طرق العد

‫طرق اﻟﻌد‬

‫‪Counting Methods‬‬

‫ﻧظرﯾ ﺔ ‪ :‬إذا أﻣﻛ ن إﺟ راء ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﻣ ﺎ ﺑط رق ﻋ ددھﺎ ‪ n1‬وإذا أﻣﻛ ن إﺟ راء ﻋﻣﻠﯾ ﺔ ﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﺑط رق‬ ‫ﻋددھﺎ ‪ n 2‬و ‪ ...‬وإذا أﻣﻛن إﺟراء ﻋﻣﻠﯾﺔ ‪ k‬ﺑطرق ﻋددھﺎ ‪ ، n k‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن إﺟراء ھ ذه اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺎت‬ ‫ﻣﻌﺎ ﺑطرق ﻋددھﺎ ‪. n1  n 2  ...  n k‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١‬‬ ‫ﺷرﻛﺔ طﯾران ﻟﮭﺎ ﺳت رﺣﻼت ﻣ ن ﺑﻠ د ‪ A‬إﻟ ﻰ ‪ B‬وﺳ ﺑﻊ رﺣ ﻼت ﻣ ن ‪ B‬إﻟ ﻰ ‪) C‬ﯾوﻣﯾ ﺎ ً( ﻣ ﺎ‬ ‫ﻋدد اﻟرﺣﻼت اﻟﺗﻲ ﺗﻧﺟزھﺎ ﯾوﻣﯾﺎ ً ﻣن ‪ A‬إﻟﻰ ‪ C‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪A ‬‬ ‫‪ B ‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪n1  6 , n 2  7‬‬ ‫إذن ﻋدد اﻟرﺣﻼت اﻟﻣﻧﺟزة ﯾوﻣﯾﺎ ً ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n1  n 2  6  7  42.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢‬‬ ‫ﺑﻔرض ﻋدم اﻟﺳﻣﺎح ﺑﺎﻟﺗﻛرار ‪..‬‬ ‫)أ( ﻛم ﻋدد ﻣﻛون ﻣن ﺛﻼث أرﻗﺎم ﯾﻣﻛن ﺗرﻛﯾﺑﮫ ﻣن اﻷرﻗﺎم اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪ 8 , 7 , 3 , 2 , 1‬؟‬ ‫)ب( ﻛم ﻋددا ً ﻣﻧﮭم زوﺟﯾﺎ ً؟‬ ‫)ج(ﻛم ﻋددا ً ﻣﻧﮭم ﻓردﯾﺎ ً؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( ﻷن اﻟﺗﻛ رار ﻏﯾ ر ﻣﺳ ﻣوح ﺑ ﮫ ﻓﺈﻧ ﮫ ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ اﻵﺣ ﺎد ﻟ دﯾﻧﺎ ﺧﻣﺳ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات وﻧﺛﺑ ت اﻟ رﻗم اﻟ ذي‬ ‫اﺧﺗرﻧ ﺎه وﯾﺑﻘ ﻰ ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ اﻟﻌﺷ رات أرﺑﻌ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات وﻧﺛﺑ ت اﻟ رﻗم اﻟ ذي اﺧﺗرﻧ ﺎه وأﺧﯾ را ﯾﺗﺑﻘ ﻰ‬ ‫ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻣﺋﺎت ﺛﻼﺛﺔ ﺧﯾﺎرات ‪.‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪ 5‬ﺧﯾﺎرات ‪4‬ﺧﯾﺎرات ‪ 3‬ﺧﯾﺎرات‬ ‫إذن ﻋدد اﻷرﻗﺎم ﯾﺳﺎوي ﻣن اﻟﻘﺎﻧون‪:‬‬ ‫‪5  4  3  60 ‬‬ ‫)ب( ﺣﺗﻰ ﯾﻛون اﻟﻌدد زوﺟﯾﺎ ﻻﺑد أن ﯾﻛون رﻗم آﺣﺎده ﻋدد زوﺟﻲ ﻟذﻟك ﻟدﯾﻧﺎ ﺧﯾ ﺎران وھﻣ ﺎ ‪ 2‬أو‬ ‫‪ 8‬وﻷن اﻟﺗﻛرار ﻏﯾر ﻣﺳﻣوح ﻓﺈﻧﮫ ﺑﺎﺧﺗﯾﺎر ﻋ دد زوﺟ ﻲ ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ اﻵﺣ ﺎد ﺳ ﯾﻛون ﻟ دﯾﻧﺎ أرﺑﻌ ﺔ‬ ‫ﺧﯾﺎرات ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻌﺷرات وﺛﻼﺛﺔ ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻣﺋﺎت‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪ 3‬ﺧﯾﺎرات‬ ‫‪ 4‬ﺧﯾﺎرات‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ﻋدد اﻷﻋداد اﻟزوﺟﯾﺔ ‪2  4  3  24‬‬

‫‪١‬‬

‫)ج( ﻟﻛﻲ ﯾﻛون اﻟﻌدد ﻓردي ﯾﺟ ب أن ﯾﻛ ون رﻗ م آﺣ ﺎده ﻋ دد ﻓ ردي أي ھﻧ ﺎك ﺛﻼﺛ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات أي‬ ‫إﻣﺎ ‪ 1‬أو ‪ 3‬أو ‪ 7‬وﻷن اﻟﺗﻛرار ﻏﯾر ﻣﺳﻣوح ﻓﺈﻧﮫ ﺑﺎﺧﺗﯾﺎر ﻋدد ﻓردي ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻵﺣﺎد ﺳ ﯾﻛون‬ ‫ﻟدﯾﻧﺎ ‪ 4‬ﺧﯾﺎرات ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻌﺷرات و‪ 3‬ﺧﯾﺎرات ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻣﺋﺎت‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪ 4‬ﺧﯾﺎرات ‪ 3‬ﺧﯾﺎرات‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن ﻋدد اﻷﻋداد اﻟﻔردﯾﺔ ‪. 3  4  3  36‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٣‬‬ ‫ﻛم ﻋددا ﻣﻛون ﻣن ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺗﻛوﯾﻧﮭﺎ ﻣن اﻷﻋداد ‪ 0,1,2,3,4,5‬؟ وإذا ﻛﺎن ﻛل‬ ‫رﻗم ﯾظﮭر ﻣرة واﺣدة‪،‬‬ ‫)ب( ﻛم ﻋدد ﻷرﻗﺎم اﻟزوﺟﯾﺔ ؟‬ ‫)أ( ﻛم ﻋدد اﻷرﻗﺎم اﻟﻔردﯾﺔ ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋ دد اﻷرﻗ ﺎم اﻟ ﻰ ﯾﻣﻛ ن ﺗﻛوﯾﻧﮭ ﺎ ﻣ ن اﻷﻋ داد ‪ 0, 1, 2, 3, 4, 5‬ﻣ ﻊ ﻋ دم اﻟﺳ ﻣﺎح ﺑ ﺎﻟﺗﻛرار‬ ‫ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻵﺗﻰ‪:‬‬ ‫ﻷن اﻟﺻﻔر ﻣن ﺿﻣن اﻷرﻗﺎم اﻟﻣﻌطﺎة ﻓﺳﻧﻘوم ﺑﺎﺳﺗﺑﻌﺎده ﻣن اﻻﺧﺗﯾﺎر ﻓﻲ ﻣﻧزﻟ ﺔ اﻟﻣﺋ ﺎت ﺣﺗ ﻰ‬ ‫ﻻ ﯾﺗﺣول اﻟرﻗم إﻟﻰ ﻋﺷرات‪ ،‬وﻧﺑدأ اﻟﺗوزﯾﻊ ﻣن ﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻣﺋﺎت‪.‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ ﺧﻣﺳ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ اﻟﻣﺋ ﺎت وﺑﺎﻟﻣﺛ ل ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ اﻟﻌﺷ رات وأرﺑﻌ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ‬ ‫اﻵﺣﺎد ﻓﯾﻛون ﻋدد اﻷرﻗﺎم اﻟﻛﻠﻲ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪5  5  4  100.‬‬ ‫)أ( ﻋدد اﻷرﻗﺎم اﻟﻔردﯾﺔ‪):‬اﻟﺗﻛرار ﻏﯾر ﻣﺳﻣوح(‪.‬‬ ‫‪ – ١‬ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎر رﻗم ﻓردي ﻓﻲ ﻣﻧزﻟﺔ اﻵﺣﺎد ﻣن ﺑﯾن ﺛﻼﺛﺔ أرﻗﺎم‪.‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -٢‬ﯾﺗﺑﻘﻲ ﺑﻌد اﺧﺗﯾ ﺎر رﻗ م ﻓ ردي ﻓ ﻰ ﺧﺎﻧ ﺔ اﻻﺣ ﺎد ﻣ ﻊ اﻷرﻗ ﺎم اﻷﺧ رى ﯾﻛ ون اﻟﻣﺟﻣ وع ‪ 5‬أرﻗ ﺎم‬ ‫ﻣﺗﺑﻘﯾﺔ‪ ،‬ﺑﻌد ذﻟك ﻧﻧﺗﻘل إﻟﻰ ﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻣﺋﺎت ﻟﺿﻣﺎن ﻋ دم وﺟ ود اﻟﺻ ﻔر ﻓﯾﮭ ﺎ ﻓﻧﻘ وم ﺑﺣذﻓ ﮫ ﻣ ن‬ ‫اﻷرﻗﺎم اﻟﺧﻣﺳﺔ اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ‪ ،‬إذن ﺑﻘﻲ ﻟدﯾﻧﺎ أرﺑﻌﺔ ﺧﯾﺎرات ﻓﻲ ﺧﺎﻧﺔ اﻟﻣﺋﺎت‪:‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -٣‬ﺑﻌ د اﻻﻧﺗﮭ ﺎء ﻣ ن ﺧﺎﻧ ﺔ اﻟﻣﺋ ﺎت ﯾﺻ ﺑﺢ ﻟ دﯾﻧﺎ رﻗﻣ ﺎن ﯾﺣﺗ ل ﻣﻧزﻟ ﺔ اﻵﺣ ﺎد ورﻗ م ﯾﺣﺗ ل ﻣﻧزﻟ ﺔ‬ ‫اﻟﻣﺋﺎت ﻻﺧﺗﯾﺎر رﻗم ﻓﻲ ﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻌﺷرات ﺑﻘﻲ ‪ 4‬أرﻗﺎم ﻣﻊ اﻟﺻﻔر ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎر واﺣ د ﻣ ﻧﮭم ﻓ ﻲ‬ ‫ھذه اﻟﻣﻧزﻟﺔ‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أذن ﻋدد اﻷرﻗﺎم اﻟﻔردﯾﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪4  4  3  48 ‬‬ ‫)ب( ﻋدد اﻷرﻗﺎم اﻟزوﺟﯾﺔ‪) :‬اﻟﺗﻛرار ﻏﯾر ﻣﺳﻣوح (‬ ‫‪ -١‬ﻋﻧد ﻋدم وﺟود اﻟرﻗم ﺻﻔر ﻓﻲ ﺧﺎﻧﺔ اﻵﺣﺎد ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ﺧﯾﺎرﯾن ﻓﻲ ﺧﺎﻧﺔ اﻵﺣﺎد أﻣ ﺎ )‪ (2‬أو‬ ‫)‪:(4‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻋﺷرات‬

‫ﻣﺋﺎت‬

‫آﺣﺎد‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا ﺗ م اﺧﺗﯾ ﺎر ﻋ دد زوﺟ ﻲ ﻓ ﻲ ﻣﻧزﻟ ﺔ اﻵﺣ ﺎد ﺑﻘ ﻲ رﻗ م زوﺟ ﻰ ‪ 1‬وﻣ ﻊ اﻷرﻗ ﺎم اﻟﻣﺗﺑﻘﯾ ﺔ ﯾﺻ ﺑﺢ‬ ‫اﻟﻣﺟﻣ وع ‪ ، 5‬وﺑﺎﻻﻧﺗﻘ ﺎل ﻟﻣﻧزﻟ ﺔ اﻟﻣﺋ ﺎت وﻟﺿ ﻣﺎن ﻋ دم وﺟ ود اﻟﺻ ﻔر ﻓﯾﮭ ﺎ ﻧﻘ وم ﺑﺣذﻓ ﮫ ﻣ ن ‪5‬‬ ‫اﻟﺧﯾﺎرات اﻟﻣﺗﺑﻘﯾﺔ‪ ،‬ﺑﻘﻲ ﻟدﯾﻧﺎ ‪ 4‬ﺧﯾﺎرات ﻓﻲ ﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻣﺋﺎت‪:‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺑﻌد ذﻟك ﯾﺗﺑﻘﻲ ﻟدﯾﻧﺎ ‪ 4‬ﺧﯾﺎرات ﻣﻊ اﻟﺻﻔر ﻟﻣﻧزﻟﺔ اﻟﻌﺷرات‪:‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -٢‬ﻋﻧد وﺟ ود اﻟﺻ ﻔر ﻓ ﻲ ﺧﺎﻧ ﺔ اﻵﺣ ﺎد ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ ﺧﯾ ﺎر ﻓ ﻲ ﺧﺎﻧ ﺔ اﻵﺣ ﺎد وﺧﻣﺳ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات ﻓ ﻲ‬ ‫ﺧﺎﻧﺔ اﻟﻣﺋﺎت وأرﺑﻌﺔ ﺧﯾﺎرات ﻓﻲ ﺧﺎﻧﺔ اﻟﻌﺷرات‪:‬‬ ‫ﻣﺋﺎت‬ ‫ﻋﺷرات‬ ‫آﺣﺎد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن ﯾﻛون ﻋدد اﻷرﻗﺎم اﻟزوﺟﯾﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪4  4  2  5  4  1  52 ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٤‬‬ ‫ﺑﻛم طرﯾﻘﺔ ﯾﻣﻛن اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 10‬أﺳﺋﻠﺔ ﻣن ﻧوع ﺻﺢ وﺧطﺄ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾ ث أن اﻟﻌﻣﻠﯾ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﯾ ﺗم إﺟراﺋﮭ ﺎ ھ ﻲ اﻹﺟﺎﺑ ﺔ إﻣ ﺎ ﺑﺻ ﺢ أو ﺧط ﺄ ﻓ ﺈن ‪ n = 2‬وﺗﻛ رار ھ ذه‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ ‪ 10‬ﻣرات ﻓﺈن ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪210  1024 ‬‬ ‫ﻋﺎدة ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﻔراغ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟ ذي ﻋﻧﺎﺻ ره ﻛ ل اﻟﺗرﺗﯾﺑ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء‪٠‬‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل‪ ،‬ﻗ د ﻧﮭ ﺗم ﺑﻣﻌرﻓ ﺔ ﻋ دد اﻟﺗرﺗﯾﺑ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﺟﻠ وس ﺳ ﺗﺔ أﺷ ﺧﺎص ﻋﻠ ﻰ ﻣﺎﺋ دة‬ ‫ﻣﺳﺗدﯾرة‪ ٠‬اﻟﺗرﺗﯾﺑﺎت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﺗﺳﻣﻰ ﺗﺑﺎدﯾل ‪٠ Permutations‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف‪ :‬اﻟﺗﺑدﯾل ھﻲ ﺗرﺗﯾب ﻟﻛل أو ﺟزء ﻣن ﻓﺋﺔ ﻣن اﻷﺷﯾﺎء‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ‪ n‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾزة ﻣﺄﺧوذة ﺟﻣﯾﻌﺎ ﻓﻲ ﻧﻔس اﻟوﻗت ھو !‪. n‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٥‬‬ ‫أوﺟد ﻋدد اﻟطرق اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺑﮭﺎ ﺗﺻﻧﯾف ‪ 5‬ﻛﺗب ﻣن اﻟﺣﺟم اﻟﻛﺑﯾر و ‪ 4‬ﻣ ن اﻟﺣﺟ م اﻟﻣﺗوﺳ ط‬ ‫و ‪ 3‬ﻣن اﻟﺣﺟم اﻟﺻﻐﯾر ﻋﻠﻰ إﺣدى اﻟرﻓوف ﺑﺷرط أن ﺗﻛون ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻛﺗب ذات اﻟﺣﺟم اﻟواﺣ د‬ ‫ﻣﺻﻔوﻓﺔ ﻣﻌﺎ ً ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب اﻟﻛﺗب ﻣن اﻟﺣﺟم اﻟﻛﺑﯾر ﯾﺳﺎوي ‪5! = 120‬‬ ‫‪4! = 24‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب اﻟﻛﺗب ﻣن اﻟﺣﺟم اﻟوﺳط ﯾﺳﺎوي‬ ‫‪3! = 6‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب اﻟﻛﺗب ﻣن اﻟﺣﺟم اﻟﺻﻐﯾر ﯾﺳﺎوي‬ ‫‪٣‬‬

‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟﻛﺗب اﻟﺛﻼث ﯾﺳﺎوي‬ ‫‪ ‬ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب اﻟﻛﺗب ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪3!(5! . 4! . 3! )  103680.‬‬

‫‪3! = 6‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٦‬‬ ‫ﺑﻛم طرﯾﻘ ﺔ ﯾﻣﻛ ن أن ﯾﺟﻠ س أرﺑﻌ ﺔ ط ﻼب ﻣ ن ﻗﺳ م اﻟﻛﯾﻣﯾ ﺎء وأرﺑﻌ ﺔ ط ﻼب ﻣ ن ﻗﺳ م اﻟﻧﺑ ﺎت‬ ‫وﺛﻼﺛ ﺔ ط ﻼب ﻣ ن ﻗﺳ م اﻟرﯾﺎﺿ ﯾﺎت وطﺎﻟﺑ ﺎن ﻣ ن ﻗﺳ م اﻟﺣﯾ وان ﻓ ﻲ ﺻ ف ﺑﺣﯾ ث ﯾﺟﻠ س‬ ‫اﻷﺷﺧﺎص ذو اﻟﺗﺧﺻﺻﺎت اﻟواﺣدة ﻣﻌﺎ ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟﻛﯾﻣﯾﺎء ‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟﻧﺑﺎت ‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟﺣﯾوان ‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب ﻣﺟﻣوﻋﺎت اﻟطﻼب اﻷرﺑﻌﺔ‬ ‫إذن ﻋدد اﻟطرق ھو‪:‬‬ ‫‪4!.4!.4!.3!.2!  165888 ‬‬ ‫!‪n!=4‬‬ ‫!‪n!=4‬‬ ‫!‪n!=3‬‬ ‫!‪n!=2‬‬ ‫!‪n!=4‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٧‬‬ ‫ﻣﺎ ﻋدد اﻟطرق اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﺷﺧص داﺧل ﻣﺣل ﻣﻼﺑس ﻻﺧﺗﯾﺎر رﺑطﺔ ﻋﻧق وﻗﻣ ﯾص إذا ﺗ وﻓر ﻟ ﮫ‬ ‫‪ 4‬أرﺑطﺔ ﻋﻧق و‪ 5‬ﻗﻣﺻﺎن ﻓﻲ اﻟﻣﺣل؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر رﺑطﺔ اﻟﻌﻧق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n1  4‬‬

‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر اﻟﻘﻣﯾص ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n 2  5.‬‬

‫إذن ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪n1n 2 =4  5  20.‬‬

‫ﻓﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾ ﺎن ﻗ د ﯾﻛ ون اﻻھﺗﻣ ﺎم ﺑﻌ دد اﻟﺗﺑﺎدﯾ ل ﻷﺷ ﯾﺎء ﻣﻣﯾ زة ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ﻣ ﺄﺧوذة ‪ r‬ﻓ ﻲ ﻛ ل‬ ‫ﻣرة‪ .‬ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل اﻟﺣروف ‪ a,b,c‬ﻣﺄﺧوذة اﺛﻧﯾن ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ھو ‪:‬‬ ‫‪ab ba ac ca bc cb .‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ‪ n‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾزة ﻣﺄﺧوذة ‪ r‬ﻓﻲ ﻛل ﻣرة ھو‪-:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪P(n,r)  n  (n  1)  (n  r  1) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!)‪(n  r‬‬ ‫ﯾراد أﺣﯾﺎﻧﺎ ﻣﻌرﻓﺔ ﻋدد ﺗﺑﺎدﯾل ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﻣن اﻷﺷﯾﺎء ﯾﻛ ون ﺑﻌﺿ ﮭﺎ ﻣﺗﻣ ﺎﺛﻼ وﺗﻧ ﺗﺞ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣ ﺔ‬ ‫ﻟﮭذا اﻟﻌدد ﻣن اﻟﻧظرﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟﺗﺑﺎدﯾ ل اﻟﻣﺧﺗﻠﻔ ﺔ ﻷﺷ ﯾﺎء ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ﺣﯾ ث ‪ n1‬ﻣ ن ﻧ وع و ‪ n 2‬ﻣ ن ﻧ وع ﺛ ﺎﻧﻲ و…و ‪ n k‬ﻣ ن‬ ‫اﻟﻧوع رﻗم ‪ k‬ھو‪:‬‬ ‫‪٤‬‬

‫!‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫! ‪n1 !n 2 !...n k‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٨‬‬ ‫إذا ﻟﻌب ﻓرﯾق ﻛرة اﻟﻘدم ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ ﻣﺑﺎرﯾﺎت ﺧﻼل اﻟﻣوﺳ م ﺑﻛ م طرﯾﻘ ﺔ ﯾﺳ ﺗطﯾﻊ اﻟﻔرﯾ ق ﻓ ﻲ ﻧﮭﺎﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﻣوﺳم أن ﯾﻛﺳب ‪ 4‬وﯾﻔﻘد ‪ 3‬وﯾﺗﻌﺎدل ‪1‬؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬

‫!‪8‬‬ ‫‪40320‬‬ ‫=‬ ‫‪= 280‬‬ ‫!‪4! . 3! . 1‬‬ ‫‪144‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟطرق ﻟﺗﺟزﺋﺔ ﻓﺋﺔ ‪ n‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء إﻟﻰ ‪ r‬ﻣن اﻟﺧﻼﯾﺎ ﺑﻌﻧﺎﺻر ﻋددھﺎ ‪ n1‬ﻓ ﻲ اﻟﺧﻠﯾ ﺔ اﻷوﻟ ﻰ‬ ‫و ‪ n 2‬ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻓﻲ اﻟﺧﻠﯾﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ و ‪ ...‬و ‪ n r‬ﻣن اﻟﻌﻧﺎﺻر ﻓﻲ اﻟﺧﻠﯾﺔ رﻗم ‪ r‬ﯾﻛون‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫! ‪n1 !n 2 !...n r‬‬ ‫ﺣﯾث‪:‬‬ ‫‪n1  n 2  ...  n r  n‬‬ ‫ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻟ ﺗﻛن اﻟﻔﺋ ﺔ ‪ a, b, c, d‬اﻟﺗﺟزﺋﯾ ﺎت اﻟﻣﻣﻛﻧ ﺔ ﻟﮭ ذه اﻟﻔﺋ ﮫ اﻟ ﻰ ﺧﻠﯾﺗ ﯾن ﺗﺣﺗ وى‬ ‫اﻻوﻟﻰ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﻋﻧﺎﺻر واﻟﺧﻠﯾﮫ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ ﻋﻧﺻر وﺣد ھﻰ‪:‬‬ ‫‪ a, b,c  ,d, a, b,d  ,c, b,c,d  ,a, a,c,d  ,b.‬‬

‫اﻟﺗرﺗﯾب ﻋﻠﻰ ﺷﻛل داﺋرة‪ :‬ﻋدد اﻟطرق اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺑواﺳ طﺗﮭﺎ ﺗرﺗﯾ ب ‪ n‬ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء اﻟﻣﻣﯾ زة ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺷﻛل داﺋرة ھو‪:‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٩‬‬ ‫ﺑﻛم طرﯾﻘﺔ ﯾﻣﻛن زراﻋﺔ ‪ 8‬ﺷﺟرات ﻋﻠﻰ ﺷﻛل داﺋرة؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد اﻟطرق ﻟزراﻋﺔ اﻟﺷﺟرات ﺑﺷﻛل داﺋرة ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪(8  1)!  7!  5040.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٠‬‬ ‫ﻛم ﻋدد اﻟطرق إذا طﻠب ﻣن اﻟطﻼب ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (٦‬اﻟﺟﻠوس ﺣول ﻣﺎﺋدة ﻣﺳﺗدﯾرة؟‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪٥‬‬

‫اﻟﻣﺟﻣوﻋ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺳ ﺗﺟﻠس أول ا ً ﺗﺟﻠ س ﻓ ﻰ أي ﻣﻛ ﺎن ﺛ م ﯾﺗﺑﻘ ﻰ ﺛﻼﺛ ﺔ ﺧﯾ ﺎرات ﻟﻠﻣﺟﻣوﻋ ﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ‬ ‫وﺧﯾ ﺎران ﻟﻠﻣﺟﻣوﻋ ﺔ اﻟﺗ ﻲ ﺗﻠﯾﮭ ﺎ وأﺧﯾ را ً ﺧﯾ ﺎر وﺣﯾ د ﻟﻠﻣﺟﻣوﻋ ﺔ اﻷﺧﯾ رة أي ﯾﻛ ون ﻋ دد ط رق‬ ‫!‪(4  1)!  3‬‬ ‫ﺗرﺗﯾب اﻟطﻼب ﺣول ﻣﺎﺋدة ﻣﺳﺗدﯾرة ﯾﺳﺎوي‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟﻛﯾﻣﯾﺎء ‪n!=4! :‬‬ ‫!‪n!=4‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟﻧﺑﺎت ‪:‬‬ ‫!‪n!=3‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ‪:‬‬ ‫!‪n!=2‬‬ ‫ﻋدد طرق ﺗرﺗﯾب طﻼب ﻗﺳم اﻟﺣﯾوان ‪:‬‬ ‫إذن ﻋدد طرق اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻠطﻼب ﻟﻠﺟﻠوس ﺣول ﻣﺎﺋدة ﻣﺳﺗدﯾرة ھﻲ‪:‬‬ ‫‪3!  4!  4!  3!  2!  41472 ‬‬ ‫ﻓﻲ ﻛﺛﯾر ﻣن اﻟﻣﺷﺎﻛل ﯾﻛون اھﺗﻣﺎﻣﻧﺎ ﺑﻌدد اﻟطرق ﻻﺧﺗﯾﺎر أﺷﯾﺎء ﻋ ددھﺎ ‪ r‬ﻣ ن ﺑ ﯾن أﺷ ﯾﺎء ﻣﻣﯾ زة‬ ‫ﻋ ددھﺎ ‪ n‬ودون اﻋﺗﺑ ﺎر ﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﺗرﺗﯾ ب‪ .‬ھ ذه اﻻﺧﺗﯾ ﺎرات ﺗﺳ ﻣﻰ اﻟﺗواﻓﯾ ق ‪combinations‬‬ ‫‪ ٠‬ﻓﻲ اﻟﺣﻘﯾﻘﺔ اﻟﺗوﻓﯾﻘﺔ ‪ combination‬ھو ﺗﺟزﺋﺔ ﺑﺧﻠﯾﺗﯾن‪ ،‬ﺧﻠﯾﺔ ﺗﺣﺗ وى ﻋﻠ ﻰ ‪ r‬ﻣ ن اﻷﺷ ﯾﺎء‬ ‫واﻟﺧﻠﯾﺔ اﻷﺧرى ﺗﺣﺗوى ﻋﻠﻰ )‪ (n  r‬ﻣن اﻷﺷﯾﺎء اﻟﺑﺎﻗﯾﺔ وﻋ دد ھ ذه اﻟﺗواﻓﯾ ق ﯾرﻣ ز ﻟ ﮫ ﺑ ﺎﻟرﻣز‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬ﻋدد اﻟﺗواﻓﯾق ﻷﺷﯾﺎء ﻣﻣﯾزة ﻋددھﺎ ‪ n‬ﻣﺄﺧوذة ‪ r‬ﻛل ﻣرة ھو‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ r   r!(n  r)!.‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١١‬‬ ‫ﻛ م ﻋ دد اﻟط رق ﻻﺧﺗﯾ ﺎر ﺛ ﻼث ﻋﻣ ﻼت ﻣ ن ﺻ ﻧدوق ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ ﺟﻧﯾ ﮫ و﷼ ودﯾﻧ ﺎر وﯾ ن‬ ‫وﻓرﻧك ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﺣﯾث أن اﻟﺻﻧدوق ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﺧﻣس ﻋﻣﻼت وﻣطﻠوب اﺧﺗﯾﺎر ﺛﻼث ﻣﻧﮭﺎ ﻓﺈن ﻋدد اﻟطرق‬ ‫ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 10 .‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3!(5‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪3‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٢‬‬ ‫ﻛم ﻋدد اﻟطرق ﻻﺧﺗﯾﺎر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أﺷﺧﺎص ﻟﻔرﯾق ﻛرة اﻟﻘدم ﻣن ‪ 14‬ﺷﺧﺻﺎ ً؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ﺛﻣﺎﻧﯾﺔ أﺷﺧﺎص ﻣن ﺑﯾن ‪ 14‬ﺷﺧص ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪ 14 ‬‬ ‫!‪14‬‬ ‫‪.   ‬‬ ‫‪ 3003‬‬ ‫‪8‬‬ ‫!‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٣‬‬ ‫ﺑﻛم طرﯾﻘﺔ ﺑﻣﻛن ﻟﻣدرس أن ﯾﺧﺗﺎر طﺎﻟﺑﺎ ً ﻣن ﺑﯾن ﺳﺑﻌﺔ طﻼب؟‬ ‫‪٦‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫إذن ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر طﺎﻟب ﻣن ﺑﯾن ﺳﻌﺔ طﻼب ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.  = 7‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٤‬‬ ‫ﻣطﻠوب ﻣن طﺎﻟب دراﺳﺔ ﻣﺎدة ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم وﻣﺎدة ﻓﻲ اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت وﻣﺎدة ﻓﻲ اﻻﺟﺗﻣﺎع ﻣﺎ ھو ﻋ دد‬ ‫اﻟط رق ﻻﺧﺗﯾ ﺎر ھ ذه اﻟﻣ واد ﻣ ن ﺑ ﯾن ‪ 3‬ﻣ واد ﻓ ﻲ اﻟﻌﻠ وم و ‪ 4‬ﻓ ﻲ اﻻﺟﺗﻣ ﺎع وﻣ ﺎدﺗﯾن ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ﻣﺎدة اﻟﻌﻠوم ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫!‪ 1  1! . 2‬‬

‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ﻣﺎدة اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪ 1  1! . 1‬‬

‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ﻣﺎدة اﻻﺟﺗﻣﺎع ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫!‪ 1  1! . 3‬‬

‫إذن ﻋدد اﻟطرق ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪.   = 3  2  4=24.‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 2‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(١٥‬‬ ‫أﻋطﻲ اﻣﺗﺣﺎن ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻹﺣﺻﺎء ﻟطﺎﻟب ﯾﺗﻛون اﻻﻣﺗﺣ ﺎن ﻣ ن ‪ 9‬أﺳ ﺋﻠﺔ ﻣ ﻧﮭم ‪ 6‬أﺳ ﺋﻠﺔ اﺧﺗﯾ ﺎري‬ ‫و ‪ 3‬إﺟﺑﺎري‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﻣطﻠوب ﻣﻧﮫ اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺳﺗﺔ أﺳﺋﻠﺔ‪ .‬ﺑﻛم طرﯾﻘﺔ ﯾﻣﻛن ﻟﻠطﺎﻟ ب اﺧﺗﯾ ﺎر‬ ‫اﻷﺳﺋﻠﺔ اﻟﺗﻲ ﯾرﻏب اﻹﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﯾﮭﺎ؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر اﻷﺳﺋﻠﺔ اﻹﺟﺑﺎرﯾﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪  = 1.‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر اﻷﺳﺋﻠﺔ اﻻﺧﺗﯾﺎرﯾﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪ 20 .‬‬ ‫!‪3! . 3‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3‬‬

‫ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر اﻷﺳﺋﻠﺔ ﯾﺳﺎوي‪:‬‬ ‫‪ 3  6 ‬‬ ‫‪  .   = 1  20=20.‬‬ ‫‪ 3  3 ‬‬

‫‪٨‬‬