Geometría del espacio by matematicas LNM

GEOMETRÍA DEL ESPACIO VOLUMEN Y SUPERFICIE DE FIGURAS EN EL ESPACIO. Conceptos primitivos en el espacio geométrico 

Ángulos diedros.

Se llama ángulo diedro a la abertura comprendida entre dos planos que se cortan. Los planos que forman los diedros se llaman caras. El ángulo diedro se designa por dos letras de la arista, o bien por cuatro letras: dos de la arista y una de cada cara (figura 12.1). A

A C

C D

arista R

Q P

B D Fig. 12.2 .2

Fig. 12.1

Todo ángulo diedro se mide por medio de su ángulo rectilíneo, el cual está formado por las perpendiculares a la arista en un punto cualquiera de ella y situadas en cada plano del diedro (figura 12.2). 

Posiciones relativas entre dos planos. Dos planos pueden tener las siguientes posiciones relativas:

planos paralelos: Son aquellos que no tienen punto en común alguno (figura 12.4).

planos que se cortan: Son aquellos que tienen infinitos puntos comunes situados en línea recta, llamada ésta, intersección entre los planos (figura 12.5).

Planos perpendiculares: Son aquellos que forman un diedro recto (figura 12.6). El ∡ BAC es el ángulo rectilíneo y, por lo tanto, PQ cuando ∡ BAC = 90 .

C P P Q

P Q

Fig. 12.4: P//Q

A Q

Fig. 12.5

Fig. 12.6

Coordenadas cartesianas en el espacio. Para ubicar un punto en el espacio, se construye un sistema de coordenadas en tres dimensiones (figura 12.7). Desde un origen O se trazan tres rectas perpendiculares entre sí, llamadas ejes X, Y y Z. En cada uno de ellos fijamos una unidad de longitud y un sentido positivo indicado por una flecha. 1

Para dibujar un punto P de coordenadas (a, b, c) en el espacio, ubicamos primero el punto (a, b) en el plano horizontal XY y a continuación colocamos sobre él el punto a una altura c según el eje Z (figura 12.8). Z

c Plano YZ

• P(a, b, c)

Plano XZ

Plano XY X

Fig. 12.8

Fig. 12.7 12.2. Superficie y volumen de cuerpos geométricos.

Cuerpo es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Se clasifican de la siguiente manera. cubo paralelepípedo prisma

prisma poliedros

pirámide Cuerpos geométricos

pirámide tetraedro regular cilindro cono esfera

redondos

12.2.1.

Hexaedro regular o cubo. H

Es el poliedro que está limitado por seis cuadrados congruentes. Sus elementos son: a) tiene 6 caras que son cuadrados congruentes; cualquiera de las caras sirve de base b) tiene 12 aristas iguales entre sí c) tiene 8 vértices d) tiene 4 diagonales iguales entre sí que se cortan en un mismo punto e) todos los ángulos diedros del cubo son iguales.

F E

D a 2

a A

Diagonal del cubo: La medida de la diagonal del cubo se obtiene al multiplicar la arista por

d  AC  a 2 , 2 pero AC es la diagonal del cuadrado ABCD, es decir su valor es a 2 , luego

Demostración: Sea ABCDEFGH un cubo de arista a. En el  ACG se cumple que diagonal del cubo = d 

a 2 

 a2

d  2a 2  a 2 d  3a 2 d a 3 2

Superficie total del cubo: La superficie de cada cara del cubo es a2 por ser un cuadrado y, como el cubo consta de 6 caras, la superficie total es 6a2. Volumen del cubo: El volumen de un cubo de arista a es igual al cubo de la arista, es decir, a3. 12.2.2.

Paralelepípedo rectangular recto.

G F

a b 2

Es aquel cuerpo cuya base es un cuadrado o un rectángulo y las aristas laterales son perpendiculares a la base. Valor de la diagonal del paralelepípedo: Se obtiene de manera análoga a lo realizado en el cubo.

d  a2  b2  c2

Superficie del paralelepípedo: Corresponde a la suma de las áreas de los 6 rectángulos que lo limitan. AT =2ab+2bc+2ac AT =2(ab+bc+ac) Volumen del paralelepípedo: Es igual al producto de sus tres dimensiones V=a·b∙c 12.2.3.

Prisma recto de base triangular F

Es aquel cuyas bases son triángulos congruentes y sus caras laterales son paralelogramos.

D E

Superficie lateral: Es igual al producto del perímetro basal por la arista lateral. Alat=Pb∙l

; Pb = perímetro basal

Superficie total del prisma: La superficie total es igual a la suma del área lateral y el doble de la superficie basal.

A Atotal = Alat + 2Abasal Volumen del prisma: Es igual al producto de su área basal por la altura o arista lateral.

V=Abasal ∙ h 12.2.4.

Pirámide D

Es el cuerpo determinado al cortar por un plano todas las aristas de un ángulo poliédrico.

Tetraedro regular: Es la pirámide que está limitada por 4 triángulos congruentes entre sí.

; h=l

Superficie total del tetraedro: Es igual al producto del cuadrado de

su arista por la constante

3. Atotal=a2

Volumen del tetraedro regular: Es igual a la doceava parte del cubo de su arista por la constante

V 

a3 2 12 3

12.2.5.

Cilindro recto. El cilindro recto es la figura engendrada por el giro de un rectángulo en torno de uno de sus lados

base r

Generatriz g g=h

altura

Superficie lateral: Se obtiene multiplicando la longitud de la base por su generatriz (altura del cilindro recto). Alat = 2r∙h

h manto

Superficie total del cilindro: Es igual a la suma del área lateral y el área de las bases.

Atotal  2πr  h  2πr 2

Atotal  2πr (h  r )

base

Volumen del cilindro: Es igual al producto de su área basal por la altura. V = r2 · h 12.2.6.

Cono recto B

Se puede considerar como engendrado por el giro de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. Superficie del manto: Corresponde al producto del semiperímetro de la circunferencia basal por la generatriz. Alat = r · g

g h

Superficie total: Es igual a la suma del área del manto cónico y el área basal. 2 AT  πrg  πr AT  πr ( g  r )

Volumen: Es igual a un tercio del producto de su área basal por su altura

1 V  π r2  h 3 12.2.7.

La esfera La esfera es el sólido engendrado por la revolución completa de un círculo alrededor de su diámetro. Superficie de la esfera: Es igual a 4 veces el área del círculo máximo. AT = 4r2 Volumen de la esfera: Es igual a un tercio del producto del área de la esfera por el radio.

V  4 π r3 3

Ejemplos. 1.

El área lateral de un paralelepípedo rectangular es de 64 cm² y su área total es de 94 cm². Hallar las tres dimensiones del paralelepípedo, sabiendo que su volumen es de 60 cm³. Atotal = 2(xy + yz + xz) Alat = 2(xz + yz) V =x∙y∙z luego,

2(xy + yz + xz) 2(xz + yz) x∙y∙z

= 94 = 64 = 60

xy + yz + xz yz + xz

= 47 = 32

xy xyz

= 15 = 60

15z = 60 z =4 xz + yz = 32 z (x + y) = 32 4(x + y) = 32

pero

(1) (2)

x+y xy

de (1) x reemplazando en (2) y(8 – y) y² - 8y + 15 (y – 3)(y – 5) y1=3 ; por lo tanto, 2.

/:2 /:2

= 8 = 15 =8–y = 15 =0 =0 y2=5

x=5 ; y=3 ; z=4

Calcular el área total y el volumen de un prisma recto de 20 cm de arista, cuya base es un triángulo equilátero y tal que el radio de la circunferencia circunscrita mide 12 cm. En un triángulo equilátero de lado a, circunscrita. Por lo tanto,

a  r 3 , siendo r el radio de la circunferencia

a  12 3 . Además, la superficie del triángulo equilátero es

, por lo tanto

12 3 

Área basal =

108 3 cm²

y el área lateral es igual a 3 veces el área del rectángulo de lados lo tanto,

12 3 cm y 20 cm. Por

Alat  3 ·12 3  20 = 720 3 cm2 y Áreatotal = Alat + 2Abasal Áreatotal = 720

3 + 2 ∙ 108 3 = 936 3 cm2

Volumen total = Área basal  altura Vtotal = Vtotal 3.

108 3 ∙ 20 = 2.160 3 cm3

Calcular la superficie y el volumen de una esfera de 9 cm de radio. Aesfera = 4r2 Aesfera = 4∙81 = 324 cm2 Vesfera =

4 3 4 3 πr = π 9 = 972 cm3 3 3 5

En un cilindro recto, cuya altura es igual al diámetro basal, se inserta una esfera y un cono. Determine la razón entre los volúmenes respectivos. a)

Volumen del cilindro = área basal  altura Volumen del cilindro = r2 · 2r Volumen del cilindro = 2r3

Volumen esfera =

Volumen cono =

4 3 πr 3

1 área basal  altura 3 1 Volumen cono = πr 2  2r 3 2 3 πr Volumen cono = 3 A continuación establezcamos la razón entre los cuerpos

4 2 Vcilindro : Vesfera : Vcono  2πr 3 : πr 3 : πr 3 3 3 Vcilindro : Vesfera : Vcono  3 : 2 : 1

ACTIVIDADES 1.

Representa en el espacio los siguientes puntos: A(3, 4, 0)

1) 2.

B(3, 4, 1)

C(3, 4, -1)

D(1, 1, 1)

E(2, 2, 2)

F(5,

Determinar el valor de la arista de un tetraedro regular para que su área y su volumen sean numéricamente iguales.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuyo radio basal mide 3 cm y cuya generatriz mide 7 cm.

Calcular el área lateral y el volumen de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm, respectivamente. a) si se gira en torno al lado mayor. b) si se gira en torno al lado menor.

Calcular el área total y el volumen engendrado por la rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de los catetos si éstos miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.

¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que su área y su volumen sean numéricamente iguales?

Soluciones 2. 3. 4. 5. 6.

arista = 6 6 Alat= 42 cm² AT = 60 cm² V = 63 cm³ a) AT = 80 cm² V = 200 cm³ b) Al = 80 cm² V = 320 cm³ a) AT = 96 cm² VT = 96 cm³ b) Al =144 cm² VT = 128 cm³ r=3 6

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE Las preguntas 1, 2 y 3 se refieren a un cubo cuya arista mide 15 cm. 1.

¿Cuál es su área total? a) 225 cm2 b) 900 cm2 c) 1.350 cm2 d) 3.375 cm2 e) Ninguna de las anteriores

¿Cuál es su volumen? A) 15 cm3 B) 225 cm3 C) 900 cm3 D) 1.350 cm3 E) 3.375 cm3

¿Cuál es la medida de su diagonal? A)

15 cm

2 C) 15 3 D) 225 2 E) 225 3 4.

cm cm cm cm

Si el volumen de un hexaedro regular es de 512 cm3, entonces su área es: A) 64 cm2 B) 512 cm2 C) 384 cm2 D) 48 cm2 E) Ninguna de las anteriores

Las dimensiones basales de un paralelepípedo recto rectangular son 12 cm y 9 cm. ¿Qué altura debe tener el paralelepípedo para que su diagonal mida 39 cm? A) 6 cm B) 15 cm C) 36 cm D) 48 cm E) 1.296 cm

Se tiene un paralelepípedo de altura h y de base cuadrada, cuya superficie es a2. Si la altura se cuadruplica y las dimensiones de la base disminuyen a la mitad, entonces podemos afirmar que su volumen: A) B) C) D) E)

se cuadruplica permanece igual se reduce a la mitad se reduce a la cuarta parte se duplica

Sea ABCD cuadrado de lado 10 cm, Δ DCE y Δ ABF equiláteros. Calcular el volumen de la E figura. A) 1.000 cm3 B) 250 3 cm C) 100 cm3

D) 500 3 cm3 E) Ninguna de las anteriores

F 7

Se genera un sólido de revolución haciendo rotar el romboide ABCD de la figura en 360 sobre el eje AB . ¿Cuál es la superficie total del sólido generado? D

A) 104π u² B) 84π u² C) 80π u² D) 72π u² E) 68π u²

B 8 9.

Un globo perfectamente esférico de q cm de radio está lleno de agua. Si se rompe y se vacía su contenido en un recipiente cilíndrico de igual radio que el globo y de

3q cm de altura, 2

entonces ¿qué cantidad de agua, en cm3, falta para llenar el cilindro? 3

A) B) C) D)

πq 6 3 3π q 2 3 4π q 3 3 17π q 6

E) Otro valor 10.

¿Qué cantidad de hormigón se necesita, aproximadamente, para fabricar un tubo abierto de 1,5 m de largo, 10 cm de espesor y 50 cm de diámetro interior? (use π = 3) A) 0,27 m3 B) 0,495 m3 C) 2.700 m3 D) 4.950 m3 E) 10.800 m3

11.

La base triangular equilátera de un prisma regular recto tiene una superficie de 4 su volumen es de 32

3 cm2. Si

3 cm3, entonces la superficie lateral del prisma es de:

A) 32 cm2 B) 48 cm2

12.

C) 48 3 cm2 D) 64 cm2 E) 96 cm2 Si 1 L equivale a 1.000 cm3 diámetro basal es 5 cm y su altura es de 10 cm? A) 62,5π L B) 6,25π L C) 0,625 L D) 0,0625 L E) 0,0625π L

13.

Un rectángulo de 10 cm  5 cm de lado, se traslada 1 metro en dirección perpendicular a su superficie. ¿Cuál es el volumen del cuepo generado? A) 5.000 L B) 5.000 cm3 C) 500 L D) 500 cm3 E) 50 L

14.

¿Cuál es la superficie total del cuerpo generado de la pregunta anterior? A) 50 cm2 B) 500 cm2 C) 1.550 cm2 D) 3.100 cm2 E) 5.000 cm2

15.

Se hace girar un círculo de 30 mm de diámetro en torno a la cuerda de mayor longitud. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera? (use π = 3) A) 3,38 cm3 B) 6,75 cm3 C) 13,5 cm3 D) 72 cm3 E) 108 cm3

16.

¿Cuál es la superficie del cuerpo generado en la pregunta anterior? A) 25 cm2 B) 27 cm2 C) 18,75 cm2 D) 1.875 cm2 E) 2.700 cm2

CLAVES DE LOS PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. C 2. E 15. C 16. B

3. C

4. C

5. C

6. B

7. B

8. A

9. A 10. A 11. E 12. E 13. B 14. D