འཛིན་རིམ་བརྒྱད་པའི་སློབ་དེབ།
རྩིས་རིག
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ཀྱིས་དཔར་འགྲེམས་ཞུས།
བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་དང་པོ།
First Review
དཔར་གྲངས། ༡༠༠༠
1000 Copies
ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༩ ཟླ་བ་གསུམ་པ། དཔར་ཐེངས་དང་པོ།
Printed and Distributed by: Sherig Parkhang R-27 & 28, Ramesh Park Laxmi Nagar, New Delhi- 110092 Phone: 2245-3672
March 2019 First Printing
སྤྱི་ཁྱབ་འགན་འཛིན། རྩོམ་སྒྲིག་འགན་འཁུར། ཞུ་དག་པ།
རྩོམ་སྒྲིག་དང་ཇུས་འགོད།
ཚེ་རིང་བསམ་གྲུབ། བསོད་ནམས་བཟང་པོ། པདྨ་རྒྱལ་མཚན། བསམ་གྲུབ། བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ། པདྨ་རྒྱལ་མཚན།
བསྐྱར་ཞིབ་དང་གཏན་འབེབས་ཚོགས་མི།
བསོད་ནམས་བཟང་པོ། ཤེས་ལྷན་ཟུང་དྲུང་།
བསོད་ནམས་རྒྱལ་པོ།
ངག་དབང་རྡོ་རྗེ།
བསྟན་འཛིན་ཚེ་འཕེལ། ཨང་རྩིས་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
བསྟན་འཛིན་རྡོ་རྗེ།
དེང་སྲོལ་ཚན་པའི་འགན་འཛིན།
པདྨ་རྒྱལ་མཚན།
སིམ་ལ་གཏན་སློབ་ཀྱི་རྩིས་དགེ།
དྷ་ཤོད ་བོད ་ཁྱིམ་རྩིས་དགེ ་ ཟུར་པ།
བོད་ཁྱིམ་ཨང་རྩིས་རྒྱུས་སྟོན་པ།
བློ་བཟང་བསྟན་འཛིན། ཨང་རྩིས་རྩོམ་སྒྲིག་པ།
© Department of Education, CTA
སློབ་དེབ་འདི་བོད་ཡིག་སློབ་སྦྱོང་དྲ་ཚིག་ www.bodyiglobjong.com ནས་ཕབ་ལེན་བྱ་ཐུབ། Disclaimer This Mathematics textbook is made possible by the support of the American people through the United States Agency for International Development (USAID). The contents of this textbook are the sole responsibility of Department of Education, Central Tibetan Administration and do not necessarily reflect the views of USAID or the United States Government.
ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས།
Department of Education Central Tibetan Administration
Phone : 01892-222572 : 01892-222721 Email : education@tibet.net Web : www.sherig.org : http://bodyiglobjong.com GANGCHEN KYISHONG DHARAMSALA - 176215 DISTT. KANGRA, H.P. INDIA
ཆེད་བརྗོད།
༄༅། །སྤྱི་ནོར་༸གོང་ས་༸སྐྱབས་མགོན་ཆེན་པོ་མཆོག་གི་བཀའ་སློབ་ལམ་སྟོན་རིམ་ཕེབས་ཀྱི་དགོངས་དོན་ ལྟར། བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་སློབ་གྲྭ་ཁག་ཏུ་སློབ་ཚན་བརྒྱུད་ལམ་རང་སྐད་ཐོག་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་པའི་ལས་གཞི་དེ་
བཞིན་བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་བཅའ་ཁྲིམས་ཀྱི་དགོངས་དོན་ལྟར་ ༡༩༨༦ ལོ་ནས་བཟུང་འགོ་བཙུགས། ༡༩༩༩ ལོ་ནས་བཟུང་ད་བར་འཛིན་རིམ་ལྔ་པ་བར་གྱི་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཐེངས་བཞི་བྱས། ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༢ ནས་ བཟུང་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་ཁང་ (NCERT) གིས་རྩོམ་སྒྲིག་ དང་འགྲེམས་སྤེལ་ཞུས་པའི་འཛིན་རིམ་དྲུག་པ་ནས་བརྒྱད་པ་བར་གྱི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ཁག་འདི་ག་ལས་
ཁུངས་ནས་རྩོམ་སྒྱུར་ཚོགས་ཆུང་ཆེད་བཙུགས་ཀྱིས་བོད་སྒྱུར་འགྲེམས་སྤེལ་ཞུས་ཡོད།
ཐེངས་འདིའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ནི་ ༢༠༠༤ ལོར་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་བཙན་བྱོལ་བོད་མིའི་གཞི་རིམ་
རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་འདི་སློབ་ཚན་བཅོ་ལྔ་རུ་བགོས་ཡོད། སློབ་ཚན་དེ་དག་ནང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་
ཤོས་ཡོན་སྲིད་བྱུས་ཀྱི་དགོངས་དོན་འོག་ ༢༠༠༨ ལོར་བཀའ་ཤག་གིས་གཏན་ལ་ཕབ་པའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་ རྩིས་རིག་བསླབ་གཞིའི་རྩ་འཛིན་གྱི་འབྲུ་དོན་གཞི་རྩར་བཟུང་སྟེ་རྩོམ་སྒྲིག་བྱས་པ་ཡིན།
རྩིས་ཐབས་སོ་སོའི་ཁྱད་ཆོས་དང་། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མཚོན་སྟངས། རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་
གི་མཉམ་བྱའི་བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི། ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། སུམ་སྒྱུར་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི། སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ བེད་སྤྱོད། མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་འཚོལ་སྟངས། མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་གཏན་མཚུངས།
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཁྱད་ཆོས་དང་རིགས། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ འགོད་སྟངས། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ་མི་འདྲ་བ། ཡུ་ལར་ཆོ་ག སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས་གྲུ་བཞི་མའི་མཐའ་
འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན། ཁ་གང་གཟུགས་དང་། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་བཅས་གསུམ་གྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
དང་བོངས་ཚད། གྱེན་ལང་བཀོད་རིས། ཐིག་རིས་སྒོར་མོ། སྲིད་ཕྱོད། ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད་བཅས་ཡོད། སློབ་དེབ་
འདིའི་མཐའ་མཇུག་ལ་སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན་དང་འཛིན་རིམ་བརྒྱད་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ནང་བེད་སྤྱོད་ བྱས་པའི་ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཀྱི་ཤན་སྦྱར་ཡོད།
སློབ་དེབ་འདི་རྩོམ་སྒྲིག་སྐབས་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཤེས་ཡོན་ཉམས་ཞིབ་དང་སྦྱོང་བརྡར་ལྟེ་གནས་
ཁང་ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༠༨ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་དང་། འདི་ག་ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་ཕྱི་ལོ་
༢༠༠༧ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ། ཀེམ་བྷིར་ཇི་གཙུག་ལག་སློབ་ཁང་ (CAMBRIDGE UNIVERSITY) ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༣ ལོར་བཏོན་པའི་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ། སྔ་ཕྱིར་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་དགེ་
ཁག་དང་སློབ་དེབ་བསྐྱར་ཞིབ་ཚོགས་མི་ལྷན་རྒྱས་ཀྱི་དགོངས་འཆར།
དོ་བདག་རམ ྩོ ་སྒྲིག་པ་གཞི་རིམ་བར་
མའི་སློབ་གྲྭ་ཁག་ལ་དངོས་བསྐྱོད་ཞིབ་འཇུག་བྱས་པའི་གྲུབ་དོན་བཅས་གཞི་རྩར་བཟུང་ཏེ།
ཤེས་རིག་ལས་
ཁུངས་ནས་བསྐོ་འཛུགས་གནང་བའི་གཞི་རིམ་བར་མའི་རྩིས་རིག་ཚོགས་ཆུང་གིས་མཐའ་མའི་བསྐྱར་ཞིབ་ དང་སྦྲགས་གཏན་འབེབས་གནང་བ་ཡིན།
སློབ་དེབ་འདིའི་ཐད་རིན་ཐང་ཅན་གྱི་དགོངས་འཆར་ལྷུག་སྩོལ་
གནང་བར་དགའ་བསུ་ཞུ། ཤེས་རིག་ལས་ཁུངས་ནས་ཕྱི་ལོ་ ༢༠༡༩ ཟླ་ ༣ ཚེས་ ༡ ལ།
དཀར་ཆག
སློབ་ཚན་དང་པོ། ལུགས་ལྡན་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 1
སློབ་ཚན་གཉིས་པ། རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 18
སློབ་ཚན་གསུམ་པ། ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 35 སློབ་ཚན་བཞི་པ། སུམ་སྒྱུར་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 54 སློབ་ཚན་ལྔ་པ། སྟོན་གྲངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 61
སློབ་ཚན་དྲུག་པ། མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 68 སློབ་ཚན་བདུན་པ། མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 78 སློབ་ཚན་བརྒྱད་པ། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 91 སློབ་ཚན་དགུ་པ། བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 107
སློབ་ཚན་བཅུ་པ། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 122 སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ། བཀོད་པ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 143 སློབ་ཚན་བཅུ་གཉིས་པ། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 156
སློབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་པ། ཚད་འཇལ། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 173 སློབ་ཚན་བཅུ་བཞི་པ། གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 206
སློབ་ཚན་བཅོ་ལྔ་པ། ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 225 སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 243 ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། ་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་་ 265
ལུགས་ལྡན་གྲངས། སློབ་ཚན་དང་པོ།
༡་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ང་ཚོས་འཛིན་རིམ་བདུན་པར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ངོ་སྤྲོད་དང་རྩིས་ཐབས་ཁག་སྦྱངས་ཟིན་པ་རྣམས་དྲན་ p གསོ་གྱིས་དང་། རིལ་གྲངས་ p དང་ q ལས་ q ≠ 0 ཡིན་པའི་གྲངས་ q ལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ p −2 , 4 ན། སོགས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན། གྲངས་ 0, − 3, 50 སོགས་ q ཡི་རྣམ་པར་འབྲི་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད་ 3 5 པས། གྲངས་དེ་དག་ཀྱང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན། སློབ་ཚན་འདིར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་སོ་སོའི་ ཁྱད་ཆོས་དང་། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མཚོན་སྟངས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་དབར་ལུགས་ ལྡན་གྲངས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༡་༢ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of rational numbers ༡་༢་༡ བསྡུ་སྲོལ། Closure property
༡། སྡོམ་རྩིས།
ཁྱེད་ཀྱིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་རྒྱག་སྟངས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
2 (−5) 12 + (−25) −13 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། + = = 5 6 30 30 −3 (−4) −15 + (−32) (ཁ) ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། + = = 8 5 40 6 4 (ག) ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། + = 11 7 (ཀ)
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a
1
རྩིས་རིག
དང་ b ཡིན་ན། a + b ཡང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
༢། འཐེན་རྩིས།
ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་འཐེན་ཐོབ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
−5 2 −5 × 3 − 2 × 7 −29 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། − = = 21 21 7 3 5 4 25 − 32 (ཁ) − = ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། = 8 5 40 (ཀ)
(ག)
( (
3 −8 − = 7 5
ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ།
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་འཐེན་ཐོབ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a
དང་ b ཡིན་ན། a − b ཡང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
༣། སྒྱུར་རྩིས།
གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ལྟོས་དང་།
−2 4 −8 × = ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 5 7 35 3 1 3 (ཁ) × = ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 4 5 20 −4 −6 (ག) × ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། = 5 11 (ཀ)
གོང་དང་འདྲ་བའི་དཔེ་མཚོན་འགའ་བླངས་ཏེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་མིན་ལྟོས་དང་། ང་ཚོས་
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a
དང་ b ཡིན་ན། a × b ཡང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
༤། བགོད་རྩིས།
གཤམ་གསལ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བགོས་ཐོབ་ལ་ལྟོས་དང་།
−5 2 −25 ÷ = ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 6 3 5 2 5 (ཁ) ÷ = ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། 7 3 (ཀ)
2
ལུགས་ལྡན་གྲངས། −3 −2 ÷ ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད་དམ། = 8 9 2 (ང) ÷ 0 ལ་གོ་དོན་མེད། 5 ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a ཡིན་ན། a ÷ 0 ལ་གོ་དོན་མེད་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་ (ག)
གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད། ཡིན་ནའང་། བགོད་བྱེད་ཀླད་ཀོར་ཕུད་པའི་ལུགས་ ལྡན་གྲངས་གཞན་ཚང་མ་བགོད་པའི་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད།
༡་༢་༢ བརྗེ་སྲོལ། Commutative property
༡། སྡོམ་རྩིས།
གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
(ཀ)
1 −2 5 1 5 −2 དང་ + = + = 21 3 7 21 7 3
(ཁ)
−6 −8 + = 7 3
(ག)
−3 2 2 −3 རེད་དམ། + = + 8 7 7 8
དེར་བརྟེན།
−2 5 5 −2 + = + 3 7 7 3 དང་
−8 −6 + = 3 7
−6 −8 −8 −6 རེད་དམ། + + = 7 3 3 7
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། སྡོམ་རྩིས་སྐབས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་གོ་རིམ་བརྗེས་ནའང་བསྡོམས་ཐོབ་ལ་འགྱུར་
བ་མེད་པ་ཤེས་ཐུབ། དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི།
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་ b ཡིན་ན། a + b = b + a
༢། འཐེན་རྩིས། (ཀ)
(ཁ)
(( (( (( (( (( ( ( ( ( ((
2 5 5 2 རེད་དམ། − − = 3 4 4 3
1 −3 −3 1 རེད་དམ། − − = 2 5 5 2
3
རྩིས་རིག གོང་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་ལས། ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད་ པ་ཤེས་ཐུབ།
༣། སྒྱུར་རྩིས།
གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
( ( ( (
(ཀ)
−42 6 −7 −7 6 −42 དང་ × = × = 15 15 5 3 3 5
(ཁ)
−8 −4 −4 −8 རེད་དམ། × × = 9 7 7 9
དེར་བརྟེན།
−7 6 6 −7 × = × 3 5 5 3
( (
( (
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སལ ྲོ ་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ།
དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་ b ཡིན་ན། a × b = b × a
༤། བགོད་རྩིས།
( ( ( (
3 −5 12 −5 3 −35 ÷ = དང་ ÷ = 12 7 −35 4 7 4
−5 3 3 −5 ÷ ≠ ÷ 4 7 7 4 གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་བརྗེ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད་པ་ཤེས་ཐུབ། དེར་བརྟེན།
༡་༢་༣ སྡེབ་སྲོལ། Associative property
༡། སྡོམ་རྩིས། (ཀ)
[ ( ([ ( ( [ [ ( ( ( ( [ ( ([ [
−27 −9 −2 3 −5 −2 −7 + = = + + = 30 10 3 5 6 3 30
−27 −9 −2 3 −5 −1 −5 + = = + + = 30 10 3 5 6 15 6
དེར་བརྟེན།
4
[ ( (
−2 3 −5 −2 3 −5 + + + + = 3 5 6 3 5 6
(ཁ)
[ ( ([ [
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
[ ( (
−1 −1 3 −4 3 −4 ཚོལ། བསྡོམས་ཐོབ་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན་ནམ། དང་ + + + + 2 3 2 7 3 7
གོང་ལྟར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་འགའི་སྡོམས་ཐོབ་བཙལ་ཏེ། བསྡོམས་ཐོབ་གཉིས་གཅིག་པ་ཡིན་མིན་ལྟོས། ང་ ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་
a དང་ b, c ཡིན་ན། a + (b + c) = (a + b) + c
༢། འཐེན་རྩིས། (ཀ)
(ཁ)
[ [ [ ( ([
( (
19 −2 −4 1 −2 −13 − − = − = 30 3 5 2 3 10 −2 −4 − 3 5
−
1 2 1 −11 = − = 2 15 2 30
[ [ [ ( ([ [ ( ([ [ [ ( (
དེར་བརྟེན།
−2 −4 1 −2 −4 − − − ≠ 3 5 2 3 5
−
−1 3 −4 −1 3 −4 རེད་དམ། − − − − = 2 7 3 2 7 3
1 2
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་གཉིས་ལས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད་པ་ཤེས་ཐུབ།
༣། སྒྱུར་རྩིས།
གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ)
(ཁ)
( ( ( (
−7 −7 10 −70 −35 5 2 = = × × = × 54 3 3 36 108 4 9 2 −7 5 × × = 9 3 4
དེར་བརྟེན།
(
( ( ( ( ( (
(
−7 2 5 2 −7 5 × × = × × 3 9 4 9 3 4
2 −6 4 2 −6 4 × རེད་དམ། × × = × 5 3 7 7 5 3
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད་པ་མཐོང་ཐུབ།
དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་ b, c ཡིན་ན། a × (b × c) = (a × b) × c
5
རྩིས་རིག
༤། བགོད་རྩིས།
[
[ [ ( ([ [ [ [ ( ( ( ( [ ( ([ [ ( ([
1 −1 1 −1 2 ÷ = ÷ ÷ 3 5 2 3 2
འདིར། LHS = =
÷
2 རེད་དམ། 5
[
1 −1 2 1 −1 5 ÷ = ÷ ÷ × 2 3 5 2 3 2
(
−6 −6 1 1 −5 ÷ = × = 6 5 2 10 2
RHS =
1 −1 ÷ 2 3
÷
2 5
=
1 −3 × 2 1
÷
2 −3 5 −15 = × = 5 2 2 4
5 2 ཡི་ལོག་གྲངས་ནི་ རེད། ) 2 5
LHS ≠ RHS དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བགོད་རྩིས་སྐབས་སྡེབ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་མེད། རྩིས་དཔེ། ༡ ལན།
( ( ( ( ( ( [ [ [ [
−8 5 3 −6 + + + 11 21 22 7 = = = = =
6
( ( ( ( ( ( [ ( ([ [ [ ( (
−8 5 3 −6 ཚོལ། + + + 11 21 22 7
3 −8 + 7 21
+
−6 5 + 11 22
9 + (−8) −12 + 5 + 21 22
−7 1 + 21 22
22 − 147 462
−125 462
( བརྗེ་སྲོལ་དང་སྡེབ་སྲོལ་བེད་སྤྱོད་པ། )
( 7 དང་ 21 གི་ LCM ནི་ 21 དང་། 11 དང་ 22 ཀྱི་ LCM ནི་ 22 རེད། )
( 21 དང་ 22 ཀྱི་ LCM ནི་ 462 རེད། )
རྩིས་དཔེ། ༢ ལན།
( ( ( ( [ [ [ ( ([ ( (
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
−4 3 15 −14 ཚོལ། × × × 5 7 16 9
−4 3 15 −14 × × × 5 7 16 9 = =
−4 15 −14 3 × × × 5 16 9 7
1 −3 −2 × = 3 2 4
( བརྗེ་སྲོལ་དང་སྡེབ་སྲོལ་བེད་སྤྱོད་པ། )
༡་༢་༤ སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ། Additive identity གཤམ་གསལ་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ)
(ཁ)
2 2 2 +0=0+ = 5 5 5 −1 −1 −1 +0=0+ = 4 4 4
ད་དུང་སྡོམ་རྩིས་དེ་འདྲ་ཁ་ཤས་རྒྱོབ། ཁྱེད་ཀྱིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་དང་ཀླད་ཀོར་བསྡོམས་ན། བསྡོམས་ ཐོབ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེ་རང་རེད། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་རུང་ a ཡིན་ན། a + 0 = 0 + a = a
དེར་བརྟེན། ཀླད་ཀོར་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ་རེད། ༡་༢་༥ སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ། Multiplicative identity གཤམ་གསལ་ལ་ལྟོས་དང་། (ཀ)
(ཁ)
−2 −2 −2 ×1=1× = 7 7 7 4 × 5
=1×
4 4 = 5 5
ད་དུང་སྒྱུར་རྩིས་དེ་འདྲ་ཁ་ཤས་རྒྱོབ། ཁྱེད་ཀྱིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་དང་ 1 བསྒྱུར་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ལུགས་
ལྡན་གྲངས་དེ་རང་རེད། དེ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་རུང་ a ཡིན་ན། a × 1 = 1 × a = a
དེར་བརྟེན། 1 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ་རེད།
7
རྩིས་རིག ༡་༢་༦ ལྡོག་གྲངས། Additive inverse 2 ལ་ཆ་བཞག་ན། 3 2 2 2 + (−2) + − = =0 3 3 3
ལུགས་ལྡན་གྲངས་
དེ་བཞིན།
དེ་མཚུངས།
( ( ( ( −
2 2 (−2) + 2 + = =0 3 3 3
−8 + 9
( ( ( ( ( (
= +
+
−8 =0 9
−11 −11 = + 7 7
=0
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a ཡིན་ན། a + (−a) = (−a) + a = 0 འདིར། −a ནི་ a ཡི་ལྡོག་གྲངས་དང་། a ནི་
−a ཡི་ལྡོག་གྲངས་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༣ ལྡོག་གྲངས་བྲིས།
ལན།
(ཀ)
−9 17
(ཁ)
21 112
(ཀ) 9 ནི་ −9 ཡི་ལྡོག་གྲངས་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། −9 + 9 = −9 + 9 = 0 = 0 17 17 17 17 17 17 21 −21 (ཁ) ཡི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ རེད། 112 112
༡་༢་༧ ལོག་གྲངས། Multiplicative inverse or reciprocal 22 7 ལ་བསྒྱུར་བ་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ 1 འཐོབ་བམ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེ་ རེད། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་ཞིག་ 7 22 7 22 × དེ་ནི། =1 22 7 −5 7 དེ་མཚུངས། ལ་ གྱིས་བསྒྱུར་བ་ཡིན་ན། བསྒྱུར་ཐོབ་ 1 རེད། 7 −5
8
ལུགས་ལྡན་གྲངས། 22 7 7 −5 ནི་ གྱི་ལོག་གྲངས་དང་ ནི་ ཡི་ལོག་གྲངས་རེད། 7 22 −5 7 0 1 0 མཆན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 0 ལ་ལོག་གྲངས་མེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། 0 = སྐབས་ དེ་ ལྟར་བྲིས་ན་དེ་ལ་ 1 0 1 c a c c a གོ་དོན་མེད། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ དང་ ལས། གལ་ཏེ་ × = 1 ཡིན་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ ནི་ d b d d b a ལུགས་ལྡན་གྲངས་ ཡི་ལོག་གྲངས་རེད། b དེར་བརྟེན།
༡་༢་༨ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བགོ་སྲོལ། Distributive property of rational numbers
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ −3 དང་ 2 , −5 ལ་ཆ་ཞོག 4 3 6 −3 2 −5 (ཀ) × + 4 3 6 =
[ ( ([ [ [
( (
−3 −1 3 1 −3 4 + (−5) × × = = = 6 6 4 24 8 4
ཡང་། དང་།
−3 2 −3 × 2 −6 −1 × = = = 2 4 3 4 × 3 12 −3 −5 −3 × −5 15 5 × = = = 24 8 4 6 4×6
( ( ( [ [ ( ( ( [ ( ([ [ [
དེར་བརྟེན།
(
−3 2 −3 −5 −1 5 1 × + × + = = 6 4 3 4 2 8 8
−3 2 −5 −3 2 −3 −5 × + × + × = 6 6 4 3 4 3 4
(ཁ)
(
−3 2 −5 × − 4 3 6 =
−3 4 − (−5) −3 9 −9 × × = = 6 4 4 6 8
ཡང་། དང་།
−3 2 −3 × 2 −6 −1 × = = = 2 4 3 4 × 3 12 −3 −5 −3 × −5 15 5 × = = = 24 8 4 6 4×6
9
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན།
[
(
( ( ( [ ( ( (
−3 2 −3 −5 −1 5 −9 × − × − = = 8 6 4 3 4 2 8
−3 2 −5 −3 2 −3 −5 × − × − × = 6 6 4 4 3 4 3
(
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་ b, c ལས། a (b + c) = (ab + ac) དང་། a (b − c) = (ab − ac) ནི་
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བགོ་སྲོལ་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༤ གཤམ་གསལ་སྐབས་སུ་ −(− x) = x ཡིན་པ་བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ། ལན།
(ཀ) x =
(ཀ) x =
13 17
(ཁ) x =
13 17
−21 31
( (
x = 13 གྱི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ −x = −13 རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། 13 + −13 = 0 17 17 17 17 མཉམ་བྱ་
( ( ( (
13 −13 13 −13 གྱི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ རེད། + = 0 ལས། 17 17 17 17
ཡང་ན། − (ཁ) x =
−21 31
−13 13 དེ་ནི། −(− x) = x = 17 17
x = −21 གི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ −x = 21 རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། −21 + 21 = 0 31 31 31 31
−21 −21 21 21 གི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ རེད། + = 0 ལས། 31 31 31 31 དེ་ནི། −(− x) = x མཉམ་བྱ་
རྩིས་དཔེ། ༥
ལན།
10
2 −3 1 3 3 − × − × རྩིས། 5 7 14 7 5
2 −3 1 3 3 2 −3 3 3 1 × − − × = × − × − 5 7 14 7 5 5 7 7 5 14
( བརྗེ་སྲོལ་ལས། )
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
( ( ( (
=
2 −3 −3 3 1 × + × − 7 5 7 5 14
=
−3 2 3 1 + − 7 5 5 14
=
1 −6 − 1 −1 −3 ×1− = = 14 14 2 7
སྦྱོང་ཚན་ ༡་༡
༡། ཁྱད་ཆོས་གང་འོས་སྤྱད་དེ་རྩིས། (ཀ)
1 1 1 3 × − × 5 2 5 2
(ཀ)
1 7
༢། ལྡོག་གྲངས་བྲིས།
(ཁ)
( བགོ་སྲོལ་ལས། )
2 3 5 3 1 (ཁ) − × + − × 3 5 2 5 6
−5 9
(ག)
−6 −5
(ང)
(ག) 4 −9
༣། གཤམ་གསལ་སྐབས་སུ་ −(− x) = x ཡིན་པ་བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ། (ཀ) x =
11 15
༤། ལོག་གྲངས་བྲིས། (ཀ) − 13
(ཁ)
(ཁ) x = −
1 5
(ག)
−13 19
( (
2 −3 1 3 1 2 − × + × × 5 6 2 14 5 7
(ཅ)
19 −6
(ཆ) 1 ×
−3 7
13 17
(ང)
−5 −7
(ཅ) − 1
༥། གཤམ་གསལ་སྒྱུར་རྩིས་སྐབས་སྤྱད་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་བྲིས། −4 −4 −4 = ×1=1× 5 5 5 −19 29 (ག) =1 × 29 −19 (ཀ)
(ཁ) −
(ཇ)
−5 −3 × 8 7
13 −2 −2 −13 = × × 17 7 7 17
−7 6 ལ་ གྱི་ལོག་གྲངས་ཀྱིས་སྒྱུར། 16 13 1 4 1 4 ༧། ཁྱེད་ཀྱིས་ཁྱད་ཆོས་གང་བེད་སྤྱད་དེ་ × 6 × ནི་ × 6 × ལྟར་རྩིས་རྒྱག་ཐུབ་བམ། 3 3 3 3
༦།
( ( ( (
11
རྩིས་རིག 1 8 ནི་ −1 གི་ལོག་གྲངས་རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས། 8 9 1 ༩། 0.3 ནི་ 3 གི་ལོག་གྲངས་རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས། 3 ༡༠། བར་སྟོང་སྐོངས།
༨།
(ཀ) ཀླད་ཀོར་ལ་ལོག་གྲངས་
(ཁ) གྲངས་
དང་
ནི་རང་ཉིད་ཀྱི་ལོག་གྲངས་རེད།
(ག) − 5 ཡི་ལོག་གྲངས་ནི་
རེད།
1, x ≠ 0 གྱི་ལོག་གྲངས་ནི་ རེད། x (ཅ) ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་ཏུ་
(ང)
(ཆ) ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་ཡི་ལོག་གྲངས་ནི་
རེད།
རེད།
༡་༣ གྲངས་ཐིག་ཐོག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མཚོན་པ། Representation of rational numbers on number line
ང་ཚོས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གྲངས་མཚོན་ཐབས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
འདིར། རིལ་གྲངས་ཕོ་རྣམས་ 0 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་བྲིས་པ་དང་རིལ་གྲངས་མོ་རྣམས་ 0 གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ བྲིས་ཡོད།
གྲངས་ཐིག་ཐོག་རིལ་གྲངས་མཚོན་པ་བཞིན་གྲངས་ཐིག་ཐོག་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱང་མཚོན་ཐུབ།
ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཕོ་རྣམས་ 0 གྱི་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པ་དང་ལུགས་ལྡན་གྲངས་མོ་རྣམས་ 0 གྱི་གཡོན་ ཕྱོགས་སུ་ཡོད།
1 གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན་དགོས་ན། གྲངས་ཐིག་ཐོག་ཀླད་ཀོར་མཚོན་པར་ 3 གནས་ O དང་། 1 མཚོན་པར་གནས་ A, −1 མཚོན་པར་གནས་ B བཅས་བླངས། ཐིག་དུམ་ OA དེ་
དཔེར་ན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་
12
−1
0
1 3
B
O
P
2 3
1
Q
A
ལུགས་ལྡན་གྲངས། 1 མཚོན་པ་དང་། Q ཡིས་ 3 2 −1 མཚོན་གྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་གྲངས་ཐིག་དེ་རང་ཐོག་ མཚོན་འདོད་ན། ང་ཚོས་ཐིག་དུམ་ OB དེ་དུམ་བུ་ 3 3 གཅིག་མཚུངས་གསུམ་ OX དང་། XY, YB བཅས་སུ་བགོས།
དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་གསུམ་ OP དང་། PQ, QA བཅས་སུ་བགོས། P ཡིས་
འདིར། X ཡིས་
−1
−2 3
−1 3
B
Y
X
0
1 3
2 3
1
O
P
Q
A
−1 −2 མཚོན་པ་དང་། Y ཡིས་ མཚོན་གྱི་ཡོད། 3 3
2 མཚོན་པར། གཤམ་གསལ་ལྟར་གྲངས་ཐིག་དེ་དུམ་བུ་གཅིག་མཚུངས་བརྒྱད་དུ་བགོས་ཏེ། 8 2 1 3 གནས་དང་པོས་ དང་། གནས་གཉིས་པས་ གནས་གསུམ་པས་ བཅས་མཚོན་གྱི་ཡོད། 8 8 8
དེ་མཚུངས།
1
0
1 8
2 8
3 8
4 8
5 8
6 8
7 8
8 8
གྲངས་ཐིག་ཐོག་གསལ་བྱེད་ཡོད་པའི་གནས་རེས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་མཚོན་པ་བྲིས། (ཀ)
(ཁ)
A
0 5
?
2 5
3 5
J −12 6
?
−10 −9 6 6
B
C
?
?
I
H
?
?
6 5
7 5
D
E
?
?
G −6 6
?
10 5
11 5
F −4 6
−3 6
?
−1 6
༡་༤ ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས། Rational numbers between two rational numbers ཁྱེད་ཀྱིས་ − 6 དང་ 5 ཡི་དབར་ཡོད་པའི་རིལ་གྲངས་རྣམས་འབྲི་ཐུབ་བམ། དེ་དག་ནི་ − 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4 བཅས་ཡིན།
− 1 དང་ 1 དབར་རིལ་གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
13
རྩིས་རིག − 5 དང་ − 10 དབར་རིལ་གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ཁྱེད་ཀྱིས་རིལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་དབར་རིལ་གྲངས་ངེས་ཅན་ཞིག་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ།
3 7 དང་ དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། 10 10 5 6 4 དང་། , བཅས་གསུམ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་པར་བསམས་སྲིད། ཁྱེད་ཀྱིས་ 10 10 10 30 7 70 3 ནི་ དང་ ནི་ ལྟར་འབྲི་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། 10 100 10 100 3 7 31 , 32 , 33 , ... 68 , 69 སོགས་ནི་ དང་ དབར་ལ་ཡོད། ལུགས་ དེར་བརྟེན། གྲངས་ 100 100 10 10 100 100 100 ལྡན་གྲངས་འདི་དག་གི་གྲངས་ནི་ 39 རེད། དེ་བཞིན།
3000 7 7000 3 ནི་ དང་ ནི་ ལྟར་མཚོན་ཐུབ། 10 10000 10 10000
དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་གྲངས་
3001 , 3002 , ... 6998 , 6999 3 7 སོགས་ནི་ དང་ དབར་ 10000 10000 10000 10000 10 10
ལ་ཡོད། ལུགས་ལྡན་གྲངས་འདི་དག་གི་གྲངས་ནི་ 3999 རེད།
3 7 དང་ དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་མང་སྟོན་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། ལུགས་ལྡན་ 10 10 གྲངས་གཉིས་ཀྱི་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚད་མེད་འབྲི་ཐུབ།
འདི་ལྟར་ང་ཚོས་
རྩིས་དཔེ། ༦ − 2 དང་ 0 དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གསུམ་བྲིས། ལན།
རྩིས་དཔེ། ༧
ལན།
14
0 −20 དང་ 0 = 10 10 −20 0 −19 , −18 , −17 , −16 ,..., 2 , 1 དེར་བརྟེན། སོགས་ཡོད་པས། དང་ དབར་ 10 10 10 10 10 10 10 10 ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་འདི་དག་ལས་གང་རུང་གསུམ་ལེན་ཆོག −2=
5 −5 དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་བྲིས། 8 6 5 −5 དང་ གཉིས་མ་ཆ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་སུ་བསྒྱུར་དགོས། ཐོག་མར་ང་ཚོས་ 8 6
ལུགས་ལྡན་གྲངས། −5 × 4 = −20 5 × 3 = 15 དང་ 24 6×4 8 × 3 24 −20 15 −19 , −18 , −17 , དེར་བརྟེན། དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་ནི་ 24 24 24 24 24 −16 , −15 , −14 , −13 , −12 , −11 , −10 ཡིན། 24 24 24 24 24 24 24
ཐབས་ལམ་གཞན། ང་ཚོས་ 1 དང་ 2 དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་འཚོལ་དགོས་ན། དེ་དག་ལས་གྲངས་ 1 3 གཅིག་ནི་ 1.5 ཡང་ན་ 1 ཡང་ན་ རེད། དེ་ནི། 1 དང་ 2 གཉིས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་རེད། 2 2 1 1 དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གསུམ་བྲིས། 4 2 1 1 ལན། དང་ གི་ཆ་སྙོམས་ནི། 2 4 3 1 3 1 1 1+2 3 1 1 + ÷2= ÷2= × = 8 2 4 2 8 4 2 4 4 3 1 1 ∴ ནི་ དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། 8 4 2 1 3 1 དེ་ནི། < < 4 8 2 1 1 1 3 དང་ དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཞན་ཞིག་འཚོལ་བར་ དང་ གི་ཆ་སྙོམས་འཚོལ་དགོས། 4 2 4 8 1 3 དང་ གི་ཆ་སྙོམས་ནི། 4 8 1 1 5 3 5 1 5 1 3 2+3 + ÷2= ÷2= × = 2 4 16 8 8 2 16 4 8 8 1 5 3 1 ∴ < < < 4 16 8 2 7 1 7 3 1 3+4 3 1 ཡང་། དང་ གི་ཆ་སྙོམས་ = + ÷ 2 = ÷2= × = 8 2 16 8 2 8 8 2 1 5 3 7 1 ∴ < < < < 1 5 3 7 1 4 16 8 16 2
རྩིས་དཔེ། ༨
( (
( (
( (
( (
( (
( (
4 16 8 16 2
15
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན།
1 1 5 3 7 དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གསུམ་ནི་ , , རེད། 4 2 16 8 16
ང་ཚོས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེ་དག་གྲངས་ཐིག་ཐོག་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཚོན་ཐུབ།
( 41 + 83 ( ÷ 2 = 165
(
(
7 = 83 + 21 ÷ 2 16
1 1 1 2 2
0 1 4
( 41 + 21 ( ÷ 2 = 83 དེ་ལྟར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གང་མང་འབྲི་ཐུབ་པས། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚད་མེད་ཡོད།
གལ་ཏེ་ a དང་ b གཉིས་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཡིན་ན། a+b ཤིག་རེད། འདིར། a < <b 2
a+b ནི་ a དང་ b དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ 2
སྦྱོང་ཚན་ ༡་༢
༡། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གྲངས་ཐིག་ཐོག་སྟོན། (ཀ) −2 , −5 , −9 གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན། 11 11 11 ༣། 2 ལས་ཆུང་བའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་བྲིས།
༢།
7 4
−2 1 དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་བྲིས། 5 2 ༥། གཤམ་གསལ་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་རེ་བྲིས།
(ཁ)
−5 6
༤།
2 4 −3 5 དང་ (ཁ) དང་ 3 5 2 3 ༦། −2 ལས་ཆེ་བའི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ལྔ་བྲིས། 3 3 ༧། དང་ དབར་གྱི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་བཅུ་བྲིས། 5 4 (ཀ)
16
(ག)
1 1 དང་ 4 2
ལུགས་ལྡན་གྲངས།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་། འཐེན་རྩིས། སྒྱུར་རྩིས་བཅས་ཀྱི་སྐབས་བསྡུ་སྲོལ་གནས་ཀྱི་ཡོད། ༢། སྡོམ་རྩིས་དང་སྒྱུར་རྩིས་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བརྗེ་སྲོལ་དང་སྡེབ་སྲོལ་གཉིས་པོའི་སྐབས་གནས་ ཀྱི་ཡོད།
༣། 0 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ་རེད། ༤། 1 ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ་རེད།
༥། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a ཡི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ − a དང་། − a ཡི་ལྡོག་གྲངས་ནི་ a རེད།
c a c a c a དང་ ལས། གལ་ཏེ་ × = 1 ཡིན་ན། ཡི་ལོག་གྲངས་ནི་ དང་། d b d b d b c a ནི་ ཡི་ལོག་གྲངས་རེད། d b ༧། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་བགོ་སྲོལ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ a དང་། b, c ཡིན་ན།
༦། ལུགས་ལྡན་གྲངས་
a (b + c) = ab + ac དང་། a (b − c) = ab − ac
༨། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ནི་གྲངས་ཐིག་ཐོག་མཚོན་ཐུབ།
༩། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཚད་མེད་ཡོད། ཆ་སྙོམས་གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་
བེ ད ་སྤྱད་དེ ་ ང་ཚོ ས ་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉི ས ་ཀྱི ་ དབར་ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཞན་འཚོ ལ ་ཐུབ། ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་ཆ་སྙོམས་གྲངས་ནི་གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་དབར་ལ་གནས་ཀྱི་ཡོད།
17
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། སློབ་ཚན་གཉིས་པ།
༢་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་ད་བར་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་མཉམ་བྱ་མང་པོ་སྦྱངས་ཡོད། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ནི།
5x, 2x + 7, 3x − y, 2xy + 5, xyz + x + y + z, x2 + 1, y + y2
མཉམ་བྱའི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ནི།
5 37 = , 6x + 15 = − 2 2 2 དཔེ་མཚོན་ནང་གི་ཚུལ་མང་ཆེ་བ་ལ་རྒྱུ་གཅིག་ལས་མང་བ་ཡོད། དཔེར་ན། 2x + 5y ནང་རྒྱུ་གཉིས་ཡོད། 5x = 25, 2x − 3 = 9, 2y +
ཚུལ་འདིའི་ནང་རྒྱུའི་སྟོན་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 1 ཡིན། གཤམ་གསལ་ནི་ཐེངས་གཅིག་གི་ཚུལ་རེད།
5 (x − 4) + 10 2 གཤམ་གསལ་ཚུལ་གྱི་སྟོན་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 1 ལས་ཆེ་བས་དེ་དག་ཐེངས་གཅིག་གི་ཚུལ་མ་རེད། 5x, 2x + 1, 3y − 7, 12 − 3z,
x2 + 1, y + y2, 1 + z + z2 + z3
སློབ་ཚན་འདིར། ང་ཚོས་རྒྱུ་གཅིག་ལས་མེད་པའི་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། དེ་འདྲའི་མཉམ་བྱ་ ལ་རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ (Linear equations in one variable) ཟེར། ད་བར་ང་ཚོས་སྦྱངས་ཟིན་པའི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་མཉམ་བྱའི་ཁྱད་ཆོས་དྲན་གསོ་བྱེད་ཀྱི་ཡིན།
༡། རྒྱུ་ཡོད་པ་མཚུངས་པའི་རྩིས་ཕྲེང་ལ་མཉམ་བྱ་ཟེར། དེ་ལ་མཚུངས་རྟགས་ཡོད། མཚུངས་རྟགས་ཀྱི་གཡོན་དུ་
ཡོད་པའི་ཚུལ་ནི་གཡོན་ཕྱོགས་ (LHS) དང་གཡས་སུ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ནི་གཡས་ཕྱོགས་ (RHS) རེད། དཔེར་ན། མཉམ་བྱ་ 7x − 3 = 2 སྐབས། x ནི་རྒྱུ་དང་། 7x − 3 ནི་གཡོན་ཕྱོགས། 2 ནི་གཡས་ཕྱོགས་
རེད།
18
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། ༢། མཉམ་བྱའི་གཡོན་ཕྱོགས་དང་གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་རྒྱུའི་བྲིན་ངེས་ཅན་ཞིག་གི་སྐབས་སུ་ཏག་ཏག་གནས་ཀྱི་ ཡོད། བྲིན་དེ་ལ་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཟེར།
དཔེ་མཚོན། མཉམ་བྱ་ 2x − 3 = 7 ནི་ x = 5 སྐབས། LHS = 2 × 5 − 3 = 7 = RHS ཡིན་པས། x = 5 ནི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་རེད། ཡིན་ནའང་། x = 10 སྐབས། LHS = 2 × 10 − 3 = 17 ≠ RHS
དེར་བརྟེན། x = 10 ནི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་མིན།
༣། ང་ཚོས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་རྩིས་ཐབས་མཉམ་པ་བྱས་ཏེ་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་འཚོལ་གྱི་ཡོད།
༢་༢ ཕྱོགས་གཅིག་ལ་ཐེངས་གཅིག་གི་ཚུལ་དང་ཕག ྱོ ས་གཞན་ལ་ཨང་ཀི་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ་འགལ ྲོ ་ བ། Solving equations which have linear expressions on one side and numbers on the other side རྩིས་དཔེ། ༡ 2x − 3 = 7 གྱི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ལན།
གོམ་པ་ ༡། ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 སྡོམས།
2x − 3 + 3 = 7 + 3 2x = 10
གོམ་པ་ ༢། ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 ཀྱིས་བགོས།
(རྩིས་འབྲས་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་མེད།)
2x 10 = 2 2 x=5
རྩིས་དཔེ། ༢ 2y + 9 = 4 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ལན།
(དགོས་མཁོའི་འགྲོལ་ཐོབ།)
9 ཡི་གནས་ས་བརྗེས་ཏེ་ RHS ལ་སྤོས།
2y = 4 − 9(ཚན་པའི་ཕྱོགས་བརྗེ་སྐབས་ཕོ་མོའི་རྟགས་བརྗེས།) 2y = − 5
ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 ཀྱིས་བགོས།
2y − 5 = 2 2
(འགྲོལ་ཐོབ།)
19
རྩིས་རིག y=
བཤེར་རྩིས། LHS = 2
(−25( + 9 = − 5 + 9 = 4 = RHS
རྩིས་དཔེ། ༣ འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
ལན།
−5 2
3 x 5 + =− 3 2 2
8 x −3 5 = − =− 3 2 2 2 x = −4 3 ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 གྱིས་སྒྱུར།
5 ( RHS ལ་སྤོ་བ།) 2
x ×3=−4×3 3 x = − 12
བཤེར་རྩིས། LHS =
− 12 5 − 8 + 5 −3 5 + =−4+ =− = = RHS 3 2 2 2 2
རྩིས་དཔེ། ༤ འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ།
ལན།
15 − 7x = 9 4
15 − 7x = 9 4
− 7x = 9 − − 7x =
15 4
15 ( RHS ལ་སྤོ་བ།) 4
21 4
(−7) 21 x= (−7) 4 × (−7)
(ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ − 7 གྱིས་བགོད་པ།)
3×7 3 =− 4 4×7 15 − 3 15 21 36 བཤེར་རྩིས། LHS = = = 9 = RHS −7 = + 4 4 4 4 4 x=−
( (
20
(འགྲོལ་ཐོབ།)
(འགྲོལ་ཐོབ།)
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ།
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༡
མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ༡། x − 2 = 7
༢། y + 3 = 10
17 3 +x= 7 7 2x ༧། = 18 3 ༡༠། 14 y − 8 = 13
༥། 6x = 12
༤།
y 1.5 ༡༡། 17 + 6p = 9 ༨། 1.6 =
༢་༣ བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི། Some applications
༣། 6 = z + 2 t ༦། = 10 5
༩། 7x − 9 = 16 7 x +1= ༡༢། 15 3
གྲངས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 74 རེད། གྲངས་གཅིག་ནི་གྲངས་གཞན་ལས་ 10 ཡིས་མང་བ་ཡོད། གྲངས་ གཉིས་དེ་གང་དང་གང་རེད་དམ། འདིར་ང་ཚོས་གྲངས་གཉིས་ཀ་ཤེས་ཀྱི་མེད། ཡིན་ནའང་ང་ཚོར་ཆ་རྐྱེན་ གཉིས་སྤྲད་ཡོད།
(ཀ) གྲངས་གཅིག་ནི་གྲངས་གཞན་ལས་ 10 ཡིས་མང་བ་ཡོད། (ཁ) བསྡོམས་ཐོབ་ 74 རེད།
གལ་ཏེ་གྲངས་ཆུང་བ་དེ་ x ཡིན་ན། གྲངས་ཆེ་བ་ནི་ x ལས་ 10 ཡིས་མང་བ་ཡོད། དེ་ནི། x + 10 རེད། ཆ་
རྐྱེན་གཞན་ནི། གྲངས་ x དང་ x + 10 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ 74 རེད། དེ་ནི། x + (x + 10) = 74
2x + 10 = 74
2x = 74 − 10
2x = 64 x = 32
གྲངས་གཞན་ནི། x + 10 = 32 + 10 = 42
དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གྲངས་གཉིས་ནི་ 32 དང་ 42 རེད།
(10 RHS ལ་སྤོ་བ།) (ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 ཀྱིས་བགོད་པ།)
−7 3 གྱི་ཉིས་ལྡབ་ཐོག་གྲངས་གང་བསྡོམས་ན་ འཐོབ་ཀྱི་རེད། 3 7 − 7 − 14 −7 = རེད། གྱི་ཉིས་ལྡབ་ནི་ 2 × 3 3 3 གལ་ཏེ་མ་ཤེས་པའི་གྲངས་དེ་ x ཡིན་ན།
རྩིས་དཔེ། ༥ ལུགས་ལྡན་གྲངས་ ལན།
21
རྩིས་རིག x+
( (
− 14 3 = 3 7 14 3 x− = 3 7 3 14 x= + 7 3
x= དེར་བརྟེན། 2 ×
(
14 RHS ལ་སྤོ་བ།) 3
3 × 3 + 14 × 7 9 + 98 107 = = 21 21 21
−7 107 − 14 ཐོག་ བསྡོམས་ན་ འཐོབ་ཀྱི་རེད། 3 21 3
3 རྩིས་དཔེ། ༦ གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 13 cm དང་ཞེང་ 2 cm རེད། དེའི་དཀྱུས་ཚོལ། 4 ལན། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ x cm ཡིན་ན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 2 × (དཀྱུས་ + ཞེང་།)
( 43 ( 11 = 2 × (x + ( 4 = 2 × x + 2
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ནི་ 13 cm རེད། དེར་བརྟེན།
(
2× x+
(
11 = 13 4
x+
11 13 = 4 2 x=
13 11 − 2 4
x=
26 − 11 15 3 = = 3 4 4 4
3 དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་དཀྱུས་ནི་ 3 cm རེད། 4
22
(ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 ཀྱིས་བགོད་པ།)
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། རྩིས་དཔེ། ༧ ཆོས་སྒྲོན་གྱི་ཨ་མ་ལགས་ནི་ཆོས་སྒྲོན་གྱི་ད་ལྟའི་ལོ་ཡི་ལྡབ་གསུམ་རེད། ལོ་ 5 རྗེས་ཁོ་གཉིས་ཀྱི་
ལན།
ཁྱོན་བསྡོམས་ལོ་ 66 ཆགས་ཀྱི་རེད། ཁོ་གཉིས་ཀྱི་ད་ལྟའི་ལོ་ཚོལ།
གལ་ཏེ་ཆོས་སྒྲོན་གྱི་ད་ལྟའི་ལོ་ x ཡིན་ན། ད་ལྟའི་ལོ།
ལོ་ 5 རྗེས།
ཆོས་སྒྲོན། x
ཨ་མ་ལགས། 3x
ཁྱོན་བསྡོམས།
x+5
3x + 5
4x + 10
ལོ་ 5 ཡི་རྗེས་ཁོ་གཉིས་ཀྱི་ཁྱོན་བསྡོམས་ལོ་ནི་ 66 རེད།
དེར་བརྟེན།
4x + 10 = 66
4x = 66 − 10
4x = 56 56 x= = 14 4 དེར་བརྟེན། ད་ལྟ་ཆོས་སྒྲོན་ནི་ལོ་ 14 དང་ཨ་མ་ལགས་ནི་ལོ་ 42 རེད།
(10 RHS ལ་སྤོ་བ།)
རྩིས་དཔེ། ༨ བསྟན་འཛིན་ལ་སྒོར་གཉིས་ཀྱི་གྲངས་ནི་སྒོར་ལྔ་ཡི་གྲངས་ཀྱི་ལྡབ་ 3 ཡོད། གལ་ཏེ་ཁོང་ལ་ཁྱོན་ ལན།
བསྡོམས་སྒོར་ 77 ཡོད་ན། ཁོང་ལ་སྒོར་གཉིས་ཅན་དང་ལྔ་ཅན་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
བསྟན་འཛིན་ལ་སྒོར་ལྔ་ཅན་གྲངས་ x ཡོད་པ་ཆ་ཞོག ཁོང་ལ་སྒོར་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་ x ཡི་ ལྡབ་གསུམ་ཡང་ན་ 3x ཡོད།
བསྟན་འཛིན་ལ། (ཀ) སྒོར་ལྔ་ཡི་འབོར་ = ` 5 × x = ` 5x
(ཁ) སྒོར་གཉིས་ཀྱི་འབོར་ = ` 2 × 3x = ` 6x
ཁོང་ལ་ཁྱོན་བསྡོམས་ ` 11x ཡོད།
ཁྱོན་བསྡོམས་དངུལ་ ` 77 ཡོད་པ། དེ་ནི། ` 11x རེད། 11x = 77 x=
77 =7 11
དེར་བརྟེན། སྒོར་ལྔའི་གྲངས་ = x = 7
དང་། སྒོར་གཉིས་ཀྱི་གྲངས་ = 3x = 21
23
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༩ 11 གི་བསྟུད་མའི་ལྡབ་གྲངས་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 363 རེད། ལྡབ་གྲངས་གསུམ་པོ་ཚོལ། ལན།
གལ་ཏེ་ 11 གི་ལྡབ་གྲངས་དང་པོ་ནི་ x ཡིན་ན། དེའི་རྗེས་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ x + 11 རེད། གྲངས་དེའི་རྗེས་ཀྱི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ x + 11 + 11 ཡང་ན་ x + 22 རེད།
དེར་བརྟེན། 11 གི་ལྡབ་གྲངས་བསྟུད་མ་གསུམ་ནི་ x དང་ x + 11, x + 22 རེད། ལྡབ་གྲངས་བསྟུད་མ་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་
363 ཡིན་པས།
x + (x + 11) + (x + 22) = 363 x + x + 11 + x + 22 = 363 3x + 33 = 363 3x = 363 − 33 3x = 330 330 x= 3 x = 110 དེར་བརྟེན། བསྟུད་མའི་ལྡབ་གྲངས་གསུམ་ནི་ 110 དང་། 121, 132 རེད།
ཡང་ང་ཚོས་ 11 གི་ལྡབ་གྲངས་དང་པོ་
(x − 11) ལེན་པ་ཡིན་ན། 11 གི་བསྟུད་ མའི་ལྡབ་གྲངས་གསུམ་ནི་ x − 11, x, x + 11 རེད། འདིར་མཉམ་བྱ་ནི།
(x − 11) + x + (x + 11) = 363
3x = 363
363 = 121 3 x − 11 = 110, x + 11 = 132 x=
དེར་བརྟེན། བསྟུད་མའི་ལྡབ་གྲངས་
གསུམ་ནི་ 110 དང་། 121, 132 རེད།
རྩིས་དཔེ། ༡༠ ལུགས་ལྡན་གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་ཧེ་བག་ 66 རེད། གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ནི་ 2 : 5 རེད། ལན།
གྲངས་དེ་གཉིས་གང་ཡིན་ཚོལ།
གྲངས་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ 2 : 5 ཡིན་པས། ང་ཚོས་གྲངས་གཅིག་ 2x དང་གཞན་དེ་ 5x ཡིན་ པར་ཆ་ཞོག (2x : 5x དང་ 2 : 5 གཉིས་གཅིག་པ་རེད།) གྲངས་དེ་གཉིས་དབར་གྱི་ཧེ་བག་ 5x − 2x ནི་ 66 ཡིན་པས། 5x − 2x = 66
3x = 66 66 x= 3 x = 22
གྲངས་དེ་གཉིས་ནི་ 2x = 2 × 22 = 44 དང་ 5x = 5 × 22 = 110 རེད།
24
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། རྩིས་དཔེ། ༡༡ སྤེན་པ་བཀྲ་ཤིས་ལ་གནས་ཐང་ ` 50 དང་ ` 20, ` 10 ཅན་གྱི་ཁྱོན་བསྡོམས་ ` 590 ཡི་ ལན།
དངུལ་ལོར་ཡོད། ` 50 ལོར་དང་ ` 20 ལོར་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ནི་ 3 : 5 རེད། གལ་ཏེ་ཁོང་
ལ་ཁྱོན་དངུལ་ལོར་ 25 ཡོད་ན། ཁོང་ལ་གནས་ཐང་རེའི་དངུལ་ལོར་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
` 50 ལོར་དང་ ` 20 ལོར་གྱི་གྲངས་གོ་རིམ་བཞིན་ 3x དང་ 5x ཡིན་པ་ཆ་ཞོག ཁོང་ལ་ཁྱོན་བསྡོམས་དངུལ་ལོར་ 25 ཡོད།
` 10 ལོར་གྱི་གྲངས་ = 25 − (3x + 5x) = 25 − 8x ཁོང་ལ།
` 50 ལོར་གྱི་འབོར་ = 3x × 50 = ` 150x ` 20 ལོར་གྱི་འབོར་ = 5x × 20 = ` 100x
` 10 ལོར་གྱི་འབོར་ = (25 − 8x) × 10 = ` (250 − 80x)
ཁོང་ལ་ཁྱོན་བསྡོམས་ ` 590 ཡོད་པས།
150x + 100x + (250 − 80x) = 590 170x + 250 = 590 170x = 590 − 250 = 340 340 =2 170 ` 50 ལོར་གྱི་གྲངས་ = 3x = 3 × 2 = 6 x=
དེར་བརྟེན།
` 20 ལོར་གྱི་གྲངས་ = 5x = 5 × 2 = 10
` 10 ལོར་གྱི་གྲངས་ = 25 − 8x = 25 − 8 × 2 = 25 − 16 = 9
༡། གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་གྲངས་ཤིག་ནས་ ཀྱི་རེད། གྲངས་དེ་ཚོལ།
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༢
1 1 1 འཐེན་པ་དང་། འཐེན་ཐོབ་ལ་ གིས་བསྒྱུར་ན། ཁྱེད་ལ་ འཐོབ་ 2 2 8
༢། རྐྱལ་རྫིང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 154 m རེད། དེའི་དཀྱུས་ནི་ཞེང་གི་ཉིས་ལྡབ་ ལས་ 2 m ཡིས་མང་བ་ཡོད། རྐྱལ་རྫིང་དེའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གི་རིང་ཚད་ཚོལ།
༣། སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་གི་ཞབས་ དེའི་མཐའ་མཉམ་པའི་རིང་ཚད་ཚོལ།
4 2 cm རེད། དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 4 cm ཡིན་ན། 3 15
25
རྩིས་རིག ༤། གྲངས་གང་རུང་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 95 རེད། གལ་ཏེ་གྲངས་གཅིག་ནི་གཞན་ལས་ 15 ཡིས་ཉུང་བ་ ཡོད་ན། གྲངས་དེ་གཉིས་ཚོལ།
༥། གྲངས་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5 : 3 རེད། གྲངས་དེ་གཉིས་དབར་ཧེ་བག་ 18 ཡོད་ན། གྲངས་དེ་གཉིས་ཚོལ། ༦། བསྟུད་མའི་རིལ་གྲངས་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 51 རེད། རིལ་གྲངས་གསུམ་པོ་ཚོལ།
༧། 8 ཀྱི་བསྟུད་མའི་ལྡབ་གྲངས་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 888 ཡིན་པས། ལྡབ་གྲངས་གསུམ་པོ་ཚོལ།
༨། རྡོ་རྗེ་དང་ཚེ་རིང་གི་ལོའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5 : 7 རེད། ལོ་བཞིའི་རྗེས་སུ་ཁོང་གཉིས་ཀྱི་ལོའི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 56 ཆགས་ཀྱི་ཡོད། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༩། འཛིན་གྲྭའི་ནང་བུ་དང་བུ་མོའི་གྲངས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5 : 7 རེད། བུའི་གྲངས་ནི་བུ་མོའི་གྲངས་ལས་ 8 ཀྱིས་ཉུང་བ་ཡོད། འཛིན་གྲྭའི་ནང་ཁྱོན་སློབ་མ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༡༠། ལྷ་དབང་གི་པ་ལགས་ནི་ལྷ་དབང་གི་སྤོ་བོ་ལས་ལོ་ 26 གིས་གཞོན་པ་དང་ལྷ་དབང་ལས་ལོ་ 29 ཡིས་རྒན་ པ་རེད། ཁོ་ཚོ་གསུམ་གྱི་ལོའི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 135 རེད། ཁོ་ཚོ་གསུམ་གྱི་ལོ་ཚོལ།
༡༡། ལོ་བཅོ་ལྔའི་རྗེས་སུ་དབང་མོ་རང་གི་ད་ཆའི་ལོའི་ལྡབ་བཞི་ཆགས་ཀྱི་རེད། ད་ཆ་དབང་མོ་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ། 5 2 7 ༡༢། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཤིག་ལ་ ཡིས་བསྒྱུར་བ་དང་། བསྒྱུར་ཐོབ་ལ་ བསྣན་ན། ཁྱེད་ལ་ − འཐོབ་ 2 3 12 ཀྱི་རེད། གྲངས་དེ་ཚོལ།
༡༣། བསྟན་འཛིན་ནི་དངུལ་ཁང་ཞིག་གི་ནང་དངུལ་གཉེར་རེད། ཁོང་ལ་ ` 100 དང་། ` 50, ` 10 བཅས་
སོ་སོའི་གནས་ཐང་གི་དངུལ་ལོར་ཡོད། དངུལ་ལོར་འདི་དག་གི་སྡུར་ཚད་ནི་ 2 : 3 : 5 རེད། བསྟན་ འཛིན་ལ་ཁྱོན་བསྡོམས་ ` 400000 ཡོད། ཁོང་ལ་གནས་ཐང་སོ་སོའི་དངུལ་ལོར་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༡༤། ཁྱེད་རང་ལ་གནས་ཐང་ ` 1 དང་ ` 2, ` 5 བཅས་ཀྱི་ཁྱོན་བསྡོམས་ ` 300 ཡི་ལྕགས་སྒོར་ཡོད། ` 2 ཀྱི་གྲངས་ནི་ ` 5 ཡི་ལྡབ་གསུམ་ཡོད། ཁྱོན་བསྡོམས་ལྕགས་སྒོར་གྲངས་ 160 ཡོད། ཁྱེད་ལ་གནས་ཐང་
སོ་སོའི་ལྕགས་སྒོར་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༢་༤ ཕྱོགས་གཉིས་ལ་རྒྱུ་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ་འགྲོལ་བ། Solving equations having variable on both sides
ད་བར་མཉམ་བྱའི་དཔེ་མཚོན་མང་ཆེ་བའི་ནང་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་ཨང་ཀི་ཡོད་པ་སྦྱངས་ཡོད། དཔེར་ན། 2x − 3 = 5 ཡིན་ནའང་། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་རྒྱུ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ཡང་ཡོད། དཔེར་ན། མཉམ་བྱ་ 2x − 3
= x + 2 ནང་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ཚུལ་ནང་རྒྱུ་ཡོད། (2x − 3) ནི་ LHS ཡི་ཚུལ་དང་ (x + 2) ནི་ RHS ཡི་ཚུལ་རེད།
26
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། དེ་འདྲའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་རྒྱུ་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ་འགྲོལ་སྟངས་དཔེ་མཚོན་འགའ་སྤྱད་དེ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། རྩིས་དཔེ། ༡༢ 2x − 3 = x + 2 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ལན།
2x − 3 = x + 2
(−3 RHS ལ་སྤོ་བ།)
2x = x + 2 + 3
2x = x + 5
(ཕྱོགས་གཉིས་ཀ་ནས་ x འཐེན་པ།)
2x − x = x + 5 − x
(འགྲོལ་ཐོབ།)
x=5 རྩིས་དཔེ། ༡༣ 5x +
ལན།
(
7 3 = x − 14 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། 2 2
2 × 5x +
(
(
3 7 x − 14 =2× 2 2
(
(2 × 5x) + 2 ×
( (
(
(མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 2 ཀྱིས་སྒྱུར་བ།)
(
7 3 = 2 × x − (2 × 14) 2 2
10x + 7 = 3x − 28 10x − 3x + 7 = − 28 7x + 7 = − 28 7x = − 28 − 7 x = − 35 x=−5
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༣
གཤམ་གསལ་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་བཙལ་ཏེ་བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ། ༡། 3x = 2x + 18
༤། 4z + 3 = 6 + 2z 4 ༧། x = (x + 10) 5 8 ༡༠། 3m = 5m − 5
༢། 5t − 3 = 3t − 5
༥། 2x − 1 = 14 − x 2x 7x ༨། +1= +3 3 15
(3x LHS ལ་སྤོ་བ།) (7 RHS ལ་སྤོ་བ།) (འགྲོལ་ཐོབ།)
༣། 5x + 9 = 5 + 3x
༦། 8x + 4 = 3(x − 1) + 7 5 26 ༩། 2y + = −y 3 3
27
རྩིས་རིག
༢་༥ བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི་འཕར་མ་འགའ། Some more applications
རྩིས་དཔེ། ༡༤ གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་ཀའི་གྲངས་གནས་ལ་ཧེ་བག་ 3 ཡོད། གལ་ཏེ་གྲངས་གནས་ ལན།
བརྗེས་ཏེ་ཐོབ་པའི་གྲངས་ཀ་དེ་ཐོག་མའི་གྲངས་ལ་བསྡོམས་ན་ 143 རེད། གྲངས་ཐོག་མ་དེ་ ཚོལ།
གལ་ཏེ་གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་དེ་ 56 ཡིན་ན། 56 = 5 × 10 + 6 × 1 ལྟར་
འབྲི་ཐུབ། གལ་ཏེ་ 56 ནང་གི་གྲངས་གནས་གཉིས་བརྗེས་ན་ 65 འབྱུང་བས། 65 = 6 ×
10 + 5 × 1 ལྟར་འབྲི་ཐུབ།
ང་ཚོས་གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་ཀྱི་གཅིག་གནས་གྲངས་དེ་ x ཡིན་པར་ཆ་ཞོག བཅུ་གནས་གྲངས་དེ་ x + 3 རེད།
དེར་བརྟེན། ཐོག་མའི་གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་ = (x + 3) × 10 + x × 1 = 10x + 30 + x = 11x + 30
གྲངས་དེའི་གྲངས་གནས་བརྗེས་ན།
x × 10 + (x + 3) × 1 = 11x + 3
གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་དེ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 143 ཡིན་པས། (11x + 30) + (11x + 3) = 143
22x + 33 = 143
22x = 143 − 33 22x = 110 110 x= 22 x=5 དེར་བརྟེན། གཅིག་གནས་ནི་ 5 དང་བཅུ་གནས་ནི་ 5 + 3 = 8 ཡིན་པས། ཐོག་མའི་གྲངས་ གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་ནི་ 85 རེད།
བཤེར་རྩིས། གྲངས་གནས་བརྗེས་པས་ 58 འབྱུང་། 85 དང་ 58 ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ 143 རེད།
རྩིས་དཔེ། ༡༥ དཔལ་མོའི་ལོ་ནི་རྒྱལ་མཚན་གྱི་ལོ་ལས་ལྡབ་གཉིས་ཀྱིས་རྒན་པ་རེད། ལོ་ལྔ་སྔོན་དཔལ་མོ་ནི་ རྒྱལ་མཚན་ལས་ལོ་ལྡབ་གསུམ་གྱིས་རྒན་པ་ཡིན་ན། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
28
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། ལན།
རྒྱལ་མཚན་ད་ཆ་ལོ་ x ཡིན་པ་ཆ་བཞག་ན། དཔལ་མོ་ད་ཆ་ལོ་ནི་ 2x རེད།
ལོ་ལྔ་སྔོན་རྒྱལ་མཚན་ལོ་ (x − 5) དང་དཔལ་མོ་ལོ་ (2x − 5) རེད། ལོ་ལྔ་སྔོན་དཔལ་མོའི་ལོ་ནི་རྒྱལ་མཚན་གྱི་ལོའི་སུམ་ལྡབ་ཡིན་པས། 2x − 5 = 3(x − 5) 2x − 5 = 3x − 15
15 − 5 = 3x − 2x 10 = x དེར་བརྟེན། ད་ཆ་རྒྱལ་མཚན་ལོ་ 10 དང་དཔལ་མོ་ལོ་ = 2x = 2 × 10 = 20 རེད།
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༤
5 འཐེན་རྗེས། ཁོ་མོས་ཐོབ་གྲངས་ལ་ 8 ཀྱིས་བསྒྱུར་བ་ཡིན་ན། ཐོབ་ 2 གྲངས་ནི་ཐོག་མའི་གྲངས་ཀྱི་སུམ་ལྡབ་རེད། གྲངས་དེ་གང་རེད་དམ།
༡། དགའ་འཕེལ་གྱིས་གྲངས་ཤིག་ནས་
༢། ཕོ་གྲངས་ཤིག་ནི་གྲངས་གཞན་ཞིག་གི་ལྡབ་ལྔ་རེད། གལ་ཏེ་གྲངས་གཉིས་ཀའི་ཐོག་ 21 བསྣན་ན། གྲངས་ གསར་པ་གཅིག་ནི་གྲངས་གསར་པ་གཞན་དེའི་ཉིས་ལྡབ་ཆགས་ཀྱི་རེད། གྲངས་དེ་གཉིས་གང་ཡིན་ཚོལ།
༣། གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་གནས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ 9 རེད། གལ་ཏེ་གྲངས་གནས་བརྗེས་པའི་གྲངས་ ཀ་དེ་ཐོག་མའི་གྲངས་ལས་ 27 གྱིས་ཆེ་བ་ཡོད་ན། ཐོག་མའི་གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་དེ་ཚོལ།
༤། གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་གྲངས་གནས་གཉིས་ལས་གཅིག་ནི་གཞན་དེའི་སུམ་ལྡབ་རེད། གལ་ཏེ་གྲངས་ གནས་བརྗེས་པའི་གྲངས་ཀ་དེ་ཐོག་མའི་གྲངས་ཀྱི་ཐོག་བསྣན་ན། 88 ཡིན་པས། ཐོག་མའི་གྲངས་དེ་གང་ རེད།
༥། བློ་བཟང་གི་ཨ་མ་ལགས་ཀྱི་ད་ཆའི་ལོ་ནི་བློ་བཟང་གི་ད་ཆའི་ལོའི་ལྡབ་དྲུག་རེད། ལོ་ལྔའི་རྗེས་བློ་བཟང་གི་
ལོ་ནི་ཁོང་གི་ཨ་མ་ལགས་ཀྱི་ད་ཆའི་ལོའི་གསུམ་ཆ་གཅིག་ཆགས་ཀྱི་རེད། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ཀྱི་ལོ་ག་ཚོད་ རེད་དམ།
༦། ས་དུམ་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གི་སྡུར་ཚད་ནི་ 11 : 4 རེད། ས་དུམ་དེར་མི་ཊར་རེ་ལ་ ` 100 རེ་སྤྲད་དེ་ར་བ་བསྐོར་ན་ ` 75000 གནས་ཀྱི་ཡོད་ན། ས་དུམ་དེའི་ཆ་ཚད་ཚོལ།
༧། ལུག་ཁྱུ་ཞིག་ལས་ཕྱེད་ཀ་ཞིང་ཁའི་ནང་དུ་རྩྭ་ཟ་བཞིན་ཡོད་པ་དང་། ལྷག་མའི་བཞི་ཆ་གསུམ་ནི་ཉེ་འགྲམ་
29
རྩིས་རིག དུ་རྩེད་མོ་རྩེ་བཞིན་ཡོད། ལྷག་མ་ 9 ནི་རྫིང་བུ་ནས་ཆུ་འཐུང་གི་ཡོད། ཁྱུ་དེའི་ནང་ལུག་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༨། སྤོ་བོ་བཀྲ་ཤིས་ནི་རང་གི་ཚ་མོ་དཔལ་སྐྱིད་ཀྱི་ལོའི་ལྡབ་བཅུ་རེད། ཁོང་དཔལ་སྐྱིད་ལས་ལོ་ 54 རྒན་པ་ ཡིན་ན། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༩། ཀུན་དགའ་ནི་རབ་རྒྱས་ཀྱི་ལོའི་ལྡབ་གསུམ་རེད། ལོ་ 10 གོང་ཁོང་གི་ལོ་ནི་རབ་རྒྱས་ཀྱི་ལོ་བཅུའི་གོང་ གི་ལྡབ་ལྔ་རེད། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ལོ་ག་ཚོད་ཡིན་ནམ།
༢་༦ མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ་བཟོ་བ། Reducing equations to simplier form རྩིས་དཔེ། ༡༦
ལན།
x−3 6x + 1 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། +1= 6 3
6 (6x + 1) 6 (x − 3) +6×1= 3 6 2 (6x + 1) + 6 = x − 3 12x + 2 + 6 = x − 3
(མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ 3 དང་ 6 གི་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ 6 གིས་བསྒྱུར་བ།)
12x + 8 = x − 3 12x − x = − 3 − 8 11x = − 3 − 8 11x = − 11
(ཚན་མཐུན་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་སྒྲིག་པ།) (འགྲོལ་ཐོབ།)
x=−1 བཤེར་རྩིས།
−6+1 −5 3 −5+3 −2 6(− 1) + 1 +1= + = = +1= 3 3 3 3 3 3 (− 1) − 3 − 4 − 2 RHS = = = 6 6 3 LHS = RHS LHS =
རྩིས་དཔེ། ༡༧ 5x − 2(2x − 7) = 2(3x − 1) + ལན།
30
གུག་རྟགས་མེད་པར་བཟོ་བ།
7 ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། 2
LHS = 5x − 4x + 14 = x + 14 7 4 7 3 RHS = 6x − 2 + = 6x − + = 6x + 2 2 2 2
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། 3 མཉམ་བྱ་ནི། x + 14 = 6x + 2 3 14 − = 6x − x 2 3 = 5x 2 28 − 3 = 5x 2 25 = 5x 2
14 −
(ཚན་མཐུན་ཕྱོགས་གཅིག་ཏུ་སྒྲིག་པ།)
5
25 1 5 × = x= 2 5 2 བཤེར་རྩིས།
LHS = 5 ×
(
(
5 25 25 25 25 + 8 33 5 − 2 2 × − 7 = − 2(5 − 7) = −2×−2= +4= = 2 2 2 2 2 2 2
RHS = 2 3 ×
(
༤།
(
(
15 2 5 7 7 2 × 13 7 26 + 7 33 −1 + =2 − + = + = = = LHS 2 2 2 2 2 2 2 2 2
མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ༡།
(
(འགྲོལ་ཐོབ།)
x 1 x 1 − = + 2 5 3 4 x−5 x−3 = 3 5
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༥ ༢། ༥།
n 3n 5n − + = 21 2 4 6 3t − 2 2t + 3 2 − = −t 4 3 3
མཉམ་བྱ་སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ༧། 3(t − 3) = 5(2t + 1)
༣། x + 7 − ༦། m −
8x 17 5x = − 3 6 2
m−1 m−2 =1− 2 3
༨། 15(y − 4) − 2(y − 9) + 5(y + 6) = 0
༩། 3(5z − 7) − 2(9z − 11) = 4(8z − 13) − 17 ༡༠། 0.25(4f − 3) = 0.05(10f − 9)
31
རྩིས་རིག
༢་༧ ཐེངས་གཅིག་གི་རྣམ་པར་བཟོ་ཐུབ་པའི་མཉམ་བྱ། Equations reducible to linear form x+1 3 = ཡི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། 2x + 3 8 མཉམ་བྱའི་ LHS ནི་ཐེངས་གཅིག་གི་ཚུལ་མིན་པས། མཉམ་བྱ་དེ་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་
རྩིས་དཔེ། ༡༨ ལན།
མིན། ཡིན་ནའང་། ང་ཚོས་དེ་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱའི་རྣམ་པར་བཟོ་ཐུབ། མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ (2x + 3) གྱིས་སྒྱུར།
3 (x + 1) × (2x + 3) = × (2x + 3) (2x + 3) 8 x+1=
3 (2x + 3) 8
[LHS ནས་ (2x + 3) དོར་བ།]
འདི་ནི་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་ཡིན་པ་དང་དེ་འགྲོལ་སྟངས་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད།
གཉིས་ཀར་ 8 ཀྱིས་བསྒྱུར་བས།
ཕྱོགས་
3 (2x + 3) ×8 8 8x + 8 = 6x + 9
8 × (x + 1) =
8x − 6x = + 9 − 8 2x = 1 1 x= 2 འགྲོལ་ཐབས་གཞན་ནི་མཉམ་བྱ་ བའི་མཉམ་བྱ་ནི།
x+1 3 = ཡི་མ་ཆ་ 2x + 3 དང་ 8 གཉིས་ཀྱི་གནས་ས་བརྗེས་ཏེ་བྱུང་ 2x + 3 8 8 × (x + 1) = 3 × (2x + 3)
རྩིས་ཐབས་འདི་ལ་སྣོལ་སྒྱུར་ཐབས་ལམ་ཟེར།
32
(འགྲོལ་ཐོབ།)
8x + 8 = 6x + 9 2x = 1 1 x= 2
རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། བཤེར་རྩིས།
1 1+2 3 +1= = 2 2 2 1 LHS ཡི་མ་ཆ། = (2x + 3) = 2 × + 3 = 1 + 3 = 4 2 3 1 3 3 LHS = ÷ 4 = × = = RHS 2 4 8 2
LHS ཡི་བུ་ཆ། =
རྩིས་དཔེ། ༡༩ གཡུ་མཚོ་དང་ཆོས་འཛིན་གྱི་ད་ཆའི་ལོའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 4 : 5 རེད། ད་ནས་ལོ་ 8 རྗེས་ཁོ་གཉིས་
ལན།
ཀྱི་ལོའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5 : 6 ཆགས་ཀྱི་རེད། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
ད་ཆ་གཡུ་མཚོ་ལོ་ 4x དང་ཆོས་འཛིན་ལོ་ 5x ཡིན་པ་ཆ་བཞག་ན། ལོ་ 8 རྗེས། གཡུ་མཚོ་ཡི་ལོ་ = 4x + 8
ལོ་ 8 རྗེས། ཆོས་འཛིན་གྱི་ལོ་ = 5x + 8
ལོ་ 8 རྗེས་ཀྱི་ཁོ་གཉིས་ཀྱི་ལོའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5 : 6 ཡིན་པས།
4x + 8 5 = 5x + 8 6
(སྣོལ་སྒྱུར་བྱེད་པ།)
6 (4x + 8) = 5 (5x + 8) 24x + 48 = 25x + 40 48 − 40 = 25x − 24x 8=x དེར་བརྟེན།
མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ཚོལ། ༡།
༤།
8x − 3 =2 3x
3y + 4 − 2 = 2 − 6y 5
ད་ཆ་གཡུ་མཚོའི་ལོ་ = 4x = 4 × 8 = 32
ད་ཆ་ཆོས་འཛིན་གྱི་ལོ་ = 5x = 5 × 8 = 40
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༦ ༢།
༥།
9x = 15 7 − 6x 7y + 4 − 4 = 3 y+2
༣།
4 z = z + 15 9
33
རྩིས་རིག ༦། བསོད་ནམས་དང་བསམ་གཏན་གྱི་ལོའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5:7 རེད། ལོ་བཞིའི་རྗེས་སུ་ཁོ་གཉིས་ཀྱི་ལོའི་སྡུར་ ཚད་ 3:4 ཆགས་ཀྱི་ཡོད། ད་ཆ་ཁོ་གཉིས་ལོ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༧། ལུགས་ལྡན་གྲངས་ཀྱི་མ་ཆ་དེ་བུ་ཆ་ལས་ 8 ཀྱིས་ཆེ་བ་ཡོད། གལ་ཏེ་བུ་ཆར་ 17 བསྣན་པ་དང་མ་ཆ་ནས་ 1 འཐེན་ན་
3 འབྱུང་། ལུགས་ལྡན་གྲངས་དེ་ཚོལ། 2
དྲན་གསོ་གྱིས། ༡། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་མཉམ་བྱ་ནི་རྒྱུ་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱ་ཞིག་རེད། དེའི་གཡོན་ཕྱོགས་ཀྱི་བྲིན་དང་གཡས་ཕྱོགས་ ཀྱི་བྲིན་གཉིས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན།
༢། ད་བར་ང་ཚོས་སྦྱངས་ཟིན་པའི་མཉམ་བྱ་རྣམས་རྒྱུ་གཅིག་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་རེད། དེ་འདྲའི་མཉམ་
བྱའི་ཚུལ་གྱི་ནང་རྒྱུ་གཅིག་ལས་མེད། མ་ཟད་དེ་ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ་རེད། དེ་ནི། མཉམ་བྱའི་ ནང་རྒྱུའི་ཐེངས་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 1 རེད།
༣། ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐོབ་ནི་ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད།
༤། ཕྱོགས་གཉིས་ཀར་ཐེངས་གཅིག་གི་ཚུལ་ཡོད་པའི་མཉམ་བྱའང་ཡོད། ༥། ཨང་ཀི་ལྟར་རྒྱུ་ཡང་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཅིག་ནས་གཞན་ལ་སྤོ་ཐུབ།
༦། གྲངས་དང་། ལོ། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། དངུལ་ལོར་སོགས་ཀྱི་དཀའ་རྙོག་རྩིས་གཞི་ནི་ཐེངས་གཅིག་ གི་མཉམ་བྱ་བེད་སྤྱད་དེ་འགྲོལ་ཐུབ།
34
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། སློབ་ཚན་གསུམ་པ།
༣་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཆོ་ག་ནི། མཐའ་ × མཐའ་ ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། འདིར་མཐའ་ནི་གྲུ་ བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་ལ་ཟེར། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་། རེའུ་མིག་ ༣་༡
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའ། (cm ནང་།) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། (cm2 ནང་།) 1 2 3 5 8 a
1 × 1 = 1 = 12 2 × 2 = 4 = 22 3 × 3 = 9 = 32 5 × 5 = 25 = 52 8 × 8 = 64 = 82 a × a = a2
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། གྲངས་ 1, 4, 9, 25, 64 སོགས་ནི་གྲངས་ 1, 2, 3, 5, 8 སོགས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན།
དེར་བརྟེན། གྲངས་ 1, 4, 9, 25, 64 སོགས་ལ་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ (Square number) སམ་ཡང་ན་ཉིས་
སྒྱུར་ཡང་དག་ (Perfect square) ཟེར།
རང་བྱུང་གྲངས་ m དང་ n ལས། གལ་ཏེ་ m ནི་ n2 ལྟར་མཚོན་ཐུབ་ན། m ནི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་རེད།
32 ནི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་རེད་དམ། 52 = 25 དང་ 62 = 36 ཡིན་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་ 32 ཉིས་
སྒྱུར་གྲངས་ཡིན་ན། དེ་ 5 དང་ 6 དབར་གྱི་རང་བྱུང་གྲངས་ཤིག་གི་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན་དགོས། ཡིན་ནའང་། 5
དང་ 6 དབར་ལ་རང་བྱུང་གྲངས་མེད། དེར་བརྟེན། 32 ནི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་མ་རེད། རྩིས་དང་།
(ཀ) 30 དང་ 40 དང་། (ཁ) 50 དང་ 60 དབར་གྱི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཚོལ།
35
རྩིས་རིག
༣་༢ ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས། Properties of square numbers གཤམ་གསལ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་། གྲངས། 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
རེའུ་མིག་ ༢་༢
ཉིས་སྒྱུར།
གྲངས།
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ཉིས་སྒྱུར། 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
གྲངས། 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50
ཉིས་སྒྱུར། 441 484 529 576 625 900 1225 1600 2025 2500
• རེའུ་མིག་ ༢་༢ ལས། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་གྲངས་གནས་མཐའ་མར་ (གཅིག་གནས་སུ་) 0 དང་ 1, 4, 5, 6, 9 བཅས་ཡོད། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་འདི་དག་གི་གཅིག་གནས་གྲངས་ནི་ 2 དང་ 3, 7, 8 མིན།
ང་ཚོས་གཅིག་གནས་གྲངས་ 0 དང་ 1, 4, 5, 6, 9 ཡིན་པའི་གྲངས་ཚང་མ་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཡིན་ཞེས་
བརྗོད་ཐུབ་བམ། མི་ཐུབ། དཔེར་ན། 10, 91, 104, 195, 456, 1129 སོགས་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་མ་རེད།
• གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཚང་མའི་གཅིག་གནས་གྲངས་ནི་ 1 རེད། ཉིས་སྒྱུར། 1 81 121 361 441 841 961
གྲངས། 1 9 11 19 21 29 31
གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་གྲངས་ 1 ཡང་ན་ 9 ཡིན་ན། དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་གྲངས་ 1 རེད།
36
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། • གཅིག་གནས་གྲངས་ 6 ཡིན་པའི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ལ་ལྟོས་དང་། ཉིས་སྒྱུར། 16 36 196 256 576
གྲངས། 4 6 14 16 24
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། གཅིག་གནས་གྲངས་ 4 ཡང་ན་ 6 ཡིན་པའི་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་
གྲངས་ 6 ཡིན། ཁྱེད་ཀྱིས་རེའུ་མིག་ ༢་༢ ནང་གི་གྲངས་དང་དེ་དག་གི་ཉིས་སྒྱུར་ལ་བལྟས་ཏེ་དེ་འདྲ་བའི་ ཁྱད་ཆོས་མང་ཙམ་འཚོལ་ཐུབ་བམ།
• གཤམ་གསལ་གྲངས་དང་དེ་དག་གི་ཉིས་སྒྱུར་ལ་ལྟོས་དང་། 102 = 100
ཀླད་ཀོར་གཅིག་ཡོད་པའི་གྲངས།
202 = 400 802 = 6400
ཉིས་སྒྱུར་ལ་ཀླད་ཀོར་གཉིས་ཡོད།
1002 = 10000 ཀླད་ཀོར་གཉིས་ཡོད་པའི་གྲངས།
2002 = 40000 7002 = 490000 9002 = 810000
ཉིས་སྒྱུར་ལ་ཀླད་ཀོར་བཞི་ཡོད།
གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་གྲངས་གནས་མཐའ་མར་ཀླད་ཀོར་གསུམ་ཡོད་ན། དེའི་ཉིས་སྒྱུར་ལ་ཀླད་ཀོར་ག་ཚོད་
ཡོད་དམ། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་གྲངས་གནས་མཐའ་མའི་ཀླད་ཀོར་ནི་གྲངས་དེའི་གྲངས་གནས་མཐའ་མའི་
ཀླད་ཀོར་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་ལྡབ་ཡིན། དེར་བརྟེན། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གི་གྲངས་གནས་མཐའ་མར་ཀླད་ཀོར་ ཆ་གྲངས་ཡོད།
• རེའུ་མིག་ ༢་༢ ལས། ཁྱེད་ཀྱིས་ཆ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་དང་ཡ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་སྐོར་གང་བཤད་ཐུབ་བམ། ང་ཚོས་དོ་སྣང་བྱུང་བར་ཆ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་།
ཡ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ནི་ཡ་
གྲངས་ཡིན། དཔེར་ན། ཆ་གྲངས་ 2, 6, 22 སོགས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ནི་ 4, 36, 484 སོ་སོར་དང་། ཡ་གྲངས་ 3, 11, 25 སོགས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ནི་ 9, 121, 625 སོ་སོར་ཡིན།
37
རྩིས་རིག
༣་༣ དཔེ་འགྲོས། Patterns
༡། ཟུར་གསུམ་གྲངས་སྡོམ་པ། Adding triangular numbers གཤམ་གསལ་ཟུར་གསུམ་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་ལ་ལྟོས་དང་།
1
3
6
10
15
གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཟུར་གསུམ་གྲངས་གཉིས་བསྟུད་མར་བསྡོམས་ན། གཤམ་གསལ་ལྟར་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་འཐོབ་ ཀྱི་ཡོད།
1 + 3 = 4 = 22
3 + 6 = 9 = 32
6 + 10 = 16 = 42
༢། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་དབར་གྱི་གྲངས། Numbers between square numbers 1 (= 12)
2, 3, 4 (= 22) 5, 6, 7, 8, 9 (= 32) 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (= 42) གོང་གི་དཔེ་འགྲོས་ལས།
ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ 12(= 1) དང་ 22(= 4) ཡི་དབར་ཉིས་སྒྱུར་མིན་པའི་གྲངས་ 2, 3 བཅས་གཉིས་ཡོད།
ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ 22(= 4) དང་ 32(= 9) ཡི་དབར་ཉིས་སྒྱུར་མིན་པའི་གྲངས་ 5, 6, 7, 8 བཅས་བཞི་
ཡོད།
ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ n2 དང་ (n + 1)2 གཉིས་ཀྱི་དབར་ཉིས་སྒྱུར་མིན་པའི་གྲངས་ 2n ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། གྲངས་ n དང་ (n + 1) གི་ཉིས་སྒྱུར་དབར་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན་པའི་གྲངས་ 2n ཡོད།
༣། ཡ་གྲངས་སྡོམ་པ། Adding odd numbers གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་། 1 [ཡ་གྲངས་གཅིག]
38
= 1 = 12
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། 1 + 3 [ཡ་གྲངས་ཐོག་མ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ།]
1 + 3 + 5 [ཡ་གྲངས་ཐོག་མ་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ།]
= 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 + 9 [n = 5]
= 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 [n = 6]
= 36 = 62
1+3+5+7
= 4 = 22
[n = 4]
= 16 = 42
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། ང་ཚོས་ཡ་གྲངས་ཐོག་མ་ n ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ n2 ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ།
༤། རང་བྱུང་གྲངས་བསྟུད་མ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ། Sum of two consecutive natural numbers གཤམ་གསལ་ལ་ཆ་འཇོག 4 + 5 = 9 = 32
12 + 13 = 25 = 52 24 + 25 = 49 = 72 40 + 41 = 81 = 92
60 + 61 = 121 = 112 112 + 113 = 225 = 152 ༥། རང་བྱུང་ཆ་གྲངས་སམ་ཡང་ན་ཡ་གྲངས་བསྟུད་མ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ།
Product of two consecutive even or odd natural numbers 11 × 13 = 143 = 122 − 1 ཡང་ན།
11 × 13 = (12 − 1) × (12 + 1) = 122 − 1
དེ་མཚུངས། 13 × 15 = (14 − 1) × (14 + 1) = 142 − 1
24 × 26 = (25 − 1) × (25 + 1) = 252 − 1
༦། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་མང་ཙམ། Some more patterns in square numbers
• གྲངས་ 1, 11, 111, ... སོགས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ལ་ལྟོས་དང་། དེ་དག་གི་དཔེ་འགྲོས་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། 12 =
1
112 =
1
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
4
3
2
1
1
2
3
4
5
4
3
2
1
4
5
6
7
8
7
6
5
4
1112 = 11112 = 111112 = 111111112 = 1
2
3
3
2
1
39
རྩིས་རིག • དཔེ་འགྲོས་གཞན།
རྩིས་དང་།
གོང་གི་དཔེ་འགྲོས་བེད་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་བྲིས།
72 = 49
(ཀ) 1111112
672 = 4489
(ཁ) 11111112
6672 = 444889
(ག) 66666672
66672 = 44448889
(ང) 666666672
666672 = 4444488889 6666672 = 444444888889
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༡
༡། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་གང་རེད་དམ། (ཀ) 81
(ཁ) 272
(ག) 799
(ང) 3853
(ཅ) 1234
(ཆ) 26387
(ཇ) 52698
(ཉ) 99880
(ཏ) 12796
(ཐ) 55555
(ཀ) 1057
(ཁ) 23453
(ག) 7928
(ང) 222222
(ཅ) 64000
༢། གཤམ་གསལ་ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན་པའི་གྲངས་རེད། རྒྱུ་མཚན་ཤོད། (ཆ) 89722
(ཇ) 222000
(ཉ) 505050
༣། གཤམ་གསལ་ལས་གང་ཞིག་གི་ཉིས་སྒྱུར་ཡ་གྲངས་རེད་དམ། (ཀ) 431
༤། བར་སྟོང་སྐོངས། (ཀ)
(ཁ) 2826
(ག) 7779
112 = 121
1012 = 10201 10012 = 1002001 1000012 = 1 ........ 2 ........ 1 100000012 = ........................
༥། ཉིས་སྒྱུར་སྤྱད་དེ་ཡ་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ང) 82004
(ཁ)
12 + 22 + 22 = 32 22 + 32 + 62 = 72 32 + 42 + 122 = 132 42 + 52 + 52 +
= 212
+ 302 = 312
62 + 72 +
(ཁ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
40
2
2
2
=
2
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། (ག) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
༦། གཤམ་གསལ་གྲངས་གཉིས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་དབར་གྲངས་ག་ཚོད་ཡོད་དམ། (ཀ) 12 དང་ 13
(ཁ) 25 དང་ 26
(ག) 99 དང་ 100
༣་༤ གྲངས་ཤིག་གི་ཉིས་སྒྱུར་འཚོལ་བ། Finding the square of a number
ང་ཚོས་གྲངས་ 2, 3, 4, 5, 6, ... སོགས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་ལས་སླ་པོར་འཚོལ་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། 23 གྱི་ཉིས་ སྒྱུར་མྱུར་དུ་འཚོལ་ཐུབ་ཀྱི་མ་རེད། 23 གྱི་ཉིས་སྒྱུར་འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ 23 ལ་ 23 གྱིས་བསྒྱུར་དགོས། ང་ཚོས་སྒྱུར་རྩིས་མ་བརྒྱབ་པར་ལན་འཚོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཞན་ཞིག་ཡོད། 23 = 20 + 3 (ཁ་བཀྲལ་བ།) དེར་བརྟེན།
232 = (20 + 3)2 = 20 (20 + 3) + 3 (20 + 3) = 202 + 20 × 3 + 3 × 20 + 32 = 400 + 60 + 60 + 9 = 529
རྩིས་དཔེ། ༡ ཁ་བཀྲལ་ནས་ཉིས་སྒྱུར་ཚོལ། ལན།
(ཀ) 39
(ཁ) 42
(ཀ) 392 = (30 + 9)2 = 30 (30 + 9) + 9 (30 + 9) = 302 + 30 × 9 + 9 × 30 + 92
= 900 + 270 + 270 + 81 = 1521
(ཁ) 422 = (40 + 2)2 = 40 (40 + 2) + 2 (40 + 2) = 402 + 40 × 2 + 2 × 40 + 22
= 1600 + 80 + 80 + 4 = 1764
༣་༥ པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན། Pythagorean triplets གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52
གྲངས་ 3, 4, 5 བཅས་གསུམ་ལ་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་ཟེར། 6, 8, 10 ཡང་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་རེད།
རྒྱུ་མཚན་ནི། 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102
41
རྩིས་རིག དེ་བཞིན།
རེད།
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 ཡིན་པས། 5, 12, 13 ཡང་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་
རང་བྱུང་གྲངས་གང་རུང་ m > 1 ལས། (2m)2 + (m2 − 1)2 = (m2 + 1)2
དེར་བརྟེན། 2m, m2 − 1, m2 + 1 བཅས་གསུམ་གྱིས་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ། ༢ གྲངས་གཅིག་ 35 ཡིན་པའི་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་བྲིས།
ལན། ང་ཚོས་ 2m, m2 − 1, m2 + 1 བེད་སྤྱད་དེ་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་འཚོལ་ཆོག གལ་ཏེ་ 2m = 35 བླངས་ན། དེ་ནི།
ཡང་།
m=
35 ནི་རིལ་གྲངས་མ་རེད། 2
m2 − 1 = 35 བླངས་ན།
m2 = 35 + 1 = 36 = 62 m=6
འདིར། 2m = 12 དང་། m2 + 1 = 36 + 1 = 37
དེར་བརྟེན། གྲངས་གཅིག་ 35 ཡིན་པའི་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་ནི་ 12, 35, 37 རེད།
རྩིས་དཔེ། ༣ གྲངས་ཆུང་ཤོས་ 8 ཡིན་པའི་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་བྲིས།
ལན། ང་ཚོས་ 2m, m2 − 1, m2 + 1 ནི་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ཐོག་མར་ m2 − 1 = 8 བླངས་ན།
m2 = 8 + 1 = 9 = 32
དེ་ནི།
m = 3
དེར་བརྟེན། 2m = 6 དང་ m2 + 1 = 10
པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་ནི་ 6, 8, 10 རེད། ཡིན་ནའང་། འདིར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 8 མིན།
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ 2m = 8 བླངས་ན། m=4
འདིར། m2 − 1 = 16 − 1 = 15 དང་ m2 + 1 = 16 + 1 = 17
དེར་བརྟེན། གྲངས་ཆུང་ཤོས་ 8 ཡིན་པའི་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་ནི་ 8, 15, 17 རེད།
མཆན། ཚུལ་དེ་དག་སྤྱད་དེ་པཡེ་ཐ་ག་ྷོ རཱས་སུམ་ཚན་ཚང་མ་འཚོལ་ཐུབ་ཀྱི་མེད། དཔེར་ན། 5, 12, 13 སྐབས་འཚོལ་ཐུབ་ཀྱི་མེད།
42
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི།
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༢
༡། ཁ་བཀྲལ་ནས་ཉིས་སྒྱུར་ཚོལ། (ཀ) 32
(ཁ) 35
(ཅ) 71
(ག) 86
(ཆ) 46
༢། གྲངས་གཅིག་གཤམ་གསལ་ཡིན་པའི་པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་སུམ་ཚན་བྲིས། (ཀ) 6
(ཁ) 14
(ག) 16
(ང) 93 (ང) 18
༣་༦ ཉིས་སྒྱུར་གཞི། Square roots གཤམ་གྱི་གནས་སྟངས་ལ་ཉམས་ཞིབ་བྱོས།
༡། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 144 cm2 རེད། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དེའི་མཐའ་ག་ཚོད་རེད་དམ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = a2 ཡིན་པ་ང་ཚོས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད།
དེ་ནི།
144 = a2
དེར་བརྟེན། མཐའི་རིང་ཚད་འཚོལ་བར་ཉིས་སྒྱུར་ 144 ཡིན་པའི་གྲངས་ཤིག་འཚོལ་དགོས།
༢། དཀྱུས་ 8 cm དང་ཞེང་ 6 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་གཏད་ཐིག་གི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། (དཔེ་རིས་ ༣་༡) པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་ངེས་སྲོལ་ལས། AB + BC = AC 2
2
2
D
6 cm
82 + 62 = AC2 64 + 36 = AC2
A
100 = AC2 AC འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ཉིས་སྒྱུར་ 100 ཡིན་པའི་གྲངས་ཤིག་འཚོལ་དགོས།
གོང་གི་གནས་སྟངས་གཉིས་ནང་།
C
8 cm B དཔེ་རིས་ ༣་༡
ང་ཚོར་ཐོབ་པའི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་དེ་གྲངས་གང་ཞིག་གི་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན་པ་
བཙལ་ཡོད། གྲངས་དེ་ལ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཟེར།
༣་༦་༡ ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ། Finding square roots
སྡོམ་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་ལྡོག་པ་ནི་འཐེན་རྩིས་དང་། སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་ལྡོག་པ་ནི་བགོད་རྩིས་རེད། དེ་ མཚུངས། ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ་ནི་ཉིས་སྒྱུར་གཏོང་བའི་རྩིས་ཐབས་ལྡོག་པ་རེད།
43
རྩིས་རིག དཔེར་ན།
12 = 1, དེར་བརྟེན། 1 གི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་ 1 རེད།
22 = 4, དེར་བརྟེན། 4 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་ 2 རེད། 32 = 9, དེར་བརྟེན། 9 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་ 3 རེད།
112 = 121 རེད། 121 གི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་གང་རེད་དམ།
152 = 225 རེད། 225 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་གང་རེད་དམ།
མཆན། 92 = 81 དང་། (− 9)2 = 81 རེད། དེར་བརྟེན། 81 གི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་ 9 དང་ (− 9) རེད། འདིར་ང་ཚོས་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཡང་དག་ལ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་རིལ་གྲངས་གཉིས་རེ་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ། ཡིན་ནའང་།
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་རང་བྱུང་གྲངས་ཀྱི་ཕོ་གྲངས་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཁོ་ན་ལ་ཆ་འཇོག་གི་ཡིན། གྲངས་ཤིག་གི་ ཕོ་གྲངས་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་རྟགས་ ཉིས་སྒྱུར།
12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25
ཡིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། དཔེར་ན། 4 = 2 དང་ 9 = 3 སོགས།
ཉིས་སྒྱུར་གཞི། 1=1
4=2 9=3 16 = 4 25 = 5
ཉིས་སྒྱུར།
62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100
ཉིས་སྒྱུར་གཞི། 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9
100 = 10
༣་༦་༢ བསྟུད་མའི་འཐེན་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ།
Finding square root through repeated subtraction method ཡ་གྲངས་ཐོག་མ་ n ཡི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ n2 ཡིན་པ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། དེ་ནི། 1 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་ཉིས་ སྒྱུར་གྲངས་ཚང་མ་ཡ་གྲངས་བསྟུད་མའི་བསྡོམས་ཐོབ་ལྟར་མཚོན་ཐུབ། 16 ལ་ཆ་བཞག་ན།
(༡) 16 − 1 = 15
(༢) 15 − 3 = 12 (༣) 12 − 5 = 7 (༤) 7 − 7 = 0
ང་ཚོས་ 16 ལས་ཡ་གྲངས་བསྟུད་མ་ 1 ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་ཀླད་ཀོར་མ་འཐོབ་བར་དུ་འཐེན་ཡོད། འདིར་ འཐེན་ཐེངས་བཞིའི་རྗེས་འཐེན་ཐོབ་ཀླད་ཀོར་ཐོབ་ཡོད་པས། 16 = 4
44
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། ཁྱེད་ཀྱིས་ཐབས་ལམ་འདི་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ 729 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་ཐུབ་བམ། འཚོལ་ཐུབ།
ཡིན་ཡང་། རྩིས་ཐབས་དེ་འགོར་ཡུན་ཆེན་པོ་ཡོད་པས། ང་ཚོས་ཐབས་ལམ་སྟབས་བདེ་ཞིག་འཚོལ་རྒྱུ་ཡིན། ༣་༦་༣ རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ།
Finding square root through prime factorization method 324 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་དགོས་ན།
2 2 3 3 3 3
324 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
རྒྱུ་གྲངས་ཡིན་པའི་བགོད་གྲངས་རྣམས་ཆ་སྒྲིག་པ་ཡིན་ན།
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 22 × 32 × 32 = (2 × 3 × 3)2
དེར་བརྟེན།
324 = 2 × 3 × 3 = 18
48 ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ།
324 162 81 27 9 3 1
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
འདིར་བགོད་གྲངས་ 3 ལ་ཆ་མེད་པས། 48 ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན།
48 ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་བསྒྱུར་ན་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་འབྱུང་ངམ།
48 ཡི་རྒྱུ་གྲངས་ཡིན་པའི་བགོད་གྲངས་རྣམས་ཆ་བསྒྲིགས་རྗེས་རྒྱུ་གྲངས་ 3 ལ་ཆ་མེད་པ་གསལ་པོར་ཤེས་ ཐུབ།
དེར་བརྟེན། རྒྱུ་གྲངས་ཚང་མར་ཆ་བཟོ་བར་ 3 གྱིས་བསྒྱུར་བས།
48 × 3 = 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད། ཡང་ 48 ལ་གྲངས་གང་ཞིག་གིས་བགོས་ན་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་འབྱུང་ངམ། བགོད་གྲངས་ 3 ལ་ཆ་མེད་པས། 48 ལ་ 3 གྱིས་བགོས་ན། 48 ÷ 3 = 16 = 2 × 2 × 2 × 2 16 ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༤ 6400 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། ལན།
6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 དེར་བརྟེན། 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80
2 2 2 2 2 2 2 2 5 5
6400 3200 1600 800 400 200 100 50 25 5 1
45
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༥ 200 ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ། གལ་ཏེ་མིན་ན། 2352 ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་ ལན།
བསྒྱུར་ན་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་འབྱུང་ངམ། ཉིས་སྒྱུར་དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ།
200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5
རྒྱུ་གྲངས་ 2 ལ་ཆ་མེད་པས། 200 ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན།
གལ་ཏེ་ 2 ལ་ཆ་ཡོད་ན། གྲངས་དེ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཆགས་ཀྱི་རེད།
དེར་བརྟེན། 200 ལ་ 2 ཀྱིས་བསྒྱུར་ན། 200 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 འདིར་རྒྱུ་གྲངས་ཚང་མར་ཆ་རེ་ཡོད།
དེར་བརྟེན། 200 × 2 = 400 ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད། གྲངས་ཆུང་ཤོས་ 2 ཀྱིས་བསྒྱུར་ན་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཐོབ། དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ = 400 = 2 × 2 × 5 = 20
རྩིས་དཔེ། ༦ 9408 ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་གིས་བགོས་ན་བགོས་ཐོབ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཐོབ་བམ། ལན།
བགོས་ཐོབ་དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ།
9408 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7 གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ 9408 ལ་ 3 གྱིས་བགོས་ན།
9408 ÷ 3 = 3136 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 དེར་བརྟེན། གྲངས་ཆུང་ཤོས་ 3 གྱིས་བགོས་ན་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཐོབ དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ = 3136 = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
རྩིས་དཔེ། ༧ གྲངས་ 6 དང་ 9, 15 རེ་རེས་བགོ་ཐུབ་པའི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ཚོལ། ལན།
ཐོག་མར་ང་ཚོས་སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་བཙལ་ཏེ། དགོས་ངེས་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་འཚོལ་དགོས། 6 དང་ 9, 15 ཡི་ LCM ནི་ 2 × 3 × 3 × 5 = 90 རེད།
འདིར། རྒྱུ་གྲངས་ 2 དང་ 5 ལ་ཆ་མེད་པས། 90 ནི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན།
ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་འཚོལ་བར། 90 ཡི་བགོད་གྲངས་ཚང་མར་ཆ་དགོས་པས། 2 དང་ 5 ལ་ཆ་བཟོ་དགོས།
དེར་བརྟེན། 90 ལ་ 2 × 5 = 10 ཡིས་བསྒྱུར་དགོས།
དགོས་ངེས་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 90 × 10 = 900 རེད།
46
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི།
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༣
༡། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞིའི་གཅིག་གནས་བྲིས། (ཀ) 9801
(ཁ) 99856
(ག) 998001
༢། གཅིག་གནས་ལ་བལྟས་ནས་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན་པའི་གྲངས་རྣམས་ཚོལ། (ཀ) 153
(ང) 657666025
(ཁ) 257
(ག) 408
(ང) 441
(ཁ) 729
(ག) 1764
(ང) 4096
(ང) 1008
༣། བསྟུད་མའི་འཐེན་རྩིས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ 121 དང་ 169 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། ༤། རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། (ཀ) 400
(ཅ) 5929
(ཆ) 7744
(ཇ) 8100
(ཀ) 180
(ཁ) 252
(ག) 768
(ཉ) 9216
༥། ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་གིས་བསྒྱུར་ན་བསྒྱུར་ཐོབ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་འབྱུང་ངམ། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་དེའི་ ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡང་ཚོལ།
(ཅ) 1458
(ཆ) 2028
(ཀ) 252
(ཁ) 396
༦། གཤམ་གསལ་གྲངས་རེ་རེའི་སྐབས་ཧྲིལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་གིས་བགོས་ན་བགོས་ཐོབ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ འབྱུང་ངམ། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡང་ཚོལ།
(ཅ) 2800
(ཆ) 2925
(ག) 1620
(ང) 2645
༧། ཚོགས་པ་ཞིག་གི་ནང་ལས་བྱེད་རྣམས་ཀྱིས་འཁོར་ཡུག་གོང་འཕེལ་ཆེད་ཞལ་འདེབས་ ` 12100 ཕུལ་
ཡོད། གལ་ཏེ་ལས་བྱེད་རེ་རེས་ལས་བྱེད་ཀྱི་གྲངས་དང་མཉམ་པའི་ཞལ་འདེབས་ཕུལ་ཡོད་ན། ཚོགས་པའི་ ནང་ལས་བྱེད་གྲངས་ཇི་ཡོད་ཚོལ།
༨། སྐྱེད་ཚལ་ཞིག་གི་ནང་རྩི་ཤིང་ 2025 བཏབ་ཡོད། སྟར་པ་རེ་རེའི་ནང་ཁྱོན་བསྡོམས་སྟར་པའི་གྲངས་དང་ མཉམ་པ་རྩི་ཤིང་བཏབ་ཡོད་ན། སྟར་པའི་གྲངས་དང་སྟར་པ་རེའི་ནང་རྩི་ཤིང་གི་གྲངས་ཚོལ།
༩། གྲངས་ 4 དང་ 9, 10 རེ་རེས་བགོ་ཐུབ་པའི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ཚོལ།
༡༠། གྲངས་ 8 དང་ 15, 20 རེ་རེས་བགོ་ཐུབ་པའི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ཚོལ།
༣་༦་༤ བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ། Finding square root by division method སྐབས་རེར་གྲངས་འགའི་བགོད་གྲངས་ཆེན་པོ་ཡོད་པས་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་བགོད་
47
རྩིས་རིག གྲངས་འཚོལ་རྒྱུ་ཁག་པོ་དང་དུས་ཡུན་འགོར་པོ་ཡོད། དཀའ་རྙོག་འདི་སེལ་ཆེད་ང་ཚོས་བགོད་རྩིས་ཀྱི་ཐབས་ ལམ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཀྱི་ཡིན། བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་ནང་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ལ་གྲངས་ གནས་ག་ཚོད་ཡོད་པ་ཤེས་དགོས། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་། གྲངས། 10 31 32 99
ཉིས་སྒྱུར།
100 - གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཆུང་ཤོས། 961 - གྲངས་གནས་ 3 ཅན་གྱི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཆེ་ཤོས། 1024 - གྲངས་གནས་ 4 ཅན་གྱི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཆུང་ཤོས། 9801 - གྲངས་གནས་ 4 ཅན་གྱི་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཆེ་ཤོས།
ང་ཚོས་གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། གལ་ཏེ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ལ་གྲངས་གནས་གསུམ་མམ། ཡང་ན་བཞི་ ཡོད་ཚེ་དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་གྲངས་གནས་ 2 ཅན་རེད། དེ་བཞིན། གལ་ཏེ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ལ་ གྲངས་གནས་ལྔའམ། ཡང་ན་དྲུག་ཡོད་ཚེ་དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་གྲངས་གནས་ 3 ཅན་སོགས་རེད།
• བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ 529 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བར་གཤམ་གསལ་གོམ་པ་ལྟར་བྱ་དགོས།
གོམ་པ་ ༡ གྲངས་གནས་གཅིག་ཅན་ནས་བརྩིས་ཏེ་གྲངས་གནས་ཆ་རེ་ལ་གོང་ཐིག་རྒྱག་དགོས། གལ་ཏེ་གྲངས་
དེའི་གྲངས་གནས་ཡ་གྲངས་ཡིན་ན་དེའི་གཡོན་མཐའི་གྲངས་གནས་རྐྱང་པ་དེ་ལའང་གོང་ཐིག་ རྒྱག་དགོས། 5 29
གོམ་པ་ ༢ གོང་ཐིག་གཡོན་མཐའི་འོག་གི་གྲངས་དེ་གྲངས་ཆེ་ཤོས་གང་ཞིག་གི་ཉིས་སྒྱུར་
ལས་ཆུང་བའམ་མཉམ་པ་དེ་ཚོལ། (22 < 5 < 32) གྲངས་འདི་བགོད་བྱེད་
2
2 5 29 −4 1
2
2 5 29 −4 1 29
དང་བགོས་ཐོབ་ཏུ་བླངས་ཏེ་གོང་ཐིག་གཡོན་མཐའི་འོག་ཏུ་གྲངས་དེ་བྲིས་ ཏེ་བགོས་ལྷག་ཚོལ། (འདིར་བགོས་ལྷག་ 1 རེད།)
གོམ་པ་ ༣ གོང་ཐིག་རྗེས་མའི་གྲངས་ (དེ་ནི་ 29) དེ་བགོས་ལྷག་གི་གཡས་སུ་བྲིས། དེར་བརྟེན། བགོད་བྱའི་གྲངས་གསར་པ་ནི་ 129 རེད།
གོམ་པ་ ༤ བགོས་ཐོབ་ལྡབ་གཉིས་སུ་བཏང་སྟེ་དེའི་གཡས་སུ་བར་སྟོང་ཞོག
གོམ་པ་ ༥ བར་སྟོང་ནང་གི་གྲངས་གནས་ཚོད་དཔག་བྱས་ཏེ་བགོས་ཐོབ་ཀྱི་གྲངས་གནས་ གསར་པ་འཇོག་དགོས།
འདིར་བགོད་བྱེད་གསར་པ་དེ་བགོས་ཐོབ་གསར་
པ་ལ་སྒྱུར་སྐབས་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་བགོད་བྱེད་ལས་ཆུང་བའམ་མཉམ་པ་དགོས།
48
2 2 5 29 −4 4_ 1 29
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། འདིར། 42 × 2 = 84 དང་། 43 × 3 = 129 ཡིན་པས་གྲངས་གསར་ པ་ནི་ 3 རེད།
གོམ་པ་ ༦ བགོས་ཐོབ་བཙལ་ན། བགོས་ལྷག་ནི་ 0 དང་ཤེས་ཟིན་པའི་གྲངས་ནང་གྲངས་ •
གནས་ལྷག་མེད། དེར་བརྟེན། 529 = 23
2 3 2 5 29 −4 43 129 − 129 0
4096 ཚོལ།
གོམ་པ་ ༡ གྲངས་གནས་གཅིག་ཅན་ནས་བརྩིས་ཏེ་གྲངས་གནས་ཆ་རེ་ལ་གོང་ཐིག་རྒྱག་དགོས། (40 96 ) གོམ་པ་ ༢ གོང་ཐིག་གཡོན་མཐའི་འོག་གི་གྲངས་དེ་གྲངས་ཆེ་ཤོས་གང་ཞིག་གི་ཉིས་
སྒྱུར་ལས་ཆུང་བའམ་མཉམ་པ་དེ་ཚོལ། (6 < 40 < 7 ) གྲངས་འདི་ 2
2
6
6 40 96 − 36 4
6
6 40 96 − 36 496
བགོད་བྱེད་དང་བགོས་ཐོབ་ཏུ་བླངས་ཏེ་གོང་ཐིག་གཡོན་མཐའི་འོག་ཏུ་ གྲངས་དེ་བྲིས་ཏེ་བགོས་ལྷག་ཚོལ། (འདིར་བགོས་ལྷག་ 4 རེད།)
གོམ་པ་ ༣ གོང་ཐིག་རྗེས་མའི་གྲངས་ (དེ་ནི་ 96) དེ་བགོས་ལྷག་གི་གཡས་སུ་བྲིས། བགོད་བྱའི་གྲངས་གསར་པ་ནི་ 496 རེད།
གོམ་པ་ ༤ བགོས་ཐོབ་ལྡབ་གཉིས་སུ་བཏང་སྟེ་དེའི་གཡས་སུ་བར་སྟོང་ཞོག
གོམ་པ་ ༥ བར་སྟོང་ནང་གཅིག་གནས་གྲངས་ཚོད་དཔག་བྱས་ཏེ་བགོས་ཐོབ་ཀྱི་གཅིག་ གནས་གྲངས་འཇོག་དགོས། འདིར་བགོད་བྱེད་གསར་པ་དེ་བགོས་ཐོབ་
གསར་པ་ལ་སྒྱུར་སྐབས་བསྒྱུར་ཐོ བ ་ནི ་ བགོ ད ་བྱེད་ལས་ཆུང་བའམ་
མཉམ་པ་དགོས། འདིར། 124 × 4 = 496 ཡིན་པས་བགོས་ཐོབ་ནང་ གཅིག་གནས་གྲངས་གསར་པ་ནི་ 4 རེད།
གོམ་པ་ ༦ བགོས་ཐོབ་བཙལ་ན། བགོས་ལྷག་ནི་ 0 དང་ཤེས་ཟིན་པའི་གྲངས་ནང་ གྲངས་གནས་ལྷག་མེད། དེར་བརྟེན། 4096 = 64
6 6 40 96 − 36 12_ 496 6 4 6 40 96 − 36 496 124 − 496 0
གྲངས་ཀྱི་ཚོད་དཔག
ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཡང་དག་གི་ཉིས་སྒྱུར་གཞིའི་ནང་གྲངས་གནས་ཀྱི་གྲངས་འཚོལ་བར་གོང་ཐིག་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ ཀྱི་ཡོད།
དཔེར་ན། 529 = 23 དང་ 4096 = 64 གྲངས་ 5 29 དང་ 40 96 གཉིས་ཀྱི་ནང་གོང་ཐིག་ 2 ཡོད་པ་དང་། དེ་དག་གི་ཉིས་སྒྱུར་གཞིའི་ནང་གྲངས་གནས་ ཀྱང་ 2 ཡོད། གྲངས་ 1 44 00 ནང་གོང་ཐིག་ 3 ཡོད་པས། དེའི་ཉིས་སྒྱུར་གཞིའི་ནང་གྲངས་གནས་ 3 ཡོད།
49
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༨ ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། (ཀ) 729 དང་། (ཁ) 1296 ལན།
(ཀ)
2 7 2 7 29 −4 47 329 − 329 0
དེར་བརྟེན། 729 = 27
3 6 12 96 − 9 66 396 − 396 0
(ཁ) 3
དེར་བརྟེན། 1296 = 36
རྩིས་དཔེ། ༩ 5607 ལས་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་འཐེན་ན། གྲངས་དེ་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་འཐོབ་བམ། ལན།
ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡང་ཚོལ།
74 7 56 07 བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ 5607 བཙལ་ན། བགོས་ − 49 ལྷག་ནི་ 131 དང་། 742 ནི་ 5607 ལས་ 131 གིས་ཉུང་ 144 707 − 576 བ་ཡོད་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། 131 གལ་ཏེ་གྲངས་དེ་ནས་བགོས་ལྷག་འཐེན་པ་ཡིན་ན། ཉིས་སྒྱུར་ 74 ཡང་དག་འཐོབ་ཀྱི་ཡོད། 7 54 76 49 − དེར་བརྟེན། དགོས་ངེས་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ནི། 144 576 5607 − 131 = 5476 དང་། 5476 = 74 − 576 0
རྩིས་དཔེ། ༡༠ གྲངས་གནས་ 4 ཅན་གྱི་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། ལན།
གྲངས་གནས་ 4 ཅན་གྱི་གྲངས་ཆེ་ཤོས་ནི་ 9999 རེད།
བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ 9999 འཚོལ་ན། བགོས་ ལྷག་ནི་ 198 རེད། 992 ནི་ 9999 ལས་ 198 ཀྱིས་ཉུང་བ་རེད། དེ་ནི། གལ་ཏེ་ གྲངས་དེ་ནས་བགོས་ལྷག་འཐེན་པ་ཡིན་ན། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་ དག་འཐོབ་ཀྱི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། དགོས་ངེས་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ནི།
9999 − 198 = 9801 དང་། 9801 = 99
50
99 9 99 99 − 81 189 1899 − 1701 198 99 9 98 01 − 81 189 1701 − 1701 0
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། རྩིས་དཔེ། ༡༡ 1300 ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་བསྣན་ན། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ གྲངས་འཐོབ་བམ། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡང་
ལན།
ཚོལ།
བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ 1300 འཚོལ་ན། བགོས་ལྷག་ 4 རེད། དེས་ 362 < 1300 ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་རྗེས་མ་ནི་ 372 = 1369 རེད།
དེར་བརྟེན། སྣོན་དགོས་པའི་གྲངས་ = 1369 − 1300 = 69 དང་།
1369 = 37
3 66
3 67
36 13 00 − 9 400 − 396 4 37 13 69 − 9 469 − 469 0
༣་༧ སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། Square roots of decimals 17.64 ཚོལ།
གོམ་པ་ ༡ སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་སྐབས་ནམ་རྒྱུན་བཞིན་གཡོན་ཕྱོགས་ སུ་རིལ་གྲངས་ཆ་རེ་ལ་གོང་ཐིག་རྒྱག་དགོས། ཡང་སིལ་གྲངས་ཚེག་ནས་
འགོ་བཙུགས་ཏེ་གཡས་ཕྱོགས་སུ་གྲངས་གནས་ཆ་རེ་ལ་གོང་ཐིག་རྒྱག་ དགོས། དེ་ནི། 17.64
གོམ་པ་ ༢ གང ོ ་ཐིག་གཡོན་མཐའ་ནི་ 17 སྟེང་ལ་ཡོད་པ་དང་། 42 < 17 < 52
གྲངས་འདི་བགོད་བྱེད་དུ་བླངས་པ་དང་གོང་ཐིག་གཡོན་མཐའི་གྲངས་ (དེ་ནི་ 17) ཀྱི་འོག་ཏུ་བྲིས་ཏེ་བགོས་ལྷག་ཚོལ།
གོམ་པ་ ༣ བགོས་ལྷག་ 1 རེད། གོང་ཐིག་རྗེས་མའི་གྲངས་ (དེ་ནི་ 64) དེ་བགོས་ ལྷག་གི་གཡས་སུ་བྲིས།
གོམ་པ་ ༤ བགོས་ཐོབ་ལྡབ་གཉིས་སུ་བཏང་སྟེ་དེའི་གཡས་སུ་བར་སྟོང་ཞོག 64 ནི་སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཆ་ཤས་ཡིན་པས་བགོས་ཐོབ་ལ་ཚེག་ཅིག་བྲིས།
གོམ་པ་ ༥ 82 × 2 = 164 ཡིན་པས། བགོས་ཐོབ་ནང་གྲངས་གསར་པ་ནི་ 2 རེད། གོམ་པ་ ༦ བགོས་ཐོབ་འཚོལ་ན། བགོས་ལྷག་ནི་ 0 ཡིན།
4
4 17.64 − 16 1
4. 4 17.64 − 16 8_ 164
4.2 4 17.64 − 16 82 164 − 164 0
དེར་བརྟེན། 17.64 = 4.2
51
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༡༢ 12.25 ཡི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། ལན།
དེར་བརྟེན། 12.25 = 3.5
3.5 3 12.25 − 9 65 325 − 325 0
རྩིས་དཔེ། ༡༣ ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་མ་ཞིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ 23.04 m2 རེད། ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་མ་དེའི་མཐའ་ཚོལ།
ལན།
ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 23.04 m2
4.8 4 23. 04 −16 704 88 − 704 0
ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་མའི་མཐའ་ = 23.04 m
དེ་ནི།
23.04 = 4.8 དེར་བརྟེན། ས་ཞིང་གྲུ་བཞི་མའི་མཐའ་ནི་ 4.8 m རེད།
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༤
༡། བགོད་རྩིས་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། (ཀ) 529
(ཅ) 3481
(ཁ) 900
(ག) 1024
(ཆ) 4489
(ང) 2304
(ཁ) 144
(ཇ) 5776
(ག) 4489
(ཉ) 7921
(ཁ) 7.29
(ག) 31.36
(ང) 42.25
༢། གོང་ཐིག་བརྒྱབ་ནས་ཉིས་སྒྱུར་གཞིའི་གྲངས་གནས་ཀྱི་གྲངས་ཚོལ། (ཀ) 64
(ཅ) 390625
༣། སིལ་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། (ཀ) 2.56
(ཅ) 51.84
(ང) 27225
༤། གཤམ་གསལ་ལས་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་འཐེན་ན། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་འཐོབ་བམ། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡང་ཚོལ། (ཀ) 402
(ཅ) 4000
(ཁ) 825
(ག) 1989
(ང) 3250
༥། གཤམ་གསལ་ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་བསྣན་ན། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་འཐོབ་བམ། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་
52
ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི། དག་གྲངས་ཀྱི་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཡང་ཚོལ། (ཀ) 252
(ཅ) 6412
(ཁ) 525
(ག) 1750
༦། རྒྱ་ཁྱོན་ 441 m2 ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་ཚོལ།
(ང) 1825
༧། ལྡུམ་ར་བ་ཞིག་ལ་རྩི་ཤིང་ 1000 ཡོད། ཁོས་བསྟར་པ་འཕྲེད་གཞུང་གཉིས་ལ་རྩི་ཤིང་གྲངས་གཅིག་པ་ འདེབས་འཆར་ཡོད། དེའི་ཆེད་ཁོང་ལ་ད་དུང་ཉུང་མཐར་རྩི་ཤིང་གྲངས་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༨། སློབ་གྲྭ་ཞིག་གི་ནང་སློབ་མ་ 500 ཡོད། ཁོང་ཚོ་རུ་སྒྲིག་ཆེད་འཕྲེད་གཞུང་གཉིས་སུ་སློབ་མ་གྲངས་མཉམ་ པ་གྲལ་བསྒྲིགས་པ་ཡིན་ན། སློབ་མ་ག་ཚོད་ལྷག་གི་རེད་དམ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གལ་ཏེ་རང་བྱུང་གྲངས་ m ནི་ n2 ལྟར་མཚོན་ཐུབ་པ་དང་། n ཡང་རང་བྱུང་གྲངས་ཡིན་ན། m ནི་ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་རེད།
༢། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཀྱི་གཅིག་གནས་སུ་ 0 ཡང་ན་ 1, 4, 5, 6, 9 ཁོ་ན་ཡོད། ༣། ཉིས་སྒྱུར་གྲངས་ཀྱི་མཐར་ཀླད་ཀོར་ཆ་གྲངས་ཡོད།
༤། ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ནི་ཉིས་སྒྱུར་རྩིས་ཐབས་ཀྱི་ལྡོག་ཕྱོགས་རེད།
༥། ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ལ་རིལ་གྲངས་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་གཉིས་རེ་ཡོད། ཉིས་སྒྱུར་གཞི་ཕོ་ཡི་མཚོན་ རྟགས་ནི་
རེད། དཔེར་ན། 42 = 16 དེ་ནི། 16 = 4
53
སུམ་སྒྱུར་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི། སློབ་ཚན་བཞི་པ།
༤་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སློབ་ཚན་གོང་མར་ང་ཚོས་ཉིས་སྒྱུར་དང་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་སྦྱངས་ཟིན་པ་ཡིན།
སློབ་ཚན་འདིར་སུམ་སྒྱུར་དང་
སུམ་སྒྱུར་གཞི་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ཐོག་མར་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་དང་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་འགྲེལ་བརྗོད་བྱ་རྒྱུ་དང་། སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཀྱི་དཔེ་འགྲོས་འགའ། སུམ་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་སྟངས་བཅས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༤་༢ སུམ་སྒྱུར་གྲངས་དང་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས། Cube numbers and perfect cube numbers
གྲངས་ 1, 8, 27, ... ལ་ཆ་ཞོག གྲངས་འདི་དག་ལ་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་ཡང་ན་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་ཟེར། གྲངས་ དེ་དག་ནི་གྲངས་རང་ཉིད་རང་སྒྱུར་ཐེངས་གསུམ་བྱས་ཏེ་གྲུབ་པ་རེད།
འདིར། 1 = 1 × 1 × 1 = 13; 8 = 2 × 2 × 2 = 23; 27 = 3 × 3 × 3 = 33 གཤམ་གསལ་ནི་གྲངས་ ༡ ནས་ ༡༠ བར་གྱི་སུམ་སྒྱུར་རེད། གྲངས། 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
54
རེའུ་མིག་ ༤་༡
སུམ་སྒྱུར།
13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 63 = 73 = 83 = 93 = 103 = 1000
སུམ་སྒྱུར་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི། གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། གྲངས་ 1 ནས་ 1000 བར་དུ་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་བཅུ་ལས་མེད་པ་གསལ་པོ་ རེད། 1 ནས་ 100 བར་དུ་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ག་ཚོད་འདུག་གམ། གཤམ་གསལ་གྲངས་ 11 ནས་ 20 བར་གྱི་སུམ་སྒྱུར་ལ་ལྟོས་དང་། གྲངས།
རེའུ་མིག་ ༤་༢
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
སུམ་སྒྱུར།
113 = 1331 123 = 1728 133 = 2197 143 = 2744 153 = 3375 163 = 4096 173 = 4913 183 = 5832 193 = 6859 203 = 8000
རེའུ་མིག་ ༤་༡ དང་རེའུ་མིག་ ༤་༢ ལས།
• ཆ་གྲངས་ཤིག་གི་སུམ་སྒྱུར་ནི་ཆ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་ཡ་གྲངས་ཤིག་གི་སུམ་སྒྱུར་ནི་ཡ་གྲངས་རེད།
དཔེར་ན། ཆ་གྲངས་ 43 = 64 དང་ 103 = 1000 དང་། ཡ་གྲངས་ 53 = 125 དང་ 173 = 4913
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 1, 4, 5, 6, 9 ཡོད་ན། གྲངས་དེའི་སུམ་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་ནི་གོ་ རིམ་བཞིན་ 1, 4, 5, 6, 9 རེད།
དཔེར་ན། 13 = 1, 43 = 64, 53 = 125, 163 = 4096, 193 = 6859
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 2 དང་ 8 ཡོད་ན། གྲངས་དེའི་སུམ་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་ནི་གོ་རིམ་ བཞིན་ 8 དང་ 2 རེད། དཔེར་ན། 23 = 8 དང་ 183 = 5832
• གྲངས་ཤིག་གི་གཅིག་གནས་སུ་ 3 དང་ 7 ཡོད་ན། གྲངས་དེའི་སུམ་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་ནི་གོ་རིམ་ བཞིན་ 7 དང་ 3 རེད། དཔེར་ན། 133 = 2197 དང་ 73 = 343 རེད།
༤་༣ དཔེ་འགྲོས། Patterns
ཡ་གྲངས་བསྟུད་མར་སྡོམ་པ། Adding consecutive odd numbers གཤམ་གྱི་ཡ་གྲངས་བསྟུད་མའི་སྡོམ་རྩིས་ལ་དོ་སྣང་གྱིས་དང་།
55
རྩིས་རིག 1 3 7 21
+
13
+
15
+ 9 + 17
23
+
25
+
27
+ 5 + 11 + 19
= = = =
1 8 27 64
= = = =
13 23 33 43
+
=
125
=
53
29
༤་༤ སུམ་སྒྱུར་དང་དེའི་བགོད་གྲངས། Cubes and their prime factors གཤམ་གསལ་གྲངས་དང་གྲངས་དེ་དག་གི་སུམ་སྒྱུར་རྒྱུ་གྲངས་སུ་བཀྲོལ་བ་ལ་ལྟོས་དང་།
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
སུམ་སྒྱུར་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
4=2×2
43 = 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 23 × 23
6=2×3
63 = 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 23 × 33
12 = 2 × 2 × 3
123 = 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 23 × 23 × 33
15 = 3 × 5
153 = 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 = 33 × 53
འདིར། གྲངས་ཀྱི་རྒྱུ་གྲངས་ཚང་མ་དེའི་སུམ་སྒྱུར་ནང་རེ་རེ་བཞིན་ཐེངས་གསུམ་འཆར་གྱི་ཡོད། དེར་བརྟེན། སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་ཤིག་རྒྱུ་གྲངས་སུ་འགྲོལ་སྐབས། རྒྱུ་གྲངས་རེ་རེ་བཞིན་ཐེངས་གསུམ་རེ་ཡོང་གི་ཡོད། 216 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ།
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་ལས།
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 23 × 33
= 63 ནི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད།
དེ་བཞིན། 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 33 × 33 = 93 ཡིན་པས་ སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད། 500 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ།
500 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲལ་ན། 500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 22 × 53
2 2 2 3 3 3
216 108 54 27 9 3 1
འདིར། 2 ནི་ཐེངས་གཉིས་ལས་མེད་པས་ 500 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན། རྩིས་དཔེ། ༡ 198 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ། ལན།
56
198 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 23 × 23 × 2
འདིར་། རྒྱུ་གྲངས་ 2 ནི་ཐེངས་གསུམ་གྱི་ཚོ་ཁག་བཟོ་མི་ཐུབ་པས། 198 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན།
སུམ་སྒྱུར་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི། རྩིས་དཔེ། ༢ 392 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ། གལ་ཏེ་མིན་ཚེ། དེར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་བསྒྱུར་ ལན།
ན། དེའི་ཐོབ་གྲངས་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་འཐོབ་བམ།
392 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 = 23 × 72
འདིར། རྒྱུ་གྲངས་ 7 ནི་ཐེངས་གསུམ་གྱི་ཚོ་ཁག་བཟོ་མི་ཐུབ་པས། 392 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་ མིན།
དེ་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་བཟོ་བར། ང་ཚོས་གྲངས་དེ་ 7 གྱིས་བསྒྱུར་དགོས།
དེ་ནི། 392 × 7 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7 = 2744 ནི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད། དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 7 རེད།
རྩིས་དཔེ། ༣ 1188 སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད་དམ། གལ་ཏེ་མིན་ཚེ། དེར་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་བགོས་ ལན།
ན། དེའི་ཐོབ་གྲངས་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་འཐོབ་བམ།
1188 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 11
འདིར། རྒྱུ་གྲངས་ 2 དང་ 11 གཉིས་ཐེངས་གསུམ་གྱི་ཚོ་ཁག་ནང་བཟོ་མི་ཐུབ་པས་ 1188 ནི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན། བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་སྐབས། རྒྱུ་གྲངས་ 2 ཐེངས་གཉིས་དང་རྒྱུ་ གྲངས་ 11 ཐེངས་གཅིག་ཡོད།
དེར་བརྟེན། 1188 དེ་ 2 × 2 × 11 = 44 ཡིས་བགོས་ན། བགོད་གྲངས་ནང་ 2 དང་ 11 མེད་པ་ཆགས་ཀྱི་རེད།
དེ་ནི། 1188 ÷ 44 =
2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 11 =3×3×3 2 × 2 × 11
དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 44 རེད།
རྩིས་དཔེ། ༤ 68600 གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་བསྒྱུར་ན། སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་འཐོབ་བམ། ལན།
68600 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7
འདིར། རྒྱུ་གྲངས་ 5 ནི་ཐེངས་གཉིས་ལས་མེད་པས་ 68600 ནི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན། དེ་ སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་བཟོ་བར། གྲངས་དེ་ལ་ 5 ཡིས་བསྒྱུར་དགོས།
དེ་ནི། 68600 × 5 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 343000 ནི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད།
དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་གྲངས་ཆུང་ཤོས་ནི་ 5 རེད།
57
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན་ ༤་༡
༡། གཤམ་གསལ་ལས་གང་དག་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་མིན་ནམ། (ཀ) 100
(ཁ) 1000
(ག) 216
(ང) 128
(ཅ) 46656
༢། གཤམ་གསལ་ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་བསྒྱུར་ན། སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་འཐོབ་བམ། (ཀ) 72
(ཁ) 100
(ག) 243
(ང) 256
(ཅ) 675
༣། གཤམ་གསལ་ལ་གྲངས་ཆུང་ཤོས་གང་ཞིག་གིས་བགོས་ན། སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་འཐོབ་བམ། (ཀ) 81
(ཁ) 128
(ག) 135
(ང) 192
(ཅ) 704
༤། དོན་གྲུབ་རྒྱལ་གྱིས་སྦྱར་འདམ་གྱི་མཐའ་ 5 cm དང་། 2 cm, 5 cm ཅན་གྱི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཤིག་བཟོས་ པ་རེད། གྲུ་ནར་དེ་ཤོ་གཟུགས་བཟོ་བར་ཁོང་ལ་གྲུ་ནར་གཟུགས་དེ་འདྲ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༤་༥ སུམ་སྒྱུར་གཞི། Cube roots
བོངས་ཚད་ 125 cm3 ཡིན་པའི་ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་རིང་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ། ཤོ་གཟུགས་ཀྱི་རིང་ཚད་འཚོལ་ བར་ང་ཚོས་ 125 ཡི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཡིན་པའི་གྲངས་དེ་འཚོལ་དགོས།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཤེས་གསལ་ལ་ཉིས་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ་ནི་ཉིས་སྒྱུར་གཏོང་བའི་རྩིས་ཐབས་ལྡོག་པ་རེད། དེ་བཞིན། སུམ་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ་ནི་སུམ་སྒྱུར་གཏོང་བའི་རྩིས་ཐབས་ལྡོག་པ་རེད།
དཔེར་ན། 23 = 8, དེ་ནི། 8 ཀྱི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ནི་ 2 རེད། ང་ཚོས་ 3 8 = 2 ལྟར་འབྲི་བ་དང་། རྟགས་
ཡིས་སུམ་སྒྱུར་གཞི་མཚོན་གྱི་ཡོད། གཤམ་གསལ་ལ་ལྟོས་དང་། སུམ་སྒྱུར། 13 = 1
སུམ་སྒྱུར་གཞི། 3
1 =1
63 = 216
3
8 =2
23 = 8
སུམ་སྒྱུར་གཞི། 3
216 = 6
73 = 343
3
343 = 7
33 = 27
3
27 = 3
83 = 512
3
512 = 8
43 = 64
3
64 = 4
93 = 729
3
729 = 9
125 = 5
103 = 1000
53 = 125
58
སུམ་སྒྱུར།
3
3
1000 = 10
3
སུམ་སྒྱུར་དང་སུམ་སྒྱུར་གཞི།
༤་༦ སུམ་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ། Finding cube root
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་སྤྱད་དེ་ 9261 གི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བ། 9261 = 3 × 3 × 3 × 7 × 7 × 7 = 33 × 73 = (3 × 7)3 དེར་བརྟེན། 9261 གི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ = 3 9261 = 3 × 7 = 21 རྩིས་དཔེ། ༥ 8000 གི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། ལན།
རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲལ་ན།
8000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
དེར་བརྟེན། 3 8000 = 2 × 2 × 5 = 20
སུམ་སྒྱུར་གཞི་འཚོལ་བར་ཐབས་ལམ་གཞན།
རྩིས་དཔེ། ༦ ཚོད་དཔག་བྱས་ཏེ་ 17576 ཡི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། ལན།
སྤྲད་ཟིན་པའི་གྲངས་ནི་ 17576 རེད།
གོམ་པ་ ༡། གཅིག་གནས་ནས་འགོ་བཙུགས་ཏེ་གྲངས་གནས་གསུམ་རེའི་ཚོ་ཁག་ལ་གོང་ཐིག་རྒྱོབ།
དེ་ནི། 17 576 འདིར། 576 གི་ཚོ་ཁག་ནང་གྲངས་གནས་གསུམ་ཡོད་པ་དང་། 17 ནང་ གྲངས་གནས་གཉིས་ལས་མེད།
གོམ་པ་ ༢། ཚོ་ཁག་དང་པོ་ (དེ་ནི། 576) ཡིས་དགོས་མཁོའི་སུམ་སྒྱུར་གཞིའི་གཅིག་གནས་གྲངས་སྤྲོད་ཀྱི་
ཡོད། གྲངས་ 576 གི་གཅིག་གནས་གྲངས་ནི་ 6 རེད། དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་སུམ་སྒྱུར་ གཞིའི་གཅིག་གནས་ 6 རེད།
གོམ་པ་ ༣། ཚོ་ཁག་གཞན་དེ་བླངས། དེ་ནི། 17
2 ཀྱི་སུམ་སྒྱུར་ནི་ 8 དང་། 3 གྱི་སུམ་སྒྱུར་ནི་ 27 རེད། དེར་བརྟེན། 17 ནི་ 8 དང་ 27 གྱི་ དབར་ལ་ཡོད།
2 དང་ 3 ལས་ 2 ཆུང་བ་ཡིན་པས། 17576 གི་སུམ་སྒྱུར་གཞིའི་བཅུ་གནས་ 2 རེད།
དེར་བརྟེན། 3 17576 = 26 (བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ།)
59
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན་ ༤་༢
༡། རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲལ་ཏེ་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། (ཀ) 64
(ཅ) 15625
(ཏ) 110592
(ཁ) 512
(ཆ) 27000
(ཐ) 175616
(ག) 10648
(ཇ) 46656
༢། གཤམ་གྱི་རྩིས་བརྗོད་རྣམས་བདེན་པ་ཡིན་མིན་རྟགས་རྒྱོབ།
(ང) 13824
(ཉ) 91125
(ཀ) ཡ་གྲངས་ཀྱི་སུམ་སྒྱུར་ནི་ཆ་གྲངས་རེད།
(ཁ) སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གི་མཐར་ཀླད་ཀོར་གཉིས་ནམ་ཡང་མི་འབྱུང་།
(ག) གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་གི་ཉིས་སྒྱུར་གྱི་གཅིག་གནས་ 5 ཡིན་ན། གྲངས་དེའི་སུམ་སྒྱུར་གྱི་མཐར་ 25 རེད།
(ང) གཅིག་གནས་ 8 ཅན་གྱི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་གྲངས་མེད།
(ཅ) གྲངས་གནས་གཉིས་ཅན་གྱི་སུམ་སྒྱུར་ནི་གྲངས་གནས་གསུམ་ཅན་ཞིག་ཡིན་སྲིད།
(ཆ) གྲངས་གནས་གཅིག་ཅན་གྱི་སུམ་སྒྱུར་ནི་གྲངས་གནས་གཅིག་ཅན་ཞིག་ཡིན་སྲིད།
༣། 1331 ནི་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད། ཁྱེད་ཀྱིས་བགོད་གྲངས་ལ་མ་བཀྲལ་པར་དེའི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ། དེ་བཞིན། 4913, 12167, 32768 བཅས་ཀྱི་སུམ་སྒྱུར་གཞི་ཚོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གྲངས་ཤིག་རང་སྒྱུར་ཐེངས་གསུམ་བྱས་ཏེ་གྲུབ་པའི་ཐོབ་གྲངས་དེ་ལ་སུམ་སྒྱུར་གྲངས་ཟེར། དཔེར་ན། 1, 8, 27, 64, ... སོགས།
༢། གལ་ཏེ་གྲངས་ཤིག་རྒྱུ་གྲངས་སུ་བཀྲལ་སྐབས། རྒྱུ་གྲངས་རྣམས་ཐེངས་གསུམ་རེ་འབྱུང་གི་ཡོད་ན། གྲངས་དེ་སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག་རེད།
༣། རྟགས་
60
3
ཡིས་སུམ་སྒྱུར་གཞི་མཚོན་གྱི་ཡོད། དཔེར་ན། 3 125 = 5
སྟོན་གྲངས། སློབ་ཚན་ལྔ་པ།
༥་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
སའི་གོ་ལའི་གདོས་ཚད་ནི་ 5, 970, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 kg རེད།
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་དེ་འདྲ་བའི་གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་སྟོན་གྲངས་བེད་
སྤྱད་དེ་སྟབས་བདེ་པོར་འབྲི་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད།
དཔེར་ན། སའི་གོ་ལའི་གདོས་ཚད་ = 5.97 × 1024 kg
ང་ཚོས་ 1024 ནི་ 10 ཐེངས་ཉི་ཤུ་རྩ་བཞི་ལྟར་ཀློག་དགོས། 3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། 5
3m = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × ... ( ཐེངས་ m)
3−2 ག་ཚོད་རེད་དམ།
སྟོན་གྲངས།
1024 ཞབས།
1024 = 10 ཐེངས་ ཉི་ཤུ་རྩ་བཞི།
༥་༢ སྟོན་གྲངས་མོ་ཡིན་པའི་ཐེངས་གྲངས། Powers with negative exponents དཔེ་མཚོན།
102 = 10 × 10 = 100 100 སྟོན་གྲངས་ 1 གིས་ཉུང་དུ་འགྲོ་སྐབས་ 101 = 10 = 10 དེ འི ་ ཐང་ནི ་ གོ ང ་གི ་ ཐང་གི ་ བཅུ་ཆ་ 10 100 = 1 = གཅིག་ཆགས་ཀྱི་ཡོད། 10 10−1 = ? 1 གོང་གི་དཔེ་འགྲོས་མུ་མཐུད་ན། 10−1 = 10 1 1 1 1 1 དེ་བཞིན། 10−2 = ÷ 10 = × = = 2 10 10 10 100 10 1 1 1 1 1 1 10−3 = ÷ 10 = × × = = 3 100 10 10 10 1000 10 10−10 ག་ཚོད་རེད་དམ།
61
རྩིས་རིག གཤམ་གསལ་ལ་ཆ་ཞོག
33 = 3 × 3 × 3 = 27 27 32 = 3 × 3 = 9 = 3 9 1 3 =3= 3 3 30 = 1 = 3 གོང་གི་དཔེ་འགྲོས་མུ་མཐུད་ན། 3−1 = 1 ÷ 3 = 1 3 1 1 1 3−2 = ÷ 3 = = 2 3 3×3 3 1 1 1 3−3 = 2 ÷ 3 = = 3 3 3×3×3 3 མཆན།
10−2 =
1 102
1 103 1 3−2 = 2 3 10−3 =
ཡང་ན།
ཡང་ན།
ཡང་ན།
ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ a ལས། a− m =
ཡི་ལོག་གྲངས་རེད།
102 =
1 10−2
1 10−3 1 32 = −2 3 103 =
1 − m ནི་ am m འདིར། m ནི་རིལ་གྲངས་ཕོ་ཡིན་པ་དང་། a a
༥་༣ སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས། Laws of exponents
ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ a ལས། am × an = am + n དང་། m དང་ n གཉིས་རང་བྱུང་གྲངས་རེད། གལ་ཏེ་སྟོན་གྲངས་མོ་ཡིན་ན་ཁྲིམས་དེ་གནས་ཀྱི་ཡོད་དམ།
1 1 དང་ 2−2 = 2 3 2 2 1 1 1 1 1 དེར་བརྟེན། 2−3 × 2−2 = 3 × 2 = 3 2 = 3 + 2 = 5 = 2−5 2 2 2 ×2 2 2
(༡) 2−3 =
(༢) (− 3)−4 × (− 3)−3
62
སྟོན་གྲངས། (− 3)−4 × (− 3)−3 = (༣) 7−2 × 74
7−2 × 74 =
1 1 1 1 × = = = (− 3)−7 4 3 4 3 4+3 (− 3) (− 3) (− 3) × (− 3) (− 3)
1 74 4 × 7 = = 74 − 2 = 72 72 72
(༤) (− 7)−4 × (− 7)2
(− 7)2 1 1 2 (− 7) × (− 7) = × (− 7) = = 4 4 4 (− 7) (− 7) × (− 7)−2 (− 7) −4
2
=
1 1 = = (− 7)−2 4−2 (− 7) (− 7)2
ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་ a ལས། am × an = am + n འདིར། m དང་ n ནི་རང་བྱུང་གྲངས་རེད།
རྩིས་དང་།
སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) (− 2)−3 × (− 2)−4
(ཁ) p3 × p−10
(ག) 5−6 × 53
(ང) 32 × 3−3 × 36
མཆན། ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས་རྣམས་ལ་ཞིབ་བཤེར་བྱེད་ཐུབ། འདིར། a དང་ b ནི་ཀླད་
ཀོར་མིན་པའི་རིལ་གྲངས་དང་། m དང་ n ནི་རིལ་གྲངས་རེད། (༡)
(༤)
am m − n n = a a
(༢) (a m)n = a mn
((
am a m = bm b
(༥) a 0 = 1
(༣) a m × b m = (ab)m
གོང་གི་སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས་རྣམས་བེད་སྤྱད་དེ་དཔེ་མཚོན་འགའ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། རྩིས་དཔེ། ༡ ཐང་ཚོལ། (ཀ) 3−2
ལན།
(ཀ) 3−2 =
(ཁ)
1 1 = 32 9
(ཁ) 1 2−3
1 = 23 = 2 × 2 × 2 = 8 2−3
63
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༢ སྟབས་བསྡུས་བཟོས། ལན།
(ཀ) (− 2)5 × (− 2)−10
(ཁ) 75 ÷ 7−6
(ཀ) (− 2)5 × (− 2)−10 = (− 2)5 − 10 = (− 2)−5 = (ཁ) 75 ÷ 7−6 = (7)5 − (−6) = 711
1 (− 2)5 (am × an = am + n, a−m = (am ÷ an = am − n)
རྩིས་དཔེ། ༣ 4−3 ནི་ཞབས་ 2 ཡིན་པའི་ཐེངས་གྲངས་ཐོག་མཚོན།
ལན།
4−3 = (2 × 2)−3 = (22)−3 = 2−6
རྩིས་དཔེ། ༤ སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་སྟོན་གྲངས་ཐོག་མཚོན། (ཀ) (25 ÷ 28)5 × 2−5
ལན།
1 (ག) × (3)−3 8
1 ) am
[(am)n = amn]
(ཁ) (− 4)−3 × (5)−3 × (− 5)−3
((
54 (ང) (− 3) × 3 4
1 220 1 (ཁ) (− 4)−3 × (5)−3 × (− 5)−3 = [(− 4) × (5) × (− 5)]−3 = (100)−3 = 1003 1 [am × bm = (ab)m, a−m = m ] a 1 1 1 (ག) × (3)−3 = 3 × (3)−3 = 2−3 × 3−3 = 6−3 = 3 2 6 8
(ཀ) (25 ÷ 28)5 × 2−5 = (25 − 8)5 × 2−5 = (2−3)5 × 2−5 = 2−15 − 5 = 2−20 =
((
54 54 54 (ང) (− 3) × = (− 1 × 3)4 × 4 = (− 1)4 × 34 × 4 = (− 1)4 × 54 = 54 3 3 3 4
རྩིས་དཔེ། ༥ 163m = 325m − 13 ཡིན་ན་ m ཚོལ། ལན།
163m = (32)5m − 13
(24)3m = (25)5m − 13 212m = 225m − 65
མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ཐེངས་གྲངས་ལ་ཞབས་གཅིག་པ་ཡོད་པས།
64
[(am)n = amn] ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་
སྟོན་གྲངས། སྟོན་གྲངས་ཡང་གཅིག་པ་རེད།
དེར་བརྟེན། 12m = 25m − 65
65 = 25m − 12m 65 = 13m m=5
རྩིས་དཔེ། ༦ སྟབས་བསྡུས་བཟོས།
(( (( [( ( ( ( ] ( ( (ཀ) [ ( 1 ( − ( 1 ( ] ÷ ( 1 ( = { 1 − 1 } ÷ 1 2 4 3 3 2 4 1 3 2 4 = { − } ÷ = {9 − 8} ÷ 16 = 16 1 1 1 1 − 3 1 − 2 1 − 2 − ÷ 2 4 3
(ཀ)
ལན།
− 2
− 3
− 2
−2
− 7 − 5 (ཁ) 5 × 8 8 5
−2
−3
−2
−3
−2
2
3
2
2
3
2
(( ((
− 7 − 5 −7 −5 −7 −5 (ཁ) 5 × 8 = 5−7 × 8−5 = 5−5 × 8−7 = 5(−7) − (−5) × 8(−5) − (−7) 8 5 5 8 5 8
82 64 =5 ×8 = 2= 5 25 −2
༡། ཚོལ།
(ཀ) 3
2
སྦྱོང་ཚན་ ༥་༡ (ཁ) (− 4)
−2
−2
༢། སྟབས་བསྡུས་བཟོས་ཏེ་ཐོབ་འབྲས་སྟོན་གྲངས་ཕོའི་ནང་མཚོན། (ཀ) (− 4) ÷ (− 4) 5
8
( (
2 (ཁ) 13 2
(ང) (3−7 ÷ 3−10) × 3−5
(ཅ) 2−3 × (−7)−3
(ཀ) (3 + 4 ) × 2
(ཁ) (2 × 4 ) ÷ 2
༣། གཤམ་གྱི་ཐང་ཚོལ། 0
−1
2
(ང) (3−1 + 4−1 + 5−1)0
−1
(ཅ)
−1
{( ( } −2 −2 3
2
−2
((
1 −5 (ག) 2
((
54 (ག) (− 3) × 3 4
(( (( ((
1 −2 1 −2 1 −2 (ག) + + 2 3 4
65
རྩིས་རིག ༤། སྟབས་བསྡུས་བཟོས།
−1 3 (ཀ) 8 × 5 2−4 1 − 1 1 − 1 (ག) − 4 3
{( ( ( ( }
(ཁ) (5−1 × 2−1) × 6−1
(( ((
− 1
༥། 5m ÷ 5−3 = 55 ཡིན་ན་ m ཡི་ཐང་ཚོལ།
༦། སྟབས་བསྡུས་བཟོས། (ཀ)
25 × t −4 (t ≠ 0) 5−3 × 10 × t −8
5 − 7 8 − 4 (ང) × 8 5
−5 −5 (ཁ) 3 × 10 × 125 5−7 × 6−5
༥་༤ གྲངས་ཆུང་ངུ་རྣམས་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན་པར་སྟོན་གྲངས་བེད་སྤྱད་པ། Use of exponents to express small numbers in standard form གཤམ་གསལ་བརྗོད་པ་རྣམས་ལ་དོ་སྣང་གྱིས་དང་།
༡། འཛམ་གླིང་ནས་ཉི་མ་བར་གྱི་བར་ཐག་ནི་ 149,600,000,000 m རེད།
༢། འོད་ཀྱི་མགྱོགས་ཚད་ནི་ 300,000,000 m/sec རེད།
༣། མིའི་སྐྲའི་མཐུག་ཚད་ནི་ 0.005 cm ནས་ 0.01 cm གི་ཁྱབ་ཚད་ལ་ཡོད། ༤། ཤོག་ལྷེབ་ཀྱི་མཐུག་ཚད་ནི་ 0.0016 cm རེད།
༥། སྒྲ་སྙན་གྱི་རྒྱུད་སྐུད་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་ནི་ 0.0002 m རེད།
གོང་གི་བརྗོད་པའི་ནང་གྲངས་ཆེན་པོ་འགའ་ 149,600,000,000 m ལྟར་ཡོད་པ་དང་གྲངས་ཧ་ཅང་ཆུང་ ངུ་འགའ་ 0.000508 m ལྟར་ཡོད།
འཛིན་རིམ་བདུན་པར་ང་ཚོས་གྲངས་ཆེན་པོ་རྣམས་ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད། དཔེར་ན། 149,600,000,000 = 1.496 × 1011
0.0002 m ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན་པ་ཡིན་ན།
2 2 = 4 = 2 × 10−4 10000 10
0.0002 =
0.0002 m = 2 × 10−4 m
དེ་མཚུངས། ཤོག་ལྷེབ་ཀྱི་མཐུག་ཚད་ 0.0016 cm ལ་ཆ་ཞོག 0.0016 =
66
16 1.6 × 10 = = 1.6 × 10 × 10−4 = 1.6 × 10−3 4 10000 10
སྟོན་གྲངས། རྩིས་དཔེ། ༧ ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་བྲིས། ལན།
(ཀ) 0.0000021
(ཁ) 40500000
(ཀ) 0.0000021 = 2.1 × 10−6
(ཁ) 40500000 = 4.05 × 107
རྩིས་དཔེ། ༨ གཤམ་གསལ་གྲངས་རྣམས་སྤྱིར་བཏང་གི་རྣམ་པར་བྲིས། ལན།
(ཀ) 3.52 × 105
(ཁ) 7.54 × 10−4
(ག) 3 × 10−5
(ཀ) 3.52 × 105 = 3.52 × 100000 = 352000 (ཁ) 7.54 × 10−4 = 7.54 × = (ག) 3 × 10−5 =
༡། ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པར་མཚོན།
(ཀ) 0.0000000000085
3 3 = 0.00003 5 = 10 100000
(ང) 6020000000000000
༢། སྤྱིར་བཏང་གི་རྣམ་པར་བྲིས། (ཀ) 3 × 10−8
(ང) 5.8 × 1012
7.54 7.54 = 0.000754 4 = 10 10000
སྦྱོང་ཚན་ ༥་༢ (ཁ) 0.00000000837 mm (ཅ) 31860000000 kg
(ག) 0.00000000000942
(ཁ) 4.5 × 104
(ག) 3.02 × 10−6
(ཅ) 1.0001 × 109
(ཆ) 3.61492 × 106
༣། ཕུང་གསོག་ཅིག་གི་ནང་མཐུག་ཚད་ 20 mm རེ་ཡིན་པའི་དེབ་ 5 དང་མཐུག་ཚད་ 0.016 mm རེ་ ཡིན་པའི་ཤོག་ལྷེབ་ 5 ཡོད། ཕུང་གསོག་དེའི་མཐུག་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༡། སྟོན་གྲངས་ཀྱི་ཁྲིམས།
(ཀ) am × an = am + n
(ང) am × bm = (ab)m
དྲན་གསོ་གྱིས།
(ཁ) am ÷ an = am − n
(ཅ) a0 = 1
༢། སྟོན་གྲངས་བེད་སྤྱད་དེ་གྲངས་ཆུང་ངུ་རྣམས་ཚད་ལྡན་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ།
(ག) (am)n = amn am a m (ཆ) m = b b
((
67
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། སློབ་ཚན་དྲུག་པ།
༦་༡ མ་སྐྱེད་རྐྱང་པའི་དྲན་གསོ། Recalling simple interest
དངུལ་བུན་གཡར་བའི་འབབ་ལ་སྐྱེད་ཀ་ཟེར། སྐྱེད་ཀ་ནི་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པའམ་ (simple interest) ཡང་ན་ མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ (compound interest) ཡིན་སྲིད། བུ་ལོན་གཡར་བའི་དུས་ཡུན་ཆ་ཚང་རིང་མ་དངུལ་
ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་མེད་ན། དེའི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ཟེར། མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ =
P×R×T 100
འདིར། P = མ་དངུལ། (དངུལ་བུན།) R = སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། T = དུས་ཡུན།
དུས་ཡུན་ངེས་ཅན་རྗེས་ཕྱིར་སློག་བྱས་པའི་བསྡོམས་འབོར་དེ་ལ་དངུལ་འབོར་ (amount) ཟེར། དངུལ་འབོར་ = མ་དངུལ་ + སྐྱེད་ཀ
རྩིས་དཔེ། ༡ བཀྲ་ཤིས་རྒྱལ་གྱིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 9 % ཐོག་དངུལ་ཁང་ནས་ ` 100000 བུ་ལོན་ ལན།
བླངས་ཡོད། ལོ་ 3 རྗེས་ཁོས་སྐྱེད་ཀ་དང་དངུལ་འབོར་སྤྲོད་དགོས་པ་ཚོལ། P = ` 100000, R = 9 %, T = ལོ་ 3
མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ (SI) =
P × R × T 100000 × 9 × 3 = = ` 27000 100 100
དངུལ་འབོར་ (A) = P + I = 100000 + 27000 = ` 127000
རྩིས་དཔེ། ༢ ཐུབ་བསྟན་གྱིས་རང་གི་གྲོགས་པོ་ནས་ ` 5000 བུ་ལོན་ལེན་པ་རེད། ཁོས་ལོ་ 2 རྗེས་ ` 5800 ཕྱིར་ལོག་བྱ་བར་ཁས་ལེན་བྱས་པ་རེད། ཐུབ་བསྟན་གྱིས་རང་གི་གྲོགས་པོར་སྤྲད་པའི་སྐྱེད་ཀའི་ སྐོར་ཐང་ཚོལ།
68
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། ལན།
P = ` 5000, T = ལོ་ 2, A = ` 5800
སྐྱེད་ཀ = A − P = 5800 − 5000 = ` 800
སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། =
སྐྱེད་ཀ་ × 100 P×T
=
800 × 100 =8% 5000 × 2
དེར་བརྟེན། ཐུབ་བསྟན་གྱིས་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 8 % སྤྲད་པ་རེད།
༦་༢ མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། Compound interest
ངའི་ཨ་མ་ལགས་ཀྱིས་དངུལ་ཁང་དུ་ལོ་ 3 གྱི་རིང་དངུལ་བཅོལ་འཇོག་བྱས་ཡོད། ལོ་རེར་མ་དངུལ་འཕར་ནས་ལོ་སྔོན་མའི་མ་དངུལ་ལས་མང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
ང་ཚོས་དངུལ་བཅོལ་སྐབས། སྐྱེད་ཀ་ནི་གཅིག་མཚུངས་མ་གནས་པར་ཟླ་རེའམ་ཡང་ ན་ལོ་རེར་འཕར་བ་ཡང་ཡོད།
སྤྱིར་བཏང་སྐྱེད་ཀ་ནི་མ་དངུལ་གྱི་སྟེང་དུ་བརྩི་ཡི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། མ་དངུལ་དུས་ཚོད་ངེས་
ཅན་རྗེས་འཕར་བའི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ (compound interest or CI) ཟེར།
ང་ཚོས་དཔེ་མཚོན་ཞིག་བརྒྱུད་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་འཚོལ་སྟངས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
སྒལ ྲོ ་དབྱངས་ཀྱིས་ལོ་ 2 རིང་ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 8 % p.a. ཐོག་མ་དངུལ་ ` 200000
གཡར་བ་རེད། མོས་ལོ་ 2 རྗེས་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་དང་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ཚོལ། དེ་གཤམ་གསལ་གོམ་ པ་ལྟར་འཚོལ་དགོས།
༡། ཐོག་མར་ལོ་གཅིག་གི་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་འཚོལ་དགོས། ལོ་དང་པོའི་མ་དངུལ་ནི་ P1 ཡིས་མཚོན། འདིར། P1 = ` 200000 SI1 =
200000 × 8 × 1 = ` 16000 100
༢། ལོ་དང་པོའི་དངུལ་འབོར་ = P1 + SI1
= ` 200000 + ` 16000 = ` 216000 = P2 (འདི་ནི་ལོ་གཉིས་པའི་མ་དངུལ་ཆགས་ཀྱི་ཡོད།)
69
རྩིས་རིག ༣། SI2 =
216000 × 8 × 1 = ` 17280 100
༤། ལོ་གཉིས་རྗེས་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་ = P2 + SI2
= ` 216000 + ` 17280 = ` 233280
ལོ་གཉིས་ཀྱི་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ = ` 16000 + ` 17280
= ` 33280
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་བརྒྱུད་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་དང་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་གཉིས་དབར་གྱི་ཁྱད་པར་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། འདིར་མ་དངུལ་ ` 100.00 ནས་འགོ་བཙུགས་ཡོད།
ལོ་དང་པོ།
ལོ་གཉིས་པ།
ལོ་གསུམ་པ།
མ་དངུལ།
སྐྱེད་ཀ 10 %
ལོ་རྫོགས་མཚམས་ ཀྱི་དངུལ་འབོར། མ་དངུལ།
སྐྱེད་ཀ 10 %
མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། ` 100.00
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད།
` 10.00
` 10.00
` 110.00
` 110.00
` 100.00
` 110.00
` 10.00
` 11.00
ལོ་རྫོགས་མཚམས་ ཀྱི་དངུལ་འབོར། ` (110 + 10) = ` 120.00 མ་དངུལ།
སྐྱེད་ཀ 10 %
` 100.00
` (110 + 11) = ` 121.00
` 100.00
` 121.00
` 10.00
` 12.10
ལོ་རྫོགས་མཚམས་ ཀྱི་དངུལ་འབོར། ` (120 + 10) = ` 130.00 ` (121 + 12.10) = ` 133.10
ལོ་གསུམ་གྱི་ནང་། མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ = ` (130 − 100) = ` 30
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ = ` (133.10 − 100) = ` 33.10
མཆན། མ་སྐྱེད་རྐྱང་པའི་སྐབས་སུ་མ་དངུལ་གཏན་འཇགས་ཡིན་པ་དང་། མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་སྐབས་སུ་མ་དངུལ་ དུས་ཡུན་རེར་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
70
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད།
༦་༣ མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་འཚོལ་བའི་ཆོ་ག Formula for finding compound interest ང་ཚོས་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་བརྩི་བར་ཆོ་ག་བེད་སྤྱོད་བྱེད་ཐུབ། གཤམ་གྱི་ཆོ་ག་བྱུང་སྟངས་ལ་བལྟ་བར་བྱའོ།།
ལོ་རེར་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ R % p.a. ཐོག་གཡར་བའི་མ་དངུལ་ P1 ཡིན་པར་ཆ་ཞོག
P1 = ` 5000 དང་། R = ལོ་རེར་ 5 % p.a. ཡིན་པར་ཆ་ཞོག གཤམ་གསལ་གོམ་པ་ལྟར་བྱའོ།།
༡། SI = ` 500 × 5 × 1 1 100 A1 = ` 5000 +
(
500 × 5 × 1 100
= ` 5000 1 +
A1 = P1 + SI1 = P1 +
(
(
5 = P2 100
(
= P1 1 +
(
༢། SI = ` 5000 1 + 5 × 5 × 1 2 100 100 =`
(
5000 × 5 5 1+ 100 100
(
(
(
= P1 1 +
(
(
5000 × 5 5 5 +` 1+ 100 100 100
( 1005 ( (1 + 1005 ( 5 = ` 5000 ( 1 + ( = P 100
(
P1R 100
R = P2 100
P2 × R × 1 100
SI2 = `
(
= A2 = ` 5000 1 +
P1 × R × 1 100
SI1 = `
(
R R × 100 100
P1R R 1+ 100 100
(
(
A2 = P2 + SI2 = P1 +
P1R 100
R R R ( 100 ( + P 100 (1 + 100 ( R R = P (1 + ( (1 + ( 100 100 R = P (1 + ( = P 100
= ` 5000 1 +
= P1 1 +
2
3
1
1
2
1
3
འདི་ལྟར་མུ་མཐུད་བརྩིས་ན་ལོ་ n རྫོགས་མཚམས་ཀྱི་དངུལ་འབོར་ནི།
(
A n = P1 1 +
ཡང་ན།
(
R 100
A=P 1+
(
n
R 100
(
n
71
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༣ ` 12600 ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 10 % p.a. ཐོག་ལོ་ 2 ཀྱི་མ་སྐྱེད་བུ་ ལན།
སྐྱེད་ཚོལ།
མ་དངུལ་ (P) = ` 12600, སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ (R) = 10 %, དུས་ཡུན་ (n) = 2
(
R A=P 1+ 100
(
(
n
(
( (
10 2 11 = ` 12600 10 100 11 11 = ` 12600 × × = ` 15246 10 10 = ` 12600 1 +
2
CI = A − P = ` 15246 − ` 12600 = ` 2646
༦་༤ སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ལོ་གཅིག་གམ་ཡང་ན་ལོ་ཕྱེད་ཀར་ཕྱོགས་བསྡུས། Rate compounded annually or half yearly
སྐྱེད་ཀ་ནི་ལོ་གཅིག་རེའམ་ཡང་ན་ཟླ་བ་དྲུག་རེའམ་ཟླ་བ་གསུམ་རེར་བརྩི་སྲོལ་ཡོད།
དཔེར་ན། ` 100 ལོ་རེར་ལོ་གཅིག་གི་སྐྱེད་ཀ་དང་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་སྐྱེད་ཀ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འཚོལ་དགོས། P = ` 100,
P = ` 100,
ལོ་རེའི་ཕག ྱོ ས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ = 10 % p.a. ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ = 10 % p.a.
དུས་ཡུན་ནི་ལོ་གཅིག་རེད།
100 × 10 × 1 I=` = ` 10 100 A=P+I = ` 100 + ` 10 = ` 110
དུས་ཡུན་ནི་ཟླ་བ་ 6 ཡང་ན་ལོ་ I=`
100 × 10 × 100
1 2
1 རེད། 2
=`5
A = P + I = ` 100 + ` 5 = ` 105 དེ་ནས་ཟླ་བ་རྗེས་མ་ 6 གི་ P = ` 105 1 105 × 10 × 2 དེར་བརྟེན། I = ` = ` 5.25 100
A = ` 105 + ` 5.25 = `110.25
མཆན། ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐབས་ང་ཚོས་སྐྱེད་ཀ་ཐེངས་གཉིས་འཚོལ་གྱི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། དུས་ཡུན་ནི་ཉིས་ལྡབ་དང་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ཕྱེད་ཀ་ལེན་དགོས།
72
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། 1 རྩིས་དཔེ། ༤ ལོ་ 1 རིང་དངུལ་བུན་ ` 12000 གཡར་ན། ཟླ་དྲུག་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 10 % 2 p.a. ཐོག་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་སྤྲོད་དགོས་པ་ཚོལ། ལན།
མ་དངུལ་ = ` 12000
1 ལོ་ 1 ཡི་ནང་ལོ་ཕྱེད་ཀ་ 3 ཡོད། 2 དེར་བརྟེན། སྐྱེད་ཀ་ཐེངས་ 3 འཚོལ་དགོས།
མ་དངུལ་ = ` 12000
དུས་ཡུན་ = ཟླ་བ་ 6 = ལོ་
སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། = 10 % ཡི་ཕྱེད་ཀ = 5 %
(
A=P 1+
R 100
(
(
n
5 = ` 12000 1 + 100 = ` 12000 ×
(
3
21 21 21 × × 20 20 20
= ` 13891.50
1 6 = ལོ་ 2 12
སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ = 10 % I1 = `
12000 × 10 × 100
1 2
= ` 600
A1 = P1 + I1 = ` 12000 + ` 600 = ` 12600 = P2 I2 = `
12600 × 10 × 100
1 2
= ` 630
P3 = ` 12600 + ` 630 = ` 13230 I3 = `
13230 × 10 × 100
1 2
= ` 661.50
དངུལ་འབོར་ A = P + I
= ` 13230 + ` 661.50 = ` 13891.50
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་རྩིས་ཐབས་ལས་ཆོ་ག་བེད་སྤྱད་དེ་བརྩིས་ན་ལས་སླ་བ་ཡོད།
1 རྩིས་དཔེ། ༥ ` 10000 ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 8 % ཐོག་ལོ་ 1 དང་ཟླ་བ་ 3 རིང་ལ་ 2 མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ཚོལ།
ལན།
ཐོག་མར་ང་ཚོས་དུས་ཡུན་དེ་ལོའི་ནང་ཕབ་སྒྱུར་བྱེད་དགོས། ལོ་ 1 དང་ཟླ་བ་ 3 = ལོ་ 1
3 1 = ལོ་ 1 12 4
73
རྩིས་རིག
(
17 A = ` 10000 1 + 200
(
1
1 4
ཐེངས་གྲངས་གྲངས་ཆ་ཡིན་སྐབས། སྔོན་ལ་ཆ་ཤས་གང་ཚང་གི་དངུལ་འབོར་འཚོལ་དགོས། འདིར་ལོ་ 1 རེད། དངུལ་འབོར་དེ་ལོ་
སྤྱོད་བྱོས།
(
1 གི་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་འཚོལ་སྐབས་ཀྱི་མ་དངུལ་དུ་བེད་ 4
17 A = ` 10000 1 + 200
དེར་བརྟེན།
= ` 10000 ×
(
1
217 200
= ` 10850 དངུལ་འབོར་དེ་ལོ་ འཚོལ་དགོས།
1 1 གི་མ་དངུལ་ཆགས་ཀྱི་རེད། ` 10850 ལོ་ རིང་གི་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ 4 4
SI = ` =`
1 × 17 4 100 × 2
10850 ×
10850 × 1 × 17 800
= ` 230.56 ལོ་དང་པོའི་སྐྱེད་ཀ = ` 10850 − ` 10000 = ` 850 ལྷག་མ་ལོ་
1 གི་སྐྱེད་ཀ = ` 230.56 4
དེར་བརྟེན། མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ = ` 850 + ` 230.56 = ` 1080.56
༦་༥ མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ཀྱི་ཆོ་གའི་བེད་སྤྱོད། Application of compound interest formula རྩིས་དཔེ། ༦ ཕྱི་ལོ་ 2012 ལོར་གྲོང་སྡེ་ཞིག་གི་མི་འབོར་ནི་ 20000 རེད། ལོ་རེར་མི་འབོར་ 10 % ཡིས་ འཕེལ་གྱི་ཡོད། ཕྱི་ལོ་ 2015 རྫོགས་མཚམས་ཀྱི་མི་འབོར་ཚོལ།
74
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། ལན།
ལོ་རེར་མི་འབོར་ 10 % འཕར་གྱི་ཡོད་པས། ལོ་གསར་པ་རེ་ལ་མི་འབོར་གསར་པ་ཡོད་པས། ཕྱི་ལོ་ 2013 འགོ་འཛུགས་ཀྱི་མི་འབོར་ = 20000 10 % འཕར་བ་ =
10 × 20000 = 2000 100
ཕྱི་ལོ་ 2014 ལོའི་མི་འབོར་ = 20000 + 2000 = 22000 10 % འཕར་བ་ =
10 × 22000 = 2200 100
ཕྱི་ལོ་ 2015 ལོའི་མི་འབོར་ = 22000 + 2200 = 24200 10 % འཕར་བ་ =
10 × 24200 = 2420 100
ཕྱི་ལོ་ 2015 རྫོགས་མཚམས་ཀྱི་མི་འབོར་ = 24200 + 2420 = 26620
ཡང་ན།
(
ཕྱི་ལོ་ 2015 རྫོགས་མཚམས་ཀྱི་མི་འབོར་ = 20000 1 + = 20000 ×
10 100
(
3
11 11 11 × × 10 10 10
= 26620 དེར་བརྟེན། ཕྱི་ལོ་ 2015 རྫོགས་མཚམས་ཀྱི་མི་འབོར་ = 26620
རྩིས་དཔེ། ༧ ` 25000 ལ་བརྙན་འཕྲིན་ཞིག་ཉོས་པ་རེད། ལོ་གཅིག་གི་རྗེས་བརྙན་འཕྲིན་དེའི་རིན་ཐང་ 25 % ལན།
ཆག་པ་རེད། ལོ་གཅིག་གི་རྗེས་བརྙན་འཕྲིན་དེའི་གོང་ཚད་ཚོལ།
(
ལོ་གཅིག་རྗེས་ཀྱི་གོང་ཚད་ = P 1 − R 100
(
(
n
5 = ` 25000 1 − 100 = ` 25000 ×
(
1
19 20
= ` 23750 སྐབས་འདིར་བརྙན་འཕྲིན་གྱི་གོང་ཚད་ཆག་གི་ཡོད་པས། ཆོ་གའི་ནང་ (−R) སྤྱོད་དགོས།
75
རྩིས་རིག རྩིས་དང་།
༡། ` 20500 ཡིན་པའི་ལག་ཐོགས་ཁ་པར་ཞིག་གི་རིན་ཐང་ 20 % ཆག་པ་རེད། ལོ་གཅིག་རྗེས་ཁ་པར་ དེའི་གོང་ཚད་ཚོལ། ༢། གྲོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་མི་འབོར་འབུམ་ 12 རེད། གལ་ཏེ་ལོ་རེར་མི་འབོར་ 4 % འཕར་གྱི་ཡོད་ན། གྲོང་ ཁྱེར་དེའི་ལོ་གཉིས་རྗེས་ཀྱི་མི་འབོར་ཚོལ།
སྦྱོང་ཚན་ ༦་༡
༡། གཤམ་གསལ་གྱི་དངུལ་འབོར་དང་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ཚོལ།
(ཀ) ` 7500 ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 4 % ཐོག་ལོ་ 2 རིང་། 1 (ཁ) ` 18000 ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 10 % ཐོག་ལོ་ 2 རིང་། 2 (ག) ` 8000 ལོ་རེར་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀ་ 9 % ཐོག་ལོ་ 1 རིང་།
(ང) ` 10000 ལོ་རེར་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀ་ 8 % ཐོག་ལོ་ 1 རིང་། 1 (ཅ) ` 62500 ལོ་རེར་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀ་ 8 % ཐོག་ལོ་ 1 རིང་། 2 ༢། དཔལ་ཡོན་གྱིས་འཁྱགས་སྒམ་ཉོ་ཆེད་དངུལ་ཁང་ནས་ལོ་རེར་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 15 % ཐོག་ དངུལ་བུན་ ` 26400 གཡར་བ་རེད། ལོ་ 2 དང་ཟླ་བ་ 4 ཡི་རྗེས་ཁོས་དངུལ་བུན་སེལ་བར་དངུལ་འབོར་
སྤྲོད་དགོས་པ་ཚོལ། (བརྡ་སྟོན། ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་ཐོག་ལོ་ 2 ཀྱི་དངུལ་འབོར་བཙལ་ཏེ། ལོ་ 4 རིང་གི་ SI འཚོལ།) 12
༣། ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་ ` 12500 ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 12 % ཐོག་ལོ་ 3 རིང་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་སྤད ྲོ ་རྒྱུར་
གཡར་ཡོད་པ་དང་། ཚེ་དཔག་གིས་མ་དངུལ་དེ་ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 10 % ཐོག་ལོ་
3 རིང་གཡར་ཡོད་པ་རེད། ཁོང་གཉིས་ལས་སུས་སྐྱེད་ཀ་མང་བ་དང་ག་ཚོད་ཀྱིས་མང་བ་སྤྲོད་དགོས་སམ། ༤། ངས་རྡོ་རྗེ་ལས་ ` 12000 མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 6 % ཐོག་ལོ་ 2 རིང་གཡར་བ་
ཡིན། གལ་ཏེ་ངས་མ་དངུལ་དེ་ལོ་རེར་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 6 % ཐོག་གཡར་བ་ཡིན་ན། ངས་
དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་ཀྱིས་མང་བ་སྤྲོད་དགོས་སམ།
༥། ཀུན་དགའ་ཡིས་མ་དངུལ་ ` 60000 ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 12 % ཐོག་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་ སུ་མ་འཇོག་བྱས་པ་རེད། ཁོང་ལ། (ཀ) ཟླ་བ་ 6 དང་།
(ཁ) ལོ་ 1 གི་རྗེས་དངུལ་འབོར་ག་ཚོད་ཐོབ་པ་ཚོལ།
76
མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། ༦། འབྲུག་ཚེ་རིང་གིས་དངུལ་ཁང་ནས་ ` 80000 བུ་ལོན་ལེན་པ་རེད། གལ་ཏེ་ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 1 ནི་ 10 % དང་། ལོ་ 1 རྗེས་ (ཀ) ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀ (ཁ) ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ 2 ཀའི་ཐོག་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་གྱི་ཁྱད་པར་ཚོལ།
༧། ཚེ་དབྱངས་ཀྱིས་ ` 8000 མ་བཙུགས་བྱས་པ་རེད། མོ་ལ་ལོ་རེར་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 5 % ཐོག་ཕྱོགས་ བསྡུས་སྐྱེད་ཀ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད་ན། (ཀ) ལོ་གཉིས་རྫོགས་མཚམས་སུ་ཐོབ་པའི་དངུལ་འབོར་ཚོལ། (ཁ) ལོ་གསུམ་པའི་སྐྱེད་ཀ་ཚོལ།
1 2 རིང་ལ་ཐོབ་པའི་མ་དངུལ་དང་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ཚོལ། ཡང་གལ་ཏེ་སྐྱེད་ཀ་ནི་ལོ་གཅིག་གི་ཕག ྱོ ས་བསྡུས་ཐོག་
༨། གལ་ཏེ་ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 10 % ཐོག་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་བྱས་ན། ` 10000 ལོ་ 1 བརྩིས་པ་ཡིན་ན་སྐྱེད་ཀ་གཉིས་ལས་གང་མང་བ་འདུག་གམ།
1 ༩། གལ་ཏེ་སྟོབས་རྒྱལ་གྱིས་ ` 4096 ལོ་རེའི་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་ 12 % ཐོག་ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་ 2 སུ་ཟླ་བ་ 18 རིང་གཡར་བ་ཡིན་ན། ཁོང་ལ་ཐོབ་པའི་དངུལ་འབོར་ཚོལ། ༡༠། ཕྱི་ལོ་ 2015 ལོར་གྲོང་ཁྱེར་ཞིག་གི་མི་འབོར་ནི་ 540000 རེད། ལོ་རེར་མི་འབོར་ 5 % འཕེལ་ཡོད་ན། (ཀ) ཕྱི་ལོ་ 2013 ལོའི་མི་འབོར་ཚོལ།
(ཁ) ཕྱི་ལོ་ 2017 ལོར་གྲོང་ཁྱེར་དེའི་མི་འབོར་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༡༡། ` 82000 ལ་སྦག་སྦག་གཅིག་ཉོས་པ་རེད། དེའི་རིན་ཐང་ལོ་རེར་ 10 % ཆག་གི་ཡོད། ལོ་གཅིག་རྗེས་སྦག་སྦག་དེའི་རིན་གོང་ཚོལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། མ་སྐྱེད་རྐྱང་པའི་སྐབས་སུ་མ་དངུལ་གཏན་འཇགས་ཡིན་པ་དང་། མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་སྐབས་སུ་མ་དངུལ་ དུས་ཡུན་རེར་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
༢། ལོ་སྔོན་མའི་དངུལ་འབོར་ (A = P + I) སྟེང་བརྩིས་པའི་སྐྱེད་ཀ་ལ་མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད་ཟེར། ༣། (ཀ) ལོ་རེར་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐབས་ཀྱི་དངུལ་འབོར།
(
(
(
(
n
R ; P = མ་དངུལ། R = སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། n = དུས་ཡུན། A= P 1 + 100 (ཁ) ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀའི་སྐབས་ཀྱི་དངུལ་འབོར། R A= P 1 + 200
2n
;
R = ལོ་ཕྱེད་ཀའི་སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། 2n = ལོ་ཕྱེད་ཀའི་གྲངས། 2
77
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། སློབ་ཚན་བདུན་པ།
༧་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
བསྟན་འཛིན་ལྷག་སྒྲོན་གྱིས་མོ་རང་དང་ཨ་མ་ལགས་གཉིས་ཀྱི་ཆེད་དུ་ཇ་བཟོས་པ་རེད། མོས་ཆུ་ 300 mL དང་། བྱེ་མ་ཀ་ར་ཐུར་མ་ 2 ཇ་སོབ་ཐུར་མ་ 1 འོ་མ་ 50 mL བཅས་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཡོད། གལ་ཏེ་མོས་མི་ 5
ལ་ཇ་བཟོ་དགོས་ན། ལྷག་སྒྲོན་ལ་ཇ་ཆས་རེ་རེའི་གྲངས་འབོར་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
གལ་ཏེ་སློབ་མ་གཉིས་ཀྱིས་ཚོགས་ཁང་གད་ཕྱིས་རྒྱག་པར་སྐར་མ་ 20 འགོར་གྱི་ཡོད་ན། སློབ་མ་ལྔ་ཡིས་ལས་ ཀ་དེ་རང་བྱེད་པར་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་འགོར་རམ།
ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་གྲངས་འབོར་གཅིག་གི་འགྱུར་ཆ་ཡིས་གྲངས་འབོར་གཞན་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་བའི་ གནས་སྟངས་མང་པོ་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན།
༡། གལ་ཏེ་ཉོ་བའི་ཅ་དངོས་ཀྱི་གྲངས་འཕར་བ་ཡིན་ན། ཁྱོན་བསྡོམས་དངུལ་འབོར་མང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། ༢། དངུལ་ཁང་ནང་དངུལ་མང་བ་བཅོལ་ན། སྐྱེད་ཀ་ཐོབ་ཆ་མང་བ་ཡོད།
༣། བར་ཐག་ངེས་ཅན་ཞིག་སྐྱོད་སྐབས། མོ་ཊའི་མྱུར་ཚད་སྤར་བ་ཡིན་ན་དུས་ཡུན་ཉུང་བ་འགོར་གྱི་ཡོད།
༤། ལས་ཀ་ཞིག་གི་ཆེད་དུ་ལས་མིའི་གྲངས་འབོར་སྤར་བ་ཡིན་ན། ལས་ཀ་དེ་གྲུབ་པར་དུས་ཚོད་ཉུང་བ་འགོར་ གྱི་ཡོད།
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ལས། སྐབས་རེར་གྲངས་འབོར་གཉིས་ཀ་མཉམ་འཕེལ་ལམ་མཉམ་འགྲིབ་ཡོང་གི་ཡོད་པ་དང་། སྐབས་རེར་གྲངས་འབོར་གཅིག་འཕར་ནའང་གཞན་དེ་འགྲིབ་ཀྱི་ཡོད།
༧་༢ མཐུན་འགྱུར། Direct proportion
བྱེ་མ་ཀ་ར་ 1 kg གི་རིན་གོང་ ` 45 ཡིན་ན། བྱེ་མ་ཀ་ར་ 3 kg ཡི་རིན་གོང་ག་ཚོད་རེད་དམ། བྱེ་མ་ཀ་ར་
3 kg གྱི་རིན་གོང་ནི་ ` 135 རེད། དེ་མཚུངས། ང་ཚོས་བྱེ་མ་ཀ་ར་ 5 kg དང་ 7 kg སོགས་ཀྱི་རིན་གོང་ ཡང་འཚོལ་ཐུབ།
78
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་སློབ་སྦྱོང་བྱས་ཏེ་སྐོངས།
བྱེ་མ་ཀ་རའི་ལྗིད་ཚད། (kg ནང་།) དངུལ་འབོར། (` ནང་།)
×8
×6
×5
×3
× 10
1
3
5
6
8
10
45
135
225
....
....
....
×3
×5
×6
×8
× 10
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལ་རག ྟོ ་ཞིབ་བྱས་ན། བྱེ་མ་ཀ་རའི་ལྗིད་ཚད་འཕར་སྐབས་དངུལ་འབོར་ཡང་ཆེ་རུ་འག་ྲོ བ་དང་།
དེ་དག་ཚང་མའི་སྡུར་ཚད་གཅིག་པ་ཡིན།
དཔེ་མཚོན་གཞན་ཞིག་བླངས་ན། མོ་ཊ་ཞིག་གིས་བར་ཐག་ 60 km བསྐྱོད་པར་རྡོ་སྣུམ་ལི་ཊར་ 4 སྤྱོད་ཀྱི་
ཡོད་པར་ཆ་ཞོག མོ་ཊ་དེས་ལི་ཊར་ 12 བེད་སྤྱད་དེ་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཐུབ་བམ། བར་ཐག་ 180 km བསྐྱོད་ཐུབ། དེ་གང་འདྲ་བྱས་ནས་ཐོབ་པ་རེད། འདིར་རྡོ་སྣུམ་ལི་ཊར་ 12 བེད་སྤྱད་ཡོད། དེ་ནི། ལི་ཊར་ 4 ཡི་
ལྡབ་གསུམ་ཡིན་པས། བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི་ 60 km ཡི་ལྡབ་གསུམ་རེད། བེད་སྤྱོད་པའི་རྡོ་སྣུམ་ནི་ལི་ཊར་ x དང་བསྐྱོད་པའི་གནས་མཐུན་བར་ཐག་ནི་ y km ཡིས་མཚོན་པ་ཡིན་ན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་སྐོངས། རྡོ་སྣུམ་ x (L ནང་།)
བར་ཐག་ y (km ནང་།)
4
8
12
16
20
24
60
....
180
....
....
....
གོང་གི་རེའུ་མིག་ནང་། x ཡི་བྲིན་འཕར་སྐབས་ y ཡི་བྲིན་ཡང་འཕར་བ་དང་། དེའི་སྡུར་ཚད་ གྲངས་ (k) རེད། འདིར། སྡུར་ཚད་ནི་ 1 རེད། 15 x འདིར། x དང་ y གཉིས་མཐུན་འགྱུར་རེད། དེ་ནི། = k ཡང་ན། x = ky y
x ནི་རྟག་ y
དཔེ་མཚོན་འདིའི་ནང་། 4 དང་ 12 ནི་ར་ྡོ སྣུམ་སྤྱོད་པའི་གྲངས་འབོར་ x (L) ནང་དང་། 60 དང་ 180 ནི་བར་ x1 x2 ཐག་ y (km) ནང་རེད། x དང་ y གཉིས་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་པས། ང་ཚོས་ཆོ་ག་ y = y ལྟར་འབྲི་ཆོག 1 2
79
རྩིས་རིག བྱེད་སྒོ།
༡། (ཀ) ཁྱེད་ཀྱིས་ཆུ་ཚོད་ཅིག་བླངས་ཏེ་སྐར་མའི་མདའ་དེ་ཆུ་ཚོད་ 12 ཐོག་ཞོག
(ཁ) སྐར་མའི་མདའ་ཡིས་ཐོག་མའི་གནས་ས་ནས་སྐོར་བའི་ཟུར་དང་བསྐྱོད་པའི་དུས་ཡུན་བཅས་གཤམ་ གསལ་རེའུ་མིག་ནང་བྲིས།
བསྐྱོད་པའི་དུས་ཡུན། (t) (སྐར་མའི་ནང་།) བསྐོར་བའི་ཟུར། (a) (ཌིག་རིའི་ནང་།) t a
(t1)
(t2)
(t3)
(t4)
15
30
45
60
(a1)
(a2)
(a3)
(a4)
90
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
(ག) ཁྱེད་ཀྱིས་ t དང་ a དབར་འབྲེལ་བ་གང་མཐོང་གི་འདུག་གམ། དེ་དག་མཉམ་དུ་འཕར་གྱི་འདུག་
གམ། t ནི་རྟག་ཏུ་གཅིག་པ་ཡིན་ནམ། a སྐར་མའི་མདའ་ཡིས་བསྐོར་བའི་ཟུར་དང་བསྐྱོད་པའི་དུས་ཡུན་གཉིས་མཐུན་འགྱུར་རེད་དམ། རེད།
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས།
t1 : t2 = a1 : a2 རྒྱུ་མཚན་ནི། t1 : t2 = 15 : 30 = 1 : 2 དང་། a1 : a2 = 90 : 180 = 1 : 2
t2 : t3 = a2 : a3 དང་། t3 : t4 = a3 : a4 ཡིན་ནམ། ཁྱེད་ཀྱིས་དུས་ཡུན་བར་མཚམས་གཞན་བླངས་ནས་བྱེད་སྒོ་འདི་བསྐྱར་ཟློས་བྱས་ཆོག
༢། ཁྱེད་རང་གི་འཛིན་གྲོགས་ལ་གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོང་དུ་བཅུག་སྟེ། ཁོ་/མོའི་ལོ་དང་ཁོ་/མོའི་ཨ་མ་ ལགས་ཀྱི་ལོ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཚད་འཚོལ་དུ་ཆུག འཛིན་གྲོགས་ཀྱི་ལོ། ( f )
ཨ་མ་ལགས་ཀྱི་ལོ། ( m )
ལོ་ལྔ་སྔོན་གྱི་ལོ།
ད་ལོའི་ལོ།
ལོ་ལྔ་རྗེས་ཀྱི་ལོ།
f m
f f དང་ m གཉིས་མཉམ་དུ་འཕར་བའམ་ཡང་ན་ཆག་གི་འདུག་གམ། m ནི་རྟག་ཏུ་གཅིག་པ་ཡིན་ནམ།
80
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། དེར་བརྟེན། གོང་གི་བྱེད་སྒོ་གཉིས་ལས་རྒྱུ་མཉམ་དུ་འཕར་བའམ་ཡང་ན་ཆག་ན་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་པའི་ངེས་ པ་མེད། དཔེར་ན།
(ཀ) མི་སོ་སོའི་གཟུགས་པོའི་ལྗིད་ཚད་དང་རིང་ཚད་ཀྱི་འགྱུར་བའི་སྡུར་ཕྲེང་ནི་གཏན་འཁེལ་མེད་པ་དང་།
(ཁ) ཤིང་སང ྡོ ་ཞིག་གི་རིང་ཚད་དང་དེའི་སྟེང་ལོ་མའི་གྲངས་གཉིས་དབར་གྱི་སྡུར་ཚད་ལ་འབྲེལ་བ་ཐད་ཀར་མེད།
རྩིས་དཔེ། ༡ རས་ཆ་མི་ཊར་ 5 m ཡི་རིན་འབབ་ ` 210 རེད། རས་ཆ་དེ་རང་ 2 m དང་། 4 m, 10 m,
ལན།
13 m བཅས་ཀྱི་རིན་འབབ་རེའུ་མིག་ནང་བྲིས།
རས་ཀྱི་རིང་ཚད་ནི་མི་ཊར་ x དང་དེའི་རིན་འབབ་ནི་ ` y ཡིས་མཚོན་ན། x (m ནང་།) y (` ནང་།)
2 y2
4 y3
5 210
10 y4
13 y5
རས་ཀྱི་རིང་ཚད་འཕར་སྐབས་རས་ཀྱི་རིན་འབབ་ཀྱང་སྡུར་ཚད་གཅིག་པའི་ཐོག་འཕར་གྱི་ཡོད་ x1 x2 པས། དེ་མཐུན་འགྱུར་རེད། དེར་བརྟེན། y = y 1 2
(ཀ) x1 = 5 དང་། y1 = 210, x2 = 2
2 × 210 དེར་བརྟེན། 5 = 2 ཡང་ན། 5y2 = 2 × 210 ཡང་ན། y2 = = 84 5 210 y2
4 × 210 (ཁ) x3 = 4 ཡིན་ན། 5 = 4 ཡང་ན། 5y3 = 2 × 210 ཡང་ན། y3 = = 168 5 210 y3 10 × 210 (ག) x4 = 10 ཡིན་ན། 5 = 10 ཡང་ན། y4 = = 420 5 210 y4 13 × 210 = 546 (ང) x5 = 13 ཡིན་ན། 5 = 13 ཡང་ན། y5 = 5 210 y5
རྩིས་དཔེ། ༢ གློག་གི་ཀ་བ་མཐོ་ཚད་ 14 m ཅན་གྱི་གྲིབ་མའི་རིང་ཚད་ 10 m ཡིན། སྐབས་དེར་སྡོང་པོ་
ལན།
ཞིག་གི་གྲིབ་མའི་རིང་ཚད་ 15 m ཡིན་ན། སྡོང་པོ་དེའི་མཐོ་ཚད་ཚོལ།
སྡོང་པོའི་མཐོ་ཚད་མི་ཊར་ x ཡིན་པ་མཚོན། མཐོ་ཚད། (m ནང་།)
གྲིབ་མའི་རིང་ཚད། (m ནང་།)
14
x
10
15
81
རྩིས་རིག དོ་སྣང་གྱིས་དང་། ཅ་དངོས་ཀྱི་མཐོ་ཚད་ཇི་ཙམ་མཐོ་བ་ཡོད་ན་དེ་ཙམ་གྱིས་གྲིབ་མའི་རིང་ཚད་
ཀྱང་རིང་བ་ཡོད། གནས་སྟངས་འདི་མཐུན་འགྱུར་རེད། དེ་ནི།
x1 x2 y1 = y2
14 x = 10 15 x = 14 × 15 = 21 10
དེར་བརྟེན། སྡོང་པོ་དེའི་མཐོ་ཚད་ 21 m རེད།
1 རྩིས་དཔེ། ༣ ཤོག་ལྷེ་མཐུག་པོ་ 12 ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ 40 g ཡོད་ན། ཤོག་བུ་དེ་འདྲ་ 2 kg ནང་ཤོག་ལྷེ་ག་ 2 ཚོད་ཡོད་དམ། ལན།
1 ལྗིད་ཚད་ 2 kg ཡོད་པའི་ཤོག་ལྷེའི་གྲངས་ x ཡིན་པ་ཆ་ཞོག 2 ཤོག་ལྷེའི་གྲངས།
ཤོག་ལྷེའི་ལྗིད་ཚད། (g ནང་།)
12
x
40
2500
ཤོག་ལྷེ་ཇི་ཙམ་མང་བ་དེ་ཙམ་གྱིས་ལྗིད་ཚད་ཀྱང་ཆེ་བ་ཡོད་པས། ལྗིད་ཚད་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཐུན་འགྱུར་རེད། དེ་ནི།
1 kg = 1000 g 1 2 kg = 2500 g 2 ཤོག་ལྷེའི་གྲངས་དང་དེའི་
12 x = 40 2500
x = 12 × 2500 = 750 40
དེར་བརྟེན། དགོས་མཁོའི་ཤོག་ལྷེའི་གྲངས་ནི་ 750 རེད།
རྩིས་དཔེ། ༤ མེ་འཁོར་ཞིག་ཆ་སྙོམས་མགྱོགས་ཚད་ 75 km/hr ཐོག་འགྲོ་ཡི་ཡོད། ལན།
82
(ཀ) མེ་འཁོར་དེ་སྐར་མ་ 20 ནང་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཀྱི་རེད།
(ཁ) བར་ཐག་ 250 km བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་འགོར་རམ།
སྐར་མ་ 20 ནང་བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་ནི་ x ཡིས་མཚོན་པ་དང་བར་ཐག་ 250 km བསྐྱོད་
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། པར་འགོར་བའི་དུས་ཡུན་ནི་ y ཡིས་མཚོན་ན། བར་ཐག (km ནང་།)
དུས་ཡུན། (སྐར་མའི་ནང་།)
75
x
250
60
20
y
བསྐྱོད་པའི་བར་ཐག་དང་དུས་ཡུན་གཉིས་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་པས། (ཀ)
ཆུ་ཚོད་ 1 = སྐར་མ་ 60
75 x = 60 20
x=
75 × 20 =25 60
དེར་བརྟེན། མེ་འཁོར་དེས་སྐར་མ་ 20 ནང་ 25 km བསྐྱོད་ཀྱི་རེད།
(ཁ) 75 = 250 60 y y=
250 × 60 = སྐར་མ་ 200 ཡང་ན། ཆུ་ཚོད་ 3 དང་སྐར་མ་ 20 75
དེར་བརྟེན། བར་ཐག་ 250 km བསྐྱོད་པར་ཆུ་ཚོད་ 3 དང་སྐར་མ་ 20 འགོར་གྱི་ཡོད།
༡། གཤམ་གསལ་ནི་མོ་ཊ་འཇོག་གླ་རེད། ཆུ་ཚོད་ 4 བར།
ཆུ་ཚོད་ 12 བར།
སྦྱོང་ཚན་ ༧་༡ ཆུ་ཚོད་ 8 བར།
` 60
ཆུ་ཚོད་ 24 བར།
` 140
` 100 ` 180
མོ་ཊ་འཇོག་གླ་དང་དུས་ཡུན་གཉིས་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་ནམ།
༢། ཚོན་དམར་པོ་ཆ་ཤས་ 1 དང་ཚོན་ལི་ལྦང་ཆ་ཤས་ 8 བསྲེས་ཏེ་ཚོན་རྩི་འདྲེས་མ་བཟོས་པ་རེད། གཤམ་ གསལ་རེའུ་མིག་ནང་ཚོན་ལི་ལྦང་གི་ཆ་ཤས་བྲིས། དམར་པོའི་ཆ་ཤས།
ལི་ལྦང་གི་ཆ་ཤས།
1
4
7
12
20
8
....
....
....
....
༣། ཤོག་ལྷེ་ 500 ཡི་མཐུག་ཚད་ 35 cm ཡིན་ན། ཤོག་ལྷེ་དེ་འདྲ་ 275 ཡི་མཐུག་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
83
རྩིས་རིག ༤། བཟོ་གྲྭའི་ནང་འཕྲུལ་ཆས་ཤིག་གིས་ཆུ་ཚོད་ 6 གི་ནང་ཤེལ་དམ་ཁྱོན་ 840 འགེང་གི་ཡོད། འཕྲུལ་ཆས་ དེས་ཆུ་ཚོད་ 5 ཡི་ནང་ཤེལ་དམ་ག་ཚོད་འགེང་ཐུབ་བམ།
༥། གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ནི་ཐེངས་ 50000 ཆེ་རུ་བཏང་སྟེ་རིང་ཚད་ 5 cm ཅན་གྱི་ཕྲ་སྲིན་གྱི་པར་རེད། ཕྲ་སྲིན་དེ་ལ་དངོས་ཡོད་རིང་ཚད་ག་ཚོད་ ཡོད་དམ། གལ་ཏེ་པར་དེ་ཐེངས་ 20000 ཆེ་རུ་བཏང་ན་དེའི་རིང་ ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༦། བྱེ་མ་ཀ་ར་ 2 kg ནང་དྭངས་ཤེལ་ 9 × 106 ཡོད་པ་ཆ་ཞོག
(ཀ) བྱེ་མ་ཀ་ར་ 5 kg དང་། (ཁ) བྱེ་མ་ཀ་ར་ 1.2 kg ནང་དྭངས་ཤེལ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༧། བཀྲ་ཤིས་དབང་མོ་ལ་ལམ་རིས་ཤིག་ཡོད་པ་དང་དེའི་ཐིག་ཚད་ནི་ 1 cm ཡིས་ 18 km མཚོན་གྱི་ཡོད། ཁོ་མོས་བར་ཐག་ 72 km བསྐྱོད་པ་དེ་ལམ་རིས་ནང་བར་ཐག་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༨། མཐོ་ཚད་ 5 m 60 cm ཅན་གྱི་ཀ་བའི་གྲིབ་མའི་རིང་ཚད་ 3 m 20 cm རེད། (ཀ) ཀ་བ་མཐོ་ཚད་ 10 m 50 cm ཅན་གྱི་གྲིབ་མའི་རིང་ཚད་ཚོལ། (ཁ) གྲིབ་མའི་རིང་ཚད་ 5 m ཅན་གྱི་ཀ་བའི་མཐོ་ཚད་ཚོལ།
༩། མོ་ཊ་ཞིག་གིས་སྐར་མ་ 25 ཡི་ནང་བར་ཐག་ 14 km བསྐྱོད་ཀྱི་ཡོད། མགྱོགས་ཚད་དེ་རང་ཐོག་མོ་ཊ་དེས་ ཆུ་ཚོད་ 5 ཡི་ནང་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་ཐུབ་བམ།
བྱེད་སྒོ།
༡། དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་མཐའ་མི་འདྲ་བའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ལྔ་བྲིས། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་གནས་ཚུལ་སྐོངས། མཐའི་རིང་ཚད། (l)
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། (P) l P རྒྱ་ཁྱོན། (A) l A
84
གྲུ་བཞི་ཁ་ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་ གྲུ་བཞི་ཁ་ གང་མ་དང་པོ། མ་གཉིས་པ། མ་གསུམ་པ། མ་བཞི་པ། གང་མ་ལྔ་པ།
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། (ཀ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་དང་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཉིས་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་ནམ། (ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་མཐའི་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་གཉིས་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་ནམ།
༢། སློབ་མ་ 5 ཡི་ཆེད་དུ་མངར་ཟས་བཟོ་བར་གཤམ་གསལ་རྒྱུ་ཆ་ཁག་དགོས།
གྲོ་ཞིབ་ = 250 g བྱེ་མ་ཀ་ར་ = 300 g མར་ = 200 g ཆུ་ = 500 mL
གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱི་འཛིན་གྲྭའི་སློབ་མ་ཚང་མའི་ཆེད་མངར་ཟས་བཟོ་དགོས་ན། སྡུར་ཕྲེང་གི་ཁྱད་ཆོས་བེད་ སྤྱད་དེ་རྒྱུ་ཆ་ཁག་གི་འབོར་ཚོལ།
༧་༣ ལྡོག་འགྱུར། Inverse proportion
མཐུན་འགྱུར་སྐབས་སུ་གྲངས་འབོར་གཉིས་མཉམ་དུ་འཕེལ་འགྲིབ་འབྱུང་གི་ཡོད། སྐབས་རེེར་གྲངས་འབོར་ གཅིག་འཕེལ་བའི་སྐབས་སུ་གཞན་དེ་འགྲིབ་པའམ། གྲངས་འབོར་གཅིག་འགྲིབ་པའི་སྐབས་སུ་གཞན་དེ་འཕེལ་ གྱི་ཡོད།
དཔེར་ན། ལས་མིའི་གྲངས་ཇེ་མང་དུ་སོང་བ་ཡིན་ན། ལས་ཀ་འགྲུབ་པར་དུས་ཡུན་ཇེ་ཉུང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། དེ་ བཞིན། ང་ཚོས་མགྱོགས་ཚད་སྤར་བ་ཡིན་ན། བར་ཐག་ངེས་ཅན་ཞིག་བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ཉུང་བ་འགོར་གྱི་ ཡོད།
དཔེ་མཚོན། ཚེ་རིང་སྐྱིད་ཀྱིས་སློབ་གྲྭར་འགྲོ་སྟངས་མི་འདྲ་བ་བཞི་ནི། གོམ་འགྲོས་དང་། རྒྱུག་པ། རྐང་འཁོར་ བཞོན་པ། མོ་ཊའི་ནང་འགྲོ་བ་བཅས་ཡིན། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་ལྟོས་དང་།
× 15
×3
×2
མགྱོགས་ཚད། (km/hr ནང་།) དུས་ཡུན། (སྐར་མའི་ནང་།)
གོམ་འགྲོས། 3
རྒྱུག་པ། 6
རྐང་འཁོར། 9
མོ་ཊ།
30
15
10
2
45
1
×2 ×
1 3
×
1 15
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལ་དོ་སྣང་གྱིས་དང་། མགྱོགས་ཚད་ཇི་ཙམ་གྱིས་སྤར་བ་ཡིན་ན། དུས་ཡུན་དེ་ཙམ་གྱིས་ཇེ་
85
རྩིས་རིག ཉུང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
ཚེ་རིང་སྐྱིད་ཀྱིས་མགྱོགས་ཚད་ཉིས་ལྡབ་ཐོག་རྒྱུག་སྐབས་དུས་ཡུན་ཕྱེད་ཀ་ཆགས་ཀྱི་
ཡོད། ཁོ་མོས་རྐང་འཁོར་བཞོན་ནས་མགྱོགས་ཚད་ལྡབ་གསུམ་སྤར་བ་ཡིན་ན། དུས་ཡུན་གསུམ་ཆ་གཅིག་ ཆགས་ཀྱི་ཡོད། དེ་མཚུངས། མགྱོགས་ཚད་ལྡབ་ 15 སྤར་སྐབས་དུས་ཡུན་བཅོ་ལྔའི་ཆ་གཅིག་ཆགས་ཀྱི་ཡོད།
དཔེ་མཚོན་གཞན་ཞིག་ལ་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན། སློབ་གྲྭ་ཞིག་ལ་རྩིས་རིག་སློབ་དེབ་ཉོ་ཆེད་འཆར་དངུལ་ ` 6000 ཡོད། སློབ་དེབ་རེའི་རིན་གོང་ ` 40 ཡིན་ན། ཁྱོན་སློབ་དེབ་གྲངས་ 150 ཉོ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་སློབ་དེབ་
རེའི་རིན་གོང་ ` 40 ལས་ཆེ་བ་ཡིན་ན། དངུལ་འབོར་དེ་རང་གིས་སློབ་དེབ་གྲངས་ 150 ལས་ཉུང་བ་ཉོ་
ཐུབ་ཀྱི་རེད། འོག་གི་རེའུ་མིག་ལ་རྟོག་ཞིབ་བྱོས་དང་། སློབ་དེབ་ཀྱི་མ་གནས། (` ནང་།) སློབ་དེབ་ཀྱི་གྲངས།
40
50
60
75
80
100
150
120
100
80
75
60
གོང་གི་རེའུ་མིག་ལས། སློབ་དེབ་ཀྱི་རིན་གོང་ཇི་ཙམ་གྱིས་འཕར་བ་ཡིན་ན། དེ་ཙམ་གྱིས་སློབ་དེབ་གྲངས་
ཉུང་བ་ཉོ་ཐུབ། སློབ་དེབ་ཀྱི་མ་གནས་ ` 40 ནས་ ` 50 འཕར་བའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 4 : 5 དང་གནས་མཐུན་
སློབ་དེབ་ཀྱི་གྲངས་ 150 ནས་ 120 མར་ཆག་པའི་སྡུར་ཚད་ནི་ 5 : 4 རེད། དེར་བརྟེན། སྡུར་ཚད་གཉིས་
ཕན་ཚུན་ལྡོག་འགྱུར་རེད།
དོ་སྣང་བྱ་རྒྱུར། གནས་མཐུན་པའི་གྲངས་འབོར་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་གྲངས་ཤིག་རེད། དེ་ནི། 40 × 150 = 50 × 120 = 6000
གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སློབ་དེབ་གཅིག་གི་མ་གནས་ x དང་སློབ་དེབ་གྲངས་ y ཡིས་མཚོན་ན། x འཕར་སྐབས་ y ཆུང་དུ་འགྲོ་བ་དང་ y འཕར་སྐབས་ x ཆུང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། xy ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་ནི་རྟག་གྲངས་རེད། x དང་ y
གཉིས་ལྡོག་འགྱུར་རེད།
གྲངས་འབོར་ x དང་ y གཉིས་ལ་གལ་ཏེ་འབྲེལ་བ་ xy = k ཞིག་ཡོད་པ་དང་། k ནི་རྟག་གྲངས་ཡིན་ན། གྲངས་འབོར་དེ་གཉིས་ལ་ལྡོག་འགྱུར་ཟེར།
གལ་ཏེ་ y1 དང་ y2 ནི་ y ཡི་བྲིན་དང་སྐབས་དེའི་ x ཡི་བྲིན་ནི་ x1 དང་ x2 གོ་རིམ་བཞིན་ཡིན་ན། x1 y2 x1 y1 = x2 y2 (= k) ཡང་ན། x2 = y1
དཔེ་མཚོན་འདིའི་ནང་དངུལ་འབོར་འགྱུར་མེད་སྐབས་སློབ་དེབ་ཀྱི་མ་གནས་དང་སློབ་དེབ་གྲངས་གཉིས་
ལྡོག་འགྱུར་རེད།
དེ་མཚུངས། མོ་ཊའི་མགྱོགས་ཚད་དང་བར་ཐག་ངེས་ཅན་ཞིག་བསྐྱོད་པར་དུས་ཡུན་ནི་ལྡོག་འགྱུར་རེད།
86
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། བྱེད་སྒོ།
དྲ་མིག་ཤོག་བུ་ཞིག་བླངས་ཏེ་གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་བསྟར་པ་གྲངས་མི་འདྲ་བའི་གྲུ་བཞི་ ཁ་གང་ 48 གཉིས་བྲིས།
འཕྲེད་བསྟར་ 4 དང་གཞུང་བསྟར་ 12 འཕྲེད་བསྟར་གྱི་གྲངས། (R)
གཞུང་བསྟར་གྱི་གྲངས། (C)
(R1) 2 (C1) ...
(R2) 3 (C2) ...
འཕྲེད་བསྟར་ 6 དང་གཞུང་བསྟར་ 8 (R3) 4 (C3) 12
(R4) 6 (C4) 8
(R5) 8 (C5) ...
ཁྱེད་ཀྱིས་གང་དོ་སྣང་བྱུང་ངམ། R འཕར་སྐབས་ C ཉུང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། (ཀ) R1 : R2 = C2 : C1 རེད་དམ།
(ག) R དང་ C ཕན་ཚུན་ལྡོག་འགྱུར་རེད་དམ།
(ཁ) R3 : R4 = C4 : C3 རེད་དམ།
རྩིས་དཔེ། ༥ ཆུ་ཚོད་ 1 དང་སྐར་མ་ 20 ཡི་ནང་ཆུ་མཛོད་གཅིག་བསྐང་བར་སྦུབས་ 6 དགོས་ཀྱི་ཡོད། གལ་
ལན།
ཏེ་སྦུབས་དེ་འདྲ་ 5 བེད་སྤྱད་པ་ཡིན་ན། ཆུ་མཛོད་དེ་བསྐང་བར་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་འགོར་རམ། ཆུ་མཛོད་དེ་བསྐང་བར་དགོས་མཁོའི་དུས་ཡུན་ནི་སྐར་མ་ x ཡིན་པར་ཆ་ཞོག སྦུབས་ཀྱི་གྲངས།
དུས་ཡུན། (སྐར་མའི་ནང་།)
6
5
80
x
སྦུབས་ཀྱི་གྲངས་ཇེ་ཉུང་དུ་འགྲོ་བ་དང་ཆུ་མཛོད་དེ་བསྐང་བར་དུས་ ཡུན་ཇེ་མང་དུ་འགྲོ་ཡི་ཡོད།
གནས་སྟངས་འདི་ལྡོག་འགྱུར་ཡིན་པས།
87
རྩིས་རིག 80 × 6 = x × 5
[x1 y1 = x2 y2]
80 × 6 =x 5 x = 96 དེར་བརྟེན། སྦུབས་ 5 ཡིས་ཆུ་མཛོད་དེ་བསྐང་བར་སྐར་མ་ 96 ཡང་ན་ཆུ་ཚོད་ 1 དང་སྐར་ མ་ 36 འགོར་གྱི་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༦ སབ ློ ་མ་ 100 ཡོད་པའི་ཉལ་ཁང་ནང་ཉིན་ 20 འདང་བའི་བཟའ་བཅའ་ཡོད། སློབ་མ་ 25 ཉལ་
ལན།
ཁང་ནང་སླར་ཡང་ཞུགས་ཡོད་ན། སྔར་ཡོད་བཟའ་བཅའ་ཡིས་ཉིན་ག་ཚོད་འདང་གི་རེད་དམ།
སློབ་མ་ 125 སྐབས་སུ་བཟའ་བཅའ་ཉིན་ y འདང་བར་ཆ་བཞག་ན། སློབ་མའི་གྲངས།
ཉིན་གྲངས།
100
125
20
y
སབ ློ ་མའི་གྲངས་ཇི་ཙམ་ཇེ་མང་དུ་སོང་ན། བཟའ་བཅའ་ཡང་དེ་ཙམ་མགྱོགས་པར་རྫོགས་ཀྱི་རེད།
གནས་སྟངས་འདི་ལྡོག་འགྱུར་ཡིན་པས། 100 × 20 = 125 × y
100 × 20 =y 125 y = 16 དེར་བརྟེན། སྔར་ཡོད་བཟའ་བཅའ་ཡིས་ཉིན་ 16 འདང་གི་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༧ ལས་མི་ 25 ཡིས་ཆུ་ཚོད་ 48 ནང་རྩིག་པ་ཞིག་བརྒྱབ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། འོ་ན་ཆུ་ཚོད་ 30 ནང་ ལན།
རྩིག་པ་དེ་རྒྱག་པར་ལས་མི་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
ཆུ་ཚོད་ 30 ནང་རྩིག་པ་དེ་རྒྱག་པར་ལས་མི་གྲངས་ y དགོས་པར་ཆ་བཞག་ན། དུས་ཡུན།
ལས་མིའི་གྲངས།
48
30
15
y
ལས་མི་གྲངས་ཇི་ཙམ་གྱིས་མང་དུ་སོང་ན། རྩིག་པ་དེ་ཙམ་གྱིས་མགྱོགས་པ་རྒྱག་ཐུབ་ཀྱི་རེད། དུས་ཡུན་དང་ལས་མིའི་གྲངས་གཉིས་ཕན་ཚུན་ལྡོག་འགྱུར་ཡིན་པས།
88
མཐུན་འགྱུར་དང་ལྡོག་འགྱུར། 48 × 15 = 30 × y 48 × 15 = y ཡང་ན། y = 24 30 དེར་བརྟེན། ཆུ་ཚོད་ 30 ནང་རྩིག་པ་དེ་རྒྱག་པར་ལས་མི་གྲངས་ 24 དགོས།
༡། ལྡོག་འགྱུར་ངོས་ཟུངས།
སྦྱོང་ཚན་ ༧་༢
(ཀ) ཞ་སྨྱུག་གྲངས་དང་དངུལ་འབོར།
(ཁ) ལས་ཀ་ཞིག་གི་ཆེད་ལས་མིའི་གྲངས་དང་ལས་ཀ་དེ་མཇུག་སྐྱེལ་བར་དུས་ཡུན། (ག) མགྱོགས་ཚད་གཅིག་གྱུར་ཐོག་འགྲུལ་བཞུད་བྱེད་པར་དུས་ཡུན་དང་བར་ཐག (ང) ལུང་པ་ཞིག་གི་མི་འབོར་དང་མི་རེའི་ས་ཞིང་རྒྱ་ཁྱོན།
(ཅ) འགྲུལ་བཞུད་ངེས་ཅན་ཞིག་བྱེད་པར་དུས་ཡུན་དང་མགྱོགས་ཚད།
༢། བྱ་དགའ་དངུལ་ ` 100000 ནི་རྩེད་མོ་ཐོབ་མཁན་ཕན་ཚུན་དབར་ཆ་སྙོམས་བགོ་དགོས་ན། གཤམ་གྱི་ རེའུ་མིག་སྐོངས། ཐོབ་མཁན་གྱི་གྲངས།
1
2
4
ཐོབ་མཁན་སོ་སོའི་བྱ་དགའ། (` ནང་།) 1,00,000 50,000 .....
5
8
10
20
..... ..... ..... .....
༣། ཀུ་ཤུ་སྒམ་གཅིག་ཕྲུ་གུ་ 24 ལ་བགོ་བཤའ་བརྒྱབ་ན། ཕྲུ་གུ་རེ་ལ་ཀུ་ཤུ་ 5 རེ་ཐོབ་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་ཕྲུ་གུ་ 4 ཉུང་དུ་ཕྱིན་པ་ཡིན་ན། ཕྲུ་གུ་རེ་ལ་ཀུ་ཤུ་ག་ཚོད་ཐོབ་བམ།
༤། ཞིང་པ་ཞིག་ལ་རང་གི་སྒོ་ཕྱུགས་ 20 ལ་ཉིན་ 6 འདང་བའི་བཟའ་བཅའ་ཡོད། གལ་ཏེ་སྒོ་ཕྱུགས་ད་དུང་ 10 ཡིས་མང་དུ་སོང་ན། སྔར་ཡོད་བཟའ་བཅའ་ཡིས་ཉིན་ག་ཚོད་འདང་གི་རེད་དམ།
༥། ཁང་བརྩེགས་ཤིག་གི་ནང་གློག་འཁྲིད་པར་མི་ 6 གིས་ཉིན་ 7 ལས་ཀ་བྱེད་དགོས་ཀྱི་ཡོད། འོ་ན་ལས་ཀ་ དེ་མི་ 2 ཀྱིས་བྱས་ན་ཉིན་ག་ཚོད་ནང་ཚར་གྱི་རེད་དམ།
༦། ཤེལ་དམ་གྱི་སྡེ་ཞིག་སྒམ་ཤོག་ 25 ཡི་ནང་བླུགས་པ་རེད། སྒམ་ཤོག་རེའི་ནང་ཤེལ་དམ་ 12 རེ་ཡོད། གལ་ ཏེ་སྒམ་ཤོག་གཅིག་གི་ནང་ཤེལ་དམ་ 20 བླུགས་པ་ཡིན་ན། ཤེལ་དམ་གྱི་སྡེ་དེའི་ཆེད་དུ་སྒམ་ཤོག་ག་ཚོད་ དགོས་སམ།
༧། ཉིན་ 63 ནང་བཟོ་གྲྭ་ཞིག་གིས་ཅ་དངོས་གྲངས་ངེས་ཅན་ཞིག་བཟོ་བསྐྲུན་བྱེད་པར་འཕྲུལ་འཁོར་ 42
89
རྩིས་རིག དགོས་ཀྱི་ཡོད། འོ་ན། ཉིན་ 54 ཡི་ནང་ཅ་དངོས་གྲངས་དེ་རང་བཟོ་བསྐྲུན་བྱེད་པར་འཕྲུལ་འཁོར་ག་ཚོད་ དགོས་སམ།
༨། ས་ཆ་ཞིག་ལ་མོ་ཊ་ཞིག་མགྱོགས་ཚད་ 60 km/hr ཐོག་བསྐྱོད་ན་ཆུ་ཚོད་ 2 ནང་སླེབས་ཀྱི་ཡོད། གལ་ ཏེ་མོ་ཊ་དེ་མགྱོགས་ཚད་ 80 km/hr ཐོག་སྐྱོད་ཀྱི་ཡོད་ན། དུས་ཡུན་ག་ཚོད་འགོར་གྱི་རེད་དམ།
༩། མི་གཉིས་ཀྱིས་ཁང་པའི་སྒེའུ་ཁུང་གསར་པ་བཟོ་སྒྲིག་བྱེད་པར་ཉིན་ 3 འགོར་གྱི་ཡོད།
(ཀ) ལས་ཀ་འགོ་མ་བཙུགས་སྔོན་ལ་མི་གཅིག་ནད་པ་ཆགས་ན། ལས་ཀ་དེ་མཇུག་བསྐྱེལ་བར་ཉིན་ག་ཚོད་ འགོར་གྱི་རེད་དམ།
(ཁ) ཉིན་གཅིག་གི་ནང་སྒེའུ་ཁུང་བཟོ་སྒྲིག་བྱེད་པར་མི་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༡༠། སློབ་གྲྭ་ཞིག་ལ་ཉིན་རེར་སྐར་མ་ 45 ཅན་གྱི་ཚོགས་ཐེངས་ 8 ཡོད། སློབ་གྲྭའི་ཚོགས་དུས་གཅིག་པ་ཡིན་ པ་ཚོགས་ཐེངས་ 9 དགོས་ན། ཚོགས་ཐེངས་རེ་ལ་སྐར་མ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། གྲངས་འབོར་ x དང་ y གཉིས་གལ་ཏེ་མཉམ་དུ་འཕེལ་འགྲིབ་བྱེད་པ་དང་། ཆབས་ཅིག་དེ་དག་གི་སྡུར་ x ཚད་རྟག་གྲངས་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཐུན་འགྱུར་ཡིན་ཟེར། དེ་ནི། གལ་ཏེ་ = k དང་། y
k ནི་ཕོ་གྲངས་ཡིན་ན། x དང་ y གཉིས་མཐུན་འགྱུར་ཡིན། གལ་ཏེ་ y1 དང་ y2 ནི་ y ཡི་བྲིན་དང་ x1 x2 སྐབས་དེའི་ x ཡི་བྲིན་ནི་ x1 དང་ x2 གོ་རིམ་བཞིན་ཡིན་ན། y = y 1 2
༢། གལ་ཏེ་གྲངས་འབོར་ x དང་ y གཉིས་ལས། x འཕེལ་བའི་སྐབས་སུ་ y འགྲིབ་པ་དང་། གྲངས་འབོར་ དེ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་རྟག་གྲངས་ཡིན་ན། དེ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ལྡོག་འགྱུར་ཡིན་ཟེར། དེ་ནི། གལ་ཏེ་ xy = k ཡིན་ན། x དང་ y གཉིས་ལྡོག་འགྱུར་ཡིན།
གལ་ཏེ་ y1 དང་ y2 ནི་ y ཡི་བྲིན་དང་སྐབས་དེའི་ x ཡི་བྲིན་ནི་ x1 དང་ x2 གོ་རིམ་བཞིན་ཡིན་ན། x1 y2 x1 y1 = x2 y2 (= k) ཡང་ན། x2 = y1
90
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། སློབ་ཚན་བརྒྱད་པ།
༨་༡ ཚུལ། Expressions
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་སྦྱངས་ཡོད། ཚུལ་གྱི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ནི་ x + 3, 2y − 5, 3x2, 4xy + 7 སོགས་རེད། ཚུལ་ནི་རྒྱུ་དང་རྟག་གྲངས་ལས་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད་པ་ཁྱེད་ཀྱིས་ཤེས་ཀྱི་ཡོད།
ཚུལ་ 2y − 5 ནི་རྒྱུ་ y དང་རྟག་གྲངས་ 2 དང་ 5 ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། ཚུལ་ 4xy + 7 ནི་རྒྱུ་ x དང་ y དང་
རྟག་གྲངས་ 4 དང་ 7 ལས་གྲུབ་པ་ཡིན།
5 7 , − སོགས་ཡིན་ 2 2 ཆོག ཚུལ་གྱི་ཐང་ནི་དེའི་ནང་ཡོད་པའི་རྒྱུ་གཞིར་བཟུང་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། དེར་བརྟེན། y ཡིས་ཐང་མི་
ཚུལ་ 2y − 5 ནང་ y ཡི་ཐང་ནི་གྲངས་གང་རུང་ཞིག་ཡིན་སྲིད། དེ་ 2, 5, − 3, 0, འདྲ་བ་ལེན་སྐབས་ 2y − 5 ཡི་ཐང་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་ཡི་ཡོད། དཔེར་ན།
y = 3 ཡིན་ན། 2y − 5 = 2 × 3 − 5 = 1 དང་། y = 0 ཡིན་ན། 2y − 5 = 2 × 0 − 5 = − 5 སོགས།
༨་༢ ཚན་པ། བགོད་གྲངས་དང་བཏགས་གྲངས། Terms, factors and coefficients
ཚུལ་ 4x + 5 ནི་ཚན་པ་ 4x དང་ 5 གཉིས་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། ཚན་པ་རྣམས་བསྡོམས་ཏེ་ཚུལ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
ཚན་པ་ 4x ནི་བགོད་གྲངས་ 4 དང་ x ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། ཚན་པ་ 5 ནི་བགོད་གྲངས་ 5 གཅིག་པོས་གྲུབ་
པ་རེད། ཚུལ་ 7xy − 5x ནང་ཚན་པ་ 7xy དང་ −5x བཅས་གཉིས་ཡོད། ཚན་པ་ 7xy ནི་བགོད་གྲངས་ 7 དང་ x, y ཡི་བསྒྱུར་ཐོབ་རེད། ཚན་པ་ཞིག་གི་ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས་ལ་ཚན་པ་དེའི་ཨང་ཀིའི་བཏགས་
གྲངས་སམ་ཡང་ན་བཏགས་གྲངས་ཟེར། ཚན་པ་ 7xy ནང་བཏགས་གྲངས་ནི་ 7 ཡིན་པ་དང་། ཚན་པ་ − 5x
ནང་ − 5 ནི་བཏགས་གྲངས་རེད།
༨་༣ ཚན་རྐྱང་ཚུལ། ཉིས་ཚན་ཚུལ་དང་ཚན་མང་ཚུལ། Monomials, binomials and polynomials ཚན་པ་གཅིག་ལས་མེད་པའི་ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ཟེར། ཚན་པ་གཉིས་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་དང་
91
རྩིས་རིག ཚན་པ་གསུམ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་སུམ་ཚན་ཚུལ་ཟེར། ཚན་པའི་ནང་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་བཏགས་གྲངས་གཅིག་
གམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེར། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱི་དཔེར་བརྗོད།
2x2, 3xy, − 7z, 5xy2, 10y, − 9, 150mnp སོགས།
ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་དཔེར་བརྗོད།
3xy, 7xyz − 10, 2x + 3y + 7z, a + b + c + d སོགས།
ཉིས་ཚན་ཚུལ་གྱི་དཔེར་བརྗོད།
སུམ་ཚན་ཚུལ་གྱི་དཔེར་བརྗོད།
a + b, 4l + 6m, a + 7, 5 − 3xy, z2 − 4y2 སོགས། a + b + c, 2y + 3z − 5, x2y − xy2 + y2 སོགས།
༨་༤ ཚན་མཐུན་དང་མི་མཐུན་ཚན་པ། Like and unlike terms གཤམ་གྱི་ཚུལ་ལ་ལྟོས་དང་།
3x, 14x, − 13x, 8x2, 7y, 7xy, − 9y2, − 9x2, − 5yx ཚུལ་འདི་དག་ལས།
(ཀ) 3x, 14x, − 13x ཚན་མཐུན་རེད། (ཁ) 8x2 དང་ − 9x2 ཚན་མཐུན་རེད།
(ག) 7xy དང་ − 5yx ཚན་མཐུན་རེད།
གོང་གི་ཚུལ་ལས་མི་མཐུན་ཚན་པ་རྣམས་ངོས་ཟུངས།
༨་༥ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས། Addition and subtraction of algebraic expressions
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་འཐེན་རྩིས་རྒྱག་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད། དཔེར་ན། 7x2 − 4x + 5 དང་ 9x − 10 སྡོམ་དགོས་ན།
7x2 − 4x + 5 + 9x − 10 7x2 + 5x − 5
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཚན་མཐུན་རྣམས་གཅིག་གི་འོག་ཏུ་གཅིག་བྲིས་ཏེ་སྡོམ་རྩིས་བརྒྱབ་ཡོད། འདིར། 5 + (− 10) = − 5 དང་ − 4x + 9x = (− 4 + 9)x = 5x དེར་བརྟེན། (7x2 − 4x + 5) + (9x − 10) = 7x2 + 5x − 5
རྩིས་དཔེ། ༡ སྡོམས། 7xy + 5yz − 3zx, 4yz + 9zx − 4y, − 3xz + 5x − 2xy
92
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། ལན།
ཚུལ་གསུམ་ཀ་བསྟར་པ་སོ་སོའི་ནང་ཚན་མཐུན་རྣམས་གཅིག་གི་འོག་ལ་གཅིག་བྲིས། 7xy + 5yz − 3zx
+
4yz + 9zx
+ − 2xy
− 4y
− 3zx + 5x
5xy + 9yz + 3zx + 5x − 4y དེར་བརྟེན། ཚུལ་འདི་དག་གི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 5xy + 9yz + 3zx + 5x − 4y རེད།
རྩིས་དཔེ། ༢ 7x2 − 4xy + 8y2 + 5x − 3y ནས་ 5x2 − 4y2 + 6y − 3 འཐེན། ལན།
7x2 − 4xy + 8y2 + 5x − 3y
5x2
− 4y2
(−)
(+)
+ 6y − 3 (−)
(+)
2x2 − 4xy + 12y2 + 5x − 9y + 3 གྲངས་ཤིག་གི་འཐེན་རྩིས་ནི་གྲངས་དེའི་ལྡོག་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་གཅིག་པ་རེད། དེར་བརྟེན། − 3 འཐེན་པ་ནི་ + 3 སྡོམ་པ་དང་གཅིག་པ་རེད། དེ་མཚུངས། 6y འཐེན་པ་ནི་ − 6y སྡོམ་པ་དང་གཅིག་
པ་ཡིན་པ་སོགས། བསྟར་པ་གཉིས་པའི་ཚན་པ་རེ་རེའི་འོག་ཏུ་བྲིས་པའི་རྟགས་ཀྱིས་རྩིས་ཐབས་གང་སྤྱོད་ དགོས་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༡
༡། གཤམ་གསལ་ཚུལ་ལས་ཚན་པ་དང་ཚན་པ་དེ་དག་གི་བཏགས་གྲངས་ངོས་ཟུངས། (ཀ) 5xyz2 − 3zy
(ང) 3 − pq + qr − rp
(ཁ) 1 + x + x2 (ཅ)
x y + − xy 2 2
(ག) 4x2y2 − 4x2y2z2 + z2
(ཆ) 0.3a − 0.6ab + 0.5b
༢། གཤམ་གྱི་ཚན་མང་ཚུལ་ལས་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་བཅས་ངོས་ཟུངས། སྡེ་ ཚན་འདི་དག་མིན་པའི་ཚན་མང་ཚུལ་རྣམས་བྲིས།
x + y, 1000, x + x2 + x3 + x4, 7 + y + 5x, 2y − 3y2, 2y − 3y2 + 4y3,
5x − 4y + 3xy, 4z − 15z2, ab + bc + cd + da, pqr, p2q + pq2, 2p + 2q
93
རྩིས་རིག ༣། སྡོམས།
(ཀ) ab − bc, bc − ca, ca − ab
(ཁ) a − b + ab, b − c + bc, c − a + ab (ག) 2p2q2 − 3pq + 4, 5 + 7pq − 3p2q2
(ང) l 2 + m2, m2 + n2, n2 + l 2, 2lm + 2mn + 2nl
༤། (ཀ) 12a − 9ab + 5b − 3 ནས་ 4a − 7ab + 3b + 12 འཐེན།
(ཁ) 5xy − 2yz − 2zx + 10xyz ནས་ 3xy + 5yz − 7zx འཐེན།
(ག) 18 − 3p − 11q + 5pq − 2pq2 + 5p2q ནས་ 4p2q − 3pq + 5pq2 − 8p + 7q − 10 འཐེན།
༨་༦ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྒྱུར་རྩིས། Multiplication of algebraic expressions
ཁྱེད་ཀྱིས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གཉིས་སྒྱུར་བའི་གནས་སྟངས་འགའ་བཤད་ཐུབ་བམ། གཤམ་གསལ་དཔེ་མཚོན་ ལ་དོ་སྣང་གྱིས་དང་།
༡། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ l × b རེད། l ནི་ དཀྱུས་ དང་ b ནི་ཞེང་རེད། གྲུ་བཞི་ནར་
མོའི་དཀྱུས་ཀྱི་ཚད་གཞི་ 5 འཕར་བས།
དཀྱུས་གསར་པ་ནི་ (l + 5) དང་། ཞེང་གི་ ཚད་གཞི་ 3 ཆག་པས། ཞེང་གསར་པ་ནི་
l b
b−3 l+5
(b − 3) ཡིན། དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་གསར་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ (l + 5) × (b − 3) རེད།
༢། ང་ཚོས་ཅ་དངོས་ཉོ་སྐབས་སུའང་སྒྱུར་རྩིས་རྒྱག་གི་ཡོད། དཔེར་ན། ངང་ལག་ཌ་ཚན་གཅིག་གི་རིན་གོང་། = ` p
འཛིན་གྲྭའི་གླིང་ཁའི་ཆེད་དགོས་པའི་ངང་ལག་གྲངས་ = ཌ་ཚན་ z དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་ = ` p × z
གལ་ཏེ་ངང་ལག་ཌ་ཚན་གཅིག་གི་གོང་ ` 2 ཆག་པ་དང་དགོས་མཁོའི་ངང་ལག་གྲངས་ཌ་ཚན་ 4 ཉུང་ དུ་འགྲོ་བ་ཡིན་ན།
ངང་ལག་ཌ་ཚན་གཅིག་གི་རིན་གོང་། = ` (p − 2) དགོས་མཁོའི་ངང་ལག་གྲངས་ = ཌ་ཚན་ (z − 4)
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་སྤྲོད་དགོས་པའི་དངུལ་ = ` (p − 2) × (z − 4)
94
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས།
༨་༧ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་སྒྱུར་བ། Multiplying a monomial by a monomial ༨་༧་༡ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གཉིས་སྒྱུར་བ། དཔེ་མཚོན།
(༡) 4 × x = x + x + x + x = 4x
(༢) 4 × 3x = 3x + 3x + 3x + 3x = 12x
(༣) x × 3y = x × 3 × y = 3 × x × y = 3xy
(༤) 4x × 3y = 4 × x × 3 × y = 4 × 3 × x × y = 12xy
(༥) 4x × (− 3y) = 4 × x × (− 3) × y = 4 × (− 3) × x × y = − 12xy (༦) 5x × 4x2 = (5 × 4) × (x × x2) = 20 × x3 = 20x3
(༧) 5x × (− 4xyz) = (5 × − 4) × (x × xyz) = − 20 × (x × x × yz) = − 20x2yz མཆན། གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ནང་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ཚང་མའི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཀྱང་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་རེད། ༨་༧་༢ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གསུམ་སྒྱུར་བ། གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ལ་ལྟོས་དང་།
(༡) 2a × 5b × 7c = (2a × 5b) × 7c = 10ab × 7c = 70abc
(༢) 4xy × 5x2y2 × 6x3y3 = (4xy × 5x2y2) × 6x3y3 = 20x3y3 × 6x3y3 = 120x3y3 × x3y3 = 120 (x3 × x3) × (y3 × y3) = 120x6 × y6 = 120x6y6
མཆན། ཐོག་མར་ང་ཚོས་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གཉིས་བསྒྱུར་ཏེ། དེ་གཉིས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་དང་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གསུམ་ པ་དེ་སྒྱུར་གྱི་ཡོད། ཐབས་ལམ་འདི་ནི་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྲངས་དུ་མའི་སྒྱུར་རྩིས་ལའང་བེད་སྤྱོད་བྱས་ཆོག ཐབས་ལམ་གཞན་ནི།
4xy × 5x2y2 × 6x3y3 = (4 × 5 × 6) × (x × x2 × x3) × (y × y2 × y3) = 120x6y6 རྩིས་དཔེ། ༣ སྤྲད་ཟིན་པའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་སྤྱད་དེ་གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ཁ་སྐོངས། ལན།
དཀྱུས། 3x 9y 4ab 2l2m
ཞེང་།
5y 4y 5bc 3lm2
རྒྱ་ཁྱོན།
3x × 5y = 15xy
95
རྩིས་རིག
༡། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) 4, 7p
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༢
(ཁ) − 4p, 7p
(ག) − 4p, 7pq
(ང) 4p3, − 3p
༢། གཤམ་གསལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་སོ་སོར་སྤྲད་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) p, q
(ཁ) 10m, 5n
༣། གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་སྐོངས། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་པོ།
ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གཉིས་པ། 2x − 5y 3x2 − 4xy 7x2y − 9x2y2
༤། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) xy, yz, zx
(ང) a, 2b, 3c, 6abc
(ག) 20x2, 5y2
2x
− 5y
4x2
(ང) 4x, 3x2
3x2
− 4xy
(ཅ) 4p, 0
(ཅ) 3mn, 4np
7x2y
− 9x2y2
− 15x2y
(ཁ) a, − a2, a3
(ཅ) m, − mn, mnp
(ག) 2, 4y, 8y2, 16y3
༨་༨ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་ཚན་མང་ཚུལ་སྒྱུར་བ། Multiplying a monomial by a polynomial ༨་༨་༡ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་ཉིས་ཚན་ཚུལ་སྒྱུར་བ།
ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ 4x ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ 5y + 2 ཀྱིས་སྒྱུར་ན། དེ་ནི།
4x × (5y + 2) = (4x × 5y) + (4x × 2) = 20xy + 8x
དེ་མཚུངས། (− 4x) × (− 5y + 2) = (− 4x) × (− 5y) + (− 4x) × (2) = 20xy − 8x དང་།
རྩིས་དང་།
5xy × (y2 + 3) = (5xy × y2) + (5xy × 3) = 5xy3 + 15xy
བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
96
(ཀ) 5x (3x + 2xy)
(ཁ) a2 (2ab − 5c)
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། ༨་༨་༢ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་སུམ་ཚན་ཚུལ་སྒྱུར་བ།
3p × (4p2 + 5p + 7) = (3p × 4p2) + (3p × 5p) + (3p × 7) = 12p3 + 15p2 + 21p
(བགོ་སྲོལ་སྤྱད་ནས།)
རྩིས་དཔེ། ༤ སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ་བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ། ལན།
(ཀ) x = 1 སྐབས་ x (x − 3) + 2
(ཁ) y = − 2 སྐབས་ 3y (2y − 7) − 3 (y − 4) − 63
(ཀ) x (x − 3) + 2 = x2 − 3x + 2 x = 1 སྐབས།
x2 − 3x + 2 = (12) − 3 (1) + 2 = 1 − 3 + 2 = 0
(ཁ) 3y (2y − 7) − 3 (y − 4) − 63 = 6y2 − 21y − 3y + 12 − 63 = 6y2 − 24y − 51
y = − 2 སྐབས།
6y2 − 24y − 51 = 6 (− 2)2 − 24 (− 2) − 51 = 6 × 4 + 48 − 51 = 24 + 48 − 51 = 72 − 51 = 21 རྩིས་དཔེ། ༥ སྡོམས། ལན།
(ཀ) 5m (3 − m) དང་ 6m2 − 13m
(ཁ) 4y (3y2 + 5y − 7) དང་ 2 (y3 − 4y2 + 5)
(ཀ) ཚུལ་དང་པོ་ = 5m (3 − m) = (5m × 3) − (5m × m) = 15m − 5m2 ཚུལ་གཉིས་པ་ = 6m2 − 13m
ཚུལ་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ་ = 15m − 5m2 + 6m2 − 13m = m2 + 2m
(ཁ) ཚུལ་དང་པོ་ = 4y (3y2 + 5y − 7) = (4y × 3y2) + (4y × 5y) + (4y × − 7) = 12y3 + 20y2 − 28y
ཚུལ་གཉིས་པ་ = 2 (y3 − 4y2 + 5) = (2 × y3) + (2 × − 4y2) + (2 × 5) = 2y3 − 8y2 + 10
97
རྩིས་རིག ཚུལ་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ།
12y3 + 20y2 − 28y + 10 + 2y3 − 8y2 14y3 + 12y2 − 28y + 10
རྩིས་དཔེ། ༦ 2pq (p + q) ནས་ 3pq (p − q) འཐེན། ལན།
2pq (p + q) = 2p2q + 2pq2 དང་། 3pq (p − q) = 3p2q − 3pq2
2p2q + 2pq2 ནས་ 3p2q − 3pq2 འཐེན་ན། 2p2q
+
2pq2
3p2q − 3pq2 (−) (+) − p2q + 5pq2
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༣
༡། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) 4p, q + r
(ཅ) pq + qr + rp, 0
༢། རེའུ་མིག་སྐོངས།
(ཁ) ab, a − b
ཚུལ་དང་པོ། a
ཚུལ་གཉིས་པ།
(ཁ)
x+y−5
5xy
p
6p2 − 7p + 5
4p2q2
p2 − q2
(ཅ)
a+b+c
abc
(ཀ)
(ག) (ང)
༣། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) (a2) × (2a22) × (4a26)
98
(ག) a + b, 7a2b2
b+c+d
(ཁ)
(ང) a2 − 9, 4a
བསྒྱུར་ཐོབ།
( 32 xy( × ( − 109 x y ( 2 2
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། (ག)
(− 130 pq ( × ( 56 p q( 3
(ང) x × x2 × x3 × x4
3
1 ༤། (ཀ) 3x (4x − 5) + 3 སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ། (༡) x = 3 (༢) x = སྐབས་ཚུལ་དེའི་ཐང་ཚོལ། 2 (ཁ) a (a2 + a + 1) + 5 སྟབས་བདེ་བཟོས་ཏེ། (༡) a = 0 (༢) a = 1 (༣) a = − 1 སྐབས་ ཚུལ་དེའི་ཐང་ཚོལ།
༥། (ཀ) སྡོམས། p (p − q), q (q − r) དང་ r (r − p) (ཁ) སྡོམས། 2x (z − x − y) དང་ 2y (z − x − y)
(ག) འཐེན། 4l (10n − 3m + 2l) ནས་ 3l (l − 4m + 5n)
(ང) འཐེན། 4c (− a + b + c) ནས་ 3a (a + b + c) − 2b (a − b + c)
༨་༩ ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་གྱིས་སྒྱུར་བ། Multiplying a polynomial by a polynomial ༨་༩་༡ ཉིས་ཚན་ཚུལ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་གྱིས་སྒྱུར་བ།
ཉིས་ཚན་ཚུལ་ (2a + 3b) ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ (3a + 4b) ཡིས་བསྒྱུར་བ་ཡིན་ན།
(བགོ་སྲོལ་ལས།)
(3a + 4b) × (2a + 3b) = 3a × (2a + 3b) + 4b × (2a + 3b)
= 3a × 2a + 3a × 3b + 4b × 2a + 4b × 3b = 6a2 + 9ab + 8ab + 12b2
= 6a2 + 17ab + 12b2 རྩིས་དཔེ། ༧ སྒྱུར།
ལན།
(ཀ) (x − 4) དང་ (2x + 3)
(ཚན་མཐུན་སྡོམ་པ།)
(ཁ) (x − y) དང་ (3x + 5y)
(ཀ) (x − 4) × (2x + 3) = x × (2x + 3) − 4 × (2x + 3)
= x × 2x + x × 3 − 4 × 2x − 4 × 3 = 2x2 + 3x − 8x − 12
= 2x2 − 5x − 12 (ཁ) (x − y) × (3x + 5y) = x × (3x + 5y) − y × (3x + 5y)
= x × 3x + x × 5y − y × 3x − y × 5y = 3x2 + 5xy − 3yx − 5y2 = 3x2 + 2xy − 5y2
99
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༨ (a2 + 2b2) དང་ (5a − 3b) སྒྱུར།
ལན།
(a2 + 2b2) × (5a − 3b)
= a2 × (5a − 3b) + 2b2 × (5a − 3b)
= 5a3 − 3a2b + 10ab2 − 6b3
༨་༩་༢ ཉིས་ཚན་ཚུལ་ལ་སུམ་ཚན་ཚུལ་གྱིས་སྒྱུར་བ།
(a + 7) × (a2 + 3a + 5) = a × (a2 + 3a + 5) + 7 × (a2 + 3a + 5) = a3 + 3a2 + 5a + 7a2 + 21a + 35 = a3 + (3a2 + 7a2) + (5a + 21a) + 35 = a3 + 10a2 + 26a + 35 རྩིས་དཔེ། ༩ སྟབས་བདེ་བཟོས། (a + b) (2a − 3b + c) − (2a − 3b) c ལན།
(a + b) (2a − 3b + c) = a × (2a − 3b + c) + b × (2a − 3b + c) = 2a2 − 3ab + ac + 2ab − 3b2 + bc
= 2a2 − ab − 3b2 + bc + ac
(2a − 3b) c = 2ac − 3bc དེར་བརྟེན།
(a + b) (2a − 3b + c) − (2a − 3b) c = 2a2 − ab − 3b2 + bc + ac − (2ac − 3bc) = 2a2 − ab − 3b2 + bc + ac − 2ac + 3bc = 2a2 − ab − 3b2 + (bc + 3bc) + (ac − 2ac) = 2a2 − 3b2 − ab + 4bc − ac
༡། ཉིས་ཚན་ཚུལ་རྣམས་སྒྱུར།
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༤
(ཀ) (2x + 5) དང་ (4x − 3)
(ག) (2.5l − 0.5m) དང་ (2.5l + 0.5m)
(ཅ) (2pq + 3q2) དང་ (3pq − 2q2)
100
(ཁ) (y − 8) དང་ (3y − 4)
(ང) (a + 3b) དང་ (x + 5)
(
(
(
2 (ཆ) 3 a2 + 3b2 དང་ 4 a2 − b2 3 4
(
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། ༢། བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ།
(ཀ) (5 − 2x) (3 + x)
(ག) (a2 + b) (a + b2)
༣། སྟབས་བདེ་བཟོས།
(ཀ) (x2 − 5) (x + 5) + 25 (ག) (t + s2) (t2 − s)
(ཁ) (x + 7y) (7x − y)
(ང) (p2 − q2) (2p + q)
(ཁ) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5
(ང) (a + b) (c − d) + (a − b) (c + d) + 2 (ac + bd) (ཅ) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x − y) (ཆ) (x + y) (x2 − xy + y2)
(ཇ) (1.5x − 4y) (1.5x + 4y + 3) − 4.5x + 12y (ཉ) (a + b + c) (a + b − c)
༨་༡༠ གཏན་མཚུངས། Identity
མཉམ་བྱ་ (a + 1) (a + 2) = a2 + 3a + 2 ལ་ཆ་བཞག
ང་ཚོས་ a ཡི་ཐང་མི་འདྲ་བ་བླངས་ཏེ་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་བཤེར་རྩིས་རྒྱག་གི་ཡིན།
a = 10 སྐབས། LHS = (a + 1) (a + 2) = (10 + 1) (10 + 2) = 11 × 12 = 132
RHS = a2 + 3a + 2 = 102 + 3 × 10 + 2 = 100 + 30 + 2 = 132
དེར་བརྟེན། a = 10 སྐབས་མཉམ་བྱའི་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ཐང་གཅིག་པ་རེད། a = − 5 སྐབས།
LHS = (a + 1) (a + 2) = (− 5 + 1) (− 5 + 2) = (− 4) × (− 3) = 12 RHS = a2 + 3a + 2 = (− 5)2 + 3 × − 5 + 2 = 25 − 15 + 2 = 10 + 2 = 12
དེར་བརྟེན། a = − 5 སྐབས། LHS = RHS
གོང་གི་དཔེ་མཚོན་ནང་ a ཡིས་ཐང་གང་རུང་ཞིག་ལེན་སྐབས་ LHS = RHS ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ། དེ་འདྲ་ བའི་མཉམ་བྱ་ལ་གཏན་མཚུངས་ཟེར། གཏན་མཚུངས་ནང་རྒྱུའི་ཐང་ཚང་མའི་སྐབས་སུ་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ ཐང་གཅིག་མཚུངས་གནས་ཀྱི་ཡོད།
དེར་བརྟེན། (a + 1) (a + 2) = a2 + 3a + 2 ནི་གཏན་མཚུངས་རེད།
མཉམ་བྱ་འགའི་ནང་རྒྱུའི་ཐང་ངེས་ཅན་ཞིག་གི་སྐབས་མ་གཏོགས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ཐང་གཅིག་པ་གནས་ཀྱི་མེད།
101
རྩིས་རིག དཔེར་ན།
མཉམ་བྱ་ a2 + 3a + 2 = 132 ལ་ཆ་ཞོག
a = 10 སྐབས། LHS = a2 + 3a + 2 = 102 + 3 × 10 + 2 = 100 + 30 + 2 = 132 = RHS
a = − 5 སྐབས། LHS = a2 + 3a + 2 = (− 5)2 + 3 × − 5 + 2 = 25 − 15 + 2 = 12 ≠ RHS a = 0 སྐབས།
LHS = a2 + 3a + 2 = 02 + 3 × 0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 ≠ RHS
དེར་བརྟེན། མཉམ་བྱ་ a2 + 3a + 2 = 132 ནི་གཏན་མཚུངས་མིན།
༨་༡༡ ཚད་ལྡན་གཏན་མཚུངས། Standard identities
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་གཞི་རྩའི་གཏན་མཚུངས་འགའ་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། གཏན་མཚུངས་འདི་དག་ ནི་ཉིས་ཚན་ཚུལ་གཉིས་ཕན་ཚུན་བསྒྱུར་ཏེ་གྲུབ་པ་ཞིག་ཡིན། • (a + b) (a + b) ཡང་ན་ (a + b)2
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
དེར་བརྟེན།
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a − b)2 = (a − b) (a − b)
(ab = ba ཡིན་པས།) (༡)
= a (a − b) − b (a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2 དེར་བརྟེན།
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
• (a + b) (a − b)
(༢)
(a + b) (a − b) = a (a − b) + b (a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2 དེར་བརྟེན།
102
(a + b) (a − b) = a2 − b2
(ab = ba ཡིན་པས།) (༣)
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། • (x + a) (x + b) (x + a) (x + b) = x (x + b) + a (x + b) = x2 + bx + ax + ab (༤)
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
༨་༡༢ གཏན་མཚུངས་སྤྱད་པ། Applying identities རྩིས་དཔེ། ༩ གཏན་མཚུངས་ (༡) སྤྱད་དེ་ཚོལ། ལན།
(ཀ) (2x + 3y)2
(ཁ) 1052
(ཀ) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 (2x) (3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
(ཁ)
1052 = (100 + 5)2
= 1002 + 2 × 100 × 5 + 52 = 10000 + 1000 + 25 = 11025
(གཏན་མཚུངས་ (༡) སྤྱོད་པ།) (གཏན་མཚུངས་ (༡) སྤྱོད་པ།)
རྩིས་དཔེ། ༡༠ གཏན་མཚུངས་ (༢) སྤྱད་དེ་ཚོལ། ལན།
(ཀ) (4p − 5q)2
(ཁ) (4.9)2
(ཀ) (4p − 5q)2 = (4p)2 − 2 (4p) (5q) + (5q)2 = 16p2 − 40pq + 25q2
(ཁ)
(4.9)2 = (5.0 − 0.1)2
(གཏན་མཚུངས་ (༢) སྤྱོད་པ།)
= (5.0)2 − 2 (5.0) (0.1) + (0.1)2 (གཏན་མཚུངས་ (༢) སྤྱོད་པ།)
= 25.00 − 1.00 + 0.01 = 24.01
རྩིས་དཔེ། ༡༡ གཏན་མཚུངས་ (༣) སྤྱད་དེ་ཚོལ།
(
((
(ཀ) 3 m + 2 n 3 m − 2 n 2 3 2 3
(
(ཁ) 9832 − 172
(ག) 194 × 206
103
རྩིས་རིག ལན།
(
((
( ( ( ( ( 2
2
(ཀ) 3 m + 2 n 3 m − 2 n = 3 m − 2 n = 9 m2 − 4 n2 2 3 2 3 2 3 4 9 (ཁ) 9832 − 172 = (983 + 17) (983 − 17) = 1000 × 966 = 966000
(ག) 194 × 206 = (200 − 6) (200 + 6) = 2002 − 62 = 40000 − 36 = 39964
རྩིས་དཔེ། ༡༢ གཏན་མཚུངས་ (༤) སྤྱད་དེ་ཚོལ།
ལན།
(ཀ) 501 × 502
(ཁ) 95 × 103
(ཀ) 501 × 502 = (500 + 1) × (500 + 2)
= 5002 + (1 + 2) × 500 + 1 × 2 = 250000 + 1500 + 2 = 251502
(ཁ) 95 × 103 = (100 − 5) × (100 + 3)
= 1002 + (−5 + 3) × 100 + (−5) × 3
= 10000 − 200 − 15 = 9785
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༥
༡། གཏན་མཚུངས་གང་འོས་སྤྱད་དེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) (x + 3) (x + 3)
(ག) (2a − 7) (2a − 7)
(ཅ) (1.1m + 0.4) (1.1m − 0.4) (ཇ) (6x − 7) (6x + 7)
104
(ཁ) (2y + 5) (2y + 5)
(
((
(
(ང) 3a − 1 3a − 1 2 2
(ཆ) (a2 + b2) (− a2 + b2)
(ཉ)
( 2x + 3y4 ( ( 2x + 3y4 (
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་དང་གཏན་མཚུངས། ༢། གཏན་མཚུངས་ (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab སྤྱད་དེ་བསྒྱུར་ཐོབ་ཚོལ། (ཀ) (x + 3) (x + 7)
(ང) (4x + 5) (4x − 1)
༣། གཏན་མཚུངས་བེད་སྤྱད་དེ་ཚོལ། (ཀ) (b − 7)2
(
(
2
(ང) 2 m + 3 n 3 2
༤། སྟབས་བདེ་བཟོས། (ཀ) (a2 − b2)2
(ཁ) (4x + 5) (4x + 1)
(ག) (4x − 5) (4x − 1)
(ཁ) (xy + 3z)2
(ག) (6x2 − 5y)2
(ཅ) (2x + 5y) (2x + 3y) (ཅ) (0.4p − 0.5q)2
(ག) (7m − 8n)2 + (7m + 8n)2
༥། བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ།
(ཆ) (2a2 + 9) (2a2 + 5)
(ཆ) (2xy + 5y)2
(ཁ) (2x + 4)2 − (2x − 4)2
(ང) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2
(ཀ) (3x + 7)2 − 84x = (3x − 7)2
(ཁ) (9p − 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2
(
(
2
(ག) 4 m − 3 n + 2mn = 16 m2 + 9 n2 3 4 9 16 (ང) (4pq + 3q)2 − (4pq − 3q)2 = 48pq2
(ཅ) (a − b) (a + b) + (b − c) (b + c) + (c − a) (c + a) = 0
༦། གཏན་མཚུངས་སྤྱད་དེ་ཚོལ། (ཀ) 712
(ང) 9982
(ཇ) 297 × 303
(ཁ) 992
(ཅ) 5.22
(ཉ) 78 × 82
༧། a2 − b2 = (a + b) (a − b) སྤྱད་དེ་ཚོལ། (ཀ) 512 − 492
(ང) 12.12 − 7.92
(ཁ) 1532 − 1472
༨། (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab སྤྱད་དེ་ཚོལ། (ཀ) 103 × 104
(ང) 9.7 × 9.8
(ཁ) 103 × 98
(ག) 1022
(ཆ) 8.92
(ཏ) 10.5 × 9.5 (ག) (1.02)2 − (0.98)2
(ག) 5.1 × 5.2
105
རྩིས་རིག
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཚུལ་ནི་རྒྱུ་དང་རྟག་གྲངས་གཉིས་ལས་གྲུབ།
༢། ཚུལ་འགྲུབ་པར་ཚན་པ་རྣམས་སྡོམ་དགོས། ཚན་པ་ནི་བགོད་གྲངས་རྣམས་བསྒྱུར་ཏེ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད།
༣། ཚན་པ་གཅིག་ཅན་དང་། གཉིས་ཅན། གསུམ་ཅན་གྱི་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་། ཉིས་ ཚན་ཚུལ། སུམ་ཚན་ཚུལ་སོ་སོར་ཟེར། ཚན་པའི་ནང་ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་བཏགས་གྲངས་གཅིག་ གམ་ཡང་ན་དུ་མ་ཡོད་པའི་ཚུལ་ལ་ཚན་མང་ཚུལ་ཟེར།
༤། རྒྱུ་གཅིག་པ་ཡིན་པའི་ཚན་པ་ལ་ཚན་མཐུན་ཟེར། རྒྱུ་འདི་དག་གི་ཐེངས་གྲངས་ཀྱང་གཅིག་པ་རེད། ཚན་མཐུན་གྱི་བཏགས་གྲངས་གཅིག་པ་ཡིན་དགོས་པའི་ངེས་པ་མེད།
༥། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ཞིག་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གཞན་ཞིག་གིས་བསྒྱུར་པས་བསྒྱུར་ཐོབ་ཏུ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་འབྱུང་།
༦། ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱིས་སྒྱུར་སྐབས། ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱིས་ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་ཚང་ མར་རེ་རེ་བཞིན་སྒྱུར་གྱི་ཡོད།
༧། ཚན་མང་ཚུལ་ལ་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ (ཡང་ན་སུམ་ཚན་ཚུལ་) གྱིས་སྒྱུར་སྐབས། ཚན་མང་ཚུལ་གྱི་ཚན་ པ་ཚང་མར་ཉིས་ཚན་ཚུལ་ (ཡང་ན་སུམ་ཚན་ཚུལ་) གྱི་ཚན་པ་རེ་རེས་སྒྱུར་དགོས།
༨། གཏན་མཚུངས་ནི་མཉམ་བྱ་ཞིག་རེད། གཏན་མཚུངས་ནང་རྒྱུའི་ཐང་ཚང་མའི་སྐབས་སུ་ཕྱོགས་གཉིས་ ཀའི་ཐང་གཅིག་མཚུངས་གནས་ཀྱི་ཡོད། ཡིན་ནའང་། མཉམ་བྱ་འགའི་ནང་རྒྱུའི་ཐང་ངེས་ཅན་ ཞིག་གི་སྐབས་མ་གཏོགས་ཕྱོགས་གཉིས་ཀའི་ཐང་གཅིག་པ་གནས་ཀྱི་མེད།
༩། ཚད་ལྡན་གཏན་མཚུངས་འགའ།
(༡) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(༢) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(༣) (a + b) (a − b) = a2 − b2
(༤) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
106
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། སློབ་ཚན་དགུ་པ།
༩་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
༩་༡་༡ རང་བྱུང་གྲངས་ཀྱི་བགོད་གྲངས།
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་དྲུག་པར་རང་བྱུང་གྲངས་ཀྱི་བགོད་གྲངས་སྦྱངས་ཟིན་པ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། རང་བྱུང་གྲངས་ 30 ལ་ཆ་བཞག་ན།
30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 དེར་བརྟེན། 1 དང་ 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 ནི་ 30 ཡི་བགོད་གྲངས་རེད།
འདི་དག་ལས་ 2 དང་ 3, 5 ནི་རྒྱུ་གྲངས་ རེད།
30 ནི་ 1 × 30 ལྟར་འབྲི་ཐུབ། དེར་བརྟེན། 1 དང་ 30 ནི་ 30 ཡི་བགོད་གྲངས་རེད། ཁྱེད་ཀྱི་ཤེས་གསལ་ལ་ 1 ནི་གྲངས་ཚང་མའི་བགོད་གྲངས་ རེད། དཔེར་ན། 101 = 1 × 101 ཡིན་ནའང་། གྲངས་ཤིག་ གི་བགོད་གྲངས་བསྒྱུར་ནས་འབྲི་སྐབས་དམིགས་བསལ་དགོས་ མཁོ་ཡིན་ན་མ་གཏོགས་བགོད་གྲངས་ 1 འབྲི་ཡི་མེད།
གྲངས་ཤིག་རང་གི་རྒྱུ་གྲངས་རྣམས་བསྒྱུར་ནས་བྲིས་པའི་རྣམ་པ་ལ་རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ་ཟེར། དཔེར་ན། 30 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་སྐབས་ 2 × 3 × 5 ལྟར་འབྲི་ཐུབ། 70 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ་ནི་ 2 × 5 × 7 དང་།
90 རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ་ནི་ 2 × 3 × 3 × 5 སོགས།
དེ་བཞིན་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ལའང་དེ་དག་གི་བགོད་གྲངས་རྣམས་བསྒྱུར་ཏེ་མཚོན་ཐུབ་ཀྱི་རེད། དེ་མཚོན་སྟངས་
ནི་ང་ཚོས་སློབ་ཚན་འདིར་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༩་༡་༢ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་བགོད་གྲངས།
ཁྱེད་ཀྱིས་ཤེས་གསལ་ལྟར་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ནང་ཚན་པ་ནི་ཚན་པ་དེའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་བསྒྱུར་ཐོབ་ལས་ གྲུབ་ཡོད། དཔེར་ན། ཚུལ་ 5xy + 3x ནང་། ཚན་པ་ 5xy ནི་བགོད་གྲངས་ 5 དང་ x, y ལས་གྲུབ་པ་རེད།
དེ་ནི། 5xy = 5 × x × y འདིར་ 5xy ཡི་བགོད་གྲངས་ 5 དང་ x, y བཅས་ནི་ད་དུང་ཁ་བཀྲལ་ཐུབ་ཀྱི་
107
རྩིས་རིག མེད། ང་ཚོས་ 5 × x × y ལ་ 5xy ཡི་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་རྣམ་པ་ཞེས་ཟེར། 5 × (xy) ནི་ 5xy ཡི་བཀྲལ་
མི་ཐུབ་པའི་རྣམ་པ་མ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། བགོད་གྲངས་ xy ད་དུང་ཁ་བཀྲལ་ཏེ་ x བསྒྱུར་ y ལྟར་མཚོན་ཐུབ།
དེ་ནི། xy = x × y
ཚུལ་ 7x (x + 2) ལ་ཆ་བཞག་ན། དེ་བགོད་གྲངས་ 7 དང་ x, (x + 2) བཅས་བསྒྱུར་ནས་འབྲི་ཐུབ།
དེར་བརྟེན། 7x (x + 2) = 7 × x × (x + 2)
བགོད་གྲངས་ 7 དང་ x, (x + 2) བཅས་ནི་ཚུལ་ 7x (x + 2) ཡི་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་བགོད་གྲངས་རེད། དེ་བཞིན། ཚུལ་ 10x (x + 4)(y + 3) ཡི་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་རྣམ་པ་ནི་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི་དགོས། 10x (x + 4)(y + 3) = 2 × 5 × x × (x + 4) × (y + 3)
༩་༢ བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། Factorisation
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བགོད་གྲངས་སུ་འགལ ྲོ ་སྐབས་བགོད་གྲངས་རྣམས་བསྒྱུར་ནས་འབྲི་ཡི་ཡོད། བགོད་གྲངས་ནི་
གྲངས་དང་། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་རྒྱུ་འམ་ཡང་ན། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གང་རུང་ཡིན་ཆོག
ཚུལ་ 3xy, 7x2y, 2x (y + 2), 5 (y + 1) (x + 2) སོགས་ནི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ཡིན། དེ་དག་གི་ བགོད་གྲངས་ནི་བལྟས་པ་ཙམ་གྱིས་ཤེས་ཐུབ།
ཡིན་ནའང་། ཚུལ་ 2x + 4, 3x + 3y, x2 + 5x, x2 + 5x + 6 ལ་ཆ་བཞག་ན། དེ་དག་གི་བགོད་གྲངས་ རྣམས་གསལ་པོར་སྟོན་ཐུབ་ཀྱི་མེད། དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་ཚུལ་འདི་དག་གི་བགོད་གྲངས་འཚོལ་ཐབས་འགའ་ སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
༩་༢་༡ སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ། • 2x + 4 བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ།
འདིར་ཚན་པ་ཚང་མ་བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་རྣམ་པར་འབྲི་དགོས། 2x = 2 × x
4=2×2
དེར་བརྟེན།
2x + 4 = (2 × x) + (2 × 2)
བགོད་གྲངས་ 2 ནི་ཚན་པ་གཉིས་ཀའི་ནང་སྤྱི་མཐུན་ཡིན། བགོ་སྲོལ་ལས། དེར་བརྟེན།
2 × (x + 2) = (2 × x) + (2 × 2)
2x + 4 = 2 × (x + 2) = 2 (x + 2)
ཚུལ་ 2x + 4 ནི་ 2 (x + 2) དང་གཅིག་པ་རེད། ཚུལ་འདིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 2 དང་ (x + 2) རེད།
བགོད་གྲངས་འདི་དག་ད་དུང་ཁ་བཀྲལ་ཐུབ་ཀྱི་མེད།
108
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། • 5xy + 15x བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
5xy དང་ 15x ཡི་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་ནི། 5xy = 5 × x × y
15x = 3 × 5 × x
ཚན་པ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 5 དང་ x ཡོད།
5xy + 15x = (5 × x × y) + (5 × x × 3) = (5x × y) + (5x × 3)
བགོ་སྲོལ་ལས།
(5x × y) + (5x × 3) = 5x (y + 3) དེར་བརྟེན། 5xy + 15x = 5x (y + 3) (འདི་ནི་དགོས་མཁོའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པ་རེད།)
རྩིས་དཔེ། ༡ 12a2b + 15ab2 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
ལན།
12a2b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
15ab2 = 3 × 5 × a × b × b
ཚན་པ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 3 དང་ a, b ཡོད།
དེར་བརྟེན། 12a2b + 15ab2 = 3 × a × b × 2 × 2 × a + 3 × a × b × 5 × b = 3 × a × b × (2 × 2 × a + 5 × b) = 3ab × (4a + 5b) = 3ab (4a + 5b) རྩིས་དཔེ། ༢ 10x2 − 18x3 + 14x4 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
ལན།
10x2 = 2 × 5 × x × x
18x3 = 2 × 3 × 3 × x × x × x
14x3 = 2 × 7 × x × x × x × x ཚན་པ་གསུམ་གྱི་ནང་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 2 དང་ x, x ཡོད།
དེར་བརྟེན། 10x2 − 18x3 + 14x4 = 2 × x × x × 5 − 2 × x × x × 3 × 3 × x +2×x×x×7×x×x
= 2 × x × x × (5 − 3 × 3 × x + 7 × x × x) = 2x2 × (5 − 9x + 7x2)
= 2x2 (7x2 − 9x + 5)
109
རྩིས་རིག ༩་༢་༢ ཚན་པ་བསྐྱར་སྒྲིག་གིས་བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
ཚུལ་ 2xy + 2y + 3x + 3 ལ་ཆ་བཞག་ན། ཚན་པ་དང་པོ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 2 དང་ y ཡོད་པ་ དང་། ཚན་པ་མཐའ་མ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 3 ཡོད། ཡིན་ནའང་། ཚན་པ་ཚང་མའི་ནང་སྤྱིའི་བགོད་ གྲངས་ 1 ལས་མེད།
2xy + 2y བགོད་གྲངས་སུ་བཀྲོལ་ན།
2xy + 2y = (2 × x × y) + (2 × y) = (2 × y × x) + (2 × y × 1) = (2y × x) + (2y × 1) = 2y (x + 1)
དེ་བཞིན།
3x + 3 = (3 × x) + ( 3 × 1) = 3 (x + 1)
དེར་བརྟེན། 2xy + 2y + 3x + 3 = 2y (x + 1) + 3 (x + 1)
འདིར་གཡས་ཕྱོགས་ཀྱི་ཚན་པ་གཉིས་ཀའི་ནང་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ (x + 1) ཡོད། ཚན་པ་གཉིས་སྡེབ་སྦྱོར་
བྱས་པ་ཡིན་ན།
2y (x + 1) + 3 (x + 1) = (x + 1) (2y + 3)
ཚུལ་ 2xy + 2y + 3x + 3 གྱི་བགོད་གྲངས་ནི་ (x + 1) དང་ (2y + 3) རེད། བགོད་གྲངས་འདི་དག་
ད་དུང་ཁ་བཀྲལ་ཐུབ་ཀྱི་མེད། ཚུལ་གྱི་བསྐྱར་སྒྲིག
གལ་ཏེ་གོང་གི་ཚུལ་ 2xy + 3 + 2y + 3x ལྟར་སྤྲད་ཡོད་ན། དེའི་བགོད་གྲངས་ལས་སླ་པོར་འཚོལ་ཐུབ་
ཀྱི་མེད། ཚུལ་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་ 2xy + 2y + 3x + 3 ལྟར་བྲིས་པ་ཡིན་ན། ང་ཚོས་ (2xy + 2y) དང་ (3x + 3) ཡི་སྡེ་ཚན་བཟོས་ཏེ་བགོད་གྲངས་འཚོལ་ཐུབ། དེ་ལ་ཚུལ་གྱི་བསྐྱར་སྒྲིག་ཟེར།
ཚུལ་གྱི་བསྐྱར་སྒྲིག་ནི་ཐབས་ལམ་གཅིག་ལས་མང་བ་བྱེད་ཐུབ། གལ་ཏེ་གོང་གི་ཚུལ་ 2xy + 3x + 2y + 3 ལྟར་བྲིས་པ་ཡིན་ནའང་བགོད་གྲངས་འཚོལ་ཐུབ།
2xy + 3x + 2y + 3 = 2 × x × y + 3 × x + 2 × y + 3 = x × (2y + 3) + 1 × (2y + 3) = (2y + 3) (x + 1)
མཆན། བགོད་གྲངས་ (x + 1) (2y + 3) དང་ (2y + 3) (x + 1) གཉིས་ཀྱི་གོ་རིམ་མི་འདྲ་བ་ཡིན་ ནའང་། དོན་དངོས་སུ་བགོད་གྲངས་གཉིས་གཅིག་པ་རེད།
110
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། རྩིས་དཔེ། ༣ 6xy − 4y + 6 − 9x བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ། ལན།
གོམ་པ་ ༡།
གོམ་པ་ ༢།
ཚན་པ་ཚང་མའི་ནང་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 1 མིན་པའི་བགོད་གྲངས་གཞན་འདུག་གམ་ལྟོས། མི་འདུག ཚན་པ་དང་པོ་གཉིས་ལ་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ 2y ཡོད།
(ཀ)
6xy − 4y = 2y (3x − 2)
ཚན་པ་མཐའ་མ་གཉིས་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་ན།
− 9x + 6 = − 3 (3x) + 3 (2)
(ཁ)
= − 3 (3x − 2)
གོམ་པ་ ༣། (ཀ) དང་ (ཁ) ལས།
6xy − 4y + 6 − 9x = 6xy − 4y − 9x + 6
= 2y (3x − 2) − 3 (3x − 2) = (3x − 2) (2y − 3)
དེར་བརྟེན། 6xy − 4y + 6 − 9x = (3x − 2) (2y − 3)
༡། ཚན་པ་ཁག་གི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཚོལ། (ཀ) 12x, 36
(ང) 2x, 3x2, 4
(ཇ) 16x3, − 4x2, 32x
༢། བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ། (ཀ) 7x − 42
(ང) − 16z + 20z3
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༡
(ཁ) 2y, 22xy
(ག) 14pq, 28p2q2
(ཁ) 6p − 12q
(ག) 7a2 + 14a
(ཅ) 10pq, 20qr, 30rp
(ཉ) 3x2y3, 10x3y2, 6x2y2z (ཅ) 5x2y − 15xy2
(ཇ) 10a2 − 15b2 + 20c2 (ཉ) − 4a2 + 4ab − 4ca
༣། ཚན་པ་བསྐྱར་སྒྲིག་གིས་བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ། (ཀ) x2 + xy + 8x + 8y
(ག) ax + bx − ay − by
(ཅ) z − 7 + 7xy − xyz
(ཆ) 6abc, 24ab2, 12a2b
(ཆ) 20l2m + 30alm
(ཏ) x2yz + xy2z + xyz2
(ཁ) 15xy − 6x + 5y − 2
(ང) 15pq + 15 + 9q + 25p
111
རྩིས་རིག ༩་༢་༣ གཏན་མཚུངས་བེད་སྤྱད་དེ་བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ང་ཚོས་སྦྱངས་ཟིན་པའི་གཏན་མཚུངས་འགའ། (༡)
(༢) (༣)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
a2 − b2 = (a + b) (a − b)
གོང་གི་གཏན་མཚུངས་རྣམས་བེད་སྤྱད་དེ་བགོད་གྲངས་ལ་འགྲོལ་སྟངས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། རྩིས་དཔེ། ༤ x2 + 8x + 16 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
ལན།
ཚུལ་ x2 + 8x + 16 ནང་ཚན་པ་གསུམ་ཡོད།
དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་གཏན་མཚུངས་ (༣) བེད་སྤྱོད་བྱེད་མི་ཐུབ། ཚན་པ་དང་པོ་དང་གསུམ་པ་ནི་
ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་ཡིན་པ་དང་། དཀྱིལ་ཚན་གྱི་མདུན་ལ་ཕོ་རྟགས་ཡོད་པས། a2 + 2ab + b2
ཡི་རྣམ་པར་ཡོད་པ་དང་། a = x དང་ b = 4 རེད།
x2 + 8x + 16 = x2 + 2 × x × 4 + 42 = (x + 2)2
རྩིས་དཔེ། ༥ 4y2 − 12y + 9 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ། ལན།
4y2 = (2y)2 དང་ 9 = 32, 12y = 2 × 2y × 3
4y2 − 12y + 9 = (2y)2 − 2 × 2y × 3 + 32
[a2 + 2ab + b2 = (a + b)2]
[a2 − 2ab + b2 = (a − b)2]
= (2y − 3)2
རྩིས་དཔེ། ༦ 64p2 − 25 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ། ལན།
འདིར་ཚན་པ་གཉིས་ཀ་ཉིས་སྒྱུར་ཡིན་པ་དང་། ཚུལ་ a2 − b2 ཡི་རྣམ་པར་ཡིན་པས།
གཏན་མཚུངས་ (༣) བེད་སྤྱོད་བྱེད་དགོས། 64p2 − 25 = (8p)2 − (5)2
= (8p + 5) (8p − 5)
རྩིས་དཔེ། ༧ a2 − 2ab + b2 − c2 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
ལན།
112
ཚན་པ་དང་པོ་གསུམ་གྱིས་ (a − b)2 ཡི་རྣམ་པ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། ཚན་པ་བཞི་པ་ཡང་ཉིས་སྒྱུར་རེད། དེར་བརྟེན། ཚུལ་འདི་ཉིས་སྒྱུར་གཉིས་ཀྱི་འཐེན་རྩིས་ལྟར་བྱས་ཆོག
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། གཏན་མཚུངས་ (༢) སྤྱོད་པ།
a2 − 2ab + b2 − c2 = (a − b)2 − c2
= [(a − b) + c] [(a − b) − c] གཏན་མཚུངས་ (༣) སྤྱོད་པ། = (a − b + c) (a − b − c) རྩིས་དཔེ། ༨ m4 − 256 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ། ལན།
m4 = (m2)2 དང་ 256 = (16)2
m4 − 256 = (m2)2 − 162
= (m2 − 16) (m2 + 16)
(གཏན་མཚུངས་ (༣) སྤྱོད་པ།)
(m2 + 16) ནི་ད་དུང་ཁ་བཀྲལ་མི་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། (m2 − 16) ནི་གཏན་མཚུངས་ (༣) བེད་སྤྱད་དེ་ཁ་བཀྲལ་ཐུབ། (m2 − 16) = m2 − 42
= (m − 4) (m + 4)
དེར་བརྟེན། m4 − 256 = (m − 4) (m + 4) (m2 + 16)
༩་༢་༤ བགོད་གྲངས་ (x + a) (x + b) ཡི་རྣམ་པ།
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ x2 + 5x + 6, y2 − 7y + 12, z2 − 4z − 12, 3m2 + 9m + 6 ལ་ཆ་བཞག་ན།
ཚུལ་འདི་དག་ནི་ (a + b)2 ཡང་ན། (a − b)2 ཡི་རྣམ་པར་མེད་པས། ཚུལ་དེ་དག་ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག་མིན།
དཔེར་ན། ཚུལ་ x2 + 5x + 6 ནང་། ཚན་པ་ 6 ནི་ཉིས་སྒྱུར་མིན། ཚུལ་འདི་དག་ a2 − b2 ཡི་རྣམ་པའང་
མིན། བྱས་ན་ཚུལ་འདི་དག་གཏན་མཚུངས་ x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b) ཡི་རྣམ་པ་ཡིན་ མིན་གཤམ་གྱི་དཔེ་མཚོན་ནང་ལྟ་རྒྱུ་ཡིན།
རྩིས་དཔེ། ༩ x2 + 5x + 6 བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
ལན།
གལ་ཏེ་གཏན་མཚུངས་ (༤) པའི་ RHS དང་ཚུལ་ x2 + 5x + 6 བསྡུར་བ་ཡིན་ན། ab = 6 དང་ a + b = 5 རེད། འདི་ནས་ a དང་ b ཤེས་ན། བགོད་གྲངས་གཉིས་ནི་ (x + a) དང་
(x + b) རེད། ab = 6 ཡིན་ན། a དང་ b གཉིས་ནི་ 6 གི་བགོད་གྲངས་རེད།
གལ་ཏེ་ a = 6 དང་ b = 1 ཡིན་ན། a + b = 7 ≠ 5 དེར་བརྟེན། ཚོད་དཔག་འདི་ནོར་ཡོད།
གལ་ཏེ་ a = 2 དང་ b = 3 ཡིན་ན། a + b = 5 ཡིན་པས་དགོས་མཁོའི་གྲངས་རེད།
དེར་བརྟེན།
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3) x + 2 × 3 = (x + 2) (x + 3)
113
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༡༠ y2 − 7y + 12 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཚོལ།
ལན།
(− 3) + (− 4) = − 7 དང་། (− 3) × (− 4) = 12
y2 − 7y + 12 = y2 + (− 3 − 4) y + (− 3 × − 4) = (y − 3) (y − 4)
ཐབས་ལམ་གཞན།
y2 − 7y + 12 = y2 − 3y − 4y + 12 = y (y − 3) − 4 (y − 3) = (y − 3) (y − 4) རྩིས་དཔེ། ༡༡ z2 − 4z − 12 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཚོལ།
ལན།
ab = − 12 དང་། a དང་ b གཉིས་ལས་གང་རུང་གཅིག་མོ་གྲངས་ཡིན་པ་དང་།
a + b = − 4 ཡིན་པས། ཨང་ཀི་ཆེ་བ་དེ་མོ་གྲངས་རེད།
གལ་ཏེ་ a = − 4 དང་ b = 3 ལེན་ན། a + b = − 1 ཡིན་པས་ཚོད་དཔག་ནོར་ཡོད།
གལ་ཏེ་ a = − 6 དང་ b = 2 ལེན་ན། a + b = − 4 ཡིན་པས་དགོས་མཁོའི་གྲངས་རེད། z2 − 4z − 12 = z2 + (− 6 + 2) z + (− 6 × 2) = (z − 6) (z + 2)
ཐབས་ལམ་གཞན།
z2 − 4z − 12 = z2 − 6z + 2z − 12 = z (z − 6) + 2 (z − 6) = (z − 6) (z + 2)
རྩིས་དཔེ། ༡༢ 3m2 + 9m + 6 ཀྱི་བགོད་གྲངས་ཚོལ། ལན།
འདིར་ 3 ནི་ཚན་པ་ཚང་མའི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་རེད། 3m2 + 9m + 6 = 3 (m2 + 3m + 2)
ཡང་། m2 + 3m + 2 = m2 + m + 2m + 2
= m (m + 1) + 2 (m + 1) = (m + 1) (m + 2)
དེར་བརྟེན། 3m2 + 9m + 6 = 3 (m + 1) (m + 2)
114
(2 = 1 × 2 ཡིན་པས།)
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༢
༡། གཤམ་གསལ་ཚུལ་རྣམས་བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ། (ཀ) a2 + 8a + 16
(ང) 25m2 + 30m + 9 (ཇ) a4 + 2a2 b2 + b4
༢། བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ། (ཀ) 4p2 − 9q2
(ཁ) p2 − 10p + 25
(ག) 4x2 − 8x + 4
(ཁ) 63a2 − 112b2
(ག) 49x2 − 36
(ཅ) 49y2 + 84yz + 36z2 (ཆ) 121b2 − 88bc + 16c2 (ཉ) (l + m)2 − 4lm (བརྡ་སྟོན། སྔོན་ལ་ (l + m)2 ཁ་བཀྲལ།)
(ང) 16x5 − 144x3
(ཅ) 9x2y2 − 16
(ཆ) (l + m)2 − (l − m)2
(ཇ) (x2 − 2xy + y2) − z2 (ཉ) 25a2 − 4b2 + 28bc − 49c2
༣། བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ། (ཀ) ax2 − bx
(ཁ) 2x3 + 2xy2 + 2xz2
(ཇ) 10ab + 4a + 5b + 2
(ཉ) 6xy − 4y + 6 − 9x
(ག) am2 + bm2 + bn2 + an2
(ཅ) y (y + z) + 9 (y + z)
༤། བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
(ང) (lm + l) + m + 1
(ཆ) 5y2 − 20y − 8z + 2yz
(ཀ) a4 − b4
(ཁ) p4 − 81
(ཀ) p2 + 6p + 8
(ཁ) q2 − 10q + 21
(ང) x4 − (x − z)4
༥། བགོད་གྲངས་ལ་ཁྲོལ།
(ཅ) a4 − 2a2b2 + b4
(ག) x4 − (y + z)4 (ག) p2 + 6p − 16
༩་༣ ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་བགོད་རྩིས། Division of algebraic expressions
ང་ཚོས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྡོམ་རྩིས་དང་། འཐེན་རྩིས། སྒྱུར་རྩིས་བཅས་སྦྱངས་ཡོད། འདིར་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ ཚུལ་གྱི་བགོད་རྩིས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། བགོད་རྩིས་ནི་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་རྩིས་ཐབས་ལྡོག་པ་ཡིན་པ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། དཔེར་ན། 7 × 8 = 56 དང་། 56 ÷ 8 = 7 ཡང་ན། 56 ÷ 7 = 8 ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་བགོད་རྩིས་ལའང་འདི་ལྟར་བྱ་དགོས། དཔེར་ན། (ཀ) 2x × 3x2 = 6x3
དེར་བརྟེན། 6x3 ÷ 2x = 3x2 དང་། 6x3 ÷ 3x2 = 2x
115
རྩིས་རིག (ཁ) 5x2 + 20x = 5x (x + 4)
དེར་བརྟེན། (5x2 + 20) ÷ 5x = x + 4 དང་། (5x2 + 20) ÷ (x + 4) = 5x
༩་༣་༡ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱིས་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ལ་བགོ་བ། 6x3 ÷ 2x ལ་ཆ་བཞག་ན།
6x3 དང་ 2x གཉིས་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་འབྲི་དགོས། 2x = 2 × x
6x3 = 2 × 3 × x × x × x
དེར་བརྟེན། 6x3 ÷ 2x =
6x3 2 × 3 × x × x × x = = 3 × x × x = 3x2 2x 2×x
རྩིས་དཔེ། ༡༣ བགོད་རྩིས་རྒྱོབ། ལན།
(ཀ) − 20x4 ÷ 10x2
(ཁ) 7x2y2z2 ÷ 14xyz
(ཀ) − 20x4 ÷ 10x2
− 20x4 = − 2 × 2 × 5 × x × x × x × x 10x2 = 2 × 5 × x × x
དེར་བརྟེན། − 20x4 ÷ 10x2 =
−2×2×5×x×x×x×x 2×5×x×x
=−2×x×x = − 2x2
(ཁ) 7x2y2z2 ÷ 14xyz =
7×x×y×z×x×y×z 2×7×x×y×z
x×y×z 2 1 = xyz 2 =
བགོས།
(ཀ) 24xy2z3 ÷ 6yz2
116
(ཁ) 63a2b4c6 ÷ 7a2b2c3
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ༩་༣་༢ ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱིས་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་བགོ་བ།
སུམ་ཚན་ཚུལ་ 4y3 + 5y2 + 6y ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ 2y གྱིས་བགོས་ན།
4y3 + 5y2 + 6y = (2 × 2 × y × y × y) + (5 × y × y) + (2 × 3 × y) 4y3 + 5y2 + 6y = 2 × y × (2 × y × y) + 2 × y ×
འདིར་ཚན་པ་ཚང་མའི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ནི་ 2y རེད།
( 52 × y( + 2 × y × 3
( 52 y( + 2y × 3 5 = 2y ( 2y + y + 3( 2 = 2y × (2y2) + 2y × 2
དེར་བརྟེན།
(4y3 + 5y2 + 6y) ÷ 2y =
(
4y3 + 5y2 + 6y 2y
=
(
5 y+3 2 2y
2y 2y2 +
= 2y2 +
5 y+3 2
ཐབས་ལམ་གཞན། སུམ་ཚན་ཚུལ་གྱི་ཚན་པ་ཚང་མ་ལ་ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གྱིས་བགོས་ཏེ་འཚོལ་ཐུབ་ཀྱི་རེད། 4y3 + 5y2 + 6y ÷ 2y =
=
4y3 + 5y2 + 6y 2y
5 4y3 5y2 6y + + = 2y2 + y + 3 2 2y 2y 2y
རྩིས་དཔེ། ༡༤ 24 (x2yz + xy2z + xyz2) ལ་ 8xyz ཡིས་ཐབས་ལམ་གཉིས་བེད་སྤྱད་དེ་བགོས། ལན།
24 (x2yz + xy2z + xyz2)
= 2 × 2 × 2 × 3 × [(x × x × y × z) + (x × y × y × z) + (x × y × z × z)] = 2 × 2 × 2 × 3 × x × y × z × (x + y + z) = 8 × 3xyz × (x + y + z)
24 (x2yz + xy2z + xyz2) ÷ 8xyz =
8 × 3 × xyz × (x + y + z) = 3 × (x + y + z) = 3(x + y + z) 8 × xyz
117
རྩིས་རིག ཐབས་ལམ་གཞན།
24x2yz 24xy2z 24xyz2 24 (x yz + xy z + xyz ) ÷ 8xyz = + + 8xyz 8xyz 8xyz 2
2
2
= 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z) ༩་༣་༣ ཚན་མང་ཚུལ་གྱིས་ཚན་མང་ཚུལ་ལ་བགོ་བ། (7x2 + 14x) ÷ (x + 2) ལ་ཆ་ཞོག
ཐོག་མར་ང་ཚོས་ 7x2 + 14x བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲལ་ཏེ། མ་ཆ་དང་མཚུངས་པའི་བགོད་གྲངས་འཚོལ་དགོས། 7x2 + 14x = (7 × x × x) + (2 × 7 × x)
= 7 × x × (x + 2) = 7x (x + 2)
7x2 + 14x 7x (x + 2) (7x + 14x) ÷ (x + 2) = = = 7x x+2 x+2 2
རྩིས་དཔེ། ༡༥ 44 (x4 − 5x3 − 24x2) ལ་ 11x (x − 8) ཀྱིས་བགོས། ལན།
44 (x4 − 5x3 − 24x2) = 2 × 2 × 11 × x2 × (x2 − 5x − 24)
= 2 × 2 × 11 × x2 (x2 − 8x + 3x − 24)
= 2 × 2 × 11 × x2 [x (x − 8) + 3(x − 8)]
= 2 × 2 × 11 × x2 (x + 3) (x − 8) དེར་བརྟེན། 44 (x4 − 5x3 − 24x2) ÷ 11x (x − 8) =
2 × 2 × 11 × x × x (x + 3) (x − 8) 11 × x (x − 8)
= 2 × 2 × x (x + 3) = 4x (x + 3) རྩིས་དཔེ། ༡༦ z (5z2 − 80) ལ་ 5z (z + 4) ཡིས་བགོས།
ལན།
z (5z2 − 80) = z (5 × z2 − 5 × 16) = z × 5 × (z2 − 16)
= 5z × (z + 4) (z − 4)
z (5z2 − 80) ÷ 5z (z + 4) =
118
[a2 − b2 = (a + b) (a − b) ལས།]
5z × (z + 4) (z − 4) = (z − 4) 5z (z + 4)
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ།
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༣
༡། བགོས།
(ཀ) 28x4 ÷ 56x
(ཁ) − 36y3 ÷ 9y2
(ག) 66pq2r3 ÷ 11qr2
(ང) 34x3y3z3 ÷ 51xy2z3
(ཀ) (5x2 − 6x) ÷ 3x
(ཁ) (3y8 − 4y6 + 5y4) ÷ y4
(ཅ) 12a8b8 ÷ (− 6a6b4)
༢། བགོད་རྩིས་རྒྱོབ།
(ག) 8(x3y2z2 + x2y3z2 + x2y2z3) ÷ 4x2y2z2 (ང) (x3 + 2x2 + 3x) ÷ 2x
(ཅ) (p3q6 − p6q3) ÷ p3q3
༣། བགོད་རྩིས་རྒྱོབ།
(ཀ) (10x − 25) ÷ 5
(ག) 10y(6y + 21) ÷ 5(2y + 7)
(ཁ) (10x − 25) ÷ (2x − 5)
(ང) 9x2y2(3z − 24) ÷ 27xy(z − 8)
(ཅ) 96abc(3a − 12) (5b − 30) ÷ 144(a − 4)(b − 6)
༤། བགོས།
(ཀ) 5(2x + 1) (3x + 5) ÷ (2x + 1)
(ག) 20(y + 4) (y2 + 5y + 3)÷ 5(y + 4)
(ཁ) 26xy(x + 5) (y − 4) ÷ 13x(y − 4)
(ང) x(x + 1) (x + 2) (x + 3) ÷ x(x + 1)
(ཅ) 52pqr(p + q) (q + r) (r + p) ÷ 104pq(q + r) (r + p)
༥། བགོད་རྩིས་རྒྱོབ།
(ཀ) (y2 + 7y + 10) ÷ (y + 5)
(ག) (5p2 − 25p + 20) ÷ (p − 1) (ཅ) 5pq(p2 − q2) ÷ 2p(p + q)
(ཇ) 39y3(50y2 − 98) ÷ 26y2(5y + 7)
༩་༤ ཁྱེད་ཀྱིས་ནོར་འཁྲུལ་འཚོལ་ཐུབ་བམ། Can you find the error? ༡།
(ཁ) (m2 − 14m − 32) ÷ (m + 2)
(ང) 4yz(z2 + 6z − 16) ÷ 2y(z + 8)
(ཆ) 12xy(9x2 − 16y2) ÷ 4xy(3x + 4y)
དཔལ་སྐྱིད་ཀྱིས་མཉམ་བྱ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྲོལ་བ་རེད། 3x + x + 5x = 72
8x = 72
ཚན་པ་ཞིག་གི་བཏགས་གྲངས་ 1 ནི་རྒྱུན་དུ་འབྲི་ཡི་མེད། ཡིན་ ནའང་། ཚན་མཐུན་རྣམས་སྡོམ་ པའི ་ སྐབས་སུ་ང་ཚོ ས ་དེ ་ བྲི ས ་ ཏེ་སྡོམ་དགོས།
119
རྩིས་རིག x=9 མོས་ག་པར་ནོར་ཡོད་དམ། ལན་འགྲིག་པ་ཚོལ།
མོ ་ རྟགས་ཡོ ད ་པའི ་ གྲངས་བརྗེ ་ ལེ ན ་བྱེད་ སྐབས་གུག་རྟགས་བེད་སྤྱོད་བྱེད་དགོས།
༢།
ལྷག་པ་དོན་གྲུབ་ཀྱིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརྩིས་པ་རེད།
༣།
བརྩོན་འགྲུས་དང་ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་གྱི་སྒྱུར་རྩིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་བརྩིས་པ་རེད།
x = − 3 སྐབས། 5x = 5 − 3 = 2
རྩིས་སྟངས་དེ་འགྲིག་འདུག་གམ། གལ་ཏེ་ནོར་ཡོད་ན། ནོར་བཅོས་གྱིས། བརྩོན་འགྲུས།
(ཀ) 3(x − 4) = 3x − 4 ཆོ་ག་བེད་ 2 2 མ་སྤྱད་གོང་ (ཁ) (2x) = 2x ལ་དེ་རན་པོར་ (ག) (2a − 3) (a + 2) གནས་ཀྱི་ཡོད་ = 2a2 − 6 མེད་བལྟ་ (ང) (x + 8)2 = x2 + 64 དགོས། (ཅ) (x − 5)2 = x2 − 25 ༤།
ཆོས་དབྱངས།
3(x − 4) = 3x − 12
ཚན་རྐྱང་ཚུལ་ ཉིས་སྒྱུར་བྱེད་སྐབས། (2x)2 = 4x2 ཨང་ཀིའི་བཏགས་ (2a − 3) (a + 2) གྲངས་དང་བགོད་ = 2a2 + a − 6 གྲངས་རེ་རེར་ཉིས་ 2 2 (x + 8) = x + 16x + 64 སྒྱུར་བྱེད་དགོས། (x − 5)2 = x2 − 10x + 25
ཁོ་གཉིས་ཀྱི་རྩིས་སྟངས་འགྲིག་འདུག་གམ། རྒྱུ་མཚན་ཤོད།
a+5 =a+1 5 a+5 =a ཁོའི་གྲོགས་པོ་བཀྲ་ཤིས་ཀྱིས་འདི་ལྟར་བགོས་པ་རེད། 5 a+5 a = +1 ཡང་ཁོའི་གྲོགས་པོ་གཞན་ཞིག་གིས་འདི་ལྟར་བགོས་པ་རེད། 5 5 སུས་བགོད་རྩིས་ཏག་ཏག་བརྒྱབ་འདུག་གམ། སུའི་བགོད་རྩིས་ནོར་འདུག་གམ། རྒྱུ་མཚན་ཤོད།
ཚེ་དབང་གིས་འདི་ལྟར་བགོས་པ་རེད།
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༤
གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་ནང་ནོར་འཁྲུལ་ངོས་བཟུང་སྟེ་ནོར་བཅོས་གྱིས། ༡། 4(x − 5) = 4x − 5 ༢། x(3x + 2) = 3x2 + 2
༣། 2x + 3y = 5xy ༦། 3x + 2x = 5x2
༤། x + 2x + 3x = 5x ༥། 5y + 2y + y − 7y = 0 ༧། (2x)2 + 5x = 4x + 5x = 9x ༨། (2x)2 + 4(2x) + 7 = 2x2 + 8x + 7
120
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ༩། (3x + 2)2 = 3x2 + 6x + 4 ༡༠། གཤམ་གསལ་རྩིས་བརྗོད་སྐབས་ x = − 3 ཡིན་ན།
(ཀ) x2 + 5x + 4 = (− 3)2 + 5(− 3) + 4 = 9 + 2 + 4 = 15
(ཁ) x2 − 5x + 4 = (− 3)2 − 5(− 3) + 4 = 9 − 15 + 4 = − 2
(ག) x2 + 5x = (− 3)2 + 5(− 3) = − 9 − 15 = − 24
༡༡། (y − 3)2 = y2 − 9
༡༢། (z + 5)2 = z2 + 25
༡༤། (a + 4) (a + 2) = a2 + 8 ༡༧།
1 3x = 3x + 2 2
༡༣། (2a + 3b) (a − b) = 2a2 − 3b2
3x2 =0 3x2 3 1 ༡༨། = 4x + 3 4x ༡༥།
3x2 + 1 =1+1=2 3x2 4x + 5 ༡༩། =5 4x
༡༦།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་བགོད་གྲངས་ལ་འགྲོལ་སྐབས་བགོད་གྲངས་རྣམས་བསྒྱུར་ནས་འབྲི་ཡི་ཡོད། བགོད་ གྲངས་འདི་དག་གྲངས་དང་། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་རྒྱུ། ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ་ཡིན་སྲིད།
༢། གལ་ཏེ་བགོད་གྲངས་ཤིག་མུ་མཐུད་ཁ་བཀྲལ་ཐུབ་ཀྱི་མེད་ན། དེ་ལ་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་བགོད་གྲངས་ ཀྱི་རྣམ་པ་ཟེར།
༣། བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བའི་ཐབས་ལམ་ལས་སླ་ཤོས་ནི་སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་ཐབས་ལམ་རེད། དེ་ལ་
གོམ་པ་གསུམ་ཡོད། (༡) ཚན་པ་ཚང་མ་བཀྲལ་མི་ཐུབ་པའི་བགོད་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་འབྲི་དགོས།
(༢) སྤྱིའི་བགོད་གྲངས་རྣམས་ལོགས་སུ་དབྱེ་དགོས། (༣) བགོ་སྲོལ་སྤྱད་དེ་ཚན་པ་རེ་རེའི་བགོད་ གྲངས་ལྷག་མ་རྣམས་སྡེབ་སྦྱོར་བྱེད་དགོས།
༤། བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་དགོས་པའི་ཚུལ་མང་པོ་ཞིག་ནི་ a2 + 2ab + b2 དང་། a2 − 2ab + b2,
a2 − b2, x2 +(a + b) x + ab བཅས་ཀྱི་རྣམ་པར་ཡོད་པའམ་ཡང་ན་བཟོ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། ཚུལ་ འདི་དག་ང་ཚོས་གཏན་མཚུངས་ (༡) དང་ (༢), (༣), (༤) བེད་སྤྱད་དེ་བགོད་གྲངས་ལ་འགྲོལ་ཐུབ། (༡)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(༤)
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(༢) (༣)
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b) (a − b) = a2 − b2
121
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། སློབ་ཚན་བཅུ་པ།
༡༠་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་གོང་མར་སྦྱངས་པའི་འཁྱོག་ཐིག་རིགས་མི་འདྲ་བ་རྣམས་དྲན་གསོ་བྱས་ཏེ་གཤམ་གྱི་ རེའུ་མིག་ནང་དཔེ་རིས་དང་རིགས་མཐུན་སྦྱོར་གྱིས། (༡)
(༢) (༣) (༤)
དཔེ་རིས།
རིགས།
(ཀ) ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།
(ཁ) ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག་ཡིན་ནའང་དཀྱུས་མ་མིན། (ག) ཁ་ཕྱེ་བའི་འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ། (ང) འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ་མིན།
མཆན། དཔེ་རིས་གཅིག་རིགས་གཅིག་ལས་མང་བའི་ཁོངས་སུ་ཡོང་སྲིད།
༡༠་༢ དབྱིབས་མཐའ་མང་། Polygons
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་གོང་མར་སྦྱངས་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་། དབྱིབས་མཐའ་མང་ནི་ ཐིག་དུམ་ལས་གྲུབ་པའི་ཁ་ཟུམ་པའི་ཆ་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས་ཤིག་ལ་ཟེར།
འཁྱོག་ཐིག་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཅན།
122
འཁྱོག་ཐིག་དབྱིབས་མཐའ་མང་མིན་པ།
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་མཐའ་མང་དང་དབྱིབས་མཐའ་མང་མིན་པའི་དཔེ་མཚོན་འགའ་བྲིས།
༡༠་༢་༡ དབྱིབས་མཐའ་མང་དབྱེ་བ། Classification of polygons ང་ཚོས་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་རིགས་ནི་དེའི་མཐའ་འམ་ཡང་ན་ཟུར་ཚེག་གི་གྲངས་གཞིར་བཟུང་དབྱེ་བ་ འབྱེད་ཀྱི་ཡོད། མཐའ་འམ་ཡང་ན་ ཟུར་ཚེག་གི་གྲངས།
རིགས།
3
ཟུར་གསུམ་མ། (Triangle)
4
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། (Quadrilateral)
5
དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ། (Pentagon)
6
དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ། (Hexagon)
7
དབྱིབས་མཐའ་བདུན་མ། (Hectagon)
8
དབྱིབས་མཐའ་བརྒྱད་མ། (Octagon)
9
དབྱིབས་མཐའ་དགུ་མ། (Nonagon)
10
དབྱིབས་མཐའ་བཅུ་མ། (Decagon)
n
དབྱིབས་མཐའ་ n མ། (n-gon)
དཔེ་རིས།
123
རྩིས་རིག ༡༠་༢་༢ གཏད་ཐིག Diagonals བསྟུད་མ་མིན་པའི་ཟུར་ཚེག་གཉིས་མཐུད་པར་བྱེད་པའི་ཐིག་དུམ་དེ་ལ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་གཏད་ཐིག་ ཟེར། K D
S
R
P
Q
C
E A B དཔེ་རིས་ ༡༠་༡
L
M
N
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡ ནང་གི་དཔེ་རིས་རེ་རེའི་གཏད་ཐིག་གི་མིང་བྲིས། PQ དང་ LN གཏད་ཐིག་རེད་དམ།
༡༠་༢་༣ འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་དང་ཀོང་དབྱིབས་མཐའ་མང་། Convex and concave polygons གཤམ་གསལ་ནི་འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་དང་ཀོང་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་དཔེ་མཚོན་འགའ་རེད། རིས་ ༡༠་༢)
འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢
(དཔེ་
ཀོང་དབྱིབས་མཐའ་མང་།
འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་གཏད་ཐིག་གི་ཆ་ཤས་ཚང་མ་དབྱིབས་ཀྱི་ནང་རོལ་དུ་ཡོད། ཡིན་ནའང་། ཀོང་ དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་གཏད་ཐིག་འགའ་ནི་དེའི་ཕྱི་རོལ་དུ་ཡོད། མཐའ་མང་ཁོ་ན་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན།
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་འབུར་དབྱིབས་
༡༠་༢་༤ མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་དང་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་། Regular and irregular polygons
མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ནི་མཐའ་མཉམ་དང་ཟུར་མཉམ་རེད། དཔེར་ན། མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ལ་ རིང་ཚད་མཉམ་པའི་མཐའ་དང་ཟུར་ཚད་མཉམ་པའི་ཟུར་ཡོད་པས། དེ་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་རེད། གྲུ་ བཞི་ནར་མོ་ནི་ཟུར་མཉམ་ཡིན་ཡང་མཐའ་མཉམ་མིན་པས། དེ་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་རེད།
124
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས།
མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་།
༡༠་༢་༥ ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས། Angle sum property
ཁྱེད་ཀྱིས་ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས་དྲན་གསོ་བྱེད་ཐུབ་ཀྱི་འདུག་གམ། ཟུར་གསུམ་ མའི་ནང་ཟུར་གསུམ་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ 180o ཡིན་པའི་ཁྱད་ཆོས་ལ་ཟེར། འདིར་ང་ཚོས་དབྱིབས་མཐའ་
བཞི་མ་ལ་བལྟ་རྒྱུ་ཡིན། བྱེད་སྒོ།
C 2 5
༡། ཤོག་བུ་ཞིག་གི་སྟེང་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༤) དབྱིབས་དེའི་གཏད་ཐིག་བྲིས་ཏེ། དེ་ཟུར་ གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོས། དཔེ་རིས་ ༡༠་༤ ལྟར་ཁྱེད་ལ་ཟུར་
6
B
D 3
1 དང་ 2, 3, 4, 5, 6 བཅས་དྲུག་འཐོབ་ཀྱི་རེད།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༤
ཟུར་གསུམ་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ཁྱད་ཆོས་བེད་སྤྱད་
1
4 A
དེ་ ∠A དང་ ∠B, ∠C, ∠D བཅས་ཀྱི་བསམ ྡོ ས་གྲངས་ 180o + 180o = 360o འགྲུབ་སྟངས་ལ་ལྟོས།
༢། ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD (དཔེ་རིས་ ༡༠་༥་༡) ཡི་ཡོངས་མཚུངས་དཔེ་གཟུགས་བཞི་
བླངས། དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་རྣམས་བསྒྲིགས་ཏེ་དེ་དག་གི་ཟུར་ ∠1 དང་ ∠2, ∠3, ∠4 གནས་གཅིག་ཏུ་འཁེལ་བར་ཞོག (དཔེ་རིས་ ༡༠་༥་༢) C3 D4
2 1 A
(༡)
3 4 1
B
དཔེ་རིས་ ༡༠་༥
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ནི་
2
21
12 43 34
(༢)
4 3 2 1
རེད།
125
རྩིས་རིག
༡། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༡
(༡)
(༢)
(༣)
(༤)
(༥)
(༦)
(༧)
(༨)
དཔེ་རིས་རྣམས་གཤམ་གསལ་གཞིར་བཟུང་དབྱེ་བ་ཕྱེས། (ཀ) འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།
(ཁ) ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།
(ང) འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་། (ཅ) ཀོང་དབྱིབས་མཐའ་མང་།
༢། གཤམ་གསལ་དབྱིབས་ལ་གཏད་ཐིག་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
(ག) དབྱིབས་མཐའ་མང་།
(ཀ) འབུར་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། (ཁ) མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ།
(ག) ཟུར་གསུམ་མ།
༣། འབུར་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ག་ཚོད་རེད་དམ། གལ་ཏེ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་
དེ་འབུར་དབྱིབས་མིན་ཚེ་ཁྱད་ཆོས་འདི་གནས་ཐུབ་ཀྱི་རེད་དམ། (ཀོང་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་བྲིས་ ཏེ་ལྟོས།)
༤། གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ལ་རྟོག་ཞིབ་གྱིས། དཔེ་རིས། མཐའ།
ཟུར་གྱི་
3
4
5
6
1 × 180o
2 × 180o
3 × 180o
4 × 180o
o o o o བསམ ྡོ ས་གྲངས། = (3 − 2) × 180 = (4 − 2) × 180 = (5 − 2) × 180 = (6 − 2) × 180
126
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། མཐའི་གྲངས་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ཚོལ། (ཀ) 7
(ཁ) 8
(ག) 10
(ང) n
(ཀ) མཐའ་ 3
(ཁ) མཐའ་ 4
(ག) མཐའ་ 6
༥། མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གང་རེད་དམ། གཤམ་གསལ་མཐའ་ཅན་གྱི་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་ མང་གི་མིང་བྲིས།
༦། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ནང་ x ཡི་ཟུར་ཚད་ཚོལ།
50
70o
o
13
0
o
o
x
x
120 (ཀ)
60o
(ཁ)
30o
o
70
x
x
60o
x
(ག)
(ང)
༧། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ལས།
z
80 o
90o
60o
x
z
30o (ཀ) x + y + z ཚོལ།
y
w
y
o
120 x
(ཁ) x + y + z + w ཚོལ།
127
རྩིས་རིག
༡༠་༣ དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཕྱི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས། Sum of the exterior angles of a polygon བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་ཀྱི ས ་ས་སྨྱུག་བེ ད ་སྤྱད་དེ ་ ཞ་ལའི ་ སྟེང་དབྱིབས་
3 D
E 4
མཐའ་མང་ཞིག་བྲིས། དཔེ་རིས་ ༡༠་༦ ནི་དབྱིབས་མཐའ་
ལྔ་མ་ ABCDE རེད། ང་ཚོས་ཟུར་གྱི་ཁྱོན་བསྡོམས་
2
ཟུར་ཚད་ཤེས་དགོས་ཀྱི་ཡོད། དེ་ནི། m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 = ? A ནས་འགོ་བཙུགས་
A
ཏེ། AB བརྒྱུད་གོམ་པ་སྤོས། B ཐོག་སླེབས་སྐབས། ཁྱེད་
5
ཀྱིས་ཟུར་ m∠1 གི་ཁ་ཕྱོགས་བསྐོར་ཏེ། BC བརྒྱུད་
C
1 B
དཔེ་རིས་ ༡༠་༦
གོམ་པ་སྤོས། C ཐོག་སླེབས་སྐབས། ཟུར་ m∠2 ཀྱི་ཁ་ཕྱོགས་བསྐོར་ཏེ། CD བརྒྱུད་གོམ་པ་སྤོས། ཁྱེད་ རང་བསྐྱར་དུ་ B ཡོད་སར་མ་བསླེབས་བར་དུ་གོང་ལྟར་བྱ་དགོས།
ཁྱེད་ཀྱིས་བསྐོར་བ་ཆ་ཚང་གཅིག་
བརྒྱབ་ཡོད། དེར་བརྟེན། m∠1 + m∠2 + m∠3 + m∠4 + m∠5 = 360o
མཆན། དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་མཐའི་གྲངས་ག་ཚོད་ཡིན་རུང་ཁྱད་ཆོས་འདི་རང་གནས་ཀྱི་ཡོད། དེར་ བརྟེན། དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཕྱི་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ནི་ 360o རེད། རྩིས་དཔེ། ༡ དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ ནང་ x ཚོལ། ལན།
དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཕྱི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ = 360o དེར་བརྟེན། x + 90o + 50o + 110o = 360o x + 250o = 360o
རྩིས་དང་།
o
x = 110
50o
x
110o
དཔེ་རིས་ ༡༠་༨ ནང་གི་མཐའ་མཉམ་མཐའ་དྲུག་མ་ལ་ཆ་ཞོག
༡། དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མའི་ཕྱི་ཟུར་ x, y, z, p, q, r ཡི་ཟུར་ ཚད་ཀྱི་བསྡོམས་གྲངས་ག་ཚོད་རེད་དམ།
༢། x = y = z = p = q = r རེད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས།
༣། (ཀ) ནང་ཟུར་ཀྱི་ཚད་བྲིས། (ཁ) ཕྱི་ཟུར་ཀྱི་ཚད་བྲིས།
128
z
p q དཔེ་རིས་ ༡༠་༨
དཔེ་རིས་ ༡༠་༧ a
a
a
y a
a
a r
x
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། རྩིས་དཔེ། ༢ མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཕྱི་ཟུར་རེའི་ཟུར་ཚད་ 45o ཡིན་པའི་དབྱིབས་དེའི་མཐའི་
ལན།
གྲངས་ཚོལ།
ཕྱི་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ = 360o
ཕྱི་ཟུར་རེའི་ཟུར་ཚད་ = 45o ཕྱི་ཟུར་གྱི་གྲངས་ =
360 =8 45
དེར་བརྟེན། དབྱིབས་མཐའ་མང་ལ་མཐའ་ 8 ཡོད།
༡། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ནང་ x ཚོལ།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༢
125o
60o
x 125o
70o
(ཀ)
x
༢། གཤམ་གསལ་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཕྱི་ཟུར་རེ་རེའི་ཟུར་ཚད་ཚོལ། (ཀ) མཐའ་ 9
(ཁ)
(ཁ) མཐའ་ 15
༣། གལ་ཏེ་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་གི་ཕྱི་ཟུར་ 24o ཡིན་ན། དབྱིབས་མཐའ་མང་དེར་མཐའ་ ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༤། གལ་ཏེ་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་གི་ནང་ཟུར་ཚང་མ་ 165o ཡིན་ན། དབྱིབས་མཐའ་མང་ དེར་མཐའ་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༥། (ཀ) ཕྱི་ཟུར་ 22o ཡིན་པའི་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་ཡོང་སྲིད་དམ།
(ཁ) ཟུར་ཚད་ 22o ནི་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་གི་ནང་ཟུར་ཡོང་སྲིད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས།
༦། (ཀ) མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ནང་ཟུར་ཆུང་ཤོས་གང་རེད་དམ། (ཁ) མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་ཕྱི་ཟུར་ཆེ་ཤོས་གང་རེད་དམ།
129
རྩིས་རིག
༡༠་༤ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་རིགས། Kinds of quadrilaterals
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་མཐའ་དང་ཟུར་གྱི་ཁྱད་ཆོས་གཞིར་བཟུང་དེ་ལ་མིང་དམིགས་བསལ་ཡོད། ༡༠་༤་༡ སྐས་དབྱིབས། Trapezium
མཐའ་ཆ་གཅིག་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ལ་སྐས་དབྱིབས་ཟེར།
འདི་དག་སྐས་དབྱིབས་རེད།
གོང་གི་དཔེ་རིས་ལ་རྟོག་ཞིབ་བྱས་ཏེ།
འདི་དག་སྐས་དབྱིབས་མ་རེད།
དཔེ་རིས་འགའ་ཤས་སྐས་དབྱིབས་ཡིན་པ་དང་འགའ་ཤས་མིན་པའི་
རྒྱུ་མཚན་འཛིན་གྲོགས་ལྷན་དུ་གྲོས་བསྡུར་གྱིས། (མཆན། དཔེ་རིས་ནང་མདའ་རྟགས་ཀྱིས་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ མཚོན་གྱི་ཡོད།) བྱེད་སྒོ།
མཐའ་ 3 cm, 4 cm, 5 cm ཅན་གྱི་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གསུམ་བཟོས། དེ་དག་དཔེ་རིས་ ༡༠་༩ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་སྒྲིགས།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༩
m
4c
m
m
3c
5 cm
C
3c
m
4c
A
5 cm
D
5 cm
B
ཁྱེད་ལ་སྐས་དབྱིབས་ཤིག་འཐོབ་ཀྱི་རེད། དཔེ་རིས་ནང་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ངོས་ཟུངས། ཁྱེད་ཀྱིས་ཟུར་གསུམ་པོ་བེད་སྤྱད་དེ་ད་དུང་སྐས་དབྱིབས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་བཟོས།
༡༠་༤་༢ ཤོག་བྱ། Kite
ཤོག་བྱ་ནི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་དམིགས་བསལ་ཞིག་རེད། དཔེ་རིས་ནང་རྟགས་གཅིག་པ་ཡོད་པའི་མཐའ་ རྣམས་མཉམ་པ་རེད། དཔེར་ན། AB = AD དང་ BC = CD
130
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། A
D
D
B
C
C
A
འདི་དག་ཤོག་བྱ་རེད།
འདི་དག་ཤོག་བྱ་མ་རེད།
B
གོང་གི་དཔེ་རིས་ལས་ང་ཚོས་ཤོག་བྱའི་ཁྱད་ཆོས་འགའ་ཤེས་ཐུབ།
(ཀ) ཤོག་བྱ་ལ་མཐའ་བཞི་ཡོད། དེ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
(ཁ) ཤོག་བྱའི་ནང་རིང་ཚད་མཉམ་པའི་ཉེ་མཐའ་གཅིག་མཚུངས་ཆ་གཉིས་ཡོད། བྱེད་སྒོ།
A
ཤོག་ལྷེ་མཐུག་པོ་ཞིག་བླངས་ཏེ་ལྟེབ་རྩེག་རྒྱོབ། དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༠ ནང་ བསྟན་པ་བཞིན་ཐིག་དུམ་ AB དང་ BC གཉིས་བྲིས། ཇེམ་ཙེས་ཐིག་ དུམ་བརྒྱུད་དྲས་ཏེ་ཁ་ཕྱེས། ཁྱེད་ལ་འབྱུང་བའི་དབྱིབས་ནི་ཤོག་བྱ་རེད།
B
C
(དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༠) ཤོག་བྱ་དེར་ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག་འདུག་གམ།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༠
༡༠་༤་༣ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། Parallelogram
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ནི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་རེད། དབྱིབས་ཀྱི་མིང་ལས་དེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་དང་ འབྲེལ་བ་ཡོད་པ་བསྟན་གྱི་ཡོད། A
B
D
C
QP || SR Q QS || PS
A
AB || DC AD || BC
D
P S R
L O
M
LM || ON N LO || MN
འདི་དག་མཉམ་འག་ྲོ མཐའ་བཞི་མ་རེད།
B
B
AB || CD C
C
A
BC || FE AB || ED, CD || FA
D F
E
འདི་དག་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་མ་རེད།
གོང་གི་དཔེ་རིས་རྣམས་ལ་སློབ་སྦྱོང་བྱས་ཏེ། ང་ཚོས་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་གང་འདྲ་ཞིག་ལ་ཟེར་གྱི་ཡོད་
131
རྩིས་རིག པ་བསམ་བློ་ཐོངས། རང་གི་འཛིན་གྲོགས་ལྷན་དུ་གྲོས་བསྡུར་གྱིས། བྱེད་སྒོ།
༡། ཆ་ཚད་མི་འདྲ་བའི་ཤོག་པང་ནར་མོ་གཉིས་ལེན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༡) ཤོག་པང་དང་པོ།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༡
༢། ཤོག་པང་གཅིག་འཕྲེད་ལ་བཞག་སྟེ་དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༢ ནང་བསྟན་
ཤོག་པང་གཉིས་པ།
པ་བཞིན་ཤོག་པང་གི་མཐའ་བརྒྱུད་ཐིག་བྲིས།
༣། ཤོག་པང་གཞན་དེ་སྔོན་ལ་བྲིས་པའི་ཐིག་སྟེང་གསེག་ལ་བཞག་ སྟེ་དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༣ ནང་བསྟན་པ་བཞིན་ཐིག་གཉིས་བྲིས།
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༢ ༤། ཐིག་འདི་དག་བཞི་འཕྲད་དེ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་གྲུབ་ཀྱི་ཡོད། དབྱིབས་དེ་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་ལས་གྲུབ་ པ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༤)
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༣
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༤
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ནི། གཏད་མཐའ་ཆ་གཉིས་ཀ་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
༡༠་༤་༤ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱུ། Elements of a parallelogram མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ལ་མཐའ་བཞི་དང་ཟུར་བཞི་ཡོད།
མཉམ་
འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནང་། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༥) AB དང་ DC གཉིས་གཏད་མཐའ་རེད། AD དང་ BC ནི་གཏད་མཐའ་ཆ་ གཞན་རེད། ∠A དང་ ∠C དང་། ∠B དང་ ∠D ནི་གཏད་ཟུར་ཆ་
C
D
A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༥
B
གཉིས་རེད། AB དང་ BC ནི་ཉེ་མཐའ་རེད། དེ་ནི། མཐའ་གཅིག་རྫོགས་མཚམས་སུ་མཐའ་གཞན་འགོ་ འཛུགས་ཀྱི་ཡོད། དེ་བཞིན་ BC དང་ CD, CD དང་ DA , DA དང་ AB རྣམས་ཉེ་མཐའ་རེད། ∠A
132
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། དང་ ∠B ཉེ་ཟུར་རེད། དེ་དག་མཐའ་གཅིག་གི་སྣེ་གནས་རེ་ལ་ཡོད། ∠B དང་ ∠C ཡང་ཉེ་ཟུར་རེད། ཁྱེད་
ཀྱིས་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་འདིའི་ཉེ་ཟུར་ཆ་གཞན་གཉིས་ངོས་འཛིན་བྱོས་དང་། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་ མ་ ABCD ལ་ཆ་བཞག་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༦)
དེའི་གཏད་ཐིག་ AC བྲིས། འདིར། ∠1 = ∠2 དང་། ∠3 = ∠4
D
དེར་བརྟེན། ∆ABC དང་ ∆CDA ནང་།
A
∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 དང་། AC ནི་སྤྱི་མཐའ་རེད།
དེར་བརྟེན། ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆ABC ≅ ∆CDA
དེ་ལས།
AB = DC དང་། BC = AD
4
2 1
C
3
B
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༦
ཁྱད་ཆོས། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་མཐའི་རིང་ཚད་འདྲ་མཚུངས་རེད། རྩིས་དཔེ། ༣ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ ལན།
ཚད་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༧)
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་མཐའི་རིང་ཚད་གཅིག་ པ་རེད།
S
R
7 cm P
PQ = SR = 12 cm དང་། QR = PS = 7 cm
དེར་བརྟེན། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = PQ + QR + RS + SP
12 cm
Q
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༧
= 12 cm + 7 cm + 12 cm + 7 cm = 38 cm
༡༠་༤་༥ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར། Angles of a parallelogram བྱེད་སྒོ།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཞིག་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༨) ཤོག་ D' བུའི་སྟེང་དེའི་རྩེག་རིས་བྲིས་ཏེ་མིང་ A'B'C'D' ཐོགས། A'B'C'D' D C ནི་ ABCD སྟེང་ལ་གཞག དཔེ་རིས་ནང་བསྟན་པ་བཞིན་དེ་གཉིས་ཀྱི་ C' གཏད་ཐིག་འཕྲད་སའི་གནས་ལ་མཐེབ་གཟེར་རྒྱོབ། ཁྱེད་ཀྱིས་རྩེག་རིས་ A' B A དེ་ 180o བསྐོར་བ་ཡིན་ན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་གཉིས་ཕན་ཚུན་ B' ཆ་ཚང་ཁེབས་པ་དང་། A' ནི་ C སྟེང་དང་། B' ནི་ D སྟེང་ལ་ཡོད། དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༨ དེར་བརྟེན། ∠A' = ∠C = ∠A དང་། ∠B' = ∠D = ∠B
133
རྩིས་རིག D
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ལ་ཆ་བཞག་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༩) AC དང་ BD ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག་ཡིན། ∠1 = ∠2 དང་། ∠3 = ∠4
∆ABC དང་ ∆CDA ལོགས་སུ་བལྟས་པ་ཡིན་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༠) ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆ABC ≅ ∆CDA 3 A
1
B
A
4
1
དཔེ་རིས་ ༡༠་༡༩
D
C
2
3
C
B
C
4
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༠
A
དེར་བརྟེན། ∠B དང་ ∠D ཡི་ཟུར་ཚད་གཅིག་པ་རེད། དེ་མཚུངས། m∠A = m∠C
E
ཁྱད་ཆོས། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཟུར་འདྲ་མཚུངས་རེད།
x
རྩིས་དཔེ། ༤ དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༡ ནང་། LIFE ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
ལན།
2
L
x, y, z ཡི་ཐང་ཚོལ།
F དང་ L ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ LIFE ཡི་གཏད་ཟུར་རེད། དེར་བརྟེན། x = 100o (གཏད་ཟུར་ཁྱད་ཆོས།)
100o
z
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༡ y
F
I
y = x = 100o (∠x ཡི་གནས་མཐུན་ཟུར།)
z + 100 = 180o (∠z དང་ ∠y ཉེ་གསབ་ཟུར།) z = 80o
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནང་། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༢)
∠A དང་ ∠D ནི་གསབ་ཟུར་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། DC || AB
དང་། གསེག་ཐིག་ DA ཡིན་པའི་ཟུར་དེ་གཉིས་ནང་གཏད་ཟུར་རེད།
D
A
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༢
B
དེ་བཞིན། ∠A དང་ ∠B ཡང་གསབ་ཟུར་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི། AD || BC དང་། གསེག་ཐིག་ AB ཡིས་ ཟུར་དེ་གཉིས་ནང་གཏད་ཟུར་ཡིན། དཔེ་རིས་ནང་ད་དུང་གསབ་ཟུར་ཆ་གཉིས་ངོས་ཟུངས།
ཁྱད་ཆོས། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཉེ་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།
134
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། G
རྩིས་དཔེ། ༥ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ RING ནང་། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༣) m∠R = 70o ཡིན་ན། ཟུར་གཞན་རྣམས་ཚོལ།
ལན།
ཤེས་ཟིན་པ། དེར་བརྟེན།
m∠R = 70o
m∠N = 70
R
o
N
70o
I
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༣
(∠R དང་ ∠N མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཟུར།)
∠R དང་ ∠I གསབ་ཟུར་ཡིན་པས།
m∠I = 180o − 70o = 110o
དེར་བརྟེན།
m∠G = 110o (∠G ནི་ ∠I ཡི་གཏད་ཟུར་ཡིན།)
m∠R = m∠N = 70o དང་། m∠I = m∠G = 110o
༡༠་༤་༦ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག Diagonals of a parallelogram
ཁྱེད་ཀྱིས་གོང་གི་བྱེད་སའ ྒོ ི་ནང་དོ་སྣང་བྱུང་ཡོད་ན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག་གི་རིང་ཚད་ནི་འདྲ་ མཚུངས་མིན་པ་ཤེས་ཐུབ། ཡིན་ནའང་། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག་ལ་ཁྱད་ཆོས་དམིགས་བསལ་ཡོད། བྱེད་སྒོ།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་དྲས་དབྱིབས་བཟོས།
(དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༤)དེའི་གཏད་ཐིག་ AC དང་ DB གཉིས་ཕན་ཚུན་ O ལ་སྣོལ་ཀྱི་ཡོད། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ལྟེབ་རྩེག་བརྒྱབ་སྟེ་ AC
D
C A
ཡི་དཀྱིལ་གནས་ཚོལ། དཀྱིལ་གནས་དེ་ནི་ O དང་གཅིག་པ་རེད།
དེ་ནི། གཏད་ཐིག་ DB ཡིས་ O ཐོག་གཏད་ཐིག་ AC མཉམ་བགོད་བྱས་ཀྱི་ཡོད།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ལ་ཆ་བཞག་ན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༥)
ASA ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆AOB ≅ ∆COD
དེ་ལས།
AO = CO དང་། BO = DO
O
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༤
D
A
B
C O
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༥
B
ཁྱད་ཆོས། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ། ༦ དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༦ ནང་ KIND ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། འདིར། OI = 4 cm དང་ KN ནི་ DI ལས་ 5 cm རིང་བ་ཡོད། OK ཚོལ།
135
རྩིས་རིག ལན།
OI = 4 cm, OD = 4 cm
D
N
DI = 4 cm + 4 cm = 8 cm KN = DI + 5 cm = 8 cm + 5 cm = 13 cm
4 cm
O
K
I
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༦
1 དེར་བརྟེན། OK = × 13 cm = 6.5 cm 2
སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༣
༡། གཡས་ཀྱི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD སྐབས་བར་སྟོང་བསྐངས་ནས་ཁྱད་ཆོས་གང་སྤྱད་པ་དེ་ཡང་ བྲིས།
(ཀ) AD = ......... (ག) OC = .........
(ཁ) ∠DCB = .........
(ང) m∠DAB + m∠CDA = .........
༢། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཁག་ནང་གི་ x, y, z ཚོལ། y
C
O
A
B
y
o
50
x
o
0 10
z
x
(ཀ)
y x
D
30
z
o
80
x
(ག)
(ཁ)
z
y
o
(ང)
z
y o
o
40
༣། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན་ནམ། གལ་ཏེ། (ཀ) ∠D + ∠B = 180o
x 2 11
z
(ཅ)
(ཁ) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm དང་། BC = 4.4 cm
(ག) ∠A = 70o དང་ ∠C = 65o
༤། གཏད་ཟུར་མཚུངས་ཡང་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་མིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་བྲིས།
༥། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཉེ་ཟུར་གྱི་སྡུར་ཚད་ 3 : 2 རེད། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དེའི་ཟུར་ཚང་མ་ཚོལ།
136
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། E
༦། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཉེ་ཟུར་འདྲ་མཚུངས་རེད། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་ མ་དེའི་ཟུར་རྣམས་ཚོལ།
༧། དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༧ ནང་ HOPE ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། x, y, z ཡི་ཟུར་ཚད་ཚོལ། དེ་དག་འཚོལ་སྐབས་ཁྱད་ཆོས་གང་སྤྱད་པ་རྣམས་བྲིས།
༨། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༨ (ཀ) GOLD དང་དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༨ (ཁ) L
D
20
G
3y − 1
(ཀ)
16
18
3x
y
26
D
x+
(མཐའི་རིང་ཚད་ནི་ cm ནང་ཡིན།)
O
y
o
40
H
BOLD ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། x དང་ y ཚོལ།
P
x
o
70
z
O དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༧
L y+
7
B
O (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༨
༩། དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༩ ནང་ RISK དང་ CLUE ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། x ཚོལ། E
K
o
120
S
U
x
o
R
70
I C དཔེ་རིས་ ༡༠་༢༩
L
༡༠། དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༠ ནང་ KLMN ནི་སྐས་དབྱིབས་ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་བྲིས། དེའི་མཐའ་གང་གཉིས་མཉམ་ འགྲོ་ཡིན་ནམ།
N
K
M
o
100
o
80
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༠
C
D
R
S
o
L
120
A B དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༡
༡༡། དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༡ ནང་ AB || DC ཡིན་ན། m∠C ཚོལ། ༡༢། དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༢ ནང་ SP || RQ ཡིན་ན། m∠P དང་ m∠S ཚོལ།
o
130
P
Q
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༢
137
རྩིས་རིག
༡༠་༥ མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དམིགས་བསལ་འགའ། Some special parallelograms ༡༠་༥་༡ གཟེ་དབྱིབས། Rhombus བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་ཀྱིས་སྔོན་ལ་ཤོག་བྱའི་དྲས་དབྱིབས་བཟོས་པ་དྲན་གསོ་གྱིས་དང་།
ཁྱེད་ཀྱིས་ ABC བརྒྱུད་དྲས་ཏེ་དབྱིབས་ཁ་འབྱེད་སྐབས། ཁྱེད་ལ་ཤོག་བྱ་ཐོབ་ཡོད། སྐབས་འདིར། AB ≠ BC གལ་ཏེ་བྱེད་སྒོ་དེ་ AB = BC བླངས་ན། ཁྱེད་ལ་འཐོབ་པའི་ཤོག་བྱ་ནི་གཟེ་དབྱིབས་རེད། A
A
B B C
ཤོག་བྱ་དྲས་པ།
ཤོག་བྱ།
C
གཟེ་དབྱིབས་འདིའི་མཐའ་བཞི་པོ་གཅིག་མཚུངས་རེད།
གཟེ་དབྱིབས།
གཟེ་དབྱིབས་དྲས་པ།
གཟེ་དབྱིབས་ནི་མཐའ་ཚང་མ་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་རེད། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་ གཏད་མཐའ་རྣམས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པས། དེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའང་རེད།
དེར་བརྟེན། གཟེ་དབྱིབས་ལ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་ཤོག་བྱ་གཉིས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་ཚང་མ་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཁྱད་ཆོས་རྣམས་ཐོ་འགོད་བྱོས།
ཁྱད་ཆོས། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་གཏད་ཐིག་ནི་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་ཐིག་རེད།
U
རྩིས་དཔེ། ༧ BLUE ནི་གཟེ་དབྱིབས་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༣) x, y, z ཚོལ།
ལན།
x = OE = OL = 5
(གཏད་ཐིག་མཉམ་བགོད།)
y = OB = OC = 12 (གཏད་ཐིག་མཉམ་བགོད།)
z = LB = མཐའ། = 13 (མཐའ་ཚང་མ་གཅིག་མཚུངས་རེད།)
E
x
O 13 y
12
L
5
z
B དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༣
138
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས། ༡༠་༥་༢ གྲུ་བཞི་ནར་མོ། Rectangle
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ནི་ཟུར་ཚང་མ་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་ བཞི་མ་ཞིག་ཡིན། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༤)
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ནི་ཟུར་མཉམ་ཡིན་ན། ཟུར་རེའི་ཟུར་ཚད་ག་ཚོད་རེད་དམ།
xo
xo
xo
xo
o
ཟུར་རེའི་ཟུར་ཚད་ x ཡིན་པར་ཆ་ཞོག
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༤
4xo = 360o (དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་ནང་ཟུར་བསྡོམས་གྲངས་ནི་ 360o རེད།) xo = 90o
དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་རེད།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ནི་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་ཡིན།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་ཡིན་པས། དེའི་གཏད་མཐའ་རྣམས་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་ དང་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
D
A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༥
C
D
B
A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༦
C
B A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༧
B
གལ་ཏེ་ ABCD ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ (དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༥) ལས། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ ABD ལ་
ལོགས་སུ་བལྟས་པ་ཡིན་ན། [(དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༦) དང་ (དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༧) སོ་སོར།]
AB = AB
BC = AD
m∠A = m∠B = 90o
SAS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆ ABC ≅ ∆ BAD དེར་བརྟེན། AC = BD
(སྤྱི་མཐའ།)
(གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་གཏད་མཐའ།) (གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཟུར།)
ཁྱད་ཆོས། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་གཏད་ཐིག་འདྲ་མཚུངས་དང་། ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོད་ཡིན།
རྩིས་དཔེ། ༨ SAND ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༨) དེའི་གཏད་ཐིག་གཉིས་ O ལ་སྣོལ་གྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་ OS = 2x + 4 དང་ OD = 3x + 1 ཡིན་ན། x ཚོལ།
139
རྩིས་རིག OD ནི་གཏད་ཐིག་ DA ཡི་ཕྱེད་ཀ་རེད། OS ནི་གཏད་ཐིག་ SN ཡི་ཕྱེད་ཀ་རེད།
D
དེར་བརྟེན།
S
+1
SAND ནི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཡིན་པས་དེའི་གཏད་ཐིག་འདྲ་མཚུངས་རེད། དེའི་གཏད་ཐིག་ཕྱེད་ཀའང་འདྲ་མཚུངས་རེད། x=3
༡༠་༥་༣ གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། Square
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ནི་མཐའ་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་ མོ་རེད། དེར་བརྟེན། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ལ་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་གཏད་ཐིག་གཉིས། (ཀ) འདྲ་མཚུངས་རེད།
(ཁ) ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོད་རེད། (ག) དྲང་འཕྱང་རེད།
A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༨
E
C
དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཁྱད་ཆོས་ཚང་མ་ཡོད།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ལྟར་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ལ་གཏད་ཐིག་འདྲ་མཚུངས་ཡོད།
2x
+4
O
3x + 1 = 2x + 4
གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་གཏད་ཐིག་གཉིས་དྲང་འཕྱང་ཡིན་པའི་ངེས་པ་མེད།
N
3x
ལན།
O A
F
FACE ནི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེད། FA = AC = CE = EF དང་།
∠F = ∠A = ∠C = ∠E = 90o FC = AE དང་། FC ⊥ AE OF = OC དང་། OA = OE
ཁྱད་ཆོས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་གཏད་ཐིག་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་རེད།
ABCD ནི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་དང་དེའི་གཏད་ཐིག་གཉིས་ O ཐོག་སྣོལ་གྱི་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༩) OA = OC (གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན་པས།)
SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་ལས། ∆ AOD ≅ ∆ COD
དེར་བརྟེན།
140
D
m∠AOD = m∠COD = 90o
(ཟུར་དེ་གཉིས་ཉེ་གསབ་ཟུར་དང་། དེ་དག་རེ་རེ་དྲང་ཟུར་རེད།)
C
O A
དཔེ་རིས་ ༡༠་༣༩
B
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གོ་རྟོགས།
༡། འགྲིག་ནོར་བྲིས།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༤
(ཀ) གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཚང་མ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་རེད།
(ཁ) གཟེ་དབྱིབས་ཚང་མ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
(ག) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཚང་མ་གཟེ་དབྱིབས་དང་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འང་རེད། (ང) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཚང་མ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་མིན། (ཅ) ཤོག་བྱ་ཚང་མ་གཟེ་དབྱིབས་རེད།
(ཆ) གཟེ་དབྱིབས་ཚང་མ་ཤོག་བྱ་རེད།
(ཇ) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཚང་མ་སྐས་དབྱིབས་རེད། (ཉ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཚང་མ་སྐས་དབྱིབས་རེད།
༢། གཤམ་གསལ་མཐའ་ཅན་གྱི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ངོས་ཟུངས། (ཀ) མཐའ་བཞི་པོ་འདྲ་མཚུངས།
༣། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ནི་གཤམ་གསལ་ཡིན་ཚུལ་བྲིས། (ཀ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ། (ག) གཟེ་དབྱིབས།
(ཁ) ཟུར་བཞི་དྲང་ཟུར།
(ཁ) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ།
(ང) གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
༤། གཤམ་གསལ་ཆ་རྐྱེན་ལྡན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་མིང་བྲིས། གཏད་ཐིག (ཀ) ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོད། (ག) འདྲ་མཚུངས།
(ཁ) ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད།
༥། གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ནི་འབུར་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན་པའི་རྒྱུ་མཚན་བྲིས། ༦། ABC ནི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། O ནི་དྲང་ཟུར་
གྱི་གཏད་མཐའ་ AC ཡི་དཀྱིལ་གནས་རེད། O ནི་ A དང་། B, C ནས་བར་ཐག་མཉམ་པར་ཡོད་པའི་འགྲེལ་བཤད་བྲིས། (ཁྱེད་ལ་ རོགས་བྱེད་ཆེད་དཔེ་རིས་ནང་ཚེག་ཐིག་འཕར་མ་བྲིས་ཡོད།)
A
B
D O
C
དཔེ་རིས་ ༡༠་༤༠
141
རྩིས་རིག
དྲན་གསོ་གྱིས། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ།
གཏད་མཐའ་ཆ་གཉིས་
ཀ་མཉམ་འགྲོ ་ ཡི ན ་པའི ་ དབྱིབས་མཐའ་བཞི ་ མ།
D
C O
A
གཟེ་དབྱིབས།
མཐའ་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་ བཞི་མ།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
ཟུར་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་
བཞི་མ།
E
G
(༢) གཏད་ཟུར་འདྲ་མཚུངས་རེད།
(༣) གཏད་ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་མཉམ་བགོད་ (༤) ཉེ་ཟུར་ནི་གསབ་ཟུར་རེད།
(༡) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཁྱད་ཆོས་ཚང་ མ་ཡོད།
(༢) གཏད་ཐིག་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་རེད།
F
M (༡) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཁྱད་ཆོས་ཚང་
N
K
L
S
ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
P
མཐའ་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་
(༡) གཏད་མཐའ་འདྲ་མཚུངས་རེད། རེད།
B
H
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
142
ཁྱད་ཆོས།
R
Q
མ་ཡོད།
(༢) ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་རེད།
(༣) གཏད་ཐིག་གཉིས་འདྲ་མཚུངས་རེད། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་དང་། གཟེ་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་ཁྱད་ཆོས་ཚང་མ་ཡོད།
བཀོད་པ།
སློབ་ཚན་བཅུ་གཅིག་པ།
༡༡་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་འཛིན་རིམ་བདུན་པར་ཟུར་གསུམ་མ་འགོད་སྟངས་སྦྱངས་ཡོད། ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱུ་གསུམ་ཤེས་ན།
ཟུར་གསུམ་མ་ངེས་ཅན་ཞིག་འགོད་ཐུབ། ཟུར་གསུམ་མ་ཞིག་འགོད་པར་རྒྱུ་གསུམ་ཤེས་དགོས། གལ་ཏེ་རྒྱུ་ བཞི་ཤེས་ན་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ངེས་ཅན་ཞིག་འགོད་ཐུབ་བམ། བྱེད་སྒོ།
A
རིང་ཚད་ 4 cm ཅན་གྱི་རྒྱུག་པ་གཉིས་དང་། རིང་ཚད་ 2 cm ཅན་གྱི་རྒྱུག་པ་གཉིས་བླངས། རྒྱུག་པ་དེ་དག་མཐུད་སྦྱོར་བྱས་ཏེ་
2 cm
དཀྱུས་ 4 cm དང་ཞེང་ 2 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཞིག་ བཟོས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡)
ཡང་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་བཟོ་ལྟ་ལ་འགྱུར་བ་བཏང་ན། (ཁ་ཕྱོགས་
གཞན་ལ་གསེག་ནས་གཞག) ཁྱེད་ལ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་
མི་འདྲ་བ་ཞིག་འཐོབ་ཀྱི་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༣) ཚད་བཞི་པོ་རང་ འཇགས་རེད།
2 cm 4 cm
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༢) ཁྱེད་ཀྱིས་རྒྱུག་པའི་རིང་ཚད་ལ་འགྱུར་བ་བཏང་ B
མེད། དེ་ནི། མཐའ་བཞི་པོའི་ཚད་ལ་འགྱུར་བ་མེད།
D
4 cm
2 cm
ཐོབ་པའི་དཔེ་རིས་གསར་པ་ནི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན།
C
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡
A
ཁྱེད་ལ་
2 cm 4 cm
B
གྲུ་བཞི་ནར་མོ་འདི་ཤེས་པའི་རྒྱུ་བཞི་བེད་སྤྱད་དེ་བཟོས་པ་རེད། དེ་ནས་གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་བཟོ་ལྟ་ལ་འགྱུར་བ་བཏང་ན།
D
4 cm
C
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢
A
D
4 cm
2 cm B
2 cm 4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༣
C
དེར་བརྟེན། རྒྱུ་བཞི་ཡིས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ངེས་ཅན་ཞིག་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ་ཀྱི་མེད། འོ་ན། རྒྱུ་ལྔ་
143
རྩིས་རིག ཡིས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ངེས་ཅན་ཞིག་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཐུབ་མིན་བལྟའོ། ། ཁྱེད་ཀྱིས་ཐོག་མར་བཟོས་པའི་དཀྱུས་ 4 cm དང་ཞེང་ 2 cm ཅན་གྱི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ལ་མིང་ ABCD ཐོགས། ཁྱེད་ ཀྱིས་ BD རིང་ཚད་ཀྱི་རྒྱུག་པ་གསར་པ་ཞིག་བླངས་ནས་ BD བརྒྱུད་མཐུད་སྦྱོར་གྱིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༤) དེ་ནས་གྲུ་
4 cm
A
D
2 cm
2 cm
B
བཞི་ནར་མོའི་བཟོ་ལྟ་ལ་འགྱུར་བ་གཏོང་ཐབས་བྱས་ན།
C
4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༤
ཁྱེད་ཀྱིས་འགྱུར་བ་གཏང་ཐུབ་ཀྱི་མ་རེད། རྒྱུག་པ་ལྔ་པས་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ངེས་ཅན་ཞིག་བཟོས་ཡོད། དེ་ནི། སྤྲད་ཟིན་པའི་རྒྱུ་ལྔ་ལས་གྲུབ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་གཞན་ཞིག་མེད། དེར་བརྟེན། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ངེས་ཅན་ཞིག་འགོད་པར་རྒྱུ་ལྔ་ཤེས་དགོས།
༡༠་༢ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་འགོད་པ། Constructing a quadrilateral
ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ཤེས་ཟིན་པའི་རྒྱུ་བེད་སྤྱད་དེ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་འགོད་སྟངས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། • མཐའ་བཞི་དང་གཏད་ཐིག་གཅིག་ཤེས་པ།
• མཐའ་གསུམ་དང་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཤེས་པ། • ཉེ་མཐའ་གཉིས་དང་ཟུར་གསུམ་ཤེས་པ།
• མཐའ་གསུམ་དང་ཚུད་ཟུར་གཉིས་ཤེས་པ། • དམིགས་བསལ་ཁྱད་ཆོས་ཤེས་པ།
༡༡་༢་༡ མཐའ་བཞི་དང་གཏད་ཐིག་གཅིག་ཤེས་པ། When four sides and a diagonal are given རྩིས་དཔེ། ༡ PQ = 2 cm དང་། QR = 3 cm, RS = 3.5 cm, PS = 3 cm, PR = 4 cm ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་
ལན།
144
སྔོན་ལ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS ཡི་རགས་ཟིན་ བྲིས་ཏེ་རིང་ཚད་ཀྱང་སོ་སོར་སྟོན། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༥)
Q
3c
m
m
2c
བཞི་མ་ PQRS ཁོད།
4 cm
P 3c
m
S
R
5 3.
དཔེ་རིས་ ༡༡་༥
cm
བཀོད་པ།
∆PQR ཁོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༦)
ང་ཚོས་གནས་བཞི་པ་ S འཚོལ་དགོས། རགས་ཟིན་
དཔེ་རིས་ལས་ S ནི་ Q ཡི་གཏད་ཚེག་ཡིན། S ནི་ P
ནས་བར་ཐག་ 3 cm སར་ཡོད།
3c
cm
m
2
ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ་འགོད་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད།
Q
P
དཔེ་རིས་ ༡༡་༦ Q
3c
m
P
གྱི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ Q ཡི་ཁ་སྤྲོད་ལ་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༧)
དཔེ་རིས་ ༡༡་༧
Q
ལྟེ་ R དང་ཚངས་ཕྱེད་ 3.5 cm ཡི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་
R
4 cm
དེར་བརྟེན། སྒོར་ལྟེ་ P དང་ཚངས་ཕྱེད་ 3 cm ཅན་
3c
cm
m
2
གོམ་པ། ༣ S ནི་ R ནས་བར་ཐག་ 3.5 cm སར་ཡོད་པས། སྒོར་
R
4 cm
cm
གོམ་པ། ༢
རགས་ཟིན་དཔེ་རིས་ལ་བལྟས་ན། ∆PQR ནི་ SSS
2
གོམ་པ། ༡
P
R
4 cm
གོམ་པ་ ༢ པའི་གཞུ་ཐིག་ S ལ་འཕྲད་པར་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༨)
S
དཔེ་རིས་ ༡༡་༨ Q
3c
2
cm
m
R
4 cm
cm 3.
5
m
མཐའ་བཞི་མ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༩)
P
3c
གོམ་པ། ༤ SP དང་ SR མཐུད། PQRS ནི་དགོས་མཁོའི་དབྱིབས་
S
དཔེ་རིས་ ༡༡་༩
145
རྩིས་རིག བསམ་བློ་བཏང་ནས་ལན་བྲིས།
༡། ཁྱེད་ཀྱིས་ ZE = 3.5 cm དང་གཏད་ཐིག་ EL = 5 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་ ZEAL འགོད་ ཐུབ་བམ།
༢། སློབ་མ་ཞིག་གིས་ PL = 3 cm དང་། LA = 4 cm, AY = 4.5 cm, PY = 2 cm, LY = 6 cm ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ PLAY འགོད་ཐབས་བྱས་ཀྱང་འབྲི་ཐུབ་མེད། ཅིའི་ཕྱིར།
མཆན། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་འགོད་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ལ། ཟུར་གསུམ་མའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ཐོབ་
ནི་མཐའ་གསུམ་པ་ལས་ཆེ་བ་དགོས།
གཤམ་གསལ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཁོད།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༡་༡
(ཀ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD AB = 4.5 cm
(ཁ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ JUMP JU = 3.5 cm
BC = 5.5 cm
UM = 4 cm
CD = 4 cm
MP = 5 cm
AD = 6 cm
PJ = 4.5 cm
AC = 7 cm
PU = 6.5 cm
(ག) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ MORE OR = 6 cm
RE = 4.5 cm
(ང) གཟེ་དབྱིབས་ BEST BE = 4.5 cm ET = 6 cm
EO = 7.5 cm ༡༡་༢་༢ མཐའ་གསུམ་དང་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཤེས་པ། When three sides and two diagonals are given དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་མཐའ་བཞི་དང་གཏད་ཐིག་གཅིག་ཤེས་སྐབས། གནས་བཞི་པ་དེ་འཚོལ་དགོས། འདིར་ཡང་ཐབས་ལམ་དེ་སྤྱོད་ཀྱི་ཡིན།
སྔོན་ལ་ཟུར་གསུམ་མ་བཀོད་ནས་
རྩིས་དཔེ། ༢ BC = 2.5 cm དང་། AD = 3.5 cm, CD = 3 cm, གཏད་ཐིག་ AC = 3.5 cm དང་གཏད་ཐིག་ BD = 5 cm ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཁོད།
146
བཀོད་པ། C
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་རགས་ཟིན་ བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༠)
5
m 3c 5 cm
D
3.5
cm
B
3.5 cm
ལན།
2.
cm
A
SSS ཡོངས་མཚུངས་ཆ་རྐྱེན་སྤྱད་དེ་∆ACD ཁོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡) (དེ་ནས་ང་ཚོས་
cm
C ནས་བར་ཐག་ 2.5 cm དང་ D ནས་
3.5
m
བར་ཐག་ 5 cm ཐོག་ཡོད་པའི་གནས་ B
A
འཚོལ་དགོས།)
3.5
དང་ཚངས་ཕྱེད་ 5 cm ཡི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་བྲིས།
A
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༢)
3.5 cm
སྟེང་གནས་ B ལ་འཕྲད་པར་བྲིས།
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༣)
cm 3.5
A
C
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༢ m 3c
གཞུ་ཐིག་ཅིག་གོམ་པ་ ༢ པའི་གཞུ་ཐིག་
m
B ནི་ D ཡི་གཏད་ཚེག་ཡིན་པས། སྒོར་ལྟེ་ D
སྒོར་ལྟེ་ C དང་ཚངས་ཕྱེད་ 2.5 cm ཡི་
D
cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༡
D
གོམ་པ། ༣
C
3.5 cm
3c
གོམ་པ། ༢
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༠
D
3c
གོམ་པ། ༡
3.5 cm
C
B
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༣
147
རྩིས་རིག D
BA དང་ BD, BC མཐུད། ABCD ནི་
cm 3.5
C
3.5 cm 2.5
cm
A
5 cm
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༤)
m
དགོས་མཁོའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
3c
གོམ་པ། ༤
B
བསམ་བློ་བཏང་ནས་ལན་བྲིས།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༤
༡། གོང་གི་རྩིས་དཔེ་ནང་། ∆ BCD བཀོད་རྗེས་གནས་ A བཙལ་ན་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ABCD འགོད་ཐུབ་བམ།
༢། ཁྱེད་ཀྱིས་ PQ = 3 cm དང་། RS = 3 cm, PS = 7.5 cm, PR = 8 cm, SQ = 4 cm ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ PQRS འགོད་ཐུབ་བམ། ཅིའི་ཕྱིར།
གཤམ་གསལ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཁོད།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༡་༢
(ཀ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ HOME HO = 4 cm
OL = 7.5 cm
OM = 3 cm
GL = 6 cm
EH = 2.5 cm
GD = 6 cm
HM = 4.5 cm
LD = 5 cm
OE = 4 cm
OD = 10 cm
(ག) གཟེ་དབྱིབས་ BEND BN = 5.6 cm DE = 6.5 cm
148
(ཁ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ GOLD
བཀོད་པ། ༡༡་༢་༣ ཉེ་མཐའ་གཉིས་དང་ཟུར་གསུམ་ཤེས་པ།
When two adjacent sides and three angles are known
མཐའ་བཞི་མ་ FIST ཁོད།
4 cm
120o
75o
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ FIST ཡི་རགས་ཟིན་བྲིས།
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༥
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༥)
I
105o
T
cm
ལན།
∠I = 105o, ∠S = 120o ཡིན་པའི་དབྱིབས་
S
3.5
རྩིས་དཔེ། ༣ FI = 3.5 cm དང་། IS = 4 cm, ∠F = 75o,
F
X S
ཐིག་དུམ་ FI = 3.5 cm བྲིས་རྗེས། གནས་ I རུ་
4 cm
གོམ་པ། ༡
∠FIX = 105o ཁོད། སྒོར་ལྟེ་ I དང་རིང་ཚད་ 4 cm ཅན་གྱི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ IX ཐོག་ S ལ་ འཕྲད་པར་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༦)
105o F
3.5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༦
I
Y
X 120o
གནས་ S རུ་ཟུར་ ∠ISY = 120 ཁོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧)
4 cm
གོམ་པ། ༢
S
o
105o F
3.5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༧
I
149
རྩིས་རིག Z
Y
གོམ་པ། ༣
T
གནས་ F རུ་ཟུར་ ∠ZFI = 75o ཁོད།
X
SY དང་ FZ གཉིས་ཀྱི་འཕྲད་སའི་
120o
གནས་ལ་ T བྲིས། FIST ནི་དགོས་ མཁོའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
4 cm
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༨)
S
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༨
o
75 F
105o
3.5 cm
I
བསམ་བློ་བཏང་ནས་ལན་བྲིས།
༡། གོང་གི་རྩིས་དཔེ་ནང་། གལ་ཏེ་ ∠F = 75o ཡི་ཚབ་ཏུ་ ∠F = 100o ཡིན་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་ མཐའ་བཞི་མ་ FIST འགོད་ཐུབ་བམ།
༢། ཁྱེད་ཀྱིས་ PL = 6 cm དང་། LA = 9.5 cm, ∠P = 75o, ∠L = 150o, ∠A = 140o ཡིན་ པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ PLAN འགོད་ཐུབ་བམ། ཅིའི་ཕྱིར། (ཟུར་གྱི་བསྡོམས་ཐོབ་ཁྱད་ཆོས་སྤྱོད།)
གཤམ་གསལ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཁོད།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༡་༣
(ཀ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ MORE
MO = 6 cm OR = 4.5 cm ∠M = 60o ∠O = 105o ∠R = 105o (ག) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ HOPE HO = 5 cm OP = 6 cm ∠E = 85o
150
(ཁ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ PLAN
PL = 4 cm LA = 6.5 cm ∠P = 90o ∠A = 110o ∠N = 85o (ག) གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ OKAY OK = 7cm KA = 5 cm
བཀོད་པ། ༡༡་༢་༤ མཐའ་གསུམ་དང་ཚུད་ཟུར་གཉིས་ཤེས་པ།
When three sides and two included angles are given རྩིས་དཔེ། ༤ AB = 3 cm དང་། BC = 4 cm, CD = 5.5 cm, ∠B = 105o, ∠C = 80o ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་
5.5 cm
C
80o
བཞི་མ་ ABCD ཁོད་ཅིག
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ཡི་རགས་ཟིན་བྲིས།
A
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩)
105o 3 cm
4 cm
ལན།
D
B
དཔེ་རིས་ ༡༡་༡༩ X A
ཐིག་དུམ་ BC = 4 cm བྲིས་རྗེས། གནས་ B རུ་
∠CBX = 105o ཁོད། སྒོར་ལྟེ་ B དང་ཚངས་
3 cm
གོམ་པ། ༡
ཕྱེད་ 3 cm ཡིན་པའི་གཞུ་ཐིག་ཅིག་ BX སྟེང་ A ལ་འཕྲད་པར་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༠)
105o B
4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༠
C
Y
X
གནས་ C རུ་ཟུར་ ∠BCY = 80o བྲིས། གནས་ བཞི་པ་ D ནི་ CY སྒང་ལ་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༡)
A 3 cm
གོམ་པ། ༢
105o B
80o 4 cm
C
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༡
151
རྩིས་རིག Y D
སྒོར་ལྟེ་ C དང་ཚངས་ཕྱེད་ 5.5 cm ཅན་གྱི་ (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༢)
A 3 cm
གཞུ་ཐིག་ཅིག་ CY ཐོག་ D ལ་འཕྲད་པར་བྲིས།
X
5.5 cm
གོམ་པ། ༣
B
Y D
AD མཐུད།
མཁོའི་དབྱིབས་མཐའ་
A
བཞི་མ་རེད།
3 cm
ABCD ནི་དགོས་
X
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༣)
གཤམ་གསལ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཁོད།
4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༢
80o 4 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༣
C
སྦྱོང་ཚན་ ༡༡་༤
(ཁ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ TRUE TR = 3.5 cm
EA = 5 cm
RU = 3 cm
AR = 4.5 cm
UE = 4 cm
o
152
105o B
(ཀ) དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ DEAR DE = 4 cm
80o
5.5 cm
གོམ་པ། ༤
105o
105o
∠E = 60
∠R = 75o
∠A = 90o
∠U = 120o
C
བཀོད་པ།
༡༠་༣ གནས་སྟངས་དམིགས་བསལ་འགའ། Some special cases
ད་བར་ང་ཚོས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་འགོད་པར་རྒྱུ་ལྔ་སྤྱད་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་རྒྱུ་དེ་ལས་ཉུང་བ་སྤྱད་དེ་དབྱིབས་ མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་འགོད་ཐུབ་བམ། གཤམ་གྱི་རྩིས་དཔེ་བརྒྱུད་གནས་སྟངས་དམིགས་བསལ་འགའ་བལྟ་རྒྱུ་ཡིན།
འདིར་མཐའ་གཅིག་ལས་ཤེས་ཀྱི་མེད་ནའང་། གྲུ་བཞི་
ཁ་གང་མའི ་ མཐའ་ཚང་མ་འདྲ་མཚུངས་ཡི ན ་པ་ དང་ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་ཡིན་པའི་ཁྱད་ཆོས་ཤེས་ ཀྱི་ཡོད།
P
Q
X
Y
ཐིག་དུམ་ PQ = 3 cm བྲིས་རྗེས།
གནས་ P རུ་ ∠XPQ = 90o དང་། གནས་ Q
རུ་ ∠YQP = 90o ཁོད།
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༥)
སྒོར་ལྟེ་ P དང་ Q ནས་ཚངས་ཕྱེད་ 3 cm ཡིན་
པའི་གཞུ་ཐིག་ PX ལ་ S དང་། QY ལ་ R ལ་
འཕྲད་པར་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༦)
P
3 cm
Q
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༥ X
Y
S
R 3 cm
གོམ་པ། ༢
3 cm
3 cm
གོམ་པ། ༡
R
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༤
ཁྱེད་ཀྱིས་རགས་ཟིན་ལ་བལྟས་ནས་ཤེས་ཟིན་པའི་ ཚད་ཀྱི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ཁོད།
3 cm
3 cm
ལན།
S
3 cm
རྩིས་དཔེ། ༥ མཐའ་ 3 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ཞིག་ཁོད།
དཔེ་རིས་རགས་ཟིན།
P
3 cm
Q
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༦
153
རྩིས་རིག X
SR མཐུད། PQRS ནི་དགོས་མཁོའི་གྲུ་བཞི་ཁ་
3 cm
S 3 cm
གང་མ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༧)
R 3 cm
གོམ་པ། ༣
Y
P
Q
3 cm
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༧
བགོད་ཡིན། གཟེ་དབྱིབས་ ABCD ཡི་རགས་ཟིན་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༨)
གོམ་པ། ༢
གཏད་ཐིག་ AC = 5 cm བྲིས། དེའི་མཉམ་ བགོད་ཐིག་ XY ཁོད། དེ་གཉིས་སྣོལ་གནས་ ལ་ O བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༩)
སྒོར་ལྟེ་ O དང་ཚངས་ཕྱེད་ 2 cm ཅན་གྱི་
གཞུ་ཐིག་ OX དང་ OY ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ B དང་ D ལ་འཕྲད་པར་བྲིས། (དཔེ་རིས་ ༡༡་༣༠)
154
A
X
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༩
A
དཔེ་རིས་ ༡༡་༣༠
5 cm
O
C
Y X B 2 cm
གོམ་པ། ༡
B
དཔེ་རིས་ ༡༡་༢༨
O
2 cm
A
m
དེ འི ་ གཏད་ཐི ག ་གཉི ས ་ནི ་ ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་
m
5c
2c
འདིར་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱུ་གཉིས་ (གཏད་ཐིག) ཤེས་ཀྱི་ཡོད།
C
m
ལན།
ABCD ཁོད།
D
2c
རྩིས་དཔེ། ༦ AC = 5 cm དང་ BD = 4 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་
D Y
5 cm
C
བཀོད་པ།
དགོས་མཁོའི་གཟེ་དབྱིབས་རེད།
A
(དཔེ་རིས་ ༡༡་༣༡)
O
2 cm
གོམ་པ། ༣ AB, BC, CD, DA མཐུད། ABCD ནི་
2 cm
X B
C
5 cm
D Y
སྦྱོང་ཚན་ ༡༡་༥
དཔེ་རིས་ ༡༡་༣༡
༡། PL = 5.6 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ PLAN ཁོད།
༢། གཏད་ཐིག་ 5.2 cm དང་ 6.4 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་ཁོད། ༣། ཉེ་མཐའ་ 5 cm དང་ 4 cm ཡིན་པའི་གྲུ་བཞི་ནར་མོ་ཁོད།
༤། FO = 5.5 cm དང་ OU = 4.2 cm ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ FOUR མི་འདྲ་བ་ གཉིས་ཁོད།
དྲན་གསོ་གྱིས།
གཤམ་གསལ་ལྟར་རྒྱུ་ལྔ་ཤེས་པའི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་འགོད་ཐུབ། ༡། མཐའ་བཞི་དང་གཏད་ཐིག་ཅིག་ཤེས་པ།
༢། མཐའ་གསུམ་དང་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཤེས་པ། ༣། ཉེ་མཐའ་གཉིས་དང་ཟུར་གསུམ་ཤེས་པ།
༤། མཐའ་གསུམ་དང་ཚུད་ཟུར་གཉིས་ཤེས་པ།
155
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། སློབ་ཚན་བཅུ་གཉིས་པ།
༡༢་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ཁྱེད་ཀྱིས་དབྱིབས་དང་སྲ་གཟུགས་སྐོར་ཕྲན་བུ་སྦྱངས་ཡོད། དབྱིབས་ལ་དཀྱུས་དང་ཞེང་
ལྟ་བུའི་ཆ་ཚད་གཉིས་འཇལ་རྒྱུ་ཡོད་པས། དབྱིབས་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་ (2-Dimensional)
དཔེ་རིས་རེད། ཡིན་ཡང་སྲ་གཟུགས་ལ་དཀྱུས་དང་། ཞེང་། དཔངས་ཡང་ན་གཏིང་བཅས་ཆ་ཚད་གསུམ་ འཇལ་རྒྱུ་ཡོད་པས། སྲ་གཟུགས་ནི་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་ (3-Dimensional) གཟུགས་ཤིག་རེད།
ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ཁག་ལ་བལྟས་ཏེ་དེ་དག་གི་མིང་དང་ཆ་ཚད་གང་གི་ཁོངས་གཏོགས་ཡིན་པ་ བཅས་བར་སྟོང་ནང་སྐོངས། དབྱིབས། དབྱིབས་ཀྱི་རིགས། དབྱིབས་ཀྱི་མིང་། དབྱིབས། དབྱིབས་ཀྱི་རིགས། དབྱིབས་ཀྱི་མིང་།
156
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། གོང་གི་དཔེ་རིས་ཚང་མ་དཔེ་རིས་རྐྱང་པ་ཞིག་རེད།
ཡིན་ནའང་ང་ཚོའི་འཚོ་བའི་ནང་མཐོང་རྒྱུ་ུ ཡོད་པའི་
དཔེ་རིས་ཕལ་མོ་ཆེ་ནི། དཔེ་རིས་རྐྱང་པ་གཉིས་སམ་དེ་ལས་མང་བ་བསྡུས་པ་ལས་བྱུང་བ་ཞིག་རེད། གཤམ་ གསལ་ནི་དཔེ་མཚོན་འགའ་ཡིན།
གཤམ་གྱི་ཅ་དངོས་ (དཔེ་རིས་) ཁག་དཔེ་རིས་རྐྱང་པ་གང་དག་བསྡུས་ནས་བྱུང་འདུག་བྲིས། དཔེ་རིས། (དངོས་པོ།)
(ཀ)
ལམ་གྱི་བཞི་མདོ།
(ཁ)
གུར།
(ག)
སྐྱེད་ཚལ་སྒོར་མོ།
(ང)
ཆུ་སྣོད།
(ཅ)
ས་དུམ།
དཔེ་རིས་རྐྱང་པ།
གྲུ་ནར་སྐྱེད་ཚལ་ནང་གྲུ་ནར་བཞི་མདོའི་ལམ།
157
རྩིས་རིག
༡༢་༢ ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། Views of 3D-Shapes
ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་དངོས་པོར་ཕྱོགས་འདྲ་མིན་ནས་བལྟས་པ་ཡིན་ན། དེ་དག་ལ་མཐོང་ཚུལ་ཡང་མི་འདྲ་ མ་ཡོང་གི་ཡོད། དངོས་པོ་དེ་དག་ཤོག་བུ་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་སྟེང་འབྲི་སྐབས། དེའི་འབུར་མཐོང་གཟུགས་
ཀྱི་རྣམ་པ་ཡང་འདྲ་མིན་འབྲི་ཐུབ། སློབ་གྲྭའི་རྐང་པོལ་རུ་ཁག་ལ་སྔ་ལོ་ཐོབ་པའི་རྩེད་འགྲན་རྟགས་མ་ལ་མཚོན་ ན། དེ་ལ་གཤམ་གསལ་ལྟར་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་ཁག་ཡོད། སྟེང་།
མདུན།
གསེར།
རྟགས་མ།
གཞོགས།
དེ་བཞིན་འཁོར་ལོ་ཞིག་ལ་ལྟ་སྟངས་མི་འདྲ་བ་ནི།
གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་།
གཞོགས། མདུན།
མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ། གཞོགས་ནས་མཐོང་ཚུལ། སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།
འཁོར་ལོའི་གཞོགས་དང་སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ་གཉིས་གཅིག་མཚུངས་རེད། ཙག་སྒྲ་སྒམ་ཆུང་ཞིག་གི་ཕྱོགས་འདྲ་མིན་ནས་མཐོང་ཚུལ་ལ་ལྟོས་དང་། སྟེང་།
མདུན།
158
གཞོགས།
གཞོགས་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
མདུན་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། ཡང་ང་ཚོས་ཤོ་གཟུགས་འགའ་གནས་སྟངས་འདྲ་མིན་ཐོག་མཐུད་ན་དེ་ལས་ཐོབ་པའི་སྲ་གཟུགས་ལའང་ མཐོང་ཚུལ་འདྲ་མིན་ཡོད། སྟེང་།
མདུན།
གཞོགས།
ཤོ་གཟུགས་གསུམ་གྱིས་བཟོས་ པའི་སྲ་གཟུགས།
གཞོགས་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
མདུན་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
གཞོགས་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
མདུན་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་།
མདུན།
གཞོགས།
ཤོ་གཟུགས་བཞི་ལས་གྲུབ་པའི་ སྲ་གཟུགས།
སྟེང་།
མདུན།
གཞོགས།
ཤོ་གཟུགས་བཞི་ལས་གྲུབ་པའི་ སྲ་གཟུགས།
གཞོགས་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
མདུན་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
སྟེང་ནས་ མཐོང་ཚུལ།
159
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན་ ༡༢་༡
༡། སྲ་གཟུགས་རེ་ལ་གཤམ་གྱི་དངོས་པོའི་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་གཉིས་རེ་བསྟན་ཡོད། དངོས་པོ་དེ་དག་གི་སྟེང་ ནས་མཐོང་ཚུལ་དང་། མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ་ངོས་བཟུང་ནས་མཐུན་སྦྱོར་གྱིས། སྲ་གཟུགས། / དངོས་པོ།
(ཀ)
(ཁ)
ཤེལ་དམ།
རྒྱ་རྡོ།
(ག)
མདུན་ནས་མཐོང་ཚུལ།
(༡)
(༡)
(༢)
(༢)
(༣)
(༣)
(༤)
(༤)
(༥)
(༥)
ཇ་དམ། (ང)
དཀར་ཡོལ།
(ཅ) སྣོད།
160
སྟེང་ནས་མཐོང་ཚུལ།
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། ༢། གཤམ་གྱི་སྲ་གཟུགས་རེ་ལ་དེའི་མཐོང་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་གསུམ་རེ་སྤྲད་ཡོད། མཐོང་ཚུལ་དེ་དག་སྟེང་ངམ། གཞོགས་སམ། མདུན་གང་ཡིན་ངོས་ཟུངས། སྲ་གཟུགས་(དངོས་པོ།) དངོས་པོ།
(ཀ)
སྟེང་།
(ཀ)
(ག)
གཞོགས།
མདུན། སྟེང་།
(ཁ) གཞོགས།
(ག)
(ཁ)
མདུན། སྟེང་།
མདུན།
(ང) མདུན།
གཞོགས། སྟེང་།
གཞོགས།
161
རྩིས་རིག ༣། ཤོ་གཟུགས་ཁོ་ན་ལས་གྲུབ་པའི་སྲ་གཟུགས་ཁག་གི་སྟེང་དང་། གཞོགས། མདུན་བཅས་ཀྱི་མཐོང་ཚུལ་ངོས་ཟུངས། སྲ་གཟུགས།
(༡)
སྟེང་།
(ཀ)
མདུན།
(ཁ)
གཞོགས། སྟེང་།
གཞོགས།
མདུན།
སྟེང་།
(ག)
གཞོགས།
མདུན།
སྟེང་།
(ང)
(ཅ)
གཞོགས། མདུན།
མདུན།
162
སྟེང་། གཞོགས།
(༢)
(༣)
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ།
༡༢་༣ ང་ཚོའི་མཐའ་སྐོར་གྱི་ས་ཁྲ་འགོད་པ། Mapping space around us
ཁྱེད་ཀྱིས་བོད་ཀྱི་ས་ཁྲའི་ནང་རང་གི་ཕ་ཡུལ། བོད་ཀྱི་རྒྱལ་ས་ལྷ་ས། གྲོང་ཁྱེར་གཞིས་ཀ་རྩེ་སོགས་མཐོང་མྱོང་
ངམ། རྒྱ་གར་གྱི་ས་ཁྲའི་སྟེང་། རང་གི་གནས་ཡུལ་མངའ་སྡེ། གྲོང་ཁྱེར་ཆེ་ཁག་ལྡི་ལི། མུམ་བྷེ། ཀོལ་ཀ་ཏ། ཅེ་ནེ་ སོགས་སྟོན་ཐུབ་བམ། ས་ཁྲའི་སྟེང་གནས་ཚུལ་གང་ཞིག་སྟོན་ཐུབ། གནས་ཚུལ་གང་དག་ས་ཁྲའི་སྟེང་སྟོན་མི་ ཐུབ། ས་ཁྲས་སྟོན་པའི་གནས་ཚུལ་དེ་དཔེ་རིས་ཤིག་དང་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ནམ།
གཤམ་གྱི་ཁང་པའི་དཔེ་རིས་ཤིག་དང་། ཁང་པ་དེའི་ས་ཁྲ་ལ་ཞིབ་པར་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༡)
དཔེ་རིས་ ༡༢་༡
དཔེ་རིས་ནང་ང་ཚོས་ཁང་པ་དེའི་གནས་ཚུལ་ཞིབ་མོ་དང་རྒྱས་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
ཡིན་ཡང་ས་ཁྲ་འབྲི་སྐབས།
ཁང་པ་དེའི་ས་ཕྱོགས་དངོས་པོ་གཞན་ལ་ལྟོས་ཏེ་སྟོན་གྱི་ཡོད། གནས་སྟངས་གཞན་ཞིག་ནི་ཁང་པའི་དཔེ་རིས་
ལྟ་མཁན་གྱིས་ཁང་པ་དེའི་སྐོར་རང་གི་མཐོང་ཚུལ་ལྟར་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས་པ་དེ། ས་ཆ་གཞན་ཞིག་ནས་ཁང་ པ་དེར་ལྟ་མཁན་གྱི་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས་པ་གཉིས་མི་མཐུན་པ་ཡང་ཡོང་གི་ཡོད། ཡིན་ཡང་ས་ཁྲའི་སྐབས་སུ་ལྟ་ མཁན་མི་འདྲ་བས་ས་ཕྱོགས་གང་ནས་བལྟས་ཀྱང་མཐོང་ཚུལ་གཅིག་མཚུངས་ཡོད།
དེར་བརྟེན། དཔེ་རིས་འབྲི་བའི་སྐབས་སུ་དེའི་འབུར་ཐོན་གཟུགས་ནི་གལ་ཆེན་པོ་ཡིན་ཡང་། དེ་ནི་ས་ཁྲའི་
སྐབས་སུ་མིན། ཁྱེད་ཀྱིས་སྤུན་མཆེད་དམ་ཡང་ན། འཛིན་གྲོགས་ཀྱིས་རང་གི་སྡོད་ཁང་ངམ་ཡང་ན། དགའ་ སྟོན་ཚོགས་ཁང་དུ་རྟེན་འབྲེལ་དགའ་སྟོན་སོགས་ལ་མགྲོན་འབོད་བྱེད་མྱོང་ཡོད་ཀྱི་རེད།
གཤམ་གྱི་ཆང་སའི་རྟེན་འབྲེལ་སྐབས་ཀྱི་མགན ྲོ ་ཤོག་ནང་འཁོད་འགྲུལ་ལམ་ས་ཁྲ་ལ་ལྟོས་དང་། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༢) 1.5 km
MB road Vasant Kunj
དཔེ་རིས་ ༡༢་༢
DLF བཞི་མདོ།
1 km
Raghubir chowk 1 km 1 km
དགའ་སྟོན་ཚོགས་ཁང་།
163
རྩིས་རིག ས་ཁྲ་འདིར་ལམ་ཆེན་དང་། དགའ་སྟོན་ཚོགས་ཁང་བར་དུ་ཡོད་པའི་ལམ་འདུས་མདོ་ཆ་ཚང་བསྟན་ཡོད། དེ་
བཞིན་བར་ཐག་ཆུང་ངུ་ཁག མགྲོན་པོས་ས་གནས་གང་ནས་ཁ་ཕྱོགས་སྒྱུར་དགོས་པ་སོགས་ཞིབ་པར་བསྟན་
ཡོད་པས་མགྲོན་པོ་འཚོག་ཡུལ་དུ་དཀའ་ངལ་མེད་པར་སླེབས་ཐུབ། འགྲུལ་ལམ་ས་ཁྲ་བཞིན། ང་ཚོས་རང་གི་
ཉེ་འདབས་ཀྱི་ས་ཁྲ་ཡང་འབྲི་ཐུབ། རང་གི་ཉེ་འདབས་ཀྱི་ས་ཁྲས་ས་ཁུལ་དེའི་ནང་གི་འགྲོ་ལམ། ཁྲོམ་རྭ། སློབ་ གྲྭ། སྨན་ཁང་སོོགས་སྟོན་གྱི་ཡོད། ཉེ་འདབས་ས་ཁྲའི་ནང་གི་འགྲོ་ལམ་དང་། སྨན་ཁང་། སློབ་གྲྭ་སོགས་ནི་ མཚོན་རྟགས་མི་འདྲ་བས་ཁ་གསལ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
གཤམ་གྱི་ས་ཁྲ་ནི་ཀུན་བཟང་གིས་བྲིས་པའི་རང་གི་ཉེ་འདབས་ས་ཁྲ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༢་༣)
ང་། མ་ཐ
་ཁ སྨན
ངའི་ནང་།
གན
ང་།
ལམ་ཆུང་། 1
གླིང་ཁ། སློབ་གྲྭ།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༣
སྦྲགས་ཁང་།
དངུལ་ཁང་།
ལམ་ཆུང་། 2
ཁྱེད་རང་གིས་རང་གི་ཉེ་འདབས་ས་ཁྲ་ཞིག་བྲིས་ཏེ་རང་གི་འཛིན་གྲོགས་ལ་སྟོན། རང་གི་འཛིན་གྲོགས་ཀྱིས་ བྲིས་པའི་ཉེ་འདབས་ས་ཁྲ་དེ་ཡར་རྒྱས་གཏོང་དགོས་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་ལམ་སྟོན་གང་བྱེད་ཐུབ་བམ།
ཁྱེད་ཀྱིས་གྲོང་ཁྱེར་ས་ཁྲ་དང་། རྒྱལ་ཁབ་ཀྱི་ས་ཁྲའི་ནང་ས་གནས། རྒྱ་ལམ། རྒྱུག་ཆུ་གལ་ཆེ་ཁག་སྟོན་པ་ཡང་
མཐོང་ཡོད། དེ་བཞིན་ཚགས་ཤོག་དང་གསར་འགྱུར་བརྒྱུད་ལམ་ནས་གནམ་གཤིས་ས་ཁྲ་སྤྱད་དེ། ས་གནས་ དང་རྒྱལ་ཁབ། འཛམ་གླིང་ཕྱོགས་ཡོངས་ཀྱི་གནམ་གཤིས་གནས་སྟངས་ལྟ་ཡི་ཡོད།
ས་ཁྲ་འབྲི་སྐབས་དོ་ནན་བྱེད་དགོས་པ་ཞིག་ནི་ས་ཁྲ་དེའི་ཐིག་ཚད་རན་པོ་ཞིག་འདེམས་དགོས། ས་ཁྲའི་སྟེང་
གི་བར་ཐག་ 1 cm ཡང་ན་ 1 mm ཡིས་དངོས་ཡོད་བར་ཐག་ 1 km, 5 km ཡང་ན་ 100 km སོགས་ གང་ཡིན་སྔོན་དུ་རན་པོར་བདམས་ཏེ་ཁ་གསལ་སྟོན་དགོས།
དཔེར་ན། ཉེ་འདབས་ཀྱི་ས་ཁྲ་འབྲི་བའི་སྐབས་སུ་ང་ཚོས་ཐིག་ཚད་ 1 : 100000 ལྟ་བུ་བླངས་ན། དོན་དུ་ས་
ཁྲའི་སྟེང་གི་བར་ཐག་ 1 cm ཡིན་པ་དེས་དངོས་ཡོད་བར་ཐག་ 100000 cm ཡང་ན་ 1000 m ཡང་ན་
164
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། 1 km ཡིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། ང་ཚོས་རང་གི་སྡོད་གནས་དང་། མངའ་སྡེ། རྒྱལ་ཁབ། འཛམ་གླིང་སོགས་ཀྱི་ས་
ཁྲ་འབྲི་སྐབས་ཐིག་ཚད་དེ་ལས་ཆེ་བ་དཔེར་ན། 1 cm = 50 km ཡང་ན་ 1 cm = 200 km ལྟ་བུ་གང་ རན་བླངས་དགོས།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༤ ལ་ལྟོས་དང་། ས་ཁྲ་དེས་སློབ་
1 km དང་། སྨན་ཁང་ནི་ལྷོ་ནུབ་ཕྱོགས་སུ་ 2 km སར་ཡོད་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། འདིར་མཚོན་
རྟགས་དང་ཐིག་ཚད་གསལ་བས་ས་ཁྲ་ཀློག་སླ་ བ་བྱུང་ཡོད།
m
2c
སྨན་ཁང་།
ངའི་ནང་།
1.5 cm cm
1.5 km ཡོད་པ་དང་། ཁྲོམ་ར་ནི་ལྷོ་ཤར་དུ་
ཐིག་ཚད། 1 cm = 1 km
1
གྲྭ་ནི་རང་གི་ནང་ནས་ཤར་ཕྱོགས་སུ་བར་ཐག་
སློབ་གྲྭ།
ཁྲོམ་ར།
དཔེ་རིས་ ༡༢་༤
ས་ཁྲའི་ནང་སྟོན་པའི་བར་ཐག་ནི་དངོས་ཡོད་བར་ཐག་དང་ཆ་མཐུན་ཡིན་པས་ས་ཁྲའི་ཐིག་ཚད་ནས་དངོས་ ཡོད་བར་ཐག་ཤེས་ཐུབ། ཡང་དགོས་པའི་དབང་གིས་ས་ཁྲ་མི་འདྲ་བའི་སྐབས་སུ་ཐིག་ཚད་ཀྱང་མི་འདྲ་བ་འདེམས་
དགོས་ཀྱི་ཡོད། དཔེར་ན། ང་ཚོས་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ས་ལྡི་ལིའི་ས་ཁྲ་ཞིག་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཀྱི་ས་ཁྲའི་མཉམ་དུ་
བཞག་སྟེ་བལྟས་ན། དེ་གཉིས་ནང་ཐིག་ཚད་མི་འདྲ་བ་སྤྱད་ཡོད་པ་གསལ་པོ་རེད། ལྡི་ལིའི་ས་ཁྲའི་ནང་ 1 cm
ཡིས་དངོས་ཡོད་བར་ཐག་མཚོན་པ་ལས་རྒྱ་གར་རྒྱལ་ཡོངས་ཀྱི་ས་ཁྲའི་ནང་གི་ 1 cm ཡིས་དངོས་ཡོད་བར་ ཐག་ཧ་ཅང་ཆེ་བ་ཡོད།
གོང་གི་འགྲེལ་བརྗོད་ཁག་ལས་ང་ཚོས་མཇུག་བསྡོམས་རྒྱག་ཐུབ་པ་ནི།
(ཀ) ས་ཁྲས་དངོས་པོའམ་ཡང་ན་ས་གནས་ཤིག་དང་། དངོས་པོའམ་ཡང་ན་ས་གནས་གཞན་ཞིག་མཉམ་ས་ ཕྱོགས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
(ཁ) ས་ཁྲ་མ་བྲིས་གོང་ནས་ཐིག་ཚད་འོས་འཚམས་འདེམས་དགོས།
(ག) ས་ཁྲའི་ནང་མཚོན་རྟགས་དང་། མཚོན། ཕྱོགས་སོགས་འདྲ་མིན་སྤྱད་དེ་ས་གནས་དང་། དེའི་བཟོ་དབྱིབས་ སྟོན་གྱི་ཡོད།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༢་༢
༡། ཐིག་ཚད་དང་མཚོན་རྟགས་རན་པོ་སྤྱད་དེ་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་ས་ཁྲ་བྲིས།
༢། སབ ློ ་གྲྭའི་སློབ་སྤྱིའམ་དགེ་ཆེའི་ཡིག་ཚང་དུ་ཕྱི་མི་ཡོང་དགོས་པ་ཚོར་བརྡ་སྟོན་ཆེད། སློབ་གྲྭའི་རྒྱལ་སྒོ་ནས་ ཡིག་ཚང་བར་གྱི་འགྲུལ་ལམ་ས་ཁྲ་བྲིས།
༣། ཐིག་ཚད་དང་མཚོན་རྟགས་རན་པོ་བདམས་ཏེ། རང་གི་སློབ་གྲྭའི་ཁོར་ཡུག་ནང་གི་འཛིན་ཁང་དང་། རྩེད་
165
རྩིས་རིག ཐང་། ལྡུམ་ར། ཡིག་ཚང་། གློག་ཀླད་ཁང་། ཆབ་ཁང་སོགས་གསལ་བའི་ས་ཁྲ་བྲིས།
༤། གཤམ་གྱི་ས་ཁྲ་ལ་བལྟས་ཏེ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་འདེབས་གྱིས། རོ་ཁང་།
སྦྲགས་ཁང་།
ཁྲོམ།
ཚོགས་ཁང་།
དཔེ་མཛོད།
ཁྲོམ།
སློབ་གྲྭ།
དངུལ་ཁང་།
ཁྲིམས་ཁང་།
ཁྲོམ།
གླིང་ཁ།
རྒྱུག་ཆུ།
གླིང་ཁ།
ཁྲོམ།
མཐོ་སློབ།
ཉེན་རྟོག་ལས་ཁུངས།
སྨན་ཁང་།
(ཀ) གཤམ་གསལ་ལྟར་ས་ཁྲའི་ནང་ཚོན་ཐོངས།
དཔེ་མཛོད་སེར་པོ། ཚོགས་ཁང་རྒྱ་སྨུག སྨན་ཁང་དམར་པོ། གླིང་ཁ་ལྗང་ཁུ། མཐོ་སློབ་ལྗང་སེར། ཁྲིམས་ཁང་མུ་མེན།
(ཁ) ཀརྨ་སློབ་གྲྭ་ནས་སྦྲགས་ཁང་ལ་འགྲོ་དགོས་ཀྱི་ཡོད་པས། དེའི་ཆེད་ཀརྨའི་འགྲུལ་ལམ་བཙལ་ཏེ་དེ་ ལ་ནག་གྲིབ་ཐོངས།
༡༢་༤ སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་དང་། གྲུ། ཟུར་ཚེག Faces, edges and vertices of solids གཤམ་གྱི་སྲ་གཟུགས་རྣམས་ལ་ལྟོས་དང་། གྲུ།
ཟུར་ཚེག
ངོས།
སྲ་གཟུགས་དེ་དག་མཐའ་མང་ཁུལ་ཁོ་ན་ལས་གྲུབ་པ་ཡིན། མཐའ་མང་ཁུལ་དེ་དག་ལ་སྲ་གཟུགས་དེའི་ངོས་ ཟེར།
166
སྲ་གཟུགས་དེ་དག་ལ་ཉུང་མཐར་ངོས་བཞི་འམ་ཡང་ན་བཞི་ལས་མང་བ་ཡོད།
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། གཉིས་འཕྲད་ས་ནི་ཐིག་དུམ་ཡིན་པ་དང་། ཐིག་དུམ་དེ་ལ་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་གྲུ་ཟེར། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་གྲུ་གསུམ་
ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བ་གནས་གཅིག་ཏུ་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད། གནས་དེ་ལ་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ཟུར་ཚེག་ཟེར། གོང་གི་སྲ་
གཟུགས་རྣམས་ཀྱི་ངོས་ནི་སྙོམས་ངོས་ཁོ་ན་ལས་གྲུབ་པས་དེ་དག་ལ་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ (polyhedron) ཟེར། གཤམ་གྱི་སྲ་གཟུགས་རྣམས་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་རེད།
ཡིན་ཡང་གཤམ་གྱི་སྲ་གཟུགས་ནི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་མིན།
སྲ་གཟུགས་དེ་དག་གི་ངོས་ཁ་ཤས་སམ་ཡང་ན་ཆ་ཚང་འབུར་ངོས་ཡིན་པ་དང་།
དེ་དག་སྙོམས་ངོས་ཁོ་ོ ན་ལས་
གྲུབ་པ་ཞིག་མིན་པས་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་མིན། ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཚང་མ་དབྱིབས་མཐའ་མང་རེད། ཁ་གང་གཟུགས་ལ་མཚོན་ན་དེའི་ངོས་དྲུག་ཚང་མ་མཐའ་མཉམ་པའི་ཡོངས་ མཚུངས་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཡིན་པ་དང་།
ཟུར་ཚེག་བརྒྱད་པོ་རེ་རེའི་སྐབས་
ངོས་གསུམ་རེ་འཕྲད་པ་ཤ་སྟག་ཡིན་པས་ཁ་གང་གཟུགས་ནི་མཐའ་མཉམ་ངོས་ མང་སྲ་གཟུགས་རེད།
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ནི་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་གྲུབ་ པས། གྲུ་ནར་གཟུགས་ནི་མཐའ་མཉམ་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་མིན།
དེ་བཞིན་གཤམ་གྱི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ནི་མཐའ་མཉམ་པའི་དབྱིབས་ཁོ་ ན་ལས་གྲུབ་ཡོད་ཀྱང་། ཟུར་ཚེག་ Q དང་ S གཉིས་ལ་ངོས་གསུམ་རེ་ འཕྲད་པ་དང་། P དང་ T, R གསུམ་ལ་ངོས་བཞི་རེ་འཕྲད་ཀྱི་ཡོད་པས།
Q
T
P
S
ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་འདི་ནི་མཐའ་མཉམ་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་མིན།
R ང་ཚོའི་ཁོར་ཡུག་ནང་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་མང་དག་ཅིག་ཡོད་པ་ལས། གྲུ་ཀ (prism) དང་གྲུ་སྙུང་ (pyramid) ནི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་གལ་ཆེན་གཉིས་རེད།
167
རྩིས་རིག ༡༢་༤་༡ གྲུ་ཀ Prism
སྟེང་དང་ཞབས་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་དབྱིབས་མཐའ་མང་དང་། ངོས་གཞན། དེ་ནི་ལོགས་ངོས་རྣམས་མཉམ་ འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཁོ་ན་ལས་གྲུབ་པའི་སྲ་གཟུགས་ལ་གྲུ་ཀ་ཟེར།
གྲུ་ནར་གྲུ་ཀ་སྟེང་ཞབས་གཉིས་ཀ་ཡོངས་མཚུངས་གྲུ་ནར་དབྱིབས་དང་ལོགས་ངོས་བཞི་པོ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་ བཞི་མ་རེད། དེ་བཞིན་གྲུ་ཀ་གྲུ་བཞི་མའི་སྟེང་ཞབས་གཉིས་ཀ་ཡོངས་མཚུངས་ཁ་གང་དབྱིབས་དང་།
ལོགས་ངོས་བཞི་པོ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། གྲུ་ཀ་ཟུར་གསུམ་མའི་སྟེང་ཞབས་གཉིས་ནི་ཡོངས་མཚུངས་
ཟུར་གསུམ་མ་དང་། ལོགས་ངོས་གསུམ་པོ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད། དེར་བརྟེན་ལོོགས་ངོས་མཉམ་འགྲོ་ མཐའ་བཞི་མ་དང་། སྟེང་འོག་གམ་ཡང་ན། ཞབས་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་མཉམ་འགྲོ་དབྱིབས་མཐའ་མང་ ཅན་གྱི་སྲ་གཟུགས་ནི་གྲུ་ཀ་རེད།
གྲུ་ཀ་གྲུ་བཞི་མ།
གྲུ་ཀ་ཟུར་གསུམ་མ།
གྲུ་ཀ་གྲུ་ནར་མ།
གྲུ་ཀའི་སྐབས་སྲ་གཟུགས་དེའི་ཞབས་ཀྱི་དབྱིབས་ལས་དེའི་མིང་འདྲེན་གྱི་ཡོད།
གྲུ་ཀ་མཐའ་དྲུག་མ།
གྲུ་ཀའི་ཞབས་སམ་ཡང་ན་
རྫོགས་མཚམས་གཉིས་ཀ་ཟུར་གསུམ་ཡིན་ན། དེ་ལ་གྲུ་ཀ་ཟུར་གསུམ་མ་དང་དེ་བཞིན་གྲུ་ཀ་གྲུ་ནར་མ། གྲུ་ཀ་
གྲུ་བཞི་མ། གྲུ་ཀ་མཐའ་ལྔ་མ། གྲུ་ཀ་མཐའ་མཉམ་མཐའ་ལྔ་མ། གྲུ་ཀ་མཐའ་བརྒྱད་མ་སོགས་ཡོད། ཤོ་གཟུགས་ ནི་གྲུ་ཀ་དམིགས་བསལ་ཞིག་ཡིན་པ་དང་། དེའི་ངོས་དྲུག་པོ་ཡོངས་མཚུངས་ཁ་གང་མ་ཡིན་པ་དང་། ཁ་སྤྲོད་ ངོས་གང་རུང་གཉིས་ནི་དེའི་ཞབས་གཉིས་ཡིན། ༡༢་༤་༢ གྲུ་སྙུང་། Pyramid
ཞབས་མཐའ་མང་དབྱིབས་དང་། ལོགས་ངོས་ཚང་མ་ཟུར་གསུམ་མ། ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནི་ཞབས་མིན་པའི་ ལོགས་ངོས་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི་སྤྱིའི་ཟུར་ཚེག་ཡིན་པའི་སྲ་གཟུགས་ནི་གྲུ་སྙུང་རེད།
གོང་དུ་གྲུ་ཀའི་མིང་འདོགས་སྟངས་བཞིན་གྲུ་སྙུང་སྐབས་སུའང་། གྲུ་སྙུང་ཟུར་གསུམ་མ། གྲུ་སྙུང་གྲུ་བཞི་མ། གྲུ་
168
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། སྙུང་མཐའ་ལྔ་མ། གྲུ་སྙུང་མཐའ་དྲུག་མ་སོགས་ཡོོད། ༡༢་༤་༣ ཡུ་ལར་ཆོ་ག Euler’s formula
ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གྱི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ལ་བལྟས་ཏེ། དེའི་ངོས་དང་། ཟུར་ཚེག གྲུ་བཅས་གསུམ་གྱི་གྲངས་ཚོལ། ངོས་ཀྱི་གྲངས། (F) =
ཟུར་ཚེག་གྲངས། (V) = སྐབས་འདིར། དང་།
དེར་བརྟེན།
གྲུའི་གྲངས། (E) =
F + V = 6 + 8 = 14
E + 2 = 12 + 2 = 14 F + V = E + 2 རེད།
གོང་བཞིན་ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་གི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་སྐབས་སུའང་བར་སྟོང་སྐོངས། སྲ་གཟུགས།
མིང་།
ངོས། ཟུར་ཚེག གྲུ། (F) (V) (E)
F+V
E+2
F+V=E+2 རེད། / མ་རེད།
རེའུ་མིག་ཁ་བསྐངས་རྗེས་ཁྱེད་ཀྱིས་གང་བཤད་ཐུབ་བམ། དེ་ལས་ང་ཚོས་མཇུག་བསྡོམས་རྒྱག་ཐུབ་པ་ནི། ངོས་
169
རྩིས་རིག མང་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་གྲངས་ (F) དང་ཟུར་ཚེག་གྲངས་ (V) གྲུ་གྲངས་ (E) བཅས་གསུམ་དབར་འབྲེལ་བ་ ཡོད་པ་ཞིག་ནི་ F + V = E + 2 རེད།
འབྲེལ་བ་འདི་ནི་ཐོག་མར་སུད་སིའི་རྩིས་རིག་པ་ལེའོ་ནརཌ་ཡུ་ལར་ (Leonard Euler 1707-1783) གྱིས་ཐོག་མར་གསར་བཏོད་བྱས་པ་ཞིག་རེད། དེར་བརྟེན། F + V = E + 2 ལ་ཡུ་ལར་ཆོ་ག་ཟེར། ཆོ་ག་འདི་ ནི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ཚང་མར་ཁྱབ་ཀྱི་ཡོད།
༡། གཤམ་གྱི་སྲ་གཟུགས་ངོས་ཟུངས།
(ཀ)
(ཁ)
སྦྱོང་ཚན་ ༡༢་༣
(ག)
(ང)
༢། གཤམ་གྱི་སྲ་གཟུགས་གང་དག་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་མིན་ནམ།
(ཀ)
(ཁ)
(ག)
(ང)
༣། གཤམ་གསལ་དཔེ་རིས་ལས་གྲུ་ཀ་གང་དག་ཡིན་ངོས་ཟུངས། (ཀ)
(ཁ)
རྡོ།
(ག)
སྒམ།
ཟེར།
(ཅ)
(ཆ)
(ཅ)
(ཆ) (ང) ཞ་སྨྱུག
༤། གཤམ་གསལ་ངོས་ཅན་གྱི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ཤིག་ཡོད་དམ། ཡོད་ན་དེའི་མིང་དང་སྲ་གཟུགས་དེ་བྲིས། (ཀ) ཟུར་གསུམ་མ་གསུམ།
(ཁ) ཟུར་གསུམ་མ་བཞི།
(ག) གྲུ་བཞི་མ་གཅིག་དང་ཟུར་གསུམ་མ་བཞི། (ང) གྲུ་ནར་གཉིས་དང་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་གསུམ།
170
སྲ་གཟུགས་ཀྱི་མངོན་ཚུལ། ༥། གྲུ་ཀ་གྲུ་བཞི་མ་དང་ཤོ་གཟུགས་གཅིག་པ་རེེད་དམ། དཔེ་རིས་ཀྱིས་འགྲེལ་བཤད་གྱིས།
༦། སྙུང་གཟུགས་དང་། གྲུ་སྙུང་གཉིས་ལ་འདྲ་བའི་གནས་སྟངས་གང་ཡོད་དང་། མི་འདྲ་བའི་གནས་སྟངས་ གང་ཡོད་དམ།
༧། གཤམ་གསལ་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ལ་ཡུ་ལར་ཆོ་གའི་བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ།
(ཀ)
སྲ་གཟུགས། ཀ
(ཁ)
ངོས། (F)
ཟུར་ཚེག (V)
(ག)
གྲུ། (E)
(ང) F+V
(ཅ) E+2
(ཆ) F+V=E+2
ཁ
ག ང
ཅ
ཆ
༨། ངོས་དྲུག་དང་ཟུར་ཚེག་བརྒྱད་ཅན་གྱི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་གྲུ་གྲངས་ཚོལ། ༩། ངོས་ 20 དང་གྲུ་ 30 ཡོད་པའི་སྲ་གཟུགས་ལ་ཟུར་ཚེག་ག་ཚོད་ཡོད་དམ།
༡༠། ཡུ་ལར་ཆོ་ག་སྤྱད་དེ་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་གི་ x དང་ y, z བཅས་གསུམ་ཚོལ། ངོས།
ཟུར་ཚེག གྲུ།
F
7
5
z
V
5
y
12
E
x
9
30
༡༡། ངོས་ 6 དང་གྲུ་ 20 ཟུར་ཚེག་ 18 ཡོད་པའི་ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་ཤིག་ཡོོད་དམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས།
171
རྩིས་རིག
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན་དང་ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་དངོས་པོ་དབྱེ་ཐུབ།
༢། ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན་དངོས་པོ་ལ་བལྟ་ས་མི་འདྲ་བ་ནས་མཐོང་ཚུལ་ཡང་མི་འདྲ་བ་ཡོད། ༣། ས་ཁྲ་དང་དཔེ་རིས་གཉིས་ལ་ཁྱད་པར་ཡོད།
༤། ས་ཁྲས་དངོས་པོའི་གནས་ས་དངོས་པོ་གཞན་ཞིག་ལ་ལྟོས་ཏེ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
༥། ས་ཁྲའི་ནང་མཚོན་རྟགས་ཀྱིས་དངོས་པོ་དང་ས་གནས་མི་འདྲ་བ་མཚོན་གྱི་ཡོད། ༦། ས་ཁྲས་འབུར་མཐོང་གཟུགས་ཀྱི་གནས་སྟངས་སྟོན་གྱི་མེད།
༧། ས་ཁྲའི་ནང་གི་ཐིག་ཚད་སྤྱད་པ་དེ། ས་ཁྲ་དེའི་སྐབས་ས་གནས་ཚང་མར་གཅིག་མཚུངས་རེད།
༨། སྙོམས་ངོས་བཞི་ཡང་ན་དེ་ལས་མང་བ་ལས་གྲུབ་པའི་ཁ་ཟུམ་གཟུགས་ནི། ངོས་མང་གཟུགས་རེད། ༩། སྟེང་དང་ཞབས་གཉིས་ཡོངས་མཚུངས་དབྱིབས་མཐའ་མང་དང་། ངོས་གཞན། དེ་ནི་ལོགས་ངོས་ རྣམས་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཁོ་ན་ལས་གྲུབ་པའི་སྲ་གཟུགས་ལ་གྲུ་ཀ་ཟེར།
༡༠། ཞབས་མཐའ་མང་དབྱིབས་དང་། ལོགས་ངོས་གཞན་ཚང་མ་ཟུར་གསུམ་མ། ཟུར་ཚེག་གཅིག་ནི་
ཞབས་མིན་པའི་ལོགས་ངོས་ཟུར་གསུམ་མ་ཚང་མའི་སྤྱིའི་ཟུར་ཚེག་ཡིན་པའི་སྲ་གཟུགས་ནི་གྲུ་ སྙུང་རེད།
༡༡། ངོས་མང་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ (F) དང་། ཟུར་ཚེག་ (V) གྲུ་ (E) བཅས་གསུམ་གྱི་གྲངས་དབར་ གྱི་འབྲེལ་བ་ F + V = E + 2 ལ་ཡུ་ལར་ཆོ་ག་ཟེར།
172
ཚད་འཇལ།
སློབ་ཚན་བཅུ་གསུམ་པ།
༡༣་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཚད་འཇལ་བསྐོར་ཁྱེད་ཀྱིས་གང་སྦྱངས་ཡོད་ཅེ་ན། ཁ་ཟུམ་སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས་ཀྱི་མཚམས་བརྒྱུད་པའི་བར་
ཐག་ནི་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་། དཔེ་རིས་དེས་ཁེབས་པའི་ཁུལ་ནི་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡིན་པ་ཤེས་ཡོད། ཡང་
ཁྱེད་ཀྱིས་སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས་ཟུར་གསུམ་མ་དང་། གྲུ་ནར། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། སྒོར་དབྱིབས་བཅས་ཀྱི་
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་སྟངས། གྲུ་ནར་རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་སྟངས་ཀྱང་སྦྱངས་ཡོད།
སློབ་ཚན་འདིར་ང་ཚོས་སྙོམས་ངོས་དཔེ་རིས་གྲུ་བཞི་མའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་དང་འབྲེལ་
བའི་དཀའ་རྙོག་སེལ་རྒྱུ་དང་། དེ་ནས་ང་ཚོས་ཁ་གང་གཟུགས་དང་། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་བཅས་གསུམ་ གྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་བོངས་ཚད་སྐོར་སྦྱང་རྒྱུ་རེད།
༡༣་༢ དྲན་གསོ། Recall
ང་ཚོས་དཔེ་ཞིག་བརྒྱུད་ད་བར་སྦྱངས་ཟིན་པའི་ཚད་འཇལ་གནས་སྟངས་ཁག་ལ་བསྐྱར་ཞིབ་བྱ་ཆེད་གཤམ་ གྱི་དཀྱུས་ 100 m དང་ཞེང་ 50 m ཡིན་པའི་གླིང་ཁ་གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཅན་ཞིིག་ལ་བལྟའོ། ། (ཀ) གླིང་ཁ་དེ་ལ་ར་བ་བསྐོར་དགོས་ན།
ར་བའི་རིང་ཚད་ཆེད་ང་ཚོས་གླིང་ ཁ་དེའི་མཐའ་འཁོ ར ་རིང་ཚད་ འཚོལ་དགོས།
གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཀྱི ་ མཐའ་འཁོ ར ་
རིང་ཚད་ཀྱི་ཆོ་ག 2 (l + b) སྤྱད་ ན་གླིང་ཁའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་
5m
2m
5m
7m
50 m 5m
5m
100 m
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡
འཚོལ་ཐུབ། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 300 m ཡིན་པས་ར་བའི་རིང་ཚད་ཀྱང་ 300 m རེད།
(ཁ) གླིང་ཁ་དེས་ས་ཆ་ག་ཚོད་འཛིན་ཡོད་པ་ཤེས་འདོད་ན་ས་ཆ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་དགོས་ཀྱི་ཡོད། གྲུ་ནར་
173
རྩིས་རིག དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཆོ་ག་གང་རེད། ཆོ་ག་སྤྱད་དེ་རྒྱ་ཁྱོན་བཙལ་ན་ 5000 m2 རེད་འདུག་གམ།
(ག) གླིང་ཁའི་མཚམས་ཀྱི་ནང་རོལ་བརྒྱུད་རྐང་ལམ་ཞེང་ 2 m ཅན་ཞིག་ཡོད་པ་དེ་ལ་ཨར་འདམ་འདིང་
དགོས་ཀྱི་ཡོད་པ་དང་། ཨར་འདམ་དོ་པོ་གཅིག་གིས་རྐང་ལམ་རྒྱ་ཁྱོན་ 4 m2 ཁེབས་ཀྱི་ཡོད་པས། རྐང་
ལམ་ཆ་ཚང་ཁེབས་པར་ཨར་འདམ་དོ་པོ་ག་ཚོད་དགོས་ཀྱི་ཡོད་པ་ཤེས་འདོད་ན། ང་ཚོས་གང་བྱེད་དགོས་ སམ།
དགོས་མཁོའི་ཨར་འདམ་དོ་གྲངས། =
རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན།
དོ་པོ་གཅིག་གིས་ཁེབས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན།
རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = གླིང་ཁའི་རྒྱ་ཁྱོན་ − ཨར་འདམ་མ་བཏིང་བའི་རྒྱ་ཁྱོན།
རྐང་ལམ་གྱི་ཞེང་ 2 m ཡིན་པས། ཨར་འདམ་མ་བཏིང་བའི་རྒྱ་ཁྱོན། = (100 − 4) (50 − 4) = 96 × 46
= 4416 m2 རྐང་ལམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 5000 − 4416 = 584 m2 ཨར་འདམ་དོ་གྲངས་ =
584 = 146 4
(ང) གླིང་ཁ་དེའི་ནང་ལྡུམ་ར་ཁྲ་བཅད་གྲུ་བཞི་མ། 5 m × 5 m ཅན་རེ་ཟུར་བཞི་པོ་དང་། དབུས་སུ་ཚངས་ ཕྱེད་ 7 m ཡིན་པའི་ལྡུམ་རྭ་ཁྲ་བཅད་གཅིག་བཅས་བཏབ་ཡོད་པ་དང་། དེ་མིན་ས་ཆ་ལྷག་མ་ལ་རྩྭ་བཏབ་ ཡོད། གླིང་ཁའི་ནང་རྩྭ་བཏབ་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཁྱེད་ཀྱིས་ཇི་ལྟར་འཚོལ་དགོས། ལྡུམ་ར་ཁྲ་བཅད་བཞི་ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
ལྡུམ་ར་ཁྲ་བཅད་སྒོར་མོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
རྐང་ལམ་ཕུད་པའི་གླིང་ཁའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
ཁྱེད་ཀྱིས་རྐང་ལམ་ཕུད་པའི་གླིང་ཁའི་རྒྱ་ཁྱོན་ལས་ལྡུམ་ར་ཁྲ་བཅད་ལྔའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཕྲི་ན་དགོས་མཁོའི་གླིང་ ཁའི་ནང་རྩྭ་བཏབ་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཐོབ། རྒྱ་ཁྱོན་གང་ཐོབ་བྱུང་ངམ།
གོང་གི་དབྱིབས་ཁག་དང་དབྱིབས་གཞན་གྱི་ཚད་འཇལ་ཤེས་ན། ཁྱོན་ཡང་འཚོལ་ཐུབ།
174
དེ་དག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་
དེའི་ཆེད་སྔོན་དུ་ཁྱེད་ཀྱིས་གཤམ་གྱི་དབྱིབས་ཁག་གི་མིང་དང་།
དེ་དག་གི་མཐའ་
ཚད་འཇལ། འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཆོ་ག་བཅས་མ་ནོར་བ་བྲིས། དབྱིབས།
b
མིང་།
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད།
རྒྱ་ཁྱོན།
l l l a
h
c
b a
h b r
དཔེ་རིས་འདིའི་ནང་གྲུ་ནར་གཅིག་དང་། ཟུར་གསུམ་
མ་ནག་གྲིབ་བཏང་བ་གཅིག ཟུར་གསུམ་མ་ནག་གྲིབ་ མ་བཏང་བ་གསུམ་འདུག
གྲུ་ནར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 8 × 6 = 48 cm2
5 cm
2 cm 4 cm
ལན།
1 × 4 × 5 = 10 cm2 2 1 ཟུར་གསུམ་མ་ཁ པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = × 6 × 3 = 9 cm2 2 1 ཟུར་གསུམ་མ་ག་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = × 8 × 2 = 8 cm2 2 ཟུར་གསུམ་མ་ཀ་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
3 cm
ཀ
ག
ཁ
6 cm
རྩིས་དཔེ། ༡ དཔེ་རིས་ ༡༣་༢ ནང་ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢
175
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན། ནག་གྲིབ་བཏང་བའི་ཟུར་གསུམ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།
= གྲུ་ནར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ − ནག་གྲིབ་མ་བཏང་བའི་ཟུར་མ་གསུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན། = 48 − (10 + 9 + 8)
རྩིས་དཔེ། ༢ ལྡུམ་ར་ཞིག་གི་དབྱིབས་དང་འཇལ་ཚད་ཁག་གཤམ་དུ་ ལན།
བསྟན་ཡོད་པ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༣)
ལྡུམ་རའི་དབྱིབས་ནི་གྲུ་ནར་གཅིག་དང་སྒོར་ཕྱེད་གཉིས་
ཀ
7m
= 48 − 27 = 21 cm2
ལ་དབྱེ་ན།
གྲུ་ནར་ཁ་ཡི་དཀྱུས་ = 20 − (3.5 + 3.5) = 20 − 7 = 13 m
ཁ
20 m
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣
གྲུ་ནར་ཁ་ཡི་ཞེང་ = 7 m
གྲུ་ནར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = 13 × 7 = 91 m2
སྒོར་ཕྱེད་ཀ་ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
སྒོར་ཕྱེད་ག་ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
1 1 22 × π r2 = × × 3.5 × 3.5 = 19.25 m2 2 2 7 1 22 × × 3.5 × 3.5 = 19.25 m2 2 7
དེར་བརྟེན། ལྡུམ་རའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (དཔེ་རིས་ཀ + དཔེ་རིས་ཁ་ + དཔེ་རིས་ག) ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། = 19.25 + 91 + 19.25 = 129.5 m2
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༡
10
16 cm 7 cm
22 cm (ཀ)
176
7 cm 22 cm (ཁ)
cm 11
cm
༡། ཚད་འཇལ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་དཔེ་རིས་ཁག་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་དང་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
14 cm (ག)
ག
ཚད་འཇལ། ༢། དཔེ་རིས་ ༡༣་༤ ནང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་དང་། གྲུ་བཞི་ནར་དབྱིབས་
50 m
40 m
གཉིས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ན། གང་ དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་བ་འདུག་གམ། ག་ཚོད་ཀྱིས་ཆེ་བ་འདུག་གམ།
༣། ཆོས་སྒན ྲོ ་གྱིས་རང་གི་ས་དུམ་གྱི་ནང་རོལ་དུ་སྡོད་ཁང་ཞིག་
བརྒྱབ་རྗེས་སྡོད་ཁང་མཐའ་འཁོར་ཆ་ཚང་ལྡུམ་ར་བཟོས་
པ་རེད། ལྡུམ་ར་བཟོ་བར་ 1 m2 ལ་ ` 120 རེ་སྤྲད་ཡོད་ ན། ཆོས་སྒྲོན་གྱིས་ལྡུམ་ར་བཟོ་བར་འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་ཕྱིན་
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤
30 m སྡོད་ཁང་།
15 m 20 m
20 m
ལྡུམ་ར།
ཡོད་དམ།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༥
༤། རྒྱ་ཁྱོན་ 1080 m2 ཅན་གྱི་ཁང་པའི་ཞ་ལ་འདིང་དགོས་ན་ཞབས་ 24 cm དང་དཔངས་ 10 cm ཡིན་ པའི་ཕ་གུ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༥། གསེག་མཐའ་ 10 cm ཡིན་པའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མའི་ཞབས་ནི་ 6 cm ཡིན་ན། ཟུར་མ་དེའི་རྒྱ་ ༦། གྲུ་ནར་ས་ཆ་ཆ་ཚད་ 40 m × 30 m གྱི་ཟུར་བཞི་པོར་མེ་ ཏོག་ཁྲ་བཅད་ཚངས་ཕྱེད་ 3.5 m ཡིན་པ་རེ་བཟོ་དགོས།
m 3.5
40 m
3.5 m
30 m
ཁྱོན་ཚོལ།
གལ་ཏེ་ས་ལྷག་མ་དེར་རྩྭ་བཏབ་པར་ 1 m2 རེ་ལ་ ` 40 རེ་
གནས་ན། དེའི་ཆེད་འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་གཏོང་དགོས།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༦
༧། གཤམ་གསལ་སྐབས་གྲུ་ནར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་འགྱུར་བ་གང་བྱུང་ངམ། (ཀ) དེའི་དཀྱུས་དང་ཞེང་གཉིས་ཉིས་ལྡབ་བཟོས་ན།
(ཁ) དེའི་དཀྱུས་ནི་ཕྱེད་ཀ་དང་། ཞེང་ཉིས་ལྡབ་བཟོས་ན།
༡༣་༣ སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of trapezium
དབྱངས་ཅན་ལ་རྒྱ་ལམ་དང་མཐའ་འབྲེལ་ས་དུམ་ཆེན་པོ་ཞིག་ཡོད།
ས་དུམ་དེའི་དབྱིབས་ནི་ཉེ་འདབས་སུ་
ཡོད་པའི་ས་དུམ་གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཅན་དང་མི་འདྲ་བར། ཁོ་མོའི་ས་དུམ་དེའི་གཏད་མཐའ་ཆ་གཅིག་ནི་མཉམ་ (དཔེ་རིས་ ༡༣་༧) འདི་ནི་སྐས་དབྱིབས་རེད། སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་གཏད་ མཐའ་ཆ་གཞན། དེ་ནི་ AD དང་ BC མཉམ་འགྲོ་མིན། སྐས་དབྱིབས་
20 m B
D
མ།
AB དང་ CD གཉིས་མཉམ་འགྲོ་ཡིན། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་
A
རྒྱ་ལ
འགྲོ་རེད། ས་དུམ་དེའི་མིང་ ABCD ཡིན་ན། དེའི་གཏད་མཐའ་
C 25 m དཔེ་རིས་ ༡༣་༧
177
རྩིས་རིག ཀྱི་གཏད་མཐའ་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པ་གཉིས་ཀ་ལ་དེའི་ཞབས་ཟེར། ས་དུམ་དེའི་ཞབས་གཉིས་ནི་ AB དང་ DC རེད། ཞབས་དེ་གཉིས་ཀྱི་བར་ཐག་ནི་སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་དཔངས་རེད།
a
A
16 m
ས་དུམ་དེའི་དཔངས་ནི་ BE རེད།
དཔངས་ BE དེས་ས་དུམ་ཆ་ཤས་གཉིས་སུ་བགོས་པས། ཆ་ཤས་ དེ་གཉིས་ནི། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ་ BEC དང་གྲུ་ནར་དབྱིབས་
B
20 m
h
h
20 m a
D
ABED རེད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཤེས་གསལ་ལྟར།
1 1 × c × h = × 5 × 16 = 40 m2 2 2 གྲུ་ནར་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = a × h = 20 × 16 = 320 m2 ཟུར་གསུམ་མ་ BEC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
5m C E c
b དཔེ་རིས་ ༡༣་༨
དེར་བརྟེན། སྐས་དབྱིབས་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན།
= ཟུར་གསུམ་མ་ BEC ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ + གྲུ་ནར་ ABED ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། = 40 + 320 = 360 m2
གོང་གི་དཔེ་ལས་སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཆོ་ག་ཤེས་པའི་དབྱིབས་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཟླ་བསྒྲིལ་ནས་ཐོབ་པས།
1 ×c×h+a×h 2 c =h +a 2 c + 2a =h 2 h = [c + a + a] 2 h = [b + a] 2 1 དེར་བརྟེན། སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = × དཔངས་ × གཏད་མཐའ་མཉམ་འགྲོའི་བསྡོམས། 2 1 ཡང་ན། = × དཔངས་ × ཞབས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས། 2 དབྱངས་ཅན་གྱི་ནུ་མོ་གཡུ་སྒྲོན་ལའང་གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ལྟར་ས་དུམ་སྐས་དབྱིབས་ཤིག་ཡོད།
སྐས་དབྱིབས་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
[ [
[
[
ཁྱེད་ཀྱིས་སྐས་དབྱིབས་ KLMN ལྟ་བུའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཇི་ལྟར་
འཚོལ་དགོས། སྐས་དབྱིབས་ KLMN ཡང་གོང་ལྟར་ཆོ་ག་ ཤེས་པའི་དབྱིབས་སུ་བགོས་ན། སྐས་དབྱིབས་དེ་གྲུ་ནར་གཅིག་
178
K
L
N
དཔེ་རིས་ ༡༣་༩
M
ཚད་འཇལ། དང་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོ་ཐུབ། སྐས་དབྱིབས་ KLMN ཡི་རྒྱ་ཁྱོན།
= ∆KLP ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ + གྲུ་ནར་ KPQN ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ + ∆ NQM ཡི་རྒྱ་ཁྱོན། 1 1 ×c×h+a×h+ ×d×h 2 2 d c =h +a+ 2 2 h = [c + 2a + d] 2 h = [c + a + d + a] 2 h = [b + a] 2
=
[
a
K
[
L
སྐས་དབྱིབས་དེ་ཆ་བགོད་གཏོང་སྟངས་གཞན་ཞིག་ནི་དཔེ་རིས་
ལྟར་ཡིན། དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ KLPN
c
N
a
P
Q
d
M
b དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༠ K
N h
L
P དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༡
དང་ཟུར་གསུམ་མ་ NPM གྱི་བསྡོམས་དེ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༡)
གཡུ་སྒྲོན་གྱི་ས་དུམ་འཇལ་ཚད་ཁག་ནི། a = 12 m, b = 22 m དང་ h = 8 m ཡིན་པས། ཁོ་མོའི་ས་དུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན།
K
1 h (a + b) 2 1 = × 8 × (12 + 22) 2
h
=
M
N
h L
= 4 × 34 = 136 m2
P དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༢
M
གཡུ་སྒྲོན་གྱི་ས་དུམ་དེ་དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༢ ལྟར་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོས་ནའང་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་ཐུབ། 1 1 × b × h = × 22 × 8 = 88 m2 2 2 1 1 Ar (∆KMN) = × b × h = × 12 × 8 = 48 m2 2 2
Ar (∆KLM) =
དེར་བརྟེན་གཡུ་སྒྲོན་གྱི་ས་དུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = Ar (∆KLM) + Ar (∆KMN) = 88 + 48 = 136 m2
179
རྩིས་རིག བྱེད་སྒོ།
སྐས་དབྱིབས་དྲས་ཏེ་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་བ།
a
P
༡། ཤོག་པང་ཞིག་བླངས་ཏེ་དེའི་སྟེང་སྐས་དབྱིབས་ PQRS བྲིས་ཏེ་དྲས།
༣། PM བརྒྱུད་སྐས་དབྱིབས་དྲས་ཏེ་ཆ་ཤས་ PSM དང་ PQRM གཉིས་སུ་བཟོས།
༤། ཟུར་གསུམ་མ་ PSM གྱི་གཞོགས་ SM དེ་མཐའ་བཞི་
དབྱིབས་ PQRM གྱི་གཞོགས་ RM སྟེང་བཞག་ནས་ ཟུར་གསུམ་མ་ PQT ཐོབ།
Q P
Q
B
R
b
P
༢། སྐས་དབྱིབས་དེ་ལྟེབ་བརྩེགས་ཀྱིས་མཉམ་འགྲོ་མིན་ པའི་མཐའ་ RS ཡི་དཀྱིལ་གནས་ M ཚོལ།
h
Q
དེའི་དཔང་ནི་ PB རེད།
S
S
M R
B M
S
P
M
R
B P Q
B
M b
R
a
T
ཟུར་གསུམ་མ་ PQT ཡི་ཞབས་ QT ཡི་རིང་ཚད་གང་རེད་དམ། QT = QR + RT = b + a
= སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་ཞབས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས། 1 དེར་བརྟེན། Ar (∆PQT) = × b × h 2 1 = × QT × PB 2 1 = × ཞབས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས་ × དཔངས། 2
༥། ཟུར་གསུམ་མ་ PQT ནི་སྐས་དབྱིབས་ PQRS དྲས་ཏེ་དེའི་ཆ་ཤས་བསྐྱར་སྒྲིག་བྱས་པ་ལས་ཐོབ་པས། དེ་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་མཚུངས་རེད།
དེར་བརྟེན། སྐས་དབྱིབས་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་
= ཟུར་གསུམ་མ་ PQT ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
180
1 × དཔངས་ × ཞབས་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས། 2
ཚད་འཇལ། རྩིས་དང་།
༡། ཐིག་རིས་ནང་གི་སྐས་དབྱིབས་གསུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་མཚུངས་རེད་འདུག་གམ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༣) 8
14 5
7
8
4
8
10
10
6
4
6
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༣
རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་མཚུངས་སྐབས་སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཀྱང་གཅིག་མཚུངས་རེད་འདུག་གམ།
༢། སྐས་དབྱིབས་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
8 cm
6 cm
18 cm
5 cm
9 cm
12 cm
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༤
༡༣་༤ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of quadrilateral
སྤྱིར་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ཚང་མ་དེའི་གཏད་ཐིག་གཅིག་གིས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོ་ཡི་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༥ ནང་ ABCD ཡི་གཏད་ཐིག་གཅིག་ AC རེད། གཏད་ཐིག་དེས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་དེ་
ཟུར་གསུམ་མ་ ABC དང་ ADC བཅས་གཉིས་སུ་
A
བགོས་ཡོད། གལ་ཏེ་ h1 དང་ h2 གཉིས་གོ་རིམ་བཞིན་ཟུར་ ཚེག་ B དང་ D ལས་གཏད་ཐིག་ AC ཐོག་གི་དཔངས་
ཡིན་ན། མཐའ་བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ཟུར་གསུམ་དེ་གཉིས་
D
h1
h2
B
ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་བསྡོམས་ཡིན་པས། དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༥ 1 Ar (∆ABC) = × AC × h1 2 1 Ar (∆ADC) = × AC × h2 2 དེར་བརྟེན། Ar (དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD) = Ar (∆ABC) + Ar (∆ADC) 1 1 = × AC × h1 + × AC × h2 2 2 1 = × AC × (h1 + h2) 2
C
181
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༣ དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ WXYZ ཡི་ཟུར་ཚེག་ X དང་ Z ནས་གཏད་ཐིག་ WY = 12 cm དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ WXYZ ཡི་རྒྱ་ཁྱོན།
W
1 1 × WY × XM + × WY × ZN 2 2 1 = × WY (XM + ZN) 2 X 1 = × 12 × (6 + 4) 2
M
=
Z 4c m
བཞི་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
N1
2c
6c m
ལན།
ཐོག་གི་དཔངས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་གོ་རིམ་བཞིན་ 6 cm དང་ 4 cm ཡིན་ན། དབྱིབས་མཐའ་
m
Y
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༦
= 6 × 10 = 60 cm2
༡༣་༥ གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། Area of rhombus
གཟེ་དབྱིབས་ནི་མཐའ་མཉམ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཞིག་རེད། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་གལ་ཆེ་བ་ཞིག་ ནི། དེའི་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཕན་ཚུན་དྲང་འཕྱང་མཉམ་བགོད་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༧) དེར་བརྟེན། དཔེ་རིས་ནང་གི་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
A
= Ar (∆ABC) + Ar (∆ADC)
1 1 × AC × BP + × AC × DP 2 2 1 = × AC (BP + PD) 2 1 = × AC × BD 2
=
D
P B
དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༧
C
AC དང་ BD ནི་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་གཏད་ཐིག་གཉིས་པོ་ཡིན་པས་དེ་གཉིས་ལ་གོ་རིམ་བཞིན་ d1 དང་ d2
ཞེས་ན། གཟེ་དབྱིབས་ ABCD ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
དེར་བརྟེན། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
1 × d1 × d2 2
1 × གཏད་ཐིག་གི་བསྒྱུར་ཐོབ། 2
གོང་གི་ཆོ་ག་ལས། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཤེས་ན་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་ཐུབ། དེ་བཞིན་གཏད་ཐིག་ གཉིས་ལས་ང་ཚོས་གཟེ་དབྱིབས་དེའི་གཞོགས་ཀྱང་འཚོལ་ཐུབ།
182
ཚད་འཇལ། ང་ཚོས་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་ཆ་ཤས་ ∆APB ལ་བལྟས་ན། པཡི་ཐ་གྷོ་རས་ངེས་སྲོལ་ལས། AB2 = AP2 + BP2
( ) ( ) 2
AC BD + = 2 2
2
དེར་བརྟེན། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་གཞོགས་ AB = =
( ) ( ) 2
AC BD + 2 2
2
( ) ( ) d1 2 d + 2 2 2
2
རྩིས་དཔེ། ༤ གཏད་ཐིག་ 10 cm དང་ 24 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། དེའི་མཐའ་འཁོར་ P
གཟེ་དབྱིབས་ PQRS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་
1 × d1 × d2 2 1 = × 10 × 24 2 =
Q
= 120 cm2 ཟུར་གསུམ་མ་ POS ལ་པཡི་ཐ་གྷོ་རས་ངེས་སྲོལ་ལས། PS2 = PO2 +SO2
12 cm
ལན།
རིང་ཚད་ཀྱང་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༨)
O 5 cm
S
R དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༨
= 122 + 52
= 144 +25 = 169 དེས་ན།
PS = 169 PS = 13 cm
དེར་བརྟེན། གཟེ་དབྱིབས་ PQRS ཡི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ = 4 × གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་གཞོགས། = 4 × 13 = 52 cm
183
རྩིས་རིག རྩིས་དང་།
གཤམ་གྱི་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ངོས་བཟུང་ནས་དེའི་ཆོ་ག་སྤྱད་དེ་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༩)
5 cm དཔེ་རིས་ ༡༣་༡༩
R
6 cm
K
L
m
N
5c
5c m
5 cm Q
m 6c
D
S
m 2c
5 cm m 8c
P
C
m 5c
A
3 cm 6 cm
5 cm
B
M
6 cm
མཆན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག་གིས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་དེ་ཡོངས་མཚུངས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོ་ཡི་ཡོད།
༡༣་༦ མཐའ་མང་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ Area of a polygon
ང་ཚོས་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་དེ་དེའི་གཏད་ཐིག་གིས་ཟུར་གསུམ་མ་གཉིས་སུ་བགོས་ཏེ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་བཙལ་ ཡོད། དེ་བཞིན་མཐའ་མཉམ་པ་དང་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་གོང་གི་ཐབས་ ལམ་ལྟར་འཚོལ་ཐུབ། གཡས་ཀྱི་དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ་ (དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༠) ལ་ལྟོས་དང་། དབྱིབས་དེ་ནི་ཆ་ཤས་བཞི་རུ་བཏང་ཡོད་པ་ནི། ཟུར་གསུམ་མ་གསུམ་དང་སྐས་དབྱིབས་བཅས་བཞི་རེད།
4
1
3 2
དེར་བརྟེན། དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མའི་རྒྱ་ཁྱོན།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༠
= ཟུར་གསུམ་མ་ (1,2,3) གསུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་བསྡོམས་ + སྐས་དབྱིབས་ (4) ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན།
དབྱིབས་མཐའ་ལྔ་མ་དེ་ཆ་བགོད་བྱེད་སྟངས་གཞན་ཞིག་ནི།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༡ ལྟར་ཟུར་གསུམ་མ་གསུམ་དུ་ཆ་བགོས་རྗེས། ཟུར་གསུམ་མ་གསུམ་པོའི་རྒྱ་ཁྱོན་སྡོམ་པ་ལས་བྱུང་། བྱེད་སྒོ།
1
2 3
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༡
དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ་ཞིག་ཤོག་པང་སྟེང་བྲིས་ཏེ་མཐའ་དྲུག་མ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་བར། རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཆོ་ག་
ཤེས་པའི་དབྱིབས་སུ་ཆ་བགོད་གྱིས། ད་དུང་དབྱིབས་དེ་ཆ་བགོད་བྱེད་སྟངས་མི་འདྲ་བ་འདུག་གམ། ཡོད་ ན་ཆ་བགོད་བྱེད་སྟངས་དེ་/དེ་དག་ཀྱང་སྟོན།
རྩིས་དཔེ། ༥ ཐུབ་བསྟན་ལ་ཞིང་ཁ་ཡོད་པ་དེའི་དབྱིབས་ནི་མཐའ་མི་མཉམ་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་ཞིག་རེད། དབྱིབས་དེའི་འཇལ་ཚད་ཁག་ནི།
184
ཚད་འཇལ། AB = 220 m དང་། AL = 20 m, AM = 30 m,
BN = 160 m, OB = 40 m, TM = OS = 60 m, LP = 20 m, NQ = 60 m, MN = 30 m བཅས་ ལན།
B S
ཡིན་པས་ཞིང་ཁ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༢)
ཞིང་ཁའི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་བར་ས་ཞིང་དེའི་ཆ་ཤས་ཁག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ སྡོམ་དགོས།
1 ཟུར་གསུམ་མ་ ALP ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = × AL × LP 2 1 = × 20 × 20 2
R
O
Q
N T
= 200 m2
L
M
P
A དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༢
1 × LN (LP + NQ) 2 1 = × 40 (20 + 60) 2
སྐས་དབྱིབས་ PLNQ ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
= 20 × 80 = 1600 m2 གྲུ་ནར་ QNBR ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་
= BN × NQ = 160 × 60 = 9600 m2 1 × OS × OB 2 1 = × 60 × 40 2
ཟུར་གསུམ་མ་ SOB ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
= 1200 m2 གྲུ་ནར་ TMOS ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་
= TM × OS = 60 × 150 = 9000 m2 1 × AM × MT 2 1 = × 30 × 60 2
ཟུར་གསུམ་མ་ AMT ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
= 900 m2
185
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན། ཐུབ་བསྟན་གྱི་ཞིང་ཁའི་རྒྱ་ཁྱོན་
= 200 + 1600 + 9600 + 1200 + 9000 + 900 = 22500 m2
རྩིས་དཔེ། ༦ མཉམ་འག་ྲོ མཐའ་གཅིག་ 10 cm དང་དཔངས་ 4 cm ཡིན་པའི་སྐས་དབྱིབས་རྒྱ་ཁྱོན་ 34 cm2 ལན།
ཅན་གྱི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཞན་དེ་ཚོལ།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཞན་དེ་ x ཡིན་ན།
1 × དཔངས་ × མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས། 2 2 1 34 = × 4 × (x + 10) 2
སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
1
34 = 2x + 20 34 − 20 = 2x 14 = 2x 7=x དེར་བརྟེན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཞན་དེ་ 7 cm རེད།
རྩིས་དཔེ། ༧ སྐས་དབྱིབས་རྒྱ་ཁྱོན་ 90 cm2 ཅན་གྱི་དཔངས་ 6 cm རེད། གལ་ཏེ་དེའི་མཉམ་འགྲོ་གཏད་
ལན།
མཐའ་གཅིག་དེ་གཞན་དེའི་ལྡབ་གཉིས་ཡིན་ན། སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཉིས་ཚོལ།
ང་ཚོས་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་ཐུང་བ་དེ་ x ལ་ཆ་བཞག་ན།
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་རིང་བ་དེ་ 2x རེད།
1 × དཔངས་ × མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་བསྡོམས། 2 3 1 90 = × 6 (x + 2x) 2
སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ =
1
90 = 3 × 3x 90 = 9x 10 = x དེར་བརྟེན། སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཉིས་ནི་ 10 cm དང་ 20 cm རེད།
186
ཚད་འཇལ།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༢
༡། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་མཚུངས་པས། གྲུ་བཞི་མ་དེའི ་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། 11 cm
9.5 cm
12.5 cm
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༣
༢། སྐས་དབྱིབས་རྒྱ་ཁྱོན་ 240 cm2 ཅན་གྱི་མཉམ་འགྲོ་གཏད་མཐའ་ 18 cm དང་ 22 cm བཅས་གཉིས་ རེད། སྐས་དབྱིབས་དེའི་དཔངས་ཚོལ།
༣། ས་དུམ་སྐས་དབྱིབས་ PQRS ཡི་ར་བའི་རིང་ཚད་ནི་ 120 m རེད།
གལ་ཏེ་ PS = 40 m དང་། SR = 17 m, QR= 48 m ཡིན་ན།
P
Q
ས་དུམ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༤)
40 m
S
17 m
48 m དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༤
R
༤། རྒྱ་ཁྱོན་ 276 cm2 ཡིན་པའི་སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་དཔངས་ནི་ 24 cm རེད། གལ་ཏེ་དེའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་ གཅིག་གཞན་དེ་ལས་ 7 cm གྱིས་རིང་བ་ཡོད་ན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་གཉིས་ཚོལ།
༥། གཏད་ཐིག་ 8 cm དང་ 6 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ།
༦། ཞབས་ 6 cm དང་དཔངས་ 3.5 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༧། མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 40 cm ཡིན་པའི་གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་མཉམ་འགྲོ་ཐིག་གཉིས་ཀྱི་བར་ཐག་ 5.6 cm རེད། གཟེ་དབྱིབས་དེའི་གཏད་ཐིག་ཅིག་ 7 cm ཡིན་ན། གཏད་ཐིག་གཞན་དེ་ཚོལ།
༨། དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཐིག་གཅིག་ 28 cm དང་། གཏད་ཐིག་དེའི་སྟེང་ཁ་སྤྲོད་ཟུར་ཚེག་ནས་ དཔངས་གཉིས་ཀྱི་རིང་ཚད་ 6 cm དང་ 8 cm ཡིན་ན། དབྱིབས་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༩། གཏད་ཐིག་ 45 cm དང་ 30 cm ཡིན་པའི་ཕ་གུ་གཟེ་དབྱིབས་ 3000 གིས་ཤེས་རབ་ཀྱི་ནང་གི་ཞ་ལ་
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༥ ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
10 cm
12 cm
8 cm
༡༠། གཤམ་གྱི་ཚད་འཇལ་ཁག་སྟོན་པའི་
12 cm
འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་ཕྱིན་ཡོད་དམ།
14 cm
ཆ་ཚང་ཁེབས་ཡོད། གལ་ཏེ་ཕ་གུ་ 1 m2 རེ་ལ་ ` 50 རེ་གནས་ན། ཤེས་རབ་ཀྱིས་ཞ་ལ་འགེབས་པར་
20 cm དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༥
187
རྩིས་རིག B
མདུན་ཅོག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
འདིའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཐབས་ལམ་མི་འདྲ་བ་གསུམ་ གྱི་ལམ་ནས་ཚོལ།
D
E
D
15 m
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༧
30 m
E
༡༣། ཚད་འཇལ་དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༨ ལྟར་ཡིན་པའི་ས་ཞིང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
F
M N 50 m
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༨
༡༣་༧ སྲ་གཟུགས། Solid shapes
G 7m F
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༦ 60 m
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༧ ནང་བསྟན་ཡོད། གླིང་ཁ་
C
30 m
15 m
༡༢། གླིང་ཁ་མཐའ་ལྔ་མ་ཞིག་གི་ཚད་འཇལ་ཁག་
12 m 12 m 5m
ཞིག་རེད། དཔེ་རིས་ནང་མདུན་ཅོག་གི་ཚད་འཇལ་ཁག་སྟོན་ཡོད་པས་
H
5m
A
༡༡། ཚེ་རིང་གི་མདུན་ཅོག་གི་ངོས་ནི་མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་བརྒྱད་མ་
80 m
C 90 m
P
40 m
A
B
སྲ་གཟུགས་ནི་ཆ་ཚད་གསུམ་ལྡན་གྱི་གཟུགས་ཤིག་ཡིན་པ་དང་། དེའི་ངོས་ནི་ཆ་ཚད་གཉིས་ལྡན་གྱི་དབྱིབས་
ཡིན་པ་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ཡང་ཁྱེད་ཀྱིས་ཁ་གང་གཟུགས། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ། གྲུ་ཀ གྲུ་སྙུང་། ཟླུམ་པོ་སོགས་ ལའང་རྒྱུས་ཡོད། དེ་དག་གི་གྲུ་དང་། ཟུར་ཚེག ངོས་བཅས་ཀྱི་གྲངས་ཀྱང་ཤེས་ཀྱི་ཡོད། ཚན་པ་འདིར་ང་ཚོས་ སྲ་གཟུགས་དེ་དག་ལས། ཁ་གང་གཟུགས་དང་གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་བཅས་གསུམ་གྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ བོངས་ཚད་རྩིས་རྒྱག་སྟངས་སྦྱང་རྒྱུ་ཡིན། ད་བར་རྒྱུས་ཡོད་ཅན་གྱི་སྲ་གཟུགས་འདི་དག་ལ་ལྟོས་དང་། གྲུ་ནར་གཟུགས།
ཤོ་གཟུགས།
ཀ་ཟླུམ།
གྲུ་སྙུང་།
སྙུང་གཟུགས།
སྲ་གཟུགས་འགའ་ལ་ཡོངས་མཚུངས་ངོས་གཉིས་སམ་དེ་ལས་མང་བ་ཡོད། ཤོ་གཟུགས་སྒམ།
འདི་ཡི་ངོས་དྲུག་པོ་གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཅན་
ངོས་དྲུག་པོ་ཚང་མ་གྲུ་བཞི་ཁ་
ཀ་ཟླུམ། ལོགས་ངོས།
གྲུ་ནར་སྒམ།
དང་ཁ་སྤྲོད་ངོས་རྣམས་ཡོངས་མཚུངས་རེད།
188
གང་མ་དང་ཡོངས་མཚུངས་རེད།
སྟེང་ཞབས་ ཡོངས་ མཚུངས་ སྒོར་ དབྱིབས།
འདི་ལ་འབུར་ངོས་གཅིག་དང་ཡོངས་
མཚུངས་སྒོར་དབྱིབས་ངོས་གཉིས་ཡོད།
ཚད་འཇལ།
༡༣་༨ ཁ་གང་གཟུགས་དང་གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། Surface area of cube, cuboid and cylinder དབང་ཕྱུག་གི་སྐྱེས་སྐར་ཉིན་མཚོ་མོ་དང་དོན་གྲུབ།
ཉི་མ་བཅས་འཛིན་གྲོགས་གསུམ་གྱིས་ལག་རྟགས་ཉོས་
ཏེ། དཔངས་མཉམ་པའི་བླུག་སྣོད་གོ་རིམ་བཞིན་གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཁ་གང་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་བཅས་ཀྱི་ནང་ བཅུག་པ་རེད། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༩) དབང་ཕྱུག་གི་འཛིན་གྲོགས་གསུམ་ལས་སུས་ལག་རྟགས་ཐུམ་ཤོག་ཆེད་ ཤོག་བུ་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་ཤོས་སྤྱད་ཡོད།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༢༩
ཁྱེད་ཀྱིས་ཐུམ་ཤོག་སྤྱད་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེད་སྲ་གཟུགས་དེ་དག་གི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་བཙལ་ན། གོང་གི་དྲི་བར་ལན་
འདེབས་ཐུབ། དེའི་ཆེད་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཚང་མའི་རྒྱ་ཁྱོན་བཙལ་ཏེ་དེ་དག་སྡོམ་དགོས། གསལ་པོ་ཤེས་ ཆེད་ང་ཚོས་སྲ་གཟུགས་ཁག་རེ་མོས་བཞིན་བླང་རྒྱུ་ཡིན།
l
༡༣་༨་༡ གྲུ་ནར་གཟུགས། Cuboid
ཞིག་ཁ་ཕྱེས་ཏེ་བཀྲམ་པ་ཡིན་ན་དེའི་དྲྭ་བ་
ནི་དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༡ ལྟར་རེད།
གྲུ་ནར་གཟུགས་ལ་ངོས་གྲུ་ནར་དྲུག་ཡོད་པ་ ལས། ཁ་སྤྲོད་ངོས་ཡོངས་མཚུངས་གྲུ་ནར་ཆ་
གསུམ་ཡོད། དེར་བརྟེན་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་
རྒྱ་ཁྱོན་ནི་གྲུ་ནར་ངོས་དྲུག་པོའི་རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ བསྡོམས་ཐོབ་རེད།
b h
སོ་སྨན།
ཁྱེད་ཀྱིས་གྲུ་ནར་སྒམ་ (དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༠)
l
སྟེང་།
b
l
b
h
b
གྲུ་ནར་གཟུགས། དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༠
h l
b
འོག
b
l
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་དྲྭ་བ། དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༡
ང་ཚོས་དཀྱུས་དང་ཞེང་། དཔངས་བཅས་གོ་རིམ་བཞིན་ l དང་ b, h ཡིན་པའི་གོང་གི་དཔེ་རིས་ནང་གི་གྲུ་ ནར་གཟུགས་ལ་ཆ་བཞག་ན།
ངོས་སྟེང་འོག་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (l × b) + (l × b) = 2lb གཞོགས་ངོས་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
= (b × h) + (b × h) = 2bh
མདུན་རྒྱབ་ངོས་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = (l × h) + (l × h) = 2lh
189
རྩིས་རིག དེར་བརྟེན། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
= 2lb + 2bh + 2lh = 2 (lb + bh + hl)
གལ་ཏེ་གོང་གི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་དཀྱུས་དང་། ཞེང་། དཔངས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་གོ་རིམ་བཞིན་ 30 cm དང་ 20 cm, 10 cm བཅས་ཡིན་ན། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 (30 × 20 + 20 × 10 + 30 × 10) = 2 (600 + 200 + 300)
l
= 2 × 1100 = 2200 cm2 ཁྱེད་ཀྱི་འཛིན་གྲྭ་ཚོགས་ཡུལ་འདིའི་གྱང་
བཞི་པོ་དེ་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་
རེད། དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༢ ནི་འཛིན་ཁང་གྲུ་ ནར་གཟུགས་ཀྱི་དྲྭ་བ་རེད། གྱང་བཞིའི་དྲ་བ་ལས།
b
l
གནམ་བཅད། b
b
h
ཞ་ལ།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༢
h གྱང་བཞི། b
l
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 (lh + bh) = 2h (l + b) བྱེད་སྒོ།
༡། རང་གི་འཛིན་ཁང་གི་དཀྱུས་དང་ཞེང་། དཔངས་བཅས་ཀྱི་ཚད་འཇལ་ཏེ་དེའི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༢། མར་རག ྡོ ་གམ་ཡང་ན། ཙག་སྒྲའི་སྒམ་ལྟ་བུའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་
ུ ་ གང་ཐོབ་ཅིག་བླངས། [དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༣ (ཀ)] དེའི་དཀྱུས དང་ཞེང་། དཔངས་བཅས་འཇལ་ཏེ་དེའི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ ཁྱོན་དང་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
(ཀ)
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༣
(ཁ) ཡང་གྲུ་ནར་གཟུགས་དེ་ཡར་བསླང་ནས་ཞོག [དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༣ (ཁ)] སླར་ཡང་ད་ལྟའི་གྲུ་ནར་ གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་དང་། ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། དེའི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ལ་འགྱུར་ བ་བྱུང་འདུག་གམ།
རྩིས་དཔེ། ༨ ཁང་མིག་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ཆ་ཚད་ 5 m × 4 m × 3 m རེད། གལ་ཏེ་ 1 m2 རེ་ལ་དཀར་
རྩི་བྱུགས་གླ་ ` 10 རེ་ཡིན་ན། ཁང་མིག་དེའི་གྱང་བཞིར་དཀར་རྩི་གཏོང་རྒྱུར་འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་
190
ཚད་འཇལ།
ལན།
གཏོང་དགོས་སམ། ཁང་མིག་དེའི་གནམ་བཅད་ལའང་དཀར་རྩི་བྱུགས་ན་ཁྱོན་བསྡོམས་འགྲོ་
གྲོན་ག་ཚོད་གཏོང་དགོས།
ཁང་མིག་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་གྱང་བཞིའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2h (l + b) = 2 × 3 (5 + 4) = 54 m2
གྱང་བཞིའི་དཀར་རྩི་གཏོང་རྒྱུའི་འགྲོ་གྲོན་ = 10 × 54 = ` 540 གནམ་བཅད་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b
= 5 × 4 = 20 m2
གནམ་བཅད་དཀར་རྩི་གཏོང་བའི་འགྲོ་གྲོན་ = 10 × 20 = ` 200
གྱང་བཞི་དང་གནམ་བཅདདཀར་རྩི་གཏོང་རྒྱུའི་འགྲོ་གྲོན་ = 540 + 200 = ` 740
རྩིས་དཔེ། ༩ དོས་ཁང་ཆ་ཚད་ 6 m × 5 m × 4 m ཞིག་ལ་སྒོ་ 3 m × 1 m གཅིག་དང་སྒེའུ་ཁུང་ 1.5 m × 1 m གཉིས་ཡོད།
(ཀ) གལ་ཏེ་ 1 m2 ཨར་འདམ་རྒྱག་པར་འགྲོ་གྲོན་ ` 150 ཡིན་ན། ཨར་འདམ་ཆེད་འགྲོ་གྲོན་
ལན།
ག་ཚོད་གཏོང་དགོས་སམ།
(ཁ) ཕ་གུ་ 1 m2 ལ་ ` 200 ཡིན་པའི་ཞ་ལ་འདིང་དགོས་ན། དེའི་འགྲོ་གྲོན་ཡང་ཚོལ། (ཀ) དོས་ཁང་གྱང་བཞིའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2h (l + b)
= 2 × 4 (6 + 5)
= 8 × 11 = 88 m2
སྒོ་ཡི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 3 × 1 = 3 m2
སྒེའུ་ཁུང་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 × (1.5 × 1) = 3 m2
སྒོ་དང་སྒེའུ་ཁུང་ལ་ཨར་འདམ་རྒྱག་མི་དགོས་པས། ཨར་འདམ་རྒྱག་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་
= དོས་ཁང་གྱང་བཞིའི་རྒྱ་ཁྱོན་ − སྒོའི་རྒྱ་ཁྱོན་ − སྒེའུ་ཁུང་གཉིས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན།
= 88 − 3 − 3 = 82 m2
ཨར་འདམ་རྒྱག་པའི་འགྲོ་གྲོན་གཏོང་དགོས་པ་ནི་ = 150 × 82 = ` 12300
(ཁ) ཞ་ལའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b
= 6 × 5 = 30 m2
ཕ་གུ་འདིང་བར་འགྲོ་གྲོན་གཏོང་དགོས་པ་ = 200 × 30 = ` 6000
191
རྩིས་རིག རྩིས་དཔེ། ༡༠ དཀྱུས་ 1.50 m དང་ཞེང་ 1.25 m དཔངས་ 6.5 cm བཅས་ཡིན་པའི་ཁེབས་མེད་པའི་ ཤོག་པང་གི་སྒམ་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཅིག་དགོས་ཀྱི་ཡོད།
(ཀ) སྒམ་དེ་བཟོ་བར་ཤོག་པང་རྒྱ་ཁྱོན་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
ལན།
(ཁ) ཤོག་པང་ཆ་ཚད་ 7 m × 3.5 m རེའི་རིན་གོང་ ` 600 ཡིན་ན། སྒམ་དེ་བཟོ་བར་ཤོག་ པང་རིན་ཐང་ཚོལ།
(ཀ) སྒམ་གྱི་ l = 1.5 m དང་། b = 1.25 m, h = 65 cm = 0.65 m རེད། སྒམ་དེ་ལ་ཁེབས་མེད་པས།
སྒམ་དེའི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ལོགས་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ + ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། = 2 × h (l + b) + (l × b)
= 2 × 0.65 (1.5 + 1.25) + (1.5 × 1.25) = 5.45 m2
(ཁ) ཤོག་པང་ལྷེབ་མ་རེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 7 × 3.5 = 24.5 m2 ཤོག་པང་ 1 m2 ཡི་རིན་ཐང་ = `
600 24.5
དེར་བརྟེན། ཤོག་པང་ 5.45 m2 རིན་ཐང་། =
600 × 5.45 24.5
= ` 133.46
༡༣་༨་༢ ཁ་གང་གཟུགས། Cube
ཁ་གང་གཟུགས་ནི་ l = b = h ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཤིག་རེད། ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་དྲྭ་བ་ཞིག་དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༤ ནང་བསྟན་ཡོད། དེའི་ངོས་དྲུག་ཚང་མ་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པས།
ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 (l × l + l × l + l × l) = 2 (l 2 + l 2 + l 2 ) = 2 × 3l 2 = 6l 2
ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 × l (l + l) = 2l × 2l = 2 × 2l 2 = 4l 2
192
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༤
ཚད་འཇལ། རྩིས་དཔེ། ༡༡ རིང་ཚད་ 6 cm ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་དང་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ ཁྱོན་ཚོལ།
ལན།
ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 6l 2 = 6 × 62 = 216 cm2
ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 4 × 62 = 144 cm2 ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༥)
ལན།
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ l = 10 + 10 = 20 cm,
10
b = 10 cm, h = 10 cm
10 cm
རྩིས་དཔེ། ༡༢ གྲུ་ 10 cm ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་གཉིས་མཐུད་པ་ལས་བྱུང་བའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་
cm
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 (lb + bh + hl)
10 cm 10 cm དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༥
= 2 (20 × 10 + 10 × 10 + 10 × 20) = 2 (200 + 100 + 200) = 2 × 500 = 1000 cm2
བྱེད་སྒོ།
༡། ཁྱེད་ཀྱི་ཤོ་གྲངས་ 26 ཙམ་བླངས། དེ་རྣམས་བསྐྱར་བསྒྲིགས་ཀྱིས་ཤོ་དེ་ལས་ཆེ་བའི་ཁ་གང་གཟུགས་ ཤིག་བཟོས།
༢། ཤོ་དེ་དག་ལས་ཤོ་ཉུང་ཤོས་བསྐྱར་བསྒྲིགས་བྱས་ན་ཤོ་དེ་ལས་ཆེ་བའི་ཁ་གང་གཟུགས་བཟོས།
༣། དེ་དག་གི་ཁ་གང་གཟུགས་ཆེ་ཤོས་བཟོས། ཁ་གང་གཟུགས་འདིར་ཤོ་གཟུགས་ག་ཚོད་སྤྱོད་ཡོད། ༤། ཤོ་དེ་དག་སྤྱད་དེ་ཁ་གང་གཟུགས་རིང་ཚད་མི་འདྲ་བ་ག་ཚོད་བཟོ་ཐུབ། དེ་དག་ཚང་མ་བཟོས།
༡༣་༨་༣ ཀ་ཟླུམ། Cylinder
ཁྱོད་ཀྱིས་འོ་རྩམ་བླུག་སྣོད། ཀ་བ། ཆུའི་སྦུ་གུ། ལམ་སྒྲིལ་ལྕགས་སོགས་ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་མང་པོ་མཐོང་མྱོང་ཡོད་ ཀྱི་རེད། ང་ཚོས་འདིར་གཤམ་གྱི་བྱེད་སྒོ་བརྒྱུད་ཀ་ཟླུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་རྒྱུ་ཡིན།
ཤོག་བུ་གྲུ་ནར་ཞིག་བླངས། ཤོག་བུ་དེ་ལྟེབ་བརྩེགས་ཐབས་ལམ་ལས་ཡོངས་མཚུངས་ཀྱི་གྲུ་ནར་གཉིས་སུ་དྲས། b
l (ཀ)
b
b
l (ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༦
l (ག)
193
རྩིས་རིག དེ་གཉིས་ལ་གཅིག་དེ་དཀྱུས་ l བརྒྱུད་བསྒྲིལ་ན་ཀ་ཟླུམ་ཁོག་སྟོང་ཞིག་བྱུང་བ་ནི་ l
b
དྲས་ཤོག་གཞན་དེ་དེའི་ཞེང་ b བརྒྱུད་བསྒྲིལ་ན། ཀ་ཟླུམ་ཁོག་སྟོང་གཞན་ཞིག་བྱུང་བ་ནི་ b ཀ་ཟླུམ་དེ་གཉིས་ལ་ཁྱད་པར་གང་འདུག་གམ།
l
(ཀ) དང་། (ཁ) རེད།
ཀ་ཟླུམ་ (ཀ) ནི་ཐུང་བ་ཡོད་ཀྱང་སྦོམ་པ་དང་། ཀ་ཟླུམ་ (ཁ) ནི་ཕྲ་ཡང་རིང་བ་ཡོད། དེར་བརྟེན། ཀ་ཟླུམ་ ཐུང་བའི་ཚངས་ཕྱེད་ཆེ་བ་དང་། ཀ་ཟླུམ་རིང་བའི་ཚངས་ཕྱེད་ཆུང་བ་ཡོད། ཡིན་ཡང་ཀ་ཟླུམ་དེ་གཉིས་ཡོངས་ མཚུངས་གྲུ་ནར་དྲས་ཤོག་ལས་བྱུང་བས་དེ་གཉིས་ཀྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་གཅིག་མཚུངས་རེད། ཀ་ཟླུམ་ (ཀ) རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་ནར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = lb
ཀ་ཟླུམ་ (ཁ) རྒྱ་ཁྱོན་ = གྲུ་ནར་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = lb
ཀ་ཟླུམ་ (ཀ) སྐབས་དཀྱུས་ l བརྒྱུད་བསྒྲིལ་ནས་བྱུང་བའི་ཞབས་སྒོར་དབྱིབས་དེའི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་
2πr ནི་དྲས་ཤོག་གི་རིང་ཚད་ l དང་མཚུངས་པས། l = 2πr ཀ་ཟླུམ་དེའི་དཔངས་ནི་དྲས་ཤོག་གི་ཞེང་ b ཡིན་པས།
ཀ་ཟླུམ་ (ཀ) ཡི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོོན་ = l × b = 2πr × h = 2πrh
དེ་བཞིན། ཀ་ཟླུམ་ (ཁ) པའི་སྐབས་སུ་དྲས་ཤོག་དེ་ཞེང་ b བརྒྱུད་བསྒྲིལ་བས་ཞེང་ b དེ་ཞབས་སྒོར་དབྱིབས་
ཀྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད 2πr དང་མཚུངས་པ་དང་། ཀ་ཟླུམ་གྱི་རིང་ཚད་ནི་དྲས་ཤོག་གི་དཀྱུས་ l དང་
མཚུངས་པས།
ཀ་ཟླུམ་ (ཁ) ཡི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = l × b = h × 2πr = 2πrh
གལ་ཏེ་ཀ་ཟླུམ་དེ་གཉིས་ཀྱི་ཞབས་གཉིས་ཀར་ཁ་གཅོད་རེ་ཡོད་ན། ཁ་གཅོད་གཉིས་པོ་སྒོར་དབྱིབས་ཡིན་པས། ཁ་གཅོད་རེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = πr2
དེར་བརྟེན། ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 × πr2 + 2πrh = 2πr (r + h) 22 རྩིས་རྒྱག་སྐབས་ཁ་གསལ་སྟོན་ན་ལས། དེ་མིན་ π ཡི་བྲིན་ ལེན་དགོས། 7 ཀ་ཟླུམ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཀ་ཟླུམ་དེ་དྲས་ནས་ཀྱང་འཚོལ་ཐུབ།
r
(ཀ)
194
r 2πr
r
h r
r
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༧
(ག)
རྒྱ་ཁྱོན་ = πr2
+ རྒྱ་ཁྱོན་ = 2πr + རྒྱ་ཁྱོན་ = πr2
ཚད་འཇལ། དྲས་དབྱིབས་ལས་ཀ་ཟླུམ་གྱི་འབུར་ངོས་ཡང་ན་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2πr × h = 2πrh
ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = πr2 + 2πrh + πr2 = 2πr2 + 2πrh = 2πr (r + h)
རྩིས་དཔེ། ༡༣ ཚངས་ཕྱེད་ 7 m དང་དཔངས་ 3 m ཅན་གྱི་ཆུ་མཛོད་ཀ་ཟླུམ་ཞིག་བཟོ་བར་ལྕགས་ཤོག་རྒྱ་ ལན།
ཁྱོན་ཇི་དགོས།
ཆུ་མཛོད་ཆེད་ལྕགས་ཤོག་ངོས་ཡོངས་ལ་དགོས་པས།
ལྕགས་ཤོག་དགོས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = ཆུ་མཛོད་ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། = 2πr (r + h)
22 × 7 × (7 + 3) 7 = 44 × 10 =2×
= 440 m2
3m
7m
ཆུ་མཛོད།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༨
རྩིས་དཔེ། ༡༤ ཚངས་ཕྱེད་ 7 cm ཡིན་པའི་ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 660 cm2 ཡིན་ན། ཀ་ཟླུམ་ ལན།
དེའི་དཔངས་ཚོལ།
ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2πr (r + h) 660 = 2 ×
22 × 7 (7 + h) 7
660 = 44 (7 + h) 660 =7+h 44 15 = 7 + h 15 − 7 = h = 8 ཀ་ཟླུམ་གྱི་དཔངས་ 8 cm རེད།
རྩིས་དཔེ། ༡༥ ལམ་འཆག་འཕྲུལ་འཁོར་གྱི་སྐོར་བ་ 950 བརྒྱབ་ན་སློབ་གྲྭའི་རྩེད་ཐང་ཆ་ཚང་ཐེངས་གཅིག་
ཁོད་སྙོམས་བཟོ་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། གལ་ཏེ་འཁོར་ལོའི་ཚངས་ཐིག་ 98 cm དང་རིང་ཚད་ 1 m
ཡིན་ན། རྩེད་ཐང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
195
རྩིས་རིག ལན།
98 = 49 cm 2 འཁོར་ལོའི་རིང་ཚད་ = 1m = 100 cm འཁོར་ལོའི་ཚངས་ཕྱེད་ =
འཁོར་ལོའི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྩེད་ཐང་ཁོད་སྙོམས་ཀྱི་ཡོད་པས།
འཁོར་ལོའི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2πrh 22 =2× × 49 × 100 7 = 30800 cm2 30800 2 = m = 3.08 m2 10000 སྐོར་བ་གཅིག་གིས་རྩེད་ཐང་ཁོད་སྙོམས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 3.08 m2
སྐོར་བ་ 950 ལ་རྩེད་ཐང་ཁོད་སྙོམས་པའི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 950 × 3.08 = 2926 m2 དེར་བརྟེན། རྩེད་ཐང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་ 2926 m2 རེད།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༣
༡། ཆ་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) l = 6 m, b = 3 m, h = 1.5 m
(ཁ) l = 42 cm, b = 2 dm, h = 1.5 dm
༢། ཆ་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། (ཀ) l = 15 cm
(ཁ) 2.4 m
(ག) l = 5 dm ༣། རིང་ཚད་ 24 dm ཡིན་པའི་ཁ་གང་ཤིང་སྒམ་གྱི་ཕྱི་ངོས་ལ་ཁྱེད་ཀྱིས་ཚོན་རྩི་གཏོང་དགོས། གལ་ཏེ་ཚོན་ རྩི་ 1 m2 རེ་ལ་ ` 50 ཡིན་ན་ཁྱེད་ཀྱི་འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་གཏོང་དགོས་སམ།
༤། ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 1176 cm2 ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་གང་རེད་དམ།
༥། ཆ་ཚད་ 25 cm × 20 cm × 16 cm ཡིན་པའི་སྣུམ་ཀྲིན་ 20 བཟོ་བར་ཀྲིན་
ལེབ་རྒྱ་ཁྱོན་ག་ཚོད་དགོས་སམ། ཀྲིན་ལེབ་ 1 m2 རེའི་རིན་གོང་ ` 50 ཡིན་ན་ སྣུམ་ཀྲིན་ 20 དེ་བཟོ་བར་དངུལ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
ཟ་སྣུམ།
༦། དཀྱུས་ 0.5 m དང་ཞེང་ 15 cm དཔངས་ 25 cm ཡིན་པའི་ཁ་ཟུམ་སྒམ་ཞིག་བཟོ་བར་མཁོ་བའི་ཤོག་ པང་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༧། ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 184 m2 དང་ཞེང་ 6 m དཔངས་ 2 m ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་རིང་ཚད་ཚོལ།
196
ཚད་འཇལ། ༨། ཁང་པའི་ཐོག་ངོས་གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཅན་དཀྱུས་ལ་ 15 m དང་ཞེང་ལ་ 10 m ཡིན་པའི་འབྲུ་མཛོད་ཀྱི་
དཔངས་ནི་ 5 m རེད། འབྲུ་མཛོད་དེའི་ནང་རོལ་གྱི་གྱང་དང་གནམ་བཅད་བཅས་ལ་ཚོན་གཏོང་དགོས་ ན། ཚོན་གཏོང་དགོས་པའི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༩། རྐྱལ་རྫིང་གི་ཆ་ཚད་ 20 m × 15 m × 4 m ཡི་གྱང་བཞི་དང་ཞ་ལར་ཨར་འདམ་འདིང་རྒྱུར། ས་ཁྱོན་ 1 m2 རེ་ལ་ ` 50 ཡིན་ན། ཨར་འདམ་ལས་གཞི་དེའི་འགྲོ་གྲོན་ཚོལ།
༡༠། ཞབས་གྲུ་ནར་དབྱིབས་ཅན་ཚོགས་ཁང་གི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ 250 m དང་། དེའི་དཔངས་ 6 m
རེད། ས་ཁྱོན་ 1 m2 རེ་ལ་ཚོན་གཏོང་རྒྱུར་ ` 25 ཡིན་ན། ཚོགས་ཁང་གི་གྱང་བཞིར་ཚོས་གཏོང་རྒྱུར་ འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་གཏོང་དགོས་སམ།
༡༡། ཞབས་ཀྱི་ཚངས་ཕྱེད་དང་དཔངས་ནི་གོ་རིམ་བཞིན་ 14 cm དང་ 20 cm ཡིན་པའི་ཀ་ཟླུམ་གྱི་ལོགས་ ངོས་དང་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
༡༢། ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 4.4 m2 ཡིན་པའི་ཀ་ཟླུམ་གྱི་ཚངས་ཕྱེད་ 0.7 m ཡིན་ན། ཀ་ཟླུམ་གྱི་དཔངས་ཚོལ།
༡༣། ཆུ་དོང་ཀ་ཟླུམ་གྱི་ཚངས་ཐིག་ 2.1 m དང་གཏིང་ཚད་ 14 m རེད། ཆུ་དོང་གི་ནང་ངོས་ 1 m2 རེ་ལ་ ` 30 སྤྲད་དེ་ཨར་འདམ་རྒྱག་དགོས་ན། དེའི་ཆེད་དངུལ་ག་ཚོད་དགོས་སམ།
༡༤། དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༩ ནང་གི་དཔེ་རིས་གཉིས་ལ་འདྲ་བའི་གནས་སྟངས་
གང་འདུག་གམ། དེ་གཉིས་ལ་མི་འདྲ་བའི་གནས་སྟངས་གང་འདུག་
7m
7
གམ། དེ་གཉིས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་གཅིག་མཚུངས་རེད་འདུག་ གམ། མིན་ན་གང་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཆེ་བ་འདུག
པ་དེ། དེའི་དཔངས་བརྒྱུད་བཅད་ནས་ཐོབ་པའི་གྲུ་ནར་གྱི་ཞེང་
7m
དཔེ་རིས་ ༡༣་༣༩
༡༥། ཀ་ཟླུམ་ཁོག་སྟོང་ཞིག་གི་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 422 cm2 ཡིན་
m
7m
7m
33 cm ཡིན་ན། གྲུ་ནར་གྱི་མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༠)
དཔངས།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༠
༡༦། ཆ་ཚད་ 44 cm × 20 cm ཡིན་པའི་ཤོག་བུ་གྲུ་ནར་དེ་དེའི་དཀྱུས་བརྒྱུད་བསྒྲིལ་ནས་ཐོབ་པའི་ཀ་ཟླུམ་ གྱི་ཚངས་ཕྱེད་ཚོལ།
དཔངས་20 cm དང་ཚངས་ཐིག་ 14 cm ཡིན་པའི་ཀ་ཟླུམ་སྣོད་ནང་
བླུགས་ཏེ་འཚོང་གི་ཡོད། མཐུན་ཚོགས་དེས་སྣོད་ཀྱི་འབུར་ངོས་ལ་ཁ་ཡིག་
བཀོད་རྗེས་སྣོད་དེའི་རྩེ་མོ་དང་གཤམ་དུ་སྟོང་ཆ་ 2 cm རེ་ལྷག་གི་ཡོད་ ན། ཁ་ཡིག་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ།
2 cm 20 cm
༡༧། ཚོང་ལས་མཐུན་ཚོགས་ཀྱིས་རང་གི་བཟོ་གྲྭ་ནས་བཟོས་པའི་འོ་རྩམ་ནི་
འོ་རྩམ།
2 cm
14 cm
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༡
197
རྩིས་རིག
༡༣་༩ ཁ་གང་གཟུགས་དང་། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད། Volume of cube, cuboid and cylinder
སྙོམས་ངོས་ཀྱི་ཁུལ་ཆེ་ཆུང་བསྡུར་བ་བཞིན། སྲ་གཟུགས་གཉིས་ཀྱི་འཛིན་པའི་ཁུལ་ཡང་སྡུར་ཐུབ། ཆ་ཚད་ གསུམ་ལྡན་གཟུགས་ཀྱི་བར་སྣང་འཛིན་པའི་ཆ་ལ་གཟུགས་དེའི་བོངས་ཚད་ཟེར། པའི་དངོས་པོ་འགའ་ལ་བལྟས་ན།
ཁྱེད་ཀྱི་ཉེ་འཁོར་ན་ཡོད་
འཛིན་ཁང་ནང་གི་སློབ་མའི་བོངས་ཚད་ནི་འཛིན་ཁང་དེའི་བོངས་ཚད་
ལས་ཆེས་ཆུང་བ་དང་། སྒམ་ནང་ཡོད་པའི་དཔེ་དེབ་ཀྱི་བོངས་ཚད་ནི་སྒམ་དེའི་བོངས་ཚད་ལས་ཆུང་བ་ཡོད།
དེ་བཞིན་ཁྱེད་ཀྱི་དབྱིབས་ཆས་ནང་གི་འགྱིག་སུབ་དང་། ཞ་སྨྱུག ཐིག་ཤིང་གི་བོངས་ཚད་ནི་དབྱིབས་ཆས་ སྒམ་གྱི་བོངས་ཚད་ལས་ཆུང་བ་ཡོད་པ་ཤེས་ཀྱང་། ཁྱེད་ཀྱིས་དེ་དག་གི་བོངས་ཚད་འཇལ་ཐུབ་བམ།
གོང་དུ་ང་ཚོས་དབྱིབས་ཀྱི་ཁེབས་པའི་ཁུལ་གྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི། ཉིས་སྒྱུར་རྩིས་གཞི་ (cm2, mm2, m2 སོགས་) ནང་ འཇལ་ཡོད། ཡིན་ཡང་སྲ་གཟུགས་ཀྱིས་འཛིན་པའི་ཁུལ་གྱི་བོངས་ཚད་ནི། སུམ་སྒྱུར་རྩིས་གཞིའི་ནང་འཇལ་གྱི་
ཡོད། ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་འཚོལ་བར་ང་ཚོས་ངོས་དེ་རྩིས་གཞི་ཉིས་སྒྱུར་ཅན་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མར་བགོས་པ་བཞིན། བོངས་ཚད་འཇལ་སྐབས་ང་ཚོས་སྲ་གཟུགས་དེ་རྩིས་གཞི་སུམ་སྒྱུར་ཅན་ཁ་གང་གཟུགས་སུ་བགོ་དགོས། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་།
དཔེ་རིས་ནང་གི་
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༢
གཅིག་གི་བོངས་ཚད་རྩིས་གཞི་སུམ་སྒྱུར་ 1 རེ་ཡིན་ན། སྲ་གཟུགས་ཁག་གི་བོངས་
ཚད་བགྲང་། དེ་དག་ཚང་མའི་བོངས་ཚད་གཅིག་མཚུངས་རེད་འདུག་གམ། ཡིན་ན་ག་ཚོད་རེད་དམ། དེར་ བརྟེན། ང་ཚོས་བཤད་ཐུབ་པ་ནི། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ནི་རྩིས་གཞི་སུམ་སྒྱུར་ 1 ཅན་གྲངས་ཀྱིས་འཚོལ་
ཐུབ་པས། གྲུ་ 1 cm ཡང་ན་ 1 m སོགས་ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་ (ཤོ་གཟུགས་) ཀྱི་བོངས་ཚད་ནི་རྩིས་
གཞིར་སྤྱོད་ཐུབ། ནམ་རྒྱུན་ང་ཚོས་སྤྱོད་པའི་རྩིས་གཞི་སུམ་སྒྱུར་འགའ་ནི། སུམ་སྒྱུར་ cm = 1 cm × 1 cm × 1 cm = 1 cm3
1cm =10 mm ཡིན་པས།
སུམ་སྒྱུར་ cm = 10 mm × 10 mm × 10 mm = 1000 mm3 སུམ་སྒྱུར་ m = 1 m × 1 m × 1 m = 1 m3
198
ཚད་འཇལ། 1 m = 100 cm ཡིན་པས།
སུམ་སྒྱུར་ m = 100 cm × 100 cm × 100 cm = 1000000 cm3 ཡང་། 1 m = 10 dm ཡིན་པས།
སུམ་སྒྱུར་ m = 10 dm × 10 dm × 10 dm = 1000 dm3
གཤེར་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་འཇལ་སྐབས། ང་ཚོས་རྒྱུན་དུ་ལི་ཊར་ (L) དང་མི་ལི་ལི་ཊར་ (mL) སྤྱོད་ཀྱི་ ཡོད། 1 cm3 དང་ 1 mL ནི་གཅིག་མཚུངས་རེད།
དེ་ནི།
1 mL = 1 cm3
1L = 1 cm3 1000 1L = 1000 cm3
ཡང་།
1 m3 = 1000000 cm3 = 1000 L
= 1 kL (ཀི་ལོ་ལི་ཊར།)
ཆུ་སྣོད་དང་འོ་སྣོད་སོགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ང་ཚོས་ mL དང་ L སོགས་ཀྱི་ནང་འཇལ་གྱི་ཡོད། སྣོད་དེ་དག་གི་ བོངས་ཚད་ལ་ཤོང་ཚད་ཟེར་གྱི་ཡོད། ད་ང་ཚོས་གྲུ་ནར་གཟུགས་དང་ཁ་གང་གཟུགས། ཀ་ཟླུམ་གྱི་བོངས་ཚད་ འཇལ་སྟངས་བལྟ་རྒྱུ་ཡིན། དེ་དག་རེས་མོས་བཞིན་བླངས་རྒྱུ་ཡིན། ༡༣་༩་༡ གྲུ་ནར་གཟུགས། Cuboid
ཁྱེད་ཀྱིས་འགྱིག་ཡང་ན་ཤིང་གིས་བཟོས་པའི་ཤོ་ཡི་རྩེད་མོ་མི་འདྲ་བ་མང་པོ་རྩེད་མྱོང་ཡོད་ཀྱི་རེད། ང་ཚོས་གྲུ་ 1 cm ཅན་གྱི་ཁ་གང་གཟུགས་ 64 བླངས་ནས་དེ་དག་གྲུ་ནར་གཟུགས་སུ་བསྒྲིགས་ན། ང་ཚོས་གྲུ་ནར་
གཟུགས་མི་འདྲ་བ་མང་པོ་བཟོ་ཐུབ། གྲུ་ནར་གཟུགས་མི་འདྲ་བ་གསུམ་ནི་གཤམ་དུ་བསྟན་ཡོད། (ཀ)
4
16
(ཁ)
4
2 (ག)
8
4
4
4
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༣
199
རྩིས་རིག གྲུ་ནར་གཟུགས་དེ་གསུམ་གྱི་བོངས་ཚད་སྐོར་ང་ཚོས་གང་བཤད་ཐུབ་བམ། དེ་དག་ཚང་མ་གྲུ་རྩིས་གཞི་ 1 ཅན་ཁ་གང་གཟུགས་བསྒྲིགས་ཏེ་ཐོབ་པ་རེད། དེ་དག་རེ་རེ་ལ་ཁ་གང་གཟུགས་རྩིས་གཞི་ 1 cm3 ཅན་ 64
རེ་ཡོད་པས། གྲུ་ནར་གཟུགས་གསུམ་གྱི་བོངས་ཚད་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པ་དང་། དེ་དག་རེ་རེའི་བོངས་ཚད་ 64 cm3 རེད།
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་དཀྱུས་ལ་ l དང་ཞེང་ལ་ b དཔངས་ལ h བླངས་ཏེ་ང་ཚོས་རེའུ་མིག་ནང་ཐོ་འགོད་བྱས་ན། གྲུ་ནར་གཟུགས། ཀ
ཁ
ག
དཀྱུས།
l(cm)
ཞེང་།
b(cm)
དཔངས། h(cm)
བོངས་ཚད།
16
4
1
64 = 16 × 4 × 1 = l × b × h
8
4
2
64 = 8 × 4 × 2 = l × b × h
4
4
4
64 = 4 × 4 × 4 = l × b × h
V(cm3)
དེར་བརྟེན། དཀྱུས་ (l) དང་ཞེང་ (b) དཔངས་ (h) ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ V ནི་ l × b
× h ཡིན་པའི་བརྡ་སྟོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། བྱེད་སྒོ།
ཁྱེད་ཀྱིས་ A4 ཚད་ཅན་གྱི་ཤོག་བུ་ཞིག་བླངས་ཏེ་དེའི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། དེ་ནས་ཤོག་བུ་དེ་འདྲ་ལྔ་བཅུའམ་
ཡང་ན་བརྒྱ་སོགས་གང་ཐོབ་བླངས་ཏེ་དེ་དག་གཅིག་ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ནས་ཐོབ་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ དཔངས་ h འཇལ།
ཤོག་པང་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ = l × b × h
ཡིན་ཡང་། l × b ནི་ཤོག་ལྷེབ་གཅིག་གི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡིན་པས། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ = l × b × h
V = ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ × དཔངས།
གོང་གི་བོངས་ཚད་ (V) ཀྱི་ཆོ་ག་ལས།
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་དཀྱུས་ (l) =
ཞེང་ (b) =
V b×h
དཔངས་ (h) =
200
V l×h V l×b
h l
b དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༤
ཚད་འཇལ། རྩིས་དང་།
ཚོང་པས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཅན་གྱི་ཤོག་སྒམ་མི་འདྲ་བ་གཉིས་ཀྱི་ནང་ཞལ་ཏོག་བླུགས་ཏེ་འཚོང་གི་ཡོད། ཤོག་
སྒམ་གཉིས་ལས་ཤོག་སྒམ་ (ཀ) པའི་ཆ་ཚད་ 20 cm × 8 cm × 3 cm དང་། ཤོག་སྒམ་ (ཁ) པའི་ཆ་ ཚད་ 10 cm × 12 cm × 4 cm རེད། ཤོག་སྒམ་དེ་གཉིས་ཀྱི་བོངས་ཚད་གཅིག་མཚུངས་རེད་འདུག་
གམ། དེ་གཉིས་ལས་ཤོག་སྒམ་གང་དེའི་སྐབས་ཚོང་པ་ལ་ཤོག་སྒམ་བཟོ་རྒྱུའི་འགྲོ་གྲོན་ཆུང་བ་ཡོད། ཁྱེད་
ཀྱིས་ཇི་ལྟར་ཤེས་སམ།
ཞལ་ཏོག་བོངས་ཚད་གོང་དང་མཉམ་པ་བླུགས་རྒྱུའི་ཆེད་འགྲོ་གྲོན་གོང་གི་ཤོག་སྒམ་གཉིས་ལས་ཆུང་བའི་
ཤོག་སྒམ་ཞིག་བཟོ་ཐུབ་བམ། བཟོ་ཐུབ་ན་དེའི་ཆ་ཚད་གང་དགོས།
༡༣་༩་༢ ཁ་གང་གཟུགས། Cube
ཁ་གང་གཟུགས་ནི་ l = b = h ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་དམིགས་བསལ་ཞིག་རེད། དེར་བརྟེན། ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ V = l × b × h
= l × l × l = l 3
རྩིས་དཔེ། ༡༦ གཞོགས་ 1.5 cm ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ཚོལ། ལན།
ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ = l 3
= 1.53 = 1.5 × 1.5 × 1.5 = 3.375 cm3
བྱེད་སྒོ།
གཞོགས་གཅིག་མཚུངས་ཁ་གང་གཟུགས་ (ཤོ་ལྟ་བུ) 16 བླངས་ཏེ་དེ་དག་ཚང་མ་བསྒྲིགས་ནས་གྲུ་ནར་ གཟུགས་མི་འདྲ་བ་འགའ་བཟོས། གྲུ་ནར་གཟུགས་དེ་དག་གི་ངོས་ཡོོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཚོལ། ཁྱེད་ཀྱིས་ཤེས་
གསལ་ལ་ཁ་གང་གཟུགས་ 16 ལས་ཐོབ་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཚང་མའི་བོངས་ཚད་ནི་རྩིས་གཞི་སུམ་སྒྱུར་ 16 ཡིན་པས་གཅིག་མཚུངས་རེད། ཡིན་ཡང་བོངས་ཚད་མཚུངས་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་ རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་གཅིག་མཚུངས་རེད་འདུག་གམ།
༡༣་༩་༣ ཀ་ཟླུམ། Cylinder
ཁྱེད་ཀྱིས་ཚན་པ་གོང་མ་ལས་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ནི་ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ × དཔངས་ཡིན་པ་ཤེས་ ཡོད། ཆོ་ག་དེ་སྤྱད་དེ་ཀ་ཟླུམ་གྱི་བོངས་ཚད་ཀྱང་ཚོལ་ཐུབ་བམ། གྲུ་ནར་གཟུགས་བཞིན་ཀ་ཟླུམ་ལའང་སྟེང་ཞབས་སྒོར་དབྱིབས་ཡོངས་མཚུངས་གཉིས་དང་ཕན་ཚུན་མཉམ་
201
རྩིས་རིག r
འགྲོ་ཡིན་པ། དེའི་བོངས་ཚད་ V = ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ × དཔངས།
h
= πr2 × h = πr2h
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༥
ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = πr2
རྩིས་དཔེ། ༡༧ དཀྱུས་དང་ཞེང་། གཏིང་ཚད་བཅས་གོ་རིམ་བཞིན་ 6.3 m དང་། 4.5 m, 3.6 m ཡིན་པའི་ ལན།
ཆུ་མཛོད་ནང་ཆུ་ལི་ཊར་ག་ཚོད་ཤོང་ངམ། ཆུ་མཛོད་ཀྱི་ཤོང་ཚད་ = l × b × h
= 6.3 × 4.5 × 3.6 =102.06 m3
= 102.06 × 1000 L
[1 m3 = 1000 L]
= 102060 L རྩིས་དཔེ། ༡༨ ས་ 1 m3 རེ་བརྐོ་བར་ལས་གླ་ ` 300 སྤྲད་དེ་ཆ་ཚད་ 8 m × 6 m × 3 m ཡིན་པའི་ས་ ལན།
དོང་བརྐོ་བར་ལས་གླ་ག་ཚོད་སྤྲོད་དགོས་སམ། ས་དོང་བརྐོ་བའི་བོངས་ཚད་ = lbh
= 8 × 6 × 3 = 72 m3
ལས་གླ་སྤྲོད་དགོས་པ་ = 300 × 72 = ` 21600
རྩིས་དཔེ། ༡༩ བོངས་ཚད་ 270 cm3 ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 15 m2 ཡིན་ན་དེའི་
ལན།
དཔངས་ཚོལ།
གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ = ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ × དཔངས།
དེར་བརྟེན།
དཔངས་ =
བོངས་ཚད།
ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན།
=
270 =18 cm 15
རྩིས་དཔེ། ༢༠ མི་འབོར་ 4000 ཡོད་པའི་གྲོང་གསེབ་གཅིག་ལ་ཉིན་ལྟར་མི་རེར་ཆུ་ 150 L དགོས་ཀྱི་ཡོད། ལན།
ཆ་ཚད་ 20 m × 15 m × 6 m ཡིན་པའི་ཆུ་མཛོད་ཀྱི་ཆུ་དེ་ཉིན་གྲངས་ག་ཚོད་འདང་གི་རེད། ཆུ་མཛོད་ཀྱི་ཤོང་ཚད་ = lbh
= 20 × 15 × 6 = 1800 m3
= 1800000 L
202
[1 m3 = 1000 L]
ཚད་འཇལ། མི་གཅིག་ལ་ཉིན་རེར་དགོས་པའི་ཆུ་ = 150 L
མི་ 4000 ལ་ཉིན་རེར་དགོས་པའི་ཆུ་ = 4000 × 150 L = 600000 L ཉིན་གྲངས་ =
1800000 =3 600000
དེར་བརྟེན། ཆུ་མཛོད་ཀྱི་ཆུ་དེ་ཉིན་གསུམ་འདང་གི་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༢༡ ལྕགས་རིགས་དབྱུ་གུ་རིང་ཚད་ 30 cm ཡི་ཚངས་ཕྱེད་ 1.4 cm རེད། གལ་ཏེ་ལྕགས་རིགས་ ལན།
1 cm3 གྱི་ལྗིད་ཚད་ 10 g ཡིན་ན། དབྱུ་གུ་དེའི་ལྗིད་ཚད་ཚོལ། ལྕགས་རིགས་ 1 kg ལ་
` 60 ཡིན་ན། དབྱུ་གུ་དེའི་མ་གནས་ཚོལ།
དབྱུ་གུའི་བོངས་ཚད་ = πr2h
22 × 1.4 × 1.4 × 30 7 = 184.5 cm3 =
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༦
དབྱུ་གུའི་ལྗིད་ཚད་ = 10 × 184.5 = 1845 g
= 1.845 kg
དབྱུ་གུའི་མ་གནས་ = 60 × 1.845 = ` 110.70 ≈ ` 110
རྩིས་དཔེ། ༢༢ ཚངས་ཐིག་ 3.5 m ཡིན་པའི་སྡིངས་ཆ་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་བོངས་ཚད་ 7.70 m3 ཡིན་པས།
ལན།
སྡིངས་ཆའི་དཔངས་ཚོལ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༧)
སྡིངས་ཆའི་དཔངས་ h ཡིན་ན།
སྡིངས་ཆའི་བོངས་ཚད་ = 7.7 m3
22 3.5 3.5 × × × h = 7.7 7 2 2
h
22 35 35 77 × × ×h= 7 20 20 10 h=
3.5 m 2 དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༧
77 × 7 × 20 × 20 10 × 22 × 35 × 35
203
རྩིས་རིག 4 = 0.8 m 5 སྡིངས་ཆའི་དཔངས་ནི་ 0.8 m ཡང་ན་ 80 cm རེད། h=
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༤
༡། ཙག་སྒྲའི་སྒམ་ཆ་ཚད་ 4 cm × 2.5 cm × 1.5 cm ཅན་ 6 གཅིག་ ཐོག་གཅིག་བརྩེགས་ཏེ་ཐུམ་སྒྲིལ་ནང་བཅུག་ཡོད་ན། ཐུམ་སྒྲིལ་དེའི་བོངས་
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༨
ཚད་གང་རེད་དམ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༨)
༢། ཞབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ 180 cm2 དང་བོངས་ཚད་ 900 cm3 ཡིན་པའི་གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་དཔངས་ཚོལ།
༣། ལྕགས་རིགས་ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་རིང་ཚད་ 5 cm རེད། གལ་ཏེ་ལྕགས་རིགས་ 1 cm3 ལ་ལྗིད་ཚད་ 55 g ཡོད་ན། ལྕགས་རིགས་ཁ་གང་གཟུགས་དེའི་ལྗིད་ཚད་ kg ནང་ཚོལ།
༤། ཆ་ཚད་ 60 cm × 50 cm × 20 cm ཅན་གྱི་སྒམ་ནང་གཞོགས་ 5 cm ཡིན་པའི་ཁ་གང་གཟུགས་ ཅན་སྒམ་ག་ཚོད་འཇོག་ཐུབ་བམ།
༥། བོངས་ཚད་ལ་ 1.54 m3 དང་ཞབས་ཀྱི་ཚངས་ཐིག་ལ་ 140 cm ཡོད་པའི་ཀ་ཟླུམ་གྱི་དཔངས་ཚོལ།
༦། ཤོག་པང་ཆ་ཚད་ 22 cm × 5 cm ཅན་ཞིག་བསྒྲིལ་ཏེ་དཔངས་ལ་ 5 cm ཡོད་པའི་ཀ་ཟླུམ་བཟོས་ ཡོོད་ན། ཀ་ཟླུམ་དེའི་བོངས་ཚད་ཚོལ།
༧། འོ་མཛོད་ཀ་ཟླུམ་ཅན་གྱི་ཚངས་ཕྱེད་ 1.4 m དང་རིང་ཚད་ 5 m ཡིན། འོ་མཛོད་ དེའི་ནང་འོ་མ་ལི་ཊར་ག་ཚོད་ཉར་ཐུབ་བམ།
༨། ཉིན་ཞིག་ཆར་པ་ 10 cm བབས་པ་དེ་ཆ་ཚང་ཚངས་ཕྱེད་ 14 cm
ཅན་གྱི་ཀ་ཟླུམ་ཆུ་ཟོམ་ནང་བསགས་ཡོད་ན། དེ་ཉིན་ཆུ་ཟོམ་ནང་ཆུ་ལི་
ཊར་ག་ཚོད་ཁེངས་ཡོད་དམ། (དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༩)
༩། གཤམ་གསལ་སྐབས་བོངས་ཚད་ལ་འགྱུར་བ་གང་བྱུང་ངམ། (ཀ) ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་རིང་ཚད་ཉིས་ལྡབ་བཟོས་ན། (ཁ) གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་དཔངས་ཕྱེད་ཀ་བཟོས་ན། (ག) ཀ་ཟླུམ་གྱི་ཚངས་ཕྱེད་སུམ་ལྡབ་བཟོས་ན།
དཔེ་རིས་ ༡༣་༤༩
14 cm
7 cm
༡༠། དཔེ་རིས་ ༡༣་༥༠ ནང་ཀ་ཟླུམ་གཉིས་ཀྱི་ཆ་ཚད་ལ་བལྟས་ན། བོངས་
ཚད་ཆེ་བ་དེ་གང་རེད་དམ། ཡང་ཆོ་ག་སྤྱད་དེ་བོངས་ཚད་གཉིས་
ཆུ་ཟོམ།
14 cm
(ཀ)
7 cm
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༣་༥༠
བཙལ་ཏེ་བཤེར་རྩིས་རྒྱོབ། ཀ་ཟླུམ་བོངས་ཚད་ཆེ་བ་དེའི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ཡང་ཆེ་བ་འདུག་གམ།
204
ཚད་འཇལ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། སྐས་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
h
1 = × h × (a + b) 2
a
b d1
༢། གཟེ་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
d2
༣། མཐའ་བཞི་དབྱིབས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
=
1 × d1 × d2 2
h1
h
b
=b×h
d
1 h2 = × d × (h1 + h2) 2 ༤། སྲ་གཟུགས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ནི་སྲ་གཟུགས་དེའི་ངོས་ཡོངས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་རེད། ༥། སྲ་གཟུགས་ཀྱིས་བར་སྣང་འཛིན་པའི་ཁུལ་ནི་དེའི་བོངས་ཚད་རེད། ༦། གྲུ་ནར་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 (lb + bh + lh)
h
ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2 × h × (l × b)
༧། ཁ་གང་གཟུགས་ཀྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 6l 2 ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 4l 2
བོངས་ཚད་ = l × l × l = l 3
༨། ཀ་ཟླུམ་གྱི་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་
= 2πr (r + h)
འབུར་ངོས་ཡང་ན་ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན་ = 2πrh
༩། རྒྱ་ཁྱོན་གྱི་ཚད་གཞི་ཕབ་སྒྱུར། 1 cm2 = 100 mm2
b
l
བོངས་ཚད་ = l × b × h
l l
l r h
བོངས་ཚད་ = πr2h
1 m2 = 10000 cm2
1 hectare = 10000 m2 ༡༠། བོངས་ཚད་ཀྱི་ཚད་གཞི་ཕབ་སྒྱུར། 1 cm3 = 1 mL
1 L = 1000 cm3
1 m3 = 1000000 cm3 = 1000 L = 1 kL
205
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། སློབ་ཚན་བཅུ་བཞི་པ།
༡༤་༡ གནས་ཚུལ་བསྡུ་བ། Collection of information
ང་ཚོའི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་གཤམ་གསལ་ལྟར་གནས་ཚུལ་མང་དག་ཅིག་བསྡུ་རུབ་བྱེད་པ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། (ཀ) དུས་ཚིགས་ཚོད་རྒྱུགས་ནང་སློབ་ཕྲུག་ཚོའི་ཐོབ་གྲངས།
(ཁ) རང་གི་འཛིན་གྲོགས་ཚོས་ལོ་གཅིག་ནང་སྒྲུང་དེབ་བཀླགས་པའི་གྲངས།
(ག) རྡོ་རྗེ་གདན་དུ་༸གོང་ས་མཆོག་ནས་དུས་འཁོར་དབང་ཆེན་སྩལ་སྐབས་རྒྱལ་ཁབ་ཁག་ནས་ཕེབས་ མཁན་ཆོས་ཞུ་བའི་གྲངས།
(ང) ཨོ་ལིམ་པིཀ་སྐབས་རྒྱ་གར་ལ་ཐོབ་པའི་རྟགས་མའི་གྲངས།
གོང་དུ་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་གནས་ཚུལ་དེ་དག་ནི་གྲངས་ཐོ་རེད། གྲངས་ཐོ་ནི་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་གནས་ཚུལ་
ཁག་ཨང་ཀི་ཡང་ན། དངོས་ཡོད་གནས་ཚུལ་གྲངས་ཀྱི་རྣམ་པར་བསྡུ་རུབ་བྱས་པ་ཞིག་རེེད། དེ་འདྲའི་གྲངས་ ཐོ་རེ་རེ་ལ་བྱེ་བྲག་ཟེར།
སྤྱིར་གྲངས་ཐོ་ནི་གནས་སྟངས་ཤིག་གི་སྐོར་རྒྱས་པར་ཤེས་རྒྱུ་དང་། ཡང་གནས་སྟངས་དེའི་སྐོར་སློབ་གཉེར་བྱ་ རྒྱུར་ཡང་བསྡུ་རུབ་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
དཔེར་ན། དགེ་རྒན་གྱིས་རང་གི་སློབ་ཕྲུག་ཚོའི་ཆ་སྙོམས་རིང་ཚད་འཚོལ་བར་གྲངས་ཐོ་བསྡུ་ཡི་ཡོད། དེའི་ ཆེད་ཁོ་མོས་རང་གི་འཛིན་གྲྭའི་སློབ་ཕྲུག་ཚོའི་རིང་ཚད་འཇལ་ཏེ་འབྲི་བ་དང་།
དེ་ནས་གྲངས་ཐོ་དེ་དག་གོ་
རིམ་དང་ལྡན་པའི་སྒོ་ནས་སྒྲིག་པ། ཡང་ན། བྲིས་ཏེ་དགོས་མཁོ་གཞི་བཟུང་གིས་གོ་དོན་འགྲེལ་བ་རེད། སྐབས་ རེ་གནས་ཚུལ་ཁ་གསལ་ཤེས་པའི་ཆེད་ཐིག་རིས་ཀྱི་ལམ་ནས་ང་ཚོས་གྲངས་ཐོ་མཚོན་གྱི་ཡོད། འཛིན་གྲྭ་གོང་མའི་སྐབས་སྦྱངས་པའི་ཐིག་རིས་འགའ་ནི། ༡༽ དཔེ་རིས། (Pictograph)
ཁྱེད་ཀྱིས་
འདིར་གྲངས་ཐོ་ནི་མཚོན་རྟགས་ཀྱིས་མཚོན་གྱི་ཡོད། དཔེ་རིས་འདིའི་ནང་མཚོན་རྟགས་ ཡིས་སློབ་མ་ བཞི་རེ་སློབ་གྲྭར་སླེབས་པ་མཚོན་ཡོད།
206
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར།
རེས་གཟའ། ཟླ་བ།
མིག་དམར།
ལྷག་པ།
ཕུར་བུ།
པ་སངས།
སློམ་མའི་གྲངས།
(ཀ) གཟའ་མིག་དམར་ཉིན་སློབ་མ་ག་ཚོད་སླེབས་འདུག་གམ། (ཁ) གཟའ་གང་གི་ཉིན་སློབ་མ་མང་ཤོས་སླེབས་འདུག་གམ།
༢༽ དྲ་མིག་ཐིག་རིས། (Bar graph)
གནས་ཚུལ་ཁག་ཞེང་མཚུངས་གྲུ་ནར་གྱི་མཚོན་པ་དང་། གྲུ་ནར་དེའི་མཐོ་ཚད་ཀྱིས་གནས་སྟངས་རེ་རེའི་གྲངས་ འབོར་མཚོན་གྱི་ཡོད།
40000 35000 30000
ཟླ་རེའི་ཁེ་འབབས་སྒོར།
25000
0
2017-18
2016-17
5000
2015-16
10000
2014-15
15000
2013-14
20000
རྩིས་ལོ།
(ཀ) དྲ་མིག་ཐིག་རིས་ཀྱི་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་གྱི་འདུག་གམ། (ཁ) རྩིས་ལོ་གང་ལ་ཁེ་བཟང་མང་ཤོས་འཐོབ་འདུག་གམ། (ག) རྩིས་ལོ་གང་ལ་ཁེ་བཟང་ཉུང་ཤོས་བྱུང་འདུག་གམ།
(ང) རྩིས་ལོ་གང་དེར་རྩིས་ལོ་ 2013 - 14 ཡི་ཁེ་ཉིས་ལྡབ་བྱུང་འདུག་གམ།
207
རྩིས་རིག ༣༽ དྲ་མིག་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས། (Double bar graph) ཐིག་རིས་འདིས་གྲངས་ཐོ་གཉིས་དུས་མཉམ་བསྡུར་གྱི་ཡོད། 70 60 ཕུན་ཚོགས་ལ་ཐོབ་གྲངས།
50 40 30 20 10 0
ཨིན་ཡིག
བོད་ཡིག
རྩིས་རིག
སློབ་ཚན།
ཚན་རིག
སྤྱི་ཚན།
(ཀ) དྲ་མིག་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་རིས་ཀྱིས་གནས་ཚུལ་གང་བསྟན་གྱི་འདུག་གམ། (ཁ) ཡར་རྒྱས་ཆེ་ཤོས་སློབ་ཚན་གང་ལ་ཕྱིན་འདུག་གམ།
(ག) སློབ་ཚན་གང་གི་ཐོབ་གྲངས་ཉམས་ཆག་བྱུང་འདུག་གམ། (ང) སློབ་ཚན་གང་གི་ཐོབ་གྲངས་ལ་འགྱུར་བ་སོང་མེད་དམ།
༡༤་༢ གྲངས་ཐོ་ཚན་པར་སྒྲིལ་བ། Organising data
སྤྱིར་ང་ཚོས་བསྡུ་རུབ་བྱས་པའི་གྲངས་ཐོ་དེ་དག་བཀོད་སྒྲིག་མ་བྱས་སྔོན་གྱི་གྲངས་ཐོ་དེ་དག་ལ་གཞི་འཛིན་
གྲངས་ཐོ་ཟེར། གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོས་སྟོན་པའི་གནས་ཚུལ་འཕར་མ་ཤེས་ཆེད་གྲངས་ཐོ་བྱེ་བྲག་རེ་རེ་འཕར་ རིམ། ཡང་ན། ཆག་རིམ་བཞིན་སྒྲིག་གི་ཡོད།
དཔེར་ན། ཤོ་ཞིག་ཐེངས་ 20 འཕེན་སྐབས་ང་ཚོར་ཐོབ་པའི་ཤོ་མིིག་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་ན། 5, 4, 3, 4, 2, 5, 1, 5, 3, 4, 6, 6, 4, 4, 3, 1, 1, 5, 4, 4
གོ་རིམ་སྒྲིག་པས། 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6 ཤོ་མིག་ 1 ནི་ཐེངས་ 3 ཤོ་མིག་ 2 ནི་ཐེངས་ 1 ཤོ་མིག་ 3 ནི་ཐེངས་ 3
208
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། ཤོ་མིག་ 4 ནི་ཐེངས་ 7 ཤོ་མིག་ 5 ནི་ཐེངས་ 4
ཤོ་མིག་ 6 ནི་ཐེངས་ 2 བཅས་ཐོན་ཡོད།
གོང་གི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གསལ་ལྟར་རེའུ་མིག་ནང་ཡང་བཀོད་ཐུབ། ཤོ་མིག
ཁྲམ་རྟགས།
1 2 3 4 5 6
བསྡོམས།
III I III IIII II IIII II
ཟློས་ཕྱོད། 3 1 3 7 4 2 20
གྲངས་ཐོ་གོང་བཞིན་རེའུ་མིག་ནང་མཚོན་པ་དེ་ལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་ (Frequency distribution) རེའུ་ མིག་ཟེར། གྲངས་ཐོའི་བྱེ་བྲག་གི་གྲངས་ནི་ཁྲམ་རྟགས་ཀྱིས་མཚོན་ཡོད། དེ་བཞིན་རེའུ་མིག་གིས་གཞི་འཛིན་ གྲངས་ཐོ་ཚན་པ་མ་སྒྲིལ་བའི་རྣམ་པར་མཚོན་ཡོད།
ཡིན་ཡང་བྱེ་བྲག་མང་པོ་ཡོད་པའི་གྲངས་ཐོའི་སྐབས་སུ་
གོང་བཞིན་རེའུ་མིག་བཟོས་ན། རེའུ་མིག་དེ་ནི་རིང་པོ་ཞིག་ཆགས་རྒྱུ་ཡིན་པས་སྟབས་བདེའི་ཆེད། སྔོན་དུ་ གྲངས་ཐོ་ཚན་པར་སྒྲིལ་བ་དང་།
དེ་ནས་ང་ཚོས་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་ (Grouped frequency
distribution) རེའུ་མིག་འགོད་ཀྱི་ཡོད།
འཛིན་གྲྭ་བརྒྱད་པའི་སློབ་མ་ 30 ཡི་ལྗིད་ཚད་ (kg ནང་) གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན།
46, 50, 43, 55, 38, 42, 37, 32, 41, 36, 32, 47, 45, 37, 41, 27, 38, 40, 31, 29, 27, 31, 58, 36, 44, 36, 28, 41, 31, 38
གྲངས་ཐོ་འདིར་གལ་ཏེ་ང་ཚོས་བྱེ་བྲག་རེ་རེ་ལ། དེའི་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་གྱི་རེའུ་མིག་བཟོས་ན། དེ་ནི་རེའུ་ མིག་རིང་པོ་ཞིག་ཆགས་པས། ང་ཚོས་བྱེ་བྲག་དེ་དག་ཚན་པར་སྒྲིལ་དགོས། དེའི་ཆེད། བྱེ་བྲག་ཆུང་ཤོས་ = 27 kg བྱེ་བྲག་ཆེ་ཤོས་ = 58 kg
དེར་བརྟེན། གྲངས་ཐོའི་ཁྱབ་ཚད་ (Range) = 58 − 27 = 31 kg
དེ་ནས་བྱེ་བྲག་དེ་དག་ང་ཚོས་ཚན་པ་བདུན་དུ་ 25 - 30, 30 - 35, 35 - 40, 40 - 45, 45 - 50,
209
རྩིས་རིག 50 - 55, 55 - 60 ལྟར་བགོས་ན་ང་ཚོར་གཤམ་གསལ་རེའུ་མིག་ཐོབ། བར་ཚོ། (ལྗིད་ཚད་ kg ནང་།)
ཁྲམ་རྟགས། IIII
ཟློས་ཕྱོད། (སློབ་མའི་གྲངས།)
30 - 35
IIII
5
35 - 40
IIII III
8
40 - 45
IIII II
7
45 - 50
III
3
50 - 55
I
1
55 - 60
II
2 30
25 - 30
བསྡོམས།
4
འདིར་ 25 - 30 ནི་ཚན་པ་འདིའི་ནང་ལྗིད་ཚད་བྱེ་བྲག་ 25 kg དང་མཉམ་པ་ཡང་ན་དེ་ལས་ཆེ་བ་དང་།
30 kg ལས་ཆུང་བ་ཡོད་པའི་དོན་ཡིན། དེ་བཞིན་ 50 - 55 སྐབས་ལྗིད་ཚད་བྱེ་བྲག 50 kg, 51 kg, 52 kg, 53 kg, 54 kg བཅས་ཚང་མ་འདི་ཁོངས་ཡིན་པ་བསྟན་གྱི་ཡོད།
འདི་ལྟའི་ཚན་པ་དག་ལ་བར་ཚོ་ (Class interval) ཟེར། བར་ཚོ་ 30 - 35 སྐབས 30 kg ནི་བར་ཚོའི་
འོག་མཐའ་ (Lower limit) དང་ 35 kg ནི་བར་ཚོའི་གོང་མཐའ་ (Upper limit) རེད། བར་ཚོའི་
གོང་མཐའ་དང་འོག་མཐའ་དབར་གྱི་ཧེ་བག་ལ་བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད་ (Class size or width) ཟེར། བར་ ཚོ་ 30 - 35 ཡི་ཞེང་ཚད་ནི་ 35 − 30 = 5 kg རེད།
གོང་གི་རེའུ་མིག་ནང་གྲངས་ཐོ་ནི་ཚན་པར་སྒྲིལ་ཡོད་པས་དེ་འདྲའི་ཁྱབ་ཚུལ་ནི་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་
ཚུལ་རེད། ཁྱབ་ཚུལ་དེའི་ནང་ 40 kg ནི་བར་ཚོ་ 35 - 40 དང་ 40 - 45 གཉིས་ཀར་ཡོད་པ་བཞིན་ 55
kg ཡང་བར་ཚོ་ 50 - 55 དང་ 55 - 60 གཉིས་ཀར་ཡོད། 40 kg དེ་དུས་མཉམ་དུ་ 35 - 40 དང་ 40 45 གཉིས་ཀའི་ཁོངས་སུ་ནམ་ཡང་ཡོང་མི་སྲིད། དེ་འདྲའི་དཀའ་ངལ་སེལ་ཆེད་བར་ཚོ་གཉིས་ཀར་ཡོད་པའི་ བྱེ་བྲག དཔེར་ན་ 55 kg དེ་བར་ཚོ་ཆེ་བ་དེའི་ཁོངས་སུ་ཡོད་པའི་ལམ་ལུགས་སྤྱོད་རྒྱུ་ཡིན།
དེར་བརྟེན། 55 kg ནི་བར་ཚོ་ 55 - 60 ཁོངས་སུ་ཡིན་པ་ལས་ 50 - 55 ཁོངས་སུ་མེད།
210
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། རྩིས་དཔེ། ༡ ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ལ་བལྟས་ཏེ་དེའི་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་ཐོབ། ལས་ཁུངས་ཀྱི་ལས་བྱེད་ 98 ཀྱི་ཡོང་འབབས་ (` ནང་།) རེའུ་མིག བར་ཚོ། (ཟླ་རེའི་ཡོངས་འབབས་ ` ནང་།) 8000 - 10000
ཟློས་ཕྱོད། (ལས་བྱེད་གྲངས།)
10000 - 12000
13
12000 - 14000
17
14000 - 16000
25
16000 - 18000
26
18000 - 20000
5
20000 - 22000 བསྡོམས།
4 98
8
(ཀ) བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད་གང་རེད་དམ།
(ཁ) ལས་བྱེེད་མང་ཤོས་བར་ཚོ་གང་གི་ནང་འདུག་གམ། (ག) ལས་བྱེད་ཉུང་ཤོས་བར་ཚོ་གང་གི་ནང་འདུག་གམ། ལན།
(ང) བར་ཚོ་ 12000 - 14000 ཡི་འོག་མཐའ་གང་རེད་དམ།
(ཅ) བར་ཚོ་ 18000 - 20000 ཡི་གོང་མཐའ་གང་རེེད་དམ། (ཀ) བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད་ 2000 རེད།
(ཁ) ལས་བྱེེད་མང་ཤོས་བར་ཚོ་ 16000 - 18000 ནང་འདུག
(ག) ལས་བྱེེད་ཉུང་ཤོས་བར་ཚོ་ 20000 - 22000 ནང་འདུག (ང) བར་ཚོ་ 12000 - 14000 ཡི་འོག་མཐའ་ 12000 རེད།
(ཅ) བར་ཚོ་ 18000 - 20000 ཡི་གོང་མཐའ་ 20000 རེད།
211
རྩིས་རིག
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༡
༡། ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་ཐོབ། འཛིན་གྲྭ་བརྒྱད་པའི་སློབ་མ་ 30 ཡིས་བདུན་ཕྲག་རེའི་གསོག་འཇོག་བྱས་པའི་དངུལ་འབོར། (` ནང་།) བར་ཚོ། (གསོག་འཇོག་དངུལ་འབོར་ ` ནང་།) 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 - 45 45 - 50 50 - 55 55 - 60
ཟློས་ཕྱོད། (སློབ་མ་གྲངས།) 2 1 7 5 3 2 4
60 - 65
4
65 - 70 བསྡོམས།
30
2
(ཀ) བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད་གང་རེད་དམ།
(ཁ) སློབ་མ་མང་ཤོས་བར་ཚོ་གང་གི་ནང་འདུག་གམ། (ག) སློབ་མ་ཉུང་ཤོས་བར་ཚོ་གང་གི་ནང་འདུག་གམ། (ང) འོག་མཐའ་ ` 50 ཡིན་པའི་བར་ཚོ་གང་རེད།
(ཅ) གོང་མཐའ་ ` 35 ཡིན་པའི་བར་ཚོ་གང་རེད་དམ། (ཆ) བར་ཚོ་གསུམ་པའི་ཟློས་ཕྱོད་གང་རེད་དམ། (ཇ) བར་ཚོ་མཐའ་མ་གང་རེད་དམ།
༢། སློབ་གྲྭའི་ལྡུམ་རའི་ནང་གི་ཤིང་གི་མྱུ་གུ་ 20 ཡི་རིང་ཚད་ (cm ནང་།) གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད།
80, 79, 98, 99, 103, 98, 88, 87, 102, 132, 126, 125, 112, 110, 102, 98, 90, 80, 78, 89 བར་ཚོ་ཞིག་ 90 - 100 བླངས་ཏེ་གོང་གི་གྲངས་ཐོ་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་གིས་མཚོན།
༣། ཚོང་པ་ཞིག་གིས་ཟླ་བ་གཉིས་པའི་ནང་འོོ་མ་ (L ནང་།) བཙོངས་པའི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན།
75, 102, 84, 68, 91, 78, 82, 105, 65, 110, 77, 89, 100, 104, 102, 74, 86, 88, 76,
212
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། 110, 92, 95, 72, 78, 83, 99, 101, 85 བར་ཚོ་ 64 - 70, 70 - 76 སོགས་སྤྱད་དེ་གོང་གི་གྲངས་ཐོ་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ གིས་མཚོན།
༤། བཟོ་གྲྭའི་ལས་མིི་ 25 ཡི་ཉིན་གླ་ (` ནང་།) གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད།
350, 425, 450, 525, 370, 480, 560, 410, 600, 620, 380, 430, 620, 700, 425, 525, 535, 415, 535, 595, 605, 625, 360, 470, 550, 555, 370, 460 བར་ཚོ་ཞིག་ 400 - 450 བླངས་ཏེ་གོང་གི་གྲངས་ཐོའི་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་བཀོད།
༡༤་༣ གྱེན་ལང་བཀོད་རིས། Histogram
འཛིན་རིམ་གོང་མར་ཁྱེད་ཀྱིས་ཚན་སྒྲིལ་མིན་པའི་གྲངས་ཐོ་དྲ་མིག་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན་སྟངས་དང་། དེ་འགྲེལ་ བརད ྗོ ་བྱེད་སྟངས་སྐོར་སྦྱངས་ཡོད། ཁྱེད་ཀྱིས་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ཀྱང་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན་ ཐུབ། དཔེར་ན། གོང་གི་འཛིན་རིམ་བརྒྱད་པའི་སློབ་མ་ 30 ཡི་ལྗིད་ཚད་གཤམ་གྱི་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན་ཡོད། 10 སློབ་མ་གྲངས།
8 6 4 2 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 ལྗིད་ཚད། (kg ནང་།)
ཐིག་རིས་འདི་ནི་དྲ་མིག་ཐིག་རིས་ལས་ཕྲན་བུ་མི་འདྲ་བ་ཡོད། ཐིག་རིས་འདིར་བར་ཚོ་ནི་འཕྲེད་ཐིག་དང་།
ཟློས་ཕྱོད་ནི་གཞུང་ཐིག་གི་བསྟན་ཡོད། གྲུ་ནར་རེའི་ཞེང་གིས་བར་ཚོ་དང་། དཔངས་ཀྱིས་ཟློས་ཕྱོད་མཚོན་ ཡོད། གྲངས་ཐོ་དེ་དག་རྒྱུན་མཐུད་ཡིན་པས་གྲུ་ནར་དབར་བར་སྟོང་མེད། གྲངས་ཐོ་འདི་ལྟར་མཚོན་པའི་ཐིག་ རིས་ལ་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ (Histogram) ཟེར། གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་འདིའི་ནང་ང་ཚོས་འཕྲེད་ཐིག་ སྟེང་
སྤྱད་ཡོད་པ་དེ་ཡིས་གྲངས་ 0 - 20 བར་བེད་སྤྱོད་བྱས་མེད་པའི་བརྡ་སྟོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། གྱེན་ལང་
བཀོད་རིས་འདིའི་དྲ་མིག་གི་མཐོ་ཚད་ལས་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་འདེབས་བྱེད་ཐུབ། (ཀ) སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ 40 kg ལས་ཆུང་བ་འདུག་གམ།
213
རྩིས་རིག (ཁ) སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་ 50 kg ནས་ 60 kg བར་རེད་དམ། (ག) ལྗིད་ཚད་ 45 kg ལས་ཆེ་བའི་སློབ་མ་གྲངས་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༢
༡། གཤམ་གསལ་གྲངས་ཐོ་ཁག་ལས་གང་དག་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཀྱིས་མཚོན་དགོས། (ཀ) རྩེད་མོ་བ་ 100 ཡི་རིང་ཚད།
(ཁ) མཉམ་འབྲེལ་ཞིག་གིས་བཟོས་པའི་སྟོད་གོས་གྲངས། (ག) སློབ་གྲྭའི་ཁང་ཚན་བཞིའི་སློབ་ཕྲུག་གྲངས།
(ང) སྔ་དྲོ་ཆུ་ཚོད་ ༨ ནས་ཕྱི་དྲོ་ཆུ་ཚོད་ ༥ བར་ལྡི་ལི་མེ་འཁོར ོ ་འབབ་ཚུགས་སུ་འབྱོར་བའི་འགྲུལ་པའི་གྲངས།
༢། འཛིན་རིམ་བརྒྱད་པའི་སློབ་མ་ 40 ཡི་བོད་ཡིག་ཡིག་རྒྱུགས་ཀྱི་ཐོབ་གྲངས་ཀྱི་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ནི་ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
སློབ་མ་གྲངས།
གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན།
0
10 20 30 40 50 60 70 80 ཐོབ་གྲངས། (80 ལས།)
(ཀ) སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་ཐོབ་གྲངས་ 20 ལས་ཉུང་བ་འདུག་གམ།
(ཁ) སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་ཐོབ་གྲངས་ 60 ལས་མང་བ་འདུག་གམ། (ག) བར་ཚོའི་བར་ཁྱད་གང་རེད་དམ།
(ང) སློབ་མ་མང་ཤོས་བར་ཚོ་གང་གི་ནང་འདུག་གམ།
༣། གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཀྱིས་སློབ་མ་འགའི་གཟུགས་པོའི་རིང་ཚད་ (cm ནང་།) སྟོན་ཡོད།
214
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར།
སློབ་མ་གྲངས།
10 8 6 4 2 0
136 140 144 148 152 156 160 164 168
(ཀ) བར་ཚོའི་བར་ཁྱད་གང་རེད་དམ།
རིང་ཚད། (cm ནང་།)
(ཁ) བར་ཚོ་གཉིས་པའི་འོག་མཐའ་གང་རེད་དམ།
(ག) རིང་ཚད་མཐོ་ཤོས་བར་ཚོ་གང་གི་སྐབས་སུ་རེད་དམ།
(ང) རིང་ཚད་དམའ་ཤོས་ཀྱི་བར་ཚོའི་ནང་སློབ་མ་ག་ཚོད་འདུག་གམ།
(ཅ) སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་རིང་ཚད་ 152 cm ཡང་ན་དེ་ལས་མཐོ་བ་འདུག་གམ། (ཆ) གྲངས་ཐོ་འདིའི་སྐབས་སློབ་མ་ག་ཚོད་ཀྱི་རིང་ཚད་འཇལ་འདུག་གམ།
༤། གཤམ་གྱི་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་གི་གྲངས་ཐོ་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཀྱིས་མཚོན། བར་ཚོ།
0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 བསྡོམས།
ཟློས་ཕྱོད། 1 3 5 6 5 20
༥། འཛིན་གྲྭ་དགུ་པའི་སློབ་མའི་ལྗིད་ཚད་ (kg ནང་།) གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན། བར་ཚོ། (kg ནང་།) 46 - 50 50 - 54 54 - 58 58 - 62 62 - 66 66 - 70 བསྡོམས།
སློབ་མའི་གྲངས། 2 5 7 10 5 3 32
215
རྩིས་རིག གྲངས་ཐོ་འདི་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཀྱིས་མཚོན།
༦། ཟླ་བ་གསུམ་པའི་ནང་ཚོང་པས་འབྲས་ (kg ནང་། ) བཙོང་བའི་གྲངས་ཐོ་ནི།
124, 132, 154, 125, 131, 142, 148, 144, 126, 136, 151, 152, 134, 135, 153, 126, 133, 131, 125, 150, 139, 140, 146, 125, 134, 146, 153, 132, 135, 125, 139 (ཀ) བར་ཚོ་ཞིག་ 124 - 130 བླངས་ཏེ་གོང་གི་གྲངས་ཐོའི་ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་རེའུ་མིག་ཁོད། (ཁ) གྲངས་ཐོ་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཀྱིས་མཚོན།
ཐིག་རིས་འདི་ཡིས་ཁྱེད་ཀྱི་
34+9+251121
8
མཚོན་པ་མཐོང་མྱོང་ཡོད་དམ།
ོད་
ཁྱེད་ཀྱི ས ་གཤམ་གསལ་ལྟར་གྲངས་ཐོ ་ སྒོ ར ་དབྱིབས་ཀྱི ས ་
5 ོད་ ཚ ཆུ་ ནང་ལས།
ཆུ་ཚ
༡༤་༤ ཐིག་རིས་སྒོར་མོ། Circle graph or Pie chart
ཉལ་བ།
ལས་ཀ་གཞན། ཆུ་ཚོད་ 3 ཞལ ་ལ བཏང་བའི་དུས་ཡུན་སྟོན་གྱི་ཡོད། ཐིག་རིས་འདིའི་ནང་གྲངས་ སློབ་གྲྭ། ག
སློ བ ་གྲྭའི ་ དགེ ་ རྒན་ཞི ག ་གི ་ ཉི ན ་གཅི ག ་གི ་ བྱེད་སྒོ ་ ཁག་ལ་
ཐོའི་འབོར་རྣམས་ཆ་ཚད་སྙོམས་པར་བགོས་ཏེ་དབྱིབས་སྒོར་
མོའི་ནང་སྟོན་ཡོད། ཐིག་རིས་འདི་ལ་ཐིས་རིས་སྒོར་མོ་ (Pie chart ཡང་ན། Circle graph) ཟེར།
ཆུ་ཚོད་ 6
ཆུ་ཚོད་ 2
དཔེ་རིས་ ༡༤་༡
ཐིག་རིས་སྒོར་མོས་གྲངས་ཐོའི་འབོར་ཡོངས་རྫོགས་དང་། དེའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་སྟོན་གྱི་ཡོད། འདིར་ཡོངས་ རྫོགས་ནི་གྲངས་ཐོའི་གནས་ཚུལ་འབོར་ཁག་ཆ་ཚད་སྙོམས་པར་བགོས་ཏེ་སོག་དབྱིབས་ཁག་གིས་མཚོན་ཡོད། དཔེར་ན། གོང་གི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོའི་ནང་རྒན་ལགས་ཉལ་བའི་དུས་ཡུན་གྱི་ཆ་ཚད་ནི། =
ཉལ་བའི་དུས་ཡུན།
ཉིན་གཅིག་གི་དུས་ཡུན།
=
ཆུ་ཚོད་ 8
ཆུ་ཚོད་ 24
=
1 3
((
དེར་བརྟེན། ཉལ་བའི་དུས་ཡུན་གྱི་སོག་དབྱིབས་ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་གསུམ་ཆ་གཅིག་ 1 རེད། 3 དེ་མཚུངས་རྒན་ལགས་ཀྱིས་སློབ་གྲྭའི་ནང་བཏང་བའི་དུས་ཡུན་གྱི་ཆ་ཚད་ནི། =
སློབ་གྲྭའི་དུས་ཡུན།
ཉིན་གཅིག་གི་དུས་ཡུན།
=
ཆུ་ཚོད་ 6
ཆུ་ཚོད་ 24
=
1 4
((
དེར་བརྟེན། སློབ་གྲྭར་བཏང་བའི་དུས་ཡུན་གྱི་སོག་དབྱིབས་ནི་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་བཞི་ཆ་གཅིག་ 1 རེད། 4 དེ་བཞིན། རྒན་ལགས་ནས་ཞལ་ལག་དང་། ནང་ལས། ལས་ཀ་གཞན་ཁག་གི་ཆེད་དུས་ཡུན་བཏང་བའི་སོག་
216
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། དབྱིབས་ཀྱི་ཆ་ཚད་ཀྱང་གོང་བཞིན་འཚོལ་ཐུབ། གོང་གི་བྱེད་སྒོ་ཁག་གི་ཆ་ཚད་གྲངས་ཆ་རྣམས་བསྡོམས་པས་ དེའི་བསྡོམས་ཐོབ་ནི་ 1 བྱུང་། རྩིས་དང་།
གཤམ་གྱི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་ཁག་གིས་ཁྱེད་ཀྱི་འཛིན་གྲྭའི་གནས་ཚུལ་མི་འདྲ་བ་བསྟན་ཡོད། ཁྱོད་ཀྱིས་གནས་ ཚུལ་དེ་དག་གིས་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ཆ་ཤས་ཇི་མཚོན་གྲངས་ཆའི་ནང་ཚོལ། བུ།
བུ་མོ། 55%
30%
བོད་ཇ། 30% ཇ་མངར་མོ། 70%
45%
(ཀ)
ཀྲིན་ཚལ། མོག་མོག 50% ཤ་འབྲས།
20%
(ཁ)
དཔེ་རིས་ ༡༤་༢
(ག)
༡༤་༤་༡ ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་འབྲི་བ།
གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནི་སློབ་མ་ 40 ཡིས་འདོད་མོས་ཆེ་བའི་ཤིང་ཏོག་གི་གྲངས་ཐོ་རེད། ཤིང་ཏོག
སློབ་མ་གྲངས།
ཨཱམ།
ཀུ་ཤུ། 18
ངང་ལག
10
8
ཚ་ལུ་མ། 4
གོང་གི་གྲངས་ཐོ་དེ་ཐིག་རིས་སྒོར་མོས་མཚོན་དགོས་ན། ཤིང་ཏོག་རེ་རེའི་སྐབས་དེ་ལ་འདོད་མོས་ཆེ་བའི་སློབ་
མའི་གྲངས་ཀྱི་ཆ་ཚད་དེ་སྒོར་དབྱིབས་ཀྱི་ལྟེ་ཟུར་ 360 ལ་ཁྱབ་པ་འབྲི་དགོས། དེའི་ཆེད་ཤིང་ཏོག་རེ་རེའི་ཆ་ ཚད་གྲངས་ཆ་དང་། དེ་ནས་གྲངས་ཆ་དེ་ལྟེ་ཟུར་གྱི་རྣམ་པར་འབྲི་དགོས། ཤིང་ཏོག
སློབ་མ་གྲངས།
ཨཱམ།
10
ཚ་ལུ་མ།
4
ཀུ་ཤུ།
18
ངང་ལག
8
བསྡོམས།
40
གྲངས་ཆའི་ནང་། 18 = 40 10 = 40 8 = 40 4 = 40
1
9 20 1 4 1 5 1 10
9 20 1 4 8 40 1 10
ལྟེ་ཟུར།
× 360o = 162o × 360o = 90o × 360o = 72o × 360o = 36o 360o
217
རྩིས་རིག དེ་ནས་ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་འབྲི་བར་ཚངས་ཕྱེད་སྟབས་བདེ་ཞིག་བླངས་ཏེ་
སྒོར་དབྱིབས་ཤིག་བྲིས་ནས། དེའི་ནང་ལྟེ་ཟུར་རེའུ་མིག་དང་མཐུན་པའི་
སོག་དབྱིབས་ཁག་བྲིས་རྗེས་ལྟེ་ཟུར་དང་ཆ་ཤས་ཁག་གི་ཇི་མཚོན་དཔེ་
རིས་ ༡༤་༢ ལྟར་རྟགས་རྒྱོབས། དཔེ་རིས་ ༡༤་༢ ནི་སློབ་མ་ 40 ཡི་འདོད་
45+25+2010
ངང་ལག
ཚ་ལུ་མ། o
72
o
162
o
90
ཨཱམ།
མོས་ཆེ་བའི་ཤིང་ཏོག་གི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་རེད།
o
36
ཀུ་ཤུ།
དཔེ་རིས་ ༡༤་༢
རྩིས་དཔེ། ༢ གཤམ་གྱི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོས་ཁྱིམ་ཚང་ཞིག་གི་ཟླ་རེའི་འགྲོ་གྲོན་ཁག་དང་གསོག་འཇོོག་སོགས་ བརྒྱ་ཆའི་ནང་བསྟན་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༤་༣)
(ཀ) འགྲོ་གྲོན་ཆེ་ཤོས་རྣམ་གྲངས་གང་དུ་བཏང་འདུག་གམ། (ཁ) གསོག་འཇོག་དང་མཚུངས་པའི་འགྲོ་གྲོན་ རྣམ་གྲངས་གང་དུ་བཏང་འདུག་གམ།
(ག) ཁྱིམ་ཚང་དེས་ ` 9000 གསོག་འཇོག་ བྱས་ཡོད་ན། ཁྱིམ་ཚང་དེའི་ཟླ་རེའི་ཡོང་ འབབ་ག་ཚོད་རེད་དམ།
(ང) ཁྱིམ་ཚང་དེའི་གྱོན་ཆས་ཀྱི་འགྲོ་གྲོན་ག་
འོར་འདྲེན།
20%
5% གྱོན་ཆས། 10%
ཚོད་རེད་དམ།
(ཅ) འགྲོ་གྲོན་ཉུང་ཤོས་རྣམ་གྲངས་གང་ལ་བཏང་འདུག ལན།
10+15+2510520
གཞན་ཁག
ཁང་གླ།
10%
25%
བཟའ་བཅའ།
རྣམ་གྲངས་དེའི་འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་རེད་དམ།
ཤེས་ཡོན།
15% 15%
གསོག་འཇོག
དཔེ་རིས་ ༡༤་༣
(ཆ) ཁྱིམ་ཚང་དེས་ཤེས་ཡོན་ཆེད་འགྲོ་གྲོན་ག་ཚོད་བཏང་འདུག་གམ། (ཀ) འགྲོ་གྲོན་ཆེ་ཤོས་བཟའ་བཅའི་ཆེད་བཏང་འདུག
(ཁ) གསོག་འཇོོག་ 15 % བྱས་འདུག་པས། དེ་དང་མཚུངས་པའི་འགྲོ་གྲོན་ཁྱིམ་ཚང་དེས་ཤེས་ ཡོན་གྱི་ཆེད་བཏང་འདུག
(ག) གསོག་འཇོག་ 15 % ཡིན་པར་བརྟེན་ཡོང་འབབ་ཀྱི་བརྒྱ་ཆ་བཅོ་ལྔ་ནི་ ` 9000 རེད།
9000 × 100 = ` 60000 15 (ང) གྱོན་ཆས་འགྲོ་གྲོན་ཡོང་འབབ་ཀྱི་བརྒྱ་ཆ་ 10 ཡིན་སྟབས། དེར་བརྟེན། ཁྱིམ་ཚང་གི་ཟླ་རེའི་ཡོང་འབབ་ =
གྱོན་ཆས་ཆེད་འགྲོ་གྲོན། =
10 × 60000 = ` 6000 100
(ཅ) འགྲོ་གྲོན་ཉུང་ཤོས་འོར་འདྲེན་ཆེད་བཏང་འདུག
218
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། འོར་འདྲེན་ཆེད་འགྲོ་གྲོན་ =
(ཆ) ཤེས་ཡོན་ཆེད་འགྲོ་གྲོན་ =
5 × 60000 = ` 3000 100
15 × 60000 = ` 9000 100
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༣
50+12+2513
༡། ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་ཡིས་མི་གྲངས་ 160 ཡི་དགའ་མོས་ཆེ་བའི་རྩེད་ རིགས་སྟོན་གྱི་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༤་༤)
ལུས་རྩལ།
(ཀ) རྐང་པོལ་ལ་དགའ་བའི་ཆ་ཤས་གང་རེད་དམ།
o
45
o སིལ་པོལ། 90
(ཁ) མི་གྲངས་ག་ཚོད་སིལ་པོལ་ལ་དགའ་མོས་ཆེ་བ་འདུག་གམ། གཅིག་མཚུངས་རེད། མི་གྲངས་ག་ཚོད་ཀྱིས་རྩེད་རིགས་དེ་ གཉིས་ལ་དགའ་མོས་བྱེད་ཀྱི་འདུག་གམ།
ཚུལ་གཤམ་གྱི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོའི་ནང་བསྟན་ཡོད། (དཔེ་རིས་ ༡༤་༥)
(ཀ) བཀྲ་ཤིས་ཀྱིས་གསར་འགྱུར་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་བལྟས་འདུག་
ཁུར་ཚུར་ རྩལ་འགྲན།
བཏང་འདུག་གམ།
དཔེ་རིས་ ༡༤་༤
གློག་བརྙན། 180o
གསར་འགྱུར།
(ག) དགོད་བའ ྲོ ི་ལྟད་མོ་བལྟ་བར་བཀྲ་ཤིས་ཀྱིས་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་
རྐང་པོལ།
50+21+1712
༢། གུང་གསེང་ཉིན་བཀྲ་ཤིས་ཆུ་ཚོད་ 4 རིང་བརྙན་འཕྲིན་བལྟས་པའི་གནས་
(ཁ) གློག་བརྙན་བལྟ་བར་དུས་ཡུན་ག་ཚོད་འགོར་འདུག་གམ།
o
45
(ག) རྩེད་རིགས་གང་གཉིས་ལ་དགའ་མོས་བྱེད་མཁན་མི་གྲངས་
གམ།
o
180
45o o 75o 60 རྩེད་མོ།
དགོད་བྲོ།
དཔེ་རིས་ ༡༤་༥
(ང) རྩེད་མོའི་ལྟད་མོ་བལྟ་བའི་དུས་ཡུན་གྲངས་ཆའི་ནང་བྲིས།
༣། རྐང་རྩེད་པོ་ལོའི་རུ་ཁག་ཅིག་གིས་ལོ་གཅིག་ནང་འགྲན་བསྡུར་ཐེངས་ 48 ལ་ཞུགས་ཡོད་པ་ལས། འགྲན་
བསྡུར་ཐེངས་ 20 ལ་རྒྱལ་ཁ་ཐོབ་པ་དང་། 16 ཕམ་ཡོད། འགྲན་བསྡུར་ 12 སྐབས་ཐོབ་ཤོར་བྱུང་མེད།
གནས་ཚུལ་འདི་ཡི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་ཁོད།
༤། ལས་མི་ཞིག་གིས་རང་གི་ཟླ་རེའི་ཡོང་འབབ་ ` 14400 དེ་གཤམ་གསལ་རྣམ་གྲངས་ཁག་ལ་འགྲོ་གྲོན་ བཏང་ཡོད། ཐིག་རིས་སྒོར་མོས་འོག་གི་གྲངས་ཐོ་མཚོན། རྣམ་གྲངས།
འགྲོ་གྲོན། (` ནང་།)
ཁང་གླ། 2400
བཟའ་བཅའ། 8000
ཤེས་ཡོན། 800
འོར་འདྲེན། 1200
གཞན་ཁག 2000
219
རྩིས་རིག ༥། ཡིག་ཚང་ཞིག་གི་ལས་བྱེད་ 120 ཡི་དགའ་བའི་ཁ་ལག་གི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པ་དེ་ལ་ཐིག་ རིས་སྒོར་མོ་ཁོད། ཁ་ལག
ལས་བྱེད་གྲངས།
མོག་མོག 24
འབྲས་དལ། 36
ཆོ་མན།
བག་ལེབ་ཚལ། ཀྲིན་མོག་ཚལ།
48
8
4
༦། གཤམ་གསལ་ས་གནས་ཁག་ནས་ཡིན་པའི་ཉལ་ཁང་ནང་སྡོད་མཁན་སློབ་མ་གྲངས་ཀྱི་ཐིག་རིས་སྒོར་མོ་ཁོད། ས་གནས།
སློབ་མ་གྲངས།
འདོད་རྒུ་གླིང་།
40
བདེ་སླར།
ལུགས་བསམ།
དོན་ལྡན་གླིང་།
རབ་རྒྱས་གླིང་།
12 9 7 4
༡༤་༥ སྲིད་ཕྱོད། Probability
མཚོ་མོས་གུང་གསེང་འགྲོ་ཆེད་དྷི་ལི་ནས་བྷེང་ལོར་བར་གྱི་མེ་འཁོར་ལག་འཁྱེར་སྔ་ས་ནས་ཉོས་ཏེ། དྷི་ལི་མེ་ འཁོར་འབབ་ཚུགས་སུ་དུས་ཐོག་སླེབས་སྐབས། མེ་འཁོར་དེའི་ཐོན་དུས་ཕྱིར་འགྱངས་བྱས་པར་བརྟེན་མཚོ་
མོས་མེ་འཁོོར་འབབ་ཚུགས་སུ་ཆུ་ཚོད་ ༦ རིང་སྒུག་དགོས་བྱུང་བ་རེད། ནམ་རྒྱུན་མེ་འཁོར་དེ་དུས་ཐོག་དགོང་
མོ་ཆུ་ཚོད་ 9:30 ཐོག་ཐོན་གྱི་ཡོད་ན་ཡང་། མཚོ་མོ་ཐོན་པའི་ཉིན་མེ་འཁོར་དེ་དུས་ཐོག་ཐོན་ཐུབ་མེད། ཡོན་ ཏན་གྱིས་ཨང་རྩིས་དུས་ཚིགས་ཡིག་རྒྱུགས་ཆེད་དྲི་བ་ཉི་ཤུ་སྦྱངས་པ་ལས། དྲི་ཤོག་ནང་ཡོན་ཏན་གྱིས་སྦྱངས་ པའི་དྲི་བ་བཞི་མ་གཏོགས་སླེབས་མེད། ཡིན་ཡང་ཨིན་ཇིའི་སྐབས་ཡོན་ཏན་གྱིས་དྲི་བ་བཅུ་ལས་སྦྱངས་མེད་ ནའང་། དེ་ལས་དྲི་བ་བརྒྱད་ཡིག་ཚད་ནང་སླེབས་པའི་གནས་སྟངས་སོགས་ཡོང་གི་ཡོོད།
ང་ཚོའི་ཉིན་ལྟར་འཚོ་བའི་ནང་ཡང་འདི་འདྲའི་གནས་སྟངས་མང་པོ་ཡོང་གི་ཡོད། ནམ་རྒྱུན་ང་ཚོའི་ཁ་
རྒྱུན་ནང་།
ཡིག་རྒྱུགས་འཕྲོད་སྲིད་པ་རེད། སྦྲགས་ཐོག་སྙན་ཞུ་བཏང་བ་དེ་དུས་ཐོག་ལས་ཁུངས་སུ་འབྱོར་
སྲིད་པ་རེད། བོད་ཀྱི་རྐང་པོལ་རུ་ཁག་ལ་རྒྱལ་ཁ་ཐོབ་སྲིད་པ་རེད། རྒྱ་གར་གྱི་མཐོ་སློབ་རྩེ་ཕུད་ནང་ཚུད་སྲིད་
པ་རེད་སོགས་བཤད་ཀྱི་ཡོད། འདི་འདྲའི་སྐབས་ང་ཚོས་རེ་བ་ཞིག་རྒྱག་གི་ཡོད། སློབ་ཚན་གྱི་ཚན་པ་འདིའི་ ནང་ང་ཚོས་གྲུབ་འབྲས་གཅིག་མཚུངས་ཡོང་སྲིད་པའི་ཚོད་ལྟ་འགའ་ལ་བལྟ་རྒྱུ་ཡིན།
རྐང་པོལ་འགྲན་བསྡུར་འགོ་མ་ཚུགས་གོང་། རྩེད་འགྲན་རུ་ཁག་གི་རུ་དཔོན་གཉིས་ཀྱིས་རང་མོས་ཀྱི་ཊམ་ཀའི་
220
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། ངོས་གཅིག་རེ་བདམས་རྗེས། རྩེད་དཔང་གིས་ཊམ་ཀ་འཕངས་ཏེ་རུ་ཁག་སུ་ལ་པོ་ལོ་འགོ་ཚུགས་རྒྱུའི་གོ་སྐབས་
སྤྲོད་མིན་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། སྐབས་འདིར་ཊམ་ཀའི་ངོས་གང་ཐོན་ནམ། དེ་ནི་ཊམ་ཀའི་མདུན་ངོས་ཡང་ ན་རྒྱབ་ངོས་གཉིས་ལས་གང་རུང་ཞིག་ཡིན།
གལ་ཏེ་ཁྱེད་རང་རྩེད་འགྲན་དེའི་སྐབས་རུ་ཁག་ཅིག་གི་རུ་དཔོན་ཡིན་ན། སྐབས་དེར་ཁྱེད་ཀྱིས་སྟངས་འཛིན་ བྱས་ཏེ་མཇུག་འབྲས་མདུན་ངོས་རང་ཐོན་པ་ཞིག་བྱ་རྒྱུ་ཡོད་དམ། དེ་འདྲ་ནི་མི་སྲིད། འདི་ལྟའི་ཚོད་ལྟ་ལ་ངེས་
མེད་ (Random experiment) ཟེར་བ་དང་། མདུན་ངོས་དང་རྒྱབ་ངོས་གཉིས་ནི་ཚོད་ལྟ་འདིའི་གྲུབ་
འབྲས་ (Outcome) གཉིས་པོ་དེ་རེད།
གལ་ཏེ་ཁྱེད་ཀྱིས་སིལ་པོལ་ཞིག་འཕངས་ན་དེ་ལ་གྲུབ་འབྲས་གང་ཡོང་སྲིད་དམ། ཡང་ཤོ་ཞིག་འཕངས་ན་གྲུབ་ འབྲས་ཤོ་མིག་གང་དག་བྱུང་སྲིད་དམ། དཔེ་ཁུག་ཅིག་གི་ནང་བྱི་རིལ་ཁ་དོག་མི་འདྲ་བ་ལྔ་ཡོད། དཔེ་ཁུག་ནང་ མ་བལྟས་པར་དཔེ་ཁུག་དེ་ནས་བྱི་རིལ་ཞིག་ཕྱིར་བཏོན་ན་གྲུབ་འབྲས་གང་ཐོབ་སྲིད་པའི་ཐོ་གཞུང་བྲིས།
གོང་གི་ཊམ་ཀ་འཕེན་པའི་ཚོད་ལྟའི་སྐབས་ང་ཚོར་གྲུབ་འབྲས་གཉིས་ལས་མེད། དེ་གཉིས་ནི་མདུན་
ངོས་དང་རྒྱབ་ངོས་བཅས་རེད། ཊམ་ཀ་ཞིག་འཕངས་ན་གྲུབ་འབྲས་དེ་གཉིས་ཀ་ཐོན་པའི་རེ་བ་འདྲ་འདྲ་ཡོད།
ཊམ་ཀའི་མདུན་ངོས་ཐོན་པའི་རེ་བ་ནི། མདུན་ངོས་གཅིག་དེ་གྲུབ་འབྲས་གཉིས་ལས་སོན་ཡོད་པས། མདུན་ ངོས་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ (Probability) ནི་
1 1 རེད། དེ་མཚུངས་རྒྱབ་ངོས་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ཀྱང་ རེད། 2 2
ཡང་གོང་གི་ཤོའི་དཔེ་དེ་བླངས་ན། ཤོ་དེའི་ངོས་དྲུག་སོ་སོར་ 1, 2, 3, 4, 5, 6 བཅས་བཀོད་ཡོད་པས། ཤོ་དེ་
འཕངས་ན་མཇུག་འབྲས་གང་སོན་ནམ། འདིར་མཇུག་འབྲས་ནི་ 1, 2, 3, 4, 5, 6 བཅས་དྲུག་རེད། སྐབས་ འདིར་མཇུག་འབྲས་འདྲ་འདྲ་དྲུག་ཡོད་པ་ལས། ཤོ་མིག་ 2 ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་གང་རེད། ཤོ་མིག་ 2 ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ནི། =
(1) མཇུག་འབྲས་ 2 ཀྱི་གྲངས།
(6) མཇུག་འབྲས་འདྲ་འདྲ་ཁག་གི་གྲངས།
=
1 6
ཤོ་མིག་ 5 ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་གང་རེད། ཤོ་མིག་ 1 ནས་ 6 བར་རེ་རེ་བཞིན་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་གང་རེད། ཚོད་
ལྟའི་སྐབས་ཀྱི་མཇུག་འབྲས་རེ་རེའམ། ཡང་ན་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི་ཚོགས་ཀྱི་བྱུང་བ་ལ་དོན་རྐྱེན་ (Event) ཟེར།
དཔེར་ན། ཊམ་ཀ་འཕངས་པའི་ཚོད་ལྟའི་སྐབས་མདུན་ངོས་ཐོན་པ་ནི་དོན་རྐྱེན་དང་། དེ་བཞིན་རྒྱབ་ངོས་ཐོན་
པ་ཡང་དོན་རྐྱེན་ཞིག་རེད། ཤོ་འཕེན་པའི་སྐབས་སུ་མཇུག་འབྲས་ 1, 2, 3, 4, 5, 6 བཅས་རེ་རེ་བཞིན་ དོན་རྐྱེན་རེད། ཡང་ཆ་གྲངས་ 2, 4, 6 ཡང་ན་ཡ་གྲངས་ 1, 3, 5 བཅས་སོན་པ་ཡང་དོན་རྐྱེན་ཞིག་རེད། སྐབས་འདིར་ཡ་གྲངས་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་གང་རེད།
221
རྩིས་རིག ཡ་གྲངས་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད། =
(3) དོན་རྐྱེན་དང་མཐུན་པའི་གྲུབ་འབྲས། (6) ཚོད་ལྟའི་གྲུབ་འབྲས་གྲངས།
=
3 1 = 6 2
དེར་བརྟེན། དོན་རྐྱེན་ཞིག་གི་སྲིད་ཕྱོད་ནི། =
ལམ་ལྷོང་ཅན་གྱི་གྲུབ་འབྲས་གྲངས།
འོང་སྲིད་པའི་གྲུབ་འབྲས་གྲངས་ཀྱི་སྡོམ།
རྩིས་དཔེ། ༣ ཤོ་ཞིག་འཕང་ན་གཤམ་གསལ་ལྟར་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ཚོལ། ལན།
(ཀ) 4
(ཁ) ཆ་གྲངས།
(ཅ) 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས།
(ག) རྒྱུ་གྲངས།
(ང) 4 ལས་ཆེ་བ།
(ཆ) 3 ཡང་ན་ 4
(ཀ) ཤོའི་སྟེང་ཤོ་མིག་ 4 ཅན་གཅིག་ཡོད།
1 6 (ཁ) ཤོའི་སྟེང་གི་ཤོ་མིག་ཆ་གྲངས་ནི་ 2 དང་ 4, 6 བཅས་གསུམ་རེད། དེར་བརྟེན། 4 སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད། = P (4) =
དེར་བརྟེན། ཆ་གྲངས་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ = P (ཆ་གྲངས།) =
3 1 = 6 2
(ག) ཤོའི་སྟེང་གི་ཤོ་མིག་རྒྱུ་གྲངས་ནི་ 2 དང་ 3, 5 བཅས་གསུམ་རེད། དེར་བརྟེན། རྒྱུ་གྲངས་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ = P (རྒྱུ་གྲངས།) =
(ང) ཤོའི་སྟེང་གི་ཤོ་མིག་ 4 ལས་ཆེ་བ་ནི་ 5 དང་ 6 རེད།
དེར་བརྟེན། ཤོ་མིག་ 4 ལས་ཆེ་བ་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ =
(ཅ) ཤོའི་སྟེང་གི་ཤོ་མིག་ 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས་ནི་ 3 དང་ 6 རེད།
2 1 = 6 3
དེར་བརྟེན། ཤོ་མིག་ 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ =
(ཆ) ཤོ་མིག་ 3 ཡང་ན་ 4 སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ =
2 1 = 6 3
3 1 = 6 2
2 1 = 6 3
རྩིས་དཔེ། ༤ ཏག་སེ་ཆག་པ་གཅིག་གི་ནང་ཏག་སེ་གྲངས་ 52 ཡོད། ཆག་པ་དེ་ནས་ཏག་སེ་གཅིག་ངེས་མེད་ བླངས་ན་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་གང་རེད།
222
གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར། (ཀ) དམར་པོ། ལན།
(ང) བཅུ་པ་ས་ཕག
(ཁ) དང་པོ།
(ག) གཉིས་པ་ནག་རྡོག
(ཅ) དགུ་པ་ནག་པོ།
(ཀ) ཏག་སེ་ 52 ནང་ནས་དམར་པོ་ 26 དང་གཞན་ 26 དེ་ནག་པོ་རེད།
དེར་བརྟེན་། ཏག་སེ་དམར་པོ་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ = P (དམར་པོ་) =
(ཁ) ཏག་སེ་ཆག་པའི་ནང་དང་པོ་ 4 ཡོད།
26 1 = 52 2
1 4 = 52 13 (ག) ཏག་སེ་ཆག་པའི་ནང་གཉིས་པ་བཞི་ཡོོད་ནའང་། གཉིས་པ་ནག་རྡོག་གཅིག་རང་ཡོད། དེར་བརྟེེན། དང་པོ་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ = P (དང་པོ་) =
དེར་བརྟེན། གཉིས་པ་ནག་རྡོག་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ = P (ནག་རྡོག) =
(ང) ཏག་སེ་ཆག་པའི་ནང་བཅུ་པ་ས་ཕག་གཅིག་རང་ཡོད།
1 52
1 52 (ཅ) ཏག་སེ་ཆག་པའི་ནང་དགུ་པ་ནག་པོ་གཉིས་ཡོད་པ་ནི་དགུ་པ་ནག་རྡོག་དང་། དགུ་པ་སིབ་ དེར་བརྟེན། བཅུ་པ་ས་ཕག་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ = P (བཅུ་པ་ས་ཕག) = སིབ་བཅས་རེད།
དེར་བརྟེན། དགུ་པ་ནག་པོ་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ =
2 1 = 52 13
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༤
༡། ཤོ་ཞིག་འཕེན་སྐབས་གཤམ་གསལ་དོན་རྐྱེན་སོན་པའི་གྲུབ་འབྲས་བྲིས། (ག) གྲངས་ 4 ལས་ཆུང་བ།
(ཁ) 3 གྱི་ལྡབ་གྲངས་མིན་པ།
(ང) གྲངས་ 3 ལས་མི་ཆེ་བ།
༢། གོང་གི་དྲི་བ་ ༡ སྐབས་ཀྱི་དོན་རྐྱེན་ཁག་གི་སྲིད་ཕྱོད་ཚོལ།
༣། འཁེལ་འཁོར་ཞིག་གི་སྟེང་གྲངས་ 1 ནས་ 5 བར་བཀོད་ཡོད།
(དཔེ་རིས་ ༡༤་༦) འཁེལ་འཁོར་དེའི་མདའ་དེ་བསྐོར་བ་བརྒྱབ་
20+20
(ཀ) རྒྱུ་གྲངས།
(ང) 4 མིན་པའི་ཆ་གྲངས།
(ཁ) ཡ་གྲངས།
(ཅ) ཆ་གྲངས་ཡང་ན་རྒྱུ་གྲངས།
2
4
པས། མདའ་རྟགས་དེ་གཤམ་གསལ་གྲངས་ཀྱི་ཐོག་འབབ་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ཚོལ། (ཀ) 1
1
5
3
དཔེ་རིས་ ༡༤་༦
(ག) རྒྱུ་གྲངས།
༤། ཤེལ་དམ་ཞིག་གི་ནང་ཕྲེང་རྡོག་ 8 ཡོད་པ་ལས་ 5 ནི་ནག་པོ་དང་། 2 ནི་དཀར་པོ། ལྷག་མ་དེ་ནི་དམར་པོ་
223
རྩིས་རིག རེད། ཕྲེང་རག ྡོ ་ཅིག་ཤེལ་དམ་དེ་ལས་ངེས་མེད་བླངས་ཡོད་ན། གཤམ་གསལ་ཕྲེང་རྡོག་ཐོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ཚོལ། (ཀ) ནག་པོ།
(ཁ) དམར་པོ་མིན་པ།
(ག) དཀར་པོ།
(ང) དམར་པོ་ཡང་ན་དཀར་པོ།
༥། ཏག་སེ་ཆག་པ་ཞིག་ལས་ཏག་སེ་གཅིག་ངེས་མེད་བླངས་ཡོད། ཏག་སེ་དེ་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་སྲིད་ ཕྱོད་ཚོལ།
(ཀ) རྒྱལ་པོ།
(ཁ) དམར་པོ།
(ག) སིབ་སིབ།
(ང) བཅུ་པ་དམར་པོ།
(ཅ) དགུ་པ།
༦། ཊམ་ཀ་གཉིས་མཉམ་དུ་འཕངས་ན། དོན་རྐྱེན་དེའི་གྲུབ་འབྲས་ཀྱི་ཐོ་གཞུང་བྲིས། སྐབས་འདིར་ཊམ་ཀ་ གཉིས་ཀ་མདུན་ངོས་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་ཚོལ།
༧། ཤོག་བྱང་ 12 སྟེང་ཨང་ 1 ནས་ 12 འཁོད་ཡོད་པ་དེ་སྒམ་ཆུང་ཞིག་གི་ནང་བླུགས་ཡོད། སྒམ་ཆུང་དེ་ ནས་ཤོག་བྱང་གཅིག་ངེས་མེད་ཕྱིར་འདོན་ཡོད་ན། གཤམ་གསལ་དོན་རྐྱེན་སོན་པའི་སྲིད་ཕྱོད་གང་རེད། (ཀ) 5
(ཁ) 6 ལས་ཆུང་བ།
(ང) གྲངས་གནས་ 1 ཅན།
(ཅ) གྲངས་གནས་ 2 ཅན།
(ག) 5 ལས་ཆེ་བ།
དྲན་གསོ་གྱིས།
༡། ནམ་རྒྱུན་ང་ཚོར་བྱུང་བའི་གྲངས་ཐོ་ཕལ་ཆེ་བ་གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ་རེད།
༢། གྲངས་ཐོ་རྒྱུད་རིམ་ལྟར་སྒྲིག་ན། དེ་ལས་རྗེས་དཔག་དོན་དང་ལྡན་པ་ལེན་ཐུབ། ༣། ཟློས་ཕྱོད་ཀྱིས་བྱེ་བྲག་རེ་རེ་ཐེངས་ཇི་ཡོད་སྟོན་གྱི་ཡོད།
༤། གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ་ཚན་པར་སྒྲིལ་ནས། ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ་གྱིས་སྟོན་ཐུབ།
༥། ཚན་སྒྲིལ་གྲངས་ཐོ་ནི་གྱེན་ལངས་བཀོད་རིས་ཀྱིས་ཀྱང་སྟོན་ཐུབ། སྐབས་འདིར་དྲ་མིག་ཐིག་རིས་ཀྱིས་ མཚོན་པའི་བར་ཚོའི་དབར་བར་སྟོང་མེད།
༦། གྲངས་ཐོ་ནི་ཐིག་རིས་སར ྒོ ་མོས་ཀྱང་སྟོན་ཐུབ། ཐིག་རིས་སྒོར་མོས་གང་ཚང་དང་། དེའི་ཆ་ཤས་ཀྱི་འབྲེལ་ བ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
༧། ཚོད་ལྟ་འགའ་ཞིག་སྐབས་འཇུག་འབྲས་མཉམ་པ་ཐོབ་རྒྱུའི་རེ་བ་གཅིག་མཚུངས་ཡོད། ༨། ངེས་མེད་ཚོད་ལྟའི་སྐབས་འཇུག་འབྲས་ཇི་བྱུང་སྔོན་ནས་བཤད་ཐུབ་ཀྱི་མེད། ༩། དོན་རྐྱེན་ཞིག་གི་སྲིད་ཕྱོད། =
དོན་རྐྱེན་དང་མཐུན་པའི་གྲུབ་འབྲས།
ཚོད་ལྟའི་གྲུབ་འབྲས་གྲངས་ཀྱི་བསྡོམས།
༡༠། རེ་བ་དང་སྲིད་ཕྱོད་ནི་ང་ཚོའི་ཉིན་རེའི་འཚོ་བའི་ནང་འབྲེལ་བ་ཡོང་གི་ཡོད།
224
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། སློབ་ཚན་བཅོ་ལྔ་པ།
༡༥་༡ ངོ་སྤྲོད། Introduction
ཁྱེད་ཀྱིས་ཚགས་ཤོག་དང་། བརྙན་འཕྲིན། དུས་དེབ། དཔེ་དེབ་སོགས་ཀྱི་ནང་ཐིག་རིས་མཐོང་མྱོང་ཡོད་ དམ། དངོས་ཡོད་གནས་ཚད་ཚུལ་གྱི་གྲངས་ཐོ་དཔེ་རིས་ཀྱིས་སྟོན་པས་གནས་ཚུལ་ཤེས་འདོད་པ་དེའི་གནས་
ལུགས་ང་ཚོས་རྟོགས་མགྱོགས་པ། ཧ་གོ་བདེ་བ་དང་གསལ་བ་ཡོང་གི་ཡོད། དེར་བརྟེན། གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ་ བྱས་པ་ཞིག་དཔེ་རིས་ཀྱིས་མཚོན་པ་ཁག་གཅིག་ནི་ཐིག་ཪིས་ཤིག་རེད།
གྲངས་ཐོ་ནི་རེའུ་མིག་གི་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ་ཀྱི་ཡོད། ཡིན་ཡང་གྲངས་ཐོ་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན་ན། དེའི་ གནས་ལུགས་ང་ཚོས་བལྟས་པ་ཙམ་གྱིས་གོ་དོན་རྟོགས་ཐུབ། གྲངས་ཐོ་འཕེལ་ཕྱོགས་ཀྱི་གནས་སྟངས་དང་།
ཡང་བསྡུར་བའི་གནས་སྟངས་སྐབས་སུ་གྲངས་ཐོ་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན་ན་ང་ཚོས་གོ་བ་ལེན་སླ་བ་ཡོད། དེ་འདྲའི་ ཐིག་རིས་ཁག་ཅིག་གོང་གི་སློབ་ཚན་གྲངས་ཐོ་ལག་བསྟར་ནང་འགྲེལ་བརྗོད་བྱས་ཟིན།
༡༥་༢ ཐིག་གི་ཐིག་རིས། A line graph
གྲངས་ཐོ་དུས་ཡུན་བསྟུད་མར་འགྱུར་བ་ཕྱིན་པ་མཚོན་པའི་དཔེ་རིས་ནི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ (Line graph)
ཞིག་རེད།
དཔེ་མཚོན། ཚེ་རིང་ལུས་པོ་མི་བདེ་བ་བྱུང་བའི་སྐབས། སྨན་ཞབས་ཀྱིས་ཚེ་རིང་གི་གཟུགས་པོའི་དྲོད་ཚད་ དུས་ཡུན་ཆུ་ཚོད་བཞི་རེ་ལ་འཇལ་ཏེ་ཐོ་འགོད་བྱས་པའི་གྲངས་ཐོའི་རེའུ་མིག་ནི། དུས་ཚོད།
དྲོད་ཚད། (oF)
6:00 a.m.
10:00 a.m.
2:00 p.m.
6:00 p.m.
99
101
99.5
98.5
རེའུ་མིག་འདི་ཐིག་རིས་ཀྱི་རྣམ་པར་མཚོན་ཐུབ། ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ནང་འཕྲེད་ཐིག་ (x-axis) གིས་ནད་
པའི་དྲོད་ཚད་འཇལ་བའི་དུས་ཚོད་སྟོན་པ་དང་། སྐབས་དེའི་ནད་པའི་དྲོད་ཚད་དེ་གཞུང་ཐིག་ (y-axis) གིས་སྟོན་ཡོད།
225
རྩིས་རིག 101
100
100
98
98
དྲོད་ཚད། (oF) 99
དྲོད་ཚད། (oF)
101
99
6:00 10:00 2:00 a.m. a.m. p.m. དུས་ཚོད།
6:00 p.m.
གྲངས་ཐོའི་བྱེ་བྲག་རེ་རེ་བཞིན་དྲ་མིག་ སྟེང་ཚེག་རིས་ཀྱིས་སྟོན་ཡོད།
6:00 10:00 2:00 a.m. a.m. p.m. དུས་ཚོད།
6:00 p.m.
ཚེག་དེ་དག་རིམ་བཞིན་མཐུད་དེ་ཐིག་ དུམ་བྱུང་བ་ནི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་རེད།
གོང་གི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ལ་དུས་ཚོད་དྲོད་ཚད་ཐིག་རིས་ (Time temperature graph) ཀྱང་འབོད་
ཆོག ཐིག་རིས་ལ་བལྟས་ནས་ང་ཚོས་བཤད་ཐུབ་པ་ནི། སྔ་དྲོའི་ཚོུད་ 6:00 ནས་ 10:00 བར་ནད་པའི་དྲོད་
ཚད་འཕར་ཡོད་པ་དང་། དེ་ནས་དགོང་དྲོའི་ཆུ་ཚོད་ ༦ བར་ནད་པའི་དྲོད་ཚད་ཆག་ཡོད།
དེ་བཞིན་སྔ་དྲོའི་ཆུ་ཚོད་ 6:00 ནས་ 10:00 དབར་དྲོད་ཚད་ 101 - 99 = 2oF འཕར་ཡོད། དེ་ཉིན་ཆུ་ ཚོད་ 8:00 དང་ 11:00 སོགས་སུ་སྨན་ཞབས་པས་ཚེ་རིང་གི་གཟུགས་པོའི་དྲོད་ཚད་འཇལ་བའི་གྲངས་ཐོ་
མེད་ནའང་ཐིག་རིས་ལ་བལྟས་པས་སྔ་དྲོའི་ཆུ་ཚོད་ 8:00 པའི་ཐོག་ཚེ་རིང་གི་གཟུགས་པོའི་དྲོད་ཚད་ 99oF ལས་མཐོ་བ་དང་། ཆུ་ཚོད་ 12:00 ཐོག་ནད་པའི་དྲོད་ཚད་ 101oF ལས་མཐོ་བ་དང་། ཆུ་ཚོད་ 12:00 ཐོག་
ནད་པའི་དྲོད་ཚད་ 101oF ལས་དམའ་བ་ཡིན་པའི་བརྡ་སྟོན་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ། ༡ གཤམ་གྱི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ཀྱིས་ ༢༠༡༨ ལོར་འགྲན་བསྡུར་ཐེངས་བཅུའི་སྐབས་དབྱུག་རྩེད་པ་ གཉིས་ཀྱིས་བཟོས་པའི་རྒྱུག་གྲངས་བསྟན་ཡོད། ཐིག་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གྱི་དྲི་བ་ཁག་ལ་ ལན་ཐོབ། (ཀ) མདའ་གཉིས་ཀྱིས་གནས་ཚུལ་གང་བསྟན་འདུག་གམ། (ཁ) ཐིག་གང་གིས་ཉི་མའི་རྒྱུག་གྲངས་བསྟན་འདུག་གམ།
226
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། (ག) ལོ་དེར་དབྱུག་རྩེད་པ་གཉིས་ཀྱིས་འགྲན་བསྡུར་གང་རུང་གི་ནང་རྒྱུག་གྲངས་གཅིག་མཚུངས་ བཟོས་འདུག་གམ། (ང) དབྱུག་རྩེད་པ་གཉིས་ལས་འགྲན་བསྡུར་ཐེངས་བཅུའིི་སྐབས་སུས་རྒྱུག་གྲངས་བརྟན་པོ་བཟོས་ 120
འདུག ཁྱེད་ཀྱིས་ཐག་གཅོད་དེ་ཇི་ལྟར་བྱས་ཡོད་དམ།
110 100 ནོར་བུ།
90 80
ཉི་མ།
རྒྱུག་གྲངས།
70 60 50 40 30 20 10 0
ལན།
1
2
3
4
5 6 7 འགྲན་བསྡུར།
8
9
10
(ཀ) འཕྲེད་མདའ x-axis ཡིས་ 2018 ལོར་རྩེད་འགྲན་གཉིས་ཀྱིས་འགྲན་བསྡུར་ནང་ཞུགས་
པའི་གྲངས་སྟོན་པ་དང་། གཞུང་མདའ་ y-axis ཡིས་འགྲན་བསྡུར་སྐབས་དབྱུག་རྩེད་པས་ བཟོས་པའི་རྒྱུག་གྲངས་སྟོན་འདུག
(ཁ) ཚེག་ཐིག་གིས་ཉི་མས་བཟོས་པའི་རྒྱུག་གྲངས་སྟོན་འདུག
(ག) རྩེད་འགྲན་ཐེངས་བཞི་པའི་སྐབས་རྒྱུག་གྲངས་གཅིག་མཚུངས་བཟོས་འདུག
(ང) ཉི་མའི་སྐབས་ཐིག་རིས་ནང་རྩེ་སྙུང་ཡོད་ནའང་། རྒྱུག་གྲངས་ཉུང་བའི་གནས་སྐབས་ཡང་
མང་པོ་བྱུང་འདུག ཉི་མས་རྒྱུག་གྲངས་བརྟན་པོ་བཟོ་ཐུབ་མེད། ནོར་བུས་རྒྱུག་གྲངས་མང་
227
རྩིས་རིག ཤོས་ 100 ལས་བཟོ་ཐུབ་མེད་ནའང་། ཁོ་པས་རྒྱུག་གྲངས་ 40 ལས་ཉུང་བ་འགྲན་བསྡུར་
ཐེངས་བཅུའི་སྐབས་བཟོས་མེད། ཡིན་ཡང་ཉི་མས་འགྲན་བསྡུར་ཐེངས་བཞིའི་སྐབས་རྒྱུགས་
གྲངས་ 40 ལས་ཉུང་བ་བཟོས་པས་ནོར་བུའི་རྒྱུག་གྲངས་བརྟན་པོ་མེད་པ་དང་། ནོར་བུ་ ལས་ཉི་མ་བརྟན་པ་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ།
རྩིས་དཔེ། ༢ སྦྲགས་པ་ཞིག་གིས་རྐང་འཁོར་བཞོན་ཏེ་སྦྲགས་ཁང་ནས་གྲོང་གསེབ་འགར་ཡི་གེ་སྐྱེལ་བར་ཕྱིན་ ཡོད།
སྐབས་དེར་སྦྲགས་པ་ཕྱིན་པའི་དུས་ཡུན་དང་བར་ཐག་ནི་གཤམ་གསལ་ཐིག་རིས་ཀྱིས་
བསྟན་ཡོད།
T
10500 9000 བར་ཐག (m ནང་།)
7500
Q M
6000
P
4500 3000 1500 0
S A 9:00 9:3010:00 10:30 11:00 11:30
དུས་ཚོད།
ཐིག་རིས་ལ་བལྟས་ཏེ་གཤམ་གསལ་དྲི་བ་ཁག་ལ་ལན་ཐོབ། (ཀ) མདའ་གཉིས་ཀྱིས་གནས་ཚུལ་གང་སྟོན་འདུག་གམ།
(ཁ) སྦྲགས་པས་ས་གནས་གང་ནས་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ཐོག་ཐོན་འདུག་གམ།
(ག) སྦྲགས་པས་ཐོག་མའི་ཆུ་ཚོད་ཕྱེད་ཀའི་སྐབས་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་འདུག་གམ།
(ང) སྦྲགས་པས་ཆུ་ཚོད་ 10:00 ནས་ 11:00 བར་བར་ཐག་ག་ཚོད་བསྐྱོད་འདུག་གམ།
(ཅ) སྦྲགས་པས་ཆུ་ཚོད་ཕྱེད་ཀ་དང་པོ་གསུམ་གྱི་སྐབས་མྱུར་ཚད་གཅིག་མཚུངས་ཕྱིན་འདུག་ གམ། དེ་ཁྱེད་ཀྱིས་ཇི་ལྟར་ཤེས་སམ།
(ཆ) གང ྲོ ་གསེབ་ T ལ་མ་སླེབས་སྔོན་རྐང་འཁོར་མ་བཏང་བར་བསྡད་འདུག་གམ། རྒྱུ་མཚན་བྲིས། (ཇ) གྲོང་གསེབ་ P ནས་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ཐོག་ཐོན་འདུག་གམ།
228
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། ལན།
(ཀ) འཕྲེད་མདའ་ x-axis ཡིས་དུས་ཚོད་དང་། གཞུང་མདའ་ y-axis ཡིས་སྦྲགས་པས་བསྐྱོད་ པའི་བར་ཐག་སྟོན་འདུག
(ཁ) སྦྲགས་པ་གྲོང་གསེབ་ A ནས་ཆུ་ཚོད་ 9:00 ཐོག་ཐོན་འདུག
(ག) སྦྲགས་པས་ཐོག་མའི་ཆུ་ཚོད་ཕྱེད་ཀའི་སྐབས་བར་ཐག་ 1500 m ཕྱིན་འདུག
(ང) སྦྲགས་པས་ཆུ་ཚོད་ 10:00 ནས་ 11:00 བར་བར་ཐག་ 1500 m ཕྱིན་འདུག
(ཅ) སྦྲགས་པས་ཆུ་ཚོད་ཕྱེད་ཀ་དང་པོ་གསུམ་གྱི་སྐབས་མྱུར་ཚད་གཅིག་མཚུངས་ཕྱིན་མིན་འདུག
རྒྱུ་མཚན་ནི་ཆུ་ཚོད་ 9:00 ནས་ 9:30 དང་ཆུ་ཚོད་ 10:00 ནས་ 10:30 གཉིས་ཀྱི་
སྐབས་བར་ཐག་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་ནའང་། ཆུ་ཚོད་ 9:30 ནས་ 10:00 བར་གྱི་ཆུ་ ཚོད་ཕྱེད་ཀའི་སྐབས་བར་ཐག་ 3000 m ཕྱིན་ཡོད་སྟབས། སྐབས་འདིའི་བར་ཐག་མང་ བས་ཆུ་ཚོད་ཕྱེད་ཀ་དང་པོ་གསུམ་གྱི་སྐབས་མྱུར་ཚད་གཅིག་མཚུངས་ཕྱིན་མེད།
(ཆ) གྲོང་གསེབ་ Q དང་ M གཉིས་ནི་ཉེ་འགྲམ་དུ་ཡོད་པས་དུས་མཉམ་དུ་སླེབས་ཡོད།
དེར་སླེབས་རྗེས་ཀྱི་ཆུ་ཚོད་ཕྱེད་ཀ་སོང་ནས་གྲོང་གསེབ་ M ནས་ཐོན་པས་སྦྲགས་པ་ཆུ་ ཚོད་ཕྱེད་ཀའི་རིང་གྲོང་གསེབ་དེ་གཉིས་ཀྱི་སར་བསྡད་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ།
(ཇ) སྦྲགས་པ་གྲོང་གསེབ་ P ནས་ཆུ་ཚོད་ 10:00 པར་ཐོན་འདུག
སྦྱོང་ཚན་ ༡༥་༡
༡། སྨན་ཁང་ནང་གི་ནད་པ་ཞིག་གི་དུས་ཚོད་དྲོད་ཚད་ཐིག་རིས་གཤམ་གསལ་ལྟར་རེད། དྲོད་ཚད། (oF)
104 103 102 101 100 99 98 0
8 9 10 11 12 13 14 15 16 དུས་ཚོད།
(ཀ) ཆུ་ཚོད་ ༡༠ པར་ནད་པའི་དྲོད་ཚད་གང་རེད་དམ།
(ཁ) ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ཐོག་ནད་པའི་དྲོད་ཚད་ 103oF སླེབས་འདུག་གམ།
229
རྩིས་རིག (ག) ཆུ་ཚོད་གང་ནས་གང་བར་ནད་པའི་དྲོད་ཚད་ 102oF ནས་ 101oF བར་ཆག་འདུག་གམ།
པའི་གྲངས་ཐོ་རེད།
(ཀ) རླུང་འཁོར་མང་ཤོས་ཟླ་བ་གང་ལ་བཙོངས་འདུག་གམ།
(ཁ) རླུང་འཁོར་ཉུང་ཤོས་ཟླ་བ་གང་ལ་བཙོངས་འདུག་གམ།
(ག) ཆུ་སྟོད་ཟླ་བར་རླུང་འཁོར་ག་ཚོད་བཙོངས་འདུག་གམ།
(ང) ཟླ་བ་གང་དང་གང་ལ་རླུང་འཁོར་གྲངས་གཅིག་མཚུངས་
650 600 550 500 450 400 0
རླང་འཁོར་གྲངས།
༢། གཤམ་གྱི་ཐིག་རིས་ནི་ཟླ་བ་འགའི་ནང་རླུང་འཁོར་བཙོངས་
བཙོངས་འདུག་གམ། ཟླ་བ་དེ་གཉིས་ལ་ཟླ་རེར་རླུང་
མཆུ་ དབོ་ ནག་ ས་ག་ སྣྲོན་ ཚུ་སྟོད་ ཟླ་བ། ཟླ་བ། ཟླ། ཟླ་བ། ཟླ། ཟླ་བ།
འཁོར་ག་ཚོད་བཙོངས་འདུག་གམ།
ཟླ་བ།
༣། གཡུ་སྒྲོན་ཞོགས་པ་ཆུ་ཚོད་ 9:00 ལ་དྷི་ལི་ནས་ཐོན་ཏེ་ཉིན་གུང་ཆུ་ཚོད་ 1:00 ཐོག་ཨག་ར་ལ་འབྱོར་ བ་རེད། དུས་ཡུན་ཆུ་ཚོད་གཉིས་རིང་ཨག་རར་བསྡད་རྗེས་དྷི་ལིར་ཕྱིར་ལོག་པ་རེད།
གཤམ་གྱི་ཐིག་རིས་ཀྱིས་གཡུ་སྒྲོན་གྱི་བར་ཐག་བསྐྱོད་པ་དང་དུས་ཡུན་འགོར་བའི་འབྲེལ་བ་སྟོན་གྱི་ཡོད།
བར་ཐག
210 180 150 120 90 60 30 0
9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8
pm pm pm pm pm pm pm pm
am am am
དུས་ཚོད།
(ཀ) གཡུ་སྒྲོན་ཨག་ར་ནས་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་ཐོག་ཐོན་འདུག་གམ། (ཁ) ཨག་ར་ལ་ཆུ་ཚོད་གང་ནས་གང་བར་བསྡད་འདུག་གམ།
(ག) དེ་ཉིན་གཡུ་སྒྲོན་གྱིས་བར་ཐག་ག་ཚོད་ཕྱིན་འདུག་གམ།
(ང) དེ་ཉིན་ཨག་ར་ནས་དྷི་ལིར་དུས་ཚོད་ག་ཚོད་འགོར་འདུག་གམ།
༤། གཤམ་གསལ་ནི་ལོ་འགའི་རིང་སིམ་ལར་གངས་བབས་པའི་ཉིན་གྲངས་རེད། གྲངས་ཐོ་འདིའི་ཐིག་རིས་བྲིས། ལོ།
ཉིན་གྲངས།
230
2014
2015
2016
2017
2018
9
5
10
8
3
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། ༥། ཕོར་པའི་ནང་གི་ཆུ་འཁྱགས་པ་ཆགས་ཆེད་འཁྱགས་སྒམ་ནང་བཅུག་རྗེས་སྐར་མ་བཅུ་རེ་ལ་ཆུ་དེའི་དྲོད་ཚད་ འཇལ་ནས་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་བཀོད་ཡོད།
དུས་ཡུན། (སྐར་མའི་ནང་།) དྲོད་ཚད། (oC)
0
10
20
30
40
50
60
22
15
9
5
4
3
1
(ཀ) གོང་གི་རེའུ་མིག་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན། (ཁ) ཐིག་རིས་འདི་འཁྱོག་ཐིག་རེད་དམ།
(ག) འཁྱགས་སྒམ་ནང་ཆུ་བཞག་རྗེས་སྐར་མ་ 5 འགྲོ་སྐབས་ཆུའི་དྲོད་ཚད་ཐིག་རིས་ལས་ཚོད་དཔག་བྱེད་ ཐུབ་བམ།
(ང) དུས་ཡུན་ག་ཚོད་ཀྱི་རྗེས་སུ་ཆུའི་དྲོད་ཚད་ 12oC རེད་དམ།
དུས་ཡུན།
(ག)
དུས་ཡུན།
(ང)
བར་ཐག
(ཁ)
བར་ཐག
(ཀ)
བར་ཐག
བར་ཐག
༦། གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན་པའི་དུས་ཡུན་བར་ཐག་གི་ཐིག་རིས་ཡོང་སྲིད་དམ། རྒྱུ་མཚན་ཇི་ཡིན་བྲིས།
དུས་ཡུན།
དུས་ཡུན།
༡༥་༣ གནས་ཚད། Coordinate
ཐིག་དུམ་དུ་མ་བསྟུད་མར་མཐུད་ནས་གྲུབ་པའི་ཐིག་རིས་ནི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་རེད། སྐབས་རེ་ཐིག་རིས་ནི་ཐིག་
དུམ་གཅིག་རང་གིས་མཚོན་པའང་འོང་གི་ཡོད། དེ་ལྟའི་ཐིག་རིས་ནི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ (Linear graph) རེད། ཐིག་གི་ཐིག་རིས་འབྲི་བར་ང་ཚོས་ཐིག་རིས་ཤོག་བུའི་སྟེང་གནས་ཚད་འགའ་འཚོལ་དགོས། གཡས་ཀྱི་ཐིག་རིས་ལ་ལྟོས་དང་། འབུ་སྲིན་ཞིག་གནས་ O ནས་ འགོ་བཙུགས་ཏེ་གནས་ P ཡོད་སར་སླེབས་པར་འབུ་སྲིན་དེས་ འཕྲེད་དུ་ཚད་གཞི་ 4 དང་གཞུང་དུ་ཚད་གཞི་ 3 འགུལ་དགོས།
གལ་ཏེ་འབུ་སྲིན་འགུལ་འགོ་འཛུགས་སའི་གནས་ O དེ་ (0, 0)
4 3
P(4, 3)
2 1
O
ཚད་གཞི་ 4
ཚད་གཞི་ 3
དག་ཇི་ལྟར་འཚོལ་དགོས་པ་དེ་ཤེས་དགོས།
Y
གཞུང་མདའ་ (y-axis)
དེར་བརྟེན། སྔོན་དུ་ང་ཚོས་ཐིག་རིས་ཤོག་བུའི་སྟེང་གནས་ཚད་དེ་
1 2 3 4 འཕྲེད་མདའ་ (x-axis)
X
231
རྩིས་རིག ཡིན་ན་འབུ་སྲིན་འགུལ་ཏེ་སླེབས་སའི་གནས་ P དེ་ནི་ (4, 3) རེད། དེ་བཞིན། ཁྱེད་རང་གློག་བརྙན་བལྟ་ བར་ཚོམས་ཆེན་ཞིག་གི་ནང་དུ་འགྲོ་སྐབས། རང་གི་སྡོད་ས་འཚོལ་བར་འཛིན་བྱང་སྟེང་འཁོད་པའི་བསྟར་
པའི་ཨང་གྲངས་དང་། རྐུབ་སྟེགས་ཨང་གྲངས་གཉིས་ཤེས་ན། རང་གི་སྡོད་ས་གཏན་འཁེལ་གྱི་ཡོད།
ཨང་གྲངས་འདི་གཉིས་ཀྱིས་རྩིས་རིག་ནང་འཁོད་སྙོམས་ངོས་ཀྱི་སྟེང་གནས་ཚད་ཀྱི་ཆགས་ཡུལ་སྟོན་གྱི་ཡོད། གོང་གི་འབུ་སྲིན་འགུལ་སྐབས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ལ་ལྟོས་དང་། གནས་ P (4, 3) ནི་ O (0, 0) ནས་གཡས་སུ་ ཚད་གཞི་ 4 དང་ཞབས་ཐིག་ནས་ཚད་གཞི་ 3 སྟེང་ཕྱོགས་སུ་ཡོད།
ཐིག་རིས་ཤོག་བུ་ནི་དྲ་མིག་གྲུ་བཞི་མ་ལས་གྲུབ་པ་ཞིག་རེད། དེར་བརྟེན། ང་ཚོས་འོས་འཚམས་ཀྱི་འཕྲེད་
མདའ་ x-axis དང་གཞུང་མདའ་ y-axis བྲིས་ཏེ་དགོས་མཁོའི་གནས་ P (4, 3) གཏན་འཁེལ་བྱ་དགོས།
སྐབས་འདིའི་ 4 ལ་ x-གནས་ཚད་ (x-coordinate) དང་ 3 ལ་ y-གནས་ཚད་ (y-coordinate) ཟེར། དེར་བརྟེན། P ཡི་གནས་ཚད་ནི་ P (4, 3) རེད། གནས་ O སྐབས་ x-གནས་ཚད་དང་ y-གནས་ཚད་
གཉིས་ཀ་ཀླད་ཀོར་རེད། དེ་ནི། གནས་ O ཡི་གནས་ཚད་ནི་ O (0, 0) རེད། གནས་ O (0, 0) ལ་མ་གནས་
(origin) ཟེར། ཡང་གཞུང་མདའ་ y-axis ཡི་གཡོན་ཕྱོགས་སུ་ཡོད་པའི་གནས་དང་འཕྲེད་མདའ་ x-axis
ཡི་འོག་ཕག ྱོ ས་སུ་ཡོད་པའི་གནས་ཚད་འབྲི་དགོས་ན།
ང་ཚོ ས ་མདའ་ཐི ག ་གཉི ས ་ཀྱི ་ ཐི ག ་ཚད་ཀླད་ཀོ ར ་ལས་
M(−3, 2)
(−3, 2) དང་གནས་ N གི་གནས་ཚད་ N (−2, −4 )
−5 −4 −3 −2 −1 −2 −3 −4
ཆུང་བ་མོ་གྲངས་སྤྱད་དེ་ཕྱོགས་གཉིས་སུ་བསྲིངས་དགོས།
གཡས་ཀྱི་དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་ M གི་གནས་ཚད་ M རེད། ཁྱེད་ཀྱིས་གནས་ P དང་ Q ཡི་གནས་ཚད་ཚོལ།
4 3 2 1
Q 1 2 3 4 5
P
N(−2, −4)
རྩིས་དཔེ། ༣ གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ནང་གི་ཡིག་འབྲུ་གང་གིས་གཤམ་གྱི་གནས་ཚད་སྟོན་གྱི་འདུག (ཀ) (4,5)
(ཁ) (−2, −2)
ལན།
(ག) (5, 0)
(ང) གནས་ H, G, D དང་ A ཡི་གནས་ཚད་བྲིས། (ཀ) (4, 5) ནི་གནས་ E ཡི་གནས་ཚད་རེད།
(ཁ) (−2, −2) ནི་གནས་ B ཡི་གནས་ཚད་རེད། (ག) (5, 0) ནི་གནས་ F ཡི་གནས་ཚད་རེད།
(ང) H (2, 1), G (0, 3), D (3, 1), A (−2, 4)
232
Y
A
5 4 3 2 1
−2 −1 −2
B
G O
C
E
H D
F
1 2 3 4 5 6
X
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། རྩིས་དཔེ། ༤ ཐིག་རིས་ཤོག་བུའི་སྟེང་གནས་ཚད་ (7, 3) ཁོད། གནས་ཚད་འདི་ (3, 7) དང་གཅིག་མཚུངས་ རེད་དམ།
ལན།
Y
འཕྲེད་མདའ་དང་གཞུང་མདའ་འཕྲད་པའི་གནས་ཚད་
(3, 7)
7 6 5 4 3 2 1
(0, 0) ནས་གཡས་ཕྱོགས་སུ་ཚད་གཞི་ 7 དང་།
དེ་ནས་སྟེང་ཕྱོགས་སུ་ཚད་གཞི་ 3 སྤོས་ན་གནས་ (7, 3) སར་སླེབས་ཡོད། དཔེ་རིས་ནང་གསལ་པོ་
ཡོད་པ་བཞིན་གནས་ཚད་ (7, 3) དང་ (3, 7) ནི་ གནས་མི་འདྲ་བ་གཉིས་རེད།
(7, 3)
O
1 2 3 4 5 6 7 8
X
རྩིས་དཔེ། ༥ གཤམ་གྱི་གནས་ཚད་ཁག་དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཁོད། དེ་དག་ཐིག་ཅིག་གི་སྟེང་འདུག་གམ། གལ་ཏེ་ཡོད་ན་ཐིག་དེའི་མིང་ཡང་བྲིས།
(ཀ) W (0, 1), X (0, 3), Y (0, 4.5), Z (0, 7) (ཁ) A (2, 6), B (6, 2), C (4, 4), D (7, 1) (ག) P (1, 5), Q (3, 5 ), R (4, 5), S (7, 5 )
(ང) K (6, 0), L (4, 0), M (2, 0), N (1, 0)
ལན།
(ཀ)
Y 7 6 5 4 3
Y 7
Z(0, 7)
5
Y(0, 4.5)
3
B(6, 2)
2
1 W(0, 1) 2
C(4, 4)
4
X(0, 3)
1
A(2, 6)
6
2
O
(ཁ)
1 3
4
5
6
7
གནས་ཚང་མ་གཞུང་མདའི་སྟེང་འདུག ཐིག་འདི་ནི་གཞུང་མདའ་རེད།
8
X
O
D(7, 1) 1
2
3
4
5
6
7
8
X
གནས་འདི་དག་ཐིག་གི་སྟེང་འདུག ཐིག་གི་མིང་ ནི་ AB ཡང་ན་ BC ཡང་ན་ CD སོགས་རེད།
233
རྩིས་རིག 7 6 5
Y
(ག)
Y
7 6
R(4, 5)
P(1, 5)
5
S(7, 5)
Q(3, 5)
4
4
3
3
2
2
1
1
O
1
2
3
(ང)
4
5
6
7
N(1, 0) M(2, 0) L(4, 0) K(6, 0) O 1 2 3 4 5 6 7
X
X
གནས་འདི་དག་ཐིག་གི་སྟེང་འདུག ཐིག་འདི་ནི་
གནས་འདི་དག་ཐིག་གི་སྟེང་འདུག ཐིག་གི་མིང་
འཕྲེད་མདའ་རེད། ཐིག་གི་མིང་ནི་ KL ཡང་ན་
ནི་ PQ ཡང་ན་ QR ཡང་ན་ RS སོགས་རེད།
LM ཡང་ན་ MN སོགས་རེད།
རྩིས་དཔེ། ༦ ཐིག་རིས་ཤོག་བུའི་སྟེང་ A (−4, 2) དང་། B (0, 5), C (4, 2) བཅས་ཁོད། གནས་དེ་དག་ ལན།
མཐུད་ན་དཔེ་རིས་གང་ཐོབ་བམ།
A(−4, 2)
Y 6 B(0, 5) 5 4 3 2 1
−5 −4 −3 −2 −1
C(4, 2)
1 2 3 4 5 6 X
གནས་ A དང་། B, C བཅས་མཐུད་ན་ང་ཚོར་ཟུར་གསུམ་མ་འཐོབ།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༥་༢
༡། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་སོ་སོའི་ གནས་ཚད་བྲིས།
234
G
C
Y
4 F 3 2 1
−5 −4 −3 −2 −1 −1 −2
E A B 1 2 34 5 6 D
X
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། ༢། དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ 0 ནས་ 6 བར་ཡོད་པའི་འཕྲེད་ཐིག་ x-axis དང་གཞུང་ཐིག་ y-axis བྲིས་ཏེ། དེའི་སྟེེང་གནས་ P (2, 3) དང་ Q (5, 1), R (1, 0), S (0, 4) བཅས་བཞི་སྟོན།
༣། དཔེ་རིས་ནང་གི་གནས་བཞི་ཡི་གནས་ཚད་བྲིས། E
Y
2 1
P 1 2 3 4 5 6 S
−5 −4 −3 −2 −1 −1 T −2
X
༤། གཤམ་གྱི་གནས་དག་དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་ཐོག་བཀོད་དེ་གནས་དེ་དག་ཐིག་གི་སྟེང་ཡོད་མེད་ཞིབ་བཤེར་གྱིས། (ཀ) A (5, 0), B (5, 2), C (5, 3), D (5, 6) (ཁ) J (1, 1), U (2, 2), M (3, 3), P (5, 5)
༥། གནས་ M (2, 2), N (−3, −1), P (2, −4), Q (7, −1) བཅས་ཁོད། གནས་དེ་དག་གོ་རིམ་བཞིན་ མཐུད་ན་ཁྱེད་ལ་དཔེ་རིས་གང་འཐོབ་བམ།
༦། འཕྲེད་ཐིག་དང་གཞུང་ཐིག་འཕྲད་སའི་གནས་ཀྱི་གནས་ཚད་བྲིས། གནས་འདིའི་མིང་གང་རེད་དམ། ༧། (−5, 4) དང་ (3, 2) མཐུད་ནས་བྱུང་བའི་ཐིག་དུམ་གྱི་དཀྱིལ་གནས་ཀྱི་གནས་ཚད་ཚོལ།
༨། (1, 4) དང་ (4, 1) མཐུད་པས་ཐིག་བྲིས། ཐིག་འདི་འཕྲེད་མདར་འཕྲད་སའི་གནས་ཚད་བྲིས། གཞུང་ མདར་འཕྲད་སའི་གནས་ཚད་ཀྱང་བྲིས།
༩། གཤམ་གྱི་དཔེ་རིས་ནང་གི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་ཟུར་ཚེག་གི་གནས་ཚད་བྲིས། Y 7
A
6
P
5 4
M
3
E
2 1 O
1
2
3
4
5
6
7
X
235
རྩིས་རིག ༡༠། ཐིག་རིས་ནང་གི་དཔེ་རིས་ཁག་གི་མིང་དང་ཟུར་ཚེག་གི་གནས་ཚད་བྲིས། Y 8 7
A
B S
6 5
P
4
K
3 2 1 O
R
N
E
H
F
G
Q
C L 1
2
3
4
5
M 6 7
8
9 10 11 12 13 14
X
༡༡། གཤམ་གྱི་བརྗོད་པ་རྣམས་ལས་གང་དག་བདེན་པ་རེད་དམ། བདེན་པ་མིན་པ་རྣམས་བཅོས།
(ཀ) x-གནས་ཚད་ 0 དང་། y-གནས་ཚད་ 0 མིན་པའི་གནས་ནི་འཕྲེད་མདའི་སྟེང་ཡོད།
(ཁ) y-གནས་ཚད་ 0 དང་། x-གནས་ཚད་ 10 ཡིན་པའི་གནས་དེ་འཕྲེད་མདའི་སྟེང་ཡོད། (ག) མ་གནས་ཀྱི་གནས་ཚད་ (0, 0) རེད།
༡༥་༤ ཐིག་རིས་ཀྱི་བེད་སྤྱོད། Application of graph
ཁྱེད་རང་ཟླ་གཅིག་ནང་ཁྲོམ་དུ་ཐེངས་མང་འགྲོ་དགོས་བྱུང་ཡོད་ན། ཟླ་བ་དེར་ཁྱེད་ཀྱི་ལམ་གྲོན་མང་པོ་སོང་
ཡོད། ཡིན་ཡང་། ཁྲོམ་དུ་མང་པོ་འགྲོ་མི་དགོས་པའི་ཟླ་བ་དེའི་ནང་ལམ་གྲོན་ཉུང་བ་བཏང་ཡོད། དེ་བཞིན། ཁྱེེད་ཀྱི་ནང་མིས་ཚ་བ་ཆེ་བའི་སྐབས་རླུང་འཁོར་དང་འཁྱགས་སྒམ་ཆེད་གློག་བེད་སྤྱོད་མང་བ་བྱས་པས་དུས་ དེའི་གློག་གི་ཐོབ་འཛིན་གྱི་འབོར་མང་བ་ཡོང་གི་ཡོད།
གོང་གི་གནས་སྟངས་སྐབས་གྲངས་འབོར་གཅིག་གིས་གྲངས་འབོར་གཞན་དེ་ཐག་གཅོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད། ཟླ་བ་ གཅིག་གི་ལམ་གྲོན་ཇི་འགྲོ་དེ་ཁྲོམ་དུ་ཐེངས་ཇི་བསྐྱོད་ཀྱི་གྲངས་ལ་རགས་ལུས་ཡོད།
འདིར་ཁྲོམ་དུ་ཕྱིན་པའི་གྲངས་དེ་རང་དབང་ཅན་གྱི་རྒྱུ་ (Independent variable) དང་ཟླ་དེའི་ལམ་ གྲོན་གྱི་འབོར་དེ་གཞན་དབང་ཅན་གྱི་རྒྱུ་ (Dependent variable) རེད། རྒྱུ་དེ་འདྲ་གཉིས་ཀྱི་འབྲེལ་
བ་ནི་ང་ཚོས་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ཀྱི་རྣམ་པའི་ཐོག་སྟོན་གྱི་ཡོད། འདིར་གྲངས་འབོར་རང་དབང་ཅན་དེ་འཕེལ་
སྐབས། གྲངས་འབོར་གཞན་དབང་ཅན་དེ་ཡང་འཕེལ་གྱི་ཡོད་སྟབས། གྲངས་འབོར་དེ་གཉིས་ནི་མཐུན་འགྱུར་
གྲངས་འབོར་ཡིན་པས། དེ་གཉིས་ཀྱི་འབྲེལ་བའི་ཐིག་རིས་ནི་རྟག་ཏུ་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་རེད། ཐིག་གི་ཐིག་རིས་
236
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། ཀྱིས་གྲངས་ཐོ་དུས་ཡུན་ཞིག་གི་རིང་མུ་མཐུད་འགྱུར་བ་ཕྱིན་པ་སྟོན་གྱི་ཡོད། གྲངས་ཐོ་ནི་གནས་ཚད་ཀྱི་རྣམ་ པའི་ཐོག་བཀོད་པ་དང་། དེ་ནས་གནས་ཚད་རྣམས་སྦྲེལ་ནས་དེའི་ཐིག་རིས་བཟོ་ཡི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ། ༧ གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནི་གྲོ་ཞིབ་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་དང་དེའི་ཆེད་དགོས་པའི་དངུལ་འབོར་ཀྱི་གྲངས་ཐོ་རེད། ལྗིད་ཚད། (kg ནང་།)
དངུལ་འབོར། (` ནང་།)
10
15
20
25
150
300
450
600
750
གྲངས་ཐོ་དེ་ཐིག་རིས་ཀྱིས་སྟོན།
འཕྲེད་མདའི་ཐོག་གྲོ་ཞིབ་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་དང་གཞུང་མདའི་ཐོག་དེའི་མ་གནས་བྲིས།
དེ་ནས་ (5, 150) དང་། (10, 300), (15, 450), (20, 600), (25, 750) བཅས་ བཀོད་དེ་གནས་དེ་དག་སྦྲེལ་ནས་ཐོབ་པ་དེ་ནི་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ཤིག་རེད།
ཐིག་རིས་འདི་མ་གནས་བརྒྱུད་ཀྱི་འདུག་གམ། ཁྱེས་ཀྱིས་ཇི་ལྟར་ཤེས་སམ། Y
780 720 660 600 540 480
དངུལ་འབོར། (`)
ལན།
5
420 360 300 240
P
180 120 60 O
2
4
6
8
10
12
14
ལྗིད་ཚད། (kg)
16
18
20
22
24
26 X
237
རྩིས་རིག ཐིག་རིས་འདི་ལས་ང་ཚོས་གནས་ཚུལ་འགའ་ཚོད་དཔག་བྱེད་ཐུབ།
དཔེར་ན། ཁྱེད་ཀྱིས་གྲོ་ཞིབ་ 8 kg ཀྱི་མ་གནས་འཚོལ་དགོས་ན་གྲོ་ཞིབ་ཀྱི་ལྗིད་ཚད་མཚོན་པའི་འཕྲེད་
མདའི་སྟེང་གི་ 8 kg ཀྱི་གནས་དེ་ངོས་བཟུང་གནས་དེའི་གཞུང་ཐིག་བརྒྱུད་དེའི་སྟེང་ཕྱོགས་སུ་ཐིག་རིས་ ལ་གནས་ P ལ་འཕྲད་པར་བྲིས། ཡང་ན་ P ནས་འཕྲེད་ཐིག་བྲིས་ཏེ་གཞུང་མདའ་ལ་འཕྲད་སའི་གནས་དེ་
དགོོས་མཁོའི་གྲོ་ཞིབ་ 8 kg ཀྱི་དངུལ་འབོར་ ` 240 སྟོན་གྱི་ཡོད།
རྩིས་དཔེ། ༨ སྦག་སྦག་ཅིག་གིས་རྡོ་སྣུམ་སྤྱད་དེ་ཕྱིན་པའི་བར་ཐག་ནི་གཤམ་གྱི་གྲངས་ཐོའི་ནང་བསྟན་ཡོད། གྲངས་ཐོ་དེའི་ཐིག་རིས་ཁོད། བར་ཐག (km)
ལན།
རྡོ་སྣུམ། (L)
0
50
100
150
200
250
0
3
6
9
12
15
དང་ཐོག་ང་ཚོས་གནས་ཚད་ (0, 0) དང་། (3, 50), (6, 100), (9, 150), (12, 200),
(15, 250) བཅས་ཁོད། དེ་ནས་ང་ཚོས་གནས་དེ་དག་སྦྲེལ་ན་ཐིག་གི་ཐིག་རིས་འཐོབ་ཀྱི་རེད། Y
275 250 225 200
བར་ཐག (km)
175 150 125 100 75 50 25 O
1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 15 16.5 18 19.5
རྡོ་སྣུམ་འབོར། (L)
X
ཐིག་རིས་འདི་ལ་བལྟས་ཏེ་ང་ཚོས་གཤམ་གསལ་ལྟར་གནས་ཚུལ་མང་དག་ཅིག་ཤེས་ཐུབ།
བར་ཐག་ 75 km ཆེད་རྡོ་སྣུམ་ཇི་དགོས། དེ་ནི་ 4.5 L རེད། རྡོ་སྣུམ་ 10.5 L སྤྱད་ན་བར་
ཐག་ག་ཚོད་འགྲོ་ཐུབ། དེ་ནི། 175 km
238
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད། རྩིས་དཔེ། ༩ གཟའ་འཁོར་གཅིག་གི་ནང་སིམ་ལའི་དྲོད་ཚད་གཤམ་གསལ་ལྟར་འགྱུར་བ་བྱུང་ཡོད། གཟའ།
དྲོད་ཚད། (oC)
ཉི་མ།
ཟླ་བ།
22
མིག་དམར། ལྷག་པ།
27
28
གྲངས་ཐོ་འདི་ཐིག་རིས་ཀྱིས་སྟོན།
རེས་གཟའ་ཉི་མའི་ཉིན་གྱི་དྲོད་ཚད་
གནས་ཚད་ (ཉི་མ། 22oC) རྣམ་པར་
བསྟན་པའི ་ གནས་དེ ་ ངོ ས ་བཟུང་བ་ དང་། དེ་བཞིན། གཟའ་གཞན་ཁག་ གི་གནས་དེ་དག་ཀྱང་ངོས་བཟུང་རྗེས།
22
19
21
Y 30 28 26
དྲོད་ཚད་ (oC)
ལན།
25
ཕུར་བུ། པ་སངས། སྤེན་པ།
24 22 20
གོ ་ རི མ ་བཞི ན ་སྦྲེལ་བའི ་ ཐི ག ་རི ས ་དེ ་
18
གཟའ་འཁོར་གཅིག་གི་སིམ་ལའི་དྲོད་
O
ཚད་འགྱུར་བའི་ཐིག་རིས་རེད།
ཉི་མ། ཟླ་བ། མིག་ ལྷག་ ཕུར་ པ་ སྤེན་ དམར། པ། བུ། སངས། པ།
X
གཟའ།
རྩིས་དཔེ། ༡༠ དངུལ་ཁང་ཞིག་གི་ནང་དངུལ་བཅོལ་འཇོག་བྱས་ན། ལོ་རེར་མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ་བརྒྱ་ཆ་ 6 སྤྲོད་ཀྱི་
ཡོད། དངུལ་ཁང་དེར་མ་དངུལ་བཅོལ་བ་དང་སྐབས་དེར་ཐོབ་པའི་སྐྱེད་ཀའི་འབྲེལ་བ་མཚོན་པའི་ ཐིག་རིས་བྲིས། ཐིག་རིས་འདི་ལས།
(ཀ) མ་དངུལ་ ` 400 བཅོལ་ན་ལོ་གཅིག་ལ་བྱུང་བའི་སྐྱེད་ཀ་ཚོལ། (ཁ) སྐྱེད་ཀ་ ` 54 ཐོབ་ཆེད་མ་དངུལ་ག་ཚོད་བཅོལ་དགོས་སམ།
ལན།
མ་དངུལ། སྐྱེད་ཀ
` 100 `
` 200
` 300
` 500
` 1000
100 × 6 × 1 200 × 6 × 1 300 × 6 × 1 500 × 6 × 1 1000 × 6 × 1 ` ` ` ` 100 100 100 100 100 =`6
= ` 12
= ` 18
གོང་ལས་ང་ཚོར་ཐོབ་པའི་རེའུ་མིག་ནི།
མ་དངུལ། (`) སྐྱེད་ཀ (`)
= ` 30
= ` 60
100
200
300
500
1000
6
12
18
30
60
239
རྩིས་རིག ཐིག་རིས་འབྲི་བའི་གོ་རིམ།
༡། གྲངས་ཐོ་དང་འཚམས་པའི་ཚད་གཞི་འདེམས་པ་ནི། འཕྲེད་མདའ་ལ་ཚད་གཞི་ 1 ལ་མ་གནས་ ` 100 དང་གཞུང་མདའ་ལ་ཚད་གཞི་ 1 ལ་སྐྱེད་ཀ་ ` 6 བླངས་ཏེ་འཕྲེད་མདའ་དང་གཞུང་མདའི་སྟེང་གོ་རིམ་ བཞིན་མ་དངུལ་དང་སྐྱེད་ཀས་མཚོན།
༢། དེ་ནས་གནས་ཚད་ (100, 6) དང་། (200, 12), (300, 18), (500, 30), (1000, 60) བཅས་ དྲ་མིག་ཤོག་བུའི་སྟེང་ཁོད། དེ་དག་སྦྲེལ་ན་གཤམ་གྱི་ཐིག་གི་ཐིས་རིས་འཐོབ། Y 72 66 60
(1000, 60)
54
སྐྱེད་ཀ (`)
48 42 36 30
(500, 30)
24 18 12 6 O
(300, 18) (200, 12) (100, 6) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
X
མ་དངུལ། (`)
(ཀ) འཕྲེད་མདའི་མ་དངུལ་ ` 400 སྐབས་ཀྱི་སྐྱེད་ཀ་གཞུང་མདའ་ལས་ ` 24 ཡིན་པ་དང་།
(ཁ) གཞུང་མདའི་སྐྱེད་ཀ་ ` 54 སྐབས་འཕྲེད་མདའ་ལས་མ་དངུལ་ ` 900 ཡིན་པ་ཤེས་སོ། །
240
ཐིག་རིས་ངོ་སྤྲོད།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༥་༣
༡། བདུན་ཕྲག་གཉིས་རིང་ཉིན་གཉིས་རེ་ལ་རྩི་ཤིང་གི་ས་བོན་ནས་མཆེ་བ་ཐོན་རྗེས་དེའི་འཚར་ལོངས་བལྟ་ ཆེད། རྩི་ཤིང་གི་མཐོ་ཚད་ (cm ནང་།) འཇལ་བའི་གྲངས་ཐོ་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་བསྟན་ཡོད། ཉིན་གྲངས།
མཐོ་ཚད། (cm)
0
2
4
8
10
12
14
0
2
6
10
12
14
16
གནས་ཚུལ་འདི་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན། ཐིག་རིས་དེ་ལས་རྩི་ཤིང་གི་མཐོ་ཚད་ཚོལ། (ཀ) ཉིན་ 5 ལ།
(ཁ) ཉིན་ 16 ལ།
༢། ཚད་གཞི་འོས་འཚམས་བླངས་ཏེ་གཤམ་གྱི་རེའུ་མིག་ནང་གི་གྲངས་འབོར་གྱི་འབྲེལ་བའི་ཐིག་རིས་ཁོད། ཀ༽
ཀུ་ཤུ་གྲངས།
མ་གནས། (`)
2
3
4
5
8
40
60
80
100
160
(༡) ཀུ་ཤུ་ 10 ཡི་མ་གནས་ཚོལ། ཁ༽
(༢) ` 120 ལ་ཀུ་ཤུ་ག་ཚོད་ཐོབ་བམ། དུས་ཡུན་ (ཆུ་ཚོད།) རྒྱང་ཐག་ (km)
8:00
9:00
10:00
11:00
50
100
150
200
(༡) ཆུ་ཚོད་ 8:00 ནས་ 8:30 བར་རྒྱང་ཐག་ག་ཚོད་ཕྱིན་ཡོད་དམ། ག༽
(༢) རྒྱང་ཐག་ 175 km སླེབས་སྐབས་ཆུ་ཚོད་ག་ཚོད་རེད། རྒྱང་ཐག་ (km) ལམ་གྲོན། (`)
5
10
15
20
25
7.50
15.00
22.50
30.00
37.50
(༡) ཐིག་རིས་འདི་མ་གནས་བརྒྱུད་ཀྱི་འདུག་གམ། (༢) 30 km འགྲོ་བར་ལམ་གྲོན་ཇི་ཡིན་ནམ།
241
རྩིས་རིག ༣། གཤམ་གྱི་གྲངས་ཐོ་གཉིས་ཐིག་རིས་ཀྱིས་མཚོན་ཏེ། ཐིག་གི་ཐིག་རིས་ཡིན་མིན་ལྟོས། (ཀ)
གྲུ་བཞི་མའི་གཞོགས། (cm)
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། (cm)
(ཁ)
གྲུ་བཞི་མའི་གཞོགས། (cm) རྒྱ་ཁྱོན། (cm2)
2
3
4
5
6
8
12
16
20
24
2
3
4
5
6
4
9
16
25
36
དྲན་གསོ་གྱིས། ༡། ཐིག་རིས་ཀྱིས་གྲངས་ཐོ་མཚོན་པས་གྲངས་ཐོའི་གནས་ཚུལ་ཤེས་བདེ་བ་ཡོད།
༢། གྲངས་ཐོ་དུས་ཡུན་བསྟུད་མར་མུ་མཐུད་འགྱུར་བ་སོང་བ་ནི་དྲང་ཐིག་ཐིག་རིས་ཀྱིས་སྟོན་གྱི་ཡོད།
༣། ཐིག་རིས་ཤོག་བུའི་སྟེང་གནས་ཤིག་གཏན་ཁེལ་ཆེད། ང་ཚོར་གནས་དེའི་ x-གནས་ཚད་དང་y-གནས་ ཚད་གཉིས་དགོས།
༤། རྒྱུ་གཞན་དབང་ཅན་དང་། རྒྱུ་རང་དབང་ཅན་གཉིས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་ནི་ཐིག་རིས་ཀྱིས་སྟོན་ཐུབ།
242
ལན།
སྦྱོང་ཚན་ཁག་གི་ལན། ༡། (ཀ) −1 5
(ཁ) 2
༤། (ཀ) −1 13
(ཁ) 5
༢། (ཀ) −1 7
(ཁ) 5 9
༥། (ཀ) སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ། ༦། −96 91
(ག) −11 28
སྦྱོང་ཚན་ ༡་༡
(ག) −6 5
(ང) 4 (ཅ) 19 9 6 (ག) −19 (ང) 7 (ཅ) −1 13 5 (ཁ) བརྗེ་སྲོལ། (ག) ལོག་གྲངས། ༧། སྡེབ་སྲོལ།
1 3 10 ༩། རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི་ 0.3 × 3 = × =1 3 10 3 ༡༠། (ཀ) མེད། ༡། (ཀ) ༢།
(ག) −1 5
(ཁ) 1, −1
1
(ང) x
སྦྱོང་ཚན་ ༡་༢ 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 4 4 4 4 4 4
(ཆ) −7 3
(ཇ) 56 15
༨། མ་རེད། རྒྱུ་མཚན་ནི་བསྒྱུར་ཐོབ་ 1 མིན།
(ཅ) ལུགས་ལྡན་གྲངས་རེད། (ཁ)
(ཆ) ཕོ་རེད།
−1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 6 6 6 6 6 6
−1 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
༣། 1, 1 , 0, −1, −1 2 2 ༤། −7 , −6 , −5 , −4 , −3 , −2 , −1 , 0, 1 , 2 20 20 20 20 20 20 20 20 20 ༥། (ཀ) 41 , 42 , 43 , 44 , 45 60 60 60 60 60
(ཁ) −8 , −7 , 0, 1 , 2 6 6 6 6
(ག) 9 , 10 , 11 , 12 , 13 32 32 32 32 32
243
རྩིས་རིག ༦། −3 , −1, −1 , 0, 1 2 2 2
༧། 97 , 98 , 99 , 100, 101 , 102, 103 , 104, 105 , 106 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 ༡། x = 9
༧། x = 27 ༡།
3 4
༥། 45, 27
༢། y = 7
༨། y = 2.4
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༡
༣། z = 4
༩། x =
25 7
༤། x = 2
༡༠། y =
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༢
༢། དཀྱུས་ = 52 m ཞེང་ = 25 m
༦། 16, 17, 18
3 2
༥། x = 2
༡༡། p =
༦། t = 50
−4 3
2 ༣། 1 cm 5
༡༢། x =
−8 5
༤། 40 དང་ 55
༧། 288, 296, 304
༨། རྡོ་རྗེའི་ལོ་ = 20 ཚེ་རིང་གི་ལོ་ = 28
༩། སློབ་མ་ 48
༡༠། ལྷ་དབང་གི་ལོ་ = 17 ལྷ་དབང་གི་པ་ལགས་ཀྱི་ལོ་ = 46 ལྷ་དབང་གི་སྤོ་བོའི་ལོ་ = 72
༡༢། −1 2 ༡༣། ` 100 ཡི་དངུལ་ལོར་ = 2000 ` 50 ཡི་དངུལ་ལོར་ = 3000 ` 10 ཡི་དངུལ་ལོར་ = 5000 ༡༡། ལོ་ 5
༡༤། ལྕགས་སྒོར་ 1 གི་གྲངས་ = 80 ལྕགས་སྒོར་ 2 ཀྱི་གྲངས་ = 60 ལྕགས་སྒོར་ 5 ཡི་གྲངས་ = 20 ༡། x = 18
༧། x = 40 ༡། 4
༢། t = −1
༨། x = 10 ༢། 7, 35
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༣
༣། x = −2 7 ༩། y = 3
༣། 36
༦། དཀྱུས་ = 275 m ཞེང་ = 100 m
244
3 ༤། z = 2 4 ༡༠། m = 5
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༤
༥། x = 5
༤། 26 (ཡང་ན་ 62) ༧། 72
༦། x = 0
༥། བློ་བཟང་གི་ལོ་ = 5
ལན། ༨། ཚ་མོའི་ལོ་ = 6 སྤོ་བོའི་ལོ་ = 60
༩། ཀུན་དགའི་ལོ་ = 60 རབ་རྒྱས་ཀྱི་ལོ་ = 20 ༡། x =
27 10
༢། n = 36 2 ༨། y = 3
༧། t = −2 3 ༡། x = 2
༢། x =
35 33
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༥
༣། x = −5 ༩། z = 2
༤། x = 8
༥། t = 2
༡༠། f = 0.6
སྦྱོང་ཚན་ ༢་༦
༣། z = 12
༤། y = −8
༦། བསོད་ནམས་ཀྱི་ལོ་ = 20 བསམ་གཏན་གྱི་ལོ་ = 28 ༡། (ཀ) 1
(ཇ) 4
(ཁ) 4
(ཉ) 0
(ག) 1
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༡
(ཏ) 6
(ང) 9
(ཐ) 5
༦། m =
7 5
−4 5 13 ༧། t = 21
༥། y =
(ཅ) 6
(ཆ) 9
༢། དེ་དག་གི་གཅིག་གནས་གྲངས་དེ་ 1 དང་ 4, 5, 6, 9 མིན་པ་དང་ 0 ཡང་ཆ་གྲངས་མེད་པས་སོ། ། ༣། (ཀ) (ག) ༥། (ཀ) 25
༦། (ཀ) 24
༡། (ཀ) 1024
༢། (ཀ) 6, 8, 10 ༡། (ཀ) 1, 9
༢། (ཀ) (ཁ) (ག) ༤། (ཀ) 20 (ཇ) 90
(ཁ) 100 (ཁ) 50
(ཁ) 1225
༤། 10000200001, 100000020000001
(ག) 144
(ག) 198
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༢
(ག) 7396
(ཁ) 14, 48, 50
(ཁ) 4, 6 (ཁ) 27
(ཉ) 96
(ང) 8649
(ག) 16, 63, 65
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༣
(ག) 1, 9
༣། 11, 13
(ག) 42
(ཅ) 5041
(ང) 5
(ང) 64
(ཆ) 2116
(ང) 18, 80, 82
(ཅ) 77
(ཆ) 88
245
རྩིས་རིག ༥། (ཀ) 5, 30 ༦། (ཀ) 7, 6 ༧། 110
༩། 900
(ཁ) 7, 42 (ཁ) 11, 6
(ག) 3, 48
(ག) 5, 18
(ང) 7, 84
(ང) 5, 23
(ཅ) 2, 54
(ཆ) 3, 78
(ཆ) 67
(ཅ) 7, 20
༨། སྟར་པ་ 45 སྟར་པ་རེའི་ནང་རྩི་ཤིང་ 45
༡༠། 3600
སྦྱོང་ཚན་ ༣་༤
༡། (ཀ) 23
(ཁ) 30
(ག) 32
(ང) 48
(ཅ) 59
༣། (ཀ) 1.6
(ཁ) 2.7
(ག) 5.6
(ང) 6.5
(ཅ) 7.2
(ཇ) 76
༢། (ཀ) 1
༤། (ཀ) 2, 20
༥། (ཀ) 4, 16 ༦། 21 m
༡། (ཀ) (ང) ༢། (ཀ) 3 ༣། (ཀ) 3
(ཉ) 89 (ཁ) 2
(ཁ) 41, 28 (ཁ) 4, 23
(ཁ) 10 (ཁ) 2
༤། གྲུ་ནར་གཟུགས་ 20 ༡། (ཀ) 4
(ཇ) 36
(ཁ) 8
(ཉ) 45
༢། (ཀ) མི་བདེན། (ཁ) བདེན། ༣། 11, 17, 23, 32 1 ༡། (ཀ) 9
༢། (ཀ) 1 (−4)3
246
1 16 (ཁ) 1 26 (ཁ)
(ག) 2
(ང) 3
(ག) 53, 44 (ང) 1, 57
(ག) 14, 42 (ང) 24, 43 ༧། རྩི་ཤིང་ 24
སྦྱོང་ཚན་ ༤་༡
(ག) 3
(ག) 5
(ང) 2
(ང) 3
སྦྱོང་ཚན་ ༤་༢
(ག) 22 (ཏ) 48
(ང) 24
(ཐ) 56
(ག) མི་བདེན། (ང) མི་བདེན།
(ཅ) 3
(ཅ) 31, 63
(ཅ) 149, 81
༨། སློབ་མ་ 16
(ཅ) 5
(ཅ) 11
(ཅ) 25
(ག) 54
(ང) 1 32
(ཆ) 30
(ཅ) མི་བདེན། (ཆ) བདེན།
སྦྱོང་ཚན་ ༥་༡
(ག) 32
(ཆ) 13, 15
(ཅ)
1 (−14)3
ལན། ༣། (ཀ) 5
༤། (ཀ) 250
1 2 1 (ཁ) 60
(ཁ)
༥། m = 2
(ག) 29
(ག) − 1
༦། (ཀ)
༡། (ཀ) 8.5 × 10−12
(ང) 6.02 × 1015
625t4 2
(ང) 1 (ང)
512 125
སྦྱོང་ཚན་ ༥་༢
༣། 1.0008 × 102
81 16
(ཁ) 8.37 × 10−9 mm
(ག) 9.42 × 10−12
(ཅ) 1000100000
(ཆ) 3614920
(ཁ) 45000
(ང) 5800000000000
(ཅ)
(ཁ) 55
(ཅ) 3.186 × 1010 kg
༢། (ཀ) 0.00000003
(ག) 0.00000302
སྦྱོང་ཚན་ ༦་༡
༡། (ཀ) དངུལ་འབོར་ = ` 8112 སྐྱེད་ཀ = ` 612
(ཁ) དངུལ་འབོར་ = ` 22869 སྐྱེད་ཀ = ` 4869
(ག) དངུལ་འབོར་ = ` 8736.20 སྐྱེད་ཀ = ` 736.20 (ང) དངུལ་འབོར་ = ` 10816 སྐྱེད་ཀ = ` 816
(ཅ) དངུལ་འབོར་ = ` 70304 སྐྱེད་ཀ = ` 7804
༢། ` 36659.70
༣། ཆོས་དབྱངས་ཀྱིས་ ` 362.50 མང་བ་སྤྲོད་དགོས། ༤། ` 43.20
༥། (ཀ) ` 63600 ༦། (ཀ) ` 92400 ༧། (ཀ) ` 8820
(ཁ) ` 67416
(ཁ) ` 92610 (ཁ) ` 441
༨། དངུལ་འབོར་ = ` 11576.25; སྐྱེད་ཀ = ` 1576.25; ལོ་ཕྱེད་ཀའི་ཕྱོགས་བསྡུས་སྐྱེད་ཀ་མང་བ་འདུག ༩། ` 4913
༡༠། (ཀ) ` 489796 (ཚོད་དཔག) (ཁ) ` 595350 ༡༡། ` 73800
247
རྩིས་རིག སྦྱོང་ཚན་ ༧་༡
༡། མ་རེད། ༢།
དམར་པོའི་ཆ་ཤས། ལི་ལྦང་གི་ཆ་ཤས།
༣། 1.925 cm
1
4
7
12
20
8
32
56
96
160
༤། ཤེལ་དམ་ 700
༥། 10−4 cm; 2 cm
༦། (ཀ) དྭངས་ཤེལ་ 2.25 × 107 (ཁ) དྭངས་ཤེལ་ 5.4 × 106 ༨། (ཀ) 6 m
༡། (ཁ) (ང) (ཅ)
(ཁ) 8 m 75 cm
༧། 4 cm
༩། 168 km
སྦྱོང་ཚན་ ༧་༢
༢། 4 → 25000; 5 → 20000; 8 → 12500; 10 → 10000; 20 → 5000 ༣། 6
1 ༨། ཆུ་ཚོད་ 1 2
༤། 4
༥། ཉིན་ 2
༦། སྒམ་ 15
༩། (ཀ) ཉིན་ 6 (ཁ) མི་ 6
༡།
(ཀ)
ཚན་པ། 5xyz2 བཏགས་གྲངས།། 5
༡༠། སྐར་མ་ 40
༧། འཕྲུལ་འཁོར་ 49
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༡
−3zy −3 (ང)
1 1
3
−pq
qr
−rp
3
−1
1
−1
(ཁ) x 1
x 2 1 2
4x2y2 4
x2 1 (ཅ) y 2 1 2
(ག)
−4x2y2z2 −4
z2 1
(ཆ)
−xy 0.3a −0.6ab 0.5b −1
0.3
༢། ཚན་རྐྱང་ཚུལ། 1000, pqr
ཉིས་ཚན་ཚུལ། x + y, 2y − 3y2, 4z − 15z2, p2q + pq2 + 2p + 2q
སུམ་ཚན་ཚུལ། 7 + y + 5x, 2y − 3y2 + 4y3, 5x − 4y + 3xy
སྡེ་ཚན་འདི་དག་མིན་པའི་ཚུལ། x + x2 + x3 + x4, ab + bc + cd + da
248
−0.6
0.5
ལན། ༣། (ཀ) 0
(ཁ) ab + bc + ac
(ག) −p2q2 + 4pq + 9
(ང) 2(l2 + m2 + n2 + lm + mn + nl)
༤། (ཀ) 8a − 2ab + 2b − 15
(ག) p2q − 7pq2 + 8pq − 18q + 5p + 28
༡། (ཀ) 28p
༢། (ཀ) pq ༣།
(ཁ) −28p2
(ཁ) 50mn
ཚན་རྐྱང་ཚུལ་དང་པོ། 2x −5y 3x2 −4xy 7x2y −9x2y2
༤། (ཀ) x2y2z2
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༢
(ག) −28p2q
(ག) 100x2y2
2x
ཚན་རྐྱང་ཚུལ་གཉིས་པ།
−5y
(ང) −12p4
(ཅ) 0
(ང) 12x3 3x2
(ཅ) 12mn2p
−4xy
7x2y
−9x2y2
4x2 −10xy 6x3 −8x2y 14x3y −18x3y2 −10xy 25y2 −15x2y 20xy2 −35x2y2 45x2y3 6x3 −15x2y 9x4 −12x3y 21x4y −27x4y2 −8x2y 20xy2 −15x3y 16x2y2 −28x3y2 36x2y3 14x3y −35x2y2 21x4y −28x3y2 49x4y2 63x4y3 −18x3y2 45x2y3 −21x4y2 36x3y3 63x4y2 81x4y4
(ཁ) −a6
(ག) 1024y6
༡། (ཀ) 4pq + 4pr
(ཁ) a2b − ab2
༣། (ཀ) 8a50
(ཁ)
༢། (ཀ) ab + ac + ad
(ང) 4p4q2 − 4p2q4
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༣
(ང) 36a2b2c2
(ག) 7a3b2 + 7a2b3
(ཁ) 5x2y + 5xy2 − 25xy
(ཅ) a2bc + ab2c + abc2
−3 3 3 xy 5
−3 2 ༥། (ཀ) p2 + q2 + r2 − pq − qr − pr ༤། (ཀ) 12x2 − 15x + 3 ༡། 66 ༢། (ག) 5l2 + 25ln
(ཁ) 2xy − 7yz + 5zx + 10xyz
(ག) −4p4q4
(ཅ) −m3n2p
(ང) 4a3 − 36a
(ཅ) 0
(ག) 6p3 − 7p2 + 5p
(ང) x10
(ཁ) a3 + a2 + a + 5
༡། 5
༢། 8
(ཁ) −2x2 − 2y2 − 4xy + 2yz + 2zx
༢། 4
(ང) −3a2 − 2b2 + 4c2 − ab + 6bc − 7ac
249
རྩིས་རིག སྦྱོང་ཚན་ ༨་༤
༡། (ཀ) 8x2 + 14x − 15
(ང) ax + 5a + 3bx + 15b
༢། (ཀ) 15 − x − 2x2
(ང) 2p3 + p2q − 2pq2 − q3
༣། (ཀ) x3 + 5x2 − 5x (ང) 4ac
(ཇ) 2.25x2 − 16y2
༣། (ཀ) b2 − 14b + 49 4 9 (ང) m2 + 2mn + n2 9 4 2 2 2 (ཆ) 4x y + 20xy + 25y2
(ང) 41m2 + 80mn + 41n2 (ཅ) 27.04 (ཏ) 9.975
༧། (ཀ) 200
༨། (ཀ) 10712
250
(ཆ) 3a4 + 10a2b2 − 8b4
(ག) a3 + a2b2 + ab + b3
(ཅ) 3x2 + 4xy − y2
(ཆ) x3 + y3
(ཁ) a2b3 + 3a2 + 5b3 + 20
(ཁ) 4y2 + 20y + 25
(ང) 16x2 + 16x − 5
(ག) 6.25l2 − 0.25m2
(ཁ) 7x2 + 48xy − 7y2
སྦྱོང་ཚན་ ༨་༥
༢། (ཀ) x2 + 10x + 21
༦། (ཀ) 5041
(ཅ) 6p2q2 + 5pq3 − 6q4
(ཉ) a2 + b2 − c2 + 2ab
༡། (ཀ) x2 + 6x + 9 1 (ང) 9a2 − 3a + 4 (ཇ) 36x2 − 49
༤། (ཀ) a4 − 2a2b2 + b4
(ཁ) 3y2 − 28y + 32
(ཅ) 1.21m2 − 0.16 x2 3xy 9y2 (ཉ) + + 4 16 4 (ཁ) 16x2 + 24x + 5
(ཅ) 4x2 + 16xy + 15y
(ཁ) x2y2 + 6xyz + 9z2
(ག) t3 − st + s2t2 − s3
(ག) 4a2 − 28a + 49
(ཆ) b4 − a4
(ག) 16x2 − 24x + 5
(ཆ) 4a4 + 28a2 + 45
(ག) 36x4 − 60x2y + 25y2
(ཅ) 0.16p2 + 0.04pq + 0.25q2
(ཁ) 32x
(ཁ) 9801
(ག) 10404
(ཁ) 1800
(ག) 0.08
(ཆ) 79.21
(ཁ) 10094
(ཇ) 89991
(ག) 26.52
(ག) 98m2 + 128n2
(ང) 996004
(ཉ) 6396
(ང) 84
(ང) 95.06
ལན།
༡། (ཀ) 12
(ཁ) 2y
(ཅ) 10
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༡
(ཆ) 6ab
༢། (ཀ) 7(x − 6)
(ང) 4z(−4 + 5z2)
(ཇ) 5(2a2 − 3b2 + 4c2)
༣། (ཀ) (x + 8) (x + y)
(ང) (5p + 3) (3q + 5)
༡། (ཀ) (a + 4)2
(ག) 14pq (ཇ) 4x
(ཉ) x2y2
(ཁ) 6(p − 2q)
(ག) 7a(a + 2)
(ཁ) (3x + 1) (5y − 2)
(ག) (a + b) (x − y)
(ཅ) 5xy(x − 3y)
(ཉ) 4a(−a + b − c)
(ཅ) (z − 7) (1 − xy)
(ཁ) (p − 5)2
(ཅ) (7y + 6z)2
(ང) 1
(ཆ) 10lm (2l + 3a)
(ཏ) xyz(x + y + z)
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༢
(ཆ) (11b − 4c)2
(ག) 4(x − 1)2
(ཇ) (a2 + b2)2
(ང) (5m + 3)2 (ཉ) (l − m)2
༢། (ཀ) (2p − 3q) (2p + 3q)
(ཁ) 7(3a − 4b) (3a + 4b)
(ག) (7x − 6) (7x + 6)
༣། (ཀ) x(ax − b)
(ཁ) 2x(x2 + y2 + z2)
(ག) (m2 + n2) (a + b)
(ང) 16x3 (x − 3) (x + 3)
(ཅ) (3xy − 4) (3xy + 4)
(ཆ) 4lm
(ཇ) (x − y − z) (x − y + z) (ཉ) (5a − 2b + 7c) (5a + 2b − 7c) (ང) (l + 1) (m + 1)
(ཇ) (2a + 1) (5b + 2)
(ཅ) (y + 9) (y + z)
(ཉ) (3x − 2) (2y − 3)
༤། (ཀ) (a − b) (a + b) (a2 + b2)
(ཆ) (5y + 2z) (y − 4)
(ཁ) (p − 3) (p + 3) (p2 + 9)
(ག) (x − y − z) (x + y + z) [x2 + (y + z)2] (ང) z(2x − z) (2x2 − 2xz + z2)
(ཅ) (a − b)2 (a + b)2
༥། (ཀ) (p + 2) (p + 4) 3 ༡། (ཀ) x 2 ༢། (ཀ) 1 (5x − 6) 3 (ཅ) q3 − p3
(ཁ) −4y
(ཁ) (q − 3) (q − 7) སྦྱོང་ཚན་ ༩་༣
(ག) (p + 8) (p − 2)
(ང) 2 x2y (ཅ) −2a2b4 3 (ག) 2(x + y + z) (ང) 1 (x2 + 2x + 3) 2
(ག) 6pqr
(ཁ) 3y4 − 4y2 + 5
251
རྩིས་རིག ༣། (ཀ) 2x − 5
(ཁ) 5
(ཅ) 1 r (p + q) 2 ༥། (ཀ) y + 2
(ཁ) m − 16
༤། (ཀ) 5(3x + 5)
(ག) 6y
(ཁ) 2y (x + 5)
(ག) 4(y2 + 5y + 3)
(ཅ) 5 q (p − q) (ཆ) 3(3x − 4y) 2
༡། 4(x − 5) = 4x − 20 ༤། x + 2x + 3x = 6x
༧། (2x)2 + 5x = 4x2 + 5x
༩། (3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4
(ང) xy
(ག) 5(p − 4)
༢། x(3x + 2) = 3x2 + 2x
༥། 5y + 2y + y − 7y = y
(ང) (x + 2) (x + 3) (ང) 2z(z − 2)
(ཇ) 3y(5y − 7)
སྦྱོང་ཚན་ ༩་༤
(ཅ) 10abc
༣། 2x + 3y = 2x + 3y
༦། 3x + 2x = 5x
༨། (2x)2 + 4(2x) + 7 = 4x2 + 8x + 7
༡༠། (ཀ) (−3)2 + 5(−3) + 4 = 9 − 15 + 4 = −2
(ཁ) (−3)2 − 5(−3) + 4 = 9 + 15 + 4 = 28 (ག) (−3)2 + 5(−3) = 9 − 15 = −6
༡༡། (y − 3)2 = y2 − 6y + 9
༡༣། (2a + 3b) (a − b) = 2a2 + ab − 3b2 3x2 ༡༥། 2 = 1 3x
༡༢། (z + 5)2 = z2 + 10z + 25
༡༤། (a + 4) (a + 2) = a2 + 6a + 8
1 3x2 + 1 3x2 1 ༡༦། = 2 + 2 = 1 + 2 2 3x 3x 3x 3x
3 3 ༡༨། = 4x + 3 4x + 3
༡༩།
༡༧།
3x 3x = 3x + 2 3x + 2
5 5 4x + 5 4x = + =1+ 4x 4x 4x 4x སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༡
༡། (ཀ) 1, 2, 5, 6, 7 (ཁ) 1, 2, 5, 6, 7
(ག) 1, 2
(ང) 2
༤། (ཀ) 900o
(ག) 1440o
(ང) (n − 2) 180o
༢། (ཀ) 2
༣། 360o; རེད།
(ཁ) 9
(ཁ) 1080o
(ག) 0
༥། མཐའ་དང་ཟུར་གཅིག་མཚུངས་ཡིན་པའི་དབྱིབས་མཐའ་མང་རེད། (ཀ) མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ།
252
(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
(ཅ) 1
(ག) མཐའ་མཉམ་དབྱིབས་མཐའ་དྲུག་མ།
ལན། ༦། (ཀ) 60o
(ཁ) 140o
༧། (ཀ) x + y + z = 360o
(ག) 140o
(ང) 108o
(ཁ) x + y + z + w = 360o
སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༢
༡། (ཀ) 360o − 250o = 110o
(ཁ) 360o − 310o = 50o
360o 360o o ༢། (ཀ) = 40 (ཁ) = 24o 9 15 360 ༣། = 15 (མཐའ།) ༤། མཐའི་གྲངས་ = 24 24 ༥། (ཀ) མི་སྲིད། (22 ནི་ 360 ཡི་བགོད་གྲངས་མིན་པས།) (ཁ) མི་སྲིད། (རྒྱུ་མཚན་ནི། ཕྱི་ཟུར་རེ་ 180o − 22o = 158o, དེ་ནི་ 360 ཡི་བགོད་གྲངས་མིན།) ༦། (ཀ) མཐའ་ 3 ཅན་གྱི་མཐའ་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ་ནི་ནང་ཟུར་ཆུང་ཤོས་ 60o ཡིན། (ཁ) (ཀ) ལས་ཕྱི་ཟུར་ཆེ་ཤོས་ནི་ 120o ཡིན་པ་ཤེས་ཐུབ།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༣
༡། (ཀ) BC (གཏད་མཐའ་འདྲ་མཚུངས་རེད།)
(ཁ) ∠DAB (གཏད་ཟུར་འདྲ་མཚུངས་རེད།)
(ག) OA (གཏད་ཐིག་མཉམ་བགོད་བྱེད་ཀྱི་ཡོད།) (ང) 180o (AB || DC ཡིན་པས་ནང་གཏད་ཟུར་རེད།)
༢། (ཀ) x = 80o; y = 100o; z = 80o (ག) x = 90o; y = 60o; z = 60o
(ཅ) x = 28o; y = 112o; z = 28o
༣། (ཀ) ཡིན་སྲིད། ཡིན་ཡང་ངེས་པ་མེད།
(ཁ) x = 130o; y = 130o; z = 130o
(ང) x = 100o; y = 80o; z = 80o
(ཁ) མིན། (མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་མཐའ་འདྲ་མཚུངས་རེད། ཡིན་ཡང་། འདིར་ AD ≠ BC) (ག) མིན། (མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མའི་གཏད་ཟུར་འདྲ་མཚུངས་རེད། ཡིན་ཡང་། འདིར་ ∠A ≠ ∠C)
༤། ཤོག་བྱ། (དཔེར་ན།) o
o
o
༧། x = 110 ; y = 40 ; z = 30 ༨། (ཀ) x = 6; y = 9
༥། 108o; 72o
(ཁ) x = 3; y = 13
༦། ཟུར་ཚང་མ་དྲང་ཟུར་རེད། ༩། x = 50o
༡༡། NM || KL (ནང་གཏད་ཟུར་གྱི་བསྡོམས་གྲངས་ 180o རེད།) དེར་བརྟེན། KLMN ནི་སྐས་དབྱིབས་ རེད། ༡༢། m∠C = 60o
༡༢། ∠P = 50o; ∠S = 90o
253
རྩིས་རིག སྦྱོང་ཚན་ ༡༠་༤
༡། (ཁ) (ག) (ཆ) (ཇ) (ཉ) འགྲིག གཞན་རྣམས་ནོར། ༢། (ཀ) གཟེ་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
༣། (ཀ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མར་མཐའ་བཞི་ཡོད་པས། དེ་དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
(ཁ) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མའི་གཏད་མཐའ་མཉམ་འགྲོ་ཡིན་པས། དེ་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
(ག) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ནི་མཐའ་བཞི་པོ་འདྲ་མཚུངས་ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན་པས། དེ་གཟེ་ དབྱིབས་རེད།
(ང) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ་ནི་ཟུར་རེར་དྲང་ཟུར་ཡིན་པའི་མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ཡིན་པས། དེ་གྲུ་བཞི་ནར་ མོ་རེད།
༤། (ཀ) མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། གཟེ་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ནར་མོ། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། (ཁ) གཟེ་དབྱིབས། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ།
(ག) གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
༥། གྲུ་བཞི་ནར་མོའི་གཏད་ཐིག་གཉིས་ཀ་དེའི་ནང་རོལ་དུ་ཡོད།
༦། AD || BC ; AB || DC དེར་བརྟེན། མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་ ABCD ནང་། གཏད་ཐིག་ AC ཡི་དཀྱིལ་གནས་ O རེད། ༡། (ཀ) → (༣) → (༤) (ང) → (༥) → (༣)
སྦྱོང་ཚན་ ༡༢་༡
(ཁ) → (༡) → (༥) (ཅ) → (༢) → (༡)
(ག) → (༤) → (༢)
༢། (ཀ) → (༡) མདུན། (༢) གཞོགས། (༣) སྟེང་།
(ཁ) → (༡) མདུན། (༢) གཞོགས། (༣) སྟེང་།
(ག) → (༡) སྟེང་། (༢) གཞོགས། (༣) མདུན།
(ང) → (༡) གཞོགས། (༢) མདུན། (༣) སྟེང་།
(ག) → (༡) གཞོགས། (༢) མདུན། (༣) སྟེང་།
༣། (ཀ) → (༡) སྟེང་། (༢) མདུན། (༣) གཞོགས། (ཅ) (༡) མདུན། (༢) སྟེང་། (༣) གཞོགས།
༢། (ཁ) (ཆ)
254
(ཁ) → (༡) གཞོགས། (༢) མདུན། (༣) སྟེང་།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༢་༣
༡། (ཀ) གྲུ་ནར་གཟུགས། ཡང་ན། གྲུ་ནར་གྲུ་ཀ (ང) གྲུ་ནར་གྲུ་སྙུང་།
(ང) (༡) མདུན། (༢) གཞོགས། (༣) སྟེང་།
(ཁ) ཀ་ཟླུམ།
(ཅ) ཟླུམ་གཟུགས། ༣། (ཁ) (ང)
(ག) སྙུང་གཟུགས།
(ཆ) ཟུར་གསུམ་གྲུ་ཀ
ལན། ༤། (ཀ) མེད།
(ཁ) ཡོད། ཟུར་གསུམ་གྲུ་སྙུང་།
༥། མིན། ༧།
(ག) ཡོད། ཁ་གང་གྲུ་སྙུང་།
(ང) མེད།
སྲ་གཟུགས།
ངོས། (F)
ཟུར་ཚེག (V)
གྲུ། (E)
F+V
E+2
F+V=E+2
9
11
11
ཁ
8
12
18
20
20
རེད།
ག
7
7
12
14
14
ང
6
6
10
12
12
ཅ
6
8
12
14
14
ཆ
5
5
8
10
10
ཀ
5
༨། གྲུ་ = 12
6
༩། ཟུར་ཚེག = 12
རེད། རེད། རེད། རེད། རེད།
༡༠། x = 10; y = 6; z = 20
༡༡། F + V = 6 + 18 = 24; E + 2 = 20 + 2 = 22; F + V ≠ E + 2 ངོས་མང་སྲ་གཟུགས་དེ་འདྲ་མེད།
༡། (ཀ) 48 cm, 77 cm2
༢། གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། 100 m2
༥། 24 cm2 ༡། 44 cm
༤། 7 cm དང་ 15 cm ༧། 8 cm
༡༠། 392 cm2
༡༣། 16850 m2
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༡
(ཁ) 66 cm, 154 cm2 ༣། ` 36000
༦། ` 47260
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༢
(ག) 36 cm, 77 cm2
༤། ཕ་གུ་གྲངས་ 45000
༢། 12 cm
༣། 660 m2
༡༡། 179 cm2
༡༢། 337.5 m2
༥། 24 cm2, 20 cm ༨། 196 cm2
༦། 21 cm2
༩། ` 9375
255
རྩིས་རིག
༡། (ཀ) 63 m2
༢། (ཀ) 1350 cm2 ༣། ` 1728
(ཁ) 35.4 dm2
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༣
(ཁ) 34.56 m2
(ག) 150 dm2
༤། 14 cm
༧། 10 m
༥། ` 244
༨། 400 m2
༦། 4700 cm2
༩། ` 29000
༡༡། 1760 cm2, 2376 cm2
༡༠། ` 32500
༡༢། 1 m
༡༣། ` 27700
༡༤། ཁ་གང་སྲ་གཟུགས་ཀྱི་ལོགས་ངོས་རྒྱ་ཁྱོན་ 42 m2 ཡིས་ཆེ་བ་འདུག ༡༥། 322 cm
༡༦། 7 cm
༡། 90 cm3
༢། 5 cm
༥། 1 m
༩། (ཀ) ལྡབ་བརྒྱད།
༢།
(ཅ) 30 - 35
༣། 6.875 kg
(ཁ) 35 - 40 (ཆ) 7
༤། 480
༧། 30800 L
(ག) ལྡབ་དགུ།
༨། 6160 cm3
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༡
(ག) 30 - 35 (ཇ) 65 - 70
(ང) 50 - 55
མྱུ་གུའི་རིང་ཚད། (cm ནང་།) 70 - 80
ཁྲམ་རྟགས། II
མྱུ་གུའི་གྲངས།
80 - 90
IIII
5
90 - 100
IIII
5
100 - 110
III
3
110 - 120
II
2
120 - 130
II
2
130 - 140
I
1 20
བསྡོམས།
256
སྦྱོང་ཚན་ ༡༣་༤
༦། 192.5 cm2
(ཁ) ཕྱེད་ཀ
༡། (ཀ) 5
༡༧། 704 cm2
2
ལན། ༣།
འོ་མ་ཚོང་པ། (L ནང་།)
ཁྲམ་རྟགས། II
ཟློས་ཕྱོད། (ཉིན་གྲངས།)
70 - 76
III
3
76 - 82
IIII
4
82 - 88
IIII
5
88 - 94
IIII
4
94 - 100
II
2
100 - 106
IIII I
6
106 - 112
II
2
64 - 70
༤།
2
བསྡོམས།
28
ཉིན་གླ། (` ནང་།)
350 - 400
ཁྲམ་རྟགས། IIII
ལས་མི་གྲངས།
400 - 450
IIII
5
450 - 500
III
3
500 - 550
IIII
4
550 - 600
III
3
600 - 650
IIII
5
5
བསྡོམས།
25 སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༢
༡། (ཀ) (ཁ) (ང) བཅས་གྱེན་ལང་བཀོད་རིས་ཀྱི་མཚོན་དགོས། ༢། (ཀ) 4 ༣། (ཀ) 4 (ཅ) 6
(ཁ) 6
(ཁ) 140
(ཆ) 30
(ག) 10
(ག) 160 - 164
(ང) 50 - 60 (ང) 4
257
རྩིས་རིག
7 6 5 4 3 2 1
ཟློས་ཕྱོད།
༤།
0 ༥།
10 20 30 40 50 60 70 བར་ཚོ།
12 10 སློབ་མའི་གྲངས།
8 6 4 2 0
༦། (ཀ)
258
46 50 54 58 62 66 70 74 ལྗིད་ཚད། (kg ནང་།)
འབྲས་ཚོང་པ། (kg ནང་།) 124 - 130 130 - 136 136 - 142 142 - 148 148 - 154 154 - 160
ཁྲམ་རྟགས།
བསྡོམས།
IIII II IIII IIII IIII IIII IIII I I
ཟློས་ཕྱོད། (ཉིན་གྲངས།) 7 9 4 4 6 1 31
ལན། (ཁ)
ཟློས་ཕྱོད། (ཉིན་གྲངས།)
10 8 6 4 2 0
124 130 136 142 148 154 160 166 འབྲས་ཚོང་པ། (kg ནང་།)
༡། (ཀ) 1 2
(ཁ) 40
༢། (ཀ) ཆུ་ཚོད་ 1 (ཁ) ཆུ་ཚོད་ 2 2 (ང) ཆུ་ཚོད་ 5 ཡང་ན། སྐར་མ་ 50 6 ༣།
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༣
(ག) ལུས་རྩལ་དང་ཁུར་ཚུར་རྩལ་འགྲན། མི་གྲངས་ 20 (ག) ཆུ་ཚོད་ 2 ཡང་ན། སྐར་མ་ 40 3
42+25+33 17+14+8556 30+20+3740 12+17+61055 ཕམ་པ།
120o
རྒྱལ་ཁ།
150o
90o
༤།
ཆོ་མན།
144o
འབྲས་དལ།
108o
72o
24o
བག་ལེབ་ཚལ།
མོག་མོག
12o
ཀྲིན་མོག་ཚལ།
200o
o
༥།
བཟའ་བཅའ།
60o 50o 30 o 20
ཐོབ་ཤོར་མེད།
ཁང་གླ།
༦།
གཞན་ཁག
འོར་འདྲེན།
ཤེས་ཡོན།
བདེ་སླར།
45o 60o 200o 2 o འདོད་རྒུ་གླིང་། 35 o 0
ལུགས་བསམ།
དོན་ལྡན་གླིང་།
རབ་རྒྱས་གླིང་།
259
རྩིས་རིག
༡། (ཀ) 2, 3, 5
(ཁ) 1, 2, 4, 5
1 ༣། (ཀ) 5
1 ༢། (ཀ) 2
སྦྱོང་ཚན་ ༡༤་༤
(ག) 1, 2, 3
(ང) 1, 2, 3
3 (ཁ) 5
3 (ག) 5
(ང)
1 5
1 (ག) 4
(ང)
1 26
2 (ཁ) 3
5 ༤། (ཀ) 8
1 (ག) 2
7 (ཁ) 8
༥། (ཀ)
1 13
1 (ཁ) 2
༧། (ཀ)
1 12
(ཁ)
1 (ག) 4
༦། གྲུབ་འབྲས། → HH, HT, TH, TT སྲིད་ཕྱོད། →
༡། (ཀ) 101oF
༢། (ཀ) ས་ག་ཟླ་བ། ༣། (ཀ) 3 pm ༤།
5 12
(ག)
(ཁ) ཆུ་ཚོད་ 13
1 4
7 12
(ང)
3 8
3 (ང) 4
(ཅ)
4 5
(ཅ)
1 13
(ཅ)
1 4
(ག) ཆུ་ཚོད་ 14 ནས་ 15 བར།
(ག) 400
(ཁ) ཆུ་ཚོད་ 1 p.m. ནས་ 3 p.m. བར། 10
ཉིན་གྲངས།
8 6
4
2 2014 2015 2016 2017 2018
ལོ།
260
1 2
སྦྱོང་ཚན་ ༡༥་༡
(ཁ) ཆུ་སྟོད་ཟླ་བ།
0
(ང)
(ང) མཆུ་ཟླ་བ་དང་སྣྲོན་ཟླ་བ། 450
(ག) 420 km
(ང) ཆུ་ཚོད་ 5
ལན། ༥། (ཀ)
(ཁ) འཁྱོག་ཐིག་རེད།
22
(ག) 19oC
20
(ང) སྐར་མ་ 15
18
དྲོད་ཚད། (oC)
16 14
12 10 8 6 4 2 0
10 20 30 40 50 60 70
དུས་ཡུན། (སྐར་མ།)
༦། (ཀ) ཡོང་སྲིད། དུས་ཡུན་ཞིག་ལ་བར་ཐག་ཅིག་བསྐྱོད་ཐུབ།
(ཁ) ཡོང་སྲིད། དུས་ཡུན་ཞིག་ལ་བར་ཐག་ཅིག་བསྐྱོད་ཐུབ། (ག) ཡོང་སྲིད། དུས་ཡུན་ཞིག་ལ་བར་ཐག་མ་བསྐྱོད་པ།
(ང) ཡོང་མི་སྲིད། དུས་ཡུན་མེད་སྐབས་བར་ཐག་བསྐྱོད་མི་ཐུབ། སྦྱོང་ཚན་ ༡༥་༢
༡། A (2, 2), B (4, 0), C (−1, 4), D (3, −2), E (6, 4), F (0, 3), G (−4, 2) ༢།
Y 6 5 4
S(0, 4) P(2, 3)
3 2 1 0
Q(5, 1) R(1, 0) 1
2
3
4
5
6 X
261
རྩིས་རིག ༣། P (6, 2), E (−2, 1), T (−3, −1), S (2, −2) ༤། (ཀ) Y
D(5, 6)
6
5
4
4
C(5, 3)
1 0
༥།
1
2
གནས་དེ་དག་ཐིག་གི་སྟེང་འདུག
U(2, 2)
1
J(1, 1)
0
1
2
3
4
5
6
X
གནས་དེ་དག་ཐིག་གི་སྟེང་འདུག
དེ་དག་ཐིག་གཅིག་སྟེང་གནས་རེད། Y
4 3 2 1
M(2, 2)
−3 −2 −1 −1 N(−3, −1) −2 −3 −4
1 2 3 4 5 6 7
འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ་རེད།
༧། (−1, 3)
Y
5
X Q(7, −1)
དཔེ་རིས་ཐོབ་པ་ནི་མཉམ་
P(2, −4)
༦། (0, 0) འདི་ལ་མ་གནས་ཟེར། ༨།
M(3, 3)
2
A(5, 0) X 5 6
4
3
P(5, 5)
3
B(5, 2)
2
6
5 3
(ཁ) Y
(1, 4)
4 3 2
(4, 1)
1 0
262
1
2
3
4
5
X
ཐིག་འདི་འཕྲེད་མདར་ (5, 0) དང་གཞུང་ མདར་ (0, 5) ལ་འཕྲད་འདུག
ལན། ༩། P (2, 5), E (2, 2), M (5, 3), A (5, 6)
༡༠། ཟུར་གསུམ་མ་ ABC ཡི་ཟུར་ཚེག A (0, 7), B (3, 7), C (1, 2)
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ་ KLMN ཡི་ཟུར་ཚེག K (3, 3), L (3, 0), M (6, 0), N (6, 3)
གཟེ་དབྱིབས་ PQRS ཡི་ཟུར་ཚེག P (8, 4), Q (9, 2), R (10, 4), S (9, 6)
གྲུ་ནར་ EFGH ཡི་ཟུར་ཚེག E (11, 3), F (11, 1), G (14, 1), H (14, 3)
༡༡། (ཀ) ནོར། འདི་ནི་གཞུང་མདའི་སྟེང་ཡོད།
(ཁ) འགྲིག
(ག) འགྲིག
སྦྱོང་ཚན་ ༡༥་༣
༡།
18 16
(ཀ) 7 cm
14
མཐོ་ཚད། (cm)
(ཁ) 18 cm
12 10 8 6 4 2 0
4
8 10 12 14 16 18
6
ཉིན་གྲངས།
200
(ཀ) ` 200
160
མ་གནས། (`)
༢། (ཀ)
2
120
(ཁ) 6
80
40 0
1
2
3
4
5
6
ཀུ་ཤུ་གྲངས།
7
8
9
263
རྩིས་རིག 250 200
རྒྱང་ཐག (km)
(ཁ)
(ཀ) 125 km
150
(ཁ) 10:30
100 50 0
8:00 9:00 10:0011:0012:00
དུས་ཡུན།
(ག)
45.00 37.50
(ཀ) འདུག
ལམ་གྲོན། (`)
30.00
(ཁ) ` 45
22.50 15.00 7.50 0
རྒྱང་ཐག (km)
24
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། (cm)
༣། (ཀ)
5 10 15 20 25 30
20
རྒྱ་ཁྱོན། (cm2) 12
4
264
28
16
8
32
20
12
36
24
16
0
(ཁ)
1
2
3
4
5
གཞོགས། (cm)
ཐིག་གི་ཐིག་རིས་རེད།
6
8 4 0
1
2
3
4
5
གཞོགས། (cm)
ཐིག་གི་ཐིག་རིས་མ་རེད།
6
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར།
Acute angle
རྣོ་ཟུར།
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར།
Additive identity སྣོན་གྲངས་ངོ་བོ། Additive inverse ལྡོག་གྲངས། Adjacent angle Adjacent side Algebra Algebraic expression Algebraic identities Altitude Amount Angle bisector Angle sum property Arc Area
Bar graph Base Binomial
Centroid Chord
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་ཚུལ།
Class interval
མཚུངས།
Closed figure
ཉེ་མཐའ།
Circle
ཚབ་རྩིས།
Circumference
ཚབ་རྩིས་ཀྱི་གཏན་
Closed curve
Class size
དཔངས།
Closure property
དངུལ་འབོར།
Coefficient
ཁྱད་ཆོས།
Common side
ཞེང་།
སྒོར་ལྟེ། ལྗིད་ལྟེ།
རྒྱུད་ཐིག
སྒོར་དབྱིབས།
སྒོར་མཐའི་རིང་ཚད། བར་ཚོ།
བར་ཚོའི་ཞེང་ཚད།
ཁ་ཟུམ་པའི་འཁྱོག་ཐིག ཁ་ཟུམ་པའི་དབྱིབས། བསྡུ་སྲོལ།
བཏགས་གྲངས།
Collection of data གྲངས་ཐོ་བསྡུ་རུབ། སྤྱིའི་བགོད་གྲངས། ནང་ཟུར་བསྡོ མ ས་གྲངས་ Common factor ཟུར་མཉམ་བགོད་ཐིག གཞུ་ཐིག རྒྱ་ཁྱོན།
property Axis
Centre
ཉེ་ཟུར།
Arithmetic mean ཆ་སྙོམས་གྲངས། ལྡེབ་སྲོལ། Associative ASA criterion
Breadth
Commutative property
Complementary angles Complete angle
ཟུར་མཐའ་ཟུར་གྱི་ཆ་རྐྱེན། Compounded མདའ། annually གྲུ་ནར་ཐིག་རིས།
དྲ་མིག་ཐིག་རིས།
ཞབས། ཞབས་གྲངས། ཉིས་ཚན་ཚུལ།
སྤྱི་མཐའ།
བརྗེ་སྲོལ།
གྲོགས་ཟུར།
སྒོར་མཐའི་ཟུར།
ལོ་རེའི་ཕྱོགས་བསྡུས།
Compound interest མ་སྐྱེད་བུ་སྐྱེད། Concave polygon ཀོང་དབྱིབས་མཐའ་མང་། Congruence Cone
ཡོངས་མཚུངས། སྙུང་གཟུགས།
265
རྩིས་རིག Constant Construction
རྟག་གྲངས།
Edge
angles
Cost price Cube Cube numbers Cube roots Cuboid Cylinder Data Decimals Degree Dependent variable Diagonal Diameter Dimension Direct proportion Discount Distributive property Double bar graph
266
སྣེ་གནས།
འགོད་པ། འབྲི་བ།
End point
གནས་མཐུན་ཟུར།
triangle
ཤོ་གཟུགས། སུམ་སྒྱུར།
Expression
གྲུ་ནར་གཟུགས།
Face
གྲངས་ཐོ།
Finite
གཞན་དབང་ཅན་གྱི་རྒྱུ།
distribution
ཚངས་ཐིག
Grouped frequen- ཚན་སྒྲིལ་ཟློས་ཕྱོད་ ཁྱབ་ཚུལ། cy distribution
Convex polygon འབུར་དབྱིབས་མཐའ་མང་། Equation གནས་ཚད། Equilateral Coordinate Corrosponding
གྲུ། གཞོགས། མཐའ།
Event
མ་གནས་རིན་གོང་།
Exponent
སུམ་སྒྱུར་གཞི།
Exterior angle
ཀ་ཟླུམ།
Factorisation
ཌིག་རི།
Frequency
གཏད་ཐིག
Graph paper
མཐུན་འགྱུར།
Height
སུམ་སྒྱུར་གྲངས།
Extended line
སྒམ་གཟུགས།
Factor
སིལ་གྲངས།
Formula
ཆ་ཚད།
Graph
Histogram
གཅོག་ཆ།
Horizontal axis
གྲུ་ནར་ཉིས་འགྲིག་ཐིག་
variable
བགོ་སྲོལ།
Identity
རིས།
Included angle
Independent
མཉམ་བྱ།
མཐའ་མཉམ་པའི་ཟུར་ གསུམ་མ། དོན་རྐྱེན།
སྟོན་གྲངས། ཚུལ།
བསྲིངས་ཐིག ཕྱི་ཟུར། ངོས།
བགོད་གྲངས།
བགོད་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། ཚད་ཡོད། ཆོ་ག
ཟློས་ཕྱོད་ཁྱབ་ཚུལ། ཐིག་རིས།
དྲ་མིག་ཤོག་བུ།
དཔངས། མཐོ་ཚད།
གྱེན་ལང་བཀོད་རིས། འཕྲེད་མདའ།
གཏན་མཚུངས།
རང་དབང་ཅན་གྱི་རྒྱུ། ཚུད་ཟུར།
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། Included side Infinity Initial point Integer Intercept Interest Interior angle Inverse proportion Irregular polygon
ཚུད་མཐའ། ཚད་མེད།
འགོ་གནས། རིལ་གྲངས། བཅད་ཐིག སྐྱེད་ཀ
ནང་ཟུར།
ལྡོག་འགྱུར།
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ དབྱིབས་མཐའ་མང་།
Median of a Triangle Mid-point Mode Model Monomial Multiple Multiplicative identity Natural number Number line
Isosceles triangle སྐེད་མཉམ་ཟུར་གསུམ་མ། Numerals ལོགས་ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། Numerator Lateral surface Numerical
area
Law LCM Length LHS Like terms Line segment
ཁྲིམས།
coefficient
གཡོན་ཕྱོགས།
Obtuse angle
Line symmetry Literal number Loss Lower limit Median
ཐིག
དཀྱིལ་གནས། བྱིངས་གྲངས།
དཔེ་གཟུགས།
ཚན་རྐྱང་ཚུལ། ལྡབ་གྲངས།
སྒྱུར་གྲངས་ངོ་བོ། རང་བྱུང་གྲངས། གྲངས་ཐིག
གྲངས་ཀ ཨང་ཀི། བུ་ཆ།
ཨང་ཀིའི་བཏགས་གྲངས།
སྤྱིའི་ལྡབ་གྲངས་ཆུང་ཤོས། Numerical factor ཨང་ཀིའི་བགོད་གྲངས། བྱེ་བྲག དཀྱུས། རིང་ཚད། Observation ཚན་མཐུན།
Operation
ཐིག་དུམ།
Opposite side
ཆ་འགྲིག་གི་ཐིག
Outcome
ཐེངས་གཅིག་གི་མཉམ་བྱ། Opposite angle Organisation of Linear expression ཐེངས་གཅིག་གི་ཚུལ། ཉེ་གསབ་ཟུར། data Linear pair Linear equation
ཟུར་གསུམ་མའི་དཀྱིལ་
ཡིག་འབྲུའི་གྲངས། གྱོང་།
འོག་མཐའ།
དཀྱིལ་གྲངས།
Pair of angles Parallel lines Parallelogram Pattern
རྟུལ་ཟུར།
རྩིས་ཐབས།
གཏད་མཐའ། གཏད་ཟུར།
གྲངས་ཐོ་བཀོད་སྒྲིག གྲུབ་འབྲས། ཆ་ཟུར།
མཉམ་འགྲོ་ཐིག
མཉམ་འགྲོ་མཐའ་བཞི་མ། དཔེ་འགྲོས།
267
རྩིས་རིག Percentage Perfect cube Perfect square Perimeter Perpendicular Perpendicular bisector Pie chart Plane Point Polygon Polyhedron Polynomial Power
བརྒྱ་ཆ།
སུམ་སྒྱུར་ཡང་དག
experiment
དྲང་འཕྱང་མཉམ་
Radical sign
ངོས། སྙོམས་ངོས།
Rate of interest
ངོས་མང་སྲ་གཟུགས།
Raw data
མཐའ་འཁོར་རིང་ཚད། Rational number དྲང་འཕྱང་། Radical བགོད་ཐིག
Radius
གནས། ཚེག
Ratio
ཚན་མང་ཚུལ།
Reciprocal
ཐིག་རིས་སྒོར་མོ།
Range
དབྱིབས་མཐའ་མང་།
Ray
ཐེངས་གྲངས།
Rectangle
factorisation Principal Prism Probability Profit Property Proportion Protractor Pyramid Pythagoras property
268
Random
ཉིས་སྒྱུར་ཡང་དག
Practical problem བེད་སྤྱོད་རྩིས་གཞི། རྒྱུ་གྲངས་ལ་བཀྲོལ་བ། Prime Prime number
Quadrilateral
རྒྱུ་གྲངས།
Rhombus
Right angle RHS
ཁེ།
Scalene triangle
ཟུར་ཚད་འཇལ་ཆས།
Selling price
ཁྱད་ཆོས།
SAS criterion
Right triangle
སྲིད་ཕྱོད།
Root
སྡུར་ཕྲེང་།
Sector
པཡེ་ཐ་གྷོ་རཱས་
Set-square
ཁྱད་ཆོས། གྲུ་སྙུང་།
ངེས་མེད་ཚོད་ལྟ།
ལུགས་ལྡན་གྲངས། གཞི་གྲངས། གཞི་རྟགས།
ཚངས་ཕྱེད། ཁྱབ་ཚད།
སྐྱེད་ཀའི་སྐོར་ཐང་། སྡུར་ཚད། འཕྲོ་ཐིག
གཞི་འཛིན་གྲངས་ཐོ། ལོག་གྲངས།
གྲུ་བཞི་ནར་མོ།
Regular polygons མཐའ་མཉམ་པའི་དབྱིབས་ མཐའ་མང་།
མ་དངུལ། གྲུ་ཀ
དབྱིབས་མཐའ་བཞི་མ།
Semi-circle
གཟེ་དབྱིབས། དྲང་ཟུར།
གཡས་ཕྱོགས།
དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་མ། གཞི།
མཐའ་མི་མཉམ་པའི་ཟུར་ གསུམ་མ།
སོག་དབྱིབས།
ཚོང་སྒྱུར་རིན་གོང་། སྒོར་ཕྱེད།
ཟུར་གསུམ་ཐིག་ཤིང་།
མཐའ་ཟུར་མཐའི་ཆ་རྐྱེན།
ཐ་སྙད་ཨིན་བོད་ཤན་སྦྱར། SSS criterion Simple curve Simple interest Solid shapes Solution Sphere Square Square number Square roots Standard form Standard unit Statistics Straight angle Supplementary angles Surface area Tally mark Term
མཐའ་མཐའ་མཐའི་ཆ་རྐྱེན།
Upper limit
སྲ་གཟུགས།
Volume
གོང་མཐའ། རྒྱུ།
འཁྱོག་ཐིག་དཀྱུས་མ།
Variable
འགྲོལ་ཐོབ།
Whole number ཧྲིལ་གྲངས། ཞེང་། ཞེང་ཚད། Width
མ་སྐྱེད་རྐྱང་པ། ཟླུམ་གཟུགས།
གྲུ་བཞི་ཁ་གང་མ། ཉིས་སྒྱུར།
Vertex
ཟུར་ཚེག
བོངས་ཚད།
ཉིས་སྒྱུར་གྲངས། ཉིས་སྒྱུར་གཞི།
ཚད་ལྡན་གྱི་རྣམ་པ། ཚད་ལྡན་ཚད་གཞི། སྡོམ་རྩིས་རིག་པ། སྙོམས་ཟུར།
གསབ་ཟུར།
ངོས་ཀྱི་རྒྱ་ཁྱོན། ཁྲམ་རྟགས། ཚན་པ།
Three dimensional ཕྱོགས་ཚད་གསུམ་ལྡན། གསེག་ཐིག Transversal Trapezium Triangle
Trinomial Transpose Two dimensional Unitary method Unlike terms
སྐས་དབྱིབས།
ཟུར་གསུམ་མ།
སུམ་ཚན་ཚུལ།
གནས་ས་བརྗེ་བ།
ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ལྡན། རྐྱང་པའི་རྩིས་ཐབས། མི་མཐུན་ཚན་པ།
269