اختبارات الفروض والانحدار

‫) ‪ ( ١ - ١‬ﻣﻔﺎﻫﯾم أﺳﺎﺳﯾﻪ‬ ‫ﯾﮭ ﺗم ﺗﺣﻠﯾ ل اﻻﻧﺣ دار ﺑﺎﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن ﻣﺗﻐﯾ ر ﻣوﺿ ﻊ اﻟدراﺳ ﺔ‪ ،‬ﯾﺳ ﻣﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﺗﺎﺑﻊ أو ﻣﺗﻐﯾر اﺳﺗﺟﺎﺑﺔ ‪ response variable‬وواﺣد أو أﻛﺛر ﻣن ﻣﺗﻐﯾرات أﺧرى‬ ‫ﺗﺳ ﻣﻰ ﻣﺗﻐﯾ رات ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ‪ independent variables‬أو ﻣﺗﻐﯾ رات ﻣﻔﺳ ره‬ ‫‪ explanatory variables‬أو ﻣﺗﻐﯾرات ﺗﻧﺑؤ ‪. predictor variables‬‬

‫أﻣﺛﻠﻪ‪-‬‬ ‫‪ .١‬أﺧﺗﺎر ﺑﺎﺣث ﺗﻐذﯾﮫ أرﺑﻌﺔ ﻧﺳﺎء ﻋﺷواﺋﯾﺎ ﻣن ﻛل ﺷرﯾﺣﺔ ﻋﻣرﯾﮫ ﻣن ‪ 10‬ﺳﻧوات‬ ‫ﺗﺑ دأ ﺑ ﺎﻟﻌﻣر ‪ 40‬وﺗﻧﺗﮭ ﻲ ﺑ ﺎﻟﻌﻣر ‪ 79‬وﻛ ﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬ھ و ﻗﯾ ﺎس ﻛﺗﻠ ﺔ‬ ‫اﻟﻌﺿﻠﺔ‪ ،‬أﻣﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ﻓﻛﺎن اﻟﻌﻣر ‪. x ‬‬ ‫‪ .٢‬ﻓ ﻲ دراﺳ ﺔ أﺟرﯾ ت ﻓ ﻲ ﻣؤﺳﺳ ﮫ ﻋﻠﻣﯾ ﮫ ﻛ ﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y ‬ھ و اﻟرواﺗ ب‬ ‫اﻟﺳ ﻧوﯾﺔ ﻟﺑ ﺎﺣﺛﯾن ﻓ ﻲ اﻟرﯾﺎﺿ ﯾﺎت ﻣ ن ﻣﺳ ﺗوى ﻣﺗوﺳ ط وﻣﺗﻘ دم ) ‪ Y‬ﺑ ﺂﻻف‬ ‫اﻟ دوﻻرات( أﻣ ﺎ اﻟﻣﺗﻐﯾ رات اﻟﻣﺳ ﺗﻘﻠﺔ ﻓﻛﺎﻧ ت رﻗ م ﻗﯾﺎﺳ ﻲ ﯾﻌﺑ ر ﻋ ن اﻟﻧﺟ ﺎح ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ دﻋم ﻣﻧﺣﮫ ‪ x1 ‬وﻋدد ﺳﻧوات اﻟﺧﺑرة ‪. x 2 ‬‬ ‫ﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ ﯾﺳﺗﺧدم ﺗﺣﻠﯾل اﻻﻧﺣدار ﻓ ﻲ اﻟﺗﻧﺑ ؤ ﺑ ﺎﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ﻣ ن اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن‬ ‫واﺣد أو أﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺗﻐﯾرات اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﺔ‪ .‬ﻓﻰ اﻻﻧﺣدار اﻟﺑﺳﯾط ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل واﺣد‪.‬وﻓﻲ اﻻﻧﺣدار اﻟﻣﺗﻌدد ﯾﻌﺗﻣد اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ﻋﻠﻰ ﻣﺗﻐﯾرﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﯾن‬ ‫أو أﻛﺛ ر‪ .‬وﺗﺟ در اﻹﺷ ﺎرة ﻫﻧ ــﺎ إن ﻛﻠﻣ ــﺔ اﻻﻧﺣ ــدار اﺳ ــﺗﺧدﻣت ﻷول ﻣـ ـرة ﺑﺻ ــﯾﻐﺗﻬﺎ‬ ‫رﺛـﺔ اﻟﺑرﯾط ﺎﻧﻲ اﻟﺳ ﯾر ﻓراﻧﺳ ﯾس ﻛ ﺎﻟﺗون ) ‪(Sir Francis‬‬ ‫اﻟﺣﺎﺿـرة ﻣــن ﻗﺑـل ﻋــﺎﻟم اﻟو ا‬

‫‪ Galeton‬ﺣﯾ ث ﻛ ﺎن واﺣ د ﻣ ن أول اﻟﺑ ﺎﺣﺛﯾن اﻟ ذﯾن ﺗﻌ ﺎﻣﻠوا ﻣ ﻊ ﻣوﺿ وع دراﺳ ﺔ أو‬ ‫وﺻف ﻣﺗﻐﯾر واﺣد ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ واﺣد أو أﻛﺛ ر ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات‪ .‬ﻓﻘ د درس ﻛ ﺎﻟﺗون‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن أطوال اﻷﺑﻧﺎء ﻣﻘﺎرﻧﮫ ﺑﺄطوال آﺑﺎﺋﮭم ﻓﻼﺣ ظ وﺟ ود ﻋﻼﻗ ﺔ واﺿ ﺣﺔ وھ ﻲ‬ ‫ﻣﯾ ل أط وال اﻷﺑﻧ ﺎء ﻧﺣ و اﻟﻣﺗوﺳ ط ﻷط وال آﺑ ﺎﺋﮭم‪ .‬ﻓﺎﻵﺑ ﺎء ﻗﺻ ﺎر اﻟﻘﺎﻣ ﺔ ﯾﻣﯾﻠ ون‬ ‫ﻹﻧﺟ ﺎب أﺑﻧ ﺎء ﻣﺗوﺳ ط أط واﻟﮭم أﻋﻠ ﻰ )أط ول ﻣ ن آﺑ ﺎﺋﮭم(‪ .‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ اﻟﻌﻛ س ﺻ ﺣﯾﺢ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻹﺑﺎء طوال اﻟﻘﺎﻣﺔ ﺑﺷﻛل ﻏﯾر اﻋﺗﯾﺎدي‪ .‬ﻟذﻟك ﻓﺈن اﻟﻌﺎﻟم ﻛﺎﻟﺗون ذﻛ ر أن أط وال‬ ‫أﺑﻧﺎء ﻵﺑﺎء ط وال أو ﻗﺻ ﺎر ﺗﺑ دو وﻛﺄﻧﮭ ﺎ "ﺗرﺗ د" أو ﺗﻧﺣ در )‪ (regress‬ﻧﺣ و اﻟﻣﺗوﺳ ط‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﻣوﻋ ﺔ وﻟ ذﻟك ظﮭ رت ﻛﻠﻣ ﺔ اﻻﻧﺣ دار ‪ .regression‬وﻗ د ﻧﺷ رت ھ ذه اﻟﻧﺗﯾﺟ ﺔ‬ ‫اﻟدراﺳ ﯾﺔ ﻓ ﻲ ﻋ ﺎم ‪ 1885‬ﺗﺣ ت ﻋﻧ وان ‪regression toward mediocrity in " ،‬‬ ‫‪ ."hereditary stature‬ﻣن ﺗﻠك اﻟﺑداﯾﺔ ﻓﺈن ﻛﻠﻣﺔ اﻻﻧﺣدار ﻗد طورت إﻟﻰ اﻟﻣﻌﻧﻰ اﻟذي‬ ‫ﯾﺷﻣل ﺗﺣﻠﯾ ل اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﺗﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ اﺛﻧ ﯾن أو أﻛﺛ ر ﻣ ن اﻟﻣﺗﻐﯾ رات ﻋﻧ دﻣﺎ ﯾﻛ ون‬ ‫اﻟﮭدف ھو اﻛﺗﺷﺎف طﺑﯾﻌﺔ ھذه اﻟﻌﻼﻗﺔ وﺑﻌد ذﻟك اﻋﺗﻣﺎدھﺎ ﻓﻲ ﻗﺿﺎﯾﺎ اﻟﺑﺣث اﻟﻌﻠﻣﻲ‪.‬‬

‫) ‪ ( ٢ - ١‬اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل وﻣﺗﻐﯾر ﺗﺎﺑﻊ‬

‫‪Relation between dependent and independent variable‬‬ ‫ﻋﻧ د دراﺳ ﺔ اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن ﻣﺗﻐﯾ ر ﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬وﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل ‪ x‬ﯾﻛ ون ﻣ ن اﻟﻣﻔﯾ د‬ ‫اﻟﺗﻣﯾﯾز ﺑﯾن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟداﻟﯾﺔ واﻟﻌﻼﻗﺔ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪.‬‬

‫) ‪ ( ١ - ٢ - ١‬اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟداﻟﯾﺔ‬ ‫‪Functional relation‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﯾﻛ ون ﻓﯾﮭ ﺎ ﺗﻘ دﯾر ‪ Y‬وﺣﯾ د وذﻟ ك ﻣ ن اﻟﻣﻌﻠوﻣ ﺎت ﻋ ن ‪ x‬ﺗﺳ ﻣﻰ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻟداﻟﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟداﻟﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾر ﺗﺎﺑﻊ ‪ Y‬وﻣﺗﻐﯾر ﻣﺳﺗﻘل ‪ x‬ﺗﻣﺛ ل ﻋﻼﻗ ﺔ ﻣﺿ ﺑوطﺔ‬ ‫‪ exact‬ﺣﯾث ﻗﯾﻣﺔ ‪ Y‬اﻟﺗﻲ ﺗﻘدر ﺗﻛون وﺣﯾده ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺣدد ﻗﯾﻣﮫ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪.x‬‬

‫أﻣﺛﻠﺔ‬ ‫‪ .١‬اﻹﯾﺟﺎر)‪ Y‬ﺑﺎﻟدوﻻر( ﻟﻣوﺗور ﻛﮭرﺑﺎﺋﻲ ﯾرﺗﺑط ﺑﻌدد ﺳﺎﻋﺎت ﺗﺄﺟﯾره ‪ x ‬ﻛﻣﺎ ﯾﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪Y  2  3x‬‬

‫ﺣﯾث ‪ 2 $‬ﻗﯾﻣﺔ ﺛﺎﺑﺗﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺎﺗورة و ‪3 $‬ﺗﻣﺛل ﻣﺑﻠﻐﺎ ً ﻣﺿﺎﻓﺎ ً ﻟﻛ ل ﺳ ﺎﻋﺔ إﯾﺟ ﺎر‪.‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻷي ﻋدد ﻣن اﻟﺳ ﺎﻋﺎت ھﻧ ﺎك ﻗﯾﻣ ﺔ وﺣﯾ ده ﻟﻺﯾﺟ ﺎر‪ .‬ﯾوﺿ ﺢ ﺷ ﻛل )‪(١-١‬‬ ‫ﺧ ط اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ‪ Y  2  3x‬وأﯾﺿ ﺎ اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﻟﺛﻼﺛ ﺔ ﻣﺑ ﺎﻟﻎ ﻣدﻓوﻋ ﺔ ﻟﺗ ﺄﺟﯾر ‪1,3,5‬‬ ‫ﺳﺎﻋﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ‪ .‬اﻟﻧﻘﺎط ﻋﻠﻰ اﻟرﺳم ﺳوف ﺗﻛون )‪.(1,5), (3,11), (5,17‬‬

‫ﺷﻛل )‪(١-١‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻗﯾﻣﺔ ‪ Y‬اﻟﺗﻲ ﺗﻘدر ﻣن ‪ x‬ﺗﻛون وﺣﯾده وﻛل اﻟﻣﺷﺎھدات ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧ ط‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‪.‬‬

‫‪ -٢‬إذا ﻛﺎﻧ ت اﻟﺳ رﻋﺔ اﻷوﻟﯾ ﺔ ﻟﺟ زئ ھ ﻲ ‪ v 0‬وإذا ﻛﺎﻧ ت ‪ a‬ھ و ﺛﺎﺑ ت اﻟﺗﻌﺟﯾ ل‬ ‫)اﻹﺳراع( ﻓﺈن اﻟﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋﺔ )‪ (Y‬ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫ﺣﯾث ‪ x‬ﺗﻣﺛل اﻟزﻣن ‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪Y  v 0 x  ax 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -٣‬إذا ﻛﺎﻧت ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺗذﻛرة ﺑﺎﻟطﺎﺋرة ﺗﺣدد ﻋﻠﻰ أﺳ ﺎس ﻗﯾﻣ ﺔ ﺛﺎﺑﺗ ﺔ ﻣﻘ دارھﺎ ‪ 50‬ﻣﺿ ﺎﻓﺎ‬ ‫ﻟﮫ ﻣﺑﻠﻐﺎ ﻣﻘداره ‪ 0.10‬دوﻻر ﻟﻛل ﻛﯾﻠو ﻣﺗ ر ﻣ ن اﻟﻣﺳ ﺎﻓﺔ اﻟﻣﻘطوﻋ ﺔ وإذا ﻛﺎﻧ ت ‪Y‬‬ ‫ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺗذﻛرة ﺑﺎﻟطﺎﺋرة و ‪ x‬ھﻲ ﻋدد اﻟﻛﯾﻠوﻣﺗرات اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﻓ ﺈن اﻟﻌﻼﻗ ﺔ ﺑ ﯾن‬ ‫‪ x , Y‬ﺗﺣددھﺎ اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪Y  50  0.1 x‬‬

‫ﻓﻌﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟرﺣﻠﺔ ھﻲ ‪ 300‬ﻛم ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺗذﻛرة ﺑﺎﻟطﺎﺋرة ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪Y  50  0.1300   80‬‬

‫وﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ﻣﺳﺎﻓﺔ اﻟرﺣﻠﺔ ‪ 1000‬ﻛم ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ اﻟﺗذﻛرة ﺑﺎﻟطﺎﺋرة ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪Y  50  0.11000   150‬‬

‫ﯾوﺿﺢ ﺷﻛل )‪ (٢-١‬ﺧط اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪. Y  50  0.1 x‬‬

‫ﺷﻛل )‪(٢-١‬‬

‫‪ -٤‬ﻣﺳ ﺎﺣﺔ اﻷﻟ واح اﻟﻣرﺑﻌ ﺔ ﻣ ن ﻣﻌ دن )‪ (cm2 Y‬ﺗ رﺗﺑط ﺑط ول ﺟﺎﻧﺑﯾ ﮫ )‪ x‬ﺳ م(‬ ‫ﺑﻌﻼﻗ ﺔ داﻟﯾ ﮫ ‪ . Y  x 2‬ﯾوﺿ ﺢ ﺷ ﻛل)‪ (٣-١‬ﻣﻧﺣﻧ ﻰ اﻟﻌﻼﻗ ﺔ وأﯾﺿ ﺎ ﻣﺷ ﺎھدات‬ ‫ﻷرﺑﻌﺔ أﻟواح ﺟواﻧﺑﮭﺎ ھﻲ ‪ 8, 10, 30, 40‬ﺳم ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ‪.‬‬

‫ﺷﻜﻞ )‪(٣-١‬‬

‫)‪ (٢-٢-١‬اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‬ ‫‪Statistical relation‬‬ ‫ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟدراﺳﺎت اﻟﺗطﺑﯾﻘﯾ ﺔ‪ ،‬ﻓ ﺈن ﻗﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻻ ﺗﻘ در ﺑﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫وﺣﯾدة وذﻟك ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺣ دد ﻗﯾﻣ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ‪ .x‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‪ ،‬ﻋﻧ د‬ ‫دراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯾن دﺧل اﻷﺳرة وإﻧﻔﺎﻗﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟطﻌﺎم‪ ،‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺟد أﺳر ﻟﮭﺎ ﻧﻔس ﻣﺳﺗوى‬ ‫اﻟدﺧل ﺗﺧﺗﻠف ﻓﻲ إﻧﻔﺎﻗﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟطﻌﺎم‪ ،‬اﻟﺳﺑب اﻟرﺋﯾﺳﻲ ﻟذﻟك ھو وﺟود ﻋواﻣل أﺧرى‬ ‫ﻏﯾر دﺧل اﻷﺳرة ﺗﻠﻌب دورا ً ‪ ،‬ﻣﺛل ﺣﺟم اﻷﺳرة وﻧظﺎم اﻟﻣﻌﯾﺷﺔ‪...‬اﻟﺦ‪.‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﯾﻛ ون ﻓﯾﮭ ﺎ ﺗﻘ دﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﺗ ﺎﺑﻊ‪ Y‬ﻟ ﯾس وﺣﯾ د وذﻟ ك ﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ‪ x‬ﺗﺳﻣﻰ ﻋﻼﻗﺎت إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﻌﻼﻗﺎت اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﻐﯾر ﺗ ﺎﺑﻊ ‪ Y‬وﻣﺗﻐﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘل ‪ x‬ﺗﻣﺛ ل ﻋﻼﻗ ﺔ ﻏﯾ ر‬ ‫ﻣﺿ ﺑوطﺔ ‪ inexact relation‬ﺣﯾ ث ﺗﻘ دﯾر ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟ ـ‪ Y‬ﻻ ﺗﻛ ون وﺣﯾ دة ﻋﻧ دﻣﺎ‬ ‫ﺗﺣدد ﻗﯾﻣﺔ ﻟـ ‪. x‬‬

‫ﺑﻔ رض ﻣﺗﻐﯾ رﯾن ﺑﯾﻧﮭﻣ ﺎ ﻋﻼﻗ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﻓﺈﻧ ﮫ ﻟﻘﯾﻣ ﺔ ﺛﺎﺑﺗ ﺔ ﻣ ن ‪ x‬ﻓ ﺎن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ‬ ‫ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر ‪ Y‬ﺳ وف ﺗﻛ ون ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ‪ ،random‬أي أن ‪ Y‬ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن اﻻھﺗﻣﺎم ﺑدراﺳﺔ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑ ﯾن ﻋﻣ ر اﻟطﻔ ل )‪ (x‬وﺣﺟ م اﻟﻣﻔ ردات اﻟﺗ ﻲ‬ ‫ﯾﺗﻌﻠﻣﮭﺎ )‪ (Y‬وﺑﻔرض أﻧﻧﺎ أﺟرﯾﻧﺎ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻟطﻔ ل ﻋﻣ ره ﺧﻣ س ﺳ ﻧوات ‪ x=5‬ﻓ ﺎن ﺣﺟ م‬ ‫اﻟﻣﻔردات اﻟﺗﻲ ﯾﺗﻌﻠﻣﮭﺎ اﻟطﻔل ﻗﺑ ل إﺟ راء اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﺗﻣﺛ ل ﻣﺗﻐﯾ ر ﻋﺷ واﺋﻲ‪ .‬وﻟﻛ ن ﺑﻌ د‬ ‫اﺧﺗﺑﺎر طﻔل ﻋﻣره ﺧﻣ س ﺳ ﻧوات وﺗﺳ ﺟﯾل ﻋ دد اﻟﺟﻣ ل اﻟﺗ ﻲ ﺗﻌﻠﻣﮭ ﺎ ﻓﻘ د ﺗﻛ ون ﻣ ﺛﻼ‬ ‫‪ .2000‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻧﻘ ول أن اﻟﻘﯾﻣ ﺔ اﻟﻣﺷ ﺎھدة ﻟ ـ‪ Y‬واﻟﻣرﺗﺑط ﺔ ﺑﻘﯾﻣ ﮫ ‪ x=5‬ھ ﻲ‬ ‫‪ .Y=2000‬ﻛﻣﺛﺎل أﺧ ر ﻟﻌﻼﻗ ﺔ إﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ‪ ،‬وﺑﻔ رض أن ﻣ ﺎدة ﻣ ﺎ ﺗﺳ ﺗﺧدم ﻓ ﻲ اﻷﺑﺣ ﺎث‬ ‫اﻟﺣﯾوﯾﺔ واﻟطﺑﯾﺔ ﺗﺷﺣن إﻟﻰ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﯾن ﺟ وا وذﻟ ك ﻓ ﻲ ﺻ ﻧﺎدﯾق ﺗﺣﺗ وي ﻛ ل ﻣﻧﮭ ﺎ‬ ‫‪ 1000‬أﻧﺑوﺑﺔ‪ ،‬واﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﺗ ﻲ ﺗ م ﺟﻣﻌﮭ ﺎ ﺗﻧﺎوﻟ ت ﻋﺷ ر ﺷ ﺣﻧﺎت‪ ،‬ﺣﯾ ث ‪ x‬ﺗﻣﺛ ل ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﯾﺣول ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺻﻧدوق ﻣن طﺎﺋرة إﻟﻰ أﺧرى ﺧﻼل ﺧط ﺳﯾر اﻟﺷﺣﻧﺔ و ‪Y‬‬ ‫ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻷﻧﺑوﺑﺎت اﻟﺗﻲ وﺟ دت ﻣﻛﺳ ورة ﻋﻧ د وﺻ وﻟﮭﺎ‪ .‬ﻓﻔ ﻲ اﻟﺷ ﺣﻧﺔ اﻷوﻟ ﻰ ﻛ ﺎن‬ ‫‪ x=1‬و‪ y=16‬وﻋﻠﻰ ذﻟك اﻟﻧﻘطﺔ ﻟﮭذه اﻟﺷ ﺣﻧﺔ ﺗوﻗ ﻊ ﻋﻠ ﻰ اﻟرﺳ م ﻋﻧ د )‪ (1,16‬ﻛﻣ ﺎ ھ و‬ ‫ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل)‪ .(٤-١‬اﻟﻧﻘﺎط اﻷﺧرى ﺗوﻗﻊ ﻋﻠ ﻰ اﻟرﺳ م ﺑ ﻧﻔس اﻟﺷ ﻛل‪ .‬ﯾﺗﺿ ﺢ ﻣ ن‬ ‫اﻟرﺳم أن ﻋدد اﻷﻧﺑوﺑﺎت اﻟﺗﻲ وﺟ دت ﻣﻛﺳ ورة ﻋﻧ د وﺻ وﻟﮭﺎ ﺗزﯾ د ﻛﻠﻣ ﺎ زادت ﻋ دد‬ ‫اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﯾﺣول ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺻﻧدوق ﻣن ط ﺎﺋرة إﻟ ﻰ أﺧ رى‪ .‬ﻟوﺻ ف ھ ذا اﻻﺗﺟ ﺎه ﻓﺈﻧﻧ ﺎ‬ ‫ﻧﻘ ﯾم ﺧ ط ﻣﺳ ﺗﻘﯾم ﯾﻣ ر ﺧ ﻼل اﻟﻧﻘ ﺎط ﻛﻣ ﺎ ھ و ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻲ ﻧﻔ س اﻟﺷ ﻛل ‪ .‬إذا ً اﻟﻌﻼﻗ ﺔ‬ ‫إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ وذﻟك ﻷن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ Y‬ﺗﺧﺗﻠ ف ﻋ ن ﻧﻔ س اﻟﻘﯾﻣ ﺔ ﻣ ن ‪ .x‬اﻟﻌﻼﻗ ﺔ اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ھﻧ ﺎ‬ ‫ﺧطﯾﺔ أي ﺗﺗﺑﻊ ﺧط ﻣﺳﺗﻘﯾم‪.‬‬

‫‪24‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪y‬‬

‫‪16‬‬

‫‪y‬‬

‫‪14‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫‪3.5‬‬

‫‪3.0‬‬ ‫‪3.0‬‬

‫‪2.5‬‬ ‫‪2.5‬‬

‫‪2.0‬‬ ‫‪2.0‬‬

‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1.0‬‬ ‫‪1.0‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺷﻛل )‪(٤-١‬‬

‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬

‫‪0.0‬‬ ‫‪0.0‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6 -0.5‬‬ ‫‪-0.5‬‬

‫اﻵن ﻓ ﻲ ﺗﺟرﺑ ﺔ ﻟدراﺳ ﺔ ﻓﺎﻋﻠﯾ ﺔ )ﺟﯾ ر( ﺗﺟرﯾﺑ ﻲ ﺟدﯾ د ﻓ ﻲ ﺗﺧﻔ ﯾض اﺳ ﺗﮭﻼك‬ ‫اﻟﺟﺎزوﻟﯾن ﻓﻲ ‪ 12‬ﻣﺣﺎوﻟﺔ اﺳﺗﺧدﻣت ﻓﯾﮭ ﺎ ﻋرﺑ ﺔ ﻧﻘ ل ﺧﻔﯾﻔ ﺔ ﻣﺟﮭ زة ﺑﮭ ذا اﻟﺟﯾ ر‪ .‬ﻓ ﻲ‬ ‫ھذه اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻛﺎن اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻣﺳﺗﻘل ‪ x‬ھ و اﻟﺳ رﻋﺔ اﻟﺛﺎﺑﺗ ﺔ )ﺑﺎﻟﻣﯾ ل ﻓ ﻲ اﻟﺳ ﺎﻋﺔ( ﻟﻌرﺑ ﺔ‬ ‫اﻻﺧﺗﺑﺎر واﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ‪ Y‬ھﻧﺎ ھو ﻋدد اﻷﻣﯾﺎل اﻟﻣﻘطوﻋﺔ ﻟﻛل ﺟﺎﻟون‪ .‬ﺷﻛل اﻻﻧﺗﺷﺎر‬ ‫ﻟﺑﯾﺎﻧﺎت ھذه اﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻣوﺿﺢ ﻓﻲ ﺷﻛل )‪ (٥-١‬ﺣﯾث اﻟﻌﻼﻗﺔ ھﻧﺎ إﺣﺻﺎﺋﯾﺔ وﻋﻠﻰ ﺷ ﻛل‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‪.‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪42‬‬

‫‪38‬‬

‫‪34‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪26‬‬

‫‪22‬‬

‫‪62‬‬

‫‪56‬‬

‫‪44‬‬

‫‪50‬‬

‫‪38‬‬

‫‪18‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺷﻛل)‪(٥-١‬‬ ‫ﺗﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﻣﺛﺎﻟﯾن اﻟﺳﺎﺑﻘﯾن ﺧﺎﺻﯾﺗﯾن ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪ -١‬ﯾﺗﺟﮫ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﺗﺎﺑﻊ ‪ Y‬ﻟﻠﺗﻐﯾر ﺑﻧظﺎم ﻣﻌﯾن ﻣ ﻊ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ‪ x‬واﻟ ذي‬ ‫ﯾوﺻف ﺑﺎﻟﺧطﻲ أو ﺑﺎﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‪.‬‬ ‫‪ -٢‬اﻧﺗﺷ ﺎر اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺣ ول اﻟﺧ ط أو اﻟﻣﻧﺣﻧ ﻰ ﻟﻠﻌﻼﻗ ﺔ اﻹﺣﺻ ﺎﺋﯾﺔ ﯾرﺟ ﻊ‬ ‫ﺟزﺋﯾ ﺎ إﻟ ﻰ ﻋواﻣ ل أﺧ رى ﻏﯾ ر ﺗ ﺄﺛﯾر اﻟﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻣﺳ ﺗﻘل ‪ x‬ﻋﻠ ﻰ اﻟﻣﺗﻐﯾ ر‬ ‫اﻟﺗﺎﺑﻊ‪.Y‬‬ ‫)‪ (١-٢‬اﻟﻔروض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ‬

‫‪Statistical Hypotheses‬‬

‫ﺗﻌﺗﺑر اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض اﻹﺣﺻﺎﺋﯾﺔ أھم ﻓرع ﻓﻲ ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘرارات‪ ،‬أوﻻ‪ ،‬دﻋﻧ ﺎ ﻧﻌ رف ﺑدﻗ ﺔ‬ ‫ﻣﺎذا ﻧﻌﻧﻲ ﺑﺎﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ھو ﺟﻣﻠﺔ ﻣﺎ ﺗﺧص واﺣد أو أﻛﺛر ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت‪ ،‬ﻣن اﻟﻣﻣﻛن أن‬ ‫ﺗﻛون ﺻﺣﯾﺣﺔ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﺔ‪.‬‬

‫ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن ﺻﺣﺔ أو ﻋدم ﺻﺣﺔ اﻟﻔرض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ ﻻ ﺑد ﻣن دراﺳﺔ ﻛل ﻣﻔردات اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﺣت‬ ‫اﻟدراﺳﺔ وھذا ﺑﺎﻟطﺑﻊ ﻏﯾر ﻋﻣﻠﻲ ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻟﺣﺎﻻت‪ .‬ﺑدﻻ ﻣن ذﻟك ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وﻧﺳﺗﺧدم اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣوﺟودة ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻟﻧﺗﺧذ ﻗرار ﺑﻘﺑول أو رﻓض اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ‪ .‬اﻟﻘرار‬ ‫اﻟذي ﻧﺗﺧذه ﺳوف ﯾﻛون ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ أو ﺧطﺄ وﺗم رﻓﺿﮫ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﯾﻛون‬ ‫اﻟﻘرار ﻏﯾر ﺳﻠﯾم إذا ﻛﺎن اﻟﻔرض ﺻﺣﯾﺢ وﺗم رﻓﺿﮫ أو ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺢ وﺗم ﻗﺑوﻟﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻔروض اﻟﺗﻲ ﻧﺿﻌﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﻣل أن ﻧرﻓﺿﮭﺎ ﺗﺳﻣﻰ ﻓروض اﻟﻌدم ‪.null hypotheses‬‬ ‫وﯾرﻣز ﻟﻔرض اﻟﻌدم ﺑﺎﻟرﻣز ‪ .  0‬رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﯾؤدي إﻟﻰ ﻗﺑول ﻓرض ﺑدﯾل‬ ‫‪ hypothesis alternative‬وﯾرﻣز ﻟﻠﻔرض اﻟﺑدﯾل ﺑﺎﻟرﻣز ‪ . 1‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎن‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ‪  0‬أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ ‪)   160‬ﻣﻘﺎﺳﮫ ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر( ﻓﺈن اﻟﻔرض‬ ‫اﻟﺑدﯾل ‪ 1‬ﻗد ﯾﻛون ‪   160‬أو ‪   160‬أو ‪.   160‬‬

‫)‪ (٢-٢‬اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول واﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ‪:‬‬ ‫‪Type I Error and Type II Error‬‬ ‫ﺳوف ﻧﺳﮭل اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎرات اﻟﻔروض واﻟﺗﻲ ﺗﺧص ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺎ ﺑﺎﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أﻧﮫ ﺗم إﺟراء اﺧﺗﺑﺎر ﻗدرات ﻟﻌدد ﻣن اﻟﻣﺗﻘدﻣﯾن ﻟﺷﻐل وظﯾﻔﺔ ﻣﺎ ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺣﺎﺳب‬ ‫اﻵﻟﻲ‪ .‬ﯾﺷﺗﻣل اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻋﻠﻰ ‪ 15‬ﺳؤال وﻛل ﺳؤال ﻟﮫ ‪ 5‬أﺟوﺑﺔ ﻣﻣﻛﻧﺔ واﺣد ﻣﻧﮭم اﻟﺻﺣﯾﺢ‪ .‬ﻣن‬ ‫ﺷروط اﺟﺗﯾﺎز اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺣﺻول اﻟﻣﺗﻘدم ﻋﻠﻰ ‪ 7‬درﺟﺎت ﻓﺄﻛﺛر‪ .‬ھذا ﯾﻌﻧﻲ أن اﻟﻣﺗﻘدم ﻟدﯾﮫ ﺑﻌض‬ ‫اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت واﻟﺗﻲ ﺗؤھﻠﮫ ﻟﻠﻌﻣل ﻓﻲ ﻣﺟﺎل اﻟﺣﺎﺳب اﻵﻟﻲ‪ .‬ﻓرض اﻟﻌدم ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ أن ﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ذي اﻟﺣدﯾن )اﺣﺗﻣﺎل اﻟﻧﺟﺎح( ﻓﻲ ﻣﺣﺎوﻟﺔ ﻣﻌطﺎة )ﺳؤال( ھو ‪ ، p ‬أي أن اﻟﺷﺧص اﻟﻣﺗﻘدم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ اﻟﺗﺧﻣﯾن‪ .‬اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ‪ . p ‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﯾﻣﻛن وﺿﻊ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم واﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 : p ‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪0 : p ‬‬

‫إن اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ اﺗﺧﺎذ اﻟﻘرار ﻗد ﺗؤدي إﻟﻰ اﺳﺗﻧﺗﺎﺟﯾن ﻏﯾر ﺻﺣﯾﺣﯾن‪ .‬ﻓﻘد ﯾﺣﺻل اﻟﻣﺗﻘدم‬ ‫ﻟﻠوظﯾﻔﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬درﺟﺎت أو أﻛﺛر ﻋن طرﯾق اﻟﺗﺧﻣﯾن‪ .‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﻧﻛون ﻗد وﻗﻌﻧﺎ ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻋﻧد‬ ‫رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم وﻗﺑول ﻓرض اﻟﺑدﯾل ﻣﻊ أن ‪  0‬ﺻﺣﯾﺣﺎ ً‪ .‬ﻣﺛل ھذا اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺣدث اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم ﺻﺣﯾﺢ وﯾﺗﺧذ ﻗرار ﺑرﻓﺿﮫ‪.‬‬ ‫اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ ﻣن اﻟﺧطﺄ واﻟذي ﯾﻣﻛن اﻟوﻗوع ﻓﯾﮫ إذا ﺣﺻل اﻟﻣﺗﻘدم ﻟﻠوظﯾﻔﺔ ﻋﻠﻰ درﺟﺔ أﻗل‬ ‫ﻣن ‪ 7‬درﺟﺎت وﺗﺳﺗﻧﺗﺞ أﻧﮫ ﯾﺧﻣن ﺑﯾﻧﻣﺎ ھو ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ ﻟدﯾﮫ ﺑﻌض اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻋن اﻹﺟﺎﺑﺔ‬ ‫اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﯾﺣدث اﻟﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ إذا ﻗﺑﻠﻧﺎ ﻓرض اﻟﻌدم وھو ﺧطﺄ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺗﻣد ﻗرارﻧﺎ ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ﻋﻠﻰ اﻹﺣﺻﺎء ‪ ‬اﻟذي ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻹﺟﺎﺑﺎت اﻟﺻﺣﯾﺣﺔ اﻟﺗﻲ‬ ‫ﯾﺣﺻل ﻋﻠﯾﮭﺎ اﻟﻣﺗﻘدم ﻓﻲ اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺣﯾث أن ‪ . x  0,1,2,...,15‬اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣن ‪ 0‬إﻟﻰ ‪ 15‬ﺗﻘﺳم‬

‫إﻟﻰ ﻣﺟﻣوﻋﺗﯾن‪ .‬ﺗﺿم اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻷوﻟﻰ اﻟﻘﯾم اﻷﻗل ﻣن ‪ 7‬أﻣﺎ اﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﻓﺗﺿم اﻟﻘﯾم اﻟﺗﻲ‬ ‫ﺗﺳﺎوي ‪ 7‬ﻓﺄﻛﺛر‪ .‬ﻛل اﻟدرﺟﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﺳﺎوي ‪ 7‬ﻓﺄﻛﺛر ﺗﻛون ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪region‬‬ ‫‪ rejection‬ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟدرﺟﺎت اﻟﺗﻲ أﻗل ﻣن ‪ 7‬ﺗﻛون ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ‪ .acceptance region‬اﻟرﻗم‬ ‫‪ 7‬ﯾﺳﻣﻰ اﻟﻘﯾﻣﺔ اﻟﺣرﺟﺔ ‪ .critical region‬إذا وﻗﻌت ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء اﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﯾﮫ ﻗرارﻧﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ‪  0‬وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪ 1‬ﺑﯾﻧﻣﺎ إذا وﻗﻌت ﻗﯾﻣﺔ اﻹﺣﺻﺎء‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪  0‬وﻧرﻓض ‪. 1‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻷول ﯾﺳﻣﻰ ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ‬ ‫‪ significance‬ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪. ‬‬

‫‪level of‬‬

‫اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع اﻟﺛﺎﻧﻲ ﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ‪ ‬وﻟﺣﺳﺎب ﻗﯾﻣﺔ ‪ ‬ﻻ ﺑد ﻣن‬ ‫وﺿﻊ ﻓرض ﺑدﯾل ﻣﻌﯾن‪.‬‬ ‫ﻋﻣوﻣﺎ ً اﻻﺧﺗﺑﺎر اﻟﺟﯾ د ھ و اﻟ ذي ﯾﺟﻌ ل ﻛ ﻼ ﻣ ن ‪  , ‬أﺻ ﻐر ﻣ ﺎ ﯾﻣﻛ ن وﻣ ن اﻟﺻ ﻌب اﻟﺣﺻ ول‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ھ ذا اﻻﺧﺗﺑ ﺎر ﻷﻧ ﮫ ﻻ ﯾﻣﻛ ن ﺗﺻ ﻐﯾر ﻛ ل ﻣ ن ‪  , ‬ﻓ ﻲ آن واﺣ د ﺣﯾ ث أن ﺗﺻ ﻐﯾر إﺣ داھﻣﺎ‬ ‫ﯾؤدى إﻟﻰ ﺗﻛﺑﯾر اﻷﺧرى‪ .‬ﻟذﻟك ﻟﺟﺄ اﻹﺣﺻﺎﺋﯾون إﻟﻰ ﺗﺛﺑﯾت ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪ ‬ﻋﻧد ﻗﯾﻣ ﺔ ﻣﺣ ددة‬ ‫ﺛم اﺧﺗﯾﺎر اﻻﺧﺗﺑﺎر اﻹﺣﺻﺎﺋﻲ اﻟذي ﯾﺟﻌل ‪ ‬أﻗل ﻣﺎ ﯾﻣﻛن‪ .‬ﻣ ن اﻟﻘ ﯾم اﻟﺷ ﺎﺋﻌﺔ ﻟﻣﺳ ﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾ ﺔ‬ ‫‪   0.05‬أو ‪ .   0.01‬ﯾﻘ ﺎل ﻟﻼﺧﺗﺑ ﺎر أﻧ ﮫ ﻣﻌﻧ وي ‪ significant‬ﻋﻧ د ‪   0.05‬إذا رﻓ ض‬ ‫ﻓرض اﻟﻌدم ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪   0.05‬وﯾﻌﺗﺑر اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻣﻌﻧوي ﺟ دا إذا رﻓ ض ﻓ رض اﻟﻌ دم‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوي ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.01‬‬ ‫ﻣن اﻟﺳﮭل ﺗوﺿﯾﺢ اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ ً ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺗﺻﻼ‪ .‬ﻋﻠﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻓرض اﻟﻌدم أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻟﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻟطﻠﺑﺔ ﻓﻲ ﺟﺎﻣﻌ ﺔ ﻣ ﺎ ھ و ‪   165‬ﺳ م ﺿ د‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل أن ﻣﺗوﺳط اﻟطول ﻻ ﯾﺳﺎوى ‪ 165‬ﺳم ‪ .‬أي أﻧﻧﺎ ﻧرﻏب ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ‪:‬‬ ‫‪H 0 :   165 ,‬‬ ‫‪H1 :   165 .‬‬ ‫اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ﯾﻣﻛن أن ﯾﻛون ‪   165‬أو ‪ .   165‬ﺑﻔرض أن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‬ ‫ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻷطوال ‪ ،   10‬اﻹﺣﺻﺎء اﻟذي ﺳوف ﻧﺑﻧﻰ ﻋﻠﯾﮫ ﻗرارﻧﺎ واﻟذي ﯾﻌﺗﻣد ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n  30‬ﺳوف ﯾﻛون ‪ X‬واﻟذي ﯾﻌﺗﺑر اﻟﺗﻘدﯾر اﻷﻛﺛر ﻛﻔﺎءة ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. ‬‬ ‫ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ X‬ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‬ ‫‪ . X   / n  10 / 30  1.8‬ﺑﻔرض أﻧﻧﺎ اﺧﺗرﻧﺎ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻣﻣﺛﻠﺔ ﻓﻲ ﻗﯾم ‪ x‬اﻷﻗل ﻣن‬ ‫‪ 161‬أو ﻗﯾم ‪ x‬اﻟﺗﻲ أﻛﺑر ﻣن ‪ . 169‬أي أن ‪ X  161‬أو ‪ X  161‬واﻟﻣوﺿﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﺷﻛل‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﺳوف ﺗﻛون ‪ . 161  X  169‬وﻋﻠﻰ ذﻟك إذا وﻗﻊ ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ x‬ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻧطﻘﺔ اﻟﻘﺑول ﻧﻘﺑل ‪ H 0‬وﻧرﻓض ‪ H1‬وﻏﯾر ذﻟك ﻧرﻓض ‪ . H 0‬اﺣﺗﻣﺎل اﻟوﻗوع ﻓﻲ ﺧطﺄ ﻣن اﻟﻧوع‬ ‫اﻷول‪ ،‬أو ﻣﺳﺗوى اﻟﻣﻌﻧوﯾﺔ ﻟﻼﺧﺗﺑﺎر‪ ،‬ﯾﺳﺎوى ﻣﺟﻣوع اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟﻣظﻠﻠﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻣن ﺟﺎﻧﺑﻲ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﻺﺣﺻﺎء ‪ X‬ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ‪.‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪ H 0 ‬ﺻﺣﯾﺢ | ‪  P X  161‬‬

‫‪‬‬

‫‪ H 0 ‬ﺻﺣﯾﺢ | ‪ P X  169‬‬

‫اﻟﻘﯾﻣﺗ ﯾن اﻟﺣ رﺟﺗﯾن ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ر اﻟﻌﺷ واﺋﻲ ‪ Z‬واﻟﻣﻘ ﺎﺑﻠﺗﯾن ﻟﻠﻘﯾﻣﺗ ﯾن ‪x 2  169, x1  161‬‬ ‫ﺻﺣﯾﺣﺔ ھﻣﺎ ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪H 0‬‬ ‫‪161  165‬‬ ‫‪z1 ‬‬ ‫‪ 2.22,‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪169  165‬‬ ‫‪z2 ‬‬ ‫‪ 2.22.‬‬ ‫‪1. 8‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪  PZ  2.22  PZ  2.22‬‬ ‫‪ 2PZ  2.22‬‬ ‫‪ 20.5  P0  Z  2.22‬‬ ‫‪ 0.0264.‬‬

‫)‪ (٣-٢‬اﺧﺗﺑﺎرات ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد أو ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن‪:‬‬ ‫‪One – tailed and Two – tailed Tests‬‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎر ‪ ،‬ﻷي ﻓرض إﺣﺻﺎﺋﻲ ‪ ،‬أﻧﮫ ﻣن ﺟﺎﻧب واﺣد إذا ﻛﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة‬ ‫‪, H 0 :   0‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫أو ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪, H 0 :   0‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫) ‪ ‬ﻣﻌﻠﻣ ﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ( ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻟﻠﺑ دﯾل ‪   0‬ﺗﻘ ﻊ ﻓ ﻲ اﻟﺟﺎﻧ ب اﻷﯾﻣ ن ﻣ ن اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫ﺑﯾﻧﻣﺎ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ﻟﻠﺑدﯾل ‪   0‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻧب اﻷﯾﺳر ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ‪.‬‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ اﻻﺧﺗﺑﺎر‪ ،‬ﻷي ﻓرض إﺣﺻﺎﺋﻲ‪ ،‬أﻧﮫ ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن إذا ﻛﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺻورة ‪:‬‬ ‫‪, H 0 :   0‬‬ ‫‪. H1 :   0‬‬ ‫ﻣﻧطﻘ ﺔ اﻟ رﻓض ﻟﻠﺑ دﯾل ‪   0‬ﺳ وف ﺗﻛ ون ‪   0‬أو ‪ ٠   0‬اﻟﻣﻔﺎﺿ ﻠﺔ ﺑ ﯾن اﺧﺗﺑ ﺎر ﻣ ن‬ ‫ﺟﺎﻧب واﺣد أو ﻣن ﺟﺎﻧﺑﯾن ﺳ وف ﯾﺗوﻗ ف ﻋﻠ ﻰ اﻻﺳ ﺗﻧﺗﺎج اﻟ ذي ﯾرﻏ ب اﻟﺑﺎﺣ ث ﻓ ﻲ اﻟوﺻ ول إﻟﯾ ﮫ‬ ‫ﻋﻧد رﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ‪:‬‬ ‫ﻓ ﻲ اﻟﺑﻧ ود اﻟﺗﺎﻟﯾ ﺔ ﻣ ن ھ ذا اﻟﻔﺻ ل ﺳ وف ﻧﻧ ﺎﻗش ﺑﻌ ض اﺧﺗﺑ ﺎرات اﻟﻔ روض اﻟﺷ ﺎﺋﻌﺔ‬ ‫اﻻﺳﺗﺧدام‪.‬‬

‫)‪ ( ٤-٢‬اﺧﺗﺑﺎرات ﺣول ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪:‬‬ ‫‪Tests About a Population Mean ‬‬ ‫اﻟﺣﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ ‪ :‬اﺧﺗﺑﺎر اﻟﻔرض أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻟﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻰ ﺑﺗﺑﺎﯾن ﻣﻌﻠوم ‪ ،  2‬ﯾﺳﺎوى ﻗﯾﻣﺔ‬ ‫ﻣﻌﯾﻧﺔ ‪  0‬ﺿد اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ذي ﺟﺎﻧﺑﯾن أن اﻟﻣﺗوﺳط ﻻ ﯾﺳﺎوى ‪  0‬ﯾﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬

‫‪, H0 :   0‬‬ ‫‪H1 :    0 .‬‬

‫ﻹﺟراء اﻻﺧﺗﺑﺎر ﻧﺧﺗﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n‬ﻣن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ‬ ‫وﻧﺣﺳب ﻣﻧﮭﺎ اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪:‬‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻓﺈذا وﻗﻌت ‪ Z‬ﻓﻲ اﻟﻣﻧطﻘﺔ ‪ .  z   Z  z ‬ﻓﺎﻻﺳﺗﻧﺗﺎج ﺳوف ﯾﻛون‬

‫‪.z ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪    0‬وﻏﯾر ذﻟك ﻧرﻓض‬

‫‪2‬‬

‫‪ H 0‬وﻧﻘﺑل اﻟﻔرض اﻟﺑدﯾل ‪.   0‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣﺟﮭول ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﺣﺳب ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ s 2‬وﻧﺳﺗﺧدﻣﮫ ﺑدﻻ ً ﻣن‬ ‫أن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ أﻛﺑر ﻣن أو ﯾﺳﺎوى ‪. 30 n  30‬‬

‫‪  2‬ﺗﺣت ﺷرط‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١-٢‬‬ ‫ﯾﻧﺗﺞ ﻣﺻﻧﻊ ﻟﻸﻏذﯾﺔ اﻟﻣﻌﻠﺑﺔ ﻧوﻋﺎ ﻣن اﻟﻣﻌﻠﺑﺎت‪ .‬ﻗ ﺎم اﻟﻣﺳ ﺋوﻟﯾن ﺧ ﻼل ﻓﺗ رة طوﯾﻠ ﺔ ﺑﻣراﻗﺑ ﺔ أوزان‬ ‫ھذه اﻟﻣﻌﻠﺑﺎت ووﺟد أﻧﮭ ﺎ ﺗﺧﺿ ﻊ ﻟﻠﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 2.6‬ﺟ رام‪ .‬ﺟ رت اﻟﻌ ﺎدة‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺻﻧﻊ أن ﯾﻛﺗب ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻠﺑﺔ اﻟ وزن اﻟﺻ ﺎﻓﻲ وھ و ‪ 300‬ﺟ رام‪ .‬اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن‬ ‫‪ 20‬ﻋﻠﺑﺔ وﻛﺎن ﻣﺗوﺳط اﻟوزن ﻣن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ . x  305‬أﺧﺗﺑر ﻓرض اﻟﻌ دم ‪  = 300‬ﺿ د اﻟﻔ رض‬ ‫اﻟﺑدﯾل ‪   300‬وذﻟك ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪. = 0.01‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   300,‬‬ ‫‪H1 :   300.‬‬ ‫‪  0.01.‬‬

‫‪ z 0.005  2.575‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪.‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪Z  2.575‬‬ ‫أو ‪Z  2.575‬‬ ‫‪x   0 305  300‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 8.6.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2. 6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪20‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢-٢‬‬ ‫ﺗﺳﺗﺧدم آﻟﺔ ﻟﻣﻠﺊ أﻛﯾ ﺎس ﺑﺳ ﻠﻌﺔ ﻣ ﺎ ﺑطرﯾﻘ ﺔ أﺗوﻣﺎﺗﯾﻛﯾ ﺔ ﺑﻣﺗوﺳ ط ‪ 55‬ﺟ رام ﻟﻠﻛ ﯾس‪ .‬اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 35‬ﻛﯾس ﻣن ھذه اﻵﻟﺔ وﺗم ﺣﺳ ﺎب ﻣﺗوﺳ ط وزن اﻟﻛ ﯾس ﻓﻛ ﺎن ‪ x  57‬واﻻﻧﺣ راف‬ ‫اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ‪ s  3‬ﺟ رام أﺧﺗﺑ ر ﻓ رض اﻟﻌ دم ‪ H 0 :   55‬ﺿ د اﻟﻔ رض اﻟﺑ دﯾل ‪ H1 :   55‬وذﻟ ك‬ ‫ﻋﻧد ﻣﺳﺗوى ﻣﻌﻧوﯾﺔ ‪.   0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪H 0 :   55,‬‬

‫‪H1 :   55.‬‬ ‫‪  0.05.‬‬

‫ﺑﻣﺎ أن ‪ n  30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﺧدام ‪ s‬ﺑدﻻ ً ﻣن ‪ ‬ﻓﻲ ﺻﯾﻐﺔ ‪. Z‬‬ ‫‪ z 0.025  1.96‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ‪ .‬ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض ‪ Z  1.96‬أو‬ ‫‪Z  1.96‬‬ ‫‪x   0 57  55‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3.944.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪35‬‬

‫ﻧرﻓض ﻓرض اﻟﻌدم ﻷن ‪ z‬ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻧطﻘﺔ اﻟرﻓض‪.‬‬

‫‪z‬‬