཚུད་མཐའ། AC ནི་∠A དང་ ∠C ཡི་ཚུད་ མཐའ། AB ནི་∠B དང་ ∠A ཡི་ཚུད་མཐའ་ཡིན།
C
Incidence property སྙོམས་ངོས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། སྙོམས་ངོས་ཐོག་གནས་བརྒྱུད་ནས་ཐིག་འབྲི་སྟངས་ཀྱི་ འབྲེལ་བ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སྙོམས་ངོས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་དང་འབྲེལ་བའི་བྱེད་ སྒོ་སྣ་ཚོགས་ཡོད་དེ། ༡། སྙོམས་ངོས་ཐོག་གནས་ A བརྒྱུད་ l m n ནས་ཐིག་དུ་མ་འབྲི་ཐུབ། དཔེར་ན། A p q A བརྒྱུད་པའི་ཐིག་ l དང་ m, n, p, r q, r, ལྟ་བུ། ༢། སྙོམས་ངོས་སྟེང་གནས་གཅིག་བརྒྱུད་ནས་ཐིག་མང་
150
Inconsistent
པོ ་ འབྲི ་ ཐུབ་ c n རུང་། གནས་ p ག ཉི ས ་ B A d q བ རྒྱུ ད ་ པ འི ་ r e ཐིག་གཅིག་ ལས་འབྲི་མི་ཐུབ། དཔེར་ན། སྙོམས་ངོས་སྟེང་གནས་ A a
b
l
m
དང་ B བྲིས་ཏེ། གནས་ A དང་ B སོ་སོར་བརྒྱུད་པའི་ ཐིག་མང་པོ་འབྲི་ཐུབ་ཀྱང་། གནས་ A དང་ B གཉིས་ བརྒྱུད་པའི་ཐིག་གཅིག་རང་ལས་མེད།
Inconsistent གཅིག་མཐུན་མིན་པ། རྒྱུ་གཉིས་ ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ནང་། ཐིག་གཉིས་ མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ན། མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་དེ་ལ་འགྲོལ་ཐོབ་ མེད། དེ་འདྲའི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ནི་གཅིག་མཐུན་མིན་པ་ རེད། དཔེར་ན། 2x + y = 160
4x + 5y = 300
ཡིན་པ་དང་། རེའུ་མིག་ནང་གི་མཉམ་བྱའི་ཐང་དཔེ་རིས་
151
Inconsistent x 0 40 80 y = -2x+160 160 80 0
x 0 10 20 y = -2x+100 100 80 60
y 160
80
-20 0
100
20
(60, 20)
y=
40
(80, 10) (40, 80)
+ 2x
60
(0, 100)
160
100
y=
120
+ 2x
140
(0, 160)
(80, 0)
20 40 60 80 100
x
སུ་བཀོད་པས། ཐིག་གཉིས་དབར་གནས་གང་དུའང་ འཕྲེད་སྣོལ་མི་བྱེད་པ་དང་། དེ་གཉིས་ནི་མཉམ་འགྲོ་ ཡིན་པར་བརྟེན། དེ་ལ་འགྲོལ་ཐོབ་མེད་ལྟ་བུ།
152
Increasing order
Increasing order འཕར་རིམ། ཆུང་བ་ནས་ཆེ་ བར་གོ་རིམ་བཞིན་སྒྲིག་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 9 དང་ 3, 12, 15 བཅས་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ན། 3, 9, 12, 15 ལྟ་བུ།
Index of radical གཞིའི་སྟོན་གྲངས། གཞི་ཚུལ་ སྐབས་ཀྱི་གཞི་དེའི་སྟོན་གྲངས་ཏེ། q y འདི་ནི་གཞི་ཚུལ་ གྱི་རྣམ་པ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། q ནི་གཞི་དེའི་སྟོན་གྲངས་ རེད། དེ་བཞིན་ཉིས་སྒྱུར་གཞིའི་སྐབས་ 2 ནི་གཞིའི་སྟོན་ གྲངས་དང་། སུམ་སྒྱུར་གཞིའི་སྐབས་ 3 ནི་གཞིའི་སྟོན་ གྲངས་ཡིན་པ་ལྟ་བུ། Infinite arithmetic progression ཚད་མེད་ཨང་ རྩིས་སྟར་གྲངས། ཨང་རྩིས་སྟར་གྲངས་ནང་གི་མཐའ་ ཚན་ལ་རྫོགས་མཐའ་མེད་པ་ལ་ཟེར། Inner scale
ཐིག་ཚད་ནང་མ། སྒོར་ཕྱེད་ཐོག་
ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆེད་དུ་ཐིག་ཚད་ནང་མ་དང་ཕྱི་མ་ཞེས་
153
Inscribed angle
གཉིས་ཡོད་པ་ལས་ནང་མ་དེ་ལ་ཟེར།
Inscribed angle ནང་སྦྲེལ་ཟུར། སྒོར་དབྱིབས་ ཐོག་རྒྱུད་ཐིག་གཉིས་ཀྱི་སྣེ་གནས་ (སྤྱི་གནས་) ལྷན་དུ་ འཕྲད་ནས་གྲུུབ་པའི་ཟུར་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སྒོར་ A དབྱིབས་ O ཡི་སྒོར་མཐའི་གནས་ A ནས་ C
B ལ་རྒྱུད་ཐིག་གཅིག་བྲིས་ཤིང་།
རྒྱུ་ཐིག་ གི་གནས་ B སྤྱི་གནས་སུ་སྤྱད་དེ་རྒྱུད་ ཐིག་ BC བྲིས་པས། སྒོར་མཐའི་གནས་ B ལ་ ∠ABC གྲུབ་པ་ལྟ་བུ།
O
B
Inscribed angle theorem ནང་སྦྲེལ་ཟུར་གྱི་ ངེས་སྲོལ། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་གཞུ་ཐིག་གཅིག་གི་སྒོར་ ལྟེ འི ་ ཟུར་ནི ་ ནང་འབྲེ ལ ་ཟུར་གྱི ་ཉི ས ་ A C
ལྡབ་ཡིན་པའི་ངེས་སྲོལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སྒོར་དབྱིབས་ O ནང་གི་ ∠AOC ནི་ ∠ABC ཡི་ཉིས་ལྡབ་ཡིན་
154
45˚
B
90˚ O
Integer
ལྟ་བུ།
Integer རིལ་གྲངས། ཧྲིལ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་ (... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7,...) ཐེ་བའི་ གྲངས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 དཀྱིལ་དུ་ 0 དང་། དེའི་ཕྱོགས་གཉིས་སུ་ཕོ་གྲངས་དང་མོ་གྲངས་ གཉིས་མཐའ་མེད་པར་རྒྱ་བསྐྱེད་ཐུབ་པའི་ཐིག་དེའི་སྟེང་ རིལ་གྲངས་མཚོན་ཡོད། Interior angle ནང་ཟུར། གསེག་ A ཐིག་གིས་ཐིག་གཉིས་ཀྱི་ནང་རོལ་དུ་ ནང ་ཟུར ། འགྲུབ་པའི་ཟུར་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། B C དཔེ་རིས་ ༡ དཔེ་རིས་ ༡ ནང་ ནང གི་ ∆ABC ཡི་ནང་ཟུར་དང་། དཔེ་ ་ཟུར n ། m
l
དཔེ་རིས་ ༢
རིས་ ༢ ནང་གི་གསེག་ཐིག་ l ཡིས་ ཐིག་ m དང་ n བསྣོལ་བའི་ནང་
155
Interior region
ཟུར་ལྟ་བུ།
Interior region ནང་ཁུལ། ཕྱི་རོལ་ལམ་ཕྱི་ཁུལ་གྱི་ ལྡོག་ཕྱོགས།
Interior region of a triangle ཟུར་གསུམ་མའི་ ནང་ཁུལ། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་གྱི་ནང་རོལ་ན་ ཡོད་པའི་ཁུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ∆ABC ཡི་དཔེ་རིས་ སྟེང་གི་གནས་
ལྟ་བུ་ལས་གྲུབ་པའི་སྙོམས་ངོས་ A ཀྱི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་ལ་ཟུར་གསུམ་ ནང་ཁུལ། མའི་ནང་ཁུལ་ཟེར་ཞིང་། ∆ABC P R ཡི་ནང་ཁུལ་ P དང་། ཟུར་གསུམ་ C B མ ་ ར ང ་ཉི ད ་ བ ཅ ས ་ ལ ་ ཟུ ར ་ གསུམ་མའི་ཁུལ་ (Triangular region) ཟེར། P
Intial point འགོ་ཚེག། འཕྲོ་ཐིག་ AB ཡི་གནས་ B དཔེར་ན་ A ལྟ་བུར་འགོ་གནས་སམ་ A འགོ་ཚེག་ཟེར།
156
Intercept
Intercept བཅད་ཐིག། ཐིག་གཅིག་གིས་ཐིག་གཞན་ གཉིས་ལ་འཕྲེད་གཅོད་བྱེད་སྐབས་ཐིག་དུམ་གྱི་ཆ་ཤས་ ཤིག་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ཐིག་དུམ་དེ་ལ་བཅད་ཐིག་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ཐིག་ t ཡིས་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་གནས་ A དང་ B ལ་འཕྲེད་སྣོལ་བྱས་པས། ཐིག་དུམ་ AB འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། t l A ཐིག་དུམ་འདི་ལ་བཅད་ཐིག་ཟེར། m དེ་བཞིན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་བཅད་ B ཐིག་དང་། འཁྱོག་ཐིག་གི་བཅད་ ཐིག་སོགས་ཀྱང་ཡོད།
Intercepted arc གཞུ་ཐིག་བཅད་མ། གལ་ཏེ་གཞུ་ ཐིག་གི་སྣེ་དེ་ཟུར་གྱི་དཔུང་པའི་སྟེང་ B Y ཡོད་པ་དང་། ཡང་ན་ཟུར་གྱི་དཔུང་ A པ་རེ ར ་ཉུང་མཐར་གཞུ་ཐི ག ་གི ་ སྣེ ་ x V གནས་རེ་རེ་ཡོད་པ། ཡང་ན་སྣེ་ དཔེ་རིས་ ༡ གནས་གཉི ས་མ་གཏོ ག ས་གཞུ་ཐི ག ་
157
Interest
དེ་ཟུར་གྱི་ནང་ཁུལ་ན་ཡོད་པ་བཅས་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ༡ ནང་ A x གཞུ་ཐིག་ AYB སྣེ་ A དང་ B V གཉིས་ ∠x དཔུང་པའི་སྟེང་ཡོད་པ་ དཔེ་རིས་ ༢ དང་། དཔེ་རིས་ ༢ དཔེ་རིས་ ༣B ནང་ ∠x ཡི་དཔུང་པ་རེ་རེར་ཉུང་ Y མཐར་གཞུ་ཐིག་གི་སྣེ་རེ་ཡོ ད ་པ་ x དང་། དཔེ་རིས་ ༣ ནང་གཞུ་ཐིག་ནི་ A ∠x ཡི་ནང་ཁུལ་དུ་ཡོད་པ་ལྟ་བུ་ལ་ གཞུ་ཐིག་བཅད་མ་ཟེར། B
Y
Interest
སྐྱེད་ཀ།
དངུལ་བུན་ནམ་དངུལ་ཁང་གི་ གསོག་དངུལ་ལས་ཐོབ་པའི་འབབ་ལ་ཟེར། དངུལ་བུན་ ནམ་གསོ ག ་དངུལ་གྱི ་ དངུལ་འབོ ར ་ལ་མ་དངུལ་དང་ ཡང་ན་མ་རྩ་ཟེར། མ་རྩ་དེའི་ཐོག་དངུལ་བེད་སྤྱོད་གཏོང་ བའི་འབབ་ལ་སྐྱེད་ཚད་ངེས་ཅན་ཞིག་གི་འཇལ་དགོས་ པ་དེར་སྐྱེད་ཀ་ཟེར། དུས་སྐབས་རེའི་སྐྱེད་ཀའི་མ་དངུལ་
158
Intersect
གྱི་བརྒྱ་ཆའི་ཚད་ལ་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ཟེར།
Intersect སྣོལ་བ། ཐིག་ཅིག་གིས་ཐིག་གཞན་དེར་ འཕྲེད་གཅོད་བྱེད་པའམ། ཡང་ན་བྲེག་པ་ལ་ཟེར། Intersecting point
སྣོལ་གནས། ཐིག་ཅིག་གི་
སྟེ ང ་ཐི ག ་གཞན་ཞི ག ་བཀོ ད ་པའམ་ བྲིས་པས། དེ་གཉིས་སྣོལ་སའི་གནས་ སམ་ཚེག་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་ རི ས ་ནང་གི ་ ཐི ག ་ནག་པོ ས ་ཐི ག ་སྔོ ན ་པོ འ་ི སྟེ ང ་འཕྲེ ད ་ སྣོལ་བྱས་པའི་གནས་ A ལྟ་བུ། A
Inverse
ལྡོག་གྲངས། གལ་ཏེ་དངོས་གྲངས་གཉིས་
ཀྱི་ལྟོས་མེད་གྲངས་ཐང་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་ཞིང་། རྟགས་ ཕན་ཚུན་ལྡོག་པ་ཡིན་ན། གྲངས་དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ལྡོག་ གྲངས་ཡིན།
Inverse variation ལྡོག་འགྱུར། གྲངས་འབོར་ x དང་ y གཉིས་ལ་གལ་ཏེ་འབྲེལ་བ་ xy = K ཡོད་པ་དང་།
159
Inverse variation K ནི་རྟག་གྲངས་ཤིག་ཡིན་ན། གྲངས་འབོར་དེ་གཉིས་ལྡོག་
འགྱུར་རེད། ཡང་ན་སྤྲད་ཟིན་པའི་བར་ཐག་ཅིག་ལ་འགྲུལ་ བཞུད་བྱེད་པའི་མགྱོགས་ཚད་དང་འགྲུལ་བཞུད་ཀྱི་དུས་ ཚོད་སོགས་ཀྱི་སྐབས་གྲངས་འབོར་ y འཕར་དུས་གྲངས་ འབོར་ x ཆག་འགྲོ་བའི་གནས་སྟངས་ཤིག་ཡོང་གི་ཡོད། གནས་སྟངས་དེར་ལྡོག་འགྱུར་རམ་ལྡོག་པའི་འགྱུར་བ་ ཟེར། དཔེར་ན། མི་ 4 ཡིས་ཉིན་ 6 ནང་བྱེད་ཐུབ་པའི་ལས་ ཀ་ཞིག་མི་ 1 ལ་བྱེད་དུ་བཅུག་ན། མི་ 1 ལ་ལས་ཀ་དེ་བྱེད་ པར་དུས་ཡུན་དེ་འདྲ་ཐེངས་ 4 དགོས་ཀྱི་ཡོད་པའམ་མི་ གཅིག་གིས་ཉིན་ 24 ནང་ལས་ཀ་དེ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། མི་གྲངས།
ཉིན་གྲངས།
1
2
4
6
8
12
24
12
6
4
3
2
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་གཞུང་ཕྲེང་གཉིས་པ་དང་གསུམ་ པའི་མི་གྲངས་ 2 དང་ 4 ཡི་སྡུར་ཚད་ནི་ 1:2 དང་། སྟར་ པ་འོག་མའི་མཐུན་པའི་ཉིན་གྲངས་ 12 དང་ 6 གི་སྡུར་ ཚད་ནི་ 2:1 རེད། སྟར་པ་གཉིས་ཀའི་གཞུང་ཕྲེང་གཉིས་
160
Irrational number
པ་དང་མཐའ་མ་གཉིས་ཀྱི་ཐང་གི་སྡུར་ཚད་ནི་ 1:6 ད ང་ 6:1 རེད། སྐབས་འདིར་སྡུར་ཚད་གཉིས་ལྡོག་འགྱུར་ ཡིན་པ་མཐོང་ཐུབ། དེ་བཞིན། བུ་མོ་ 50 ཡོད་པའི་ཉལ་ ཁང་ནང་ཉིན་ 40 འདང་བའི་བཟའ་བཅའ་ཡོད། སླར་ ཡང་བུ་མོ་ 30 ཉལ་ཁང་ནང་སླེབས་ཡོད་ན། སྔར་ཡོད་ བཟའ་བཅའ་ཡིས་ཉིན་ག་ཚོད་འདང་ངམ་ཞེ་ན། བུ་མོའ་ི གྲངས། ཉིན་གྲངས།
50
80
40
x
འདི་ནི་ལྡོག་འགྱུར་ཡིན་སྟབས། x1y1 = x2y2 ( = K ) 50 × 40 = 80 × x x = 25
དེས་ན། སྔར་ཡོད་བཟའ་བཅའ་ཡིས་ཉིན་ 25 འདང་གི་ རེད་ལྟ་བུ། Irrational number
ལུགས་མེད་གྲངས། དངོས་
གྲངས་ཤིག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་སྟོན་མི་ཐུབ་
161
Irrational number p པའམ། ཡང་ན། q
ཡི་གྲངས་ཤིག་ལས་ p དང་ q གཉིས་རིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 ཡིན་ཞེས་པའི་རྣམ་པར་ འབྲི་རྒྱུ་མེད་པའི་གྲངས་ལ་ཟེར།
, 3 , 5 , 7 ལྟ་བུ་དང་། ལུགས་ མེད་གྲངས་དེ་དག་ནི་སྡུར་གྲངས་སུ་འབྲི་མི་ཐུབ་ལ་སིལ་ གྲངས་སུ་སྒྱུར་སྐབས་ཚད་མེད་སིལ་གྲངས་ཡིན་པ་ལས་རེ་ འཁོར་སིལ་གྲངས་མིན། དཔེར་ན།
2
Irregular figure མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས། དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའི་རིང་ཚད་ དང་ནང་ཟུར་གྱི ་ ཚད་ཚང་མ་ གཅིག་པ་མེད་པ། དཔེར་ན། མཐའ་མི ་ མཉམ་པའི ་ དབྱི བ ས་ མཐའ་ལྔ་པ་ལྟ་བུ། Isometric sketches བར་མཚུངས་སྐྱ་ཐིག། བར་ ཐག་གཅིག་མཚུངས་སུ་ཚེག་རིས་བྲིས་པའི་ཤོག་བུ་ཞིག་
162
Isosceles triangle
གི ་ ཐོ ག ་ཚེ ག ་རྣམས་མཐུད་དེ ་ བྲི ས ་པའི ་ ཐིག་རིས་ཤིག་ལ་ཟེར།
Isosceles triangle
སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།
མཐའ་གཉིས་རིང་ཐུང་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ ལ་ཟེར། དེ་ལྟ་བུའི་ཟུར་གསུམ་མ་དེའི་གཏད་ཟུར་གཉིས་
ཀྱི་ཟུར་ཚད་ཀྱང་གཅིག་པ་ཡིན། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ནི་ མཐའ་བརྒྱུད་ཟུར་གསུམ་མའི ་ དབྱེ་བ་འབྱེད་སྟངས་གསུམ་ཡོད་ པ་ལས་གཅིག་ཡིན།
163
Lateral face
L Lateral face ལོགས་ངོས། གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཁ་ གང་གཟུགས་སོགས་ཀྱི་ངོས་སྟེང་ཞབས་གཉིས་ཕུད་པའི་ ངོས་གཞན་ཚང་མར་ལོགས་ངོས་ཟེར།
Laws of exponent སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས། སྟོན་ གྲངས་ཡོད་པའི་ཞབས་གྲངས་གཅིག་མཚུངས་ཀྱི་གྲངས་ གཉིས་ཕན་ཚུན་སྒྱུར་སྐབས། གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་སྟོན་ གྲངས་བསྡོམ་དགོས་པ་ “am × an = am+n ” དང་། སྟོན་ གྲངས་ཡོད་པའི་ཞབས་གྲངས་གཅིག་མཚུངས་ཀྱི་གྲངས་ གཉིས་ཕན་ཚུན་བགོད་སྐབས། གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་སྟོན་ གྲངས་འཐེན་དགོས་པ། “am ÷ an = am-n ” ཡང་སྟོན་ གྲངས་ཡོ ད ་པའི ་ གྲངས་ཤི ག ་གི ་ ཐོ ག ་ཡང་བསྐྱར་སྟོ ན ་ གྲངས་ཤིག་ཡོད་ན། སྟོན་གྲངས་དེ་གཉིས་བསྒྱུར་དགོས་
164
Leap year
པ་ “ (am)n = amn ” སོགས་ལྟ་བུའི་འགྲོ་ལུགས་ལ་ཟེར། ཞིབ་ཕྲ་གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས། མན་ངག།
དཔེ་མཚོན།
xmxn = xm + n
x2x3 = x2 + 3 = x5
xm ÷ xn = xm - n
x6 ÷ x2 = x6 - 2 = x4
(x ) = x
(x2)3 = x2 x 3 = x6
m n
mxn
(xy) = x y n
x y
n
n n
xn = yn
1 x-n = xn
(xy)3 = x3y3 x y
2
x2 = y2
1 x-3 = x3
གྲངས་ཆའི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས།
xm/n = n xm =n xm
x2/3 = 3 x2
= 3 x2
Leap year བཤོལ་ལོ། ཕྱི་ལུགས་ཀྱི་ལོ་བཤོལ་ཏེ། ལོ་ བཞི་རེའི་མཚམས་ཕྱི་ཟླ་གཉིས་པའི་ནང་ཉིན་གྲངས་ཉེར་ བརྒྱད་ཚབ་ཏུ་ཉེར་དགུ་འོང་བའི་ལོ། དཔེར་ན། གཤམ་ གསལ་དཔེ་རིས་ནི་ 2016 ལོའ་ི ཕྱི་ཟླ་གཉིས་པའི་ལོ་ཐོ་
165
Left hand side (LHS)
རེད། ཟླ་བ་དེར་ཉིན་ 29 ཡོད་ཙང་། ཡིན། བཤོལ་ལོ་བརྩི་སྟངས་ནི་ལོ་དེ་ ཐུབ་ན། ལོ་དེ་བཤོལ་ཡིན་ཏེ། 2016 ཕྱི་ལོ་ 2020 ÷ 5 = 505 ཡིན་པས།
2020
ལོ་དེ་ནི་བཤོལ་ལོ་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་བགོ་ ÷ 4 = 504 དང་། ཕྱི་ལོ་ 2016 དང་
ལ་ 4 ཡིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ་ལྟ་བུ།
Left hand side (LHS) གཡོན་ངོས། མཉམ་བྱའི་ གཡས་ངོས་ལས་ལྡོག་པ་སྟེ། མཚུངས་རྟགས་ཀྱི་གཡོན་ ཕྱོ ག ས་ཀྱི ་ རྩི ས ་གཞི འ མ་གྲངས་དེ ་ ལ་གཡོ ན ་ངོ ས ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། z -1 = -3 + 2z ཡི་རྩིས་གཞིའི་ནང་གི་ z - 1 ནི་མཉམ་བྱའི་གཡོན་ངོས་རེད་ལྟ་བུ།
166
Left most
Left most གཡོན་མཐའ། གཡོན་ཕྱོགས་ཀྱི་མཐའ་ མའམ་གཡོན་སྣེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གྲངས་གནས་ཆེ་ ཆུང་གཅིག་པ་གཉིས་དབར་ཆེ་ཆུང་སྡུར་སྐབས། གཡོན་ མཐའི་གྲངས་གནས་ནས་གོ་རིམ་བཞིན་ཆེ་ཆུང་བསྡུར་ དགོས་ལྟ་བུ།
Length རིང་ཚད། བར་ཐག་སྟེ། སྣེ་གཅིག་ནས་སྣེ་ གཞན་བར་གྱི་ཚད་ལ་དཀྱུས་སམ་རིང་ཚད་ཟེར། དཔེར་ ན། ཐིག་དུམ་ཞིག་གི་སྣེ་ A ནས་ B བར་ལ་རིང་ཚད་ 20 cm B དང་། དབྱིབས་ 20 cm འདུག་ལྟ་བུ་ A རྩིས་སྐབས། དེར་དཀྱུས་ཤེས་འབོད་ཅིང་། དབྱིབས་རྩིས་ ཀྱི་ཆོ་གའི་ནང་མཚོན་རྟགས་ l སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། Like terms ཚན་མཐུན། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་བརྩི་ཚུལ་ སྐབས་སུ། ཚན་པ་ཞིག་ཏུ་རྒྱུའམ་ཡིག་འབྲུའི་རྐྱེན་གྲངས་ དང་དེ་བཞིན་རྒྱུ་དེ་དག་གི་ཐེངས་གྲངས་མཉམ་པའམ་ མཚུངས་པ་ཡོད་ན། ཚན་པ་དེ་དག་ལ་ཚན་མཐུན་ཟེར།
167
Line
དཔེར་ན། 17xy དང་ -8xy གཉིས་ཀྱི་ཡིག་འབྲུའི་གྲངས་ xy ནི་གཅིག་པ་ཡིན་པས། ཚན་མཐུན་ཡིན་པ་དང་། 1 ཡང་ 3 xy2 དང་ -2xy2, 6xy2 འདི་དག་ཚང་མ་ནི་ཚན་ མཐུན་རེད་ལྟ་བུ། Line
ཐིག།
སྨྱུ་གུའམ་ཞ་སྨྱུག་སོགས་ཀྱིས་འཐེན་ པའམ་བྲིས་པའི་རྟགས་ཕྲ་ལ་རིང་བ་ཞིག་སྟེ། དབྱིབས་ རྩིས་སྐབས། དེ་ལྟ་བུའི་ཐིག་ནི་དྲང་པོ་དང་། སྲབ་མཐུག་ ཐིག། མེད་པ། ཕྲ་བ། ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་མུ་ མཐའ་མེད་པར་སྣར་བ་ཞིག་ཡིན། དཔེར་ན་དཔེ་རིས་ནང་ གི་ཐིག་དེ་ལྟ་བུ།
Line of sight མཐོང་ཐིག། ལྟ་ཞིབ་པ་ཞིག་གིས་བྱ་ ཡུལ་གྱི་དངོས་པོ་གང་རུང་གི་མཐོ་དམའ་ལ་ལྟ་ཞིབ་བྱེད་ སྐབས། མིག་དང་ཡུལ་བར་ལ་འཆར་སྣང་གི་ཐིག་ཅིག་ གྲུབ་ཅིང་། ཐིག་དེ་ལ་མཐོང་ཐིག་ཟེར། Line segment ཐིག་དུམ། ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ངེས་
168
Line of symmetry
གཏན་གྱི ་ སྣེ ་ ཚེ ག ་ཡོ ད ་པའི ་ བར་ ཐག་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གིི་ཐིག་དུམ་ AB ལྟ་བུ། A
ཐིག་དུམ།
B
Line of symmetry ཆ་འགྲིག་ཐིག། ཆ་འགྲིག་ཐིག།
ཤོག་བུའམ་
དཔེ་རིས་ཤིག་ལྟེབ་བརྩེགས་བརྒྱབ་ནས་ཆ་ཤས་གཅིག་ དེ་ཆ་ཤས་གཞན་དེ འི་ཐོག ་ཏག་ཏག་ཁེབས་པ་ཡི ན་ན། དཔེ་རིས་དེ་ལ་ཆ་འགྲིག་དཔེ་རིས་ཟེར་བ་དང་། བལྟེབས་ ཤུལ་དེ་ལ་ཆ་འགྲིག་ཐིག་ཟེར།
Linear equation ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། རྒྱུའི་ སྟོན་གྲངས་མཐོ་ཤས ོ ་ 1 ཡིན་པའི་མཉམ་བྱ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x + 3 = 7, 2x + y = 4, x + y + z = 3 ལྟ་བུ།
169
Linear equation in one variable
Linear equation in one variable རྒྱུ་གཅིག་ ོ ་1 ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། རྒྱུའི་སྟོན་གྲངས་མཐོ་ཤས ཡིན་པ་ལ། རྒྱུ་གང་རུང་ (x འམ། ཡང་ན་ y ལྟ་བུ་) གཅིག་ ལས་མེད་པའི་མཉམ་བྱ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། y + 3 = 10, 2x + 3 = 11 ལྟ་བུ།
Linear equation in two variables རྒྱུ་གཉིས་ ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། གལ་སྲིད་ a དང་ b, c ནི་ དངོས་གྲངས་དང་། a དང་ b གཉིས་ནི་ 0 མིན་ན། ax + by = c ལ་རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིིག་གི་མཉམ་བྱ་ཟེར། དཔེར་ན། 10x - 3y = 5 དང་། -2x - 4y = 7 ལྟ་བུ།
Linear pair ཉེ་གསབ་ཟུར། ཐིག་ཅིག་གི་གནས་ ཤིག་ནས་ཐིག་གཞན་ཞིག་གིས་འཕྲེད་བཅད་དམ་སྤྱིའི་ B དཔུང་པར་གྲུབ་ན། སྤྱིའི་དཔུང་ པས་ཐི ག ་གི ་ སྙོ མ ས་ཟུར་དེ ་ ཟུར་ A C O གཉིས་སུ་བགོས་པས། ཟུར་དེ་ དཔེ་རིས་ ༡
170
Linear polynomial
གཉིས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ༡ ནང་གི་དྲང་ཐིག་ AC ཐོག་གི་གནས་ O ནས་འཕྲོ་ཐིག་ OB བྲིས་པས། ཉེ་ གསབ་ཟུར་ ∠AOB དང་ ∠BOC གྲུབ། ཡང་དཔེ་རིས་ ༢ ནང་ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་འཕྲེད་བཅད་དུ་བྲིས་པས། ཐིག་དེ་གཉིས་ཀྱི ས ་ཟུར་བཞི ་ གྲུབ་ཡོད་ཅིང་། ཟུར་དེ་དག་ལས་ 4
3
1 2
དཔེ་རིས་ ༢
དང་ ∠2 ཉེ་གསབ་ཟུར་ ཡིན་པ་དང་། དེ་བཞིན་ ∠2 དང་ ∠3, ∠3 དང་ ∠4, ∠1 དང་ ∠4 བཅས་ཀྱང་ཕན་ཚུན་སོ ་ སོ ར ་ཉེ ་ གསབ་ཟུར་འགྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ∠1
Linear polynomial ཐེངས་གཅིག་ཚན་མང་ཚུལ། ཐེངས་གྲངས་གཅིག་ཡོད་པའི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 2x - 1, 2 y + 1, 2 - u ལྟ་བུ།
Literal factor ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས། ཚབ་
171
Long division
རྩིས་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་དཔེར་ན་ 18xyz ལྟ་བུར་མཚོན་ན། 18 དང་ x, y, z བཅས་ལ་ཚན་པ་དེའི་བགོད་གྲངས་ཟེར་ ཞིང་། ཡིག་འབྲུ་ x དང་ y, z ལྟ་བུར་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་
གྲངས་དང་། 18 ལ་ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་ཟེར།
Long division བགོད་རྩིས་གཞུང་སྒྲིག། གཞུང་ དུ་བསྒྲིགས་པའི་བགོད་ཐབས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 425 ÷ 25 དེ་གཞུང་དུ་བསྒྲིགས་ནས་བགོས་པ་ ལྟ་བུ།
Loss གྱོང་། ཕམ་ཁའམ་གུན་ཏེ། ཅ་དངོས་ཤིག་གི་མ་ གནས་རིན་གོང་ལས་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་དམའ་བ་ཡོད་པ་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཚོང་པ་ཞིག་གིས་སྨྱུ་གུ་ཞིག་ལ་སྒོར་ 10 བྱས་ཏེ་ཉོས་ཀྱང་། དེ་སྒོར་ 7 ལ་བཙོངས་དགོས་བྱུང་བས། ཁོང་ལ་གྱོང་སྒོར་ 3 ཕོག་ལྟ་བུ།
Lower class limit བར་ཚོའི་འོག་མཐའ། གཞི་ འཛིན་གྲངས་ཐོ་རྣམས་ཚན་པ་རེ་རེར་བསྒྲིལ་བའི་ཚན་
172
Lowest common multiple
པ་གང་རུང་གཅིག་གི་འོག་མ་སྟེ། དཔེར་ན། བར་ཚོ་ 1719 ལས་ 17 ནི་བར་ཚོའི་འོག་མཐའ་དང་། 19 ནི་བར་ ཚོའི་གོང་མཐའ་ཡིན་ཞིང་། 17 དང་ 19 དབར་གྱི་ཧེ་ བག་ལ་བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད་ཟེར། Lowest common multiple སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་
ཆུང་ཤོས།
ཧྲིལ་གྲངས་གཉིས་སམ་དུ་མའི་སྤྱིའི་ལྡབ་ གྲངས་དེ་དག་ལས་ 2 ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 2, 4, 6, 8, 10, 12.. 4 ཡི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 4, 8, 12, 16, 20.. དམའ་ཤོ ས ་སམ་ཆུང་ སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས། 4 ནི ་ སྤྱི འ ི ་ ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོ ས་ཡིན། ཤོ ས ་དེ ་ ལ་སྤྱི འི ་ ལྡབ་ གྲངས་ཆུང་ཤོ ས ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ 2 དང་ 4 ཡི་སྤྱིའི་ལྡབ་ གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 4 ཡིན་ལྟ་བུ།
Lowest term བསྡུས་ཤོས། བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་ ཀྱི ་ སྤྱི འི ་ བགོ ད ་གྲངས་རྣམས་རི མ ་བཞི ན ་བསྐྱུར་བས། མཐར་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་ཕན་ཚུན་རྒྱུ་གྲངས་ཐོབ་ན། དེ་ལ་
173
Lowest term
བ སྡུ ས ་ཤོ ས ་ ཞེ ས ་ ཟེ ར ། 8 4 2 1 8 = 4 = 2 དཔེར་ན། 16 16 = 8 ཀྱི་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་རྣམས་རིམ་བཞིན་བསྐྱུར་ནས། མཐར་ 1 དང་ 2 ནི་ཕན་ཚུན་རྒྱུ་ 8 2×2×2×1 = = 1 16 2×2×2×2×1 2 གྲངས་ཡིན་པས། 1 ནི་ 8 16
174
2
ཀྱི་བསྡུས་ཤོས་ཡིན།
Magic square
M Magic square ཀུན་བཟང་འཁོར་ལོ། སྙན་ངག་སྒྲ་ རྒྱན་གྱི་ནང་གསེས་ཡི་གེ་རེའུ་མིག་ཏུ་བཀོད་ནས་ཡིག་ ཕྲེང་དཀྱུས་སུ་མཐར་ཆགས་དང༌། ཕྱོགས་མཚམས་ནས་ ད བུ ས ་ སུ ་ ཀློ ག ་ ཚུ ལ ་ སོ ག ས ་ སྟོ ན ་ པ འི ་ འཁོར་ལོ་ལྟར། རྩིས་རིག་པའི་ 15 2 7 6 ནང་དུའང་གྲུ་བཞི ་ མའི ་ ནང་ 15 9 5 1 གྲངས་ཀྱི ་སྒྲི ག ་སྟངས་ཤི ག ་སྟེ ། 15 4 3 8 དེའི་ནང་འཕྲེད་ཐིག་དང་། 15 15 15 15 གཞུང་ཐིག། གསེག་ཐིག་ བཅས་སྟེ ང ་ཡོ ད ་པའི ་ གྲངས་རྣམས་ཀྱི ་ བསྡོ མ ས་ཐོ བ ་ གཅིག་མཚུངས་ཡིན། དཔེར་ན། ཀུན་བཟང་འཁོར་ལོའ ི་ དཔེ་རིས་ནང་གི་གྲངས་ 1, 2, 3, .....9 བར་སྒྲིག་སྟངས་ལྟ་
175
Major arc
བུ་ཡིན་ཞིང་། དེའི་འཕྲེད་དང་གཞུང་། གསེག་གང་ནས་ བསྡོམས་ཀྱང་། ཐོབ་གྲངས་སུ་ 15 གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་ ལྟ་བུ། Major arc
གཞུ་རིང། སྒོར་
དབྱིབས་ཤིག་གི་གནས་གཉིས་སྒོར་ མཐའི་སྟེང་མཐུད་ནས་གྲུབ་པའི ་ གཞུ་རིང་བ་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སྒོར་དབྱིབས་ O ལས་གཞུ་རིང་ནི་
N
A
གཞུ་ཐུང་།
B
O
གཞུ་རིང་། M
AMB དང་། ANB ནི་གཞུ་ཐུང་ཡིན་ལྟ་བུ།
Marked price
ཐོ་གསལ་གོང་ཚད། ཅ་དངོས་
ཤིག་ཁྲོམ་རའི་གོང་ཐང་ལ་གཞིགས་ཏེ་རིན་འབབ་ཅིག་ གཏན་འབེ བ ས་བྱས་ཡོ ད ་པ་དེ ་ ལ་ཐོ ་ གསལ་གོ ང ་ཚད་ དམ་ཐོ་གཞུང་གོང་ཚད་ཟེར།
Mass གདོས་ཚད། དངོས་གཟུགས་རགས་པ་ཞིག་གི་ བསྒྲུབ་བྱའི་རྫས་སམ། ཡང་ན་དངོས་གཟུགས་དེའི་ནང་
176
Mathematically acceptable statement
གི་རྫས་ཀྱི་འབོར་ཚད་ལ་ཟེར། Mathematically
acceptable
statement
རྩི ས ་རི ག ་ཐོ ག ་ནས་དང་ལེ ན ་རུང་བའི ་ བརྗོ ད ་པ། བརྗོད་པ་གང་ཞིག་གཏན་དུ་བདེན་པ་ཡིན་པའམ་གཏན་ དུ་བདེན་པ་མིན་པ་ལ་རྩིས་རིག་སྐབས་དང་ལེན་རུང་ བའི་བརྗོད་པ་ཟེར། ཡིན་ནའང་། རྩིས་རིག་པའི་ནང་ བརྗོ ད ་པ་གང་ཞི ག ་བཀའ་གཏོ ང ་བའམ་རེ ་ སྐུལ་བྱེ ད ་ པ་དང་། འབོད་སྒྲ། དྲི་བ་ཡིན་ན། རྩིས་རིག་ཐོག་ནས་ དང་ལེན་མི་རུང་བ་ཡིན། དཔེར་ན། ཁྱོད་ཀྱི་སྐྲའི་ཚོན་ མདོག་ནི་ནག་པོ་རེད་ལྟ་བུ་ནི་རྩིས་རིག་ཐོག་ནས་དང་ ལེན་རུང་བའི་བརྗོད་པ་བདེན་པ་ཞིག་ཡིན། དེར་བརྟེན། བརྗོད་པ་གང་ཞིག་བདེན་པ་ཡིན་པ་དང་། བརྗོད་པ་གང་ ཞི ག ་བདེ ན ་པ་མི ན ་པ་བཅས་རྩི ས ་རི ག ་ཐོ ག ་ནས་དང་ ལེན་རུང་བའི་བརྗོད་པ་གཉིས་སུ་འབྱེད་ཡོད། Mathematical modelling རྩིས་ལུགས་མ་དཔེ།
177
Mathematical modelling
བཟོ་དབྱིབས་དང་གཟུགས་ཅན་དངོས་ཀྱི་སྤྱོད་ཚུལ་རྩིས་ ལུགས་ཐ་སྙད་ནང་མཚོན་པར་བྱེད་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། རྩིས་ ལུགས་བཟོ་དབྱིབས་ལ་རིམ་པ་གསུམ་གཏོགས་པ་ནི་ཆོ་ ག་གྲུབ་ཚུལ་དང་། འགྲོལ་ཐོབ། དོན་འགྲེལ། འཐད་ལྡན་ བཅས་རེད། དཔེར་ན། དོན་གྲུབ་ཀྱི་སྣུམ་འཁོར་ནི་སྣུམ་
ལ་ 432 km བསྐྱོད་ཐུབ་པ་རེད། ཁོའ་ི གནས་སུ་ འབྱོར་བར་ད་དུང་ 180 kL ཡོད་ན། ཁོ་ལ་སྣུམ་ལི་ཊར་ ག་ཚོད་དགོས་སམ་ཞེ་ན། དཀའ་རྙོག་འདི་སེལ་བར་གོ་རིམ་བཞིན་འགྲོ་དགོས་པ་ ནི། ༡། ཆོ་ག་གྲུབ་ཚུལ། དེ་ལས་ཀྱང་རིང་ཙམ་བསྐྱོད་ཐུབ་པར། ད་དུང་སྣུམ་དགོས་ཀྱི་ཡོད། དེས་ན། བར་ཐག་ག་ཚོད་ བསྐྱོད་པ་དེ་མཚུངས་ཀྱིས་སྣུམ་དགོས་པའི་གྲངས་ཚད་ ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། ཀ། 432 km བསྐྱོད་པར་དགོས་པའི་སྣུམ་ = 48 L ཁ 180 km བསྐྱོད་པར་དགོས་པའི་སྣུམ་ = ? 48 L
178
Mathematical modelling
འགྲུལ་བཞུད་བྱེད་པའི་བར་ཐག་ = x དང་། དགོས་པའི་ སྣུམ་ = y ཡི་ཚབ་བྱས་པས། x ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་བ་དང་ ཆབས་ཅིག་ y ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། དེས་ན། y = kx དང་། k ནི་རྟགས་གྲངས་རེད། ཤེས་ཟིན་པ་ནི་ y = 48, x = 432 རེད། དེར་བརྟེན། k=
y x
=
48 432
=
1 9
ཡིན་པར་སོང་། y = x རེད་ཅེས་པ་དེ་ནི་དམིགས་ཡུལ་རྩ་བར་བཟུང་ སྟེ་གོ་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་པ་དང་། དེ་རྗེས་ཆོ་གར་ བསྡུས་པའི་བརྒྱུད་རིམ་འདི་ལ་རྩ་འཛིན་ཆོ་ག་ཟེར། ༢། འགྲོལ་ཐོབ། 180 km བསྐྱོད་པར་སྣུམ་ག་ཚོད་དགོས་ པ་འཚོལ་དགོས་པ་སོང་། x = 180 ཡིན་སྐབས། y ཡི་ཐང་ y = kx
1 9
འཚོལ་དགོས་ཏེ། 1
y = 9x
y=
180 9
= 20
རེད་ཅེས་པ་དེ་ནི་རྩ་འཛིན་ཆོ་གའི་བརྒྱུད་
179
Mathematical modelling
རིམ་མཐའ་མ་སྤྱད་དེ་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་ཤེས་པར་བྱེད་ པའམ་དཀའ་རྙོག་སེལ་བ་ལ་འགྲོལ་ཐོབ་ཟེར། ༣། དོན་འགྲེལ། y = 20 ཡིན་པར་བརྟེན། དོན་གྲུབ་ད་དུང་ 180 km བསྐྱོད་པར་སྣུམ་ 20 L དགོས་པ་དེ་ནི་རྩིས་ རྒྱག་གི་གོ་རིམ་དེ་དག་བརྒྱུད་འགྲོལ་ཐོབ་གཅིག་བྱུང་བ་ དེ་དོན་གང་ཞིག་གི་སླད་དུ་ཡིན་པ་འགྲེལ་བཤད་སྙིང་ བསྡུས་ཤིག་གམ་མཐར་དོན་འགྲེལ་བ་ལ་དོན་འགྲེལ་ཟེར། གལ་སྲིད་དངོས་ཡོད་གནས་སྟངས་ལ་མ་འཚམ་ན། སླར་ ཡང་འཐད་ལྡན་ཇི་ལྟར་ཡིན་མིན་བལྟ་དགོས། དཔེར་ན། དོན་དངོས་ཐོག་ལམ་ཡག་སྡུག་སོགས་ལས་སྣུམ་འཛད་ ཆེ་ཆུང་གི་ཁྱད་པར་ལ་བརྟེན། དོན་གྲུབ་ཀྱིས་འགྲུལ་ བཞུད་བྱེད་སྐབས་སྣུམ་འཕར་མ་བླུག་དགོས་པ་ལྟ་བུ་ནི་ རྩིས་བརྗོད་འདིའི་ནང་ཐེ་མེད་པས། འདིས་དོན་གྲུབ་ལ་ 180 km བསྐྱོད་པར་སྣུམ་ག་ཚོད་དགོས་པའི་འཆར་སྒོ་ རགས་པ་ཞིག་སྤྲོད་པ་ཙམ་རེད། དེར་བརྟེན། དོན་དངོས་ ཀྱི་འཚོ་བའི་ནང་། མ་དཔེས་ང་ཚོར་དོན་དམ་དང་མི་
180
Mathematical proof
མཐུན་པའི་རྩིས་འབྲས་སྤྲོད་པར་ང་ཚོས་ཁས་ལེན་བྱེད་ ཐབས་བྲལ་བ་རེད། དེས་ན། དགོས་མཁོ་ཡོད་ཚེ་རྩིས་ ལུགས་འགྲེལ་བརྗོད་ལ་འགྱུར་བ་བཏང་སྟེ་དོན་དངོས་ དང་མཐུན་པའི་རྩིས་འབྲས་ཞིབ་བཤེར་བྱེད་པའི་བརྒྱུད་ རིམ་ཞིག་ལ་རྩིས་འགྲོའམ་འཐད་ལྡན་ཟེར།
Mathematical proof རྩིས་ཀྱི་ཁུངས་སྐྱེལ། རིག་ པ་དང་མཐུན་པའི་དགག་སྒྲུབ་བྱེད་ཚུལ་ལ་གཞི་མཐའ་ གཅིག་ཏུ་བཞག་པའི་རྩིས་བརྗོད་ཀྱི་དོན་དངོས་གཏན་ འབེབས་བྱེད་ནུས་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། ཁྱད་ཆོས། རང་བྱུང་ཆ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ ནི་ཆ་གྲངས་རེད། དག་སྤྲོད། x དང་ y ནི་རང་བྱུང་ཆ་གྲངས་གཉིས་ལ་ཆ་ བཞག་ན། ང་ཚོས་ཁུངས་སྐྱེལ་ལམ་དག་སྤྲོད་བྱེད་དགོས་ པ་ནི་ xy ནི་ཆ་གྲངས་རེད་ཅེས་པ་དེ་རེད། དང་ y ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པར་སོང་། དེ་གཉིས་ནི་ 2 ཀྱིས་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པ་མ་ཟད། x = 2m དང་ y = 2n ཡི་
x
181
Mean
རྣམ་པར་སྟོན་ཐུབ། སྐབས་འདིར་ m དང་ n ནི་གྲངས་ གང་རུང་ཞིག་ཡིན། དེས་ན་ xy = 4mn རེད་ལ། 2 ཀྱིས་ 4mn ལ་ཧྲིལ་བགོ་ཐུབ་པས། xy ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པ་ དག་སྤྲོད་བྱས་ཡོད།
Mean ཆ་སྙོམས་གྲངས། གྲངས་ཀྱི་ཚོགས་ཤིག་གི་ དཀྱིལ་ཏེ། གྲངས་ཐོ་ཞིག་གི་བྱེ་བྲག་ཡོངས་ཀྱི་ཁྱོན་ བསྡོ མ ས་ལ་གྲངས་ཐོ ་ དེ འི ་ བྱེ ་ བྲག་གྲངས་ཀྱི ས ་བགོ ས ་ པའི་ཐོབ་དེ་ལ་ཟེར། དེའི་མཚོན་རྟགས་ནི་ x རེད། དཔེར་ན། 2 དང་། 7, 9 བཅས་ཀྱི་ཆ་སྙོོམས་འཚོལ་སྐབས། བྱེ་བྲག་རྣམས་བསྡོམས་པས། 2 + 7 + 9 = 18 དང་། དེ་ སྐར་མ། བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་། x 51-55
53
ཟློས་ཕྱོད། f 2
106
56-60
58
7
406
61-65
63
8
504
66-70
68
4
272
n ∑ fi =21
n ∑ fixi =1288
182
ཁྱོན་བསྡོམས།
i =1
fx
i =1
Mean deviation
ལ་བྱེ་བྲག་པའི་གྲངས་ཀྱིིས་བགོས་ན། 18 ÷ 3 = 6 རེད། དེར་བརྟེན། ཆ་སྙོ མ ས་གྲངས་ནི ་ 6 རེ ད ་ལྟ་བུ་ དང་། ཡང་། རེའུ་མིག་ནང་གི་ཚན་སྒྲིལ་གྲངས་ཐོ་ལྟ་བུ་ ཆ་སྙོམས་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་སྤྱད་དེ་བརྩིས་པ་སྟེ། x
=
=
n ∑ fixi i =1 n ∑ fi i =1
འམ་ཡང་ན།
n ∑ fixi i =1 n
1288 = 61.333 ལྟ་བུ། 21
Mean deviation ཆ་སྙོམས་ཡོ་ཁྱད། ཆ་སྙོམས་ གྲངས་དང་བྱེ་བྲག་སོ་སོའ་ི དབར་གྱི་བར་ཁྱད་ལ་ཡོ་ཁྱད་ དང་། ཡོ་ཁྱད་ཀྱི་ཁྱོན་བསྡོམས་ལ་བྱེ་བྲག་པའི་གྲངས་ སམ་དཀྱི ལ ་གྲངས་ཀྱི ས ་བགོ ད ་སྟངས་དེ ་ ནི ་ ཚན་སྒྲི ལ ་ མིན་པའི་གྲངས་ཐོའ་ི ཆ་སྙོམས་ཡོ་ཁྱད་སྟོན་ཐབས་ཤིག་ x ཡིན་ཞིང་། དེའི་ཆོ་ག་ནི། = ∑|xN- | རེད། དཔེར་ན། 3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16 བཅས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་ ཡོ་ཁྱད་འཚོལ་དགོས་ན།
183
Mean deviation
༡། ཆ་སྙོམས་གྲངས་འཚོལ་དགོས། x
3+6+6+7+8+11+15+16
=
8
=
72 8
=9
༢། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནས་དེ་དག་སོ་སོའ་ི བར་ཁྱད་འཚོལ་ དགོས། བྱེ་བྲག། 3 6 6 7 8 11 15 16
ཁྱོན་བསྡོམས།
(9 ནས་བར་ཁྱད།) |x - x | 6 3 3 2 1 2 6 7
∑|x - µ|=30
༣། བར་ཁྱད་དེ་དག་གི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་འཚོལ་དགོས།
184
=
Mean deviation
∑|x - x |
=
N
30 8
= 3.75 ལྟ་བུ་དང་།
ཡང་ཚན་སྒྲི ལ ་གྱི ་ གྲངས་ཐོ འ ་ི ཆ་སྙོ མ ས་ཡོ ་ ཁྱད་སྟོ ན ་ ཐབས་ནི། ཡོ་ཁྱད་སོ་སོ་དང་དེ་ཐད་ཀྱི་བྱེ་བྲག་རེ་རེའི་ དབར་གོ ་ རི མ ་བཞི ན ་བསྒྱུར་པའི ་ ཁྱོ ན ་བསྡོ མ ས་ལ་བྱེ ་ བྲག་གི་ཁྱོན་བསྡོམས་ཀྱིས་བགོས་པ་དེ་ཡིན་ཞིང་། དེའི་ ཆོ་ག་ནི། =
∑fidi ∑fi
རེད། དཔེར་ན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ ཡོ་ཁྱད་ = di = xi 47.5
fi × di
17.5
-30
-60
32.5
-15
-45
བར་ཚོ།
སློབ་མའི་ གྲངས། fi
25-40
3
40-55
7
47.5
0
0
55-70
6
62.5
15
90
10-25
2
བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ ཐང་། xi
70-85
6
77.5
30
180
85-100
6
92.5
45
270
ཁྱོན་ བསྡོམས།
∑fi =30
ཡི་ཆ་སྙོམས་ཡོ་ཁྱད་ནི། =
∑fidi = 435
∑fidi 435 ∑fi = 30 = 14.5
ལྟ་བུ།
185
Measure of an angle
Measure of an angle ཟུར་གྱི་ཚད། དཔུང་པ་ གཉི ས ་དབར་གྱི ་ སྟོ ང ་ཆའི ་ ཚད་དེ ་ ལ་ A ཟུར་གྱི་ཚད་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ O
60˚
B
ནང་གི་ m∠AOB = 60˚ ལྟ་བུ།
Measures of central tendency གཅིག་བསྡུས་ འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ། གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ ཕྱོགས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ལ་སྐབས་རེ་དཀྱིལ་གནས་ཀྱི་ཚད་ འཇལ་ཡང་ཟེར་ཞིང་། དེས་ང་ཚོར་གྲངས་ཐོའ་ི ཚོགས་ ཤིག་གི་ཆ་སྙོམས་ཤེས་ཐུབ་ལ། གྲངས་ཐོ་ཕོན་ཆེན་ལ་ རྩིས་རྒྱག་བྱེད་སྐབས། དེས་གྲངས་ཐོ་དེ་དག་ཐང་ཚབ་ གཅིག་ཏུ་སྙིང་བསྡུས་བྱེད་ཐུབ། མ་ཟད་དེས་གྲངས་ཐོ་ གཅིག་དང་གཞན་ཞིག་དབར་གཤིབ་བསྡུར་ཡང་བྱེད་ པར་ཕན་ཐོགས་ཡོད། གཅིག་བསྡུས་འཁོར་ཕྱོགས་ཀྱི་ ཚད་འཇལ་ལ་གསུམ་སྟེ། དེ་དག་ནི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ དང་། དཀྱིལ་གྲངས། བྱིངས་གྲངས་བཅས་ཡིན།
186
Median
བྱིངས་གྲངས་དང་། ཆ་སྙོམས་གྲངས། དཀྱིལ་གྲངས་བཅས་ བེད་སྤྱོད་སྐབས། གྲངས་ཐོ་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་རུང་། སོ་ སོའ ི་ཁྱད་ཆོས་མི་འདྲ་བར་སོང་། ཐོབ་གྲངས་ལའང་ཁྱད་ པར་ཕྲན་བུ་བྱུང་བའང་ཡོད།
Median དཀྱིལ་གྲངས། རྟོགས་ཟིན་པའི་ཐང་ངམ་ གྲངས་འབོ ར ་ཞི ག ་གི ་ ཟློ ས ་ཕྱོ ད ་ཁྱབ་ཚུལ་གྱི ་ དཀྱི ལ ་ གནས་དང་འབྲེལ་བ་སྟེ། གྲངས་ཀྱི་ཚོགས་ཤིག་གི་དཀྱིལ་ གྱི་གྲངས་དེ་ལ་ཟེར་ཞིང་། n - cf དེའི་ཆོ་ག་ནི་དཀྱིལ་གྲངས་ = l + 2 f × h རེད། l ཡིས་དཀྱིལ་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་འོག་མཚམས་དང་། h ཡིས་དཀྱིལ་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད། f ཡིས་དཀྱིལ་ གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོར་གནས་མཐུན་ཟློས་ཕྱོད། n གྱི་བྱེ་བྲག་ གི་གྲངས་འབོར། cf ཡིས་དཀྱིལ་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་གོང་ གི་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་བཅས་མཚོན། ༡། ཚན་སྒྲིལ་མིན་པའི་གྲངས་ཐོའ ི་དཀྱིལ་གྲངས་འཚོལ་ཐབས།
ཀ) བྱེ་བྲག་གི་དཀྱིལ་གྲངས་ཆ་སྒྲིག་མིན་པའི་གྲངས་ཐོ་
187
Median
དཔེར་ན། 3, 13, 7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 བཅས་འཕར་རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་པས། 3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, , 23, 29, 39, 40, 56
བཅས་ཡིན། དེར་གྲངས་ཁག་བཅོ་ལྔ་ཡོད་ཅིང་། དཀྱིལ་གྲངས་ནི་ བརྒྱད་པ་དེ་ཡིན། དེར་བརྟེན། གྲངས་ཐོ་འདིའི་དཀྱིལ་ གྲངས་ནི་ 23 རེད།
ཁ) བྱེ་བྲག་གི་དཀྱིལ་གྲངས་ཆ་སྒྲིག་ཡིན་པའི་གྲངས་ཐོ་ དཔེར་ན། 3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56 བཅས་ཡིན། དེར་གྲངས་ཁག་བཅུ་བཞི་ཡོད་ ཅིང་། དཀྱིལ་གྲངས་སུ་ཆ་སྒྲིག་གྲངས་བྱུང་བ་ནི་ 21 དང་ 23 རེད། དེར་བརྟེན། དཀྱིལ་གྲངས་འཚོལ་བར། དེ་ གཉིས་བསྡོམས་ཏེ་ 2 ཀྱིས་བགོད་དགོས། 21 + 23 = 44, 44 ÷ 2 = 22 22
རེད།
དེས་ན། དཀྱིལ་གྲངས་ནི་
༢། རྒྱུན་མཐུད་བར་ཚོ་ཅན་གྱི་དཀྱིལ་གྲངས་འཚོལ་ཐབས།
188
Median
དཔེར་ན། རེའུ་མིག་ནང་གི་སློོབ་ཕྲུག་ 21 གི་དཀྱིལ་ གྲ ང ས ་ འ ཚོ ལ ་ སྐར་མ། བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་། ཟློས་ཕྱོད། དགོས་ན། l=
60 + 61 2
= 60.5
51-55
53
2
56-60
58
7
61-65
63
8
66-70
68
4
ཁྱོན་བསྡོམས།
21
n = 21
cf = 7 + 2 = 9, f = 8, h = 5 དེར་བརྟེན།
- cf ×h f 21 - 9 2 = 60.5 + ×5 =l+
n 2
8
10.5 - 9 = 60.5 + ×5 8 1.5 = 60.5 + ×5 8 = 60.5 + 0.9375
189
Medians of a triangle = 61.4375
དེས་ན། ཆ་སྙོམས་སྐར་གྲངས་ནི་ 61.4375 རེད།
Medians of a triangle ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་ ཐིག། ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་ཟུར་རྩེ་ཞིག་དང་། དེའི་ གཏད་མཐའི་དཀྱིལ་གནས་སྦྲེལ་བའི་ཐིག་དུམ་ལ་ཟེར། ཟུར་གསུམ་མར་ཟུར་རྩེ་གསུམ་དང་མཐའ་གསུམ་ཡོད་ པས། ཟུར་གསུམ་མ་ལ་དཀྱིལ་ཐིག་གསུམ་རེ་ཡོད། དཀྱིལ་ ཐིག་གསུམ་པོ་ཕན་ཚུན་འཕྲེད་སྣོལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་ཅིང་། འཕྲེ ད་སྣོལ་བྱེད་སའི་སྤྱི ་ གནས་དེ ་ ལ་ཟུར་གསུམ་མའི ་ A ལྗིད་ལྟེ་ཟེར། དཔེར་ན། ΔABC དཀྱིལ་ཐིག ནང་གི་ AD དང་ BQ, EC བཅས་ E Q ལྗིད་ལྟེ། G ནི་དཀྱིལ་ཐིག་དང་། G ནི་དེ་དག་ B C D འཕྲད་སའི་ལྗིད་ལྟེ་ཡིན། Methods of squaring numbers ཉིས་སྒྱུར་ གྲངས་ཆུང་བའི་ཉིས་སྒྱུར་འཚོལ་ གཏོང་ཐབས།
190
Mid point theorem
སླའང་། གྲངས་ཆེ་བའི་སྐབས་སྒྱུར་རྩིས་རྒྱག་པར་དུས་ ཚོད་འགོར་པོ་ཡོད་པར་བརྟེན། ཉིས་སྒྱུར་འཚོལ་སྟངས་ ལ་ཐབས་ལམ་འགའ་ཤས་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད་པ་ལས་གཅིག་ནི་ གཞུང་སྒྲིག་ཐབས་ལམ་སྟེ། 862 ཉིས་སྒྱུར་འཚོལ་བར་ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ཆོ་ག་འདི་སྤྱད་དེ་གཞུང་སྒྲིག་ ཐོག་ནས་སྟོན་པ་ནི། a = 80 དང་ b = 6 རྣམ་པར་མཚོན་ ན།
དང་པོ། a2
གཉིས་པ།
b2
2a × b
802 = 6400
གསུམ་པ།
2 × 80 × 6 = 960
6 × 6 = 36
ཐོབ་གྲངས་རྣམས་བསྡོམས་དགོས། 6400 + 960 + 36 = 7396
དེར་བརྟེན། 862 = 7396 རེད་ལྟ་བུ། Mid point theorem
དཀྱིལ་གནས་ངེས་སྲོལ།
ཟུར་གསུམ་མ་ཞི ག ་གི ་ མཐའ་གཉི ས ་ཀྱི ་ དཀྱི ལ ་གནས་ མཐུད་པའི་ཐིག་དེ་མཐའ་གསུམ་པའི་ཕྱེད་ཀ་དང་མཉམ་
191
Mid-value of class /class mark A
འགྲོ ་ F
E B
F C
དང་། EF || BC རེད་ལྟ་བུ།
x BC
ཡི ན ་ཞེ ས ་པའི ་ ངེ ས ་སྲོ ལ ་ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། ∆ABC ནང་གི་ E དང་ ནི་མཐའ་ AB དང་ AC སོ་སོའ་ི དཀྱིལ་གནས་ཡིན་པས། EF = 12
Mid-value of class /class mark བར་ཚོའིི་ དཀྱིལ་ཐང་། བར་ཚོ་གཅིག་གི་དཀྱིལ་གནས་གྲངས་དེ་ ལ་བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་ཟེར། དེ་ནི་བར་ཚོའི་འོག་མཐའ་ དང་གོང་མཐའི་ཆ་སྙོམས་བཙལ་ཏེ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ ན། 17-20 ཡི་བར་ཚོའི་དཀྱིལ་ཐང་ནི་ 17 +2 20 = 18.5 ཡིན་པ་ལྟ་བུ། Minuend
འཐེན་བྱ། འཐེན་
པར་བྱ་བའི ་ ཡུལ་གྱི ་ གྲངས་དེ ་ ལ་ ཟེར།
192
8-5=3 འཐེན་བྱའི་གྲངས།
Minute
Minute སྐར་མ། དུས་ཡུན་ཆུ་ཚོད་གཅིག་གི་དྲུག་ཅུའི་
ཆའམ། ཡང་ན་སྐར་ཆ་དྲུག་ཅུའི་དུས་ཚོད་དང་མཚུངས་པའི་ 11 12 1 10 2 3 9 4 8 7 6 5
སྐར་མ།
ཡུན་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ནང་གི་ཆུ་ཚོད་དེས་སྐར་མ་ 59 སྟོན་པ་
ལྟ་བུ།
Mixed fraction གྲངས་ཆ་སྦྲགས་མ། ཧྲིལ་གྲངས་ དང་གྲངས་ཆ་ངོ ་ མ་གཉི ས ་སྦྲགས་ནས་སྟོ ན ་པ་ལ་ཟེ ར ། དཔེར་ན། 1 2 ལྟ་བུ་དང་། དེ་ནི་ 3 དཔེ ་ རི ས ་སུ་སྟོ ན ་པ་ལྟར་གང་ཚང་ གཅིག་དང་གསུམ་ཆ་གཉིས་ལྟ་བུ།
Mode བྱིངས་གྲངས། གྲངས་ཀྱི་ཚོགས་སམ་གྲངས་ཐོ་ ཞིག་ནང་བསྐྱར་སྐོར་ཡང་སྐོར་དུ་འཆར་ཐེངས་མང་ཤོས་ དེ་ལ་བྱིངས་གྲངས་ཟེར། f -f བྱིངས་གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་ནི་ = l + h 2f - f - f ཡིན་ཞིང་། l གྱི་བྱིངས་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་འོག་མཚམས་ m
m
1
1
2
193
Mode
དང་། h ཡི་བྱིངས་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད། fm གྱི་ བྱིངས་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་ཟློས་ཕྱོད། f1 བྱིངས་གྲངས་ཀྱི་ བར་ཚོའི་གོང་གི་ཟློས་ཕྱོད། f2 བྱིངས་གྲངས་ཀྱི་བར་ཚོའི་ རྗེས་ཀྱི་ཟློས་ཕྱོད་བཅས་མཚོན། དཔེར་ན། ༡། ཚེམ་བཟོ་བ་ཞིག་གིས་བཙེམས་པའི་སྟོད་ ཐུང་གི་ཚད་གཞི་ནི་ 32 དང་ 34, 36, 38, 40, 34, 38, བཅས་ཡིན་ན། གྲངས་ཐོ་དེ་ཚན་སྒྲིལ་མིན་ པའི་བྱིངས་གྲངས་ཐོག་བསྟན་པ་ནི།
42, 34, 30
སྟོད་ཐུང་གི་ཚད། སྟོད་ཐུང་གྲངས། སྐར་མ། 51-55
ཟློས་ཕྱོད།
56-60
7
61-65
8
66-70
4
194
2
30 32 34 36 38 40 42 1
1
3
1
2
1
1
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས་སྟོད་ཐུང་གི་ གྲངས་ཚད་མང་ཤོས་ནི་ 3 ཡིན་པས། གྲངས་ཐོ་དེའི་བྱིངས་གྲངས་ནི་ 34 རེད་ལྟ་བུ་དང་། ཡང་གཤམ་གྱི་རེའུ་ མིག་ནི་ཚན་སྒྲིལ་གྱི་གྲངས་ཐོ་ཞིག་ ཡིན་ཞིང་། དེའི་ཟློས་ཕྱོད་མཐོ་ཤོས་
Model
ནི་བར་ཚོ་ 61-65 ཡི་ཟློད་ཕྱོད་ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱང་། བྱིངས་ གྲངས་དངོས་དེ་ཚན་པ་དེའི་ནང་ཡོད་པའི་ངེས་པ་མེད་ པར་བརྟེན། གཤམ་གསལ་ཆོ་ག་སྤྱད་དེ་བྱིངས་གྲངས་ འཚོལ་དགོས། བྱིངས་གྲངས་ =
l + h
fm - f1 2fm - f1 - f2
l = 60.5 དང་ f1 = 7, fm = 8, f2 = 4, h = 5 8 - 7 2 × 8 -7- 4 1 བྱིངས་གྲངས་ = 60.5 + 5 × 5
བྱིངས་གྲངས་ = 60.5 + 5
= 61.5 ལྟ་བུ།
Model དཔེ་གཟུགས། མ་དཔེ། མིའམ་དངོས་པོ། གཟུགས་དབྱི བ ས་གང་རུང་ཞི ག ་གི ་ དཔེ ་ མཚོ ན ་འདྲ་ གཟུགས་སུ་བཀོད་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཨར་ལས་ འཛུགས་སྐྲུན་སྐབས་རིང་ཚད་དང་། རྒྱ་ཁྱོན། བོངས་ཚད་ སོ ག ས་ཀྱི ་ ཚད་འཇལ་ཚང་མའི ་ སྡུར་མཉམ་པར་མི ག ་ མདུན་དུ་འཆར་རྒྱུ་ཡོད་པའི་ཚད་གཞི་ཞིག་ལ་ཕབ་སྒྱུར་
195
Monomial
གྱིས་དཔེ་གཟུགས་སུ་སྟོན་པ་ལྟ་བུ།
Monomial རྐྱང་ཚན་ཚུལ། སྣོན་རྩིས་དང་འཕྲི་ རྩིས་བསྡུས་མེད་པའི་ཚུལ་ལམ། ཡང་ན་ཚན་པ་གཅིག་ ལས་མེད་པའི་ཚུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x, 3xy, -2x2 ལྟ་བུ།
Multiple ལྡབ་གྲངས། གྲངས་ཤིག་གིས་གྲངས་གཞན་
ཞིག་ལ་བགོས་ལྷག་མེད་པར་བགོད་ཐུབ་ན། བགོ་བྱ་ དེ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་སམ། གྲངས་ཤིག་ལ་རིལ་ གྲངས་ཀྱིས་བསྒྱུར་པས། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚང་མ་གྲངས་དེའི་ ལྡབ་གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། 12 ནི་ 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན་
ཏེ། 3 × 4 = 12 དང་། - 6 ནི་ 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས་ཡིན་ཏེ། 3 × (- 2) = - 6 ལྟ་བུ།
Multiplicand བསྒྱུར་བྱ། བསྒྱུར་བར་བྱ་བའི་གྲངས་ དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 6 × 3 = 18 ཀྱི་རྩིས་གཞིའི་ནང་གི་
6
ནི་བསྒྱུར་བའི་གྲངས་རེད།
Multiplication སྒྱུར་རྩིས། གྲངས་ཀ་བསྟུད་མར་
196
Multiplicative inverse
བསྡོམས་པའམ། བསྐྱར་ཟློས་ཀྱིས་སྣོན་པའི་སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་ བྱ་ཐབས་ཤིག་སྟབས་བདེ ར ་གཏོ ང་བའི་ཐབས་ལམ་ལ་ 5 སྒྱུར་རྩིས་ཟེར། དཔེར་ན། 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15 དང་། 3 ཀུ་ཤུ་ 15
5 × 31= 5 + 5 + 5 + 5 = 2 2 17.5 ལྟ་བུ།
Multiplicative inverse སྒྱུར་ལྡོག་གྲངས། ལོག་ གྲངས། གྲངས་ x ལྟ་བུ་ཞིག་ལྡོག་གྲངས་སུ་སྟོན་པ་སྟེ། 1 འམ་ x-1 དང་། ཡང་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ x 1 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་སྒྱུར་ལྡོག་གྲངས་ ཡིན། དེ་བཞིན་གྲངས་ཆའི་སྐབས་སུ་མ་ཆ་དང་བུ་ཆའི་ གནས་ཕན་ཚུན་བརྗེས་ན། གནས་ས་ལྡོག་པའི་གྲངས་ཆ་ ཞིག་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། དེ་ལ་ལྡོག་གྲངས་ཞེས་ཟེར། དཔེར་ན། 4
དང་ 2 , 5 བཅས་ཀྱི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ 1 དང་ 3 7 4 3 , 7 བཅས་སོ་སོར་ཡིན་པ་ལྟ་བུ། 2
5
197
Multiplier
Multiplier སྒྱུར་བྱེད། བསྒྱུར་བྱ་ལ་སྒྱུར་བར་བྱེད་ པའི་གྲངས་དེ་ལ་ཟེར། སྒྱུར་བྱེད་དང་བསྒྱུར་བྱ་གཉིས་ 6 × 3 = 18 གནས་ས་བརྗེ ས ་ཀྱང་བསྒྱུར་ སྒྱུར་བྱེད་གྲངས། ཐོ བ ་ལ་ཁྱ ད་པར་མེད་པས། བགོད་གྲངས་ཀྱང་ཟེར།
N Natural number རང་བྱུང་གྲངས། 1 ནས་འགོ་ བཙུགས་ཏེ། 2, 3, 4 སོགས་ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 བགྲང་འགྲོ་བའི་གྲངས་ཀྱི་མ་ ལག་ཅིག་ལ་ཟེར།
198
Negative exponents
Negative exponents སྟོན་གྲངས་མོ། གྲངས་གང་ ཞིག་གི་སྟོན་གྲངས་དེ་མོ་གྲངས་ཡིན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ p ན། xy-2, 8-3 ལྟ་བུ་དང་། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ q ཡི་ལྡོག་ p -2 q གྲངས་ p ནི་སྟོན་གྲངས་ q གིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། དེ་ ལྟ་བུ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྟོན་གྲངས་མོ་རེད། Negative integers
རིལ་གྲངས་མོ། མོ་གྲངས་
སམ་རང་བྱུང་གྲངས་ཀྱི་མདུན་དུ་མོ་རྟགས་ (-) བྲིས་ པའི་གྲངས་ ( -1, -2, -3, ...) ཡང་ན་ཀླད་ཀོར་ལས་ཆུང་ བའི་གྲངས་ལ་རིལ་གྲངས་མོ་ཟེར། Negative number མོ་གྲངས། ཕོ་གྲངས་ { 1, 2, 3, 4, 5, ....} ལྟ་བུ་དང་། མོ་གྲངས་ { -1, -2, -3, -4, -5, ....} ཀླད་ཀོར་ { 0 }བཅས་ཡོད་པ་ལས། ཕོ་གྲངས་ཀྱི་ལྡོག་ ཕྱོགས་ཀྱི་གྲངས་དེ་ལ་མོ་གྲངས་སམ། ལྡོག་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། ༡། རིལ་གྲངས་ནི་ .., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
199
Negative rational exponents
དང་། ༢། མོ་གྲངས་ནི་ ... , -5, -4, -3, -2, -1, ... ༣། ཕོ་གྲངས་ནི་ +1, +2, +3, +4, +5, ... ༤། མོ་གྲངས་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ནི་ (ཧྲིལ་གྲངས་) 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... བཅས་སོ།། 4, 5, ...
Negative rational exponents ལུགས་ལྡན་སྟོན་ གྲངས་མོ། གལ་ཏེ་ x > 0 ལུུགས་ལྡན་གྲངས་དང་དེའི་ -p -p སྟོན་གྲངས་མོ་ q ཡིན་ན། (x) q ལྟར་འབྲི་དགོས། དེའི་
ལོག་གྲངས་བྲིས་ན་
32 དཔེར་ན། 243 4
-5
4 - 5
32 = 243 243 32 16 ལྟ་བུ། 81
4 5
1 x
p q
p q
= 1 x
རེད།
སྟབས་བདེ་བཟོ་དགོས་ན། = 243 32
1 4 5
=
2 3
1 4
5 5
4 = 2 = 3
Negative rational numbers ལུགས་ལྡན་གྲངས་ -p མོ། q ལས་ p དང་ q གཉིས་ནི་རིལ་གྲངས་དང་ q ≠ 0 ཡིན་པ་ལ། p དང་ q གཉིས་ཀྱི་ཕོ་མོའ ི་རྟགས་གཅིག་
200
Non-collinear points
པ་མིན་པའམ། ཡང་ན་ཀླད་ཀོར་ལས་ཆུང་བ་ཡིན་པའི་ 3 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། -1.5, -0.5, -5 , -8 ལྟ་བུ། 5
Non-collinear points
ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་
མིན་པ། གནས་གསུམ་མམ་དེ་ལས་མང་བ་
Q
R ཐིག་གཅིག་སྟེང་མེད་པའི་གནས་དེ་དག་ལ་ P S ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་ P དང་ Q, R, S བཅས་ནི་ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་མིན་པ་ ལྟ་བུ།
Non-terminating decimal
གྲངས།
ཚད་མེད་སིལ་
སིལ་གྲངས་ཚེག་རྗེས་ཀྱི་གྲངས་གནས་རྫོགས་ མཐའ་མེད་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 1 སིལ་གྲངས་སུ་སྒྱུར་ 7 སྐབས། 1 = 0.142857... ལྟ་བུའི་སིལ་གྲངས་གནས་ 7
ལ་རྫོགས་མཐའ་མེད་སྟབས། དེ་ནི་ཚད་མེད་སིལ་གྲངས་ ཡིན།
201
Not defined
Not defined གོ་དོན་མེད་པ། རྩིས་གཞི་གང་ཡིན་ ཤེས་ཀྱི་ཡོད་ཀྱང་འགྲིག་མིན་གོ་དོན་འགྲེལ་རྒྱུ་མེད་ན། དེ་ལ་གོ་དོན་མེད་པ་ཟེར། དཔེར་ན། མངར་ཆ་ 3 སློབ་
ཕྲུག་ 0 ལ་བགོས་པས། སློབ་ཕྲུག་རེར་མངར་ཆ་ག་ཚོད་ ཐོབ་བམ་ཞེ་ན་བགོ་བྱ་མངར་ཆ་ 3 ཡོད་ནའང་། བགོད་ བྱེད་སློབ་ཕྲུག་དངོས་སུ་མེད་པས། 3 ÷ 0 ལྟ་བུ་གོ་དོན་ འགྲེལ་རྒྱུ་མེད་པས་སོ།།
Number གྲངས། གྲངས་རྩིས་རྒྱག་པའམ་ཚད་འཇལ་ བ་སོགས་སུ་འཇུག་པའི་དོན་དམ་གྱི་བསམ་བློའ ི་འཆར་སྒོ་ ཞིག་ལ་ཟེར། དེ་མཚོན་ཐབས་ནི་བཞི་དང་ 4 ལྟ་བུ།
Number line གྲངས་ཐིག། ཐིག་གི་གནས་ཚང་མ་ དངོས་གྲངས་ཀྱི་མཚོན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནི་ རིལ་གྲངས་ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 རྣམས་ཚད་ གཞི་རྐྱང་པའི་བར་ཐག་ཏུ་བཀོད་ཡོད་པའི་གྲངས་ཐིག་ རེད།
202
Numeral
Numeral ཨང་ཀི གྲངས་ཀྱི་མཚོན་རྟགས་ལ་ཨང་ཀི་ ཟེར། དཔེར་ན། 3 དང་ 49 སོགས་ནི་ཨང་ཀི་ཡིན།
Numerical data ཨང་ཀིའི་གྲངས་ཐོ། གཞི་གྲངས། གྲངས་ཐོ་གང་ཞིག་ཨང་ཀིའི་རྣམ་པར་བཀོད་པ་ལ་ཟེར།
Numerical factor ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས། ཚབ་ རྩིས་ཚུལ་སྐབས་རྩིས་བརྗོད་ཅིག་ནང་གི་ཚན་པ་ 18xy ལྟ་བུར་མཚོན་ན། 18 དང་ x, y བཅས་ལ་ཚན་པ་དེའི་ བགོད་གྲངས་ཟེར་ཞིང་། 18 ལ་ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་ དང་། x དང་ y ལ་ཡིག་འབྲུའི་བགོད་གྲངས་ཟེར། Numeration system གྲངས་ཀྱི་ལམ་ལུགས། གྲངས་མཚོན་པར་བྱེད་པའི་འབྲི་ལུགས་ཤིག་ལ་ཟེར། གྲངས་ཀྱི་ལུགས།
ཧིན་དུ་ཨ་ར་བིཀ་ལུགས། བོད་ཀྱི་ལུགས།
གྲངས་སྤྱོད་པ།
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... ༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩ ...
203
Numerator རོ་མན་ལུགས།
I, V, X, L, C, D, M
Numerator བུ་ཆ། དངོས་པོ་གང་ཞིག་དུམ་བུ་གཅིག་ མཚུངས་སུ་བཏང་བའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་ཐོབ་ཆའམ་གྲངས་ཆའི་ བུ་ཆ། འཕྲེད་ཐིག་གོང་གི་གྲངས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ཤོག་བུ་ 6 སྒོར་མོ་དེ་དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་ 8 བརྒྱད་དུ་བཏང་བའི་ཆ་ཤས་དྲུག་ ལ་ཚོན་བཏང་ན། ཚོན་བཏང་བའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་གྲངས་དེ་ལ་ བུ་ཆ་ཟེར།
O Oblique sketches འཕྲེད་གསེག་སྐྱ་ཐིག། ཐིག་
204
Obtuse angle
རིས་ཤོག་བུའི་ཐོག་གི་ཐིག་སྤྱད་དེ་གསེག་བྲིས་ཀྱིས་དབྱིབས་ གཟུགས་ཤིག་གྲུབ་ཅིང་། དབྱིབས་གཟུགས་ དེའི་ཟུར་ 90˚ ལས་ཆུང་བ་ཡིན་པ་ལ་ཟུར་ ཚད་རྣམས་སྡུར་ཕྲེ ང ་ནང་ཏག་ཏག་ཡོ ད ་ པའི་དཔེ་རིས་རགས་པ་ཞིག་ལ་ཟེར།
Obtuse angle རྟུལ་ཟུར། དྲང་ཟུར་ལས་ཆེ་བ་དང་། 130˚
སྙོ མ ས་ཟུར་ལས་ཆུང་བའམ།
ཡང་ན་ཟུར་ཚད་ལ་ 90˚ ལས་
མང་བ་དང་ 180˚ ལས་ཉུང་ བ་ཡོད་པའི་ཟུར་ཞིག་ལ་ཟེར། Obtuse triangle རྟུལ་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། ཟུར་ A གཅིག་གི་ཟུར་ཚད་ལ་ 90˚ 50˚ ལས་མང་བ་ཡོ ད ་པའི ་ ཟུར་ གསུམ་མ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ 100˚ 30˚ B C ན། ΔABC ལྟ་བུ།
205
Odd number
Odd number ཡ་གྲངས། 2 ཀྱིས་བགོས་མ་ཐུབ་ པའི་གྲངས་ཚང་མར་ཡ་གྲངས་ཟེར། ཡ་གྲངས་ནི་ཕོ་ གྲངས་དང་མོ་གྲངས་གཉིས་ཀར་འབྱུང་སྲིད། དཔེར་ན། 1 དང་ 3, 5, 7, 9, 11... ལྟ་བུ།
Open figure ཁ་ཕྱེ་བའི་དབྱིབས། དབྱིབས་གང་ ཡང་རུང་བ་ཞིག་གི་མགོ ་མཇུག་གི ་ སྣེ ་ གཉི ས ་ཚེ ག ་གཅི ག ་གི ་ ཐོ ག ་མེ ད ་ པའི་དབྱིབས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་དབྱིབས་དེ་གཉིས་ཀྱི་སྣེ་གཉིས་ཚེག་ གཅིག་གི་ཐོག་ཏུ་མེད་པ་ལྟ་བུ།
Opposite angles གཏད་ཟུར། མཐའ་གསུམ་ལས་ H མང་བའི ་ དབྱི བ ས་གང་ཞི ག ་གི ་ G ཁ་གཏད་དུ་ཡོད་པའི་ཟུར་གཉིས་ སམ། ཡང་ན་ཉེ་ཟུར་མིན་པའི་ E F ཟུར་གཉིས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན།
206
Opposite ray
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ EFGH ལ་མཚོན་ན། དེའི་ ∠H དང་ ∠F གཉིས་གཏད་ཟུར་དང་། དེ་བཞིན་ ∠E དང་ ∠G གཉིས་གཏད་ཟུར་ཡིན་ལྟ་བུ། Opposite ray འཕྲོ་ཐིག་ལྡོག་མ། འཕྲོ་ཐིག་ནི་ རྫོགས་མཐའ་མེད་པར་བརྐྱངས་ནས་འགྲོ་བའི་ཐིག་ཅིག་ ཡིན་ཞིང་། དེ་ལྟ་བུའི་ཐིག་གི་ལྟེ་གནས་ཤིག་ནས་ཕྱོགས་ གཉིས་སུ་ལྡོག་འཕྲོ་ཡིན་ན། ཐིག་དེ་ལ་འཕྲོ་ཐིག་ལྡོག་མ་ ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ A O B l ནང་གི་ཐིག་ l སྐབས་ འཕྲོ་ཐིག་ OA དང་ OB ནི་ཕན་ཚུན་འཕྲོ་ཐིག་ལྡོག་མ་ རེད།
Opposite side གཏད་མཐའ། མཐའ་བཞི་མའམ་དེ་ A D ལས་མང་བའི་དབྱིབས་གང་ཞིག་ གི་མཐའ་གཅིག་གི་ཁ་གཏད་དུ་ ཡོ ད ་པའི་མཐའ་གཞན་དེ་ལ་ B C
207
Opposite side of an angle
ཟེར། དཔེར་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་མཐའ་ AB དང་ DC གཏད་མཐའ་དང་། AD དང་ BC གཏད་ མཐའ་ཡིན་པ་ལྟ་བུ། Opposite side of an angle
ཟུར་གྱི་གཏད་
མཐའ། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཞིག་གི་ཁ་གཏད་དུ་ཡོད་
པའི་མཐའ་ལ་ཟེར། གཞན་ཡང་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་ མ་སོགས་ལའང་གཏད་མཐའ་ཡོད། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ∆ABC ནང་མཐའ་ AB དང་ AC C གཉིས་ ∠A ལ་འཕྲད་ཅིང་། མཐའ་ BC ནི་ ∠A ཡི་ཁ་གཏད་དུ་ཡོད་པས། B A མཐའ་དེ་ལ་གཏད་མཐའ་ཟེར་བ་དང་། ∠A ལ་མཐའ་ BC ཡི་གཏད་ཟུར་ཟེར། དེ་བཞིན། CA ལ་ ∠B ཡི་གཏད་མཐའ་ཟེར་བ་དང་། ∠C ལ་མཐའ་ AB ཡི་གཏད་ཟུར་ཟེར། Order གོ་རིམ། དངོས་པོའམ་གྲངས་གང་ཞིག་ཆེ་ཆུང་
208
Ordinate
ལྟར་གནས་གཏན་འཁེལ་བ་ལ་གོ་རིམ་ཞེས་ཟེར། དཔེར་ ན། 3 དང་ 12, 5, 2, 9 བཅས་མཐོ་བ་ནས་དམའ་བར་གོ་ རིམ་བཞིན་བསྒྲིགས་ན། 12, 9, 5, 3, 2 ལྟ་བུ།
Ordinate གཞུང་མདའི་གནས་ཚད། གཞུང་མདའི་ y གནས་ཚད་ཀྱི་ཐང་གང་ཡི ན ་སྟོ ན ་ པ ར ་ བྱེ ད ་ པ འི ་ ཚ ད ་ དེ ་ ལ ་ ཟེ ར ། དཔེར་ན། སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས་ནང་ གི་ P ཡི་གནས་ཚད་ (3,2) ཡིན་ པས། 2 ནི་གཞུང་མདའི་གནས་ཚད་ ཡིན་ལྟ་བུ།
y-axis
3 2 1
P
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3
x-axis
Orthocentre འཕྱང་ལྟེ། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་སོ་ A སོ ར ་འཕྱང་ཐི ག ་རེ ་ རེ ་ བཀོ ད ་པས། F E འཕྱང་ཐི ག ་དེ ་ དག་ཕན་ཚུན་སྣོ ལ ་ L སའི་གནས་དེ་ལ་འཕྱང་ལྟེ་ཟེར། B D C (ཀ) དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་རྣོ་ཟུར་
209
Pair of angles
དང་དྲང་ཟུར། རྟུལ་ཟུར་བཅས་ཀྱི་ཟུར་ A E གསུམ་མ་ཁག་སོ་སོའ་ི གཏད་མཐའ་དང་ L F དྲང་འཕྱང་ཡི ན ་པའི ་ ཐི ག ་དུམ་གསུམ་ B C D (ཁ) རེ་བཀོད་པས། དེ་དག་འཕྲེད་སྣོལ་བྱེད་ L སའི་གནས་ L ནི་ F E A ཟུར་གསུམ་མའི་དཔངས་ཀྱི་སྤྱི་གནས་ D B C ཡིན་ཞིང་། སྤྱི་གནས་དེ་ལ་འཕྱང་ལྟེ་ (ག) ཟེར།
P
Pair of angles ཆ་ཟུར། ཟུར་གང་རུང་གཉིས་ལ་
210
Pair of linear equation in two variables
ཟེར། ཆ་ཟུར་འགའ་ནི་ཉེ་ཟུར་དང་། ཉེ་གསབ་ཟུར། ལྡོག་ འཕྲད་ཟུར། གྲོགས་ཟུར། གསབ་ཟུར། བསྣོལ་ཟུར། གནས་ མཐུན་ཟུར་བཅས་ཡིན། Pair of linear equation in two variables རྒྱུ་
གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག རྒྱུ་གཉིས་ཏེ་
དང་ y ལྟ་བུ་མཉམ་བྱ་གཉིས་ཀར་ཡོད་པ་དང་། མཉམ་ བྱ་དེའི་ཐེངས་གྲངས་ 1 ཡིན་ན། དེ་ལ་རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་ གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ཆ་སྒྲིག་ཅེས་ཟེར། ཡོངས་གྲགས་སུ་རྒྱུ་ x དང་ y ཡིན་པའི་རྒྱུ་གཉིས་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ཆ་ སྒྲིག་འགྲུབ་ཚུལ་ནི། a1x + b1y + c1 = 0 དང་ a2x + b2y + c2 = 0 ཡིན་པ་དང་། a1, b1, c1, a2, b2, c2 ནི་ དངོས་གྲངས་དང་། a1 དང་ b1, a2, b2 ནི་ཀླད་ཀོར་མིན། དཔེར་ན། 2x + 3y = 9 དང་། 6x + 8y - 7 = 0 ལྟ་བུ། x
Parabolas པེ་ར་བོ་ལ། (དངོས་འཕངས་ཐིག། )
211
Parabolas
མཉམ་འགྲོ་ངོས་སྙོམས་ཤིག་གི་མཐར་གྲུ་སྙུང་ཐིག་ཅིག་ གི ས ་འཕྲེ ད ་སྣོ ལ ་བྱས་པ་ལས་གྲུབ་པའི ་ ཁ་འབྱེ ད ་པའི ་ འཁྱོག་ཐིག་ཅིག་ལ་ x -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = x - 3x - 4 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 ཟེར། པེ་ར་བོ་ལ་ y 7 ཐོ ག ་གི ་ གནས་གང་ (5, 6) (-2, 6) 6 ཡི ན ་ རུ ང ་ དེ ་ ནི ་ 5 4 བ རྟ ན ་ ག ན ས ་ 3 2 (fixed Point) (-1, 0) 1 (4, 0) x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ད ང ་ དྲ ང ་ ཐི ག ་ -1 -2 བ རྟ ན ་ ག ན ས ་ -3 -4 (0, -4) (3, -4) (dirextrix) -5 ག ཉི ས ་ ཕ ན ་ ཚུ ན ་ -6 (2, -6) -7 1, -6) བ ར ་ ཐ ག ་ ག ཅི ག ་ མཚུངས་སུ་ཡོད། ཐེངས་གཉིས་ཚན་མང་ཚུལ་ ax2 + bx + c, a ≠ 0 གང་ y = x2 -
3x - 4
2
རུང་ཐིག་རིས་སུ་སྟོན་པས། མཉམ་བྱ་ y = ax2 + bx +
212
Parallel lines
ལ་འཁྱོག་ཐིག་ཁ་ཡར་འབྱེད་ ∪ དམ་འཁྱོག་ཐིག་ཁ་ མར་འབྱེད་ ∩ ཀྱི་དབྱིབས་གཉིས་ལས་གང་རུང་གཅིག་ བྱུང་གི་ཡོད། དཔེར་ན། y = x2 - 3x - 4 མཉམ་བྱ་དཔེ་ རིས་ནང་བསྟན་པའི་ x གནས་ཚད་ (-1, 0) དང་ (4, 0) ཡིས་གྲུབ་པའི་འཁྱོག་ཐིག་ཁ་ཡར་འབྱེད་ལྟ་བུ། c
Parallel Lines མཉམ་འགྲོ་ཐིག། ཐད་གཤིབ་ཐིག། སྙོ མ ས་ངོ ས ་ཤི ག ་སྟེ ང ་ཡོ ད ་ n པའི་ཐིག་ཐ་དད་གཉིས་ m དབར་བར་ཐག་རི ང ་ཐུང་ གཅིག་མཚུངས་ཡོད་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ནང་གི་ཐིག་ n དང་ m གཉིས་ནི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ཡིན།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ།
Parallelogram
མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་གི་གཏད་མཐའ་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ་ P S ལ་ཟེར། མཉམ་འགྲོ་ མཐའ་བཞི་མའི་ཁྱད་ Q
R
213
Pattern
ཆོས་ནི། ༡། གཏད་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཚུངས་པ། PS = QR, PQ = SR
༢། གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་མཚུངས་པ། ∠P = ∠R དང་ ∠Q = ∠S
༣། མུ་འབྲེལ་ནང་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 180˚ ཡིན་པ། ∠P + ∠Q = 180˚, ∠S + ∠R = 180˚ སོགས་ལྟ་བུ། Pattern དཔེ་འགྲོས། བཟོ་བཀོད་ཀྱི་རྒྱན་བསྐྱར་ཟློས་ སུ་ཆགས་པའི་དཔེ་རིས་སམ་གྲངས་ཤིག་བསྐྱར་འཁོར་ ཡང་འཁོར་དུ་ཆགས་པ་ཞིག་ལ་དཔེ་འགྲོས་ཟེར། དཔེ་ འགྲོས་ལ་རིགས་གཉིས་ཏེ། དབྱིབས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་དང་། གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ཡིན་ཞིང་།
དབྱིབས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ལ་ནང་ ཚན་གཉིས་ཡོད་པ་ནི། རང་ བྱུང་དཔེ་འགྲོས་དཔེར་ན། ཕྱེ་
214
Pentagon
མ་ལེབ་ཀྱི་གཟུགས་རིས་དང་། སྦྲང་ཚང་གི་རི་མོ་ལྟ་བུ་ དང་། མིས་བཟོས་དཔེ་འགྲོས་དཔེར་ན། ཁང་པའི་ཞ་ལ་ དང་། རྩིག་པ་སོགས་སུ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད་པ་ལྟ་བུ། དེ་བཞིན་ གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་དཔེར་ན། 1, 3, 5, 7, 9...སོགས་ནི་ གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ཤིག་ཡིན་ཏེ། 2 ཀྱི་ཁྱད་པར་ཡོད་པ་ སོགས་ལྟ་བུ། Pentagon
དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ། ཁ་ཟུམ་པའི་
མཐའ་མཉམ་པའི་ དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ།
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ།
མཐའ་ལྔ་ཅན་གྱི་ངོས་སྙོམས་དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེར། དེ་ལ་ མཐའ་ལྔ་ཅན་གྱི་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཀྱང་ཟེར།
215
Percentage
Percentage བརྒྱ་ཆ། གྲངས་གང་ཞིག་ཆ་ཤས་ བརྒྱར་བགོད་པའི་ཆ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། བརྒྱ་ཆ་གཅིག། བརྒྱ་ཆ་དགུ་བཅུ་གོ་ལྔ་ལྟ་བུ། བརྒྱ་ཆའི་མཚོན་རྟགས་ནི་ % ཡིན།
Perfect cube number སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག། རིལ་ གྲངས་གང་ཞིག་རང་སྒྱུར་ཐེངས་གསུམ་བྱས་པའི་ཐོབ་དེ་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 8 (8 = 2 × 2 × 2), 27 (27 = 3 × 3 × 3) ལྟ་བུ།
Perfect square ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག། རིལ་གྲངས་ གང་ཞི ག ་རང་སྒྱུར་ཐེ ང ས་གཉི ས ་བྱས་པའི ་ ཐོ བ ་དེ ་ ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 16 ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཅིག་ཡིན་ཏེ། 42 = 16 ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Perimeter
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།
ཕྱོགས་ཚད་ གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའི་བར་ཐག་ལ་མཐའ་ འཁོར་རིང་ཚད་ཟེར། དཔེར་ན། ཀ) ABCD གྲུ་བཞི་ནར་
216
Perimeter
མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་འཇལ་དགོས་ན། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 7cm = 2 × AB + 2 × BC = 2 × (AB + BC) = 2(དཀྱུས་ +
A
B
3 cm
= AB + BC + CD + DA
D
C
ཞེང་) ཡིན་པས། དེ་ནི་མཐའ་འཁོར་རིང་
ཚད་ཡིན། ABCD ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་ ) = 2 × ( 7 + 3 ) ཡང་ན། = (3 + 7 + 3 + 7) cm = 20 cm
ཡིན་པ་ལྟ་བུ་དང་།
ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི།
དཀྱུས་ + ཞེང་ + དཀྱུས་ + ཞེང། = མཐའ་ + མཐའ་ + མཐའ་ + མཐའ། ཡང་ན། = 4 × མཐའ། ཡིན། =
217
Perpendicular bisector
= 4 × མཐའ། = 4 × 5 cm = 20 cm
ཡིན་ལྟ་བུ།
Perpendicular bisector
བགོད་ཐིག།
ཆ་ཤས་གཅིག་ མཚུངས་སུ་བགོད་པའི་འཕྱང་ཐིག་ དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། AB ནི་ PQ ཡི ་ མཉམ་བགོ ད ་དྲང་འཕྱང་ཐི ག ་ ཅིག་ཡིན།
5cm
P
Q
5 cm
PQRS ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།
S
R
དྲང་འཕྱང་མཉམ་ A 90˚
P
Q
B
Perpendicular from the centre to a chord
སྒོར་ལྟེ་ནས་རྒྱུད་ཐིག་ལ་དྲང་འཕྱང། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་
རྒྱུད་ཐིག་གི་དཀྱིལ་གནས་དང་སྒོར་ལྟེ་ སྦྲེ ལ ་བའི ་ ཐི ག ་ནི ་ རྒྱུད་ཐི ག ་དང་དྲང་ འཕྱང་ཡིན། དཔེར་ན། སྒོར་ལྟེ་ O ཡིན་ A
218
O M
B
Perpendicular lines
པའི་སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བཀོད་རྗེས་རྒྱུད་ཐིག་ AB བིྲས་ ནས་དེའི་དཀྱིལ་གནས་ལ་མིང་ M ཐོགས། དེ་ནས་ MO མཐུད་པས། ∠OMA = ∠OMB = 90˚ ཡིན་ལྟ་བུ། Perpendicular lines
དྲང་འཕྱང་ཐིག།
དྲང་ ཐི ག ་གཉི ས ་ཟུར་ཚད་ A 90˚ ཐོག་འཕྲད་པས། དེ ་ ག ཉི ས ་ ལ ་ དྲ ང ་ འ ཕྱ ང ་ ཐི ག ་ ཟེ ར ། 90˚ དཔེ་རིས་ CB D དཔེར་ན། ནང་གི་དྲང་ཐིག་ AB དང་ CD གཉིས་ནི་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པ་དང་། དྲང་ཐིག་ གཉིས་འཕྲད་གནས་སུ་ཟུར་བཞི་འགྲུབ་ཅིང་། ཟུར་བཞི་ ཡི་ཟུར་ཚད་ལ་ 90˚ རེ་ཡོད་པ་ལྟ་བུ།
Pi པཱཡི། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་ c དེའི་ཚངས་ཐིག་གི་སྡུར་རྟག་གྲངས་ d ནི་གྷི་རིཀ་ཡིིག་
219
Pictographs
འབྲུ་ π ཡིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། དེ་ནི་
c =π d
ཡིན།
(c ནི་སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད་དང་ d ནི་ཚངས་ཐིག་མཚོན།)
གནའ་བོའ་ི རྩིས་རིག་སྨྲ་བ་རྣམས་ཀྱིས་ π ཡི་ཉེ་མཚུངས་
ཐང་མི་འདྲ་བ་སྤྱད་ཡོད་དེ། བེ་བི་ལོན་ན་བ་ (Babylo-
རྣམས་ཀྱིས་ π ཡི་ཐང་དུ་རོབ་རྩིས་ཀྱིས་ 3 སྤྱད་ ཡོད་པ་དང་། གྷི་རིཀ་པ་ཚོས་ 227 སྤྱད་ཡོད། ཕྱི་ལོའ་ི སྔོན་ གྱི་ལོ་ ༢༥༠ ཡས་མས་ཙམ་ལ་ཨར་ཀི་མེ་ཌིས་ (Archi1 10 medes) ཡིས་ π ཡི་ཐང་ནི་ 3 7 དང་ 3 71 དབར་དུ་ ཡོད་པའི་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱས་ཡོད། རྒྱ་གར་གྱི་རྩིས་རིག་སྨྲ་ 62832 བ་ཨརྱ་བྷ་ཊས་ (༤༧༦-༥༥༠) π ཡི་ཐང་དུ་ 20000 བཞག་ པ་འདི འི ་ སྐབས་སུ་སི ལ ་གྲངས་གནས་བཅུ་དྲུག་བར་ རྩིས་ཡོད། འོན་ཀྱང་པཱཡེ་རྩིས་རྒྱག་སྐབས་ཡོངས་གྲགས་ སུ་པཱཡེ་ཡི་ཉེ་མཚུངས་ཐང་ 227 སམ་ 3.14 སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། nians)
Pictographs པར་རིས། དངོས་པོའ་ི གྲངས་ཐོ་ངེས་ ཅན་ཞིག་མཚོན་པར་བྱེད་པའི་དཔེ་རིས་ལ་ཟེར། དཔེར་
220
Place value ཚོང་པས་བཙོངས་པའི་ཀུ་ཤུའི་གྲངས།
བདུན་ཕྲག། ༡ བདུན་ཕྲག ༢ བདུན་ཕྲག ༣ བདུན་ཕྲག ༤
= ཀུ་ཤུ་ 40
= ཀུ་ཤུ་ 20
ན། དཔེ་རིས་དེས་ བདུན་ཕྲག་བཞིའི་ ནང་ཚོང་པ་ཞིག་ གིས་ཀུ་ཤུ་བཙོངས་ པའི་གྲངས་ཐོ་སྟོན་ གྱི་ཡོད། པར་རིས་
ནང་ཀུ་ཤུ་ཕྱེད་ཀས་ཀུ་ཤུ་ 20 དང་། ཀུ་ཤུ་གང་ཚང་གཅིག་ གིས་ཀུ་ཤུ་ 40 མཚོན། Place value
གནས་ཐོབ། གྲངས་ཤིག་གི་གྲངས་
གནས་སོ ་ སོ འ ་ི ཐང་གང་ཡི ན ་གསལ་སྟོ ན ་བྱེ ད ་པ་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 352 ལ་མཚོན་ན། 2 ནི་གཅིག་གནས་ ལ་ཡོད་པས། དེའི་གནས་ཐོབ་ནི་ 2 ཡིན་པ་དང་། 5 ནི་ བཅུ་གནས་ལ་ཡོད་པས། དེའི་གནས་ཐོབ་ནི་ 50 ཡིན་པ། 3 ནི་བརྒྱ་གནས་ལ་ཡོད་པས། དེའི་གནས་ཐོབ་ནི་ 300 ཡིན། གྲངས་འགའ་ཞིག་གི་གནས་ཐོབ་རེའུ་མིག་ཏུ་སྟོན་ པ་གཤམ་གསལ།
221
Plane surface
གནས་ཐོབ་རེའུ་མིག།
གྲངས་ གནས། 0.4
ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ཆ།
བརྒྱ་ གནས།
23.02 101.12
1
སིལ་
སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཆ།
0
ཚེེག .
བཅུ་ ཆའི་ གནས། 4
བརྒྱ་ ཆའི་ གནས།
2
3
.
0
2
0
1
.
1
2
བཅུ་ གནས།
གཅིག་ གནས།
གྲངས་
Plane surface སྙོམས་ངོས། ཕྱོོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ གྱི་དབྱིབས་ཤིག་གི་ངོས་ཏེ། མཐུག་ཚད་མེད་པའི་ངོས་ ལེབ་ཅིག་ལ་ཟེར། ནམ་རྒྱུན་སྙོམས་ངོས་དབྱིབས་རིས་སུ་ སྟོན་སྐབས། མཐའམ་གཞོགས་ཡོད་པའི་སྙོམས་ངོས་ ཤི ག ་ འ བྲི ་ ཡི ་ ཡོ ད ་ ཀྱང་། དོན་དངོས་སུ་ སྙོམས་ངོས། སྙོ མ ས་ངོ ས ་ལ་མཐའ་ འ མ ་ ག ཞོ ག ས ་ མེ ད ། དཔེར་ན། གོང་གི་དཔེ་རིས་ནང་སྟོན་པ་ལྟ་བུ།
222
Point
Point ཚེག། གནས། ཞ་སྨྱུག་སོགས་རྩེ་རྣོ་བའི་ དངོ ས ་པོ ་ ཞི ག ་གི ས ་ངོ ས ་ལེ བ ་སྟེ ང ་རྟགས་ཕྲན་ཚེ ག ས་ ཤིག་བཀོད་པ་ལ་ཟེར། Point of concurrence ཐིག་གི་ཆུན་པོའ་ི གནས། m n l ཐིག་གསུམ་མམ་གསུམ་ལས་མང་བས་ P གནས་གཅིག་བརྒྱུད་དེ་ཕན་ཚུན་འཕྲེད་ སྣོལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད་ན། གནས་དེ་ལ་བརྒྱུད་ ཐི ག ་གི ་ གནས་སམ་ཐི ག ་གི ་ ཆུན་པོ འ་ི གནས་ཟེར། དཔེར་ན། ཐིག་ l དང་ m, n བཅས་ཀྱིས་གནས་ P བརྒྱུད་ དེ་ཕན་ཚུན་འཕྲེད་སྣོལ་བྱས་པ་ལྟ་བུ།
Polygon དབྱིབས་མཐའ་མང། དྲང་ཐིག་ལས་གྲུབ་ པའི་ཁ་ཟུམ་པའི་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ ལྡན་གྱི་དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་དབྱིབས་དེ་ནི་ དྲང་ཐིག་ལྔ་ལས་གྲུབ་པའི་ཆ་མི་
223
Polynomial
མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་རེད།
Polynomial ཚན་མང་ཚུལ། Poly ཞེས་པ་ནི་མང་
བའི་དོན་དང་། nomial ཞེས་པ་ནི་ཚན་པའི་དོན་ཡིན་ཏེ། སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་སོགས་འདུས་པའི་ཚབ་རྩིས་ ཚུལ་དང་། དེ་དག་གི་རྒྱུའི་སྟོན་གྲངས་ཧྲིལ་གྲངས་ཡིན་ པ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 5, x, 17 + 2x + x2, 7x3 + 2 x2y - 5xy2 + 12y3 ལྟ་བུ།
Polynomial in one variable
མང་ཚུལ།
རྒྱུ་གཅིག་ཚན་
ཚན་མང་ཚུལ་ལ་རྒྱུའམ་ཡིག་འབྲུའི་གྲངས་ གཅིག་ལས་མེད་པའི་ཚབ་རྩིས་ཚུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x2 དང་ x2 + 9, 6 + 2x-2 ལྟ་བུ།
Positive exponent སྟོན་གྲངས་ཕོ། གྲངས་གང་ ན་གྲངས་ཕོ། ཞི ག ་གི ་ སྟོ ན ་གྲངས་དེ ་ ཕོ ་ ཡི ན ་པ་ལ་ n སྟོཞབས་གྲངས། ཟེར། དཔེར་ན། xy2, 82 ལྟ་བུ།
a
224
Positive integer
Positive integer རིལ་གྲངས་ཕོ། རང་བྱུང་གྲངས་ 1, 2, 3, ... ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན་ཞིང་། སྐབས་རེར་ +1, +2, +3, སོགས་ཀྱིས་ཀྱང་མཚོན། Positive rational exponent ལུགས་ལྡན་སྟོན་
གྲངས་ཕོ། གལ་ཏེ་
ལུུགས་ལྡན་གྲངས་དང་དེའི་ p ཡིན་ན། x q ལྟར་འབྲི་དགོས། དེར་ སྟོན་གྲངས་ཕོ་ p བརྟེན། x q ཡི་གོ་དོན་མཚུངས་ཐོབ་ཀྱི་རྣམ་པའི་ཐོག་ ནས་མཚོན་པ་ནི། p 1 q ཀ) x q = (xp) q = xp འདི་ལ་ xp ཡི་གཞི་གྲངས་ q ཞེས་ ཀློག་དགོས་པ་དང་། p 1 q ཁ) x q = (x q )p= ( x )p འདི་ལ་ x ཡི་གཞི་གྲངས་ q ཡི་ ཐེངས་གྲངས་ p ཞེས་ཀློག་དགོས་པ་བཅས་ཡིན། དཔེར་ན། ༡། མཚུངས་ཐོབ་ཀ་པ་ལྟར་རྩིས་ན། p q
x > 0
2
(125) 3
2
2
= (53) 3 = (53) 3 = 52 = 25
225
Power
༢། མཚུངས་ཐོབ་ཁ་པ་ལྟར་རྩིས་ན། 4 5
32 243
4
4
4
23 3 = 2 3 3 = 2 3 3 = 33 3 3 16 2 2 2 2 = 3 x x x = 81 ལྟ་བུ། 3 3 3
=
2 3
4
Power ཐེངས་གྲངས། གྲངས་ཤིག་རང་སྒྱུར་ཐེངས་ ག་ཚོད་བྱེད་དགོས་པའི་གྲངས་དེ་ལ་ཐེངས་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། ཐེངས་གྲངས། རིལ་གྲངས་ a × a ཡིན་ན། a2 ལྟར་ འབྲི་བ་དང་། དེ་ཀློག་སྐབས། a ཡི་ ཞབས་གྲངས། རང་ཉིས་སྒྱུར་རམ། a ཡི་ཐེངས་ གྲངས་ 2 ཞེས་ཀློག་དགོས། དེ་བཞིན། (-4)3 = (-4) × (-4)
a
n
སྟེ། འདི་ཀློག་སྐབས། -4 ཡི་རང་སུམ་སྒྱུར་ རམ། -4 སུམ་སྒྱུར། ཡང་ན། -4 ཐེངས་གྲངས་ 3 ཞེས་ཀློག་ དགོས།
× (-4) = -64
226
Predecessor
Predecessor སྔོན་གྲངས། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་ཤིག་ གི་གོང་མའི་གྲངས་ཏེ། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་དེ་ལས་ 1 གིས་ཆུང་བ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 3 གྱི་སྔོན་གྲངས་ནི་ 2 དང་། 15 ཡི་སྔོན་གྲངས་ནི་ 14 ཡིན་པ་ལྟ་བུ། Prime factorisation
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
ཧྲིལ་པོར་བགོ་ཐུབ་པའི་གྲངས་ཤིག་ལ་རྒྱུ་གྲངས་ཀྱིས་རིམ་ བཞིན་བགོས་ཏེ། བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་གོམ་པ་ མཐའ་མར་སླེབ་སྐབས། བགོད་གྲངས་ཚང་མ་རྒྱུ་གྲངས་ ལ་འགྱུར་གྱི་ཡོད། བརྒྱུད་རིམ་དེར་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ་ ཞེས་ཟེར།
Prime number རྒྱུ་གྲངས། རང་བྱུང་གྲངས་ཤིག་ གི་བགོད་གྲངས་ 1 དང་གྲངས་ཀ་རང་ཉིད་ལས་མེད་པའི་ གྲངས་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 13 ནི་རྒྱུ་གྲངས་ཡིན་ཏེ། དེའི་ བགོད་གྲངས་ནི་ 1 དང་ 13 ལས་མེད་ལྟ་བུ། Principal མ་དངུལ། སྐྱེད་ཀའམ་ཁེ་འབབ་ཐོབ་སྐལ་
227
Prism
མ་ཐེ་བའི་གཡར་དངུལ་ལམ་མ་འཛུགས་དངུལ་འབོར་ལ་ ཟེར།
Prism གྲུ་ཀ། གལ་ཏེ་ངོས་མང་གཟུགས་ཤིག་གི་ངོས་ གཉིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ་དང་། གཞན་ཉེ་འབྲེལ་ T S ངོ ས ་གཉི ས ་རེ འི ་ སྣོ ལ ་ཐི ག ་ཕན་ཚུན་ I མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ན། དེ་འདྲའི་ངོས་མང་ P R Q གཟུགས་ལ་གྲུ་ཀ་ཟེར། ཕན་ཚུན་མཉམ་ འགྲོ་ཡིན་པའི་ངོས་གཉིས་རང་ཡོད་པ་ ལ་གྲུ་ཀའི་ཞབས་ངོས་དང་། ངོས་གཞན་ E D H ལ་གྲུ་ཀའི་ལོགས་ངོས་ཟེར། རྩེ་ཚེག་ནི་ C A B ངོས་གསུམ་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ལྟར་ན། ABCDE དང་ PQRST ནི་ཞབས་ངོས་དང་། ABPQ དང་ BCQR སོགས་ནི་ལོགས་ངོས་དང་། AP དང་ BQ ནི་གྲུ། HI ནི་ མཐོ་བཅས་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
228
Probability
Probability སྲིད་ཕྱོད། བྱུང་བ་ཞིག་གི་རང་བཞིན་ ལ་དཔྱད་པས། འབྱུང་སྲིད་དང་མི་སྲིད། འབྱུང་ངེས་དང་ མ་ངེས་སོགས་ཀྱི་ཚོད་དཔག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཤོ་ཐེངས་ གཅིག་འཕངས་ཚེ། འབྱུང་སྲིད་པའི་གྲངས་ནི་ 1 དང་ 2, 3, 4, 5, 6 བཅས་ཡོད་པས། 1 ནས་ 6 བར་གང་རུང་ཞིག་ འཐོན་པར་སྲིད་ཕྱོད་ནི་ 16 རེད་ལྟ་བུ། Product
བསྒྱུར་ཐོབ། སྒྱུར་བྱེད་ 6
གྲངས་ཀྱིས་བསྒྱུར་བྱའི་གྲངས་ལ་བསྒྱུར་ བའི་ཐོབ་གྲངས་ལ་ཟེར། Profit
× 3 = 18 བསྒྱུར་ཐོབ།
ཁེ། རྒྱུ་དངོས་སོགས་ཀྱི་མ་གནས་ལས་ཚོང་
སྒྱུར་རིན་གོང་མཐོོ་བ་ཡོད་ན། དེའི་བར་ཁྱད་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཧིན་སྒོར་ 45 ལ་ཉོས་པའི་སྨྱུ་གུ་ཞིག་ཧིན་སྒོར་ 60 བྱས་ཏེ་བཙོངས་ན། ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཧིན་སྒོར་ 60 - མ་གནས་ཧིན་སྒོར་ 45 = ཁེ་སྒོར་ 15 ལྟ་བུ། Proper fraction གྲངས་ཆ་ཡང་དག། བུ་ཆ་ལས་མ་
229
Properties of isosceles triangle ཆ་ཆེ་བའི་གྲངས་ཆ་ལ་ཟེར། ba ནི་གྲངས་ཆ་ཡང་དག་ ཡིན་ན། a < 1 ཡིན། དཔེར་ན། 1 དང་ 2 ལྟ་ b 3 2
བུ།
Properties of isosceles triangle སྐེད་མཉམ་ ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ཆོས། ཟུར་མཚུངས་པས་གཏད་ A མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་མཚུངས་
Protractor
ཆས།
ཟུར་ཚད་འཇལ་
ཟུར་གྱི་ཚད་འཇལ་བར་ སྤྱོད་པའི་ཡོ་ཆས་ཤིག་ལ་ཟེར། དེའི་
230
cm
2.2
2.2
cm
པ་དང་། མཐའ་མཚུངས་པས་གཏད་ ཟུ ར ་ ག ཉི ས ་ ཀྱི ་ ཟུ ར ་ ཚ ད ་ ཀྱ ང ་ 75˚ མཚུངས་པའི་ཟུར་གསུམ་མའི་ཁྱད་ B 75˚ C ཆོས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ∆ABC དཔེ་རིས་ནང་གི་ ∠B = ∠C = 75˚ དང་ AB = AC = 2.2 cm ལྟ་བུ། ཕྱེད་སྒོར།
ཐིག་ཚད་ནང་མ།
ཐིག་ཚད་ཕྱི་མ།
Proportion
ཐོ ག ་ཐིག་ཚད་ནང་མ་དང་ཕྱི་མ་གཉིས་ཡོ ད ་ཅིང་། གཡས་སྐོར་དང་གཡོན་སྐོར་དུ་ 0˚ ནས་ 180˚ བར་ བྲིས་ཡོད།
Proportion སྡུར་ཕྲེང། གྲངས་འབོར་བཞི་ཡི་འབྲེལ་ བ་སྟེ། འབོར་དང་པོ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་དང་ལྷག་མ་གཉིས་ ཀྱི་སྡུར་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན་ན། འབོར་བཞི་པོ་དེ་ལ་ སྡུར་ཕྲེང་ཟེར། སྡུར་ཕྲེང་གི་རྟགས་ནི་ :: ཡིན། དཔེར་ན། ཐག་པ་ 20 m ཞིག་གི་ལྗིད་ཚད་ 1 kg ཡིན་པ་དང་།
དེ་འདྲའི་ཐག་པ་ 40 m ཡི་ ལྗིད་ཚད་ལ་ 2 kg ཡིན་ན། ཐག་པའི་རིང་ཚད་ཀྱི་སྡུར་ནི་ 20 = 1 དང་། དེའི་ལྗིད་ཚད་ཀྱི་སྡུར་ནི་ 1 kg = 1 2 2 40 2 kg རེད། དེར་བརྟེན། སྡུར་ཕྲེང་ནི། 20 m : 40 m : : 1 kg : 2 kg ལྟ་བུ། 20 m 1 kg
40 m 2 kg
Proportional intercepts property བཅད་ཐིག་
231
Pyramid
གི་སྡུར་ཚད་ཁྱད་ཆོས།
མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གསུམ་མམ་ དེ་ལས་མང་བ་ལ་གསེག་ཐིག་གཉིས་ཕྲད་དེ་གྲུབ་པའི་ q p སྡུ ར ་ ཚ ད ་ ནི ་ ག ཅི ག ་ l མཚུངས་ཡི ན ་ཞེ ས ་པ་སྟེ ། A E m F B དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་ n གི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ l དང་ G C m, n བཅས་གསུམ་ལ་ གསེག་ཐིག་ p འཕྲད་སའི་ གནས་སོ་སོར་མིང་ A དང་ B, C བཏགས་ནས་བཅད་ ཐིག་ AB = 2 cm དང་། BC = 3 cm བཅས་མཚོན་ན། AB 2 = རེད། དེ་བཞིན། མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གི་གནས་ BC 3 གཞན་ཞིག་ནས་གསེག་ཐིག་ q བཀོད་དེ་ཕྲད་གནས་ E དང་ F, G ནས་ q སྟེང་གི་བཅད་ཐིག་ EF དང་ FG གཉིས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ན། EF = 2 ཡིན་པ་ར་འཕྲོད་ཐུབ་ FG 3 པ་ལྟ་བུ། Pyramid གྲུ་སྙུང་།
232
ཞབས་དབྱིབས་མཐའ་མང་གིས་
Pythagoras theorem
གྲུབ་ཅིང་། ལོགས་ངོས་རྣམས་ཟུར་གསུམ་མ་དང་། ཟུར་ E གསུམ་མ་དག་གི་ཟུར་ཚེག་ཚང་མ་སྤྱི་ གནས་ཐོག་ཕྲད་པའི་གཟུགས་ལ་ཟེར། D C གྲུ་སྙུང་གི་དཔེ་མཚོན་ཞིག་ནི་སྔ་རབས་ A B ཨི ་ ཇི བ ཌ་རྒྱལ་པོ འ་ི བང་སོ ་ གྲུ་སྙུང་དེ ་ རེད། དཔེ་རིས་ལྟར་ན། ཞབས་ ABCD གྲུ་བཞི་ནར་མོ་
དང་། ལོགས་ངོས་ནི་ ∆ABE དང་ ∆BCE, ∆CDE, ∆DAE བཅས་ཀྱིས་གྲུབ་ཅིང་། ཟུར་ཚེག་ E ནི་ཟུར་ གསུམ་མ་ཚང་མའི་སྤྱི་གནས་ཡིན།
Pythagoras theorem པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ངེས་སྲོལ། གནའ་རབས་ཀྱི་གྷི་རིཀ་རྩིས་རིག་མཁས་ཅན་པཡེ་ཐ་གྷོ་ རཱས་ཀྱིས་ཡེ་ཤུའི་སྔོན་གྱི་ལོ་ ༥༧༠-༤༩༥ ཙམ་ལ་གསར་ གཏོད་གནང་བ་ཞིག་རེད། པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ངེས་སྲོལ་གྱིས་ ‘གསེག་མཐའ་ c ཐོག་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ མཐའ་གཞན་ཐོག་གི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་མཚུངས་པ་ཡིན། ངེས་སྲོལ་དེའི་
233
Quadratic equation
c
b
མཉམ་བྱ་ནི།
a2 + b2 = c2 རེད། གལ་སྲིད་
དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ a མཐའ་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་ ཤེས་ན། གོང་གི་མཉམ་བྱ་ སྤྱད་དེ་མཐའ་གསུམ་པའི་རིང་ཚད་འཚོལ་ཐུབ།
Q
Quadratic equation ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ། རྒྱུ་ ཞིག་གི་ཐེངས་གྲངས་མཐོ་ཤས ོ ་ 2 ཡིན་པའི་ཚན་མང་ཚུལ་ གྱི་མཉམ་བྱ་ལ་ཟེར། རྒྱུ་ x ཡི་ཐེངས་གཉིས་མཉམ་བྱ་ཞིག་
234
Quadratic formula
གི་སྤྱི་ཡོངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ནི་ ax2 + bx + c = 0 ཡིན་པ་དང་། a དང་ b, c བཅས་ནི་དངོས་གྲངས་དང་། a ≠ 0 རེད།
Quadratic formula ཐེངས་གཉིས་ཆོ་ག ཐེངས་ གཉིས་མཉམ་བྱ་ཞིག་གི་གཞིའམ་འགྲོལ་ཐོབ་འཚོལ་བར་ སྤྱོད་པའི་ཆོ་ག་ཞིག་ལ་ཟེར། ཆོ་ག་དེ་ནི་ x = -b ± 2ab - 4ac རེད། x ནི་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་ དང་། a དང་ b, c ནི་དངོས་གྲངས་ཡིན་པ་དང་ a ≠ 0 རེད། 2
Quadratic polynomial ཐེངས་གཉིས་ཚན་མང་ ཚུལ། ཐེངས་གྲངས་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ ཐེངས་གཉིས་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེར། དཔེར་ན། 4y + 5y2, 6 - y - y2, 5 - y2 ལྟ་བུ།
Quadrilateral
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
ཁ་ ཟུམ་པའི་མཐའ་བཞི་དང་ཟུར་བཞི་ཡོ ད ་པའི་ངོ ས ་ སྙོམས་དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེར། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་
235
Quotient
དང་། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། སྐས་དབྱིབས། གཟེ་དབྱིབས་བཅས་ཀྱི་སྤྱི་མིང་ཡིན། Quotient
བགོས་ཐོབ། བགོད་རྩིས་རྒྱག་སྐབས་
བགོད་བྱེད་གྲངས་ཀྱིས་བགོ་བྱའི་གྲངས་ 12 ÷ 3 = 4 ལ་བགོས་པའི་ཐོབ་འབྲས་ལ་ཟེར། བགོས་ཐོབ།
R Radical གཞི་ཚུལ། གཞི་རྟགས་ཡོད་པའི་རྩིས་བརྗོད་ དམ་ཚུལ་ཞིག་ལ་ཟེར། གཞི་ཚུལ་ནི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཙམ་ མ་ཟད་སུམ་སྒྱུར་གཞི་དང་། བཞི་སྒྱུར་གཞི་སོགས་ལའང་ སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། 2 , 3 5, 4 3 ལྟ་བུ།
236
Radical sign
Radical Sign གཞི་རྟགས། y གཞིའི་སྟོན་གྲངས། q y གཞི་རྟགས། ཡི་གཞི་གྲངས་དང་སྟོན་གྲངས་ཅི་ཡང་ སྒྱུར་གཞིའི་གྲངས། རུང་བའི་རྟགས་ འདི་ལ་ཟེར། q
Radicand
སྒྱུར་གཞིའི་གྲངས། གཞི་རྟགས་ནང་
ལོགས་ཀྱི་གྲངས་སམ་གྲངས་ཚབ་དེ་ལ་ཟེར། q y ནང་གི་ y ལ་སྒྱུར་གཞིའི་གྲངས་ཟེར།
Radius
་ཕྱེད། ཚངས
A
དཔེར་ན།
ཚངས་ཕྱེད།
སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ སྒོ ར ་ལྟེ ་ ནས་སྒོ ར ་མཐའི ་ གནས་གང་ B རུང་དབར་གྱི་བར་ཐག་ལ་ཟེར། དཔེར་ ན། སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཚངས་ཕྱེད་ AB ལྟ་ བུ།
Random variables སྐབས་བསྟུན་འགྱུར་ཚད། སྐབས་བསྟུན་ འབྱུང་སྲིད་ སྐབས་བསྟུན་ སྐབས་བསྟུན་སྣང་ཚུལ་གྱི ་ འགྱུར་ཚད། པའི་ཐང། གྲུབ་འབྲས། 0 མཇུག་འབྲས་སོ་སོའ་ི འགྱུར་ x = ཚད་དམ་སྐབས་བསྟུན་ཚོད་ 1
237
Range
ལྟ་བྱས་པ་བརྒྱུད་བྱུང་སྲིད་པའི་ཐང་གི་ཚོགས་ཤིག་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། ཊམ་ཀ་ཞིག་ཐེངས་གཅིག་འཕངས་ཚེ། ཊམ་ཀའི་མགོ་ = H དང་མཇུག་ = T ཀྱི་སྐབས་བསྟུན་ འགྱུར་ཚད་ནི་ {H, T} རེད་ལྟ་བུ།
Range ཁྱབ་ཚད། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ་ལྟར་ན། ཐང་ དམའ་ཤོས་དང་མཐོ་ཤོས་གཉིས་ཀྱི་ཁྱད་པར་དེ་ལ་ཟེར་ ཏེ། {4, 6, 9, 3, 7} ལ་མཚོན་ན། 3 ནི་ཐང་དམའ་ཤོས་
དང་། 9 ནི་ཐང་མཐོ་ཤོས་ཡིན་པས། དེའི་ཁྱབ་ཚད་ནི་ 9 - 3 = 6 རེད་ལྟ་བུ། Rate of interest (R) སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། མ་ དངུལ་བེད་སྤྱོད་བྱས་པའི་འབབ་ལ་སྐྱེད་ཀ་སྤྲོད་དགོས་ པའི་ཚད་དེ་ལ་ཟེར། སྐྱེད་ཀའི་ཚད་ནི་བརྒྱ་ཆས་མཚོན་ གྱི་ཡོད་པས། སྐྱེད་ཐོབ་བརྒྱ་ཆའང་ཟེར། དཔེར་ན། བསྟན་ འཛིན་ཟླ་བས་ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཐོབ་བརྒྱ་ཆ་ 6 ཐོག་སྒོར་ 1000
238
མ་བཙུགས་བྱས་པས། ལོ་གཅིག་རེའི་རྗེས། ཁོ་ལ་
Ratio
སྐྱེད་ཀ་སྒོར་ 60 ཐོབ་ཀྱི་ཡོད་ལྟ་བུ།
Ratio སྡུར་ཚད། སྡུར། རིགས་མཚུངས་གྲངས་འབོར་ གཉིས་དབར་ལྡབ་གྲངས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་ལ་ཟེར། a དང་ b ཡི་སྡུར་ (b ≠ 0) ནི་ a : b འམ་ཡང་ན་ a ལྟར་ b བྲིས་པ་དང། a ལ་སྡུར་ཚད་ཀྱི་སྔ་ཚན་ཟེར་ཞིང་། b ལ་ སྡུར་ཚད་ཀྱི་ཕྱི་ཚན་ཟེར། དཔེར་ན། 100 : 40 ལྟ་བུ་ཀློག་ སྐབས། 100 ལ་ 40 ཡིས་བསྡུར་བ་ལྟ་བུ། Rational number
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
p q
ཡི་ རྣམ་པར་བྲིས་པའི་གྲངས་གང་ཞིག་གི་ p དང་ q གཉིས་ རིལ་གྲངས་དང་། q ≠ 0 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་འདྲ་ལ་ལུགས་
ལྡན་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། - 1 , - 2 , 1 1 , སོགས་ 2 3 4 p 0, -2, 4 བཅས་ q
ཡི་རྣམ་ ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་ལ། པར་འབྲི་ཐུབ་པར་བརྟེན། དེ་དག་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ ཡིན། Raw data གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ། ཐོག་མར་བསྡུ་
239
Ray
རུབ་བྱས་པའི་བྱེ་བྲག་གི་གྲངས་ཐོ་རྣམས་ལ་གཞི་འཛིན་ གྲངས་ཐོ་ཟེར། དཔེར་ན། འཛིན་རིམ་བདུན་པའི་སློབ་ ཕྲུག་ 20 ཡི་ལོ་འཁོར་རྩིས་རིག་ཡིག་རྒྱུགས་ཀྱི་སྦྱང་ འབྲས་ནི་ 45, 55, 78, 95, 32, 65, 77, 62, 85, 42, 70, 88, 99, 89, 65, 79, 96, 80, 79, 69 བཅས་ཡིན་ན། འདི་དག་ལ་གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ་ཟེར།
Ray འཕྲོ་ཐིག། སྣེ་ཚེག་ཅིག་ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ། མུ་ མཐའ་མེ ད ་པར་ནར་བའི ་ ཐི ག ་ཅི ག ་གི ་ ཆ་ཤས་ལ་ཟེ ར ། དེར་གཏན་གནས་ཤིག་ཡོད་པ་ལ་འཕྲོ་ཐིག་གི་སྣེ་ཚེག་ གམ་འགོ་ཚེག་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་འཕྲོ་ ཐིག་ AB ལ་མཚོན་ན། A ནི་འགོ་ཚེག་དང་། B ནི་འཕྲོ་ ཐིག་སྟེང་གི་གནས་གཅིག་རེད། དེ་ནི་ AB འམ། ཡང་ན་ B AB མཚོན། A Real number དངོས་གྲངས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ དང་ལུགས་མེད་གྲངས་ཀྱི་ཚོགས་ཤིག་ལ་ཟེར།
240
Reciprocal
Reciprocal ལོག་གྲངས། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ ཐོབ་ 1 ཡིན་ན། གྲངས་དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ལོག་གྲངས་ ཡིན། དཔེར་ན། ཧྲིལ་གྲངས་ཤིག་གི་ལོག་གྲངས་ཐོབ་པར། གྲངས་དེས་གཅིག་ལ་བགོ་དགོས་ཏེ། 8 ཀྱི་ལོག་གྲངས་ནི་ 1 ཡིན་ལྟ་བུ། 8
Rectangle གྲུ་བཞི་ནར་མོ། མཐའ་བཞི་དབྱིབས་ལེབ་ མོ་ཞིག་སྟེ། ནང་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་དང་། གཏད་མཐའ་ གཉིས་དབར་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་ལ་ རི ང ་ཐུང་ཡང་གཅི ག ་མཚུངས་ ཡི ན ་པའི ་ དབྱི བ ས་ནར་མོ ་ ཞི ག ་ ལ་ཟེར། Rectangular path
གྲུ་ནར་ཤུར་ལམ། གྲུ་ནར་
དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོ ར ་རམ་(ཕྱི་རོ ལ ་/ནང་རོ ལ ་) དབྱིབས་གྲུ་ནར་ཡོད་པ་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཀྱུས་ 40 m དང་། ཞེང་ 25 m ཡོད་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཡིན་པའི་
241
Rectangular path
29m
25m
སྤང་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་གྱི་ཕྱི་རོལ་དུ་ཁ་ཞེང་ལ་ 2m G ཡོ ད ་ པ འི ་ H 40m C D ཤུ ར ་ ལ མ ་ གྱི ས ་བསྐོ ར ་ ཡོད། ཤུར་ A B ལམ་དེའི་རྒྱ་ E F 44m ཁྱོ ན ་འཚོ ལ ་ བར་དཔེ་རིས་ནང་དུ་སྤྲད་ཟིན་པ་ནི། ༡། དཀྱུས་ EF = AB + ཤུར་ལམ་གྱི་དཀྱུས་ EF = (40 + 2 + 2) m = 44 m
༢། ཞེང་ FG = BC + ཤུར་ལམ་གྱི་ཞེང་ FG = (25 + 2 + 2) m = 29 m
༣། ཤུར་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་ནར་དབྱིབས་ EFGH ཀྱི་ རྒྱ་ཁྱོན་ - གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། = (44 × 29 - 40 × 25) m2
= (1276 - 1000) m2 = 276 m2
242
Rectangular pyramid
དེར་བརྟེན། ཤུར་ལམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 276 m2 རེད་ལྟ་བུ།
Rectangular pyramid གྲུ་ནར་གྲུ་སྙུང་། ཞབས་གྲུ་ བཞི་ནར་མོས་གྲུབ་ཅིང་། ལོགས་ངོས་བཞི་ཟུར་ E གསུམ་མ་དང་། ཟུར་གསུམ་མའི་ཟུར་ཚེག་ D A རྣམས་སྤྱི་གནས་ཐོག་ཕྲད་པའི་གཟུགས་ཤིག་ B C ལ་ཟེར། Recurring decimal
རེས་འཁོར་སིལ་གྲངས།
ཚེ ག ་རྗེ ས ་ཀྱི ་ གྲངས་གནས་འགའ་བསྐྱར་ཟློ ས ་བྱེེ ད ་ཀྱི ་ ཡོད། དེ་འདྲའི་སིལ་གྲངས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 2 = 6666..., 1 = 0.142857142857... ལྟ་བུ། 3 7
Reflex angle ལྡོག་འཕྲོ་ཟུར།
སྙོམས་ཟུར་ལས་ཆེ་ཞིང་། སྒོར་མཐའི་ ཟུར་ལས་ཆུང་བའི་ཟུར་ལ་ཟེར།
130˚
Regular figure མཐའ་མཉམ་དབྱིབས། མཐའི་ རིང་ཚད་ཚང་མ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཁ་ཟུམ་པའི་
243
Remainder 1.5 cm
cm
1.5
1.5
cm
cm
1.5
cm
1.5
1.5 cm
དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དབྱིབས་ མཐའ་དྲུག་མ་དེ འི ་ མཐའ་ཚང་མའི ་ རི ང ་ ཚད་1.5cm ཡོད་པ་ལྟ་བུ།
Remainder བགོས་ལྷག། བགོ་བྱའི་ གྲངས་དེ ་ བགོ ད ་བྱེ ད ་གྲངས་ཀྱི ་ ལྡབ་གྲངས་ མིན་ན། བགོད་སྐབས་ལྷག་གྲངས་ཤིག་འཐོབ་ པ་དེ་ལ་ཟེར།
3 10 -9 1 བགོས་ལྷག། 3
Remainder theorem ལྷག་གྲངས་ངེས་སྲོལ། ཚན་ མང་ཚུལ་ཐེངས་གྲངས་གཅིག་ལས་ཆེ་བའམ། ཡང་ན་ གཅིག་དང་མཚུངས་པ་དང་། a དངོས་གྲངས་གང་རུང་ ཞིག་ཡིན་པར་ཆ་བཞག། གལ་སྲིད་ p(x) ལ་ཐེངས་ གཅིག་ཚན་མང་ཚུལ་ x - a ཡིས་བགོས་ན། ལྷག་གྲངས་ p(a) ཡིན་པའི་ངེས་སྲོལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x4 + x3 - 2x - 2x2 + 1 + 1 ལ་ x - 1 གིས་ བགོས་ན།
244
RHS Congruence p(x) = x + x - 2x - 2x + 1 + 1 4
3
2
ཡིན་པ་དང། x - 1
གི་ཀླད་ཀོར་ནི་ 1 རེད། དེས་ན། p(1) = (1)4 + (1)3 - 2 x 1 - 2(1)2 + 1 + 1 = 0 ལྟ་བུ། RHS congruence rule
ཡོངས་མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ།
དྲང་གསེག་མཐའི་
གྱིས་དྲང་ཟུར་དང་ H ཡིས་གསེག་མཐའ། S ཡིས་གནས་མཐུན་མཐའ་བཅས་ མཚོན་ཞིང་། དེ་ནི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་ མཚུངས་ཡིན་མིན་ལྟ་རྒྱུའི་སྤྱི་སྲོལ་ཞིག་སྟེ། དྲང་ཟུར་ ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་གི་གསེག་མཐའ་དང་དེའི་མཐའ་ གཞན་གཅིག་དང་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་པའི་ E F A ག སེ ག ་ 90˚ མཐའ་དང་ cm cm 2.8 2.8 གནས་ 90˚ D C B མ ཐུ ན ་ མཐའ་གཉིས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་ 1.7cm 1.7cm
R
245
Rhombus
གཉི ས ་ནི ་ ཡོ ང ས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་ཡི ན ་པའི ་ སྤྱི ་ སྲོལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གོང་གི་དཔེ་རིས་ལྟར་ན། ∠B = ∠E = 90˚ དང་ AB = DE, AC = DF ཡིན་པས། ∆ABC ནི་ ∆DEF ལ་ཡོངས་མཚུངས་རེད་ལྟ་བུ།
Rhombus
གཟེ་དབྱིབས། ཉེ་མཐའ་མཚུངས་ཤིང་
གཏད་ཟུར་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་ཚད་ གཅིག་པ་ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ ་ མཐའ་བཞི ་ དབྱི བ ས་ཞི ག ་ལ་ཟེ ར ། A B དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ལ་མཚོན་ན། མཐའ་ AB || CD དང་ BC || AD ཡིན་པ་དང་། མཐའ་ AB = BC བཅས་ཡིན་པས། དབྱིབས་ ABCD ནི་གཟེ་དབྱིབས་ཡིན་ ལྟ་བུ། D
C
Right angle དྲང་ཟུར། ཟུར་ཚད་ 90˚ ཡོད་པའི་ ཟུར་ཞིག་ལ་ཟེར།
246
Right circular cone
Right circular cone སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ། སྙུང་ གཟུགས་ཀྱི་ཟུར་ཚེག་དང་ཞབས་ཀྱི་སྒོར་ལྟེ་མཐུད་པའི་ ཐིག་དུམ་དེ་ཞབས་དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན་ན། སྙུང་ O གཟུགས་དེར་སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ་ཟེར། དཔེར་ན། གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ནི་སྙུང་ h l གཟུགས་དྲང་པོ་ཞིག་ཡིན་ཞིང་། O ནི་ B O’ r C P ཟུར་ཚེག་དང་། r ནི་ཚངས་ཕྱེད་རེད། གལ་ཏེ་ O ནི་རྩེ་ཚེག་དང་། O´ ནི་ཞབས་ཀྱི་སྒོར་ལྟེ་ ཡིན་ན། OO´ ལ་སྙུང་གཟུགས་ཀྱི་ལྟེ་མདའ་ཟེར་བ་དང་། ཐིག་དུམ་ OO´ ཡི་མཐོ་ཚད་ལ་སྙུང་གཟུགས་ཀྱི་དཔངས་ (h) ཟེར། OO´ ནི་ཞབས་དང་དྲང་འཕྱང་ཡིན། དེ་ལྟའི་ སྲ་གཟུགས་ཤིག་ལ་སྙུང་གཟུགས་དྲང་པོ་ཟེར།
Right hand side (RHS) of equation མཉམ་ བྱའི་གཡས་ཕྱོགས། མཉམ་བྱའི་རྟགས་ཀྱི་གཡས་སུ་ ཡོད་པའི་ཚན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x - 8 = -4 ལྟ་བུར་ མཚོན་ན། -4 ནི་མཉམ་བྱའི་གཡས་ཕྱོགས་དང་། x - 8 ནི་
247
Right angled triangle
མཉམ་བྱའི་གཡོན་ཕྱོགས་ (LHS) ཡིན་ལྟ་བུ།
Right angled triangle དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། A ཟུར་གཅིག་ལ་ 90˚ ཡོད་པའི་ཟུར་གསུམ་ མ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ∆ABC ཡི་ཟུར་ 90˚ C B ∠ABC ལ་ 90˚ ཡོད་ལྟ་བུ།
Roman numerals རོ་མན་ཨང་ཀི གནའ་རབས་རོ་
མན་དུས་ཀྱི་ཨང་ཀིའི་འབྲི་ལུགས་ཤིག་སྟེ། ཡི་གེ་བདུན་ གྱིས་ཨང་ཀི་མཚོན་པར་བྱས་ཡོད། དཔེར་ན། I = 1 དང་
V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1,000
འབྲི་ཐུབ། 1=I 2 = II 3 = III 4 = IV
248
མཚོན་རྟགས་འདི་དག་སྤྱད་དེ། གྲངས་གཞན་ 10 = X 20 = XX 30 = XXX 40 = XL
Rounding 5=V 6 = VI 7 = VII 8 = VIII 9 = IX 10 = X
50 = L 60 = LX 70 = LXX 80 = LXXX 90 = XC 100 = C
Rounding ཉེ་འགྲིལ། གྲངས་གང་ཞིག་གང་ལ་ཉེ་བ་ དེར་བསྒྲིལ་བ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 73 ནི་ 80 ལས་ 70 ལ་ཐག་ཉེ་བས། 73 ནི་ 70 ལ་བསྒྲིལ་དགོས། ཉེ་འགྲིལ་ ལ་ཧྲིལ་གྲངས་ཀྱི་ཉེ་འགྲིལ་ ( 96 དེ་ 90 ལས་ 100 ལ་ ཐག་ཉེ་བས། 100 ལ་བསྒྲིལ་བ།) དང་། སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཉེ་ འགྲེལ་ (3.46 དེ་ 3.1 ལས 3.5 ལ་ཐག་ཉེ་བས། 3.5 ལ་ བསྒྲིལ་བ།) བཅས་རིགས་གཉིས་ཡོད། Root གཞི། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་གང་ཡང་རུང་བ་ ཞི ག ་གི ས ་གྲངས་རང་ཉི ད ་ལ་ཉི ས ་སྒྱུར་རམ་སུམ་སྒྱུར་ སོགས་བྱས་པའི་རྩ་གྲངས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 9 ཡི་ཉིས་
249
SAS congruence rule
སྒྱུར་གཞི་ནི་ 3 སྟེ། 3 × 3 = 9 ཡིན་པ་ལྟ་བུ་དང་། ལྡབ་དུ་མར་བསྒྱུར་གཞིའི་གྲངས་རང་ཉིད་དེ། དཔེར་ན། 2
ནི་ 16 གི་བཞི་སྒྱུར་གཞི་ཡིན་ (2×2×2×2) ལྟ་བུ།
S SAS congruence rule མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཡོངས་ མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་གྱི་ སྤྱི་སྲོལ་འདིས་སྤྲད་ཟིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སམ་དེ་ ལས་མང་བའི་དབར་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་མིན་ཁུངས་ སྐྱེལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེའི་སྤྱི་སྲོལ་ནི། “ཟུར་གསུམ་མ་གཅིག་ གི ་ མཐའ་གཉི ས ་དང་དེ འི ་ ཚུད་ཟུར་ནི ་ ཟུར་གསུམ་མ་
250
Scale
གཞན་དེའིི་མཐའ་གཉིས་དང་དེའི་ཚུད་ཟུར་ལ་གཅིག་ མཚུངས་ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ ཟུར་གསུམ་མ་རེད།” ཅེས་པ་དེ་རེད། དཔེར་ན། ∆ABC R A P དང་ ∆QPR ལ་ མཚོན་ན། C B Q ཟུ ར ་ ག སུ མ ་ མ ་ གཉིས་ཀྱི་མཐའ་ AB = QP, ∠B = ∠P, BC= PR ཡིན་ པས། ∆ABC ནི་ ∆QPR ལ་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ལྟ་བུ།
Scale ཐིག་ཚད། དངོས་པོ་ཞིག་གི་རིང་ཚད་དངོས་ དང་དངོས་པོ་དེ་པར་རིས་ནང་བྲིས་པའི་རིང་ཚད་གཉིས་ དབར་གྱི་སྡུར་ཚད་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཁང་པའི་རིང་ ཚད་ 10 m ཡིན་པ་ཞིག་པར་རིས་སུ་ 0.5 m ཐོག་བྲིས་ 10 = 100 = 20 ཡིན་པས། དེ་གཉིས་ཀྱི་ཐིག་ཚད་ ཡོད་ན། 0.5 5 1 ནི་ 20:1 རེད།
Scalene triangle
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་
251
Section formula
གསུམ་མ།
1 cm
མཐའ་གསུམ་གའི་རིང་ཚད་གཅིག་པ་མིན་ པའི་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 1.9 cm ཟུར་གསུམ་མའི ་ དཔེ ་ རི ས ་དེ འི ་ མཐའ་ 1.5 cm གསུམ་གར་རིང་ཚད་གཅིག་པ་མིན་ལ། ཟུར་ཚད་ཀྱང་གཅིག་པ་མིན་ལྟ་བུ།
Section formula བཅད་ཚེག་ཆོ་ག། ཤེས་ཟིན་ པའི་ཐིག་དུམ་ཞིག་ཆ་ཤས་གཉིས་སུ་བགོད་པ་དང་། ཆ་ (x , y ) (x , y ) ཤས་དེ་གཉིས་ m m A B ཀྱི་སྡུར་ཚད་ P (x, y) m1 : m2 ཡིན་ ན། ཆ་ཤས་གཉིས་སུ་བགོད་སའི་གནས་དེས་ x དང་ y གནས་ཚད་སྟོན་གྱི་ཡོད། གནས་ཚད་དེ་འཚོལ་བར་ mx +mx my +my བཅད་ཚེག་ཆོ་ག་བེད་སྤྱོད་ཀྱི་ m +m , m +m ཡོད། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་ཚད་ P (x, y) ཡིས་འཕྲད་གནས་ཀྱི་སྣེ་ A(x1, y1) དང་ B (x2, y2) ཅན་ གྱི་ཐིག་དུམ་ AB དེ་ m1 : m2 ཐོག་ཏག་ཏག་བགོད་ 1
1
2
1
1 2 1
252
2 1 2
2
1 2 1
2 1 2
2
Sector m1x2 + m2x1 m1y2 + m2y1 m1 + m2 , m1 + m2
པའི་གནས་ཚད་ནི་ ལ་བཅད་ཚེག་ཆོ་ག་ཟེར།
རེད། དེ་
Sector སོག་དབྱིབས། སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་གི་ཚངས་ ཕྱེ ད ་ ག ཉི ས ་ ལ ས ་ གྲུ བ ་ པ འི ་ སྒོ ར ་ B དབྱིབས་ཀྱི་ཆ་ཤས་ལ་ཟེར། དེ་ལ་སོག་ Q A O དབྱིབས་ཆེ་བ་དང་སོ ག ་དབྱིབས་ C ཆུང་བ་ཞེས་ཆ་ཤ ས་གཉིས་ཡོ ད ། དཔེར་ན། སྒོར་དབྱིབས་ A ལ་མཚོན་ ན། ABOC ནི་སོག་དབྱིབས་ཆུང་བ་དང་། ABQC ནི་ སོག་དབྱིབས་ཆེ་བ་ཡིན།
Segment གཞུ་དབྱིབས། སྣེ་གནས་གཅིག་པ་ཡིན་ S པའི་རྒྱུད་ཐིག་དང་གཞུ་ཐིག་ནང་འཐུམ་ R T པའི་ཁུལ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ O ནང་ RST ནི་གཞུ་དབྱིབས་ཆུང་བ་དང་། Q RQT ནི་གཞུ་དབྱིབས་ཆེ་བ་རེད། Selling price
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། ཅ་དངོས་
253
Semi-circle
སོ ག ས་བཙོངས་ཏེ་བྱུང་བའི་དངུལ་འབོ ར ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། བརྙན་འཕྲིན་ 1 ལ་ `11500 སྤྲད་དེ་ཉོས་པ་ དང། དེ་ `12500 ལ་བཙོངས་ན། `11500 ནི་མ་གནས་ དང་། `12500 ནི་ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་ཡིན། Semi-circle ཕྱེད་སྒོར།
སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་དུམ་
བུ་གཅིག་མཚུངས་གཉིས་སུ་བཏང་བའི་ D ཆ་གཅིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སྒོར་ Y དབྱིབས་ O ཡི་ཚངས་ཐིག་ DC སྤྱད་ པའི་གཞུ་ཐིག་ CYD ཡི་ཆ་ཤས་སམ་ཁུལ་ལ་ཕྱེད་སྒོར་ ཟེར། C
O
Set-squares
ཟུར་གསུམ་ཐིག་ཤིང་། དཔེ་རིས་
སོགས་འབྲི་འཇལ་ལ་སྤྱོད་པའི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་ ཐིག་ཤིང་ལ་ཟེར། དེ་ལ་རིགས་ གཉིས་ཡོད་པ་ལས། གཅིག་ནི་ 90˚- 45˚- 45˚ ཅན་དང་། གཞན་
254
Side
མཐའ།
མཐའ།
དེ་ནི་ 30˚- 60˚- 90˚ ཅན་ཡིན། Side མཐའ། གྲུ། ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་ནམ་དེ་ལས་ མཐའ། མང་བའི་དབྱིབས་ཤིག་གི་ མུའམ་མཚམས་ཤིག་སྟེ། གྲུ་བཞི་ མཐའ། ནར་མོའ་ི མཐའ་བཞི་ལྟ་བུ། Sieve method ཚགས་མའི་ཐབས་ལམ། གྷི་རིཀ་ རྩིས་རིག་མཁས་པ་ཨེ་རཱ་ཏོསི་ཌིན་ (Eratothenes) གྱིས་ 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
ཡེ ་ཤུ་མ་བྱུང་སྔོ ན ་གྱི ་ དུས་རབས་གསུམ་པར་རྒྱུ་གྲངས་ འཚོལ་རྒྱུའི་ཐབས་ལམ་སྟབས་བདེ་ཞིག་བཏོན་ཡོད་པ་
255
Sigma
དེ་ལ་ཟེར། ཐབས་ལམ་དེ་སྤྱད་ནས་ 1 ནས་ 100 བར་གྱི་ རྒྱུ་གྲངས་བཙལ་ན། 2 ནི་རྒྱུ་གྲངས་ཡིན་པས། དེའི་ལྡབ་ གྲངས་ 4, 6, 8, 10, ... ཚགས་ཏེ་རྒྱུ་གྲངས་ 2, 3, 5, 7, ... འཚོལ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། Sigma སིག་མ། སྤྱི་སྡོམ། ཕྱོགས་སྡོམ་བརྒྱབ་པ་སྟེེ། བྱེ་
བྲག་ཡོངས་ཀྱི་བསྡོམས་འབོར་ལ་ཟེར། དེའི་རྟགས་ནི་ ∑ སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། བྱེ་བྲག་གྲངས་ནི་ 1, 2, 3, 4 སྟེ་ གྲངས་ནི་ 1 ནས་ 4 བར་ཡིན་ན། དེ་དག་གི་སྤྱི་སྡོམ་ n ནི་ ∑ xi = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 རེད་ལྟ་བུ།
n
0.9 cm
cm 1.8
cm 0.9
1.15cm
འདྲ་མཚུངས། དབྱིབས་རྩིས་རིག་པའི་
1.8 cm
i =1
Similar
2.3cm
དབྱིབས་ལ་འདྲ་མཚུངས་ཟེར།
256
ནང་དབྱི བ ས་གང་རུང་ གཉི ས ་ཀྱི ་ གནས་མཐུན་ མཐའ་ཕན་ཚུན་སྡུར་ཕྲེང་ གྲུབ་ན། དེ་འདྲའི་
Simple interest
Simple interest མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། མ་འཛུགས་ བྱས་པའི ་ ཐོ ག ་མའི ་ མ་རྩའི ་ དངུལ་འབོ ར ་ལ་སྐྱེ ད ་ཀ་ དགོས་པ་ལས་སྐྱེད་འབབ་ལ་སྐྱེ ད་ཀ་འཇལ་མི ་དགོ ས་ པའི་འགྲོ་སྟངས་ཤིག་ལ་ཟེར། མ་དངུལ་གྱི་མཚོན་རྟགས་ P དང་། དུས་ཡུན་གྱི་མཚོན་རྟགས་ T ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཀའི་ སྐོར་ཐང་གི་མཚོན་རྟགས་ R བཅས་ཡིན་པས། སྐྱེད་ཀ་ རྐྱང་པའི་ཆོ་ག་ནི་ PRT རེད། 100 དཔེར་ན། ཚེ་རིང་གིས་ཚོང་ལས་ཀམ་པ་ཎི་ཞིག་ནས་ སྒོར་ 5000.00 ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 8% ཐོག་ དུས་ཡུན་ལོ་གཉིས་རིང་གཡར་ཡོད་པས། ལོ་གཉིས་ཚང་ མཚམས་ཚེ་རིང་གིས་ཀམ་པ་ཎི་ལ་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་སྤྲོད་ དགོས་པ་ནི། =
5000 × 8 × 2 100
= སྒོར་ 800.00 རེད་ལྟ་བུ།
Simplify སྟབས་བསྡུས། ལས་སླ་རུ་གཏོང་བའམ་ སྟབས་བདེར་གཏོང་བ་སྟེ། དཔེར་ན། 5x + 7 + x - 3
257
Sine
སྟབས་བསྡུས་སུ་བཏང་ན། 6x + 4 ལྟ་བུ།
Sine སན། དྲང་རྒྱུད། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་ θ
གཏད་མཐའ།
ག
འ།
མཐ
་ སེག
ཉེ་མཐའ།
སྡུར་ཚད་ཅིག་སྟེ། གཏད་མཐའ་དང་ གསེག་མཐའི་སྡུར་ཚད་ལ་ཟེར། དེའི་ བསྡུས་ཚིག་ཏུ་ sin ཞེས་འབྲི་བ་དང་།
དེའི་ཆོ་ག་ནི་ sin θ =
གཏད་མཐའ། གསེག་མཐའ། རེད།
གོ་དོན་དེ་ནི་ 0˚
དང་ 90˚ (0 དང་ π/2 ཚངས་ཕྱེད་) དབར་གྱི་ཟུར་ཁོ་ ནར་འཇུག་ཆོག།
Six elements of triangle ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་ དྲུག། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གསུམ་དང་ཟུར་གསུམ་པོ་ ལ་དེའི་རྒྱུ་དྲུག་ཟེར།
258
སྲ་གཟུགས། ཞེང་།
མཐུ ག་ཚ ད།
དཔངས།
Solid སྲ་གཟུགས། ཁོག་སྟོང་ མི ན ་པའི ་ མཁྲེ ག ས་གཟུགས་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། ཟླུམ་གཟུགས་ དང་། ཤོ་གཟུགས། སྙུང་གཟུགས་
Solution of equation
སོགས་ལྟ་བུ།
Solution of equation མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ། རྒྱུ་ཡི་གྲངས་ཐང་གིས་ཚབ་རྩིས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ མཚུངས་པ་བྱས་ན། གྲངས་ཐང་དེ་ལ་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ ཐོབ་ཟེར། དཔེར་ན། x + 2 = 7 ནང་ x ལ་གྲངས་ཐང་ 5 བླངས་ན། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་མཚུངས་པས། མཉམ་ བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ནི་ x = 5 རེད་ལྟ་བུ།
Speed མགྱོགས་ཚད། མྱུར་ཚད་དེ། དུས་ཚོད་ཀྱི་ ཚད་གཞི་རེ་རེར་འགྲུལ་བཞུད་བྱས་པའི་བར་ཐག་གི་ཚད་ འཇལ་ཞིག། དཔེར་ན། སྣུམ་འཁོར་ཞིག་གི་མགྱོགས་ཚད་ ཆུ་ཚོད་རེར་ཀི་ལོ་མི་ཊར་ 60 (60 km/h) ཡིན་ལྟ་བུ། Sphere
ཟླུམ་གཟུགས། སྒོར་ལྟེ་ནས་
ངོ ས ་ཚང་མར་བར་ཐག་གཅི ག ་མཚུངས་ ཡོད་པའི་གཟུགས་སྒོར་མོ་ཞིག་སྟེ། ཟླུམ་པོ་ ཡང་ཟེར།
259
Square
Square གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། མཐའ་བཞི་རིང་ཚད་ a མཚུངས་ཤིང་། ནང་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ ཟུར་ཡིན་པའི་ངོས་སྙོམས་དབྱིབས་ཤིག་ སྟེ། དེ་ནི་ཆ་ངེས་པའི་དབྱིབས་ཤིག་ཡིན་ ཞིང་། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ = 4a དང་། རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ a2 རེད།
Square pyramid ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་། ཞབས་གྲུ་བཞི་ ཁ་གང་མས་གྲུབ་ཅིང་། ལོགས་ངོས་རྣམས་ཟུར་གསུམ་མ་ དང་། ཟུར་གསུམ་མ་དག་གི་ཟུར་ཚེག་ཚང་མ་སྤྱི་གནས་ E ཐོ ག ་འཕྲད་པའི ་ གྲུ་སྙུང་གཟུགས་ ཤིག་ལ་ཟེར། དཔེ་རིས་ནང་། ཁ་ D གང་ ABCD ནི་ཞབས་དང་། A C ∆ABE དང་ ∆BCE, ∆CDE, B ∆DAE བཅས་ནི་ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་ དེའི་ལོགས་ངོས་བཞི་ཡིན།
260
Square root
Square root ཉིས་སྒྱུར་གཞི། གལ་ཏེ་ n ཉིས་སྒྱུར་ ཡང་དག་གྲངས་ཤིག་ཡིན་ན། རིལ་གྲངས་ m ནི་ n = m2 ཡིན། འདིར་གྲངས་ m ལ་ n གྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཟེར། དཔེར་ན། 3 × 3 = 9 འམ་ 32 ལྟ་བུར་མཚོན་ན། 2 ནི་ སྟོན་གྲངས་དང་། 3 ནི་ 9 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡིན་པ་ལྟ་བུ། SSS congruence rule
མཐའ་མཐའ་མཐའི་
ཡོངས་མཚུངས་སྤྱི་སྲོལ། མཐའ་གསུམ་གྱི་སྤྱི་སྲོལ་འདིས་
སྤྲད་ཟིན་པའི་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཡིན་ མིན་ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། དེའི་སྤྱི་སྲོལ་ནི། “ཟུར་ གསུམ་མ་གཅིག་གི་མཐའ་གསུམ་(མཐའ་གསུམ་གྱི་རིང་ ཚ ད ་ ) ད ང ་ ཟུ ར ་ ག སུ མ ་ མ ་ ག ཞ ན ་ ཞི ག ་ གི ་ ག ན ས ་ R A Q མཐུན་མཐའ་གསུམ་ ག ཅི ག ་ མ ཚུ ང ས ་ C B P ཡིན་ན། ཟུར་གསུམ་ མ་དེ་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་རེད།” ཅེས་པ་ དེ་རེད། དཔེར་ན། ∆ABC དང་ ∆PQR ལྟ་བུར་མཚོན་ན།
261
Standard unit
ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་ཀྱི་མཐའ་ AB = PQ, BC = QR, CA = RP ཡིན་པས། ∆ABC ནི་ ∆PQR ལ་ཡོངས་ མཚུངས་ཡིན་ལྟ་བུ། Standard unit ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི། གཏན་ལ་ཕབ་ པའི་ཚད་འཇལ་ཚད་གཞི་ཁག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཀི་ལོ་ གྷ་རམ། མི་ཊར། ལི་ཊར་ལྟ་བུ། ཞིབ་ཕྲ་ཟུར་སྦྱར་ལ་ལྟོས།
Statistics སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། ཚིག་འདི་ནི་ལེ་ཊིན་ ནང་གནས་སྟངས་ཞེས་པའི་ཚིག་ལས་བྱུང་ཞིང་། དངོས་ པོའམ་སྣང་ཚུལ་ཞིག་གི་གནས་སྟངས་སྐོར་གྲངས་འབོར་ བསྡུ་རུབ་བྱས་པ་ལ་གྲངས་ཐོ་ཟེར་བ་དང་། སྣང་ཚུལ་ ལམ་བྱུང་བ་གང་ཞིག་གི་སྐོར་ལ་མང་ཙམ་འགྲེལ་བརྗོད་ བྱེད་པའི་གྲངས་ཐོ་ཕྱོགས་བསྡུས་ཀྱི་དཔྱད་ཞིབ་ཐབས་ ལམ་ལ་རྩི ས ་རི ག ་གི ་ ཡན་ལག་ནང་སྡོ མ ་རྩི ས ་རི ག ་པ་ ཟེར། Step-deviation method གོམ་འགྲིལ་ཡོ་ཁྱད་ཀྱི་
262
Step-deviation method
ཐབས་ལམ།
ཚན་སྒྲིལ་གྲངས་ཐོའ་ི བར་ཚོ་ཕན་ཚུན་ གྱི་བར་ཁྱད་དང་བར་ཚོ་ཁག་གི་ཟློས་ཕྱོད་ཆེན་པོ་ཡིན་ སྐབས། ཆ་སྙོམས་འཚོལ་ཅུང་དཀའ་བས། གོམ་པ་རིམ་ པས་རྡོ ག ་བསྒྲི ལ ་ཏེ ་ སྟབས་བདེ ་ བཟོ ་ བའི ་ ཐབས་ལམ་ ཞིག་ལ་་ཟེར། དཔེར་ན། di = xi - a
xi-a
fi
xi
10-25
2
17.5
-30
-2
-4
25-40
3
32.5
-15
-1
-3
40-55
7
47.5
0
0
0
55-70
6
62.5
15
1
6
70-85
6
77.5
30
2
12
85-100
6
92.5
45
3
ཁྱོན་བསྡོམས།
∑fi =30
བར་ཚོ།
a = 47.5
fi ui
= h
18 ∑fiui = 29
གོང་གི་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་ལས་ ∑f u
ཆ་སྙོམས་
གྲངས་ཀྱི་ཆོ་ག་ནི་ = i i ཡིན་པར་ཆ་བཞག། ∑fi ༡། དང་ ཡི་འབྲེལ་བ་འཚོལ་དགོས།
263
Step-deviation method
དེའང་། = xi-a
xi - a ཤེས་ཟིན་པས། h
∑f h 1 ∑fixi-a∑fi = i = ∑fi ∑fi h
1 ∑fixi ∑fia -a h ∑fi ∑fi ∑fi = -a ∑fi 1 = h ( - a)
=
h =
-a
=a+h ∑fiui དེས་ན། གོང་གསལ་རེའུ་མིག་ནང་གི་ ∑fi a, h, ∑fiui, ∑fi བཅས་ཀྱི་ཐང་རྣམས་ཆོ་གར་བཅུག་པས།
= a +h
= 47.5 + 15 × 29 30
རེད། གོམ་པ་རིམ་འགྲིལ་གྱི་ཐབས་ལམ་འདི་ལ་གོམ་འགྲིལ་ཡོ་ = 47.5 + 14.5 = 62
264
Straight angle
ཁྱད་ཀྱི་ཐབས་ལམ་ཟེར།
Straight angle སྙོམས་ཟུར། ཟུར་ཚད་ 180˚ ཡིན་ པའི་ཟུར་ལ་ཟེར། དེ་ནི་དྲང་ཐིག་ལྟ་བུ་ཞིག་ 180˚ ཡོད། དེའི་ཟུར་ཚད་ལ་ 180˚ ཡིན།
Straight line དྲང་ཐིག། དྲང་པོའམ། ཐད་ཀར་དུ་ ིག། བྲིས་པའི་ཐིག་ཅིག། དཔེར་ན། དཔེ་ ོག་ཐ A འཁྱ B དྲང་ཐིག། རིས་ནང་གི་དྲང་ཐིག་ AB ལྟ་བུ། Successor རྗེས་གྲངས། གྲངས་ཤིག་གི་རྗེས་ཀྱི་གྲངས་
ཏེ། སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་དེ་ལས་ 1 གི་ཆེ་བའི་གྲངས་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 1 གི་རྗེས་གྲངས་ནི་ 2 དང་། 3 གྱི་རྗེས་གྲངས་ ནི་ 4 རེད་ལྟ་བུ།
Substitution བརྗེ་ལེན། ཡིག་འབྲུའི་ཚབ་ཏུ་གྲངས་ ཤིག་བརྗེ་བ་ལ་བརྗེ་ལེན་ཟེར། དཔེར་ན། x + 2x ལ་
265
Subtraction 6
མཚོན། x = 6 ཡིན་ན། 6 + 2 = 9 སྐབས། x ལ་ 6 གིས་ ཚབ་འཇུག་བྱས་པ་ལྟ་བུ། Subtraction
འཐེན་རྩིས།
གྲངས་སམ་གྲངས་ འབོ ར ་གཅིག་ནས་གྲངས་ འབོར་གཞན་ཞིག་འཕྲི་བའམ་ ཉུང་དུ་གཏོང་བ་སྟེ། འཐེན་ བྱའི ་ གྲངས་ནས་འཐེ ན ་བྱེ ད ་ གྲངས་ཀྱིས་འཐེན་པའམ་འཕྲི་བ། དཔེར་ན། ཀུ་ཤུ་ 5 ནས་ 2 ཉུང་དུ་ཕྱིན་ན། 3 ཐོབ་ལྟ་བུ།
Subtrahend
འཐེན་བྱེད། གྲངས་གང་གིས་གང་
ནས་འཐེན་པར་བྱེད་པའི་གྲངས་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 5 = 3 ལྟ་བུ་ལས་ 5 ནི་འཐེན་བྱེད་ཡིན། Sum བསྡོམས་ཐོབ། གྲངས་གཉིས་
སམ་དེ ་ ལས་མང་བ་བསྡོ མ ས་པའི ་ རྩིས་འབྲས་ལ་ཟེར།
266
8-
8 + 3 = 11 བསྡོམས་ཐོབ།
Supplementary angles
དཔེར་ན། 2 + 3 + 4 = 9 ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Supplementary angles གསབ་ཟུར། ཟུར་གཉིས་ ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ཏུ་ 180˚ ཡོད་པའི་ཟུར་གཉིས་ལ་གསབ་ ཟུར་ཟེར། ཆ་ཟུར་དེ་ R ག ཉི ས ་ ཞ བ ས ་ ཐི ག ་ 140˚ 40˚ གཅིག་ཐོ ག ་འགྲུབ་པ་ P O Q དཔེ་རིས་ ༡ དང་ལོགས་སུ་འགྲུབ་པ་ གཉིས་ཀ་ཡོང་སྲིད། X
A
B
60˚
C
120˚ Y
དཔེ་རིས་ ༢
Z
དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ༡ ནང་གི་ཉེ་ ཟུར་ ∠POR དང་ ∠QOR གཉིས་ཀྱི་བསྡོ མ ས་གྲངས་ནི་ 180˚ རེད། དེ་བཞིན་དཔེ་རིས་ ༢
ནང་གི་ཆ་ཟུར་ ∠ABC དང་ ∠XYZ གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ ཐོབ་ཀྱང་ 180˚ རེད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཟུར་ལ་གསབ་ཟུར་ཟེར།
Surface ངོས། དངོས་པོ་ཞིག་གི་ཕྱི་རིམ་སྟེ། དེ་ལ་
267
Surface area
རྒྱ་ཁྱོན་ཡོད་པ་ལས། མཐུག་ཚད་མེད། དེ་ལ་མཚམས་ ཡོད་ཅིང་། མཚམས་དེ་ནི་ལེབ་མོའམ་གུག་ཐིག་ཡིན་ ཆོག། དཔེར་ན། ཤོག་ངོས་དང་། ས་ངོས། རྩིག་ངོས། ཕོར་ པའི་ངོས་ལྟ་བུ།
Surface area ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། གཟུགས་གང་ཡང་ རུང་བ་ཞིག་གི་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆ་ཚང་གི་བསྡོམས་ འབོར་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ༡། ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཀྱི་ རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ a2 ཡིས་ངོས་རེ་རེའི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་། 6a2 ཡིས་ ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་མཚོན་པ་དེ་རེད། རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཆོ་ག་ ཞིབ་ཕྲ་ཟུར་སྦྱར་ལ་ལྟོས། Symbol མཚོན་རྟགས། གྲངས་འབོར་རྩིས་ཐབས་དང་། མཚུངས་སྡུར། འབྲེལ་བ་སོགས་མཚོན་པར་བྱེད་པའི་ཡིག་ འབྲུ་ +, -, x, y, =, > སོགས་ལ་ཟེར།
Symmetry ཆ་འགྲིག། དབྱིབས་ཤིག་གི་ལྟེ་མདའ་ འམ་ལྟེ་བ་བརྒྱུད་ལྡོག་འཕྲོ ས ་སུ་འགྱུར་ནས་གྲུབ་པ་ལ་
268
Tally mark
ཟེར། དཔེར་ན། གཟུགས་དང་ཤེལ་ སྒོའ་ི ནང་གི་གཟུགས་བརྙན་གྱི་ཆ་ འགྲིགས་ལྟ་བུ།
T Tally mark ཁྲམ་རྟགས། རྩིས་ཀྱི་ཁྲམ་ཁ་སྟེ་རི་མོའ་ི བྱེ་བྲག་ཅིག། གྲངས་ཐོའ་ི ཚོ་ཁག་ནང་གྲངས་ཀྱི་ཁ་གྲངས་ མཚོན་ཆེད་དུ་རྟགས་ | འདི་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད་པ་ལ་ཁྲམ་ རྟགས་ཞེས་ཟེར། ཁྲམ་རྟགས་དང་པོ་བཞི་བསླངས་ནས་ འབྲི་བ་དང་། ཁྲམ་རྟགས་ལྔ་པ་དེ་ཁྲམ་རྟགས་བཞི་རེའི་ གསེག་ལོགས་སུ་ ( ) འབྲི་ཡི་ཡོད། ཁྲམ་རྟགས་ཡོད་
269
Tangent
པའི་རེའུ་མིག་གཤམ་གསལ། རིང་ཚད། (cm) 138
139
རྩིས་རྟགས།
ཟློས་ཕྱོད། 2 1
140
4
146
3
148
6
150
5
152
3
153
3
154
1
160
2
ཁྱོན་བསྡོམས།
30
Tangent དྲང་ཕྲད། ཕྲད་ཐིག། དྲང་ཐིག་ཅིག་སྒོར་ དབྱིབས་སམ་ངོས་ཤིག་གི་གནས་གཅིག་ཁོ་ན་ལ་འཕྲད་ པའི་དྲང་ཐིག་ཅིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་
270
Tangram
ག
tan
θ
θ
གཏད་མཐའ།
སྒོར་དབྱིབས་ O སྐབས་ཀྱི་ AT ནི་ཕྲད་ ཐིག་རེད། དེ་བཞིན་རྣོ་ཟུར་ θ སྐབས། དྲ ང ་ ཟུ ར ་ ཟུ ར ་ ག སུ མ ་ མ འི ་ དྲ ང ་ ཕྲད་ནི་མཐའ་དང་ འ། ཐ མ ་ ཉེ ་ མ ཐ འི ་ སྡུ ར ་ སེག ཉེ་མཐའ།
O T
ིག
ཐ ཕྲད་
A
ཚད་དེ་རེད། དེའི་བསྡུས་ཚིག་ནི་ tan
ཡིན་པ་དང་། ཆོ་ག་ནི།
གཏད་མཐའ། = ཉེ་མཐའ། ཡིན།
Tangram
སྒྲིག་པང། མགོ་རྙོག་རྩིས་རྩེད་ཅིག་སྟེ།
བཟོ་དབྱིབས་ཆ་ཤས་མི་འདྲ་བ་ བདུན་གྱིས་བསྒྲུབས་པའི་གྲུ་བཞི་ ཁ་གང་མ་ཞིག་ལ་ཟེར། དེའི་ཆ་ ཤས་བདུན་ནི། ཟུར་གསུམ་མ་ལྔ་ དང་། མཐའ་བཞི་མ་གཉིས་ཡིན། དབྱིབས་དུམ་བདུན་པོ་རྣམས་སྒྲིག་སྦྱོར་བྱས་ནས་བཟོ་
271
Temperature
དབྱིབས་གཞན་སྣ་ཚོགས་གསར་བཟོ་བྱེད་ཐུབ།
Temperature དྲོད་ཚད། དྲོད་ཀྱི་ཚད་དམ་ཚ་ ཚད་ཀྱི་སྤྱི་མིང་ཞིག་སྟེ། གཟུགས་པོའ་ི དྲོད་ཚད་དང་། ཉི་ མའི་དྲོད་ཚད། དྲོད་ཚད་ཀྱི་ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི་གཉིས་ནི། ཌིག་རི་ཕ་རན་ཧེཊ་ (˚F) དང་། ཌིག་རི་སེལ་ཤུསི་ (˚C) རེད། དེ་གཉིས་ཀྱི་འགྲེལ་བ་ནི་ f = 95 c + 32 རེད།
Terminating decimal ཚད་ཡོད་སིལ་གྲངས།
272
Terms of polynomial
སིལ་གྲངས་ཚེག་རྗེས་ཀྱི་གྲངས་གནས་ལ་རྫོགས་མཐའ་ ཡོད་པ་ལ་ཟེར། སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཚན་པ་གང་ཙམ་ཞིག་ ནས་མཇུག་བསྡུས་ན། སིལ་གྲངས་དེ་ལ་ཚད་ཡོད་སིལ་ གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། 1.0245 དང་། 13 = 0.26 སོགས་ 50 སི ལ ་གྲངས་གནས་ཤི ག ་ལས་མཇུག་གྲི ལ ་བའམ་སི ལ ་ གྲངས་ཀྱི་ཚན་པ་གྲངས་འདྲེན་བྱེད་ཐུབ་པ་ལྟ་བུ།
Terms of polynomial ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ། རྟགས་ ( + ཡང་ན་ - ) གཅིག་གམ་དུ་མས་ཚབ་རྩིས་ ཚུལ་ཆ་ཤས་སུ་གཏོང་གི་ཡོད། དེ་འདྲའི་ཆ་ཤས་རེ་དང་ དེ་མཉམ་ཡོད་པའི་རྟགས་དེ་ལ་ཚན་པ་ཟེར་ཞིང་། ཚན་ མང་ཚུལ་ x4 + 4x2 - 5 ལྟ་བུ་ལ་ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པ་ ནི་ x4, 4x2, - 5 བཅས་ཡིན།
Thales theorem ཐེལ་སེའི་ངེས་སྲོལ། ཟུར་གསུམ་ མའི་མཐའ་ཞིག་དང་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་ཐིག་ཞིག་གིས་ མ ཐ འ ་ ག ཞ ན ་ ག ཉི ས ་ ལ ་ ག ན ས ་ ག ཅི ག ་ པ ་ མི ན ་
273
Theorem A
D
B
E
C
པར་ཕྲད་ན། མཐའ་གཉིས་བགོས་ པའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་གཉིས་ མཚུངས་ཞེ ས ་པ་ལ་ཐེ ལ ་སེ འི ་ ངེས་སྲོལ་ཟེར། དཔེར་ན། ∆ABC ནང་། DE||BC དང་། AB ཐོག་
D དང་ AC ཐོག་ E བསྣོལ་ཡོད་ན། AD = AE ཡིན་པའི་ DB EC
ཁུངས་འདྲེན་ངེས་སྲོལ་ལ་ཟེར།
Theorem ངེས་སྲོལ། ཁུངས་སྐྱེལ་བྱེད་ཐུབ་པའི་ བརྗོད་པ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ ཟུར་གྱི་ངེས་སྲོལ། པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ངེས་སྲོལ་ལྟ་བུ། Thermometer དྲོད་ཚད་འཇལ་ཆས། དྲོད་ཚད་ འཇལ་བྱེད་ཀྱི་ཡོ་ཆས་ཤིག་ལ་ཟེར། Three dimensions ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན། ཞེང་ དང་། དཀྱུས། དཔངས་བཅས་གསུམ་ཡོད་པའི་གཟུགས་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གྲུ་ནར་གཟུགས། སྒམ་གཟུགས་སོགས་ ལྟ་བུ།
274
Transpose
Transpose གནས་ས་སྤོ་བ། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་ གཅི ག ་ནས་ཕྱོ ག ས་གཞན་དུ་གྲངས་སམ་གྲངས་ཚབ་ ཀྱི་ཚན་པ་སྤོ་བ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། x + 3 = 2y ལྟ་བུའི་ མཉམ་བྱའི་ནང་གི་ x ཡི་ཐང་འཚོལ་བར་གཡོན་ཕྱོགས་ ཀྱི་ 3 གཡས་ཕྱོགས་སུ་སྤོས་པས། x = 2y - 3 ལྟ་བུ། Transversal
གསེག་ཐིག། ཐིག་གཅིག་གིས་ཐིག་
གཞན་གཉིས་སམ་དེ་ལས་མང་བའི་ཐོག་བསྣོལ་ཡོད་པའི་ n ཐིག་དེ་ལ་ཟེར། l A དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ B m ཐིག་ n གྱིས་ཐིག་ l དང་ m དཔེ་རིས་ ༡ གཉིས་གོ་རིམ་བཞིན་གནས་ཐ་ དད་དུ་ A དང་ B ལ་བསྣོལ་པས། ཐིག་ n ལ་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ཀྱི་གསེག་ཐིག་ཟེར། Trapezium སྐས་དབྱིབས། གཏད་ མཐའ་ཆ་གཅིག་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་
D
A
C
B
275
Trial-and-error
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ ནང་ AB||DC ཡིན་པས། ABCD སྐས་དབྱིབས་རེད།
Trial-and-error ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས། འགྲོལ་ཐོབ་ འཛོལ་མེད་ཅིག་རྙེད་སླད་ཚོད་ལྟའི་བརྒྱུད་རིམ་ཞིག་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། x - 8 = -4 ཡི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ འཚོལ་བར་ནོར་བ་ཕྱིར་བཅོས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་ན། x
0 1 2 3 4
གཡོན་ཕྱོགས། -8 -7 -6 -5 -4
གཡས་ཕྱོགས། -4 -4 -4 -4 -4
གོང་གི་རེའུ་མིག་ནང་གི་གཡོན་ཕྱོགས་ (LHS) སུ་ x - 8 དང་། གཡས་ཕྱོགས་ (RHS) སུ་ -4 བཞག་པ་དང། དེ་ རྗེ ས ་རང་མོ ས ་ཀྱི ས ་གཞི ་ གྲངས་མི ་ འདྲ་བ་བཅུག་སྟེ ་ གཡོ ན ་ངོ ས ་ཀྱི ་ འགྲོ ལ ་ཐོ བ ་དེ ་ གཡས་ངོ ས ་དང་གཅི ག ་ མཚུངས་མ་ཐོབ་བར་དུ་རྩིས་འབྲས་བཙལ་པས། 4 ནི་
276
Triangle
མཉམ་བྱ་ x - 8 = -4 དེའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། Triangle
ཟུར་གསུམ་མ། མཐའ་
A
གསུམ་ཡོ ད ་པའི ་ ཁ་ཟུམ་གྱི ་ ངོ ས ་སྙོ མ ས་ B དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེེར། དཔེར་ན། ∆ABC ལྟ་བུ།
C
Triangular number ཟུར་གསུམ་གྲངས། གྲངས་ གང་ཞིག་གིས་ཟུར་གསུམ་ ཚེ ག ་རི ས ་ཀྱི ་ དཔེ ་ འགྲོ ས ་བཟོ་ 1 3 6 10 15 ཐུབ་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ལྟར་ 1, 3, 6, 10, 15 བཅས་ནི་ཟུར་གསུམ་ གྲངས་རེད།
Triangular prism ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ། D ལོགས་ངོས་གསུམ་ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དང་། ཞབས་གཉིས་ནི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱིས་ གྲུབ་པའི་གྲུ་ཀ་ལ་ཟེར། དཔེ་རིས་ལྟར་ན། A
F E
C B
277
Triangular pyramid
∆ABC དང་ ∆DEF ནི་ཞབས་ངོས་དང་། ABED དང་ BCFE, ACFD ནི་ངོས་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Triangular pyramid ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་། ངོས་ D བཞི་གར་ཟུར་གསུམ་མས་གྲུབ་པའི་གྲུ་སྙུང་ C ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་ B A ABCD ནི་ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་རེད། Trigonometry མཐའ་གསུམ་འཇལ་རིག། ཟུར་ གསུམ་མའི་ཚད་འཇལ་དང་འབྲེལ་བའི་རྩིས་རིག་གི་ཡན་ ལག་ཅིག།
Trigonometric ratio མཐའ་གསུམ་སྡུར་ཚད། དྲང་
ཡི་ཉེ་མཐའ།
ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞི ག ་གི ་ མཐའ་གཉི ས ་ལས་གྲུབ་ A པའི་དྲང་ཟུར་ལ་རྐང་པ་དང་། དེའི་ གས ེག་ མཐ མཐའ་གསུམ་པའམ་དྲང་ཟུར་གྱི ་ འ། གཏད་མཐའ་ལ་གསེག་མཐའ་ཟེར་ B ཡི་གཏད་མཐའ། C ཞིང་། དེ་དག་གི་ཚད་བརྩི་བར་གཞི་
278
Trinomial
རྩའི་སྡུར་ཚད་གསུམ་སྤྱོད་དགོས་པ་ནི། དྲང་རྒྱུད་དང་། ལྷག་རྒྱུད། དྲང་ཕྲད་བཅས་རེད། དཔེར་ན། BC sin A = གཏད་མཐའ་ ÷ གསེག་མཐའ་ = AC དང་། AB cos A = ཉེ་མཐའ་ ÷ གསེག་མཐའ་ = AC BC tan A = གསེག་མཐའ་ ÷ ཉེ་མཐའ་ = AB བཅས་ཡིན།
Trinomial སུམ་ཚན་ཚུལ། ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པའི་ ཚུལ་ a2 + b2 + ab དང་ x - y - z ལྟ་བུ་ལ་སུམ་ཚན་ ཚུལ་ཟེར།
Two dimensions ཕྱོགས་ཚད་ཉིས་ལྡན། ཞེང་ དང་། དཀྱུས་གཉིས་ཡོད་པའི་དབྱིབས་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་དང་། སྒོར་དབྱིབས། ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ སོགས་ལྟ་བུ།
Types of polygon དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་དབྱེ་ བ། དབྱིབས་མཐའ་མང་ལ་རིགས་སམ་དབྱེ་བ་མང་པོ་ ཡོད་ཀྱང་། ཡོངས་གྲགས་སུ་གསུམ་དུ་བསྡུས་པ་ནི། མཐའ་
279
Types of polygon
སྟབས་བདེ།
ཀོང་མ།
སྣ་འདུས།
མཐའ་མཉམ་པ།
འབུར་མ།
མཐའ་མི་མཉམ་པ།
མང་དབྱིབས་སྟབས་བདེ་དང་སྣ་འདུས་དབྱིབས་མཐའ་ མང་དང་། དབྱིབས་མཐའ་མང་ཀོང་མ་དང་འབུར་མ། མཐའ་མཉམ་པ་དང་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་ མང་བཅས་ཡིན། དཔེར་ན། དཔེ་རིས་ནང་གི་དབྱིབས་ མཐའ་མང་ཀྱི་དབྱེ་བ་གསུམ་པོ་ལྟ་བུ།
280
Unit
U Unit ཚད་གཞི། གཞལ་བྱའི་དངོས་པོ་གང་ཞིག་གི་ མང་ཉུང་དང་། ལྗིད་ཚད། རིང་ཚད། སྤུས་ཀ་སོགས་ཀྱི་ ཚད་འཛིན་ཏེ། རིང་ཚད་ཀྱི་ཚད་གཞི་ m དང་། རྒྱ་ཁྱོན་ གྱི་ཚད་གཞི་ m2 ཤོངས་ཚད་ཀྱི་ཚད་གཞི་ m3 ལྟ་བུ། Unit fraction གྲངས་ཆ་རྐྱང་པ། བུ་ཆ་ 1 ཡིན་པའི་ གྲངས་ཆ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། 1 , 18 , 101 , 1 ལྟ་བུ། 2
21
Unitary method རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས། ཤེས་ ཟིན་པའི་གྲངས་འབོར་བེད་སྤྱོད་བཏང་སྟེ་གྲངས་འབོར་ གཅིག་གི་རྩིས་འབྲས་བཙལ་རྗེས་དགོས་མཁོ་ཡོད་པའི་ གྲངས་འབོར་དེའི་སྐབས་ཀྱི་རྩིས་འབྲས་འཚོལ་བའི་ལམ་ ལུགས་འདི་ལ་རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས་ཟེར། དཔེར་ན། ཇ་ མངར་མོ་ཤེལ་ཕོར་ 5 ལ་ཧིན་སྒོར་ 50 ཡིན་ན། ཇ་མངར་
281
Unlike terms
མོ་ཤེལ་ཕོར་ 8 ཀྱི་རིན་གོང་འཚོལ་བ་ནི། ཇ་མངར་མོ་ཤེལ་ཕོར་ 5 = `50.00 བྱས་ན། ཇ་མངར་མོ་ཤེལ་ཕོར་ 1 = 50 ÷ 5 = `10.00 ཇ་མངར་མོ་ཤེལ་ཕོར་ 8 = 10 × 8 = `80.00 ཡིན་ལྟ་བུ།
Unlike terms མི་མཐུན་ཚན་པ། ཚན་པའི་ནང་གི་ རྒྱུ་མི་འདྲ་བའམ་རྒྱུའི་ཐེངས་གྲངས་མི་མཉམ་པའི་ཚན་པ་ ལ་ཟེར། དཔེར་ན། ཚན་པ་ 16z དང་ 18x ནང་རྒྱུ་ z དང་ x གཉིས་གཅིག་པ་མིན་པ་དང་། དེ་བཞིན་ 10x2 དང་ -5x ནང་རྒྱུ་ x2 དང་ x གཉིས་ཀྱི་ཐེངས་གྲངས་མི་མཉམ་པས། ཚན་པ་དེ་གཉིས་མི་མཐུན་ཚན་ཡིན་ལྟ་བུ། Upper class limit བར་ཚོའི་གོང་མཐའ། བར་ ཚོའི་འོག་མཐའ་ལ་ལྟོས།
282
Variables
V Variables རྒྱུ། མ་ཤེས་པའི་གྲངས་གང་ཞིག་གི་གྲངས་ ཚབ་ཅིག། རྒྱུན་དུ་ x འམ་ y རྒྱུ། 4x - 7 = 5 སོགས་བེད་སྤྱོད་ཀྱི་ཡོད། དེ་ལ་ འགྱུར་གྲངས་ཀྱང་ཟེར།
Variation འགྱུར་ཆ། རྒྱུ་གཉིས་ཀྱི་འབྲེལ་ལམ་མཉམ་ བྱ་ཞིག་གིས་སྟོན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། དངུལ་ཁང་ནང་ དངུལ་མང་པོ་བཅོལ་བ་ཡིན་ན། སྐྱེད་ཀ་མང་བ་ཐོབ་པར་ མཐུན་འགྱུར་དང་། ཡང་ལས་ཀ་གང་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་ལས་ མིའི་གྲངས་འབོར་འཕར་བ་ཡིན་ན། ཚར་དགོས་པའི་ལས་ ཡུན་དེ་ཉུང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད་པར་ལྡོག་འགྱུར་ལྟ་བུ་མཉམ་ བྱར་བཀོད་དེ་ལས་ཀ་དང་དུས་ཡུན་ནམ། ཡང་ན་བར་ ཐག་དང་དུས་ཡུན་གྱི་འགྱུར་ཆ་དང་འབྲེལ་བའི་དཀའ་
283
Verification
རྙོག་སེལ་ཐབས་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
Verification བཤེར་རྩིས། རྩིས་འབྲས་སམ་འགྲོལ་ ཐོ བ ་རྩི ས ་གཞི ་ འགྲི ག ་མི ན ་ཞི བ ་བཤེ ར ་བྱེ ད ་ཐབས་ལ་ ཟེར། དཔེར་ན། 35 ÷ 5 = 7 དེ་བཤེར་རྩིས་བརྒྱབ་ན། 7 × 5 = 35 ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
ཟུར་ཚེག། ཐིག་
Vertex
གཉིས་ཕྲད་དེ་ཟུར་གྲུབ་སའི་ གནས་དེ་ལ་ཟེར།
ཟུར་ཚེག
འཕྲོ་ཐིག།
Vertically opposite angles ལྡོག་འཕྲད་ཟུར། ཐིག་གཉིས་སྣོལ་སྐབས། སྣོལ་གནས་སུ་ལྡོག་ཟུར་ཆ་ གཉིས་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པའི་ཆ་ཟུར་དེ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། m
l
1
4O 2 3
284
དཔེ་རིས་ནང་གྱི་ཐིག་ l དང་ m གཉིས་ གནས་ O ལ་བསྣོལ་ཏེ་ཟུར་བཞི་ ∠1 དང་ ∠2, ∠3, ∠4 གྲུབ་པ་ལས་ ∠1 དང་ ∠3 ལྡོག་འཕྲད་ཟུར་དང་། ∠2 དང་ ∠4 ལྡོག་
Volume
འཕྲད་ཟུར་ཡིན་པ་ལྟ་བུ།
Volume བོངས་ཚད། ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་ གཟུགས་ཀྱི་འབོར་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། cm3, m3, mL, L སོགས་ལྟ་བུ།
W
Width ཞེང་། ཞེང་ཚད། ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་སམ་ གསུམ་ལྡན་གྱི་རིང་ཚད། དཔེར་ན། གྲུ་ནར་གྱི་ཞེང་ཚད། སྒམ་གཟུགས་ཀྱི་ཞེང་སོགས་ལྟ་བུ།
285
Weight
Weight ལྗིད་ཚད། ལྕི་ཡང་གི་ཚད་ཅིག་ལ་ཟེར། གསེར་ལེབ་ལྕུག་གཅིག་ལ་ 1 kg དང་། ཚྭ་གྷ་རམ་ 500 g མར་ 0.5 kg ལྟ་བུ།
Whole number ཧྲིལ་གྲངས། ཀླད་ཀོར་དང་རང་ བྱུང་གྲངས་ཚང་མར་ཧྲིལ་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། 0, 1, 2, 3, 4, ....... སོགས་ལྟ་བུ།
Word problem ཡིག་ཐོག་རྩིས་གཞི། རྩིས་གཞི་ ཡིག་ཐོག་ནས་སྟོན་པ་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། སོ་ཕག་གཅིག་ ལ་སྒོར་ 5.50 ཡིན་ན། སོ་ཕག་དེ་འདྲ་ 150 ལ་ཧིན་སྒོར་ ག་ཚོད་ཡིན་ནམ་ལྟ་བུ།
286
Zero angle
Z
Zero angle ཐིག་ལེ་ཟུར། ཟུར་ཚད་ལ་ཌིག་རི་ཀླད་ A C ཀོར་ཡོད་པའི་ཟུར་ཞིག་ལ་ཟེར། དཔེར་ན། B དཔེ་རིས་ནང་གི་ ∠ACB = 0˚ ལྟ་བུ།
Zero of polynomial ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐིག་ལེ། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐང་ 0 ཡིན་སྐབས། རྒྱུ་ཡི་ཐང་དེ་ y ལ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐིག་ལེ་ཟེར། དཔེ་ 2 x (0, 2) རིས་ནང་ཚུལ་ཞི ག ་གི ་ ཐི ག ་ལེ ་ ནི ་ 1 x -1 0 1 2 3 མདའ་ལ་འཕྲད་སའི་ x གནས་ཚད་དེ་ -1 རེད། དཔེར་ན། y = x - 2 དེ་ x མདའ་ ལ་ (2, 0) ཕྲད་པས། ཚུལ་ x - 2 ཀྱི་ཐིག་ལེ་ནི་ 2 རེད།
Zero of quadratic polynomial ཐེངས་གཉིས་
ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐིག་ལེ། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཐང་
0
287
Zero of quadratic polynomial
ཡིན་སྐབས། རྒྱུ་ཡི་ཐང་དེ་ལ་ཐེངས་གཉིས་ཚན་མང་ཚུལ་ གྱི་ཐིག་ལེ་ཟེར། དཔེར་ན། ཐེངས་གཉིས་ཚན་མང་ཚུལ་ x2 - 3x - 4 ཡི་ཐིག་ལེ་ནི་ x = 4 དང་ -1 རེད་ལྟ་བུ།
288
ཟུར་སྦྱར། ༡
ཟུར་སྦྱར། ༡
ཚད་ཀྱི་ཚོད་དཔག་ལ་སྤྱོད་ཆེ་བའི་ཐ་སྙད་ཁག་ཅིག།
Some useful terms for the estimate of measurement
བོད་ཡིག།
ཨིན་ཡིག།
མང་བ།
more
ཉུང་ངུ་།
less
ཉུང་ཤོས།
least
ཆེ་བ།
bigger
ཆུང་ངུ་།
small
མང་པོ།
many
མང་ཤོས།
most
ཉུང་བ།
lesser
ཆེན་པོ།
big
ཆེ་ཤོས།
biggest
ཆུང་བ།
smaller
བོད་ཡིག།
ཨིན་ཡིག།
རིང་པོ།
long
རིང་ཤོས།
longest
ཐུང་བ།
shorter
རིང་པོ། (གཟུགས།)
tall
རིང་བ།
longer
ཐུང་ངུ་།
short
ཐུང་ཤོས།
shortest
རིང་བ། (གཟུགས།)
taller
མཐོ་པོ།
high
རིང་ཤོས། (གཟུགས།) tallest མཐོ་བ།
higher
289
ཟུར་སྦྱར། ༡
ཆུང་ཤོས།
smallest
མཐུག་པ།
thicker
ཡང་པོ།
light
ཡང་ཤོས།
lightest
མཐུག་པོ།
thick
མཐུག་ཤོས། thickest ཡང་བ།
290
lighter
མཐོ་ཤོས།
highest
སྲབ་པ།
thinner
ལྕི་པོ།
heavy
ལྕི་ཤོས།
heaviest
སྲབ་པོ།
thin
སྲབ་ཤོས།
thinnest
ལྕི་བ།
heavier
ལྔ་གཉིས་བཅུ།
ལྔ་གསུམ་ བཅོ་ལྔ།
ལྔ་བཞི་ཉི་ཤུ་ ཐམ་པ།
བཞི་གསུམ་བཅུ་ བཞི་བཞི་བཅུ་ གཉིས། དྲུག།
གསུམ་གསུམ་ དགུ།
དྲུག་དྲུག་སུམ་ ཅུ་སོ་དྲུག།
དགུ་གཅིག་ ལ་དགུ
བདུན་བདུན་ བཞི་བཅུ་ཞེ་ དགུ།
དགུ་ལྔ་བཞི་ བཅུ་ཞེ་ལྔ།
དགུ་དྲུག་ལྔ་ བཅུ་ང་བཞི།
དགུ་བརྒྱད་ དགུ་བདུན་དྲུག་ དགུ་དགུ་བརྒྱད་ བདུན་ཅུ་དོན་ ཅུ་རེ་གསུམ། ཅུ་གྱ་གཅིག། གཉིས།
བརྒྱད་གསུམ་ཉི་ བརྒྱད་བཞི་སུམ་ བརྒྱད་ལྔ་བཞི་ བརྒྱད་དྲུག་བཞི་ བརྒྱད་བདུན་ལྔ་ བརྒྱད་བརྒྱད་ ཤུ་རྩ་བཞི། ཅུ་སོ་གཉིས། བཅུ་ཐམ་པ། བཅུ་ཞེ་བརྒྱད། བཅུ་ང་དྲུག། དྲུག་ཅུ་རེ་བཞི།
དགུ་གཉིས་བཅོ་ དགུ་གསུམ་ཉི་ཤུ་ དགུ་བཞི་སུམ་ བརྒྱད། རྩ་བདུན། ཅུ་སོ་དྲུག།
བརྒྱད་གཅིག་ལ་ བརྒྱད་གཉིས་ བརྒྱད། བཅུ་དྲུག།
བདུན་གཅིག་ལ་ བདུན་གཉིས་ བདུན་གསུམ་ཉི་ བདུན་བཞི་ཉི་ཤུ་ བདུན་ལྔ་སུམ་ བདུན་དྲུག་བཞི་ བདུན། བཅུ་བཞི། ཤུ་རྩ་གཅིག། རྩ་བརྒྱད། ཅུ་སོ་ལྔ། བཅུ་ཞེ་གཉིས།
དྲུག་ལྔ་སུམ་ཅུ་ ཐམ་པ།
ལྔ་ལྔ་ཉི་ཤུ་རྩ་ལྔ།
Multiplication Table
ཟུར་སྦྱར། ༢ དགུ་མཐའི་རེའུ་མིག།
དྲུག་གཅིག་ལ་ དྲུག་གཉིས་བཅུ་ དྲུག་གསུམ་བཅོ་ དྲུག་བཞི་ཉི་ཤུ་ དྲུག། གཉིས། བརྒྱད། རྩ་བཞི།
བཞི་གཉིས་ བརྒྱད།
ལྔ་གཅིག་ལ་ལྔ།
བཞི་གཅིག་ ལ་བཞི།
གསུམ་གཉིས་ དྲུག།
གཉིས་གཉིས་ བཞི།
གསུམ་གཅིག་ ལ་གསུམ།
གཉིས་གཅིག་ ལ་གཉིས།
གཅིག་གཅིག་ ལ་གཅིག།
ཟུར་སྦྱར། ༢
291
292 ༡
༡༠
རྒྱལ་སྤྱིའི་ ལུགས།
གྲངས།
རྒྱ་གར་ ལུགས།
གྲངས།
One
One
Ten
Ones
Ten
Ones
བོད་ལུགས། གཅིག བཅུ།
གྲངས།
Hundred
Hundred
བརྒྱ།
༡༠༠
Thousand
Thousand Lakh
Ten Thousands
Ten Thousands
Thousands
ས་ཡ།
Hundred Thousands
Million
Ten Lakhs
Lakhs
འབུམ།
ཁྲི།
བྱེ་བ།
Ten Millions
Millions
Crore
Hundred Millions
Ten Crores
Crores
དུང་ཕྱུར།
༡༠༠༠༠ ༡༠༠༠༠༠ ༡༠༠༠༠༠༠ ༡༠༠༠༠༠༠༠ ༡༠༠༠༠༠༠༠༠
Thousands
སྟོང་།
༡༠༠༠
ཟུར་སྦྱར། ༣ དུང་ཕྱུར་བར་གྱི་གནས་ཐོབ་རེའུ་མིག
ཟུར་སྦྱར། ༣
km
km
hg
ཧེག་ཊོ་གྷ་རམ།
བརྒྱ།
m
གཅིག།
མི་ཊར།
Metre
1 m = 100 cm
dam
བཅུ།
ཌེ་ཀ་མི་ཊར།
Decametre
dag
བཅུ།
ཌེ་ཀ་གྷ་རམ།
Decagram
g
གཅིག།
གྷ་རམ།
Gram
dg
cm
mm
སྟོང་ཆ།
མི་ལི་མི་ཊར།
Millimetre
cg
བརྒྱ་ཆ།
Centigram
སན་ཊི་གྷ་རམ།
mg
སྟོང་ཆ།
མི་ལི་གྷ་རམ།
Milligram
1 cm = 10 mm
བརྒྱ་ཆ།
སན་ཊི་མི་ཊར།
Centimetre
1 g = 1000 gm
བཅུ་ཆ།
ཌེ་སི་གྷ་རམ།
Decigram
dm
བཅུ་ཆ།
ཌེ་སི་མི་ཊར།
Decimetre
ལྗིད་ཚད། Mass/weight Hectogram
hm
བརྒྱ།
ཧེག་ཊོ་མི་ཊར།
Hectometre
1 kg = 1000 g
སྟོང་།
གནས་ཐོབ།
མཚོན་རྟཊ།
Kilogram
མིང་བརྡ།
ཀི་ལོ་གྷ་རམ།
1 km = 1000 m
མཚོན་རྟཊ།
སྟོང་།
གནས་ཐོབ།
ཀི་ལོ་མི་ཊར།
Kilometre
མིང་བརྡ།
ཟུར་སྦྱར། ༤ ཚད་འཇལ་ཕབ་སྒྱུར། རིང་ཚད། Length
ཟུར་སྦྱར། ༤
293
1 cL = 10 mL
kL
སྟོང་།
མཚོན་རྟཊ།
གནས་ཐོབ།
ཀི་ལོ་ལི་ཊར། Kilolitre
294
མིང་བརྡ།
daL
བཅུ།
Decalitre
ཌེ་ཀ་ལི་ཊར།
L
dL
cL
བརྒྱ་ཆ།
Centilitre
སན་ཊི་ལི་ ཊར།
mL
སྟོང་ཆ།
Millilitre
མི་ལི་ལི་ཊར།
1 tonne = 1000 kg
བཅུ་ཆ།
Decilitre
ཌེ་སི་ལི་ཊར།
1 kL = 1000 L
གཅིག།
Litre
ལི་ཊར།
1 quintal = 100 kg
1 L= 100 cL
hL
བརྒྱ།
Hectolitre
ཧེག་ཊོ་ལི་ཊར།
ཤོང་ཚད། Capacity
ཟུར་སྦྱར། ༤
ཟུར་སྦྱར། ༥
ཟུར་སྦྱར། ༥ དབྱིབས།
དཔེ་རིས།
གྲུ་བཞི་ཁ་ གང་མ།
a
མཐའ་འཁོར་ རིང་ཚད།
རྒྱ་ཁྱོན།
4a
a2
2(l + b)
l×b
2πr
πr2
a+b+c
1 bh 2
l
གྲུ་བཞི་ ནར་མོ།
b
སྒོར་ དབྱིབས།
o
ཟུར་ གསུམ་མ། སྐས་ དབྱིབས།
ཚད་འཇལ་ཆོ་ག་འགའ། Some Measurement Formulas
a
r
c
h b a
c
h b
d
a+b+c+d
1 2
(a + b) h
295
ཟུར་སྦྱར། ༦
གཟེ་ དབྱིབས།
s×h/
4×s
h
p×q
s
ཟུར་སྦྱར། ༦ ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་བོངས་ཚད་ཀྱི་ཆོ་ག་འགའ། Some surface area & volume formulas གཟུགས།
ཁ་གང་ གཟུགས།
གྲུ་ནར་ གཟུགས། ཀ་ཟླུམ།
སྙུང་ གཟུགས།
296
ལོགས་ ངོས།
དཔེ་རིས།
4a2
ངོས་ཡོངས། 6a2
བོངས་ ཚད། a3
a
h b
l
h
2h(l + b) 2(lb + bh + hl)
lbh
2πrh
2πr(h + r)
πr2h
πrl
πr(h + r)
1 πr2h 3
r
l
h r
r
ཟླུམ་ གཟུགས།
ཟླུམ་ཕྱེད། ཟུར་སྦྱར། ༧
ཟུར་སྦྱར། ༧
c
r
4πr2
4πr2
4 πr3 3
2πr2
3πr2
2 πr3 3
ཆོ་ག་གཞན་འགའ། Some other formulas
མིང་།
མ་སྐྱེད་རྐྱང་ པ། མ་སྐྱེད་བུ་ སྐྱེད། ཚབ་རྩིས་ གཏན་ མཚུངས།
ཆོ་ག།
PRT 100 A CI = A - P (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 x2 - y2 = (x + y) (x - y) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
297
ཟུར་སྦྱར། ༧
ཟུར་གསུམ་ མའི་རྒྱ་ཁྱོན། (ཧི་རོན་ཆོ་ ག་)
ཆ་སྙོམས།
298
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y) (x - y)3 = x3 - y3 - 3xy (x - y) x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
s (s - a) (s - b) (s - c) s= a+b+c 3 n ∑ xi i = =1 n གལ་སྲིད་ཚན་སྒྲིལ་མིན་པའི་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ n ∑ fixi i =1 ཚུལ་ཡིན་ན། = n དང་། ∑ fi i =1
ཆ་བཞག་ཆ་སྙོམས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་སྐབས། ∑fidi = a + ∑f i
ཟུར་སྦྱར། ༧
གོམ་འགྲིལ་ཡོ་ཁྱད་ཀྱི་ཐབས་ལམ་སྐབས། ∑fiui = a +h ∑f i གལ་སྲིད་ n ཡ་གྲངས་ཤིག་ཡིན་ན། n + 1 thterm དང་། 2
དཀྱིལ་ གྲངས།
གལ་སྲི ད ་ n ཆ་གྲངས་ཤིག་ཡིན་ན། n thterm + 2
th n term + 1 2 2
དེ་བཞིན་ཚན་སྒྲིལ་གྲངས་ཐོའ་ི སྐབས།
n - cf l+ 2 × f
h
299
ཟུར་སྦྱར། ༧
བྱིངས་གྲངས།
དབྱེ་འབྱེད་པ། ཐེངས་གཉིས་ ཆོ་ག། ཨང་རྩིས་ སྟར་གྲངས། བར་ཐག།
བཅད་ཚེག་ ཆོ་ག།
ཟུར་གསུམ་ མའི་རྒྱ་ཁྱོན། (གནས་ཚད་
དབྱིབས་རྩིས།)
300
l+
fm - f1 × 2fm - f1 - f2
h
D = b2 - 4ac -b ±
b2 - 4ac 2a
ཨང་རྩིས་གྲངས་ཀྱི་ཚན་པ་ n གྱི་ཆོ་ག་ནི། an = a + (n - 1) d དང་། ཨང་རྩིས་གྲངས་ ཀྱི་ཚན་པ་ n ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ཆོ་ག་ནི། S = n [a + (n - 1) d ] 2 D=
(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
m1x2 + m2x1 m1y2 + m2y1 m1 + m2 , m1 + m2 1 [x (y - y ) + x (y - y ) + x (y - y )] 2 3 1 3 1 2 2 1 2 3
ཟུར་སྦྱར། ༨
མཐའ་གསུམ་ གཏན་ མཚུངས།
སོག་དབྱིབས་ ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན།
སོག་དབྱིབས་ ཀྱི་གཞུའི་ རིང་ཚད།
ཟུར་སྦྱར། ༨ = ≠ ≈ < > ≤
sin2θ + cos2θ = 1 1 + tan2θ = sec2θ 1 + cot2θ = cosec2θ θ × πr2 360 θ × 2πr 360 རྩིས་རིག་གི་མཚོན་རྟགས། Mathematical Symbols
མཚུངས།
མི་མཚུངས།
ཕལ་ཆེར་མཚུངས་པའི་རྟགས། ཆུང་རྟགས། ཉུང་རྟགས། ཆེ་རྟགས། མང་རྟགས།
ཆུང་བའམ་མཚུངས་པ།
301
ཟུར་སྦྱར། ༨
≥
+ - ÷ /
ཆེ་བའམ་མཚུངས་པ། སྣོན། སྡོམ།
འཐེན། འཕྲི། བུན་གྱི་རྟགས། བགོད།
:
བགོད་རྟགས། གསེག་རྟགས།
::
སྡུར་ཕྲེང་།
སྡུར།
a n
∴ %
ཁྱོན།
གང་ཡིན་ཟེར་ན། རྒྱུ་མཚན་འདྲེན་པའི་རྟགས། དེའི་ཕྱིར། རྒྱུ་མཚན་འདྲེན་པའི་རྟགས། བརྒྱ་ཆའི་རྟགས།
( ) གུག་རྟགས་ཆུང་བ་སྟེ། རྩིས་རྒྱག་གི་གོ་རིམ་མཚོན།
{ } གུག་རྟགས་འབྲིང་བ་སྟེ། རྩིས་རྒྱག་གི་གོ་རིམ་མཚོན། [ ] གུག་རྟགས་ཆེ་བ་སྟེ། རྩིས་རྒྱག་གི་གོ་རིམ་མཚོན། {an} གྲངས་ཕྲེང་ a1, a2, ...........an མཚོན།
(x,y) སྙོམས་ངོས་སྟེང་གི་འཕྲེད་གནས་ཚད་ x དང་གཞུང་
n
302
གནས་ཚད་ y ཡི་གནས་ཚད་མཚོན།
ཐེངས་ n སྒྱུར་གཞི།
± ∑
སྡོམ་འཐེན།
མཚོན།
ཟུར་སྦྱར། ༨
n
སིག་མ། i =1ai ཡིས་ a1 + a2 + ....... + an སྤྱི་སྡོམ་ པཡེ། = 3.1415926535......
π
| a | ལྟོས་མེད་ཐང།
⇔ འདང་མཁོའ་ི ཆ་རྐྱེན། ⇒ གོང་དང་མཚུངས།
∆
སྒོར་དབྱིབས།
ཟུར་གསུམ་དབྱིབས།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། ཟུར།
∠ °
དྲང་ཟུར།
≅
གཞུ།
∼ ||
ཌིག་རི།
ཡོངས་མཚུངས། འདྲ་མཚུངས། མཉམ་འགྲོ།
303
ཟུར་སྦྱར། ༨
⊥
དྲང་འཕྱང་། a ⊥ b
→ འཕྲོ་ཐིག།
ཐིག་དུམ།
↔ ཐིག།
ཆ་སྙོམས།
sin x ཟུར་ x ཡི་དྲང་རྒྱུད། cos x ཟུར་x ཡི་ལྷག་རྒྱུད།
tan x ཟུར་ x ཡི་དྲང་ཕྲད།
cot x ཟུར་ x ཡི་ལྷག་ཕྲད།
sec x ཟུར་ x ཡི་དྲང་གཅོད།
cosec x ཟུར་ x ཡི་ལྷག་གཅོད།
304