1 ©José García RESÚMENES de MATEMÁTICAS de 5º
UNIDAD 0
Resúmenes MAT.5º
1er. trimestre
REPASO tras el verano
Operar con números naturales N Suma:
Términos:
Sumando Sumando
45 +
Resultado (suma)
62 107
Propiedades: Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma 43 + 5 = 5 + 43 Asociativa: Cuando agrupamos sumandos, todas las combinaciones dan el mismo resultado. (25 + 3) + 10 = 25 + (3 + 10) = (25+ 10) + 3 Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el cero 45 + 0 = 45; 56 + 0 = 56 Resta:
Términos:
Minuendo Sustraendo Diferencia
45 – 22 23
Relación entre los términos de una resta: El minuendo es igual al sustraendo + la diferencia El sustraendo es igual al minuendo – la diferencia
45 = 22 + 23 22 = 45 – 23
Estimar sumas y restas: Para estimar el resultado de una suma o resta, se aproximan los sumandos o el minuendo y el sustraendo a la centena, y se calcula mentalmente. Resultado estimado 68 + 21 70 + 20 = 90 Multiplicación:
Términos:
resultado real 68 + 21 = 89 Factor Factor Producto
25 x 10 250
Propiedades: Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto 24 x 10 = 10 x 24 Asociativa: El producto de tres o más factores no varía si los agrupamos de manera diferente. 5 x (4 x 6) = (5 x 4) x 6 Elemento neutro: De la multiplicación es el uno 15 x 1 = 15 Distributiva: Multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y después sumar los productos. (7 + 4) x 3 = (3 x 7) + (3 x 4)
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La División: Términos de la división (D)
Dividendo
(r)
Resto
45
12
Divisor
(d)
09
3
Cociente
(c)
La división exacta
Aquella que el resto es cero Dividendo = divisor x cociente
25: 5 = 5
División entera
El resto es mayor que cero Dividendo = (divisor x cociente) + resto
31: 5 = 6 Resto = 1
REGLAS BÁSICAS PARA REALIZAR LA DIVISIÓN DE 2 CIFRAS ¡RECUERDA QUE DEBES REPASAR LAS TABLAS DE MULTIPLICAR! Dividendo
5 6 2 3 1 4 2 1 6 3 1 6
Divisor
2 1 2 6 7
Cociente
Resto
1º Nos fijamos que el número que vamos a coger con el arquito, sea mayor que el divisor. 2º Ponemos en el cociente el número que creemos que al multiplicarlo por el divisor se acerca más al número del arquito. 3º Multiplicamos ese número del cociente por el divisor y lo que nos dé, lo restamos al número del dividendo. 4º Bajamos el siguiente número y repetimos lo anterior: Nos fijamos qué número multiplicado por el divisor, se acerca más. 5º Multiplicamos ese número por el divisor y lo que nos dé lo volvemos a restar en el dividendo. 6º Repetimos este paso hasta que el número que nos dé, sea menor que el divisor. No se puede dividir más. Ese número será el resto. Prueba de la división
El dividendo = divisor x cociente + resto 31 = (5 x 6) + 1 5623 = (267 x 21) + 16
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UNIDAD 1
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Números romanos y Sistema Métrico Decimal
Los números romanos 1 5 10 50 100 500 1.000 Normas de escritura:
I* V X* L C* D M*
1ª Los signos principales (*) se pueden repetir hasta tres veces III = 3; XXX = 30 2ª La letra a la derecha de otra de mayor valor se suma a ella. XI = 11; CV = 105 3ª La letra a la izquierda de otra de mayor valor se resta a ella. IX = 9; XC = 90 4ª Las letras principales sólo pueden estar precedidas de la principal anterior Las letras secundarias sólo pueden estar precedidas de la principal anterior CM = 900;
XL = 40;
5ª Una raya horizontal sobre un número lo multiplica por 1.000 VI = 6.000,
LX X = 60.010
Pasar del sistema decimal al romano: Se descompone el nº en sumas y se transforman esas sumas a nº romano Ej. 1.425 = 1.000 + 400 + 20 + 5 M + CD + XX + V Los números naturales
1.425 = MCDXXV
N
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto Los símbolos que se utilizan para escribir los números se llaman cifras. Los números naturales los podemos descomponer en: Centenas Decenas Unidades de millón de millón de millón 1 cM
5 dM
4 uM
Centenas de millar
Decenas de millar
Unidades de millar
Centenas
Decenas
Unidades
3 cm
6 dm
1 um
3c
2d
9u
154.361.329 Ciento cincuenta y cuatro millones, trescientos sesenta y un mil, trescientos veintinueve 154.361.329 = 100.000.000 + 50.000.000 + 4.000.000 + 300.000 + 60.000 + 1.000 + 300 + 20 + 9
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Operaciones combinadas Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones combinadas Primero se calculan las multiplicaciones y divisiones, y después, las sumas y restas. 25 : 5 – 3 + 4 x 6 = (25 : 5) – 3 + (4 x 6) = 5 – 3 + 24 = 26 Utilización del paréntesis En una serie de operaciones con paréntesis, primero se efectúan las que están dentro del paréntesis y después las que están fuera. 5 x (14 – 2 x 3) – 10 = 5 x (14 – 6) – 10 = 5 x 8 – 10 = 40 – 10 = 30
Uso de la calculadora Propiedad Distributiva de la multiplicación respecto de la suma o de la resta Multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y después sumar los productos. 2 x (8 + 4) = (2 x 8) + (2 x 4) = 24 Multiplicar una resta por un número es igual que multiplicar cada término por ese número y después restar los resultados. 2 x (8 – 4) = (2 x 8) – (2 x 4) = 8 5 x (8 + 4 – 3) = (5 x 8) + (5 x 4) – (5 x 3) = 45 Sacar factor común Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. Pongamos un ejemplo de sacar factor común. Si tenemos la operación (2 x 7) + (3 x 7), que tiene como factor común el 7, podríamos transformar esta operación en 7 x (2 + 3)
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UNIDAD 2
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Números decimales y dinero
Lectura y escritura 27´564
Se lee 27 unidades y 524 milésimas
Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separados por una (´). Ceros en las últimas cifras decimales Si añadimos ceros a la derecha de la parte decimal de un número, éste no varía. 7´5 = 7´50 = 7´500 Ordenar números decimales 1º Comparar la parte entera
45´560 > 43´64 > 23´960
2º Completar con ceros las tres cifras decimales
32´6;
32´600 ;
32´006;
32´006;
32´06;
32´060;
3º Comparar la parte decimal de los números con igual número entero. 32´600 > 32´060 > 32´006 Nº decimales sobre la recta numérica Los nº decimales se representan sobre una recta numérica de menor a mayor de izquierda a derecha, es decir cuanto mayor es el número más a la derecha se representará sobre la recta.
El dinero: El euro y los céntimos En algunos países de Europa la unidad monetaria es el euro. Las cantidades de dinero se pueden expresar como números decimales en la que la parte entera corresponde al euro y la decimal a los céntimos. Para resolver operaciones de euros y céntimos, escribiremos las cantidades en forma de número decimal. 45 € 30 cts. = 45´30 € ;
36 € 18 cts. = 36´18 € ; 14 € 3 cts. = 14´03 €
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Suma y resta de números decimales: Se colocan los números, uno debajo de otro, de modo que coincidan los órdenes de unidades. (Unidades debajo de unidades, décimas debajo de décimas etc.) Se suma o se resta igual que los N , sin olvidar colocar la coma en el lugar correspondiente. 3.145 – 56´89 =
34´45 + 23´6 + 18 = 34´45 23´6 18 + 76´05
3.145 56´89 – 3.088´11
Multiplicar y dividir por 10, 100, 1000 … Al multiplicar por la unidad seguida de ceros es igual al mismo número con tantos ceros añadidos como hay en 10, 100, 1.000… 24 x 10 = 240;
25 x 100 = 2500;
145 x 1.000 = 145.000
Para dividir por la unidad seguida de ceros se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros acompañan a la unidad. 245 : 10 = 24´5;
234 : 1.000 = 0´234;
45´5 : 100 = 0´455
Multiplicar números que acaban en cero Para multiplicar números que acaban en ceros, multiplicamos primero los factores sin ceros y luego, añadimos los ceros finales que hay entre los dos. 5 x 300 = 5 x 3 x 100 = 15 x 100 = 1.500 Estimación de resultados en la multiplicación Consiste en aproximar uno de los factores a la decena, la centena o la unidad de millar más próxima 7 x 69 = ?;
7 x 70 = 490
Multiplicación de números decimales: Se efectúa la multiplicación como si fuesen N Se cuenta el número de cifras decimales de los factores y se coloca una coma en el resultado, dejando a la derecha tantas cifras como decimales haya en los dos factores. 23´45 x 123´5 = 2.896´075
167 x 3´2 = 534´4
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Multiplicar un número decimal por 10, 100 y 1.000 Para multiplicar un número decimal por 10, 100 ó 1.000, se desplaza la coma tantos lugares hacia la derecha como ceros acompañen a la unidad. Cuando no hay suficientes cifras para desplazar la coma, se añaden los ceros necesarios a la derecha. 32´65 x 10 = 326´5 32´65 x 100 = 3265 32´65 x 1.000 = 32650 División de un número decimal entre un número natural Se realiza la división como si se tratase de dos números naturales, pero, al llegar a la cifra de las décimas, se coloca una coma en el cociente, detrás de las unidades. 567´8 18 27 31´5 98 8
-
Si la parte entera del dividendo es más pequeña que el divisor: Se escribe un 0 en el cociente y, después, la coma decimal. Si después de colocar un cero en el cociente, el primer dividendo parcial continúa siendo menor que el el divisor, debes añadir otro cero en el cociente. 4´58 208 08
25 0´18
0´458 25 208 0´018 08
División de números decimales:
(Decimales en el dividendo y divisor)
Cuando tengamos este caso, lo primero es transformar la división para dejar el divisor con un número natural, para ello se multiplica por 10, 100, 1000 etc. el dividendo y el divisor, de forma que la división no se altere, pero desaparezca la coma en el divisor. Si deseo dividir se quedará de esta manera
20´55 : 0´7 205´5 : 7
tengo que multiplicar dividendo y divisor por 10 con lo que después dividimos normalmente.
Dividir un número decimal entre 10, 100 y 1.000: Para dividir un número decimal entre 10, 100 ó 1.000, se desplaza la coma uno, dos o tres lugares, respectivamente, hacia la izquierda. Cuando no hay suficientes cifras, completamos el número añadiendo ceros a la izquierda. 46´57 : 10 = 4´657 46´57 : 100 = 0´4657 46´57 : 1.000 = 0´04657
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UNIDAD 3
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La longitud
Unidades de longitud
El metro es la unidad de longitud en el Sistema Internacional
Múltiplos y submúltiplos del metro
mam Km 2
hm
dam
3
2
hm 0 0 3 3
dam
m
dm
cm
mm
m
dm
cm
mm
0
0
2 Km = 20 hm = 2.000 m 32 dam = 320 m = 32000 cm
mam
Km 2 2
0 2 2
0 0 0
Para pasar de una unidad a otra, se multiplica o divide por la unidad seguida de ceros Forma incompleja
Cuando expresamos una cantidad en una sola unidad de medida 8. 358 dm; 8. 358 dl;
Forma compleja
700 m; 700 l;
2. 675 cm 2. 675 cl
Cuando la expresamos en diferentes unidades. 8 hm, 3 dam, 2 dam, 6 m, 8 hg, 3 dag, 2 dag, 6 g,
5 m, 7 dm, 5 g, 7 dg,
8 dm 5 cm 8 dg 5 cg
Sumar y multiplicar en forma compleja 1º Se suman o multiplican las unidades por separado y las unidades mayores de 10 se pasan a forma compleja. 2º se suman los distintos términos. dam
m
dm
cm
1
3 8 1
2 4 6
4 3 7
3m 2 dm 4 cm + 8m 4 dm 3 cm = = 11 dm 6 dm 7 cm
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UNIDAD 4
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Líneas rectas y ángulos
Coordenadas de un plano Para localizar mejor un punto concreto sobre un Plano utilizamos el sistema de coordenadas. Ejes de coordenadas Lo forman dos ejes perpendiculares entre sí (el horizontal x y el vertical y) que se cortan en el origen (punto o) Nos indican de forma precisa un punto en el plano. Cada punto en el plano tiene dos coordenadas (x,y) Par ordenado Los pares ordenados localizan un punto en el plano. Se representan entre paréntesis y separados por una coma. El primer elemento del par pertenece al eje horizontal (x) y el segundo elemento pertenece al eje vertical (y) Ej. (3,1) ; (-2,4) ; (-4,-2) ; (2,-3)
Las rectas Líneas infinitas que no se curvan ni forman ángulos. No tienen principio ni fin. Por su posición
Verticales
inclinadas (oblicuas)
horizontales
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Clases de rectas Secantes
Dos rectas que se cortan en un punto
Paralelas
Que no se cortan en ningún punto
Perpendiculares
Rectas secantes que al cortarse forman 4 ángulos rectos
Semirrecta Al trazar un punto A sobre una recta. Ésta queda dividida en dos semirrectas, por tanto siendo infinitas tienen un origen en el punto trazado. A
Segmento Si sobre una recta trazamos dos puntos A y B, el espacio entre ambos es un segmento que tendrá origen en A y fin en B.
A
B
Mediatriz de un segmento Es la recta que corta perpendicularmente a un segmento por su punto medio
A
B
Los ángulos Dos semirrectas unidas por el mismo origen forman un ángulo
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Elementos de un ángulo V
V
Vértice V y lados VA y VB
B
A Los ángulos se denominan con la letra de su vértice: V Bisectriz de un ángulo Es la recta que pasa por el vértice de un ángulo dividiéndolo dos partes iguales
Clasificación de los ángulos por su abertura Ángulo obtuso > 90 Ángulo agudo
<
90
Ángulo recto = 90
Ángulo llano = 180
Ángulo completo = 360
Las rectas y la circunferencia: RECTA SECANTE:
Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Fig. A
RECTA TANGENTE: Es la recta que tiene un punto común con la circunferencia. Fig. B RECTA EXTERIOR: Es la recta que no tiene ningún punto común con la circunf. Fig. C
Fig. A
Fig. B
Fig. C
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Posiciones relativas entre dos circunferencias
Exteriores: Circunferencias con ningún punto en común. Una circunferencia está fuera de la otra
Interiores: Circunferencias con ningún punto en común. Circunferencias una dentro de la otra.
Secantes: Circunferencias con dos puntos punto en común.
Tangentes interiores: Circunferencias con un punto en común. Una circunferencia dentro de la otra.
Tangentes exteriores: Circunferencias con un punto en común. Una circunferencia está fuera de la otra.
Concéntricas: Circunferencias con el mismo centro común.
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Posiciones relativas entre ángulos Ángulos consecutivos y adyacentes Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado y el vértice común
Ángulos consecutivos Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y además sus lados no comunes forman un ángulo de 180
Ángulos adyacentes Ángulos complementarios y suplementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus amplitudes = 90
30 + 60 = 90 Ángulos complementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus amplitudes es 180
120 + 60 = 180 Ángulos suplementarios Opuestos por el vértice Son los ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
Suma de los ángulos de un triángulo La suma de los ángulos de un triángulo siempre es 180