Conjunto de los decimales y reales by matematicas LNM

Conjunto de los decimales y reales ( )

I.5.1 Presentación de los decimales. Como ya lo habíamos dicho los naturales se pueden descomponer como la suma de productos de cifras o dígitos por potencias de base 10, y decíamos que era la notación decimal de un natural, ahora que conocimos los racionales. Estos también se pueden escribir de la misma forma a saber:

3 lo transformaremos de manera tal que aparezcan potencias de base 10 en el 4 denominador, para ellos amplificaremos por 25, así nos queda: 3 3  25 75   , ahora lo separamos de la siguiente manera: 4 4  25 100 75 70  5 70 5 7 5      , usando las propiedades de potencias tenemos: 100 100 100 100 10 100 7 5  2  7  101  5  102 hemos logrado escribirlo de manera similar a los naturales, la 1 10 10 diferencia es que las cifras o dígitos ahora multiplican a potencias de base 10 pero con 3 exponentes negativos. Como es una fracción propia y por ello menor que un entero, 4 podremos decir que las partes de un entero generan sumas de productos de cifras por potencias de base 10 con exponentes negativos y la manera de escribirlo y estas cifras para nosotros las separamos por una como, en otros lugares por un punto. 3 = 0,75 4

Pinceladas históricas Las civilizaciones antiguas no utilizaban las fracciones decimales, es más los babilonios utilizaban un sistema sexagesimal, que eran potencias de base 60. Aunque las fracciones decimales, y por tanto los números decimales eran conocidos y utilizados por los árabes y chinos, se atribuye al científico y matemático belga Simón Stevin (1548 – 1.620), la introducción de los decimales. Stevin no usó nuestro sistema actual sino un propio, más tarde, el suizo Jobst Bürgi (1.552 – 1.632) simplifico la notación de Stevin y entre las cifras de la parte entera y la decimal usó el signo º. Así el número 23,75 se escribía como: 23º75. Finalmente la forma actual de escribir un decimal se debe a la forma que usó John Napier (1.550 – 1.617), quién uso la como o el punto para separar la parte entera de la parte decimal, en España usaron la coma al igual que otros países, los países anglosajones usan el punto.

Número decimal: Es aquel que puede expresarse como suma de productos de cifras por potencia de base 10. Ej. 1.258 = 1·1.000 + 2·100 + 5·10 + 8·1 = 1·103 + 2·102 + 5·101 + 8·100 En particular, los números que son menores que un entero, los exponentes de las potencias de base 10 son negativos. Ej.

3 = 0,75 = 0·100 + 7·10-1 + 5·10-2 4

En general los exponentes de las potencias de base 10, indican la posición de la cifra en el número, las cifras que multiplican a las potencias de base 10 con exponentes negativos van

ubicadas a la derecha de la coma, la coma separa a las cifras de la parte entera (cifras que multiplican a potencias de base 10 con exponentes positivos o cero) de los dígitos de la parte decimal (cifras que multiplican a potencias de base 10 con exponentes negativos). Ej. 73,84 = 7·101 + 3·100 + 8·10-1 + 4·10-2 La cifra que multiplica a:

10-1; se llama décimo 10-2; se llama centésimo 10-3; se llama milésimo etc.

Es decir el número 73,84 se lee como 73 enteros y 84 centésimos. Todo racional se puede llevar a decimal dividiendo el numerador por el denominador. Ej.

3 = 0,75 4

30 : 4 = 0,75 20 0 Los números decimales se clasifican de la siguiente manera:

Número Decimales Finitos

Infinitos Periódicos Puros

No periódicos

Semiperiódicos

Para cubrir todos los números decimales estudiaremos los que están enmarcados. Decimales finitos: son aquellos que tienen una cantidad determinada de cifras en la parte decimal. Ej. 0,25 0,125 Todo decimal finito es un racional y para llevarlo a forma racional, se anota en el numerador el número sin coma, y en el denominador un uno con tantos ceros como cifras haya en la parte decimal. Ej. 0,25 =

025 25 1   100 100 4

0,125 =

0125 125 1   1000 1000 8

Decimales infinitos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad indeterminada de cifras, en algunos de ellos se produce un conjunto de cifras que se repiten (periodo) y en otros jamás se repiten una o un grupo de cifras. Decimales infinitos periódicos puros: son aquellos que en su parte decimal tienen una o más cifras que se repiten indefinidamente. Las cifras que se repiten se llaman periodo. Ej. 0,3333… = 0,3 0,171717… = 0,17

Todo decimal periódico puro es un racional. Para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el periodo y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo. Ej. 0,333… =

3 1  9 3

0,171717… =

17 99

Si además del periodo aparece parte entera, en el numerador se anota el número sin coma y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo. Ej. 2,333… =

23  2 21 7   9 9 3

Decimales infinitos semiperiódicos: son aquellos que en su parte decimal además del periodo tienen una o más cifras que no se repiten (ante periodo). Ej. 0,2333… = 0,23 0,12343434… = 0,1234 Todo decimal semiperiódico es un racional y para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el número sin coma menos al ante periodo, y en le denominador se anotan tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el ante periodo. Ej. 0,2333… =

23  2 21 7   90 90 30

0,12343434… =

1234  12 1222  9900 9900

Si además de lo anterior el número tiene parte entera, se transforma de la misma forma. Ej. 4,2333… =

423  42 381  90 90

Decimales infinitos no periódicos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad indeterminada de cifras en las cuales jamás se puede establecer un periodo. Ej.  = 3,1415… 0,1010010001… Las raíces cuadradas o de índice par de números que nos son cuadrados perfectos son decimales infinitos no periódicos. Estos decimales no se pueden llevar a forma racional, por lo tanto reciben el nombre de Irracionales ( ' ). Operatoria entre racionales e irracionales: i) ii) iii) iv)

Al sumar o restar un racional con un irracional el resultado es siempre irracional. Al sumar o restar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. Al multiplicar un racional con un irracional en un único caso resulta racional, es cuando el racional es cero, en cualquier otro caso da irracional. Al multiplicar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional.

La unión de los Racionales con los Irracionales genera el gran conjunto de los Reales.

Operatoria entre decimales. Para sumar o restar decimales estos deben ser ordenados de acuerdo a la coma. Ej. 12,356 + 103,54 =115,896 12,356 + 103,54 115,896 Para multiplicar decimales, estos se multiplican igual como si fueran enteros, y al resultado final se corre la coma tantos lugares como cifras decimales hallan en los dos números que se multiplicaron. Ej. 2,35 · 1,2 = 2,82

2,35 · 1,2 470 235 2,820, (la coma se corre 3 lugares)

Para dividir decimales, estos se deben amplificar para que el divisor sea entero, esto se hace corriendo la coma hacia la derecha en ambos números y luego se rellena con ceros. Si uno requiere encontrar más decimales en una división se debe agregar cero al resto y seguir dividiendo. Ej. 4,6 : 0,23 = 20

460 : 23 = 20 00 0

Observación: Los decimales periódicos en general deben ser transformados en racionales antes de operarlos, no es recomendable operarlos en su forma decimal. Redondeo y truncamiento Como nos encontramos con decimales infinitos y obviamente estos así como tales no se pueden operar, los decimales infinitos periódicos deben ser transformados a racional para operarlos, los decimales infinitos no periódicos no pueden ser transformados a racionales por tanto deberemos usar la mejor aproximación de ellos y esto dependerá del uso que se le dará. Una forma de trabajar estos números u otros que tiene muchas cifras en su parte decimal es el redondeo o truncamiento.

Redondeo: es una aproximación en la cual, la cifra en cuestión se mantendrá si la que está inmediatamente a la derecha es inferior a 5 y aumenta en 1 si la cifra de la derecha es mayor o igual a 5. Ejemplo: Sea el decimal 34,174357 luego si lo queremos redondear a la cifra de las centésimas, debemos considerar a ella: 34,174 debemos sólo tomar la que está inmediatamente a la derecha de ella, en este caso 4, como es inferior a 5, el número que redondeado a las centésimas como: 34,17 Si hubiese sido el decimal 34,177357, redondeado a la cifra de las centésimas sería: 34,18

Truncamiento: es la aproximación de un decimal que hace lo que la palabra significa, truncar es decir cortar, es decir se corta el decimal donde se requiere. Ejemplo: Considerando el decimal del ejemplo anterior y queremos truncarlo a las centésimas, simplemente se eliminan todas las cifras que están más allá de las centésimas, luego nos queda: 34,174357 sería 34,17 truncado a las centésimas

Ahora si tomamos a los números reales y lo analizamos estructuralmente, tenemos que: i) ii)

 

,   , tiene estructura de grupo abeliano.

, , tiene estructura de grupo abeliano.

Además si consideramos



, ,  , tenemos que se cumple la distributividad;

Distributivita;  a, b y c que pertenecen a los reales, se cumple que:

a  b  c   a  b  a  c iii)



, ,  tiene estructura de anillo.

Cuando uno está en presencia de una estructura de anillo, en ese conjunto con las dos operaciones, está permitido hacer Álgebra. Observación: Si tenemos dos números reales cualesquiera; a y b, entonces podemos decir que; i) ii) iii)

a=b a>b a<b

Esta propiedad de los reales se llama tricotomía, de i) llegamos a las ecuaciones, de ii) y iii) llegamos a las inecuaciones, que estudiaremos más adelante. Ejercicios V 1.

Transforma los siguientes racionales a decimales. 1) 4) 7) 10) 13)

1 10 5 16 1 3 1 2 12 5 9

2) 5) 8) 11) 14)

2 5 4 25 5 6 1 3 2 8 11

3) 6) 9) 12) 15)

1 4 7 5 1 8 2 7 5 15

Transforma los siguientes decimales en racionales irreductibles. 1) 4) 7) 10) 13)

0,6 0,13 4,8 147,04 0,444…

2) 5) 8) 11) 14)

0,02 1,1 9,52 6,083 0,010101…

3) 6) 9) 12) 15)

0,12 5,59 30,196 8,95 2,111…

16) 19) 22) 25) 28) 4.

18) 21) 24) 27) 30)

1,999… 1,2345 9,111… 2,33555… 5,555…

{2,1;1,2;2,01;1,21} {4,5;-5,1;-4,9;-5,3;-5,8} {3,22;3,29;3,31;3,18;3,33;3,04;3,47} {-5,333…;-5,333;-5,2999…}

4,26 + 9,513 – 12,8 = 2) 36,28 – 5,7 – 14,629 = 4) 27,316 + (5,2 + 19,87) = 6) 25,4 – (16,83 + 0,094) = 8) 36,29 · 8 = 10) 95,7 · 3,6 = 12) 4,519 · 10 = 14) 82,5 · 4,035 = 16) 0,762 · 3,92 = 18) 638,8 · 0,618 = 20) 2,221 : 6,3 = 22) 0,3 : 0,2 = 24) 0,07 : 100 = 26) 1,11 : 2,22 = 28) 25 : 0,001 = 30) 200,1 : 12 = 32) 2 3 0,1 = 34) 2,2 = (0,333…)-1 = 37) 3 4 0,5 = 39) 0,6 = 65,2 – 4,953 · 10 = 42) 5,63 + 0,084 · 100 – 9,2 = 0,007 : 100 · 7000 = 46) 3,22 – 10 + 2,4 = 48) 2 (10,25 – 7,5) : 7,5625 = 50)

21,7 – 6,34 + 3,591 = 43,5 – (31,398 – 7,6) = 19,258 – (21,7 – 8,36) = 57,9 – (2,8 + 37,416) = 17 · 5,864 = 8,3 · 4,19 = 2,834 · 100 = 5,928 · 0,7 = 208 · 4,76 = 713,2 · 0,862 = 8,719 : 6,6 = 5 : 1,2 = 10 : 0,3 = 27,28 : 4,23 = 0,001 : 0,002 = 0,12 : 0,04 = 35) 0,002-1 = (1,111…)2 = 40) 1,3-2 = 3,5 · (6,43 + 2,816) = 44) 1,1 + 0,13 · 1000 = 1000 : 0,001 – 10000 = 2,53 : 5 – 0,3,125 = 0,12 : 0,3 · 4 – 0,6 =

Determina a que conjunto (racionales o irracionales) pertenecen las respuestas de los siguientes ejercicios. 1) 2) 3)

7,777… 10,101010… 24,18383… 1,123123… 7,3434

Realiza las siguientes operaciones. 1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17) 19) 21) 23) 25) 27) 29) 31) 33) 36) 38) 41) 43) 45) 47) 49)

17) 20) 23) 26) 29)

Ordena de manera creciente y decreciente los siguientes conjuntos de decimales. 1) 2) 3) 4)

1,1222… 2,22333… 738,555… 3,3335 0,222555…

0,1010010001… + 0,111… = 2,121121112… - 0,212212221… = 3,777… · 0,444…

Redondea y trunca los siguientes decimales en la cifra que se indica. 1) 2) 3) 4) 5) 7) 8)

0,3245 324,789 37,84999… 1827,99 100,8111 17498,52 4,544499

(centésimas) (decenas) (centésimas) (unidades) (decenas) (décimas) (milésimas)

Autoevaluación Nº 5 Decimales 1.

0,1 + 0,02 + 0,003 = A)

0,006 D)

9,99

10,009

17 18

C) E)

3,33 D)

10,01

10,9

C) E)

= 4,44, entonces ¿cuál es el decimal que se debería agregar en

1,23

2,13

C) E)

0,12

3,21

3 =

1 7

0,14

C) E)

3

3

3

0,1 · 0,01 · 1.000 = A)

0,1

D) 100 E) 1.000 El decimal 0,125 corresponde al racional A)

1 4

125 100

1 16

C) E)

1 8

1 125

0,111… + 0,999… = A)

1 D)

10.

0,0123

C) E)

Si 1 + 1,1 + 1,11 + el rectángulo? A)

2,99

17 18

0,3 D)

0,6

[(0,111…)-2]0,25 = A)

9,9 D)

¿Cuál de los siguientes decimales está más cerca del entero 10? A)

0,123

2,9 D)

0,06

4  0,5 = 9

1,111…

1,0000…1

1,1

1,010101…

36 · 0,333… A) C)

1,21212… 10,888… E)

B) D)

12,121212… 0,121212…

11.

¿Qué fracción al cuadrado da como resultado 0,444…? A)

4 9

4 10

D) 12.

0,625

1 9

1 3

C) E)

2,5

0,025

4.671 11.111

0,10101010...

C) E)

8.461 10.000

B) 42.035 99.999

0,25

0,0025

C) E)

42.031 99.990

3.821 9.090

El número 703,205 es equivalente a A) B) C) D) E)

7·102 + 3·100 + 2·101 + 5·10-3 7·101 + 3·100 + 2·10-1 + 5·10-3 7·102 + 3·100 + 2·10-1 + 5·10-2 7·102 + 3·100 + 2·10-1 + 5·10-3 72 + 30 + 2-1 + 5-3

3 ·102 + 5 · 100 + 2 · 10-1 + 3 · 10-3 = A)

19.

ninguna de las anteriores

0,4203520352035… = A)

18.

17.

-0,375

0,52 = A)

16.

2 10

0,375

-0,625

15.

2 3

0,1010010001... + 0,0101101110... = A)

14.

0,25 + 0,125 – 1 = A)

13.

2 9

305,23 B) D) 350,023

35,203 E)

C) 305,203 300,523

Sean los racionales a = 0,125, b = 0,125 , c = 0,125 y d = 0,125 , luego el gráfico que mejor los representa es

D) E)

a d c b ninguno de los anteriores

Un número se dice escrito en notación científica, sí es de la forma a · 10n, donde 1  a  10 , luego si 0,00004 se escribe en notación científica, entonces a – n = A)

1 D)

B) -5

–9

C) E)

-1

20.

21.

2,3  0,8 

3,2

3,02

23.

24.

0,3

3,2

c,b,a

b,c,a

Si k = 0,35 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) II) III)

100k es entero 100k – 10k es entero k es decimal infinito no periódico.

Sólo I B) D) Sólo II y III

Sólo II E)

C) Sólo III I, II y III

C) 0,09

0,12 : 0,4 · 0,3 = 9 D)

0,0144

0,9

¿Cuál de los siguientes racionales al transformarlos a decimal, la cifra de los centésimos es 7? 1 4

1 3

1 7

C) E)

1 5

14 18

Al dejar caer una pelota desde una altura h, esta rebota subiendo hasta 0,9 veces la altura de donde cayó, si esta sigue rebotando con la misma condición, entonces ¿a qué altura llegará después del quinto rebote? A)

0,9 h D) 0,1

27.

1,1 

1 0,1

4,5 h

(0,9)4 h

C) E)

0,45 h

(0,9)5 h



0,9 D)

28.

3,11

300 1 El orden creciente de a = 0,33; b = y c = (0,3)2 es 3 A) a,b,c B) b,a,c C) c,a,b

26.

0,03

25.

3,1

¿Cuántas veces caben 6 décimos en 1,8? A)

22.

0,101

C) E)

0,009

0,101

Una familia tiene un negocio en donde todos ellos trabajan. Han decidido que de las ganancias, el padre tendrá el 0,29, la madre el 0,27 y el resto para los dos hijos por igual. Si ganaron $ 1.000.000, entonces ¿cuánto recibió cada hijo? A) C)

$ 270.000 $ 220.000 E)

B) D) $ 560.000

$ 290.000 $ 440.000

29.

El d铆gito que ocupa la posici贸n 2004 en la expresi贸n decimal del racional

B) D)

30.

C) E)

2322 es 990

Si la siguiente suma (0,1 + 0,01 + 0,001) es dividida por 0,0001, resulta: A)

111 D)

B) 1.110

11,1

C) E)

1,11

1.000

Sixto Maul茅n y Savane Emegu 2013