ﻓﺗرات اﻟﺛﻘﺔ μ
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ Confidence Interval for Population Mean μ ﻹﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ μوذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ طﺑﯾﻌﻲ أو ،ﻋﻧد ﻋ دم ﺗﺣﻘ ق ھ ذا اﻟﻔ رض إذا ﻛﺎﻧ ت nﻛﺑﯾ رة ﺑدرﺟ ﺔ ﻛﺎﻓﯾ ﺔ ،وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻧﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م nﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟ ذي ﺗﺑﺎﯾﻧ ﮫ 2ﻣﻌﻠ وم وﻧﺣﺳ ب ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﯾﻧ ﺔ x وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ (1 α)100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل :
x z , n n 2
x z 2
ﺣﯾث z ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ zاﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﺗﺳﺎوي 2
،اﻟﻣوﺿﺣﮫ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل
2
اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﮫ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ.
ﺣﯾ ث ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﺻ ﻐﯾرة اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻏﯾ ر طﺑﯾﻌﯾ ﺔ ،ﻻ ﻧﺗوﻗ ﻊ أن درﺟﺔ ﺛﻘﺗﻧﺎ ﺗﻛ ون ﻣﺿ ﺑوطﺔ .ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺎت ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n > 30وﺑﺻ رف اﻟﻧظ ر ﻋ ن ﺷ ﻛل اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ﻓﺈن ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﺗؤﻣن ﻟﻧﺎ ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة. ﻟﺣﺳﺎب (1 α)100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ μﻧﻔﺗرض أن σﻣﻌﻠوﻣ ﺔ وﻟﻛ ن ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻻ ﯾﺗ واﻓر ھ ذا اﻟﻔرض ،ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿﺔ ﻋن σﺑﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ sﺑﺷرط أن > n .30
ﻣﺛﺎل( اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 100ﻣ رﯾض ﺑﺎﻟﺳ ﻛر وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط أﻋﻣ ﺎرھم x 55 ١ ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري s 20أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺗوﺳط .
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ μھو x = 55وﺣﯾث أن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾر ،ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ σﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿﺔ ﻋﻧﮫ ﺑﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ .s=20ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 95% ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﮫ : s s . x z 0.025 < μ < x + z 0.025 n n ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ zاﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ 0.025 وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ 0.975ھﻲ . z.025=1.96وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : ) (1 .96 )(20 ) (1 .96 )(20 . 55 < μ < 55 + 100 100 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ : . 51.08 < μ < 58.92
ﻣﺛﺎل اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم n 50ﻣن إﻧﺗﺎج آﻟﺔ ﻣﺎ ﻟﺗﻌﺑﺋﺔ اﻷرز ﻓﻲ أﻛﯾ ﺎس ﻓﺣﺻ ﻠﻧﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ x 4.80ﻛﺟم و s 0.6ﻛﺟم .أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺗوﺳط .
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ھو x = 4.8وﺣﯾث أن ﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻛﺑﯾ ر ،ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ σﯾﻣﻛ ن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿ ﺔ ﻋﻧ ﮫ ﺑ ﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ s 0.6ﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s s x z 0.025 x z 0.025 n n ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ zاﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ 0.025 وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ 0.975ھﻲ z.025=1.96 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : )(1.96)(0.6 )(1.96)(0.6 4.8 < μ < 4.8 + . 50 50 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ: 4.63368 4.96631.
ﻣﺛﺎل اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 100ﻣرﯾض ﺑﺎﻟﺳ ﻛر وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط أﻋﻣ ﺎرھم x 55ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري s 20أوﺟد 99%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺗوﺳط . ٢
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ھ و x 55وﺣﯾ ث أن ﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻛﺑﯾ ر ،ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ σﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿﺔ ﻋﻧﮫ ﺑﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ s 20ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠ ﻰ 95% ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s s . x z 0.025 x z 0.025 n n ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ zاﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ 0.005 وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ 0.995ھﻲ z.005=2. 575 وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن 99%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : )(2.575)(20 )(2.575)(20 . 55 < μ < 55 + 100 100 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ : 49.85 < μ < 60.15 . ﻧظرﯾﺔ :إذا اﺳﺗﺧدﻣت xﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ 2
ﻓﺈن ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ
(1 )100%ﺛﻘﺔ أن
z n 2 e
اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻣﻛن اﻟﻣرء ﻓﻲ ﺗﺣدﯾد ﻣدي ﻛﺑر اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ ﻛﻲ ﯾﻘدر μﻷي درﺟﺔ ﯾرﻏﺑﮭﺎ ﻣن درﺟﺎت اﻟدﻗﺔ ﻗﺑل أﺧذ أي ﻋﯾﻧﺔ واﺣدة ﺷرﯾطﺔ أن ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ σﻣﻌﻠوﻣﺔ .أﻣﺎ إذا ﻟم ﯾﻛن اﻟﻣرء ﻋﻠﻰ ﻋﻠم ﺑﻘﯾﻣﺔ ، σﻓﻼﺑد ﻣن أﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﺑدﺋﯾﺔ ، n > 30 ،ﻛﻲ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ σﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺗﺣدﯾد ﻣدي ﻛﺑر nاﻟواﺟب .
ﻣﺜﺎل ﯾرﻏب ﺻﺎﺣب ﻣﺻﻧﻊ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ nﺣﺗﻰ ﯾﻣﻛﻧ ﮫ اﻟﺗﺄﻛ د ﺗﺄﻛ دا ً ﻣﻌﻘ وﻻ ً ﻣ ن أن ﺗﻘ دﯾره وﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 0.95ﻟن ﯾﻛون ﻣﺧطﺋﺎ ً ﺑﺄﻛﺛر ﻣن 5وﺣدات ﻣﻌﯾﻧﺔ إذا ﻋﻠ م أن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﯾﺳﺎوى 20وﺣدة .أوﺟد ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻟﺗﻲ وﺿﻌﮭﺎ ﺻﺎﺣب اﻟﻣﺻﻧﻊ.
اﻟﺣــل: e 5 , = 20 , z0.025 1.96. . 2
1.96 20 n 61 . 5 ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻟﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾر ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻏﯾ ر ﻣﻌﻠ وم وﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ أﻗ ل ﻣ ن ،30ﻓﻘ د ﺗﻛ ون اﻟﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﻋ ﺎﻣﻼ ﻣﺣ ددا ﻟﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ .طﺎﻟﻣ ﺎ ﻛ ﺎن ﺷ ﻛل ٣
اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ )ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ( ﻧﺎﻗوﺳ ﻰ ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳ ﺎب ﻓﺗ رات اﻟﺛﻘ ﺔ ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون σ 2ﻏﯾ ر ﻣﻌﻠوﻣ ﺔ وﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺻﻐﯾر X T . S n طرﯾﻘ ﺔ إﯾﺟ ﺎد (1 )100%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣﺗﺑﻌ ﺔ ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻛﺑﯾرة ﻓﯾﻣﺎ ﻋدا اﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ tﺑدﻻ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ. ﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ، nﯾﺣﺳ ب اﻟﻣﺗوﺳ ط xواﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري sوﯾ ﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ (1 )100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺄﺗﻲ : s s x t x t . n n 2 2 ﺣﯾث t ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ tﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ ) (n 1واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﺗﺳﺎوي 2
α 2
واﻟﻣوﺿﺣﮫ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tوﻧظرا ﻟﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﺗوزﯾﻊ
α tﻓﺈن ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻗدرھﺎ 2
ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎر اﻟﻘﯾﻣﺔ . - t α 2
ﻣﺛﺎل ٤
ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻟﻠزﻣن اﻟذي ﯾﺳﺗﻐرﻗﮫ ﺗﺟﻣﯾﻊ ﻣﺎﻛﯾﻧﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ وﺟد أن اﻟزﻣن اﻟ ذي اﺳ ﺗﻐرﻗﮫ ﺗﺟﻣﯾ ﻊ 6 ﻣﺎﻛﯾﻧﺎت ھ و ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ ) 12, 13, 11, 5, 10, 12 :ﻣﻘﺎﺳ ﮫ ﺑﺎﻟ دﻗﺎﺋق ( .أوﺟ د 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟزﻣن ) ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ( ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً.
اﻟﺣــل: ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ھﻣﺎ . x 10.5 , s 2.881 :ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻓﺈن t0.025 = 2.571وذﻟك ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 5 n-1=6-1وﻋﻠﻰ ذﻟك 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ μھﻲ :
)(2.571)(2.881 )(2.571)(2.881 < μ < 10.5 + . 6 6 اﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ : 7.476 13.524 .
10.5
ﻣﺛﺎل ﻧﻔرض إن ﻣﻔﺗﺷﺎ ﯾرﻏب ﻓﻲ إﺟراء ﻣراﺟﻌﺔ ﺳرﯾﻌﺔ ﻋﻠﻰ وزن اﻟﺧﺑز اﻟذي ﯾﻧﺗﺟﮫ اﺣد اﻟﻣﺧ ﺎﺑز ﻣﺎ ﻓﯾﺄﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣ ن 15رﻏﯾﻔ ﺎ ﻣ ن إﻧﺗ ﺎج اﻟﻣﺧﺑ ز .ﻧﻔ رض أن ﻣﺗوﺳ ط وزن اﻟرﻏﯾ ف x 15.8وأن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو 0.3رطل.أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط وزن أﻧﺗ ﺎج اﻟﻣﺧﺑز ﺑﺄﻛﻣﻠﮫ وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻘرﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﻲ.
اﻟﺣــل: ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﯾﻧ ﺔ واﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎة ھﻣ ﺎ . x 15.8 , s 0.3 :ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻓﻲ ﻣﻠﺣق ) (٤ﻓﺈن t0.025 = 2.145وذﻟك ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﮫ . 14وﻋﻠ ﻰ ذﻟك 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ھﻲ : )(2.145)(0.3 )(2.145)(0.3 . 15.8 < μ < 15.8 + 15 15 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ: 15.63 < μ < 15.97 .
ﻣﺛﺎل ﺗﻧ ﺗﺞ آﻟ ﺔ ﻗط ﻊ ﻣﻌدﻧﯾ ﺔ أﺳ طواﻧﯾﺔ اﻟﺷ ﻛل.أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ﺗﺳ ﻊ ﻗط ﻊ وﻛﺎﻧ ت أﻗطﺎرھ ﺎ اﻟﻧﺎﺗﺟ ﺔ ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر ﻛﺎﻵﺗﻲ: .1.01,0.97,1.03,1.04,0.99,0.98,0.99,1.01,1.03 اﻟﻣطﻠ وب إﯾﺟ ﺎد 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻘط ر اﻟﻣﺗوﺳ ٥ط ﻣ ن ﻗط ﻊ أﻧﺗﺟ ت ﺑﮭ ذه اﻵﻟ ﺔ ﻣﻔﺗرﺿ ﺎ ﺑ ﺄن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻘرﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ.
اﻟﺣــل: ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﯾﻧ ﺔ واﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎة ھﻣ ﺎ . x = 1.006 , s = 0.025 : ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ tﻓ ﺈن t0.025 = 2.306وذﻟ ك ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﮫ . =8 وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ھﻲ : )(2.306)(0.025 )(2.306)(0.025 1.006 < μ < 1.006 + . 9 9 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ: 0.987 < μ < 1.025 .
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن μ1 μ 2
Confidence Interval for the Difference Between two Populations Means إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻌﺎن ،اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻷول ﻟ ﮫ ﻣﺗوﺳ ط μ1وﺗﺑ ﺎﯾن σ12واﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻟ ﮫ ﻣﺗوﺳ ط μ 2وﺗﺑ ﺎﯾن . 22وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ،ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ 1 2ﻻ ﺑ د ﻣ ن اﺧﺗﯾ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n1ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول وﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n2ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ وﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟ ﻲ وﺣﺳ ﺎب اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﯾن . x1 x 2ﺑﻔ رض أن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ،أو ﻓﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻋ دم ﺗ واﻓر ذﻟ ك اﻟﻔ رض ،إذا ﻛﺎن ﻛﻼ ﻣ ن n1و n2أﻛﺑ ر ﻣ ن أو ﯾﺳ ﺎوي 30ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد (1 )100%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻛﺎﻵﺗﻲ :
12 22 12 22 1 2 (x1 x 2 ) z . n1 n 2 n n2 1 2
(x1 x 2 ) z 2
درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ ﺗﻛون ﻣﺿﺑوطﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺧﺗﺎر اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ .ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻐﯾر طﺑﯾﻌﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻛون ﺟﯾدة ﺟدا ﻋﻧدﻣﺎ n2 , n1ﺗزﯾد ﻋن .30إذا ﻛﺎﻧت σ 22 , σ12ﻣﺟﮭوﻟﺗﯾن واﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻛﺑﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯾﺔ ،ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺑدال σ 22 , σ12ﺑـ s 22 , s12ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﺑدون اﻟﺗﺄﺛﯾر ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة اﻟﺛﻘﺔ .
ﻣﺛﺎل أﻋطﻰ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ ﻲ ﻣ ﺎدة اﻹﺣﺻ ﺎء إﻟ ﻰ 75طﺎﻟﺑ ﺔ و 50طﺎﻟﺑ ﺎ ً .ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻧﻘ ﺎط ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ اﻟطﺎﻟﺑ ﺎت x1 80ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري . s1 7وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻧﻘ ﺎط ﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟطﻠﺑ ﺔ x 2 70ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري . s2 6أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ . 1 2
اﻟﺣــل: ٦
اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟ ـ μ 1 μ 2ھ و . x 1 x 2 =80-70=10وﺣﯾ ث أن ﻛ ﻼ ﻣ ن n1 , n2ﻛﺑﯾ رة ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺧدام s1=7ﺑ دﻻ ﻣ ن σ1و s2=6ﺑ دﻻ ﻣ ن . σ 2ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام α = 0.05ﻓ ﺈن
z 0.025 1.96وذﻟك ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ .وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ μ1 μ 2 اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 12 22 2 2 1 2 (x1 x 2 ) z 1 2 . n1 n 2 n1 n 2 2 ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : 7 2 62 μ 2 < 10 1.96 + . 75 50 أو:
2
(x1 x 2 ) z 2
2
7 6 + < μ1 75 50
10 1.96
7.703 < μ 1 μ 2 < 12.297.
ﻣﺛﺎل ﻛﻠ ف أﺣ د ﻣﮭﻧدﺳ ﯾن اﻟﻣﺻ ﻧﻊ ﺑدراﺳ ﺔ ﻗ وة اﻟﺷ د ﻟﻧ وﻋﯾن ﻣ ن اﻟﺧﯾ وط اﻟﺗ ﻲ ﺗﻧ ﺗﺞ ﻣ ن ﻗﺑ ل اﻟﻣﺻﻧﻊ.أﺧذت ﻋﯾﻧﺎت ﺗﺿم ﻛل ﻣﻧﮭم 50ﻗطﻌﺔ وﺗم اﺧﺗﺑ ﺎرھم ﺗﺣ ت ظ روف ﻣﺗﺷ ﺎﺑﮭﺔ أﺷ ﺎرت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﺑﺄن ﻣﺗوﺳط ﻣﻘﺎوﻣﺔ اﻟﺷد ﻟﻠﺧ ﯾط ﻣ ن ﻧ وع Aھ ﻲ 80ﻛﯾﻠ و ﺟ رام واﻧﺣ راف ﻣﻌﯾ ﺎري 6.0ﻛﯾﻠو ﺟرام ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﻧ وع اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻣ ن اﻟﺧﯾ وط Bﻓﻛ ﺎن ﻟ ﮫ ﻣﺗوﺳ ط ﻣﻘ داره 77.5ﻛﯾﻠ و ﺟ رام واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري 6.5ﻛﯾﻠو ﺟرام .أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ، وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﯾﺗﺑﻌﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ.
اﻟﺣــل: n 1 = 50, x 1 = 80, s1 = 6 .0 n 2 = 50 , x 2 = 77 .5, s 2 = 6 .5 ﻹﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ x1 x 2 80 77.5 2.5وﺣﯾث أن ﻛﻼ ﻣن n1 , n 2ﻛﺑﯾرة )أﻛﺑر ﻣن (30ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام s1 = 6.0ﺑدﻻ ﻣن σ1و s 2 6.5ﺑدﻻ ﻣن . σ 2ﺑﺎﺳﺗﺧدام 0.05ﻓﺈن z 0.025 1.96وذﻟك ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
21 2 2 . n1 n2
(x1 x 2 ) z 2
ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل: 6.0 2 6.5 2 . μ 2 < 2.5 + 1.96 + 50 50 ٧
6.0 2 6.5 2 2.5 1.96 + < μ1 50 50
واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ:
0.048 1 2 4.952 .
ﻻﯾﺟﺎد (1 )100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ﺗﺳﺗﺧدم اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ إذا ﻛﺎن 22 , 12 ﻣﻌﻠوﻣﺗﺎن أو ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾرھﻣﺎ ﻣن ﻋﯾﻧﺎت ﻛﺑﯾرة .إذا ﻛﺎﻧت أﺣﺟﺎم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺻﻐﯾرة ،ﻓﺳوف ﺗﺳﺗﺧدم ﺻﯾﻐﺔ اﺧرى ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻛون ﺻﺣﯾﺣﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﺗﺗﺑﻊ اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ. 2 2 2 2 ﺑﻔرض أن 1 2 2ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام s pﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم . σﺣﯾث : (n1 1)s12 (n 2 1)s22 n1 n 2 2 ﻷي ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻋﺷواﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣن اﻟﺣﺟم n2 , n1ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ﻓﺈن اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ، x1 x 2 ،واﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ s2pﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﮭﻣﺎ واﺳﺗﺧداﻣﮭﻣﺎ ﻓﻲ إﯾﺟﺎد (1 )100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل : s 2p
1 1 1 1 1 2 (x1 x 2 ) t sp . n1 n 2 n n 1 2 2
(x1 x 2 ) t sp 2
ﻣﺛﺎل اﺧﺗﯾرت ﻣﺟﻣوﻋﺗﺎن ﻣن اﻷراﻧ ب ،اﻷوﻟ ﻰ ﻣ ن 13أرﻧﺑ ﺎ ً وأﻋطﯾ ت اﻟﻐ ذاء Aواﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻣ ن 15أرﻧﺑﺎ ً وأﻋطﯾت اﻟﻐذاء Bوﻛﺎﻧت اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ اﻟوزن ﺑﻌد ﻓﺗرة ﻣﻌﯾﻧﺔ ھﻲ : A: 35, 30, 30, 23, 21, 12, 24, 23, 33, 27, 29, 25, 21. B: 20, 17, 34, 31, 29, 39, 30, 46, 7, 21, 33, 43, 21, 34, 20. أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ،وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻌﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺣﯾث . 12 22
اﻟﺣــل: s1 = 6.05,
x 1 = 25.62,
n 1 = 13,
s 2 = 10.58,
x 2 = 28.33,
n 2 = 15,
ﻹﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ μ 1 μ 2ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ . =25.62-28.33=-2.71 x 1 x 2 اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم s 2pھو : 2 2 2 2 )2 (n1 1)s1 (n 2 1)s 2 (12)(6.05) (14)(10.58 sp 77.1669. n1 n 2 2 13 15 2
٨
α ﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ﻓﺈن .sp=8.784ﺑﺎﺳﺗﺧدام = .025 2
ﻓﺈن t.025=2.056
ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ .13 + 15 –2 = 26 ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
1 1 1 2 n1 n 2 1 1 , n1 n 2
(x1 x 2 )t sp 2
(x1 x 2 )t s p 2
ﻓﺈن 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ھﻲ : 1 1 + < < μ1 μ 2 13 15
) 2.71 ( 2.056 )( 8.784
1 1 + . 13 15
) 2.71 + ( 2.056 )(8 .784
واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ : -4.133 < μ1 μ 2 <9.553. ﺗﻔﺗرض اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن وأن . 12 22أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة إذا ﻛﺎﻧت 12 22وذﻟك ﺗﺣت ﺷرط أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن و . n1 n 2
ﻣﺛﺎل ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻋﯾﻧﺗ ﺎن اﻟﻛ ﺎﺑﻼت اﻟﻣ ﺄﺧوذة ﻣ ن ﺷ رﻛﺗﯾن ﻣﻧﺗﺟ ﺔ ﻟﻘط ﻊ ﻏﯾ ﺎر ﻣﻛ ﺎﺋن ﻣﻌﯾﻧ ﺔ وﺗﺗﺿ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻋ دد اﻷﯾ ﺎم اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺗﻐرﻗﮭﺎ ﻛ ل ﺷ رﻛﺔ ﻓ ﻲ ﺗﺣﻘﯾ ق طﻠ ب اﻟﻘط ﻊ وﻋ دد اﻟﻛﺎﺑﻼت ﻓﻲ ﻋﺷرة : 19,14,18,13,10,12,14,11,16,10ﺷرﻛﺔ A : 21,20,19,13,14,18,15,19,25,20ﺷرﻛﺔ B أوﺟ د 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗﺑﻌﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺣﯾث . 12 2 2
اﻟﺣــل: اﻟﺷرﻛﺔ : Aﻓﺈن s1 3.16 s 2 3.6 وﻟﻠﺷرﻛﺔ : Bﻓﺈن ﻹﯾﺟ ﺎد 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ
x 2 13.7, x 2 18.4, ـ 1 2ﺳ
n1 10, n 2 10, وف ﻧﺳ ﺗﺧدم اﻟﺗﻘ
x1 x 2 13.7 18.4 4.7واﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم s p 2ھو: ٩
دﯾر ﺑﻧﻘط
ﺔ
2
2
(n1 1)s12 (n 2 1)s 2 2 9 3.16 9 3.6 11.4921. . n1 n 2 2 10 10 2 α ﺑﺄﺧذاﻟﺟذراﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ﻓﺈن s p 3.39وﺑﺎﺳﺗﺧدام = 0.025 2 ﻧﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 10 10 2 18 ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: 1 1 1 1 , (x1 x 2 ) t s p 1 2 n1 n 2 n n 1 2 2
2
sp
ﻓﺈن t 0.025 = 2.101
(x1 x 2 ) t s p 2
ﻓﺈن 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ھﻲ:
1 1 1 1 + )< μ1 μ 2 < ( 4.7) + (2.101)(3.39 + 10 10 10 10
)4.7 ) (2.101)(3.39
واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ:
7.8852 1 2 1.5148 .
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ دراﺳﺔ ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻷﺟ ور ﻓ ﻲ ﻛﻠﯾﺗ ﯾن Aو Bأ أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن n1 25 أﺳ ﺗﺎذ ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ Aووﺟ د أن ﻣﺗوﺳ ط اﻷﺟ ر ﺧ ﻼل 9ﺷ ﮭور ھ و 10000دوﻻر ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري 1100دوﻻر .ﻛﻣﺎ أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧ رى ﻣ ن اﻟﺣﺟ م n 2 20أﺳ ﺗﺎذ ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ Bووﺟ د أن ﻣﺗوﺳ ط اﻷﺟ ر ﺧ ﻼل 9ﺷ ﮭور 13000دوﻻر ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري 1120دوﻻر. أوﺟ د 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ 1 2ﺗﺣ ت ﻓ رض أن 12 22وأن اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﺗ م اﺧﺗﯾﺎرھﻣ ﺎ ﻣ ن ﺗوزﯾﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن.
اﻟﺣــل: x 1 = 10000, s1 = 1100 x 2 = 13000, s 2 = 1120 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ:
n 1 = 25, n 2 = 20,
1 1 1 1 1 2 (x1 x 2 ) t s p , n1 n 2 n n 1 2 2
(x1 x 2) 10000 13000 3000,
١٠
(x1 x 2 ) t s p 2
(
(n1 1)s12 (n 2 1)s 22 . n1 n 2 2
2
sp
(24)(1100) 2 + (19)(1120 ) 2
= 1229618.605 . 43 s p = 1108.88 .
=
α ﺑﺎﺳﺗﺧدام = 0.025 2 ν = 43وﺑﻣﺎ أن ν = 43ﻏﯾر ﻣوﺟ ودة ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذھﺎ ﻋﻧ د ν = 40وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ھﻲ: ﻓﺈن . t 0.025 2.021ﻧﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ
1 1 1 1 1 2 3000 2.0211108.88 25 20 25 20 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ: 3672.313 1 2 2327.6861
3000 2.0211108.88
اﻵن وﻋﻧ د اﻟرﻏﺑ ﺔ ﻓ ﻲ إﯾﺟ ﺎد (1 α)100%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ μ1 μ 2ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﺻﻐﯾرة ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون 12 22وﻋﻧد ﺻﻌوﺑﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺎت ذات أﺣﺟﺎم ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓ ﺈن درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 2 2 s1 s 22 + n1 n 2 =ν s12 2 s 22 2 ) ( ) ( n1 n + 1 n1 1 n 2 1 وﺑﻣﺎ أن νﻧﺎدرا ً ﻣﺎ ﺗﻛون ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ،ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘرﺑﮭﺎ إﻟﻰ أﻗرب رﻗم ﺻﺣﯾﺢ .ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ (1 α)100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
s12 s 22 s2 s2 1 2 (x1 x 2 ) t 1 2 n1 n 2 n1 n 2 2
(x1 x 2 ) t 2
ﻣﺛﺎل ﺧﻼل 20ﺳﻧﺔ ﻣﺎﺿﯾﺔ ﻛﺎن ﻣﺗوﺳط ﺳ ﻘوط اﻟﻣط ر ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧطﻘ ﺔ Aﻓ ﻲ ﻗط ر ﻣ ﺎ ﺧ ﻼل ﺷ ﮭر ﯾﻧ ﺎﯾر 1.8ﺑوﺻ ﺔ ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري 0.4ﺑوﺻ ﺔ .ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط ﺳ ﻘوط اﻟﻣط ر ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧطﻘﺔ Bﻣن ﻧﻔس اﻟﻘط ر ﺧ ﻼل 15ﺳ ﻧﺔ ﻣﺎﺿ ﯾﺔ 1.03ﺑوﺻ ﺔ ﺑ ﺎﻧﺣراف 0.25ﺑوﺻ ﺔ . أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2وذﻟك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﻔ ردات ﻣ ﺄﺧوذة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ﺣﯾث . 12 22 ١١
اﻟﺣــل: s1 = 0.4, ﻟﻠﻣﻧطﻘﺔ Aﻓﺈن وﻟﻠﻣﻧطﻘﺔ Bﻓﺈن s 2 = 0.25,
n 1 = 20, x 1 = 1.8, n 2 = 15, x 2 = 1.03,
وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ 1 2ﺣﯾ ث 12 22و n1 n 2ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﻛﺎﻵﺗﻲ : 2 s12 s 22 + n1 n 2 =ν s12 2 s 22 2 ) ( ) ( n1 n + 1 n1 1 n 2 1
2
= 32.11 ≈32.
2
.4 2 .25 2 + 20 15 2
.25 2 15 14
+
.4 2 20 19
=
وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك x 1 x 2 = 1.8 1.03 = 0.77وﺗﺣ ت ﻓ رض أن α = 0.05وﻣ ن اﻟﺟ دول ﻓ ﺈن t0.025 = 2.042ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 32وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
s12 s 22 + < μ1 μ 2 n1 n 2
(x 1 x 2 ) t α 2
s12 s 22 < (x1 x 2 ) + t α + . n n 1 2 2 ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ) ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : 2 2 .4 .25 .4 2 .252 0.77 2.042 + < μ 1 μ 2 < 0.77 + 2.042 + . 20 15 20 15 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ :
0.545 < μ1 μ 2 < 0.995 .
١٢
ﻣﺛﺎل ﺗﺣ ﺎول ﺷ رﻛﺔ ﻟﺗ ﺄﺟﯾر اﻟﺳ ﯾﺎرات اﺗﺧ ﺎذ ﻗ رار ﺣ ول ﺷ راء إط ﺎرات ﻣ ن ﻣﺎرﻛ ﺔ Aأو أط ﺎرات ﻣﺎرﻛﺔ Bﻟﺳﯾﺎرﺗﮭم .ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﻣﺎرﻛﺗﯾن أﺟرت ﺗﺟرﺑ ﺔ ﺣﯾ ث اﺳ ﺗﺧدﻣت 10إط ﺎرات ﻣ ن ﻛل ﻣﺎرﻛﺔ 8 , Aإطﺎرات ﻣن ﻣﺎرﻛﺔ Bﺛم ﺟرﺑت اﻹط ﺎرات ﺣﺗ ﻰ وﺻ وﻟﮭﺎ إﻟ ﻰ اﻟﺗﻠ ف وﻛﺎﻧ ت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻲ x1 38.5 , s1 4 ﻣﺎرﻛﺔ :A ﻣﺎرﻛﺔ : B
x 2 36.0 , s 2 5
اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ 1 2ﺑﺎﻓﺗراض أن اﻟﻣﻔردات ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﺣﯾث 12 22
اﻟﺣــل: x 1 = 38.5, x 2 36.0,
s1 = 4, s 2 5,
n 1 = 10, n 2 8,
وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ 1 2ﺣﯾ ث 12 22و n1 n 2ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻵﺗﻲ : 2
s12 s 22 + n1 n 2 =ν s12 2 s 22 2 ) ( ) ( n1 n + 1 n1 1 n 2 1
2
4 2 52 16.81 10 8 13.2 13 2 2 4 2 5 2 0.2844 0.694 ( ) ( ) 10 8 9 7 وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك x 2 = 38.5 36.0 = 2.5ــ x 1وﺗﺣ ت ﻓ رض أن α = 0.05وﻣ ن ﻓ ﺈن = 2.16ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . 13وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ١٣
t0.025
s12 s 22 s12 s 22 + . (x 1 x 2 ) t α + < μ1 μ 2 n1 n 2 n n 1 2 2
< (x1 x 2 ) + t α 2
ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ) ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : 16 25 16 25 (3.85 36) 2.16 1 2 (3.85 36) 2.16 . 10 8 10 8 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ : 2.1952 1 2 7.1952 وأﺧﯾرا ً ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد طرﯾﻘﺔ ﺗﻘدﯾر اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﯾن ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻏﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن .ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﺄﺧ ذ ﻋﯾﻧ ﺔ واﺣ دة وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﻗ راءات ﻟﻣﻔرداﺗﮭ ﺎ ﺛ م ﻧﺿﻊ ھذه اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺗﺣ ت ﻣ ؤﺛر وﻧﻌ ود وﻧﺄﺧ ذ ﻗ راءات أﺧ ري ﻟﮭ ﺎ ،وﺑﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻣﺟﻣ وﻋﺗﻲ اﻟﻘ راءﺗﯾن ﻟﻧﻔس اﻟﻣﻔردات ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﻧﺗﺎج ﺗ ﺄﺛﯾر ھ ذا اﻟﻌﺎﻣ ل أو اﻟﻣ ؤﺛر .ﻟﻧﻔ رض ﻣ ﺛﻼ أﻧﻧ ﺎ ﻧرﯾ د ﻣﻌرﻓ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر دواء ﻋﻠﻰ ﻗراءات ﺿﻐط اﻟدم اﻟﻣرﺗﻔﻊ وأﺧذﻧﺎ ﻟذﻟك ﻋﯾﻧﺔ ﻣن 10ﺷﺧﺻﺎ ً وﻗرأﻧ ﺎ ﺿ ﻐط اﻟ دم ﻟﻛ ل ﻣﻧﮭﻣﺎ ﺛم أﻋطﯾﻧﺎ ﻛل ﺷﺧص دواء ﻟ ﮫ ﺗ ﺄﺛﯾر ﻋﻠ ﻰ ﺿ ﻐط اﻟ دم اﻟﻣرﺗﻔ ﻊ وأﻋ دﻧﺎ أﺧ ذ اﻟﻘ راءات ﻣ رة أﺧ رى .ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻧﻘ ول أﻧﻧ ﺎ أﻣ ﺎم ﻋﯾﻧﺗ ﯾن ﻏﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن أو ﻋﯾﻧﺗ ﯾن ﻣ زدوﺟﺗﯾن paired .samplesأزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺳ وف ﺗﻛ ون ) (x 1 y1 ), (x 2 y 2 ),..., ( x n y nاﻟﻔ روق ﻷزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺳ وف ﺗﻛ ون ) d1 = ( x 1 y1 ), d 2 = (x 2 y 2 ),..., d n = ( x n y nھ ذه اﻟﻔروق ﺗﻣﺛل ﻗﯾم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ .Dاﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ μ D = μ 1 μ 2ﯾﻌط ﻰ ﻣن dواﻟذي ﯾﺳﺎوى ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻔ روق ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ .وﺑﻣ ﺎ أن dﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء Dﻛﻣ ﺎ أن اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻔروق ھو s 2dﺣﯾث : n 2 ( d ) i 1 n 2 i 1 sd2 di n 1 i 1 n
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ (1 α)100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ Dﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s s d t d D d t d n n 2 2 ﺣﯾث dو sdھﻣﺎ اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻔروق ﻟﻌدد nﻣن ازواج اﻟﻣﺷﺎھدات و α t αھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ tﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ n 1واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﺗﺳﺎوى 2 2 واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ . t
ﻣﺛﺎل
١٤
أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 10ﺗﻼﻣﯾذ ﻣن إﺣدى اﻟﻣدارس ودوﻧت أوزاﻧﮭم ﺛم أﻋطﻲ ﻛل ﻣﻧﮭم ﻛوﺑﺎ ً ﻣن اﻟﻠﺑن ﺻﺑﺎﺣﺎ ً وآﺧر ظﮭرا ً وذﻟك ﻟﻣدة ﺛﻼﺛﺔ ﺷﮭور ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ .ﺛم دوﻧت أوزاﻧﮭم ﻓﻛﺎﻧت اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻰ : 129 124 126 139 133 136 139 135 137 140
اﻟوزن ﻗﺑل ﺗﻌﺎطﻰ اﻟﻠﺑن
130 126 129 140 136 134 141 140 138 141اﻟوزن ﺑﻌد ﺗﻌﺎطﻲ اﻟﻠﺑن اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد 99%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ . D 1 2
اﻟﺣــل اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ μ Dھو . d = 1.7اﻟﺗﺑﺎﯾن s 2dﻟﻔروق اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو :
( Σd i ) 2 n
2 i
∑d
1 = sd n 1 2
1 ( 17) 2 = 59 = 3.344 9 10 وﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﻘدار s 2dﻓﺈن . sd 1.829ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام α = 0.01ﻓ ﺈن t .005 3.25 واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ tﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ . ν = n 1 = 9وﺑ ﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s s d t α d < μD < d + t α d . n n 2 2 ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ 99%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
)(1.829 )(1.829 . ) D 1.7 (3.25 10 10 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل اﻟﻰ : - 3.58 < μ D < 0.18.
)1.7 (3.25
ﻣﺛﺎل ﺗﺣﺎول ﺷرﻛﺔ ﺳﯾﺎرات أﺟراء اﺗﺧﺎذ ﻗرار ﺣول ﺷراء اطﺎرات ﻣﺎرﻛﺔ Aاو اطﺎرات ﻣﺎرﻛﺔ B ﻟﺳﯾﺎراﺗﮭم ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻣﺎرﻛﺗﯾن أھﺗم اﻟﺑﺎﺣث ﺑﺗﺟرﯾب اطﺎر ﻛل ﻣﺎرﻛﺔ ﺗﺟﺎرﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻔس ﺳﯾﺎرة اﻻﺟرة وﻗد اﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻣن 9ﺳﯾﺎرات ﻟﮭذا اﻟﻔرق واﻟﻣﺳﺎﻓﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑوﺣدة اﻻﻟف ﻛﯾﻠو ﻣﺗر ﺛم ﺗﺳﺟﯾﻠﮭﺎ ﻣﻔﺗرض ﺑﺈن اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻣﺳﺎﻓﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد 95% ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ . D 1 2 9
8
7
6
5
3
4 ١٥
2
1
ﺳﯾﺎرة أﺟرة
33.5
31.5
38.9
36.4
47.8
31.1
73.7
46.8
36.4
ﻣﺎرﻛﺔ A
32.5
30.1
38.1
32.8
48.4
32
36.7
45.5
4.4
ﻣﺎرﻛﺔ B
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ D
ھو . d = 8.4اﻟﺗﺑﺎﯾن s d2ﻟﻔروق اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو :
1 2 (d i )2 di n 1 n 2
222.1725 .
s 2d
1 75.6 2412.42 8 9
وﺑﺄﺧ ذ اﻟﺟ ذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ﻲ ﻟﻠﻣﻘ دار s d2ﻓ ﺈن .sd= 14.905ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام = 0.05 αﻓ ﺈن t0.025=2.306واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ tﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ . ν = n 1 = 8 وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s s d t α d < μD < d + t α d . n n 2 2 ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )(14.905 )(14.905 )8.4 (2.306 )< μ D < 8.4 + (2.306 . 9 9 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ : -3.0569 < D <19.8569.
ﻣﺛﺎل ﺷرﻛﺔ ﺗﻧﺗﺞ ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻠﻣﻘﺎوﻣﺔ اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ ورﻏﺑت اﻟﺷرﻛﺔ ﻓﻲ ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻔﺎءة اﻟﺟﮭﺎزﯾن ﻓﻲ اﻟﻘﯾﺎس أﺧذت 10ﻧﻣﺎذج ﻣن اﻷﺳﻼك اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ وﺗم ﻗﯾﺎس ﻣﻘﺎوﻣﺗﮭم ﺑﺎﻻوم ﺑﺎﻟﻣﻘﯾﺎﺳﯾن وﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔs d 0.037 , d 0.018 : اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ . D 1 2
اﻟﺣــل: اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ Dھو . d = 0.018واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻔروق اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو s d = 0.037 ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام α = 0.05ﻓ ﺈن t0.025=2.262واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ tﻓ ﻲ ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾﺔ . n 1 9وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s s d t α d < μD < d + t α d . n n 2 2 ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : ١٦
)(0.037 )(0.037 )< μ D < 0.018 + (2.262 . 10 10 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل اﻟﻰ : -0.00847 < D < 0.04447.
)0.018 (2.262
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ
Confidence Interval for Proportion
أوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﺻل اﻟﺧ ﺎﻣس أن اﻟﺗﻘ دﯾر xﻟ ﯾس داﺋﻣ ﺎ اﻟﻣطﻠ وب ﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻹﺣﺻ ﺎء .ﻓﻔ ﻲ ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﻣﻌرﻓﺔ ﻧﺳﺑﺔ وﺟود ﺻﻔﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣ ﺎ ﻣﺛ ل ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻣﺻ ﺎﺑﯾن x ﺑﺗﺳ وس اﻷﺳ ﻧﺎن أو ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻧﺑﺎﺗ ﺎت اﻟﻣﺻ ﺎﺑﺔ وھﻛ ذا .وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ،ﻓ ﺈن ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ pˆ n ﺳوف ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ .pﺗﺑﻌ ﺎ ﻟﻘواﻋ د Cochranﻛﻣ ﺎ ذﻛرﻧ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺻ ل اﻟﺧ ﺎﻣس x ﻧﺣﺳ ب ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ = ˆ pوﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ (1 ) 100%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ pﻣ ن n اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ˆˆ ˆˆ pq pq pˆ z p pˆ z n n 2 2
ﻣﺛﺎل ﯾﻘ وم ﻣﺻ ﻧﻊ ﺑﺈﻧﺗ ﺎج ﻣﻧ ﺗﺞ ﻋﻠ ﻰ درﺟ ﺔ ﻋﺎﻟﯾ ﺔ ﻣ ن اﻟﺟ ودة وﯾرﻏ ب اﻟﻣﺳ ﺋول ﻓ ﻲ اﻟﻣﺻ ﻧﻊ ﻓ ﻲ ﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﺔ اﻟوﺣدات اﻟﻣﻧﺗﺟ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﻔ ﺔ .ﻓ ﺈذا اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن 200وﺣ دة ووﺟ د أن ﺑﯾﻧﮭم 40وﺣدة ﺗﺎﻟﻔﺔ ،أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ .p
اﻟﺣــل: 40 اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ pھو = 0.2 200 1.96ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ˆpˆq ˆpˆq pˆ z α < p < pˆ + z α . n n 2 2 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )(0.2)(0.8 )(0.2)(0.8 0.2 1.96 < p < 0.2 + 1.96 200 200
= ˆ . pﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟ دول اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﻓ ﺈن =z0.025
واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ : 0.145 < p < 0.255 . إذا وﻗﻌت pﻋﻧد ﻣرﻛز (1 α)100%ﻓﺗرة اﻟﺛﻘﺔ ،ﻓﺈن ˆ pﺳوف ﺗﻘ در pﺑ دون أﺧط ﺎء. ﻓ ﻲ ﻣﻌظ م اﻷﺣ وال pˆ ،ﻻ ﺗﺳ ﺎوي pوﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون ھﻧ ﺎك ﻓ رق ﺑ ﯾن ˆ pو pواﻟ ذي ﯾﻣﺛ ل
١٧
اﻟﺧطﺄ .ھذا اﻟﺧطﺄ ﯾﺻل اﻟﻰ أﻗﺻﺎه ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون pﻗرﯾﺑﺔ ﻣن إﺣدى ﺣديّ اﻟﺛﻘ ﺔ .وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ˆp
ˆpˆq ﺳوف ﺗﺧﺗﻠف ﻋن pﺑﻘﯾﻣﺔ أﻗل ﻣن n
z αﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ . 2
ﻧظرﯾﺔ :إذا اﺳ ﺗﺧدﻣت ˆ pﻛﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ pﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ (1 α)100%ﺛﻘ ﺔ أن اﻟﺧطﺄ ﺳوف ﯾﻛون أﻗل ﻣن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ eﻋﻧدﻣﺎ ﯾﺣﺳب ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ˆz 2α pˆq n= 2 2 . e وﺣﯾ ث أن ˆ pﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻻ ﺑ د أن ﺗﻘ در ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ،ﻟ ذﻟك ﻻﺑ د ﻣ ن اﺧﺗﯾ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﺑدﺋﯾ ﺔ ﻛﺑﯾرة وﺣﺳﺎب ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ ˆ pﻣﻧﮭﺎ.
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن 500ﻣواطن ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺳﻛﺎﻧﻲ ﻣﺎ ،وﺟ د ﻣ ﻧﮭم 270ﻣواطﻧ ﺎ ً ﯾﺣﺑ ون أن ﯾﺿﺎف اﻟﻰ ﻣﯾﺎھم ﻗﻠﯾل ﻣن اﻟﻔﻠور .اﻟﻣطﻠوب : )أ( إﯾﺟﺎد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذﯾن ﯾﺣﺑذون إﺿﺎﻓﺔ اﻟﻔﻠور. )ب( ﺗﻘدﯾر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﻟﺗﺄﻛد ﻣﻧﮭﺎ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل 95%ﻣن أن اﻟﺧطﺄ ﻻ ﯾﺗﺟﺎوز .0.05
اﻟﺣــل: x 270 = )أ( اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ pھ و = 0.54 n 500 اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن z0.025 = 1.96وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ˆpˆq ˆpˆq pˆ z α < p < pˆ + z α . n n 2 2 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )(0.54)(0.46 )(0.54)(0.46 0.54 1.96 < p < 0.54 + 1.96 500 500 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ :
= ˆ . pﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟ دول اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ
١٨
0.496 < p < 0.584. )ب( ﺑﺎﻋﺗﺑﺎر اﻷﺷﺧﺎص اﻟذﯾن ﻋددھم 500ﯾﻣﺛﻠون ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺑدﺋﯾﺔ ﺣﯾث أن ˆ=0.54 p وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻧظرﯾﺔ ) ( ٤-٦ﻓﺈن : 2 )(1.96) (0.54)(0.46 =n = 381.70 (0.05) 2
≈382.
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﻣﺑﺎراة رﯾﺎﺿﯾﺔ ﻟﻠﺟرى وﺟد أن 240طﺎﻟب ﻣن 400طﺎﻟب ﯾﻣﻛﻧﮭم اﻟﺟري ﻟﻣدة ﻣﯾل ﻓﻲ أﻗل ﻣن 7دﻗﺎﺋق .أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ .p
اﻟﺣــل: x = 240 .
n = 400,
x 240 .6, n 400
qˆ 1 pˆ .4 , z 0.025 1.96 .
pˆ
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ pﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ: )(0.6)(0.4 )(0.6)(0.4 0.6 1.96 < p < 0.6 + 1.96 . 400 400 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ: . 0.552 < p < 0.648
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻧﺳﺑﺗﯾن
Confidence Interval for the Difference Between Two Proportions
ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟ ـ p1 p 2ﺳ وف ﺗﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧﺗ ﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣ ن اﻟﺣﺟ م x x n 2 , n 1وﺣﺳﺎب اﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺻﻔﺔ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻋﯾﻧﺔ ، pˆ1 = 1 , pˆ 2 = 2 ،ﺣﯾث x2 , n1 n2 x1ﯾﻣﺛﻼن ﻋدد اﻟﻣﻔردات اﻟ ذﯾن ﯾﻣﻠﻛ ون اﻟﺻ ﻔﺔ ﻣوﺿ ﻊ اﻻھﺗﻣ ﺎم ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ .ﯾ ﺗم ﺣﺳﺎب اﻟﻔرق . . pˆ1 pˆ 2 وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ (1 ) 100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻧﺳﺑﺗﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2 + ) < ( p1 p 2 n1 n2 ١٩
(pˆ1 pˆ 2 ) z α 2
pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2 + . n1 n2
< (pˆ1 pˆ 2 ) + z α 2
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن 2000ﻣن اﻟرﺟﺎل و 5000ﻣن اﻟﻧﺳﺎء اﻟذﯾن ﯾﺷﺎھدن ﺑرﻧﺎﻣﺟ ﺎ ً ﺗﻠﯾﻔزﯾوﻧﯾ ﺎ ً ﯾوﻣﯾ ﺎ ً وﺟد أن 1100ﻣن اﻟرﺟﺎل و 2300ﻣ ن اﻟﻧﺳ ﺎء ﯾﻔﺿ ﻠون ھ ذا اﻟﺑرﻧ ﺎﻣﺞ .أوﺟ د 95%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻔ رق ﺑ ﯾن ﻧﺳ ﺑﺔ ﻛ ل ﻣ ن اﻟرﺟ ﺎل وﻧﺳ ﺑﺔ ﻛ ل ﻣ ن اﻟﻧﺳ ﺎء اﻟ ذﯾن ﯾﺷ ﺎھدون ھ ذا اﻟﺑرﻧ ﺎﻣﺞ وﯾﻔﺿﻠوﻧﮫ.
اﻟﺣــل : ﺑﻔرض أن p1 p 2اﻟﻧﺳﺑﺗﯾن اﻟﺣﻘﯾﻘﺗﯾن وﻋﻠﻰ ذﻟك 2300 1100 = pˆ 2 = = 0.46 , pˆ1 = 0.55 . 5000 2000 وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟ ـ p1 p 2ھ و . pˆ1 pˆ 2 =0.55 – 0.46=.09ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟ دول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن z0.025 = 1.96وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :
pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2 + < p1 p 2 n1 n2 pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2 + . n1 n2
(pˆ1 pˆ 2 ) z α 2
< (pˆ1 pˆ 2 ) + z α 2
ﻓﺈن :
)(0.55)(0.45) (0.46)(0.54 + < p1 p 2 2000 5000 )(0.55)(0.45) (0.46)(0.54 < 0.09 + 1.96 + , 2000 5000 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل اﻟﻰ : 0.0642 < p1 p 2 < 0.1158.
0.09 1.96
ﻓﻲ دراﺳﺔ ﻟﻧﺳﺑﺔ رﺑﺎت اﻟﺑﯾوت اﻟﻼﺗﻲ ﯾﻣ ﺗﻠﻛن ﻏﺳ ﺎﻟﺔ ﺑﻣﺟﻔ ف وﺟ د ان 55ﻣ ن 100ﺳ ﯾدة ﻓ ﻲ اﻟﻣدﯾﻧ ﺔ Aﯾﻣ ﺗﻠﻛن ﻏﺳ ﺎﻟﺔ ﺑﻣﺟﻔ ف ،ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻣدﯾﻧ ﺔ Bوﺟ د ان 45ﻣ ن 150ﺳ ﯾدة ﯾﻣ ﺗﻠﻛن ﻏﺳﺎﻟﺔ ﺑﻣﺧﻔف. أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ P1 P2
اﻟﺣــل ٢٠
, n 1 = 100, , n 2 = 150,
x 1 = 55 x 2 = 45
qˆ1 = 1 pˆ1 = 1 0.55 = 0.45
x 1 55 = = 0.55, n1 100 x 45 = , pˆ 2 = 2 = 0.3, n 2 150
= , pˆ1
qˆ 2 = 1 pˆ 2 = 1 0.3 = 0.7
, pˆ 1 pˆ 2 0.55 0.3 0.25 , z 0.025 1.96 ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ p1 p 2ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ:
pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2 ˆpˆ q ˆpˆ q + < p1 p 2 < (pˆ1 pˆ 2 ) + z α 1 1 + 2 2 . n1 n2 n1 n2 2
(pˆ1 pˆ 2 ) z α 2
وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ p1 p 2ھﻲ :
)(0.55)(0.45) (0.3)(0.7 +
150 واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ:
100
< p1 p2 < 0.25 + 1.96
)(0.55)(0.45) (0.3)(0.7 +
150
100
0.25 1.96
0.128 p1 p 2 0.372
ﻣﺛﺎل ﻓﻲ رﻣﻲ اﻟﺳﮭﺎم ﻋﻠﻰ ھدف 100ﻣرة أﺻﺎب أﺣﻣد 54ﻣرة وأﺻﺎب ﻋﻠﻰ اﻟﮭدف 49ﻣرة. أوﺟد 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ P1 P2
اﻟﺣــل : pˆ 1 0.45,
pˆ 2 0.49 , z 0.025 1.96
وﻋﻠﻰ ذﻟك 95%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ p1 p 2ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ :
0.54 0.46 0.49 0.51 100
100
.05 1.96
0.54 0.46 0.49 0.51 p
1 p2
100
100
واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ:
0.08835 p1 p 2 0.18835
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن Confidence Interval for the Variance ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ، nﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ s2ﯾﺣﺳب وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ (1 α)100%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ σ 2ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : ٢١
.05 1.96
(n 1)s 2 (n 1)s 2 2 2 2 2
1
2
2
ﺣﯾ ث 2و 2ھﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﺎن ﻟﺗوزﯾ ﻊ ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ n 1واﻟﺗ ﻰ اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﻋﻠ ﻲ ﯾﻣ ﯾن 2
2
1
،واﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾن 2ﺗﺳﺎوى 2ﺗﺳﺎوى 2 1 2 2
1 ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻰ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ
2
:
ﻣﺛﺎل ﺗﺳﻠم أﺣد اﻟﺗﺟﺎر ﻛﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻣن ﺑطﺎرﯾﺎت اﻟﺳﯾﺎرات اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﺑواﺳ طﺔ ﻣﺻ ﻧﻊ ﺟدﯾ د وﺗ م اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺑطﺎرﯾﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺳﻠﻣﮭﺎ اﻟﺗﺎﺟر وﺗﻣ ت ﺗﺟرﺑﺗﮭ ﺎ ﻓﻛﺎﻧ ت أﻋﻣﺎرھ ﺎ ﺑﺎﻟﺷﮭر ھﻲ : 26.9 28.5 33.6 28.0 23.9 28.7 29.3 29.1 35.9 35.2
أوﺟد 99%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ σ 2
اﻟﺣــل 2
أوﻻ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ sوھو : ( x i2 )2 n 1 2 i 1 s2 xi n 1 i 1 n n
٢٢
1 (299.1) 2 = 9076.87 = 14.53. 9 10 ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ν = n 1 = 9ﻓﺈن : = 1.735 , χ 2 = 23.587 ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 2 2 (n 1)s (n 1)s < < σ2 2 χα χ2 α 0.005
2
1
χ2
0.995
2
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )(9)(14.53 )(9)(14.53 < < σ2 23.587 1.735 واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ اﻟﻰ 2 5.544 < σ < 75.372.
ﻣﺛﺎل ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟ م n 7وأن ﻗ ﯾم وﺣ داﺗﮭﺎ ھ ﻲ 2,3,7,5,9,6,4 2 واﻟﻣﺧﺗﺎر ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻲ .أوﺟد 99%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ . σ
اﻟﺣــل : 2
أوﻻ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ sوھو : n ( x i2 )2 n 1 2 i 1 s2 xi n 1 i 1 n 1 (36) 2 = [220 ] = 5.8095 . 6 7 ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ 2ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ν = n 1 = 6ﻓﺈن :
20.005 18.548 .
20.995 .676
,
ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : 2
2
(n 1)s (n 1)s < < σ2 . 2 χα χ2 α 2
1
2
ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ : )(6)(5.8095 )(6)(5.8095 2 18.548 0.676 ٢٣
واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ: 2
1.879 < < 51.5636
ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻧﺳﺑﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﯾن Confidence Interval for the Ratio of two variances اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﺗﺑ ﺎﯾﻧﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ، σ12 / σ 22 ،ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﻣ ن اﻟﻧﺳ ﺑﺔ ، ، s12 / s 22ﺣﯾ ث ) f (1, 2 ) , f (1, 2ھﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﺎن ﻟﺗوزﯾ ﻊ Fﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ν1 , ν 2 2
1
2
1 ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ )ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن ) f (1, 2
f
) (1, 2 1 2
2
ﻷي ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻋﺷواﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣن اﻟﺣﺟ م n 2 , n 1ﻣ ﺄﺧوذﺗﯾن ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن طﺑﯾﻌﯾ ﯾن ،
12 ﻓ ﺈن اﻟﻧﺳ ﺑﺔ s12 / s 22ﺗﺣﺳ ب وﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ (1 α)100%ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ 2ﻣ ن اﻟﺻ ﯾﻐﺔ 2 اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ : s12 1 12 s12 2 f ( 2 ,1 ) . s 22 f ( 1 , 2 ) 22 s2 2 2
ﻣﺛﺎل إذا ﻛﺎﻧت درﺟﺎت ﻛل ﻣن اﻟط ﻼب واﻟطﺎﻟﺑ ﺎت ﺑﺈﺣ دى اﻟﺟﺎﻣﻌ ﺎت ﻓ ﻲ ﻣ ﺎدة اﻹﺣﺻ ﺎء ﯾﺗﺑ ﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً .اﺧﺗﯾر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ﺑ ﯾن اﻟط ﻼب وأﺧ رى ﻣ ن ﺑ ﯾن اﻟطﺎﻟﺑ ﺎت ﻓﻛﺎﻧ ت درﺟﺎﺗﮭم ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ : : 59اﻟطﻼب 79 73 49 88 83 69 44 81 :اﻟطﺎﻟﺑﺎت 74 79 49 ٢٤ 59 82 69 79 89 أوﺟد 90%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ . 12 / 22
اﻟﺣــل: n1 = 9 , s1 = 15.57 , n 2 = 8 , s 2 = 13.07 . f.05(7,8)=3.5 , f.05(8,7) = 3.73اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺗﺎن ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ .ﯾﻣﻛن ν1 = 8, ν 2 = 7ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ν1 = 7, ν 2 = 8 اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 90%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ σ12 / σ 22وذﻟك ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ .
s12 1 12 s12 f ( , ) . s 22 f ( 1 , 2 ) 22 s 22 2 2 1 2
أي أن : 2
)(15.57 )(3.5 . (13.07) 2
12 22
2
)(15.57 )(13.07) 2 (3.73
واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ :
12 0.3805 2 4.967. 2
ﻣﺛﺎل أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ n1 6واﻧﺣراﻓﮭ ﺎ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري s1 77.9ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ طﺑﯾﻌ ﻲ وﻋﯾﻧ ﺔ اﺧرى ﻣﺳﺗﻘﻠﺔﻋن ﺣﺟﻣﮭﺎ n 2 10واﻧﺣراﻓﮭ ﺎ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري s 2 194.2ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ طﺑﯾﻌ ﻰ اﯾﺿﺎ .أوﺟد 90%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ . 12 / 22
اﻟﺣــل : n 1 = 6 , s1 = 77.9 , n 2 = 10 , s 2 = 194.2 . f.05(9,5) = 4.77 , f.05(5,9) = 3.48اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺗﺎن ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ Fﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ν1 = 5, ν 2 = 9ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ 1 9 , 2 5ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ 90%ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ σ12 / σ 22وذﻟك ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ: .
) ( ν 2 , ν1
α 2
s12 1 σ12 s12 < < f s 22 f ( ν , ν ) σ 22 s 22 2
1
α 2
أي أن : 2
)(77.9 2 )(77.9)2 (4.77 1 . (194.2)2 (3.48) 22 (194.2) 2
واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ :
٢٥
12 0.046 2 0.7675 . 2
٢٦