امثلة على السحب بدون الرجاع والسحب بارجاع

‫اوﻻ‪ :‬ﺳوف ﻧﺣل اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﺑطرﯾﻘﺗﯾن ﺑﺎﻻﺿﺎﻓﺔ اﻟﻰ اﻣﺛﻠﺔ اﺧرى ﻟﻠﻔﻬم‬

‫ﻗﺑل اﻟﺣل اﻟﯾك اﻟﻣﻘدﻣﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﺗﻘطﻊ‬

‫‪Probability in Discrete Space‬‬

‫إن ﺗﻌﯾـ ــﯾن اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎل ﻓـ ــﻲ ﺣﺎﻟـ ــﺔ اﻟﻔﺿـ ــﺎء اﻟﻣﺗﻘطـ ــﻊ ﯾﻣﻛـ ــن اﺧﺗ ازﻟـ ــﻪ إﻟـ ــﻲ ﺗﻌﯾـ ــﯾن اﻻﺣﺗﻣـ ــﺎﻻت‬ ‫ﻟﻸﺣــداث اﻟﺑﺳ ــﯾطﺔ ‪ ،‬وﺧﺻوﺻ ــﺎ إذا ﻛــﺎن ﻋ ــدد اﻷﺣ ــداث اﻟﺑﺳ ــﯾطﺔ ﻛﺑﯾ ـ ار ‪ .‬ﺑﻔ ــرض أن ﻟﻛ ــل ﺣﺎدﺛ ــﺔ‬ ‫ﺑﺳﯾطﺔ } ‪ {a i‬ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﻌـﯾن ﻋـدد ﺣﻘﯾﻘـﻲ ‪ ، p i‬ﺑﺣﯾـث أن ‪ P({a i })  p i‬و ﯾﻛـون ﻣـن اﻟﺿـروري‬ ‫أن ‪:‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫)‪(٢‬‬

‫ﻟﻛل‬

‫‪pi  0‬‬

‫‪i‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ pi‬‬ ‫‪i‬‬

‫وﻷن ﻛـل ﺣـد ﻓـﻲ )‪ (٢‬ﯾﻘﺎﺑـل ﻧﺗﯾﺟـﺔ ﻓـﻲ ‪ S‬ﻓـﺈن اﻟﻣﺟﻣـوع ﻓـﻲ )‪ (٢‬ﯾﻛـون ﻣﺟﻣـوع ﻋـﺎدى إذا ﻛﺎﻧـت ‪S‬‬ ‫ﻣﻧﺗﻬﯾﺔ ‪ ،‬ﺑﯾﻧﻣﺎ ﯾﻣﺛل ﻣﺳﻠﺳﻠﺔ إذا ﻛﺎﻧت ‪ S‬ﻻ ﻧﻬﺎﺋﯾـﺔ ﻗﺎﺑﻠـﺔ ﻟﻠﻌـد ‪ .‬اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻷي ﺣﺎدﺛـﺔ ﻣرﻛﺑـﺔ ﯾﻣﻛـن‬ ‫ﺗﻘدﯾرﻩ وذﻟـك ﺑﺗﻣﺛﯾـل اﻟﺣﺎدﺛـﺔ ﻛﺎﺗﺣـﺎد ﻷﺣـداث ﺑﺳـﯾطﺔ ﻓـﻲ ﻓﺿـﺎء اﻟﻌﯾﻧـﺔ ‪ . S‬أي أن اﺣﺗﻣـﺎل اﻟﺣﺎدﺛـﺔ‬

‫‪ A‬ﻫو ‪:‬‬

‫)} ‪P ( A )   P ({a i‬‬ ‫‪a i A‬‬

‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ اﻟﺑﺳﯾطﺔ ‪Sampling Random Sample‬‬ ‫ﺑﻔــرض أن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﯾﺗﻛــون ﻣــن ‪ N‬ﻣــن اﻟﻣﻔــردات ‪ . u1 , u2 ,…,uN‬اﻟﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻗــد ﯾﺗﻛــون ﻣــن‬ ‫أﺷﺧﺎص أو ﺻﻣﺎﻣﺎت ﻛﻬرﺑﺎﺋﯾـﺔ أو ﺣﯾواﻧـﺎت أو ﻧﺑﺎﺗـﺎت ‪ .‬ﻋﻧـد اﺧﺗﯾـﺎر ﻋﯾﻧـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪n‬‬ ‫ﻣــن ﻣﺟﺗﻣــﻊ ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ N‬ﻓﺈﻧﻧــﺎ ﻧﺟــري ﺗﺟرﺑــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ ﻧﺗﺎﺋﺟﻬــﺎ ﻋﯾﻧــﺎت ﻣــن اﻟﺣﺟــم ‪ n‬وﻛــل ﻋﯾﻧــﺔ‬

‫)ﻧﺗﯾﺟـﺔ( ﺗﺧﺗـﺎر ﺑﺎﺣﺗﻣــﺎل ﻣﻌـﯾن ‪ .‬أي أن اﻟﻌﯾﻧـﺔ ﯾﻣﻛــن اﻋﺗﺑﺎرﻫـﺎ ﺻـف ﻣــن اﻟوﺣـدات اﻟﻣوﺿـوﻋﺔ ﻓــﻲ‬ ‫ﺗرﺗﯾب ﻣﻌﯾن ‪.‬‬ ‫ﻋﻠـﻰ ﺳـﺑﯾل اﻟﻣﺛـﺎل ﻋﯾﻧـﺔ ﺧﺎﺻـﺔ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪ n = 5‬ﻣﺧﺗـﺎرة ﻣـن ﻣﺟﺗﻣـﻊ ﻣـن اﻟﺣﺟـم ‪ N‬ﻗـد ﺗﻛـون‬

‫}‪ {u1 , u4 , u3 , u7 , u5‬وﻫذﻩ اﻟﻌﯾﻧﺔ ﺳوف ﺗﺧﺗﻠف ﻋن اﻟﻌﯾﻧﺔ }‪ {u5 , u1 , u4 , u7 , u3‬وذﻟـك‬ ‫ﺑﺎﻟرﻏم ﻣن أي اﻟﻌﯾﻧﺗﯾن ﯾﺣﺗوﯾﺎن ﻋﻠﻰ ﻧﻔس اﻟوﺣدات ﻓﺈن ﺗرﺗﯾب اﻟوﺣدات ﻓـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ اﻷوﻟـﻲ ﯾﺧﺗﻠـف‬ ‫ﻋن ﺗرﺗﯾب اﻟوﺣدات ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻫﻧـ ــﺎك ﻧـ ــوع ﻣـ ــن اﻟﻣﻌﺎﯾﻧـ ــﺔ اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ ﯾﺳـ ــﻣﻰ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧـ ــﺔ اﻟﻌﺷ ـ ـواﺋﯾﺔ اﻟﺑﺳـ ــﯾطﺔ ﺑﺈرﺟـ ــﺎع‬ ‫‪ simple random sampling with replacement‬وﻫـذا ﯾﻛـﺎﻓﺊ ﺗﺟرﺑـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺑﻔﺿـﺎء‬ ‫ﻋﯾﻧﺔ ‪ S‬ﯾﺗﻛون ﻣن ﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻟﻣرﺗﺑﺔ وﻛل ﻋﯾﻧﺔ ﻟﻬﺎ ﻧﻔس اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻓﻲ اﻻﺧﺗﯾـﺎر‪ .‬ﻧـوع آﺧـر ﻣـن‬

‫اﻟﻣﻌﺎﯾﻧــﺔ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ ﯾﺳ ــﻣﻰ اﻟﻣﻌﺎﯾﻧــﺔ اﻟﻌﺷـ ـواﺋﯾﺔ اﻟﺑﺳ ــﯾطﺔ ﺑ ــدون اﻹرﺟــﺎع‬

‫‪simple random‬‬

‫‪ sampling without replacement‬وﻫـذا ﯾﻛـﺎﻓﺊ ﺗﺟرﺑـﺔ ﻋﺷـواﺋﯾﺔ ﺗوﺻـف ﺑﻧﻣـوذج اﺣﺗﻣـﺎل‬ ‫ﯾﻌطــﻲ اﺣﺗﻣــﺎل ﺻــﻔر ﻟﻛــل اﻟﻌﯾﻧــﺎت اﻟﻣرﺗﺑــﺔ واﻟﺗــﻲ ﺗﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ أي ﻋﻧﺻــر ﯾظﻬــر أﻛﺛــر ﻣــن ﻣ ـرة‬ ‫وﯾﻌطﻲ اﺣﺗﻣﺎل ﻣﺗﺳﺎوي ﻟﻛل اﻟﻌﯾﻧﺎت اﻷﺧرى اﻟﻣرﺗﺑﺔ ‪.‬‬ ‫اﻟﻣﺛﺎل اﻟﺛﺎﻧﻰ ﺑﺎﻟطرﯾﻘﺔ اﻻوﻟﻰ‬

‫اﻟﺳﺣب ﺑدون اﻟرﺟﺎع‬ ‫وﻋﺎء ﺑﻪ ‪ 3‬ﻛرات ﺣﻣراء )‪ (R‬و ‪ 5‬ﻛرات ﺧﺿراء )‪ (G‬وﺑﻔرض أن ﺷـﺧص ﺳـﺣب ﻛـرﺗﯾن ﻣـن‬

‫اﻟوﻋــﺎء واﺣــدة ﺗﻠــو اﻷﺧــرى ﻣــن اﻟوﻋــﺎء وﺑــدون إرﺟــﺎع اﻟﻛ ـرﻩ ﺑﻌــد ﺳــﺣﺑﻬﺎ ﻣــن اﻟوﻋــﺎء ‪ .‬اﻻﺣﺗﻣــﺎﻻت‬ ‫ﻟﻸﺣداث اﻟﺑﺳﯾطﺔ ‪ a i  ,i  1,2,3,4‬ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫}‪{GG‬‬ ‫}‪{R R‬‬ ‫} ‪{RG‬‬ ‫}‪{GR‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪56‬‬

‫} ‪{a i‬‬ ‫)}‪P({ai‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪5 4 20‬‬ ‫‪P(GG)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P(RR)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪3 5 15‬‬ ‫‪P(RG)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫‪5 3 15‬‬ ‫‪P(GR)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 7 56‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن واﺣدة ﺣﻣراء واﻻﺧرى ﺧﺿ ارء ﻓﺈن } ‪ A = { RG , GR‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪15 15‬‬ ‫‪15 30‬‬ ‫‪P(A)  P({RG})  P({GR}) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2( )  .‬‬ ‫‪56 56‬‬ ‫‪56 56‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺳﺣب ﺑﺎرﺟﺎع‬ ‫وﻋﺎء ﺑﻪ ‪ 3‬ﻛرات ﺣﻣراء )‪ (R‬و‪ 5‬ﻛرات ﺧﺿراء )‪ (G‬وﺑﻔـرض أن ﺷـﺧص ﺳـﺣب ﻛـرﺗﯾن ﻣـن‬

‫اﻟوﻋ ــﺎء واﺣ ــدة ﺗﻠ ــو اﻷﺧ ــرى ﻣ ــن اﻟوﻋ ــﺎء و ﺑﺈرﺟ ــﺎع اﻟﻛـ ـرﻩ ﺑﻌ ــد ﺳ ــﺣﺑﻬﺎ ﻣ ــن اﻟوﻋ ــﺎء ‪ .‬اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت‬ ‫ﻟﻸﺣداث اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫}‪{RR‬‬ ‫} ‪{RG‬‬ ‫}‪{GR‬‬

‫}‪{GG‬‬

‫اﻻﺣدث‬

‫‪25‬‬ ‫‪64‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪5 5 25‬‬ ‫‪P(GG)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 8 64‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪P(RR)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 8 64‬‬ ‫‪3 5 15‬‬ ‫‪P(RG)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 8 64‬‬ ‫‪5 3 15‬‬ ‫‪P(GR)  ( )( ) ‬‬ ‫‪8 8 64‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن واﺣدة ﺣﻣراء واﻻﺧرى ﺧﺿراء ﻓﺈن } ‪ A = { RG, GR‬وﻋﻠﻰ ذﻟك ‪:‬‬ ‫‪15 15‬‬ ‫‪15 30‬‬ ‫‪P(A)  P({RG})  P({GR}) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2( )  .‬‬ ‫‪64 64‬‬ ‫‪64 64‬‬

‫اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﺛﺎﻧﯾﺔ‬ ‫اﻟﺳﺣب ﺑدون اﻟرﺟﺎع‬

‫وﻋــﺎء ﯾﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ‪ 5‬ﻛ ـرات ﺧﺿ ـراء و ‪ 3‬ﻛــرات ﺣﻣ ـراء ‪ ،‬اﺧﺗﯾــرت ﻛ ـرﺗﯾن ﻣ ـرة واﺣــدة ﺑــدون‬ ‫إرﺟﺎع ‪ .‬ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛرة ﺧﺿراء وﻛرة ﺣﻣراء ؟‬ ‫اﻟﺣـل ‪:‬‬ ‫‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ " ﻛرة ﺧﺿراء وﻛرة ﺣﻣراء " ﺗﺣﺳب ﺑﺎﻟﺧطوات اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 5  3 ‬‬ ‫‪ 2  0 ‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪P(GG)      .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺣﯾـث ﯾوﺟــد ‪  ‬ﻧﺗﯾﺟـﺔ ﻣﻣﻛﻧــﺔ ﻓـﻲ ﻓﺿــﺎء اﻟﻌﯾﻧــﺔ ‪) S‬ﻋﯾﻧـﺎت(‪ .‬أﯾﺿــﺎ ﯾوﺟـد ‪  ‬طرﯾﻘــﺔ ﻻﺧﺗﯾــﺎر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫ﻛ ـرﺗﯾن ﻟوﻧﻬﻣــﺎ اﺧﺿــر ﻣــن ‪ 5‬ﻛ ـرات ﺧﺿ ـراء‪ .‬ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﻗﺎﻋــدة اﻟﺿــرب ﯾوﺟــد ‪    ‬ﻧﻘطــﺔ‬ ‫‪2 0‬‬

‫ﻋﯾﻧﺔ ﻓﻲ ‪ . GG‬ﺑﻧﻔس اﻟطرﯾﻘﺔ ‪:‬‬

‫‪ 5  3 ‬‬ ‫‪ 0  2 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P(RR)      .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 5  3 ‬‬ ‫‪ 1  1 ‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪P({GR,GR})      .‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﻣطﻠوب ﻫو ‪:‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪P(A)  P({RG,GR}) ‬‬

‫اﻟﺳﺣب ﺑﺎرﺟﺎع‬ ‫وﻋﺎء ﺑﻪ ‪ 3‬ﻛرات ﺣﻣراء )‪ (R‬و‪ 5‬ﻛرات ﺧﺿراء )‪ (G‬وﺑﻔـرض أن ﺷـﺧص ﺳـﺣب ﻛـرﺗﯾن ﻣـن‬

‫اﻟوﻋ ــﺎء واﺣ ــدة ﺗﻠ ــو اﻷﺧ ــرى ﻣ ــن اﻟوﻋ ــﺎء و ﺑﺈرﺟ ــﺎع اﻟﻛـ ـرﻩ ﺑﻌ ــد ﺳ ــﺣﺑﻬﺎ ﻣ ــن اﻟوﻋ ــﺎء ‪ .‬اﻻﺣﺗﻣ ــﺎﻻت‬ ‫ﻟﻸﺣداث اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫}‪{GG‬‬ ‫}‪{R R‬‬ ‫}‪{RG,G R‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪4‬‬

‫اﻟﺣدث‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل‬

‫‪2 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪P(GG)  ( )( )2 ( ) 0 ‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪P(RR)  ( )( )0 ( ) 2 ‬‬ ‫‪0 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪P(A)  P(GR,RG}  ( )( )1 ( )1  .‬‬ ‫‪1 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪64‬‬

‫ﺣﯾث ‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛﺔ أن واﺣدة ﺣﻣراء واﻻﺧرى ﺧﺿراء ﻓﺈن } ‪. A = { RG, GR‬‬

‫اﻣﺛﻠﺔ اﺧرى ﻟزﯾﺎدة اﻟﻔﻬم‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫وﻋــﺎء ﯾﺣﺗــوى ﻋﻠ ــﻰ ‪ 12‬وﺣــدة ﻣــﻧﻬم ‪ 4‬ﺗ ــﺎﻟﻔﯾن ‪ .‬ﺳــﺣﺑت ﺛ ــﻼث ﻛ ـرات ﻣــن اﻟوﻋ ــﺎء ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎ ﺑ ــدون‬ ‫إرﺟﺎع ‪ .‬ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل أن ﻛل اﻟوﺣدات اﻟﻣﺧﺗﺎرة ﺳﻠﯾﻣﺔ ؟‬ ‫اﻟﺣـل ‪:‬‬ ‫ﺑﻔـرض أن ‪ A i‬ﺗﻣﺛـل اﻟﺣﺎدﺛـﺔ " اﻟوﺣـدة رﻗـم ‪ i‬ﺳـﻠﯾﻣﺔ " وﻋﻠـﻰ ذﻟـك ﻓﺈﻧﻧـﺎ ﻧﺣﺗـﺎج إﻟـﻲ‬

‫إﯾﺟـﺎد ) ‪ P ( A1  A 2  A 3‬ﺑﺎﺳـﺗﺧدام ﻧظرﯾـﺔ اﻟﺿـرب ‪ .‬ﯾﺟـب أن ﻧﺗـذﻛر أن اﻷﺣـداث‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P(A1 ) ‬‬ ‫‪ A2 ,A3‬ﺗرﺗــب ﺣﺳــب وﻗــوﻋﻬم ‪ ،‬أي أن اﻟوﺣــدة ‪ 1‬ﺗﺧﺗــﺎر ﻗﺑــل اﻟوﺣــدة ‪ .2‬اﻵن‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻷن ‪ 8‬ﻣـن ‪ 12‬وﺣـدة ﻏﯾــر ﺗـﺎﻟﻔﯾن ‪ .‬إذا ﻋﻠـم أن ‪ A1‬وﻗﻌــت ‪ ،‬أي أن اﻟوﺣـدة اﻷوﻟـﻲ ﺳــﻠﯾﻣﺔ ﯾﺗﺑﻘــﻰ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ P(A 2 A1 ) ‬وﺑــﻧﻔس‬ ‫ﻓــﻲ اﻟوﻋــﺎء ‪ 7‬وﺣــدات ﺳــﻠﯾﻣﺔ ﻣــن ‪ 11‬وﺣــدة ﻓــﻲ اﻟوﻋــﺎء وﻋﻠــﻰ ذﻟــك‬ ‫‪11‬‬ ‫اﻟﺷــﻛل ‪ ،‬وﻗــوع ‪ A1  A 2‬ﺗﻌﻧــﻰ أن وﺣــدﺗﺎن ﺳــﻠﯾﻣﺔ ﺗــم اﺧﺗﯾﺎرﻫﻣــﺎ ﻓﻌــﻼ ﻣــن اﻟوﻋــﺎء وﯾﺗﺑﻘــﻰ ﻓــﻲ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P ( A 3 A 2  A1 ) ‬‬ ‫اﻟوﻋ ــﺎء ‪ 6‬وﺣـ ــدات ﺳـ ــﻠﯾﻣﺔ ﻣ ــن ‪ 10‬وﺣـ ــدات ﻓـ ــﻲ اﻟوﻋ ــﺎء وﻋﻠـ ــﻰ ذﻟـ ــك‬ ‫‪10‬‬ ‫وأﺧﯾراً ‪:‬‬ ‫‪A1 ,‬‬

‫‪ 8  7  6  14‬‬ ‫‪P(A1  A 2  A 3 )       .‬‬ ‫‪ 12  11  10  55‬‬

‫‪5‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫وﻋــﺎء ﯾﺣﺗــوي ﻋﻠــﻰ ‪ 10‬ﻛـرات ﺳــوداء و ‪ 20‬ﻛ ـرة ﺑﯾﺿــﺎء ‪ ،‬اﺧﺗﯾــرت ‪ 5‬ﻛـرات ﻣـرة واﺣــدة ﺑــدون‬ ‫إرﺟﺎع ‪ .‬ﻣﺎ ﻫو اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛرﺗﯾن ﻟوﻧﻬﻣﺎ اﺳود ؟‬ ‫اﻟﺣـل ‪:‬‬ ‫ﺗرﺗﯾب اﻟﻌﻧﺎﺻر داﺧل اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻏﯾر ﺿروري ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺣﺎﻟـﺔ وﻋﻠـﻰ ذﻟـك إذا ﻛـﺎن ‪ A‬اﻟﺣﺎدﺛـﺔ "‬

‫ﻛرﺗﯾن ﻟوﻧﻬﻣﺎ أﺳود" ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪10  20 ‬‬ ‫‪ 2  3 ‬‬ ‫‪P(A)      .360.‬‬ ‫‪ 30 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪10 ‬‬ ‫‪ 30 ‬‬ ‫ﺣﯾ ــث ﯾوﺟـ ــد ‪  ‬ﻧﺗﯾﺟـ ــﺔ ﻣﻣﻛﻧـ ــﺔ ﻓـ ــﻲ ﻓﺿ ــﺎء اﻟﻌﯾﻧـ ــﺔ ‪) S‬ﻋﯾﻧـ ــﺎت(‪ .‬أﯾﺿـ ــﺎ ﯾوﺟـ ــد ‪  ‬طرﯾﻘـ ــﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫ﻻﺧﺗﯾــﺎر ﻛ ـرﺗﯾن ﻟوﻧﻬﻣــﺎ أﺳــود ﻣــن ‪ 10‬ﻛ ـرات ﺳــوداء وﻟﻛــل طرﯾﻘــﺔ ﻣــن ﻫــذﻩ اﻟطــرق ﯾوﺟــد ‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 20 ‬‬ ‫طرﯾﻘـﺔ ﻻﺧﺗﯾــﺎر ﺛــﻼث ﻛـرات ﺑﯾﺿــﺎء ﻣــن ‪ 20‬ﻛـرة ﺑﯾﺿــﺎء ‪ .‬ﺑﺎﺳــﺗﺧدام ﻗﺎﻋــدة اﻟﺿــرب ﯾوﺟــد ‪ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪  ‬ﻧﻘطــﺔ ﻋﯾﻧــﺔ ﻓــﻲ ‪ . A‬وﯾﺟــب أن ﻧﺗــذﻛر أن )‪ P(A‬واﺣــدة ﺳ ـواء اﺧﺗﯾــرت اﻟﻛ ـرات اﻟﺧﻣﺳــﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫واﺣ ــدة ﺗﻠ ــو اﻷﺧ ــرى أو اﺧﺗﯾ ــرت اﻟﻛـ ـرات ﻣﻌ ــﺎ ‪ ،‬ﻓﻣ ــﺛﻼ ﻋﻧ ــد اﻫﺗﻣﺎﻣﻧ ــﺎ ﺑﺳ ــﺣب اﻟﻛـ ـرات اﻟواﺣ ــدة ﺗﻠ ــو‬ ‫اﻷﺧرى ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪10  20 ‬‬ ‫!‪  .5‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪P(A)    ‬‬ ‫‪ 30 ‬‬ ‫!‪ .5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫واﻟﺗﻲ ﺗﻌطﻲ ﻧﻔس اﻟﻧﺗﯾﺟﺔ ﻛﻣﺎ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺳﺣب اﻟﻛرات اﻟﺧﻣﺳﺔ ﻣﻌﺎ )‪. ( 0.36‬‬ ‫اﻣﺎ ﻋﻧد اﺳﺗﺧدام أﺳﻠوب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ﻟﻠﻣﺛﺎل اﻟﺳﺎﺑق ﻓﯾﻛون اﻟﺣل ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻰ ‪.‬‬ ‫ﯾﺣﺗــوي وﻋــﺎء ﻋﻠــﻰ ‪ 10‬ﻛ ـرات ﻟــوﻧﻬم أﺳــود ‪ B‬و ‪ 20‬ﻛـرة ﻟــوﻧﻬم أﺑــﯾض ‪ . W‬ﻓــﺈذا اﺧﺗﯾــرت ﻣــن‬ ‫اﻟوﻋﺎء ‪ 5‬ﻛرات ﺑدون إرﺟﺎع أوﺟد اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﻛرﺗﯾن ﻟوﻧﻬﻣﺎ أﺳود ‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫اﻟﺣـل ‪:‬‬ ‫أوﻻ ﻧﺣﺳب اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗرﺗﯾب ﺧﺎص ‪ WWWBB‬ﻋﻠﻰ ﺳﺑﯾل اﻟﻣﺛﺎل ‪:‬‬

‫‪ 20  19  18  10  9 ‬‬ ‫‪P( WWWBB)        .‬‬ ‫‪ 30  29  28  27  26 ‬‬ ‫وﺑﻧﻔس اﻟﺷﻛل اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﺗرﺗﯾب آﺧر ‪ WBBWW‬ﻫو ‪:‬‬ ‫‪ 20  10  9  19  18 ‬‬ ‫‪P( WBBWW)        .‬‬ ‫‪ 30  29  28  27  26 ‬‬ ‫وﻫﻛ ــذا ‪ .‬ﯾﻼﺣ ــظ أن اﻟﺗـ ـرﺗﯾﺑﯾن اﻟﺳ ــﺎﺑﻘﯾن ﻟﻬﻣ ــﺎ ﻧﻔ ــس اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ‪ .‬وﻋﻠ ــﻰ ذﻟ ــك اﺣﺗﻣ ــﺎل اﻟﺣﺎدﺛ ــﺔ ‪" A‬‬ ‫ﻛرﺗﯾن ﺑﺎﻟﺿﺑط ﻟوﻧﻬﻣﺎ أﺳود " ) أي أﻧﻧﺎ ﻻ ﻧﻬﺗم ﺑﺎﻟﺗرﺗﯾب ( ﻫو ‪:‬‬

‫‪ 5   20  19  18  10  9 ‬‬ ‫‪P (A)   .       .360.‬‬ ‫‪ 2   30  29  28  27  26 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫وذﻟــك ﻷﻧــﻪ ﯾوﺟــد ‪    10‬ﻣــن اﻟﺗرﺗﯾﺑــﺎت اﻟﺧﺎﺻــﺔ اﻟﻣﺧﺗﻠﻔــﺔ واﻟﺗــﻲ ﺗﻌطــﻲ ﻛرﺗــﺎن ﻟوﻧﻬﻣــﺎ أﺳــود‬ ‫‪ 2‬‬ ‫وﺛﻼﺛــﺔ ﻟــوﻧﻬم أﺑــﯾض ‪ .‬وﻫــﻲ ﻧﻔــس اﻟﻧﺗﯾﺟــﺔ اﻟﺗــﻲ ﺣﺻــﻠﻧﺎ ﻋﻠﯾﻬــﺎ ﻓــﻲ اﻟﻣﺛــﺎل اﻟﺳــﺎﺑق وﻟﻛــن ﺑﺎﺳــﺗﺧدام‬ ‫أﺳﻠوب اﻟﺗﺑﺎدﯾل ‪ ،‬أﻣﺎ ﻫﻧﺎ ﻓﻘد اﺳﺗﺧدﻣﻧﺎ أﺳﻠوب اﻻﺣﺗﻣﺎل اﻟﺷرطﻲ ‪.‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺘﯿﺮت ﻋﯿﻨﺔ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺠﻢ ‪ 3‬ﻣﻦ وﻋﺎء ﯾﺤﺘﻮى ﻋﻠﻰ ‪ 12‬وﺣﺪه ﻣﻨﮭﺎ ‪ 3‬ﺗﺎﻟﻔﺔ‪ .‬إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﯾﻤﺜﻞ ﻋﺪد‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات اﻟﺘﺎﻟﻔﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﯿﻨﺔ ‪ .‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ‪. x = 0, 1, 2,3‬‬

‫‪ 3  9 ‬‬ ‫‪ 0  3 ‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪f (0)  P(X  0)     ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3  9 ‬‬ ‫‪ 1  2 ‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪f (1)  P(X  1)     ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3  9 ‬‬ ‫‪ 2  1 ‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪f (2)  P(X  2)     ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪7‬‬

‫‪ 3  9 ‬‬ ‫‪ 3  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (3)  P(X  3)     ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪220‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫وﯾﻤﻜﻦ وﺿﻊ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﻲ ﺟﺪول ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪1‬‬

‫‪108‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪0‬‬

‫‪84‬‬ ‫‪220‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f(x‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾﻌــرض ﻓــﻲ ﻣرﻛــز ﺗﺟــﺎري ‪ 10‬ﺑطﺎرﯾــﺎت إذا اﺧﺗﯾــرت ﻋﯾﻧــﺔ ﻣــن ‪ n  2‬ﻣــن اﻟﺑطﺎرﯾــﺎت ﻋﺷ ـواﺋﯾﺎً و‬ ‫ﺑدون إرﺟﺎع ﻻﺳﺗﺧداﻣﻬﺎ ﻓﻲ ﺗﺷﻐﯾل ﺟﻬﺎز اﻟرادﯾو ‪ .‬إذا ﻛﺎن ‪ 3‬ﻣن اﻟﻌﺷـر ﺑطﺎرﯾـﺎت ﺗﺎﻟﻔـﺔ وﺑﻔـرض‬

‫أن ‪ X‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑطﺎرﯾـﺎت اﻟﺗﺎﻟﻔـﺔ ﻓـﻲ اﻟﻌﯾﻧـﺔ ‪ .‬أوﺟـد داﻟـﺔ ﻛﺛﺎﻓـﺔ اﻻﺣﺗﻣـﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾـر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪X‬‬ ‫؟‬ ‫اﻟﺣــل ‪:‬‬

‫إذا ﻛﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛل ﻋدد اﻟﺑطﺎرﯾﺎت اﻟﺗﺎﻟﻔﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﯾﻧﺔ وﻋﻠﻰ ذﻟك ﻓﺈن ‪x  0,1,2 :‬‬ ‫‪ 3  7 ‬‬ ‫‪ 0  2 ‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪f (0)  P(X  0)     ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3  7 ‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪f (1)  P(X  1)     ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3  7 ‬‬ ‫‪ 2  0 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f (2)  P(X  2)     ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ﯾﻣﻛن وﺿﻊ ﺻﯾﻐﺔ ﻟداﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 3  7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  2  x ‬‬ ‫‪ , x = 0,1,2.‬‬ ‫‪f (x)  P(X  x)   ‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﻣﺛﺎل‬

‫ﯾﻌﻣـل ﻓـﻲ أﺣــد اﻷﻗﺳـﺎم اﻷﻛﺎدﯾﻣﯾــﺔ ﺑﺎﻟﺟﺎﻣﻌـﺔ ﺳـﺗﺔ أﺳــﺎﺗذة ﻣـﻧﻬم ‪ 3‬ﺗﺧﺻــص إﺣﺻـﺎء رﯾﺎﺿــﻲ و ‪3‬‬

‫ﺗﺧﺻ ــص إﺣﺻ ــﺎء ﺗطﺑﯾﻘ ــﻲ ‪ .‬ﯾـ ـراد اﺧﺗﺑ ــﺎر اﺳ ــﺗﺎذﯾن ﻟﻸﺷـ ـراف اﻷﻛ ــﺎدﯾﻣﻲ ﺑطرﯾﻘ ــﺔ ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ‪ .‬إذا‬ ‫ﻛﺎﻧــت ‪ X‬ﺗﻣﺛــل ﻋــدد اﻷﺳــﺎﺗذة ﺗﺧﺻــص إﺣﺻــﺎء رﯾﺎﺿــﻲ اﻟــذﯾن ﺗــم اﺧﺗﯾــﺎرﻫم ‪ .‬أوﺟــد داﻟــﺔ ﻛﺛﺎﻓــﺔ‬ ‫اﻻﺣﺗﻣﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬؟‬ ‫اﻟﺣــل ‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫ﻋــدد اﻟطــرق اﻟﺗــﻲ ﯾــﺗم ﺑﻬــﺎ اﺧﺗﯾــﺎر اﺳــﺗﺎذﯾن ﻣــن ﺟﻣﻠــﺔ ‪ 6‬أﺳــﺎﺗذة ﻫــو ‪    15‬و ﻓ ـراغ‬ ‫‪ 2‬‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ‪ 15‬ﻧﻘطﺔ ‪ .‬و ﻷن اﻻﺧﺗﺑﺎر ﺗم ﺑطرﯾﻘﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﻓـﯾﻣﻛن اﻟﻘـول أن ﻓـراغ اﻟﻌﯾﻧـﺔ‬ ‫‪ S‬ذو اﺣﺗﻣﺎﻻت ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ‪ . .‬أي أن ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪i  1,2,,15.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫و ﺑﻔـرض أن اﻟﻣﺗﻐﯾــر اﻟﻌﺷـواﺋﻲ ‪ X‬ﯾﻣﺛــل ﻋـدد اﻷﺳــﺎﺗذة ﺗﺧﺻـص إﺣﺻــﺎء رﯾﺎﺿـﻲ ‪ .‬و ﻋﻠــﻰ ذﻟــك‬ ‫‪P(E i ) ‬‬

‫ﺗﻛون اﻟﻘﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﻠﻣﺗﻐﯾر ‪ X‬ﻫﻲ ‪ ، 0,1,2‬و اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 3  3 ‬‬ ‫‪ 0  2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  0)     ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3  3 ‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P(X  1)     ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 3  3 ‬‬ ‫‪ 2  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P(X  2)     ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫و ﯾﻣﻛن اﻟﺗﻌﺑﯾر ﻋن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ ﺑﺟدول ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﯾوﺟ ــد ﻓ ــﻲ ﻣرﻛ ــز اﻟﻣﻌﻠوﻣ ــﺎت ‪ 15‬ﺟﻬ ــﺎز ﺣﺎﺳ ــب آﻟ ــﻲ ﻣﻌ ــروض ﻟﻠﺗﺷ ــﻐﯾل ‪ .‬ﯾوﺟ ــد ‪ 5‬ﻣ ــن اﻷﺟﻬـ ـزة‬ ‫ﻋﺎطﻠــﺔ ) ﻣﻌﯾﺑــﺔ ( ﺑــدون ﻋﻠــم إدارة اﻟﻣرﻛــز ‪ .‬ﻗــﺎم اﻟﻣﺷــرف ﻋﻠــﻰ اﻟﻣرﻛــز ﺑﻔﺣــص ‪ 3‬أﺟﻬ ـزة ﺑطرﯾﻘــﺔ‬

‫ﻋﺷـ ـواﺋﯾﺔ ‪ .‬أوﺟ ــد داﻟ ــﺔ ﻛﺛﺎﻓ ــﺔ اﻻﺣﺗﻣ ــﺎل ﻟﻠﻣﺗﻐﯾ ــر اﻟﻌﺷـ ـواﺋﻲ ‪ X‬إذا ﻛ ــﺎن ‪ X‬ﯾﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻷﺟﻬـ ـزة‬ ‫اﻟﻣﻌﯾﺑﺔ أو اﻟﺗﻲ ﺑﻬﺎ ﻋطل ؟‬ ‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻧﻼﺣــظ أن اﻟﺗﺟرﺑــﺔ ﻫــﻲ ﻓﺣــص ‪ 3‬أﺟﻬ ـزة ﺑطرﯾﻘــﺔ ﻋﺷ ـواﺋﯾﺔ وﺑــذﻟك ﯾﻣﻛــن إﯾﺟــﺎد ﻋــدد ﻧﻘــﺎط‬ ‫اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻟﺗﺟرﺑـﺔ اﻟﻌﻣﻠﯾـﺔ ‪ .‬و ﻧﻼﺣـظ أن ﻋـدد اﻟطـرق اﻟﻣﻣﻛﻧـﺔ اﻟﺗـﻲ ﯾـﺗم ﺑﻬـﺎ ﻓﺣـص ‪ 3‬أﺟﻬـزة‬ ‫ﻣن ‪ 15‬ﺟﻬﺎز ﻫﻲ ‪:‬‬

‫!‪15  15! 15  14  13  12‬‬ ‫‪ 455.‬‬ ‫‪ 3   3!12! ‬‬ ‫!‪3! 12‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺑﻣ ــﺎ أن ‪ X‬ﯾﻣﺛ ــل ﻋ ــدد اﻷﺟﻬـ ـزة اﻟﺗ ــﻲ ﺑﻬ ــﺎ ﻋط ــل أو ﻣﻌﯾﺑ ــﺔ واﻟﻘ ــﯾم اﻟﻣﻣﻛﻧ ــﺔ ﻫ ــﻲ ‪x  0,1, 2,3‬‬

‫واﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬذة اﻟﻘﯾم ﻫﻲ ‪:‬‬

‫اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻪ ﻻ ﯾوﺟد ﺟﻬﺎز ﻣﻌﯾب ﻫو ‪:‬‬

‫‪ 5 10 ‬‬ ‫‪ 0  3 ‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪P(X  0)     ‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻪ ﯾوﺟد ﺟﻬﺎز ﻣﻌﯾب ﻫو ‪:‬‬ ‫‪ 5 10 ‬‬ ‫‪1  2 ‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪P(X  1)     ‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫اﺣﺗﻣﺎل أﻧﻪ ﯾوﺟد ﺟﻬﺎزان ﻣﻌﯾﺑﺎن ﻫو ‪:‬‬ ‫‪ 5 10 ‬‬ ‫‪ 2 1 ‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪P(X  2)     ‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪10‬‬

‫اﺣﺗﻣﺎل أن اﻷﺟﻬزة اﻟﻣﻔﺣوﺻﺔ ﻣﻌﯾﺑﺔ ﻫو ‪:‬‬ ‫‪ 5 10 ‬‬ ‫‪ 3  0 ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪P(X  3)     ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫و اﻵن ﯾﻣﻛن ﻛﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ ﻛﺛﺎﻓﺔ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ﻛﺎﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪,‬‬

‫‪x 3‬‬

‫‪,‬‬

‫ﻛﻣﺎ ﯾﻣﻛن ﺗﻣﺛﯾل ﻫذﻩ اﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت ﻓﻲ ﺟدول‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 120‬‬ ‫‪ 455‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 225‬‬ ‫‪ 455‬‬ ‫‪P(X  x)  ‬‬ ‫‪ 100‬‬ ‫‪ 455‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 455‬‬ ‫ﻛﻣﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬

‫‪120‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫‪455‬‬ ‫وﯾﻣﻛن ﺣﺳﺎب اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت اﻟﻣﺧﺗﻠﻔﺔ ﻟﻘﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ﻣن اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ ‪:‬‬

‫‪x  0,1,2,3.‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ 5  10 ‬‬ ‫‪ x  3  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(X  x)   ‬‬ ‫‪455‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫اﺧﺗﯾ رت ﺛﻼﺛ ﺔ ﻛﺗ ب ﻋﺷ واﺋﯾﺎ ﻣ ن رف ﯾﺣﺗ وي ﻋﻠ ﻰ ‪ 5‬ﻛﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﺗ ﺎرﯾﺦ و‪ 3‬ﻛﺗ ب ﻓ ﻲ اﻟﻌﻠ وم‬ ‫وﻗﺎﻣوس ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل‪:‬‬ ‫)أ( اﻟﻘﺎﻣوس ھو اﻟﻣﺧﺗﺎر؟‬ ‫)ب( ﻛﺗﺎﺑﯾن ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم و واﺣد ﻓﻲ اﻟﺗﺎرﯾﺦ ھﻣﺎ اﻟﻣﺧﺗﺎرﺗﺎن؟‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ‪ :‬ﻋدد طرق اﺧﺗﯾﺎر ‪ 3‬ﻛﺗب ﻣن ‪ 9‬ﻛﺗب‪:‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪ 3   84 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)أ( ‪ A‬ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس و‪ 2‬ﺗﺎرﯾﺦ( أذن‪:‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪   10  5 ‬‬ ‫‪84 42‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P(A)   ‬‬

‫‪ B‬ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس و‪ 2‬ﻋﻠوم( أذن‪:‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪  3  1 ‬‬ ‫‪84 28‬‬ ‫‪ C‬ﻣﻛوﻧﺔ ﻣن )ﻗﺎﻣوس وﺗﺎرﯾﺦ وﻋﻠوم( أذن‪:‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   15  5 ‬‬ ‫‪84 28‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪P(B)   ‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪P(C)   ‬‬

‫ اﺣﺗﻣﺎل اﺧﺗﯾﺎر ‪ 3‬ﻛﺗب واﺣد ﻣﻧﮭم ﻗﺎﻣوس‪:‬‬‫‪10 3 15 28‬‬ ‫‪P(A  B  C)  P(A)  P(B)  P(C)   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪84 84 84 84‬‬ ‫)ب( ‪ D‬ﻛﺗﺎﺑﯾن ﻓﻲ اﻟﻌﻠوم وواﺣد ﻓﻲ اﻟﺗﺎرﯾﺦ أذن‪:‬‬ ‫‪ 1  5  3‬‬ ‫‪0 1  2‬‬ ‫‪15 5‬‬ ‫‪P(D)        ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪84 28‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫ﻣﺳﺗﺣﺿر ﻓﻲ أﻧﺑوﺑﺔ اﺧﺗﺑﺎر ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻋﺷرﯾن ﻣ ن ﺣﺑ وب ﻟﻘ ﺎح اﻟﺻ ﻧوﺑر وﺧﻣﺳ ﺔ ﻣ ن ﻟﻘ ﺎح‬ ‫اﻟﺑﻠوط‪ ،‬اﺧﺗﯾرت ﻋﯾﻧﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ﺗﺣﺗوي ﻋﻠﻰ أرﺑﻌﺔ ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح ‪ ،‬ﻣﺎ ھو اﺣﺗﻣﺎل أن‪:‬‬ ‫)أ( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر‪.‬‬ ‫)ب( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط‪.‬‬ ‫)ج( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح اﻟﺻﻧوﺑر‪.‬‬

‫اﻟﺣــل‪:‬‬ ‫)أ( اﺣﺗﻣﺎل ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر ھو ‪:‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 4  0‬‬ ‫‪969‬‬ ‫‪P(A)      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ A‬ﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر‪.‬‬ ‫)ب( اﺣﺗﻣﺎل أن ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط‪:‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 1   3‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪P(B)      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ B‬ﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺑﻠوط‪.‬‬ ‫)ج( ﺗﺣﺗوي اﻟﻌﯾﻧﺔ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻟﻘﺎح اﻟﺻﻧوﺑر‪:‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 20   5 ‬‬ ‫‪ 3  1‬‬ ‫‪ 4  0‬‬ ‫‪1140‬‬ ‫‪969‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P(C) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫و‬ ‫‪P(A)      ‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪ 25 ‬‬ ‫‪2530‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1140 969 2109‬‬ ‫‪P(C  A)  P(C)  P(A) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2530 2530 2530‬‬ ‫ﺣﯾث ‪ C‬ﺣﺎدﺛﺔ اﻟﺣﺻول ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﺣﺑوب ﻣن اﻟﺻﻧوﺑر وﺣﺑﺔ واﺣدة ﻣن اﻟﺑﻠوط‪.‬‬

‫ﻣﺛﺎل‬ ‫أوﺟد اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻰ ﻟﻌدد اﻟرﺟﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھم ﻟﻣﮭﻣﺔ ﻋﻠﻣﯾﺔ ﻣن ‪ 3‬أﺷﺧﺎص ﻣن‬ ‫ﺑﯾن ‪ 5‬رﺟﺎل وﺳﯾدﺗﯾن )اﻟﺳﺣب ﺑدون إرﺟﺎع( ‪.‬‬

‫اﻟﺣــل ‪:‬‬ ‫ﻗﯾم اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ھﻲ‪ x  1,2,3 . :‬واﻟﺗﻲ ﺗﻣﺛل ﻋدد اﻟرﺟﺎل اﻟذﯾن ﯾﺗم اﺧﺗﯾﺎرھم‬ ‫ﻟﻣﮭﻣﺔ ﻋﻠﻣﯾﺔ ﻓﻲ ﻋﯾﻧﺔ ﻣن ‪. n  3‬‬ ‫اﻟﺻﯾﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﯾﺔ ھﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪ x  3  x ‬‬ ‫‪ , x  1,2,3‬‬ ‫‪P(X  x)   ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪ 1  2 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P(X  1)     ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 2  1  20‬‬ ‫‪P ( X  2) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 5  2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 3  0  10‬‬ ‫‪P(X  3) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫إذن اﻟﺗوزﯾﻊ اﻻﺣﺗﻣﺎﻟﻲ اﻟﻣﺗﻐﯾر اﻟﻌﺷواﺋﻲ ‪ X‬ھو‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪35‬‬

‫) ‪P(X  x‬‬

‫ﺛﺎﻧﯾﺎ‪ :‬اﻟﻣﺛﺎل اﻻول‬ ‫ﺗﺠﺮﺑﺔ ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﺎء ﻋﻤﻠﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺣﯿﺚ ﻧﻮاﺗﺞ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ ‪ T,H‬واذا ﻛﺎن اﻟﻨﺎﺗﺞ ‪ H‬ﻧﻨﮭ ﻰ اﻟﺘﺠﺮﺑ ﺔ اﻣ ﺎ اذا ﻛ ﺎن‬

‫اﻟﻨﺎﺗﺞ ‪ T‬ﻓﻨﻠﻘﻰ ﻧﺮد ﻣﺘﺰن ﺣﯿﺚ ﻧﻮاﺗﺞ اﻟﻨﺮد ھﻰ ‪:1,2,3,4,5,6‬‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب ﻓﻀﺎء اﻟﻌﯿﻨﺔ و اﻟﺬى ﺳﻮف ﯾﻜﻮن ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ‪:‬‬ ‫})‪S={H,( T,1) ,( T,2) ( T,3) ,( T,4) ( T,5) ,( T,6‬‬

‫اﻻﺣﺗﻣﺎﻻت ﻟﻸﺣداث اﻟﺑﺳﯾطﺔ‬

‫‪a i ,i  2,3‬‬

‫}}‪A  {{T,1},{T,2‬‬ ‫ﻣﻌطﺎة ﻓﻲ اﻟﺟدول اﻟﺗﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫} ‪{T,2‬‬

‫}‪{T,1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫} ‪{a i‬‬ ‫)}‪P({ai‬‬

‫‪14‬‬

‫ﻟﻠﺣﺎدﺛﺔ ‪ A‬ﺣﯾث ‪:‬‬

P(H) 

1 2

1 1 1 P(T,1)  ( )( )  2 6 12 1 1 1 P(T, 2)  ( )( )  2 6 12 : ‫ وﻋﻠﻰ ذﻟك‬A ={( T,1) ,( T,2) } ‫ﺑﻣﺎ ان اﻟﺣﺎدﺛﺔ‬ 1 1 1 1 2 P(A)  P({T,1})  P({T, 2})  ( )( )  ( )( )  .

2 6 2 6 12

15