حساب حجم العينة

‫ﺣﺳﺎب ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ‬ ‫ﯾﻣﻛن ﻓﮭم طرﯾﻘﺔ ﺣﺳﺎب ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻣن اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺗﺎﻟﻰ‬

‫ﻣﺛﺎل )‪(١‬‬ ‫اﺧﺗﯾ رت ﻋﯾﻧ ﺔ ﻋﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن ‪ 100‬ﺳ ﯾﺟﺎرة ﻣ ن ﻧ وع ﻣﻌ ﯾن وﻛ ﺎن ﻣﺗوﺳ ط اﻟﻧﯾﻛ وﺗﯾن ﻓﯾﮭ ﺎ ‪25‬‬ ‫ﻣﻠﻠﯾﺟراﻣﺎ واﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ھو ‪ 6‬ﻣﻠﻠﯾﺟراﻣ ﺎت ‪ .‬أوﺟ د ﻓﺗ رة ﺛﻘ ﺔ ﻟﻣﺗوﺳ ط اﻟﻧﯾﻛ وﺗﯾن ﻓ ﻲ‬ ‫اﻟﺳﺟﺎﺋر ﻣن ھذا اﻟﻧوع ﺑدرﺟﺔ ﺛﻘﺔ ‪ 95%‬و ‪. 99%‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻟﺗﻘدﯾر ﺑﻧﻘطﺔ ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ھو ‪ x = 25‬وﺣﯾث أن ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻛﺑﯾر ‪ ،‬ﻓ ﺈن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‬ ‫ﻟﻠﻣﺟﺗﻣ ﻊ ‪ σ‬ﯾﻣﻛ ن اﻻﺳﺗﻌﺎﺿ ﺔ ﻋﻧ ﮫ ﺑ ﺎﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري ﻟﻠﻌﯾﻧ ﺔ ‪ . s  6‬ﻣ ن ﺟ دول اﻟﺗوزﯾ ﻊ‬ ‫اﻟطﺑﯾﻌﻲ اﻟﻘﯾﺎﺳﻲ ﻓﺈن ﻗﯾﻣﺔ ‪ z‬اﻟﺗﻲ ﻋﻠﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪ 0.025‬وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳ ﺎﺣﺔ‬ ‫ﻗدرھﺎ ‪ 0.975‬ھﻲ ‪ . z0.025 = 1.96‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪ 95%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺳوف ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪(1.96)(6‬‬ ‫)‪(1.96)(6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪< μ < 25 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪23.824 < μ < 26.176 .‬‬ ‫ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ وﺑﺎﺳﺗﺧدام ﺟدول اﻟﺗوزﯾﻊ اﻟطﺑﯾﻌﻲ ﻓ ﺈن ﻗﯾﻣ ﺔ ‪ z‬اﻟﺗ ﻲ ﻋﻠ ﻰ ﯾﻣﯾﻧﮭ ﺎ‬ ‫ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪ 0.005‬وﻋﻠﻰ ﯾﺳﺎرھﺎ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻗدرھﺎ ‪ 0.995‬ھﻲ ‪ z.025=2.575‬وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﻓ ﺈن‬ ‫‪ 99%‬ﻓﺗرة ﺛﻘﺔ ﺗﻛون ﻋﻠﻰ اﻟﺷﻛل ‪:‬‬ ‫)‪(2.575)(6‬‬ ‫)‪(2.575)(6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪< μ < 25 +‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﺧﺗزل إﻟﻰ ‪:‬‬ ‫‪23.455 < μ < 26.545 .‬‬

‫ﺗﻤــﺪﻧﺎ ‪ (1   )100%‬ﻓﺘــﺮة اﻟﺜﻘــﺔ ﺑﺘﻘــﺪﻳﺮ ﻟﺪﻗــﺔ اﻟﺘﻘــﺪﻳﺮ ﺑﻨﻘﻄــﺔ اﻟــﺬي ﻧﺤﺼــﻞ ﻋﻠﻴــﻪ‪ .‬إذا‬

‫وﻗﻌﺖ ‪ ‬ﻋﻨﺪ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﺘﺮة ﻓﺈن ‪ x‬ﺗﻘﺪر ‪ ‬ﺑﺪون أﺧﻄﺎء‪ .‬ﻓﻲ ﻣﻌﻈﻢ اﻟﺤﺎﻻت ﻓﺈن ‪ x‬ﻻ ﺗﺴـﺎوى‬ ‫‪ ‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠـﻰ ﺗﻘـﺪﻳﺮ ﺑﻨﻘﻄـﺔ ‪ ، x ،‬ﺑﺨﻄـﺄ ‪ . error‬ﺣﺠـﻢ ﻫـﺬا اﻟﺨﻄـﺄ ﻳﺴـﺎوي اﻟﻔـﺮق‬

‫ﺑﻴﻦ ‪ x‬و ‪ . ‬ﻳﺼﻞ ﻫﺬا اﻟﺨﻄﺄ إﻟﻰ اﻗﺼﺎة ﻋﻨـﺪﻣﺎ ﺗﻜـﻮن ‪ ‬ﻗﺮﻳﺒـﺔ ﻣـﻦ إﺣـﺪى ﺣـﺪي اﻟﺜﻘـﺔ‪ .‬أي أن‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬ﺳﻮف ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻋﻦ ‪ ‬ﺑﻤﻘﺪار أﻗﻞ ﻣﻦ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪١‬‬

‫‪ z ‬ﻛﻤﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻧظرﯾﺔ )‪ : (١‬إذا اﺳﺗﺧدﻣت ‪ x‬ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻣﻌﻠﻣﺔ اﻟﻣﺟﺗﻣﻊ ‪ μ‬ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ‪ (1 α)100%‬ﺛﻘﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫‪. z‬‬ ‫أن اﻟﺧطﺄ ﯾﻛون أﻗل ﻣن‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ‪ 99%‬ﺛﻘﺔ أن ﻣﺗوﺳط اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪ x = 25‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﻣﺗوﺳط‬ ‫اﻟﺣﻘﯾﻘﻲ ‪ μ‬ﺑﻣﻘدار أﻗل ﻣن ‪. 1.545‬‬ ‫ﻋﺎدة ﻧرﻏب ﻓﻲ ﻣﻌرﻓﺔ ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻼزم ﻟﻠﺗﺄﻛد ﻣن أن اﻟﺧطﺄ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ‪ ‬ﺳوف ﯾﻛون‬ ‫‪‬‬ ‫‪. e  z‬‬ ‫اﻗل ﻣن ﻗﯾﻣﺔ ‪ .e‬ﺗﻌﻧﻰ اﻟﻧظرﯾﺔ )‪ (١‬أﻧﻧﺎ ﻻ ﺑد ﻣن اﺧﺗﯾﺎر ‪ n‬ﺑﺣﯾث‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ)‪ :(٢‬إذا اﺳﺗﺧدﻣت ‪ x‬ﻛﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ ‬ﻓﺈن ﯾﻛون ﻟدﯾﻧﺎ ‪ (1  )100%‬ﺛﻘﺔ أن‬ ‫‪2‬‬

‫‪ z   ‬‬ ‫‪n   2 ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﺗﻣﻛن اﻟﻣرء ﻓﻲ ﺗﺣدﯾد ﻣدي ﻛﺑر اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺗﺎج إﻟﯾﮭﺎ ﻛﻲ ﯾﻘدر ‪ μ‬ﻷي‬ ‫درﺟﺔ ﯾرﻏﺑﮭﺎ ﻣن درﺟﺎت اﻟدﻗﺔ ﻗﺑل أﺧذ أي ﻋﯾﻧﺔ واﺣدة ﺷرﯾطﺔ أن ﺗﻛون ﻗﯾﻣﺔ ‪ σ‬ﻣﻌﻠوﻣﺔ ‪ .‬أﻣﺎ‬ ‫إذا ﻟم ﯾﻛن اﻟﻣرء ﻋﻠﻰ ﻋﻠم ﺑﻘﯾﻣﺔ ‪ ، σ‬ﻓﻼﺑد ﻣن أﺧذ ﻋﯾﻧﺔ ﻣﺑدﺋﯾﺔ ‪، n > 30 ،‬ﻛﻲ ﯾﺣﺻل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘدﯾر ﻟﻠﻣﻌﻠﻣﺔ ‪ σ‬ﯾﻣﻛن اﺳﺗﺧداﻣﮫ ﻓﻲ اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ ﻟﺗﺣدﯾد ﻣدي ﻛﺑر ‪ n‬اﻟواﺟب ‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل)‪(٢‬‬ ‫ﻣﺎ ھو ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﻣطﻠوب ﻓﻲ اﻟﻣﺛﺎل )‪ (١‬وذﻟك ﻟﻠﺣﺻول ﻋﻠﻰ ‪ 95%‬ﺛﻘﺔ أن ﺗﻘدﯾرﻧﺎ اﻟ ذي‬ ‫ﻧﺣﺻل ﻋﻠﯾﮫ ﯾﺧﺗﻠف ﻋن ‪ ‬ﺑﻘﯾﻣﺔ أﻗل ﻣن واﺣد ﺻﺣﯾﺢ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫اﻻﻧﺣراف اﻟﻣﻌﯾﺎري ‪ s = 6‬واﻟﻣﺣﺳوب ﻣن ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ .n = 100‬ﺳ وف ﺗﺳ ﺗﺧدم‬ ‫‪ s‬ﺑدﻻ ﻣن ‪ . σ‬ﻣن ﻧظرﯾﺔ )‪ (٢‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (1.96)(6) ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 138.3  138.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠ ﻰ ذﻟ ك ﯾﻣﻛ ن اﻟﻘ ول أن ﻟ دﯾﻧﺎ ‪ 95%‬ﺛﻘ ﺔ أن اﻟﻌﯾﻧ ﺔ اﻟﻌﺷ واﺋﯾﺔ ﻣ ن اﻟﺣﺟ م ‪ 138‬ﺳ وف ﺗﻣ دﻧﺎ‬ ‫ﺑﺗﻘدﯾر ‪ x‬ﯾﺧﺗﻠف ﻋن ‪ ‬ﺑﻘﯾﻣﺔ أﻗل ﻣن اﻟواﺣد اﻟﺻﺣﯾﺢ ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬

‫ﻣﺜﺎل)‪(٣‬‬ ‫ﯾرﻏب ﺻﺎﺣب ﻣﺻﻧﻊ ﻓﻲ ﺗﻘدﯾر ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ ‪n‬ﺣﺗﻰ ﯾﻣﻛﻧ ﮫ اﻟﺗﺄﻛ د ﺗﺄﻛ دا ً ﻣﻌﻘ وﻻ ً ﻣ ن أن ﺗﻘ دﯾره‬ ‫وﺑﺎﺣﺗﻣﺎل ‪ 0.95‬ﻟن ﯾﻛون ﻣﺧطﺋﺎ ً ﺑﺄﻛﺛر ﻣن ‪ 5‬وﺣدات ﻣﻌﯾﻧﺔ إذا ﻋﻠ م أن اﻻﻧﺣ راف اﻟﻣﻌﯾ ﺎري‬ ‫ﯾﺳﺎوى ‪ 20‬وﺣدة‪ .‬أوﺟد ﺣﺟم اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺣﻘق اﻟﺷروط اﻟﺗﻲ وﺿﻌﮭﺎ ﺻﺎﺣب اﻟﻣﺻﻧﻊ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫‪e  5 ,  = 20 , z 0.025  1.96. .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1.96  20  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪  61.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪٣‬‬