Geometría ángular

Guía Nº 3 Geometría Angular Elementos de Geometría Geometría: es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras.

Ideas fundamentales: Punto: elemento fundamental de la geometría, no tiene dimensiones, se le asigna una letra mayúscula.

Recta: conjunto infinito de puntos alineados, no tiene principio ni fin, tiene una dimensión.

A B AB Semirrecta o rayo: es un subconjunto de una recta que tiene principio y no-fin.

A B AB Segmento o trazo: subconjunto de una recta que tiene principio y fin.

A B AB Plano: conjunto infinito de puntos que forman una superficie que no tiene espesor, tiene dos dimensiones.

Espacio: es el conjunto de todos los puntos, tiene tres dimensiones.

Postulados importantes: i)

Dos rectas sé intersectan en un solo punto.

A

A es el punto de intersección

1

ii)

La intersección entre dos planos es una recta.

Ángulo: es la unión entre dos rayos de origen común.

B

AOB : ángulo AOB.

O: vértice

O

A

OA y OB : lados del ángulo

Medida de un ángulo: es la cuantificación de la mayor o menor abertura que existe entre los lados del ángulo, la unidad más usada son los grados sexagesimales.

Ej.

AOB = 30º

Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida: Ángulo agudo: tiene su medida entre 0º y 90º. Ángulo recto: mide 90º. Ángulo obtuso: tiene su medida entre 90º y 180º. Ángulo extendido: mide 180º. Ángulo completo: mide 360º.

Los ángulos cuyas medidas están entre 0º y 180º reciben el nombre de convexos y los que tienen por medidas superiores a 180º y menores a 360º se llaman cóncavos.

Posición relativa de rectas: i) Dos rectas distintas en un plano si no sé intersectan se dicen paralelas.

L1 L1 // L2 L2 ii) Dos rectas que al intersectarse forman ángulos rectos, se dicen perpendiculares.

L2

L1

L1  L2

2

Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide en dos ángulos de igual medida a un ángulo.

B OT es bisectriz



AOT =

TOB

T O A

Relaciones entre ángulos: i)

Si las medidas de dos ángulos suman 90º entonces se dicen complementarios. El complemento de un ángulo es igual a 90º menos el ángulo.

ii)

Si las medidas de dos ángulos suman 180º entonces se dicen suplementarios. El suplemento de un ángulo es igual a 180º menos el ángulo.

iii)

Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos, si comparten el vértice y un lado y sus interiores no se intersectan.

C

AOB es consecutivo a

BOC

B O

A

iv) Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y suplementarios.

B

AOB y

C

O

BOC son suplementarios

A

Teorema: sí dos rectas sé intersectan, entonces:









i)

    180º     180º     180º     180º

3

ii)

 

Teorema: dos paralelas que son cortadas por una transversal o secante forman 8 ángulos que cumplen con:

3

2 1 4

L1 L1 // L2

6

5

7 8

Nombres de los ángulos: Ángulos alternos internos 1 con 7 2 con 8

L2

Ángulos alternos internos 3 con 5 4 con 6

Ángulos correspondientes 1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8

Los ángulos que tienen igual medida son: Ángulos alternos internos 1= 7 2= 8

Ángulos alternos internos 3= 5 4= 6

Ángulos correspondientes 1= 5 2= 6 3= 7 4= 8

Teoremas adicionales: i)

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces tendrán igual medida si tienen la misma clasificación y serán suplementarios si tienen distinta clasificación.

ii)

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces tendrán igual medida si tienen igual clasificación y serán suplementarios si tienen distinta clasificación.

4

Polígono: es una figura plana cerrada formada por la unión de tres o más segmentos.

Polígono convexo

Polígono cóncavo

Triángulo: es un polígono de tres lados.

C 

b

A, B y C son vértices

a

 ,  y  son ángulos interiores

AB  c, BC  a y CA  b son lados del triángulo

A 

c



B

Relaciones entre lados y ángulos interiores: i) ii)

La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero; a + b > c.

La diferencia positiva de dos lados de un triángulo es menor que el tercero; b  c  a .

iii) iv) v)

A ángulo interior mayor se opone el lado mayor.

A ángulo interior menor se opone el lado menor.

A ángulos interiores iguales se oponen lados iguales.

Clasificación de los triángulos: i) Según sus lados: i-1) Equilátero: sus tres lados iguales y sus ángulos interiores iguales (60º) i-2) Isósceles: a lo menos dos lados iguales y si tiene uno distinto este se llama base. i.3) Escaleno: sus tres lados distintos.

5

ii) Según sus ángulos interiores: ii-1) Acutángulo: sus tres ángulos interiores agudos. ii.2) Rectángulo: tiene un ángulo interior recto. ii-3) Obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso.

Teorema: Las medidas de los ángulos interiores suman 180º.

C 

      180º





A

B

Ángulo exterior: es aquel que está formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo a él.

C ' 

 ',  ' y  ' son ángulos exteriores '



A

B

 '

Teorema: la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes a él.

'    

'    

'    

Teorema: la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º

 '  '  '  360º Puntos y rectas notables de un triángulo.

Altura: es la recta que pasando por un vértice intersecta al lado opuesto o a su prolongación de manera perpendicular, la intersección de las alturas se llama ortocentro.

Bisectriz: es la recta que dimidia a un ángulo interior, la intersección de las bisectrices se llama incentro.

Simetral: es la perpendicular que divide a un lado en dos partes iguales, la intersección de las simetrales se llama circuncentro.

6

Transversal de gravedad: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, la intersección de las simetrales se llama centro de gravedad o baricentro.

Mediana: es el segmento que une los puntos medios de un par de lados del triángulo.

Observaciones: i) En un triángulo equilátero todas las rectas notables y los puntos notables coinciden. ii) En un triángulo isósceles, las rectas notables coinciden solo cuando intersectan el lado distinto. iii) En un triángulo escaleno nada coincide. iv) Las medianas son paralelas al lado opuesto y miden la mitad del lado al cual es paralela.

Congruencia de triángulos Dos triángulos se dicen congruentes cuando son iguales en medidas y forma.

C

b A





c

C’ a  B

b’

'

A’  ' c’

a’ '

B’

   '     '    '  ABC  A 'B ' C '   a  a'  b  b '  c  c ' Para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario probar que todos los elementos correspondientes son iguales, si no basta con probar un grupo de elementos, estos grupos de elementos se llaman postulados de congruencia. i) (l, l, l) lado, lado, lado; si los tres lados correspondientes en dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. ii) (l, a, l) lado, ángulo, lado: si dos de lados son iguales y el ángulo comprendido por ellos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. iii) (a, l, a) ángulo, lado ángulo: si dos ángulos son iguales y el lado que forma parte de los dos ángulos también lo es, entonces los triángulos son congruentes.

7

Cuadriláteros y Polígonos Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados, la suma de los ángulos interiores es 360º. En todo cuadrilátero se verifica que: i) La suma de los ángulos interiores es 360º. ii) La suma de los ángulos exteriores es 360º.

Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

Clasificación Paralelogramos: tiene sus lados opuestos son paralelos. i) ii) iii) iv)

Cuadrado: sus lados iguales y sus ángulos interiores rectos.

Rectángulo: sus ángulos interiores rectos.

Rombo: sus cuatro lados iguales.

Romboide: sus lados opuestos paralelos.

Paralelogramos Rectángulos

Rombos

Trapecios: tiene un par de lados paralelos, llamados bases. i) ii) iii)

Trapecio isósceles: tiene sus lados no paralelos iguales.

Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos interiores rectos.

Trapecio escaleno: tiene sus lados no paralelos distintos.

Trapezoides: no tienen lados paralelos.

Paralelogramos Propiedades: estas propiedades son de todos los paralelogramos. i) Sus ángulos interiores opuestos son iguales. ii) Sus pares de ángulos consecutivos son suplementarios. iii) Sus lados opuestos son iguales. iv) Sus diagonales sé intersectan dimidiándose.

8

C

D

CAB 

BDC y

ABD 

DCA

AB  DC y BD  CA

E

AE  ED y BE  EC

A

B Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Diagonales IGUALES

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

BISECTRICES PERPENDICULARES

SI SI NO NO

SI NO SI NO

SI NO SI NO

Trapecios

D

C 



AB // CD (son bases del trapecio)

    180º y     180º

A



Trapecio Isósceles



B

Trapecio Rectángulo

Trapecio Escaleno

Sólo en el Trapecio Isósceles las diagonales son iguales.

9

Trapezoides Los trapezoides solo tienen las propiedades de todo cuadrilátero, pero existe un trapezoide simétrico que tiene varias propiedades, lo que lo hace motivante para ejercicios, es más varias veces a aparecido en pruebas reales de selección Universitaria, por tanto lo estudiaremos, este trapezoide se llama Deltoide.

D Propiedades:

C

A

i) AD = DC y CB = BA ii) DAB  BCD iii) AC  BD iv) DB es bisectriz v) DB dimidia a AC

B Propiedades de polígonos en general: Sea n el número de lados (n además es igual al número de; vértices, ángulos interiores y exteriores), luego: i) ii) iii)

La suma de los ángulos interiores es 180º · (n – 2), n – 2 es el número de triángulos que se genera al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice.

La suma de los ángulos exteriores es siempre 360º, independiente del número de lados. n  (n  3) El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono es , 2 donde n – 3 es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice.

Polígono regular es aquel que tiene; lados iguales, ángulos interiores iguales y ángulos exteriores iguales. iv) v)

180º (n  2) . n 360º La medida de un ángulo exterior de un polígono regular es n La medida de un ángulo interior de un polígono regular es

10

Circunferencia Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro.

c

T

O

r

B

D

S

A

O: centro de la circunferencia. r: radio, segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. c: cuerda, segmento que une dos puntos de la circunferencia.

D: diámetro, es la cuerda que pasa por el centro, luego es la cuerda mayor de una circunferencia y D = 2r.

T: tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto e tangencia.

S: secante, es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.

AB : arco, es una parte de la circunferencia. Ángulos en una circunferencia: E

AOB ; ángulo del centro, está formado por dos radios.

C

D

B

O

CDE , ángulo inscrito, está formado por dos cuerdas de origen común.

HGF , ángulo semi inscrito, está formado por un tangente y una cuerda que llega al punto de tangencia.

A

F

G H

Teoremas: 1.

Un ángulo del centro es igual equivalente al arco que encierra.

B

AOB  AB

O A

11

2.

Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo inscrito, entonces el del centro mide el doble del inscrito.

B

AOB  2  C

O

Corolario: A

3.

ACB

ACB 

AB 2

Dos o más ángulos inscritos que encierran el mismo arco tienen igual medida.

B C

ACB  D

4.

ADB 

AB 2

A

Una radio que llega el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

T

r

rT

5.

Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo semi inscrito, entonces el del centro mide el doble del semi-inscrito.

C

B

A

O

AOB  2 

ABC

Corolario

ABC 

AB 2

12

6.

Todo triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia.

C

A

7.

B

O

Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios.

C

D



A

    180º





8.

ABC es rectángulo en C.



    180º

B

La medida de un ángulo interior es iguala a semisuma de los arcos que encierra.

C

B 

 D

9.

AB  CD 2

A

La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia positiva de los arcos que encierra.

C B



 D

CD  AB 2

A

13

8.

Si dos tangentes se intersectan entonces se generan dos segmentos congruentes.

C

A

AB  AC

B

C r A

O r

Corolario: De la demostración del teorema anterior, se desprende que CAO  OAB , por tanto AO es bisectriz, de esto derivamos en que la intersección de las bisectrices e un triángulo es el incentro, centro de la circunferencia inscrita. Por lo tanto el incentro equidista de los lados del triángulo.

C

B

r

r I r

A

9.

B

Un radio es perpendicular a una cuerda sí y solo sí dimidia a la cuerda.

F B

A E r

r  AB  AE  EB , además si el radio es perpendicular a la cuerda, entonces AF  FB .

O

14

Podemos decir que la simetral de una cuerda debe pasar por el centro, lo cual nos permite decir que la intersección de la simetrales en un triángulo, se llama circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

B

r r

O

r

A

C 10.

Si dos cuerdas son iguales, entonces los arcos encerrados por ellas son iguales.

B

A

AB  CD  AB  CD

C

De este teorema se deriva que todo polígono regular es inscriptible en una circunferencia.

D Al triángulo FOA se le llama triángulo fundamental.

E

F

r

r

C r

O r A

r B

15

Ejercicios 1.

La suma de dos ángulos es 78º y uno de ellos mide los

3 del complemento del otro, luego 5

las medidas de ambos ángulos es: 2.

La medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos cuyas medidas son 32º y 52º es:

3.

Las medidas de dos ángulos adyacentes son; 7x – 54º y 5x + 18º, luego x =

4.

Las medidas de dos ángulos opuestos por el vértice son; 8x + 2º y 3x + 12º, luego x =

5.

Dos rectas AB y CD se cortan en el punto O, talque el ángulo AOC es el cuádruplo de la medida del ángulo COB. Calcular las medidas del los ángulo de vértice O.

6.

Sobre los lados de un ángulo se trazan perpendiculares a sus lados, demuestre que el ángulo formado por las rectas perpendiculares y el ángulo original son suplementarios.

7.

Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un ángulo de medida igual a:

8.

Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son números pares consecutivos, ¿cuánto mide el menor ángulo interior?

9.

Las medidas de dos ángulos exteriores suman 270º y el mayor ángulo exterior mide 150º, luego el triángulo es:

10.

Sobre los lados de un triángulo ABC cualquiera, se construyen triángulos equiláteros externamente; BCD, CAE y ABF, demostrar que AD = BE = CF, demostrar que AD = BE = CF.

11.

Si se prolonga la transversal de gravedad AM del triángulo ABC hasta que D de manera tal que MD = MD y luego se une B con D, demostrar que BD = AC.

12.

Al prolongar los lados iguales probar que BE = CD.

BA y CA de un triángulo ABC, de manera que AD = AE,

16

Ejercicios de alternativas 1.

Sobre una línea recta se ubican los puntos A, B, C y D consecutivamente. Si M y N son los puntos medios de AB y CD respectivamente, y AC + BD = 50, entonces MN = A) B) C) D) E)

2.

En la figura 1, ¿cuál es el mayor valor de y?

A) B) C) D) E)

3.

20 25 30 40 50

45º 50º 60º 59º 58º

xº -2yº

3yº

fig. 1

Si las rectas L1 y L2 (figura 2) son paralelas y m es el complemento de n, entonces x =

 A) B) C) D) E)

15º 30º 20º 40º 60º

m

L1 

x n

fig. 2

 

4.

L2

En la figura 3, L1 // L2, luego x = A)

100º

 B)

105º

C)

110º

D)

115º

E)

120º

L1



x



70º



fig. 3

L2

17

5.

En la figura 4, L1 // L2 y L3 // L4, luego 3x – 12º =

L3 A)

L4

15º 2x

B)

16º

C)

17º

D)

18º

E)

10º

L1

fig. 4

L2

5x 11x

6.

En la figura 5, L1 // L2 y L3 // L4. Si m – n = 25º, entonces a – b = A)

10º

B)

15º

C)

20º

D)

25º

E)

30º

m L3

L4

a n L2

b

7.

L1

fig. 5

¿Cuál es la medida del ángulo x en la figura 6?

A) B) C) D) E)

50º 60º 65º 70º 80º

20º x

fig. 6 35º

25º

18

8.

En la figura 7, EFGH es cuadrado, luego la medida de x es A)

60º

B)

50º

C)

45º

D)

30º

E)

20º

x

H

G

75º

fig. 7

E 9.

En un triángulo ABC, el ángulo en el vértice A mide 58º. ¿Cuánto mide el ángulo BDC donde D es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos de los vértices B y C? A) B) C) D) E)

10.

125º 119º 110º 102º 29º

¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de los dos ángulos exteriores obtusos de un triángulo rectángulo?

A) B) C) D) E)

11.

F

30º 45º 60º 75º 90º

En la figura 8; AB = BE y BD = DC, luego el triángulo ABD es A)

acutángulo

B)

obtusángulo

C)

rectángulo

D)

equilátero

E)

isósceles rectángulo

B

30º

A

E

25º

C

fig. 8

25º

D

19

12.

En la figura 9; AB = AE, AF = FE, FD = DC y EC = FC, si el ángulo FDC mide 40º, entonces la medida del ángulo BAC es

D A) B) C) D) E)

45º 55º 65º 70º 80º

B E fig. 9

A 13.

En la figura 10, M es el punto medio del segmento AB y P es un punto cualquiera entre M y B, ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?

A) B) C) D) E)

14.

15.

C

F

MP = PB AM = 2·PB PA  PB PM = 2 AB MP = 2

M

A

B

P

fig. 10

BP = 2·MP

El triángulo ABC de la figura 11 es isósceles de base AB, CD es paralelo a AB y AD es bisectriz del ángulo CAB, luego ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

C D I) II) III)

AC = CD CE = EB AD  BC

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Todas

E

B

A

fig. 11

En el triángulo ABC de la figura 12, las líneas punteadas son bisectrices de los ángulos respectivos, ¿cuánto mide x?

D A) 40º x B)

30º

C)

20º

D)

10º

C

40º

E)

No se puede determinar

A

B

fig. 12

20

16.

En el triángulo UPA se han trazado las alturas AM y AL, figura 13, ¿cuánto mide el ángulo APL? A

L 15º

A) B) C) D) E)

17.

U

30º

M

30º 60º 120º 145º 150º

Los triángulos ABC y ADE son congruentes, si el ángulo BAE mide 90º, entonces el ángulo TAB mide E C A) B) C) D) E)

20º 30º 45º 60º 80º

D

70º

T fig. 14 50º

A 19.

20.

fig. 13

P

En la figura anterior (figura 4), ¿cuánto mide el mayor ángulo formado por las alturas AM y PL? A) B) C) D) E)

18.

10º 15º 30º 45º 75º

B

En la figura 15, BD, DF, EF y AE son bisectrices, luego C A)

80º

B)

100º

C)

120º

D)

140º

E)

No se puede determinar

10º 15º 30º 45º 60º

D

60º

E

F B

A

En el triángulo de la figura 16, DA = AB, si A) B) C) D) E)

DFE 

ABC -

fig. 15

ACB = 30º, entonces

DBC =

A

D C

B

fig. 16

21

21.

Los triángulos de la figura 17, son isósceles con AB = AC = BD, si BD  AC entonces los A ángulos ACB y ADB suman A)

115º

B)

120º

C)

130º

D)

135º

E)

no tiene solución única

D E fig. 17

B 22.

En la figura 18, AB = CD, luego m = B m

A) B) C) D) E) 23.

C

10º 15º 18º 20º 9º

7m

D A

2m 3m

m

C

fig. 18

El triángulo ABC de la figura 19 es equilátero, si los ángulos EDF y FHG son iguales, entonces la medida del ángulo GED es

C

H A) B) C) D) E)

G

E

30º 40º 50º 60º Falta información

F D

A 24.

fig. 19

B

En la figura 20, CD y BD son bisectrices de los ángulos exteriores, luego x = A) B) C) D) E)

1 (90º aº ) 2 90º - aº 180º - aº 180º - 2aº 1 (180º aº ) 2

C x

fig. 20

aº A

D

B

22

25.

Q

En la figura 21, aº + bº = A) B) C) D) E)

aº

55º 70º 75º 80º 90º

P

125º

fig. 21

R

55º

bº

A

26.

M

N

En la figura 22, L1 // L2, el ángulo CAE mide 18º, si DE = 2·AB, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

B E

L1

A) B) C) D) E)

26.

18º 36º 42º 54º 72º

x

D L2

C

A

fig. 22

Los triángulo ABC y DEF de la figura 23 no son congruentes, D y G son puntos medios de los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE = C A)

80º

F

B)

70º

C)

60º

D)

65º

E)

A no se puede determinar

E

60º

G

27.

40º

B

D

fig. 23

En el cuadrilátero de la figura 24, una medida posible de la diagonal AC es A)

9

B)

10

C)

13

D)

15

E)

20

10 A

B 9

5 D

19

C fig. 24

23

28.

En la figura 25, I es el incentro del triángulo ABC, ¿Cuánto mide el ángulo x?

C A) B) C) D) E)

29.

30º 40º 50º 60º No se puede determinar

I x

50º

A

B

fig. 25

El triángulo VAN de la figura 26 es equilátero, si el ángulo ENS mide 15º, entonces el ángulo EAS mide N

A) B) C) D) E)

15º 25º 30º 45º 50º

30º

E

30.

31.

fig.26

30º

V

S

A

En la figura 27, todos los lados interiores al ángulo PQR son iguales, si dicho ángulo mide 18º, ¿cuántos triángulos isósceles se pueden formar?

P A)

2

B)

3

C)

4

D)

5

E)

infinitos

Q

R

fig. 27

El triángulo ABC de la figura 28 es rectángulo en B, AX = AD y CY = CD, la medida del ángulo XDY es A

A)

35º

B)

40

C)

45º

D)

50º

E)

60º

D

X

B

Y

C

fig. 28

24

32.

En el cuadrilátero de la figura 29, AE y CE son bisectrices, si aº > bº entonces xº = A) B) C) D) E)

D

aº - bº aº bº 2 aº  bº 2 bº aº  2 aº bº 2

bº

E

xº C

A

fig. 29

aº B

33.

En el rectángulo de la figura 30, AE es bisectriz del BAD , EF es perpendicular a la diagonal BD, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) II) III)

Si

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

E

EAC  15º , entonces BCG es equilátero

CAB 

BCF

ACE es isósceles

D

C

fig. 30

G F A

34.

B

En la figura 31, ABCD es cuadrado, DAPQ es rombo, si P está en la prolongación de la diagonal CA, entonces xº =

D

A)

17,5º

B)

22,5º

C)

45º

D)

90º

E)

135º

Q

C

xº A

B fig. 31

P

25

35.

En el polígono de la figura 32, AB // PC, AP // BC, si AP y CP son bisectrices de los ángulos interiores respectivos, entonces el ángulo x mide A)

60º

B)

100º

C)

120º

D)

140º

E)

160º

A

P

E x

120º

B C

80º

fig. 32

D 36.

Las bisectrices de los ángulos en A y en B en la base menor de un trapecio se cortan en el punto R (figura 33). La razón entre la medida del ángulo R y la suma de las medidas de los ángulos en C y D de la base mayor es

A) 2 : 1

A

B

B) 1 : 2 C) 3 : 1 D) 1 : 4

R C

D

E) 2 : 3 37.

fig. 33

En el triángulo de la figura 34, CAB = 50º, ABC = 30º y y AT es transversal de gravedad, entonces THB = C A) B) C) D) E)

15º 22,5º 30º 40º 45º

BCA = 100º, si CH es altura

T

A

fig. 34 H

B

26

38.

39.

En la figura 35, L1 // L2, luego x = A)

160º

B)

150º

C)

135º

D)

130º

E)

120º

2

L1



x 

L2

El triángulo ABC de la figura 36 es isósceles de base AB, BC = CD, si BC  CD, entonces el ángulo BAD mide D

A)

15º

B)

30º

C)

40º

D)

45º

E)

60º

C

fig. 36

A 40.

fig. 35

B

¿Cuánto mide el ángulo x (figura 37), si AB = BC?

A 78º

A) B) C) D) E)

7º 9º 10º 12º 18º

B x fig. 37 39º

81º

D

C

27

41.

Si AB = AE y BC = BD (figura 38), entonces ¿cuánto mide  ?

B

C



A) B) C) D) E)

20º 30º 45º 50º 53º



3

A

fig. 38

D

E 42.

El triángulo ABC de la figura 39 es equilátero, si AD =

C

BFC mide

A) B) C) D) E) 43.

E

60° 75° 90° 100° 120°

D F A

fig. 39

B

Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos A) B) C) D) E)

44.

1 1 AC, CE = AB, entonces el ángulo 3 3

isósceles rectángulos congruentes. acutángulos escalenos congruentes. acutángulos congruentes. escalenos rectángulos congruentes. equiláteros congruentes.

En la figura 40, si ABC y BEC son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ?

F I) II) III)

x= x+ x+

z y= y–

EBD z = 60°

y C

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

z

E

x A

B

D fig. 40

28

45.

Sobre una recta se ubican los puntos O, A, B, C de manera consecutiva, si

1 1 1 y   OC OB OA

AB  AC  289 , entonces OA =

A) B) C) D) E) 46.

11 13 15 17 19

En la figura 41, a // b, luego x + y + z = y

A) B) C) D) E)

120º 135º 150º 165º 180º



x

  

47.

En la figura 42, AB  BC 

z

a

fig. 41

b

ED , luego x = 2

B

4

A) B) C) D) E)

15º 30º 45º 60º no se puede determinar

C

A

48.

fig. 42



x E

D

En la circunferencia de la figura 43, ¿cuál es la medida de x?

2x

A) B) C) D) E)

15º 20º 22,5º 30º 36º

x

fig. 43

29

49.

En la figura 44, CD = 2·AD, luego  =

B A) B) C) D) E)

15º 20º 25º 30º 35º

E

A 50.



2 D

fig. 44

C

En el triángulo ABC de la figura 45, AM = MB, luego el ángulo x mide

C A) B) C) D) E) 51.

75º 60º 45º 30º 15º

x

30º

15º

A

B

M

fig. 45

En el triángulo ABC de la figura 46, AD = BC, ¿cuál es la medida de  ?

B A) B) C) D) E)

10º 12º 15º 18º 20º

6 

A 52.

fig. 46

2

C

D

En la figura 47, S, T, U y V son puntos de tangencia, luego    = A)

160º

B)

170º

C)

180º

D)

200º

S T 



V E)

240º

U

fig. 47

30

53.

En la figura 48, la semicircunferencia tiene centro en D, el arco BD tiene centro en O, si la medida del arco BC es 100º, entonces el arco BD mide

B A) B) C) D) E)

54.

10º 20º 30º 40º 50º

O

C

D

fig. 48

¿Cuánto mide x en la figura 49, si AE = DC y EB = BD? A)

8

B)

6

C)

5

A

8

E 2

D) E)

4 2

B 55.

x+y

y

fig. 49

C

D

En la figura 50, ¿cuál es la medida del ángulo x?

A)

30º

B)

22,5º

C)

18º

D)

15º

E)

12º

b 2x c

a a

b a+c

x

fig. 50

31

56.

Si AB = 60º y BC = 120º son arcos consecutivos de una circunferencia, entonces el mayor ángulo interior del triángulo ABC mide: A) B) C) D) E)

57.

30º 60º 90º 100º 120º

En la figura 51, el cuadrilátero NTPS está inscrito en la circunferencia, si el arco QM mide 60º, entonces el ángulo x mide:

P

A) B) C) D) E)

60º 100º 120º 140º 240º

x

Q R

30º

S

T

fig. 51

M N 58.

En la circunferencia de la figura 52, AB // CD, si el arco AB mide 70º, entonces x = A) B) C) D) E)

D

A

45º 55º 60º 110º no se puede determinar

O x B

59.

fig. 52

C

El pentágono ABCDE de la figura 53 es regular, luego  = D

A) B) C) D) E)

36º 54º 72º 108º 144º

E



C

fig. 53 A

B

32

60.

Si BC = CD = DE =

AB , entonces el ángulo x = 2

C

B A) B) C) D) E)

60º 80º 90º 120º 207º 2

D

x E fig. 54

A 61.

En un trapecio rectángulo la diferencia entre los ángulos interiores distintos es 36º, luego la medida del menor ángulo interior es: A) B) C) D) E)

62.

ABCDE es un pentágono regular y ABPQ es un cuadrado interior al pentágono, luego el ángulo DBQ mide A) B) C) D) E)

63.

36º 72º 90º 108º ninguna de las anteriores

27º 30º 36º 45º 18º

En el cuadrado ABCD de la figura 55, ¿cuánto mide el ángulo ANC?

C

D A) B) C) D) E)

35º 45º 55º 125º 145º

80º

M

A

N

fig. 55

B

33

64.

Dos ángulos consecutivos de un cuadrilátero miden 100º y 120º, ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos interiores?

A) B) C) D) E)

65.

60º 70º 110º 120º 140º

En la figura 56, HL = LI = IK = KJ, si el ángulo JLH es el doble del ángulo LHJ, entonces el menor de los ángulos interiores del triángulo HJL mide

L A) B) C) D) E) 66.

K

H

I

J

fig. 56

El triángulo ABC es rectángulo en C, si el ángulo en el vértice en B mide 24º, entonces la medida del ángulo formado por la altura y la transversal de gravedad trazadas desde el vértice C, mide: A) B) C) D) E)

67.

18º 20º 24º 36º 54º

16º 24º 45º 42º 48º

El cuadrilátero de la figura 57 es un trapecio, los arcos AB y CD suman 140º, ¿cuánto mide el ángulo BAC? D

A)

55º

B)

60º A

C

B

C)

70º

D)

110º

E)

No se puede determinar pues no se sabe que tipo de trapecio es

fig. 57

34

68.

69.

El complemento del triple de un ángulo es 30º, luego el ángulo mide A)

10º

B)

20º

C)

30º

D)

50º

E)

60º

En una semicircunferencia de diámetro AB, se traza una cuerda AC, tal que el ángulo BAC = 20º, si la tangente PDQ (D punto de tangencia) es paralela a la cuerda AC, entonces las medida del ángulo PDQ mide: A) B) C) D) E)

70.

71.

20º 30º 35º 40º 70º

En la figura 58, L1 // L2 y L3 // L4, ¿cuánto mide el menor ángulo formado por L2 y L4?

A)

125º

B)

75º

C)

65º

D)

55º

E)

45º

L1

L2

125º

L3

L4

fig. 58

Los triángulo ABC y DEF de la figura 59 no son congruentes, D y G son puntos medios de los lados AB y BC respectivamente, si AB // EF, entonces FDE = C A)

80º

B)

70º

C)

60º

D)

65º

E)

no se puede determinar

F

E

60º

G

40º

A

D

B fig. 59

35

72.

73.

74.

El triángulo MNP de la figura 60 es rectángulo en P, si MR = RN, entonces ¿cuál(es de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) II) III)

NR = RP PR es bisectriz de NPM .

Si NRP  50º , entonces MPR  25º .

A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

P

M

fig. 60

En el trapecio isósceles de la figura 61, EH = HG, si A)

falta información

B)

134º

C)

99º

D)

77º

E)

33º

N

R

H

EGF  111º , entonces

EHG 

G

E

F fig. 61

En el cuadrilátero de la figura 62 (deltoide), AB = BC y CD = DA, ¿cuánto mide el A)

40º

B)

58º

C)

82º

D)

98º

E)

108º

BCD ?

D 50º

A

C

32º

fig. 62

B

36

75.

76.

77.

El pentágono de la figura 63 es regular, luego A)

36º

B)

44º

C)

54º

D)

72º

E)

108º

F

E

A G

B

C

fig. 63

El triángulo achurado de la figura 64, está inscrito en un octógono regular, ¿qué tipo de triángulo lo representa mejor?

A)

equilátero

B)

isósceles

C)

isósceles acutángulo

D)

isósceles rectángulo

E)

rectángulo

fig. 64

En la figura 65, AB  BC  CA y OD  BC , entonces C A)

60º

B)

90º

C)

120º

D)

150º

E)

180º

AOD 

D O

A

78.

AGF 

B fig. 65

¿Cuál de los siguientes cuadriláteros no se puede inscribir en una circunferencia?

A) B) C) D) E)

cuadrado rectángulo trapecio isósceles un cuadrilátero cuyos ángulos interiores opuestos son suplementarios un rombo de diagonales distintas

37

79.

La medida del ángulo EAO es 55º (figura 66), si F es punto medio de DB, entonces EOD 

C

A)

40º

B)

55º

C)

60º

D)

70º

E)

110º

F

D

B

O E fig. 66

A 80.

En el cuadrilátero VASI de la figura 67, el ángulo exterior SIM mide lo mismo que el ángulo VAS, luego VSI = M A)

25º

B)

45º

C)

50º

D)

55º

I

V S 25º

E)

No se puede determinar

fig. 67

A

Sixto Maulén y Savane Emegu 2014

38