Geometría métrica

Guía Nº 4 Geometría Métrica

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple: a2 + b2 = c2 Este teorema permite obtener algebraicamente la medida de un lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos lados, para evitar cálculo existen tríos pitagóricos, es decir números que cumplen con el teorema de Pitágoras.

Aplicaciones:

D

L

L h

L/2

L 3 2 Tríos Pitagóricos: son tríos de números que satisfacen al Teorema de Pitágoras. h

DL 2

3, 4, 5 6, 8, 10 9, 12, 15 3k, 4k, 5k Casos especiales: i)

32 + 42 = 52

5, 12, 13 10, 24, 26 15, 36, 39 5k, 12k, 13k

ii)

a n2  1

a

n·a

52 + 122 = 132

30º

L 3 2

L

60º

L 2

1

Perímetro: es la medida del contorno o borde de una figura.

- El perímetro de un polígono cualquiera es la suma de sus lados.

- En el caso de un polígono regular (iguales lados) se debe multiplicar la medida del lado por el número de lados.

Ejemplos de perímetros: TRIÁNGULO EQUILÁTERO

CUADRADO

L

RECTÁNGULO L

P= 4 ·L

P = 3·L

a

L P = 2L + 2 a HEXÁGONO REGULAR

PENTÁGONO REGULAR

L

L P = 5L

P = 6L

Perímetro de una circunferencia:

B

P    D  2r

O D

Longitud del AB =



r

  D 360º

A

2

Área: es la medida de la superficie que encierra una figura, las unidades de medida son cuadrados de área unitaria (cm2, m2, km2, etc.).

h

b

b

A TRIÁNGULO 

1 bh 2

APARALELOGRAMO  b  h

A

L

L 2

ARECTÁNGULO  L  A

ACUADRADO  L b

h

D

B

Bb A TRAPECIO  h 2 Bb Mediana  m  2

d

El área de cualquier cuadrilátero de diagonales perpendiculares es: A=

Dd 2

3

Áreas circulares

B r r

O 

O

A  r2

A

Observación: En un triángulo equilátero el área se obtiene como:

A

  r2 360º

L2 3.

4

Criterios de áreas: i) ii)

Para encontrar el área de una figura esta se debe transformar en otra conocida de acuerdo a la información recibida.

Para encontrar el área de una figura esta se debe dividir en áreas conocidas, de acuerdo a la información recibida.

Casos de igualdad de áreas:

L1

A

A

A

A L1 // L2

A

A

A

L2 Si un triángulo o un paralelogramo están inscritos en paralelas y tienen igual base tiene igual área.

A

A

Al trazar la transversal de gravedad se generan 2 triángulos de igual área.

Si dos o más triángulo tienen sus bases iguales y colineales y comparten el tercer vértice tienen igual área.

A A A A A A Al trazar las tres transversales de gravedad se forman 6 triángulos de igual área.

4

Geometría de proporciones Semejanza: Dos figuras se dicen semejantes () si estas tienen igual forma.

C’

Semejanza de triángulos:

C

c

A

a’

b’

a

b

B

A’

c’

B’

  '

  ' ABC

  '

A 'B' C' 

 a b c   a' b ' c ' Para probar que dos triángulos son semejantes se deben utilizar los postulados de semejanza, a continuación daremos dos de ellos los más usados.

(A,A) ángulo, ángulo Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.

(L,L,L) lado, lado, lado Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema de Tales.

Si dos rectas no paralelas son cortadas por una familia de paralelas, entonces en las rectas no paralelas se forman segmentos proporcionales.

Si L1 // L2 // L3, entonces L1

a

c L2

b

a c  b d

d L3

5

División de trazos: Un trazo se dice dividido interiormente si hay un punto dentro del trazo que lo divide en dos segmentos que están en una razón determinada.

Un trazo se dice que esta dividido exteriormente si existe un punto en la prolongación del trazo que divide al trazo en una razón determinada.

A

E

B

A

E’

B

AE m AE ' m   División exterior EB n BE ' n Si un trazo esta dividido interiormente y exteriormente en la misma razón se dice que esta dividido armónicamente en dicha razón.

División interior

Razón Áurea o Razón de oro, si un trazo esta dividido de menara que el segmento mayor es media proporcional entre todo el trazo y el segmento menor.

E

A

AB esta divido áureamente si:

B

AB AE   AE2  AB  EB AE EB

Teorema de Euclides Si en un triángulo rectángulo se dibuja la altura desde el ángulo recto, entonces se generan las siguientes relaciones:

A q Teorema de los catetos a2 = p · c b2 = q · c

c b

p

Teorema de la altura h2 = p · q C

a

B

Teorema de la bisectriz:

C

Sea ABC un triángulo cualquiera y CD bisectriz, entonces:

AC AD  CB DB

A

D

B

6

Observación: Al trazar las transversales de gravedad en cualquier triángulo estas se intersectan de manera que generan dos segmentos que están en la razón 2 : 1

2p

p

Proporcionalidad en una circunferencia: Dos cuerdas. a d b

a·b=c·d c

b Dos secantes que se intersectan. a a·b=c·d c d Una tangente y una secante. a a2 = b · c

b

c

7

Observaciones: i)

Si dos figuras son semejantes, entonces todos sus elementos lineales correspondientes están en la misma razón.

ii)

Si dos figuras son semejantes, entonces sus áreas están en una razón igual al cuadrado de la razón en que están sus elementos lineales correspondientes.

Trigonometría Como basta saber que en dos triángulos rectángulos dos ángulos agudos sean iguales para concluir que dichos triángulos son semejantes y por tanto las razones entre sus lados son iguales, entonces podemos establecer que existe una relación directa entre la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo de él.

Razones trigonométricas: Sea triángulo ABC rectángulo en C, luego:

a cateto opuesto Seno; sen   c hipotenusa b cateto adyacente Coseno; cos    c hipotenusa a cateto opuesto Tangente; tg   b cateto adyacente

B

 c

a

 A

b

C

También existen las recíprocas, estas son:

c hipotenusa 1   a cateto opuesto sen c hipotenusa 1  Secante; sec    b cateto adyacente cos  b cateto adyacente 1  Cotangente; ctg   a cateto opuesto tg Cosecante; csc  

Identidades trigonométricas: Es una igualdad que se verifica para identidades elementales a saber son: i) ii)

sen  cos(90º ) cos   sen(90º )

iii)

tg 

iv)

sen2  cos2   1

cualquier ángulo, las

sen cos 

8

Ecuaciones trigonométricas: Son aquellas en que la incógnita es un ángulo afectado por una razón trigonométrica, para despejarlas se debe llevar a una sola función para determinar el ángulo (incógnita) que la satisface, en los aso de PSU sólo se consideran ángulos desde 0º a 90º.

Valores notables: 0º

30º 1 2

45º

60º

2 2

Seno

0

Coseno

1

3 2

2 2

3 2 1 2

Tangente

0

3 3

1

3

90º 1 0 

VOLÚMENES, ISOMETRÍAS e SIMETRÍAS Cuerpo: es una figura de tres dimensiones, esta limitado por superficies planas o curvas.

Prisma: cuerpo formado por dos caras paralelas congruentes y poligonales, llamadas bases.

Todas las caras laterales son paralelogramos.

base

arista cara base

vértice

Volumen: es la cantidad de cubos de volumen unitario que caben exactamente en un cuerpo.

El volumen de todo prisma es área basal · altura El área de todo prisma es la suma de las áreas de todas sus caras.

Algunos prismas son; el cubo, el paralelepípedo recto, etc.

9

CUBO

PARALELEPÍPEDO RECTO

L

h a

L

L

L Vol. = L3 Área = 6L2

Vol. = L · a · h Área = 2La + 2ah + 2Lh PIRÁMIDE

h

base

Vol. =

1 área basal · h 3

h: altura Cuerpos redondos estos cuerpos están limitados por superficies curvas, los cuerpos redondos más conocidos son el cilindro, el cono y la esfera.

CILINDRO CONO ESFERA r r

r Vol. =  r2h Área = 2  r2 + 2  rh

Vol. =

1 2 r h 3

Área =  r2 + área del manto

Vol. =

4 3 r 3

Área = 4  r2

Manto: superficie curva que limita a un cuerpo redondo.

Transformaciones isométricas: son todas aquellas transformaciones en que la figura original es congruente con la figura final.

10

Traslación: es cuando cada punto de la figura se traslada de acuerdo a un vector traslación.

figura original

figura final

Rotación: es cuando la figura es girada una cantidad de grados en torno a un punto, se dice que el giro es positivo cuando se hace en el sentido contrario a los punteros del reloj.

figura original

centro de rotación figura final Reflexión: es cuando la figura es reflejada con respecto a un eje, los puntos homólogos o correspondientes equidistan del eje de reflexión.

figura original

figura final

eje de reflexión

11

Eje de simetría: es la recta que divide a una figura en dos partes congruentes, al doblar una figura por esta línea las dos partes coinciden al enfrentarlas, esta simetría recibe el nombre de simetría axial.

Centro de simetría: es el punto medio del segmento formado por el punto original y el transformado, en el caso de una figura, es el punto que equidista de todos los puntos originales y los transformados correspondientes. Se dice que una figura tiene centro de simetría, si existe un punto por el cual se rota la figura una magnitud angular y la figura resultante B’ coincide con la figura original.

C A’ La figura nos muestra a el centro de O simetría O, O es el punto medio de AA’, BB’ y CC’.

A Teselaciones

C’ B

Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc. El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de distintas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales....

Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.

Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

12

Ejemplos: Teselación regular con triángulos equiláteros.

Teselación regular con cuadrados.

Teselación regular con hexágono regulares.

Observación: Los polígonos regulares que teselan el plano son aquellos que tienen por medida de su ángulo interior a un divisor de 360º.

También existen teselaciones con figuras que no son regulares, a saber: i)

Todo triángulo tesela el plano.

ii)

Consecuencia de lo anterior, todo paralelogramo tesela el plano.

13

También pueden teselar dos figuras distintas, en especial combinaciones de polígonos regulares, en estos casos hay que verificar que en un nudo debe generarse 360º.

Ejemplos: En este caso aparece una teselación formada por un octógono regular y un cuadrado, si notamos que el ángulo interior de un octógono es 135º y 90º el cuadrado, por tanto; 135º + 135º + 90º = 360º.

En este caso tenemos una teselación formada por cuadrados y triángulos equiláteros, como esta indicado en la figura en el nudo marcado tenemos; 90º + 90º + 60º + 60º + 60º = 360º. Este ejemplo nos muestra también que si un pentágono regular no tesela el plano, existen varios pentágonos no regulares que teselan el plano, el pentágono achurado en la figura sería uno de los que teselan.

Otro caso de teselaciones es cuando a una figura que tesela el plano se la transforma generando otra que también tesela el plano. De este caso derivan muchas figuras conocidas, para representar este caso mostraremos algunas transformaciones simples.

En este caso hemos tomado un cuadrado que se sabe que tesela el plano, al cual se le recorta un triángulo el cual se desplaza hasta el lado opuesto, así se genera la baldosa o tesela, que cubre el plano, en este caso decimos que la teselación es por traslación.

14

En este otro caso hemos tomado el mismo cuadrado pero el triángulo recortado lo hemos rotado, lo cual nos genera una baldosa que teselará el plano por rotación.

Estas son las situaciones más simples de teselación, resumiendo nos podemos encontrar teselaciones con un pieza y estas pueden ser polígonos regulares o polígonos no reglares, en las cuales hay que tener presente que en un nudo debe generarse los 360º, y el caso de transformar una pieza en otra que tesela.

1.

El triángulo ABC de la figura 1, es rectángulo en C, si BC = 3DC, entonces AD = A)

9

B

2.

B)

65

C)

68

D)

73

E)

80

10 D C

8

A fig. 1

Un triángulo equilátero tiene por medida de una de sus medianas 4 cm., entonces su área es

A)

3

B)

2 3

C)

4 3

D)

8 3

E)

16 3

15

3.

4.

El valor de x, en la figura 2 es A)

3

B)

4

3 2

C)

5

45º

D)

5,5

E)

6

x

7 fig. 2

En la figura 3, los triángulos AMO y TEA son rectángulos, si E es punto medio de AM, O entonces el área del triángulo ATE es

A)

3

B)

2 3

C)

2

D)

4

E)

4 3

23

A

30º 60º

E

M

fig. 3

T 5.

Considerando un triángulo rectángulo de catetos a y b, si la hipotenusa es c y su área es k, entonces a + b = A) B) C) D) E)

6.

4kc2 4k

c2 c2 4k c2 k c2  4k

En un triángulo rectángulo un cateto es el triple del otro, si el menor de sus lados mide 4 cm., entonces su perímetro es A) B)

16 cm.

16 + 4 5 cm.

C)

16 + 4 10 cm.

D)

16 + 8 10 cm.

E)

16 + 4 17 cm.

16

7.

Sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC de la figura 4 se ha dibujado una semicircunferencia de diámetro AB, el arco menor AB tiene centro en C y radio igual al cateto AC. ¿Cuánto mide el área sombreada?

A) B) C)

D) E) 8.

a2 8 a2 4 a2 4 a2  4 2 a 2

B a

M

A

a

C fig. 4

En la figura 5, VALE es paralelogramo, el triángulo VAR es equilátero, si AL = RE = 5 cm., entonces el área del cuadrilátero VANE es R

A) B) C) D) E) 9.

Falta información 75 3 16 75 3 4 25 3 4 75 16

N

E

V

L

A

fig. 5

El rectángulo TELA de la figura 6 tiene área 36 cm2. Si en el lado RO del rectángulo TROL esta el punto E, entonces el área achurada mide A)

18 cm2

B)

12 cm2

C)

9 cm2

D)

6 cm2

E)

no se puede determinar

L

A

O T

E

R

fig. 6

17

10.

En la figura 7, PECO y CRUA son paralelogramos, luego el perímetro de la zona sombreada es O 2 R C 45º

A) B) C) D) E) 11.

4

E

fig. 7

6 6,5 12 13 15

En el rectángulo JAVI (figura 8) se ha inscrito el trapecio isósceles JAPO, ET es mediana, si VP = PO = OI, entonces el área del rectángulo JAVI es

A) B) C) D) E)

14.

A

P

O

I

13.

6

U

En un triángulo de lados 5, 12 y 13, si se traza una paralela al lado mayor, esta al cortar a los otros lados forma otro triángulo cuyo lado menor mide 2,5 entonces el perímetro del nuevo triángulo mide A) B) C) D) E)

12.

4 12 24 12 2 falta información

192 cm2 144 cm2 120 cm2 72 cm2 ninguna de las anteriores

E

P 24 cm.

V T

J

8 cm.

A

fig. 8

Las bases de un trapecio isósceles miden 24 cm. y 36 cm., si los otros lados miden 12 cm. cada uno, ¿cuál es el área del trapecio?

A)

180 2 cm2

B) C) D) E)

180 360 360 720

3 cm2 cm2 3 cm2 cm2

En la figura ABCD es cuadrado de lado 4 m., si AE : EB = 3 : 1, entonces el perímetro del cuadrilátero sombreado mide C D A) B) C) D) E)

14 m.

12 m.

10 m.

9 m.

5 m.

A

E

B

fig. 9

18

15.

Los lados de un triángulo miden 2 cm. y 4 cm. y 2 5 cm., luego el área de dicho triángulo es A) B) C) D) E)

16.

2 cm2 4 cm2 8 cm2 16 cm2 faltan datos para determinarla

El área del pentágono cóncavo MNPQR de la figura 10, es

21

1 , si MN = 2MR = 4NP = 8, 3

entonces el área del triángulo MNQ es

A) B) C) D) E) 17.

R

1 21 3 8 3 2 3

P

Q

M

24 8

N

El trapecio ABCD es rectángulo, A, D y E son puntos de tangencia, las suma de las bases es 16 y están en razón 3 : 5, si AD es el diámetro de la circunferencia, entonces el diámetro D C mide A) B) C) D)

6 8 10 4 15

E)

2 15

E O

fig. 11 B

A

18.

fig. 10

En el trapecio de la figura 12, las bases AB y CD miden 12 cm. y 8 cm. respectivamente, si E y F son puntos medios de los lados AD y CB, entonces MN = D C A) B) C) D) E)

2 3 4 5 6

cm. cm. cm. cm. cm.

E

M

N

F

fig.12 A

B

19

19.

20.

21.

En la figura 13, los dos círculos son concéntricos y la cuerda AB es tangente al círculo menor, para conocer el área del sector sombreado es necesario conocer (1) (2)

ryR AB

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

A

B

R

r O

fig. 13

En la figura 14, MICA es paralelogramo, la razón saber en qué razón están las áreas del triángulo MIO y el paralelogramo MICA es necesario conocer que (3) (4)

OI = IC O, A y C son colineales

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

O

A

M

I

fig. 14

En la figura 15, MN es paralelo a AB, entonces x = A) B) C) D) E)

C

25 28 30 18 12

x M 10 A

C 30 N 12

fig. 15

B

20

22.

En la figura 16 los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, AD y A’D’ son bisectrices, luego ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

C’

C D’ D

A

I)

III)

ACB  A 'C'B' AC AD  A 'C ' A 'D' ADC  A 'D'C'

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y III I, II y III ninguna

II)

23.

24.

B

B’

A’

fig. 16

En la figura 17, ABC es semejante con QPR , luego x = A)

20 7

B)

14

C)

16

D)

22

E)

25

R

C

10 x

Q A

20

8

B

P

fig. 17

¿En qué razón están las áreas de los triángulos de la figura 17?

A) B) C) D) E)

25 25 22 22 25

: : : : :

2 7 1 4 4

21

25.

26.

¿Cuál es el valor de x en la figura 18?

A)

10

B)

1,5

C)

7,5

D)

4,5

E)

6,5

10

fig. 18

En la figura 19, CONI es un rectángulo, si OT es perpendicular a CN, entonces es falso 16

I

A) B) C) D) E) 27.

28.

x

6

CT : TO = 4 : 1 CN = 4 17 ICN 

TON

NT : TO = 4 : 1 OT2 = NT · TC

N T

4

C

O

fig. 19

El diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB, figura 20, si CD = 10, entonces x = A)

4

B)

6

C)

8

D)

9

E)

10

D A

2 x

B

O

C

fig. 20

Si un segmento de 24 cm. es dividido interior y exteriormente en la razón 5 es a 1, entonces la distancia entre los puntos de división interior y exterior es A) B) C) D) E)

6 cm.

10 cm.

12 cm.

20 cm.

24 cm.

22

29.

En un triángulo de lados 5, 12 y 13, la bisectriz del mayor ángulo interior agudo divide al P  triángulo en dos triángulos de áreas P y Q, si P < Q, entonces Q

A) B) C) D) E)

30.

Dos circunferencias tienen sus radios en razón 3 es a 2, si la mayor tiene un perímetro de 12 , luego el área de la menor es A) B) C) D) E)

31.

1 3 5 13 6 13 1 2 7 13

36 24 18 12 81

Las dos circunferencias de la figura 21 son tangentes a la recta, si A y B son los puntos de tangencia y la distancia entre los centros es 15, entonces AB = B

6

A) B) C) D) E)

4 8 12 16 18

3

A

fig. 21

23

32.

En la figura 22, los triángulos ABC y LOC son rectángulos y semejantes, si sus hipotenusas son AB y LO, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

C

I)

E es punto medio de CB y LO.

II)

(LO + CO)(LO – CO) = AL · LB

III)

El triángulo LEC es equilátero.

E A

33.

A)

Sólo I

B)

Sólo II

C)

Sólo I y II

D)

Sólo III

E)

ninguna

B

L

fig. 22

Si los lados de dos octógonos semejantes están en razón 3 : 5 y el área del menor es 18 cm2, entonces el área del mayor es A) B) C) D) E)

34.

O

5 cm2 15 cm2 30 cm2 50 cm2 75 cm2

En la figura 23, L 1 //L 2 //L 3 luego x mide 8

A)

10

B)

16

C)

18

D)

15,5

E)

20

L1

2 12

L2

3 x

L3 fig. 23

24

35.

Si la sombra generada por un árbol es 12 m. y por un poste cercano a el es 8 m., entonces sus alturas pueden ser árbol

36.

37.

poste

A)

36 m. 16 m.

B)

24 m. 8 m.

C)

48 m. 24 m.

D)

15 m. 10 m.

E)

10 m. 6 m.

En la figura 24, PELO y CUAL son cuadrados, las medidas de sus lados son 4 cm. y 3 cm. respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I)

PL es perpendicular a LU

II)

Los perímetros de los triángulos PEL y LUA están en razón 4 : 3

III)

El área del triángulo LOP es al área cuadrado CUAL como 16 es a 9 L O A

A)

Sólo I

B)

Sólo I y II

C)

Sólo III

D)

I, II y III

E)

ninguna

C P

U

E

fig. 24

ABCD es paralelogramo, N es el punto de intersección de los segmentos AM y DB, si M es punto medio de DC y AN = 16 (figura 25), entonces MN = D

M

A)

4

B)

6

C)

8

D)

10

E)

Falta información para determinarlo

C

N 16 A

B

fig. 25

25

38.

En la figura 26 AT es bisectriz del ángulo BAC, luego AB = A)

30

B)

28

C)

26

D)

24

E)

22

8

40 T

B

En el rectángulo ARTE de la figura 27, RM es perpendicular a la diagonal AT, si RT = 1,3 m. y TM = 0,5 m., entonces la menor distancia que hay entre el vértice E y la diagonal AT es E

A) B) C) D) E) 40.

T M

12 m.

1,2 m.

0,12 m.

1 m.

0,8 m.

A

fig. 27

R

Los cuadriláteros ABCD y BEFG son rectángulos, el triángulo ABF es isósceles de base AF, GD es perpendicular a AF, si AD : DC = 1 : 4, entonces ¿en qué razón están las áreas de los rectángulos ABCD y BEFG? (figura 28) F

C

D A) B) C) D) E) 41.

fig. 26

6 A

39.

C

G

1 : 16 15 : 16 17 : 16 5:4 ninguna de las anteriores

A

E

fig. 28

B

En la figura 29 CD es diámetro de medida 26, entonces el coseno del

ABC es

B

A) B) C) D) E)

5 13 12 13 1 2

3 2

D

fig. 29

A

24

C

no se puede obtener pues ABC no es rectángulo

26

42.

¿En qué triángulo el coseno de un ángulo y el seno del mismo ángulo son iguales?

A) B) C) D) E)

43.

B) C) D) E)

45.

un triángulo de 30º, 60º y 90º un triángulo rectángulo escaleno un triángulo equilátero un triángulo rectángulo isósceles ningún triángulo

En la figura 30, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces ER = T E A)

44.

en en en en en

5 5 3 3 5 5 4

ninguna

R

A

fig. 30

Un segmento está dividido en razón áurea si: (1) (2)

su medida se expresa con una raíz cuadrada de cinco. si el mayor trozo es media proporcional.

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)

Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)

Se requiere información adicional

Si en un triángulo rectángulo se traza la altura desde el ángulo recto y esta divide a la hipotenusa en dos segmentos en razón 1 : 3, entonces para determinar la hipotenusa si (1) (2)

El cateto mayor mide 12 La altura es múltiplo de 3

A)

(1) por sí sola

B)

(2) por sí sola

C)

Ambas juntas, (1) y (2)

D)

Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E)

Se requiere información adicional

27

46.

En un triángulo ABC, AB = 6 y AC = 9. Desde el vértice B se traza una perpendicular a la bisectriz interna AF. Si N es el punto medio del lado BC, entonces NP = A) B) C) D) E)

47.

48.

En un triángulo ABC se traza la transversal de gravedad BM tal que MBC =65º, si AB = 18, entonces BM = A) B) C) D)

6 8 9 12

E)

6 3

50.

ABM =50º y

En un trapecio rectángulo ABCD, los ángulos en los vértices A y B son rectos, las bisectrices interiores de los ángulos no rectos se intersectan perpendicularmente en el punto P, ¿cuál es la medida de AB, si la distancia del punto P a CD es 4?

A) B) C) D) E)

49.

1 1,5 2 2,5 3

6 8 10 12 16

En un romboide ABCD se traza la bisectriz DM (M en BC). Si AB = 6, entonces la medida del segmento que une los puntos medios de AM y BD es A) B) C) D)

2 3 4 5

E)

2 3

El segmento AB cuya medida es 36 cm, es dividido exteriormente en la razón 7 : 3, luego la medida del segmento que une el punto medio de AB y el punto de división exterior es A) B) C) D) E)

9 cm 18 cm 27 cm 36 cm 45 cm

28

51.

En un triángulo de lados; 36 m, 54 m y 70 m, se traza la bisectriz del ángulo interior mayor, esta divide al lado mayor en dos segmentos, ¿cuál es la medida del menor de estos segmentos?

A) B) C) D) E)

52.

cm cm cm cm cm

9,6 cm 8 cm 6,4 cm 5 cm 4,8 cm

En el paralelogramo ABCD de lados AB 12 y AD = 8, la bisectriz del ángulo del vértice A, intersecta a la diagonal DB en M y al lado CD en N, luego MN : MA = A) B) C) D) E)

55.

2,4 3,0 3,6 4,8 5,0

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado inscrito en un triángulo isósceles, si su base mide 12 cm y la altura que llega a lavase mide 8 cm?

A) B) C) D) E)

54.

m m m m m

En un triángulo ABC, las alturas BE y CF miden 5 cm y 4 cm respectivamente, si el lado AB mide 6 cm, entonces el lado AC mide A) B) C) D) E)

53.

28 36 42 48 54

1 2 3 4 5

: : : : :

2 3 4 5 6

El trazo AB = 60 cm es dividido armónicamente en la razón 2 ; 3, luego la distancia entre los puntos de división interior y exterior es A) B) C) D) E)

24 cm 60 cm 120 cm 144 cm 156 cm

29

56.

En el trapezoide ALTO de la figura 31, K y h son los puntos medios, luego el área de AHTK es O

57.

K 10cm

A)

9 cm2

B)

16 cm2

C)

18 cm2

D)

20 cm2

E)

no es posible determinar el área de AHTK

8cm2 A

L

H

fig. 31

En la figura 32, VANE es un rectángulo, si S1 + S2 = 23 cm2, entonces S3 =

A) B) C) D) E)

17 19 23 27 30

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

E

N S3 S1

fig. 32

S2 A

V 58.

T

2

En un triángulo ABC se verifica que;

ABC 

BAC  90º . Si se traza la altura CH y

AB = 5u y BH = 4u, entonces CH = A) B) C) D) E) 59.

5u 6u 7u 8u 9u

En un triángulo rectángulo la suma de las tres alturas es 47 y la hipotenusa mide 25, ¿cuál es la medida de la menor altura?

A) B) C) D) E)

8 10 12 12,5 13

30

60.

Los lados consecutivos de un trapezoide de diagonales perpendiculares miden; 2, 3 y 4, ¿cuánto mide el cuarto lado del trapezoide.

A) B) C) D) E)

61.

7

3 4 5 11

El rectángulo ABCD de la figura 33 tiene 36 cm2 de área, si BF = FG = GE = EA, entonces el área achurada mide G A)

19 cm2

B)

20 cm2

C)

21 cm2

D)

22 cm2

E)

23 cm2

F

E

D

fig. 33

A 61.

B

¿Cuál es la proporción correcta en la figura 34, si AC  E

A)

EC  CA  FD  DB

B)

EC  FD  EA  FD

C)

CE  FD  AC  DC

D)

CE  DB  FD  AC

E) 62.

C

2 AE y DB  2  DF ?

3

F

C

D

fig. 34 B

A

Ninguna de las anteriores

¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura 35, en torno al lado BC? C

D

A) B) C) D) E)

30  cm3 45  cm3 75  cm3 180  cm3 300  cm3

5 cm

fig. 35 A

3 cm

B

31

63.

En la figura 36, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda AC =

2 y el 2

ABC es inscrito de 45º?

C A)

64.

2 4

B)

1 3

C)

1 4

D)

1 2

E)

1

O 45º

A

fig. 36

En la figura 37, AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?

D A) B)

2 6

C)

2 3

D)

3 3

E)

3 2

C

Q A

65.

B

fig. 37

B

En la figura 38, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide 2 A B A) B) C) D) E)

5 2

1

1

E

5 2 5 3

D

C

2 5

1

F

fig. 38

32

66.

67.

Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura 39, donde PC = 3PB, QD = 2QC y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del Δ DMQ es A)

k2 9

B)

k2 3

C)

4k 2 9

D)

2k 2 9

E)

k2 6

En la figura 40, sen  = (1) (2) A) B) C) D) E)

B

A

P M

D

Q

C fig. 39

4 , se puede afirmar que UT = 7 si: 7

L1

US = 4 L1 // L2 (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

P

L2 S



U

R

T

Q

fig. 40 68.

En la figura 41, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersección de los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del  PBC si: (1) (2)

El lado del cuadrado mide 8 cm.

Se sabe que M es punto medio de AD.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

D

C

M

P

A

B fig. 41

33

69.

En la figura 42, Q es el punto medio de PN y S es el punto medio de MQ. ¿Cuál es el punto de la figura 42 que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la reflexión del eje NP?

M

A)

S

B)

Q

C)

P

D)

N

E)

M

S Q

70.

71.

N

fig. 42

P

Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura 43, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide A)

6 cm

B)

12 cm

9 cm

C)

18 cm

O

D)

20 cm

E)

24 cm

A

B

fig. 43

En la figura 44, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM, en términos de r, es A)

r

B)

r 5 2

C)

Q O

r 3 2

M P

D)

E)

r 2 2

fig. 44

R

4r 3

34

72.

¿Cuál es el volumen de un prisma de base cuadrada de área 25 cm 2 y sus caras laterales son rectángulo de perímetro 40 cm?

A) B) C) D) E)

73.

Una esfera está inscrita en un cubo. ¿Cuál es la razón entre el área de la esfera y el área del cubo?

A) B) C) D) E)

74.

1.000 cm3 500 cm3 400 cm3 300 cm3 200 cm3

2 3  6 4 3  12 8 3

En la figura 45, ABCDEFGH es paralelepípedo recto, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

H

75.

I) II) III)

MN // FB MN // BE AH // BG

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

M

F

E

D A

G

N

C B

fig. 45

La figura 46 muestra un paralelepípedo recto de base cuadrada inscrito en un cilindro, ¿en qué razón está el volumen del paralelepípedo y el cilindro?

A) B) C) D) E)

 2  4  8 2  8 

fig. 46

35

76.

Al respecto de polígonos regulares se hacen las siguientes afirmaciones: I)

Los polígonos de una cantidad par de lados tienen por ejes de simetría las diagonales que son bisectrices y las rectas que pasan por los puntos medios de los lados opuestos.

En los pentágonos no hay eje de simetría que contenga a los puntos medios de los lados.

El hexágono tiene igual cantidad de ejes de simetría que lados.

II) III)

Es(son) falsa(s): A) B) C) D) E) 77.

Solo I Sólo II Sólo III I. II y II ninguna

¿Cuál de las alternativas representa mejor la reflexión de la figura principal respecto a L?

L

A)

B)

C)

L

L

L

D) L

78.

E) L

El punto de coordenadas (1,2) se traslada 5 unidades a la derecha horizontalmente y luego se le refleja con respecto al origen (0,0), resultando el punto A) B) C) D) E)

(-6,-2) (-2,-6) (-6,2) (2,-6) (6,2)

36

79.

Si un cuadrado cuyos vértices son; (1,1), (1,3), (3,1) y (3,3), se rota 90º respecto al origen (0,0), entonces las coordenadas de la intersección de las diagonales del cuadrado transformado son A) B) C) D) E)

80.

81.

82.

(-2,2) (2,-2) (-3,3) (3,-3) ninguna de las anteriores

Si una esfera está inscrita en un cilindro, entonces podemos conocer el volumen de la esfera si (1) (2)

conocemos el volumen del cilindro conocemos el radio del cilindro

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Se desea embaldosar un piso cuadrado de un baño, si disponemos de varios tipos de baldosas cuadradas, ¿cuál debemos escoger para no cortar ninguna de ellas?

(1) (2)

aquella que su lado sea divisor del lado del baño aquella cuyo lado es el más grande

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Si el área del triángulo ABC es 47, entonces el área del triángulo achurado es

B b

A) B) C) D) E)

1 2 3 4 0,5

3b

fig. 47

A

a

2a

C

37

83.

En el triángulo rectángulo ABC de la figura 48, BH es altura, BE es bisectriz del ángulo CBH y BD es bisectriz del ángulo ABH, si AB = 7 y BC = 24, entonces DE =

B A) B) C) D) E)

4 5 6 8 9

fig. 48

A 84.

85.

86.

D

H

E

C

En el paralelogramo VANE, P y T son puntos medios de los lados AV y AN respectivamente, ¿qué parte del área de VANE es el área del triángulo achurado?

A)

1 3

B)

1 4

C)

1 5

D)

1 6

E)

no se puede determinar

E

N

T V

A

P

fig. 49

En la figura 50, la circunferencia está inscrita en el cuadrado de lado a, si las dos semicircunferencias tienen de diámetro el lado del cuadrado, luego el área achurada es A)

a2 8

B)

a2 4

C)

a2 12

D)

a2 16

E)

a2

fig. 50

En la figura 51, OLGA es un cuadrado de lado 2 cm, la suma de las áreas de los triángulos OLI y IGA es

A

A) B) C) D) E)

G

2 cm2 3 cm2 1,5 cm2 2,5 cm2 4 cm2

I

fig. 51

O

L

38

87.

El triángulo ABC de la figura 52 es isósceles de base AB, BC = CD, si BC  CD, entonces el ángulo BAD mide D

A) B) C) D) E)

C

15º 30º 40º 45º 60º

fig. 52

A 88.

B

En la figura 53, PQ // RS // AC, si AR = 4, PR = 2 y MS = 1, entonces AM =

Q

P A) B) C) D) E)

S

R

1 2 3 4 5

M fig. 53

A 89.

C

En el triángulo ABC de la figura 54, el ángulo ABC es  , w 

B

BC = A) B) C) D) E) 90.

 , AD = 3 y AC = 8, luego 2



4 5 6 7 8

 A

w D

C

fig. 54

En un semicírculo de radio R, se inscribe un triángulo rectángulo ABC (AC diámetro). Al girar el triángulo ABC alrededor de la hipotenusa genera un sólido, cuyo volumen es igual a la mitad de la esfera generada por el semicírculo. La razón del área de la esfera y el área del manto del sólido generado es A) B) C) D) E)

2:3 4:3 2 :3

2:

3

ninguna de las anteriores

39

91.

En la circunferencia de centro, de la figura 55, P es punto de tangencia, si AP = 4, entonces PQ =

Q

P

92.

A)

2

B)

3

C)

4

D)

5

E)

6

A

B

E

O

fig. 55

Los lados del cuadrilátero ABCD de la figura 56 son tangentes a las circunferencias y PQ es tangente a las dos circunferencias, si AB + CD = 24 y BC + AD = 40, entonces PQ =

B

A) B) C) D) E)

6 8 10 12 16

P

fig. 56

A 93.

C

D

Q

El trapecio ABCD (figura 57) es dividido por las paralelas MN y PE en tres trapecios semejantes, si AD es ocho veces BC, entonces x en términos de b es B

A)

1,5·b

B)

2·b

C)

2,5·b

M

P

D)

3·b

E)

3,5·b

b

C

x

N y

E

fig. 57 A

D

40

94.

Si EC = 9, entonces AB = ? (figura 58)

C A) B) C) D) E)

12 14 16 18 20

95.

A

B

En la figura 59, si BM = MC, entonces BC = A)

20 cm

B)

20 3 cm

C) D) E)

20 2 cm

30 cm 40 cm

C

B 16 cm

12 cm

A 96.

D

M

fig. 59

En el cuadrado ABCD de lado a de la figura 60, si E es punto medio, entonces el รกrea de la figura sombreada es

D

A)

a2 2

B)

a2 3

C)

5a2 12

D)

3a2 8

E) 97.

fig. 58

24ยบ

48ยบ

E

C

E

B

A

2

7a 12

fig. 60

En el triรกngulo de la figura 61, DE // BC, FE // DC, si AF = 4 y FD = 6, entonces DB = A)

9

B)

12

C)

15

D)

18

E)

21

A F

D

E

fig. 61

B

C

41

98.

En la circunferencia de la figura 62, AB es diámetro y BC es tangente en B, si y CD =

BAC  30º

3 , entonces, ¿cuánto mide el diámetro de la circunferencia?

A A) B) C) D) E)

3 3 6 4 3 8 5 3

B 99.

C

3 1 , AB = 3  1 , AC = 2 y el ángulo CAB es 2 agudo. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB? C El área del triángulo de la figura 63 es

A) B) C) D) E)

15º 18º 20º 22,5º 30º

2

fig. 63

A 100.

fig. 62

D

3-1

B

En el triángulo de la figura 64, AB = 20, BC = 7 y CA = 15. Si el lado BC se extiende hasta D de manera tal que los triángulos DAB y DCA sean semejantes, entonces DC =

D

A) B) C) D) E)

9 10 11 12 13

C 15

A

fig. 64

7

20

B

Sixto Maulén y Savane Emegu 2014

42