فترات الثقة

‫ﻓﺗرات اﻟﺛﻘﺔ‬ ‫‪μ‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ‬ ‫‪Confidence Interval for Population Mean μ‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ μ‬وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫طﺑﯾﻌﻲ أو‪ ،‬ﻋﻧد ﻋ دم ﺗﺣﻘ ق ھ ذا اﻟﻔ رض إذا ﻛﺎﻧ ت ‪ n‬ﻛﺑﯾ رة ﺑدرﺟ ﺔ ﻛﺎﻓﯾ ﺔ ‪ ،‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻧﺧﺗ ﺎر‬ ‫ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟ ذي ﺗﺑﺎﯾﻧ ﮫ ‪ 2‬ﻣﻌﻠ وم وﻧﺣﺳ ب ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ‪x‬‬ ‫وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   x  z‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x z‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ z ‬ﺗﻣﺛل ﻗﯾﻣﺔ ‪ z‬اﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﺗﺳﺎوي‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ،‬اﻟﻣوﺿﺣﮫ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺗﺎﻟﻰ واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﮫ ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻰ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪.‬‬

‫ﺣﯾ ث ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺎت اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ اﻟﺻ ﻐﯾرة اﻟﻣﺧﺗ ﺎرة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﺎت ﻏﯾ ر طﺑﯾﻌﯾ ﺔ ‪ ،‬ﻻ ﻧﺗوﻗ ﻊ أن‬ ‫درﺟﺔ ﺛﻘﺗﻧﺎ ﺗﻛ ون ﻣﺿ ﺑوطﺔ‪ .‬ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺎت ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n > 30‬وﺑﺻ رف اﻟﻧظ ر ﻋ ن ﺷ ﻛل اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ‬ ‫ﻓﺈن ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ ﺗؤﻣن ﻟﻧﺎ ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة‪.‬‬ ‫ﻟﺣﺳﺎب ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ μ‬ﻧﻔﺗرض أن ‪ σ‬ﻣﻌﻠوﻣ ﺔ وﻟﻛ ن ﻋﻣوﻣ ﺎ ﻻ ﯾﺗ واﻓر ھ ذا‬ ‫اﻟﻔرض ‪ ،‬ﻓﻲ ھذه اﻟﺣﺎﻟﺔ ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿﺔ ﻋن ‪ σ‬ﺑﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪ s‬ﺑﺷرط أن > ‪n‬‬ ‫‪.30‬‬

‫ﻣﺛﺎل(‬ ‫اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 100‬ﻣ رﯾض ﺑﺎﻟﺳ ﻛر وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط أﻋﻣ ﺎرھم ‪x  55‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ s  20‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ‪. ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ μ‬ھو ‪ x = 55‬وﺣﯾث أن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾر ‪ ،‬ﻓﺈن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ σ‬ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿﺔ ﻋﻧﮫ ﺑﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪ .s=20‬ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪95%‬‬ ‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﮫ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x z 0.025‬‬ ‫‪< μ < x + z 0.025‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ z‬اﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪0.025‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪ 0.975‬ھﻲ ‪ . z.025=1.96‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف‬ ‫ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫) ‪(1 .96 )(20‬‬ ‫) ‪(1 .96 )(20‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪< μ < 55 +‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪. 51.08 < μ < 58.92‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n  50‬ﻣن إﻧﺗﺎج آﻟﺔ ﻣﺎ ﻟﺗﻌﺑﺋﺔ اﻷرز ﻓﻲ أﻛﯾ ﺎس ﻓﺣﺻ ﻠﻧﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪ x  4.80‬ﻛﺟم و ‪ s  0.6‬ﻛﺟم‪ .‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ‪. ‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ھو ‪ x = 4.8‬وﺣﯾث أن ﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻛﺑﯾ ر ‪ ،‬ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ σ‬ﯾﻣﻛ ن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿ ﺔ ﻋﻧ ﮫ ﺑ ﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ ‪ s  0.6‬ﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x z 0.025‬‬ ‫‪   x  z 0.025‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ z‬اﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪0.025‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪ 0.975‬ھﻲ ‪z.025=1.96‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪(1.96)(0.6‬‬ ‫)‪(1.96)(0.6‬‬ ‫‪4.8‬‬ ‫‪< μ < 4.8 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪4.63368    4.96631.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 100‬ﻣرﯾض ﺑﺎﻟﺳ ﻛر وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط أﻋﻣ ﺎرھم ‪ x  55‬ﺑ ﺎﻧﺣراف‬ ‫ﻣﻌﯾﺎري ‪ s  20‬أوﺟد ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﺗوﺳط ‪. ‬‬ ‫‪٢‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ھ و ‪ x  55‬وﺣﯾ ث أن ﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﻛﺑﯾ ر ‪ ،‬ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ σ‬ﯾﻣﻛن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿﺔ ﻋﻧﮫ ﺑﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪ s  20‬ﯾﺗم اﻟﺣﺻول ﻋﻠ ﻰ ‪95%‬‬ ‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x z 0.025‬‬ ‫‪   x  z 0.025‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ z‬اﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪0.005‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪ 0.995‬ھﻲ ‪z.005=2. 575‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪(2.575)(20‬‬ ‫)‪(2.575)(20‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪< μ < 55 +‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪49.85 < μ < 60.15 .‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ‪ :‬إذا اﺳﺗﺧدﻣت ‪ x‬ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬ﻓﺈن ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ‬

‫‪ (1   )100%‬ﺛﻘﺔ أن‬

‫‪ z   ‬‬ ‫‪n   2 ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻣﻛن اﻟﻣرء ﻓﻲ ﺗﺣدﯾد ﻣدي ﻛﺑر اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ ﻛﻲ ﯾﻘدر ‪ μ‬ﻷي‬ ‫درﺟﺔ ﯾرﻏﺑﮭﺎ ﻣن درﺟﺎت اﻟدﻗﺔ ﻗﺑل أﺧذ أي ﻋﯾﻧﺔ واﺣدة ﺷرﯾطﺔ أن ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ‪ σ‬ﻣﻌﻠوﻣﺔ ‪ .‬أﻣﺎ‬ ‫إذا ﻟم ﯾﻛن اﻟﻣرء ﻋﻠﻰ ﻋﻠم ﺑﻘﯾﻣﺔ ‪ ، σ‬ﻓﻼﺑد ﻣن أﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﺑدﺋﯾﺔ ‪، n > 30 ،‬ﻛﻲ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ σ‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺗﺣدﯾد ﻣدي ﻛﺑر ‪ n‬اﻟواﺟب ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﯾرﻏب ﺻﺎﺣب ﻣﺻﻧﻊ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪n‬ﺣﺗﻰ ﯾﻣﻛﻧ ﮫ اﻟﺗﺄﻛ د ﺗﺄﻛ دا ً ﻣﻌﻘ وﻻ ً ﻣ ن أن ﺗﻘ دﯾره‬ ‫وﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 0.95‬ﻟن ﯾﻛون ﻣﺧطﺋﺎ ً ﺑﺄﻛﺛر ﻣن ‪ 5‬وﺣدات ﻣﻌﯾﻧﺔ إذا ﻋﻠ م أن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‬ ‫ﯾﺳﺎوى ‪ 20‬وﺣدة‪ .‬أوﺟد ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻟﺗﻲ وﺿﻌﮭﺎ ﺻﺎﺣب اﻟﻣﺻﻧﻊ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪e  5 ,  = 20 , z0.025  1.96. .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1.96  20  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪  61 .‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌظم اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻟﻣطﻠوب ﺗﻘدﯾر ﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﻛون اﻟﺗﺑ ﺎﯾن ﻏﯾ ر ﻣﻌﻠ وم‬ ‫وﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ أﻗ ل ﻣ ن ‪ ،30‬ﻓﻘ د ﺗﻛ ون اﻟﺗﻛ ﺎﻟﯾف ﻋ ﺎﻣﻼ ﻣﺣ ددا ﻟﺣﺟ م اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ .‬طﺎﻟﻣ ﺎ ﻛ ﺎن ﺷ ﻛل‬ ‫‪٣‬‬

‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ )ﺗﻘرﯾﺑ ﺎ( ﻧﺎﻗوﺳ ﻰ ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن ﺣﺳ ﺎب ﻓﺗ رات اﻟﺛﻘ ﺔ ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﻛ ون ‪ σ 2‬ﻏﯾ ر ﻣﻌﻠوﻣ ﺔ وﺣﺟ م‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺻﻐﯾر‬ ‫‪X‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪n‬‬ ‫طرﯾﻘ ﺔ إﯾﺟ ﺎد ‪ (1   )100%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ھ ﻲ ﻧﻔﺳ ﮭﺎ اﻟطرﯾﻘ ﺔ اﻟﻣﺗﺑﻌ ﺔ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻛﺑﯾرة ﻓﯾﻣﺎ ﻋدا اﺳﺗﺧدام ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدﻻ ﻣن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ‪.‬‬ ‫ﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺧﺎﺻ ﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ ، n‬ﯾﺣﺳ ب اﻟﻣﺗوﺳ ط ‪ x‬واﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ‪ s‬وﯾ ﺗم‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ (1   )100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﻣﺎ ﯾﺄﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪x  t‬‬ ‫‪   x  t‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ t ‬ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ‪ t‬ﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ )‪   (n  1‬واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﺗﺳﺎوي‬ ‫‪2‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬

‫واﻟﻣوﺿﺣﮫ ﻓﻰ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ وﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬وﻧظرا ﻟﺧﺎﺻﯾﺔ اﻟﺗﻣﺎﺛل ﻟﺗوزﯾﻊ‬

‫‪α‬‬ ‫‪ t‬ﻓﺈن ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻣﺳﺎوﯾﺔ ﻗدرھﺎ‬ ‫‪2‬‬

‫ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎر اﻟﻘﯾﻣﺔ ‪. - t α‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫‪٤‬‬

‫ﻓﻲ اﺧﺗﺑﺎر ﻟﻠزﻣن اﻟذي ﯾﺳﺗﻐرﻗﮫ ﺗﺟﻣﯾﻊ ﻣﺎﻛﯾﻧﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ وﺟد أن اﻟزﻣن اﻟ ذي اﺳ ﺗﻐرﻗﮫ ﺗﺟﻣﯾ ﻊ ‪6‬‬ ‫ﻣﺎﻛﯾﻧﺎت ھ و ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ ‪) 12, 13, 11, 5, 10, 12 :‬ﻣﻘﺎﺳ ﮫ ﺑﺎﻟ دﻗﺎﺋق (‪ .‬أوﺟ د ‪ 95%‬ﻓﺗ رة‬ ‫ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ ‬وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟزﻣن ) ﻓﻲ ھذا اﻟﻣﺛﺎل ( ﯾﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧﺎت اﻟﻣﻌطﺎة ھﻣﺎ ‪ . x  10.5 , s  2.881 :‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام‬ ‫ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﺈن ‪ t0.025 = 2.571‬وذﻟك ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‪ .   5 n-1=6-1‬وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ μ‬ھﻲ ‪:‬‬

‫)‪(2.571)(2.881‬‬ ‫)‪(2.571)(2.881‬‬ ‫‪< μ < 10.5 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫اﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪7.476    13.524 .‬‬

‫‪10.5‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻧﻔرض إن ﻣﻔﺗﺷﺎ ﯾرﻏب ﻓﻲ إﺟراء ﻣراﺟﻌﺔ ﺳرﯾﻌﺔ ﻋﻠﻰ وزن اﻟﺧﺑز اﻟذي ﯾﻧﺗﺟﮫ اﺣد اﻟﻣﺧ ﺎﺑز‬ ‫ﻣﺎ ﻓﯾﺄﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 15‬رﻏﯾﻔ ﺎ ﻣ ن إﻧﺗ ﺎج اﻟﻣﺧﺑ ز ‪.‬ﻧﻔ رض أن ﻣﺗوﺳ ط وزن اﻟرﻏﯾ ف‬ ‫‪ x  15.8‬وأن اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو‪ 0.3‬رطل‪.‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻣﺗوﺳط وزن أﻧﺗ ﺎج‬ ‫اﻟﻣﺧﺑز ﺑﺄﻛﻣﻠﮫ وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻘرﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﻲ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﯾﻧ ﺔ واﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎة ھﻣ ﺎ ‪ . x  15.8 , s  0.3 :‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام‬ ‫ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻓﻲ ﻣﻠﺣق )‪ (٤‬ﻓﺈن ‪ t0.025 = 2.145‬وذﻟك ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﮫ ‪ .   14‬وﻋﻠ ﻰ‬ ‫ذﻟك ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(2.145)(0.3‬‬ ‫)‪(2.145)(0.3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪15.8‬‬ ‫‪< μ < 15.8 +‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪15.63 < μ < 15.97 .‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﻧ ﺗﺞ آﻟ ﺔ ﻗط ﻊ ﻣﻌدﻧﯾ ﺔ أﺳ طواﻧﯾﺔ اﻟﺷ ﻛل‪.‬أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣ ن ﺗﺳ ﻊ ﻗط ﻊ وﻛﺎﻧ ت أﻗطﺎرھ ﺎ اﻟﻧﺎﺗﺟ ﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺳﻧﺗﯾﻣﺗر ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪.1.01,0.97,1.03,1.04,0.99,0.98,0.99,1.01,1.03‬‬ ‫اﻟﻣطﻠ وب إﯾﺟ ﺎد ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻘط ر اﻟﻣﺗوﺳ‪ ٥‬ط ﻣ ن ﻗط ﻊ أﻧﺗﺟ ت ﺑﮭ ذه اﻵﻟ ﺔ ﻣﻔﺗرﺿ ﺎ ﺑ ﺄن‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ﺗﻘرﯾﺑﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻌﯾﻧ ﺔ واﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﺑﯾﺎﻧ ﺎت اﻟﻣﻌط ﺎة ھﻣ ﺎ ‪. x = 1.006 , s = 0.025 :‬‬ ‫ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬ﻓ ﺈن ‪ t0.025 = 2.306‬وذﻟ ك ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﮫ ‪ . =8 ‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك‬ ‫‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(2.306)(0.025‬‬ ‫)‪(2.306)(0.025‬‬ ‫‪1.006‬‬ ‫‪< μ < 1.006 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪0.987 < μ < 1.025 .‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ‪μ1 μ 2‬‬

‫‪Confidence Interval for the Difference Between two‬‬ ‫‪Populations Means‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟدﯾﻧﺎ ﻣﺟﺗﻣﻌﺎن ‪ ،‬اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻷول ﻟ ﮫ ﻣﺗوﺳ ط ‪ μ1‬وﺗﺑ ﺎﯾن ‪ σ12‬واﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻟ ﮫ ﻣﺗوﺳ ط‬ ‫‪ μ 2‬وﺗﺑ ﺎﯾن ‪ .  22‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ ،‬ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ 1   2‬ﻻ ﺑ د ﻣ ن‬ ‫اﺧﺗﯾ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n1‬ﻣ ن اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ اﻷول وﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n2‬ﻣ ن‬ ‫اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟﺛﺎﻧﻲ وﻣﺳﺗﻘﻠﺔ ﻋن اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟ ﻲ وﺣﺳ ﺎب اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻟﻣﺗوﺳ طﯾن ‪ . x1  x 2‬ﺑﻔ رض‬ ‫أن اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن اﻟﻣﺳﺗﻘﻠﯾن ﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ‪ ،‬أو ﻓﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ ﻋ دم ﺗ واﻓر ذﻟ ك اﻟﻔ رض‬ ‫‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﻛﻼ ﻣ ن ‪ n1‬و ‪ n2‬أﻛﺑ ر ﻣ ن أو ﯾﺳ ﺎوي ‪ 30‬ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻣﻛ ن إﯾﺟ ﺎد ‪ (1   )100%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫‪12 22‬‬ ‫‪12  22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  2  (x1 x 2 )  z ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x1 x 2 ) z ‬‬ ‫‪2‬‬

‫درﺟﺔ اﻟﺛﻘﺔ ﺗﻛون ﻣﺿﺑوطﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﺧﺗﺎر اﻟﻌﯾﻧﺎت ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﺎت طﺑﯾﻌﯾﺔ‪ .‬ﻟﻠﻣﺟﺗﻣﻌﺎت اﻟﻐﯾر‬ ‫طﺑﯾﻌﯾﺔ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻛون ﺟﯾدة ﺟدا ﻋﻧدﻣﺎ ‪ n2 , n1‬ﺗزﯾد ﻋن‬ ‫‪ .30‬إذا ﻛﺎﻧت ‪ σ 22 , σ12‬ﻣﺟﮭوﻟﺗﯾن واﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﻛﺑﯾرة ﺑدرﺟﺔ ﻛﺎﻓﯾﺔ ‪ ،‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺑدال‬ ‫‪ σ 22 , σ12‬ﺑـ ‪ s 22 , s12‬ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ ﺑدون اﻟﺗﺄﺛﯾر ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة اﻟﺛﻘﺔ ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أﻋطﻰ اﺧﺗﺑ ﺎر ﻓ ﻲ ﻣ ﺎدة اﻹﺣﺻ ﺎء إﻟ ﻰ ‪ 75‬طﺎﻟﺑ ﺔ و ‪50‬طﺎﻟﺑ ﺎ ً‪ .‬ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻧﻘ ﺎط ﻣ ن‬ ‫ﻋﯾﻧ ﺔ اﻟطﺎﻟﺑ ﺎت ‪ x1  80‬ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ . s1  7‬وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻧﻘ ﺎط ﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟطﻠﺑ ﺔ‬ ‫‪ x 2  70‬ﺑﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ . s2  6‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪. 1   2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪٦‬‬

‫اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟ ـ ‪ μ 1 μ 2‬ھ و ‪ . x 1 x 2 =80-70=10‬وﺣﯾ ث أن ﻛ ﻼ ﻣ ن ‪ n1 , n2‬ﻛﺑﯾ رة ﻓﺈﻧ ﮫ‬ ‫ﯾﻣﻛ ن اﺳ ﺗﺧدام ‪ s1=7‬ﺑ دﻻ ﻣ ن ‪ σ1‬و ‪ s2=6‬ﺑ دﻻ ﻣ ن ‪ . σ 2‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ α = 0.05‬ﻓ ﺈن‬

‫‪ z 0.025  1.96‬وذﻟك ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪ .‬وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ ‪μ1 μ 2‬‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪12 22‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  2  (x1 x 2 )  z  1  2 .‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪7 2 62‬‬ ‫‪μ 2 < 10 1.96‬‬ ‫‪+ .‬‬ ‫‪75 50‬‬ ‫أو‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(x1 x 2 ) z ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< μ1‬‬ ‫‪75 50‬‬

‫‪10 1.96‬‬

‫‪7.703 < μ 1 μ 2 < 12.297.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻛﻠ ف أﺣ د ﻣﮭﻧدﺳ ﯾن اﻟﻣﺻ ﻧﻊ ﺑدراﺳ ﺔ ﻗ وة اﻟﺷ د ﻟﻧ وﻋﯾن ﻣ ن اﻟﺧﯾ وط اﻟﺗ ﻲ ﺗﻧ ﺗﺞ ﻣ ن ﻗﺑ ل‬ ‫اﻟﻣﺻﻧﻊ‪.‬أﺧذت ﻋﯾﻧﺎت ﺗﺿم ﻛل ﻣﻧﮭم ‪ 50‬ﻗطﻌﺔ وﺗم اﺧﺗﺑ ﺎرھم ﺗﺣ ت ظ روف ﻣﺗﺷ ﺎﺑﮭﺔ أﺷ ﺎرت‬ ‫اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﺑﺄن ﻣﺗوﺳط ﻣﻘﺎوﻣﺔ اﻟﺷد ﻟﻠﺧ ﯾط ﻣ ن ﻧ وع ‪ A‬ھ ﻲ ‪ 80‬ﻛﯾﻠ و ﺟ رام واﻧﺣ راف ﻣﻌﯾ ﺎري‬ ‫‪6.0‬ﻛﯾﻠو ﺟرام ﺑﯾﻧﻣﺎ اﻟﻧ وع اﻟﺛ ﺎﻧﻲ ﻣ ن اﻟﺧﯾ وط ‪ B‬ﻓﻛ ﺎن ﻟ ﮫ ﻣﺗوﺳ ط ﻣﻘ داره ‪ 77.5‬ﻛﯾﻠ و ﺟ رام‬ ‫واﻧﺣراف ﻣﻌﯾﺎري ‪ 6.5‬ﻛﯾﻠو ﺟرام ‪ .‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪،‬‬ ‫وذﻟك ﺗﺣت ﻓرض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﯾﺗﺑﻌﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪n 1 = 50,‬‬ ‫‪x 1 = 80,‬‬ ‫‪s1 = 6 .0‬‬ ‫‪n 2 = 50 ,‬‬ ‫‪x 2 = 77 .5,‬‬ ‫‪s 2 = 6 .5‬‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ‪ x1  x 2  80  77.5  2.5‬وﺣﯾث‬ ‫أن ﻛﻼ ﻣن ‪ n1 , n 2‬ﻛﺑﯾرة )أﻛﺑر ﻣن ‪ (30‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ‪ s1 = 6.0‬ﺑدﻻ ﻣن ‪ σ1‬و‬ ‫‪ s 2  6.5‬ﺑدﻻ ﻣن ‪. σ 2‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪   0.05‬ﻓﺈن ‪ z 0.025  1.96‬وذﻟك ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪21 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪(x1  x 2 )  z ‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل‪:‬‬ ‫‪6.0 2 6.5 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪μ 2 < 2.5 + 1.96‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪٧‬‬

‫‪6.0 2 6.5 2‬‬ ‫‪2.5 1.96‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< μ1‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬

‫‪0.048  1   2  4.952 .‬‬

‫ﻻﯾﺟﺎد ‪ (1   )100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ﺗﺳﺗﺧدم اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ إذا ﻛﺎن ‪22 , 12‬‬ ‫ﻣﻌﻠوﻣﺗﺎن أو ﯾﻣﻛن ﺗﻘدﯾرھﻣﺎ ﻣن ﻋﯾﻧﺎت ﻛﺑﯾرة‪ .‬إذا ﻛﺎﻧت أﺣﺟﺎم اﻟﻌﯾﻧﺎت ﺻﻐﯾرة ‪ ،‬ﻓﺳوف ﺗﺳﺗﺧدم‬ ‫ﺻﯾﻐﺔ اﺧرى ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ واﻟﺗﻲ ﺗﻛون ﺻﺣﯾﺣﺔ ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﺎت ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﺗﺗﺑﻊ‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ 1  2   2‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧدام ‪ s p‬ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ‪ . σ‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪(n1  1)s12  (n 2  1)s22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬ ‫ﻷي ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻋﺷواﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ n2 , n1‬ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھﻣﺎ ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﻲ اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ‪ ، x1  x 2 ،‬واﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ ‪ s2p‬ﯾﺗم ﺣﺳﺎﺑﮭﻣﺎ واﺳﺗﺧداﻣﮭﻣﺎ‬ ‫ﻓﻲ إﯾﺟﺎد ‪ (1   )100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫‪s 2p‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  2  (x1 x 2 )  t  sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x1 x 2 ) t  sp‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾرت ﻣﺟﻣوﻋﺗﺎن ﻣن اﻷراﻧ ب ‪ ،‬اﻷوﻟ ﻰ ﻣ ن ‪ 13‬أرﻧﺑ ﺎ ً وأﻋطﯾ ت اﻟﻐ ذاء ‪ A‬واﻟﺛﺎﻧﯾ ﺔ ﻣ ن‬ ‫‪ 15‬أرﻧﺑﺎ ً وأﻋطﯾت اﻟﻐذاء ‪ B‬وﻛﺎﻧت اﻟزﯾﺎدة ﻓﻲ اﻟوزن ﺑﻌد ﻓﺗرة ﻣﻌﯾﻧﺔ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪A: 35, 30, 30, 23, 21, 12, 24, 23, 33, 27, 29, 25, 21.‬‬ ‫‪B: 20, 17, 34, 31, 29, 39, 30, 46, 7, 21, 33, 43, 21, 34, 20.‬‬ ‫أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪ ،‬وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن‬ ‫ﺗﻘرﯾﺑﺎ ً ﯾﺗﺑﻌﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺣﯾث ‪. 12  22‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪s1 = 6.05,‬‬

‫‪x 1 = 25.62,‬‬

‫‪n 1 = 13,‬‬

‫‪s 2 = 10.58,‬‬

‫‪x 2 = 28.33,‬‬

‫‪n 2 = 15,‬‬

‫ﻹﯾﺟﺎد ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ μ 1 μ 2‬ﺳوف ﻧﺳﺗﺧدم اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ‪. =25.62-28.33=-2.71 x 1 x 2‬‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ‪ s 2p‬ھو ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (n1  1)s1  (n 2  1)s 2 (12)(6.05)  (14)(10.58‬‬ ‫‪sp ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 77.1669.‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬ ‫‪13  15  2‬‬

‫‪٨‬‬

‫‪α‬‬ ‫ﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ﻓﺈن ‪ .sp=8.784‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪= .025‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺈن ‪t.025=2.056‬‬

‫ﺗﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .13 + 15 –2 = 26  ‬ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪(x1  x 2 )t  sp‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (x1  x 2 )t  s p‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺈن ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫< ‪< μ1 μ 2‬‬ ‫‪13 15‬‬

‫) ‪2.71 ( 2.056 )( 8.784‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ .‬‬ ‫‪13 15‬‬

‫) ‪2.71 + ( 2.056 )(8 .784‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪-4.133 < μ1 μ 2 <9.553.‬‬ ‫ﺗﻔﺗرض اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرات ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن‬ ‫وأن ‪ . 12  22‬أﯾﺿﺎ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻧﺗﺎﺋﺞ ﺟﯾدة إذا ﻛﺎﻧت ‪ 12  22‬وذﻟك ﺗﺣت ﺷرط‬ ‫أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن و ‪. n1  n 2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﯾﻣ ﺎ ﯾﻠ ﻲ ﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻋﯾﻧﺗ ﺎن اﻟﻛ ﺎﺑﻼت اﻟﻣ ﺄﺧوذة ﻣ ن ﺷ رﻛﺗﯾن ﻣﻧﺗﺟ ﺔ ﻟﻘط ﻊ ﻏﯾ ﺎر ﻣﻛ ﺎﺋن ﻣﻌﯾﻧ ﺔ‬ ‫وﺗﺗﺿ ﻣن اﻟﺑﯾﺎﻧ ﺎت ﻋ دد اﻷﯾ ﺎم اﻟﺗ ﻲ ﺗﺳ ﺗﻐرﻗﮭﺎ ﻛ ل ﺷ رﻛﺔ ﻓ ﻲ ﺗﺣﻘﯾ ق طﻠ ب اﻟﻘط ﻊ وﻋ دد‬ ‫اﻟﻛﺎﺑﻼت ﻓﻲ ﻋﺷرة‬ ‫‪ : 19,14,18,13,10,12,14,11,16,10‬ﺷرﻛﺔ ‪A‬‬ ‫‪ : 21,20,19,13,14,18,15,19,25,20‬ﺷرﻛﺔ ‪B‬‬ ‫أوﺟ د ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻔ رق ﺑ ﯾن ﻣﺗوﺳ طﻲ اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن وذﻟ ك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن‬ ‫ﺗﻘرﯾﺑﺎ ﯾﺗﺑﻌﺎن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﺣﯾث ‪. 12   2 2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺷرﻛﺔ ‪ : A‬ﻓﺈن ‪s1  3.16‬‬ ‫‪s 2  3.6‬‬ ‫وﻟﻠﺷرﻛﺔ ‪ : B‬ﻓﺈن‬ ‫ﻹﯾﺟ ﺎد‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ‬

‫‪x 2  13.7,‬‬ ‫‪x 2  18.4,‬‬ ‫ـ ‪ 1   2‬ﺳ‬

‫‪n1  10,‬‬ ‫‪n 2  10,‬‬ ‫وف ﻧﺳ ﺗﺧدم اﻟﺗﻘ‬

‫‪ x1  x 2  13.7  18.4  4.7‬واﻟﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ‪ s p 2‬ھو‪:‬‬ ‫‪٩‬‬

‫دﯾر ﺑﻧﻘط‬

‫ﺔ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(n1  1)s12  (n 2  1)s 2 2  9  3.16    9  3.6 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 11.4921. .‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬ ‫‪10  10  2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ﺑﺄﺧذاﻟﺟذراﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﺎم ﻓﺈن ‪ s p  3.39‬وﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪= 0.025‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪  10  10  2  18‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪, (x1  x 2 )  t  s p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1   2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪sp‬‬

‫ﻓﺈن ‪t 0.025 = 2.101‬‬

‫‪ (x1  x 2 )  t  s p‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺈن ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ھﻲ‪:‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪< μ1 μ 2 < ( 4.7) + (2.101)(3.39‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪10 10‬‬ ‫‪10 10‬‬

‫)‪4.7 ) (2.101)(3.39‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ‪:‬‬

‫‪7.8852  1   2  1.5148 .‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ دراﺳﺔ ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔ رق ﺑ ﯾن اﻷﺟ ور ﻓ ﻲ ﻛﻠﯾﺗ ﯾن ‪ A‬و ‪ B‬أ أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪n1  25‬‬ ‫أﺳ ﺗﺎذ ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ ‪ A‬ووﺟ د أن ﻣﺗوﺳ ط اﻷﺟ ر ﺧ ﻼل ‪ 9‬ﺷ ﮭور ھ و ‪10000‬دوﻻر ﺑ ﺎﻧﺣراف‬ ‫ﻣﻌﯾﺎري ‪ 1100‬دوﻻر‪ .‬ﻛﻣﺎ أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ أﺧ رى ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ n 2  20‬أﺳ ﺗﺎذ ﻣ ن اﻟﻛﻠﯾ ﺔ‬ ‫‪ B‬ووﺟ د أن ﻣﺗوﺳ ط اﻷﺟ ر ﺧ ﻼل ‪ 9‬ﺷ ﮭور ‪ 13000‬دوﻻر ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 1120‬دوﻻر‪.‬‬ ‫أوﺟ د ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ ‪ 1   2‬ﺗﺣ ت ﻓ رض أن ‪ 12   22‬وأن اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﺗ م اﺧﺗﯾﺎرھﻣ ﺎ ﻣ ن‬ ‫ﺗوزﯾﻌﯾن طﺑﯾﻌﯾﯾن‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x 1 = 10000,‬‬ ‫‪s1 = 1100‬‬ ‫‪x 2 = 13000,‬‬ ‫‪s 2 = 1120‬‬ ‫‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬

‫‪n 1 = 25,‬‬ ‫‪n 2 = 20,‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  2  (x1  x 2 )  t  s p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x1  x 2)  10000  13000  3000,‬‬

‫‪١٠‬‬

‫‪(x1 x 2 )  t  s p‬‬ ‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪(n1  1)s12  (n 2  1)s 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n1  n 2  2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪sp‬‬

‫‪(24)(1100) 2 + (19)(1120 ) 2‬‬

‫‪= 1229618.605 .‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪s p = 1108.88 .‬‬

‫=‬

‫‪α‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ‪= 0.025‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ν = 43‬وﺑﻣﺎ أن ‪ ν = 43‬ﻏﯾر ﻣوﺟ ودة ﻓﺳ وف ﻧﺄﺧ ذھﺎ ﻋﻧ د ‪ ν = 40‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ 95%‬ﻓﺗ رة‬ ‫ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ھﻲ‪:‬‬ ‫ﻓﺈن ‪ . t 0.025  2.021‬ﻧﺳﺗﺧرج ﻣن ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1   2  3000   2.0211108.88‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25 20‬‬ ‫‪25 20‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪3672.313  1  2  2327.6861‬‬

‫‪3000   2.0211108.88‬‬

‫اﻵن وﻋﻧ د اﻟرﻏﺑ ﺔ ﻓ ﻲ إﯾﺟ ﺎد ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ ‪ μ1 μ 2‬ﻓ ﻲ ﺣﺎﻟ ﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺎت‬ ‫اﻟﺻﻐﯾرة ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ 12   22‬وﻋﻧد ﺻﻌوﺑﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻋﯾﻧﺎت ذات أﺣﺟﺎم ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓ ﺈن‬ ‫درﺟﺎت اﻟﺣرﯾﺔ ‪ ‬ﺗﺣﺳب ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s1 s 22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫=‪ν‬‬ ‫‪s12 2‬‬ ‫‪s 22 2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫‪n1 1 n 2 1‬‬ ‫وﺑﻣﺎ أن ‪ ν‬ﻧﺎدرا ً ﻣﺎ ﺗﻛون ﻋدد ﺻﺣﯾﺢ ‪ ،‬ﻓﺈﻧﻧﺎ ﻧﻘرﺑﮭﺎ إﻟﻰ أﻗرب رﻗم ﺻﺣﯾﺢ‪ .‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪s2 s2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1   2  (x1  x 2 )  t  1  2 ‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x1  x 2 )  t ‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺧﻼل ‪ 20‬ﺳﻧﺔ ﻣﺎﺿﯾﺔ ﻛﺎن ﻣﺗوﺳط ﺳ ﻘوط اﻟﻣط ر ﻓ ﻲ اﻟﻣﻧطﻘ ﺔ ‪ A‬ﻓ ﻲ ﻗط ر ﻣ ﺎ ﺧ ﻼل ﺷ ﮭر‬ ‫ﯾﻧ ﺎﯾر ‪ 1.8‬ﺑوﺻ ﺔ ﺑ ﺎﻧﺣراف ﻣﻌﯾ ﺎري ‪ 0.4‬ﺑوﺻ ﺔ‪ .‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط ﺳ ﻘوط اﻟﻣط ر ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻣﻧطﻘﺔ ‪ B‬ﻣن ﻧﻔس اﻟﻘط ر ﺧ ﻼل ‪ 15‬ﺳ ﻧﺔ ﻣﺎﺿ ﯾﺔ ‪ 1.03‬ﺑوﺻ ﺔ ﺑ ﺎﻧﺣراف ‪ 0.25‬ﺑوﺻ ﺔ ‪.‬‬ ‫أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬وذﻟك ﺗﺣ ت ﻓ رض أن اﻟﻣﻔ ردات ﻣ ﺄﺧوذة ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن‬ ‫طﺑﯾﻌﯾﯾن ﺣﯾث ‪. 12  22‬‬ ‫‪١١‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪s1 = 0.4,‬‬ ‫ﻟﻠﻣﻧطﻘﺔ ‪ A‬ﻓﺈن‬ ‫وﻟﻠﻣﻧطﻘﺔ ‪ B‬ﻓﺈن ‪s 2 = 0.25,‬‬

‫‪n 1 = 20,‬‬ ‫‪x 1 = 1.8,‬‬ ‫‪n 2 = 15,‬‬ ‫‪x 2 = 1.03,‬‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ ‪ 1   2‬ﺣﯾ ث ‪ 12  22‬و ‪ n1  n 2‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫=‪ν‬‬ ‫‪s12 2‬‬ ‫‪s 22 2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫‪n1 1 n 2 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪= 32.11 ≈32.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪.4 2 .25 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪20 15‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪.25 2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪+‬‬

‫‪.4 2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪19‬‬

‫=‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ x 1 x 2 = 1.8 1.03 = 0.77‬وﺗﺣ ت ﻓ رض أن ‪ α = 0.05‬وﻣ ن اﻟﺟ دول ﻓ ﺈن‬ ‫‪ t0.025 = 2.042‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .   32‬وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< μ1 μ 2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬

‫‪(x 1 x 2 ) t α‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪< (x1 x 2 ) + t α‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ) ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.4 .25‬‬ ‫‪.4 2 .252‬‬ ‫‪0.77 2.042‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< μ 1 μ 2 < 0.77 + 2.042‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪20 15‬‬ ‫‪20 15‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪0.545 < μ1 μ 2 < 0.995 .‬‬

‫‪١٢‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﺣ ﺎول ﺷ رﻛﺔ ﻟﺗ ﺄﺟﯾر اﻟﺳ ﯾﺎرات اﺗﺧ ﺎذ ﻗ رار ﺣ ول ﺷ راء إط ﺎرات ﻣ ن ﻣﺎرﻛ ﺔ ‪ A‬أو أط ﺎرات‬ ‫ﻣﺎرﻛﺔ ‪ B‬ﻟﺳﯾﺎرﺗﮭم‪ .‬ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔرق ﺑﯾن اﻟﻣﺎرﻛﺗﯾن أﺟرت ﺗﺟرﺑ ﺔ ﺣﯾ ث اﺳ ﺗﺧدﻣت ‪ 10‬إط ﺎرات ﻣ ن‬ ‫ﻛل ﻣﺎرﻛﺔ ‪ 8 , A‬إطﺎرات ﻣن ﻣﺎرﻛﺔ ‪ B‬ﺛم ﺟرﺑت اﻹط ﺎرات ﺣﺗ ﻰ وﺻ وﻟﮭﺎ إﻟ ﻰ اﻟﺗﻠ ف وﻛﺎﻧ ت‬ ‫اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ ‫‪x1  38.5 , s1  4‬‬ ‫ﻣﺎرﻛﺔ ‪:A‬‬ ‫ﻣﺎرﻛﺔ ‪: B‬‬

‫‪x 2  36.0 , s 2  5‬‬

‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ 1   2‬ﺑﺎﻓﺗراض أن اﻟﻣﻔردات ﻣﺄﺧوذة ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻌﯾن ﺣﯾث‬ ‫‪12  22‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x 1 = 38.5,‬‬ ‫‪x 2  36.0,‬‬

‫‪s1 = 4,‬‬ ‫‪s 2  5,‬‬

‫‪n 1 = 10,‬‬ ‫‪n 2  8,‬‬

‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ 95%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ ‪ 1   2‬ﺣﯾ ث ‪ 12  22‬و ‪ n1  n 2‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾﮭ ﺎ‬ ‫ﺑﺎﻻﻋﺗﻣﺎد ﻋﻠﻰ ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺔ ﺣرﯾﺔ ﺗﺣﺳب ﻛﺎﻵﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫=‪ν‬‬ ‫‪s12 2‬‬ ‫‪s 22 2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+ 1‬‬ ‫‪n1 1 n 2 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ 4 2 52 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪16.81‬‬ ‫‪ 10 8 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 13.2  13 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 2   5 2  0.2844  0.694‬‬ ‫‪( )  ( ) ‬‬ ‫‪ 10    8 ‬‬ ‫‪ 9   7 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪x 2 = 38.5 36.0 = 2.5‬ــ ‪ x 1‬وﺗﺣ ت ﻓ رض أن ‪ α = 0.05‬وﻣ ن ﻓ ﺈن =‬ ‫‪ 2.16‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ .   13‬وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪١٣‬‬

‫‪t0.025‬‬

‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪s12 s 22‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪. (x 1 x 2 ) t α‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< μ1 μ 2‬‬ ‫‪n1 n 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪< (x1 x 2 ) + t α‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﯾﻣﻛن إﯾﺟﺎد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ) ﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ( ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪16 25‬‬ ‫‪16 25‬‬ ‫‪(3.85  36)  2.16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1   2  (3.85  36)  2.16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪10 8‬‬ ‫‪10 8‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪2.1952  1   2  7.1952 ‬‬ ‫وأﺧﯾرا ً ﺳوف ﻧﻧﺎﻗش ﻓﻲ ھذا اﻟﺑﻧد طرﯾﻘﺔ ﺗﻘدﯾر اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﺗوﺳطﯾن ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛ ون اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن‬ ‫ﻏﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن‪ .‬ﻓﻌﻠ ﻰ ﺳ ﺑﯾل اﻟﻣﺛ ﺎل ﻋﻧ دﻣﺎ ﺗﺄﺧ ذ ﻋﯾﻧ ﺔ واﺣ دة وﻧﺣﺻ ل ﻋﻠ ﻰ ﻗ راءات ﻟﻣﻔرداﺗﮭ ﺎ ﺛ م‬ ‫ﻧﺿﻊ ھذه اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ﺗﺣ ت ﻣ ؤﺛر وﻧﻌ ود وﻧﺄﺧ ذ ﻗ راءات أﺧ ري ﻟﮭ ﺎ ‪ ،‬وﺑﻣﻘﺎرﻧ ﺔ ﻣﺟﻣ وﻋﺗﻲ اﻟﻘ راءﺗﯾن‬ ‫ﻟﻧﻔس اﻟﻣﻔردات ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﺳﺗﻧﺗﺎج ﺗ ﺄﺛﯾر ھ ذا اﻟﻌﺎﻣ ل أو اﻟﻣ ؤﺛر‪ .‬ﻟﻧﻔ رض ﻣ ﺛﻼ أﻧﻧ ﺎ ﻧرﯾ د ﻣﻌرﻓ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯾر‬ ‫دواء ﻋﻠﻰ ﻗراءات ﺿﻐط اﻟدم اﻟﻣرﺗﻔﻊ وأﺧذﻧﺎ ﻟذﻟك ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 10‬ﺷﺧﺻﺎ ً وﻗرأﻧ ﺎ ﺿ ﻐط اﻟ دم ﻟﻛ ل‬ ‫ﻣﻧﮭﻣﺎ ﺛم أﻋطﯾﻧﺎ ﻛل ﺷﺧص دواء ﻟ ﮫ ﺗ ﺄﺛﯾر ﻋﻠ ﻰ ﺿ ﻐط اﻟ دم اﻟﻣرﺗﻔ ﻊ وأﻋ دﻧﺎ أﺧ ذ اﻟﻘ راءات ﻣ رة‬ ‫أﺧ رى‪ .‬ﻓ ﻲ ھ ذه اﻟﺣﺎﻟ ﺔ ﻧﻘ ول أﻧﻧ ﺎ أﻣ ﺎم ﻋﯾﻧﺗ ﯾن ﻏﯾ ر ﻣﺳ ﺗﻘﻠﯾن أو ﻋﯾﻧﺗ ﯾن ﻣ زدوﺟﺗﯾن ‪paired‬‬ ‫‪ .samples‬أزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺳ وف ﺗﻛ ون ) ‪ (x 1 y1 ), (x 2 y 2 ),..., ( x n y n‬اﻟﻔ روق‬ ‫ﻷزواج اﻟﻣﺷ ﺎھدات ﺳ وف ﺗﻛ ون ) ‪ d1 = ( x 1 y1 ), d 2 = (x 2 y 2 ),..., d n = ( x n y n‬ھ ذه‬ ‫اﻟﻔروق ﺗﻣﺛل ﻗﯾم ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ .D‬اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ μ D = μ 1 μ 2‬ﯾﻌط ﻰ‬ ‫ﻣن ‪ d‬واﻟذي ﯾﺳﺎوى ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻔ روق ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ‪ .‬وﺑﻣ ﺎ أن ‪ d‬ﺗﻣﺛ ل ﻗﯾﻣ ﺔ ﻟﻺﺣﺻ ﺎء ‪ D‬ﻛﻣ ﺎ أن‬ ‫اﻟﺗﺑﺎﯾن ﻟﻠﻔروق ھو ‪ s 2d‬ﺣﯾث ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪d‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  n 2 i 1‬‬ ‫‪sd2 ‬‬ ‫‪  di ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ D‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪d  t  d  D  d  t  d ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ d‬و ‪ sd‬ھﻣﺎ اﻟﻣﺗوﺳط واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻠﻔروق ﻟﻌدد ‪ n‬ﻣن ازواج اﻟﻣﺷﺎھدات و‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ t α‬ھﻲ ﻗﯾﻣﺔ ﻟﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪   n  1‬واﻟﺗﻲ ﺗﻛون اﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﺗﺳﺎوى‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪. t‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬

‫‪١٤‬‬

‫أﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 10‬ﺗﻼﻣﯾذ ﻣن إﺣدى اﻟﻣدارس ودوﻧت أوزاﻧﮭم ﺛم أﻋطﻲ ﻛل ﻣﻧﮭم‬ ‫ﻛوﺑﺎ ً ﻣن اﻟﻠﺑن ﺻﺑﺎﺣﺎ ً وآﺧر ظﮭرا ً وذﻟك ﻟﻣدة ﺛﻼﺛﺔ ﺷﮭور ﻣﺗﺗﺎﻟﯾﺔ ‪ .‬ﺛم دوﻧت أوزاﻧﮭم ﻓﻛﺎﻧت‬ ‫اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫‪129 124 126 139 133 136 139 135 137 140‬‬

‫اﻟوزن ﻗﺑل ﺗﻌﺎطﻰ اﻟﻠﺑن‬

‫‪ 130 126 129 140 136 134 141 140 138 141‬اﻟوزن ﺑﻌد ﺗﻌﺎطﻲ اﻟﻠﺑن‬ ‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ‪.  D  1   2‬‬

‫اﻟﺣــل‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ ‪ μ D‬ھو ‪ . d = 1.7‬اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪ s 2d‬ﻟﻔروق اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو ‪:‬‬

‫‪( Σd i ) 2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪∑d‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪sd‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 17) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪59‬‬ ‫‪= 3.344‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫وﺑﺄﺧذ اﻟﺟذر اﻟﺗرﺑﯾﻌﻲ ﻟﻠﻣﻘدار ‪ s 2d‬ﻓﺈن ‪ . sd  1.829‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ α = 0.01‬ﻓ ﺈن ‪t .005  3.25‬‬ ‫واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬ﻋﻧ د درﺟ ﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ . ν = n 1 = 9‬وﺑ ﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪d t α d < μD < d + t α d .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫)‪(1.829‬‬ ‫)‪(1.829‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪  D  1.7  (3.25‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل اﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪- 3.58 < μ D < 0.18.‬‬

‫)‪1.7  (3.25‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﺣﺎول ﺷرﻛﺔ ﺳﯾﺎرات أﺟراء اﺗﺧﺎذ ﻗرار ﺣول ﺷراء اطﺎرات ﻣﺎرﻛﺔ ‪ A‬او اطﺎرات ﻣﺎرﻛﺔ ‪B‬‬ ‫ﻟﺳﯾﺎراﺗﮭم ﻟﺗﻘدﯾر اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻣﺎرﻛﺗﯾن أھﺗم اﻟﺑﺎﺣث ﺑﺗﺟرﯾب اطﺎر ﻛل ﻣﺎرﻛﺔ ﺗﺟﺎرﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻔس‬ ‫ﺳﯾﺎرة اﻻﺟرة وﻗد اﺧذت ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 9‬ﺳﯾﺎرات ﻟﮭذا اﻟﻔرق واﻟﻣﺳﺎﻓﺎت اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﺑوﺣدة اﻻﻟف ﻛﯾﻠو‬ ‫ﻣﺗر ﺛم ﺗﺳﺟﯾﻠﮭﺎ ﻣﻔﺗرض ﺑﺈن اﻟﻔروق ﺑﯾن اﻟﻣﺳﺎﻓﺎت ﺗﺗﺑﻊ ﺗوزﯾﻌﺎ طﺑﯾﻌﯾﺎ واﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد ‪95%‬‬ ‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪.  D  1   2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪١٥‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺳﯾﺎرة أﺟرة‬

‫‪33.5‬‬

‫‪31.5‬‬

‫‪38.9‬‬

‫‪36.4‬‬

‫‪47.8‬‬

‫‪31.1‬‬

‫‪73.7‬‬

‫‪46.8‬‬

‫‪36.4‬‬

‫ﻣﺎرﻛﺔ ‪A‬‬

‫‪32.5‬‬

‫‪30.1‬‬

‫‪38.1‬‬

‫‪32.8‬‬

‫‪48.4‬‬

‫‪32‬‬

‫‪36.7‬‬

‫‪45.5‬‬

‫‪4.4‬‬

‫ﻣﺎرﻛﺔ ‪B‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ ‪ D‬‬

‫ھو ‪ . d = 8.4‬اﻟﺗﺑﺎﯾن ‪ s d2‬ﻟﻔروق اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو ‪:‬‬

‫‪1  2 (d i )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ di‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪  222.1725 .‬‬ ‫‪‬‬

‫‪s 2d‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 75.6 ‬‬ ‫‪  2412.42 ‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪9‬‬

‫وﺑﺄﺧ ذ اﻟﺟ ذر اﻟﺗرﺑﯾﻌ ﻲ ﻟﻠﻣﻘ دار ‪ s d2‬ﻓ ﺈن ‪ .sd= 14.905‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام = ‪ 0.05 α‬ﻓ ﺈن‬ ‫‪ t0.025=2.306‬واﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺔ ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ t‬ﻋﻧد درﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪. ν = n 1 = 8‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪d t α d < μD < d + t α d .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(14.905‬‬ ‫)‪(14.905‬‬ ‫)‪8.4 (2.306‬‬ ‫)‪< μ D < 8.4 + (2.306‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪-3.0569 <  D <19.8569.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺷرﻛﺔ ﺗﻧﺗﺞ ﻣﻘﯾﺎﺳﯾن ﻟﻠﻣﻘﺎوﻣﺔ اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ ورﻏﺑت اﻟﺷرﻛﺔ ﻓﻲ ﻣﻌرﻓﺔ ﻛﻔﺎءة اﻟﺟﮭﺎزﯾن ﻓﻲ اﻟﻘﯾﺎس‬ ‫أﺧذت ‪ 10‬ﻧﻣﺎذج ﻣن اﻷﺳﻼك اﻟﻛﮭرﺑﺎﺋﯾﺔ وﺗم ﻗﯾﺎس ﻣﻘﺎوﻣﺗﮭم ﺑﺎﻻوم ﺑﺎﻟﻣﻘﯾﺎﺳﯾن وﺗم اﻟﺣﺻول‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪s d  0.037 , d  0.018 :‬‬ ‫اﻟﻣطﻠوب إﯾﺟﺎد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق اﻟﺣﻘﯾﻘﻰ ‪.  D  1   2‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟـ ‪  D‬ھو ‪ . d = 0.018‬واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ﻟﻔروق اﻟﻌﯾﻧﺔ ھو ‪s d = 0.037‬‬ ‫ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ‪ α = 0.05‬ﻓ ﺈن ‪ t0.025=2.262‬واﻟﻣﺳ ﺗﺧرﺟﺔ ﻣ ن ﺟ دول ﺗوزﯾ ﻊ ‪ t‬ﻓ ﻲ ﻋﻧ د درﺟ ﺎت‬ ‫ﺣرﯾﺔ ‪ .   n  1  9‬وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪d t α d < μD < d + t α d .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪١٦‬‬

‫)‪(0.037‬‬ ‫)‪(0.037‬‬ ‫)‪< μ D < 0.018 + (2.262‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل اﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪-0.00847 <  D < 0.04447.‬‬

‫)‪0.018 (2.262‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ‬

‫‪Confidence Interval for Proportion‬‬

‫أوﺿﺣﻧﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﺻل اﻟﺧ ﺎﻣس أن اﻟﺗﻘ دﯾر ‪ x‬ﻟ ﯾس داﺋﻣ ﺎ اﻟﻣطﻠ وب ﻓ ﻲ ﻣﺟ ﺎل اﻹﺣﺻ ﺎء‪ .‬ﻓﻔ ﻲ‬ ‫ﺑﻌض اﻷﺣﯾﺎن ﯾﻛون اﻻھﺗﻣﺎم ﺑﻣﻌرﻓﺔ ﻧﺳﺑﺔ وﺟود ﺻﻔﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﻣ ﺎ ﻣﺛ ل ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻣﺻ ﺎﺑﯾن‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﺗﺳ وس اﻷﺳ ﻧﺎن أو ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻧﺑﺎﺗ ﺎت اﻟﻣﺻ ﺎﺑﺔ وھﻛ ذا‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ‪ ،‬ﻓ ﺈن ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ ‪pˆ ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺳوف ﺗﺳﺗﺧدم ﻛﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ .p‬ﺗﺑﻌ ﺎ ﻟﻘواﻋ د ‪ Cochran‬ﻛﻣ ﺎ ذﻛرﻧ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻔﺻ ل اﻟﺧ ﺎﻣس‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻧﺣﺳ ب ﻧﺳ ﺑﺔ اﻟﻌﯾﻧ ﺔ = ˆ‪ p‬وﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ‪ (1  ) 100%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ p‬ﻣ ن‬ ‫‪n‬‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ˆˆ‬ ‫ˆˆ‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪pˆ  z ‬‬ ‫‪ p  pˆ  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻘ وم ﻣﺻ ﻧﻊ ﺑﺈﻧﺗ ﺎج ﻣﻧ ﺗﺞ ﻋﻠ ﻰ درﺟ ﺔ ﻋﺎﻟﯾ ﺔ ﻣ ن اﻟﺟ ودة وﯾرﻏ ب اﻟﻣﺳ ﺋول ﻓ ﻲ اﻟﻣﺻ ﻧﻊ ﻓ ﻲ‬ ‫ﺗﻘدﯾر ﻧﺳﺑﺔ اﻟوﺣدات اﻟﻣﻧﺗﺟ ﺔ اﻟﺗﺎﻟﻔ ﺔ‪ .‬ﻓ ﺈذا اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 200‬وﺣ دة ووﺟ د أن‬ ‫ﺑﯾﻧﮭم ‪ 40‬وﺣدة ﺗﺎﻟﻔﺔ ‪ ،‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪.p‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ p‬ھو ‪= 0.2‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪ 1.96‬ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ˆ‪pˆq‬‬ ‫ˆ‪pˆq‬‬ ‫‪pˆ z α‬‬ ‫‪< p < pˆ + z α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(0.2)(0.8‬‬ ‫)‪(0.2)(0.8‬‬ ‫‪0.2 1.96‬‬ ‫‪< p < 0.2 + 1.96‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬

‫= ˆ‪ . p‬ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟ دول اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ ﻓ ﺈن =‪z0.025‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪0.145 < p < 0.255 .‬‬ ‫إذا وﻗﻌت ‪ p‬ﻋﻧد ﻣرﻛز ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗرة اﻟﺛﻘﺔ ‪ ،‬ﻓﺈن ˆ‪ p‬ﺳوف ﺗﻘ در ‪ p‬ﺑ دون أﺧط ﺎء‪.‬‬ ‫ﻓ ﻲ ﻣﻌظ م اﻷﺣ وال ‪ pˆ ،‬ﻻ ﺗﺳ ﺎوي ‪ p‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻛ ون ھﻧ ﺎك ﻓ رق ﺑ ﯾن ˆ‪ p‬و ‪ p‬واﻟ ذي ﯾﻣﺛ ل‬

‫‪١٧‬‬

‫اﻟﺧطﺄ‪ .‬ھذا اﻟﺧطﺄ ﯾﺻل اﻟﻰ أﻗﺻﺎه ﻋﻧدﻣﺎ ﺗﻛون ‪ p‬ﻗرﯾﺑﺔ ﻣن إﺣدى ﺣديّ اﻟﺛﻘ ﺔ‪ .‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ˆ‪p‬‬

‫ˆ‪pˆq‬‬ ‫ﺳوف ﺗﺧﺗﻠف ﻋن ‪ p‬ﺑﻘﯾﻣﺔ أﻗل ﻣن‬ ‫‪n‬‬

‫‪ z α‬ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ ‪ :‬إذا اﺳ ﺗﺧدﻣت ˆ‪ p‬ﻛﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ p‬ﻓﺈﻧ ﮫ ﯾﻛ ون ﻟ دﯾﻧﺎ ‪ (1 α)100%‬ﺛﻘ ﺔ‬ ‫أن اﻟﺧطﺄ ﺳوف ﯾﻛون أﻗل ﻣن ﻗﯾﻣﺔ ﻣﻌﯾﻧﺔ ‪ e‬ﻋﻧدﻣﺎ ﯾﺣﺳب ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ˆ‪z 2α pˆq‬‬ ‫‪n= 2 2 .‬‬ ‫‪e‬‬ ‫وﺣﯾ ث أن ˆ‪ p‬ﻓ ﻲ اﻟﺻ ﯾﻐﺔ اﻟﺳ ﺎﺑﻘﺔ ﻻ ﺑ د أن ﺗﻘ در ﻣ ن ﻋﯾﻧ ﺔ ‪ ،‬ﻟ ذﻟك ﻻﺑ د ﻣ ن اﺧﺗﯾ ﺎر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻣﺑدﺋﯾ ﺔ‬ ‫ﻛﺑﯾرة وﺣﺳﺎب ﻧﺳﺑﺔ اﻟﻌﯾﻧﺔ ˆ‪ p‬ﻣﻧﮭﺎ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن ‪ 500‬ﻣواطن ﻓﻲ ﻣﺟﺗﻣﻊ ﺳﻛﺎﻧﻲ ﻣﺎ ‪ ،‬وﺟ د ﻣ ﻧﮭم ‪ 270‬ﻣواطﻧ ﺎ ً ﯾﺣﺑ ون‬ ‫أن ﯾﺿﺎف اﻟﻰ ﻣﯾﺎھم ﻗﻠﯾل ﻣن اﻟﻔﻠور‪ .‬اﻟﻣطﻠوب ‪:‬‬ ‫)أ( إﯾﺟﺎد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ اﻟذﯾن ﯾﺣﺑذون إﺿﺎﻓﺔ اﻟﻔﻠور‪.‬‬ ‫)ب( ﺗﻘدﯾر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛﻧﻧﺎ اﻟﺗﺄﻛد ﻣﻧﮭﺎ ﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 95%‬ﻣن أن اﻟﺧطﺄ ﻻ ﯾﺗﺟﺎوز ‪.0.05‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x 270‬‬ ‫=‬ ‫)أ( اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣ ﺔ ‪ p‬ھ و ‪= 0.54‬‬ ‫‪n 500‬‬ ‫اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ‪ z0.025 = 1.96‬وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫ˆ‪pˆq‬‬ ‫ˆ‪pˆq‬‬ ‫‪pˆ z α‬‬ ‫‪< p < pˆ + z α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(0.54)(0.46‬‬ ‫)‪(0.54)(0.46‬‬ ‫‪0.54 1.96‬‬ ‫‪< p < 0.54 + 1.96‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪500‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬

‫= ˆ‪ . p‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟ دول اﻟﺗوزﯾ ﻊ اﻟطﺑﯾﻌ ﻲ‬

‫‪١٨‬‬

‫‪0.496 < p < 0.584.‬‬ ‫)ب( ﺑﺎﻋﺗﺑﺎر اﻷﺷﺧﺎص اﻟذﯾن ﻋددھم ‪ 500‬ﯾﻣﺛﻠون ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣﺑدﺋﯾﺔ ﺣﯾث أن ˆ‪=0.54 p‬‬ ‫وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﻧظرﯾﺔ ) ‪ ( ٤-٦‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1.96) (0.54)(0.46‬‬ ‫=‪n‬‬ ‫‪= 381.70‬‬ ‫‪(0.05) 2‬‬

‫‪≈382.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺑﺎراة رﯾﺎﺿﯾﺔ ﻟﻠﺟرى وﺟد أن ‪ 240‬طﺎﻟب ﻣن ‪ 400‬طﺎﻟب ﯾﻣﻛﻧﮭم اﻟﺟري ﻟﻣدة ﻣﯾل ﻓﻲ‬ ‫أﻗل ﻣن ‪ 7‬دﻗﺎﺋق ‪ .‬أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ‪.p‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪x = 240 .‬‬

‫‪n = 400,‬‬

‫‪x 240‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .6,‬‬ ‫‪n 400‬‬

‫‪qˆ  1 pˆ  .4 , z 0.025  1.96 .‬‬

‫‪pˆ ‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ p‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫)‪(0.6)(0.4‬‬ ‫)‪(0.6)(0.4‬‬ ‫‪0.6 1.96‬‬ ‫‪< p < 0.6 + 1.96‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪. 0.552 < p < 0.648‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻧﺳﺑﺗﯾن‬

‫‪Confidence Interval for the‬‬ ‫‪Difference Between Two Proportions‬‬

‫ﻟﻠﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟ ـ ‪ p1 p 2‬ﺳ وف ﺗﺧﺗ ﺎر ﻋﯾﻧﺗ ﯾن ﻋﺷ واﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳ ﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣ ن اﻟﺣﺟ م‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ n 2 , n 1‬وﺣﺳﺎب اﻟﻧﺳﺑﺔ ﻟﻠﺻﻔﺔ ﻣوﺿﻊ اﻟدراﺳﺔ ﻓﻲ ﻛل ﻋﯾﻧﺔ ‪ ، pˆ1 = 1 , pˆ 2 = 2 ،‬ﺣﯾث ‪x2 ,‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ x1‬ﯾﻣﺛﻼن ﻋدد اﻟﻣﻔردات اﻟ ذﯾن ﯾﻣﻠﻛ ون اﻟﺻ ﻔﺔ ﻣوﺿ ﻊ اﻻھﺗﻣ ﺎم ﻓ ﻲ اﻟﻌﯾﻧﺗ ﯾن ﻋﻠ ﻰ اﻟﺗ واﻟﻲ‪ .‬ﯾ ﺗم‬ ‫ﺣﺳﺎب اﻟﻔرق ‪. . pˆ1 pˆ 2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ (1  ) 100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻔرق ﺑﯾن ﻧﺳﺑﺗﯾن ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪< ( p1 p 2‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪١٩‬‬

‫‪(pˆ1 pˆ 2 ) z α‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪< (pˆ1 pˆ 2 ) + z α‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪ 2000‬ﻣن اﻟرﺟﺎل و ‪5000‬ﻣن اﻟﻧﺳﺎء اﻟذﯾن ﯾﺷﺎھدن ﺑرﻧﺎﻣﺟ ﺎ ً ﺗﻠﯾﻔزﯾوﻧﯾ ﺎ ً ﯾوﻣﯾ ﺎ ً‬ ‫وﺟد أن ‪ 1100‬ﻣن اﻟرﺟﺎل و ‪ 2300‬ﻣ ن اﻟﻧﺳ ﺎء ﯾﻔﺿ ﻠون ھ ذا اﻟﺑرﻧ ﺎﻣﺞ‪ .‬أوﺟ د ‪ 95%‬ﻓﺗ رة‬ ‫ﺛﻘ ﺔ ﻟﻠﻔ رق ﺑ ﯾن ﻧﺳ ﺑﺔ ﻛ ل ﻣ ن اﻟرﺟ ﺎل وﻧﺳ ﺑﺔ ﻛ ل ﻣ ن اﻟﻧﺳ ﺎء اﻟ ذﯾن ﯾﺷ ﺎھدون ھ ذا اﻟﺑرﻧ ﺎﻣﺞ‬ ‫وﯾﻔﺿﻠوﻧﮫ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﺑﻔرض أن ‪ p1 p 2‬اﻟﻧﺳﺑﺗﯾن اﻟﺣﻘﯾﻘﺗﯾن وﻋﻠﻰ ذﻟك‬ ‫‪2300‬‬ ‫‪1100‬‬ ‫= ‪pˆ 2‬‬ ‫= ‪= 0.46 , pˆ1‬‬ ‫‪= 0.55 .‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟ ـ ‪ p1 p 2‬ھ و ‪. pˆ1 pˆ 2 =0.55 – 0.46=.09‬ﺑﺎﺳ ﺗﺧدام ﺟ دول‬ ‫اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ‪ z0.025 = 1.96‬وﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< p1 p 2‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬

‫‪(pˆ1 pˆ 2 ) z α‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪< (pˆ1 pˆ 2 ) + z α‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫)‪(0.55)(0.45) (0.46)(0.54‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< p1 p 2‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫)‪(0.55)(0.45) (0.46)(0.54‬‬ ‫‪< 0.09 + 1.96‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل اﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪0.0642 < p1 p 2 < 0.1158.‬‬

‫‪0.09 1.96‬‬

‫ﻓﻲ دراﺳﺔ ﻟﻧﺳﺑﺔ رﺑﺎت اﻟﺑﯾوت اﻟﻼﺗﻲ ﯾﻣ ﺗﻠﻛن ﻏﺳ ﺎﻟﺔ ﺑﻣﺟﻔ ف وﺟ د ان ‪ 55‬ﻣ ن ‪ 100‬ﺳ ﯾدة ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﻣدﯾﻧ ﺔ ‪ A‬ﯾﻣ ﺗﻠﻛن ﻏﺳ ﺎﻟﺔ ﺑﻣﺟﻔ ف ‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣ ﺎ ﻓ ﻲ اﻟﻣدﯾﻧ ﺔ ‪ B‬وﺟ د ان ‪ 45‬ﻣ ن ‪ 150‬ﺳ ﯾدة ﯾﻣ ﺗﻠﻛن‬ ‫ﻏﺳﺎﻟﺔ ﺑﻣﺧﻔف‪.‬‬ ‫أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪P1  P2‬‬

‫اﻟﺣــل‬ ‫‪٢٠‬‬

‫‪, n 1 = 100,‬‬ ‫‪, n 2 = 150,‬‬

‫‪x 1 = 55‬‬ ‫‪x 2 = 45‬‬

‫‪qˆ1 = 1 pˆ1 = 1 0.55 = 0.45‬‬

‫‪x 1 55‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.55,‬‬ ‫‪n1 100‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪45‬‬ ‫= ‪, pˆ 2 = 2‬‬ ‫‪= 0.3,‬‬ ‫‪n 2 150‬‬

‫= ‪, pˆ1‬‬

‫‪qˆ 2 = 1 pˆ 2 = 1 0.3 = 0.7‬‬

‫‪, pˆ 1 pˆ 2  0.55 0.3  0.25 , z 0.025  1.96 ‬‬ ‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ p1  p 2‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪pˆ1qˆ 1 pˆ 2 qˆ 2‬‬ ‫ˆ‪pˆ q‬‬ ‫ˆ‪pˆ q‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪< p1 p 2 < (pˆ1 pˆ 2 ) + z α 1 1 + 2 2 .‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(pˆ1 pˆ 2 ) z α‬‬ ‫‪2‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ p1 p 2‬ھﻲ ‪:‬‬

‫)‪(0.55)(0.45) (0.3)(0.7‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪150‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬

‫‪100‬‬

‫‪< p1 p2 < 0.25 + 1.96‬‬

‫)‪(0.55)(0.45) (0.3)(0.7‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪150‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0.25 1.96‬‬

‫‪0.128  p1  p 2  0.372 ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻓﻲ رﻣﻲ اﻟﺳﮭﺎم ﻋﻠﻰ ھدف ‪ 100‬ﻣرة أﺻﺎب أﺣﻣد ‪ 54‬ﻣرة وأﺻﺎب ﻋﻠﻰ اﻟﮭدف ‪ 49‬ﻣرة‪.‬‬ ‫أوﺟد ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪P1  P2‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪pˆ 1  0.45,‬‬

‫‪pˆ 2  0.49 , z 0.025  1.96 ‬‬

‫وﻋﻠﻰ ذﻟك‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪ p1 p 2‬ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﯾﮭﺎ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪ 0.54 0.46   0.49 0.51 ‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪ .05  1.96‬‬

‫‪ 0.54  0.46    0.49 0.51  p‬‬

‫‪1  p2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ‪:‬‬

‫‪0.08835  p1  p 2  0.18835 ‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﺗﺑﺎﯾن ‪Confidence Interval for the Variance‬‬ ‫ﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣن اﻟﺣﺟم ‪ ، n‬ﻓﺈن ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ s2‬ﯾﺣﺳب وﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ (1 α)100%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ σ 2‬ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢١‬‬

‫‪.05  1.96‬‬

‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪(n  1)s 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﯾ ث ‪ 2‬و ‪  2‬ھﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﺎن ﻟﺗوزﯾ ﻊ ‪ ‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ n  1‬واﻟﺗ ﻰ اﻟﻣﺳ ﺎﺣﺔ ﻋﻠ ﻲ ﯾﻣ ﯾن‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ،‬واﻟﻣﺳﺎﺣﺔ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾن ‪  2‬ﺗﺳﺎوى‬ ‫‪  2‬ﺗﺳﺎوى‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1 ‬ﻛﻣﺎ ھو ﻣوﺿ ﺢ ﻓ ﻰ اﻟﺷ ﻛل اﻟﺗ ﺎﻟﻰ‬

‫‪2‬‬

‫‪:‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺗﺳﻠم أﺣد اﻟﺗﺟﺎر ﻛﻣﯾﺔ ﻛﺑﯾرة ﻣن ﺑطﺎرﯾﺎت اﻟﺳﯾﺎرات اﻟﻣﻧﺗﺟﺔ ﺑواﺳ طﺔ ﻣﺻ ﻧﻊ ﺟدﯾ د وﺗ م‬ ‫اﺧﺗﯾﺎر ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺑطﺎرﯾﺎت اﻟﺗﻲ ﺗﺳﻠﻣﮭﺎ اﻟﺗﺎﺟر وﺗﻣ ت ﺗﺟرﺑﺗﮭ ﺎ ﻓﻛﺎﻧ ت أﻋﻣﺎرھ ﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﺷﮭر ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪26.9‬‬ ‫‪28.5‬‬ ‫‪33.6‬‬ ‫‪28.0 23.9‬‬ ‫‪28.7‬‬ ‫‪29.3‬‬ ‫‪29.1‬‬ ‫‪35.9 35.2‬‬

‫أوﺟد ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪σ 2‬‬

‫اﻟﺣــل‬ ‫‪2‬‬

‫أوﻻ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ s‬وھو ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(  x i2 )2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪s2 ‬‬ ‫‪  xi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪٢٢‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(299.1) 2‬‬ ‫=‬ ‫‪9076.87‬‬ ‫‪= 14.53.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪  2‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ν = n 1 = 9‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪= 1.735 , χ 2 = 23.587‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(n 1)s‬‬ ‫‪(n 1)s‬‬ ‫< ‪< σ2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪χα‬‬ ‫‪χ2 α‬‬ ‫‪0.005‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪χ2‬‬

‫‪0.995‬‬

‫‪2‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(9)(14.53‬‬ ‫)‪(9)(14.53‬‬ ‫< ‪< σ2‬‬ ‫‪23.587‬‬ ‫‪1.735‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ اﻟﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5.544 < σ < 75.372.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﺑﻔرض أن ﻟدﯾﻧﺎ ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣن اﻟﺣﺟ م ‪ n  7‬وأن ﻗ ﯾم وﺣ داﺗﮭﺎ ھ ﻲ ‪2,3,7,5,9,6,4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫واﻟﻣﺧﺗﺎر ﻣن ﻣﺟﺗﻣﻊ طﺑﯾﻌﻲ ‪ .‬أوﺟد ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪. σ‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫أوﻻ ﻧﺣﺻل ﻋﻠﻰ ﺗﺑﺎﯾن اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ s‬وھو ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x i2 )2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪s2 ‬‬ ‫‪  xi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1 i 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(36) 2‬‬ ‫‪= [220‬‬ ‫‪] = 5.8095 .‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪  2‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ ν = n 1 = 6‬ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪ 20.005  18.548 .‬‬

‫‪ 20.995  .676‬‬

‫‪,‬‬

‫ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(n 1)s‬‬ ‫‪(n 1)s‬‬ ‫< ‪< σ2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪χα‬‬ ‫‪χ2 α‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫ﯾﻣﻛن اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪(6)(5.8095‬‬ ‫)‪(6)(5.8095‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18.548‬‬ ‫‪0.676‬‬ ‫‪٢٣‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن اﺧﺗزاﻟﮭﺎ إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1.879 <  < 51.5636‬‬

‫ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻧﺳﺑﺔ ﺗﺑﺎﯾﻧﯾن‬ ‫‪Confidence Interval for the Ratio of two variances‬‬ ‫اﻟﺗﻘ دﯾر ﺑﻧﻘط ﺔ ﻟﻧﺳ ﺑﺔ ﺗﺑ ﺎﯾﻧﻲ ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن ‪ ، σ12 / σ 22 ،‬ﯾﻣﻛ ن اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠﯾ ﮫ ﻣ ن اﻟﻧﺳ ﺑﺔ ‪،‬‬ ‫‪ ، s12 / s 22‬ﺣﯾ ث ) ‪ f  (1,  2 ) , f  (1,  2‬ھﻣ ﺎ ﻗﯾﻣﺗ ﺎن ﻟﺗوزﯾ ﻊ ‪ F‬ﺑ درﺟﺎت ﺣرﯾ ﺔ ‪ν1 , ν 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺗواﻟﻲ )ﻛﻣﺎ ﯾﺗﺿﺢ ﻣن اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻰ ﻣﻊ اﻟﻌﻠم أن ‪‬‬ ‫) ‪f  (1,  2‬‬

‫‪‬‬

‫‪f‬‬

‫) ‪ (1,  2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻷي ﻋﯾﻧﺗﯾن ﻋﺷواﺋﯾﺗﯾن ﻣﺳﺗﻘﻠﺗﯾن ﻣن اﻟﺣﺟ م ‪ n 2 , n 1‬ﻣ ﺄﺧوذﺗﯾن ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣﻌ ﯾن طﺑﯾﻌﯾ ﯾن ‪،‬‬

‫‪12‬‬ ‫ﻓ ﺈن اﻟﻧﺳ ﺑﺔ ‪ s12 / s 22‬ﺗﺣﺳ ب وﯾ ﺗم اﻟﺣﺻ ول ﻋﻠ ﻰ ‪ (1 α)100%‬ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟ ـ ‪ 2‬ﻣ ن اﻟﺻ ﯾﻐﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪s12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪s12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 f  ( 2 ,1 ) .‬‬ ‫‪s 22 f  ( 1 , 2 )  22‬‬ ‫‪s2 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫إذا ﻛﺎﻧت درﺟﺎت ﻛل ﻣن اﻟط ﻼب واﻟطﺎﻟﺑ ﺎت ﺑﺈﺣ دى اﻟﺟﺎﻣﻌ ﺎت ﻓ ﻲ ﻣ ﺎدة اﻹﺣﺻ ﺎء ﯾﺗﺑ ﻊ‬ ‫ﺗوزﯾﻌﺎ ً طﺑﯾﻌﯾﺎ ً‪ .‬اﺧﺗﯾر ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ﺑ ﯾن اﻟط ﻼب وأﺧ رى ﻣ ن ﺑ ﯾن اﻟطﺎﻟﺑ ﺎت ﻓﻛﺎﻧ ت‬ ‫درﺟﺎﺗﮭم ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ : 59‬اﻟطﻼب‬ ‫‪79‬‬ ‫‪73 49‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪69 44‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ :‬اﻟطﺎﻟﺑﺎت‬ ‫‪74‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪49 ٢٤ 59‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪79 89‬‬ ‫أوﺟد ‪ 90%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ‪. 12 / 22‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪n1 = 9 , s1 = 15.57 , n 2 = 8 , s 2 = 13.07 .‬‬ ‫‪ f.05(7,8)=3.5 , f.05(8,7) = 3.73‬اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺗﺎن ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‪ .‬ﯾﻣﻛن‬ ‫‪ ν1 = 8, ν 2 = 7‬ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ν1 = 7, ν 2 = 8‬‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 90%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ‪ σ12 / σ 22‬وذﻟك ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪.‬‬

‫‪s12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12 s12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f (  , ) .‬‬ ‫‪s 22 f  ( 1 , 2 ) 22 s 22 2 2 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(15.57 )(3.5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(13.07) 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪(15.57‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(13.07) 2 (3.73‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪0.3805  2  4.967.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أﺧ ذت ﻋﯾﻧ ﺔ ﺣﺟﻣﮭ ﺎ ‪ n1  6‬واﻧﺣراﻓﮭ ﺎ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ‪ s1  77.9‬ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ طﺑﯾﻌ ﻲ وﻋﯾﻧ ﺔ‬ ‫اﺧرى ﻣﺳﺗﻘﻠﺔﻋن ﺣﺟﻣﮭﺎ ‪ n 2  10‬واﻧﺣراﻓﮭ ﺎ اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ‪ s 2  194.2‬ﻣ ن ﻣﺟﺗﻣ ﻊ طﺑﯾﻌ ﻰ‬ ‫اﯾﺿﺎ ‪ .‬أوﺟد ‪ 90%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟـ ‪. 12 / 22‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫‪n 1 = 6 , s1 = 77.9 , n 2 = 10 , s 2 = 194.2 .‬‬ ‫‪ f.05(9,5) = 4.77 , f.05(5,9) = 3.48‬اﻟﻣﺳﺗﺧرﺟﺗﺎن ﻣن ﺟدول ﺗوزﯾﻊ ‪ F‬ﺑدرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ‬ ‫‪ ν1 = 5, ν 2 = 9‬ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻷوﻟﻲ ودرﺟﺎت ﺣرﯾﺔ ‪ 1  9 ,  2  5‬ﻟﻠﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ﯾﻣﻛن‬ ‫اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 90%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﻟﻠﻧﺳﺑﺔ ‪ σ12 / σ 22‬وذﻟك ﺑﺎﻟﺗﻌوﯾض ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫) ‪( ν 2 , ν1‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪s12 1‬‬ ‫‪σ12 s12‬‬ ‫<‬ ‫‪< f‬‬ ‫‪s 22 f ( ν , ν ) σ 22 s 22‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬

‫أي أن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪(77.9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(77.9)2 (4.77‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(194.2)2 (3.48) 22‬‬ ‫‪(194.2) 2‬‬

‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬

‫‪٢٥‬‬

12 0.046  2  0.7675 . 2

٢٦