Ensayo 1 PDV 2015 by matematicas LNM

C u r s o : Matemática

ENSAYO EX CATEDRA N° 1 MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1.

Esta prueba consta de 80 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

Antes de responder las preguntas N° 74 a la N° 80 de esta prueba lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 73.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS



es menor que



es congruente con



es mayor que



es semejante con



es menor o igual a



es perpendicular a



es mayor o igual a



es distinto de

ángulo recto

es paralelo a

log



ángulo

trazo AB

logaritmo en base 10



pertenece a

conjunto vacío

x

valor absoluto de x

[x] función parte entera de x

factorial de n

1. El cuádruplo del cuadrado de 4 es A) 20 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256

2. Al reducir la expresión 30 – 31 + 3-2 – 3-3, se obtiene

A) B) C) D) E)

27 20 20 27 7 27 7 27 52 27

3. Para obtener una pintura de un cierto color, un pintor mezcla 4 partes de pintura amarilla, 3 partes de pintura roja y 1 parte de pintura azul. ¿Cuál es el porcentaje de pintura roja en el total de la mezcla? A) B) C) D) E)

24 % 30 % 33,3 % 37,5 % 50 %

4. Si x =

4 , ¿cuál de las siguientes expresiones es un número irracional? 5

A) x3 B) x C) x2 D) x 1 E) x

5. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 3

A) B) C) D) E)

3·

II)

17 5

III)

2 5

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

1 6. Dados los racionales p =   2 Entonces, se cumple que

A) B) C) D) E)

2 ? 5

1 + 1, q =   4

1 + 1, r =   2

r<w<p<q p<r<q<w r<p<w<q q<w<p<r q<p<w<r

7. ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) escrito(s) en notación científica? I) II) III) A) B) C) D) E)

0,20 ∙ 105 4,08 ∙ 10-6 99,70 ∙ 106

Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

1 + 2 y w =   4

+ 2.

8. ¿Qué parte de una hora son 36 segundos?

A) B) C) D) E)

1 1.000 1 100 1 360 1 36 1 6

9. El valor de una caja de lápices de colores duplica el valor de un cuaderno. Si en la compra de dos decenas de cajas de lápices y 3 docenas de cuadernos se gastaron $ 60.800, ¿cuál es el valor de la caja de lápices? A) B) C) D) E)

$ 600 $ 800 $ 1.200 $ 1.600 $ 1.800

10. En una compañía, 40% de los empleados son profesionales universitarios. Si 30% de los profesionales universitarios tienen estudios de postgrado y 50% de los que tienen estudios de postgrado hablan alemán. ¿Qué porcentaje del total de empleados son profesionales universitarios con estudios de postgrados y hablan alemán? A) B) C) D) E)

6 12 18 24 30

% % % % %

11. Juan tiene 5 años menos que María y Clara tiene 3 veces más años que Juan. Si María tiene n años, ¿cuál de estas expresiones representa la edad de Clara? A) B) C) D) E)

5 – 3n 3n n–5 3n – 5 3(n – 5) 5

12. Si 2x – 3 =

A) B) C) D) E)

13.

P P , entonces + 1 es 4 2

4x – 11 4x – 5 4x – 2 x+1 x+2

xy  2y + x  2 = xy + x  5y  5

A) B) C) D) E)

x  2 x  5 x–5 x–2 y+1 2 5

14. Si a y b son números naturales consecutivos, tales que a < b, entonces 3a2 – 2b2 es igual a A) B) C) D) E)

a2 a2 a2 a2 a2

+ 4a – 2 – 2a + 4 – 4a – 2 + 2a – 4 – 2a – 2

15. Dos ángulos suman 106º y la diferencia entre el suplemento de uno de los ángulos y el complemento del otro ángulo es 40º. Entonces, ¿cuánto mide el mayor de ellos? A) B) C) D) E)

78º 74º 62º 36º 28º

16.

3n + 4  6 · 3n + 1 3n + 1 · 7

A) B) C) D) E)

17.

1 3 3n + 4 3n + 1 3n + 4 3n + 1

2·3 4 2

A) 2 ·

B) 2 ·

C) 2 · D) 2 E) 8

18. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa 2ab 2. Si se construye un cuadrado sobre uno de sus catetos, el perímetro de este cuadrado es A) B) C) D) E)

4ab 2ab2 2a2b2 4ab2 2 ab 2

19. En la ecuación (x – 3)2 – 1 = 0, se cumple que A) B) C) D) E)

tiene tiene tiene tiene tiene

una raíz positiva y otra negativa una raíz nula raíces reales y positivas las dos raíces iguales las dos raíces complejas 7

20. En la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

La ecuación de la recta L es 2x + y – 6 = 0. Una recta perpendicular a L, tiene por ecuación x – 2y + 8 = 0. La recta L pasa por el punto (-2, 10). y 6

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

fig. 1

21. Si f(x) = 2x, entonces ¿cuál es el valor de f(x + 1) · f(3x -1)? A) 16x B) 43x C) 23x D) 24x + 2 E) 2x + 1 22. Si log P+ log 5 = 2, entonces P =

A) 100 B) 50 C) 20 D) 10 2 E) 5 23. El conjunto solución para la inecuación 5x – 1 ≤ 7x + 4 es

A) x  -5 2 5 B) x  2 C) x  -5 2 5 D) x  2 E) x  5 12

24. ¿Cuál (es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

810,25 = 3 log 0,5 = -1 2 16

-1 3

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

25. Si f(x) = x2 + x, entonces f(2n – 1) = A) B) C) D) E)

2n2 4n2 + 1 2(2n – 1) 2n(2n – 1) 2n(2n + 3)

26. Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 9 cm y 10 cm, entonces ¿cuál(es) de las siguientes longitudes podría(n) corresponder al tercer lado? I) II) III) A) B) C) D) E)

1 cm. 18 cm. 20 cm.

Solo I Solo II Solo I y III I, II y III Ninguna de las anteriores

27. En la figura 2, PC  AB . Si la medida del ángulo BAP es 40º, entonces el ángulo ABC mide P A) B) C) D) E)

50º 40º 30º 20º 10º

fig. 2

A P C P

28. Los lados de un triángulo ABC, son a, b, c y sus alturas son ha, hb y hc, respectivamente. El enunciado: “En todo triángulo, las alturas son inversamente proporcionales a los lados correspondientes” se traduce en la expresión

a b c = = ha hb hc

B) C) D) E)

a a a a

: b : c = h a : hb : hc : b : c = h b : hc : h a · b · c = ha · hb · hc · ha = b · hb = c · hc

29. En la figura 3, AM mide 48 cm. P se ubica a 3 cm de R, que está a 10 cm de A y 3 SM + AR PS = PM . Entonces, 2 5 A) B) C) D) E)

24 cm 19 cm 17 cm 15,5 cm 12 cm

fig. 3

30. ¿En cuál de los h(x) = (x – 1)2 + 1? A)

siguientes

gráficos

está

mejor

representada

y x

función

31. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es factor del polinomio x4 – x3 + x2 – x? A) B) C) D) E)

1 x x–1 x2 + 1 x2 – 1

32. Al resolver el sistema de ecuaciones A) B) C) D) E)

x x x x x

= = = = =

2 2 -2 -2 2

; ; ; ; ;

y y y y y

x+y=1 x  y=3

se obtiene

=5 = -1 =1 = -1 =0

33. Si an + 1 = 12 y an – 1 = 4, entonces a8 = A) 3 B) 9 C) 10 D) 27 E) 81 34. Una señora compró un repuesto para su juguera y un repuesto para un televisor y al llegar a su casa se dio cuenta que no le servían. Logró vender cada repuesto a $ 9.900 y en uno ganó el 10% y en el otro perdió el 10%, entonces la señora A) B) C) D) E)

perdió $ 200. recuperó exactamente su dinero. ganó $ 200. perdió $ 1.000. ganó $ 1.000.

35. Sean p, q y r tres números enteros. Si p + q = 2, pr + q= 16 y qr + p = 6, entonces r-1 = A) B) C) D) E)

1 2 1 3 1 10 1 11 1 12

36.

6 10 =

360

600

180

D) 360 E) ninguna de las anteriores.

37. log100.000 = A) B) C) D) E)

5 6 7 8 0

38. Si en la ecuación

8 x x + x + 2 = x, usamos la incógnita auxiliar u = , entonces la 9 2 2

nueva ecuación es A) B) C) D) E)

2u2 + 9u – 18 = 0 2u2 – 9u + 18 = 0 u2 – 9u – 18 = 0 2u2 – 9u – 18 = 0 u2 + 9u – 18 = 0

39. El conjunto de todos los números reales que satisfacen la desigualdad 4x + 3  5 son A) [2, 5] 1  B) - ,  2  1  C) -8,  2  D) [-2, 2] E) [3, 4]

40. Los valores de x para los cuales la expresión

2x + 3 está definida en los reales son

3  A) ]-, 1] U  , +   2   B) lR C)  D) [1,+[  3  E) - , +    2 

41. Con respecto a la parábola de ecuación y = (x + 2)2 + 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Su vértice es el punto (-2, 5). Su eje de simetría es la recta x = 2. Intersecta al eje y en el punto (5, 0).

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

42. Para ciertos valores de K la diferencia de las raíces (o soluciones) de la ecuación x2 – 2kx + 3k = 0 es 4, entonces la suma de todos esos valores de k es A) -2 B) 3 C) 0 D) 11 E) 4

43. El punto simétrico de A(6,8) en el plano cartesiano con respecto al punto (1,3) es A) B) C) D) E)

(-1,-2) (-3 -4) (-4,-2) (0,-3) (-4,-3)

44. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos permite(n) teselar el plano? I) II) III) A) B) C) D) E)

Triangulo isósceles. Cuadrado. Pentágono regular.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

45. El valor de la expresión sen2(x + y) + cos2(x + y), siendo x e y ángulos cualesquiera es A) B) C) D) E)

0 1 2 0,5 0,6

46. En la figura 4 el triángulo ABC es isósceles de base AC y AD = CE . Entonces, BAD  BCE por postulado B A) B) C) D) E)

fig. 4

LLA LLL ALA LLA> LAL A

47. En la figura 5, PQRS es un rectángulo de lados paralelos a los ejes x e y. Si las coordenadas de P son (a, b) y las de R son (c, d), entonces las coordenadas de Q son y A) B) C) D) E)

(c, b) (c, a) (d, b) (a, d) (b, d)

fig. 5

Q x

48. Al girar la figura 6 por el eje y, la parte achurada genera un cuerpo. ¿Cuál es su volumen? (Considere  = 3). x A) B) C) D) E)

5 10 15 20 25

cm3 cm3 cm3 cm3 cm3

fig. 6 5 cm

1 cm

eje

49. La mamá de Juanito se hace una ecografía, pues tiene un embarazo de 6 meses. La fotografía que le entregan tiene la forma de la figura 7, formada por dos sectores circulares de radio 6 y 12 cm. ¿Cuál es el valor del área achurada que corresponde al feto? A)  B) 2 C) 6 D) 9 E) 12

cm cm2 cm2 cm2 cm2

30º

fig. 7 12

50. Si la diagonal de un cuadrado mide a + b, entonces el perímetro de un segundo cuadrado, cuya área es el doble del primero, es A) B) C) D) E)

2(a + b) 4(a + b) (a + b)2 a2(a + b) 2 (a + b)

51. Pablo necesita saber el tamaño de su dormitorio para alfombrarlo; el tiene un plano de escala 1 : 50; en él se aprecia que el dormitorio es rectangular y que el largo es 6,4 cm y el ancho 8 cm. La superficie del dormitorio es A) 12,8 cm2 B) 12,8 m2 C) 51,2 m2 D) 204,8 m2 E) 204,8 cm2

52. En un rectángulo el lado menor es a y el lado mayor es el triple del menor. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

El perímetro del rectángulo es 8a. El área del rectángulo es 3a2. El área de un cuadrado de igual perímetro es 4a2.

Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

53. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura 8. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED? C fig. 8 A) 1 metro B) 3 metros D 6m C) 6 metros D) 9 metros 2m E) 30 metros A E B 54. Con respecto a la figura 9, se realizan las siguientes afirmaciones, ¿cuál de estas afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

 – 2 3 APB = – 2 3 5 + CPA = 2 2

CPB =

2



3

fig. 9

2 A

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

55. En la circunferencia de centro O de la figura 10, el radio mide A) 5,4 B) 7,0 C) 10,8 D) 13,5 E) 19,0

B fig. 10

O D

56. El cuadrado ABCD de la figura 11, tiene un perímetro de p cm. Si en el cuadrado EFBG y AB FB = , ¿cuánto mide el área del cuadrado EFBG? 3

A) B) C)

p 4 p 12 p 3

C fig. 11 E

p2 4

p2 144

G B

57. Si O es el centro de la circunferencia de la figura 13 y OC = 20 cm, OD = 16 cm, ¿cuánto mide el trazo AB? A) 7 cm B) 24 cm C) 3 41 cm D)

4 41 cm

3 20 cm

B fig. 12

58. En el triángulo ABC de la figura 13, PM // AB . Si PM = 10, AB = 15 y CT = 12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de x?

A) B) C) D) E)

10 15 10 15 10 15 10 15 10 15

= =

= = =

12  x 12 12  x x x  12 12 12 12  x 12 x

fig. 13 P

M x

59. La generatriz de un cono recto mide 13 cm y la altura 12 cm. ¿Cuál es su volumen? A) 300 cm3 B) 144 cm3 C) 100 cm3 D) 1.872 cm3 E) 2.028 cm3 60. Se desea forrar una caja cúbica con tapa de arista x. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir? A) 12x2 B) 6x2 C) x2 D) 4x2 E) 8x2 61. Según el censo 2002, la siguiente es una distribución de jefes de hogar según grupo étnico en Chile. Hombre

Mujer

Total

Mapuche

117.650

46.895

164.545

Aymara

9.137

4.686

13.823

Atacameño

4.495

2.244

6.739

Quechua

1.190

570

1.760

Total

132.472

54.395

186.867

Si se escoge una de estas personas al azar y resulta ser de la etnia quechua, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer jefe de hogar?

A) B) C) D) E)

50 186.867 1.760 186.867 570 54.395 570 1.760 Ninguna de las anteriores.

62. Al lanzar un dado rojo y uno azul, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus puntos sea menor que 4 ó mayor que 11?

A) B) C) D) E)

4 12 1 9 2 9 1 12 2 12

63. Luis juega a lanzar 3 monedas, él gana cuando salen más caras que sellos. Entonces, su probabilidad de ganar es

A) B) C) D) E)

1 2 1 4 3 8 1 8 3 4

64. En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres. El resto comió pescado. Si se elije una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya comido pescado? A) 0 B) 0,24 C) 0,36 24 D) 60 36 E) 60

65. La tabla muestra la votación de los alumnos de una universidad acerca si están a favor o en contra de la ley de divorcio. Con respecto a lo que se observa en la tabla, A favor

En contra

Alumnos

Alumnas

Es verdadero que: I) II) III) A) B) C) D) E)

La probabilidad de que un hombre esté a favor es de 35%. La probabilidad de que un hombre esté a favor o una mujer esté en contra es 45%. 2 Más de los del alumnado está a favor de la ley. 3

Solo II Solo I y II Solo II y III Solo I y III I, II y III

66. Las edades de los jóvenes de un grupo musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años. Entonces, es verdadero que I) II) III) A) B) C) D) E)

Solo Solo Solo Solo Solo

la media es 14 años. la mediana es 15 años. la moda es polimodal.

I II III I y II I y III

67. La tabla muestra las edades de los jóvenes de un grupo de una parroquia. Con respecto a la información de la tabla, es FALSO A) B) C) D) E)

Edad 14 15 16 17 Total

El 25% tiene 15 años. La moda es 16 años. La media es 15,5625 El 35,7% tiene 16 años. La mediana es 16 años.

fi 6 8 12 6 32

68. Las notas de Marcela en Matemática son: 3,5; 4,2; 5,3; 2,8; 5,6; y 5,6. Con respecto a esta situación, es verdadero que I) II) III) A) B) C) D) E)

su media es 4,5. la moda es un 5,6. si Marcela obtiene en un trabajo un 5,8 y lo remplaza por su peor nota, su media ahora es un 5,0.

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

69. ¿Cuál es la desviación estándar de 2, 5, 6 y 7?

7 2

D) 4 E) 5 70. Si A = (1, 5) y B = (5, 6), entonces AB es igual a

71. ¿Cuál es la varianza de los números 1, 2, 3 y 10?

A) B) C) D) E)

25 2 25 2 50 2 50 2 4

72. Para que las rectas (-1, 4) + (3, 5) y (3, 8) + (-1, -k) sean perpendiculares, k debe ser 3 5 3 B) 5 5 C) 3 5 D) 3

A) -

73. Al lanzar dos dados se obtiene como suma un número par. ¿Cuál es la probabilidad que no aparezca ningún número primo?

A) B) C) D) E)

1 18 2 18 3 18 4 18 5 18

Evaluación de Suficiencia de Datos Instrucciones Para las Preguntas N° 74 a la N° 80 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra: A)

(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

(2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta.

Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2. (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q. A) B) C) D) E)