C u r s o : Matemática Módulo Nº 01-T
NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
1.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURALES (lN)
ENTEROS ( )
RACIONALES ( )
REALES (lR)
NO REALES
NÚMEROS
IRRACIONALES ( ’)
1
1.1 Identificar Identifique a que conjunto(s) numérico pertenece cada número de la siguiente tabla, ubicándolos en el diagrama.
3
1 8
1 8
0
-4
5
0,3
- 7
2,3
-3
3 2
- 16
1,8
3 4
25
14 2
2,54
11
1 8
- 16
3
-8
1 3 3
-2
-
1 2
-
Reales lR
Racionales
5
3
No reales
Irracionales ’
Enteros
Naturales lN
2
1.2 Completar la recta numérica según se indica a) Completar en la recta los antecesores y sucesores de n
n
b) Complete la recta numérica con las expresiones pares
2n + 2
c) Ubique los números impares en la recta según corresponda:
2n – 1 Operatoria 1.4 Racionales (
1.3 Enteros ( ) a)
-7 – 8 + 3 =
b) -15 : 3 · 5 =
c) -2 · 8 : -4 + 1 =
d) 3(-2 + 5) – ( 7 – -3) =
1 2 5 = 3 3 3
a)
3+
b)
3 5 6 + = 2 4 8
c)
3
2 3 ·1 = 5 17
d) -5 : -
e) 4[-{-4 + 5 – 2(1 – 8)} – (5 – 1)] =
e)
3
1 = 5
3 1+
) (fracciones)
1 2
=
1.6 Reales ( )
1.5 Racionales ( ) (decimales) a) 0,504 – 0,23 =
a) 2 3 + 5 3 =
b) 0,125 – 2 · 2,7 =
b) 5,2 0,6 ·
c) 10-2 + 3 · 10-2 – 5 · 10-2 =
c)
d) 0,2 : 0,3 =
d) 1,5 ·
e) 1,2 · 0,3 · 7,36 =
e)
1.7
1 +2 8 = 3
8 = 2
2 ·
3
-8 =
5 12 0,2 75
=
Responda Verdadero (V) o Falso (F) a) _____ El cero es un número par. b) _____ El cero es el único entero NO negativo y NO positivo. c)
_____ El número 1 es múltiplo de todos los números.
d) _____ El número 1 es el primer número primo. e) _____ El número 3 es múltiplo de 6. f)
_____ a es divisor de a · b.
g) _____ El cero es múltiplo de todos los números. h) _____ El número 1 es divisor de todos los números. i)
_____
3, 9 es un irracional positivo.
j)
_____ La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
k) _____ El cuadrado de todo número irracional es racional. l)
_____ La suma de un número real con un número irracional es siempre un irracional.
m) _____ La resta de dos irracionales NO siempre es irracional. 4
1.8 Complete el espacio asignado con el número que corresponde para hacer verdadera la operatoria indicada: a) 3 –
–1 = 6
b)
c)
–1
1 =1 3
2,01 –
= 1,21
d) 10-4 + 10-5 = e)
2 : 3
f)
- 2,3 ·
=
4 9
=7
1.9 Completar las siguientes oraciones a)
El ____________ de siete menos treinta y cinco es cero.
b)
El conjunto de los ____________ de 3 son {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}.
c)
Los números 1 y 3 son _____________ de 15.
d)
El ____________ es el único entero sin signo.
e)
Entre dos fracciones cualesquiera se pueden contar ____________ fracciones.
f)
{2, 3, 5, 7, 11, 13, …} son números ____________.
g)
{4, 6, 8, 9, …}
son números ____________.
1.10Términos Pareados
a)
1 3 3
b)
c)
1
____ 0
=
1 3 1
1+
____ 0,125
=
1 1 2
____ 1
1 3 2 3 1 5 = 2 5
____ 3
5
2.
RAZONES Y PROPORCIONES
PROPORCIONALIDAD
Raz贸n a b
Proporci贸n a c = b d
Proporcionalidad Directa
y
Proporcionalidad Inversa
y x =k y
x
Porcentajes Q P = C 100
6
y路x=k
x
2.1 Resolver los siguientes ejercicios a) Doña Ana tiene 64 años de edad y su nieto 24 años, ¿En qué razón están las edades actuales de la abuela y su nieto, respectivamente?
b) Indica la razón entre las edades de la Abuela y su Nieto i.
Hace 20 años
___________
ii.
Hace 4 años
___________
iii.
En 4 años más
___________
iv.
En 12 años más
___________
OBSERVACIÓN:
la razón entre las edades va cambiando a través del tiempo.
2.2 Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones a) x : 5 = 4 : 10 b) 7 : 2 = 14 : x c)
x : 2c = b : 2c
d) 15 : (x – 1) = 3 : (x + 1) 2.3 Resuelve a) Si a : b = 2 : 3, con a = 50, entonces b es igual a b) Si a : b : c = 1 : 2 : 3 y b = 10, entonces a + c es c)
Si x : y = 1 : 3 y x : z = 2 : 5, entonces la razón entre x : y : z es
d) Si
a b c = = y a + b + c = 36, entonces 2a – b + 5c = 2 4 3
e) Si x : y : z = 3 : 5 : 7 y -3x – 4y + 14z = 276, entonces el valor de y es
7
2.4 Ejercicios de Aplicación Proporcionalidad Directa: Dos variables x e y son directamente x proporcionales si su cuociente es constante. =k y OBSERVACIÓN:
Si una aumenta la otra aumenta en igual proporción o si una disminuye la otra también disminuye en igual proporción. a) Si un kilógramo de frutillas vale $ 500, entonces i. ii. iii. iv.
2 kg de frutillas, costarán ___________. 3 kg de frutillas, costarán ___________. 5 kg de frutillas, costarán ___________. 1 kg de frutillas, costarán ___________. 4
b) Un atleta recorre 25 Km en 5 horas. Si mantiene la misma rapidez, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 20 horas?
c)
Trece trabajadores cavan en 7 horas una zanja de 35 metros. ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo, 39 trabajadores?
2.5 Ejercicios de Aplicación Proporcionalidad Inversa: Dos variables x e y son inversamente proporcionales si su producto es constante. x · y = k OBSERVACIÓN:
Si una aumenta la otra disminuye en igual proporción (o viceversa)
a) Ocho maestros pintan un edificio en 30 días, entonces i. 2 maestros demorarán en hacer igual trabajo en 120 días ii. 4 maestros demorarán en hacer igual trabajo en _______ días iii. 24 maestros demorarán en hacer igual trabajo en _______ días iv. 32 maestros demorarán en hacer igual trabajo en _______ días b) Cinco llaves llenan un estanque en 15 horas. ¿En cuántas horas llenarán el estanque 10 llaves iguales a la anterior (con el mismo flujo de agua)?
c)
Un Rectángulo tiene 40 cm de base y 10 cm de altura. Si la base disminuye a 10 cm, ¿En cuánto debe aumentar la altura para que el área del rectángulo se mantenga constante?
8
2.6 Complete las tablas a)
Las variables A y B son directamente proporcionales
b)
Las variables A2 y B directamente proporcionales
A
B
A
B
2
10
6
3
2 3
4
2 6
30
12
40 c)
son
Las variables C y D inversamente proporcionales
son
d)
Las variables 2C y D inversamente proporcionales
C
D
C
D
2
5
6
4
3
son
4
5 2
16 3 2
5
2.7 Responda Verdadero (V) o Falso (F) a) ____ Si en un cuadrado se han trazado sus diagonales y pintado 3 de los 4 triรกngulos generados, la razรณn triรกngulos en blanco a triรกngulos achurados 1 : 3. b) ____ Si en una razรณn el consecuente es igual a 1, este no se escribe. c)
____ Dado un plano con escala 1 : 5.000 implica que una longitud de 1 cm en el plano representa 50 m en la realidad.
d)
____ Si
e)
____ Si una variable aumenta y inversamente proporcionales.
f)
____ La cantidad de personas que asisten a una fiesta y el consumo de bebidas son variables directamente proporcionales.
g)
____ La cantidad de operarios y el tiempo que demoran en realizar un mismo trabajo, son variables inversamente proporcionales.
a 3 = implica siempre que a = 3 y b = 4. b 4
9
la
otra
disminuye,
estas
variables
son
2.8 Proporcionalidad Compuesta Si x e y son variables inversamente proporcionales y cada una de ellas x·y =k directamente proporcionales con z, entonces se cumple : z a) Dos secretarias tipean 5 escrituras en 8 días. ¿Cuántas secretarias, en las mismas condiciones de trabajo, se necesitan para tipear 10 escrituras en 2 días?
b) Cinco sastres necesitan 2 meses para crear 10 trajes, bajo las mismas condiciones, si trabajan 15 sastres, ¿cuántos trajes fabrican en un mes?
c)
3.
En un campamento 1500 scout tienen alimento para 45 días 5 veces al día. Si la cantidad de chicos aumenta al triple y la cantidad de comidas se reduce a 3 veces al día, ¿para cuántos días alcanza el alimento?
PORCENTAJES
3.1 Lee atentamente el ejercicio y determina el porcentaje pedido a) ¿Cuánto es el 30% de 300?
b) ¿Cuánto es el 12% de 400?
c)
¿Qué porcentaje es 2 de 8?
d) ¿Qué porcentaje es 5 de 25?
e) ¿Cuánto es el 40% del 20% del 0,1% de 1.000.000?
f)
¿Cuánto es el 33,3 % del 25% del 5% de 120?
10
g) ¿Cuánto es el 10% de x más el 75% de x?
h) ¿Cuál es el 66
2 6 % de ? 3 4
i)
El 12% de un número es 6. ¿Cuál es el número?
j)
Si el precio de un chocolate aumenta en un 10% y luego se rebaja en un 20% el nuevo precio es $ 2.200. ¿Cuál era el precio inicial del chocolate?
k) Se depositan en un banco $5.000.000 a un interés simple mensual de un 0,6%. Al cabo de 18 meses, ¿cuánto es el capital final?
l)
¿Cuál es el capital final que se obtiene al cabo de 24 meses, al depositar 8.000.000 a interés compuesto mensual del 2%?
3.2 Responda Verdadero (V) o Falso (F) a) _____ El 1% de 100 es la unidad. b) _____ El 100% de 2 es igual a 2. c)
____ Para disminuir un número se debe multiplicar por un porcentaje mayor a 100%.
d)
____ La suma de a% de n y b% de n es igual a (a% b% n).
e)
____ Para aumentar un número en su 10%, hay que multiplicarlo por 1, 1.
f)
____ El 8% de G es equivalente a
g)
____ Si un número disminuye en su 20%, se obtiene el 80% de su valor.
1 G. 8
11
SELECCIÓN MÚLTIPLE 1.
40 – 20 · 2,5 + 10 = A) 0 B) -20 C) 60 D) 75 E) 25 Fuente: DEMRE 2008, Pregunta Nº 1
2.
5 1 se le resta resulta 6 3
Si a
A) B) C) D) E)
1 2 1 2 2 3 4 3 2 9
Fuente: DEMRE 2008, Pregunta Nº 2 1
3.
1
1+ 1+
A) B) C) D) E)
=
1 1+1
5 2 2 5 1 3 5 1 2
Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 1
12
4.
La suma de tres números impares consecutivos es siempre I) II) III) A) B) C) D) E)
divisible por 3. divisible por 6. divisible por 9.
Solo I. Solo II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y II Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 14
5.
La mitad de una parcela de 10.000 m 2, está dividida en dos partes, que están en la razón 1 : 4. La parte menor será utilizada para cultivo, ¿cuántos metros cuadrados serán usados para este fin? A) 625 B) 2.000 C) 400 D) 1.250 E) 1.000 Fuente: DEMRE 2011, Pregunta Nº 9
6.
El valor de m en la proporción
3 1 1 : m = 2 : 3 es 4 2 3
100 9 25 B) 4 3 C) 4 D) 1 9 E) 16
A)
Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 8 7.
Las variables A y B de la tabla adjunta, tiene alguna relación de proporcionalidad. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
A y B son variables inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad inversa es 30. El valor de x es 2.
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
A
B
10
3
15
x
20
1,5
Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 9
13
8.
En la figura 1, las variables x e y son inversamente proporcionales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? y fig. 1 3
p q
9
x
A) El valor de q es el triple del valor de p. B) pq = 27 C) Los valores que toma la variable x son mayores a los valores que toma la variable y. q 3 D) Si x = , entonces y = . 2 2 E) q + 1 < 9 Fuente: DEMRE 2012, Pregunta Nº 9 9.
En un supermercado trabajan reponedores, cajeros y supervisores. El 60% corresponde a reponedores, los supervisores son 18 y éstos son un tercio de los cajeros. ¿Cuántos trabajadores tiene el supermercado? A) 54 B) 72 C) 108 D) 120 E) 180 Fuente: DEMRE 2009, Pregunta Nº 7
10.
Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? A) B) C) D) E)
$ $ $ $ $
45.000 50.000 57.150 72.000 81.900 Fuente: DEMRE 2008, Pregunta Nº 9
14
RESPUESTAS 1.
CONJUNTO NUMÉRICOS
Reales lR Racionales 3
1 ; 8
1 ; 8
-2
3 ; 0,3 ; 4
1 ; 2
-
3 ; 2
No reales Irracionales
0,9 ; 1,8 ; -
1 8
5
2,54
-16
Enteros 0 ; - 16
2,3
-4
3 3
- 7
1 3 3
Naturales lN
-8
11
3
25
14 2
1.2 a) n–4
n–3
n–2
2n – 4
2n – 2
2n
2n – 7
2n – 5
n–1
n
n+1
n+2
n+3
b) 2n + 2
2n + 4
2n + 6
2n + 8
2n + 10
2n – 3 2n – 1
2n + 1
2n + 3
2n + 5
2n + 7
c)
15
5
OPERATORIA (pág. 3) a
b
c
d
e
-25
5
-1
-76
f
g
h
i
j
k
l
m
V
V
F
F
F
F
V
f
g
F
V
1.3
-12
1.4
1
2
4
25
2
1.5
0,274
-5,275
-0,01
0, 6
3
3
5+4 2
2
-3
10
V
F
F
F
V
1 3
0,8
11 · 10-5
3 2
-3
Infinitas
primos
1.6
7·
1.7
V
1.8
-4
1.9
Quíntuplo
Múltiplos
Divisores
Cero
1.10
c
a
---
b
2.
2
compuestos
RAZONES Y PROPORCIONES
a
b
2.1
8 3
11 3 17 19 ; ; ; 9 1 1 7
2.2
2
4
b
2.3
75
20
2:6:5
2.4
1.000; 1.500; 2.500; 125
100
105
2.5
60; 10; 7,5
7,5
30
2.6
A = 6; 8 / B = 20
A = 12 / B=1;2
C=4/ 10 D= ;2 3
C=3/ D = 9; 64
2.7
V
F
V
F
2.8
16
15
25
3.
c
d
-
e
3 2
60
20
F
PORCENTAJES a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
3.1
90
48
25%
20%
80
1 2
17 x 20
1
50
2500
$ 5.540.000
8 · 106 (1,02)24
3.2
V
V
F
F
V
F
V
4. SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. A
2. B
3. D
4. A
5. E
6. D
7. E
8. A
9. E
10. D DMCAMA-M01T
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